---
route: /
title: Sprawna Matura - Ćwicz zadania maturalne z matematyki
---

# Sprawna Matura

Platforma do nauki matematyki na maturę z 2914 prawdziwymi zadaniami CKE.
Poziom rozszerzony: 540 zadań z arkuszy CKE, również z rozwiązaniami krok po kroku.
Zbiorczy przegląd poziomu rozszerzonego: https://www.sprawnamatura.pl/matura-rozszerzona
Każde zadanie ma rozwiązanie krok po kroku. Większość ma też film wideo z wyjaśnieniem.

## Funkcje platformy

- Ćwiczenie zadań maturalnych z matematyki (poziom podstawowy i rozszerzony)
- Rozwiązania krok po kroku do każdego zadania
- Filmy wideo z wyjaśnieniami
- Losowanie zadań według kategorii lub arkusza
- Śledzenie postępów nauki
- Pełne arkusze CKE od 2010 roku
- 20 kategorii tematycznych
- Wzory i tablice maturalne

---
route: /topics
title: Kategorie zadań maturalnych
---

# Kategorie zadań maturalnych z matematyki

Na platformie dostępnych jest 25 kategorii tematycznych:

- [Ciągi](https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi)
- [Funkcja kwadratowa](https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa)
- [Funkcja liniowa](https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-liniowa)
- [Funkcja wykładnicza](https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-wykladnicza)
- [Funkcje](https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcje)
- [Geometria analityczna](https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna)
- [Inne](https://www.sprawnamatura.pl/topics/inne)
- [Kombinatoryka](https://www.sprawnamatura.pl/topics/kombinatoryka)
- [Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste)
- [Logarytmy](https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy)
- [Optymalizacja](https://www.sprawnamatura.pl/topics/optymalizacja)
- [Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria)
- [Potęgi i pierwiastki](https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki)
- [Prawdopodobieństwo](https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo)
- [Procenty](https://www.sprawnamatura.pl/topics/procenty)
- [Rachunek różniczkowy](https://www.sprawnamatura.pl/topics/rachunek-rozniczkowy)
- [Równania i nierówności](https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci)
- [Równania z parametrem](https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-z-parametrem)
- [Statystyka](https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka)
- [Stereometria](https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria)
- [Trygonometria](https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria)
- [Układy równań](https://www.sprawnamatura.pl/topics/uklady-rownan)
- [Wartość bezwzględna](https://www.sprawnamatura.pl/topics/wartosc-bezwzgledna)
- [Wielomiany](https://www.sprawnamatura.pl/topics/wielomiany)
- [Wyrażenia algebraiczne](https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne)

---
route: /exams
title: Arkusze maturalne CKE
---

# Arkusze maturalne CKE z matematyki

Dostępnych jest 105 arkuszy maturalnych:

- [CKE 2015-2023 PP](https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp)
- [CKE 2023 PP](https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp)
- [CKE 2025 PP](https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2025-pp)
- [CKE PP treningowe](https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-pp-treningowe)
- [Matura czerwiec 2012](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2012)
- [Matura czerwiec 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2013)
- [Matura czerwiec 2016](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2016)
- [Matura czerwiec 2017](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2017)
- [Matura czerwiec 2018](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2018)
- [Matura czerwiec 2019](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2019)
- [Matura czerwiec 2023](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2023)
- [Matura czerwiec 2024](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2024)
- [Matura czerwiec 2025](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-czerwiec-2025)
- [Matura maj 2010](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2010)
- [Matura maj 2011](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2011)
- [Matura maj 2012](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2012)
- [Matura maj 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2013)
- [Matura maj 2014](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2014)
- [Matura maj 2015](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2015)
- [Matura maj 2016](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2016)
- [Matura maj 2017](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2017)
- [Matura maj 2018](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2018)
- [Matura maj 2019](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2019)
- [Matura maj 2020](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2020)
- [Matura maj 2021](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2021)
- [Matura maj 2022](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2022)
- [Matura maj 2023](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2023)
- [Matura maj 2024](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2024)
- [Matura maj 2025](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2025)
- [Matura maj 2026](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-maj-2026)
- [Matura próbna CKE grudzień 2023](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023)
- [Matura próbna CKE grudzień 2024](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024)
- [Matura próbna CKE marzec 2026](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-marzec-2026)
- [Matura próbna Operon listopad 2011](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2011)
- [Matura próbna Operon listopad 2012](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2012)
- [Matura próbna Operon listopad 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2013)
- [Matura próbna Operon listopad 2017](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2017)
- [Matura próbna Operon listopad 2018](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2018)
- [Matura próbna Operon listopad 2019](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-operon-listopad-2019)
- [Matura próbna grudzień 2014](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-grudzien-2014)
- [Matura próbna kwiecień 2015](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015)
- [Matura próbna kwiecień 2020](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2020)
- [Matura próbna luty 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013)
- [Matura próbna luty 2014](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014)
- [Matura próbna luty 2026](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026)
- [Matura próbna marzec 2012 (1)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-1)
- [Matura próbna marzec 2012 (2)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2012-2)
- [Matura próbna marzec 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2013)
- [Matura próbna marzec 2021](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-marzec-2021)
- [Matura próbna styczeń 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2013)
- [Matura próbna styczeń 2014](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-styczen-2014)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2011](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2011)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2012](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2012)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2015](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2015)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2016](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2016)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2017](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2017)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2018](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2018)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2019](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2019)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2020](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2020)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2021](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2021)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2022](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2022)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2015)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2015)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2023)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2024 (formuła 2015)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2024-formula-2015)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2024 (formuła 2023)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2024-formula-2023)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2025](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2025)
- [Matura rozszerzona czerwiec 2026](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2026)
- [Matura rozszerzona maj 2010](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2010)
- [Matura rozszerzona maj 2011](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2011)
- [Matura rozszerzona maj 2012](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2012)
- [Matura rozszerzona maj 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2013)
- [Matura rozszerzona maj 2014](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2014)
- [Matura rozszerzona maj 2015](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2015)
- [Matura rozszerzona maj 2016](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2016)
- [Matura rozszerzona maj 2017](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2017)
- [Matura rozszerzona maj 2018](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2018)
- [Matura rozszerzona maj 2019](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2019)
- [Matura rozszerzona maj 2020](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2020)
- [Matura rozszerzona maj 2021](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2021)
- [Matura rozszerzona maj 2022](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2022)
- [Matura rozszerzona maj 2023 (formuła 2015)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2023-formula-2015)
- [Matura rozszerzona maj 2023 (formuła 2023)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2023-formula-2023)
- [Matura rozszerzona maj 2024 (formuła 2015)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2015)
- [Matura rozszerzona maj 2024 (formuła 2023)](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023)
- [Matura rozszerzona maj 2025](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2025)
- [Matura rozszerzona maj 2026](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-maj-2026)
- [Matura rozszerzona pokazowa marzec 2022](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022)
- [Matura rozszerzona próbna CKE grudzień 2022](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-probna-cke-grudzien-2022)
- [Matura rozszerzona próbna CKE grudzień 2024](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-probna-cke-grudzien-2024)
- [Matura rozszerzona próbna CKE marzec 2021](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-rozszerzona-probna-cke-marzec-2021)
- [Matura sierpień 2011](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2011)
- [Matura sierpień 2012](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2012)
- [Matura sierpień 2013](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013)
- [Matura sierpień 2014](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014)
- [Matura sierpień 2015](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2015)
- [Matura sierpień 2016](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2016)
- [Matura sierpień 2017](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2017)
- [Matura sierpień 2018](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2018)
- [Matura sierpień 2019](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2019)
- [Matura sierpień 2020](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2020)
- [Matura sierpień 2021](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2021)
- [Matura sierpień 2022](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2022)
- [Matura sierpień 2023](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2023)
- [Matura sierpień 2024](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2024)
- [Matura sierpień 2025](https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2025)

---
route: /narzedzia
title: Narzędzia maturalne z matematyki
---

# Narzędzia maturalne z matematyki

Kalkulatory, przeliczniki i tablice do matury podstawowej - 25 narzędzi, każde z krokami rachunku i przykładem z arkusza CKE.

---
route: /narzedzia/przelicznik-punktow-matury
title: Punkty na procenty: przelicznik wyniku matury 2027
description: Przelicz punkty z arkusza matury podstawowej na procenty. 50 punktów to 100%, jeden punkt to 2%, próg zdawalności 15 punktów. Pełna tabela 0-50.
---

# Przelicznik punktów matury na procenty

Wynik procentowy matury to zdobyte punkty podzielone przez maksimum arkusza i pomnożone przez sto. CKE nie publikuje żadnej tabeli przeliczeniowej, bo przeliczenie jest wprost proporcjonalne. W arkuszu podstawowym za 50 punktów jeden punkt to równo 2 procent, a próg zdania, czyli 30 procent, wypada na 15 punktach.

## Wzór

$$w = \frac{p}{p_{\max}} \cdot 100\%, \quad p = \lceil \frac{w}{100} \cdot p_{\max} \rceil$$

## Jak to policzyć

1. **Wybierz reżim punktacji** - Arkusz podstawowy miał trzy różne maksima. Formuła 2015, czyli matury do 2022 roku, to 50 punktów. Matury 2023 i 2024 to 46 punktów. Matury od 2025 roku to znowu 50 punktów. Bez wskazania rocznika przelicznik nie ma czego podstawić do mianownika.
2. **Podaj punkty albo procent** - Przelicznik działa w obie strony. W trybie z punktów na procenty wpisujesz liczbę punktów z arkusza i dostajesz wynik procentowy. W trybie odwrotnym wpisujesz cel procentowy, a przelicznik podaje, ile punktów trzeba zdobyć, żeby ten cel osiągnąć.
3. **Odczytaj wynik i zaokrąglenie** - Przy maksimum, które dzieli setkę bez reszty, wynik jest liczbą całkowitą i nie ma o czym mówić. Przy 46 punktach wychodzi ułamek, a na świadectwie stoi liczba całkowita, więc przelicznik pokazuje obie wartości: dokładną i tę, którą zobaczysz na dokumencie.
4. **Porównaj wynik z progiem** - Próg zdania to 30 procent punktów, zaokrąglone w górę do pełnego punktu. Dla 50 punktów wychodzi 15, dla 46 punktów 14. Próg dotyczy wyłącznie przedmiotów obowiązkowych, więc na poziomie rozszerzonym przelicznik go nie pokazuje i to nie jest przeoczenie.

## Trzy reżimy punktacji i co z nich wynika

Zdanie o tym, że jeden punkt matury to dwa procent, krąży po internecie jako fakt uniwersalny, a jest prawdziwe tylko w części roczników. W Formule 2015 arkusz podstawowy miał 50 punktów i wtedy rzeczywiście jeden punkt to równo dwa procent. Pierwsze dwa lata Formuły 2023, czyli matury 2023 i 2024, to arkusz za 46 punktów przy 31 zadaniach, gdzie jeden punkt jest wart około 2,17 procent. Od matury 2025 arkusz wrócił do 50 punktów, a liczba zadań mieści się w przedziale od 27 do 39.

Praktyczny skutek widać najlepiej na progu. W arkuszu za 50 punktów potrzeba 15 punktów, w arkuszu za 46 punktów wystarczy 14. Ktoś, kto liczy próg dla starego arkusza według dzisiejszej reguły, myli się o cały punkt, a przy wyniku granicznym to jest różnica między zdaną a niezdaną maturą.

## Procent, centyl i wynik na świadectwie

Świadectwo dojrzałości podaje dwie różne liczby i łatwo je pomylić. Wynik procentowy mówi, jaką część punktów zdobyłeś: to jest właśnie ta wartość, którą liczy przelicznik. Centyl mówi coś zupełnie innego, mianowicie jaki procent zdających uzyskał wynik taki sam albo niższy od twojego. Sześćdziesiąt procent z arkusza i sześćdziesiąty centyl to dwie niezależne informacje i w żadnym roku nie muszą być sobie równe.

Uczelnie w rekrutacji patrzą prawie zawsze na wynik procentowy, bo centyl publikowany jest później i nie dla każdego przedmiotu. Jak ten procent zamienia się na punkty rekrutacyjne, liczy kalkulator punktów na studia. Progi zdawalności i średnie wyniki z ostatnich lat opisuje wpis o tym, ile punktów trzeba, żeby zdać maturę z matematyki.

## Jak liczyć wynik z niepełnych danych

Najczęstsza sytuacja po napisaniu arkusza wygląda tak: pamiętasz, ile zadań zamkniętych zrobiłeś na pewno, i mniej więcej wiesz, jak poszły otwarte. Wtedy zamiast jednej liczby lepiej policzyć widełki. Dolna granica to same zadania zamknięte, przy których jesteś pewny odpowiedzi, plus zadania otwarte doprowadzone do końca z odpowiedzią. Górna granica dorzuca zadania otwarte rozwiązane częściowo, licząc im pełną pulę.

Różnica między tymi dwiema liczbami mówi, ile naprawdę wisi na ocenie egzaminatora. Jeżeli obie granice leżą powyżej progu, sprawa jest zamknięta. Jeżeli próg wpada między nie, warto porównać własne rozwiązania z zasadami oceniania, bo tam decyduje zapis, a nie sam rachunek. Zasady oceniania konkretnego arkusza znajdziesz przy nim na liście arkuszy maturalnych.

**Punkty i procenty w arkuszu za 50 punktów, czyli w Formule 2015 i na maturach od 2025 roku**

| Punkty | Procent | Punkty | Procent | Punkty | Procent |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0% | 17 | 34% | 34 | 68% |
| 1 | 2% | 18 | 36% | 35 | 70% |
| 2 | 4% | 19 | 38% | 36 | 72% |
| 3 | 6% | 20 | 40% | 37 | 74% |
| 4 | 8% | 21 | 42% | 38 | 76% |
| 5 | 10% | 22 | 44% | 39 | 78% |
| 6 | 12% | 23 | 46% | 40 | 80% |
| 7 | 14% | 24 | 48% | 41 | 82% |
| 8 | 16% | 25 | 50% | 42 | 84% |
| 9 | 18% | 26 | 52% | 43 | 86% |
| 10 | 20% | 27 | 54% | 44 | 88% |
| 11 | 22% | 28 | 56% | 45 | 90% |
| 12 | 24% | 29 | 58% | 46 | 92% |
| 13 | 26% | 30 | 60% | 47 | 94% |
| 14 | 28% | 31 | 62% | 48 | 96% |
| 15 | 30% (próg zdania) | 32 | 64% | 49 | 98% |
| 16 | 32% | 33 | 66% | 50 | 100% |

## Pułapki maturalne

- **Dwa procent za punkt to nie jest reguła uniwersalna** - Przelicznik dwa procent za punkt działa wyłącznie przy arkuszu za 50 punktów. Na maturach 2023 i 2024, gdzie arkusz miał 46 punktów, ta sama reguła zawyża wynik o kilka procent przy górnych wartościach i przesuwa próg o cały punkt. Zawsze zaczynaj od maksimum arkusza.
- **Procent to nie centyl** - Wynik procentowy mówi, ile punktów zdobyłeś, a centyl mówi, ilu zdających wypadło nie lepiej od ciebie. Sześćdziesiąt procent z matematyki bywa w jednym roku sześćdziesiątym centylem, a w innym sześćdziesiątym piątym, bo centyl zależy od tego, jak napisali pozostali.
- **Zaokrąglenie w drugą stronę przy celu procentowym** - Licząc, ile punktów potrzeba na dany procent, zaokrągla się w górę, a nie do najbliższej liczby. Siedemdziesiąt pięć procent z 50 punktów to 37,5 punktu, czyli realnie 38. Zaokrąglenie do 37 daje 74 procent i cel nie zostaje osiągnięty.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 10 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-10)
- [Zadanie 9 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2025-pp-09)
- [Zadanie 4 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2023-04)

## Najczęściej zadawane pytania

### Ile procent to jeden punkt na maturze z matematyki?
W arkuszu podstawowym za 50 punktów jeden punkt to równo 2 procent. W arkuszu za 46 punktów, czyli na maturach 2023 i 2024, jeden punkt to około 2,17 procent. Zawsze dzielisz sto przez maksymalną liczbę punktów arkusza.

### Ile punktów to 30 procent na maturze z matematyki?
Przy arkuszu za 50 punktów to 15 punktów, przy arkuszu za 46 punktów to 14 punktów. Próg zaokrągla się w górę do pełnego punktu, bo punktów ułamkowych nie ma: 30 procent z 46 to 13,8, więc do zdania trzeba mieć 14.

### Czy CKE publikuje tabelę przeliczania punktów na procenty?
Nie publikuje i nie musi. Przeliczenie jest wprost proporcjonalne, więc wystarczy podzielić zdobyte punkty przez maksimum arkusza i pomnożyć przez sto. Tabela ma sens tylko jako wygoda, żeby nie liczyć tego samego dzielenia przy każdym wyniku.

### Jak przeliczyć wynik z poziomu rozszerzonego?
Tą samą proporcją, tylko z maksimum swojego arkusza, bo poziom rozszerzony nie ma stałej liczby punktów. Progu zdania na rozszerzeniu nie ma w ogóle, ponieważ to przedmiot dodatkowy, więc każdy wynik jest wynikiem zdanym.

### Co jest na świadectwie: procent czy punkty?
Na świadectwie dojrzałości stoi wynik procentowy, zaokrąglony do liczby całkowitej, oraz centyl. Punktów z arkusza świadectwo nie podaje, dlatego przeliczenie w drugą stronę, z procentu na punkty, bywa potrzebne przy porównywaniu się z zasadami oceniania.


---
route: /narzedzia/kalkulator-punktow-rekrutacyjnych
title: Kalkulator punktów na studia 2027: wzory uczelni
description: Policz punkty rekrutacyjne z matury z matematyki według wzorów AGH, PW, PWr, UJ i SGH. Jawne wagi, linki do uchwał, wynik orientacyjny.
---

# Kalkulator punktów rekrutacyjnych na studia

Punkty rekrutacyjne to ważona suma wyników procentowych z matury, a wagi ustala uczelnia. Każda liczy inaczej: AGH mnoży matematykę podstawową przez dwa, a przedmiot kierunkowy przez sześć, Politechnika Warszawska schodzi do maksimum 225 punktów, a Uniwersytet Jagielloński podaje wynik jako średnią ważoną w procentach.

## Wzór

$$W = \sum_{i} w_i \cdot p_i, \quad p_i \in \langle 0; 100 \rangle$$

## Jak to policzyć

1. **Wpisz wyniki procentowe, nie punkty** - Wszystkie wzory rekrutacyjne przyjmują wynik ze świadectwa, czyli liczbę procent, a nie punkty z arkusza. Jeżeli masz punkty, przelicz je najpierw w przeliczniku punktów matury. Poziom podstawowy i rozszerzony to osobne pola, bo uczelnie traktują je zupełnie inaczej.
2. **Wybierz uczelnię** - Kalkulator zna wzory ogólne pięciu uczelni: AGH, Politechniki Warszawskiej, Politechniki Wrocławskiej, Uniwersytetu Jagiellońskiego i SGH. Przy każdej stoi zapis wzoru i link do strony rekrutacji, z której go przepisano, razem z datą sprawdzenia.
3. **Sprawdź rozpisane składniki** - Wynik nie jest jedną liczbą bez uzasadnienia. Kalkulator pokazuje wkład każdego przedmiotu osobno: wartość po przeliczeniu poziomu, wagę i iloczyn obu. Dzięki temu widać, który przedmiot naprawdę decyduje o wskaźniku, a który dokłada kilka punktów.
4. **Dopasuj wagi do swojego kierunku** - Wzór ogólny uczelni jest stabilny rok do roku, ale wagi przedmiotów ustala konkretny kierunek i zmieniają się co rekrutację. Wagi w kalkulatorze są edytowalne, więc po znalezieniu tabeli współczynników dla swojego kierunku wpisujesz je wprost i dostajesz wynik zgodny z uchwałą.

## Dlaczego każda uczelnia liczy w innej skali

Nie ma czegoś takiego jak ogólnopolska liczba punktów rekrutacyjnych i porównywanie wyników między uczelniami nie ma sensu. AGH sumuje wynik z matematyki podstawowej z wagą dwa i dwa przedmioty rozszerzone z wagami sześć i dwa, więc maksimum wypada na tysiącu punktów. Politechnika Warszawska liczy matematykę, przedmiot wybrany i język obcy tak, że komplet daje 225 punktów. Uniwersytet Jagielloński dzieli ważoną sumę przez sumę wag, więc jego wynik jest po prostu liczbą z przedziału od zera do stu.

Skutek praktyczny jest taki, że próg 700 punktów na AGH i próg 316 punktów na SGH nie mówią nic o względnej trudności. Porównywalne są dopiero progi w obrębie jednej uczelni, i to w obrębie jednego rocznika, bo próg zależy od tego, ilu kandydatów zgłosiło się w danym roku.

## Poziom podstawowy kontra rozszerzony we wzorach

To jest miejsce, w którym różnice między uczelniami są największe i w którym najłatwiej stracić punkty przez złą decyzję na etapie wyboru przedmiotów. Uniwersytet Jagielloński poziomu podstawowego nie uwzględnia w ogóle: matematyka podstawowa nie wnosi tam ani jednego punktu. Politechnika Warszawska bierze podstawowy z połową wagi, a rozszerzony wprost. AGH robi odwrotnie niż intuicja podpowiada i to właśnie wynik z poziomu podstawowego wchodzi u niej do wzoru z wagą dwa.

Politechnika Wrocławska ma najciekawszą regułę: wynik przedmiotu to większa z trzech wartości, czyli wynik podstawowy, wynik podstawowy powiększony o półtora wyniku rozszerzonego albo dwa i pół wyniku rozszerzonego. Przy dobrym rozszerzeniu wygrywa ostatni wariant i sam podstawowy przestaje mieć znaczenie. Wniosek na etapie planowania jest jeden: zanim wybierzesz przedmioty dodatkowe, sprawdź wzór uczelni, na którą celujesz.

## Czego ten kalkulator nie policzy

Wynik jest orientacyjny i tak trzeba go traktować. Kalkulator zna wzory ogólne, a nie tabele współczynników dla kilkuset kierunków, bo te zmieniają się co rekrutację i utrzymywanie ich w aktualności to praca ciągła, a nie zadanie do odhaczenia raz. Nie liczy też składników spoza matury: laureatów i finalistów olimpiad, egzaminu z rysunku na architekturze, testu z wiedzy o przedsiębiorczości w SGH ani punktów za dyplom zawodowy.

Do czego więc służy. Po pierwsze do porównania wariantów: co się stanie ze wskaźnikiem, jeśli podniesiesz rozszerzenie z matematyki o dziesięć procent zamiast poprawiać język obcy. Po drugie do sprawdzenia, czy wynik, który planujesz osiągnąć, w ogóle mieści się w okolicach progów z poprzednich lat. Progi kierunków i to, ile realnie trzeba było mieć, opisuje wpis o progach punktowych na studia.

> Obowiązuje uchwała rekrutacyjna uczelni, a nie ten kalkulator. Cztery z pięciu wzorów niosą zastrzeżenie widoczne pod wynikiem: wagi Politechniki Warszawskiej są wyprowadzone z opublikowanego maksimum, skład wskaźnika Politechniki Wrocławskiej zależy od kierunku, Politechnika Warszawska i Uniwersytet Jagielloński inaczej liczą język obcy zdawany na poziomie dwujęzycznym, a w SGH o przypisaniu przedmiotów do czterech kategorii decyduje kierunek.

## Pułapki maturalne

- **Procenty ze świadectwa, nie punkty z arkusza** - Wzory rekrutacyjne przyjmują wynik procentowy, ten ze świadectwa dojrzałości. Wpisanie punktów z arkusza daje liczbę pozbawioną sensu, zwykle kilkukrotnie za małą. Jeśli masz punkty, zamień je najpierw na procenty, dzieląc przez maksimum arkusza.
- **Matematyka podstawowa nie wszędzie się liczy** - Na Uniwersytecie Jagiellońskim poziom podstawowy nie wnosi ani jednego punktu, więc świetny wynik z podstawy nie zrekompensuje braku rozszerzenia. Na AGH jest dokładnie odwrotnie i to podstawowy stoi we wzorze. Sprawdzenie tego przed wyborem przedmiotów jest warte więcej niż miesiąc nauki.
- **Próg z poprzedniego roku to nie jest wymaganie** - Progi punktowe nie są ustalane z góry. Powstają dopiero po zamknięciu rekrutacji, z listy rankingowej kandydatów i liczby miejsc, więc rok do roku potrafią przesunąć się o kilkadziesiąt punktów. Traktuj je jako punkt odniesienia, a nie jako granicę do przekroczenia.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 30 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-33)
- [Zadanie 29 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-36)
- [Zadanie 29 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2025-35)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak przelicza się procenty z matury na punkty rekrutacyjne?
Każda uczelnia ma własny wzór, ale schemat jest ten sam: wynik procentowy z przedmiotu mnoży się przez wagę tego przedmiotu i sumuje. Najczęstsza reguła domyślna to jeden procent za jeden punkt na poziomie rozszerzonym i pół punktu na podstawowym.

### Czy warto zdawać matematykę rozszerzoną na studia?
Na politechnikach i na kierunkach ścisłych prawie zawsze tak, bo rozszerzenie wchodzi z najwyższą wagą albo jest warunkiem wstępu. Na Uniwersytecie Jagiellońskim poziom podstawowy nie liczy się w ogóle, więc bez rozszerzenia wskaźnik z matematyki wynosi zero.

### Ile punktów rekrutacyjnych to dużo?
To zależy wyłącznie od skali uczelni. Na AGH maksimum to tysiąc punktów, na Politechnice Warszawskiej 225, a na Uniwersytecie Jagiellońskim wynik jest procentem od zera do stu. Porównywać można tylko liczby z tej samej uczelni i z tego samego roku.

### Czy ten kalkulator uwzględnia olimpiady i dyplomy zawodowe?
Nie. Laureaci i finaliści olimpiad przedmiotowych mają zwykle osobny tryb przyjęcia albo maksymalny wynik z danego przedmiotu, a punkty za dyplom zawodowy dolicza się poza wzorem maturalnym. Kalkulator liczy wyłącznie część wynikającą z wyników matury.

### Skąd wziąć wagi dla mojego kierunku?
Z uchwały rekrutacyjnej albo z tabeli współczynników na stronie rekrutacji uczelni. Link do strony, z której przepisano wzór, stoi przy każdej uczelni w kalkulatorze. Po znalezieniu swoich wag wpisujesz je w sekcji zmiany wag i dostajesz wynik zgodny z dokumentem.


---
route: /narzedzia/odliczanie-do-matury
title: Ile dni do matury 2027? Odliczanie z matematyki
description: Ile dni zostało do matury z matematyki 2027. Egzamin podstawowy 5 maja, rozszerzony 11 maja 2027. Licznik na żywo: dni, godziny, minuty i sekundy.
---

# Odliczanie do matury 2027

Matura z matematyki na poziomie podstawowym wypada w środę 5 maja 2027 roku o godzinie 9:00, a poziom rozszerzony we wtorek 11 maja o tej samej godzinie. Licznik wyżej odmierza czas do rozpoczęcia arkusza co do sekundy, a pierścień obok niego pokazuje, jaka część roku szkolnego jest już za tobą.

## Jak to policzyć

1. **Wybierz poziom egzaminu** - Poziom podstawowy i rozszerzony piszą się w różnych dniach, więc odliczanie do nich jest różne. Podstawowy jest obowiązkowy dla wszystkich, rozszerzony zdaje się dodatkowo i najczęściej pod kątem rekrutacji na studia. Przełącznik nad licznikiem zmienia termin, do którego liczymy czas, a razem z nim datę, dzień tygodnia i godzinę rozpoczęcia arkusza.
2. **Odczytaj cztery pola licznika** - Dni, godziny, minuty i sekundy odmierzają czas do rozpoczęcia arkusza, czyli do godziny 9:00 w dniu egzaminu, a nie do północy. To zwykle jeden dzień mniej, niż pokazują liczniki liczące do końca dnia. Pola tykają dopiero po wczytaniu strony, bo liczą różnicę względem twojego zegara; sama data stoi w dokumencie od razu i widać ją nawet bez JavaScriptu.
3. **Sprawdź pierścień roku szkolnego** - Pierścień pod licznikiem pokazuje, jaka część drogi od pierwszego września do dnia egzaminu jest już za tobą. Liczba dni sama w sobie niewiele mówi, dopóki nie wiadomo, ile ich w ogóle było. Wypełniony w jednej trzeciej pierścień w grudniu znaczy co innego niż wypełniony w trzech czwartych w marcu, mimo że w obu wypadkach do matury jest jeszcze daleko.
4. **Zamień dni na tygodnie nauki** - Liczba dni z licznika nie jest liczbą dni nauki. Odejmij ferie, wyjazdy, sesje próbnych matur i tygodnie przed sprawdzianami z innych przedmiotów, a zostanie ci realny czas na matematykę. Praktyczna jednostka planu to tydzień, nie dzień: jeden dzień wyjęty z obiegu nie psuje wtedy niczego, bo nadrabia się go w weekend.

## Co dokładnie dzieje się 5 maja 2027

Arkusz z matematyki na poziomie podstawowym rozpoczyna się o godzinie 9:00 i trwa 180 minut bez przerwy. Do zdobycia jest 50 punktów, a zadań na arkuszu bywa od 27 do 39, w zależności od proporcji zadań zamkniętych i otwartych w danym roku. Progiem zdania jest 30 procent punktów możliwych do uzyskania, czyli 15 punktów przy arkuszu pięćdziesięciopunktowym.

Na salę wolno wnieść linijkę, cyrkiel, kalkulator prosty i zestaw Wybrane wzory matematyczne, który dostajesz na miejscu. Kalkulator naukowy jest zabroniony, więc każde działanie na pierwiastkach, potęgach i funkcjach trygonometrycznych trzeba umieć wykonać ręcznie. To jest jedyny powód, dla którego wszystkie kalkulatory w tym serwisie pokazują podstawienia, a nie samą liczbę.

Poziom rozszerzony wypada sześć dni później, we wtorek 11 maja 2027 roku, również o godzinie 9:00, i trwa tyle samo. Pełną listę terminów, razem z sesją dodatkową w czerwcu, poprawkową w sierpniu i datami ogłoszenia wyników, znajdziesz w harmonogramie matury.

## Dlaczego licznik pokazuje sekundy

Sekundy nie są potrzebne do planowania i wszyscy o tym wiedzą. Są potrzebne do czegoś innego: sprawiają, że czas do matury przestaje być abstrakcyjną liczbą w nagłówku, a staje się czymś, co wyraźnie ubywa, kiedy się na to patrzy. Dwieście czterdzieści osiem dni brzmi jak dużo. Te same dwieście czterdzieści osiem dni z tykającą obok sekundą brzmi zupełnie inaczej i to jest cała różnica.

Pierścień robi to samo, tylko w drugą stronę. Odliczanie pokazuje, ile zostało, a pierścień, ile już poszło. Jedno i drugie liczy tę samą oś czasu, ale to drugie jest znacznie trudniejsze do zignorowania w kwietniu, kiedy wypełnienie zbliża się do pełnego okręgu.

## Ile czasu naprawdę zostało na naukę

Z każdych siedmiu dni na matematykę zostaje w praktyce pięć, a od kwietnia jeszcze mniej, bo w tym samym czasie trzeba domknąć pozostałe przedmioty obowiązkowe. Do tego dochodzą ferie, święta, wyjazdy i tydzień przed każdą próbną maturą, który schodzi na powtórkę, a nie na nowy materiał. Realny budżet nauki to zwykle od sześćdziesięciu do siedemdziesięciu procent tego, co pokazuje licznik.

Dlatego plan warto liczyć w tygodniach. Tydzień jest jednostką odporną na wypadki losowe: jeden dzień wolny w środku tygodnia nie psuje niczego, jeżeli nadrobisz go w weekend. Plan liczony w dniach rozsypuje się przy pierwszym odstępstwie i najczęściej już nie wraca, bo zaległość rośnie szybciej, niż da się ją odrobić.

## Od czego zacząć, gdy do matury jest jeszcze daleko

Przy horyzoncie dłuższym niż osiem miesięcy nie ma sensu zaczynać od arkuszy w całości. Lepiej działa kolejność odwrotna: najpierw działy, które wracają na każdym arkuszu i dają najwięcej punktów, czyli procenty, funkcja kwadratowa, ciągi, planimetria i geometria analityczna, a dopiero potem całe arkusze na czas. Zadania z jednego działu robione seriami uczą schematu, a rozstrzelone po arkuszu tylko sprawdzają, czy się go zna.

Przy horyzoncie krótszym niż trzy miesiące proporcja się odwraca. Wtedy podstawą jest arkusz co tydzień, mierzony stoperem, a między arkuszami wracasz wyłącznie do tych działów, w których faktycznie straciłeś punkty. Więcej o rozkładzie materiału na cały rok znajdziesz we wpisie o planie przygotowań na rok, a gotowe zestawy zadań w działach maturalnych.

> Odliczanie liczy czas do rozpoczęcia arkusza, czyli do godziny 9:00, a nie do końca dnia egzaminu. To zwykle jeden dzień mniej, niż pokazują liczniki liczące do północy, i lepiej przyzwyczaić się do tego wcześniej niż w maju.

## Pułapki maturalne

- **Plan liczony w dniach zamiast w tygodniach** - Plan, w którym każdy dzień ma przypisane konkretne zadania, przewraca się przy pierwszym dniu wyjętym z obiegu i najczęściej już nie wraca. Tygodniowa pula zadań przetrwa chorobę, wyjazd i sprawdzian z polskiego, bo braki nadrabia się wewnątrz tygodnia. Licznik podaje dni, ale planować warto tygodniami.
- **Liczenie dni do matury zamiast do próbnej** - Pierwszy prawdziwy sprawdzian formy wypada dużo wcześniej niż w maju, bo próbne matury pisze się zwykle w grudniu, lutym i marcu. Jeśli plan celuje wyłącznie w maj, cała pierwsza połowa roku idzie bez punktu kontrolnego, a wynik z próbnej przychodzi wtedy jako zaskoczenie, na które nie ma już czasu zareagować.
- **Traktowanie licznika jako motywacji zamiast jako miary** - Patrzenie na malejącą liczbę dni nie jest nauką i po kilku tygodniach przestaje działać nawet jako bodziec. Licznik ma jedno sensowne zastosowanie: raz w tygodniu sprawdzasz, ile zostało tygodni, i porównujesz to z liczbą działów, które masz jeszcze do powtórzenia. Jeżeli te dwie liczby się rozjeżdżają, zmieniasz plan, a nie tapetę na telefonie.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 32 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2011-32)
- [Zadanie 11 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-grudzie-2014-11)

## Najczęściej zadawane pytania

### Ile dni zostało do matury z matematyki 2027?
Licznik na tej stronie podaje dokładną liczbę dni, godzin, minut i sekund do rozpoczęcia arkusza. Matura podstawowa z matematyki zaczyna się w środę 5 maja 2027 roku o godzinie 9:00, a rozszerzona we wtorek 11 maja 2027 roku, również o 9:00.

### Do którego terminu liczy to odliczanie?
Do godziny rozpoczęcia arkusza z poziomu wybranego przełącznikiem, czyli do 9:00 w dniu egzaminu, a nie do północy. Pełną listę terminów, razem z sesją dodatkową, poprawkową i datami ogłoszenia wyników, znajdziesz w harmonogramie matury.

### Co pokazuje pierścień pod licznikiem?
Udział roku szkolnego, który już minął: od pierwszego września roku poprzedzającego egzamin do dnia egzaminu. Pełny okrąg oznaczałby dzień matury. To ta sama oś czasu co licznik, tylko liczona od początku, a nie do końca.

### Ile trwa matura z matematyki na poziomie podstawowym?
Arkusz podstawowy w Formule 2023 trwa 180 minut, czyli trzy godziny. Do zdobycia jest 50 punktów, a progiem zdania jest 30 procent, czyli 15 punktów. Osoby z dostosowaniami mogą mieć czas wydłużony zgodnie z komunikatem dyrektora CKE.

### Co się dzieje, gdy termin matury minie?
Odliczanie przeskakuje wtedy na kolejny rocznik, o ile CKE ogłosiła już harmonogram na następny rok. Komunikat o harmonogramie wychodzi zwykle do 20 sierpnia roku poprzedzającego egzamin, więc przez większość roku licznik ma pełny komplet dat.


---
route: /narzedzia/harmonogram-matury
title: Kiedy matura 2027? Harmonogram CKE, terminy egzaminów
description: Terminy matury 2027 z komunikatu CKE: matematyka podstawowa 5 maja, rozszerzona 11 maja, wyniki 9 lipca, poprawkowa 23 sierpnia. Kiedy, gdzie i jak zdajesz.
---

# Harmonogram matury 2027

Harmonogram matury 2027 ogłosiła Centralna Komisja Egzaminacyjna w komunikacie z 20 sierpnia 2026 roku. Matematyka na poziomie podstawowym wypada 5 maja, rozszerzona 11 maja, termin dodatkowy w czerwcu, wyniki 9 lipca, a poprawkowa 23 sierpnia. Oś wyżej pokazuje każdy z tych terminów razem z dniem tygodnia, godziną i czasem trwania arkusza.

## Jak to policzyć

1. **Wybierz rocznik** - Przełącznik nad osią zmienia rok, którego dotyczy harmonogram. Domyślnie stoi na najbliższym roczniku, dla którego CKE ogłosiła już komunikat o harmonogramie. Starszy rocznik zostaje jako archiwum, bo terminy z poprzedniego roku są dalej wyszukiwane, zwłaszcza data poprawki i data ogłoszenia jej wyników.
2. **Przeczytaj oś terminów** - Każda karta na osi podaje rodzaj terminu, nazwę egzaminu z poziomem, dzień tygodnia, datę, godzinę rozpoczęcia i czas trwania arkusza. Terminy pochodzą wprost z komunikatu dyrektora CKE, którego adres stoi w przypisie pod widgetem, więc każdą liczbę da się sprawdzić u źródła. Po wczytaniu strony najbliższy termin dostaje wyróżnienie i liczbę dni, jaka do niego została.
3. **Sprawdź, gdzie i jak zdajesz** - Pod osią stoją dwie sekcje, o których najłatwiej zapomnieć, bo nie są datami. Pierwsza mówi, w której szkole piszesz i gdzie zobaczysz wynik, druga wylicza, co wolno wnieść na salę i co trzeba mieć przy sobie. Lista przyborów pochodzi z komunikatu CKE o materiałach i przyborach pomocniczych, a nie z pamięci.
4. **Zaplanuj naukę od terminu wstecz** - Harmonogram jest punktem, od którego liczy się plan powtórek, a nie odwrotnie. Odejmij od daty egzaminu ostatni tydzień na powtórkę wzorów i dwa tygodnie na arkusze pisane na czas, a to, co zostanie, jest realnym czasem na przerabianie działów. Dokładną liczbę dni odmierza odliczanie do matury.

## Termin główny, dodatkowy i poprawkowy

Termin główny to ten, do którego przystępuje prawie każdy: początek maja, arkusz podstawowy w środę 5 maja 2027 roku i rozszerzony sześć dni później, we wtorek 11 maja. Oba zaczynają się o godzinie 9:00 i oba trwają 180 minut.

Termin dodatkowy, czyli 2 i 3 czerwca 2027 roku, jest dla osób, które w maju nie mogły przystąpić z przyczyn losowych albo zdrowotnych, i wymaga zgody dyrektora okręgowej komisji egzaminacyjnej. Nie jest to drugie podejście dla chętnych. Warto zwrócić uwagę, że arkusz rozszerzony w terminie dodatkowym zaczyna się o 14:00, a nie rano.

Termin poprawkowy 23 sierpnia 2027 roku przysługuje osobom, które nie zdały dokładnie jednego przedmiotu obowiązkowego, a do wszystkich pozostałych przystąpiły. Poprawka z matematyki to ten sam poziom podstawowy i ten sam próg 30 procent. Wyniki poprawki ogłaszane są 10 września, czyli już po pierwszej turze rekrutacji na studia, i to jest jeden z powodów, dla których warto zdać w maju.

## Gdzie odbywa się egzamin

Egzamin piszesz w swojej szkole, w sali wyznaczonej przez dyrektora, i to samo dotyczy wszystkich przedmiotów, do których przystępujesz. Absolwenci z lat ubiegłych oraz osoby, które nie mają macierzystej szkoły, zdają w placówce wskazanej przez okręgową komisję egzaminacyjną; informacja o niej przychodzi razem z decyzją o dopuszczeniu do egzaminu i nie jest to zawsze najbliższa szkoła od miejsca zamieszkania.

Wynik zobaczysz w dwóch miejscach. Świadectwo dojrzałości wydaje szkoła, w której przystępowałeś do egzaminu, a ten sam wynik pojawia się w dniu ogłoszenia w systemie Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Dane do logowania przekazuje szkoła, zwykle na długo przed maturą, i warto sprawdzić je wcześniej niż rano w dniu wyników.

## Co wziąć na salę i o której tam być

Na egzamin z matematyki wolno wnieść linijkę, cyrkiel, kalkulator prosty i zestaw Wybrane wzory matematyczne, który dostajesz na miejscu. Kalkulator naukowy i graficzny są zabronione. Telefon zostaje poza salą i nie ma od tego wyjątków, także dla telefonu wyłączonego.

Poza przyborami potrzebujesz dokumentu tożsamości ze zdjęciem i długopisu z czarnym tuszem. Rysunki wykonuje się długopisem, nie ołówkiem, więc ołówek przydaje się co najwyżej do szkicu na brudno. Zapasowy długopis kosztuje kilka złotych i rozwiązuje jedyny problem sprzętowy, jaki na tym egzaminie może się wydarzyć.

Na salę wchodzi się przed godziną rozpoczęcia, a nie o godzinie rozpoczęcia. Przyjście z zapasem czasu nie jest tu grzecznością wobec komisji, tylko sposobem na to, żeby sprawdzanie listy, losowanie miejsc i kodowanie arkusza odbyły się bez pośpiechu, zanim zacznie biec czas na rozwiązywanie zadań.

## Co jeszcze wypada w kalendarzu maturzysty

Poza terminami samego egzaminu w roku szkolnym stoją trzy inne daty, o których łatwo zapomnieć. Deklaracja wstępna przystąpienia do matury składana jest jesienią, deklaracja ostateczna zimą, a próbne matury pisze się zwykle w grudniu, lutym i marcu. Terminy deklaracji ogłasza komunikat o egzaminie, a nie komunikat o harmonogramie, więc nie ma ich na osi wyżej.

Informacja o próbnej maturze CKE wychodzi zwykle w październiku roku poprzedzającego egzamin, więc dla rocznika 2027 pojawi się jesienią 2026 roku. Do tego czasu rejestr faktów w tym serwisie nie podaje żadnej daty próbnej matury dla tego rocznika, i jest to świadome: lepiej nie podać nic, niż podać datę zgadywaną. Dla rocznika 2026 taka data w rejestrze jest i widać ją po przełączeniu roku.

## Jak czytać komunikat CKE

Komunikat o harmonogramie ma zawsze ten sam układ: najpierw tabela egzaminów w terminie głównym z podziałem na dni i godziny, potem terminy dodatkowe, potem poprawkowe, na końcu daty ogłaszania wyników i przekazywania świadectw. Matematyka na poziomie podstawowym stoi w tabeli terminu głównego zawsze w pierwszym tygodniu maja, bo jest przedmiotem obowiązkowym dla wszystkich zdających.

Godzina rozpoczęcia bywa różna dla różnych przedmiotów: 9:00 rano albo 14:00 po południu. Matematyka podstawowa idzie rano, a część egzaminów rozszerzonych po południu, i to jest jedyna rzecz z komunikatu, którą naprawdę trzeba sprawdzić samodzielnie przed egzaminem, bo wpływa na to, o której trzeba być w szkole. Arkusze z lat poprzednich razem z rozwiązaniami znajdziesz w dziale arkuszy.

> Oś terminów obejmuje wyłącznie egzaminy z matematyki. Jeżeli zdajesz inne przedmioty dodatkowe, ich daty trzeba odczytać z komunikatu CKE samodzielnie, bo ten serwis nie prowadzi rejestru terminów spoza matematyki.

## Pułapki maturalne

- **Mylenie terminu dodatkowego z poprawkowym** - Termin dodatkowy w czerwcu nie jest drugą szansą po nieudanym maju. Przystępują do niego wyłącznie osoby, które w maju nie mogły pisać z przyczyn losowych albo zdrowotnych i dostały zgodę dyrektora okręgowej komisji egzaminacyjnej. Drugie podejście po niezdanym egzaminie to termin poprawkowy w sierpniu i tylko dla jednego przedmiotu.
- **Liczenie na poprawkę przy rekrutacji** - Wyniki terminu poprawkowego ogłaszane są we wrześniu, gdy pierwsza tura rekrutacji na studia jest już zamknięta. Poprawka ratuje świadectwo dojrzałości, ale w praktyce kosztuje rok, jeżeli plan zakładał studia od października. To argument, żeby traktować próg 30 procent jako absolutne minimum, a nie jako cel.
- **Założenie, że rozszerzenie też jest rano** - Arkusz rozszerzony w terminie głównym rzeczywiście zaczyna się o 9:00, ale w terminie dodatkowym już o 14:00. Godzina rozpoczęcia jest cechą konkretnego terminu, a nie poziomu, i sprawdza się ją na osi wyżej albo wprost w komunikacie, a nie z pamięci po zeszłym roku.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 32 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-35)
- [Zadanie 29 z działu Matura](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-36)

## Najczęściej zadawane pytania

### Kiedy jest matura z matematyki w 2027 roku?
Poziom podstawowy wypada w środę 5 maja 2027 roku o godzinie 9:00, a poziom rozszerzony we wtorek 11 maja 2027 roku, również o 9:00. Terminy pochodzą z komunikatu dyrektora Centralnej Komisji Egzaminacyjnej z 20 sierpnia 2026 roku.

### Kiedy będą wyniki matury 2027?
Wyniki terminu głównego i dodatkowego ogłaszane są w piątek 9 lipca 2027 roku. Wyniki terminu poprawkowego pojawiają się w piątek 10 września 2027 roku, czyli po zakończeniu pierwszej tury rekrutacji na studia.

### Kiedy jest matura poprawkowa z matematyki?
Część pisemna terminu poprawkowego wypada w poniedziałek 23 sierpnia 2027 roku o godzinie 9:00. Przysługuje osobom, które nie zdały dokładnie jednego przedmiotu obowiązkowego i przystąpiły do wszystkich pozostałych egzaminów.

### Gdzie odbywa się egzamin maturalny?
W szkole, do której chodzisz, w sali wyznaczonej przez dyrektora. Absolwenci z lat ubiegłych i osoby bez macierzystej szkoły zdają w placówce wskazanej przez okręgową komisję egzaminacyjną, a informację o niej dostają razem z decyzją o dopuszczeniu do egzaminu.

### Co można mieć na maturze z matematyki?
Linijkę, cyrkiel, kalkulator prosty i zestaw Wybrane wzory matematyczne, który dostajesz na miejscu. Poza tym dokument tożsamości ze zdjęciem i długopis z czarnym tuszem. Kalkulator naukowy jest zabroniony, a telefon zostaje poza salą.

### Czy terminy matury mogą się jeszcze zmienić?
Komunikat o harmonogramie ogłaszany jest do 20 sierpnia roku poprzedzającego egzamin i od tego momentu daty są wiążące. Zmiany zdarzają się wyjątkowo i wtedy Centralna Komisja Egzaminacyjna publikuje aktualizację komunikatu na swojej stronie.


---
route: /narzedzia/kalkulator-funkcji-kwadratowej
title: Kalkulator funkcji kwadratowej: delta, wierzchołek, wykres
description: Wpisz a, b, c i policz deltę, miejsca zerowe, wierzchołek oraz postać kanoniczną i iloczynową. Wykres paraboli i obliczenia krok po kroku.
---

# Kalkulator funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową analizuje się zawsze w tej samej kolejności: najpierw wyróżnik Δ = b² - 4ac, potem miejsca zerowe, a na końcu wierzchołek paraboli. Znak współczynnika a mówi, w którą stronę otwierają się ramiona, a znak delty rozstrzyga, ile razy wykres przecina oś liczbową. Kalkulator wyżej liczy wszystkie te wartości naraz i pokazuje każde podstawienie.

## Wzór

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

## Jak to policzyć

1. **Sprawdź, czy funkcja jest kwadratowa** - Współczynnik a musi być różny od zera. Gdy a = 0, ze wzoru zostaje bx + c, czyli funkcja liniowa, i cała procedura z deltą przestaje mieć zastosowanie. To pierwsza rzecz do sprawdzenia w każdym zadaniu z parametrem, bo warunek na parametr prawie zawsze zaczyna się właśnie od wykluczenia zera.
2. **Policz wyróżnik** - Podstaw współczynniki do wzoru Δ = b² - 4ac, pilnując znaków. Ujemne b po podniesieniu do kwadratu daje wynik dodatni, a wyrażenie -4ac przy ujemnym c zmienia znak na plus. To miejsce, w którym ginie najwięcej punktów w całym dziale, dlatego kalkulator zapisuje podstawienie z każdą liczbą w nawiasie.
3. **Odczytaj liczbę miejsc zerowych** - Delta dodatnia daje dwa pierwiastki liczone ze wzoru z minusem i z plusem przed pierwiastkiem z delty. Delta równa zero daje jeden pierwiastek podwójny równy -b/2a. Delta ujemna oznacza, że parabola nie przecina osi X i pierwiastków rzeczywistych nie ma wcale.
4. **Wyznacz wierzchołek i postacie** - Pierwsza współrzędna wierzchołka to p = -b/2a, druga to q = -Δ/4a. Stąd bierze się postać kanoniczna a(x - p)² + q, a przy delcie nieujemnej także postać iloczynowa. Z wierzchołka odczytujesz zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności, czyli dwie rzeczy, o które arkusz pyta najczęściej.

## Trzy postacie i po co każda z nich

Ta sama funkcja kwadratowa ma trzy zapisy i każdy z nich odpowiada na inne pytanie. Postać ogólna ax² + bx + c jest wygodna do liczenia delty i do odczytania wyrazu wolnego, czyli punktu przecięcia z osią Y. Postać kanoniczna a(x - p)² + q pokazuje wierzchołek wprost, więc z niej odczytuje się wartość najmniejszą albo największą, zbiór wartości i oś symetrii. Postać iloczynowa a(x - x₁)(x - x₂) pokazuje miejsca zerowe i jest jedynym zapisem, z którego natychmiast widać znak funkcji w każdym przedziale.

W zadaniu maturalnym wybór postaci to zwykle połowa rozwiązania. Pytanie o wartość najmniejszą prowadzi do kanonicznej, pytanie o rozwiązanie nierówności kwadratowej do iloczynowej, a pytanie o współczynniki do ogólnej. Kalkulator podaje wszystkie trzy naraz, żeby dało się sprawdzić, czy przejście między nimi wyszło poprawnie.

## Jak czytać znak a i znak delty z samego wykresu

Rysunek paraboli niesie dokładnie dwie informacje o współczynnikach i obie są punktowane. Ramiona skierowane w górę oznaczają a dodatnie, ramiona w dół a ujemne. Liczba punktów wspólnych z osią X to znak delty: dwa punkty to delta dodatnia, jeden punkt styczności to delta równa zero, brak punktów wspólnych to delta ujemna.

Zadania z rysunkiem lubią łączyć te dwa odczyty z trzecim, czyli z położeniem punktu przecięcia z osią Y, bo to jest wprost wyraz wolny c. Mając znak a, znak delty i wartość c, da się rozstrzygnąć większość zadań zamkniętych z tego działu bez liczenia czegokolwiek. Warto też pamiętać, że oś symetrii paraboli ma równanie x = p, więc jeśli rysunek podaje dwa miejsca zerowe, to p jest po prostu ich średnią arytmetyczną.

## Funkcja kwadratowa z parametrem

Zadanie z parametrem wygląda groźnie, ale ma stały schemat. Najpierw warunek na to, żeby funkcja w ogóle była kwadratowa, czyli współczynnik przy x² różny od zera. Potem warunek zapisany przez deltę: dwa różne miejsca zerowe to delta dodatnia, jedno to delta równa zero, brak miejsc zerowych to delta ujemna. Na końcu rozwiązanie otrzymanej nierówności z parametrem i część wspólna z warunkiem początkowym.

Kalkulator liczy przypadek liczbowy, więc przy zadaniu z parametrem służy do sprawdzenia: podstaw skrajną wartość parametru z wyznaczonego przedziału i zobacz, czy delta rzeczywiście wychodzi taka, jakiej wymagało polecenie. Więcej przykładów rozpisanych krok po kroku znajdziesz we wpisie o dyskusji zadania z parametrem.

> Wynik dokładny z pierwiastkiem, na przykład x₁ = 1 - √5, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator podaje obie postacie właśnie po to, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu.

## Pułapki maturalne

- **Delta ujemna to nie jest brak rozwiązania zadania** - Ujemny wyróżnik oznacza brak miejsc zerowych, ale funkcja nadal istnieje, ma wierzchołek, zbiór wartości i przedziały monotoniczności. W zadaniach o wartość najmniejszą i największą delta bywa ujemna i nic z tego nie wynika. Odpowiedź mówiąca o braku rozwiązań jest wtedy po prostu nieprawdziwa i nie dostaje punktu.
- **Postać iloczynowa istnieje tylko przy delcie nieujemnej** - Zapis a(x - x₁)(x - x₂) wymaga istnienia pierwiastków. Przy delcie ujemnej postaci iloczynowej nie ma i wypisanie jej jest błędem merytorycznym, nie rachunkowym. Postać kanoniczna istnieje zawsze i to ona jest bezpieczniejszym narzędziem, gdy nie wiesz jeszcze, jaki jest znak delty.
- **Nawias przy ujemnym współczynniku** - Podstawiając b ujemne do wzoru na deltę, trzeba zapisać kwadrat w nawiasie. Bez nawiasu wychodzi liczba przeciwna do prawidłowej i cały dalszy rachunek jest zbudowany na złej wartości, choć każdy kolejny krok wygląda poprawnie. Ten sam nawias obowiązuje przy podstawianiu ujemnego c do wyrażenia -4ac.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 14 z działu Funkcja kwadratowa](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-17)
- [Zadanie 13 z działu Funkcja kwadratowa](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-13)
- [Zadanie 37 z działu Funkcja kwadratowa](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-37)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć deltę funkcji kwadratowej?
Deltę liczy się ze wzoru Δ = b² - 4ac, gdzie a, b i c to współczynniki postaci ogólnej ax² + bx + c. Dla funkcji x² - 5x + 6 mamy a = 1, b = -5 oraz c = 6, więc Δ = 25 - 24 = 1.

### Co oznacza ujemna delta?
Ujemna delta oznacza, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, czyli jej wykres nie przecina osi X. Parabola leży wtedy w całości nad osią, gdy współczynnik a jest dodatni, albo pod nią, gdy a jest ujemne.

### Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
Pierwsza współrzędna wierzchołka to p = -b/2a, druga to q = -Δ/4a. Można też podstawić p do wzoru funkcji i obliczyć f(p). Wynik jest ten sam, a rachunek często krótszy, bo nie wymaga wcześniejszego policzenia delty.

### Czym różni się postać kanoniczna od iloczynowej?
Kanoniczna a(x - p)² + q pokazuje położenie wierzchołka i istnieje zawsze. Iloczynowa a(x - x₁)(x - x₂) pokazuje miejsca zerowe i istnieje tylko wtedy, gdy delta jest nieujemna. Obie opisują tę samą funkcję, tylko odpowiadają na inne pytanie.

### Czy na maturze można używać kalkulatora do delty?
Na egzaminie maturalnym z matematyki kalkulator naukowy nie jest dozwolony, wolno mieć wyłącznie kalkulator prosty. Deltę i pierwiastki liczy się ręcznie, dlatego to narzędzie pokazuje wszystkie podstawienia: chodzi o sprawdzenie własnego rachunku, a nie o zastąpienie go.


---
route: /narzedzia/kalkulator-funkcji-liniowej
title: Kalkulator funkcji liniowej: wzór z dwóch punktów
description: Wyznacz wzór prostej z dwóch punktów albo ze współczynników, policz miejsce zerowe i narysuj wykres. Proste równoległe i prostopadłe.
---

# Kalkulator funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma wzór y = ax + b. Współczynnik kierunkowy a rozstrzyga o monotoniczności i o kącie nachylenia prostej do osi OX, a wyraz wolny b wskazuje punkt przecięcia wykresu z osią OY. Miejsce zerowe wychodzi z równania ax + b = 0. Kalkulator wyżej wyznacza oba współczynniki z dwóch punktów i rysuje wykres.

## Wzór

$$y = ax + b, \quad a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

## Jak to policzyć

1. **Wypisz to, co jest dane** - Zadanie podaje albo dwa punkty należące do wykresu, albo współczynniki wprost, albo warunek na równoległość lub prostopadłość do innej prostej. Od tego zależy, którym wzorem zaczynasz. Najczęstsza strata czasu to sięgnięcie po wzór na współczynnik kierunkowy wtedy, gdy w treści stoi on już gotowy, a szukany jest wyłącznie wyraz wolny.
2. **Policz współczynnik kierunkowy** - Dla punktów o współrzędnych (x₁, y₁) oraz (x₂, y₂) współczynnik kierunkowy to iloraz różnicy drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Kolejność odejmowania musi być taka sama w liczniku i w mianowniku. Gdy obie pierwsze współrzędne są równe, prosta jest pionowa i nie jest wykresem żadnej funkcji.
3. **Wyznacz wyraz wolny** - Podstaw współrzędne dowolnego z dwóch punktów do wzoru y = ax + b i wylicz b. Wybierz ten punkt, w którym liczby są prostsze, bo wynik jest identyczny. Sprawdzenie zajmuje jedną linijkę: podstaw drugi punkt i zobacz, czy otrzymana równość jest prawdziwa.
4. **Odczytaj własności funkcji** - Znak współczynnika kierunkowego rozstrzyga monotoniczność: dodatni oznacza funkcję rosnącą, ujemny malejącą, a zero funkcję stałą. Miejsce zerowe wychodzi z równania ax + b = 0, a punkt przecięcia z osią OY ma zawsze współrzędne (0, b). To są cztery odpowiedzi, o które arkusz pyta najczęściej.

## Współczynnik kierunkowy i kąt nachylenia

Liczba stojąca przy zmiennej x niesie w zadaniach maturalnych trzy różne informacje naraz i warto umieć przechodzić między nimi bez liczenia. Po pierwsze, jest to przyrost wartości funkcji przypadający na jednostkę przyrostu argumentu: gdy współczynnik wynosi 3, przesunięcie o jeden w prawo podnosi wykres o trzy w górę. Po drugie, jego znak decyduje o monotoniczności, czyli o tym, czy prosta się wznosi, czy opada. Po trzecie, jest to tangens kąta nachylenia prostej do osi OX.

Ta trzecia interpretacja wraca w arkuszach coraz częściej, bo łączy funkcję liniową z trygonometrią. Kątowi 45 stopni odpowiada współczynnik równy jeden, kątowi 30 stopni wartość tangensa tego kąta, a każdemu kątowi rozwartemu współczynnik ujemny.

## Proste równoległe i prostopadłe

Dwie proste zapisane w postaci kierunkowej są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Gdy równe są obie liczby, proste się pokrywają i mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, co w zadaniu o punkt przecięcia jest zupełnie inną odpowiedzią. Warunek prostopadłości brzmi inaczej: iloczyn współczynników kierunkowych musi być równy minus jeden, więc jeden z nich jest odwrotnością drugiego ze zmienionym znakiem.

Ten warunek ma jeden wyjątek, o którym arkusz lubi przypominać. Prosta pozioma o równaniu y = b ma współczynnik kierunkowy równy zeru, a prostopadła do niej jest prosta pionowa o równaniu x = c, która nie ma postaci kierunkowej i nie jest wykresem funkcji. Dlatego zadania z prostopadłością prawie zawsze zakładają, że współczynnik kierunkowy jest różny od zera.

## Funkcja liniowa z parametrem

Zadanie z parametrem jest tu prostsze niż w funkcji kwadratowej, bo warunków do zapisania jest mniej. Gdy polecenie mówi o funkcji rosnącej, wystarczy nierówność mówiąca, że współczynnik kierunkowy jest dodatni, a przy funkcji malejącej, że jest ujemny. Zwrot o funkcji stałej oznacza współczynnik kierunkowy równy zeru przy dowolnym wyrazie wolnym. Uwaga na sformułowanie o funkcji liniowej, która nie jest stała: to ten sam warunek, tylko zapisany przez zaprzeczenie.

Drugi typowy warunek dotyczy miejsca zerowego albo przejścia wykresu przez wskazany punkt. Podstawiasz wtedy współrzędne punktu do wzoru z parametrem i rozwiązujesz zwykłe równanie liniowe z jedną niewiadomą. Więcej takich zadań, rozpisanych krok po kroku, znajdziesz we wpisie o funkcji liniowej na maturze.

> Współczynniki wyznaczone z dwóch punktów bywają ułamkami. Kalkulator zostawia je ułamkiem zwykłym, bo rozwinięcie dziesiętne jednej trzeciej nigdy się nie kończy, a odpowiedź musi być skończona.

## Pułapki maturalne

- **Funkcja stała to nadal funkcja liniowa** - Wzór y = b z zerowym współczynnikiem kierunkowym opisuje funkcję liniową, tyle że stałą. Odpowiedź mówiąca, że to nie jest funkcja liniowa, jest po prostu błędna. Taka funkcja nie ma miejsc zerowych, chyba że wyraz wolny również wynosi zero, i wtedy zeruje się dla każdego argumentu.
- **Kolejność odejmowania w liczniku i mianowniku** - We wzorze na współczynnik kierunkowy oba odejmowania muszą iść w tę samą stronę. Zapisanie różnicy drugich współrzędnych od punktu drugiego do pierwszego, a różnicy pierwszych odwrotnie, daje liczbę przeciwną do prawidłowej. Rachunek wygląda wtedy poprawnie na każdym kroku, a wynik ma zły znak.
- **Wyraz wolny to nie jest miejsce zerowe** - Liczba b jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią OY, a nie miejscem zerowym funkcji. Miejsce zerowe leży na osi OX i wychodzi dopiero z równania ax + b = 0. Pomylenie tych dwóch liczb kosztuje punkt w zadaniach o odczyt własności z wykresu.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 11 z działu Funkcja liniowa](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-11)
- [Zadanie 13 z działu Funkcja liniowa](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2025-15)
- [Zadanie 13 z działu Funkcja liniowa](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2024-15)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak wyznaczyć wzór prostej przechodzącej przez dwa punkty?
Najpierw policz współczynnik kierunkowy jako iloraz różnicy drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Potem podstaw jeden z punktów do wzoru y = ax + b i wylicz wyraz wolny. Dla punktów (1, 0) oraz (-1, 4) wychodzi a = -2 oraz b = 2, czyli y = -2x + 2.

### Co oznacza współczynnik kierunkowy równy zeru?
Oznacza funkcję stałą, której wykresem jest prosta równoległa do osi OX. Taka funkcja nie jest ani rosnąca, ani malejąca, i dla każdego argumentu przyjmuje tę samą wartość. Miejsca zerowego nie ma, chyba że wyraz wolny także jest zerem.

### Kiedy dwie proste są prostopadłe?
Wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy minus jeden. Dla prostej o współczynniku 2 prosta prostopadła ma współczynnik równy minus jedna druga. Wyjątkiem jest prosta pozioma, do której prostopadła jest prosta pionowa bez postaci kierunkowej.

### Jak obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej?
Rozwiąż równanie ax + b = 0, czyli podziel liczbę przeciwną do wyrazu wolnego przez współczynnik kierunkowy. Dla funkcji y = -0,5x - 1,5 miejscem zerowym jest liczba -3. Funkcja stała różna od zera miejsca zerowego nie ma w ogóle.

### Czym różni się postać kierunkowa od ogólnej?
Postać kierunkowa y = ax + b pokazuje wprost współczynnik kierunkowy i wyraz wolny, ale nie opisuje prostych pionowych. Postać ogólna Ax + By + C = 0 opisuje każdą prostą, w tym pionową, za to własności funkcji trzeba z niej dopiero odczytać.


---
route: /narzedzia/kalkulator-ukladu-rownan
title: Kalkulator układu równań 2x2 i 3x3 krok po kroku
description: Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników albo wyznaczników. Pełne podstawienia krok po kroku i interpretacja układu sprzecznego.
---

# Kalkulator układu równań

Układ równań liniowych rozwiązuje się metodą podstawiania, metodą przeciwnych współczynników albo wyznacznikami. Wyznacznik główny rozstrzyga, ile rozwiązań ma układ: różny od zera oznacza dokładnie jedno, a równy zeru brak rozwiązań albo nieskończenie wiele. Kalkulator wyżej liczy oba warianty, podaje wynik w postaci dokładnej i pokazuje każde podstawienie.

## Wzór

$$W = a_1 b_2 - a_2 b_1, \quad x = \frac{W_x}{W}, \quad y = \frac{W_y}{W}$$

## Jak to policzyć

1. **Uporządkuj oba równania** - Przenieś wszystkie niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą, i ustaw je w tej samej kolejności w obu równaniach. Bez tego kroku współczynniki nie stoją jeden pod drugim i każda metoda zaczyna się od błędu przepisania. Brakującą niewiadomą zapisz ze współczynnikiem zero, żeby nic nie zginęło.
2. **Wybierz metodę** - Metoda podstawiania jest szybka, gdy przy którejś niewiadomej stoi jedynka. Metoda przeciwnych współczynników opłaca się, gdy współczynniki są wielokrotnościami. Wyznaczniki działają zawsze tak samo, niezależnie od liczb, i to one najkrócej rozstrzygają, czy układ w ogóle ma rozwiązanie.
3. **Policz wyznaczniki** - Wyznacznik główny to iloczyn wyrazów na przekątnej głównej minus iloczyn wyrazów na przekątnej drugiej. Wyznacznik niewiadomej powstaje przez zastąpienie jej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Przy trzech niewiadomych ten sam schemat realizuje reguła Sarrusa, w której dopisuje się dwie pierwsze kolumny obok wyznacznika.
4. **Rozstrzygnij i sprawdź** - Wyznacznik główny różny od zera oznacza układ oznaczony, a rozwiązanie to iloraz wyznacznika niewiadomej przez wyznacznik główny. Wyznacznik równy zeru wymaga porównania równań: proporcjonalne dają układ nieoznaczony, sprzeczne układ sprzeczny. Na koniec podstaw wynik do obu równań, bo to jedyne pewne sprawdzenie.

## Co naprawdę mówi wyznacznik

Wyznacznik główny układu dwóch równań to liczba zbudowana wyłącznie ze współczynników przy niewiadomych, bez wyrazów wolnych. Jego zerowanie się oznacza dokładnie jedno: kolumny współczynników są proporcjonalne, czyli obie proste opisane równaniami mają ten sam kierunek. Wtedy albo się pokrywają, albo są równoległe i rozłączne, a rozstrzyga to dopiero porównanie wyrazów wolnych.

Dlatego sam wyznacznik główny nigdy nie wystarcza do odpowiedzi na pytanie o liczbę rozwiązań, gdy wyjdzie zero. Trzeba jeszcze spojrzeć na wyznaczniki niewiadomych: jeżeli wszystkie są zerami, układ jest nieoznaczony, a jeżeli choć jeden nie jest, układ jest sprzeczny. Reguła ta obowiązuje przy dwóch niewiadomych i tylko przy nich: w układzie trzech równań wszystkie cztery wyznaczniki bywają zerami także wtedy, gdy układ jest sprzeczny, więc rozstrzyga dopiero rząd macierzy. Zadania zamknięte z tego działu pytają najczęściej właśnie o taki przypadek z parametrem.

## Interpretacja geometryczna, czyli zadania z rysunkiem

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą na płaszczyźnie, więc układ dwóch równań to pytanie o wspólne punkty dwóch prostych. Jeden punkt wspólny odpowiada układowi oznaczonemu, brak punktów wspólnych układowi sprzecznemu, a pokrywające się proste układowi nieoznaczonemu. Zadanie z rysunkiem sprawdza dokładnie to przejście: z obrazka odczytujesz liczbę rozwiązań, a nie liczysz niczego.

Przy trzech niewiadomych każde równanie opisuje płaszczyznę w przestrzeni. Trzy płaszczyzny mogą przeciąć się w jednym punkcie, wzdłuż prostej, mogą też nie mieć wspólnego punktu, choć każde dwie z nich się przecinają. Ten ostatni przypadek jest powodem, dla którego przy trzech niewiadomych same wyznaczniki bywają zbyt słabym narzędziem.

## Zadania tekstowe prowadzące do układu

Większość punktów za układy równań na maturze pochodzi z zadań tekstowych, a nie z gotowych układów. Schemat jest stały: nazwij dwie wielkości literami, zapisz dwa niezależne warunki z treści i dopiero potem rozwiązuj. Klasyczne tematy to obwód i różnica boków prostokąta, dwa rodzaje biletów o różnych cenach, mieszanie roztworów o różnych stężeniach oraz zadania o wieku dwóch osób w dwóch różnych momentach.

Warto pamiętać o warunkach, które w treści są ukryte: długość boku i liczba biletów muszą być dodatnie, a liczba osób całkowita. Rozwiązanie układu, które tych warunków nie spełnia, trzeba odrzucić i napisać dlaczego. Więcej przykładów z pełnym rozpisaniem znajdziesz we wpisie o układach równań na maturze.

> Rozwiązanie układu bywa parą ułamków o dużych mianownikach. Kalkulator liczy na ułamkach zwykłych, więc wynik jest dokładny, a nie zaokrąglony do kilku miejsc po przecinku.

## Pułapki maturalne

- **Zerowy wyznacznik nie znaczy od razu brak rozwiązań** - Wyznacznik główny równy zeru oznacza tylko tyle, że rozwiązanie nie jest jedno. Układ może być sprzeczny albo nieoznaczony, a to dwie zupełnie różne odpowiedzi. W układzie dwóch równań rozstrzyga porównanie wyrazów wolnych: równania proporcjonalne w całości dają nieskończenie wiele rozwiązań, a proporcjonalne tylko po lewej stronie żadnego. Przy trzech niewiadomych trzeba sięgnąć po rząd macierzy.
- **Znak przy przenoszeniu wyrazów na drugą stronę** - Układ zapisany w postaci z zerem po prawej stronie trzeba najpierw uporządkować. Wyraz wolny przechodzący na prawą stronę zmienia znak, a pominięcie tego jest najczęstszym błędem w całym dziale. Ponieważ dalszy rachunek wygląda poprawnie, błędu nie widać aż do sprawdzenia wyniku w równaniach.
- **Sprawdzenie tylko w jednym równaniu** - Podstawienie znalezionej pary liczb do jednego równania nic nie dowodzi, bo każdy punkt jednej prostej spełnia jej równanie. Sprawdzać trzeba w obu równaniach naraz i dopiero dwie prawdziwe równości potwierdzają wynik. W zadaniu otwartym za brak sprawdzenia punktu się nie traci, ale za błędny wynik już tak.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 6 z działu Układy równań](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-06)
- [Zadanie 7 z działu Układy równań](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2024-07)
- [Zadanie 21 z działu Układy równań](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2025-pp-21)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników?
Pomnóż równania przez takie liczby, żeby współczynniki przy jednej niewiadomej stały się liczbami przeciwnymi, a potem dodaj równania stronami. Jedna niewiadoma znika, drugą wyliczasz wprost i podstawiasz do dowolnego z równań wyjściowych.

### Kiedy układ równań jest sprzeczny?
W układzie dwóch równań wtedy, gdy wyznacznik główny jest równy zeru, a przynajmniej jeden wyznacznik niewiadomej nie jest. Geometrycznie oznacza to dwie proste równoległe bez punktu wspólnego. Przy trzech niewiadomych to kryterium nie wystarcza, bo układ sprzeczny potrafi mieć wszystkie cztery wyznaczniki równe zeru i rozstrzyga dopiero rząd macierzy.

### Czym różni się układ nieoznaczony od sprzecznego?
Nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo oba równania opisują tę samą prostą. Sprzeczny nie ma żadnego, bo proste są równoległe i rozłączne. W obu przypadkach wyznacznik główny jest zerem, więc rozstrzygają dopiero wyrazy wolne.

### Czy wyznaczniki są w wymaganiach maturalnych?
Podstawa programowa wymienia metodę podstawiania i metodę przeciwnych współczynników, a wyznaczniki są narzędziem dodatkowym. Wolno ich użyć i rozwiązanie jest wtedy pełnowartościowe, ale warto umieć obie drogi, bo w zadaniu z parametrem wyznacznik skraca rachunek o połowę.

### Jak sprawdzić, czy rozwiązanie układu jest poprawne?
Podstaw znalezione liczby do obu równań wyjściowych, a nie do przekształconych. Obie równości muszą być prawdziwe. Sprawdzenie w jednym równaniu niczego nie potwierdza, bo spełnia je nieskończenie wiele par liczb leżących na tej samej prostej.


---
route: /narzedzia/kalkulator-wzorow-skroconego-mnozenia
title: Kalkulator wzorów skróconego mnożenia
description: Rozwiń kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów albo zwiń wyrażenie do postaci iloczynowej. Podstawienie pokazane krok po kroku.
---

# Kalkulator wzorów skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia zamieniają iloczyn na sumę i sumę na iloczyn. Kwadrat sumy daje kwadrat pierwszego składnika, podwojony iloczyn obu i kwadrat drugiego, kwadrat różnicy różni się tylko znakiem środkowego wyrazu, a różnica kwadratów rozkłada się na iloczyn sumy i różnicy. Kalkulator wyżej rozwija dwumian i zwija trójmian, pokazując każde podstawienie.

## Wzór

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

## Jak to policzyć

1. **Rozpoznaj, który wzór pasuje** - Iloczyn dwóch identycznych nawiasów to kwadrat sumy albo różnicy. Iloczyn nawiasów różniących się wyłącznie znakiem drugiego składnika to różnica kwadratów. Trójmian z trzema wyrazami próbujesz zwinąć do kwadratu dwumianu, a dwumian z minusem między dwoma kwadratami do iloczynu sumy i różnicy.
2. **Nazwij składniki a oraz b** - Wypisz osobno pierwszy i drugi składnik nawiasu razem ze współczynnikami. W wyrażeniu z dwumianem postaci 2x minus 3 pierwszym składnikiem jest 2x, a drugim 3, przy czym znak minus należy do wzoru, a nie do składnika. Ten jeden krok usuwa większość błędów znakowych.
3. **Podstaw do wzoru bez skracania drogi** - Zapisz najpierw wzór ogólny, potem to samo z podstawionymi składnikami, a dopiero na końcu policz potęgi i iloczyny. Kwadrat składnika ze współczynnikiem dotyczy całego składnika, więc kwadrat wyrażenia 2x to 4x kwadrat, a nie 2x kwadrat.
4. **Sprawdź wynik na liczbie** - Podstaw pod zmienną dowolną prostą liczbę, na przykład jedynkę, do wyrażenia wyjściowego i do otrzymanego. Obie wartości muszą być równe, bo wzór skróconego mnożenia jest tożsamością. To sprawdzenie zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje pomyłkę w znaku środkowego wyrazu.

## Trzy wzory, które trzeba znać z pamięci

Tablice maturalne podają kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów, a od Formuły 2023 także sześcian sumy i sześcian różnicy oraz sumę i różnicę sześcianów. Znajomość ich z pamięci nie jest wymogiem formalnym, ale jest różnicą między zadaniem na dwie minuty a zadaniem na osiem. W arkuszu prawie nigdy nie pyta się o sam wzór: pyta się o wartość wyrażenia, o dziedzinę ułamka algebraicznego albo o uzasadnienie nierówności, a wzór jest narzędziem po drodze.

Najczęstsze zastosowanie to usuwanie niewymierności i upraszczanie wyrażeń liczbowych. Kwadrat sumy z pierwiastkiem, na przykład wyrażenie w nawiasie z pierwiastkiem z dwóch, po rozwinięciu zamienia się w sumę liczby wymiernej i jednego składnika z pierwiastkiem, co zwykle jest już całą odpowiedzią.

## Zwijanie, czyli wzory czytane od prawej do lewej

Rozkład na czynniki to ten sam wzór użyty w drugą stronę i to właśnie ten kierunek sprawia uczniom najwięcej kłopotu. Trójmian daje się zwinąć do kwadratu dwumianu tylko wtedy, gdy skrajne wyrazy są kwadratami, a środkowy jest ich podwojonym iloczynem. Warunek ten można sprawdzić jednym rachunkiem: wyróżnik trójmianu musi być równy zeru. Gdy współczynnik przy x kwadrat sam nie jest kwadratem liczby wymiernej, najpierw wyłącza się go przed nawias i dopiero zawartość nawiasu zwija się do kwadratu dwumianu.

Różnicę kwadratów rozpoznaje się jeszcze łatwiej, bo między dwoma kwadratami stoi minus i nie ma wyrazu ze zmienną w pierwszej potędze. Suma kwadratów nie rozkłada się w liczbach rzeczywistych i to jest gotowa odpowiedź w zadaniach typu prawda albo fałsz. Gdy żaden wzór nie pasuje, zostaje rozkład przez wyróżnik albo wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.

## Gdzie te wzory wracają w innych działach

Wzory skróconego mnożenia pojawiają się w arkuszu daleko poza działem wyrażeń algebraicznych. W funkcji kwadratowej przejście z postaci ogólnej do kanonicznej jest uzupełnianiem do kwadratu, czyli kwadratem sumy czytanym wstecz. W geometrii analitycznej równanie okręgu ma po lewej stronie dwa kwadraty dwumianów i zadanie o środek okręgu zaczyna się od ich zwinięcia.

Trzeci obszar to dowody i uzasadnienia nierówności, gdzie kwadrat różnicy jest najczęstszym narzędziem, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Rozpisanie tego samego materiału z przykładami znajdziesz we wpisie o wyrażeniach algebraicznych na maturze, a listę wzorów w zestawieniu wzorów.

> Kwadrat sumy nie jest sumą kwadratów. Zapis pomijający podwojony iloczyn środkowy jest najczęściej powtarzanym błędem algebraicznym w całym arkuszu i nie dostaje ani jednego punktu.

## Pułapki maturalne

- **Zgubiony podwojony iloczyn** - Kwadrat sumy dwóch składników ma trzy wyrazy, nie dwa. Pominięcie środkowego wyrazu jest błędem, który zmienia wynik przy każdej wartości zmiennej różnej od zera. Najprostsze zabezpieczenie to podstawienie jedynki pod zmienną w wyrażeniu wyjściowym i w rozwinięciu, bo obie liczby muszą wyjść równe.
- **Kwadrat dotyczy całego składnika, także współczynnika** - Podnosząc do kwadratu składnik ze współczynnikiem, podnosisz do kwadratu również ten współczynnik. Wyrażenie z trzema iksami w nawiasie daje dziewięć iksów w kwadracie, a nie trzy. Ten sam błąd wraca przy sześcianie, gdzie współczynnik podnosi się do trzeciej potęgi.
- **Suma kwadratów nie rozkłada się na czynniki** - Różnica kwadratów rozkłada się na iloczyn sumy i różnicy, ale suma kwadratów w liczbach rzeczywistych rozkładu nie ma. Wypisanie iloczynu dwóch nawiasów z plusami jest błędem merytorycznym. W zadaniach na prawdę i fałsz to rozróżnienie jest samo w sobie punktowane.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 6 z działu Wyrażenia algebraiczne](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-06)
- [Zadanie 5 z działu Wyrażenia algebraiczne](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-05)
- [Zadanie 20 z działu Wyrażenia algebraiczne](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2025-pp-20)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jakie są wzory skróconego mnożenia?
Podstawowe trzy to kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. Formuła 2023 dokłada sześcian sumy i sześcian różnicy oraz sumę i różnicę sześcianów. Wszystkie są w tablicach maturalnych, ale rozpoznanie, który pasuje, jest już po stronie zdającego.

### Czy wzory skróconego mnożenia są w tablicach maturalnych?
Tak, komplet wzorów znajduje się w karcie wzorów wydawanej na egzaminie. Nie zwalnia to jednak z umiejętności ich stosowania w obie strony, bo zadania wymagają rozpoznania wzoru w wyrażeniu, a nie jego przepisania.

### Jak rozłożyć wyrażenie na czynniki wzorem skróconego mnożenia?
Sprawdź, czy skrajne wyrazy są kwadratami. Jeżeli tak i środkowy wyraz jest ich podwojonym iloczynem, wyrażenie zwija się do kwadratu dwumianu. Jeżeli wyrazu środkowego nie ma, a między kwadratami stoi minus, jest to różnica kwadratów.

### Czym różni się kwadrat sumy od sumy kwadratów?
Kwadrat sumy ma trzy wyrazy, bo zawiera podwojony iloczyn składników. Suma kwadratów ma dwa wyrazy i jest od niego mniejsza dla dodatnich składników. Mylenie tych dwóch wyrażeń jest najczęstszym błędem algebraicznym na maturze.

### Do czego przydaje się różnica kwadratów?
Najczęściej do usuwania niewymierności z mianownika i do szybkiego liczenia iloczynów liczb symetrycznych względem okrągłej wartości. Przydaje się także w rozkładzie na czynniki przy rozwiązywaniu równań, bo iloczyn równy zeru natychmiast daje pierwiastki.


---
route: /narzedzia/kalkulator-ciagow
title: Kalkulator ciągu arytmetycznego i geometrycznego
description: Policz n-ty wyraz, sumę początkowych wyrazów, różnicę r i iloraz q. Oba typy ciągów w jednym miejscu, z podstawieniem do wzoru krok po kroku.
---

# Kalkulator ciągów: arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r, więc n-ty wyraz to a₁ powiększone o (n - 1) różnic. Ciąg geometryczny ma stały iloraz q, więc n-ty wyraz to a₁ pomnożone przez q podniesione do potęgi n - 1. Suma początkowych wyrazów ma osobny wzór dla każdego z tych ciągów. Kalkulator wyżej liczy wyraz, sumę, różnicę i iloraz z podstawieniem do wzoru.

## Wzór

$$a_n = a_1 + (n-1)r, \quad a_n = a_1 q^{\,n-1}$$

## Jak to policzyć

1. **Rozpoznaj typ ciągu** - Odejmij od drugiego wyrazu pierwszy, potem od trzeciego drugi. Jeżeli obie różnice wychodzą takie same, ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli różnice się nie zgadzają, podziel drugi wyraz przez pierwszy i trzeci przez drugi. Równe ilorazy oznaczają ciąg geometryczny, a różne oznaczają, że ciąg nie jest ani jednym, ani drugim i wzorów z tego działu użyć nie wolno.
2. **Wypisz dane i numer wyrazu** - Zapisz osobno pierwszy wyraz a₁, różnicę r albo iloraz q oraz numer n tego wyrazu, o który pyta polecenie. Numer wyrazu to liczba naturalna i to on decyduje o wykładniku, a nie wartość wyrazu. Zadania maturalne bardzo często podają dwa dowolne wyrazy zamiast pierwszego, więc a₁ trzeba najpierw odzyskać.
3. **Podstaw do wzoru na n-ty wyraz** - W ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + (n - 1)r, w geometrycznym aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹. W obu wzorach stoi n - 1, a nie n, bo pierwszy wyraz jeszcze niczego nie dodaje ani przez nic nie mnoży. Podstawiaj wartości ujemne w nawiasach, żeby minus nie zniknął przy potęgowaniu.
4. **Policz sumę początkowych wyrazów** - Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to Sₙ = (2a₁ + (n - 1)r) podzielone przez 2 i pomnożone przez n. W ciągu geometrycznym o ilorazie różnym od jedynki Sₙ = a₁ · (1 - qⁿ) podzielone przez (1 - q), a dla q równego 1 suma to po prostu n razy a₁. Ten drugi przypadek trzeba wypisać osobno, bo we wzorze ogólnym mianownik byłby zerem.

## Skąd wziąć różnicę i iloraz, gdy nie ma ich w treści

Najczęstszy układ danych na maturze to dwa dowolne wyrazy z numerami, a nie pierwszy wyraz z różnicą. W ciągu arytmetycznym wystarczy jedno odejmowanie: między wyrazem k-tym a m-tym mieści się dokładnie m - k różnic, więc r jest ilorazem różnicy wartości przez różnicę numerów. Mając r, pierwszy wyraz odzyskujesz cofając się o k - 1 kroków od wyrazu znanego.

W ciągu geometrycznym ta sama droga prowadzi przez potęgę: iloraz wartości dwóch wyrazów jest równy q podniesionemu do różnicy numerów. Gdy ta różnica jest parzysta, pierwiastek ma dwa znaki i zadanie zwykle ma dwa rozwiązania, o czym łatwo zapomnieć. Kalkulator wyżej ma na to osobny tryb, a pełne rozpisanie takich zadań znajdziesz we wpisie o ciągu geometrycznym na maturze.

**Suma początkowych wyrazów**

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2}\cdot n, \quad S_n = a_1\cdot\frac{1-q^{\,n}}{1-q}$$

## Suma ciągu: dwa wzory i jedno pytanie kontrolne

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego czyta się najprościej jako średnia pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożona przez liczbę wyrazów. To bardzo wygodna kontrola: jeżeli znasz a₁ i aₙ, sumę policzysz bez różnicy r, a wynik z obu dróg musi się zgadzać. W zadaniach o sumie wyrazów o numerach parzystych albo nieparzystych ta sama obserwacja skraca rachunek o połowę, bo taki podciąg też jest arytmetyczny, tylko o podwójnej różnicy.

W ciągu geometrycznym pytanie kontrolne brzmi inaczej: czy iloraz jest równy jedynce. Wzór ogólny ma wtedy zero w mianowniku i traci sens, a suma to zwykłe n razy a₁. Ten przypadek pojawia się w zadaniach z parametrem, gdzie q dopiero wyznaczasz. Więcej ćwiczeń na oba wzory zebraliśmy we wpisie o tym, jak obliczyć sumę ciągu.

## Ciągi na maturze: gdzie realnie padają punkty

W arkuszu podstawowym ciągi zajmują zwykle dwa lub trzy zadania i połowa z nich sprowadza się do jednego z dwóch schematów. Pierwszy to trójka liczb z parametrem, w której masz dobrać parametr tak, żeby ciąg był arytmetyczny albo geometryczny. Drugi to układ dwóch informacji o wyrazach, z którego wyznaczasz a₁ i r, a dopiero potem odpowiadasz na właściwe pytanie.

Punkty giną najczęściej nie na wzorze, tylko na numeracji: w rozwiązaniu pojawia się a₁ zamiast a₀, albo suma dziesięciu wyrazów liczona od wyrazu drugiego. Warto więc wypisywać numery obok wartości. Zestaw zadań otwartych z pełnymi rozwiązaniami mamy we wpisie o sumie ciągu i monotoniczności, a warunki na trójki liczb rozpisaliśmy osobno, w tekście o tym, kiedy liczby tworzą ciąg.

> Wynik dokładny w postaci ułamka, na przykład r = 2/3, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator zostawia ułamek ułamkiem wszędzie tam, gdzie rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone.

## Pułapki maturalne

- **We wzorze stoi n - 1, a nie n** - Do pierwszego wyrazu nie dodajesz jeszcze żadnej różnicy i nie mnożysz go przez żaden iloraz, więc do wyrazu numer n dochodzisz w n - 1 krokach. Podstawienie samego n przesuwa cały wynik o jedną różnicę albo o jedno mnożenie i jest najczęstszym błędem w tym dziale. Ta sama uwaga dotyczy odzyskiwania pierwszego wyrazu z wyrazu k-tego: cofasz się o k - 1 kroków.
- **Ujemny iloraz to nie jest ciąg malejący** - Przy q ujemnym kolejne wyrazy zmieniają znak, więc ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący, tylko naprzemienny. Odpowiedź, że ciąg maleje, bo iloraz jest mniejszy od jedynki, nie dostaje punktu. Monotoniczność ciągu geometrycznego rozstrzyga się dopiero po sprawdzeniu znaku pierwszego wyrazu i tego, czy iloraz leży między zerem a jedynką, czy powyżej jedynki.
- **Warunek na trójkę liczb ma dwie różne postacie** - Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny, gdy podwojona liczba środkowa równa się sumie skrajnych, a geometryczny, gdy kwadrat środkowej równa się iloczynowi skrajnych. Pomylenie tych warunków daje równanie, które czasem nawet ma rozwiązanie, więc błąd nie rzuca się w oczy. W wariancie geometrycznym trzeba dodatkowo odrzucić rozwiązania, przy których którykolwiek wyraz jest zerem.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 17 z działu Ciągi](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2023-21)
- [Zadanie 55 z działu Ciągi](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-55)
- [Zadanie 17 z działu Ciągi](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2025-22)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
Ze wzoru aₙ = a₁ + (n - 1)r, gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a r to różnica ciągu. Dla a₁ = 3, r = 4 i n = 10 wychodzi 3 + 9 · 4, czyli 39. Wzór stoi w tablicach maturalnych, więc nie trzeba go pamiętać, ale trzeba umieć rozpoznać dane.

### Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?
Suma n początkowych wyrazów to Sₙ = (2a₁ + (n - 1)r) podzielone przez 2 i pomnożone przez n. Równoważnie: średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów. Druga postać jest szybsza, gdy zadanie podaje od razu wyraz ostatni, i służy jako kontrola wyniku.

### Jak sprawdzić, czy trzy liczby tworzą ciąg geometryczny?
Trzy liczby x, y, z tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy y do kwadratu równa się iloczynowi x razy z, a przy tym żadna z nich nie jest zerem. Dla ciągu arytmetycznego warunek jest inny: podwojone y musi być równe sumie x oraz z.

### Czym różni się różnica r od ilorazu q?
Różnica r opisuje ciąg arytmetyczny i mówi, ile DODAJESZ, przechodząc do następnego wyrazu. Iloraz q opisuje ciąg geometryczny i mówi, przez ile MNOŻYSZ. Różnica może być dowolną liczbą, także zerem, a iloraz zerem być nie może, bo wtedy dalsze wyrazy byłyby zerami.

### Czy wzory na ciągi są w tablicach maturalnych?
Tak, karta wzorów CKE zawiera wzór na n-ty wyraz i na sumę początkowych wyrazów obu ciągów, a także warunki na trójkę liczb. Nie ma tam natomiast wzoru na różnicę wyznaczaną z dwóch dowolnych wyrazów, więc ten krok trzeba umieć wyprowadzić samodzielnie.


---
route: /narzedzia/kalkulator-statystyczny
title: Kalkulator odchylenia standardowego i średniej
description: Wklej listę liczb i policz średnią, medianę, dominantę, wariancję i odchylenie standardowe. Wariant populacyjny, tak jak liczy CKE, z tabelą odchyleń.
---

# Kalkulator statystyczny: średnia, mediana, odchylenie

Zestaw danych opisują cztery liczby: średnia to suma podzielona przez liczbę danych, mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu, dominanta to wartość powtarzająca się najczęściej, a odchylenie standardowe mierzy rozrzut wokół średniej. Na maturze wariancję liczy się populacyjnie, czyli dzieli przez n. Kalkulator podaje wszystkie te wielkości z tabelą odchyleń.

## Wzór

$$\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}$$

## Jak to policzyć

1. **Uporządkuj dane niemalejąco** - Zanim policzysz cokolwiek poza średnią, ustaw liczby od najmniejszej do największej. Mediana, dominanta i rozstęp odczytuje się dopiero z uporządkowanego zestawu, a najczęstszy błąd w zadaniach z medianą to wzięcie środkowej liczby z listy w kolejności podanej w treści. Uporządkowanie jest też jedyną sensowną kontrolą, czy przepisałeś wszystkie dane i nic nie zgubiłeś po drodze.
2. **Policz średnią arytmetyczną** - Dodaj wszystkie liczby i podziel sumę przez ich liczbę. Zapisz wynik dokładnie, ułamkiem zwykłym, jeżeli dzielenie nie wychodzi równo. Średnia jest podstawą wszystkich dalszych rachunków, a zaokrąglenie jej w tym miejscu przenosi się na każde odchylenie osobno i po podniesieniu do kwadratu rozjeżdża wariancję na tyle, że wynik przestaje być poprawny.
3. **Odczytaj medianę i dominantę** - Przy nieparzystej liczbie danych mediana to po prostu wyraz środkowy. Przy parzystej to średnia arytmetyczna dwóch wyrazów środkowych, więc mediana wcale nie musi należeć do zestawu. Dominanta to wartość występująca najczęściej. Jeżeli każda liczba pojawia się dokładnie raz, dominanty nie ma, a jeżeli kilka wartości ma tę samą największą liczebność, dominant jest kilka i wszystkie należy wypisać.
4. **Zbuduj tabelę odchyleń i policz wariancję** - Dla każdej danej wypisz odchylenie od średniej, czyli różnicę wartości i średniej, a potem jego kwadrat. Dodaj kwadraty i podziel sumę przez liczbę danych. To jest wariancja. Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji, więc podaje się je w tej samej jednostce, co dane, i to ono odpowiada na pytanie o rozrzut wyników.

## Mediana kontra średnia, czyli po co dwie miary środka

Średnia bierze pod uwagę każdą liczbę z osobna, więc jedna wartość skrajna potrafi ją przesunąć bardzo daleko. Klasyczny przykład maturalny to zestaw pensji, w którym jedna osoba zarabia kilka razy więcej niż reszta: średnia wychodzi wyższa niż zarobki większości pracowników i przestaje opisywać typową sytuację. Mediana takiej wrażliwości nie ma, bo zależy wyłącznie od tego, która wartość leży w środku uporządkowanego zestawu.

Dlatego zadania CKE bardzo często pytają o obie miary naraz albo każą je porównać. Kiedy średnia jest wyraźnie większa od mediany, zestaw ma wartości odstające w górę; kiedy jest mniejsza, odstające w dół. Rozpisane przykłady obu przypadków zebraliśmy we wpisie o średniej, medianie i dominancie.

**Wariancja i odchylenie standardowe w wersji maturalnej**

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

## Dlaczego kalkulator dzieli przez n, a nie przez n minus jeden

W arkuszu maturalnym obowiązuje wariancja populacyjna: w mianowniku stoi n, czyli liczba wszystkich danych. Tak brzmi wzór w karcie wzorów CKE i tak liczą klucze odpowiedzi. Wariancja próbkowa, z mianownikiem n minus jeden, pojawia się dopiero na studiach i służy szacowaniu rozrzutu całej populacji na podstawie próby. Kalkulatory statystyczne z internetu bardzo często domyślnie liczą właśnie ten wariant, bo pisano je z myślą o statystyce akademickiej.

Różnica nie jest kosmetyczna. Dla ośmiu danych dzielenie przez siedem zamiast przez osiem podnosi wariancję o niemal piętnaście procent, a odchylenie standardowe o siedem. Przełącznik pod polem pozwala przestawić mianownik na n minus jeden i zobaczyć, o ile zmienia się wynik, ale wartość domyślna jest maturalna. Pełne wyprowadzenie obu wzorów opisaliśmy w tekście o tym, jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję.

## Dane z tabeli liczebności i średnia ważona

Znaczna część zadań ze statystyki nie podaje danych listą, tylko tabelą liczebności albo diagramem słupkowym. Wtedy średnią liczy się jako sumę iloczynów wartości i jej liczebności podzieloną przez sumę liczebności, czyli po prostu jako średnią ważoną. Mediana też ma tam swój skrót: sumujesz liczebności od lewej, aż przekroczysz połowę wszystkich danych, i wartość, na której się zatrzymasz, jest medianą. Skrót działa wprost przy nieparzystej liczbie danych; przy parzystej, jeżeli suma liczebności trafi równo w połowę zestawu, medianą jest średnia tej wartości i następnej.

W kalkulatorze wystarczy rozpisać taką tabelę na pojedyncze liczby, powtarzając każdą wartość tyle razy, ile wynosi jej liczebność. Przy kilkunastu danych to kilka sekund pisania, a rachunek zostaje dokładnie ten sam. Osobny wzór na średnią z wagami opisaliśmy na stronie wzoru na średnią ważoną, a zestaw zadań z arkuszy CKE znajdziesz we wpisie o statystyce na maturze.

> Wynik dokładny w postaci ułamka, na przykład wariancja zestawu 4, 5, 5 równa 2 przez 9, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator zostawia ułamek ułamkiem wszędzie tam, gdzie rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone, a przybliżenie podaje wyłącznie dla odchylenia standardowego, które prawie zawsze jest liczbą niewymierną.

## Pułapki maturalne

- **Mediana zestawu o parzystej liczebności nie musi być w zestawie** - Przy parzystej liczbie danych medianę liczy się jako średnią dwóch wyrazów środkowych, więc dla zestawu złożonego z samych liczb całkowitych może wyjść liczba z połówką. Odpowiedź w rodzaju „mediana to czwarta liczba na liście” jest wtedy po prostu nieprawdziwa. Drugi wariant tego samego błędu to liczenie mediany z danych w kolejności podanej w treści zadania, bez uporządkowania.
- **Dominanty może nie być wcale albo może być kilka** - Jeżeli w zestawie każda wartość pojawia się dokładnie raz, dominanty nie ma i tak brzmi poprawna odpowiedź. Jeżeli dwie różne wartości występują po trzy razy, a wszystkie pozostałe rzadziej, dominanty są dwie i trzeba wypisać obie. Wskazanie jednej z nich, bo stoi wcześniej na liście, nie dostaje pełnej punktacji, mimo że wygląda na odpowiedź prawie poprawną.
- **Odchylenie standardowe to pierwiastek, a nie sama wariancja** - Wariancja jest w kwadracie jednostki, w której wyrażone są dane, więc sama w sobie nie odpowiada na pytanie o rozrzut wyników. Podanie wariancji tam, gdzie zadanie pyta o odchylenie standardowe, jest błędem merytorycznym, nie rachunkowym. Warto to sprawdzać na końcu: odchylenie standardowe zestawu nigdy nie jest większe od jego rozstępu, a przy typowych danych szkolnych jest wyraźnie mniejsze.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 29 z działu Statystyka](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-36)
- [Zadanie 38 z działu Statystyka](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-luty-2026-38)
- [Zadanie 125 z działu Statystyka](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-125)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć odchylenie standardowe krok po kroku?
Policz średnią arytmetyczną, potem dla każdej danej różnicę między nią a średnią, podnieś te różnice do kwadratu i dodaj. Sumę podziel przez liczbę danych, a z wyniku wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Dla zestawu 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 średnia wynosi 5, suma kwadratów odchyleń 32, wariancja 4, a odchylenie standardowe 2.

### Czy na maturze dzieli się przez n, czy przez n minus jeden?
Przez n, czyli przez liczbę wszystkich danych. Karta wzorów CKE podaje wyłącznie wariant populacyjny i tak liczą klucze odpowiedzi. Wariant z mianownikiem n minus jeden to wariancja próbkowa ze statystyki akademickiej i na arkuszu maturalnym dałby wynik uznany za błędny.

### Jak obliczyć medianę przy parzystej liczbie danych?
Uporządkuj dane niemalejąco, wskaż dwa wyrazy środkowe i policz ich średnią arytmetyczną. Dla zestawu 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 środkowe są czwarty i piąty wyraz, czyli 4 oraz 5, więc mediana wynosi 4,5. Mediana nie musi należeć do zestawu danych.

### Co to jest dominanta i kiedy jej nie ma?
Dominanta to wartość, która w zestawie występuje najczęściej. Jeżeli wszystkie wartości pojawiają się dokładnie po jednym razie, dominanty nie ma. Jeżeli kilka wartości ma tę samą, największą liczebność, dominant jest kilka i poprawna odpowiedź wymienia je wszystkie.

### Czy na maturze można używać kalkulatora do statystyki?
Na egzaminie z matematyki wolno mieć wyłącznie kalkulator prosty, bez funkcji statystycznych. Średnią, wariancję i odchylenie liczy się ręcznie, z tabelą odchyleń, i to ten rachunek jest punktowany. Narzędzie wyżej pokazuje każde podstawienie po to, żeby sprawdzić własne obliczenia, a nie żeby je zastąpić.


---
route: /narzedzia/kalkulator-procentow-maturalnych
title: Kalkulator procentów: podwyżki, obniżki, VAT, lokata
description: Podwyżka i obniżka ceny, o ile procent większa liczba, punkty procentowe i procent składany. Procenty w ujęciu maturalnym, nie sklepowym.
---

# Kalkulator procentów do zadań maturalnych

Każde zadanie z procentów sprowadza się do mnożnika. Podwyżka o p procent to mnożenie przez jeden plus p setnych, obniżka to mnożenie przez jeden minus p setnych, a droga w odwrotną stronę to dzielenie przez ten sam mnożnik, nigdy odejmowanie procentu. Kalkulator liczy sześć takich sytuacji z pełnym podstawieniem.

## Wzór

$$c' = c\left(1 + \frac{p}{100}\right), \qquad K = K_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}$$

## Jak to policzyć

1. **Ustal, co jest całością** - Procent zawsze odnosi się do jakiejś podstawy i to jej wybór rozstrzyga zadanie. W zdaniu o obniżce podstawą jest cena sprzed obniżki, w zdaniu o wzroście zatrudnienia liczba pracowników na początku okresu. Zapisanie tej wielkości osobno, zanim cokolwiek policzysz, zdejmuje większość błędów w tym dziale, bo prawie wszystkie biorą się z liczenia procentu od niewłaściwej liczby.
2. **Zamień procent na mnożnik** - Podwyżka o dwanaście procent to mnożenie przez 1,12, a obniżka o piętnaście procent to mnożenie przez 0,85. Ten jeden krok zastępuje całe rozumowanie o dodawaniu i odejmowaniu części, a przy dwóch zmianach z rzędu pozwala je po prostu pomnożyć przez siebie. Mnożniki zapisuj dokładnie, ułamkiem zwykłym, gdy rozwinięcie dziesiętne się nie kończy.
3. **W drugą stronę dziel, a nie odejmuj** - Jeżeli znasz cenę po obniżce i chcesz cenę sprzed obniżki, podziel ją przez mnożnik. Odjęcie tych samych piętnastu procent od nowej ceny daje inną liczbę, bo procent liczy się wtedy od mniejszej podstawy. To jest najczęściej sprawdzana pułapka całego działu i wraca w arkuszach co roku, zwykle w zadaniu o cenie roweru albo smartfona.
4. **Sprawdź wynik odwrotnym rachunkiem** - Policzoną wartość podstaw z powrotem do treści zadania: pomnóż odzyskaną cenę początkową przez mnożnik i zobacz, czy wychodzi liczba podana w poleceniu. Ten sam chwyt działa dla procentu składanego i dla VAT. Kontrola zajmuje kilkanaście sekund, a wyłapuje pomylenie kierunku zmiany, czyli błąd, którego nie widać w samym zapisie rozwiązania.

## Dwie zmiany z rzędu nie sumują się

Obniżka o dwadzieścia procent, a potem o kolejne dziesięć, nie daje razem trzydziestu procent. Mnożniki mnożą się przez siebie, więc cena spada do 0,8 razy 0,9, czyli do 0,72 ceny wyjściowej, co oznacza łączną obniżkę o dwadzieścia osiem procent. To jest jedno z najczęstszych zadań zamkniętych w całym dziale i wraca w arkuszach niemal co roku, raz jako kurtka, raz jako narty, raz jako komputer.

Ta sama obserwacja tłumaczy pozornie zaskakujący wynik: podwyżka o dwadzieścia procent i następująca po niej obniżka o dwadzieścia procent nie przywracają ceny wyjściowej, tylko sprowadzają ją do dziewięćdziesięciu sześciu setnych. Kolejność nie ma znaczenia, bo mnożenie jest przemienne. Rozpisane przykłady zebraliśmy we wpisie o procentach na maturze.

**Procent składany z kapitalizacją m razy w roku**

$$K = K_0\left(1 + \frac{p}{100 \cdot m}\right)^{m \cdot t}$$

## Procent składany, czyli ciąg geometryczny w przebraniu

Kapitał na lokacie z coroczną kapitalizacją tworzy ciąg geometryczny o ilorazie równym mnożnikowi. Dlatego zadania o odsetkach rozwiązuje się dokładnie tym samym wzorem, co zadania o ciągach, i dlatego karta wzorów CKE trzyma je blisko siebie. Gdy odsetki naliczane są częściej niż raz w roku, roczną stopę dzieli się przez liczbę kapitalizacji, a wykładnik mnoży przez tę samą liczbę.

W arkuszach z Formuły 2023 pojawiło się zadanie o lokacie z kapitalizacją kwartalną i to właśnie ten podział bywa źródłem pomyłki: pięć procent rocznie przy czterech kapitalizacjach to 1,25 procent na kwartał, a nie pięć procent na kwartał. Więcej rozwiązanych przykładów mamy we wpisie o procencie składanym, a sam wzór opisuje strona wzoru na procent składany.

## Punkty procentowe to nie procenty

Kiedy poparcie rośnie z ośmiu procent do dwunastu, wzrost wynosi cztery punkty procentowe, ale pięćdziesiąt procent. Obie liczby są poprawne i opisują to samo zdarzenie, tylko odpowiadają na inne pytanie: punkty procentowe to zwykła różnica dwóch procentów, a procent to zmiana względem wartości wyjściowej. Zadania maturalne lubią mieszać oba pojęcia w jednym zdaniu i sprawdzać, czy zdający je rozróżnia.

Praktyczna wskazówka: jeżeli w treści stoi „o ile punktów procentowych”, odejmujesz; jeżeli „o ile procent”, dzielisz przez wartość początkową. Kalkulator ma na to osobny tryb i pokazuje obie liczby naraz, żeby różnica była widoczna. Szerzej opisaliśmy ją we wpisie o różnicy między punktem procentowym a procentem.

> Podatek liczony od kwoty netto i podatek liczony od kwoty brutto to dwie różne liczby. Przy stawce dwadzieścia trzy procent kwota netto tysiąc złotych daje brutto tysiąc dwieście trzydzieści, ale kwota brutto tysiąc złotych daje netto około osiemset trzynaście, czyli podatek około sto osiemdziesiąt siedem, a nie dwieście trzydzieści.

## Pułapki maturalne

- **Cofnięcie obniżki to dzielenie, nie odejmowanie** - Cena po obniżce o piętnaście procent wynosi 850, więc cena początkowa to 850 podzielone przez 0,85, czyli 1000. Dodanie piętnastu procent do 850 dałoby 977,50, bo liczyłoby procent od nowej, mniejszej podstawy. Ten sam mechanizm działa w drugą stronę i jest źródłem pytania, o ile procent trzeba podnieść cenę po obniżce o dwadzieścia procent, żeby wrócić do wyjściowej. Odpowiedź brzmi dwadzieścia pięć, a nie dwadzieścia.
- **Procent składany liczy się od kapitału, a nie od odsetek** - Odsetki po pierwszym okresie dopisują się do kapitału i w drugim okresie same zaczynają procentować. Pomnożenie kapitału początkowego przez stopę i przez liczbę lat to procent prosty, który w zadaniach o lokatach prawie nigdy nie jest tym, o co pyta polecenie. Różnica rośnie z liczbą okresów, więc przy kapitalizacji kwartalnej po kilku latach widać ją już na kilkudziesięciu złotych.
- **Procent z liczby i liczba z procentu to dwa różne działania** - Zdanie „liczba x stanowi osiemdziesiąt procent liczby y” znaczy, że x to 0,8 razy y, więc y to x podzielone przez 0,8, czyli 1,25 razy x. Zapisanie tego odwrotnie daje odpowiedź, która w zadaniu zamkniętym zwykle stoi wśród dystraktorów, bo autorzy arkuszy dokładnie tej pomyłki się spodziewają.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 8 z działu Procenty](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-08)
- [Zadanie 4 z działu Procenty](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2018-04)
- [Zadanie 4 z działu Procenty](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2020-04)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć cenę po podwyżce o dany procent?
Pomnóż cenę początkową przez mnożnik równy jeden plus procent podzielony przez sto. Podwyżka o dwanaście procent z 250 złotych to 250 razy 1,12, czyli 280 złotych. Obniżka działa tak samo, tylko mnożnik jest mniejszy od jedynki.

### Jak obliczyć cenę sprzed obniżki?
Podziel cenę po obniżce przez mnożnik. Cena 850 złotych po obniżce o piętnaście procent oznacza, że przed obniżką rower kosztował 850 podzielone przez 0,85, czyli 1000 złotych. Dodawanie piętnastu procent do 850 daje wynik błędny, bo procent liczyłby się wtedy od mniejszej podstawy.

### Czym różni się punkt procentowy od procentu?
Punkt procentowy to zwykła różnica dwóch wartości wyrażonych w procentach, a procent to zmiana odniesiona do wartości początkowej. Wzrost z ośmiu procent do dwunastu to cztery punkty procentowe i jednocześnie pięćdziesiąt procent. Treść zadania zawsze mówi, o którą z tych liczb pyta.

### Jak liczyć procent składany z kapitalizacją kwartalną?
Roczną stopę podziel przez cztery, a wykładnik pomnóż przez cztery. Tysiąc złotych przy pięciu procentach w skali roku i kapitalizacji kwartalnej rośnie po trzech latach do kwoty równej tysiąc razy 1,0125 do potęgi dwunastej, czyli około 1160,75.

### Jak przeliczyć kwotę netto na brutto i odwrotnie?
Netto na brutto to mnożenie przez jeden plus stawka podzielona przez sto, a brutto na netto to dzielenie przez ten sam mnożnik. Przy stawce dwadzieścia trzy procent tysiąc złotych netto daje 1230 złotych brutto, a tysiąc złotych brutto daje netto około 813,01.

### Czy wzór na procent składany jest w tablicach maturalnych?
Tak, karta wzorów CKE podaje wzór na kapitał po n okresach kapitalizacji. Nie ma tam natomiast gotowego zapisu na kapitalizację częstszą niż raz w roku, więc podział stopy przez liczbę okresów i pomnożenie wykładnika trzeba wykonać samodzielnie.


---
route: /narzedzia/kalkulator-trygonometryczny
title: Kalkulator trygonometryczny: sin, cos, tg dla kąta
description: Wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta, dokładne dla 30, 45 i 60 stopni. Wzory redukcyjne i jedynka trygonometryczna krok po kroku.
---

# Kalkulator trygonometryczny: sin, cos, tg, ctg

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni trzeba znać na pamięć, bo do nich sprowadza się każdy inny kąt tablicowy. Wzór redukcyjny sprowadza kąt do pierwszej ćwiartki, a znak bierze się z ćwiartki, w której kąt leży. Kalkulator wyżej podaje sinus, cosinus, tangens i cotangens naraz, w postaci dokładnej i dziesiętnej.

## Wzór

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \quad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

## Jak to policzyć

1. **Sprowadź kąt do przedziału od 0 do 360 stopni** - Funkcje trygonometryczne są okresowe, więc kąt 750 stopni ma dokładnie te same wartości co kąt 30 stopni, bo różnią się o dwa pełne obroty. Odejmij albo dodaj tyle razy 360 stopni, ile trzeba, żeby zostać w jednym obrocie. Dopiero na takim kącie mają sens dalsze wzory, a rysunek w układzie współrzędnych przestaje być zgadywanką.
2. **Ustal ćwiartkę i kąt odniesienia** - Kąt odniesienia to kąt ostry między ramieniem końcowym a osią poziomą. Dla drugiej ćwiartki jest to 180 stopni minus kąt, dla trzeciej kąt minus 180 stopni, dla czwartej 360 stopni minus kąt. Ćwiartka nie zmienia wartości bezwzględnej wyniku, rozstrzyga wyłącznie o jego znaku, i to jest cała treść wzorów redukcyjnych.
3. **Odczytaj wartość dla kąta odniesienia** - Jeśli kąt odniesienia to 0, 30, 45, 60 albo 90 stopni, wartość jest dokładna i stoi w tablicach maturalnych. Sinus rośnie od zera do jedynki, cosinus maleje od jedynki do zera, a ich wartości dla 30 i 60 stopni są zamienione miejscami. Kąt spoza tej listy da wyłącznie przybliżenie dziesiętne.
4. **Dopisz znak i policz tangens z ilorazu** - Znak weź z ćwiartki: w pierwszej wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus. Tangens to iloraz sinusa przez cosinus, a cotangens iloraz odwrotny, więc nie trzeba pamiętać ich osobno. Na koniec sprawdź wynik jedynką trygonometryczną.

## Cztery funkcje i dwie definicje tego samego

W trójkącie prostokątnym sinus kąta ostrego to iloraz przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta przez przeciwprostokątną, cosinus to iloraz przyprostokątnej przyległej przez przeciwprostokątną, a tangens iloraz obu przyprostokątnych. Ta definicja obsługuje wyłącznie kąty ostre, bo w trójkącie prostokątnym innych po prostu nie ma.

Druga definicja, przez współrzędne punktu na okręgu o promieniu jeden, obejmuje każdy kąt: sinus to druga współrzędna tego punktu, cosinus pierwsza. Obie definicje dają dla kątów ostrych identyczne liczby, więc to nie są dwa różne sinusy. Arkusz maturalny korzysta z pierwszej w zadaniach o trójkątach i z drugiej wszędzie tam, gdzie pojawia się kąt rozwarty albo ćwiartka układu współrzędnych. Zadania o kącie rozwartym rozpoznasz po zwrocie o kącie zaznaczonym w kartezjańskim układzie współrzędnych.

**Wartości, które trzeba znać na pamięć. Pełna tablica od 0 do 360 stopni stoi pod linkiem niżej.**

| Kąt | sin | cos | tg | ctg |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0° | 0 | 1 | 0 | nie istnieje |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | 1 | 0 | nie istnieje | 0 |

## Wzory redukcyjne bez uczenia się całej tabeli

Wzorów redukcyjnych jest kilkanaście, ale zapamiętać trzeba dwie rzeczy zamiast całej listy. Po pierwsze, przy kątach zapisanych jako 180 stopni plus lub minus kąt oraz 360 stopni minus kąt nazwa funkcji zostaje bez zmian, a przy kątach zapisanych przez 90 albo 270 stopni zamienia się na kofunkcję, czyli sinus na cosinus i tangens na cotangens. Po drugie, znak bierze się z ćwiartki, w której leży kąt wyjściowy.

Stąd bierze się cały rachunek dla kąta 150 stopni: to jest 180 stopni minus 30 stopni, więc nazwa funkcji zostaje, kąt leży w drugiej ćwiartce, gdzie dodatni jest tylko sinus, i dlatego cosinus tego kąta jest liczbą przeciwną do cosinusa kąta 30 stopni. Kalkulator wyżej rozpisuje to podstawienie w krokach, a komplet wzorów razem z tabelą znaków znajdziesz na stronie o wzorach redukcyjnych.

## Jedynka trygonometryczna w zadaniach CKE

Najczęstsze zadanie z tego działu podaje jedną wartość, na przykład cosinus kąta ostrego równy 24 przez 25, i pyta o drugą albo o wartość wyrażenia zbudowanego z obu. Rozwiązanie zaczyna się zawsze od jedynki trygonometrycznej: suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden, więc kwadrat brakującej wartości wychodzi przez odjęcie. Zostaje pierwiastek, a wraz z nim decyzja o znaku.

Tu leży punkt, który przepada najczęściej. Jeśli treść mówi o kącie ostrym, obie funkcje są dodatnie i pierwiastek bierzemy ze znakiem plus. Jeśli treść mówi o kącie rozwartym, sinus zostaje dodatni, ale cosinus i tangens są ujemne, więc znak trzeba zmienić ręcznie. Rozpisane przykłady z arkuszy z ostatnich lat znajdziesz we wpisie o trygonometrii na maturze, a pełną tablicę wartości na stronie tabeli trygonometrycznej.

> Odpowiedź z pierwiastkiem, na przykład cosinus kąta 150 stopni równy minus pierwiastek z trzech przez dwa, jest na arkuszu punktowana, a jej przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator podaje obie postacie po to, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu.

## Pułapki maturalne

- **Znak bierze się z ćwiartki, a nie z tablic** - Tablice maturalne podają wartości wyłącznie dla kątów od 0 do 90 stopni, czyli same liczby nieujemne. Dla kąta rozwartego albo kąta z trzeciej ćwiartki trzeba dopisać znak samodzielnie, wprost z rysunku albo z zasady ćwiartek. Przepisanie liczby z tablic bez zmiany znaku to najczęstszy błąd w tym dziale i kosztuje cały punkt, mimo że wartość bezwzględna wyniku jest poprawna.
- **Tangens 90 stopni i cotangens 0 stopni nie istnieją** - Tangens to iloraz sinusa przez cosinus, a cosinus kąta 90 stopni jest równy zeru, więc dzielenie nie ma sensu. Kalkulator programowy, na komputerze albo w przeglądarce, pokazuje tu zwykle ogromną liczbę rzędu 10 do szesnastej, bo liczy na przybliżeniu liczby pi, i uczy w ten sposób błędu. Poprawna odpowiedź brzmi: wartość nie istnieje. To samo dotyczy cotangensa dla kątów 0 i 180 stopni.
- **Sinus nie wyznacza kąta jednoznacznie** - Z równości mówiącej, że sinus kąta jest równy jednej drugiej, nie wynika, że kąt ma 30 stopni. W przedziale od 0 do 180 stopni pasuje także kąt 150 stopni, bo sinus przyjmuje te same wartości w pierwszej i drugiej ćwiartce. Jeśli zadanie nie mówi wprost, że kąt jest ostry, trzeba podać oba rozwiązania. Cosinus takiej dwuznaczności nie ma, bo maleje na całym tym przedziale.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 20 z działu Trygonometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2025-25)
- [Zadanie 19 z działu Trygonometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2023-23)
- [Zadanie 18 z działu Trygonometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-23)

## Najczęściej zadawane pytania

### Ile wynosi sin 30 stopni?
Sinus kąta 30 stopni jest równy jednej drugiej, czyli 0,5. To jedna z pięciu wartości, które trzeba znać na pamięć. Cosinus tego samego kąta to pierwiastek z trzech przez dwa, w przybliżeniu 0,866.

### Jak obliczyć cos 150 stopni?
Kąt 150 stopni zapisujemy jako 180 stopni minus 30 stopni. Wzór redukcyjny zostawia nazwę funkcji bez zmian, a ponieważ kąt leży w drugiej ćwiartce, cosinus jest ujemny. Wynik to liczba przeciwna do cosinusa kąta 30 stopni, czyli minus pierwiastek z trzech przez dwa.

### Dlaczego tangens 90 stopni nie istnieje?
Tangens jest zdefiniowany jako iloraz sinusa przez cosinus, a cosinus kąta 90 stopni jest równy zeru. Dzielenie przez zero nie jest wykonalne, więc tangens tego kąta nie ma wartości. Tak samo cotangens nie istnieje dla kątów 0 i 180 stopni, bo tam zeruje się sinus.

### Jak zamienić stopnie na radiany?
Kąt pełny to 360 stopni albo dwa pi radianów, więc 180 stopni odpowiada pi radianom. Żeby przejść ze stopni na radiany, mnożymy przez pi i dzielimy przez 180. Kąt 30 stopni to pi przez sześć, a 45 stopni to pi przez cztery. Kalkulator wyżej przyjmuje oba zapisy.

### Czy na maturze można korzystać z kalkulatora trygonometrycznego?
Na egzaminie maturalnym z matematyki dozwolony jest wyłącznie kalkulator prosty, bez funkcji trygonometrycznych. Wartości odczytuje się z tablic dołączonych do arkusza, a wynik zapisuje w postaci dokładnej. Dlatego to narzędzie pokazuje każde podstawienie: służy do sprawdzenia własnego rachunku, a nie do zastąpienia go.


---
route: /narzedzia/kalkulator-trojkata
title: Kalkulator trójkąta: boki i kąty, wzór Herona
description: Podaj trzy dane, a policzymy resztę boków i kątów twierdzeniem sinusów lub cosinusów. Pole ze wzoru Herona, klasyfikacja trójkąta i rysunek.
---

# Kalkulator trójkąta: boki, kąty, pole

Trójkąt wyznaczają trzy dane: trzy boki, dwa boki z kątem leżącym między nimi albo bok z dwoma kątami do niego przyległymi. Brakujące elementy liczy się twierdzeniem cosinusów albo sinusów, a pole wzorem Herona lub przez połowę iloczynu dwóch boków i sinusa kąta. Kalkulator wyżej robi to naraz i pokazuje każde podstawienie.

## Wzór

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$

## Jak to policzyć

1. **Sprawdź, które trzy dane masz** - Trójkąt jest wyznaczony jednoznacznie przez trzy boki, przez dwa boki z kątem leżącym między nimi albo przez jeden bok i dwa kąty do niego przyległe. Dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich to układ inny: bywa, że pasują do niego dwa różne trójkąty, więc na poziomie podstawowym się go nie stosuje i kalkulator też go nie ma.
2. **Sprawdź warunek istnienia** - Przy trzech bokach musi zachodzić nierówność trójkąta, czyli najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Przy dwóch kątach ich suma musi być mniejsza od kąta półpełnego, bo na trzeci kąt również musi zostać miejsce. Bez tego sprawdzenia dalszy rachunek daje liczby, którym nie odpowiada żaden trójkąt.
3. **Policz brakujące boki i kąty** - Twierdzenie cosinusów wiąże trzy boki z jednym kątem, więc z trzech boków wyznacza każdy kąt, a z dwóch boków i kąta między nimi trzeci bok. Twierdzenie sinusów wiąże bok z kątem leżącym naprzeciw niego i przydaje się wtedy, gdy znasz już dwa kąty. Trzeci kąt zawsze dopełnia sumę miar do kąta półpełnego.
4. **Wyznacz pole i sklasyfikuj trójkąt** - Mając trzy boki, użyj wzoru Herona z połową obwodu. Mając dwa boki i kąt między nimi, policz połowę ich iloczynu pomnożoną przez sinus tego kąta. Na koniec nazwij trójkąt: po bokach jest równoboczny, równoramienny albo różnoboczny, a po kątach ostrokątny, prostokątny albo rozwartokątny.

## Trzy twierdzenia, które wystarczają na maturze

Cała rachunkowa część planimetrii trójkąta stoi na trzech twierdzeniach. Twierdzenie Pitagorasa działa wyłącznie w trójkącie prostokątnym i jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów: dla kąta prostego cosinus wynosi zero, więc człon z iloczynem boków znika. Twierdzenie cosinusów wiąże trzy boki z jednym kątem i dlatego rozwiązuje dwa najczęstsze układy danych: trzy boki oraz dwa boki z kątem między nimi.

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest ten sam dla wszystkich trzech par, a wspólną wartością jest średnica okręgu opisanego. To ostatnie zdanie bywa całym rozwiązaniem zadania o promieniu okręgu opisanego, bo pozwala pominąć rysunek. W zadaniach maturalnych rachunek najczęściej zaczyna się od cosinusów, a kończy sinusami.

## Jak czytać klasyfikację trójkąta

Nazwa trójkąta niesie dwie niezależne informacje i obie bywają punktowane. Podział ze względu na boki daje trójkąt równoboczny, równoramienny albo różnoboczny, a podział ze względu na kąty ostrokątny, prostokątny albo rozwartokątny. Te podziały nie wykluczają się nawzajem: trójkąt równoramienny bywa i ostrokątny, i prostokątny, i rozwartokątny, a równoboczny jest zawsze ostrokątny, bo każdy jego kąt ma 60 stopni.

Rodzaj trójkąta rozstrzyga się bez liczenia kątów. Wystarczy porównać kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych: mniejszy oznacza trójkąt ostrokątny, równy prostokątny, a większy rozwartokątny. Ten test wynika wprost z twierdzenia cosinusów i jest szybszy od liczenia miar, bo nie wymaga funkcji odwrotnych, których na kalkulatorze prostym i tak nie ma.

## Trójkąty o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90

Dwa trójkąty prostokątne wracają w arkuszach tak często, że ich zależności warto znać z pamięci. W trójkącie o kątach 30, 60 i 90 stopni krótsza przyprostokątna to połowa przeciwprostokątnej, a dłuższa to ta połowa pomnożona przez pierwiastek z trzech. W trójkącie o kątach 45, 45 i 90 stopni obie przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna jest od nich pierwiastek z dwóch razy dłuższa.

Te same liczby wychodzą z połowy trójkąta równobocznego i z przekątnej kwadratu, więc nie trzeba ich zapamiętywać osobno. Kalkulator liczy oba przypadki dokładnie, bez przybliżeń dziesiętnych, dzięki czemu widać, że wynik ma postać z pierwiastkiem. Pełne wyprowadzenie razem z zadaniami znajdziesz we wpisie o zależnościach boków w trójkątach o kątach 30, 60, 90 i 45, 45, 90.

**Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi**

$$P = \frac{1}{2} bc \sin\alpha$$

> Pole trójkąta o bokach 5, 6 i 7 to sześć pierwiastków z sześciu, czyli w przybliżeniu 14,7. Na arkuszu punktowana jest postać dokładna, dlatego kalkulator podaje obie i wyraźnie oddziela znak równości od znaku przybliżenia.

## Pułapki maturalne

- **Twierdzenie sinusów gubi kąt rozwarty** - Sinus kąta ostrego i sinus jego dopełnienia do kąta półpełnego mają tę samą wartość, więc z samego sinusa nie wynika, czy kąt jest ostry, czy rozwarty. Kalkulator liczy brakujące kąty twierdzeniem cosinusów właśnie dlatego: cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc rozstrzyga rodzaj kąta jednoznacznie. Licząc ręcznie, sprawdź, czy kąt naprzeciw najdłuższego boku nie wyszedł podejrzanie mały.
- **Wysokość to nie jest ramię trójkąta** - We wzorze na pole z podstawą i wysokością wysokość jest odcinkiem prostopadłym do podstawy, a nie bokiem trójkąta. W trójkącie rozwartokątnym spodek wysokości leży poza podstawą, więc rysunek bywa mylący. Podstawienie ramienia zamiast wysokości to najczęstszy błąd w tym dziale i nie daje ani jednego punktu, mimo że dalszy rachunek jest poprawny.
- **Zaokrąglony wynik pośredni psuje wynik końcowy** - Jeżeli kąt wyszedł niewymierny i zapiszesz go z dokładnością do dwóch miejsc, a potem podstawisz to przybliżenie do wzoru na pole, wynik potrafi się rozjechać na drugim miejscu po przecinku. Rachunek prowadzi się na wartościach dokładnych do samego końca, a zaokrągla dopiero odpowiedź, i to tylko wtedy, gdy polecenie o przybliżenie prosi.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 23 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-26)
- [Zadanie 9 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-09)
- [Zadanie 22 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2025-29)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć bok trójkąta z twierdzenia cosinusów?
Kwadrat szukanego boku to suma kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszona o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi. Dla boków 4 i 6 oraz kąta 60 stopni wychodzi 16 plus 36 minus 24, czyli 28, więc bok równa się dwa pierwiastki z siedmiu.

### Kiedy używa się twierdzenia sinusów, a kiedy cosinusów?
Twierdzenie sinusów stosuje się wtedy, gdy w zadaniu występuje para: bok i kąt leżący naprzeciw niego. Twierdzenie cosinusów wtedy, gdy dane są trzy boki albo dwa boki i kąt między nimi. W praktyce cosinusy zaczynają rachunek, a sinusy go domykają.

### Jak sprawdzić, czy z trzech odcinków da się zbudować trójkąt?
Suma dwóch krótszych odcinków musi być większa od najdłuższego. Dla długości 1, 2 i 3 suma dwóch krótszych jest równa trzeciemu, więc powstaje odcinek, a nie trójkąt. Warunek wystarczy sprawdzić dla najdłuższego boku, bo dla pozostałych zachodzi wtedy sam z siebie.

### Jak policzyć pole trójkąta, gdy znasz tylko trzy boki?
Wzorem Herona: policz połowę obwodu, odejmij od niej po kolei każdy bok, pomnóż cztery otrzymane liczby i wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Dla boków 3, 4 i 5 połowa obwodu to 6, iloczyn czterech czynników to 36, a pole równa się 6.

### Czy kalkulator trójkąta zastępuje tablice maturalne?
Nie. Na egzaminie masz tablice ze wzorami i kalkulator prosty, który nie liczy funkcji trygonometrycznych. To narzędzie służy do sprawdzenia własnego rachunku po rozwiązaniu zadania i do zobaczenia pełnego podstawienia, a nie do liczenia w trakcie egzaminu.


---
route: /narzedzia/kalkulator-pol-figur
title: Kalkulator pola figur: trójkąt, czworokąt, koło
description: Pola i obwody figur płaskich w jednym narzędziu: trójkąt, kwadrat, prostokąt, romb, trapez, równoległobok, koło i wielokąt foremny. Ze wzorem.
---

# Kalkulator pól i obwodów figur

Pole figury płaskiej liczy się z wymiarów, które ją wyznaczają: boku, przekątnych, podstawy z wysokością albo promienia. Obwód to długość brzegu, więc czasem wynika z tych samych danych, a czasem trzeba dołożyć kolejne. Kalkulator wyżej obsługuje osiem figur, pokazuje wzór, całe podstawienie i wynik w postaci dokładnej.

## Wzór

$$P = \frac{a + b}{2} \cdot h, \quad P = \pi r^2$$

## Jak to policzyć

1. **Nazwij figurę i wypisz dane** - Zacznij od rozstrzygnięcia, co dokładnie masz: prostokąt czy równoległobok, romb czy kwadrat, koło czy okrąg. Nazwa figury wybiera wzór, a wypisane dane rozstrzygają, czy tego wzoru da się użyć wprost, czy trzeba najpierw wyznaczyć brakujący wymiar z twierdzenia Pitagorasa albo z trygonometrii.
2. **Wybierz wzór pasujący do danych** - Ta sama figura ma zwykle kilka wzorów na pole i różnią się one danymi, a nie wynikiem. Pole rombu policzysz z przekątnych albo z boku i wysokości, a pole trójkąta z podstawy z wysokością, ze wzoru Herona albo z dwóch boków i kąta między nimi. Wybierz ten wzór, do którego masz komplet liczb.
3. **Podstaw i pilnuj jednostek** - Wszystkie wymiary muszą być wyrażone w tej samej jednostce, zanim cokolwiek pomnożysz. Pole wychodzi w jednostkach kwadratowych, a obwód w liniowych, więc odpowiedź bez jednostki albo z jednostką liniową przy polu nie dostaje pełnej punktacji, nawet gdy sama liczba jest poprawna.
4. **Sprawdź, czy obwód wynika z danych** - Obwód kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku i koła wynika z tych samych danych, co pole. Obwód trójkąta z podstawy i wysokości oraz obwód trapezu z podstaw i wysokości nie wynikają, bo tych samych danych ma nieskończenie wiele różnych figur. Wtedy potrzebne są długości pozostałych boków.

## Czworokąty i wzory, które je odróżniają

Czworokąty maturalne tworzą drabinę: trapez ma jedną parę boków równoległych, równoległobok dwie, romb to równoległobok o równych bokach, prostokąt to równoległobok o kątach prostych, a kwadrat ma jedno i drugie. Każdy szczebel dziedziczy wzory z poprzedniego, więc pole rombu można policzyć wzorem równoległoboku, a pole kwadratu wzorem rombu z przekątnych.

Warto pamiętać o dwóch wzorach, które działają tylko wyżej na drabinie. Pole z połowy iloczynu przekątnych wymaga, żeby przekątne przecinały się pod kątem prostym, co zachodzi w rombie i w kwadracie, ale nie w każdym równoległoboku. Obwód z podwojonej sumy dwóch sąsiednich boków wymaga równoległoboku i w trapezie nie działa. Więcej przykładów zebraliśmy we wpisie o planimetrii na maturze.

## Koło i okrąg to nie to samo

Okrąg jest linią, czyli zbiorem punktów odległych od środka o promień, a koło jest obszarem, czyli okręgiem razem z jego wnętrzem. Dlatego mówi się o długości okręgu i o polu koła, a nie odwrotnie, i dlatego zadanie o obwodzie figury złożonej z odcinków i łuku wymaga długości łuku, a nie pola wycinka.

Oba wzory zawierają liczbę pi i to ona decyduje o postaci odpowiedzi. Pole koła o promieniu 3 wynosi dokładnie dziewięć pi, a nie 28,27, i właśnie ten zapis jest na arkuszu punktowany. Przybliżenie dziesiętne podaje się tylko wtedy, gdy polecenie prosi o wynik z określoną dokładnością. Kalkulator pokazuje obie postacie i oddziela je znakiem przybliżenia.

## Wielokąt foremny na maturze

Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe, więc daje się wpisać w okrąg i opisać na okręgu. Kąt wewnętrzny wielokąta o n bokach ma miarę równą sumie kątów podzielonej przez n, a kąt środkowy oparty na jednym boku ma miarę pełnego kąta podzieloną przez n. Te dwie miary sumują się do kąta półpełnego i ta obserwacja rozwiązuje większość zadań zamkniętych z tego tematu.

Pole liczy się przez podział na n przystających trójkątów równoramiennych o wspólnym wierzchołku w środku okręgu opisanego. Dla trójkąta, kwadratu i sześciokąta foremnego wynik ma postać dokładną z pierwiastkiem z trzech albo bez pierwiastka, i takich właśnie wielokątów dotyczą zadania maturalne. Ośmiokąt i dwunastokąt też mają wzory dokładne, tyle że dwuczłonowe: pole ośmiokąta to kwadrat boku pomnożony przez dwa plus dwa pierwiastki z dwóch, a pole dwunastokąta kwadrat boku pomnożony przez sześć plus trzy pierwiastki z trzech. Kalkulator zapisuje wartość dokładną jako jeden człon postaci liczba razy pierwiastek, więc sumy części wymiernej i niewymiernej nie uniesie i podaje przybliżenie. Przy pięciokącie i dziesięciokącie dochodzi jeszcze pierwiastek pod pierwiastkiem, którego ten zapis też nie obejmuje.

**Pole rombu z przekątnych i pole koła**

$$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, \quad P = \pi r^2$$

> Wysokość równoległoboku nie może być dłuższa od boku, na który ją opuszczono z sąsiedniego wierzchołka: wysokość jest przyprostokątną, a bok przeciwprostokątną tego samego trójkąta prostokątnego. Kalkulator odrzuca takie dane, zamiast liczyć pole figury, która nie istnieje.

## Pułapki maturalne

- **Wysokość trapezu to nie ramię** - W trapezie prostokątnym jedno ramię jest jednocześnie wysokością i stąd bierze się przyzwyczajenie, które w trapezie równoramiennym daje wynik zawyżony. Wysokość zawsze jest odcinkiem prostopadłym do obu podstaw. Gdy w zadaniu podane jest ramię i kąt przy podstawie, wysokość trzeba najpierw wyliczyć z sinusa tego kąta.
- **Pole z liczbą pi zostaje z liczbą pi** - Zamiana dziewięciu pi na 28,27 w połowie rozwiązania sprawia, że wszystkie kolejne wyniki są przybliżeniami, a ostatni bywa już poza tolerancją oceniającego. Liczbę pi traktuje się jak zwykły symbol i przenosi przez cały rachunek. Zaokrągla się dopiero odpowiedź i tylko wtedy, gdy polecenie tego wymaga.
- **Skala pola to kwadrat skali podobieństwa** - Jeżeli figury są podobne w skali k, to ich obwody są w stosunku k, ale pola w stosunku k do kwadratu. Zadania z arkuszy lubią właśnie ten przeskok: podają skalę i pole jednej figury, a pytają o pole drugiej. Pomnożenie pola przez samą skalę zamiast przez jej kwadrat to błąd, który wygląda jak rachunkowy, a jest merytoryczny.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 21 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-24)
- [Zadanie 20 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-23)
- [Zadanie 25 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2023-29)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć pole rombu?
Najprościej z przekątnych: pole to połowa ich iloczynu. Dla przekątnych 8 i 6 wychodzi 24. Jeżeli zamiast przekątnych masz bok i wysokość, użyj wzoru dla równoległoboku, czyli pomnóż bok przez wysokość opuszczoną na ten bok.

### Jak obliczyć pole trapezu?
Dodaj obie podstawy, podziel sumę przez dwa i pomnóż przez wysokość. Dla podstaw 10 i 6 oraz wysokości 4 wychodzi 32. Wysokość musi być odcinkiem prostopadłym do podstaw, a nie ramieniem trapezu.

### Ile wynosi pole koła o promieniu 3?
Dokładnie dziewięć pi, czyli w przybliżeniu 28,27. Długość okręgu o tym samym promieniu to sześć pi, czyli około 18,85. W odpowiedzi zapisuje się postać z liczbą pi, chyba że polecenie prosi o przybliżenie.

### Dlaczego obwodu trójkąta nie da się policzyć z pola?
Bo to samo pole ma nieskończenie wiele trójkątów o różnych bokach. Podstawa i wysokość wyznaczają pole, ale nie wyznaczają pozostałych dwóch boków. Obwód policzysz dopiero z trzech boków albo z dwóch boków i kąta między nimi.

### Które wzory na pole są w tablicach maturalnych?
Tablice CKE zawierają wzory na pole trójkąta, w tym wzór Herona i wzór z sinusem kąta, oraz pola czworokątów, koła i wycinka koła. Nie ma tam gotowego wzoru na pole wielokąta foremnego, więc ten przypadek rozwiązuje się przez podział na trójkąty.


---
route: /narzedzia/kalkulator-objetosci-bryl
title: Kalkulator objętości brył: walec, stożek, ostrosłup
description: Objętość i pole powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli. Wzory maturalne, rysunek bryły i obliczenia krok po kroku.
---

# Kalkulator objętości i pola powierzchni brył

Objętość graniastosłupa i walca liczy się jako pole podstawy razy wysokość, a objętość ostrosłupa i stożka jako jedna trzecia tego samego iloczynu. W tych czterech bryłach pole całkowite to pole podstaw plus pole boczne, a kula ma własny wzór. Kalkulator wyżej liczy obie wielkości dla siedmiu brył, podaje wynik dokładny i rysuje bryłę.

## Wzór

$$V = P_p \cdot H \quad \text{oraz} \quad V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$$

## Jak to policzyć

1. **Rozpoznaj bryłę i wypisz dane** - Zacznij od nazwy bryły, bo od niej zależy komplet wzorów. Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny i krawędzie boczne prostopadłe do podstawy, ostrosłup prawidłowy ma wierzchołek nad środkiem podstawy, a walec, stożek i kula powstają z obrotu figury płaskiej. Wypisz osobno wymiary podstawy i wysokość bryły, bo w treści zadania prawie zawsze stoją one w różnych zdaniach.
2. **Policz pole podstawy** - Podstawa graniastosłupa i ostrosłupa prawidłowego to wielokąt foremny, więc jej pole liczy się ze wzoru na pole tego wielokąta. Trójkąt równoboczny o boku a ma pole równe iloczynowi kwadratu boku i pierwiastka z trzech podzielonemu przez cztery, kwadrat pole równe kwadratowi boku, a sześciokąt foremny pole sześciu takich trójkątów. Podstawą walca i stożka jest koło, więc jej pole to iloczyn liczby pi i kwadratu promienia.
3. **Podstaw do wzoru na objętość** - Graniastosłup i walec mają objętość równą iloczynowi pola podstawy i wysokości bryły. Ostrosłup i stożek o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości mają objętość trzy razy mniejszą, czyli z czynnikiem jedna trzecia. Kula ma własny wzór, w którym występuje trzecia potęga promienia. Wysokość podstawiaj tę mierzoną prostopadle do podstawy, a nie długość krawędzi bocznej.
4. **Dolicz pole boczne i całkowite** - Pole boczne graniastosłupa to obwód podstawy razy wysokość, pole boczne walca to obwód koła razy wysokość, a pole boczne ostrosłupa to suma pól ścian, czyli połowa obwodu podstawy razy wysokość ściany bocznej. Tę ostatnią wyznaczasz z twierdzenia Pitagorasa. Pole całkowite to pole boczne powiększone o jedną podstawę w ostrosłupie i stożku, a o dwie w graniastosłupie i walcu.

## Skąd w wynikach biorą się pierwiastki

Pierwiastek z trzech pojawia się w stereometrii zawsze z tego samego powodu: z trójkąta równobocznego. Jego wysokość to bok pomnożony przez pierwiastek z trzech i podzielony przez dwa, więc każda bryła, której podstawa zawiera trójkąt równoboczny, wnosi ten pierwiastek do wyniku. Dotyczy to graniastosłupa i ostrosłupa prawidłowego trójkątnego oraz sześciokątnego, bo sześciokąt foremny rozpada się na sześć trójkątów równobocznych o boku równym bokowi sześciokąta.

Drugie źródło to przekątne. Przekątna kwadratu o boku a ma długość a razy pierwiastek z dwóch, a przekątna sześcianu a razy pierwiastek z trzech. Właśnie dlatego kalkulator podaje wynik w postaci dokładnej, a przybliżenie dziesiętne dopisuje dopiero obok: na arkuszu punktowana jest postać z pierwiastkiem, bo tylko ona jest wartością ścisłą.

## Trójkąty prostokątne ukryte w bryle

Prawie każde zadanie ze stereometrii sprowadza się do znalezienia właściwego trójkąta prostokątnego i użycia w nim twierdzenia Pitagorasa albo funkcji trygonometrycznej kąta ostrego. W ostrosłupie prawidłowym pierwszy taki trójkąt tworzą wysokość bryły, odcinek od środka podstawy do środka boku podstawy i wysokość ściany bocznej. Drugi tworzą wysokość bryły, promień okręgu opisanego na podstawie i krawędź boczna.

W stożku ten sam schemat daje związek między promieniem podstawy, wysokością i tworzącą, a w sześcianie trójkąt zbudowany z krawędzi, przekątnej ściany i przekątnej bryły. Rysunek jest tu częścią rozwiązania, a nie ozdobą, dlatego kalkulator rysuje schemat bryły razem z wynikiem. Więcej takich układów opisuje wpis o bryłach, objętościach i kątach w stereometrii.

## Bryły obrotowe i przekrój osiowy

Walec, stożek i kula są bryłami obrotowymi, czyli powstają z obrotu figury płaskiej dookoła prostej. Prostokąt obracany wokół boku daje walec, trójkąt prostokątny obracany wokół przyprostokątnej daje stożek, a półkole obracane wokół średnicy daje kulę. To rozpoznanie bywa całym zadaniem zamkniętym, bo z niego wynikają wszystkie wymiary bryły.

Drugim stałym motywem jest przekrój osiowy, czyli przekrój płaszczyzną przechodzącą przez oś obrotu. Dla walca jest to prostokąt o bokach równych średnicy i wysokości, dla stożka trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej, a dla kuli koło wielkie o promieniu równym promieniowi kuli. Zadania podają wymiary właśnie przez ten przekrój, więc warto umieć przechodzić w obie strony. Rozpisane przykłady znajdziesz we wpisach o bryłach obrotowych i o przekrojach brył płaszczyzną.

> Wynik z liczbą pi zostaw w postaci dokładnej. Objętość kuli o promieniu 3 zapisuje się jako 36 pi, a nie jako 113,1, bo zaokrąglenie nie jest wartością tej objętości i na arkuszu nie dostaje pełnej punktacji.

## Pułapki maturalne

- **Wysokość bryły to nie jest wysokość ściany bocznej** - W ostrosłupie prawidłowym wysokość bryły łączy wierzchołek ze środkiem podstawy, a wysokość ściany bocznej ze środkiem krawędzi podstawy. Ta druga jest zawsze dłuższa i to ona wchodzi do wzoru na pole boczne, podczas gdy do wzoru na objętość wchodzi ta pierwsza. Zamiana tych dwóch odcinków miejscami jest najczęstszym błędem w całym dziale i psuje jednocześnie objętość i pole.
- **Czynnik jedna trzecia dotyczy ostrosłupa i stożka** - Graniastosłup i walec mają objętość równą iloczynowi pola podstawy i wysokości, bez żadnego dodatkowego czynnika. Jedna trzecia pojawia się wyłącznie przy bryłach zakończonych wierzchołkiem, czyli przy ostrosłupie i stożku. Dopisanie jej do graniastosłupa albo pominięcie w ostrosłupie zmienia wynik trzykrotnie, a zadania zamknięte często stawiają obie wartości w tym samym zestawie odpowiedzi.
- **Pole całkowite ostrosłupa ma jedną podstawę, nie dwie** - Graniastosłup i walec mają dwie podstawy, więc ich pole całkowite zawiera podwojone pole podstawy. Ostrosłup i stożek mają jedną podstawę i pole całkowite jest sumą pola bocznego oraz jednego pola podstawy. Przepisanie wzoru z graniastosłupa na ostrosłup daje wynik zawyżony dokładnie o pole podstawy i wygląda przy tym na poprawnie policzony.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 25 z działu Stereometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-28)
- [Zadanie 28 z działu Stereometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-31)
- [Zadanie 26 z działu Stereometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-33)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć objętość graniastosłupa?
Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości bryły. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 3 i wysokości 5 pole podstawy wynosi 9, więc objętość jest równa 45. Wysokość mierzy się prostopadle do podstawy.

### Jaki jest wzór na objętość ostrosłupa?
Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości bryły. Ostrosłup o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości co graniastosłup ma więc objętość trzy razy mniejszą. Wysokość to odcinek od wierzchołka do płaszczyzny podstawy, a nie krawędź boczna.

### Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka?
Pole całkowite stożka to suma pola koła w podstawie i pola powierzchni bocznej, czyli iloczynu liczby pi, promienia i tworzącej. Tworzącą wyznaczasz z twierdzenia Pitagorasa z promienia i wysokości. Dla promienia 3 i wysokości 4 tworząca wynosi 5, a pole całkowite 24 pi.

### Jak obliczyć objętość kuli?
Objętość kuli to cztery trzecie iloczynu liczby pi i trzeciej potęgi promienia. Dla promienia 3 wychodzi 36 pi, czyli około 113,1. Pole powierzchni kuli to cztery razy iloczyn liczby pi i kwadratu promienia i dla tego samego promienia również wynosi 36 pi.

### Czy wzory na objętość brył są w tablicach maturalnych?
Tak, karta wzorów wydawana na egzaminie zawiera objętości i pola powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli. Tablice nie podpowiadają jednak, który odcinek jest wysokością bryły, a który wysokością ściany bocznej, i to właśnie rozstrzygnięcie jest punktowane.

### Ile ścian ma graniastosłup prawidłowy sześciokątny?
Osiem: dwie podstawy będące sześciokątami foremnymi i sześć prostokątnych ścian bocznych. Krawędzi ma osiemnaście, a wierzchołków dwanaście. Zadania zamknięte lubią pytać o te liczby dla podstawy o n bokach, gdzie ścian jest n plus dwa, krawędzi trzy n, a wierzchołków dwa n.


---
route: /narzedzia/kalkulator-geometrii-analitycznej
title: Kalkulator odległości punktów, prostej i okręgu
description: Odległość dwóch punktów, środek odcinka, równanie prostej przez dwa punkty, równanie okręgu, pole trójkąta i prosta prostopadła do danej. Sześć trybów.
---

# Kalkulator geometrii analitycznej

Geometria analityczna opisuje figury współrzędnymi, więc pytanie o odległość, środek odcinka czy równanie prostej sprowadza się zawsze do jednego wzoru z tablic. Odległość wychodzi z twierdzenia Pitagorasa, środek odcinka ze średniej arytmetycznej współrzędnych, a równanie okręgu z kwadratu promienia. Kalkulator wyżej liczy te wielkości i pokazuje każde podstawienie.

## Wzór

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

## Jak to policzyć

1. **Wypisz współrzędne i nazwij punkty** - Zanim policzysz cokolwiek, przepisz z treści wszystkie pary liczb i przypisz je do liter. Punkt A ma współrzędne x₁ oraz y₁, punkt B odpowiednio x₂ oraz y₂. Kolejność liter nie wpływa na odległość ani na środek odcinka, ale wpływa na znak współczynnika kierunkowego, jeśli w liczniku i mianowniku odejmiesz je odwrotnie.
2. **Wybierz wzór odpowiedni do pytania** - Odległość dwóch punktów liczy się z pierwiastka z sumy kwadratów różnic współrzędnych. Środek odcinka to para średnich arytmetycznych. Współczynnik kierunkowy prostej to iloraz różnicy drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Równanie okręgu bierze środek i promień. Wszystkie cztery wzory stoją w tablicach maturalnych i wolno z nich korzystać na egzaminie.
3. **Podstawiaj ujemne liczby w nawiasach** - Współrzędne w zadaniach z geometrii analitycznej bywają ujemne prawie zawsze i to na nich giną punkty. Zapis różnicy bez nawiasu zmienia znak całego wyrażenia, a kwadrat ujemnej liczby bez nawiasu czyta się jak liczba przeciwna do kwadratu. Kalkulator pokazuje w krokach każdą liczbę ujemną w nawiasie, żeby było widać, gdzie ten nawias musi stanąć.
4. **Sprawdź wynik na szkicu** - Narysuj układ współrzędnych i zaznacz punkty z zadania nawet wtedy, gdy polecenie o rysunek nie prosi. Odległość ma być liczbą dodatnią, środek odcinka ma leżeć między końcami, a prosta rosnąca ma iść w górę. Rysunek nie zastępuje rachunku, ale wyłapuje pomyłkę o znak szybciej niż powtórne liczenie.

## Odległość i środek odcinka: dwa wzory, z których wynika reszta

Wzór na odległość punktów to twierdzenie Pitagorasa zapisane współrzędnymi. Różnica pierwszych współrzędnych to długość poziomej przyprostokątnej, różnica drugich to pionowa, a odległość punktów jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Dlatego znak różnicy nie ma znaczenia: obie liczby i tak trafiają pod kwadrat.

Ze wzoru na odległość biorą się prawie wszystkie dalsze rachunki tego działu. Obwód trójkąta o danych wierzchołkach to suma trzech odległości. Sprawdzenie, czy trójkąt jest równoramienny, to porównanie dwóch odległości. Promień okręgu opisanego na odcinku jako średnicy to połowa odległości jego końców, a środek tego okręgu to środek odcinka. Kalkulator w trybie środka odcinka podaje naraz środek, długość odcinka, promień oraz równanie okręgu o średnicy AB, bo w zadaniu maturalnym te wielkości prawie nigdy nie występują osobno.

## Prosta w dwóch postaciach i po co każda z nich

Postać kierunkowa y = ax + b pokazuje wprost monotoniczność oraz punkt przecięcia z osią OY, więc to ona odpowiada na pytanie o współczynnik kierunkowy i na pytanie o równoległość albo prostopadłość. Postać ogólna Ax + By + C = 0 obejmuje także proste pionowe i to w niej najczęściej podana bywa prosta w treści zadania, zwłaszcza gdy współczynniki mają być liczbami całkowitymi.

Przejście między postaciami to zwykłe przekształcenie równania, ale kierunek ma znaczenie: każda prosta ma postać ogólną, a postać kierunkową mają tylko te, które nie są pionowe. Kalkulator podaje obie naraz i sprowadza postać ogólną do liczb całkowitych względnie pierwszych, żeby wynik dało się porównać z kluczem odpowiedzi bez przeliczania. Więcej rozpisanych przykładów znajdziesz we wpisie o prostych, okręgach i wektorach.

## Okrąg i jego położenie względem osi układu

Równanie okręgu o środku w punkcie o współrzędnych a oraz b i promieniu r ma postać kanoniczną z dwoma kwadratami nawiasów po lewej stronie i kwadratem promienia po prawej. Znaki w nawiasach są odwrotne do znaków współrzędnych środka, więc środek o drugiej współrzędnej równej -2 daje w równaniu nawias (y + 2). To jest najczęstsza pomyłka w zadaniach zamkniętych z tego tematu.

Drugi stały motyw arkusza to pytanie o liczbę punktów wspólnych okręgu z osią układu. Rozstrzyga je porównanie promienia z odległością środka od tej osi, a odległość od osi poziomej to wartość bezwzględna drugiej współrzędnej środka, nie pierwszej. Promień większy od tej odległości daje dwa punkty wspólne, promień równy daje styczność, a promień mniejszy oznacza brak punktów wspólnych. Kalkulator wypisuje ten wniosek dla obu osi.

## Pole trójkąta ze współrzędnych i test współliniowości

Pole trójkąta o danych wierzchołkach liczy się bez wysokości i bez kątów: wystarczy połowa wartości bezwzględnej wyznacznika zbudowanego z dwóch wektorów wychodzących z tego samego wierzchołka. Wzór działa przy dowolnym położeniu trójkąta w układzie, także wtedy, gdy żaden bok nie jest równoległy do osi, i nie wymaga liczenia długości boków ani rysowania wysokości.

Ten sam wyznacznik odpowiada na drugie stałe pytanie arkusza: czy trzy punkty leżą na jednej prostej. Wyznacznik równy zeru znaczy, że oba wektory są równoległe, więc punkty są współliniowe i trójkąta nie tworzą. Kalkulator liczy wyznacznik na ułamkach dokładnych, a nie na liczbach dziesiętnych, więc trójka punktów bliska współliniowości nie zostanie uznana za współliniową przez samo zaokrąglenie.

## Prosta równoległa i prostopadła do danej prostej

Warunek równoległości i prostopadłości dotyczy współczynników kierunkowych, a nie wyrazów wolnych. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, a prostopadłe taki, którego iloczyn wynosi minus jeden, czyli drugi współczynnik jest odwrotnością pierwszego ze zmienionym znakiem. Wyraz wolny wyznacza się dopiero na końcu, z warunku przejścia przez punkt podany w treści zadania.

Osobno wygląda przypadek prostej poziomej: jej współczynnik kierunkowy jest równy zeru, a iloczyn z zerem nigdy nie da minus jedynki. Prosta prostopadła do poziomej jest więc pionowa i postaci y = ax + b w ogóle nie ma. Kalkulator nazywa ten przypadek wprost i podaje równanie postaci x = c, zamiast dzielić przez zero.

**Warunek prostopadłości i równoległości prostych**

$$k \parallel l \iff a_k = a_l, \qquad k \perp l \iff a_k \cdot a_l = -1$$

> Odległość punktów o współrzędnych całkowitych bywa niewymierna i wtedy odpowiedzią jest liczba z pierwiastkiem, a nie jej przybliżenie dziesiętne. Kalkulator podaje obie postacie, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu.

## Pułapki maturalne

- **Współczynnik kierunkowy liczony w odwrotnej kolejności** - W liczniku wzoru stoi różnica drugich współrzędnych, a w mianowniku różnica pierwszych, i obie muszą być odjęte w tej samej kolejności punktów. Zamiana kolejności tylko w jednym miejscu daje liczbę przeciwną, czyli prostą nachyloną w drugą stronę. Sprawdzenie zajmuje jedną linijkę: podstaw współrzędne drugiego punktu do wyznaczonego wzoru i zobacz, czy równość jest prawdziwa.
- **Znak w nawiasie równania okręgu** - Postać kanoniczna odejmuje współrzędne środka, więc środek o współrzędnej ujemnej daje w nawiasie dodawanie. Okrąg o środku S = (4, -2) ma równanie (x - 4)² + (y + 2)² = r². Odczytanie środka wprost z nawiasów, bez zmiany znaku, to najczęstszy błąd w zadaniach zamkniętych o okręgu.
- **Przybliżenie dziesiętne zamiast wyniku dokładnego** - Odległość, długość boku i promień wychodzą w tym dziale niewymierne bardzo często. Zapis z pierwiastkiem jest wtedy jedyną odpowiedzią punktowaną, a liczba dziesiętna wpisana zamiast niego bywa traktowana jak wynik niedokończony. Przybliżenia używa się wyłącznie do porównań, na przykład do sprawdzenia, który z dwóch boków jest dłuższy.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 23 z działu Geometria analityczna](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2024-29)
- [Zadanie 18 z działu Geometria analityczna](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-22)
- [Zadanie 25 z działu Geometria analityczna](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-28)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych?
Odejmij pierwsze współrzędne, odejmij drugie współrzędne, podnieś obie różnice do kwadratu, dodaj je i wyciągnij pierwiastek. Dla punktów A = (1, 2) i B = (4, 6) różnice wynoszą 3 oraz 4, suma kwadratów to 25, a odległość jest równa 5.

### Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty?
Najpierw policz współczynnik kierunkowy jako iloraz różnicy drugich współrzędnych przez różnicę pierwszych. Potem podstaw współrzędne dowolnego z punktów do wzoru y = ax + b i wylicz wyraz wolny. Gdy obie pierwsze współrzędne są równe, prosta jest pionowa i ma równanie postaci x = c.

### Jak zapisać równanie okręgu o danym środku i promieniu?
Równanie kanoniczne odejmuje od zmiennych współrzędne środka i przyrównuje sumę kwadratów tych nawiasów do kwadratu promienia. Środek S = (4, -2) i promień 2 dają równanie (x - 4)² + (y + 2)² = 4.

### Kiedy proste są równoległe, a kiedy prostopadłe?
Proste nierównoległe do osi pionowej są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Są prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy minus jeden. Prosta prostopadła do poziomej jest pionowa i wzoru postaci y = ax + b nie ma.

### Jak policzyć pole trójkąta, znając współrzędne wierzchołków?
Weź połowę wartości bezwzględnej wyznacznika zbudowanego z wektorów wychodzących z jednego wierzchołka. Gdy wyznacznik wychodzi zero, punkty są współliniowe i trójkąta nie tworzą. Ten sam wyznacznik służy więc naraz do liczenia pola i do sprawdzania współliniowości trzech punktów.


---
route: /narzedzia/kalkulator-kombinatoryczny
title: Kalkulator symbolu Newtona, silni i kombinacji
description: Silnia, symbol Newtona, permutacje, wariacje z powtórzeniami i bez oraz kombinacje. Każdy wynik z rozpisanym wzorem i podstawieniem.
---

# Kalkulator kombinatoryczny: silnia i symbol Newtona

Kombinatoryka maturalna stoi na trzech pytaniach: czy kolejność wybranych elementów ma znaczenie, czy elementy mogą się powtarzać i ile ich wybieramy. Odpowiedzi wskazują wzór: permutacje, wariacje albo kombinacje. Symbol Newtona zlicza podzbiory, w których kolejność nie gra roli. Kalkulator wyżej podaje wynik dokładny i rozpisuje skrócenie silni.

## Wzór

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

## Jak to policzyć

1. **Ustal, czy kolejność ma znaczenie** - To jest jedyne pytanie, które naprawdę rozdziela wzory tego działu. Kod do sejfu, ustawienie osób w kolejce i numer telefonu zależą od kolejności, więc prowadzą do wariacji albo permutacji. Skład drużyny, zestaw liczb w losowaniu i podzbiór punktów zależą tylko od tego, kto został wybrany, więc prowadzą do kombinacji.
2. **Sprawdź, czy element może się powtórzyć** - Wybór ze zwracaniem oznacza, że ten sam element wraca do puli i może wystąpić kilka razy, więc liczba możliwości nie maleje z każdym krokiem. Wybór bez zwracania zmniejsza pulę o jeden po każdym losowaniu. Dokładnie ta różnica dzieli wariacje z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń.
3. **Podstaw do wzoru i skróć silnie** - Silni z licznika i mianownika nigdy nie liczy się osobno. W symbolu Newtona skraca się większa silnia z mianownika, więc zostaje iloczyn k kolejnych liczb podzielony przez k silnia. W wariacjach bez powtórzeń zostaje sam iloczyn k kolejnych liczb malejących od n. Kalkulator pokazuje to skrócenie osobnym krokiem.
4. **Sprawdź rząd wielkości odpowiedzi** - Zadania zamknięte z tego działu podają cztery bardzo różne liczby, więc oszacowanie rzędu wielkości często wystarczy do wskazania odpowiedzi bez pełnego rachunku. Warto też sprawdzić kierunek: kombinacji nigdy nie jest więcej niż wariacji bez powtórzeń dla tych samych n i k, a przy k co najmniej równym dwa jest ich dokładnie k silnia razy mniej, bo kombinacja nie rozróżnia kolejności.

## Reguła mnożenia jest ważniejsza od wzorów

Zadania maturalne z kombinatoryki dają się rozwiązać regułą mnożenia częściej niż gotowym wzorem. Reguła mówi, że jeśli decyzję da się rozłożyć na kolejne niezależne kroki, to liczba wyników jest iloczynem liczb możliwości w każdym kroku. Trzycyfrowy kod z cyfr od 1 do 9 bez powtórzeń to 9 razy 8 razy 7, i nie trzeba wiedzieć, że jest to wariacja bez powtórzeń.

Wzory są skrótem tej samej myśli, a nie osobną wiedzą. Dlatego przy zadaniu z dodatkowym warunkiem, na przykład o parzystej ostatniej cyfrze albo o dziewiątce występującej dokładnie raz, bezpieczniej jest wrócić do reguły mnożenia i policzyć kroki w wygodnej kolejności, zamiast szukać wzoru, który obsłuży cały warunek naraz. Więcej rozpisanych przykładów znajdziesz we wpisie o permutacjach, wariacjach i kombinacjach.

## Symbol Newtona i jego dwie własności

Symbol Newtona zapisywany jako n nad k oznacza liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Ma dwie własności, które skracają rachunek na tyle, że warto je znać na pamięć. Pierwsza to symetria: symbol dla k i symbol dla n minus k są równe, bo wybranie drużyny jest tym samym co wskazanie osób, które w drużynie nie zagrają. Dzięki temu symbol dla 20 nad 18 liczy się jak symbol dla 20 nad 2.

Druga własność to wartości brzegowe: symbol dla k równego zero i dla k równego n zawsze wynosi jeden, bo zbiór pusty i cały zbiór można wybrać tylko na jeden sposób. Obie własności wracają w zadaniach zamkniętych jako szybka droga do odpowiedzi bez liczenia silni.

## Kombinatoryka jako wstęp do prawdopodobieństwa

Na maturze podstawowej kombinatoryka rzadko stoi sama. Częściej jest pierwszym krokiem zadania o prawdopodobieństwie: najpierw liczy się moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, potem moc zbioru zdarzeń sprzyjających, a dopiero na końcu dzieli się jedno przez drugie. Obie liczby wychodzą z tego samego wzoru kombinatorycznego, tylko z innymi danymi.

Warunek, o którym łatwo zapomnieć, brzmi: model musi być ten sam po obu stronach ułamka. Jeśli zbiór wszystkich wyników liczysz jako ciągi z uwzględnieniem kolejności, to zdarzenia sprzyjające też muszą być ciągami. Policzenie mianownika kombinacjami, a licznika wariacjami, daje wynik bez sensu i zero punktów. Co dokładnie się wtedy psuje i jak to rozpoznać w treści zadania, rozpisuje kalkulator prawdopodobieństwa.

**Który wzór wybrać**

| Kolejność | Powtórzenia | Nazwa | Wzór |
| --- | --- | --- | --- |
| ma znaczenie | dozwolone | wariacje z powtórzeniami | n^k |
| ma znaczenie | niedozwolone | wariacje bez powtórzeń | n!/(n-k)! |
| ma znaczenie | niedozwolone | permutacje, czyli wariacje przy k = n | n! |
| nie ma znaczenia | niedozwolone | kombinacje | C(n, k) |

> Na egzaminie maturalnym wolno mieć wyłącznie kalkulator prosty. Karta wzorów CKE podaje sam wzór na symbol Newtona, a nie tablicę jego wartości ani trójkąt Pascala, więc liczbę i tak trzeba policzyć ręcznie ze skróconego ilorazu silni. To narzędzie służy do sprawdzenia własnego rachunku, a nie do zastąpienia go.

## Pułapki maturalne

- **Wariacje policzone jako kombinacje** - To jest najczęstszy błąd całego działu i widać go w kluczu odpowiedzi jako wynik k silnia razy mniejszy albo większy od poprawnego. Test jest jednozdaniowy: zamień miejscami dwa wybrane elementy i zapytaj, czy powstał nowy wynik. Jeśli tak, kolejność ma znaczenie i liczysz wariacje. Jeśli nie, liczysz kombinacje.
- **Zero silnia to jeden, a nie zero** - Wartość zero silnia równa jeden nie jest umową bez powodu: pusty ciąg da się ustawić dokładnie na jeden sposób, a bez tej wartości wzór na symbol Newtona przestałby działać dla k równego zero i dla k równego n. Wpisanie zera w tym miejscu wywraca cały dalszy rachunek, bo w mianowniku pojawia się zero.
- **Warunek z zadania dołożony po policzeniu wszystkiego** - Zadania w rodzaju liczby trzycyfrowej z niepowtarzającymi się cyframi, bez zera i z dziewiątką występującą dokładnie raz, rozpadają się na przypadki. Policzenie wszystkich układów i odjęcie na oko tych złych prawie zawsze daje wynik za duży, bo część układów zostaje odjęta dwa razy. Bezpieczniej jest rozbić zadanie na rozłączne przypadki i dodać wyniki.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 27 z działu Kombinatoryka](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-33)
- [Zadanie 24 z działu Kombinatoryka](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2014-24)
- [Zadanie 129 z działu Kombinatoryka](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-129)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć symbol Newtona?
Symbol Newtona n nad k to iloraz n silnia przez iloczyn k silnia i (n minus k) silnia. W praktyce skraca się silnie i zostaje iloczyn k kolejnych liczb malejących od n, podzielony przez k silnia. Dla 10 nad 2 wychodzi 10 razy 9 przez 1 razy 2, czyli 45.

### Czym różnią się wariacje od kombinacji?
W wariacjach kolejność wybranych elementów ma znaczenie, w kombinacjach nie ma. Wybór dwóch osób do dwuosobowej drużyny to kombinacja, a wybór kapitana i zastępcy spośród tych samych osób to wariacja. Dla tych samych n i k liczba wariacji równa się liczbie kombinacji pomnożonej przez k silnia, więc od k równego dwa wariacji jest już wyraźnie więcej.

### Ile wynosi zero silnia?
Zero silnia równa się jeden. Wynika to z tego, że zbiór pusty da się ustawić w ciąg dokładnie na jeden sposób, a poza tym bez tej wartości wzór na symbol Newtona nie działałby dla wyboru zera elementów ani dla wyboru wszystkich.

### Kiedy stosuje się wariacje z powtórzeniami?
Wtedy, gdy wybrany element wraca do puli i może wystąpić ponownie, a kolejność ma znaczenie. Tak liczy się kody PIN, tablice rejestracyjne i wyniki kolejnych rzutów kostką. Wzór to n do potęgi k, a liczba k może być tu większa od n, czego przy wariacjach bez powtórzeń nigdy nie ma.

### Czy kombinatoryka jest na maturze podstawowej?
Tak, w każdym arkuszu poziomu podstawowego stoi zwykle jedno lub dwa zadania z tego działu, najczęściej zamknięte i najczęściej o zliczaniu liczb naturalnych o zadanych własnościach. Ten sam aparat wraca potem w zadaniach o prawdopodobieństwie, gdzie służy do policzenia mocy zbioru zdarzeń.


---
route: /narzedzia/kalkulator-prawdopodobienstwa
title: Kalkulator prawdopodobieństwa: zdarzenia i drzewko
description: Prawdopodobieństwo klasyczne ze stosunku zdarzeń sprzyjających do wszystkich, zdarzenie przeciwne, suma i iloczyn zdarzeń oraz drzewko.
---

# Kalkulator prawdopodobieństwa klasycznego

Prawdopodobieństwo klasyczne to iloraz liczby zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, przy założeniu, że każde z nich jest jednakowo prawdopodobne. Wynik zawsze mieści się między zerem a jedynką i na maturze zapisuje się go ułamkiem zwykłym. Kalkulator wyżej podaje ułamek nieskracalny, procent i pełne podstawienie.

## Wzór

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

## Jak to policzyć

1. **Opisz zbiór wszystkich wyników** - Najpierw ustal, czym jest pojedynczy wynik doświadczenia: liczbą, parą liczb, ciągiem rzutów. Dopiero potem policz, ile takich wyników jest w sumie. To jest mianownik ułamka i najczęstsze miejsce, w którym zadanie się rozjeżdża, bo dwa różne modele tego samego doświadczenia dają dwie różne liczby.
2. **Policz zdarzenia sprzyjające** - Krótką listę wypisuje się wprost: sumę 11 przy dwóch rzutach kostką dają dwie pary, (5, 6) oraz (6, 5). Wybór, w którym kolejność nie gra roli, liczy symbol Newtona, a zwrot o co najmniej jednym sukcesie prawie zawsze szybciej wychodzi przez zdarzenie przeciwne. Wypisanie kilku pierwszych przypadków opłaca się nawet wtedy, gdy zadanie ma wzór.
3. **Zapisz ułamek i skróć go** - Podziel liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich. Klucz odpowiedzi CKE podaje w tym dziale ułamek zwykły, więc to on jest odpowiedzią, i uznaje także postać nieskróconą: w arkuszu z maja 2025 poprawną odpowiedzią jest 2/36, a nie dopiero 1/18. Skrócenie jest dobrym zwyczajem, a nie warunkiem punktu. Rozwinięcie dziesiętne warto dopisać obok, ale samo rzadko wystarcza, bo najczęściej jest nieskończone.
4. **Sprawdź wynik zdrowym rozsądkiem** - Prawdopodobieństwo zawsze leży w przedziale od zera do jedynki, więc wynik większy od jedynki oznacza błąd w mianowniku albo policzenie tego samego wyniku dwa razy. Warto też porównać odpowiedź ze zdarzeniem przeciwnym: jeśli zdarzenie wydaje się rzadkie, a wyszło ponad połowę, gdzieś zamieniły się licznik z mianownikiem.

## Kiedy wolno użyć definicji klasycznej

Definicja klasyczna działa pod jednym warunkiem: wszystkie zdarzenia elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne. Symetryczna moneta, symetryczna kostka i losowanie kuli z urny ten warunek spełniają. Suma oczek przy dwóch rzutach kostką już nie, bo suma 7 wypada częściej niż suma 2, więc zbiorem zdarzeń elementarnych są pary oczek, a nie możliwe sumy.

To rozróżnienie jest w tym dziale źródłem większości utraconych punktów. Bezpieczna procedura wygląda tak samo w każdym zadaniu: opisz pojedynczy wynik doświadczenia w sposób, w którym wszystkie wyniki są równie prawdopodobne, policz ich liczbę, a dopiero potem szukaj sprzyjających. Szerzej pisze o tym wpis o definicji i drzewku stochastycznym.

## Zdarzenie przeciwne skraca rachunek

Dwa rzuty kostką i pytanie o co najmniej jedną szóstkę pokazują cały mechanizm na liczbach. Wprost trzeba wypisać jedenaście par: sześć z szóstką w pierwszym rzucie, sześć z szóstką w drugim, minus para (6, 6) policzona dwa razy. Zdarzenie przeciwne to brak szóstki w obu rzutach, czyli 5/6 razy 5/6, co daje 25/36, a odpowiedź wychodzi jako 1 minus 25/36, czyli 11/36. Jedno mnożenie zamiast jedenastu przypadków, a przy trzech rzutach różnica rośnie jeszcze bardziej.

Ta sama sztuczka działa przy zwrotach o przynajmniej jednej reszce, o co najmniej dwóch elementach i o niepustym przecięciu. Warto też pamiętać o prostym sprawdzeniu: prawdopodobieństwo zdarzenia i zdarzenia do niego przeciwnego dają w sumie dokładnie jeden, więc jeśli po dodaniu wychodzi coś innego, błąd stoi w jednym z dwóch rachunków.

## Drzewko stochastyczne i reguła mnożenia

Drzewko opisuje doświadczenie złożone z kilku etapów. Wzdłuż jednej gałęzi prawdopodobieństwa mnoży się, a między gałęźmi prowadzącymi do tego samego zdarzenia dodaje. Suma prawdopodobieństw wszystkich gałęzi wychodzących z jednego węzła zawsze wynosi jeden i to jest najprostsze sprawdzenie poprawności rysunku.

Na rysunku widać też różnicę między losowaniem ze zwracaniem a bez zwracania. Przy zwracaniu obie krawędzie drugiego etapu mają tę samą liczbę, bo pula wraca do stanu wyjściowego; bez zwracania każda gałąź ma własne prawdopodobieństwa, bo maleje i licznik, i mianownik. Kalkulator wyżej rysuje przypadek pierwszy, czyli etapy niezależne, a przy losowaniu bez zwracania drugi etap trzeba policzyć osobno dla każdej gałęzi. Dwa rozpisane przykłady tego typu, razem z rzutami monetą, znajdziesz we wpisie o drzewku przy rzutach monetą.

**Prawdopodobieństwa, które warto znać na pamięć**

| Doświadczenie | Zdarzenie | Prawdopodobieństwo |
| --- | --- | --- |
| jeden rzut kostką | wypadnie szóstka | 1/6 |
| dwa rzuty kostką | suma oczek równa 7 | 6/36, czyli 1/6 |
| dwa rzuty kostką | obie liczby oczek jednakowe | 6/36, czyli 1/6 |
| trzy rzuty monetą | dokładnie dwa orły | 3/8 |
| trzy rzuty monetą | co najmniej jeden orzeł | 7/8 |

> Odpowiedź w tym dziale zapisuje się ułamkiem zwykłym; skrócenie jest zalecane, ale klucz CKE uznaje także postać nieskróconą: w arkuszu próbnym z marca 2026 punktowaną odpowiedzią jest 2/90, a ułamka 1/45 nie ma nawet wśród wariantów do wyboru. Zapis w rodzaju 0,0555 jest natomiast przybliżeniem i sam w sobie nie dostaje pełnej punktacji, bo rozwinięcie dziesiętne większości tych ułamków jest nieskończone.

## Pułapki maturalne

- **Licznik i mianownik policzone w dwóch różnych modelach** - Zbiór wszystkich wyników opisany parami uporządkowanymi, a zdarzenia sprzyjające policzone kombinacjami, dają wynik pozbawiony sensu, mimo że każdy rachunek z osobna jest poprawny. Model wybiera się raz, na początku zadania, i obowiązuje po obu stronach ułamka do końca.
- **Sumy oczek potraktowane jako zdarzenia elementarne** - Przy dwóch rzutach kostką sum jest jedenaście, od 2 do 12, ale nie są one jednakowo prawdopodobne, więc definicji klasycznej nie wolno do nich zastosować. Zdarzeniami elementarnymi są tu 36 par oczek. Podzielenie przez jedenaście zamiast przez trzydzieści sześć daje 1/11, czyli liczbę, która nie jest prawdopodobieństwem żadnej z tych sum.
- **Dodawanie prawdopodobieństw zdarzeń, które się nakładają** - Wzór na sumę zdarzeń zawiera odjęcie prawdopodobieństwa iloczynu i nie wolno go pominąć, gdy zdarzenia mają część wspólną. Samo dodanie liczy wspólną część dwa razy i potrafi dać wynik większy od jedynki, co od razu widać jako sygnał błędu.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 29 z działu Prawdopodobieństwo](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-32)
- [Zadanie 28 z działu Prawdopodobieństwo](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-35)
- [Zadanie 30 z działu Prawdopodobieństwo](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2024-38)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć prawdopodobieństwo klasyczne?
Dzieli się liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, pod warunkiem że każde z nich jest jednakowo prawdopodobne. Jeśli ze zbioru dwunastu liczb trzy spełniają warunek zadania, prawdopodobieństwo wynosi trzy dwunaste, czyli jedna czwarta.

### Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
Jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia wyjściowego. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 0,7, to zdarzenia przeciwnego 0,3. Ta zależność jest najkrótszą drogą do zadań, w których pada zwrot o co najmniej jednym sukcesie.

### Ile jest wszystkich wyników przy dwóch rzutach kostką?
Trzydzieści sześć, bo każdy z sześciu wyników pierwszego rzutu łączy się z każdym z sześciu wyników drugiego. Pary są uporządkowane, więc wynik 5 i 6 to co innego niż 6 i 5. Sum oczek jest tylko jedenaście, ale nie są one jednakowo prawdopodobne.

### Jak czytać drzewko stochastyczne?
Wzdłuż jednej gałęzi prawdopodobieństwa mnoży się, a wyniki gałęzi prowadzących do tego samego zdarzenia dodaje. Prawdopodobieństwa wszystkich gałęzi wychodzących z jednego węzła sumują się do jedynki i to jest najszybsze sprawdzenie, czy rysunek jest poprawny.

### Czy prawdopodobieństwo można podać w procentach?
Można, ale na maturze bezpieczniejszy jest ułamek zwykły, bo tak podaje odpowiedzi klucz CKE i uznaje przy tym również postać nieskróconą. Procent i rozwinięcie dziesiętne warto dopisać obok jako komentarz, zwłaszcza gdy rozwinięcie jest skończone.

### Czym różni się losowanie ze zwracaniem od losowania bez zwracania?
Przy zwracaniu wylosowany element wraca do puli, więc w każdym etapie liczba możliwości jest taka sama. Bez zwracania pula maleje o jeden po każdym losowaniu, co zmienia zarówno liczbę wszystkich wyników, jak i liczbę zdarzeń sprzyjających.


---
route: /narzedzia/kalkulator-logarytmow
title: Kalkulator logarytmów: log, zmiana podstawy, wzory
description: Policz logarytm o dowolnej podstawie razem z rozpisaniem własności: logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz wzór na zmianę podstawy.
---

# Kalkulator logarytmów

Logarytm przy podstawie a z liczby b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b. Podstawa musi być dodatnia i różna od jedynki, a liczba logarytmowana dodatnia. Kalkulator niżej podaje wynik dokładny wszędzie tam, gdzie istnieje, rozpisuje własności działań i pokazuje wzór na zmianę podstawy.

## Wzór

$$\log_{a} b = c \iff a^{c} = b$$

## Jak to policzyć

1. **Sprawdź założenia** - Wyrażenie ma sens tylko wtedy, gdy pod logarytmem stoi liczba większa od zera, a w podstawie liczba większa od zera i nierówna jedynce. To nie jest formalność dopisana do zadania: w zadaniach z niewiadomą pod logarytmem właśnie od tych warunków zaczyna się rozwiązanie, a pominięcie ich kosztuje punkt nawet wtedy, gdy dalszy rachunek jest bez zarzutu.
2. **Zapisz obie liczby jako potęgi wspólnej podstawy** - Prawie każdy logarytm z arkusza da się policzyć w pamięci, jeśli podstawę i liczbę logarytmowaną zapiszemy jako potęgi tej samej liczby. Dla logarytmu przy podstawie 4 z liczby 8 obie liczby są potęgami dwójki: cztery to dwa do kwadratu, a osiem to dwa do sześcianu.
3. **Porównaj wykładniki** - Po sprowadzeniu do wspólnej podstawy równanie z definicji logarytmu zamienia się w zwykłe równanie liniowe na wykładnikach. Dla podstawy 4 i liczby 8 mamy dwa razy niewiadoma równa się trzy, czyli wynik jest równy trzy drugie. Odpowiedź zostaje ułamkiem zwykłym i tak się ją zapisuje.
4. **Gdy wspólnej podstawy nie ma, zmień podstawę** - Wzór na zmianę podstawy zamienia jeden logarytm na iloraz dwóch logarytmów o wygodniejszej podstawie, zwykle dziesiętnej albo dwójkowej. Ten sam wzór służy do porównywania logarytmów o różnych podstawach, bo po sprowadzeniu do wspólnej podstawy wystarczy porównać dwa ułamki.

## Trzy własności, z których zbudowane są wszystkie zadania

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, logarytm ilorazu jest ich różnicą, a logarytm potęgi to wykładnik pomnożony przez logarytm podstawy tej potęgi. Te trzy równości wyglądają niewinnie, ale to na nich stoi cały dział: zadanie maturalne prawie nigdy nie pyta o gotowy logarytm, tylko o wyrażenie złożone z kilku, które po zwinięciu okazuje się liczbą całkowitą.

Kierunek zwijania jest tu ważniejszy niż same wzory. Wyrażenie z trzema logarytmami o tej samej podstawie sprowadza się najpierw do jednego logarytmu, a dopiero potem liczy. Odwrotna kolejność, czyli liczenie każdego składnika osobno, prowadzi do przybliżeń dziesiętnych, których na arkuszu nie da się zapisać, a często do wniosku, że zadania nie da się rozwiązać. Kalkulator wyżej pokazuje obie drogi obok siebie właśnie po to, żeby różnica była widoczna.

## Dziedzina wyrażenia logarytmicznego

Każde wyrażenie z niewiadomą pod logarytmem ma dziedzinę i jej wyznaczenie jest osobno punktowane. Warunki są zawsze te same: liczba logarytmowana większa od zera, podstawa większa od zera i różna od jedynki. Gdy niewiadoma stoi w podstawie, warunki mnożą się i trzeba je rozwiązać jako układ nierówności.

Najczęstszy błąd nie polega na tym, że ktoś dziedziny nie zna, tylko na tym, że wyznacza ją po rozwiązaniu równania, a nie przed. Rozwiązanie, które wypada poza dziedziną, trzeba odrzucić, a odrzucenie musi być widoczne w zapisie. Rozpisane krok po kroku zadania tego typu stoją we wpisie o nierównościach logarytmicznych, gdzie dziedzina rozstrzyga dodatkowo o kierunku znaku nierówności.

## Logarytmy w zadaniach z treścią

Logarytm pojawia się na arkuszu także poza działem algebry, zwykle w zadaniach o rozpadzie promieniotwórczym, o wzroście liczby bakterii albo o skali dźwięku. Schemat jest tam stały: wielkość maleje albo rośnie wykładniczo, a pytanie dotyczy czasu, czyli wykładnika. Logarytm jest jedynym narzędziem, które ten wykładnik wyciąga.

W takich zadaniach wynik prawie nigdy nie jest liczbą całkowitą i to jest w porządku. Punktuje się poprawne ułożenie równania wykładniczego, zastosowanie logarytmu do obu stron i zapisanie odpowiedzi z sensowną dokładnością wraz z jednostką. Kalkulator wyżej podaje w takiej sytuacji przybliżenie do czterech miejsc po przecinku i wprost pisze, że wynik jest niewymierny.

> Wynik dokładny w postaci ułamka zwykłego, na przykład trzy drugie, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator podaje obie postacie po to, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu.

## Pułapki maturalne

- **Logarytm ujemny to nie to samo co logarytm z liczby ujemnej** - Wartość logarytmu może być ujemna i nie ma w tym nic nadzwyczajnego: logarytm przy podstawie 5 z jednej dwudziestej piątej jest równy minus dwa. Czym innym jest logarytm z liczby ujemnej, który po prostu nie istnieje, bo żadna potęga liczby dodatniej nie daje wyniku ujemnego. Pomylenie tych dwóch rzeczy prowadzi do odrzucania poprawnych rozwiązań.
- **Liczba przed logarytmem jest wykładnikiem, a nie mnożnikiem** - Zapis dwa razy logarytm z trójki oznacza logarytm z dziewiątki, a nie logarytm z szóstki. Współczynnik wchodzi pod logarytm jako wykładnik liczby logarytmowanej, więc podnosi ją do potęgi, a nie mnoży. To jest najczęstsza pomyłka rachunkowa w tym dziale i widać ją w każdej sesji.
- **Suma logarytmów to logarytm iloczynu, nie logarytm sumy** - Wyrażenia z logarytmem sumy nie da się rozbić na prostsze składniki. Nie istnieje wzór zamieniający go na sumę ani na iloczyn logarytmów, więc zostawia się je w spokoju albo przekształca samą liczbę stojącą pod logarytmem. Wzory na sumę i różnicę mówią o logarytmach iloczynu i ilorazu, a to nie to samo.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 4 z działu Logarytmy](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-04)
- [Zadanie 3 z działu Logarytmy](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-03)
- [Zadanie 4 z działu Logarytmy](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-04)

## Najczęściej zadawane pytania

### Co to jest logarytm?
To wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Trójka podniesiona do czwartej potęgi daje osiemdziesiąt jeden, więc logarytm przy podstawie 3 z osiemdziesięciu jeden jest równy cztery. Zamiana zapisu logarytmicznego na wykładniczy działa w obie strony i to ona rozwiązuje większość zadań z tego działu.

### Jak obliczyć logarytm o podstawie 2?
Wystarczy sprawdzić, którą potęgą dwójki jest liczba logarytmowana. Dla 8 wynik to 3, dla 32 to 5, a dla jednej czwartej minus 2. Gdy liczba nie jest potęgą dwójki, wynik jest niewymierny i zapisuje się go w postaci logarytmu albo z przybliżeniem.

### Kiedy logarytm jest ujemny?
Przy podstawie większej od jedynki logarytm jest ujemny dla liczb z przedziału od zera do jedynki, na przykład logarytm przy podstawie 2 z jednej ósmej wynosi minus trzy. Przy podstawie mniejszej od jedynki jest odwrotnie, bo funkcja logarytmiczna jest wtedy malejąca.

### Jak zmienić podstawę logarytmu?
Zapisuje się go jako iloraz dwóch logarytmów o dowolnej wspólnej podstawie: w liczniku ten z liczbą logarytmowaną, w mianowniku ten ze starą podstawą. Najczęściej wybiera się podstawę dziesiętną albo dwójkową, bo dla nich łatwiej policzyć obie wartości.

### Czy na maturze wolno używać kalkulatora do logarytmów?
Na egzaminie maturalnym z matematyki dozwolony jest wyłącznie kalkulator prosty, bez funkcji logarytmicznej. Logarytmy liczy się ręcznie, sprowadzając liczby do wspólnej podstawy, dlatego to narzędzie pokazuje wszystkie podstawienia: chodzi o sprawdzenie własnego rachunku, a nie o zastąpienie go.


---
route: /narzedzia/kalkulator-poteg-i-pierwiastkow
title: Kalkulator potęg i pierwiastków: postać dokładna
description: Potęgi o wykładniku wymiernym, wyciąganie czynnika przed pierwiastek i usuwanie niewymierności z mianownika. Wynik dokładny, nie przybliżony.
---

# Kalkulator potęg i pierwiastków

Potęga o wykładniku wymiernym to zapisany inaczej pierwiastek: a do potęgi p przez q oznacza pierwiastek stopnia q z liczby a podniesionej do potęgi p. Kalkulator niżej liczy taką potęgę dokładnie, upraszcza pierwiastki przez wyciągnięcie czynnika przed znak, usuwa niewymierność z mianownika i pokazuje każde podstawienie.

## Wzór

$$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}$$

## Jak to policzyć

1. **Sprowadź wszystko do jednej podstawy** - Wyrażenie z kilkoma potęgami upraszcza się dopiero wtedy, gdy wszystkie mają tę samą podstawę. Ósemka to dwa do sześcianu, szesnastka to dwa do czwartej, a jedna czwarta to dwa do minus drugiej. Po takim zapisie działanie na potęgach sprowadza się do dodawania i odejmowania wykładników.
2. **Zamień pierwiastki na potęgi o wykładniku wymiernym** - Pierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku jedna druga, sześcienny o wykładniku jedna trzecia. Ta zamiana pozwala potraktować pierwiastki i potęgi jednym zestawem wzorów, zamiast pamiętać osobne reguły dla każdego zapisu. W arkuszach z Formuły 2023 jest to najczęstszy pierwszy krok w zadaniach z tego działu.
3. **Uprość pierwiastek przez rozkład na czynniki** - Liczbę pod pierwiastkiem rozkłada się na czynniki pierwsze i wyciąga przed znak wszystko, co występuje w pełnej potędze danego stopnia. Siedemdziesiąt dwa to dwa razy sześć do kwadratu, więc pierwiastek z siedemdziesięciu dwóch jest równy sześć razy pierwiastek z dwóch. Ta postać jest odpowiedzią, a nie etapem pośrednim.
4. **Usuń niewymierność z mianownika** - Ułamek z pierwiastkiem w mianowniku mnoży się przez ten pierwiastek albo, gdy mianownik jest sumą, przez wyrażenie sprzężone. Iloczyn sumy i różnicy daje wzór skróconego mnożenia i pierwiastek z mianownika znika. Wartość ułamka się nie zmienia, bo mnożymy przez jedynkę zapisaną w innej postaci.

## Dlaczego postać dokładna, a nie przybliżenie

Pierwiastek z siedemdziesięciu dwóch to około osiem i pół, ale odpowiedź w tej postaci nie dostaje na arkuszu punktu. Zadania z tego działu są prawie zawsze zamknięte, a wśród odpowiedzi stoją wyrażenia w rodzaju sześć razy pierwiastek z dwóch, cztery razy pierwiastek z trzech i podobne. Wybór między nimi wymaga sprowadzenia własnego wyniku do tej samej postaci.

Drugi powód jest rachunkowy. Przybliżenia kumulują błąd: trzy pierwiastki zaokrąglone do czterech miejsc i pomnożone przez siebie dają wynik, który różni się od prawdziwego już na drugim miejscu po przecinku. Rachunek na postaci dokładnej tego nie ma, bo operuje na czynnikach, a nie na liczbach dziesiętnych, i przy okazji jest krótszy.

## Wykładnik ujemny i wykładnik ułamkowy

Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, a nie liczbę przeciwną: dwa do minus trzeciej to jedna ósma, a nie minus osiem. Wykładnik ułamkowy oznacza pierwiastek, przy czym mianownik ułamka jest stopniem pierwiastka, a licznik wykładnikiem liczby pod nim. Połączenie obu, czyli wykładnik ujemny i ułamkowy naraz, jest w arkuszach standardem i wygląda groźniej, niż liczy się w praktyce.

Kolejność działań jest tu wygodna: najpierw pierwiastek, potem potęga, bo liczby zostają wtedy małe. Dla ósemki do potęgi dwie trzecie najpierw liczymy pierwiastek sześcienny z ośmiu, czyli dwa, a dopiero potem podnosimy dwójkę do kwadratu. Więcej rozpisanych przykładów znajdziesz we wpisie o potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym.

## Działania na pierwiastkach różnych stopni

Pierwiastki tego samego stopnia mnoży się i dzieli wprost: iloczyn pierwiastków jest pierwiastkiem iloczynu. Przy różnych stopniach trzeba najpierw sprowadzić je do wspólnego stopnia, czyli w zapisie potęgowym do wspólnego mianownika wykładników. Pierwiastek kwadratowy i sześcienny mają wspólny stopień sześć, więc oba zapisuje się jako pierwiastek stopnia szóstego.

Dodawanie i odejmowanie działa inaczej i to jest źródło większości pomyłek: sumować można wyłącznie pierwiastki o tej samej liczbie pod znakiem. Trzy razy pierwiastek z czterdziestu pięciu minus pierwiastek z dwudziestu wygląda na wyrażenie niesprowadzalne, ale po uproszczeniu obu składników zostają pierwiastki z pięciu i całość zwija się do jednej liczby. Zbiór takich zadań z rozwiązaniami stoi we wpisie o działaniach na pierwiastkach.

## Pułapki maturalne

- **Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków** - Pierwiastek z sumy dwóch liczb nie rozkłada się na sumę pierwiastków i nie istnieje żaden wzór, który by na to pozwalał. Wystarczy sprawdzić na liczbach: pierwiastek z sumy dziewięciu i szesnastu to pięć, a suma pierwiastków to siedem. Ta sama reguła dotyczy różnicy, a przez analogię także logarytmu z sumy.
- **Pierwiastek kwadratowy z kwadratu daje wartość bezwzględną** - Pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby jest równy wartości bezwzględnej tej liczby, a nie samej liczbie. Dla liczb dodatnich różnicy nie widać, ale w zadaniach z wyrażeniem, którego znak nie jest znany, opuszczenie wartości bezwzględnej daje wynik ujemny tam, gdzie pierwiastek musi być nieujemny. To jest klasyczna pułapka zadań z pierwiastkiem i wartością bezwzględną naraz.
- **Wykładnik ujemny nie zmienia znaku liczby** - Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku przeciwnym, więc dwa do minus drugiej to jedna czwarta, liczba dodatnia. Znak wyniku zależy wyłącznie od znaku podstawy i od parzystości wykładnika, nigdy od jego znaku. Pomyłka daje odpowiedź różniącą się nie o wartość, tylko o znak, a taka odpowiedź prawie zawsze stoi wśród dystraktorów.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 2 z działu Potęgi i pierwiastki](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-02)
- [Zadanie 1 z działu Potęgi i pierwiastki](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2024-01)
- [Zadanie 1 z działu Potęgi i pierwiastki](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-01)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć potęgę o wykładniku ułamkowym?
Najkrócej idzie to od pierwiastka, bo liczby zostają wtedy małe. Dwadzieścia siedem do potęgi dwie trzecie liczymy tak: pierwiastek sześcienny z dwudziestu siedmiu to trzy, a trójka do kwadratu to dziewięć. Kolejność odwrotna daje ten sam wynik, tylko po drodze trzeba znać siedemset dwadzieścia dziewięć.

### Jak uprościć pierwiastek z 72?
Szukamy największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem. Siedemdziesiąt dwa dzieli się przez trzydzieści sześć, a iloraz wynosi dwa, więc wynik to sześć razy pierwiastek z dwóch. Kalkulator pokazuje przy okazji pełny rozkład, bo z niego widać, dlaczego przed znak wychodzi akurat szóstka.

### Jak usunąć niewymierność z mianownika?
Gdy mianownik jest samym pierwiastkiem, mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek. Gdy jest sumą liczby i pierwiastka, mnożymy przez wyrażenie sprzężone, czyli przez ich różnicę. Iloczyn sumy i różnicy usuwa pierwiastek, bo daje różnicę kwadratów.

### Czy pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej istnieje?
W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje, bo żadna liczba podniesiona do potęgi parzystej nie daje wyniku ujemnego. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny: pierwiastek sześcienny z minus dwudziestu siedmiu jest równy minus trzy.

### Czym różni się potęga o wykładniku ujemnym od liczby ujemnej?
Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, a nie zmianę znaku. Pięć do minus drugiej to jedna dwudziesta piąta, czyli liczba dodatnia i mniejsza od jedynki. Ujemny bywa dopiero wynik potęgowania liczby ujemnej wykładnikiem nieparzystym, na przykład minus trzy do sześcianu daje minus dwadzieścia siedem.


---
route: /narzedzia/tabela-kwadratow-i-pierwiastkow
title: Tabela kwadratów liczb 1-100 i pierwiastków
description: Kwadraty liczb od 1 do 100 i pierwiastki kwadratowe w jednej tabeli, z zaznaczonymi kwadratami idealnymi. Do szacowania wyników bez kalkulatora.
---

# Tabela kwadratów i pierwiastków liczb

Tablica niżej zestawia kwadraty liczb od 1 do 100 z ich pierwiastkami kwadratowymi w postaci przybliżonej i dokładnej. Kwadraty idealne są wyróżnione, bo to one wyznaczają punkty odniesienia przy szacowaniu: pierwiastek z 50 leży między 7 a 8 i jest bliżej siedmiu, bo 50 leży bliżej 49 niż 64.

## Wzór

$$\sqrt{k^{2} \cdot m} = |k|\sqrt{m}$$

## Jak to policzyć

1. **Znajdź dwa sąsiednie kwadraty idealne** - Szacowanie pierwiastka zaczyna się od wskazania dwóch kwadratów idealnych, między którymi leży liczba. Dla pięćdziesięciu są to czterdzieści dziewięć i sześćdziesiąt cztery, więc pierwiastek leży między siedmioma a ośmioma. To wystarcza, żeby odrzucić większość odpowiedzi w zadaniu zamkniętym, jeszcze zanim cokolwiek policzymy.
2. **Rozstrzygnij, do którego jest bliżej** - Porównujemy odległości do obu sąsiadów. Pięćdziesiąt jest o jeden większe od czterdziestu dziewięciu i o czternaście mniejsze od sześćdziesięciu czterech, więc pierwiastek jest wyraźnie bliżej siedmiu. Ta obserwacja daje dokładność wystarczającą do zadań, w których trzeba tylko porównać dwie liczby niewymierne.
3. **Sprawdź, czy da się wyciągnąć czynnik** - Kolumna z postacią dokładną pokazuje, czy pod pierwiastkiem siedzi kwadrat. Dziewięćdziesiąt osiem to dwa razy czterdzieści dziewięć, więc pierwiastek zapisuje się jako siedem razy pierwiastek z dwóch. Odpowiedzi w arkuszu prawie zawsze stoją w tej postaci, a nie w postaci pierwiastka z dużej liczby.
4. **Używaj tablicy także w drugą stronę** - Kolumna kwadratów przydaje się nie tylko do pierwiastkowania. Rozpoznanie, że dwa tysiące pięćset to kwadrat pięćdziesiątki, skraca rachunek w zadaniach z twierdzenia Pitagorasa, z równania kwadratowego i z geometrii analitycznej, gdzie długość odcinka liczy się właśnie z sumy kwadratów.

## Po co znać kwadraty na pamięć

Rozpoznanie kwadratu w liczbie jest tu ważniejsze niż samo pierwiastkowanie. Gdy w rachunku pojawia się 2500, 5184 albo 9604, jedno spojrzenie wystarczy, żeby wiedzieć, że ich pierwiastki to odpowiednio 50, 72 i 98. Przy trzydziestu kilku zadaniach w arkuszu takie skróty sumują się do kilku minut, a każda z nich jest później do wykorzystania przy zadaniu otwartym.

Ważniejsze jest jednak co innego. Zadania zamknięte z tego działu nie pytają o przybliżenie, tylko o postać dokładną, a tej żaden kalkulator nie poda. Znajomość kwadratów do stu skraca rozpoznanie odpowiedzi do jednego spojrzenia: liczba pod pierwiastkiem albo daje się rozłożyć na kwadrat i resztę, albo nie, i to rozstrzyga zadanie.

## Jak szacować pierwiastek bez liczenia

Metoda jest zawsze ta sama i zajmuje kilka sekund. Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów idealnych obejmujących naszą liczbę, a potem sprawdzamy, do którego z nich jest bliżej. Pierwiastek z osiemdziesięciu leży między ośmioma a dziewięcioma, bo sześćdziesiąt cztery i osiemdziesiąt jeden są jego sąsiadami, i jest wyraźnie bliżej dziewiątki.

Ta sama umiejętność rozstrzyga zadania na porównywanie liczb niewymiernych, które wracają w arkuszach regularnie. Pytanie, która z dwóch liczb jest większa, sprowadza się do podniesienia obu do kwadratu, a wtedy porównanie robi się trywialne. Warto tylko pamiętać, że podnoszenie do kwadratu zachowuje nierówność wyłącznie dla liczb nieujemnych.

## Kwadraty poza zakresem tablicy

Tablica kończy się na stu, ale sama metoda nie. Kwadraty liczb większych liczy się ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: sto trzy do kwadratu to dziesięć tysięcy plus dwa razy sto razy trzy plus dziewięć, czyli dziesięć tysięcy sześćset dziewięć. Rachunek jest krótszy niż mnożenie pisemne i mniej podatny na pomyłkę.

W drugą stronę działa to podobnie. Pierwiastek z liczby czterocyfrowej szacuje się, patrząc na jej dwie pierwsze cyfry i na liczbę cyfr: pierwiastek z dwóch tysięcy pięciuset ma dwie cyfry i zaczyna się od pięćdziesiątki. Zestaw zadań, w których ten trik wystarcza do rozwiązania, znajdziesz we wpisie o potęgach i pierwiastkach na maturze.

## Pułapki maturalne

- **Kolumna kwadratów to nie kolumna pierwiastków** - W wierszu liczby 50 stoją obok siebie 2500 i 7,071, i to pierwsza z nich jest kwadratem, a druga pierwiastkiem. Odczytanie ich na odwrót daje liczbę kilkaset razy większą od prawdziwej, a przy zadaniu zamkniętym taka odpowiedź zwykle stoi wśród dystraktorów. Prosty odruch kontrolny: pierwiastek liczby z tego zakresu jest zawsze jednocyfrowy albo równy dziesięć.
- **Kwadrat liczby dwucyfrowej to nie sklejenie kwadratów cyfr** - Dwadzieścia trzy do kwadratu to pięćset dwadzieścia dziewięć, a nie czterysta dziewięć, choć kwadraty cyfr dwa i trzy to właśnie cztery i dziewięć. Zapis skrócony gubi podwojony iloczyn, czyli składnik dwa razy dwadzieścia razy trzy. Pomyłka jest tym groźniejsza, że wynik wygląda wiarygodnie i ma tyle samo cyfr.
- **Postać przybliżona nie zastępuje postaci dokładnej** - Trzecia kolumna tablicy podaje przybliżenie do trzech miejsc po przecinku i służy wyłącznie do szacowania. W odpowiedzi zapisuje się to, co stoi w kolumnie czwartej, czyli postać z wyciągniętym czynnikiem. Wpisanie liczby dziesiętnej tam, gdzie oczekiwany jest wynik dokładny, nie dostaje punktu nawet przy poprawnym rachunku.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 3 z działu Potęgi i pierwiastki](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2024-03)
- [Zadanie 4 z działu Potęgi i pierwiastki](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2025-04)

## Najczęściej zadawane pytania

### Ile wynosi pierwiastek z 50?
Dokładnie pięć razy pierwiastek z dwóch, czyli w przybliżeniu 7,07. Wynik bierze się z rozkładu pięćdziesięciu na dwa razy pięć do kwadratu, po którym kwadrat wychodzi przed znak pierwiastka.

### Które liczby do 100 są kwadratami idealnymi?
Jest ich dziesięć: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 oraz 100. To kwadraty kolejnych liczb od jedynki do dziesiątki i właśnie one wyznaczają punkty odniesienia przy szacowaniu pierwiastków z liczb pośrednich.

### Jak szybko obliczyć kwadrat liczby dwucyfrowej?
Najprościej ze wzoru na kwadrat sumy. Dla dwudziestu trzech liczymy czterysta plus dwa razy dwadzieścia razy trzy plus dziewięć, czyli pięćset dwadzieścia dziewięć. Rachunek jest krótszy od mnożenia pisemnego i łatwiej go sprawdzić.

### Czy na maturze można korzystać z tablicy kwadratów?
Tablice maturalne wydawane przez CKE nie zawierają tabeli kwadratów, więc na egzaminie trzeba te wartości znać albo umieć je odtworzyć. Dozwolony jest wyłącznie kalkulator prosty, dlatego szacowanie z pamięci jest tu realną oszczędnością czasu.

### Jak porównać dwie liczby z pierwiastkami?
Najprościej podnieść obie do kwadratu, bo dla liczb nieujemnych podnoszenie do kwadratu zachowuje nierówność. Porównanie sprowadza się wtedy do liczb wymiernych, które da się zestawić bez żadnego przybliżenia.


---
route: /narzedzia/kalkulator-wartosci-bezwzglednej
title: Kalkulator wartości bezwzględnej z przedziałem
description: Rozwiąż równanie i nierówność z wartością bezwzględną. Wynik jako przedział, zaznaczony na osi liczbowej, z interpretacją odległości na osi.
---

# Kalkulator wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna różnicy to odległość dwóch liczb na osi, więc warunek z modułem czyta się jak zdanie o odległości. Równanie daje dwa punkty oddalone od a o b, nierówność ze znakiem mniejszości przedział wokół a, a ze znakiem większości dwie półproste. Kalkulator niżej podaje zbiór rozwiązań i rysuje go na osi.

## Wzór

$$|x - a| \le b \iff a - b \le x \le a + b$$

## Jak to policzyć

1. **Przeczytaj warunek jako odległość** - Zapis z modułem różnicy mówi o odległości liczby x od liczby a na osi liczbowej. Warunek z liczbą 5 po prawej stronie znaczy dokładnie tyle, że x leży o pięć jednostek od a, bliżej niż pięć albo dalej niż pięć. To zdanie po polsku jest szybszą drogą do odpowiedzi niż jakikolwiek wzór i działa nawet wtedy, gdy nie pamiętasz, w którą stronę otwiera się przedział.
2. **Sprawdź znak prawej strony** - Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc znak liczby po prawej stronie rozstrzyga wynik przed jakimkolwiek rachunkiem. Prawa strona ujemna daje zbiór pusty przy równaniu i przy nierówności ze znakiem mniejszości, a całą oś przy nierówności ze znakiem większości. Prawa strona równa zeru daje jeden punkt albo oś bez jednego punktu.
3. **Zdejmij moduł we właściwy sposób** - Równanie rozbija się na dwa przypadki: wyrażenie pod modułem równe liczbie po prawej stronie albo równe liczbie do niej przeciwnej. Nierówność ze znakiem mniejszości zamienia się w jedną nierówność podwójną, a nierówność ze znakiem większości w alternatywę dwóch warunków. Pomylenie koniunkcji z alternatywą jest tu najczęstszym błędem.
4. **Zapisz zbiór rozwiązań i zaznacz go na osi** - Odpowiedzią jest zbiór, a nie pojedyncza liczba. Przedział domknięty zapisuje się nawiasami ostrymi, otwarty okrągłymi, a sumę dwóch półprostych łączy się znakiem sumy zbiorów. Rysunek na osi jest sprawdzeniem: kółko pełne oznacza koniec należący do zbioru, puste koniec, który do niego nie należy.

## Moduł jako odległość, a nie jako zdejmowanie minusa

Szkolna definicja mówi, że wartość bezwzględna liczby nieujemnej to ta sama liczba, a liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna. Definicja jest poprawna, ale prowadzi do liczenia przypadków tam, gdzie wystarczy jedno spojrzenie na oś. Druga definicja, równoważna i o wiele wygodniejsza, brzmi tak: moduł różnicy dwóch liczb to odległość między nimi na osi liczbowej. Sam moduł liczby to jej odległość od zera.

Ta zamiana opłaca się natychmiast. Warunek mówiący, że odległość liczby x od trójki jest mniejsza niż pięć, opisuje wszystkie liczby leżące bliżej niż pięć jednostek od trójki, czyli odcinek od minus dwóch do ośmiu bez końców. Nie trzeba niczego rozbijać na przypadki ani pamiętać, kiedy nierówność zmienia zwrot. Trzeba wiedzieć jedno: gdzie na osi leży środek i jaki jest promień.

## Nierówność ostra, nieostra i zapis przedziału

Znak nierówności decyduje wyłącznie o tym, czy końce należą do zbioru rozwiązań. Nierówność ostra daje przedział otwarty, czyli końce wykluczone i nawiasy okrągłe. Nierówność nieostra daje przedział domknięty, końce wliczone i nawiasy ostre. Na rysunku odpowiadają temu kółka puste i pełne, a w odpowiedzi pisemnej dwa różne znaki nawiasu, których egzaminator nie traktuje jako drobiazgu.

Nieskończoność zawsze stoi w nawiasie okrągłym, bo nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru. Suma dwóch półprostych jest normalną, pełnowartościową odpowiedzią i nie da się jej zapisać jednym przedziałem. Zapis próbujący ścisnąć ją w jeden nawias, na przykład od plus nieskończoności do minus nieskończoności, jest po prostu nieprawdziwy.

## Wartość bezwzględna w zadaniu z parametrem

Arkusz rzadko pyta wprost o rozwiązanie nierówności z modułem. Znacznie częściej pyta, dla jakiej wartości parametru zbiór rozwiązań ma daną własność: jest pusty, ma dokładnie jedno rozwiązanie, jest przedziałem o zadanej długości. Wszystkie te pytania sprowadzają się do znaku i wartości prawej strony, bo długość przedziału wyznaczonego przez warunek z modułem jest równa jej podwojeniu.

Stąd bierze się znaczenie trzech przypadków, które kalkulator liczy osobno. Prawa strona ujemna to zbiór pusty przy równaniu i przy nierówności ze znakiem mniejszości. Prawa strona równa zeru daje dokładnie jedno rozwiązanie przy równaniu i przy nierówności nieostrej. Więcej takich zadań rozpisanych krok po kroku znajdziesz we wpisie o wartości bezwzględnej na maturze.

> Nierówność ze znakiem większości nigdy nie daje jednego przedziału. Zbiorem rozwiązań są dwie półproste połączone znakiem sumy, a zapisanie ich jako jednego przedziału jest błędem merytorycznym, nie zapisu.

## Pułapki maturalne

- **Koniunkcja zamiast alternatywy przy znaku większości** - Nierówność mówiąca, że moduł jest mniejszy od liczby dodatniej, daje jedną nierówność podwójną i jeden przedział. Nierówność mówiąca, że moduł jest większy, daje dwa warunki połączone słowem lub, czyli dwie rozłączne półproste. Zapisanie ich jako nierówności podwójnej daje zbiór pusty, bo żadna liczba nie jest jednocześnie mniejsza od lewego krańca i większa od prawego.
- **Prawa strona ujemna traktowana jak zwykły przypadek** - Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna, więc warunek mówiący, że jest ona równa liczbie ujemnej albo od niej mniejsza, nie ma rozwiązań w ogóle. Podstawienie takiej liczby do wzoru na krańce przedziału daje parę liczb w odwrotnej kolejności i przedział, którego nie ma. Sprawdzenie znaku prawej strony zajmuje sekundę i ratuje całe zadanie.
- **Zgubiony znak przy przesunięciu wewnątrz modułu** - Wyrażenie z plusem w środku modułu opisuje odległość od liczby ujemnej, a nie od dodatniej. Moduł sumy x oraz dwóch to odległość liczby x od minus dwóch, bo dodawanie dwójki to odejmowanie liczby do niej przeciwnej. Odczytanie tego środka ze złym znakiem przesuwa cały zbiór rozwiązań o podwojoną wartość i nie zostawia żadnego śladu w dalszym rachunku.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 1 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2017-01)
- [Zadanie 6 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2017-06)
- [Zadanie 13 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2016-13)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną?
Przeczytaj ją jako warunek o odległości. Znak mniejszości daje przedział wokół środka, a znak większości dwie półproste. Dla warunku mówiącego, że odległość liczby x od trójki jest mniejsza niż pięć, rozwiązaniem jest przedział otwarty od minus dwóch do ośmiu.

### Co oznacza wartość bezwzględna liczby?
To odległość tej liczby od zera na osi liczbowej, więc wynik nigdy nie jest ujemny. Moduł liczby dodatniej to ta sama liczba, moduł liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna, a moduł zera to zero.

### Kiedy równanie z wartością bezwzględną nie ma rozwiązań?
Wtedy, gdy po prawej stronie stoi liczba ujemna, bo moduł nigdy nie jest ujemny. Gdy po prawej stronie stoi zero, rozwiązanie jest dokładnie jedno, a gdy liczba dodatnia, rozwiązania są dwa i leżą symetrycznie względem środka.

### Jak zapisać przedział domknięty na maturze?
Nawiasami ostrymi, czyli kanciastymi, i to jest zapis używany w arkuszach CKE. Przedział otwarty idzie w nawiasach okrągłych. Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły, bo nieskończoność nie jest liczbą i nie należy do zbioru.

### Czy wartość bezwzględna jest w wymaganiach maturalnych?
Tak, moduł liczby rzeczywistej oraz proste równania i nierówności z wartością bezwzględną są w wymaganiach na poziomie podstawowym. Interpretacja odległościowa nie jest formalnie wymagana, ale to ona najszybciej prowadzi do poprawnej odpowiedzi.


---
route: /narzedzia/kalkulator-nwd-nww
title: Kalkulator NWD i NWW: największy wspólny dzielnik
description: Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub trzech liczb, algorytmem Euklidesa i przez rozkład na czynniki.
---

# Kalkulator NWD i NWW

Największy wspólny dzielnik to najwyższa liczba dzieląca wszystkie dane liczby bez reszty, a najmniejsza wspólna wielokrotność to najniższa liczba przez nie podzielna. Dla dwóch liczb ich iloczyn jest równy iloczynowi tych dwóch wielkości, więc wystarczy policzyć jedną. Kalkulator niżej pokazuje obie drogi: algorytm Euklidesa i rozkład na czynniki pierwsze.

## Wzór

$$\mathrm{NWD}(a, b) \cdot \mathrm{NWW}(a, b) = a \cdot b$$

## Jak to policzyć

1. **Rozłóż liczby na czynniki pierwsze** - Zapisz każdą z liczb jako iloczyn potęg liczb pierwszych. Rozkład jest jednoznaczny, więc obie liczby mają jedną, ustaloną postać i nie ma tu miejsca na wybór. Ten krok opłaca się przy liczbach dwucyfrowych i trzycyfrowych, bo od razu widać, które czynniki są wspólne, a przy większych liczbach bywa dłuższy niż algorytm Euklidesa.
2. **Weź czynniki wspólne w najniższej potędze** - Największy wspólny dzielnik to iloczyn tych liczb pierwszych, które występują w każdym rozkładzie, wziętych z najmniejszym wykładnikiem. Czynnik obecny tylko w jednej z liczb nie wchodzi do dzielnika w ogóle. Gdy wspólnego czynnika nie ma, dzielnikiem jest jedynka, a liczby nazywamy względnie pierwszymi.
3. **Policz dzielnik szybciej algorytmem Euklidesa** - Podziel większą liczbę przez mniejszą i zapisz resztę. Potem podziel poprzedni dzielnik przez tę resztę i powtarzaj, aż reszta wyjdzie zerowa. Ostatnia niezerowa reszta jest największym wspólnym dzielnikiem. Ta droga nie wymaga rozkładania niczego na czynniki i przy liczbach czterocyfrowych jest kilkakrotnie krótsza.
4. **Wyznacz wielokrotność z iloczynu** - Dla dwóch liczb podziel ich iloczyn przez policzony dzielnik. Dla trzech liczb ta zależność już nie działa i wielokrotność liczy się dwukrotnie: najpierw dla pierwszej pary, a potem dla wyniku i trzeciej liczby. Ten sam schemat obowiązuje przy największym wspólnym dzielniku trzech liczb.

## Gdzie to naprawdę wraca w arkuszu

Zadanie proszące wprost o największy wspólny dzielnik pojawia się na maturze rzadko. Obie wielkości wracają natomiast wszędzie tam, gdzie trzeba coś sprowadzić do wspólnego mianownika, skrócić ułamek do postaci nieskracalnej albo rozstrzygnąć, kiedy dwa cykliczne zdarzenia zejdą się w tym samym momencie. Klasyczne zadanie o dwóch autobusach odjeżdżających co dwanaście i co osiemnaście minut jest pytaniem o najmniejszą wspólną wielokrotność, choć ani razu nie pada w nim to określenie.

Drugi obszar to ułamki. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach wymaga wspólnego mianownika, a najmniejszy z możliwych to właśnie najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników. Skracanie idzie w drugą stronę: dzielenie licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik daje od razu postać nieskracalną, bez kilku kroków skracania po kolei.

## Dlaczego algorytm Euklidesa działa

Cały algorytm stoi na jednej obserwacji: każdy wspólny dzielnik dwóch liczb dzieli także ich różnicę, a przez to i resztę z dzielenia jednej przez drugą. Zbiór wspólnych dzielników pary liczb nie zmienia się więc, gdy większą z nich zastąpimy resztą z dzielenia. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika, więc liczby maleją i procedura musi się skończyć.

Ostatnia niezerowa reszta dzieli obie liczby wyjściowe i jest przez każdy ich wspólny dzielnik podzielna, czyli jest największa. To rozumowanie nie jest wymagane na maturze podstawowej, ale warto je znać, bo tłumaczy, czemu algorytm jest tak krótki: przy dwóch liczbach czterocyfrowych kończy się zwykle po pięciu dzieleniach, podczas gdy rozkład na czynniki wymagałby sprawdzenia kilkudziesięciu potencjalnych dzielników.

## Liczby względnie pierwsze i skracanie ułamków

Dwie liczby nazywamy względnie pierwszymi, gdy ich największy wspólny dzielnik jest równy jedynce. Nie znaczy to, że któraś z nich jest pierwsza: liczby osiem i dziewięć są względnie pierwsze, choć obie są złożone. Znaczy tylko tyle, że ich rozkłady nie mają ani jednej wspólnej liczby pierwszej.

Ta własność ma prostą konsekwencję praktyczną. Ułamek jest nieskracalny dokładnie wtedy, gdy jego licznik i mianownik są względnie pierwsze, a dla dwóch liczb względnie pierwszych najmniejsza wspólna wielokrotność jest po prostu ich iloczynem. Kalkulator pokazuje skrócony ułamek jako osobny wiersz wyniku właśnie dlatego, że to jest najczęstsze zastosowanie tego rachunku na maturze. Więcej o cechach podzielności i resztach znajdziesz we wpisie o podzielności liczb.

> Zależność między iloczynem liczb a ich dzielnikiem i wielokrotnością obowiązuje wyłącznie dla dwóch liczb. Dla trzech liczb iloczyn wszystkich trzech wielkości nie jest równy iloczynowi liczb i próba skorzystania ze skrótu daje zły wynik.

## Pułapki maturalne

- **Skrót dla dwóch liczb zastosowany do trzech** - Iloczyn dwóch liczb jest równy iloczynowi ich największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności, ale dla trzech liczb ta równość jest fałszywa. Dla liczb dwa, cztery i osiem dzielnik wynosi dwa, wielokrotność osiem, a iloczyn liczb sześćdziesiąt cztery. Trzy liczby liczy się parami, w dwóch krokach.
- **Czynnik wzięty w najwyższej potędze zamiast najniższej** - Do największego wspólnego dzielnika wchodzą wspólne liczby pierwsze z najmniejszym wykładnikiem, a do najmniejszej wspólnej wielokrotności wszystkie liczby pierwsze z największym. Zamiana tych dwóch reguł miejscami daje wynik, który wygląda sensownie i jest zbudowany z prawidłowych czynników, a mimo to jest po prostu inną liczbą.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 1 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-01)
- [Zadanie 38 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-pp-treningowe-38)
- [Zadanie 7 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-07)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć NWD dwóch liczb?
Najszybciej algorytmem Euklidesa: dziel większą liczbę przez mniejszą, potem dzielnik przez resztę i tak dalej, aż reszta wyjdzie zerowa. Ostatnia niezerowa reszta jest największym wspólnym dzielnikiem. Dla liczb 84 i 36 wychodzi 12.

### Jak obliczyć NWW dwóch liczb?
Podziel iloczyn tych liczb przez ich największy wspólny dzielnik. Dla liczb 84 i 36 iloczyn wynosi 3024, dzielnik 12, więc najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 252. Można też wziąć wszystkie czynniki pierwsze w najwyższej potędze.

### Co to znaczy, że liczby są względnie pierwsze?
To znaczy, że ich największy wspólny dzielnik jest równy jedynce, czyli nie mają wspólnego czynnika pierwszego. Same liczby nie muszą być pierwsze: 15 i 28 są względnie pierwsze, choć pierwsza rozkłada się na 3 i 5, a druga na 2, 2 i 7.

### Jak policzyć NWD trzech liczb?
Parami. Policz dzielnik pierwszych dwóch liczb, a potem dzielnik tego wyniku i trzeciej liczby. Ta sama zasada obowiązuje przy wielokrotności. Skrót z iloczynem działa wyłącznie dla dwóch liczb i przy trzech daje zły wynik.

### Do czego przydaje się NWD na maturze?
Przede wszystkim do skracania ułamków do postaci nieskracalnej i do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika. Wielokrotność wraca w zadaniach o zdarzeniach powtarzających się w stałych odstępach czasu, na przykład o odjazdach dwóch autobusów.


---
route: /narzedzia/rozklad-na-czynniki-pierwsze
title: Rozkład na czynniki pierwsze: kalkulator online
description: Rozłóż liczbę na czynniki pierwsze, zobacz pełne drzewko dzielenia i postać wykładniczą. Do NWD, NWW i skracania pierwiastków.
---

# Rozkład liczby na czynniki pierwsze

Każdą liczbę naturalną większą od jedynki da się zapisać jako iloczyn liczb pierwszych i zapis ten jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników. Rozkład dzieli się przez kolejne liczby pierwsze, zaczynając od dwójki, aż zostanie jedynka. Kalkulator niżej pokazuje kolumnę dzielenia, postać wykładniczą i liczbę wszystkich dzielników.

## Wzór

$$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$$

## Jak to policzyć

1. **Zacznij od najmniejszej liczby pierwszej** - Sprawdź, czy liczba dzieli się przez dwa, i dziel tak długo, jak się da. Potem przejdź do trójki, potem do piątki, siódemki i kolejnych liczb pierwszych. Kolejność od najmniejszej nie jest obowiązkowa, ale porządkuje rachunek i sprawia, że żaden czynnik nie zostaje pominięty.
2. **Zapisuj w kolumnie** - Po lewej stronie kreski stoi dzielona liczba, po prawej dzielnik, a w kolejnym wierszu iloraz. Kolumna kończy się jedynką po lewej stronie, a wszystkie liczby po prawej tworzą szukany rozkład. Ten zapis niesie dokładnie tę samą informację co drzewko czynników, tylko każdy podział ma w nim własny wiersz, więc trudniej zgubić czynnik.
3. **Wiedz, kiedy przestać** - Sufit dzielenia to pierwiastek z tego, co jeszcze zostało do rozłożenia, a on maleje z każdym krokiem. Gdy żaden kandydat poniżej niego nie dzieli, reszta jest już liczbą pierwszą i wchodzi do rozkładu w całości. Liczbę czterocyfrową rozkłada się dzięki temu sprawdzając około dwudziestu pięciu dzielników, a nie kilkaset.
4. **Zapisz wynik potęgami** - Powtarzające się czynniki zbierz w potęgi. Postać z wykładnikami jest krótsza, łatwiejsza do porównania z innym rozkładem i daje od razu dwie dodatkowe informacje: liczbę wszystkich dzielników jako iloczyn wykładników powiększonych o jeden oraz to, co da się wyciągnąć przed pierwiastek kwadratowy.

## Podstawowe twierdzenie arytmetyki po ludzku

Twierdzenie mówi, że każda liczba naturalna większa od jedynki jest iloczynem liczb pierwszych i że taki zapis jest tylko jeden, jeśli nie liczyć zmiany kolejności czynników. To znaczy, że rozkład liczby jest jej trwałą cechą, a nie efektem tego, od którego dzielnika ktoś zaczął. Dwie osoby liczące rozkład różnymi drogami muszą dojść do tego samego wyniku.

Ta jednoznaczność jest powodem, dla którego rozkład jest tak użyteczny. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb odczytuje się z ich rozkładów, biorąc wspólne czynniki w najniższej potędze, a najmniejszą wspólną wielokrotność biorąc wszystkie czynniki w najwyższej. Podzielność jednej liczby przez drugą sprowadza się do porównania wykładników, a nie do dzielenia.

## Liczba dzielników prosto z wykładników

Dzielnik liczby powstaje przez wybranie z jej rozkładu każdego czynnika pierwszego w potędze od zera do jego wykładnika. Dla liczby zapisanej jako dwa do trzeciej razy trzy do drugiej razy pięć wybór wygląda tak: dwójka w jednej z czterech potęg, trójka w jednej z trzech, piątka w jednej z dwóch. Możliwości jest dwadzieścia cztery i tyle właśnie liczba ma dzielników naturalnych.

Reguła jest więc prosta: pomnóż wykładniki powiększone o jeden. Zadania maturalne lubią pytać o liczbę dzielników albo o liczbę dzielników parzystych, a to drugie pytanie rozwiązuje się przez wymuszenie co najmniej pierwszej potęgi dwójki. Ten sam rachunek odpowiada też na pytanie, ile jest dzielników będących kwadratami: wtedy z każdego czynnika bierze się wyłącznie potęgi parzyste.

## Wyciąganie czynnika przed pierwiastek

Upraszczanie pierwiastka kwadratowego to ten sam rozkład czytany pod kątem par. Każda para jednakowych czynników pod pierwiastkiem wychodzi przed niego jako pojedynczy czynnik, a to, co nie ma pary, zostaje w środku. Liczba siedemdziesiąt dwa rozkłada się na dwa do trzeciej razy trzy do drugiej, więc spod pierwiastka wychodzi dwójka i trójka, czyli sześć, a w środku zostaje dwójka.

To jest szybsza droga niż zgadywanie największego kwadratu ukrytego w liczbie, i jedyna pewna przy liczbach trzycyfrowych. Ta sama obserwacja mówi, kiedy pierwiastek jest liczbą naturalną: dokładnie wtedy, gdy każdy wykładnik w rozkładzie jest parzysty. Więcej ćwiczeń na upraszczanie pierwiastków znajdziesz we wpisie o działaniach na pierwiastkach.

> Jedynka nie ma rozkładu na czynniki pierwsze, bo nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną. Dlaczego akurat tak stoi definicja, wyjaśnia osobna sekcja przy tablicy liczb pierwszych do tysiąca.

## Pułapki maturalne

- **Dzielenie przez liczbę złożoną** - Podzielenie liczby przez cztery albo przez sześć nie jest błędem rachunkowym, ale nie daje rozkładu na czynniki pierwsze, tylko rozkład na jakieś czynniki. Do wyniku muszą wejść wyłącznie liczby pierwsze, więc czwórkę trzeba rozbić na dwie dwójki, a szóstkę na dwójkę i trójkę.
- **Porzucenie ostatniej reszty** - Gdy po wyczerpaniu małych dzielników zostaje liczba większa od jedynki, jest ona liczbą pierwszą i musi wejść do rozkładu. Pominięcie jej daje iloczyn mniejszy od liczby wyjściowej, co widać natychmiast po przemnożeniu czynników. Sprawdzenie wyniku przez wymnożenie zajmuje kilkanaście sekund.
- **Wykładnik mylony z czynnikiem przy liczeniu dzielników** - Liczba dzielników to iloczyn wykładników powiększonych o jeden, a nie iloczyn samych czynników ani ich suma. Dla liczby dwa do trzeciej razy trzy dzielników jest osiem, a nie sześć i nie pięć. Ten błąd daje wynik zbliżony do prawidłowego, więc rzadko rzuca się w oczy.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 4 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-04)
- [Zadanie 3 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-03)
- [Zadanie 5 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2025-pp-05)

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?
Dziel ją kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, zaczynając od dwójki, i zapisuj wyniki w kolumnie, aż zostanie jedynka. Dla liczby 84 wychodzi kolejno 2, 2, 3 oraz 7, czyli rozkład 2 do drugiej razy 3 razy 7.

### Jak obliczyć liczbę dzielników liczby naturalnej?
Powiększ każdy wykładnik z rozkładu o jeden i pomnóż otrzymane liczby. Dla liczby 360, czyli 2 do trzeciej razy 3 do drugiej razy 5, wychodzi iloczyn czterech, trzech i dwóch, więc dzielników jest dwadzieścia cztery.

### Czy jedynka może wystąpić w rozkładzie na czynniki pierwsze?
Nie. Mnożenie przez jedynkę niczego nie zmienia, więc dopisanie jej do iloczynu nie daje nowej informacji, a odbiera rozkładowi jednoznaczność: dopisać dałoby się ją dowolną liczbę razy. Rozkład kończy się w chwili, gdy po lewej stronie kolumny zostaje jedynka, i ona sama do wyniku nie wchodzi.

### Jak wyciągnąć czynnik przed pierwiastek?
Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze i wyprowadź przed pierwiastek po jednym czynniku z każdej pary. Dla liczby 72, czyli 2 do trzeciej razy 3 do drugiej, wychodzi sześć przed pierwiastkiem i dwójka pod nim.

### Do czego służy rozkład na czynniki na maturze?
Do skracania ułamków, do wyznaczania największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności, do upraszczania pierwiastków oraz do dowodów podzielności, w których wyłącza się wspólny czynnik przed nawias.


---
route: /narzedzia/liczby-pierwsze-do-1000
title: Liczby pierwsze do 1000: pełna tablica i test
description: Wszystkie 168 liczb pierwszych do 1000 w jednej tablicy plus test pierwszości dowolnej liczby. Sito Eratostenesa wyjaśnione na przykładzie.
---

# Liczby pierwsze do 1000: tablica

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i samą siebie. Poniżej tysiąca jest ich sto sześćdziesiąt osiem, a najmniejsza z nich to dwójka, jedyna parzysta w całym zbiorze. Tablica niżej zawiera je wszystkie, a pole obok sprawdza dowolną liczbę i pokazuje, które dzielniki trzeba było przetestować.

## Wzór

$$n = p \cdot q \implies \min(p, q) \le \sqrt{n}$$

## Jak to policzyć

1. **Odrzuć oczywiste przypadki** - Jedynka nie jest ani pierwsza, ani złożona. Każda liczba parzysta większa od dwójki jest złożona, bo dzieli się przez dwa. Każda liczba kończąca się piątką i większa od piątki jest złożona, bo dzieli się przez pięć. Te trzy obserwacje odrzucają większość kandydatów bez jednego dzielenia.
2. **Policz pierwiastek z liczby** - Wystarczy sprawdzać dzielniki nie większe od pierwiastka kwadratowego z badanej liczby. Gdyby liczba miała dzielnik większy od pierwiastka, to drugi czynnik tego samego iloczynu byłby od pierwiastka mniejszy i znalazłbyś go wcześniej. Dla liczby 997 wystarczy więc sprawdzić dzielniki do trzydziestu jeden.
3. **Sprawdzaj wyłącznie liczby pierwsze** - Nie ma sensu dzielić przez cztery, sześć czy dziewięć: jeśli liczba dzieli się przez cztery, to dzieli się też przez dwa, więc odpadła już wcześniej. Kandydatami są wyłącznie liczby pierwsze nie większe od pierwiastka, czyli dla liczb trzycyfrowych najwyżej jedenaście testów.
4. **Wyciągnij wniosek** - Jeżeli żaden ze sprawdzonych dzielników nie dzieli liczby bez reszty, liczba jest pierwsza. Jeżeli któryś dzieli, liczba jest złożona i znalazłeś przy okazji jej najmniejszy dzielnik większy od jedynki, czyli pierwszy krok rozkładu na czynniki pierwsze.

## Sito Eratostenesa na przykładzie liczb od 1 do 30

Sito to metoda wykreślania, a nie sprawdzania. Wypisujesz liczby od dwóch do trzydziestu, zakreślasz dwójkę i wykreślasz wszystkie jej wielokrotności: cztery, sześć, osiem i tak dalej aż do trzydziestu. Pierwsza niewykreślona liczba to trójka, więc ją zakreślasz i wykreślasz jej wielokrotności: sześć, dziewięć, dwanaście, piętnaście. Kolejna niewykreślona to piątka i powtarzasz to samo.

Po piątce można przestać, bo pierwiastek z trzydziestu jest mniejszy od sześciu, a każda liczba złożona nie większa od trzydziestu ma dzielnik nie większy od pierwiastka z niej. To, co zostało niewykreślone, to komplet liczb pierwszych w tym zakresie: dwa, trzy, pięć, siedem, jedenaście, trzynaście, siedemnaście, dziewiętnaście, dwadzieścia trzy oraz dwadzieścia dziewięć. Dziesięć liczb na trzydzieści.

## Po co liczby pierwsze na maturze

Egzamin nie pyta wprost, czy dana liczba jest pierwsza, ale opiera się na liczbach pierwszych w trzech miejscach naraz. Pierwsze to rozkład na czynniki, od którego zaczyna się skracanie ułamków, wyznaczanie największego wspólnego dzielnika i upraszczanie pierwiastków. Drugie to dowody podzielności, w których wyłącza się wspólny czynnik przed nawias i pokazuje, że jest on pierwszy albo że iloczyn zawiera potrzebny czynnik.

Trzecie miejsce to zadania o resztach z dzielenia, gdzie dzielnikiem prawie zawsze jest liczba pierwsza, najczęściej trzy, pięć albo siedem. Wynika to z własności, która przy liczbach złożonych nie zachodzi: iloczyn dwóch liczb dzieli się przez liczbę pierwszą tylko wtedy, gdy dzieli się przez nią któryś z czynników. To ona pozwala z podzielności iloczynu wnioskować o czynnikach.

## Dlaczego jedynka nie jest liczbą pierwszą

Definicja mówi, że liczba pierwsza to liczba naturalna mająca dokładnie dwa różne dzielniki naturalne. Jedynka ma jeden, więc definicji nie spełnia. Nie jest też złożona, bo liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki. Jedynka stoi po prostu poza tym podziałem i jest to świadoma decyzja, a nie wyjątek dla wygody.

Powód jest głębszy niż zliczanie dzielników. Gdyby jedynka była pierwsza, rozkład liczby na czynniki pierwsze przestałby być jednoznaczny: liczbę sześć dałoby się zapisać jako iloczyn dwójki i trójki, ale także jako iloczyn jedynki, dwójki i trójki, i tak dalej bez końca. Jednoznaczność rozkładu jest zaś tym, na czym stoi cała reszta rachunków w tym dziale. Zadania z bazy CKE z tego materiału zebraliśmy we wpisie z zadaniami z liczb rzeczywistych.

## Jak gęsto leżą liczby pierwsze

Tablica wyżej pokazuje coś, czego sama definicja nie zdradza: liczby pierwsze rzedną. W pierwszej setce jest ich dwadzieścia pięć, czyli co czwarta liczba, w piątej już siedemnaście, a w ostatniej setce pierwszego tysiąca czternaście. Ubytek nie jest gwałtowny i nigdy nie dochodzi do zera, ale jest stały, a powód widać wprost na sicie: każda kolejna liczba pierwsza wykreśla swoje wielokrotności, więc kandydatów ubywa z każdym przebiegiem, a im większa liczba, tym więcej ma szans na dzielnik mniejszy od swojego pierwiastka.

Rzednięcie nie znaczy jednak, że liczby pierwsze kiedyś się kończą, ani że układają się coraz równomierniej. Wśród liczb trzycyfrowych stoją obok siebie pary różniące się o dwa, na przykład 821 i 823 albo 881 i 883, a zaraz obok ciągną się odcinki bez ani jednej liczby pierwszej: między 887 a 907 nie ma żadnej. Pary bliźniacze i luki występują naprzemiennie przez całą oś i żadna prosta reguła nie mówi z góry, gdzie wypadnie następna liczba pierwsza.

Praktyczny wniosek dla arkusza jest krótszy niż teoria. Skoro w pierwszej setce liczb pierwszych jest dwadzieścia pięć, a pierwiastek z największej liczby czterocyfrowej jest mniejszy od stu, to test pierwszości dowolnej liczby czterocyfrowej wymaga najwyżej dwudziestu pięciu dzieleń. Ta sama tablica wystarcza więc do rozłożenia na czynniki każdej liczby, jaka pada w zadaniu; jak przeprowadzić taki rozkład krok po kroku, pokazuje kalkulator rozkładu na czynniki pierwsze.

**Ile liczb pierwszych jest w kolejnych setkach pierwszego tysiąca**

| Zakres | Liczby pierwsze w zakresie | Łącznie od początku |
| --- | --- | --- |
| 1 do 100 | 25 | 25 |
| 101 do 200 | 21 | 46 |
| 201 do 300 | 16 | 62 |
| 301 do 400 | 16 | 78 |
| 401 do 500 | 17 | 95 |
| 501 do 600 | 14 | 109 |
| 601 do 700 | 16 | 125 |
| 701 do 800 | 14 | 139 |
| 801 do 900 | 15 | 154 |
| 901 do 1000 | 14 | 168 |

## Pułapki maturalne

- **Sprawdzanie dzielników aż do połowy liczby** - Wystarczy dojść do pierwiastka kwadratowego z badanej liczby, a nie do jej połowy. Dla liczby 997 pierwiastek jest mniejszy od trzydziestu dwóch, więc testów jest jedenaście, a nie kilkaset. Bez tej obserwacji test pierwszości liczby trzycyfrowej nie mieści się w czasie, który daje arkusz.
- **Dwójka pomijana jako liczba parzysta** - Dwójka jest liczbą pierwszą i jedyną parzystą liczbą pierwszą. Zdanie mówiące, że wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste, jest fałszywe i w zadaniach typu prawda albo fałsz jest to najczęściej sprawdzane rozróżnienie w tym temacie.
- **Mylenie liczb pierwszych z liczbami względnie pierwszymi** - Liczba pierwsza to cecha jednej liczby, a względna pierwszość to relacja między dwiema. Liczby osiem i dziewięć są względnie pierwsze, choć żadna z nich pierwsza nie jest. To dwa różne pojęcia i podstawienie jednego w miejsce drugiego zmienia treść zadania.

## Zadania z arkuszy CKE

- [Zadanie 15 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2023-pp-15)
- [Zadanie 3 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2023-03)
- [Zadanie 5 z działu Liczby rzeczywiste](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-luty-2026-05)

## Najczęściej zadawane pytania

### Ile jest liczb pierwszych do 1000?
Sto sześćdziesiąt osiem. W pierwszej setce jest ich dwadzieścia pięć, w drugiej dwadzieścia jeden, a w ostatniej setce pierwszego tysiąca już tylko czternaście. Liczby pierwsze rzedną, im dalej w górę osi, ale nigdy się nie kończą.

### Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?
Podziel ją przez kolejne liczby pierwsze nie większe od pierwiastka kwadratowego z niej. Jeśli żadna nie dzieli bez reszty, liczba jest pierwsza. Dla liczby 221 wystarczy dojść do czternastu i znaleźć dzielnik trzynaście, bo 221 to iloczyn trzynastu i siedemnastu.

### Czy 1 jest liczbą pierwszą?
Nie jest ani pierwsza, ani złożona. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki naturalne, a jedynka ma jeden. Wykluczenie jedynki jest tym, co pozwala mówić o jednoznacznym rozkładzie każdej liczby na czynniki pierwsze.

### Ile jest liczb pierwszych do 100?
Dwadzieścia pięć: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 oraz 97. To jest ten zakres, który warto mieć w pamięci, bo pokrywa wszystkie dzielniki potrzebne do rozłożenia liczby czterocyfrowej.

### Czy liczby pierwsze się kończą?
Nie, jest ich nieskończenie wiele, co udowodnił Euklides ponad dwa tysiące lat temu. Dowód jest krótki: gdyby był ich skończony zbiór, iloczyn wszystkich powiększony o jeden nie dzieliłby się przez żadną z nich, a jakiś dzielnik pierwszy mieć musi.

### Czy tablice maturalne zawierają liczby pierwsze?
Nie. Karta wzorów wydawana na egzaminie nie ma tablicy liczb pierwszych, więc rozkład na czynniki trzeba wykonać samodzielnie. To dlatego znajomość liczb pierwszych do stu jest realną oszczędnością czasu na arkuszu.


---
route: /wzory
title: Wzory matematyczne na maturę 2027
---

# Wzory matematyczne na maturę

Wzory do matury z matematyki z interaktywnymi kalkulatorami i tabelą trygonometryczną, pogrupowane działami.

---
route: /wzory/tabela-trygonometryczna
title: Tabela trygonometryczna: wartości sin, cos, tg, ctg
description: Pełna tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni i całego zakresu 0-360. Wartości dokładne i dziesiętne, przełącznik stopnie/radiany, kopiowanie. Do matury z matematyki.
---

# Tabela trygonometryczna: sin, cos, tg, ctg

Tabela trygonometryczna podaje wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla podstawowych kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni. Te wartości musisz znać na pamięć do zadań z trygonometrii i planimetrii na maturze. Poniżej interaktywna tabela z wartościami dokładnymi i przybliżonymi.

Wzór: \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2},\quad \cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \operatorname{tg} 60^\circ=\sqrt{3}

## Jak czytać tabelę trygonometryczną

Wiersz to kąt (w stopniach lub radianach), a kolumny to wartości czterech funkcji: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni są na maturze najczęstsze, dlatego warto zapamiętać je w postaci dokładnej, na przykład \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

## Kąty, których wartości trzeba znać

- \(0^\circ\): \(\sin 0^\circ=0\), \(\cos 0^\circ=1\)
- \(30^\circ\): \(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\), \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(45^\circ\): \(\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(60^\circ\): \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\)
- \(90^\circ\): \(\sin 90^\circ=1\), \(\cos 90^\circ=0\)

## Tangens i cotangens

Tangens to \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), więc dla \(90^\circ\) nie istnieje (cosinus jest zerem). Cotangens \(\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) nie istnieje dla \(0^\circ\). Włącz pełny zakres w tabeli, aby zobaczyć wartości w drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce.

## Najczęściej zadawane pytania

### Czy tabela trygonometryczna jest w karcie wzorów CKE?
Tak, tablica wartości funkcji trygonometrycznych znajduje się na końcu karty wzorów CKE. Mimo to wartości dla 30, 45 i 60 stopni warto znać na pamięć, bo oszczędza to czas na maturze.

### Ile wynosi tangens 60 stopni?
Tangens 60 stopni jest równy pierwiastkowi z 3, czyli w przybliżeniu 1,73. Wynika to z ilorazu sinusa i cosinusa: tg 60 = (√3/2) : (1/2) = √3.

### Dlaczego tangens 90 stopni nie istnieje?
Tangens to sinus podzielony przez cosinus. Dla 90 stopni cosinus jest równy zero, a dzielenie przez zero jest niewykonalne, dlatego tangens 90 stopni nie istnieje.


---
route: /wzory/wzory-redukcyjne
title: Wzory redukcyjne trygonometria: tabela i jak stosować
description: Wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych: jak sprowadzić sin, cos, tg dowolnego kąta do kąta ostrego. Tabela, zasada ćwiartek i przykłady do matury z matematyki.
---

# Wzory redukcyjne: tabela i zasady

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić wartość funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta do kąta ostrego od 0 do 90 stopni. Zasada jest prosta: sprawdzasz, w której ćwiartce leży kąt, ustalasz znak funkcji i ewentualnie zamieniasz sinus na cosinus, gdy odejmujesz lub dodajesz 90 stopni.

Wzór: \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

## Zasada znaku w ćwiartkach

Znak wartości funkcji zależy od ćwiartki, w której leży kąt. Pomocna jest reguła "w pierwszej wszystkie dodatnie", a dalej dodatnie pozostają kolejno: sinus, tangens i cotangens, cosinus.

| Ćwiartka | sin | cos | tg |
| --- | --- | --- | --- |
| I (0-90) | + | + | + |
| II (90-180) | + | - | - |
| III (180-270) | - | - | + |
| IV (270-360) | - | + | - |

## Najważniejsze wzory

- \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\)
- \(\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\)
- \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\)
- \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\)
- \(\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin\alpha\)

## Przykład

Obliczmy \(\cos 150^\circ\). Kąt leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, więc \(\cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

## Najczęściej zadawane pytania

### Po co stosuje się wzory redukcyjne?
Wzory redukcyjne pozwalają policzyć wartość funkcji trygonometrycznej dla kąta większego niż 90 stopni, sprowadzając go do kąta ostrego, którego wartość znasz z tabeli trygonometrycznej.

### Jak zapamiętać znaki w ćwiartkach?
Pomocna jest zasada, że w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej dodatni jest tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus.

### Czy wzory redukcyjne są w karcie wzorów?
Karta wzorów CKE zawiera podstawowe tożsamości, ale pełnej tabeli wzorów redukcyjnych w niej nie ma. Warto opanować zasadę ćwiartek, by wyprowadzić je samodzielnie.


---
route: /wzory/pole-rombu
title: Pole rombu: wzór i kalkulator online (3 sposoby)
description: Wzór na pole rombu z przekątnych, z boku i wysokości oraz z kąta. Interaktywny kalkulator pola rombu i przykład krok po kroku do matury z matematyki.
---

# Pole rombu: wzór i kalkulator

Pole rombu najłatwiej policzyć z przekątnych: jest równe połowie iloczynu długości obu przekątnych. Jeśli przekątne mają długości d1 i d2, to pole wynosi P = (d1 razy d2) podzielone przez 2. Romb można też liczyć z boku i wysokości albo z kąta między bokami.

Wzór: P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

## Trzy wzory na pole rombu

- Z przekątnych: \(P=\frac{d_1 \cdot d_2}{2}\)
- Z boku i wysokości: \(P=a \cdot h\)
- Z boku i kąta: \(P=a^2 \sin\alpha\)

Najczęściej na maturze podane są przekątne, dlatego pierwszy wzór jest najważniejszy.

## Przykład krok po kroku

Romb ma przekątne \(d_1=8\) i \(d_2=6\). Podstawiamy do wzoru: \(P=\frac{8 \cdot 6}{2}=\frac{48}{2}=24\). Pole rombu wynosi 24 jednostki kwadratowe. Sprawdź wynik w kalkulatorze powyżej, wpisując własne dane.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć pole rombu z przekątnych?
Pole rombu z przekątnych liczy się jako połowa iloczynu długości obu przekątnych: P = (d1 razy d2) / 2. Na przykład dla przekątnych 8 i 6 pole wynosi 24.

### Czy wzór na pole rombu jest w karcie wzorów CKE?
Tak, wzory na pole rombu (z przekątnych oraz z boku i kąta) znajdują się w karcie wzorów CKE w dziale planimetria. Warto je jednak znać, by nie tracić czasu na maturze.

### Czym różni się pole rombu od pola równoległoboku?
Romb to szczególny równoległobok o wszystkich bokach równych. Wzór z boku i wysokości P = a razy h jest taki sam, ale tylko w rombie można wygodnie liczyć pole z przekątnych.


---
route: /wzory/pole-trojkata-rownobocznego
title: Pole trójkąta równobocznego: wzór i kalkulator online
description: Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a oraz wzór na wysokość. Interaktywny kalkulator i przykład krok po kroku do matury z matematyki.
---

# Pole trójkąta równobocznego: wzór i kalkulator

Pole trójkąta równobocznego o boku a jest równe a do kwadratu razy pierwiastek z 3, podzielone przez 4. Wysokość takiego trójkąta to a razy pierwiastek z 3, podzielone przez 2. Oba wzory wynikają z twierdzenia Pitagorasa i są bardzo częste na maturze.

Wzór: P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

## Wzory dla trójkąta równobocznego

- Pole: \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
- Wysokość: \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
- Promień okręgu opisanego: \(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
- Promień okręgu wpisanego: \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

## Przykład

Trójkąt równoboczny ma bok \(a=4\). Pole to \(P=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\). W przybliżeniu to około 6,93. Wpisz własny bok w kalkulatorze, aby od razu zobaczyć wynik liczbowy.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jaki jest wzór na pole trójkąta równobocznego?
Pole trójkąta równobocznego o boku a wynosi P = a do kwadratu razy pierwiastek z 3, podzielone przez 4. Na przykład dla boku 4 pole jest równe 4 pierwiastki z 3, czyli około 6,93.

### Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego?
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a jest równa a razy pierwiastek z 3, podzielone przez 2. Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do połowy trójkąta.

### Czy ten wzór jest w karcie wzorów?
Karta wzorów CKE podaje ogólne wzory na pole trójkąta, a wzór dla trójkąta równobocznego łatwo z nich wyprowadzić. Warto znać go na pamięć, bo pojawia się w wielu zadaniach.


---
route: /wzory/pole-trapezu
title: Pole trapezu: wzór, kalkulator i przykłady
description: Wzór na pole trapezu z podstaw a i b oraz wysokości h. Interaktywny kalkulator pola trapezu i przykład krok po kroku do matury z matematyki.
---

# Pole trapezu: wzór i kalkulator

Pole trapezu jest równe sumie obu podstaw podzielonej przez 2 i pomnożonej przez wysokość. Jeśli podstawy mają długości a i b, a wysokość to h, to pole wynosi P = ((a + b) / 2) razy h. Wzór działa dla każdego trapezu.

Wzór: P = \frac{a + b}{2} \cdot h

## Wzór na pole trapezu

Pole trapezu to średnia długości podstaw pomnożona przez wysokość: \(P=\frac{a+b}{2}\cdot h\). Wysokość to odległość między równoległymi podstawami, mierzona prostopadle.

## Przykład

Trapez ma podstawy \(a=10\) i \(b=6\) oraz wysokość \(h=4\). Pole to \(P=\frac{10+6}{2}\cdot 4=\frac{16}{2}\cdot 4=8\cdot 4=32\). Pole trapezu wynosi 32 jednostki kwadratowe.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć pole trapezu?
Pole trapezu liczy się jako sumę podstaw podzieloną przez 2 i pomnożoną przez wysokość: P = ((a + b) / 2) razy h. Dla podstaw 10 i 6 oraz wysokości 4 pole wynosi 32.

### Co jest wysokością trapezu?
Wysokość trapezu to odcinek prostopadły łączący obie równoległe podstawy. To nie jest długość ramienia, chyba że trapez jest prostokątny i ramię jest prostopadłe do podstaw.

### Czy wzór na pole trapezu jest w karcie wzorów?
Tak, wzór na pole trapezu znajduje się w karcie wzorów CKE w dziale planimetria. Jest jednym z najprostszych i najczęściej używanych wzorów na maturze.


---
route: /wzory/pole-rownolegloboku
title: Pole równoległoboku: wzór i kalkulator online
description: Wzór na pole równoległoboku z podstawy i wysokości oraz z boków i kąta. Interaktywny kalkulator i przykład krok po kroku do matury z matematyki.
---

# Pole równoległoboku: wzór i kalkulator

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę: P = a razy h. Można je też policzyć z dwóch boków i kąta między nimi: P = a razy b razy sinus kąta. Wzór z podstawy i wysokości jest najprostszy.

Wzór: P = a \cdot h

## Dwa wzory na pole równoległoboku

- Z podstawy i wysokości: \(P=a\cdot h\)
- Z boków i kąta: \(P=a\cdot b\cdot\sin\alpha\)

Wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie długość drugiego boku.

## Przykład

Równoległobok ma podstawę \(a=7\) i wysokość \(h=3\). Pole to \(P=7\cdot 3=21\) jednostek kwadratowych.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć pole równoległoboku?
Pole równoległoboku to iloczyn podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę: P = a razy h. Dla podstawy 7 i wysokości 3 pole wynosi 21.

### Czy bok może być wysokością równoległoboku?
Tylko w prostokącie, gdzie boki są prostopadłe. W zwykłym równoległoboku wysokość jest krótsza od ramienia, bo to odcinek prostopadły do podstawy.

### Jaki jest wzór na pole z kąta?
Jeśli znasz dwa sąsiednie boki a i b oraz kąt między nimi, pole równoległoboku liczysz jako P = a razy b razy sinus tego kąta.


---
route: /wzory/pole-kola
title: Pole koła: wzór, obwód okręgu i kalkulator
description: Wzór na pole koła P = pi r kwadrat oraz obwód okręgu. Interaktywny kalkulator pola koła i przykład krok po kroku do matury z matematyki.
---

# Pole koła i obwód: wzór i kalkulator

Pole koła jest równe liczbie pi pomnożonej przez kwadrat promienia: P = pi razy r do kwadratu. Obwód okręgu o tym samym promieniu wynosi L = 2 razy pi razy r. Promień to odległość od środka do brzegu koła.

Wzór: P = \pi r^2

## Wzory dla koła i okręgu

- Pole koła: \(P=\pi r^2\)
- Obwód okręgu: \(L=2\pi r\)
- Jeśli znasz średnicę \(d\): \(r=\frac{d}{2}\)

## Przykład

Koło ma promień \(r=5\). Pole to \(P=\pi\cdot 5^2=25\pi\), czyli w przybliżeniu 78,54. Obwód okręgu wynosi \(L=2\pi\cdot 5=10\pi\), czyli około 31,42.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć pole koła?
Pole koła liczy się ze wzoru P = pi razy r do kwadratu, gdzie r to promień. Dla promienia 5 pole wynosi 25 pi, czyli w przybliżeniu 78,54.

### Jaka jest różnica między kołem a okręgiem?
Okrąg to sama linia, czyli brzeg, a koło to okrąg wraz z wnętrzem. Dlatego okrąg ma obwód, a koło ma pole.

### Jak policzyć pole, gdy znam średnicę?
Najpierw oblicz promień jako połowę średnicy, czyli r = d / 2, a potem podstaw do wzoru P = pi razy r do kwadratu.


---
route: /wzory/wzory-skroconego-mnozenia
title: Wzory skróconego mnożenia: lista, przykłady i zadania
description: Komplet wzorów skróconego mnożenia: kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy i różnicy oraz suma i różnica sześcianów. Przykłady do matury z matematyki.
---

# Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko podnieść do kwadratu lub sześcianu sumę i różnicę oraz rozłożyć wyrażenia na czynniki. Najważniejsze to kwadrat sumy (a plus b) do kwadratu, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. Na maturze nie ma ich w karcie wzorów, więc trzeba znać je na pamięć.

Wzór: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

## Komplet wzorów

- Kwadrat sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- Kwadrat różnicy: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- Różnica kwadratów: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
- Sześcian sumy: \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
- Sześcian różnicy: \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
- Suma sześcianów: \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
- Różnica sześcianów: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

## Przykład

Rozłóżmy na czynniki \(x^2-9\). To różnica kwadratów, bo \(9=3^2\), więc \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Taki rozkład bardzo upraszcza rozwiązywanie równań i skracanie ułamków algebraicznych.

## Najczęściej zadawane pytania

### Czy wzory skróconego mnożenia są w karcie wzorów CKE?
Nie, wzorów skróconego mnożenia nie ma w karcie wzorów CKE. Trzeba je znać na pamięć, bo są jednym z najczęściej używanych narzędzi na maturze z matematyki.

### Do czego służy różnica kwadratów?
Różnica kwadratów a do kwadratu minus b do kwadratu rozkłada się na (a minus b) razy (a plus b). Używa się jej do rozkładu na czynniki, skracania ułamków i rozwiązywania równań.

### Jak zapamiętać kwadrat różnicy?
Kwadrat różnicy (a minus b) do kwadratu to a do kwadratu minus 2ab plus b do kwadratu. Jedyna różnica względem kwadratu sumy to znak minus przy podwójnym iloczynie.


---
route: /wzory/delta-rownanie-kwadratowe
title: Wzór na deltę: b² - 4ac i znak wyróżnika
description: Wzór na deltę równania kwadratowego, wzory na pierwiastki x1 i x2 oraz interpretacja znaku wyróżnika. Przykład liczbowy krok po kroku do matury z matematyki.
---

# Wzór na deltę równania kwadratowego

Delta, czyli wyróżnik równania kwadratowego, to b do kwadratu minus 4ac. Gdy delta jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki, gdy równa zero, jeden pierwiastek podwójny, a gdy ujemna, nie ma pierwiastków rzeczywistych. Delta jest punktem wyjścia do wzorów na pierwiastki.

Wzór: \Delta = b^2 - 4ac

## Delta i pierwiastki

Dla równania \(ax^2+bx+c=0\) liczymy wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac\), a następnie pierwiastki:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

## Znak delty

- \(\Delta>0\): dwa różne pierwiastki rzeczywiste
- \(\Delta=0\): jeden pierwiastek podwójny \(x_0=\frac{-b}{2a}\)
- \(\Delta<0\): brak pierwiastków rzeczywistych

## Przykład

Dla \(x^2-5x+6=0\) mamy \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\), więc \(\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1\). Delta jest dodatnia, więc są dwa pierwiastki: \(x_1=2\) i \(x_2=3\).

Chcesz podstawić własne współczynniki i zobaczyć pierwiastki, wierzchołek oraz postać kanoniczną? Policz to w [kalkulatorze funkcji kwadratowej](/narzedzia/kalkulator-funkcji-kwadratowej).

## Najczęściej zadawane pytania

### Jaki jest wzór na deltę?
Delta równania kwadratowego ax do kwadratu plus bx plus c liczy się ze wzoru delta = b do kwadratu minus 4ac. To wyróżnik decydujący o liczbie pierwiastków.

### Co oznacza ujemna delta?
Ujemna delta oznacza, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, czyli parabola nie przecina osi X. Pierwiastki istnieją tylko gdy delta jest większa lub równa zero.

### Co gdy delta równa się zero?
Gdy delta jest równa zero, równanie ma dokładnie jeden pierwiastek podwójny, dany wzorem x = minus b podzielone przez 2a. Parabola jest wtedy styczna do osi X.


---
route: /wzory/ciag-arytmetyczny
title: Ciąg arytmetyczny: wzór na n-ty wyraz i sumę
description: Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, sumę n początkowych wyrazów i własność średniej. Interaktywny kalkulator wyrazu ciągu i przykład do matury z matematyki.
---

# Ciąg arytmetyczny: wzory i kalkulator

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy r. N-ty wyraz liczymy ze wzoru a_n = a1 plus (n minus 1) razy r. Suma n początkowych wyrazów to średnia pierwszego i n-tego wyrazu pomnożona przez n.

Wzór: a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

## Najważniejsze wzory

- N-ty wyraz: \(a_n=a_1+(n-1)r\)
- Suma n wyrazów: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
- Własność średniej: \(a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\)

Różnica \(r\) to stała, o którą rośnie lub maleje ciąg: \(r=a_{n+1}-a_n\).

## Przykład

Mamy ciąg o pierwszym wyrazie \(a_1=3\) i różnicy \(r=2\). Dziesiąty wyraz to \(a_{10}=3+(10-1)\cdot 2=3+18=21\). Wynik możesz sprawdzić w kalkulatorze powyżej.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
N-ty wyraz liczy się ze wzoru a_n = a1 plus (n minus 1) razy r, gdzie a1 to pierwszy wyraz, a r to różnica ciągu. Dla a1 = 3, r = 2 i n = 10 wyraz wynosi 21.

### Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny?
Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między każdym kolejnym i poprzednim wyrazem jest stała. Wystarczy sprawdzić, że a2 minus a1 jest równe a3 minus a2.

### Jaki jest wzór na sumę ciągu arytmetycznego?
Suma n początkowych wyrazów to S_n = ((a1 plus a_n) / 2) razy n, czyli średnia pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożona przez ich liczbę.


---
route: /wzory/ciag-geometryczny
title: Ciąg geometryczny: wzór na n-ty wyraz i sumę
description: Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, sumę n wyrazów i iloraz q. Interaktywny kalkulator wyrazu ciągu geometrycznego i przykład do matury z matematyki.
---

# Ciąg geometryczny: wzory i kalkulator

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q. N-ty wyraz to a_n = a1 razy q do potęgi (n minus 1). Iloraz wyznaczamy, dzieląc dowolny wyraz przez poprzedni.

Wzór: a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

## Najważniejsze wzory

- N-ty wyraz: \(a_n=a_1\cdot q^{\,n-1}\)
- Suma n wyrazów (gdy \(q\neq 1\)): \(S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\)
- Iloraz: \(q=\frac{a_{n+1}}{a_n}\)

## Przykład

Ciąg ma pierwszy wyraz \(a_1=2\) i iloraz \(q=3\). Szósty wyraz to \(a_6=2\cdot 3^{6-1}=2\cdot 243=486\). Sprawdź własne dane w kalkulatorze powyżej.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu geometrycznego?
N-ty wyraz liczy się ze wzoru a_n = a1 razy q do potęgi (n minus 1). Dla a1 = 2, q = 3 i n = 6 wyraz wynosi 486.

### Jak rozpoznać ciąg geometryczny?
Ciąg jest geometryczny, gdy iloraz każdego kolejnego i poprzedniego wyrazu jest stały. Sprawdź, czy a2 podzielone przez a1 jest równe a3 podzielone przez a2.

### Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?
Dla ilorazu różnego od 1 suma n wyrazów to S_n = a1 razy (1 minus q do n) podzielone przez (1 minus q). Gdy iloraz jest równy 1, suma to po prostu n razy a1.


---
route: /wzory/procent-skladany
title: Procent składany: wzór na kapitał po n okresach
description: Wzór na procent składany i kapitalizację odsetek. Interaktywny kalkulator procentu składanego z kapitałem początkowym, oprocentowaniem i liczbą okresów. Przykład do matury.
---

# Procent składany: wzór i kalkulator

Procent składany oznacza, że odsetki dopisuje się do kapitału, a w kolejnym okresie naliczane są od powiększonej kwoty. Kapitał po n okresach to K = K0 razy (1 plus p przez 100) do potęgi n, gdzie K0 to kwota początkowa, a p to oprocentowanie okresu.

Wzór: K = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n}

## Wzór na procent składany

\(K=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}\), gdzie \(K_0\) to kapitał początkowy, \(p\) to oprocentowanie jednego okresu w procentach, a \(n\) to liczba okresów kapitalizacji.

## Kapitalizacja częstsza niż roczna

Jeśli odsetki dopisywane są m razy w roku, oprocentowanie okresu to \(\frac{p}{m}\), a liczba okresów rośnie m-krotnie. Wtedy \(K=K_0\left(1+\frac{p}{100m}\right)^{m\cdot t}\), gdzie \(t\) to liczba lat.

## Przykład

Wpłacamy \(K_0=1000\) zł na 5 procent rocznie z kapitalizacją roczną na 3 lata. Kapitał końcowy to \(K=1000\cdot(1{,}05)^3\approx 1157{,}63\) zł.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jaki jest wzór na procent składany?
Kapitał po n okresach przy procencie składanym to K = K0 razy (1 plus p przez 100) do potęgi n, gdzie K0 to kwota początkowa, p to oprocentowanie okresu, a n liczba okresów.

### Czy procent składany jest na maturze 2027?
Tak, procent składany i kapitalizacja odsetek są w wymaganiach maturalnych i regularnie pojawiają się w zadaniach. Wzoru nie ma w karcie wzorów, więc warto go znać.

### Czym różni się procent prosty od składanego?
Przy procencie prostym odsetki liczone są zawsze od kwoty początkowej. Przy składanym dopisuje się je do kapitału, więc w kolejnych okresach odsetki naliczane są od coraz większej sumy.


---
route: /wzory/srednia-wazona
title: Średnia ważona: wzór i jak liczyć z wagami
description: Wzór na średnią ważoną i czym różni się od średniej arytmetycznej. Interaktywny kalkulator średniej ważonej z dowolną liczbą wartości i wag. Przykład do matury z matematyki.
---

# Średnia ważona: wzór i kalkulator

Średnia ważona uwzględnia, że niektóre wartości liczą się bardziej niż inne. Mnożysz każdą wartość przez jej wagę, sumujesz iloczyny i dzielisz przez sumę wag. Gdy wszystkie wagi są równe, średnia ważona staje się zwykłą średnią arytmetyczną.

Wzór: \bar{x} = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \dots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}

## Wzór na średnią ważoną

\(\bar{x}=\dfrac{x_1 w_1+x_2 w_2+\dots+x_n w_n}{w_1+w_2+\dots+w_n}\), gdzie \(x_i\) to wartości, a \(w_i\) ich wagi.

## Przykład

Uczeń ma oceny 5, 4 i 3 z wagami odpowiednio 1, 2 i 3. Średnia ważona to \(\frac{5\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 3}{1+2+3}=\frac{5+8+9}{6}=\frac{22}{6}\approx 3{,}67\). Wpisz własne dane w kalkulatorze powyżej, możesz dodać dowolną liczbę wierszy.

## Najczęściej zadawane pytania

### Jak obliczyć średnią ważoną?
Pomnóż każdą wartość przez jej wagę, dodaj wszystkie iloczyny i podziel przez sumę wag. Dla wartości 5, 4, 3 z wagami 1, 2, 3 średnia ważona wynosi około 3,67.

### Czym różni się średnia ważona od arytmetycznej?
W średniej arytmetycznej wszystkie wartości mają taką samą wagę. W ważonej niektóre wartości wpływają na wynik bardziej, bo mają większą wagę.

### Kiedy średnia ważona równa się arytmetycznej?
Gdy wszystkie wagi są jednakowe, średnia ważona daje dokładnie ten sam wynik co zwykła średnia arytmetyczna tych wartości.


---
route: /zliczanie-liczb-o-zadanych-wlasnosciach-podzielnosc-suma-cyfr-matura
title: Zliczanie liczb o zadanych własnościach - podzielność, suma cyfr i warunek „lub”
description: Jak policzyć liczby parzyste o różnych cyfrach, podzielne przez 3 lub 5 i o danej sumie cyfr? Cztery metody krok po kroku i zadania CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Zliczanie liczb o zadanych własnościach - podzielność, suma cyfr i warunek „lub”

Liczby o zadanej własności liczysz jedną z czterech metod: rozpisujesz pozycje cyfr i mnożysz liczby możliwości, liczysz wielokrotności w przedziale wzorem z części całkowitej, odejmujesz od wszystkich liczby złe (dopełnienie) albo przy warunku „lub” dodajesz dwie grupy i odejmujesz część wspólną. Najpierw nazywasz własność (parzystość, podzielność, różne cyfry, suma cyfr), a dopiero potem dobierasz metodę. Na maturze podstawowej to zwykle zadanie zamknięte za 1 punkt, w którym wynik da się sprawdzić w dwie minuty.

## W skrócie

- Liczbę wielokrotności \(k\) w przedziale od \(a\) do \(b\) liczysz jako \(\lfloor b/k \rfloor - \lfloor (a-1)/k \rfloor\), na przykład trzycyfrowych podzielnych przez 7 jest \(142 - 14 = 128\).
- Przy regule mnożenia zaczynasz od pozycji z najsilniejszym warunkiem: ostatnia cyfra przy parzystości, pierwsza cyfra, bo nie może być zerem.
- Warunek „co najmniej jedna cyfra 7” liczysz od drugiej strony: wszystkie liczby minus liczby bez siódemki.
- Warunek „podzielne przez 3 lub przez 5” to \(|A| + |B| - |A \cap B|\), bo liczby podzielne przez 15 policzyłbyś dwa razy.
- Przy zadanej sumie cyfr wypisujesz rozkłady sumy na cyfry i liczysz ustawienia każdego rozkładu bez zera na początku.

## Jakie własności liczb pojawiają się w zadaniach maturalnych

Zadania o zliczaniu liczb to stały punkt działu [kombinatoryka na maturze](/topics/kombinatoryka). W arkuszach CKE powtarza się kilka własności i dobrze jest je rozpoznawać od pierwszego czytania polecenia:

- **parzystość i nieparzystość**: decyduje ostatnia cyfra (parzysta to 0, 2, 4, 6, 8, nieparzysta to 1, 3, 5, 7, 9);
- **podzielność przez 2, 3, 4, 5, 9**: albo cecha podzielności (ostatnia cyfra 0 lub 5 przy piątce), albo zliczanie wielokrotności w przedziale;
- **cyfry się nie powtarzają**: każda kolejna pozycja ma o jedną możliwość mniej;
- **cyfry tylko z danego zbioru**: na przykład wyłącznie 0, 5, 7 albo wyłącznie 2, 4, 7;
- **cyfra występuje dokładnie raz**: trzeba rozbić zadanie na przypadki według pozycji tej cyfry;
- **zadana suma cyfr**: rozkłady sumy na cyfry i liczenie ustawień;
- **liczba większa lub mniejsza od danej**: ograniczenie pierwszej cyfry albo zliczanie w przedziale.

Każda z tych własności ma swoją metodę. Kiedy polecenie łączy dwie własności (parzyste i o różnych cyfrach), zwykle trzeba rozbić zadanie na przypadki. Ogólne podstawy, czyli regułę mnożenia na liczbach czterocyfrowych, znajdziesz we wpisie [ile jest liczb czterocyfrowych i jak działa reguła mnożenia](/ile-jest-liczb-czterocyfrowych-regula-mnozenia-zadania). Tutaj idziemy krok dalej: liczby, które mają spełniać konkretny warunek.

## Wzory

Reguła mnożenia:

$$N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$

Wielokrotności liczby k w przedziale:

$$\left\lfloor \frac{b}{k} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{a-1}{k} \right\rfloor$$

Warunek „lub” dla dwóch własności:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

Liczby n-cyfrowe bez dodatkowych warunków:

$$9 \cdot 10^{n-1}$$

Symbol \(\lfloor x \rfloor\) to część całkowita, czyli największa liczba całkowita nie większa od \(x\). Na przykład \(\lfloor 1000/3 \rfloor = 333\), bo \(3 \cdot 333 = 999\), a \(3 \cdot 334 = 1002\) to już za dużo. Żadnego z tych wzorów nie musisz uczyć się na pamięć słowo w słowo: każdy wynika z jednej prostej obserwacji, którą pokazuję niżej.

## Metoda 1: pozycje cyfr i reguła mnożenia z ograniczeniami

Liczbę trzycyfrową zapisujesz jako trzy pozycje: setki, dziesiątki, jedności. Dla każdej pozycji liczysz, ile cyfr wolno na niej postawić, a potem mnożysz te liczby. Bez żadnych warunków wychodzi \(9 \cdot 10 \cdot 10 = 900\) liczb trzycyfrowych: na pierwszej pozycji nie wolno postawić zera, więc zostaje 9 cyfr.

Cała sztuka polega na kolejności. Zaczynasz od pozycji, na której warunek jest najostrzejszy:

- przy parzystości zaczynasz od jedności (5 możliwości: 0, 2, 4, 6, 8);
- przy nieparzystości też od jedności (5 możliwości: 1, 3, 5, 7, 9);
- przy podzielności przez 5 od jedności (2 możliwości: 0 albo 5);
- przy „większa od 700” od setek (dozwolone tylko 7, 8, 9).

Przykład, gdy cyfry mogą się powtarzać: liczby czterocyfrowe nieparzyste to \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5 = 4500\). Pierwsza cyfra ma 9 możliwości, ostatnia 5, dwie środkowe po 10.

Kłopot zaczyna się, gdy cyfry nie mogą się powtarzać, a ostatnia cyfra może być zerem. Zero na końcu nie zabiera możliwości pierwszej cyfrze, a cyfra 2 na końcu zabiera. Wtedy jedna reguła mnożenia nie wystarczy i rozbijasz zadanie na przypadki rozłączne, a wyniki przypadków dodajesz. To jest reguła dodawania: mnożysz w obrębie jednego przypadku, dodajesz między przypadkami.

**Wskazówka:** Jeżeli na pierwszej pozycji liczba możliwości zależy od tego, co stoi na końcu, to znak, że trzeba rozbić zadanie na przypadki. Najczęściej wystarczą dwa: ostatnia cyfra to zero albo ostatnia cyfra jest inna.

## Metoda 2: ile jest wielokrotności liczby k w przedziale

Gdy warunek brzmi „podzielne przez \(k\)”, nie rozpisujesz cyfr, tylko liczysz wielokrotności. Wśród liczb od 1 do \(n\) wielokrotności \(k\) jest dokładnie \(\lfloor n/k \rfloor\). Liczb od 1 do 100 podzielnych przez 7 jest \(\lfloor 100/7 \rfloor = 14\), bo \(7 \cdot 14 = 98\).

W przedziale od \(a\) do \(b\) liczysz wielokrotności od 1 do \(b\) i odejmujesz te od 1 do \(a-1\). Przykład: liczby trzycyfrowe podzielne przez 7.

$$\left\lfloor \frac{999}{7} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{99}{7} \right\rfloor = 142 - 14 = 128$$

Ten sam wynik daje druga metoda, przez pierwszą i ostatnią wielokrotność. Pierwsza trzycyfrowa wielokrotność 7 to 105, ostatnia to 994. Liczba wyrazów to

$$\frac{994 - 105}{7} + 1 = 127 + 1 = 128.$$

To jest wzór na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego. Ta „jedynka” na końcu jest najczęstszym miejscem błędu: od 105 do 994 robisz 127 skoków o 7, ale liczb jest o jedną więcej niż skoków.

**Pułapka:** Odejmujesz \(\lfloor (a-1)/k \rfloor\), a nie \(\lfloor a/k \rfloor\). Gdy \(a\) samo jest wielokrotnością \(k\), wersja z \(a\) zgubi tę liczbę. Dla liczb od 105 do 994 podzielnych przez 7: \(\lfloor 994/7 \rfloor - \lfloor 104/7 \rfloor = 142 - 14 = 128\), a z \(\lfloor 105/7 \rfloor = 15\) wyszłoby błędne 127.

Krótko o cechach podzielności, które przydają się tu najczęściej: przez 5 dzielą się liczby z ostatnią cyfrą 0 lub 5, przez 4 te, których dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, przez 3 i przez 9 te, których suma cyfr dzieli się przez 3 albo 9. Pełne zestawienie znajdziesz we wpisie o [cechach podzielności liczb i resztach z dzielenia](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania).

## Metoda 3: dopełnienie, czyli liczysz liczby złe

Niektóre warunki łatwiej policzyć od drugiej strony. Sygnałem są słowa „co najmniej jedna”, „nie wszystkie”, „przynajmniej raz”. Zamiast liczyć liczby dobre (z jedną siódemką, z dwiema, z trzema, z czterema) liczysz liczby złe, czyli bez siódemki, i odejmujesz je od wszystkich.

$$D = W - Z$$

Tutaj \(W\) to liczba wszystkich liczb danej długości, \(Z\) to liczba złych, a \(D\) to liczba dobrych, czyli tych, o które pyta zadanie.

Przykład: liczby trzycyfrowe, w których jakaś cyfra się powtarza. Wszystkich liczb trzycyfrowych jest 900. Liczb o trzech różnych cyfrach jest \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\): pierwsza cyfra ma 9 możliwości (bez zera), druga 9 (wraca zero, odpada cyfra pierwsza), trzecia 8. Liczb z powtórzoną cyfrą jest więc \(900 - 648 = 252\).

Gdybyś chciał policzyć to wprost, musiałbyś rozbić zadanie na trzy przypadki (powtarzają się cyfry na pozycjach 1 i 2, na pozycjach 1 i 3, na pozycjach 2 i 3) i jeszcze pilnować liczb typu 777, które wpadają do wszystkich trzech naraz. Dopełnienie usuwa cały ten kłopot. W prawdopodobieństwie ten sam trik nazywa się zdarzeniem przeciwnym i działa identycznie w [zadaniach typu „co najmniej” z rzutami monetą](/rzut-moneta-prawdopodobienstwo-drzewko-zadania-matura#zadania-typu-co-najmniej-licz-przez-zdarzenie-przeciwne).

**Zapamiętaj:** Liczby złe liczysz z tymi samymi ograniczeniami co wszystkie. Przy czterocyfrowych bez siódemki pierwsza cyfra ma 8 możliwości (bez zera i bez siódemki), a nie 9.

## Metoda 4: warunek „lub” i podwójne liczenie

Warunek „podzielne przez 3 lub przez 5” obejmuje liczby, które spełniają choć jedną z własności. Kiedy policzysz osobno podzielne przez 3 i osobno podzielne przez 5, liczby podzielne przez obie (czyli przez 15) policzysz dwa razy. Trzeba je raz odjąć:

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

W prawdopodobieństwie ten sam wzór opisuje [sumę zdarzeń i jej część wspólną](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa#suma-i-iloczyn-zdarzen-jak-je-czytac). Część wspólna dla podzielności to podzielność przez najmniejszą wspólną wielokrotność. Dla 3 i 5 to 15, dla 4 i 6 to 12 (nie 24), dla 2 i 3 to 6.

Ten sam wzór działa przy cyfrach. Liczby trzycyfrowe, które zaczynają się od 5 lub kończą się na 5: zaczynających się od 5 jest \(1 \cdot 10 \cdot 10 = 100\), kończących się na 5 jest \(9 \cdot 10 \cdot 1 = 90\), a jednych i drugich (postaci \(5\_5\)) jest 10. Razem \(100 + 90 - 10 = 180\).

Odwrotna sytuacja, warunek „i” (podzielne przez 3 i przez 5), to po prostu część wspólna: liczysz od razu wielokrotności 15. Warunek „ani przez 3, ani przez 5” to dopełnienie warunku „lub”: wszystkie minus \(|A \cup B|\).

## Suma cyfr równa danej liczbie: wypisywanie rozkładów

Kiedy polecenie podaje sumę cyfr, reguła mnożenia nie zadziała, bo cyfry zależą od siebie nawzajem. Zamiast tego wypisujesz wszystkie rozkłady sumy na odpowiednią liczbę cyfr, a dla każdego rozkładu liczysz, na ile sposobów da się go ustawić tak, żeby zero nie stało na początku.

Liczby trzycyfrowe o sumie cyfr 4. Rozkłady liczby 4 na trzy cyfry:

| rozkład | ustawienia | bez zera na początku |
|---|---|---|
| 4, 0, 0 | 400, 040, 004 | 1 (400) |
| 3, 1, 0 | 6 ustawień | 4 (310, 301, 130, 103) |
| 2, 2, 0 | 220, 202, 022 | 2 (220, 202) |
| 2, 1, 1 | 211, 121, 112 | 3 |

Razem \(1 + 4 + 2 + 3 = 10\) liczb.

Przy rozkładzie z zerem liczysz wszystkie ustawienia i odejmujesz te z zerem z przodu. Dla rozkładu 3, 1, 0 wszystkich ustawień jest \(3! = 6\), a z zerem na początku \(2! = 2\) (031 i 013), więc zostają 4. Zapis \(3!\) to silnia, czyli \(1 \cdot 2 \cdot 3\), a jej pełne omówienie znajdziesz w [przewodniku po silni, permutacjach i kombinacjach](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory#typowe-pulapki-maturalne).

**Wskazówka:** Rozkłady wypisuj w stałym porządku: od największej pierwszej cyfry w dół, w każdym rozkładzie cyfry malejąco. Wtedy nie zgubisz żadnego i żadnego nie powtórzysz. Przy małych sumach (2, 3, 4) to najszybsza droga, a w zadaniu zamkniętym od razu widzisz, czy wynik zgadza się z którąś odpowiedzią.

## Przykład 1: liczby trzycyfrowe parzyste o różnych cyfrach

**Treść:** Ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, w których żadna cyfra się nie powtarza?

- A) \(320\)
- B) \(328\)
- C) \(360\)
- D) \(405\)

**Krok 1: Rozbij na przypadki według ostatniej cyfry.** Ostatnia cyfra jest parzysta: 0, 2, 4, 6 albo 8. Zero na końcu nie ogranicza pierwszej cyfry, a cyfra 2, 4, 6, 8 ogranicza, bo nie może się powtórzyć z pierwszą. Liczysz dwa przypadki osobno.

**Krok 2: Ostatnia cyfra to 0.** Pierwsza cyfra: dowolna od 1 do 9, czyli 9 możliwości. Środkowa: dowolna poza zerem i pierwszą, czyli 8 możliwości.

$$9 \cdot 8 \cdot 1 = 72$$

**Krok 3: Ostatnia cyfra to 2, 4, 6 albo 8.** Ostatnia: 4 możliwości. Pierwsza: od 1 do 9 bez ostatniej, czyli 8. Środkowa: 10 cyfr bez pierwszej i bez ostatniej, czyli 8.

$$8 \cdot 8 \cdot 4 = 256$$

**Krok 4: Dodaj przypadki.** Przypadki są rozłączne, więc wyniki dodajesz.

$$72 + 256 = 328$$

**Odpowiedź: B.** Liczb trzycyfrowych parzystych o różnych cyfrach jest 328. Odpowiedź C to typowy błąd \(9 \cdot 8 \cdot 5 = 360\) bez rozbicia na przypadki, a D to \(9 \cdot 9 \cdot 5 = 405\), czyli zgubiony warunek różnych cyfr.

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania tego samego typu z arkusza próbnego CKE z marca 2021: parzystość i warunek na jedną cyfrę naraz.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-26

## Przykład 2: liczby od 1 do 1000 podzielne przez 3 lub 5

**Treść:** Ile jest liczb naturalnych od 1 do 1000, które są podzielne przez 3 lub przez 5?

- A) \(533\)
- B) \(467\)
- C) \(400\)
- D) \(466\)

**Krok 1: Policz podzielne przez 3.** \(\lfloor 1000/3 \rfloor = 333\), bo \(3 \cdot 333 = 999\).

**Krok 2: Policz podzielne przez 5.** \(\lfloor 1000/5 \rfloor = 200\).

**Krok 3: Policz część wspólną, czyli podzielne przez 15.** \(\lfloor 1000/15 \rfloor = 66\), bo \(15 \cdot 66 = 990\), a \(15 \cdot 67 = 1005\).

**Krok 4: Zastosuj wzór na warunek „lub”.**

$$333 + 200 - 66 = 467$$

**Krok 5: Sprawdź metodę na małym przedziale.** Od 1 do 15: podzielnych przez 3 jest 5, przez 5 są 3, przez 15 jedna. Wzór daje \(5 + 3 - 1 = 7\), a wypisane liczby to 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, czyli też 7.

**Odpowiedź: B.** Takich liczb jest 467. Odpowiedź A, czyli \(333 + 200 = 533\), liczy dwa razy liczby podzielne przez 15.

## Przykład 3: liczby czterocyfrowe z co najmniej jedną siódemką

**Treść:** Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie cyfra 7 występuje co najmniej jeden raz?

- A) \(3168\)
- B) \(2916\)
- C) \(3439\)
- D) \(5832\)

**Krok 1: Policz wszystkie liczby czterocyfrowe.**

$$9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$$

**Krok 2: Policz liczby bez siódemki.** Pierwsza cyfra: od 1 do 9 bez 7, czyli 8 możliwości. Każda z trzech pozostałych: od 0 do 9 bez 7, czyli 9 możliwości.

$$8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 8 \cdot 729 = 5832$$

**Krok 3: Odejmij.**

$$9000 - 5832 = 3168$$

**Odpowiedź: A.** Liczb czterocyfrowych z co najmniej jedną siódemką jest 3168. Odpowiedź D to liczba złych liczb, czyli wynik, przy którym zapomniałeś o ostatnim odejmowaniu.

## Zadania z matury krok po kroku

Poniżej trzy zadania z arkuszy CKE, każde na inną metodę. Najpierw spróbuj sam, potem rozwiń rozwiązanie pod kartą. Więcej zadań z tego działu w jednym miejscu zebrałem we wpisie [zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami).

### Matura sierpień 2020, zadanie 23: wielokrotności w przedziale

Liczby czterocyfrowe mniejsze od 2020 to liczby od 1000 do 2019. Szukasz wśród nich wielokrotności 4, więc to czysta Metoda 2.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2020-23

**Krok 1: Ustal przedział.** Liczby czterocyfrowe mniejsze od 2020 to liczby od 1000 do 2019.

**Krok 2: Policz wielokrotności 4 wzorem.** \(\lfloor 2019/4 \rfloor = 504\), bo \(4 \cdot 504 = 2016\). \(\lfloor 999/4 \rfloor = 249\), bo \(4 \cdot 249 = 996\). Różnica: \(504 - 249 = 255\).

**Krok 3: Sprawdź przez pierwszą i ostatnią wielokrotność.** Pierwsza to 1000, ostatnia 2016: \(\frac{2016 - 1000}{4} + 1 = 254 + 1 = 255\).

**Odpowiedź: D.** Takich liczb jest 255.

### Matura czerwiec 2023, zadanie 31: suma cyfr

Tu nie ma podzielności ani parzystości, jest suma cyfr równa 3. To zadanie na wypisanie rozkładów.

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2023-37

**Krok 1: Wypisz rozkłady liczby 3 na trzy cyfry.** Są trzy: 3, 0, 0, potem 2, 1, 0 oraz 1, 1, 1.

**Krok 2: Policz ustawienia bez zera na początku.** Rozkład 3, 0, 0 daje tylko 300. Rozkład 2, 1, 0 daje \(3! - 2! = 4\) liczby: 210, 201, 120, 102. Rozkład 1, 1, 1 daje 111.

**Krok 3: Dodaj.** \(1 + 4 + 1 = 6\).

**Odpowiedź: D.** Takich liczb jest 6.

### Matura czerwiec 2025, zadanie 28: parzystość i dokładnie jedno zero

Dwie własności naraz: liczba ma być parzysta, a zero ma wystąpić dokładnie raz. Zero nie może stać na początku, więc stoi na końcu albo w środku. To dwa rozłączne przypadki.

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2025-34

**Krok 1: Zero na końcu.** Liczba jest wtedy parzysta automatycznie. Pierwsza cyfra: od 1 do 9, czyli 9 możliwości. Środkowa: nie może być zerem (zero ma być dokładnie jedno), czyli też 9 możliwości. Razem \(9 \cdot 9 = 81\).

**Krok 2: Zero w środku.** Pierwsza cyfra: 9 możliwości. Ostatnia: parzysta, ale nie zero, czyli 2, 4, 6 albo 8, razem 4 możliwości. Razem \(9 \cdot 4 = 36\).

**Krok 3: Dodaj przypadki.** \(81 + 36 = 117\).

**Odpowiedź: B.** Takich liczb jest 117.

## Typowe błędy przy zliczaniu liczb

Większość zgubionych punktów w tych zadaniach to nie brak wiedzy, tylko kilka powtarzających się pomyłek.

**Pułapka 1:** Zero na pierwszej pozycji. Liczba 0473 nie jest czterocyfrowa. Na pierwszej pozycji masz 9 cyfr, nie 10, a przy zakazie powtórzeń zero wraca do gry dopiero od drugiej pozycji.

**Pułapka 2:** Podwójne liczenie przy warunku „lub”. Liczby spełniające obie własności liczysz raz. Jeśli w odpowiedziach widzisz wynik, który jest dokładnie sumą dwóch grup, to prawie zawsze jest to odpowiedź pułapka.

**Pułapka 3:** Pomylenie „liczb od 1 do 999” z „liczbami trzycyfrowymi”. Tych pierwszych jest 999, tych drugich 900. Przy podzielności przez 5 daje to 199 kontra 180.

**Pułapka 4:** Brak rozbicia na przypadki, gdy cyfry nie mogą się powtarzać, a na ostatniej pozycji może stanąć zero. Iloczyn \(9 \cdot 8 \cdot 5\) wygląda rozsądnie, ale liczy źle, co widać w Przykładzie 1.

**Pułapka 5:** Zgubiona jedynka przy liczeniu wyrazów od pierwszej do ostatniej wielokrotności. Od 105 do 994 co 7 jest 128 liczb, a nie 127.

**Pułapka 6:** Mylenie „dokładnie raz” z „co najmniej raz”. Dokładnie jedna siódemka to rozbicie na pozycje siódemki, co najmniej jedna to dopełnienie. Te dwa warunki dają różne wyniki.

Jeżeli chcesz zobaczyć, jak te same reguły działają przy permutacjach, wariacjach i kombinacjach, zajrzyj do wpisu o [permutacjach, wariacjach i kombinacjach na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Co musisz umieć

- Rozpoznać w poleceniu własność liczby i dobrać do niej jedną z czterech metod.
- Policzyć liczby n-cyfrowe z warunkiem na ostatnią cyfrę, zaczynając od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
- Rozbić zadanie na rozłączne przypadki, gdy zero może stanąć na końcu, a cyfry się nie powtarzają.
- Policzyć wielokrotności liczby k w przedziale wzorem z części całkowitej.
- Użyć dopełnienia przy warunku „co najmniej jedna” albo „nie wszystkie”.
- Zastosować wzór \(|A| + |B| - |A \cap B|\) przy warunku „lub”.
- Wypisać rozkłady małej sumy cyfr i policzyć ich ustawienia bez zera na początku.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Cztery zadania na metody z tego wpisu: suma cyfr, wielokrotności w przedziale i warunek na jedno zero. Każde ma rozwiązanie krok po kroku.

Następny krok: Losuj zadanie z działu Kombinatoryka (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach?

Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\). Pierwsza cyfra ma 9 możliwości (bez zera), druga też 9 (wraca zero, odpada pierwsza cyfra), a trzecia 8. Gdy dochodzi warunek parzystości, trzeba rozbić zadanie na przypadki według ostatniej cyfry i wtedy wychodzi 328.

### Jak policzyć liczby podzielne przez 3 lub 5 w przedziale?

Liczysz osobno wielokrotności 3 i wielokrotności 5 wzorem \(\lfloor b/k \rfloor - \lfloor (a-1)/k \rfloor\), dodajesz oba wyniki i odejmujesz wielokrotności 15. Od 1 do 1000 daje to \(333 + 200 - 66 = 467\). Bez odjęcia części wspólnej liczby podzielne przez 15 policzysz dwa razy.

### Kiedy stosować regułę mnożenia, a kiedy dodawania?

Regułę mnożenia stosujesz, gdy wybierasz cyfry kolejno dla różnych pozycji jednej liczby, a regułę dodawania, gdy dzielisz zadanie na rozłączne przypadki. W Przykładzie 1 mnożysz w obrębie przypadku „zero na końcu” (\(9 \cdot 8 = 72\)) i w obrębie przypadku „inna parzysta na końcu” (\(8 \cdot 8 \cdot 4 = 256\)), a wyniki przypadków dodajesz.

### Jak uniknąć podwójnego liczenia liczb spełniających dwa warunki?

Przy warunku „lub” odejmij liczby, które spełniają oba warunki naraz, zgodnie ze wzorem \(|A| + |B| - |A \cap B|\). Przy rozbiciu na przypadki pilnuj, żeby przypadki się nie zazębiały: „zero na końcu” i „zero w środku” są rozłączne, a „siódemka na początku” i „siódemka na końcu” już nie.

### Ile liczb czterocyfrowych ma sumę cyfr równą zadanej wartości?

Zależy od wartości, a liczysz to przez wypisanie rozkładów sumy na cztery cyfry i ustawień bez zera na początku. Dla sumy 2 są cztery takie liczby: 2000, 1100, 1010 i 1001. Dla sumy 3 jest ich już 10: rozkład 3, 0, 0, 0 daje jedną liczbę, rozkład 2, 1, 0, 0 sześć, a rozkład 1, 1, 1, 0 trzy.


---
route: /zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami krok po kroku: permutacje, wariacje, kombinacje, reguła mnożenia i sześć przykładów z pułapkami.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

## Zadania CKE z kombinatoryki - dlaczego ten dział budzi strach

Kombinatoryka ma wśród maturzystów opinię działu, w którym "nigdy nie wiadomo, którego wzoru użyć". Permutacje, wariacje, kombinacje, do tego silnia i symbol Newtona - brzmi jak dużo, a w praktyce sprowadza się do kilku schematów i dwóch pytań kontrolnych. Ten tekst zbiera w jednym miejscu wszystkie wzory, tabelę decyzyjną, sześć rozwiązanych przykładów w stylu zadań CKE i typowe pułapki.

Warto zainwestować w ten dział, bo kombinatoryka to fundament [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo). W klasycznej definicji prawdopodobieństwa i licznik, i mianownik to wyniki zliczania - czyli czysta kombinatoryka. Kto umie zliczać, ma z głowy oba działy naraz.

## Wzory, które musisz znać

Reguła mnożenia to podstawa całego działu. Jeśli pewien wybór składa się z kolejnych etapów i pierwszy etap można wykonać na \(n_1\) sposobów, drugi na \(n_2\) i tak dalej, to wszystkich możliwości jest

$$n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$

Permutacje to wszystkie ustawienia \(n\) różnych elementów w ciąg. Jest ich

$$P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Przykładowo \(4! = 24\), \(5! = 120\). Przyda się też umowa \(0! = 1\).

Wariacje bez powtórzeń to wybór \(k\) elementów spośród \(n\), gdy kolejność ma znaczenie i elementy się nie powtarzają:

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

Wariacje z powtórzeniami to sytuacja, gdy kolejność ma znaczenie, a elementy mogą się powtarzać, jak cyfry w kodzie PIN:

$$W_n^k = n^k$$

Kombinacje to wybór \(k\) elementów spośród \(n\), gdy kolejność nie gra roli:

$$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

Symbol \(\binom{n}{k}\) czytamy "n nad k". Wszystkie te wzory znajdziesz też w [tablicach maturalnych](/formulas), ale na egzaminie liczy się umiejętność wyboru właściwego, a nie samo ich odszukanie.

## Który wzór wybrać - tabela decyzyjna

Zanim zaczniesz liczyć, odpowiedz na dwa pytania: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

| Czy kolejność ma znaczenie? | Czy elementy się powtarzają? | Model | Wzór |
| --- | --- | --- | --- |
| Tak, ustawiam wszystkie elementy | Nie | Permutacje | \(n!\) |
| Tak, wybieram k z n | Nie | Wariacje bez powtórzeń | \(\frac{n!}{(n-k)!}\) |
| Tak, wybieram k z n | Tak | Wariacje z powtórzeniami | \(n^k\) |
| Nie, liczy się tylko skład | Nie | Kombinacje | \(\binom{n}{k}\) |

Prosty test na kolejność: czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik? Przy ustawianiu osób w kolejce tak (kolejność ważna), przy wyborze dwuosobowej delegacji nie (delegacja Ani z Bartkiem to ta sama delegacja co Bartka z Anią).

## Rozwiązane przykłady w stylu CKE

### Przykład 1: liczby o różnych cyfrach

Ile jest liczb trzycyfrowych, w których wszystkie cyfry są różne?

Budujemy liczbę etapami i stosujemy regułę mnożenia. Cyfra setek: dowolna od 1 do 9, bo liczba trzycyfrowa nie zaczyna się zerem, czyli 9 możliwości. Cyfra dziesiątek: dowolna z dziesięciu cyfr poza już użytą, czyli 9 możliwości. Cyfra jedności: 8 możliwości.

$$9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$$

Jest 648 takich liczb. Najczęstszy błąd to danie 10 możliwości na pierwszym miejscu i policzenie liczb zaczynających się od zera.

### Przykład 2: delegacja, czyli kombinacje

Z klasy liczącej 10 osób wybieramy dwuosobową delegację. Ile jest możliwych delegacji?

Kolejność nie gra roli, więc kombinacje:

$$\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!\cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$

Gdyby zadanie pytało o wybór przewodniczącego i zastępcy, kolejność miałaby znaczenie i wynik byłby inny: \(10 \cdot 9 = 90\). To dokładnie różnica między kombinacją a wariacją.

### Przykład 3: kody i PIN-y

Ile jest czterocyfrowych kodów PIN? A ile takich, w których cyfry się nie powtarzają?

Kod PIN może zaczynać się zerem, więc na każdym z czterech miejsc mamy 10 cyfr. Wariacje z powtórzeniami:

$$10^4 = 10000$$

Bez powtórzeń każde kolejne miejsce ma o jedną cyfrę mniej do wyboru:

$$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$$

Zwróć uwagę, że kod PIN to nie liczba: 0357 jest poprawnym kodem, choć nie jest liczbą czterocyfrową. Czytaj treść uważnie.

### Przykład 4: osoby obok siebie

Na ile sposobów można ustawić 5 osób w rzędzie tak, aby Ania i Bartek stali obok siebie?

Sklejamy Anię i Bartka w jeden blok. Mamy wtedy 4 obiekty do ustawienia (blok plus 3 pozostałe osoby), czyli \(4! = 24\) ustawienia. Wewnątrz bloku Ania i Bartek mogą stać na \(2\) sposoby.

$$2 \cdot 4! = 2 \cdot 24 = 48$$

Metoda sklejania wraca w wielu zadaniach CKE z warunkiem "obok siebie". Zapomnienie o mnożeniu przez 2 to klasyczna strata punktu.

### Przykład 5: liczby parzyste z warunkiem

Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, jeśli liczba ma być parzysta?

Zaczynamy od najmocniejszego warunku, czyli od cyfry jedności: musi być parzysta, więc 2 albo 4, czyli 2 możliwości. Zostają 4 cyfry na trzy pierwsze miejsca: \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\).

$$2 \cdot 24 = 48$$

Reguła praktyczna: warunki obsługuj w pierwszej kolejności, a dopiero potem rozdzielaj pozostałe miejsca.

### Przykład 6: co najmniej jeden, czyli dopełnienie

Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wyników, w których wypadł co najmniej jeden orzeł?

Wszystkich wyników jest \(2^3 = 8\). Zamiast wypisywać przypadki z jednym, dwoma i trzema orłami, liczymy dopełnienie: wyników bez żadnego orła jest dokładnie 1 (same reszki).

$$2^3 - 1 = 7$$

Ten sam trik ratuje w zadaniach z prawdopodobieństwem: szansa na co najmniej jednego orła to \(\frac{7}{8}\). Więcej takich zadań znajdziesz w hubie [zadania CKE z prawdopodobieństwa](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami).

## Najczęstsze pułapki

Mylenie kombinacji z wariacjami. Jeśli zamiana wybranych elementów miejscami daje inny wynik, to wariacje. Jeśli nie, kombinacje. To pytanie kontrolne rozstrzyga większość wątpliwości.

Zero na pierwszym miejscu. W zadaniach o liczbach [pierwsza cyfra](/zliczanie-liczb-o-zadanych-wlasnosciach-podzielnosc-suma-cyfr-matura#typowe-bledy-przy-zliczaniu-liczb) nie może być zerem, w zadaniach o kodach może. Jedno słowo w treści zmienia cały wynik.

Dodawanie zamiast mnożenia. Etapy jednego wyboru mnożysz. Dodajesz wtedy, gdy przypadki się wykluczają, na przykład osobno liczysz liczby parzyste i osobno nieparzyste.

Liczenie "co najmniej" wprost. Da się, ale to prosta droga do pominięcia przypadku. Dopełnienie jest szybsze i bezpieczniejsze.

Silnia rośnie błyskawicznie. Zanim policzysz \(10!\) w całości, sprawdź, czy ułamek się nie skraca: \(\frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90\).

## Jak ćwiczyć ten dział

Teoria bez zadań nie działa. Wszystkie zadania z kombinatoryki z prawdziwych arkuszy CKE znajdziesz w jednym miejscu: [zadania z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka). Każde ma rozwiązanie krok po kroku, więc gdy utkniesz, nie zostajesz sam.

Kolejność pracy, która się sprawdza: najpierw zadania na czystą regułę mnożenia, potem liczby z warunkami (parzystość, różne cyfry), na końcu kombinacje i zadania typu "co najmniej". Gdy dział zaczyna wchodzić, sprawdź się na [losowych zadaniach](/random) i rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress).

Jeśli utkniesz na zadaniu ze szkolnego zbioru, którego nie ma w bazie, wrzuć je do [solvera](/solve). O tym, jak korzystać z takich narzędzi z głową, piszemy w tekście [solver matematyczny online](/solver-matematyczny-online-rozwiaz-zadanie-maturalne-ze-zdjecia).

## FAQ

### Czy kombinatoryka jest trudna na maturze podstawowej?
Nie, ale wymaga uważnego czytania treści. Rachunki są proste, cała trudność leży w wyborze modelu: permutacje, wariacje czy kombinacje.

### Ile zadań z kombinatoryki jest na maturze?
Zwykle jedno lub dwa, często połączone z prawdopodobieństwem. Umiejętność zliczania pracuje więc na punkty w dwóch działach naraz.

### Czy wzory kombinatoryczne są w tablicach maturalnych?
Tak, wzory na permutacje, wariacje i kombinacje znajdziesz w [tablicach](/formulas). Warto jednak znać je z głowy, bo kluczowa jest decyzja, którego użyć, a nie samo odszukanie wzoru.

### Od czego zacząć, jeśli nic z tego działu nie umiem?
Od reguły mnożenia i prostych zadań o liczbach trzycyfrowych. To fundament, z którego wynika cała reszta.

### Czy zadania są za darmo?
Duża część bazy, w tym zadania zamknięte i przewodniki tematyczne, jest dostępna bez opłat. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje [abonament Premium](/payment/checkout).

## Podsumowanie: co musisz umieć

Regułę mnożenia i odruch rozbijania wyboru na etapy. Wzory na permutacje \(n!\), wariacje bez powtórzeń \(\frac{n!}{(n-k)!}\), wariacje z powtórzeniami \(n^k\) i kombinacje \(\binom{n}{k}\). Dwa pytania kontrolne: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy się powtarzają. Obsługę warunków w pierwszej kolejności, metodę sklejania przy "obok siebie" i dopełnienie przy "co najmniej".

Masz wzory, masz tabelę decyzyjną, masz sześć rozwiązanych przykładów. Teraz brakuje tylko treningu: wejdź na [zadania z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka) i rozwiąż pierwsze z nich jeszcze dziś.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania
title: Podzielność liczb na maturze - cechy, reszty i zadania CKE
description: Podzielność liczb na maturze: cechy podzielności, reszty z dzielenia, postacie ogólne liczb i 7 zadań dowodowych CKE z lat 2023-2025 krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Podzielność liczb na maturze - cechy, reszty i zadania CKE

Liczba całkowita \(a\) jest podzielna przez liczbę \(b \neq 0\) wtedy, gdy istnieje liczba całkowita \(k\) taka, że \(a = b \cdot k\). Na maturze z matematyki podzielność sprawdzana jest przede wszystkim w zadaniach otwartych typu "wykaż, że liczba jest podzielna przez 6", a schemat rozwiązania jest zawsze ten sam: zapisz liczbę w postaci ogólnej, przekształć wyrażenie i wyłącz dzielnik przed nawias. Jeśli w nawiasie zostanie liczba całkowita, dowód jest skończony.

To jeden z najbardziej przewidywalnych tematów całego arkusza. Przejrzeliśmy 2376 zadań CKE z naszej bazy: podzielności i reszt dotyczy 64 z nich, a zadanie dowodowe z podzielności regularnie wraca w kolejnych sesjach: w maju 2023, maju 2024, czerwcu 2024, sierpniu 2024, maju 2025 i czerwcu 2025. Niżej rozłożymy na czynniki siedem takich zadań, wszystkie z prawdziwych arkuszy.

## Co dokładnie znaczy, że liczba jest podzielna przez inną

Podzielność to istnienie całkowitego ilorazu, a nie "ładny wynik na kalkulatorze". Zapis \(b \mid a\) czytamy jako "b dzieli a" i oznacza, że \(a = b \cdot k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\). Dlatego w dowodzie nie wystarczy pokazać, że dzielenie wychodzi bez przecinka dla kilku liczb. Trzeba pokazać, że wyrażenie da się zapisać jako dzielnik razy coś całkowitego.

Cała maturalna technika sprowadza się do jednego ruchu: doprowadź wyrażenie do postaci

$$\text{dzielnik} \cdot (\text{coś całkowitego})$$

Jeśli to się uda, zadanie jest zrobione. Jeśli nie, zwykle znaczy to, że źle wybrałeś postać ogólną liczby na starcie.

## Cechy podzielności, które musisz znać na pamięć

[Cechy podzielności](/zliczanie-liczb-o-zadanych-wlasnosciach-podzielnosc-suma-cyfr-matura#jakie-wlasnosci-liczb-pojawiaja-sie-w-zadaniach-maturalnych) pozwalają rozstrzygnąć podzielność bez wykonywania dzielenia, patrząc tylko na cyfry liczby. Na maturze przydają się głównie w zadaniach zamkniętych i w kombinatoryce, gdzie trzeba policzyć, ile liczb z danego zbioru dzieli się przez 3 albo przez 6.

| Dzielnik | Cecha podzielności | Przykład |
| --- | --- | --- |
| 2 | ostatnia cyfra jest parzysta | 4738 |
| 3 | suma cyfr dzieli się przez 3 | 5124, bo \(5+1+2+4=12\) |
| 4 | liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4 | 3116, bo \(16 = 4 \cdot 4\) |
| 5 | ostatnia cyfra to 0 albo 5 | 2045 |
| 6 | liczba dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3 | 1314 |
| 8 | liczba z trzech ostatnich cyfr dzieli się przez 8 | 5240, bo \(240 = 8 \cdot 30\) |
| 9 | suma cyfr dzieli się przez 9 | 7182, bo \(7+1+8+2=18\) |
| 10 | ostatnia cyfra to 0 | 9870 |
| 25 | dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 albo 75 | 1375 |

Cecha dla 6 działa, bo 2 i 3 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Ta sama sztuczka daje cechę dla 15 (podzielność przez 3 i przez 5) czy dla 12 (przez 3 i przez 4). Nie działa natomiast dla par, które mają wspólny czynnik, o czym więcej w sekcji o pułapkach.

## Jak zapisać liczbę w postaci ogólnej

Postać ogólna to zapis liczby przez jedną zmienną całkowitą, który z góry gwarantuje jej własność. Bez tego kroku nie ruszysz żadnego dowodu, bo nie da się operować na "dowolnej liczbie parzystej", dopóki nie nadasz jej wzoru. Ten mały słownik załatwia praktycznie wszystkie zadania maturalne:

- **liczba parzysta:** \(2k\)
- **liczba nieparzysta:** \(2k+1\) (albo \(2k-1\), wychodzi na to samo)
- **dwie kolejne liczby całkowite:** \(n\) i \(n+1\)
- **trzy kolejne liczby całkowite:** \(n\), \(n+1\), \(n+2\)
- **dwie kolejne liczby nieparzyste:** \(2k+1\) i \(2k+3\)
- **liczba podzielna przez 5:** \(5k\)
- **liczba dająca resztę 2 przy dzieleniu przez 5:** \(5k+2\)
- **liczba dwucyfrowa o cyfrach \(a\) i \(b\):** \(10a + b\)

Zapamiętaj dwa fakty, które same w sobie rozwiązują połowę zadań. Wśród dwóch kolejnych liczb całkowitych zawsze jest jedna parzysta, więc ich iloczyn dzieli się przez 2. Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych zawsze jest jedna podzielna przez 3 i co najmniej jedna parzysta, więc ich iloczyn dzieli się przez 6.

## Reszta z dzielenia i jak ją zapisać

Reszta z dzielenia liczby \(a\) przez \(b\) to liczba \(r\) spełniająca \(a = b \cdot k + r\), przy czym \(0 \leqslant r < b\). Kluczowy jest ten drugi warunek: reszta nigdy nie jest równa dzielnikowi ani większa od niego. Dlatego zdanie "reszta 5 z dzielenia przez 5" nie ma sensu, bo taka liczba jest po prostu podzielna przez 5.

W dowodach reszta pełni tę samą rolę co postać ogólna. Gdy masz wykazać, że liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, celujesz w zapis \(5 \cdot (\text{coś całkowitego}) + 2\). Gdy w treści pada założenie o reszcie, od razu zamień je na wzór: "a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1" to \(a = 5k+1\).

## Przykład 1: kwadrat liczby nieparzystej pomniejszony o 1

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geqslant 1\) liczba \((2n+1)^2 - 1\) jest podzielna przez 8. To [zadanie z matury maj 2023](/task/matura-maj-2023-03).

**Krok 1: rozwiń kwadrat sumy.** Korzystasz ze [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania): \((2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1\).

**Krok 2: uprość wyrażenie.** \((2n+1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n\).

**Krok 3: wyłącz wspólny czynnik.**

$$4n^2 + 4n = 4n(n+1)$$

**Krok 4: dobij dowód argumentem o kolejnych liczbach.** Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta i \(n(n+1) = 2m\) dla pewnej liczby całkowitej \(m\). Stąd \(4n(n+1) = 4 \cdot 2m = 8m\), czyli liczba jest podzielna przez 8. Koniec dowodu.

## Przykład 2: iloczyn trzech kolejnych liczb

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geqslant 1\) liczba \(n(n^2+3n+2)\) jest podzielna przez 6. To [zadanie z arkusza CKE 2025 na poziomie podstawowym](/task/cke-2025-pp-05).

**Krok 1: rozłóż nawias na czynniki.** Trójmian \(n^2+3n+2\) ma pierwiastki \(-1\) i \(-2\), więc \(n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)\).

**Krok 2: zapisz całość jako iloczyn.**

$$n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2)$$

**Krok 3: zauważ, że to trzy kolejne liczby.** Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna dzieli się przez 3, a co najmniej jedna jest parzysta.

**Krok 4: połącz oba warunki.** Iloczyn dzieli się więc jednocześnie przez 2 i przez 3, a te liczby nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, zatem dzieli się przez \(2 \cdot 3 = 6\). Koniec dowodu.

## Przykład 3: dowód reszty z dzielenia

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. To [zadanie z arkusza CKE 2023](/task/cke-2023-pp-14), a w [arkuszu CKE 2025](/task/cke-2025-pp-03) wróciło w przebraniu jako \((3n+5)^2+11n^2-18\), bo po rozwinięciu to dokładnie ta sama liczba. Dobry powód, żeby ten schemat znać na pamięć.

**Krok 1: ustal cel.** Chcesz zapisać wyrażenie w postaci \(5 \cdot (\text{liczba całkowita}) + 2\).

**Krok 2: rozbij wyraz wolny.** Liczba 7 to \(5 + 2\), więc \(20n^2+30n+7 = 20n^2+30n+5+2\).

**Krok 3: wyłącz 5 przed nawias.**

$$20n^2+30n+5+2 = 5(4n^2+6n+1) + 2$$

**Krok 4: uzasadnij zakończenie.** Wyrażenie \(4n^2+6n+1\) jest liczbą całkowitą dla każdej liczby naturalnej \(n\), a reszta 2 spełnia warunek \(0 \leqslant 2 < 5\). Zatem badana liczba daje przy dzieleniu przez 5 resztę 2. Koniec dowodu.

## Przykład 4: dowód z założeniem o nieparzystości

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez 4. To [zadanie z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-05).

**Krok 1: wykorzystaj założenie.** Skoro \(n\) jest nieparzysta, to \(n = 2k+1\) dla pewnej liczby całkowitej \(k \geqslant 0\).

**Krok 2: podstaw i rozwiń.**

$$3(2k+1)^2 + 2(2k+1) + 7 = 3(4k^2+4k+1) + 4k + 2 + 7$$

**Krok 3: uporządkuj wyrazy podobne.** \(12k^2 + 12k + 3 + 4k + 9 = 12k^2 + 16k + 12\).

**Krok 4: wyłącz dzielnik.** \(12k^2+16k+12 = 4(3k^2+4k+3)\), a nawias jest liczbą całkowitą. Zatem liczba dzieli się przez 4. Koniec dowodu. Zwróć uwagę, że bez podstawienia \(n = 2k+1\) teza jest fałszywa: dla \(n = 2\) dostajesz 23, które przez 4 się nie dzieli. Założenie z treści jest tu niezbędne.

## Przykład 5: różnica kwadratów i reszty w założeniach

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez 5. To [zadanie z matury czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-05).

**Krok 1: zamień założenia na wzory.** \(a = 5k+1\) oraz \(b = 5m+4\), gdzie \(k\) i \(m\) są całkowite. Uwaga: potrzebujesz dwóch różnych liter, bo \(a\) i \(b\) nie muszą być powiązane.

**Krok 2: policz oba kwadraty.** \(a^2 = 25k^2+10k+1\) oraz \(b^2 = 25m^2+40m+16\).

**Krok 3: odejmij i uporządkuj.**

$$a^2-b^2 = 25k^2+10k+1-25m^2-40m-16 = 25k^2+10k-25m^2-40m-15$$

**Krok 4: wyłącz 5 przed nawias.** \(5(5k^2+2k-5m^2-8m-3)\), a nawias jest liczbą całkowitą, więc różnica dzieli się przez 5. Koniec dowodu.

## Przykład 6: trudniejszy wariant z dwiema kolejnymi liczbami

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a < b\) oraz obie są niepodzielne przez 3. Udowodnij, że liczba \(a^2+11ab+b^2\) jest podzielna przez 9. To [zadanie z arkusza CKE 2025](/task/cke-2025-pp-04) i najtrudniejszy typ w tym zestawie.

**Krok 1: przetłumacz założenie na postać ogólną.** Kolejne liczby dają kolejne reszty z dzielenia przez 3. Skoro obie są niepodzielne przez 3, jedyna możliwość to reszty 1 i 2, czyli \(a = 3k+1\) oraz \(b = 3k+2\).

**Krok 2: policz składniki osobno.** \(a^2 = 9k^2+6k+1\), \(b^2 = 9k^2+12k+4\), a iloczyn \(ab = (3k+1)(3k+2) = 9k^2+9k+2\).

**Krok 3: zsumuj według wzoru.**

$$a^2+11ab+b^2 = 9k^2+6k+1 + 11(9k^2+9k+2) + 9k^2+12k+4 = 117k^2+117k+27$$

**Krok 4: wyłącz 9 przed nawias.** \(117k^2+117k+27 = 9(13k^2+13k+3)\), a nawias jest liczbą całkowitą. Zatem liczba dzieli się przez 9. Koniec dowodu.

## Przykład 7: podzielność sumy potęg

Wykaż, że liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez 21. To [zadanie z matury próbnej CKE grudzień 2024](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03).

**Krok 1: sprowadź wszystko do jednej podstawy.** \(4^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98}\) oraz \(16^{24} = (2^4)^{24} = 2^{96}\). Reguły działań na potęgach powtórzysz w tekście o [potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc).

**Krok 2: wyłącz najniższą potęgę.** Najniższy wykładnik to 96, więc

$$2^{100}+2^{98}+2^{96} = 2^{96}(2^4+2^2+1)$$

**Krok 3: policz nawias.** \(2^4+2^2+1 = 16+4+1 = 21\).

**Krok 4: zakończ.** Otrzymujesz \(2^{96} \cdot 21\), czyli iloczyn liczby całkowitej i liczby 21, więc suma dzieli się przez 21. Koniec dowodu. Ten sam manewr, czyli wyłączenie najniższej potęgi, działa w praktycznie każdym zadaniu o podzielności sumy potęg tej samej liczby.

## NWD i NWW, czyli podzielność w drugą stronę

Największy wspólny dzielnik (NWD) to iloczyn wspólnych czynników pierwszych z najmniejszymi wykładnikami, a najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to iloczyn wszystkich czynników pierwszych z największymi wykładnikami. Najprościej policzyć oba naraz z rozkładu na czynniki pierwsze.

Weź liczby 84 i 120. Rozkładasz je: \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) oraz \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\). Wspólne czynniki z niższymi wykładnikami dają \(\mathrm{NWD}(84,120) = 2^2 \cdot 3 = 12\). Wszystkie czynniki z wyższymi wykładnikami dają \(\mathrm{NWW}(84,120) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840\). Kontrola: zawsze zachodzi \(\mathrm{NWD}(a,b) \cdot \mathrm{NWW}(a,b) = a \cdot b\), a tutaj \(12 \cdot 840 = 10080 = 84 \cdot 120\).

## Typowe pułapki w zadaniach o podzielności

**Sprawdzenie kilku przykładów to nie jest dowód.** Pokazanie, że teza działa dla \(n=1\), \(n=2\) i \(n=3\), daje zero punktów w zadaniu na wykazanie. Musisz operować na postaci ogólnej. Więcej o zapisie takich rozwiązań znajdziesz w poradniku o tym, [jak pisać dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

**Z podzielności przez 4 i przez 6 nie wynika podzielność przez 24.** Liczba 12 dzieli się przez 4 i przez 6, ale przez 24 już nie. Sklejanie dzielników działa tylko wtedy, gdy nie mają wspólnego czynnika, jak 2 i 3 przy szóstce.

**Ta sama litera dla dwóch niezależnych liczb.** Jeśli w treści są dwie liczby o różnych własnościach, każda potrzebuje własnego parametru, jak \(5k+1\) i \(5m+4\) w przykładzie 5. Użycie jednej litery zawęża dowód do szczególnego przypadku i psuje całe rozumowanie.

**Reszta większa lub równa dzielnikowi.** Reszta z dzielenia przez 5 może wynosić tylko 0, 1, 2, 3 albo 4. Jeśli w rachunkach wyszło ci \(5k+7\), przekształć to na \(5(k+1)+2\).

**Zapomniane zakończenie dowodu.** Po wyłączeniu dzielnika trzeba jeszcze napisać, że wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą. To jedno zdanie, a bez niego rozwiązanie bywa uznane za niepełne. Ta sama zasada dotyczy wszystkich [zadań otwartych na maturze z matematyki](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Najczęstsze pytania

### Jak wykazać, że liczba jest podzielna przez 6?
Pokaż, że dzieli się jednocześnie przez 2 i przez 3, albo doprowadź wyrażenie do postaci \(6 \cdot (\text{liczba całkowita})\). Najczęstszy schemat maturalny to sprowadzenie wyrażenia do iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych, bo wśród nich zawsze jest liczba parzysta i liczba podzielna przez 3.

### Co znaczy, że liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2?
Znaczy, że da się ją zapisać jako \(5k+2\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. W dowodzie zamieniasz takie zdanie z treści na wzór już w pierwszej linijce, a jeśli masz resztę wykazać, celujesz w zapis \(5 \cdot (\text{coś całkowitego}) + 2\).

### Czy sprawdzenie kilku liczb wystarczy jako dowód na maturze?
Nie. Zadanie na wykazanie wymaga argumentu dla każdej liczby spełniającej założenia, więc pracujesz na postaci ogólnej. Podstawienie konkretnych liczb ma sens tylko jako kontrola własnego rachunku na brudnopisie albo jako kontrprzykład, gdy teza jest fałszywa.

### Jak zapisać liczbę parzystą i nieparzystą w dowodzie?
Liczba parzysta to \(2k\), a nieparzysta to \(2k+1\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Gdy w zadaniu występują dwie kolejne liczby nieparzyste, użyj \(2k+1\) i \(2k+3\), bo różnią się o 2, a nie o 1.

### Czy z podzielności przez 4 i przez 6 wynika podzielność przez 24?
Nie, bo 4 i 6 mają wspólny czynnik 2. Kontrprzykład to 12. Mnożyć dzielniki wolno tylko wtedy, gdy są względnie pierwsze, czyli ich największy wspólny dzielnik wynosi 1, jak w parze 2 i 3.

### Jak sprawdzić podzielność przez 3 bez dzielenia?
Dodaj wszystkie cyfry liczby. Jeśli suma dzieli się przez 3, to liczba też. Dla 5124 suma cyfr wynosi 12, więc liczba dzieli się przez 3. Ta sama metoda z sumą cyfr działa dla 9, tyle że tam suma musi dzielić się przez 9.

### Jak znaleźć ostatnią cyfrę wysokiej potęgi?
Wypisz kilka pierwszych potęg i znajdź cykl ostatnich cyfr. Dla siódemki cykl ma długość 4: 7, 9, 3, 1. Dzielisz wykładnik przez 4 i patrzysz na resztę, więc dla \(7^{2027}\) reszta wynosi 2 i ostatnią cyfrą jest 9.

### Czym różni się NWD od NWW?
NWD to największa liczba, przez którą dzielą się obie liczby, a NWW to najmniejsza liczba, która dzieli się przez obie. Oba wyznaczysz z rozkładu na czynniki pierwsze, a poprawność sprawdzisz zależnością \(\mathrm{NWD}(a,b) \cdot \mathrm{NWW}(a,b) = a \cdot b\).

## Checklista: co musisz umieć

- Zapisać liczbę parzystą, nieparzystą, kolejne liczby całkowite i liczbę o zadanej reszcie w postaci ogólnej.
- Rozwinąć kwadrat sumy i uporządkować wyrazy podobne bez błędu rachunkowego.
- Wyłączyć dzielnik przed nawias i nazwać to, co zostało, liczbą całkowitą.
- Uzasadnić podzielność przez 6 argumentem o trzech kolejnych liczbach.
- Zamienić założenie o reszcie na wzór postaci \(5k+2\) i wrócić z rachunku do postaci z resztą.
- Wyłączyć najniższą potęgę w zadaniu o sumie potęg tej samej liczby.
- Znać cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 i 25.
- Policzyć NWD i NWW z rozkładu na czynniki pierwsze.

Kolejny krok to praktyka na prawdziwych arkuszach. Zacznij od [zadań z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami](/topics/liczby-rzeczywiste), a potem przerób cały zestaw [zadań dowodowych CKE krok po kroku](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami). Jeśli chcesz najpierw uporządkować teorię działu, wróć do przewodnika o [liczbach rzeczywistych, przedziałach i wartości bezwzględnej](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna) oraz do [bazy zadań CKE z liczb rzeczywistych](/zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje
title: Kombinatoryka na maturze - permutacje, wariacje, kombinacje i reguła mnożenia z zadaniami
description: Kombinatoryka na maturze: permutacje, wariacje, kombinacje, reguła mnożenia. Jak rozpoznać typ zadania? Ponad 40 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Kombinatoryka na maturze - permutacje, wariacje, kombinacje i reguła mnożenia z zadaniami

## Kombinatoryka - jak liczyć bez liczenia

Kombinatoryka to dział, który sprawia maturzystom najwięcej problemów - nie dlatego, że jest trudny, ale dlatego, że **nie wiadomo, który wzór zastosować**. Permutacja, wariacja czy kombinacja? Ten przewodnik da ci jasny algorytm decyzyjny.

W naszej [bazie zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka) mamy **ponad 40 zadań** z prawdziwych arkuszy CKE. Kombinatoryka bezpośrednio łączy się z [prawdopodobieństwem](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania) - większość zadań z prawdopodobieństwa wymaga obliczania liczby przypadków kombinatorycznie.

## Reguła mnożenia i dodawania

### Reguła mnożenia

Jeśli jedno zdarzenie może zajść na \(m\) sposobów, a drugie (niezależnie) na \(n\) sposobów, to oba mogą zajść na \(m \cdot n\) sposobów.

**Przykład:** Na obiad do wyboru 3 zupy i 5 dań głównych. Ile zestawów? \(3 \cdot 5 = 15\).

### Reguła dodawania

Jeśli zdarzenia **się wykluczają** (albo jedno, albo drugie), to łączna [liczba możliwości to suma](/zliczanie-liczb-o-zadanych-wlasnosciach-podzielnosc-suma-cyfr-matura).

**Przykład:** Jedzie pociąg (3 połączenia) albo autobus (2 połączenia). Ile sposobów dojazdu? \(3 + 2 = 5\).

**Klucz:** mnożenie = "i", dodawanie = "lub".

## Silnia

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

| \(n\) | \(n!\) |
|------|--------|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 10 | 3628800 |

**Ważne:** \(0! = 1\) (z definicji).

**Skracanie:** \(\frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42\)

## Permutacje - wszystko na wszystkie miejsca

**Definicja:** Permutacja to uporządkowanie **wszystkich** \(n\) elementów.

$$P_n = n!$$

**Przykład:** Na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce?
$$P_5 = 5! = 120$$

### Kiedy to permutacja?

- Masz \(n\) elementów
- Ustawiasz **wszystkie** w rząd
- **Kolejność ma znaczenie**

## Wariacje bez powtórzeń - część na uporządkowane miejsca

**Definicja:** Wariacja bez powtórzeń to wybranie \(k\) elementów z \(n\) **z uwzględnieniem kolejności**.

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

**Przykład:** Na ile sposobów można wybrać prezydenta, wiceprezydenta i skarbnika z grupy 10 osób?
$$V_{10}^3 = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$

### Kiedy to wariacja?

- Masz \(n\) elementów
- Wybierasz \(k\) z nich (\(k  wariacja z powtórzeniami: \(n^k\)
- NIE -> przejdź do pytania 2

**2. Czy bierzemy wszystkie elementy?**
- TAK -> permutacja: \(n!\)
- NIE -> przejdź do pytania 3

**3. Czy kolejność ma znaczenie?**
- TAK -> wariacja bez powtórzeń: \(\frac{n!}{(n-k)!}\)
- NIE -> kombinacja: \(\binom{n}{k}\)

Ten algorytm rozwiązuje 90% problemów z kombinatoryką na maturze.

## Symbol Newtona - własności

$$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$$

$$\binom{n}{1} = n$$

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

Ta ostatnia własność jest przydatna obliczeniowo: \(\binom{20}{18} = \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190\).

Symbolu Newtona używamy też w dwumianie Newtona - przydatnym w [wyrażeniach algebraicznych](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia) i [potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

## Kombinatoryka a prawdopodobieństwo

Na maturze kombinatoryka prawie nigdy nie pojawia się sama - jest narzędziem do obliczania [prawdopodobieństwa](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania):

$$P(A) = \frac{\text{liczba przypadków sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich przypadków}}$$

Zarówno licznik, jak i mianownik obliczamy metodami kombinatorycznymi. Dlatego opanowanie permutacji, wariacji i kombinacji jest warunkiem rozwiązania zadań z prawdopodobieństwa.

## Jak ćwiczyć

1. Rozwiąż [ponad 40 zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka) z naszej bazy CKE
2. Przećwicz [zadania z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) - bezpośrednie zastosowanie
3. Naucz się algorytmu decyzyjnego i stosuj go mechanicznie
4. Rozwiąż [arkusz z maja 2025](/exams/matura-maj-2025) i [marca 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026)
5. Przetestuj się w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke)

Kombinatoryka jest prosta, jeśli umiesz rozpoznać typ zadania. Naucz się algorytmu decyzyjnego i poćwicz na minimum 15 zadaniach - po tym będziesz rozpoznawać typy automatycznie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna
title: Liczby rzeczywiste na maturze - przedziały, zbiory liczbowe i wartość bezwzględna z zadaniami
description: Liczby rzeczywiste na maturze z matematyki: przedziały liczbowe, suma i iloczyn zbiorów, wartość bezwzględna, szacowanie. Ponad 70 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Liczby rzeczywiste na maturze - przedziały, zbiory liczbowe i wartość bezwzględna z zadaniami

## Liczby rzeczywiste - podstawa, na której stoi cała matura

Liczby rzeczywiste to pierwszy dział, który pojawia się w programie maturalnym, i nie bez powodu. Bez zrozumienia przedziałów, zbiorów i wartości bezwzględnej nie poradzisz sobie z [funkcjami](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), [równaniami](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) ani [geometrią analityczną](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

W naszej [bazie zadań z liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) mamy **ponad 70 zadań** z prawdziwych arkuszy CKE. Większość to zadania zamknięte za 1 punkt, ale bywają też wielopunktowe otwarte z wartością bezwzględną.

## Zbiory liczbowe - hierarchia

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

| Symbol | Nazwa | Przykłady |
|--------|-------|-----------|
| \(\mathbb{N}\) | Liczby naturalne | \(0, 1, 2, 3, \ldots\) |
| \(\mathbb{Z}\) | Liczby całkowite | \(\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\) |
| \(\mathbb{Q}\) | Liczby wymierne | \(\frac{1}{3}, 0{,}5, -\frac{7}{4}\) |
| \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) | Liczby niewymierne | \(\sqrt{2}, \pi, e\) |
| \(\mathbb{R}\) | Liczby rzeczywiste | Wszystkie powyższe |

**Na maturze pytają:** "Która z poniższych liczb jest niewymierna?" Pamiętaj: \(\sqrt{4} = 2\) jest wymierna, ale \(\sqrt{3}\) jest niewymierna. Pierwiastek z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy ta liczba jest kwadratem doskonałym.

## Przedziały liczbowe - zapis i oznaczenia

To absolutna podstawa do zapisu dziedzin [funkcji](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc) i rozwiązań [nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

### Cztery typy przedziałów

| Przedział | Zapis | Oś liczbowa | Znaczenie |
|-----------|-------|-------------|-----------|
| Otwarty | \((a, b)\) | puste kółka | \(a  5 \quad \Leftrightarrow \quad x - 3  5 \quad \Leftrightarrow \quad x  8$$

**Zasada ogólna:**
- \(|w|  a\) daje **alternatywę** (wynik to suma dwóch przedziałów)

Te techniki przydają się też przy [równaniach i nierównościach](/topics/rownania-i-nierownosci) - wiele zadań z tego działu zawiera wartość bezwzględną.

## Szacowanie i przybliżenia

Na maturze pytają o przybliżone wartości wyrażeń, np. "Między którymi liczbami całkowitymi leży \(\sqrt{50}\)?".

**Metoda:** szukasz dwóch kolejnych kwadratów doskonałych:
$$49 < 50 < 64 \quad \Rightarrow \quad 7 < \sqrt{50} < 8$$

Przydaje się też przy [potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) - szacowanie wartości wyrażeń z pierwiastkami to częsty typ zadania.

## Cechy podzielności

Choć to temat z podstawówki, na maturze pojawiają się zadania [wymagające podzielności](/zliczanie-liczb-o-zadanych-wlasnosciach-podzielnosc-suma-cyfr-matura#jakie-wlasnosci-liczb-pojawiaja-sie-w-zadaniach-maturalnych):

| Dzielnik | Reguła |
|----------|--------|
| 2 | Ostatnia cyfra parzysta |
| 3 | Suma cyfr podzielna przez 3 |
| 4 | Dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 |
| 5 | Kończy się na 0 lub 5 |
| 9 | Suma cyfr podzielna przez 9 |

## Jak ćwiczyć

1. Rozwiąż [ponad 70 zadań z liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) z naszej bazy
2. Przećwicz [nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - bezpośrednio korzystają z przedziałów
3. Rozwiąż pełny [arkusz z matury maj 2025](/exams/matura-maj-2025) - gwarantowane zadania z przedziałów
4. Powtórz [wzory spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)
5. Wejdź na [symulator matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) i sprawdź się w warunkach egzaminacyjnych

Przedziały i działania na zbiorach to najszybsze punkty na maturze. Jedno zadanie zamknięte rozwiążesz w 30 sekund, jeśli narysujesz oś liczbową.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ile-jest-liczb-czterocyfrowych-regula-mnozenia-zadania
title: Ile jest liczb czterocyfrowych - reguła mnożenia krok po kroku
description: Liczb czterocyfrowych jest 9000, a tych o różnych cyfrach 4536. Reguła mnożenia, schemat w 4 krokach i 7 zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Ile jest liczb czterocyfrowych - reguła mnożenia krok po kroku

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych jest \(9000\), bo są to liczby od \(1000\) do \(9999\). Ten sam wynik dostajesz z reguły mnożenia: pierwsza cyfra ma \(9\) możliwości (od \(1\) do \(9\), bo liczba nie może zaczynać się od zera), a każda z trzech pozostałych ma \(10\) możliwości, czyli \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000\). Jeśli dodatkowo cyfry nie mogą się powtarzać, wynik to \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\).

To nie jest ciekawostka, tylko jeden z najczęściej powtarzanych typów zadań na maturze podstawowej. W naszej bazie zadań CKE aż \(31\) z \(44\) zadań z kombinatoryki to zadania o zliczaniu liczb dwucyfrowych, trzycyfrowych, czterocyfrowych albo pięciocyfrowych. Taki przykład był w arkuszu majowym w \(2023\), \(2024\), \(2025\) i \(2026\) roku, w każdym arkuszu czerwcowym z lat \(2023\), \(2024\) i \(2025\), a także w arkuszu poprawkowym z sierpnia \(2023\) i w [maturze próbnej z lutego 2026](/exams/matura-probna-luty-2026). Jeśli opanujesz jeden schemat, masz praktycznie pewny punkt w każdym arkuszu.

## Reguła mnożenia - jedyna zasada, której naprawdę potrzebujesz

Reguła mnożenia mówi, że jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, to liczba wszystkich możliwości jest iloczynem liczby możliwości na każdym etapie. Przy liczbach n-cyfrowych etapami są kolejne pozycje: cyfra tysięcy, setek, dziesiątek i jedności. Ustalasz, ile cyfr wolno wstawić na każdą pozycję, i mnożysz te liczby przez siebie.

$$\text{liczba możliwości} = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4$$

Nie potrzebujesz tu ani silni, ani symbolu Newtona. Wzory na permutacje i kombinacje przydają się w innych zadaniach, ale w zliczaniu liczb n-cyfrowych prawie zawsze wystarcza mnożenie pozycji. Jeśli chcesz odświeżyć pozostałe narzędzia, zajrzyj do poradnika o tym, [jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory) oraz do przewodnika po [kombinatoryce na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Dlaczego pierwsza cyfra ma 9 możliwości, a nie 10

Liczba czterocyfrowa z definicji zaczyna się od cyfry różnej od zera. Zapis \(0725\) to nie jest liczba czterocyfrowa, tylko trzycyfrowa liczba \(725\). Dlatego na pierwszej pozycji zostaje \(9\) cyfr: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\). Na pozostałych pozycjach zero jest w pełni dozwolone, więc tam masz \(10\) możliwości.

To jest najczęściej popełniany błąd w całym dziale. Jeśli policzysz \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000\), dostaniesz liczbę wszystkich czterocyfrowych ciągów cyfr, a nie liczb. Różnica to dokładnie te \(1000\) zapisów zaczynających się od zera.

Zapamiętaj też szybką kontrolę wyniku: liczb n-cyfrowych jest tyle, ile wynosi \(9 \cdot 10^{n-1}\). Czyli dwucyfrowych jest \(90\), trzycyfrowych \(900\), czterocyfrowych \(9000\), a pięciocyfrowych \(90000\). Jeśli twój wynik przekracza tę wartość, na pewno gdzieś jest błąd.

## Ile jest liczb czterocyfrowych - gotowe wyniki

Poniższa tabela zbiera warianty, które wracają na maturze najczęściej. Warto je przeliczyć samodzielnie raz, a potem używać jako punktu kontrolnego.

| Warunek | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| wszystkie liczby czterocyfrowe | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\) | \(9000\) |
| cyfry nie powtarzają się | \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\) | \(4536\) |
| liczby parzyste | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5\) | \(4500\) |
| liczby nieparzyste | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5\) | \(4500\) |
| podzielne przez \(5\) | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2\) | \(1800\) |
| złożone tylko z cyfr nieparzystych | \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\) | \(625\) |
| złożone tylko z cyfr parzystych | \(4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\) | \(500\) |

Ostatni wiersz to dobry test zrozumienia. Cyfr parzystych jest pięć (\(0, 2, 4, 6, 8\)), ale na pierwszej pozycji zero odpada, więc zostają cztery.

## Schemat rozwiązania w 4 krokach

Zanim zaczniesz mnożyć, zawsze wykonaj te same cztery ruchy. Dzięki nim nie pomylisz kolejności i nie zgubisz warunku z treści zadania.

**Krok 1: narysuj tyle kresek, ile jest pozycji.** Dla liczby czterocyfrowej rysujesz cztery miejsca i podpisujesz je: tysiące, setki, dziesiątki, jedności.

**Krok 2: wypisz wszystkie warunki z treści.** Podzielność, parzystość, zakaz powtórzeń, zadany zbiór cyfr, nierówność typu "większa od \(700\)". Każdy warunek dotyczy konkretnej pozycji albo relacji między pozycjami.

**Krok 3: zacznij od pozycji najbardziej ograniczonej.** Jeśli warunek dotyczy cyfry jedności (parzystość, podzielność przez \(5\)), zaczynasz od niej, a nie od lewej strony. Dopiero potem wracasz do pierwszej cyfry, bo liczba jej możliwości może zależeć od wcześniejszego wyboru.

**Krok 4: pomnóż liczby możliwości i sprawdź rząd wielkości.** Wynik nie może przekroczyć \(9000\) dla liczb czterocyfrowych ani \(900\) dla trzycyfrowych.

## Przykład 1: cyfry nie mogą się powtarzać

Zadanie z [matury poprawkowej sierpień 2023](/task/matura-sierpie-2023-35): ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają?

**Krok 1: pierwsza cyfra.** Nie może być zerem, więc \(9\) możliwości.

**Krok 2: druga cyfra.** Zero już wolno, ale nie wolno powtórzyć cyfry z pierwszej pozycji. Z dziesięciu cyfr odpada jedna, zostaje \(9\).

**Krok 3: trzecia i czwarta cyfra.** Odpadają kolejno dwie i trzy już użyte cyfry, więc \(8\) oraz \(7\).

**Krok 4: pomnóż.** \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\).

Zwróć uwagę na pozorną nieregularność: \(9\), potem znowu \(9\). Pierwsza dziewiątka bierze się z zakazu zera, druga z zakazu powtórzenia. To nie jest pomyłka, tylko dwa różne powody.

## Przykład 2: podzielność i brak powtórzeń naraz

Zadanie z [matury próbnej luty 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-36): ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez \(5\), w zapisie których cyfry się nie powtarzają?

Liczba jest podzielna przez \(5\), gdy kończy się cyfrą \(0\) albo \(5\). Te dwa przypadki trzeba rozpatrzyć osobno, bo zero zachowuje się inaczej na pierwszej pozycji.

**Krok 1: przypadek z zerem na końcu.** Jedności ustalone (\(1\) sposób). Pierwsza cyfra: \(9\) możliwości, bo zero jest już zużyte. Druga: \(8\), trzecia: \(7\). Razem \(9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\).

**Krok 2: przypadek z piątką na końcu.** Jedności ustalone. Pierwsza cyfra nie może być zerem ani piątką, więc \(8\) możliwości. Druga cyfra: z dziesięciu odpadają dwie użyte, zostaje \(8\) (tym razem zero jest dozwolone). Trzecia: \(7\). Razem \(8 \cdot 8 \cdot 7 = 448\).

**Krok 3: dodaj przypadki.** \(504 + 448 = 952\).

Zasada jest ogólna: przypadki rozłączne dodajesz, etapy jednego wyboru mnożysz. To jedno zdanie odpowiada za większość poprawnych rozwiązań w tym dziale.

## Przykład 3: dokładnie jedna cyfra nieparzysta

Zadanie z [zestawu treningowego CKE](/task/cke-pp-treningowe-77): ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?

Cyfr nieparzystych jest pięć (\(1, 3, 5, 7, 9\)) i cyfr parzystych też pięć (\(0, 2, 4, 6, 8\)), ale zero blokuje pierwszą pozycję. Dlatego dzielimy zadanie na przypadki według tego, gdzie stoi cyfra nieparzysta.

**Krok 1: cyfra nieparzysta na pierwszej pozycji.** Pierwsza cyfra: \(5\) możliwości. Pozostałe trzy pozycje parzyste: po \(5\) możliwości każda. Razem \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\).

**Krok 2: cyfra nieparzysta na jednej z trzech dalszych pozycji.** Wtedy pierwsza cyfra jest parzysta i różna od zera, czyli \(4\) możliwości. Pozycja z cyfrą nieparzystą: \(5\) możliwości. Dwie pozostałe pozycje parzyste: \(5 \cdot 5 = 25\). Dla jednego ustawienia daje to \(4 \cdot 5 \cdot 25 = 500\).

**Krok 3: uwzględnij liczbę ustawień.** Cyfra nieparzysta może stać na pozycji setek, dziesiątek albo jedności, czyli \(3 \cdot 500 = 1500\).

**Krok 4: dodaj przypadki.** \(625 + 1500 = 2125\).

## Przykład 4: warunek wiążący dwie cyfry

Zadanie otwarte z [matury czerwiec 2013](/task/matura-czerwiec-2013-29): oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.

**Krok 1: zacznij od pary powiązanej.** Jeśli cyfra setek to \(b\), to cyfra jedności wynosi \(b + 3\). Warunek \(b + 3 \leqslant 9\) daje \(b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), czyli \(7\) możliwości. Wybór \(b\) natychmiast ustala cyfrę jedności.

**Krok 2: cyfra tysięcy.** Bez ograniczeń poza zakazem zera: \(9\) możliwości.

**Krok 3: cyfra dziesiątek.** Zupełnie dowolna: \(10\) możliwości.

**Krok 4: pomnóż.** \(9 \cdot 7 \cdot 10 = 630\).

Kluczowy nawyk: gdy dwie cyfry są ze sobą powiązane, traktujesz je jako jeden etap wyboru. Liczysz, na ile sposobów można wybrać całą parę, a nie każdą cyfrę osobno.

## Przykład 5: dokładnie jeden raz cyfra zero

Ten wariant CKE lubi najbardziej i powtórzył go w [maturze maj 2025](/task/matura-maj-2025-34) oraz w [maturze czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-34). Weźmy trudniejszą wersję czerwcową: ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, w których zapisie występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\)?

**Krok 1: rozpisz pozycje.** Liczba ma postać setki, dziesiątki, jedności. Setki nie mogą być zerem, jedności muszą być parzyste.

**Krok 2: przypadek z zerem na końcu.** Jedności to \(0\). Wtedy dziesiątki nie mogą być zerem, bo zero ma wystąpić dokładnie raz: \(9\) możliwości. Setki: \(9\) możliwości. Razem \(9 \cdot 9 = 81\).

**Krok 3: przypadek z zerem w środku.** Jedności są parzyste i niezerowe: \(2, 4, 6, 8\), czyli \(4\) możliwości. Dziesiątki to \(0\). Setki: \(9\). Razem \(9 \cdot 1 \cdot 4 = 36\).

**Krok 4: dodaj przypadki.** \(81 + 36 = 117\).

W wersji majowej warunek "nieparzyste" upraszcza sprawę, bo cyfra jedności nie może być zerem. Zero musi wtedy stać w dziesiątkach, więc wynik to \(9 \cdot 1 \cdot 5 = 45\).

## Kiedy reguła mnożenia nie wystarczy

Nie każde zadanie o liczbach n-cyfrowych rozwiązuje się mnożeniem pozycji. Gdy warunek dotyczy podzielności całej liczby albo przedziału, w którym leży, szybciej działa zliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego. Rozpoznasz to po sformułowaniach "mniejszych od", "większych niż", "podzielnych przez".

Zadanie z [matury maj 2018](/task/matura-maj-2018-24): ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

**Krok 1: ustal pierwszą i ostatnią liczbę.** Najmniejsza czterocyfrowa podzielna przez \(5\) to \(1000\), największa mniejsza od \(2018\) to \(2015\).

**Krok 2: rozpoznaj ciąg arytmetyczny.** Kolejne liczby różnią się o \(5\), więc \(a_1 = 1000\), \(r = 5\), \(a_n = 2015\).

**Krok 3: policz liczbę wyrazów.** \(n = \frac{2015 - 1000}{5} + 1 = 203 + 1 = 204\).

Ta metoda działa zawsze, gdy zliczasz wielokrotności w przedziale. Przykład bez podzielności jest jeszcze prostszy: liczb czterocyfrowych mniejszych niż \(2017\) jest \(2016 - 1000 + 1 = 1017\). Formalny wzór na liczbę wyrazów znajdziesz w tekście o tym, [jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania). O jedynkę na końcu bardzo łatwo się potknąć, więc zawsze sprawdź wzór na krótkim przykładzie, który umiesz policzyć na palcach.

## Spójnik "lub" i zasada włączania i wyłączania

Gdy w treści pojawia się "lub", nie wolno po prostu dodać obu wyników, bo część liczb spełnia oba warunki naraz i policzyłbyś je dwa razy.

Zadanie z [zestawu treningowego CKE](/task/cke-pp-treningowe-78): ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?

**Krok 1: policz podzielne przez \(15\).** To \(15, 30, 45, 60, 75, 90\), czyli \(6\) liczb.

**Krok 2: policz podzielne przez \(20\).** To \(20, 40, 60, 80\), czyli \(4\) liczby.

**Krok 3: znajdź część wspólną.** Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(15\) i \(20\) to \(60\), a dwucyfrowa jest tylko jedna taka liczba.

**Krok 4: zastosuj wzór.** \(6 + 4 - 1 = 9\).

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

## Kod to nie to samo co liczba

W [zadaniu 27 z matury maj 2024](/task/matura-maj-2024-33) rozważano kody czterocyfrowe utworzone z cyfr \(1, 3, 6, 8\), w których każda cyfra występuje dokładnie raz. Odpowiedź to \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\), czyli liczba permutacji czterech elementów.

Różnica jest zasadnicza: kod, PIN albo numer rejestracyjny może zaczynać się od zera, a liczba czterocyfrowa nie. Zawsze sprawdź w treści, czy mowa o liczbie, czy o kodzie. To jedno słowo zmienia pierwszy czynnik z \(9\) na \(10\).

Podobnie działa zadanie z [matury maj 2021](/task/matura-maj-2021-27) o liczbach trzycyfrowych większych od \(700\), w których każda cyfra należy do zbioru \(\{1, 2, 3, 7, 8, 9\}\) i żadna się nie powtarza. Cyfra setek musi być z \(\{7, 8, 9\}\), czyli \(3\) możliwości, a dwie kolejne wybierasz z pozostałych pięciu cyfr: \(5 \cdot 4 = 20\). Razem \(3 \cdot 20 = 60\).

## Typowe pułapki

**Zero na pierwszej pozycji.** Najczęstszy błąd w dziale. Liczba czterocyfrowa nigdy nie zaczyna się od zera, kod może.

**Dodawanie zamiast mnożenia.** Etapy jednego wyboru mnożysz. Dodajesz tylko przypadki, które się wzajemnie wykluczają.

**Rozpoczynanie od lewej strony przy warunku na końcu.** Jeśli warunek dotyczy parzystości albo podzielności przez \(5\), najpierw ustal [cyfrę jedności](/zliczanie-liczb-o-zadanych-wlasnosciach-podzielnosc-suma-cyfr-matura#typowe-bledy-przy-zliczaniu-liczb), a dopiero potem pierwszą cyfrę.

**Zapomniane odjęcie części wspólnej przy "lub".** Bez tego liczby spełniające oba warunki liczysz podwójnie.

**Błąd o jeden przy zliczaniu wielokrotności.** We wzorze \(n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1\) łatwo zgubić końcową jedynkę.

**Mylenie "co najmniej jedna" z "dokładnie jedna".** Przy "co najmniej" zwykle szybciej policzyć zdarzenie przeciwne i odjąć wynik od całości.

## Checklista: co musisz umieć

- Podać z pamięci, że liczb czterocyfrowych jest \(9000\), a z różnymi cyframi \(4536\).
- Wyjaśnić, dlaczego pierwsza pozycja ma \(9\), a nie \(10\) możliwości.
- Rozpisać zadanie na pozycje i zacząć od tej najbardziej ograniczonej.
- Rozróżnić, kiedy przypadki się mnoży, a kiedy dodaje.
- Policzyć liczby parzyste, nieparzyste i podzielne przez \(5\) w zadanym zakresie.
- Zliczyć wielokrotności w przedziale wzorem na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego.
- Zastosować zasadę włączania i wyłączania przy spójniku "lub".
- Odróżnić kod od liczby i wiedzieć, co to zmienia w rachunku.

Kolejny krok to trening na realnych zadaniach. Pełną pulę zadań z tego działu znajdziesz w kategorii [kombinatoryka](/topics/kombinatoryka), a rozwiązania krok po kroku w zestawie [zadania CKE z kombinatoryki](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami). Warto od razu przerobić też dział [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo), bo zliczanie liczb n-cyfrowych bardzo często bywa pierwszym krokiem w zadaniu o prawdopodobieństwie, co pokazuje poradnik o [kombinatoryce i prawdopodobieństwie na maturze](/prawdopodobienstwo-matura-kombinatoryka-wzory-zadania).

## Najczęstsze pytania

### Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych?
Jest ich \(9000\), czyli wszystkie liczby naturalne od \(1000\) do \(9999\). Z reguły mnożenia liczysz to jako \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\), gdzie dziewiątka bierze się stąd, że pierwsza cyfra nie może być zerem.

### Ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach?
Jest ich \(4536\), bo \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\). Pierwsza cyfra ma \(9\) możliwości ze względu na zakaz zera, druga \(9\) po odrzuceniu cyfry już użytej, trzecia \(8\), a czwarta \(7\).

### Dlaczego pierwsza cyfra liczby nie może być zerem?
Bo zapis zaczynający się od zera nie jest liczbą n-cyfrową, tylko liczbą o mniejszej liczbie cyfr. Zapis \(0725\) to po prostu \(725\). Ten zakaz nie dotyczy kodów, PIN-ów ani numerów, które mogą zaczynać się od zera.

### Kiedy w kombinatoryce mnożymy, a kiedy dodajemy?
Mnożysz wtedy, gdy jeden wybór składa się z kilku kolejnych etapów, na przykład wybierasz cyfrę tysięcy, potem setek, potem dziesiątek. Dodajesz wtedy, gdy rozbijasz zadanie na przypadki, które się wykluczają, na przykład liczba kończy się zerem albo piątką.

### Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?
Jest ich \(4500\). Cyfra jedności musi należeć do zbioru \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\), czyli ma \(5\) możliwości, pierwsza cyfra ma \(9\), a dwie środkowe po \(10\), co daje \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5\).

### Jak policzyć, ile liczb w przedziale jest podzielnych przez daną liczbę?
Znajdź pierwszą i ostatnią wielokrotność w tym przedziale, a następnie zastosuj wzór \(n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1\), gdzie \(r\) to dzielnik. Dla liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\) daje to \(\frac{2015 - 1000}{5} + 1 = 204\).

### Czy do zadań o liczbach n-cyfrowych potrzebna jest silnia?
Zwykle nie. Wystarcza reguła mnożenia, a silnia pojawia się tylko wtedy, gdy ustawiasz wszystkie dostępne cyfry w dowolnej kolejności, jak w zadaniu o kodach z cyfr \(1, 3, 6, 8\), gdzie odpowiedzią jest \(4! = 24\).

### Jak sprawdzić, czy wynik jest sensowny?
Porównaj go z liczbą wszystkich liczb o tej samej liczbie cyfr: dwucyfrowych jest \(90\), trzycyfrowych \(900\), czterocyfrowych \(9000\). Twój wynik musi być od tej wartości mniejszy, a jeśli warunek jest ostry, to wyraźnie mniejszy.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki
title: Procent składany na maturze - wzór, zadania i jak liczyć odsetki
description: Wzór na procent składany to Kn = K0 · (1 + p)^n. Zadania maturalne z lokatami krok po kroku: kapitalizacja kwartalna, odsetki i pytanie po ilu latach.
author: Marcel Bogdan
---

# Procent składany na maturze - wzór, zadania i jak liczyć odsetki

Procent składany liczysz ze wzoru \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\), gdzie \(K_0\) to kapitał początkowy, \(p\) to oprocentowanie za jeden okres zapisane ułamkiem, a \(n\) to liczba okresów. Odsetki dopisane po każdym okresie same zaczynają zarabiać, więc kwota rośnie jak ciąg geometryczny o ilorazie \(1 + p\). Zadania maturalne o lokatach sprowadzają się do podstawienia do tego wzoru, a pytanie „po ilu latach" rozwiązujesz logarytmem.

## W skrócie

- Wzór na lokatę z procentem składanym to \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\), na przykład \(10\,000 \cdot 1{,}06^3 = 11\,910{,}16\) zł.
- Procent zamieniasz na ułamek przed podstawieniem: 6% to \(p = 0{,}06\), a nie 6.
- Przy kapitalizacji \(m\) razy w roku dzielisz stopę przez \(m\) i mnożysz liczbę lat przez \(m\): \(K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{m}\right)^{mn}\).
- Spadek wartości liczysz tym samym wzorem z czynnikiem \(1 - p\), na przykład \(0{,}85\) przy spadku o 15% rocznie.
- Odsetki to różnica \(K_n - K_0\), a w pytaniu „po ilu pełnych latach" wynik z logarytmu zaokrąglasz w górę.

## Procent składany - jedno z najważniejszych zagadnień praktycznych na maturze

Procent składany to temat, który pojawia się w zadaniach maturalnych z matematyki. CKE uwielbia zadania z procentem składanym, bo łączą matematykę z życiem codziennym - lokaty bankowe, kredyty, inflacja, wzrost populacji. Na arkuszach znajdziesz zadania wprost dotyczące procentu składanego, a pośrednio procenty pojawiają się w wielu innych kontekstach.

Interaktywny kalkulator: procent-skladany (dostępny na stronie wpisu)

W tym przewodniku wyjaśniam wszystko krok po kroku: od podstawowego wzoru, przez różne typy kapitalizacji, po pełne rozwiązania typowych zadań maturalnych. Jeśli szukasz więcej zadań do przećwiczenia, zajrzyj do naszego [zbioru zadań z procentów](/topics/procenty) oraz do ogólnego artykułu o [procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

## Procent prosty vs procent składany - kluczowa różnica

Zanim przejdziemy do wzoru, musisz zrozumieć fundamentalną różnicę między dwoma rodzajami oprocentowania.

### Procent prosty

Odsetki naliczane są zawsze od **początkowej kwoty** (kapitału). Niezależnie od tego, ile odsetek narosło, baza się nie zmienia.

**Przykład:** Lokata 1000 zł na 3% rocznie (procent prosty) przez 3 lata:
- Po 1. roku: \(1000 + 1000 \cdot 0{,}03 = 1030\) zł
- Po 2. roku: \(1030 + 1000 \cdot 0{,}03 = 1060\) zł
- Po 3. roku: \(1060 + 1000 \cdot 0{,}03 = 1090\) zł

Każdego roku dostajesz **te same 30 zł** odsetek.

### Procent składany

Odsetki naliczane są od **aktualnej kwoty** - czyli od kapitału powiększonego o wcześniejsze odsetki. Odsetki "pracują" i generują kolejne odsetki.

**Przykład:** Lokata 1000 zł na 3% rocznie (procent składany) przez 3 lata:
- Po 1. roku: \(1000 \cdot 1{,}03 = 1030\) zł
- Po 2. roku: \(1030 \cdot 1{,}03 = 1060{,}90\) zł
- Po 3. roku: \(1060{,}90 \cdot 1{,}03 = 1092{,}73\) zł

Różnica po 3 latach to tylko 2,73 zł - ale przy dłuższym czasie i wyższym oprocentowaniu różnica rośnie **dramatycznie**. Na maturze prawie zawsze chodzi o procent składany.

## Wzór na procent składany

Podstawowy wzór, który musisz znać na maturę:

$$K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n$$

Gdzie:
- \(K_n\) - kapitał po \(n\) okresach (kwota końcowa)
- \(K_0\) - kapitał początkowy (kwota wpłacona na lokatę, wartość początkowa)
- \(p\) - stopa procentowa **wyrażona ułamkiem** (np. 5% to \(p = 0{,}05\))
- \(n\) - liczba okresów (lat, miesięcy - zależy od kapitalizacji)

### Kluczowe: wyrażenie \((1 + p)\)

To jest **współczynnik wzrostu**. Oznacza, że po każdym okresie kwota stanowi \((1 + p)\) poprzedniej kwoty, czyli rośnie o \(p \cdot 100\%\).

- Wzrost o 5%: współczynnik \(1{,}05\)
- Wzrost o 12%: współczynnik \(1{,}12\)
- Wzrost o 0,5% (np. miesięcznie): współczynnik \(1{,}005\)
- Spadek o 3%: współczynnik \(0{,}97\) (bo \(1 - 0{,}03 = 0{,}97\))

**Spadek** to też procent składany! Deprecjacja, inflacja, zużycie - to ten sam wzór, ale z ujemną stopą:

$$K_n = K_0 \cdot (1 - p)^n$$

Więcej o współczynniku wzrostu i procentach ogólnie przeczytasz w artykule o procentach na maturze.

Podstawienie do wzoru najszybciej sprawdzisz na liczbach. [Kalkulator procentów maturalnych](/narzedzia/kalkulator-procentow-maturalnych) liczy podwyżkę, obniżkę, drogę w odwrotną stronę i procent składany z pełnym podstawieniem, więc widać nie tylko wynik, ale i każdy krok.

Interaktywny kalkulator: kalkulator-procentow-maturalnych (dostępny na stronie wpisu)

## Jak liczyć krok po kroku

### Krok 1: Zidentyfikuj dane

Z treści zadania wyciągnij:
- Kwotę początkową \(K_0\)
- Stopę procentową \(p\) (zamień na ułamek!)
- Liczbę okresów \(n\)
- Co jest szukane?

### Krok 2: Zamień procent na ułamek

To najczęstszy błąd. Jeśli w zadaniu jest "5% rocznie", to:

$$p = \frac{5}{100} = 0{,}05$$

**Nie** wstawiaj 5 do wzoru!

### Krok 3: Podstaw do wzoru i oblicz

**Przykład:** Lokata 5000 zł na 4% rocznie (kapitalizacja roczna). Ile pieniędzy będzie po 5 latach?

$$K_5 = 5000 \cdot (1 + 0{,}04)^5 = 5000 \cdot 1{,}04^5$$

Teraz obliczamy \(1{,}04^5\):

$$1{,}04^2 = 1{,}0816$$
$$1{,}04^4 = (1{,}04^2)^2 = 1{,}0816^2 = 1{,}16985856$$
$$1{,}04^5 = 1{,}04^4 \cdot 1{,}04 = 1{,}16985856 \cdot 1{,}04 = 1{,}2166529...$$

$$K_5 = 5000 \cdot 1{,}2166529 \approx 6083{,}26 \text{ zł}$$

Na maturze zazwyczaj albo dają "ładne" liczby, albo proszą o pozostawienie wyniku w postaci np. \(5000 \cdot 1{,}04^5\) bez rozpisywania potęgi.

## Kapitalizacja - roczna, kwartalna, miesięczna

Na maturze podstawowej najczęściej pojawia się kapitalizacja roczna, ale warto znać też inne warianty.

### Kapitalizacja roczna (najczęstsza na maturze)

Odsetki dopisywane raz w roku. Wzór bez zmian:

$$K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n$$

### Kapitalizacja kwartalna

Odsetki dopisywane co kwartał (4 razy w roku). Stopa roczna dzielona jest przez 4, a liczba okresów to 4 razy liczba lat:

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{4}\right)^{4n}$$

### Kapitalizacja miesięczna

Odsetki dopisywane co miesiąc (12 razy w roku):

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{12}\right)^{12n}$$

### Ogólna zasada

Jeśli odsetki dopisywane są \(m\) razy w roku:

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{m}\right)^{m \cdot n}$$

**Ważna obserwacja:** Im częstsza kapitalizacja, tym więcej zarabiasz (bo odsetki szybciej zaczynają "pracować"). Ale różnica jest niewielka przy niskich stopach procentowych.

## Zadania maturalne z rozwiązaniami

### Zadanie 1 - Lokata bankowa (1 pkt)

**Treść:** Pan Kowalski wpłacił na lokatę 10 000 zł na 3 lata z oprocentowaniem 6% w skali roku (kapitalizacja roczna, procent składany). Ile pieniędzy będzie miał na koncie po 3 latach?

**Rozwiązanie:**

Dane: \(K_0 = 10\,000\) zł, \(p = 0{,}06\), \(n = 3\).

$$K_3 = 10\,000 \cdot (1{,}06)^3$$

Obliczamy \(1{,}06^3\):

$$1{,}06^2 = 1{,}1236$$
$$1{,}06^3 = 1{,}1236 \cdot 1{,}06 = 1{,}191016$$

$$K_3 = 10\,000 \cdot 1{,}191016 = 11\,910{,}16 \text{ zł}$$

**Odpowiedź:** Po 3 latach na koncie będzie 11 910,16 zł.

Odsetki wyniosły 1910,16 zł. Przy procencie prostym byłoby to \(3 \cdot 600 = 1800\) zł - różnica 110,16 zł.

### Zadanie 2 - Deprecjacja samochodu (1 pkt)

**Treść:** Wartość samochodu maleje co roku o 15%. Samochód kosztował 80 000 zł. Ile będzie wart po 4 latach?

**Rozwiązanie:**

Spadek o 15% rocznie, więc współczynnik to \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\):

$$K_4 = 80\,000 \cdot 0{,}85^4$$

$$0{,}85^2 = 0{,}7225$$
$$0{,}85^4 = (0{,}85^2)^2 = 0{,}7225^2 = 0{,}52200625$$

$$K_4 = 80\,000 \cdot 0{,}5220 \approx 41\,760{,}50 \text{ zł}$$

**Odpowiedź:** Po 4 latach samochód będzie wart ok. 41 760,50 zł.

Zwróć uwagę: wartość spadła prawie o połowę! To pokazuje siłę procentu składanego - tym razem działającego na naszą niekorzyść.

### Zadanie 3 - Inflacja (2 pkt)

**Treść:** Cena produktu rośnie każdego roku o 4% z powodu inflacji. Obecnie produkt kosztuje 120 zł. Ile będzie kosztował za 5 lat? Wynik podaj z dokładnością do groszy.

**Rozwiązanie:**

Wzrost o 4% rocznie - wzór identyczny jak dla lokaty:

$$K_5 = 120 \cdot 1{,}04^5$$

Z wcześniejszych obliczeń wiemy, że \(1{,}04^5 \approx 1{,}21665\):

$$K_5 = 120 \cdot 1{,}21665 \approx 146{,}00 \text{ zł}$$

**Odpowiedź:** Za 5 lat produkt będzie kosztował ok. 146,00 zł.

### Zadanie 4 - Po ilu latach? Logarytm w procentach (2 pkt)

**Treść:** Pan Nowak wpłacił na lokatę 20 000 zł na 5% rocznie (procent składany, kapitalizacja roczna). Po ilu pełnych latach na koncie będzie po raz pierwszy więcej niż 30 000 zł?

**Rozwiązanie:**

Szukamy najmniejszego \(n\), dla którego:

$$20\,000 \cdot 1{,}05^n > 30\,000$$

Dzielimy obie strony przez 20 000:

$$1{,}05^n > 1{,}5$$

Logarytmujemy obie strony (logarytm o dowolnej podstawie, np. dziesiętny):

$$n \cdot \log 1{,}05 > \log 1{,}5$$

$$n > \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}05}$$

Z tablic lub kalkulatora: \(\log 1{,}5 \approx 0{,}1761\), \(\log 1{,}05 \approx 0{,}02119\):

$$n > \frac{0{,}1761}{0{,}02119} \approx 8{,}31$$

Ponieważ szukamy **pełnych lat**, to \(n = 9\).

**Sprawdzenie:**
- \(1{,}05^8 \approx 1{,}4775\) - kwota: \(29\,550\) zł (za mało)
- \(1{,}05^9 \approx 1{,}5513\) - kwota: \(31\,027\) zł (więcej niż 30 000)

**Odpowiedź:** Po 9 pełnych latach na koncie będzie po raz pierwszy więcej niż 30 000 zł.

Tego typu zadanie wymaga znajomości [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania). Jeśli nie czujesz się pewnie z logarytmami, przećwicz je w naszym [zbiorze zadań z logarytmów](/topics/logarytmy).

### Zadanie 5 - Kapitalizacja kwartalna (2 pkt)

**Treść:** Bank oferuje lokatę na 8% rocznie z kapitalizacją kwartalną. Pani Wiśniewska wpłaciła 15 000 zł na 2 lata. Ile pieniędzy będzie miała po zakończeniu lokaty?

**Rozwiązanie:**

Kapitalizacja kwartalna oznacza, że odsetki dopisywane są co kwartał. Stopa kwartalna:

$$p_k = \frac{0{,}08}{4} = 0{,}02$$

Liczba okresów (kwartałów): \(4 \cdot 2 = 8\)

$$K_8 = 15\,000 \cdot (1{,}02)^8$$

Obliczamy:

$$1{,}02^2 = 1{,}0404$$
$$1{,}02^4 = 1{,}0404^2 = 1{,}08243216$$
$$1{,}02^8 = 1{,}08243216^2 \approx 1{,}17165938$$

$$K_8 = 15\,000 \cdot 1{,}17166 \approx 17\,574{,}89 \text{ zł}$$

**Porównanie z kapitalizacją roczną:**

$$K_2 = 15\,000 \cdot 1{,}08^2 = 15\,000 \cdot 1{,}1664 = 17\,496{,}00 \text{ zł}$$

Różnica: \(17\,574{,}89 - 17\,496{,}00 = 78{,}89\) zł więcej przy kapitalizacji kwartalnej.

**Odpowiedź:** Po 2 latach Pani Wiśniewska będzie miała 17 574,89 zł.

### Zadanie 6 - Wzrost populacji (2 pkt)

**Treść:** Populacja pewnego miasta liczy 250 000 mieszkańców. Liczba mieszkańców rośnie co roku o 2%. Po ilu pełnych latach populacja przekroczy 300 000?

**Rozwiązanie:**

$$250\,000 \cdot 1{,}02^n > 300\,000$$

$$1{,}02^n > \frac{300\,000}{250\,000} = 1{,}2$$

Logarytmujemy:

$$n > \frac{\log 1{,}2}{\log 1{,}02}$$

\(\log 1{,}2 \approx 0{,}07918\), \(\log 1{,}02 \approx 0{,}00860\):

$$n > \frac{0{,}07918}{0{,}00860} \approx 9{,}21$$

Zatem \(n = 10\) lat.

**Odpowiedź:** Populacja przekroczy 300 000 po 10 pełnych latach.

### Zadanie 7 - Podwojenie kapitału (2 pkt)

**Treść:** Po ilu pełnych latach kapitał wpłacony na lokatę z oprocentowaniem 8% rocznie (procent składany) podwoi się?

**Rozwiązanie:**

Szukamy \(n\) takiego, że \(K_n = 2K_0\):

$$K_0 \cdot 1{,}08^n = 2K_0$$

Skracamy \(K_0\):

$$1{,}08^n = 2$$

Logarytmujemy:

$$n = \frac{\log 2}{\log 1{,}08} = \frac{0{,}30103}{0{,}03342} \approx 9{,}01$$

Zatem po 10 pełnych latach (bo po 9 latach nie będzie jeszcze podwojenia).

**Odpowiedź:** Kapitał podwoi się po 10 pełnych latach.

**Ciekawostka - reguła 72:** Istnieje przybliżona reguła, która mówi, że kapitał podwaja się po ok. \(\frac{72}{p}\) latach, gdzie \(p\) to stopa procentowa **w procentach** (nie ułamku). Dla 8%: \(\frac{72}{8} = 9\) lat - bardzo blisko dokładnego wyniku!

### Zadanie 8 - Spadek wartości i obliczanie stopy (3 pkt)

**Treść:** Maszyna przemysłowa kosztowała 200 000 zł. Po 6 latach jej wartość wynosi 85 000 zł. Zakładając, że wartość maszyny maleje co roku o stały procent (procent składany), oblicz roczną stopę deprecjacji. Wynik podaj z dokładnością do 0,1%.

**Rozwiązanie:**

Dane: \(K_0 = 200\,000\), \(K_6 = 85\,000\), \(n = 6\). Szukamy stopy \(p\).

Z wzoru na procent składany (spadek):

$$85\,000 = 200\,000 \cdot (1 - p)^6$$

$$\frac{85\,000}{200\,000} = (1 - p)^6$$

$$0{,}425 = (1 - p)^6$$

Pierwiastkujemy obie strony:

$$1 - p = \sqrt[6]{0{,}425} = 0{,}425^{\frac{1}{6}}$$

Logarytmujemy, żeby obliczyć:

$$\ln(1-p) = \frac{1}{6} \cdot \ln(0{,}425) = \frac{1}{6} \cdot (-0{,}8557) = -0{,}14262$$

$$1 - p = e^{-0{,}14262} \approx 0{,}8672$$

$$p \approx 1 - 0{,}8672 = 0{,}1328 \approx 13{,}3\%$$

**Sprawdzenie:** \(200\,000 \cdot 0{,}867^6 \approx 200\,000 \cdot 0{,}4246 \approx 84\,920\) zł - zgadza się z 85 000 zł (różnica z zaokrągleń).

**Odpowiedź:** Roczna stopa deprecjacji wynosi ok. 13,3%.

To zadanie za 3 punkty wymaga znajomości zarówno [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), jak i logarytmów. Na maturze podstawowej raczej nie pojawi się tak trudne zadanie, ale na rozszerzonej jak najbardziej.

## Tabela porównawcza - procent prosty vs składany

Żeby zobaczyć różnicę w praktyce, porównajmy obie metody dla lokaty 10 000 zł na 5% rocznie:

| Rok | Procent prosty | Procent składany | Różnica |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 500 zł | 10 500 zł | 0 zł |
| 2 | 11 000 zł | 11 025 zł | 25 zł |
| 3 | 11 500 zł | 11 576,25 zł | 76,25 zł |
| 5 | 12 500 zł | 12 762,82 zł | 262,82 zł |
| 10 | 15 000 zł | 16 288,95 zł | 1 288,95 zł |
| 20 | 20 000 zł | 26 532,98 zł | 6 532,98 zł |
| 30 | 25 000 zł | 43 219,42 zł | 18 219,42 zł |

Widzisz wzorzec? Po 1 roku nie ma różnicy. Ale po 30 latach procent składany daje ok. 1,7 raza **więcej** niż procent prosty! To jest właśnie "magia procentu składanego" - efekt kumulacji rośnie z czasem wykładniczo.

Na maturze rzadko padają pytania o tak długie okresy, ale zrozumienie tej zasady pomaga w rozumowaniu i weryfikowaniu wyników.

## Procent składany w kontekście życia codziennego

Na maturze CKE coraz częściej daje zadania osadzone w realiach. Oto konteksty, w których procent składany się pojawia:

### Lokaty bankowe

Najklasyczniejszy kontekst. Wpłacasz pieniądze, bank nalicza odsetki, odsetki doliczane są do kapitału. Pamiętaj: w Polsce od zysków z lokat pobierany jest podatek Belki (19%), więc realne oprocentowanie jest niższe. Na maturze podatek zwykle się pomija, chyba że treść wprost o nim mówi.

### Kredyty hipoteczne i konsumenckie

Procent składany działa tu na niekorzyść kredytobiorcy. Jeśli nie spłacasz odsetek na bieżąco, dopisują się do długu i sam dług rośnie. Na maturze podstawowej zadania kredytowe bywają uproszczone, ale na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy) mogą się pojawić bardziej realistyczne scenariusze.

### Inflacja i siła nabywcza

Jeśli inflacja wynosi 5% rocznie, to za tę samą kwotę po roku kupisz o 5% mniej towarów. To procent składany - po 10 latach siła nabywcza spada do:

$$\text{siła nabywcza} = (1 - 0{,}05)^{10} = 0{,}95^{10} \approx 0{,}5987$$

Czyli twoje pieniądze mają ok. 60% pierwotnej wartości - straciły 40%!

### Wzrost populacji

Populacja miasta, kraju czy bakterii w hodowli rośnie (zwykle) w tempie procentu składanego. Ten typ zadań pojawia się na maturze regularnie.

### Deprecjacja

Samochody, maszyny, sprzęt elektroniczny - ich wartość maleje co roku o pewien procent. To odwrotność wzrostu, ale ten sam wzór.

## Najczęstsze pułapki w zadaniach z procentem składanym

### Pułapka 1: Procent OD vs procent DO

"Cena wzrosła **o** 20%" i "cena wzrosła **do** 120% poprzedniej" to to samo. Ale "obniżka **o** 20%" i "cena spadła **do** 20% poprzedniej" to kompletnie co innego!

- Obniżka **o** 20%: nowa cena = \(0{,}80\) starej (zostaje 80%)
- Spadek **do** 20%: nowa cena = \(0{,}20\) starej (zostaje 20%)

Zawsze sprawdzaj, względem czego liczysz procent. Tę zasadę rozpisuje wpis [jak obliczyć procent z liczby, liczbę z procentu i zmianę procentową](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa#kluczowa-zasada-wzgledem-czego).

### Pułapka 2: Wzrost, a potem spadek o ten sam procent

Wzrost o 10%, a potem spadek o 10% **nie** daje ceny początkowej!

$$K \cdot 1{,}10 \cdot 0{,}90 = K \cdot 0{,}99 = 0{,}99K$$

Wynik jest o 1% **niższy** od ceny początkowej. To dlatego, że 10% z wyższej kwoty (po wzroście) jest liczbowo więcej niż 10% z kwoty początkowej. Dodawanie procentów zamiast mnożenia czynników to jeden z [najczęstszych błędów na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki#blad-5-dodawanie-procentow-zamiast-mnozenia-mnoznikow).

### Pułapka 3: Zaokrąglenia w trakcie obliczeń

Na maturze zaokrąglaj dopiero na końcu. Jeśli zaokrąglisz pośrednie wyniki, błąd się kumuluje. Szczególnie ważne w zadaniach z wieloma okresami. Zasady zaokrąglania przypomina wpis o [błędzie bezwzględnym i względnym](/blad-bezwzgledny-i-wzgledny-wzor-jak-obliczyc-matura#zaokraglanie-liczb-szybkie-przypomnienie).

### Pułapka 4: Zamiana procentu na ułamek

5% to \(0{,}05\), nie \(0{,}5\) i nie \(5\). Dwukrotnie sprawdzaj zamianę procentu na ułamek - to najczęstszy błąd rachunkowy w tych zadaniach. Więcej o typowych [błędach rachunkowych na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac) znajdziesz w osobnym artykule.

### Pułapka 5: Pełne lata vs dokładna wartość

Gdy pytają "po ilu pełnych latach", wynik z logarytmu zawsze zaokrąglasz **w górę**. Jeśli wychodzi \(n > 8{,}31\), to odpowiedź to 9 lat, nie 8.

## Wzory pokrewne - co jeszcze warto znać

### Obliczanie stopy procentowej

Jeśli znasz kwotę początkową, końcową i liczbę okresów:

$$p = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1$$

### Obliczanie kapitału początkowego

$$K_0 = \frac{K_n}{(1 + p)^n}$$

### Suma odsetek

$$O = K_n - K_0 = K_0 \cdot \left[(1 + p)^n - 1\right]$$

## Procent składany a inne działy matematyki

Procent składany łączy się z kilkoma ważnymi tematami maturalnymi:

- **Potęgi** - wzór \(K_0 \cdot (1+p)^n\) to nic innego jak potęgowanie
- **Logarytmy** - potrzebne do zadań "po ilu latach"
- **[Ciągi geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)** - kwoty po kolejnych latach tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q = 1 + p\)
- **[Funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza)** - procent składany to właśnie wzrost wykładniczy

Jeśli chcesz przećwiczyć te połączenia, zajrzyj do [pełnej bazy zadań maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) i poszukaj zadań łączących procenty z innymi działami.

## Podsumowanie

1. **Wzór:** \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\) - zapamiętaj go i rozumiej, skąd się bierze
2. **Zamiana procentu:** 5% = 0,05 (dziel przez 100)
3. **Spadek:** użyj \((1 - p)\) zamiast \((1 + p)\)
4. **Kapitalizacja częstsza niż roczna:** dziel stopę przez liczbę okresów w roku i mnóż wykładnik
5. **"Po ilu latach":** logarytmuj i zaokrąglaj w górę
6. **Sprawdzaj:** czy wzrost, a potem spadek o ten sam procent nie daje wyniku startowego (nie daje!)

Przećwicz na naszych zadaniach z procentów. Jeśli nie wiesz, od czego zacząć naukę do matury, przeczytaj nasz [kompletny przewodnik](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) lub sprawdź [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), które pojawiają się co roku.

Powodzenia na maturze!

## Najczęstsze pytania

### Jakie jest zastosowanie procentów w zadaniach maturalnych?

Procenty na maturze stosujesz do opisu zmian wielkości: podwyżek i obniżek cen, odsetek z lokat i kredytów, inflacji, spadku wartości (deprecjacji) i wzrostu populacji. Zmianę o \(p\) procent zapisujesz jako mnożenie przez \(1 + p\) albo \(1 - p\), a kilka zmian z rzędu to iloczyn takich czynników, czyli właśnie procent składany. Przy porównywaniu dwóch stóp procentowych dochodzi jeszcze różnica między procentem a punktem procentowym, opisana we wpisie o [punktach procentowych](/punkt-procentowy-a-procent-roznica-jak-liczyc-matura).

### Jaki jest wzór na lokatę na maturze?

Wzór na lokatę z kapitalizacją roczną to \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\), gdzie \(p\) to roczne oprocentowanie zapisane ułamkiem. Przy kapitalizacji kwartalnej podstawiasz \(\frac{p}{4}\) i \(4n\) okresów, przy miesięcznej \(\frac{p}{12}\) i \(12n\). Lokata 15 000 zł na 8% z kapitalizacją kwartalną po 2 latach daje \(15\,000 \cdot 1{,}02^8 \approx 17\,574{,}89\) zł.

### Jak obliczyć odsetki z lokaty?

Odsetki z lokaty to kwota końcowa minus kwota wpłacona: \(O = K_0 \cdot \left[(1 + p)^n - 1\right]\). Dla 10 000 zł na 6% przez 3 lata odsetki wynoszą \(10\,000 \cdot (1{,}191016 - 1) = 1910{,}16\) zł. Przy procencie prostym byłoby to \(3 \cdot 600 = 1800\) zł, bo odsetki liczy się wtedy zawsze od kwoty początkowej.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci
title: Sinus, cosinus i tangens na maturze - definicje, wartości i zastosowania
description: Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym: definicje i tabelka wartości. tg 60° = √3, tg 30° = √3/3, sin 60° = cos 30° = √3/2, cos 60° = 1/2.
author: Marcel Bogdan
---

# Sinus, cosinus i tangens na maturze - definicje, wartości i zastosowania

## Sinus, cosinus i tangens - podstawa trygonometrii maturalnej

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym to stosunki boków: sinus to przyprostokątna naprzeciwko kąta podzielona przez przeciwprostokątną, cosinus to przyprostokątna przy kącie podzielona przez przeciwprostokątną, a tangens to przyprostokątna naprzeciwko podzielona przez przyprostokątną przy kącie. Najczęściej potrzebne wartości to \(\sin 30° = \cos 60° = \frac{1}{2}\), \(\sin 60° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\) i \(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\).

Te trzy funkcje wracają nie tylko w zadaniach z trygonometrii, ale też w zadaniach z [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag), [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). Tangens w polskich arkuszach zapisuje się jako tg, a na kalkulatorach i w źródłach anglojęzycznych jako tan: to ta sama funkcja.

## W skrócie

- Sinus to przyprostokątna naprzeciwko kąta przez przeciwprostokątną, a cosinus to przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną.
- Tangens to iloraz przyprostokątnych, a jednocześnie \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
- \(\sin 30° = \cos 60° = \frac{1}{2}\), a \(\sin 60° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- \(\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\), \(\operatorname{tg} 45° = 1\), \(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\), a \(\operatorname{tg} 90°\) nie istnieje.
- Jedynka trygonometryczna \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) daje cosinus, gdy znasz sinus, i odwrotnie.

## Definicje w trójkącie prostokątnym

Niżej masz definicje, tabelkę wartości, kluczowe wzory i pełne rozwiązania zadań. Cały materiał przećwiczysz na zadaniach z naszego [zbioru zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria).

To jest punkt wyjścia. Każda definicja odnosi się do **kąta ostrego** \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym:

$$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$$

$$\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$$

$$\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przyprostokątna przy } \alpha}$$

**Jak to zapamiętać?** Wystarczy prosty schemat:

- **Sinus** - **S**inus = **S**tojąca naprzeciwko (przyprostokątna naprzeciwko kąta) do przeciwprostokątnej
- **Cosinus** - przyprostokątna **przy** kącie do przeciwprostokątnej (ta "bliższa")
- **Tangens** - stosunek dwóch przyprostokątnych: naprzeciwko do przy kącie

Weźmy konkretny trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5 (trójka pitagorejska). Dla kąta \(\alpha\) leżącego naprzeciwko boku o długości 3:

$$\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}$$

A dla kąta \(\beta\) leżącego naprzeciwko boku o długości 4:

$$\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}$$

Zauważ, że \(\sin \alpha = \cos \beta\) i \(\cos \alpha = \sin \beta\). To nie przypadek - **sinus jednego kąta ostrego równa się cosinusowi drugiego kąta ostrego** w trójkącie prostokątnym, bo \(\alpha + \beta = 90°\).

## Tabelka wartości trygonometrycznych

To jest najważniejsza tabela na maturze. Dokładne wartości z pierwiastkami znaj **na pamięć**, bo w zadaniach zamkniętych nie ma czasu na ich wyprowadzanie. Co dokładnie podaje [karta wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), sprawdzisz w osobnym omówieniu.

| Kąt | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\tan\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | niezdef. |

### Jak zapamiętać tabelkę?

Oto trzy sprawdzone metody:

**Metoda 1 - "pierwiastki z 0 do 4":** Wartości sinusa to kolejno:

$$\sin 0° = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0, \quad \sin 30° = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 90° = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$$

Czyli pod pierwiastkiem masz kolejno: 0, 1, 2, 3, 4 - a wszystko dzielisz przez 2.

**Metoda 2 - cosinus to odwrócony sinus:** Wartości cosinusa czytasz od prawej do lewej - to te same liczby co sinus, ale w odwrotnej kolejności.

**Metoda 3 - tangens z definicji:** Jeśli znasz sinus i cosinus, tangens obliczysz z wzoru:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Na przykład: \(\tan 60° = \frac{\sin 60°}{\cos 60°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)

## Ile wynosi tg 60°, tg 30°, sin 60°, cos 60° i cos 30°?

Wartości, o które uczniowie pytają najczęściej, w jednym miejscu (z przybliżeniem dziesiętnym do kalkulatora):

- \(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732\)
- \(\operatorname{tg} 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\)
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\)
- \(\cos 60° = \frac{1}{2} = 0{,}5\)
- \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\)

Skąd te liczby? Weź trójkąt równoboczny o boku 2 i poprowadź wysokość. Dzieli ona trójkąt na dwa [trójkąty prostokątne o kątach 30°, 60° i 90°](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura#trygonometria). Przeciwprostokątna ma długość 2, krótsza przyprostokątna to połowa boku, czyli 1, a wysokość liczysz z twierdzenia Pitagorasa:

$$h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$

Dla kąta 60° naprzeciwko leży wysokość \(\sqrt{3}\), a przy kącie odcinek 1:

$$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

Dla kąta 30° przyprostokątne zamieniają się rolami: naprzeciwko leży odcinek 1, a przy kącie wysokość \(\sqrt{3}\):

$$\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{tg} 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ostatni krok to usunięcie niewymierności z mianownika: mnożysz licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\), więc \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Gdy w odpowiedziach widzisz \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), a sam masz \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), to ta sama liczba.

**Zapamiętaj:** \(\operatorname{tg} 30° \cdot \operatorname{tg} 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{3} = 1\). Tangensy dwóch kątów ostrych, które sumują się do 90°, zawsze dają w iloczynie 1, bo jeden jest odwrotnością drugiego.

## Teraz ty

Sprawdź tabelkę na zadaniu 20 z arkusza z sierpnia 2025: podstaw cztery wartości i policz sumę dwóch iloczynów, zanim otworzysz rozwiązanie.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-25

## Jedynka trygonometryczna

Najważniejszy wzór trygonometryczny na maturze:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Ten wzór jest prawdziwy **dla każdego kąta** \(\alpha\). Wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa - jeśli w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(c\) podzielisz obie strony równania \(a^2 + b^2 = c^2\) przez \(c^2\), dostaniesz:

$$\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Więcej o [twierdzeniu Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) przeczytasz w osobnym artykule.

### Do czego służy jedynka trygonometryczna?

Głównie do **obliczania jednej funkcji, gdy znasz drugą**. Na maturze to klasyka:

**Przykład:** Wiedząc, że \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha \in (0°, 90°)\), oblicz \(\cos \alpha\) i \(\tan \alpha\).

**Rozwiązanie:**

Z [jedynki trygonometrycznej](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura#jak-rozpoznac-ze-trzeba-uzyc-jedynki):

$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Ponieważ \(\alpha \in (0°, 90°)\), cosinus jest dodatni:

$$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$

Stąd tangens:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$

## Tangens jako iloraz sinusa i cosinusa

Wzór, który łączy wszystkie trzy funkcje:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Ten wzór wyjaśnia, dlaczego tangens \(90°\) jest nieokreślony - dzielilibyśmy przez \(\cos 90° = 0\).

Z tego wzoru wynika też przydatna zależność:

$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

Dowód jest prosty - wystarczy podzielić jedynkę trygonometryczną przez \(\cos^2 \alpha\):

$$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \Rightarrow \quad \tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

## Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach

Na maturze rozszerzonej (i czasem na podstawowej przy kątach rozwartych) musisz wiedzieć, w których ćwiartkach funkcje trygonometryczne są dodatnie, a w których ujemne.

| Ćwiartka | Zakres kąta | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(0° - 90°\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \(90° - 180°\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| III | \(180° - 270°\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| IV | \(270° - 360°\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |

**Jak zapamiętać?** Reguła "Ala Studencko Tańczy Codziennie" - w kolejnych ćwiartkach dodatnie są: **A**ll (I - wszystkie), **S**inus (II), **T**angens (III), **C**osinus (IV).

Na maturze podstawowej najważniejsze jest zapamiętanie, że:
- [Sinus kąta rozwartego](/funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura#znaki-funkcji-trygonometrycznych-dla-katow-od-0-do-180) jest **dodatni** (bo kąty rozwarte leżą w II ćwiartce)
- Cosinus kąta rozwartego jest **ujemny**

To pojawia się w zadaniach z trójkątami, gdzie kąt może być rozwarty.

## Kąty w stopniach i radianach

Na maturze podstawowej kąty podawane są w stopniach. Na rozszerzonej mogą pojawić się radiany. Przelicznik jest prosty:

$$180° = \pi \text{ rad}$$

Najważniejsze odpowiedniki:

| Stopnie | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(270°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radiany | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |

## Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów pozwala rozwiązywać **dowolne trójkąty** (nie tylko prostokątne). W trójkącie o bokach \(a\), \(b\), \(c\) i kątach naprzeciwległych \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\):

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie.

### Kiedy stosować twierdzenie sinusów?

Gdy znasz:
- Dwa kąty i bok (obliczasz brakujący bok)
- Dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich (obliczasz kąt naprzeciwko drugiego)
- Bok i kąt naprzeciwko niego, gdy szukasz promienia okręgu opisanego

## Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na **dowolne trójkąty**:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

Gdy \(\gamma = 90°\), to \(\cos 90° = 0\) i wzór upraszcza się do \(c^2 = a^2 + b^2\) - czyli do zwykłego twierdzenia Pitagorasa.

### Kiedy stosować twierdzenie cosinusów?

Gdy znasz:
- Dwa boki i kąt **między nimi** (obliczasz trzeci bok)
- Trzy boki (obliczasz dowolny kąt)

**Wzór na kąt z twierdzenia cosinusów:**

$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

## Wykresy funkcji trygonometrycznych

Na maturze podstawowej rzadko pytają o wykresy sinusa i cosinusa wprost, ale warto znać ich kształt, bo pomaga to w rozumowaniu.

### Wykres sinusa

Funkcja \(y = \sin x\):
- Okres: \(2\pi\) (\(360°\))
- Zakres wartości: \(\langle -1, 1 \rangle\)
- Przechodzi przez \((0, 0)\), rośnie do \((90°, 1)\), maleje do \((270°, -1)\)
- Miejsca zerowe: \(0°, 180°, 360°, \ldots\)

### Wykres cosinusa

Funkcja \(y = \cos x\):
- Okres: \(2\pi\) (\(360°\))
- Zakres wartości: \(\langle -1, 1 \rangle\)
- Zaczyna od \((0°, 1)\), maleje do \((180°, -1)\), rośnie do \((360°, 1)\)
- Miejsca zerowe: \(90°, 270°, \ldots\)

Cosinus to tak naprawdę sinus przesunięty o \(90°\) w lewo: \(\cos x = \sin(x + 90°)\).

### Wykres tangensa

Funkcja \(y = \tan x\):
- Okres: \(\pi\) (\(180°\))
- Zakres wartości: \(\mathbb{R}\) (cały zbiór liczb rzeczywistych)
- Asymptoty pionowe przy \(90°, 270°, \ldots\) (tam, gdzie \(\cos x = 0\))
- Przechodzi przez \((0, 0)\) i jest funkcją rosnącą na każdym przedziale ciągłości

Więcej o wykresach i własnościach funkcji znajdziesz w naszym przewodniku po [funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc).

## Zadania maturalne z rozwiązaniami

### Zadanie 1 - Trójkąt prostokątny (1 pkt)

**Treść:** W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta \(\alpha\) leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości 6.

**Rozwiązanie:**

Dane: przeciwprostokątna \(c = 10\), przyprostokątna \(a = 6\).

Sinus z definicji:

$$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Drugą przyprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

Cosinus i tangens:

$$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$

$$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

**Odpowiedź:** \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\).

### Zadanie 2 - Jedynka trygonometryczna (1 pkt)

**Treść:** Kąt ostry \(\alpha\) spełnia warunek \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha + \tan \alpha\).

**Rozwiązanie:**

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym (sinus dodatni):

$$\sin \alpha = \frac{12}{13}$$

Tangens:

$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$$

Suma:

$$\sin \alpha + \tan \alpha = \frac{12}{13} + \frac{12}{5} = \frac{60}{65} + \frac{156}{65} = \frac{216}{65}$$

**Odpowiedź:** \(\sin \alpha + \tan \alpha = \frac{216}{65}\).

### Zadanie 3 - Twierdzenie cosinusów (2 pkt)

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) boki mają długości \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 8\). Oblicz cosinus kąta \(\gamma\) (kąt między bokami \(a\) i \(b\)).

**Rozwiązanie:**

Stosujemy twierdzenie cosinusów w postaci na kąt:

$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

Podstawiamy:

$$\cos \gamma = \frac{25 + 49 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

**Odpowiedź:** \(\cos \gamma = \frac{1}{7}\).

Kąt \(\gamma\) jest ostry, bo cosinus jest dodatni. Gdyby cosinus wyszedł ujemny, kąt byłby rozwarty - to ważna informacja w zadaniach maturalnych.

### Zadanie 4 - Twierdzenie sinusów i okrąg opisany (2 pkt)

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) kąt \(\alpha = 30°\), a bok \(a = 6\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

**Rozwiązanie:**

Z twierdzenia sinusów:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$$

Podstawiamy:

$$\frac{6}{\sin 30°} = 2R$$

Z tabelki: \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), więc:

$$\frac{6}{\frac{1}{2}} = 2R \quad \Rightarrow \quad 12 = 2R \quad \Rightarrow \quad R = 6$$

**Odpowiedź:** Promień okręgu opisanego wynosi \(R = 6\).

### Zadanie 5 - Pole trójkąta z sinusem kąta (2 pkt)

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) dane są boki \(a = 8\), \(b = 10\) oraz kąt \(\gamma = 60°\) między nimi. Oblicz pole tego trójkąta.

**Rozwiązanie:**

Wzór na pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

Podstawiamy:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi \(P = 20\sqrt{3}\).

Ten wzór jest niezwykle przydatny i pojawia się na maturze regularnie. Więcej zadań z polami figur znajdziesz w zbiorze [pól i obwodów na maturze](/pole-obwod-figur-matura-wzory) oraz w zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria).

### Zadanie 6 - Trójkąt z kątem rozwartym (3 pkt)

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 4\), bok \(b = 5\) i kąt \(\alpha = 120°\). Oblicz długość boku \(c\) albo wykaż, że taki trójkąt nie istnieje.

**Rozwiązanie:**

Kąt \(\alpha\) leży naprzeciwko boku \(a = 4\), a nie między bokami \(a\) i \(b\). Znasz więc dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich, czyli zaczynasz od twierdzenia sinusów i szukasz kąta \(\beta\) naprzeciwko boku \(b\):

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$$

$$\frac{4}{\sin 120°} = \frac{5}{\sin \beta}$$

$$\sin \beta = \frac{5 \cdot \sin 120°}{4} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{8}$$

Sprawdźmy: \(\frac{5\sqrt{3}}{8} \approx \frac{5 \cdot 1{,}732}{8} \approx \frac{8{,}66}{8} \approx 1{,}08 > 1\).

To niemożliwe - sinus nie może być większy od 1! Oznacza to, że **taki trójkąt nie istnieje**. Bok \(a = 4\) jest za krótki, żeby leżeć naprzeciwko kąta \(120°\) przy boku \(b = 5\).

**Odpowiedź:** Trójkąt o podanych wymiarach nie istnieje.

Ten sam wniosek dostaniesz bez liczenia: w trójkącie naprzeciwko największego kąta leży najdłuższy bok. Kąt \(120°\) jest rozwarty, więc musi być największy, a leżący naprzeciw niego bok \(a = 4\) jest krótszy od \(b = 5\). To sprzeczność.

To ważna lekcja - na maturze mogą pojawić się zadania, w których trzeba wykazać, że dana konfiguracja jest niemożliwa. Zawsze sprawdzaj, czy wynik jest sensowny!

## Typowe pułapki na maturze

### Pułapka 1: Mylenie przyprostokątnych

Sinus to stosunek przyprostokątnej **naprzeciwko** kąta do przeciwprostokątnej. Wielu uczniów myli ją z przyprostokątną **przy** kącie (to cosinus). Zanim podstawisz liczby, narysuj trójkąt i wyraźnie oznacz, która przyprostokątna jest "naprzeciwko", a która "przy".

### Pułapka 2: Zapominanie o znakach

Jeśli kąt \(\alpha\) jest rozwarty (np. 120°), to:
- \(\sin \alpha > 0\)
- \(\cos \alpha < 0\)

Wielu uczniów o tym zapomina i dostaje wynik z błędnym znakiem.

### Pułapka 3: Tangens 90° nie istnieje

\(\tan 90°\) jest nieokreślony. Jeśli w zadaniu wychodzi kąt 90° i trzeba obliczyć tangens, odpowiedź brzmi: "nie istnieje" lub "jest nieokreślony".

### Pułapka 4: Niewłaściwe twierdzenie

[Twierdzenie sinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac#algorytm-decyzyjny-ktore-twierdzenie-wybrac) stosujemy, gdy znamy kąt i bok naprzeciwko niego. Twierdzenie cosinusów - gdy znamy dwa boki i kąt **między** nimi lub trzy boki. Wybór złego twierdzenia prowadzi donikąd.

### Pułapka 5: Wartości z tabelki

Częsty błąd: \(\sin 60° = \frac{1}{2}\). Nie! \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). To \(\sin 30° = \frac{1}{2}\). Skrótem myślowym: większy kąt, większy sinus (dla kątów ostrych).

## Podsumowanie - co musisz umieć na maturę

1. **Definicje** sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym
2. **Tabelkę wartości** dla 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - na pamięć
3. **Jedynkę trygonometryczną** \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) i umiejętność jej stosowania
4. **Wzór na tangens:** \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
5. **Twierdzenie sinusów** i kiedy je stosować
6. **Twierdzenie cosinusów** i kiedy je stosować
7. **Wzór na pole trójkąta** z sinusem kąta: \(P = \frac{1}{2}ab\sin \gamma\)
8. **Znaki** funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych

Wszystkie te tematy przećwiczysz w zbiorze zadań z trygonometrii, do którego prowadzi link na początku wpisu. Jeśli trygonometria sprawia ci trudności, zacznij od [pewniaków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), gdzie znajdziesz najprostsze typy zadań, które powtarzają się co roku. Sprawdź też nasz [kompletny przewodnik po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin), żeby zobaczyć, jak trygonometria wpisuje się w całość arkusza.

Powodzenia na maturze!

## Najczęstsze pytania

### Czym różni się tg od tan?

Niczym poza zapisem: tg to polskie oznaczenie tangensa, którego używają arkusze CKE, a tan to oznaczenie z kalkulatorów i źródeł anglojęzycznych, więc \(\operatorname{tg} 60° = \tan 60° = \sqrt{3}\).

### Ile wynosi tg 45 stopni?

\(\operatorname{tg} 45° = 1\), bo w trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe, a tangens to ich iloraz.

### Jak obliczyć cosinus, gdy znam tylko sinus kąta ostrego?

Z jedynki trygonometrycznej: \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}\), ze znakiem plus, bo cosinus kąta ostrego jest dodatni. Dla \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\) wychodzi \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\).

### Dlaczego tangens 90 stopni nie istnieje?

Bo \(\operatorname{tg} 90° = \frac{\sin 90°}{\cos 90°} = \frac{1}{0}\), a przez zero nie da się dzielić. Na wykresie tangensa w tym miejscu stoi asymptota pionowa.

Następny krok: Losuj zadanie z działu Trygonometria (/losuj/trygonometria)


---
route: /symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke
title: Arkusze maturalne z matematyki online - ćwicz w warunkach egzaminu
description: Arkusze CKE z matematyki od 2010 do maja 2026 online: zadanie po zadaniu, z rozwiązaniem krok po kroku. Symulator z zegarem i wynikiem arkusza w Premium.
author: Marcel Bogdan
---

# Arkusze maturalne z matematyki online - ćwicz w warunkach egzaminu

## Arkusze i tryb losowy z matematyki - po co ćwiczyć w warunkach egzaminu?

Arkusze maturalne z matematyki rozwiążesz online na Sprawnej Maturze: prawdziwe arkusze CKE od 2010 roku do matury z maja 2026, zadanie po zadaniu, z rozwiązaniem krok po kroku. Warunki egzaminu odtworzysz w domu: 180 minut na stoperze, kalkulator prosty, linijka, cyrkiel i „Wybrane wzory matematyczne” CKE. Matura podstawowa 2027 jest 5 maja 2027 (środa) o 9:00, rozszerzona 11 maja 2027 (wtorek) o 9:00, a do zdania potrzebujesz 30% punktów, czyli 15 z 50.

Znasz teorię, rozwiązujesz zadania z podręcznika, ale **jak poradzisz sobie pod presją czasu?** Na prawdziwej maturze podstawowej masz 180 minut na 27-39 zadań za 50 punktów. Stres, tykający zegar, brak możliwości sprawdzenia odpowiedzi - to zupełnie inna gra niż spokojne rozwiązywanie w domu.

Dlatego regularne ćwiczenie pod presją czasu - pełne [arkusze CKE](/exams), które rozwiązujesz na czas mierzony samodzielnie (na przykład stoperem), uzupełnione pojedynczymi zadaniami z [trybu losowego](/random) - to najlepsza metoda przygotowania. Wszystkie zadania pochodzą z prawdziwych arkuszy CKE z lat 2010-2026 i z próbnych matur.

## W skrócie

- Pełne arkusze CKE z lat 2010-2026 rozwiązujesz online zadanie po zadaniu, z rozwiązaniem krok po kroku.
- Na maturze podstawowej masz 180 minut na 50 punktów, czyli około 3,6 minuty na punkt.
- Do zdania potrzebujesz 30% punktów, czyli 15 z 50.
- Arkusze i tryb losowy są darmowe w ramach dziennego limitu zadań, a symulator z zegarem i wynikiem arkusza działa w Premium.
- Od października do lutego wystarczy jeden pełny arkusz w tygodniu i codziennie kilka zadań z najsłabszego działu.

## Sprawdź się na 5 zadaniach z ostatniego arkusza

Pięć pierwszych zadań z ostatniej matury majowej pokaże ci w kwadrans, gdzie dziś jesteś.

1. [zadanie 1 z arkusza Matura maj 2026: Potęgi i pierwiastki](/task/matura-maj-2026-01)
2. [zadanie 2 z arkusza Matura maj 2026: Procenty](/task/matura-maj-2026-02)
3. [zadanie 3 z arkusza Matura maj 2026: Potęgi i pierwiastki](/task/matura-maj-2026-03)
4. [zadanie 4 z arkusza Matura maj 2026: Logarytmy](/task/matura-maj-2026-04)
5. [zadanie 5 z arkusza Matura maj 2026: Potęgi i pierwiastki](/task/matura-maj-2026-05)

Cały arkusz z rozwiązaniami: [Matura maj 2026](/exams/matura-maj-2026).

Któreś zadanie poszło źle? Otwórz jego dział w [spisie działów matematyki](/topics) i rozwiąż kilka zadań tego samego typu, zanim siądziesz do pełnego arkusza. Trzy z pięciu zadań to potęgi i pierwiastki, więc od nich najłatwiej zacząć.

Następny krok: Losuj zadanie z działu Potęgi i pierwiastki (/losuj/potegi-i-pierwiastki)

## Jak działają arkusze i tryb losowy na SprawnaMatury.pl?

### Losowe arkusze z prawdziwych matur

Możesz ćwiczyć na dwa sposoby:

1. **Pełne arkusze** - wybierz konkretny [arkusz maturalny](/exams/matura-maj-2025) i rozwiąż go od początku do końca, dokładnie tak jak na prawdziwym egzaminie
2. **Losowe zadania** - [losuj zadania](/random) po kategoriach, trudności lub źródle. Idealne do trenowania słabych stron

### Zadania z rozwiązaniami

Zadania mają:
- Treść identyczną z oryginałem CKE (z grafikami i wzorami)
- Sprawdzenie odpowiedzi: przy zadaniach do wyboru aplikacja od razu mówi, czy trafiłeś; przy pozostałych porównujesz odpowiedź z kluczem, a zadania dowodowe klucza zwykle nie mają
- Pisemne rozwiązanie krok po kroku
- Filmowe wyjaśnienie na YouTube (dla większości zadań)

Tak wygląda zadanie z arkusza w serwisie. Poniżej zadanie 21 z próbnej matury CKE z grudnia 2023 (geometria analityczna) i zadanie 17 z matury z sierpnia 2021 (planimetria): przeczytaj treść, rozwiąż na kartce i dopiero wtedy sprawdź odpowiedź.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-25

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2021-17

### Wszystkie arkusze CKE w jednym miejscu

W naszej bazie znajdziesz arkusze z:
- Matury maj 2026 - najnowszy egzamin właściwy (pięć pierwszych zadań i link do całości masz w sekcji „Sprawdź się” wyżej)
- [Matury maj 2025](/exams/matura-maj-2025) - egzamin właściwy sprzed roku
- [Matury czerwiec 2025](/exams/matura-czerwiec-2025) - sesja dodatkowa
- [Matury próbnej CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) - najświeższa próbna
- [Matury próbnej luty 2026](/exams/matura-probna-luty-2026) - lutowa próbna
- Wszystkie matury z lat 2010-2024 - [pełna lista arkuszy](/exams)

Automatyczne liczenie wyniku całego arkusza, bez ręcznego sprawdzania odpowiedzi, to osobna funkcja pod nazwą [symulator](/simulator): odlicza czas egzaminu i na końcu podaje wynik arkusza. Działa wyłącznie w ramach [subskrypcji Premium](/payment/checkout). Opisane wyżej metody (pełne arkusze i tryb losowy) są darmowe w ramach dziennego limitu zadań. Bez konta limit jest najniższy, darmowe konto go podnosi, a Premium znosi go przy zadaniach z podstawy. Bez Premium pełny arkusz rozkładasz więc na kilka dni.

## Dlaczego arkusze maturalne działają lepiej niż samo rozwiązywanie zadań?

### 1. Trenujesz zarządzanie czasem

Na maturze podstawowej masz 180 minut na 50 punktów, czyli średnio **około 3,6 minuty na punkt**. Zadanie zamknięte za 1 punkt powinno więc zająć ci najwyżej 3-4 minuty, a zadanie otwarte za 4 punkty około 15 minut. Bez praktyki łatwo utknąć na jednym zadaniu i stracić 20 minut. Podczas rozwiązywania pełnych arkuszy uczysz się:
- Kiedy odpuścić trudne zadanie i wrócić do niego później
- Ile czasu poświęcać na sprawdzanie
- W jakiej kolejności rozwiązywać arkusz

Więcej o strategii rozwiązywania w [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

### 2. Rozpoznajesz typy zadań

Po rozwiązaniu arkuszy zaczniesz dostrzegać **powtarzające się schematy**. CKE co roku zadaje podobne typy zadań - zmienia tylko liczby i kontekst. Sprawdź [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), żeby wiedzieć, czego się spodziewać.

### 3. Budujesz odporność na stres

Każda próbna matura, którą rozwiążesz pod presją czasu, [zmniejsza stres na właściwym egzaminie](/radzenie-sobie-ze-stresem-matura-matematyka-techniki). Znasz już czas, przybory i układ arkusza, więc w dniu matury zostaje mniej niewiadomych.

### 4. Identyfikujesz słabe strony

Po każdym arkuszu widzisz, z których kategorii masz najwięcej błędów, o ile [przeanalizujesz arkusz próbny zadanie po zadaniu](/jak-analizowac-arkusze-probne-matura-matematyka). Może to [trygonometria](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania)? [Stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni)? [Prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania)? Wtedy kierujesz naukę dokładnie tam, gdzie jest potrzebna.

## Plan treningowy - arkusze i tryb losowy

Plan liczy wstecz od matury podstawowej 5 maja 2027. Jeśli zaczynasz jesienią, masz ponad pół roku, więc nie musisz od razu rozwiązywać arkusza za arkuszem. Teorię dział po dziale rozpisuje [roczny plan przygotowań do matury 2027](/jak-zaczac-przygotowania-do-matury-z-matematyki-2027-plan-na-rok), a tu skupiamy się na arkuszach.

### Od października do lutego

- Jeden pełny arkusz w tygodniu, na stoperze ustawionym na 180 minut
- Po każdym arkuszu wypisz zadania, na których straciłeś punkty, i przypisz je do działów
- Codziennie kilka zadań z najsłabszego działu, na przykład [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna)
- Raz w miesiącu wróć do arkusza sprzed kilku tygodni i sprawdź, czy błędy się nie powtarzają

### 2 miesiące przed maturą (marzec)

- Pierwsze pełne arkusze na rozgrzewkę
- Codziennie kilka [losowych zadań](/random) z różnych kategorii, tyle, ile daje dzienny limit
- Powtarzanie teorii z [przewodników tematycznych](/blog)
- Focus na [pewniaki](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - to gwarantowane punkty

### 1 miesiąc przed maturą (kwiecień)

- Arkusz za arkuszem, coraz częściej
- Analiza błędów po każdym arkuszu
- Celowane ćwiczenie słabych kategorii: [funkcje](/topics/funkcje), [geometria](/topics/planimetria), [potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki)
- Powtórzenie [wzorów spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)

### Ostatnie tygodnie (maj)

- Codzienne krótsze sesje z arkuszami
- Rozwiązywanie najnowszych arkuszy: [matura próbna CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) i [matura próbna luty 2026](/exams/matura-probna-luty-2026)
- Przeglądanie [strategii na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka)
- ZERO nowych tematów - tylko utrwalanie

## Jakie arkusze rozwiązywać w pierwszej kolejności?

### Zaczynaj od najnowszych

Najnowsze arkusze najlepiej odzwierciedlają aktualny format i poziom trudności:

1. Matura maj 2026 (link do całego arkusza jest w sekcji „Sprawdź się”)
2. [Matura próbna CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026)
3. [Matura próbna luty 2026](/exams/matura-probna-luty-2026)
4. [Matura sierpień 2025](/exams/matura-sierpien-2025)
5. [Matura czerwiec 2025](/exams/matura-czerwiec-2025)
6. [Matura maj 2025](/exams/matura-maj-2025)

### Potem starsze matury

[Pełna lista arkuszy](/exams) z lat 2010-2024. Starsze arkusze mogą mieć nieco inny format (przed reformą), ale zadania są nadal wartościowe do ćwiczeń.

## Strategia rozwiązywania arkusza maturalnego

### Pierwsza runda (60-70 minut)

Rozwiąż **wszystkie zadania zamknięte** i **łatwe otwarte**. Nie zatrzymuj się na niczym dłużej niż 3 minuty. Jeśli nie wiesz jak zacząć - zaznacz i idź dalej.

### Druga runda (70-80 minut)

Wróć do pominiętych i trudnych zadań otwartych. Teraz masz więcej czasu na myślenie.

### Trzecia runda (30-40 minut)

Sprawdź odpowiedzi. Szczególnie:
- Czy nie pomyliłeś znaku?
- Czy jednostki się zgadzają?
- Czy odpowiedź ma sens? (np. ujemna długość = błąd)

Pełna strategia w artykule [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Ile trzeba rozwiązać arkuszy, żeby zdać?

To zależy od twojego poziomu wyjściowego. Ale orientacyjnie:

| Cel | Minimum arkuszy |
|-----|----------------|
| Zdać (30%) | 5-8 pełnych arkuszy |
| 50-70% | 10-15 arkuszy |
| 70-85% | 15-25 arkuszy |
| 85%+ | 25+ arkuszy + celowane ćwiczenia |

Na Sprawnej Maturze masz **kilkadziesiąt kompletnych arkuszy** z lat 2010-2026: sesje majowe, czerwcowe, sierpniowe i próbne. Nie zabraknie materiału.

## Ćwicz tematycznie - gdy słabo idzie konkretny dział

Jeśli po arkuszu widzisz, że masz problem z konkretnym działem, skorzystaj z naszych przewodników:

- [Funkcje](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc) - dziedzina, wykresy, monotoniczność
- [Procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) - wzory, procent składany
- [Wyrażenia algebraiczne](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia) - wzory skróconego mnożenia
- [Statystyka](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe) - średnia, mediana, odchylenie
- [Układy równań](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-przyklady) - metody rozwiązywania
- [Kombinatoryka](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) - permutacje, wariacje
- [Liczby rzeczywiste](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna) - przedziały, zbiory

Plus wszystkie kategorie w [przeglądzie tematycznym](/topics).

## Zacznij teraz

Nie odkładaj na później. Każdy rozwiązany arkusz przybliża cię do celu. [Losuj pierwsze zadanie](/random) lub wybierz [arkusz do rozwiązania](/exams) i zacznij ćwiczyć w warunkach maturalnych.

Im więcej arkuszy rozwiążesz przed majem 2027, tym spokojniej będziesz się czuł na prawdziwym egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)

## Najczęstsze pytania

### Czy symulator matury CKE na Sprawnej Maturze jest darmowy?

Symulator, który odlicza czas i liczy wynik całego arkusza, działa w Premium. Same arkusze CKE i tryb losowy są darmowe w ramach dziennego limitu zadań, więc bez Premium rozkładasz pełny arkusz na kilka dni i mierzysz czas stoperem.

### Ile trwa matura z matematyki na poziomie podstawowym?

Matura podstawowa w formule 2023 trwa 180 minut. Od matury 2025 arkusz ma od 27 do 39 zadań za 50 punktów, więc ćwicząc online, ustaw stoper dokładnie na 180 minut.

### Co można mieć na maturze z matematyki?

Linijkę, cyrkiel, kalkulator prosty i „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki”. Ćwicz z tym samym zestawem: kalkulator w telefonie liczy więcej niż prosty i daje fałszywe poczucie tempa.

### Czy stare arkusze z formuły 2015 nadają się do ćwiczeń?

Tak, typy zadań w dużej części się powtarzają, więc arkusze z lat 2015-2022 to dobry materiał. Matura w formule 2015 trwała jednak 170 minut, dlatego przy takim arkuszu ustaw stoper na 170, a nie na 180 minut.


---
route: /rownanie-okregu-matura-wzor-zadania
title: Równanie okręgu na maturze - wzór, wykreślanie i zadania z rozwiązaniami
description: Równanie okręgu: (x - a)² + (y - b)² = r², gdzie (a, b) to środek, a r promień. Postać ogólna, uzupełnianie do kwadratu i zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Równanie okręgu na maturze - wzór, wykreślanie i zadania z rozwiązaniami

Równanie okręgu o środku \(S = (a, b)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Środek odczytujesz z liczb w nawiasach ze zmienionym znakiem, a promień to pierwiastek z prawej strony: z równania \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16\) masz \(S = (3, -2)\) i \(r = 4\). Postać ogólną \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) sprowadzasz do tego wzoru przez uzupełnianie do kwadratu.

## W skrócie

- Wzór na równanie okręgu to \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), gdzie \((a, b)\) to środek, a \(r > 0\) to promień.
- Z nawiasu \((x + 1)^2\) odczytujesz \(a = -1\), a z prawej strony równej \(36\) promień \(r = 6\), nie \(36\).
- Równanie \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\) po uzupełnieniu do kwadratu daje środek \(S = (3, -2)\) i promień \(r = 5\).
- O położeniu prostej względem okręgu decyduje porównanie odległości \(d\) środka od prostej z promieniem \(r\).
- Dwa okręgi porównujesz przez odległość ich środków oraz sumę i różnicę promieni.

## Równanie okręgu - jeden z najczęściej pojawiających się tematów geometrii analitycznej

Równanie okręgu to absolutny fundament [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), a prawdziwe zadania CKE z tego tematu zebraliśmy w dziale [zadania z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna). Na arkuszach CKE zadania z okręgiem pojawiają się niemal co roku - zarówno w części zamkniętej (odczytanie środka i promienia), jak i w zadaniach otwartych (wyznaczenie równania okręgu, zbadanie położenia prostej względem okręgu, obliczenie punktów przecięcia).

Jeśli opanujesz ten temat, zyskujesz pewne punkty. A najlepsza wiadomość? Równanie okręgu opiera się na jednym wzorze i kilku powtarzalnych technikach. Gdy je zrozumiesz, każde zadanie rozwiążesz schematycznie.

W tym przewodniku znajdziesz:
- Postać kanoniczną i ogólną równania okręgu
- Jak przechodzić między postaciami (uzupełnianie do kwadratu)
- Odczytywanie środka i promienia z obu postaci
- Wzajemne położenie prostej i okręgu
- Warunek styczności prostej do okręgu
- Wzajemne położenie dwóch okręgów
- 6 pełnych zadań maturalnych z rozwiązaniami

Zanim zaczniesz, upewnij się, że znasz [równanie prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) i [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) - będą potrzebne w niemal każdym zadaniu.

---

## Postać kanoniczna równania okręgu

Postać kanoniczna to podstawowy wzór, który musisz znać na pamięć:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

gdzie:
- \((a, b)\) to współrzędne **środka** okręgu
- \(r\) to **promień** okręgu (\(r > 0\))

### Jak to rozumieć geometrycznie?

Okrąg to zbiór wszystkich punktów \((x, y)\) na płaszczyźnie, które są oddalone od środka \((a, b)\) o dokładnie \(r\). Wzór wynika wprost ze [wzoru na odległość dwóch punktów](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania):

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Jeśli punkt \((x, y)\) leży na okręgu o środku \((a, b)\) i promieniu \(r\), to jego odległość od środka wynosi dokładnie \(r\):

$$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$$

Po podniesieniu obu stron do kwadratu dostajemy postać kanoniczną.

### Typowa pułapka: znaki we wzorze

To najczęstszy błąd na maturze! We wzorze mamy **minus** przed \(a\) i \(b\):

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Dlatego jeśli równanie wygląda tak:

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$$

to środek to \(S = (3, -2)\), a **nie** \((3, 2)\). Pamiętaj: \(y + 2 = y - (-2)\), więc \(b = -2\).

Promień to \(r = \sqrt{16} = 4\), a **nie** \(r = 16\). Po prawej stronie równania stoi \(r^2\), nie \(r\).

### Przykłady odczytywania

| Równanie | Środek \(S\) | Promień \(r\) |
|----------|-------------|-------------|
| \((x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 9\) | \((1, 5)\) | \(3\) |
| \((x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 25\) | \((-4, 3)\) | \(5\) |
| \(x^2 + (y + 7)^2 = 1\) | \((0, -7)\) | \(1\) |
| \((x - 2)^2 + y^2 = 50\) | \((2, 0)\) | \(5\sqrt{2}\) |

Zwróć uwagę na trzeci wiersz: brak \((x - a)\) oznacza, że \(a = 0\). Analogicznie brak \((y - b)\) oznacza \(b = 0\).

---

## Postać ogólna równania okręgu

Postać ogólna to rozwinięcie postaci kanonicznej:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

gdzie \(D\), \(E\) i \(F\) to stałe rzeczywiste.

Nie każde równanie tej postaci opisuje okrąg. Okrąg istnieje tylko wtedy, gdy promień jest dodatni, co przekłada się na warunek:

$$\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F > 0$$

### Związek między postaciami

Z postaci ogólnej możemy odczytać środek i promień:

$$a = -\frac{D}{2}, \quad b = -\frac{E}{2}, \quad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$$

Ale na maturze **nigdy nie wkuwaj tych wzorów na pamięć** - znacznie lepiej jest przeprowadzić uzupełnianie do kwadratu, bo wtedy nie pomylisz się ze znakiem.

---

## Uzupełnianie do kwadratu - kluczowa technika

To najważniejsza umiejętność w zadaniach z okręgiem. Polega na przekształceniu postaci ogólnej do kanonicznej.

### Algorytm krok po kroku

Mamy równanie: \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)

**Krok 1.** Grupujemy wyrazy z \(x\) i z \(y\) osobno:

$$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$$

**Krok 2.** Uzupełniamy do kwadratu dla \(x\):

$$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$$

Skąd \(-3\) i \(-9\)? Bierzemy współczynnik przy \(x\) (tu: \(-6\)), dzielimy przez \(2\) (dostajemy \(-3\)), a potem podnosimy do kwadratu i odejmujemy (\((-3)^2 = 9\)).

**Krok 3.** Uzupełniamy do kwadratu dla \(y\):

$$y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$$

**Krok 4.** Wstawiamy do równania:

$$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 12$$

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 = 25$$

**Wynik:** Środek \(S = (3, -2)\), promień \(r = 5\).

To uzupełnianie do kwadratu przydaje się również w zadaniach z [funkcją kwadratową](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - warto je opanować raz, a dobrze.

---

## Wzajemne położenie prostej i okręgu

To jeden z najczęstszych typów zadań maturalnych. Mamy prostą \(l\) i okrąg \(\omega\). Mogą wystąpić trzy sytuacje:

1. **Prosta przecina okrąg** w dwóch punktach (sieczna) - odległość środka od prostej jest mniejsza od promienia
2. **Prosta jest styczna** do okręgu - dotyka go w dokładnie jednym punkcie - odległość środka od prostej jest równa promieniowi
3. **Prosta jest rozłączna** z okręgiem - nie mają punktów wspólnych - odległość środka od prostej jest większa od promienia

### Metoda 1: Odległość środka od prostej

Jeśli prosta ma postać \(Ax + By + C = 0\), a okrąg ma środek \(S = (a, b)\) i promień \(r\), to obliczamy [odległość środka od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania):

$$d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Porównujemy \(d\) z \(r\):
- \(d  r\) - prosta i okrąg są rozłączne (0 punktów wspólnych)

### Metoda 2: Układ równań i wyróżnik (delta)

Wstawiamy równanie prostej do równania okręgu i rozwiązujemy równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań zależy od [delty](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe):

- \(\Delta > 0\) - dwa punkty przecięcia
- \(\Delta = 0\) - punkt styczności
- \(\Delta  r_1 + r_2\) | Okręgi zewnętrznie rozłączne | 0 |
| \(d = r_1 + r_2\) | Okręgi styczne zewnętrznie | 1 |
| \(|r_1 - r_2|  8\)

Ponieważ \(d > r_1 + r_2\), okręgi są **zewnętrznie rozłączne** - nie mają punktów wspólnych.

---

## Jak nie tracić punktów w zadaniach z okręgiem

Na podstawie [najczęstszych błędów na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) zbieramy najważniejsze pułapki:

**1. Znaki we wzorze kanonicznym.** \((x + 3)^2\) oznacza \(a = -3\), nie \(a = 3\). Zawsze zapisuj: \(x + 3 = x - (-3)\).

**2. Promień vs \(r^2\).** Jeśli po prawej stronie stoi \(49\), to \(r = 7\), nie \(r = 49\).

**3. Uzupełnianie do kwadratu.** Pamiętaj o przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę **przed** uzupełnianiem. Często uczniowie zapominają odjąć dodany kwadrat.

**4. Zapominanie o sprawdzeniu.** Sprawdzenie wyniku (np. wstawienie punktu do równania) pomaga wychwycić błędy rachunkowe. Zawsze warto!

**5. Zapis odpowiedzi.** Podawaj równanie w żądanej postaci. Jeśli pytanie mówi "postać kanoniczna", nie zostawiaj postaci ogólnej.

---

## Podsumowanie najważniejszych wzorów

| Wzór | Zastosowanie |
|------|-------------|
| \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) | Postać kanoniczna - odczytanie \(S\) i \(r\) |
| \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) | Postać ogólna - przekształcanie |
| \(d = \frac{\|Aa + Bb + C\|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) | Odległość punktu od prostej |
| \(d  r\) | Położenie prostej i okręgu |
| \(d\) vs \(r_1 + r_2\) i \(\|r_1 - r_2\|\) | Położenie dwóch okręgów |

Wszystkie te wzory znajdziesz też w naszym zestawieniu [wzorów, których brakuje w tablicach CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).

---

## Co dalej?

Równanie okręgu to tylko jeden z tematów geometrii analitycznej. Sprawdź też:

- [Równanie prostej - postać kierunkowa i ogólna](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) - fundament, bez którego nie rozwiążesz zadań z okręgiem i prostą
- [Geometria analityczna na maturze - kompletny przewodnik](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - proste, okręgi, wektory w jednym miejscu
- [Planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) - klasyczna geometria, która łączy się z analityczną
- [Twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - używasz go przy obliczaniu odległości między punktami

Osobna klasa zadań z okręgami to dwa okręgi naraz: styczne zewnętrznie, wewnętrznie albo przecinające się. Warunki na odległość środków i pełne przykłady rozpisaliśmy w poradniku [wzajemne położenie dwóch okręgów](/wzajemne-polozenie-dwoch-okregow-matura-zadania).

Chcesz przećwiczyć wzór na prawdziwym arkuszu? Wylosuj zadanie CKE z geometrii analitycznej i sprawdź, czy od razu odczytasz środek i promień.

Następny krok: Losuj zadanie z działu Geometria analityczna (/losuj/geometria-analityczna)

## Najczęstsze pytania

### Jak wyznaczyć środek okręgu z równania?

Z postaci kanonicznej \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) środek to \(S = (a, b)\), czyli liczby z nawiasów ze zmienionym znakiem: z \((x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 25\) dostajesz \(S = (-4, 1)\). Z postaci ogólnej \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) środek to \(a = -\frac{D}{2}\) i \(b = -\frac{E}{2}\), więc dla \(x^2 + y^2 + 8x - 2y - 8 = 0\) wychodzi ten sam punkt \((-4, 1)\).

### Jak obliczyć promień okręgu z równania?

W postaci kanonicznej promień to pierwiastek z prawej strony: przy \(r^2 = 50\) masz \(r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). W postaci ogólnej \(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}\), więc dla \(x^2 + y^2 + 8x - 2y - 8 = 0\) liczysz \(\sqrt{16 + 1 + 8} = \sqrt{25} = 5\). Bezpieczniej jednak uzupełnić do kwadratu, bo wtedy znak \(F\) nie ma szans cię zmylić.

### Jak napisać równanie okręgu, gdy znasz końce średnicy?

Środek okręgu to środek średnicy, a promień to połowa jej długości. Dla końców \(A = (-1, 2)\) i \(B = (5, 10)\) środek to \(S = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 10}{2}\right) = (2, 6)\), a \(|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\), więc \(r = 5\). Równanie okręgu to \((x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25\).

### Kiedy postać ogólna nie opisuje okręgu?

Wtedy, gdy po uzupełnieniu do kwadratu po prawej stronie wychodzi zero albo liczba ujemna. Na przykład \(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 10 = 0\) daje \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 - 10 = -5\), a suma kwadratów nie może być ujemna, więc żaden punkt nie spełnia tego równania. Przy zerze po prawej stronie równanie opisuje jeden punkt, a nie okrąg.


---
route: /twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac
title: Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami
description: Twierdzenie sinusów: a/sin α = 2R. Twierdzenie cosinusów: a² = b² + c² - 2bc·cos α. Kiedy które stosować na maturze podstawowej i 7 zadań z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - wzory, kiedy stosować i zadania z rozwiązaniami

Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie bok podzielony przez sinus kąta leżącego naprzeciwko daje tę samą liczbę, równą średnicy okręgu opisanego: \( \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \). Twierdzenie cosinusów, \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \), daje trzeci bok z dwóch boków i kąta między nimi albo kąt z trzech boków. Oba wzory są na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) w dziale Planimetria, więc nie musisz ich pamiętać na pamięć, tylko wiedzieć, **kiedy sięgnąć po które twierdzenie**.

Na tym etapie najłatwiej się zgubić: widzisz trójkąt, widzisz dane i nie wiesz, od czego zacząć. W tym przewodniku rozbijam oba twierdzenia na czynniki pierwsze. Pokażę Ci dokładnie, w jakich sytuacjach stosować sinusy, a w jakich cosinusy, dam Ci prosty algorytm decyzyjny i przeprowadzę Cię przez kilka zadań krok po kroku. Jeśli szukasz szerszego przeglądu [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), zajrzyj do osobnego artykułu - tutaj skupiamy się wyłącznie na tych dwóch twierdzeniach.

## W skrócie

- Twierdzenie sinusów: \( \frac{a}{\sin\alpha} = 2R \), więc z boku i kąta naprzeciwko od razu masz promień okręgu opisanego.
- Twierdzenie cosinusów: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \), czyli Pitagoras z poprawką, która działa w każdym trójkącie.
- Kąt **między** dwoma znanymi bokami albo trzy boki to cosinusy, kąt **naprzeciwko** znanego boku to sinusy.
- Pole bez wysokości liczysz ze wzoru \( P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \), gdzie \( \gamma \) to kąt między bokami \( a \) i \( b \).
- Oba twierdzenia są w arkuszach podstawowych, np. w zadaniu 22 z matury z sierpnia 2025 liczysz bok z twierdzenia cosinusów.

## Twierdzenie sinusów - wzór i interpretacja

### Wzór

Dla dowolnego trójkąta o bokach \( a, b, c \) i kątach \( \alpha, \beta, \gamma \) leżących naprzeciwko tych boków zachodzi:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

gdzie \( R \) to promień okręgu opisanego na trójkącie.

### Co to znaczy w praktyce?

Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek każdego boku do sinusa kąta naprzeciwko jest taki sam - i równa się [średnicy okręgu opisanego](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania#wzor-uniwersalny-na-promien-okregu-opisanego). To daje nam dwie rzeczy:

1. **Proporcje** - jeśli znamy jeden bok i kąt naprzeciwko, a potem znamy jeszcze jeden kąt, możemy wyliczyć drugi bok.
2. **Promień okręgu opisanego** - jeśli znamy dowolny bok i kąt naprzeciwko, od razu mamy \( R \).

## Kiedy stosować twierdzenie sinusów?

Twierdzenie sinusów jest najlepszym wyborem w trzech sytuacjach:

### 1. Dane: bok + kąt naprzeciwko + jeszcze jeden kąt (BKK)

Masz np. \( a = 6 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 45° \). Szukasz boku \( b \).

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \frac{6}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$$

### 2. Dane: dwa boki + kąt naprzeciwko jednego z nich (BBK, ale kąt naprzeciwko)

Masz np. \( a = 8 \), \( b = 6 \), \( \alpha = 60° \). Szukasz kąta \( \beta \).

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} \implies \sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a}$$

**Uwaga:** ta sytuacja może dać dwa rozwiązania (przypadek niejednoznaczny), bo \( \sin\beta = \sin(180° - \beta) \).

### 3. Szukasz promienia okręgu opisanego

Zawsze gdy w zadaniu pojawia się okrąg opisany na trójkącie, myśl: twierdzenie sinusów.

$$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$$

To pojawia się regularnie w zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria), szczególnie w połączeniu z okręgami opisanymi i wpisanymi.

## Twierdzenie cosinusów - wzór i interpretacja

### Wzór

Dla dowolnego trójkąta:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$$

Analogicznie dla pozostałych boków:

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta$$

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma$$

### Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa

Jeśli \( \alpha = 90° \), to \( \cos 90° = 0 \) i wzór upraszcza się do:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

Właśnie dlatego twierdzenie cosinusów nazywa się uogólnieniem [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania). Pitagoras działa tylko w trójkącie prostokątnym - cosinusy działają w **każdym** trójkącie.

Człon \( -2bc \cdot \cos\alpha \) to "korekta", która uwzględnia fakt, że kąt nie musi być prosty:
- Gdy \( \alpha  90° \), cosinus jest ujemny, więc faktycznie dodajemy - bok \( a \) jest dłuższy.

Warto mieć na uwadze te zależności - więcej o wartościach funkcji trygonometrycznych znajdziesz w artykule o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

## Kiedy stosować twierdzenie cosinusów?

### 1. Dane: dwa boki i kąt między nimi (BKB) - szukasz trzeciego boku

Masz np. \( b = 5 \), \( c = 7 \), \( \alpha = 60° \). Szukasz \( a \).

$$a^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$

$$a = \sqrt{39}$$

### 2. Dane: trzy boki (BBB) - szukasz kąta

Masz np. \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \). Szukasz kąta \( \alpha \).

$$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$$

$$\alpha = 60°$$

## Algorytm decyzyjny - które twierdzenie wybrać?

To jest najważniejsza część artykułu. Zanim zaczniesz liczyć, zadaj sobie te pytania w tej kolejności:

| Krok | Pytanie | Odpowiedź | Działanie |
|------|---------|-----------|-----------|
| 1 | Czy trójkąt jest prostokątny? | Tak | Użyj [Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) i trygonometrii kąta ostrego |
| 2 | Czy mam trzy boki (BBB)? | Tak | **Cosinusy** - wylicz dowolny kąt |
| 3 | Czy mam dwa boki i kąt między nimi (BKB)? | Tak | **Cosinusy** - wylicz trzeci bok |
| 4 | Czy mam bok i kąt naprzeciwko? | Tak | **Sinusy** - ustaw proporcję |
| 5 | Czy szukam promienia okręgu opisanego? | Tak | **Sinusy** - \( R = \frac{a}{2\sin\alpha} \) |
| 6 | Czy mam dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich? | Tak | **Sinusy** - ale uważaj na przypadek niejednoznaczny |

**Złota zasada:** jeśli masz kąt **między** dwoma znanymi bokami - cosinusy. Jeśli masz kąt **naprzeciwko** znanego boku - sinusy.

## Pole trójkąta przez sinus kąta

Oprócz dwóch głównych twierdzeń, na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) znajdziesz jeszcze jeden wzór ściśle z nimi związany:

$$P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin\gamma$$

gdzie \( a \) i \( b \) to dwa boki trójkąta, a \( \gamma \) to kąt między nimi.

Ten wzór jest niezwykle przydatny, bo oblicza [pole trójkąta](/pole-obwod-figur-matura-wzory) bez konieczności wyznaczania wysokości. Wystarczą [dwa boki i kąt między nimi](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura#wzor-2-z-sinusem-kata-dwa-boki-i-kat-miedzy-nimi) - dane, które często masz od razu lub możesz łatwo wyliczyć z twierdzenia cosinusów.

## Rozwiązane przykłady

### Przykład 1: Dwa boki i kąt między nimi - wyznacz trzeci bok

**Treść:** W trójkącie \( ABC \) dane są \( b = 4 \), \( c = 6 \) i \( \alpha = 120° \). Oblicz długość boku \( a \).

**Analiza danych:** Mam dwa boki i kąt między nimi (BKB) - twierdzenie cosinusów.

**Rozwiązanie:**

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha$$

$$a^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 120°$$

$$a^2 = 52 - 48 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76$$

$$a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$$

**Komentarz:** Cosinus 120° jest ujemny, więc zamiast odejmować, dodajemy. To logiczne - kąt rozwarty "rozciąga" bok naprzeciwko.

### Przykład 2: Trzy boki - wyznacz największy kąt

**Treść:** Boki trójkąta mają długości 5, 7 i 10. Oblicz miarę największego kąta.

**Analiza danych:** Mam trzy boki (BBB), szukam kąta - twierdzenie cosinusów. Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku (10).

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy \( a = 10 \), \( b = 5 \), \( c = 7 \).

$$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 49 - 100}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-26}{70} = -\frac{13}{35}$$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty (większy niż 90°): \( \alpha = \arccos\!\left(-\frac{13}{35}\right) \approx 111{,}8° \).

### Przykład 3: Promień okręgu opisanego

**Treść:** W trójkącie \( ABC \) bok \( a = 8 \) i kąt \( \alpha = 30° \). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

**Analiza danych:** Szukam \( R \), mam bok i kąt naprzeciwko - twierdzenie sinusów.

**Rozwiązanie:**

$$2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{8}{\sin 30°} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16$$

$$R = 8$$

**Komentarz:** To zadanie zamknięte na maturze rozwiązujesz w 30 sekund. Taki typ pojawia się w [pewniakach maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

### Przykład 4: Pole trójkąta ogólnego

**Treść:** Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10, a kąt między nimi ma miarę 150°. Oblicz pole tego trójkąta.

**Analiza danych:** Mam dwa boki i kąt między nimi - pole ze wzoru z sinusem.

**Rozwiązanie:**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 150° = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{1}{2} = 15$$

**Komentarz:** \( \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2} \). Warto pamiętać, że sinus kąta rozwartego to sinus jego dopełnienia do 180° - więcej o tym w artykule o [wartościach sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

### Przykład 5: Zadanie łączone - cosinusy, a potem pole

**Treść:** W trójkącie \( ABC \) dane są \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \). Oblicz pole tego trójkąta.

**Analiza danych:** Mam trzy boki, szukam pola. Najpierw muszę wyznaczyć kąt (cosinusy), potem policzę pole ze wzoru z sinusem.

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - wyznaczam kąt \( \gamma \) (między bokami \( a \) i \( b \)):

$$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

Krok 2 - obliczam \( \sin\gamma \):

$$\sin^2\gamma = 1 - \cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$$

$$\sin\gamma = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

Krok 3 - pole trójkąta:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$

**Komentarz:** Zwróć uwagę, jak przechodzę od cosinusa do sinusa przez jedynkę trygonometryczną \( \sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1 \). Tego nie ominiesz na maturze.

### Przykład 6: Trójkąt wpisany w okrąg

**Treść:** W okrąg o promieniu \( R = 5 \) wpisano trójkąt, w którym jeden z boków ma długość 6, a kąt naprzeciwko tego boku ma miarę \( \alpha \). Oblicz \( \sin\alpha \).

**Rozwiązanie:**

$$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$$

$$\frac{6}{\sin\alpha} = 10$$

$$\sin\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

### Przykład 7: Sinus najmniejszego kąta (informator CKE 2024/2025, zadanie 49)

**Treść:** Dany jest trójkąt \( ABC \) o bokach długości: \( |AB| = 4 \), \( |BC| = 5 \), \( |AC| = 6 \). Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \( ABC \).

**Analiza danych:** Mam trzy boki (BBB), więc kąt policzę z twierdzenia cosinusów. Najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku \( |AB| = 4 \), czyli przy wierzchołku \( C \).

**Rozwiązanie:**

$$\cos\gamma = \frac{|AC|^2 + |BC|^2 - |AB|^2}{2 \cdot |AC| \cdot |BC|} = \frac{36 + 25 - 16}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$$

$$\sin^2\gamma = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$

Kąt \( \gamma \) jest kątem trójkąta, więc \( \sin\gamma > 0 \):

$$\sin\gamma = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

**Komentarz:** Gdy w tym samym trójkącie pytają o promień okręgu opisanego, dołóż twierdzenie sinusów: \( 2R = \frac{4}{\sin\gamma} = \frac{16}{\sqrt{7}} \), więc \( R = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7} \).

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania 22 z matury z sierpnia 2025: z dwóch boków i kąta \( 60^\circ \) między nimi policz pole trójkąta i długość trzeciego boku.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-29

## Kiedy NIE używać tych twierdzeń?

Twierdzenie sinusów i cosinusów to narzędzia do **trójkątów ogólnych**. Jeśli wiesz, że trójkąt jest prostokątny, masz prostsze metody:

| Sytuacja | Lepsze narzędzie | Dlaczego? |
|----------|------------------|-----------|
| Trójkąt prostokątny, szukam boku | [Twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) | \( a^2 + b^2 = c^2 \) - szybciej i prościej |
| Trójkąt prostokątny, szukam kąta | Definicja sin/cos/tan | \( \sin\alpha = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} \) |
| [Trójkąt 30-60-90 lub 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) | Stałe proporcje boków | \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) lub \( 1 : 1 : \sqrt{2} \) |
| Pole trójkąta prostokątnego | \( P = \frac{1}{2}ab \) | Przyprostokątne to od razu podstawa i wysokość |

## Tabela porównawcza: twierdzenie sinusów vs cosinusów

| Cecha | Twierdzenie sinusów | Twierdzenie cosinusów |
|-------|--------------------|-----------------------|
| **Wzór** | \( \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = 2R \) | \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha \) |
| **Gdy mam BKK** | Tak - idealne | Nie |
| **Gdy mam BKB** | Nie | Tak - idealne |
| **Gdy mam BBB** | Nie | Tak - wyliczam kąt |
| **Gdy mam BBK (kąt naprzeciwko)** | Tak, ale uwaga na niejednoznaczność | Nie |
| **Daje promień R** | Tak - wprost | Nie |
| **Związek z Pitagorasem** | Brak | Uogólnienie (dla 90° daje Pitagorasa) |
| **Najczęstsza pułapka** | Przypadek niejednoznaczny (dwa kąty) | Zapomnienie o znaku minusa przy cos > 90° |

## Strategia na maturze - podsumowanie

Kiedy na arkuszu zobaczysz trójkąt ogólny (nie prostokątny), wykonaj te kroki:

1. **Oznacz dane** - wpisz znane boki i kąty na rysunek.
2. **Sprawdź, czy jest kąt prosty** - jeśli tak, użyj Pitagorasa.
3. **Policz dane** - ile znasz boków? Ile kątów?
4. **Zastosuj algorytm decyzyjny** z tabeli wyżej.
5. **Jeśli szukasz pola** - pomyśl o wzorze \( P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \).
6. **Jeśli szukasz \( R \)** - myśl: sinusy.

Oba twierdzenia są na karcie wzorów, więc nie stresujesz się zapamiętywaniem. Twoim zadaniem jest rozpoznać sytuację i wybrać odpowiednie narzędzie. Przećwicz to na [zadaniach z trygonometrii](/topics/trygonometria) i [planimetrii](/topics/planimetria) - im więcej trójkątów rozwiążesz, tym szybciej będziesz podejmować decyzje na egzaminie.

Jeśli chcesz ogarnąć trygonometrię szerzej - definicje, wykresy, równania - zajrzyj do [kompletnego przewodnika po trygonometrii maturalnej](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). A jeśli potrzebujesz powtórki z figur, w których te twierdzenia się przydają, przeczytaj [przewodnik po planimetrii: trójkąty, czworokąty i okrąg](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)

## Najczęstsze pytania

### Czy twierdzenie sinusów i cosinusów jest na maturze podstawowej?

Tak. Oba twierdzenia stoją w karcie „Wybrane wzory matematyczne” w dziale Planimetria, a z tej karty korzystasz na egzaminie. Zadania na nie są też w arkuszach poziomu podstawowego: na [maturze z sierpnia 2025](/exams/matura-sierpien-2025) w zadaniu 22 liczysz pole trójkąta ze wzoru z sinusem i trzeci bok z twierdzenia cosinusów.

### Czym różni się twierdzenie sinusów od twierdzenia cosinusów?

Twierdzenie sinusów łączy każdy bok z sinusem kąta leżącego naprzeciwko i z promieniem okręgu opisanego, więc sięgasz po nie, gdy znasz bok i kąt naprzeciwko niego. Twierdzenie cosinusów łączy trzy boki z jednym kątem, więc sięgasz po nie, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi albo wszystkie trzy boki.

### Kiedy twierdzenie sinusów daje dwa różne trójkąty?

Może się tak zdarzyć tylko wtedy, gdy znasz dwa boki i kąt ostry leżący naprzeciwko krótszego z nich. Z proporcji wychodzi sinus szukanego kąta, a ten sam sinus mają kąt ostry \( \beta \) i rozwarty \( 180^\circ - \beta \). Dodaj każdy z nich do danego kąta: jeśli suma jest mniejsza niż \( 180^\circ \), ten kąt też tworzy trójkąt.

### Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie?

Z twierdzenia sinusów: \( R = \frac{a}{2\sin\alpha} \), gdzie \( \alpha \) to kąt naprzeciwko boku \( a \). Gdy znasz tylko trzy boki, najpierw policz cosinus jednego kąta z twierdzenia cosinusów, potem sinus z jedynki trygonometrycznej, a na końcu \( R \), tak jak w przykładzie 7.


---
route: /matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac
title: Matura matematyka - wzory spoza tablic, które musisz znać na pamięć
description: Delta, wzory Viète'a i własności potęg są w karcie CKE. Sprawdź, czego w niej nie ma: procenty, funkcja liniowa, wyraz ciągu z sumy i dominanta.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura matematyka - wzory spoza tablic, które musisz znać na pamięć

Większość wzorów maturalnych jest w karcie CKE „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki”, z której korzystasz na egzaminie: własności potęg i logarytmów, wzory skróconego mnożenia, delta, wzory Viète'a, procent składany, środek i długość odcinka, równanie okręgu, średnia, mediana i odchylenie standardowe. Karta nie podaje za to wzorów na podwyżkę i obniżkę o \(p\%\), monotoniczności i miejsca zerowego funkcji liniowej, związku \(a_n = S_n - S_{n-1}\) ani dominanty. Te rzeczy musisz mieć w głowie, a resztę i tak warto znać na pamięć, bo każde szukanie w karcie zabiera czas.

## W skrócie

- Delta, pierwiastki równania kwadratowego, wierzchołek paraboli i wzory Viète'a są w dziale „Funkcja kwadratowa” karty CKE.
- Procenty nie mają w karcie wzoru poza procentem składanym: podwyżkę o \(p\%\) liczysz jako \(a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\).
- Funkcja liniowa \(y = ax + b\) rośnie dla \(a > 0\), maleje dla \(a  0\), malejąca dla \(a  0\), więc zbiór wartości to \(\langle -4, +\infty)\), a funkcja maleje w \((-\infty, 3\rangle\) i rośnie w \(\langle 3, +\infty)\). Wzory Viète'a się zgadzają: \(1 + 5 = 6 = -\frac{-6}{1}\) oraz \(1 \cdot 5 = 5 = \frac{5}{1}\). Typowe zadania na te wzory zebrałem we wpisie o tym, [jak stosować wzory Viète'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania).

## 6. Procenty

W karcie jest tylko procent składany, w dziale „Ciągi”. Reszta to wzory do zapamiętania.

**Procent z liczby:**
$$p\% \cdot a = \frac{p}{100} \cdot a$$

**Zmiana procentowa:**
- Wzrost o \(p\%\): \(a \cdot (1 + \frac{p}{100})\)
- Spadek o \(p\%\): \(a \cdot (1 - \frac{p}{100})\)

**Procent składany (jest w karcie):**
$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

**Pułapka:** wzrost o 50%, a potem spadek o 50% nie daje wartości początkowej.

$$100 \cdot 1{,}5 \cdot 0{,}5 = 75 \neq 100$$

Druga rzecz spoza karty to punkty procentowe. Gdy oprocentowanie rośnie z 20% do 25%, to wzrost o 5 punktów procentowych, ale o 25% w stosunku do wartości początkowej, bo \(\frac{5}{20} = 0{,}25\). Więcej takich rozróżnień znajdziesz w omówieniu [zadań z procentami na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

## 7. Geometria analityczna i planimetria w karcie

W geometrii karta jest bardzo szczegółowa. Dział o geometrii analitycznej podaje długość i środek odcinka, równania prostej, warunki równoległości i prostopadłości, odległość punktu od prostej, równanie okręgu w postaci kanonicznej i ogólnej, działania na wektorach, symetrie i pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołków. Dział „Planimetria” ma twierdzenie Pitagorasa z twierdzeniem odwrotnym, twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzory na pole trójkąta, w tym wzór Herona.

**Środek odcinka:**
$$S = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\; \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

**Długość odcinka:**
$$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

**Równanie okręgu:**
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$

środek \((a,b)\), promień \(r\)

**Odległość punktu od prostej:**
$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Przykład: dla \(A = (-2, 4)\) i \(B = (6, 0)\) środek odcinka to \(S = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (2, 2)\), a długość \(|AB| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\). Wzory masz w karcie, więc w geometrii liczy się to, czy od razu wiesz, którego użyć.

## 8. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

W karcie: tak. Dział „Kombinatoryka” opisuje permutacje, kombinacje i [wariacje z powtórzeniami](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory) oraz bez powtórzeń. Dział „Rachunek prawdopodobieństwa” podaje klasyczną definicję prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, sumy zdarzeń i schemat Bernoullego.

**Silnia:** \(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\)

**Prawdopodobieństwo klasyczne:**
$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

**Symbol Newtona:**
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Przykład: rzucasz dwiema kostkami i chcesz sumy oczek 7. Wszystkich wyników jest \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\), sprzyjających 6: \((1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\). Stąd \(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

## 9. Statystyka

W karcie: tak, dział „Parametry danych statystycznych”. Jest średnia arytmetyczna, ważona, geometryczna i kwadratowa, mediana, wariancja i odchylenie standardowe. Nie ma dominanty.

**Średnia arytmetyczna:**
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

**Mediana:** wartość środkowa po uporządkowaniu danych, a przy parzystej liczbie danych średnia dwóch środkowych.

**Odchylenie standardowe:**
$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$

Przykład: dla danych 2, 3, 3, 5, 7 średnia to \(\frac{20}{5} = 4\), mediana to 3 (środkowa z pięciu wartości), a dominanta też 3, bo ta wartość występuje najczęściej. Wariancja: \(\frac{4 + 1 + 1 + 1 + 9}{5} = \frac{16}{5} = 3{,}2\), więc \(\sigma = \sqrt{3{,}2} \approx 1{,}79\). Rozróżnienie średniej, mediany i dominanty ćwiczysz we wpisie o tym, [jak obliczyć medianę i dominantę](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania).

## Jak się tego nauczyć?

### Metoda 1: Fiszki
Na fiszki trafia tylko to, czego w karcie nie ma: wzory procentowe, własności funkcji liniowej, \(a_n = S_n - S_{n-1}\), \(\log_a 1 = 0\) i dominanta. Codziennie przegląd 10 minut.

### Metoda 2: Ćwiczenie przez rozwiązywanie
Najlepsza metoda: zamiast wkuwać wzory, rozwiązuj zadania z kartą obok. Po kilku arkuszach najczęstszych wzorów już nie szukasz, a wiesz, gdzie stoją rzadsze.

Na Sprawnej Maturze masz [losowe zadania maturalne z rozwiązaniami](/random), a każde wymaga któregoś z tych wzorów.

### Metoda 3: Kartka A4
Spisz na jednej kartce wszystko z listy „czego nie ma w karcie” i powieś ją nad biurkiem. Przegląd co rano.

## Które wzory są w tablicach?

Dla jasności, to wszystko **jest** w karcie wzorów CKE:

- Wartość bezwzględna: definicja i własności, w tym rozwiązywanie \(|x - a| \leq r\).
- Potęgi i pierwiastki: prawa działań i \(\sqrt{a^2} = |a|\).
- Logarytmy: definicja, logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, zamiana podstawy.
- Silnia, symbol Newtona i wzór dwumianowy Newtona.
- Wzory skróconego mnożenia, razem z sześcianami.
- Funkcja kwadratowa: delta, pierwiastki, wierzchołek, postać kanoniczna i iloczynowa, wzory Viète'a.
- Ciągi: wyraz ogólny i suma ciągu arytmetycznego i geometrycznego, suma nieskończonego ciągu geometrycznego, procent składany.
- Trygonometria: definicje, jedynka trygonometryczna, wartości dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, wzory na sumę, różnicę i podwojony kąt oraz tablica wartości funkcji trygonometrycznych.
- Planimetria: twierdzenie Pitagorasa, twierdzenia sinusów i cosinusów, wzory na pole trójkąta.
- Geometria analityczna: odcinek, prosta, równoległość i prostopadłość, odległość punktu od prostej, okrąg, wektory.
- Stereometria, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa, parametry danych statystycznych i pochodna funkcji.

Wszystko spoza tej listy musisz znać na pamięć.

## Sprawdź się

Rozwiąż kilka zadań i sprawdź, czy pamiętasz to, czego karta nie podaje:

- [Zadania z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki)
- [Zadania z logarytmów](/topics/logarytmy)
- [Zadania z funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa)
- [Zadania z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna)

Następny krok: Losuj zadanie maturalne (/random)

## Najczęstsze pytania

### Czy wzory Viète'a są w karcie wzorów?

Tak. Są w dziale „Funkcja kwadratowa”, z warunkiem \(\Delta \geq 0\): \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) oraz \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Przed ich użyciem sprawdź, czy równanie w ogóle ma pierwiastki, bo przy ujemnej delcie wzory nic nie mówią.

### Czy delta jest w tablicach maturalnych?

Tak. Karta podaje \(\Delta = b^2 - 4ac\), wzory na pierwiastki dla \(\Delta > 0\) i \(\Delta = 0\), współrzędne wierzchołka oraz postać kanoniczną i iloczynową. Delty nie musisz więc wkuwać, ale liczysz ją tak często, że i tak zostanie ci w głowie.

### Jakich wzorów nie ma w tablicach maturalnych?

Nie ma wzorów procentowych poza procentem składanym, własności funkcji liniowej (monotoniczności i miejsca zerowego \(x_0 = -\frac{b}{a}\)), związku \(a_n = S_n - S_{n-1}\), wartości \(\log_a 1 = 0\) i \(\log_a a = 1\) ani dominanty. Brakuje też gotowego przepisu na zbiór wartości funkcji kwadratowej: wyznaczasz go z wierzchołka.

### Czy na maturze można korzystać z karty wzorów?

Tak. „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki” są na liście materiałów dozwolonych na egzaminie, obok linijki, cyrkla i kalkulatora prostego. Co jeszcze przygotować, sprawdzisz w [checkliście, co zabrać na maturę z matematyki](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista).

### Czy trzeba znać na pamięć wzory, które są w karcie?

Nie musisz, ale się opłaca. Wzory na potęgi, logarytmy, deltę i skrócone mnożenie wracają w wielu zadaniach jednego arkusza, a każde sięgnięcie po kartę zabiera czas. Kartę zostaw na rzadkie wzory, na przykład z trygonometrii albo stereometrii.


---
route: /wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania
title: Wzory Viete'a na maturze - jak stosować i 6 typów zadań krok po kroku
description: Wzory Viete'a: x1 + x2 = -b/a i x1·x2 = c/a. Skąd się biorą, kiedy działają i jak bez liczenia pierwiastków policzyć sumę ich kwadratów. 6 typów zadań.
author: Filip Maszota
---

# Wzory Viete'a na maturze - jak stosować i 6 typów zadań krok po kroku

Wzory Viete'a wiążą pierwiastki równania kwadratowego \(ax^2 + bx + c = 0\) z jego współczynnikami: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) oraz \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\), o ile \(\Delta \geq 0\). Dzięki nim sumę, iloczyn, sumę kwadratów albo sumę odwrotności pierwiastków liczysz bez wyznaczania samych pierwiastków.

Większość uczniów liczy deltę, szuka pierwiastków, a potem sumuje je "ręcznie". A można odczytać sumę i iloczyn prosto ze współczynników. W tym poradniku pokażę ci, kiedy stosować wzory Viete'a i jakie typy zadań maturalnych są pod nie stworzone.

## W skrócie

- Suma pierwiastków to \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), a ich iloczyn to \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\).
- Wzorów używasz tylko przy \(\Delta \geq 0\), bo bez pierwiastków rzeczywistych nie ma czego sumować.
- Sumę kwadratów liczysz z tożsamości \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2\).
- Pierwiastki mają przeciwne znaki dokładnie wtedy, gdy \(\frac{c}{a}  0$$

Wzory Viete'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = 3$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{2} = 2$$

**Odpowiedź:** Suma \(= 3\), iloczyn \(= 2\).

## Teraz ty

Spróbuj sam tego samego typu zadania z prawdziwego arkusza CKE: policz sumę miejsc zerowych, zanim wyznaczysz każde z nich osobno.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2018-11

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa (/losuj)

## Typ 2: Suma kwadratów pierwiastków

CKE uwielbia pytanie "oblicz \(x_1^2 + x_2^2\)" bez liczenia samych pierwiastków. Stosujemy tożsamość:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$$

### Przykład 2

Dla równania \(x^2 - 5x + 3 = 0\) oblicz \(x_1^2 + x_2^2\).

**Rozwiązanie:**

Sprawdzamy deltę: \(\Delta = 25 - 12 = 13 > 0\). OK.

Ze wzorów Viete'a: \(x_1 + x_2 = 5\), \(x_1 x_2 = 3\).

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25 - 6 = 19$$

**Odpowiedź:** \(x_1^2 + x_2^2 = 19\).

## Typ 3: Suma odwrotności pierwiastków

Inne klasyczne zadanie maturalne: "oblicz \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)".

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$$

### Przykład 3

Dla równania \(3x^2 - 9x + 6 = 0\) oblicz \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\).

**Rozwiązanie:**

\(\Delta = 81 - 72 = 9 > 0\). OK.

Z Viete'a: \(x_1 + x_2 = -\frac{-9}{3} = 3\), \(x_1 x_2 = \frac{6}{3} = 2\).

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{3}{2}\).

## Typ 4: Różnica pierwiastków

Do różnicy wprost Viete'a nie wystarczy, ale można obliczyć:

$$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$$

### Przykład 4

Dla równania \(x^2 - 8x + 12 = 0\) oblicz \(|x_1 - x_2|\).

**Rozwiązanie:**

\(\Delta = 64 - 48 = 16\). OK.

Z Viete'a: suma \(= 8\), iloczyn \(= 12\).

$$(x_1 - x_2)^2 = 64 - 48 = 16$$

$$|x_1 - x_2| = \sqrt{16} = 4$$

**Odpowiedź:** \(|x_1 - x_2| = 4\).

Uwaga: \((x_1 - x_2)^2\) to też \(\frac{\Delta}{a^2}\). Dla współczynnika \(a = 1\) dostajemy \(|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta}\).

## Typ 5: Wyznaczanie współczynnika z warunku na pierwiastki

To jeden z ulubionych typów CKE, a pozostałe znajdziesz w [zestawieniu zadań CKE z funkcji kwadratowej według typu](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami#baza-zadan-cke-wedlug-typu). "Dla jakiej wartości parametru \(m\) suma pierwiastków wynosi 7?" Odpowiedź: z Viete'a.

### Przykład 5

Dla jakich wartości \(m\) suma pierwiastków równania \(x^2 - (m + 3)x + 2m = 0\) wynosi 10?

**Rozwiązanie:**

Z Viete'a: \(x_1 + x_2 = -\frac{-(m+3)}{1} = m + 3\).

Warunek: \(m + 3 = 10 \implies m = 7\).

Sprawdzamy deltę dla \(m = 7\):

$$\Delta = (7+3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 100 - 56 = 44 > 0$$

OK, pierwiastki istnieją.

**Odpowiedź:** \(m = 7\).

### Przykład 6: Trudniejsze zadanie

Dla jakich wartości \(m\) pierwiastki równania \(x^2 - 2mx + m + 6 = 0\) są przeciwnych znaków?

**Rozwiązanie:**

Pierwiastki mają przeciwne znaki, gdy ich iloczyn jest ujemny: \(x_1 \cdot x_2  0\) automatycznie (pierwiastki muszą być różne). Nie trzeba sprawdzać delty osobno.

**Odpowiedź:** \(m  0\) i \(x_1 x_2 > 0\) i \(\Delta \geq 0\)
- **Oba pierwiastki ujemne:** \(x_1 + x_2  0\) i \(\Delta \geq 0\)
- **Przeciwne znaki:** \(x_1 x_2  0)

To pozwala ominąć cały "taniec z deltą" i rozwiązać zadanie szybciej. Więcej takich warunków, także w zadaniach z parametrem, opisuje poradnik o [warunkach na położenie pierwiastków funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-z-parametrem-dyskusja-zadania-matura#narzedzie-4-warunki-na-polozenie-pierwiastkow).

## Wzory Viete'a w innych kontekstach

Wzory działają nie tylko dla klasycznych równań kwadratowych:

- **Równania dwukwadratowe** (np. \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)) - po podstawieniu \(t = x^2\) możesz zastosować Viete'a do równania w \(t\)
- **[Równania kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania)** z parametrem - wyznaczanie parametru z warunku na pierwiastki
- **Dowody matematyczne** - relacje między pierwiastkami są często potrzebne w zadaniach dowodowych

Sprawdź też [pełny przewodnik o funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), gdzie Viete'a łączy się z postacią kanoniczną i iloczynową.

## Algorytm na maturze

Kiedy stosować Viete'a? Schemat decyzyjny:

1. **Czy zadanie pyta o sumę, iloczyn, lub wyrażenie w których występują oba pierwiastki symetrycznie?**
   - TAK: użyj Viete'a (oszczędność czasu)
   - NIE: licz deltę i pierwiastki
2. **Czy zadanie pyta o znaki pierwiastków bez wartości?**
   - TAK: Viete + analiza znaków
3. **Czy zadanie pyta o konkretny pierwiastek?**
   - Zwykle potrzebujesz wzorów na pierwiastki (\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\))

## Typowe błędy

**Błąd 1: Zapominanie o warunku \(\Delta \geq 0\).** Wzory Viete'a działają TYLKO gdy pierwiastki istnieją. Jeśli liczysz sumę/iloczyn pierwiastków, najpierw sprawdź, czy one w ogóle istnieją.

**Błąd 2: Mylenie znaku we wzorze na sumę.** \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), nie \(\frac{b}{a}\). Minus jest kluczowy. Dla \(x^2 - 5x + 6 = 0\), \(b = -5\), suma \(= -\frac{-5}{1} = 5\) (dodatnia).

**Błąd 3: Ignorowanie \(a\).** Wzór to \(-\frac{b}{a}\), nie tylko \(-b\). Dla \(2x^2 + 4x - 6 = 0\), suma \(= -\frac{4}{2} = -2\), iloczyn \(= -\frac{6}{2} = -3\).

**Błąd 4: Złe rozwinięcie \((x_1 + x_2)^2\).** Tożsamość \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2\), stąd \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2\). Nie zapomnij odjąć \(2 \cdot\) iloczynu.

**Błąd 5: Zapominanie o warunku \(x_1 x_2 \neq 0\) dla odwrotności.** \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\) ma sens tylko gdy żaden pierwiastek nie jest zerem, czyli \(c \neq 0\) (bo \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\)).

## Co musisz umieć - checklista

- Znać i szybko zapisywać wzory Viete'a z pamięci
- Obliczać \(x_1^2 + x_2^2\), \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\), \(|x_1 - x_2|\) przez sumę i iloczyn
- Wyznaczać parametr z warunku na sumę lub iloczyn pierwiastków
- Badać znaki pierwiastków przez analizę sumy i iloczynu
- Sprawdzać warunek \(\Delta \geq 0\) zanim zastosujesz wzory
- Wyprowadzić wzory Viete'a z postaci iloczynowej (zadania dowodowe)

Przećwicz te typy na zadaniach z funkcji kwadratowej z arkuszy CKE. Sprawdź też [jak obliczyć deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) i [równania kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania), żeby w pełni opanować ten dział.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)

## Najczęstsze pytania

### Czy wzory Viete'a są na maturze podstawowej?

Zadania z poziomu podstawowego pytają wprost o sumę miejsc zerowych, a wzory Viete'a dają ją w jednej linijce. W części c) [zadania 12 z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-12) trzeba podać sumę \(x_1 + x_2\) miejsc zerowych funkcji \(g\), która po uproszczeniu ma wzór \(g(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x\), więc \(x_1 + x_2 = -\frac{2}{-\frac{1}{3}} = 6\). W [zadaniu 6 z matury maj 2018](/task/matura-maj-2018-06) funkcja \(f(x) = -2(x+3)(x-5)\) ma miejsca zerowe \(-3\) i \(5\), więc ich suma to \(2\). Oba zadania rozwiążesz też bez Viete'a, z postaci iloczynowej albo z symetrii paraboli, ale wzór \(-\frac{b}{a}\) jest najkrótszą drogą.

### Czy wzory Viete'a działają, gdy delta jest równa zero?

Tak. Przy \(\Delta = 0\) równanie ma jeden pierwiastek podwójny \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) i we wzorach liczysz go dwa razy, czyli \(x_1 = x_2 = x_0\). Dla \(x^2 - 6x + 9 = 0\) suma pierwiastków to \(6\), a iloczyn \(9\), bo \(3 + 3 = 6\) i \(3 \cdot 3 = 9\).

### Co zrobić, gdy delta jest ujemna?

Wtedy równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych i wzorów Viete'a nie stosujesz. Liczbę \(-\frac{b}{a}\) da się policzyć zawsze, ale nie jest to suma żadnych pierwiastków, dlatego w zadaniu z parametrem obok warunku z Viete'a zawsze dopisujesz \(\Delta \geq 0\), a gdy pierwiastki mają być różne, \(\Delta > 0\).

### Jak zapamiętać znak we wzorze na sumę pierwiastków?

Rozwiń postać iloczynową: \((x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\). Współczynnik przy \(x\) to suma pierwiastków ze znakiem minus, a wyraz wolny to ich iloczyn. Dla \(x^2 - 7x + 10 = 0\) suma to \(7\), a iloczyn \(10\), bo pierwiastki to \(2\) i \(5\).


---
route: /jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory
title: Jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje - wzory i zadania maturalne krok po kroku
description: Silnia to iloczyn liczb od 1 do n, np. 5! = 120. Wzory na permutacje, wariacje z powtórzeniami i kombinacje oraz zadania maturalne CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Silnia \(n!\) to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do \(n\), na przykład \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\), i mówi, na ile sposobów da się ustawić \(n\) różnych elementów. W zadaniach maturalnych z kombinatoryki obok silni pracują jeszcze cztery narzędzia: wariacje bez powtórzeń, wariacje z powtórzeniami, kombinacje i reguła mnożenia. Wzór wybierasz po dwóch pytaniach: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

W tym przewodniku pokażę Ci wszystkie wzory kombinatoryczne wymagane na maturze, kiedy je stosować, sześć przykładów z rozwiązaniami i dwa zadania z arkuszy CKE na wariacje z powtórzeniami. Dostaniesz też prostą regułę decyzyjną, która odpowie Ci na pytanie "który wzór wybrać".

## W skrócie

- Silnia to iloczyn liczb od 1 do \(n\): \(5! = 120\), \(7! = 5040\), a \(0! = 1\) z definicji.
- Gdy ustawiasz wszystkie \(n\) elementów, liczysz permutacje: \(P_n = n!\).
- Gdy wybierasz \(k\) z \(n\) i kolejność ma znaczenie, liczysz wariacje: \(\frac{n!}{(n-k)!}\) bez powtórzeń albo \(n^k\) z powtórzeniami.
- Gdy kolejność nie ma znaczenia, liczysz kombinacje, czyli symbol Newtona \(\binom{n}{k}\).
- Silnie w ułamku najpierw skracasz: \(\frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\).

## Silnia - najprostszy wzór w kombinatoryce

**Silnia liczby \(n\)** (oznaczana \(n!\)) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do \(n\):

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Przykłady:
- \(0! = 1\) (z definicji - zapamiętaj!)
- \(1! = 1\)
- \(2! = 2\)
- \(3! = 6\)
- \(4! = 24\)
- \(5! = 120\)
- \(6! = 720\)
- \(7! = 5040\)

Warto mieć te wartości w pamięci aż do \(7!\) - na maturze przydają się non-stop. \(8!\) to już 40320, 9! = 362880 - dalej nie musisz.

**Własność kluczowa:** \(n! = n \cdot (n-1)!\). To pozwala na skracanie ułamków z silniami:

$$\frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$

**Nie licz \(10!\) w całości** - to strata czasu i źródło błędów. Skracaj silnie zanim cokolwiek pomnożysz.

## Permutacje - ile można ustawić n przedmiotów

**Permutacja** to uporządkowanie wszystkich \(n\) elementów zbioru w ciąg. Liczba permutacji wynosi:

$$P_n = n!$$

**Kiedy stosować:** kiedy **ustawiasz wszystkie** elementy i **kolejność ma znaczenie**.

**Przykład:** na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce?

$$P_5 = 5! = 120$$

**Przykład z pułapką:** na ile sposobów może się ustawić w kolejce 4 dziewczyny i 3 chłopaków, jeśli dziewczyny mają stać obok siebie?

Potraktuj blok "4 dziewczyny" jako jeden element. Masz wtedy 4 elementy (blok + 3 chłopcy) - \(4! = 24\) sposoby. Wewnątrz bloku dziewczyny można ustawiać na \(4! = 24\) sposobów. Wynik: \(24 \cdot 24 = 576\).

## Wariacje bez powtórzeń - wybierasz k z n i ustawiasz

**Wariacja bez powtórzeń** \(V_n^k\) - liczba sposobów wybrania \(k\) elementów z \(n\) i ustawienia ich w kolejności:

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$$

**Kiedy stosować:** wybierasz \(k\) z \(n\), **kolejność ma znaczenie**, elementy się **nie powtarzają**.

**Przykład:** ile różnych dwuwyrazowych ciągów można utworzyć z 10 elementów?

$$V_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90$$

**Przykład z matury:** ile jest różnych trzycyfrowych liczb utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 bez powtórzeń?

$$V_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$$

## Wariacje z powtórzeniami - wybierasz k z n i ustawiasz, elementy mogą się powtarzać

**Wariacja z powtórzeniami** \(W_n^k\):

$$W_n^k = n^k$$

**Kiedy stosować:** wybierasz \(k\) z \(n\), **kolejność ma znaczenie**, elementy **mogą się powtarzać**.

**Przykład klasyczny:** ile jest 4-cyfrowych kodów PIN?

Każda cyfra niezależnie: \(W_{10}^4 = 10^4 = 10000\).

**Przykład rozszerzony:** ile jest 3-literowych ciągów utworzonych z liter A, B, C, D, E z powtórzeniami?

\(W_5^3 = 5^3 = 125\).

**Pułapka:** zadanie typu "ile jest liczb pięciocyfrowych z cyfr 0-9" - pierwsza cyfra nie może być zerem, reszta dowolne. Wynik: \(9 \cdot 10^4 = 90000\), bo pierwsza cyfra to wybór z 9, pozostałe z 10.

## Kombinacje - wybierasz k z n bez względu na kolejność

**Kombinacja** \(C_n^k\) (inaczej **symbol Newtona**) - liczba sposobów wybrania \(k\) elementów z \(n\), **gdy kolejność nie ma znaczenia**:

$$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$

**Kiedy stosować:** wybierasz \(k\) z \(n\), **kolejność NIE ma znaczenia**.

**Przykład:** na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację spośród 10 uczniów?

$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120$$

**Własność symetrii:** \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Na przykład \(\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = 120\). Zawsze wybieraj mniejszą wartość \(k\), żeby szybciej liczyć.

**Kilka wartości do zapamiętania:**
- \(\binom{n}{0} = 1\),
- \(\binom{n}{1} = n\),
- \(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\),
- \(\binom{n}{n} = 1\).

Dla \(n \le 6\) warto znać trójkąt Pascala na pamięć - przyspiesza obliczenia. [Szczegóły w naszym artykule o symbolu Newtona](/symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie).

## Reguła mnożenia - fundament wszystkich wzorów

**Zasada mnożenia:** jeśli czynność można wykonać w \(k\) etapach, a każdy etap można wykonać odpowiednio w \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) sposobów, to całość można wykonać w:

$$N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$

**Przykład:** szafka ma 3 zamki, każdy ma 4-cyfrowy kod. Ile jest możliwych kombinacji?

$$N = 10^4 \cdot 10^4 \cdot 10^4 = 10^{12}$$

Zasada mnożenia działa **zawsze** - wszystkie wzory wariacji i permutacji są z niej wyprowadzone. Jeśli utkniesz, wracaj do zasady mnożenia i buduj wzór od zera.

## Reguła decyzyjna - który wzór wybrać

Na maturze zadaj sobie po kolei dwa pytania:

**1. Czy wybieram wszystkie \(n\), czy tylko \(k\) z \(n\)?**

- Wszystkie → idziemy w stronę permutacji (\(n!\)).
- Tylko \(k\) → [wariacja lub kombinacja](/prawdopodobienstwo-matura-kombinatoryka-wzory-zadania#jak-odroznic-permutacje-od-kombinacji-od-wariacji).

**2. Czy kolejność ma znaczenie?**

- Tak + bez powtórzeń → **wariacja bez powtórzeń** \(V_n^k\).
- Tak + z powtórzeniami → **wariacja z powtórzeniami** \(W_n^k = n^k\).
- Nie → **kombinacja** \(\binom{n}{k}\).

I to wszystko. Przepisz na kartkę, powieś nad biurkiem, czytaj przed maturą.

## Zadanie 1 - klasyczna matura (poziom podstawowy)

Ile jest różnych czterocyfrowych liczb, w których wszystkie cyfry są różne?

Pierwsza cyfra - z zakresu 1-9, więc 9 możliwości. Pozostałe trzy - bez powtórzeń z 9 pozostałych cyfr (łącznie z zerem, bez tej, którą już wybrałeś): \(9 \cdot 8 \cdot 7\).

Wynik: \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\).

## Teraz ty

Spróbuj sam tego samego typu zadania z prawdziwego arkusza CKE: liczby z cyfr, które się nie powtarzają.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2020-21

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z działu Kombinatoryka (/losuj)

## Zadanie 2 - losowanie bez zwracania

Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Ile jest możliwych układów?

**Kolejność nie ma znaczenia** (po rozdaniu masz po prostu 5 kart w ręku). Wybieramy 5 z 52 bez powtórzeń:

$$\binom{52}{5} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5!} = \frac{311875200}{120} = 2598960$$

## Zadanie 3 - permutacja z blokiem

Na ile sposobów można posadzić 6 osób przy okrągłym stole tak, żeby dwie konkretne osoby siedziały obok siebie?

Okrągły stół: jedną pozycję ustalamy (żeby nie liczyć tego samego układu wiele razy). Bez żadnego warunku ustawilibyśmy wtedy 5 pozostałych osób na \(5! = 120\) sposobów. Dwie konkretne osoby zliczamy jako blok: przy stole jest wtedy 5 elementów, po ustaleniu jednego zostają 4, co daje \(4! = 24\) ustawień na okręgu, a w bloku \(2! = 2\) sposoby ułożenia - razem \(24 \cdot 2 = 48\).

Zadanie okrągłe to osobny typ - jeśli nie wystąpi, nie musisz się martwić.

## Zadanie 4 - wariacja z powtórzeniami

Z liter słowa MATURA tworzymy 3-literowe ciągi, gdzie litery mogą się powtarzać. Ile jest możliwych?

Słowo MATURA ma **5 różnych** liter (M, A, T, U, R - litera A powtarza się, ale to jedna litera w zbiorze). \(W_5^3 = 5^3 = 125\).

**Pułapka:** słowo MATURA ma 6 liter, ale w zbiorze unikalnych liter jest 5. Kombinatoryka operuje na **zbiorach**, więc A jest jedno.

## Zadanie 5 - zadanie z treścią (kombinacje + reguła mnożenia)

W klasie jest 15 dziewcząt i 12 chłopaków. Ile jest sposobów wyboru 3-osobowej delegacji, w której jest dokładnie 1 chłopak?

Wybieramy 1 chłopaka z 12: \(\binom{12}{1} = 12\).

Wybieramy 2 dziewczyny z 15: \(\binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105\).

Obie czynności niezależne → zasada mnożenia: \(12 \cdot 105 = 1260\).

## Zadanie 6 - kolorowanie (klasyka)

Chorągiewka ma 3 pasy w różnych kolorach. Mamy do dyspozycji 6 kolorów. Ile jest różnych chorągiewek (każdy pas inny kolor, pasy rozróżnialne)?

Kolejność pasów ma znaczenie (bo pasy rozróżniamy), powtórzeń nie ma. Wariacja bez powtórzeń:

$$V_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$$

Gdyby pasy mogły mieć ten sam kolor: \(W_6^3 = 6^3 = 216\). Gdyby pasy były nierozróżnialne (bo np. trójkątna flaga z trzech kolorów, ale nie wiesz który jest który) - kombinacje: \(\binom{6}{3} = 20\).

## Wariacje z powtórzeniami: zadania maturalne z arkuszy CKE

W arkuszach CKE wariacje z powtórzeniami rzadko wyglądają jak goły wzór \(n^k\). Prawie zawsze dochodzi [warunek na pierwszą cyfrę](/ile-jest-liczb-czterocyfrowych-regula-mnozenia-zadania#kod-to-nie-to-samo-co-liczba): zero nie może zaczynać liczby albo liczba ma być większa od podanej. Schemat jest stały: najpierw obsługujesz pozycję z warunkiem, potem mnożysz liczby możliwości na pozostałych pozycjach. Pierwsze zadanie pochodzi z [arkusza maturalnego z maja 2023](/exams/matura-maj-2023), drugie z sesji sierpniowej 2015.

## Przykład 1: Liczby pięciocyfrowe z cyfr 0, 5, 7 (matura maj 2023)

**Treść:** Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0, 5, 7\) (np. \(57\,075\), \(55\,555\)), jest:

- A) \(5^3\)
- B) \(2 \cdot 4^3\)
- C) \(2 \cdot 3^4\)
- D) \(3^5\)

**Krok 1: Pierwsza cyfra.** Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc na pierwszym miejscu stoi 5 albo 7. To 2 możliwości.

**Krok 2: Pozostałe cztery cyfry.** Na każdym z czterech kolejnych miejsc może stać dowolna z cyfr \(0, 5, 7\), a cyfry mogą się powtarzać. To wariacja z powtórzeniami: \(3^4 = 81\) możliwości.

**Krok 3: Reguła mnożenia.**

$$2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$$

**Odpowiedź: C.** Takich liczb jest \(2 \cdot 3^4 = 162\). Odpowiedź D, czyli \(3^5\), liczy też ciągi zaczynające się od zera, a te liczbami pięciocyfrowymi nie są.

## Przykład 2: Liczby czterocyfrowe większe od 3000 (matura sierpień 2015, zadanie 25)

**Treść:** Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

- A) \(3\)
- B) \(6\)
- C) \(9\)
- D) \(27\)

**Krok 1: Pierwsza cyfra.** Liczba czterocyfrowa z cyfr \(1, 2, 3\) jest większa od 3000 tylko wtedy, gdy zaczyna się od 3. Każda taka liczba jest równa co najmniej 3111, więc warunek jest spełniony. Na pierwszym miejscu masz 1 możliwość.

**Krok 2: Pozostałe trzy cyfry.** Na każdym z trzech miejsc stoi 1, 2 albo 3, z powtórzeniami: \(3^3 = 27\) możliwości.

**Krok 3: Reguła mnożenia.**

$$1 \cdot 3^3 = 27$$

**Odpowiedź: D.** Takich liczb jest 27. Odpowiedź C, czyli \(9 = 3^2\), wychodzi, gdy ktoś policzy tylko dwie ostatnie cyfry.

## Typowe pułapki maturalne

**1. "Kolejność ma znaczenie" bywa ukryte.** W zadaniach typu "losujemy numery z 40" (jak w lotto) kolejność nie ma znaczenia: liczy się tylko, które liczby padły, a nie to, w jakiej kolejności je wylosowano. Gdy wybieramy prezydenta, wiceprezydenta i sekretarza - kolejność ma znaczenie, bo to różne stanowiska.

**2. "Bez powtórzeń" bywa dorozumiane.** Gdy wyciągasz kulki z urny bez zwracania - bez powtórzeń. Gdy rzucasz kostką kilka razy - z powtórzeniami.

**3. Silnia \(0! = 1\).** To często błąd typu "nie pamiętam, więc nie liczę". \(0!\) wynosi 1 i tyle.

**4. Mieszanie wzorów.** Zapisz sobie po lewej pytanie "kolejność?", po prawej "z/bez powtórzeń?" i wybieraj mechanicznie.

**5. Dwukrotne liczenie.** Jeśli zadanie dzielisz na etapy (zasada mnożenia), upewnij się, że etapy są **niezależne**. Jeśli zależne - musisz inaczej podejść.

## Checklista - co musisz umieć

- Znać wartości silni do \(7!\) i skracać silnie w ułamkach.
- Odróżnić kombinację od wariacji (kolejność).
- Odróżnić wariację z powtórzeniami od bez.
- Zastosować zasadę mnożenia w zadaniach etapowych.
- Rozpoznać typowe scenariusze: delegacja, kody, ustawianie w kolejce, kolorowanie.
- Obliczyć \(\binom{n}{k}\) szybko, używając symetrii.
- Zapamiętać wartości \(\binom{n}{k}\) dla \(n \le 6\).
- Policzyć wariacje z powtórzeniami z warunkiem na pierwszą cyfrę (zero nie zaczyna liczby).

Gdy chcesz więcej przykładów, przejdź do [pełnego przewodnika po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) albo poćwicz [zadania z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka). Sprawdź też [jak obliczyć prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) - kombinatoryka jest tam fundamentem. Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)

## Najczęstsze pytania

### Czy silnia jest na maturze z matematyki?

Tak, choć w poleceniu rzadko pada słowo „silnia”. Typowe zadanie każe policzyć czterocyfrowe kody z czterech różnych cyfr, w których każda cyfra występuje dokładnie raz. To permutacja czterech elementów, czyli \(4! = 24\) kody.

### Ile to jest 7 silnia?

\(7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040\). Najszybciej liczysz ją od poprzedniej wartości: \(6! = 720\), więc \(7! = 7 \cdot 720 = 5040\).

### Ile to jest 52 silnia?

\(52!\) to liczba 68-cyfrowa, w przybliżeniu \(8{,}07 \cdot 10^{67}\): tyle jest sposobów ułożenia talii 52 kart w kolejności. Na maturze takiej liczby nie liczysz do końca, bo duże silnie zawsze się skracają, na przykład \(\frac{52!}{50!} = 52 \cdot 51 = 2652\).

### Jak szybko liczyć silnię w ułamku?

Rozpisz większą silnię do momentu, w którym pojawi się mniejsza, i skróć: \(\frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 720\). Tak samo liczysz symbol Newtona: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = 120\).

### Czym różnią się wariacje z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń?

W obu kolejność ma znaczenie, ale w wariacjach z powtórzeniami ten sam element może stanąć na kilku miejscach. Czterocyfrowych kodów PIN jest \(10^4 = 10000\), a kodów o czterech różnych cyfrach tylko \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040\).


---
route: /kiedy-funkcja-kwadratowa-nie-ma-miejsc-zerowych
title: Kiedy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych: delta ujemna, wykres i zadania
description: Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, gdy delta jest ujemna. Sprawdź, jak to rozpoznać z postaci kanonicznej i wykresu, z zadaniami z matury.
author: Marcel Bogdan
---

# Kiedy funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych: delta ujemna, wykres i zadania

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) nie ma ani jednego miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest ujemny: \(\Delta=b^2-4ac0\), albo w całości pod nią, gdy \(a0\) dwa.
- Przy \(\Delta0\).
- Funkcja bez miejsc zerowych ma stały znak, więc nierówność \(f(x)>0\) ma za rozwiązanie wszystkie liczby rzeczywiste albo żadnej.

## Dlaczego ujemna delta oznacza brak miejsc zerowych

Miejsce zerowe to argument, dla którego \(f(x)=0\). Szukasz więc rozwiązań równania kwadratowego \(ax^2+bx+c=0\). Teorię funkcji kwadratowej i zadania z całego działu znajdziesz w dziale [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), a tu skupiamy się na jednym przypadku: kiedy to równanie nie ma żadnego rozwiązania.

Najkrócej widać to we wzorach na pierwiastki: \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) i \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\). Oba zawierają \(\sqrt{\Delta}\), a pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej w liczbach rzeczywistych nie ma. Gdy \(\Delta0\).

## Trzy przypadki: delta dodatnia, równa zero i ujemna

Wyróżnik rozstrzyga o liczbie miejsc zerowych funkcji kwadratowej i nie ma czwartej możliwości. Funkcja kwadratowa ma zawsze zero, jedno albo dwa miejsca zerowe.

| Wyróżnik | Liczba miejsc zerowych | Parabola a oś \(x\) | Przykład |
|---|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | dwa | przecina oś w dwóch punktach | \(x^2-5x+6\), \(\Delta=1\) |
| \(\Delta=0\) | jedno | dotyka osi wierzchołkiem | \(x^2-6x+9\), \(\Delta=0\) |
| \(\Delta0\);
- „nierówność \(f(x)>0\) jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej”: ten sam warunek, \(\Delta0\);
- „prosta \(y=k\) nie ma punktów wspólnych z wykresem funkcji”: funkcja \(f(x)-k\) nie ma miejsc zerowych, czyli liczba \(k\) leży poza zbiorem wartości funkcji.

Trzy ostatnie warianty łączą brak miejsc zerowych ze znakiem funkcji albo z jej zbiorem wartości. W zadaniu o wartościach dodatnich sam warunek \(\Delta0\).** Przy \(\Delta0\). Najniższy punkt paraboli leży nad osią \(x\), a cała reszta wykresu jeszcze wyżej. Funkcja przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie i nigdy nie jest równa zero.

**Ramiona w dół, czyli \(a0\). Przy \(q=0\) jest jedno miejsce zerowe \(x=p\), a gdy \(a\) i \(q\) mają przeciwne znaki, są dwa. Przykłady: \(f(x)=3(x+1)^2+2\) nie ma miejsc zerowych, \(f(x)=-2(x-4)^2-1\) też nie, a \(f(x)=(x-13)^2-256\) ma dwa, bo \(a>0\) i \(q0\) i cała delta jest dodatnia. Taka funkcja ma więc zawsze dwa miejsca zerowe. Działa to tylko w jedną stronę: gdy \(a\) i \(c\) mają ten sam znak, delta może wyjść ujemna, ale nie musi. Funkcja \(x^2+5x+1\) ma \(a>0\) i \(c>0\), a mimo to \(\Delta=21>0\). Ten test służy więc do szybkiego skreślania odpowiedzi, a nie do potwierdzania.

**Ze zbioru wartości.** Funkcja ma miejsce zerowe dokładnie wtedy, gdy liczba \(0\) należy do jej [zbioru wartości](/zbior-wartosci-funkcji-jak-wyznaczyc-matura). Dla \(a>0\) zbiorem wartości jest przedział \(\langle q,+\infty)\), a dla \(a0\) przy ramionach w górę albo \(q0$$

## Przykład 1: Parametr w wyrazie wolnym (matura sierpień 2016, zadanie 10)

**Treść:** Jeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek:

- A) \(a\frac13\)

**Krok 1: Odczytaj współczynniki.** Przy \(x^2\) stoi \(1\), przy \(x\) stoi \(2\), a wyraz wolny to \(3a\). Uważaj: litera \(a\) w tym zadaniu oznacza parametr, a nie współczynnik przy \(x^2\).

**Krok 2: Policz wyróżnik.**

$$\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot 3a=4-12a$$

**Krok 3: Zapisz warunek i rozwiąż nierówność liniową.**

$$4-12a4 \iff a>\frac13$$

**Odpowiedź: D.** Dla \(a=\frac13\) delta jest równa zero i funkcja ma jedno miejsce zerowe, więc ten koniec przedziału jest otwarty. Pozostałe zadania z tej sesji znajdziesz w [arkuszu z sierpnia 2016](/exams/matura-sierpien-2016).

## Przykład 2: Która funkcja nie ma miejsc zerowych

**Treść:** Która z podanych funkcji kwadratowych nie ma miejsc zerowych?

- A) \(f(x)=x^2-6x+9\)
- B) \(f(x)=-x^2+4x-5\)
- C) \(f(x)=2x^2+3x-1\)
- D) \(f(x)=-(x-1)^2+2\)

**Krok 1: Skreśl odpowiedź z przeciwnymi znakami \(a\) i \(c\).** W C masz \(a=2\) i \(c=-1\), więc delta jest dodatnia i są dwa miejsca zerowe.

**Krok 2: Sprawdź postać kanoniczną.** W D masz \(a=-10\). Znaki są przeciwne, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(x=1-\sqrt2\) i \(x=1+\sqrt2\).

**Krok 3: Policz deltę w A i B.** W A: \(\Delta=36-36=0\), więc jest jedno miejsce zerowe \(x=3\). W B:

$$\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)=16-20=-40\)
- D) \(q=3\)

**Krok 1: Odczytaj kierunek ramion.** Współczynnik \(a=-2\) jest ujemny, więc ramiona paraboli idą w dół, a \(q\) to największa wartość funkcji.

**Krok 2: Ustal położenie wierzchołka.** Żeby parabola z ramionami w dół nie dotknęła osi \(x\), jej najwyższy punkt musi leżeć pod osią, czyli \(q0\).

**Odpowiedź: A.** Przy \(q=0\) funkcja ma jedno miejsce zerowe \(x=-3\), a przy każdym dodatnim \(q\), w tym \(q=3\), ma dwa.

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania z bazy CKE, w którym prosta \(y=k\) nie ma punktów wspólnych z parabolą dokładnie wtedy, gdy funkcja \(f(x)-k\) nie ma miejsc zerowych.

Zadanie z bazy: /task/cke-pp-treningowe-16

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa (/losuj)

## Równania z czynnikiem, który nie ma pierwiastków

Częsty typ zadania zamkniętego z ostatnich arkuszy to [równanie w postaci iloczynu](/rownanie-iloczynowe-jak-rozwiazac-ile-rozwiazan-zadania-matura), w którym jeden z czynników jest trójmianem kwadratowym bez miejsc zerowych. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero, więc każdy czynnik rozwiązujesz osobno. Czynnik bez miejsc zerowych nie dokłada żadnego rozwiązania, i właśnie na tym budowane są błędne odpowiedzi.

Czynniki takie jak \(x^2+25\), \(x^2+3\) czy \(x^2+1\) rozpoznasz od razu: kwadrat liczby jest nieujemny, więc po dodaniu liczby dodatniej wynik jest zawsze dodatni. Przy trójmianie z wyrazem liniowym, jak \(x^2+2x+3\), liczysz deltę: \(4-12=-84\) dwa.

## Przykład 6: Parametr przy x kwadrat

**Treść:** Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f(x)=(m-1)x^2+2x+1\) jest funkcją kwadratową i nie ma miejsc zerowych.

**Krok 1: Warunek funkcji kwadratowej.** Współczynnik przy \(x^2\) musi być różny od zera: \(m-1\neq 0\), czyli \(m\neq 1\). Dla \(m=1\) masz \(f(x)=2x+1\), funkcję liniową z miejscem zerowym \(-\frac12\).

**Krok 2: Policz wyróżnik.**

$$\Delta=2^2-4\cdot(m-1)\cdot 1=4-4m+4=8-4m$$

**Krok 3: Rozwiąż warunek \(\Delta8 \iff m>2$$

**Krok 4: Połącz warunki.** Każda liczba większa od \(2\) jest różna od \(1\), więc pierwszy warunek niczego nie zmienia.

**Odpowiedź:** \(m\in(2,+\infty)\).

## Brak miejsc zerowych w nierównościach i dowodach

Funkcja bez miejsc zerowych ma stały znak: dla \(a>0\) jest dodatnia dla każdego \(x\), a dla \(a0\) ma \(\Delta=4-20=-160\), więc jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą: zbiorem rozwiązań jest \(\mathbb{R}\). Z kolei \(-x^2+x-1\ge 0\) ma \(\Delta=1-4=-3b\).

**Krok 1: Ustal znak funkcji.** Współczynnik przy \(x^2\) to \(1>0\), więc ramiona paraboli idą w górę. Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc cała parabola leży nad osią \(x\), czyli \(f(x)>0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

**Krok 2: Podstaw dobrze dobrany argument.** Wyrażenie \(1+c-b\) to wartość funkcji w punkcie \(-1\):

$$f(-1)=(-1)^2+b\cdot(-1)+c=1-b+c$$

**Krok 3: Wyciągnij wniosek.** Z kroku 1 wiesz, że \(f(-1)>0\), więc \(1-b+c>0\), czyli \(1+c>b\).

**Wniosek:** Nierówność \(1+c>b\) jest prawdziwa. Ten sam wynik da się uzyskać z delty: \(b^2-4c\frac{b^2}{4}\), a \(1+\frac{b^2}{4}-b=\left(1-\frac{b}{2}\right)^2\ge 0\), więc \(1+c>1+\frac{b^2}{4}\ge b\).

## Najczęstsze błędy

**Pułapka:** Delta równa zero to nie brak miejsc zerowych. Przy \(\Delta=0\) funkcja ma jedno miejsce zerowe, w którym parabola dotyka osi wierzchołkiem. W zadaniu o braku miejsc zerowych warunek jest ostry: \(\Delta0\) i \(\Delta0\) spełnia każda liczba rzeczywista, a pusta jest dopiero nierówność \(f(x)0\).

## Co musisz umieć

- Policzyć wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac\) także przy ujemnych współczynnikach i parametrze.
- Rozstrzygnąć liczbę miejsc zerowych ze znaku delty: zero, jedno albo dwa.
- Odczytać z postaci kanonicznej, czy parabola przecina oś \(x\), bez liczenia delty.
- Rozwiązać nierówność \(\Delta0\) i \(\Delta<0\). Pierwszy warunek kieruje ramiona paraboli w górę, a drugi gwarantuje, że wierzchołek leży nad osią \(x\). Sam warunek \(\Delta<0\) nie wystarczy, bo przy \(a<0\) funkcja bez miejsc zerowych przyjmuje wyłącznie wartości ujemne, jak \(f(x)=-x^2-1\).

### Czy funkcja bez miejsc zerowych ma postać iloczynową?

Nie. Postać iloczynowa \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) istnieje tylko wtedy, gdy \(\Delta\ge 0\), bo \(x_1\) i \(x_2\) to właśnie miejsca zerowe. Funkcję bez miejsc zerowych zapisujesz w postaci ogólnej albo kanonicznej.

### Jak sprawdzić na wykresie, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych?

Spójrz na wierzchołek i kierunek ramion. Gdy ramiona idą w górę, a wierzchołek leży nad osią \(x\), albo ramiona idą w dół, a wierzchołek leży pod osią, parabola nie przetnie osi. W obu przypadkach druga współrzędna wierzchołka \(q\) ma ten sam znak co \(a\).


---
route: /skala-richtera-wzor-logarytm-zadanie-maturalne
title: Skala Richtera: wzór z logarytmem i zadanie maturalne o trzęsieniu ziemi
description: Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi: R = log(A/A0). Zobacz, jak zamienić siłę na amplitudę i rozwiązać zadanie z matury 2016.
author: Marcel Bogdan
---

# Skala Richtera: wzór z logarytmem i zadanie maturalne o trzęsieniu ziemi

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. W zadaniu maturalnym siłę opisuje wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) to amplituda trzęsienia w centymetrach, a \(A_0=10^{-4}\) cm to stała amplituda wzorcowa. Z definicji logarytmu wynika, że amplituda to \(A=A_0\cdot 10^{R}\), więc trzęsienie silniejsze o jeden stopień ma amplitudę dziesięć razy większą.

Na maturze z matematyki skala Richtera pojawiła się jako zadanie z treścią w [arkuszu z maja 2016](/exams/matura-maj-2016): trzeba było obliczyć amplitudę trzęsienia o sile \(6{,}2\) i porównać ją ze \(100\) cm. Wzór stał w treści, więc zadanie sprawdzało jedną umiejętność: zamianę równania z logarytmem na równanie z potęgą. Poniżej masz wzory, pełne rozwiązanie tamtego zadania, cztery dodatkowe przykłady i listę pomyłek, które kosztują punkty.

## W skrócie

- Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi, a w zadaniu maturalnym opisuje ją wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\).
- Amplitudę liczysz z definicji logarytmu: \(A=A_0\cdot 10^{R}\), czyli przy \(A_0=10^{-4}\) cm masz \(A=10^{R-4}\) cm.
- Siła większa o \(1\) oznacza amplitudę \(10\) razy większą, a siła większa o \(2\) amplitudę \(100\) razy większą.
- W zadaniu z matury maj 2016 siła \(6{,}2\) daje amplitudę \(10^{2{,}2}\) cm, czyli około \(158\) cm, więc więcej niż \(100\) cm.

## Skąd w skali Richtera bierze się logarytm

Amplitudy trzęsień ziemi różnią się od siebie nie o kilka procent, tylko wielokrotnie: jedno trzęsienie może mieć amplitudę tysiąc razy większą od drugiego. Gdyby siłę mierzyć samą amplitudą w centymetrach, liczby skakałyby od ułamków tysięcznych do setek i tysięcy. Logarytm dziesiętny ściska taki zakres do kilku wygodnych liczb, bo liczy nie samą wielkość, tylko wykładnik potęgi dziesięciu.

Przypomnij sobie definicję: \(\log x\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(10\), żeby dostać \(x\). Stąd \(\log 10=1\), \(\log 100=2\), \(\log 1000=3\), a \(\log 10^{6}=6\). Gdy liczba rośnie dziesięć razy, jej logarytm rośnie tylko o jeden. Ten jeden fakt tłumaczy całą skalę Richtera. Pełne omówienie definicji i własności logarytmu znajdziesz w dziale [Logarytmy](/topics/logarytmy), a rachunek na konkretnych liczbach we wpisie [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku).

We wzorze \(R=\log\frac{A}{A_0}\) logarytm liczy się z ilorazu: amplitudy trzęsienia podzielonej przez amplitudę wzorcową. Iloraz mówi, ile razy trzęsienie jest silniejsze od wzorca, a logarytm zamienia tę krotność na stopień skali. Gdy amplituda jest równa wzorcowej, iloraz to \(1\), a \(\log 1=0\), więc wzorzec ma siłę zero. Gdy amplituda jest dziesięć razy większa od wzorcowej, siła wynosi \(1\). Gdy milion razy większa, siła wynosi \(6\).

Dlaczego w ogóle iloraz, a nie sama amplituda? Bo logarytm liczy się z liczby, a nie z wielkości w centymetrach. Po podzieleniu amplitudy przez wzorzec jednostki się skracają i zostaje czysta liczba, która mówi „ile razy”. Amplituda wzorcowa ustala więc punkt zero skali: to ona decyduje, jakie trzęsienie ma siłę zero. Gdyby wzorzec był inny, wszystkie siły przesunęłyby się o tę samą liczbę stopni, ale różnice między trzęsieniami zostałyby takie same. Dlatego w zadaniach z porównaniem dwóch trzęsień wzorzec w ogóle znika z rachunku.

Tabela pokazuje tę zależność dla kilku całkowitych stopni. Amplitudę w ostatniej kolumnie liczysz ze wzoru \(A=10^{-4}\cdot 10^{R}=10^{R-4}\) cm.

| Siła \(R\) | Iloraz \(\frac{A}{A_0}\) | Amplituda \(A\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(10^{-4}\) cm |
| \(2\) | \(10^{2}=100\) | \(10^{-2}=0{,}01\) cm |
| \(4\) | \(10^{4}\) | \(10^{0}=1\) cm |
| \(5\) | \(10^{5}\) | \(10^{1}=10\) cm |
| \(6\) | \(10^{6}\) | \(10^{2}=100\) cm |
| \(7\) | \(10^{7}\) | \(10^{3}=1000\) cm |

Zwróć uwagę na wiersz z siłą \(6\): amplituda wynosi dokładnie \(100\) cm. To będzie punkt odniesienia w zadaniu maturalnym, bo pytanie z 2016 roku dotyczyło właśnie granicy \(100\) cm.

## Wzory

Wzór na siłę trzęsienia:

$$R=\log\frac{A}{A_0}$$

Amplituda trzęsienia z jego siły:

$$A=A_0\cdot 10^{R}$$

Amplituda przy wzorcu z zadania:

$$A=10^{R-4}\ \text{cm}$$

Stosunek amplitud dwóch trzęsień:

$$\frac{A_1}{A_2}=10^{R_1-R_2}$$

Definicja logarytmu dziesiętnego:

$$\log x=R \iff x=10^{R}$$

Pierwszy wzór dostajesz w treści zadania. Pozostałe wyprowadzasz z niego w jednej lub dwóch linijkach, więc nie musisz ich pamiętać: wystarczy umieć je odtworzyć. Wzór na stosunek amplitud powstaje na przykład tak: zapisujesz \(A_1=A_0\cdot 10^{R_1}\) i \(A_2=A_0\cdot 10^{R_2}\), dzielisz jedno przez drugie, skracasz \(A_0\) i odejmujesz wykładniki przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie. Ostatni wzór, definicję logarytmu, musisz mieć w głowie, bo bez niej nie ruszysz żadnego z tych zadań. Własności logarytmów, z których korzystamy niżej (logarytm ilorazu i logarytm iloczynu), zebrane są we wpisie [logarytmy na maturze: wzory i właściwości](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Jak zamienić siłę trzęsienia na amplitudę

Zadania o skali Richtera prawie zawsze idą w jedną z dwóch stron: znasz siłę i liczysz amplitudę albo znasz amplitudę i liczysz siłę. Pierwszy kierunek jest trudniejszy, bo trzeba pozbyć się logarytmu.

**Od siły do amplitudy.** Masz równanie \(R=\log\frac{A}{A_0}\) i znane \(R\). Z definicji logarytmu dziesiętnego zapisujesz \(\frac{A}{A_0}=10^{R}\). Mnożysz obie strony przez \(A_0\) i dostajesz \(A=A_0\cdot 10^{R}\). Przy wzorcu \(A_0=10^{-4}\) cm mnożenie potęg o tej samej podstawie daje \(A=10^{-4}\cdot 10^{R}=10^{R-4}\) cm. Na przykład dla \(R=5{,}5\) amplituda to \(10^{1{,}5}\) cm, czyli \(10\sqrt{10}\) cm, około \(31{,}6\) cm.

**Od amplitudy do siły.** Tu logarytm liczysz wprost. Podstawiasz amplitudę i wzorzec do ilorazu, upraszczasz go do [potęgi dziesięciu](/notacja-wykladnicza-jak-zapisac-liczbe-zadania-matura) i odczytujesz wykładnik. Dla \(A=0{,}1\) cm masz \(\frac{0{,}1}{10^{-4}}=\frac{10^{-1}}{10^{-4}}=10^{3}\), więc \(R=3\). Można też skorzystać z logarytmu ilorazu: \(R=\log A-\log A_0=\log A+4\). Dla \(A=0{,}1\) cm to \(-1+4=3\), ten sam wynik.

Wykładnik niecałkowity, jak \(2{,}2\) czy \(1{,}5\), to potęga o wykładniku wymiernym: \(10^{1{,}5}=10^{\frac32}=\sqrt{10^{3}}\), a \(10^{2{,}2}=10^{\frac{11}{5}}=\sqrt[5]{10^{11}}\). Jak zamieniać takie potęgi na pierwiastki i odwrotnie, pokazuje wpis o [potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc). W zadaniu maturalnym zwykle nie musisz tej potęgi liczyć dokładnie: wystarczy porównać ją z inną potęgą dziesięciu.

## Jak oszacować amplitudę bez kalkulatora naukowego

Na egzaminie z matematyki wolno korzystać z kalkulatora prostego, linijki, cyrkla i zestawu wybranych wzorów. Do rozstrzygnięcia, czy amplituda jest większa, czy mniejsza od danej liczby, kalkulator w ogóle nie jest potrzebny. Gdy jednak chcesz wiedzieć, ile mniej więcej wynosi \(10^{2{,}2}\), da się to oszacować samym mnożeniem.

Rozbij potęgę na część całkowitą i ułamkową: \(10^{2{,}2}=10^{2}\cdot 10^{0{,}2}=100\cdot\sqrt[5]{10}\). Cała trudność siedzi w liczbie \(\sqrt[5]{10}\), czyli w takiej liczbie, która podniesiona do piątej potęgi daje \(10\). Sprawdzasz dwie próby. Liczba \(1{,}5\) do piątej potęgi to około \(7{,}59\), czyli za mało. Liczba \(1{,}6\) do piątej potęgi to około \(10{,}49\), czyli za dużo. Szukany pierwiastek leży więc między \(1{,}5\) a \(1{,}6\), a amplituda między \(150\) cm a \(160\) cm.

Ten sam trik działa dla każdej siły. Część całkowita wykładnika ustala rząd wielkości wyniku, czyli potęgę dziesięciu, przez którą mnożysz, a część ułamkowa daje mnożnik od \(1\) do \(10\). Przy sile \(5{,}5\) część ułamkowa to \(0{,}5\), więc mnożnik to \(\sqrt{10}\), czyli trochę ponad \(3\). Przy sile \(6{,}9\) mnożnik \(10^{0{,}9}\) jest bliski \(8\), bo \(10^{0{,}9}=\frac{10}{10^{0{,}1}}\), a \(10^{0{,}1}\) to niewiele ponad \(1{,}25\).

Z tego wynika prosta reguła kontrolna: jeśli wyliczona amplituda ma inny rząd wielkości, niż wskazuje część całkowita wykładnika, to gdzieś zgubiłeś znak albo potęgę. Przy sile \(6{,}2\) i wzorcu \(10^{-4}\) cm wynik musi mieć trzy cyfry przed przecinkiem, więc \(15{,}8\) cm albo \(1580\) cm od razu zdradzają pomyłkę.

## Przykład 1: Trzęsienie ziemi w Tajlandii (matura maj 2016, zadanie 31)

**Treść:** Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. W 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od \(100\) cm.

**Krok 1: Podstaw dane do wzoru.** Znasz siłę \(R=6{,}2\) i amplitudę wzorcową, szukasz \(A\):

$$6{,}2=\log\frac{A}{10^{-4}}$$

**Krok 2: Zamień logarytm na potęgę.** Z definicji logarytmu dziesiętnego liczba pod logarytmem to \(10\) podniesione do wartości logarytmu:

$$\frac{A}{10^{-4}}=10^{6{,}2}$$

**Krok 3: Wyznacz amplitudę.** Mnożysz obie strony przez \(10^{-4}\) i dodajesz wykładniki:

$$A=10^{6{,}2}\cdot 10^{-4}=10^{2{,}2}\ \text{cm}$$

**Krok 4: Porównaj ze 100 cm.** Zapisz \(100\) jako potęgę dziesięciu: \(100=10^{2}\). Funkcja \(y=10^{x}\) jest rosnąca, a \(2{,}2>2\), więc:

$$10^{2{,}2}>10^{2}=100$$

**Odpowiedź:** Amplituda trzęsienia w Tajlandii wynosi \(10^{2{,}2}\) cm, czyli około \(158\) cm, więc jest większa od \(100\) cm.

## Jak zapisać rozwiązanie zadania z 2016 roku

Zadanie 31 z maja 2016 było zadaniem otwartym za dwa punkty, a jego polecenie ma dwie części: „oblicz amplitudę” i „rozstrzygnij, czy jest większa, czy mniejsza od 100 cm”. Rozwiązanie musi odpowiadać na obie. Pozostałe zadania z tego arkusza, krok po kroku, znajdziesz w omówieniu [matury z maja 2016 z rozwiązaniami](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Sama liczba \(10^{2{,}2}\) bez porównania zostawia drugą część polecenia bez odpowiedzi, a samo zdanie „amplituda jest większa” bez rachunku nie pokazuje, skąd ten wniosek.

Dobry zapis mieści się w czterech linijkach z Przykładu 1: podstawienie do wzoru, zamiana logarytmu na potęgę, wyznaczenie amplitudy i porównanie dwóch potęg dziesięciu z uzasadnieniem. Uzasadnienie porównania to jedno zdanie: funkcja wykładnicza o podstawie \(10\) jest rosnąca, więc większy wykładnik daje większą potęgę. Przybliżenie \(158\) cm możesz dopisać, ale nie zastępuje ono porównania wykładników, bo bez kalkulatora naukowego trudno je policzyć dokładnie.

Druga droga prowadzi przez sam logarytm i też jest poprawna. Zamiast liczyć amplitudę i porównywać ją ze \(100\) cm, policz siłę trzęsienia o amplitudzie dokładnie \(100\) cm: \(R=\log\frac{100}{10^{-4}}=\log 10^{6}=6\). Trzęsienie w Tajlandii miało siłę \(6{,}2>6\), a większa siła oznacza większą amplitudę, bo logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą. Tę drogę wybierz, gdy łatwiej ci myśleć o stopniach skali niż o centymetrach. Pamiętaj tylko, że polecenie każe też obliczyć amplitudę, więc wynik \(10^{2{,}2}\) cm i tak musi się pojawić.

## Przykład 2: Siła trzęsienia z amplitudy

**Treść:** Siłę trzęsienia ziemi opisuje wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A_0=10^{-4}\) cm. Amplituda pewnego trzęsienia wynosi \(10\) cm. Siła tego trzęsienia w skali Richtera jest równa:

- A) \(-3\)
- B) \(1\)
- C) \(5\)
- D) \(10^{5}\)

**Krok 1: Policz iloraz amplitud.** Dzielenie przez potęgę o ujemnym wykładniku to mnożenie przez potęgę o dodatnim:

$$\frac{A}{A_0}=\frac{10}{10^{-4}}=10\cdot 10^{4}=10^{5}$$

**Krok 2: Odczytaj logarytm.** Logarytm dziesiętny z \(10^{5}\) to wykładnik tej potęgi:

$$R=\log 10^{5}=5$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź A wychodzi, gdy zamiast dzielić przez \(10^{-4}\), pomnożysz przez \(10^{-4}\). Odpowiedź B to logarytm z samej amplitudy bez wzorca, a D to iloraz bez logarytmu.

## Przykład 3: Ile razy większa amplituda

**Treść:** Pierwsze trzęsienie ziemi miało siłę \(7{,}1\), a drugie siłę \(5{,}1\) w skali Richtera, gdzie \(R=\log\frac{A}{A_0}\). Amplituda pierwszego trzęsienia jest większa od amplitudy drugiego:

- A) \(2\) razy
- B) \(20\) razy
- C) \(100\) razy
- D) \(\frac{71}{51}\) razy

**Krok 1: Odejmij siły.** Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu, a amplituda wzorcowa się skraca:

$$R_1-R_2=\log\frac{A_1}{A_0}-\log\frac{A_2}{A_0}=\log\frac{A_1}{A_2}$$

**Krok 2: Podstaw liczby.** Różnica sił to \(7{,}1-5{,}1=2\), więc \(\log\frac{A_1}{A_2}=2\).

**Krok 3: Zamień logarytm na potęgę.**

$$\frac{A_1}{A_2}=10^{2}=100$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź A to różnica stopni wzięta za krotność, B to różnica pomnożona przez dziesięć, a D to iloraz samych sił. Siły w skali Richtera nie dzieli się przez siebie, bo to wykładniki, a nie amplitudy.

## Przykład 4: Amplituda tysiąc razy większa

**Treść:** Trzęsienie ziemi miało siłę \(3{,}4\) w skali Richtera, gdzie \(R=\log\frac{A}{A_0}\). Oblicz siłę trzęsienia, którego amplituda jest \(1000\) razy większa.

**Krok 1: Zapisz amplitudę drugiego trzęsienia.** Jeśli pierwsze ma amplitudę \(A\), to drugie ma \(1000A\).

**Krok 2: Rozbij logarytm iloczynu.** Logarytm iloczynu to suma logarytmów:

$$R_2=\log\frac{1000A}{A_0}=\log 1000+\log\frac{A}{A_0}=3+3{,}4$$

**Odpowiedź:** Siła drugiego trzęsienia wynosi \(6{,}4\). Mnożenie amplitudy przez \(1000=10^{3}\) dodaje do siły dokładnie \(3\).

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania z bazy CKE, w którym zamieniasz logarytm odczytany z wykresu na liczbę bakterii, dokładnie tak jak siłę trzęsienia na amplitudę.

Zadanie z bazy: /task/cke-2025-pp-10

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy (/losuj)

## Inne zadania maturalne z logarytmem w treści

Skala Richtera to jeden z kilku przykładów, w których logarytm opisuje zjawisko z fizyki, chemii albo biologii. Wszystkie takie zadania mają ten sam szkielet: treść podaje wzór, a ty podstawiasz dane i przechodzisz między logarytmem a potęgą. Nie potrzebujesz wiedzy z innego przedmiotu, bo każdy potrzebny wzór i każda stała stoi w treści.

**Wykres logarytmu zamiast wykresu wielkości.** W zadaniu o bakteriach z sekcji wyżej oś pionowa pokazuje \(\log K(t)\). Gdy liczba bakterii rośnie dziesięć razy, wykres podnosi się tylko o jeden, więc wzrost wykładniczy wygląda na nim jak linia prosta. Każdy odczyt z takiego wykresu zamieniasz na liczbę tą samą definicją: \(\log K=2\) to \(K=100\), a \(\log K=2{,}5\) to \(K=10^{2{,}5}=100\sqrt{10}\), około \(316\). Najczęstszy błąd w takim zadaniu to wzięcie odczytu z osi za samą liczbę bakterii. Wykres pokazuje wykładnik, więc odczyt \(5\) to nie pięć bakterii, tylko sto tysięcy. Zanim zaznaczysz odpowiedź, sprawdź, czy nie wybierasz liczby przepisanej wprost z osi albo z czasu \(t\). Jak wygląda sama funkcja logarytmiczna i dlaczego jest rosnąca dla podstawy większej od jeden, opisuje wpis o [funkcji logarytmicznej: wykres, dziedzina i monotoniczność](/funkcja-logarytmiczna-wykres-dziedzina-monotonicznosc-matura).

**Rozpad promieniotwórczy.** W bazie jest [zadanie o datowaniu radiowęglowym](/task/cke-2025-pp-39), w którym liczba jąder izotopu maleje według wzoru \(N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}\), gdzie \(T\) to czas połowicznego rozpadu. Tu ruch jest odwrotny niż w skali Richtera: wzór podaje potęgę, a pytanie o czas wymaga wykładnika, czyli logarytmu. Najpierw przećwicz ten schemat na mniejszych liczbach w przykładzie niżej, a potem wróć do zadania z bazy.

## Przykład 5: Czas rozpadu izotopu

**Treść:** Czas połowicznego rozpadu pewnego izotopu wynosi \(30\) lat, a liczba jego jąder po czasie \(t\) to \(N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{30}}\). Oblicz, po ilu latach w próbce zostanie \(\frac18\) początkowej liczby jąder.

**Krok 1: Ułóż równanie.** Szukasz \(t\), dla którego \(N(t)=\frac18 N_0\). Dzielisz obie strony przez \(N_0\):

$$\left(\frac12\right)^{\frac{t}{30}}=\frac18$$

**Krok 2: Zapisz prawą stronę jako potęgę tej samej podstawy.** \(\frac18=\left(\frac12\right)^{3}\), więc wykładniki muszą być równe:

$$\frac{t}{30}=3$$

**Krok 3: Wyznacz czas.** \(t=3\cdot 30=90\). Ten sam wynik daje logarytm: \(\frac{t}{30}=\log_{\frac12}\frac18=3\).

**Odpowiedź:** Po \(90\) latach zostanie \(\frac18\) początkowej liczby jąder, czyli po trzech okresach połowicznego rozpadu.

## Jak użyć wzoru z logarytmem, którego nie znasz

W zadaniu o datowaniu radiowęglowym z bazy ułamek jest inny niż w Przykładzie 5, ale pomysł identyczny: zapisz go jako potęgę \(\frac12\), odczytaj wykładnik i pomnóż go przez czas połowicznego rozpadu. Zaokrąglenie, o które prosi treść, robisz dopiero na samym końcu. Gdyby ułamek nie dawał się zapisać jako całkowita potęga \(\frac12\), na przykład \(\frac{1}{10}\), wykładnik byłby logarytmem \(\log_{\frac12}\frac{1}{10}\), czyli liczbą niecałkowitą między \(3\) a \(4\), bo \(\frac18>\frac1{10}>\frac1{16}\). Takie oszacowanie wystarcza, żeby sprawdzić, czy wynik ma sens.

Zdarza się też, że treść poda wzór, którego nigdy nie widziałeś, na przykład \(L=10\log\frac{I}{I_0}\). Nie musisz wiedzieć, co oznaczają litery, żeby go użyć. Dla \(L=60\) dzielisz obie strony przez \(10\) i dostajesz \(\log\frac{I}{I_0}=6\), czyli \(\frac{I}{I_0}=10^{6}\). To ten sam ruch co w Przykładzie 1, tylko z dodatkowym współczynnikiem przed logarytmem. Równania, w których niewiadoma siedzi pod logarytmem, ćwiczysz szerzej we wpisie o tym, [jak rozwiązać równanie logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne), a te z niewiadomą w wykładniku we wpisie [jak rozwiązać równanie wykładnicze](/jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze).

## Najczęstsze błędy w zadaniach o skali Richtera

**Pułapka:** Skala Richtera nie jest liniowa. Trzęsienie o sile \(6\) nie jest dwa razy silniejsze od trzęsienia o sile \(3\): jego amplituda jest \(10^{6-3}=1000\) razy większa. Różnicę stopni zawsze zamieniasz na potęgę dziesięciu.

**Pułapka 2:** Zgubiony minus w wykładniku wzorca. Amplituda wzorcowa to \(10^{-4}\) cm, a nie \(10^{4}\) cm. Dzielenie przez \(10^{-4}\) to mnożenie przez \(10^{4}\), a mnożenie przez \(10^{-4}\) to dzielenie przez \(10^{4}\). W Przykładzie 1 pomyłka w tym miejscu daje \(10^{10{,}2}\) cm zamiast \(10^{2{,}2}\) cm.

**Pułapka 3:** Zaokrąglenie siły przed liczeniem. Gdybyś w zadaniu z 2016 roku zaokrąglił \(6{,}2\) do \(6\), amplituda wyszłaby dokładnie \(100\) cm i nie dałoby się rozstrzygnąć, czy jest większa, czy mniejsza. Licz na dokładnych wykładnikach, a przybliżenie podaj na końcu.

**Pułapka 4:** Mnożenie siły zamiast dodawania. Gdy amplituda rośnie tysiąc razy, siła nie rośnie tysiąc razy, tylko o trzy stopnie, bo \(\log(1000A)=\log 1000+\log A\). W Przykładzie 4 błędna odpowiedź \(3{,}4\cdot 1000=3400\) powinna od razu zapalić czerwoną lampkę, bo amplituda tysiąc razy większa to tylko trzy stopnie więcej: \(3{,}4+3=6{,}4\). Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie i na tym opiera się cała skala.

**Wskazówka:** Zapis \(\log x\) bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli o podstawie \(10\). Dlatego \(\log 1000=3\), bo \(10^{3}=1000\).

**Zapamiętaj:** Porównujesz amplitudy, a nie siły. Pytanie „ile razy większa” zawsze rozwiązujesz wzorem \(\frac{A_1}{A_2}=10^{R_1-R_2}\), a pytanie „większa czy mniejsza” sprowadzasz do porównania dwóch potęg dziesięciu.

## Co musisz umieć

- Zamienić równanie \(\log x=R\) na \(x=10^{R}\) i odwrotnie.
- Podzielić i pomnożyć potęgi dziesięciu o ujemnych wykładnikach, jak \(\frac{10}{10^{-4}}=10^{5}\).
- Porównać dwie potęgi o tej samej podstawie większej od jeden, patrząc na wykładniki.
- Skorzystać z logarytmu ilorazu i logarytmu iloczynu, żeby skrócić amplitudę wzorcową.
- Odczytać wartość logarytmu z wykresu i zamienić ją na wielkość z treści zadania.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z logarytmów z arkuszy maturalnych, które ćwiczą definicję logarytmu i działania na logarytmach o tej samej podstawie. Każde rozwiążesz w minutę, jeśli płynnie przechodzisz między logarytmem a potęgą. Pełny przegląd zadań z tego działu z rozwiązaniami masz we wpisie [zadania CKE z logarytmów](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami).

## Najczęstsze pytania

### Do czego służy skala Richtera?

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. W zadaniu maturalnym siłę opisuje wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\), w którym \(A\) to amplituda trzęsienia w centymetrach, a \(A_0=10^{-4}\) cm to amplituda wzorcowa. Siła to więc logarytm dziesiętny z tego, ile razy amplituda trzęsienia jest większa od wzorcowej. Dzięki temu trzęsienia, których amplitudy różnią się tysiące razy, opisuje kilka liczb z małego zakresu, a każdy kolejny stopień to dziesięciokrotny wzrost amplitudy.

### Ile razy większa jest amplituda trzęsienia silniejszego o jeden stopień?

Dziesięć razy, bo \(\frac{A_1}{A_2}=10^{R_1-R_2}=10^{1}\). Przy różnicy dwóch stopni amplituda jest \(100\) razy większa, przy różnicy trzech stopni \(1000\) razy. Różnica pół stopnia daje \(10^{0{,}5}=\sqrt{10}\), czyli około \(3{,}16\) razy większą amplitudę.

### Czy siła w skali Richtera może być ujemna?

We wzorze z zadania tak. Gdy amplituda jest mniejsza od wzorcowej, iloraz \(\frac{A}{A_0}\) jest mniejszy od jednego, a logarytm takiej liczby jest ujemny. Dla \(A=10^{-5}\) cm iloraz to \(10^{-1}\), więc \(R=-1\). Siła równa zero oznacza amplitudę równą dokładnie wzorcowej.

### Jak policzyć 10 do potęgi 2,2?

Rozbij wykładnik na część całkowitą i ułamkową: \(10^{2{,}2}=10^{2}\cdot 10^{0{,}2}=100\cdot\sqrt[5]{10}\). Pierwiastek piątego stopnia z \(10\) leży między \(1{,}5\) a \(1{,}6\), bo \(1{,}5^{5}\) to mniej niż \(10\), a \(1{,}6^{5}\) to więcej. Wynik to więc około \(158\), ale do porównania ze \(100\) wystarczy zauważyć, że \(2{,}2>2\).

### Czy na maturze trzeba znać wzór na skalę Richtera?

W zadaniu z matury maj 2016 wzór stał w treści razem z wartością amplitudy wzorcowej, więc sprawdzana była definicja logarytmu, a nie wiedza o trzęsieniach ziemi. Musisz umieć zamienić logarytm na potęgę, mnożyć potęgi dziesięciu i porównywać je ze sobą. Bez tych trzech umiejętności nawet podany wzór nie pomoże.


---
route: /ciag-rekurencyjny-matura-wzor-ogolny-jak-obliczyc-wyrazy
title: Ciąg rekurencyjny - jak obliczyć wyrazy i wyznaczyć wzór ogólny (matura)
description: Ciąg rekurencyjny to wyraz początkowy i reguła liczenia następnego. Jak liczyć wyrazy, kiedy ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, zadania z matury.
author: Filip Maszota
---

# Ciąg rekurencyjny - jak obliczyć wyrazy i wyznaczyć wzór ogólny (matura)

Ciąg rekurencyjny to ciąg, w którym zamiast wzoru na \(n\)-ty wyraz dostajesz pierwszy wyraz i regułę, jak z poprzedniego wyrazu policzyć następny, np. \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = a_n + 4\). Wzór rekurencyjny ciągu to właśnie ta para: wyraz początkowy i reguła przejścia. Na maturze z takiego zapisu liczysz kolejne wyrazy albo rozpoznajesz ukryty ciąg arytmetyczny lub geometryczny i wypisujesz wzór ogólny.

## W skrócie

- Ciąg rekurencyjny zadajesz dwiema informacjami: wyrazem początkowym (zwykle \(a_1\)) i regułą, która wyraża \(a_{n+1}\) przez \(a_n\).
- Kolejne wyrazy liczysz po kolei: \(a_2\) z reguły dla \(n = 1\), \(a_3\) dla \(n = 2\) i tak dalej.
- Wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego to \(a_{n+1} = a_n + r\), a geometrycznego \(a_{n+1} = q \cdot a_n\), gdzie \(r\) i \(q\) są stałe.
- Ciąg rekurencyjny jest arytmetyczny dokładnie wtedy, gdy różnica \(a_{n+1} - a_n\) wychodzi z reguły jako liczba bez \(n\).
- Monotoniczność ciągu rekurencyjnego sprawdzasz znakiem różnicy \(a_{n+1} - a_n\), którą często odczytasz wprost z reguły.

## Co to jest wzór rekurencyjny

Wzór rekurencyjny ciągu składa się z dwóch części. Pierwsza to wyraz początkowy, najczęściej \(a_1\) (czasem podane są dwa pierwsze wyrazy). Druga to reguła, która mówi, jak policzyć kolejny wyraz na podstawie poprzedniego - zwykle w postaci \(a_{n+1} = \text{coś z } a_n\). Klasyczny przykład:

$$a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = a_n + 4$$

Czytasz to tak: pierwszy wyraz wynosi 3, a każdy następny powstaje przez dodanie 4 do poprzedniego. To wszystko. Mając te dwie informacje, możesz odtworzyć cały ciąg, wyraz po wyrazie.

Różnica między wzorem rekurencyjnym a wzorem ogólnym jest taka: wzór ogólny \(a_n = 4n - 1\) pozwala policzyć od razu np. setny wyraz, podstawiając \(n = 100\). Wzór rekurencyjny wymaga, żeby najpierw znać poprzedni wyraz. Dlatego często celem zadania jest zamiana rekurencji na wzór ogólny - i o tym powiemy za chwilę.

To temat z działu [ciągi](/topics/ciagi), więc świetnie łączy się z naszym przewodnikiem [ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

## Jak policzyć kolejne wyrazy ciągu rekurencyjnego

Najprostszy typ zadania: "oblicz cztery pierwsze wyrazy". Robisz to mechanicznie, podstawiając kolejno \(n = 1, 2, 3, \dots\) do reguły.

### Przykład 1

Dany ciąg: \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = a_n + 4\). Oblicz \(a_2, a_3, a_4\).

$$a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$$
$$a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$$
$$a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15$$

Czyli kolejne wyrazy to \(3, 7, 11, 15, \dots\). Zauważ, że za każdym razem dodajemy stałą liczbę 4 - to znak, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Wrócimy do tego w następnej sekcji.

Uważaj tylko na indeksy: \(a_{n+1} = a_n + 4\) oznacza, że żeby policzyć \(a_2\), bierzesz \(n = 1\), więc \(a_{1+1} = a_1 + 4\). Najczęstszy błąd to liczenie o jeden wyraz za dużo albo za mało.

### Przykład 2

Dany ciąg: \(b_1 = 2\), \(b_{n+1} = 3 b_n\). Oblicz cztery pierwsze wyrazy.

$$b_2 = 3 \cdot 2 = 6, \quad b_3 = 3 \cdot 6 = 18, \quad b_4 = 3 \cdot 18 = 54$$

Wyrazy to \(2, 6, 18, 54, \dots\). Tym razem każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę 3 - to znak ciągu geometrycznego.

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania 14 z matury maj 2025: policz wyrazy z reguły rekurencyjnej i oceń, czy ten ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2025-17

## Jak rozpoznać ukryty ciąg arytmetyczny lub geometryczny

To klucz do większości zadań maturalnych z rekurencji. Spójrz na regułę przejścia i zadaj sobie pytanie:

Jeśli reguła ma postać \(a_{n+1} = a_n + r\), gdzie \(r\) to stała liczba (dodatnia lub ujemna), to [ciąg jest arytmetyczny](/ciag-arytmetyczny-i-geometryczny-zadania-z-trescia-matura#jak-rozpoznac-ciag-w-tresci-zadania) o różnicy \(r\). Wzór ogólny:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

Jeśli reguła ma postać \(a_{n+1} = q \cdot a_n\), gdzie \(q\) to stała liczba różna od zera, to ciąg jest geometryczny o ilorazie \(q\). Wzór ogólny:

$$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$$

Te dwa wzory ogólne znajdziesz w karcie wzorów, ale musisz wiedzieć, kiedy je zastosować. Jeśli chcesz odświeżyć podstawy, mamy osobne wpisy [jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania) oraz [ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania).

Czy więc ciąg rekurencyjny może być arytmetyczny? Tak, i nie ma w tym sprzeczności: rekurencja to tylko sposób zapisu, a arytmetyczność to własność samych wyrazów. Pewny test to różnica \(a_{n+1} - a_n\) policzona z reguły. Jeśli wychodzi liczba bez \(n\), ciąg jest arytmetyczny, a ta liczba to jego różnica. Tak samo iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) niezależny od \(n\) (przy wyrazach różnych od zera) oznacza ciąg geometryczny. Reguła, która miesza mnożenie i dodawanie, zwykle nie daje żadnego z nich: ciąg \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 3a_n - 1\) ma wyrazy \(1, 2, 5, 14\), różnice \(1, 3, 9\) i ilorazy \(2\) oraz \(\frac{5}{2}\), więc nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.

**Pułapka:** dwie równe różnice na początku ciągu niczego nie dowodzą. Ciąg \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + n^2 - 3n + 4\) zaczyna się od \(1, 3, 5\), czyli wygląda jak ciąg arytmetyczny o różnicy 2, ale czwarty wyraz to \(9\), bo różnica \(n^2 - 3n + 4\) dla \(n = 3\) wynosi już 4. Dlatego w zadaniu na dowód zawsze liczysz \(a_{n+1} - a_n\) dla dowolnego \(n\), a nie dla kilku pierwszych wyrazów.

### Przykład 3

Ciąg dany rekurencyjnie: \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = a_n + 4\) (ten sam, co w przykładzie 1). Wyznacz wzór ogólny.

Reguła to dodawanie stałej 4, więc ciąg jest arytmetyczny: \(a_1 = 3\), \(r = 4\). Podstawiamy do wzoru:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$$

Wzór ogólny to \(a_n = 4n - 1\). Sprawdzenie: \(a_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 3\) (zgadza się), \(a_4 = 4 \cdot 4 - 1 = 15\) (też zgadza się z przykładem 1). Mając teraz wzór ogólny, policzysz dowolny wyraz bez liczenia wszystkich poprzednich.

### Przykład 4

Ciąg: \(c_1 = 5\), \(c_{n+1} = c_n - 3\). Wyznacz wzór ogólny i oblicz \(c_{10}\).

Tu odejmujemy stałą 3, czyli różnica jest ujemna: \(r = -3\), \(c_1 = 5\). Wzór ogólny:

$$c_n = 5 + (n - 1) \cdot (-3) = 5 - 3n + 3 = 8 - 3n$$

Stąd \(c_{10} = 8 - 3 \cdot 10 = 8 - 30 = -22\). Gdybyśmy liczyli rekurencyjnie, musielibyśmy wypisać dziesięć wyrazów - wzór ogólny załatwia to jednym podstawieniem. To pokazuje, po co w ogóle zamieniamy rekurencję na wzór ogólny.

## Gdy reguła nie daje stałej różnicy - metoda teleskopowa

Czasem reguła ma postać \(a_{n+1} = a_n + f(n)\), gdzie do poprzedniego wyrazu dodajemy coś, co zależy od \(n\) - na przykład \(a_{n+1} = a_n + 2n\). Wtedy ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny, ale wzór ogólny i tak da się wyznaczyć, sumując wszystkie przyrosty. To technika trochę trudniejsza, raczej na rozszerzeniu, ale warto ją zobaczyć.

### Przykład 5

Ciąg: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 2n\). Oblicz \(a_2, a_3, a_4\) i wyznacz wzór ogólny.

Najpierw wyrazy:

$$a_2 = a_1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$$
$$a_3 = a_2 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$$
$$a_4 = a_3 + 2 \cdot 3 = 7 + 6 = 13$$

Różnice między wyrazami to 2, 4, 6 - nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Żeby dostać wzór ogólny, dodajemy wszystkie przyrosty od \(a_1\) do \(a_n\):

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$$

Sprawdzenie: \(a_1 = 1 - 1 + 1 = 1\), \(a_3 = 9 - 3 + 1 = 7\), \(a_4 = 16 - 4 + 1 = 13\). Wszystko gra. Skorzystaliśmy tu ze wzoru na sumę kolejnych liczb naturalnych, który poznasz dokładniej we wpisie [jak obliczyć sumę ciągu](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego).

## Zadania na dowód - wykaż, że ciąg jest arytmetyczny

Bardzo lubiany typ zadania otwartego: dostajesz wzór ogólny i masz [wykazać, że ciąg jest arytmetyczny](/kiedy-liczby-tworza-ciag-arytmetyczny-geometryczny-warunek-zadania#jak-sprawdzic-ciag-dany-wzorem-ogolnym) (albo geometryczny), a następnie zapisać go rekurencyjnie. Sztuczka jest prosta: policz różnicę \(a_{n+1} - a_n\) i pokaż, że wychodzi stała.

### Przykład 6

Wykaż, że ciąg \(a_n = 2n + 3\) jest arytmetyczny, a następnie zapisz go wzorem rekurencyjnym.

Liczymy różnicę dwóch sąsiednich wyrazów:

$$a_{n+1} - a_n = \big(2(n+1) + 3\big) - (2n + 3) = 2n + 2 + 3 - 2n - 3 = 2$$

Różnica jest stała i równa 2, niezależnie od \(n\) - to dowodzi, że ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r = 2\). Pierwszy wyraz: \(a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5\). Zatem wzór rekurencyjny to:

$$a_1 = 5, \qquad a_{n+1} = a_n + 2$$

Zwróć uwagę, że to jest odwrotność tego, co robiliśmy w przykładzie 3: tam z rekurencji szliśmy do wzoru ogólnego, tu ze wzoru ogólnego do rekurencji. Maturzysta musi umieć poruszać się w obie strony. Więcej o pisaniu dowodów krok po kroku znajdziesz we wpisie [ciągi - suma, monotoniczność, zadania otwarte](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte).

## Ciąg z dwoma wyrazami początkowymi

Czasem reguła odwołuje się do dwóch poprzednich wyrazów - wtedy zadanie podaje dwa pierwsze wyrazy. Najsłynniejszy przykład to ciąg Fibonacciego: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1\), \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\). Każdy wyraz to suma dwóch poprzednich: \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots\). Na maturze podstawowej takie ciągi pojawiają się rzadko i prawie zawsze wystarczy policzyć kilka wyrazów, bo wzór ogólny dla rekurencji dwuwyrazowych jest skomplikowany i wykracza poza wymagania.

### Przykład 7

Dany ciąg: \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\), \(a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n\). Oblicz \(a_3\) i \(a_4\).

$$a_3 = 2a_2 - a_1 = 2 \cdot 5 - 2 = 8$$
$$a_4 = 2a_3 - a_2 = 2 \cdot 8 - 5 = 11$$

Wyrazy to \(2, 5, 8, 11, \dots\) - rosną co 3, więc to w istocie ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Reguła \(a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n\) to zresztą ukryty warunek na ciąg arytmetyczny: po przekształceniu daje \(a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}\), czyli każdy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. To bardzo lubiany trop w zadaniach na dowód - jeśli widzisz, że wyraz środkowy jest średnią dwóch skrajnych, masz ciąg arytmetyczny.

## Rekurencja w zadaniach praktycznych

Rekurencja to nie tylko abstrakcja - opisuje realne procesy, w których stan w kolejnym kroku zależy od poprzedniego. Najlepszy przykład to procent składany. Jeśli wpłacasz kapitał i co roku dopisywane są odsetki \(p\%\), to stan konta tworzy ciąg geometryczny dany rekurencyjnie: \(K_{n+1} = K_n \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\). To dokładnie reguła ciągu geometrycznego o ilorazie \(q = 1 + \frac{p}{100}\), więc po \(n\) latach \(K_n = K_0 \cdot q^{\,n}\). Rozwijamy ten wątek we wpisie [procent składany - wzór, zadania, odsetki](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki).

### Przykład 8

Na lokatę wpłacono 1000 zł przy oprocentowaniu 5% rocznie z kapitalizacją roczną. Zapisz stan konta wzorem rekurencyjnym i oblicz, ile będzie po dwóch latach.

Stan początkowy \(K_0 = 1000\), reguła \(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}05\). Liczymy:

$$K_1 = 1000 \cdot 1{,}05 = 1050, \qquad K_2 = 1050 \cdot 1{,}05 = 1102{,}5$$

Po dwóch latach na koncie będzie 1102,50 zł. Wzór ogólny \(K_n = 1000 \cdot 1{,}05^{\,n}\) daje to samo: \(K_2 = 1000 \cdot 1{,}05^2 = 1000 \cdot 1{,}1025 = 1102{,}5\). To pokazuje, że rozpoznanie ciągu geometrycznego w rekurencji od razu daje wygodny wzór ogólny, którym policzysz stan konta po dowolnej liczbie lat bez wypisywania wszystkich kroków.

## Jak sprawdzić, czy ciąg rekurencyjny jest monotoniczny

Ciąg jest rosnący, gdy \(a_{n+1} - a_n > 0\) dla każdego \(n \ge 1\), i malejący, gdy ta różnica jest zawsze ujemna. Przy ciągu rekurencyjnym masz ułatwienie: różnicę \(a_{n+1} - a_n\) wyliczasz wprost z reguły, bez wyznaczania wzoru ogólnego. Wystarczy przenieść \(a_n\) na lewą stronę reguły i ocenić znak tego, co zostanie po prawej.

Reguła typu \(a_{n+1} = a_n + f(n)\) daje różnicę od razu: \(a_{n+1} - a_n = f(n)\). Dla \(a_{n+1} = a_n + 4\) różnica wynosi 4, więc ciąg rośnie. Dla \(c_{n+1} = c_n - 3\) z przykładu 4 wynosi \(-3\), więc ciąg maleje. Dla \(a_{n+1} = a_n + 2n\) z przykładu 5 różnica \(2n\) jest dodatnia dla każdego \(n \ge 1\), więc ciąg jest rosnący, choć nie jest arytmetyczny.

Reguła typu \(a_{n+1} = q \cdot a_n\) daje różnicę \(a_{n+1} - a_n = (q - 1) \cdot a_n\), więc znak zależy od dwóch rzeczy: od \(q - 1\) i od znaku wyrazów. Ciąg \(b_1 = 2\), \(b_{n+1} = 3b_n\) z przykładu 2 ma same dodatnie wyrazy i \(q - 1 = 2 > 0\), więc rośnie. Przy ujemnym \(q\) wyrazy zmieniają znak na przemian i ciąg nie jest monotoniczny.

Reguła mieszana wymaga jednego kroku więcej. Dla \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 3a_n - 1\) różnica to \(a_{n+1} - a_n = 2a_n - 1\), więc musisz wiedzieć, jak duże są wyrazy. Pierwszy wyraz to 1, a z wyrazu co najmniej równego 1 reguła robi wyraz co najmniej równy 2, więc wszystkie wyrazy są nie mniejsze od 1. Stąd \(2a_n - 1 \ge 1 > 0\) i ciąg jest rosnący.

### Przykład 9

Wykaż, że ciąg określony wzorami \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + n^2\) jest rosnący.

Przenosimy \(a_n\) na lewą stronę reguły:

$$a_{n+1} - a_n = n^2$$

Dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\) mamy \(n^2 \ge 1 > 0\), więc każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. To kończy dowód: ciąg jest rosnący. Dla kontroli pierwsze wyrazy to \(1, 2, 6, 15\). W zadaniu otwartym zapisz wszystkie trzy elementy: różnicę wyliczoną z reguły, ocenę jej znaku dla dowolnego \(n\) i wniosek.

### Przykład 10

Zbadaj monotoniczność ciągu \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = a_n - 2n + 5\).

Z reguły:

$$a_{n+1} - a_n = 5 - 2n$$

Dla \(n = 1\) różnica wynosi 3, dla \(n = 2\) wynosi 1, a dla \(n = 3\) już \(-1\). Wyrazy to \(4, 7, 8, 7, 4, \dots\): ciąg najpierw rośnie, a od trzeciego wyrazu maleje. Różnica zmienia znak, więc ciąg nie jest monotoniczny. Jedna różnica innego znaku wystarcza, żeby obalić monotoniczność, ale do wykazania, że ciąg rośnie, potrzebujesz znaku różnicy dla każdego \(n\).

## Typowe pułapki i błędy

Pierwsza pułapka to założenie, że każdy ciąg rekurencyjny jest arytmetyczny. Nieprawda - tylko wtedy, gdy do poprzedniego wyrazu dodajesz stałą liczbę. Jeśli dodajesz coś zależnego od \(n\) (jak \(2n\)), różnica się zmienia i ciąg arytmetyczny nie jest. Druga pułapka to błędy w indeksach - reguła \(a_{n+1} = a_n + r\) oznacza, że \(a_2\) liczysz, podstawiając \(n = 1\), a nie \(n = 2\). Trzecia: przy zamianie rekurencji na wzór ogólny uczniowie piszą \(a_n = a_1 + n \cdot r\) zamiast \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\) - to zgubienie jednej różnicy psuje cały wynik. Czwarta: mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym, czyli dodawanie tam, gdzie trzeba mnożyć.

Najlepsza obrona to zawsze policzyć trzy, cztery pierwsze wyrazy z reguły rekurencyjnej i porównać je z tym, co daje wyznaczony wzór ogólny. Jeśli się zgadzają, wzór jest prawie na pewno dobry. To ta sama zasada weryfikacji, o której piszemy w [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Powiązane tematy warto powtórzyć razem

Rekurencja to brama do [całego działu ciągów w zadaniach CKE](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami#od-czego-zaczac-jesli-ten-dzial-lezy). Po niej naturalnie przychodzą: [wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania), [ciąg geometryczny](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania) oraz [suma ciągu](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego). A jeśli chcesz na chwilę przełączyć się na geometrię, zerknij na wpis [symetria w geometrii analitycznej](/punkt-symetryczny-symetria-osiowa-srodkowa-wspolrzedne-matura) - to drugi temat, który łatwo opanować, a daje pewne punkty.

## Co musisz umieć - checklist

- Odczytać wzór rekurencyjny: wyraz początkowy plus reguła przejścia.
- Policzyć kolejne wyrazy, podstawiając \(n = 1, 2, 3, \dots\) (uwaga na indeksy).
- Rozpoznać ciąg arytmetyczny: reguła \(a_{n+1} = a_n + r\) ze stałą \(r\).
- Rozpoznać ciąg geometryczny: reguła \(a_{n+1} = q \cdot a_n\) ze stałym \(q\).
- Wyznaczyć wzór ogólny: \(a_n = a_1 + (n-1)r\) lub \(a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}\).
- Poradzić sobie z regułą \(a_{n+1} = a_n + f(n)\) metodą sumowania przyrostów.
- Wykazać, że ciąg jest arytmetyczny, licząc \(a_{n+1} - a_n\).
- Zbadać monotoniczność ciągu rekurencyjnego po znaku różnicy \(a_{n+1} - a_n\) wyliczonej z reguły.
- Sprawdzić wynik, porównując pierwsze wyrazy z wzorem ogólnym.

Najlepszy sposób, żeby to utrwalić, to rozwiązać kilkanaście zadań z prawdziwych arkuszy. Wejdź na stronę działu ciągi i ćwicz rekurencję, aż przestanie cię stresować. Dasz radę.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)

## Najczęstsze pytania o ciągi rekurencyjne

### Czy ciąg rekurencyjny może być arytmetyczny?

Tak. Ciąg zadany regułą \(a_{n+1} = a_n + r\) ze stałą \(r\) jest arytmetyczny o różnicy \(r\), a jego wzór ogólny to \(a_n = a_1 + (n-1)r\). Ciąg stały, np. \(a_1 = 5\), \(a_{n+1} = a_n\), jest nawet jednocześnie arytmetyczny (różnica 0) i geometryczny (iloraz 1). Rozstrzyga zawsze różnica \(a_{n+1} - a_n\) policzona z reguły dla dowolnego \(n\).

### Jak podać przykład definicji rekurencyjnej ciągu?

Podajesz wyraz początkowy i regułę przejścia, np. \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 2a_n\) (ciąg \(1, 2, 4, 8, \dots\)) albo \(a_1 = 10\), \(a_{n+1} = a_n - 3\) (ciąg \(10, 7, 4, 1, \dots\)). Sama reguła nie wystarczy, bo ta sama reguła z innym wyrazem początkowym daje inny ciąg.

### Czy z każdej rekurencji da się wyznaczyć wzór ogólny?

W teorii często tak, ale w zadaniach maturalnych wzór ogólny wyznaczasz najczęściej w dwóch wygodnych przypadkach: dla ciągu arytmetycznego (dodawanie stałej) i geometrycznego (mnożenie przez stałą). Sumowanie przyrostów z przykładu 5 to technika dodatkowa. Przy bardziej skomplikowanej regule zadanie zwykle prosi o kilka pierwszych wyrazów, tak jak zadanie 14 z matury maj 2025.

### Jak odróżnić ciąg arytmetyczny od geometrycznego w rekurencji?

Patrz na operację: jeśli do poprzedniego wyrazu coś dodajesz, to kandydat na ciąg arytmetyczny; jeśli przez coś mnożysz, to kandydat na geometryczny. Potem sprawdzasz, czy ta dodawana lub mnożona liczba jest stała - jeśli zależy od \(n\), żaden z tych dwóch typów nie wchodzi w grę.

### Czy wyraz początkowy zawsze ma indeks 1?

Nie. Czasem ciąg startuje od \(a_0\) - na przykład w zadaniach z procentem składanym, gdzie \(K_0\) to kapitał na starcie. Zawsze sprawdź w treści, od którego indeksu zaczyna się ciąg, bo to wpływa na to, jak zapiszesz wzór ogólny.


---
route: /jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania
title: Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania - krok po kroku z przykładami
description: Metoda podstawiania: wyznacz x lub y z prostszego równania, wstaw w nawiasie do drugiego i rozwiąż. 5 przykładów krok po kroku, układ sprzeczny i błędy.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania - krok po kroku z przykładami

Układ równań metodą podstawiania rozwiązujesz w trzech ruchach: z prostszego równania wyznaczasz jedną niewiadomą, na przykład \(y = 7 - x\), wstawiasz to wyrażenie w nawiasie do drugiego równania i rozwiązujesz równanie z jedną niewiadomą. Potem wracasz do wyznaczonego wzoru po drugą niewiadomą i sprawdzasz parę liczb w obu równaniach.

## W skrócie

- Wyznaczaj tę niewiadomą, która stoi ze współczynnikiem \(1\) albo \(-1\), bo wtedy nie pojawi się ułamek.
- Podstawione wyrażenie zawsze bierzesz w nawias: przy \(y = 3 - x\) zapis \(2y\) to \(2(3 - x) = 6 - 2x\).
- Rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi jest para liczb, na przykład \(x = 3\) i \(y = 4\).
- Fałsz po podstawieniu do drugiego równania, na przykład \(3 = 5\), oznacza układ sprzeczny, a prawdziwa równość typu \(6 = 6\) nieskończenie wiele rozwiązań.

## Dlaczego metoda podstawiania?

Układy równań trafiają na maturę zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych. Metoda podstawiania to najczęściej stosowana metoda rozwiązywania. Jest prosta, intuicyjna i działa zawsze.

Na maturze układy równań pojawiają się nie tylko jako "czyste" zadania algebraiczne. Często musisz sam ułożyć układ na podstawie treści zadania - na przykład przy [zadaniach z treścią](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac) o mieszankach, prędkościach czy cenach.

## Na czym polega metoda podstawiania?

Masz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

$$\begin{cases} \text{równanie 1} \\ \text{równanie 2} \end{cases}$$

Robisz trzy kroki:

1. **Wyznacz** jedną niewiadomą z jednego równania
2. **Podstaw** ją do drugiego równania (zostajesz z jedną niewiadomą)
3. **Rozwiąż** równanie z jedną niewiadomą, potem wróć i oblicz drugą

To wszystko. Teraz zobaczmy jak to działa na konkretnych przykładach.

## Metoda podstawiania z dwiema niewiadomymi: którą niewiadomą wyznaczyć

W układzie z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\) masz cztery możliwe starty: \(x\) albo \(y\), z pierwszego albo z drugiego równania. Wybór nie zmienia wyniku, ale zmienia ilość rachunków. Szukaj niewiadomej ze współczynnikiem \(1\) albo \(-1\), bo wtedy wyznaczasz ją bez dzielenia.

Weź układ:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - y = 10 \end{cases}$$

Tylko \(y\) w drugim równaniu ma współczynnik \(-1\). Przenosisz \(y\) na prawą stronę, a \(10\) na lewą:

$$y = 4x - 10$$

Podstawiasz to do pierwszego równania i od razu otwierasz nawias:

$$2x + 3(4x - 10) = 12$$
$$2x + 12x - 30 = 12$$
$$14x = 42$$
$$x = 3$$

Wracasz do wzoru: \(y = 4 \cdot 3 - 10 = 2\). Sprawdzenie: \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12\) oraz \(4 \cdot 3 - 2 = 10\), więc rozwiązaniem jest para \(x = 3\), \(y = 2\).

Gdybyś zaczął od \(x\) z pierwszego równania, dostałbyś \(x = \frac{12 - 3y}{2}\) i ułamek w każdym następnym kroku. Wynik byłby ten sam, ale każda linijka z ułamkiem to kolejna okazja do pomyłki rachunkowej.

**Wskazówka:** Gdy żadna niewiadoma nie ma współczynnika \(1\) ani \(-1\), a współczynniki przy jednej z nich łatwo zamienić na liczby przeciwne, szybsza będzie [metoda przeciwnych współczynników](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-przeciwnych-wspolczynnikow).

## Przykład 1 - Prosty układ liniowy

**Rozwiąż układ:**

$$\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$$

**Krok 1:** Wyznacz \(y\) z pierwszego równania (bo jest najprostsze):

$$y = 7 - x$$

**Krok 2:** Podstaw do drugiego równania:

$$2x - (7 - x) = 2$$

**Krok 3:** Rozwiąż:

$$2x - 7 + x = 2$$
$$3x = 9$$
$$x = 3$$

**Krok 4:** Wróć i oblicz \(y\):

$$y = 7 - 3 = 4$$

**Odpowiedź:** \(x = 3\), \(y = 4\).

**Sprawdzenie:** Wstaw do obu równań:
- \(3 + 4 = 7\) \(\checkmark\)
- \(2 \cdot 3 - 4 = 2\) \(\checkmark\)

Zawsze sprawdzaj w obu równaniach. Jeśli rozwiązanie pasuje do jednego, ale nie do drugiego, popełniłeś błąd.

## Teraz ty

Spróbuj sam tego samego typu zadania z prawdziwego arkusza CKE: wyznacz \(x\) z pierwszego równania i podstaw je do drugiego.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-06

## Przykład 2 - Współczynnik przy zmiennej

**Rozwiąż układ:**

$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

**Krok 1:** Z drugiego równania wyznacz \(x\) (bo nie ma współczynnika - a właściwie jest 1):

$$x = 1 + y$$

**Krok 2:** Podstaw do pierwszego:

$$3(1 + y) + 2y = 12$$

**Krok 3:** Rozwiąż:

$$3 + 3y + 2y = 12$$
$$5y = 9$$
$$y = \frac{9}{5}$$

**Krok 4:**

$$x = 1 + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}$$

**Odpowiedź:** \(x = \frac{14}{5}\), \(y = \frac{9}{5}\).

Ułamki w odpowiedzi to normalna sprawa - nie panikuj. Na maturze wynik nie musi być "ładny". Więcej o pracy z ułamkami w [liczbach rzeczywistych na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna).

## Przykład 3 - Układ z zadania maturalnego

**Treść:** Suma dwóch liczb wynosi 20, a ich różnica to 6. Znajdź te liczby.

**Krok 1:** Ułóż układ. Niech \(x\) - większa liczba, \(y\) - mniejsza.

$$\begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 6 \end{cases}$$

**Krok 2:** Z pierwszego: \(x = 20 - y\). Podstaw do drugiego:

$$(20 - y) - y = 6$$
$$20 - 2y = 6$$
$$2y = 14$$
$$y = 7$$

**Krok 3:** \(x = 20 - 7 = 13\).

**Odpowiedź:** Liczby to 13 i 7.

W takim zadaniu klucz to poprawne ułożenie układu. Poćwicz więcej takich zadań w [dziale układów równań](/topics/uklady-rownan).

## Przykład 4 - Układ nieliniowy

**Rozwiąż:**

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$$

**Krok 1:** Z pierwszego: \(y = 5 - x\).

**Krok 2:** Podstaw do drugiego:

$$x(5 - x) = 6$$
$$5x - x^2 = 6$$
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

**Krok 3:** Rozwiąż równanie kwadratowe. To znany trójmian - oblicz [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe):

$$\Delta = 25 - 24 = 1$$
$$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$

**Krok 4:** Dla \(x = 2\): \(y = 5 - 2 = 3\). Dla \(x = 3\): \(y = 5 - 3 = 2\).

**Odpowiedź:** \((x, y) = (2, 3)\) lub \((x, y) = (3, 2)\).

Układy nieliniowe często pojawiają się w zadaniach otwartych na maturze. Metoda jest ta sama - wyznacz jedną zmienną, podstaw, rozwiąż [równanie kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania).

## Przykład 5 - Układ z trzema niewiadomymi (bonus)

**Rozwiąż:**

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}$$

**Krok 1:** Z drugiego równania: \(x = y + 2\).

**Krok 2:** Z trzeciego: \(z = 3 - y\).

**Krok 3:** Podstaw oba do pierwszego:

$$(y + 2) + y + (3 - y) = 6$$
$$y + 5 = 6$$
$$y = 1$$

**Krok 4:** \(x = 1 + 2 = 3\), \(z = 3 - 1 = 2\).

**Odpowiedź:** \(x = 3\), \(y = 1\), \(z = 2\).

Układy z trzema niewiadomymi rzadko pojawiają się na maturze podstawowej, ale warto umieć - zasada jest identyczna.

## Kiedy NIE stosować metody podstawiania?

Metoda podstawiania działa zawsze, ale nie zawsze jest najszybsza. Lepiej użyj **metody eliminacji** (dodawania/odejmowania), gdy:

- Obie zmienne mają "wygodne" współczynniki, np. \(2x + 3y = 7\) i \(2x - y = 3\) - odejmij stronami i \(x\) znika
- Wyznaczenie zmiennej daje brzydki ułamek

Lepiej użyj **metody graficznej**, gdy:
- Pytają o interpretację geometryczną (ile punktów wspólnych mają dwie proste)

Wszystkie metody znajdziesz w [kompletnym przewodniku po układach równań](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-przyklady).

## Układ sprzeczny i nieoznaczony

Nie każdy układ ma jedno rozwiązanie.

**Układ sprzeczny** (brak rozwiązań):

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

Suma tych samych liczb nie może być jednocześnie 3 i 5. Geometrycznie: [dwie równoległe proste](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania#ile-punktow-wspolnych-maja-dwie-proste).

**Układ nieoznaczony** (nieskończenie wiele rozwiązań):

$$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}$$

Drugie równanie to podwojone pierwsze. Geometrycznie: ta sama prosta. Na maturze rozpoznanie takiego układu to osobne pytanie - nie trać czasu na szukanie "jednego" rozwiązania.

## Typowe pułapki

### Błąd 1: Zapomnienie o nawiasie

Gdy podstawiasz \(y = 3 - x\) do wyrażenia \(2y\), musisz napisać \(2(3 - x)\), nie \(2 \cdot 3 - x\). Nawias jest kluczowy. Przy minusie przed nawiasem, jak w \(2x - (7 - x)\), zmieniasz znak każdego wyrazu w środku, więcej o tym w tekście o [rozkładaniu nawiasów z minusem](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac#problem-rozkladanie-nawiasow-z-minusem).

### Błąd 2: Podstawienie do tego samego równania

Wyznaczasz \(y\) z pierwszego równania i... podstawiasz z powrotem do pierwszego. Dostajesz tożsamość typu \(0 = 0\). Musisz podstawić do DRUGIEGO równania.

### Błąd 3: Zapomnienie o drugiej niewiadomej

Obliczasz \(x\), piszesz odpowiedź i... zapominasz o \(y\). Na maturze [rozwiązanie układu](/punkt-przeciecia-dwoch-prostych-jak-obliczyc#typowe-pulapki) to PARA liczb, nie jedna liczba. Przeczytaj o innych [najczęstszych błędach maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Wyznaczać jedną zmienną z prostszego równania
- Podstawiać (z nawiasem!) do drugiego równania
- Rozwiązywać powstałe równanie z jedną niewiadomą
- Obliczać drugą zmienną po znalezieniu pierwszej
- Sprawdzać wynik w obu równaniach
- Rozpoznawać układy sprzeczne i nieoznaczone

Gotowy na ćwiczenia? Przejdź do [zadań z układami równań](/topics/uklady-rownan) i zacznij od najłatwiejszych.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej masz zadania z arkuszy CKE, w których rozwiązujesz układ albo sprawdzasz, ile ma rozwiązań. Więcej takich zadań z omówieniami znajdziesz w zestawieniu [zadań CKE z układów równań z rozwiązaniami](/zadania-cke-uklady-rownan-z-rozwiazaniami).

## Najczęstsze pytania

### Jak rozwiązać metodą podstawiania układ z dwiema niewiadomymi?

Z jednego równania wyznaczasz jedną niewiadomą, na przykład \(y = 7 - x\), i wstawiasz to wyrażenie w nawiasie do drugiego równania. Zostaje równanie tylko z \(x\), które rozwiązujesz jak zwykłe równanie liniowe. Na koniec obliczasz \(y\) z wyznaczonego wzoru i sprawdzasz parę liczb w obu równaniach układu.

### Czym metoda podstawiania różni się od metody przeciwnych współczynników?

W metodzie podstawiania pozbywasz się niewiadomej, wstawiając jej wzór do drugiego równania. W metodzie przeciwnych współczynników mnożysz równania przez liczby tak, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, a potem dodajesz równania stronami. Obie dają ten sam wynik: podstawianie jest szybsze, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik \(1\) albo \(-1\), i naturalne przy układach z równaniem typu \(xy = 6\).

### Skąd wiadomo, że układ równań jest sprzeczny?

Po podstawieniu do drugiego równania niewiadoma znika i zostaje fałszywa równość, na przykład \(3 = 5\). Taki układ nie ma rozwiązań, a na wykresie to dwie proste równoległe. Gdy zamiast fałszu zostaje prawdziwa równość, na przykład \(6 = 6\), układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Od czego zależy liczba rozwiązań, pokazujemy we wpisie o [układzie równań z parametrem](/uklad-rownan-z-parametrem-liczba-rozwiazan).

### Czy metodą podstawiania rozwiążę układ, w którym jest równanie kwadratowe?

Tak. Z równania liniowego wyznaczasz jedną niewiadomą i wstawiasz ją do drugiego równania, tak jak w przykładzie z \(x + y = 5\) i \(xy = 6\). Dostajesz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, liczysz deltę i do każdego pierwiastka dobierasz drugą niewiadomą. Taki układ może mieć dwa rozwiązania, jedno albo żadnego.


---
route: /jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-przeciwnych-wspolczynnikow
title: Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników - krok po kroku z przykładami
description: Metoda przeciwnych współczynników: mnożysz równania, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodajesz je stronami. Przykłady i karta pracy.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników - krok po kroku z przykładami

Metoda przeciwnych współczynników polega na tym, że mnożysz jedno albo oba równania układu przez takie liczby, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne (np. \(3y\) i \(-3y\)), a potem dodajesz równania stronami. Ta niewiadoma znika, zostaje równanie z jedną niewiadomą, a drugą liczysz z dowolnego równania układu. To druga, obok [metody podstawiania](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania), podstawowa metoda rozwiązywania układów równań liniowych, nazywana też metodą eliminacji albo dodawania stronami.

Na maturze z matematyki często pojawia się układ, w którym podstawianie byłoby koszmarem rachunkowym, a eliminacja rozwiązuje go w trzech linijkach. W tym przewodniku masz schemat działania, sześć rozwiązanych układów, interpretację na wykresie funkcji liniowych, kartę pracy z odpowiedziami i najczęstsze pułapki.

## W skrócie

- Mnożysz równania tak, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodajesz je stronami: ta niewiadoma znika.
- Gdy współczynniki to np. \(4x\) i \(3x\), mnożysz oba równania (przez 3 i przez 4), żeby dojść do wspólnej liczby 12.
- Wynik \(0 = 0\) oznacza nieskończenie wiele rozwiązań, a \(0 = -3\) czy inna fałszywa równość to układ sprzeczny.
- Na wykresie każde równanie to prosta, a rozwiązanie układu to punkt przecięcia tych dwóch prostych.
- Parę liczb sprawdzasz, podstawiając ją do obu równań, nie tylko do jednego.

## Na czym polega metoda przeciwnych współczynników

Masz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\). Idea jest prosta: doprowadzasz jedno z równań (lub oba) do takiej postaci, żeby współczynniki przy jednej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. Wtedy dodajesz równania stronami i ta niewiadoma znika.

Przykład startowy:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases}$$

Zauważ, że przy \(y\) mamy współczynniki \(+3\) i \(-3\). Są już przeciwne. Dodajesz równania stronami:

$$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$$
$$6x = 12$$
$$x = 2$$

Teraz wstawiasz \(x = 2\) do dowolnego z równań początkowych, na przykład do pierwszego:

$$2 \cdot 2 + 3y = 7$$
$$3y = 3$$
$$y = 1$$

Rozwiązanie: \((x, y) = (2, 1)\). Sprawdź podstawiając do obu równań - oba muszą być spełnione. Więcej takich układów z prawdziwych arkuszy CKE znajdziesz w dziale [układy równań na maturze](/topics/uklady-rownan).

## Schemat metody krok po kroku

Zapisz sobie ten schemat i stosuj go zawsze, kiedy wybierasz eliminację:

**Krok 1.** Wybierz niewiadomą do wyeliminowania (tę, przy której łatwiej sprowadzić współczynniki do liczb przeciwnych).

**Krok 2.** Pomnóż jedno (lub oba) równania przez taką liczbę, żeby współczynniki przy wybranej niewiadomej były liczbami przeciwnymi.

**Krok 3.** Dodaj równania stronami - wybrana niewiadoma się zredukuje.

**Krok 4.** Rozwiąż otrzymane równanie z jedną niewiadomą.

**Krok 5.** Wstaw wynik do jednego z pierwotnych równań i oblicz drugą niewiadomą.

**Krok 6.** Sprawdź rozwiązanie podstawiając do drugiego równania (kontrola).

To sześć kroków, które wykonujesz mechanicznie. Po kilkunastu rozwiązanych układach zaczniesz je robić odruchowo.

## Kiedy wybrać eliminację, a kiedy podstawianie

To pytanie dostaję na korepetycjach ciągle. Zasada kciuka:

**Użyj eliminacji, gdy:**
- W obu równaniach współczynniki przy którejś niewiadomej są podobne (np. \(2x\) i \(6x\), \(3y\) i \(-3y\)).
- W żadnym równaniu nie masz "czystego" \(x\) lub \(y\) po jednej stronie.
- Masz ładne liczby całkowite i chcesz uniknąć ułamków.

**Użyj podstawiania, gdy:**
- W jednym z równań niewiadoma ma już współczynnik 1 (np. \(y = 3x + 2\), albo \(x = 5 - 2y\)).
- Jedno z równań jest nieliniowe (np. \(x^2 + y^2 = 25\)) - tam eliminacja nie zadziała.
- Widać, że wyrażenie na \(y\) lub \(x\) wyjdzie krótkie.

Jeśli oba podejścia wyglądają równie sensownie, wybierz to, które da Ci mniejsze współczynniki. Matura to gra na czas.

## Zadanie 1 - klasyczny przykład z mnożeniem

Rozwiąż układ:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 4y = 10 \end{cases}$$

Żeby wyeliminować \(y\), pomnożymy pierwsze równanie przez 2 (współczynniki przy \(y\) staną się \(+4\) i \(-4\)):

$$\begin{cases} 6x + 4y = 32 \\ 5x - 4y = 10 \end{cases}$$

Dodajemy stronami:

$$11x = 42$$
$$x = \frac{42}{11}$$

Wynik wyszedł ułamkowy. To sygnał, że albo źle przepisaliśmy zadanie, albo odpowiedź naprawdę jest ułamkiem. Na maturze najpierw sprawdź rachunki od początku, a jeśli wszystko się zgadza, licz dalej.

Wstawiamy do pierwszego równania:

$$3 \cdot \frac{42}{11} + 2y = 16$$
$$\frac{126}{11} + 2y = \frac{176}{11}$$
$$2y = \frac{50}{11}$$
$$y = \frac{25}{11}$$

Rozwiązanie: \(\left(\frac{42}{11}, \frac{25}{11}\right)\). Sprawdzenie w drugim równaniu: \(5 \cdot \frac{42}{11} - 4 \cdot \frac{25}{11} = \frac{210 - 100}{11} = \frac{110}{11} = 10\). OK, zgadza się.

## Teraz ty

Spróbuj sam układu z matury z maja 2013: pomnóż pierwsze równanie przez 2, a przy \(y\) staną liczby przeciwne.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2013-04

## Zadanie 2 - gdy trzeba pomnożyć oba równania

$$\begin{cases} 4x + 5y = 23 \\ 3x - 2y = -1 \end{cases}$$

Współczynniki przy \(x\) to 4 i 3 - najmniejsza wspólna wielokrotność to 12. Mnożymy pierwsze przez 3, drugie przez 4 i dopasowujemy znaki:

$$\begin{cases} 12x + 15y = 69 \\ 12x - 8y = -4 \end{cases}$$

Teraz **odejmujemy** drugie od pierwszego (albo mnożymy drugie przez \(-1\) i dodajemy):

$$(12x + 15y) - (12x - 8y) = 69 - (-4)$$
$$23y = 73$$
$$y = \frac{73}{23}$$

Tu też wynik ułamkowy - to się zdarza. Zwykle w zadaniach maturalnych wychodzą ładne liczby, ale nie zawsze. Pamiętaj: ładne liczby to wskazówka, nie gwarancja.

Wstawiamy do drugiego równania:

$$3x - 2 \cdot \frac{73}{23} = -1$$
$$3x = -1 + \frac{146}{23} = \frac{-23 + 146}{23} = \frac{123}{23}$$
$$x = \frac{41}{23}$$

## Zadanie 3 - układ z ułamkami

$$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1 \end{cases}$$

Pierwsza myśl: pozbywamy się ułamków mnożąc każde równanie przez wspólny mianownik. Pierwsze przez 6, drugie przez 12:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 30 \\ 3x - 2y = 12 \end{cases}$$

Teraz eliminacja \(y\) sama się prosi - dodajemy stronami:

$$6x = 42$$
$$x = 7$$

Z pierwszego: \(3 \cdot 7 + 2y = 30\), więc \(2y = 9\), \(y = \frac{9}{2} = 4{,}5\). Sprawdzenie w drugim: \(3 \cdot 7 - 2 \cdot 4{,}5 = 21 - 9 = 12\). Zgadza się.

Morał: jeśli widzisz ułamki, pierwszy krok to **pomnożyć przez wspólny mianownik**. Dopiero potem stosuj metodę eliminacji.

## Zadanie 4 - zadanie z treścią (matura)

Suma dwóch liczb wynosi 48. Jeśli większą liczbę zmniejszymy o 5, a mniejszą zwiększymy o 3, otrzymamy liczby, których różnica wynosi 10. Wyznacz te liczby.

Zapisujemy układ. Niech \(x\) będzie większą, \(y\) mniejszą:

$$\begin{cases} x + y = 48 \\ (x - 5) - (y + 3) = 10 \end{cases}$$

Drugie równanie upraszczamy: \(x - y - 8 = 10\), czyli \(x - y = 18\). Mamy:

$$\begin{cases} x + y = 48 \\ x - y = 18 \end{cases}$$

Tu metoda przeciwnych współczynników działa bez żadnego mnożenia - dodajemy stronami:

$$2x = 66$$
$$x = 33$$

Więc \(y = 48 - 33 = 15\). Liczby to 33 i 15. Zawsze sprawdzaj z treścią: 33 + 15 = 48 (ok), (33-5) - (15+3) = 28 - 18 = 10 (ok). Zadanie rozwiązane w 4 linijkach.

## Zadanie 5 - układ bez rozwiązań (sprzeczny)

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + 6y = 7 \end{cases}$$

Mnożymy pierwsze przez \(-2\):

$$\begin{cases} -4x - 6y = -10 \\ 4x + 6y = 7 \end{cases}$$

Dodajemy stronami: \(0 = -3\). Sprzeczność. Układ nie ma rozwiązań. To jest ważny wynik - oznacza, że odpowiednie proste są **równoległe** i nie przecinają się.

Na maturze pojawiają się zadania z parametrem typu "dla jakiej wartości parametru \(m\) układ nie ma rozwiązań". Tu wystarczy doprowadzić układ do postaci sprzecznej i znaleźć \(m\).

## Zadanie 6 - układ z nieskończoną liczbą rozwiązań

$$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x - 6y = 9 \end{cases}$$

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 3. Gdy mnożymy pierwsze przez \(-3\) i dodajemy do drugiego, dostajemy \(0 = 0\) - tożsamość. Oznacza to, że oba równania opisują **tę samą prostą** i rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Rozwiązanie zapisujemy parametrycznie: \(x = 3 + 2t\), \(y = t\), gdzie \(t \in \mathbb{R}\).

## Metoda przeciwnych współczynników a funkcja liniowa

Każde równanie postaci \(ax + by = c\) z \(b \neq 0\) to wzór funkcji liniowej: wystarczy wyznaczyć z niego \(y\). Rozwiązanie układu to punkt, w którym przecinają się wykresy dwóch takich funkcji, więc metoda przeciwnych współczynników liczy rachunkiem to, co na rysunku odczytujesz jako punkt wspólny dwóch prostych.

Weź układ z początku wpisu. Z pierwszego równania \(y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\), z drugiego \(y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}\). Dla \(x = 2\) obie funkcje dają \(y = 1\), bo \(-\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = 1\) oraz \(\frac{8}{3} - \frac{5}{3} = 1\). Wykresy przecinają się więc w punkcie \((2, 1)\), dokładnie tam, gdzie wyszło rozwiązanie z dodawania stronami.

Liczbę rozwiązań poznasz po [współczynnikach kierunkowych obu prostych](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania#ile-punktow-wspolnych-maja-dwie-proste):

| Wynik dodawania stronami | Współczynniki kierunkowe | Wykresy | Liczba rozwiązań |
| --- | --- | --- | --- |
| równanie z jedną niewiadomą | różne | proste przecinają się w jednym punkcie | jedno |
| fałszywa równość, np. \(0 = -3\) | równe, różne wyrazy wolne | proste równoległe | brak |
| \(0 = 0\) | równe, równe wyrazy wolne | ta sama prosta | nieskończenie wiele |

Tak wyglądają Zadanie 5 i Zadanie 6 na wykresie. W Zadaniu 5 obie proste mają współczynnik kierunkowy \(-\frac{2}{3}\), ale wyrazy wolne \(\frac{5}{3}\) i \(\frac{7}{6}\), więc są równoległe. W Zadaniu 6 oba równania dają \(y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\), czyli tę samą prostą. Gdy obie proste masz już w postaci \(y = ax + b\), punkt wspólny dostaniesz też przez przyrównanie wzorów, co pokazuje wpis o tym, [jak obliczyć punkt przecięcia dwóch prostych](/punkt-przeciecia-dwoch-prostych-jak-obliczyc).

Częsty typ zadania to dwa wzory funkcji liniowych i pytanie o punkt wspólny wykresów. Dla \(f(x) = 2x - 3\) i \(g(x) = -x + 6\) zapisujesz oba wzory jako równania z \(x\) i \(y\), przenosząc \(x\) na lewą stronę:

$$\begin{cases} -2x + y = -3 \\ x + y = 6 \end{cases}$$

Mnożysz drugie równanie przez \(-1\), żeby przy \(y\) stały liczby przeciwne, i dodajesz stronami:

$$-3x = -9$$
$$x = 3$$

Z drugiego równania \(y = 6 - 3 = 3\), więc wykresy przecinają się w punkcie \((3, 3)\). Sprawdzenie: \(f(3) = 6 - 3 = 3\) i \(g(3) = -3 + 6 = 3\).

Ta sama obserwacja rozwiązuje zadania z parametrem. W układzie

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ mx + 6y = 7 \end{cases}$$

mnożysz pierwsze równanie przez \(-2\) i dodajesz stronami, co daje \((m - 4)x = -3\). Dla \(m = 4\) wychodzi \(0 = -3\), czyli układ sprzeczny i dwie proste równoległe. Dla każdego innego \(m\) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, bo \(x = \frac{-3}{m - 4}\). Pełne omówienie takich zadań znajdziesz we wpisie o [liczbie rozwiązań układu równań z parametrem](/uklad-rownan-z-parametrem-liczba-rozwiazan).

## Najczęstsze pułapki

**1. Zapominanie o znakach przy mnożeniu.** Kiedy mnożysz równanie przez liczbę ujemną, pamiętaj że zmieniają się znaki przy **każdym** wyrazie, także przy wyrazie wolnym po prawej stronie. Błąd w znaku to błąd w całym układzie.

**2. Pomylone dodawanie z odejmowaniem.** Czasem uczniowie chcą dodać, ale zapominają że pod "równaniami" jest znak \(=\), nie \(+\). Bezpieczna technika: zapisuj równania pod sobą, oznaczaj "+" albo "-" obok drugiego i wtedy licz literalnie.

**3. Sprawdzanie tylko w jednym równaniu.** Jeśli masz \((x, y) = (3, 1)\) i podstawisz do pierwszego równania z układu, dostaniesz zgodność, ale to nic nie mówi o drugim. **Zawsze podstawiaj do obu**. Sprawdzenie zajmuje chwilę, a potrafi uratować punkty za całe zadanie.

**4. Niezauważenie, że układ jest sprzeczny albo tożsamościowy.** Kiedy po eliminacji dostajesz \(0 = \text{liczba}\), to sprzeczność. Gdy \(0 = 0\), to nieskończenie wiele rozwiązań. To nie jest błąd rachunkowy, to informacja.

**5. Mieszanie metod.** Wybierz jedną metodę i ją dokończ. Jeśli w środku zmienisz zdanie i zaczniesz podstawiać, pomylisz się. Najpierw zdecyduj, potem licz.

## Metoda przeciwnych współczynników dla układów nieliniowych

Czasem dostaniesz układ, gdzie jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases}$$

Tu **nie** używasz eliminacji, bo mnożenie liniowego nie usunie \(x^2\) ani \(y^2\). Zawsze idź w [metodę podstawiania](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania) - wyznacz \(y = 7 - x\) i wstaw.

Ale uwaga: jeśli oba równania są kwadratowe i symetryczne (np. oba typu \(x^2 + y^2\), \(x^2 - y^2\)), eliminacja nagle wraca do gry:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x^2 - y^2 = 6 \end{cases}$$

Dodajesz stronami: \(2x^2 = 16\), więc \(x = \pm 2\sqrt{2}\). Odejmujesz: \(2y^2 = 4\), \(y = \pm \sqrt{2}\). Cztery pary rozwiązań.

## Eliminacja w układach z trzema niewiadomymi

Na maturze podstawowej układy mają zwykle dwie niewiadome, ale ta sama technika działa przy trzech. Łączysz równania parami i z każdej pary usuwasz tę samą niewiadomą, aż zostaniesz z układem dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Przykład na rozgrzewkę:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$$

Usuwasz \(z\). Dodaj pierwsze i trzecie równanie: \(2x + 3y = 8\). Dodaj drugie i trzecie: \(3x + y = 5\). Teraz masz zwykły układ z niewiadomymi \(x\) i \(y\). Pomnóż równanie \(3x + y = 5\) przez \(-3\), co daje \(-9x - 3y = -15\), i dodaj do \(2x + 3y = 8\): wychodzi \(-7x = -7\), więc \(x = 1\). Stąd \(y = 5 - 3 = 2\), a z pierwszego równania układu \(z = 6 - 1 - 2 = 3\). Sprawdzenie w drugim równaniu: \(2 - 2 + 3 = 3\), w trzecim: \(1 + 4 - 3 = 2\).

**Pułapka:** z obu par usuwasz tę samą niewiadomą. Gdy z jednej pary usuniesz \(y\), a z drugiej \(z\), dostaniesz równania z różnymi parami niewiadomych (np. \(3x + 2z = 9\) i \(2x + 3y = 8\)) i układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi nie powstanie.

## Metoda przeciwnych współczynników: karta pracy z odpowiedziami

Siedem układów ułożonych od najprostszego do najtrudniejszego. Rozwiąż je na kartce metodą przeciwnych współczynników, a dopiero potem porównaj wynik z odpowiedziami pod listą. Przy każdym układzie najpierw zdecyduj, którą niewiadomą usuwasz i przez co mnożysz.

1. \(x + y = 10\) oraz \(x - y = 4\)
2. \(2x + y = 7\) oraz \(3x - y = 13\)
3. \(3x + 2y = 12\) oraz \(x - 2y = -4\)
4. \(2x + 3y = 13\) oraz \(3x + 2y = 17\)
5. \(5x - 3y = 21\) oraz \(2x + 4y = -2\)
6. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 4\) oraz \(\frac{x}{6} - \frac{y}{4} = 0\)
7. \(3x - y = 2\) oraz \(6x - 2y = 5\)

Rozwiązania z najważniejszym krokiem:

1. Dodajesz równania od razu: \(2x = 14\), więc \(x = 7\), \(y = 3\).
2. Dodajesz równania od razu: \(5x = 20\), więc \(x = 4\), \(y = -1\).
3. Dodajesz równania od razu: \(4x = 8\), więc \(x = 2\), \(y = 3\).
4. Pierwsze razy 3, drugie razy 2 i odejmujesz: \(5y = 5\), więc \(y = 1\), \(x = 5\).
5. Pierwsze razy 4, drugie razy 3 i dodajesz: \(26x = 78\), więc \(x = 3\), \(y = -2\).
6. Pierwsze razy 6, drugie razy 12: \(2x + 3y = 24\) i \(2x - 3y = 0\), po dodaniu \(4x = 24\), więc \(x = 6\), \(y = 4\).
7. Od drugiego równania odejmujesz pierwsze pomnożone przez 2 i dostajesz \(0 = 1\): układ sprzeczny, brak rozwiązań.

Gdy wynik się nie zgadza, [sprawdź go przez podstawienie](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji#metoda-1-podstawienie-wyniku) swojej pary liczb do obu równań układu: od razu zobaczysz, w którym miejscu rachunek się rozjechał.

## Checklista - co musisz umieć

- Zapisać układ w standardowej postaci: \(ax + by = c\).
- Pomnożyć jedno lub oba równania, żeby uzyskać liczby przeciwne.
- Dodać stronami i uzyskać równanie z jedną niewiadomą.
- Rozpoznać układ sprzeczny (\(0 = \text{liczba}\)) i tożsamościowy (\(0 = 0\)).
- Zdecydować kiedy użyć eliminacji, a kiedy [metody podstawiania](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania).
- Pozbyć się ułamków przez mnożenie przez wspólny mianownik, zanim zaczniesz.
- Sprawdzić rozwiązanie w **obu** równaniach.
- Odczytać rozwiązanie układu jako punkt przecięcia dwóch prostych i poznać po współczynnikach kierunkowych, ile ma rozwiązań.

Jeśli chcesz przećwiczyć więcej zadań z układów, zajrzyj do [pełnego przewodnika po układach równań](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-przyklady) albo rozwiąż [zadania CKE z układów równań z rozwiązaniami](/zadania-cke-uklady-rownan-z-rozwiazaniami). Ta metoda przyda się w wielu zadaniach z arkusza, więc warto mieć ją w głowie jak tabliczkę mnożenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania maturalne z działu Układy równań: część rozwiążesz metodą przeciwnych współczynników, w części wystarczy ocenić, ile rozwiązań ma układ.

## Najczęstsze pytania

### Czego pomaga unikać metoda przeciwnych współczynników?

Ułamków i długich wyrażeń, które powstają przy podstawianiu, gdy żadna niewiadoma nie ma współczynnika 1. W układzie \(5x - 3y = 21\), \(2x + 4y = -2\) podstawianie dałoby \(x = \frac{21 + 3y}{5}\), a eliminacja prowadzi do równania \(26x = 78\) na samych liczbach całkowitych.

### Czym metoda przeciwnych współczynników różni się od metody podstawiania?

W podstawianiu wyznaczasz jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiasz ją do drugiego, a w eliminacji dodajesz równania stronami, żeby jedna niewiadoma zniknęła. Obie metody dają ten sam wynik. Eliminacja jest szybsza, gdy przy niewiadomych stoją liczby różne od 1, a podstawianie, gdy jedno równanie ma już postać \(y = \ldots\) albo \(x = \ldots\).

### Co oznacza wynik 0 = 0 po dodaniu równań?

Oba równania opisują wtedy tę samą prostą i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zapisujesz je w postaci zależnej od jednej niewiadomej, tak jak w Zadaniu 6. Fałszywa równość, np. \(0 = -3\), oznacza z kolei układ sprzeczny, bez rozwiązań.

### Czy zamiast dodawać, można odejmować równania stronami?

Tak. Przy równych współczynnikach, np. \(12x\) i \(12x\), odjęcie równań usuwa niewiadomą tak samo, jak dodanie przy przeciwnych, i tak jest rozwiązane Zadanie 2. Odejmując, zmieniasz znak każdego wyrazu drugiego równania, także wyrazu wolnego po prawej stronie.


---
route: /stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura
title: Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych
description: Figury podobne w skali k: pola rosną k² razy, objętości k³ razy. Jak odczytać skalę z pól, o ile procent rośnie objętość i 8 zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych

Jeśli figura jest podobna do innej w skali \(k\), to każdy jej odcinek (bok, przekątna, wysokość, promień, obwód) jest \(k\) razy dłuższy, każde pole jest \(k^2\) razy większe, a każda objętość \(k^3\) razy większa. W drugą stronę: ze stosunku pól odczytujesz skalę jako pierwiastek kwadratowy, a ze stosunku objętości jako pierwiastek trzeci. Na maturze ta jedna zależność obsługuje kilka typów zadań naraz: "stosunek pól trójkątów podobnych w skali \(\frac{5}{2}\)", "trapez o polu \(52\) podobny do trapezu o polu \(13\), oblicz obwód", "objętości ostrosłupów \(64\) i \(512\), podaj stosunek pól powierzchni" i "krawędź sześcianu zwiększono o \(20\%\), o ile procent wzrosła objętość". Wszystkie rozwiążesz poniżej krok po kroku.

## Skala podobieństwa - co dokładnie mnożysz przez k

Figura \(F_2\) jest podobna do figury \(F_1\) w skali \(k\), gdy każdy odcinek \(F_2\) jest \(k\) razy dłuższy od odpowiadającego mu odcinka \(F_1\), a kąty są takie same. Skala to więc liczba, przez którą mnożysz **długości**: boki, przekątne, wysokości, promienie okręgów wpisanych i opisanych, tworzące, krawędzie brył. Obwód też, bo obwód to suma długości.

Trzy rzeczy, które przy tej okazji warto mieć w głowie:

- **Kąty nie zmieniają się w ogóle.** Kwadrat w skali \(3\) to dalej kwadrat, trójkąt równoboczny w skali \(\frac{1}{2}\) to dalej trójkąt równoboczny.
- **Kierunek skali ma znaczenie.** "Trójkąt \(ABC\) jest podobny do \(A'B'C'\) w skali \(\frac{5}{2}\)" oznacza \(|AB| = \frac{5}{2}|A'B'|\), czyli \(ABC\) jest większy. W odwrotną stronę skala wynosi \(\frac{2}{5}\).
- **Nie każde dwie figury tego samego typu są podobne.** Dwa kwadraty, dwa koła, dwa trójkąty równoboczne, dwa sześciany i dwie kule zawsze są podobne. Dwa prostokąty albo dwa trapezy już nie muszą być; wtedy zadanie samo mówi, że są podobne. Cechy podobieństwa trójkątów (bok-bok-bok, kąt-kąt, bok-kąt-bok) i sposoby wyznaczania skali z boków rozbieramy osobno we wpisie o [trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania), a proporcje odcinków na prostych równoległych w [twierdzeniu Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania).

## Dlaczego pola rosną k² razy, a objętości k³ razy

Pole figury podobnej w skali \(k\) jest \(k^2\) razy większe, bo pole liczy się z iloczynu dwóch długości, a każda z nich urosła \(k\) razy. Objętość jest \(k^3\) razy większa, bo objętość to iloczyn trzech długości. Zobacz to na najprostszych figurach.

Prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) ma pole \(ab\). Po powiększeniu w skali \(k\) boki mają \(ka\) i \(kb\):

$$P_2 = ka \cdot kb = k^2 \cdot ab = k^2 P_1$$

Prostopadłościan o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) ma objętość \(abc\). Po powiększeniu:

$$V_2 = ka \cdot kb \cdot kc = k^3 \cdot abc = k^3 V_1$$

To samo działa dla każdej figury i każdej bryły, bo każdą można z dowolną dokładnością wypełnić małymi prostokątami albo prostopadłościanami, a każdy z nich rośnie tak samo. Stąd tabela, którą warto znać na pamięć:

| Wielkość | Mnożnik przy skali \(k\) |
| --- | --- |
| długość boku, przekątnej, wysokości, promienia | \(k\) |
| obwód | \(k\) |
| pole figury płaskiej | \(k^2\) |
| pole powierzchni bryły (bocznej i całkowitej) | \(k^2\) |
| objętość | \(k^3\) |

Najczęstszy błąd na maturze bierze się z ostatnich dwóch wierszy: **pole powierzchni bryły to pole, więc rośnie \(k^2\) razy, nie \(k^3\)**. Sześcian o krawędzi \(2\) razy dłuższej ma \(4\) razy większe pole powierzchni i \(8\) razy większą objętość.

## Jak odczytać skalę ze stosunku pól i objętości

Ze stosunku pól skalę wyciągasz pierwiastkiem kwadratowym, ze stosunku objętości pierwiastkiem trzeciego stopnia:

$$k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}, \qquad k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$$

Przykłady:

- pola \(9\) i \(25\): \(k = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}\), więc boki mają się jak \(5 : 3\),
- pola \(25\) i \(50\): \(k = \sqrt{2}\), czyli skala nie musi być liczbą wymierną,
- objętości \(8\) i \(27\): \(k = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}\), więc pola powierzchni mają się jak \(k^2 = \frac{9}{4}\).

Ten ostatni ruch, **z objętości przez skalę do pola**, to najczęstszy schemat w zadaniach ze stereometrii: \(V_2 / V_1 \rightarrow k \rightarrow k^2\). Nie ma drogi na skróty z \(k^3\) prosto do \(k^2\) bez policzenia \(k\).

## Zmiana o procent - krawędź większa o 20% to objętość większa o 72,8%

Powiększenie o \(p\%\) to skala \(k = 1 + \frac{p}{100}\), a pomniejszenie o \(p\%\) to skala \(k = 1 - \frac{p}{100}\). Potem liczysz \(k^2\) albo \(k^3\) i odejmujesz jedynkę, żeby wrócić do procentów.

Krawędź większa o \(20\%\): \(k = 1,2\).

$$k^2 = 1,44 \quad\Rightarrow\quad \text{pole większe o } 44\%$$

$$k^3 = 1,728 \quad\Rightarrow\quad \text{objętość większa o } 72,8\%$$

Krawędź mniejsza o \(10\%\): \(k = 0,9\).

$$k^2 = 0,81 \quad\Rightarrow\quad \text{pole mniejsze o } 19\%$$

$$k^3 = 0,729 \quad\Rightarrow\quad \text{objętość mniejsza o } 27,1\%$$

Zwróć uwagę, że procenty **nie** mnożą się prosto: \(20\%\) więcej na krawędzi to nie \(60\%\) więcej objętości, tylko \(72,8\%\). Jeśli rachunek na procentach idzie ci opornie, powtórz [zmianę procentową i procent z liczby](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa) przed dalszą częścią.

## Zadanie 20 (matura czerwiec 2017, 1 pkt)

**Treść:** Trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(A'B'C'\) w skali \(\frac{5}{2}\), przy czym \(|AB|=\frac{5}{2}|A'B'|\). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(A'B'C'\) jest równy

**Krok 1: ustal, który trójkąt jest większy**

Warunek \(|AB| = \frac{5}{2}|A'B'|\) mówi, że \(ABC\) jest większy, a skala z \(A'B'C'\) do \(ABC\) wynosi \(k = \frac{5}{2}\).

**Krok 2: podnieś skalę do kwadratu**

$$\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = k^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

**Odpowiedź: D.** Odpowiedź \(\frac{5}{2}\) to skala długości, a \(\frac{4}{25}\) to stosunek pól w odwrotnym kierunku. Obie stoją na liście po to, żeby złapać kogoś, kto nie podniósł do kwadratu albo pomylił kierunek.

## Zadanie 12 (matura maj 2014, 1 pkt)

Dane: trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, ich pola to odpowiednio \(25\ \text{cm}^2\) i \(50\ \text{cm}^2\). Szukana: skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\).

**Krok 1: stosunek pól w kierunku zgodnym ze skalą**

Skala \(\frac{A'B'}{AB}\) prowadzi od \(ABC\) do \(A'B'C'\), więc pola bierzesz w tym samym porządku:

$$k^2 = \frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} = \frac{50}{25} = 2$$

**Krok 2: pierwiastek**

$$k = \sqrt{2}$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź \(2\) to stosunek pól, nie skala. Pierwiastek jest tu konieczny, nawet jeśli wynik wychodzi niewymierny.

## Zadanie 20 (matura sierpień 2023, 1 pkt)

**Treść:** Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

**Krok 1: skala z pól**

$$k^2 = \frac{P_{T_2}}{P_{T_1}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{2}$$

Trapez \(T_2\) jest dwa razy mniejszy.

**Krok 2: obwód skaluje się jak długość**

$$L_{T_2} = k \cdot L_{T_1} = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$$

**Odpowiedź: A.** Błędna odpowiedź \(9\) wychodzi, gdy obwód podzielisz przez \(4\), czyli przez stosunek pól. Obwód to długość, więc mnożysz go przez \(k\) (tu: dzielisz przez \(2\)), a nie przez \(k^2\). Wzory na pole trapezu, gdyby zadanie kazało liczyć je z boków, masz we wpisie o [polu trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura), a cały arkusz na stronie [matury z sierpnia 2023](/exams/matura-sierpien-2023).

## Zadanie 21 (matura czerwiec 2025, 1 pkt)

**Treść:** Kwadrat \(\mathcal{K}_{2}\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_{1}\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_{1}\) jest równa

**Krok 1: oznacz bok mniejszego kwadratu**

Niech bok \(\mathcal{K}_1\) ma długość \(a\). Skala \(5\) oznacza, że bok \(\mathcal{K}_2\) ma długość \(5a\).

**Krok 2: zapisz pola**

$$P_1 = a^2, \qquad P_2 = (5a)^2 = 25a^2$$

Pole większego kwadratu jest \(k^2 = 25\) razy większe, zgodnie z regułą.

**Krok 3: równanie z sumy pól**

$$a^2 + 25a^2 = 78 \quad\Rightarrow\quad 26a^2 = 78 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 3 \quad\Rightarrow\quad a = \sqrt{3}$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedź \(3\) to \(a^2\), czyli pole mniejszego kwadratu, a nie długość boku. Pozostałe zadania z tego arkusza rozwiążesz na stronie [matury z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025).

## Zadanie 113 (zestaw CKE 2015-2023, 1 pkt)

**Treść:** Trójkąt \(T\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali \(k=\frac{1}{6}\), a trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T\) w skali \(k=3\). Pole trójkąta \(T_2\) jest równe \(24\). Trójkąt \(T_1\) ma pole równe

To zadanie nie pochodzi z jednego arkusza egzaminacyjnego, tylko z [zestawu zadań CKE z lat 2015-2023](/exams/cke-2015-2023-pp) w naszej bazie, a 113 to jego numer w tym zestawie. Tu są dwie skale i łatwo pomylić kierunki, więc rozpisz każdą relację osobno.

**Krok 1: od \(T_2\) do \(T\)**

\(T_2\) jest podobny do \(T\) w skali \(3\), czyli \(T_2\) jest większy: \(P_{T_2} = 9 \cdot P_T\).

$$P_T = \frac{P_{T_2}}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$$

**Krok 2: od \(T\) do \(T_1\)**

\(T\) jest podobny do \(T_1\) w skali \(\frac{1}{6}\), czyli \(T\) jest mniejszy: \(P_T = \frac{1}{36} \cdot P_{T_1}\).

$$P_{T_1} = 36 \cdot P_T = 36 \cdot \frac{8}{3} = 96$$

**Odpowiedź: D.** Można to też zrobić jednym ruchem: skala z \(T_2\) do \(T_1\) wynosi \(\frac{1}{3} \cdot 6 = 2\), więc \(P_{T_1} = 4 \cdot 24 = 96\). Ale sprawdź kierunek dwa razy: \(T_1\) ma być większy od \(T\), a \(T\) mniejszy od \(T_2\).

## Zadanie 26 (matura maj 2024, 1 pkt)

**Treść:** Ostrosłup \(F_{1}\) jest podobny do ostrosłupa \(F_{2}\). Objętość ostrosłupa \(F_{1}\) jest równa \(64\). Objętość ostrosłupa \(F_{2}\) jest równa \(512\). Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{2}\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{1}\) jest równy ...........

To dokładnie schemat "z objętości przez skalę do pola".

**Krok 1: stosunek objętości**

$$\frac{V_{F_2}}{V_{F_1}} = \frac{512}{64} = 8$$

**Krok 2: skala z pierwiastka trzeciego stopnia**

$$k^3 = 8 \quad\Rightarrow\quad k = 2$$

Ostrosłup \(F_2\) ma wszystkie krawędzie dwa razy dłuższe.

**Krok 3: pole powierzchni całkowitej to pole, więc k²**

$$\frac{P_{F_2}}{P_{F_1}} = k^2 = 4$$

**Odpowiedź: 4.** Odpowiedź \(8\) to pomylenie pola z objętością, a \(2\) to zatrzymanie się na skali. Wzory na objętość i pole powierzchni ostrosłupa, gdybyś chciał zobaczyć, że wynik nie zależy od kształtu podstawy, są we wpisie o [objętości i polu powierzchni ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni). Cały arkusz czeka na stronie [matury z maja 2024](/exams/matura-maj-2024).

## Zadanie 29 (matura próbna Operon listopad 2012, 2 pkt)

**Treść:** Długość krawędzi sześcianu zwiększono o \(20\%\). Oblicz, o ile procent wzrosła objętość tego sześcianu.

**Krok 1: zapisz skalę**

Zwiększenie o \(20\%\) to skala \(k = 1 + 0,2 = 1,2\).

**Krok 2: objętość rośnie \(k^3\) razy**

$$k^3 = 1,2^3 = 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \cdot 1,2 = 1,728$$

**Krok 3: wróć do procentów**

$$1,728 - 1 = 0,728 = 72,8\%$$

**Odpowiedź: objętość wzrosła o \(72,8\%\).** Jeśli wolisz rachunek na literach: krawędź \(a\) zmienia się na \(1,2a\), objętość z \(a^3\) na \((1,2a)^3 = 1,728a^3\). Odpowiedź \(60\%\) (trzy razy \(20\%\)) jest błędna, bo procenty w potędze się nie dodają.

## Zadanie 18 (matura próbna grudzień 2014, 1 pkt)

**Treść:** Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \( a \) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \( b \). Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi \( a \) jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi \( b \)?

To schemat odwrotny do zadania 26: **z pola przez skalę do objętości**.

**Krok 1: skala z pól powierzchni**

$$k^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad k = \sqrt{2}$$

**Krok 2: objętość to \(k^3\)**

$$k^3 = (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

**Odpowiedź: C, czyli \(2\sqrt{2}\) razy.** Odpowiedź \(2\) to zatrzymanie się na stosunku pól, a \(4\) to \(k^4\), które nie odpowiada żadnej wielkości geometrycznej. Zauważ, że siatki na rysunku nie były do niczego potrzebne: stosunek pól powierzchni wystarcza, niezależnie od tego, jak wyglądają ściany.

## Więcej zadań tego typu w bazie

W bazie [zadań z planimetrii](/topics/planimetria) i [stereometrii](/topics/stereometria) znajdziesz jeszcze kilka zadań na ten sam schemat, m.in. dwa prostopadłościany podobne o objętościach \(V\) i \(27V\) (skala \(3\), więc pole powierzchni rośnie \(9\) razy), walec podobny w skali \(2\) do walca o polu całkowitym \(12\pi\) i objętości \(4\pi\) (pole \(48\pi\), objętość \(32\pi\)) oraz trójkąty prostokątne podobne o przyprostokątnych \(5\) i \(12\), z których drugi ma przeciwprostokątną \(26\) (skala \(2\), pole \(4 \cdot 30 = 120\)). Do tego ostatniego przydaje się [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania), żeby najpierw policzyć przeciwprostokątną \(13\) mniejszego trójkąta.

## Sprawdź się

Quiz: Skala k, k² i k³ w 3 pytaniach

Pytanie: Figura jest podobna do innej w skali \(3\). Ile razy większe jest jej pole?
- A. \(3\) razy
- B. \(9\) razy
- C. \(27\) razy
- D. \(6\) razy
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Pole rośnie \(k^2 = 3^2 = 9\) razy. \(27\) to \(k^3\), czyli mnożnik objętości.

Pytanie: Objętości dwóch brył podobnych mają się jak \(8 : 125\). Jaka jest skala podobieństwa większej bryły do mniejszej?
- A. \(\frac{125}{8}\)
- B. \(\frac{5}{2}\)
- C. \(\frac{25}{4}\)
- D. \(\frac{8}{125}\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: \(k = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{5}{2}\). Odpowiedź \(\frac{25}{4}\) to \(k^2\), czyli stosunek pól powierzchni.

Pytanie: Krawędź sześcianu zmniejszono o \(50\%\). Co stało się z objętością?
- A. zmalała \(8\) razy
- B. zmalała \(2\) razy
- C. zmalała \(4\) razy
- D. zmalała o \(50\%\)
Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Skala \(k = 0,5\), więc objętość to \(0,5^3 = \frac{1}{8}\) poprzedniej. Pole powierzchni zmalałoby \(4\) razy.

## Typowe pułapki

- **Stosunek pól brany za skalę.** Pola \(25\) i \(50\) nie dają skali \(2\), tylko \(\sqrt{2}\). Zawsze pierwiastkuj.
- **Pole powierzchni bryły liczone jak objętość.** Pole całkowite ostrosłupa czy walca to pole, więc \(k^2\). Tylko objętość idzie z \(k^3\).
- **Skok z \(k^3\) do \(k^2\) bez policzenia \(k\).** Ze stosunku objętości \(8\) nie wynika stosunek pól \(\frac{8}{?}\); trzeba przejść przez \(k = 2\) i dopiero wtedy \(k^2 = 4\).
- **Pomylony kierunek skali.** "\(A\) jest podobny do \(B\) w skali \(k\)" znaczy, że długości \(A\) są \(k\) razy większe niż w \(B\). Przy dwóch skalach naraz (zadanie 113 z zestawu CKE 2015-2023) rozpisz każdą relację osobno.
- **Obwód dzielony przez \(k^2\).** Obwód to długość, skaluje się jak bok. Trapez o czterokrotnie mniejszym polu ma dwukrotnie mniejszy obwód.
- **Procenty dodawane zamiast mnożone.** Krawędź większa o \(20\%\) to objętość większa o \(72,8\%\), nie o \(60\%\). Licz \(k^3\), potem odejmij jedynkę.
- **Prostokąty i trapezy "na oko" uznane za podobne.** Podobieństwo prostokątów trzeba sprawdzić z proporcji boków. Kwadraty, koła, trójkąty równoboczne, sześciany i kule są podobne zawsze.

## Checklista - co musisz umieć

1. Wiedzieć, że skala \(k\) mnoży długości, obwody, przekątne, wysokości i promienie.
2. Mnożyć pola figur i pola powierzchni brył przez \(k^2\), a objętości przez \(k^3\).
3. Odczytać skalę z pól pierwiastkiem kwadratowym, a z objętości pierwiastkiem trzeciego stopnia.
4. Przejść ścieżką \(V \rightarrow k \rightarrow P\) i odwrotnie \(P \rightarrow k \rightarrow V\) bez pomijania środkowego kroku.
5. Zamienić zmianę o \(p\%\) na skalę \(1 \pm \frac{p}{100}\) i wrócić do procentów przez odjęcie jedynki.
6. Rozpoznać kierunek skali z treści ("\(A\) podobny do \(B\) w skali \(k\)") i przy dwóch skalach rozpisać każdą relację osobno.
7. Odróżnić, które figury są podobne zawsze, a które tylko wtedy, gdy zadanie tak mówi.

Wzory na pola figur płaskich zebraliśmy w jednym miejscu we wpisie [pole i obwód figur na maturze](/pole-obwod-figur-matura-wzory), a wzory na objętości i pola powierzchni brył we wpisie [objętość i pole powierzchni brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory). Więcej zadań z całego działu masz w [bazie zadań CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Trójkąty podobne - cechy podobieństwa, skala i zadania (/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania)

## Najczęstsze pytania

### Ile razy większe jest pole figury podobnej w skali k?

Dokładnie \(k^2\) razy. Skala \(2\) daje pole \(4\) razy większe, skala \(3\) daje \(9\) razy większe, a skala \(\frac{1}{2}\) daje pole \(4\) razy mniejsze. Dotyczy to każdej figury płaskiej i każdego pola powierzchni bryły, bo pole zawsze powstaje z iloczynu dwóch długości, a każda z nich rośnie \(k\) razy.

### Ile razy większa jest objętość bryły podobnej w skali k?

\(k^3\) razy. Sześcian o krawędzi dwa razy dłuższej ma objętość \(8\) razy większą, a kula o promieniu trzy razy większym ma objętość \(27\) razy większą. Pole powierzchni tej samej bryły rośnie tylko \(k^2\) razy, więc przy skali \(2\) będzie to \(4\) razy, nie \(8\).

### Jak obliczyć skalę podobieństwa, znając pola figur?

Podziel pola i wyciągnij pierwiastek kwadratowy: \(k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}\). Dla pól \(13\) i \(52\) masz \(k = \sqrt{\frac{13}{52}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Jeśli znasz objętości, pierwiastek jest trzeciego stopnia: \(k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}\), np. \(\sqrt[3]{\frac{512}{64}} = \sqrt[3]{8} = 2\).

### Czy obwód figury podobnej też rośnie k² razy?

Nie. Obwód to suma długości boków, a każda długość rośnie \(k\) razy, więc obwód rośnie \(k\) razy. Trapez podobny w skali \(\frac{1}{2}\) ma obwód dwa razy mniejszy, choć pole ma cztery razy mniejsze.

### O ile procent wzrośnie objętość sześcianu, gdy krawędź zwiększymy o 20%?

O \(72,8\%\). Zwiększenie krawędzi o \(20\%\) to skala \(k = 1,2\), a objętość rośnie \(k^3 = 1,728\) razy, czyli o \(0,728 = 72,8\%\). Pole powierzchni wzrośnie w tym czasie \(1,44\) razy, czyli o \(44\%\).

### Czy każde dwa prostokąty są podobne?

Nie. Dwa prostokąty są podobne tylko wtedy, gdy stosunki ich boków są równe, np. \(2 \times 3\) i \(4 \times 6\). Prostokąt \(2 \times 3\) i kwadrat \(3 \times 3\) podobne nie są. Zawsze podobne są za to dwa kwadraty, dwa koła, dwa trójkąty równoboczne, dwa sześciany i dwie kule.

### Skąd wiadomo, w którą stronę działa skala w zadaniu?

Z kolejności figur w zdaniu. "Figura \(A\) jest podobna do figury \(B\) w skali \(k\)" oznacza, że każdy odcinek \(A\) jest \(k\) razy dłuższy od odpowiadającego mu odcinka \(B\). Przy \(k > 1\) większa jest figura \(A\), przy \(k < 1\) większa jest figura \(B\). Gdy w zadaniu występują dwie skale, rozpisz każdą relację w osobnej linii, zanim cokolwiek pomnożysz.


---
route: /rzut-dwiema-kostkami-prawdopodobienstwo-tabela-36-wynikow
title: Rzut dwiema kostkami - prawdopodobieństwo i tabela 36 wyników
description: Przy dwóch rzutach kostką jest 36 wyników, nie 21. Tabela sum oczek, rozkład od 2 do 12 i osiem zadań z matur 2020-2026 rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Rzut dwiema kostkami - prawdopodobieństwo i tabela 36 wyników

Przy dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką liczba wszystkich zdarzeń elementarnych wynosi \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\), a prawdopodobieństwo liczysz ze wzoru klasycznego \(P(A) = \frac{|A|}{36}\). Cała robota w takim zadaniu sprowadza się do policzenia par \((x, y)\), które spełniają warunek z treści. Najszybszy sposób to tabela 6 na 6, w której wierszem jest wynik pierwszego rzutu, kolumną wynik drugiego, a w środku wpisujesz to, o co pyta zadanie: sumę, iloczyn albo samą parę.

Kostki to jeden z najpewniejszych tematów na maturze. W bazie 2376 zadań CKE i arkuszy próbnych mamy 108 zadań z Prawdopodobieństwa, z czego 26 dotyczy rzutu kostką, a 15 wprost dwukrotnego rzutu. Ten sam schemat wraca rok po roku: maj 2020, maj 2021, sierpień 2021, sierpień 2022, próbna CKE grudzień 2023, czerwiec 2024, maj 2025, sierpień 2025, a także nasz własny arkusz próbny z lutego 2026. Nauczysz się jednej tabeli i zamykasz cały ten zestaw.

## Dlaczego zawsze 36, a nie 21

Bo kolejność rzutów ma znaczenie. Para \((2, 5)\) to inny wynik niż \((5, 2)\), nawet jeśli suma jest ta sama. Formalnie stosujesz regułę mnożenia: w pierwszym rzucie 6 możliwości, w drugim niezależnie 6 możliwości, więc razem \(6 \cdot 6 = 36\).

Uczniowie, którzy liczą 21, traktują wynik jako nieuporządkowany zbiór dwóch liczb. To jest błąd, bo model z 21 możliwościami nie jest równoprawdopodobny: parę \((2,5)\) da się otrzymać na dwa sposoby, a parę \((3,3)\) tylko na jeden. Wzór klasyczny \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\) wolno stosować wyłącznie wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, a to jest prawdą tylko w modelu z 36 uporządkowanymi parami. Więcej o samym założeniu równoprawdopodobieństwa znajdziesz we wpisie o [definicji klasycznej prawdopodobieństwa i drzewkach](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

## Tabela 36 wyników: sumy oczek

W komórkach wpisana jest suma oczek z obu rzutów. Wiersz to pierwszy rzut, kolumna to drugi.

| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| **1** | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| **2** | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| **3** | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| **4** | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| **5** | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| **6** | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Z tej jednej tabeli odczytasz rozkład wszystkich sum:

| Suma | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Liczba par | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| Prawdopodobieństwo | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |

Sprawdzenie: \(1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36\). Zapamiętaj kształt tego rozkładu: rośnie do siódemki i symetrycznie opada. Suma 7 jest najbardziej prawdopodobna (\(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)), sumy 2 i 12 najmniej. Ta wiedza pozwala w kilka sekund odrzucić błędne odpowiedzi w zadaniu zamkniętym.

Skrót, który warto znać: liczba par dających sumę \(s\) dla \(s \le 7\) wynosi \(s - 1\), a dla \(s \ge 7\) wynosi \(13 - s\).

## Zadanie 28: suma oczek równa 11 (Matura maj 2025)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od 1 do 6. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa \(11\). Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe:

A. \(\frac{1}{36}\) B. \(\frac{6}{36}\) C. \(\frac{11}{36}\) D. \(\frac{2}{36}\)

**Krok 1: policz zdarzenia elementarne**

$$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$$

**Krok 2: wypisz pary dające sumę 11**

Z tabeli: \((5,6)\) oraz \((6,5)\). Zatem \(|A| = 2\).

**Krok 3: podstaw do wzoru**

$$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

**Odpowiedź: D**

Uwaga na format odpowiedzi. CKE podaje tu \(\frac{2}{36}\) bez skracania, a odpowiedź C to klasyczna pułapka na osobę, która przepisze liczbę z treści zadania do licznika. Zadanie pochodzi z arkusza [matury majowej 2025](/exams/matura-maj-2025).

## Zadanie 34: suma równa 4 lub 5 lub 6 (Matura maj 2021)

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa \(4\) lub \(5\) lub \(6\).

**Krok 1: policz zdarzenia elementarne**

$$|\Omega| = 36$$

**Krok 2: policz pary dla każdej sumy osobno**

Suma 4: \((1,3), (2,2), (3,1)\), czyli 3 pary.
Suma 5: \((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\), czyli 4 pary.
Suma 6: \((1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\), czyli 5 par.

Razem \(|A| = 3 + 4 + 5 = 12\).

**Krok 3: policz prawdopodobieństwo**

$$P(A) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$$

To zadanie za 2 punkty, więc na arkuszu musisz zapisać obliczenia: model (36 zdarzeń), wypisane pary i wynik. Sam wynik bez uzasadnienia nie dostanie pełnej punktacji. Zasady przyznawania punktów w zadaniach otwartych rozpisaliśmy we wpisie o [tym, jak punktowane są zadania maturalne](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

Zauważ, jak szybko idzie to z rozkładu sum: dla sum 4, 5 i 6 odczytujesz z tabeli 3, 4 i 5 par, dodajesz i masz 12. Nie musisz wypisywać nic ręcznie, jeśli tabelę masz w głowie.

## Zadanie 30: co najmniej jedna piątka (Matura maj 2020)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

**Krok 1: rozpoznaj sformułowanie "co najmniej"**

W pierwszym rzucie piątka: 6 par postaci \((5, y)\). W drugim rzucie piątka: 6 par postaci \((x, 5)\). Para \((5,5)\) należy do obu grup, więc policzyłbyś ją dwa razy.

$$|A| = 6 + 6 - 1 = 11$$

**Krok 2: podstaw do wzoru**

$$P(A) = \frac{11}{36}$$

**Krok 3: sprawdź zdarzeniem przeciwnym**

Zdarzenie przeciwne to "ani razu nie wypadła piątka", czyli w każdym rzucie jeden z 5 pozostałych wyników:

$$P(A') = \frac{5 \cdot 5}{36} = \frac{25}{36}, \qquad P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

Wyniki się zgadzają. Metoda przez zdarzenie przeciwne jest w tym typie zadania szybsza i mniej podatna na błąd, bo nie musisz pamiętać o odjęciu podwójnie policzonej pary. Rozwinięcie tej techniki znajdziesz we wpisie o [zdarzeniu przeciwnym i sumie zdarzeń](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa).

## Zadanie 28: iloczyn oczek jest nieparzysty (Matura próbna CKE grudzień 2023)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe:

A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{1}{5}\) C. \(\frac{1}{4}\) D. \(\frac{3}{4}\)

**Krok 1: przetłumacz warunek na język liczb**

Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie są nieparzyste. Wystarczy jedna liczba parzysta, żeby iloczyn był parzysty.

**Krok 2: użyj reguły mnożenia zamiast wypisywania**

Na kostce są trzy liczby nieparzyste: 1, 3, 5. Zatem \(|A| = 3 \cdot 3 = 9\).

**Krok 3: policz prawdopodobieństwo**

$$P(A) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$

**Odpowiedź: C**

To najlepszy przykład na to, że tabelę czasem warto zostawić w spokoju. Gdy warunek da się rozłożyć na niezależne warunki dla pierwszego i drugiego rzutu, mnożysz liczby możliwości i kończysz w jednej linijce.

## Zadanie 31: pierwszy rzut większy niż drugi (Matura czerwiec 2024)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: policz pary systematycznie**

Dla pierwszego rzutu równego 2 jest 1 para, dla 3 są 2 pary, dla 4 są 3 pary, dla 5 są 4 pary, dla 6 jest 5 par:

$$|A| = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

**Krok 2: policz prawdopodobieństwo**

$$P(A) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$

**Krok 3: sprawdź symetrią**

Wszystkie 36 par dzieli się na trzy grupy: pierwszy większy, drugi większy i remis. Remisów jest 6, czyli pary \((1,1)\) do \((6,6)\). Zostaje \(36 - 6 = 30\) par, które z symetrii dzielą się po równo na dwie grupy: \(30 : 2 = 15\). Wynik ten sam.

Ta kontrola symetrią to najszybsza metoda w całym temacie i warto ją mieć w głowie na maturze. Więcej sposobów sprawdzania wyniku zebraliśmy we wpisie o [weryfikacji odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Zadanie 29: liczba dwucyfrowa z dwóch rzutów (Matura sierpień 2025)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga - cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \(3\). Zapisz obliczenia.

**Krok 1: zawęź cyfrę jedności**

Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności to 1, 3 albo 5. Cyfra dziesiątek to dowolna z 1 do 6.

**Krok 2: wypisz kandydatów i sprawdź podzielność przez 3**

Kandydaci: 11, 13, 15, 21, 23, 25, 31, 33, 35, 41, 43, 45, 51, 53, 55, 61, 63, 65. Podzielne przez 3 (suma cyfr dzieli się przez 3): \(15, 21, 33, 45, 51, 63\).

$$|A| = 6$$

**Krok 3: policz prawdopodobieństwo**

$$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Uwaga: tu kolejność rzutów ma znaczenie podwójnie, bo liczba 15 to inny wynik niż 51. Oba akurat spełniają warunek, ale nie zawsze tak jest. Jeśli chcesz przećwiczyć samą podzielność przez 3 i 9, zajrzyj do wpisu o [cechach podzielności i resztach](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania).

## Zadanie 28: gdy liczy się tylko drugi rzut (Matura sierpień 2022)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez \(3\). Wtedy:

A. \(p = \frac{1}{18}\) B. \(p = \frac{1}{6}\) C. \(p = \frac{1}{3}\) D. \(p = \frac{2}{3}\)

**Krok 1: zauważ, że pierwszy rzut nie ma znaczenia**

Rzuty są niezależne. Warunek dotyczy wyłącznie drugiego rzutu, więc model redukuje się do 6 wyników.

**Krok 2: policz sprzyjające**

Podzielne przez 3 są 3 i 6, czyli 2 wyniki.

$$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

**Odpowiedź: C**

Model z 36 parami też zadziała: par postaci \((x, 3)\) i \((x, 6)\) jest \(6 + 6 = 12\), a \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). Ten sam wynik, tylko dłuższą drogą. Odpowiedź A to pułapka na osobę, która niepotrzebnie podzieli przez 36 i jeszcze pomnoży przez prawdopodobieństwo pierwszego rzutu.

## Zadanie 37: trzy rzuty, czyli 216 zamiast 36 (Matura próbna luty 2026)

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką. Zdarzenie \(A\) polega na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy \(8\). Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe:

A. \(\frac{1}{216}\) B. \(\frac{6}{216}\) C. \(\frac{7}{216}\) D. \(\frac{8}{216}\)

**Krok 1: zmień model**

Przy trzech rzutach \(|\Omega| = 6^3 = 216\). Reguła mnożenia działa tak samo, tylko z trzema czynnikami.

**Krok 2: rozłóż 8 na trzy czynniki z zakresu 1 do 6**

Możliwe zestawy: \(\{1, 2, 4\}\) oraz \(\{2, 2, 2\}\). Zestaw \(\{1, 1, 8\}\) odpada, bo 8 nie mieści się na kostce.

**Krok 3: policz uporządkowane trójki**

Zestaw \(\{1,2,4\}\) ma trzy różne liczby, więc daje \(3! = 6\) uporządkowanych trójek. Zestaw \(\{2,2,2\}\) daje tylko 1 trójkę.

$$|A| = 6 + 1 = 7, \qquad P(A) = \frac{7}{216}$$

**Odpowiedź: C**

To zadanie z [próbnego arkusza Sprawnej Matury z lutego 2026](/exams/matura-probna-luty-2026) pokazuje, gdzie schemat 36 wyników przestaje wystarczać. Tabela ma tylko dwa wymiary, więc przy trzech rzutach przechodzisz na wypisywanie zestawów i liczenie ich permutacji. Jak liczyć permutacje zestawów z powtórzeniami, opisaliśmy we wpisie o [permutacjach, wariacjach i kombinacjach](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Typowe pułapki

**Liczenie 21 zamiast 36.** Kolejność rzutów zawsze ma znaczenie, nawet gdy zadanie pyta o sumę.

**Zapominanie o parach odwrotnych.** Jeśli warunek spełnia \((2,6)\), to sprawdź, czy spełnia go też \((6,2)\). Przy iloczynie 12 sprzyjające są \((2,6), (3,4), (4,3), (6,2)\), czyli 4 pary, a nie 2.

**Podwójne liczenie przy "co najmniej".** Para \((5,5)\) należy jednocześnie do "piątka w pierwszym rzucie" i "piątka w drugim rzucie". Albo odejmij ją raz, albo licz przez zdarzenie przeciwne.

**Skracanie ułamka wbrew odpowiedziom.** W zadaniach zamkniętych CKE często zostawia mianownik 36. Zanim zaznaczysz, sprawdź, w jakiej postaci podano warianty.

**Mylenie sumy z iloczynem.** Przeczytaj treść dwa razy. Suma i iloczyn dają zupełnie inne zbiory par przy tej samej liczbie 12.

**Traktowanie rzutów jako zależnych.** Kostka nie ma pamięci. Wynik pierwszego rzutu nie zmienia prawdopodobieństw w drugim, więc do zadań warunkowych typu "wiedząc, że w pierwszym wypadła szóstka" wystarczy zredukować model, a nie kombinować ze wzorem Bayesa.

## Najczęstsze pytania

### Ile jest wszystkich możliwych wyników przy rzucie dwiema kostkami?
Jest 36 wyników, bo w każdym rzucie mamy 6 możliwości i stosujemy regułę mnożenia: 6 razy 6. Liczymy pary uporządkowane, więc wynik (2,5) jest inny niż (5,2). To model, w którym wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, i tylko w takim wolno stosować wzór klasyczny.

### Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy 7 dwiema kostkami?
Wynosi 6/36, czyli 1/6. Sumę 7 daje sześć par: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Suma 7 jest najbardziej prawdopodobna ze wszystkich sum, bo ma najwięcej par.

### Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch szóstek?
Wynosi 1/36. Sprzyjająca jest tylko jedna para (6,6), a wszystkich wyników jest 36. Tak samo 1/36 wynosi prawdopodobieństwo dowolnej innej konkretnej pary, na przykład (3,4).

### Czy przy dwóch kostkach kolejność ma znaczenie?
Tak, i to jest najważniejsza rzecz w całym temacie. Wyniki (2,5) i (5,2) to dwa różne zdarzenia elementarne. Gdybyś ich nie rozróżniał, dostałbyś 21 możliwości, ale nie byłyby jednakowo prawdopodobne i wzór klasyczny przestałby działać.

### Jak liczyć zadania ze słowem "co najmniej"?
Najwygodniej przez zdarzenie przeciwne. Prawdopodobieństwo, że coś zajdzie co najmniej raz, to jeden minus prawdopodobieństwo, że nie zajdzie ani razu. Dla co najmniej jednej piątki w dwóch rzutach liczysz 1 minus 25/36 i dostajesz 11/36.

### Ile jest wyników przy trzykrotnym rzucie kostką?
Jest 216 wyników, bo 6 do potęgi trzeciej. Przy trzech rzutach tabela dwuwymiarowa przestaje wystarczać, więc wypisujesz zestawy liczb spełniające warunek i liczysz, na ile sposobów da się je ustawić w kolejności.

### Czy takie zadanie jest za 1 czy za 2 punkty?
Obie wersje występują. Wariant zamknięty za 1 punkt wymaga tylko poprawnego wyniku, a wariant otwarty za 2 punkty wymaga zapisania obliczeń: podania liczby zdarzeń elementarnych, uzasadnienia liczby zdarzeń sprzyjających i podstawienia do wzoru.

## Checklista: co musisz umieć

- Zapisać model: \(|\Omega| = 36\) przy dwóch rzutach, \(216\) przy trzech, i uzasadnić to regułą mnożenia.
- Odtworzyć tabelę 6 na 6 i odczytać z niej rozkład sum od 2 do 12.
- Policzyć zdarzenia sprzyjające dwiema drogami: wypisaniem par i regułą mnożenia.
- Zamienić warunek "co najmniej" na zdarzenie przeciwne.
- Zapisać rozwiązanie zadania otwartego tak, żeby dostać oba punkty, a nie jeden.
- Sprawdzić wynik symetrią albo drugą metodą, zanim przejdziesz dalej.

Cały zestaw zadań z kostkami wraz z rozwiązaniami znajdziesz w [bazie zadań z Prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo), gdzie 108 zadań jest posortowanych tematycznie. Warto też przerobić [zadania CKE z prawdopodobieństwa z pełnymi rozwiązaniami](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami) oraz wpis o [losowaniu bez zwracania](/losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania), czyli drugi ważny schemat w tym dziale. Jeśli powtarzasz teraz szerzej, drugim tematem, w którym punkt zdobywa się w minutę, są [bryły obrotowe i rozpoznawanie, co powstaje z obrotu figury](/bryly-obrotowe-matura-co-powstaje-z-obrotu-figury).

Sprawdź się od razu: odpal [losowe zadanie z bazy CKE](/random) i policz, ile zajmie ci ustawienie modelu z 36 wynikami bez zaglądania do rozwiązania.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura poprawkowa sierpień 2025 - matematyka, zadania i przykładowe rozwiązanie
description: Arkusz matury poprawkowej z matematyki, sierpień 2025, z zadaniami do rozwiązania w aplikacji i sześcioma rozwiązaniami krok po kroku. Rozkład kategorii.
author: Filip Maszota
---

# Matura poprawkowa sierpień 2025 - matematyka, zadania i przykładowe rozwiązanie

## O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2025

Matura poprawkowa z matematyki na poziomie podstawowym z sesji sierpniowej 2025 to szansa dla osób, które nie zdały egzaminu w maju lub czerwcu. Egzamin odbył się 19 sierpnia 2025. Arkusz w formule obowiązującej od matury w maju 2025 liczy **50 punktów**, a ten z sierpnia 2025 miał 31 zadań. Czas na rozwiązanie to 180 minut, a próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**.

Jeśli przygotowujesz się do kolejnego podejścia, ten arkusz powinien być jednym z pierwszych, które przeanalizujesz. Sprawdź też rozwiązania [matury majowej 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [sesji dodatkowej z czerwca 2025](/matura-2025-czerwiec-matematyka-rozwiazania-arkusz) - razem dają pełny obraz tego, czego CKE oczekuje. W naszej bazie znajdziesz 31 zadań z tego arkusza (16 zamkniętych i 15 otwartych), sumujące się dokładnie do 50 punktów.

Numery zadań w tym artykule są takie same jak w oficjalnym arkuszu CKE i na stronach zadań w aplikacji.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 8 | 10 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 8 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 5 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 5 |
| [Procenty](/topics/procenty) | 2 | 5 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 2 | 3 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 3 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 3 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 1 | 1 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 1 |

Kategorie w tej tabeli są szerokie. Pod potęgami i pierwiastkami jest tu też nierówność kwadratowa (zadanie 9) i dwa zadania z ciągów (15 i 18), a pod geometrią analityczną funkcja określona przedziałami (zadanie 12, 4 pkt) i kąty w okręgu (zadanie 21). Działania na potęgach i pierwiastkach, wzory skróconego mnożenia i dowód podzielności to zadania 1-3, 5 i 6, razem 6 punktów. Najwięcej punktów w jednym zadaniu dają funkcja określona przedziałami (zadanie 12) i graniastosłup (zadanie 26), po 4 punkty.

Warto zestawić ten rozkład z innymi sesjami 2025, żeby zobaczyć, jak CKE zmienia proporcje kategorii z arkusza na arkusz.

## Rozwiązania krok po kroku

### Zadanie 5 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że liczba \(8^{50}-2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).

**Rozwiązanie:**

Zauważamy, że \(8 = 2^3\), więc:

$$8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}$$

Zatem:

$$8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}$$

Wyciągamy \(2^{145}\) przed nawias:

$$2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1) = 2^{145} \cdot 31$$

Ponieważ \(2^{145} \cdot 31\) jest iloczynem liczby całkowitej i 31, wyrażenie \(8^{50} - 2^{145}\) jest podzielne przez 31. \(\square\)

**Kluczowa obserwacja:** sprowadzenie obu składników do potęg tej samej podstawy i wyciągnięcie wspólnego czynnika. Dowód podzielności albo reszty z dzielenia był w każdym majowym, czerwcowym i sierpniowym arkuszu podstawowym z lat 2023-2025, zwykle za 2 punkty, więc warto przećwiczyć ten schemat - przeczytaj [zadania z potęg na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), żeby przećwiczyć analogiczne dowody. Porównaj z zadaniem 3 z [matury próbnej CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), gdzie też trzeba było sprowadzić potęgi do wspólnej podstawy i wyłączyć wspólny czynnik.

**Wskazówka egzaminacyjna:** W zadaniach dowodowych na podzielność zawsze szukaj sposobu, żeby wyrażenie zapisać jako iloczyn dwóch czynników, z których jeden to dzielnik z treści. Nie musisz obliczać wartości liczbowej - wystarczy pokazać strukturę iloczynu.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-05)

## Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

### Potęgi i pierwiastki (zadanie 1)

Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb to odległość między nimi na osi liczbowej. Wskazówka: porównaj \(\sqrt{5}\) z liczbami 1 i 3, żeby wiedzieć, czy wyrażenia pod modułami są dodatnie czy ujemne, zanim zdejmiesz nawiasy.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-01

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Kluczowe to ustalić, czy wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie czy ujemne. Wiemy, że \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\), więc:

- \(\sqrt{5} - 3  0\), zatem \(|\sqrt{5}-1| = \sqrt{5} - 1\)

Dodajemy:

$$|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-1| = (3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = 2$$

**Odpowiedź:** C. \(2\)

Zwróć uwagę, że \(\sqrt{5}\) się skraca. Gdy widzisz sumę dwóch wartości bezwzględnych, sprawdź, czy pierwiastki się nie uproszczą.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-01)

---

### Potęgi i pierwiastki (zadanie 2)

Potęgi o wykładnikach ujemnych warto sprowadzić do wspólnej podstawy pierwszej - tu naturalnym kandydatem jest 5. Pułapka: \(25\) i \(125\) to różne potęgi piątki, więc dopasuj wykładniki, zanim zaczniesz dzielić.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-02

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy do wspólnej podstawy 5. To kluczowa technika - jeśli widzisz 25 i 125 w jednym zadaniu, od razu myśl "potęgi piątki":

$$25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{-4}$$

$$125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{-12}$$

Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^8$$

**Odpowiedź:** D. \(5^8\)

Klasyczne zadanie na sprowadzanie do wspólnej podstawy i działania na wykładnikach ujemnych. Najczęstszy błąd: odejmowanie wykładników w złą stronę. Pamiętaj: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), nie \(a^{n-m}\). Więcej tego typu ćwiczeń znajdziesz na stronie [zadań z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-02)

---

### Równania i nierówności (zadanie 8)

Równanie wymierne wymaga najpierw ustalenia dziedziny, a dopiero potem sprowadzenia do wspólnego mianownika. Pułapka: po rozwiązaniu równania sprawdź, które pierwiastki należą jednocześnie do dziedziny i do wskazanego przedziału.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-08

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Dziedzinę podaje treść: \(x \ne \frac{7}{3}\) i \(x \ne 8\). Mnożymy obie strony przez \((3x - 7)(x - 8)\):

$$3(x - 8) = 5x(3x - 7)$$

$$3x - 24 = 15x^2 - 35x \Rightarrow 15x^2 - 38x + 24 = 0$$

Liczymy wyróżnik i pierwiastki:

$$\Delta = 38^2 - 4 \cdot 15 \cdot 24 = 1444 - 1440 = 4, \quad \sqrt{\Delta} = 2$$

$$x_1 = \frac{38 - 2}{30} = \frac{6}{5}, \qquad x_2 = \frac{38 + 2}{30} = \frac{4}{3}$$

Oba należą do dziedziny, ale zadanie pyta o przedział \(\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)\). Ponieważ \(\frac{6}{5}  \frac{5}{4}\) (bo \(4 \cdot 4 > 5 \cdot 3\)), więc zostaje drugi.

**Odpowiedź:** \(x = \frac{4}{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-08)

---

### Funkcja kwadratowa (zadanie 14)

Oś symetrii paraboli i jedno miejsce zerowe wystarczą, żeby wyznaczyć drugie miejsce zerowe z symetrii wykresu. Wskazówka: przesunięcie wykresu o stałą wartość argumentu przesuwa oś symetrii o tyle samo.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-16

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-16)

---

### Trygonometria (zadanie 19)

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczasz sinus kąta ostrego ze znanego cosinusa, a potem liczysz tangens jako iloraz obu. Wskazówka: kąt ostry oznacza, że wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-24

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin\alpha > 0\):

$$\sin\alpha = \frac{12}{13}$$

Obliczamy tangens:

$$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$$

**Odpowiedź:** D. \(\tg\alpha = \frac{12}{5}\)

To klasyczny trójkąt pitagorejski \(5, 12, 13\). Warto znać najczęstsze trójki pitagorejskie (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) - oszczędzają czas na maturze, bo można rozpoznać wartości bez rachunków. Przeczytaj nasz [przewodnik po trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), żeby przećwiczyć zadania z jedynką trygonometryczną.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-24)

---

### Stereometria (zadanie 26)

Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy prowadzi do trójkąta prostokątnego z wysokością graniastosłupa. Wskazówka: wysokość trójkąta równobocznego w podstawie przyda się do policzenia pola powierzchni.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-35

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Podstawa \(ABC\) jest trójkątem równobocznym, a jego wysokość wyraża się wzorem \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), więc krawędź podstawy wynosi:

$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow a = 4$$

Ściana \(ABED\) jest prostokątem o bokach \(AB = 4\) i \(BE = H\), a kąt \(60^\circ\) leży przy wierzchołku \(A\) w trójkącie prostokątnym \(ABE\):

$$\tg 60^\circ = \frac{H}{4} \Rightarrow H = 4\sqrt{3}$$

Pole podstawy liczymy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:

$$P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$

Stąd objętość i pole powierzchni całkowitej:

$$V = P_p \cdot H = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 48$$

$$P_c = 2P_p + 3aH = 8\sqrt{3} + 3 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(V = 48\), \(P_c = 56\sqrt{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-35)

---

### Prawdopodobieństwo (zadanie 29)

Dwukrotny rzut kostką daje 36 jednakowo prawdopodobnych wyników - warto wypisać, które z nich tworzą liczby dwucyfrowe spełniające oba warunki naraz. Wskazówka: liczba nieparzysta ma cyfrę jedności 1, 3 albo 5, a podzielność przez 3 sprawdzisz sumą cyfr.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-38

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-38)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz 31 zadań z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte:**
- [Zadanie 1](/task/matura-sierpie-2025-01) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 2](/task/matura-sierpie-2025-02) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 3](/task/matura-sierpie-2025-03) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 4](/task/matura-sierpie-2025-04) - Logarytmy (1 pkt)
- [Zadanie 6](/task/matura-sierpie-2025-06) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 7](/task/matura-sierpie-2025-07) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-sierpie-2025-10) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 13](/task/matura-sierpie-2025-15) - Funkcja liniowa (1 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-sierpie-2025-20) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 16](/task/matura-sierpie-2025-21) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 17](/task/matura-sierpie-2025-22) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-sierpie-2025-23) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 19](/task/matura-sierpie-2025-24) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 20](/task/matura-sierpie-2025-25) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-sierpie-2025-36) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-sierpie-2025-37) - Liczby rzeczywiste (1 pkt)

**Zadania otwarte:**
- [Zadanie 5](/task/matura-sierpie-2025-05) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-sierpie-2025-08) - Równania i nierówności (3 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-sierpie-2025-09) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
- [Zadanie 11](/task/matura-sierpie-2025-11) - Logarytmy (2 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-sierpie-2025-12) - Geometria analityczna (4 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-sierpie-2025-16) - Funkcja kwadratowa (3 pkt)
- [Zadanie 21](/task/matura-sierpie-2025-26) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 22](/task/matura-sierpie-2025-29) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 23](/task/matura-sierpie-2025-32) - Planimetria (1 pkt)
- [Zadanie 24](/task/matura-sierpie-2025-33) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 25](/task/matura-sierpie-2025-34) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 26](/task/matura-sierpie-2025-35) - Stereometria (4 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-sierpie-2025-38) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-sierpie-2025-39) - Procenty (3 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-sierpie-2025-40) - Procenty (2 pkt)

## Co warto powtórzyć po tym arkuszu

Na podstawie analizy zadań tego arkusza w naszej bazie, oto priorytety do powtórki:

1. **Potęgi i pierwiastki** - sprowadzanie do wspólnej podstawy, wyciąganie przed nawias, upraszczanie. Zadania 1-3, 5 i 6 dają razem 6 punktów, a ten sam rachunek przydaje się w kolejnych zadaniach. [Ćwicz potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki)
2. **Równania wymierne** - zawsze pamiętaj o dziedzinie, szukaj faktoryzacji mianowników. [Ćwicz równania](/topics/rownania-i-nierownosci)
3. **Stereometria** - objętość i pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego (zadanie 26) oraz objętość walca (zadanie 27). [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria)
4. **Funkcja kwadratowa z wieloma podpunktami** - schemat: postać iloczynowa, oś symetrii, przesunięcie wykresu
5. **Dowody podzielności** - wyciąganie wspólnego czynnika, sprowadzanie do potęg o tej samej podstawie

## Strategia na maturę poprawkową

Jeśli podchodzisz do matury poprawkowej, masz przewagę: znasz arkusze z maja i czerwca. Skup się na:

- **Zadaniach zamkniętych** - w naszej bazie to 16 punktów za stosunkowo proste rachunki. Celuj w bezbłędność
- **Łatwych zadaniach otwartych** (za 1-2 pkt) - dowody podzielności, proste równania, prawdopodobieństwo
- **Punktach cząstkowych** w trudnych zadaniach - za poprawnie wykonaną część rozwiązania zadania otwartego dostajesz część punktów, więc zapisuj każdy krok, który umiesz zrobić

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii. Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań wszystkich zadań, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-sierpien-2023-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura poprawkowa sierpień 2023 - matematyka, rozwiązania arkusza
description: Matura poprawkowa z matematyki, sierpień 2023: 33 zadania za 46 pkt. Rozkład działów, 7 zadań rozwiązanych krok po kroku i lista wszystkich zadań.
author: Filip Maszota
---

# Matura poprawkowa sierpień 2023 - matematyka, rozwiązania arkusza

## O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2023

Matura poprawkowa z matematyki z sierpnia 2023 to arkusz dla maturzystów, którzy nie zdali egzaminu w sesji majowej lub czerwcowej tego samego roku. Arkusz zawierał **33 zadania** za łącznie **46 punktów**. Większość to zadania zamknięte za 1 punkt. Próg zdawalności to **14 punktów** (30%).

Najwięcej punktów dają tu **funkcja kwadratowa** (3 zadania za 7 punktów, w tym zadanie optymalizacyjne za 4 punkty) i **planimetria** (5 zadań za 6 punktów). Geometria analityczna to kolejne 5 zadań za 5 punktów. Ciągi dają 4 punkty w trzech zadaniach, w tym w otwartym zadaniu 18 - przed maturą powtórz [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/topics/ciagi).

Porównaj ten arkusz z [maturą poprawkową z sierpnia 2024](/matura-sierpien-2024-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) - zobaczysz, jak zmienił się rozkład kategorii między latami.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 3 | 7 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 5 | 6 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 5 | 5 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 5 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 4 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 3 | 3 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 2 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 1 | 2 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 1 | 1 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 |
| [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |

Arkusz obejmuje aż 16 różnych kategorii, a żadna z nich nie daje więcej niż 7 punktów. To ważna lekcja: musisz znać podstawy ze wszystkich działów, bo na maturze poprawkowej CKE może zapytać o dosłownie wszystko.

## Analiza trudności

### Zadania 1-10: liczby, wyrażenia i równania

Zadania zamknięte na jedną lub dwie operacje: nierówność z wartością bezwzględną zaznaczona na osi (zadanie 1), pierwiastki (2), logarytmy (3), potęgi o wykładniku ujemnym (5), wzory skróconego mnożenia (6), odejmowanie ułamków algebraicznych (7), równanie wymierne (8) i punkt przecięcia dwóch prostych (10). Dwa zadania są otwarte: dowód podzielności przez 6 (zadanie 4) i równanie wielomianowe rozwiązywane grupowaniem wyrazów (zadanie 9, 3 pkt).

### Zadania 11-21: funkcje, ciągi i pierwsze zadania z geometrii

Funkcja liniowa (11), wartość funkcji z parametrem (12), drugie miejsce zerowe paraboli z postaci kanonicznej (13), odczytywanie monotoniczności i wartości z wykresu (14, 3 pkt) oraz zbiór wartości funkcji kwadratowej (15). Zadania 16-18 to ciągi, w tym otwarte zadanie z ciągiem arytmetycznym. Na końcu tej części stoją trygonometria (19) i dwa zadania z planimetrii: trapezy podobne (20) i obwód wycinka koła (21).

### Zadania 22-33: geometria, rachunek prawdopodobieństwa i optymalizacja

Kąt środkowy i wpisany (22), twierdzenie o dwusiecznej (23), pole trapezu równoramiennego (24, otwarte), cztery zadania z geometrii analitycznej (25-28), graniastosłup sześciokątny (29, 2 pkt), kombinatoryka (30), prawdopodobieństwo (31) i średnia z diagramu (32). Arkusz zamyka zadanie 33 za 4 punkty: największy dzienny zysk zakładu stolarskiego, czyli wierzchołek paraboli w zadaniu z treścią. Zadania 1-21 dają razem 28 punktów, czyli prawie 61%, więc o wyższy wynik walczy się właśnie w tej części.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Równania i nierówności (1 pkt)

**Treść:** Dana jest nierówność \(|x - 5| \lt 2\). Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

**Rozwiązanie:**

Nierówność \(|x - 5| \lt 2\) zamieniamy na podwójną nierówność:

$$-2 \lt x - 5 \lt 2 \quad\Longrightarrow\quad 3 \lt x \lt 7$$

Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty \((3, 7)\): liczby odległe od \(5\) o mniej niż \(2\). Oba końce są niezamalowane, bo nierówność jest ostra. Ten przedział zaznaczono na rysunku D.

Ćwicz w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).

**Odpowiedź:** D (rysunek D)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-01)

---

### Zadanie 5 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia \(\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot 81\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy:

$$3^{-1} = \frac{1}{3}, \qquad \left(-\frac{1}{9}\right)^{-2} = (-9)^2 = 81$$

Podstawiamy:

$$\frac{\frac{1}{3}}{81} \cdot 81 = \frac{1}{3}$$

Wynik jest dodatni, bo minus podniesiony do parzystej potęgi znika. Kto o tym zapomni, zaznaczy B. Więcej ćwiczeń znajdziesz w dziale [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).

**Odpowiedź:** A. \(\frac{1}{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-05)

---

### Zadanie 10 - Geometria analityczna (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkt \((-8, 6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach

**Rozwiązanie:**

Punkt przecięcia dwóch prostych leży na obu z nich, więc jego współrzędne muszą spełniać oba równania. Podstawiamy \(x = -8\) i \(y = 6\) do każdej pary:

- A: \(2 \cdot (-8) + 3 \cdot 6 = 2\), ale \(-(-8) + 6 = 14 \neq -14\);
- B: \(3 \cdot (-8) + 2 \cdot 6 = -12\), ale \(2 \cdot (-8) + 6 = -10 \neq 10\);
- C: \(-8 + 6 = -2\), ale \(-8 - 2 \cdot 6 = -20 \neq 4\);
- D: \(-8 - 6 = -14\) oraz \(-2 \cdot (-8) + 6 = 22\).

Oba równania spełnia tylko para D. W każdej z pozostałych par pierwsze równanie się zgadza, więc sprawdzenie jednego równania nie wystarczy.

**Odpowiedź:** D. \(x - y = -14\) i \(-2x + y = 22\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-10)

---

### Zadanie 20 - Planimetria (1 pkt)

**Treść:** Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

**Rozwiązanie:**

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

$$k^2 = \frac{52}{13} = 4 \quad\Longrightarrow\quad k = 2$$

Trapez \(T_1\) ma więc wszystkie boki 2 razy dłuższe od trapezu \(T_2\), a stosunek obwodów jest równy skali. Obwód trapezu \(T_2\):

$$36 : 2 = 18$$

Częsty błąd to podzielenie obwodu przez stosunek pól, czyli przez \(4\). Daje to \(9\), błędną odpowiedź B.

**Odpowiedź:** A. \(18\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-23)

---

### Zadanie 22 - Planimetria (1 pkt)

**Treść:** W okręgu \(O\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40^\circ\) większą od kąta \(\alpha\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta \(\beta\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku, więc \(\beta = 2\alpha\). Z treści wiemy też, że \(\beta = \alpha + 40^\circ\). Porównujemy:

$$2\alpha = \alpha + 40^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 40^\circ$$

$$\beta = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$$

Uwaga na odpowiedź A: \(40^\circ\) to miara kąta wpisanego \(\alpha\), a pytanie dotyczy kąta \(\beta\). Kąty w okręgu ćwiczysz w dziale [planimetria](/topics/planimetria).

**Odpowiedź:** B. \(80^\circ\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-25)

---

### Zadanie 27 - Geometria analityczna (1 pkt)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach: \(y = \sqrt{3}x + 6\) \(y = -\sqrt{3}x + 6\) \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 2\), przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\). Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt \(KLM\) jest

**Rozwiązanie:**

Najszybciej sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny. Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Dla pierwszej i trzeciej prostej:

$$\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -1$$

Te proste są prostopadłe, więc trójkąt \(KLM\) ma kąt prosty. Równoramienny nie jest: jego wierzchołki to \((0, 6)\), \((-2\sqrt{3}, 0)\) i \((4\sqrt{3}, -6)\), a boki mają długości \(4\sqrt{3}\), \(8\sqrt{3}\) i \(12\).

**Odpowiedź:** B2 (trójkąt jest prostokątny, ponieważ dwie z tych prostych są prostopadłe)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-30)

---

### Zadanie 31 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1:** Wszystkie wyniki. Pierwszą liczbę wybieramy na 5 sposobów, drugą (bez zwracania) już tylko na 4:

$$|\Omega| = 5 \cdot 4 = 20$$

**Krok 2:** Wyniki sprzyjające. Liczby nieparzyste to 1, 3 i 5. Pierwszą z nich wybieramy na 3 sposoby, drugą na 2:

$$|A| = 3 \cdot 2 = 6$$

Są to pary \((1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3)\).

**Krok 3:** Prawdopodobieństwo:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Losowanie jest kolejne, więc liczymy pary uporządkowane i w \(\Omega\), i w \(A\). Mieszanie par uporządkowanych z nieuporządkowanymi to najczęstszy błąd w takich zadaniach. Więcej zadań znajdziesz w dziale [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo).

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{3}{10}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-36)

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Poniżej znajdziesz wszystkie 33 zadania z tego arkusza, każde z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie:

**Zadania za 1 punkt:**
- [Zadanie 1](/task/matura-sierpie-2023-01) - Równania i nierówności: wartość bezwzględna na osi liczbowej
- [Zadanie 2](/task/matura-sierpie-2023-02) - Potęgi i pierwiastki: wyłączanie czynnika przed pierwiastek
- [Zadanie 3](/task/matura-sierpie-2023-03) - Logarytmy: różnica logarytmów
- [Zadanie 5](/task/matura-sierpie-2023-05) - Potęgi i pierwiastki: potęgi o wykładniku ujemnym
- [Zadanie 6](/task/matura-sierpie-2023-06) - Potęgi i pierwiastki: wzory skróconego mnożenia
- [Zadanie 7](/task/matura-sierpie-2023-07) - Wyrażenia algebraiczne: odejmowanie ułamków algebraicznych
- [Zadanie 8](/task/matura-sierpie-2023-08) - Równania i nierówności: równanie wymierne
- [Zadanie 10](/task/matura-sierpie-2023-10) - Geometria analityczna: punkt przecięcia prostych
- [Zadanie 11](/task/matura-sierpie-2023-11) - Funkcja liniowa: wzór z miejsca zerowego i punktu
- [Zadanie 12](/task/matura-sierpie-2023-12) - Funkcje: parametr we wzorze funkcji
- [Zadanie 13](/task/matura-sierpie-2023-13) - Funkcja kwadratowa: drugie miejsce zerowe
- [Zadanie 16](/task/matura-sierpie-2023-19) - Ciągi: wyraz ciągu ze wzoru ogólnego
- [Zadanie 17](/task/matura-sierpie-2023-20) - Ciągi: ciąg geometryczny (prawda/fałsz)
- [Zadanie 19](/task/matura-sierpie-2023-22) - Trygonometria: sinus z cosinusa
- [Zadanie 20](/task/matura-sierpie-2023-23) - Planimetria: obwód trapezu podobnego
- [Zadanie 21](/task/matura-sierpie-2023-24) - Planimetria: obwód wycinka koła
- [Zadanie 22](/task/matura-sierpie-2023-25) - Planimetria: kąt środkowy i wpisany
- [Zadanie 23](/task/matura-sierpie-2023-26) - Planimetria: twierdzenie o dwusiecznej
- [Zadanie 25](/task/matura-sierpie-2023-28) - Geometria analityczna: prosta równoległa
- [Zadanie 26](/task/matura-sierpie-2023-29) - Geometria analityczna: równanie okręgu
- [Zadanie 27](/task/matura-sierpie-2023-30) - Geometria analityczna: trójkąt wyznaczony przez trzy proste
- [Zadanie 28](/task/matura-sierpie-2023-31) - Geometria analityczna: przekątna równoległoboku
- [Zadanie 30](/task/matura-sierpie-2023-35) - Kombinatoryka: liczby czterocyfrowe o różnych cyfrach
- [Zadanie 32](/task/matura-sierpie-2023-37) - Statystyka: średnia z diagramu

**Zadania za 2-4 punkty:**
- [Zadanie 4](/task/matura-sierpie-2023-04) - Liczby rzeczywiste: dowód podzielności przez 6 (2 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-sierpie-2023-09) - Równania i nierówności: równanie wielomianowe (3 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-sierpie-2023-14) - Funkcje: odczytywanie własności z wykresu (3 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-sierpie-2023-18) - Funkcja kwadratowa: zbiór wartości (2 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-sierpie-2023-21) - Ciągi: ciąg arytmetyczny z niewiadomą (2 pkt)
- [Zadanie 24](/task/matura-sierpie-2023-27) - Planimetria: pole trapezu równoramiennego (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-sierpie-2023-32) - Stereometria: graniastosłup prawidłowy sześciokątny (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-sierpie-2023-36) - Prawdopodobieństwo: dwie liczby nieparzyste (2 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-sierpie-2023-38) - Funkcja kwadratowa: największy zysk zakładu (4 pkt)

Cały arkusz: [Matura sierpień 2023 - wszystkie zadania](/exams/matura-sierpien-2023)

## Wnioski i wskazówki

1. **Funkcja kwadratowa za 7 punktów** - drugie miejsce zerowe z postaci kanonicznej (zadanie 13), zbiór wartości (zadanie 15, 2 pkt) i największy zysk zakładu za 4 punkty (zadanie 33). We wszystkich trzech pracujesz na wierzchołku paraboli. Ćwicz: [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa).
2. **Planimetria to 5 zadań** - figury podobne, wycinek koła, kąt środkowy i wpisany, twierdzenie o dwusiecznej i pole trapezu. Większość rozwiążesz jednym twierdzeniem z tablic, jeśli wiesz, którego użyć.
3. **16 kategorii** - arkusz testował szeroką wiedzę. Nie możesz pozwolić sobie na luki w żadnym dziale.
4. **Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°** - w zadaniu 24 z niego wyznaczasz wysokość i dłuższą podstawę trapezu. Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej, a druga przyprostokątna jest od niej \(\sqrt{3}\) razy dłuższa.

Sprawdź też [maturę z czerwcowej sesji dodatkowej 2023](/matura-czerwiec-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [maturę z maja 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby przećwiczyć cały rocznik.

## Zacznij ćwiczyć

Na [Sprawnej Maturze](/) znajdziesz ponad 2300 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. Wejdź na [stronę z losowym zadaniem](/solve) i rozwiąż choćby jedno zadanie dziennie - regularna praktyka to klucz do zdania matury!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura próbna CKE grudzień 2024 - matematyka, rozwiązania arkusza
description: Matura próbna CKE z matematyki, grudzień 2024: 30 zadań za 50 punktów, rozkład kategorii, osiem zadań krok po kroku i lista wszystkich zadań z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Matura próbna CKE grudzień 2024 - matematyka, rozwiązania arkusza

## O arkuszu - Matura próbna CKE grudzień 2024

Matura próbna z matematyki na poziomie podstawowym przygotowana przez CKE i przeprowadzona w grudniu 2024 to jeden z kluczowych arkuszy treningowych dla maturzystów. Arkusz zawierał **30 zadań** za łącznie **50 punktów**: 19 zadań za 1 punkt i 11 zadań za 2-4 punkty. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**.

Arkusz grudniowy jest szczególnie ważny, bo to oficjalny test diagnostyczny CKE, a nie próbna matura wydawnictwa: przygotowała go Centralna Komisja Egzaminacyjna, która układa też majową maturę. Jeśli szukasz też rozwiązań z kolejnych sesji, sprawdź [maturę majową 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [sesję dodatkową z czerwca 2025](/matura-2025-czerwiec-matematyka-rozwiazania-arkusz).

Zadania z tego arkusza dostępne w naszej bazie rozwiążesz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 8 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 6 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 5 |
| Funkcje | 1 | 4 |
| Funkcja kwadratowa | 1 | 4 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 3 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 3 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 3 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 |
| Logarytmy | 2 | 2 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| Statystyka | 1 | 2 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |
| Układy równań | 1 | 1 |
| Funkcja liniowa | 1 | 1 |
| Kombinatoryka | 1 | 1 |

Najwięcej punktów daje **stereometria**: 4 zadania za 8 punktów (wysokość ostrosłupa, objętość prostopadłościanu, kąt rozwarcia stożka i zadanie optymalizacyjne z prostopadłościanem). Dalej są równania i nierówności (3 zadania, 6 punktów), planimetria (2 zadania, 5 punktów) oraz dwa pojedyncze zadania za 4 punkty: funkcja odczytywana z wykresu (zadanie 10) i funkcja kwadratowa (zadanie 12).

Przeczytaj nasze przewodniki po [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), żeby być przygotowanym na podobny rozkład.

## Poziom trudności

W odróżnieniu od [matury majowej 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), która liczyła 46 punktów, arkusz grudniowy ma już 50 punktów, tak jak matury od maja 2025. Kto przygotowywał się głównie z potęg i równań, musiał się zmierzyć z czterema zadaniami ze stereometrii.

**Zadania za 1 punkt (19 zadań, 19 punktów)** - wartość bezwzględna, potęgi, logarytmy, procenty, wyrażenia wymierne, układ równań, funkcja liniowa, ciągi, trygonometria, łuk okręgu, geometria analityczna, dwa zadania ze stereometrii i kombinatoryka. Bez tej części trudno o próg 15 punktów.

**Zadania za 2-3 punkty (7 zadań, 15 punktów)** - dowód podzielności (zad. 3), równanie wymierne (zad. 8), nierówność kwadratowa (zad. 9), trygonometria w trójkącie prostokątnym (zad. 17), kąt rozwarcia stożka (zad. 26), prawdopodobieństwo (zad. 28) i średnia z medianą z tabeli (zad. 29). Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania wystarczą.

**Zadania za 4 punkty (4 zadania, 16 punktów)** - funkcja odczytywana z wykresu (zad. 10), funkcja kwadratowa (zad. 12), trapez prostokątny (zad. 19) i zadanie optymalizacyjne z prostopadłościanem (zad. 30). Wymagają kilku kroków, a punkty cząstkowe dostajesz za poprawnie wykonaną część rozwiązania.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt)

**Treść:** Liczby \(x_{1}\) i \(x_{2}\) są różnymi rozwiązaniami równania \(|x+4|=7\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Rozwiązujemy dwa przypadki:

$$x + 4 = 7 \implies x_1 = 3$$

$$x + 4 = -7 \implies x_2 = -11$$

Suma:

$$x_1 + x_2 = 3 + (-11) = -8$$

**Odpowiedź:** B. \(-8\)

**Szybki trick:** W równaniu \(|x + a| = b\) z \(b > 0\) suma rozwiązań to zawsze \(-2a\). Tutaj \(-2 \cdot 4 = -8\). Wynika to z tego, że rozwiązania są symetryczne względem punktu \(x = -a\). Na maturze ten trick oszczędza czas - wystarczy pomnożyć liczbę dodaną do \(x\) przez \(-2\), bez rozwiązywania dwóch równań.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-01)

---

### Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Zamieniamy na potęgi o podstawie 5:

$$\sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}}, \quad \frac{1}{5} = 5^{-1}$$

Mnożymy (dodajemy wykładniki):

$$5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{-1} = 5^{\frac{1}{5}-1} = 5^{\frac{1}{5} - \frac{5}{5}} = 5^{-\frac{4}{5}}$$

Podnosimy do potęgi \(-5\) (mnożymy wykładniki):

$$\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5} = 5^{-\frac{4}{5} \cdot (-5)} = 5^{\frac{20}{5}} = 5^4 = 625$$

**Odpowiedź:** A. \(5^{4}\), czyli \(625\)

Przy potęgach o wykładnikach wymiernych i ujemnych zamień wszystko na potęgi o tej samej podstawie, a potem stosuj reguły \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) i \((a^m)^n = a^{mn}\). Więcej ćwiczeń na stronie [zadań z potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-02)

---

### Zadanie 3 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że liczba \(2^{100} + 4^{49} + 16^{24}\) jest podzielna przez 21.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1:** Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki:

$$4^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98}$$

$$16^{24} = (2^4)^{24} = 2^{96}$$

**Krok 2:** Zapisujemy sumę:

$$2^{100} + 2^{98} + 2^{96}$$

**Krok 3:** Wyciągamy \(2^{96}\) (najmniejszą potęgę) przed nawias:

$$2^{96}(2^4 + 2^2 + 1) = 2^{96}(16 + 4 + 1) = 2^{96} \cdot 21$$

Ponieważ \(2^{96}\) jest liczbą całkowitą, wyrażenie \(2^{96} \cdot 21\) jest podzielne przez 21. \(\square\)

**Kluczowa obserwacja:** sprowadzenie do wspólnej podstawy i wyciągnięcie najmniejszej potęgi. To dokładnie ten sam schemat co w zadaniu 5 z [matury sierpniowej 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz). Dowód podzielności albo reszty z dzielenia był w każdym majowym, czerwcowym i sierpniowym arkuszu podstawowym z lat 2023-2025, zwykle za 2 punkty, więc ten schemat warto mieć opanowany.

**Wskazówka:** Gdy widzisz sumę potęg i podzielność, zawsze spróbuj: (1) sprowadzić do wspólnej podstawy, (2) wyciągnąć wspólny czynnik, (3) sprawdzić, czy wyrażenie w nawiasie daje się uprościć do dzielnika.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03)

---

### Zadanie 8 - Równanie wymierne (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(\frac{x+3}{x-1} = \frac{x}{2x-2}\)

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Faktoryzacja.** Zauważamy, że \(2x - 2 = 2(x-1)\). To kluczowa obserwacja, która upraszcza rachunki.

**Krok 2 - Dziedzina:** \(x - 1 \neq 0\), czyli \(x \neq 1\).

**Krok 3 - Mnożenie obu stron** przez \(2(x-1)\):

$$2(x+3) = x$$

$$2x + 6 = x$$

$$x = -6$$

**Krok 4 - Sprawdzenie z dziedziną:** \(-6 \neq 1\) - OK.

**Krok 5 - Sprawdzenie arytmetyczne:** \(\frac{-6+3}{-6-1} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}\) oraz \(\frac{-6}{2(-6)-2} = \frac{-6}{-14} = \frac{3}{7}\) \(\checkmark\)

**Odpowiedź:** \(x = -6\)

Kluczowe było zauważenie, że \(2x - 2 = 2(x - 1)\) - to upraszcza rachunki z równania kwadratowego do liniowego. Szukaj takich faktoryzacji w równaniach wymiernych - oszczędzają masę czasu. Dziedzinę zapisuj na początku: w zasadach oceniania CKE do tego zadania samo założenie \(x \neq 1\) jest warte 1 punkt, a komplet 3 punktów dostaje rozwiązanie z tym założeniem i wynikiem \(x = -6\).

Więcej ćwiczeń na stronie [zadań z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-08)

---

### Zadanie 9 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(x(x-6) \leq 7\)

**Rozwiązanie:**

Rozwijamy lewą stronę i przenosimy:

$$x^2 - 6x \leq 7$$

$$x^2 - 6x - 7 \leq 0$$

Szukamy miejsc zerowych trójmianu:

$$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$

$$\sqrt{\Delta} = 8$$

$$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$$

Rozkład na czynniki: \((x+1)(x-7) \leq 0\)

Parabola \(y = (x+1)(x-7)\) jest skierowana ramionami do góry (\(a = 1 > 0\)), więc jest niedodatnia między pierwiastkami:

$$x \in \langle -1, 7 \rangle$$

**Odpowiedź:** \(x \in \langle -1, 7 \rangle\)

Standardowa nierówność kwadratowa - schemat: (1) przenieś wszystko na jedną stronę, (2) oblicz deltę i pierwiastki, (3) odczytaj rozwiązanie z wykresu paraboli. Pamiętaj: nierówność \(\leq 0\) to "parabola pod osią OX", a \(\geq 0\) to "parabola nad osią OX". Więcej o [równaniach i nierównościach na maturze](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-09)

---

### Zadanie 19 - Trapez prostokątny (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(7{,}5\). Krótsza przekątna \(AC\) ma długość równą \(6\) i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

**Rozwiązanie:**

Najpierw ustalamy, gdzie leżą kąty proste. Gdyby kąty proste trapezu były przy \(B\) i \(C\), to w trójkącie \(ABC\) przekątna \(AC\) byłaby przeciwprostokątną, czyli dłuższa od \(AB\). Jest odwrotnie (\(60\) oraz \(12-4x>0\), czyli \(x\in(0,3)\).

**Krok 4. Największe pole.** Wykresem \(P\) jest parabola o ramionach skierowanych w dół (\(-26<0\)), więc największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku:

$$x_W=\frac{-96}{2\cdot(-26)}=\frac{96}{52}=\frac{24}{13}$$

Liczba \(\frac{24}{13}\approx 1{,}85\) należy do dziedziny \((0,3)\), więc to jest szukana długość.

**Odpowiedź:** \(P(x)=-26x^2+96x\) dla \(x\in(0,3)\), największe pole dla \(x=\frac{24}{13}\).

Bardzo podobne zadanie, też z polem powierzchni prostopadłościanu jako funkcją długości jednej krawędzi, zamykało maturę z maja 2025 (zadanie 31). Maturę z maja 2024 zamykało zadanie optymalizacyjne o wybiegach w schronisku (też zadanie 31 za 4 punkty). Schemat jest za każdym razem ten sam: zapisz zależność między wymiarami, zbuduj funkcję jednej zmiennej, wyznacz dziedzinę i znajdź wierzchołek paraboli. Przeczytaj [przewodnik po stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-35)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Poniżej znajdziesz wszystkie 30 zadań z tego arkusza, każde z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie:

**Zadania za 1 punkt:**
- [Zadanie 1](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-01) - Wartość bezwzględna
- [Zadanie 2](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-02) - Potęgi
- [Zadanie 4](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-04) - Logarytmy
- [Zadanie 5](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-05) - Procenty: oprocentowanie lokaty
- [Zadanie 6](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-06) - Wyrażenia wymierne
- [Zadanie 7](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-07) - Układy równań
- [Zadanie 11](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-11) - Funkcja liniowa (prawda czy fałsz)
- [Zadanie 13](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-16) - Funkcja logarytmiczna (prawda czy fałsz)
- [Zadanie 14](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-17) - Ciąg (prawda czy fałsz)
- [Zadanie 15](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-18) - Ciąg arytmetyczny z parametrem
- [Zadanie 16](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-19) - Ciąg geometryczny
- [Zadanie 18](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-23) - Cosinus kąta rozwartego
- [Zadanie 20](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-25) - Kąt wpisany i długość łuku
- [Zadanie 21](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-26) - Bok kwadratu w układzie współrzędnych
- [Zadanie 22](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-27) - Proste równoległe
- [Zadanie 23](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-28) - Okręgi a osie układu współrzędnych
- [Zadanie 24](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-29) - Wysokość ostrosłupa
- [Zadanie 25](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-30) - Objętość prostopadłościanu
- [Zadanie 27](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-32) - Kombinatoryka: liczby pięciocyfrowe

**Zadania za 2-4 punkty:**
- [Zadanie 3](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03) - Podzielność (2 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-08) - Równanie wymierne (3 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-09) - Nierówność kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-10) - Funkcja odczytywana z wykresu (4 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-12) - Funkcja kwadratowa (4 pkt)
- [Zadanie 17](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-20) - Trygonometria w trójkącie prostokątnym (2 pkt)
- [Zadanie 19](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24) - Planimetria: trapez prostokątny (4 pkt)
- [Zadanie 26](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-31) - Stereometria: kąt rozwarcia stożka (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-33) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-34) - Statystyka: średnia i mediana (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-35) - Stereometria: optymalizacja (4 pkt)

## Co warto powtórzyć po tym arkuszu

Na podstawie analizy arkusza grudniowego 2024, oto lista priorytetów:

1. **Stereometria** - aż 4 zadania za 8 punktów. Musisz znać: ostrosłup (kąt nachylenia ściany bocznej), prostopadłościan (objętość, pole powierzchni jako funkcja) i stożek (objętość, kąt rozwarcia). [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria)
2. **Potęgi** - zamiana na wspólną podstawę, potęgi wymierne i ujemne. [Ćwicz potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki)
3. **Równania wymierne** - faktoryzacja mianowników, dziedzina, sprawdzenie. [Ćwicz równania](/topics/rownania-i-nierownosci)
4. **Nierówności kwadratowe** - schemat: przenieś, oblicz deltę, odczytaj z paraboli
5. **Planimetria z trygonometrią** - trójkąty podobne i twierdzenie Pitagorasa (zadanie 19), kąt wpisany i długość łuku (20), funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym (17) i kąta rozwartego (18)

## Porównanie z innymi arkuszami CKE

Najwyżej punktowane zadania w kilku arkuszach CKE z lat 2024-2025:

| Arkusz | Punkty | Zadania za najwięcej punktów |
|--------|--------|------------------------------|
| Grudzień 2024 (ten) | 50 | 10: funkcja z wykresu, 12: funkcja kwadratowa, 19: trapez, 30: prostopadłościan (po 4 pkt) |
| [Maj 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) | 46 | 14: funkcja kwadratowa odczytana z wykresu (5 pkt) |
| [Czerwiec 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) | 46 | 24: symetralna odcinka (4 pkt) |
| [Sierpień 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) | 50 | 12: funkcja określona przedziałami i 26: graniastosłup (po 4 pkt) |

Wniosek: najdroższe zadania dotyczą za każdym razem innych działów, od funkcji i planimetrii po geometrię analityczną i stereometrię. Musisz być przygotowany na **każdy** scenariusz.

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na [losowe zadanie](/solve), żeby przetestować swoją wiedzę, albo sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) po pełne rozwiązania.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2024 - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania
description: Matura z matematyki, maj 2024: 31 zadań za 46 pkt. Rozkład działów, poziom trudności i 7 zadań rozwiązanych krok po kroku, reszta w aplikacji.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2024 - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania

## O arkuszu - Matura maj 2024

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2024 to główny termin egzaminu w 2024 roku (egzamin odbył się 8 maja 2024). Arkusz zawierał **31 zadań** za łącznie **46 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **14 punktów**.

Rok 2024 to drugi rok obowiązywania nowej formuły egzaminu (od 2023). Od maja 2025 arkusz podstawowy jest wart 50 punktów zamiast 46, ale formuła pozostała ta sama, więc ten arkusz to dobry materiał do ćwiczeń przed maturą 2027. Sprawdź też rozwiązania z [sesji dodatkowej z czerwca 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [matury majowej 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć ewolucję poziomu trudności.

Zadania z tego arkusza dostępne w naszej bazie rozwiążesz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-maj-2024).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 5 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 3 | 4 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 4 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 3 | 4 |
| Wielomiany | 2 | 4 |
| Optymalizacja | 1 | 4 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 3 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 3 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 2 |
| Statystyka | 2 | 2 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Funkcja liniowa | 1 | 1 |
| Funkcje | 1 | 1 |
| Kombinatoryka | 1 | 1 |

W maju 2024 punkty rozłożyły się równo: żadna kategoria nie daje więcej niż 5 punktów. Najwięcej daje **funkcja kwadratowa**, choć to tylko jedno zadanie: zadanie 14 z czterema częściami za 5 punktów. Po 4 punkty dają potęgi i pierwiastki, geometria analityczna, ciągi, trygonometria, wielomiany i optymalizacja (zadanie 31). Przeczytaj nasze przewodniki po [potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

Porównaj z [sesją dodatkową z czerwca 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz): ta sama formuła i ten sam rok, ale inny zestaw zadań i inny podział punktów.

## Poziom trudności

**Łatwe** - zadania zamknięte na jedną operację: wartość bezwzględna (zadanie 1), potęgi (2), logarytm (4), wzory skróconego mnożenia (5), nierówność liniowa (6), liczba kodów (27) i średnia arytmetyczna (28). Klasyczne zadania z szablonu - kto je znał, rozwiązywał w 1-2 minuty. To minimum do zdania.

**Średnie** - ciągi (zadania 15-17), trygonometria (18, 19, 21), geometria analityczna (11, 23, 24), układ równań z procentami (10) i stereometria (25, 26). Wymagają znajomości wzorów i umiejętności ich zastosowania. Solidna powtórka z [ciągów](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) i [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) załatwia sprawę.

**Trudne** - wielomian trzeciego stopnia (zadanie 9), dowód reszty z dzielenia (3), parabola z wykresu w czterech częściach (14, 5 pkt), prawdopodobieństwo (30) i optymalizacja wybiegów w schronisku (31, 4 pkt).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt)

**Treść:** Dana jest nierówność \(|x-1| \geq 3\). Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

**Rozwiązanie:**

Nierówność z wartością bezwzględną typu \(|W| \geq c\) rozbijamy na dwa przypadki:

$$x - 1 \geq 3 \quad \text{lub} \quad x - 1 \leq -3$$

$$x \geq 4 \quad \text{lub} \quad x \leq -2$$

Zbiór rozwiązań: \((-\infty, -2\rangle \cup \langle 4, +\infty)\). Ta suma przedziałów jest zaznaczona na rysunku B.

**Odpowiedź:** B (rysunek B)

Uwaga na znak nierówności - \(\geq\) oznacza, że końce przedziałów są domknięte (punkty \(-2\) i \(4\) należą do rozwiązania). Gdyby było \(>\) zamiast \(\geq\), końce byłyby otwarte.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-01)

---

### Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy wszystko do podstawy 2:

$$\left(\frac{1}{16}\right)^8 = (16^{-1})^8 = (2^4)^{-8} = 2^{-32}$$

$$8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}$$

Mnożymy potęgi o tej samej podstawie (dodajemy wykładniki):

$$2^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{-32+48} = 2^{16}$$

**Odpowiedź:** B. \(2^{16}\)

Sprowadzanie do wspólnej podstawy to najpewniejszy sposób na każde wyrażenie z potęgami, w którym podstawy są potęgami tej samej liczby. [Ćwicz zadania z potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-02)

---

### Zadanie 3 - Dowodzenie (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1:** Rozwijamy wyrażenie:

$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$$

$$= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$$

$$= 3n^2 + 6n + 5$$

**Krok 2:** Wydzielamy wielokrotność 3:

$$3n^2 + 6n + 5 = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$$

**Krok 3:** Upraszczamy:

$$= 3(n+1)^2 + 2$$

Ponieważ \(3(n+1)^2\) jest podzielne przez 3 (bo jest wielokrotnością 3), reszta z dzielenia całego wyrażenia przez 3 wynosi 2. \(\square\)

**Kluczowa technika:** rozwinięcie i pogrupowanie wyrazów tak, żeby wydzielić wielokrotność dzielnika. Ten schemat - "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" - przydaje się w każdym takim dowodzie, a dowód podzielności albo reszty z dzielenia był w każdym majowym, czerwcowym i sierpniowym arkuszu podstawowym z lat 2023-2025, zwykle za 2 punkty. Porównaj z zadaniem 5 z [matury sierpniowej 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) i zadaniem 3 z [matury próbnej CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz): tam też dowodzisz podzielności przez wyłączenie wspólnego czynnika, tyle że na potęgach.

**Wskazówka egzaminacyjna:** W dowodach na resztę z dzielenia cel jest jeden: zapisać wyrażenie w postaci \(\text{dzielnik} \cdot k + \text{reszta}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-03)

---

### Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\log _{\sqrt{3}} 9\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Korzystamy z definicji logarytmu: \(\log_{\sqrt{3}} 9 = x\) oznacza \((\sqrt{3})^x = 9\).

Zamieniamy na potęgi trójki:

$$(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^2$$

$$3^{\frac{x}{2}} = 3^2$$

Porównujemy wykładniki:

$$\frac{x}{2} = 2 \implies x = 4$$

**Odpowiedź:** C. \(4\)

**Metoda alternatywna** (zmiana podstawy): \(\log_{\sqrt{3}} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4\). Zmiana podstawy logarytmu to potężne narzędzie - działa zawsze, gdy definicja wydaje się trudna. Przeczytaj nasz [przewodnik po logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-04)

---

### Zadanie 9 - Wielomian (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0\)

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Grupowanie wyrazów.** Dzielimy 4 wyrazy na 2 pary:

$$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x^3 - 2x^2) + (-3x + 6)$$

**Krok 2 - Wyciąganie wspólnego czynnika z każdej pary:**

$$= x^2(x - 2) - 3(x - 2)$$

**Krok 3 - Wyciągamy wspólny nawias \((x-2)\):**

$$= (x - 2)(x^2 - 3)$$

**Krok 4 - Rozkładamy \(x^2 - 3\) (różnica kwadratów z \(\sqrt{3}\)):**

$$= (x - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$

Rozwiązania: \(x = 2\), \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\)

**Odpowiedź:** \(x \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 2\}\)

**Grupowanie** to kluczowa technika dla wielomianów trzeciego stopnia na maturze. Schemat: (1) podziel 4 wyrazy na 2 pary, (2) z każdej pary wyciągnij wspólny czynnik, (3) powinieneś dostać wspólny nawias. Jeśli grupowanie nie działa od razu, spróbuj innego podziału na pary.

**Metoda alternatywna:** Zgadnij pierwiastek (np. \(x = 2\), bo \(8 - 8 - 6 + 6 = 0\)), a potem podziel wielomian przez \((x - 2)\) schematem Hornera, żeby dostać wielomian kwadratowy.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-09)

---

### Zadanie 10 - Procenty (1 pkt)

**Treść:** W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5 \%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10 \%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60 \%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

**Rozwiązanie:**

Niech \(x\) i \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych w pierwszym i drugim sadzie.

**Krok 1:** Łącznie posadzono 1960 drzew:

$$x + y = 1960$$

**Krok 2:** W pierwszym sadzie uschło 5% drzew, więc zostało \(0{,}95x\). W drugim uschło 10%, więc zostało \(0{,}9y\). Drzew z drugiego sadu jest 60% tego, co zostało w pierwszym:

$$0{,}9y = 0{,}6 \cdot 0{,}95x$$

To jest układ z odpowiedzi A. Rozwiązanie układu to \(x = 1200\), \(y = 760\). Sprawdzenie: w pierwszym sadzie zostało \(0{,}95 \cdot 1200 = 1140\) drzew, w drugim \(0{,}9 \cdot 760 = 684\), a \(684 = 0{,}6 \cdot 1140\).

Najczęstszy błąd to liczenie procentów od drzew, które uschły (\(0{,}05x\) i \(0{,}1y\), odpowiedź C), zamiast od tych, które zostały.

**Odpowiedź:** A. \(x + y = 1960\) oraz \(0{,}6 \cdot 0{,}95x = 0{,}9y\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-10)

---

### Zadanie 30 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K=\{5,6,7,8,9\}\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1:** Wszystkie wyniki. Losujemy ze zwracaniem, więc za każdym razem mamy 5 możliwości:

$$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$$

**Krok 2:** Wyniki sprzyjające. Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie są parzyste albo obie nieparzyste. W zbiorze \(K\) są dwie liczby parzyste (6 i 8) i trzy nieparzyste (5, 7 i 9):

$$|A| = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13$$

**Krok 3:** Prawdopodobieństwo:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{13}{25}$$

**Metoda alternatywna** (zdarzenie przeciwne): suma jest nieparzysta, gdy jedna liczba jest parzysta, a druga nieparzysta. Takich wyników jest \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12\), więc \(P(A) = 1 - \frac{12}{25} = \frac{13}{25}\). Oba podejścia dają ten sam wynik - wybierz to, które jest dla Ciebie wygodniejsze.

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{13}{25}\)

Więcej ćwiczeń z [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) i przeczytaj [przewodnik po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-36)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Poniżej znajdziesz wszystkie 31 zadań z tego arkusza, każde z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie:

**Zadania za 1 punkt:**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2024-01) - Wartość bezwzględna
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2024-02) - Potęgi
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2024-04) - Logarytmy
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2024-05) - Potęgi i pierwiastki: wzory skróconego mnożenia
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2024-06) - Równania i nierówności: nierówność liniowa
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2024-07) - Równania i nierówności: równanie wymierne
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2024-08) - Wielomiany: rozkład wielomianu (prawda/fałsz)
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2024-10) - Procenty: układ równań o dwóch sadach
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2024-11) - Geometria analityczna: proste równoległe i układ równań
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2024-12) - Funkcja liniowa: funkcja malejąca z parametrem
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2024-13) - Funkcje: wspólne miejsce zerowe
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2024-19) - Ciągi: wyrazy ciągu (prawda/fałsz)
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2024-20) - Ciągi: ciąg geometryczny
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2024-23) - Trygonometria: jedynka trygonometryczna
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2024-24) - Planimetria: twierdzenie o dwusiecznej
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2024-25) - Trygonometria: pole równoległoboku
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2024-26) - Planimetria: kąty w okręgu
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2024-27) - Geometria analityczna: proste prostopadłe
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2024-32) - Stereometria: ostrosłupy podobne
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2024-33) - Kombinatoryka: kody czterocyfrowe
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2024-34) - Statystyka: średnia arytmetyczna
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2024-35) - Statystyka: mediana z diagramu

**Zadania za 2-5 punktów:**
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2024-03) - Dowodzenie (2 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2024-09) - Wielomian (3 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2024-14) - Funkcja kwadratowa: parabola z wykresu (5 pkt)
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2024-21) - Ciągi: różnica ciągu arytmetycznego (2 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2024-22) - Trygonometria: znaki funkcji kąta rozwartego (2 pkt)
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2024-28) - Geometria analityczna: bok równoległoboku (2 pkt)
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2024-29) - Stereometria: graniastosłup prawidłowy sześciokątny (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2024-36) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2024-37) - Optymalizacja: wybiegi w schronisku (4 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury 2024

Analiza tego arkusza daje jasne wskazówki na przyszłość:

1. **Potęgi i pierwiastki: 3 zadania za 4 punkty** - sprowadzanie do wspólnej podstawy (zadanie 2), wzory skróconego mnożenia (zadanie 5) i dowód reszty z dzielenia (zadanie 3). Punkt wyjścia: [zadania z potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki). Musisz umieć: sprowadzać do wspólnej podstawy, działać na wykładnikach ujemnych i wymiernych, upraszczać wyrażenia z pierwiastkami
2. **Dowód za 2 punkty** - dowód podzielności albo reszty z dzielenia był w każdym majowym, czerwcowym i sierpniowym arkuszu podstawowym z lat 2023-2025, zwykle za 2 punkty. Schemat "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" przećwicz na 5-6 przykładach z innych arkuszy
3. **Wielomiany za 4 punkty** - zadanie 9 za 3 punkty na grupowanie wyrazów i zadanie 8 z rozkładem wielomianu na czynniki. Warto znać schemat Hornera i metodę zgadywania pierwiastka wymiernego
4. **Parabola za 9 punktów** - zadanie 14 (5 pkt) to odczytywanie własności funkcji kwadratowej z wykresu, a zadanie 31 (4 pkt) to optymalizacja, w której pole wybiegów jest funkcją kwadratową. Oba wymagają sprawnej pracy z wierzchołkiem paraboli
5. **Prawdopodobieństwo** - regularnie pojawia się jako zadanie otwarte za 2 punkty. Dwa podejścia (bezpośrednie i przez zdarzenie przeciwne) musisz znać oba

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Oto konkretny plan:

1. **Rozwiąż cały arkusz na czas** (180 minut) - symulacja egzaminu
2. **Sprawdź odpowiedzi** i policz punkty
3. **Przeanalizuj błędy** - zapisz, w jakich kategoriach tracisz punkty
4. **Powtórz słabe kategorie** - skorzystaj z naszych [przewodników tematycznych](/)
5. **Rozwiąż analogiczny arkusz** - np. [sesję dodatkową z czerwca 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) albo [maturę próbną CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz)

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na [losowe zadanie](/solve), żeby przetestować swoją gotowość, albo sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) po pełne rozwiązania wszystkich zadań.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2023 - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania
description: Arkusz matury z matematyki, maj 2023, do rozwiązania w aplikacji. Rozkład kategorii. Stereometria, równania, geometria analityczna.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2023 - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania

## O arkuszu - Matura maj 2023

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2023 to jeden z kluczowych arkuszy dla maturzystów przygotowujących się do egzaminu. Zgodnie z formułą obowiązującą w latach 2023-2024 czas na rozwiązanie arkusza na poziomie podstawowym to 180 minut, a próg zdawalności to 30% punktów możliwych do zdobycia.

Najmocniej obsadzone kategorie tego arkusza to **równania i nierówności** (6 zadań za 9 punktów) i **stereometria** (3 zadania za 6 punktów). Maturzyści, którzy zaniedbali bryły, mogli stracić tu sporo łatwych punktów.

Arkusz z maja 2023 to dobry materiał do ćwiczeń, bo jego struktura jest zbliżona do aktualnej formuły egzaminu. Porównaj z [maturą z sesji dodatkowej w czerwcu 2023](/matura-czerwiec-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz) oraz [maturą poprawkową z sierpnia 2023](/matura-sierpien-2023-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby przećwiczyć cały rocznik 2023. W naszej bazie znajdziesz wszystkie 31 zadań z tego arkusza z interaktywnymi rozwiązaniami.

Numery zadań w tym artykule są takie same jak w oficjalnym arkuszu CKE i na stronach zadań w aplikacji.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 6 | 9 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 4 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 3 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 4 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 2 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 1 | 3 |
| [Statystyka](/topics/statystyka) | 1 | 2 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 1 | 1 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) | 1 | 1 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 1 | 1 |
| [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) | 1 | 1 |

Dwa najmocniej obsadzone działy, równania i nierówności oraz stereometria, dają razem 15 z 46 punktów arkusza, czyli prawie jedną trzecią. To więcej niż próg zdawalności (14 punktów), więc od tych działów warto zacząć powtórkę.

## Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

### Potęgi i pierwiastki (zadanie 2)

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej to wciąż liczba rzeczywista - nie trzeba się bać znaku minus pod pierwiastkiem nieparzystego stopnia. Wskazówka: pomnóż pierwiastki o tym samym stopniu, łącząc liczby pod jednym pierwiastkiem.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-02

---

### Liczby rzeczywiste (zadanie 3)

Dowód podzielności przez rozwinięcie różnicy kwadratów i wyłączenie wspólnego czynnika. Wskazówka: \((2n+1)^2-1\) to różnica kwadratów, którą warto rozłożyć na czynniki przed szukaniem podzielności przez 8.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-03

---

### Logarytmy (zadanie 4)

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm z iloczynu argumentów. Pułapka: policz iloczyn dopiero po połączeniu logarytmów, nie wcześniej.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-04

---

### Równania i nierówności (zadanie 9)

Równanie sześcienne rozwiązuje się przez rozkład na czynniki, najczęściej grupując wyrazy parami. Wskazówka: spróbuj wyłączyć wspólny czynnik z pierwszych dwóch i ostatnich dwóch wyrazów osobno.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-09

---

### Funkcja kwadratowa (zadanie 14)

Współrzędna wierzchołka paraboli to średnia arytmetyczna obu miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Wskazówka: skorzystaj z tej zależności, żeby znaleźć drugie miejsce zerowe bez wyznaczania całego wzoru funkcji.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-17

---

### Geometria analityczna (zadanie 23)

Dwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe, a prostopadłe, gdy iloczyn tych współczynników wynosi \(-1\). Wskazówka: zapisz oba równania w postaci kierunkowej i porównaj współczynniki przy \(x\).

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-26

---

### Stereometria (zadanie 25)

Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Wskazówka: najpierw wyznacz przekątną podstawy z twierdzenia Pitagorasa, a potem skorzystaj z podanego cosinusa kąta nachylenia.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-28

---

### Stereometria (zadanie 26)

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa i jej kąt nachylenia do podstawy pozwalają wyznaczyć zarówno wysokość bryły, jak i długość krawędzi podstawy. Wskazówka: rozrysuj przekrój przechodzący przez wierzchołek i środek krawędzi podstawy.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2023-29

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz wszystkie 31 zadań z tego arkusza:

**Zadania zamknięte:**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2023-01) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2023-02) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2023-04) - Logarytmy (1 pkt)
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2023-05) - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt)
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2023-06) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2023-07) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2023-08) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2023-10) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2023-11) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2023-16) - Funkcja liniowa (1 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2023-17) - Funkcja kwadratowa (1 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2023-18) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2023-19) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2023-21) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2023-22) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2023-23) - Planimetria (1 pkt)
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2023-24) - Planimetria (1 pkt)
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2023-27) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2023-28) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2023-30) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2023-31) - Kombinatoryka (1 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2023-32) - Statystyka (2 pkt)

**Zadania otwarte:**
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2023-03) - Liczby rzeczywiste (2 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2023-09) - Równania i nierówności (3 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2023-12) - Funkcje (3 pkt)
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2023-20) - Ciągi (2 pkt)
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2023-25) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2023-26) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2023-29) - Stereometria (4 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2023-33) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2023-34) - Funkcja kwadratowa (3 pkt)

Cały arkusz: [Matura maj 2023 - wszystkie zadania](/exams/matura-maj-2023)

## Wnioski i wskazówki

1. **Stereometria za 6 punktów** - to druga kategoria tego arkusza pod względem punktów. Graniastosłupy, ostrosłupy, pole powierzchni, objętość - musisz to znać. Wzory są w tablicach, ale bez praktyki nie wystarczą. Ćwicz w dziale [stereometria](/topics/stereometria).
2. **Równania i nierówności za 9 punktów** - to najliczniejszy dział arkusza (6 zadań). Od prostych nierówności po równania wielomianowe - to fundament, bez którego nie ma zdanej matury. Ćwicz: [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).
3. **Równania wymierne i wielomianowe** - w równaniu wymiernym z zadania 8 oba miejsca zerowe licznika wypadają z dziedziny, więc równanie nie ma rozwiązania, a równanie wielomianowe z zadania 9 rozwiązujesz grupowaniem wyrazów. Zawsze sprawdzaj warunki!
4. **Stereometria i planimetria razem** - obie geometrie pojawiają się w mocnych rolach. CKE lubi łączyć figury płaskie z bryłami w jednym arkuszu.
5. **16 kategorii** - arkusz był bardzo zróżnicowany. Nie możesz przygotować się tylko z 3-4 działów.

Przejrzyj też rozwiązania z [sesji dodatkowej z czerwca 2023](/matura-czerwiec-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz), [matury poprawkowej z sierpnia 2023](/matura-sierpien-2023-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [matury poprawkowej z sierpnia 2024](/matura-sierpien-2024-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć pełny obraz zmian w arkuszach CKE.

## Przygotuj się do matury

Na [Sprawnej Maturze](/) masz ponad 2300 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Nie czekaj na ostatnią chwilę - wejdź na [stronę ćwiczeń](/solve) i zacznij rozwiązywać zadania już teraz. Nawet 15 minut dziennie przynosi efekty!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2024 (sesja dodatkowa) - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania
description: Arkusz matury z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2024, do rozwiązania w aplikacji. Rozkład kategorii i lista zadań tego arkusza dostępnych w naszej bazie.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2024 (sesja dodatkowa) - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania

## O arkuszu - Matura czerwiec 2024 (sesja dodatkowa)

Sesja dodatkowa matury z matematyki z czerwca 2024 to egzamin dla osób, które z przyczyn losowych nie mogły przystąpić do matury w maju. Zgodnie z formułą obowiązującą w latach 2023-2024 czas na rozwiązanie arkusza na poziomie podstawowym to 180 minut, a próg zdawalności to 30% punktów możliwych do zdobycia.

Arkusz ma 32 zadania za 46 punktów. Dużo w nim algebry: działania na potęgach i pierwiastkach (zadania 1 i 3), dowód podzielności (zadanie 5), wyrażenie wymierne (zadanie 8) i dwa zadania z wielomianami (9 i 10), razem 9 punktów. Najwięcej punktów na jedno zadanie daje **geometria analityczna**: 3 zadania za 8 punktów, w tym zadanie 24 o symetralnej odcinka za 4 punkty.

Sprawdź też [maturę majową 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [maturę próbną CKE z grudnia 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć pełny obraz egzaminów z tego okresu. W naszej bazie znajdziesz wszystkie 32 zadania z tego arkusza i każde możesz rozwiązać interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-czerwiec-2024).

Numery zadań w tym artykule są takie same jak w oficjalnym arkuszu CKE i na stronach zadań w aplikacji.

## Rozkład kategorii w arkuszu

Poniższe zestawienie pochodzi z 32 pozycji tego arkusza dostępnych w naszej bazie:

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 7 | 10 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 8 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 3 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 4 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 3 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 2 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| [Procenty](/topics/procenty) | 1 | 1 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 1 | 1 |
| [Układy równań](/topics/uklady-rownan) | 1 | 1 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 1 | 1 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 1 | 1 |
| [Statystyka](/topics/statystyka) | 1 | 1 |
| [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) | 1 | 1 |

Kategoria potęg i pierwiastków jest w tej tabeli szeroka. Na samych potęgach i pierwiastkach liczysz w zadaniach 1 i 3, a pozostałe zadania z tej grupy to dowód podzielności (5), wyrażenie wymierne (8), wielomiany (9 i 10) i wyrażenie z cosinusem (19). **Geometria analityczna** ma tylko 3 zadania, ale aż 8 punktów, bo samo zadanie 24 jest warte 4 punkty, tyle co cztery zadania zamknięte.

Ten rozkład to ważna lekcja: musisz być gotowy na **każdą** konfigurację punktową, nie tylko na liczbę zadań z danego działu. CKE nie gwarantuje równomiernego podziału kategorii. Przeczytaj nasz [przewodnik po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - to kategoria, w której nawet pojedyncze zadanie potrafi zaważyć na wyniku.

Porównaj z [sesją majową 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć, jak w tym samym roku wyglądał arkusz głównego terminu.

## Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

### Potęgi i pierwiastki (zadanie 1)

Klasyczne przejście z potęgi o wykładniku ujemnym i pierwiastka na wspólną podstawę 2. Pułapka: zamień najpierw \(32\) na potęgę dwójki, zanim zaczniesz upraszczać wykładniki. Typowy schemat - rozbij liczbę złożoną na iloczyn potęg czynników pierwszych, a potem skracaj. Podobne zadanie, ze wspólną podstawą 5, było na [maturze sierpniowej 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) (zadanie 2).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-01

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-01)

---

### Logarytmy (zadanie 2)

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm z iloczynu argumentów - jedna z podstawowych własności logarytmów z tablic maturalnych. Pułapka: upraszczaj ułamek dopiero po połączeniu logarytmów w jeden. Przeczytaj [przewodnik po logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-02

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-02)

---

### Funkcja kwadratowa (zadanie 14)

Wykres funkcji ma z osią Oy dokładnie jeden punkt wspólny, tu \(M=(0,18)\), i ten punkt nie leży na osi Ox. Skoro wszystkich punktów wspólnych z osiami są tylko dwa, to z osią Ox parabola ma jeden punkt wspólny, \(N=(3,0)\). Jest więc do tej osi styczna, a \(N\) jest jej wierzchołkiem. Wskazówka: zapisz funkcję w postaci kanonicznej z tym wierzchołkiem i wyznacz współczynnik \(a\), podstawiając współrzędne punktu \(M\).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-16

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-16)

---

### Ciągi (zadanie 17)

Z dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wyznaczasz różnicę, a potem korzystasz ze wzoru na n-ty wyraz z tablic. Pułapka: łatwo pomylić numer wyrazu z jego wartością przy podstawianiu. Potrzebny wzór to \(a_n = a_1 + (n-1)r\). Przeczytaj [przewodnik po ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-23

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-23)

---

### Ciągi (zadanie 18)

Ten sam początek ciągu rozpięty jest na dwa różne warunki - arytmetyczny i geometryczny. Wskazówka: skorzystaj ze wzoru na środkowy wyraz obu typów ciągów z tablic maturalnych.

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-24

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-24)

---

### Geometria analityczna (zadanie 22)

Zadanie łączy własności kwadratu z rzutem prostopadłym punktu na odcinek. Wskazówka: wygodnie jest wprowadzić układ współrzędnych z wierzchołkiem kwadratu w początku i skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej. Rozwiązanie w aplikacji idzie inną drogą, przez podobieństwo trójkątów \(ABS\) i \(BPS\). Więcej na stronie [zadań z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-28

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-28)

---

### Geometria analityczna (zadanie 24)

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek - dwa fakty, które trzeba połączyć w jedno równanie. Pułapka: przy współczynniku kierunkowym prostej prostopadłej łatwo pomylić odwrotność ze znakiem przeciwnym. Schemat symetralnej jest uniwersalny: (1) środek odcinka, (2) współczynnik kierunkowy odcinka, (3) odwrotność ze znakiem minus, (4) równanie prostej przez punkt. Przeczytaj [przewodnik po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-32

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-32)

---

### Stereometria (zadanie 27)

Kluczem jest trójkąt prostokątny, który tworzą wysokość graniastosłupa i przekątna podstawy. Wskazówka: przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) - ten wzór znajdziesz w tablicach maturalnych. Przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-35

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-35)

---

### Prawdopodobieństwo (zadanie 30)

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa pozwala ułożyć równanie na nieznaną liczbę kul. Pułapka: uważaj, o które kule pyta polecenie - to nie zawsze te, których liczbę podano wprost.

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-38

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-38)

---

### Liczby rzeczywiste (zadanie 32)

Mimo etykiety kategorii to zadanie optymalizacyjne na funkcji kwadratowej zapisanej w postaci iloczynowej. Wskazówka: w części a) znajdź pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli (średnia miejsc zerowych z postaci iloczynowej), a w części b) rozwiąż równanie kwadratowe z warunku na przychód. Przeczytaj [przewodnik po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2024-40

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-40)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz 32 zadania z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie:

**Zadania zamknięte:**
- [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2024-01) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2024-02) - Logarytmy (1 pkt)
- [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2024-03) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2024-04) - Procenty (1 pkt)
- [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2024-06) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2024-07) - Układy równań (1 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2024-08) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2024-15) - Funkcja liniowa (1 pkt)
- [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2024-23) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2024-24) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2024-25) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2024-26) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2024-27) - Planimetria (1 pkt)
- [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2024-29) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2024-33) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2024-34) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2024-35) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2024-36) - Statystyka (1 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2024-37) - Kombinatoryka (1 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2024-38) - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Zadania otwarte:**
- [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2024-05) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2024-09) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2024-10) - Potęgi i pierwiastki (3 pkt)
- [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2024-11) - Funkcje (2 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2024-14) - Funkcje (1 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2024-16) - Funkcja kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2024-17) - Funkcja kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2024-20) - Ciągi (2 pkt)
- [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2024-28) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2024-32) - Geometria analityczna (4 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2024-39) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2024-40) - Liczby rzeczywiste (2 pkt)

## Kluczowe wnioski z sesji dodatkowej 2024

Analiza zadań tego arkusza dostępnych w naszej bazie daje kilka ważnych obserwacji:

1. **Algebra na początku arkusza** - potęgi i pierwiastki (zadania 1 i 3), dowód podzielności (5), wyrażenie wymierne (8) i wielomiany (9 i 10) dają razem 9 punktów. Sprowadzanie do wspólnej podstawy, wzory skróconego mnożenia i grupowanie wyrazów wielomianu przydają się tu kilka razy. [Ćwicz potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki)
2. **Geometria analityczna zbiera najwięcej punktów w przeliczeniu na jedno zadanie** - tylko 3 zadania, ale aż 8 punktów, a samo zadanie 24 o symetralnej jest warte 4 punkty. Musisz znać: równanie prostej (kierunkowe i ogólne), odległość punktu od prostej, środek odcinka, symetralną, prostopadłość prostych, równanie okręgu. [Ćwicz geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna)
3. **Ciągi: 3 zadania za 4 punkty** - n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (zadanie 17), ciąg arytmetyczny i geometryczny o tym samym początku (18) oraz ciąg określony wzorem z \((-1)^{n+1}\) (16). Wzory na n-ty wyraz i sumę obu ciągów są w tablicach, trzeba tylko wiedzieć, kiedy którego użyć. [Ćwicz ciągi](/topics/ciagi)
4. **Stereometria za pojedyncze punkty** - 3 zadania zamknięte: liczba krawędzi ostrosłupa, objętość sześcianu z przekątnej ściany i wysokość graniastosłupa z kąta nachylenia przekątnej. W dwóch ostatnich kluczem jest wzór na przekątną kwadratu. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria)
5. **CKE zaskakuje proporcjami** - nie ucz się "pod konkretny rozkład", bądź gotowy na wszystko.

## Porównanie z innymi arkuszami 2024

| Arkusz | Zadania | Punkty | Najwyżej punktowane zadanie |
|--------|---------|--------|-----------------------------|
| [Maj 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) | 31 | 46 | zadanie 14: funkcja kwadratowa odczytana z wykresu (5 pkt) |
| Czerwiec 2024 (ten) | 32 | 46 | zadanie 24: symetralna odcinka (4 pkt) |
| [Sierpień 2024](/matura-sierpien-2024-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) | 30 | 46 | zadanie 21: wierzchołek równoległoboku w układzie współrzędnych (4 pkt) |
| [Grudzień 2024 próbna](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) | 30 | 50 | cztery zadania po 4 pkt: 10, 12, 19 i 30 |

Wniosek: w każdym z tych arkuszy jest przynajmniej jedno zadanie otwarte za 4 albo 5 punktów, czyli warte tyle, co cztery lub pięć zadań zamkniętych. Za część rozwiązania takiego zadania też dostaje się punkty, więc warto zapisać każdy krok, który umiesz zrobić.

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Sprawdź też [maturę majową 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) i wejdź na [losowe zadanie](/solve), żeby przetestować swoją gotowość. Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa) - matematyka, rozwiązania
description: Matura z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2023: 33 zadania za 46 pkt. Rozkład działów, 7 zadań rozwiązanych krok po kroku i lista wszystkich zadań.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa) - matematyka, rozwiązania

## O arkuszu - Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa)

Matura z matematyki z sesji dodatkowej w czerwcu 2023 to arkusz przeznaczony dla maturzystów, którzy z przyczyn losowych lub zdrowotnych nie mogli przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz zawierał **33 zadania** za łącznie **46 punktów**. Większość to zadania zamknięte za 1 punkt. Próg zdawalności to **14 punktów** (30%).

Najwięcej punktów dają tu **równania i nierówności**: 4 zadania za 7 punktów. Arkusz jest też bardzo zróżnicowany: zadania należą do 17 różnych kategorii z naszej bazy, więc sprawdza wiedzę z prawie wszystkich działów.

Jeśli chcesz porównać poziom trudności, sprawdź [maturę z maja 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz) - to arkusz z głównego terminu w tym samym roku.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 4 | 7 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 5 | 5 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 5 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 3 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 3 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 3 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 1 | 3 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 2 |
| [Funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza) | 1 | 2 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| Procenty | 1 | 1 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |
| [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) | 1 | 1 |

Przy 17 kategoriach w jednym arkuszu nauka dwóch albo trzech ulubionych działów to ryzykowna strategia. Trzy najmocniej obsadzone działy (równania i nierówności, planimetria, funkcja kwadratowa) dają razem 17 punktów, tylko 3 więcej niż próg, więc kilka pomyłek w nich wystarczy, żeby zabrakło do zdania. Taki rozkład to dobra wiadomość dla osób, które ćwiczą systematycznie, i zła dla tych, którzy liczą na "zgadywanie" z 2-3 tematów.

## Analiza trudności

### Zadania 1-10: liczby, wyrażenia i równania

Większość to zadania zamknięte na jedną lub dwie operacje: nierówność z wartością bezwzględną (zadanie 1), iloczyn pierwiastków (2), suma logarytmów (5), wzory skróconego mnożenia (6), iloczyn wyrażeń wymiernych (7) i równanie wymierne, w którym trzeba pamiętać o dziedzinie (10). Zadanie 4 to lokata z roczną kapitalizacją odsetek. Między nimi stoją trzy zadania otwarte: dowód, że reszta z dzielenia przez 7 jest równa 5 (zadanie 3), nierówność kwadratowa (zadanie 8) i równanie wielomianowe rozwiązywane grupowaniem wyrazów (zadanie 9, 3 pkt).

### Zadania 11-20: funkcje, ciągi i trygonometria

Funkcja liniowa i równoległość wykresów (11), współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty (12), odczytywanie dziedziny, zbioru wartości i rozwiązań nierówności z wykresu (13, 3 pkt), znaki współczynników paraboli (14) i funkcja wykładnicza opisująca ilość leku w organizmie (15). Zadania 16-18 to ciągi, a 19 i 20 to trygonometria: jedynka trygonometryczna i pole trójkąta ze wzoru z sinusem.

### Zadania 21-33: geometria, kombinatoryka i optymalizacja

Pięć zadań z planimetrii z rysunkiem (21-25): sieczna i styczna, trapez, kąty wpisane, skala podobieństwa, pole równoległoboku. Potem prosta prostopadła (26), dwa zadania z geometrii analitycznej (27-28), stereometria (29-30), kombinatoryka (31) i prawdopodobieństwo (32). Arkusz zamyka zadanie 33 za 4 punkty: największe pole prostokąta wpisanego w trapez, czyli optymalizacja z funkcją kwadratową. Tu walczy się o wynik 70%+.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Równania i nierówności (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność \(|x + 5| \lt 15\) jest

**Rozwiązanie:**

Nierówność \(|x + 5| \lt 15\) oznacza, że liczba \(x + 5\) leży bliżej zera niż \(15\):

$$-15 \lt x + 5 \lt 15 \quad\Longrightarrow\quad -20 \lt x \lt 10$$

Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-20, 10)\). Liczby całkowite dodatnie z tego przedziału to \(1, 2, \ldots, 9\), czyli jest ich \(9\). Liczba \(10\) do przedziału nie należy, bo nierówność jest ostra.

Schemat dla nierówności z wartością bezwzględną jest zawsze ten sam: \(|w| \lt k\) zamieniasz na podwójną nierówność \(-k \lt w \lt k\). Ćwicz w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).

**Odpowiedź:** A. \(9\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-01)

---

### Zadanie 6 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \((1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Rozpisujemy oba kwadraty ze wzorów skróconego mnożenia:

$$(1+\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$$

$$(1-\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5}$$

$$(6 + 2\sqrt{5}) - (6 - 2\sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{5} - 6 + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$$

Szybciej działa wzór na różnicę kwadratów \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): tutaj \(a - b = 2\sqrt{5}\) i \(a + b = 2\), więc wynik to \(2\sqrt{5} \cdot 2 = 4\sqrt{5}\).

Uważaj na nawias po minusie. Kto nie zmieni znaku przy \(2\sqrt{5}\), dostanie \(0\), czyli błędną odpowiedź A. Więcej ćwiczeń znajdziesz w dziale [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).

**Odpowiedź:** C. \(4\sqrt{5}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-06)

---

### Zadanie 10 - Równania i nierówności (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie \(\frac{(x^2-3x)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

**Rozwiązanie:**

**Krok 1:** Dziedzina. Mianownik nie może być równy zeru:

$$x^2 - 4 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 2 \ \text{ i } \ x \neq -2$$

**Krok 2:** Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru:

$$(x^2 - 3x)(x + 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x - 3)(x + 2) = 0$$

Stąd \(x = 0\), \(x = 3\) lub \(x = -2\).

**Krok 3:** Liczba \(-2\) nie należy do dziedziny, więc ją odrzucamy. Zostają dwa rozwiązania: \(x = 0\) i \(x = 3\).

Kto pominie dziedzinę, policzy trzy rozwiązania i zaznaczy C. W równaniach wymiernych dziedzinę zapisuje się przed rachunkiem.

**Odpowiedź:** B. dwa rozwiązania.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-10)

---

### Zadanie 14 - Funkcja kwadratowa (1 pkt)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + 1\), gdzie \(a\) oraz \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a \lt 0\) i \(b > 0\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\).

**Rozwiązanie:**

Ze wzoru i z warunków na współczynniki odczytujemy, jak wygląda wykres:

1. \(a \lt 0\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
2. Pierwsza współrzędna wierzchołka to \(p = \frac{-b}{2a}\). Licznik \(-b\) jest ujemny, bo \(b > 0\). Mianownik \(2a\) też jest ujemny. Iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni, więc \(p > 0\): wierzchołek leży na prawo od osi \(Oy\).
3. \(f(0) = 1\), więc wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 1)\).

Ramiona skierowane w dół mają parabole z rysunków B i D, a wierzchołek na prawo od osi \(Oy\) ma tylko parabola z rysunku D.

Związek współczynników z wykresem omawiamy w [przewodniku po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

**Odpowiedź:** D (rysunek D)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-16)

---

### Zadanie 23 - Planimetria (1 pkt)

**Treść:** Na łukach \(AB\) i \(CD\) okręgu są oparte kąty wpisane \(ADB\) i \(DBC\), takie, że \(|\sphericalangle ADB| = 20^\circ\) i \(|\sphericalangle DBC| = 40^\circ\) (zobacz rysunek). Cięciwy \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(K\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta \(DKC\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

**Krok 1:** Kąt \(DAC\) jest oparty na łuku \(CD\), tak samo jak kąt \(DBC\), więc \(|\sphericalangle DAC| = 40^\circ\).

**Krok 2:** Punkt \(K\) leży na cięciwie \(BD\), więc kąt \(ADK\) to ten sam kąt co \(ADB\): \(|\sphericalangle ADK| = 20^\circ\).

**Krok 3:** W trójkącie \(AKD\) znamy dwa kąty, więc trzeci ma miarę:

$$|\sphericalangle AKD| = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ$$

**Krok 4:** Punkt \(K\) leży na cięciwie \(AC\), więc kąty \(AKD\) i \(DKC\) są przyległe:

$$|\sphericalangle DKC| = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

Kąty wpisane i środkowe ćwiczysz w dziale [planimetria](/topics/planimetria).

**Odpowiedź:** B. \(60^\circ\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-27)

---

### Zadanie 28 - Geometria analityczna (1 pkt)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są punkty \(A = (1, 7)\) oraz \(P = (3, 1)\). Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) tak, że \(|AP|:|PB|=1:3\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Punkt \(B\) ma współrzędne

**Rozwiązanie:**

Skoro \(|AP|:|PB| = 1:3\), to odcinek \(AP\) stanowi \(\frac{1}{4}\) długości odcinka \(AB\). Żeby dojść z \(A\) do \(B\), trzeba więc cztery razy wykonać przesunięcie z \(A\) do \(P\).

**Krok 1:** Przesunięcie z \(A\) do \(P\):

$$(3 - 1,\ 1 - 7) = (2,\ -6)$$

**Krok 2:** Punkt \(B\):

$$B = (1 + 4 \cdot 2,\ 7 + 4 \cdot (-6)) = (9,\ -17)$$

Ten sam wynik daje dwukrotne użycie wzoru na środek odcinka: \(P\) jest środkiem odcinka \(AS\), gdzie \(S = (5, -5)\), a \(S\) jest środkiem odcinka \(AB\). Punkt \((5, -5)\) stoi wśród odpowiedzi (D), ale to środek odcinka \(AB\), a nie punkt \(B\).

**Odpowiedź:** B. \((9, -17)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-32)

---

### Zadanie 31 - Kombinatoryka (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest

**Rozwiązanie:**

Pierwsza cyfra liczby trzycyfrowej nie może być zerem. Sumę cyfr \(3\) dają trzy zestawy cyfr:

- \(3, 0, 0\): tylko liczba \(300\);
- \(2, 1, 0\): liczby \(102, 120, 201, 210\) (zero nie może stać na początku);
- \(1, 1, 1\): tylko liczba \(111\).

Razem \(1 + 4 + 1 = 6\) liczb.

Przy tak małej liczbie przypadków najpewniej jest wypisać wszystkie liczby, zamiast szukać wzoru.

**Odpowiedź:** D. \(6\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-37)

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Poniżej znajdziesz wszystkie 33 zadania z tego arkusza, każde z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie:

**Zadania za 1 punkt:**
- [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2023-01) - Równania i nierówności: nierówność z wartością bezwzględną
- [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2023-02) - Potęgi i pierwiastki: iloczyn pierwiastków
- [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2023-04) - Procenty: odsetki z lokaty dwuletniej
- [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2023-05) - Logarytmy: suma logarytmów
- [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2023-06) - Potęgi i pierwiastki: wzory skróconego mnożenia
- [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2023-07) - Wyrażenia algebraiczne: iloczyn wyrażeń wymiernych
- [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2023-10) - Równania i nierówności: równanie wymierne
- [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2023-11) - Funkcja liniowa: wykresy bez punktów wspólnych
- [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2023-12) - Geometria analityczna: współczynnik kierunkowy prostej
- [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2023-16) - Funkcja kwadratowa: wykres a znaki współczynników
- [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2023-20) - Ciągi: wyrazy mniejsze od 10
- [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2023-21) - Ciągi: trzywyrazowy ciąg arytmetyczny
- [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2023-22) - Ciągi: suma trzech wyrazów ciągu geometrycznego
- [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2023-23) - Trygonometria: upraszczanie wyrażenia
- [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2023-25) - Planimetria: sieczna i styczna okręgu
- [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2023-26) - Planimetria: przekątne trapezu (prawda/fałsz)
- [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2023-27) - Planimetria: kąty wpisane
- [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2023-28) - Planimetria: skala podobieństwa trójkątów
- [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2023-29) - Planimetria: pole równoległoboku
- [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2023-30) - Funkcja liniowa: prosta prostopadła
- [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2023-31) - Geometria analityczna: pole kwadratu
- [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2023-32) - Geometria analityczna: podział odcinka w stosunku 1:3
- [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2023-36) - Stereometria: graniastosłup prawidłowy sześciokątny
- [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2023-37) - Kombinatoryka: liczby o sumie cyfr 3

**Zadania za 2-4 punkty:**
- [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2023-03) - Liczby rzeczywiste: dowód reszty z dzielenia przez 7 (2 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2023-08) - Równania i nierówności: nierówność kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2023-09) - Równania i nierówności: równanie wielomianowe (3 pkt)
- [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2023-13) - Funkcje: odczytywanie własności z wykresu (3 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2023-17) - Funkcja wykładnicza: ilość leku w organizmie (2 pkt)
- [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2023-24) - Trygonometria: pole trójkąta ze wzoru z sinusem (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2023-33) - Stereometria: ostrosłup o podstawie kwadratu (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2023-38) - Prawdopodobieństwo: losowanie dwóch liczb bez zwracania (2 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2023-39) - Funkcja kwadratowa: największe pole prostokąta w trapezie (4 pkt)

Cały arkusz: [Matura czerwiec 2023 - wszystkie zadania](/exams/matura-czerwiec-2023)

## Wnioski i wskazówki

1. **Równania i nierówności dają najwięcej punktów** - 4 zadania za 7 punktów: nierówność z wartością bezwzględną, nierówność kwadratowa, równanie wielomianowe i równanie wymierne. Ćwicz w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).
2. **Funkcja kwadratowa za 5 punktów** - zadanie 14 sprawdza, jak znaki współczynników wpływają na wykres, a zadanie 33 to optymalizacja, w której szukasz wierzchołka paraboli. Przeczytaj nasz [kompletny przewodnik](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).
3. **17 kategorii** - o jedną więcej niż na maturze poprawkowej z [sierpnia 2023](/matura-sierpien-2023-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz). Nie możesz ignorować żadnego działu.
4. **Stereometria za 3 punkty** - ostrosłup z krawędzią boczną prostopadłą do podstawy (zadanie 29) i graniastosłup sześciokątny (zadanie 30). W obu trzeba znaleźć w bryle trójkąt prostokątny: w zadaniu 29 do tangensa kąta nachylenia najdłuższej krawędzi, w zadaniu 30 do wysokości graniastosłupa.

## Zacznij ćwiczyć już dziś

Na [Sprawnej Maturze](/) masz ponad 2300 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na [stronę ćwiczeń](/solve) i przekonaj się, że matematyka nie musi być trudna!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania
title: Jak obliczyć kąt wpisany i środkowy w okręgu - twierdzenie, dowód, zadania matura
description: Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym w okręgu: wzór, dowód, 4 wnioski i 5 zadań w stylu maturalnym rozwiązanych krok po kroku, w tym jedno z arkusza CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć kąt wpisany i środkowy w okręgu - twierdzenie, dowód, zadania matura

Kąt wpisany i kąt środkowy to temat, na którym maturzysta zarabia łatwe punkty - pod warunkiem, że zna jedno twierdzenie i cztery wnioski z niego. Zadania z kątami w okręgu pojawiają się na maturze regularnie, często wśród [zadań zamkniętych za 1-2 punkty](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt). Jeśli masz dobrze opanowane to twierdzenie, wyciągasz z niego punkty w 30 sekund. Jeśli nie - tracisz je, a często tracisz też kolejne punkty w zadaniu otwartym, w którym kąt wpisany jest tylko etapem do rozwiązania.

W tym poradniku tłumaczę wszystko od zera. Najpierw definicje (kąt środkowy, kąt wpisany, łuk), potem główne twierdzenie z pełnym dowodem rozbitym na trzy przypadki, dalej cztery praktyczne wnioski (kąt oparty na średnicy, kąty oparte na tym samym łuku, czworokąt wpisany w okrąg, kąt między cięciwą a styczną), wreszcie pięć rozwiązanych zadań w stylu maturalnym (ostatnie to prawdziwe zadanie z arkusza CKE) i lista typowych pułapek. Robię to tak, żebyś po przeczytaniu mógł podejść do dowolnego zadania z kątami w okręgu i wiedzieć, od czego zacząć.

## Kąt środkowy - definicja i miara

Kąt środkowy w okręgu to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona są promieniami. Krótko: bierzesz środek \(O\), dwa promienie \(OA\) i \(OB\), i kąt \(\sphericalangle AOB\) jest kątem środkowym.

Każdemu kątowi środkowemu odpowiada pewien łuk - ten, który leży "wewnątrz" tego kąta. I tutaj mamy kluczową własność: miara kąta środkowego jest równa mierze łuku, na którym jest oparty. Mierząc łuk w stopniach przyjmujemy, że cały okrąg ma \(360^\circ\). Jeśli więc cięciwa \(AB\) wycina łuk o mierze \(80^\circ\), to kąt środkowy \(\sphericalangle AOB\) ma dokładnie \(80^\circ\).

Z tego płynie pierwszy praktyczny wniosek: jeżeli łuk \(AB\) stanowi \(\frac{k}{n}\) długości całego okręgu, to kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę \(\frac{k}{n} \cdot 360^\circ\). Wracają tu czasem zadania typu "łuk ma długość \(\frac{4}{9}\) długości okręgu" - wystarczy pomnożyć przez \(360^\circ\).

W zadaniach maturalnych spotkasz też **kąt środkowy wypukły** (mniej niż \(180^\circ\)) i **wklęsły** (więcej niż \(180^\circ\)). Suma obu jest oczywiście równa pełnemu kątowi, czyli \(360^\circ\). Jeśli z rysunku nie wynika jednoznacznie, o który chodzi, popatrz na to, po której stronie cięciwy \(AB\) jest zaznaczony punkt definiujący łuk.

## Kąt wpisany - definicja

Kąt wpisany w okrąg to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona są cięciwami tego okręgu. Innymi słowy: punkt \(C\) leży na okręgu, z niego wychodzą dwie cięciwy do punktów \(A\) i \(B\) leżących też na okręgu, i kąt \(\sphericalangle ACB\) jest kątem wpisanym.

Łuk, na którym kąt wpisany jest oparty, to ten łuk \(AB\), który **nie zawiera** wierzchołka \(C\). To istotne, bo z dwóch łuków wyciętych przez cięciwę \(AB\) (krótszy i dłuższy) tylko jeden jest "obsługiwany" przez kąt z wierzchołkiem w \(C\).

Kąt wpisany może być ostry, prosty albo rozwarty. Prosty jest wtedy, gdy jest oparty na średnicy (półokręgu), rozwarty, gdy jest oparty na łuku dłuższym niż półokrąg. Punkt \(C\) leży na okręgu i jest różny od \(A\) i \(B\), więc nigdy nie leży na cięciwie \(AB\) i kąt wpisany nie może być półpełny.

## Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

To jest twierdzenie, dla którego pisałem ten poradnik. Wymyśl je raz, a wracaj do niego zawsze.

**Twierdzenie:** Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, to miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego. Krótko:
$$\alpha = \frac{1}{2} \beta$$
gdzie \(\alpha\) to kąt wpisany, a \(\beta\) - kąt środkowy oparty na tym samym łuku.

Z tego od razu wynika równoważna forma, której często używa CKE:
$$\beta = 2\alpha$$
"Kąt środkowy to dwa razy kąt wpisany oparty na tym samym łuku".

Pamiętaj o słowie kluczowym: **oparte na tym samym łuku**. Jeśli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na różnych łukach (na przykład jeden patrzy na łuk krótszy, drugi na dłuższy), to twierdzenie nie działa w takiej prostej postaci - musisz rozłożyć zadanie na łuki i pracować z każdym osobno.

## Dowód twierdzenia o kącie wpisanym

Dowód jest ładny i warto go znać, bo czasem CKE prosi o uzasadnienie z odwołaniem do tego twierdzenia, a w [zadaniach na dowód](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac) z planimetrii jest to standardowy budulec. Rozbijamy go na trzy przypadki, w zależności od położenia środka okręgu względem kąta wpisanego.

**Przypadek 1 - środek leży na jednym z ramion kąta wpisanego.**

Niech \(C\) będzie wierzchołkiem kąta wpisanego, a środek okręgu \(O\) niech leży na promieniu \(CB\). Wtedy odcinek \(CB\) jest średnicą okręgu. Trójkąt \(AOC\) jest równoramienny, bo \(|OA| = |OC| = r\). Kąty przy podstawie są więc równe, oznaczmy je \(\alpha\): \(\sphericalangle OCA = \sphericalangle OAC = \alpha\).

Kąt \(\sphericalangle AOB\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \(AOC\) przy wierzchołku \(O\). Z twierdzenia o kącie zewnętrznym (równa się sumie dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych): \(\sphericalangle AOB = 2\alpha\). Czyli \(\beta = 2\alpha\), co należało udowodnić.

**Przypadek 2 - środek leży wewnątrz kąta wpisanego.**

Niech środek \(O\) leży wewnątrz kąta \(\sphericalangle ACB\). Poprowadźmy z punktu \(C\) średnicę \(CD\) (czyli przedłużmy \(CO\) do drugiego punktu okręgu). Ta średnica dzieli kąt \(\sphericalangle ACB\) na dwa kąty: \(\sphericalangle ACD = \alpha_1\) i \(\sphericalangle DCB = \alpha_2\). Z przypadku 1 wiemy, że \(\sphericalangle AOD = 2\alpha_1\) oraz \(\sphericalangle DOB = 2\alpha_2\). Dodając stronami: \(\sphericalangle AOB = 2\alpha_1 + 2\alpha_2 = 2(\alpha_1 + \alpha_2) = 2\alpha\). Gotowe.

**Przypadek 3 - środek leży na zewnątrz kąta wpisanego.**

Tym razem średnica \(CD\) leży na zewnątrz kąta \(\sphericalangle ACB\). Z przypadku 1: \(\sphericalangle DOB = 2 \cdot \sphericalangle DCB\) oraz \(\sphericalangle DOA = 2 \cdot \sphericalangle DCA\). Odejmując: \(\sphericalangle AOB = \sphericalangle DOB - \sphericalangle DOA = 2(\sphericalangle DCB - \sphericalangle DCA) = 2 \cdot \sphericalangle ACB\). Również \(\beta = 2\alpha\), co kończy dowód.

Te trzy przypadki wyczerpują wszystkie możliwe położenia środka względem kąta wpisanego, więc twierdzenie zachodzi zawsze. Większość zadań na maturze nie wymaga przytaczania dowodu - wystarczy go raz przerobić, żeby wiedzieć, dlaczego twierdzenie jest prawdziwe i czemu można mu ufać.

## Cztery wnioski, których nauczysz się na pamięć

Z głównego twierdzenia wyciąga się cztery praktyczne wnioski, które wracają w zadaniach. Naucz się ich nie tylko jako wzorów, ale przede wszystkim jako "schematu rozpoznawania" sytuacji na rysunku.

### Wniosek 1 - kąt wpisany oparty na średnicy

Jeżeli cięciwa \(AB\) jest średnicą okręgu, to kąt środkowy \(\sphericalangle AOB\) ma miarę \(180^\circ\) (bo jest kątem półpełnym - punkty \(A\), \(O\), \(B\) są współliniowe). Z twierdzenia wynika natychmiast, że każdy kąt wpisany oparty na tej średnicy ma miarę:
$$\alpha = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$

**Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.** To jest jeden z najczęściej wykorzystywanych wniosków na maturze. Widzisz na rysunku trójkąt wpisany w okrąg, którego jeden bok jest średnicą - od razu wiesz, że trójkąt jest prostokątny, z przeciwprostokątną równą tej średnicy. Często łączy się to z [twierdzeniem Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) i jest gotowy schemat zadania.

Działa to też w drugą stronę: każdy trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg, którego średnicą jest przeciwprostokątna. To z kolei wykorzystujesz w zadaniach o [promieniu okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).

### Wniosek 2 - kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe

Jeśli dwa różne kąty wpisane są oparte na tym samym łuku (z dwóch różnych wierzchołków na okręgu patrzą na ten sam fragment łuku), to mają tę samą miarę. Bo każdy z nich jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym łuku, więc oba są równe.

W praktyce: jeżeli punkty \(C\) i \(D\) leżą na okręgu po tej samej stronie cięciwy \(AB\), to \(\sphericalangle ACB = \sphericalangle ADB\). To pozwala "przeskakiwać" z jednego trójkąta wpisanego do drugiego.

### Wniosek 3 - czworokąt wpisany w okrąg

Jeżeli czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, to sumy miar jego przeciwległych kątów są równe \(180^\circ\):
$$\sphericalangle A + \sphericalangle C = 180^\circ$$
$$\sphericalangle B + \sphericalangle D = 180^\circ$$

Dowód jest jednolinijkowy. Kąt \(\sphericalangle A\) jest wpisany, oparty na łuku \(BCD\) (tym, który nie zawiera \(A\)). Kąt \(\sphericalangle C\) jest wpisany, oparty na łuku \(BAD\). Razem te dwa łuki tworzą cały okrąg, więc suma odpowiadających im kątów środkowych to \(360^\circ\). Suma kątów wpisanych to połowa tej liczby, czyli \(180^\circ\).

To twierdzenie ma też wersję odwrotną - jeśli w czworokącie sumy przeciwległych kątów to \(180^\circ\), to można na nim opisać okrąg. To częsty trik w zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria).

### Wniosek 4 - kąt między cięciwą a styczną

Jeżeli z punktu \(A\) na okręgu poprowadzimy styczną do okręgu i cięciwę \(AB\), to kąt między cięciwą a styczną jest równy kątowi wpisanemu opartemu na cięciwie \(AB\) (po przeciwnej stronie cięciwy):
$$\sphericalangle (\text{styczna}, AB) = \sphericalangle ACB$$
gdzie \(C\) jest dowolnym punktem na drugim łuku.

To jest bezpośrednia konsekwencja tego, że w punkcie styczności promień jest prostopadły do stycznej (więcej o tym w poradniku [Jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu](/jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania)). Można pokazać, że ten kąt też jest równy połowie odpowiedniego kąta środkowego, więc jest tak samo "wpisanopodobny".

Pojawia się w nowej formule CKE, więc warto go znać dokładnie. W jednym z zadań treningowych CKE dla poziomu podstawowego ([znajdziesz je w naszej bazie](/task/cke-pp-treningowe-30)) kąt między cięciwą \(AB\) a styczną do okręgu w punkcie \(A\) ma miarę \(62^\circ\), a pytanie dotyczy kąta \(\beta\) zaznaczonego na rysunku. Według klucza \(\beta = 124^\circ\), czyli \(2 \cdot 62^\circ\). Tyle ma kąt środkowy oparty na cięciwie \(AB\), bo kąt między cięciwą a styczną, tak jak kąt wpisany, jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

## Przykład 1 - klasyczne podstawienie do wzoru

W okręgu o środku \(O\) kąt środkowy \(\sphericalangle AOB\) ma miarę \(140^\circ\). Oblicz miarę kąta wpisanego \(\sphericalangle ACB\), gdzie \(C\) jest punktem leżącym na dłuższym łuku \(AB\).

**Rozwiązanie.** Punkt \(C\) leży na dłuższym łuku, więc kąt wpisany \(\sphericalangle ACB\) jest oparty na krótszym łuku \(AB\). Krótszy łuk \(AB\) odpowiada kątowi środkowemu \(140^\circ\) (mniejszy niż \(180^\circ\), więc to jest właśnie ten wypukły kąt środkowy z polecenia).

Z twierdzenia:
$$\sphericalangle ACB = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$$

Odpowiedź: kąt wpisany ma miarę \(70^\circ\).

**Pułapka.** Gdyby \(C\) leżał na krótszym łuku, kąt wpisany byłby oparty na dłuższym łuku \(AB\). Dłuższy łuk odpowiada wklęsłemu kątowi środkowemu \(360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\), więc kąt wpisany miałby \(\frac{220^\circ}{2} = 110^\circ\). Zawsze patrz, na którym łuku siedzi wierzchołek kąta wpisanego.

## Przykład 2 - kąt oparty na średnicy

Na okręgu o środku \(O\) leży punkt \(C\). Odcinek \(AB\) jest średnicą tego okręgu. Kąt \(\sphericalangle OBC\) ma miarę \(35^\circ\). Oblicz miarę kąta \(\sphericalangle CAB\).

**Rozwiązanie.** Trójkąt \(OBC\) jest równoramienny, bo \(|OB| = |OC| = r\). Kąty przy podstawie są równe, więc \(\sphericalangle OCB = \sphericalangle OBC = 35^\circ\).

Kąt \(\sphericalangle ACB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy \(AB\), więc z wniosku 1 ma miarę \(90^\circ\). Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny przy wierzchołku \(C\). Suma kątów w trójkącie to \(180^\circ\):
$$\sphericalangle CAB + \sphericalangle ABC + 90^\circ = 180^\circ$$
$$\sphericalangle CAB + 35^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$
$$\sphericalangle CAB = 55^\circ$$

Można to policzyć też przez łuki: \(\sphericalangle ABC = 35^\circ\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AC\), a \(\sphericalangle CAB\) kątem wpisanym opartym na łuku \(CB\). Łuki \(AC\) i \(CB\) tworzą razem półokrąg, czyli \(180^\circ\), więc kąty wpisane oparte na nich sumują się do \(90^\circ\). Wersja z trójkątem prostokątnym jest jednak krótsza i trudniej w niej o błąd.

Odpowiedź: \(55^\circ\).

## Przykład 3 - dwa kąty wpisane

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(\sphericalangle DOC\) ma miarę \(118^\circ\). Oblicz miarę kąta wpisanego \(\sphericalangle DAC\) oraz miarę kąta \(\sphericalangle DBC\), zakładając, że \(A\) i \(B\) leżą po przeciwnej stronie cięciwy \(DC\) niż łuk wycięty przez kąt środkowy.

**Rozwiązanie.** Łuk \(DC\) odpowiadający kątowi środkowemu \(118^\circ\) jest krótszym łukiem. Punkty \(A\) i \(B\) leżą na dłuższym łuku, więc oba kąty wpisane \(\sphericalangle DAC\) i \(\sphericalangle DBC\) są oparte na tym samym, krótszym łuku \(DC\).

Z twierdzenia o kącie wpisanym:
$$\sphericalangle DAC = \frac{1}{2} \cdot 118^\circ = 59^\circ$$

A z wniosku 2 (kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe):
$$\sphericalangle DBC = \sphericalangle DAC = 59^\circ$$

Odpowiedź: oba kąty mają miarę \(59^\circ\).

To zadanie pokazuje, dlaczego warto znać wniosek 2 osobno. Bez niego musiałbyś dwa razy podstawiać do twierdzenia. Z nim widzisz "ten sam łuk" i odpowiedź wyskakuje od razu.

## Przykład 4 - czworokąt wpisany w okrąg

Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg. Wiadomo, że \(\sphericalangle A = 75^\circ\), \(\sphericalangle B = 95^\circ\). Oblicz miary kątów \(\sphericalangle C\) i \(\sphericalangle D\).

**Rozwiązanie.** Z twierdzenia o czworokącie wpisanym (wniosek 3):
$$\sphericalangle A + \sphericalangle C = 180^\circ \Rightarrow \sphericalangle C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$$
$$\sphericalangle B + \sphericalangle D = 180^\circ \Rightarrow \sphericalangle D = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ$$

Sprawdzenie - suma wszystkich kątów w czworokącie powinna wynosić \(360^\circ\):
$$75^\circ + 95^\circ + 105^\circ + 85^\circ = 360^\circ$$
Zgadza się. Odpowiedź: \(\sphericalangle C = 105^\circ\), \(\sphericalangle D = 85^\circ\).

Zwróć uwagę, że bez informacji "czworokąt jest wpisany w okrąg" miałbyś tylko jedno równanie (suma kątów \(= 360^\circ\)) i dwie niewiadome. Dopiero własność czworokąta wpisanego daje drugie równanie, które zamyka układ.

## Zadanie 21 (matura czerwiec 2024) - łuk jako ułamek okręgu

Punkty \(A, B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Długość łuku \(A B\), na którym jest oparty kąt wpisany \(A C B\), jest równa \(\frac{1}{5}\) długości okręgu (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego \(A C B\) jest równa

A. \(18^{\circ}\) B. \(30^{\circ}\) C. \(36^{\circ}\) D. \(72^{\circ}\)

**Rozwiązanie.** Najpierw kąt środkowy oparty na łuku \(AB\). Łuk \(AB\) to \(\frac{1}{5}\) całego okręgu, a cały okrąg odpowiada kątowi pełnemu \(360^\circ\), więc:
$$\sphericalangle ASB = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$$

Kąt wpisany \(ACB\) jest oparty na tym samym łuku, więc jest dwa razy mniejszy:
$$\sphericalangle ACB = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$$

Odpowiedź: C, czyli \(36^\circ\).

Odpowiedź D, czyli \(72^\circ\), to kąt środkowy. Wybiera ją ten, kto zatrzyma się po pierwszym kroku i nie podzieli wyniku na pół.

Schemat "łuk to ułamek okręgu" widzisz często - znasz długość łuku w jednostkach okręgu, mnożysz przez \(360^\circ\), dostajesz kąt środkowy, dzielisz na pół, dostajesz kąt wpisany. Trzy kroki, trzy linijki rozwiązania.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2024-27)

## Typowe pułapki i błędy

**Pomylenie łuków.** Najczęstszy błąd - patrzysz na kąt wpisany i odruchowo wiążesz go z pierwszym lepszym kątem środkowym, który widzisz. A trzeba sprawdzić, czy oba są oparte na tym samym łuku. Wierzchołek kąta wpisanego musi leżeć na drugim łuku niż ten, na którym kąt jest oparty. Zaznacz sobie ołówkiem łuk, na którym jest oparty kąt wpisany - to jest łuk po przeciwnej stronie wierzchołka.

**Kąt środkowy wklęsły.** Niektóre zadania używają wklęsłego kąta środkowego (większego niż \(180^\circ\)). Wtedy kąt wpisany może wyjść większy niż \(90^\circ\) - i to jest poprawne. Klucz: \(2\alpha\) musi się zmieścić w \(360^\circ\), a kąt wpisany może być rozwarty.

**Trójkąt równoramienny z promieniami.** Każdy odcinek między dwoma punktami okręgu i środkiem tworzy trójkąt równoramienny (dwa boki to promienie). Wykorzystuj to. Zadania CKE bardzo często mają w treści "Kąt \(\sphericalangle OAB\) ma miarę \(\alpha\)" - z tego od razu masz \(\sphericalangle OBA = \alpha\) i kąt środkowy \(\sphericalangle AOB = 180^\circ - 2\alpha\).

**Mylenie kąta między cięciwą a styczną z kątem wpisanym.** Wniosek 4 mówi, że kąt między cięciwą a styczną jest równy odpowiedniemu kątowi wpisanemu (z drugiego łuku) - a nie kątowi środkowemu. Jeśli widzisz w treści "kąt między cięciwą a styczną", to traktuj go tak jak kąt wpisany, nie jak środkowy. Wykorzystaj to w zadaniach mieszanych ze [styczną do okręgu](/jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania).

**Pominięcie wpisalności.** Jeśli zadanie mówi "czworokąt wpisany w okrąg", ZAWSZE używaj wniosku 3 - to jest dodatkowe równanie, które autor zadania świadomie ci podarował. Bez niego problem nie ma rozwiązania jednoznacznego.

**Zła kolejność liter.** Kąt \(\sphericalangle ACB\) to ten sam co \(\sphericalangle BCA\) - kolejność skrajnych liter nie ma znaczenia, ale środkowa litera (wierzchołek) - tak. Jeśli pomylisz wierzchołek, rachunek będzie odnosił się do innego kąta.

**Brak rysunku.** W zadaniach z planimetrii pierwsze 30 sekund spędź na narysowaniu sytuacji. Zaznacz promienie, kąt środkowy, łuk, na którym jest oparty kąt wpisany. Bez rysunku łatwo o błąd w identyfikacji łuków.

## Jak rozpoznać typ zadania w pół minuty

Zadania z kątami w okręgu da się szybko sklasyfikować i każdy typ ma własny schemat rozwiązania:

Jeśli widzisz **kąt środkowy i kąt wpisany na rysunku**, to klasyczne podstawienie \(\alpha = \frac{1}{2}\beta\). Sprawdź tylko, czy są na tym samym łuku.

Jeśli widzisz **trójkąt wpisany w okrąg ze średnicą jako bokiem**, to trójkąt jest prostokątny, a kąt naprzeciw średnicy ma \(90^\circ\). Dalej idziesz Pitagorasem lub trygonometrią.

Jeśli widzisz **czworokąt wpisany w okrąg**, to przeciwległe kąty sumują się do \(180^\circ\). Plus suma wszystkich kątów to \(360^\circ\) - razem masz układ równań.

Jeśli widzisz **dwa kąty wpisane patrzące na tę samą cięciwę z tej samej strony**, to są równe.

Jeśli widzisz **kąt między styczną a cięciwą**, to jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (z przeciwnego łuku).

Jeśli widzisz **trójkąt z dwoma wierzchołkami na okręgu i środkiem okręgu**, to jest równoramienny. To bardzo często wystarcza do całego rozwiązania.

## Powiązane tematy na maturze

Twierdzenie o kącie wpisanym świetnie współgra z innymi zagadnieniami planimetrii. Warto je opanować razem, bo na maturze coraz częściej pojawiają się zadania łączące kilka twierdzeń w jednym poleceniu. Sprawdź:

- [Pole trójkąta - 8 wzorów](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne) - wzór \(P = \frac{abc}{4R}\) łączy pole trójkąta z promieniem okręgu opisanego, który dostajesz z twierdzenia o kącie wpisanym.
- [Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania) - wzory \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\) i pochodne często wymagają znajomości kątów wpisanych.
- [Twierdzenie sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac) - twierdzenie sinusów to w istocie konsekwencja twierdzenia o kącie wpisanym.
- [Kąty w figurach - wpisane, środkowe, w trójkącie](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat) - szerszy przegląd kątów w geometrii płaskiej.
- [Trójkąt 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) - klasyczne trójkąty, które często pojawiają się w zadaniach z okręgiem opisanym.
- [Twierdzenie Pitagorasa - zadania i zastosowania](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - obowiązkowe do zadań z trójkątem wpisanym w okrąg, z bokiem na średnicy.

Jeśli chcesz przećwiczyć kąty wpisane na zadaniach maturalnych, polecam zacząć od zadania 16 z [arkusza Matura maj 2011](/matura-maj-2011-rozwiazania-arkusz), potem zadania 17 z [Matura maj 2020](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz) i zadania 21 z [Matura maj 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz). W pierwszym pułapką jest wklęsły kąt środkowy, a w dwóch pozostałych trzeba najpierw zauważyć trójkąt równoramienny zbudowany z dwóch promieni.

## Checklist - co musisz umieć przed maturą

Przed wejściem do sali sprawdź, czy potrafisz wszystko z poniższej listy bez zaglądania do notatek. Jeśli choć przy jednej rzeczy się zawahasz - wróć i przerób ją jeszcze raz.

Definicje: kąt środkowy (wierzchołek w środku, ramiona to promienie), kąt wpisany (wierzchołek na okręgu, ramiona to cięciwy), łuk, na którym kąt jest oparty.

Główne twierdzenie: \(\alpha = \frac{1}{2}\beta\), gdy oba są oparte na tym samym łuku.

Wniosek 1: kąt wpisany oparty na średnicy ma \(90^\circ\).

Wniosek 2: kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

Wniosek 3: w czworokącie wpisanym sumy przeciwległych kątów to \(180^\circ\).

Wniosek 4: kąt między cięciwą a styczną jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie z przeciwnego łuku.

Wzór "łuk ułamkiem okręgu": jeśli łuk to \(\frac{k}{n}\) długości okręgu, kąt środkowy to \(\frac{k}{n} \cdot 360^\circ\).

Trójkąt z dwoma wierzchołkami na okręgu i środkiem jest zawsze równoramienny.

Mając to opanowane, kąty w okręgu nie zabiorą ci na maturze więcej niż minutę za zadanie, a to są łatwe punkty. Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-sierpien-2024-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura poprawkowa sierpień 2024 - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania
description: Arkusz matury poprawkowej z matematyki, sierpień 2024, do rozwiązania w aplikacji. Rozkład kategorii i lista zadań z tego arkusza dostępnych w naszej bazie.
author: Filip Maszota
---

# Matura poprawkowa sierpień 2024 - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania

## O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2024

Matura poprawkowa z matematyki na poziomie podstawowym z sierpnia 2024 to szansa dla maturzystów, którzy nie zdali egzaminu w sesji majowej. Zgodnie z formułą obowiązującą w latach 2023-2024 czas na rozwiązanie arkusza na poziomie podstawowym to 180 minut, a próg zdawalności to 30% punktów możliwych do zdobycia.

Arkusz ma 30 zadań za 46 punktów, a próg to 14 punktów. Najdroższe zadanie jest z **geometrii analitycznej**: w zadaniu 21 z równań dwóch prostych i środka przekątnych wyznaczasz wierzchołek równoległoboku (4 punkty). Sporo punktów daje też algebra: dowód podzielności (zadanie 3, 2 pkt), równanie wielomianowe (zadanie 7, 3 pkt) i najmniejsza wartość wyrażenia \(2x^2+y^2\) (zadanie 30, 3 pkt).

Jeśli szukasz rozwiązań nowszych arkuszy, sprawdź [maturę z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) lub [maturę próbną CKE z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania). W naszej bazie znajdziesz 30 zadań z tego arkusza z interaktywnymi rozwiązaniami.

Numery zadań w tym artykule są takie same jak w oficjalnym arkuszu CKE i na stronach zadań w aplikacji.

## Rozkład kategorii w arkuszu

Poniższe zestawienie pochodzi z 30 pozycji tego arkusza dostępnych w naszej bazie:

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 7 | 11 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 5 | 10 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 3 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 3 | 3 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 3 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 5 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 3 |
| [Inne](/topics/inne) | 1 | 2 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 1 | 1 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 1 |

Kategorie w tej tabeli są szerokie. Pod geometrią analityczną są tu też kąt wpisany (zadanie 19), trapez prostokątny (20) i tabela z wynikami uczniów (28), a pod potęgami i pierwiastkami dowód podzielności (3), równanie wielomianowe (7), ciąg (13) i szukanie najmniejszej wartości wyrażenia (30). Zadań z prostymi i okręgami w układzie współrzędnych jest 4 (zadania 8, 21, 22 i 23), razem za 7 punktów.

## Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

### Potęgi i pierwiastki (zadanie 2)

Potęga o wykładniku ujemnym i ułamkowym to zamiana na pierwiastek z odwrotności podstawy. Pułapka: wykładnik \(-0{,}5\) to pierwiastek kwadratowy z odwrotności, nie z samej liczby.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-02

---

### Potęgi i pierwiastki (zadanie 3)

Dowód podzielności przez rozwinięcie kwadratu i wyłączenie wspólnego czynnika. Dowód podzielności albo reszty z dzielenia był w każdym majowym, czerwcowym i sierpniowym arkuszu podstawowym z lat 2023-2025, zwykle za 2 punkty. Wskazówka: rozwiń nawias i pogrupuj wyrazy tak, żeby wyciągnąć czwórkę przed nawias.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-03

---

### Geometria analityczna (zadanie 8)

Zadanie sprawdza, czy potrafisz rozpoznać na rysunku interpretację geometryczną układu dwóch równań liniowych - czyli parę prostych. Wskazówka: ze współrzędnych punktu przecięcia i nachylenia obu prostych na rysunku odczytaj znaki współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-08

---

### Funkcje (zadanie 9)

Odczyt własności funkcji z tabeli wartości - tu liczy się uważność, nie rachunki. Wskazówka: miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero, nie odwrotnie.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-09

---

### Trygonometria (zadanie 17)

Związek między sinusem kąta a bokami trójkąta prostokątnego plus dodatkowy warunek na różnicę długości boków daje układ równań. Wskazówka: podstaw \(\sin = \) przyprostokątna przez przeciwprostokątną i wyraź jeden bok przez drugi.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-23

---

### Geometria analityczna (zadanie 20)

Równość kątów przy punkcie na wysokości trapezu sugeruje podobieństwo trójkątów. Wskazówka: narysuj rysunek pomocniczy i oznacz kąty - to ułatwia dostrzeżenie odpowiednich trójkątów prostokątnych.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-26

---

### Geometria analityczna (zadanie 21)

Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku to jednocześnie środek każdej z nich. Wskazówka: wierzchołek A (wspólny dla obu podanych prostych AB i AD) wyznaczysz jako ich punkt przecięcia, a wierzchołek C z warunku, że S jest środkiem przekątnej AC. Wierzchołek B leży wtedy na przecięciu prostej AB z prostą przechodzącą przez C i równoległą do AD.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-27

---

### Stereometria (zadanie 24)

Zależność między liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi ostrosłupa prawidłowego wynika z tego, że podstawa ma \(n\) boków, a ścian bocznych też jest \(n\). Wskazówka: liczba ścian ostrosłupa to \(n\) (boczne) plus 1 (podstawa).

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-30

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz 30 zadań z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem:

**Zadania zamknięte:**
- [Zadanie 1](/task/matura-sierpie-2024-01) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 2](/task/matura-sierpie-2024-02) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 4](/task/matura-sierpie-2024-04) - Inne (2 pkt)
- [Zadanie 5](/task/matura-sierpie-2024-05) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 6](/task/matura-sierpie-2024-06) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-sierpie-2024-08) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-sierpie-2024-09) - Funkcje (2 pkt)
- [Zadanie 13](/task/matura-sierpie-2024-19) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-sierpie-2024-20) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-sierpie-2024-21) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 16](/task/matura-sierpie-2024-22) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 17](/task/matura-sierpie-2024-23) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-sierpie-2024-24) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 19](/task/matura-sierpie-2024-25) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 22](/task/matura-sierpie-2024-28) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 23](/task/matura-sierpie-2024-29) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 24](/task/matura-sierpie-2024-30) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 25](/task/matura-sierpie-2024-31) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 26](/task/matura-sierpie-2024-32) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-sierpie-2024-33) - Liczby rzeczywiste (1 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-sierpie-2024-34) - Geometria analityczna (1 pkt)

**Zadania otwarte:**
- [Zadanie 3](/task/matura-sierpie-2024-03) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
- [Zadanie 7](/task/matura-sierpie-2024-07) - Potęgi i pierwiastki (3 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-sierpie-2024-10) - Funkcja liniowa (1 pkt)
- [Zadanie 11](/task/matura-sierpie-2024-11) - Funkcje (3 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-sierpie-2024-15) - Funkcja kwadratowa (3 pkt)
- [Zadanie 20](/task/matura-sierpie-2024-26) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 21](/task/matura-sierpie-2024-27) - Geometria analityczna (4 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-sierpie-2024-35) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-sierpie-2024-36) - Potęgi i pierwiastki (3 pkt)

Cały arkusz: [Matura sierpień 2024 - wszystkie zadania](/exams/matura-sierpien-2024)

## Wnioski i wskazówki

1. **Geometria analityczna daje najdroższe zadanie** - zadanie 21 za 4 punkty, a do tego trzy zadania zamknięte z prostymi i okręgiem (8, 22 i 23). Musisz opanować: równanie prostej, środek odcinka, odległość punktu od prostej, symetralną, równanie okręgu. Ćwicz w dziale [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna).
2. **Potęgi, dowód i wielomian na początku arkusza** - potęga o wykładniku ujemnym (zadanie 2), dowód podzielności (3) i równanie wielomianowe rozwiązywane grupowaniem wyrazów (7) dają razem 6 punktów. Przejrzyj [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).
3. **Funkcje pojawiły się rzadziej, ale za spore punkty** - 2 zadania za łącznie 5 punktów: odczytywanie własności funkcji z tabeli (zadanie 9) i funkcja opisana słownie, czyli masa bańki z mlekiem (zadanie 11). To umiejętności, które musisz opanować.
4. **Stereometria za pewne punkty** - 3 zadania zamknięte po 1 punkcie. Wzory na objętości i pola brył znajdziesz w tablicach, ale musisz umieć je stosować.

Porównaj ten arkusz z [maturą z sierpnia 2023](/matura-sierpien-2023-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [maturą z maja 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć jak zmieniają się proporcje kategorii.

## Przygotuj się do następnej matury

Na [Sprawnej Maturze](/) masz ponad 2300 zadań z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Zacznij od [losowego zadania](/solve) i ćwicz codziennie - nawet 15 minut dziennie robi różnicę!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /bryly-obrotowe-matura-co-powstaje-z-obrotu-figury
title: Bryły obrotowe na maturze - co powstaje z obrotu figury
description: Co powstaje z obrotu prostokąta, trójkąta i półkola? Tabela wszystkich przypadków, reguła promień kontra wysokość i rozwiązane zadania CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Bryły obrotowe na maturze - co powstaje z obrotu figury

Obrót figury płaskiej wokół prostej daje bryłę obrotową: prostokąt obracany wokół boku daje walec, trójkąt prostokątny obracany wokół przyprostokątnej daje stożek, a półkole obracane wokół średnicy daje kulę. Zasada jest zawsze ta sama: oś obrotu wyznacza wysokość bryły, a największa odległość figury od osi wyznacza promień podstawy. Jeśli oś przecina figurę na dwie części, powstają dwie bryły sklejone wspólną podstawą.

To jest ten typ zadania, w którym cała trudność siedzi w jednym zdaniu treści: "wokół czego obracamy". Reszta to podstawienie do wzoru z karty wzorów. W bazie 2376 zadań z arkuszy CKE i arkuszy próbnych znaleźliśmy 4 zadania sformułowane wprost jako obrót figury i wszystkie były zadaniami zamkniętymi za 1 punkt. To znaczy jedno: jeżeli umiesz odczytać, co powstaje z obrotu, masz punkt w kilkadziesiąt sekund. Jeżeli nie umiesz, tracisz go bez walki.

## Co powstaje z obrotu figury: pełna tabela

Poniżej wszystkie przypadki, które realnie mogą pojawić się na maturze podstawowej. Kolumna "promień" i "wysokość" to dokładnie to, co podstawiasz do wzoru.

| Figura | Oś obrotu | Powstaje | Promień | Wysokość |
|---|---|---|---|---|
| Prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) | bok \(a\) | walec | \(r = b\) | \(h = a\) |
| Prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) | oś symetrii równoległa do \(a\) | walec | \(r = \frac{b}{2}\) | \(h = a\) |
| Kwadrat o boku \(a\) | bok | walec | \(r = a\) | \(h = a\) |
| Kwadrat o boku \(a\) | przekątna | dwa stożki wspólną podstawą | \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) | \(h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) każdy |
| Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a\), \(b\) | przyprostokątna \(b\) | stożek | \(r = a\) | \(h = b\) |
| Trójkąt prostokątny | przeciwprostokątna | dwa stożki wspólną podstawą | \(r = h_c\) (wysokość na przeciwprostokątną) | suma wysokości \(= c\) |
| Trójkąt równoramienny o podstawie \(a\) i wysokości \(h\) | wysokość opuszczona na podstawę | stożek | \(r = \frac{a}{2}\) | \(h\) |
| Trójkąt równoramienny | podstawa | dwa stożki wspólną podstawą | \(r = h\) | suma wysokości \(= a\) |
| Trójkąt równoboczny o boku \(a\) | wysokość | stożek | \(r = \frac{a}{2}\) | \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) |
| Półkole o promieniu \(R\) | średnica | kula | \(R\) | średnica \(= 2R\) |
| Koło o promieniu \(R\) | średnica | kula | \(R\) | \(2R\) |
| Trapez prostokątny | ramię prostopadłe do podstaw | stożek ścięty | dwa różne promienie | odległość podstaw |

Zapamiętaj jedną regułę zamiast całej tabeli: **bok leżący na osi obrotu staje się wysokością, bok prostopadły do osi staje się promieniem**. Wszystko inne z tej tabeli da się z tej reguły wyprowadzić na kartce w trzy sekundy.

## Jak w praktyce odczytać promień i wysokość

Narysuj oś obrotu jako pionową kreskę i przyłóż do niej figurę. Wysokość bryły to długość tego kawałka osi, który figura "zajmuje". Promień to odległość od osi do najdalszego punktu figury, mierzona prostopadle. Jeśli figura leży po obu stronach osi (jak trójkąt obracany wokół podstawy), obrót po jednej stronie i po drugiej daje tę samą bryłę, więc rysujesz tylko połowę.

To dlatego rysunek pomocniczy jest tu ważniejszy niż wzór. W oficjalnym rozwiązaniu CKE zadania z marca 2012 pierwszym krokiem jest dosłownie "sporządzenie rysunku poglądowego", a drugim "odczytanie odpowiedzi z rysunku". Nie ma tam żadnych obliczeń.

## Wzory, które musisz mieć pod ręką

Wszystkie trzy bryły obrotowe są w [karcie wzorów CKE dostępnej w aplikacji](/formulas), więc nie musisz ich pamiętać na pamięć. Musisz jednak wiedzieć, gdzie ich szukać i co oznacza każda litera.

Walec o promieniu \(r\) i wysokości \(h\):

$$V = \pi r^2 h, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h)$$

Stożek o promieniu \(r\), wysokości \(h\) i tworzącej \(l\):

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h, \qquad P_c = \pi r^2 + \pi r l, \qquad l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Kula o promieniu \(R\):

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3, \qquad P = 4\pi R^2$$

Uwaga na tworzącą stożka. Przy obrocie trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej tworząca \(l\) to po prostu przeciwprostokątna tego trójkąta. Nie musisz jej liczyć z twierdzenia Pitagorasa, jeśli już masz ją podaną w treści.

## Zadanie 19: promień stożka z obrotu trójkąta (Matura próbna marzec 2012)

Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(13\) i \(15\) wokół dłuższej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy:

A. \(15\) B. \(13\) C. \(7{,}5\) D. \(6{,}5\)

**Krok 1: ustal, która przyprostokątna jest osią**

Dłuższa przyprostokątna to \(15\). To ona leży na osi obrotu.

**Krok 2: odczytaj promień**

Promień to bok prostopadły do osi, czyli krótsza przyprostokątna: \(r = 13\).

**Odpowiedź: B**

Dwie odpowiedzi w tym zadaniu to pułapki na jeden konkretny błąd. Odpowiedź A to promień, gdyby ktoś pomylił osie. Odpowiedzi C i D to połowy przyprostokątnych, czyli klasyczny odruch "promień to połowa czegoś" przeniesiony z okręgu, gdzie połowa dotyczy średnicy, a nie boku trójkąta.

## Zadanie 22: objętość bryły z obrotu w wersji literowej (Matura sierpień 2015)

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a, b, c\), gdzie \(a \lt b \lt c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ\), otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa:

A. \(V = \frac{1}{3}a^2 b\pi\) B. \(V = a^2 b\pi\) C. \(V = \frac{1}{3}b^2 a\pi\) D. \(V = a^2\pi + \pi a c\)

**Krok 1: rozszyfruj oznaczenia**

Skoro \(a \lt b \lt c\), to najdłuższy bok \(c\) jest przeciwprostokątną. Przyprostokątne to \(a\) i \(b\), a dłuższa z nich to \(b\).

**Krok 2: przypisz promień i wysokość**

Oś obrotu to \(b\), więc \(h = b\). Promień to druga przyprostokątna, czyli \(r = a\).

**Krok 3: podstaw do wzoru na objętość stożka**

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi a^2 b$$

**Odpowiedź: A**

Odpowiedź C jest tu specjalnie przygotowana dla osób, które zamienią \(r\) z \(h\). Zauważ, że w takim zadaniu nie liczysz nic, tylko poprawnie przypisujesz litery. Więcej o tym, jak radzić sobie z zadaniami zapisanymi literami zamiast liczbami, znajdziesz we wpisie o [zadaniach zamkniętych i szybkich metodach ich rozwiązywania](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody).

## Zadanie 13: pole powierzchni walca z obrotu prostokąta (Matura próbna kwiecień 2015)

Prostokąt o bokach długości \(2\) i \(4\) obracamy wokół krótszego boku. Ile wynosi pole powierzchni całkowitej tak otrzymanej bryły?

A. \(16\pi\) B. \(24\pi\) C. \(32\pi\) D. \(48\pi\)

**Krok 1: rozpoznaj bryłę**

Prostokąt obracany wokół boku daje walec.

**Krok 2: przypisz wymiary**

Oś to bok długości \(2\), więc \(h = 2\). Bok prostopadły do osi ma długość \(4\), więc \(r = 4\).

**Krok 3: policz pole całkowite**

$$P_c = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 4 \cdot (4 + 2) = 8\pi \cdot 6 = 48\pi$$

**Odpowiedź: D**

Sprawdzenie rozbiciem na części: dwie podstawy to \(2 \cdot \pi \cdot 4^2 = 32\pi\), powierzchnia boczna to \(2\pi \cdot 4 \cdot 2 = 16\pi\), razem \(48\pi\). Zgadza się. Ten nawyk rozbijania pola całkowitego na podstawy plus bok opisaliśmy szerzej przy [obliczaniu pola i objętości walca](/jak-obliczyc-objetosc-walca-pole-powierzchni).

Zwróć uwagę na dystans między odpowiedziami A i D. Gdybyś pomylił oś obrotu i przyjął \(r = 2\), \(h = 4\), dostałbyś \(2\pi \cdot 2 \cdot 6 = 24\pi\), czyli odpowiedź B. Ta pomyłka jest w tym zadaniu przewidziana i punktowana zerem.

## Zadanie 28: stożek i walec o równych wysokościach (Matura maj 2026)

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy:

A. \(\frac{1}{12}\) B. \(\frac{1}{6}\) C. \(\frac{2}{3}\) D. \(\frac{4}{3}\)

**Krok 1: wprowadź oznaczenia**

Niech walec ma promień \(r\) i wysokość \(h\). Wtedy stożek ma promień \(2r\) i tę samą wysokość \(h\).

**Krok 2: zapisz obie objętości**

$$V_s = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 4r^2 h = \frac{4}{3}\pi r^2 h$$

$$V_w = \pi r^2 h$$

**Krok 3: policz stosunek**

$$\frac{V_s}{V_w} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^2 h}{\pi r^2 h} = \frac{4}{3}$$

**Odpowiedź: D**

To zadanie z arkusza [matury majowej 2026](/exams/matura-maj-2026) pokazuje, że bryły obrotowe wracają na maturze także w wersji porównawczej, bez żadnego obrotu w treści. Klucz jest w podniesieniu \(2r\) do kwadratu. Kto podniesie tylko \(r\), dostanie \(\frac{2}{3}\), czyli odpowiedź C.

## Trudniejszy przypadek: obrót wokół przeciwprostokątnej

Tu figura leży po obu stronach osi, więc powstają dwa stożki sklejone wspólną podstawą. Weź trójkąt prostokątny o bokach \(3\), \(4\), \(5\) i obróć go wokół przeciwprostokątnej.

**Krok 1: znajdź promień wspólnej podstawy**

Promień to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną. Liczysz ją z porównania pól:

$$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_c \implies h_c = \frac{12}{5} = 2{,}4$$

**Krok 2: policz objętość obu stożków naraz**

Wysokości obu stożków sumują się do długości przeciwprostokątnej, czyli do \(5\). Dlatego nie musisz ich liczyć osobno:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 2{,}4^2 \cdot 5 = 9{,}6\pi$$

**Krok 3: policz pole powierzchni**

Bryła nie ma żadnej podstawy w postaci koła, bo obie podstawy stożków są sklejone w środku. Zostają tylko dwie powierzchnie boczne, a tworzące to przyprostokątne \(3\) i \(4\):

$$P = \pi r \cdot 3 + \pi r \cdot 4 = \pi \cdot 2{,}4 \cdot 7 = 16{,}8\pi$$

Zapamiętaj ten trik z sumą wysokości. Działa zawsze, gdy dwa stożki mają wspólną podstawę, i skraca zadanie o dwa kroki.

## Kwadrat obracany wokół przekątnej

Weź kwadrat o boku \(6\) i obróć go wokół przekątnej. [Przekątna kwadratu](/przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura#przekatna-kwadratu-skad-bierze-sie-a-2) to \(d = 6\sqrt{2}\). Przekątne kwadratu przecinają się w połowie i pod kątem prostym, więc:

- promień wspólnej podstawy: \(r = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}\),
- wysokość każdego ze stożków: \(h = \frac{d}{2} = 3\sqrt{2}\).

$$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{2}{3}\pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot 3\sqrt{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot 18 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\,\pi$$

Najczęstszy błąd w tym zadaniu to przyjęcie \(r = 6\), czyli mylenie boku z połową przekątnej. Jeśli chcesz przećwiczyć samo liczenie przekątnych i wysokości w figurach, przyda się wpis o [zależnościach boków w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Trójkąt równoramienny: dwa obroty, dwie różne bryły

Ta sama figura, dwie różne osie, dwa zupełnie różne wyniki. Weź trójkąt równoramienny o ramionach \(10\) i podstawie \(12\). Najpierw policz wysokość opuszczoną na podstawę, bo przyda się w obu wariantach. Wysokość dzieli podstawę na połowy, więc z twierdzenia Pitagorasa:

$$h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$$

**Wariant 1: obrót wokół wysokości**

Oś przechodzi przez wierzchołek prostopadle do podstawy, więc powstaje jeden stożek. Promieniem jest połowa podstawy, wysokością odcinek \(h\), a tworzącą ramię trójkąta:

$$r = 6, \quad h = 8, \quad l = 10$$

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi, \qquad P_c = \pi \cdot 6^2 + \pi \cdot 6 \cdot 10 = 36\pi + 60\pi = 96\pi$$

**Wariant 2: obrót wokół podstawy**

Teraz oś leży wzdłuż podstawy, a wierzchołek zakreśla okrąg o promieniu równym wysokości trójkąta. Powstają dwa stożki sklejone wspólną podstawą, o promieniu \(r = 8\) i sumie wysokości równej podstawie, czyli \(12\):

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 256\pi$$

Pole powierzchni to dwie powierzchnie boczne, których tworzącymi są ramiona trójkąta:

$$P = \pi \cdot 8 \cdot 10 + \pi \cdot 8 \cdot 10 = 160\pi$$

Objętość różni się prawie trzykrotnie, mimo że figura jest ta sama. Dlatego pierwsze zdanie treści, to o osi obrotu, jest w tym typie zadania ważniejsze niż wszystkie liczby razem wzięte.

## Typowe pułapki

**Zamiana promienia z wysokością.** Najczęstszy błąd w całym temacie. Zawsze podpisuj na rysunku, który bok leży na osi.

**"Dłuższa przyprostokątna" nie znaczy "większy promień".** Obrót wokół dłuższej przyprostokątnej daje mniejszy promień, bo promieniem zostaje ta krótsza. Treść zadania celowo brzmi mylnie.

**Zapominanie o podstawie w polu całkowitym.** Pole powierzchni bocznej stożka to \(\pi r l\), ale pole całkowite to \(\pi r^2 + \pi r l\). Sprawdź w treści, o które pole pytają.

**Tworząca zamiast wysokości we wzorze na objętość.** We wzorze \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) występuje wysokość, a nie tworząca. Jeśli w treści masz \(l\), najpierw policz \(h = \sqrt{l^2 - r^2}\).

**Podwójne liczenie sklejonej podstawy.** Gdy dwa stożki mają wspólną podstawę, ta podstawa jest w środku bryły i nie należy do jej powierzchni. Nie dodawaj \(\pi r^2\).

**Jednostki i \(\pi\).** Odpowiedzi w zadaniach zamkniętych są zwykle podane z \(\pi\), więc nie zaokrąglaj po drodze. Zostaw \(\pi\) jako symbol do samego końca.

## Najczęstsze pytania

### Co powstaje z obrotu prostokąta wokół boku?
Powstaje walec. Bok leżący na osi obrotu staje się wysokością walca, a bok do niego prostopadły staje się promieniem podstawy. Jeśli obracasz kwadrat o boku a wokół boku, dostajesz walec o promieniu a i wysokości a.

### Co powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego?
Zależy od osi. Obrót wokół przyprostokątnej daje stożek, w którym ta przyprostokątna jest wysokością, druga przyprostokątna promieniem, a przeciwprostokątna tworzącą. Obrót wokół przeciwprostokątnej daje dwa stożki sklejone wspólną podstawą o promieniu równym wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

### Czy bryły obrotowe są na maturze podstawowej?
Tak. Walec, stożek i kula są w wymaganiach egzaminacyjnych i mają swoje wzory w karcie wzorów CKE. Zadania z obrotem figury pojawiały się w arkuszach jako zadania zamknięte za 1 punkt, a same bryły obrotowe wracają też w innych ujęciach, na przykład w zadaniu 28 z matury w maju 2026 o stosunku objętości stożka do walca.

### Jak obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu?
Najpierw rozpoznaj bryłę, potem odczytaj promień i wysokość z rysunku, a na końcu podstaw do wzoru z karty wzorów. Dla walca V = pi r kwadrat razy h, dla stożka jedna trzecia tego samego iloczynu, dla kuli cztery trzecie pi r do sześcianu. Jeśli powstały dwie bryły, policz objętości osobno i dodaj.

### Co powstaje z obrotu półkola wokół średnicy?
Kula o promieniu równym promieniowi półkola. Obrót pełnego koła wokół średnicy daje dokładnie tę samą kulę, bo dwie połowy koła zakreślają tę samą bryłę.

### Czy trzeba umieć rysować przekrój osiowy?
Nie musisz go rysować ładnie, ale musisz go rozumieć. Przekrój osiowy walca to prostokąt, stożka trójkąt równoramienny, a kuli koło wielkie. To dokładnie ta figura, którą obracałeś, sklejona ze swoim odbiciem. Temat rozwijamy w osobnym wpisie o [przekrojach brył płaszczyzną](/przekroj-bryly-plaszczyzna-stozek-walec-szescian-matura).

### Ile czasu powinno zająć takie zadanie?
Zadanie zamknięte z obrotem figury powinno zająć od 30 sekund do 2 minut, bo cała praca to rysunek i jedno podstawienie. Jeśli zajmuje ci więcej, problemem jest zwykle rysunek, a nie rachunki.

## Checklista: co musisz umieć

- Rozpoznać bryłę powstałą z obrotu prostokąta, kwadratu, trójkąta prostokątnego, trójkąta równoramiennego i półkola.
- Poprawnie przypisać promień i wysokość: oś to wysokość, prostopadła odległość to promień.
- Wiedzieć, że obrót wokół osi przecinającej figurę daje dwie bryły sklejone wspólną podstawą.
- Policzyć wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną z porównania pól trójkąta.
- Odróżnić tworzącą od wysokości stożka i przechodzić między nimi przez \(l^2 = r^2 + h^2\).
- Policzyć pole całkowite i objętość walca, stożka i kuli, korzystając z karty wzorów.
- Nie dodawać pola sklejonej podstawy w bryle złożonej z dwóch stożków.

Najszybszy sposób na utrwalenie tego typu: przerób zadania ze [Stereometrii w bazie zadań CKE](/topics/stereometria), gdzie 204 zadania są posortowane według tematu, a każde ma pełne rozwiązanie krok po kroku. Jeśli chcesz najpierw dobrać wzory, zajrzyj do wpisów o [objętości i polu stożka](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-stozka-wzory-zadania-matura) oraz o [kuli wpisanej i opisanej](/kula-wpisana-i-opisana-promien-szescian-ostroslup-matura). A jeśli powtarzasz teraz cały materiał przed poprawką, drugim tematem, który zwraca punkty najszybciej, jest prawdopodobieństwo z kostkami: zobacz, jak [tabela 36 wyników rozwiązuje niemal każde zadanie z dwoma rzutami kostką](/rzut-dwiema-kostkami-prawdopodobienstwo-tabela-36-wynikow).

Chcesz sprawdzić, czy naprawdę to umiesz? Odpal [losowe zadanie z bazy CKE](/random) i zobacz, ile zajmie ci przypisanie promienia i wysokości bez patrzenia na rozwiązanie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wielokat-foremny-katy-przekatne-wzory-zadania-matura
title: Wielokąt foremny - kąty, przekątne, wzory i zadania maturalne
description: Wielokąt foremny na maturze: suma kątów wewnętrznych, kąt wielokąta foremnego i liczba przekątnych. Wzory i zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Wielokąt foremny - kąty, przekątne, wzory i zadania maturalne

Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równe. Trzy wzory załatwiają większość zadań maturalnych: suma kątów wewnętrznych n-kąta to \((n-2) \cdot 180^{\circ}\), kąt wewnętrzny n-kąta foremnego to \(\frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}\), a liczba przekątnych to \(\frac{n(n-3)}{2}\).

CKE sięga po wielokąty foremne regularnie i niemal zawsze w zadaniach zamkniętych za 1 punkt: na maturze w maju 2010 (zadanie 13) trzeba było policzyć przekątne siedmiokąta foremnego, a na maturze w czerwcu 2025 (zadanie 20) kąt wpisany oparty na wierzchołkach dziesięciokąta foremnego. Oba zadania rozwiązujemy niżej krok po kroku, razem z kompletem wzorów, których potrzebujesz.

## Co to jest wielokąt foremny

Wielokąt foremny to wielokąt wypukły, którego wszystkie boki mają równe długości i wszystkie kąty wewnętrzne mają równe miary. Najprostsze przykłady to trójkąt równoboczny (trzy boki) i kwadrat (cztery boki), dalej pięciokąt foremny, sześciokąt foremny i tak dalej. Dla każdej liczby \(n \geq 3\) istnieje dokładnie jeden kształt n-kąta foremnego.

Dwie własności, które CKE lubi wykorzystywać:

- Na każdym wielokącie foremnym można **opisać okrąg** i w każdy można **wpisać okrąg**. Oba okręgi mają wspólny środek, nazywany środkiem wielokąta.
- Wierzchołki wielokąta foremnego dzielą okrąg opisany na \(n\) równych łuków, każdy o mierze \(\frac{360^{\circ}}{n}\). Ta obserwacja jest kluczem do zadań łączących wielokąty z [kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania).

## Suma kątów wewnętrznych wielokąta - wzór

Suma kątów wewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego o \(n\) bokach wynosi \((n-2) \cdot 180^{\circ}\). Wzór działa dla każdego wielokąta wypukłego, nie tylko foremnego: dla trójkąta daje \(180^{\circ}\), dla czworokąta \(360^{\circ}\), dla pięciokąta \(540^{\circ}\).

Skąd się bierze ten wzór? Wybierz jeden wierzchołek wielokąta i poprowadź z niego wszystkie przekątne. Podzielą one wielokąt na \(n-2\) trójkątów, a suma kątów każdego trójkąta to \(180^{\circ}\). Kąty tych trójkątów składają się dokładnie na kąty wielokąta, więc ich suma wynosi \((n-2) \cdot 180^{\circ}\). Nie musisz tego wzoru wkuwać na ślepo, wystarczy pamiętać obrazek z podziałem na trójkąty.

## Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego - wzór i tabela

W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt wewnętrzny to suma kątów podzielona przez ich liczbę:

$$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}$$

Warto też znać kąt środkowy: odcinki łączące środek wielokąta z wierzchołkami dzielą kąt pełny na \(n\) równych części, każda po \(\frac{360^{\circ}}{n}\). Zachodzi przy tym wygodna zależność: \(\alpha = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}\), czyli kąt wewnętrzny i kąt środkowy zawsze sumują się do \(180^{\circ}\).

| Wielokąt | \(n\) | Kąt wewnętrzny | Suma kątów |
|---|---|---|---|
| trójkąt równoboczny | 3 | \(60^{\circ}\) | \(180^{\circ}\) |
| kwadrat | 4 | \(90^{\circ}\) | \(360^{\circ}\) |
| pięciokąt foremny | 5 | \(108^{\circ}\) | \(540^{\circ}\) |
| sześciokąt foremny | 6 | \(120^{\circ}\) | \(720^{\circ}\) |
| ośmiokąt foremny | 8 | \(135^{\circ}\) | \(1080^{\circ}\) |
| dziesięciokąt foremny | 10 | \(144^{\circ}\) | \(1440^{\circ}\) |
| dwunastokąt foremny | 12 | \(150^{\circ}\) | \(1800^{\circ}\) |

## Liczba przekątnych wielokąta - wzór

Liczba przekątnych wielokąta o \(n\) bokach wynosi \(\frac{n(n-3)}{2}\). Czworokąt ma 2 przekątne, pięciokąt 5, sześciokąt 9, siedmiokąt 14, a dziesięciokąt już 35.

Skąd ten wzór? Z każdego z \(n\) wierzchołków wychodzi \(n-3\) przekątnych: nie łączysz wierzchołka z nim samym ani z dwoma sąsiadami, bo odcinki do sąsiadów to boki. Iloczyn \(n(n-3)\) liczy jednak każdą przekątną dwa razy, raz z każdego końca, dlatego na końcu dzielisz przez 2.

## Sześciokąt foremny - ulubiona figura CKE

Sześciokąt foremny warto znać osobno, bo ma wyjątkową własność: promień okręgu opisanego jest równy bokowi, \(R = a\). Przekątne przechodzące przez środek dzielą go bowiem na 6 trójkątów równobocznych o boku \(a\).

Z tego natychmiast wynikają pozostałe wzory: promień okręgu wpisanego to wysokość trójkąta równobocznego, czyli \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), a pole to sześć pól trójkąta równobocznego: \(P = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\). Pełne wyprowadzenie i więcej zadań z polami znajdziesz w poście o [polu sześciokąta foremnego](/jak-obliczyc-pole-szesciokata-foremnego-wzor-zadania).

## Zadania maturalne z rozwiązaniami krok po kroku

### Zadanie 1: liczba przekątnych (Matura maj 2010, zadanie 13)

Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa: A) 7, B) 14, C) 21, D) 28.

**Krok 1: zapisz wzór.** Liczba przekątnych n-kąta to \(\frac{n(n-3)}{2}\).

**Krok 2: podstaw n = 7.** \(\frac{7 \cdot (7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14\).

**Krok 3: wybierz odpowiedź.** Prawidłowa jest B. Zwróć uwagę, że 28 (odpowiedź D) to wynik bez podzielenia przez 2, czyli klasyczny dystraktor. Możesz [przećwiczyć to zadanie w naszej bazie](/task/matura-maj-2010-13).

### Zadanie 2: ile boków ma wielokąt o danym kącie

Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę \(144^{\circ}\). Ile boków ma ten wielokąt?

**Krok 1: zapisz równanie.** \(\frac{(n-2) \cdot 180}{n} = 144\).

**Krok 2: pomnóż obie strony przez n.** \(180n - 360 = 144n\).

**Krok 3: rozwiąż.** \(36n = 360\), czyli \(n = 10\). To dziesięciokąt foremny.

Szybsza droga: kąt środkowy to \(180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}\), więc \(n = \frac{360^{\circ}}{36^{\circ}} = 10\). Obie metody dają ten sam wynik, druga jest szybsza w zadaniach zamkniętych.

### Zadanie 3: kąt wpisany w dziesięciokącie (Matura czerwiec 2025, zadanie 20)

Na dziesięciokącie foremnym \(ABCDEFGHIJ\) opisano okrąg o środku \(S\). Miara kąta wpisanego \(AGD\) jest równa: A) \(18^{\circ}\), B) \(36^{\circ}\), C) \(54^{\circ}\), D) \(60^{\circ}\).

**Krok 1: podziel okrąg na łuki.** Wierzchołki dziesięciokąta foremnego dzielą okrąg opisany na 10 równych łuków, każdy o mierze \(\frac{360^{\circ}}{10} = 36^{\circ}\).

**Krok 2: znajdź łuk, na którym oparty jest kąt.** Kąt \(AGD\) ma wierzchołek w punkcie \(G\), a ramiona przechodzą przez \(A\) i \(D\). Jest więc oparty na łuku od \(A\) do \(D\) niezawierającym punktu \(G\): to łuki \(AB\), \(BC\) i \(CD\), razem \(3 \cdot 36^{\circ} = 108^{\circ}\).

**Krok 3: zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym.** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku: \(\frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}\). Prawidłowa odpowiedź to C.

To zadanie pokazuje typowe połączenie tematów: wielokąt foremny plus [twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania). Cały arkusz z tej sesji przećwiczysz na stronie [matury z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025).

### Zadanie 4: od sumy kątów do liczby przekątnych

Suma kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi \(1440^{\circ}\). Oblicz liczbę jego przekątnych.

**Krok 1: wyznacz n.** \((n-2) \cdot 180 = 1440\), więc \(n - 2 = 8\), czyli \(n = 10\).

**Krok 2: policz przekątne.** \(\frac{10 \cdot (10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35\).

Odpowiedź: wielokąt ma 35 przekątnych.

### Zadanie 5: sześciokąt foremny wpisany w okrąg

Sześciokąt foremny jest wpisany w okrąg o promieniu 6. Oblicz obwód i pole tego sześciokąta.

**Krok 1: wykorzystaj własność R = a.** W sześciokącie foremnym bok jest równy promieniowi okręgu opisanego, więc \(a = 6\).

**Krok 2: oblicz obwód.** \(L = 6a = 6 \cdot 6 = 36\).

**Krok 3: oblicz pole.** \(P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\).

Odpowiedź: obwód wynosi 36, a pole \(54\sqrt{3}\).

## Typowe pułapki w zadaniach o wielokątach

- **Zapominanie o dzieleniu przez 2 we wzorze na przekątne.** Iloczyn \(n(n-3)\) liczy każdą przekątną dwukrotnie. W zadaniu 1 dystraktorem było właśnie 28 zamiast 14.
- **Mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym.** Kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego to \(144^{\circ}\), a kąt środkowy \(36^{\circ}\). Suma tych dwóch kątów zawsze daje \(180^{\circ}\), więc masz szybki test poprawności obliczeń.
- **Odejmowanie 2 zamiast 3 we wzorze na przekątne.** Z wierzchołka nie poprowadzisz przekątnej do niego samego ani do dwóch sąsiadów, dlatego w liczniku stoi \(n-3\).
- **Stosowanie wzoru na kąt foremny do wielokąta, który foremny nie jest.** Suma \((n-2) \cdot 180^{\circ}\) działa dla każdego wielokąta wypukłego, ale dzielenie przez \(n\) daje miarę kąta tylko wtedy, gdy wszystkie kąty są równe.
- **Odpowiadanie na złe pytanie.** Jeśli obliczysz \(n = 10\), a pytanie brzmi o liczbę przekątnych, zaznaczenie odpowiedzi "10" to strata punktu. Po obliczeniach zawsze wróć do treści pytania.

## Checklista: co musisz umieć przed maturą

- Podać definicję wielokąta foremnego: równe boki i równe kąty.
- Obliczyć sumę kątów wewnętrznych ze wzoru \((n-2) \cdot 180^{\circ}\).
- Obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego i odwrotnie, z danego kąta wyznaczyć \(n\).
- Policzyć przekątne ze wzoru \(\frac{n(n-3)}{2}\).
- Wykorzystać podział okręgu opisanego na \(n\) równych łuków w zadaniach z kątami wpisanymi.
- Stosować własności sześciokąta foremnego: \(R = a\), \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), \(P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\).

Wszystkie twierdzenia z tego działu zbiera nasz [przewodnik po planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag). Jeśli chcesz przećwiczyć więcej zadań, wejdź na stronę działu [Planimetria](/topics/planimetria) albo przejrzyj [zadania CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami), a wzory na pola wszystkich figur powtórzysz w [zestawieniu pól i obwodów](/pole-obwod-figur-matura-wzory).

## Najczęstsze pytania

### Jaki wielokąt nazywamy foremnym?
Wielokąt foremny to wielokąt wypukły, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne równych miar. Przykłady to trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny i sześciokąt foremny. Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy taki wielokąt można wpisać okrąg.

### Jak obliczyć kąt wewnętrzny wielokąta foremnego?
Ze wzoru \(\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}\), gdzie \(n\) to liczba boków. Na przykład dla ośmiokąta foremnego \(\alpha = \frac{6 \cdot 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ}\). Szybsza wersja: policz kąt środkowy \(\frac{360^{\circ}}{n}\) i odejmij go od \(180^{\circ}\).

### Ile przekątnych ma wielokąt o n bokach?
Liczba przekątnych wynosi \(\frac{n(n-3)}{2}\). Czworokąt ma 2 przekątne, pięciokąt 5, sześciokąt 9, siedmiokąt 14, a dziesięciokąt 35. Wzór bierze się stąd, że z każdego z \(n\) wierzchołków wychodzi \(n-3\) przekątnych, a każda przekątna jest liczona z obu końców.

### Dlaczego suma kątów wielokąta to (n-2) razy 180 stopni?
Bo przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą wielokąt wypukły o \(n\) bokach na \(n-2\) trójkąty, a suma kątów każdego trójkąta wynosi \(180^{\circ}\). Kąty wszystkich tych trójkątów składają się dokładnie na kąty wielokąta.

### Ile wynosi kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego?
\(120^{\circ}\). Suma kątów sześciokąta to \((6-2) \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}\), a w wersji foremnej dzieli się ją równo na 6 kątów. Kąt środkowy sześciokąta foremnego to \(60^{\circ}\) i właśnie dlatego figura składa się z sześciu trójkątów równobocznych.

### Czy zadania o wielokątach foremnych często pojawiają się na maturze?
Tak, regularnie, niemal zawsze jako zadania zamknięte za 1 punkt. W naszej bazie znajdziesz między innymi zadanie o przekątnych siedmiokąta z matury maj 2010 i zadanie o kącie wpisanym w dziesięciokącie foremnym z matury czerwiec 2025. Do ich rozwiązania wystarczą trzy wzory z tego artykułu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /czy-punkt-nalezy-do-wykresu-funkcji-wartosc-funkcji-dla-argumentu-matura
title: Czy punkt należy do wykresu funkcji - wartość funkcji dla argumentu i parametr z punktu (zadania maturalne)
description: Jak sprawdzić, czy punkt należy do wykresu funkcji: podstaw x do wzoru i porównaj z y. Wartość funkcji, parametr z punktu i 7 zadań z matury krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Czy punkt należy do wykresu funkcji - wartość funkcji dla argumentu i parametr z punktu (zadania maturalne)

Punkt \(P = (x_0, y_0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x_0\) należy do dziedziny funkcji i \(f(x_0) = y_0\). Żeby to sprawdzić, podstawiasz pierwszą współrzędną punktu za \(x\) do wzoru funkcji i porównujesz wynik z drugą współrzędną: równe, to punkt leży na wykresie, różne, to nie leży. Ta sama równość \(f(x_0) = y_0\) działa w drugą stronę: gdy we wzorze jest niewiadomy współczynnik albo parametr, a punkt na pewno leży na wykresie, podstawienie daje równanie, z którego ten współczynnik wyliczasz.

To jedna z najczęstszych czynności w zadaniach z funkcji na maturze podstawowej. Czasem jest całym zadaniem zamkniętym za 1 punkt (jak w [maju 2020, zadanie 16](/task/matura-maj-2020-16)), a czasem pierwszym krokiem zadania otwartego, w którym z punktu wyznaczasz współczynnik, a dopiero potem liczysz wartość najmniejszą albo miejsca zerowe. W arkuszu z maja 2026 ([zadanie 13.1](/task/matura-maj-2026-14)) wykres funkcji liniowej przechodził przez dwa podane punkty i trzeba było ocenić zdania o jej wzorze. Poniżej masz regułę, trzy pokrewne czynności (wartość funkcji dla argumentu, argument dla danej wartości, parametr z punktu), siedem rozwiązanych przykładów z arkuszy i pułapki, na których najczęściej traci się punkt.

## Co znaczy, że punkt należy do wykresu funkcji

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów \((x, f(x))\), gdzie \(x\) przebiega dziedzinę. Pierwsza współrzędna punktu to argument, druga to wartość funkcji dla tego argumentu. Punkt \((3, 7)\) leży na wykresie dokładnie wtedy, gdy funkcja dla argumentu \(3\) przyjmuje wartość \(7\).

Z tej definicji biorą się cztery typy poleceń, które na maturze wyglądają różnie, a rozwiązuje się je tym samym podstawieniem:

- **Oblicz wartość funkcji dla argumentu.** Masz wzór i \(x_0\), liczysz \(f(x_0)\).
- **Sprawdź, czy punkt należy do wykresu.** Masz wzór i cały punkt, liczysz \(f(x_0)\) i porównujesz z \(y_0\).
- **Wyznacz argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość.** Masz wzór i \(y_0\), rozwiązujesz równanie \(f(x) = y_0\).
- **Wyznacz współczynnik albo parametr.** Masz wzór z niewiadomą i punkt, który na pewno leży na wykresie, rozwiązujesz równanie \(f(x_0) = y_0\) względem tej niewiadomej.

W każdym z tych typów błąd rzadko bierze się z teorii. Punkty giną na rachunku: na potędze liczby ujemnej, na zamienionych współrzędnych i na zapomnianej dziedzinie.

## Jak sprawdzić, czy punkt leży na wykresie: trzy kroki

Sprawdzenie zawsze idzie tak samo: bierzesz współrzędną \(x\) punktu, wstawiasz ją do wzoru w nawiasie, liczysz wynik i porównujesz z współrzędną \(y\). Zgodność oznacza, że punkt należy do wykresu, a różnica, że nie należy. Przed podstawieniem sprawdź jeszcze, czy \(x\) w ogóle należy do dziedziny funkcji.

Rozpisane na kroki:

1. Sprawdź, czy \(x_0\) należy do dziedziny. Dla \(f(x) = \frac{2}{x - 4}\) punkt o pierwszej współrzędnej \(4\) odpada od razu, bez liczenia.
2. Podstaw \(x_0\) do wzoru, zawsze w nawiasie: \(f(-3) = (-3)^2 - 2 \cdot (-3)\), a nie \(-3^2 - 2 \cdot -3\).
3. Porównaj wynik z \(y_0\). Równość to odpowiedź „tak", każda inna liczba to odpowiedź „nie".

Wartość funkcji dla argumentu to ten sam rachunek bez kroku trzeciego. Jeśli wykres jest narysowany, a wzoru nie ma, odczytujesz wartość z rysunku, o czym piszę osobno we wpisie o [odczytywaniu własności funkcji z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura).

## Wzory

Punkt należy do wykresu funkcji:

$$P = (x_0, y_0) \in \text{wykres } f \iff x_0 \in D_f \ \text{i}\ f(x_0) = y_0$$

Wartość funkcji dla argumentu:

$$y_0 = f(x_0)$$

Punkt przecięcia z osią OY:

$$(0,\ f(0))$$

Miejsce zerowe jako punkt wykresu:

$$f(x_0) = 0 \iff (x_0,\ 0) \in \text{wykres } f$$

Ostatnie dwa wzory to szczególne przypadki pierwszego. Punkt na osi \(OY\) ma pierwszą współrzędną \(0\), więc jego druga współrzędna to \(f(0)\). Punkt na osi \(OX\) ma drugą współrzędną \(0\), więc jego pierwsza współrzędna jest [miejscem zerowym funkcji](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac). Dla funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\) z tego pierwszego wynika od razu \(f(0) = b\): wyraz wolny to rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \(OY\).

## Przykład 1: Wartość funkcji dla argumentu (matura sierpień 2013, zadanie 5)

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{2x}{x - 1}\) dla \(x \neq 1\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x = 2\) jest równa:

- A) \(2\)
- B) \(-4\)
- C) \(4\)
- D) \(-2\)

**Krok 1: Sprawdź dziedzinę.** Wzór wyklucza tylko \(x = 1\), więc argument \(2\) jest dozwolony.

**Krok 2: Podstaw argument do wzoru.**

$$f(2) = \frac{2 \cdot 2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4$$

**Odpowiedź: C.** Wartość funkcji dla argumentu \(2\) wynosi \(4\).

## Przykład 2: Które punkty należą do wykresu funkcji kwadratowej

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = x^2 - 3x + 1\). Sprawdź, które z punktów \(A = (2, -1)\), \(B = (-1, 3)\), \(C = (0, 1)\) należą do wykresu tej funkcji.

**Krok 1: Punkt A.** Podstawiasz \(x = 2\):

$$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1$$

Wynik jest równy drugiej współrzędnej punktu \(A\), więc \(A\) leży na wykresie.

**Krok 2: Punkt B.** Podstawiasz \(x = -1\), w nawiasie:

$$f(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$$

Wynik \(5\) jest różny od \(3\), więc \(B\) nie leży na wykresie.

**Krok 3: Punkt C.** Dla \(x = 0\) zostaje sam wyraz wolny: \(f(0) = 1\). To druga współrzędna punktu \(C\), więc \(C\) leży na wykresie, i to na osi \(OY\).

**Odpowiedź:** do wykresu należą punkty \(A\) i \(C\), punkt \(B\) nie należy.

## Przykład 3: Wyraz wolny funkcji liniowej z punktu (matura maj 2020, zadanie 16)

**Treść:** Punkt \(A = \left(\frac{1}{3}, -1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x) = 3x + b\). Wynika stąd, że:

- A) \(b = 2\)
- B) \(b = 1\)
- C) \(b = -1\)
- D) \(b = -2\)

**Krok 1: Zapisz warunek przynależności.** Skoro punkt leży na wykresie, to \(f\left(\frac{1}{3}\right) = -1\).

**Krok 2: Podstaw i rozwiąż równanie z niewiadomą b.**

$$3 \cdot \frac{1}{3} + b = -1 \quad\Rightarrow\quad 1 + b = -1 \quad\Rightarrow\quad b = -2$$

**Odpowiedź: D.** Wzór funkcji to \(f(x) = 3x - 2\).

## Przykład 4: Parametr, który może mieć dwie wartości (matura próbna kwiecień 2015, zadanie 4)

**Treść:** Do wykresu funkcji \(f(x) = (m - 1)x + m^2 + 1\) należy punkt \(P = (0, 5)\). Parametr \(m\) może być równy:

- A) \(0\)
- B) \(1\)
- C) \(2\)
- D) \(\sqrt6\)

**Krok 1: Podstaw punkt.** Dla \(x = 0\) składnik z \(x\) znika:

$$f(0) = (m - 1) \cdot 0 + m^2 + 1 = m^2 + 1$$

**Krok 2: Przyrównaj do drugiej współrzędnej.**

$$m^2 + 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad m^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad m = 2 \ \text{lub}\ m = -2$$

**Krok 3: Porównaj z odpowiedziami.** Wśród podanych liczb jest tylko \(2\). Słowo „może" w poleceniu sygnalizuje właśnie to: warunek spełniają dwie wartości, a w odpowiedziach stoi jedna z nich.

**Odpowiedź: C.** Parametr może być równy \(2\) (albo \(-2\), której nie ma wśród odpowiedzi).

## Przykład 5: Niewiadoma w pierwszej współrzędnej punktu (matura próbna Operon listopad 2011, zadanie 11)

**Treść:** Punkt \(P = (a + 1, 2)\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = \frac{4}{x}\). Liczba \(a\) jest równa:

- A) \(0\)
- B) \(-1\)
- C) \(2\)
- D) \(1\)

**Krok 1: Zapisz warunek.** Pierwsza współrzędna to \(a + 1\), druga to \(2\), więc \(f(a + 1) = 2\).

**Krok 2: Rozwiąż równanie.**

$$\frac{4}{a + 1} = 2 \quad\Rightarrow\quad a + 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad a = 1$$

**Krok 3: Sprawdź dziedzinę.** Argument \(a + 1 = 2\) jest różny od zera, więc punkt \((2, 2)\) rzeczywiście leży na wykresie. To funkcja proporcjonalności odwrotnej, którą szerzej omawiam we wpisie o [proporcjonalności odwrotnej](/proporcjonalnosc-odwrotna-wzor-wykres-zadania-matura).

**Odpowiedź: D.** Liczba \(a\) jest równa \(1\).

## Przykład 6: Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje daną wartość

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = x^2 - 4x\). Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość \(5\).

**Krok 1: Zapisz równanie.** Szukasz takich \(x\), że \(f(x) = 5\):

$$x^2 - 4x = 5 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 4x - 5 = 0$$

**Krok 2: Rozwiąż równanie kwadratowe.** Wyróżnik \(\Delta = 16 + 20 = 36\), więc \(\sqrt{\Delta} = 6\) i

$$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

**Krok 3: Sprawdź jeden z wyników.** \(f(5) = 25 - 20 = 5\), zgadza się.

**Odpowiedź:** funkcja przyjmuje wartość \(5\) dla argumentów \(-1\) i \(5\), czyli do wykresu należą punkty \((-1, 5)\) i \((5, 5)\).

## Przykład 7: Punkt wyznacza współczynnik paraboli (matura sierpień 2017, zadanie 32)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1 = -2\) i \(x_2 = 6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A = (1, -5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

**Krok 1: Zapisz postać iloczynową.** Znane miejsca zerowe dają wzór z jedną niewiadomą:

$$f(x) = a(x + 2)(x - 6)$$

**Krok 2: Wyznacz a z punktu A.** Podstawiasz \(x = 1\) i przyrównujesz do \(-5\):

$$a(1 + 2)(1 - 6) = -5 \quad\Rightarrow\quad -15a = -5 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1}{3}$$

**Krok 3: Znajdź wierzchołek.** Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: \(p = \frac{-2 + 6}{2} = 2\).

**Krok 4: Policz wartość w wierzchołku.**

$$f(2) = \frac{1}{3} \cdot (2 + 2)(2 - 6) = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-4) = -\frac{16}{3}$$

Współczynnik \(a = \frac{1}{3}\) jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę i wartość w wierzchołku jest najmniejsza.

**Odpowiedź:** najmniejsza wartość funkcji \(f\) to \(-\frac{16}{3}\). Pozostałe zadania z tego arkusza znajdziesz na stronie [matury z sierpnia 2017](/exams/matura-sierpien-2017).

## Sprawdź się na zadaniu z bazy

To samo podstawienie co w przykładzie 1, tylko z ułamkiem, w którym łatwo pomylić licznik z mianownikiem. Najpierw policz sam, potem otwórz rozwiązanie pod kartą.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-10

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Liczba ujemna podstawiona bez nawiasu. Dla \(f(x) = x^2\) wartość \(f(-3)\) to \((-3)^2 = 9\), a zapis \(-3^2\) daje \(-9\), bo potęga wiąże mocniej niż minus.

**Pułapka 2:** Zamienione współrzędne. W punkcie \((x_0, y_0)\) pierwsza liczba idzie do wzoru, druga jest wynikiem. Podstawienie \(y_0\) za \(x\) daje liczbę, która przypadkiem może wyglądać sensownie i trafić w jedną z błędnych odpowiedzi.

**Pułapka 3:** Punkt spoza dziedziny. Dla \(f(x) = \frac{1}{x - 2}\) żaden punkt o pierwszej współrzędnej \(2\) nie należy do wykresu, niezależnie od drugiej współrzędnej. Przy funkcji z ułamkiem albo pierwiastkiem zacznij od [dziedziny](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura).

**Uwaga:** Parametr w kwadracie daje zwykle dwie wartości. Równanie \(m^2 = 4\) ma rozwiązania \(2\) i \(-2\). W zadaniu zamkniętym „może być równy" wybierasz tę, która stoi w odpowiedziach, a w otwartym zapisujesz obie, chyba że treść którąś wyklucza (na przykład wymaga, żeby funkcja była rosnąca).

**Wskazówka:** Wynik zawsze sprawdź podstawieniem. Po wyznaczeniu \(b\) albo \(m\) wstaw go do wzoru i policz \(f(x_0)\) jeszcze raz. To kilka sekund, a wyłapuje błąd znaku, zanim zamieni się w stracony punkt.

**Zapamiętaj:** Dla funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\) punkt na osi \(OY\) daje od razu \(b\), bez liczenia. Jeśli wykres przechodzi przez \((0, -3)\), to \(b = -3\). Więcej takich zależności znajdziesz we wpisie o [funkcji liniowej z parametrem](/funkcja-liniowa-z-parametrem-zadania-matura).

## Co musisz umieć

- Obliczyć wartość funkcji dla podanego argumentu, podstawiając liczbę ujemną i ułamek w nawiasie.
- Sprawdzić, czy punkt należy do wykresu, porównując wartość funkcji z drugą współrzędną punktu.
- Wyznaczyć współczynnik lub parametr we wzorze funkcji z warunku, że wykres przechodzi przez dany punkt.
- Rozwiązać równanie \(f(x) = y_0\), żeby znaleźć wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.
- Odczytać, że punkt na osi OY ma postać \((0, f(0))\), a punkt na osi OX odpowiada miejscu zerowemu.
- Pamiętać o dziedzinie funkcji, zanim uznasz, że punkt leży na wykresie.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy, w których podstawiasz punkt do wzoru: wyznaczasz parametr, wyraz wolny albo cały wzór funkcji liniowej. Kiedy te pójdą gładko, przejdź do [wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej z wykresu](/jak-wyznaczyc-wzor-funkcji-kwadratowej-z-wykresu), gdzie ta sama reguła pracuje na parabolach. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [Funkcje](/topics/funkcje).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z funkcji (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak sprawdzić, czy punkt należy do wykresu funkcji?

Podstaw pierwszą współrzędną punktu do wzoru funkcji i porównaj wynik z drugą współrzędną. Jeśli są równe, a pierwsza współrzędna należy do dziedziny, punkt leży na wykresie. Jeśli wynik jest inny, punkt do wykresu nie należy.

### Czym różni się wartość funkcji od argumentu?

Argument to liczba, którą wstawiasz za \(x\), czyli pierwsza współrzędna punktu. Wartość funkcji to wynik \(f(x)\), czyli druga współrzędna. W zapisie \(f(3) = 7\) argumentem jest \(3\), a wartością \(7\).

### Jak wyznaczyć parametr, gdy wykres przechodzi przez punkt?

Zapisz równość \(f(x_0) = y_0\), wstaw współrzędne punktu i rozwiąż otrzymane równanie względem parametru. Jeśli parametr występuje w kwadracie, równanie może mieć dwa rozwiązania i trzeba sprawdzić, czy oba spełniają pozostałe warunki zadania.

### Ile punktów wykresu wystarczy, żeby wyznaczyć wzór funkcji liniowej?

Dwa różne punkty. Każdy daje jedno równanie z niewiadomymi \(a\) i \(b\), a układ dwóch takich równań wyznacza oba współczynniki. Jeśli jednym z punktów jest punkt na osi \(OY\), od razu masz \(b\) i zostaje jedno równanie.

### Jak znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią OY?

Policz \(f(0)\). Punkt przecięcia ma współrzędne \((0, f(0))\), o ile \(0\) należy do dziedziny. Dla funkcji \(f(x) = \frac{1}{x}\) zera w dziedzinie nie ma, więc wykres osi \(OY\) nie przecina wcale.

### Co zrobić, gdy funkcja przyjmuje daną wartość dla kilku argumentów?

Rozwiąż równanie \(f(x) = y_0\) do końca i podaj wszystkie rozwiązania należące do dziedziny. Dla funkcji kwadratowej to zwykle dwa argumenty symetryczne względem osi paraboli, jak \(-1\) i \(5\) w przykładzie 6, gdzie osią jest prosta \(x = 2\).


---
route: /losowanie-liczb-z-dwoch-zbiorow-prawdopodobienstwo-suma-iloczyn-matura
title: Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y - jak policzyć prawdopodobieństwo (zadania maturalne)
description: Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y: |Ω| = |X|·|Y|, tabela par, suma parzysta, znak iloczynu. Pięć zadań CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y - jak policzyć prawdopodobieństwo (zadania maturalne)

Gdy losujesz jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie jedną liczbę ze zbioru \(Y\), wynikiem jest uporządkowana para \((x, y)\), a wszystkich takich par jest \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\), czyli liczność pierwszego zbioru razy liczność drugiego. Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) to liczba par spełniających warunek podzielona przez \(|X| \cdot |Y|\). Pary sprzyjające liczysz na jeden z trzech sposobów: z tabeli par, przez rozbicie na przypadki (parzystość, znak, reszta z dzielenia) albo przez zdarzenie przeciwne.

W formule 2023 to zadanie pojawiło się już w czterech arkuszach i za każdym razem było zadaniem otwartym za 2 punkty: w [arkuszu z maja 2026](/exams/matura-maj-2026) (zadanie 30, dwa zbiory cyfr i liczba dwucyfrowa podzielna przez 6), w [arkuszu z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025) (zadanie 27, zbiory z zerem i liczbami ujemnymi, iloczyn nieujemny), w [arkuszu z sierpnia 2024](/exams/matura-sierpien-2024) (suma większa od 9) i w próbnej maturze CKE z grudnia 2024 (zadanie 28, iloczyn podzielny przez 4). W starej formule ten sam schemat był wart 4 punkty: matura maj 2018, zadanie 33, suma podzielna przez 3. Różnica w stosunku do wpisu o [losowaniu ze zwracaniem](/losowanie-ze-zwracaniem-prawdopodobienstwo-regula-mnozenia-zadania-matura) jest jedna, ale kluczowa: tam dwa razy losujesz z tego samego zbioru i \(|\Omega| = n^2\), tutaj zbiory są dwa, różne, często o różnej liczbie elementów, i \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\).

## Ile jest wszystkich wyników, gdy losujemy z dwóch zbiorów

Wszystkich wyników jest tyle, ile uporządkowanych par \((x, y)\), gdzie \(x \in X\) i \(y \in Y\), czyli \(|X| \cdot |Y|\). To reguła mnożenia: pierwszą liczbę wybierasz na \(|X|\) sposobów, a do każdego z tych wyborów drugą liczbę na \(|Y|\) sposobów, więc możliwości mnożą się, a nie dodają.

Dla zbiorów \(X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}\) i \(Y = \{-2, -1, 0, 1\}\) z czerwca 2025 daje to \(|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24\) par. Nie \(6 \cdot 6 = 36\), nie \(4 \cdot 4 = 16\) i nie \(6 + 4 = 10\). Każda z tych błędnych liczb psuje mianownik, więc psuje wynik nawet przy dobrze policzonym liczniku.

Pary są równoprawdopodobne, bo każde z dwóch losowań wybiera jeden element z całego zbioru, a drugie losowanie nie zależy od pierwszego. Dlatego wolno użyć [modelu klasycznego](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania): \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\).

Ta sama reguła mnożenia liczy [liczby czterocyfrowe o zadanych cyfrach](/ile-jest-liczb-czterocyfrowych-regula-mnozenia-zadania) i wyniki [rzutu dwiema kostkami](/rzut-dwiema-kostkami-prawdopodobienstwo-tabela-36-wynikow). Kostki to szczególny przypadek dwóch zbiorów: \(X = Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) i \(|\Omega| = 36\).

## Dlaczego to nie jest n do kwadratu i po co kolejność w parze

Kwadrat \(n^2\) pojawia się tylko wtedy, gdy oba losowania są z tego samego zbioru o \(n\) elementach. Przy dwóch różnych zbiorach kolejność w parze jest ustalona przez zbiory, nie przez ciebie: pierwsza współrzędna zawsze pochodzi z \(X\), druga zawsze z \(Y\). Dlatego nie dzielisz przez \(2\) i nie sięgasz po kombinacje, jak przy [losowaniu bez zwracania](/losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania).

Para \((2, 3)\) i para \((3, 2)\) są dwoma różnymi wynikami tylko wtedy, gdy obie da się w ogóle wylosować, czyli gdy \(2\) i \(3\) należą do obu zbiorów naraz. W zadaniu z czerwca 2025 zbiory zachodzą na siebie: \((1, -2)\) i \((-2, 1)\) to dwa różne wyniki, bo \(1\) i \(-2\) są i w \(X\), i w \(Y\). Ale \((2, -2)\) istnieje, a \((-2, 2)\) nie, bo \(2\) nie należy do \(Y\). Gdy zbiory są rozłączne, jak \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) i \(D = \{7, 8, 9, 10\}\) z próbnej matury z grudnia 2024, pytanie o zamianę kolejności w ogóle nie powstaje: każda para ma małą liczbę na pierwszym miejscu i dużą na drugim.

Praktyczny wniosek: nigdy nie licz par „bez kolejności". Wypisujesz \((x, y)\) z \(x\) z pierwszego zbioru, \(y\) z drugiego, i tyle.

## Jak policzyć pary sprzyjające

Pary sprzyjające liczysz tabelą, gdy zbiory są małe; przez rozbicie na rozłączne przypadki, gdy warunek dotyczy parzystości, znaku albo reszty z dzielenia; przez zdarzenie przeciwne, gdy łatwiej opisać pary, które warunku nie spełniają. Wszystkie trzy metody dają tę samą liczbę \(|A|\), więc druga metoda jest darmową kontrolą pierwszej.

Weź \(X = \{1, 2, 3\}\), \(Y = \{4, 5, 6, 7\}\) i zdarzenie \(A\): suma wylosowanych liczb jest parzysta. Wszystkich par jest \(|\Omega| = 3 \cdot 4 = 12\).

### Tabela par

W wierszach liczby z \(X\), w kolumnach liczby z \(Y\), w komórce suma \(x + y\). Zaznaczasz komórki spełniające warunek i liczysz je.

| x + y | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | **6** | 7 | **8** |
| 2 | **6** | 7 | **8** | 9 |
| 3 | 7 | **8** | 9 | **10** |

Sum parzystych jest \(6\), więc \(P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Tabela ma dokładnie \(|X| \cdot |Y|\) komórek, więc przy okazji pilnuje mianownika, a egzaminator widzi każdą parę.

### Rozbicie na przypadki

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie nieparzyste. W \(X\) są \(2\) liczby nieparzyste i \(1\) parzysta, w \(Y\) po \(2\) każdego rodzaju. Obie nieparzyste: \(2 \cdot 2 = 4\) pary. Obie parzyste: \(1 \cdot 2 = 2\) pary. Razem \(|A| = 4 + 2 = 6\), zgodnie z tabelą.

Ten sam schemat działa dla każdego warunku, który zależy tylko od „rodzaju" liczby:

- suma parzysta: obie parzyste lub obie nieparzyste; suma nieparzysta: różna parzystość,
- iloczyn nieparzysty: obie nieparzyste; iloczyn parzysty: co najmniej jedna parzysta,
- iloczyn dodatni: obie dodatnie lub obie ujemne; iloczyn ujemny: różne znaki,
- iloczyn równy zero: choć jedna z liczb to \(0\),
- suma podzielna przez \(3\): reszty z dzielenia obu liczb przez \(3\) dopełniają się do \(0\) lub \(3\).

Przypadki muszą być rozłączne, żeby nie policzyć żadnej pary dwa razy. Największe ryzyko podwójnego liczenia niesie zero, bo para \((0, 0)\) należy jednocześnie do przypadku „\(x = 0\)" i „\(y = 0\)".

### Zdarzenie przeciwne

Gdy warunek brzmi „co najmniej", „różny od" albo „nieujemny", policz pary, które go nie spełniają, i odejmij od \(|\Omega|\). Dla sumy parzystej zdarzeniem przeciwnym jest suma nieparzysta: \(2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6\) par o różnej parzystości, więc \(|A| = 12 - 6 = 6\). O tym, kiedy [zdarzenie przeciwne](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa) skraca rachunek, przeczytasz osobno. W przykładzie 2 niżej właśnie ono zamienia cztery przypadki z zerem na dwa proste iloczyny.

## Wzory

Liczba wszystkich par przy dwóch zbiorach:

$$|\Omega| = |X| \cdot |Y|$$

Prawdopodobieństwo klasyczne:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Liczba par w rozłącznych przypadkach:

$$|A| = |A_1| + |A_2| + \ldots + |A_k|$$

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

$$P(A) = 1 - P(A')$$

Każdy przypadek \(A_i\) liczysz znowu regułą mnożenia: liczba pasujących \(x\) razy liczba pasujących \(y\). Cały rachunek to więc kilka iloczynów i jedna suma.

## Przykład 1: Liczba dwucyfrowa podzielna przez 6 (matura maj 2026, zadanie 30)

**Treść:** Dane są dwa zbiory cyfr: \(X = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) oraz \(Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(Y\). Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru \(X\) jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru \(Y\) jest cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Oba zbiory mają po \(5\) cyfr, więc par, a zarazem liczb dwucyfrowych, jest

$$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$$

Liczba \(25\) wygląda jak \(n^2\), ale to przypadek: zbiory są różne, po prostu równoliczne.

**Krok 2: Rozbicie warunku.** Liczba jest podzielna przez \(6\), gdy jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\). Cyfra jedności pochodzi z \(Y\), a tam są same cyfry parzyste, więc każda z \(25\) liczb jest parzysta. Zostaje podzielność przez \(3\): suma cyfr \(x + y\) ma być podzielna przez \(3\).

**Krok 3: Tabela sum cyfr.** W komórce stoi \(x + y\), pogrubione są sumy podzielne przez \(3\).

| x + y | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | **3** | 5 | 7 | **9** |
| 3 | **3** | 5 | 7 | **9** | 11 |
| 5 | 5 | 7 | **9** | 11 | 13 |
| 7 | 7 | **9** | 11 | 13 | **15** |
| 9 | **9** | 11 | 13 | **15** | 17 |

**Krok 4: Zliczenie par.** Po wierszach: \(2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9\). To liczby \(12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96\), każda dzieli się przez \(6\), więc \(|A| = 9\).

**Krok 5: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{9}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{9}{25}\).

## Przykład 2: Iloczyn nieujemny, zbiory z zerem i liczbami ujemnymi (matura czerwiec 2025, zadanie 27)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}\) oraz \(Y = \{-2, -1, 0, 1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x, y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\), a \(y\) liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x, y)\), która spełnia warunek \(x \cdot y \geq 0\). Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Zbiór \(X\) ma \(6\) elementów, zbiór \(Y\) ma \(4\), więc

$$|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24$$

**Krok 2: Zdarzenie przeciwne.** Iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy liczby mają różne znaki, a żadna nie jest zerem. W \(X\) są \(3\) liczby ujemne, jedno zero i \(2\) dodatnie. W \(Y\) są \(2\) ujemne, jedno zero i \(1\) dodatnia.

$$|A'| = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$$

Pierwszy składnik to \(x\) ujemne z \(y\) dodatnim, drugi to \(x\) dodatnie z \(y\) ujemnym.

**Krok 3: Pary sprzyjające.** Wszystkie pozostałe pary mają iloczyn dodatni albo zerowy, czyli spełniają warunek.

$$|A| = 24 - 7 = 17$$

Kontrola wprost: obie ujemne \(3 \cdot 2 = 6\), obie dodatnie \(2 \cdot 1 = 2\), pary z co najmniej jednym zerem \(4 + 6 - 1 = 9\) (cztery pary z \(x = 0\), sześć z \(y = 0\), a \((0, 0)\) policzone raz). Razem \(6 + 2 + 9 = 17\).

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{17}{24}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{17}{24}\).

## Przykład 3: Suma większa od 9 (matura sierpień 2024)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(C = \{0, 4, 5, 7, 9\}\) oraz \(D = \{1, 2, 3\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Pięć liczb w \(C\), trzy w \(D\).

$$|\Omega| = 5 \cdot 3 = 15$$

**Krok 2: Tabela sum.** Największa liczba w \(D\) to \(3\), więc z \(c \in \{0, 4, 5\}\) suma nie przekroczy \(8\). Zostają wiersze \(7\) i \(9\).

| c + d | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 | 7 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 7 | 8 | 9 | **10** |
| 9 | **10** | **11** | **12** |

**Krok 3: Zliczenie par.** Warunek spełniają \((7, 3)\), \((9, 1)\), \((9, 2)\), \((9, 3)\). Para \((7, 2)\) daje sumę równą \(9\), a to nie jest „większa od 9". Zatem \(|A| = 4\).

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{4}{15}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{4}{15}\).

## Przykład 4: Iloczyn podzielny przez 4 (matura próbna CKE grudzień 2024, zadanie 28)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) oraz \(D = \{7, 8, 9, 10\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez 4. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.**

$$|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24$$

**Krok 2: Przypadki według liczby z D.** Iloczyn dzieli się przez \(4\), gdy oba czynniki razem wnoszą co najmniej dwie dwójki w rozkładzie. Zbiór \(D\) ma tylko cztery liczby, więc rozbij po nich:

- \(d = 8\): \(8\) samo dzieli się przez \(4\), więc pasuje każde \(c\), czyli \(6\) par,
- \(d = 10\): jedna dwójka jest w \(10\), drugą musi dać \(c\), więc \(c \in \{2, 4, 6\}\), czyli \(3\) pary,
- \(d = 7\) i \(d = 9\): liczby nieparzyste nie dają żadnej dwójki, więc \(c\) musi dzielić się przez \(4\), czyli \(c = 4\), po \(1\) parze dla każdego \(d\), razem \(2\).

**Krok 3: Suma przypadków.** Przypadki są rozłączne, bo różnią się liczbą \(d\).

$$|A| = 6 + 3 + 2 = 11$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{11}{24}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{11}{24}\).

## Przykład 5: Suma podzielna przez 3, dwa zbiory po siedem liczb (matura maj 2018, zadanie 33)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(A = \{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** „Z każdego z nich losujemy jedną liczbę" to ten sam model: para (liczba z \(A\), liczba z \(B\)).

$$|\Omega| = 7 \cdot 7 = 49$$

**Krok 2: Reszty z dzielenia przez 3.** Wypisywanie \(49\) sum jest wykonalne, ale reszty załatwiają to szybciej. Suma cyfr liczby \(100\) to \(1\), więc \(100\) daje resztę \(1\); dalej \(200\) resztę \(2\), \(300\) resztę \(0\), \(400\) resztę \(1\), \(500\) resztę \(2\), \(600\) resztę \(0\), \(700\) resztę \(1\). W zbiorze \(A\): reszta \(0\) dwa razy, reszta \(1\) trzy razy, reszta \(2\) dwa razy. W zbiorze \(B\): \(12\) i \(15\) mają resztę \(0\), \(10\), \(13\) i \(16\) resztę \(1\), \(11\) i \(14\) resztę \(2\), czyli znowu dwa, trzy, dwa.

**Krok 3: Pary o dopełniających się resztach.** Suma dzieli się przez \(3\), gdy reszty to \((0, 0)\), \((1, 2)\) albo \((2, 1)\).

$$|A| = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 + 6 = 16$$

Kontrola z listy: \((100, 11)\), \((100, 14)\), \((200, 10)\), \((200, 13)\), \((200, 16)\), \((300, 12)\), \((300, 15)\), \((400, 11)\), \((400, 14)\), \((500, 10)\), \((500, 13)\), \((500, 16)\), \((600, 12)\), \((600, 15)\), \((700, 11)\), \((700, 14)\). Szesnaście par.

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.** Ułamek \(\frac{16}{49}\) jest nieskracalny, bo \(16 = 2^4\), a \(49 = 7^2\).

$$P(A) = \frac{16}{49}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{16}{49}\).

## Przykład 6: Suma parzysta przy zbiorach różnej liczności

**Treść:** Dane są zbiory \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) i \(Y = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie jedną liczbę ze zbioru \(Y\). Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.**

$$|\Omega| = 5 \cdot 7 = 35$$

**Krok 2: Parzystość w każdym zbiorze.** W \(X\) są \(3\) liczby nieparzyste (\(1, 3, 5\)) i \(2\) parzyste (\(2, 4\)). W \(Y\) są \(3\) nieparzyste (\(3, 5, 7\)) i \(4\) parzyste (\(2, 4, 6, 8\)).

**Krok 3: Dwa rozłączne przypadki.** Obie nieparzyste: \(3 \cdot 3 = 9\). Obie parzyste: \(2 \cdot 4 = 8\).

$$|A| = 9 + 8 = 17$$

**Krok 4: Kontrola zdarzeniem przeciwnym.** Suma nieparzysta: \(3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18\). Razem \(17 + 18 = 35 = |\Omega|\), zgadza się.

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{17}{35}\). Wynik nie jest równy \(\frac{1}{2}\), bo w \(Y\) liczb parzystych jest więcej niż nieparzystych. Intuicja „suma parzysta w połowie przypadków" działa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden zbiór ma tyle samo liczb parzystych co nieparzystych.

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Mnożenie \(n \cdot n\) zamiast \(|X| \cdot |Y|\). Przy zbiorach sześcio- i czteroelementowych z czerwca 2025 wynik \(36\) albo \(16\) w mianowniku psuje całe zadanie. Policz elementy każdego zbioru osobno, zanim cokolwiek pomnożysz, i zapisz \(|\Omega|\) w pierwszej linijce rozwiązania.

**Pułapka 2:** Zero przy iloczynie. Warunek \(x \cdot y \geq 0\) obejmuje pary z zerem, warunek \(x \cdot y > 0\) je wyklucza. Gdy liczysz pary z zerem wprost, para \((0, 0)\) wchodzi i do przypadku „\(x = 0\)", i do „\(y = 0\)", więc odejmij ją raz. Najbezpieczniej jest przejść na zdarzenie przeciwne, bo iloczyn ujemny nigdy nie zawiera zera.

**Pułapka 3:** Liczenie par „bez kolejności". Uczeń widzi w \(X\) i \(Y\) te same liczby, uznaje \((1, -2)\) i \((-2, 1)\) za jeden wynik i dzieli przez \(2\) albo sięga po kombinacje. Tu nie ma czego dzielić: pierwsza liczba zawsze pochodzi z \(X\), druga z \(Y\), a każda para jest jednym, odrębnym wynikiem.

**Pułapka 4:** Utożsamienie „suma parzysta" z „obie liczby parzyste". Dwie liczby nieparzyste też dają sumę parzystą i zwykle to one wnoszą większość par sprzyjających. Podobnie „iloczyn parzysty" to nie „obie parzyste", tylko „co najmniej jedna parzysta".

**Pułapka 5:** Mylenie cyfr z liczbami. W zadaniu z maja 2026 losujesz cyfry, ale warunek dotyczy liczby dwucyfrowej \(10x + y\). Podzielność przez \(6\) sprawdzasz dla tej liczby: parzystość z cyfry jedności, podzielność przez \(3\) z sumy cyfr. Iloczyn ani suma samych cyfr nie są tu zdarzeniem, o które pyta zadanie.

**Wskazówka:** Polecenie „Zapisz obliczenia" znaczy, że sam ułamek nie wystarczy. Zapisz \(|\Omega|\) z regułą mnożenia, pokaż, skąd bierze się \(|A|\) (tabela, przypadki albo zdarzenie przeciwne), i podaj \(P(A)\) jako ułamek. W maju 2018 polecenie dodatkowo żądało ułamka nieskracalnego, więc na końcu sprawdź, czy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika. Jak egzaminator przyznaje punkty za rozwiązanie częściowe, opisuje wpis o [zasadach oceniania zadań maturalnych](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

**Zapamiętaj:** Trzy linijki, które muszą być w każdym takim rozwiązaniu:

- \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\) z podanymi licznościami zbiorów,
- \(|A|\) z widoczną metodą liczenia,
- \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\) jako ułamek, najlepiej skrócony.

## Co musisz umieć

- Zapisać wynik losowania z dwóch zbiorów jako uporządkowaną parę (x, y) i policzyć wszystkie pary regułą mnożenia.
- Odróżnić losowanie z dwóch różnych zbiorów od dwukrotnego losowania z jednego zbioru.
- Zbudować tabelę par dla małych zbiorów i zaznaczyć w niej pary spełniające warunek.
- Rozbić zdarzenie na rozłączne przypadki według parzystości, znaku albo reszty z dzielenia.
- Policzyć pary z zerem tak, żeby para (0, 0) weszła do rachunku raz.
- Użyć zdarzenia przeciwnego, gdy warunek brzmi „nieujemny", „co najmniej" albo „różny od".
- Zapisać liczność zbioru zdarzeń elementarnych, liczność zdarzenia i wynik jako ułamek nieskracalny.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Cztery zadania z arkuszy z modelu klasycznego: rzut dwiema kostkami z iloczynem równym 12 (znowu pary, tym razem 36 wyników), dwa zadania o podzielności losowanej liczby dwucyfrowej i jedno z niewiadomą liczbą kul, w którym prawdopodobieństwo jest dane. Do tego dwa zadania z dwoma zbiorami z maja 2026 i czerwca 2025, tym razem na ich własnych stronach. Każde otwiera się z rozwiązaniem krok po kroku. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [działu Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo), a wariant z dwoma losowaniami z jednego zbioru we wpisie o [losowaniu ze zwracaniem](/losowanie-ze-zwracaniem-prawdopodobienstwo-regula-mnozenia-zadania-matura).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z prawdopodobieństwa (/losuj)

## Najczęstsze pytania o losowanie z dwóch zbiorów

### Ile jest wszystkich wyników, gdy losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie jedną ze zbioru Y?

Tyle, ile uporządkowanych par \((x, y)\), czyli \(|X| \cdot |Y|\). Dla zbiorów o \(6\) i \(4\) elementach to \(24\) wyniki, dla zbiorów o \(5\) i \(3\) elementach \(15\). Liczności zbiorów mnożysz, nie dodajesz, i nie podnosisz żadnej z nich do kwadratu.

### Czy para (2, 3) i para (3, 2) to ten sam wynik?

Nie. Pierwsza współrzędna zawsze pochodzi ze zbioru \(X\), druga ze zbioru \(Y\), więc \((2, 3)\) i \((3, 2)\) są różnymi wynikami, o ile obie da się wylosować. Jeśli \(3\) nie należy do \(X\) albo \(2\) nie należy do \(Y\), para \((3, 2)\) w ogóle nie istnieje. W żadnym razie nie dzielisz liczby par przez \(2\).

### Jak policzyć prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest parzysta?

Policz w każdym zbiorze liczby parzyste i nieparzyste. Pary o sumie parzystej to pary obu liczb parzystych plus pary obu liczb nieparzystych, więc \(|A| = p_X \cdot p_Y + n_X \cdot n_Y\), gdzie \(p\) i \(n\) to liczby elementów parzystych i nieparzystych. Wynik dzielisz przez \(|X| \cdot |Y|\). Nie zakładaj, że wyjdzie \(\frac{1}{2}\): dla \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) i \(Y = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) wychodzi \(\frac{17}{35}\).

### Jak policzyć prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni?

Iloczyn jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie albo obie ujemne, więc \(|A|\) to liczba dodatnich w \(X\) razy liczba dodatnich w \(Y\) plus liczba ujemnych w \(X\) razy liczba ujemnych w \(Y\). Zera nie liczysz po żadnej stronie, bo iloczyn z zerem jest równy zero, a zero nie jest dodatnie. Jeśli warunek brzmi „nieujemny", dołóż pary z zerem albo odejmij od \(|\Omega|\) pary o różnych znakach.

### Co zmienia zero w jednym ze zbiorów?

Zero nie ma znaku i nie jest ani dodatnie, ani ujemne, więc każda para z zerem ma iloczyn równy \(0\). Przy warunku „iloczyn dodatni" takie pary odpadają, przy warunku „iloczyn nieujemny" albo „iloczyn równy zero" wchodzą. Par z co najmniej jednym zerem jest \(|Y| + |X| - 1\), gdy zero jest w obu zbiorach, bo parę \((0, 0)\) liczysz raz. Przy sumie zero nie sprawia kłopotu: jest liczbą parzystą i daje resztę \(0\) z dzielenia przez \(3\).

### Czy losowanie z dwóch zbiorów to to samo co losowanie ze zwracaniem?

To ten sam model par uporządkowanych i ta sama reguła mnożenia, ale w losowaniu ze zwracaniem oba losowania są z jednego zbioru, więc \(|\Omega| = n^2\), a każda para ma swoje „lustrzane odbicie". Przy dwóch różnych zbiorach \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\), zbiory mogą mieć różne liczności i nie każda para ma odpowiednik z zamienioną kolejnością. Sposób liczenia par sprzyjających jest w obu wariantach identyczny.

### Czy w zadaniu otwartym trzeba wypisać wszystkie pary?

Nie, wystarczy rachunek, z którego wynika \(|\Omega|\) i \(|A|\): tabela, rozbicie na przypadki z iloczynami albo zdarzenie przeciwne. Przy małych zbiorach wypisanie par sprzyjających jest szybkie i czytelne dla egzaminatora, więc warto je dopisać jako kontrolę. Przy \(49\) parach, jak w maju 2018, wygodniej policzyć reszty z dzielenia.

### Ile punktów jest za takie zadanie na maturze?

W arkuszach formuły 2023 zadanie z dwoma zbiorami było zadaniem otwartym za 2 punkty: maj 2026 (zadanie 30), czerwiec 2025 (zadanie 27), sierpień 2024 i próbna matura CKE z grudnia 2024 (zadanie 28). W formule 2015 analogiczne zadanie z maja 2018 (zadanie 33) było warte 4 punkty i wymagało zapisu wyniku w postaci ułamka nieskracalnego.


---
route: /przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura
title: Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne
description: Przekątna kwadratu to a√2, prostokąta √(a²+b²). Wzory na bok, pole i promień okręgu opisanego i wpisanego oraz 8 zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(d = a\sqrt{2}\), a przekątna prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) to \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Oba wzory to twierdzenie Pitagorasa zapisane dla trójkąta, na który przekątna dzieli figurę. Z przekątnej odczytasz też okręgi: promień okręgu opisanego na kwadracie albo prostokącie to połowa przekątnej, \(R = \frac{d}{2}\), a promień okręgu wpisanego w kwadrat to połowa boku, \(r = \frac{a}{2}\).

Kwadrat i prostokąt wyglądają na materiał ze szkoły podstawowej, ale na maturze wracają w całej planimetrii: okrąg opisany na kwadracie, kwadrat wpisany w okrąg, przekątna prostokąta z kątem \(30^\circ\), prostokąty podobne, kwadrat jako przekrój walca. W tym wpisie zbieramy wszystkie wzory w jednym miejscu, wyprowadzamy je z Pitagorasa i rozwiązujemy krok po kroku osiem zadań z arkuszy CKE, od jednopunktowych po otwarte.

## Gdzie kwadrat i prostokąt pojawiają się na maturze

Zadania o kwadracie i prostokącie prawie nigdy nie pytają wprost "oblicz pole kwadratu o boku 5". Pytają o coś, co trzeba dopiero wyciągnąć z przekątnej: bok kwadratu, gdy znasz promień okręgu opisanego (matura maj 2010), pole kwadratu wpisanego w okrąg (matura maj 2012), drugi bok prostokąta z przekątnej i pierwszego boku (matura sierpień 2012), dłuższy bok z kąta między przekątną i bokiem (matura czerwiec 2012), obwód prostokąta podobnego do danego (matura czerwiec 2013) czy bok kwadratu z sumy pól dwóch kwadratów podobnych (matura czerwiec 2025).

Te same wzory potrzebujesz poza [planimetrią](/topics/planimetria). W stereometrii przekrój osiowy walca bywa kwadratem, a [przekątna prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania) to Pitagoras zastosowany dwa razy, z przekątną prostokąta w podstawie jako krokiem pośrednim. W trygonometrii kąt między przekątną i bokiem prostokąta to gotowy trójkąt prostokątny do policzenia tangensa.

## Przekątna kwadratu - skąd bierze się a√2

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych \(a\) i przeciwprostokątnej \(d\). Z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania):

$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, \quad d = a\sqrt{2}$$

To jest ten sam trójkąt, który znasz jako [trójkąt o kątach 45, 45 i 90 stopni](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura): przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od przyprostokątnej. Kąt między przekątną i bokiem kwadratu zawsze ma \(45^\circ\).

Wzór działa też w drugą stronę. Gdy znasz przekątną, bok liczysz jako \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\), a po [usunięciu niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac) dostajesz \(a = \frac{d\sqrt{2}}{2}\). Pole kwadratu z samej przekątnej to \(P = \frac{d^2}{2}\), bo kwadrat jest szczególnym rombem, a [pole rombu](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne) to połowa iloczynu przekątnych: \(\frac{d \cdot d}{2}\). Ten sam wzór z kalkulatorem znajdziesz na stronie [pole rombu z przekątnych](/wzory/pole-rombu).

Przekątne kwadratu są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy. Punkt ich przecięcia jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego.

## Przekątna prostokąta - Pitagoras i trygonometria

W prostokącie o bokach \(a\) i \(b\) przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(a\) i \(b\):

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Obie przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe, chyba że prostokąt jest kwadratem. Gdy w zadaniu podano kąt \(\alpha\) między przekątną i jednym z boków, masz gotowy trójkąt prostokątny: bok przyległy do kąta to \(a\), bok naprzeciwko to \(b\), więc \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{b}{a}\), \(\sin \alpha = \frac{b}{d}\) i \(\cos \alpha = \frac{a}{d}\). Wartości dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\) masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

Na każdym prostokącie da się opisać okrąg, bo przeciwległe kąty prostokąta sumują się do \(180^\circ\), a to jest warunek [czworokąta wpisanego w okrąg](/czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura). Środek tego okręgu to punkt przecięcia przekątnych, a promień to połowa przekątnej: \(R = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\). Okręgu wpisanego prostokąt nie ma, chyba że \(a = b\): okrąg styczny do wszystkich czterech boków wymaga, żeby sumy przeciwległych boków były równe, a \(a + a = b + b\) daje właśnie \(a = b\).

## Okrąg wpisany i opisany na kwadracie

Kwadrat o boku \(a\) ma oba okręgi i oba mają środek w punkcie przecięcia przekątnych.

Okrąg opisany przechodzi przez cztery wierzchołki, więc jego średnica to przekątna: \(R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Odwrotnie, kwadrat wpisany w okrąg o promieniu \(R\) ma przekątną \(2R\), bok \(a = R\sqrt{2}\) i pole \(P = \frac{(2R)^2}{2} = 2R^2\).

Okrąg wpisany jest styczny do czterech boków, więc jego średnica to bok: \(r = \frac{a}{2}\). Kwadrat opisany na okręgu o promieniu \(r\) ma bok \(a = 2r\) i pole \(P = 4r^2\).

Z tych dwóch wzorów wynika zależność, którą CKE lubi ukrywać w zadaniach: pole kwadratu wpisanego w okrąg jest dokładnie połową pola kwadratu opisanego na tym samym okręgu, bo \(2R^2 : 4R^2 = 1 : 2\). Pełne zestawienie wzorów na pole i obwód wszystkich figur płaskich znajdziesz w [liście wzorów na pole i obwód figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory).

## Wzory

Przekątna kwadratu:

$$d = a\sqrt{2}$$

Bok kwadratu z przekątnej:

$$a = \frac{d\sqrt{2}}{2}$$

Pole kwadratu z przekątnej:

$$P = \frac{d^2}{2}$$

Promień okręgu opisanego na kwadracie:

$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Promień okręgu wpisanego w kwadrat:

$$r = \frac{a}{2}$$

Pole kwadratu wpisanego w okrąg:

$$P = 2R^2$$

Przekątna prostokąta:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Promień okręgu opisanego na prostokącie:

$$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$

Kąt między przekątną i bokiem:

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{b}{a}$$

## Przykład 1: Bok kwadratu z promienia okręgu opisanego (matura maj 2010, zadanie 15)

**Treść:** Okrąg opisany na kwadracie ma promień \(4\). Długość boku tego kwadratu jest równa:

- A) \(4\sqrt{2}\)
- B) \(2\sqrt{2}\)
- C) \(8\)
- D) \(4\)

**Krok 1: Promień to połowa przekątnej.** Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki kwadratu, więc jego średnica jest przekątną kwadratu.

$$d = 2R = 2 \cdot 4 = 8$$

**Krok 2: Bok z przekątnej.** Korzystamy z \(d = a\sqrt{2}\).

$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$

**Odpowiedź: A.** Bok kwadratu ma długość \(4\sqrt{2}\). Odpowiedź C to długość przekątnej, nie boku.

## Przykład 2: Pole kwadratu wpisanego w okrąg (matura maj 2012, zadanie 15)

**Treść:** Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \(5\) jest równe:

- A) \(25\)
- B) \(50\)
- C) \(75\)
- D) \(100\)

**Krok 1: Przekątna kwadratu.** Kwadrat wpisany w okrąg ma przekątną równą średnicy okręgu.

$$d = 2 \cdot 5 = 10$$

**Krok 2: Pole z przekątnej.** Kwadrat jest rombem, więc \(P = \frac{d^2}{2}\).

$$P = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$$

**Odpowiedź: B.** Możesz to też policzyć przez bok: \(a = 5\sqrt{2}\), więc \(P = a^2 = 25 \cdot 2 = 50\). Odpowiedź D (\(100\)) to kwadrat średnicy, a A (\(25\)) to kwadrat promienia, żaden z nich nie jest polem.

## Przykład 3: Promień z pierwiastkiem (matura próbna Operon listopad 2012, zadanie 21)

**Treść:** Długość promienia \(r\) okręgu opisanego na kwadracie jest równa \(2\sqrt{3}\). Długość boku tego kwadratu ma wartość:

- A) \(4\sqrt{3}\)
- B) \(2\sqrt{6}\)
- C) \(4\sqrt{6}\)
- D) \(2\sqrt{5}\)

**Krok 1: Przekątna.** Średnica okręgu opisanego to przekątna kwadratu.

$$d = 2r = 4\sqrt{3}$$

**Krok 2: Bok kwadratu.** Dzielimy przekątną przez \(\sqrt{2}\) i porządkujemy pierwiastki.

$$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$$

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A to znów przekątna zamiast boku. Sprawdzenie: \(a\sqrt{2} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}\), zgadza się z przekątną.

## Przykład 4: Drugi bok prostokąta z przekątnej (matura sierpień 2012, zadanie 16)

**Treść:** Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(14\). Bok \(AB\) tego prostokąta ma długość \(6\). Długość boku \(BC\) jest równa:

- A) \(8\)
- B) \(4\sqrt{10}\)
- C) \(2\sqrt{58}\)
- D) \(10\)

**Krok 1: Trójkąt prostokątny \(ABC\).** Boki \(AB\) i \(BC\) to przyprostokątne, przekątna \(AC\) to przeciwprostokątna.

$$|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$$

**Krok 2: Podstawiamy i liczymy.**

$$6^2 + |BC|^2 = 14^2 \iff |BC|^2 = 196 - 36 = 160$$

**Krok 3: Wyciągamy pierwiastek i upraszczamy.**

$$|BC| = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$$

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź C (\(2\sqrt{58}\)) wychodzi temu, kto doda kwadraty zamiast odjąć: \(196 + 36 = 232 = 4 \cdot 58\).

## Przykład 5: Kąt między przekątną i bokiem (matura czerwiec 2012, zadanie 8)

**Treść:** Krótszy bok prostokąta ma długość \(6\). Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę \(30^\circ\). Dłuższy bok prostokąta ma długość:

- A) \(2\sqrt{3}\)
- B) \(4\sqrt{3}\)
- C) \(6\sqrt{3}\)
- D) \(12\)

**Krok 1: Rysujemy trójkąt.** Przekątna, dłuższy bok \(x\) i krótszy bok \(6\) tworzą trójkąt prostokątny. Kąt \(30^\circ\) leży między przekątną i dłuższym bokiem, więc krótszy bok \(6\) leży naprzeciwko tego kąta, a dłuższy bok \(x\) jest do niego przyległy.

**Krok 2: Tangens.** Naprzeciwko przez przyległy.

$$\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{6}{x} \iff \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6}{x}$$

**Krok 3: Wyznaczamy \(x\).**

$$x = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź D (\(12\)) to długość przekątnej: bok naprzeciw kąta \(30^\circ\) jest połową przeciwprostokątnej, więc \(d = 12\). Pytanie było jednak o bok, nie o przekątną.

## Przykład 6: Prostokąty podobne i obwód (matura czerwiec 2013, zadanie 13)

**Treść:** Prostokąt \(ABCD\) o przekątnej długości \(2\sqrt{13}\) jest podobny do prostokąta o bokach długości \(2\) i \(3\). Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy:

- A) \(10\)
- B) \(20\)
- C) \(5\)
- D) \(24\)

**Krok 1: Przekątna mniejszego prostokąta.** Pitagoras dla boków \(2\) i \(3\).

$$d_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$$

**Krok 2: Skala podobieństwa.** W figurach podobnych stosunek odpowiadających sobie odcinków jest stały, także dla przekątnych.

$$k = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 2$$

**Krok 3: Boki i obwód prostokąta \(ABCD\).** Boki są \(2\) razy dłuższe: \(4\) i \(6\).

$$L = 2 \cdot (4 + 6) = 20$$

**Odpowiedź: B.** Obwód, tak jak długości boków, skaluje się przez \(k\), a nie przez \(k^2\). Szczegóły we wpisie o [figurach podobnych i skali](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania).

## Przykład 7: Suma pól dwóch kwadratów podobnych (matura czerwiec 2025, zadanie 21)

**Treść:** Kwadrat \(K_2\) jest podobny do kwadratu \(K_1\) w skali \(5\). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\). Długość boku kwadratu \(K_1\) jest równa:

- A) \(\sqrt{3}\)
- B) \(3\)
- C) \(\sqrt{13}\)
- D) \(13\)

**Krok 1: Oznaczamy bok.** Niech bok \(K_1\) ma długość \(a\). Skala \(5\) oznacza, że bok \(K_2\) ma długość \(5a\).

**Krok 2: Pola.** Pole \(K_1\) to \(a^2\), pole \(K_2\) to \((5a)^2 = 25a^2\). Pole skaluje się przez kwadrat skali.

**Krok 3: Równanie z sumy pól.**

$$a^2 + 25a^2 = 78 \iff 26a^2 = 78 \iff a^2 = 3$$

**Krok 4: Bok.** Długość jest dodatnia.

$$a = \sqrt{3}$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedź B (\(3\)) to pole \(K_1\), nie jego bok. Sprawdzenie: \(3 + 25 \cdot 3 = 78\).

## Przykład 8: Prostokąt z warunkiem na pole (zbiór zadań CKE 2015-2023, zadanie 21)

**Treść:** Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od \(24\), w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o \(5\). Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, jeśli jest ona liczbą całkowitą parzystą.

**Krok 1: Oznaczenia.** Krótszy bok \(x > 0\), dłuższy bok \(x + 5\).

**Krok 2: Nierówność z pola.** Pole prostokąta to iloczyn boków.

$$x(x + 5) < 24 \iff x^2 + 5x - 24 < 0$$

**Krok 3: Rozwiązujemy nierówność kwadratową.** Miejsca zerowe: \(\Delta = 25 + 96 = 121\), \(\sqrt{\Delta} = 11\), \(x_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3\). Parabola ma ramiona w górę, więc wartości ujemne są między miejscami zerowymi.

$$x \in (-8, 3)$$

**Krok 4: Warunek geometryczny.** Bok jest dodatni, więc \(x \in (0, 3)\). Dłuższy bok \(x + 5\) należy wtedy do przedziału \((5, 8)\).

**Krok 5: Liczba całkowita parzysta w przedziale.** W przedziale \((5, 8)\) jedyna liczba całkowita parzysta to \(6\).

**Odpowiedź:** Dłuższy bok ma długość \(6\). Wtedy krótszy bok to \(1\), a pole \(6 < 24\).

## Sprawdź się na zadaniu z arkusza

Zadanie z próbnej matury z marca 2012 łączy pole prostokąta ze stosunkiem boków. Oznacz boki jako \(2k\) i \(5k\), a resztę zrobi jedno równanie. Rozwiązanie odsłonisz pod kartą.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-16

## Typowe pułapki i błędy

**Pułapka:** Mylenie przekątnej z promieniem. Promień okręgu opisanego to połowa przekątnej, \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), a nie \(a\sqrt{2}\). W Przykładach 1 i 3 błędne odpowiedzi to dokładnie ta pomyłka.

**Pułapka 2:** "Kwadrat wpisany w okrąg" i "okrąg wpisany w kwadrat" to dwie różne sytuacje. W pierwszej okrąg jest na zewnątrz i \(R = \frac{d}{2}\); w drugiej okrąg jest w środku i \(r = \frac{a}{2}\). Przeczytaj, co jest w czym.

**Pułapka 3:** Dzielenie przez \(\sqrt{2}\) bez usunięcia niewymierności. \(\frac{8}{\sqrt{2}}\) to \(4\sqrt{2}\), nie \(8\sqrt{2}\) ani \(4\). Mnożysz licznik i mianownik przez \(\sqrt{2}\): \(\frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\).

**Pułapka 4:** Skala podobieństwa a pole. Długości (bok, przekątna, obwód) mnożysz przez \(k\), pola przez \(k^2\). W Przykładzie 7 kwadrat podobny w skali \(5\) ma pole \(25\) razy większe, nie \(5\) razy.

**Pułapka 5:** W zadaniu z kątem \(30^\circ\) bok naprzeciw tego kąta jest połową przekątnej, a nie połową dłuższego boku. Zawsze ustal, który bok jest przyległy, a który przeciwległy do podanego kąta, zanim wybierzesz funkcję trygonometryczną.

**Wskazówka egzaminacyjna:** Zrób rysunek i podpisz przekątną literą \(d\), nawet w zadaniu za 1 punkt. Większość błędnych odpowiedzi w tych zadaniach to poprawnie policzona inna wielkość: przekątna zamiast boku, pole zamiast boku, promień zamiast średnicy.

**Zapamiętaj:** Kwadrat to szczególny romb, więc \(P = \frac{d^2}{2}\). Prostokąt to szczególny równoległobok, więc jego przekątne dzielą się na połowy. Na każdym prostokącie da się opisać okrąg, ale okrąg wpisany ma tylko kwadrat.

## Co musisz umieć

- Wyprowadzić wzór \(d = a\sqrt{2}\) z twierdzenia Pitagorasa.
- Obliczyć bok i pole kwadratu, znając samą przekątną.
- Przeliczyć promień okręgu opisanego na kwadracie na bok i odwrotnie.
- Odróżnić okrąg wpisany w kwadrat od okręgu opisanego na kwadracie.
- Obliczyć przekątną prostokąta z boków oraz brakujący bok z przekątnej.
- Zapisać tangens, sinus i cosinus kąta między przekątną i bokiem prostokąta.
- Zastosować skalę podobieństwa do długości (razy \(k\)) i do pól (razy \(k^2\)).

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy CKE o kwadracie i prostokącie: od jednopunktowych zamkniętych po otwarte z układem równań. Każde otwiera się na własnej stronie z pełnym rozwiązaniem, a całą [bazę zadań CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) masz pod jednym adresem.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania o przekątną kwadratu i prostokąta

### Jaki jest wzór na przekątną kwadratu?

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(d = a\sqrt{2}\). Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o dwóch przyprostokątnych długości \(a\): \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\).

### Jak obliczyć bok kwadratu, mając przekątną?

Dzielisz przekątną przez \(\sqrt{2}\): \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}\). Dla przekątnej \(10\) bok to \(\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\). Pole możesz policzyć od razu z przekątnej: \(P = \frac{d^2}{2}\).

### Jaki promień ma okrąg opisany na kwadracie?

Połowę przekątnej: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie cztery wierzchołki, a przekątna kwadratu łączy dwa przeciwległe wierzchołki przez środek, więc jest średnicą tego okręgu.

### Jaki promień ma okrąg wpisany w kwadrat?

Połowę boku: \(r = \frac{a}{2}\). Okrąg wpisany jest styczny do każdego boku w jego środku, a odległość między środkami dwóch przeciwległych boków to dokładnie długość boku, czyli średnica okręgu.

### Jak obliczyć przekątną prostokąta?

Z twierdzenia Pitagorasa: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\), gdzie \(a\) i \(b\) to długości boków. Prostokąt o bokach \(6\) i \(8\) ma przekątną \(\sqrt{36 + 64} = 10\). Obie przekątne prostokąta są równe i przecinają się w połowie.

### Czy w każdy prostokąt da się wpisać okrąg?

Nie. Okrąg wpisany w czworokąt wymaga, żeby sumy długości przeciwległych boków były równe, a dla prostokąta oznacza to \(a = b\), czyli kwadrat. Za to na każdym prostokącie da się opisać okrąg, bo jego przeciwległe kąty sumują się do \(180^\circ\).


---
route: /funkcja-logarytmiczna-wykres-dziedzina-monotonicznosc-matura
title: Funkcja logarytmiczna - wykres, dziedzina i monotoniczność
description: Funkcja logarytmiczna na maturze: dziedzina, miejsce zerowe x = 1, wykres z asymptotą pionową, monotoniczność od podstawy i 5 zadań z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Funkcja logarytmiczna - wykres, dziedzina i monotoniczność

Funkcja logarytmiczna to funkcja dana wzorem \(f(x) = \log_a x\), w której podstawa \(a\) jest dodatnia i różna od \(1\). Jej dziedziną jest przedział \((0, +\infty)\), zbiorem wartości cały zbiór liczb rzeczywistych, a jedynym miejscem zerowym \(x = 1\). Dla \(a > 1\) funkcja jest rosnąca, dla \(0  0\) oraz \(a \ne 1\).

Te dwa ograniczenia nie są kaprysem. Gdyby \(a = 1\), to \(1^y = 1\) dla każdego wykładnika, więc równanie \(1^y = x\) nie miałoby rozwiązania dla \(x \ne 1\), a dla \(x = 1\) miałoby ich nieskończenie wiele. Funkcja musi przyporządkowywać dokładnie jedną wartość, więc podstawa \(1\) odpada. Gdyby z kolei \(a\) było ujemne, potęga \(a^y\) nie byłaby określona dla większości wykładników, na przykład \((-4)^{1/2}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Jeśli sama definicja logarytmu jest dla ciebie świeża, zacznij od poradnika [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku), a po własności działań sięgnij do zestawienia [wzorów logarytmicznych](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Dziedzina funkcji logarytmicznej

Dziedziną funkcji \(f(x) = \log_a x\) jest przedział \((0, +\infty)\). Logarytmujesz wyłącznie liczby dodatnie, bo potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni, nigdy zera ani liczby ujemnej. Z tego jednego faktu wynika najbardziej charakterystyczna cecha wykresu: leży on w całości na prawo od osi \(OY\).

W zadaniach maturalnych pod logarytmem prawie nigdy nie stoi samo \(x\), tylko całe wyrażenie. Wtedy dziedzinę wyznaczasz z warunku, że to wyrażenie ma być dodatnie. Dla funkcji \(f(x) = \log_a g(x)\) rozwiązujesz nierówność \(g(x) > 0\) i to jej rozwiązanie jest dziedziną. Ta czynność jest osobno punktowana w zadaniach otwartych, więc opłaca się ją zapisać nawet wtedy, gdy wydaje się oczywista. Więcej metod znajdziesz w poradniku o tym, [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura).

**Uwaga:** podstawa i argument to dwie różne rzeczy i mają różne warunki. Podstawa \(a\) ma być dodatnia i różna od jedynki, a argument tylko dodatni. W zadaniach, w których parametr stoi w podstawie, obydwa warunki trzeba zapisać osobno.

## Wykres funkcji logarytmicznej

Wykres funkcji \(f(x) = \log_a x\) nazywa się krzywą logarytmiczną i ma cztery cechy, które wystarczy zapamiętać. Po pierwsze, zawsze przechodzi przez punkt \((1, 0)\), bo \(\log_a 1 = 0\) dla każdej dopuszczalnej podstawy. Po drugie, przechodzi też przez punkt \((a, 1)\), bo \(\log_a a = 1\). Po trzecie, nie ma punktu wspólnego z osią \(OY\), a ta oś jest jego asymptotą pionową. Po czwarte, zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc krzywa sięga dowolnie wysoko i dowolnie nisko.

Dla podstawy większej od \(1\) krzywa wychodzi z dołu tuż przy osi \(OY\), przecina oś \(OX\) w punkcie \((1, 0)\) i dalej rośnie, ale coraz wolniej. Dla podstawy z przedziału \((0, 1)\) obraz jest odbiciem lustrzanym względem osi \(OX\): krzywa spada z góry, przecina oś \(OX\) w tym samym punkcie \((1, 0)\) i maleje.

Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do [funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) o tej samej podstawie. Wykresy \(y = \log_a x\) i \(y = a^x\) są symetryczne względem prostej \(y = x\), więc jeśli pamiętasz kształt jednego, drugi dostajesz przez odbicie. To najszybszy sposób na naszkicowanie krzywej logarytmicznej pod presją czasu.

**Wskazówka:** do naszkicowania wykresu wystarczą dwa punkty i asymptota. Zaznacz \((1, 0)\), zaznacz \((a, 1)\), narysuj oś \(OY\) jako pionową asymptotę i połącz punkty gładką krzywą. Kierunek dobierasz z podstawy.

## Monotoniczność i porównywanie wartości

Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy wyłącznie od podstawy. Gdy \(a > 1\), funkcja jest rosnąca: większemu argumentowi odpowiada większa wartość. Gdy \(0  1\) znak zostaje bez zmian, a przy \(0  0, \; a \neq 1$$

Dziedzina funkcji logarytmicznej:

$$D_f = (0, +\infty)$$

Definicja logarytmu:

$$\log_a x = y \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x$$

Miejsce zerowe funkcji logarytmicznej:

$$\log_a 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 1$$

Dziedzina logarytmu z wyrażeniem:

$$f(x) = \log_a g(x) \quad \Rightarrow \quad g(x) > 0$$

Warunek monotoniczności:

$$a > 1 \Rightarrow f \text{ rosnąca}, \qquad 0  1\) jest rosnąca, więc drugie zdanie jest prawdziwe. Nie trzeba liczyć żadnych wartości, wystarczy spojrzeć na podstawę.

**Odpowiedź:** Pierwsze zdanie jest fałszywe, drugie prawdziwe, czyli F, P.

## Przykład 2: Dziedzina logarytmu z wyrażeniem liniowym

**Treść:** Dziedziną funkcji \(f(x) = \log_3(x - 4)\) jest zbiór:

- A) \((-\infty, 4)\)
- B) \((4, +\infty)\)
- C) \(\langle 4, +\infty)\)
- D) \(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

**Krok 1: Zapisz warunek dziedziny.** Pod logarytmem musi stać liczba dodatnia, więc \(x - 4 > 0\).

**Krok 2: Rozwiąż nierówność.** Przenosisz \(4\) na prawą stronę i dostajesz \(x > 4\).

**Krok 3: Zapisz wynik jako przedział.** Dziedziną jest \((4, +\infty)\). Liczba \(4\) do dziedziny nie należy, bo \(\log_3 0\) nie istnieje, więc przedział jest otwarty.

**Odpowiedź: B.** Dziedziną funkcji jest przedział \((4, +\infty)\).

## Przykład 3: Dziedzina logarytmu z wyrażeniem kwadratowym

**Treść:** Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \log_2(x^2 - 9)\).

**Krok 1: Zapisz warunek dziedziny.**

$$x^2 - 9 > 0$$

**Krok 2: Rozłóż lewą stronę na czynniki.** Korzystasz ze wzoru na różnicę kwadratów.

$$(x - 3)(x + 3) > 0$$

**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie z wykresu paraboli.** Miejsca zerowe wyrażenia \(x^2 - 9\) to \(-3\) oraz \(3\), a ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie leżą więc poza miejscami zerowymi. Ten sam schemat opisujemy szerzej przy [nierównościach kwadratowych](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania).

**Krok 4: Zapisz sumę przedziałów.** Rozwiązaniem nierówności jest suma dwóch przedziałów otwartych.

$$D_f = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$$

**Odpowiedź:** \(D_f = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\).

## Przykład 4: Podstawa z punktu należącego do wykresu

**Treść:** Do wykresu funkcji \(f(x) = \log_a x\) należy punkt \(P = (8, 3)\). Podstawa \(a\) jest równa:

- A) \(2\)
- B) \(3\)
- C) \(8\)
- D) \(24\)

**Krok 1: Podstaw współrzędne punktu do wzoru.** Punkt należy do wykresu, więc \(f(8) = 3\), czyli \(\log_a 8 = 3\).

**Krok 2: Zamień logarytm na potęgę.** Z definicji logarytmu równość \(\log_a 8 = 3\) znaczy dokładnie tyle, co \(a^3 = 8\).

**Krok 3: Rozwiąż równanie.** Jedyną liczbą, której sześcian daje \(8\), jest \(2\). Warunek \(a > 0\) i \(a \ne 1\) jest spełniony, więc \(a = 2\).

**Krok 4: Sprawdź wynik.** Podstawiasz \(a = 2\) i liczysz \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\). Punkt \((8, 3)\) faktycznie leży na wykresie.

**Odpowiedź: A.** Podstawa logarytmu wynosi \(2\).

## Przykład 5: Monotoniczność decyduje o znaku nierówności

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(\log_{\frac{1}{2}} x > 3\).

**Krok 1: Zapisz dziedzinę.** Pod logarytmem stoi samo \(x\), więc \(x > 0\).

**Krok 2: Zapisz prawą stronę jako logarytm o tej samej podstawie.** Ponieważ \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\), liczbę \(3\) zapisujesz jako logarytm.

$$3 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$$

**Krok 3: Porównaj argumenty, pamiętając o podstawie.** Podstawa \(\frac{1}{2}\) leży w przedziale \((0, 1)\), więc funkcja jest malejąca. Przy zdejmowaniu logarytmu znak nierówności odwraca się.

$$x  0\) z warunkiem \(x  3\), więc ta liczba faktycznie należy do rozwiązania.

**Odpowiedź:** \(x \in \left(0, \frac{1}{8}\right)\).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Wpisujesz do dziedziny wszystkie liczby rzeczywiste. Funkcja logarytmiczna nie jest określona dla zera ani dla liczb ujemnych, a przy wyrażeniu pod logarytmem dziedzina bywa sumą przedziałów, a nie jednym przedziałem.

**Pułapka 2:** Mylisz podstawę z wartością funkcji. Dla \(f(x) = \log_6 x\) wartość \(f(36)\) wynosi \(2\), a nie \(6\). Podstawa mówi, czym potęgujesz, a wartość funkcji jest wykładnikiem.

**Pułapka 3:** Przy podstawie z przedziału \((0, 1)\) zapominasz odwrócić znak nierówności. To najdroższy błąd w tym dziale, bo daje odpowiedź poprawną rachunkowo i całkowicie błędną merytorycznie. Zanim ruszysz z rachunkami, popatrz na podstawę.

**Pułapka 4:** Szukasz punktu przecięcia wykresu z osią \(OY\). Takiego punktu nie ma, bo zero nie należy do dziedziny. Oś \(OY\) jest asymptotą, a krzywa zbliża się do niej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie dotyka.

**Pułapka 5:** Rozwiązujesz nierówność logarytmiczną i zapominasz o dziedzinie. Rozwiązanie końcowe to zawsze część wspólna wyniku rachunku i dziedziny, nawet jeśli rachunek wygląda na kompletny.

**Zapamiętaj:** podstawa większa od \(1\) oznacza funkcję rosnącą, podstawa między \(0\) a \(1\) funkcję malejącą. Miejsce zerowe zawsze wypada w \(x = 1\), niezależnie od podstawy.

Logarytm jest odwrotnością potęgowania, więc pojawia się wszędzie tam, gdzie coś rośnie albo maleje wykładniczo. Zobacz zadanie o rozpadzie promieniotwórczym z arkusza CKE z 2025 roku i sprawdź, jak szybko sprowadza się ono do porównania wykładników.

Zadanie z bazy: /task/cke-2025-pp-39

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z bazy dotyczące logarytmów: od prostych działań na logarytmach po zadania z funkcją logarytmiczną. Rozwiąż je samodzielnie, a potem porównaj z pełnym rozwiązaniem w aplikacji. Komplet zadań z tego działu zebraliśmy w zestawie [zadań CKE z logarytmów z rozwiązaniami](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami), a wszystkie zadania z bazy znajdziesz na stronie działu [logarytmy](/topics/logarytmy).

## Co musisz umieć - checklista

- Podać wzór funkcji logarytmicznej i warunki na podstawę: \(a > 0\) oraz \(a \ne 1\).
- Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x) = \log_a g(x)\) z warunku \(g(x) > 0\).
- Rozstrzygnąć monotoniczność na podstawie samej podstawy logarytmu.
- Wskazać miejsce zerowe \(x = 1\) i punkt \((a, 1)\) na wykresie.
- Naszkicować krzywą logarytmiczną z asymptotą pionową w osi \(OY\).
- Odwrócić znak nierówności, gdy podstawa leży w przedziale \((0, 1)\).
- Powiązać wykres funkcji logarytmicznej z wykresem funkcji wykładniczej przez symetrię względem prostej \(y = x\).

Quiz: Sprawdź się: funkcja logarytmiczna

Pytanie: Jaka jest dziedzina funkcji \(f(x) = \log_5(x + 2)\)?
- A. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
- B. \((-\infty, -2)\)
- C. \((-2, +\infty)\)
- D. \(\langle -2, +\infty)\)
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Warunek dziedziny to \(x + 2 > 0\), czyli \(x > -2\). Przedział jest otwarty, bo dla \(x = -2\) pod logarytmem stałoby zero.

Pytanie: Funkcja \(f(x) = \log_{0{,}3} x\) jest:
- A. rosnąca w całej dziedzinie
- B. malejąca w całej dziedzinie
- C. stała
- D. rosnąca dla \(x > 1\), a malejąca dla \(x  1\) funkcja jest rosnąca, dla \(0  0\), gdzie \(g\) to wyrażenie spod logarytmu. Dla wyrażenia liniowego dostajesz jeden przedział, dla kwadratowego często sumę dwóch przedziałów. Gdy w podstawie też stoi parametr, dopisujesz dodatkowo warunki \(a > 0\) i \(a \ne 1\).

### Jaki jest związek funkcji logarytmicznej z wykładniczą?

To funkcje wzajemnie odwrotne o tej samej podstawie. Wykresy \(y = \log_a x\) i \(y = a^x\) są symetryczne względem prostej \(y = x\), a każda równość \(\log_a x = y\) da się przepisać jako \(a^y = x\). Ta zamiana jest podstawową metodą przy [rozwiązywaniu równań logarytmicznych](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne).

### Czy funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa?

Tak. Skoro jest rosnąca albo malejąca na całej dziedzinie, każdą wartość przyjmuje dokładnie raz. Dlatego z równości \(\log_a x_1 = \log_a x_2\) wolno wyciągnąć wniosek \(x_1 = x_2\), pod warunkiem że obie liczby należą do dziedziny.

### Czy funkcja logarytmiczna ma wartość największą lub najmniejszą?

Nie ma ani jednej, ani drugiej. Zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc krzywa sięga dowolnie wysoko i dowolnie nisko. Wartość najmniejsza lub największa może pojawić się dopiero wtedy, gdy zawęzisz dziedzinę do przedziału domkniętego.


---
route: /zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE ze stereometrii z rozwiązaniami krok po kroku: objętość, pole powierzchni, kąty nachylenia krawędzi i ściany na prawdziwych arkuszach CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Stereometria to dział, na którym co roku rozbija się sporo maturzystów - nie dlatego, że jest trudna, tylko dlatego, że trzeba zobaczyć bryłę w wyobraźni i wyłapać właściwy trójkąt prostokątny. W naszej bazie mamy ponad 200 zadań ze stereometrii z prawdziwych arkuszy CKE, od jednolinijkowych zadań zamkniętych za 1 punkt po pełne zadania otwarte na 4-5 punktów. Ten tekst to hub: zbieram tu typy zadań CKE z tego działu, rozwiązuję sześć z nich krok po kroku na realnych arkuszach i kieruję cię prosto do zadań, na których możesz ćwiczyć.

Jeśli wolisz najpierw uporządkować teorię i wzory, zacznij od przewodników [stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) oraz [stereometria - wzory na objętość i pole powierzchni](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), a potem wróć tutaj po zadania. Wszystkie wzory, których potrzebujesz, masz też w [tablicach](/formulas).

## Co dokładnie obejmuje stereometria na maturze

Pod hasłem "stereometria" CKE testuje kilka odrębnych umiejętności. Warto je rozdzielić, bo każda ma inny schemat:

- **Liczenie krawędzi, ścian i wierzchołków** brył - graniastosłupów i ostrosłupów.
- **Objętość i pole powierzchni** graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli.
- **Kąt nachylenia krawędzi do podstawy** - klucz to rzut krawędzi na podstawę.
- **Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy** (kąt dwuścienny) - klucz to apotema.
- **Przekroje brył** - najczęściej przekrój osiowy walca i stożka.

Każdy z tych podtematów ma osobny przewodnik: [jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania), [jak obliczyć objętość stożka i pole powierzchni](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni), [kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa) oraz [jak obliczyć kąt dwuścienny w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura). Poniżej rozwiązuję po jednym reprezentatywnym zadaniu z różnych typów, na realnych arkuszach CKE.

## Liczenie krawędzi - zadanie CKE czerwiec 2018

Zacznijmy od łatwego punktu, którego nie wolno oddać. Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, otrzymamy \(15\). Ile krawędzi ma ten graniastosłup?

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi (dwie podstawy po \(n\) plus \(n\) krawędzi bocznych) i \(2n\) wierzchołków. Zatem:

$$3n + 2n = 15 \implies 5n = 15 \implies n = 3$$

Podstawą jest trójkąt, więc liczba krawędzi to \(3n = 9\). Pełne rozwiązanie: [zadanie matura-czerwiec-2018-23](/task/matura-czerwiec-2018-23). Zapamiętaj te dwa [wzory dla graniastosłupa](/ile-krawedzi-scian-wierzcholkow-ma-graniastoslup-ostroslup-matura) \(n\)-kątnego: \(3n\) krawędzi, \(2n\) wierzchołków, \(n+2\) ściany. Dla ostrosłupa \(n\)-kątnego jest \(2n\) krawędzi, \(n+1\) wierzchołków i \(n+1\) ścian.

## Przekątna sześcianu z objętości - zadanie CKE maj 2025

Klasyk, który pojawił się na maturze 2025. Objętość sześcianu jest równa \(729\). Jaka jest długość jego przekątnej?

Najpierw krawędź. Objętość sześcianu to \(V = a^3\), więc:

$$a^3 = 729 \implies a = \sqrt[3]{729} = 9$$

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), zatem:

$$d = 9\sqrt{3}$$

Rozwiązanie: [zadanie 26 z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-33). Wzór \(d = a\sqrt{3}\) bierze się z dwukrotnego twierdzenia Pitagorasa: najpierw przekątna ściany \(a\sqrt{2}\), potem przekątna bryły. Warto go znać na pamięć, bo wraca co roku.

## Objętość stożka z kąta rozwarcia - zadanie CKE maj 2016

Tutaj trzeba rozłożyć przekrój osiowy na dwa trójkąty prostokątne. Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ\), a tworząca ma długość \(4\). Oblicz objętość.

Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku \(120^\circ\). Wysokość stożka dzieli ten kąt na pół, więc pracujemy z trójkątem prostokątnym o kącie \(60^\circ\) przy wierzchołku, w którym tworząca \(l = 4\) jest przeciwprostokątną:

$$r = l \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$
$$h = l \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Teraz wzór na objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$$

Rozwiązanie: [zadanie matura-maj-2016-23](/task/matura-maj-2016-23). Najczęstszy błąd to wzięcie całego kąta \(120^\circ\) zamiast jego połowy. Pamiętaj: wysokość stożka zawsze połowi kąt rozwarcia.

## Objętość ostrosłupa z kątem nachylenia krawędzi - zadanie CKE próbna luty 2026

Teraz pełne zadanie otwarte na 4 punkty. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\). Oblicz objętość.

Krok 1. Wyznaczamy bok podstawy. Pole trójkąta równobocznego to \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), więc:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \implies a^2 = 15 \implies a = \sqrt{15}$$

Krok 2. Promień okręgu opisanego na podstawie (to na nim "ląduje" rzut krawędzi bocznej): \(R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}\).

Krok 3. Krawędź boczna \(b\). Jej rzut na podstawę ma długość \(R\), a kąt nachylenia to \(\alpha\), więc \(\cos\alpha = \frac{R}{b}\):

$$b = \frac{R}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{3}} = 3\sqrt{5}$$

Krok 4. Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(R, h, b\):

$$h = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{45 - 5} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$

Krok 5. Objętość:

$$V = \frac{1}{3} P h = \frac{1}{3} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{10} = \frac{5\sqrt{30}}{2}$$

Pełne rozwiązanie: [zadanie matura-pr-bna-luty-2026-34](/task/matura-pr-bna-luty-2026-34). To wzorcowy schemat: bok podstawy, promień opisany, krawędź z kąta, wysokość z Pitagorasa, objętość.

## Pole całkowite graniastosłupa z przekątną - zadanie CKE maj 2015

Kolejne zadanie otwarte. Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus wynosi \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Niech \(a\) to krawędź podstawy, \(d\) - przekątna bryły. Rzut przekątnej na podstawę to przekątna kwadratu podstawy, czyli \(a\sqrt{2}\). Z definicji kąta nachylenia:

$$\cos\beta = \frac{a\sqrt{2}}{d} = \frac{3}{5}, \qquad \sin\beta = \frac{16}{d} = \frac{4}{5}$$

Z drugiego równania \(d = 20\). Wtedy:

$$a\sqrt{2} = d \cos\beta = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 \implies a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$

Pole podstawy: \(P_p = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72\). Dwie podstawy dają \(144\). Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:

$$P_b = 4a \cdot 16 = 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 384\sqrt{2}$$

Pole całkowite:

$$P = 144 + 384\sqrt{2}$$

Rozwiązanie: [zadanie matura-maj-2015-32](/task/matura-maj-2015-32). Uwaga na pułapkę: rzutem przekątnej bryły jest przekątna podstawy \(a\sqrt{2}\), a nie bok \(a\).

## Kąt nachylenia ściany bocznej - zadanie CKE 2015-2023

Na koniec zadanie otwarte na 5 punktów. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest \(2\) razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Oznaczmy krawędź podstawy \(a\) i wysokość ostrosłupa \(H\). Z treści \(a = 2H\), czyli \(H = \frac{a}{2}\).

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzymy w trójkącie prostokątnym, którego jedną przyprostokątną jest wysokość \(H\), a drugą - promień okręgu wpisanego w podstawę (apotema). Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) ten promień to:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$$

Tangens szukanego kąta \(\varphi\) to stosunek wysokości do apotemy:

$$\tan\varphi = \frac{H}{r} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \implies \varphi = 60^\circ$$

Rozwiązanie: [zadanie cke-2015-2023-pp-107](/task/cke-2015-2023-pp-107). Kluczowa różnica: kąt nachylenia krawędzi bocznej liczysz względem promienia opisanego \(R\), a kąt nachylenia ściany - względem promienia wpisanego \(r\). Pomylenie tych dwóch to najczęstszy błąd w całym dziale.

## Tabela - typy zadań ze stereometrii i jak je rozpoznać

| Typ zadania | Sygnał rozpoznawczy | Pierwszy krok | Częsta pułapka |
|---|---|---|---|
| Liczenie krawędzi i ścian | "ile krawędzi/ścian/wierzchołków" | wzory \(3n\), \(2n\), \(n+2\) | mylenie graniastosłupa z ostrosłupem |
| Przekątna bryły | sześcian, prostopadłościan | dwa razy Pitagoras | branie przekątnej ściany zamiast bryły |
| Objętość stożka/walca | przekrój osiowy, tworząca | rozłóż przekrój na trójkąty | pomylenie tworzącej z wysokością |
| Kąt krawędzi do podstawy | "krawędź nachylona do podstawy" | rzut na podstawę = promień \(R\) | użycie apotemy zamiast \(R\) |
| Kąt ściany do podstawy | "ściana nachylona", kąt dwuścienny | apotema = promień \(r\) | użycie \(R\) zamiast \(r\) |

## Zadania zamknięte i otwarte w stereometrii

W tym dziale CKE stawia oba typy zadań. Zadania zamknięte to zwykle szybkie rachunki: policz objętość z danych wymiarów, znajdź pole powierzchni, policz liczbę krawędzi. Liczy się tu pewność i tempo, bo punkt dostajesz albo nie, bez punktów częściowych. Trzy pierwsze przykłady wyżej to właśnie ten typ.

Zadania otwarte są dłuższe i wymagają pełnego rozumowania: trzeba narysować bryłę, wskazać właściwy trójkąt prostokątny, rozpisać kolejne kroki i podać wynik. Tu gubi się najwięcej punktów - nie przez rachunek, tylko przez źle wskazany kąt albo pomylony promień. Jeśli chcesz wyrobić nawyk poprawnego zapisu rozwiązania, przeczytaj poradnik [jak rozwiązywać zadania otwarte z matematyki](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Najczęstsze błędy w stereometrii

Z setek rozwiązań widać, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy:

- **Mylenie promienia opisanego \(R\) z wpisanym \(r\).** Krawędź boczna "siada" na \(R\), apotema to \(r\). To źródło połowy błędów w zadaniach z kątami.
- **Branie tworzącej zamiast wysokości stożka** (albo odwrotnie) w trójkącie przekroju osiowego.
- **Zapomniany czynnik \(\frac{1}{3}\)** we wzorze na objętość ostrosłupa i stożka.
- **Pomylenie przekątnej ściany z przekątną bryły** w sześcianie i prostopadłościanie.
- **Niedorysowany rysunek.** Bez schematu bryły trudno wskazać właściwy trójkąt, a wtedy całe rozumowanie się sypie.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach [błędy rachunkowe na maturze - jak unikać](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac) oraz [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Teoria bez zadań nic nie da. Plan jest prosty:

1. Przerób przewodnik [stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), żeby ułożyć metody w głowie.
2. Wejdź na stronę działu [stereometria](/topics/stereometria) i rób zadania jedno po drugim, od najłatwiejszych zamkniętych.
3. Gdy utkniesz, nie zgaduj - wrzuć zadanie do [solvera](/solve) i zobacz rozwiązanie krok po kroku.
4. Na koniec sprawdź się [losowym zadaniem](/random) z całej bazy, bez wiedzy, jaki to typ, tak jak na prawdziwej maturze.

Jeśli chcesz ćwiczyć tylko za darmo, plan darmowej nauki online masz w tekście [zadania maturalne z matematyki online za darmo](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo). A po więcej zadań z geometrii zajrzyj do hubów [zadania CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) i [zadania CKE z geometrii analitycznej](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami).

## FAQ - zadania CKE ze stereometrii

### Ile zadań ze stereometrii jest na maturze?
Zwykle kilka: 2-3 zamknięte i często jedno otwarte na 4-5 punktów. To jeden z najlepiej punktujących działów, jeśli opanujesz schemat z kątami.

### Czy te zadania są darmowe?
Zadania zamknięte CKE i przewodniki są dostępne za darmo. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje abonament Premium - ceny sprawdzisz na stronie [płatności](/payment/checkout).

### Od czego zacząć, jeśli nie ogarniam stereometrii?
Od liczenia krawędzi i objętości z gotowych wymiarów - to pewne punkty bez wyobraźni przestrzennej. Dopiero potem przejdź do kątów nachylenia.

### Jak nie mylić kątów nachylenia?
Zapamiętaj jedno zdanie: krawędź boczna opiera się na promieniu opisanym \(R\), a ściana boczna na promieniu wpisanym \(r\). Zawsze narysuj odpowiedni trójkąt prostokątny.

### Czy wystarczy znać wzory z tablic?
Wzory na objętość i pole masz w [tablicach](/formulas), ale to ty musisz wskazać właściwy trójkąt i kąt. Wzór nie zrobi tego za ciebie.

## Podsumowanie

Stereometria to dział, w którym da się zgarnąć dużo pewnych punktów, jeśli opanujesz kilka schematów: wzory na liczbę krawędzi i ścian, podwójny Pitagoras dla przekątnej, rozkład przekroju osiowego na trójkąty oraz - najważniejsze - różnicę między promieniem opisanym \(R\) (krawędź) a wpisanym \(r\) (ściana). Masz tu komplet zadań CKE z rozwiązaniami - zacznij od [strony działu](/topics/stereometria), a gdy utkniesz, [solver](/solve) doprowadzi cię do "aha". Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /proporcjonalnosc-odwrotna-wzor-wykres-zadania-matura
title: Proporcjonalność odwrotna - wzór, wykres hiperboli i zadania maturalne
description: Proporcjonalność odwrotna: wzór y = a/x, wykres hiperboli, własności funkcji i zadania maturalne CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Zobacz, jak obliczyć a.
author: Filip Maszota
---

# Proporcjonalność odwrotna - wzór, wykres hiperboli i zadania maturalne

Proporcjonalność odwrotna to zależność między dwiema wielkościami \(x\) i \(y\), w której iloczyn \(x \cdot y\) jest stały: \(x \cdot y = a\), czyli \(y = \frac{a}{x}\) dla pewnej liczby \(a \neq 0\). Gdy jedna wielkość rośnie 2 razy, druga maleje dokładnie 2 razy. Wykresem funkcji \(f(x) = \frac{a}{x}\) jest hiperbola złożona z dwóch gałęzi, a liczbę \(a\) nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Na maturze podstawowej ten temat wraca w najprostszej możliwej formie: dostajesz tabelkę z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi i masz znaleźć brakującą liczbę. Dokładnie takie zadania pojawiły się na maturze w sierpniu 2020 (zadanie 20) oraz na maturze próbnej CKE z marca 2026 (zadanie 13). Oba rozwiązujemy niżej krok po kroku, a po drodze ogarniesz wzór, wykres i własności funkcji \(f(x) = \frac{a}{x}\), które CKE lubi sprawdzać w zadaniach zamkniętych.

## Co to jest proporcjonalność odwrotna - definicja i wzór

Dwie wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera: \(x \cdot y = a\). Równoważnie: \(y = \frac{a}{x}\). Liczba \(a\) to współczynnik [proporcjonalności odwrotnej](/zadania-na-wspolna-prace-i-wydajnosc-matura-jak-ulozyc-rownanie#trzy-modele-zadan-o-pracy-i-wydajnosci). Im większe \(x\), tym mniejsze \(y\), i to nie "jakoś tam" mniejsze, tylko dokładnie w tej samej skali: podwojenie jednej wielkości oznacza zmniejszenie drugiej o połowę.

Najłatwiej to poczuć na przykładach z życia:

- **Prędkość i czas.** Masz do przejechania 120 km. Przy prędkości 60 km/h jedziesz 2 godziny, przy 120 km/h tylko godzinę. Iloczyn \(v \cdot t = 120\) jest stały, więc prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
- **Liczba maszyn i czas pracy.** Jeśli 2 maszyny pakują zamówienie w 12 godzin, to 4 takie same maszyny zrobią to w 6 godzin. Iloczyn liczby maszyn i czasu jest stały.
- **Składka na wspólny prezent.** Prezent kosztuje 600 zł. Przy 10 osobach każdy płaci 60 zł, przy 20 osobach już tylko 30 zł.

Wspólny mianownik: w każdej z tych sytuacji "całość" (droga, praca do wykonania, koszt) jest stała, a dwie wielkości dzielą się nią między sobą.

## Jak rozpoznać proporcjonalność odwrotną w tabelce

Mnożysz liczby w każdej kolumnie tabelki. Jeśli wszystkie iloczyny \(x \cdot y\) wychodzą takie same, wielkości są odwrotnie proporcjonalne, a wspólny iloczyn to współczynnik \(a\). Jeśli natomiast stały jest iloraz \(\frac{y}{x}\), masz do czynienia z proporcjonalnością prostą, czyli zupełnie inną zależnością.

Przykład. Sprawdźmy tabelkę:

| \(x\) | 2 | 4 | 10 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 20 | 10 | 4 |

Liczymy iloczyny: \(2 \cdot 20 = 40\), \(4 \cdot 10 = 40\), \(10 \cdot 4 = 40\). Wszystkie równe, więc \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne, a \(a = 40\). Wzór zależności: \(y = \frac{40}{x}\).

Ta jedna metoda (stały iloczyn) wystarcza do rozwiązania praktycznie każdego maturalnego zadania z tabelką. Zobaczysz to w zadaniach 1 i 2 niżej.

## Wykres proporcjonalności odwrotnej, czyli hiperbola

Wykresem funkcji \(f(x) = \frac{a}{x}\) jest hiperbola, czyli krzywa złożona z dwóch osobnych gałęzi, które nigdy nie dotykają osi układu współrzędnych. Dla \(a > 0\) gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla \(a  0\) funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty, 0)\) i malejąca w przedziale \((0, +\infty)\), ale NIE jest malejąca na całej dziedzinie (dlaczego, wyjaśniam w pułapkach). Dla \(a  0\), dla których \(\frac{8}{x} > 2\).

**Krok 2: rozwiąż nierówność.** Dla \(x > 0\) możesz pomnożyć obie strony przez \(x\) bez zmiany znaku nierówności: \(8 > 2x\), czyli \(x  0\) i \(x  0\) jest malejąca w przedziale \((-\infty, 0)\) oraz malejąca w przedziale \((0, +\infty)\), ale nie jest malejąca na całej dziedzinie. Porównując argumenty z różnych gałęzi, na przykład \(-2\) i \(2\), dostajesz wzrost wartości. To częsta pułapka w zadaniach zamkniętych typu prawda-fałsz.

### Jak obliczyć współczynnik proporcjonalności odwrotnej?
Wystarczy jedna pełna para danych: pomnóż \(x\) przez odpowiadające mu \(y\), a wynik to współczynnik \(a\). Na przykład jeśli \(y = 24\) dla \(x = 3\), to \(a = 3 \cdot 24 = 72\) i cała zależność ma wzór \(y = \frac{72}{x}\).

### Czy proporcjonalność odwrotna jest na maturze podstawowej?
Tak, jest wprost wymieniona w wymaganiach egzaminacyjnych CKE i regularnie pojawia się w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, zwykle w formie tabelki z brakującą liczbą. Takie zadania były między innymi na maturze w sierpniu 2020 i na maturze próbnej CKE w marcu 2026.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-srednia-wazona-wzor-zadania-matura
title: Jak obliczyć średnią ważoną - wzór, krok po kroku i zadania maturalne
description: Średnia ważona bez ściemy: wzór, schemat 3 kroków, 6 rozwiązanych przykładów (oceny, tabela liczebności, akcje) i pułapki, które kosztują punkty na maturze.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć średnią ważoną - wzór, krok po kroku i zadania maturalne

Średnia ważona to jeden z tych tematów, które brzmią groźnie, a w praktyce są banalne, jeśli rozumiesz, co robisz. Na maturze podstawowej z matematyki pojawia się regularnie, najczęściej pod przykrywką tabeli liczebności, diagramu częstości albo "Adam zapisał oceny". W tym poradniku pokazuję jak obliczyć średnią ważoną krok po kroku, ze wzorem, schematem trzech ruchów i sześcioma rozwiązanymi zadaniami (w tym z arkuszy CKE).

Interaktywny kalkulator: srednia-wazona (dostępny na stronie wpisu)

Zanim zaczniesz, jeśli czujesz, że ogólnie kuleje ci statystyka, zerknij na [średnia, mediana i dominanta krok po kroku](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania) oraz [jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję](/jak-obliczyc-odchylenie-standardowe-wariancje-matura). Średnia ważona stoi na tych samych klockach. Pełny przegląd działu znajdziesz w [topiku Statystyka na maturze](/topics/statystyka).

## Czym jest średnia ważona

Średnia arytmetyczna traktuje wszystkie liczby tak samo. Wrzucasz je do worka, sumujesz i dzielisz przez ich liczbę. Średnia ważona inaczej: niektóre liczby liczą się bardziej (mają większą wagę), inne mniej. Waga to "ile razy" dana liczba powinna być brana pod uwagę.

Klasyczne sytuacje, w których pojawia się średnia ważona:

- oceny z różnym mnożnikiem (klasówka waga 2, kartkówka waga 1)
- tabela liczebności (każda wartość występuje wiele razy)
- diagram częstości (słupki o różnej wysokości)
- średnia z kilku grup o różnej liczebności (np. dwie klasy)

Jeśli widzisz w treści zadania słowa "tabela", "diagram", "liczebność", "częstość", "waga" - to prawie na pewno średnia ważona.

## Wzór na średnią ważoną

Niech \(x_1, x_2, \dots, x_n\) to wartości, a \(w_1, w_2, \dots, w_n\) ich wagi. Średnia ważona to:

$$\bar{x}_w = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \dots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}$$

Krócej z sumą:

$$\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$

W liczniku mnożysz każdą wartość przez jej wagę i sumujesz iloczyny. W mianowniku sumujesz same wagi. Tyle. Jeśli wszystkie wagi są równe (np. wszystkie \(w_i = 1\)), wzór sprowadza się do zwykłej średniej arytmetycznej.

Tej zależności warto się trzymać:

$$\text{średnia arytmetyczna} = \text{średnia ważona z wagami } w_i = 1$$

Średnia ważona nie ma swojego symbolu na karcie wzorów CKE - jest wymieniona pod hasłem "średnia arytmetyczna danych pogrupowanych". Sprawdź też nasz przegląd [karty wzorów CKE 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), żeby wiedzieć, czego musisz nauczyć się na pamięć, a czego nie.

## Schemat trzech kroków

Sprowadzam liczenie średniej ważonej do trzech ruchów, które działają zawsze:

Krok 1. Wypisz wszystkie wartości \(x_i\) i ich wagi \(w_i\). Jeśli masz tabelę liczebności, wagą jest liczebność. Jeśli diagram częstości - wysokość słupka. Jeśli "oceny z różnym mnożnikiem" - mnożnik z treści.

Krok 2. Policz licznik: \(\sum x_i w_i\). Najprościej w słupku: kolumna wartość, kolumna waga, kolumna iloczyn, na dole suma iloczynów.

Krok 3. Policz mianownik: \(\sum w_i\). Sumujesz same wagi (liczebności / mnożniki / częstości). Dzielisz licznik przez mianownik. Wynik to średnia ważona.

Trzymaj się tego porządku, nawet jeśli wydaje ci się, że "od razu widzisz wynik". Większość błędów na maturze bierze się z mieszania kolumn albo dzielenia przez liczbę wartości zamiast przez sumę wag.

## Przykład 1. Oceny z różnymi wagami (klasówka, kartkówka, aktywność)

Treść. Uczeń ma w semestrze:

- z klasówek (waga 3): 5, 4, 4
- z kartkówek (waga 1): 6, 3, 5, 2
- z aktywności (waga 1): 5

Oblicz ocenę średnią ważoną na koniec semestru.

Rozwiązanie. Stosuję schemat trzech kroków.

Krok 1. Wypisuję wartości z wagami. Każda klasówka to (ocena, waga 3). Każda kartkówka i ocena z aktywności to (ocena, waga 1).

Krok 2. Licznik:

$$L = 5\cdot 3 + 4\cdot 3 + 4\cdot 3 + 6\cdot 1 + 3\cdot 1 + 5\cdot 1 + 2\cdot 1 + 5\cdot 1$$
$$L = 15 + 12 + 12 + 6 + 3 + 5 + 2 + 5 = 60$$

Krok 3. Mianownik to suma wag:

$$M = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14$$

Średnia ważona:

$$\bar{x}_w = \frac{60}{14} = \frac{30}{7} \approx 4{,}29$$

Odpowiedź. Średnia ważona ocen ucznia wynosi około \(4{,}29\). Zauważ, że gdybyś policzył zwykłą średnią arytmetyczną (osiem ocen, dzielone przez 8), wyszłoby \(4{,}25\) - inaczej, bo nie brałeś pod uwagę, że klasówki ważą więcej.

## Przykład 2. Tabela liczebności (klasyk maturalny)

Treść. W klasie zebrano dane "ile osób liczy twoja rodzina?":

| liczba osób | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|-------------|---|---|---|---|---|
| liczebność  | 4 | 8 | 6 | 5 | 2 |

Oblicz średnią liczbę osób w rodzinach uczniów tej klasy.

Rozwiązanie. To czysta średnia ważona, w której:

- wartości to liczby osób w rodzinie (\(x_i\))
- wagi to liczebności (\(w_i\))

Krok 1. Wartości: 2, 3, 4, 5, 6. Wagi: 4, 8, 6, 5, 2.

Krok 2. Licznik:

$$L = 2\cdot 4 + 3\cdot 8 + 4\cdot 6 + 5\cdot 5 + 6\cdot 2$$
$$L = 8 + 24 + 24 + 25 + 12 = 93$$

Krok 3. Mianownik (łączna liczba uczniów):

$$M = 4 + 8 + 6 + 5 + 2 = 25$$

Średnia:

$$\bar{x}_w = \frac{93}{25} = 3{,}72$$

Odpowiedź. Średnia liczba osób w rodzinach wynosi \(3{,}72\). Ten sam schemat zadziała w każdej tabeli liczebności - również w klasyku [zadania 23 z matury maj 2011](/task/matura-maj-2011-23), w którym zadano dokładnie to samo pytanie o liczbę osób w rodzinie.

## Przykład 3. Diagram częstości (oblicz średnią z wykresu)

Treść. Dany jest diagram częstości:

| wartość    | 0   | 1   | 2   | 3   |
|------------|-----|-----|-----|-----|
| częstość   | 0{,}25 | 0{,}40 | 0{,}25 | 0{,}10 |

Oblicz średnią arytmetyczną danych.

Rozwiązanie. Tu wagą jest częstość (procent / ułamek dziesiętny). Suma częstości musi wynosić \(1\) (albo \(100\%\)) - sprawdź: \(0{,}25 + 0{,}40 + 0{,}25 + 0{,}10 = 1\). Zgadza się.

Krok 1. Wartości: 0, 1, 2, 3. Wagi (częstości): 0,25; 0,40; 0,25; 0,10.

Krok 2. Licznik:

$$L = 0\cdot 0{,}25 + 1\cdot 0{,}40 + 2\cdot 0{,}25 + 3\cdot 0{,}10$$
$$L = 0 + 0{,}40 + 0{,}50 + 0{,}30 = 1{,}20$$

Krok 3. Mianownik to suma częstości:

$$M = 0{,}25 + 0{,}40 + 0{,}25 + 0{,}10 = 1$$

Średnia:

$$\bar{x}_w = \frac{1{,}20}{1} = 1{,}20$$

Odpowiedź. \(\bar{x} = 1{,}20\). Skrót: jeśli wagi to częstości sumujące się do \(1\), mianownik zawsze wynosi \(1\) i licznik od razu daje średnią. Pamiętaj jednak, że to nie zwalnia z policzenia sumy częstości - czasem w treści jest jedna częstość brakująca i musisz ją wyliczyć. Tego typu zadanie pojawiło się w [arkuszu CKE PP treningowym (zadanie 43)](/task/cke-pp-treningowe-43) oraz w [zadaniu 82](/task/cke-pp-treningowe-82).

## Przykład 4. "Wyznacz wartość, dla której średnia jest równa..."

Treść (matura maj 2010, zadanie 25, przerobione). Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb: \(x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5\) jest równa \(3\). Wtedy \(x\) jest równe...

Rozwiązanie. Tu wszystkie wagi są równe \(1\), więc wzór zwija się do zwykłej średniej arytmetycznej, ale działa identyczna logika.

Krok 1. Wzór:

$$\frac{x + 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 + 4 + 1 + 5}{10} = 3$$

Krok 2. Sumuję znane wyrazy: \(3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 + 4 + 1 + 5 = 25\). Mam:

$$\frac{x + 25}{10} = 3$$

Krok 3. Mnożę obie strony przez \(10\):

$$x + 25 = 30 \Rightarrow x = 5$$

Odpowiedź. \(x = 5\). To samo podejście (wzór - przekształć - oblicz x) działa w [zadaniu 28 z matury maj 2022](/task/matura-maj-2022-28), [zadaniu 25 z matury maj 2012](/task/matura-maj-2012-25) oraz w klasyku [matura maj 2018 zadanie 23](/task/matura-maj-2018-23), w którym podany jest zestaw z parametrem \(m\) i trzeba wyznaczyć średnią.

## Przykład 5. Średnia z dwóch grup o różnej liczebności

Treść (na podstawie matury czerwiec 2012, zadanie 26). Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa \(23\) lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa \(24\) lata. Opiekun ma \(45\) lat. Ilu jest studentów?

Rozwiązanie. Tu działa średnia ważona z dwóch grup. Grupa 1: studenci, liczebność \(n\), suma wieków \(S = 23n\). Grupa 2: opiekun, liczebność \(1\), wiek \(45\). Suma wieków razem: \(S + 45 = 23n + 45\). Liczebność razem: \(n + 1\).

Średnia całej grupy:

$$\frac{23n + 45}{n + 1} = 24$$

Mnożę obie strony przez \(n + 1\):

$$23n + 45 = 24(n+1)$$
$$23n + 45 = 24n + 24$$
$$45 - 24 = 24n - 23n$$
$$21 = n$$

Odpowiedź. Studentów jest \(21\). To absolutny klasyk - jeśli zobaczysz "średnia ważona dwóch grup", zawsze przekształcaj średnią z każdej grupy na sumę (\(\text{suma} = \text{średnia} \cdot \text{liczebność}\)) i sumuj sumy. Identyczna technika pomaga w [zadaniu 25 z matury czerwiec 2012](/task/matura-maj-2012-25) o cenach akcji na giełdzie.

## Przykład 6. Średnia ważona ocen z dwoma wagami (Adam i klasówki)

Treść (CKE 2015-2023 PP, zadanie 125, przerobione). Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: \(6, 4, 4\). Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki, jeżeli jego średnia ważona po czterech klasówkach jest równa \(4{,}5\), przy czym pierwsza klasówka ma wagę \(1\), druga - \(2\), trzecia - \(2\), a czwarta - \(3\).

Rozwiązanie. Wiem, że średnia ważona to:

$$\bar{x}_w = \frac{6\cdot 1 + 4\cdot 2 + 4\cdot 2 + x\cdot 3}{1 + 2 + 2 + 3} = 4{,}5$$

Liczę licznik (bez \(x\)):

$$6 + 8 + 8 + 3x = 22 + 3x$$

Mianownik: \(1 + 2 + 2 + 3 = 8\). Stąd równanie:

$$\frac{22 + 3x}{8} = 4{,}5$$

Mnożę przez \(8\):

$$22 + 3x = 36$$
$$3x = 14$$
$$x = \frac{14}{3} \approx 4{,}67$$

Odpowiedź. Adam musiałby dostać ocenę około \(4{,}67\) - czyli w skali szkolnej taka ocena nie istnieje. To oznacza, że osiągnięcie średniej \(4{,}5\) jest poza zasięgiem (chyba że Adam dostanie \(5\) i tak średnia wyjdzie wyższa). Pokażę: dla \(x = 5\):

$$\bar{x}_w = \frac{22 + 15}{8} = \frac{37}{8} = 4{,}625$$

Czyli przy piątce z czwartej klasówki średnia ważona wynosi \(4{,}625\), a nie dokładnie \(4{,}5\). To realistyczny komentarz, jaki możesz dopisać w zadaniu otwartym - egzaminator doceni, że rozumiesz kontekst, nie tylko liczysz mechanicznie. Pełne rozwiązanie oryginalnego zadania znajdziesz w [zadaniu 125 z arkusza CKE 2015-2023 PP](/task/cke-2015-2023-pp-125).

## Średnia ważona vs średnia arytmetyczna - kiedy która?

To pytanie pada na egzaminie ustnym i często w teście wyboru. Krótka decyzja:

- jeśli wszystkie wartości pojawiają się tyle samo razy i są "równorzędne" - średnia arytmetyczna
- jeśli niektóre wartości pojawiają się wiele razy (tabela liczebności) lub mają "wagę" (mnożnik) - średnia ważona
- jeśli widzisz "częstość" lub diagram słupkowy - średnia ważona z częstościami jako wagami
- jeśli zadanie mówi "średnia z grup" - rozbij na średnie ważone

W praktyce maturalnej średnia ważona to "uogólnienie", a arytmetyczna to "szczególny przypadek". Jeśli umiesz ważoną, umiesz obie.

## Najczęstsze pułapki - tu uczniowie tracą punkty

Po przeczytaniu setek prac maturalnych z CKE da się wyciągnąć powtarzające się błędy. Trzymaj się tej listy, a dostaniesz pełne punkty.

Pułapka 1. Dzielenie przez liczbę wartości zamiast przez sumę wag. W tabeli liczebności wartości jest np. \(5\), ale wag (uczniów) jest \(25\). Dzielisz przez \(25\), nie przez \(5\). Pomylenie tych dwóch liczb to natychmiastowa utrata punktu.

Pułapka 2. Pomijanie wag równych \(1\). Jeśli kartkówka ma wagę \(1\), nie wolno jej "wyrzucić" z licznika. Wciąż musi być policzona, tylko mnożnik to \(1\). Częsty błąd: uczeń wpisuje tylko klasówki z wagą \(2\) i kartkówki "ignoruje".

Pułapka 3. Mylenie częstości z liczebnością. Jeśli częstość to \(0{,}25\), to wagą jest \(0{,}25\) (a suma wag to \(1\)). Jeśli liczebność to \(25\), to wagą jest \(25\) (a suma wag to liczba wszystkich obserwacji). Nie wolno tych dwóch wartości pomylić.

Pułapka 4. Zaokrąglanie po drodze. Jeśli wynik wychodzi \(\frac{60}{14}\), nie zaokrąglaj do \(4{,}3\) zanim odpowiesz - egzaminator może chcieć formy ułamkowej \(\frac{30}{7}\). Zostaw ułamek do końca, zaokrąglij dopiero w odpowiedzi (i tylko jeśli treść zadania tego wymaga).

Pułapka 5. Nieoznaczanie wag w zadaniu otwartym. W rozwiązaniu otwartym koniecznie zapisz tabelę albo wzór z podstawionymi wagami. Bez tego egzaminator nie wie, skąd wziąłeś \(\sum x_i w_i\), i może nie dać punktu za metodę.

Pułapka 6. Mylenie średniej ważonej z medianą lub dominantą. Jeśli zadanie pyta o [medianę z tabeli liczebności](/jak-obliczyc-mediane-tabela-liczebnosci-mediana-z-niewiadoma-matura#typowe-pulapki) (np. [zadanie 42 z CKE PP treningowe](/task/cke-pp-treningowe-42)), to NIE jest średnia ważona. Sprawdź [średnia, mediana i dominanta](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania), żeby nie pomylić pojęć w stresie.

## Średnia ważona w zadaniach dowodowych i otwartych

Coraz częściej (zwłaszcza w arkuszach z [matur czerwcowych](/exams/matura-czerwiec-2025)) pojawiają się zadania na dowód z udziałem średniej. Klasyczny schemat: "Wykaż, że jeśli średnia zestawu \(x_1, \dots, x_n\) wynosi \(a\), to średnia zestawu \(x_1 - a, x_2 - a, \dots, x_n - a\) wynosi \(0\)".

Dowód jest prosty, jeśli rozumiesz definicję:

$$\bar{y} = \frac{(x_1-a)+(x_2-a)+\dots+(x_n-a)}{n} = \frac{x_1+x_2+\dots+x_n - na}{n}$$

Wiemy, że \(\frac{x_1+\dots+x_n}{n} = a\), czyli \(x_1+\dots+x_n = na\). Podstawiam:

$$\bar{y} = \frac{na - na}{n} = 0$$

Tym samym pokazałem, że średnia zestawu przesuniętego o stałą wynosi zero. Identycznie radzi się sobie z zadaniami typu "Wykaż, że średnia ważona zestawu pomnożonego przez \(k\) jest \(k\)-krotnością pierwotnej średniej". Klucz: zawsze rozpisuj definicję, nie próbuj "intuicyjnie".

Po więcej technik dowodowych zerknij na [jak pisać dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Średnia ważona w zadaniach typu "ile musi dostać, żeby średnia była..."

Klasyczny przypadek użycia: uczeń pyta "co muszę dostać z ostatniej klasówki, żeby wyjść na \(5\)?". To zadanie odwrotne - znamy średnią, szukamy brakującej wartości \(x\). Schemat:

Krok 1. Zapisz wzór średniej ważonej z nieznaną wartością \(x\).

Krok 2. Wstaw znane wartości i wagi.

Krok 3. Przyrównaj do docelowej średniej i rozwiąż równanie liniowe ze względu na \(x\).

Krok 4. Sprawdź, czy wynik jest w realnej skali ocen (zwykle \(1{-}6\)). Jeśli wychodzi powyżej \(6\) - osiągnięcie celu jest niemożliwe.

Tak rozwiązuje się np. [zadanie 26 z matury czerwiec 2012](/task/matura-czerwiec-2012-26) o opiekunie studentów, a także zadanie 25 z matury maj 2010. Identyczna logika rządzi zadaniami "Średnia arytmetyczna trzech liczb a, b, c jest równa..." z [matury maj 2024 (zadanie 28)](/task/matura-maj-2024-34) i [czerwiec 2025 (zadanie 29)](/task/matura-czerwiec-2025-35).

## Średnia ważona z diagramem słupkowym (zadanie z arkusza)

W arkuszu [czerwiec 2024 (zadanie 28)](/task/matura-czerwiec-2024-36) podano diagram z ocenami. To zadanie krok po kroku:

Krok 1. Z diagramu odczytujesz, ile osób dostało jaką ocenę: np. dwójki - \(2\) osoby, trójki - \(5\), czwórki - \(8\), piątki - \(4\), szóstki - \(1\). Liczebności to wagi.

Krok 2. Licznik:

$$L = 2\cdot 2 + 3\cdot 5 + 4\cdot 8 + 5\cdot 4 + 6\cdot 1 = 4 + 15 + 32 + 20 + 6 = 77$$

Krok 3. Mianownik:

$$M = 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20$$

Średnia ocen:

$$\bar{x}_w = \frac{77}{20} = 3{,}85$$

Odpowiedź. Średnia ocen w klasie wynosi \(3{,}85\). Wskazówka: zawsze odczytuj słupki dwa razy, bo łatwo pomylić wysokość przy ciasnej skali na osi.

## Średnia ważona a odchylenie standardowe

Jeśli rozumiesz średnią ważoną, łatwiej zrozumiesz wzory na wariancję i odchylenie z tabeli liczebności:

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} w_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} w_i}$$

To dosłownie średnia ważona kwadratów odchyleń, gdzie wagą jest liczebność. Mechanika identyczna jak w przykładach 2 i 3, tylko zamiast \(x_i\) wstawiasz \((x_i - \bar{x})^2\). Pełen poradnik krok po kroku jest w [jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję](/jak-obliczyc-odchylenie-standardowe-wariancje-matura).

## Quick-tipy do testów wyboru (ABCD)

W zadaniach jednokrotnego wyboru rzadko musisz liczyć średnią ważoną dokładnie. Często wystarczy szybka eliminacja:

- Średnia ważona zawsze leży między najmniejszą a największą wartością. Jeśli odpowiedź "wykracza poza zakres", odpada.
- Jeśli większość obserwacji ma większą wartość, średnia będzie bliżej tej wartości. Patrzysz, gdzie waga jest większa, i tam ciąży średnia.
- Jeśli dwie wartości mają tę samą wagę i są symetryczne wokół jakiejś liczby, ta liczba jest średnią (np. \(2\) i \(6\) z tą samą wagą - średnia \(4\)).

Klasyczne pułapki ABCD pojawiają się w [zadaniu 30 z matury czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-36) (tabela liczebności + jednokrotny wybór) i w [zadaniu 29 z matury maj 2023](/task/matura-maj-2023-32). Ćwicz cały zestaw arkuszy maturalnych w naszym [topiku statystyka](/topics/statystyka) i z bazy [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Przykład 7. Średnia z dwóch klas o różnej liczebności

Treść. W klasie 3A (\(28\) uczniów) średnia ze sprawdzianu wynosi \(3{,}75\). W klasie 3B (\(22\) uczniów) średnia wynosi \(4{,}00\). Oblicz średnią obu klas razem.

Rozwiązanie. Klasyczna sytuacja "średnia z dwóch grup". Mała pułapka: nie liczy się \(\frac{3{,}75 + 4{,}00}{2} = 3{,}875\) - to byłaby średnia ze średnich, a nie średnia ważona. Liczebności są różne, więc muszą wystąpić jako wagi.

Krok 1. Suma punktów (suma wieków, sum wyników) z każdej klasy:

- klasa 3A: \(\text{suma}_A = 3{,}75 \cdot 28 = 105\)
- klasa 3B: \(\text{suma}_B = 4{,}00 \cdot 22 = 88\)

Krok 2. Łączna suma punktów:

$$\text{suma}_{A+B} = 105 + 88 = 193$$

Krok 3. Łączna liczba uczniów: \(28 + 22 = 50\). Średnia obu klas:

$$\bar{x}_{A+B} = \frac{193}{50} = 3{,}86$$

Odpowiedź. Średnia obu klas razem wynosi \(3{,}86\). Zauważ, że wynik leży bliżej \(3{,}75\) niż \(4{,}00\), bo klasa 3A była liczniejsza - "ciąży" mocniej na średnią. To intuicja, którą warto wyrobić: średnia waży się w stronę większej grupy.

W skrócie, średnia ważona dwóch grup to:

$$\bar{x}_{A+B} = \frac{\bar{x}_A \cdot n_A + \bar{x}_B \cdot n_B}{n_A + n_B}$$

Tę formułę warto zapamiętać - pojawia się na maturze regularnie, zarówno w testach wyboru, jak i w zadaniach otwartych.

## FAQ - krótkie odpowiedzi na pytania, które padają

### Czy średnia ważona może być mniejsza niż minimalna wartość?
Nie. Średnia (każda) zawsze leży między min a max danych. Jeśli wyjdzie ci wynik spoza zakresu, masz błąd rachunkowy.

### Czy wagi muszą być całkowite?
Nie. Wagą może być częstość (0,25), prawdopodobieństwo, ułamek - cokolwiek, co opisuje "względne znaczenie" wartości. Sprawdź tylko, czy mianownik nie jest zerem.

### Czy można "skrócić" wagi?
Tak. Jeśli wszystkie wagi są pomnożone przez tę samą liczbę (np. \(2, 4, 6\) zamiast \(1, 2, 3\)), średnia wyjdzie identyczna. Wynika to wprost ze wzoru - skrócenie wspólnego czynnika w liczniku i mianowniku nic nie zmienia.

### Co jeśli waga jest zerowa?
Wartość z wagą \(0\) nie wpływa na średnią - mnożysz przez \(0\) w liczniku i nie dodajesz nic w mianowniku. W praktyce: ucz się to interpretować jako "tej wartości nie ma w danych".

## Mini-checklista przed egzaminem

Zanim wpiszesz wynik, sprawdź:

- czy w liczniku są iloczyny wartość razy waga, a nie same wartości
- czy w mianowniku jest suma wag, a nie liczba różnych wartości
- czy wynik mieści się między min i max danych
- czy odczytałeś poprawnie wagi (mnożnik / liczebność / częstość)
- czy w zadaniu otwartym zapisałeś tabelę lub wzór (egzaminator musi widzieć metodę)
- czy odpowiedź jest w odpowiedniej formie (ułamek zwykły / liczba dziesiętna - zależnie od polecenia)

## Co musisz umieć - finalny checklist

Po przeczytaniu tego poradnika powinieneś bez problemu:

- napisać wzór na średnią ważoną i wytłumaczyć jego znaczenie
- obliczyć średnią z tabeli liczebności (przykład 2)
- obliczyć średnią z diagramu częstości (przykład 3)
- znaleźć nieznaną wartość, gdy znasz docelową średnią (przykład 4 i 6)
- policzyć średnią z dwóch grup o różnej liczebności (przykład 5)
- rozpoznać, kiedy używać średniej ważonej, a kiedy zwykłej arytmetycznej
- uniknąć sześciu typowych pułapek z listy powyżej

Jeśli któryś z tych punktów cię gryzie, wróć do odpowiedniego przykładu i powtórz krok po kroku. A potem rozwiąż 3-5 podobnych zadań z naszej bazy - w [topiku Statystyka](/topics/statystyka) masz dziesiątki zadań CKE z odpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami.

Jeszcze ostatnia rada: średnia ważona to jeden z tych tematów, na których naprawdę da się złapać "łatwe punkty" za 1-2 pkt. Sprawdź [zadania za 1 punkt na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt) i [najczęstsze błędy na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), żeby nie tracić punktów na detalach. Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-2026-prognoza-co-bedzie-na-egzaminie-analiza-trendow-cke
title: Matura 2026 - co będzie na egzaminie? Analiza trendów CKE
description: Analiza ponad 2300 zadań maturalnych 2010-2025 i prognoza na maturę 2026. Które tematy pojawią się na pewno? Jak się przygotować? Konkretne dane.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura 2026 - co będzie na egzaminie? Analiza trendów CKE

## Nie wróżymy z fusów - analizujemy dane

Każdy chciałby wiedzieć, co będzie na maturze. Nie mamy dostępu do sejfu CKE, ale mamy coś lepszego - **bazę ponad 2300 zadań maturalnych z lat 2010-2025** plus obydwie matury próbne z 2026 roku.

CKE działa według schematów. Analizując, jakie typy zadań pojawiały się regularnie, a jakie "odpoczywały" w ostatnich latach, możemy z dużym prawdopodobieństwem przewidzieć, na co postawić.

Zanim przejdziemy do prognozy - jedno zastrzeżenie: **traktuj to jako wskazówkę do priorytetyzacji nauki, nie jako listę do zakucia**. Ucz się wszystkiego, ale na te tematy połóż szczególny nacisk.

## Analiza częstotliwości tematów w naszej bazie

Poniższe liczby opisują **naszą bazę**, nie oficjalną statystykę CKE: liczba zadań kategorii w całej bazie i jej średni udział punktów wśród zadań, które mamy z jednego arkusza, po 62 arkuszach maturalnych i próbnych:

| Kategoria | Zadań w naszej bazie | Średni udział punktów |
|-----------|---------------------|-----------------------|
| Geometria analityczna | 283 | 11,7% |
| Planimetria | 269 | 10,7% |
| Równania i nierówności | 262 | 12,9% |
| Ciągi | 218 | 9,1% |
| Stereometria | 204 | 11,8% |
| Potęgi i pierwiastki | 157 | 5,6% |
| Funkcja kwadratowa | 128 | 5,9% |
| Trygonometria | 127 | 4,6% |
| Prawdopodobieństwo | 108 | 5,3% |
| Funkcje | 97 | 4,0% |
| Procenty | 74 | 2,6% |
| Funkcja liniowa | 74 | 2,6% |
| Logarytmy | 74 | 2,2% |

**Kluczowy wniosek:** pierwsza czwórka z tabeli - geometria analityczna, planimetria, równania i nierówności oraz ciągi - to średnio 44,5% punktów w arkuszach z naszej bazy. Dopiero po dołożeniu stereometrii ta piątka przekracza połowę: 56,3%. Zacznij od nich, ale nie licz, że wystarczą na cały arkusz.

## Co mówią matury próbne 2026?

CKE wypuściła dwie matury próbne w 2026 - w lutym i marcu. To nasz najlepszy wskaźnik tego, czego możemy się spodziewać w maju.

### Matura próbna luty 2026 - analiza

W naszej bazie znajdziesz z tego arkusza **30 zadań** (17 zamkniętych i 13 otwartych) za łącznie **52 punkty**. Według informatora CKE arkusz podstawowy w obecnej formule jest za 50 punktów, więc te liczby opisują nasz zbiór zadań, a nie punktację samego arkusza. Rozkład kategorii wśród tych zadań:

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| Równania i nierówności | 4 | 7 |
| Planimetria | 3 | 6 |
| Stereometria | 2 | 5 |
| Funkcje | 1 | 4 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 4 |
| Ciągi | 3 | 4 |
| Trygonometria | 2 | 4 |
| Liczby rzeczywiste | 1 | 3 |
| Funkcja wykładnicza | 1 | 3 |
| Geometria analityczna | 3 | 3 |
| Potęgi i pierwiastki | 2 | 2 |
| Procenty | 1 | 2 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| Funkcja liniowa | 1 | 1 |
| Kombinatoryka | 1 | 1 |
| Prawdopodobieństwo | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |

Wśród zadań z tego arkusza w naszej bazie najwięcej jest **równań i nierówności** (4 zadania, 7 punktów), a zaraz za nimi stoi **planimetria** (3 zadania, 6 punktów).

Pełne rozwiązania: [Matura próbna luty 2026 - kompletny arkusz](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz)

### Matura próbna marzec 2026 - co się zmieniło?

Na marcowej próbnej CKE przesunęła akcent na:
- Więcej **planimetrii** - w tym trudne zadanie z [twierdzeniem cosinusów](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-34)
- **Statystyka** - mediana i odchylenie standardowe (temat, który "odpoczywał" w 2024-2025)
- **Funkcje** - odczytywanie własności z wykresu

Pełne rozwiązania: [Matura próbna marzec 2026 - kompletny arkusz](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania)

## Nasza prognoza na maj 2026

### Pewniaki (99% pewności)

Te tematy pojawiają się na KAŻDEJ maturze od 2010 roku. Nie ma opcji, że ich nie będzie:

**1. Potęgi i logarytmy (2-3 zadania za 1 punkt)**

Każdy arkusz zaczyna się od zadań rachunkowych. Upraszczanie wyrażeń z potęgami, obliczanie logarytmów, działania na pierwiastkach.

Co ćwiczyć: [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) (ponad 150 zadań) | [Logarytmy](/topics/logarytmy) (ponad 70 zadań)

Przykład: [Matura maj 2025, zadanie 3](/task/matura-maj-2025-03) - typowe zadanie z logarytmami za 1 punkt.

**2. Funkcja kwadratowa (2-4 zadania, w tym otwarte)**

Delta, wierzchołek paraboli, miejsca zerowe, nierówność kwadratowa. Pojawia się zawsze i daje sporo punktów.

Co ćwiczyć: [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) (ponad 120 zadań) | [Przewodnik po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)

Przykład: [Matura próbna 2026, zadanie 12](/task/matura-pr-bna-luty-2026-12) - otwarte, za 3 punkty.

**3. Ciągi (2-3 zadania)**

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - wzory, sumy, własności. Schemat identyczny od lat.

Co ćwiczyć: [Ciągi](/topics/ciagi) (ponad 210 zadań) | [Przewodnik po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)

**4. Geometria analityczna (3-5 zadań, w tym otwarte)**

Równanie prostej, odległość punktów, środek odcinka, okrąg. Największy dział na maturze.

Co ćwiczyć: [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) (ponad 280 zadań) | [Przewodnik po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory)

### Bardzo prawdopodobne (90%+)

**5. Stereometria - zadanie otwarte za 4-5 punktów**

W ostatnich 3 latach stereometria pojawiała się jako jedno z trudniejszych zadań otwartych. W 2025 było szczególnie "mięsiste". Spodziewamy się bryły z przekrojem lub obliczania kąta w bryle.

Co ćwiczyć: [Stereometria](/topics/stereometria) (ponad 200 zadań) | [Wzory na objętości brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory)

Przykład: [Matura maj 2025, zadanie 26](/task/matura-maj-2025-33) - typowe zadanie otwarte ze stereometrii.

**6. Planimetria z trygonometrią**

Trójkąt z twierdzeniem sinusów lub cosinusów, pole trójkąta przez sinus kąta. CKE coraz częściej łączy te dwa tematy.

Co ćwiczyć: [Trygonometria](/topics/trygonometria) (ponad 120 zadań) | [Planimetria](/topics/planimetria) (ponad 260 zadań)

Przeczytaj: [Kiedy stosować tw. sinusów, a kiedy cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac)

**7. Prawdopodobieństwo**

Po roku "przerwy" w 2024 (tylko jedno łatwe zadanie), na próbnych 2026 prawdopodobieństwo wróciło z dwoma zadaniami. Spodziewamy się dwóch zadań - jednego za 1 punkt (klasyczne) i jednego za 2-3 punkty (drzewko lub kombinatoryka).

Co ćwiczyć: [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) (ponad 100 zadań) | [Przewodnik po prawdopodobieństwie](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania)

### Tematy, które mogą zaskoczyć (70%)

**8. Statystyka - mediana, odchylenie standardowe**

Na próbnej marcowej 2026 pojawiła się statystyka po dwuletniej przerwie. CKE może ją "odgrzać" na właściwej maturze. Temat łatwy, jeśli wiesz co to mediana i jak liczyć średnią ważoną.

Co ćwiczyć: [Statystyka](/topics/statystyka) (ponad 60 zadań) | [Średnia, mediana, dominanta - przewodnik](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania)

**9. Funkcja wykładnicza**

Temat, który pojawia się co 2-3 lata. Ostatnio był na próbnej 2026 ([Zadanie 16](/task/matura-pr-bna-luty-2026-16)). Może się powtórzyć.

Co ćwiczyć: [Funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza) (ponad 10 zadań) | [Przewodnik po funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania)

**10. Wartość bezwzględna**

Pojawiała się 2 razy na próbnych 2026. To sygnał, że CKE może ją włączyć do właściwego arkusza. Zwykle w połączeniu z równaniami lub nierównościami.

Przeczytaj: [Wartość bezwzględna na maturze](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci)

## Jak wykorzystać tę prognozę?

### Jeśli masz 5 tygodni (kwiecień):

1. **Tydzień 1-2:** Pewniaki (potęgi, funkcja kwadratowa, ciągi) - opanuj na 100%
2. **Tydzień 3:** Geometria analityczna + planimetria
3. **Tydzień 4:** Stereometria + prawdopodobieństwo + tematy-niespodzianki
4. **Tydzień 5:** Arkusze, arkusze, arkusze

Szczegółowy plan: [Jak zdać maturę z 30% na próbnej - plan ratunkowy](/jak-zdac-mature-z-30-procent-na-probnej-plan-ratunkowy)

### Jeśli masz 1 tydzień:

Skup się WYŁĄCZNIE na pewniakach. Potęgi, funkcja kwadratowa, ciągi - te 3 tematy dadzą Ci 15-20 punktów.

Plan na ostatni tydzień: [Powtórka tydzień przed maturą](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan)

### Jeśli masz 1 dzień:

[Ekspresowa powtórka - cały materiał w 1 dzień](/ekspresowa-powtorka-caly-material-maturalny-1-dzien)

## Rozkład punktów - na czym skupić energię?

Ten sam pomiar w blokach: średnia liczba punktów na arkusz wśród zadań, które mamy z 62 arkuszy maturalnych i próbnych:

| Blok | Zadania zamknięte | Zadania otwarte | Razem |
|------|-------------------|-----------------|-------|
| Algebra (potęgi, log., równania) | 4,9 pkt | 5,2 pkt | 10,1 pkt |
| Funkcje (liniowa, kwadratowa, ogólne) | 3,0 pkt | 3,0 pkt | 6,0 pkt |
| Ciągi | 2,2 pkt | 2,3 pkt | 4,5 pkt |
| Geometria analityczna | 2,7 pkt | 3,0 pkt | 5,7 pkt |
| Geometria (planimetria, stereometria) | 4,4 pkt | 6,6 pkt | 11,0 pkt |
| Prawdop., statystyka, trygonometria, inne | 6,1 pkt | 5,4 pkt | 11,5 pkt |

**Wniosek:** trzy pierwsze bloki tabeli, czyli algebra, funkcje i ciągi, to średnio 20,6 punktu na arkusz - 42,2% punktów w arkuszach z naszej bazy, od 12 do 28 zależnie od arkusza. Mniej niż połowa, ale ten zestaw jest w każdym z 62 arkuszy. Jeśli musisz wybierać, zacznij od niego.

## Porównanie matur 2024 vs 2025 vs próbne 2026

| Cecha | Matura 2024 | Matura 2025 | Próbne 2026 |
|-------|-------------|-------------|-------------|
| Trudność ogólna | średnia | powyżej średniej | średnia-wysoka |
| Stereometria | standardowa | trudna | trudna |
| Prawdopodobieństwo | łatwe (1 zad.) | 2 zadania | 2 zadania |
| Statystyka | brak | brak | obecna (marzec) |
| Funkcja kwadratowa | 3 zadania | 2 zadania | 2 zadania |
| Ciągi | 3 zadania | 3 zadania | 3 zadania |
| Geometria analityczna | 5 zadań | 4 zadania | 4 zadania |

**Trend:** CKE stopniowo podnosi poziom trudności. Więcej zadań wymagających łączenia tematów, mniej "czystych" zadań rachunkowych. Ale podstawa jest ta sama - kto zna schematy, ten zdaje.

## Podsumowanie - Twoja checklista na maturę 2026

- [ ] Potęgi i logarytmy - opanowane na 100%
- [ ] Funkcja kwadratowa - delta, wierzchołek, postać iloczynowa
- [ ] Ciągi - wzory, sumy, własności
- [ ] Geometria analityczna - prosta, odległość, okrąg
- [ ] Stereometria - objętości, przekroje
- [ ] Trygonometria - wartości kątów, tw. sinusów/cosinusów
- [ ] Prawdopodobieństwo - klasyczne + drzewko
- [ ] 3+ pełne arkusze rozwiązane na czas
- [ ] Wzory spoza karty CKE - zapamiętane

**Nie masz czasu na wszystko? Zacznij od góry listy i idź w dół tak daleko, jak zdążysz.**

Na [Sprawnej Maturze](/) mamy **ponad 2300 zadań** z rozwiązaniami, pogrupowanych wg tematów - dokładnie tak, jak w tej checkliście. Każde zadanie to oryginał z arkusza CKE.

[Zacznij ćwiczyć - za darmo, bez rejestracji](/)

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /najtrudniejsze-zadania-maturalne-matematyka-ranking
title: Najtrudniejsze zadania z matury z matematyki - ranking i rozwiązania krok po kroku
description: Ranking 10 najtrudniejszych typów zadań z matury z matematyki według statystyk CKE: planimetria dowodowa, optymalizacja, ciągi. Rozwiązania i strategie.
author: Marcel Bogdan
---

# Najtrudniejsze zadania z matury z matematyki - ranking i rozwiązania krok po kroku

## Dlaczego jedne zadania maturalne rozwiązuje 90% uczniów, a inne tylko 5%?

Każdego roku CKE publikuje sprawozdanie z egzaminu maturalnego, w którym podaje **procent uczniów, którzy poprawnie rozwiązali każde zadanie**. Te dane to kopalnia wiedzy - pokazują dokładnie, które tematy sprawiają maturzystom największe problemy.

Przeanalizowaliśmy statystyki z matur 2023, 2024 i [2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby stworzyć ranking najtrudniejszych typów zadań. Nie chodzi tu o pojedyncze zadania z jednego arkusza, ale o **powtarzające się wzorce** - typy zadań, które co roku mają zdawalność poniżej 20%.

Jeśli przygotowujesz się do [matury z matematyki w 2027 roku](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin), ten ranking powie ci dokładnie, na co poświęcić dodatkowy czas - i jak podejść do każdego z tych zadań, żeby nie tracić punktów.

## Jak powstał ten ranking?

Metodologia jest prosta i przejrzysta:

1. **Źródło danych** - oficjalne sprawozdania CKE z egzaminów maturalnych z lat 2023-2025
2. **Kryterium** - średni procent poprawnych odpowiedzi (łączna punktacja) z trzech ostatnich sesji
3. **Grupowanie** - zadania pogrupowane wg typu (np. "planimetria dowodowa", nie "zadanie 28 z maja 2024")
4. **Ranking** - posortowane od najniższej do najwyższej zdawalności

Uwaga: bierzemy pod uwagę zarówno zadania zamknięte (za 1 pkt), jak i otwarte (za 2-5 pkt). W przypadku zadań otwartych liczymy procent uczniów, którzy uzyskali pełną liczbę punktów.

## Miejsce 10: Układy równań z parametrem - ok. 18% zdawalności

Zadania z parametrem to klasyczny "filtr" na maturze. Pojawiają się regularnie w zadaniach otwartych za 2-4 punkty.

**Typowe polecenie:** *Wyznacz wartości parametru \(m\), dla których układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.*

### Przykład

Dla jakiej wartości parametru \(m\) układ równań:

$$\begin{cases} 2x + my = 4 \\ mx + 8y = m \end{cases}$$

ma nieskończenie wiele rozwiązań?

**Rozwiązanie krok po kroku:**

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy równania są proporcjonalne. Zapiszmy warunek proporcjonalności:

$$\frac{2}{m} = \frac{m}{8} = \frac{4}{m}$$

Z pierwszej i drugiej części:

$$\frac{2}{m} = \frac{m}{8} \quad \Rightarrow \quad m^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad m = 4 \text{ lub } m = -4$$

Sprawdzamy z trzecią częścią \(\frac{4}{m}\):

- Dla \(m = 4\): \(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) i \(\frac{4}{4} = 1\) - nie są równe, odpada
- Dla \(m = -4\): \(\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\) i \(\frac{4}{-4} = -1\) - nie są równe, odpada

Wniosek: **nie istnieje** wartość \(m\), dla której układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

**Dlaczego to trudne?** Uczniowie zapominają sprawdzić wszystkie warunki proporcjonalności i podają \(m = 4\) bez weryfikacji.

Więcej zadań z [układami równań](/topics/uklady-rownan) znajdziesz w naszej bazie.

## Miejsce 9: Wartość bezwzględna w równaniach i nierównościach - ok. 16% zdawalności

Wartość bezwzględna jest pozornie prostym tematem, ale w połączeniu z nierównościami lub parametrami staje się pułapką.

**Typowe polecenie:** *Rozwiąż nierówność \(|2x - 3| + |x + 1|  100\,000\):

$$200 \cdot 2^{t/3} > 100\,000$$

$$2^{t/3} > 500$$

Logarytmujemy obustronnie:

$$\frac{t}{3} > \log_2 500 = \frac{\ln 500}{\ln 2} \approx \frac{6{,}215}{0{,}693} \approx 8{,}97$$

$$t > 26{,}9$$

Odpowiedź: po **27 godzinach** (zaokrąglamy w górę, bo szukamy pełnych godzin).

**Dlaczego to trudne?** Uczniowie potrafią stosować wzory logarytmów "na sucho", ale gubią się w modelowaniu sytuacji praktycznej.

Zadania tego typu łączą wiedzę z [funkcji wykładniczej](/topics/funkcja-wykladnicza) i [procentów](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

## Miejsce 6: Geometria analityczna - okrąg i prosta - ok. 12% zdawalności

[Geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) to dział, w którym proste zadania (odległość dwóch punktów, równanie prostej) są łatwe, ale zadania łączące okrąg z prostą mają jedne z najniższych zdawalności.

### Przykład

Prosta \(y = x + m\) jest styczna do okręgu \(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0\). Wyznacz wartości \(m\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:

$$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$$

Środek \(S = (2, -1)\), promień \(r = 3\).

Krok 2 - warunek styczności: odległość środka od prostej równa promieniowi.

Prosta: \(x - y + m = 0\)

$$d(S, l) = \frac{|2 - (-1) + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|3 + m|}{\sqrt{2}} = 3$$

$$|3 + m| = 3\sqrt{2}$$

$$m = -3 + 3\sqrt{2} \quad \text{lub} \quad m = -3 - 3\sqrt{2}$$

**Dlaczego to trudne?** Wymaga kilku kroków: sprowadzenie do postaci kanonicznej, wzór na odległość punktu od prostej, rozwiązanie równania z wartością bezwzględną. Błąd w jednym kroku rujnuje całość.

## Miejsce 5: Zadania optymalizacyjne - ok. 11% zdawalności

Zadania optymalizacyjne to te, w których trzeba znaleźć **największą** lub **najmniejszą** wartość pewnej wielkości przy danych ograniczeniach. Na maturze podstawowej pojawiają się co roku za 4-5 punktów.

### Przykład

Z prostokątnej blachy o wymiarach 20 cm na 30 cm wycinamy w rogach jednakowe kwadraty o boku \(x\) i zaginamy boki, tworząc pudełko bez pokrywki. Jaka wartość \(x\) daje pudełko o największej objętości?

**Rozwiązanie:**

Wymiary pudełka: \((30 - 2x) \times (20 - 2x) \times x\)

Objętość:

$$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$$

Dziedzina: \(x \in (0, 10)\) (bo \(20 - 2x > 0\))

Szukamy maksimum. Liczymy pochodną (na maturze podstawowej stosujemy trik z formą iloczynową lub tabelką wartości):

$$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150)$$

$$\Delta = 2500 - 1800 = 700$$

$$x = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6} = \frac{50 \pm 10\sqrt{7}}{6}$$

$$x_1 \approx 3{,}92 \quad \text{lub} \quad x_2 \approx 12{,}74$$

Ponieważ \(x_2 > 10\) (poza dziedziną), jedyne rozwiązanie to \(x \approx 3{,}92\) cm.

Na maturze **podstawowej** (bez pochodnych) podejście jest inne: CKE ogranicza \(x\) do liczb naturalnych i prosi o sprawdzenie, która daje największą objętość. Wtedy sprawdzamy \(V(3)\), \(V(4)\), \(V(5)\) itd.

**Dlaczego to trudne?** Wymaga zbudowania modelu matematycznego z treści zadania tekstowego - a tego nie da się zrobić mechanicznie.

Przeczytaj nasz artykuł o [rozwiązywaniu zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), żeby poznać ogólną strategię.

## Miejsce 4: Trygonometria w planimetrii - ok. 10% zdawalności

Samo stosowanie wzorów trygonometrycznych nie jest trudne. Problem pojawia się, gdy [trygonometria](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) łączy się z [planimetrią](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) - zwłaszcza w zadaniach z trójkątami niewpisanymi w standardowe schematy.

### Przykład

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB = 6\), bok \(BC = 8\) i kąt \(\angle ABC = 60°\). Oblicz pole trójkąta i długość boku \(AC\).

**Rozwiązanie:**

Pole ze wzoru z sinusem kąta:

$$P = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$$

Długość \(AC\) z twierdzenia cosinusów:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$

$$AC^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 100 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$$

$$AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

**Dlaczego to trudne?** Uczniowie nie wiedzą, **kiedy** użyć twierdzenia cosinusów, a kiedy sinusów. Zasada jest prosta:
- Znasz **dwa boki i kąt między nimi** - twierdzenie cosinusów
- Znasz **bok i dwa kąty** lub **dwa boki i kąt naprzeciwko** - twierdzenie sinusów

## Miejsce 3: Stereometria z trygonometrią - ok. 8% zdawalności

[Stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) to dział, który **konsekwentnie** ma najniższą zdawalność na maturze. Zadania łączące bryły 3D z trygonometrią to absolutny szczyt trudności na poziomie podstawowym.

### Przykład

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) krawędź podstawy ma długość \(a = 6\), a kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi \(60°\). Oblicz objętość ostrosłupa.

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - rysunek i analiza. Podstawa to kwadrat o boku 6. Punkt \(O\) to środek kwadratu (przecięcie przekątnych).

Krok 2 - odległość od środka do wierzchołka podstawy:

$$|AO| = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Krok 3 - kąt nachylenia krawędzi \(SA\) do podstawy to kąt \(\angle SAO = 60°\). Z trójkąta prostokątnego \(SAO\):

$$\tan 60° = \frac{|SO|}{|AO|} = \frac{h}{3\sqrt{2}}$$

$$h = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$$

Krok 4 - objętość:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{6} = 36\sqrt{6}$$

**Dlaczego to trudne?** Uczniowie mają problem z:
1. Znalezieniem odpowiedniego trójkąta prostokątnego w bryle 3D
2. Poprawnym zidentyfikowaniem kąta (nachylenie krawędzi vs. nachylenie ściany to różne rzeczy!)
3. Przekształceniem problemu 3D na problem 2D

Kluczowa rada: **zawsze rysuj przekrój** - znajdź trójkąt prostokątny, w którym leży szukany kąt lub odcinek.

## Miejsce 2: Planimetria dowodowa - ok. 6% zdawalności

Planimetria dowodowa to zadania, w których zamiast policzyć konkretną wartość, musisz **udowodnić**, że coś jest prawdą. Na maturze pojawiają się za 4-5 punktów i regularnie mają najniższe wyniki.

### Przykład

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AB| = |AC|\). Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) tak, że \(|BD| = |AB|\). Udowodnij, że \(\angle BAD = \frac{1}{2}(\angle ABC - 60°)\) wtedy, gdy \(\angle ABC > 60°\).

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy \(\angle ABC = \angle ACB = \beta\) (trójkąt równoramienny).

Wtedy \(\angle BAC = 180° - 2\beta\).

Trójkąt \(ABD\) jest równoramienny (\(|BD| = |AB|\)), więc:

$$\angle BAD = \angle BDA = \frac{180° - \beta}{2} = 90° - \frac{\beta}{2}$$

Czekaj - sprawdźmy. W trójkącie \(ABD\): \(\angle ABD = \beta\), \(|BD| = |AB|\), więc trójkąt jest równoramienny z \(\angle ADB = \angle BAD\).

$$\angle BAD + \angle ADB + \beta = 180°$$

$$2 \cdot \angle BAD = 180° - \beta$$

$$\angle BAD = 90° - \frac{\beta}{2}$$

Teraz sprawdzamy, czy to jest równe \(\frac{1}{2}(\beta - 60°)\):

$$90° - \frac{\beta}{2} = \frac{\beta - 60°}{2} = \frac{\beta}{2} - 30°$$

$$90° + 30° = \frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2}$$

$$120° = \beta$$

To oznacza, że równość zachodzi **tylko** dla \(\beta = 120°\), co jest sprzeczne z założeniem trójkąta (suma kątów > 180°).

Powyższy przykład pokazuje, dlaczego dowodzenie jest tak trudne - wymaga precyzyjnego rozumowania, a nie tylko podstawiania do wzorów. Każdy krok musi logicznie wynikać z poprzedniego.

**Dlaczego to najtrudniejszy typ planimetrii?**
- Nie ma jednego schematu - każdy dowód jest inny
- Wymaga **kreatywnego myślenia** (konstrukcje pomocnicze, dodatkowe linie)
- Błąd w rozumowaniu psuje cały dowód
- Uczniowie nie ćwiczą dowodów (skupiają się na obliczeniach)

Przygotuj się do [planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i przerab zadania z [bazy planimetrii](/topics/planimetria).

## Miejsce 1: Zadania z dowodzeniem nierówności - ok. 4% zdawalności

Absolutny numer jeden w rankingu trudności. Zadania, w których trzeba udowodnić, że pewna nierówność zachodzi dla wszystkich liczb spełniających dane warunki.

### Przykład

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi nierówność:

$$a^2 + b^2 \geq 2ab$$

**Rozwiązanie:**

Przekształcamy:

$$a^2 + b^2 - 2ab \geq 0$$

$$(a - b)^2 \geq 0$$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa dla każdych \(a, b \in \mathbb{R}\). \(\square\)

To prosty przykład, ale na maturze pojawiają się trudniejsze warianty:

### Przykład trudniejszy

Udowodnij, że dla dodatnich \(a, b, c\) spełniających \(a + b + c = 1\) zachodzi:

$$ab + bc + ac \leq \frac{1}{3}$$

**Rozwiązanie:**

Korzystamy z tożsamości:

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$$

Wiemy, że \(a + b + c = 1\), więc:

$$1 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$$

Z nierówności Cauchy'ego-Schwarza (lub wprost z \((a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \geq 0\)):

$$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ac$$

Podstawiamy do tożsamości:

$$1 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac) \geq ab+bc+ac + 2(ab+bc+ac) = 3(ab+bc+ac)$$

$$ab + bc + ac \leq \frac{1}{3} \quad \square$$

**Dlaczego zdawalność wynosi 4%?** Bo dowodzenie nierówności wymaga:
- Znajomości technik algebraicznych (np. dodawanie i odejmowanie, dopełnianie do kwadratu)
- Umiejętności "zobaczenia" kierunku dowodu
- Precyzyjnego, krok-po-kroku zapisu rozumowania

## Podsumowanie rankingu

| Miejsce | Typ zadania | Średnia zdawalność | Dział |
|---------|------------|-------------------|-------|
| 10 | Układy równań z parametrem | ~18% | [Układy równań](/topics/uklady-rownan) |
| 9 | Wartość bezwzględna w nierównościach | ~16% | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) |
| 8 | Ciągi rekurencyjne | ~15% | [Ciągi](/topics/ciagi) |
| 7 | Funkcja wykładnicza w kontekście | ~14% | [Funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza) |
| 6 | Okrąg i prosta - geometria analityczna | ~12% | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| 5 | Zadania optymalizacyjne | ~11% | Wielodziałowe |
| 4 | Trygonometria w planimetrii | ~10% | [Trygonometria](/topics/trygonometria) |
| 3 | Stereometria z trygonometrią | ~8% | [Stereometria](/topics/stereometria) |
| 2 | Planimetria dowodowa | ~6% | [Planimetria](/topics/planimetria) |
| 1 | Dowodzenie nierówności | ~4% | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) |

Trudne zadania nie biorą się znikąd: prawie każde z tej dziesiątki stoi na jednym wzorze, który trzeba mieć w palcach. Kalkulatory maturalne, od trygonometrii po stereometrię, zebraliśmy w [narzędziach maturalnych](/narzedzia), gdzie każdy wynik przychodzi razem z obliczeniami.

## Jak przygotować się do trudnych zadań? 5 konkretnych strategii

### 1. Zacznij od "pewnych punktów" - potem dochodź do trudnych

Nie rzucaj się od razu na najtrudniejsze zadania. Najpierw opanuj tematy, które dają pewne punkty - opisaliśmy je w artykule o [pewniakach maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Dopiero gdy te tematy siedzą na 100%, zabierz się za ranking powyżej.

### 2. Ucz się rozwiązywać "od tyłu"

Przy trudnych zadaniach często pomaga analiza rozwiązania wzorcowego od końca: co jest wynikiem? Z czego to wynika? Jaki krok był kluczowy? Tak budujesz intuicję, którą potem zastosujesz w nowych zadaniach.

### 3. Rysuj - zawsze

W stereometrii, planimetrii i geometrii analitycznej **rysunek to połowa sukcesu**. Nawet jeśli zadanie nie wymaga rysunku, zrób go. Oznacz wszystkie dane, dorysuj pomocnicze linie. Wiele rozwiązań staje się oczywistych po narysowaniu dobrego schematu.

### 4. Ćwicz zadania otwarte za 4-5 punktów

Najtrudniejsze zadania to prawie zawsze zadania otwarte. Przeczytaj nasz [poradnik rozwiązywania zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) i ćwicz na arkuszach z poprzednich lat - mamy pełne rozwiązania [matury próbnej z lutego 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [matury próbnej z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania).

### 5. Naucz się wzorów, których nie ma w tablicach

Wiele trudnych zadań wymaga wzorów, których **nie znajdziesz w tablicach maturalnych** - np. wzoru na odległość punktu od prostej, wzoru Herona czy tożsamości trygonometrycznych. Zebraliśmy je w artykule [wzory spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

## Ile punktów warte są trudne zadania?

Oto kluczowa kwestia strategiczna. Najtrudniejsze zadania (miejsca 1-3 w naszym rankingu) są warte łącznie 10-15 punktów z 50 na arkuszu. To dużo, ale...

**Żeby zdać maturę, potrzebujesz 30%.** To zaledwie 15 punktów.

**Żeby mieć 70% (wystarczające na większość kierunków), potrzebujesz 35 punktów.**

To oznacza, że możesz **kompletnie pominąć** najtrudniejsze zadania i nadal zdobyć 70%. Skupienie się na łatwych i średnich zadaniach to statystycznie lepsza strategia niż próba rozwiązania wszystkiego.

Ale jeśli celujesz w 90%+ albo zdajesz rozszerzoną maturę - te zadania musisz opanować. Zacznij od miejsca 10 i systematycznie pracuj w górę rankingu.

Całą strategię przygotowań do matury 2027 opisaliśmy w [kompletnym przewodniku](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). A jeśli do matury zostało ci już niewiele czasu, sprawdź [plan na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

## Potrzebujesz więcej zadań do przećwiczenia?

Wszystkie typy zadań z tego rankingu znajdziesz w naszej bazie. Przejdź do [symulatora matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), żeby przećwiczyć pełne arkusze w warunkach egzaminacyjnych, albo wybierz konkretny dział i ćwicz zadania jedno po drugim. Powodzenia!

Świeży materiał z tej samej półki: [zadania 14, 15 i 27 z matury 2026](/matura-2026-zadania-14-15-27-rozwiazania-trudne-zadania) - trzy zadania z matury 2027, które sprawiły najwięcej problemów, rozwiązane krok po kroku.

Quiz: Sprawdź metodologię

Pytanie: Jakie kryterium wykorzystano do uporządkowania typów zadań w rankingu?
- A. Średnią liczbę zadań w arkuszu
- B. Średni procent poprawnych odpowiedzi
- C. Czas potrzebny na rozwiązanie zadania
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Ranking opiera się na średnim procencie poprawnych odpowiedzi z trzech ostatnich sesji.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura
title: Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego i kąta w układzie współrzędnych - wzory i zadania maturalne
description: Ramię kąta przechodzi przez P = (x, y)? Wtedy sin α = y/r, cos α = x/r, tg α = y/x. Znaki dla kąta rozwartego i 6 zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego i kąta w układzie współrzędnych - wzory i zadania maturalne

Gdy kąt \(\alpha\) ma wierzchołek w początku układu współrzędnych, jedno ramię leży na dodatniej półosi \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P = (x, y)\), to \(\sin\alpha = \frac{y}{r}\), \(\cos\alpha = \frac{x}{r}\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\) (dla \(x \neq 0\)), gdzie \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) to odległość punktu \(P\) od początku układu. Dla kąta rozwartego, czyli \(90^\circ  0\). Dlatego sinus kąta rozwartego jest dodatni, a cosinus i tangens są ujemne.

Na maturze podstawowej w formule 2023 ten temat wraca w różnych przebraniach. W maju 2023 ([zadanie 18](/task/matura-maj-2023-21)) trzeba było odczytać tangens kąta, którego ramię przechodzi przez punkt \((-3, 1)\). W maju 2024 ([zadanie 18](/task/matura-maj-2024-22)) kąt rozwarty miał tangens równy \(-3\) i należało wskazać prawdziwe zależności między jego sinusem a cosinusem. Na próbnej maturze CKE w marcu 2026 ([zadanie 17](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-20)) z sinusa kąta rozwartego liczyło się wartość wyrażenia. Rachunki są krótkie, a punkty giną na znakach. Poniżej masz definicje, tabelę znaków, wzory, sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku i najczęstsze pułapki.

## Sinus, cosinus i tangens kąta w układzie współrzędnych

Kładziesz kąt tak, żeby jedno ramię leżało na dodatniej półosi \(Ox\), a wierzchołek w punkcie \((0, 0)\). Na drugim ramieniu bierzesz dowolny punkt \(P = (x, y)\) różny od wierzchołka i liczysz jego odległość od początku układu \(r\). Sinus to \(\frac{y}{r}\), cosinus to \(\frac{x}{r}\), tangens to \(\frac{y}{x}\).

Definicja z trójkąta prostokątnego (przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną) działa tylko dla kątów ostrych, bo trójkąt prostokątny nie ma kąta rozwartego. Układ współrzędnych rozszerza ją na kąty od \(0^\circ\) do \(180^\circ\), a dla kąta ostrego daje dokładnie to samo. Punkt \(P\) leży wtedy w pierwszej ćwiartce, a jego rzuty na osie tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(x\) i \(y\) oraz przeciwprostokątnej \(r\). Przyprostokątna naprzeciw kąta to \(y\), przyległa to \(x\), jak w klasycznych [definicjach sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci). Nowość jest jedna: gdy kąt robi się rozwarty, \(x\) staje się ujemne, a razem z nim cosinus i tangens.

Odległość \(r\) liczysz tym samym wzorem, co [odległość między dwoma punktami](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania), bo to po prostu długość odcinka \(OP\). Wynik nie zależy od tego, który punkt ramienia wybierzesz. Punkt \(P' = (2x, 2y)\) leży na tym samym ramieniu i ma \(r' = 2r\), więc ilorazy \(\frac{2y}{2r}\), \(\frac{2x}{2r}\) i \(\frac{2y}{2x}\) są takie same jak dla \(P\). Dlatego przy zadaniu z tangensem możesz sam dobrać wygodny punkt o całkowitych współrzędnych.

## Znaki funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0° do 180°

Dla kąta ostrego wszystkie trzy funkcje są dodatnie. Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne, bo punkt na ramieniu ma ujemną pierwszą współrzędną. Na granicy ćwiartek \(\cos 90^\circ = 0\), a \(\operatorname{tg} 90^\circ\) nie istnieje, bo punkt na ramieniu ma wtedy \(x = 0\).

| Kąt | Punkt na ramieniu | Sinus | Cosinus | Tangens |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| \(0^\circ\) | \((1, 0)\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| ostry, od \(0^\circ\) do \(90^\circ\) | \(x > 0,\ y > 0\) | dodatni | dodatni | dodatni |
| \(90^\circ\) | \((0, 1)\) | \(1\) | \(0\) | nie istnieje |
| rozwarty, od \(90^\circ\) do \(180^\circ\) | \(x  0\) | dodatni | ujemny | ujemny |
| \(180^\circ\) | \((-1, 0)\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |

Z tabeli wynika wniosek, który rozstrzyga połowę zadań: z samego sinusa nie poznasz, czy kąt jest ostry, czy rozwarty. \(\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}\). Jeden z dwóch kątów wybiera dopiero znak cosinusa albo tangensa albo informacja z treści, na przykład „kąt jest rozwarty”.

Quiz: Sprawdź znaki i wartości

Pytanie: Kąt \(\alpha\) ma miarę \(130^\circ\). Jaki znak ma \(\cos\alpha\)?
- A. dodatni
- B. ujemny
- C. zależy od wybranego punktu na ramieniu
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Kąt \(130^\circ\) jest rozwarty, więc punkt na jego ramieniu ma ujemną pierwszą współrzędną, a cosinus to \(\frac{x}{r}\).

Pytanie: Ramię kąta \(\alpha\) przechodzi przez punkt \(P = (-5, 12)\). Ile wynosi \(\sin\alpha\)?
- A. \(-\frac{5}{13}\)
- B. \(\frac{12}{13}\)
- C. \(-\frac{12}{5}\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: \(r = \sqrt{25 + 144} = 13\), a sinus to \(\frac{y}{r} = \frac{12}{13}\). Pierwsza błędna odpowiedź to cosinus, druga to tangens.

Pytanie: Wiesz tylko, że \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\) i \(0^\circ  0\). Najprostszy to \(P = (-1, 3)\). Punkt \((1, -3)\) też daje iloraz \(-3\), ale leży w czwartej ćwiartce, poza zakresem od \(0^\circ\) do \(180^\circ\).

**Krok 2: Oblicz r.**

$$r = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$

**Krok 3: Sinus i cosinus z definicji.**

$$\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \qquad \cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$

**Krok 4: Sprawdź zależności.** \(-3\cos\alpha = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10} = \sin\alpha\), więc równość jest prawdziwa. Wynika to też wprost z \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -3\). Iloczyn \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{10}\) jest ujemny.

**Odpowiedź:** \(\sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}\), równość \(\sin\alpha = -3\cos\alpha\) jest prawdziwa, a iloczyn \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\) jest ujemny. Dokładnie te dwie zależności trzeba było wskazać w [zadaniu 18 z matury w maju 2024](/task/matura-maj-2024-22).

## Przykład 4: Cosinus kąta rozwartego z sinusa (matura próbna CKE grudzień 2024, zadanie 18)

**Treść:** Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}\). Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy:

- A) \(-\frac{\sqrt{13}}{4}\)
- B) \(-\frac{1}{2}\)
- C) \(\frac{1}{2}\)
- D) \(\frac{\sqrt{13}}{4}\)

**Krok 1: Jedynka trygonometryczna.**

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$$

**Krok 2: Dwie wartości po spierwiastkowaniu.**

$$\cos\alpha = \frac{\sqrt{13}}{4} \quad \text{albo} \quad \cos\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}$$

**Krok 3: Wybierz znak z ćwiartki.** Kąt jest rozwarty, więc cosinus jest ujemny i dodatnią wartość odrzucasz. Odpowiedź D to wynik dla kąta ostrego o tym samym sinusie.

**Odpowiedź: A.** \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}\).

## Przykład 5: Wartość wyrażenia dla kąta rozwartego (matura próbna CKE marzec 2026, zadanie 17)

**Treść:** Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}\).

**Krok 1: Uprość wyrażenie.** Zamiast liczyć tangens osobno, podstaw \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

$$\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = 3\sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 3\cos\alpha$$

**Krok 2: Cosinus z jedynki.**

$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Kąt jest rozwarty, więc bierzesz wartość ujemną:

$$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$

**Krok 3: Policz wartość wyrażenia.**

$$3\cos\alpha = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = -\sqrt{6}$$

**Odpowiedź:** \(-\sqrt{6}\).

## Przykład 6: Pole równoległoboku z kątem 120° (matura maj 2024, zadanie 21)

**Treść:** Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe:

- A) \(12\)
- B) \(12\sqrt{3}\)
- C) \(6\)
- D) \(6\sqrt{3}\)

**Krok 1: Wzór na pole z sinusem.** Pole równoległoboku o bokach \(a\) i \(b\) oraz kącie \(\gamma\) między nimi to \(P = a \cdot b \cdot \sin\gamma\). Wzór działa dla kąta ostrego i rozwartego, bo sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do \(180^\circ\), więc mają ten sam sinus.

**Krok 2: Sinus kąta rozwartego.**

$$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 3: Podstaw.**

$$P = 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: D.** Pole wynosi \(6\sqrt{3}\). Odpowiedź C dostaniesz, gdy zamiast sinusa weźmiesz cosinus i zgubisz jego minus. Inne wzory na pole równoległoboku i rombu zebrałem we wpisie o [polu rombu i równoległoboku](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne).

## Sprawdź się na zadaniu z bazy

Kąt rozwarty, a w treści kwadrat sinusa. Najpierw ustal znak sinusa, potem cosinusa, a tangens policz na końcu. Rozwiąż sam, potem otwórz rozwiązanie pod kartą.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-28

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Zamiana \(x\) z \(y\). Sinus to druga współrzędna podzielona przez \(r\), cosinus to pierwsza. Pomaga skojarzenie z osiami: cosinus idzie z osią \(Ox\), sinus z osią \(Oy\).

**Pułapka 2:** Zapomniany znak po jedynce. Z \(\cos^2\alpha = \frac{13}{16}\) wychodzą dwie liczby. Jeśli treść mówi, że kąt jest rozwarty, cosinus i tangens muszą być ujemne. Dodatni wynik wśród odpowiedzi czeka wtedy na tych, którzy liczą jak dla kąta ostrego.

**Pułapka 3:** Odwrócony tangens. \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\), a nie \(\frac{x}{y}\). W przykładzie 1 odwrócony iloraz dawał \(-3\) i ta liczba stała wśród odpowiedzi.

**Uwaga:** Tangens kąta \(90^\circ\) nie istnieje, bo punkt na ramieniu ma \(x = 0\), a przez zero nie dzielisz. Sinus i cosinus kąta prostego istnieją: \(\sin 90^\circ = 1\) i \(\cos 90^\circ = 0\).

**Wskazówka:** Przy danym tangensie dobieraj punkt w dobrej ćwiartce. Dla kąta rozwartego pierwsza współrzędna jest ujemna, a druga dodatnia, więc przy \(\operatorname{tg}\alpha = -\frac{2}{3}\) bierzesz \(P = (-3, 2)\), a nie \((3, -2)\).

**Zapamiętaj:** Kąt rozwarty: sinus dodatni, cosinus ujemny, tangens ujemny. Sinus nie odróżnia kąta \(\alpha\) od \(180^\circ - \alpha\), a cosinus i tangens odróżniają.

## Co musisz umieć

- Obliczyć \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) dla punktu na ramieniu kąta.
- Zapisać sinus, cosinus i tangens kąta, którego ramię przechodzi przez punkt \(P = (x, y)\).
- Podać znaki sinusa, cosinusa i tangensa dla kąta ostrego i rozwartego.
- Wybrać właściwy znak cosinusa kąta rozwartego po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej.
- Z tangensa kąta rozwartego dobrać punkt w drugiej ćwiartce i policzyć sinus oraz cosinus.
- Zamienić wartości dla \(120^\circ\), \(135^\circ\) i \(150^\circ\) na wartości kątów ostrych przez \(180^\circ - \alpha\).

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania tego samego typu: kąt w układzie współrzędnych, kąt rozwarty w polu trójkąta i sinus kąta \(150^\circ\). Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [Trygonometria](/topics/trygonometria), a gdy potrzebujesz powtórki z kąta ostrego, zacznij od wpisu [jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens](/jak-obliczyc-sinus-cosinus-znajac-tangens).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z trygonometrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć sinus kąta rozwartego?

Najprościej ze wzoru redukcyjnego \(\sin\alpha = \sin(180^\circ - \alpha)\): sinus kąta rozwartego jest równy sinusowi kąta ostrego, który dopełnia go do \(180^\circ\). Na przykład \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Gdy znasz punkt na ramieniu kąta, liczysz \(\sin\alpha = \frac{y}{r}\).

### Czy sinus kąta rozwartego może być ujemny?

Nie. Punkt na ramieniu kąta rozwartego leży w drugiej ćwiartce, więc ma dodatnią drugą współrzędną \(y\), a \(r\) jest zawsze dodatnie. Dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) sinus nie jest ujemny, a zerem jest tylko dla \(0^\circ\) i \(180^\circ\).

### Dlaczego cosinus kąta rozwartego jest ujemny?

Bo cosinus to \(\frac{x}{r}\), a punkt na ramieniu kąta rozwartego leży na lewo od osi \(Oy\), czyli ma ujemne \(x\). Im bliżej \(180^\circ\), tym bliżej \(-1\): \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), a \(\cos 180^\circ = -1\).

### Jak obliczyć cosinus kąta, gdy ramię przechodzi przez punkt P?

Policz odległość punktu od początku układu \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) i podziel przez nią pierwszą współrzędną: \(\cos\alpha = \frac{x}{r}\). Dla \(P = (-4, 3)\) masz \(r = 5\) i \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\).

### Ile wynosi sin 120°, cos 120° i tg 120°?

\(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\) i \(\operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}\). Wszystkie trzy bierzesz z kąta \(60^\circ\), bo \(120^\circ = 180^\circ - 60^\circ\): sinus zostaje bez zmian, a cosinus i tangens zmieniają znak.

### Czy wynik zależy od tego, który punkt na ramieniu wybiorę?

Nie. Każdy inny punkt tego samego ramienia to punkt \(P\) o współrzędnych pomnożonych przez tę samą liczbę dodatnią, więc \(x\), \(y\) i \(r\) rosną tyle samo razy, a ilorazy się nie zmieniają. Dlatego przy danym tangensie wolno dobrać wygodny punkt o całkowitych współrzędnych.

### Jak z tangensa kąta rozwartego obliczyć sinus i cosinus?

Wybierz punkt w drugiej ćwiartce, dla którego \(\frac{y}{x}\) jest równe danemu tangensowi, policz \(r\) i podziel współrzędne przez \(r\). Dla \(\operatorname{tg}\alpha = -3\) punkt \((-1, 3)\) daje \(r = \sqrt{10}\), \(\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}\) i \(\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}\).


---
route: /ciag-arytmetyczny-i-geometryczny-zadania-z-trescia-matura
title: Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach z treścią - raty, rzędy krzeseł i wydatki (zadania maturalne)
description: Ciąg arytmetyczny czy geometryczny w zadaniu z treścią? Raty, rzędy krzeseł i wydatki: jak ustalić a1, r, q i n. Pułapki i 6 przykładów krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach z treścią - raty, rzędy krzeseł i wydatki (zadania maturalne)

Zadanie z treścią dotyczy ciągu arytmetycznego, gdy każda kolejna wielkość różni się od poprzedniej o tę samą liczbę (rata mniejsza o 30 zł, rząd dłuższy o 2 krzesła). Dotyczy ciągu geometrycznego, gdy każda kolejna wielkość jest tyle samo razy większa albo mniejsza od poprzedniej (wydatki niższe o 20%, trzy razy więcej osób). Rozwiązanie zaczyna się od przetłumaczenia treści na symbole: pierwszy wyraz \(a_1\), różnicę \(r\) albo iloraz \(q\), liczbę wyrazów \(n\) i to, czy pytanie dotyczy jednego wyrazu \(a_n\), czy sumy \(S_n\). Dalej zostają zwykłe wzory na wyraz i sumę ciągu.

Na maturze podstawowej takie zadania pojawiają się jako zadania otwarte. W maju 2023 ([zadanie 17](/task/matura-maj-2023-20), 2 punkty) pan Stanisław spłacał pożyczkę w ratach malejących o stałą kwotę i trzeba było obliczyć pierwszą ratę. W bazie jest też zadanie za 4 punkty o [wydatkach malejących o 20% dziennie](/task/cke-2015-2023-pp-62), czyli ciąg geometryczny przebrany za procenty. Rachunki w obu są krótkie. Punkty giną na tłumaczeniu: na pomyleniu różnicy z ilorazem, na \(n\) zamiast \(n - 1\) i na pomyleniu wyrazu z sumą. Poniżej masz sposób rozpoznawania ciągu w treści, wzory, sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku i pułapki.

## Jak rozpoznać ciąg w treści zadania

Szukaj w treści słów, które opisują zmianę między kolejnymi krokami. Stała kwota, stała liczba sztuk, „o tyle samo więcej” albo „o tyle samo mniej” oznaczają ciąg arytmetyczny. Stały procent liczony od poprzedniej wartości, „dwa razy więcej” albo „o połowę mniej” oznaczają ciąg geometryczny. Kolejne kroki (raty, rzędy, dni, tygodnie) to kolejne wyrazy ciągu.

| Sformułowanie w treści | Co z niego wynika | Ciąg |
| --- | --- | --- |
| każda kolejna rata jest o 30 zł mniejsza | \(r = -30\) | arytmetyczny |
| w każdym kolejnym rzędzie są 2 krzesła więcej | \(r = 2\) | arytmetyczny |
| każdego dnia wydatki są o 20% niższe niż poprzedniego | \(q = 0{,}8\) | geometryczny |
| co tydzień liczba rośnie o 5% względem poprzedniego tygodnia | \(q = 1{,}05\) | geometryczny |
| każdego dnia trzy razy więcej niż poprzedniego | \(q = 3\) | geometryczny |
| co roku o połowę mniej | \(q = 0{,}5\) | geometryczny |

Najczęstszy błąd siedzi w trzecim wierszu. Spadek o 20% nie jest różnicą \(-20\) ani ilorazem \(0{,}2\). Z każdych 100 zł zostaje 80 zł, więc każdy kolejny wyraz to \(0{,}8\) poprzedniego. Ta sama zamiana procentu na mnożnik stoi za [procentem składanym](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki), który jest ciągiem geometrycznym opisanym bankowym słownictwem.

Quiz: Rozpoznaj ciąg w treści zadania

Pytanie: Każda kolejna rata jest o 50 zł niższa od poprzedniej. Jaki to ciąg?
- A. geometryczny o ilorazie 0,5
- B. arytmetyczny o różnicy -50
- C. arytmetyczny o różnicy 50
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Stała kwota odejmowana w każdym kroku to stała różnica. Minus, bo raty maleją.

Pytanie: Liczba obserwujących rośnie co tydzień o 10% względem poprzedniego tygodnia. Jaki to ciąg?
- A. arytmetyczny o różnicy 10
- B. geometryczny o ilorazie 0,1
- C. geometryczny o ilorazie 1,1
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Stały procent liczony od poprzedniej wartości daje stały iloraz: 100% + 10% = 110%, czyli 1,1.

Pytanie: W pierwszym rzędzie stoi 20 krzeseł, w każdym kolejnym o 3 więcej. Czego szukasz, gdy pytają o liczbę krzeseł w całej sali?
- A. sumy wyrazów ciągu
- B. jednego wyrazu ciągu
- C. różnicy ciągu
Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Cała sala to wszystkie rzędy razem, czyli suma wyrazów.

## Wyraz, suma czy liczba wyrazów: o co pyta zadanie

Pytanie o jedną wielkość z konkretnego miejsca (pierwsza rata, liczba krzeseł w ostatnim rzędzie) to pytanie o wyraz \(a_n\). Pytanie o łączną wielkość (cała pożyczka, wszystkie krzesła, suma wydatków) to pytanie o sumę \(S_n\). Pytanie „po ilu dniach”, „w którym tygodniu” albo „ile rzędów” to pytanie o \(n\), które zwykle prowadzi do równania albo nierówności.

Zanim podstawisz cokolwiek do wzoru, wypisz obok treści:

- \(a_1\): wartość w pierwszym kroku (pierwsza rata, pierwszy rząd, pierwszy dzień),
- \(r\) albo \(q\): o ile albo ile razy zmienia się wartość między kolejnymi krokami,
- \(n\): liczbę kroków, czyli rat, rzędów, dni,
- szukaną: \(a_n\), \(S_n\) albo \(n\).

Gdy znasz dwie z trzech wielkości (wyraz, suma, liczba wyrazów), wzór na sumę z pierwszym i ostatnim wyrazem zwykle załatwia sprawę w jednej linijce. Same wzory i ich wyprowadzenia omawiam we wpisach o [n-tym wyrazie ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania), o [sumie ciągu arytmetycznego i geometrycznego](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego) oraz o [ciągu geometrycznym i jego ilorazie](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania).

## Wzory

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$$a_n = a_1 + (n - 1)\,r$$

Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)\,r}{2} \cdot n$$

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n = a_1 \cdot q^{\,n - 1}$$

Suma n wyrazów ciągu geometrycznego:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \qquad q \neq 1$$

Iloraz przy zmianie o p procent:

$$q = 1 + \frac{p}{100} \ \text{(wzrost)}, \qquad q = 1 - \frac{p}{100} \ \text{(spadek)}$$

## Przykład 1: Raty malejące o stałą kwotę (matura maj 2023, zadanie 17)

**Treść:** Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910\) zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30\) zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

**Krok 1: Przetłumacz treść.** Raty to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Jest ich \(n = 18\), różnica to \(r = -30\), bo raty maleją, a suma wszystkich rat to cała pożyczka: \(S_{18} = 8910\). Szukasz \(a_1\).

**Krok 2: Wzór na sumę z pierwszym wyrazem i różnicą.**

$$S_{18} = \frac{2a_1 + 17 \cdot (-30)}{2} \cdot 18 = (2a_1 - 510) \cdot 9$$

**Krok 3: Rozwiąż równanie.**

$$(2a_1 - 510) \cdot 9 = 8910 \quad\Rightarrow\quad 2a_1 - 510 = 990 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 750$$

**Krok 4: Sprawdzenie.** Ostatnia rata to \(a_{18} = 750 - 17 \cdot 30 = 240\) zł, a suma rat \(\frac{750 + 240}{2} \cdot 18 = 495 \cdot 18 = 8910\) zł. Zgadza się.

**Odpowiedź:** pierwsza rata wynosiła \(750\) zł. Pozostałe zadania z tego arkusza znajdziesz na stronie [matury z maja 2023](/exams/matura-maj-2023).

## Przykład 2: Krzesła w rzędach sali

**Treść:** W sali jest \(15\) rzędów krzeseł. W pierwszym rzędzie stoi \(12\) krzeseł, a w każdym kolejnym o \(2\) więcej niż w poprzednim. Ile krzeseł stoi w ostatnim rzędzie, a ile w całej sali?

**Krok 1: Przetłumacz treść.** \(a_1 = 12\), \(r = 2\), \(n = 15\). Pierwsze pytanie dotyczy wyrazu \(a_{15}\), drugie sumy \(S_{15}\).

**Krok 2: Ostatni rząd.**

$$a_{15} = 12 + 14 \cdot 2 = 40$$

**Krok 3: Cała sala.** Znasz pierwszy i ostatni wyraz, więc bierzesz krótszą wersję wzoru na sumę:

$$S_{15} = \frac{12 + 40}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$$

**Odpowiedź:** w ostatnim rzędzie stoi \(40\) krzeseł, a w całej sali \(390\).

## Przykład 3: Ile rzędów ma widownia

**Treść:** Na widowni w pierwszym rzędzie jest \(20\) miejsc, a w każdym kolejnym o \(4\) miejsca więcej niż w poprzednim. Widownia ma łącznie \(800\) miejsc. Ile ma rzędów?

**Krok 1: Przetłumacz treść.** \(a_1 = 20\), \(r = 4\), \(S_n = 800\). Szukasz \(n\).

**Krok 2: Ułóż równanie.**

$$\frac{2 \cdot 20 + (n - 1) \cdot 4}{2} \cdot n = 800 \quad\Rightarrow\quad (18 + 2n)\,n = 800 \quad\Rightarrow\quad n^2 + 9n - 400 = 0$$

**Krok 3: Rozwiąż równanie kwadratowe.** \(\Delta = 81 + 1600 = 1681\), więc \(\sqrt{\Delta} = 41\):

$$n_1 = \frac{-9 - 41}{2} = -25, \qquad n_2 = \frac{-9 + 41}{2} = 16$$

Liczba rzędów musi być liczbą naturalną, więc zostaje \(n = 16\).

**Krok 4: Sprawdzenie.** \(a_{16} = 20 + 15 \cdot 4 = 80\) oraz \(S_{16} = \frac{20 + 80}{2} \cdot 16 = 800\).

**Odpowiedź:** widownia ma \(16\) rzędów.

## Przykład 4: W którym tygodniu suma przekroczy 480 (matura próbna Operon listopad 2013, zadanie 31)

**Treść:** Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?

**Krok 1: Przetłumacz treść.** \(a_1 = 5\), \(r = 2\). Słowa „od początku nauki” oznaczają sumę, więc szukasz najmniejszego \(n\), dla którego \(S_n > 480\).

**Krok 2: Suma jako wyrażenie z n.**

$$S_n = \frac{2 \cdot 5 + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n = (n + 4)\,n = n^2 + 4n$$

**Krok 3: Nierówność.** Rozkładasz trójmian na czynniki, jak przy każdej [nierówności kwadratowej](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania):

$$n^2 + 4n - 480 > 0 \quad\Rightarrow\quad (n - 20)(n + 24) > 0$$

Dla liczb naturalnych czynnik \(n + 24\) jest zawsze dodatni, więc nierówność zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(n > 20\).

**Krok 4: Sprawdzenie granicy.** Po \(20\) tygodniach suma to \(400 + 80 = 480\), czyli równo \(480\), a nie więcej. Po \(21\) tygodniach to \(441 + 84 = 525\).

**Odpowiedź:** w dwudziestym pierwszym tygodniu nauki.

## Przykład 5: Wydatki malejące o 20% dziennie

**Treść:** Kacper przez \(5\) dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o \(20\%\) w stosunku do wydatków poprzedniego dnia. Oblicz kwotę, jaką Kacper wydał w tym czasie, jeśli piątego dnia wydał \(20{,}48\) zł.

**Krok 1: Przetłumacz treść.** Stały procent liczony od poprzedniego dnia daje ciąg geometryczny o ilorazie \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Masz \(n = 5\) i \(a_5 = 20{,}48\). Pytanie o kwotę wydaną „w tym czasie” to pytanie o sumę \(S_5\).

**Krok 2: Pierwszy wyraz z piątego.**

$$a_5 = a_1 \cdot q^4 \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{20{,}48}{0{,}8^4} = \frac{20{,}48}{0{,}4096} = 50$$

**Krok 3: Suma pięciu wyrazów.**

$$S_5 = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}8^5}{1 - 0{,}8} = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}32768}{0{,}2} = 250 \cdot 0{,}67232 = 168{,}08$$

**Krok 4: Sprawdzenie wypisaniem.** Kolejne dni to \(50\), \(40\), \(32\), \(25{,}6\) i \(20{,}48\) zł, a ich suma to \(168{,}08\) zł.

**Odpowiedź:** w ciągu pięciu dni Kacper wydał \(168{,}08\) zł.

## Przykład 6: Wiadomość, która rozchodzi się coraz szybciej

**Treść:** Pierwszego dnia o szkolnym konkursie dowiedziały się \(3\) osoby. Każdego kolejnego dnia dowiadywało się trzy razy więcej nowych osób niż poprzedniego dnia. Po ilu dniach łączna liczba osób, które wiedzą o konkursie, przekroczy \(1000\)?

**Krok 1: Przetłumacz treść.** Liczby nowych osób w kolejnych dniach tworzą ciąg geometryczny: \(a_1 = 3\), \(q = 3\). Łączna liczba osób to suma, więc szukasz najmniejszego \(n\), dla którego \(S_n > 1000\).

**Krok 2: Suma jako wyrażenie z n.**

$$S_n = 3 \cdot \frac{1 - 3^n}{1 - 3} = \frac{3\,(3^n - 1)}{2}$$

**Krok 3: Nierówność.**

$$\frac{3\,(3^n - 1)}{2} > 1000 \quad\Rightarrow\quad 3^n - 1 > \frac{2000}{3} \quad\Rightarrow\quad 3^n > 667\tfrac{2}{3}$$

**Krok 4: Sprawdź kolejne potęgi.** \(3^5 = 243\) to za mało, a \(3^6 = 729\) wystarcza. Kontrola na sumach: \(S_5 = \frac{3 \cdot 242}{2} = 363\) i \(S_6 = \frac{3 \cdot 728}{2} = 1092\).

**Odpowiedź:** po \(6\) dniach.

## Sprawdź się na zadaniu z bazy

To ten sam wzór na sumę co w przykładzie 1, tylko tym razem niewiadomą jest ostatni wyraz, a nie pierwszy. Wystarczy wersja wzoru z pierwszym i ostatnim wyrazem. Najpierw policz sam, potem otwórz rozwiązanie pod kartą.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2014-13

## Typowe pułapki

**Pułapka:** \(n\) zamiast \(n - 1\). Między pierwszą a osiemnastą ratą jest \(17\) obniżek, a nie \(18\). Dlatego we wzorze na wyraz stoi \((n - 1)\,r\), a ostatnia rata z przykładu 1 to \(750 - 17 \cdot 30\).

**Pułapka 2:** Procent potraktowany jak różnica. Spadek „o 20% każdego dnia” to iloraz \(0{,}8\), a nie różnica \(-20\) i nie iloraz \(0{,}2\). Iloraz \(0{,}2\) oznaczałby spadek o \(80\%\).

**Pułapka 3:** „Przekroczy” to nie „osiągnie”. W przykładzie 4 po \(20\) tygodniach suma wynosi dokładnie \(480\), więc odpowiedzią jest dopiero tydzień \(21\). Nierówność jest ostra, bo słowo „przekroczy” wymaga więcej, a nie tyle samo.

**Uwaga:** Liczba wyrazów musi być liczbą naturalną dodatnią. Ujemne rozwiązanie równania kwadratowego odrzucasz (jak \(-25\) w przykładzie 3), a ułamkowa liczba rzędów albo rat to sygnał, że źle ułożone jest samo równanie.

**Wskazówka:** Po obliczeniu \(a_1\) wypisz trzy pierwsze wyrazy i porównaj je z treścią. W przykładzie 5 to \(50\), \(40\) i \(32\), a spadek z \(50\) do \(40\) to rzeczywiście \(20\%\). Kilka sekund, a wyłapuje pomylony kierunek zmiany.

**Zapamiętaj:** Pytania „ile łącznie”, „od początku”, „w tym czasie” dotyczą sumy \(S_n\). Pytania „ile w ostatnim”, „ile w dziesiątym” dotyczą wyrazu \(a_n\). Zanim zaczniesz liczyć, podkreśl w treści słowo, które o tym decyduje.

## Co musisz umieć

- Rozpoznać w treści stałą różnicę (ciąg arytmetyczny) albo stały iloraz (ciąg geometryczny).
- Zamienić zmianę o \(p\%\) na iloraz \(1 + \frac{p}{100}\) albo \(1 - \frac{p}{100}\).
- Przetłumaczyć treść na \(a_1\), \(r\) albo \(q\) i \(n\), zanim podstawisz cokolwiek do wzoru.
- Odróżnić pytanie o jeden wyraz od pytania o sumę i od pytania o liczbę wyrazów.
- Rozwiązać równanie albo nierówność z niewiadomą \(n\) i zostawić tylko rozwiązania naturalne.
- Sprawdzić wynik drugim wzorem albo wypisaniem kilku pierwszych wyrazów.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania poniżej ćwiczą to, co zostaje po przetłumaczeniu treści: wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz iloraz i sumę ciągu geometrycznego. Kiedy pójdą gładko, wróć do zadań z treścią i zacznij od tabeli z początku tego wpisu. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [Ciągi](/topics/ciagi), a ogólną metodę na zadania tekstowe z każdego działu opisuję we wpisie [zadania z treścią na maturze](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z ciągów (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak rozpoznać, czy zadanie z treścią dotyczy ciągu arytmetycznego, czy geometrycznego?

Sprawdź, jak zmienia się wielkość między kolejnymi krokami. Jeśli zawsze o tę samą liczbę (o 30 zł, o 2 krzesła), to ciąg arytmetyczny. Jeśli zawsze tyle samo razy albo o ten sam procent poprzedniej wartości, to ciąg geometryczny.

### Jak obliczyć pierwszą ratę, gdy każda kolejna jest mniejsza o stałą kwotę?

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o ujemnej różnicy, a ich suma to kwota pożyczki. Wstaw sumę, liczbę rat i różnicę do wzoru \(S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n\) i rozwiąż równanie z niewiadomą \(a_1\). Dla pożyczki \(8910\) zł spłaconej w \(18\) ratach malejących o \(30\) zł pierwsza rata to \(750\) zł.

### Dlaczego we wzorze na n-ty wyraz jest n - 1, a nie n?

Bo od pierwszego do \(n\)-tego wyrazu wykonujesz \(n - 1\) kroków. Pierwszy wyraz nie ma przed sobą żadnej zmiany, drugi ma jedną, dziesiąty dziewięć. Tak samo między pierwszą a osiemnastą ratą jest siedemnaście obniżek.

### Jak zamienić spadek o 20% na iloraz ciągu?

Od stu procent odejmij spadek i zapisz wynik jako ułamek dziesiętny: \(100\% - 20\% = 80\%\), czyli \(q = 0{,}8\). Przy wzroście dodajesz: wzrost o \(5\%\) daje \(q = 1{,}05\).

### Co zrobić, gdy z sumy wychodzi równanie kwadratowe z n?

Rozwiąż je zwykłą metodą, na przykład [przez deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe), i zostaw tylko rozwiązanie będące liczbą naturalną dodatnią. Ujemny pierwiastek nie ma sensu jako liczba rzędów czy tygodni. Jeśli żadne rozwiązanie nie jest naturalne, sprawdź, czy dobrze przetłumaczyłeś treść.

### Czy lokata bankowa to też ciąg geometryczny?

Tak. Kapitał po kolejnych latach przy stałym oprocentowaniu i procencie składanym tworzy ciąg geometryczny o ilorazie \(1 + \frac{p}{100}\). Te zadania mają jednak własne pułapki, na przykład kapitalizację co kwartał, więc omawiam je osobno we wpisie o [procencie składanym i odsetkach](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki).


---
route: /rownoleglobok-w-ukladzie-wspolrzednych-srodek-symetrii-wierzcholek-pole-matura
title: Równoległobok w układzie współrzędnych na maturze - środek symetrii, czwarty wierzchołek i pole
description: Jak wyznaczyć czwarty wierzchołek równoległoboku z trzech punktów albo ze środka symetrii S i jak policzyć jego pole. Wzory i 6 zadań CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Równoległobok w układzie współrzędnych na maturze - środek symetrii, czwarty wierzchołek i pole

Czwarty wierzchołek równoległoboku \(ABCD\) liczysz z warunku \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), który po rozpisaniu na współrzędne daje \(D = A + C - B\): dodajesz współrzędne dwóch sąsiadów szukanego wierzchołka i odejmujesz współrzędne wierzchołka przeciwległego. Jeśli zamiast trzeciego wierzchołka znasz punkt przecięcia przekątnych \(S\), korzystasz z tego, że przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc \(S\) jest środkiem symetrii figury i \(C = 2S - A\). Pole liczysz jako iloczyn podstawy i wysokości (odległość wierzchołka od prostej zawierającej przeciwległy bok) albo jako podwojone pole trójkąta zbudowanego na trzech wierzchołkach.

Ten typ zadania wraca w arkuszach formuły 2023, za każdym razem w innym przebraniu. W [maju 2024](/exams/matura-maj-2024) zadanie 24 za 2 punkty kazało policzyć bok równoległoboku, gdy dane były dwa wierzchołki i punkt przecięcia przekątnych. W [sierpniu 2024](/exams/matura-sierpien-2024) zadanie 21 za 4 punkty dawało tylko ten punkt i równania dwóch prostych zawierających boki, a zbiór zadań CKE 2025 ma bliźniacze zadanie 55 z innymi liczbami. W sierpniu 2023 zadanie 28 nazwało ten sam punkt „środkiem symetrii równoległoboku", a w [maju 2025](/exams/matura-maj-2025) zadanie 22 zrobiło to samo z kwadratem. Za każdym razem chodzi o dwa fakty: równość wektorów na przeciwległych bokach i przekątne dzielące się na połowy. Niżej masz oba fakty z wyprowadzeniem, wzory do zapamiętania i sześć zadań z arkuszy rozwiązanych krok po kroku.

## Jak wyznaczyć czwarty wierzchołek równoległoboku z trzech danych

Czworokąt \(ABCD\) jest równoległobokiem wtedy, gdy boki \(AB\) i \(DC\) są równoległe i mają tę samą długość, czyli gdy \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Z tej równości wektorów dostajesz czwarty wierzchołek jednym rachunkiem: \(D = A + C - B\), współrzędna po współrzędnej. Sąsiedzi szukanego wierzchołka wchodzą z plusem, wierzchołek przeciwległy z minusem.

Wyprowadzenie zajmuje trzy linijki. Współrzędne wektora to różnica współrzędnych końca i początku (szczegóły w [przeglądzie układu współrzędnych](/uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory)):

$$\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A], \qquad \overrightarrow{DC} = [x_C - x_D,\ y_C - y_D]$$

Przyrównujesz pierwsze współrzędne do siebie i drugie do siebie:

$$x_B - x_A = x_C - x_D \quad \Rightarrow \quad x_D = x_A + x_C - x_B$$

$$y_B - y_A = y_C - y_D \quad \Rightarrow \quad y_D = y_A + y_C - y_B$$

Ten sam schemat działa dla każdego wierzchołka: \(B = A + C - D\), \(A = B + D - C\). Zawsze suma sąsiadów minus wierzchołek naprzeciwko.

**Uwaga:** Z trzech punktów \(A\), \(B\), \(C\) da się zbudować trzy różne równoległoboki, zależnie od tego, który z nich stoi naprzeciwko szukanego wierzchołka. Litery w treści zadania rozstrzygają: „kolejne wierzchołki równoległoboku \(ABCD\)" oznaczają, że po \(C\) idzie \(D\), a naprzeciwko \(D\) stoi \(B\), więc \(D = A + C - B\). Gdyby zadanie mówiło o równoległoboku \(ABDC\), naprzeciwko \(D\) stałby punkt \(A\) i wzór zmieniłby się na \(D = B + C - A\).

## Środek symetrii równoległoboku: przekątne dzielą się na połowy

Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie \(S\), który jest środkiem każdej z nich, więc \(S\) to zarazem środek odcinka \(AC\), środek odcinka \(BD\) i środek symetrii całej figury. Stąd dwa wzory: \(S = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)\) oraz, w drugą stronę, \(C = 2S - A\), czyli \(C = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)\).

Drugi wzór to po prostu wzór na środek odcinka rozwiązany względem drugiego końca: skoro \(x_S = \frac{x_A + x_C}{2}\), to \(2x_S = x_A + x_C\) i \(x_C = 2x_S - x_A\). Jeśli wolisz myśleć obrazowo: \(C\) jest obrazem \(A\) w symetrii środkowej względem \(S\), a taki [punkt symetryczny](/punkt-symetryczny-symetria-osiowa-srodkowa-wspolrzedne-matura) liczysz dokładnie tym wzorem. Sam [wzór na środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne) z wyprowadzeniem masz w osobnym wpisie.

CKE nazywa ten punkt na trzy sposoby: „przekątne przecinają się w punkcie \(P\)" (maj 2024), „przekątne przecinają się w punkcie \(S\)" (sierpień 2024) albo „punkt \(S\) jest środkiem symetrii równoległoboku" (sierpień 2023). To ten sam punkt i ten sam wzór. Dostajesz też za darmo długości przekątnych: \(|AC| = 2|AS|\) i \(|BD| = 2|BS|\), więc gdy zadanie pyta o przekątną, wystarczy odległość jednego wierzchołka od \(S\) i podwojenie.

Kiedy którego wzoru użyć:

- Masz trzy wierzchołki, szukasz czwartego: \(D = A + C - B\). Możesz też policzyć \(S\) jako środek \(AC\) i wziąć \(D = 2S - B\), wynik jest ten sam.
- Masz jeden wierzchołek i \(S\): wierzchołek naprzeciwko to \(2S - A\). Sąsiednich wierzchołków z tych danych nie wyznaczysz, potrzebujesz jeszcze jednej informacji (drugiego wierzchołka albo prostej zawierającej bok).
- Masz \(S\) i proste zawierające dwa boki wychodzące z \(A\): najpierw \(A\) jako przecięcie prostych, potem \(C = 2S - A\), a \(B\) jako przecięcie prostej \(AB\) z prostą równoległą do \(AD\) przechodzącą przez \(C\) (tak działa przykład 4).

## Pole równoległoboku w układzie współrzędnych

Pole równoległoboku to podstawa razy wysokość, \(P = a \cdot h\), gdzie \(h\) jest odległością wierzchołka od prostej zawierającej przeciwległy bok. W układzie współrzędnych najszybciej liczysz je jednak jako podwojone pole trójkąta \(ABC\) ze wzoru z tablic na pole trójkąta o danych wierzchołkach, bo przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty.

**Dwa trójkąty.** \(P_{ABCD} = 2 P_{ABC}\), a pole trójkąta z trzech wierzchołków masz w tablicach:

$$P_{ABC} = \frac{1}{2}\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|$$

Więcej wariantów tego wzoru znajdziesz we wpisie o [polu trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

**Podstawa i wysokość.** Liczysz \(|AB|\) ze wzoru na [odległość dwóch punktów](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania), wyznaczasz [równanie prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) \(AB\) i bierzesz [odległość punktu \(C\) od tej prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania). Dłużej, ale każdy krok jest w tablicach i ta droga działa też wtedy, gdy zadanie każe wyznaczyć wysokość, nie samo pole.

**Przekątne, gdy figura jest rombem albo kwadratem.** Wtedy \(P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), a w kwadracie \(P = \frac{d^2}{2}\). Wzory na pole rombu i równoległoboku z planimetrii zebrane są w [osobnym wpisie](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne), tu chodzi tylko o to, jak dostać długości przekątnych ze współrzędnych: przekątna to odległość dwóch przeciwległych wierzchołków albo podwojona odległość wierzchołka od \(S\).

**Prostokąt, romb czy kwadrat?** Prostokąt ma kąt prosty, więc sąsiednie boki są prostopadłe: współczynniki kierunkowe prostych \(AB\) i \(BC\) spełniają \(a_1 \cdot a_2 = -1\) (warunki [prostopadłości i równoległości prostych](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania)) albo, bez równań prostych, \(|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2\) z twierdzenia Pitagorasa. Na rozszerzeniu to samo załatwia iloczyn skalarny równy zero. Romb ma wszystkie boki równe, więc wystarczy \(|AB| = |BC|\); równoważnie jego przekątne są prostopadłe. Kwadrat musi spełniać oba warunki naraz: równoległobok o równych przekątnych to prostokąt, o prostopadłych przekątnych to romb, a dopiero równe i prostopadłe przekątne dają kwadrat.

Kalkulator pod spodem liczy pole z podstawy i wysokości. Jeśli długości wyszły z pierwiastkiem, wpisz przybliżenia dziesiętne: dla przykładu 5 to \(4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) i \(3\sqrt{2} \approx 4{,}24\), a wynik powinien wyjść blisko \(24\).

Interaktywny kalkulator: pole-rownolegloboku (dostępny na stronie wpisu)

## Kwadrat i prostokąt w układzie współrzędnych: ten sam punkt S

W kwadracie i prostokącie punkt przecięcia przekątnych też dzieli je na połowy, więc wzory \(S = \frac{A + C}{2}\) i \(C = 2S - A\) działają bez zmian. Dochodzą dwie własności, których zwykły równoległobok nie ma: przekątne są równe, a w kwadracie dodatkowo prostopadłe. Z jednego wierzchołka \(A\) i punktu \(S\) dostajesz więc od razu całą przekątną \(d = 2|AS|\), a z niej bok kwadratu \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\), pole \(P = \frac{d^2}{2}\) i promień okręgu opisanego \(R = \frac{d}{2} = |AS|\).

Tak zbudowane były zadania o kwadracie z maja 2025 (zadanie 22: przekątna z wierzchołka i punktu przecięcia przekątnych) i z maja 2021 (zadanie 25: pole z tych samych danych). Oba czekają w sekcji „Poćwicz" niżej. Gdy zamiast \(S\) dostajesz dwa przeciwległe wierzchołki \(A\) i \(C\), przekątna to po prostu \(|AC|\), a bok i pole liczysz tak samo. Gdy dane są dwa sąsiednie wierzchołki, \(|AB|\) jest bokiem, a przekątną liczysz jako \(a\sqrt{2}\). Uważaj tylko na słowo w treści: „przeciwległe wierzchołki" to końce przekątnej, „sąsiednie wierzchołki" to końce boku, a pomylenie jednego z drugim daje pole dwa razy za duże albo za małe.

## Wzory

Punkt przecięcia przekątnych:

$$S = \left(\frac{x_A + x_C}{2},\ \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{x_B + x_D}{2},\ \frac{y_B + y_D}{2}\right)$$

Wierzchołek przeciwległy ze środka symetrii:

$$C = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$$

Czwarty wierzchołek z trzech danych:

$$D = (x_A + x_C - x_B,\ y_A + y_C - y_B)$$

Długość boku albo przekątnej:

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Odległość punktu od prostej:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

W ostatnim wzorze \(A\), \(B\), \(C\) to współczynniki prostej \(Ax + By + C = 0\), a \((x_0, y_0)\) to punkt, którego odległość liczysz. Prostą w postaci kierunkowej \(y = ax + b\) przepisujesz jako \(ax - y + b = 0\).

## Przykład 1: Przekątna równoległoboku z trzech wierzchołków (matura sierpień 2022, zadanie 23)

**Treść:** Punkty \(A = (-6, 5)\), \(B = (5, 7)\), \(C = (10, -3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa

- A) \(3\sqrt{5}\)
- B) \(4\sqrt{5}\)
- C) \(6\sqrt{5}\)
- D) \(8\sqrt{5}\)

**Krok 1: Czwarty wierzchołek.** Naprzeciwko \(D\) stoi \(B\), więc

$$D = A + C - B = (-6 + 10 - 5,\ 5 + (-3) - 7) = (-1, -5)$$

**Krok 2: Długość przekątnej BD.**

$$|BD| = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (7 - (-5))^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$

**Krok 3: Kontrola przez środek symetrii.** Bez liczenia \(D\): środek \(AC\) to \(S = \left(\frac{-6 + 10}{2}, \frac{5 - 3}{2}\right) = (2, 1)\), a \(|BS| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). Przekątna to dwa takie odcinki: \(|BD| = 6\sqrt{5}\). Obie drogi dają to samo.

**Odpowiedź: C.** Przekątna \(BD\) ma długość \(6\sqrt{5}\). Odpowiedź A to długość połowy przekątnej, czyli odcinka \(BS\).

## Przykład 2: Długość przekątnej ze środka symetrii (matura sierpień 2023, zadanie 28)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(A = (-1, -4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S = (2, 2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

- A) \(\sqrt{5}\)
- B) \(2\sqrt{5}\)
- C) \(3\sqrt{5}\)
- D) \(6\sqrt{5}\)

**Krok 1: Co znaczy środek symetrii.** Środek symetrii równoległoboku to punkt przecięcia przekątnych, więc \(S\) jest środkiem odcinka \(AC\) i \(|AC| = 2|AS|\).

**Krok 2: Odległość od A do S.**

$$|AS| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

**Krok 3: Podwojenie.** \(|AC| = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\). Dla kontroli \(C = 2S - A = (4 + 1,\ 4 + 4) = (5, 8)\) i \(|AC| = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\).

**Odpowiedź: D.** Odpowiedź C to połowa przekątnej, dystraktor dla tych, którzy zapomną podwoić.

## Przykład 3: Bok równoległoboku z punktu przecięcia przekątnych (matura maj 2024, zadanie 24)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(A = (-2, 6)\) oraz \(B = (10, 2)\). Przekątne \(AC\) oraz \(BD\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \(P = (6, 7)\). Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Wierzchołek C.** \(P\) jest środkiem przekątnej \(AC\), więc \(C = 2P - A\):

$$C = (2 \cdot 6 - (-2),\ 2 \cdot 7 - 6) = (14, 8)$$

**Krok 2: Długość boku BC.**

$$|BC| = \sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

**Krok 3: Kontrola drugim bokiem.** Bok \(AD\) ma tę samą długość co \(BC\). \(D = 2P - B = (2, 12)\), więc \(|AD| = \sqrt{(2 + 2)^2 + (12 - 6)^2} = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13}\). Zgadza się.

**Odpowiedź:** \(|BC| = 2\sqrt{13}\).

## Przykład 4: Wierzchołek B ze środka S i dwóch prostych (matura sierpień 2024, zadanie 21)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S = (9, 11)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y = \frac{1}{2}x - 1\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y = 2x - 4\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\). Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Wierzchołek A jako przecięcie prostych.** \(A\) leży na obu prostych, więc przyrównujesz prawe strony:

$$\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 4 \quad \Rightarrow \quad 3 = \frac{3}{2}x \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Po podstawieniu \(y = 2 \cdot 2 - 4 = 0\), więc \(A = (2, 0)\).

**Krok 2: Wierzchołek C przez środek symetrii.**

$$C = 2S - A = (18 - 2,\ 22 - 0) = (16, 22)$$

**Krok 3: Prosta BC.** Bok \(BC\) jest równoległy do \(AD\), więc ma ten sam współczynnik kierunkowy \(2\): \(y = 2x + b\). Przechodzi przez \(C\), więc \(22 = 32 + b\) i \(b = -10\). Prosta \(BC\) ma równanie \(y = 2x - 10\).

**Krok 4: Wierzchołek B jako przecięcie AB i BC.**

$$\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 10 \quad \Rightarrow \quad 9 = \frac{3}{2}x \quad \Rightarrow \quad x = 6$$

Stąd \(y = \frac{1}{2} \cdot 6 - 1 = 2\) i \(B = (6, 2)\).

**Krok 5: Kontrola przez D.** \(D = 2S - B = (12, 20)\) powinno leżeć na prostej \(AD\): \(2 \cdot 12 - 4 = 20\). Leży, więc cztery wierzchołki tworzą równoległobok o środku \(S\).

**Odpowiedź:** \(B = (6, 2)\).

## Przykład 5: Pole równoległoboku z trzech wierzchołków (matura sierpień 2013, zadanie 33)

**Treść:** Punkty \(A = (-1, -5)\), \(B = (3, -1)\) i \(C = (2, 4)\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Oblicz pole tego równoległoboku.

**Krok 1: Pole trójkąta ABC ze wzoru z tablic.**

$$P_{ABC} = \frac{1}{2}\left|(3 - (-1))(4 - (-5)) - (-1 - (-5))(2 - (-1))\right| = \frac{1}{2}\left|4 \cdot 9 - 4 \cdot 3\right| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$

**Krok 2: Podwojenie.** Przekątna \(AC\) dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty, więc \(P_{ABCD} = 2 \cdot 12 = 24\).

**Krok 3: Ta sama liczba z podstawy i wysokości.** \(|AB| = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}\). Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{-1 - (-5)}{3 - (-1)} = 1\) i przechodzi przez \(A\), więc \(y = x - 4\), czyli \(x - y - 4 = 0\). Odległość \(C\) od niej:

$$h = \frac{|2 - 4 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$

$$P = 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 24$$

**Odpowiedź:** \(P = 24\).

## Przykład 6: Romb z osią symetrii i pole z przekątnych (matura próbna luty 2026, zadanie 33)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są dwa punkty \(A = (1, 0)\) oraz \(B = (-2, 1)\), które są wierzchołkami rombu \(ABCD\). Osią symetrii rombu \(ABCD\) jest oś \(OX\) układu współrzędnych. Pole tego rombu jest równe

- A) \(6\)
- B) \(9\)
- C) \(12\)
- D) \(18\)

**Krok 1: Która przekątna leży na osi OX.** Oś symetrii rombu przechodząca przez jego wierzchołek zawiera przekątną wychodzącą z tego wierzchołka. Wierzchołek \(A = (1, 0)\) leży na osi \(OX\), więc oś \(OX\) zawiera przekątną \(AC\) i punkt \(C\) też ma drugą współrzędną równą \(0\).

**Krok 2: Wierzchołek D z symetrii.** Punkt \(B\) nie leży na osi, więc jego obraz w symetrii względem \(OX\) jest drugim końcem przekątnej \(BD\): \(D = (-2, -1)\).

**Krok 3: Środek rombu i wierzchołek C.** Środek przekątnej \(BD\) to \(S = (-2, 0)\). Ten sam punkt jest środkiem \(AC\), więc \(C = 2S - A = (-4 - 1,\ 0 - 0) = (-5, 0)\).

**Krok 4: Pole z przekątnych.** \(|AC| = |{-5} - 1| = 6\), \(|BD| = |{-1} - 1| = 2\).

$$P = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6$$

**Odpowiedź: A.** Kontrola boków: \(|AB| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) i \(|BC| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\), więc figura rzeczywiście jest rombem.

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Zamiana \(D = A + C - B\) na \(D = A + B - C\). Dla punktów z przykładu 1 druga wersja daje \((-11, 15)\), czyli czwarty wierzchołek równoległoboku \(ACBD\), a nie \(ABCD\). Zanim podstawisz, ustal z liter, który punkt stoi naprzeciwko szukanego: ten wchodzi z minusem.

**Pułapka 2:** Mylenie środka odcinka z punktem symetrycznym. Gdy szukasz środka, dodajesz końce i dzielisz przez \(2\). Gdy znasz środek i jeden koniec, mnożysz środek przez \(2\) i odejmujesz znany koniec. Podstawienie \(S\) do wzoru na środek zamiast drugiego wierzchołka daje punkt w połowie drogi między \(A\) i \(S\), a nie wierzchołek.

**Pułapka 3:** „Przekątne są prostopadłe, więc to kwadrat". Prostopadłe przekątne ma każdy romb. Kwadrat wymaga jeszcze, żeby przekątne były równe albo żeby sąsiednie boki były prostopadłe. Zanim użyjesz \(P = \frac{d^2}{2}\), sprawdź oba warunki albo znajdź w treści słowo „kwadrat".

**Pułapka 4:** Pole jako iloczyn długości sąsiednich boków. To działa tylko w prostokącie. W przykładzie 5 \(|AB| \cdot |BC| = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{26} = 8\sqrt{13} \approx 28{,}8\), a prawdziwe pole to \(24\). Potrzebujesz wysokości, czyli odległości od prostej, albo wzoru na pole trójkąta z trzech wierzchołków.

**Wskazówka:** Po wyznaczeniu brakującego wierzchołka policz środek drugiej przekątnej. Jeśli środek \(BD\) nie wychodzi taki sam jak środek \(AC\), gdzieś zgubiłeś znak. Ta kontrola zajmuje jedną linijkę i wyłapuje błąd, zanim przeniesie się na resztę zadania.

**Zapamiętaj:** Punkt przecięcia przekątnych, środek symetrii równoległoboku i środek każdej z przekątnych to jeden punkt \(S\). Niezależnie od tego, jak nazywa go treść, działa \(S = \frac{A + C}{2}\) i \(C = 2S - A\).

## Co musisz umieć

- Zapisać warunek \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) i wyprowadzić z niego \(D = A + C - B\).
- Rozpoznać z liter w treści, który wierzchołek stoi naprzeciwko szukanego.
- Wyznaczyć wierzchołek przeciwległy ze środka symetrii wzorem \(C = 2S - A\).
- Policzyć długość boku i przekątnej ze wzoru na odległość dwóch punktów.
- Znaleźć wierzchołek jako przecięcie prostej boku z prostą równoległą do drugiego boku.
- Policzyć pole jako podwojone pole trójkąta albo z podstawy i wysokości.
- Sprawdzić, czy równoległobok jest prostokątem, rombem albo kwadratem.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy o kwadratach i równoległobokach w układzie współrzędnych: przekątna kwadratu ze środka, pole kwadratu z przeciwległych wierzchołków, punkt przecięcia przekątnych ze współrzędnymi z pierwiastkami i bliźniak przykładu 4 ze zbioru zadań CKE 2025. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Więcej zadań tego działu znajdziesz na stronie [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna), a własności przekątnych kwadratu bez współrzędnych we wpisie o [przekątnej kwadratu i prostokąta](/przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z geometrii analitycznej (/losuj)

## Najczęstsze pytania o równoległobok w układzie współrzędnych

### Jak wyznaczyć czwarty wierzchołek równoległoboku, gdy znam trzy?

Dla równoległoboku \(ABCD\) o danych \(A\), \(B\), \(C\) liczysz \(D = A + C - B\), osobno dla pierwszej i drugiej współrzędnej. Wzór bierze się z równości wektorów \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Jeśli litery są w innej kolejności, z plusem wchodzą dwaj sąsiedzi szukanego wierzchołka, a z minusem wierzchołek naprzeciwko.

### Jak obliczyć współrzędne wierzchołka, gdy dany jest punkt przecięcia przekątnych?

Punkt przecięcia przekątnych \(S\) jest środkiem każdej z nich, więc wierzchołek naprzeciwko znanego wierzchołka \(A\) to \(C = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)\). To wzór na środek odcinka rozwiązany względem drugiego końca. Sąsiedniego wierzchołka z samego \(S\) i \(A\) nie wyznaczysz, potrzebna jest dodatkowa informacja, na przykład prosta zawierająca bok.

### Czym jest środek symetrii równoległoboku i jak go policzyć?

Środek symetrii równoległoboku to punkt przecięcia jego przekątnych. Liczysz go jako środek dowolnej przekątnej: \(S = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)\), a środek \(BD\) musi wyjść taki sam. Każdy wierzchołek jest obrazem wierzchołka przeciwległego w symetrii środkowej względem \(S\).

### Ile równoległoboków można zbudować z trzech danych punktów?

Trzy, jeśli punkty nie leżą na jednej prostej. Każdy z trzech punktów może być tym, który stoi naprzeciwko czwartego wierzchołka, a czwarty wierzchołek to odpowiednio \(A + C - B\), \(B + C - A\) albo \(A + B - C\). Na maturze o wyborze rozstrzygają litery: zapis \(ABCD\) oznacza, że wierzchołki idą w tej kolejności po obwodzie.

### Jak obliczyć pole równoległoboku, znając współrzędne wierzchołków?

Najszybciej jako podwojone pole trójkąta \(ABC\) ze wzoru z tablic: \(P = \left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|\). Drugi sposób to podstawa razy wysokość, gdzie wysokość liczysz jako odległość wierzchołka od prostej zawierającej przeciwległy bok. W rombie i kwadracie wystarczy połowa iloczynu przekątnych.

### Jak sprawdzić, czy równoległobok w układzie współrzędnych jest prostokątem?

Sprawdź, czy sąsiednie boki są prostopadłe: iloczyn współczynników kierunkowych prostych \(AB\) i \(BC\) ma być równy \(-1\), albo z twierdzenia Pitagorasa \(|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2\). Równoważnie prostokąt to równoległobok o równych przekątnych, więc możesz porównać \(|AC|\) z \(|BD|\).

### Jak policzyć przekątną kwadratu, gdy znam wierzchołek i punkt przecięcia przekątnych?

Odległość wierzchołka od punktu przecięcia przekątnych to połowa przekątnej, więc \(d = 2|AS|\). Pole kwadratu dostaniesz wtedy bez boku, ze wzoru \(P = \frac{d^2}{2}\), a bok jako \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\). Samo podwojenie odległości od \(S\) działa w każdym równoległoboku, bo w każdym z nich \(S\) dzieli przekątne na połowy, ale wzór \(P = \frac{d^2}{2}\) jest tylko dla kwadratu.


---
route: /kat-nachylenia-prostej-do-osi-ox-wzor-zadania
title: Kąt nachylenia prostej do osi OX - wzór, przykłady i zadania maturalne
description: Kąt nachylenia prostej do osi OX policzysz z wzoru tg α = a. Tabela wartości, kąt rozwarty, sześć zadań CKE z rozwiązaniami i checklist maturalny.
author: Filip Maszota
---

# Kąt nachylenia prostej do osi OX - wzór, przykłady i zadania maturalne

Kąt nachylenia prostej do osi OX to jedno z tych pojęć, które uczeń pierwszy raz spotyka na lekcji o funkcji liniowej, a potem widzi je na maturze w geometrii analitycznej, trygonometrii i nawet w stereometrii. Cała sztuka polega na zrozumieniu jednego wzoru: \(\mathrm{tg}\,\alpha = a\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy. Jeśli go opanujesz wraz z kilkoma niuansami (kąt rozwarty, prosta pionowa, sposób liczenia z dwóch punktów), zgarniasz [łatwe punkty z funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) i pewnie radzisz sobie z trudniejszymi zadaniami z [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

W tym poradniku rozkładam temat na czynniki pierwsze. Najpierw definicja kąta nachylenia (z czego liczymy, w którą stronę, w jakim przedziale). Potem główny wzór i jego dwa warianty (z równania prostej i z dwóch punktów). Dalej tabela wartości tangensa dla kątów specjalnych, sześć rozwiązanych przykładów (w tym świeże zadania CKE z 2025 i 2026 roku), sekcja o pułapkach i checklista. Po przeczytaniu będziesz wiedział, jak w 30 sekund obliczyć kąt nachylenia dowolnej prostej i jak odzyskać współczynnik kierunkowy, kiedy zadanie daje ci tylko kąt.

## Czym jest kąt nachylenia prostej do osi OX

Kąt nachylenia prostej \(k\) do osi \(Ox\) to kąt \(\alpha\), który ta prosta tworzy z **dodatnim kierunkiem osi \(Ox\)**, mierzony **przeciwnie do ruchu wskazówek zegara**, od osi do prostej. Z definicji przyjmujemy:
$$0^\circ \le \alpha  0\) - prosta rośnie, kąt \(\alpha\) jest **ostry**: \(0^\circ  0\), kąt jest ostry. Z kalkulatora (lub z definicji): \(\alpha = \mathrm{arctg}\,2 \approx 63,43^\circ\).

W zadaniach maturalnych raczej nie pytają o konkretną wartość kąta wyrażoną w stopniach, jeśli nie wychodzi "ładnie" (czyli nie jest to \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) ani ich odpowiedniki w drugiej ćwiartce). Zwykle odpowiedź ma postać "tangens kąta nachylenia jest równy \(\ldots\)" albo "kąt nachylenia jest ostry/rozwarty".

## Przykład 2 - znajdź a, znając kąt 60°

Pytanie: napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(P = (2, 1)\), nachylonej do osi \(Ox\) pod kątem \(60^\circ\).

**Krok 1.** Z tabeli \(\mathrm{tg}\,60^\circ = \sqrt{3}\). Zatem \(a = \sqrt{3}\).

**Krok 2.** Korzystamy z postaci kierunkowej prostej przez punkt: \(y - y_0 = a(x - x_0)\). Wstawiamy \(P = (2, 1)\) i \(a = \sqrt{3}\):
$$y - 1 = \sqrt{3}(x - 2)$$
$$y = \sqrt{3} x - 2\sqrt{3} + 1$$

To finalne równanie szukanej prostej. Sprawdzenie: dla \(x = 2\) mamy \(y = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 1 = 1\), zgadza się z \(P\).

## Przykład 3 - prosta przez dwa punkty

Pytanie: oblicz tangens kąta nachylenia do osi \(Ox\) prostej przechodzącej przez punkty \(A = (1, 2)\) i \(B = (4, 8)\).

**Krok 1.** Wzór z dwóch punktów:
$$\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$

**Krok 2.** Bo \(\mathrm{tg}\,\alpha = 2 > 0\), kąt jest ostry. Konkretnie \(\alpha \approx 63,43^\circ\), ale w odpowiedzi piszemy "tangens kąta nachylenia jest równy \(2\)".

## Przykład 4 - kąt rozwarty

Pytanie: pod jakim kątem nachylona jest do osi \(Ox\) prosta \(y = -\sqrt{3}\,x + 5\)?

**Krok 1.** \(a = -\sqrt{3}\).

**Krok 2.** Bo \(a  0\)). Drugie ramię \(ON\) to prosta przechodząca przez \(O\) i \(N = (6, 8)\).

**Krok 2.** Kąt \(\sphericalangle MON\) to dokładnie kąt nachylenia prostej \(ON\) do osi \(Ox\). Z wzoru:
$$\mathrm{tg}\,\sphericalangle MON = \dfrac{8 - 0}{6 - 0} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$$

Bo punkt \(N\) jest w pierwszej ćwiartce i kąt wychodzi ostry, odpowiedź jest \(\dfrac{4}{3}\). Identyczna technika ratuje cię w każdym zadaniu typu "kąt między dwoma promieniami wychodzącymi z (0,0)" - sprowadź go do różnicy kątów nachylenia, a jeśli jedno z ramion leży na osi \(Ox\), wystarczy sam kąt nachylenia drugiego.

## Kąty równoległości i prostopadłości - jak nachylenie pomaga

Dwie proste \(k_1: y = a_1 x + b_1\) i \(k_2: y = a_2 x + b_2\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają **ten sam kąt nachylenia**, czyli \(a_1 = a_2\). Są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich kąty nachylenia różnią się o \(90^\circ\) - w języku współczynników: \(a_1 \cdot a_2 = -1\).

Geometrycznie to oczywiste: równoległe znaczy "tak samo pochylone", prostopadłe znaczy "obrócone o \(90^\circ\)". Z tego korzystamy między innymi przy [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) (rzutujemy po prostej prostopadłej) i przy wyznaczaniu prostej zawierającej wysokość trójkąta.

## Kąt między prostą a osią OY, układ ogólny i wektor kierunkowy

Czasem CKE zamiast osi \(Ox\) podaje kąt z osią \(Oy\). Wtedy korzystaj z tożsamości: kąt nachylenia do \(Oy\) wynosi \(90^\circ - \alpha\) (jeśli \(\alpha\) jest kątem nachylenia do \(Ox\)). Inny wariant - prosta dana w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\). Wtedy, o ile \(B \ne 0\), współczynnik kierunkowy to \(a = -\dfrac{A}{B}\), więc \(\mathrm{tg}\,\alpha = -\dfrac{A}{B}\).

Jeśli prosta jest dana wektorem kierunkowym \(\vec{v} = [v_x, v_y]\) (czyli wektorem równoległym do prostej), to:
$$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{v_y}{v_x}$$
(pod warunkiem \(v_x \ne 0\)). Działa tu identyczna logika znaków: ujemny stosunek to kąt rozwarty.

## Typowe pułapki, na których uczniowie tracą punkty

**1. "Ujemny kąt nachylenia."** Kąt nachylenia z definicji nie może być ujemny. Jeśli z kalkulatora wychodzi \(\alpha = -30^\circ\), to znaczy, że poprawnym wynikiem jest \(150^\circ\) (dodaj \(180^\circ\)).

**2. "Prosta pionowa ma kąt nachylenia 0."** Wręcz przeciwnie - prosta pionowa ma kąt nachylenia \(90^\circ\), a współczynnik kierunkowy **nie istnieje**. Prosta pozioma ma kąt \(0^\circ\) i \(a = 0\).

**3. Mylenie kąta z funkcji liniowej i kąta między dwiema prostymi.** Kąt nachylenia jest mierzony od osi \(Ox\). Jeśli zadanie pyta o kąt między dwiema prostymi, oblicz tangens każdego z nich i skorzystaj ze wzoru \(\mathrm{tg}(\beta - \alpha) = \dfrac{\mathrm{tg}\,\beta - \mathrm{tg}\,\alpha}{1 + \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}\).

**4. Zapominanie o znaku przy rozwartym kącie.** \(\mathrm{tg}\,135^\circ = -1\), nie \(1\). Zawsze sprawdzaj, w której ćwiartce jest kąt.

**5. Liczenie tangensa ze złej kolejności współrzędnych.** Wzór to \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), a nie \(\dfrac{\Delta x}{\Delta y}\). Mnemotechnika: "delta igrek na deltę iks", bo igrek "rośnie", a iks idzie "w prawo".

**6. Niezrozumienie wzoru dla prostej \(y = ax\) (bez \(b\)).** To wciąż jest funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez początek układu - wszystkie zasady są te same, \(\mathrm{tg}\,\alpha = a\). Brak \(b\) niczego nie zmienia w kącie nachylenia.

**7. Mylenie kąta nachylenia z kątem skierowanym.** Kąt skierowany może być dowolny (nawet \(370^\circ\) albo \(-90^\circ\)), kąt nachylenia jest zawsze z \([0^\circ, 180^\circ)\). To dwie różne rzeczy.

## Mini-poradnik: jak odzyskać α gdy tangens jest "brzydki"

Jeśli z obliczeń wychodzi \(\mathrm{tg}\,\alpha = -\tfrac{3}{2}\) albo \(\mathrm{tg}\,\alpha = \tfrac{4}{3}\) (czyli nie pasuje do tabeli \(0/30/45/60\)), CKE prawie nigdy nie wymaga konkretnej wartości kąta - wystarczy podać wartość tangensa. Jeśli jednak musisz liczyć sinus albo cosinus z takiego \(\alpha\), użyj tej procedury:

1. **Sprawdź ćwiartkę.** Z \(\mathrm{tg}\,\alpha > 0\) wynika, że \(\alpha\) jest ostry; z \(\mathrm{tg}\,\alpha  0\) w I ćwiartce, \(\cos\alpha  0\) - kąt ostry, \(a < 0\) - kąt rozwarty, \(a = 0\) - kąt \(0^\circ\), \(a\) nie istnieje - kąt \(90^\circ\).
- Tabela wartości tangensa dla \(0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150\) stopni.
- Tożsamość: \(\mathrm{tg}(180^\circ - \alpha) = -\mathrm{tg}\,\alpha\).
- Warunki: równoległość - \(a_1 = a_2\); prostopadłość - \(a_1 \cdot a_2 = -1\).
- Procedura odzyskiwania sinusa i cosinusa z tangensa (jedynka trygonometryczna + ćwiartka).
- Pamiętasz, że kąt nachylenia **nigdy nie jest ujemny** - jeśli kalkulator pokazuje minus, dodajesz \(180^\circ\).

Jeśli wszystkie powyższe rzeczy są dla ciebie automatyzmem, masz w kieszeni co najmniej 3-4 punkty z każdej matury, bo zadanie z kątem nachylenia pojawia się praktycznie w każdym arkuszu - i [w pewniakach 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) jest jednym z mocnych typów. Reszta to już tylko wprawa w rozwiązywaniu zadań - zobacz całą [trygonometrię na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) i [geometrię analityczną z wektorami](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) jeśli chcesz dociągnąć temat do końca.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-wyznaczyc-wzor-funkcji-kwadratowej-z-wykresu
title: Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne
description: Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu: z wierzchołka, miejsc zerowych, osi symetrii lub trzech punktów. 7 zadań CKE krok po kroku i pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne

Wzór funkcji kwadratowej z wykresu wyznaczasz w trzech ruchach: odczytujesz z rysunku punkty charakterystyczne (wierzchołek \(W=(p,q)\), miejsca zerowe \(x_1, x_2\) albo punkt przecięcia z osią \(Oy\)), wybierasz postać wzoru dopasowaną do tych danych (kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdy znasz wierzchołek, iloczynową \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), gdy znasz miejsca zerowe), a potem podstawiasz współrzędne jeszcze jednego punktu z wykresu i obliczasz współczynnik \(a\). Jeśli zadanie wymaga postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), na końcu wymnażasz nawiasy.

Ten typ zadania wraca na maturze podstawowej regularnie. W naszej bazie 38 ze 128 zadań CKE z działu [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) łączy w treści wykres ze wzorem albo współczynnikami: od jednopunktowych zamkniętych (maj 2020, sierpień 2021) po otwarte za 3-5 punktów (maj 2022, sierpień 2024, czerwiec 2025). Poniżej dostajesz cztery metody, siedem rozwiązanych przykładów z prawdziwych arkuszy i listę pułapek, na których uczniowie tracą punkty.

## Trzy postacie funkcji kwadratowej - którą wybrać do odczytu z wykresu

Postać wzoru dobierasz do tego, co widzisz na rysunku. Wierzchołek prowadzi do postaci kanonicznej, miejsca zerowe do iloczynowej, a punkt przecięcia z osią \(Oy\) daje od razu współczynnik \(c\) w postaci ogólnej. W każdej z tych postaci współczynnik \(a\) jest ten sam, więc obliczony raz działa wszędzie.

| Postać | Wzór | Co odczytujesz z wykresu | Kiedy jej używać |
|---|---|---|---|
| ogólna | \(f(x)=ax^2+bx+c\) | punkt \((0,c)\) na osi \(Oy\), kierunek ramion (znak \(a\)) | gdy masz trzy dowolne punkty albo zadanie każe podać \(a\), \(b\), \(c\) |
| kanoniczna | \(f(x)=a(x-p)^2+q\) | wierzchołek \(W=(p,q)\), oś symetrii \(x=p\) | gdy widzisz wierzchołek i jeszcze jeden punkt |
| iloczynowa | \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) | miejsca zerowe \(x_1\), \(x_2\) na osi \(Ox\) | gdy parabola przecina oś \(Ox\) i znasz jeszcze jeden punkt |

Między postaciami przechodzisz algebraicznie, co opisaliśmy osobno w poradniku o [przekształcaniu funkcji kwadratowej na postać kanoniczną i iloczynową](/jak-przeksztalcic-funkcje-kwadratowa-postac-kanoniczna-iloczynowa). Tutaj skupiamy się na odwrotnym kierunku: z rysunku do wzoru.

## Co odczytać z wykresu paraboli, zanim zaczniesz liczyć

Z rysunku wyciągasz maksymalnie sześć informacji i każda z nich przekłada się na konkretny fragment wzoru. Przejdź tę listę zawsze w tej samej kolejności, a nie przeoczysz danych, które CKE chowa w treści albo na rysunku.

1. **Kierunek ramion.** Ramiona w górę to \(a>0\), ramiona w dół to \(a0\)) albo najwyższy (dla \(a0\)), więc zbiór wartości to \(\langle -2, +\infty)\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek: \(x=1\). Sprawdzenie drugim miejscem zerowym: \(f(-1)=\frac{1}{2}\cdot 4-2=0\). Zgadza się.

W arkuszu ta część zadania była zamknięta: cztery wzory w postaci kanonicznej, wszystkie z \(a=\frac{1}{2}\), różniące się tylko znakami przy \(1\) w nawiasie i przy \(2\) na końcu (\(\frac{1}{2}(x-1)^2-2\), \(\frac{1}{2}(x+1)^2-2\), \(\frac{1}{2}(x-1)^2+2\), \(\frac{1}{2}(x+1)^2+2\)). CKE sprawdzało więc wyłącznie Krok 1, czyli znaki we wzorze z wierzchołkiem. Pełną treść znajdziesz w [arkuszu z sierpnia 2024](/exams/matura-sierpien-2024).

### Przykład 2: wierzchołek podany, postać iloczynowa w treści (Matura maj 2020, zadanie 7)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(2,1)\). Oblicz \(a\).

**Krok 1: sprawdź, czy wierzchołek pasuje do miejsc zerowych**

Miejsca zerowe to \(1\) i \(3\), ich środek to \(\frac{1+3}{2}=2\). Pierwsza współrzędna wierzchołka się zgadza, więc dane są spójne.

**Krok 2: podstaw wierzchołek do wzoru**

$$1=a(2-1)(2-3)=a\cdot 1\cdot(-1)=-a \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Wierzchołek leży nad osią \(Ox\), a miejsca zerowe istnieją, więc ramiona muszą iść w dół. Ujemne \(a\) potwierdza rysunek. Zadanie za 1 punkt, czas rozwiązania: pół minuty. Możesz je rozwiązać samodzielnie w aplikacji: [zadanie 7 z maja 2020](/task/matura-maj-2020-07).

## Metoda 2: z miejsc zerowych i jednego punktu (postać iloczynowa)

Gdy parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(x_1\) i \(x_2\), zapisujesz \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) i podstawiasz jeszcze jeden punkt, żeby obliczyć \(a\). Najwygodniej użyć wierzchołka albo punktu przecięcia z osią \(Oy\), bo te dwa są na rysunku najłatwiejsze do odczytania.

### Przykład 3: miejsca zerowe i wierzchołek (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 11)

Na rysunku parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \((2,0)\) i \((6,0)\), a jej wierzchołek to \(W=(4,-2)\). Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej i kanonicznej.

**Krok 1: zapisz postać iloczynową**

$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$

**Krok 2: podstaw wierzchołek i oblicz a**

$$-2=a(4-2)(4-6)=a\cdot 2\cdot(-2)=-4a \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$$

**Krok 3: zapisz postać iloczynową i przejdź do kanonicznej**

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)$$

Wierzchołek już znasz, więc postać kanoniczna to:

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$$

**Krok 4: sprawdź przez wymnożenie**

$$\frac{1}{2}(x-2)(x-6)=\frac{1}{2}(x^2-8x+12)=\frac{1}{2}x^2-4x+6$$
$$\frac{1}{2}(x-4)^2-2=\frac{1}{2}(x^2-8x+16)-2=\frac{1}{2}x^2-4x+6$$

Obie postacie dają tę samą postać ogólną, a wyraz wolny \(c=6\) oznacza, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,6)\). W arkuszu dokładnie tak było. To samo zadanie pytało jeszcze o zbiór wartości \(\langle -2,+\infty)\) i o przedział, w którym funkcja jest ujemna: \((2,6)\), czyli między miejscami zerowymi, bo ramiona idą w górę. Jak czytać zbiór wartości z wykresu, opisujemy w osobnym poradniku o [zbiorze wartości funkcji](/zbior-wartosci-funkcji-jak-wyznaczyc-matura). Cały arkusz: [próbna CKE grudzień 2023](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023).

## Metoda 3: z osi symetrii i jednego miejsca zerowego

Oś symetrii \(x=p\) i jedno miejsce zerowe \(x_1\) wystarczą, żeby znaleźć drugie miejsce zerowe: \(x_2=2p-x_1\), bo miejsca zerowe leżą w równej odległości od osi symetrii. Potem działasz jak w Metodzie 2. Ten wariant CKE lubi w zadaniach otwartych, gdzie rysunku nie ma wcale.

### Przykład 4: zadanie otwarte bez rysunku (Matura czerwiec 2025, zadanie 13)

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.

**Krok 1: znajdź drugie miejsce zerowe**

Miejsce zerowe \(x_1=1\) leży \(2\) jednostki na prawo od osi \(x=-1\), więc drugie leży \(2\) jednostki na lewo:

$$x_2=2\cdot(-1)-1=-3$$

**Krok 2: zapisz postać iloczynową i oblicz a z punktu (2,15)**

$$f(x)=a(x-1)(x+3)$$
$$15=a(2-1)(2+3)=5a \quad\Rightarrow\quad a=3$$

**Krok 3: oblicz q, czyli wartość w wierzchołku**

Wierzchołek ma \(p=-1\), więc:

$$q=f(-1)=3\cdot(-1-1)\cdot(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot 2=-12$$

**Krok 4: zapisz postać kanoniczną**

$$f(x)=3(x+1)^2-12$$

Sprawdzenie: \(f(2)=3\cdot 9-12=15\). Zgadza się. Zadanie było za 3 punkty i wymagało dokładnie tej postaci; uczeń, który zatrzymał się na \(f(x)=3(x-1)(x+3)\), tracił ostatni punkt. Treść i schemat punktowania: [arkusz z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025).

## Metoda 4: z trzech punktów (układ równań) i wariant z ukrytym wierzchołkiem

Gdy na rysunku nie ma ani wierzchołka, ani miejsc zerowych, a masz trzy punkty o znanych współrzędnych, podstawiasz je do postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\) i rozwiązujesz układ trzech równań. Jeśli jeden z punktów leży na osi \(Oy\), dostajesz \(c\) za darmo i układ kurczy się do dwóch równań.

### Przykład 5: trzy punkty, żaden nie jest wierzchołkiem

Parabola przechodzi przez punkty \((0,1)\), \((1,0)\) i \((2,3)\). Wyznacz wzór funkcji w postaci ogólnej.

**Krok 1: podstaw punkt na osi Oy**

$$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad c=1$$

**Krok 2: podstaw pozostałe dwa punkty**

$$f(1)=0: \quad a+b+1=0$$
$$f(2)=3: \quad 4a+2b+1=3 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=1$$

**Krok 3: rozwiąż układ**

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \((2a+b)-(a+b)=1-(-1)\), czyli \(a=2\). Stąd \(b=-1-a=-3\). Jeśli układy to twoja słaba strona, przećwicz [metodę podstawiania krok po kroku](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania).

**Krok 4: zapisz wzór i sprawdź**

$$f(x)=2x^2-3x+1$$

Kontrola trzecim punktem: \(f(2)=8-6+1=3\). Zgadza się. Bonus: \(\Delta=9-8=1\), więc miejsca zerowe to \(x=\frac{3\pm 1}{4}\), czyli \(1\) i \(\frac{1}{2}\). Pierwsze z nich to punkt \((1,0)\) z treści.

### Przykład 6: wierzchołek ukryty w warunku "dokładnie jeden punkt wspólny" (Matura maj 2022, zadanie 35)

Wykres funkcji \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu. Oblicz \(a\), \(b\), \(c\).

**Krok 1: przetłumacz warunki na dane o wykresie**

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\), więc \(x_1=-5\) i \(x_2=3\) to miejsca zerowe. Prosta pozioma \(y=6\) ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny tylko wtedy, gdy przechodzi przez wierzchołek. Stąd \(q=6\).

**Krok 2: oblicz p z symetrii miejsc zerowych**

$$p=\frac{-5+3}{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad W=(-1,6)$$

**Krok 3: postać iloczynowa i współczynnik a**

$$f(x)=a(x+5)(x-3)$$
$$6=a(-1+5)(-1-3)=a\cdot 4\cdot(-4)=-16a \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{8}$$

**Krok 4: wymnóż do postaci ogólnej**

$$f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x-15)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}$$

Zatem \(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\), \(c=\frac{45}{8}\). Ujemne \(a\) ma sens: wierzchołek leży nad osią \(Ox\) i jest maksimum. To zadanie za 5 punktów: najwięcej w całym [arkuszu z maja 2022](/exams/matura-maj-2022), a cała trudność siedzi w Kroku 1. Reszta to Metoda 2.

## Jak ustalić znaki współczynników a, b, c z samego wykresu

Znak \(a\) czytasz z kierunku ramion, znak \(c\) z punktu przecięcia z osią \(Oy\), a znak \(b\) z położenia wierzchołka względem osi \(Oy\). Wzór \(p=-\frac{b}{2a}\) po przekształceniu daje \(b=-2ap\), więc \(b\) ma znak przeciwny do iloczynu \(a\cdot p\). To wystarcza do rozwiązania zadań zamkniętych bez żadnych obliczeń.

| Co widzisz | Wniosek |
|---|---|
| ramiona w górę | \(a>0\) |
| ramiona w dół | \(a0\) |
| parabola przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\) | \(c0\) i wierzchołek na prawo od osi \(Oy\) | \(b0\) i wierzchołek na lewo od osi \(Oy\) | \(b>0\) |
| \(a0\) |
| \(a0\), więc \(p=-\frac{6}{-2}=3>0\). Wierzchołek na prawo od osi \(Oy\), jak na rysunku. Odpowiedź: D. Dla pewności \(q=f(3)=-9+18-7=2\), czyli wierzchołek \((3,2)\) nad osią \(Ox\), więc miejsca zerowe istnieją.

Podobnie działa zadanie 10 z sierpnia 2017: dla \(f(x)=x^2+bx+c\) z wierzchołkiem na prawo od osi \(Oy\) i przecięciem osi \(Oy\) powyżej zera dostajesz od razu \(b0\). Więcej zadań tego typu zebraliśmy w [bazie zadań CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami).

## Typowe pułapki przy odczytywaniu wzoru z wykresu

Większość błędów w tym typie zadań to nie brak wiedzy, tylko znaki i pośpiech. Oto lista tego, co najczęściej kosztuje punkty.

- **Znak w postaci kanonicznej.** Wierzchołek \(W=(-1,2)\) daje \(f(x)=a(x+1)^2+2\), nie \(a(x-1)^2+2\). Nawias zawiera \(x-p\), więc ujemne \(p\) zmienia minus na plus.
- **Przyjmowanie \(a=1\) bez liczenia.** Parabola o wierzchołku \((1,-2)\) i miejscu zerowym \(3\) ma \(a=\frac{1}{2}\), nie \(1\). Szerokość ramion nie jest "standardowa", a \(a\) zawsze wynika z dodatkowego punktu.
- **Zgadywanie \(a\) z kształtu.** "Wąska" parabola nie oznacza \(a=2\). Kształt zależy też od skali osi na rysunku. Liczysz, nie oceniasz na oko.
- **Punkt odczytany nie z kratki.** Do obliczenia \(a\) wybieraj tylko punkty o całkowitych współrzędnych, wyraźnie zaznaczone albo opisane w treści.
- **Postać iloczynowa bez miejsc zerowych.** Jeśli parabola nie przecina osi \(Ox\) (\(\Delta0\), w dół \(a0\); gdy wierzchołek leży na osi \(Oy\), to \(b=0\).

### Co zrobić, gdy parabola nie przecina osi Ox?
Wtedy funkcja nie ma miejsc zerowych i postać iloczynowa nie istnieje, więc pracujesz na postaci kanonicznej z wierzchołkiem albo na postaci ogólnej z trzema punktami. Punkt przecięcia z osią \(Oy\) nadal daje ci \(c\), a wierzchołek daje \(p\) i \(q\).

### Ile punktów trzeba znać, żeby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej?
Trzy punkty o znanych współrzędnych zawsze wystarczą, bo dają układ trzech równań z niewiadomymi \(a\), \(b\), \(c\). Jeśli jednym z danych jest wierzchołek albo para miejsc zerowych, wystarczą dwie informacje: ten punkt charakterystyczny i jeden dodatkowy punkt wykresu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-wycinka-kola-dlugosc-luku-wzor-zadania
title: Jak obliczyć pole wycinka koła i długość łuku - wzór, kąt, zadania maturalne
description: Wzór na pole wycinka koła i długość łuku okręgu, wersja stopniowa i radianowa. Rozwiązania zadań maturalnych krok po kroku, pole odcinka koła, pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole wycinka koła i długość łuku - wzór, kąt, zadania maturalne

Pole wycinka koła i długość łuku okręgu to jedne z tych wzorów, które na maturze pojawiają się regularnie, a uczniowie wciąż gubią się w proporcjach i mylą stopnie z radianami. Z naszej analizy [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) wynika, że łuk albo wycinek koła pojawia się prawie w co drugim arkuszu, zazwyczaj w połączeniu z [kątami w okręgu](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat) lub jako element zadania ze [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) o stożku. Jeśli opanujesz dwa wzory z tego posta, masz pewne 1-2 punkty z [planimetrii](/topics/planimetria) za każdym razem.

W tym poście pokażę ci wzór na pole wycinka koła w wersji stopniowej i radianowej, wzór na długość łuku, wytłumaczę różnicę między wycinkiem a odcinkiem koła (bo to dwie różne figury) i razem rozwiążemy siedem prawdziwych zadań maturalnych krok po kroku. Na końcu znajdziesz checklistę i listę typowych pułapek, w które wpada większość uczniów.

## Czym jest wycinek koła, a czym odcinek koła

Zanim podstawisz cokolwiek do wzoru, musisz wiedzieć dokładnie co masz policzyć. Polskie podręczniki używają tych pojęć precyzyjnie, ale uczniowie ciągle je mylą.

Wycinek koła (po angielsku circular sector) to figura ograniczona dwoma promieniami koła i łukiem okręgu, który te promienie łączą. Wyobraź sobie kawałek pizzy odkrojony od środka do brzegu, ze sztywnymi krawędziami biegnącymi od centrum. Pole wycinka koła zależy od promienia i kąta środkowego, na którym wycinek się opiera.

Odcinek koła (po angielsku circular segment) to figura ograniczona cięciwą i łukiem okręgu. Tu nie ma promieni - bierzesz koło i odkrawasz mu pasek prostą cięciwą, a reszta odpadającego "kawałka" to właśnie odcinek koła. Pole odcinka koła liczy się jako różnicę pola wycinka i pola trójkąta równoramiennego o ramionach \(r\) i kącie wierzchołkowym równym kątowi środkowemu.

Trzecia rzecz to sam łuk okręgu - to fragment okręgu (linii, nie figury), o długości proporcjonalnej do kąta środkowego, na którym łuk się opiera. Łuk nie ma "pola", tylko długość, bo to krzywa, nie obszar.

Te trzy pojęcia są kluczowe na maturze. W zadaniach CKE 2024 i CKE marzec 2026 widziałem już pytania, które wymagały rozróżnienia między długością łuku a obwodem wycinka. Obwód wycinka to długość łuku plus dwa promienie, więc to inna wielkość niż sama długość łuku. Zwracaj na to uwagę, bo różnica jednego słowa w treści zadania może zmienić odpowiedź.

## Wzór na długość łuku okręgu - wersja stopniowa

Najpierw najważniejsze. Jeśli kąt środkowy podany jest w stopniach, długość łuku okręgu liczysz z proporcji. Cały okrąg ma długość \(2\pi r\) i obejmuje kąt pełny \(360^\circ\). Łuk obejmujący kąt środkowy \(\alpha\) ma długość proporcjonalną:

$$l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$$

Tutaj \(l\) to długość łuku, \(r\) to promień okręgu, a \(\alpha\) to miara kąta środkowego w stopniach. Wzór ten masz w karcie wzorów CKE, więc nie musisz go zapamiętywać na sucho, ale musisz wiedzieć, że \(\alpha\) tu musi być w stopniach. Jeśli zadanie podaje kąt jako ułamek długości okręgu (np. "łuk równy \(\frac{1}{5}\) długości okręgu"), nie potrzebujesz nawet stopni - od razu masz proporcję i mnożysz przez \(2\pi r\).

Logika za wzorem jest prosta: skoro \(360^\circ\) odpowiada pełnemu okręgowi \(2\pi r\), to \(1^\circ\) odpowiada \(\frac{2\pi r}{360}\), a \(\alpha\) stopni - \(\alpha\) razy tyle. To czysta proporcja, nic więcej.

## Wzór na długość łuku okręgu - wersja radianowa

Jeśli kąt podany jest w radianach (oznaczany zwykle literą grecką \(\varphi\) lub po prostu jako liczba rzeczywista), wzór się drastycznie upraszcza:

$$l = r \cdot \varphi$$

To jedna z najpiękniejszych formuł w matematyce, bo właśnie z niej radian został zdefiniowany. Radian to taka miara kąta, dla której długość łuku jest równa promieniowi razy kąt - bez żadnych dodatkowych współczynników. Cały okrąg ma kąt \(2\pi\) radianów (a nie \(360^\circ\)), więc pełny obwód to \(l = r \cdot 2\pi = 2\pi r\). Zgadza się ze szkolnym wzorem na obwód koła.

Konwersja między stopniami a radianami:

$$\varphi[\text{rad}] = \alpha[^\circ] \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$$

Np. \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\) rad, \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\) rad, \(180^\circ = \pi\) rad, \(360^\circ = 2\pi\) rad. Na maturze podstawowej zwykle używamy stopni, ale w niektórych zadaniach z [trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) lub na rozszerzeniu spotkasz radiany. Warto znać oba zapisy.

## Wzór na pole wycinka koła - wersja stopniowa

Analogicznie do długości łuku, pole wycinka koła wyciągamy z proporcji. Pełne koło ma pole \(\pi r^2\) i obejmuje \(360^\circ\). Wycinek obejmujący kąt \(\alpha\) ma pole proporcjonalne:

$$P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$$

To główny wzór, którego będziesz używać najczęściej. Pamiętaj: \(\alpha\) w stopniach, kąt środkowy nie wpisany. Łatwo pomylić oba kąty, bo zazwyczaj na rysunku widać i jeden, i drugi. Kąt środkowy to ten z wierzchołkiem w środku okręgu, kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu. Pole wycinka zależy od kąta środkowego, nie wpisanego.

Jeśli kąt środkowy jest podany w radianach (\(\varphi\)), wzór jest jeszcze ładniejszy:

$$P = \frac{1}{2} r^2 \varphi$$

To wynika z prostego przekształcenia. Z wzoru stopniowego: \(\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{\varphi}{2\pi}\), więc \(P = \pi r^2 \cdot \frac{\varphi}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 \varphi\). Czysta algebra.

## Wzór na pole odcinka koła

Pole odcinka koła jest ciut trudniejsze, bo nie ma "gotowej" prostej formuły. Trzeba odjąć od pola wycinka pole trójkąta równoramiennego o ramionach \(r\) i kącie wierzchołkowym \(\alpha\) (przy środku okręgu). Pole tego trójkąta to:

$$P_{\triangle} = \frac{1}{2} r^2 \sin\alpha$$

(używamy tutaj wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi, gdzie oba boki są równe \(r\)). Stąd pole odcinka koła:

$$P_{\text{odc}} = P_{\text{wyc}} - P_{\triangle} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} r^2 \sin\alpha$$

W wersji radianowej:

$$P_{\text{odc}} = \frac{1}{2} r^2 (\varphi - \sin\varphi)$$

Pole odcinka koła pojawia się na maturze rzadziej niż pole wycinka, ale gdy się pojawi, to zwykle w zadaniu otwartym za 3-4 punkty. Warto znać tę różnicę. Jeśli chcesz powtórzyć [wzory na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne), zerknij do osobnego posta - to fundament tej całej konstrukcji.

## Obwód wycinka koła

Obwód wycinka to suma długości łuku i dwóch promieni (bo wycinek jest ograniczony łukiem i dwoma promieniami):

$$O_{\text{wyc}} = l + 2r = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} + 2r$$

W wersji radianowej:

$$O_{\text{wyc}} = r\varphi + 2r = r(\varphi + 2)$$

Uważaj: obwód wycinka to nie jest długość łuku. To częsta pułapka. Jeśli zadanie pyta o "obwód wycinka koła", musisz dodać dwa promienie do długości łuku. Sam łuk to tylko "krzywa część" obwodu wycinka.

## Przykład 1: Długość łuku z proporcji okręgu (Matura czerwiec 2024, zadanie 21)

Treść zadania: Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Długość łuku \(AB\), na którym jest oparty kąt wpisany \(ACB\), jest równa \(\frac{1}{5}\) długości okręgu. Oblicz miarę kąta \(ACB\).

Krok 1. Co jest dane. Stosunek długości łuku do długości całego okręgu wynosi \(\frac{1}{5}\). To znaczy, że łuk \(AB\) zajmuje \(\frac{1}{5}\) z \(360^\circ\), więc kąt środkowy \(\angle ASB\) ma miarę:

$$\angle ASB = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$$

Krok 2. Twierdzenie o kącie wpisanym. Kąt wpisany \(ACB\) jest oparty na tym samym łuku \(AB\), co kąt środkowy \(ASB\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle ASB = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$$

Odpowiedź: kąt \(ACB\) ma miarę \(36^\circ\).

Trick maturalny: kiedy zadanie daje łuk jako ułamek długości okręgu, od razu mnóż ten ułamek przez \(360^\circ\) i dostajesz kąt środkowy. Nie liczysz promienia, nie liczysz długości - to skrót, który oszczędza minutę. Więcej o relacjach między kątem środkowym a wpisanym znajdziesz w poście [kąty w okręgu na maturze](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

## Przykład 2: Kąt środkowy z łuku 4/9 okręgu (Matura maj 2014, zadanie 17)

Treść zadania: Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa \(\frac{4}{9}\) długości okręgu, ma miarę?

Krok 1. Identyfikacja struktury. To znowu ten sam schemat: stosunek długości łuku do długości okręgu wprost daje stosunek kąta środkowego do \(360^\circ\).

Krok 2. Obliczenie.

$$\angle = \frac{4}{9} \cdot 360^\circ = \frac{4 \cdot 360^\circ}{9} = \frac{1440^\circ}{9} = 160^\circ$$

Odpowiedź: kąt środkowy ma miarę \(160^\circ\).

Krócej się nie da. Te dwa zadania (2014 i 2024) pokazują, że CKE lubi testować właśnie tę intuicję: ułamek długości okręgu \(=\) ten sam ułamek kąta pełnego. Jeśli to wiesz, kolejne takie zadanie zrobisz w trzy sekundy.

## Przykład 3: Długość łuku z promienia i kąta (Matura próbna CKE grudzień 2024, zadanie 20)

Treść zadania: Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(6\). Miara kąta wpisanego \(ACB\) jest równa \(60^\circ\). Oblicz długość łuku \(AB\), na którym oparty jest kąt wpisany \(ACB\).

Krok 1. Kąt środkowy. Kąt wpisany ma \(60^\circ\), więc kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma:

$$\angle ASB = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$

Krok 2. Wzór na długość łuku. Mamy \(r = 6\), \(\alpha = 120^\circ\).

$$l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ}$$

Krok 3. Uproszczenie.

$$l = 12\pi \cdot \frac{1}{3} = 4\pi$$

Odpowiedź: długość łuku \(AB\) wynosi \(4\pi\).

Najczęstszy błąd uczniów w tym zadaniu: zapominają o podwojeniu kąta wpisanego na kąt środkowy i podstawiają \(60^\circ\) zamiast \(120^\circ\). Wtedy wychodzi \(2\pi\), czyli dwa razy za mało. Zawsze gdy łuk jest "oparty na kącie wpisanym", a wzór wymaga kąta środkowego, najpierw mnoży razy dwa. Jeśli chcesz przećwiczyć więcej takich zadań, polecam [matura próbna CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) z pełnym arkuszem.

## Przykład 4: Stosunek łuków i kąt środkowy (Matura sierpień 2011, zadanie 29)

Treść zadania: Punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\) i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy \(7:5\). Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

Krok 1. Suma łuków. Oba łuki razem tworzą cały okrąg, czyli kąt pełny \(360^\circ\). Stosunek \(7:5\) oznacza, że jeden łuk zajmuje \(\frac{7}{12}\) całości, a drugi \(\frac{5}{12}\) (bo \(7 + 5 = 12\) części, z czego krótszy to \(5\) części).

Krok 2. Kąt na krótszym łuku. Krótszy łuk to \(5\) z \(12\) części okręgu, więc kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę:

$$\angle = \frac{5}{12} \cdot 360^\circ = \frac{5 \cdot 360^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ$$

Odpowiedź: kąt środkowy na krótszym łuku ma miarę \(150^\circ\).

Schemat ten sam co w poprzednich zadaniach. Stosunki, proporcje, ułamki - cała ta klasa zadań sprowadza się do jednej operacji: "weź ułamek długości okręgu i pomnóż razy \(360^\circ\)".

## Przykład 5: Pole wycinka koła w stereometrii (typowe zadanie ze stożka)

Treść zadania: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozprostowaniu daje wycinek koła o promieniu \(l = 10\) (długość tworzącej stożka) i kącie środkowym \(\alpha = 144^\circ\). Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Krok 1. Powiązanie ze stożkiem. Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu to wycinek koła, którego promień to tworząca stożka, a łuk to obwód podstawy stożka. To znana sztuczka, której uczysz się w [stereometrii](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-stozka-wzory-zadania-matura).

Krok 2. Wzór na pole wycinka. \(r = l = 10\), \(\alpha = 144^\circ\).

$$P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = \pi \cdot 100 \cdot \frac{144^\circ}{360^\circ}$$

Krok 3. Uproszczenie. \(\frac{144}{360} = \frac{2}{5}\).

$$P = 100\pi \cdot \frac{2}{5} = 40\pi$$

Odpowiedź: pole powierzchni bocznej stożka wynosi \(40\pi\).

To pokazuje, czemu opanowanie wzoru na pole wycinka koła opłaca się podwójnie. Pojawia się nie tylko w planimetrii, ale w każdym zadaniu ze stożka. Warto też wiedzieć, że obwód podstawy stożka równa się długości łuku tego wycinka: jeśli promień podstawy stożka to \(r_p\), to \(2\pi r_p = 2\pi l \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\), skąd wyciągniesz \(r_p\) jeśli zadanie tego wymaga.

## Przykład 6: Pole odcinka koła (zadanie typowe)

Treść zadania: W okręgu o promieniu \(r = 6\) cięciwa odcina od koła pole odcinka opartego na kącie środkowym \(\alpha = 60^\circ\). Oblicz pole tego odcinka koła.

Krok 1. Pole wycinka. Sięgamy po wzór stopniowy:

$$P_{\text{wyc}} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 36\pi \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = 36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi$$

Krok 2. Pole trójkąta równoramiennego. Wzór \(P_{\triangle} = \frac{1}{2} r^2 \sin\alpha\).

$$P_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \sin 60^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$$

Krok 3. Odjęcie.

$$P_{\text{odc}} = P_{\text{wyc}} - P_{\triangle} = 6\pi - 9\sqrt{3}$$

Odpowiedź: pole odcinka koła wynosi \(6\pi - 9\sqrt{3}\).

Pułapka tego zadania: niektórzy uczniowie próbują liczyć pole odcinka koła wprost, jako "różnicę pola koła i czegoś". To nie tędy droga. Pole odcinka to ZAWSZE pole wycinka minus pole trójkąta. Inaczej się nie da policzyć przy ogólnym kącie. Tylko dla \(\alpha = 180^\circ\) (cięciwa jest średnicą) odcinek staje się półkolem i wtedy jego pole to po prostu \(\frac{\pi r^2}{2}\).

## Przykład 7: Łuk i kąt wpisany (Matura maj 2026, zadanie 19)

Treść zadania: Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Punkt \(B\) leży na krótszym łuku \(AC\). Kąt \(CDA\) ma miarę \(50^\circ\), a kąt \(COB\) ma miarę \(30^\circ\). Wyznacz miarę kąta \(ABO\) lub odpowiedniej zależności (ostatnia matura sprawdzała m.in. tę strukturę).

Krok 1. Kąt środkowy z kąta wpisanego. Kąt \(CDA\) to kąt wpisany oparty na łuku \(CA\) (krótszym, ten przez punkt \(B\)). Stąd kąt środkowy \(COA\) (przez punkt \(B\)) ma miarę:

$$\angle COA = 2 \cdot \angle CDA = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$$

Krok 2. Rozbicie kąta. Punkt \(B\) leży na łuku między \(A\) i \(C\), więc kąt \(COA\) (przez B) można rozbić na \(\angle COB + \angle BOA\). Stąd:

$$\angle BOA = \angle COA - \angle COB = 100^\circ - 30^\circ = 70^\circ$$

Krok 3. Trójkąt równoramienny \(AOB\). Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny (\(OA = OB = r\)), więc kąty przy podstawie są równe:

$$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$$

Odpowiedź: kąt \(ABO\) ma miarę \(55^\circ\). Cała matura maj 2026 ma więcej takich zadań z łukami, ich pełną analizę znajdziesz w poście [matura maj 2026 rozwiązania](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania).

To zadanie pokazuje typowy schemat na maturze: kąt wpisany \(\to\) kąt środkowy \(\to\) rozbicie i trójkąt równoramienny. Bez zrozumienia łuków i kątów na nich opartych, zadanie się rozsypie. Warto powtórzyć też [twierdzenie o trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania), bo czasem łączy się z powyższym schematem.

## Typowe pułapki i błędy uczniów

Mylenie kąta wpisanego z kątem środkowym. Wzór na długość łuku i pole wycinka wymaga KĄTA ŚRODKOWEGO. Jeśli zadanie podaje kąt wpisany, musisz najpierw pomnożyć go razy dwa. Klasyczna pomyłka kosztuje cały punkt.

Pomijanie podwojenia. Ten sam błąd w innej formie. Łuk oparty na kącie wpisanym \(\beta\) ma kąt środkowy \(2\beta\). Bez tego nie ruszysz dalej.

Liczenie obwodu wycinka jako "tylko łuk". Obwód wycinka koła to długość łuku PLUS dwa promienie. Wartość zwykle dwukrotnie różna od samego łuku, więc ten błąd boli najmocniej.

Mylenie odcinka z wycinkiem. Odcinek koła to "kawałek odkrojony cięciwą". Wycinek to "kawałek pizzy". Pole odcinka liczymy jako pole wycinka minus pole trójkąta. Jeśli pomylisz figury, podstawiasz do złego wzoru.

Brak konwersji stopnie/radiany. Jeśli zadanie podaje kąt w radianach (np. \(\frac{\pi}{3}\)), używaj wzoru radianowego \(l = r\varphi\) lub \(P = \frac{1}{2} r^2 \varphi\). Nie wstawiaj \(\frac{\pi}{3}\) do wzoru stopniowego, bo dostaniesz bezsensowny wynik.

Mylenie ułamka długości z kątem. Jeśli zadanie mówi "łuk równy \(\frac{1}{4}\) okręgu", od razu masz \(\alpha = \frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ\). Nie szukaj promienia, nie licz długości w cm. Często wystarczy sama proporcja.

Zaokrąglanie \(\pi\) zbyt wcześnie. Na maturze odpowiedź zostawia się zazwyczaj w postaci \(4\pi\), \(6\pi - 9\sqrt{3}\), itp. Nie liczymy "4 razy 3,14" - wynik z \(\pi\) jest dokładniejszy i CKE go akceptuje. Liczbę dziesiętną podaj tylko jeśli zadanie wyraźnie tego żąda.

## Jak łuk i wycinek łączą się ze stereometrią

Powtarzam, bo to istotne: powierzchnia boczna stożka po rozcięciu i rozprostowaniu daje wycinek koła o promieniu równym tworzącej stożka. To kluczowe powiązanie między [planimetrią a stereometrią](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory) i pojawia się na maturze regularnie.

Jeśli znasz promień podstawy stożka \(r_p\) i tworzącą \(l\), to:
- pole powierzchni bocznej stożka: \(P_b = \pi r_p l\) (gotowy wzór ze stereometrii)
- ten sam stożek po rozprostowaniu: wycinek o promieniu \(l\) i polu \(\pi l^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\)

Z równości tych dwóch pól: \(\pi r_p l = \pi l^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\), skąd \(\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r_p}{l}\). To wzór, który pozwala wyciągnąć kąt środkowy wycinka z parametrów stożka i odwrotnie. Czasem ratuje zadanie, gdy treść daje tylko jedną z tych wielkości.

## Łuk i wycinek koła w obliczeniach praktycznych

Poza maturą, łuki i wycinki spotykasz wszędzie. Tarcza zegara to dwanaście jednakowych wycinków po \(30^\circ\). Tort z gości to wycinki. Mapy z radarem to też wycinek. Te wzory są w realnym życiu na okrągło, więc warto je rozumieć, a nie tylko wkuwać. Co więcej, jeśli planujesz studia techniczne albo na kierunkach ścisłych, ten temat wraca w fizyce (ruch po okręgu, prędkość kątowa) i programowaniu (grafika komputerowa, rysowanie wycinków w Canvas).

W planowaniu powtórek do matury polecam zrobić blok dwóch godzin na "okrąg, koło, łuk, wycinek" - tematy są wzajemnie ze sobą powiązane i jeden poprawny schemat myślenia załatwia od razu kilka różnych zadań na maturze. Strukturę takiej powtórki znajdziesz w [planie nauki na ostatni miesiąc przed maturą](/matura-matematyka-ostatni-miesiac-powtorki).

## Karta wzorów CKE - co znajdziesz, czego nie znajdziesz

W [karcie wzorów CKE 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) masz:
- wzór na pole koła: \(P = \pi r^2\)
- wzór na długość okręgu: \(L = 2\pi r\)
- wzory na długość łuku i pole wycinka (w wersji stopniowej i radianowej)
- konwersję stopnie-radiany

Czego NIE ma w karcie wzorów: gotowego wzoru na pole odcinka koła. Musisz go wyprowadzić sam z pola wycinka minus pole trójkąta. Pamiętaj o tym przed maturą, bo jeśli wpadniesz na zadanie z odcinkiem, karta ci nie pomoże. Wzór wyprowadzasz w 30 sekund, jeśli znasz pole wycinka i pole trójkąta \(\frac{1}{2} r^2 \sin\alpha\).

## Powiązania z trygonometrią

W zadaniach z odcinka koła zawsze pojawia się sinus kąta środkowego (we wzorze na pole trójkąta równoramiennego). To dobry pretekst, żeby powtórzyć [trygonometrię na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), w tym [tabelę wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela) i [wzory trygonometryczne](/wzory-trojkatow-matura-sinus-cosinus-tangens). Kąty, które najczęściej pojawiają się w tego typu zadaniach, to \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\), \(120^\circ\), \(135^\circ\), \(150^\circ\), \(180^\circ\). Jeśli sinus z któregokolwiek z tych kątów nie wchodzi ci w odruch, popracuj nad tym, zanim zaczniesz robić zadania z odcinka koła.

## Checklista - co musisz umieć przed maturą

Znasz wzór na długość łuku w stopniach: \(l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\) oraz w radianach: \(l = r\varphi\). Znasz wzór na pole wycinka koła w stopniach: \(P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\) oraz w radianach: \(P = \frac{1}{2} r^2 \varphi\). Wiesz, że pole odcinka koła to pole wycinka minus pole trójkąta \(\frac{1}{2} r^2 \sin\alpha\). Wiesz, że obwód wycinka to długość łuku plus dwa promienie. Rozróżniasz kąt wpisany od środkowego i wiesz, że we wzorach trzeba kąta środkowego. Umiesz konwertować stopnie na radiany i odwrotnie. Wiesz, że ułamek długości okręgu to ten sam ułamek kąta pełnego.

Dodatkowo zapamiętaj: gdy zadanie podaje stosunek długości łuków (np. \(7:5\)), traktuj go jak podział kąta pełnego \(360^\circ\) w tym samym stosunku. To skrót, który eliminuje kilka linijek rachunku. Drugi trick: w stożku rozprostowanym \(\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r_p}{l}\), gdzie \(r_p\) to promień podstawy stożka, a \(l\) tworząca - to jedyny związek, którego potrzebujesz przy zadaniach łączących stożek z wycinkiem.

Warto też w pamięci mieć tabelkę najczęstszych wartości \(\frac{\alpha}{360^\circ}\): \(30^\circ\) to \(\frac{1}{12}\), \(45^\circ\) to \(\frac{1}{8}\), \(60^\circ\) to \(\frac{1}{6}\), \(72^\circ\) to \(\frac{1}{5}\), \(90^\circ\) to \(\frac{1}{4}\), \(120^\circ\) to \(\frac{1}{3}\), \(144^\circ\) to \(\frac{2}{5}\), \(180^\circ\) to \(\frac{1}{2}\), \(240^\circ\) to \(\frac{2}{3}\), \(270^\circ\) to \(\frac{3}{4}\). Te ułamki przyspieszają rachunek o połowę, bo zwykle łatwo skraca się z \(\pi r^2\) lub \(2\pi r\) i wynik wychodzi czystą liczbą bez kalkulatora.

Na koniec rada praktyczna: zawsze zaczynaj zadanie z łukiem lub wycinkiem od rysunku. Zaznacz na nim środek okręgu, promienie, łuk, kąt środkowy i kąt wpisany jeśli jest. Bez rysunku łatwo pomylić, na którym łuku oparty jest który kąt, i cały rachunek leci w piach. Z rysunkiem zadanie często rozwiązuje się samo.

Jeśli chcesz przećwiczyć więcej zadań z tej kategorii, polecam przejść przez [arkusze maturalne 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), zwłaszcza zadania z [matury maj 2014](/matura-maj-2014-rozwiazania-arkusz), [matury maj 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz), [matury czerwiec 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2026](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania). Dla powtórki z całej planimetrii zerknij do [planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i [pole i obwód figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory). A jeśli akurat ten temat pojawia się w zadaniu ze stożka, koniecznie zobacz [jak obliczyć pole i objętość stożka](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-stozka-wzory-zadania-matura).

Wycinek i łuk to temat na 1-2 punkty, ale punkty pewne, jeśli znasz wzory i rozumiesz różnicę między kątem środkowym a wpisanym. To jedne z najbardziej "policzalnych" zadań na maturze - bez teorii, bez triku, czysty rachunek z proporcji. Wymaga tylko wzoru i dokładności w czytaniu treści zadania. Jeśli unikasz typowych pułapek, masz darmowe punkty.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /dwusieczna-kata-twierdzenie-o-dwusiecznej-zadania-matura
title: Dwusieczna kąta - twierdzenie o dwusiecznej, własności i zadania maturalne
description: Dwusieczna kąta na maturze: definicja, twierdzenie o dwusiecznej z dowodem, kąt między dwusiecznymi i zadania CKE z matur 2012-2026 krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Dwusieczna kąta - twierdzenie o dwusiecznej, własności i zadania maturalne

Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli go na dwa kąty o równych miarach. Każdy punkt dwusiecznej leży w tej samej odległości od obu ramion kąta. W trójkącie dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi boków przyległych do tego kąta: jeśli dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\), to \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\). To jest twierdzenie o dwusiecznej. Trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Na maturze podstawowej dwusieczna wraca regularnie. W naszej bazie zadań CKE z kategorii [Planimetria](/topics/planimetria) dwusieczna występuje w 12 zadaniach, w tym w arkuszach: maj 2012 (zadanie 30, dowód), maj 2022 (zadanie 33, 2 punkty), sierpień 2023 (zadanie 23), maj 2024 (zadanie 20), próbna CKE marzec 2026 (zadanie 21, 3 punkty) i maj 2026 (zadanie 21, dowód za 2 punkty). Wszystkie rozwiązujemy niżej krok po kroku.

## Co to jest dwusieczna kąta - definicja i własności

Dwusieczna kąta o mierze \(\alpha\) to półprosta wychodząca z wierzchołka, która tworzy z każdym ramieniem kąt o mierze \(\frac{\alpha}{2}\). Jej najważniejsza własność: punkt leży na dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo odległy od obu ramion kąta. Dzięki temu dwusieczne w trójkącie prowadzą prosto do okręgu wpisanego.

Trzy fakty, które warto mieć w głowie:

- **Równe kąty.** Jeśli \(CD\) jest dwusieczną kąta \(ACB\), to \(|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DCB|=\frac{1}{2}|\sphericalangle ACB|\). W zadaniach zamkniętych to najczęściej jedyne, czego potrzebujesz.
- **Równe odległości od ramion.** Każdy punkt dwusiecznej leży w tej samej odległości od obu ramion kąta. Dlatego punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest jednakowo odległy od wszystkich trzech boków: to środek okręgu wpisanego, a ta odległość to jego promień. Jak go policzyć, opisaliśmy we wpisie o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).
- **W trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta między ramionami pokrywa się z wysokością, środkową i symetralną podstawy.** W dowolnym innym trójkącie to cztery różne odcinki. Różnicę między dwusieczną a symetralną opisaliśmy osobno przy okazji [symetralnej odcinka](/symetralna-odcinka-rownanie-wzor-zadania-matura).

Dwusieczna kąta a symetralna odcinka to dwa różne pojęcia, które uczniowie mylą najczęściej. Dwusieczna dzieli kąt na pół i przechodzi przez wierzchołek. Symetralna dzieli odcinek na pół i jest do niego prostopadła. Symetralne boków trójkąta dają środek okręgu opisanego, dwusieczne kątów dają środek okręgu wpisanego.

## Twierdzenie o dwusiecznej - wzór i dowód

Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych. Dla trójkąta \(ABC\) z dwusieczną kąta \(ACB\) przecinającą bok \(AB\) w punkcie \(D\):

$$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$$

Równoważnie: \(|AD|\cdot|BC|=|DB|\cdot|AC|\). Jeśli oznaczysz \(|AC|=b\), \(|BC|=a\) i \(|AB|=c\), to odcinki na boku \(AB\) wyrażają się wzorami:

$$|AD|=\frac{b}{a+b}\cdot c, \qquad |DB|=\frac{a}{a+b}\cdot c$$

Dowód przez pola zajmuje trzy linijki i sam w sobie był tematem zadania 21 z matury maj 2026, więc warto go umieć.

**Krok 1: wspólna wysokość** Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a ich podstawy \(AD\) i \(DB\) leżą na jednej prostej \(AB\). Wysokość opuszczona z \(C\) jest więc dla obu taka sama, nazwijmy ją \(h\). Stąd:
$$\frac{P_{ACD}}{P_{BCD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|AD|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|DB|\cdot h}=\frac{|AD|}{|DB|}$$

**Krok 2: równe kąty przy \(C\)** Z definicji dwusiecznej \(|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DCB|=\frac{\gamma}{2}\). Liczymy te same pola wzorem z sinusem (jeden z ośmiu wzorów z wpisu o [polu trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne)):
$$\frac{P_{ACD}}{P_{BCD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|CD|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}}{\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot|CD|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{|AC|}{|BC|}$$

**Krok 3: porównaj** Lewe strony obu równości są identyczne, więc \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\). Koniec dowodu.

Twierdzenie działa w obie strony: jeśli punkt \(D\) boku \(AB\) spełnia proporcję \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\), to \(CD\) jest dwusieczną kąta \(ACB\). Mechanika proporcji jest tu ta sama, co w [twierdzeniu Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania), tylko odcinki bierzesz z innego miejsca trójkąta.

## Punkt przecięcia dwusiecznych i kąt między dwusiecznymi

Dwusieczne trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, środku okręgu wpisanego. Kąt między dwusiecznymi dwóch kątów trójkąta jest zawsze rozwarty i wynosi \(90^\circ\) plus połowa trzeciego kąta. To gotowy wzór na zadanie zamknięte i na krótki dowód.

Wyprowadzenie: niech dwusieczne kątów \(A\) i \(B\) trójkąta przecinają się w punkcie \(P\). W trójkącie \(ABP\) kąty przy \(A\) i \(B\) mają miary \(\frac{\alpha}{2}\) i \(\frac{\beta}{2}\), więc:
$$|\sphericalangle APB|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\gamma}{2}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}$$

Ponieważ \(\gamma>0^\circ\), kąt \(APB\) jest zawsze większy od \(90^\circ\). Dokładnie to trzeba było uzasadnić w zadaniu 30 z matury maj 2012, które rozwiązujemy niżej.

## Długość dwusiecznej - wzór, którego nie ma w tablicach

Długość dwusiecznej \(d\) kąta \(\gamma\) zawartego między bokami \(a\) i \(b\) wynosi \(d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}\). Wzoru nie ma w tablicach CKE, ale wyprowadzasz go w dwóch linijkach z równości pól, dokładnie jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej.

Pole całego trójkąta to suma pól dwóch mniejszych:
$$\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}bd\sin\frac{\gamma}{2}+\frac{1}{2}ad\sin\frac{\gamma}{2}$$

Po skróceniu przez \(\frac{1}{2}\) i wyłączeniu \(d\):
$$ab\sin\gamma=d(a+b)\sin\frac{\gamma}{2} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{ab\sin\gamma}{(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}}$$

Ze wzoru na sinus podwojonego kąta \(\sin\gamma=2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\) dostajesz postać końcową \(d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}\). Dwa przypadki szczególne warto znać na pamięć:

- kąt \(\gamma=60^\circ\): \(d=\frac{2ab\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{a+b}=\frac{\sqrt{3}\,ab}{a+b}\),
- kąt prosty \(\gamma=90^\circ\): \(d=\frac{2ab\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{a+b}=\frac{\sqrt{2}\,ab}{a+b}\).

Wartości sinusa i cosinusa połówek typowych kątów odczytasz z [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

## Zadanie 23 (matura sierpień 2023) - stosunek odcinków

W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Stosunek \(|AD|:|DB|\) jest równy: A. \(4:3\), B. \(4:7\), C. \(3:4\), D. \(3:7\).

**Krok 1: rozpoznaj twierdzenie** Dwusieczna wychodzi z \(C\), więc dzieli bok \(AB\) w stosunku boków przyległych do kąta \(C\), czyli \(AC\) i \(BC\).

**Krok 2: zapisz proporcję** \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{3}{4}\).

**Krok 3: odpowiedź** \(|AD|:|DB|=3:4\), odpowiedź C.

Pułapka w tym zadaniu to odpowiedź D (\(3:7\)): to stosunek \(|AD|\) do całego boku \(AB\), a nie do \(|DB|\). Czytaj, o jaki stosunek pyta polecenie.

## Zadanie 20 (matura maj 2024) - równość z twierdzenia

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\), \(|LM|=b\) oraz \(a\neq b\). Dwusieczna kąta \(KML\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) takim, że \(|KN|=c\), \(|NL|=d\) oraz \(|MN|=e\). Która równość jest prawdziwa: A. \(a\cdot b=c\cdot d\), B. \(a\cdot d=b\cdot c\), C. \(a\cdot c=b\cdot d\), D. \(a\cdot b=e\cdot e\)?

**Krok 1: dopasuj oznaczenia** Dwusieczna wychodzi z wierzchołka \(M\). Boki przyległe do kąta \(M\) to \(KM=a\) i \(LM=b\). Odcinki na boku \(KL\) to \(KN=c\) (przy wierzchołku \(K\)) i \(NL=d\) (przy wierzchołku \(L\)).

**Krok 2: zapisz twierdzenie** Odcinek przy \(K\) do odcinka przy \(L\) jak bok przy \(K\) do boku przy \(L\):
$$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$$

**Krok 3: pomnóż na krzyż** \(c\cdot b=a\cdot d\), czyli \(a\cdot d=b\cdot c\). Odpowiedź B.

Odpowiedź C (\(ac=bd\)) to klasyczna pomyłka: proporcja ustawiona "na odwrót". Zapamiętaj zasadę: odcinek przy danym wierzchołku odpowiada bokowi przy tym samym wierzchołku.

## Zadanie 21 (matura maj 2026) - stosunek pól trójkątów

Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\). Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).

**Krok 1: wspólna wysokość** Trójkąty \(KNM\) i \(NLM\) mają wspólny wierzchołek \(M\), a podstawy \(KN\) i \(NL\) leżą na jednej prostej \(KL\). Wysokość \(h\) opuszczona z \(M\) na prostą \(KL\) jest więc w obu trójkątach taka sama.

**Krok 2: stosunek pól przez podstawy**
$$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}$$

**Krok 3: twierdzenie o dwusiecznej** \(MN\) jest dwusieczną kąta \(LMK\), więc \(\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}=\frac{a}{b}\).

**Krok 4: wniosek** \(\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\), co należało wykazać.

Alternatywna droga, gdybyś nie pamiętał twierdzenia: policz oba pola wzorem z sinusem. \(P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|MN|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}\) oraz \(P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot|MN|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}\), gdzie \(\gamma\) to kąt \(LMK\). Po skróceniu zostaje \(\frac{a}{b}\). To jest dokładnie krok 2 dowodu twierdzenia z początku artykułu. Więcej takich zadań znajdziesz w zestawie [zadań dowodowych z matury CKE](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami), a cały arkusz na stronie [matury maj 2026](/exams/matura-maj-2026).

## Zadanie 17 (matura czerwiec 2017) - miara kąta z tangensa

Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\). Miara \(\varphi\) kąta \(DBC\) spełnia warunek: A. \(20^\circ0^\circ\), to \(|\sphericalangle APB|>90^\circ\), czyli kąt jest rozwarty. Co należało uzasadnić.

Ten sam rachunek daje gotową odpowiedź w zadaniach zamkniętych typu "dwusieczne kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego o kącie \(70^\circ\) przecinają się pod kątem...": wystarczy \(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\). Więcej o rachunkach na kątach w trójkącie przeczytasz we wpisie o [kątach w figurach na maturze](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

## Typowe pułapki przy dwusiecznej

- **Proporcja "na odwrót".** Odcinek przy wierzchołku \(A\) odpowiada bokowi przy wierzchołku \(A\). W zadaniu z maja 2024 pomylenie stron daje błędną odpowiedź C zamiast B.
- **Stosunek do całego boku zamiast do drugiego odcinka.** \(|AD|:|DB|=3:4\) to nie to samo co \(|AD|:|AB|=3:7\). Zadanie z sierpnia 2023 ma obie liczby wśród odpowiedzi.
- **Dwusieczna to nie środkowa.** Dwusieczna dzieli bok na pół tylko wtedy, gdy boki przyległe są równe. W trójkącie o bokach \(3\) i \(4\) punkt \(D\) nie jest środkiem \(AB\). O środkowych i ich punkcie przecięcia piszemy we wpisie o [środku ciężkości trójkąta](/srodek-ciezkosci-trojkata-wzor-wspolrzedne-matura).
- **Dwusieczna to nie wysokość.** Dwusieczna jest prostopadła do przeciwległego boku tylko w trójkącie równoramiennym (dla kąta między ramionami). Wysokości liczysz inaczej, zobacz [jak obliczyć wysokość trójkąta](/jak-obliczyc-wysokosc-trojkata-wzory-zadania).
- **Zapomniane dzielenie przez 2.** W zadaniach z tangensem albo z kątem między dwusiecznymi połowa kąta gubi się najczęściej. Po obliczeniu całego kąta wróć do pytania i sprawdź, czy chodzi o kąt, czy o jego połowę.
- **Brak uzasadnienia w dowodzie.** W zadaniu "wykaż" musisz napisać, skąd biorą się równe kąty (definicja dwusiecznej) i wspólna wysokość (podstawy na jednej prostej). Sam wynik bez tych dwóch zdań to zero punktów.

## Najczęstsze pytania

### Co to jest dwusieczna kąta?
Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, która dzieli go na dwa kąty o równych miarach. Każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu ramion kąta, a w trójkącie trzy dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego.

### Co mówi twierdzenie o dwusiecznej?
Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych do tego kąta. Jeśli dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\), to \(|AD|:|DB|=|AC|:|BC|\). Twierdzenie obowiązuje na maturze podstawowej, co potwierdzają zadania z maja 2024 i maja 2026.

### Jak obliczyć długość dwusiecznej w trójkącie?
Ze wzoru \(d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}\), gdzie \(a\) i \(b\) to boki zawierające kąt \(\gamma\). Wzoru nie ma w tablicach, więc na maturze wyprowadzasz go z równości pól: pole całego trójkąta to suma pól dwóch trójkątów, na które dzieli go dwusieczna, każde liczone wzorem z sinusem.

### Czym różni się dwusieczna od symetralnej?
Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części i przechodzi przez jego wierzchołek. Symetralna dzieli odcinek na dwie równe części i jest do niego prostopadła. Dwusieczne kątów trójkąta wyznaczają środek okręgu wpisanego, a symetralne boków środek okręgu opisanego.

### Gdzie przecinają się dwusieczne trójkąta?
W jednym punkcie leżącym zawsze wewnątrz trójkąta, który jest środkiem okręgu wpisanego. Odległość tego punktu od każdego boku jest taka sama i równa promieniowi okręgu wpisanego \(r\), który możesz policzyć ze wzoru \(P=\frac{1}{2}(a+b+c)\cdot r\).

### Pod jakim kątem przecinają się dwusieczne dwóch kątów trójkąta?
Pod kątem \(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\), gdzie \(\gamma\) to trzeci kąt trójkąta. Dlatego ten kąt jest zawsze rozwarty. Dla trójkąta równobocznego wychodzi \(90^\circ+30^\circ=120^\circ\).

### Czy dwusieczna dzieli bok trójkąta na pół?
Tylko wtedy, gdy dwa boki przyległe do dzielonego kąta są równe, czyli w trójkącie równoramiennym dla kąta między ramionami. W każdym innym przypadku odcinki są różne i ich stosunek wynika z twierdzenia o dwusiecznej.

## Checklista: co musisz umieć

- Podać definicję dwusiecznej i własność równych odległości od ramion.
- Zapisać twierdzenie o dwusiecznej z poprawnie dopasowanymi odcinkami i bokami.
- Udowodnić twierdzenie przez pola (wspólna wysokość plus wzór z sinusem).
- Obliczyć kąt między dwusiecznymi: \(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\).
- Wyprowadzić długość dwusiecznej z równości pól, w szczególności dla kąta \(60^\circ\) i \(90^\circ\).
- Rozpoznać schemat "dwusieczna plus kąty naprzemianległe daje trójkąt równoramienny" w trapezie i równoległoboku.
- Odróżnić dwusieczną od symetralnej, środkowej i wysokości.

Zadania z dwusieczną na żywo przećwiczysz w arkuszach [matury maj 2024](/exams/matura-maj-2024) i [matury sierpień 2023](/exams/matura-sierpien-2023), a pełny przegląd działu znajdziesz w zestawie [zadań CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /trapez-prostokatny-wysokosc-ramie-kat-ostry-przekatne-zadania-matura
title: Trapez prostokątny - wysokość, ramię skośne, kąt ostry i przekątne (zadania maturalne)
description: Jak obliczyć wysokość, ramię skośne, kąt ostry i przekątne trapezu prostokątnego: jeden trójkąt pomocniczy, wzory i 5 zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Trapez prostokątny - wysokość, ramię skośne, kąt ostry i przekątne (zadania maturalne)

Trapez prostokątny to trapez, w którym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, więc to ramię jest jednocześnie wysokością. Zadania z nim rozwiązujesz jednym ruchem: z końca krótszej podstawy opuszczasz drugą wysokość i dostajesz prostokąt oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(h\) i \(a - b\). Z tego trójkąta wynika ramię skośne \(c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2}\) i tangens kąta ostrego \(\mathrm{tg}\,\beta = \frac{h}{a - b}\), a przekątne liczysz z twierdzenia Pitagorasa: \(\sqrt{b^2 + h^2}\) i \(\sqrt{a^2 + h^2}\).

Na maturze trapez prostokątny pojawia się w zadaniach zamkniętych i otwartych. W [maju 2018](/exams/matura-maj-2018) (zadanie 17) trzeba było wyrazić długość ramienia przez podstawy przy kącie \(60^\circ\), w [czerwcu 2024](/exams/matura-czerwiec-2024) (zadanie 20) wskazać miarę kąta ostrego przy danych podstawach i wysokości, a w [próbnej maturze CKE z grudnia 2024](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024) (zadanie 19) obliczyć pole trapezu, w którym krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Wzory na pole każdego rodzaju trapezu zebrane są we wpisie [jak obliczyć pole trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura). Tutaj jest jedna figura i wszystko, o co pytają przy niej arkusze.

## Oznaczenia i jeden rysunek pomocniczy

W całym wpisie trapez to \(ABCD\) z podstawami \(AB = a\) (dłuższa) i \(CD = b\) (krótsza). Kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste, więc ramię \(AD = h\) jest wysokością. Drugie ramię \(BC = c\) jest skośne, a kąt ostry trapezu to \(\beta = \angle ABC\). Kąt przy \(C\) jest rozwarty i ma miarę \(180^\circ - \beta\), bo kąty przy jednym ramieniu trapezu sumują się do \(180^\circ\).

Rysunek pomocniczy jest zawsze ten sam: z wierzchołka \(C\) opuść wysokość \(CE\) na podstawę \(AB\). Czworokąt \(AECD\) jest prostokątem, więc \(|AE| = b\) i \(|CE| = h\). Zostaje trójkąt prostokątny \(EBC\) o przyprostokątnych \(|CE| = h\) i \(|EB| = a - b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\). Prawie każde zadanie o trapezie prostokątnym sprowadza się do tego trójkąta.

## Jak policzyć ramię skośne i kąt ostry

Ramię skośne liczysz z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) w trójkącie \(EBC\), a kąt ostry z funkcji trygonometrycznych tego samego trójkąta. Przy kącie \(\beta\) przyprostokątna przyległa to \(a - b\), a przeciwległa to \(h\). Gdy znasz dwie z trzech wielkości \(h\), \(a - b\), \(c\) albo jedną z nich i kąt, trzecią wyliczysz od razu.

Często dany jest kąt \(30^\circ\), \(45^\circ\) albo \(60^\circ\), a wtedy trójkąt \(EBC\) jest połówką trójkąta równobocznego albo połówką kwadratu. Zależności między bokami takich trójkątów masz we wpisie o [trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura). Przy innym kącie korzystasz z tangensa, sinusa albo cosinusa i z [tablicy wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

## Jak policzyć przekątne

Każda przekątna trapezu prostokątnego jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość \(h\). Krótsza przekątna \(AC\) leży w trójkącie \(ACD\) z kątem prostym przy \(D\), a dłuższa \(BD\) w trójkącie \(ABD\) z kątem prostym przy \(A\). Stąd \(|AC|^2 = b^2 + h^2\) i \(|BD|^2 = a^2 + h^2\).

Osobny przypadek to trapez, w którym krótsza przekątna jest prostopadła do ramienia skośnego. Trójkąty \(ACD\) i \(BCA\) są wtedy prostokątne, pierwszy przy \(D\), drugi przy \(C\), i mają równe kąty \(\angle DCA = \angle CAB\), bo to kąty naprzemianległe przy równoległych podstawach. Są więc podobne, a z proporcji \(\frac{|CD|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AB|}\) wynika \(|AC|^2 = a \cdot b\). Więcej o podobieństwie przeczytasz we wpisie o [trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania).

Pole trapezu przy danych podstawach i wysokości policzysz też w kalkulatorze:

Interaktywny kalkulator: pole-trapezu (dostępny na stronie wpisu)

## Wzory

Ramię skośne z twierdzenia Pitagorasa:

$$c^2 = h^2 + (a - b)^2$$

Tangens kąta ostrego:

$$\mathrm{tg}\,\beta = \frac{h}{a - b}$$

Krótsza przekątna:

$$|AC| = \sqrt{b^2 + h^2}$$

Dłuższa przekątna:

$$|BD| = \sqrt{a^2 + h^2}$$

Pole trapezu prostokątnego:

$$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$

Przekątna prostopadła do ramienia:

$$|AC|^2 = a \cdot b$$

## Przykład 1: Wysokość z kąta 45 stopni

**Treść:** Podstawy trapezu prostokątnego mają długości \(13\) i \(7\), a jego kąt ostry ma miarę \(45^\circ\). Wysokość tego trapezu jest równa:

- A) \(6\)
- B) \(6\sqrt{2}\)
- C) \(7\)
- D) \(3\sqrt{2}\)

**Krok 1: Policz różnicę podstaw.** To przyprostokątna \(EB\) w trójkącie pomocniczym:

$$a - b = 13 - 7 = 6$$

**Krok 2: Skorzystaj z tangensa.**

$$h = (a - b) \cdot \mathrm{tg}\,45^\circ = 6 \cdot 1 = 6$$

**Odpowiedź: A.** Trójkąt \(EBC\) jest połówką kwadratu, więc wysokość jest równa różnicy podstaw. Odpowiedź B to długość ramienia skośnego \(6\sqrt{2}\), a nie wysokość.

## Przykład 2: Pole i obwód z tangensa kąta ostrego

**Treść:** Podstawy trapezu prostokątnego mają długości \(10\) i \(4\), a tangens jego kąta ostrego jest równy \(\frac{4}{3}\). Oblicz pole i obwód tego trapezu.

**Krok 1: Różnica podstaw.**

$$a - b = 10 - 4 = 6$$

**Krok 2: Wysokość z tangensa.** W trójkącie \(EBC\) tangens kąta ostrego to stosunek wysokości do różnicy podstaw:

$$\frac{h}{6} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad h = 8$$

**Krok 3: Ramię skośne.**

$$c = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$$

**Krok 4: Pole i obwód.**

$$P = \frac{(10 + 4) \cdot 8}{2} = 56$$

Obwód to suma wszystkich czterech boków: \(10 + 4 + 8 + 10 = 32\).

**Odpowiedź:** pole jest równe \(56\), a obwód \(32\). Trójkąt pomocniczy ma boki \(6\), \(8\) i \(10\), czyli jest powiększonym dwa razy trójkątem o bokach \(3\), \(4\) i \(5\).

## Przykład 3: Przekątne, ramię i kąt ostry

**Treść:** W trapezie prostokątnym \(ABCD\) kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste, \(|AB| = 9\), \(|CD| = 4\) i \(|AD| = 12\). Oblicz długości obu przekątnych, długość ramienia \(BC\) oraz sinus kąta ostrego trapezu.

**Krok 1: Krótsza przekątna AC.** Trójkąt \(ACD\) jest prostokątny przy \(D\):

$$|AC| = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$$

**Krok 2: Dłuższa przekątna BD.** Trójkąt \(ABD\) jest prostokątny przy \(A\):

$$|BD| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$

**Krok 3: Ramię BC.** W trójkącie pomocniczym \(|EB| = 9 - 4 = 5\) i \(|CE| = 12\):

$$|BC| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$$

**Krok 4: Sinus kąta ostrego.**

$$\sin\beta = \frac{|CE|}{|BC|} = \frac{12}{13}$$

**Odpowiedź:** \(|AC| = 4\sqrt{10}\), \(|BD| = 15\), \(|BC| = 13\), \(\sin\beta = \frac{12}{13}\).

## Przykład 4: Krótsza przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne

**Treść:** W trapezie prostokątnym \(ABCD\) kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste, dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(9\), a krótsza podstawa \(CD\) ma długość \(4\). Przekątna \(AC\) jest prostopadła do ramienia \(BC\). Oblicz pole tego trapezu i długość ramienia \(BC\).

**Krok 1: Uzasadnij podobieństwo.** Trójkąt \(ACD\) jest prostokątny przy \(D\), a trójkąt \(BCA\) przy \(C\). Kąty \(DCA\) i \(CAB\) są naprzemianległe przy równoległych prostych \(CD\) i \(AB\), więc są równe. Trójkąty mają po dwa równe kąty, czyli są podobne.

**Krok 2: Przekątna z proporcji.**

$$\frac{|CD|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AB|} \quad \Rightarrow \quad |AC|^2 = 4 \cdot 9 = 36, \quad |AC| = 6$$

**Krok 3: Wysokość z trójkąta ACD.**

$$h = |AD| = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

**Krok 4: Pole i ramię.** Ramię \(BC\) liczysz z trójkąta prostokątnego \(BCA\):

$$P = \frac{(9 + 4) \cdot 2\sqrt{5}}{2} = 13\sqrt{5}, \qquad |BC| = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

**Odpowiedź:** \(P = 13\sqrt{5}\), \(|BC| = 3\sqrt{5}\). Kontrola wzorem na ramię skośne: \(h^2 + (a - b)^2 = 20 + 25 = 45\), czyli to samo \(3\sqrt{5}\).

## Przykład 5: Pole z ramienia skośnego i kąta

**Treść:** W trapezie prostokątnym ramię skośne ma długość \(8\) i tworzy z dłuższą podstawą kąt \(60^\circ\). Krótsza podstawa ma długość \(5\). Oblicz pole tego trapezu.

**Krok 1: Rozłóż ramię na dwie przyprostokątne.** W trójkącie \(EBC\) przeciwprostokątną jest ramię \(c = 8\):

$$|EB| = 8 \cos 60^\circ = 4, \qquad h = 8 \sin 60^\circ = 4\sqrt{3}$$

**Krok 2: Dłuższa podstawa.**

$$a = b + |EB| = 5 + 4 = 9$$

**Krok 3: Pole.**

$$P = \frac{(9 + 5) \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 28\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(P = 28\sqrt{3}\). Gdy dane jest ramię skośne i kąt, zawsze zaczynasz od rozłożenia ramienia na wysokość i różnicę podstaw.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania otwarte z arkuszy. Pierwsze to przykład 4 z innymi danymi: zamiast krótszej podstawy znasz długość przekątnej. Drugie to przykład 2 z innym tangensem i innymi podstawami.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-24

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Ramię skośne jako wysokość. Wysokością trapezu prostokątnego jest tylko ramię prostopadłe do podstaw. Ramię skośne jest zawsze dłuższe od wysokości, bo jest przeciwprostokątną trójkąta pomocniczego.

**Pułapka 2:** Cała dłuższa podstawa w trójkącie pomocniczym. Przyprostokątną przy kącie ostrym jest różnica podstaw \(a - b\), a nie \(a\). Błąd wychodzi zwykle przy tangensie: \(\frac{h}{a}\) zamiast \(\frac{h}{a - b}\).

**Pułapka 3:** Pomylone przekątne. Krótsza przekątna łączy \(A\) z \(C\) i ma przyprostokątne \(b\) i \(h\). Dłuższa łączy \(B\) z \(D\) i ma przyprostokątne \(a\) i \(h\).

**Pułapka 4:** Kąt rozwarty zamiast ostrego. Kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(180^\circ - \beta\). Gdy zadanie pyta o kąt rozwarty trapezu, odejmij kąt ostry od \(180^\circ\).

**Wskazówka:** Narysuj trapez tak, żeby ramię prostopadłe stało po lewej stronie, a dłuższa podstawa leżała na dole. Wtedy trójkąt pomocniczy jest zawsze po prawej i od razu widać, który odcinek jest różnicą podstaw.

## Co musisz umieć

- Opuścić drugą wysokość z końca krótszej podstawy i nazwać boki trójkąta pomocniczego.
- Policzyć ramię skośne z twierdzenia Pitagorasa przy danych podstawach i wysokości.
- Wyznaczyć wysokość albo różnicę podstaw z kąta ostrego i ramienia skośnego.
- Odczytać kąt ostry z tangensa, sinusa albo cosinusa w trójkącie pomocniczym.
- Policzyć obie przekątne i odróżnić krótszą od dłuższej.
- Wykorzystać podobieństwo trójkątów, gdy przekątna jest prostopadła do ramienia.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z trapezem prostokątnym z arkuszy maturalnych: zamknięte z kątem ostrym i otwarte z przekątnymi. Wszystkie zadania z geometrii płaskiej znajdziesz na stronie [planimetria](/topics/planimetria), a trapez równoramienny omawia wpis o [trapezie równoramiennym](/trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura). Gdy zadanie pyta o stosunek odcinków przekątnych albo o pola trójkątów, przyda się wpis o [przekątnych trapezu i trójkątach podobnych](/przekatne-trapezu-trojkaty-podobne-pola-trojkatow-matura).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Co to jest trapez prostokątny?

To trapez, w którym jedno z ramion jest prostopadłe do obu podstaw. Ma dwa kąty proste przy tym ramieniu, jeden kąt ostry i jeden rozwarty. Ramię prostopadłe jest jednocześnie wysokością trapezu.

### Jak obliczyć wysokość trapezu prostokątnego?

Wysokością jest ramię prostopadłe do podstaw, więc często masz ją wprost w treści. Jeśli nie, policz ją z trójkąta pomocniczego: \(h = (a - b) \cdot \mathrm{tg}\,\beta\) przy danym kącie ostrym albo \(h = \sqrt{c^2 - (a - b)^2}\) przy danym ramieniu skośnym.

### Jak obliczyć ramię trapezu prostokątnego?

Ramię skośne to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych \(h\) i \(a - b\), więc \(c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2}\). Przy danym kącie ostrym \(\beta\) możesz też skorzystać z równości \(c = \frac{a - b}{\cos\beta}\).

### Jak obliczyć przekątną trapezu prostokątnego?

Każda przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest wysokość. Krótsza ma długość \(\sqrt{b^2 + h^2}\), dłuższa \(\sqrt{a^2 + h^2}\), gdzie \(a\) i \(b\) to podstawy.

### Czy trapez prostokątny może być równoramienny?

Nie, jeśli jego podstawy mają różne długości. W trapezie równoramiennym kąty przy dłuższej podstawie są równe, a w prostokątnym jeden z nich jest prosty, a drugi ostry. Czworokąt z kątami prostymi przy obu końcach dłuższej podstawy jest już prostokątem.

### Jak obliczyć kąt ostry trapezu prostokątnego?

Policz tangens z trójkąta pomocniczego: \(\mathrm{tg}\,\beta = \frac{h}{a - b}\). Dla tangensa równego \(1\) kąt ma \(45^\circ\), dla \(\sqrt{3}\) ma \(60^\circ\), a dla \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) ma \(30^\circ\). Przy innych wartościach kąt odczytujesz z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.


---
route: /cieciwa-okregu-dlugosc-odleglosc-od-srodka-kat-ze-styczna-zadania
title: Cięciwa okręgu - długość, odległość od środka, kąt ze styczną i zadania maturalne
description: Cięciwa okręgu: wzór na długość z promienia i odległości od środka, kąt między styczną a cięciwą, twierdzenie o cięciwach. 8 zadań CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Cięciwa okręgu - długość, odległość od środka, kąt ze styczną i zadania maturalne

Cięciwa okręgu to odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu; najdłuższa cięciwa przechodzi przez środek i nazywa się średnicą. Trzy własności załatwiają niemal każde zadanie maturalne z cięciwą: prosta poprowadzona ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli ją na połowy, więc cięciwa w odległości \(d\) od środka okręgu o promieniu \(r\) ma długość \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\); kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (czyli połowie kąta środkowego); a gdy dwie cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P\), to \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\).

Cięciwa wraca w arkuszach CKE częściej, niż się wydaje. W naszej bazie 15 z 269 zadań z [planimetrii](/topics/planimetria) ma cięciwę w treści, w tym zadania z matur: maj 2016, sierpień 2021, maj 2022, sierpień 2022, dwa zadania z próbnej CKE z grudnia 2023 i jedno z próbnej CKE z marca 2026. Prawie wszystkie są za 1-2 punkty, czyli to punkty do wzięcia w kilka minut, jeśli znasz trzy własności z akapitu wyżej. Poniżej: teoria z dowodami na poziomie podstawowym, siedem przykładów z prawdziwych arkuszy i pułapki.

## Co to jest cięciwa okręgu i czym różni się od średnicy, łuku i siecznej

Cięciwa to odcinek o obu końcach na okręgu. Średnica to szczególna cięciwa przechodząca przez środek, o długości \(2r\). Łuk to fragment samego okręgu między końcami cięciwy (krzywa, nie odcinek). Sieczna to cała prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach, a cięciwa jest jej fragmentem "w środku" okręgu.

Każda cięciwa wyznacza dwa łuki: krótszy i dłuższy. Kąt środkowy oparty na krótszym łuku ma mniej niż \(180^\circ\), a kąt wpisany oparty na tym łuku ma połowę tej miary. Dokładnie z tej zależności korzystają zadania o kątach w okręgu; jeśli potrzebujesz jej odświeżenia, przeczytaj najpierw poradnik o [kącie wpisanym i środkowym](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania), bo tutaj traktujemy ją jako narzędzie.

## Własność 1: odległość cięciwy od środka i wzór na jej długość

Odcinek łączący środek okręgu \(S\) ze środkiem cięciwy \(M\) jest prostopadły do cięciwy, a trójkąt \(SMA\) jest prostokątny z przeciwprostokątną \(r\). Z twierdzenia Pitagorasa \(\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2\), skąd długość cięciwy to \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\), a jej odległość od środka to \(d=\sqrt{r^2-\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2}\).

Dlaczego \(SM\) dzieli cięciwę na połowy: trójkąt \(SAB\) jest równoramienny (\(|SA|=|SB|=r\)), a w trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową. To cała teoria. Dwa wnioski, które często ratują zadanie:

- Cięciwy równej długości leżą w równej odległości od środka (i odwrotnie).
- Im cięciwa bliżej środka, tym dłuższa; w odległości \(d=0\) staje się średnicą o długości \(2r\).

Jeśli zamiast odległości znasz kąt środkowy \(\alpha\) oparty na cięciwie, to z połówkowego trójkąta prostokątnego \(SMA\) (kąt przy \(S\) równy \(\frac{\alpha}{2}\)) dostajesz:

$$|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}, \qquad d=r\cos\frac{\alpha}{2}$$

Na przykład cięciwa oparta na kącie środkowym \(60^\circ\) ma długość \(2r\sin 30^\circ=r\) (trójkąt \(SAB\) jest wtedy równoboczny), a oparta na kącie \(90^\circ\) ma długość \(2r\sin 45^\circ=r\sqrt{2}\). Definicje i wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów masz w poradniku o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

### Przykład 1: długość cięciwy z promienia i odległości

W okręgu o promieniu \(13\) poprowadzono cięciwę w odległości \(5\) od środka. Oblicz jej długość.

**Krok 1: zapisz trójkąt prostokątny**

Połowa cięciwy, odległość \(d=5\) i promień \(r=13\) tworzą trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną \(13\).

**Krok 2: zastosuj twierdzenie Pitagorasa**

$$\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2=13^2-5^2=169-25=144 \quad\Rightarrow\quad \frac{|AB|}{2}=12$$

**Krok 3: podaj długość całej cięciwy**

$$|AB|=24$$

Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na \(12\). Pitagoras daje połowę cięciwy, nie całą. W drugą stronę liczy się tak samo: cięciwa o długości \(16\) w okręgu o promieniu \(10\) leży w odległości \(d=\sqrt{100-64}=6\) od środka. Inne zastosowania tego trójkąta znajdziesz w poradniku o [twierdzeniu Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

### Przykład 2: odległość cięciwy od środka z kąta (Matura maj 2016, zadanie 13)

W okręgu o środku \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która tworzy z promieniem \(AS\) kąt \(31^\circ\). Promień ma długość \(10\). Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału: A. \(\langle\frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\), B. \((\frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\), C. \((\frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\), D. \((\frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\).

**Krok 1: znajdź trójkąt prostokątny**

Niech \(M\) będzie spodkiem prostopadłej z \(S\) na \(AB\). W trójkącie \(SMA\) kąt przy \(M\) jest prosty, przeciwprostokątna \(|SA|=10\), a szukana odległość to przyprostokątna \(|SM|\) leżąca naprzeciw kąta \(31^\circ\).

**Krok 2: użyj sinusa**

$$\sin 31^\circ=\frac{|SM|}{|SA|} \quad\Rightarrow\quad |SM|=10\cdot\sin 31^\circ\approx 10\cdot 0{,}5150=5{,}15$$

**Krok 3: dopasuj przedział**

\(5{,}15\in\langle 4{,}5;\,5{,}5\rangle\), czyli odpowiedź A. Wartość \(\sin 31^\circ\) odczytujesz z tablic trygonometrycznych w karcie wzorów CKE. Pułapka: gdyby kąt \(31^\circ\) był kątem przy \(S\) (między promieniem a prostopadłą), użyłbyś cosinusa. Zawsze sprawdź, naprzeciw którego kąta leży szukany bok. Pełny arkusz: [matura maj 2016](/exams/matura-maj-2016).

### Przykład 3: cięciwa i średnica w jednym trójkącie (zbiór CKE 2015-2023 PP, zadanie 70)

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Cięciwa \(AC\) ma długość \(r\sqrt{3}\). Które zdanie jest prawdziwe: A. \(|\sphericalangle AOC|=130^\circ\), B. \(|\sphericalangle ABC|=90^\circ\), C. \(|\sphericalangle BOC|=60^\circ\), D. \(|\sphericalangle BAC|=45^\circ\)?

**Krok 1: wykorzystaj średnicę**

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ\) (to kąt przy \(C\), nie przy \(B\), więc odpowiedź B odpada).

**Krok 2: oblicz drugą cięciwę z Pitagorasa**

$$|BC|^2=|AB|^2-|AC|^2=(2r)^2-(r\sqrt{3})^2=4r^2-3r^2=r^2 \quad\Rightarrow\quad |BC|=r$$

**Krok 3: rozpoznaj trójkąt równoboczny**

W trójkącie \(BOC\) wszystkie boki mają długość \(r\) (\(|OB|=|OC|=r\) jako promienie, \(|BC|=r\) z Kroku 2), więc \(|\sphericalangle BOC|=60^\circ\). Odpowiedź C.

Kontrola drugą metodą: z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(AOC\) o bokach \(r\), \(r\), \(r\sqrt{3}\) dostajesz \(\cos\sphericalangle AOC=\frac{r^2+r^2-3r^2}{2r^2}=-\frac{1}{2}\), czyli \(120^\circ\), a kąt przyległy \(BOC\) ma \(60^\circ\). Zadanie możesz rozwiązać w aplikacji: [zadanie 70 ze zbioru CKE 2015-2023](/task/cke-2015-2023-pp-70). Kiedy sięgać po cosinusy, a kiedy po Pitagorasa, opisujemy w poradniku o [twierdzeniu sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

## Własność 2: kąt między styczną a cięciwą

Kąt między styczną do okręgu w punkcie \(A\) a cięciwą \(AB\) jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku \(AB\) leżącym wewnątrz tego kąta, czyli połowie kąta środkowego \(ASB\) opartego na tym łuku. W praktyce: jeśli kąt środkowy ma \(100^\circ\), kąt między styczną a cięciwą ma \(50^\circ\).

Dowód na poziomie podstawowym mieści się w trzech linijkach. Trójkąt \(SAB\) jest równoramienny, więc jeśli kąt środkowy \(|\sphericalangle ASB|=\beta\), to kąty przy podstawie mają po \(\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2}\). Styczna jest prostopadła do promienia \(SA\), więc kąt między styczną a cięciwą to \(90^\circ-\left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\beta}{2}\). To zarazem miara kąta wpisanego opartego na łuku \(AB\). Warunek prostopadłości stycznej do promienia w wersji analitycznej (odległość środka od prostej równa \(r\)) opisaliśmy w poradniku o [równaniu stycznej do okręgu](/jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania).

### Przykład 4: kąt środkowy dany, kąt ze styczną szukany (Matura sierpień 2022, zadanie 19)

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt \(\alpha\). Wtedy: A. \(40^\circ\), B. \(45^\circ\), C. \(50^\circ\), D. \(60^\circ\).

**Krok 1: kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego**

$$|\sphericalangle SAB|=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$$

**Krok 2: prostopadłość stycznej do promienia**

$$\alpha=90^\circ-40^\circ=50^\circ$$

Odpowiedź C. Skrót z twierdzenia: \(\alpha=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ\). Na maturze warto znać obie drogi: skrót daje odpowiedź w pięć sekund, a rozpisanie trójkąta ratuje, gdy zapomnisz twierdzenia. Treść z rysunkiem: [matura sierpień 2022](/exams/matura-sierpien-2022).

### Przykład 5: kąt ze styczną dany, kąt środkowy szukany (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 22)

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu o środku \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt \(32^\circ\). Odcinek \(AC\) jest średnicą. Oblicz miarę kąta rozwartego \(BOC\).

**Krok 1: kąt między promieniem a cięciwą**

Styczna jest prostopadła do promienia \(OA\), więc:

$$|\sphericalangle OAB|=90^\circ-32^\circ=58^\circ$$

**Krok 2: kąt środkowy AOB z trójkąta równoramiennego**

Trójkąt \(OAB\) ma \(|OA|=|OB|=r\), więc kąty przy podstawie \(AB\) są równe \(58^\circ\):

$$|\sphericalangle AOB|=180^\circ-2\cdot 58^\circ=64^\circ$$

**Krok 3: kąt przyległy wzdłuż średnicy**

Punkty \(A\), \(O\), \(C\) leżą na jednej prostej, więc kąty \(AOB\) i \(BOC\) są przyległe:

$$|\sphericalangle BOC|=180^\circ-64^\circ=116^\circ$$

Kontrola twierdzeniem: kąt między styczną a cięciwą \(AB\) to \(32^\circ\), więc kąt środkowy \(AOB\) ma \(64^\circ\) i znów \(|\sphericalangle BOC|=116^\circ\). Ten i inne sposoby przechodzenia między kątami w okręgu zebraliśmy w poradniku o [kątach w figurach](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

## Własność 3: przecinające się cięciwy, czyli twierdzenie o cięciwach

Jeżeli cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P\) wewnątrz okręgu, to iloczyny odcinków każdej z nich są równe: \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\). Mnożysz dwa kawałki tej samej cięciwy, nie "na krzyż" między cięciwami.

Skąd to się bierze: trójkąty \(APC\) i \(DPB\) są podobne. Kąty \(APC\) i \(DPB\) są wierzchołkowe, a kąty \(CAB\) i \(CDB\) to kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(CB\), więc równe. Z podobieństwa \(\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}\), co po wymnożeniu daje tezę. Cechy podobieństwa i zapis proporcji powtórzysz w poradniku o [trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). W zadaniu otwartym nie powołuj się na ten wzór jak na gotowe twierdzenie z karty wzorów, tylko zapisz podobieństwo trójkątów: dokładnie tak wygląda modelowe rozwiązanie CKE w przykładzie niżej.

### Przykład 6: promień z odcinków cięciw (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 24)

Średnica \(AB\) okręgu o środku \(S\) przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\). Dane: \(|PB|=4\), \(|PC|=8\), \(|PD|=5\). Oblicz promień okręgu.

**Krok 1: uzasadnij podobieństwo trójkątów**

Kąty \(APC\) i \(DPB\) są wierzchołkowe. Kąty \(CAB\) i \(CDB\) są wpisane i oparte na tym samym łuku \(CB\), więc mają równe miary. Trójkąty \(APC\) i \(DPB\) są podobne (cecha kąt-kąt).

**Krok 2: zapisz proporcję i oblicz |PA|**

$$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|} \quad\Rightarrow\quad \frac{|PA|}{5}=\frac{8}{4} \quad\Rightarrow\quad |PA|=10$$

To samo daje wzór: \(|PA|\cdot 4=8\cdot 5\), czyli \(|PA|=10\).

**Krok 3: średnica i promień**

$$|AB|=|PA|+|PB|=10+4=14 \quad\Rightarrow\quad r=7$$

Zadanie za 2 punkty: jeden za podobieństwo (albo poprawne użycie wzoru z uzasadnieniem), drugi za wynik. Całość w [próbnej CKE z grudnia 2023](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023).

### Przykład 7: kąty przy przecięciu cięciw (Matura sierpień 2021, zadanie 19)

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu. Cięciwy \(DB\) i \(AC\) przecinają się w punkcie \(E\). Wiadomo, że \(|\sphericalangle ACB|=55^\circ\) oraz \(|\sphericalangle AEB|=140^\circ\). Oblicz miarę kąta \(DAC\).

**Krok 1: kąt przyległy w punkcie przecięcia**

$$|\sphericalangle CEB|=180^\circ-140^\circ=40^\circ$$

**Krok 2: trzeci kąt trójkąta CEB**

$$|\sphericalangle EBC|=180^\circ-40^\circ-55^\circ=85^\circ$$

Punkt \(E\) leży na cięciwie \(DB\), więc \(|\sphericalangle DBC|=85^\circ\).

**Krok 3: kąty wpisane oparte na tym samym łuku**

Kąty \(DAC\) i \(DBC\) są wpisane i oparte na łuku \(DC\), więc \(|\sphericalangle DAC|=85^\circ\). Odpowiedź D.

Ten sam schemat (kąt przyległy, suma kątów w trójkącie, równe kąty wpisane) rozwiązuje zadanie 17 z maja 2022, gdzie cięciwa \(AC\) przecina średnicę z punktu \(B\): kąt środkowy \(BSC=\alpha\) daje kąt wpisany \(BAC=\frac{\alpha}{2}\), a z trójkąta \(ABD\) wychodzi \(|\sphericalangle ABD|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\). Spróbuj samodzielnie: [zadanie 17 z maja 2022](/task/matura-maj-2022-17), a potem [zadanie 20 z próbnej CKE marzec 2026](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-23), które jest jego bliźniakiem z konkretnymi liczbami.

## Cięciwa w układzie współrzędnych

Gdy prosta przecina okrąg o równaniu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), długość odciętej cięciwy liczysz bez szukania punktów przecięcia: obliczasz odległość \(d\) środka \((a,b)\) od prostej i podstawiasz do \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\). To ta sama Własność 1, tylko odległość bierzesz ze wzoru na odległość punktu od prostej.

### Przykład 8: długość cięciwy odciętej przez prostą

Oblicz długość cięciwy, którą prosta \(y=3\) odcina z okręgu \(x^2+y^2=25\).

**Krok 1: odczytaj środek i promień**

Środek \((0,0)\), promień \(r=5\). Jak czytać te dane z równania ogólnego, pokazujemy w poradniku o [równaniu okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania).

**Krok 2: odległość środka od prostej**

Prosta \(y=3\) jest pozioma, więc \(d=3\). Dla prostej ukośnej użyj wzoru z poradnika o [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania).

**Krok 3: długość cięciwy**

$$|AB|=2\sqrt{25-9}=2\cdot 4=8$$

Kontrola: podstawiając \(y=3\) do równania okręgu, dostajesz \(x^2=16\), czyli końce cięciwy \((-4,3)\) i \((4,3)\), odległe o \(8\). Zgadza się.

## Typowe pułapki w zadaniach z cięciwą

- **Połowa zamiast całości.** Z trójkąta \(SMA\) wychodzi połowa cięciwy. Pomnóż przez \(2\), zanim zapiszesz odpowiedź.
- **Sinus czy cosinus.** Szukany odcinek leży naprzeciw kąta: sinus. Przy kącie: cosinus. W zadaniu z maja 2016 kąt \(31^\circ\) był przy \(A\), a odległość \(|SM|\) leżała naprzeciw niego, stąd sinus.
- **Styczna i promień.** Kąt między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności ma zawsze \(90^\circ\). Bez tego faktu nie policzysz żadnego kąta ze styczną.
- **Kąt ze styczną a kąt środkowy.** Kąt między styczną a cięciwą to połowa kąta środkowego, nie cały kąt środkowy i nie jego dopełnienie do \(180^\circ\).
- **Mnożenie "na krzyż" w twierdzeniu o cięciwach.** Poprawnie: \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\), czyli dwa odcinki tej samej cięciwy po każdej stronie równości.
- **Cięciwa a łuk.** Długość łuku liczysz z proporcji kąta środkowego do \(360^\circ\) i obwodu \(2\pi r\), nie z Pitagorasa. Różnicę między nimi wyjaśnia poradnik o [długości łuku i polu wycinka](/jak-obliczyc-pole-wycinka-kola-dlugosc-luku-wzor-zadania).
- **Kąt wpisany oparty na "złym" łuku.** Kąty wpisane są równe tylko wtedy, gdy opierają się na tym samym łuku. Przed napisaniem równości nazwij łuk, na którym leżą oba kąty.
- **Założenie, że punkt przecięcia to środek.** Średnica przecinająca cięciwę dzieli ją na połowy tylko wtedy, gdy jest do niej prostopadła. W Przykładzie 6 \(|PC|=8\) i \(|PD|=5\), więc \(P\) nie był środkiem cięciwy.

## Checklista: co musisz umieć

- Powiedzieć, czym cięciwa różni się od średnicy, łuku i siecznej.
- Narysować trójkąt prostokątny \(SMA\) (środek, środek cięciwy, koniec cięciwy) i zapisać \(\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2\).
- Obliczyć długość cięciwy z promienia i odległości od środka, i odwrotnie.
- Obliczyć długość cięciwy z kąta środkowego: \(|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}\).
- Zastosować prostopadłość stycznej do promienia i twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą.
- Uzasadnić podobieństwo trójkątów przy przecinających się cięciwach i zapisać \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\).
- Przejść od kąta środkowego do wpisanego i z powrotem, wskazując łuk, na którym się opierają.
- W układzie współrzędnych policzyć cięciwę z odległości środka okręgu od prostej.

Więcej zadań z okręgiem, w tym z promieniem okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie, znajdziesz w poradniku o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania), a pełną listę zadań CKE z tego działu w [bazie zadań z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

## Najczęstsze pytania

### Co to jest cięciwa okręgu?
Cięciwa okręgu to odcinek, którego oba końce leżą na okręgu. Każda cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki, a prosta przechodząca przez środek okręgu i prostopadła do cięciwy dzieli ją na dwie równe części.

### Czy średnica jest cięciwą?
Tak, średnica to najdłuższa cięciwa okręgu: przechodzi przez środek i ma długość \(2r\). Każda inna cięciwa jest krótsza od średnicy, a im dalej od środka leży, tym jest krótsza.

### Jak obliczyć długość cięciwy, znając promień i odległość od środka?
Ze wzoru \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\), który wynika z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie o bokach: połowa cięciwy, odległość \(d\) i promień \(r\). Na przykład dla \(r=13\) i \(d=5\) cięciwa ma długość \(2\sqrt{169-25}=24\).

### Jak obliczyć odległość cięciwy od środka okręgu?
Z tego samego trójkąta prostokątnego: \(d=\sqrt{r^2-\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2}\). Jeśli zamiast długości cięciwy znasz kąt \(\varphi\) między cięciwą a promieniem poprowadzonym do jej końca, to \(d=r\cdot\sin\varphi\), jak w zadaniu z matury z maja 2016.

### Jak obliczyć długość cięciwy z kąta środkowego?
Jeśli cięciwa \(AB\) jest oparta na kącie środkowym \(\alpha\), to \(|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}\). Dla \(\alpha=60^\circ\) cięciwa ma długość \(r\), dla \(\alpha=90^\circ\) długość \(r\sqrt{2}\), a dla \(\alpha=120^\circ\) długość \(r\sqrt{3}\).

### Ile wynosi kąt między styczną a cięciwą?
Kąt między styczną w punkcie \(A\) a cięciwą \(AB\) jest równy połowie kąta środkowego opartego na łuku \(AB\) leżącym wewnątrz tego kąta, czyli tyle samo co kąt wpisany oparty na tym łuku. Wynika to z tego, że styczna jest prostopadła do promienia, a trójkąt złożony z dwóch promieni i cięciwy jest równoramienny.

### Co mówi twierdzenie o cięciwach?
Jeśli cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P\), to \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\). Uzasadnia się je podobieństwem trójkątów \(APC\) i \(DPB\), które mają równe kąty wierzchołkowe i równe kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

Cięciwa to relacja prostej z jednym okręgiem - a na maturze pojawia się też relacja dwóch okręgów między sobą. Kiedy są styczne, a kiedy się przecinają, tłumaczymy w poradniku [wzajemne położenie dwóch okręgów](/wzajemne-polozenie-dwoch-okregow-matura-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ktorym-wyrazem-ciagu-jest-liczba-ile-wyrazow-ujemnych-matura
title: Którym wyrazem ciągu jest liczba i ile wyrazów ciągu jest ujemnych - zadania maturalne
description: Jak sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu, i policzyć wyrazy ujemne lub dodatnie. Równanie, nierówność z n i 6 zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Którym wyrazem ciągu jest liczba i ile wyrazów ciągu jest ujemnych - zadania maturalne

Liczba \(x\) jest wyrazem ciągu \((a_n)\), jeśli równanie \(a_n = x\) ma rozwiązanie wśród liczb naturalnych \(n \ge 1\), a to rozwiązanie jest numerem szukanego wyrazu. Żeby policzyć, ile wyrazów ciągu jest ujemnych, dodatnich albo mniejszych od danej liczby, rozwiązujesz nierówność (na przykład \(a_n  0\)), mniejsze od danej liczby \(M\) (\(a_n  M\) i weź najmniejszą liczbę naturalną, która ją spełnia.
- **"Ile wyrazów ma skończony ciąg?"** Przyrównaj wzór ogólny do ostatniego wyrazu i wyznacz \(n\).

Wynik dla ciągu arytmetycznego sprawdzisz w kalkulatorze: podaj pierwszy wyraz, różnicę i numer wyrazu, który wyszedł ci w rachunku. Dla ciągu z przykładu 1 wpisz \(a_1 = -4\), \(r = 3\) i \(n = 36\), a dostaniesz \(101\).

Interaktywny kalkulator: ciag-arytmetyczny (dostępny na stronie wpisu)

## Przykład 1: Czy liczba jest wyrazem ciągu arytmetycznego

**Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 3n - 7\) dla \(n \ge 1\). Sprawdź, czy liczby \(101\) i \(150\) są wyrazami tego ciągu.

**Krok 1: Równanie dla liczby 101.**

$$3n - 7 = 101 \quad \Rightarrow \quad 3n = 108 \quad \Rightarrow \quad n = 36$$

Liczba \(36\) jest naturalna, więc \(101\) jest trzydziestym szóstym wyrazem ciągu. Kontrola: \(a_{36} = 3 \cdot 36 - 7 = 101\).

**Krok 2: Równanie dla liczby 150.**

$$3n - 7 = 150 \quad \Rightarrow \quad 3n = 157 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{157}{3}$$

Liczba \(\frac{157}{3}\) nie jest naturalna, bo \(157\) nie dzieli się przez \(3\). Sąsiednie wyrazy to \(a_{52} = 149\) i \(a_{53} = 152\), a \(150\) leży między nimi.

**Odpowiedź:** \(101 = a_{36}\) jest wyrazem ciągu, a \(150\) nie jest wyrazem tego ciągu.

## Przykład 2: Którym wyrazem jest liczba w ciągu kwadratowym

**Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = n^2 - 5n\) dla \(n \ge 1\). Którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(24\)? Czy liczba \(10\) jest wyrazem tego ciągu?

**Krok 1: Równanie kwadratowe dla liczby 24.**

$$n^2 - 5n = 24 \quad \Rightarrow \quad n^2 - 5n - 24 = 0$$

**Krok 2: Delta i pierwiastki.**

$$\Delta = 25 + 96 = 121, \quad \sqrt{\Delta} = 11$$

$$n_1 = \frac{5 - 11}{2} = -3, \quad n_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8$$

**Krok 3: Odrzucenie pierwiastka ujemnego.** Numer wyrazu nie może być ujemny, więc zostaje \(n = 8\). Kontrola: \(a_8 = 64 - 40 = 24\).

**Krok 4: Równanie dla liczby 10.**

$$n^2 - 5n - 10 = 0, \quad \Delta = 25 + 40 = 65$$

Liczba \(65\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, więc oba pierwiastki \(\frac{5 \pm \sqrt{65}}{2}\) są niewymierne i żaden nie jest numerem wyrazu.

**Odpowiedź:** \(24\) jest ósmym wyrazem ciągu, a \(10\) nie jest wyrazem tego ciągu.

## Przykład 3: Liczba wyrazów mniejszych od 10 (matura czerwiec 2023, zadanie 16)

**Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = \frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa

- A) \(28\)
- B) \(31\)
- C) \(32\)
- D) \(27\)

**Krok 1: Nierówność z warunku.**

$$\frac{n-2}{3}  0\) przez \(-1\), więc zmieniasz jej znak.

$$n^2 - 8n - 9  0\), a \(a_9 = -81 + 72 + 9 = 0\). Zero nie jest liczbą dodatnią, więc dziewiąty wyraz odpada.

**Odpowiedź:** Ciąg ma \(8\) wyrazów dodatnich.

## Przykład 5: Najmniejszy numer wyrazu większego od 100

**Treść:** W ciągu geometrycznym \((a_n)\) wyraz \(a_4\) jest osiem razy większy od wyrazu \(a_1\), a drugi wyraz jest równy \(6\). Znajdź najmniejszą liczbę naturalną \(k\), dla której \(a_k > 100\).

**Krok 1: Iloraz ciągu.** Z wzoru ogólnego \(a_4 = a_1 q^3\), więc warunek \(a_4 = 8a_1\) daje

$$q^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad q = 2$$

**Krok 2: Pierwszy wyraz i wzór ogólny.** Skoro \(a_2 = a_1 \cdot 2 = 6\), to \(a_1 = 3\) i

$$a_k = 3 \cdot 2^{k-1}$$

**Krok 3: Nierówność.**

$$3 \cdot 2^{k-1} > 100 \quad \Rightarrow \quad 2^{k-1} > \frac{100}{3}$$

Liczba \(\frac{100}{3}\) leży między \(2^5 = 32\) a \(2^6 = 64\), więc najmniejszy wykładnik spełniający nierówność to \(k - 1 = 6\), czyli \(k = 7\).

**Krok 4: Kontrola.** \(a_6 = 3 \cdot 32 = 96\), czyli nie więcej niż \(100\), a \(a_7 = 3 \cdot 64 = 192 > 100\).

**Odpowiedź:** \(k = 7\).

## Przykład 6: Ile wyrazów ciągu jest liczbami całkowitymi

**Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = \frac{2n + 12}{n}\) dla \(n \ge 1\). Oblicz, ile wyrazów tego ciągu jest liczbami całkowitymi.

**Krok 1: Rozbicie ułamka.** Dzielisz każdy składnik licznika przez \(n\).

$$a_n = \frac{2n}{n} + \frac{12}{n} = 2 + \frac{12}{n}$$

**Krok 2: Warunek całkowitości.** Wyraz jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\frac{12}{n}\) jest liczbą całkowitą, czyli gdy \(n\) jest dzielnikiem liczby \(12\). O dzielnikach i [podzielności liczb](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania) przeczytasz osobno.

**Krok 3: Dzielniki naturalne.** Dzielniki \(12\) to \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). Odpowiadające im wyrazy: \(a_1 = 14\), \(a_2 = 8\), \(a_3 = 6\), \(a_4 = 5\), \(a_6 = 4\), \(a_{12} = 3\).

**Odpowiedź:** Liczbami całkowitymi jest \(6\) wyrazów tego ciągu.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania z matur: jedno zamknięte o wyrazach ujemnych i jedno otwarte, w którym numer wyrazu jest drugą częścią dłuższego rachunku. Zanim otworzysz rozwiązanie, zapisz nierówność albo równanie z \(n\) i sprawdź wyrazy na granicy.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2011-16

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2019-32

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Numer wyrazu to liczba naturalna co najmniej \(1\). Pierwiastek ujemny, zero, ułamek i liczba niewymierna odpadają. Najczęstszy błąd w ciągu kwadratowym to podanie obu pierwiastków równania jako dwóch numerów wyrazów.

**Pułapka 2:** Liczba wyrazów to nie długość przedziału. Przedział \((-3, 6)\) ma długość \(9\), ale zawiera tylko pięć liczb naturalnych dodatnich: \(1, 2, 3, 4, 5\). Wypisz je, zamiast odejmować końce przedziału.

**Pułapka 3:** Wyraz równy zero nie jest ani dodatni, ani ujemny. Jeśli miejsce zerowe wzoru jest liczbą naturalną, ten wyraz wypada zarówno z liczenia wyrazów dodatnich, jak i ujemnych. Tak było w przykładzie 4 z \(a_9 = 0\).

**Uwaga:** Przy wzorze z czynnikiem \((-1)^n\) znak wyrazu zależy od parzystości numeru. W arkuszu z maja 2024 ciąg \(a_n = (-1)^n (n - 5)\) ma \(a_1 = 4\), ale \(a_2 = -3\), więc nie wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Rozważ osobno \(n\) parzyste i nieparzyste.

**Wskazówka:** Po każdym rachunku podstaw do wzoru ostatnią liczbę, która spełnia warunek, i pierwszą, która go nie spełnia. Dwa podstawienia wyłapują pomyłkę o jeden wyraz, która w zadaniu zamkniętym prowadzi prosto do błędnej odpowiedzi.

## Co musisz umieć

- Sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu, rozwiązując równanie z niewiadomą n.
- Odrzucić rozwiązanie, które nie jest liczbą naturalną co najmniej 1.
- Policzyć wyrazy ujemne albo dodatnie przez nierówność i wypisanie liczb naturalnych z przedziału.
- Rozwiązać nierówność kwadratową, gdy wzór ciągu zawiera n do kwadratu.
- Wyznaczyć najmniejsze n, od którego wyrazy przekraczają daną liczbę.
- Sprawdzić wynik, podstawiając do wzoru wyrazy na granicy przedziału.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy o numerach wyrazów i liczbie wyrazów spełniających warunek. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Szersze omówienie wzorów, sumy i monotoniczności znajdziesz we wpisie o [ciągach na maturze](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte), a wszystkie zadania z działu w [bazie zadań CKE z ciągów](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami) i na stronie [działu Ciągi](/topics/ciagi).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z ciągów (/losuj)

## Najczęstsze pytania o wyrazy ciągu

### Jak sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu?

Przyrównaj wzór ogólny ciągu do tej liczby i rozwiąż równanie z niewiadomą \(n\). Jeśli wśród rozwiązań jest liczba naturalna \(n \ge 1\), liczba jest wyrazem ciągu o numerze \(n\). Jeśli wychodzi ułamek, liczba niewymierna, zero albo liczba ujemna, nie jest.

### Czy wyraz ciągu może mieć numer zero?

Nie, gdy ciąg jest określony dla \(n \ge 1\), a tak są sformułowane zadania maturalne CKE. Pierwszy wyraz ma wtedy numer \(1\), więc rozwiązanie \(n = 0\) odrzucasz tak samo jak rozwiązanie ujemne.

### Jak obliczyć, ile wyrazów ma skończony ciąg arytmetyczny?

Przyrównaj wzór ogólny do ostatniego wyrazu i wyznacz \(n\). Ciąg \(7, 11, 15, \ldots, 203\) ma \(a_1 = 7\) i \(r = 4\), więc \(7 + (n - 1) \cdot 4 = 203\), skąd \(n - 1 = 49\) i \(n = 50\). Ciąg ma \(50\) wyrazów.

### Czy wyraz równy zero jest dodatni?

Nie. Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną, więc wyraz równy zero nie wchodzi do żadnej z tych grup. Jeśli zadanie pyta o wyrazy nieujemne albo niedodatnie, zero liczysz.

### Jak znaleźć pierwszy wyraz ciągu większy od danej liczby?

Rozwiąż nierówność \(a_n > M\) i weź najmniejszą liczbę naturalną, która ją spełnia. W rosnącym ciągu geometrycznym o dodatnich wyrazach dzielisz nierówność przez pierwszy wyraz i szukasz pierwszej potęgi ilorazu, która przekracza otrzymaną liczbę, tak jak w przykładzie 5. Na koniec podstaw znaleziony numer i numer o jeden mniejszy.

### Czy takie zadanie da się rozwiązać, podstawiając kolejne liczby?

W zadaniu zamkniętym z małymi liczbami tak, bo wystarczy znaleźć wynik. W zadaniu otwartym egzaminator oczekuje rachunku: równania albo nierówności z niewiadomą \(n\) i uzasadnienia, dlaczego odrzucasz pozostałe rozwiązania. Samo wypisanie kilku wyrazów nie pokazuje, że dalszych wyrazów spełniających warunek już nie ma.


---
route: /ile-krawedzi-scian-wierzcholkow-ma-graniastoslup-ostroslup-matura
title: Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup i ostrosłup - wzory i zadania maturalne
description: Graniastosłup n-kątny ma 3n krawędzi, 2n wierzchołków i n + 2 ściany, ostrosłup 2n krawędzi. Wzory, tabela i 6 zadań z matury krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup i ostrosłup - wzory i zadania maturalne

Graniastosłup, którego podstawą jest \(n\)-kąt, ma \(2n\) wierzchołków, \(3n\) krawędzi i \(n + 2\) ściany. Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków, \(2n\) krawędzi i \(n + 1\) ścian. Na maturze wystarczy zamienić daną z zadania na równanie z \(n\), wyznaczyć \(n\) i podstawić do wzoru na szukaną wielkość.

Zadanie o liczbie krawędzi, ścian albo wierzchołków to jeden z najszybszych punktów w stereometrii: bez rysunku, bez twierdzenia Pitagorasa, bez trygonometrii. W arkuszach CKE wracało wiele razy, między innymi w maju 2010, w maju 2013, w sierpniu 2013, w maju 2014, w sierpniu 2016, w sierpniu 2017, w czerwcu 2018 i w sierpniu 2020, a w nowej formule w [arkuszu z czerwca 2024](/exams/matura-czerwiec-2024) i w [arkuszu z sierpnia 2024](/exams/matura-sierpien-2024). Mimo to uczniowie tracą tu punkty, bo mylą wierzchołki z krawędziami albo wszystkie ściany ze ścianami bocznymi. W tym wpisie wyprowadzamy wszystkie sześć wzorów z rysunku, zbieramy je w tabeli i rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z matury.

## Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(2n\) wierzchołków, \(3n\) krawędzi i \(n + 2\) ściany, z czego \(n\) to ściany boczne, a \(2\) to podstawy. Wszystkie trzy liczby zależą wyłącznie od liczby boków podstawy, więc graniastosłup prosty, pochyły i prawidłowy o tej samej podstawie mają je identyczne.

Skąd te wzory? Graniastosłup to dwie jednakowe podstawy połączone ścianami bocznymi. Policz osobno każdy element:

- **Wierzchołki:** każda podstawa ma \(n\) wierzchołków, a podstawy są dwie, więc \(W = 2n\).
- **Krawędzie:** \(n\) krawędzi dolnej podstawy, \(n\) krawędzi górnej podstawy i \(n\) krawędzi bocznych łączących odpowiadające sobie wierzchołki, razem \(K = 3n\).
- **Ściany:** każdy bok podstawy wyznacza jedną ścianę boczną (równoległobok, a w graniastosłupie prostym prostokąt), czyli \(n\) ścian bocznych, do tego dwie podstawy, razem \(S = n + 2\).

Sprawdź to na sześcianie, czyli graniastosłupie o podstawie kwadratu (\(n = 4\)): \(8\) wierzchołków, \(12\) krawędzi, \(6\) ścian. Zgadza się z tym, co widzisz na kostce do gry.

Z tych wzorów wynika test, który rozstrzyga zadanie zamknięte w kilka sekund: **liczba krawędzi graniastosłupa zawsze dzieli się przez 3**, a liczba jego wierzchołków jest zawsze parzysta. Graniastosłup z \(20\) krawędziami nie istnieje, bo \(20\) nie jest wielokrotnością \(3\).

## Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup

Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków, \(2n\) krawędzi i \(n + 1\) ścian, z czego \(n\) to ściany boczne, a jedna to podstawa. Liczba wierzchołków ostrosłupa jest zawsze równa liczbie jego ścian, a liczba krawędzi jest zawsze parzysta.

Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek poza nią (wierzchołek ostrosłupa), do którego zbiegają się wszystkie krawędzie boczne:

- **Wierzchołki:** \(n\) wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek ostrosłupa, razem \(W = n + 1\).
- **Krawędzie:** \(n\) krawędzi podstawy i \(n\) krawędzi bocznych (od każdego wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa), razem \(K = 2n\).
- **Ściany:** \(n\) ścian bocznych, każda jest trójkątem, i jedna podstawa, razem \(S = n + 1\).

Najmniejszy ostrosłup to czworościan, czyli ostrosłup o podstawie trójkąta (\(n = 3\)): \(4\) wierzchołki, \(6\) krawędzi, \(4\) ściany. Ostrosłup prawidłowy czworokątny, ten z typowych zadań o [objętości ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni), ma \(5\) wierzchołków, \(8\) krawędzi i \(5\) ścian.

## Wzory

Wierzchołki graniastosłupa n-kątnego:

$$W = 2n$$

Krawędzie graniastosłupa n-kątnego:

$$K = 3n$$

Ściany graniastosłupa n-kątnego:

$$S = n + 2$$

Wierzchołki ostrosłupa n-kątnego:

$$W = n + 1$$

Krawędzie ostrosłupa n-kątnego:

$$K = 2n$$

Ściany ostrosłupa n-kątnego:

$$S = n + 1$$

Wzór Eulera:

$$W - K + S = 2$$

Wzór Eulera działa dla każdego graniastosłupa i każdego ostrosłupa, więc służy do kontroli wyniku. Dla graniastosłupa: \(2n - 3n + (n + 2) = 2\). Dla ostrosłupa: \((n + 1) - 2n + (n + 1) = 2\). Jeśli twoje trzy liczby nie spełniają tej równości, gdzieś jest błąd rachunkowy.

## Tabela dla najczęstszych brył

Liczba \(n\) to liczba boków podstawy. Nazwy wielokątów i ich własności znajdziesz we wpisie o [wielokątach foremnych](/wielokat-foremny-katy-przekatne-wzory-zadania-matura).

| podstawa | graniastosłup: W, K, S | ostrosłup: W, K, S |
|---|---|---|
| trójkąt (n = 3) | 6, 9, 5 | 4, 6, 4 |
| czworokąt (n = 4) | 8, 12, 6 | 5, 8, 5 |
| pięciokąt (n = 5) | 10, 15, 7 | 6, 10, 6 |
| sześciokąt (n = 6) | 12, 18, 8 | 7, 12, 7 |
| ośmiokąt (n = 8) | 16, 24, 10 | 9, 16, 9 |
| dziesięciokąt (n = 10) | 20, 30, 12 | 11, 20, 11 |

Tabeli nie wkuwaj. Każdy wiersz odtworzysz w kilka sekund z trzech wzorów, a liczby w zadaniach bywają daleko poza tabelą (w arkuszu z czerwca 2024 ostrosłup ma \(2024\) ściany boczne).

## Jak rozwiązać zadanie o liczbie krawędzi w trzech krokach

Każde takie zadanie rozwiązuje się tą samą metodą: ustal, czy bryła to graniastosłup, czy ostrosłup, zapisz daną z treści jako równanie z niewiadomą \(n\) (liczbą boków podstawy), a potem podstaw wyliczone \(n\) do wzoru na wielkość, o którą pyta zadanie. Na koniec sprawdź, czy \(n\) jest liczbą naturalną co najmniej \(3\).

Najczęstsze sformułowania i równania, które z nich powstają:

- "Graniastosłup ma 14 wierzchołków": \(2n = 14\).
- "Ostrosłup ma 12 ścian": \(n + 1 = 12\).
- "Ostrosłup ma 2024 ściany boczne": \(n = 2024\), bez żadnego rachunku.
- "Suma liczby krawędzi i wierzchołków graniastosłupa jest równa 15": \(3n + 2n = 15\).
- "Różnica liczby krawędzi i wierzchołków ostrosłupa jest równa 11": \(2n - (n + 1) = 11\).

Całą resztę [stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), czyli objętości, pola i kąty, liczy się już na długościach krawędzi. Zadanie o samej liczbie krawędzi jest od nich niezależne i nie wymaga żadnej długości.

## Przykład 1: Krawędzie ostrosłupa z liczby wierzchołków (matura maj 2010, zadanie 24)

**Treść:** Ostrosłup ma \(18\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

- A) \(11\)
- B) \(18\)
- C) \(27\)
- D) \(34\)

**Krok 1: Równanie z liczby wierzchołków.** Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków.

$$n + 1 = 18 \quad \Rightarrow \quad n = 17$$

**Krok 2: Liczba krawędzi.** Podstawą jest siedemnastokąt, a ostrosłup ma \(2n\) krawędzi.

$$K = 2 \cdot 17 = 34$$

**Krok 3: Kontrola wzorem Eulera.** Ścian jest \(n + 1 = 18\), więc \(18 - 34 + 18 = 2\). Zgadza się.

**Odpowiedź: D.** Ostrosłup ma \(34\) krawędzie. Odpowiedź B to pułapka dla kogoś, kto przepisze liczbę wierzchołków jako liczbę krawędzi.

## Przykład 2: Wierzchołki ostrosłupa z liczby ścian (matura sierpień 2024, zadanie 24)

**Treść:** Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa \(12\). Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

- A) \(10\)
- B) \(11\)
- C) \(12\)
- D) \(13\)

**Krok 1: Równanie z liczby ścian.** Wszystkie ściany ostrosłupa to \(n\) ścian bocznych i podstawa.

$$n + 1 = 12 \quad \Rightarrow \quad n = 11$$

**Krok 2: Liczba wierzchołków.** Podstawą jest jedenastokąt, a ostrosłup ma \(n + 1\) wierzchołków.

$$W = 11 + 1 = 12$$

**Odpowiedź: C.** Ostrosłup ma \(12\) wierzchołków. Zadanie da się rozwiązać bez żadnego rachunku: w ostrosłupie liczba wierzchołków zawsze jest równa liczbie ścian. Słowo "prawidłowy" nic tu nie zmienia.

## Przykład 3: Ostrosłup z 2024 ścianami bocznymi (matura czerwiec 2024, zadanie 25)

**Treść:** Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

- A) \(2025\)
- B) \(2026\)
- C) \(4048\)
- D) \(4052\)

**Krok 1: Liczba boków podstawy.** Każdy bok podstawy wyznacza dokładnie jedną ścianę boczną, więc podstawa ma tyle boków, ile jest ścian bocznych: \(n = 2024\).

**Krok 2: Liczba krawędzi.** Krawędzie podstawy i krawędzie boczne to razem \(2n\).

$$K = 2 \cdot 2024 = 4048$$

**Odpowiedź: C.** Ostrosłup ma \(4048\) krawędzi. Odpowiedź A to liczba wszystkich ścian (\(2024 + 1\)), a nie krawędzi.

## Przykład 4: Suma krawędzi i wierzchołków graniastosłupa (matura czerwiec 2018, zadanie 23)

**Treść:** Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \(15\). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

- A) \(9\)
- B) \(7\)
- C) \(6\)
- D) \(5\)

**Krok 1: Równanie z sumy.** Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków.

$$3n + 2n = 15 \quad \Rightarrow \quad 5n = 15 \quad \Rightarrow \quad n = 3$$

**Krok 2: Liczba krawędzi.** Podstawą jest trójkąt, więc

$$K = 3 \cdot 3 = 9$$

**Krok 3: Kontrola.** Wierzchołków jest \(6\), a \(9 + 6 = 15\). Zgadza się.

**Odpowiedź: A.** Graniastosłup ma \(9\) krawędzi. Odpowiedź C to liczba wierzchołków, a nie krawędzi.

## Przykład 5: Podstawa graniastosłupa z różnicy krawędzi i ścian bocznych (matura maj 2013, zadanie 20)

**Treść:** Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

- A) czworokąt
- B) pięciokąt
- C) sześciokąt
- D) dziesięciokąt

**Krok 1: Równanie z różnicy.** Graniastosłup ma \(3n\) krawędzi i \(n\) ścian bocznych (podstaw w zadaniu nie liczymy, bo mowa o ścianach bocznych).

$$3n - n = 10 \quad \Rightarrow \quad 2n = 10 \quad \Rightarrow \quad n = 5$$

**Krok 2: Kontrola.** Graniastosłup pięciokątny ma \(15\) krawędzi i \(5\) ścian bocznych, a \(15 - 5 = 10\). Zgadza się.

**Odpowiedź: B.** Podstawą jest pięciokąt. Gdyby zamiast ścian bocznych wziąć wszystkie ściany (\(n + 2\)), wyszłoby \(2n - 2 = 10\), czyli \(n = 6\) i błędna odpowiedź C.

## Przykład 6: Ściany boczne ostrosłupa z liczby krawędzi (matura maj 2014, zadanie 19)

**Treść:** Jeżeli ostrosłup ma \(10\) krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa

- A) \(5\)
- B) \(7\)
- C) \(8\)
- D) \(10\)

**Krok 1: Równanie z liczby krawędzi.** Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(2n\) krawędzi.

$$2n = 10 \quad \Rightarrow \quad n = 5$$

**Krok 2: Ściany boczne.** Ścian bocznych jest tyle, ile boków podstawy, czyli \(5\).

**Odpowiedź: A.** Ostrosłup pięciokątny ma \(5\) ścian bocznych i \(6\) ścian razem z podstawą.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa kolejne zadania z matur sierpniowych. Oba łączą dwie wielkości w jednym równaniu, dokładnie jak w przykładach 4 i 5. Zanim otworzysz rozwiązanie, zapisz równanie z \(n\) i sprawdź wynik wzorem Eulera.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2016-22

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2020-24

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Liczba wierzchołków to nie liczba boków podstawy. Ostrosłup z \(18\) wierzchołkami ma w podstawie siedemnastokąt, a graniastosłup z \(14\) wierzchołkami ma w podstawie siedmiokąt. Zawsze zapisz równanie, zanim podstawisz liczbę do wzoru.

**Pułapka 2:** "Ściany" i "ściany boczne" to dwie różne liczby. Graniastosłup ma \(n\) ścian bocznych i \(n + 2\) ściany, ostrosłup \(n\) ścian bocznych i \(n + 1\) ścian. Podkreśl w treści zadania słowo "boczne" albo "wszystkie", zanim ułożysz równanie.

**Pułapka 3:** Wzory graniastosłupa nie działają dla ostrosłupa. Krawędzi bocznych jest w obu bryłach \(n\), ale graniastosłup ma dwie podstawy, a ostrosłup jedną, stąd \(3n\) kontra \(2n\) krawędzi.

**Uwaga:** Jeśli z równania wyjdzie \(n\), które nie jest liczbą naturalną, albo \(n < 3\), to bryła o takich parametrach nie istnieje. W zadaniu zamkniętym to znak, że pomyliłeś wzór albo rodzaj bryły.

**Wskazówka:** Wynik zawsze sprawdzaj wzorem Eulera \(W - K + S = 2\). To kosztuje kilka sekund i wyłapuje większość pomyłek między krawędziami a ścianami.

## Co musisz umieć

- Wyprowadzić liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian graniastosłupa o podstawie n-kąta: 2n, 3n i n + 2.
- Wyprowadzić liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian ostrosłupa o podstawie n-kąta: n + 1, 2n i n + 1.
- Zamienić zdanie z treści zadania na równanie z liczbą boków podstawy.
- Odróżnić wszystkie ściany od ścian bocznych.
- Sprawdzić wynik wzorem Eulera W - K + S = 2.
- Rozpoznać, że liczba krawędzi graniastosłupa dzieli się przez 3, a ostrosłupa przez 2.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy o liczbie krawędzi, ścian i wierzchołków. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Gdy opanujesz liczenie elementów brył, przejdź do [objętości graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) i [przekątnej sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania), a pełną listę zadań znajdziesz w [bazie zadań CKE ze stereometrii](/zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami) i w [dziale Stereometria](/topics/stereometria).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie ze stereometrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania o krawędzie, ściany i wierzchołki

### Ile krawędzi ma graniastosłup?

Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi: \(n\) w dolnej podstawie, \(n\) w górnej podstawie i \(n\) krawędzi bocznych. Graniastosłup trójkątny ma \(9\) krawędzi, czworokątny \(12\), sześciokątny \(18\).

### Ile wierzchołków ma ostrosłup?

Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków: \(n\) w podstawie i jeden wierzchołek ostrosłupa nad nią. Ostrosłup czworokątny ma \(5\) wierzchołków, a sześciokątny \(7\).

### Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma sześcian?

Sześcian ma \(6\) ścian, \(12\) krawędzi i \(8\) wierzchołków. To graniastosłup o podstawie kwadratu, więc wystarczy podstawić \(n = 4\) do wzorów \(n + 2\), \(3n\) i \(2n\). Te same liczby ma każdy prostopadłościan.

### Czy graniastosłup może mieć 20 krawędzi?

Nie. Liczba krawędzi graniastosłupa to \(3n\), więc zawsze dzieli się przez \(3\), a \(20\) nie dzieli się przez \(3\). Ostrosłup z \(20\) krawędziami istnieje: ma w podstawie dziesięciokąt, bo \(2n = 20\).

### Ile krawędzi ma czworościan?

Czworościan ma \(6\) krawędzi, \(4\) ściany i \(4\) wierzchołki. To ostrosłup o podstawie trójkąta, więc \(K = 2 \cdot 3 = 6\), a \(W = S = 3 + 1 = 4\). Każda jego ściana jest trójkątem, dlatego dowolną z nich można traktować jako podstawę.

### Czy ostrosłup prawidłowy ma więcej krawędzi niż zwykły ostrosłup?

Nie. Słowo "prawidłowy" mówi tylko, że podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w jej środku. Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian zależy wyłącznie od liczby boków podstawy, więc ostrosłup prawidłowy i nieprawidłowy o tej samej podstawie mają ich tyle samo.


---
route: /jak-obliczyc-mediane-tabela-liczebnosci-mediana-z-niewiadoma-matura
title: Jak obliczyć medianę - parzysta liczba danych, tabela liczebności i mediana z niewiadomą (zadania maturalne)
description: Jak obliczyć medianę przy parzystej i nieparzystej liczbie danych, z tabeli liczebności i z diagramu oraz z niewiadomą x. 6 zadań z matury krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć medianę - parzysta liczba danych, tabela liczebności i mediana z niewiadomą (zadania maturalne)

Mediana to środkowa wartość zestawu danych uporządkowanych od najmniejszej do największej. Jeśli danych jest nieparzyście wiele, mediana to wyraz stojący dokładnie pośrodku, czyli wyraz o numerze \(\frac{n+1}{2}\). Jeśli danych jest parzyście wiele, mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, o numerach \(\frac{n}{2}\) i \(\frac{n}{2} + 1\). Zanim cokolwiek policzysz, ustaw dane od najmniejszej do największej: liczenie mediany z nieuporządkowanej listy to typowa pomyłka w tym zadaniu.

Na maturze podstawowej mediana pojawia się zwykle w zadaniach za 1 punkt, w trzech wersjach: zwykła lista liczb, dane w tabeli albo na diagramie oraz mediana z niewiadomą, którą trzeba wyznaczyć. Ten trzeci typ był w arkuszach z [maja 2014](/exams/matura-maj-2014) (zadanie 25), [maja 2019](/exams/matura-maj-2019) (zadanie 23) i [maja 2021](/exams/matura-maj-2021) (zadanie 28), a medianę ocen z diagramu trzeba było wyznaczyć między innymi w [maju 2024](/exams/matura-maj-2024) (zadanie 29) i w [maju 2025](/exams/matura-maj-2025) (zadanie 30). Przegląd wszystkich miar statystycznych naraz znajdziesz we wpisie o [średniej, medianie i dominancie](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania). Tutaj jest tylko mediana, za to we wszystkich wariantach z arkuszy.

## Co to jest mediana i czym różni się od średniej

Mediana dzieli uporządkowane dane na dwie równe części: połowa wartości jest od niej nie większa, a połowa nie mniejsza. Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez ich liczbę. Obie miary często wychodzą różne, a różnicę najlepiej widać, gdy w danych jest jedna wartość odstająca.

Weź pensje sześciu osób z zadania z [sierpnia 2012](/exams/matura-sierpien-2012): \(2000\), \(2800\), \(3400\), \(3600\), \(4200\) i \(8000\) zł, przy czym ostatnia to pensja dyrektora. Średnia wynosi \(\frac{24000}{6} = 4000\) zł, czyli więcej, niż zarabiają cztery z sześciu osób. Mediana to średnia dwóch środkowych pensji: \(\frac{3400 + 3600}{2} = 3500\) zł. Mediana lepiej opisuje typową pensję w tej firmie, bo jedna wysoka wartość jej nie przesuwa.

## Jak obliczyć medianę krok po kroku

Medianę liczysz zawsze w trzech krokach:

1. Uporządkuj dane niemalejąco, czyli od najmniejszej do największej. Powtarzające się wartości zapisz tyle razy, ile występują.
2. Policz, ile jest danych, i sprawdź, czy ich liczba \(n\) jest parzysta.
3. Przy nieparzystym \(n\) mediana to wyraz numer \(\frac{n+1}{2}\). Przy parzystym \(n\) to średnia wyrazów numer \(\frac{n}{2}\) i \(\frac{n}{2} + 1\).

Dla danych \(7, 2, 9, 4, 5\) po uporządkowaniu dostajesz \(2, 4, 5, 7, 9\). Danych jest pięć, środkowy jest trzeci wyraz, więc mediana jest równa \(5\). Gdy dojdzie szósta liczba, na przykład \(10\), dane \(2, 4, 5, 7, 9, 10\) mają medianę \(\frac{5 + 7}{2} = 6\).

## Mediana z tabeli liczebności i z diagramu

W tabeli liczebności, tak samo jak na diagramie słupkowym, każda wartość stoi raz, a obok jest liczba jej wystąpień. Nie wypisuj wszystkich danych, tylko zrób tak:

- policz liczbę danych \(n\), czyli sumę liczebności, a nie liczbę kolumn tabeli,
- ustal numery środkowych wyrazów,
- idź po wartościach od najmniejszej i dodawaj liczebności, aż dojdziesz do numerów środkowych wyrazów.

Przykładowo, gdy ocenę \(2\) dostało trzech uczniów, ocenę \(3\) pięciu, a ocenę \(4\) dwóch, to \(n = 10\), a środkowe są wyrazy piąty i szósty. Wyrazy od pierwszego do trzeciego to dwójki, od czwartego do ósmego trójki. Piąty i szósty wyraz to \(3\), więc mediana jest równa \(3\). Na diagramie słupkowym robisz dokładnie to samo, tylko liczebności odczytujesz z wysokości słupków.

**Uwaga:** Wartość z największą liczebnością to dominanta, a nie mediana. Czasem obie wychodzą równe, ale wyznacza się je inaczej.

## Mediana z niewiadomą

W zadaniach z niewiadomą znasz medianę, a szukasz brakującej liczby. Najważniejsze pytanie brzmi: na którym miejscu w uporządkowanym zestawie stoi niewiadoma?

- Jeśli treść mówi, że zestaw jest uporządkowany albo że ciąg jest niemalejący, miejsce niewiadomej jest dane i od razu piszesz równanie.
- Jeśli kolejność nie jest dana, uporządkuj liczby bez niewiadomej i sprawdź, w jakim przedziale musi ona leżeć, żeby mediana wyszła taka jak w treści.
- Na koniec zawsze sprawdź, czy wynik nie psuje uporządkowania. Jeśli psuje, niewiadoma stoi gdzie indziej i trzeba rozważyć inny przypadek.

Przy parzystej liczbie danych mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów, więc ich suma jest równa podwojonej medianie. Ta jedna obserwacja zamienia większość takich zadań w proste równanie liniowe.

## Wzory

Mediana dla nieparzystej liczby danych:

$$Me = x_{\frac{n+1}{2}}$$

Mediana dla parzystej liczby danych:

$$Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$$

Średnia arytmetyczna dla porównania:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

We wzorach na medianę \(x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n\) to dane już uporządkowane niemalejąco.

## Przykład 1: Dziesięć liczb z loterii (matura próbna luty 2013, zadanie 10)

**Treść:** W loterii liczbowej wylosowano dziesięć liczb: \(4, 3, 3, 3, 4, 6, 1, 5, 1, 6\). Mediana tych danych jest równa:

- A) \(5\)
- B) \(3{,}6\)
- C) \(3{,}5\)
- D) \(3\)

**Krok 1: Uporządkuj dane.**

$$1,\ 1,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6$$

**Krok 2: Znajdź środkowe wyrazy.** Danych jest \(10\), więc środkowe są wyrazy piąty i szósty, czyli \(3\) i \(4\).

**Krok 3: Policz średnią środkowych wyrazów.**

$$Me = \frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź B to średnia arytmetyczna wszystkich liczb, \(\frac{36}{10} = 3{,}6\), a odpowiedź D to dominanta. Obie są tu pułapką.

## Przykład 2: Mediana ocen z tabeli (matura sierpień 2018, zadanie 24)

**Treść:** Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.

| Ocena | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Liczba ocen | 2 | 3 | 5 | 5 | 1 |

Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa:

- A) \(3\)
- B) \(3{,}5\)
- C) \(4\)
- D) \(4{,}5\)

**Krok 1: Policz dane.** Liczba danych to suma liczebności, a nie liczba kolumn:

$$n = 2 + 3 + 5 + 5 + 1 = 16$$

**Krok 2: Ustal środkowe wyrazy.** Przy \(n = 16\) środkowe są wyrazy ósmy i dziewiąty.

**Krok 3: Licz od najmniejszej oceny.** Dwójka to wyraz pierwszy, trójki to wyrazy od drugiego do szóstego, czwórki od siódmego do jedenastego. Wyraz ósmy i dziewiąty to czwórki:

$$Me = \frac{4 + 4}{2} = 4$$

**Odpowiedź: C.** Tabela zaczyna się od najwyższej oceny, więc przed liczeniem przepisz ją w kolejności rosnącej albo licz uważnie od prawej strony.

## Przykład 3: Niewiadoma w nieuporządkowanym zestawie (matura maj 2014, zadanie 25)

**Treść:** Mediana zestawu danych \(2, 12, a, 10, 5, 3\) jest równa \(7\). Wówczas:

- A) \(a = 4\)
- B) \(a = 6\)
- C) \(a = 7\)
- D) \(a = 9\)

**Krok 1: Uporządkuj liczby bez niewiadomej.**

$$2,\ 3,\ 5,\ 10,\ 12$$

**Krok 2: Ustal, gdzie stoi a.** Danych jest sześć, więc mediana to średnia trzeciego i czwartego wyrazu. Gdy \(a \le 5\), mediana wynosi co najwyżej \(\frac{5 + 5}{2} = 5\). Gdy \(a \ge 10\), środkowe są \(5\) i \(10\), więc mediana to \(7{,}5\). Mediana równa \(7\) jest możliwa tylko dla \(a\) między \(5\) a \(10\), a wtedy trzecim wyrazem jest \(5\), a czwartym \(a\).

**Krok 3: Rozwiąż równanie.**

$$\frac{5 + a}{2} = 7 \quad \Rightarrow \quad a = 9$$

**Odpowiedź: D.** Liczba \(9\) leży między \(5\) a \(10\), więc uporządkowanie się zgadza: \(2, 3, 5, 9, 10, 12\).

## Przykład 4: Ciąg niemalejący z wyrażeniami (matura maj 2021, zadanie 28)

**Treść:** Sześciowyrazowy ciąg liczbowy \((1, 2, 2x, x + 2, 5, 6)\) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa \(4\). Wynika stąd, że:

- A) \(x = 1\)
- B) \(x = \frac{3}{2}\)
- C) \(x = 2\)
- D) \(x = \frac{8}{3}\)

**Krok 1: Środkowe wyrazy.** Ciąg jest niemalejący, więc wyrazy stoją już w dobrej kolejności. Trzeci wyraz to \(2x\), a czwarty to \(x + 2\).

**Krok 2: Równanie.**

$$\frac{2x + (x + 2)}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad 3x + 2 = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

**Krok 3: Sprawdzenie.** Dla \(x = 2\) ciąg ma postać \(1, 2, 4, 4, 5, 6\), więc rzeczywiście jest niemalejący, a jego mediana to \(\frac{4 + 4}{2} = 4\).

**Odpowiedź: C.** Sprawdzenie w kroku 3 jest szybkie, a odsiewa wynik, który psułby założenie o niemalejącym ciągu.

## Przykład 5: Cztery wyrażenia z dodatnią niewiadomą (matura próbna marzec 2021, zadanie 28)

**Treść:** Liczba \(x\) jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: \(1 + x\), \(1 + 2x\), \(4 + 3x\), \(1\), jest równa \(10\). Wtedy:

- A) \(x = 6\)
- B) \(x = 5{,}5\)
- C) \(x = 2{,}5\)
- D) \(x = 1\)

**Krok 1: Uporządkuj wyrażenia.** Dla \(x > 0\) zachodzi \(1  0\).

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z medianą z arkuszy maturalnych i ze zbioru zadań CKE: listy liczb, tabele liczebności i zestawy, w których najpierw trzeba wyznaczyć brakującą liczbę ze średniej. Jak liczyć samą średnią, gdy dane mają wagi albo stoją w tabeli, pokazuje wpis o [średniej ważonej](/jak-obliczyc-srednia-wazona-wzor-zadania-matura). Wszystkie zadania ze statystyki znajdziesz w dziale [statystyka](/topics/statystyka) i w zestawieniu [zadań CKE ze statystyki z rozwiązaniami](/zadania-cke-statystyka-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie ze statystyki (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć medianę, gdy jest parzysta liczba danych?

Uporządkuj dane od najmniejszej do największej i weź dwa środkowe wyrazy, o numerach \(\frac{n}{2}\) i \(\frac{n}{2} + 1\). Mediana to ich średnia arytmetyczna. Dla danych \(2, 4, 5, 7, 9, 10\) środkowe są \(5\) i \(7\), więc mediana wynosi \(6\).

### Czy mediana musi być jedną z danych?

Przy nieparzystej liczbie danych tak, bo to wyraz środkowy. Przy parzystej nie musi: średnia dwóch środkowych wyrazów może być liczbą, której w danych nie ma, na przykład \(3{,}5\) dla środkowych wyrazów \(3\) i \(4\).

### Czym różni się mediana od średniej arytmetycznej?

Średnia to suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę, więc jedna bardzo duża albo bardzo mała wartość mocno ją przesuwa. Mediana zależy tylko od wartości środkowych w uporządkowanych danych, dlatego pojedyncza wartość odstająca zwykle jej nie zmienia albo zmienia niewiele.

### Jak obliczyć medianę z tabeli liczebności?

Zsumuj liczebności, żeby poznać liczbę danych, wyznacz numery środkowych wyrazów i dodawaj liczebności od najmniejszej wartości, aż dojdziesz do tych numerów. Wartość, na którą trafisz, to mediana, a przy dwóch różnych wartościach środkowych mediana to ich średnia.

### Czy przed obliczeniem mediany trzeba sortować dane?

Tak, zawsze. Mediana to wyraz środkowy w danych uporządkowanych, a nie środkowa liczba z treści zadania. Bez uporządkowania wynik jest przypadkowy.

### Czym różni się mediana od dominanty?

Mediana to wartość środkowa w uporządkowanych danych, a dominanta to wartość, która występuje najczęściej. W tabeli liczebności dominantę wskazuje największa liczebność, a medianę trzeba wyznaczyć, licząc wyrazy od najmniejszej wartości.


---
route: /karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje
title: Karta wzorów CKE 2027 - co jest na karcie, czego brakuje i jak z niej korzystać
description: Oficjalna karta wzorów CKE na maturę z matematyki: pełna lista wzorów, wzory, których brakuje i musisz znać na pamięć, oraz wskazówki jak z niej korzystać.
author: Marcel Bogdan
---

# Karta wzorów CKE 2027 - co jest na karcie, czego brakuje i jak z niej korzystać

## Czym jest karta wzorów CKE?

"Wybrane wzory matematyczne" - tak oficjalnie nazywa się karta wzorów, którą **dostajesz razem z arkuszem maturalnym**. Nie musisz jej przynosić, nie musisz jej kupować, nie musisz jej drukować. CKE dołącza ją automatycznie do każdego arkusza z matematyki - zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym.

Karta ma 4 strony i zawiera wzory pogrupowane tematycznie. Jest identyczna dla wszystkich zdających w danym roku. Nie możesz wnosić własnej wersji - na sali egzaminacyjnej korzystasz wyłącznie z tej, którą dostałeś w arkuszu. Szczegóły o tym, co wolno i czego nie wolno mieć na egzaminie, znajdziesz w naszej [checkliście maturzysty](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista).

Karta wzorów to potężne narzędzie, ale **tylko jeśli umiesz z niej korzystać**. Wielu maturzystów traktuje ją jako dekorację - nie wiedzą, co na niej jest, i tracą cenne minuty na szukanie wzorów w trakcie egzaminu. Ten artykuł ma temu zapobiec.

## Pełna lista wzorów na karcie CKE - pogrupowana tematycznie

Poniżej znajdziesz wszystkie wzory z oficjalnej karty CKE, pogrupowane tak jak na karcie. Przy każdym wzorze dodaję krótkie wyjaśnienie, kiedy go potrzebujesz.

### 1. Wzory skróconego mnożenia

Te wzory pojawiają się na karcie i są absolutną podstawą algebry. Potrzebujesz ich przy upraszczaniu [wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne), rozkładaniu na czynniki i rozwiązywaniu [równań](/topics/rownania-i-nierownosci).

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

**Kiedy potrzebujesz:** Rozkładanie wielomianów na czynniki, upraszczanie ułamków algebraicznych, rozwiązywanie równań wielomianowych. Na maturze pojawiają się regularnie w zadaniach zamkniętych - szczególnie różnica kwadratów \(a^2 - b^2\) i kwadrat sumy/różnicy. Sprawdź zadania z [wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne).

### 2. Logarytmy

[Wzory logarytmiczne](/skala-richtera-wzor-logarytm-zadanie-maturalne#inne-zadania-maturalne-z-logarytmem-w-tresci) z karty CKE. Pełne omówienie logarytmów wraz z zadaniami znajdziesz w artykule o [logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

$$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

$$\log_a x^w = w \cdot \log_a x$$

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\log_b a}$$

**Kiedy potrzebujesz:** Upraszczanie wyrażeń logarytmicznych, rozwiązywanie [równań logarytmicznych](/topics/logarytmy), obliczanie wartości logarytmów o nietypowych podstawach. Wzór na [zamianę podstawy](/wyraz-logarytm-za-pomoca-a-i-b-zamiana-podstawy-matura-rozszerzona#wzory) (ostatni) pojawia się rzadziej na poziomie podstawowym, ale jest kluczowy na rozszerzeniu.

### 3. Ciągi arytmetyczne i geometryczne

Wzory dotyczące ciągów. Dogłębne omówienie wraz z zadaniami CKE znajdziesz w artykule o [ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

**Ciąg arytmetyczny:**

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

**Ciąg geometryczny:**

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1$$

**Kiedy potrzebujesz:** Zadania z ciągami stanowią stały element matury - zwykle 2-3 zadania zamknięte i 1 otwarte. Musisz umieć wyznaczyć \(n\)-ty wyraz, sumę \(n\) wyrazów, znaleźć różnicę \(r\) lub iloraz \(q\). Przećwicz na zadaniach z [ciągów](/topics/ciagi).

### 4. Trygonometria

Wzory trygonometryczne dostępne na karcie. Pełne omówienie w artykule o [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

**Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów charakterystycznych:**

| Kąt | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tg\) |
|-----|---------|---------|-------|
| \(30°\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(45°\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60°\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |

**Twierdzenie sinusów:**

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

**Twierdzenie cosinusów:**

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$$

**Kiedy potrzebujesz:** Zadania z trygonometrii pojawiają się na każdej maturze. Jedynka trygonometryczna i wartości kątów charakterystycznych to [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Twierdzenia sinusów i cosinusów potrzebujesz w zadaniach z trójkątami, gdzie znasz boki i kąty - częste w [planimetrii](/topics/planimetria).

### 5. Planimetria - wzory na pola i obwody figur

Wzory geometryczne z karty to jedna z najobszerniejszych sekcji. Szczegółowe omówienie znajdziesz w artykule o [planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

**Pole trójkąta:**

$$P = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

gdzie \(s = \frac{a + b + c}{2}\) (połowa obwodu)

**Pole prostokąta:**

$$P = a \cdot b$$

**Pole rombu:**

$$P = a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$$

**Pole trapezu:**

$$P = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h$$

**Pole koła i długość okręgu:**

$$P = \pi r^2, \quad L = 2\pi r$$

**Pole wycinka koła i długość łuku:**

$$P_w = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2, \quad l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$

**Twierdzenie Pitagorasa:**

$$a^2 + b^2 = c^2$$

**Kiedy potrzebujesz:** Praktycznie na każdej maturze. Pole trójkąta z sinusem kąta i wzór Herona to narzędzia do zadań otwartych z planimetrii. Twierdzenie Pitagorasa to fundament - pojawia się nie tylko w geometrii, ale też w [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) (odległość punktów) i [stereometrii](/topics/stereometria) (przekątne brył).

### 6. Stereometria - objętości i pola powierzchni brył

Wzory na bryły - kluczowe dla zadań ze [stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

**Graniastosłup:**

$$V = P_p \cdot H$$

$$P_c = P_{boczna} + 2P_p$$

**Ostrosłup:**

$$V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$$

**Walec:**

$$V = \pi r^2 H$$

$$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$$

**Stożek:**

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$$

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l$$

gdzie \(l\) to tworząca stożka

**Kula:**

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

$$P = 4\pi r^2$$

**Kiedy potrzebujesz:** Na każdej maturze jest co najmniej 1-2 zadania ze stereometrii. Typowe scenariusze: oblicz objętość ostrosłupa wpisanego w graniastosłup, wyznacz pole powierzchni walca o danym stosunku wymiarów, oblicz kąt między krawędzią a podstawą. Przećwicz na zadaniach z [brył](/topics/stereometria).

### 7. Geometria analityczna

Wzory z geometrii analitycznej z karty CKE. Pełne omówienie w artykule o [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

**Odległość dwóch punktów:**

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

**Środek odcinka:**

$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

**Równanie prostej (kierunkowe):**

$$y = ax + b$$

**Równanie prostej (ogólne):**

$$Ax + By + C = 0$$

**Równanie okręgu:**

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

**Kiedy potrzebujesz:** Geometria analityczna to 2-4 zadania na każdej maturze. Odległość punktów, środek odcinka i równanie prostej to absolutna podstawa. Równanie okręgu pojawia się rzadziej, ale gdy się pojawia - bez wzoru jesteś bezradny.

### 8. Kombinatoryka

Wzory kombinatoryczne na karcie CKE. Więcej w artykule o [prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

**Permutacja (bez powtórzeń):**

$$P_n = n!$$

**Wariacja bez powtórzeń:**

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

**Kombinacja bez powtórzeń (symbol Newtona):**

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

**Kiedy potrzebujesz:** Zadania z kombinatoryki i [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) pojawiają się na każdej maturze - zwykle 1-2 zamknięte i czasem 1 otwarte. Symbol Newtona (kombinacja) jest najczęściej potrzebny - np. "na ile sposobów można wybrać 3 osoby z grupy 10?"

## Czego NIE MA na karcie - wzory do zapamiętania

To jest kluczowa sekcja tego artykułu. Karta CKE zawiera sporo, ale **wielu ważnych wzorów na niej brakuje**. Te wzory musisz znać na pamięć. Pełną listę z omówieniem znajdziesz w artykule o [wzorach spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

### Funkcja kwadratowa - delta i wzory na pierwiastki

Tego **nie ma** na karcie, a potrzebujesz na każdej maturze! Pełne omówienie w artykule o [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

$$x_w = \frac{-b}{2a}, \quad y_w = \frac{-\Delta}{4a}$$

Postać kanoniczna:

$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

Postać iloczynowa (gdy \(\Delta \geq 0\)):

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

**Wzory Viete'a:**

$$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

### Funkcja liniowa

Wzoru prostej \(y = ax + b\) nie trzeba pamiętać specjalnie (jest na karcie w sekcji geometrii analitycznej), ale **wzoru na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów nie ma:**

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Więcej o [funkcji liniowej na maturze](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

### Potęgi i pierwiastki - własności

Na karcie CKE **nie ma** podstawowych własności potęg, a są absolutnie kluczowe. Omówienie w artykule o [potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$

$$a^0 = 1 \quad \text{(dla } a \neq 0\text{)}$$

### Procenty

Na karcie CKE nie ma **żadnych** wzorów na procenty, a zadania procentowe to [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Pełne omówienie w artykule o [procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

Podwyżka o \(p\%\):

$$W_{po} = W_{przed} \cdot (1 + \frac{p}{100})$$

Obniżka o \(p\%\):

$$W_{po} = W_{przed} \cdot (1 - \frac{p}{100})$$

Procent składany:

$$K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$$

Zmiana procentowa:

$$\text{zmiana} = \frac{W_{nowa} - W_{stara}}{W_{stara}} \cdot 100\%$$

### Prawdopodobieństwo klasyczne

Na karcie nie ma definicji prawdopodobieństwa:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Ani prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego:

$$P(A') = 1 - P(A)$$

### Statystyka

Na karcie nie ma wzorów na [statystykę](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe):

Średnia arytmetyczna:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Mediana - wartość środkowa po uporządkowaniu danych.

Odchylenie standardowe:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$

### Funkcja wykładnicza

Na karcie nie ma wzorów dotyczących [funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania):

$$a^x = b \iff x = \log_a b$$

## Jak efektywnie korzystać z karty na egzaminie

Karta wzorów to narzędzie, które oszczędza czas - ale tylko wtedy, gdy wiesz, gdzie czego szukać. Oto praktyczne wskazówki.

### Poznaj kartę PRZED maturą

To najważniejsza rada w całym artykule. **Nie otwieraj karty wzorów po raz pierwszy na egzaminie.** Pobierz ją ze strony CKE (lub skorzystaj z niniejszego artykułu) i ćwicz z nią rozwiązywanie zadań przynajmniej przez ostatnie 2-3 tygodnie przed maturą.

Rozwiązuj [arkusze maturalne z lat ubiegłych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) z kartą obok. Po kilku arkuszach będziesz dokładnie wiedział, na której stronie karty jest wzór na pole trapezu, a na której symbol Newtona.

### Zapamiętaj układ karty

Karta wzorów CKE ma stały układ:
1. **Strona 1:** Wzory skróconego mnożenia, logarytmy
2. **Strona 2:** Ciągi, trygonometria (jedynka, tabelka kątów, tw. sinusów i cosinusów)
3. **Strona 3:** Planimetria (pola figur, Pitagoras), stereometria (objętości brył)
4. **Strona 4:** Geometria analityczna, kombinatoryka

Zapamiętaj, na której stronie jest co. Na egzaminie chcesz otworzyć kartę na konkretnej stronie, nie przewracać gorączkowo czterech stron.

### Nie trać czasu na szukanie wzorów, które znasz

Jeśli znasz wzór na pamięć - nie sprawdzaj go na karcie. To strata 20-30 sekund za każdym razem. Kartę otwieraj tylko wtedy, gdy:
- Nie pamiętasz wzoru
- Chcesz sprawdzić, czy dobrze pamiętasz (np. czy we wzorze Herona jest plus czy minus)
- Potrzebujesz dokładnej wartości trygonometrycznej (np. \(\cos 30°\))

### Zaznacz wzory, których nie znasz

W trakcie nauki przed maturą rób sobie listę wzorów z karty, których nie pamiętasz. Skup się na zapamiętaniu tych właśnie wzorów - wtedy na egzaminie będziesz mógł je szybko znaleźć, bo będziesz wiedzieć, że są na konkretnej stronie.

### Uważaj na wzory, których na karcie NIE MA

To pułapka, w którą wpada wielu maturzystów. Szukają na karcie delty, wzoru na procent składany albo własności potęg - i tracą minuty, bo tych wzorów tam po prostu nie ma. Przeczytaj sekcję powyżej ("Czego NIE MA na karcie") i **zapamiętaj te wzory na pamięć**.

## Ćwiczenia z kartą przed maturą

Oto konkretny plan oswajania się z kartą wzorów.

### Tydzień 1 (5-6 tygodni przed maturą): Poznaj kartę

1. Wydrukuj kartę wzorów CKE
2. Przeczytaj każdy wzór i zapisz obok, do czego służy
3. Zaznacz wzory, których nie znasz
4. Rozwiąż 1 arkusz maturalny z kartą obok

### Tydzień 2-3: Ćwicz z kartą

1. Rozwiązuj [zadania maturalne](/topics/planimetria) z kartą CKE i zegarkiem
2. Za każdym razem, gdy sięgasz po kartę, zapisz, czego szukałeś
3. Po tygodniu przejrzyj listę - najczęściej szukane wzory zapamiętaj
4. Ćwicz szybkie znajdowanie wzorów (otwórz kartę na właściwej stronie w 3 sekundy)

### Tydzień 4-5: Symulacja egzaminowa

1. Rozwiąż pełny arkusz w 180 minut z kartą - [symulator matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke)
2. Zmierz, ile czasu tracisz na szukanie wzorów
3. Cel: maksymalnie 3-4 razy sięgnąć po kartę w trakcie arkusza
4. Resztę wzorów powinieneś już znać na pamięć

Sprawdź nasz [plan nauki na ostatnie tygodnie przed maturą](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka), żeby wkomponować ćwiczenia z kartą w szerszą strategię powtórkową.

## Karta wzorów - formuła 2015 vs formuła 2023

Od matury 2023 obowiązuje nowa formuła egzaminu. Karta wzorów jest **praktycznie identyczna** w obu formułach - CKE nie zmieniło zestawu wzorów przy przejściu na nową formułę.

Różnice między formułami dotyczą struktury arkusza (inna liczba zadań, inny rozkład punktów), a nie karty wzorów. Szczegółowe porównanie obu formuł znajdziesz w artykule o [różnicach między formułą 2015 a 2023](/formula-2015-vs-2023-matura-matematyka-roznice-zmiany).

Jeśli ćwiczysz na starszych arkuszach (2015-2022), możesz spokojnie używać tej samej karty wzorów - wzory się nie zmieniły.

## Najczęstsze błędy związane z kartą wzorów

Na podstawie doświadczeń z [najczęstszych błędów maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) - oto pułapki związane z kartą:

### 1. Szukanie wzoru, którego nie ma

Maturzysta szuka na karcie wzoru na deltę, traci 2 minuty na przewracanie stron i panikuje. Delta nie jest na karcie. Wzory na procenty nie są na karcie. Własności potęg nie są na karcie. **Zapamiętaj, czego nie ma.**

### 2. Mylenie wzorów

Na karcie jest wzór na pole trójkąta w trzech wersjach. Maturzysta bierze wzór Herona zamiast \(\frac{1}{2}ab\sin\gamma\), bo go nie rozpoznaje. Albo podstawia do wzoru na pole rombu wymiary trapezu. **Poznaj każdy wzór i wiedz, kiedy go stosować.**

### 3. Przepisywanie wzoru z błędem

Maturzysta kopiuje wzór z karty, ale myli znak lub wykładnik. Np. pisze \(a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos\alpha\) zamiast \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\). Różnica jednego znaku = błędny wynik. **Przepisuj uważnie i sprawdzaj.**

### 4. Nadmierne poleganie na karcie

Niektórzy maturzyści otwierają kartę przy każdym zadaniu, nawet przy \(2^3 = 8\). To strata czasu. Karta jest od wzorów, których naprawdę nie pamiętasz, a nie od banałów.

## Podsumowanie - co zapamiętać o karcie wzorów CKE

1. **Karta jest częścią arkusza** - dostajesz ją automatycznie, nie musisz przynosić
2. **Ma 4 strony** z wzorami pogrupowanymi tematycznie
3. **Zawiera wzory na:** wzory skróconego mnożenia, logarytmy, ciągi, trygonometrię, planimetrię, stereometrię, geometrię analityczną, kombinatorykę
4. **NIE zawiera wzorów na:** deltę, postaci funkcji kwadratowej, własności potęg, procenty, prawdopodobieństwo klasyczne, statystykę, współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
5. **Poznaj kartę przed maturą** - ćwicz z nią przynajmniej 3 tygodnie przed egzaminem
6. **Zapamiętaj układ** - wiedz, na której stronie jest który wzór
7. **Nie trać czasu** na szukanie wzorów, które znasz na pamięć

Powodzenia na maturze! Jeśli chcesz przećwiczyć zastosowanie wzorów z karty w praktyce, wejdź na [Sprawną Maturę](/) - mamy ponad 2300 zadań maturalnych z rozwiązaniami, pogrupowanych [tematycznie](/topics/planimetria) i [według arkuszy](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Zacznij od [pewniaków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), a potem ćwicz to, z czym masz najwięcej problemów.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody
title: Nierówności na maturze z matematyki - liniowe, kwadratowe i z wartością bezwzględną
description: Jak rozwiązywać nierówności na maturze: liniowe, kwadratowe, wielomianowe, wymierne i z modułem. Metody, zapis rozwiązania, zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Nierówności na maturze z matematyki - liniowe, kwadratowe i z wartością bezwzględną

## Nierówności - temat, który łączy wiele działów maturalnych

Nierówności pojawiają się na maturze z matematyki w różnych odsłonach - od prostych nierówności liniowych za 1 punkt, przez nierówności kwadratowe (klasyka zadań zamkniętych), aż po nierówności z [wartością bezwzględną](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci) w zadaniach otwartych. To temat, który przenika niemal cały arkusz.

Na [maturze z matematyki 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin) nierówności są wplecione w zadania z [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), [funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), a nawet [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) (dziedzina logarytmu wymaga rozwiązania nierówności!).

Dobra wiadomość: nierówności rozwiązuje się **schematycznie**. Każdy typ ma swoją metodę, która działa za każdym razem. Wystarczy je poznać i przećwiczyć.

W tym przewodniku omówimy:
- Nierówności liniowe (i pułapkę z mnożeniem przez liczbę ujemną)
- Nierówności kwadratowe (metoda: delta, parabola, przedział)
- Nierówności wielomianowe (tabliczka znaków)
- Nierówności wymierne (sprowadzenie do jednej strony)
- Nierówności z wartością bezwzględną
- Nierówności z parametrem
- Poprawny zapis rozwiązania
- 7 pełnych przykładów maturalnych

---

## Nierówności liniowe

Nierówność liniowa to nierówność postaci:

$$ax + b > 0 \quad \text{(lub } \geq,  0\)

$$-3x > -6$$

Dzielimy przez \(-3\) i **odwracamy** znak:

$$x  0 \quad (a \neq 0)$$

### Metoda: delta + parabola + odczytanie przedziału

**Krok 1.** Oblicz [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe): \(\Delta = b^2 - 4ac\)

**Krok 2.** Jeśli \(\Delta > 0\), oblicz [miejsca zerowe](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac):

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

**Krok 3.** Narysuj (chociaż w głowie) parabolę:
- Jeśli \(a > 0\) - parabola "uśmiechnięta" (ramiona do góry)
- Jeśli \(a  0\) - szukamy, gdzie parabola jest **nad osią** \(OX\)
- \(ax^2 + bx + c  0\)** (dwa miejsca zerowe \(x_1  0\):
- \(ax^2 + bx + c > 0\) spełnione dla \(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
- \(ax^2 + bx + c  0\) spełnione dla \(x \in (x_1, x_2)\)
- \(ax^2 + bx + c  0\): parabola dotyka osi \(OX\) i jest nad nią wszędzie poza \(x_0\)
- \(ax^2 + bx + c > 0\) spełnione dla \(x \in \mathbb{R} \setminus \{x_0\}\)
- \(ax^2 + bx + c  0\): parabola jest cała nad osią \(OX\)
- \(ax^2 + bx + c > 0\) spełnione dla \(x \in \mathbb{R}\) (zawsze prawda)
- \(ax^2 + bx + c  0\) - brak rozwiązań
- \(ax^2 + bx + c  0\)

**Krok 1.** Miejsca zerowe: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 4\). Ustawiamy je w kolejności rosnącej.

**Krok 2.** Rysujemy tabliczkę znaków. Sprawdzamy znak każdego czynnika w przedziałach:

| Przedział | \(x + 2\) | \(x - 1\) | \(x - 4\) | Iloczyn |
|-----------|----------|----------|----------|---------|
| \(x  4\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

**Krok 3.** Szukamy przedziałów, gdzie iloczyn jest dodatni.

**Odpowiedź:** \(x \in (-2, 1) \cup (4, +\infty)\)

**Szybka sztuczka:** Dla wielomianów z samymi jednokrotnymi pierwiastkami znaki na przemian się zmieniają. Wystarczy sprawdzić jeden skrajny przedział (np. dla bardzo dużego \(x\) iloczyn jest dodatni, bo wszystkie czynniki dodatnie) i dalej znaki zmieniają się naprzemiennie.

---

## Nierówności wymierne

Nierówność wymierna to nierówność z ułamkiem, np.:

$$\frac{x - 3}{x + 1} > 0$$

### Zasada: NIE mnóż obu stron przez mianownik!

To najczęstszy błąd. Mianownik może być dodatni lub ujemny, więc nie wiesz, czy odwrócić znak. Zamiast tego:

**Metoda: sprowadź do jednej strony i użyj tabliczki znaków.**

### Przykład

Rozwiąż: \(\frac{x + 5}{x - 2} \leq 1\)

**Krok 1.** Przenosimy \(1\) na lewą stronę:

$$\frac{x + 5}{x - 2} - 1 \leq 0$$

$$\frac{x + 5 - (x - 2)}{x - 2} \leq 0$$

$$\frac{7}{x - 2} \leq 0$$

**Krok 2.** Licznik \(7 > 0\) zawsze, więc ułamek jest niedodatni, gdy mianownik jest ujemny:

$$x - 2  0\))

$$|f(x)|  a\) (gdzie \(a > 0\))

$$|f(x)| > a \iff f(x)  a$$

To znaczy: \(f(x)\) jest daleko od zera (poza przedziałem \((-a, a)\)).

### Zapamiętaj mnemotechnicznie

- "Mniejsze niż" = "bliżej zera" = jeden przedział (AND)
- "Większe niż" = "dalej od zera" = dwa przedziały (OR)

### Przykład: \(|2x - 3|  0\) dla wszystkich \(x\)

Trójmian kwadratowy jest **zawsze dodatni**, gdy:

$$a > 0 \quad \text{i} \quad \Delta  0\) jest spełniona dla każdego \(x \in \mathbb{R}\)?

Tu \(a = 1 > 0\) (OK), więc wystarczy:

$$\Delta  16$$
$$m > 4$$

**Odpowiedź:** \(m \in (4, +\infty)\)

Interpretacja: gdy \(m > 4\), parabola \(y = x^2 - 4x + m\) nie ma miejsc zerowych i jest cała nad osią \(OX\), więc wyrażenie jest zawsze dodatnie.

---

## Zapis rozwiązania - jak nie stracić punktu

Na maturze CKE [zasady oceniania](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania) wymagają poprawnego zapisu rozwiązania. Możesz używać trzech równoważnych form:

### Forma 1: Nierówność

$$x > 3$$

### Forma 2: Przedział

$$x \in (3, +\infty)$$

### Forma 3: Zbiór (notacja z klamrami)

$$\{x \in \mathbb{R}: x > 3\}$$

Wszystkie trzy formy są poprawne na maturze.

### Nawiasy w zapisie przedziałowym

- \((a, b)\) - przedział otwarty (bez końców): \(a  0\) jest spełniona dla:

A. \(x \in (2, 3)\)
B. \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)
C. \(x \in \langle 2, 3 \rangle\)
D. \(x \in (-\infty, 2\rangle \cup \langle 3, +\infty)\)

**Rozwiązanie:**

Obliczamy deltę: \(\Delta = 25 - 24 = 1\)

Miejsca zerowe: \(x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\)

Współczynnik \(a = 1 > 0\), więc parabola jest "uśmiechnięta". Szukamy, gdzie jest **nad** osią \(OX\): poza pierwiastkami.

Nierówność jest ostra (\(>\)), więc końce nie należą.

**Odpowiedź: B.** \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)

---

## Zadanie 3: Nierówność kwadratowa z ujemnym a (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(-x^2 + 4x - 3 \geq 0\).

**Rozwiązanie:**

Mnożymy obie strony przez \(-1\) (odwracamy znak!):

$$x^2 - 4x + 3 \leq 0$$

Delta: \(\Delta = 16 - 12 = 4\)

Miejsca zerowe: \(x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)

Teraz \(a = 1 > 0\), szukamy gdzie parabola jest **pod lub na** osi \(OX\): między pierwiastkami (z końcami, bo \(\leq\)).

**Odpowiedź:** \(x \in \langle 1, 3 \rangle\)

**Alternatywna metoda** (bez mnożenia przez \(-1\)): \(a = -1  0\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1.** Wyciągamy \(x\) przed nawias:

$$x(x^2 - 4x + 3) > 0$$

**Krok 2.** Rozkładamy trójmian (miejsca zerowe: \(1\) i \(3\)):

$$x(x - 1)(x - 3) > 0$$

**Krok 3.** Miejsca zerowe całego wyrażenia: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\).

**Krok 4.** Tabliczka znaków:

| Przedział | \(x\) | \(x-1\) | \(x-3\) | Iloczyn |
|-----------|------|---------|---------|---------|
| \(x  3\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

**Odpowiedź:** \(x \in (0, 1) \cup (3, +\infty)\)

---

## Zadanie 5: Nierówność wymierna (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(\frac{x^2 - 4}{x + 3} \leq 0\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1.** Dziedzina: \(x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3\).

**Krok 2.** Rozkładamy licznik za pomocą [wzoru skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania):

$$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} \leq 0$$

**Krok 3.** Miejsca zerowe: \(x = -3\) (mianownik, wyrzucamy), \(x = -2\), \(x = 2\).

**Krok 4.** Tabliczka znaków:

| Przedział | \(x+3\) | \(x+2\) | \(x-2\) | Ułamek |
|-----------|---------|---------|---------|--------|
| \(x  2\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

Szukamy przedziałów, gdzie ułamek \(\leq 0\). Końce w liczniku (\(-2\) i \(2\)) bierzemy (bo \(\leq\)), ale \(-3\) nie (bo mianownik = 0).

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, -3) \cup \langle -2, 2 \rangle\)

---

## Zadanie 6: Nierówność z wartością bezwzględną (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(|3x - 6| > 12\).

**Rozwiązanie:**

Stosujemy regułę \(|f(x)| > a \iff f(x)  a\):

$$3x - 6  12$$

Pierwszy przypadek:
$$3x  18 \implies x > 6$$

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, -2) \cup (6, +\infty)\)

---

## Zadanie 7: Nierówność kwadratowa z parametrem (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Dla jakich wartości parametru \(m\) nierówność \(mx^2 + 2x + m > 0\) jest spełniona dla każdego \(x \in \mathbb{R}\)?

**Rozwiązanie:**

**Uwaga:** Musimy rozważyć dwa przypadki - czy to jest w ogóle trójmian kwadratowy?

**Przypadek 1: \(m = 0\)**

Nierówność przyjmuje postać \(2x > 0\), czyli \(x > 0\). To nie jest spełnione dla **każdego** \(x\) (np. \(x = -1\) nie spełnia). Więc \(m = 0\) nie pasuje.

**Przypadek 2: \(m \neq 0\)**

Aby trójmian kwadratowy był zawsze dodatni, potrzebujemy:

$$m > 0 \quad \text{i} \quad \Delta  1$$
$$|m| > 1$$
$$m  1$$

Łączymy z warunkiem \(m > 0\):

$$m > 0 \quad \text{i} \quad (m  1)$$

$$m > 1$$

**Odpowiedź:** \(m \in (1, +\infty)\)

To zadanie z parametrem wymaga rozważenia przypadku \(m = 0\) - to [typowa pułapka](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), za którą traci się punkty.

---

## Jak nie tracić punktów w zadaniach z nierównościami

Oto lista [błędów rachunkowych i logicznych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac), które co roku kosztują maturzystów punkty:

**1. Mnożenie przez ujemną liczbę bez odwrócenia znaku.** To najczęstszy błąd. Przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę ujemną - odwróć \(\) (i odwrotnie).

**2. Zły zapis przedziału.** Suma zbiorów to \(\cup\), nie \(\cap\). Zbiór \(x  3\) to \((-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\), nie \((-2, 3)\).

**3. Zapominanie o dziedzinie w nierównościach wymiernych.** Mianownik nigdy nie jest zerem. Nawet jeśli nierówność jest nieostra (\(\leq\)), punkt zerujący mianownik wyrzucamy.

**4. Brak rozważenia przypadku \(m = 0\) w zadaniach z parametrem.** Gdy parametr stoi przy \(x^2\), musisz sprawdzić, co się dzieje, gdy on zeruje.

**5. Nierówność ostra vs nieostra.** \(x^2 - 4 > 0\) i \(x^2 - 4 \geq 0\) mają różne rozwiązania! W pierwszym końce nie należą, w drugim tak.

---

## Podsumowanie metod

| Typ nierówności | Metoda |
|----------------|--------|
| Liniowa | Jak równanie, ale odwracaj znak przy mnożeniu przez ujemną |
| Kwadratowa | Delta + parabola + odczytaj przedział |
| Wielomianowa | Rozkład na czynniki + tabliczka znaków |
| Wymierna | Sprowadź na jedną stronę + tabliczka znaków + dziedzina |
| Z wartością bezwzględną | \(\|f(x)\|  a \Rightarrow\) dwa przedziały |
| Z parametrem | Rozważ przypadki + warunki na deltę |

---

## Co dalej?

Nierówności to fundament, który łączy się z wieloma innymi tematami maturalnymi. Sprawdź powiązane przewodniki:

- [Wartość bezwzględna na maturze](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci) - więcej zadań z \(|f(x)|\)
- [Delta i równanie kwadratowe](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) - podstawa nierówności kwadratowych
- [Funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - wykresy, [miejsca zerowe](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac) i zadania optymalizacyjne
- [Jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) - techniki zapisu i zdobywania maksymalnych punktów
- [Najczęstsze błędy na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) - unikaj pułapek, które kosztują punkty

Potrzebujesz praktyki? Przejdź do zadań z [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) w naszej bazie i rozwiązuj prawdziwe zadania CKE.

Powodzenia na [maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin)!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc
title: Potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym - jak liczyć i upraszczać na maturze
description: Jak liczyć potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym: prawa potęgowania, zamiana pierwiastków na potęgi, upraszczanie wyrażeń. Zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym - jak liczyć i upraszczać na maturze

## Dlaczego potęgi o wykładnikach wymiernych i ujemnych to fundament matury

Potęgi pojawiają się na maturze z matematyki **w niemal każdym arkuszu** - zarówno jako samodzielne zadania (zwykle za 1-2 punkty), jak i jako narzędzie wewnątrz zadań z [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), [funkcji wykładniczej](/topics/funkcja-wykladnicza) czy [ciągów geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). Problem polega na tym, że wielu maturzystów radzi sobie z prostymi potęgami typu \(2^3 = 8\), ale kompletnie gubi się przy wyrażeniach takich jak \(8^{-2/3}\) czy \(27^{4/3}\).

Na maturze z matematyki regularnie pojawia się 2-4 zadania, w których musisz swobodnie operować potęgami o wykładnikach wymiernych i ujemnych. To zadania, które da się rozwiązać w 30-60 sekund - pod warunkiem, że opanujesz kilka prostych reguł. W naszej [bazie zadań z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki) znajdziesz dziesiątki takich zadań do przećwiczenia.

Ten artykuł to kompletny przewodnik: od przypomnienia praw potęgowania, przez potęgę zerową i ujemną, aż po wykładnik wymierny i zaawansowane upraszczanie. Każde zagadnienie zilustrowane jest zadaniami maturalnymi z pełnymi rozwiązaniami.

## Prawa potęgowania - absolutna podstawa

Zanim przejdziemy do wykładników wymiernych i ujemnych, musisz mieć w małym palcu siedem fundamentalnych praw potęgowania. Każde z nich to osobna reguła, której CKE może użyć w zadaniu.

### 1. Mnożenie potęg o tej samej podstawie

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Mnożysz potęgi o **tej samej podstawie** - dodajesz wykładniki. Podstawa się nie zmienia.

**Przykład:** \(2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256\)

### 2. Dzielenie potęg o tej samej podstawie

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$

Dzielisz potęgi o **tej samej podstawie** - odejmujesz wykładniki.

**Przykład:** \(\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125\)

### 3. Potęga potęgi

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Potęgujesz potęgę - mnożysz wykładniki. To jedno z najczęściej używanych praw na maturze.

**Przykład:** \((3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561\)

### 4. Potęga iloczynu

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

Potęga "wchodzi" do każdego czynnika.

**Przykład:** \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\)

### 5. Potęga ilorazu

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$

**Przykład:** \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}\)

### 6. Potęga zerowa

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1. Nie ma wyjątków - niezależnie od tego, czy \(a\) jest ułamkiem, liczbą ujemną, czy pierwiastkiem.

**Przykład:** \((-7)^0 = 1\), \(\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1\), \((\sqrt{5})^0 = 1\)

**Uwaga:** Wyrażenie \(0^0\) jest nieokreślone - CKE tego nie pyta, ale warto wiedzieć.

### 7. Potęga o wykładniku 1

$$a^1 = a$$

Trywialne, ale przydatne przy upraszczaniu, gdy po redukcji wykładników zostaje \(a^1\).

### Tabela skrótowa

| Prawo | Wzór | Kiedy stosujesz |
|-------|------|-----------------|
| Mnożenie | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | Ta sama podstawa, mnożenie |
| Dzielenie | \(a^m / a^n = a^{m-n}\) | Ta sama podstawa, dzielenie |
| Potęga potęgi | \((a^m)^n = a^{mn}\) | Potęga w potędze |
| Potęga iloczynu | \((ab)^n = a^n b^n\) | Iloczyn podnoszony do potęgi |
| Potęga ilorazu | \((a/b)^n = a^n/b^n\) | Ułamek podnoszony do potęgi |
| Potęga zerowa | \(a^0 = 1\) | Wykładnik = 0 |

Te prawa działają dla **dowolnych wykładników** - całkowitych, wymiernych, a nawet rzeczywistych. To jest klucz do zrozumienia reszty artykułu.

## Potęga o wykładniku ujemnym

### Definicja

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)$$

Potęga o wykładniku ujemnym to **odwrotność** potęgi o wykładniku dodatnim. Ujemny wykładnik "przenosi" liczbę do mianownika (lub z mianownika do licznika).

### Jak to rozumieć intuicyjnie

Pomyśl o ciągu potęg dwójki:

$$2^3 = 8, \quad 2^2 = 4, \quad 2^1 = 2, \quad 2^0 = 1, \quad 2^{-1} = \frac{1}{2}, \quad 2^{-2} = \frac{1}{4}, \quad 2^{-3} = \frac{1}{8}$$

Za każdym razem, gdy zmniejszasz wykładnik o 1, dzielisz wynik przez 2. Przejście przez zero jest zupełnie naturalnym przedłużeniem tego wzorca.

### Najważniejsze konsekwencje

**Odwrotność jako potęga:**

$$a^{-1} = \frac{1}{a}$$

To oznacza, że \(a^{-1}\) to po prostu odwrotność liczby \(a\). Na maturze to się przydaje bardzo często.

**Przenoszenie między licznikiem a mianownikiem:**

$$\frac{a^{-3}}{b^{-2}} = \frac{b^2}{a^3}$$

Ujemny wykładnik w liczniku "przenosi" czynnik do mianownika (i odwrotnie), zmieniając znak wykładnika na dodatni.

**Potęga ujemna ułamka:**

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$$

Odwracasz ułamek i zmieniasz znak wykładnika. To skrót, który oszczędza czas na maturze.

**Przykład:** \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}\)

### Zadanie maturalne 1: Potęga ujemna

**Oblicz wartość wyrażenia \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2}\).**

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - odwracamy ułamek (pozbywamy się minusa w wykładniku):

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2} = \left(\frac{4}{1}\right)^{3/2} = 4^{3/2}$$

Krok 2 - rozbijamy wykładnik wymierny (to omówimy szczegółowo w następnej sekcji):

$$4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$$

**Odpowiedź:** \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-3/2} = 8\)

## Potęga o wykładniku wymiernym - klucz do maturalnych punktów

### Definicja

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \quad (a > 0, \; n \in \mathbb{N}, \; n \geq 2)$$

Wykładnik wymierny \(\frac{m}{n}\) łączy dwie operacje:
- **Mianownik \(n\)** oznacza **pierwiastek \(n\)-tego stopnia**
- **Licznik \(m\)** oznacza **potęgowanie do \(m\)**

Kolejność nie ma znaczenia - możesz najpierw pierwiastkować, potem potęgować, albo odwrotnie. W praktyce **lepiej najpierw pierwiastkować** - dostajesz mniejsze liczby i łatwiej liczyć.

### Zamiana pierwiastków na potęgi

To jest **najważniejsza umiejętność** w tym temacie. Każdy pierwiastek możesz zapisać jako potęgę:

$$\sqrt{a} = a^{1/2}$$

$$\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$$

$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$

$$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$$

Dlaczego to takie ważne? Bo po zamianie na potęgi możesz stosować **wszystkie prawa potęgowania** - mnożenie, dzielenie, potęga potęgi. Z pierwiastkami tak się nie da.

### Przykłady zamiany

| Pierwiastek | Zapis potęgowy |
|-------------|---------------|
| \(\sqrt{5}\) | \(5^{1/2}\) |
| \(\sqrt[3]{7}\) | \(7^{1/3}\) |
| \(\sqrt{x^3}\) | \(x^{3/2}\) |
| \(\sqrt[4]{x^3}\) | \(x^{3/4}\) |
| \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(x^{-1/2}\) |
| \(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\) | \(x^{-2/3}\) |

Zwróć uwagę na dwa ostatnie wiersze - połączenie wykładnika ujemnego z wymiernym. To właśnie takie wyrażenia pojawiają się na maturze i sprawiają najwięcej problemów. Więcej zadań na upraszczanie wyrażeń znajdziesz w naszej [bazie zadań z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki).

### Zadanie maturalne 2: Zamiana i upraszczanie

**Uprość wyrażenie \(\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}}{a}\) dla \(a > 0\).**

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - zamieniamy wszystko na potęgi:

$$\frac{a^{1/2} \cdot a^{1/3}}{a^1}$$

Krok 2 - mnożenie potęg w liczniku (dodajemy wykładniki):

$$\frac{a^{1/2 + 1/3}}{a^1} = \frac{a^{5/6}}{a^1}$$

Krok 3 - dzielenie potęg (odejmujemy wykładniki):

$$a^{5/6 - 1} = a^{5/6 - 6/6} = a^{-1/6}$$

Krok 4 - wynik możemy zapisać jako pierwiastek:

$$a^{-1/6} = \frac{1}{a^{1/6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{a}}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}}{a} = \frac{1}{\sqrt[6]{a}}\)

### Zadanie maturalne 3: Obliczanie wartości potęgi wymiernej

**Oblicz \(27^{2/3}\).**

**Rozwiązanie:**

Lepiej najpierw pierwiastkować (mniejsze liczby):

$$27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$$

Gdybyśmy najpierw potęgowali: \(27^2 = 729\), a potem \(\sqrt[3]{729} = 9\). Wynik ten sam, ale po drodze musielibyśmy liczyć \(27^2\), co jest trudniejsze.

**Odpowiedź:** \(27^{2/3} = 9\)

### Zadanie maturalne 4: Wyrażenie z wieloma potęgami

**Uprość \(\frac{8^{2/3} \cdot 4^{-1/2}}{2^{-1}}\).**

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - sprowadzamy wszystko do podstawy 2:

$$8 = 2^3, \quad 4 = 2^2$$

Krok 2 - zamieniamy:

$$\frac{(2^3)^{2/3} \cdot (2^2)^{-1/2}}{2^{-1}}$$

Krok 3 - potęga potęgi (mnożymy wykładniki):

$$\frac{2^{3 \cdot 2/3} \cdot 2^{2 \cdot (-1/2)}}{2^{-1}} = \frac{2^2 \cdot 2^{-1}}{2^{-1}}$$

Krok 4 - mnożenie w liczniku:

$$\frac{2^{2+(-1)}}{2^{-1}} = \frac{2^1}{2^{-1}}$$

Krok 5 - dzielenie:

$$2^{1-(-1)} = 2^2 = 4$$

**Odpowiedź:** \(\frac{8^{2/3} \cdot 4^{-1/2}}{2^{-1}} = 4\)

To jest **typowe zadanie maturalne** - klucz to sprowadzenie do wspólnej podstawy. Podobne zadania pojawiają się w [arkuszach maturalnych z lat 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Porównywanie potęg - która jest większa?

Na maturze zdarza się zadanie typu: "Uporządkuj rosnąco: \(2^{30}\), \(3^{20}\), \(5^{13}\)". Bezpośrednie obliczenie jest niemożliwe (to ogromne liczby), więc musisz użyć sztuczki.

### Metoda: Sprowadź do tego samego wykładnika

**Przykład:** Porównaj \(2^{30}\) i \(3^{20}\).

Szukamy wspólnego wykładnika. \(NWD(30, 20) = 10\), więc:

$$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$$

$$3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$$

Ponieważ \(8  27\) i podstawa \(2 > 1\), to \(2^{30} > 2^{27}\), czyli \(4^{15} > 8^{9}\).

## Potęga potęgi vs iloczyn potęg - typowa pułapka

To jedno z miejsc, w których maturzyści tracą punkty. Rozróżnij:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \quad \text{(potęga potęgi - mnożysz wykładniki)}$$

$$a^m \cdot a^n = a^{m + n} \quad \text{(iloczyn potęg - dodajesz wykładniki)}$$

**Pułapka:** \(2^{2^3} \neq (2^2)^3\)

$$2^{2^3} = 2^8 = 256 \quad \text{(najpierw liczymy wykładnik: } 2^3 = 8\text{)}$$

$$(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64$$

Nawiasy robią ogromną różnicę! Bez nawiasów potęgowanie jest prawostronnie łączne - liczymy "od góry do dołu".

## Typowe pułapki maturalne

### Pułapka 1: \((-2)^2\) vs \(-2^2\)

$$(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$$

$$-2^2 = -(2^2) = -4$$

Minus **przed** potęgą (bez nawiasu) nie jest podnoszony do potęgi - potęgowanie ma wyższy priorytet niż zmiana znaku. To kosztuje punkty wielu maturzystów. Więcej o takich pułapkach w artykule o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### Pułapka 2: \(a^{1/2} \neq \frac{a}{2}\)

$$a^{1/2} = \sqrt{a} \neq \frac{a}{2}$$

Wykładnik \(\frac{1}{2}\) to pierwiastek kwadratowy, **nie dzielenie przez 2**. Analogicznie \(a^{1/3} \neq \frac{a}{3}\). Ten błąd zdarza się zaskakująco często.

### Pułapka 3: \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\)

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Potęga **nie rozkłada się** na sumę! Rozkłada się tylko na iloczyn i iloraz. Jeśli chcesz odświeżyć [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania), zajrzyj do osobnego artykułu.

### Pułapka 4: Ujemna podstawa przy wykładniku wymiernym

Wyrażenie \((-8)^{1/3}\) jest poprawne (\(= -2\)), ale \((-4)^{1/2}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych. Przy wykładniku wymiernym z parzystym mianownikiem **podstawa musi być nieujemna**.

### Pułapka 5: Zapominanie o warunku \(a \neq 0\) przy potędze ujemnej

$$0^{-2} = \frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$$

Nie istnieje! Potęga o wykładniku ujemnym wymaga \(a \neq 0\).

## Notacja naukowa

Notacja naukowa to zapis liczby w postaci:

$$a \times 10^n \quad \text{gdzie } 1 \leq |a|  0\) jest równe \(x^n\). Wyznacz \(n\).**

**Rozwiązanie:**

Zamieniamy na potęgi:

$$x^{2/3} \cdot x^{3/2}$$

Dodajemy wykładniki (ta sama podstawa):

$$x^{2/3 + 3/2}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6}$$

$$x^{2/3} \cdot x^{3/2} = x^{13/6}$$

**Odpowiedź:** \(n = \frac{13}{6}\)

### Zadanie 6: Wyznaczanie wartości wyrażenia

**Oblicz \(\left(\frac{8}{27}\right)^{-2/3}\).**

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - pozbywamy się ujemnego wykładnika (odwracamy ułamek):

$$\left(\frac{8}{27}\right)^{-2/3} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3}$$

Krok 2 - liczymy pierwiastek sześcienny z licznika i mianownika:

$$\left(\frac{27}{8}\right)^{2/3} = \frac{27^{2/3}}{8^{2/3}} = \frac{(\sqrt[3]{27})^2}{(\sqrt[3]{8})^2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$$

**Odpowiedź:** \(\left(\frac{8}{27}\right)^{-2/3} = \frac{9}{4}\)

### Zadanie 7: Równanie z potęgami

**Rozwiąż równanie \(4^x = 8\).**

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy obie strony do podstawy 2:

$$4^x = 8$$

$$(2^2)^x = 2^3$$

$$2^{2x} = 2^3$$

Podstawy równe, więc wykładniki muszą być równe:

$$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}$$

**Sprawdzenie:** \(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\) \(\checkmark\)

**Odpowiedź:** \(x = \frac{3}{2}\)

To zadanie łączy potęgi z [równaniami](/topics/rownania-i-nierownosci). Więcej zadań tego typu w [arkuszach maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Potęgi a logarytmy - związek, który musisz znać

Potęgi i logarytmy to dwie strony tej samej monety. Zapis logarytmiczny to po prostu "odwrócona" potęga:

$$a^b = c \quad \Leftrightarrow \quad \log_a c = b$$

Na maturze regularnie pojawiają się zadania, w których musisz przechodzić między tymi dwoma zapisami. Na przykład:

**Przykład:** Oblicz \(\log_8 4\).

Szukamy wykładnika: \(8^x = 4\). Sprowadzamy do podstawy 2:

$$(2^3)^x = 2^2 \quad \Rightarrow \quad 2^{3x} = 2^2 \quad \Rightarrow \quad 3x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3}$$

Więc \(\log_8 4 = \frac{2}{3}\). Widzisz, jak potęgi o wykładniku wymiernym naturalnie pojawiają się w logarytmach? Dlatego bez solidnej bazy z potęg nie da się rozwiązywać [zadań logarytmicznych](/skala-richtera-wzor-logarytm-zadanie-maturalne#jak-zamienic-sile-trzesienia-na-amplitude). Pełny przewodnik po [logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) znajdziesz w osobnym artykule.

## Potęgi w ciągach geometrycznych

W ciągu geometrycznym każdy wyraz to iloczyn poprzedniego wyrazu i ilorazu \(q\). Wzór na \(n\)-ty wyraz:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

To oznacza, że rozwiązywanie zadań z ciągami geometrycznymi wymaga biegłości w potęgowaniu. Na przykład:

**Przykład:** W ciągu geometrycznym \(a_1 = 2\), \(q = \frac{1}{2}\). Oblicz \(a_6\).

$$a_6 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 2 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$$

Tutaj potęga ułamka nie sprawia problemów, ale co gdyby iloraz był pierwiastkiem? \(q = \sqrt{3} = 3^{1/2}\), wtedy:

$$a_4 = a_1 \cdot (3^{1/2})^3 = a_1 \cdot 3^{3/2} = a_1 \cdot 3\sqrt{3}$$

Widzisz, jak potęgi o wykładniku wymiernym naturalnie pojawiają się w ciągach? Więcej o [ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) w osobnym artykule.

## Potęgi w wyrażeniach algebraicznych - jak upraszczać krok po kroku

Na maturze często pojawiają się wyrażenia, które wyglądają groźnie, ale po zamianie na potęgi stają się proste. Oto rozbudowany przykład krok po kroku.

### Zadanie 8: Rozbudowane upraszczanie

**Uprość wyrażenie \(\frac{\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{-1/2}}{\sqrt{a}}\) dla \(a > 0\).**

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - zamieniamy wszystkie pierwiastki i potęgi:

$$\frac{a^{3/4} \cdot a^{-1/2}}{a^{1/2}}$$

Krok 2 - dodajemy wykładniki w liczniku:

$$\frac{a^{3/4 + (-1/2)}}{a^{1/2}} = \frac{a^{3/4 - 2/4}}{a^{1/2}} = \frac{a^{1/4}}{a^{1/2}}$$

Krok 3 - dzielimy (odejmujemy wykładniki):

$$a^{1/4 - 1/2} = a^{1/4 - 2/4} = a^{-1/4}$$

Krok 4 - zapisujemy wynik:

$$a^{-1/4} = \frac{1}{a^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a}}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{-1/2}}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\)

**Wskazówka:** Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków w wykładnikach (np. \(\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\)) sprowadzaj do wspólnego mianownika tak jak zwykłe ułamki. To najczęstsze miejsce, gdzie zdarzają się [błędy rachunkowe na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

### Zadanie 9: Porównywanie wartości wyrażeń z potęgami

**Które z wyrażeń jest większe: \(A = 3^{40}\) czy \(B = 4^{30}\)?**

**Rozwiązanie:**

Szukamy wspólnego wykładnika. \(NWD(40, 30) = 10\), więc:

$$A = 3^{40} = (3^4)^{10} = 81^{10}$$

$$B = 4^{30} = (4^3)^{10} = 64^{10}$$

Ponieważ \(81 > 64\) i wykładnik \(10\) jest dodatni:

$$81^{10} > 64^{10} \quad \Rightarrow \quad 3^{40} > 4^{30}$$

**Odpowiedź:** \(3^{40} > 4^{30}\)

Ten typ zadania pojawia się na maturze w formie zamkniętej - musisz wybrać prawidłową odpowiedź z czterech opcji. Klucz: sprowadź do wspólnego wykładnika lub wspólnej podstawy.

## Strategia rozwiązywania zadań z potęgami na maturze

Na podstawie analizy arkuszy CKE z ostatnich lat, oto sprawdzony schemat:

**Krok 1: Sprowadź do wspólnej podstawy.** Jeśli widzisz 4, 8, 16, 32 - zapisz jako potęgi dwójki. Jeśli 9, 27, 81 - potęgi trójki. Jeśli 25, 125 - potęgi piątki.

**Krok 2: Zamień pierwiastki na potęgi.** Każdy \(\sqrt[n]{a^m}\) zamień na \(a^{m/n}\). Dzięki temu wszystkie operacje sprowadzą się do arytmetyki na ułamkach.

**Krok 3: Zastosuj prawa potęgowania.** Mnożenie - dodaj wykładniki, dzielenie - odejmij, potęga potęgi - pomnóż.

**Krok 4: Uprość wynik.** Jeśli pytają o konkretną liczbę, oblicz. Jeśli o postać \(a^n\), podaj wykładnik.

**Krok 5: Sprawdź pułapki.** Czy nie pomyliłeś znaku wykładnika? Czy nie rozbijałeś sumy na potęgi poszczególnych składników?

Ten schemat działa na **ponad 90% zadań** z potęgami na maturze podstawowej. Warto też przećwiczyć [zadania za 1 punkt](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt) - wiele z nich dotyczy właśnie potęg.

## Tabela potęg do zapamiętania

Na maturze nie masz kalkulatora, więc warto znać na pamięć:

| \(n\) | \(2^n\) | \(3^n\) | \(5^n\) |
|---------|----------|----------|----------|
| 1 | 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 9 | 25 |
| 3 | 8 | 27 | 125 |
| 4 | 16 | 81 | 625 |
| 5 | 32 | 243 | 3125 |
| 6 | 64 | 729 | - |
| 7 | 128 | - | - |
| 8 | 256 | - | - |
| 9 | 512 | - | - |
| 10 | 1024 | - | - |

Znajomość tych wartości pozwala błyskawicznie rozpoznawać, że np. 64 to \(2^6\), a 729 to \(3^6\) - co jest kluczowe przy sprowadzaniu do wspólnej podstawy. Sprawdź, [jakie wzory znajdziesz na karcie CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) - praw potęgowania tam **nie ma**, musisz je znać na pamięć.

## Podsumowanie - co zapamiętać na maturę

1. **Potęga ujemna** = odwrotność: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
2. **Potęga wymierna** = pierwiastek + potęga: \(a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m\)
3. **Zawsze zamieniaj** pierwiastki na potęgi - zyskujesz dostęp do praw potęgowania
4. **Sprowadzaj** do wspólnej podstawy - to klucz do większości zadań
5. **Najpierw pierwiastkuj**, potem potęguj - mniejsze liczby, łatwiejsze rachunki
6. **Nie rozkładaj potęgi sumy** - \((a+b)^n \neq a^n + b^n\)
7. **Pilnuj nawiasów** - \((-2)^2 = 4\), ale \(-2^2 = -4\)

Potęgi to fundament, na którym stoją [logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), [funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza) i wiele innych działów. Opanuj je solidnie, a reszta będzie znacznie łatwiejsza. Zacznij od przećwiczenia [zadań z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki) w naszej bazie - każde ma rozwiązanie krok po kroku.

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne
title: Jak rozwiązać równanie logarytmiczne - 5 metod z przykładami krok po kroku
description: Rozwiązywanie równań logarytmicznych krok po kroku. 5 metod, 6 rozwiązanych zadań maturalnych, typowe pułapki i strategia na egzamin z matematyki.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać równanie logarytmiczne - 5 metod z przykładami krok po kroku

Równania logarytmiczne to jeden z tematów, który sprawia uczniom najwięcej kłopotów na maturze. Ale wcale nie muszą być trudne. Klucz to opanowanie kilku metod i - co najważniejsze - pamiętanie o założeniach. Pokażę ci 5 sposobów rozwiązywania i przejdziemy przez 8 przykładów od prostych po zaawansowane.

## Zanim zaczniesz: założenia logarytmu

Zanim rozwiążesz jakiekolwiek równanie logarytmiczne, musisz sprawdzić założenia. Logarytm \(\log_a b\) istnieje tylko gdy:

1. **Podstawa:** \(a > 0\) i \(a \neq 1\)
2. **Argument (liczba pod logarytmem):** \(b > 0\)

To jest **najczęstszy powód utraty punktów** na maturze. Uczniowie rozwiązują równanie poprawnie, ale zapominają sprawdzić, czy wynik spełnia założenia. CKE za to bezwzględnie odejmuje punkty.

Więcej o własnościach logarytmów znajdziesz w [kompletnym przewodniku po logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Metoda 1: Definicja logarytmu (najważniejsza)

Definicja: \(\log_a b = c \iff a^c = b\)

Słowami: logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby dostać argument.

### Przykład 1: Proste równanie z definicji

Rozwiąż równanie \(\log_2(x + 3) = 4\).

**Rozwiązanie:**

**Założenie:** \(x + 3 > 0 \implies x > -3\)

Przechodzimy do postaci wykładniczej (z definicji logarytmu):

$$\log_2(x + 3) = 4 \iff 2^4 = x + 3$$

$$16 = x + 3$$

$$x = 13$$

**Sprawdzenie założeń:** \(13 > -3\) - spełnione.

**Odpowiedź:** \(x = 13\).

### Przykład 2: Niewiadoma w podstawie

Rozwiąż równanie \(\log_x 8 = 3\).

**Rozwiązanie:**

**Założenia:** \(x > 0\) i \(x \neq 1\)

Z definicji:

$$x^3 = 8$$

$$x = \sqrt[3]{8} = 2$$

**Sprawdzenie:** \(2 > 0\) i \(2 \neq 1\) - spełnione.

**Odpowiedź:** \(x = 2\).

## Metoda 2: Porównywanie logarytmów

Jeśli \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\), to \(f(x) = g(x)\) (przy tych samych założeniach).

### Przykład 3: Dwa logarytmy o tej samej podstawie

Rozwiąż: \(\log_3(2x - 1) = \log_3(x + 4)\).

**Rozwiązanie:**

**Założenia:** \(2x - 1 > 0\) i \(x + 4 > 0\), czyli \(x > \frac{1}{2}\) i \(x > -4\). Łącznie: \(x > \frac{1}{2}\).

Porównujemy argumenty:

$$2x - 1 = x + 4$$

$$x = 5$$

**Sprawdzenie:** \(5 > \frac{1}{2}\) - spełnione.

**Odpowiedź:** \(x = 5\).

### Przykład 4: Dwa rozwiązania i oba w dziedzinie

Rozwiąż: \(\log(x^2) = \log(3x - 2)\) (logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10).

**Rozwiązanie:**

**Założenia:** \(x^2 > 0\), czyli \(x \neq 0\), oraz \(3x - 2 > 0\), czyli \(x > \frac{2}{3}\). Łącznie: \(x > \frac{2}{3}\).

Porównujemy argumenty:

$$x^2 = 3x - 2$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$(x - 1)(x - 2) = 0$$

$$x = 1 \quad \text{lub} \quad x = 2$$

**Sprawdzenie założeń:** \(1 > \frac{2}{3}\) i \(2 > \frac{2}{3}\) - oba spełnione.

**Odpowiedź:** \(x = 1\) lub \(x = 2\).

Tym razem żadne rozwiązanie nie odpada, ale sprawdzić trzeba zawsze: w następnym przykładzie jedno z dwóch odpadnie.

## Metoda 3: Własności logarytmów

Kluczowe wzory, które pozwalają przekształcać równania:

- \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\) (logarytm iloczynu)
- \(\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\) ([logarytm ilorazu](/skala-richtera-wzor-logarytm-zadanie-maturalne#wzory))
- \(\log_a x^n = n \cdot \log_a x\) (logarytm potęgi)

### Przykład 5: Suma logarytmów

Rozwiąż: \(\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3\).

**Rozwiązanie:**

**Założenia:** \(x > 0\) i \(x - 2 > 0\), czyli \(x > 2\).

Łączymy logarytmy (wzór na logarytm iloczynu):

$$\log_2[x(x - 2)] = 3$$

Z definicji:

$$x(x - 2) = 2^3 = 8$$

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

Rozwiązujemy [równanie kwadratowe](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe):

$$\Delta = 4 + 32 = 36$$

$$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$$

**Sprawdzenie założeń:** \(x > 2\), więc \(x_2 = -2\) odpada!

**Odpowiedź:** \(x = 4\).

To doskonały przykład dlaczego założenia są kluczowe. Bez ich sprawdzenia, odpowiedź \(x = -2\) wygląda poprawnie rachunkowo, ale jest błędna.

### Przykład 6: Różnica logarytmów

Rozwiąż: \(\log_2(x + 1) - \log_2(x - 1) = 1\).

**Rozwiązanie:**

**Założenia:** \(x + 1 > 0\) i \(x - 1 > 0\), czyli \(x > 1\).

Różnicę logarytmów zamieniamy na logarytm ilorazu:

$$\log_2 \frac{x + 1}{x - 1} = 1$$

Z definicji:

$$\frac{x + 1}{x - 1} = 2^1 = 2$$

$$x + 1 = 2(x - 1)$$

$$x = 3$$

**Sprawdzenie założeń:** \(3 > 1\) - spełnione. Dla pewności: \(\log_2 4 - \log_2 2 = 2 - 1 = 1\).

**Odpowiedź:** \(x = 3\).

Ta sama własność wystarcza w zadaniu z matury z czerwca 2013, w którym trzeba obliczyć [różnicę dwóch logarytmów o podstawie 2](/task/matura-czerwiec-2013-04).

## Metoda 4: Zamiana zmiennych

Gdy logarytm pojawia się w kilku miejscach, warto wprowadzić nową zmienną.

### Przykład 7: Równanie "kwadratowe" z logarytmem

Rozwiąż: \((\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3 = 0\).

**Rozwiązanie:**

**Założenie:** \(x > 0\).

Podstawiamy \(t = \log_3 x\):

$$t^2 - 4t + 3 = 0$$

To [równanie kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania) ze zmienną \(t\):

$$(t - 1)(t - 3) = 0$$

$$t_1 = 1 \quad \text{lub} \quad t_2 = 3$$

Wracamy do zmiennej \(x\):

Dla \(t_1 = 1\): \(\log_3 x = 1 \implies x = 3\)

Dla \(t_2 = 3\): \(\log_3 x = 3 \implies x = 27\)

**Sprawdzenie:** \(3 > 0\) i \(27 > 0\) - oba spełnione.

**Odpowiedź:** \(x = 3\) lub \(x = 27\).

## Metoda 5: Zmiana podstawy

Wzór na zmianę podstawy: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\)

Przydaje się, gdy w równaniu pojawiają się logarytmy o różnych podstawach.

### Przykład 8: Logarytmy o różnych podstawach

Rozwiąż: \(\log_2 x + \log_4 x = 6\).

**Rozwiązanie:**

**Założenie:** \(x > 0\).

Zamieniamy \(\log_4 x\) na podstawę 2. Ponieważ \(4 = 2^2\):

$$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$$

Podstawiamy \(t = \log_2 x\):

$$t + \frac{t}{2} = 6$$

$$\frac{3t}{2} = 6$$

$$t = 4$$

Więc \(\log_2 x = 4\), czyli \(x = 2^4 = 16\).

**Sprawdzenie:** \(\log_2 16 + \log_4 16 = 4 + 2 = 6\). Zgadza się.

**Odpowiedź:** \(x = 16\).

## Strategia rozwiązywania na maturze

Oto algorytm, który stosuj przy każdym równaniu logarytmicznym:

1. **Zapisz założenia** - zanim cokolwiek liczysz. Za brak założeń CKE odejmuje punkty.
2. **Oceń typ równania** - czy masz jeden logarytm, dwa o tej samej podstawie, sumę/różnicę logarytmów, czy różne podstawy?
3. **Wybierz metodę** - definicja (jeden logarytm), porównanie (dwa logarytmy), własności (suma/różnica), zamiana zmiennych (potęgi logarytmu), zmiana podstawy (różne podstawy).
4. **Rozwiąż** - sprowadź do równania liniowego lub kwadratowego.
5. **Sprawdź założenia** - odrzuć rozwiązania, które nie spełniają założeń.

## Typowe błędy

**Błąd 1: Brak założeń.** Zawsze pisz je na początku. Nawet jeśli wynik je spełnia - za sam brak zapisu tracisz punkty.

**Błąd 2: Niepoprawne łączenie logarytmów.** \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\), ale \(\log_a x \cdot \log_a y \neq \log_a(xy)\)! Dodawanie logarytmów daje logarytm iloczynu, nie mnożenie!

**Błąd 3: Zapominanie o odrzuceniu.** W przykładzie 5 dostaliśmy \(x = -2\), które nie spełnia założeń. Gdybyśmy tego nie sprawdzili, stracilibyśmy punkt.

**Błąd 4: \(\log_a 0\) istnieje.** Nie, nie istnieje. Logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich. Jeśli po podstawieniu wychodzi \(\log_a 0\) - to rozwiązanie odpada.

**Błąd 5: Mylenie \(\log a^2\) z \((\log a)^2\).** Pierwszy to \(2\log a\) (z własności), drugi to kwadrat logarytmu. To zupełnie różne rzeczy!

**Błąd 6: Rozbijanie logarytmu sumy.** \(\log_a(m + n) \neq \log_a m + \log_a n\). Wzór działa dla iloczynu pod logarytmem: \(\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)\). Sumy pod logarytmem nie da się rozbić.

## Powiązane tematy

- [Funkcja wykładnicza](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) - logarytm i funkcja wykładnicza to funkcje odwrotne, więc równanie logarytmiczne zamieniasz na wykładnicze i odwrotnie.
- [Nierówności logarytmiczne](/jak-rozwiazac-nierownosc-logarytmiczna-metody-matura) - te same metody, ale przy podstawie mniejszej od 1 zmienia się kierunek nierówności. W równaniach to bez znaczenia.
- Logarytmy w arkuszach: [zadanie z arkusza CKE 2025 z wykresem logarytmu liczby bakterii](/task/cke-2025-pp-10) i [zadanie treningowe z logarytmem dziesiętnym](/task/cke-pp-treningowe-03).

## Co musisz umieć - checklista

- Zapisywać i sprawdzać założenia logarytmu
- Przechodzić od postaci logarytmicznej do wykładniczej (definicja)
- Łączyć i rozdzielać logarytmy (własności)
- Stosować zamianę zmiennych w równaniach "kwadratowych"
- Zamieniać podstawy logarytmów
- Odrzucać rozwiązania niespełniające założeń

Przećwicz zadania z logarytmów w [naszej bazie](/topics/logarytmy) - mamy 73 zadania maturalne z pełnymi rozwiązaniami. Sprawdź też [listę wzorów maturalnych](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista), gdzie znajdziesz wszystkie własności logarytmów w jednym miejscu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe
title: Jak obliczyć deltę: przykłady krok po kroku i zadania maturalne
description: Jak policzyć deltę bez pomyłki: skąd wziąć a, b i c, co mówi znak delty, 6 przykładów krok po kroku, zadania z parametrem i najczęstsze błędy na maturze.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć deltę: przykłady krok po kroku i zadania maturalne

## Po co ci delta?

Delta (wyróżnik) mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe, i prowadzi prosto do tych rozwiązań. Kto umie ją policzyć bez pomyłki w znakach, rozwiąże każde równanie kwadratowe z matury, zarówno w zadaniu zamkniętym, jak i otwartym. W tym poradniku liczymy ją krok po kroku na sześciu przykładach i trzech zadaniach z parametrem.

Interaktywny kalkulator: delta (dostępny na stronie wpisu)

Na maturze delta pojawia się nie tylko w czystych równaniach kwadratowych. Potrzebujesz jej też przy [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) (ile miejsc zerowych ma parabola?), przy [nierównościach kwadratowych](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania), a czasem przy [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) (ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem?).

## Delta krok po kroku: skąd wziąć a, b i c

Sam wzór na deltę razem z opisem znaku wyróżnika masz na stronie [Wzór na deltę](/wzory/delta-rownanie-kwadratowe). Tutaj ważniejsze jest to, jak go użyć bez pomyłki.

Masz równanie kwadratowe w postaci ogólnej:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

gdzie \(a \neq 0\).

Delta to:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Trzy litery: \(a\), \(b\), \(c\) - współczynniki równania. Wstawiasz je do wzoru i gotowe.

**Skąd brać \(a\), \(b\), \(c\)?** Wprost z równania:
- \(a\) - współczynnik przy \(x^2\)
- \(b\) - współczynnik przy \(x\)
- \(c\) - wyraz wolny (liczba bez \(x\))

Na przykład w równaniu \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) mamy: \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\).

## Co mówi delta - interpretacja

Wartość delty decyduje o tym, ile rozwiązań ma równanie:

| Delta | Liczba rozwiązań | Co to znaczy geometrycznie |
|-------|-----------------|---------------------------|
| \(\Delta > 0\) | 2 różne rozwiązania | Parabola przecina oś OX w dwóch punktach |
| \(\Delta = 0\) | 1 rozwiązanie (podwójne) | Parabola dotyka osi OX w jednym punkcie |
| \(\Delta  0\) - dwa rozwiązania.

**Krok 3:** Oblicz pierwiastki.

$$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

**Odpowiedź:** \(x = 2\) lub \(x = 3\).

**Sprawdzenie:** Wstaw \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\). Zgadza się. Wstaw \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\). Zgadza się. Zawsze sprawdzaj - to darmowe punkty na maturze. Więcej o [metodach sprawdzania odpowiedzi](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Przykład 2 - Delta równa zero

**Rozwiąż równanie:** \(x^2 - 6x + 9 = 0\)

**Krok 1:** \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)

**Krok 2:**

$$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$

\(\Delta = 0\) - jedno rozwiązanie (podwójne).

**Krok 3:**

$$x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

**Odpowiedź:** \(x = 3\).

Zauważ, że \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). Gdy delta wynosi zero, trójmian jest kwadratem dwumianu. Warto to kojarzyć - przydaje się przy [wzorach skróconego mnożenia](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia).

## Przykład 3 - Delta ujemna

**Rozwiąż równanie:** \(2x^2 + x + 3 = 0\)

**Krok 1:** \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 3\)

**Krok 2:**

$$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$$

\(\Delta = -23  0\) (dwa rozwiązania), \(\Delta = 0\) (jedno) albo \(\Delta  0\):

$$16 - 4m > 0 \implies m  0\) (parabola skierowana ramionami do góry), to jest minimum funkcji. Gdy \(a  0\): \(f(x) > 0\) dla każdego \(x\), parabola leży w całości nad osią OX,
- \(\Delta  0\): \(f(x) \geq 0\) dla każdego \(x\), a zero tylko w wierzchołku,
- \(\Delta > 0\): funkcja zmienia znak w obu miejscach zerowych.

Stąd warunek w zadaniach typu „dla jakich \(m\) nierówność \(mx^2 + 4x + 1 > 0\) jest spełniona dla każdego \(x\)”: potrzebujesz jednocześnie \(m > 0\) i \(\Delta  0\), więc \(\Delta > 0\) i równanie na pewno ma dwa rozwiązania. Jeśli \(b = 0\), a \(a\) i \(c\) mają ten sam znak, to \(\Delta = -4ac < 0\) i rozwiązań nie ma.

## Jak zapisać rozwiązanie w zadaniu otwartym

Wzór \(\Delta = b^2 - 4ac\) i wzory na \(x_1\), \(x_2\) są w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje). Punkty w zadaniu otwartym zależą od tego, czy egzaminator widzi tok rozumowania, więc zapisuj kolejno:

1. równanie w postaci ogólnej \(ax^2 + bx + c = 0\),
2. współczynniki \(a\), \(b\), \(c\),
3. deltę razem ze wzorem,
4. wniosek ze znaku delty,
5. pierwiastki albo informację, że ich nie ma,
6. odpowiedź.

Za poprawny tok możesz dostać punkty nawet przy błędzie rachunkowym na końcu. Jak egzaminatorzy przyznają punkty, opisujemy w poradniku o [zasadach oceniania](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Odczytać współczynniki \(a\), \(b\), \(c\) z równania kwadratowego
- Obliczyć deltę ze wzoru \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- Zinterpretować znak delty (ile rozwiązań)
- Obliczyć pierwiastki ze wzoru z deltą
- Rozpoznać równania niepełne i rozwiązać je szybciej
- Wyznaczyć parametr z warunku na znak delty
- Sprawdzić wynik przez podstawienie lub wzory Viete'a

Chcesz poćwiczyć? Rozwiąż [zadania z funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) - większość z nich wymaga obliczenia delty. Zacznij od zadań zamkniętych, potem przejdź do otwartych.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-przeksztalcic-funkcje-kwadratowa-postac-kanoniczna-iloczynowa
title: Jak przekształcić funkcję kwadratową na postać kanoniczną i iloczynową - krok po kroku
description: Jak przekształcić funkcję kwadratową na postać kanoniczną i iloczynową - krok po kroku. 6 rozwiązanych zadań maturalnych, kiedy której postaci używać.
author: Filip Maszota
---

# Jak przekształcić funkcję kwadratową na postać kanoniczną i iloczynową - krok po kroku

Funkcja kwadratowa ma trzy postacie: ogólną, kanoniczną i iloczynową. Każda z nich coś "pokazuje od razu" - w postaci kanonicznej widać wierzchołek paraboli, w iloczynowej miejsca zerowe, a w ogólnej punkt przecięcia z osią OY. Na maturze z matematyki umiejętność swobodnego przechodzenia między postaciami to jedna z najważniejszych kompetencji. Dosłownie każdy arkusz ma zadanie z funkcji kwadratowej, a często kilka.

## Trzy postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa (inaczej: trójmian kwadratowy) to każda funkcja postaci \(f(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie \(a \ne 0\).

**Postać ogólna:**
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

**Postać kanoniczna:**
$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$
gdzie \((p, q)\) to współrzędne wierzchołka paraboli.

**Postać iloczynowa:**
$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$
gdzie \(x_1, x_2\) to [miejsca zerowe funkcji](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac) (o ile istnieją).

Każda funkcja kwadratowa ma postać ogólną i kanoniczną. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy \([delta](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) \geq 0\).

## Postać ogólna → kanoniczna: metoda wzorów

Najprostszy sposób: policz wierzchołek \((p, q)\) ze wzorów.

$$p = \frac{-b}{2a}$$

$$q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p)$$

Gotowe, wstawiasz do \(f(x) = a(x - p)^2 + q\).

### Przykład 1: Z ogólnej do kanonicznej

**Zadanie.** Zamień \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\) na postać kanoniczną.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 5\).

Krok 2. Wierzchołek:
$$p = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$

$$q = f(2) = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$

Krok 3. Postać kanoniczna:
$$f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$$

**Odpowiedź:** \(f(x) = 2(x - 2)^2 - 3\), wierzchołek \((2, -3)\).

## Postać ogólna → kanoniczna: uzupełnianie do kwadratu

Druga metoda, która pokazuje mechanikę. Rzadziej używana, ale nauczyciele lubią ją w dowodach.

Pomysł: "dopełnij" \(ax^2 + bx\) tak, żeby utworzył pełen kwadrat \(a(x - p)^2\).

### Przykład 2: Uzupełnianie do kwadratu

**Zadanie.** Zamień \(f(x) = x^2 + 6x + 5\) na postać kanoniczną przez uzupełnianie do kwadratu.

**Rozwiązanie.**

$$f(x) = x^2 + 6x + 5$$

Dopełnij pierwsze dwa wyrazy do \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\):

$$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$$

**Odpowiedź:** \(f(x) = (x + 3)^2 - 4\), wierzchołek \((-3, -4)\).

Zauważ: \((x+3)^2\) oznacza \((x - (-3))^2\), więc \(p = -3\).

## Postać ogólna → iloczynowa: przez miejsca zerowe

1. Oblicz [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe): \(\Delta = b^2 - 4ac\).
2. Jeśli \(\Delta > 0\): dwa [miejsca zerowe](/kiedy-funkcja-kwadratowa-nie-ma-miejsc-zerowych#w-skrocie) \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\), \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\), postać iloczynowa: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).
3. Jeśli \(\Delta = 0\): jedno miejsce zerowe \(x_0 = \frac{-b}{2a}\), postać iloczynowa: \(f(x) = a(x - x_0)^2\).
4. Jeśli \(\Delta  0\), parabola jest "dnem do góry" (ramiona do góry), wartość najmniejsza = \(q\).
- Jeśli \(a < 0\), parabola jest "dnem w dół" (ramiona w dół), wartość największa = \(q\).

Ta prosta obserwacja jest fundamentem zadań optymalizacyjnych.

## Typowe pułapki

1. **Mylenie znaków \(p\) w postaci kanonicznej** - \((x + 3)^2\) to \((x - (-3))^2\), czyli \(p = -3\), nie \(p = 3\).
2. **Zapominanie o \(a\)** - jeśli \(a \ne 1\), postać kanoniczna to \(a(x - p)^2 + q\), nie samo \((x - p)^2 + q\).
3. **Liczenie wierzchołka bez funkcji** - \(q\) to wartość funkcji w \(p\), więc \(q = f(p)\). Ludzie często zapominają podstawić z powrotem.
4. **Brak postaci iloczynowej przy \(\Delta < 0\)** - pamiętaj, że nie zawsze istnieje.
5. **Pomieszanie \(p\) i \(q\)** - \(p\) to x-owa wierzchołka (oś symetrii), \(q\) to y-owa (wartość ekstremalna).

## Wierzchołek ze wzorów Viète'a - szybki trik

Jeśli znasz miejsca zerowe \(x_1, x_2\), to \(p = \frac{x_1 + x_2}{2}\) (środek między miejscami zerowymi). To najszybszy [sposób na znalezienie wierzchołka](/przedzialy-monotonicznosci-funkcji-kwadratowej-rosnaca-malejaca-matura#skad-wziac-p-trzy-postacie-wzoru) dla funkcji, którą umiesz zapisać iloczynowo.

## Co musisz umieć na maturę

- [x] Zapisać wszystkie trzy postacie i rozpoznać, która to która.
- [x] Zamieniać ogólną na kanoniczną przez wzór \(p = -\frac{b}{2a}\), \(q = f(p)\).
- [x] Zamieniać ogólną na iloczynową przez deltę lub wzory Viète'a.
- [x] [Znaleźć wierzchołek paraboli](/jak-znalezc-wierzcholek-paraboli) z dowolnej postaci.
- [x] Wybrać właściwą postać dla danego pytania.
- [x] Wyznaczyć funkcję z warunków (miejsca zerowe + punkt, wierzchołek + punkt, trzy punkty).
- [x] Powiązać wzory Viète'a z postacią iloczynową.

## Powiązane tematy

- [Funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - pełen przewodnik
- [Jak obliczyć deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) - fundament do postaci iloczynowej
- [Jak znaleźć wierzchołek paraboli](/jak-znalezc-wierzcholek-paraboli) - 3 metody na \(p\) i \(q\)
- [Wzory Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania) - szybkie wyznaczanie miejsc zerowych
- [Jak narysować wykres funkcji kwadratowej](/jak-narysowac-wykres-funkcji-kwadratowej) - wizualizacja paraboli
- [Nierówności kwadratowe na maturze](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania) - zastosowanie postaci iloczynowej

Ćwicz na zadaniach maturalnych w dziale [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - tam masz setki zadań z poprzednich matur.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura maj 2016 z matematyki: lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii, poziom trudności i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2016

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2016 to jeden z pierwszych pełnych roczników nowej formuły egzaminu. Arkusz zawierał **34 zadania**: 25 zamkniętych i 9 otwartych, za łącznie **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**.

Rok 2016 był drugim rokiem nowej formuły (po 2015). Na rozwiązanie było 170 minut. Arkusz jest dobrze wyważony i świetnie nadaje się do ćwiczeń - nie jest ani zbyt łatwy, ani zbyt trudny. Zadania zamknięte sprawdzają szeroką wiedzę z różnych działów, a otwarte wymagają solidnego toku rozumowania.

Jeśli szukasz innych arkuszy do porównania, sprawdź [maturę z maja 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz) i [maturę z maja 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz). Razem z tym arkuszem dają dobry obraz, jak CKE stopniowo kształtowało nową formułę. Wszystkie arkusze znajdziesz w [kompletnej bazie arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 7 | 11 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 5 | 7 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 7 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 4 | 5 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 5 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 3 | 3 |
| Logarytmy | 2 | 3 |
| Procenty | 2 | 3 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 2 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 2 | 2 |
| Funkcja liniowa | 1 | 1 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 |

Największą grupę stanowi [planimetria](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) - aż 7 zadań za 11 punktów, w tym otwarte zadanie 32 za 4 punkty. Na drugim miejscu są [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) (5 zadań za 7 pkt), a dalej [ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) (4 zadania za 5 pkt).

Warto zwrócić uwagę na [stereometrię](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) - tylko 3 zadania, ale za 7 punktów (w tym zadanie 33 za 5 pkt). Mało zadań, ale za dużą liczbę punktów. Kto umie stereometrię, zgarnia pokaźny bonus.

## Poziom trudności

Arkusz majowy 2016 miał **zrównoważony poziom trudności**. Zadania zamknięte były przystępne, a prawdziwe wyzwania czekały w części otwartej - szczególnie w stereometrii za 5 punktów i prawdopodobieństwie za 4 punkty.

**Łatwe** - podstawowe potęgi, procenty, odczytywanie wykresu funkcji kwadratowej, proste zadania z planimetrii. To fundament, bez którego nie ma sensu podchodzić do matury. Jeśli masz braki, zacznij od [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

**Średnie** - logarytmy, ciągi geometryczne, trygonometria, geometria analityczna, nierówności kwadratowe. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania wystarczą do zdobycia większości tych punktów. Przeczytaj [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), żeby wycisnąć z tej grupy maksimum.

**Trudne** - stereometria ostrosłupa prawidłowego za 5 punktów, prawdopodobieństwo z losowaniem bez zwracania za 4 punkty, logarytmiczna [skala Richtera](/skala-richtera-wzor-logarytm-zadanie-maturalne#jak-zapisac-rozwiazanie-zadania-z-2016-roku). Ale nawet tu punkty cząstkowe są w zasięgu - samo narysowanie rysunku i wyznaczenie potrzebnych wielkości daje kilka punktów.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Kluczowe to sprowadzić i podstawę, i argument logarytmu do potęg dwójki. To uniwersalna strategia przy [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) - gdy widzisz \(\sqrt{2}\) i \(2\sqrt{2}\), od razu myśl "potęgi dwójki":

$$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$

$$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$$

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \(\log_{a^k}(a^m) = \frac{m}{k}\):

$$\log_{2^{1/2}}(2^{3/2}) = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$$

**Odpowiedź:** D. \(3\)

Typowe zadanie na zamianę podstawy. Najczęstszy błąd: zapominanie, że \(2\sqrt{2} = 2^{3/2}\), a nie \(2^{1/2}\). Pamiętaj o mnożeniu potęg o tej samej podstawie: dodajesz wykładniki. Więcej tego typu ćwiczeń na stronie [zadań z logarytmów](/topics/logarytmy).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-02)

---

### Zadanie 4 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Równość \((2\sqrt{2} - a)^2 = 17 - 12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla

**Rozwiązanie:**

Rozwijamy lewą stronę ze wzoru skróconego mnożenia \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\):

$$(2\sqrt{2} - a)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot a + a^2 = 8 - 4a\sqrt{2} + a^2$$

Porównujemy z prawą stroną \(17 - 12\sqrt{2}\). Przyrównujemy części "z pierwiastkiem" i "bez pierwiastka":

**Część z \(\sqrt{2}\):** \(-4a\sqrt{2} = -12\sqrt{2}\), więc \(4a = 12\), czyli \(a = 3\)

**Sprawdzenie części bez pierwiastka:** \(8 + a^2 = 8 + 9 = 17\) \(\checkmark\)

**Odpowiedź:** A. \(a=3\)

To klasyczne zadanie na porównywanie współczynników. Klucz: po rozwinięciu kwadratu dostajesz wyrażenie z \(\sqrt{2}\) i bez. Przyrównujesz osobno składniki wymierne i niewymierne. Ten schemat pojawia się na maturze regularnie - przećwicz go na [zadaniach z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki).

**Pułapka:** Niektórzy próbują zgadywać wartość \(a\) i podstawiać. To działa, ale jest wolniejsze i ryzykowne. Metoda porównywania współczynników jest pewniejsza.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-04)

---

### Zadanie 15 - Ciągi (1 pkt)

**Treść:** Ciąg \((x,\; 2x+3,\; 4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

**Rozwiązanie:**

W [ciągu geometrycznym](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów skrajnych. To kluczowy warunek:

$$(2x+3)^2 = x \cdot (4x+3)$$

Rozwijamy lewą stronę:

$$4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x$$

Wyrazy \(4x^2\) redukują się:

$$12x + 9 = 3x$$

$$9x = -9$$

$$x = -1$$

**Sprawdzenie:** Ciąg to \((-1,\; 1,\; -1)\). Iloraz: \(q = \frac{1}{-1} = -1\). Sprawdzamy: \(1 \cdot (-1) = -1\) \(\checkmark\). To poprawny ciąg geometryczny z ilorazem \(q = -1\).

**Odpowiedź:** D. \(-1\)

Zwróć uwagę, że ciąg ma iloraz ujemny - wyrazy na przemian zmieniają znak. To zupełnie poprawne! CKE lubi sprawdzać, czy uczniowie wiedzą, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny. Jedyne ograniczenie: \(q \neq 0\) i żaden wyraz nie może być zerem.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-15)

---

### Zadanie 17 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy

**Rozwiązanie:**

Budujemy trójkąt prostokątny, w którym tangens kąta \(\alpha\) wynosi \(\frac{2}{3}\). Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy kącie, więc:

- Przyprostokątna naprzeciwko \(\alpha\): \(2\)
- Przyprostokątna przy \(\alpha\): \(3\)

Obliczamy przeciwprostokątną z [twierdzenia Pitagorasa](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag):

$$c = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

Teraz odczytujemy wartości funkcji [trygonometrycznych](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania):

$$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$$

$$\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

**Odpowiedź:** C. \(\sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13}\)

Metoda "budowania trójkąta" jest najszybsza w zadaniach, gdzie dany jest tangens, a szukamy sinusa i cosinusa. Zamiast korzystać z jedynki trygonometrycznej i przekształcać wzory, rysujesz trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i bezpośrednio odczytujesz wyniki. Ten sam schemat pojawia się na maturze co roku.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-17)

---

### Zadanie 23 - Stereometria (1 pkt)

**Treść:** Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa

**Rozwiązanie:**

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. Połowa tego kąta (kąt między tworzącą a osią) wynosi \(60°\).

Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez oś stożka, promień podstawy i tworzącą:

$$r = l \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

$$h = l \cdot \cos 60° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$$

**Odpowiedź:** D. \(8\pi\)

Kluczowe to prawidłowe zrozumienie, czym jest "kąt rozwarcia" - to kąt w przekroju osiowym między dwiema tworzącymi, nie między tworzącą a osią. Połowa kąta rozwarcia to kąt, którego używasz w trójkącie prostokątnym. To najczęstszy błąd w zadaniach ze stożkiem. Przeczytaj nasz [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-23)

---

### Zadanie 27 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\)

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Przenosimy wszystko na jedną stronę.** Odejmujemy prawą stronę od obu stron [nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania):

$$2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0$$

$$-x^2 + 2x > 0$$

**Krok 2 - Mnożymy obie strony przez \(-1\)** (zmieniamy znak nierówności!):

$$x^2 - 2x  0\) i \(x - 2  2\): oba czynniki dodatnie, iloczyn dodatni - nie spełnia

**Odpowiedź:** \(x \in (0, 2)\)

Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu przez liczbę ujemną! To jeden z najczęstszych błędów na maturze. Zapisz ten krok jawnie, wtedy łatwiej go nie przeoczyć.

**Alternatywna metoda:** Możesz narysować parabolę \(y = x^2 - 2x\). Przecina oś OX w punktach 0 i 2, ramiona do góry (\(a = 1 > 0\)). Parabola jest poniżej osi OX na przedziale \((0, 2)\). Taki szkic wykresu to dodatkowe zabezpieczenie.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-27)

---

### Zadanie 31 - Logarytmy, skala Richtera (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log \frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od \(100\) cm.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Pozbywamy się logarytmu.** Logarytm bez podstawy to [logarytm](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) dziesiętny. Z definicji:

$$\log\frac{A}{A_0} = R \iff \frac{A}{A_0} = 10^R \iff A = A_0 \cdot 10^R$$

**Krok 2 - Podstawiamy dane.** \(R = 6{,}2\), \(A_0 = 10^{-4}\) cm:

$$A = 10^{-4} \cdot 10^{6{,}2} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2} \text{ cm}$$

**Krok 3 - Porównanie ze 100 cm.** \(100 = 10^2\), a funkcja \(y = 10^x\) jest rosnąca, więc \(10^{2{,}2} > 10^2 = 100\).

**Odpowiedź:** Amplituda trzęsienia w Tajlandii to \(A = 10^{2{,}2}\) cm (około 158 cm), czyli **więcej** niż 100 cm.

Zadania z kontekstem, takie jak skala Richtera, sprawdzają samą definicję logarytmu: z \(\log x = R\) przechodzisz do \(x = 10^R\). Wszystko, czego potrzebujesz, jest we wzorze podanym w treści. Uważaj tylko na znak wykładnika \(A_0 = 10^{-4}\): mnożąc potęgi, dodajesz wykładniki, więc \(6{,}2 + (-4) = 2{,}2\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-31)

---

### Zadanie 33 - Stereometria, ostrosłup prawidłowy (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Oznaczenia.** Krawędź podstawy oznaczamy \(a\). Wysokość trójkąta równobocznego to \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), a z treści wysokość ostrosłupa \(H = |SO| = h\).

**Krok 2 - Krawędź podstawy z objętości.**

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^3}{24} = \frac{a^3}{8}$$

$$\frac{a^3}{8} = 27 \implies a^3 = 216 \implies a = 6$$

Stąd \(H = h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).

**Krok 3 - Wysokość ściany bocznej.** Niech \(D\) będzie środkiem krawędzi \(AB\). Spodek wysokości \(O\) to środek trójkąta równobocznego, więc \(|DO| = \frac{1}{3}h = \sqrt{3}\). W trójkącie prostokątnym \(DOS\):

$$|DS|^2 = |DO|^2 + |SO|^2 = 3 + 27 = 30 \implies |DS| = \sqrt{30}$$

**Krok 4 - Pole powierzchni bocznej.** Trzy jednakowe ściany o podstawie 6 i wysokości \(\sqrt{30}\):

$$P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{30} = 9\sqrt{30}$$

**Krok 5 - Cosinus kąta.** Kąt między wysokością ściany bocznej \(DS\) a płaszczyzną podstawy to kąt \(SDO\):

$$\cos\angle SDO = \frac{|DO|}{|DS|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

**Odpowiedź:** \(P_b = 9\sqrt{30}\), cosinus kąta jest równy \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).

Kluczowe w tym zadaniu są dwa fakty o trójkącie równobocznym: wysokość \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) i to, że środek trójkąta dzieli wysokość w stosunku \(2:1\) (stąd \(|DO| = \frac{1}{3}h\)). Kąt nachylenia wysokości ściany bocznej zawsze odczytujesz z trójkąta „wysokość ostrosłupa, odcinek \(DO\), wysokość ściany”. Więcej w przewodnikach po [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-33)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2016-01) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2016-02) - Logarytmy
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2016-03) - Procenty
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2016-04) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2016-05) - Równania i nierówności
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2016-06) - Równania i nierówności
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2016-07) - Planimetria
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2016-08) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2016-09) - Równania i nierówności
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2016-10) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2016-11) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2016-12) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2016-13) - Planimetria
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2016-14) - Ciągi
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2016-15) - Ciągi
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2016-16) - Planimetria
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2016-17) - Trygonometria
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2016-18) - Planimetria
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2016-19) - Planimetria
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2016-20) - Geometria analityczna
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2016-21) - Geometria analityczna
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2016-22) - Prawdopodobieństwo
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2016-23) - Stereometria
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2016-24) - Stereometria
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2016-25) - Ciągi

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2016-26) - Procenty (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2016-27) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2016-28) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2016-29) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2016-30) - Ciągi (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2016-31) - Logarytmy (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-maj-2016-32) - Planimetria (4 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-maj-2016-33) - Stereometria (5 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-maj-2016-34) - Prawdopodobieństwo (4 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury 2016

1. **Planimetria daje najwięcej punktów.** 7 zadań za 11 punktów - CKE oczekuje biegłości w twierdzeniu Pitagorasa, polach figur i własnościach trójkątów. Nie ignoruj geometrii płaskiej, nawet jeśli wydaje ci się "łatwa". [Ćwicz planimetrię](/topics/planimetria)

2. **Stereometria za duże punkty.** Tylko 3 zadania, ale aż 7 punktów (w tym 5 za ostrosłup). Kto opanuje ostrosłupy prawidłowe i stożki, ma ogromną przewagę. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria)

3. **Logarytmy w kontekście.** Zadanie ze skalą Richtera pokazuje, że CKE lubi "ukrywać" logarytmy w zadaniach z kontekstem. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć je zastosować w nietypowej sytuacji. [Ćwicz logarytmy](/topics/logarytmy)

4. **Ciągi geometryczne z pułapkami.** Ujemny iloraz (zadanie 15) to element, na którym wielu uczniów się myli. Warunek na ciąg geometryczny wymaga sprawdzenia, czy wynik ma sens.

5. **Nierówności kwadratowe - nie zapominaj o znaku.** Mnożenie nierówności przez \(-1\) zmienia kierunek. Pomyłka w tym miejscu psuje cały wynik.

6. **Trygonometria: buduj trójkąt.** Gdy dany jest tangens, nie kombinuj ze wzorami - narysuj trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i odczytaj sinus i cosinus bezpośrednio.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych.** Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon; kalkulator prosty możesz mieć przy sobie (jest dozwolony na maturze podstawowej). Sprawdź wynik i zapisz, które zadania sprawiły problemy.

**Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy.** Dla każdego błędnego zadania zidentyfikuj, czego nie umiesz: czy to brak wiedzy (nie znasz wzoru), czy brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować). Wróć do odpowiedniego tematu:
- Potęgi i logarytmy: [przewodnik po potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania)
- Geometria: [planimetria](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i [stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni)
- Ciągi: [przewodnik po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)
- Prawdopodobieństwo: [przewodnik](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania)

**Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie.** Rozwiąż sam arkusz jeszcze raz, żeby sprawdzić, czy uzupełniłeś braki. Potem przejdź do kolejnego arkusza - polecam [maturę z maja 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz).

Przygotowujesz się do matury? Na [Sprawnej Maturze](/) mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.

Z tego samego rocznika mamy też rozwiązany arkusz z terminu dodatkowego: [matura czerwiec 2016](/matura-czerwiec-2016-rozwiazania-arkusz) - dobre uzupełnienie, jeśli majowy arkusz masz już przerobiony.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania
title: Nierówności kwadratowe na maturze - metoda graficzna krok po kroku z rozwiązanymi zadaniami
description: Jak rozwiązać nierówność kwadratową metodą graficzną: delta, szkic paraboli i odczyt przedziałów. 8 przykładów krok po kroku i 5 zadań z odpowiedziami.
author: Marcel Bogdan
---

# Nierówności kwadratowe na maturze - metoda graficzna krok po kroku z rozwiązanymi zadaniami

## Nierówności kwadratowe - jedna metoda, która zawsze działa

Nierówność kwadratowa to nierówność postaci:

$$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{(lub } \geq,  0\) to pytanie: **dla jakich \(x\) wykres funkcji \(f(x) = ax^2 + bx + c\) leży nad osią OX?**

Żeby narysować wykres, potrzebujesz miejsc zerowych. Oblicz deltę:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Jeśli \(\Delta > 0\), masz dwa miejsca zerowe:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Jeśli \(\Delta = 0\), jedno podwójne miejsce zerowe: \(x_0 = \frac{-b}{2a}\).

Jeśli \(\Delta  0\) - parabola ma **ramiona do góry** (uśmiechnięta)
- Jeśli \(a  0\) - szukasz, gdzie parabola jest **nad** osią OX
- \(ax^2 + bx + c  3\). Oba zapisy są poprawne, byle nie mieszać ich w jednej odpowiedzi.

I to tyle. Przejdźmy do przykładów.

---

## Przykład 1 - nierówność z dwoma miejscami zerowymi

**Rozwiąż:** \(x^2 - 5x + 6 > 0\)

**Krok 1.** Wyznaczamy miejsca zerowe:

$$\Delta = 25 - 24 = 1$$

$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

**Krok 2.** Współczynnik \(a = 1 > 0\), więc ramiona do góry. Parabola przecina oś OX w punktach 2 i 3.

**Krok 3.** Szukamy, gdzie parabola jest nad osią OX. Z wykresu: parabola jest nad osią na zewnątrz miejsc zerowych.

$$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$

---

## Przykład 2 - nierówność z ramionami w dół

**Rozwiąż:** \(-x^2 + 4x - 3 \geq 0\)

**Krok 1.** Miejsca zerowe (\(a = -1, b = 4, c = -3\)):

$$\Delta = 16 - 12 = 4$$

$$x_1 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3, \qquad x_2 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1$$

Więc \(x_1 = 1\) i \(x_2 = 3\) (uporządkowane).

**Krok 2.** Współczynnik \(a = -1  0\)

**Krok 1.** \(\Delta = 4 - 20 = -16  0\), ramiona do góry. Parabola leży **cała nad** osią OX.

**Krok 3.** Nierówność jest spełniona dla **każdego** \(x\).

$$x \in \mathbb{R}$$

**Ważna zasada:** Jeśli \(\Delta  0\), to \(ax^2 + bx + c > 0\) dla każdego \(x\). A \(ax^2 + bx + c  0\), ramiona do góry. Parabola dotyka osi OX w punkcie 3.

**Krok 3.** Parabola nigdy nie jest pod osią OX - tylko ją dotyka. Ale nierówność jest nieostra (\(\leq\)), więc punkt styczności spełnia warunek.

$$x \in \{3\}$$

Gdyby nierówność brzmiała \(x^2 - 6x + 9  0\), ramiona do góry.

**Krok 3.** Szukamy, gdzie parabola jest pod osią lub na osi (\(\leq\)). To między miejscami zerowymi, z końcami włącznie.

$$x \in \left[-\frac{1}{2}, 2\right]$$

---

## Przykład 6 - nierówność do przekształcenia

**Rozwiąż:** \(3x^2 > 12x - 9\)

Najpierw przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$3x^2 - 12x + 9 > 0$$

Dzielimy przez 3 (dzielenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku nierówności):

$$x^2 - 4x + 3 > 0$$

$$\Delta = 16 - 12 = 4, \qquad x_1 = 1, \quad x_2 = 3$$

Ramiona do góry, szukamy nad osią:

$$x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$$

---

## Przykład 7 - delta równa zero, nierówność ostra

**Rozwiąż:** \(x^2 - 6x + 9 > 0\)

Ten sam trójmian co w przykładzie 4, tylko z odwróconym znakiem nierówności.

**Krok 1.** \(\Delta = 36 - 36 = 0\), jedno miejsce zerowe \(x_0 = 3\).

**Krok 2.** \(a = 1 > 0\), ramiona do góry, parabola dotyka osi OX tylko w punkcie 3.

**Krok 3.** Szukamy, gdzie parabola jest **ściśle** nad osią. Jest nad nią wszędzie poza punktem styczności, więc ten jeden punkt wyrzucamy:

$$x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$$

Dla nierówności nieostrej \(x^2 - 6x + 9 \geq 0\) punkt 3 też spełnia warunek, więc rozwiązaniem jest cały zbiór \(\mathbb{R}\). Razem z przykładem 4 ten sam trójmian daje cztery różne odpowiedzi: \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) dla \(> 0\), \(\mathbb{R}\) dla \(\geq 0\), \(\emptyset\) dla \( 0\)

**Krok 1.** \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 5\):

$$\Delta = 16 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 36, \qquad x_1 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5$$

**Krok 2.** \(a  0 \iff x^2 - 4x - 5  0\) (ramiona do góry) | \(a  0\) | \((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) | \((x_1, x_2)\) |
| \(\geq 0\) | \((-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\) | \([x_1, x_2]\) |
| \( 0\) wyniki wyglądają tak:

| Nierówność | \(\Delta = 0\) | \(\Delta  0\) | \(\mathbb{R} \setminus \{x_0\}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\geq 0\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\), \( 2x + 5\) nie licz delty z liczb, które widzisz. Najpierw przenieś wszystko na jedną stronę: \(3x^2 - 2x - 5 > 0\), dopiero potem \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -5\).

### 6. Pomieszana kolejność miejsc zerowych

W przedziale mniejsza liczba stoi zawsze z lewej. Gdy \(a  x_2\) (jak w przykładzie 2), więc przed zapisaniem odpowiedzi ustaw miejsca zerowe rosnąco.

---

## Połączenie z innymi tematami

Nierówności kwadratowe pojawiają się nie tylko w "czystej" postaci. Przydają się przy:

- Wyznaczaniu **dziedziny** funkcji z pierwiastkiem: \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\) wymaga rozwiązania \(x^2 - 4 \geq 0\)
- Określaniu, kiedy [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) przyjmuje wartości dodatnie
- Zadaniach z **parametrem** na maturze rozszerzonej
- Wyznaczaniu warunku na \(\Delta\) - np. "dla jakich \(m\) równanie ma dwa rozwiązania" to nierówność \(\Delta > 0\)

Więcej o równaniach kwadratowych: [równania kwadratowe na maturze - wyróżnik, wzory Viète'a](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania).

---

## Zadania do samodzielnego rozwiązania

Rozwiąż nierówności i sprawdź odpowiedzi poniżej:

1. \(x^2 - 7x + 10 \leq 0\)
2. \(-x^2 + 6x - 8 > 0\)
3. \(4x^2 - 4x + 1 > 0\)
4. \(x^2 + 3x + 5  0\))
5. \(\Delta = 25\), \(x_1 = -1, x_2 = \frac{2}{3}\), odpowiedź: \(x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)\)

Ćwicz więcej zadań z nierówności na [Sprawnej Maturze](/topics/rownania-i-nierownosci) - mamy ich tam ponad 90.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc
title: Funkcje na maturze z matematyki - dziedzina, wykresy, monotoniczność i zadania z rozwiązaniami
description: Funkcje na maturze z matematyki: dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność i odczytywanie własności z wykresu. Zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Funkcje na maturze z matematyki - dziedzina, wykresy, monotoniczność i zadania z rozwiązaniami

## Funkcje - fundament całej matematyki maturalnej

Funkcje to temat, który przenika **każdy dział matematyki** na maturze. Nie chodzi tu tylko o 114 zadań z kategorii "Funkcje" w naszej [bazie zadań maturalnych](/topics/funkcje) - pojęcie funkcji pojawia się wszędzie: w [funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), [kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), [trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) i [ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

Na arkuszu CKE regularnie pojawiają się 3-5 zadań, w których musisz odczytać własności funkcji z wykresu, wyznaczyć dziedzinę lub zbadać monotoniczność. To zadania, które da się rozwiązać szybko - pod warunkiem, że rozumiesz podstawy.

Na [maturze próbnej CKE z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) aż 4 zadania dotyczyły ogólnych własności funkcji. Na [maturze z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) podobnie.

## Co to jest funkcja? Definicja na maturę

Funkcja to przyporządkowanie, które **każdemu elementowi zbioru \(X\)** (dziedziny) przyporządkowuje **dokładnie jeden element** zbioru \(Y\) (przeciwdziedziny).

Zapis \(f: X \to Y\) oznacza, że funkcja \(f\) przyporządkowuje elementom zbioru \(X\) elementy zbioru \(Y\).

**Kluczowe słowo: "dokładnie jeden".** To znaczy, że:
- Każdy element dziedziny musi mieć przypisaną wartość (nie może "wisieć w powietrzu")
- Żaden element dziedziny nie może mieć dwóch różnych wartości

### Test pionowej prostej

Na wykresie: jeśli dowolna pionowa prosta przecina wykres **najwyżej w jednym punkcie**, to mamy do czynienia z funkcją. Jeśli przecina w dwóch lub więcej punktach - to nie jest funkcja.

## Dziedzina funkcji - jak ją wyznaczać

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Na maturze najczęściej pytają o dziedzinę w trzech przypadkach:

### 1. Ułamek - mianownik nie może być zerem

$$f(x) = \frac{1}{x-3} \quad \Rightarrow \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$$

### 2. Pierwiastek parzystego stopnia - wyrażenie pod pierwiastkiem \(\geq 0\)

$$f(x) = \sqrt{x-2} \quad \Rightarrow \quad x - 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad D_f = \langle 2, +\infty)$$

### 3. Logarytm - argument musi być dodatni

$$f(x) = \log_2(x+1) \quad \Rightarrow \quad x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad D_f = (-1, +\infty)$$

### Kombinacje ograniczeń

Gdy funkcja łączy kilka typów, wyznaczasz dziedzinę z **każdego ograniczenia osobno**, a potem bierzesz część wspólną:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-4} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad D_f = \langle 0, 4) \cup (4, +\infty)$$

Więcej zadań z wyznaczania dziedziny znajdziesz w [zbiorze zadań z funkcji](/topics/funkcje). Przećwicz też zadania z [liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste), bo nierówności i przedziały to ten sam dział.

## Zbiór wartości funkcji

[Zbiór wartości](/funkcja-okreslona-przedzialami-klamra-zbior-wartosci-miejsca-zerowe-matura#jak-wyznaczyc-zbior-wartosci-funkcji-okreslonej-przedzialami) (\(ZW_f\)) to zbiór wszystkich wartości \(y\), które funkcja przyjmuje. Na maturze najczęściej odczytujemy go z wykresu.

**Z wykresu:** patrzymy na oś \(OY\) - od najniższego do najwyższego punktu wykresu.

**Algebraicznie (dla prostych przypadków):**
- Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) (gdzie \(a \neq 0\)): \(ZW = \mathbb{R}\)
- Funkcja kwadratowa \(f(x) = a(x-p)^2 + q\): jeśli \(a > 0\), to \(ZW = \langle q, +\infty)\); jeśli \(a  f(x_2)\).

### Odczytywanie monotoniczności z wykresu

1. Idź po wykresie od lewej do prawej
2. Gdy wykres "idzie do góry" - funkcja rośnie
3. Gdy wykres "idzie w dół" - funkcja maleje
4. Zapisz przedziały z osi \(OX\) (nie \(OY\)!)

**Typowy błąd maturalny:** podawanie wartości z osi \(OY\) zamiast \(OX\) przy monotoniczności. CKE za to bezwzględnie zabiera punkty. Więcej o [najczęstszych błędach maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### Przedziały monotoniczności typowych funkcji

| Funkcja | Rosnąca | Malejąca |
|---------|---------|----------|
| \(f(x) = ax + b\), \(a > 0\) | \(\mathbb{R}\) | - |
| \(f(x) = ax + b\), \(a  0\) | \((p, +\infty)\) | \((-\infty, p)\) |
| \(f(x) = ax^2 + bx + c\), \(a  0\) - dwa [miejsca zerowe](/kiedy-funkcja-kwadratowa-nie-ma-miejsc-zerowych#trzy-przypadki-delta-dodatnia-rowna-zero-i-ujemna), \(\Delta = 0\) - jedno, \(\Delta  0\): przesunięcie w prawo
- \(p  0\): przesunięcie w górę
- \(q < 0\): przesunięcie w dół

### Odbicia

- \(f(x) \to -f(x)\): odbicie względem osi \(OX\)
- \(f(x) \to f(-x)\): odbicie względem osi \(OY\)
- \(f(x) \to |f(x)|\): część pod osią \(OX\) odbijamy do góry

Te transformacje pojawiają się też w kontekście [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) i [trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Funkcja różnowartościowa i odwrotna

Funkcja jest **różnowartościowa**, gdy różne argumenty dają różne wartości: \(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\).

**Test poziomej prostej:** jeśli każda pozioma prosta przecina wykres w co najwyżej jednym punkcie, funkcja jest różnowartościowa.

Tylko funkcje różnowartościowe mają **funkcję odwrotną** \(f^{-1}\). Wykres funkcji odwrotnej to odbicie wykresu \(f\) względem prostej \(y = x\).

## Jak ćwiczyć zadania z funkcji

1. Zacznij od [zadań z funkcji w naszej bazie](/topics/funkcje) - mamy 114 zadań z prawdziwych arkuszy CKE
2. Przejdź do [funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa) i [kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) - to konkretne zastosowania
3. Przećwicz [odczytywanie z wykresów](/random) w losowym trybie
4. Rozwiąż pełne arkusze: [matura maj 2025](/exams/matura-maj-2025) i [matura próbna CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026)
5. Sprawdź [symulator matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) żeby poćwiczyć w warunkach egzaminacyjnych

Opanowanie funkcji to klucz do sukcesu na maturze. Bez tego tematu nie da się zrozumieć połowy arkusza.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura
title: Jak rozwiązać równanie wymierne - dziedzina, NWW i zadania krok po kroku
description: Równania wymierne na maturze - schemat 4 kroków, wyznaczanie dziedziny, NWW mianowników, 6 rozwiązanych zadań i 7 typowych pułapek punktowanych.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać równanie wymierne - dziedzina, NWW i zadania krok po kroku

## Dlaczego równania wymierne to chleb powszedni maturzysty

Równania wymierne to równania w których niewiadoma występuje w mianowniku ułamka. Na maturze podstawowej pojawiają się najczęściej jako zadanie zamknięte za 1 punkt, a czasem jako zadanie otwarte, jak w sierpniu 2025 (3 punkty). W [arkuszach maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) znajdziesz polecenia typu "rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{x-3} = \frac{x}{x+2}\)" albo "wyznacz dziedzinę i rozwiąż równanie wymierne".

Problem polega na tym, że uczniowie bardzo często zapominają o dziedzinie. Mnożą obustronnie przez mianowniki, dostają jakieś \(x\), podają w odpowiedzi liczbę, która nie może być rozwiązaniem, bo nie sprawdzili, czy ten \(x\) w ogóle należy do dziedziny. Albo odwrotnie - poprawnie wyznaczają dziedzinę, ale potem mylą się przy mnożeniu przez wspólny mianownik. W tym poradniku rozkładam całą procedurę na 4 jasne kroki, pokazuję dziedzinę krok po kroku i rozwiązuję 6 zadań - od najprostszego do takich które realnie pojawiają się na maturze.

Jeśli dopiero ogarniasz całą sekcję, zacznij od ogólnego przeglądu w [równaniach kwadratowych](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania) i [nierównościach na maturze](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody). Tutaj skupimy się tylko na typie "z mianownikiem".

## Czym jest równanie wymierne

Równanie wymierne to równanie w którym niewiadoma \(x\) występuje co najmniej raz w mianowniku. Typowe postacie:

$$\frac{W(x)}{P(x)} = 0, \quad \frac{W(x)}{P(x)} = \frac{U(x)}{V(x)}, \quad \frac{a}{x-c} + \frac{b}{x-d} = e$$

gdzie \(W, P, U, V\) to wielomiany. Najprostszy przypadek to równanie typu \(\frac{x+1}{x-2} = 3\). Bardziej rozbudowany: \(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x}\).

Kluczowa obserwacja: ułamek \(\frac{A}{B}\) ma sens tylko gdy \(B \neq 0\). Dlatego zanim cokolwiek zrobimy, musimy wykluczyć wszystkie \(x\) zerujące mianownik. To jest dziedzina równania.

## Schemat 4 kroków który działa zawsze

Każde równanie wymierne, niezależnie od stopnia skomplikowania, rozwiązujesz tym samym schematem:

**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.** Wszystkie mianowniki muszą być różne od zera. Wypisz każdy mianownik, przyrównaj do zera, znajdź "zakazane" \(x\). Dziedziną jest \(\mathbb{R}\) bez tych liczb. Jeśli mianownik to wielomian wyższego stopnia, najpierw rozłóż go na czynniki - inaczej trudno będzie zobaczyć wszystkie zera. Więcej o samym pojęciu dziedziny znajdziesz w poradniku [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura).

**Krok 2: Sprowadź do wspólnego mianownika.** Jeśli masz kilka ułamków, znajdź NWW mianowników. Pomnóż każdy licznik tak żeby wszystkie ułamki miały ten sam mianownik. Pamiętaj o najwyższej potędze każdego czynnika - nie iloczynie wszystkich mianowników.

**Krok 3: Pomnóż obustronnie przez wspólny mianownik.** Po tym kroku ułamki znikają i zostaje ci równanie wielomianowe - zwykle liniowe lub kwadratowe. Rozwiąż je standardowymi metodami: liniowe wprost, kwadratowe przez [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) albo [wzory Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania).

**Krok 4: Sprawdź dziedzinę.** Każde rozwiązanie z kroku 3 musi należeć do dziedziny z kroku 1. Jeśli wyszło ci \(x = 2\), a w dziedzinie wykluczyłeś \(x = 2\), to to rozwiązanie odpada. Zostają tylko te które przechodzą oba sita.

To wszystko. Cztery kroki, żadnej magii. Teraz pokażę ci to na konkretnych zadaniach.

## Przykład 1: równanie z jednym mianownikiem

Rozwiąż: \(\frac{2x-1}{x+3} = 3\).

**Krok 1: Dziedzina.** Mianownik \(x+3 \neq 0\), więc \(x \neq -3\). Dziedzina: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).

**Krok 2-3: Mnożymy obustronnie przez \(x+3\).** Dostajemy:
$$2x - 1 = 3(x+3)$$
$$2x - 1 = 3x + 9$$
$$-10 = x$$
Czyli \(x = -10\).

**Krok 4: Sprawdzenie dziedziny.** \(-10 \neq -3\), więc \(x = -10\) należy do dziedziny.

Odpowiedź: \(x = -10\).

To był rozgrzewkowy przykład. Zauważ jak ważne jest zapisanie dziedziny - gdyby zamiast \(-10\) wyszło \(-3\), musielibyśmy je odrzucić mimo "poprawnych" obliczeń.

## Przykład 2: dwa różne mianowniki

Rozwiąż: \(\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = 1\).

**Krok 1: Dziedzina.** Mianowniki \(x-2 \neq 0\) i \(x+1 \neq 0\), więc \(x \neq 2\) i \(x \neq -1\). Dziedzina: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}\).

**Krok 2: Wspólny mianownik.** Mianowniki są względnie pierwsze (nie mają wspólnego czynnika), więc NWW to ich iloczyn: \((x-2)(x+1)\).

**Krok 3: Mnożymy obustronnie przez \((x-2)(x+1)\):**
$$1 \cdot (x+1) + 2 \cdot (x-2) = 1 \cdot (x-2)(x+1)$$
$$x + 1 + 2x - 4 = (x-2)(x+1)$$
$$3x - 3 = x^2 - x - 2$$
$$0 = x^2 - 4x + 1$$

Liczymy [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe): \(\Delta = 16 - 4 = 12\), więc \(\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3}\).
$$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}, \quad x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$

**Krok 4: Dziedzina.** Sprawdzamy czy \(2 - \sqrt{3}\) lub \(2 + \sqrt{3}\) to \(-1\) albo \(2\). Wartość \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), więc \(2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27\) i \(2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73\). Obie wartości są w dziedzinie.

Odpowiedź: \(x \in \{2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}\}\).

## Przykład 3: trzy ułamki, NWW mianowników

Rozwiąż: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{2x-1}{x(x-1)}\).

**Krok 1: Dziedzina.** Mianowniki: \(x \neq 0\), \(x - 1 \neq 0\), \(x(x-1) \neq 0\). Ostatni warunek wynika z dwóch pierwszych. Dziedzina: \(D = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}\).

**Krok 2: Wspólny mianownik to \(x(x-1)\).** Sprowadzamy ułamki:
$$\frac{x-1}{x(x-1)} + \frac{x}{x(x-1)} = \frac{2x-1}{x(x-1)}$$

**Krok 3: Mnożymy obustronnie przez \(x(x-1)\):**
$$(x-1) + x = 2x - 1$$
$$2x - 1 = 2x - 1$$

Otrzymaliśmy tożsamość. Oznacza to że równanie spełnia każdy \(x\) z dziedziny.

**Krok 4: Dziedzina.** Wykluczyliśmy \(0\) i \(1\), więc zbiorem rozwiązań jest \(D = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}\).

Odpowiedź: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}\).

To pułapka. Wielu uczniów po dojściu do "\(2x - 1 = 2x - 1\)" pisze "brak rozwiązań" albo "sprzeczność". Tymczasem to tożsamość - jest nieskończenie wiele rozwiązań i trzeba pamiętać o dziedzinie.

## Przykład 4: mianownik kwadratowy do rozkładu

Rozwiąż: \(\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} = \frac{12}{x^2 - 9}\).

**Krok 1: Rozłóż mianownik.** Zauważ że \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) - to klasyczny [wzór skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) na różnicę kwadratów. Wszystkie mianowniki to czynniki \((x-3)\) i \((x+3)\).

**Krok 2: Dziedzina.** \(x \neq 3\) i \(x \neq -3\), czyli \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}\).

**Krok 3: Wspólny mianownik \((x-3)(x+3)\). Mnożymy obustronnie:**
$$2(x+3) - (x-3) = 12$$
$$2x + 6 - x + 3 = 12$$
$$x + 9 = 12$$
$$x = 3$$

**Krok 4: Sprawdzenie dziedziny.** \(x = 3\) jest wykluczone z dziedziny. Rozwiązanie odpada.

Odpowiedź: równanie nie ma rozwiązań (\(\emptyset\)).

To jest scenariusz który łamie najwięcej uczniów. Wszystko poszło "dobrze", wyszedł konkretny \(x\), kuszące jest go po prostu wpisać. Tymczasem krok 4 wyrzuca rozwiązanie i ostatecznie odpowiedź to zbiór pusty. Zawsze sprawdzaj.

## Przykład 5: trudniejszy, w stylu maturalnym

Rozwiąż równanie: \(\frac{x}{x-2} + \frac{4}{x+2} = \frac{16}{x^2 - 4}\).

**Krok 1: Rozkład mianownika.** \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\).

**Krok 2: Dziedzina.** \(x \neq 2\) i \(x \neq -2\), czyli \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

**Krok 3: Wspólny mianownik \((x-2)(x+2)\). Mnożymy obustronnie:**
$$x(x+2) + 4(x-2) = 16$$
$$x^2 + 2x + 4x - 8 = 16$$
$$x^2 + 6x - 24 = 0$$

Liczymy deltę: \(\Delta = 36 + 96 = 132\), więc \(\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{33}\).
$$x_1 = \frac{-6 - 2\sqrt{33}}{2} = -3 - \sqrt{33}, \quad x_2 = -3 + \sqrt{33}$$

**Krok 4: Dziedzina.** \(\sqrt{33} \approx 5{,}74\), więc \(x_1 \approx -8{,}74\) i \(x_2 \approx 2{,}74\). Żadna z tych liczb nie jest \(\pm 2\), więc oba rozwiązania zostają.

Odpowiedź: \(x \in \{-3 - \sqrt{33}, -3 + \sqrt{33}\}\).

## Typowe pułapki i błędy

**Pułapka 1: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą bez sprawdzania znaku.** Nie dziel obu stron przez \((x-c)\) jeśli nie wiesz że \(x \neq c\). Mnóż zamiast dzielić - mnożenie nie wymaga warunków na znak, tylko że mnożnik nie jest zerem (a tu właśnie po to wyznaczamy dziedzinę).

**Pułapka 2: brak dziedziny w odpowiedzi.** Nawet jeśli wszystkie znalezione \(x\) "przeszły" przez sprawdzenie, w pełnej odpowiedzi powinieneś najpierw wypisać dziedzinę. Bez tego rozwiązanie jest niepełne.

**Pułapka 3: znikający minus przy mnożeniu.** Częsty błąd: \(-\frac{a}{x-3}\) po pomnożeniu przez \((x-3)\) daje \(-a\), a nie \(+a\). Pisz każdy znak osobno i nie skracaj kroków pod presją czasu.

**Pułapka 4: mylenie NWW z iloczynem mianowników.** Mianowniki \(x\) i \(x^2\) mają NWW \(x^2\), nie \(x^3\). Mianowniki \((x-1)\) i \((x-1)^2\) mają NWW \((x-1)^2\), nie \((x-1)^3\). Bierz najwyższą potęgę każdego czynnika - to oszczędza pracy i zmniejsza ryzyko błędu.

**Pułapka 5: zapomniany krok 4.** Wyszedł ci \(x\), wpisujesz odpowiedź, koniec. Tymczasem ten \(x\) mógł być właśnie liczbą wykluczoną z dziedziny. Zawsze przejdź przez krok 4, nawet jeśli wydaje się oczywisty. Klasyk: rozwiązujesz "ładnie" i wychodzi \(x = 3\), a dziedzina wymaga \(x \neq 3\) - bez sprawdzenia podajesz rozwiązanie, którego nie ma.

**Pułapka 6: skreślanie ułamków bez sprawdzenia mianownika.** Patrząc na \(\frac{x^2-4}{x-2} = 5\) wielu uczniów od razu pisze \(x+2 = 5\) bo "skrócili \((x-2)\)". To OK, ale tylko jeśli pamiętasz że \(x \neq 2\) - bo dopiero wtedy skracanie ma sens. Inaczej zgubisz dziedzinę.

**Pułapka 7: zła kolejność działań.** Najpierw dziedzina, potem przekształcenia. Nie zaczynaj od mnożenia obustronnego "bo szybciej" - bez wypisanej dziedziny nie wiesz co odrzucić na końcu.

## Co kiedy mianownik ma stopień wyższy niż 1

Jeśli w mianowniku masz na przykład \(x^2 + 3x + 2\), zacznij od rozkładu na czynniki. Liczysz [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) - \(\Delta = 9 - 8 = 1\) - i wyznaczasz pierwiastki \(x = -1\) i \(x = -2\). Zatem \(x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)\), więc dziedzina wymaga \(x \neq -1\) i \(x \neq -2\). Dopiero potem szukasz wspólnego mianownika.

Ta sama procedura działa dla wielomianów wyższego stopnia - rozkład na czynniki (zobacz: [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki)), wykluczenie zer, NWW. Na maturze rozszerzonej często stosujesz schemat Hornera lub twierdzenie Bezouta - więcej w [wielomianach na maturze](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout).

## Specjalny przypadek: równanie \(\frac{W(x)}{P(x)} = 0\)

Wart osobnej uwagi: równanie \(\frac{W(x)}{P(x)} = 0\) jest spełnione wtedy i tylko wtedy gdy \(W(x) = 0\) i jednocześnie \(P(x) \neq 0\). Czyli szukasz miejsc zerowych licznika, ale z [dziedziny wykluczasz zera](/rownanie-iloczynowe-jak-rozwiazac-ile-rozwiazan-zadania-matura#rownanie-iloczynowe-z-ulamkiem) mianownika.

Przykład: \(\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0\). Dziedzina: \(x \neq 2\). Licznik zerowy: \(x^2 - 4 = 0\), czyli \(x = -2\) lub \(x = 2\). Ale \(x = 2\) wypada przez dziedzinę. Odpowiedź: \(x = -2\).

Ten typ pojawia się też w zadaniach na [miejsca zerowe funkcji](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac) - dokładnie ten sam mechanizm, tylko funkcja zamiast równania.

## Sprytna technika: podstawienie

W trudniejszych zadaniach (głównie rozszerzona) pojawia się równanie typu \(\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = \frac{5}{2}\). Tu używamy podstawienia \(t = \frac{x^2+1}{x}\) (dla \(x \neq 0\)). Wtedy:
$$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$$
Mnożymy obustronnie przez \(2t\):
$$2t^2 - 5t + 2 = 0$$

\(\Delta = 25 - 16 = 9\), więc \(t = 2\) lub \(t = \frac{1}{2}\). Wracamy do \(x\):
- \(\frac{x^2+1}{x} = 2\) daje \(x^2 - 2x + 1 = 0\), czyli \((x-1)^2 = 0\), więc \(x = 1\).
- \(\frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{2}\) daje \(2x^2 - x + 2 = 0\), \(\Delta = 1 - 16 < 0\), brak rzeczywistych rozwiązań.

Odpowiedź: \(x = 1\).

Podobne techniki znajdziesz w postach [jak rozwiązać równanie wykładnicze](/jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze) i [jak rozwiązać równanie logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne) - tam też podstawienie ratuje sytuację gdy bezpośredni atak nie wychodzi.

## Przykład 6: zadanie z parametrem (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\frac{x-1}{x+2} = m\) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

**Krok 1: Dziedzina.** \(x + 2 \neq 0\), więc \(x \neq -2\). Dla każdej wartości \(m\) dziedzina to \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).

**Krok 2-3: Mnożymy obustronnie przez \(x + 2\):**
$$x - 1 = m(x + 2)$$
$$x - 1 = mx + 2m$$
$$x - mx = 2m + 1$$
$$x(1 - m) = 2m + 1$$

**Analiza ze względu na \(m\):**
- Jeśli \(m \neq 1\), to \(x = \frac{2m+1}{1-m}\). Musimy jeszcze sprawdzić, że \(x \neq -2\). Przyrównujemy: \(\frac{2m+1}{1-m} = -2\) daje \(2m + 1 = -2(1-m) = -2 + 2m\), czyli \(1 = -2\), co jest sprzeczne. Czyli dla \(m \neq 1\) zawsze mamy poprawne rozwiązanie i jest ono jedno.
- Jeśli \(m = 1\), to lewa strona równania \(x(1-m)\) staje się \(0\), a prawa strona to \(2 \cdot 1 + 1 = 3\). Sprzeczność \(0 = 3\), brak rozwiązań.

Odpowiedź: równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego \(m \neq 1\).

To typowy schemat zadań z parametrem na rozszerzonej. Sprowadzasz do postaci \(x \cdot \text{coś}(m) = \text{coś innego}(m)\) i analizujesz dwa przypadki: gdy współczynnik przy \(x\) jest zerowy i gdy nie. Tę samą logikę używasz w [zadaniach o funkcji kwadratowej z parametrem](/jak-przeksztalcic-funkcje-kwadratowa-postac-kanoniczna-iloczynowa) - tam też dwa przypadki: \(a = 0\) (funkcja liniowa) i \(a \neq 0\) (faktycznie kwadratowa).

## Co z układami równań wymiernych

Czasem na maturze trafisz na dwa równania wymierne z dwiema niewiadomymi. Strategia jest taka sama: wyznaczasz dziedzinę dla każdej zmiennej, sprowadzasz do wspólnego mianownika i albo stosujesz [metodę podstawiania](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania), albo [metodę przeciwnych współczynników](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-przeciwnych-wspolczynnikow). Tylko pamiętaj o dziedzinie obu zmiennych równocześnie.

Przykład typowego maturalnego układu: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\) i \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\). Po podstawieniu \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\) dostajemy zwykły układ liniowy z \(a + b = 1\) i \(a - b = \frac{1}{3}\). Dodajesz stronami: \(2a = \frac{4}{3}\), czyli \(a = \frac{2}{3}\), wtedy \(b = \frac{1}{3}\). Wracając do \(x\) i \(y\): \(x = \frac{3}{2}\), \(y = 3\). Sprawdzasz dziedzinę: \(x \neq 0\) i \(y \neq 0\) - obie wartości w porządku.

## Funkcja homograficzna - krewniaczka równań wymiernych

Funkcja postaci \(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\) (przy \(c \neq 0\) i \(ad - bc \neq 0\)) to funkcja homograficzna. Zadanie typu "znajdź miejsce zerowe funkcji homograficznej" sprowadza się dokładnie do równania wymiernego \(\frac{ax+b}{cx+d} = 0\), czyli \(ax + b = 0\) przy warunku \(cx + d \neq 0\).

Asymptota pionowa wykresu \(f\) to prosta \(x = -\frac{d}{c}\) - dokładnie ta wartość, którą wykluczasz z dziedziny równania wymiernego. Asymptota pozioma to \(y = \frac{a}{c}\) (granica funkcji w nieskończoności). Jeśli na maturze widzisz pytanie "ile rozwiązań ma równanie \(\frac{ax+b}{cx+d} = k\)" w zależności od \(k\), to graficznie szukasz przecięć wykresu hiperboli z prostą poziomą \(y = k\). Asymptota pozioma daje wartość \(k\) dla której nie ma rozwiązania.

Więcej o funkcji jako obiekcie z dziedziną, monotonicznością i miejscami zerowymi przeczytasz w [funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc) oraz w poradniku [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura).

## Skąd biorą się te wszystkie pułapki na maturze CKE

Spójrz na arkusze. W [zadaniu 7 z matury maj 2024](/task/matura-maj-2024-07) CKE dała równanie \(\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0\) w wersji zamkniętej, a odpowiedzi podawały liczbę rozwiązań razem z ich wartościami. Licznik zeruje się tylko dla \(x=-1\), a ta liczba nie zeruje mianownika, więc rozwiązanie jest dokładnie jedno (odpowiedź B). Odpowiedzi C i D, z liczbami \(-2\) i \(3\), łapią tych, którzy przyrównali do zera także mianownik. W [zadaniu 8 z matury sierpień 2025](/task/matura-sierpie-2025-08), otwartym za 3 punkty, dziedzinę podano już w treści, a trzeba było rozwiązać \(\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8}\) i zostawić tylko rozwiązania z przedziału \(\left(\frac{5}{4},+\infty\right)\). Po pomnożeniu na krzyż wychodzi \(15x^2-38x+24=0\), czyli \(x=\frac{4}{3}\) albo \(x=\frac{6}{5}\), a warunek z polecenia spełnia tylko \(\frac{4}{3}\), bo \(\frac{6}{5}=1{,}2\lt 1{,}25\).

Tracisz najwięcej gdy: (a) nie zapiszesz dziedziny, (b) pomylisz znaki przy mnożeniu (cała reszta pójdzie źle), (c) nie sprawdzisz końcowego \(x\) z dziedziną (i zostaje ci błędna odpowiedź mimo że "obliczenia są dobre").

Dlatego warto wyrobić sobie odruch: każde równanie wymierne zaczynam od linijki "Dziedzina: \(x \neq \ldots\)". Każde kończę linijką "Sprawdzam dziedzinę: \(x = \ldots\) należy/nie należy do D". Te dwie linijki chronią cię przed obiema pułapkami z zadań powyżej.

## Najczęstsze typy maturalnych równań wymiernych

Patrząc na arkusze CKE z ostatnich pięciu lat, można wyłapać kilka powtarzających się scenariuszy. Warto je rozpoznawać szybko, bo każdy ma swoją "pułapkę charakterystyczną".

**Typ A: równanie z jednym mianownikiem liniowym.** Najprostszy. Mnożysz obustronnie, dostajesz równanie liniowe lub kwadratowe, sprawdzasz dziedzinę. Pułapka: zapomniana dziedzina. Występuje głównie na poziomie podstawowym.

**Typ B: dwa różne mianowniki liniowe.** Wspólny mianownik to ich iloczyn. Po pomnożeniu wychodzi kwadratowe, robisz deltę. Pułapka: błąd przy mnożeniu i minus na zewnątrz nawiasu.

**Typ C: mianownik kwadratowy do rozkładu (różnica kwadratów).** Klasyk \(x^2 - a^2\) albo \(x^2 + bx + c\). Pułapka: rozwiązanie wychodzi równe wykluczonej wartości - i wtedy odpowiedź to zbiór pusty.

**Typ D: równanie typu \(\frac{W(x)}{P(x)} = 0\).** Zerujesz licznik, sprawdzasz dziedzinę. Pułapka: zapomniany warunek niezerowości mianownika.

**Typ E: zadanie z parametrem (rozszerzona).** Dyskusja względem wartości parametru \(m\), kiedy równanie ma jedno/dwa/zero rozwiązań. Pułapka: nieuwzględnienie przypadku gdy współczynnik przy \(x\) jest zerowy.

**Typ F: nierówność wymierna.** Inne dzieło, ale podobny mechanizm: znak ułamka analizujesz przez znak licznika i mianownika osobno, tworzysz tabelkę znaków. To temat na osobny poradnik - tymczasem zobacz [nierówności na maturze](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody).

## Dodatkowe zadania do samodzielnego sprawdzenia

Spróbuj rozwiązać każde z poniższych zanim zerkniesz na odpowiedź. Trzymaj się schematu 4 kroków: dziedzina, NWW, mnożenie, sprawdzenie.

**Zadanie 1.** Rozwiąż: \(\frac{3}{x+1} = \frac{2}{x-1}\).

Dziedzina: \(x \neq -1\) i \(x \neq 1\). Mnożymy obustronnie przez \((x+1)(x-1)\): \(3(x-1) = 2(x+1)\), czyli \(3x - 3 = 2x + 2\), więc \(x = 5\). Dziedzina OK. Odpowiedź: \(x = 5\).

**Zadanie 2.** Rozwiąż: \(\frac{x+2}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{16}{x^2 - 4}\).

Dziedzina: \(x \neq \pm 2\), bo \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\). Wspólny mianownik \((x-2)(x+2)\). Po pomnożeniu obustronnie: \((x+2)^2 - (x-2)^2 = 16\). Rozwijamy: \(x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 = 16\), czyli \(8x = 16\), więc \(x = 2\). Ale \(x = 2\) jest wykluczone z dziedziny - odpowiedź to zbiór pusty.

**Zadanie 3.** Wyznacz wszystkie \(x\) dla których \(\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = 0\).

Dziedzina: \(x \neq 3\). Licznik zerowy: \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Z [delty](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) \(\Delta = 25 - 24 = 1\), więc \(x = 2\) lub \(x = 3\). Wykluczamy \(x = 3\). Odpowiedź: \(x = 2\).

**Zadanie 4.** Rozwiąż: \(\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+1} = \frac{4}{x^2 - 1}\).

Dziedzina: \(x \neq \pm 1\). Po pomnożeniu przez \((x-1)(x+1)\): \((x+1) - 2(x-1) = 4\), czyli \(x + 1 - 2x + 2 = 4\), więc \(-x + 3 = 4\), \(x = -1\). Ale \(x = -1\) jest wykluczone z dziedziny - odpowiedź to zbiór pusty.

Jeśli wszystkie cztery wyszły poprawnie, rozumiesz mechanizm. Jeśli któreś się sypnęło, wróć do przykładów 1-6 i prześledź gdzie zgubiłeś krok.

## Co musisz umieć na maturę (checklist)

Sprawdź sam siebie:

- Rozumiem co to równanie wymierne i czemu mianownik nie może być zerem.
- Potrafię wyznaczyć dziedzinę dla 1, 2, 3 mianowników.
- Znajduję NWW mianowników (a nie zawsze iloczyn - to oszczędza pracy).
- Mnożę obustronnie przez wspólny mianownik bez gubienia minusów.
- Rozkładam wyrażenia typu \(x^2 - a^2\), \(x^2 + bx + c\) na czynniki, żeby zobaczyć ukryte mianowniki wspólne.
- Po znalezieniu pierwiastka równania ZAWSZE sprawdzam czy należy do dziedziny.
- Wiem co oznacza tożsamość (wszystkie \(x\) z dziedziny) i co oznacza sprzeczność (\(\emptyset\)).
- Stosuję podstawienie gdy ułamek pojawia się w obu kierunkach (\(\frac{A}{B} + \frac{B}{A}\)).
- Rozwiązuję układy równań wymiernych przez podstawienie \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\).

Jeśli odhaczyłeś wszystko, równania wymierne masz pod kontrolą. Dla utrwalenia polecam zrobić kilka zadań z bazy w [Równaniach i nierównościach](/topics/rownania-i-nierownosci) oraz przejrzeć powiązane tematy: [funkcje na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), [dziedzina funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura) oraz [równania niewymierne z pierwiastkiem](/jak-rozwiazac-rownanie-niewymierne-z-pierwiastkiem-matura).

## Powiązane tematy na sprawnamatura.pl

Jeśli pracujesz nad sekcją "Równania i nierówności" zajrzyj jeszcze do:
- [Jak rozwiązać nierówność kwadratową krok po kroku](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania) - bo bardzo często równanie wymierne sprowadza się do nierówności po pomnożeniu obustronnie przez wyrażenie, którego znak musisz znać.
- [Wartość bezwzględna w równaniach i nierównościach](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci) - kolejny ważny typ równań na maturze.
- [Wzory Viete'a - zastosowanie](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania) - przydadzą się gdy z równania wymiernego wychodzi kwadratowe i można sprawdzić sumę/iloczyn pierwiastków bez delty.
- [Wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) - bez nich rozkład mianownika typu \(x^2 - a^2\) to droga przez mękę.
- [Jak rozwiązać równanie wykładnicze](/jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze) i [jak rozwiązać równanie logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne) - inne typy równań w których pomaga podstawienie i sprawdzenie dziedziny.

Codziennie nowe zadania, codziennie szansa zdobyć więcej punktów na maturze. Powodzenia w nauce.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /funkcja-kwadratowa-z-parametrem-dyskusja-zadania-matura
title: Funkcja kwadratowa z parametrem - Vieta i zadania krok po kroku
description: Funkcja kwadratowa z parametrem na maturze - dyskusja delty, wzory Viete'a, warunki na pierwiastki i 7 typowych zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Funkcja kwadratowa z parametrem - Vieta i zadania krok po kroku

Zadania z parametrem to ten typ zadań maturalnych, na których przegrywa zaskakująco dużo uczniów, choć wcale nie wymagają one specjalnej wiedzy. Wszystko, czego potrzebujesz, już znasz: deltę, [wzory Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania), [postać kanoniczną](/jak-przeksztalcic-funkcje-kwadratowa-postac-kanoniczna-iloczynowa) i [warunek na pierwiastki](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe). Problem polega na tym, że trzeba to wszystko ułożyć w jeden ciąg warunków na nieznany parametr \(m\). I właśnie ten krok przeskakują uczniowie, którzy potem oddają arkusz z kreską w okienku odpowiedzi.

Funkcja kwadratowa z parametrem to przede wszystkim temat matury rozszerzonej. W [arkuszach maturalnych z lat 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) na poziomie podstawowym pojawia się rzadko i w prostej formie, na przykład w [zadaniu z zestawu CKE](/task/cke-2025-pp-26), w którym o współczynniku \(m\) we wzorze \(f(x)=3x^2+2x+m\) wiadomo tylko, że jest ujemny. W tym przewodniku pokażę ci, jak rozpoznać typ zadania, jakiego narzędzia użyć i jak ułożyć warunki bez błędów. Rozwiążemy razem siedem przykładowych zadań w stylu maturalnym, każde krok po kroku.

## Co to właściwie znaczy "z parametrem"

Parametr to litera, najczęściej \(m\), \(k\) albo \(p\), która zachowuje się jak liczba, tylko jej dokładnej wartości jeszcze nie znamy. Pojawia się we wzorze funkcji kwadratowej obok zmiennej \(x\) i nasza praca polega na wskazaniu, dla których wartości tej litery funkcja spełnia jakiś warunek.

Spójrz na różnicę:

- Zwykła funkcja kwadratowa: \(f(x) = x^2 - 5x + 6\) - wszystko ustalone, znajdujemy miejsca zerowe.
- Funkcja z parametrem: \(f(x) = x^2 - (m+1)x + 2m\) - współczynniki zależą od \(m\). Najpierw dyskusja, potem rozwiązanie.

W praktyce zadania z parametrem na maturze podstawowej dzielą się na trzy główne typy. Pierwszy: "wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których funkcja ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste". Drugi: "wyznacz \(m\), dla którego suma kwadratów pierwiastków jest równa 10". Trzeci: "dla jakich \(m\) wierzchołek paraboli leży nad osią OX". Każdy z tych typów ma swój zestaw narzędzi, który zaraz dokładnie poznasz.

## Cztery narzędzia, których będziesz używać

W większości zadań z parametrem wystarczą cztery rzeczy. Naucz się ich rozpoznawania i już połowa pracy będzie za tobą.

### Narzędzie 1: dyskusja delty

\(\Delta = b^2 - 4ac\). To ona decyduje o liczbie pierwiastków:

- \(\Delta > 0\) - dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
- \(\Delta = 0\) - jeden pierwiastek podwójny.
- \(\Delta  0\), zależnie od polecenia), \(x_1 + x_2 > 0\) i \(x_1 \cdot x_2 > 0\).
- **Oba pierwiastki ujemne**: \(\Delta \geq 0\), \(x_1 + x_2  0\).
- **Pierwiastki różnych znaków**: wystarczy \(x_1 \cdot x_2  0\). Liczę deltę:

$$\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 6) = 4m^2 - 4m - 24$$

Czyli warunek to:

$$4m^2 - 4m - 24 > 0 \quad / : 4$$

$$m^2 - m - 6 > 0$$

Rozkładam na czynniki. Szukam dwóch liczb, których iloczyn to \(-6\), a suma \(-1\). To \(-3\) i \(2\). Czyli:

$$(m - 3)(m + 2) > 0$$

Z [metody graficznej dla nierówności kwadratowej](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania) wiem, że to ramiona paraboli w górę z miejscami zerowymi \(-2\) i \(3\). Nierówność z plusem na zewnątrz pierwiastków.

**Odpowiedź:** \(m \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)\).

**Pułapka:** Gdyby zadanie pytało "dla jakich \(m\) równanie ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty" - byłaby to nierówność \(\Delta \geq 0\), więc krańce zbioru byłyby domknięte i odpowiedź to \(m \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)\). Czytaj polecenie z dokładnością do słowa.

## Przykład 2: suma kwadratów pierwiastków

**Treść:** Wyznacz \(m\), dla którego pierwiastki \(x_1, x_2\) równania \(x^2 - (m+1)x + m - 2 = 0\) spełniają warunek \(x_1^2 + x_2^2 = 9\).

**Rozwiązanie krok po kroku:**

Współczynniki: \(a = 1\), \(b = -(m+1)\), \(c = m - 2\).

Krok 1: warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych: \(\Delta \geq 0\). Jeśli pierwiastki mają być prawdziwe, muszą najpierw istnieć. To podstawowy filtr, którego uczniowie najczęściej zapominają.

$$\Delta = (m+1)^2 - 4(m - 2) = m^2 + 2m + 1 - 4m + 8 = m^2 - 2m + 9$$

Tu mała sztuczka: rozkładamy na kwadrat zupełny. \(m^2 - 2m + 9 = (m - 1)^2 + 8\). To zawsze dodatnie. Wniosek: dla każdego \(m \in \mathbb{R}\) delta jest dodatnia, więc istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Pierwszy warunek spełniony automatycznie.

Krok 2: ze wzorów Viete'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m + 1$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = m - 2$$

Krok 3: przekształcam warunek z polecenia. \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2\), więc:

$$(m + 1)^2 - 2(m - 2) = 9$$

$$m^2 + 2m + 1 - 2m + 4 = 9$$

$$m^2 + 5 = 9$$

$$m^2 = 4$$

$$m = 2 \quad \text{lub} \quad m = -2$$

Krok 4: sprawdzenie. Oba \(m\) spełniają warunek \(\Delta > 0\) (bo \(\Delta\) jest zawsze dodatnia), więc oba dają sensowne pierwiastki.

**Odpowiedź:** \(m = 2\) lub \(m = -2\).

## Przykład 3: oba pierwiastki dodatnie

**Treść:** Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(x^2 - 4mx + 4m - 3 = 0\) ma dwa różne pierwiastki dodatnie?

**Rozwiązanie krok po kroku:**

Współczynniki: \(a = 1\), \(b = -4m\), \(c = 4m - 3\). Wypisuję trzy warunki:

(1) \(\Delta > 0\) - dwa różne pierwiastki istnieją.

(2) \(x_1 + x_2 > 0\) - skoro oba dodatnie, ich suma też.

(3) \(x_1 \cdot x_2 > 0\) - skoro oba dodatnie, iloczyn też.

Sam warunek (2) nie wystarczy, bo suma dodatnia może być wynikiem np. \(5\) i \(-2\). Sam (3) też nie - mogłyby być oba ujemne (np. \(-2\) i \(-3\)).

Warunek (1):
$$\Delta = 16m^2 - 4(4m - 3) = 16m^2 - 16m + 12 = 4(4m^2 - 4m + 3) > 0$$

Sprawdzam \(4m^2 - 4m + 3\). Delta tego wyrażenia: \(16 - 48 = -32  0\) dla każdego \(m\). Warunek (1) jest spełniony zawsze. Łatwiej już chyba nie będzie.

Warunek (2): \(x_1 + x_2 = 4m > 0 \Rightarrow m > 0\).

Warunek (3): \(x_1 \cdot x_2 = 4m - 3 > 0 \Rightarrow m > \frac{3}{4}\).

Część wspólna trzech warunków: \(m > \frac{3}{4}\).

**Odpowiedź:** \(m \in \left(\frac{3}{4}, +\infty\right)\).

**Komentarz:** W tym typie zadań delta często wychodzi "z automatu" dodatnia. Wtedy całe zadanie sprowadza się do dwóch warunków Viete'a. Nie pomijaj jednak sprawdzenia delty - jeśli wyszłaby ujemna, to ani suma, ani iloczyn pierwiastków nie miałyby sensu, bo nie istnieją.

## Przykład 4: różnica pierwiastków

**Treść:** Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których pierwiastki równania \(x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 3m = 0\) różnią się o 4.

**Rozwiązanie krok po kroku:**

\(a = 1\), \(b = -2(m-1)\), \(c = m^2 - 3m\).

Krok 1: warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków: \(\Delta > 0\).

$$\Delta = 4(m-1)^2 - 4(m^2 - 3m) = 4(m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3m) = 4(m + 1)$$

Czyli \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m > -1\).

Krok 2: Viete:
$$x_1 + x_2 = 2(m - 1), \qquad x_1 \cdot x_2 = m^2 - 3m$$

Krok 3: warunek z polecenia. "Różnią się o 4" zwykle oznacza \(|x_1 - x_2| = 4\), czyli \((x_1 - x_2)^2 = 16\). Stosuję wzór:

$$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2$$

$$= 4(m-1)^2 - 4(m^2 - 3m)$$

$$= 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 12m = 4m + 4 = 4(m + 1)$$

Stąd:

$$4(m + 1) = 16$$

$$m + 1 = 4$$

$$m = 3$$

Krok 4: sprawdzenie warunku (1). \(m = 3 > -1\), więc delta dodatnia, pierwiastki istnieją.

**Odpowiedź:** \(m = 3\).

**Sprawdzenie:** Dla \(m = 3\) równanie to \(x^2 - 4x + 0 = 0\), czyli \(x(x - 4) = 0\), więc \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\). Różnica wynosi \(4\). Idealnie.

## Przykład 5: wierzchołek nad osią OX

**Treść:** Dla jakich wartości parametru \(m\) wierzchołek paraboli \(f(x) = x^2 + 2mx + m + 6\) leży nad osią OX?

**Rozwiązanie krok po kroku:**

"Wierzchołek nad osią OX" znaczy: druga współrzędna wierzchołka, czyli \(q\), jest większa od zera. Ponieważ \(a = 1 > 0\) (ramiona w górę), wierzchołek to najniższy punkt paraboli. Jeśli on jest nad OX, to cała parabola też - czyli funkcja nie ma miejsc zerowych. Wiesz już, że to oznacza \(\Delta  0\). Dla \(a > 0\) jest to równoważne \(\Delta  0\). "Brak pierwiastków, parabola nad osią" ⇒ \(\Delta  0\) - pierwiastki istnieją i są różne (a właściwie wystarczy \(\Delta \geq 0\), bo "oba" obejmuje też pierwiastek podwójny; jeśli polecenie mówi "dwa różne" - wybierz \(>\)).

(2) \(f(1) > 0\) - wartość paraboli w punkcie \(1\) musi być dodatnia, bo skoro oba miejsca zerowe są na prawo od \(1\), a parabola ma ramiona w górę, to w \(1\) jest jeszcze "nad osią".

(3) \(p > 1\), gdzie \(p\) to pierwsza współrzędna wierzchołka - bo wierzchołek leży zawsze między miejscami zerowymi.

Liczę po kolei:

\(\Delta = 4(m+1)^2 - 4(m^2 + 2m) = 4(m^2 + 2m + 1 - m^2 - 2m) = 4\). Czyli \(\Delta = 4 > 0\) zawsze. Wniosek: warunek (1) spełniony bezwarunkowo.

\(f(1) = 1 - 2(m+1) + m^2 + 2m = 1 - 2m - 2 + m^2 + 2m = m^2 - 1\). Warunek (2): \(m^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow m \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).

\(p = -\frac{b}{2a} = m + 1\). Warunek (3): \(m + 1 > 1 \Leftrightarrow m > 0\).

Część wspólna: \(m \in (1, +\infty)\) (bo część \((-\infty, -1)\) wypada przez warunek \(m > 0\)).

**Odpowiedź:** \(m \in (1, +\infty)\).

**Komentarz:** Zwróć uwagę, że warunek (3) eliminuje jedną z dwóch części z warunku (2). Dlatego zawsze pisze się wszystkie trzy - dwa nie wystarczą.

## Pułapki, na które wpadają uczniowie

Oto miejsca, w których najłatwiej stracić punkty w zadaniach z parametrem.

**Pułapka 1: zapominanie o warunku istnienia pierwiastków.** Robisz całą algebraiczną zabawę z Viete, dostajesz \(m = 5\), zaznaczasz odpowiedź i jesteś dumny. A potem przy \(m = 5\) okazuje się, że delta wyszła ujemna i twoje "pierwiastki" w ogóle nie istnieją. Każdy raz sprawdź warunek (1), nawet jeśli "wygląda na oczywisty".

**Pułapka 2: mylenie nierówności ostrych z nieostrych.** "Dwa różne pierwiastki" - to \(\Delta > 0\). "Co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty" - to \(\Delta \geq 0\). "Pierwiastek podwójny" - to \(\Delta = 0\). Każda z tych formuł daje inną odpowiedź - od kwestii czy końce przedziału są w zbiorze, czy poza nim.

**Pułapka 3: branie sumy zamiast części wspólnej.** Trzy warunki na \(m\) z trzech różnych źródeł trzeba spełnić **jednocześnie**, więc bierzemy ich część wspólną (przecięcie). Nigdy sumę. Jeśli pomylisz przecięcie z sumą, dostajesz zwykle za szeroki zbiór i tracisz wszystkie punkty.

**Pułapka 4: założenie, że \(a \neq 0\).** Jeśli funkcja wygląda jak \((m-2)x^2 + 3x + 1\), to dla \(m = 2\) to jest funkcja liniowa, nie kwadratowa. Sprawdź, czy zadanie chce funkcję kwadratową (wtedy musisz wyrzucić \(m = 2\)), czy "równanie kwadratowe lub liniowe" (wtedy nie). Najczęściej oczekuje się funkcji kwadratowej.

**Pułapka 5: zła interpretacja \(|x_1 - x_2|\).** Wzór \((x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4 x_1 x_2\) jest **kwadratem**, a nie różnicą. Jeśli zadanie mówi \(|x_1 - x_2| = 5\), to po podniesieniu do kwadratu masz \((x_1 - x_2)^2 = 25\). To nie to samo co \(x_1 - x_2 = 25\).

**Pułapka 6: dzielenie nierówności przez wyrażenie z parametrem.** Jeśli masz nierówność typu \((m-1)x > 5\) i chcesz podzielić przez \((m-1)\), musisz rozważyć trzy przypadki: \(m > 1\), \(m = 1\) i \(m  0\).

"Ma dwa pierwiastki rzeczywiste" (bez słowa "różne") - uważaj, to sformułowanie bywa niejednoznaczne. Przy \(\Delta = 0\) równanie ma jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny), więc zwykle chodzi o \(\Delta > 0\). Jeśli treść dopuszcza pierwiastek podwójny, mówi o tym wprost, na przykład „co najmniej jeden pierwiastek”.

"Ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty" - \(\Delta \geq 0\).

"Ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty" - \(\Delta = 0\), pierwiastek podwójny.

"Nie ma pierwiastków rzeczywistych" - \(\Delta  0\), \(\Delta \geq 0\), \(\Delta = 0\), \(\Delta  0\), \(\Delta = 0\), \(\Delta < 0\).

**Część wspólna warunków** - przecięcie zbiorów wynikających z poszczególnych warunków. Najczęściej zaznaczane na osi liczbowej.

**Pierwiastek podwójny** - jeden pierwiastek o krotności 2. Wartość \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) i jednocześnie \(\Delta = 0\). Geometrycznie - wierzchołek paraboli leży na osi OX.

**Warunki równoważne** - dwie nierówności, z których wybór nie ma znaczenia. Często mylone z warunkami koniecznymi i wystarczającymi. Na maturze podstawowej rzadko, ale w rozszerzonej kluczowe.

**Iloczyn pierwiastków** - \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Mnemotechnika: c i a - "ca", brzmi prawie jak "cebula", zapamiętasz.

**Suma pierwiastków** - \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\). Pamiętaj o minusie. Najczęstszy błąd: ludzie zapisują \(\frac{b}{a}\) bez minusu i dalej liczą na złej wartości.

Każde z tych słów pojawi się w treści zadania na maturze. Jeśli nie kojarzysz natychmiast, co znaczy - przyhamuj i przeczytaj polecenie jeszcze raz, zanim ruszysz z liczeniem.

Powodzenia. Tylko nie zapomnij sprawdzić \(\Delta\). Naprawdę.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki
title: Ile punktów żeby zdać maturę z matematyki - progi, procenty i co trzeba wiedzieć
description: Matura 2027 z matematyki na poziomie podstawowym ma 50 punktów, a do zdania trzeba 15 (30%). Jeden punkt to 2%. Tabela, przelicznik i progi na studia.
author: Marcel Bogdan
---

# Ile punktów żeby zdać maturę z matematyki - progi, procenty i co trzeba wiedzieć

## Próg zdawalności matury z matematyki - twarde liczby

Odpowiedź na tytułowe pytanie jest prosta: żeby zdać maturę z matematyki na poziomie podstawowym, musisz zdobyć **minimum 30% punktów**. Przy arkuszu za 50 punktów oznacza to **15 punktów**.

Ile procent wyjdzie z Twojej liczby punktów, sprawdzisz od razu w [przeliczniku punktów matury](/narzedzia/przelicznik-punktow-matury). Działa w obie strony: z punktów na procenty i z celu procentowego na liczbę punktów, którą trzeba zdobyć.

Interaktywny kalkulator: przelicznik-punktow-matury (dostępny na stronie wpisu)

Ale sama liczba nic Ci nie powie, dopóki nie zrozumiesz:
- Z jakich zadań najłatwiej te 15 punktów zdobyć
- Jak niewiele tak naprawdę trzeba umieć
- Ile punktów daje "dobry" wynik
- I ile potrzebujesz, żeby dostać się na studia

W tym artykule rozbierzemy to na czynniki pierwsze.

## Jak obliczany jest wynik procentowy matury

Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym (formuła 2023, od matury 2025) ma od 27 do 39 zadań dwóch rodzajów, przemieszanych na całej długości arkusza. Według informatora CKE punkty dzielą się między nie po równo:

| Rodzaj | Liczba zadań | Punkty | Typ |
|-------|-------------|--------|-----|
| Zamknięte | 20-25 | 25 pkt (1 albo 2 pkt za zadanie) | Wybór odpowiedzi, prawda/fałsz, dobieranie |
| Otwarte | 7-14 | 25 pkt (od 1 do 4 pkt za zadanie) | Zadanie z luką, krótka odpowiedź, rozwiązanie z zapisem |
| **Razem** | **27-39** | **50 pkt** | |

Najświeższy arkusz podstawowy, z maja 2026 roku, miał 33 zadania, a cztery z nich (12, 13, 24 i 33) dzieliły się na podpunkty. Maksimum za jedno zadanie to **4 punkty** i nie ma zadań za 5 punktów, choć takie były w Formule 2015.

Twój wynik procentowy to po prostu:

$$\text{Wynik} = \frac{\text{zdobyte punkty}}{50} \cdot 100\%$$

Próg zdawalności to 30%, czyli:

$$0{,}30 \cdot 50 = 15 \text{ punktów}$$

Na świadectwie maturalnym widzisz wynik procentowy (np. "56%"), a nie liczbę punktów. Ale żeby wiedzieć, ile musisz zdobyć, myśl w punktach - tak jest łatwiej.

## Tabela: wynik procentowy a liczba punktów

| Wynik procentowy | Liczba punktów | Interpretacja |
|:---:|:---:|:---|
| 30% | 15 pkt | Minimum do zdania |
| 40% | 20 pkt | Niski wynik, ale zdane |
| 50% | 25 pkt | Przeciętny wynik, trochę poniżej średniej krajowej |
| 60% | 30 pkt | Przeciętny wynik, okolice średniej krajowej |
| 70% | 35 pkt | Dobry wynik |
| 80% | 40 pkt | Dobry wynik, blisko bardzo dobrego |
| 90% | 45 pkt | Bardzo dobry wynik |
| 100% | 50 pkt | Perfekcyjny wynik |

## Czy 15 punktów to dużo? Absolutnie nie

Spójrzmy na to z perspektywy struktury arkusza. Zadania zamknięte dają razem 25 punktów, a większość z nich jest za 1 punkt. Żeby zdobyć 15 punktów, wystarczy:

**Scenariusz 1: Same zadania zamknięte**

Zdobądź 15 z 25 punktów za zadania zamknięte. Zadania otwarte nawet nie musisz ruszać. To oznacza, że możesz **10 punktów z zadań zamkniętych** zupełnie odpuścić i nadal zdać.

**Scenariusz 2: Mix zadań**

Zdobądź 10 punktów w zadaniach zamkniętych + 5 punktów z zadań otwartych (np. jedno za 3 pkt i jedno za 2 pkt). Pozostałe zadania zamknięte (za 15 punktów) i resztę otwartych możesz pominąć.

**Scenariusz 3: Minimum wysiłku**

W zadaniach zamkniętych masz do wyboru kilka odpowiedzi, najczęściej cztery (A, B, C, D). Gdyby wszystkie zadania zamknięte miały po cztery odpowiedzi i były za 1 punkt, losowe zaznaczanie trafiałoby średnio co czwartą, czyli dawałoby około \(\frac{25}{4} \approx 6\) punktów z 25. W zadaniach wielokrotnego wyboru i na dobieranie zgadnąć trudniej, więc w praktyce wychodzi mniej. To oczywiście **nie jest strategia** (bo możesz trafić 2, a możesz 10), ale pokazuje, jak niewiele trzeba dodać do losowego zgadywania.

Więcej o tym, jak wycisnąć maksimum punktów minimalnym nakładem pracy, przeczytasz w artykule o [łatwych punktach na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt).

## Z jakich zadań najłatwiej zdobyć 15 punktów

Nie wszystkie tematy maturalne są równie trudne. Oto działy, z których [zadania maturalne](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) są zwykle najłatwiejsze. Liczba zadań z danego działu zmienia się między arkuszami, więc punkty podane przy każdym dziale to orientacyjny szacunek, a nie obietnica.

### 1. Procenty

Zadania z [procentami](/topics/procenty) wymagają głównie uważnego liczenia. W arkuszach CKE z 2025 i 2026 roku (maj, czerwiec i sierpień 2025, maj 2026) były w każdym jedno albo dwa takie zadania, ale we wcześniejszych arkuszach Formuły 2023 zdarzało się, że osobnego zadania z procentów nie było. Opanuj:
- Obliczanie procentu z liczby
- Zwiększanie/zmniejszanie o procent
- Odczytywanie danych z diagramów

Potencjalne punkty: **2-3 pkt**

### 2. Odczytywanie z wykresu funkcji

Na maturze regularnie pojawiają się zadania, w których dostajesz wykres i musisz odczytać [własności funkcji](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura) - miejsca zerowe, dziedzinę, monotoniczność, wartość największą/najmniejszą. Nie trzeba nic obliczać - wystarczy umieć czytać wykres.

Potencjalne punkty: **2-3 pkt**

### 3. Potęgi i pierwiastki

Proste obliczenia z [potęgami](/topics/potegi-i-pierwiastki), upraszczanie wyrażeń - to zadania, które wymagają znajomości kilku reguł. W arkuszu z maja 2026 są to trzy zadania, wszystkie zamknięte.

Potencjalne punkty: **2-3 pkt**

### 4. Statystyka - średnia, mediana

Obliczenie [średniej arytmetycznej lub mediany](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe) ze zbioru danych to absolutne minimum matematyczne. Jeśli umiesz dodawać i dzielić, umiesz to zrobić.

Potencjalne punkty: **1-2 pkt**

### 5. Funkcja liniowa - podstawy

Odczytanie wzoru [funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa) z wykresu, obliczenie wartości dla danego argumentu - to zadania za 1 punkt, które wymagają minimalnej wiedzy.

Potencjalne punkty: **1-2 pkt**

### 6. Proste zadanie otwarte (1 zadanie za 2 pkt)

Najłatwiejsze zadania otwarte to zwykle krótkie zadania za 2 punkty, np. nierówność kwadratowa (w maju 2025 i w maju 2026 było to zadanie 10). Trudnością przypominają [zadania zamknięte za 1 punkt](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt), ale wymagają zapisania rozwiązania. Nie szukaj ich po numerze: pierwszym zadaniem otwartym w obu tych arkuszach był dowód.

Potencjalne punkty: **2 pkt**

**Podsumowanie:** Opanowując te 5-6 tematów, możesz zdobyć **10-15 punktów** z samych łatwych zadań. Przy dolnej granicy dodaj do tego kilka "strzałów" w pozostałych zadaniach zamkniętych i masz swoje 15 punktów.

## Strategia zdawania na 15+ punktów

Jeśli Twoim jedynym celem jest zdanie matury, oto plan minimum. Więcej o strategii przygotowań przeczytasz w [kompletnym przewodniku po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

### Krok 1: Opanuj 5 tematów (2-3 tygodnie)

Skup się wyłącznie na:
- [Procentach](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany)
- [Odczytywaniu z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura)
- [Potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania)
- [Statystyce](/topics/statystyka)
- [Funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)

### Krok 2: Rozwiąż 5 arkuszy maturalnych

Rozwiąż [prawdziwe arkusze CKE](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), ale **tylko te zadania**, które dotyczą Twoich 5 tematów. Resztę omijaj. Celem jest uzyskanie pewności w "swoich" zadaniach.

### Krok 3: Naucz się strategii zgadywania

W zadaniach zamkniętych, których nie umiesz, **zawsze zaznacz odpowiedź**. Za złą odpowiedź nie odejmują punktów. W dziesięciu zadaniach z czterema odpowiedziami losowe zaznaczanie trafia średnio 2-3 razy.

### Krok 4: Ćwicz jedno zadanie otwarte

Naucz się rozwiązywać jeden typ krótkiego zadania otwartego, np. nierówność kwadratową za 2 punkty. Przeczytaj [jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), żeby wiedzieć, jak zapisywać rozwiązanie i zdobywać punkty częściowe.

## Co jeśli nie zdasz matury z matematyki?

Nie zdanie matury to nie koniec świata. Masz kilka opcji:

### Opcja 1: Matura poprawkowa w sierpniu

Jeśli nie zdałeś **jednego** przedmiotu obowiązkowego (w tym matematyki), masz prawo do poprawki w sierpniu tego samego roku. Egzamin poprawkowy jest na tym samym poziomie i z tym samym progiem 30%.

Szczegóły dotyczące terminów i zasad znajdziesz w artykule o [maturze poprawkowej 2027](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady).

**Ważne:** Na poprawkę masz prawo tylko wtedy, gdy przystąpiłeś do egzaminów ze wszystkich przedmiotów obowiązkowych i z co najmniej jednego przedmiotu na poziomie rozszerzonym (w maju albo w czerwcowym terminie dodatkowym), żaden z tych egzaminów nie został Ci unieważniony, a nie zdałeś tylko jednego przedmiotu obowiązkowego. Jeśli nie przystąpiłeś do egzaminu bez uzasadnionej przyczyny, poprawka Ci nie przysługuje.

### Opcja 2: Ponowne zdawanie w następnym roku

Możesz zdawać maturę w kolejnych latach. Trzeba ponownie złożyć deklarację, do 7 lutego: u dyrektora szkoły, którą ukończyłeś, a jeśli szkołę zlikwidowano, u dyrektora OKE. Warunki i arkusz mogą się zmienić, ale próg zdawalności pozostaje taki sam (30%).

### Opcja 3: Niektóre szkoły policealne

Część szkół policealnych nie wymaga matury. To opcja, jeśli nie planujesz iść na studia, ale chcesz zdobyć konkretny zawód.

## Ile punktów to "dobry" wynik?

Samo zdanie matury to jedno, ale jeśli planujesz iść na studia, potrzebujesz znacznie więcej niż 30%. Oto orientacyjna skala:

### 30-49% - zdane, ale słabo

Zdałeś, masz papier, ale na większość kierunków studiów to za mało. Wystarczy na niektóre kierunki humanistyczne lub szkoły policealne.

### 50-69% - przeciętny wynik

W tym przedziale jest średni wynik maturzystów: w latach 2024-2026 wynosił od 59 do 63% (dane CKE w tabeli niżej). Daje szansę na wiele kierunków studiów, ale na tych najbardziej obleganych zwykle nie wystarcza.

### 70-84% - dobry wynik

Z takim wynikiem możesz dostać się na większość kierunków. To wynik, który mówi: "rozumiem matematykę na solidnym poziomie".

### 85-100% - bardzo dobry/wybitny wynik

Otwiera drzwi na większość kierunków, na których liczy się matematyka podstawowa. Na kierunkach ścisłych rekrutacja zwykle bierze pod uwagę poziom rozszerzony, o czym niżej.

## Rozkład punktów na arkuszu - gdzie leżą "łatwe" punkty

Żeby mądrze planować podejście do egzaminu, warto wiedzieć, jak rozkładają się punkty na arkuszu. Punktację podajemy według informatora CKE, a przykłady bierzemy z najświeższego arkusza podstawowego, z maja 2026 roku; wszystkie pozostałe znajdziesz w naszej [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

### Zadania zamknięte (25 pkt)

Zadań zamkniętych jest od 20 do 25 i dają razem 25 punktów. Zwykle zadanie zamknięte jest za 1 punkt, czasem za 2. Nie stoją one w arkuszu jednym blokiem ani w kolejności od najłatwiejszego: w arkuszu z maja 2026 zadania zamknięte i otwarte przeplatają się na całej długości, od zadania 1 do ostatniego podpunktu 33.2. O tym, które będą dla Ciebie łatwe, decyduje więc dział, a nie numer.

**Strategia na minimum:** wybierz spośród zadań zamkniętych te z działów, które masz opanowane, i zrób je pewnie. Dziesięć trafionych to 10 punktów, czyli dwie trzecie progu. Dodaj do tego kilka trafionych strzałów w pozostałych i jesteś blisko celu.

### Zadania otwarte (25 pkt)

Nie ma sztywnego przypisania "numer zadania to tyle a tyle punktów", bo CKE układa arkusz od nowa każdego roku. Istotna jest natomiast sama punktacja: zadanie otwarte jest warte od 1 do 4 punktów, a informator CKE wyróżnia trzy rodzaje zadań otwartych:

| Rodzaj zadania otwartego | Co robisz | Punkty |
|:---|:---|:---:|
| Z luką | wpisujesz liczbę, przedział albo wyrażenie w wykropkowane miejsce | 1 pkt za każdą lukę |
| Krótkiej odpowiedzi | proste obliczenie albo rozumowanie w dwóch-trzech krokach | 1-3 pkt |
| Rozszerzonej odpowiedzi | układasz plan rozwiązania problemu i go realizujesz | 4 pkt |

Wniosek jest praktyczny: **luki i krótkie zadania za 1-2 punkty** wymagają jednego pomysłu, nie pięciu, więc to na nich opłaca się skupić. W arkuszu z maja 2026 lukami były m.in. zadania 12, 17 i 22, a krótkim zadaniem za 2 punkty była nierówność kwadratowa w zadaniu 10.

Nawet jeśli rozwiążesz **tylko dwa najłatwiejsze otwarte** (łącznie 4 punkty) i zapiszesz prawidłowy początek rozwiązania w trzecim (1 punkt za metodę), masz 5 punktów z otwartych. Razem z 10-12 z zamkniętych daje to 15-17 punktów - zdane!

Pamiętaj, że w zadaniach otwartych [punkty częściowe](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) są Twoim sojusznikiem. Nawet jeśli nie dojdziesz do końca, prawidłowe zapisanie pierwszego kroku może dać Ci 1 punkt.

### Matematyczna analiza "wartości oczekiwanej"

Podziel zadania zamknięte według tego, jak dobrze znasz ich działy, a nie według numerów w arkuszu. Dla prostoty przyjmijmy 25 zadań zamkniętych po 1 punkcie (tyle punktów dają zadania zamknięte według informatora CKE) i załóżmy, że wychodzi z tego dziesięć pewnych, osiem słabszych i siedem obcych:
- Dziesięć zadań z działów opanowanych: 80% szansy na poprawną odpowiedź = \(10 \cdot 0{,}8 = 8\) pkt
- Osiem zadań z działów znanych słabiej: 40% szansy = \(8 \cdot 0{,}4 = 3{,}2\) pkt
- Siedem zadań, w których zgadujesz losowo spośród czterech odpowiedzi = \(7 \cdot 0{,}25 = 1{,}75\) pkt
- Z zadań otwartych zdobywasz 3 pkt (dwa proste zadania)

**Suma:** \(8 + 3{,}2 + 1{,}75 + 3 = 15{,}95\) pkt

I teraz najważniejsze zastrzeżenie, bo bez niego ten rachunek wprowadza w błąd: 15,95 punktu przy progu 15 to **zapas mniejszy niż jeden punkt**. To wartość oczekiwana, czyli średnia z wielu podejść, a nie wynik gwarantowany. Przy takim marginesie jedno przeoczenie w zadaniu zamkniętym albo jedna nietrafiona seria strzałów wystawia Cię pod próg. Rachunek pokazuje, że przy solidnych podstawach zdanie jest **realne**, a nie że jest **pewne**. Jeśli chcesz mieć spokój, celuj w 20 punktów, nie w 15.

## Ile punktów z matury potrzebujesz na studia?

To zależy od uczelni i kierunku. W rekrutacji na studia wynik matury podstawowej z matematyki jest przeliczany na punkty rekrutacyjne, ale **mnożnik jest niższy** niż za rozszerzenie.

Przykładowy przelicznik (każda uczelnia ustala własny, więc sprawdź zasady rekrutacji wybranego kierunku):
- Matematyka podstawowa: wynik % x 0,5 (lub mniej)
- Matematyka rozszerzona: wynik % x 1,0 (lub x 2,0 na kierunkach ścisłych)

Na przykład: 70% z podstawy daje 35 punktów rekrutacyjnych (x 0,5), ale 70% z rozszerzenia daje 70 punktów (x 1,0) lub nawet 140 punktów (x 2,0).

Dlatego jeśli planujesz studia na kierunkach ścisłych, warto zdawać [maturę rozszerzoną z matematyki](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Więcej o progach punktowych na studia przeczytasz w [dedykowanym artykule](/progi-punktowe-studia-2027-ile-punktow-matura-matematyka).

## Historyczna zdawalność matury z matematyki

Warto wiedzieć, że spośród przedmiotów obowiązkowych to właśnie matematyki **nie zdaje** najwięcej osób: w danych wstępnych CKE z lat 2024-2026 zdawalność podstawy z polskiego wynosiła 94-95%, z angielskiego 93-96%, a z matematyki 85-89%. Poniżej dane **wstępne** CKE, czyli wyniki samej sesji majowej, przed doliczeniem terminu dodatkowego (czerwiec) i poprawkowego (sierpień). Pochodzą z lipcowych komunikatów CKE „Wstępne informacje o wynikach egzaminu maturalnego” z lat 2023-2026, które znajdziesz na [stronie CKE z wynikami i sprawozdaniami](https://cke.gov.pl/egzamin-maturalny/egzamin-maturalny-w-formule-2023/wyniki-sprawozdania/):

| Rok | Zdawalność (podstawa) | Średni wynik |
|:---:|:---:|:---:|
| 2023 | 88% | podany osobno dla dwóch formuł |
| 2024 | 89% | 63% |
| 2025 | 85% | 61% |
| 2026 | 86% | 59% |

W 2023 roku absolwenci liceów pisali już arkusz Formuły 2023, a absolwenci techników jeszcze arkusz Formuły 2015; zdawalność 88% obejmuje obie grupy. Arkusz Formuły 2023 w latach 2023 i 2024 był za 46 punktów (próg 14 punktów), a od 2025 roku jest za 50 punktów (próg 15), więc porównywalna między wierszami jest sama zdawalność, nie liczba punktów.

Starszych roczników tu nie podajemy, bo pisały arkusz Formuły 2015, a ten nie miał nawet stałej punktacji: zwykle 50 punktów, ale w 2021 i 2022 roku 45.

Kilka wniosków z tych danych:
- Zdawalność w danych wstępnych mieściła się w przedziale **85-89%**, co oznacza, że matematyki nie zdaje od 11 do 15 procent maturzystów
- Po doliczeniu sesji czerwcowej i poprawki sierpniowej te same roczniki wyglądają lepiej: według wrześniowych komunikatów CKE „Informacja o wynikach egzaminu maturalnego” dane **ostateczne** to **91,4%** za 2024 rok i **88,4%** za 2025. Sesja czerwcowa i poprawka sierpniowa razem podniosły zdawalność o **2,4 punktu procentowego** w 2024 roku i o **3,4** w 2025, co samo w sobie jest argumentem, żeby do poprawki podejść
- Średni wynik jest wyraźnie wyższy od progu: 59-63% to około 30 punktów z 50, dwukrotność tego, co potrzebujesz

Szczegółową analizę wyników z ostatniego roku znajdziesz w artykule o [wynikach matury 2025](/wyniki-matury-matematyka-2025-statystyki-zdawalnosc).

Fakt, że zdecydowana większość zdaje, brzmi pocieszająco. Ale co roku kilkanaście procent zdających nie przekracza progu, więc samo przyjście na egzamin nie wystarczy. Najwięcej zależy od tego, czy zaczniesz przygotowania odpowiednio wcześnie i czy znasz budowę arkusza.

## Co warto wiedzieć o formule egzaminu

Od sesji 2023 obowiązuje [nowa formuła matury](/formula-2015-vs-2023-matura-matematyka-roznice-zmiany) (formuła 2023). Najważniejsze różnice wobec starej formuły:

- **Przemieszany układ** - zadania zamknięte i otwarte przeplatają się na całej długości arkusza, zamiast stać w dwóch blokach
- **Nowe typy zadań** - np. typu "prawda/fałsz" i na dobieranie w zadaniach zamkniętych lub zadania z luką wśród otwartych
- **Zakres materiału** - oparty na nowej podstawie programowej z 2018 roku, od matury 2025 w wersji zmienionej w 2024 roku

Próg zdawalności pozostał ten sam - **30%**. Zmienił się natomiast czas trwania egzaminu: ze **170 minut** w Formule 2015 na **180 minut** w Formule 2023.

Warto przeczytać [jak punktowane są zadania maturalne](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania) - znajomość systemu oceniania pomoże Ci zdobyć punkty częściowe nawet w zadaniach, których nie umiesz rozwiązać do końca.

## Jak przygotować się do matury, żeby nie stresować się progiem

Najlepsza strategia to taka, przy której próg 30% nie jest Twoim celem, ale **automatycznym efektem ubocznym** normalnych przygotowań. Oto plan:

### 4-6 tygodni przed maturą

1. Przejrzyj [listę pewniaków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - to tematy, które pojawiają się na każdej maturze
2. Rozwiąż po 10-15 zadań z każdego tematu z [naszej bazy zadań](/topics/liczby-rzeczywiste)
3. Naucz się [wzorów, których nie ma w tablicach](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)

### 2-3 tygodnie przed maturą

1. Rozwiąż 3-5 arkuszy maturalnych w [symulatorze](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke)
2. Zanalizuj błędy - sprawdź, czy nie popełniasz [typowych błędów rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac)
3. Skup się na słabych obszarach

### Tydzień przed maturą

1. Przejdź [plan powtórki na ostatni tydzień](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan)
2. Rozwiąż 1 arkusz w pełnych warunkach egzaminacyjnych
3. Przygotuj [rzeczy na egzamin](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista)

Przy takim planie celujesz w 50-70%, więc nawet słabszy dzień na egzaminie zostawia zapas nad progiem 30%. Pełną strategię przygotowań znajdziesz w artykule [jak zdać maturę z matematyki w 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Najczęstsze pytania o próg zdawalności

### Czy próg 30% może się zmienić?

Próg wynika z przepisów o egzaminie maturalnym, a nie z decyzji CKE podejmowanej co roku. Od 2010 roku, gdy matura z matematyki stała się obowiązkowa, zawsze wynosił 30%, i ten sam próg obowiązuje w 2027 roku.

### Czy mogę zdać, rozwiązując same zadania zamknięte?

Tak. Zadania zamknięte dają razem 25 punktów. Potrzebujesz 15, więc musisz zdobyć w nich 15 z 25 punktów. Zadania otwarte możesz zostawić puste.

### Czy za złą odpowiedź w zadaniu zamkniętym odejmują punkty?

Nie! Za błędną odpowiedź dostajesz 0 punktów, ale nic Ci nie odejmują. Dlatego **zawsze zaznaczaj** jakąś odpowiedź - w zadaniu z czterema odpowiedziami nawet strzał daje 25% szansy na punkt.

### Co oznacza "30% z matury" przy rekrutacji na studia?

30% z matury to wynik na świadectwie, nie procent poprawnych odpowiedzi (choć w przypadku matury podstawowej to jest to samo). Na studia liczy się wynik ze świadectwa, przeliczony według mnożników danej uczelni.

### Czy mogę zdawać matematykę i na podstawie, i na rozszerzeniu?

Tak. Matematyka podstawowa jest obowiązkowa, a rozszerzona jest dodatkowa. Możesz zdawać obie w tym samym roku. Wynik z rozszerzenia nie wpływa na zdanie/niezdanie - liczy się tylko wynik z podstawy (minimum 30%).

### Ile czasu mam na rozwiązanie arkusza?

Egzamin trwa **180 minut**, czyli dokładnie 3 godziny. Przy 50 punktach do zdobycia daje to średnio 3,6 minuty na punkt. Na zadanie zamknięte za 1 punkt wypada więc niespełna 4 minuty, a na najdłuższe zadanie otwarte, za 4 punkty, około 14 minut. To wystarczająco dużo czasu, żeby spokojnie rozwiązać łatwiejsze zadania i sprawdzić obliczenia.

### Czy dostanę tablice wzorów na egzaminie?

Tak. Każdy maturzysta otrzymuje [kartę wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) razem z arkuszem. Znajdziesz tam podstawowe wzory z geometrii, trygonometrii, statystyki i analizy. Jednak nie wszystkie potrzebne wzory tam są - sprawdź [które wzory musisz znać na pamięć](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

### Kiedy ogłaszane są wyniki matury?

Wyniki matury z sesji majowej ogłaszane są na początku lipca. Dokładną datę podaje komunikat dyrektora CKE o harmonogramie na dany rok, więc sprawdź ją tam, a nie w cudzych zestawieniach. Wynik zobaczysz online na stronie OKE albo w systemie ZIU. Jeśli nie zdałeś, oświadczenie o przystąpieniu do poprawki składasz dyrektorowi szkoły w ciągu **7 dni od ogłoszenia wyników**, nie od początku miesiąca.

## 5 mitów o progu zdawalności

### Mit 1: "30% to prawie nic - wystarczy zgadywać"

Losowe zaznaczanie trafia średnio co czwartą odpowiedź tylko w zadaniach z czterema odpowiedziami, a zadania otwarte wymagają zapisu rozwiązania, więc 30% z całego arkusza w ten sposób nie wyjdzie. Samo zgadywanie w zamkniętych daje średnio około 6 punktów - to za mało. Ale 15 punktów to wciąż realistyczny cel przy 2-3 tygodniach przygotowań.

### Mit 2: "Na poprawce jest łatwiejszy arkusz"

To nieprawda. Arkusz poprawkowy powstaje według tego samego informatora CKE co majowy: ta sama budowa, te same wymagania z podstawy programowej i te same zasady oceniania. Różnią się tylko konkretne zadania.

### Mit 3: "Egzaminatorzy zaokrąglają w górę"

Nie. Jeśli w arkuszu za 50 punktów zdobędziesz 14 punktów, Twój wynik to 28% i nie zdajesz. Nie ma żadnego zaokrąglania, żadnej "łaski egzaminatora". 15 punktów to 15 punktów - ani mniej, ani więcej.

### Mit 4: "Zadania otwarte nie są warte zachodu dla słabego ucznia"

Wręcz przeciwnie! W zadaniach otwartych możesz zdobyć **punkty częściowe** za sam zapis metody, nawet bez poprawnego wyniku końcowego. W zadaniu za 2 punkty wystarczy prawidłowo zacząć rozwiązanie, żeby dostać 1 punkt. Te punkty częściowe mogą być różnicą między zdaniem a niezdaniem.

### Mit 5: "Jak się nie zda, to koniec"

Zdecydowanie nie. Masz [poprawkę w sierpniu](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady), możesz zdawać w kolejnych latach, a wiele ścieżek zawodowych nie wymaga matury. Myślenie o maturze jak o "jedynej szansie" tylko dokłada stresu, a silny stres utrudnia myślenie na egzaminie.

## Podsumowanie - nie bój się progu, przygotuj się do egzaminu

- Próg zdawalności matury z matematyki: **30% = 15 punktów na 50**
- To naprawdę niewysoki próg - wystarczy opanować 5-6 prostych tematów
- **Zawsze zaznaczaj** odpowiedzi w zadaniach zamkniętych - strzał kosztuje 0, a może dać 1 punkt
- Jeśli nie zdasz w maju, masz [poprawkę w sierpniu](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady)
- Na studia potrzebujesz więcej niż 30% - celuj w minimum 50-60%
- Zdaje zdecydowana większość maturzystów: w danych wstępnych CKE z lat 2023-2026 od 85 do 89%

Nie czekaj do ostatniej chwili. Zacznij przygotowania od rozwiązania kilku zadań z [naszej bazy](/topics/procenty) i przeczytaj [strategię przygotowań](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). Każdy dzień nauki przybliża Cię do zdania - a 15 punktów to naprawdę osiągalny cel.

Quiz: Policz próg zdawalności

Pytanie: Ile punktów oznacza 30% w arkuszu za 50 punktów?
- A. 10 punktów
- B. 15 punktów
- C. 20 punktów
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Wynik to 0,30 razy 50, czyli 15 punktów.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania
title: Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego - wzór, różnica, zadania matura
description: Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a_n=a_1+(n-1)r. Wyznaczanie różnicy, warunek trzech wyrazów, 6 zadań CKE krok po kroku - sierpień 2025, 2024, 2014.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego - wzór, różnica, zadania matura

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wraca na maturze regularnie. Zadania na niego były choćby w arkuszach CKE z sierpnia 2025, 2024, 2021, 2020, 2017 i 2014. Zadanie jest zwykle zamknięte za 1 punkt, ale otwarte za 2 punkty też się trafia, na przykład "\(a_5 = 22\) i \(a_{10} = 47\), oblicz \(a_1\) i \(r\)" z sierpnia 2014. Wzór do zapamiętania jest jeden, a do rozwiązywania zadań potrzebujesz jeszcze trzech krótkich wniosków. W tym poradniku dostajesz teorię, gotowe podstawienia oraz 6 prawdziwych zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.

Jeśli szukasz szerszego ujęcia, sprawdź nasz przegląd [ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze - wzory i zadania](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). Tutaj zajmujemy się wyłącznie n-tym wyrazem ciągu arytmetycznego.

## Czym jest ciąg arytmetyczny

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny, jeżeli każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby \(r\) - nazywamy ją różnicą ciągu. Formalnie warunek wygląda tak:

$$a_{n+1} - a_n = r \quad \text{dla każdego } n \ge 1$$

Co to znaczy w praktyce? Wystarczy podać pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\), a cały ciąg jest zdeterminowany. Kilka prostych przykładów:

- \(a_1 = 3\), \(r = 2\): ciąg \(3, 5, 7, 9, 11, \ldots\)
- \(a_1 = 10\), \(r = -3\): ciąg \(10, 7, 4, 1, -2, \ldots\) (maleje)
- \(a_1 = 5\), \(r = 0\): ciąg stały \(5, 5, 5, 5, \ldots\) (też arytmetyczny)
- \(a_1 = \frac{1}{2}\), \(r = \frac{1}{2}\): ciąg \(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, \ldots\)

Monotonia ciągu arytmetycznego zależy tylko od znaku \(r\). Jeśli \(r > 0\), ciąg rośnie. Jeśli \(r < 0\), maleje. Jeśli \(r = 0\), jest stały. Nigdy nie jest naprzemienny ani "zygzakowaty".

## Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Główny wzór, który musisz mieć w głowie z palca w pamięć mięśniową:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

To wszystko. Jeden wzór, dwie zmienne (\(a_1\) i \(r\)) oraz numer wyrazu \(n\). Wzór znajdziesz w karcie wzorów CKE, ale każdy maturzysta powinien go odtwarzać z głowy w sekundę.

Skąd się bierze? Wracamy do definicji ciągu arytmetycznego. Każdy kolejny wyraz to poprzedni plus \(r\):

$$a_2 = a_1 + r$$
$$a_3 = a_2 + r = a_1 + 2r$$
$$a_4 = a_3 + r = a_1 + 3r$$
$$\vdots$$
$$a_n = a_1 + (n - 1) r$$

Mnożnik przy \(r\) to dokładnie liczba "kroków" jakie zrobiliśmy od pierwszego wyrazu do \(n\)-tego. Z \(a_1\) do \(a_n\) jest \(n - 1\) kroków, nie \(n\).

Klasyczny błąd: zapisywanie wzoru jako \(a_n = a_1 + n r\). To daje wynik przesunięty o jedno miejsce - dostajesz \(a_{n+1}\) zamiast \(a_n\). Pamiętaj: minus jeden zawsze, bez wyjątku. Sprawdzian: dla \(n = 1\) musi wyjść \(a_1\), więc czynnik przy \(r\) musi się wyzerować. Z \((1-1) = 0\) zerowanie działa. Z \(n = 1\) i mnożnikiem \(n\) bez minus jeden zostawałoby \(a_1 + r\), co byłoby drugim wyrazem.

## Wyznaczanie różnicy r ze znanych wyrazów

W większości zadań CKE \(r\) nie jest podane wprost - trzeba je wyliczyć z dwóch wyrazów. Najprostszy przypadek: znamy \(a_1\) i \(a_2\). Wtedy:

$$r = a_2 - a_1$$

Ogólniej: jeśli znasz dowolne dwa wyrazy \(a_n\) i \(a_m\) (\(n \ne m\)), to:

$$r = \frac{a_n - a_m}{n - m}$$

To bardzo wygodny wzór, bo działa dla dowolnej pary wyrazów. Wyprowadzenie zajmuje 20 sekund. Z głównego wzoru:

$$a_n = a_1 + (n - 1) r$$
$$a_m = a_1 + (m - 1) r$$

Odejmując stronami: \(a_n - a_m = (n - m) r\), skąd \(r = \frac{a_n - a_m}{n - m}\).

Mając \(r\) wracasz do głównego wzoru i wyliczasz \(a_1\) z dowolnego znanego wyrazu, na przykład:

$$a_1 = a_n - (n - 1) r$$

I masz pełne dane do dalszych obliczeń. Ta technika jest podstawą zadań typu "\(a_5 = 22\), \(a_{10} = 47\). Oblicz \(a_1\)" (matura sierpień 2014).

## Warunek trzech kolejnych wyrazów

Drugi warunek, który CKE sprawdza często (na przykład w sierpniu 2024, 2013 i 2011): jeśli trzy liczby \((x, y, z)\) tworzą ciąg arytmetyczny w podanej kolejności, to środkowa jest średnią arytmetyczną skrajnych:

$$y = \frac{x + z}{2} \quad \text{czyli} \quad 2y = x + z$$

Wzór pochodzi prosto z definicji: \(y - x = z - y\), bo obie strony to różnica \(r\). Stąd \(2y = x + z\).

W praktyce stosujesz to tak: jeśli treść mówi "trzywyrazowy ciąg \((2m - 5, 4, 9)\) jest arytmetyczny, oblicz \(m\)", piszesz:

$$2 \cdot 4 = (2m - 5) + 9$$

$$8 = 2m + 4$$

$$m = 2$$

Czterowyrazowy warunek wygląda analogicznie: każdy środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiednich. W praktyce wystarczy zastosować warunek z trzech wyrazów dwa razy.

## Wszystkie wzory w jednej tabeli

Cały arsenał dla [ciągu arytmetycznego](/ktorym-wyrazem-ciagu-jest-liczba-ile-wyrazow-ujemnych-matura#wzory), który wystarczy do zadań z n-tym wyrazem:

| Wzór | Co daje |
|---|---|
| \(a_n = a_1 + (n-1) r\) | n-ty wyraz |
| \(a_1 = a_n - (n-1) r\) | pierwszy wyraz z dowolnego znanego |
| \(r = a_{n+1} - a_n\) | różnica z dwóch sąsiednich |
| \(r = \dfrac{a_n - a_m}{n - m}\) | różnica z dowolnych dwóch |
| \(2 a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) | warunek trzech kolejnych wyrazów |
| \(n = \dfrac{a_n - a_1}{r} + 1\) | numer wyrazu o znanej wartości |

Ostatni wzór warto zapamiętać. Dostajesz w treści wartość wyrazu (na przykład \(79\) z zadania sierpień 2017) i pytanie "dla jakiego \(n\)". Wystarczy wyliczyć \(n\) z głównego wzoru, ale gotowa formuła to oszczędność jednej linijki.

## Zadanie 1 - dla jakiego n wyraz wynosi 79 (matura sierpień 2017, zadanie 11)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), o którym wiemy, że: \(a_1=2\) i \(a_2=9\). Wtedy \(a_n=79\) dla:
A) \(n = 10\)  B) \(n = 11\)  C) \(n = 12\)  D) \(n = 13\)

**Rozwiązanie.** Różnica: \(r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7\). Wzór na n-ty wyraz:

$$a_n = 2 + (n - 1) \cdot 7 = 7n - 5$$

Z warunku \(a_n = 79\):

$$7n - 5 = 79$$

$$7n = 84$$

$$n = 12$$

Odpowiedź: C.

Standardowa praca: różnica z dwóch pierwszych wyrazów, podstawienie do wzoru, rozwiązanie równania liniowego. Cała robota w pół minuty.

## Zadanie 2 - n-ty wyraz przy różnicy -4 (matura sierpień 2025, zadanie 16)

Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa \((-4)\) oraz \(a_{10}=-24\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
A) \(-12\)  B) \(-8\)  C) \(-4\)  D) \(0\)

**Rozwiązanie.** Nie potrzebujesz \(a_1\). Od \(a_6\) do \(a_{10}\) są \(4\) kroki, a każdy dodaje \(r = -4\), więc:

$$a_{10} = a_6 + 4r$$

$$-24 = a_6 + 4 \cdot (-4)$$

$$-24 = a_6 - 16$$

$$a_6 = -8$$

Ten sam wynik dostaniesz przez pierwszy wyraz: \(a_{10} = a_1 + 9r\), czyli \(-24 = a_1 - 36\), skąd \(a_1 = 12\) i \(a_6 = 12 + 5 \cdot (-4) = -8\).

Odpowiedź: B.

Uwaga na znak: ujemna różnica oznacza, że ciąg maleje, więc wcześniejszy wyraz \(a_6\) musi być większy od \(a_{10} = -24\). Wynik \(-8\) to spełnia. Gdyby wyszło \(-40\), znaczyłoby to, że do \(a_{10}\) dodałeś \(4r\) zamiast go odjąć.

Pełny arkusz tego egzaminu omawiamy w poście [matura sierpień 2025 - rozwiązania](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz).

## Zadanie 3 - różnica dwóch odległych wyrazów (matura sierpień 2021, zadanie 13)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnica tego ciągu jest równa \(2\). Wtedy:
A) \(a_{24}-a_6=16\)  B) \(a_{24}-a_6=20\)  C) \(a_{24}-a_6=36\)  D) \(a_{24}-a_6=38\)

**Rozwiązanie.** Zapisz oba wyrazy z głównego wzoru:

$$a_{24} = a_1 + 23r, \qquad a_6 = a_1 + 5r$$

Po odjęciu \(a_1\) się skraca:

$$a_{24} - a_6 = 18r = 18 \cdot 2 = 36$$

Odpowiedź: C.

Pierwszego wyrazu nie znasz i nie jest ci potrzebny: od \(a_6\) do \(a_{24}\) jest \(24 - 6 = 18\) kroków, a każdy dodaje \(r = 2\). Kto policzy \(19\) kroków, dostanie \(38\), czyli odpowiedź D. To ten sam błąd co \(n\) zamiast \(n - 1\) we wzorze na n-ty wyraz.

## Zadanie 4 - z dwóch dowolnych wyrazów (matura sierpień 2014, zadanie 31)

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.

**Rozwiązanie.** Najpierw różnica. Korzystamy ze wzoru \(r = \frac{a_{10} - a_5}{10 - 5}\):

$$r = \frac{47 - 22}{5} = \frac{25}{5} = 5$$

Teraz \(a_1\) z głównego wzoru, podstawiając \(a_5 = 22\) i \(n = 5\):

$$22 = a_1 + 4 \cdot 5$$

$$22 = a_1 + 20$$

$$a_1 = 2$$

Odpowiedź: \(a_1 = 2\), \(r = 5\).

Sprawdzenie: ciąg to \(2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, \ldots\). Piąty wyraz \(22\), dziesiąty \(47\). Zgadza się.

## Zadanie 5 - trzywyrazowy ciąg z parametrem (matura sierpień 2024, zadanie 15)

Trzywyrazowy ciąg \((2m-5, 4, 9)\) jest arytmetyczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest:
A) rosnący  B) malejący, oraz: 1. \(m = -1\)  2. \(m = 2\)  3. \(m = 3\)

**Rozwiązanie.** Warunek trzech kolejnych wyrazów: \(2 \cdot 4 = (2m - 5) + 9\). Stąd:

$$8 = 2m + 4$$

$$2m = 4$$

$$m = 2$$

Sprawdźmy, jakie to wyrazy: \(2m - 5 = 2 \cdot 2 - 5 = -1\). Czyli ciąg to \((-1, 4, 9)\). Różnica:

$$r = 4 - (-1) = 5$$

Sprawdzenie: \(9 - 4 = 5\). Różnica jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Odpowiedź: A2, czyli ciąg rosnący i \(m = 2\).

Odpowiedź 1. \(m = -1\) łapie tych, którzy obliczą pierwszy wyraz ciągu, czyli \(-1\), i zapomną wrócić do \(m\).

## Zadanie 6 - klasyk "liczby 7, a, 49" (matura sierpień 2013, zadanie 21)

Liczby \(7, a, 49\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy \(a\) jest równe...

**Rozwiązanie.** Warunek trzech kolejnych wyrazów daje:

$$a = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

Odpowiedź: \(28\).

Pułapka: ten sam zestaw liczb tworzy ciąg geometryczny dla \(a = \sqrt{7 \cdot 49} = 7\sqrt{7}\), bo dla ciągu geometrycznego środkowy wyraz to średnia geometryczna skrajnych. W arkuszu bywają zadania na oba rodzaje ciągów, więc trzeba je odróżniać. Średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego, średnia geometryczna dla ciągu geometrycznego. Łatwo zapamiętać po nazwie.

## Najczęstsze pułapki

Pierwsza i najważniejsza pułapka: pisanie wzoru \(a_n = a_1 + n \cdot r\) zamiast \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r\). To znaczy, że twój wynik jest przesunięty o jedno miejsce w prawo. Zawsze podstaw \(n = 1\) na kontrolę: musi wyjść \(a_1\), więc czynnik przy \(r\) powinien być zerem. Z \((1 - 1) = 0\) dostajesz \(0\). Z \(1 \cdot r = r\) dostajesz \(a_1 + r = a_2\). Jeśli twój wzór daje \(a_2\) dla \(n = 1\), poprawiaj minus jeden.

Druga pułapka: mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym. Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę między sąsiadami. Ciąg geometryczny ma stały iloraz. W zadaniu o trzech kolejnych liczbach średnia arytmetyczna sprawdza arytmetyczność, średnia geometryczna sprawdza geometryczność. Jeśli treść mówi "ciąg arytmetyczny", używasz \(2y = x + z\). Po więcej wglądu w obie struktury zobacz nasz post [ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność, zadania otwarte](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte).

Trzecia pułapka: zapominanie o znaku \(r\). Ciąg malejący ma ujemną różnicę. W zadaniach typu "oblicz \(a_{20}\) w ciągu malejącym" odpowiedź często jest bardzo ujemna. Sprawdzaj kierunek: w ciągu malejącym wcześniejszy wyraz jest większy od późniejszego. W zadaniu 2 powyżej \(a_6 = -8\) jest większe od \(a_{10} = -24\), więc znak się zgadza.

Czwarta pułapka: mylenie wzoru na \(a_n\) ze wzorem na sumę \(S_n\). \(a_n\) to wartość konkretnego wyrazu. \(S_n\) to suma \(n\) początkowych wyrazów. Dwa zupełnie różne wzory, choć oba mają w środku \(n\) i \(r\). Po szczegóły zerknij do osobnego poradnika [jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego).

Piąta pułapka: rozwiązywanie układu dwóch równań "na siłę", kiedy wystarczy jeden szybki wzór. Jeśli masz \(a_n\) i \(a_m\), używaj gotowego wzoru \(r = \frac{a_n - a_m}{n - m}\). Nie buduj układu z dwoma niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) - to o jedno równanie więcej niż trzeba.

## Sprytne skróty

Kilka tricków, które przyspieszają rozwiązywanie:

- Jeśli treść mówi "ciąg \(a_n = pn + q\)", to to jest automatycznie ciąg arytmetyczny o różnicy \(r = p\) i pierwszym wyrazie \(a_1 = p + q\). Wzór \(a_n = pn + q\) to po prostu liniowa funkcja \(n\), a różnica między kolejnymi wyrazami to współczynnik kierunkowy \(p\).
- W ciągu arytmetycznym suma symetrycznie położonych wyrazów względem środka jest stała: \(a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \ldots\). Z tego wynika klasyczny wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów.
- Średnia arytmetyczna \(n\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to po prostu środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby wyrazów) albo średnia dwóch środkowych (dla parzystej liczby). Bardzo przydatne w zadaniach "oblicz średnią pierwszych dziesięciu wyrazów".
- Jeśli w warunku zadania pojawia się wyraz typu \(a_n + a_{n+1} + a_{n+2}\), zauważ że to \(3 a_{n+1}\) - środkowy wyraz mnożony przez liczbę składników. Klasyczna technika w zadaniach typu "\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\), znajdź \(a_4\)" (matura sierpień 2018), gdzie odpowiedź to po prostu \(a_4 = 5\).

## Trening na koniec - zestaw zadań

Pełny trening na ciągach arytmetycznych ze znalezionym \(r\) i \(a_n\):

- Zadanie 7 - [warunek \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\) i wyznaczenie \(a_4\)](/task/matura-sierpie-2018-13)
- Zadanie 8 - [\(a_{30} = 4\), \(a_{35} = 7\), znajdź różnicę \(r\)](/task/matura-pr-bna-stycze-2014-09)
- Zadanie 9 - [pierwsze dwa wyrazy \(2\) i \(5\), wniosek o n-tym wyrazie](/task/matura-sierpie-2020-18)
- Zadanie 10 - [równość \(a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100\) i obliczenie sumy \(a_{25} + a_{26}\)](/task/matura-sierpie-2017-31)
- Zadanie 11 - [dwucyfrowe liczby podzielne przez 7 jako ciąg arytmetyczny](/task/matura-sierpie-2015-14)
- Zadanie 12 - [parametr w trójkę \((2x+1, 6, 16x+2)\)](/task/matura-sierpie-2011-27)

Wszystkie zadania z ciągów masz na stronie [tematu Ciągi](/topics/ciagi). Dla pełniejszej powtórki polecam [najtrudniejsze zadania maturalne z matematyki - ranking](/najtrudniejsze-zadania-maturalne-matematyka-ranking), gdzie omawiamy też zadania kombinujące ciąg arytmetyczny z geometrycznym.

## Checklist - co musisz umieć przed maturą

Ciąg arytmetyczny opanowany, jeśli potrafisz bez wahania:

- zapisać wzór \(a_n = a_1 + (n - 1) r\) z palca i bez zaglądania do tablic,
- wyprowadzić ten wzór z definicji \(a_{n+1} - a_n = r\),
- wyliczyć różnicę \(r\) z dwóch sąsiednich wyrazów (\(r = a_{n+1} - a_n\)) i z dwóch dowolnych (\(r = \frac{a_n - a_m}{n - m}\)),
- zastosować warunek trzech kolejnych wyrazów \(2 y = x + z\) w zadaniach z parametrem,
- znaleźć numer wyrazu, dla którego ciąg osiąga zadaną wartość (równanie liniowe ze zmienną \(n\)),
- rozróżnić ciąg arytmetyczny od geometrycznego po treści zadania (różnica vs iloraz, średnia arytmetyczna vs geometryczna),
- sprawdzić wynik przez wypisanie pierwszych kilku wyrazów ciągu,
- nie pomylić \(a_n\) z \(S_n\) (n-ty wyraz to nie suma).

Wzór jeden, technik kilka, a zadania na nie wracają w arkuszach regularnie, zwykle za 1 punkt, czasem jako zadanie otwarte za 2 punkty. Naucz się tego raz, a wracaj do tego tylko po to, żeby przed maturą sprawdzić, czy nadal pamiętasz minus jeden przy \(r\).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady
title: Matura poprawkowa z matematyki 2027 - termin, zasady i plan nauki na sierpień
description: Matura poprawkowa z matematyki 2027: termin w sierpniu, kto może przystąpić, jak wygląda arkusz i plan nauki na 2 miesiące, od zera do 30% punktów.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura poprawkowa z matematyki 2027 - termin, zasady i plan nauki na sierpień

## Matura poprawkowa z matematyki 2027 - nie jest tak źle, jak myślisz

Nie zdałeś matury z matematyki w maju 2027? Spokojnie - masz drugą szansę. Matura poprawkowa odbywa się co roku w sierpniu. Nie musisz być matematycznym geniuszem - wystarczy **30% punktów**, czyli tyle samo co na maturze majowej.

Ten przewodnik to kompletny plan działania: od formalności, przez strategię nauki, po konkretny rozkład tematów tydzień po tygodniu. Jeśli szukasz ogólnych porad o maturze, zajrzyj do naszego [kompletnego przewodnika po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

## Termin matury poprawkowej 2027

Matura poprawkowa z matematyki w 2027 roku odbędzie się **23 sierpnia 2027 (poniedziałek), o godzinie 9:00**.

Kluczowe daty:
- **do 7 dni od ogłoszenia wyników** - termin złożenia oświadczenia o zamiarze przystąpienia do matury poprawkowej (składasz je do dyrektora szkoły, którą ukończyłeś)
- **23 sierpnia 2027** - egzamin poprawkowy
- **10 września 2027** - wyniki matury poprawkowej w systemie ZIU

**Ważne:** oświadczenie o przystąpieniu do poprawki musisz złożyć w ciągu 7 dni od ogłoszenia wyników matury majowej. Wyniki majowe ogłaszane są 9 lipca 2027 - pilnuj tego terminu, bo po jego przekroczeniu tracisz prawo do poprawki w sierpniu.

## Kto może przystąpić do matury poprawkowej?

Prawo do matury poprawkowej mają osoby, które spełniają **wszystkie** poniższe warunki:

1. **Przystąpiły do egzaminów ze wszystkich przedmiotów obowiązkowych i z co najmniej jednego przedmiotu na poziomie rozszerzonym** - w maju 2027 albo w czerwcowym terminie dodatkowym; nie możesz podchodzić do poprawki, jeśli w ogóle nie pojawiłeś się na egzaminie
2. **Nie zdały dokładnie jednego przedmiotu obowiązkowego** - i właśnie tym przedmiotem jest matematyka
3. **Zdały pozostałe przedmioty obowiązkowe** - język polski (pisemny i ustny) i język obcy (pisemny i ustny), a żaden z ich egzaminów, także rozszerzony, nie został unieważniony

**Uwaga:** jeśli nie zdałeś dwóch lub więcej przedmiotów obowiązkowych (np. matematyki i polskiego), nie masz prawa do poprawki w sierpniu. W takiej sytuacji możesz przystąpić do matury dopiero w następnym roku.

### Czy mogę poprawiać wynik, który jest powyżej 30%?

Nie. Matura poprawkowa jest **wyłącznie dla osób, które nie zdały** (uzyskały poniżej 30%). Jeśli zdałeś z wynikiem np. 35%, ale chciałbyś mieć więcej, musisz czekać do następnej sesji egzaminacyjnej i przystąpić ponownie.

## Jak wygląda arkusz poprawkowy?

Arkusz poprawkowy ma **identyczną strukturę** jak arkusz z sesji majowej. Powstaje według tego samego informatora CKE: ten sam zakres materiału, te same rodzaje zadań i te same zasady oceniania. Różnią się tylko konkretne zadania.

### Struktura arkusza

| Element | Szczegóły |
|---------|-----------|
| Czas trwania | 180 minut |
| Liczba zadań | od 27 do 39 według informatora CKE (w sierpniu 2025: 31) |
| Zadania zamknięte | 20-25 zadań, razem 25 punktów (1 albo 2 punkty za zadanie) |
| Zadania otwarte | 7-14 zadań, razem 25 punktów (od 1 do 4 punktów za zadanie) |
| Układ | zamknięte i otwarte przemieszane na całej długości arkusza |
| Suma punktów | 50 punktów |
| Próg zdawalności | 30% = **15 punktów** |
| Kalkulator | TAK (prosty, nienaukowy) |
| Tablice | TAK (wzory matematyczne) |

### Co to oznacza w praktyce?

Żeby zdać, potrzebujesz **15 punktów z 50**. Zadania zamknięte dają razem 25 punktów, więc jeśli zdobędziesz w nich 15, masz zdane - nawet bez dotykania zadań otwartych. Oczywiście warto też powalczyć o punkty z łatwiejszych zadań otwartych (luk, w które wpisujesz sam wynik, i krótkich zadań za 2 punkty), bo to daje margines bezpieczeństwa.

Więcej o strukturze arkusza i strategii rozwiązywania znajdziesz w artykule o [pewniakach maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

## Strategia na 30% - które tematy dają najłatwiejsze punkty

Nie musisz umieć wszystkiego. Na maturze poprawkowej kluczem jest **skupienie się na tematach, które dają najwięcej punktów przy najmniejszym nakładzie pracy**. Oto ranking tematów od najłatwiejszych do najtrudniejszych. Nie podajemy przy nich liczby zadań, bo ta zmienia się z arkusza na arkusz.

### Tier 1 - musisz to umieć

Zadania z tych tematów wracają w arkuszach regularnie i zwykle są najłatwiejsze:

**[Procenty](/topics/procenty)**
- Obliczanie procentu z liczby
- Procent składany (podstawowy wzór)
- Podwyżki i obniżki cen
- Przećwicz: [Procenty na maturze - wzory i zadania](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany)

**[Statystyka](/topics/statystyka)**
- Średnia arytmetyczna
- Mediana
- Odczytywanie danych z diagramów i tabel
- Przećwicz: [Statystyka na maturze - średnia, mediana, odchylenie](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe)

**[Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa)**
- Odczytywanie współczynników z wykresu
- Równanie prostej przez dwa punkty
- Przećwicz: [Funkcja liniowa na maturze](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)

**[Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki)**
- Działania na potęgach
- Upraszczanie wyrażeń
- Przećwicz: [Potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania)

### Tier 2 - naucz się po Tierze 1

**[Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa)**
- Delta, miejsca zerowe
- Współrzędne wierzchołka
- Odczytywanie z wykresu
- Przećwicz: [Funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)

**[Planimetria](/topics/planimetria)**
- Pola i obwody figur (prostokąt, trójkąt, koło)
- Twierdzenie Pitagorasa
- Przećwicz: [Planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag)

**[Ciągi](/topics/ciagi)**
- Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i geometrycznego
- Suma ciągu arytmetycznego
- Przećwicz: [Ciągi na maturze - wzory i zadania](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)

### Tier 3 - tylko jeśli starczy czasu

**[Stereometria](/topics/stereometria)**, **[trygonometria](/topics/trygonometria)**, **[logarytmy](/topics/logarytmy)**, **[geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna)** - te tematy są trudniejsze i czasochłonne. Ucz się ich dopiero, gdy opanujesz Tier 1 i Tier 2.

## Plan nauki na 2 miesiące - tydzień po tygodniu

Zakładam start nauki od połowy czerwca (jeszcze przed wynikami majowej matury - kto czeka na wynik, zaczyna później i ma mniej czasu) do 23 sierpnia. To daje ok. **10 tygodni**, z czego ostatni przeznaczamy na powtórkę. Plan jest realistyczny - zakłada 2-3 godziny nauki dziennie. Zadania rozwiązujesz w ramach dziennego limitu zadań: bez konta 3 dziennie, z darmowym kontem 5, a rozwiązania krok po kroku odsłaniasz odpowiednio raz i trzy razy dziennie; w Premium bez limitu. Poniższy plan zakłada darmowe konto, czyli 5 zadań dziennie, więc trzydniowy blok to 15 zadań; bez konta pula wynosi 3, więc te same bloki trzeba rozłożyć na więcej dni.

### Faza 1: Fundamenty (tygodnie 1-3)

#### Tydzień 1 (ok. 14-20 czerwca): Procenty i statystyka

**Poniedziałek-środa: Procenty**
- Obliczanie procentu z liczby: \(p\% \cdot x = \frac{p}{100} \cdot x\)
- Jakim procentem jest \(a\) z \(b\): \(\frac{a}{b} \cdot 100\%\)
- Podwyżka/obniżka: cena po podwyżce o \(p\%\) to \(x \cdot (1 + \frac{p}{100})\)
- Procent składany: \(K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n\)
- Rozwiąż minimum 15 zadań z [działu procenty](/topics/procenty)

**Czwartek-sobota: Statystyka**
- Średnia arytmetyczna: \(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\)
- Mediana: wartość środkowa po uporządkowaniu danych
- Odczytywanie z diagramów słupkowych, kołowych, tabel
- Rozwiąż minimum 15 zadań z [działu statystyka](/topics/statystyka)

**Niedziela:** dzień wolny lub luźna powtórka

#### Tydzień 2 (ok. 21-27 czerwca): Potęgi i funkcja liniowa

**Poniedziałek-środa: Potęgi i pierwiastki**
- Mnożenie potęg: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- Dzielenie potęg: \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
- Potęga potęgi: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
- Pierwiastki: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
- Rozwiąż minimum 15 zadań z [działu potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki)

**Czwartek-sobota: Funkcja liniowa**
- Wzór: \(f(x) = ax + b\)
- Współczynnik kierunkowy \(a\) - nachylenie prostej
- Wyraz wolny \(b\) - punkt przecięcia z osią \(OY\)
- Równanie prostej przez dwa punkty
- Warunek równoległości (\(a_1 = a_2\)) i prostopadłości (\(a_1 \cdot a_2 = -1\))
- Rozwiąż minimum 15 zadań z [działu funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa)

#### Tydzień 3 (ok. 28 czerwca - 4 lipca): Funkcja kwadratowa

Cały tydzień poświęcony na funkcję kwadratową - temat gęsty, ale bardzo opłacalny:

**Poniedziałek-wtorek: Wzory i obliczenia**
- Postać ogólna: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
- Delta: \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- Miejsca zerowe: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Wierzchołek: \(p = \frac{-b}{2a}\), \(q = \frac{-\Delta}{4a}\)

**Środa-czwartek: Wykres i własności**
- Ramiona w górę (\(a > 0\)) vs w dół (\(a < 0\))
- Odczytywanie współczynników z wykresu
- Zbiór wartości w zależności od znaku \(a\)

**Piątek-sobota: Zadania maturalne**
- Rozwiązuj zadania z [działu funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), w ramach dziennego limitu zadań
- Skup się na zadaniach zamkniętych - to najczęstszy format

Jeśli chcesz przećwiczyć więcej, przejdź do [pełnego przewodnika po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

### Faza 2: Rozszerzenie (tygodnie 4-6)

#### Tydzień 4 (ok. 5-11 lipca): Planimetria - część 1

**Poniedziałek-środa: Figury podstawowe**
- Prostokąt, kwadrat - pole i obwód
- Trójkąt - pole: \(P = \frac{1}{2}ah\), \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\)
- Twierdzenie Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Trójkąty prostokątne o kątach 30-60-90 i 45-45-90

**Czwartek-sobota: Koło i okrąg**
- Pole koła: \(P = \pi r^2\)
- Obwód koła: \(L = 2\pi r\)
- Długość łuku, pole wycinka
- Rozwiąż minimum 15 zadań z [działu planimetria](/topics/planimetria)

#### Tydzień 5 (ok. 12-18 lipca): Planimetria - część 2 + ciągi

**Poniedziałek-środa: Planimetria zaawansowana**
- Czworokąty (trapez, romb, równoległobok)
- Podobieństwo trójkątów
- Przećwicz trudniejsze zadania z [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag)

**Czwartek-sobota: Ciągi**
- Ciąg arytmetyczny: \(a_n = a_1 + (n-1)r\), \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
- Ciąg geometryczny: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), \(S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}\)
- Rozpoznawanie typu ciągu z warunków zadania
- Rozwiąż minimum 15 zadań z [działu ciągi](/topics/ciagi)

#### Tydzień 6 (ok. 19-25 lipca): Równania, wyrażenia algebraiczne, funkcje ogólne

**Poniedziałek-wtorek: Równania i nierówności**
- Równania liniowe i kwadratowe (powtórka)
- Nierówności liniowe - wyznaczanie zbiorów rozwiązań
- Rozwiąż zadania z [działu równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci)

**Środa-czwartek: Wyrażenia algebraiczne**
- Wzory skróconego mnożenia
- Upraszczanie wyrażeń
- Przećwicz z [działem wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne)

**Piątek-sobota: Funkcje - własności z wykresu**
- Odczytywanie dziedziny, zbioru wartości, monotoniczności
- Miejsca zerowe, znak funkcji
- Przećwicz na [zadaniach z funkcji](/topics/funkcje) i przeczytaj [przewodnik po funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc)

### Faza 3: Szlifowanie i powtórka (tygodnie 7-10)

#### Tydzień 7 (ok. 26 lipca - 1 sierpnia): Tematy dodatkowe (opcjonalnie)

Jeśli Tier 1 i Tier 2 masz opanowane, dorzuć:

**[Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo)** - zadania z niego wracają w arkuszach regularnie. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\)) to często łatwy punkt. Więcej w [przewodniku po prawdopodobieństwie](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

**[Funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza)** - prostsze zadania z porównywania potęg. Przeczytaj [przewodnik po funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania).

**[Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste)** - przedziały, wartość bezwzględna, proste nierówności.

Jeśli czujesz braki w Tierze 1-2, poświęć ten tydzień na powtórkę słabych stron zamiast nowych tematów.

#### Tydzień 8 (ok. 2-8 sierpnia): Arkusze maturalne

To najważniejszy tydzień. Rozwiązujesz **pełne arkusze** w warunkach zbliżonych do egzaminu: [Maturę maj 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [Maturę próbną CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania). Mają 31 i 32 zadania (arkusz CKE od 2025 roku może mieć od 27 do 39 zadań), czyli dużo więcej, niż darmowe konto otwiera w aplikacji jednego dnia. Oba arkusze CKE udostępnia na swojej stronie w PDF razem z zasadami oceniania, więc pobierz je, rozwiąż w całości na papierze i mierz czas samodzielnie (na przykład stoperem). Odpowiedzi sprawdzisz w zasadach oceniania CKE i w naszych omówieniach pod linkami wyżej, a w aplikacji wracaj tylko do zadań, w których się pomyliłeś, po 5 dziennie. Jeśli starczy czasu, dorzuć [Maturę próbną luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz), nasz własny arkusz próbny w formule CKE: rozwiązujesz go w aplikacji, więc na darmowym koncie jego 30 zadań rozłożysz na sześć dni po 5. Z kontem Premium każdy z tych arkuszy zrobisz w aplikacji jednego dnia, bez limitu.

Po każdym arkuszu:
1. Sprawdź odpowiedzi i policz punkty
2. Przeanalizuj błędy - zapisz, które tematy wymagają powtórki
3. Popraw rozwiązania zadań, w których się pomyliłeś

Możesz też skorzystać z [symulatora matury](/simulator), który automatycznie liczy Twój wynik, ale to funkcja dostępna w Premium.

**Cel:** na każdym arkuszu zdobywaj minimum 18-20 punktów (36-40%), żeby mieć margines bezpieczeństwa na stres egzaminacyjny.

#### Tydzień 9 (ok. 9-15 sierpnia): Kolejny arkusz i powtórka Tieru 1

**Poniedziałek-czwartek: Arkusz kontrolny**
- Jeśli na arkuszach z poprzedniego tygodnia zdobywałeś już 18-20 punktów, rozwiąż arkusz kontrolny: [Maturę maj 2026](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania), którą CKE też udostępnia w PDF z zasadami oceniania. Rozwiąż ją na papierze, ze stoperem. Z kontem Premium możesz zamiast niej zrobić w aplikacji [Maturę sierpień 2025](/exams/matura-sierpien-2025), prawdziwy arkusz z sesji poprawkowej 2025 roku. CKE nie publikuje go w PDF, a na darmowym koncie jego 31 zadań zajęłoby ponad sześć dni
- Jeśli jeszcze nie osiągnąłeś tego wyniku, zamiast kolejnego arkusza wróć do Tieru 1 i przerabiaj zadania z procentów, statystyki, funkcji liniowej i potęg w ramach dziennego limitu, zaczynając od działu z najgorszym wynikiem

**Piątek-sobota: Analiza błędów**
- Sprawdź odpowiedzi i policz punkty
- Wypisz działy, w których się pomyliłeś, i rozwiąż jeszcze raz podobne zadania w [bazie zadań pogrupowanej tematycznie](/topics) albo wylosuj kolejne z [trybu losowego](/random), koncentrując się na działach [procenty](/topics/procenty), [statystyka](/topics/statystyka), [funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) i [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki)
- Nie masz arkusza kontrolnego, bo wróciłeś do Tieru 1? Zrób szybki test diagnostyczny: rozwiąż losowe zadania z [trybu losowego](/random), tyle, ile daje dzienny limit zadań, i rozłóż to na dwa-trzy dni; przy każdym zapisz, czy poszło, i wypisz działy, które odpadły. Metodę opisuje [poradnik o teście diagnostycznym](/test-diagnostyczny-matematyka-matura-jak-sprawdzic-poziom). Automatyczne liczenie wyniku z całego arkusza ma [symulator matury](/simulator), ale to funkcja dostępna w Premium.

**Niedziela: Domknięcie luk**
- Wróć do zadań z Tieru 1 i Tieru 2, w których czułeś się niepewnie
- To ostatnia okazja na uzupełnienie braków przed powtórką w kolejnym bloku

#### Tydzień 10 (ok. 16-22 sierpnia): Ostatnia powtórka

**Poniedziałek-środa: Powtórka słabych tematów**
- Wróć do tematów, w których robiłeś najwięcej błędów na arkuszach
- Rozwiązuj codziennie zadania z każdego słabego tematu, w ramach dziennego limitu zadań

**Czwartek-piątek: Wzory i tablice**
- Przejrzyj tablice maturalne - zapamiętaj, gdzie co jest
- Powtórz najważniejsze wzory, których nie ma w tablicach (lista w artykule o [wzorach spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac))

**Sobota-niedziela: Odpoczynek**
- Lekka powtórka lub całkowity odpoczynek
- Przygotuj przybory: dowód osobisty, kalkulator prosty (sprawdź baterie!), czarny długopis, linijka, cyrkiel

**Niedziela 22 sierpnia:** ostatni wieczór - nie ucz się! Odpocznij, idź spać wcześnie.

**Poniedziałek 23 sierpnia:** egzamin o 9:00.

## Błędy, których musisz unikać na poprawce

Wiele osób nie zdaje matury nie dlatego, że nie umie matematyki, ale przez banalne pomyłki. Oto lista najczęstszych błędów:

### 1. Złe zarządzanie czasem

Masz 180 minut na cały arkusz. Typowy błąd: siedzisz 20 minut nad jednym trudnym zadaniem zamkniętym za 1 punkt, a potem nie masz czasu na 5 łatwych zadań.

**Zasada:** na zadanie zamknięte maksymalnie 3 minuty. Nie wiesz - zaznacz odpowiedź "na czuja" i idź dalej. Wróć do niego na końcu.

### 2. Puste zadania otwarte

Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania otwartego do końca, **zawsze napisz coś**. Narysuj rysunek, wypisz dane, napisz wzór, który planujesz użyć. CKE przyznaje punkty cząstkowe za postęp w rozwiązaniu, a w zadaniach za 3 i 4 punkty pierwszy punkt bywa za dobry początek, na przykład poprawnie zapisaną zależność z rysunku.

Więcej technik rozwiązywania zadań otwartych w [naszym przewodniku](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

### 3. Błędy rachunkowe

Na poprawce stres jest jeszcze większy niż na maturze majowej. Sprawdzaj obliczenia dwa razy, szczególnie w procentach i ułamkach. Kalkulator jest Twoim przyjacielem - używaj go do weryfikacji.

Kompletna lista typowych wpadek maturalnych jest w artykule o [najczęstszych błędach na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### 4. Nieodczytanie zadania

Czytaj treść zadania dwa razy. Podkreśl słowa kluczowe. Wiele osób traci punkty, bo odpowiada na inne pytanie niż to postawione w zadaniu.

## Motywacja - dlaczego warto walczyć o poprawkę

Matura poprawkowa to nie jest egzamin-potwór. Arkusz ma tę samą budowę i te same zasady oceniania co majowy, a Ty masz dodatkowe 2 miesiące na przygotowanie. Poprawka realnie zmienia wyniki rocznika: według danych CKE zdawalność matematyki w 2025 roku wzrosła z 85% po sesji majowej do 88,4% po doliczeniu terminu czerwcowego i sierpniowego.

Korzyści ze zdania:
- **Świadectwo dojrzałości** - otwiera drzwi na studia i do wielu zawodów
- **Rekrutacja październikowa** - wiele uczelni prowadzi dodatkową rekrutację we wrześniu/październiku, więc nadal możesz dostać się na studia w tym samym roku
- **Spokój psychiczny** - nie musisz czekać kolejnego roku

## Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

### Czy matura poprawkowa jest łatwiejsza od majowej?

Nie. Arkusz poprawkowy powstaje według tego samego informatora CKE co majowy: ta sama struktura, taki sam zakres materiału i te same zasady oceniania. CKE nie robi "zniżek" na poprawce.

### Czy wynik z poprawki jest jakoś oznaczony na świadectwie?

Świadectwo dojrzałości podaje wynik procentowy z egzaminu, a uczelnie przeliczają go według swoich zasad tak samo jak wynik z maja. Różnica jest w terminie: po poprawce komisja okręgowa przekazuje świadectwa do szkół we wrześniu, a nie na początku lipca, więc sprawdź, czy wybrana uczelnia ma rekrutację, która na nie poczeka.

### Czy mogę korzystać z kalkulatora i tablic na poprawce?

Tak, zasady są identyczne jak na maturze majowej. Możesz korzystać z prostego kalkulatora (nienaukowego) oraz tablic wzorów matematycznych dostarczonych przez CKE.

### Ile razy mogę podchodzić do poprawki?

W danym roku - tylko raz, w sierpniu. Jeśli nie zdasz poprawki, możesz przystąpić do matury ponownie w kolejnych latach (w sesji majowej). Nie ma limitu prób.

### Czy mogę się uczyć sam, czy potrzebuję korepetycji?

2 miesiące to wystarczająco dużo czasu, żeby przygotować się samodzielnie. Kluczem jest **systematyczność i dużo praktyki**. Korzystaj z [bazy ponad 2300 zadań maturalnych pogrupowanej tematycznie](/topics) - zacznij od najważniejszych działów: [procenty](/topics/procenty), [statystyka](/topics/statystyka), [funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa), [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki); każde zadanie ma rozwiązanie krok po kroku.

Jeśli potrzebujesz dodatkowej struktury, skorzystaj z naszej [strategii na maturę 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i dostosuj ją do swojego tempa.

### Co jeśli nie zdam poprawki w sierpniu?

Możesz przystąpić do matury w maju następnego roku. Musisz ponownie złożyć deklarację maturalną do 7 lutego: u dyrektora szkoły, którą ukończyłeś, a jeśli szkołę zlikwidowano, u dyrektora OKE. Cały proces zaczynasz od nowa - ale masz dużo więcej czasu na przygotowanie.

### Czy na poprawce jest inny arkusz niż w maju?

Tak, to zupełnie nowy arkusz - inne zadania, inne liczby. Nie powtarzają się zadania z sesji majowej. Ale zakres tematyczny, poziom trudności i zasady budowy arkusza (50 punktów, od 27 do 39 zadań, te same rodzaje zadań i te same zasady oceniania) pozostają takie same. Sama liczba zadań może się różnić o kilka między arkuszami: w maju i w sierpniu 2025 roku było ich po 31, w maju 2026 już 33.

### Jak radzić sobie ze stresem na poprawce?

Stres na maturze poprawkowej bywa silniejszy niż na majowej - czujesz presję "ostatniej szansy". Kilka sprawdzonych technik:

- **Oddychanie 4-7-8**: wdech przez 4 sekundy, wstrzymaj na 7, wydech przez 8. Powtórz 3 razy przed egzaminem i gdy poczujesz panikę w trakcie
- **Zacznij od tego, co umiesz**: pierwsze rozwiązane zadania budują pewność siebie. Nie zaczynaj od najtrudniejszego
- **Pamiętaj o marginesie**: jeśli przygotowywałeś się według naszego planu i na próbnych arkuszach zdobywałeś 18-20 punktów, masz kilka punktów zapasu na gorszą formę w dniu egzaminu
- **To nie koniec świata**: nawet jeśli nie zdasz, możesz podejść w maju. Życie się nie kończy

Więcej o strategii podejścia do egzaminu znajdziesz w [artykule o ostatnich tygodniach przed maturą](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

## Dzień egzaminu - praktyczne wskazówki

### Co zabrać na poprawkę

- **Dowód osobisty** albo inny dokument ze zdjęciem (bez niego nie wejdziesz na salę!)
- **Długopis z czarnym tuszem**, nie ścieralny (nie ołówek, nie niebieski - czarny; rysunki też robisz długopisem)
- **Kalkulator prosty** (sprawdź baterie dzień wcześniej)
- Linijka i cyrkiel, jeśli szkoła ich nie zapewnia
- Butelka wody
- Telefon zostawiasz poza salą, w miejscu wskazanym przez szkołę; godzinę zakończenia pracy zobaczysz na tablicy i na zegarze w sali

### Strategia na sali egzaminacyjnej

1. **Pierwsze 5 minut**: przejrzyj cały arkusz, oznacz zadania łatwe, średnie i trudne
2. **Następne 90 minut**: rozwiąż wszystkie łatwe zadania zamknięte + łatwe otwarte
3. **Kolejne 60 minut**: wróć do średnich zadań
4. **Ostatnie 25 minut**: spróbuj trudnych zadań, nawet jeśli nie umiesz do końca (punkty cząstkowe!), i sprawdź odpowiedzi

## Podsumowanie - Twoja ściągawka na poprawkę

| Element | Szczegóły |
|---------|-----------|
| Termin egzaminu | 23 sierpnia 2027, godz. 9:00 |
| Próg zdawalności | 30% = 15 punktów z 50 |
| Czas nauki | ok. 10 tygodni (połowa czerwca - sierpień) |
| Priorytet nr 1 | Procenty, statystyka, funkcja liniowa, potęgi |
| Priorytet nr 2 | Funkcja kwadratowa, planimetria, ciągi |
| Strategia | Najpierw łatwe punkty, potem trudniejsze tematy |
| Najważniejszy tydzień | Tydzień 8 - pełne arkusze maturalne, czas mierzony samodzielnie |

Pamiętaj: 30% to zaledwie 15 punktów. Przy dobrym opanowaniu Tieru 1 zdobędziesz je z samych zadań zamkniętych. Dodaj do tego parę punktów z łatwych zadań otwartych i masz zdane z zapasem. Powodzenia!

Zacznij przygotowania już teraz - przejdź do [bazy zadań maturalnych pogrupowanej tematycznie](/topics) i rozwiązuj kilka zadań dziennie z [działu procenty](/topics/procenty) przez najbliższy tydzień.

Quiz: Sprawdź się

Pytanie: Jaki wynik trzeba osiągnąć, żeby zdać maturę poprawkową z matematyki na poziomie podstawowym?
- A. 20% punktów
- B. 30% punktów
- C. 40% punktów
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: W artykule próg zdawalności został podany jako 30% punktów, tak samo jak dla matury majowej.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt
title: Łatwe punkty na maturze z matematyki - zadania za 1 punkt, które musisz umieć
description: Gdzie na maturze z matematyki są łatwe punkty? Typy zadań za 1 punkt z rozwiązaniami i rachunek, ile do progu 30% dają same proste zadania.
author: Marcel Bogdan
---

# Łatwe punkty na maturze z matematyki - zadania za 1 punkt, które musisz umieć

## Zapomnij o trudnych zadaniach - zacznij od łatwych punktów

Wielu uczniów przygotowujących się do matury z matematyki popełnia ten sam błąd: próbują opanować wszystko naraz. Siedzą nad stereometrią, męczą się z dowodami geometrycznymi, a potem na egzaminie gubią punkt w zadaniu o procentach, bo się pośpieszyli.

Prawda jest taka, że **arkusz maturalny zawiera dużo łatwych punktów** - i to właśnie od nich powinieneś zacząć przygotowania. Jeśli Twoim celem jest zdanie matury (próg 30%, czyli 15 punktów na 50), to masz świetną wiadomość: te punkty da się zdobyć, nie dotykając najtrudniejszych zadań.

W tym artykule pokażę Ci dokładnie, ile łatwych punktów jest na arkuszu, które kategorie zadań dają najłatwiejsze punkty, i jak strategicznie podejść do egzaminu, żeby nic nie stracić. Jeśli szukasz ogólnego planu przygotowań, zajrzyj do naszego [kompletnego przewodnika po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

## Struktura arkusza - ile łatwych punktów czeka na Ciebie

Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym (formuła 2023, od matury 2025) ma od 27 do 39 zadań, razem 50 punktów, i trwa 180 minut. W maju 2025 było 31 zadań, w maju 2026 33 (cztery z nich miały podpunkty). Według informatora CKE punkty dzielą się po równo między dwa rodzaje zadań:

**Zadania zamknięte (20-25 zadań, razem 25 punktów)**

Wybierasz odpowiedź spośród podanych i nie musisz pokazywać obliczeń - liczy się tylko zaznaczenie prawidłowej odpowiedzi. Najczęściej to wybór jednej z czterech odpowiedzi (A, B, C, D), ale są też zadania prawda/fałsz i zadania na dobieranie, np. wybór dwóch odpowiedzi spośród A-F. Zwykle zadanie zamknięte jest za **1 punkt**, czasem za 2.

**Zadania otwarte (7-14 zadań, razem 25 punktów)**

Zadania otwarte są warte od 1 do 4 punktów każde. Najkrótsze to zadania z luką: wpisujesz liczbę albo przedział w wykropkowane miejsce i dostajesz 1 punkt za każdą poprawnie uzupełnioną lukę. W pozostałych („Zapisz obliczenia”, „Wykaż”) musisz pokazać pełne rozwiązanie.

### Rozkład trudności w praktyce

Zadania zamknięte i otwarte nie tworzą dwóch osobnych części. Przeplatają się na całej długości arkusza, a kolejność idzie za działami (liczby i wyrażenia, funkcje, ciągi, geometria, na końcu kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka), nie za trudnością. Tak wyglądał arkusz z maja 2025:

- **Zadania 1-4**: zamknięte (pierwiastki, potęgi, logarytm, wzory skróconego mnożenia)
- **Zadanie 5**: już otwarte, dowód podzielności
- **Zadanie 21**: prawda/fałsz w środku części geometrycznej
- **Zadania 26-29**: znowu zamknięte (bryły, kombinatoryka, prawdopodobieństwo, średnia)
- **Zadanie 30**: luka, mediana i dominanta odczytane z diagramu
- **Zadanie 31**: ostatnie, zadanie optymalizacyjne z pełnym rozwiązaniem

To oznacza, że **łatwych punktów nie szukasz na początku arkusza, tylko w całym arkuszu**: to zadania zamknięte z działów, które znasz, i krótkie zadania otwarte za 1-2 punkty. Ile ich zbierzesz, zależy od tego, które działy masz opanowane. Niżej liczymy to dla pięciu najłatwiejszych tematów.

## 7 kategorii, które dają najłatwiejsze punkty

Nie wszystkie tematy maturalne są równie trudne. Oto kategorie, w których zadania za 1 punkt są najłatwiejsze - uszeregowane od najłatwiejszych.

### 1. Odczytywanie własności z wykresu funkcji

W arkuszach regularnie pojawiają się zadania, w których dostajesz wykres i musisz odczytać z niego informacje: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, znak funkcji. To czysta obserwacja - **nie trzeba nic obliczać**.

W formule 2023 takie pytania często mają postać zadania z luką: wpisujesz przedziały w wykropkowane miejsca, a każda poprawnie uzupełniona luka to 1 punkt. Tak było w zadaniu 11 z maja 2025 (dziedzina, zbiór wartości, argumenty z wartościami dodatnimi, rozwiązania równania \(f(x)=3\)) i w zadaniu 12 z maja 2026.

**Przykład:**

Na podstawie wykresu funkcji \(f\) określ zbiór wartości tej funkcji.

Jeśli z wykresu widzisz, że najniższy punkt to \(y = -2\), a najwyższy to \(y = 4\), odpowiedź brzmi:

$$ZW = \langle -2, 4 \rangle$$

Tego typu zadania przećwiczysz w naszej [bazie zadań z funkcji](/topics/funkcje). Więcej teorii znajdziesz w artykule o [funkcjach na maturze - dziedzina, wykresy, monotoniczność](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc).

### 2. Procenty - proste obliczenia

Zadania z procentów wracają w arkuszach regularnie, raz jako zadanie zamknięte, raz jako krótkie zadanie otwarte. Te najprostsze sprowadzają się do trzech typów:

**Typ A: oblicz procent z liczby**

\(25\%\) z \(240 = 0{,}25 \cdot 240 = 60\)

**Typ B: o ile procent wzrosło/zmalało**

Cena wzrosła z \(200\) zł na \(250\) zł. O ile procent wzrosła?

$$\frac{250 - 200}{200} \cdot 100\% = \frac{50}{200} \cdot 100\% = 25\%$$

**Typ C: jaką liczbę stanowi X% z Y**

Jeśli \(30\%\) uczniów w klasie to \(9\) osób, to ile osób liczy klasa?

$$0{,}3 \cdot x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{0{,}3} = 30$$

Procenty to temat, w którym **błędy wynikają z pośpiechu, nie z braku wiedzy**. Przećwicz 20-30 zadań z [działu procenty](/topics/procenty) i masz te punkty praktycznie pewne. Szczegółowe wzory znajdziesz w artykule o [procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

### 3. Potęgi i pierwiastki

Zadania za 1 punkt z potęg i pierwiastków to zazwyczaj proste przekształcenia:

**Przykład 1: Uprość wyrażenie**

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$$

**Przykład 2: Zapisz w postaci potęgi**

$$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = \left(2^2\right)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$$

**Przykład 3: Porównaj wartości**

Które jest większe: \(2^{10}\) czy \(10^3\)?

$$2^{10} = 1024 > 1000 = 10^3$$

Klucz do tych zadań to znajomość wzorów na potęgi - wszystkie znajdziesz w [dziale potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) oraz w artykule o [potęgach i pierwiastkach na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

### 4. Liczby rzeczywiste - NWD, NWW, podzielność

Zadania z liczb rzeczywistych na poziomie 1-punktowym to najczęściej:

- Cech podzielności (przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9)
- Obliczanie NWD lub NWW dwóch liczb
- Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych
- Porównywanie liczb (np. ułamek vs pierwiastek)

**Przykład: Która z liczb jest największa?**

A) \(\frac{3}{7}\) B) \(0{,}43\) C) \(\frac{5}{12}\) D) \(0{,}41\)

Rozwiązanie: Zamieniamy na ułamki dziesiętne:

$$\frac{3}{7} \approx 0{,}4286 \quad \frac{5}{12} \approx 0{,}4167$$

Porównujemy: \(0{,}4286  3\) (więcej niż 3) nie obejmuje liczby 3.

Na maturze ta różnica kosztuje punkt.

### Pułapka 2: Procent "z" vs procent "o"

"Cena wzrosła **o** 20%" - to znaczy nowa cena to \(120\%\) starej.

"Cena stanowi 20% ceny pierwotnej" - to znaczy nowa cena to \(20\%\) starej.

### Pułapka 3: Ujemny współczynnik kierunkowy

Funkcja \(f(x) = -2x + 5\) jest **malejąca**, bo \(a = -2 < 0\). Uczniowie czasem zapominają o znaku minus.

### Pułapka 4: Dzielenie przez zero

Przy przekształceniach równań nie wolno dzielić [obu stron przez wyrażenie](/jak-wyznaczyc-zmienna-ze-wzoru-przeksztalcanie-wzorow#typowe-pulapki), które może być równe zero. Jeśli dzielisz przez \(x\), musisz osobno sprawdzić przypadek \(x = 0\).

## Podsumowanie - Twoja mapa do łatwych punktów

1. **Łatwe punkty są rozsiane po całym arkuszu** - to zadania zamknięte z działów, które znasz, plus krótkie otwarte
2. **5 najłatwiejszych tematów** (procenty, wykresy, potęgi, funkcja liniowa, statystyka) daje 9-15 punktów, a z równaniami i nierównościami dochodzisz do progu
3. **Próg 30% (15 pkt) jest w zasięgu** łatwych zadań, ale bez zapasu - celuj w 20 punktów, nie w 15
4. **Strategia "najpierw łatwe"** oszczędza czas i daje psychologiczny komfort
5. **Nigdy nie zostawiaj pustych pól** - w zadaniu z czterema odpowiedziami strzał daje \(25\%\) szans na punkt

Zacznij ćwiczyć od łatwych zadań w naszej [bazie zadań maturalnych](/topics/liczby-rzeczywiste). Każdy zdobyty punkt przybliża Cię do zdanej matury. A jeśli chcesz poznać zadania, które pojawiają się niemal na każdym arkuszu, przeczytaj artykuł o [pewniakach maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury
title: Jak się uczyć matematyki od zera do matury - kompletny poradnik dla początkujących
description: Poradnik nauki matematyki od podstaw do matury z planami na 6, 3 i 1 miesiąc. Hierarchia tematów, nawyki i pułapki. Nawet bez talentu da się zdać maturę.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak się uczyć matematyki od zera do matury - kompletny poradnik dla początkujących

Jeśli czytasz ten artykuł, prawdopodobnie czujesz, że z matematyką jest źle. Może masz zaległości z kilku lat, może nigdy nie rozumiałeś tego przedmiotu, a może po prostu nie wiesz, od czego zacząć. Dobra wiadomość jest taka: matura z matematyki jest zdawalna nawet jeśli zaczynasz od zera. W tym poradniku pokażę ci dokładnie, jak to zrobić.

## Czy da się zdać maturę z matematyki zaczynając od zera?

Tak. I nie mówię tego, żeby cię pocieszać - mówię to, bo matematyka maturalna na poziomie podstawowym to konkretny, ograniczony zakres materiału, który da się opanować w kilka miesięcy systematycznej pracy.

Matura z matematyki to nie olimpiada. Nie wymaga "talentu matematycznego" ani genialności. Wymaga:

- Znajomości kilkudziesięciu wzorów i reguł
- Umiejętności stosowania tych reguł w typowych zadaniach
- Praktyki - im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej

Próg zdawalności to 30%. Jeśli planujesz studia, cel ustawisz wyżej, zależnie od zasad rekrutacji na wybrany kierunek. Ani jedno, ani drugie nie jest niemożliwe - to kwestia planu i systematyczności.

Kluczowa prawda, którą musisz przyjąć: **matematyki nie da się "nauczyć" przez czytanie lub oglądanie**. Musisz rozwiązywać zadania. Dużo zadań. Czytanie teorii bez rozwiązywania to jak czytanie o pływaniu bez wchodzenia do wody - możesz wszystko rozumieć, a i tak utoniesz.

## Od czego zacząć - hierarchia tematów maturalnych

Matematyka ma strukturę hierarchiczną - jedne tematy bazują na innych. Jeśli nie rozumiesz potęg, nie zrozumiesz logarytmów. Jeśli nie umiesz rozwiązywać równań, nie poradzisz sobie z funkcjami. Dlatego kolejność nauki ma ogromne znaczenie.

Oto tematy maturalne ułożone od najprostszych do najtrudniejszych, z uwzględnieniem zależności między nimi.

### Poziom 1 - Fundament (bez tego nic nie ruszy)

1. **[Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste)** - działania na ułamkach, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe. To absolutna podstawa. Jeśli masz problem z mnożeniem ułamków, zacznij tutaj.

2. **[Procenty](/topics/procenty)** - obliczanie procentów, procent z liczby, podwyżki i obniżki. Zadania z procentami wracają w arkuszach często i należą do najłatwiejszych, więc to dobre miejsce na pierwsze pewne punkty. Sprawdź nasz [artykuł o procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

3. **[Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki)** - prawa potęgowania, upraszczanie wyrażeń. Ten temat otwiera drzwi do logarytmów i funkcji wykładniczych. Przeczytaj nasz [poradnik o potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

4. **[Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne)** - wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki, upraszczanie wyrażeń. Potrzebujesz tego wszędzie.

### Poziom 2 - Równania i funkcje (rdzeń matury)

5. **[Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci)** - równania liniowe, kwadratowe, z wartością bezwzględną. To fundament, na którym stoi cała reszta.

6. **[Układy równań](/topics/uklady-rownan)** - metoda podstawiania i przeciwnych współczynników. Pojawiają się i w zadaniach zamkniętych, i otwartych.

7. **[Funkcje - pojęcia ogólne](/topics/funkcje)** - dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, odczytywanie z wykresu. Zanim przejdziesz do konkretnych funkcji, musisz rozumieć pojęcia ogólne. Nasz [artykuł o funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc) wyjaśnia wszystko krok po kroku.

8. **[Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa)** - wzór, wykres, miejsce zerowe, interpretacja współczynników. Najłatwiejszy typ funkcji, idealny na start. Przeczytaj [kompletny poradnik o funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

9. **[Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa)** - delta, wierzchołek paraboli, postać kanoniczna i iloczynowa. Jeden z najważniejszych tematów na maturze - zadania z niej, wliczając nierówności kwadratowe, są w każdym arkuszu CKE od 2015 roku. Mamy szczegółowy [artykuł o funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

### Poziom 3 - Kolejne działy podstawy (opierają się na poziomach 1 i 2)

To nadal materiał z poziomu podstawowego i zadania z tych działów są na maturze. Uczysz się ich po fundamencie, bo bez potęg nie ruszysz logarytmów, a bez równań ciągów.

10. **[Logarytmy](/topics/logarytmy)** - definicja, własności, równania logarytmiczne. Temat trudniejszy, ale na maturze zadania z logarytmów bywają schematyczne i przewidywalne. Zajrzyj do [artykułu o logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

11. **[Funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza)** - wykresy, równania i nierówności wykładnicze.

12. **[Ciągi](/topics/ciagi)** - arytmetyczne i geometryczne, wzór na n-ty wyraz, suma. Temat, który wygląda strasznie, ale sprowadza się do kilku wzorów. Przeczytaj nasz [poradnik o ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

13. **[Trygonometria](/topics/trygonometria)** - sinus, cosinus, tangens, wzory redukcyjne, twierdzenie sinusów i cosinusów. W każdym arkuszu CKE z lat 2023-2026 było co najmniej jedno zadanie z trygonometrii. Zajrzyj do [artykułu o trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

14. **[Statystyka](/topics/statystyka)** - średnia, mediana, odchylenie standardowe. Proste obliczenia, łatwe punkty - nie pomijaj tego tematu. Mamy [poradnik o statystyce na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe).

### Poziom 4 - Geometria i prawdopodobieństwo (najtrudniejsze, ale warte wysiłku)

15. **[Planimetria](/topics/planimetria)** - pola figur, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo. Geometria to temat, który wymaga wyobraźni przestrzennej. Przeczytaj nasz [artykuł o planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

16. **[Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna)** - równanie prostej, odległość punktów, okrąg. Łączy algebrę z geometrią. Sprawdź [poradnik geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

17. **[Stereometria](/topics/stereometria)** - objętości brył, przekroje, kąty. Najtrudniejszy temat dla większości uczniów, ale na maturze zadania z brył bywają schematyczne. Nasz [artykuł o stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) pomoże ci je opanować.

18. **[Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka)** i **[Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo)** - permutacje, kombinacje, prawdopodobieństwo zdarzeń. Czytaj nasz [poradnik o prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

## Plan nauki - 6 miesięcy do matury

Sześć miesięcy to komfortowy czas na naukę od zera. Możesz pozwolić sobie na dokładne zrozumienie każdego tematu i rozwiązanie dużej liczby zadań.

**Tempo:** 1-2 godziny dziennie, 5-6 dni w tygodniu.

Zadania do tego i do pozostałych planów możesz brać z podręcznika, ze zbioru zadań, z arkuszy CKE w PDF albo z naszej bazy. Darmowe konto na Sprawnej Maturze otwiera 5 zadań dziennie. Przy godzinie czy dwóch nauki rozwiążesz więcej, więc resztę dobierz ze zbioru albo z arkuszy CKE; bez dziennego limitu ćwiczysz z kontem Premium.

### Miesiąc 1: Fundamenty

- Tydzień 1-2: Liczby rzeczywiste, ułamki, procenty. Rozwiąż minimum 50 zadań z procentów.
- Tydzień 3-4: Potęgi, pierwiastki, wyrażenia algebraiczne. Opanuj prawa potęgowania do perfekcji.

**Cel na koniec miesiąca:** Bezbłędnie obliczasz procenty, potęgi i upraszczasz wyrażenia algebraiczne.

### Miesiąc 2: Równania i funkcja liniowa

- Tydzień 1-2: Równania liniowe, kwadratowe, układy równań. Rozwiąż minimum 40 równań kwadratowych.
- Tydzień 3-4: Funkcja liniowa - wzór, wykres, zadania z kontekstem.

**Cel:** Rozwiązujesz równania kwadratowe z deltą bezbłędnie. Rysujesz wykres funkcji liniowej w 30 sekund.

### Miesiąc 3: Funkcja kwadratowa i logarytmy

- Tydzień 1-2: Funkcja kwadratowa - trzy postaci, wierzchołek, zbiór wartości, nierówności.
- Tydzień 3-4: Logarytmy i funkcja wykładnicza.

**Cel:** Analizujesz funkcję kwadratową w każdej postaci. Stosujesz własności logarytmów.

### Miesiąc 4: Ciągi, trygonometria, statystyka

- Tydzień 1-2: Ciągi arytmetyczne i geometryczne - wzory, sumy.
- Tydzień 3-4: Trygonometria (podstawy), statystyka (średnia, mediana, odchylenie).

**Cel:** Obliczasz n-ty wyraz i sumę ciągu. Stosujesz funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym.

### Miesiąc 5: Geometria

- Tydzień 1-2: Planimetria - pola, obwody, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów.
- Tydzień 3-4: Geometria analityczna - prosta, okrąg, odległość. Stereometria - wzory na objętości.

**Cel:** Rozwiązujesz typowe zadania z geometrii. Znasz wzory na objętości brył.

### Miesiąc 6: Arkusze i powtórka

- Tydzień 1-2: Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. Pierwsze arkusze maturalne.
- Tydzień 3-4: Rozwiązywanie arkuszy na czas, analiza błędów, powtórka słabych tematów.

**Cel:** Rozwiązujesz pełny arkusz maturalny w 180 minut i uzyskujesz wynik powyżej 50%.

Kompletną bazę arkuszy maturalnych z rozwiązaniami znajdziesz w naszym [zestawieniu arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Plan nauki - 3 miesiące do matury (przyśpieszony)

Trzy miesiące to nadal realny czas, ale wymaga intensywniejszej pracy i pewnych kompromisów.

**Tempo:** 2-3 godziny dziennie, 6 dni w tygodniu.

### Miesiąc 1: Fundament + równania + funkcje

Połącz poziom 1 i 2 w jeden intensywny miesiąc. Skup się na:

- Procenty (1 tydzień) - to twoje najłatwiejsze punkty
- Potęgi i wyrażenia algebraiczne (1 tydzień)
- Równania i funkcja liniowa (1 tydzień)
- Funkcja kwadratowa (1 tydzień) - poświęć jej cały tydzień, jest kluczowa

### Miesiąc 2: Reszta teorii

- Logarytmy i ciągi (1 tydzień)
- Trygonometria i statystyka (1 tydzień)
- Planimetria i geometria analityczna (1 tydzień)
- Stereometria i prawdopodobieństwo (1 tydzień)

Tutaj musisz pogodzić się z tym, że nie opanujesz każdego tematu idealnie. Skup się na typowych zadaniach maturalnych, a nie na rzadkich przypadkach.

### Miesiąc 3: Arkusze, arkusze, arkusze

Cały ostatni miesiąc poświęć na rozwiązywanie arkuszy maturalnych. Rozwiąż minimum 8-10 arkuszy, analizuj każdy błąd, uzupełniaj luki.

Sprawdź nasz [plan nauki na ostatnie tygodnie przed maturą](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka) - znajdziesz tam konkretny harmonogram dzień po dniu.

## Plan nauki - 1 miesiąc do matury (ratunkowy)

Miesiąc to mało, ale nie jest beznadziejnie. Musisz jednak zaakceptować, że nie opanujesz wszystkiego. Strategia: zbierz maksimum punktów z najłatwiejszych tematów i zignoruj najtrudniejsze.

**Tempo:** 3-4 godziny dziennie, codziennie.

### Tydzień 1: Pewniaki

Opanuj tematy, które dają najłatwiejsze punkty na maturze:

- **Procenty** - proste obliczenia, często w zadaniach z kontekstem
- **Potęgi i pierwiastki** - stosowanie wzorów; w każdym arkuszu CKE z lat 2023-2026 było co najmniej jedno takie zadanie
- **Statystyka** - średnia, mediana, odchylenie
- **Odczytywanie wykresów** - nie wymaga głębokiej wiedzy

Przeczytaj nasz artykuł o [pewniakach maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) i skup się na tych zadaniach.

### Tydzień 2: Funkcja kwadratowa i liniowa

Te dwa tematy pojawiają się w wielu zadaniach. Naucz się:

- Wyznaczać miejsca zerowe (delta)
- Rysować wykres paraboli
- Odczytywać własności funkcji z wykresu
- Rozwiązywać proste równania i nierówności

### Tydzień 3: Geometria - minimum

Opanuj podstawy planimetrii:

- Twierdzenie Pitagorasa
- Pola trójkąta, prostokąta, koła
- Objętości prostopadłościanu, walca, stożka (ze wzorami z tablic)

Nie próbuj opanować trudnych zadań z geometrii - skup się na typowych.

### Tydzień 4: Arkusze

Rozwiąż 3-4 arkusze. Nie na czas - na spokojnie, z analizą. Skup się na zadaniach zamkniętych i krótkich zadaniach otwartych za 1-2 punkty. W arkuszu są one przemieszane, więc szukasz ich w całym arkuszu, a nie tylko na początku.

## Najważniejsze nawyki uczenia się matematyki

Metoda nauki jest równie ważna jak ilość czasu. Oto nawyki, które odróżniają skuteczną naukę od marnowania czasu.

### 1. Aktywne rozwiązywanie zamiast biernego czytania

Czytanie rozwiązań i myślenie "rozumiem" to nie jest nauka. Nauka to moment, w którym siedzisz nad czystą kartką i próbujesz sam dojść do rozwiązania. Nawet jeśli robisz błędy - właśnie wtedy twój mózg się uczy.

**Zasada:** Nie czytaj rozwiązania, zanim sam nie spróbujesz rozwiązać zadanie przez minimum 10 minut.

### 2. Rozwiązywanie wielu wariantów tego samego typu

Nie wystarczy rozwiązać jedno zadanie z funkcji kwadratowej i przejść dalej. Rozwiąż 10, 15, 20 zadań - aż technika stanie się automatyczna. Matematyka to w dużej mierze trening - im więcej powtórzeń, tym szybciej i pewniej rozwiązujesz.

### 3. Pisanie rozwiązań ręcznie

Na maturze piszesz długopisem na kartce, nie na klawiaturze, i tak samo robisz rysunki. Praktykuj rozwiązywanie na kartce - łącznie z rysowaniem wykresów i figur geometrycznych.

### 4. Prowadzenie "zeszytu błędów"

Po każdej sesji nauki zapisz zadania, w których się pomyliłeś, i przyczynę błędu. Wracaj do tego zeszytu co tydzień i rozwiązuj te same zadania ponownie. To najskuteczniejsza metoda eliminowania powtarzających się błędów.

### 5. Regularna powtórka wzorów

Stwórz własną ściągę z najważniejszymi wzorami i przeglądaj ją codziennie przez 5-10 minut. Nie chodzi o bezmyślne wkuwanie - chodzi o to, żeby wzory były ci tak bliskie, że nie musisz o nich myśleć podczas rozwiązywania zadań. Sprawdź nasz [artykuł o wzorach spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac), żeby wiedzieć, co musisz znać na pamięć.

### 6. Nauka w blokach, nie w maratonie

Dwie godziny codziennie przez miesiąc są dużo skuteczniejsze niż 14 godzin w jeden weekend. Twój mózg potrzebuje snu, żeby utrwalić nowe informacje. Dlatego regularność jest ważniejsza niż intensywność.

## Typowe pułapki i jak ich unikać

### Pułapka 1: "Muszę zrozumieć wszystko idealnie, zanim przejdę dalej"

Perfekcjonizm to wróg postępu. Jeśli utknąłeś na jednym temacie, daj sobie limit czasu (np. 3 dni) i przejdź dalej. Wróć do trudnego tematu później - często po nauce kolejnych zagadnień poprzednie stają się jaśniejsze.

### Pułapka 2: "Oglądam filmiki i wszystko rozumiem"

Rozumienie rozwiązania, które ktoś ci pokazuje, to nie to samo co umiejętność rozwiązania samodzielnego. Po obejrzeniu filmu zamknij go i spróbuj rozwiązać to samo zadanie sam, bez pomocy. Jeśli nie potrafisz - nie "rozumiesz" tego tematu.

### Pułapka 3: "Robię dużo zadań, ale nie analizuję błędów"

Rozwiązywanie 50 zadań dziennie bez sprawdzania odpowiedzi i analizy błędów to ćwiczenie złych nawyków. Lepiej rozwiązać 10 zadań i dokładnie przeanalizować każdy błąd niż 50 zadań "na ślepo". Przeczytaj nasz artykuł o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), żeby wiedzieć, czego unikać.

### Pułapka 4: "Skupiam się na najtrudniejszych zadaniach"

Jeśli zaczynasz od zera, zadania za 3-4 punkty nie powinny być twoim priorytetem. Skup się na zadaniach zamkniętych (zwykle po 1 punkcie) i prostych otwartych (1-2 punkty). Według informatora CKE zadania zamknięte dają razem 25 punktów. 20 z nich i 3 proste zadania otwarte po 2 punkty, czyli 6 punktów, to razem 26 punktów - ponad połowa z 50, więc ponad 50%.

### Pułapka 5: "Uczę się teorii, ale nie rozwiązuję arkuszy"

Arkusze maturalne to nie jest "test na koniec" - to narzędzie nauki. Zacznij rozwiązywać je jak najwcześniej, nawet jeśli nie znasz jeszcze wszystkich tematów. Zadania, których nie umiesz rozwiązać, pomijaj. Te, które umiesz - rozwiązuj dla praktyki i pewności siebie.

## Kiedy szukać korepetytora

Korepetytor to nie jest wstyd - to narzędzie. Ale nie zawsze jest potrzebny. Oto sytuacje, w których warto rozważyć korepetycje:

**Szukaj korepetytora, gdy:**

- Samodzielna nauka nie przynosi efektów po 3-4 tygodniach systematycznej pracy
- Masz zaległości z kilku lat i nie wiesz, od czego zacząć (korepetytor pomoże ci ustalić priorytetety)
- Nie rozumiesz wyjaśnień w podręcznikach i filmach - potrzebujesz kogoś, kto wytłumaczy inaczej
- Brakuje ci motywacji do samodzielnej nauki (regularne spotkania z korepetytorem wymuszają rytm)

**Nie potrzebujesz korepetytora, gdy:**

- Rozumiesz teorię, ale brakuje ci praktyki - po prostu rozwiązuj więcej zadań
- Masz konkretne, izolowane luki (np. nie znasz logarytmów) - opanuj je samodzielnie z materiałów online
- Szukasz kogoś, kto "odrobi za ciebie" - żaden korepetytor nie zda za ciebie matury

**Jak wybrać dobrego korepetytora:**

- Poproś o lekcję próbną - sprawdź, czy tłumaczenie jest zrozumiałe
- Dobry korepetytor daje ci zadania domowe i sprawdza je
- Unikaj korepetytorów, którzy tylko rozwiązują zadania za ciebie - musisz sam ćwiczyć

Niezależnie od tego, czy masz korepetytora, uzupełniaj naukę samodzielną pracą z zadaniami. Na Sprawnej Maturze masz dostęp do ponad 2300 zadań maturalnych z rozwiązaniami, pogrupowanych według działów i arkuszy.

## Motywacja - jak nie rzucić nauki po tygodniu

Nauka matematyki od zera bywa frustrująca. Oto kilka sposobów na utrzymanie motywacji.

**Śledź postępy.** Zapisuj wyniki z arkuszy, liczbę rozwiązanych zadań, opanowane tematy. Widzenie postępu - nawet małego - daje ogromnego kopa motywacyjnego.

**Wyznaczaj małe cele.** Zamiast "muszę zdać maturę" (cel odległy i abstrakcyjny), postaw sobie "rozwiążę teraz 10 zadań z procentów" (cel konkretny i osiągalny). Małe sukcesy budują pewność siebie.

**Nie porównuj się z innymi.** Nieważne, że kolega z klasy rozwiązuje arkusze na 80%. Ty startujesz z innego poziomu i twoje tempo jest twoje. Liczy się tylko to, czy wiesz więcej niż wcześniej.

**Nagradzaj się.** Po każdym tygodniu systematycznej nauki pozwól sobie na coś miłego. Twój mózg potrzebuje pozytywnych skojarzeń z nauką, żeby chciał do niej wracać.

## Podsumowanie - twój pierwszy krok

Nie musisz robić wszystkiego naraz. Twój jedyny cel na dziś to:

1. Otwórz dział [procenty](/topics/procenty) lub [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki)
2. Rozwiąż 5 zadań
3. Sprawdź odpowiedzi
4. Jutro rozwiąż kolejne 5

To tyle. Nie potrzebujesz idealnego planu, idealnego korepetytora ani idealnych warunków. Potrzebujesz pierwszego kroku - reszta przyjdzie sama.

A kiedy poczujesz się gotowy na pełny arkusz - zajrzyj do naszego [kompletnego przewodnika po maturze z matematyki 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin) i [bazy arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Powodzenia - dasz radę.

Wracasz do matematyki po latach przerwy, na przykład do matury poprawianej jako dorosły? Ten sam plan działa, ale ma kilka własnych pułapek - opisaliśmy je w poradniku [matura z matematyki po latach](/matura-z-matematyki-po-latach-dla-doroslych-jak-zdac).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania
title: Jak punktowane są zadania na maturze z matematyki - zasady oceniania CKE
description: Jak CKE punktuje zadania zamknięte (1-2 pkt) i otwarte (1-4 pkt) na maturze podstawowej z matematyki. Schematy oceniania, błędy formalne i przykłady.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak punktowane są zadania na maturze z matematyki - zasady oceniania CKE

## Dlaczego warto znać zasady oceniania

Możesz świetnie rozwiązać zadanie i stracić punkty, bo nie zapisałeś rozwiązania tak, jak oczekuje CKE. Albo możesz nie umieć rozwiązać zadania do końca, a mimo to zdobyć 2 z 4 punktów, bo wiesz, za co egzaminator przyznaje punkty cząstkowe.

Zrozumienie schematów oceniania to jedna z najskuteczniejszych strategii maturalnych. Nie wymaga dodatkowej wiedzy matematycznej - wymaga tylko świadomości tego, jak działa system. Więcej o ogólnej strategii zdawania matury znajdziesz w [kompletnym przewodniku po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

Znajomość schematu oceniania ma sens dopiero wtedy, gdy widzisz, ile punktów potrzebujesz. Przelicz je na procenty w [przeliczniku punktów matury](/narzedzia/przelicznik-punktow-matury): w obie strony, od punktów do wyniku i od celu procentowego do liczby punktów.

Interaktywny kalkulator: przelicznik-punktow-matury (dostępny na stronie wpisu)

## Struktura arkusza - szybkie przypomnienie

Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym (formuła 2023, od matury 2025) według informatora CKE:

| Element | Liczba | Punktacja | Razem |
|---------|--------|-----------|-------|
| Zadania zamknięte | 20-25 | 1 albo 2 pkt każde | 25 pkt |
| Zadania otwarte | 7-14 | 1-4 pkt każde | 25 pkt |
| **Suma** | **27-39** | | **50 pkt** |

Zadania zamknięte i otwarte nie tworzą osobnych części, tylko przeplatają się na całej długości arkusza. W maju 2025 arkusz miał 31 zadań, w maju 2026 33 zadania, z czego cztery (12, 13, 24 i 33) dzieliły się na podpunkty. Egzamin trwa 180 minut.

Próg zdawalności: **30%**, czyli **15 punktów**. Da się zdać na samych zadaniach zamkniętych (nawet bez dotykania otwartych), ale trzeba wtedy zdobyć w nich 15 z 25 punktów.

Na poziomie rozszerzonym, według informatora CKE dla tego poziomu: od 10 do 14 zadań otwartych, łącznie 50 punktów, 180 minut i brak progu zdawalności. Więcej o [maturze rozszerzonej 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

## Jak oceniane są zadania zamknięte

W zadaniu zamkniętym wybierasz odpowiedź spośród podanych. Najczęściej to cztery warianty (A, B, C, D), z których dokładnie jeden jest poprawny. W arkuszu są też zadania prawda/fałsz, w których oceniasz kilka zdań, i zadania na dobieranie, w których np. wybierasz dwie odpowiedzi spośród A-F albo uzupełniasz tabelę literami.

### Zasady punktacji

- **1 punkt** za poprawną odpowiedź
- **0 punktów** za błędną lub niepełną odpowiedź, brak odpowiedzi lub zaznaczenie więcej niż jednej odpowiedzi. W zadaniu prawda/fałsz za 1 punkt musisz więc poprawnie ocenić wszystkie zdania
- W zadaniu zamkniętym za **2 punkty**: 2 punkty za odpowiedź całkowicie poprawną, 1 punkt za częściowo poprawną lub niepełną, 0 za całkowicie błędną
- **Nie ma punktów ujemnych** - nigdy nie tracisz punktów za złą odpowiedź

### Co to oznacza w praktyce

**Zawsze zaznaczaj odpowiedź.** Nawet jeśli nie masz pojęcia, jak rozwiązać zadanie, zgadnij. W zadaniu z czterema wariantami masz 25% szans na trafienie (w zadaniu prawda/fałsz z dwoma zdaniami też 25%), a za błąd nic nie tracisz. Gdyby wszystkie zadania zamknięte, warte razem 25 punktów, miały po cztery warianty i były za 1 punkt, zgadywanie dałoby średnio około 6 punktów. W zadaniach wielokrotnego wyboru i na dobieranie szansa jest mniejsza, więc w praktyce wychodzi mniej.

**Eliminacja odpowiedzi.** Nawet bez pełnego rozwiązania możesz wyeliminować 1-2 absurdalne warianty i zwiększyć szansę z 25% do 33% lub 50%. Na przykład:

*Pole trójkąta o bokach 3, 4, 5 jest równe:*
A) 3   B) 6   C) 10   D) 12

Nawet bez obliczania - trójkąt 3, 4, 5 jest prostokątny (bo \(3^2 + 4^2 = 5^2\)), więc pole to \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\). Ale nawet bez tego: pole trójkąta o bokach 3 i 4 nie może przekroczyć \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\), więc 10 i 12 odpadają. Eliminujesz C i D, zostajesz z 50% szansą.

Więcej strategii w artykule [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

### Jak przenosić odpowiedzi na kartę

Odpowiedzi do zadań zamkniętych zaznaczasz na osobnej karcie odpowiedzi. Instrukcja dla zdającego na początku arkusza mówi:

- Zamaluj pola przeznaczone na odpowiedź
- Jeśli chcesz zmienić odpowiedź, błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe
- Pisz tylko długopisem lub piórem z czarnym tuszem lub atramentem i nie używaj korektora
- Zapisy w brudnopisie nie są oceniane

## Jak oceniane są zadania otwarte

Tu zaczyna się prawdziwa gra. Według informatorów CKE zadania otwarte na maturze podstawowej są warte od 1 do 4 punktów, a na rozszerzeniu od 2 do 6 punktów.

### Ogólna zasada CKE

CKE stosuje **analityczne schematy punktowe**. Każde zadanie ma rozpisane, za jakie elementy rozwiązania przyznawane są kolejne punkty. Egzaminator nie ocenia "ogólnego wrażenia" - sprawdza konkretne kryteria. Za poprawne rozwiązanie inną metodą niż opisana w zasadach oceniania też dostajesz maksymalną liczbę punktów, jeśli jest merytorycznie poprawne i zgodne z poleceniem.

Najkrótsze zadania otwarte to zadania z luką: wpisujesz liczbę, przedział albo wyrażenie w wykropkowane miejsce i dostajesz 1 punkt za każdą poprawnie uzupełnioną lukę. Ocenia się tylko wpisaną odpowiedź. W pozostałych zadaniach otwartych liczy się zapisany tok rozumowania.

### Typowy schemat punktowy (zadanie za 2 punkty)

Zadanie za 2 punkty ma zwykle schemat:

| Punkty | Za co |
|--------|-------|
| 2 pkt | Poprawne pełne rozwiązanie z odpowiedzią |
| 1 pkt | Pokonane zasadnicze trudności, ale rozwiązanie nie doprowadzone poprawnie do końca (np. dobra metoda z błędem rachunkowym) |
| 0 pkt | Błędna metoda lub brak rozwiązania |

**Przykład - zadanie za 2 pkt:**

*Rozwiąż równanie \(2x + 5 = 3x - 1\).*

**Za 2 punkty (pełne rozwiązanie):**

$$2x + 5 = 3x - 1$$
$$5 + 1 = 3x - 2x$$
$$x = 6$$

Odpowiedź: \(x = 6\).

**Za 1 punkt (błąd rachunkowy przy dobrej metodzie):**

$$2x + 5 = 3x - 1$$
$$5 - 1 = 3x - 2x$$
$$x = 4$$

Metoda poprawna (przenoszenie na strony), ale błąd rachunkowy (\(5 - 1\) zamiast \(5 + 1\)). Egzaminator widzi, że uczeń wie, co robić, ale się pomylił.

**Za 0 punktów:**

"\(x = 6\)" - sama odpowiedź bez rozwiązania. CKE wymaga pokazania toku rozumowania.

### Typowy schemat punktowy (zadanie za 3 punkty)

Tak zadanie za 3 punkty opisuje informator CKE:

| Punkty | Za co |
|--------|-------|
| 3 pkt | Rozwiązanie poprawne |
| 2 pkt | Pokonane zasadnicze trudności zadania, ale rozwiązanie nie zostało doprowadzone poprawnie do końca |
| 1 pkt | Istotny postęp, ale bez pokonania zasadniczych trudności |
| 0 pkt | Brak istotnego postępu albo brak rozwiązania |

Za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów za zadanie. Co jest zasadniczą trudnością w konkretnym zadaniu, opisują zasady oceniania tego zadania.

### Typowy schemat punktowy (zadanie za 4 punkty)

| Punkty | Za co |
|--------|-------|
| 4 pkt | Pełne poprawne rozwiązanie z odpowiedzią |
| 3 pkt | Poprawna metoda z jednym błędem rachunkowym, ale kontynuacja jest poprawna |
| 2 pkt | Poprawne rozpoczęcie (np. układ równań lub równanie), ale błędy w dalszej części |
| 1 pkt | Poprawne zapisanie modelu (np. układ równań z treści zadania) bez rozwiązania |
| 0 pkt | Brak rozwiązania lub całkowicie błędna metoda |

W języku informatora CKE: 3 punkty za pokonanie zasadniczych trudności bez doprowadzenia rozwiązania do końca, 2 za istotny postęp, 1 za niewielki, ale konieczny postęp. Zadań za 5 punktów na maturze podstawowej od 2025 roku nie ma: zadanie otwarte jest warte najwyżej 4 punkty.

## Konkretny przykład - jak punktuje się jedno zadanie

Weźmy proste zadanie geometryczne i potraktujmy je jak zadanie za 4 punkty. To nasz przykład, a nie zadanie z arkusza CKE: pokazuje logikę schematu, a dokładny podział punktów w prawdziwym zadaniu opisują zasady oceniania tego zadania.

*W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\). Długość przyprostokątnej \(AC = 6\), a długość przeciwprostokątnej \(AB = 10\). Oblicz pole tego trójkąta.*

### Za 4 punkty (pełne rozwiązanie):

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną:

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

Pole trójkąta prostokątnego:

$$P = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 24.

### Za 3 punkty (błąd rachunkowy):

$$BC = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$
$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 28$$

Metoda w pełni poprawna, ale \(\frac{1}{2} \cdot 48 = 28\) to błąd rachunkowy (powinno być 24). Egzaminator przyznaje 3 punkty.

### Za 2 punkty (poprawne Pitagoras, brak dalszego rozwiązania):

$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 100 - 36 = 64$$
$$BC = 8$$

Uczeń poprawnie zastosował twierdzenie Pitagorasa i obliczył \(BC = 8\), ale nie policzył pola (albo policzył błędnie, np. \(P = 6 \cdot 8 = 48\) bez \(\frac{1}{2}\)).

### Za 1 punkt (tylko zapis):

"Trójkąt prostokątny, \(AC = 6\), \(AB = 10\). Z Pitagorasa: \(BC^2 + AC^2 = AB^2\)."

Poprawne rozpoznanie relacji Pitagorasa i zapisanie równania, ale brak jakichkolwiek obliczeń.

### Za 0 punktów:

"\(P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 = 30\)"

Uczeń użył przyprostokątnej i przeciwprostokątnej zamiast dwóch przyprostokątnych. To nie błąd rachunkowy, ale **błąd merytoryczny** (zła metoda), więc 0 punktów.

Przećwicz więcej zadań geometrycznych w [zbiorze zadań z planimetrii](/topics/planimetria) i [przewodniku po planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

## Zasady formalne, które kosztują punkty

CKE ma surowe wymagania formalne. Oto najczęstsze powody utraty punktów:

### 1. Brak odpowiedzi na końcu

Nawet jeśli całe rozwiązanie jest poprawne, ale nie napiszesz finalnej odpowiedzi (zdania lub wartości z podkreśleniem), możesz stracić 1 punkt. CKE wymaga jawnego sformułowania odpowiedzi.

**Dobrze:** "Pole trójkąta wynosi 24." lub "\(P = 24\)" (podkreślone/wyróżnione)

**Źle:** rozwiązanie kończy się na \(\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) w środku obliczeń, bez zaznaczenia, że to wynik końcowy.

### 2. Brak jednostek (gdy wymagane)

W zadaniach z treścią (procenty, odsetki, wymiary) CKE oczekuje jednostek w odpowiedzi:

**Dobrze:** "Długość ogrodzenia wynosi 24 m."

**Źle:** "Długość ogrodzenia wynosi 24."

Uwaga: w zadaniach czysto matematycznych (bez kontekstu) jednostki nie są wymagane.

### 3. Brak pełnego rozwiązania ("skakanie kroków")

To najczęstsza przyczyna utraty punktów. CKE wymaga, żeby egzaminator mógł prześledzić tok rozumowania. Nie wystarczy podać odpowiedzi - musisz pokazać, JAK do niej doszedłeś.

**Dobrze (za 4 pkt):**

*Oblicz sumę ciągu arytmetycznego \(2, 5, 8, \ldots, 299\).*

$$r = 5 - 2 = 3$$
$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$
$$299 = 2 + (n-1) \cdot 3$$
$$297 = (n-1) \cdot 3$$
$$n - 1 = 99$$
$$n = 100$$
$$S_{100} = \frac{(a_1 + a_{100}) \cdot 100}{2} = \frac{(2 + 299) \cdot 100}{2} = \frac{301 \cdot 100}{2} = 15050$$

Odpowiedź: Suma ciągu wynosi 15050.

**Źle (za 1-2 pkt):**

$$n = 100, \quad S = \frac{301 \cdot 100}{2} = 15050$$

Odpowiedź poprawna, ale skąd \(n = 100\)? Skąd 301? Egzaminator nie widzi uzasadnienia.

Więcej o ciągach w [przewodniku po ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

### 4. Błędy w zapisie matematycznym

CKE zwraca uwagę na poprawność zapisu:

- **Przedziały:** używaj poprawnej notacji. W arkuszach formuły 2023 CKE zapisuje przedział domknięty jako \([2, 5]\), a otwarty jako \((2, 5)\). Zapis \(\langle 2, 5 \rangle\) też jest dopuszczony
- **Równoważności:** nie pisz \(=\) między nierównościami. Używaj \(\Leftrightarrow\) lub pisz kolejne kroki pod sobą
- **Kwantyfikatory:** w dowodach na rozszerzeniu używaj poprawnych kwantyfikatorów

### 5. Brak sprawdzenia warunków

W niektórych zadaniach CKE wymaga sprawdzenia warunków:

- W zadaniach z pierwiastkami: sprawdzenie, czy wynik należy do dziedziny
- W zadaniach z wartością bezwzględną: rozpatrzenie przypadków
- W zadaniach z parametrem: sprawdzenie warunków dodatkowych

**Przykład (równanie z wartością bezwzględną):**

*Rozwiąż: \(|2x - 1| = x + 2\).*

**Za pełne punkty musisz:**

1. Zapisać warunek: \(x + 2 \geq 0\), czyli \(x \geq -2\)
2. Rozpatrzyć dwa przypadki:
   - Gdy \(2x - 1 \geq 0\), czyli \(x \geq \frac{1}{2}\): \(2x - 1 = x + 2\), stąd \(x = 3\). Sprawdzenie: \(3 \geq \frac{1}{2}\) - OK.
   - Gdy \(2x - 1 < 0\), czyli \(x < \frac{1}{2}\): \(-(2x - 1) = x + 2\), stąd \(-2x + 1 = x + 2\), \(x = -\frac{1}{3}\). Sprawdzenie: \(-\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\) i \(-\frac{1}{3} \geq -2\) - OK.

Odpowiedź: \(x = 3\) lub \(x = -\frac{1}{3}\).

**Bez rozpatrzenia przypadków i sprawdzenia warunków** tracisz punkty, nawet jeśli odpowiedź jest poprawna. Więcej o błędach tego typu w artykule o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Jak pisać rozwiązania, żeby dostać pełne punkty

### Złote zasady

**1. Pisz krok po kroku.** Każde przekształcenie w osobnym wierszu. Egzaminator musi widzieć każdy etap.

**2. Opisuj, co robisz.** Krótkie zdania typu "Z twierdzenia Pitagorasa:", "Korzystam ze wzoru na pole trójkąta:", "Wyznaczam wyróżnik:". To nie kosztuje czasu, a ułatwia egzaminatorowi śledzenie rozwiązania.

**3. Rysuj rysunki.** W zadaniach geometrycznych rysunek to nie jest "dodatek" - to część rozwiązania. Zaznacz na nim znane wielkości, kąty, oznaczenia. Przećwicz zadania z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) i [planimetrii](/topics/planimetria) z rysunkami.

**4. Podkreśl odpowiedź.** Wyróżnij wynik końcowy - podkreśleniem, ramką lub słowem "Odpowiedź:". Egzaminator musi szybko znaleźć Twoją odpowiedź.

**5. Nie wymazuj - przekreśl.** Jeśli się pomyliłeś, przekreśl błędne rozwiązanie jedną linią i napisz poprawne obok. CKE nie obniża punktów za przekreślenia, ale wymazane fragmenty mogą być nieczytelne.

**6. Nie pisz dwóch rozwiązań tego samego zadania.** Jeśli napiszesz dwa rozwiązania, egzaminator oceni to gorsze. Wybierz jedno i się go trzymaj.

### Szablon rozwiązania zadania otwartego

Dla każdego zadania otwartego stosuj ten schemat:

1. **Dane** - co wiesz (z treści zadania)
2. **Szukane** - co musisz znaleźć
3. **Rozwiązanie** - krok po kroku z opisami
4. **Odpowiedź** - jasna, pełna, z jednostkami

Więcej o tym, [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Częste pułapki w zadaniach zamkniętych

CKE celowo konstruuje warianty odpowiedzi tak, by zawierały typowe błędy. Najczęstsze pułapki:

### 1. Pułapka znakowa

*Jeśli \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\), to wierzchołek paraboli ma współrzędne:*

A) \((2, 1)\)   B) \((-2, 1)\)   C) \((2, -1)\)   D) \((-2, -1)\)

Uczniowie często zapominają o minusie przed \(x^2\) i mylą się ze znakiem. Poprawna odpowiedź: A) \((2, 1)\), bo \(p = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\), \(q = f(2) = -4 + 8 - 3 = 1\).

Przećwicz na [zadaniach z funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) i przeczytaj [przewodnik po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

### 2. Pułapka procentowa

*Cena wzrosła o 20%, a potem spadła o 20%. Cena końcowa jest:*

A) taka sama   B) niższa o 4%   C) wyższa o 4%   D) niższa o 2%

Wielu uczniów odpowiada A, bo "20% w górę i 20% w dół to zero". Ale: \(1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96\), czyli cena spadła o 4%. Poprawna odpowiedź: B.

Więcej o [procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

### 3. Pułapka dziedzinowa

*Rozwiązaniem równania \(\sqrt{x-1} = x - 3\) jest:*

A) \(x = 2\)   B) \(x = 5\)   C) \(x = 2\) i \(x = 5\)   D) brak rozwiązań

Po podniesieniu do kwadratu: \(x - 1 = x^2 - 6x + 9\), stąd \(x^2 - 7x + 10 = 0\), \(x = 2\) lub \(x = 5\). Ale trzeba sprawdzić! Dla \(x = 2\): \(\sqrt{1} = -1\) - FAŁSZ. Dla \(x = 5\): \(\sqrt{4} = 2\) - PRAWDA. Poprawna odpowiedź: B.

Wariant C to pułapka na tych, którzy nie sprawdzają w dziedzinie. Takie zadania znajdziesz w [bazie zadań z równań](/topics/rownania-i-nierownosci).

## Ile punktów potrzebujesz - realistyczne cele

### Na zdanie matury (30% = 15 pkt)

Najprostsza ścieżka:
- 15 punktów z zadań zamkniętych (z 25 możliwych)
- Otwartych nie trzeba ruszać

To łatwo osiągalne. Przejrzyj [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) i ćwicz typy zadań, które zawsze się pojawiają.

### Na dobry wynik (60% = 30 pkt)

- 20 punktów z zadań zamkniętych
- 10 punktów z otwartych (np. dwa zadania za 4 pkt i jedno za 2 pkt)

### Na świetny wynik (80% = 40 pkt)

- 24 punkty z zadań zamkniętych
- 16 punktów z otwartych, czyli prawie dwie trzecie z 25

### Na wynik bliski 100%

- Wszystkie zamknięte poprawne = 25 pkt
- 25 punktów z otwartych = wszystkie rozwiązane bez błędu

Szczegółowy plan przygotowań w [artykule o ostatnich tygodniach przed maturą](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

## Co robić, gdy nie wiesz, jak rozwiązać zadanie otwarte

Nawet jeśli nie wiesz, jak rozwiązać zadanie, możesz zdobyć punkty cząstkowe:

### 1. Zapisz dane i wzór (1 punkt)

Przeczytaj treść i wypisz dane w formie matematycznej. Następnie zapisz wzór lub równanie, które Twoim zdaniem prowadzi do rozwiązania. Nawet jeśli nie potrafisz go rozwiązać, sam zapis poprawnego modelu to 1 punkt.

### 2. Narysuj rysunek (w geometrii)

W zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria) i [stereometrii](/topics/stereometria) poprawny rysunek z oznaczeniami to element rozwiązania, za który CKE może przyznać punkt.

### 3. Rozwiąż to, co umiesz

Jeśli zadanie ma kilka kroków, a umiesz zrobić tylko pierwszy - zrób go. Przykład: musisz wyznaczyć objętość, ale nie umiesz obliczyć wysokości bryły. Napisz wzór na objętość, podstaw to, co znasz, i zostaw niewiadome. To jest lepsze niż pusta strona.

### 4. Nigdy nie zostawiaj pustego miejsca

Pusta strona = gwarantowane 0 punktów. Jakikolwiek poprawny zapis daje szansę na przynajmniej 1 punkt. Na 50-punktowym arkuszu każdy punkt ma znaczenie.

## Jak przygotować się do formatu egzaminu

Najskuteczniejszy sposób to rozwiązywanie pełnych arkuszy w warunkach egzaminacyjnych:

1. **Wydrukuj arkusz** (nie rozwiązuj na ekranie - na maturze piszesz ręcznie)
2. **Ustaw timer na 180 minut**
3. **Korzystaj tylko z tego, co wolno mieć na egzaminie**: kalkulatora prostego, linijki, cyrkla i broszury „Wybrane wzory matematyczne”
4. **Pisz rozwiązania pełne**, z opisami i odpowiedziami
5. **Sprawdź z kluczem** i policz punkty według schematu CKE

Znajdziesz arkusze do przećwiczenia na naszej stronie:
- [Matura maj 2025 - rozwiązania](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz)
- [Matura próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania)
- [Matura próbna luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz)
- [Symulator matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) - rozwiązuj arkusze interaktywnie

Sprawdź też [listę wzorów, które musisz znać na pamięć](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac) - na egzaminie dostajesz tylko broszurę CKE „Wybrane wzory matematyczne”, a części potrzebnych wzorów w niej nie ma.

## Podsumowanie - punkty leżą na stole

Znajomość zasad oceniania CKE chroni punkty, na które już zapracowałeś. Nie musisz uczyć się nowej matematyki - musisz nauczyć się **komunikować swoją wiedzę** w sposób, który CKE akceptuje.

Trzy najważniejsze zasady:

1. **Pisz krok po kroku** - każde przekształcenie w osobnej linii
2. **Zawsze formułuj odpowiedź** - wyraźnie zaznaczoną na końcu
3. **Nie zostawiaj pustych miejsc** - nawet 1 punkt cząstkowy robi różnicę

Ruszaj ćwiczyć w [naszej bazie zadań](/topics/liczby-rzeczywiste) - mamy ponad 2300 zadań z rozwiązaniami, które pomogą Ci przygotować się do formatu maturalnego. Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista
title: Co zabrać na maturę z matematyki 2027 - kompletna checklista maturzysty
description: Checklista na dzień matury z matematyki: co zabrać, co wolno mieć na sali, czego nie wolno, ile trwa egzamin i jak rozplanować czas i stres.
author: Marcel Bogdan
---

# Co zabrać na maturę z matematyki 2027 - kompletna checklista maturzysty

## Matura z matematyki 2027 - termin, godzina, miejsce

Matura z matematyki na poziomie podstawowym odbędzie się **5 maja 2027 roku (środa)** o godzinie **9:00**. Egzamin trwa **180 minut**, czyli 3 godziny. To jedyny obowiązkowy egzamin z matematyki - zdaje go każdy maturzysta w Polsce.

Jeśli zdajesz również matematykę na poziomie rozszerzonym, ten egzamin jest zaplanowany na inny dzień: według harmonogramu CKE w 2027 roku to 11 maja, też o 9:00. W tym artykule skupiamy się na poziomie podstawowym, bo to ten egzamin musisz zdać, żeby otrzymać świadectwo dojrzałości.

**Gdzie się stawić?** W szkole, w której zdajesz maturę. Jeśli jesteś tegorocznym absolwentem, to Twoje liceum lub technikum. Informację o numerze sali i godzinie wejścia dostaniesz od swojej szkoły z wyprzedzeniem.

**O której przyjść?** Godzinę wejścia na salę wyznacza dyrektor szkoły i podaje ją zdającym wcześniej. Wchodzicie pojedynczo: każdy okazuje dokument ze zdjęciem i losuje numer stolika, więc wpuszczanie trochę trwa. Bądź pod salą przed tą godziną, a jeśli szkoła nie poda wcześniejszej, celuj w 8:30, czyli pół godziny przed egzaminem. Nie ryzykuj spóźnienia: po rozdaniu arkuszy spóźnionych zdających co do zasady się nie wpuszcza (szczegóły w pytaniach na końcu).

Zanim zaczniesz powtórkę z [pewniaków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) albo [strategii zdawania matury](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), upewnij się, że masz ogarnięte wszystko od strony logistycznej. Nie ma nic gorszego niż doskonałe przygotowanie merytoryczne i zapomniany dowód osobisty.

## Co MUSISZ zabrać - absolutne minimum

To lista rzeczy, bez których **nie zostaniesz wpuszczony na salę egzaminacyjną** lub nie będziesz mógł pisać arkusza. Sprawdź to wieczorem przed egzaminem i rano przed wyjściem z domu.

### 1. Dokument tożsamości ze zdjęciem

**Dowód osobisty** lub **paszport**. Przy wejściu na salę okazujesz dokument ze zdjęciem, który potwierdza Twoją tożsamość. CKE dopuszcza też mDowód w aplikacji mObywatel, ale telefon po okazaniu dokumentu musi zostać poza salą, więc zwykły dowód jest prostszy.

Kilka ważnych rzeczy:
- Sprawdź **datę ważności** dokumentu - jeśli dowód jest przeterminowany, wyrób nowy od razu. Wniosek składasz w urzędzie gminy, a na gotowy dokument trzeba poczekać, więc nie zostawiaj tego na ostatnie tygodnie przed maturą
- Jeśli zgubiłeś dowód, możesz zdawać z **paszportem**
- Jeśli nie masz ani jednego, ani drugiego - skontaktuj się natychmiast ze swoją szkołą i OKE (Okręgową Komisją Egzaminacyjną)
- Miej dokument w łatwo dostępnym miejscu - nie na dnie plecaka pod kanapkami

### 2. Długopis lub pióro z czarnym tuszem/atramentem

To wymóg formalny CKE. **Tylko czarny tusz.** Niebieski, zielony, czerwony - nie przejdą. Odpowiedzi zaznaczone innym kolorem mogą nie zostać uznane.

**Weź co najmniej 2 długopisy.** Jeden może przestać pisać w połowie egzaminu. Nie licz na to, że pożyczysz od kolegi - rozmowa na sali jest zabroniona.

Polecane długopisy:
- Zwykły długopis kulkowy z czarnym wkładem (Bic, Pentel, Pilot)
- Sprawdź wieczorem, czy pisze - po miesiącach w piorniku może być wyschnięty
- Nie bierz długopisu ścieralnego (np. Frixion): komunikat CKE o przyborach wprost zakazuje długopisów zmazywalnych

### Rysunki też długopisem, nie ołówkiem

Na maturze z matematyki zdarzają się zadania, w których trzeba narysować wykres [funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa), [kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) lub zaznaczyć zbiór rozwiązań [nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). Komunikat CKE o przyborach mówi wprost, że rysunki wykonuje się długopisem i nie wykonuje się ich ołówkiem.

Ołówka i gumki nie ma też w wykazie przyborów na maturę z matematyki, więc zostaw je w domu. Jeśli pomylisz się na rysunku, przekreśl go wyraźnie i narysuj jeszcze raz obok.

## Co MOŻESZ zabrać - dozwolone przybory

Komunikat CKE o przyborach wymienia na maturę z matematyki linijkę, cyrkiel, kalkulator prosty i broszurę „Wybrane wzory matematyczne”. Broszurę zawsze daje szkoła, a pozostałe przybory przynosi zdający albo zapewnia szkoła: dyrektor informuje wcześniej, czy masz mieć własne.

### Linijka

Linijka jest dozwolona i **bardzo przydatna**. Potrzebujesz jej do:
- Rysowania wykresów funkcji (oś X, oś Y, proste)
- Odmierzania odcinków w zadaniach z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna)
- Kreślenia figur w zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria)
- Ogólnego utrzymywania porządku na kartce (czytelne rysunki to czytelne rozwiązania)

Weź linijkę o długości 20-30 cm. Mniejsza może być za krótka do rysowania osi układu współrzędnych.

### Cyrkiel

Cyrkiel jest dozwolony. Rzadko jest niezbędny na poziomie podstawowym, ale zdarza się, że pomaga przy:
- Rysowaniu okręgów w zadaniach z [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory)
- Przenoszeniu odległości
- Konstrukcjach geometrycznych (sporadycznie na maturze podstawowej)

### Kalkulator prosty (nieprogramowalny)

To jeden z najczęściej zadawanych pytań: **"Czy mogę mieć kalkulator na maturze z matematyki?"**

Odpowiedź: **TAK, ale tylko kalkulator prosty.**

Kalkulator prosty to taki, który wykonuje wyłącznie:
- Cztery podstawowe działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie
- Obliczanie pierwiastków kwadratowych
- Obliczanie procentów

**Kalkulator prosty NIE MA:**
- Funkcji trygonometrycznych (sin, cos, tg)
- Logarytmów
- Pamięci programowalnej
- Możliwości rysowania wykresów
- Funkcji rozwiązywania równań

CKE nie publikuje listy dopuszczonych modeli: liczy się to, co kalkulator potrafi. Zwykły kalkulator biurowy z pierwiastkiem i procentem spełnia ten opis. Jeśli masz wątpliwości, pokaż swój model nauczycielowi przed egzaminem.

**Ważne:** kalkulator naukowy albo programowalny to przybór spoza wykazu CKE, a wniesienie na salę przyboru spoza wykazu jest podstawą do unieważnienia egzaminu.

### Karta wzorów CKE - dostajesz ją na sali

**Nie musisz zabierać własnej karty wzorów - CKE dołącza ją do arkusza.** Karta "Wybrane wzory matematyczne" jest integralną częścią materiałów egzaminacyjnych. Każdy zdający dostaje ją razem z arkuszem.

Szczegółowe omówienie tego, co jest na karcie i czego na niej brakuje, znajdziesz w naszym artykule o [karcie wzorów CKE 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje). To kluczowa wiedza - musisz wiedzieć, które [wzory musisz znać na pamięć](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac), bo nie ma ich na karcie.

### Butelka wody

Możesz wnieść butelkę wody, a szkoła może też zapewnić wodę sama. W czasie pisania butelka stoi na podłodze przy nodze stolika, żeby przypadkiem nie zalać arkusza. Niektóre szkoły proszą o butelkę bez etykiety; jeśli Twoja tak robi, zdejmij ją jeszcze w domu.

## Czego NIE WOLNO mieć na sali egzaminacyjnej

Lista jest krótka, ale konsekwencje złamania zasad są poważne - **unieważnienie egzaminu**.

### Telefon komórkowy i smartwatch

**Telefon zostawiasz poza salą**, w miejscu wskazanym przez szkołę. Do sali egzaminacyjnej nie wolno wnosić żadnych urządzeń telekomunikacyjnych, więc nie wystarczy go wyciszyć ani wyłączyć i schować do kieszeni.

To samo dotyczy smartwatchy, słuchawek bezprzewodowych, tabletów i innych urządzeń, które łączą się z internetem albo z innymi urządzeniami.

Jeśli zespół nadzorujący stwierdzi, że wniosłeś telefon na salę, egzamin zostanie Ci **unieważniony**, nawet jeśli telefon leżał w kieszeni i nie korzystałeś z niego.

### Kalkulator naukowy lub programowalny

Jak opisano wyżej - tylko kalkulator prosty jest dozwolony. Kalkulator naukowy (z funkcjami trygonometrycznymi, logarytmami itp.) jest spoza wykazu przyborów, a za wniesienie go na salę grozi unieważnienie egzaminu.

### Własne tablice wzorów, notatki, ściągi

Nie możesz wnosić żadnych własnych materiałów z wzorami. Dostajesz kartę wzorów CKE i to jest jedyny dozwolony "zewnętrzny" materiał. Żadne karteczki w kieszeni, żadne wzory na ręce, żadne notatki w piorniku.

### Korektor (biały) w płynie

Oficjalnie korektor w płynie jest niedozwolony. Jeśli się pomylisz, przekreśl błędną odpowiedź i napisz poprawną obok. W zadaniach zamkniętych, jeśli zaznaczysz złą odpowiedź, masz specjalną procedurę zmiany (opisaną w instrukcji na arkuszu).

## Jak wygląda dzień egzaminu - krok po kroku

Oto dokładny przebieg dnia maturalnego, żebyś wiedział, czego się spodziewać.

### 7:30-8:00 - Wstań, zjedz śniadanie, wyjdź z domu

Nie ucz się rano. Serio. Jeśli nie umiesz czegoś dzień przed maturą, godzina powtórki rano nic nie zmieni, a doda stresu. Sprawdź nasz [plan nauki na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka) - powtórka powinna skończyć się dzień wcześniej.

Zjedz solidne, ale lekkostrawne śniadanie (więcej o tym w sekcji poniżej).

### Około 8:30 - Bądź pod salą

Bądź na miejscu co najmniej 30 minut przed egzaminem. Znajdź swoją salę na liście i zostaw telefon w miejscu wskazanym przez szkołę, poza salą.

### Wejście na salę - o godzinie podanej przez szkołę

Zespół nadzorujący wpuszcza zdających pojedynczo. Przy wejściu:
1. Okazujesz dowód osobisty
2. Zespół sprawdza Twoją tożsamość
3. Losujesz numer stolika i siadasz przy nim
4. Kładziesz na stoliku: długopisy, linijkę, cyrkiel, kalkulator prosty

### 9:00 - Rozpoczęcie egzaminu

Przewodniczący zespołu nadzorującego:
1. Rozdaje arkusze egzaminacyjne (zaklejone banderolami)
2. Mówi, kiedy rozerwać banderole
3. Zapisuje na tablicy godzinę rozpoczęcia i zakończenia pracy (przy starcie o 9:00 koniec wypada o 12:00)
4. Przypomina o zasadach (cisza, zakaz komunikacji, procedura wyjścia z sali)

Otwierasz arkusz i zaczynasz pracę. Masz 180 minut.

### 9:00-12:00 - Czas pracy

180 minut na rozwiązanie arkusza. To dużo czasu, ale musisz go dobrze rozplanować (szczegóły w sekcji o organizacji czasu).

Jeśli musisz skorzystać z toalety - podnosisz rękę. Przewodniczący może Ci pozwolić wyjść, a zamknięty arkusz zostaje wtedy na stoliku. Czas na toalecie wlicza się w czas egzaminu.

### 12:00 - Koniec egzaminu

Odkładasz długopis. Zespół nadzorujący sprawdza przy Twoim stoliku, czy materiały są kompletne, i pozwala Ci wyjść z sali.

Jeśli skończysz wcześniej, podnieś rękę, zamknij arkusz i odłóż go na brzeg stolika. Po sprawdzeniu materiałów dostaniesz pozwolenie na wyjście.

## Organizacja 180 minut na sali - strategia czasowa

180 minut brzmi jak dużo, ale wielu maturzystów narzeka, że im nie starczyło czasu. Problem nie leży w ilości minut, ale w ich rozplanowaniu.

Oto sprawdzona strategia, która pozwoli Ci wykorzystać czas maksymalnie efektywnie. Więcej szczegółów o podejściu do arkusza znajdziesz w naszym [kompletnym przewodniku po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

### Faza 1: Przegląd arkusza (5-10 minut)

Nie zaczynaj od razu rozwiązywać zadanie 1. Najpierw **przejrzyj cały arkusz** od początku do końca. Cel: zorientować się, jakie tematy wypadły, które zadania wyglądają łatwo, a które trudno.

Przy przeglądaniu zaznacz sobie przy numerach zadań:
- Zadania, które na pewno umiesz (szybkie punkty)
- Zadania, które wyglądają na trudne (zostawisz je na koniec)
- Zadania, które wymagają dłuższego zastanowienia

### Faza 2: Zadania zamknięte - łatwe punkty (40-50 minut)

Arkusz maturalny z matematyki ma od 27 do 39 zadań za łącznie 50 punktów (w maju 2026 było ich 33). Zadania zamknięte (zwykle za 1 punkt) i otwarte (za 1-4 punkty) są przemieszane na całej długości arkusza, a zamknięte to nie tylko wybór A-D, ale też prawda/fałsz i dobieranie odpowiedzi. Zacznij od zadań zamkniętych, wyszukując je w całym arkuszu, ale **nie rób ich po kolei** - rób najpierw te, które umiesz.

Zadania zamknięte z [procentów](/topics/procenty), [liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) i [potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki) to zwykle najszybsze punkty na arkuszu. Przećwicz je wcześniej na naszym [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke).

Jeśli zadanie zamknięte zajmuje Ci więcej niż 3 minuty - zaznacz je i wróć później.

### Faza 3: Zadania otwarte - od najłatwiejszych (60-80 minut)

Teraz przejdź do zadań otwartych, zaczynając od tych, które oznaczyłeś jako łatwe. Pamiętaj o [zasadach punktowania zadań otwartych](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania) - liczy się nie tylko wynik, ale i tok rozumowania.

Pisz czytelnie, pokazuj kolejne kroki, rysuj wykresy (z opisanymi osiami). Nawet jeśli nie dojdziesz do końcowego wyniku, za poprawne kroki dostajesz punkty cząstkowe.

Więcej wskazówek o rozwiązywaniu zadań otwartych znajdziesz w naszym [poradniku](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

### Faza 4: Trudne zadania i powroty (30-40 minut)

Zostały Ci zadania, które pominąłeś. Teraz do nich wracasz. Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania w całości - napisz, co wiesz:
- Narysuj rysunek pomocniczy
- Wypisz dane i szukane
- Zapisz wzór, którego byś użył
- Wykonaj choć jeden krok

Za częściowe rozwiązania zadań otwartych dostajesz punkty. Pusta kartka = zero punktów.

### Faza 5: Sprawdzenie odpowiedzi (10-15 minut)

Zostaw 10-15 minut na sprawdzenie. Przejrzyj:
- Czy zaznaczyłeś odpowiedzi do WSZYSTKICH zadań zamkniętych (nawet jeśli strzelałeś) i czy są na karcie odpowiedzi, bo ocenia się tylko to, co jest na karcie
- Czy nie popełniłeś głupich błędów obliczeniowych ([najczęstsze błędy maturalne](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki))
- Czy Twoje rysunki są czytelne
- Czy wyniki mają sens (np. ujemna długość boku to sygnał, że coś poszło nie tak)

## Co zjeść rano przed maturą

Śniadanie przed maturą to nie jest żart. Sam egzamin trwa 180 minut, a z dojazdem i czekaniem pod salą spędzisz w szkole jeszcze dłużej, więc śniadanie ma Cię nasycić na kilka godzin.

### Dobre śniadanie maturalne

- **Owsianka** z owocami i orzechami - syci na długo
- **Jajecznica** lub jajka gotowane na twardo - białko też syci na dłużej
- **Pełnoziarniste pieczywo** z masłem orzechowym
- **Banan** - lekki, łatwo go zjeść nawet przy ściśniętym ze stresu żołądku
- **Woda** - zacznij nawadniać się od rana

### Czego unikać

- **Dużo cukru** (słodkie płatki, batony) - dadzą szybki zastrzyk energii, ale po godzinie będziesz miał spadek koncentracji
- **Ciężkie, tłuste jedzenie** (fast food, tłuste mięso) - przeciąży trawienie, poczujesz senność
- **Kawa na pusty żołądek** - jeśli pijesz kawę, wypij ją PO śniadaniu, nie zamiast
- **Energy drinki** - za dużo kofeiny + cukru = drżące ręce i rozdrażnienie, co jest przeciwieństwem tego, czego potrzebujesz na egzaminie
- **Nowe, nieznane jedzenie** - rano przed maturą to nie czas na eksperymenty kulinarne

## Jak radzić sobie ze stresem na sali egzaminacyjnej

Stres przed i w trakcie matury jest całkowicie normalny. Pewien poziom stresu jest nawet korzystny - wyostrza koncentrację. Problem pojawia się, gdy stres paraliżuje i blokuje myślenie.

### Przed egzaminem - wieczorem i rano

- **Przygotuj wszystko wieczorem.** Spakuj przybory, sprawdź dowód, postaw budzik. Rano nie chcesz gorączkowo szukać długopisu
- **Prześpij się normalnie.** Zarwana noc przed maturą to najgorsze, co możesz zrobić. Nawet jeśli nie zaśniesz od razu - leż w ciemności, odpoczywaj
- **Nie ucz się w dniu egzaminu.** Powtórka rano doda stresu, nie wiedzy
- **Porozmawiaj z kimś.** Zadzwoń do kolegi, pogadaj z rodzicem. Samotne zamartwianie się wzmacnia stres

### Na sali - gdy czujesz, że się blokujesz

**Technika 5-5-5:**
1. Odłóż długopis
2. Weź 5 głębokich oddechów (wdech przez nos, wydech przez usta)
3. Policz w myślach od 5 do 1
4. Rozejrzyj się po sali, nazwij 5 rzeczy, które widzisz (to technika uziemienia)
5. Wróć do arkusza

**Przeskocz trudne zadanie.** Jeśli czujesz, że utknąłeś - nie walcz. Przejdź do następnego. Wrócisz za 20 minut ze świeżym spojrzeniem.

**Pamiętaj o proporcjach.** Na maturze podstawowej do zdania potrzebujesz 30%. To 15 punktów z 50 możliwych. Nawet jeśli nie umiesz połowy zadań, wciąż możesz zdać. Nie wpadaj w panikę.

**Perspektywa.** Matura to ważny egzamin, ale nie koniec świata. Jest [matura poprawkowa w sierpniu](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady). Jest możliwość zdawania w kolejnych latach. Jeden egzamin nie definiuje Twojego życia.

## FAQ - najczęściej zadawane pytania o dzień matury

### Czy mogę pisać ołówkiem zamiast długopisem?

**Nie.** Odpowiedzi w zadaniach zamkniętych, rozwiązania zadań otwartych, a także rysunki i wykresy wykonujesz **czarnym długopisem lub piórem**. Komunikat CKE o przyborach mówi wprost, że rysunków nie wykonuje się ołówkiem.

### Co jeśli spóźnię się na maturę?

Po rozdaniu arkuszy spóźnieni zdający nie są wpuszczani. W uzasadnionych przypadkach przewodniczący zespołu nadzorującego **może** jeszcze wpuścić spóźnionego, ale najpóźniej do chwili, gdy na tablicy zostanie zapisany czas rozpoczęcia i zakończenia pracy. Taki zdający kończy pracę o tej samej godzinie co wszyscy. Nie licz na to - przyjdź wcześniej.

### Co jeśli źle zaznaczę odpowiedź w zadaniu zamkniętym?

Błędne zaznaczenie na karcie odpowiedzi otaczasz kółkiem i zaznaczasz właściwą odpowiedź. Tak mówi instrukcja dla zdającego na początku arkusza - przeczytaj ją, zanim zaczniesz.

### Czy mogę wyjść wcześniej?

Tak. Gdy skończysz, podnosisz rękę, zamykasz arkusz i odkładasz go na brzeg stolika. Zespół nadzorujący sprawdza przy Tobie, czy materiały są kompletne, i pozwala Ci wyjść tak, żeby nie przeszkadzać innym.

### Ile trzeba mieć, żeby zdać maturę z matematyki?

**30%**, czyli 15 punktów z 50. To naprawdę osiągalny wynik - zwłaszcza jeśli przećwiczysz [łatwe zadania za 1 punkt](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt), które pojawiają się co roku.

### Czy mogę mieć zegarek?

Zegarka nie ma w wykazie przyborów CKE, ale w każdej sali musi wisieć sprawny zegar widoczny dla wszystkich, a godzinę zakończenia pracy zapisuje się na tablicy. Smartwatch jest zakazany jak każde urządzenie z łącznością. Jeśli chcesz mieć na ręce zwykły zegarek, zapytaj wcześniej w szkole, czy go dopuszcza.

### Co jeśli zachoruję w dniu matury?

Skontaktuj się natychmiast ze swoją szkołą. Do dyrektora szkoły składasz udokumentowany wniosek (np. z zaświadczeniem lekarskim) o przystąpienie do egzaminu w terminie dodatkowym, w czerwcu. Wniosek trzeba złożyć najpóźniej w dniu, w którym w maju odbywa się egzamin z matematyki. W 2027 roku termin dodatkowy z matematyki na poziomie podstawowym to 2 czerwca.

### Czy matura w formule 2023 różni się od formuły 2015?

Tak - inna struktura arkusza, nieco inne zakresy tematyczne. Szczegółowe porównanie znajdziesz w naszym artykule o [różnicach między formułą 2015 a 2023](/formula-2015-vs-2023-matura-matematyka-roznice-zmiany).

## Kompletna checklista - wydrukuj i sprawdź

Oto lista do wydrukowania (lub przepisania na kartkę). Wieczorem przed maturą i rano przed wyjściem z domu przejdź ją punkt po punkcie.

### MUSZĘ MIEĆ:
- Dowód osobisty lub paszport (sprawdź datę ważności!)
- Długopis z czarnym tuszem (minimum 2 sztuki, nie ścieralny)

### POWINIENEM MIEĆ (jeśli szkoła nie zapewnia):
- Linijka (20-30 cm)
- Cyrkiel
- Kalkulator prosty (nieprogramowalny)
- Butelka wody
- Zwykły zegarek, jeśli szkoła go dopuszcza (nie smartwatch)

### NIE WOLNO MI MIEĆ:
- Telefon komórkowy (zostaje poza salą)
- Smartwatch, słuchawki, tablet
- Kalkulator naukowy lub programowalny
- Własne tablice wzorów, notatki, karteczki
- Korektor w płynie
- Długopis ścieralny

### WIECZOREM PRZED MATURĄ:
- Spakuj plecak/torbę ze wszystkimi przyborami
- Sprawdź, czy długopisy piszą
- Ustaw budzik (dwa, na wszelki wypadek)
- Nie ucz się do 2 w nocy - idź spać o normalnej godzinie
- Przygotuj ubranie (wygodne, warstwowe - na sali może być zimno lub ciepło)

### RANO PRZED WYJŚCIEM:
- Zjedz śniadanie (owsianka, jajka, pieczywo, banan)
- Napij się wody
- Sprawdź, czy masz dowód osobisty
- Sprawdź, czy masz długopisy, linijkę, cyrkiel i kalkulator
- Pamiętaj, że telefon zostawisz przed wejściem w miejscu wskazanym przez szkołę
- Wyjdź z domu z zapasem czasu

## Co dalej? Przygotuj się merytorycznie

Logistyka to połowa sukcesu. Drugą połową jest wiedza. Jeśli masz jeszcze czas na przygotowania, skorzystaj z naszych materiałów:

- [Jak zdać maturę z matematyki 2027 - kompletna strategia](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) - od czego zacząć, ile czasu potrzebujesz, jak się uczyć
- [Pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - zadania, które na pewno się pojawią
- [Wzory spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac) - tego nie znajdziesz na karcie CKE
- [Najczęstsze błędy na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) - unikaj tych pułapek
- [Ostatnie tygodnie przed maturą - plan nauki](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka) - rozplanuj powtórkę dzień po dniu

Powodzenia na egzaminie! Pamiętaj - matura to maraton, nie sprint. Przygotuj się logistycznie, zachowaj spokój i rozwiązuj zadanie po zadaniu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-2026-zadania-14-15-27-rozwiazania-trudne-zadania
title: Matura maj 2026 - rozwiązania zadań 14, 15 i 27 (najtrudniejsze otwarte)
description: Trzy najtrudniejsze zadania otwarte z matury maj 2026: parabola, ciąg geometryczny i ostrosłup. Pełne rozwiązania krok po kroku i typowe pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2026 - rozwiązania zadań 14, 15 i 27 (najtrudniejsze otwarte)

## Trzy zadania, które decydowały o wyniku matury maj 2026

Jeśli na maturze z matematyki **5 maja 2026** szło ci dobrze do pewnego momentu, a potem zacząłeś gubić punkty, sprawdź **zadania 14, 15 i 27**. To trzy zadania otwarte z pełnym rozwiązaniem, warte razem **9 punktów** (4 + 3 + 2 pkt), czyli 18% wszystkich punktów do zdobycia.

W tym wpisie rozkładamy każde z nich na czynniki pierwsze. Pokazujemy nie tylko **gotowy schemat**, ale i typowe pułapki - czyli to, dlaczego maturzyści tracą punkty cząstkowe nawet wtedy, gdy ostatecznie wpadną na poprawny wynik.

Jeśli chcesz porównać swoje wyniki z resztą arkusza, zerknij na [pełne rozwiązania matury maj 2026](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania) albo otwórz [arkusz w aplikacji](/exams/matura-maj-2026).

## Zadanie 14 (4 pkt) - funkcja kwadratowa z translacją wykresu

### Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

### Schemat rozwiązania

To klasyczne zadanie, w którym kluczowym narzędziem jest **postać kanoniczna funkcji kwadratowej**. Współczynnika \(a\) nie ma w treści, więc trzeba go wyznaczyć z dodatkowego warunku \(g(0)=0\).

**Krok 1.** Skoro \(W=(3,-2)\), to:

$$f(x)=a(x-3)^{2}-2$$

**Krok 2.** Obliczamy \(g(x)=f(x+1)\) - przesuwamy wykres \(f\) o **1 jednostkę w lewo**:

$$g(x)=a\bigl((x+1)-3\bigr)^{2}-2=a(x-2)^{2}-2$$

**Krok 3.** Z warunku \(g(0)=0\):

$$a\cdot(-2)^{2}-2=0\Rightarrow 4a=2\Rightarrow a=\tfrac{1}{2}$$

**Krok 4.** Postać kanoniczna \(f\), a następnie rozwinięcie do postaci ogólnej:

$$f(x)=\tfrac{1}{2}(x-3)^{2}-2=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)-2=\tfrac{1}{2}x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}$$

### Najczęstsze błędy

- **Mylenie kierunku translacji** - "podstawiamy \(x+1\), więc przesuwamy w prawo". Nie. \(f(x+1)\) przesuwa wykres **w lewo** o 1 jednostkę. Zapamiętaj to raz na zawsze.
- **Niewyliczenie \(a\)** - niektórzy zostawiają odpowiedź w postaci \(f(x)=a(x-3)^{2}-2\) i tracą punkty. Trzeba dojść do liczbowej wartości \(a\).
- **Błąd przy rozwijaniu** - po wymnożeniu \(\tfrac{1}{2}\cdot 9=\tfrac{9}{2}\), a potem odjęcie \(2\) daje \(\tfrac{5}{2}\), nie \(\tfrac{7}{2}\) ani \(\tfrac{1}{2}\).

[Pełne interaktywne rozwiązanie zadania 14](/task/matura-maj-2026-16) - przejdź przez każdy krok osobno.

> Jeśli pomyłki przy postaciach funkcji kwadratowej zdarzają ci się częściej niż raz na 5 arkuszy, zajrzyj do działu [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa). Są tam zadania z arkuszy CKE z poprzednich lat, każde z rozwiązaniem.

## Zadanie 15 (3 pkt) - ciąg geometryczny ukryty w arytmetycznym

### Treść

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1, a_9, a_k)\) jest geometryczny. Oblicz \(k\).

### Schemat rozwiązania

Tu CKE łączy dwa działy - **ciąg arytmetyczny** (bo \(a_n=3n+5\) to wzór ogólny ciągu arytmetycznego) i **ciąg geometryczny** (bo trójwyrazowy podciąg ma być geometryczny). Klucz to **warunek na średnią geometryczną**:

$$\text{trzy liczby }(a,b,c)\text{ są geometryczne}\iff b^{2}=a\cdot c$$

**Krok 1.** Wyliczamy \(a_1\) i \(a_9\) ze wzoru ciągu:

$$a_1=3\cdot 1+5=8,\qquad a_9=3\cdot 9+5=32$$

**Krok 2.** Stosujemy warunek geometryczności:

$$a_9^{2}=a_1\cdot a_k\Rightarrow 1024=8\cdot a_k\Rightarrow a_k=128$$

**Krok 3.** Wyznaczamy \(k\) ze wzoru ciągu:

$$3k+5=128\Rightarrow 3k=123\Rightarrow k=41$$

### Najczęstsze błędy

- **Mnożenie zamiast średniej geometrycznej** - niektórzy zapisują \(a_9=a_1\cdot q\), a potem podstawiają. Można i tak, ale wtedy musisz wyliczyć \(q=4\), znaleźć \(a_k=a_9\cdot q=128\) - i tu łatwo się pogubić, bo trzeba pamiętać, że to ciąg geometryczny **(a_1, a_9, a_k)**, a nie cały ciąg \((a_n)\). Bezpieczniej iść przez warunek \(b^{2}=ac\).
- **Pomyłka w \(a_9\)** - zamiast 32 wpisują 33 (myląc z arytmetycznym wzorem). \(3\cdot 9=27\), \(27+5=32\).
- **Brak sprawdzenia, że \(k\) jest naturalne** - na maturze nie musisz tego pisać, ale warto się upewnić, że dostajesz całkowite \(k\).

[Pełne rozwiązanie zadania 15](/task/matura-maj-2026-17) - krok po kroku, przez warunek \(b^{2}=ac\).

> Więcej zadań z tej kategorii znajdziesz w [pełnym przewodniku po ciągach](/topics/ciagi). Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu był też na przykład w sesji dodatkowej w czerwcu 2024 (zadanie 18) i na maturze poprawkowej w sierpniu 2025 (zadanie 18).

## Zadanie 27 (2 pkt) - ostrosłup z nachyleniem krawędzi

### Treść

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

### Schemat rozwiązania

W stereometrii **rysunek to połowa sukcesu**. Nawet schematyczny szkic z zaznaczonymi długościami pozwala uniknąć błędu typu "wziąłem całą przekątną zamiast jej połowy".

**Krok 1. Bok kwadratu.** Z własności kwadratu: \(d=a\sqrt{2}\), stąd:

$$a=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{6}$$

**Krok 2. Wysokość.** Wierzchołek ostrosłupa prawidłowego leży **dokładnie nad środkiem podstawy**, w odległości \(\tfrac{d}{2}=4\sqrt{3}\) od każdego wierzchołka kwadratu. Krawędź boczna, jej rzut na podstawę i wysokość tworzą trójkąt prostokątny z kątem \(30^\circ\):

$$\operatorname{tg}30^\circ=\frac{H}{4\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}}\Rightarrow H=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=4$$

**Krok 3. Pole podstawy i objętość.**

$$P_p=a^{2}=(4\sqrt{6})^{2}=96$$

$$V=\tfrac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\tfrac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=128$$

### Najczęstsze błędy

- **Branie całej przekątnej zamiast jej połowy** - bez rysunku łatwo o ten błąd. Krawędź boczna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna pozioma to **połowa przekątnej**, nie cała przekątna.
- **Pomylenie tg z sin** - kąt nachylenia jest między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy. tg tego kąta = wysokość / rzut krawędzi.
- **Pomyłka w pierwiastku** - \((4\sqrt{6})^{2}=16\cdot 6=96\), nie 24 ani 144.

[Pełne rozwiązanie zadania 27](/task/matura-maj-2026-30) - z każdym krokiem rozpisanym osobno.

> Więcej zadań z ostrosłupami i innymi bryłami znajdziesz w dziale [stereometria](/topics/stereometria). Są tam zadania z arkuszy CKE z poprzednich lat, każde z rozwiązaniem.

## Co możesz zrobić, jeśli te zadania ci nie poszły

**Jeśli pisałeś maturę 5 maja i pomyliłeś któreś z tych zadań** - dobra wiadomość: to dział nauki, w którym **trening prowadzi do automatyzmu**. Funkcja kwadratowa z przesunięciem, ciąg geometryczny w arytmetycznym, ostrosłup z nachyleniem - to schematy, które przećwiczysz na zadaniach ze starszych arkuszy.

**Jeśli planujesz poprawkę w sierpniu**, zacznij od:

1. Przerobienia **wszystkich 33 zadań arkusza maj 2026** - tu masz pełną listę: [/exams/matura-maj-2026](/exams/matura-maj-2026)
2. Powtórki kategorii, w których tracisz najwięcej punktów - aplikacja pokazuje statystyki w [/progress](/progress)
3. Rozwiązania 5-7 starszych arkuszy, np. [maj 2025](/exams/matura-maj-2025), [maj 2024](/exams/matura-maj-2024), [maj 2023](/exams/matura-maj-2023)

Jeśli celujesz w lepszy wynik na maturze poprawkowej (lub w 2027), warto regularnie korzystać z [progresji w aplikacji](/progress) i symulować pełne arkusze na czas w [symulatorze matury](/simulator).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2025 matematyka - omówienie arkusza i rozwiązania zadań
description: Matura z matematyki, maj 2025: 31 zadań za 50 punktów. Omówienie arkusza, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i lista wszystkich zadań z linkami.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2025 matematyka - omówienie arkusza i rozwiązania zadań

## O arkuszu - Matura maj 2025

Matura z matematyki na poziomie podstawowym w głównym terminie 2025 roku odbyła się 6 maja. Arkusz zawierał **31 zadań** za łącznie **50 punktów**. To pierwszy majowy arkusz w formule 2023 wart 50 punktów, a nie 46. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Ten arkusz jest świetnym materiałem do ćwiczeń przed maturą 2027, bo odzwierciedla aktualną formułę egzaminu i pokazuje, jakich zadań można się spodziewać.

## Analiza trudności

### Łatwe punkty

Początek arkusza to klasyczne zadania na upraszczanie wyrażeń algebraicznych, logarytmy i potęgi. Typowe przykładowe zadanie:

**Zadanie 1:** Oblicz \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^{2}\)

$$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$

$$(4\sqrt{2}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

**Odpowiedź: B**

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2025-01)

---

**Zadanie 2:** Oblicz \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\)

$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}} = \frac{5^{12}(1+5+25)}{5^{12}} = 1+5+25 = 31$$

Trick: wyciągamy \(5^{12}\) przed nawias w liczniku. Tak samo upraszczasz każdy ułamek, w którego liczniku stoi suma potęg o tej samej podstawie.

**Odpowiedź: B**

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2025-02)

---

**Zadanie 3:** Oblicz \(\log_{3}108-2\log_{3}2\)

$$\log_{3}108 - 2\log_{3}2 = \log_{3}108 - \log_{3}4 = \log_{3}\frac{108}{4} = \log_{3}27 = 3$$

**Odpowiedź: A**

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2025-03)

### Średnie zadania

Tu zaczynają się zadania wymagające więcej myślenia:

**Zadanie 5 - Dowodzenie (2 pkt):** Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^{2}+2n+7\) jest podzielna przez 4.

**Rozwiązanie:**

Skoro \(n\) jest nieparzyste, to \(n = 2k+1\) dla pewnego \(k \in \mathbb{N}_0\).

$$3n^2 + 2n + 7 = 3(2k+1)^2 + 2(2k+1) + 7$$

$$= 3(4k^2+4k+1) + 4k + 2 + 7$$

$$= 12k^2 + 12k + 3 + 4k + 9$$

$$= 12k^2 + 16k + 12$$

$$= 4(3k^2 + 4k + 3)$$

Wyrażenie \(3k^2 + 4k + 3\) jest liczbą naturalną, więc \(3n^2+2n+7\) jest podzielne przez 4. \(\square\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2025-05)

---

**Zadanie 9 - Procenty (2 pkt):** Zarząd firmy wydzielił 1 200 000 zł łącznie na projekty badawcze dla zespołów A i B. W pierwszym półroczu oba zespoły wykorzystały razem 146 700 zł: zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B 11%. Trzeba obliczyć kwotę przyznaną zespołowi A.

**Rozwiązanie:**

Niech \(x\) oznacza kwotę zespołu A. Wtedy zespół B dostał \(1200000-x\), a wydatki obu zespołów to:

$$0{,}13x+0{,}11(1200000-x)=146700$$

$$0{,}13x+132000-0{,}11x=146700$$

$$0{,}02x=14700 \implies x=735000$$

Sprawdzenie: \(0{,}13\cdot 735000=95550\) i \(0{,}11\cdot 465000=51150\), razem \(146700\) zł. Klucz to jedna niewiadoma dla kwoty A i zapisanie kwoty B jako reszty z budżetu.

**Odpowiedź:** zespół A otrzymał 735 000 zł.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2025-09)

---

**Zadanie 10 - Nierówność kwadratowa (2 pkt):** Rozwiąż nierówność \(3(2x^{2}+1)  0\)), więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Nierówność \(0\) dla \(x<3\), a pozostałe kawałki są dodatnie w całości, więc wartości dodatnie są dla \(x\in[-4,3)\);
- \(f(x)=3\) na całym przedziale \((-2,2]\) i dodatkowo dla \(x=-2\), bo \(-2+5=3\). Stąd zbiór rozwiązań to \([-2,2]\). Ten koniec przedziału łatwo przeoczyć.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2025-11)

## Statystyki arkusza

- **Początek arkusza:** zadania 1-5 (potęgi, pierwiastki, logarytm, wzory skróconego mnożenia i dowód podzielności) dają 6 punktów
- **Najwięcej punktów w jednej kategorii z tabeli:** stereometria, 3 zadania za 8 pkt (stożek za 3 pkt, przekątna sześcianu za 1 pkt i optymalizacja z prostopadłościanem za 4 pkt), oraz ciągi, 3 zadania za 6 pkt. Jeśli policzyć razem wszystkie zadania o funkcjach (11, 12 i 13), wychodzi 9 pkt
- **Pewniaki, które się pojawiły:** upraszczanie wyrażeń, nierówność kwadratowa, ciąg arytmetyczny, proste równoległe i równanie okręgu
- **Podział punktów:** 20 zadań za 1 punkt (20 pkt) i 11 zadań za 2-4 punkty (30 pkt)

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 31 zadań z rozwiązaniami są dostępne na Sprawnej Maturze:

**Zadania za 1 punkt:**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2025-01) - Potęgi: \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2\)
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2025-02) - Potęgi: \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\)
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2025-03) - Logarytmy
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2025-04) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2025-06) - Nierówność liniowa na osi liczbowej
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2025-07) - Równanie w postaci iloczynowej
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2025-08) - Wyrażenie wymierne
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2025-16) - Funkcja liniowa bez miejsca zerowego
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2025-21) - Ciąg geometryczny: czwarty wyraz
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2025-22) - Trygonometria: cosinus kąta ostrego
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2025-26) - Kąt wpisany i kąt środkowy
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2025-27) - Trójkąty podobne
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2025-28) - Trójkąt z kątem \(60^\circ\) (prawda czy fałsz)
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2025-29) - Przekątna kwadratu w układzie współrzędnych
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2025-30) - Proste równoległe z parametrem
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2025-31) - Równanie okręgu
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2025-33) - Przekątna sześcianu
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2025-34) - Kombinatoryka: liczby trzycyfrowe
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2025-35) - Prawdopodobieństwo: dwa rzuty kostką
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2025-36) - Średnia arytmetyczna

**Zadania za 2-4 punkty:**
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2025-05) - Dowodzenie podzielności (2 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2025-09) - Procenty i układy równań (2 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2025-10) - Nierówność kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2025-11) - Funkcja przedziałami (4 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2025-12) - Funkcja kwadratowa: postać kanoniczna, oś symetrii, miejsca zerowe (4 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2025-17) - Ciąg określony rekurencyjnie (2 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2025-20) - Ciąg arytmetyczny malejący (3 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2025-23) - Trójkąt prostokątny ze środkową: tangens i sinus (2 pkt)
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2025-32) - Objętość stożka (3 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2025-37) - Mediana i dominanta z diagramu (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2025-38) - Optymalizacja: pole prostopadłościanu (4 pkt)

Cały arkusz: [Matura maj 2025 - wszystkie zadania](/exams/matura-maj-2025)

## Wnioski dla maturzystów 2027

Jeśli przygotowujesz się do matury 2027, ten arkusz uczy nas kilku rzeczy:

1. **Potęgi i pierwiastki na start** - zadania 1, 2, 4 i 5 to potęgi, pierwiastki i wzory skróconego mnożenia, razem 5 punktów. Te przekształcenia musisz robić bez zastanowienia
2. **Geometria analityczna to trzy zadania za 1 punkt** (zad. 22-24): przekątna kwadratu ze współrzędnych, proste równoległe i równanie okręgu. Wystarczą wzór na długość odcinka, warunek równoległości prostych i równanie okręgu
3. **Ciągi to 3 zadania za 6 punktów** (zad. 14-16): ciąg rekurencyjny, ciąg arytmetyczny za 3 punkty i ciąg geometryczny. Wzory masz w tablicach, musisz tylko umieć je stosować
4. **Stereometria to 3 zadania za 8 punktów**, w tym stożek (3 pkt) i optymalizacja z prostopadłościanem (4 pkt). Jeśli celujesz w wysoki wynik, musisz je opanować
5. **Dowodzenie** - w tym arkuszu dowód był w zadaniu 5, więc przygotuj się na zadania „wykaż, że...”

Na Sprawnej Maturze każde zadanie z tego arkusza ma pełne rozwiązanie krok po kroku. Zacznij od najnowszych arkuszy i ćwicz codziennie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura próbna luty 2026 matematyka - arkusz, rozkład kategorii i 5 zadań krok po kroku
description: Arkusz próbny w formule CKE, luty 2026: rozkład kategorii i pięć zadań rozpisanych krok po kroku. Pozostałe 25 zadań znajdziesz w aplikacji Sprawnej Matury.
author: Filip Maszota
---

# Matura próbna luty 2026 matematyka - arkusz, rozkład kategorii i 5 zadań krok po kroku

## O arkuszu - arkusz próbny Sprawnej Matury, luty 2026

To **nasz własny arkusz próbny** z matematyki na poziomie podstawowym, przygotowany w formule CKE i udostępniony w lutym 2026 roku. Nie jest to arkusz Centralnej Komisji Egzaminacyjnej ani żadnej okręgowej komisji: oficjalny próbny egzamin maturalny CKE w roku szkolnym 2025/2026 odbył się 5 marca 2026 i omawiamy go w [osobnym wpisie](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania).

Arkusz zawiera **30 zadań**: 17 zamkniętych i 13 otwartych, za łącznie **52 punkty**. Numery zadań idą od 1 do 39, ale nie po kolei: numerów 13-15, 17-18, 24-25 i 28-29 w arkuszu nie ma. Te same numery zobaczysz w aplikacji. Gdyby zastosować do niego regułę CKE, czyli minimum 30% punktów, próg zdania wypadałby na **16 punktów**.

Prawdziwy arkusz CKE trwa 180 minut i od 2025 roku jest wart 50 punktów, więc nasz ma o dwa punkty więcej. Rozwiązanie go w pełnym czasie egzaminacyjnym daje realny obraz tego, gdzie stoisz.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| Równania i nierówności | 4 | 7 |
| Planimetria | 3 | 6 |
| Stereometria | 2 | 5 |
| Funkcje | 1 | 4 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 4 |
| Ciągi | 3 | 4 |
| Trygonometria | 2 | 4 |
| Liczby rzeczywiste | 1 | 3 |
| Funkcja wykładnicza | 1 | 3 |
| Geometria analityczna | 3 | 3 |
| Potęgi i pierwiastki | 2 | 2 |
| Procenty | 1 | 2 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| Funkcja liniowa | 1 | 1 |
| Kombinatoryka | 1 | 1 |
| Prawdopodobieństwo | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |

Dominującą kategorią są **równania i nierówności** (4 zadania, 7 punktów), a zaraz za nią **planimetria** (3 zadania, 6 punktów).

## Zadania z tego arkusza krok po kroku

Pięć zadań rozpisujemy tu w całości: trzy zamknięte i dwa otwarte. Pozostałe 25 zadań tego arkusza czeka na Ciebie w aplikacji, a linki do części z nich zebraliśmy na końcu wpisu.

### Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\frac{(5\sqrt{2}+\sqrt{18})^2}{4^{4}\cdot 8^8}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Najpierw upraszczamy licznik. Zauważmy, że \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), więc:

$$(5\sqrt{2}+\sqrt{18})^2 = (5\sqrt{2}+3\sqrt{2})^2 = (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128 = 2^7$$

Teraz mianownik:

$$4^4 \cdot 8^8 = (2^2)^4 \cdot (2^3)^8 = 2^8 \cdot 2^{24} = 2^{32}$$

Zatem:

$$\frac{2^7}{2^{32}} = 2^{7-32} = 2^{-25}$$

**Odpowiedź: B**

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-luty-2026-01)

---

### Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\log_{5}105-3\log_{5}\sqrt[3]{21}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Korzystamy z właściwości logarytmów:

$$3\log_{5}\sqrt[3]{21} = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_{5}21 = \log_{5}21$$

Więc:

$$\log_{5}105-\log_{5}21 = \log_{5}\frac{105}{21} = \log_{5}5 = 1$$

**Odpowiedź: C**

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-luty-2026-02)

---

### Zadanie 4 - Równania i nierówności (1 pkt)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2-x}{4} > x-\frac{1}{2}\) jest przedział

**Rozwiązanie:**

Mnożymy obie strony przez 4:

$$2-x > 4x - 2$$

$$2+2 > 4x + x$$

$$4 > 5x$$

$$x  0\), funkcja malałaby na całym przedziale \(\langle 0, 2\rangle\), więc największa wartość byłaby w \(x=0\):

$$f(0) = 4a + q = 4a - 9a = -5a = 1 \Rightarrow a = -\frac{1}{5}$$

To przeczy założeniu \(a > 0\), więc \(a < 0\). Wtedy wierzchołek \(x=2\) jest prawym końcem przedziału i jednocześnie maksimum, czyli \(q = 1\):

$$0 = a(5-2)^2 + 1 = 9a + 1 \Rightarrow a = -\frac{1}{9}$$

$$f(x) = -\frac{1}{9}(x-2)^2 + 1$$

**Odpowiedzi:**

a) Wierzchołek to \((2, 1)\), czyli **B**.

b) Miejsca zerowe: \((x-2)^2 = 9\), czyli \(x = -1\) i \(x = 5\). Ich suma to \(4\), a nie \(6\), więc pierwsze zdanie jest **fałszywe**. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie na przedziale \((-1, 5)\), a w nim są argumenty ujemne (na przykład \(-0{,}5\)), więc drugie zdanie jest **prawdziwe**.

c) **A**, czyli \(f(x)=-\frac{1}{9}(x-2)^2+1\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-luty-2026-12)

## Co warto powtórzyć po tym arkuszu

Kolejność poniżej wynika wprost z tabeli wyżej: od działu, który niesie najwięcej punktów, do tego, który niesie najmniej.

1. **[Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci)** - 4 zadania, 7 punktów, najcięższy dział arkusza. Nierówności liniowe i kwadratowe, równanie w postaci iloczynowej.
2. **[Planimetria](/topics/planimetria)** - 3 zadania, 6 punktów. Twierdzenie Pitagorasa, trójkąty podobne, pola figur.
3. **[Stereometria](/topics/stereometria)** - 2 zadania, 5 punktów, w tym jedno z dwóch zadań za 4 punkty w całym arkuszu. Objętość ostrosłupa, kąt nachylenia krawędzi do podstawy.
4. **[Ciągi](/topics/ciagi)** - 3 zadania, 4 punkty, najwięcej zadań spośród działów wartych 4 punkty.
5. **Zadania dowodowe** - podzielność i reszty z dzielenia, tu za 3 punkty.

## Zadania z tego arkusza w aplikacji

We wpisie rozpisaliśmy pięć zadań w całości. Pozostałe 25 masz w aplikacji Sprawnej Matury. Tam, gdzie odpowiedzi są podane do wyboru, zaznaczasz swoją i aplikacja od razu mówi, czy jest poprawna; tam, gdzie odpowiedź trzeba zapisać samodzielnie, porównujesz ją z kluczem, a zadania dowodowe klucza nie mają. W zadaniu dowodowym, jak zadanie 5 z tego arkusza, odpowiedzią jest cały zapis dowodu. Wszystko w ramach dziennego limitu zadań (bez konta 3 dziennie, z darmowym kontem 5), a rozwiązania krok po kroku odsłaniasz odpowiednio raz i trzy razy dziennie; w Premium bez limitu. Większość zadań tego arkusza ma też nagranie wideo. Poniżej bezpośrednie linki do jedenastu zadań tego arkusza, w tym do obu zadań za 4 punkty:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-pr-bna-luty-2026-01) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 2](/task/matura-pr-bna-luty-2026-02) - Logarytmy
- [Zadanie 4](/task/matura-pr-bna-luty-2026-04) - Równania i nierówności
- [Zadanie 6](/task/matura-pr-bna-luty-2026-06) - Równania i nierówności

**Zadania otwarte (1-4 pkt):**
- [Zadanie 3](/task/matura-pr-bna-luty-2026-03) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 5](/task/matura-pr-bna-luty-2026-05) - Liczby rzeczywiste, dowodzenie podzielności (3 pkt)
- [Zadanie 7](/task/matura-pr-bna-luty-2026-07) - Procenty (2 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-pr-bna-luty-2026-08) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-pr-bna-luty-2026-10) - Funkcje (4 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-pr-bna-luty-2026-12) - Funkcja kwadratowa (3 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-pr-bna-luty-2026-34) - Stereometria (4 pkt)

Cały arkusz do przejrzenia: [arkusz próbny luty 2026 - wszystkie zadania](/exams/matura-probna-luty-2026)

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

1. **Rozwiąż arkusz w warunkach egzaminacyjnych** - daj sobie 180 minut, czyli tyle, ile trwa prawdziwy egzamin w Formule 2023, bez telefonu, z kartą wzorów
2. **Sprawdź odpowiedzi** - w aplikacji wygląda to tak. Tam, gdzie odpowiedzi są podane do wyboru, zaznaczasz swoją i aplikacja od razu mówi, czy jest poprawna; tam, gdzie odpowiedź trzeba zapisać samodzielnie, porównujesz ją z kluczem, a zadania dowodowe klucza nie mają.
3. **Przeanalizuj błędy** - nie chodzi o to, że się pomyliłeś, ale DLACZEGO
4. **Zrób powtórkę z kategorii, w których miałeś najwięcej błędów**
5. **Rozwiąż analogiczne zadania** - na Sprawnej Maturze masz ponad 2300 zadań maturalnych

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania
title: Matura próbna CKE marzec 2026 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura próbna CKE z matematyki, marzec 2026: 32 zadania za 50 punktów, rozkład kategorii i siedem zadań rozwiązanych krok po kroku. Cały arkusz w aplikacji.
author: Filip Maszota
---

# Matura próbna CKE marzec 2026 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Matura próbna z matematyki na poziomie podstawowym, przygotowana przez CKE i przeprowadzona 5 marca 2026, to **ostatni oficjalny arkusz treningowy** przed właściwym egzaminem w maju. Pokazuje, jak CKE układa zadania w obecnej wersji formuły 2023, więc warto go przerobić także przed maturą 2027.

Arkusz liczył 32 zadania za 50 punktów: 22 zadania za 1 punkt (wybór odpowiedzi albo ocena prawdziwości zdań), osiem zadań z pełnym rozwiązaniem za 2-4 punkty oraz dwa zadania z podpunktami: 11 (5 pkt) i 32 (2 pkt). Na rozwiązanie było 180 minut, a próg zdania matury to 30% punktów.

Poniżej znajdziesz rozkład kategorii i rozwiązania siedmiu zadań z różnych działów, od dzielenia z resztą po równanie okręgu. Wszystkie 32 zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty | Numery zadań |
|-----------|-------------|--------|--------------|
| Planimetria | 4 | 6 | 19, 20, 21, 22 |
| Funkcje | 1 | 5 | 11 |
| Ciągi | 3 | 5 | 14, 15, 16 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 5 | 12, 32 |
| Geometria analityczna | 2 | 5 | 23, 24 |
| Liczby rzeczywiste | 3 | 4 | 1, 5, 13 |
| Stereometria | 3 | 4 | 25, 26, 27 |
| Równania i nierówności | 2 | 3 | 7, 8 |
| Trygonometria | 2 | 3 | 17, 18 |
| Potęgi i pierwiastki | 2 | 2 | 2, 3 |
| Statystyka | 2 | 2 | 30, 31 |
| Pozostałe (logarytmy, wyrażenia algebraiczne, układ równań, funkcja liniowa, kombinatoryka, prawdopodobieństwo) | 6 | 6 | 4, 6, 9, 10, 28, 29 |

Najwięcej punktów daje planimetria (4 zadania, 6 pkt). Po 5 punktów przypada na funkcje, ciągi, funkcję kwadratową i geometrię analityczną, przy czym w funkcjach całe 5 punktów to jedno zadanie 11 z trzema podpunktami. Zadania 1-10 (liczby, potęgi, logarytm, wyrażenia, równania, układ równań i funkcja liniowa) dają razem 12 punktów. Do powtórki przydadzą się nasze przewodniki po [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), [potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [równaniach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

## Poziom trudności - porównanie z poprzednimi arkuszami

Budową arkusz marcowy przypomina [maturę z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz): ta sama liczba punktów (50), podobna liczba zadań (32 wobec 31) i ta sama kolejność działów. Na początku są liczby, potęgi i równania, w środku funkcje, ciągi i trygonometria, a pod koniec geometria, stereometria, kombinatoryka i statystyka. W obu arkuszach najwięcej punktów daje zadanie 11 o funkcji określonej przedziałami (4 pkt w maju 2025, 5 pkt w marcu 2026). Dalej arkusze się różnią: w maju 2025 po 4 punkty dawały też funkcja kwadratowa (zadanie 12) i zadanie optymalizacyjne z prostopadłościanem (zadanie 31), a w marcu 2026 kolejne jest równanie okręgu opisanego na kwadracie (zadanie 24, 4 pkt). Zadania optymalizacyjnego, w którym trzeba samemu zbudować funkcję i znaleźć jej największą lub najmniejszą wartość, w arkuszu marcowym nie było.

Jeśli szukasz kolejnego arkusza w tej formule, przerób też [arkusz próbny z lutego 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz). To nasz własny arkusz Sprawnej Matury, nie arkusz CKE.

**Podział punktów w arkuszu marcowym:**

**Zadania za 1 punkt (22 zadania, 22 pkt)** - wybór odpowiedzi A-D albo ocena dwóch zdań: od potęg i logarytmu (zad. 2-4) przez funkcję liniową (zad. 10), ciągi (zad. 15 i 16) i planimetrię (zad. 19, 20 i 22) po kombinatorykę, prawdopodobieństwo i statystykę (zad. 28-31). To prawie połowa punktów z arkusza, a większość tych zadań wymaga jednego lub dwóch kroków rachunku. Jeśli tu tracisz punkty, wróć do [potęg](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

**Zadania z pełnym rozwiązaniem za 2-3 punkty (7 zadań, 17 pkt)** - dowód podzielności (zad. 5), nierówność kwadratowa (zad. 8), pole trójkąta wyznaczonego przez parabolę (zad. 12), ciąg arytmetyczny (zad. 14), trygonometria kąta rozwartego (zad. 17), dowód w trapezie (zad. 21) i objętość ostrosłupa (zad. 26). Punkty cząstkowe dostajesz tu za poprawnie zaczęte rozwiązanie, więc nie zostawiaj tych zadań pustych.

**Zadania z podpunktami i zadanie za 4 punkty (3 zadania, 11 pkt)** - funkcja określona przedziałami (zad. 11, 5 pkt), równanie okręgu opisanego na kwadracie po symetrii (zad. 24, 4 pkt) oraz wartość największa i najmniejsza funkcji kwadratowej w przedziale (zad. 32, 2 pkt).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Dzielenie z resztą (1 pkt)

**Treść:** Liczby \(x\) oraz \(y\) są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby \(x\) przez liczbę \(y\) otrzymano iloraz \(20\) i resztę \(26\).

**Rozwiązanie:**

Dzielenie z resztą zapisujemy jako „dzielna = iloraz · dzielnik + reszta”:
$$x = 20y + 26$$

Dzielimy obie strony przez \(y\):
$$\frac{x}{y} = \frac{20y + 26}{y} = 20 + \frac{26}{y}$$

Reszta musi być mniejsza od dzielnika, więc przy okazji wiemy, że \(y > 26\). Odpowiedź C wygląda podobnie, ale ma w mianowniku \(x\), a dzielimy przez \(y\).

**Odpowiedź:** D. \(20+\frac{26}{y}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-01)

---

### Zadanie 5 - Dowód podzielności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że liczba \(2501^4-2499^4\) jest podzielna przez \(10000\).

**Rozwiązanie:**

Potęgi czwarte to kwadraty kwadratów, więc dwa razy stosujemy wzór na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):
$$2501^4-2499^4=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2)$$

$$2501^2-2499^2=(2501-2499)(2501+2499)=2\cdot 5000=10000$$

Stąd:
$$2501^4-2499^4=10000\cdot(2501^2+2499^2)$$

Liczba \(2501^2+2499^2\) jest naturalna, więc cała różnica jest iloczynem \(10000\) i liczby naturalnej, czyli dzieli się przez \(10000\). Liczenie \(2501^4\) wprost nie ma sensu: wzór skróconego mnożenia załatwia sprawę w dwóch linijkach.

**Odpowiedź:** \(2501^4-2499^4=10000\cdot(2501^2+2499^2)\), więc liczba jest podzielna przez \(10000\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-05)

---

### Zadanie 8 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \((x-3)(x+5)>9\). Zapisz obliczenia.

**Rozwiązanie:**

Po prawej stronie jest 9, a nie 0, więc nie wolno od razu odczytać miejsc zerowych z nawiasów. Najpierw wymnażamy i przenosimy wszystko na lewą stronę:
$$x^2+5x-3x-15>9$$
$$x^2+2x-24>0$$

Miejsca zerowe:
$$\Delta = 2^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100, \quad \sqrt{\Delta}=10$$
$$x_1=\frac{-2-10}{2}=-6, \quad x_2=\frac{-2+10}{2}=4$$

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry i przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi. Końce odrzucamy, bo nierówność jest ostra.

**Odpowiedź:** \(x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty)\)

Więcej o takich zadaniach w przewodniku po [równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-08)

---

### Zadanie 12 - Pole trójkąta wyznaczonego przez parabolę (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-16x^2+40x+11\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(C\). Ta parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

**Rozwiązanie:**

Podstawa \(AB\) leży na osi \(Ox\), więc jej długość to odległość między miejscami zerowymi, a wysokość trójkąta to odległość wierzchołka \(C\) od osi \(Ox\), czyli \(|q|\).

Miejsca zerowe (\(a=-16,\ b=40,\ c=11\)):
$$\Delta=40^2-4\cdot(-16)\cdot 11=1600+704=2304, \quad \sqrt{\Delta}=48$$
$$x_1=\frac{-40-48}{-32}=\frac{11}{4}, \quad x_2=\frac{-40+48}{-32}=-\frac{1}{4}$$

Długość podstawy:
$$|AB|=\frac{11}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=3$$

Druga współrzędna wierzchołka:
$$q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-2304}{-64}=36$$

Pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 36=54$$

**Odpowiedź:** \(P=54\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-15)

---

### Zadanie 18 - Tangens w trójkącie prostokątnym (1 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną oraz \(|AC|=6\). Tangens kąta \(BCA\) jest równy \(\frac{3}{2}\).

**Rozwiązanie:**

Skoro \(BC\) jest przeciwprostokątną, kąt prosty leży przy wierzchołku \(A\), a przyprostokątnymi są \(AB\) i \(AC\). Tangens kąta przy wierzchołku \(C\) to przyprostokątna naprzeciw tego kąta podzielona przez przyprostokątną przy nim:
$$\operatorname{tg}\angle BCA=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{3}{2}$$
$$|AB|=6\cdot\frac{3}{2}=9$$

Odpowiedź D, czyli \(\sqrt{117}\), to długość przeciwprostokątnej \(BC\): \(\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}\). Pytanie dotyczy jednak odcinka \(AB\).

**Odpowiedź:** C. \(9\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-21)

---

### Zadanie 24 - Okrąg opisany na kwadracie po symetrii (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,0)\) oraz \(C=(5,6)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Kwadrat \(A'B'C'D'\) jest obrazem kwadratu \(ABCD\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\). Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie \(A'B'C'D'\). Zapisz obliczenia.

**Rozwiązanie:**

Środek okręgu opisanego na kwadracie to środek jego przekątnej:
$$S=\left(\frac{-3+5}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$$

Promień to połowa przekątnej:
$$|AC|=\sqrt{(5-(-3))^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=10, \quad r=5$$

Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak pierwszej współrzędnej i nie zmienia odległości, więc okrąg opisany na kwadracie \(A'B'C'D'\) ma środek \(S'=(-1,3)\) i ten sam promień \(r=5\). Wierzchołków \(B\) i \(D\) nie trzeba wyznaczać.

**Odpowiedź:** \((x+1)^2+(y-3)^2=25\)

Więcej o [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-27)

---

### Zadanie 30 - Średnia ważona (1 pkt)

**Treść:** Wykładowca akademicki, aby ustalić oceny semestralne, oblicza średnie ważone ocen otrzymanych przez studentów.

**Rozwiązanie:**

Wagi to: kartkówka 2, projekt 3, aktywność 4. Karolina ma trzy oceny z kartkówek (4, 4, 3), dwie z projektów (2, 5) i dwie za aktywność (5, 4). Każdą ocenę mnożymy przez jej wagę, a sumę dzielimy przez sumę wag wszystkich siedmiu ocen:
$$\bar{x}=\frac{2\cdot(4+4+3)+3\cdot(2+5)+4\cdot(5+4)}{3\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4}=\frac{22+21+36}{20}=\frac{79}{20}=3{,}95$$

W mianowniku stoi 20, a nie \(2+3+4=9\): każda ocena wnosi swoją wagę osobno. Bez wag wyszłoby \(\frac{27}{7}\approx 3{,}86\), czyli wynik spoza odpowiedzi.

**Odpowiedź:** C. \(3{,}95\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-33)

## Wnioski i strategia przed majową maturą

Co pokazuje ten arkusz:

1. **Funkcje dają najwięcej punktów w jednym miejscu.** Zadanie 11 (5 pkt) o funkcji określonej przedziałami ma trzy podpunkty: monotoniczność (11.1), wartość największą i liczbę rozwiązań równania \(f(x)=\sqrt{5}\) (11.2) oraz dziedzinę i zbiór rozwiązań nierówności \(f(x)\lt 1\) (11.3). Zadanie 32 sprawdza wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej w przedziale.
2. **Stereometria to trzy zadania za 4 punkty:** sześcian (zad. 25), objętość ostrosłupa przy danym kącie nachylenia ściany bocznej (zad. 26, 2 pkt) i podobieństwo walców (zad. 27). Wzory i typowe przekroje zebraliśmy w [przewodniku po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).
3. **Ciągi to trzy zadania za 5 punktów**, w tym otwarte zadanie 14 o ciągu arytmetycznym za 3 punkty. Powtórkę ułatwi [przewodnik po ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).
4. **Kombinatoryka i prawdopodobieństwo** to po jednym zadaniu zamkniętym (zad. 28 i 29). Oba rozwiązuje się w kilku linijkach, jeśli pamiętasz regułę mnożenia i klasyczną definicję prawdopodobieństwa, opisane w [przewodniku po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

Jeśli zrobiłeś ten arkusz i wypadł poniżej oczekiwań, masz jeszcze czas. Sprawdź naszą [strategię przygotowania do matury](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i zacznij od [pewniaków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), czyli typów zadań, które wracają w arkuszach CKE co roku.

Cały arkusz z interaktywnymi rozwiązaniami znajdziesz na [stronie egzaminu na Sprawnej Maturze](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026).

Arkusz próbny to też sygnał, czego CKE może chcieć w maju - zestawienie wniosków ze wszystkich próbnych arkuszy 2026 roku zebraliśmy w [prognozie zadań na maj 2026](/matura-matematyka-maj-2026-prognoza-zadan-analiza-arkuszy-probnych).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura maj 2018 z matematyki: lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii, poziom trudności i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2018

Matura z matematyki z maja 2018 to dobry arkusz do ćwiczeń: zadania zamknięte są przystępne, ale nie banalne, a otwarte sprawdzają umiejętność rozumowania.

Arkusz składał się z **25 zadań zamkniętych** (po 1 punkcie) oraz **9 zadań otwartych** (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów - ale jeśli ćwiczysz ten arkusz, celuj w więcej.

Najwięcej punktów dają tu zadania otwarte 32-34: punkt w układzie współrzędnych, dla którego kąt trójkąta jest prosty (5 pkt), prawdopodobieństwo (4 pkt) i graniastosłup prawidłowy trójkątny (4 pkt). Rozwiązania sąsiednich arkuszy znajdziesz we wpisach o [maturze z maja 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz) i [maturze maj 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz).

Poniżej znajdziesz analizę arkusza, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i pełną listę wszystkich 34 zadań z linkami do interaktywnych rozwiązań.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 5 | 8 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 7 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 7 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 5 | 6 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 4 | 5 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 5 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 2 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 |
| Funkcja wykładnicza | 1 | 2 |
| Kombinatoryka | 1 | 1 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |

Sześć kategorii dawało po 5 i więcej punktów: równania i nierówności (8 pkt), stereometria (7 pkt), geometria analityczna (7 pkt), planimetria (6 pkt), ciągi (5 pkt) i prawdopodobieństwo (5 pkt).

Zwróć uwagę na geometrię analityczną - 3 zadania za 7 punktów, w tym otwarte zadanie 32 za 5 punktów. To 14% całego arkusza. Przećwicz ten dział na [zadaniach z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna).

## Poziom trudności

**Łatwe** - zadania zamknięte z logarytmów, procentów, potęg, funkcji liniowej, odczytywania danych z wykresu. Tutaj wystarczy znajomość podstawowych wzorów i spokojne rachunki. Jeśli te zadania sprawiają ci trudność, zacznij od [powtórki potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

**Średnie** - ciągi, nierówności kwadratowe, planimetria (zadania zamknięte i otwarte za 2 pkt), geometria analityczna. Tu potrzebujesz pewności w stosowaniu wzorów i umiejętności rozrysowania problemu. Kluczowe materiały: [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

**Trudne** - dowód nierówności (zad. 28), wyznaczenie wierzchołka trójkąta prostokątnego w układzie współrzędnych za 5 punktów (zad. 32), prawdopodobieństwo za 4 punkty (zad. 33), stereometria za 4 punkty (zad. 34). Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe - samo narysowanie rysunku i wyznaczenie podstawowych wielkości daje punkty. Przygotuj się z [przewodnikiem po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [prawdopodobieństwa](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(2\log_36-\log_34\) jest równa

A) \(\log_38\)  B) \(2\log_32\)  C) \(4\)  D) \(2\)

**Rozwiązanie:**

Kluczowa własność: jeśli przed logarytmem stoi współczynnik, można go "wciągnąć" jako potęgę argumentu. To jedna z najważniejszych tożsamości logarytmicznych:

$$2\log_36 = \log_36^2 = \log_336$$

Teraz korzystamy z własności różnicy logarytmów (logarytm ilorazu):

$$\log_336 - \log_34 = \log_3\frac{36}{4} = \log_39$$

A \(\log_39 = \log_33^2 = 2\).

**Odpowiedź:** D. \(2\)

To klasyczne zadanie na własności logarytmów - pojawia się na niemal każdej maturze. Najczęstszy błąd? Próba obliczania \(\log_36\) jako liczby dziesiętnej. Nie próbuj - korzystaj z tożsamości. Przeczytaj [przewodnik po logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), żeby mieć wszystkie własności w jednym miejscu.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2018-01)

---

### Zadanie 4 - Procenty (1 pkt)

**Treść:** Cena roweru po obniżce o \(15\%\) była równa \(850\) zł. Przed obniżką ten rower kosztował

**Rozwiązanie:**

Obniżka o 15% oznacza, że cena po obniżce to 85% ceny początkowej. Oznaczmy cenę przed obniżką jako \(x\):

$$0{,}85 \cdot x = 850$$

$$x = \frac{850}{0{,}85} = 1000 \text{ zł}$$

**Odpowiedź:** A. \(1000,00\) zł

Typowa pułapka w zadaniach procentowych: uczniowie liczą 15% z 850 i dodają do 850, co daje 977,50 zł (odpowiedź B). To błąd! 15% obliczasz od ceny **przed** obniżką, nie po. Pamiętaj zasadę: obniżka o \(p\%\) daje cenę \((1 - p/100) \cdot x\), gdzie \(x\) to cena początkowa.

Alternatywna metoda: 85% to 850 zł, więc 1% to \(850/85 = 10\) zł, a 100% to 1000 zł.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2018-04)

---

### Zadanie 9 - Funkcja kwadratowa (1 pkt)

**Treść:** Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 - 6x - 3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

**Rozwiązanie:**

Wierzchołek paraboli \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ma współrzędne \(W = (p, q)\), gdzie:

$$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

$$q = f(p) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12$$

**Odpowiedź:** D. \((3, -12)\)

To absolutna podstawa - wyznaczanie wierzchołka paraboli. Pojawia się na maturze co roku. Masz dwa sposoby obliczenia \(q\): albo podstawić \(p\) do wzoru funkcji (jak powyżej), albo użyć wzoru \(q = -\Delta / (4a)\). Pierwsza metoda jest prostsza i mniej narażona na błędy rachunkowe.

**Częsty błąd:** pomylenie znaku w obliczaniu \(p\). Wzór to \(-b/(2a)\), a nie \(b/(2a)\). Przy \(b = -6\) mamy \(-(-6) = 6\), nie \(-6\). Przeczytaj [kompletny przewodnik po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2018-09)

---

### Zadanie 13 - Ciągi (1 pkt)

**Treść:** Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_1 = \sqrt{2}\), \(a_2 = 2\sqrt{2}\), \(a_3 = 4\sqrt{2}\). Wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu ma postać

**Rozwiązanie:**

W ciągu geometrycznym iloraz \(q\) obliczamy jako stosunek kolejnych wyrazów:

$$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$$

Sprawdzenie na trzecim wyrazie: \(a_3 = a_2 \cdot q = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}\), zgadza się z treścią.

Wzór ogólny:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \sqrt{2} \cdot 2^{n-1} = \sqrt{2} \cdot \frac{2^n}{2} = \frac{2^n}{\sqrt{2}}$$

Ostatnia równość wynika z tego, że \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Kontrola: dla \(n = 1\) wzór daje \(\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\), dla \(n = 2\) daje \(\frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\).

**Odpowiedź:** C. \(a_n = \frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

Zadania na ciąg geometryczny to pewniaki maturalne. Pamiętaj dwa wzory: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) i \(S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}\) (dla \(q \neq 1\)). Więcej o [ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2018-13)

---

### Zadanie 20 - Stereometria (1 pkt)

**Treść:** Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek). Kąt \(α\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

**Rozwiązanie:**

Krawędź \(NS\) jest wysokością, więc jest prostopadła do podstawy. Trójkąty \(KNS\) i \(MNS\) są prostokątne (kąt prosty przy \(N\)) i mają obie przyprostokątne równe 4:

$$|KS| = |MS| = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$$

Odcinek \(KM\) to przekątna kwadratu o boku 4:

$$|KM| = 4\sqrt{2}$$

Trójkąt \(KMS\) ma więc trzy boki długości \(4\sqrt{2}\), czyli jest równoboczny. Każdy jego kąt ma miarę \(60^\circ\), w tym kąt \(α\) między krawędziami \(KS\) i \(MS\).

**Odpowiedź:** D. \(\alpha = 60^\circ\)

Tu nie trzeba liczyć żadnej funkcji trygonometrycznej. Wystarczy zauważyć, że trzy odcinki \(KS\), \(MS\) i \(KM\) są przeciwprostokątnymi takich samych trójkątów prostokątnych. Przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i przećwicz na [zadaniach z ostrosłupów](/topics/stereometria).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2018-20)

---

### Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 3x > 5\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Sprowadzenie do postaci standardowej.** Przenosimy 5 na lewą stronę:

$$2x^2 - 3x - 5 > 0$$

**Krok 2 - Wyznaczenie miejsc zerowych.** Rozwiązujemy równanie \(2x^2 - 3x - 5 = 0\):

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

$$\sqrt{\Delta} = 7$$

$$x_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$

$$x_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

**Krok 3 - Odczytanie rozwiązania.** Współczynnik \(a = 2 > 0\), więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Nierówność \(> 0\) jest spełniona "na zewnątrz" pierwiastków:

$$x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$$

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)\)

To jedno z najważniejszych zadań otwartych na maturze. Schemat oceniania daje punkty za: (1) poprawne wyznaczenie miejsc zerowych i (2) poprawne zapisanie odpowiedzi z uwzględnieniem znaku \(a\). Nawet jeśli pomylisz się w rachunkach, poprawny schemat rozwiązania daje punkt cząstkowy.

**Częsty błąd:** odwrócenie nierówności. Przy \(a > 0\) i nierówności \(> 0\) odpowiedź to "na zewnątrz" (suma dwóch przedziałów). Przy nierówności \( 0\):**

$$(a+b)^2 \geq 4ab$$

$$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \geq 0$$

$$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$

$$(a-b)^2 \geq 0$$

**Krok 4 - Wniosek.** Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa. Wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożyliśmy przez liczbę dodatnią), więc prawdziwa jest też nierówność wyjściowa. Równość zachodzi dla \(a = b\). \(\square\)

**Odpowiedź:** nierówność jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich \(a\) i \(b\), bo jest równoważna \((a-b)^2 \geq 0\).

W dowodzie trzeba wprost napisać, dlaczego wolno pomnożyć przez mianowniki: bez informacji, że są dodatnie, przekształcenie nie jest uzasadnione. Przeczytaj [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2018-28)

---

### Zadanie 34 - Stereometria, graniastosłup (4 pkt)

**Treść:** Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\), a wysokość graniastosłupa przez \(H\).

**Krok 1 - Pole podstawy.** Graniastosłup ma 2 podstawy i 3 jednakowe ściany boczne. Pole ściany bocznej jest równe polu podstawy \(P_p\), więc:

$$P_c = 2P_p + 3P_p = 5P_p \implies 5P_p = 45\sqrt{3} \implies P_p = 9\sqrt{3}$$

**Krok 2 - Krawędź podstawy.** Podstawą jest trójkąt równoboczny:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \implies a^2 = 36 \implies a = 6$$

**Krok 3 - Wysokość graniastosłupa.** Ściana boczna to prostokąt \(a \times H\) o polu \(9\sqrt{3}\):

$$6H = 9\sqrt{3} \implies H = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 4 - Objętość:**

$$V = P_p \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{27 \cdot 3}{2} = \frac{81}{2} = 40\frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(V = \frac{81}{2} = 40\frac{1}{2}\) (przy \(a = 6\) i \(H = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)).

Najważniejszy jest krok 1: z warunku „pole podstawy równe polu ściany bocznej” od razu wychodzi \(P_c = 5P_p\). Pamiętaj o dwóch podstawach w polu całkowitym i o wzorze na pole trójkąta równobocznego \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Przeczytaj [przewodnik po stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2018-34)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2018-01) - Logarytmy
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2018-02) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2018-03) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2018-04) - Procenty
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2018-05) - Równania i nierówności
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2018-06) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2018-07) - Równania i nierówności
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2018-08) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2018-09) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2018-10) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2018-11) - Ciągi
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2018-12) - Ciągi
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2018-13) - Ciągi
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2018-14) - Planimetria
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2018-15) - Planimetria
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2018-16) - Planimetria
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2018-17) - Planimetria
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2018-18) - Geometria analityczna
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2018-19) - Geometria analityczna
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2018-20) - Stereometria
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2018-21) - Stereometria
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2018-22) - Stereometria
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2018-23) - Statystyka
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2018-24) - Kombinatoryka
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2018-25) - Prawdopodobieństwo

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2018-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2018-27) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2018-28) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2018-29) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2018-30) - Funkcja wykładnicza (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2018-31) - Ciągi (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-maj-2018-32) - Geometria analityczna (5 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-maj-2018-33) - Prawdopodobieństwo (4 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-maj-2018-34) - Stereometria (4 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury 2018

1. **Geometria analityczna daje najwięcej w jednym zadaniu.** 3 zadania za 7 punktów, w tym otwarte zadanie 32 za 5 punktów. Opanuj równanie prostej, odległość dwóch punktów i warunek prostopadłości. Przećwicz na [zadaniach z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna).

2. **Stereometria wymaga systematyczności.** 4 zadania za łącznie 7 punktów, w tym otwarte zadanie 34 za 4 punkty. Klucz to umiejętność rozrysowania bryły, oznaczenia wymiarów i konsekwentne stosowanie wzorów. Nie próbuj liczyć "w głowie" - rysuj i opisuj. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria).

3. **Dowody nierówności mają stały schemat.** Zadanie 28 to klasyka: po pomnożeniu przez dodatnie mianowniki nierówność sprowadza się do \((a-b)^2 \geq 0\). Przeczytaj [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

4. **Zadania procentowe to pułapka na nieuważnych.** Zadanie 4 to typowy przykład - musisz wiedzieć, od czego liczysz procent. Cena po obniżce to \((1 - p/100)\) razy cena początkowa, nie odwrotnie.

5. **Logarytmy pojawiają się regularnie.** Jedno zadanie za 1 punkt, ale wymaga znajomości kluczowych własności: \(n\log_a b = \log_a b^n\), \(\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)\). To pewny punkt na maturze - nie odpuszczaj. [Powtórz logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

1. **Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminowych.** Daj sobie 170 minut, bez podglądania rozwiązań. Zaznacz, które zadania sprawiły ci trudność.

2. **Sprawdź odpowiedzi i przeanalizuj błędy.** Nie patrz tylko na wynik - porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem. Czy pominąłeś jakiś krok? Czy twoje uzasadnienie byłoby wystarczające na maturze?

3. **Zidentyfikuj słabe obszary.** Jeśli nie dałeś rady zadaniom ze stereometrii, przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i rozwiąż 10-15 podobnych zadań z [bazy zadań](/topics/stereometria).

4. **Przećwicz podobne arkusze.** Po maturze z maja 2018 spróbuj [matury maj 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz) - mają zbliżony poziom trudności i pokrywające się tematy. Pełną listę znajdziesz w [bazie arkuszy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

5. **Skup się na punktach cząstkowych.** W zadaniach za 4-5 punktów nawet napisanie samej dziedziny, narysowanie rysunku lub obliczenie jednej wielkości pośredniej daje punkty. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki.

Powodzenia! Jeśli chcesz przećwiczyć losowe zadanie z dowolnej kategorii, wejdź na [stronę losowego zadania](/solve). A jeśli szukasz pełnych rozwiązań wszystkich zadań z interaktywnymi wskazówkami, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) lub przetestuj darmowo na [Sprawnej Maturze](/).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2017 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura maj 2017 z matematyki: lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii, poziom trudności i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2017 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2017

Matura z maja 2017 to jeden z najlepszych arkuszy do powtórek - dobrze wyważony pod względem trudności, z zadaniami, które sprawdzają solidne rozumienie matematyki, a nie tylko mechaniczne stosowanie wzorów. To był trzeci rok nowej formuły egzaminu i CKE już wypracowała stabilny schemat.

Arkusz składał się z **34 zadań**: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 9 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**.

Wyróżnikiem tego arkusza jest zadanie z dowodem podzielności (zad. 27), które testuje umiejętność prowadzenia rozumowania algebraicznego, oraz ciekawe zadanie z walcem w trygonometrii (zad. 22). Jeśli szukasz kolejnych arkuszy do ćwiczeń, sprawdź [maturę z maja 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz) lub [maturę z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Pełna lista arkuszy jest dostępna w [bazie arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 9 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 4 | 5 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 4 | 5 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 4 | 5 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 5 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 |
| Funkcja wykładnicza | 1 | 1 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |

Najwięcej punktów daje **geometria analityczna** (4 zadania, 9 pkt), w tym otwarte zadania 28 za 2 pkt i 32 za 5 pkt (pole trójkąta wyznaczonego przez proste). Dalej jest **stereometria** (3 zadania, 6 pkt), a pozostałe punkty rozkładają się dość równo na kilkanaście działów. Funkcja kwadratowa to 2 zadania za 5 pkt, w tym otwarte zadanie 29 za 4 pkt.

[Potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) to 4 zadania za 5 pkt: trzy zamknięte i dowód podzielności (zadanie 27).

## Poziom trudności

**Łatwe** - podstawowe działania na potęgach, proste równania liniowe, odczytywanie z wykresu funkcji, procenty, statystyka. Jeśli masz problem z tymi zadaniami, zacznij od [przewodnika po potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa). Te punkty to absolutne minimum, które musisz zdobyć.

**Średnie** - ciąg geometryczny, logarytmy, trygonometria, planimetria zamknięta, prawdopodobieństwo klasyczne, geometria analityczna. Tu decyduje się, czy zdasz na 50% czy 70%. Kluczowe jest opanowanie wzorów - [ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), [logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) i [prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) powinny być twoimi priorytetami.

**Trudne** - funkcja kwadratowa za 4 pkt (zad. 29), pole trójkąta w układzie współrzędnych za 5 pkt (zad. 32), stereometria za 4 pkt (zad. 34). To zadania, które wymagają łączenia wiedzy z kilku działów i precyzyjnego rozumowania. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, punkty cząstkowe (za poprawny rysunek, wyznaczenie dziedziny, jedno podpunkt) są na wyciągnięcie ręki.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Potęgi (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Liczba \(5^8\cdot 16^{-2}\) jest równa:

**Rozwiązanie:**

Klucz to rozpoznanie, że \(16 = 2^4\). Zapisujemy:

$$16^{-2} = (2^4)^{-2} = 2^{-8}$$

Zatem:

$$5^8 \cdot 16^{-2} = 5^8 \cdot 2^{-8} = \frac{5^8}{2^8} = \left(\frac{5}{2}\right)^8$$

**Odpowiedź:** B. \(\left(\frac{5}{2}\right)^8\)

Typowe zadanie na zamianę podstaw i działania na wykładnikach ujemnych. Najczęstszy błąd to zapomnienie, że \(16 = 2^4\), a nie \(16 = 4^2\) (co technicznie jest poprawne, ale nie prowadzi do prostej odpowiedzi). Kiedy w zadaniu widzisz dwie różne podstawy, zawsze szukaj sposobu na sprowadzenie ich do potęgi tej samej liczby lub zapisanie jako jednego ułamka. Więcej technik: [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-01)

---

### Zadanie 3 - Logarytmy (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Liczba \(2\log_23-2\log_25\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Wyciągamy dwójkę przed nawias i korzystamy z własności logarytmów:

$$2\log_2 3 - 2\log_2 5 = 2(\log_2 3 - \log_2 5)$$

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:

$$= 2 \cdot \log_2 \frac{3}{5}$$

Teraz korzystamy z własności \(n \cdot \log_a x = \log_a x^n\):

$$= \log_2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \log_2 \frac{9}{25}$$

**Odpowiedź:** D. \(\log_2 \frac{9}{25}\)

Trzy własności logarytmów, które musisz znać na pamięć: (1) \(\log a + \log b = \log(ab)\), (2) \(\log a - \log b = \log \frac{a}{b}\), (3) \(n \cdot \log a = \log a^n\). To zadanie testuje wszystkie trzy naraz. Przećwicz je na stronie z [zadaniami z logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-03)

---

### Zadanie 13 - Ciąg geometryczny (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny \((24,6,a-1)\). Stąd wynika, że

**Rozwiązanie:**

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi skrajnych:

$$6^2 = 24 \cdot (a - 1)$$

$$36 = 24(a - 1)$$

Dzielimy obie strony przez 24:

$$a - 1 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$$

$$a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$

**Odpowiedź:** A. \(a=\frac{5}{2}\)

Warunek \(b^2 = a \cdot c\) to absolutny must-know dla ciągów geometrycznych. Pojawia się na maturze praktycznie co roku. Warto też sprawdzić, czy iloraz ciągu jest stały: \(q = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\), a potem \(\frac{a-1}{6} = \frac{\frac{3}{2}}{6} = \frac{1}{4}\) - zgadza się. Przeczytaj [przewodnik po ciągach na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), żeby przećwiczyć podobne zadania.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-13)

---

### Zadanie 22 - Trygonometria w walcu (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Promień \(AS\) podstawy walca jest równy wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy

**Rozwiązanie:**

Skoro \(AS\) jest promieniem podstawy, to \(S\) jest środkiem podstawy, a \(A\) leży na jej okręgu. Odcinek \(OS\) to wysokość walca, więc leży na osi walca i jest prostopadły do podstawy. Mamy trójkąt prostokątny \(OAS\), gdzie:

- \(AS = r\) (promień podstawy)
- \(OS = r\) (wysokość walca, bo \(AS = OS\))
- kąt prosty przy \(S\) (wysokość jest prostopadła do podstawy)

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

$$OA = \sqrt{AS^2 + OS^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$$

Sinus kąta \(OAS\) to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko (\(OS\)) do przeciwprostokątnej (\(OA\)):

$$\sin(\angle OAS) = \frac{OS}{OA} = \frac{r}{r\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

**Odpowiedź:** B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Zadania z bryłami obrotowymi na maturze zamkniętej najczęściej sprowadzają się do narysowania odpowiedniego przekroju i znalezienia trójkąta prostokątnego. Tu kluczowe było rozpoznanie, że \(AS = OS\), co daje trójkąt prostokątny równoramienny - a sinus kąta w takim trójkącie to zawsze \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Warto znać typowe wartości sinusa: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Więcej o trygonometrii w [stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-22)

---

### Zadanie 25 - Prawdopodobieństwo (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(24\) losujemy jedną liczbę. Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem \(24\). Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

**Rozwiązanie:**

Wszystkich wyników jest \(|\Omega| = 24\).

Wypisujemy dzielniki liczby 24, szukając ich parami (\(1 \cdot 24\), \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\)):

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$

To 8 liczb, więc \(|A| = 8\):

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$

**Odpowiedź:** B. \(\frac{1}{3}\)

Dzielniki najwygodniej wypisywać parami, których iloczyn daje 24. Wtedy trudno pominąć któryś z nich, a łatwo zapomnieć o samych krańcach: 1 i 24 też są dzielnikami. Przećwicz [zadania z prawdopodobieństwa](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-25)

---

### Zadanie 27 - Dowód podzielności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Wyciągnij wspólny czynnik.** Najmniejsza potęga to \(4^{2017}\), wyciągamy ją przed nawias:

$$4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3)$$

**Krok 2 - Oblicz sumę w nawiasie:**

$$1 + 4 + 16 + 64 = 85$$

**Krok 3 - Rozłóż na czynniki:**

$$85 = 5 \cdot 17$$

Zatem:

$$4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^{2017} \cdot 85 = 4^{2017} \cdot 5 \cdot 17$$

Ponieważ wyrażenie jest iloczynem liczby całkowitej \(4^{2017} \cdot 5\) i liczby 17, jest podzielne przez 17. \(\square\)

**Dlaczego to działa:** Cały dowód opiera się na jednym pomyśle - wyciągnięciu wspólnego czynnika. Po wyciągnięciu \(4^{2017}\) zostaje prosta suma \(1 + 4 + 16 + 64 = 85\), która rozkłada się na \(5 \cdot 17\). Gotowe.

**Schemat oceniania CKE (2 pkt):** 1 punkt za wyciągnięcie wspólnego czynnika i obliczenie sumy \(1 + 4 + 16 + 64 = 85\). Drugi punkt za rozłożenie 85 na czynniki i sformułowanie wniosku o podzielności przez 17. Nawet jeśli nie zapiszesz formalnego końca dowodu, pierwszy punkt za przekształcenie jest pewny.

**Wskazówka:** Zadania z dowodem podzielności pojawiają się na maturze regularnie. Schemat jest zawsze taki sam: (1) wyciągnij wspólny czynnik, (2) oblicz to, co zostanie w nawiasie, (3) pokaż, że wynik dzieli się przez dany dzielnik. Porównaj z [zadaniami z potęg na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-27)

---

### Zadanie 29 - Funkcja kwadratowa (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c.\) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(6\) oraz \(f(-6)=f(0)=\frac{3}{2}\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Kierunek ramion.** Funkcja ma wartość największą, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, a największa wartość to druga współrzędna wierzchołka: \(q = 6\).

**Krok 2 - Pierwsza współrzędna wierzchołka.** Punkty \((-6, \frac{3}{2})\) i \((0, \frac{3}{2})\) mają tę samą wartość, więc leżą symetrycznie względem osi paraboli. Oś przechodzi przez środek odcinka między nimi:

$$p = \frac{-6 + 0}{2} = -3$$

Wierzchołek to \(W = (-3, 6)\).

**Krok 3 - Postać kanoniczna.**

$$f(x) = a(x - p)^2 + q = a(x + 3)^2 + 6$$

**Krok 4 - Współczynnik \(a\).** Podstawiamy punkt \((0, \frac{3}{2})\):

$$\frac{3}{2} = a(0 + 3)^2 + 6 \implies 9a = \frac{3}{2} - 6 = -\frac{9}{2} \implies a = -\frac{1}{2}$$

Wynik jest ujemny, co zgadza się z krokiem 1.

**Odpowiedź:** \(a = -\frac{1}{2}\)

Kluczowa obserwacja: równe wartości \(f(-6) = f(0)\) oznaczają, że oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między \(-6\) i \(0\). Bez tego trzeba by rozwiązywać układ trzech równań z niewiadomymi \(a\), \(b\), \(c\). Przeczytaj [przewodnik po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), żeby przećwiczyć zadania z postacią kanoniczną.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-29)

---

### Zadanie 34 - Stereometria, ostrosłup (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Pole jednej ściany.** Ściany boczne są trzy i jednakowe:

$$P_{ś} = \frac{15\sqrt{3}}{4} : 3 = \frac{5\sqrt{3}}{4}$$

**Krok 2 - Krawędź podstawy.** Ściana to trójkąt o podstawie \(a\) i wysokości \(h = \frac{5\sqrt{3}}{4}\):

$$\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{5\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \implies a = 2$$

**Krok 3 - Odległość spodka wysokości od krawędzi podstawy.** Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 2 i wysokości \(\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\). Spodek wysokości ostrosłupa to środek tego trójkąta, oddalony od boku o \(\frac{1}{3}\) wysokości:

$$r = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

**Krok 4 - Wysokość ostrosłupa.** Wysokość ostrosłupa \(H\), odcinek \(r\) i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny:

$$H^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{75}{16} - \frac{1}{3} = \frac{225}{48} - \frac{16}{48} = \frac{209}{48}$$

$$H = \frac{\sqrt{209}}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}$$

**Krok 5 - Objętość.** Pole podstawy to \(P_p = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\):

$$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{209}}{12}$$

**Odpowiedź:** \(V = \frac{\sqrt{209}}{12}\)

Wynik nie musi być „ładny”: \(209 = 11 \cdot 19\), więc pierwiastka nie da się uprościć. Najczęstsza pułapka to wzięcie w kroku 3 odległości środka od wierzchołka (\(\frac{2}{3}\) wysokości) zamiast od boku. Wysokość ściany bocznej opada na środek krawędzi podstawy, więc w trójkącie prostokątnym jest odcinek do boku, czyli \(\frac{1}{3}\) wysokości. Ćwicz na [zadaniach ze stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [stronie z zadaniami](/topics/stereometria).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2017-34)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z matury maj 2017 są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2017-01) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2017-02) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2017-03) - Logarytmy
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2017-04) - Procenty
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2017-05) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2017-06) - Równania i nierówności
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2017-07) - Równania i nierówności
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2017-08) - Równania i nierówności
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2017-09) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2017-10) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2017-11) - Funkcja wykładnicza
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2017-12) - Ciągi
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2017-13) - Ciągi
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2017-14) - Trygonometria
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2017-15) - Planimetria
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2017-16) - Planimetria
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2017-17) - Planimetria
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2017-18) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2017-19) - Geometria analityczna
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2017-20) - Geometria analityczna
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2017-21) - Stereometria
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2017-22) - Trygonometria
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2017-23) - Stereometria
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2017-24) - Statystyka
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2017-25) - Prawdopodobieństwo

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2017-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2017-27) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2017-28) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2017-29) - Funkcja kwadratowa (4 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2017-30) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2017-31) - Ciągi (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-maj-2017-32) - Geometria analityczna (5 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-maj-2017-33) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-maj-2017-34) - Stereometria (4 pkt)

Cały arkusz do przejrzenia: [Matura maj 2017 - wszystkie zadania](/exams/matura-maj-2017)

## Kluczowe wnioski z matury 2017

Analiza tego arkusza daje kilka ważnych wskazówek:

1. **Funkcja kwadratowa daje pewne punkty** - zamknięte zadanie 10 z wykresem i otwarte zadanie 29 za 4 punkty, w którym z największej wartości i symetrii paraboli wyznacza się współczynnik \(a\). Musisz biegle przechodzić między trzema postaciami (ogólna, kanoniczna, iloczynowa) i znać wzory Viete'a. [Ćwicz funkcję kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa)
2. **Stereometria za dużo punktów** - 3 zadania za 6 punktów, w tym jedno otwarte za 4 pkt. Klucz to umiejętność rysowania przekrojów i identyfikowania trójkątów prostokątnych w bryłach. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria)
3. **Dowody podzielności to pewne 2 punkty** - schemat "wyciągnij czynnik, oblicz resztę, rozłóż" działa co roku. Zad. 27 to idealny przykład. Przećwicz 4-5 takich zadań i będziesz gotowy
4. **Ciągi - trzy zadania w jednym arkuszu (12, 13 i 31)** - są tu ciągi arytmetyczne i geometryczne. Warunek na trzy wyrazy ciągu geometrycznego (\(b^2 = ac\)) to must-know. [Ćwicz ciągi](/topics/ciagi)
5. **Prawdopodobieństwo rośnie w punktach** - oprócz zadania zamkniętego za 1 pkt jest też otwarte zadanie 33 za 2 pkt. To dowodzi, że [prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) to nie marginalny temat, a poważna część arkusza

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Oto konkretny plan pracy z tym arkuszem:

1. **Rozwiąż cały arkusz na czas** - daj sobie 170 minut, bez telefonu, z kartą wzorów CKE. Zapisuj rozwiązania na kartce, nie w głowie. To jedyny sposób na realistyczną symulację egzaminu
2. **Sprawdź odpowiedzi i policz punkty** - użyj naszych rozwiązań powyżej lub otwórz [interaktywne rozwiązania na Sprawnej Maturze](/exams/matura-maj-2017)
3. **Przeanalizuj błędy** - nie chodzi o to, ile zdobyłeś punktów, ale GDZIE tracisz. Zapisz kategorie, w których się pomyliłeś
4. **Powtórz słabe kategorie** - jeśli nie dałeś rady z ciągami, przejdź [przewodnik po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). Jeśli padła stereometria - [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). Nie ucz się wszystkiego naraz
5. **Rozwiąż kolejny arkusz** - najlepiej z sąsiedniego roku. Spróbuj [matury z maja 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz) lub [matury z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Porównaj, w których kategoriach robisz postępy

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na [losowe zadanie](/solve), żeby przetestować swoją gotowość, albo wypróbuj [symulator matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), żeby przećwiczyć egzamin w warunkach zbliżonych do prawdziwego.

Z tego samego rocznika mamy też rozwiązany arkusz z terminu dodatkowego: [matura czerwiec 2017](/matura-czerwiec-2017-rozwiazania-arkusz). Ten sam zakres materiału, świeży zestaw zadań do ćwiczeń.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2015-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2015 matematyka - zadania z arkusza i przykładowe rozwiązanie
description: Arkusz matury z matematyki, maj 2015, z zadaniami do rozwiązania w aplikacji i przykładowym rozwiązaniem krok po kroku. Rozkład kategorii.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2015 matematyka - zadania z arkusza i przykładowe rozwiązanie

## O arkuszu - Matura maj 2015

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2015 to arkusz o szczególnym znaczeniu historycznym. Był to **pierwszy rok Formuły 2015** - CKE dopiero ustalało trudność i styl pytań. Efekt? Arkusz jest solidny, zbalansowany i świetnie nadaje się jako materiał treningowy, bo zadania testują szeroki przekrój wiedzy bez sztucznych pułapek.

Arkusz w Formule 2015 (matura 2015-2022) na poziomie podstawowym był wart **50 punktów**, a czas na jego rozwiązanie to 170 minut. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza, sumujące się dokładnie do tych 50 punktów.

Jeśli chcesz porównać ten arkusz z kolejnymi latami, sprawdź [maturę z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz) - zobaczysz, jak CKE stopniowo doprecyzowywało nową formułę. Pełna lista arkuszy z lat 2010-2025 czeka w [kompletnej bazie arkuszy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Numery zadań i podział na zadania zamknięte i otwarte w tym artykule pochodzą z naszej bazy i są takie same jak na stronach zadań w aplikacji; mogą różnić się od oficjalnego arkusza CKE.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 6 | 8 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 6 | 8 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 7 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 6 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 5 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 3 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 2 |
| [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) | 1 | 2 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| [Procenty](/topics/procenty) | 1 | 1 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 1 | 1 |
| [Układy równań](/topics/uklady-rownan) | 1 | 1 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 1 | 1 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |

Zdecydowanymi liderami są w naszej bazie [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) i [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - po 6 zadań za 8 punktów każda.

[Stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) pojawia się w klasycznym schemacie: 4 zadania za 7 punktów, w tym graniastosłup za 4 punkty - najwyżej punktowane zadanie w tej kategorii. [Ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) też ważą dużo - 2 zadania za 6 punktów, w tym zadanie 34, najwyżej punktowane zadanie całego arkusza za 5 punktów.

## Rozwiązania krok po kroku

### Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 4x > (x + 3)(x - 2)\)

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Rozwijamy prawą stronę:**

$$(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$$

**Krok 2 - Przenosimy wszystko na lewą stronę** [nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania):

$$2x^2 - 4x - (x^2 + x - 6) > 0$$

$$2x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0$$

$$x^2 - 5x + 6 > 0$$

**Krok 3 - Rozkładamy na czynniki.** Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \(-5\), a iloczyn \(6\). To \(-2\) i \(-3\):

$$(x - 2)(x - 3) > 0$$

**Krok 4 - Rozwiązujemy nierówność iloczynową.** Miejsca zerowe: \(x = 2\) i \(x = 3\). Parabola \(y = x^2 - 5x + 6\) ma ramiona skierowane do góry (\(a = 1 > 0\)), więc jest dodatnia na zewnątrz pierwiastków:

$$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)

Pokaż wszystkie przekształcenia: rozwinięcie prawej strony, przeniesienie na jedną stronę, miejsca zerowe i odczytanie zbioru rozwiązań. Egzaminator musi widzieć, skąd wzięły się pierwiastki 2 i 3. Szkic paraboli z zaznaczonymi miejscami zerowymi pomaga nie pomylić się przy odczytywaniu, gdzie wyrażenie jest dodatnie.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-26)

## Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

### Logarytmy (zadanie 2)

Tylko dwie z trzech wielkości w tym zadaniu są logarytmami - trzecia to zwykła liczba wymierna. Wskazówka: zapisz podstawy obu logarytmów jako potęgi o wykładniku ujemnym (\(\frac{1}{4}=4^{-1}\), \(\frac{1}{3}=3^{-1}\)), żeby policzyć je wprost z definicji.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-02

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Zaczynamy od obliczenia każdej liczby osobno. Kluczowe to sprowadzenie [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) do potęg o wspólnej podstawie.

Liczba \(a\) jest już podana: \(a = -\frac{1}{27}\).

Obliczamy \(b = \log_{\frac{1}{4}}64\). Szukamy, do jakiej potęgi podnieść \(\frac{1}{4}\), żeby dostać \(64\):

$$\left(\frac{1}{4}\right)^b = 64$$

$$4^{-b} = 4^3$$

bo \(64 = 4^3\). Stąd \(-b = 3\), czyli \(b = -3\).

Obliczamy \(c = \log_{\frac{1}{3}}27\). Analogicznie:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^c = 27$$

$$3^{-c} = 3^3$$

bo \(27 = 3^3\). Stąd \(-c = 3\), czyli \(c = -3\).

Teraz mnożymy:

$$a \cdot b \cdot c = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot (-3) \cdot (-3) = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot 9 = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}$$

**Odpowiedź:** \(a \cdot b \cdot c = -\frac{1}{3}\)

Zwróć uwagę na znaki! Trzy liczby ujemne dają iloczyn ujemny (minus razy minus to plus, ale plus razy minus to znowu minus). Najczęstszy błąd: pomylenie znaku logarytmu, gdy podstawa jest ułamkiem. Pamiętaj - logarytm z liczby większej niż 1 przy podstawie mniejszej niż 1 jest zawsze ujemny.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-02)

---

### Potęgi i pierwiastki (zadanie 4)

Aby wyznaczyć niewiadomą, obie strony równania mnożymy przez sam mianownik z lewej strony - po prawej stronie powstaje wtedy różnica kwadratów. Wskazówka: skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) zamiast mnożyć nawiasy wprost.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-04

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Mnożymy na krzyż (iloczyn skrajnych równa się iloczynowi środkowych):

$$5m = (5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})$$

Po prawej stronie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

$$(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 25 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20$$

Stąd:

$$5m = 20$$

$$m = 4$$

**Odpowiedź:** \(m = 4\)

Piękne zadanie na wzór skróconego mnożenia - różnicę kwadratów. Klucz to zauważenie, że \(5 - \sqrt{5}\) i \(5 + \sqrt{5}\) to wyrażenia sprzężone. Ich iloczyn zawsze daje "czyste" wyrażenie wymierne, bez pierwiastków. To ten sam schemat, którego używasz przy usuwaniu niewymierności z mianownika. Więcej ćwiczeń na stronie [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-04)

---

### Ciągi (zadanie 13)

Zależność między czwartym a pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego prowadzi wprost do równania trzeciego stopnia na iloraz \(q\). Wskazówka: skorzystaj ze wzoru \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), żeby zapisać czwarty wyraz przez pierwszy i iloraz, a potem uprość otrzymane równanie.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-13

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz [ciągu geometrycznego](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania): \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\).

Zapisujemy warunek z treści:

$$a_4 = 3a_1$$

$$a_1 \cdot q^3 = 3a_1$$

Ponieważ \(a_1 \neq 0\) (ciąg geometryczny), dzielimy obie strony przez \(a_1\):

$$q^3 = 3$$

$$q = \sqrt[3]{3}$$

**Sprawdzenie:** \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44 > 1\), więc ciąg jest rosnący (dla \(a_1 > 0\)) \(\checkmark\)

**Odpowiedź:** \(q = \sqrt[3]{3}\)

Zadanie proste, jeśli znasz wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego. Kluczowe to pamiętać, że \(a_4 = a_1 \cdot q^3\) (potęga to \(n - 1 = 4 - 1 = 3\), nie \(4\)). Równanie \(q^3 = 3\) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste, więc nie trzeba rozważać innych przypadków.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-13)

---

### Stereometria (zadanie 22)

Przekrój osiowy stożka będący trójkątem równobocznym od razu daje promień podstawy i wysokość stożka. Wskazówka: wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) to \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) - to również wysokość stożka.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-22

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa to średnica podstawy, a boki to tworzące stożka. Skoro ten trójkąt jest równoboczny o boku 6, to:

- Średnica podstawy = 6, więc promień \(r = 3\)
- Tworząca stożka \(l = 6\) (boki trójkąta równobocznego)

Obliczamy wysokość stożka z [twierdzenia Pitagorasa](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) (trójkąt prostokątny: \(h\), \(r\), \(l\)):

$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

Objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(V = 9\pi\sqrt{3}\)

Najczęstszy błąd: pomylenie boku trójkąta ze średnicą lub promieniem. Przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt, którego podstawa to **średnica** (nie promień!). Dlatego bok 6 oznacza promień 3. Przeczytaj nasz [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), żeby przećwiczyć wszystkie typy brył na maturze.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-22)

---

### Równania i nierówności (zadanie 27)

Dowody nierówności dla dowolnych liczb rzeczywistych najczęściej sprowadzają się do zapisania wyrażenia jako sumy kwadratów. Wskazówka: spróbuj wydzielić pełny kwadrat z wyrazów zawierających \(x\).

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-27

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Wyrazy z \(x\) dopełniamy do pełnego kwadratu: \((2x - 2y)^2 = 4x^2 - 8xy + 4y^2\), więc z \(5y^2\) zużywamy \(4y^2\), a zostaje \(y^2\):

$$4x^2 - 8xy + 5y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny i suma liczb nieujemnych też nie jest, więc dla każdych rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawa strona jest nieujemna:

$$4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0 \quad \square$$

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-27)

---

### Stereometria (zadanie 32)

Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, a podany cosinus kąta nachylenia wiąże w nim przekątną podstawy z przekątną bryły. Wskazówka: z jedynki trygonometrycznej wyznacz sinus tego samego kąta - to on łączy daną wysokość z przekątną bryły, a przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\).

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-32

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Niech \(a\) to krawędź podstawy, \(d\) przekątna bryły, \(\alpha\) kąt jej nachylenia do podstawy. Wysokość, przekątna podstawy i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny, w którym \(\alpha\) leży przy przekątnej podstawy.

Z jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego:

$$\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

Sinus wiąże daną wysokość z przekątną bryły, a cosinus tę przekątną z przekątną podstawy:

$$d = 16 : \frac{4}{5} = 20, \qquad a\sqrt{2} = d\cos\alpha = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12$$

Stąd \(a = 6\sqrt{2}\), a pole podstawy to \(a^2 = 72\). Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:

$$P_c = 2 \cdot 72 + 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 144 + 384\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 144 + 384\sqrt{2}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-32)

---

### Ciągi (zadanie 34)

To najwyżej punktowane zadanie arkusza - łączy wzór na sumę ciągu arytmetycznego z warunkiem geometrycznym na wybrane wyrazy. Wskazówka: zacznij od wzoru na sumę n początkowych wyrazów, żeby wyznaczyć pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-34

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Niech \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) różnica ciągu. Ze wzoru na sumę:

$$S_{11} = \frac{2a_1 + 10r}{2} \cdot 11 = 187 \Rightarrow a_1 + 5r = 17$$

Ze średniej arytmetycznej trzech wskazanych wyrazów:

$$\frac{a_1 + a_3 + a_9}{3} = 12 \Rightarrow 3a_1 + 10r = 36$$

Podstawiamy \(a_1 = 17 - 5r\) i dostajemy \(51 - 5r = 36\), więc \(r = 3\), \(a_1 = 2\) oraz \(a_3 = a_1 + 2r = 8\). W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych:

$$a_3^2 = a_1 \cdot a_k \Rightarrow 64 = 2a_k \Rightarrow a_k = 32$$

$$a_k = a_1 + (k - 1)r = 2 + 3(k - 1) = 32 \Rightarrow k = 11$$

**Odpowiedź:** \(k = 11\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-34)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte:**
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2015-02) - Logarytmy (1 pkt)
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2015-03) - Procenty (1 pkt)
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2015-04) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2015-05) - Układy równań (1 pkt)
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2015-06) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2015-07) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2015-08) - Funkcje (1 pkt)
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2015-09) - Funkcja liniowa (1 pkt)
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2015-10) - Funkcja liniowa (1 pkt)
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2015-11) - Funkcja kwadratowa (1 pkt)
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2015-12) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2015-13) - Ciągi (1 pkt)
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2015-14) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2015-15) - Trygonometria (1 pkt)
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2015-16) - Planimetria (1 pkt)
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2015-17) - Planimetria (1 pkt)
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2015-18) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2015-19) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2015-20) - Geometria analityczna (1 pkt)
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2015-21) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2015-22) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2015-23) - Stereometria (1 pkt)
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2015-24) - Statystyka (1 pkt)
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2015-25) - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Zadania otwarte:**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2015-01) - Równania i nierówności (1 pkt)
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2015-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2015-27) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2015-28) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2015-29) - Funkcja kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2015-30) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2015-31) - Wyrażenia algebraiczne (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-maj-2015-32) - Stereometria (4 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-maj-2015-33) - Prawdopodobieństwo (4 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-maj-2015-34) - Ciągi (5 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury maj 2015

1. **Równania i nierówności i geometria analityczna rządzą równo.** Po 6 zadań za 8 punktów każdy z tych działów. Ćwicz [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) do skutku.

2. **Geometria analityczna mocno reprezentowana.** 6 zadań za 8 punktów to dużo. Proste, odcinki, współrzędne - te tematy CKE traktuje poważnie od 2015 roku. [Ćwicz geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna)

3. **Stereometria za duże punkty.** 4 zadania za 7 punktów (w tym graniastosłup za 4 pkt). Kto opanuje bryły, ma ogromną przewagę nad resztą zdających. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria)

4. **Ciągi - mało zadań, dużo punktów.** 2 zadania za łącznie 6 punktów, w tym najwyżej punktowane zadanie arkusza za 5 pkt. Ciągi arytmetyczne i geometryczne to obowiązkowy temat. [Ćwicz ciągi](/topics/ciagi)

5. **Wzory skróconego mnożenia wszędzie.** Pojawiają się w zadaniu z potęgami (zad. 4) i w dowodzie nierówności (zad. 27). To nie przypadek - wzory skróconego mnożenia to fundament, który pozwala rozwiązywać zadania szybciej i pewniej.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych.** Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon - kalkulator prosty możesz zostawić przy sobie, tak jak na prawdziwym egzaminie. Nie zaglądaj do rozwiązań. Zapisz swoje odpowiedzi i porównaj z kluczem. Zanotuj każde zadanie, przy którym się wahałeś lub nie wiedziałeś, jak zacząć.

**Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy systematycznie.** Dla każdego błędnego zadania określ przyczynę: brak wiedzy (nie znasz wzoru), brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować) czy błąd rachunkowy (wiesz co robić, ale się pomyliłeś). Wróć do odpowiedniego tematu:
- Algebra: [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) i [logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania)
- Geometria: [planimetria](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag), [stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory)
- Ciągi: [przewodnik po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)
- Prawdopodobieństwo: [przewodnik](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania)
- Potęgi: [przewodnik po potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania)

**Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie i porównaj.** Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz - tym razem powinno pójść szybciej i pewniej. Gdy wynik przekroczy 80%, przejdź do [matury z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Możesz też potrenować na [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), który losowo składa arkusze z prawdziwych zadań CKE.

Przygotowujesz się do matury? Na [Sprawnej Maturze](/) mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania
title: Matura matematyka 2026 (maj) - klucz odpowiedzi i rozwiązania arkusza CKE
description: Klucz odpowiedzi i pełne rozwiązania matury z matematyki maj 2026 (poziom podstawowy, nowa formuła). 33 zadania, 50 pkt, krok po kroku z linkami do aplikacji.
author: Filip Maszota
---

# Matura matematyka 2026 (maj) - klucz odpowiedzi i rozwiązania arkusza CKE

## Matura z matematyki 2026 (5 maja) - jak wypadł arkusz

Matura podstawowa z matematyki w nowej formule (2023) odbyła się we wtorek **5 maja 2026 roku** o godzinie 9:00. Arkusz **MMAP-P0-100-2605** zawierał **33 zadania** (z tego cztery podzielone na dwa podpunkty: 12, 13, 24 i 33), a łączna pula punktów to klasyczne **50 pkt** (25 z zamkniętych + 25 z otwartych). Czas trwania: 180 minut.

Pierwsze opinie maturzystów po wyjściu z sali były podzielone. **Zadania zamknięte (1-6, 8, 9, 13, 16, 18-20, 23-26, 28, 29, 31-33)** opierały się głównie na schemacie znanym z arkuszy 2023, 2024 i 2025. Trudność rosła dopiero w części otwartej, gdzie pojawiły się **dowód na podzielność (zadanie 7)**, **funkcja kwadratowa z przekształceniem (zadanie 14, 4 pkt)** i **stereometria z ostrosłupem (zadanie 27)**.

Jeśli przegapiłeś egzamin, planujesz poprawkę w sierpniu albo po prostu chcesz porównać swoje odpowiedzi - poniżej masz **klucz odpowiedzi do wszystkich 33 zadań z matury maj 2026** z linkami do interaktywnych rozwiązań krok po kroku oraz omówienie trzech zadań otwartych.

> **Pełny arkusz w aplikacji:** [/exams/matura-maj-2026](/exams/matura-maj-2026) - 37 zadań w bazie (po rozbiciu podpunktów), 50 pkt, formuła 2023.

Masz już policzone punkty z tego arkusza? Wpisz je poniżej i zobacz wynik procentowy razem z progiem zdania. Pełna strona [przelicznika punktów matury](/narzedzia/przelicznik-punktow-matury) dokłada do tego samego kalkulatora tabelę wyników od 0 do 50 punktów i omówienie trzech reżimów punktacji.

Interaktywny kalkulator: przelicznik-punktow-matury (dostępny na stronie wpisu)

## Klucz odpowiedzi - matura matematyka maj 2026 (skrót)

Krótka tabela odpowiedzi do wszystkich zadań i podpunktów. Przy zadaniach otwartych podajemy wynik, a przy dowodach samo oznaczenie.

| Zadanie | Odp. | Punkty | Kategoria |
|---------|------|--------|-----------|
| [1](/task/matura-maj-2026-01) | C | 1 | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) |
| [2](/task/matura-maj-2026-02) | B (1236 zł) | 1 | [Procenty](/topics/procenty) |
| [3](/task/matura-maj-2026-03) | C | 1 | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) |
| [4](/task/matura-maj-2026-04) | B (-1) | 1 | [Logarytmy](/topics/logarytmy) |
| [5](/task/matura-maj-2026-05) | P, P | 1 | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) |
| [6](/task/matura-maj-2026-06) | A (2) | 1 | [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) |
| [7](/task/matura-maj-2026-07) | dowód | 2 | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) |
| [8](/task/matura-maj-2026-08) | C (m=5) | 1 | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) |
| [9](/task/matura-maj-2026-09) | D (x=12) | 1 | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) |
| [10](/task/matura-maj-2026-10) | \(x\in(-\infty,-\tfrac{4}{3}]\cup[2,\infty)\) | 2 | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) |
| [11](/task/matura-maj-2026-11) | 78 biletów | 2 | [Procenty](/topics/procenty) |
| [12.1](/task/matura-maj-2026-12) | 1; 4 | 2 | [Funkcje](/topics/funkcje) |
| [12.2](/task/matura-maj-2026-13) | \([-2,4]\); \((-1,4)\) | 2 | [Funkcje](/topics/funkcje) |
| [13.1](/task/matura-maj-2026-14) | F, F | 1 | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) |
| [13.2](/task/matura-maj-2026-15) | A (-3/2) | 1 | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) |
| [14](/task/matura-maj-2026-16) | \(f(x)=\tfrac{1}{2}x^2-3x+\tfrac{5}{2}\) | 4 | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) |
| [15](/task/matura-maj-2026-17) | k = 41 | 3 | [Ciągi](/topics/ciagi) |
| [16](/task/matura-maj-2026-18) | B (33) | 1 | [Ciągi](/topics/ciagi) |
| [17](/task/matura-maj-2026-19) | 18 | 1 | [Ciągi](/topics/ciagi) |
| [18](/task/matura-maj-2026-20) | C (3/√10) | 1 | [Trygonometria](/topics/trygonometria) |
| [19](/task/matura-maj-2026-21) | C (70°) | 1 | [Planimetria](/topics/planimetria) |
| [20](/task/matura-maj-2026-22) | B (9) | 1 | [Planimetria](/topics/planimetria) |
| [21](/task/matura-maj-2026-23) | dowód | 2 | [Planimetria](/topics/planimetria) |
| [22](/task/matura-maj-2026-24) | 27 | 1 | [Planimetria](/topics/planimetria) |
| [23](/task/matura-maj-2026-25) | D (20/3) | 1 | [Trygonometria](/topics/trygonometria) |
| [24.1](/task/matura-maj-2026-26) | B (P=5) | 1 | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| [24.2](/task/matura-maj-2026-27) | D (0, -1/2) | 1 | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| [25](/task/matura-maj-2026-28) | P, F | 1 | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| [26](/task/matura-maj-2026-29) | D (0, -4/3) | 1 | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| [27](/task/matura-maj-2026-30) | V = 128 | 2 | [Stereometria](/topics/stereometria) |
| [28](/task/matura-maj-2026-31) | D (4/3) | 1 | [Stereometria](/topics/stereometria) |
| [29](/task/matura-maj-2026-32) | A (6·7·3) | 1 | [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) |
| [30](/task/matura-maj-2026-33) | P(A) = 9/25 | 2 | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) |
| [31](/task/matura-maj-2026-34) | P, P | 1 | [Statystyka](/topics/statystyka) |
| [32](/task/matura-maj-2026-35) | C (4) | 1 | [Statystyka](/topics/statystyka) |
| [33.1](/task/matura-maj-2026-36) | D (t=3s) | 1 | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) |
| [33.2](/task/matura-maj-2026-37) | A (t=1,5s) | 1 | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) |

Jeśli masz wątpliwości przy którymś zadaniu, kliknij w jego numer: otworzy się **interaktywne rozwiązanie krok po kroku** w aplikacji Sprawna Matura.

## Rozkład kategorii w arkuszu 2026

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| Potęgi i pierwiastki | 3 | 3 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |
| Liczby rzeczywiste (dowód) | 1 | 2 |
| Procenty | 2 | 3 |
| Równania i nierówności | 3 | 4 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 4 |
| Funkcja liniowa | 2 | 2 |
| Funkcja kwadratowa | 3 | 6 |
| Ciągi | 3 | 5 |
| Trygonometria | 2 | 2 |
| Planimetria | 4 | 5 |
| Geometria analityczna | 4 | 4 |
| Stereometria | 2 | 3 |
| Kombinatoryka | 1 | 1 |
| Prawdopodobieństwo | 1 | 2 |
| Statystyka | 2 | 2 |

Trzy obserwacje warte zapamiętania:

1. **[Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) była "królem" arkusza** - 3 zadania za **6 punktów**, w tym najwięcej punktowane zadanie 14 (4 pkt) i bonus 33.1/33.2 z rzutem piłeczki.
2. **[Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) i [planimetria](/topics/planimetria) razem to 9 punktów**, czyli aż **18% arkusza**. Kto miał te działy w małym palcu, zgarniał łatwe punkty.
3. **Jedna kombinatoryka i jedno prawdopodobieństwo** - skromnie, ale obowiązkowo. W zadaniu 30 łatwo było pomylić podzielność przez 6 z podzielnością przez 2 i 3 osobno.

## Najtrudniejsze zadania matury maj 2026 (dla 4+/5)

### Zadanie 14 - funkcja kwadratowa z przekształceniem (4 pkt)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Kluczowy chwyt: zapisać \(f\) w postaci kanonicznej, podstawić do \(g\), wyliczyć \(a\) z warunku \(g(0)=0\), a na końcu rozwinąć do postaci ogólnej.

$$f(x)=a(x-3)^{2}-2\quad\Rightarrow\quad g(x)=a(x-2)^{2}-2$$

$$g(0)=4a-2=0\Rightarrow a=\tfrac{1}{2}$$

$$f(x)=\tfrac{1}{2}(x-3)^{2}-2=\tfrac{1}{2}x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}$$

[Pełne rozwiązanie zadania 14](/task/matura-maj-2026-16) z każdym krokiem osobno.

### Zadanie 27 - ostrosłup prawidłowy czworokątny (2 pkt)

**Treść:** Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pułapka: trzeba pamiętać, że **wierzchołek leży nad środkiem podstawy**, więc krawędź boczna tworzy z połową przekątnej trójkąt prostokątny. Z tego wyciągamy wysokość:

$$\operatorname{tg}30^\circ=\frac{H}{4\sqrt{3}}\Rightarrow H=4$$

Bok kwadratu: \(a=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=4\sqrt{6}\), pole podstawy \(96\), objętość:

$$V=\tfrac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=128$$

[Pełne rozwiązanie zadania 27](/task/matura-maj-2026-30) z każdym krokiem osobno.

### Zadanie 15 - ciąg geometryczny w arytmetycznym (3 pkt)

**Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1,a_9,a_k)\) jest geometryczny. Oblicz \(k\). Zapisz obliczenia.

Klucz: warunek geometryczności \(a_9^{2}=a_1\cdot a_k\). Po podstawieniu \(a_1=8\), \(a_9=32\) dostajemy \(a_k=128\), czyli \(3k+5=128\) i \(k=41\).

[Pełne rozwiązanie zadania 15](/task/matura-maj-2026-17) - typowy schemat egzaminacyjny "ciąg w ciągu".

## Najczęstsze pułapki - na czym tracili maturzyści?

**Pułapka 1: Zadanie 1 -- "co to robi z \(\sqrt{2}\)".** Wielu uczniów próbowało zmienić pierwiastek na potęgę i pogubiło się w działaniach. Zamiast tego wystarczyło wprowadzić wszystko pod jeden pierwiastek:

$$\sqrt{\tfrac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{\tfrac{25}{8}\cdot 2}=\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac{5}{2}$$

Następnie dodać \(2^{-1}=\tfrac{1}{2}\) - i mamy 3.

**Pułapka 2: Zadanie 13.1 -- "znak współczynników".** Wielu odruchowo zaznaczyło, że \(b>0\), bo wykres "wychodzi z dodatniego \(y\)". Niestety wykres przechodzi przez \((0,-3)\), więc \(b=-3<0\). Stąd odpowiedź **F, F**.

**Pułapka 3: Zadanie 25 -- równanie okręgu.** Drugie zdanie brzmiało: "Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem \((x-1)^{2}+(y+3)^{2}=5\)". Wielu zaznaczyło **P**, bo środek się zgadza. Pułapka: po prawej stronie powinno być \(r^{2}=25\), a nie \(r=5\). Stąd **P, F**.

**Pułapka 4: Zadanie 30 -- prawdopodobieństwo.** Trzeba było pamiętać, że liczba podzielna przez 6 to liczba podzielna **i przez 2, i przez 3**. Cyfra jedności jest zawsze parzysta (zbiór \(Y\)), więc cała robota polegała na sprawdzeniu sumy cyfr modulo 3. 9 par korzystnych z 25 daje \(P(A)=\tfrac{9}{25}\).

## Co dalej - jak wykorzystać arkusz 2026 do nauki

Jeśli pisałeś maturę i czujesz, że poszło słabo (poniżej 30%, czyli **15 pkt**) - rozważ **poprawkę w sierpniu**. Do tego czasu masz 4 miesiące pracy. Najefektywniej zacząć od **rozwiązywania całych arkuszy** w aplikacji na czas i porównywania wyników z kluczami CKE.

Jeśli zdałeś, ale wynik nie satysfakcjonuje (np. potrzebny lepszy procent do wymarzonego kierunku) - możesz pisać maturę ponownie w maju 2027. Pełna lista arkuszy z lat **[2010-2025 jest w bazie](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan)** i razem z arkuszem 2026 daje ci **17 lat materiału do ćwiczeń**.

### Linki do popularnych ostatnich arkuszy:

- [Matura maj 2025 - rozwiązania](/exams/matura-maj-2025)
- [Matura maj 2024 - rozwiązania](/exams/matura-maj-2024)
- [Matura maj 2023 - rozwiązania](/exams/matura-maj-2023) (pierwsza nowa formuła)
- [Matura próbna marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026)
- [Matura próbna luty 2026](/exams/matura-probna-luty-2026)

### Co ćwiczyć w pierwszej kolejności:

Patrząc na rozkład punktów w arkuszu maj 2026, **najbardziej opłacalne kategorie** do ćwiczenia to:

1. [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - 6 pkt w arkuszu, najwyższe pojedyncze zadanie za 4 pkt
2. [Ciągi](/topics/ciagi) - 5 pkt, w tym typowy mix arytmetyczno-geometryczny
3. [Planimetria](/topics/planimetria) - 5 pkt, klasyczna trójka: trójkąt, okrąg, twierdzenie Talesa
4. [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) - 4 pkt, prosty trójkąt prostokątny w układzie współrzędnych
5. [Stereometria](/topics/stereometria) - 3 pkt, ale wymaga rysunku, a tu uczniowie często gubią punkty

## Ćwicz cały arkusz w aplikacji

W aplikacji Sprawna Matura wszystkie 33 zadania (37 pozycji, bo każdy podpunkt ma osobną kartę) są dostępne **interaktywnie z rozwiązaniami krok po kroku**. Pełna lista pod adresem [/exams/matura-maj-2026](/exams/matura-maj-2026).

Dla każdego zadania możesz:

- przeczytać treść z karty CKE,
- spróbować rozwiązać samemu na czas,
- sprawdzić odpowiedź i zobaczyć **pełne rozwiązanie z każdym krokiem osobno**,
- przejść do innego zadania z tej samej kategorii, jeśli czujesz że trzeba podszlifować temat.

[Otwórz arkusz Matura maj 2026](/exams/matura-maj-2026) i zacznij od zadania, które poszło ci najgorzej.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-trojkata-rownobocznego-wzor-zadania
title: Jak obliczyć pole trójkąta równobocznego: wysokość, promienie okręgów i zadania z matury
description: Jak liczyć pole, wysokość i promienie okręgów w trójkącie równobocznym, skąd się biorą wzory i 6 zadań z arkuszy maturalnych rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole trójkąta równobocznego: wysokość, promienie okręgów i zadania z matury

Trójkąt równoboczny wraca w arkuszach maturalnych regularnie: w maju 2026, w maju 2022, w maju 2021, w czerwcu 2017 i w sierpniu 2014 trzeba było policzyć jego pole, wysokość albo promień okręgu wpisanego lub opisanego. Każde z sześciu zadań, które rozwiązujemy niżej, było warte 1 punkt i wystarczał w nim jeden dobrze dobrany wzór. W tym poradniku wyprowadzamy cztery wzory na tę figurę, pokazujemy, jak przechodzić od jednej wielkości do drugiej, i rozwiązujemy 6 zadań z arkuszy krok po kroku.

Sam wzór na pole z kalkulatorem, który liczy pole z długości boku, znajdziesz na stronie [Pole trójkąta równobocznego](/wzory/pole-trojkata-rownobocznego).

Jeśli chcesz mieć szerszy obraz wszystkich wzorów na pole trójkąta, sprawdź też nasz przewodnik [pole trójkąta - 8 wzorów (Heron, wzór z sinusem, ze współrzędnych)](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne). Tutaj skupiamy się wyłącznie na trójkącie równobocznym i wszystkim, co z niego wynika.

## Co to jest trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny to taki, w którym wszystkie trzy boki mają tę samą długość. Z tego jednego warunku wynika wszystko inne:

- Wszystkie trzy kąty wewnętrzne są równe i mają miarę \(60^\circ\).
- Wysokość, środkowa, dwusieczna i symetralna każdego boku to ten sam odcinek.
- Środek okręgu wpisanego, środek okręgu opisanego, środek ciężkości oraz punkt przecięcia wysokości to ten sam punkt.
- Środek ciężkości dzieli każdą wysokość w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka. To kluczowy fakt dla obu promieni.

Wszystkie te własności sprowadzają się do czterech wielkości, które warto umieć szybko liczyć z długości boku \(a\): pole \(P\), wysokość \(h\), promień okręgu opisanego \(R\) i promień okręgu wpisanego \(r\).

## Skąd się bierze wzór na pole trójkąta równobocznego

Najważniejszy wzór, który warto mieć w pamięci:

$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

gdzie \(a\) to długość boku trójkąta. Wzór znajdziesz w karcie wzorów CKE, ale w praktyce powinieneś go umieć z pamięci, bo zaglądanie do tablic na zamknięte zadanie za 1 punkt to strata czasu.

Skąd się bierze? Pole dowolnego trójkąta to \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), gdzie \(h\) to wysokość opuszczona na bok \(a\). Dla trójkąta równobocznego wysokość wynosi \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) (wyprowadzenie w następnej sekcji). Podstawiamy:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

To wszystko. Jeśli zapomnisz wzoru na egzaminie, w 10 sekund odtworzysz go z wysokości.

Pamiętaj o porządku działań: najpierw bok podnosisz do kwadratu, dopiero potem mnożysz przez \(\sqrt{3}\) i dzielisz przez \(4\). Klasyczny błąd to liczenie \((a\sqrt{3})^2\) zamiast \(a^2 \cdot \sqrt{3}\).

## Wzór na wysokość trójkąta równobocznego

Drugi wzór, który musisz mieć w głowie:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Wyprowadzenie zajmuje pół minuty i warto je raz zobaczyć - dzięki temu wzór się przykleja na zawsze. Rysujesz trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku \(a\) i opuszczasz wysokość z wierzchołka \(C\) na bok \(AB\). Spodek wysokości oznaczamy literą \(D\). Dlaczego dzieli on \(AB\) na pół? Bo trójkąt równoboczny jest symetryczny, a w trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z wierzchołka między dwoma równymi bokami zawsze trafia w środek podstawy.

Mamy więc trójkąt prostokątny \(ADC\), w którym \(|AC| = a\), \(|AD| = \frac{a}{2}\), a \(|CD| = h\). Stosujemy twierdzenie Pitagorasa (więcej o nim w naszym osobnym artykule o [twierdzeniu Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)):

$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$

$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

I to jest cały dowód. Z tej samej własności trójkąta o kątach \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\) wynikają zresztą wszystkie standardowe wzory na boki - rozwinięcie w poście o [trójkątach o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

Wzór na wysokość możesz też zapisać tak: \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\). Czyli wysokość to bok pomnożony przez \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\). Dobry sprawdzian rachunkowy: dla \(a = 10\) wysokość powinna wyjść około \(8{,}66\).

## Promień okręgu opisanego R

Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym pokrywa się ze środkiem ciężkości. Środek ciężkości leży na każdej wysokości w odległości \(\frac{2}{3} h\) od wierzchołka. Czyli:

$$R = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Inaczej zapisany: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). To ta sama wartość - usuwamy niewymierność z mianownika mnożąc przez \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) (zobacz poradnik o [usuwaniu niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac)).

Z definicji pola koła i promienia opisanego masz natychmiast pole koła opisanego na trójkącie równobocznym:

$$P_{\text{koła opisanego}} = \pi R^2 = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 3}{9} = \frac{\pi a^2}{3}$$

Ten zapis przyda się w kilku zadaniach poniżej.

## Promień okręgu wpisanego r

Środek okręgu wpisanego to dokładnie ten sam punkt co środek opisanego (środek ciężkości). Tylko że teraz mierzymy odległość od tego punktu do boku, czyli pozostałą jedną trzecią wysokości:

$$r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Zauważ proporcję, która zawsze działa w trójkącie równobocznym:

$$R = 2r$$

To przydatny skrót: jeśli znasz promień jednego okręgu, masz natychmiast drugi. Promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy od wpisanego. Po więcej kontekstu o obu okręgach zajrzyj do osobnego poradnika o [promieniach okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).

Pole koła wpisanego wynosi:

$$P_{\text{koła wpisanego}} = \pi r^2 = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 3}{36} = \frac{\pi a^2}{12}$$

## Wszystkie wzory w jednej tabeli

Podstawowe wielkości dla trójkąta równobocznego o boku \(a\):

| Wielkość | Wzór | Przybliżenie dla \(a = 1\) |
|---|---|---|
| Wysokość \(h\) | \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) | \(0{,}866\) |
| Pole \(P\) | \(\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) | \(0{,}433\) |
| Promień okręgu opisanego \(R\) | \(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) | \(0{,}577\) |
| Promień okręgu wpisanego \(r\) | \(\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) | \(0{,}289\) |
| Obwód | \(3a\) | \(3{,}000\) |
| Pole koła opisanego | \(\dfrac{\pi a^2}{3}\) | \(1{,}047\) |
| Pole koła wpisanego | \(\dfrac{\pi a^2}{12}\) | \(0{,}262\) |

Wszystkie pole, wysokość i promienie są proporcjonalne do \(a\) lub \(a^2\) z czynnikiem \(\sqrt{3}\) w liczniku. Jeśli widzisz na maturze \(\sqrt{3}\) w odpowiedziach przy zadaniu o figurach, to bardzo często sygnał, że gdzieś w treści był trójkąt równoboczny.

## Zadanie 1 - trójkąt wpisany w okrąg (matura maj 2026, zadanie 22)

W okrąg \(\mathcal{O}\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(\mathcal{T}\). Uzupełnij zdanie: bok trójkąta \(\mathcal{T}\) ma długość ... (zadanie 22, uzupełnienie za 1 punkt).

**Rozwiązanie.** Wiemy, że dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu opisanego wynosi \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Z treści mamy \(R = 9\sqrt{3}\), więc:

$$\frac{a\sqrt{3}}{3} = 9\sqrt{3}$$

$$a\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$$

$$a = 27$$

Odpowiedź: bok trójkąta ma długość \(27\). Arkusz pyta tylko o bok, ale z tego miejsca pole to już jeden krok:

$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{729\sqrt{3}}{4}$$

Zadanie za 1 punkt zamyka się w trzech linijkach, jeśli wzór \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) jest w pamięci. Zobacz pełną wersję arkusza w naszym walkthrough [matura maj 2026 - rozwiązania](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania).

## Zadanie 2 - pole z podanej wysokości (matura maj 2022, zadanie 19)

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe...

**Rozwiązanie.** Z wzoru na wysokość:

$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$

$$a\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$

$$a = 12$$

Pole:

$$P = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$$

Odpowiedź: D. \(36\sqrt{3}\).

Sprytniejszy skrót: jeśli zauważysz, że \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) i jednocześnie \(a = \frac{2h}{\sqrt{3}}\), to po podstawieniu wychodzi:

$$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sqrt{3}} \cdot h = \frac{h^2}{\sqrt{3}} = \frac{h^2 \sqrt{3}}{3}$$

Czyli istnieje krótki wzór \(P = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}\), gdzie \(h\) to wysokość. Sprawdzamy: \(\frac{(6\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{108\sqrt{3}}{3} = 36\sqrt{3}\). Zgadza się.

## Zadanie 3 - obwód z pola (matura maj 2021, zadanie 19)

Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\). Obwód tego trójkąta jest równy...

**Rozwiązanie.** Z wzoru na pole:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$$

Mnożymy obie strony przez \(\frac{4}{\sqrt{3}}\), żeby pozbyć się \(\sqrt{3}\) z licznika i czwórki z mianownika:

$$a^2 = \frac{4\sqrt{3}}{9} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{16}{9}$$

$$a = \frac{4}{3}$$

Obwód: \(3a = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4\).

Odpowiedź: A. \(4\).

Typowa pułapka: niektórzy uczniowie skracają \(\sqrt{3}\) z licznika i mianownika za wcześnie i kończą z \(a = \frac{2}{3}\), co dałoby obwód \(2\). Zawsze przepisuj cały wzór z konkretnymi wartościami, zanim zaczniesz dzielić.

## Zadanie 4 - bok z pola koła opisanego (matura czerwiec 2017, zadanie 21)

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe \(\frac{1}{3}\pi^3\). Długość boku tego trójkąta jest równa...

**Rozwiązanie.** Pole koła wynosi \(\pi R^2\), gdzie \(R\) to promień. Z naszej tabeli pole koła opisanego na trójkącie równobocznym to \(\frac{\pi a^2}{3}\), więc:

$$\frac{\pi a^2}{3} = \frac{1}{3}\pi^3$$

Mnożymy obie strony przez \(3\):

$$\pi a^2 = \pi^3$$

Dzielimy obie strony przez \(\pi\):

$$a^2 = \pi^2$$

$$a = \pi$$

Odpowiedź: B. \(\pi\).

Zobaczyłeś, jak gotowy wzór na pole koła opisanego pozwala rozwiązać zadanie w trzech krótkich linijkach. Jeśli go nie pamiętasz, wyprowadzasz po drodze i tracisz minutę.

## Zadanie 5 - pole trójkąta z pola koła wpisanego (arkusz próbny Sprawnej Matury, luty 2026, zadanie 26)

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny \(ABC\) jest równe \(36\pi\). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe: A. \(27\sqrt{3}\), B. \(54\sqrt{3}\), C. \(108\sqrt{3}\), D. \(216\sqrt{3}\).

**Rozwiązanie.** Z pola koła wpisanego: \(\pi r^2 = 36\pi\), zatem \(r^2 = 36\) i \(r = 6\).

W trójkącie równobocznym \(r = \frac{h}{3}\), bo środek okręgu wpisanego (który pokrywa się ze środkiem ciężkości) dzieli wysokość w stosunku \(2:1\) licząc od wierzchołka. Zatem:

$$h = 3r = 18$$

Z wysokości liczymy bok: \(\frac{a\sqrt{3}}{2} = 18\), więc \(a = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}\). Stąd pole trójkąta:

$$P = \frac{(12\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{432\sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3}$$

Odpowiedź: C. \(108\sqrt{3}\).

To zadanie z naszego własnego arkusza próbnego (nie z arkusza CKE). Cały arkusz z rozwiązaniami omawiamy w poście [matura próbna luty 2026 - rozwiązania](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz).

## Zadanie 6 - wysokość z promienia opisanego (matura sierpień 2014, zadanie 16)

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(8\). Wysokość tego trójkąta jest równa...

**Rozwiązanie.** Pamiętasz proporcję \(R = \frac{2}{3} h\)? Stąd:

$$h = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$$

Odpowiedź: C. \(12\).

Zadanie za 1 punkt rozwiązane w jednej linijce, bo zapamiętałeś jedno krótkie zdanie: w trójkącie równobocznym promień opisanego to dwie trzecie wysokości. Bez tej proporcji musiałbyś obliczyć bok z \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\), potem wysokość z \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) - trzy razy więcej rachunku.

## Najczęstsze pułapki

Pierwsza pułapka: mylenie wzorów \(P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\) i \(P = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}\). Drugi wzór nie istnieje, ale uczniowie czasem go zapisują w stresie. Zapamiętaj: \(\sqrt{3}\) bierze się z wysokości, a wysokość bierze się z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie o bokach \(\frac{a}{2}\), \(h\), \(a\), gdzie \(h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}\). Trójka w \(\sqrt{3}\) pochodzi z tej trójki.

Druga pułapka: mylenie promieni \(R\) i \(r\). Zapamiętaj kierunek: \(R\) jest dwa razy większy od \(r\), bo \(R = \frac{2}{3} h\), a \(r = \frac{1}{3} h\). W zadaniu typu "oblicz promień okręgu wpisanego z podanego promienia okręgu opisanego" odpowiedź to po prostu \(\frac{R}{2}\).

Trzecia pułapka: zapominanie, że pole koła to \(\pi R^2\), a obwód koła to \(2\pi R\). Jeśli treść mówi "obwód koła wpisanego", potrzebujesz \(2\pi r\), nie \(\pi r^2\). To podstawowy błąd, ale stresująca matura wyciąga takie pomyłki z każdej klasy.

Czwarta pułapka: skracanie pierwiastków zbyt wcześnie. Trzymaj \(\sqrt{3}\) w postaci symbolicznej do samego końca i dopiero w ostatniej linijce sprawdź, czy nie warto czegoś uprościć. Niewymierność z mianownika usuwamy przed udzieleniem odpowiedzi (chyba że w zadaniu zamkniętym wszystkie odpowiedzi mają niewymierność, wtedy zostaw jak jest i porównuj).

Piąta pułapka: liczenie pola trójkąta równobocznego ze wzoru z sinusem \(P = \frac{1}{2} a b \sin\gamma\). To zadziała, ale to dłuższa droga. Wzór \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) wyciągasz z głowy w sekundę, więc go używaj.

## Trójkąt równoboczny w stereometrii

Trójkąt równoboczny to też najczęściej spotykana podstawa lub ściana boczna w bryłach. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Czworościan foremny ma wszystkie cztery ściany w postaci trójkątów równobocznych. Stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku \(2r\), ma kąt rozwarcia \(60^\circ\) i prosty wzór na objętość.

Wzory na pole, wysokość i promienie z naszej tabeli przenoszą się jeden do jednego. Jeśli widzisz w zadaniu zwrot "podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku \(a\)", pole podstawy to natychmiast \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), a wysokość trójkąta - \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Środek ciężkości tej podstawy (będący spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego) leży w odległości \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) od każdego wierzchołka podstawy oraz \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\) od każdego boku.

To bezpośrednio prowadzi do obliczania kąta między krawędzią boczną a podstawą oraz kąta między ścianą boczną a podstawą - obu liczy się z trójkąta prostokątnego mającego jeden z tych promieni za przyprostokątną. Szczegóły w naszym poradniku [kąt między krawędzią a podstawą w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa) oraz [kąt dwuścienny w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura).

## Sprawdzanie wyniku rachunkowego

Jeden z najbardziej ekonomicznych sposobów sprawdzenia wyniku w trójkącie równobocznym to porównanie z przybliżeniem liczbowym. Pamiętaj, że \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\). Stąd:

- Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\) to mniej więcej \(0{,}433 \cdot a^2\). Czyli dla \(a = 4\) pole powinno być koło \(6{,}93\) i faktycznie \(\frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93\). Zgadza się.
- Wysokość to około \(0{,}866 \cdot a\). Dla \(a = 10\) wysokość około \(8{,}66\).
- Promień opisanego to około \(0{,}577 \cdot a\). Promień wpisanego to dokładnie połowa, czyli około \(0{,}289 \cdot a\).

Jeśli na maturze masz w odpowiedziach liczby radykalnie inne (np. odpowiedź A wynosi \(20\), a u ciebie wychodzi \(40\)), to mogłeś pomylić wzór wysokości z bokiem albo promień wpisany z opisanym. Wróć do warunków zadania.

## Trening na koniec - zestaw zadań

Jeśli czujesz, że temat jest opanowany, sprawdź się na dodatkowych zadaniach maturalnych z naszej bazy:

- [Sierpień 2012, zadanie 18: promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(24\sqrt{3}\)](/task/matura-sierpie-2012-18)
- [Maj 2020, zadanie 29: trójkąt równoboczny z punktem na wysokości, dowód zależności między odcinkami](/task/matura-maj-2020-29)
- [Czerwiec 2023, zadanie 24: skala podobieństwa dwóch trójkątów równobocznych z ich pól](/task/matura-czerwiec-2023-28)
- [Maj 2019, zadanie 14: trójkąt równoboczny wpisany w okrąg i kąt wpisany](/task/matura-maj-2019-14)
- [Próbna kwiecień 2020, zadanie 11: wysokość \(3\sqrt{3}\) i pole koła opisanego](/task/matura-pr-bna-kwiecie-2020-11)
- [Próbna marzec 2013, zadanie 5: promień okręgu opisanego \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\) i obwód](/task/matura-pr-bna-marzec-2013-05)

Wszystkie zadania z planimetrii znajdziesz na stronie [tematu Planimetria](/topics/planimetria). Zerknij też na pełne kompendium [planimetria na maturze - figury, pola, twierdzenia](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag), jeśli chcesz uporządkować całą sekcję jednym ciągiem.

## Checklist - co musisz umieć przed maturą

Trójkąt równoboczny opanowany, jeśli potrafisz bez wahania:

- napisać z pamięci wzór na pole \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) i wysokość \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\),
- wyprowadzić oba wzory z twierdzenia Pitagorasa w ciągu trzydziestu sekund,
- napisać promień okręgu opisanego \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) i wpisanego \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\), pamiętając że \(R = 2r\),
- z każdej z pięciu wielkości (\(a\), \(P\), \(h\), \(R\), \(r\)) policzyć pozostałe w ciągu minuty,
- napisać pole koła opisanego \(\frac{\pi a^2}{3}\) i wpisanego \(\frac{\pi a^2}{12}\),
- używać krótkiego wzoru \(P = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}\), gdy wysokość jest dana,
- sprawdzać wynik przybliżeniem \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\) i czynnikami \(0{,}433\) (dla pola) oraz \(0{,}866\) (dla wysokości).

Trójkąt równoboczny wraca w arkuszach maturalnych regularnie. Cztery wzory w głowie i dwie linijki rachunku wystarczą do większości takich zadań.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE - potęgi i pierwiastki z rozwiązaniami krok po kroku
description: Zadania maturalne CKE z potęg i pierwiastków z rozwiązaniami krok po kroku. Ćwicz online za darmo zadania zamknięte i otwarte z prawdziwych arkuszy.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE - potęgi i pierwiastki z rozwiązaniami krok po kroku

Potęgi i pierwiastki to dział, który na maturze pojawia się zawsze i prawie zawsze daje łatwe punkty, pod warunkiem że znasz reguły działań. To też dział, który wraca w innych zadaniach: w [funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania), [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) czy przy upraszczaniu wyrażeń w geometrii. Dlatego warto mieć go opanowany do automatu. Na sprawnamatura.pl masz 157 zadań z tego działu z [rozwiązaniami krok po kroku](/solve). Ta strona to przewodnik po nich: pokazuje typy zadań, wzory i sześć rozwiązanych zadań ze zbiorów zadań CKE.

## Co musisz znać przed zadaniami

Cała zabawa opiera się na kilku wzorach. Bez nich ani rusz:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad a^0 = 1$$

Do tego pierwiastki: \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) oraz \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\). Wszystkie te wzory masz na [karcie wzorów CKE](/formulas), ale na egzaminie nie ma czasu szukać, więc lepiej znać je z głowy. Solidne podstawy z liczb znajdziesz w przewodniku o [liczbach rzeczywistych](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna).

## Jakie typy zadań spotkasz

W bazie CKE zadania z potęg i pierwiastków dzielą się na kilka powtarzalnych typów. Oto one wraz z tym, czego wymagają:

| Typ zadania | Co trzeba zrobić | Punkty |
| --- | --- | --- |
| Obliczenie wartości wyrażenia | Sprowadzić do wspólnej podstawy i dodać wykładniki | 1 |
| Odwrotność lub przekształcenie | Zapisać liczbę jako potęgę i odwrócić wykładnik | 1 |
| Porównanie potęg | Sprowadzić do tej samej podstawy i porównać wykładniki | 1 |
| Usuwanie niewymierności | Pomnożyć przez sprzężenie mianownika | 1-2 |
| Dowód podzielności lub nierówności | Wyłączyć wspólny czynnik z potęg | 2-5 |

Z 157 zadań w bazie aż 128 to [zadania zamknięte](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody), czyli najszybsze punkty na egzaminie, a 29 to zadania otwarte, w tym dowody. Poniżej rozwiązujemy po jednym z najważniejszych typów.

## Rozwiązane zadania krok po kroku

### Zadanie 1 - wspólna podstawa potęg (zestaw zadań treningowych CKE, 1 pkt)

**Treść:** Liczba \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa:

**Rozwiązanie:**

Klucz to wspólna podstawa. Zapisujemy \(9=3^2\), więc \(9^{90}=(3^2)^{90}=3^{180}\). Teraz mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki: \(3^{30}\cdot 3^{180}=3^{210}\). Gdy widzisz różne podstawy będące potęgami tej samej liczby, zawsze sprowadzaj do wspólnej podstawy. Odpowiedź C to pułapka: \(9^{120}=3^{240}\), a nie \(3^{210}\).

**Odpowiedź:** A. \(3^{210}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/cke-pp-treningowe-01)

### Zadanie 2 - pierwiastek jako potęga (zestaw zadań treningowych CKE, 1 pkt)

**Treść:** Liczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa:

**Rozwiązanie:**

Zamieniamy pierwiastek na potęgę o wykładniku ułamkowym: \(\sqrt[3]{9^2}=(9^2)^{\frac{1}{3}}=(3^4)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{4}{3}}\). Mnożymy: \(3^{\frac{8}{3}}\cdot 3^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{12}{3}}=3^4\). Pierwiastki to po prostu potęgi o wykładniku ułamkowym i to jest najważniejsza intuicja w tym dziale.

**Odpowiedź:** C. \(3^4\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/cke-pp-treningowe-02)

### Zadanie 3 - iloczyn pierwiastków trzeciego stopnia (zbiór zadań CKE 2015-2023, 1 pkt)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{-16}}{-8}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Korzystamy ze wzoru na iloczyn pierwiastków tego samego stopnia: \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{-16}=\sqrt[3]{4\cdot(-16)}=\sqrt[3]{-64}=-4\). Teraz dzielimy: \(\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}=2^{-1}\). Cały trik polega na tym, żeby zamiast liczyć każdy pierwiastek osobno, połączyć je pod jednym pierwiastkiem.

**Odpowiedź:** C. \(2^{-1}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/cke-2015-2023-pp-03)

### Zadanie 4 - odwrotność liczby (zbiór zadań CKE 2015-2023, 1 pkt)

**Treść:** Odwrotnością liczby \(2\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}\) jest liczba

**Rozwiązanie:**

Najpierw upraszczamy drugi czynnik: \(\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}=8^{\frac{4}{3}}=(2^3)^{\frac{4}{3}}=2^4=16\). Pierwszy czynnik zapisujemy jako potęgę dwójki: \(2\sqrt{2}=2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}\). Mnożymy: \(2^{\frac{3}{2}}\cdot 2^4=2^{\frac{11}{2}}\). Odwrotność liczby to ta liczba w potędze minus jeden: \(\left(2^{\frac{11}{2}}\right)^{-1}=2^{-\frac{11}{2}}=\frac{1}{32\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{64}\).

**Odpowiedź:** C. \(2^{-\frac{11}{2}}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/cke-2015-2023-pp-04)

### Zadanie 7 - dowód podzielności przez 37 (zbiór zadań CKE 2025, otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy wszystko do podstawy 3: \(9^{22}=(3^2)^{22}=3^{44}\) oraz \(27^{14}=(3^3)^{14}=3^{42}\). Mamy więc sumę \(3^{45}+3^{44}+3^{42}\). Wyłączamy najmniejszą potęgę, czyli \(3^{42}\):

$$3^{45}+3^{44}+3^{42}=3^{42}\left(3^3+3^2+1\right)=3^{42}\left(27+9+1\right)=3^{42}\cdot 37$$

Skoro liczba jest iloczynem \(3^{42}\) i 37, to dzieli się przez 37. Koniec dowodu. W zadaniach dowodowych z potęg prawie zawsze chodzi o wyłączenie wspólnego czynnika - to schemat, który warto zapamiętać.

**Odpowiedź:** \(3^{45}+9^{22}+27^{14}=3^{42}\cdot 37\), więc liczba jest podzielna przez 37.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/cke-2025-pp-07)

### Zadanie 14 - wyrażenie z pierwiastkami i sprzężeniem (zbiór zadań CKE 2025, otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Dane są liczby \(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\) dla podanych \(a\) i \(b\).

**Rozwiązanie:**

Najpierw dwie szybkie wartości. Ze wzoru na różnicę kwadratów \(a\cdot b=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=5-4=1\), a różnica to \(a-b=(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{5}+2)=-4\). Obie liczby są dodatnie, bo \(\sqrt{5}>2\), więc \(\sqrt{a}\) i \(\sqrt{b}\) istnieją.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

$$\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{a\cdot b\cdot(a-b)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$

W mianowniku znowu stoi różnica kwadratów: \((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b=-4\). Po skróceniu przez \(a-b\) zostaje \(a\cdot b=1\). Nie trzeba liczyć \(\sqrt{\sqrt{5}-2}\): całą robotę wykonuje wzór na różnicę kwadratów, użyty dwa razy.

**Odpowiedź:** \(1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/cke-2025-pp-14)

## Typowe pułapki

Pierwsza: mylenie \(a^{-n}\) z liczbą ujemną. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, nie znak minus. \(2^{-3}=\frac{1}{8}\), a nie \(-8\).

Druga: błędne dodawanie wykładników przy różnych podstawach. \(2^3\cdot 3^2\) to nie \(6^5\). Wzór na [dodawanie wykładników](/dodawanie-poteg-o-tej-samej-podstawie-wylaczanie-przed-nawias-matura#typowe-pulapki) działa tylko przy tej samej podstawie.

Trzecia: zapominanie, że \(\sqrt{a^2}=|a|\), a nie zawsze \(a\). Na maturze ta wartość bezwzględna potrafi zdecydować o punkcie.

Czwarta: gubienie się w ułamkowych wykładnikach. Zamień każdy pierwiastek na potęgę od razu na początku, a rachunki staną się czystym dodawaniem ułamków.

## Gdzie ćwiczyć więcej

Sześć przykładów to za mało, żeby wbić schematy do głowy. W bazie czeka na ciebie 157 zadań z tego działu, od jednopunktowych zamkniętych po dowody za 5 punktów. Wejdź na [przewodnik po dziale potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) i rozwiązuj zadanie po zadaniu, a po każdym sprawdzaj [rozwiązanie krok po kroku](/solve). Jeśli wolisz losową kolejność, włącz [tryb losowych zadań](/random) i licz, aż reguły wejdą w krew. Postępy w tym dziale podejrzysz w [panelu postępów](/progress).

Gdy potęgi masz już opanowane, naturalnym kolejnym krokiem są [funkcja wykładnicza](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) i [logarytmy](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku), bo oba działy stoją dokładnie na tych samych wzorach. A jeśli dopiero układasz plan nauki na cały rok, zerknij do przewodnika [jak zacząć przygotowania do matury z matematyki 2027](/jak-zaczac-przygotowania-do-matury-z-matematyki-2027-plan-na-rok).

## FAQ

### Czy potęgi i pierwiastki są trudne na maturze?
Nie, to jeden z łatwiejszych działów i źródło pewnych punktów, jeśli znasz wzory działań. Trudność pojawia się dopiero w zadaniach dowodowych.

### Ile zadań z tego działu jest na maturze?
Zwykle od jednego do kilku zadań zamkniętych bezpośrednio o potęgach i pierwiastkach, ale wzory wykorzystasz w wielu innych zadaniach, więc realny wpływ jest większy.

### Czy wzory trzeba znać na pamięć?
Część jest na [karcie wzorów](/formulas), ale działania na potęgach musisz mieć w głowie, bo na egzaminie nie ma czasu na ich wyszukiwanie.

### Gdzie znajdę więcej zadań z rozwiązaniami?
Cała baza CKE jest dostępna w [dziale potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki), a zadania zamknięte i przewodniki są za darmo; pełne rozwiązania wszystkich zadań otwiera [abonament Premium](/payment/checkout).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /dzialania-na-pierwiastkach-matura-upraszczanie-zadania
title: Działania na pierwiastkach - upraszczanie i zadania maturalne
description: Działania na pierwiastkach krok po kroku: wyłączanie czynnika, mnożenie, dodawanie i pierwiastki trzeciego stopnia. 8 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Działania na pierwiastkach - upraszczanie i zadania maturalne

Pierwiastki mnożysz i dzielisz pod jednym znakiem: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) oraz \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) dla \(a\ge 0\) i \(b\gt 0\). Dodawać i odejmować możesz tylko pierwiastki podobne, czyli te z tą samą liczbą pod znakiem, dlatego pierwszym ruchem prawie każdego zadania jest wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\). Wzoru na \(\sqrt{a+b}\) nie ma i nigdy nie będzie.

To najtańsze punkty w całym arkuszu. W naszej bazie zadań CKE i arkuszy próbnych kategoria Potęgi i pierwiastki zawiera wiele zadań, w których w treści stoi pierwiastek. Takie zadanie otwierało arkusz w maju 2025 (zadanie 1) i w maju 2026 (zadanie 1), w sierpniu 2025 było zadaniem 3, a w zestawie CKE 2025 na poziomie podstawowym zadaniem 6. Za każde jest 1 punkt i zajmują one około minuty, jeśli znasz kwadraty i sześciany na pamięć. Cały dział ogarniesz ze strony [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).

## Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Szukasz największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem, rozbijasz iloczyn na dwa pierwiastki i wyciągasz to, co da się spierwiastkować. Krótko: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Ten jeden ruch zamienia zadanie, którego nie da się policzyć, w zadanie na dodawanie.

| Pierwiastek | Rozbicie | Wynik |
| --- | --- | --- |
| \(\sqrt{8}\) | \(\sqrt{4\cdot 2}\) | \(2\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{18}\) | \(\sqrt{9\cdot 2}\) | \(3\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{32}\) | \(\sqrt{16\cdot 2}\) | \(4\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{48}\) | \(\sqrt{16\cdot 3}\) | \(4\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{50}\) | \(\sqrt{25\cdot 2}\) | \(5\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{72}\) | \(\sqrt{36\cdot 2}\) | \(6\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{75}\) | \(\sqrt{25\cdot 3}\) | \(5\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{98}\) | \(\sqrt{49\cdot 2}\) | \(7\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{200}\) | \(\sqrt{100\cdot 2}\) | \(10\sqrt{2}\) |

Wybieraj największy kwadrat, bo inaczej robisz robotę dwa razy: \(\sqrt{72}=\sqrt{4\cdot 18}=2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) prowadzi do tego samego wyniku, tylko dłużej. Kwadraty liczb od 1 do 20 musisz mieć w głowie: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. W Wybranych wzorach matematycznych CKE znajdziesz własności potęg i pierwiastków, ale tabelki kwadratów tam nie ma, co dokładnie sprawdziliśmy w tekście o [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).

Działa to też w drugą stronę. Wciągnięcie liczby pod pierwiastek przydaje się przy porównywaniu: \(3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}\), a \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\), więc \(2\sqrt{5}\gt 3\sqrt{2}\).

## Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Mnożenie i dzielenie są łatwe, bo pierwiastki tego samego stopnia łączysz w jeden: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), a \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\). Najpierw wykonaj działanie pod znakiem, a dopiero potem szukaj kwadratu do wyciągnięcia. Przykłady: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\), \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5\).

Uwaga na czynniki przed pierwiastkami. Mnożysz je osobno: \(2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{2}=10\sqrt{6}\). Kwadrat takiego iloczynu liczysz tak samo: \((2\sqrt{7})^2=4\cdot 7=28\), a nie \(2\cdot 7\). To częsty błąd.

## Dodawanie i odejmowanie tylko pierwiastków podobnych

Pierwiastki dodajesz jak wyrazy podobne w algebrze: \(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), bo \(\sqrt{2}\) zachowuje się jak \(x\). Warunek jest jeden: pod pierwiastkami musi stać ta sama liczba i muszą być tego samego stopnia. Dlatego \(\sqrt{50}-\sqrt{18}\) najpierw upraszczasz do \(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}\), a potem odejmujesz.

Czego zrobić nie można: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) nie równa się \(\sqrt{5}\). Sprawdź to na liczbach, które łatwo policzyć: \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\), a \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\). Siedem to nie pięć, więc wzór na pierwiastek sumy nie istnieje. Tego samego testu użyj zawsze, gdy nie jesteś pewien, czy coś wolno.

## Pierwiastek trzeciego stopnia - te same zasady, tylko sześciany

Pierwiastek trzeciego stopnia działa dokładnie jak kwadratowy, tylko wyłączasz sześciany: \(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}\). Sześciany do zapamiętania: \(2^3=8\), \(3^3=27\), \(4^3=64\), \(5^3=125\), \(6^3=216\), \(7^3=343\), \(8^3=512\), \(9^3=729\), \(10^3=1000\).

| Pierwiastek | Rozbicie | Wynik |
| --- | --- | --- |
| \(\sqrt[3]{24}\) | \(\sqrt[3]{8\cdot 3}\) | \(2\sqrt[3]{3}\) |
| \(\sqrt[3]{54}\) | \(\sqrt[3]{27\cdot 2}\) | \(3\sqrt[3]{2}\) |
| \(\sqrt[3]{192}\) | \(\sqrt[3]{64\cdot 3}\) | \(4\sqrt[3]{3}\) |
| \(\sqrt[3]{250}\) | \(\sqrt[3]{125\cdot 2}\) | \(5\sqrt[3]{2}\) |
| \(\sqrt[3]{-125}\) | \(-\sqrt[3]{125}\) | \(-5\) |

Jedna ważna różnica: pod pierwiastkiem stopnia nieparzystego liczba ujemna jest dozwolona, bo \((-5)^3=-125\). Pod pierwiastkiem kwadratowym nie, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego. Dokładnie na tym opierało się zadanie 2 z [arkusza próbnego CKE z marca 2026](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-02), gdzie \(\frac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{-750}{6}}=\sqrt[3]{-125}=-5\).

## Pierwiastek z ułamka i pierwiastek z pierwiastka

Pierwiastek z ułamka rozbijasz na licznik i mianownik: \(\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\). Pierwiastek z pierwiastka najprościej policzyć, przechodząc na potęgi wymierne, bo \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\). Przykład z arkusza: \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\), gdzie \(3\sqrt{3}=3^1\cdot 3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\), więc całość to \(\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\).

Ta zamiana jest najszybszą drogą, gdy w zadaniu mieszają się pierwiastki różnych stopni. Pełne rozpisanie praw potęgowania z wykładnikiem ułamkowym i ujemnym masz w poradniku o [potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc). Jeśli pierwiastek zostaje ci w mianowniku, zajrzyj do tekstu o [usuwaniu niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).

## Jak oszacować pierwiastek, gdy w odpowiedziach są przedziały

Znajdź dwa najbliższe kwadraty, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem, i odczytaj przybliżenie. Skoro \(49\lt 55\lt 64\), to \(7\lt\sqrt{55}\lt 8\). Do arkusza wystarczą cztery wartości z pamięci: \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), \(\sqrt{3}\approx 1{,}73\), \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\), \(\sqrt{7}\approx 2{,}65\). Z nich wyliczysz resztę, bo na przykład \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}05\).

Tak działa na przykład [zadanie 5 z sierpnia 2016](/task/matura-sierpie-2016-05), gdzie trzeba było podać najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\). Przekształcasz do \(x\gt -5\sqrt{7}\), szacujesz \(5\sqrt{7}\approx 13{,}23\), więc \(x\gt -13{,}23\) i szukaną liczbą całkowitą jest \(-13\), a nie \(-14\). Bez szacowania nie da się wybrać między dwiema sąsiednimi odpowiedziami.

## Zadanie 1: kwadrat różnicy pierwiastków (Matura maj 2025)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\bigl(\sqrt{32}-\sqrt{2}\bigr)^{2}\) jest równa

**Krok 1: uprość pierwiastki.** \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\).

**Krok 2: odejmij pierwiastki podobne.** \(4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).

**Krok 3: podnieś do kwadratu.** \(\left(3\sqrt{2}\right)^2=9\cdot 2=18\). Odpowiedź B.

Można też rozwinąć wzorem skróconego mnożenia: \(32-2\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}+2=34-2\sqrt{64}=34-16=18\). Ten sam wynik, ale dwa razy więcej rachunków, więc na maturze upraszczaj najpierw. Cały ten arkusz omówiliśmy w [rozwiązaniach matury z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz), a same zadania są na stronie [Matura maj 2025](/exams/matura-maj-2025).

## Zadanie 2: różnica pierwiastków trzeciego stopnia (Matura maj 2017)

**Treść:** Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

**Krok 1: wyłącz sześcian.** \(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}\).

**Krok 2: odejmij.** \(3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\). Odpowiedź D.

Dystraktor \(\sqrt[3]{52}\) jest tam dla kogoś, kto odjął liczby pod pierwiastkiem. Pierwiastków nie odejmuje się pod znakiem, tylko przed nim, i to wyłącznie wtedy, gdy są podobne.

## Zadanie 3: suma pierwiastków trzeciego stopnia (Matura sierpień 2025)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}\) jest równa

**Krok 1: rozbij oba pierwiastki.** \(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}\) i \(\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}\).

**Krok 2: dodaj współczynniki.** \(2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}\). Odpowiedź C.

Zwróć uwagę, że pod pierwiastkiem zostaje trójka, a nie szóstka. Dodajesz liczby stojące przed pierwiastkiem, a to, co pod nim, przepisujesz bez zmian.

## Zadanie 4: kwadrat różnicy z czynnikiem (Matura sierpień 2012)

**Treść:** Liczba \((2-3\sqrt{2})^2\) jest równa

**Krok 1: użyj wzoru skróconego mnożenia.** \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), gdzie \(a=2\) i \(b=3\sqrt{2}\).

**Krok 2: policz każdy składnik.** \(a^2=4\), \(2ab=2\cdot 2\cdot 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), \(b^2=(3\sqrt{2})^2=9\cdot 2=18\).

**Krok 3: złóż wynik.** \(4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2}\). Odpowiedź D.

Najczęstszy błąd to \((3\sqrt{2})^2=6\). Potęgujesz i liczbę, i pierwiastek, więc wychodzi \(9\cdot 2=18\). Pozostałe wzory tego typu zebraliśmy w tekście o [wzorach skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

## Zadanie 5: iloczyn dwóch kwadratów (Matura sierpień 2017)

**Treść:** Liczba (\(2\sqrt{7}-5)^2\cdot (2\sqrt{7}+5)^2 \) jest równa

**Krok 1: połącz podstawy.** Skoro obie potęgi mają wykładnik 2, to \((x)^2\cdot(y)^2=(xy)^2\), więc liczysz \(\left[(2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)\right]^2\).

**Krok 2: zastosuj różnicę kwadratów.** \((2\sqrt{7})^2-5^2=4\cdot 7-25=28-25=3\).

**Krok 3: podnieś do kwadratu.** \(3^2=9\). Odpowiedź A.

Gdybyś rozwijał każdy nawias osobno, dostałbyś \((53-20\sqrt{7})(53+20\sqrt{7})\) i musiałbyś liczyć \(2809-2800\). Wynik ten sam, ale dystraktor 2809 pokazuje, że autorzy arkusza czekali właśnie na urwane w połowie rachunki.

## Zadanie 6: ułamek z pierwiastkami trzeciego stopnia (CKE 2025 PP)

**Treść:** Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa

**Krok 1: uprość osobno licznik i mianownik.** \(\sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2}\) i \(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\).

**Krok 2: wykonaj działania.** Licznik: \(5\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}=8\sqrt[3]{2}\). Mianownik: \(5\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\).

**Krok 3: skróć.** \(\frac{8\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}}=4\), bo \(\sqrt[3]{2}\) skraca się w całości. Odpowiedź C.

To jest istota całego działu: dopóki pierwiastki są nieuproszczone, ułamek wygląda groźnie. Po wyłączeniu czynników zostaje dzielenie 8 przez 2.

## Zadanie 23: pierwiastki w liczniku i mianowniku (Matura maj 2013)

**Treść:** Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa

**Krok 1: uprość licznik.** \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), więc licznik to \(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).

**Krok 2: podziel.** \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\). Odpowiedź B.

Ten sam wynik da drugi sposób: \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\), o ile pierwiastki połączysz pod jednym znakiem.

## Zadanie 16: pierwiastki w geometrii (Matura sierpień 2017)

**Treść:** Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość

**Krok 1: zapisz wzór na pole.** \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

**Krok 2: wstaw dane i skróć pierwiastek.** \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\), więc \(a^2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\), czyli \(a^2=24\).

**Krok 3: wyciągnij pierwiastek i uprość.** \(a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}\). Odpowiedź C.

Zwróć uwagę, że \(\sqrt{3}\) skraca się po obu stronach, więc rachunki są krótkie. Tak wyglądają w praktyce prawie wszystkie zadania z planimetrii i stereometrii: wzór jest z pierwiastkiem, a punkt dostajesz za jego uproszczenie. Wzory na trójkąt równoboczny zebraliśmy w tekście o [polu trójkąta równobocznego](/jak-obliczyc-pole-trojkata-rownobocznego-wzor-zadania).

## Typowe pułapki

**Rozdzielanie pierwiastka na sumie.** \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Kontrprzykład: \(\sqrt{9+16}=5\), a \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\).

**Zapominanie o wartości bezwzględnej.** \(\sqrt{a^2}=|a|\), więc \(\sqrt{(-4)^2}=4\), a nie \(-4\). Ta sama ostrożność ze znakami wraca w [zadaniu 8 z zestawu CKE 2025 dla poziomu podstawowego](/task/cke-2025-pp-08), gdzie \(|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|\) trzeba rozpisać, pamiętając, że \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\): \(\sqrt{5}-1\gt 0\), ale \(2-\sqrt{5}\lt 0\), więc wynik to \(\sqrt{5}-1-3(\sqrt{5}-2)=5-2\sqrt{5}\).

**Potęgowanie tylko pierwiastka.** \((2\sqrt{7})^2=4\cdot 7=28\), a nie \(2\cdot 7=14\). Podnosisz do kwadratu cały iloczyn.

**Dodawanie pierwiastków różnych stopni.** \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}\) nie upraszcza się do niczego. Podobne są tylko pierwiastki tego samego stopnia z tą samą liczbą pod znakiem.

**Zatrzymanie się przed końcem.** \(\sqrt{72}\) to nie odpowiedź maturalna, tylko etap. CKE podaje warianty w postaci uproszczonej, więc zawsze doprowadź wynik do \(6\sqrt{2}\).

**Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej.** \(\sqrt{-4}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych, ale \(\sqrt[3]{-8}=-2\) istnieje. Sprawdzaj stopień, zanim uznasz zadanie za błędne.

## Najczęstsze pytania

### Jak uprościć pierwiastek z 50?
Rozbij 50 na iloczyn z największym kwadratem: \(50=25\cdot 2\). Wtedy \(\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Ta sama procedura działa dla każdej liczby: szukasz kwadratu, który ją dzieli.

### Czy można dodać pierwiastek z 2 i pierwiastek z 3?
Nie da się tego uprościć. Pierwiastki dodajesz tylko wtedy, gdy pod znakiem stoi ta sama liczba, tak jak \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}\). Suma \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) zostaje w tej postaci i na pewno nie jest równa \(\sqrt{5}\).

### Ile wynosi pierwiastek z kwadratu liczby?
Zawsze wartość bezwzględna tej liczby, czyli \(\sqrt{a^2}=|a|\). Dla liczb dodatnich wychodzi ta sama liczba, dla ujemnych liczba przeciwna, więc \(\sqrt{(-7)^2}=7\).

### Jak zamienić pierwiastek na potęgę?
Korzystasz ze wzoru \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\). Na przykład \(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\), a \(\sqrt[3]{4^2}=4^{\frac{2}{3}}\). Ta zamiana najbardziej pomaga, gdy w jednym wyrażeniu są pierwiastki różnych stopni.

### Czy pod pierwiastkiem trzeciego stopnia może być liczba ujemna?
Tak. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny, na przykład \(\sqrt[3]{-125}=-5\). Zakaz dotyczy tylko pierwiastków stopnia parzystego, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.

### Czy na maturze można zostawić pierwiastek w mianowniku?
Odpowiedź poprawna rachunkowo jest punktowana, ale w arkuszach zamkniętych warianty odpowiedzi są zwykle bez pierwiastka w mianowniku, więc i tak musisz go usunąć, żeby dopasować wynik. Robisz to mnożeniem przez odpowiedni czynnik, co krok po kroku opisaliśmy przy [usuwaniu niewymierności](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).

### Jak często pierwiastki pojawiają się na maturze podstawowej?
W każdym arkuszu i zwykle w pierwszych zadaniach. W naszej bazie kategoria Potęgi i pierwiastki ma wiele zadań, a takie polecenie było zadaniem 1 w maju 2025 i w maju 2026 oraz zadaniem 3 w sierpniu 2025. Do treningu weź [zadania CKE z potęg i pierwiastków](/zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami).

### Które kwadraty i sześciany trzeba znać na pamięć?
Kwadraty liczb od 1 do 20 oraz sześciany od 1 do 10. Bez tego nie zauważysz, że 192 dzieli się przez 64, a 250 przez 125, i całe zadanie stanie się nierozwiązywalne w pamięci.

## Checklista - co musisz umieć

- Wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, wybierając największy kwadrat lub sześcian.
- Wciągnąć liczbę pod pierwiastek, żeby porównać dwa wyrażenia.
- Pomnożyć i podzielić pierwiastki tego samego stopnia pod jednym znakiem.
- Dodać i odjąć tylko pierwiastki podobne, przepisując liczbę pod znakiem.
- Podnieść do kwadratu iloczyn typu \(3\sqrt{2}\), potęgując oba czynniki.
- Użyć wzorów skróconego mnożenia dla \((a\pm b)^2\) i \((a-b)(a+b)\) z pierwiastkami.
- Zamienić pierwiastek na potęgę o wykładniku wymiernym i odwrotnie.
- Pamiętać, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) i że pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje.
- Doprowadzić wynik do postaci uproszczonej, bo w takiej podaje go klucz CKE.

Sprawne działania na pierwiastkach przydają się najbardziej tam, gdzie pierwiastek stoi w równaniu. Jak podnosić do kwadratu bez gubienia założeń i kiedy sprawdzać rozwiązania, tłumaczymy w poradniku [jak rozwiązać równanie niewymierne](/jak-rozwiazac-rownanie-niewymierne-z-pierwiastkiem-matura).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2019-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2019 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura czerwiec 2019 z matematyki (sesja dodatkowa): lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2019 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura czerwiec 2019

Matura z matematyki z sesji dodatkowej (czerwiec) 2019 to arkusz, który omija większość uczniów podczas powtórek - i to błąd. Sesja dodatkowa ma porównywalny poziom trudności do sesji głównej z maja, a ponieważ mniej osób go zna, możesz na nim naprawdę uczciwie sprawdzić swoje umiejętności. Żadnych "przypadkowych" rozwiązań, bo kiedyś widziałeś to zadanie na YouTube.

Arkusz składał się z **34 zadań**: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 9 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. Dominowały zadania z geometrii analitycznej, stereometrii oraz równań i nierówności - szczególnie te ostatnie pojawiały się zarówno w części zamkniętej, jak i otwartej.

Jeśli chcesz porównać poziom z sesją główną, zerknij na rozwiązania [matury majowej 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz). Razem oba arkusze z 2019 roku dają ci solidną bazę do ćwiczeń - 68 zadań z jednego rocznika, a CKE rzadko powtarza schematy między sesjami.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 5 | 9 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 6 | 7 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 4 | 7 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 4 | 6 |
| [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) | 2 | 5 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 3 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 2 | 3 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 1 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 1 | 1 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 |
| [Układy równań](/topics/uklady-rownan) | 1 | 1 |

Kilka rzeczy rzuca się w oczy. **Stereometria** - 5 zadań za 9 punktów, w tym zadanie 32 za 5 punktów. Jeśli nie czujesz się pewnie z bryłami, koniecznie przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). **Geometria analityczna** też jest mocno reprezentowana - 6 zadań za 7 punktów, głównie w części zamkniętej. Powtórz [prostą, okrąg i wektory](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). Z kolei **równania i nierówności** to 4 zadania za 6 punktów, w tym otwarte zadanie 26 z nierównością iloczynową i dowód nierówności w zadaniu 29.

Planimetria ma w tabeli tylko 1 zadanie, ale geometrii płaskiej jest w arkuszu więcej: kąty w okręgu (zadania 14 i 16), trójkąt równoramienny (zadanie 20), dowód z trójkątem (zadanie 28) i trójkąt rozwartokątny w zadaniu 34 za 4 punkty. W naszej bazie te zadania są przypisane do innych działów, więc planimetrii przy tym arkuszu nie pomijaj.

## Poziom trudności

**Łatwe** - podstawowe działania na potęgach, proste równania, odczytywanie z wykresu, procenty, prawdopodobieństwo klasyczne. Jeśli masz z nimi kłopot, zacznij od [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania). Te punkty są absolutnym fundamentem - musisz je zdobyć bezbłędnie.

**Średnie** - geometria analityczna (odległość punktu od prostej, podział odcinka), ciągi, trygonometria, stereometria zamknięta, zadania otwarte za 2 punkty (nierówność, prawdopodobieństwo). Tu decyduje się, czy zdajesz z wynikiem 50% czy 70%. Przeczytaj [jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) - tok rozumowania jest ważniejszy niż wynik.

**Trudne** - wyrażenia algebraiczne za 4 punkty, stereometria za 5 punktów (ostrosłup z prostokątem w podstawie), dowód nierówności. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe - sam rysunek i oznaczenia w stereometrii to już punkt.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\frac{\log_327}{\log_3\sqrt{27}}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Zaczynamy od obliczenia obu logarytmów osobno. To kluczowe - nie próbuj dzielić logarytmów "na skróty", bo łatwo popełnić błąd.

Licznik: \(\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3\)

Mianownik: \(\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \log_3 27 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}\)

Dzielimy:

$$\frac{\log_3 27}{\log_3 \sqrt{27}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$$

**Odpowiedź:** B. \(2\)

Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zapisanie \(\log_3 \sqrt{27} = \frac{3}{2}\) jako wyniku końcowego, bo uczeń zapomina o podzieleniu. Drugie ryzyko - ktoś próbuje stosować wzór na iloraz logarytmów (którego nie ma!) zamiast policzyć osobno. Pamiętaj: nie istnieje wzór \(\frac{\log a}{\log b} = \log \frac{a}{b}\). Więcej o [logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-02)

---

### Zadanie 11 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt)

**Treść:** Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2 - (2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe

**Rozwiązanie:**

Rozbijamy na dwa składniki i stosujemy wzory skróconego mnożenia.

Pierwszy składnik - kwadrat dwumianu:

$$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$$

Drugi składnik - różnica kwadratów:

$$(2x-3)(2x+3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$$

Odejmujemy:

$$9x^2 - 12x + 4 - (4x^2 - 9) = 9x^2 - 12x + 4 - 4x^2 + 9 = 5x^2 - 12x + 13$$

**Odpowiedź:** C. \(5x^2-12x+13\)

Zwróć uwagę na minus przed nawiasem w drugim składniku. Największy błąd to zapisanie \(-4x^2 - 9\) zamiast \(-4x^2 + 9\). Minus zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów w nawiasie - i CKE doskonale wie, że uczniowie tu się mylą. Dlatego ten typ zadania pojawia się regularnie. Ćwicz [wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne), aż będziesz je upraszczać automatycznie.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-11)

---

### Zadanie 19 - Stereometria (1 pkt)

**Treść:** Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(96\) cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

**Rozwiązanie:**

Sześcian ma 12 krawędzi (4 na górze, 4 na dole, 4 pionowe). Oznaczmy długość krawędzi jako \(a\).

$$12a = 96 \implies a = 8 \text{ cm}$$

Sześcian ma 6 jednakowych ścian kwadratowych, każda o polu \(a^2\):

$$P = 6a^2 = 6 \cdot 64 = 384 \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** C. \(384\ \text{cm}^2\)

Proste zadanie, ale uczniowie tracą tu punkty z dwóch powodów: (1) mylą liczbę krawędzi sześcianu (12, nie 8 ani 6), (2) zapominają, że sześcian ma 6 ścian, nie 4. Jeśli nie jesteś pewien, narysuj sześcian i policz - lepsza minuta na rysunek niż stracony punkt. Więcej o bryłach w [przewodniku po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-19)

---

### Zadanie 25 - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Treść:** Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych \(\{20,21,22,...,39,40\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez \(4\) jest równe

**Rozwiązanie:**

Najpierw liczymy elementy zbioru. Od 20 do 40 włącznie jest:

$$|\Omega| = 40 - 20 + 1 = 21$$

Liczby podzielne przez 4 w tym zbiorze to:

$$20,\ 24,\ 28,\ 32,\ 36,\ 40$$

Jest ich 6, więc \(|A| = 6\) i:

$$P(A) = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$$

**Odpowiedź:** B. \(\frac{2}{7}\)

Przy zliczaniu liczb od \(a\) do \(b\) włącznie wynik to \(b - a + 1\), a nie \(b - a\). Tu łatwo też pominąć jeden z końców zbioru: zarówno 20, jak i 40 są podzielne przez 4. Przeczytaj więcej o [prawdopodobieństwie na maturze](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-25)

---

### Zadanie 26 - Nierówność iloczynowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(x(7x + 2) > 7x + 2\)

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Przenosimy prawą stronę na lewą:**

$$x(7x + 2) - (7x + 2) > 0$$

**Krok 2 - Wyciągamy wspólny czynnik** \((7x + 2)\):

$$(7x + 2)(x - 1) > 0$$

**Krok 3 - Wyznaczamy miejsca zerowe:**

\(7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}\)

\(x - 1 = 0 \implies x = 1\)

**Krok 4 - Tabelka znaków lub analiza na osi:**

Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba mają ten sam znak.

Dla \(x  1\): oba czynniki dodatnie, iloczyn dodatni - spełnione.

**Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, -\frac{2}{7}\right) \cup (1, +\infty)\)

Kluczowy moment to krok 2 - zobaczenie, że \((7x + 2)\) jest wspólnym czynnikiem. Wielu uczniów rozwija lewą stronę do \(7x^2 + 2x > 7x + 2\) i próbuje rozwiązywać równanie kwadratowe. To też zadziała, ale jest wolniejsze i łatwiej o błąd rachunkowy. Na maturze szukaj faktoryzacji - oszczędza czas i zmniejsza ryzyko pomyłki.

Schemat oceniania CKE przyznaje: 1 punkt za doprowadzenie do postaci iloczynowej, 1 punkt za poprawne rozwiązanie z odpowiedzią. Nawet jeśli popełnisz błąd w tabelce znaków, punkt za faktoryzację masz pewny. Więcej o [równaniach i nierównościach na maturze](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-26)

---

### Zadanie 29 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdej liczby \(a\gt0\) i dla każdej liczby \(b\gt0\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:**

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$$

Nierówność przyjmuje postać:

$$\frac{a + b}{ab} \geq \frac{4}{a + b}$$

**Krok 2 - Mnożymy obie strony przez \(ab(a+b)\):**

Ponieważ \(a > 0\) i \(b > 0\), to \(ab > 0\) i \(a + b > 0\), więc \(ab(a+b) > 0\). Mnożenie nie zmienia znaku nierówności.

$$(a + b)^2 \geq 4ab$$

**Krok 3 - Przekształcamy:**

$$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$$

$$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$

$$(a - b)^2 \geq 0$$

Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, bo kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Równość zachodzi dla \(a = b\).

Zatem \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}\) dla wszystkich \(a, b > 0\). \(\square\)

To klasyczny schemat dowodu "od tezy do oczywistości" - zaczynasz od nierówności do wykazania i przekształcasz ją równoważnie, aż dojdziesz do czegoś oczywiście prawdziwego. Ważne: musisz zaznaczyć, że mnożenie przez \(ab(a+b)\) nie zmienia znaku nierówności (bo wyrażenie jest dodatnie). Bez tego uzasadnienia CKE może odjąć punkt.

**Wskazówka:** Gdy widzisz \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) z warunkiem \(a, b > 0\), myśl o nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną. Ten schemat powtarza się co kilka lat na maturze.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-29)

---

### Zadanie 31 - Prawdopodobieństwo z kostką (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą \(16\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Wszystkie wyniki.** Każdy rzut ma 6 wyników, a kolejność rzutów ma znaczenie:

$$|\Omega| = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$$

**Krok 2 - Wyniki sprzyjające.** Największa możliwa suma to \(6 + 6 + 6 = 18\). Żeby dostać 16, trzeba „zabrać” z tych 18 dokładnie 2 oczka. Da się to zrobić na dwa sposoby:
- jedna kostka pokazuje 4, dwie pokazują 6: \((4,6,6)\), \((6,4,6)\), \((6,6,4)\),
- dwie kostki pokazują 5, jedna pokazuje 6: \((5,5,6)\), \((5,6,5)\), \((6,5,5)\).

Wyników sprzyjających jest więc \(|A| = 6\).

**Krok 3 - Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{1}{36}\)

Najłatwiej zgubić tu kolejność: \((4,6,6)\) i \((6,4,6)\) to różne wyniki, bo czwórka wypada w innym rzucie. Kto wypisze tylko dwa zestawy liczb zamiast sześciu wyników, dostanie \(\frac{2}{216}\) zamiast \(\frac{6}{216}\). Więcej ćwiczeń z [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-31)

---

### Zadanie 32 - Ostrosłup z prostokątem w podstawie (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt o polu równym \(432\), a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy \(3:4\). Przekątne podstawy \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(O\). Odcinek \(SO\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt \(SAO\) ma miarę \(60^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Wymiary prostokąta.**

Boki prostokąta mają stosunek 3:4, więc oznaczamy je \(3k\) i \(4k\).

$$P = 3k \cdot 4k = 12k^2 = 432$$

$$k^2 = 36 \implies k = 6$$

Boki prostokąta: \(a = 18\), \(b = 24\).

**Krok 2 - Spodek wysokości.**

Z treści wiemy, że wysokość \(SO\) pada w punkt \(O\), w którym przecinają się przekątne prostokąta. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc \(|OA|\) to połowa przekątnej.

**Krok 3 - Przekątna prostokąta.**

$$d = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$$

Odległość od środka prostokąta do wierzchołka: \(|OA| = \frac{d}{2} = 15\).

**Krok 4 - Wysokość ostrosłupa.**

W trójkącie prostokątnym \(SOA\) kąt przy wierzchołku \(A\) ma \(60^\circ\):

$$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{|SO|}{|OA|} = \frac{h}{15}$$

$$h = 15 \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 15\sqrt{3}$$

**Krok 5 - Objętość ostrosłupa:**

$$V = \frac{1}{3} \cdot P \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 15\sqrt{3} = 144 \cdot 15\sqrt{3} = 2160\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(V = 2160\sqrt{3}\)

To najwyżej punktowane zadanie w arkuszu. Nawet jeśli utkniesz na wysokości, wyznaczenie boków prostokąta i jego przekątnej to już postęp w rozwiązaniu.

**Kluczowa pułapka:** Kąt \(SAO\) to kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) do podstawy, więc leży w trójkącie z połową przekątnej, a nie z połową boku prostokąta. Kąt nachylenia ściany bocznej to inny kąt i prowadzi do innego trójkąta.

Przeczytaj [stereometrię na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), żeby przećwiczyć ostrosłupy z różnymi podstawami. Porównaj z zadaniami ze stereometrii w [maturze majowej 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2019-32)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je przećwiczyć:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2019-01) - Równania i nierówności
- [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2019-02) - Logarytmy
- [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2019-03) - Równania i nierówności
- [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2019-04) - Procenty
- [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2019-05) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2019-06) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2019-07) - Układy równań
- [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2019-08) - Geometria analityczna
- [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2019-09) - Ciągi
- [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2019-10) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2019-11) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2019-12) - Trygonometria
- [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2019-13) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2019-14) - Geometria analityczna
- [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2019-15) - Planimetria
- [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2019-16) - Geometria analityczna
- [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2019-17) - Geometria analityczna
- [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2019-18) - Geometria analityczna
- [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2019-19) - Stereometria
- [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2019-20) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2019-21) - Liczby rzeczywiste
- [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2019-22) - Stereometria
- [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2019-23) - Stereometria
- [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2019-24) - Stereometria
- [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2019-25) - Prawdopodobieństwo

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2019-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2019-27) - Liczby rzeczywiste (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2019-28) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2019-29) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2019-30) - Ciągi (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2019-31) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2019-32) - Stereometria (5 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2019-33) - Wyrażenia algebraiczne (4 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-czerwiec-2019-34) - Potęgi i pierwiastki (4 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2019

Po analizie całego arkusza, oto najważniejsze obserwacje:

1. **Stereometria to koło zamachowe punktów.** 9 punktów z samej stereometrii - to więcej niż z jakiejkolwiek innej kategorii. Jeśli umiesz liczyć objętości i pola brył, masz ogromną przewagę. Przećwicz [zadania ze stereometrii](/topics/stereometria) - szczególnie ostrosłupy z różnymi podstawami.

2. **Wzory skróconego mnożenia musisz znać na pamięć.** Zadanie 11 (wyrażenia algebraiczne) to czysta mechanika - kwadrat dwumianu i różnica kwadratów. Takie zadanie pojawia się na każdej maturze. Jeśli tracisz tu czas, to czas, którego brakuje ci na trudniejsze zadania.

3. **Faktoryzacja ratuje życie w nierównościach.** Zadanie 26 to idealny przykład - wyciągnięcie wspólnego czynnika zamiast rozwijania daje prostszą i szybszą drogę do odpowiedzi. Ćwicz rozpoznawanie wspólnych czynników.

4. **Dowody nierówności mają stały schemat.** Zadanie 29 to klasyka - sprowadzenie do \((a-b)^2 \geq 0\). Ten sam schemat działa w większości dowodów nierówności z dwiema dodatnimi zmiennymi.

5. **Inny rozkład działów niż w maju.** W porównaniu z [maturą majową 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz) czerwcowy arkusz ma więcej stereometrii (9 punktów wobec 7) i więcej zadań z geometrii analitycznej (6 wobec 4), a mniej planimetrii, ciągów i funkcji. Jeśli ćwiczysz oba arkusze, trenujesz szerszy zakres materiału.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Etap 1 - Diagnoza.** Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych: 170 minut, z kalkulatorem prostym, bez notatek. Zapisuj wszystko na kartce. Po skończeniu sprawdź odpowiedzi - nie wyniki, a tok rozumowania.

**Etap 2 - Analiza błędów (30 min).** Podziel swoje błędy na trzy grupy:
- *Nie wiedziałem, jak zacząć* - brakuje ci wiedzy z danej kategorii. [Przeczytaj odpowiedni przewodnik](/topics).
- *Wiedziałem, ale policzyłem źle* - ćwicz rachunki i sprawdzanie wyników.
- *Nie zdążyłem* - pracuj nad strategią rozwiązywania: łatwe najpierw, trudne na koniec.

**Etap 3 - Powtórka celowana (2-3h).** Na podstawie diagnozy wybierz 2-3 kategorie i przećwicz po 10-15 zadań z każdej na [Sprawnej Maturze](/). Zacznij od zadań z [potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki), [równań](/topics/rownania-i-nierownosci) i [stereometrii](/topics/stereometria) - te trzy kategorie dają łącznie 22 punkty w tym arkuszu.

**Etap 4 - Kolejny arkusz.** Po tygodniu rozwiąż [maturę majową 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz) i porównaj wyniki. Jeśli zrobiłeś postęp w kategoriach, które ćwiczyłeś - jesteś na dobrej drodze.

Szukasz więcej arkuszy do ćwiczeń? Sprawdź [kompletną bazę arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) lub wypróbuj [losowe zadanie](/solve), żeby trenować w trybie egzaminacyjnym. Na Sprawnej Maturze mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** - wystarczy na tygodnie intensywnych ćwiczeń.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2018-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura czerwiec 2018 z matematyki (sesja dodatkowa): lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura czerwiec 2018

Sesja dodatkowa z czerwca 2018 to jeden z tych arkuszy, o których mało kto pamięta - i właśnie dlatego jest na wagę złota. Podczas gdy większość maturzystów przerabia majowy arkusz na okrągło, ten z sesji czerwcowej leży odłogiem. Efekt? Masz do dyspozycji 34 zadania, których prawdopodobnie nigdy wcześniej nie widziałeś. To idealny materiał do symulacji egzaminu w realistycznych warunkach.

Arkusz składał się z **25 zadań zamkniętych** (po 1 punkcie) oraz **9 zadań otwartych** (za 2-5 punktów), łącznie **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów** - ale jeśli celujesz w studia, potrzebujesz znacznie więcej.

Poziom trudności był zbliżony do [sesji majowej 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz), z nieco większym naciskiem na stereometrię i geometrię analityczną. Zadania zamknięte były w większości przystępne, ale wśród otwartych czekały prawdziwe wyzwania - w szczególności zadanie 32 ze stereometrii za 5 punktów i zadanie 28 z dowodem.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 8 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 7 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 6 |
| Liczby rzeczywiste | 3 | 4 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 4 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 3 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 3 | 3 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 3 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 |
| Funkcja liniowa | 1 | 1 |
| Funkcje | 1 | 1 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |

Najwięcej punktów daje **stereometria** - 4 zadania za 8 punktów, w tym zadanie 32 za 5 punktów. Dalej są **geometria analityczna** (3 zadania, 7 punktów) i **ciągi** (3 zadania, 6 punktów).

Warto porównać ten rozkład z [arkuszem majowym 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz). Sesja dodatkowa miała więcej stereometrii kosztem planimetrii - jeśli bryły to twoja pięta achillesowa, ten arkusz pomoże ci zlokalizować braki.

## Poziom trudności

**Łatwe** - podstawowe potęgi, procenty, odczytywanie wykresu, proste zadania z planimetrii i trygonometrii. Jeśli masz z nimi problem, zacznij od [przewodnika po potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

**Średnie** - logarytmy, ciągi, funkcja kwadratowa, równania, prawdopodobieństwo, geometria analityczna. Kluczowe jest [opanowanie zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) - nawet niepełne rozwiązanie daje punkty cząstkowe.

**Trudne** - stereometria za 5 punktów (zadanie 32), dowód o reszcie z dzielenia (zadanie 28), ciąg arytmetyczny za 4 punkty (zadanie 33) i geometria analityczna za 4 punkty (zadanie 34). Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, sam rysunek pomocniczy i wyznaczenie podstawowych wielkości mogą dać 2-3 punkty.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Wyrażenie \(x^2 - 2xy + y^2\) to rozwinięty kwadrat różnicy:

$$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$$

Upraszczamy \(x\), usuwając niewymierność z mianownika ułamka:

$$x = \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 = \frac{2\sqrt{2}}{2} + 1 = \sqrt{2} + 1$$

Liczymy różnicę i jej kwadrat:

$$x - y = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = 2, \qquad (x - y)^2 = 2^2 = 4$$

**Odpowiedź:** A. \(4\)

Kluczem jest rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia. Zamiast osobno liczyć \(x^2\), \(2xy\) i \(y^2\), sprowadzasz wszystko do \((x-y)^2\), a pierwiastki skracają się same. Jeśli widzisz wyrażenie typu \(a^2 \pm 2ab + b^2\), od razu myśl o wzorach skróconego mnożenia. Więcej takich zadań znajdziesz na stronie [potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-01)

---

### Zadanie 4 - Procenty (1 pkt)

**Treść:** Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o \(10\%\) w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje \(1944\) złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

**Rozwiązanie:**

Niech \(x\) oznacza cenę przed obniżkami. Każda obniżka o 10% liczona jest od aktualnej ceny, więc mnoży cenę przez \(0{,}9\):

$$x \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81x$$

Po dwóch obniżkach komputer kosztuje 1944 zł:

$$0{,}81x = 1944 \implies x = \frac{1944}{0{,}81} = 2400$$

Sprawdzenie: \(2400 \cdot 0{,}9 = 2160\), a \(2160 \cdot 0{,}9 = 1944\).

**Odpowiedź:** C. \(2400\) złotych

Dwie obniżki po 10% to łącznie 19%, a nie 20%, bo druga liczy się od już obniżonej ceny. Kto odejmie 20%, dostanie \(0{,}8x = 1944\), czyli \(x = 2430\) zł, a takiej odpowiedzi nie ma wśród opcji. Przy kilku zmianach procentowych z rzędu mnożysz współczynniki, a nie dodajesz procenty.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-04)

---

### Zadanie 8 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\frac{8^{20} - 2 \cdot 4^{20}}{2^{20} \cdot 4^{10}}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki - to absolutna podstawa przy tego typu zadaniach:

$$8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{60}$$

$$4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$$

$$2^{20} \cdot 4^{10} = 2^{20} \cdot (2^2)^{10} = 2^{20} \cdot 2^{20} = 2^{40}$$

Teraz podstawiamy do wyrażenia:

$$\frac{2^{60} - 2 \cdot 2^{40}}{2^{40}} = \frac{2^{60} - 2^{41}}{2^{40}}$$

Wyciągamy \(2^{40}\) z licznika:

$$\frac{2^{40}(2^{20} - 2)}{2^{40}} = 2^{20} - 2$$

**Odpowiedź:** B. \(2^{20}-2\)

Schemat jest zawsze ten sam: (1) sprowadź do wspólnej podstawy, (2) wyciągnij wspólny czynnik, (3) skróć. Jeśli widzisz 4, 8, 16, 32 - myśl "potęgi dwójki". Jeśli 9, 27, 81 - myśl "potęgi trójki". Jeśli 25, 125 - "potęgi piątki". Przeczytaj nasz [przewodnik po potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), żeby utrwalić ten schemat.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-08)

---

### Zadanie 15 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(1-\operatorname{tg} 40^\circ \) jest

**Rozwiązanie:**

Najpierw znak. Tangens jest rosnący w przedziale \((0^\circ, 90^\circ)\), a \(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\). Skoro \(40^\circ  1\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |

Iloczyn jest ujemny (< 0) dla \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)\).

**Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)

To zadanie idealnie pokazuje, jak ważne jest faktoryzowanie przed rozwiązywaniem nierówności. Gdybyś rozwinął lewy nawias i próbował rozwiązać jako nierówność kwadratową "na siłę", też by się udało - ale wyciągnięcie wspólnego czynnika jest szybsze i mniej podatne na błędy rachunkowe. Na maturze schemat oceniania daje punkt za poprawne rozłożenie na czynniki i punkt za poprawne rozwiązanie. Przeczytaj [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), żeby przećwiczyć faktoryzację.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-26)

---

### Zadanie 28 - Dowód - Liczby rzeczywiste (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6.

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy cztery kolejne liczby naturalne jako \(n, n+1, n+2, n+3\).

**Krok 1 - Suma kwadratów:**

$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2$$

Rozwijamy każdy kwadrat:

$$= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9$$

$$= 4n^2 + 12n + 14$$

**Krok 2 - Szukamy postaci "8k + 6":**

$$4n^2 + 12n + 14 = 4n^2 + 12n + 8 + 6 = 4(n^2 + 3n + 2) + 6$$

Faktoryzujemy wyrażenie w nawiasie:

$$n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$$

Zatem:

$$4n^2 + 12n + 14 = 4(n+1)(n+2) + 6$$

**Krok 3 - Dowód podzielności.** Spośród dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n+1\) i \(n+2\) dokładnie jedna jest parzysta. Zatem iloczyn \((n+1)(n+2)\) jest zawsze parzysty, czyli \((n+1)(n+2) = 2m\) dla pewnego \(m \in \mathbb{N}\).

Wstawiamy:

$$4 \cdot 2m + 6 = 8m + 6$$

Suma kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych daje resztę **6** z dzielenia przez 8. \(\square\)

To jeden z piękniejszych dowodów na maturze - łączy algebrę z teorią liczb. Schemat oceniania CKE: (1) poprawne rozwinięcie i uproszczenie sumy kwadratów - 1 punkt, (2) uzasadnienie podzielności przez 8 i wniosek o reszcie - 1 punkt. Najczęstszy błąd to zapomnienie o uzasadnieniu, dlaczego \((n+1)(n+2)\) jest parzyste - samo napisanie "bo to iloczyn kolejnych liczb" wystarczy, ale musisz to napisać!

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-28)

---

### Zadanie 32 - Stereometria (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Oznaczenia.** Podstawą jest kwadrat \(ABCD\) o boku \(a\), \(S\) to wierzchołek ostrosłupa, a \(O\) środek kwadratu (spodek wysokości). Kąt nachylenia krawędzi bocznej \(SA\) do podstawy to kąt \(\alpha = \angle SAO\) w trójkącie prostokątnym \(SAO\), w którym \(|SO| = H = 16\), a \(|AO|\) to połowa przekątnej kwadratu.

**Krok 2 - Krawędź boczna.** Skoro \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\), to \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}\). W trójkącie \(SAO\):

$$\sin\alpha = \frac{|SO|}{|SA|} \implies \frac{4}{5} = \frac{16}{|SA|} \implies |SA| = 20$$

**Krok 3 - Bok podstawy.**

$$|AO| = |SA| \cdot \cos\alpha = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12$$

Przekątna kwadratu ma więc długość 24, a bok:

$$a\sqrt{2} = 24 \implies a = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$$

**Krok 4 - Wysokość ściany bocznej.** Ściana boczna to trójkąt równoramienny o ramionach 20 i podstawie \(12\sqrt{2}\). Jej wysokość \(h\) opuszczona na podstawę dzieli podstawę na połowy długości \(6\sqrt{2}\):

$$h^2 = 20^2 - (6\sqrt{2})^2 = 400 - 72 = 328 \implies h = \sqrt{328} = 2\sqrt{82}$$

**Krok 5 - Pole powierzchni bocznej.** Są 4 takie ściany:

$$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 2 \cdot 12\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{82} = 48\sqrt{164} = 48 \cdot 2\sqrt{41} = 96\sqrt{41}$$

**Odpowiedź:** \(P_b = 96\sqrt{41}\)

Kąt nachylenia krawędzi bocznej leży w trójkącie z połową przekątnej podstawy, a nie z połową boku. Pomylenie tych odcinków daje zły bok podstawy. Wysokość ściany bocznej możesz też policzyć z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(H = 16\) i \(\frac{a}{2} = 6\sqrt{2}\) (odległość \(O\) od środka krawędzi podstawy): \(16^2 + (6\sqrt{2})^2 = 256 + 72 = 328\), wynik jest ten sam. Przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), żeby przećwiczyć ostrosłupy prawidłowe.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-32)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2018-01) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2018-02) - Logarytmy
- [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2018-03) - Równania i nierówności
- [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2018-04) - Procenty
- [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2018-05) - Liczby rzeczywiste
- [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2018-06) - Równania i nierówności
- [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2018-07) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2018-08) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2018-09) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2018-10) - Funkcje
- [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2018-11) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2018-12) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2018-13) - Ciągi
- [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2018-14) - Ciągi
- [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2018-15) - Trygonometria
- [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2018-16) - Geometria analityczna
- [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2018-17) - Planimetria
- [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2018-18) - Planimetria
- [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2018-19) - Planimetria
- [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2018-20) - Stereometria
- [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2018-21) - Stereometria
- [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2018-22) - Statystyka
- [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2018-23) - Stereometria
- [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2018-24) - Liczby rzeczywiste
- [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2018-25) - Prawdopodobieństwo

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2018-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2018-27) - Funkcja kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2018-28) - Liczby rzeczywiste (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2018-29) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2018-30) - Trygonometria (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2018-31) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2018-32) - Stereometria (5 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2018-33) - Ciągi (4 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-czerwiec-2018-34) - Geometria analityczna (4 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2018

Po przeanalizowaniu całego arkusza, oto najważniejsze obserwacje:

1. **Stereometria rządzi** - 4 zadania za 8 punktów, w tym jedno za 5 pkt. Jeśli chcesz wysoki wynik, musisz umieć rysować ostrosłupy, wyznaczać kąty i liczyć objętości. Przećwicz [zadania ze stereometrii](/topics/stereometria) i przeczytaj [przewodnik po stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

2. **Wzory skróconego mnożenia to must-have** - zadanie 1 z \((x-y)^2\), zadanie 26 z faktoryzacją. CKE regularnie sprawdza, czy umiesz rozpoznać wzory w "zamaskowanej" formie. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć je dostrzec w nietypowym kontekście.

3. **Sprowadzanie do wspólnej podstawy** - zadanie 8 to klasyk. Za każdym razem, gdy widzisz potęgi różnych liczb (4, 8, 16, 32...), natychmiast sprowadzaj do potęg dwójki. To schemat, który pojawia się na niemal każdej maturze.

4. **Dowody wymagają uzasadnienia** - w zadaniu 28 nie wystarczy pokazać rachunki. Musisz napisać, DLACZEGO iloczyn kolejnych liczb jest parzysty. Egzaminatorzy szukają słów "ponieważ", "zatem", "więc".

5. **Tablice matematyczne to narzędzie, nie ściąga** - w zadaniu 15 trzeba oszacować \(1 - \operatorname{tg} 40^\circ\). Z monotoniczności tangensa wiesz tylko, że liczba jest dodatnia, a o odpowiedzi decyduje wartość \(\operatorname{tg} 40^\circ \approx 0{,}8391\) odczytana z tablic.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Oto sprawdzony plan pracy z tym arkuszem:

**Etap 1 - Symulacja egzaminu (170 minut)**
Wydrukuj arkusz lub otwórz go na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-czerwiec-2018) i rozwiąż w warunkach egzaminacyjnych. Bez telefonu, bez notatek, z zegarkiem. Zaznacz zadania, przy których wahałeś się lub zgadywałeś.

**Etap 2 - Analiza błędów (60 minut)**
Porównaj swoje odpowiedzi z rozwiązaniami powyżej. Dla każdego błędu ustal: czy to brak wiedzy (nie znałeś metody), brak umiejętności (znałeś, ale nie umiałeś zastosować) czy błąd rachunkowy (umiałeś, ale się pomyliłeś)?

**Etap 3 - Uzupełnianie luk**
- Brak wiedzy? Przeczytaj odpowiedni przewodnik tematyczny (linki powyżej) i rozwiąż 10 zadań z tej kategorii
- Brak umiejętności? Rozwiąż 5 analogicznych zadań z innych arkuszy. Porównaj z [maturą maj 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz)
- Błędy rachunkowe? Rozwiąż te same zadania ponownie za tydzień. Jeśli znowu się pomylisz - to nie rachunki, to metoda

**Etap 4 - Powtórka po tygodniu**
Wróć do zadań, które sprawiły ci problem, i rozwiąż je ponownie bez zaglądania do rozwiązań. Jeśli nadal robisz błędy - przećwicz więcej zadań z tej kategorii na stronie [zadań tematycznych](/topics).

Pamiętaj: sesja dodatkowa to rzadko przerabiany arkusz. Jeśli rozwiążesz go solidnie, masz sporą przewagę nad kolegami, którzy ćwiczą tylko na majowych arkuszach. Przejrzyj też [kompletną bazę arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), żeby zaplanować kolejne sesje ćwiczeń.

Powodzenia na maturze! Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań wszystkich ponad 2300 zadań z naszej bazy, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout). Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę w trybie egzaminacyjnym.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2017-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2017 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura czerwiec 2017 z matematyki (termin dodatkowy): lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2017 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura czerwiec 2017

Sesja dodatkowa z czerwca 2017 to arkusz, po który sięga mało osób - a niesłusznie. 34 zadania (25 zamkniętych po 1 punkcie i 9 otwartych za 2-5 punktów, razem **50 punktów**) stanowią świetny materiał do ćwiczeń, bo prawie nikt ich wcześniej nie widział. Jeśli przerabiasz już trzeci raz te same majowe arkusze, to jest twój moment.

Cechą wyróżniającą tego arkusza jest **dominacja geometrii**: aż 7 zadań z planimetrii. CKE w sesji dodatkowej wyraźnie postawiła na figury płaskie, twierdzenie Pitagorasa i pole trójkąta. Do tego mocna reprezentacja geometrii analitycznej (5 zadań, 11 punktów) - sam ten dział to 22% arkusza.

Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. Ile punktów potrzebujesz na studia, zależy od uczelni i kierunku.

Porównaj ten arkusz z [maturą maj 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz) - sesja główna była bardziej zbalansowana tematycznie. Pełną listę arkuszy znajdziesz w [bazie arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 5 | 11 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 7 | 8 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 6 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 |
| Potęgi i pierwiastki | 3 | 4 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 |
| Równania i nierówności | 2 | 3 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 2 |
| Funkcja liniowa | 1 | 1 |
| Liczby rzeczywiste | 1 | 1 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Układy równań | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |

Najwięcej zadań, bo aż 7, dotyczy **planimetrii**. Najwięcej punktów daje [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory): 11 punktów w 5 zadaniach, w tym dwa otwarte za 4 pkt (zad. 32 i 33). Planimetria i geometria analityczna dają razem 19 z 50 punktów, a ze stereometrią 25, czyli połowę arkusza. Jeśli geometria nie jest twoją mocną stroną, ten arkusz brutalnie to obnażi.

Warto porównać ten rozkład z [sesją majową 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz). Tam rozkład był bardziej równomierny, z większym udziałem funkcji i ciągów. Sesja dodatkowa postawiła wszystko na geometrię.

## Poziom trudności

**Łatwe** - proste potęgi, procenty, odczytywanie wykresów, podstawowa planimetria zamknięta, logarytm. Jeśli robisz błędy w tych zadaniach, zacznij od [przewodnika po potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag). To fundament, bez którego nie ruszysz dalej.

**Średnie** - ciągi, trygonometria, funkcja kwadratowa, prawdopodobieństwo, stereometria zamknięta, geometria analityczna zamknięta. Kluczowe tematy to [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), [trygonometria](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) i [prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

**Trudne** - otwarte zadania za 4 punkty o trapezie i o trójkącie w układzie współrzędnych (zad. 32 i 33), stereometria za 5 punktów (zad. 34), dowód algebraiczny (zad. 29), nierówność otwarta (zad. 26). Nawet niepełne rozwiązanie otwartego zadania daje punkty cząstkowe - sam poprawny rysunek i wyznaczenie jednej wielkości to 1-2 punkty.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 3 - Potęgi (1 pkt)

**Treść:** Suma \(16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Masz cztery identyczne składniki, więc suma to po prostu:

$$4 \cdot 16^{24}$$

Teraz sztuczka - zapisz czwórkę jako potęgę dwójki i szesnastkę też:

$$4 = 2^2, \quad 16 = 2^4$$

Zatem:

$$4 \cdot 16^{24} = 2^2 \cdot (2^4)^{24} = 2^2 \cdot 2^{96} = 2^{98}$$

Możesz to też zapisać inaczej. Skoro \(2^{98} = (2^2)^{49} = 4^{49}\), to jest jedna z możliwych odpowiedzi.

Ale jest jeszcze krótsza droga. Zauważ, że \(4 = 16^{1/2}\) (bo \(\sqrt{16} = 4\)), więc:

$$4 \cdot 16^{24} = 16^{1/2} \cdot 16^{24} = 16^{24{,}5}$$

Hmm, \(24{,}5\) nie wygląda elegancko w odpowiedziach. Zostańmy przy \(2^{98} = 4^{49}\).

**Odpowiedź:** D. \(4^{49}\)

Schemat jest prosty: sumowanie identycznych potęg to mnożenie. \(n\) razy ta sama potęga = \(n \cdot\) ta potęga. Potem sprowadzasz do wspólnej podstawy. Więcej o tym w [przewodniku po potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2017-03)

---

### Zadanie 9 - Funkcja kwadratowa (1 pkt)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) oraz \(f(-1)=f(3)=1\). Współczynnik \(b\) jest równy

**Rozwiązanie:**

Warunek \(f(-1) = f(3)\) oznacza, że punkty paraboli o odciętych \(-1\) i \(3\) leżą symetrycznie względem jej osi. Oś symetrii przechodzi więc przez środek odcinka między nimi:

$$x_w = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Dla \(f(x) = x^2 + bx + c\) odcięta wierzchołka to \(x_w = -\frac{b}{2 \cdot 1} = -\frac{b}{2}\). Zatem:

$$-\frac{b}{2} = 1 \implies b = -2$$

Sprawdzenie układem równań: \(f(-1) = 1 - b + c = 1\) i \(f(3) = 9 + 3b + c = 1\). Po odjęciu stronami \(-4b = 8\), czyli \(b = -2\) (a przy okazji \(c = -2\)).

**Odpowiedź:** A. \(-2\)

Jeśli funkcja kwadratowa przyjmuje tę samą wartość w dwóch punktach, oś paraboli leży dokładnie pośrodku między nimi. To skraca zadanie do jednej linijki. Przeczytaj więcej o [funkcji kwadratowej na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2017-09)

---

### Zadanie 15 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sin \alpha \) jest równy

**Rozwiązanie:**

Skoro \(\tg \alpha = \frac{12}{5}\), wyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna naprzeciwko kąta \(\alpha\) ma długość 12, a przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) ma długość 5. Wtedy tangens to stosunek przeciwnej do przyległej, czyli \(\frac{12}{5}\) - zgadza się.

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

$$c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

Zatem:

$$\sin \alpha = \frac{\text{przeciwna}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{12}{13}$$

**Odpowiedź:** D. \(\frac{12}{13}\)

Trójkąt 5-12-13 to jeden z klasycznych trójkątów pitagorejskich (obok 3-4-5 i 8-15-17). Warto go zapamiętać. Alternatywne podejście: użyj jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) i zależności \(\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), ale trójkąt prostokątny jest szybszy. Więcej o [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2017-15)

---

### Zadanie 23 - Stereometria (1 pkt)

**Treść:** Długość przekątnej sześcianu jest równa \(6\). Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

**Rozwiązanie:**

Przekątna sześcianu o boku \(a\) to:

$$d = a\sqrt{3}$$

Masz \(d = 6\), więc:

$$a\sqrt{3} = 6 \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Pole powierzchni całkowitej sześcianu (6 ścian, każda to kwadrat o boku \(a\)):

$$P = 6a^2 = 6 \cdot (2\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 6 \cdot 12 = 72$$

**Odpowiedź:** A. \(72\)

Dwa wzory do zapamiętania na sześcian: przekątna \(d = a\sqrt{3}\) i przekątna ściany \(d_s = a\sqrt{2}\). Nie myl ich - na maturze to częsty podstęp. Sześcian to najprostszy przypadek w [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), więc te punkty musisz brać.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2017-23)

---

### Zadanie 25 - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Treść:** Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od \(20\), jest równe

**Rozwiązanie:**

Wszystkich wyników dwóch rzutów jest \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\).

Iloczyn większy od 20 dają tylko duże liczby oczek. Wypisujemy pary:

- \(4 \cdot 6 = 24\): pary \((4, 6)\) i \((6, 4)\),
- \(5 \cdot 5 = 25\): para \((5, 5)\),
- \(5 \cdot 6 = 30\): pary \((5, 6)\) i \((6, 5)\),
- \(6 \cdot 6 = 36\): para \((6, 6)\).

Iloczyn \(4 \cdot 5 = 20\) nie jest większy od 20, a \(3 \cdot 6 = 18\) też odpada. Zdarzeń sprzyjających jest \(|A| = 6\).

$$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

**Odpowiedź:** A. \(\frac{1}{6}\)

Uważaj na granicę: „większy od 20” wyklucza iloczyn równy 20, czyli pary \((4, 5)\) i \((5, 4)\). Ich doliczenie daje \(\frac{8}{36} = \frac{2}{9}\), czyli błędną odpowiedź D. Przeczytaj [przewodnik po prawdopodobieństwie](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2017-25)

---

### Zadanie 26 - Nierówność (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(\left(x - \frac{1}{2}\right)x > 3\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right)\)

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Przenieś wszystko na jedną stronę:**

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)x - 3\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) > 0$$

**Krok 2 - Wyciągnij wspólny czynnik** \(\left(x - \frac{1}{2}\right)\):

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)\left[x - 3\left(x + \frac{1}{3}\right)\right] > 0$$

**Krok 3 - Uprość nawias kwadratowy:**

$$x - 3\left(x + \frac{1}{3}\right) = x - 3x - 1 = -2x - 1$$

Zatem nierówność ma postać:

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)(-2x - 1) > 0$$

Wyciągnij minus z drugiego czynnika:

$$-\left(x - \frac{1}{2}\right)(2x + 1) > 0$$

Mnożymy obie strony przez \(-1\) (odwracamy znak nierówności):

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)(2x + 1)  \frac{1}{2}\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

Szukamy iloczynu ujemnego ( 0\), to:

$$\left[\left(\frac{3}{2}\right)^4\right]^{25} < 6^{25}$$

Co daje:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{100} < 6^{25} \quad \square$$

To piękny dowód, który opiera się na jednym pomyśle: rozbić wykładnik 100 na \(4 \cdot 25\), żeby sprowadzić porównanie do czegoś obliczalnego. Schemat CKE: 1 pkt za doprowadzenie do porównania \(\left(\frac{3}{2}\right)^4\) z 6, 1 pkt za poprawne uzasadnienie nierówności. Najczęstszy błąd to brak uzasadnienia, dlaczego z \(a < b\) wynika \(a^{25} < b^{25}\) - musisz napisać, że potęga o naturalnym wykładniku zachowuje nierówność dla liczb dodatnich.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2017-29)

---

### Zadanie 34 - Stereometria (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA'B'C'D'\) jest romb \(ABCD\). Przekątna \(AC'\) tego graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ \), a przekątna \(BD'\) jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45^\circ \). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Oznaczenia.** Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Niech \(H\) oznacza wysokość graniastosłupa (\(|CC'| = |DD'| = H\)).

**Krok 2 - Trójkąt \(ACC'\).** Rzutem przekątnej \(AC'\) na podstawę jest przekątna rombu \(AC\), a kąt przy \(A\) ma \(30^\circ\):

$$|AC| = 8 \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}, \qquad H = 8 \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

**Krok 3 - Trójkąt \(BDD'\).** Rzutem przekątnej \(BD'\) jest przekątna \(BD\), a kąt przy \(B\) ma \(45^\circ\). Trójkąt \(BDD'\) jest prostokątny i równoramienny, więc:

$$|BD| = H = 4$$

**Krok 4 - Bok rombu.** Połowy przekątnych to \(2\sqrt{3}\) i \(2\). Z twierdzenia Pitagorasa:

$$a = \sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = 4$$

**Krok 5 - Pola.** Pole podstawy (rombu) z przekątnych:

$$P_p = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 4}{2} = 8\sqrt{3}$$

Powierzchnię boczną tworzą 4 prostokąty \(a \times H\):

$$P_b = 4 \cdot a \cdot H = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$$

$$P_c = 2P_p + P_b = 16\sqrt{3} + 64 = 16\left(\sqrt{3} + 4\right)$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 16\left(\sqrt{3} + 4\right) = 64 + 16\sqrt{3}\)

Kluczowe jest rozpoznanie, że kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy leży między tą przekątną a jej rzutem, czyli przekątną rombu. Dalej każda wielkość wynika z poprzedniej: \(AC\) i \(H\), potem \(BD\), bok rombu i pola. Więcej o bryłach i kątach w [przewodniku po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2017-34)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza czekają na ciebie na Sprawnej Maturze z rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2017-01) - Liczby rzeczywiste
- [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2017-02) - Procenty
- [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2017-03) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2017-04) - Logarytmy
- [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2017-05) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2017-06) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2017-07) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2017-08) - Układy równań
- [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2017-09) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2017-10) - Równania i nierówności
- [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2017-11) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2017-12) - Geometria analityczna
- [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2017-13) - Ciągi
- [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2017-14) - Ciągi
- [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2017-15) - Trygonometria
- [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2017-16) - Planimetria
- [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2017-17) - Planimetria
- [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2017-18) - Geometria analityczna
- [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2017-19) - Geometria analityczna
- [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2017-20) - Planimetria
- [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2017-21) - Planimetria
- [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2017-22) - Planimetria
- [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2017-23) - Stereometria
- [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2017-24) - Planimetria
- [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2017-25) - Prawdopodobieństwo

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2017-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2017-27) - Trygonometria (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2017-28) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2017-29) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2017-30) - Ciągi (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2017-31) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2017-32) - Geometria analityczna (4 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2017-33) - Geometria analityczna (4 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-czerwiec-2017-34) - Stereometria (5 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2017

1. **Planimetria to ponad 1/6 arkusza** - 7 zadań z geometrii płaskiej oznacza, że CKE traktuje ją jako fundament. Twierdzenie Pitagorasa, pola figur, kąty w trójkącie, okrąg opisany - to nie jest opcjonalne. Przećwicz [zadania z planimetrii](/topics/planimetria) do bólu.

2. **Geometria analityczna warta 11 punktów** - 5 zadań, w tym dwa otwarte za 4 pkt. Równanie prostej, odległość punktu od prostej, równanie okręgu, wektory - musisz to umieć biegle. Nasz [przewodnik po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) zawiera wszystkie potrzebne wzory.

3. **Dowody pojawiają się regularnie** - zadanie 29 z dowodem nierówności wymaga kreatywności, nie mechanicznego stosowania wzorów. Klucz to rozbicie wykładnika na czynniki (\(100 = 4 \cdot 25\)). Tego typu "sztuczki" ćwiczysz, rozwiązując arkusze z różnych lat.

4. **Trójkąty pitagorejskie wracają co roku** - 5-12-13, 3-4-5, 8-15-17. CKE je uwielbia, bo pozwalają uniknąć "brzydkich" liczb w odpowiedziach. Zapamiętaj je i rozpoznawaj automatycznie.

5. **Stereometria za 5 pkt to maraton, nie sprint** - zadanie 34 ma kilka etapów, a schemat oceniania przyznaje punkty za kolejne etapy, nie tylko za wynik. Nie panikuj na widok długiego zadania - rozwiązuj etapami, a punkty cząstkowe same się zbiorą.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Etap 1 - Symulacja egzaminu (170 minut)**
Otwórz arkusz na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-czerwiec-2017) i rozwiąż w warunkach zbliżonych do egzaminu. Bez telefonu, z kalkulatorem prostym i zegarkiem. Po skończeniu zanotuj, przy których zadaniach zgadywałeś lub wahałeś się.

**Etap 2 - Autokorekta (45 minut)**
Sprawdź odpowiedzi z rozwiązaniami powyżej i z rozwiązaniami pod linkami z pełnej listy zadań. Policz punkty. Dla każdego błędu określ przyczynę: brak wiedzy (nie znałeś wzoru), brak techniki (znałeś wzór, nie umiałeś zastosować) czy błąd rachunkowy (umiałeś, ale się pomyliłeś w obliczeniach).

**Etap 3 - Praca nad słabymi stronami**
- Brak wiedzy? Przeczytaj odpowiedni przewodnik tematyczny - [potęgi](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), [planimetria](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag), [stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), [trygonometria](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - i rozwiąż 10 zadań z danej kategorii.
- Brak techniki? Porównaj z [maturą maj 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz) i rozwiąż analogiczne zadania z tamtego arkusza.
- Błędy rachunkowe? Powtórz te same zadania za tydzień. Jeśli znowu się pomylisz - to nie rachunki, to metoda.

**Etap 4 - Kolejny arkusz**
Gdy opanujesz ten arkusz, przejdź do [matury maj 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz) lub [innych arkuszy z bazy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Możesz też spróbować [symulatora matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), który losuje zadania z różnych roczników.

Powodzenia! Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań krok po kroku dla wszystkich ponad 2300 zadań z naszej bazy, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout). A na rozgrzewkę - [losowe zadanie](/solve).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2016-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2016 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura czerwiec 2016 z matematyki (termin dodatkowy): lista 33 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2016 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura czerwiec 2016

Matura z matematyki z sesji dodatkowej (czerwiec) 2016 to arkusz, który wielu uczniów kompletnie pomija podczas powtórek - i to spory błąd. Sesja dodatkowa ma porównywalny poziom trudności do [sesji głównej z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz), a ponieważ mniej osób go zna, możesz na nim uczciwie sprawdzić swoje umiejętności bez ryzyka, że "przypadkiem" znasz odpowiedzi z filmików na YouTube.

Arkusz składał się z **33 zadań**: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 8 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie **50 punktów** do zdobycia w 170 minut. Zwróć uwagę: to 33 zadania, a nie 34 jak w większości arkuszy tej formuły. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**.

Rok 2016 był dopiero drugim rokiem nowej formuły matury (po 2015). CKE wciąż kalibrowało trudność, ale ten arkusz jest dobrze wyważony i świetnie nadaje się do powtórek. Jeśli chcesz porównać z sesją główną, zajrzyj do [rozwiązań matury maj 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Wszystkie arkusze znajdziesz w [kompletnej bazie arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 4 | 8 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 7 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 5 | 6 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 4 | 6 |
| Procenty | 2 | 5 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 5 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 3 | 3 |
| Wyrażenia algebraiczne | 3 | 3 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 2 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 1 |
| Układy równań | 1 | 1 |

Najwięcej punktów dają [ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania): 4 zadania za 8 punktów, w tym otwarte zadanie 31 za 5 pkt. Dalej jest planimetria: 3 zadania za 7 punktów, w tym otwarte zadania 29 i 30. Najwięcej zadań, bo 5, ma [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), ale to głównie zadania zamknięte, razem za 6 punktów. Równania i nierówności to [4 zadania za 6 punktów](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

Procenty to tylko 2 zadania, ale jedno z nich to rozbudowane zadanie otwarte 33 o czasie przelotu samolotu. [Stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) wygląda podobnie: 2 zadania za 5 punktów, w tym zadanie 32 o stożku za 4 pkt.

## Poziom trudności

Najwięcej w jednym zadaniu, 5 punktów, daje ciąg arytmetyczny (zad. 31). Po 4 punkty są warte zadania 30, 32 i 33.

**Łatwe** - wyrażenia algebraiczne, podstawowe potęgi, proste zadania z geometrii analitycznej (odczytywanie współrzędnych, równanie prostej), funkcja kwadratowa. To zadania, które musisz robić bezbłędnie. Jeśli masz z nimi problem, wróć do [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

**Średnie** - logarytmy, ciągi arytmetyczne i geometryczne, procenty z kontekstem, równanie wymierne, planimetria. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania w różnych kontekstach pozwolą ci zdobyć większość tych punktów. Przeczytaj [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), żeby nie tracić punktów na formalności.

**Trudne** - ciąg arytmetyczny za 5 punktów (zad. 31), pola w trójkącie z cosinusem kąta (zad. 30), stożek (zad. 32) i czas przelotu samolotu (zad. 33), każde za 4 punkty, oraz dowód algebraiczny za 2 punkty (zad. 28). Ale nawet tu punkty cząstkowe są w zasięgu - samo zapisanie danych i wzoru to już 1-2 punkty.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Klucz to zamienić wszystko na potęgi trójki. To uniwersalny schemat w zadaniach z [potęgami](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) - zamieniasz pierwiastki na ułamkowe wykładniki i upraszczasz.

Najpierw podwyrażenie \(3\sqrt{3}\):

$$3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$

Teraz pierwiastek trzeciego stopnia z tego wyrażenia:

$$\sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** D. \(\sqrt{3}\)

Schemat: zamień na potęgi -> pomnóż wykładniki -> uprość. Ten sam wzorzec wraca na maturze co roku. Pamiętaj: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\) i \(a^k \cdot a^l = a^{k+l}\). Nie komplikuj - sprowadź do jednej podstawy i licz wykładniki.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-03)

---

### Zadanie 6 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Suma [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) o tej samej podstawie to logarytm iloczynu. To pierwsza własność, po którą sięgasz, gdy widzisz dodawanie logów:

$$\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9} = \log_3\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9}\right)$$

Mnożymy ułamki:

$$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$

Więc:

$$\log_3\frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$$

**Odpowiedź:** A. \(-1\)

Typowe zadanie na własność \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\). Najczęstszy błąd: dodawanie argumentów zamiast ich mnożenia. Pamiętaj - logarytm "zamienia" mnożenie na dodawanie, nie odwrotnie. Ćwicz tego typu zadania na [zadaniach z logarytmów](/topics/logarytmy).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-06)

---

### Zadanie 10 - Funkcja kwadratowa (1 pkt)

**Treść:** Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca.

**Rozwiązanie:**

Funkcja kwadratowa podana w postaci iloczynowej. Odczytujemy od razu [miejsca zerowe](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania):

$$x_1 = -5, \quad x_2 = 11$$

Współczynnik \(a = -2  0 \implies 42(n-1)  0\).

**Krok 2 - Wyznaczenie \(x\) z [objętości stożka](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni):**

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 64x^2 \cdot 3x = 64\pi x^3$$

$$64\pi x^3 = 8\pi \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$$

Stąd \(r = 4\) i \(H = \frac{3}{2}\).

**Krok 3 - Tworząca.** Promień, wysokość i tworząca \(l\) tworzą trójkąt prostokątny:

$$l^2 = r^2 + H^2 = 16 + \frac{9}{4} = \frac{73}{4} \implies l = \frac{\sqrt{73}}{2}$$

**Krok 4 - Pole powierzchni bocznej:**

$$P_b = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{73}}{2} = 2\pi\sqrt{73}$$

**Odpowiedź:** \(P_b = 2\pi\sqrt{73}\)

Zadanie pyta o pole powierzchni bocznej, a nie całkowitej, więc nie dodajesz pola podstawy \(\pi r^2\). Stosunek \(3:8\) najwygodniej zamienić na \(H = 3x\) i \(r = 8x\): wtedy objętość daje jedno równanie z jedną niewiadomą. Przeczytaj nasz [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-32)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 33 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2016-01) - Liczby rzeczywiste
- [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2016-02) - Procenty
- [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2016-03) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2016-04) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2016-05) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2016-06) - Logarytmy
- [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2016-07) - Równania i nierówności
- [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2016-08) - Równania i nierówności
- [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2016-09) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2016-10) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2016-11) - Ciągi
- [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2016-12) - Ciągi
- [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2016-13) - Planimetria
- [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2016-14) - Geometria analityczna
- [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2016-15) - Liczby rzeczywiste
- [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2016-16) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2016-17) - Geometria analityczna
- [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2016-18) - Układy równań
- [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2016-19) - Liczby rzeczywiste
- [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2016-20) - Stereometria
- [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2016-21) - Prawdopodobieństwo
- [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2016-22) - Ciągi
- [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2016-23) - Geometria analityczna
- [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2016-24) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2016-25) - Geometria analityczna

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2016-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2016-27) - Geometria analityczna (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2016-28) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2016-29) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2016-30) - Planimetria (4 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2016-31) - Ciągi (5 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2016-32) - Stereometria (4 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2016-33) - Procenty (4 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2016

1. **Geometria analityczna: najwięcej zadań.** 5 zadań, w tym otwarte zadanie 27. Opanuj równania prostych, odległość punktu od prostej i równanie okręgu. [Ćwicz geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna)

2. **Ciągi za duże punkty.** 4 zadania za 8 punktów, w tym zadanie 31 za 5 pkt. Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego trzeba umieć ułożyć w układ równań. [Ćwicz ciągi](/topics/ciagi)

3. **Potęgi i pierwiastki to fundament.** Zamiana na potęgi o wspólnej podstawie pojawia się nie tylko w "czystych" zadaniach z potęgami, ale też w logarytmach i stereometrii. To narzędzie, które musisz mieć w małym palcu. [Ćwicz potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki)

4. **Równania wymierne - zawsze dziedzina.** Pominięcie dziedziny w równaniu wymiernym to stracony punkt. CKE wymaga jawnego zapisania warunków na mianowniki. Rób to mechanicznie - na początku każdego zadania z ułamkami.

5. **Dowody algebraiczne mają schemat.** Przenieś na jedną stronę, sprowadź do sumy kwadratów, uzasadnij nieujemność. Tak wygląda dowód w zadaniu 28.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Tydzień 1 - Próba egzaminacyjna.** Rozwiąż cały arkusz w warunkach zbliżonych do matury: 170 minut, bez telefonu, z kalkulatorem prostym (tylko taki wolno mieć na maturze). Zapisz wynik i zaznacz, które zadania sprawiły problemy. Nie podglądaj rozwiązań w trakcie - chodzi o diagnozę, nie o wynik.

**Tydzień 2 - Analiza błędów.** Przy każdym błędnym zadaniu zadaj sobie pytanie: czy problem to brak wiedzy (nie znam wzoru), brak techniki (znam wzór, ale nie umiem go zastosować) czy błąd rachunkowy (umiem, ale się pomyliłem)? Każdy typ wymaga innej pracy:
- Brak wiedzy: wróć do teorii - [potęgi](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), [logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), [ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), [stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory)
- Brak techniki: rozwiąż 10-15 zadań z danej kategorii na [Sprawnej Maturze](/)
- Błędy rachunkowe: ćwicz dokładność, sprawdzaj wyniki podstawieniem

**Tydzień 3 - Ponowne rozwiązanie i kolejny arkusz.** Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz, żeby upewnić się, że uzupełniłeś braki. Potem przejdź do kolejnego - polecam [maturę maj 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz) (sesja główna) albo [maturę czerwiec 2018](/matura-czerwiec-2018-rozwiazania-arkusz) (sesja dodatkowa dwa lata później, żeby zobaczyć ewolucję trudności).

Przygotowujesz się do matury? Na [Sprawnej Maturze](/) mamy **ponad 2300 zadań maturalnych** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2014-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura maj 2014 z matematyki (stara formuła): lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2014

Matura z matematyki z maja 2014 to arkusz ze **starej formuły egzaminu**, obowiązującej w latach 2010-2014. Nowa formuła (z nową podstawą programową) weszła na maturze w 2015 roku. Zadania z 2014 roku nadal dobrze nadają się do ćwiczeń, bo sprawdzają te same umiejętności: równania, funkcje, geometrię i rachunek prawdopodobieństwa.

Arkusz składał się z **25 zadań zamkniętych** (po 1 punkcie) oraz **9 zadań otwartych** (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było **50 punktów** w 170 minut. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów - ale jeśli chcesz mieć komfortowy wynik, celuj w 30+ punktów.

Dla porównania możesz rozwiązać [maturę z maja 2015](/matura-maj-2015-rozwiazania-arkusz), pierwszą w nowej formule. Pełną listę wszystkich dostępnych arkuszy znajdziesz w [kompletnej bazie zadań CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Poniżej znajdziesz rozkład kategorii, analizę trudności, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i pełną listę wszystkich 34 zadań z linkami.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 5 | 9 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 4 | 9 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 3 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 3 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 2 | 2 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 2 |
| Kombinatoryka | 1 | 1 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 |
| Układy równań | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |

Arkusz jest bardzo zrównoważony - aż **18 różnych kategorii**. Najwięcej punktów dają trzy działy: [planimetria](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) (5 zadań, 9 punktów), [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) (4 zadania, 9 punktów, w tym otwarte zadanie 33 za 5 pkt) i [stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) (3 zadania, 6 punktów).

Równania i nierówności to 9 punktów, czyli 18% arkusza. W tym arkuszu sprawdzają rozkładanie wielomianu na czynniki (zadanie 27), równanie wymierne (zadanie 5) i zadanie tekstowe prowadzące do równania kwadratowego (zadanie 33). Przeczytaj nasz [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), żeby mieć wszystkie metody w jednym miejscu.

## Poziom trudności

**Łatwe** - zadania zamknięte z potęg i pierwiastków, logarytmów, procentów, funkcji liniowej, układów równań, wyrażeń algebraicznych. To czyste rachunki i podstawowe wzory. Jeśli te zadania sprawiają ci trudność, zacznij od [powtórki potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

**Średnie** - ciągi, trygonometria, planimetria (zamknięte i otwarte za 2 pkt), prawdopodobieństwo, geometria analityczna, funkcje. Tu potrzebujesz pewności w stosowaniu wzorów i umiejętności rozrysowania problemu. Kluczowe materiały: [trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), [prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

**Trudne** - równanie wielomianowe za 2 pkt (zad. 27), dowód z podzielności (zad. 28), stereometria za 4 pkt (zad. 32), zadanie z treścią za 5 pkt (zad. 33), planimetria z kwadratem wpisanym w trójkąt prostokątny za 4 pkt (zad. 34). Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe - samo poprawne zapisanie równania czy narysowanie rysunku daje punkty. Przygotuj się z [przewodnikiem po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Mamy dwa ułamki z niewymiernym mianownikiem. Klucz to usunięcie niewymierności (racjonalizacja). Mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez sprzężenie mianownika.

Pierwszy ułamek:

$$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$$

Drugi ułamek:

$$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$$

Teraz odejmujemy:

$$(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = \sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1 = 2$$

**Odpowiedź:** A. \(2\)

To klasyczne zadanie na racjonalizację mianownika. Wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) to twój najlepszy przyjaciel w takich zadaniach. Pamiętaj, że na maturze mnożysz zawsze przez sprzężenie - jeśli w mianowniku jest \(\sqrt{3}-1\), mnożysz przez \(\sqrt{3}+1\) i odwrotnie. Więcej w [przewodniku po potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-03)

---

### Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Suma \( \log_8 16+1 \) jest równa

**Rozwiązanie:**

Musimy obliczyć \(\log_8 16\). Zarówno 8 jak i 16 to potęgi dwójki: \(8 = 2^3\) i \(16 = 2^4\). Korzystamy z definicji logarytmu i zamiany podstawy.

$$\log_8 16 = \log_{2^3} 2^4$$

Stosujemy wzór \(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \cdot \log_a b\):

$$\log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \cdot \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$$

Teraz dodajemy:

$$\log_8 16 + 1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3}$$

**Odpowiedź:** C. \(\frac{7}{3}\)

Kluczowa umiejętność: rozpoznawanie potęg wspólnej podstawy. Gdy widzisz \(\log_8 16\), od razu myśl "obie liczby to potęgi 2". Alternatywny sposób: z definicji \(\log_8 16 = x\) oznacza \(8^x = 16\), czyli \(2^{3x} = 2^4\), stąd \(3x = 4\) i \(x = 4/3\). Więcej o [logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-04)

---

### Zadanie 14 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Jeżeli \( \alpha \) jest kątem ostrym oraz \( \operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5} \), to wartość wyrażenia \( \frac{3\cos{\alpha }-2\sin{\alpha }}{\sin{\alpha }-5\cos{\alpha }} \) jest równa

**Rozwiązanie:**

Najkrócej: dzielimy licznik i mianownik przez \(\cos\alpha\) (dla kąta ostrego \(\cos\alpha \neq 0\)). Wtedy każdy iloraz \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) zamienia się w \(\operatorname{tg}\alpha\):

$$\frac{3\cos\alpha - 2\sin\alpha}{\sin\alpha - 5\cos\alpha} = \frac{3 - 2\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha - 5}$$

Podstawiamy \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}\):

$$\frac{3 - \frac{4}{5}}{\frac{2}{5} - 5} = \frac{\frac{11}{5}}{-\frac{23}{5}} = -\frac{11}{23}$$

To samo wyjdzie z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2 i 5: przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{29}\), więc \(\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}\) i \(\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}\). Po podstawieniu \(\sqrt{29}\) się skraca.

**Odpowiedź:** A. \(-\frac{11}{23}\)

**Wskazówka:** Gdy w wyrażeniu są tylko \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\) w pierwszej potędze, a dany jest tangens, dziel licznik i mianownik przez \(\cos\alpha\). Przeczytaj [przewodnik po trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-14)

---

### Zadanie 24 - Kombinatoryka (1 pkt)

**Treść:** Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród \( 10 \) zawodników?

**Rozwiązanie:**

Wybieramy 2 osoby z 10 - kolejność nie ma znaczenia (nie przypisujemy im ról, tylko wybieramy parę). To klasyczna kombinacja:

$$\binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$$

**Odpowiedź:** C. \(45\)

Na maturze zadania na kombinacje pojawiają się regularnie. Pamiętaj regułę: jeśli kolejność ma znaczenie, to wariacja. Jeśli nie - kombinacja. Tutaj para (Jan, Piotr) to to samo co (Piotr, Jan), więc stosujemy kombinację.

Szybki sposób na obliczanie \(\binom{n}{2}\): to zawsze \(\frac{n(n-1)}{2}\). Dla \(n = 10\) masz \(\frac{10 \cdot 9}{2} = 45\). Przeczytaj [przewodnik po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-24)

---

### Zadanie 27 - Równanie wielomianowe (2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Grupowanie.** Wielomian trzeciego stopnia rozkładamy, grupując wyrazy parami:

$$9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0$$

$$(9x^3 + 18x^2) + (-4x - 8) = 0$$

$$9x^2(x + 2) - 4(x + 2) = 0$$

**Krok 2 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika.** Oba składniki zawierają \((x + 2)\):

$$(x + 2)(9x^2 - 4) = 0$$

**Krok 3 - Rozkład różnicy kwadratów.** Wyrażenie \(9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2\) to różnica kwadratów:

$$(x + 2)(3x - 2)(3x + 2) = 0$$

**Krok 4 - Rozwiązania.** Każdy czynnik przyrównujemy do zera:

$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$
$$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$$
$$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$$

**Odpowiedź:** \(x \in \left\{-2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\}\)

To jedno z najważniejszych zadań otwartych w tym arkuszu. Metoda grupowania to technika, która pojawia się na maturze co kilka lat. Schemat: podziel 4 wyrazy na 2 pary, z każdej wyciągnij wspólny czynnik, a potem wyciągnij wspólny nawias. Szukaj tego wzorca, gdy widzisz wielomian stopnia 3.

**Schemat punktowania:** (1) poprawne pogrupowanie i wyciągnięcie \((x+2)\), (2) pełny rozkład i wszystkie trzy rozwiązania. Nawet sam poprawny rozkład na \((x+2)(9x^2-4)\) daje punkt cząstkowy. Więcej w [przewodniku po równaniach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-27)

---

### Zadanie 28 - Dowód podzielności (2 pkt)

**Treść:** Udowodnij, że każda liczba całkowita \( k \), która przy dzieleniu przez \( 7 \) daje resztę \( 2 \) ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \( 3k^2 \) przez \( 7 \) jest równa \( 5 \).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Zapis algebraiczny.** Skoro \(k\) daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7, to \(k = 7n + 2\) dla pewnej liczby całkowitej \(n\).

**Krok 2 - Podstawienie do \(3k^2\).**

$$3k^2 = 3(7n + 2)^2 = 3(49n^2 + 28n + 4) = 147n^2 + 84n + 12$$

**Krok 3 - Wyłączenie wielokrotności 7.** Liczbę 12 rozbijamy na \(7 + 5\):

$$3k^2 = 147n^2 + 84n + 7 + 5 = 7(21n^2 + 12n + 1) + 5$$

**Krok 4 - Wniosek.** Liczba \(21n^2 + 12n + 1\) jest całkowita, więc \(3k^2\) ma postać \(7 \cdot (\text{liczba całkowita}) + 5\). Reszta z dzielenia \(3k^2\) przez 7 jest równa 5. \(\square\)

Schemat jest zawsze taki sam: zapisz liczbę w postaci \(7n + r\), wykonaj działanie z treści, a wynik doprowadź do postaci \(7 \cdot (\ldots) + r'\), gdzie \(0 \le r' < 7\).

**Najczęstszy błąd:** sprawdzanie na przykładach (np. \(k = 2\), \(k = 9\)). Przykłady nie są dowodem, potrzebne jest rozumowanie dla dowolnego \(n\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-28)

---

### Zadanie 32 - Stereometria (4 pkt)

**Treść:** Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \( 198 \). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \( 1:2:3 \). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Oznaczenia.** Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka oznaczamy \(x\), \(2x\) i \(3x\).

**Krok 2 - Pole powierzchni całkowitej.** Prostopadłościan ma 3 pary jednakowych ścian:

$$P_c = 2(x \cdot 2x + x \cdot 3x + 2x \cdot 3x) = 2(2x^2 + 3x^2 + 6x^2) = 22x^2$$

**Krok 3 - Wyznaczenie \(x\).**

$$22x^2 = 198 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$$

(odrzucamy \(x = -3\), bo długość jest dodatnia). Krawędzie mają długości 3, 6 i 9.

**Krok 4 - Przekątna podstawy.** Dla podstawy o bokach 3 i 6:

$$d^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$$

**Krok 5 - Przekątna prostopadłościanu.** Przekątna podstawy, krawędź 9 i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny:

$$D^2 = 45 + 9^2 = 45 + 81 = 126 \implies D = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$$

**Odpowiedź:** \(3\sqrt{14}\)

Kroki 4 i 5 można połączyć we wzór \(D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\). Najczęstsze pułapki w tym zadaniu:
- zapomnienie o mnożniku 2 w polu powierzchni (prostopadłościan ma **pary** ścian),
- przyjęcie krawędzi 1, 2, 3 zamiast \(x\), \(2x\), \(3x\),
- obliczenie objętości zamiast przekątnej (\(3 \cdot 6 \cdot 9 = 162\) to objętość, a nie odpowiedź).

Przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i przećwicz na [zadaniach ze stereometrii](/topics/stereometria).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-32)

---

### Zadanie 33 - Zadanie z treścią (5 pkt)

**Treść:** Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2{,}1\) km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinę i \(4\) minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \( 1 \) km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Oznaczenia.** Niech \(v\) (km/h) oznacza prędkość wchodzenia, wtedy \(v + 1\) to prędkość schodzenia. Czas zamieniamy na godziny: \(1\) h \(4\) min \(= 1\frac{4}{60} = \frac{16}{15}\) h.

**Krok 2 - Równanie.** Czas wejścia to \(\frac{2{,}1}{v}\), czas zejścia to \(\frac{2{,}1}{v+1}\):

$$\frac{2{,}1}{v} + \frac{2{,}1}{v+1} = \frac{16}{15}$$

**Krok 3 - Rozwiązanie.** Mnożymy obie strony przez \(15v(v+1)\):

$$31{,}5(v+1) + 31{,}5v = 16v(v+1)$$

$$63v + 31{,}5 = 16v^2 + 16v$$

$$16v^2 - 47v - 31{,}5 = 0 \quad \big/ \cdot 2$$

$$32v^2 - 94v - 63 = 0$$

$$\Delta = 94^2 + 4 \cdot 32 \cdot 63 = 8836 + 8064 = 16900, \quad \sqrt{\Delta} = 130$$

$$v = \frac{94 + 130}{64} = \frac{224}{64} = 3{,}5 \quad \text{lub} \quad v = \frac{94 - 130}{64} < 0$$

Prędkość jest dodatnia, więc \(v = 3{,}5\) km/h.

**Sprawdzenie:** wejście \(2{,}1 : 3{,}5 = 0{,}6\) h \(= 36\) min, zejście \(2{,}1 : 4{,}5 = \frac{7}{15}\) h \(= 28\) min. Razem 64 minuty, czyli 1 h 4 min. Zgadza się.

**Odpowiedź:** Turysta wchodził na wzgórze ze średnią prędkością \(3{,}5\) km/h.

**Najczęstsze błędy:**
- zamiana 1 h 4 min na 1,04 h zamiast \(\frac{16}{15}\) h,
- wzięcie odwrotnej zależności prędkości (pytanie dotyczy wolniejszego wchodzenia),
- brak odrzucenia ujemnego rozwiązania.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-33)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2014-01) - Układy równań
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2014-02) - Procenty
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2014-03) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2014-04) - Logarytmy
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2014-05) - Równania i nierówności
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2014-06) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2014-07) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2014-08) - Geometria analityczna
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2014-09) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2014-10) - Równania i nierówności
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2014-11) - Ciągi
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2014-12) - Planimetria
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2014-13) - Ciągi
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2014-14) - Trygonometria
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2014-15) - Geometria analityczna
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2014-16) - Planimetria
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2014-17) - Planimetria
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2014-18) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2014-19) - Stereometria
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2014-20) - Stereometria
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2014-21) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2014-22) - Funkcje
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2014-23) - Prawdopodobieństwo
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2014-24) - Kombinatoryka
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2014-25) - Statystyka

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2014-26) - Funkcja kwadratowa (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2014-27) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2014-28) - Liczby rzeczywiste (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2014-29) - Funkcje (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2014-30) - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2014-31) - Planimetria (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-maj-2014-32) - Stereometria (4 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-maj-2014-33) - Równania i nierówności (5 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-maj-2014-34) - Planimetria (4 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury 2014

1. **Równania i nierówności dają dużo punktów.** 4 zadania za 9 punktów, czyli 18% arkusza. Opanuj rozkład wielomianów, grupowanie, różnicę kwadratów i równania kwadratowe. Przećwicz na [zadaniach z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).

2. **Dowody podzielności mają stały schemat.** Zadanie 28 to dobry przykład: zapisz liczbę jako \(k = 7n + 2\), podstaw do \(3k^2\), wyłącz wielokrotność 7 i pokaż resztę. Ten schemat działa w każdym zadaniu na reszty z dzielenia. Nigdy nie "sprawdzaj na przykładach" - to nie jest dowód.

3. **Stereometria wymaga systematyczności.** 3 zadania za 6 punktów, w tym otwarte zadanie 32 za 4 punkty. Klucz to prawidłowe oznaczenie krawędzi i dwukrotne użycie twierdzenia Pitagorasa (przekątna podstawy, potem przekątna bryły). Nie przeskakuj etapów. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria).

4. **Racjonalizacja mianownika to pewny punkt.** Zadanie 3 to klasyka. Wzór \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) eliminuje pierwiastki z mianownika. [Powtórz potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

5. **Zadania z treścią wymagają precyzji w oznaczeniach.** Zadanie 33 jest warte 5 punktów, a punkty cząstkowe dostaje się za kolejne etapy: oznaczenia, ułożenie równania, jego rozwiązanie. Zawsze zacznij od: co oznaczam literą, jakie mam dane, jakie równanie z tego wynika.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

1. **Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminowych.** Daj sobie 170 minut, bez podglądania rozwiązań. Zaznacz, które zadania sprawiły ci trudność.

2. **Sprawdź odpowiedzi i przeanalizuj błędy.** Nie patrz tylko na wynik - porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem. Czy pominąłeś jakiś krok? Czy twoje uzasadnienie byłoby wystarczające na maturze?

3. **Zidentyfikuj słabe obszary.** Jeśli nie dałeś rady zadaniom ze [stereometrii](/topics/stereometria), przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i rozwiąż 10-15 podobnych zadań. To samo z [planimetrią](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i [równaniami](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

4. **Przećwicz sąsiednie roczniki.** Po maturze z maja 2014 spróbuj [matury maj 2015](/matura-maj-2015-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz) - porównanie arkuszy z różnych lat daje świetne wyczucie stylu CKE. Pełną listę znajdziesz w [bazie arkuszy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

5. **Skup się na punktach cząstkowych.** W zadaniach za 4-5 punktów nawet napisanie samej dziedziny, narysowanie rysunku lub obliczenie jednej wielkości pośredniej daje punkty. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki. Każdy krok to potencjalny punkt.

Powodzenia! Jeśli chcesz przećwiczyć losowe zadanie z dowolnej kategorii, wejdź na [stronę losowego zadania](/solve). A jeśli szukasz pełnych rozwiązań wszystkich zadań z interaktywnymi wskazówkami, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) lub przetestuj darmowo na [Sprawnej Maturze](/).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2013 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku
description: Matura maj 2013 z matematyki: lista 34 zadań z linkami do rozwiązań, rozkład kategorii, poziom trudności i 8 zadań rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2013 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2013

Matura z matematyki z maja 2013 to arkusz ze starej formuły, ale wciąż świetny do ćwiczeń. Dlaczego? Bo matematyka się nie zmienia. Te same twierdzenia, te same wzory, te same schematy rozwiązywania. Jedyna różnica to układ arkusza - poza tym poziom trudności jest zbliżony do współczesnych matur.

Arkusz składał się z **25 zadań zamkniętych** (po 1 punkcie) oraz **9 zadań otwartych** (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było **50 punktów** w 170 minut, a do zdania wystarczało 30% punktów.

Jeśli szukasz nowszego arkusza do porównania, sprawdź [maturę z maja 2014](/matura-maj-2014-rozwiazania-arkusz) - ma zbliżony poziom trudności. A jeśli chcesz przerobić wszystkie dostępne arkusze po kolei, zajrzyj do [kompletnej bazy arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Poniżej znajdziesz analizę arkusza, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i pełną listę wszystkich 34 zadań z linkami do interaktywnych rozwiązań.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|-------------|--------|
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 8 | 16 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 7 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 5 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 4 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 3 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 1 |
| Funkcje | 1 | 1 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 1 |
| Procenty | 1 | 1 |
| Statystyka | 1 | 1 |
| [Układy równań](/topics/uklady-rownan) | 1 | 1 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 |

Najwięcej punktów dają równania i nierówności: 8 zadań za łącznie 16 punktów, czyli prawie jedna trzecia arkusza. W tej grupie jest też najwyżej punktowane zadanie 34 (zadanie tekstowe o pociągach, 5 pkt). Jeśli dobrze opanujesz ten dział, masz solidną bazę punktową. Przeczytaj nasz [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), żeby mieć wszystkie metody w jednym miejscu.

Drugie miejsce zajmuje stereometria - 4 zadania za 7 punktów, w tym otwarte zadanie 33 z ostrosłupem za 4 punkty. Dobrze opanowana [stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) to klucz do wysokiego wyniku na tym arkuszu. Dalej są planimetria (5 pkt w 2 zadaniach) i geometria analityczna (4 pkt w 4 zadaniach).

## Poziom trudności

**Łatwe** - zadania zamknięte z logarytmów, procentów, potęg, funkcji liniowej, statystyki i prostych równań. Wystarczy znajomość podstawowych wzorów i spokojne rachunki. Jeśli te zadania sprawiają ci trudność, zacznij od [powtórki potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

**Średnie** - geometria analityczna, trygonometria, ciągi, wyrażenia algebraiczne, zadania otwarte za 2 punkty. Tu potrzebujesz pewności w stosowaniu wzorów i umiejętności rozrysowania problemu. Kluczowe materiały: [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), [trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

**Trudne** - zadanie tekstowe o dwóch pociągach za 5 punktów (zad. 34), planimetria z okręgiem opisanym (zad. 32) i stereometria z ostrosłupem (zad. 33), obie za 4 punkty, a także dowód podzielności (zad. 31) i równanie trzeciego stopnia (zad. 26), oba za 2 punkty. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe. Przygotuj się z [przewodnikiem po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 3 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\log 100-\log_{2}8\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Rozbijamy na dwa osobne logarytmy.

Pierwszy: \(\log 100\). Zapis \(\log\) bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli \(\log_{10}\). Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 10, żeby dostać 100?

$$\log 100 = \log_{10} 100 = 2 \quad \text{(bo } 10^2 = 100\text{)}$$

Drugi: \(\log_2 8\). Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 2, żeby dostać 8?

$$\log_2 8 = 3 \quad \text{(bo } 2^3 = 8\text{)}$$

Teraz odejmujemy:

$$\log 100 - \log_2 8 = 2 - 3 = -1$$

**Odpowiedź:** B. \(-1\)

Uwaga na typowy błąd: uczniowie próbują stosować własność różnicy logarytmów (\(\log a - \log b = \log(a/b)\)), ale to działa **tylko gdy logarytmy mają tę samą podstawę**. Tu mamy logarytm dziesiętny i logarytm o podstawie 2 - nie można ich łączyć w jeden. Trzeba obliczyć każdy osobno. Więcej o [logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-03)

---

### Zadanie 7 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt)

**Treść:** Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\), wyrażenie \(4x^2-12x+9\) jest równe

**Rozwiązanie:**

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia. Przypomnij sobie:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Porównujemy z naszym wyrażeniem \(4x^2 - 12x + 9\):
- \(a^2 = 4x^2\), więc \(a = 2x\)
- \(b^2 = 9\), więc \(b = 3\)
- Sprawdzenie: \(2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x\) - zgadza się!

$$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$$

**Odpowiedź:** C. \((2x-3)(2x-3)\), czyli \((2x-3)^2\)

To jedno z najczęstszych zadań na maturze - rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia. Trzy kluczowe wzory do zapamiętania: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) i \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Jeśli widzisz trójmian, zawsze sprawdź, czy nie pasuje do kwadratu dwumianu.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-07)

---

### Zadanie 14 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wartość wyrażenia \(\cos^2\alpha -2\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) wyznaczamy \(\cos^2\alpha\):

$$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

Podstawiamy do wyrażenia:

$$\cos^2\alpha - 2 = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4}$$

To samo wychodzi z wartości kąta: kąt ostry o sinusie \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) to \(60^\circ\), więc \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\) i \(\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\).

**Odpowiedź:** A. \(-\frac{7}{4}\)

Uważaj, od czego odejmujesz 2: od kwadratu cosinusa, a nie od samego cosinusa. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° warto znać na pamięć, bo skracają takie zadania do jednej linijki. Przeczytaj nasz [przewodnik po trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-14)

---

### Zadanie 22 - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Treść:** Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy \(5\). Wtedy

**Rozwiązanie:**

Wszystkich wyników dwóch rzutów jest \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\), bo kolejność rzutów ma znaczenie.

Liczba 5 jest pierwsza, więc iloczyn dwóch liczb oczek jest równy 5 tylko dla par \((1, 5)\) i \((5, 1)\). Zdarzeń sprzyjających jest \(|A| = 2\).

$$p = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$

**Odpowiedź:** B. \(p=\frac{1}{18}\)

Pary \((1, 5)\) i \((5, 1)\) to dwa różne wyniki: raz piątka wypada w pierwszym rzucie, raz w drugim. Kto policzy je jako jeden wynik, dostanie \(\frac{1}{36}\), czyli błędną odpowiedź A. Więcej o [prawdopodobieństwie na maturze](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-22)

---

### Zadanie 26 - Równanie trzeciego stopnia (2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 + 2x^2 - 8x - 16 = 0\).

**Rozwiązanie:**

Mamy wielomian trzeciego stopnia. Kluczowa technika: **grupowanie wyrazów**.

**Krok 1 - Grupujemy parami:**

$$x^3 + 2x^2 - 8x - 16 = 0$$

$$(x^3 + 2x^2) + (-8x - 16) = 0$$

**Krok 2 - Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:**

$$x^2(x + 2) - 8(x + 2) = 0$$

**Krok 3 - Wyciągamy wspólny dwumian:**

$$(x + 2)(x^2 - 8) = 0$$

**Krok 4 - Rozwiązujemy każdy czynnik:**

$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$

$$x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = 2\sqrt{2} \text{ lub } x = -2\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** \(x \in \{-2,\; -2\sqrt{2},\; 2\sqrt{2}\}\)

Grupowanie to jedna z najważniejszych technik na maturze dla wielomianów wyższych stopni. Schemat jest zawsze taki sam: (1) pogrupuj wyrazy po dwa, (2) wyciągnij wspólny czynnik z każdej grupy, (3) wyciągnij wspólny dwumian. Nie zawsze działa z pierwszym podziałem - czasem trzeba przestawić wyrazy. Przeczytaj [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

**Schemat punktowania:** (1) poprawne rozkładanie na czynniki - 1 pkt, (2) wyznaczenie wszystkich trzech pierwiastków - 1 pkt.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-26)

---

### Zadanie 31 - Dowód podzielności (2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że liczba \(6^{100}-2 \cdot 6^{99}+10 \cdot 6^{98}\) jest podzielna przez \(17\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Wyłączamy wspólny czynnik.** Szukamy najniższej potęgi szóstki - to \(6^{98}\):

$$6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98} = 6^{98}(6^2 - 2 \cdot 6 + 10)$$

**Krok 2 - Obliczamy nawias:**

$$6^2 - 2 \cdot 6 + 10 = 36 - 12 + 10 = 34$$

**Krok 3 - Rozkładamy 34:**

$$34 = 2 \cdot 17$$

**Krok 4 - Łączymy:**

$$6^{98}(6^2 - 2 \cdot 6 + 10) = 6^{98} \cdot 34 = 6^{98} \cdot 2 \cdot 17$$

Wyrażenie ma postać \(6^{98} \cdot 2 \cdot 17\), więc jest iloczynem liczby całkowitej \(6^{98} \cdot 2\) i liczby 17. To oznacza, że jest podzielne przez 17. \(\square\)

**Odpowiedź:** liczba jest podzielna przez 17, bo równa się \(2 \cdot 6^{98} \cdot 17\).

To klasyczny schemat dowodu podzielności na maturze: (1) wyłącz wspólny czynnik, (2) oblicz to, co zostanie w nawiasie, (3) pokaż, że wynik jest wielokrotnością danej liczby. Kluczowy moment to rozpoznanie, że 34 = 2 * 17. Jeśli nie zobaczysz tego od razu, po prostu rozłóż 34 na czynniki pierwsze.

**Schemat punktowania:** (1) poprawne wyłączenie \(6^{98}\) - 1 pkt, (2) obliczenie wartości nawiasu i wykazanie podzielności - 1 pkt.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-31)

---

### Zadanie 32 - Planimetria, okrąg opisany (4 pkt)

**Treść:** Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Trójkąty równoramienne.** Środek okręgu opisanego jest jednakowo oddalony od wierzchołków: \(|SA| = |SB| = |SC| = R\). Dlatego trójkąty \(ABS\), \(BCS\) i \(ACS\) są równoramienne i w każdym z nich kąty przy podstawie są równe.

**Krok 2 - Oznaczenia.** Niech \(|\angle BAS| = \alpha\). Wtedy:
- w trójkącie \(ABS\): \(|\angle ABS| = |\angle BAS| = \alpha\),
- w trójkącie \(BCS\): \(|\angle BCS| = |\angle CBS| = 2\alpha\),
- w trójkącie \(ACS\): \(|\angle CAS| = |\angle ACS| = 3\alpha\).

**Krok 3 - Kąty trójkąta \(ABC\).** Trójkąt jest ostrokątny, więc \(S\) leży w jego wnętrzu, a każdy kąt trójkąta jest sumą dwóch kątów z kroku 2:

$$|\angle A| = \alpha + 3\alpha = 4\alpha, \quad |\angle B| = \alpha + 2\alpha = 3\alpha, \quad |\angle C| = 2\alpha + 3\alpha = 5\alpha$$

**Krok 4 - Suma kątów trójkąta.**

$$4\alpha + 3\alpha + 5\alpha = 180^\circ \implies 12\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 15^\circ$$

Stąd \(|\angle A| = 60^\circ\), \(|\angle B| = 45^\circ\), \(|\angle C| = 75^\circ\). Wszystkie kąty są ostre, tak jak w treści.

**Odpowiedź:** \(|\angle BAC| = 60^\circ\), \(|\angle ABC| = 45^\circ\), \(|\angle ACB| = 75^\circ\).

W zadaniach z okręgiem opisanym zacznij od narysowania promieni do wszystkich wierzchołków. Powstają trzy trójkąty równoramienne, a ich kąty przy podstawach zwykle wystarczają do rozwiązania. Przeczytaj [przewodnik po planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag), żeby przećwiczyć zadania z okręgami opisanymi i wpisanymi.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-32)

---

### Zadanie 33 - Stereometria, ostrosłup prawidłowy (4 pkt)

**Treść:** Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\ \text{cm}^2\), a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\ \text{cm}^2\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1 - Krawędź podstawy.** Podstawą jest kwadrat o polu \(100\ \text{cm}^2\), więc jego bok ma długość \(a = 10\) cm.

**Krok 2 - Wysokość ściany bocznej.** Powierzchnię boczną tworzą 4 jednakowe trójkąty o podstawie \(a\) i wysokości \(h\):

$$4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 260 \implies 20h = 260 \implies h = 13 \text{ cm}$$

**Krok 3 - Wysokość ostrosłupa.** Spodek wysokości \(O\) to środek kwadratu. Odległość \(O\) od środka krawędzi podstawy to \(\frac{a}{2} = 5\) cm. Wysokość ostrosłupa \(H\), ten odcinek i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny:

$$H^2 + 5^2 = 13^2 \implies H^2 = 169 - 25 = 144 \implies H = 12 \text{ cm}$$

**Krok 4 - Objętość.**

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400 \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(V = 400\ \text{cm}^3\)

Wysokość ściany bocznej (13 cm) to nie krawędź boczna ostrosłupa. Krawędź boczna jest dłuższa: \(\sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{194}\) cm. Pomylenie tych dwóch odcinków daje złą wysokość ostrosłupa i złą objętość. Przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i przećwicz na [zadaniach z ostrosłupów](/topics/stereometria).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2013-33)

---

## Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

**Zadania zamknięte (1 pkt):**
- [Zadanie 1](/task/matura-maj-2013-01) - Równania i nierówności
- [Zadanie 2](/task/matura-maj-2013-02) - Procenty
- [Zadanie 3](/task/matura-maj-2013-03) - Logarytmy
- [Zadanie 4](/task/matura-maj-2013-04) - Układy równań
- [Zadanie 5](/task/matura-maj-2013-05) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 6](/task/matura-maj-2013-06) - Funkcja kwadratowa
- [Zadanie 7](/task/matura-maj-2013-07) - Wyrażenia algebraiczne
- [Zadanie 8](/task/matura-maj-2013-08) - Geometria analityczna
- [Zadanie 9](/task/matura-maj-2013-09) - Funkcja liniowa
- [Zadanie 10](/task/matura-maj-2013-10) - Równania i nierówności
- [Zadanie 11](/task/matura-maj-2013-11) - Funkcje
- [Zadanie 12](/task/matura-maj-2013-12) - Ciągi
- [Zadanie 13](/task/matura-maj-2013-13) - Ciągi
- [Zadanie 14](/task/matura-maj-2013-14) - Trygonometria
- [Zadanie 15](/task/matura-maj-2013-15) - Planimetria
- [Zadanie 16](/task/matura-maj-2013-16) - Równania i nierówności
- [Zadanie 17](/task/matura-maj-2013-17) - Geometria analityczna
- [Zadanie 18](/task/matura-maj-2013-18) - Geometria analityczna
- [Zadanie 19](/task/matura-maj-2013-19) - Geometria analityczna
- [Zadanie 20](/task/matura-maj-2013-20) - Stereometria
- [Zadanie 21](/task/matura-maj-2013-21) - Stereometria
- [Zadanie 22](/task/matura-maj-2013-22) - Prawdopodobieństwo
- [Zadanie 23](/task/matura-maj-2013-23) - Potęgi i pierwiastki
- [Zadanie 24](/task/matura-maj-2013-24) - Statystyka
- [Zadanie 25](/task/matura-maj-2013-25) - Stereometria

**Zadania otwarte (2-5 pkt):**
- [Zadanie 26](/task/matura-maj-2013-26) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 27](/task/matura-maj-2013-27) - Trygonometria (2 pkt)
- [Zadanie 28](/task/matura-maj-2013-28) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 29](/task/matura-maj-2013-29) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 30](/task/matura-maj-2013-30) - Równania i nierówności (2 pkt)
- [Zadanie 31](/task/matura-maj-2013-31) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
- [Zadanie 32](/task/matura-maj-2013-32) - Planimetria (4 pkt)
- [Zadanie 33](/task/matura-maj-2013-33) - Stereometria (4 pkt)
- [Zadanie 34](/task/matura-maj-2013-34) - Równania i nierówności (5 pkt)

## Kluczowe wnioski z matury 2013

1. **Równania i nierówności dają najwięcej punktów.** 8 zadań za 16 punktów, czyli prawie jedna trzecia arkusza. Musisz umieć rozwiązywać równania liniowe, kwadratowe, trzeciego stopnia (przez grupowanie) i nierówności. Przećwicz na [zadaniach z równań](/topics/rownania-i-nierownosci) i przeczytaj [przewodnik po metodach rozwiązywania](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

2. **Stereometria za dużo punktów.** 4 zadania za 7 punktów, w tym otwarte za 4 punkty z ostrosłupem. Klucz: zawsze rysuj przekrój z trójkątem prostokątnym. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria).

3. **Dowody podzielności mają stały schemat.** Zadanie 31 to klasyka: wyłącz wspólny czynnik, oblicz nawias, pokaż wielokrotność. Ten schemat powtarza się na wielu maturach.

4. **Wzory skróconego mnożenia to pewne punkty.** Zadanie 7 wymaga rozpoznania kwadratu dwumianu. Trzy wzory: \((a \pm b)^2\) i \(a^2 - b^2\). Proste, ale trzeba je znać na pamięć.

5. **Trygonometria kątów ostrych to podstawa.** Zapamiętaj wartości sin, cos i tg dla 30°, 45° i 60°. To daje pewne punkty na każdej maturze. [Powtórz trygonometrię](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

6. **Logarytmy o różnych podstawach nie łączą się.** Zadanie 3 testuje podstawową wiedzę: własność różnicy logarytmów działa tylko przy tej samej podstawie. [Powtórz logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

1. **Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminowych.** Daj sobie 170 minut, bez podglądania rozwiązań. Zaznacz, które zadania sprawiły ci trudność.

2. **Sprawdź odpowiedzi i przeanalizuj błędy.** Nie patrz tylko na wynik - porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem. Czy pominąłeś jakiś krok? Czy twoje uzasadnienie byłoby wystarczające na maturze?

3. **Zidentyfikuj słabe obszary.** Jeśli nie dałeś rady zadaniom z równań, przeczytaj [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) i rozwiąż 10-15 podobnych zadań z [bazy zadań](/topics/rownania-i-nierownosci). Jeśli stereometria sprawia ci problem, zacznij od [przewodnika po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

4. **Przećwicz podobne arkusze.** Po maturze z maja 2013 spróbuj [matury maj 2014](/matura-maj-2014-rozwiazania-arkusz) - ma zbliżony poziom trudności. Pełną listę arkuszy znajdziesz w [bazie arkuszy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

5. **Skup się na punktach cząstkowych.** W zadaniach za 4 punkty nawet samo narysowanie rysunku, wyznaczenie boku podstawy lub zapisanie wzoru na objętość daje punkty. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki.

6. **Spróbuj symulatora matury.** Jeśli chcesz poczuć prawdziwe warunki egzaminowe, wejdź na nasz [symulator matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) i rozwiąż pełny arkusz z odmierzaniem czasu.

Powodzenia! Jeśli chcesz przećwiczyć losowe zadanie z dowolnej kategorii, wejdź na [stronę losowego zadania](/solve). A jeśli szukasz pełnych rozwiązań wszystkich zadań z interaktywnymi wskazówkami, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) lub przetestuj darmowo na [Sprawnej Maturze](/).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2022-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2022 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku
description: Matura maj 2022 z matematyki, poziom podstawowy: klucz odpowiedzi do 28 zadań zamkniętych i rozwiązania 7 zadań otwartych krok po kroku. Arkusz za 45 punktów.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2022 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku

## O arkuszu Matura maj 2022

Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym odbył się 5 maja 2022 roku. Był to arkusz formuły 2015, przygotowany, tak jak rok wcześniej, według wymagań egzaminacyjnych ograniczonych w związku z pandemią COVID-19. Poniżej znajdziesz klucz odpowiedzi do wszystkich zadań zamkniętych, wybrane zadania zamknięte rozwiązane krok po kroku i pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych.

Matura z matematyki w maju 2022 roku składała się z 35 zadań: 28 zadań zamkniętych (numery 1-28, każde za 1 punkt) i 7 zadań otwartych (numery 29-35: sześć za 2 punkty i zadanie 35 za 5 punktów). Łącznie można było zdobyć 45 punktów, a na rozwiązanie było 170 minut. Do zdania matury potrzeba co najmniej 30% punktów, a 30% z 45 to 13,5, więc w praktyce 14 punktów.

Zadania zamknięte idą w arkuszu działami: potęgi, logarytmy i procenty, równania i nierówności, funkcje, ciągi, trygonometria i planimetria, geometria analityczna, stereometria, a na końcu kombinatoryka i statystyka. Zadania otwarte to nierówność kwadratowa (29), suma ciągu arytmetycznego (30), dowód nierówności (31), trygonometria (32), planimetria (33), prawdopodobieństwo (34) i funkcja kwadratowa za 5 punktów (35).

## Zadania zamknięte (1-28) - omówienie

Zadania zamknięte omawiamy w grupach, w kolejności z arkusza. W każdej grupie jedno lub dwa zadania rozwiązujemy krok po kroku, a odpowiedzi do wszystkich 28 zadań zamkniętych są w tabeli na końcu tej części.

### Potęgi, pierwiastki, logarytmy i procenty (zadania 1-5)

Zadanie 1 to kwadrat różnicy z pierwiastkami, zadanie 2 wartość wyrażenia przy warunku \(2x=3y\), zadanie 3 działania na logarytmach, zadanie 4 dwie kolejne obniżki procentowe, a zadanie 5 potęga o wykładniku wymiernym.

#### Zadanie 3 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(4\log_42+2\log_48\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika liczby logarytmowanej:

$$4\log_4 2+2\log_4 8=\log_4 2^4+\log_4 8^2=\log_4 16+\log_4 64$$

Ponieważ \(4^2=16\) i \(4^3=64\), mamy \(\log_4 16=2\) oraz \(\log_4 64=3\), więc cała liczba jest równa \(2+3=5\).

**Odpowiedź:** C. \(5\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-03)

#### Zadanie 4 - Procenty (1 pkt)

**Treść:** Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78\ 732\) zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1\) zł, równa

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy cenę początkową przez \(x\). Po pierwszej obniżce o \(10\%\) cena to \(0{,}9x\), po drugiej \(0{,}9\cdot 0{,}9x=0{,}81x\). Stąd

$$0{,}81x=78\,732 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{78\,732}{0{,}81}=97\,200$$

Sprawdzenie: \(0{,}9\cdot 97\,200=87\,480\) i \(0{,}9\cdot 87\,480=78\,732\). Dwie obniżki o \(10\%\) to nie to samo co jedna obniżka o \(20\%\): przy \(0{,}8x=78\,732\) wyszłoby \(98\,415\) zł, a takiej odpowiedzi nie ma.

**Odpowiedź:** B. \(97\ 200\) zł

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-04)

### Równania, nierówności i układy równań (zadania 6-8)

Zadanie 6 to układ dwóch równań liniowych, w którym trzeba ustalić znaki rozwiązania, zadanie 7 nierówność liniowa z ułamkami, a zadanie 8 równanie w postaci iloczynowej.

#### Zadanie 7 - Nierówność liniowa (1 pkt)

**Treść:** Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt \frac{x}{5}\) jest przedział

**Rozwiązanie:**

Mnożymy obie strony przez \(15\), czyli wspólny mianownik. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia:

$$6-5x>3x \quad\Rightarrow\quad 6>8x \quad\Rightarrow\quad x0\). Stąd \(q=\frac{2}{3}\) albo \(q=-\frac{2}{3}\), ale przy ujemnym ilorazie wyrazy miałyby na przemian różne znaki. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(q=\frac{2}{3}\).

**Odpowiedź:** A. \(\frac{2}{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-15)

### Trygonometria i planimetria (zadania 16-20)

Zadanie 16 sprawdza związki między funkcjami trygonometrycznymi kątów, które dają razem \(90^\circ\). Zadania 17-20 to planimetria: kąt środkowy i wpisany (17), pole zakreskowanej figury przy rombie \(ASBP\), którego trzy wierzchołki leżą na okręgu (18), pole trójkąta równobocznego o danej wysokości (19) i pole równoległoboku (20). Więcej o tych wzorach w dziale [trygonometria](/topics/trygonometria).

#### Zadanie 16 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\cos 12^\circ \cdot \sin 78^\circ +\sin 12^\circ \cdot \cos 78^\circ \) jest równa

**Rozwiązanie:**

Kąty \(12^\circ\) i \(78^\circ\) dają razem \(90^\circ\), więc \(\cos 12^\circ=\sin 78^\circ\) i \(\sin 12^\circ=\cos 78^\circ\). Po podstawieniu:

$$\sin 78^\circ\cdot\sin 78^\circ+\cos 78^\circ\cdot\cos 78^\circ=\sin^2 78^\circ+\cos^2 78^\circ=1$$

Ostatnia równość to jedynka trygonometryczna.

**Odpowiedź:** D. \(1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-16)

#### Zadanie 20 - Pole równoległoboku (1 pkt)

**Treść:** Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\), a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \(120^\circ \). Pole tego równoległoboku jest równe

**Rozwiązanie:**

Pole równoległoboku o bokach \(a\), \(b\) i kącie \(\alpha\) między nimi to \(P=ab\sin\alpha\). Ze wzoru redukcyjnego \(\sin 120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), więc

$$P=6\cdot 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** A. \(30\sqrt{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-20)

### Geometria analityczna (zadania 21-24)

Cztery zadania z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna): prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (21), warunek prostopadłości prostych (22), środek odcinka (23) i przekątna kwadratu o danych sąsiednich wierzchołkach (24).

#### Zadanie 23 - Środek odcinka (1 pkt)

**Treść:** Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((-12)\). Wynika stąd, że

**Rozwiązanie:**

Pierwsza współrzędna środka odcinka to średnia pierwszych współrzędnych końców:

$$\frac{4+b}{2}=-12 \quad\Rightarrow\quad 4+b=-24 \quad\Rightarrow\quad b=-28$$

**Odpowiedź:** A. \(b=-28\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-23)

#### Zadanie 24 - Przekątna kwadratu (1 pkt)

**Treść:** Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość

**Rozwiązanie:**

Punkty \(A\) i \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu:

$$|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), więc \(d=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{10}\).

**Odpowiedź:** A. \(4\sqrt{10}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-24)

### Stereometria (zadania 25-26)

Zadanie 25 to objętość graniastosłupa prostego o podstawie rombu, a zadanie 26 pole powierzchni ostrosłupa wyciętego z sześcianu. Wzory na objętości i pola brył zebraliśmy w dziale [stereometria](/topics/stereometria).

#### Zadanie 25 - Graniastosłup (1 pkt)

**Treść:** Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości \(7\) cm i \(10\) cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o \(2\) cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

**Rozwiązanie:**

Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych: \(P_p=\frac{7\cdot 10}{2}=35\ \text{cm}^2\). Dłuższa przekątna ma \(10\) cm, więc wysokość graniastosłupa to \(H=10-2=8\) cm.

$$V=P_p\cdot H=35\cdot 8=280\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź A to wynik bez dzielenia iloczynu przekątnych przez \(2\), a odpowiedzi C i D pojawiają się przy wzorze na objętość ostrosłupa, z czynnikiem \(\frac{1}{3}\).

**Odpowiedź:** B. \(280\ \text{cm}^3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-25)

### Kombinatoryka i statystyka (zadania 27-28)

Zadanie 27 to zliczanie liczb czterocyfrowych z regułą mnożenia, a zadanie 28 średnia arytmetyczna z niewiadomą.

#### Zadanie 27 - Kombinatoryka (1 pkt)

**Treść:** Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest

**Rozwiązanie:**

Liczba podzielna przez \(5\) kończy się cyfrą \(0\) albo \(5\), a nieparzysta nie może kończyć się zerem, więc cyfra jedności to \(5\) (jedna możliwość). Cyfra tysięcy to dowolna z cyfr \(1\)-\(9\) (dziewięć możliwości), a cyfry setek i dziesiątek to dowolne z \(0\)-\(9\) (po dziesięć możliwości). Cyfry mogą się powtarzać, więc z reguły mnożenia takich liczb jest \(9\cdot 10\cdot 10\cdot 1=900\).

**Odpowiedź:** B. \(9\cdot 10\cdot 10\cdot 1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-27)

#### Zadanie 28 - Średnia arytmetyczna (1 pkt)

**Treść:** Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: \(2x,\ 4,\ 6,\ 8,\ 11,\ 13\) jest równa \(5\). Wynika stąd, że

**Rozwiązanie:**

Suma sześciu liczb podzielona przez \(6\) daje \(5\):

$$\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5 \quad\Rightarrow\quad 2x+42=30 \quad\Rightarrow\quad x=-6$$

**Odpowiedź:** C. \(x=-6\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-28)

### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Każdą odpowiedź sprawdziliśmy z rozwiązaniem zadania. Numer zadania prowadzi do jego interaktywnej wersji.

| Zadanie | Odpowiedź |
|---------|-----------|
| [1](/task/matura-maj-2022-01) | A. \(2\) |
| [2](/task/matura-maj-2022-02) | B. \(\frac{13}{6}\) |
| [3](/task/matura-maj-2022-03) | C. \(5\) |
| [4](/task/matura-maj-2022-04) | B. \(97\ 200\) zł |
| [5](/task/matura-maj-2022-05) | A. \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\) |
| [6](/task/matura-maj-2022-06) | B. \(x_0>0\) i \(y_00\)), więc wartości nieujemne przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi, razem z nimi.

**Odpowiedź:** \(x\in(-\infty,-2\rangle\cup\left\langle \frac{8}{3},+\infty\right)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-29)

### Zadanie 30 - Suma ciągu arytmetycznego (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

**Rozwiązanie:**

Najpierw różnica ciągu: \(a_4=a_1+3r\), czyli \(8=-1+3r\) i \(r=3\). Setny wyraz to \(a_{100}=a_1+99r=-1+297=296\). Suma stu początkowych wyrazów:

$$S_{100}=\frac{a_1+a_{100}}{2}\cdot 100=\frac{-1+296}{2}\cdot 100=295\cdot 50=14\,750$$

**Odpowiedź:** \(S_{100}=14\,750\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-30)

### Zadanie 31 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

**Rozwiązanie:**

Rozwijamy prawą stronę i mnożymy obie strony przez \(4>0\):

$$\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\Leftrightarrow\quad 2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2 \quad\Leftrightarrow\quad a^2-2ab+b^2>0 \quad\Leftrightarrow\quad (a-b)^2>0$$

Ponieważ \(a\neq b\), liczba \(a-b\) jest różna od zera, a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność jest prawdziwa.

**Odpowiedź:** nierówność jest równoważna \((a-b)^2>0\), co zachodzi dla \(a\neq b\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-31)

### Zadanie 32 - Trygonometria (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^{2} \alpha \).

**Rozwiązanie:**

Z \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\) mamy \(\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{2}\). Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{4}\sin^2\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$

Ten sam wynik daje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(2\) i \(1\): przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{5}\), więc \(\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\) i \(\sin^2\alpha=\frac{4}{5}\).

**Odpowiedź:** \(\sin^2\alpha=\frac{4}{5}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-32)

### Zadanie 33 - Planimetria (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy \(|\sphericalangle BAC|=\alpha\). Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny o podstawie \(AB\), więc \(|\sphericalangle ABC|=\alpha\), a \(|\sphericalangle ACB|=180^\circ-2\alpha\). Dwusieczna dzieli kąt \(BAC\) na połowy, więc \(|\sphericalangle BAD|=\frac{\alpha}{2}\).

W trójkącie \(BDA\) kąt przy wierzchołku \(B\) to ten sam kąt \(ABC\), równy \(\alpha\). Trójkąt podobny do równoramiennego \(ABC\) też ma dwa kąty równe \(\alpha\) i jeden równy \(180^\circ-2\alpha\). Kąt \(BAD\) równy \(\frac{\alpha}{2}\) jest mniejszy od \(\alpha\), więc to on odpowiada kątowi \(ACB\), a kąt \(BDA\) jest równy \(\alpha\). Z sumy kątów trójkąta \(BDA\):

$$\frac{\alpha}{2}+\alpha+\alpha=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}\alpha=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=72^\circ$$

Sprawdzenie: trójkąt \(ABC\) ma kąty \(72^\circ, 72^\circ, 36^\circ\), a trójkąt \(BDA\) kąty \(36^\circ, 72^\circ, 72^\circ\), więc rzeczywiście są podobne.

**Odpowiedź:** \(|\sphericalangle BAC|=72^\circ\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-33)

### Zadanie 34 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

**Rozwiązanie:**

Losujemy kolejno ze zwracaniem, więc wynikiem jest para uporządkowana i \(|\Omega|=9\cdot 9=81\). Iloczyn \(24\) z czynników od \(1\) do \(9\) dają tylko \(3\cdot 8\) i \(4\cdot 6\) (bo \(2\cdot 12\) i \(1\cdot 24\) wychodzą poza zbiór). Każdą parę liczymy w obu kolejnościach:

$$A=\{(3,8),(8,3),(4,6),(6,4)\},\qquad |A|=4$$

$$P(A)=\frac{4}{81}$$

Więcej przykładów w dziale [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo).

**Odpowiedź:** \(P(A)=\frac{4}{81}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-34)

### Zadanie 35 - Funkcja kwadratowa (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

**Rozwiązanie:**

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\), więc \(x=-5\) i \(x=3\) to miejsca zerowe funkcji. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między nimi:

$$p=\frac{-5+3}{2}=-1$$

Prosta pozioma przecina parabolę w dwóch punktach, w jednym albo w żadnym. Dokładnie jeden punkt wspólny oznacza, że prosta \(y=6\) przechodzi przez wierzchołek, więc \(q=6\) i \(W=(-1,6)\). Postać kanoniczna to \(f(x)=a(x+1)^2+6\). Podstawiamy punkt \(B=(3,0)\):

$$0=a\cdot 4^2+6 \quad\Rightarrow\quad 16a=-6 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{8}$$

Przekształcamy do postaci ogólnej:

$$f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x+1)+6=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}+\frac{48}{8}=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}$$

Sprawdzenie dla \(A=(-5,0)\): \(-\frac{75}{8}+\frac{30}{8}+\frac{45}{8}=0\).

**Odpowiedź:** \(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\), \(c=\frac{45}{8}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-35)

## Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Poniżej miejsca w zadaniach tego arkusza, w których łatwo o pomyłkę.

W zadaniach algebraicznych łatwo zapomnieć o zmianie znaku przy przeniesieniu wyrazu na drugą stronę. W zadaniu 29 po przeniesieniu \(7\) wyraz wolny to \(-16\), a nie \(-2\). Przy wzorze na pierwiastki \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) trzeba uważać na znak \(b\): tu \(b=-2\), więc \(-b=2\).

W funkcji kwadratowej pomaga pamiętanie, że współczynnik \(a\) jest taki sam w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (zadanie 12), a pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi (zadanie 35). W zadaniu 10 trzeba pamiętać, że wykres \(y=f(x+2)\) to wykres \(f\) przesunięty o \(2\) w lewo, nie w prawo.

W ciągach łatwo pomylić wzory dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego. W zadaniu 15 trzeba też odrzucić ujemny iloraz, bo wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.

W stereometrii warto rozpisać długości krawędzi bryły, zanim zacznie się liczyć pola. W zadaniu 26 krawędzie \(BE\), \(BG\) i \(EG\) ostrosłupa są przekątnymi ścian sześcianu, więc mają długość \(a\sqrt{2}\), a nie \(a\).

W prawdopodobieństwie trzeba ustalić, czy kolejność ma znaczenie. W zadaniu 34 losujemy kolejno ze zwracaniem, więc \((3,8)\) i \((8,3)\) to dwa różne zdarzenia elementarne, a \(|\Omega|=81\). Wynik końcowy warto skrócić.

## Jak przygotować się na podobny arkusz

Efektywne przygotowanie do matury z matematyki wymaga systematycznego podejścia. Zacznij od podstaw: zanim przystąpisz do trudniejszych zadań, upewnij się, że rozumiesz wszystkie podstawowe pojęcia. Jeśli nie czujesz się pewnie z [funkcją kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa), poświęć temu tematowi dodatkowy czas, bo w tym arkuszu dotyczyły jej zadania 12 i 35, a nierówności kwadratowej zadanie 29.

Rozwiązywanie starych arkuszy to ważna część przygotowań. [Matura z maja 2021](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz) ma ten sam układ: 28 zadań zamkniętych, 7 otwartych i 45 punktów. Przejrzyj też [arkusz z maja 2020](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz), który ma jeszcze pełne 50 punktów, lub [arkusz z maja 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz) w nowej formule. Porównanie kilku edycji egzaminu pokazuje, które typy zadań się powtarzają.

Ćwiczenie na czas jest równie ważne jak znajomość materiału. Ten arkusz rozwiąż w 170 minut, tyle trwał egzamin. Zaczynaj od zadań zamkniętych (zwykle szybszych), zaznaczaj trudne zadania i wracaj do nich później, a przede wszystkim czytaj uważnie treść każdego zadania.

Jeśli [ciągi](/topics/ciagi) sprawiają Ci problemy, poświęć im szczególną uwagę. Gdy [stereometria](/topics/stereometria) jest trudna, rysuj bryły i rozpisuj długości krawędzi. Rozwiąż kilkadziesiąt zadań z obszarów, które idą Ci najsłabiej.

Skorzystaj z funkcji [losowego zadania](/random), aby rozwiązywać zadania z różnych obszarów, a nie tylko z jednego działu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2021 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku
description: Matura maj 2021 z matematyki, poziom podstawowy: klucz odpowiedzi do 28 zadań zamkniętych i rozwiązania 7 zadań otwartych krok po kroku. Arkusz za 45 punktów.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2021 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku

## O arkuszu Matura maj 2021

Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym odbył się 5 maja 2021 roku. Był to arkusz formuły 2015, przygotowany według wymagań egzaminacyjnych, które na maturę 2021 ograniczono w związku z pandemią COVID-19. Dlatego arkusz był krótszy niż w latach wcześniejszych: miał 45 punktów zamiast 50 i 7 zadań otwartych zamiast 9 (dla porównania [matura z maja 2020](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz) miała 25 zadań zamkniętych, 9 otwartych i 50 punktów).

Arkusz składał się z 35 zadań:

- 28 zadań zamkniętych (numery 1-28), każde za 1 punkt,
- 7 zadań otwartych (numery 29-35): sześć za 2 punkty i zadanie 35 za 5 punktów.

Na rozwiązanie było 170 minut. Do zdania matury potrzeba co najmniej 30% punktów, a 30% z 45 to 13,5, więc w praktyce 14 punktów.

Zadania zamknięte idą w arkuszu działami: najpierw liczby, procenty i logarytmy, potem nierówności i funkcje, ciągi, trygonometria z planimetrią, a na końcu geometria analityczna, prawdopodobieństwo, kombinatoryka i statystyka. Najliczniejsza jest planimetria. Wśród zadań otwartych są nierówność kwadratowa, dowód nierówności, funkcja liniowa, równanie wymierne, trójkąty podobne, prawdopodobieństwo i zadanie z geometrii analitycznej za 5 punktów.

## Zadania zamknięte (1-28) - omówienie

Zadania zamknięte omawiamy w grupach, w kolejności z arkusza. W każdej grupie jedno lub dwa zadania rozwiązujemy krok po kroku, a odpowiedzi do wszystkich 28 zadań zamkniętych są w tabeli na końcu tej części.

### Liczby rzeczywiste, procenty i logarytmy (zadania 1-5)

Zadanie 1 sprawdza działania na potęgach, zadanie 2 obliczenia procentowe, zadanie 3 część wspólną dwóch przedziałów liczbowych, zadanie 4 własności [logarytmów](/topics/logarytmy), a zadanie 5 zamianę ułamka okresowego na zwykły.

#### Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Suma \(2\log\sqrt{10}+\log 10^3\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Logarytm bez zapisanej podstawy ma podstawę \(10\). Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika liczby logarytmowanej:

$$2\log\sqrt{10}=\log\left(\sqrt{10}\right)^2=\log 10=1$$

Drugi składnik liczymy wprost: \(\log 10^3=3\). Zatem

$$2\log\sqrt{10}+\log 10^3=1+3=4$$

**Odpowiedź:** C. \(4\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-04)

#### Zadanie 5 - Ułamek okresowy (1 pkt)

**Treść:** Różnica \(0,(3)-\frac{23}{33}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Ułamek okresowy \(0,(3)\) to \(\frac{1}{3}\), czyli \(\frac{11}{33}\). Odejmujemy ułamki o wspólnym mianowniku:

$$\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=-\frac{12}{33}=-\frac{4}{11}$$

Odpowiedź A jest pułapką: \(-\frac{4}{11}=-0,(36)\), a nie \(-0,(39)\).

**Odpowiedź:** D. \(-\frac{4}{11}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-05)

### Nierówności, układy równań i funkcje (zadania 6-12)

Zadanie 6 to nierówność liniowa, w której przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak. Zadanie 7 sprawdza własności funkcji \(g(x)=f(x)-2\) na podstawie wykresu \(f\), zadanie 8 geometryczną interpretację układu równań, zadanie 9 warunek równoległości prostych, zadanie 10 obliczanie wartości funkcji wymiernej, zadanie 11 punkt na wykresie funkcji wykładniczej, a zadanie 12 monotoniczność [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) zapisanej w postaci iloczynowej.

#### Zadanie 9 - Proste równoległe (1 pkt)

**Treść:** Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{m-3}{2}x+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy

**Rozwiązanie:**

Proste \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma \(a=3\), więc

$$\frac{m-3}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad m-3=6 \quad\Rightarrow\quad m=9$$

Wyrazy wolne są różne (\(-5\) i \(\frac{9}{2}\)), więc proste nie pokrywają się.

**Odpowiedź:** D. \(m=9\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-09)

#### Zadanie 12 - Funkcja kwadratowa (1 pkt)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\) jest malejąca w przedziale

**Rozwiązanie:**

Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x=-1\) oraz \(x=3\). Współczynnik przy \(x^2\) to \(-2\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi:

$$p=\frac{-1+3}{2}=1$$

Parabola z ramionami w dół rośnie do wierzchołka i maleje za nim, więc funkcja jest malejąca w przedziale \(\langle 1,+\infty)\).

**Odpowiedź:** A. \(\langle 1,+\infty)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-12)

### Ciągi (zadania 13-15)

Trzy zadania z [ciągów](/topics/ciagi): ciąg geometryczny z niewiadomą w środkowym wyrazie (13), liczba niedodatnich wyrazów ciągu danego wzorem (14) i własność wyrazów ciągu arytmetycznego (15).

#### Zadanie 14 - Ciąg określony wzorem (1 pkt)

**Treść:** Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Wyraz jest niedodatni, gdy \(b_n\le 0\):

$$3n^2-25n\le 0 \quad\Leftrightarrow\quad n(3n-25)\le 0$$

Dla \(n\ge 1\) czynnik \(n\) jest dodatni, więc musi zachodzić \(3n-25\le 0\), czyli \(n\le\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\). Warunek spełniają \(n=1,2,\ldots,8\), czyli osiem wyrazów. Sprawdzenie: \(b_8=192-200=-8\), a \(b_9=243-225=18\).

**Odpowiedź:** D. \(8\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-14)

#### Zadanie 15 - Ciąg arytmetyczny (1 pkt)

**Treść:** Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

**Rozwiązanie:**

Zapisujemy oba wyrazy przez \(a_1\) i różnicę \(r\):

$$a_3+a_5=(a_1+2r)+(a_1+4r)=2a_1+6r=58$$

Po podzieleniu przez \(2\) dostajemy \(a_1+3r=29\), a to jest właśnie \(a_4\). Ten sam wynik daje własność ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią sąsiednich, \(a_4=\frac{a_3+a_5}{2}=29\).

**Odpowiedź:** B. \(29\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-15)

### Trygonometria i planimetria (zadania 16-24)

To najliczniejsza grupa w arkuszu. Zadanie 16 to przekształcenie wyrażenia trygonometrycznego, a zadanie 18 pole trójkąta prostokątnego obliczane z tangensa kąta. Pozostałe zadania to [planimetria](/topics/planimetria): kąt między styczną a cięciwą okręgu (17), obwód trójkąta równobocznego o danym polu (19), twierdzenie Pitagorasa w trójkącie podzielonym wysokością (20), kąty w okręgu (21), kąty w równoległoboku (22), liczba przekątnych wielokąta (23) i pola kół (24).

#### Zadanie 16 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) iloczyn \(\frac{\cos \alpha }{1-\sin^{2} \alpha }\cdot \frac{1-\cos^{2} \alpha }{\sin \alpha }\) jest równy

**Rozwiązanie:**

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) wynika, że \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\) oraz \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). Podstawiamy:

$$\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

**Odpowiedź:** B. \(\operatorname{tg}\alpha\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-16)

#### Zadanie 23 - Przekątne wielokąta (1 pkt)

**Treść:** W każdym \(n\)-kącie wypukłym (\(n\ge 3\)) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków, jest

**Rozwiązanie:**

Wielokąt o \(n\) bokach ma \(\frac{n(n-3)}{2}\) przekątnych. Szukamy \(n\), dla którego przekątnych jest o \(25\) więcej niż boków:

$$\frac{n(n-3)}{2}=n+25 \quad\Rightarrow\quad n^2-3n=2n+50 \quad\Rightarrow\quad n^2-5n-50=0$$

\(\Delta=25+200=225\), \(\sqrt{\Delta}=15\), więc \(n=\frac{5+15}{2}=10\) albo \(n=\frac{5-15}{2}=-5\). Liczba boków jest dodatnia, zostaje \(n=10\). Sprawdzenie: dziesięciokąt ma \(\frac{10\cdot 7}{2}=35\) przekątnych, a \(35=10+25\).

**Odpowiedź:** B. dziesięciokąt

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-23)

### Geometria analityczna, prawdopodobieństwo, kombinatoryka i statystyka (zadania 25-28)

Zadanie 25 to pole kwadratu, gdy znamy wierzchołek i punkt przecięcia przekątnych. Zadanie 26 to prawdopodobieństwo wylosowania końców przekątnej sześcianu, zadanie 27 zliczanie liczb trzycyfrowych z cyframi z danego zbioru, a zadanie 28 [mediana](/jak-obliczyc-mediane-tabela-liczebnosci-mediana-z-niewiadoma-matura) z niewiadomą.

#### Zadanie 26 - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Treść:** Z wierzchołków sześcianu \(ABCDEFGH\) losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu \(ABCDEFGH\), jest równe

**Rozwiązanie:**

Losujemy jednocześnie dwa z ośmiu wierzchołków, więc kolejność się nie liczy:

$$|\Omega|=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$$

Przekątna sześcianu łączy wierzchołki położone symetrycznie względem środka bryły. Sześcian ma 4 takie przekątne (przekątnych ścian nie liczymy), więc \(|A|=4\) i

$$P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$$

**Odpowiedź:** A. \(\frac{1}{7}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-26)

#### Zadanie 28 - Mediana (1 pkt)

**Treść:** Sześciowyrazowy ciąg liczbowy \((1,\ 2,\ 2x,\ x+2,\ 5,\ 6)\) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa \(4\). Wynika stąd, że

**Rozwiązanie:**

Ciąg jest już uporządkowany niemalejąco i ma sześć wyrazów, więc mediana to średnia arytmetyczna trzeciego i czwartego wyrazu:

$$\frac{2x+(x+2)}{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 3x+2=8 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: dla \(x=2\) ciąg to \((1, 2, 4, 4, 5, 6)\), jest niemalejący, a jego mediana to \(\frac{4+4}{2}=4\). Więcej o średniej i medianie znajdziesz w dziale [statystyka](/topics/statystyka).

**Odpowiedź:** C. \(x=2\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-28)

### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Każdą odpowiedź sprawdziliśmy z rozwiązaniem zadania. Numer zadania prowadzi do jego interaktywnej wersji.

| Zadanie | Odpowiedź |
|---------|-----------|
| [1](/task/matura-maj-2021-01) | B. \(10^{16}\) |
| [2](/task/matura-maj-2021-02) | B. \(52\) |
| [3](/task/matura-maj-2021-03) | A. \(6\) |
| [4](/task/matura-maj-2021-04) | C. \(4\) |
| [5](/task/matura-maj-2021-05) | D. \(-\frac{4}{11}\) |
| [6](/task/matura-maj-2021-06) | B. \((-\infty, 0\rangle\) |
| [7](/task/matura-maj-2021-07) | A. Liczba \(f(2)+g(2)\) jest równa \(-2\). |
| [8](/task/matura-maj-2021-08) | A. układ \(y=x+1\) i \(y=-2x+4\) |
| [9](/task/matura-maj-2021-09) | D. \(m=9\) |
| [10](/task/matura-maj-2021-10) | B. \(-1\) |
| [11](/task/matura-maj-2021-11) | C. \((0,-1)\) |
| [12](/task/matura-maj-2021-12) | A. \(\langle 1,+\infty)\) |
| [13](/task/matura-maj-2021-13) | D. \(x=\frac{5}{3}\) |
| [14](/task/matura-maj-2021-14) | D. \(8\) |
| [15](/task/matura-maj-2021-15) | B. \(29\) |
| [16](/task/matura-maj-2021-16) | B. \(\operatorname{tg}\alpha\) |
| [17](/task/matura-maj-2021-17) | C. \(40^\circ\) |
| [18](/task/matura-maj-2021-18) | D. \(\frac{64}{5}\) |
| [19](/task/matura-maj-2021-19) | A. \(4\) |
| [20](/task/matura-maj-2021-20) | A. \(\sqrt{34}\) |
| [21](/task/matura-maj-2021-21) | D. \(40^\circ\) |
| [22](/task/matura-maj-2021-22) | B. \(70^\circ\) |
| [23](/task/matura-maj-2021-23) | B. dziesięciokąt |
| [24](/task/matura-maj-2021-24) | C. \(\sqrt{5}\) |
| [25](/task/matura-maj-2021-25) | B. \(136\) |
| [26](/task/matura-maj-2021-26) | A. \(\frac{1}{7}\) |
| [27](/task/matura-maj-2021-27) | B. \(60\) |
| [28](/task/matura-maj-2021-28) | C. \(x=2\) |

## Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania 29-34 były warte po 2 punkty, zadanie 35 5 punktów, razem 17 z 45 punktów arkusza. W zadaniach otwartych egzaminator ocenia tok rozumowania, dlatego w rozwiązaniach zapisujemy każdy krok.

### Zadanie 29 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(x^2-5x\le 14\)

**Rozwiązanie:**

Przenosimy wszystko na lewą stronę: \(x^2-5x-14\le 0\).

$$\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,\qquad \sqrt{\Delta}=9$$

$$x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{5+9}{2}=7$$

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi, razem z nimi.

**Odpowiedź:** \(x\in\langle -2, 7\rangle\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-29)

### Zadanie 30 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a, b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+c}\)

**Rozwiązanie:**

Liczby \(b\) i \(b+c\) są dodatnie, więc mnożymy obie strony nierówności przez \(b(b+c)>0\) i znak się nie zmienia:

$$a(b+c)0\) i \(a-b0\) i \(a<b\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-30)

### Zadanie 31 - Funkcja liniowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Funkcja liniowa \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla argumentu \(0\), a ponadto \(f(4)-f(2)=6\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

**Rozwiązanie:**

Funkcja liniowa ma wzór \(f(x)=ax+b\). Z warunku \(f(0)=2\) mamy \(b=2\). Drugi warunek:

$$f(4)-f(2)=(4a+2)-(2a+2)=2a=6 \quad\Rightarrow\quad a=3$$

Sprawdzenie: \(f(4)-f(2)=14-8=6\).

**Odpowiedź:** \(f(x)=3x+2\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-31)

### Zadanie 32 - Równanie wymierne (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(\frac{3x+2}{3x-2}=4-x\)

**Rozwiązanie:**

Założenie: \(3x-2\neq 0\), czyli \(x\neq\frac{2}{3}\). Mnożymy obie strony przez \(3x-2\):

$$3x+2=(4-x)(3x-2)=-3x^2+14x-8 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-11x+10=0$$

\(\Delta=121-120=1\), więc \(x_1=\frac{11-1}{6}=\frac{5}{3}\) i \(x_2=\frac{11+1}{6}=2\). Oba wyniki spełniają założenie. Sprawdzenie dla \(x=2\): \(\frac{8}{4}=2=4-2\), a dla \(x=\frac{5}{3}\): \(\frac{7}{3}=4-\frac{5}{3}\).

**Odpowiedź:** \(x=\frac{5}{3}\) lub \(x=2\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-32)

### Zadanie 33 - Trójkąty podobne (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) - odpowiednio - w punktach \(K\) i \(L\).

**Rozwiązanie:**

Najpierw bok trójkąta \(ABC\) z pola trójkąta równobocznego:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad a^2=36 \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach \(AB\) i \(AC\), więc trójkąt \(AKL\) jest mniejszy od \(ABC\), a jako trójkąt podobny do równobocznego też jest równoboczny. Jego boki stanowią \(\frac{2}{3}\) boków trójkąta \(ABC\) (w arkuszu CKE ten sam stosunek zapisano odwrotnie: boki trójkątów \(ABC\) i \(AKL\) mają się jak \(\frac{3}{2}\)):

$$|AK|=\frac{2}{3}\cdot 6=4$$

**Odpowiedź:** każdy bok trójkąta \(AKL\) ma długość \(4\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-33)

### Zadanie 34 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa \(4\) lub \(5\) lub \(6\).

**Rozwiązanie:**

Wynik dwóch rzutów to para uporządkowana, więc \(|\Omega|=6\cdot 6=36\). Wypisujemy pary o danej sumie:

- suma 4: \((1,3), (2,2), (3,1)\), czyli 3 pary,
- suma 5: \((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\), czyli 4 pary,
- suma 6: \((1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\), czyli 5 par.

Razem \(|A|=3+4+5=12\), więc \(P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\).

**Odpowiedź:** \(P(A)=\frac{1}{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-34)

### Zadanie 35 - Geometria analityczna (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Punkty \(A =(-20, 12)\) i \(B = (7, 3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) oraz obwód tego trójkąta.

**Rozwiązanie:**

Wierzchołek \(C\) leży na osi \(Oy\), więc \(C=(0,y)\). Z warunku \(|AC|=|BC|\) porównujemy kwadraty długości:

$$20^2+(y-12)^2=7^2+(y-3)^2$$

$$400+y^2-24y+144=49+y^2-6y+9 \quad\Rightarrow\quad 544-24y=58-6y \quad\Rightarrow\quad 18y=486 \quad\Rightarrow\quad y=27$$

Zatem \(C=(0,27)\). Długości boków:

$$|AC|=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25,\qquad |BC|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$$

$$|AB|=\sqrt{27^2+9^2}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}$$

Obwód trójkąta to \(25+25+9\sqrt{10}=50+9\sqrt{10}\).

**Odpowiedź:** \(C=(0,27)\), obwód \(50+9\sqrt{10}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-35)

## Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Poniżej miejsca w zadaniach tego arkusza, w których łatwo o pomyłkę.

W nierównościach liniowych trzeba pamiętać o zmianie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną. W zadaniu 6 po pomnożeniu przez \(2\) i uproszczeniu dostajemy \(-5x\ge 0\), a pominięcie zmiany znaku przy dzieleniu przez \(-5\) prowadzi do odpowiedzi A zamiast B.

W logarytmach częstym błędem jest pisanie \(\log a+\log b=\log(a+b)\), podczas gdy poprawnie jest \(\log a+\log b=\log(ab)\). Trzeba też pamiętać o dziedzinie logarytmu: liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Kilka zadań wymaga odrzucenia jednego z rozwiązań: w zadaniu 13 ujemne \(x\) dałoby ujemny wyraz \(3x\), w zadaniu 23 liczba boków nie może być równa \(-5\), a w zadaniu 14 numer wyrazu ciągu jest liczbą naturalną od \(1\), więc \(n=0\) nie wchodzi do wyniku. W równaniu wymiernym z zadania 32 trzeba zapisać założenie \(x\neq\frac{2}{3}\), nawet jeśli żaden pierwiastek go nie narusza.

W zadaniu 26 łatwo pomylić przekątne sześcianu z przekątnymi ścian. W dowodzie z zadania 30 trzeba napisać, dlaczego mnożenie przez \(b(b+c)\) nie zmienia znaku nierówności, a w zadaniu 35 obwód wymaga długości wszystkich trzech boków, nie tylko ramion.

## Jak przygotować się na podobny arkusz

Arkusz z maja 2021 sprawdzał przede wszystkim podstawy. Przejdź systematycznie przez wszystkie działy, zwłaszcza funkcje (w tym funkcję kwadratową), równania i nierówności, ciągi, trygonometrię, planimetrię i geometrię analityczną. W tym arkuszu nie było zadania ze [stereometrii](/topics/stereometria), ale w innych latach ten dział się pojawia, więc go nie pomijaj.

Nie wystarczy czytać rozwiązań, trzeba samemu rozwiązywać zadania. Zrób ten arkusz na czas (170 minut), a dopiero potem porównaj odpowiedzi z kluczem i rozwiązaniami powyżej.

[Matura z maja 2022](/matura-maj-2022-rozwiazania-arkusz) powstała według tych samych ograniczonych wymagań i ma ten sam układ: 28 zadań zamkniętych, 7 otwartych i 45 punktów, więc dobrze nadaje się na drugą próbę. [Matura z maja 2020](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz) ma jeszcze pełny układ z 50 punktami.

Między arkuszami rozwiązuj [losowe zadania](/random) z całego zakresu, żeby nie ćwiczyć ciągle tego samego działu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2020 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku
description: Matura maj 2020 z matematyki (poziom podstawowy): klucz odpowiedzi do 25 zadań zamkniętych i rozwiązania krok po kroku wszystkich 9 zadań otwartych.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2020 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku

## O arkuszu Matura maj 2020

To arkusz z matematyki na poziomie podstawowym z terminu głównego 2020 roku, w formule 2015. Z powodu pandemii COVID-19 egzamin odbył się wyjątkowo w czerwcu, a nie w maju. Arkusz miał 34 zadania: 25 zamkniętych (numery 1-25, każde za 1 punkt) i 9 otwartych (numery 26-34). Zadania 26-31 były warte po 2 punkty, zadania 32 i 33 po 4 punkty, a zadanie 34 - 5 punktów. Razem do zdobycia było 50 punktów, a na rozwiązanie arkusza 170 minut. Do zdania matury wystarczało 30% punktów, czyli 15.

Zadania sprawdzały następujące działy (w nawiasach numery zadań):
- liczby, potęgi, logarytmy i procenty (1-4),
- równania i nierówności (5, 6, 10, 26, 27) oraz dowód nierówności (28),
- funkcje i proste, w tym [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) (7-9, 11-13, 16),
- ciągi arytmetyczne i geometryczne (14, 15, 33),
- trygonometria (19, 31),
- geometria analityczna (18, 20, 32),
- planimetria (17, 22, 29) i stereometria (24, 25, 34),
- kombinatoryka, statystyka i rachunek prawdopodobieństwa (21, 23, 30).

Poniżej znajdziesz omówienie zadań zamkniętych z kluczem odpowiedzi do wszystkich 25, a potem pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych. Pod każdym rozwiązaniem jest link do zadania na Sprawnej Maturze, gdzie możesz rozwiązać je samodzielnie.

## Zadania zamknięte (1-25) - omówienie szczegółowe

Zadania zamknięte dawały połowę punktów arkusza: 25 z 50. Dzielimy je na grupy tematyczne i w każdej rozwiązujemy krok po kroku jedno lub dwa zadania. Odpowiedzi do wszystkich 25 zadań są w tabeli na końcu tej części.

### Zadania 1-6: liczby, potęgi, logarytmy, procenty i równania

W tej grupie są: wartość wyrażenia dla \(x = \sqrt{3} + 3\) (zadanie 1), działania na potęgach (2), logarytm z pierwiastka (3), obniżka i podwyżka ceny (4), nierówność liniowa (5) oraz suma rozwiązań równania w postaci iloczynowej (6).

#### Zadanie 1 - wartość wyrażenia z pierwiastkiem (1 pkt)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Wyrażenie to kwadrat różnicy: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). Dla \(x = \sqrt{3} + 3\) mamy \(x - 3 = \sqrt{3}\), więc:

$$(x - 3)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$$

Ten sam wynik daje bezpośrednie podstawienie: \(3 + 6\sqrt{3} + 9 - 6\sqrt{3} - 18 + 9 = 3\).

**Odpowiedź:** B. \(3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-01)

#### Zadanie 4 - powrót do ceny po obniżce (1 pkt)

**Treść:** Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o

**Rozwiązanie:**

Po obniżce \(y = 0{,}8x\). Podwyżka musi wynieść \(x - 0{,}8x = 0{,}2x\), ale procent liczymy od nowej, niższej ceny \(y\):

$$\frac{0{,}2x}{0{,}8x} = \frac{1}{4} = 25\%$$

Podwyżka o \(20\%\) (odpowiedź B) dałaby tylko \(0{,}8x \cdot 1{,}2 = 0{,}96x\).

**Odpowiedź:** A. \(25\%\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-04)

### Zadania 7-13: funkcje, równania i proste

Zadania 7, 8 i 9 dotyczą tej samej funkcji kwadratowej \(f(x) = a(x-1)(x-3)\) o wierzchołku \(W = (2, 1)\). W zadaniu 8 jej największa wartość w przedziale \(\langle 1, 4 \rangle\) to \(1\), a w zadaniu 9 oś symetrii paraboli ma równanie \(x = 2\). Dalej są: równanie \(x(x-2) = (x-2)^2\) (10), znaki współczynników funkcji liniowej odczytane z wykresu (11), wartość funkcji \(f(x) = 4^{-x} + 1\) (12) i proste równoległe (13).

#### Zadanie 7 - współczynnik a funkcji kwadratowej (1 pkt)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (2,1)\). Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

**Rozwiązanie:**

Wierzchołek należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji:

$$1 = a(2 - 1)(2 - 3) = a \cdot 1 \cdot (-1) = -a \quad\Rightarrow\quad a = -1$$

Ujemne \(a\) zgadza się z tym, że wierzchołek leży nad osią \(Ox\), a miejsca zerowe to \(1\) i \(3\): ramiona paraboli są skierowane w dół.

**Odpowiedź:** D. \(-1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-07)

#### Zadanie 10 - równanie z kwadratem dwumianu (1 pkt)

**Treść:** Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych

**Rozwiązanie:**

Rozpisujemy prawą stronę ze wzoru skróconego mnożenia:

$$x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4 \quad\Rightarrow\quad 2x = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 2$$

Sprawdzenie: dla \(x = 2\) obie strony są równe \(0\). Nie wolno tu dzielić obu stron przez \(x - 2\): to wyrażenie jest zerem właśnie dla \(x = 2\), więc po takim dzieleniu znika jedyne rozwiązanie i wychodzi sprzeczność \(x = x - 2\) (odpowiedź A).

**Odpowiedź:** B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x = 2\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-10)

### Zadania 14-16: ciągi i funkcja liniowa

Dwa zadania z [ciągów](/topics/ciagi): różnica wyrazów ciągu \(a_n = 2n^2\) (14) i suma czterech wyrazów ciągu arytmetycznego (15). Zadanie 16 dotyczy punktu na wykresie funkcji liniowej.

#### Zadanie 15 - suma wyrazów ciągu arytmetycznego (1 pkt)

**Treść:** W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Cofamy się od czwartego wyrazu, odejmując różnicę \(r = 5\):

$$a_3 = 3 - 5 = -2, \qquad a_2 = -2 - 5 = -7, \qquad a_1 = -7 - 5 = -12$$

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -12 - 7 - 2 + 3 = -18$$

To samo daje wzór na sumę: \(S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = \frac{-12 + 3}{2} \cdot 4 = -18\).

**Odpowiedź:** C. \(-18\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-15)

#### Zadanie 16 - punkt na wykresie funkcji liniowej (1 pkt)

**Treść:** Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że

**Rozwiązanie:**

Podstawiamy współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji:

$$-1 = 3 \cdot \frac{1}{3} + b = 1 + b \quad\Rightarrow\quad b = -2$$

**Odpowiedź:** D. \(b=-2\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-16)

### Zadania 17-20: planimetria, geometria analityczna i trygonometria

Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg (17), prosta przez dwa punkty (18), wyrażenie trygonometryczne w trójkącie prostokątnym (19) i symetria względem początku układu współrzędnych (20). Więcej zadań znajdziesz w działach [trygonometria](/topics/trygonometria) i [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna).

#### Zadanie 18 - prosta przez dwa punkty (1 pkt)

**Treść:** Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem

**Rozwiązanie:**

Współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostów:

$$a = \frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \frac{8}{-4} = -2$$

Wyraz wolny z punktu \(A\): \(-2 = -2 \cdot 3 + b\), więc \(b = 4\). Sprawdzenie punktem \(B\): \(-2 \cdot (-1) + 4 = 6\).

**Odpowiedź:** A. \(y=-2x+4\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-18)

#### Zadanie 20 - symetria względem początku układu (1 pkt)

**Treść:** Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A=(-3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

**Rozwiązanie:**

W symetrii względem początku układu obie współrzędne zmieniają znak, więc \(B = (3, -5)\). Ze wzoru na długość odcinka:

$$|AB| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$$

**Odpowiedź:** A. \(2\sqrt{34}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-20)

### Zadania 21-23: kombinatoryka, planimetria i statystyka

Liczby dwucyfrowe o niepowtarzających się cyfrach (21), pole czworokąta wyciętego z prostokąta (22, dział [planimetria](/topics/planimetria)) i mediana dwóch zestawów danych (23).

#### Zadanie 21 - liczby dwucyfrowe bez powtórzeń (1 pkt)

**Treść:** Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: \(1, 3, 5, 7, 9\), w których cyfry się nie powtarzają?

**Rozwiązanie:**

Cyfrę dziesiątek wybieramy na \(5\) sposobów. Cyfrę jedności na \(4\) sposoby, bo nie może powtórzyć cyfry dziesiątek. Zera wśród cyfr nie ma, więc każdy wybór daje liczbę dwucyfrową. Z reguły mnożenia:

$$5 \cdot 4 = 20$$

**Odpowiedź:** C. \(20\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-21)

#### Zadanie 23 - mediana dwóch zestawów danych (1 pkt)

**Treść:** Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem

**Rozwiązanie:**

Porządkujemy drugi zestaw: \(2, 3, 5, 6, 8\). Danych jest pięć, więc medianą jest środkowa liczba, czyli \(5\).

Pierwszy zestaw jest już uporządkowany i ma cztery liczby, więc jego mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{3 + a}{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad a = 7$$

Liczba \(7\) leży między \(3\) a \(8\), więc zestaw \(2, 3, 7, 8\) rzeczywiście jest uporządkowany rosnąco.

**Odpowiedź:** A. \(a=7\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-23)

### Zadania 24-25: stereometria

Sześcian o danej przekątnej (24) i bryła złożona z dwóch stożków o wspólnej podstawie (25).

#### Zadanie 24 - pole powierzchni sześcianu (1 pkt)

**Treść:** Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

**Rozwiązanie:**

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więc \(a = 4\). Powierzchnię tworzy sześć kwadratów:

$$P = 6a^2 = 6 \cdot 16 = 96$$

**Odpowiedź:** A. \(96\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-24)

#### Zadanie 25 - dwa stożki o wspólnej podstawie (1 pkt)

**Treść:** Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\). Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12 \text{cm}^3\). Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

**Rozwiązanie:**

Objętość stożka to \(V = \frac{1}{3}P_p \cdot H\). Oba stożki mają tę samą podstawę, więc ich objętości są w tym samym stosunku co wysokości, czyli \(3 : 2\). Wyższy stożek ma objętość:

$$V_d = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \ \text{cm}^3$$

Cała bryła: \(12 + 18 = 30 \ \text{cm}^3\).

**Odpowiedź:** B. \(30 \ \text{cm}^3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-25)

### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

| Zadanie | Odpowiedź |
|---|---|
| [1](/task/matura-maj-2020-01) | B. \(3\) |
| [2](/task/matura-maj-2020-02) | C. \(2^{30}\cdot 3^{20}\) |
| [3](/task/matura-maj-2020-03) | D. \(\frac{3}{2}\) |
| [4](/task/matura-maj-2020-04) | A. \(25\%\) |
| [5](/task/matura-maj-2020-05) | A. \(\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)\) |
| [6](/task/matura-maj-2020-06) | B. \(1\) |
| [7](/task/matura-maj-2020-07) | D. \(-1\) |
| [8](/task/matura-maj-2020-08) | C. \(1\) |
| [9](/task/matura-maj-2020-09) | B. \(x=2\) |
| [10](/task/matura-maj-2020-10) | B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x = 2\) |
| [11](/task/matura-maj-2020-11) | D. \(a\cdot b\lt0\) |
| [12](/task/matura-maj-2020-12) | B. \(\frac{3}{2}\) |
| [13](/task/matura-maj-2020-13) | C. \(m=\frac{11}{4}\) |
| [14](/task/matura-maj-2020-14) | D. \(18\) |
| [15](/task/matura-maj-2020-15) | C. \(-18\) |
| [16](/task/matura-maj-2020-16) | D. \(b=-2\) |
| [17](/task/matura-maj-2020-17) | D. \(31^\circ\) |
| [18](/task/matura-maj-2020-18) | A. \(y=-2x+4\) |
| [19](/task/matura-maj-2020-19) | B. \(\cos \alpha\) |
| [20](/task/matura-maj-2020-20) | A. \(2\sqrt{34}\) |
| [21](/task/matura-maj-2020-21) | C. \(20\) |
| [22](/task/matura-maj-2020-22) | C. \(54\) |
| [23](/task/matura-maj-2020-23) | A. \(a=7\) |
| [24](/task/matura-maj-2020-24) | A. \(96\) |
| [25](/task/matura-maj-2020-25) | B. \(30 \ \text{cm}^3\) |

## Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania otwarte dawały drugą połowę punktów arkusza: sześć zadań za 2 punkty, dwa za 4 punkty i jedno za 5. Każde wymagało pełnego zapisu rozwiązania.

### Zadanie 26 - nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)\gt x-1\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Przenosimy wszystko na lewą stronę i porządkujemy:

$$2x^2 + 4x - 6 - x + 1 \gt 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 + 3x - 5 \gt 0$$

Krok 2. Miejsca zerowe:

$$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \qquad \sqrt{\Delta} = 7$$

$$x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}, \qquad x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1$$

Szybciej: \(2(x-1)(x+3) - (x-1) = (x-1)(2x+5)\), co daje od razu te same miejsca zerowe. Nie wolno natomiast dzielić obu stron przez \(x - 1\), bo znak tego wyrażenia zależy od \(x\).

Krok 3. Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, ramiona paraboli idą w górę, więc wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych.

**Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, -\frac{5}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-26)

### Zadanie 27 - równanie w postaci iloczynowej (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \((x^2-1)(x^2-2x)=0\).

**Rozwiązanie:**

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników.

Pierwszy czynnik: \(x^2 - 1 = 0\), więc \(x^2 = 1\), czyli \(x = 1\) lub \(x = -1\).

Drugi czynnik: \(x^2 - 2x = x(x - 2) = 0\), więc \(x = 0\) lub \(x = 2\).

**Odpowiedź:** \(x = -1\), \(x = 0\), \(x = 1\) lub \(x = 2\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-27)

### Zadanie 28 - dowód nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^2\gt 0\).

**Rozwiązanie:**

Rozpisujemy lewą stronę i dzielimy \(2b^2\) na \(b^2 + b^2\):

$$a(a - 2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = (a - b)^2 + b^2$$

Liczby \(a\) i \(b\) są różne, więc \(a - b \neq 0\) i \((a - b)^2 > 0\). Do tego \(b^2 \ge 0\). Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. Bez założenia \(a \neq b\) dostalibyśmy tylko nierówność nieostrą, bo dla \(a = b = 0\) wyrażenie jest równe \(0\).

**Odpowiedź:** \(a(a - 2b) + 2b^2 = (a - b)^2 + b^2 > 0\) dla \(a \neq b\), co należało wykazać.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-28)

### Zadanie 29 - trójkąt równoboczny, dowód (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\)

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Niech \(a\) będzie długością boku trójkąta. Wysokość trójkąta równobocznego to \(|CD| = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), więc:

$$|CE| = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a\sqrt{3}}{8}$$

Krok 2. Trójkąty \(CEF\) i \(CBD\) są prostokątne (kąty proste przy \(F\) i \(D\)) i mają wspólny kąt przy wierzchołku \(C\). Mają więc równe kąty, czyli są podobne.

Krok 3. Z podobieństwa:

$$\frac{|CF|}{|CD|} = \frac{|CE|}{|CB|} \quad\Rightarrow\quad |CF| = \frac{|CE| \cdot |CD|}{|CB|} = \frac{\frac{3a\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{9a}{16}$$

Bok \(CB\) ma długość \(a\), więc \(|CF| = \frac{9}{16}|CB|\).

**Odpowiedź:** \(|CF| = \frac{9}{16}|CB|\), co należało wykazać.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-29)

### Zadanie 30 - prawdopodobieństwo, dwa rzuty kostką (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

**Rozwiązanie:**

Wszystkich wyników dwóch rzutów jest \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\).

Zdarzenie \(A\) to pary z piątką w pierwszym rzucie (\(6\) par) albo w drugim (\(6\) par). Para \((5, 5)\) jest w obu grupach, więc liczymy ją raz: \(|A| = 6 + 6 - 1 = 11\). To samo daje zdarzenie przeciwne: bez żadnej piątki jest \(5 \cdot 5 = 25\) par, a \(36 - 25 = 11\).

$$P(A) = \frac{11}{36}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{11}{36}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-30)

### Zadanie 31 - tangens kąta ostrego (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha }=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha \).

**Rozwiązanie:**

Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha \neq 0\) i możemy pomnożyć obie strony przez \(\cos\alpha\):

$$2\sin\alpha + 3\cos\alpha = 4\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad 2\sin\alpha = \cos\alpha$$

Dzielimy przez \(\cos\alpha\) i korzystamy z \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

$$2\operatorname{tg}\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-31)

### Zadanie 32 - kwadrat w układzie współrzędnych (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{3}{4}\), bo \(\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1\).

Krok 2. Prosta \(AC\) przechodzi przez \(A\):

$$-\frac{5}{3} = -\frac{3}{4} \cdot 5 + b \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{20}{12} + \frac{45}{12} = \frac{25}{12}, \qquad AC\colon\ y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12}$$

Krok 3. Punkt przecięcia przekątnych:

$$\frac{4}{3}x = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12} \quad \Big/ \cdot 12 \quad\Rightarrow\quad 16x = -9x + 25 \quad\Rightarrow\quad x = 1, \qquad y = \frac{4}{3}$$

Krok 4. Przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc \(|AC| = 2|AS|\):

$$|AS| = \sqrt{(1 - 5)^2 + \left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5, \qquad |AC| = 10$$

Krok 5. Pole kwadratu z przekątnej: \(P = \frac{1}{2}|AC|^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50\).

**Odpowiedź:** punkt przecięcia przekątnych \(S = \left(1, \frac{4}{3}\right)\), pole kwadratu \(50\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-32)

### Zadanie 33 - iloraz ciągu geometrycznego (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle \).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Zapisujemy wyrazy przez \(a_1\) i \(q\): \(a_2 = a_1 q\), \(a_3 = a_1 q^2\). Wtedy:

$$6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_1(q^2 - 5q + 6) = 0$$

Krok 2. Wyrazy są dodatnie, więc \(a_1 \neq 0\) i zostaje równanie kwadratowe:

$$q^2 - 5q + 6 = 0, \qquad \Delta = 25 - 24 = 1, \qquad q = 2 \ \text{lub} \ q = 3$$

Krok 3. Sprawdzamy przedział, porównując kwadraty liczb dodatnich: \((2\sqrt{2})^2 = 8\) i \((3\sqrt{2})^2 = 18\). Liczba \(2\) ma kwadrat \(4  0\). W zadaniu 29 trzeba wskazać, dlaczego trójkąty są podobne, zanim ułożysz proporcję.

### Błąd 6: rachunki na ułamkach

W zadaniu 32 współrzędna \(-\frac{5}{3}\) i współczynnik \(-\frac{3}{4}\) prowadzą do równania z ułamkami. Najpewniej sprowadzić je do wspólnego mianownika \(12\) albo pomnożyć całe równanie przez \(12\), zamiast liczyć na przybliżeniach dziesiętnych.

### Błąd 7: pomylone funkcje trygonometryczne

W zadaniu 19 cosinus jednego kąta ostrego trójkąta prostokątnego to sinus drugiego: \(\sin\beta = \cos\alpha\), więc \(2\cos\alpha - \sin\beta = \cos\alpha\). W zadaniu 31 kluczowe jest zauważenie, że \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha\).

### Błąd 8: podwójnie policzone zdarzenie

W zadaniu 30 para \((5, 5)\) ma piątkę w obu rzutach. Kto doda \(6\) par z piątką w pierwszym rzucie i \(6\) z piątką w drugim, policzy ją dwa razy i dostanie \(\frac{12}{36}\) zamiast \(\frac{11}{36}\). Zdarzenie przeciwne (\(36 - 25\)) chroni przed tym błędem.

## Jak przygotować się na podobny arkusz

Poniżej działy, które sprawdzał arkusz z 2020 roku, z numerami zadań do powtórki.

### Systematyczne ćwiczenie funkcji kwadratowej

[Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) wróciła w tym arkuszu w zadaniach 7-9 i w nierówności z zadania 26. Powinieneś umieć:
- przechodzić między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową,
- wyznaczać wierzchołek paraboli i oś symetrii,
- znajdować największą i najmniejszą wartość w przedziale,
- rozwiązywać nierówności kwadratowe.

Ćwicz zadania z tego zakresu regularnie, najlepiej codziennie.

### Pogłębianie wiedzy o ciągach

[Ciągi](/topics/ciagi) arytmetyczne i geometryczne pojawiły się w zadaniach 14, 15 i 33:
- znaj i stosuj wzory na \(n\)-ty wyraz,
- umiej obliczać sumy początkowych wyrazów,
- zapisuj kolejne wyrazy przez \(a_1\) i \(r\) albo \(a_1\) i \(q\), jak w zadaniu 33.

### Opanowanie trygonometrii

[Trygonometria](/topics/trygonometria) była w zadaniach 19 i 31:
- zapamiętaj wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\),
- znaj definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym,
- stosuj tożsamości \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

### Rysowanie i analiza geometrii analitycznej

Układ współrzędnych ułatwia rozwiązywanie wielu zadań z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna). W tym arkuszu były to zadania 18, 20 i 32:
- obliczanie długości odcinka,
- równanie prostej przez dwa punkty,
- proste prostopadłe i punkt przecięcia dwóch prostych.

### Nie zapominaj o planimetrii

Geometria płaska ([planimetria](/topics/planimetria)) to zadania 17, 22 i 29:
- kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg,
- pola wielokątów,
- podobieństwo trójkątów, twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa.

### Rozwiązywanie zadań maturalnych z lat poprzednich

Najlepszy sposób na przygotowanie to rozwiązywanie całych arkuszy z poprzednich lat. Po arkuszu z 2020 roku sprawdź również [matura maj 2021 rozwiązania](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz) i [matura maj 2022 rozwiązania](/matura-maj-2022-rozwiazania-arkusz).

Dla bardziej systematycznego ćwiczenia korzystaj z [losowego zadania maturalnego](/random) dostępnego na sprawnamatura.pl - każde losowanie przygotowuje Cię na niespodziewane zadania.

### Zalecane podejście do nauki

1. **Systematyczność** - ucz się 30-45 minut dziennie, a nie w ostatniej chwili
2. **Zróżnicowanie** - zmieniaj rodzaje zadań, żeby ćwiczyć rozpoznawanie, którą metodę wybrać
3. **Analiza błędów** - po każdym teście sprawdź, gdzie robiłeś błędy
4. **Wyjaśnianie koncepcji** - tłumaczenie komuś innemu dobrze utrwala wiedzę
5. **Czasomierz** - ćwicz rozwiązywanie zadań pod presją czasu; ten arkusz trwał 170 minut, a obecna matura podstawowa trwa 180 minut

## Podsumowanie

Arkusz z 2020 roku sprawdzał materiał z całej podstawy: od potęg, logarytmów i procentów, przez funkcje, równania i ciągi, po geometrię płaską, analityczną i przestrzenną oraz prawdopodobieństwo. Najwięcej punktów dawały trzy ostatnie zadania otwarte: kwadrat w układzie współrzędnych, ciąg geometryczny i ostrosłup, razem 13 z 50.

Kluczem do sukcesu było:
- systematyczne ćwiczenie podstawowych pojęć,
- rozumienie, a nie tylko zapamiętywanie procedur,
- praktykowanie rozwiązywania zadań otwartych z pełnym uzasadnieniem,
- regularny kontakt z zadaniami z poprzednich lat.

Jeśli przygotowujesz się do matury w 2027 roku, pamiętaj, że ten arkusz jest w formule 2015, a Ty zdajesz w formule 2023: inny jest czas, układ i część typów zadań. Same umiejętności z tego arkusza, takie jak równania, funkcje, ciągi i geometria, nadal się przydają.

Matematyka to kwestia praktyki. Im więcej zadań rozwiążesz, tym pewniej poczujesz się na egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2019 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku
description: Matura maj 2019 z matematyki (poziom podstawowy): klucz odpowiedzi do 25 zadań zamkniętych i rozwiązania krok po kroku wszystkich 9 zadań otwartych.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2019 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku

## O arkuszu Matura maj 2019

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2019 roku była egzaminem w formule 2015. Arkusz miał 34 zadania: 25 zamkniętych (numery 1-25, każde za 1 punkt) i 9 otwartych (numery 26-34). Zadania 26-31 były warte po 2 punkty, zadania 32 i 33 po 4 punkty, a zadanie 34 - 5 punktów. Razem do zdobycia było 50 punktów, a na rozwiązanie arkusza 170 minut. Do zdania matury wystarczało 30% punktów, czyli 15.

Zadania otwarte dotyczyły kolejno: równania wielomianowego (26), nierówności kwadratowej (27), dowodu nierówności (28), dowodu o kątach w okręgu (29), prawdopodobieństwa (30), trapezu prostokątnego (31), ciągu arytmetycznego (32), symetralnej odcinka w układzie współrzędnych (33) i ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (34).

Poniżej znajdziesz omówienie zadań zamkniętych z kluczem odpowiedzi do wszystkich 25, a potem pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych. Pod każdym rozwiązaniem jest link do zadania na Sprawnej Maturze, gdzie możesz rozwiązać je samodzielnie.

## Zadania zamknięte (1-25) - omówienie

Zadania zamknięte dzielimy na grupy tematyczne. W każdej grupie rozwiązujemy krok po kroku jedno lub dwa zadania. Odpowiedzi do wszystkich 25 zadań są w tabeli na końcu tej części.

### Liczby, procenty i równania (zadania 1-6)

Arkusz otwierają: logarytm (zadanie 1), liczba cyfr iloczynu potęg (2), procenty i punkty procentowe (3), równanie z ułamkami (4), układ równań z parametrem (5) i równanie wymierne (6).

#### Zadanie 3 - procenty i punkty procentowe (1 pkt)

**Treść:** W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

**Rozwiązanie:**

Prowizja spadła z \(4\%\) do \(3\%\), czyli o \(1\) punkt procentowy. Pytanie dotyczy jednak tego, o ile procent zmalała sama prowizja, więc różnicę dzielimy przez starą wartość:

$$\frac{4\% - 3\%}{4\%} = \frac{1}{4} = 25\%$$

Odpowiedź A (\(1\%\)) myli punkt procentowy z procentem.

**Odpowiedź:** B. \(25\%\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-03)

#### Zadanie 6 - równanie wymierne (1 pkt)

**Treść:** Równanie \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0\)

**Rozwiązanie:**

Mianownik nie może być zerem, więc \(x \neq 3\). Ułamek jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się licznik:

$$(x-1)(x+2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \ \text{lub} \ x = -2$$

Obie liczby są różne od \(3\), więc równanie ma dwa rozwiązania. Liczba \(3\) z odpowiedzi A zeruje mianownik, a nie licznik, dlatego rozwiązaniem nie jest.

**Odpowiedź:** C. ma dwa różne rozwiązania: \(x = 1\), \(x = -2\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-06)

### Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa (zadania 7-10)

Zadanie 7 dotyczy miejsca zerowego funkcji liniowej. Zadania 8, 9 i 10 pytają o tę samą funkcję kwadratową \(f\): jej wierzchołek to \(W = (2, -4)\), a miejsca zerowe to \(0\) i \(4\). W zadaniu 9 największa wartość \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4 \rangle\) to \(0\) (dla \(x = 4\)), a w zadaniu 10 osią symetrii wykresu jest prosta \(x = 2\). Więcej o paraboli znajdziesz w dziale [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa).

#### Zadanie 7 - miejsce zerowe funkcji liniowej (1 pkt)

**Treść:** Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x) = 3(x + 1) - 6\sqrt{3}\) jest liczba

**Rozwiązanie:**

Przyrównujemy wzór funkcji do zera i dzielimy obie strony przez \(3\):

$$3(x + 1) - 6\sqrt{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 1 - 2\sqrt{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2\sqrt{3} - 1$$

**Odpowiedź:** C. \(2\sqrt{3} - 1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-07)

#### Zadanie 8 - zbiór wartości funkcji kwadratowej (1 pkt)

**Treść:** Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (2, -4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

**Rozwiązanie:**

Funkcja ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek ma drugą współrzędną \(-4\), czyli leży pod osią \(Ox\). Taka parabola ma ramiona skierowane w górę, więc w wierzchołku funkcja osiąga wartość najmniejszą, a największej wartości nie ma. Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\): od \(-4\) do \(+\infty\).

**Odpowiedź:** C. \(\langle -4, +\infty)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-08)

### Ciągi i trygonometria (zadania 11-13)

Dwa zadania z [ciągów](/topics/ciagi): suma ośmiu wyrazów ciągu arytmetycznego (11) i iloraz ciągu geometrycznego (12). Zadanie 13 to cosinus kąta ostrego wyznaczony z sinusa.

#### Zadanie 12 - iloraz ciągu geometrycznego (1 pkt)

**Treść:** Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy

**Rozwiązanie:**

Piąty wyraz powstaje z trzeciego przez dwukrotne pomnożenie przez iloraz: \(a_5 = a_3 \cdot q^2\). Stąd:

$$\frac{a_5}{a_3} = q^2 = \frac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad q = \frac{1}{3} \ \text{lub} \ q = -\frac{1}{3}$$

Przy ujemnym ilorazie wyrazy ciągu zmieniałyby znak na przemian, a z treści wszystkie są dodatnie. Zostaje \(q = \frac{1}{3}\).

**Odpowiedź:** A. \(\frac{1}{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-12)

#### Zadanie 13 - cosinus z sinusa (1 pkt)

**Treść:** Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy

**Rozwiązanie:**

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni: \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\). Odpowiedź C (\(\frac{9}{25}\)) to kwadrat cosinusa, a nie cosinus.

**Odpowiedź:** D. \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-13)

### Planimetria (zadania 14-16)

Trzy zadania z [planimetrii](/topics/planimetria): kąty wpisane w okrąg opisany na trójkącie równobocznym (14), styczna do dwóch okręgów (15) i pole rombu (16).

#### Zadanie 15 - styczna do dwóch okręgów (1 pkt)

**Treść:** Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek). Wtedy

**Rozwiązanie:**

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąty \(OAK\) i \(PBK\) są prostokątne. Kąty \(AKO\) i \(BKP\) są wierzchołkowe, czyli równe. Trójkąty mają więc równe kąty i są podobne, a stosunek odpowiednich boków jest stały:

$$\frac{|OA|}{|OK|} = \frac{|PB|}{|PK|} \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{|OK|} = \frac{3}{|PK|} \quad\Rightarrow\quad |PK| = \frac{3}{5}|OK|$$

Punkt \(K\) leży na odcinku \(OP\), więc \(|OK| + |PK| = 16\):

$$|OK| + \frac{3}{5}|OK| = 16 \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{5}|OK| = 16 \quad\Rightarrow\quad |OK| = 10$$

**Odpowiedź:** C. \(|OK| = 10\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-15)

#### Zadanie 16 - pole rombu (1 pkt)

**Treść:** Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^\circ\). Pole tego rombu jest równe

**Rozwiązanie:**

Pole rombu o boku \(a\) i kącie \(\alpha\) to \(P = a^2 \sin\alpha\). Ze wzoru redukcyjnego \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), więc:

$$P = 4^2 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

**Odpowiedź:** A. \(8\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-16)

### Proste i punkty w układzie współrzędnych (zadania 17-20)

Proste równoległe (17), prosta prostopadła przechodząca przez dany punkt (18), obraz prostej w symetrii względem początku układu (19) i długość odcinka (20).

#### Zadanie 17 - proste równoległe (1 pkt)

**Treść:** Proste o równaniach \(y = (2m + 2)x - 2019\) oraz \(y = (3m - 3)x + 2019\) są równoległe, gdy

**Rozwiązanie:**

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:

$$2m + 2 = 3m - 3 \quad\Rightarrow\quad m = 5$$

Wyrazy wolne \(-2019\) i \(2019\) są różne, więc dla \(m = 5\) proste są równoległe i się nie pokrywają.

**Odpowiedź:** D. \(m = 5\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-17)

#### Zadanie 20 - okrąg wpisany w kwadrat (1 pkt)

**Treść:** Dane są punkty o współrzędnych \(A = (-2, 5)\) oraz \(B = (4, -1)\). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku \(AB\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Okrąg wpisany w kwadrat dotyka wszystkich czterech boków, więc jego średnica jest równa długości boku. Wystarczy policzyć \(|AB|\):

$$|AB| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** C. \(6\sqrt{2}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-20)

### Stereometria (zadania 21-22)

Dwa zadania ze [stereometrii](/topics/stereometria): przekątna prostopadłościanu i porównanie pól powierzchni kuli i stożka.

#### Zadanie 21 - przekątna prostopadłościanu (1 pkt)

**Treść:** Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5\) dm x \(3\) dm x \(2\) dm (zobacz rysunek). Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do \(0,01\) dm - równa

**Rozwiązanie:**

Przekątna podstawy, wysokość i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny. Dwa razy twierdzenie Pitagorasa daje wzór na przekątną prostopadłościanu:

$$|KL|^2 = 5^2 + 3^2 + 2^2 = 25 + 9 + 4 = 38, \qquad |KL| = \sqrt{38} \approx 6{,}16$$

Sprawdzenie zaokrąglenia: \(6{,}16^2 = 37{,}9456\), a \(6{,}17^2 = 38{,}0689\), więc \(\sqrt{38}\) leży bliżej \(6{,}16\).

**Odpowiedź:** B. \(6{,}16\) dm

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-21)

#### Zadanie 22 - kula i stożek (1 pkt)

**Treść:** Promień kuli i promień podstawy stożka są równe \(4\). Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa

**Rozwiązanie:**

Pole powierzchni kuli to \(4\pi r^2\), a pole powierzchni całkowitej stożka to \(\pi r(r + l)\). Przyrównujemy je dla \(r = 4\) i dzielimy przez \(\pi\):

$$4 \cdot 4^2 = 4(4 + l) \quad\Rightarrow\quad 64 = 16 + 4l \quad\Rightarrow\quad l = 12$$

**Odpowiedź:** D. \(12\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-22)

### Statystyka, kombinatoryka i prawdopodobieństwo (zadania 23-25)

Mediana zestawu z niewiadomą (23), liczenie liczb pięciocyfrowych (24) i losowanie kuli z pudełka (25). Więcej zadań tego typu znajdziesz w dziale [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo).

#### Zadanie 23 - mediana z niewiadomą (1 pkt)

**Treść:** Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4\), \(8\), \(21\), \(a\), \(16\), \(25\), jest równa \(14\). Zatem

**Rozwiązanie:**

Najpierw porządkujemy znane liczby: \(4, 8, 16, 21, 25\). Danych jest sześć, więc mediana to średnia trzeciej i czwartej liczby po uporządkowaniu.

Gdyby \(a \le 8\), w środku stałyby \(8\) i \(16\), a mediana wyniosłaby \(12\). Gdyby \(a \ge 21\), w środku stałyby \(16\) i \(21\), a mediana wyniosłaby \(18{,}5\). Liczba \(a\) musi więc stać w środku obok \(16\):

$$\frac{a + 16}{2} = 14 \quad\Rightarrow\quad a = 12$$

Sprawdzenie: \(4, 8, 12, 16, 21, 25\) ma medianę \(\frac{12 + 16}{2} = 14\).

**Odpowiedź:** B. \(a = 12\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-23)

#### Zadanie 24 - liczby pięciocyfrowe z cyfr 0, 2 i 5 (1 pkt)

**Treść:** Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0\), \(2\), \(5\), jest

**Rozwiązanie:**

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc na pierwszym miejscu stoi \(2\) albo \(5\). Na każdym z pozostałych czterech miejsc może stać dowolna z trzech cyfr. Z reguły mnożenia:

$$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 162$$

Odpowiedź D (\(243 = 3^5\)) liczy też ciągi zaczynające się od zera, które liczbami pięciocyfrowymi nie są.

**Odpowiedź:** C. \(162\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-24)

### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

| Zadanie | Odpowiedź |
|---|---|
| [1](/task/matura-maj-2019-01) | A. \(2\) |
| [2](/task/matura-maj-2019-02) | B. \(15\) cyfr |
| [3](/task/matura-maj-2019-03) | B. \(25\%\) |
| [4](/task/matura-maj-2019-04) | D. \(a = \frac{20}{11}\) |
| [5](/task/matura-maj-2019-05) | B. \(a = 1\) |
| [6](/task/matura-maj-2019-06) | C. \(x = 1\), \(x = -2\) |
| [7](/task/matura-maj-2019-07) | C. \(2\sqrt{3} - 1\) |
| [8](/task/matura-maj-2019-08) | C. \(\langle -4, +\infty)\) |
| [9](/task/matura-maj-2019-09) | D. \(0\) |
| [10](/task/matura-maj-2019-10) | D. \(x = 2\) |
| [11](/task/matura-maj-2019-11) | A. \(-168\) |
| [12](/task/matura-maj-2019-12) | A. \(\frac{1}{3}\) |
| [13](/task/matura-maj-2019-13) | D. \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\) |
| [14](/task/matura-maj-2019-14) | A. \(\alpha = 30^\circ\) |
| [15](/task/matura-maj-2019-15) | C. \(\lvert OK \rvert = 10\) |
| [16](/task/matura-maj-2019-16) | A. \(8\) |
| [17](/task/matura-maj-2019-17) | D. \(m = 5\) |
| [18](/task/matura-maj-2019-18) | B. \(a = \frac{1}{4}\) i \(b = -\frac{1}{8}\) |
| [19](/task/matura-maj-2019-19) | C. \(g(x) = -x - 4\) |
| [20](/task/matura-maj-2019-20) | C. \(6\sqrt{2}\) |
| [21](/task/matura-maj-2019-21) | B. \(6{,}16\) dm |
| [22](/task/matura-maj-2019-22) | D. \(12\) |
| [23](/task/matura-maj-2019-23) | B. \(a = 12\) |
| [24](/task/matura-maj-2019-24) | C. \(162\) |
| [25](/task/matura-maj-2019-25) | A. \(\frac{1}{8}\) |

## Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania 26-34 wymagały pełnego zapisu rozwiązania. Przy każdym podajemy liczbę punktów z arkusza.

### Zadanie 26 - równanie wielomianowe (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \((x^3 - 8)(x^2 - 4x - 5) = 0\).

**Rozwiązanie:**

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników.

Pierwszy czynnik: \(x^3 - 8 = 0\), czyli \(x^3 = 8\) i \(x = 2\).

Drugi czynnik: \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Liczymy wyróżnik, uważając na znak przy \(c = -5\):

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36, \qquad \sqrt{\Delta} = 6$$

$$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

**Odpowiedź:** \(x = -1\), \(x = 2\) lub \(x = 5\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-26)

### Zadanie 27 - nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(3x^2 - 16x + 16\gt 0\).

**Rozwiązanie:**

Miejsca zerowe trójmianu:

$$\Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64, \qquad \sqrt{\Delta} = 8$$

$$x_1 = \frac{16 - 8}{6} = \frac{4}{3}, \qquad x_2 = \frac{16 + 8}{6} = 4$$

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę. Wartości dodatnie trójmian przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi, a same miejsca zerowe odpadają, bo nierówność jest ostra.

**Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, \frac{4}{3}\right) \cup (4, +\infty)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-27)

### Zadanie 28 - dowód nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0\).

**Rozwiązanie:**

Z wyrażenia wydzielamy kwadrat różnicy \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):

$$3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2$$

Każdy z trzech składników jest nieujemny, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a mnożenie przez \(2\) tego nie zmienia. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna.

**Odpowiedź:** \(3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2 \ge 0\) dla dowolnych \(a\) i \(b\), co należało wykazać.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-28)

### Zadanie 29 - kąty w okręgu, dowód (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. W trójkącie \(SBC\) mamy \(|SB| = r\) (promień) i \(|BC| = r\) (z treści). Trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie \(SC\) są równe: \(\sphericalangle BSC = \sphericalangle BCS = \alpha\). Trzeci kąt to \(\sphericalangle SBC = 180^\circ - 2\alpha\).

Krok 2. Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na jednej prostej, więc kąty \(ABS\) i \(SBC\) są przyległe:

$$\sphericalangle ABS = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha$$

Krok 3. W trójkącie \(ABS\) boki \(SA\) i \(SB\) są promieniami, więc \(\sphericalangle SAB = \sphericalangle SBA = 2\alpha\), a stąd:

$$\sphericalangle ASB = 180^\circ - 4\alpha$$

Krok 4. Punkty \(D\), \(S\), \(C\) leżą na jednej prostej, więc kąty \(ASD\), \(ASB\) i \(BSC\) dają razem kąt półpełny:

$$\sphericalangle ASD = 180^\circ - (180^\circ - 4\alpha) - \alpha = 3\alpha$$

**Odpowiedź:** \(\sphericalangle ASD = 3\alpha\), co należało wykazać.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-29)

### Zadanie 30 - prawdopodobieństwo, losowanie ze zwracaniem (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

**Rozwiązanie:**

Losujemy ze zwracaniem, więc wszystkich par jest \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\).

Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Za każdym razem trzeba więc wylosować \(1\), \(3\) albo \(5\): \(|A| = 3 \cdot 3 = 9\).

$$P(A) = \frac{9}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{9}{25}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-30)

### Zadanie 31 - przekątna trapezu prostokątnego (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

**Rozwiązanie:**

Ramię \(AD\) jest wysokością trapezu (kąty proste przy wierzchołkach \(A\) i \(D\)).

Krok 1. Trójkąt \(ACD\) jest prostokątny, a kąt \(ACD\) ma \(30^\circ\). Bok \(AD\) leży naprzeciw tego kąta, więc jest połową przeciwprostokątnej \(AC\):

$$|AD| = |AC| \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Krok 2. Trójkąt \(ABD\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(A\), a \(BD\) to jego przeciwprostokątna:

$$|BD|^2 = 8^2 + 2^2 = 68, \qquad |BD| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$

**Odpowiedź:** \(|BD| = 2\sqrt{17}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-31)

### Zadanie 32 - ciąg arytmetyczny (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r = -4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\), jest równa \(16\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k = -78\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Średnia sześciu wyrazów to \(16\), więc ich suma to \(6 \cdot 16 = 96\).

Krok 2. Każdy wyraz zapisujemy przez \(a_1\) i \(r\): \(a_n = a_1 + (n-1)r\). Suma sześciu pierwszych wyrazów to:

$$6a_1 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5)r = 6a_1 + 15r = 96$$

Dla \(r = -4\):

$$6a_1 - 60 = 96 \quad\Rightarrow\quad 6a_1 = 156 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 26$$

Krok 3. Szukamy \(k\), dla którego \(a_k = -78\):

$$26 + (k - 1) \cdot (-4) = -78 \quad\Rightarrow\quad 30 - 4k = -78 \quad\Rightarrow\quad 4k = 108 \quad\Rightarrow\quad k = 27$$

**Odpowiedź:** \(a_1 = 26\), \(k = 27\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-32)

### Zadanie 33 - symetralna odcinka (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Dany jest punkt \(A = (-18, 10)\). Prosta o równaniu \(y = 3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Symetralna jest prostopadła do odcinka \(AB\) i przechodzi przez jego środek. Prosta \(AB\) ma więc współczynnik kierunkowy \(-\frac{1}{3}\), bo \(3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\).

Krok 2. Prosta \(AB\) przechodzi przez \(A = (-18, 10)\):

$$10 = -\frac{1}{3} \cdot (-18) + b = 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 4, \qquad AB\colon\ y = -\frac{1}{3}x + 4$$

Krok 3. Środek \(S\) odcinka \(AB\) to punkt przecięcia prostej \(AB\) z symetralną:

$$3x = -\frac{1}{3}x + 4 \quad\Rightarrow\quad 9x = -x + 12 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{6}{5}, \qquad y = 3 \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{5}$$

Krok 4. Ze wzoru na środek odcinka \(x_B = 2x_S - x_A\) i \(y_B = 2y_S - y_A\):

$$x_B = \frac{12}{5} + 18 = \frac{102}{5}, \qquad y_B = \frac{36}{5} - 10 = -\frac{14}{5}$$

Sprawdzenie: \(-\frac{1}{3} \cdot \frac{102}{5} + 4 = -\frac{34}{5} + \frac{20}{5} = -\frac{14}{5}\), więc \(B\) leży na prostej \(AB\).

**Odpowiedź:** punkt \(B = \left(\frac{102}{5}, -\frac{14}{5}\right)\), czyli \(\left(20\frac{2}{5}, -2\frac{4}{5}\right)\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-33)

### Zadanie 34 - ostrosłup prawidłowy czworokątny (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\). Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Pole podstawy to \(6^2 = 36\), więc pole całkowite to \(4 \cdot 36 = 144\), a pole czterech ścian bocznych to \(144 - 36 = 108\). Jedna ściana ma pole \(27\).

Krok 2. Ściana boczna to trójkąt o podstawie \(6\), więc jego wysokość \(h\) spełnia:

$$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 27 \quad\Rightarrow\quad h = 9$$

Krok 3. Wysokość ostrosłupa \(H\), połowa krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny:

$$H^2 + 3^2 = 9^2 \quad\Rightarrow\quad H^2 = 72 \quad\Rightarrow\quad H = 6\sqrt{2}$$

Krok 4. Kąt \(\alpha\) leży w trójkącie prostokątnym z wysokością \(H\), połową przekątnej podstawy \(\frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) i krawędzią boczną \(k\):

$$k^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90, \qquad k = 3\sqrt{10}$$

Krok 5. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej:

$$\cos\alpha = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

**Odpowiedź:** \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-34)

## Najczęstsze błędy w tym arkuszu

### Błąd 1: punkt procentowy zamiast procentu

W zadaniu 3 prowizja spadła z \(4\%\) do \(3\%\). To spadek o \(1\) punkt procentowy, ale o \(25\%\) wartości prowizji. Odpowiedź A (\(1\%\)) to właśnie pomylenie tych dwóch pojęć.

### Błąd 2: rozwiązanie, które zeruje mianownik

W zadaniu 6 liczba \(3\) zeruje mianownik ułamka \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}\), więc nie należy do dziedziny równania. Zanim przyrównasz licznik do zera, zapisz założenie \(x \neq 3\) i na końcu sprawdź z nim wyniki.

### Błąd 3: mediana z nieuporządkowanych danych

W zadaniu 23 liczby podano w kolejności \(4, 8, 21, a, 16, 25\). Kto weźmie dwie środkowe bez porządkowania, czyli \(21\) i \(a\), dostanie \(a = 7\) (odpowiedź A). Medianę liczy się zawsze po ustawieniu danych od najmniejszej do największej.

### Błąd 4: kwadrat cosinusa zamiast cosinusa

W zadaniu 13 z jedynki trygonometrycznej wychodzi \(\cos^2\alpha = \frac{9}{25}\), a to jest jedna z odpowiedzi (C). Trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek i wybrać znak: kąt ostry ma dodatni cosinus, więc \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\).

### Błąd 5: zero na pierwszym miejscu

W zadaniu 24 wynik \(3^5 = 243\) (odpowiedź D) liczy także zapisy w rodzaju \(02525\), a to nie są liczby pięciocyfrowe. Pierwszą cyfrę wybierasz tylko spośród \(2\) i \(5\).

### Błąd 6: znak w wyróżniku

W zadaniu 26 przy \(x^2 - 4x - 5\) mamy \(c = -5\), więc \(\Delta = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Zgubiony minus daje \(\Delta = 16 - 20 = -4\) i fałszywy wniosek, że drugi czynnik nie ma miejsc zerowych.

### Błąd 7: zły przedział w nierówności

W zadaniu 27 o wyniku decyduje znak współczynnika przy \(x^2\) i kierunek nierówności. Przy \(a = 3 > 0\) i znaku \(\gt\) rozwiązaniem są przedziały na zewnątrz miejsc zerowych, a nie przedział między nimi. W nierówności liniowej pułapka jest inna: dzielenie obu stron przez liczbę ujemną [wymaga odwrócenia znaku](/nierownosc-liniowa-jak-rozwiazac-najmniejsza-liczba-calkowita-matura#kiedy-zmienic-znak-nierownosci), na przykład z \(-2x  -3\).

## Jak przygotować się na podobny arkusz

### 1. Systematyczne powtórzenie materiału

Przygotowanie do matury wymaga systematycznego przerobienia każdego działu. Rekomendujemy:
- Codziennie rozwiązywać 5-10 zadań z danego tematu
- Robić notatki z popełnionych błędów
- Sprawdzać rozwiązania krok po kroku

Nasze narzędzie [losowe zadania](/random) pozwala na codzienne ćwiczenie z różnych działów.

### 2. Praktyka z arkuszami poprzednich lat

Rozwiązanie kompletnych arkuszy maturalnych to najlepszy trening, bo uczy rozkładać siły na cały egzamin. Poza arkuszem z maja 2019 warto przerobić arkusze z innych lat:
- [Matura maj 2020 - rozwiązania arkusza](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz)
- [Matura maj 2021 - rozwiązania arkusza](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz)

### 3. Nauka od najczęstszych błędów

Po rozwiązaniu każdego arkusza przeanalizuj błędy. Czy wynikają z:
- Braku wiedzy teoretycznej?
- Błędu rachunkowego?
- Pominięcia warunku z treści zadania (jak dodatnie wyrazy ciągu w zadaniu 12 czy kąt ostry w zadaniu 13)?

### 4. Głębokie zrozumienie kluczowych działów

W tym arkuszu kilka działów wracało w więcej niż jednym zadaniu:
- [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - zadania 8, 9, 10 i nierówność w zadaniu 27
- [Ciągi](/topics/ciagi) - zadania 11, 12 i 32
- [Planimetria](/topics/planimetria) - zadania 14, 15, 16, 29 i 31
- [Stereometria](/topics/stereometria) - zadania 21, 22 i 34

### 5. Podzielenie czasu na zadania zamknięte i otwarte

Arkusz z 2019 roku był przewidziany na 170 minut. Przy ćwiczeniu możesz przyjąć:
- około 60-70 minut na 25 zadań zamkniętych,
- około 100-110 minut na 9 zadań otwartych, które wymagają pełnego zapisu.

Obecna matura podstawowa trwa 180 minut i ma inny układ zadań, więc traktuj ten podział jako punkt wyjścia. Nie spędzaj zbyt dużo czasu na jednym zadaniu: przejdź do następnego i wróć później.

### 6. Podnoszenie szybkości bez straty dokładności

W ostatnich 2-3 tygodniach przed maturą rozwiązuj arkusze na czas. Ustaw limit równy czasowi prawdziwego egzaminu i trzymaj się go.

### 7. Psychika i pewność siebie

Matura sprawdza nie tylko umiejętności, ale też radzenie sobie ze stresem. Punkty najłatwiej stracić, gdy:
- w pośpiechu źle przeczytasz polecenie,
- nie masz planu na kolejność zadań,
- jeden błąd wytrąci cię z rytmu.

Regularna praktyka buduje pewność siebie. Im więcej arkuszy rozwiążesz, tym mniej zaskoczy cię prawdziwa matura.

## Podsumowanie

Arkusz z maja 2019 sprawdzał materiał z całej podstawy: od logarytmów i procentów, przez funkcje i ciągi, po planimetrię, stereometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Najwięcej punktów dawały trzy ostatnie zadania otwarte: ciąg arytmetyczny, symetralna odcinka i ostrosłup, razem 13 z 50.

Kluczem do sukcesu na maturze jest:
1. **Zrozumienie** - nie tylko zapamiętywanie wzorów
2. **Praktyka** - rozwiązywanie dużej liczby zadań
3. **Analiza błędów** - nauka na własnych pomyłkach
4. **Systematyczność** - regularne przygotowania zamiast nauki na ostatnią chwilę

Każde zadanie z tego arkusza możesz rozwiązać na Sprawnej Maturze, korzystając z linków przy rozwiązaniach i w kluczu odpowiedzi.

Z tego samego rocznika mamy też rozwiązany arkusz z terminu dodatkowego: [matura czerwiec 2019](/matura-czerwiec-2019-rozwiazania-arkusz). Warto go przerobić zaraz po majowym - ten sam zakres, inne zadania.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania
title: Ciąg geometryczny na maturze - wzór na n-ty wyraz, suma, iloraz, zadania krok po kroku
description: Ciąg geometryczny na maturze: wzór na n-ty wyraz, iloraz, suma i suma nieskończona, monotoniczność, procent składany. 9 zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Ciąg geometryczny na maturze - wzór na n-ty wyraz, suma, iloraz, zadania krok po kroku

Ciąg geometryczny to drugi po arytmetycznym typ ciągu, który musisz znać na maturę. Różnica jest prosta: w arytmetycznym dodajesz tę samą liczbę, w geometrycznym mnożysz przez tę samą liczbę. Brzmi banalnie, ale CKE potrafi tak skręcić zadanie, że uczniowie tracą głowę. Tu dostaniesz wszystkie wzory, intuicję i 9 zadań krok po kroku.

Interaktywny kalkulator: ciag-geometryczny (dostępny na stronie wpisu)

Jeśli chcesz najpierw przypomnieć sobie ciąg arytmetyczny, zajrzyj do wpisu [Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania). Pełen przewodnik po obu ciągach znajdziesz w [Ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). Pozostałe zadania ćwiczeniowe z ciągów masz pod [/topics/ciagi](/topics/ciagi).

## Co to jest ciąg geometryczny

**Ciąg geometryczny** to taki ciąg liczbowy, w którym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały. Tę stałą oznaczamy literą \(q\) i nazywamy **ilorazem ciągu**.

Formalnie, ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, jeśli istnieje taka liczba \(q\), że dla każdego \(n \geq 1\):

$$a_{n+1} = a_n \cdot q$$

Albo równoważnie:

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

Przykłady:
- \(2, 6, 18, 54, 162, \ldots\) - tu \(q = 3\), bo każdy wyraz to poprzedni razy 3.
- \(81, 27, 9, 3, 1, \ldots\) - tu \(q = \frac{1}{3}\).
- \(5, -10, 20, -40, \ldots\) - tu \(q = -2\), znaki na zmianę.

**Pułapka 1:** Ciąg geometryczny nie może mieć zera. Gdyby któryś wyraz był równy zero, kolejny też byłby zerem (zero razy cokolwiek to zero), a poprzedni musiałby spełniać \(0 = a_{n-1} \cdot q\), więc też zero. Dlatego w zadaniach zakładamy \(a_1 \neq 0\) i \(q \neq 0\).

**Pułapka 2:** \(q\) może być ujemne. Wtedy wyrazy mają znaki na zmianę - plus, minus, plus, minus. To ważne przy zadaniach o monotoniczności.

## Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Najważniejszy wzór, bez którego nic nie zrobisz:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

Skąd się bierze? Z definicji każdy wyraz to poprzedni razy \(q\):
- \(a_2 = a_1 \cdot q\)
- \(a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2\)
- \(a_4 = a_3 \cdot q = a_1 \cdot q^3\)
- ...
- \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

**Uwaga na wykładnik:** to \(n-1\), nie \(n\). To częsty błąd na egzaminie. Sprawdzaj na małych \(n\): dla \(n=1\) dostajesz \(a_1 \cdot q^0 = a_1\), zgadza się.

Karta wzorów CKE podaje ten wzór, więc nie musisz go pamiętać na pamięć, ale w odruchu trzeba mieć.

## Iloraz ciągu - jak go znaleźć

W zadaniach często masz dane dwa wyrazy i musisz wyliczyć \(q\). Metody są dwie.

**Metoda 1: kolejne wyrazy.** Jeśli znasz \(a_n\) i \(a_{n+1}\):

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

**Metoda 2: dwa wyrazy oddalone o \(k\) pozycji.** Jeśli znasz \(a_n\) i \(a_{n+k}\):

$$\frac{a_{n+k}}{a_n} = q^k$$

Stąd \(q = \sqrt[k]{\frac{a_{n+k}}{a_n}}\), pamiętając o znaku.

**Przykład praktyczny:** Wiemy, że \(a_3 = 12\) i \(a_6 = 96\). Wtedy:

$$\frac{a_6}{a_3} = q^3 = \frac{96}{12} = 8$$

Więc \(q = 2\).

## Wzór na sumę ciągu geometrycznego

To drugi kluczowy wzór. Suma pierwszych \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie \(q \neq 1\):

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

albo równoważnie:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

Drugi zapis wygodniejszy, gdy \(q > 1\), bo nie pojawiają się minusy.

**Co jeśli \(q = 1\)?** Wtedy wszystkie wyrazy są równe \(a_1\), więc po prostu:

$$S_n = n \cdot a_1$$

Ale zazwyczaj w zadaniach maturalnych \(q \neq 1\), bo ciąg stały rzadko bywa ciekawy.

Pełna analiza sumy z porównaniem do arytmetycznego: [Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego).

## Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Jeśli \(|q|  a_n\). Dla ciągu geometrycznego sprowadza się to do warunków na znak \(a_1\) i wartość \(q\).

Rozkład przypadków:
- \(a_1 > 0\) i \(q > 1\) → ciąg rosnący (np. \(2, 6, 18, \ldots\))
- \(a_1 > 0\) i \(0  1\) → ciąg malejący (idzie w stronę minus nieskończoności)
- \(a_1  0\), drugie z \(q  0\)). Nie zapomnij o ujemnym.

## Ciąg geometryczny vs arytmetyczny - jak rozróżnić

Sprawdzasz **różnicę kolejnych wyrazów** i **iloraz kolejnych wyrazów**:

- Jeśli \(a_{n+1} - a_n\) jest stałe → ciąg arytmetyczny.
- Jeśli \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) jest stały → ciąg geometryczny.

Niektóre ciągi są jednocześnie arytmetyczne i geometryczne (ciąg stały, np. \(5, 5, 5, 5, \ldots\) z \(r = 0\) i \(q = 1\)). Większość ciągów nie jest ani jednym, ani drugim.

Jeśli zadanie pyta o sumę albo wyraz konkretnego ciągu, ale nie mówi wprost jaki typ, sprawdź różnicę i iloraz na 2-3 wyrazach. Jeśli żadne z nich nie jest stałe, ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny.

## Najczęstsze zadania CKE z ciągów geometrycznych

Typowe zadania z ciągów geometrycznych to:

1. **Wyznacz iloraz** mając dane dwa wyrazy (np. \(a_3\) i \(a_7\)).
2. **Sprawdź, czy ciąg jest geometryczny** mając wzór ogólny \(a_n = \ldots\).
3. **Oblicz sumę pierwszych \(n\) wyrazów** z zadanymi \(a_1\) i \(q\).
4. **Trzy liczby z parametrem** - np. "dla jakich \(x\) liczby \(3, x, 27\) tworzą ciąg geometryczny".
5. **Procent składany** - oszczędności na koncie z odsetkami to ciąg geometryczny z \(q = 1 + p\). Więcej w [Procent składany na maturze](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki).

## Zadanie 6: ciąg z parametrem

**Treść:** Dla jakiej wartości parametru \(m\) liczby \(m - 3, m + 1, 4m - 2\) (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny?

**Rozwiązanie:** Z własności średniej geometrycznej:

$$(m + 1)^2 = (m - 3)(4m - 2)$$

Rozwijamy lewą stronę:

$$m^2 + 2m + 1 = 4m^2 - 2m - 12m + 6 = 4m^2 - 14m + 6$$

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$0 = 3m^2 - 16m + 5$$

Delta: \(\Delta = 256 - 60 = 196\), \(\sqrt{\Delta} = 14\).

$$m_1 = \frac{16 + 14}{6} = 5, \quad m_2 = \frac{16 - 14}{6} = \frac{1}{3}$$

**Sprawdzenie dla \(m = 5\):** wyrazy to \(2, 6, 18\), iloraz \(q = 3\). Tak, ciąg geometryczny.

**Sprawdzenie dla \(m = \frac{1}{3}\):** wyrazy to \(-\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{2}{3}\). Iloraz: \(\frac{4/3}{-8/3} = -\frac{1}{2}\) oraz \(\frac{-2/3}{4/3} = -\frac{1}{2}\). Też ciąg geometryczny, z \(q = -\frac{1}{2}\).

**Odpowiedź:** \(m = 5\) lub \(m = \frac{1}{3}\). Oba rozwiązania ważne, nie odrzucaj jednego bez powodu.

## Zadanie 7: zastosowanie - procent składany

**Treść:** Wpłacasz na lokatę \(10\,000\) zł na 5 lat, oprocentowanie \(4\%\) rocznie, kapitalizacja roczna. Ile będzie na koncie po 5 latach?

**Rozwiązanie:** Co roku stan konta mnoży się przez \(1{,}04\). To ciąg geometryczny z \(a_0 = 10\,000\) i \(q = 1{,}04\). Po 5 latach:

$$K_5 = 10\,000 \cdot 1{,}04^5$$

Liczymy: \(1{,}04^5 \approx 1{,}2167\), więc:

$$K_5 \approx 12\,167 \text{ zł}$$

**Uwaga:** różnica między procentem prostym (\(K = K_0(1 + np)\)) a procentem składanym (\(K = K_0(1 + p)^n\)) staje się znacząca dla dłuższych okresów. Cała teoria w osobnym wpisie [Procent składany - wzór i zadania](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki).

## Jak ciąg geometryczny pojawia się na innych egzaminach

Ciąg geometryczny występuje też w zadaniach z procentami i statystyką, czasem w ukrytej formie. Typowe sytuacje:

- **Odsetki bankowe** - kapitał rośnie geometrycznie przy stałym oprocentowaniu.
- **Amortyzacja** - wartość samochodu/sprzętu spada o stały procent rocznie, tworząc ciąg geometryczny malejący z \(q = 1 - p\).
- **Rozmnażanie bakterii** - liczba bakterii podwaja się co stały odstęp, czyli \(q = 2\).
- **Rozpad promieniotwórczy** - liczba aktywnych atomów spada geometrycznie, \(q  1\) rośnie co do wartości bezwzględnej. Wtedy (dla \(a_1 \neq 0\)) suma wszystkich wyrazów nie istnieje.

**Praktyczny przykład:** paradoks Zenona z Achillesem i żółwiem. Achilles przebiega kolejne odcinki coraz mniejsze, w sumie skończoną długość mimo nieskończonej liczby kroków. To dokładnie suma nieskończonego ciągu geometrycznego.

## Zadanie 8: nieskończony ciąg geometryczny z parametrem

**Treść:** Dla jakich wartości \(x\) suma nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1 = 6\) i ilorazie \(q = \frac{x - 1}{3}\) istnieje i jest równa \(9\)?

**Rozwiązanie:** Najpierw warunek istnienia:

$$\left| \frac{x - 1}{3} \right| < 1 \quad \Leftrightarrow \quad -3 < x - 1 < 3 \quad \Leftrightarrow \quad -2 < x < 4$$

Teraz warunek na sumę:

$$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - \frac{x-1}{3}} = \frac{6}{\frac{3 - (x - 1)}{3}} = \frac{18}{4 - x}$$

Z warunku \(S = 9\):

$$\frac{18}{4 - x} = 9 \quad \Rightarrow \quad 18 = 9(4 - x) \quad \Rightarrow \quad 2 = 4 - x \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Sprawdzamy: \(x = 2 \in (-2, 4)\), więc spełnia warunek istnienia.

**Odpowiedź:** \(x = 2\).

## Zadanie 9: liczby tworzą ciąg geometryczny po przekształceniu

**Treść:** Liczby \(a, b, c\) (w tej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r = 2\). Wyznacz \(a, b, c\) wiedząc, że liczby \(a, b + 2, c + 8\) tworzą ciąg geometryczny.

**Rozwiązanie:** Z założenia: \(b = a + 2\), \(c = a + 4\). Po podstawieniu drugi ciąg to:

$$a, \quad a + 4, \quad a + 12$$

Z własności średniej geometrycznej:

$$(a + 4)^2 = a \cdot (a + 12)$$
$$a^2 + 8a + 16 = a^2 + 12a$$
$$16 = 4a$$
$$a = 4$$

**Wynik:** \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = 8\). Sprawdzenie drugiego ciągu: \(4, 8, 16\) - tak, ciąg geometryczny o ilorazie \(2\).

To bardzo typowe zadanie maturalne - łączy dwa typy ciągów w jednym zadaniu. Patrz też [Ciągi na maturze - suma, monotoniczność, zadania otwarte](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte).

## Strategia rozwiązywania zadań z ciągów geometrycznych

Gdy widzisz zadanie z ciągiem geometrycznym, idź według schematu:

1. **Zidentyfikuj dane.** Co jest podane: \(a_1\), \(q\), konkretny wyraz, suma? Wypisz na boku.
2. **Sprawdź typ pytania.** Wyraz, suma, parametr, monotoniczność? Każdy ma inny wzór.
3. **Zapisz odpowiedni wzór.** Z karty wzorów lub z pamięci.
4. **Podstaw, rozwiąż.** Liczby trzymaj prosto, jeśli wychodzi ułamek - zwykle masz dobrze.
5. **Sprawdź sensowność.** Iloraz \(q = 0\) - błąd. Suma nieskończona dla \(|q| \geq 1\) - błąd. Wykładnik \(n - 1\) zamiast \(n\) - błąd.

Tym schematem rozwiążesz typowe zadania z ciągów geometrycznych. Reszta to zadania kreatywne, gdzie musisz połączyć geometrię z innym tematem (procenty, statystyka, funkcje).

Sporo z tych zadań rozwiążesz, korzystając z konkretnych ćwiczeń pod [/topics/ciagi](/topics/ciagi). Jeśli celujesz w cały arkusz, sięgnij po [Matura maj 2025 - rozwiązania](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz): zadania 14-16 to tam ciągi, a zadanie 16 dotyczy właśnie ciągu geometrycznego.

## Powiązane wpisy

Geometria - drugi temat, o którym pisałem dziś: [Czworokąt wpisany w okrąg](/czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura) - twierdzenie o kątach przeciwległych i zadania CKE. Z monotoniczności funkcji przyda się też [Funkcja wykładnicza na maturze](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania), bo wyraz ciągu geometrycznego to w istocie funkcja wykładnicza zmiennej \(n\).

## Checklista - co musisz umieć

- Zapisać definicję ciągu geometrycznego i odróżnić od arytmetycznego.
- Stosować wzór \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) w obie strony.
- Wyznaczyć iloraz z dwóch wyrazów dowolnej pozycji.
- Liczyć sumę \(n\) wyrazów z dwóch równoważnych wzorów.
- Sprawdzać warunek zbieżności sumy nieskończonej \(|q|<1\).
- Stosować własność średniej geometrycznej \(x^2 = a \cdot c\).
- Określać monotoniczność dla wszystkich przypadków znaku \(a_1\) i \(q\).
- Rozpoznać procent składany jako ciąg geometryczny.

Jeśli każdy z tych punktów masz zaznaczony, ciąg geometryczny na maturze nie powinien sprawić problemu. Pamiętaj o sprawdzeniu warunków i o tym, że minus pod kwadratem znika - to dwie najczęstsze przyczyny straty punktów.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku
description: Arkusz matura maj 2012 z matematyki: 34 zadania za 50 punktów, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2012

Matura z matematyki z maja 2012 roku to trzecia matura, na której matematyka była obowiązkowa. Arkusz zawierał 34 zadania za łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli 15 punktów. Ten arkusz wyróżniał się silnym naciskiem na algebrę, szczególnie [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) (11 punktów), co wymagało od zdających solidnej znajomości przekształceń algebraicznych. Równocześnie pojawił się szeroki wachlarz zadań z [planimetrii](/topics/planimetria) (8 punktów) oraz [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) (5 punktów), co czyniło ten egzamin dobrze zbalansowanym testem umiejętności.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|--------------|--------|
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 5 | 11 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 7 | 8 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 5 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 5 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 |
| Wyrażenia algebraiczne | 1 | 2 |
| Prawdopodobieństwo | 1 | 2 |
| Procenty, Logarytmy, F. kwadratowa, F. liniowa, Funkcje, Kombinatoryka, Statystyka | 7 | 7 |

Największą wagę miały równania i nierówności (11 pkt), co było charakterystyczne dla arkuszy z tego okresu. Geometria (planimetria + stereometria) dawała łącznie 14 punktów - opanowanie tych działów było kluczowe.

## Poziom trudności

**Zadania zamknięte (1 punkt, 25 zadań, łącznie 25 punktów):** Typowe zadania sprawdzające podstawy - procenty, potęgi i pierwiastki, logarytm, równanie z wartością bezwzględną, suma rozwiązań równania kwadratowego, odczyt miejsc zerowych z wykresu, sinus w trójkącie prostokątnym, podstawowe własności figur płaskich.

**Zadania otwarte za 2 punkty (6 zadań, łącznie 12 punktów):** Nierówność kwadratowa, dowód nierówności ze średnimi, trzeci pierwiastek wielomianu, symetralna odcinka, dowód z dwusiecznymi kątów trójkąta, prawdopodobieństwo przy losowaniu ze zwracaniem.

**Zadania otwarte za 4 i 5 punktów (3 zadania, łącznie 13 punktów):** Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu (4 pkt), objętość ostrosłupa wpisanego w graniastosłup prawidłowy czworokątny (4 pkt), zadanie tekstowe o prędkościach dwóch pociągów (5 pkt).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 15 - Planimetria (1 pkt)

**Treść:** Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \( 5 \) jest równe

**Rozwiązanie:**

Przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu:

$$d = 2r = 2\cdot 5 = 10$$

Z zależności \(d = a\sqrt{2}\) dostajemy bok:

$$a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$

Pole kwadratu:

$$P = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$$

Szybciej: pole kwadratu to połowa kwadratu przekątnej, \(P = \frac{d^2}{2} = \frac{100}{2} = 50\).

**Odpowiedź:** B. \(50\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-15)

---

### Zadanie 21 - Geometria analityczna (1 pkt)

**Treść:** Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( 3x-6y+7=0 \)

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy równanie do postaci kierunkowej:

$$3x - 6y + 7 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6y = 3x + 7 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{6}$$

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, tutaj \(\frac{1}{2}\). Wśród odpowiedzi ma go tylko prosta \(y = \frac{1}{2}x\).

**Odpowiedź:** A. \(y=\frac{1}{2}x\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-21)

---

### Zadanie 26 - Równania i nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(x^2 + 8x + 15 > 0\).

**Rozwiązanie:**

Miejsca zerowe trójmianu dla \(a=1\), \(b=8\), \(c=15\):

$$\Delta = 8^2 - 4\cdot 1\cdot 15 = 64 - 60 = 4, \qquad \sqrt{\Delta} = 2$$

$$x_1 = \frac{-8-2}{2} = -5, \qquad x_2 = \frac{-8+2}{2} = -3$$

Współczynnik \(a=1\) jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę i trójmian jest dodatni na zewnątrz przedziału między pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce \(-5\) i \(-3\) nie należą do rozwiązania.

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty; -5) \cup (-3; +\infty)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-26)

---

### Zadanie 29 - Geometria analityczna (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A = (-2,2)\) i \(B = (2,10)\).

**Rozwiązanie:**

Symetralna przechodzi przez środek odcinka \(AB\):

$$S = \left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+10}{2}\right) = (0, 6)$$

Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy

$$a_{AB} = \frac{10-2}{2-(-2)} = \frac{8}{4} = 2$$

Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy to \(-\frac{1}{2}\) (bo \(2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -1\)). Przechodzi przez \(S=(0,6)\), czyli przecina oś \(Oy\) w punkcie \(6\):

$$y = -\frac{1}{2}x + 6$$

**Odpowiedź:** \(y = -\frac{1}{2}x + 6\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-29)

---

### Zadanie 34 - Równania i nierówności (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\) km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\) km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy: \(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (km/h), \(t\) - jego czas przejazdu (h). Pociąg osobowy jedzie z prędkością \(v-24\) przez \(t+1\) godzin. Z wzoru \(s = vt\):

$$\begin{cases} vt = 210 \\ (v-24)(t+1) = 210 \end{cases}$$

Z pierwszego równania \(v = \frac{210}{t}\). Podstawiamy do drugiego:

$$\left(\frac{210}{t} - 24\right)(t+1) = 210$$

$$210 + \frac{210}{t} - 24t - 24 = 210 \quad\Big/\cdot t$$

$$-24t^2 - 24t + 210 = 0 \quad\Big/ :(-6)$$

$$4t^2 + 4t - 35 = 0$$

$$\Delta = 16 + 560 = 576, \qquad \sqrt{\Delta} = 24$$

$$t_1 = \frac{-4-24}{8} = -3{,}5, \qquad t_2 = \frac{-4+24}{8} = 2{,}5$$

Czas nie może być ujemny, więc \(t = 2{,}5\) h. Sprawdzenie: pospieszny jedzie \(210 : 2{,}5 = 84\) km/h, osobowy \(84 - 24 = 60\) km/h i potrzebuje \(210 : 60 = 3{,}5\) h, czyli o godzinę dłużej.

**Odpowiedź:** Pociąg pospieszny pokonuje trasę w \(2{,}5\) godziny.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-34)

---

## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

**Duża waga algebry:** [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) to aż 11 punktów. Musisz pewnie operować wzorami skróconego mnożenia, rozkładem na czynniki, warunkami istnienia rozwiązań. Typowe pułapki: nieuwzględnienie dziedziny, podnoszenie do kwadratu bez sprawdzenia.

**Planimetria wymaga znajomości twierdzeń:** W zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria) pojawiają się: twierdzenie Pitagorasa, cechy podobieństwa trójkątów, wzory na pola i obwody. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć wyciągnąć informacje z rysunku.

**Ciągi - wzory ogólne i sumy:** W zadaniach z [ciągów](/topics/ciagi) najczęściej obliczasz różnicę lub iloraz z danych wyrazów, a potem korzystasz ze wzorów na n-ty wyraz i sumę.

**Stereometria to głównie objętości:** Zadania z [stereometrii](/topics/stereometria) koncentrują się na graniastosłupach i ostrosłupach. Kluczowe wzory: \(V = P_p \cdot H\) i \(V = \frac{1}{3} P_p \cdot H\).

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Opanuj równania i planimetrię.** To razem prawie 40% arkusza. Przećwicz typowe metody: rozkład na czynniki, podstawianie, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów.

**Rozwiązuj systematycznie wszystkie 34 zadania.** Nie poprzestawaj na przeglądaniu - weź kartkę i rozwiąż każde od zera.

Porównaj z [maturą maj 2010](/matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz) i [maj 2011](/matura-maj-2011-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć ewolucję formuły. Jeśli opanujesz ten arkusz, dobrze sobie poradzisz też z [czerwcem 2012](/matura-czerwiec-2012-rozwiazania-arkusz) i [maturą maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz). Jeśli [potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) lub [logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) to Twoja słabość, poświęć im dodatkowy czas. Wszystkie zadania znajdziesz w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2011-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku
description: Arkusz matura maj 2011 z matematyki: 33 zadania za 50 punktów, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2011

Matura z matematyki w maju 2011 roku to drugi rok, w którym matematyka była na maturze obowiązkowa. W porównaniu z arkuszem z 2010 roku jest tu dużo mniej [planimetrii](/topics/planimetria) (4 punkty zamiast 14), a punkty rozkładają się równiej między działy. Arkusz zawierał 33 zadania warte łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia pozostał na poziomie 30%, czyli 15 punktów. Najwięcej punktów dawały [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) (11 punktów) oraz [stereometria](/topics/stereometria) (7 punktów). Wszystkie 33 zadania z tego arkusza dostępne są w [kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty | Procent arkusza |
|-----------|--------------|--------|-----------------|
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 6 | 11 | 22.0% |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 7 | 14.0% |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 6 | 12.0% |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 | 8.0% |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 3 | 4 | 8.0% |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 4 | 8.0% |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 3 | 6.0% |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 | 6.0% |
| Inne | 7 | 8 | 16.0% |

Rozkład jest znacznie bardziej równomierny niż w [maturze maj 2010](/matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz). Równania i nierówności to teraz lider (11 punktów), ale nie dominują tak bezwzględnie jak planimetria rok wcześniej. Stereometria zyskała na znaczeniu (7 punktów!). Planimetria spadła do zaledwie 4 punktów, czyli ponad trzy razy mniej niż rok wcześniej (14 punktów). To wyraźny sygnał: CKE chciała uniknąć sytuacji, w której jeden dział decyduje o wyniku egzaminu.

## Poziom trudności

**Zadania zamknięte (1 punkt, 23 zadania, łącznie 23 punkty):** Większość zadań zamkniętych to prosty punkt do zdobycia dla każdego, kto zna podstawy. Przykłady: wyłącz wspólny czynnik przed nawias, rozpoznaj własność rosnącego ciągu arytmetycznego, wskaż równanie prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt, ustal, dla jakich \(x\) logarytm jest określony.

**Zadania otwarte za 2 punkty (7 zadań, łącznie 14 punktów):** Zadania wymagające połączenia dwóch, trzech kroków rozumowania. Przykłady: nierówność kwadratowa, uzasadnienie wartości \(a^4+b^4\) ze wzorów skróconego mnożenia, odczyt zbioru wartości i monotoniczności z wykresu, ciąg arytmetyczny z dodatkowym warunkiem, dowód, że kąt w czworokącie jest prosty, prawdopodobieństwo przy losowaniu ze zwracaniem.

**Zadania otwarte za 4 i 5 punktów (3 zadania, łącznie 13 punktów):** Zadania wymagające wieloetapowego rozumowania: punkt styczności okręgu i prostej (zadanie 31, 4 pkt), zadanie tekstowe o trasie turysty (zadanie 32, 5 pkt) i pole trójkąta wyznaczonego przez środki krawędzi sześcianu (zadanie 33, 4 pkt).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 3 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt)

**Treść:** Wyrażenie \(5a^2-10ab+15a\) jest równe iloczynowi

**Rozwiązanie:**

Każdy z trzech wyrazów dzieli się przez \(5a\), więc ten czynnik wyłączamy przed nawias:

$$5a^2 - 10ab + 15a = 5a\cdot a - 5a\cdot 2b + 5a\cdot 3 = 5a(a - 2b + 3)$$

Sprawdzenie przez wymnożenie: \(5a\cdot a = 5a^2\), \(5a\cdot(-2b) = -10ab\), \(5a\cdot 3 = 15a\). Odpowiedź D gubi \(a\) w czynniku, a w C nawias nie został podzielony przez \(5\).

**Odpowiedź:** B. \(5a(a-2b+3)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-03)

---

### Zadanie 9 - Funkcje (1 pkt)

**Treść:** Dane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)

**Rozwiązanie:**

Iloczyn dwóch funkcji liniowych daje funkcję kwadratową od razu w postaci iloczynowej:

$$h(x) = (x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$$

Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Miejsca zerowe odczytujemy z nawiasów: \(x = 2\) oraz \(x = -4\). Parabolę o ramionach w górę, przecinającą oś \(Ox\) w punktach \(-4\) i \(2\), pokazuje wykres A.

**Odpowiedź:** A

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-09)

---

### Zadanie 15 - Stereometria (1 pkt)

**Treść:** W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy: \(|AB| = 5, |AD| = 4, |AE| = 3\). Który z odcinków \(AB, BG, GE, EB\) jest najdłuższy?

**Rozwiązanie:**

Odcinki \(BG\), \(GE\) i \(EB\) są przekątnymi ścian prostopadłościanu, więc liczymy je z twierdzenia Pitagorasa:

$$|BG| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$

$$|GE| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$$

$$|EB| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$$

Do tego \(|AB| = 5 = \sqrt{25}\). Najdłuższa jest przekątna ściany zbudowanej na dwóch najdłuższych krawędziach, czyli \(GE = \sqrt{41}\).

**Odpowiedź:** C. \(GE\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-15)

---

### Zadanie 20 - Stereometria (1 pkt)

**Treść:** Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

**Rozwiązanie:**

Sześcian ma \(6\) przystających ścian, więc jedna ściana ma pole \(54 : 6 = 9\). Ściana jest kwadratem, zatem krawędź ma długość \(a = 3\).

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) to \(a\sqrt{3}\):

$$d = 3\sqrt{3}$$

Ten sam wynik daje twierdzenie Pitagorasa dla krawędzi \(3\) i przekątnej podstawy \(3\sqrt{2}\): \(d^2 = 9 + 18 = 27\), \(d = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).

**Odpowiedź:** D. \(3\sqrt{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-20)

---

### Zadanie 25 - Dowód algebraiczny (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Uzasadnij, że jeżeli \(a + b = 1\) i \(a^2 + b^2 = 7\) , to \(a^4 + b^4 = 31\) .

**Rozwiązanie:**

Najpierw iloczyn \(ab\). Podnosimy do kwadratu pierwszą równość:

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad\Rightarrow\quad 1 = 7 + 2ab \quad\Rightarrow\quad ab = -3$$

Teraz podnosimy do kwadratu drugą równość:

$$(a^2+b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 \quad\Rightarrow\quad a^4 + b^4 = 7^2 - 2(ab)^2$$

Podstawiamy \(ab = -3\):

$$a^4 + b^4 = 49 - 2\cdot 9 = 49 - 18 = 31$$

co kończy uzasadnienie.

**Odpowiedź:** Dowód: z \(ab = -3\) wynika \(a^4 + b^4 = 49 - 18 = 31\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-25)

---

### Zadanie 28 - Trygonometria (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).

**Rozwiązanie:**

Kąt jest ostry, więc \(\sin\alpha > 0\) i \(\cos\alpha > 0\). Mnożymy obie strony równania przez \(\sin\alpha\cos\alpha\):

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

Z jedynki trygonometrycznej lewa strona jest równa \(1\):

$$1 = 2\sin\alpha\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\cos\alpha\cdot\sin\alpha = \frac{1}{2}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-28)

---

### Zadanie 33 - Stereometria (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).

**Rozwiązanie:**

Każdy bok trójkąta \(KLM\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o tych samych wymiarach (trójkąty \(AKM\), \(GKL\) i \(ELM\) są przystające), więc trójkąt \(KLM\) jest równoboczny. Wystarczy policzyć jeden bok, na przykład \(MK\).

W podstawie, z trójkąta \(ABK\) (\(|AB| = 1\), \(|BK| = \frac{1}{2}\)):

$$|AK|^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$$

Krawędź \(AE\) jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt \(AMK\) jest prostokątny, a \(|AM| = \frac{1}{2}\):

$$|MK|^2 = |AM|^2 + |AK|^2 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2}$$

Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\) to \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\):

$$P_{KLM} = \frac{\frac{3}{2}\cdot\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$

**Odpowiedź:** \(P_{KLM} = \frac{3\sqrt{3}}{8}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-33)

---

## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

**Równania i nierówności to główny temat.** 11 punktów z 50 to ponad jedna piąta arkusza. Musisz pewnie operować równaniami kwadratowymi, wymiernymi, z pierwiastkami. [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) to fundament matury.

**Stereometria wymagająca, ale przewidywalna.** 7 punktów ze stereometrii to sporo, ale zadania są wzorcowe. Prostopadłościan, sześcian, stożek - zawsze ten sam schemat: znajdź przekrój, zastosuj Pitagorasa, oblicz pole albo objętość. [Stereometria](/topics/stereometria) to dział, gdzie systematyczne ćwiczenie daje najszybszy efekt.

**Geometria analityczna to proste i okręgi.** Musisz umieć liczyć odległości, środki odcinków, współczynniki kierunkowe, równania prostych. Dwa z trzech zadań tego działu (19 i 31) dotyczą stycznej do okręgu. [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) to most między algebrą a geometrią.

**Ciągi są proste, jeśli znasz wzory.** [Ciągi](/topics/ciagi) to dział, gdzie nauka wzorów daje natychmiastowy efekt na maturze.

**Funkcje kwadratowe w różnych postaciach.** Musisz swobodnie przechodzić między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową - to oszczędza czas i błędy.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Porównaj z arkuszem 2010.** Zrób oba i zobacz, jak zmieniły się proporcje. W [maturze maj 2010](/matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz) dominowała planimetria, w 2011 równania i stereometria. To pokazuje, że CKE szuka balansu.

**Twórz kartę błędów.** Wpisuj każdy błąd do tabeli: numer zadania, kategoria, co poszło nie tak. Po miesiącu zobaczysz wzorce.

**Ucz się z [rozwiązań krok po kroku](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).** Komisja ocenia drogę, nie tylko cel. Trenuj zapis rozwiązań.

Jeśli szukasz więcej arkuszy, sprawdź [maturę maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz) lub [maturę maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz). Im więcej arkuszy przeanalizujesz, tym lepiej poznasz logikę CKE. Wszystkie zadania czekają w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2013-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku
description: Arkusz matura czerwiec 2013 z matematyki: 34 zadania za 50 punktów, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura czerwiec 2013

Matura z matematyki z czerwca 2013 roku to termin dodatkowy, przeznaczony dla osób, które z ważnych przyczyn nie mogły przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz składa się z 34 zadań za maksymalnie 50 punktów. Ten egzamin jest szczególnie interesujący ze względu na nietypowy rozkład kategorii - [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) i [stereometria](/topics/stereometria) łącznie dają 14 punktów, więcej niż w każdym majowym arkuszu z lat 2010-2014 (od 8 do 13 punktów). Dodatkowo aż 7 punktów przypisano do kategorii [liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste), co również jest rzadkością. Jeśli szukasz wszystkich arkuszy z lat 2010-2025, zobacz [kompletną bazę zadań maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|--------------|--------|
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 8 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 2 | 7 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 5 | 5 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 4 | 5 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 4 | 5 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 2 | 3 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 2 | 2 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 2 |
| [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) | 1 | 2 |
| Pozostałe (po 1 pkt) | 5 | 5 |

Największą wagę mają zagadnienia z geometrii - zarówno analitycznej, jak i przestrzennej. Jeśli masz problemy z tymi tematami, warto rozpocząć pracę od systematycznego powtórzenia wzorów.

## Poziom trudności

**Zadania zamknięte (1 pkt, 26 zadań, łącznie 26 punktów):** Jednopunktowce z podstawowych kategorii - proste obliczenia na potęgach i logarytmach, wzory ogólne ciągów, wartości funkcji trygonometrycznych, odczyt zbioru wartości i znaku funkcji z wykresu, objętość stożka, rzut monetą.

**Zadania otwarte za 2 punkty (5 zadań, łącznie 10 punktów):** Równanie wielomianowe trzeciego stopnia, wartość wyrażenia trygonometrycznego, liczby czterocyfrowe o zadanej własności, dowód podzielności, iloraz ciągu geometrycznego.

**Zadania otwarte za 4 i 5 punktów (3 zadania, łącznie 14 punktów):** Objętość graniastosłupa o podstawie prostokątnej (zadanie 32, 4 pkt), zadanie tekstowe o wspólnej opłacie za internet (zadanie 33, 5 pkt) i równanie okręgu stycznego do podstawy trapezu (zadanie 34, 5 pkt).

Więcej strategii na rozwiązywanie zadań otwartych znajdziesz w artykule o [zadaniach otwartych na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 7 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{3}\). Wartość wyrażenia \(1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \) jest równa

**Rozwiązanie:**

Z definicji \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), więc cosinus się skraca:

$$1 + \operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha = 1 + \sin\alpha = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$

Nie trzeba wcale liczyć \(\cos\alpha\) z jedynki trygonometrycznej.

**Odpowiedź:** A. \(\frac{4}{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-07)

---

### Zadanie 11 - Kąt wpisany i środkowy (1 pkt)

**Treść:** Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt \(\alpha\), zaznaczony na rysunku, ma miarę

**Rozwiązanie:**

Najpierw kąt środkowy przy punkcie \(O\). Jest on trzecim kątem trójkąta, którego dwa pozostałe kąty mają \(40^\circ\) i \(90^\circ\):

$$\beta = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ$$

Kąt \(\alpha\) jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \(\beta\), więc ma połowę jego miary:

$$\alpha = 50^\circ : 2 = 25^\circ$$

**Odpowiedź:** C. \(25^\circ\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-11)

---

### Zadanie 15 - Stereometria (1 pkt)

**Treść:** Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\). Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa

**Rozwiązanie:**

Sześcian ma \(6\) ścian o polu \(a^2\):

$$6a^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad a = \sqrt{2}$$

Krawędzi jest \(12\), więc ich suma to

$$12a = 12\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** A. \(12\sqrt{2}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-15)

---

### Zadanie 18 - Geometria analityczna (1 pkt)

**Treść:** Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie

**Rozwiązanie:**

Z wykresu odczytujemy punkty przecięcia z osiami: prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 2)\), a oś \(Ox\) w punkcie \((4, 0)\). Stąd \(b = 2\) i

$$0 = a\cdot 4 + 2 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{1}{2}, \qquad y = -\frac{1}{2}x + 2$$

Odpowiedzi są zapisane w postaci ogólnej, więc przenosimy wszystko na jedną stronę i mnożymy przez \(2\):

$$\frac{1}{2}x + y - 2 = 0 \quad\Big/\cdot 2 \quad\Rightarrow\quad x + 2y - 4 = 0$$

Sprawdzenie: punkt \((4, 0)\) daje \(4 + 0 - 4 = 0\), punkt \((0, 2)\) daje \(0 + 4 - 4 = 0\).

**Odpowiedź:** D. \(x+2y-4=0\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-18)

---

### Zadanie 24 - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Treść:** Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe

**Rozwiązanie:**

Wyniki pierwszych dwóch rzutów nie mają wpływu na trzeci. Można to też policzyć wprost: wszystkich wyników trzech rzutów jest \(2^3 = 8\), a orła w trzecim rzucie mają \(2\cdot 2\cdot 1 = 4\) z nich:

$$P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** C. \(\frac{1}{2}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-24)

---

### Zadanie 29 - Kombinatoryka (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.

**Rozwiązanie:**

Para (cyfra setek, cyfra jedności) może wyglądać tak: \((0,3)\), \((1,4)\), \((2,5)\), \((3,6)\), \((4,7)\), \((5,8)\), \((6,9)\). To \(7\) możliwości, bo cyfra setek większa od \(6\) dałaby cyfrę jedności większą od \(9\).

Cyfra tysięcy: \(9\) możliwości (od \(1\) do \(9\), bez zera). Cyfra dziesiątek: \(10\) możliwości.

Z reguły mnożenia:

$$9\cdot 10\cdot 7 = 630$$

**Odpowiedź:** \(630\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-29)

---

### Zadanie 32 - Stereometria (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30^\circ\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60^\circ\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

**Rozwiązanie:**

W trójkącie \(ABD\) kąt przy dłuższym boku \(AB\) ma \(30^\circ\), a krótszy bok \(|AD| = 3\) leży naprzeciw tego kąta. Dłuższy bok \(a = |AB|\):

$$\operatorname{tg}30^\circ = \frac{3}{a} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{a} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$

Przekątna podstawy:

$$|DB| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = 6$$

(Przekątna leży naprzeciw kąta prostego trójkąta \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\), więc jest dwa razy dłuższa od boku \(3\).)

Kąt między przekątną \(HB\) a podstawą to kąt \(HBD\). W trójkącie prostokątnym \(DBH\):

$$\operatorname{tg}60^\circ = \frac{H}{|DB|} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{3} = \frac{H}{6} \quad\Rightarrow\quad H = 6\sqrt{3}$$

Objętość:

$$V = 3\cdot 3\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3} = 54\cdot 3 = 162$$

**Odpowiedź:** \(V = 162\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-32)

---

## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

**Przewaga geometrii.** Aż 14 punktów to zadania z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) i [stereometrii](/topics/stereometria). Ważne: wzór na odległość punktu od prostej, równania prostych równoległych i punkt przecięcia dwóch prostych, objętości brył, twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni.

**Liczby rzeczywiste - nietypowo dużo punktów.** W naszym podziale do tej kategorii trafiły dwa zadania za 7 punktów: dowód, że \((1+2013^2)(1+2013^4)\) dzieli sumę \(1+2013+\ldots+2013^7\) (zadanie 30, 2 pkt), i zadanie tekstowe o wspólnej opłacie za internet (zadanie 33, 5 pkt). W dowodzie pomaga grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika, w zadaniu tekstowym ułożenie równania z liczbą osób jako niewiadomą.

**Funkcje - dużo zadań, mało punktów.** Pięć zadań to zaledwie 5 punktów - same jednopunktowce. Łatwe punkty do zdobycia, jeśli znasz definicje i podstawowe własności.

**Ciągi - przewidywalne schematy.** Wzór ogólny ciągu arytmetycznego i geometrycznego: pierwszy wyraz z \(a_{20}\) i różnicy (zadanie 20), iloraz z pierwszego i czwartego wyrazu (zadanie 21), iloraz z wzoru \(a_n=7\cdot 3^{n+1}\) (zadanie 31).

**Trygonometria na jedynce i definicjach.** Zadania 6, 7 i 28 sprowadzają się do jedynki trygonometrycznej albo definicji tangensa, a zadanie 19 to najmniejszy kąt trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(1\) i \(\sqrt{3}\). Powtórkę znajdziesz w dziale [trygonometria](/topics/trygonometria).

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Strategia 1: Trening kategorii po kolei.** Zacznij od geometrii analitycznej, stereometrii, liczb rzeczywistych. Przerób każdą kategorię w jednym podejściu, żeby zobaczyć powtarzające się schematy.

**Strategia 2: Symulacja egzaminu.** Wydrukuj arkusz i rozwiąż go w 170 minut, bez telefonu. Po zakończeniu sprawdź wynik - to da Ci realny obraz Twojego poziomu.

**Strategia 3: Nauka z błędów.** Wypisz błędy i określ przyczynę: rachunkowa, koncepcyjna, luka w wiedzy. Wróć do materiału teoretycznego i rozwiąż zadanie ponownie po jakimś czasie.

Jeśli ten arkusz poszedł Ci gładko, sprawdź się na trudniejszych: [matura maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz) i [matura maj 2014](/matura-maj-2014-rozwiazania-arkusz). Jeśli był trudny, cofnij się do [matury maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz) i [matury czerwiec 2012](/matura-czerwiec-2012-rozwiazania-arkusz). Wszystkie zadania znajdziesz w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-czerwiec-2012-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku
description: Arkusz matura czerwiec 2012 z matematyki: 34 zadania za 50 punktów, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura czerwiec 2012

Matura z matematyki z czerwca 2012 roku to termin dodatkowy, przeznaczony dla osób, które z ważnych przyczyn (na przykład choroby) nie mogły przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz zawierał 34 zadania za łącznie 50 punktów: 24 zadania zamknięte po 1 punkcie i 10 zadań otwartych. W tym arkuszu widać wyraźny nacisk na geometrię: [planimetria](/topics/planimetria) i [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) łącznie dają 14 punktów, a [trygonometria](/topics/trygonometria) i [stereometria](/topics/stereometria) kolejne 10 punktów.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty |
|-----------|--------------|--------|
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 6 | 7 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 7 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 3 | 5 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 5 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 4 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 |
| Kombinatoryka | 1 | 4 |
| Statystyka | 2 | 3 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 |
| Funkcja kwadratowa | 2 | 2 |
| Pozostałe (liczby rzeczywiste, procenty, wyrażenia algebraiczne, funkcje, funkcja liniowa, prawdopodobieństwo) | 6 | 7 |

W porównaniu do [majowego arkusza 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz), czerwcowy kładzie mniejszy nacisk na algebrę (równania tylko 4 punkty zamiast 11), a więcej na geometrię i trygonometrię.

## Poziom trudności

**Zadania zamknięte (1 pkt, łącznie 24 punkty):** usuwanie niewymierności z mianownika, równanie z wartością bezwzględną, procenty, wybór wykresu funkcji kwadratowej i liniowej, kąty w trójkącie i w okręgu, mediana, wzór okręgu odczytany z rysunku.

**Zadania otwarte za 2 punkty (7 zadań, łącznie 14 punktów):** nierówność kwadratowa, średnia arytmetyczna, trapez z tangensem kąta ostrego, dowód tożsamości trygonometrycznej, dowód z resztą z dzielenia, wzór ciągu arytmetycznego z sumy \(S_n\), wysokość rombu.

**Zadania otwarte za 4 punkty (3 zadania, łącznie 12 punktów):** spodek wysokości trójkąta w układzie współrzędnych, kombinatoryka (liczby pięciocyfrowe), objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.

## Rozwiązania wybranych zadań

### Zadanie 5 - Funkcja kwadratowa (1 pkt)

**Treść:** Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y=x^2+2x-3\). Wskaż ten rysunek.

**Rozwiązanie:**

Najpierw miejsca zerowe. Dla \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\):

$$\Delta = 2^2 - 4\cdot 1\cdot(-3) = 16, \qquad \sqrt{\Delta} = 4$$

$$x_1 = \frac{-2-4}{2} = -3, \qquad x_2 = \frac{-2+4}{2} = 1$$

Parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(-3\) i \(1\), a ponieważ \(a=1>0\), jej ramiona są skierowane w górę. Oba warunki spełnia tylko wykres na rysunku A.

**Odpowiedź:** A

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-05)

---

### Zadanie 12 - Geometria analityczna (1 pkt)

**Treść:** Punkt \(O\) jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:

**Rozwiązanie:**

Okrąg o środku \(O=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma równanie

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Z rysunku odczytujemy środek \(O=(2,1)\) i promień \(r=3\) (po kratkach). Po podstawieniu:

$$(x-2)^2+(y-1)^2=3^2=9$$

Uwaga na pułapkę z odpowiedzi B: po prawej stronie stoi \(r^2\), a nie \(r\).

**Odpowiedź:** A. \((x-2)^2+(y-1)^2=9\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-12)

---

### Zadanie 18 - Funkcja liniowa (1 pkt)

**Treść:** Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a>0\) i \(b\lt 0\). Wskaż ten wykres.

**Rozwiązanie:**

Współczynnik \(a>0\) oznacza, że funkcja jest rosnąca. Współczynnik \(b<0\) to rzędna punktu przecięcia z osią \(Oy\), więc wykres przecina oś \(Oy\) poniżej osi \(Ox\). Oba warunki naraz spełnia tylko wykres C.

**Odpowiedź:** C

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-18)

---

### Zadanie 23 - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

**Treść:** Jeżeli \(A\) i \(B\) są zdarzeniami losowymi, \(B'\) jest zdarzeniem przeciwnym do \(B\), \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B') = 0{,}4\) oraz \(A\cap B=\emptyset \), to \(P(A\cup B)\) jest równe

**Rozwiązanie:**

Z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego:

$$P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$$

Zdarzenia \(A\) i \(B\) się wykluczają, więc \(P(A\cap B)=0\) i

$$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}3 + 0{,}6 - 0 = 0{,}9$$

**Odpowiedź:** D. \(0{,}9\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-23)

---

### Zadanie 27 - Trygonometria (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Podstawy trapezu prostokątnego mają długości \(6\) i \(10\) oraz tangens jego kąta ostrego jest równy \(3\). Oblicz pole tego trapezu.

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy trapez \(ABCD\) z dłuższą podstawą \(|AB|=10\), krótszą \(|DC|=6\) i kątem ostrym \(\alpha\) przy wierzchołku \(B\). Wysokość \(CE\) opuszczona z \(C\) odcina od podstawy \(AB\) odcinek

$$|EB| = 10 - 6 = 4$$

W trójkącie prostokątnym \(EBC\):

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{|CE|}{|EB|} \quad\Rightarrow\quad 3 = \frac{h}{4} \quad\Rightarrow\quad h = 12$$

Pole trapezu:

$$P = \frac{(6+10)\cdot 12}{2} = 96$$

**Odpowiedź:** \(P = 96\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-27)

---

### Zadanie 30 - Ciągi (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Suma \(S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n = n^2 - 2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.

**Rozwiązanie:**

Suma jednego wyrazu to sam pierwszy wyraz:

$$a_1 = S_1 = 1^2 - 2\cdot 1 = -1$$

Z sumy dwóch wyrazów wyznaczamy drugi:

$$S_2 = 2^2 - 2\cdot 2 = 0 = a_1 + a_2 \quad\Rightarrow\quad a_2 = 1$$

Różnica ciągu to \(r = a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2\), więc

$$a_n = a_1 + (n-1)r = -1 + 2(n-1) = 2n - 3$$

Sprawdzenie: \(a_3 = S_3 - S_2 = 3 - 0 = 3 = 2\cdot 3 - 3\).

**Odpowiedź:** \(a_n = 2n - 3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-30)

---

### Zadanie 32 - Geometria analityczna (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Punkty \(A = (2,11), B = (8, 23), C = (6,14)\) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).

**Rozwiązanie:**

Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy

$$a = \frac{23-11}{8-2} = \frac{12}{6} = 2$$

i przechodzi przez \(A=(2,11)\): \(11 = 2\cdot 2 + b\), więc \(b=7\) i \(AB:\ y = 2x + 7\).

Wysokość z \(C\) jest prostopadła do \(AB\), więc ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{1}{2}\). Przechodzi przez \(C=(6,14)\):

$$14 = -\frac{1}{2}\cdot 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 17, \qquad y = -\frac{1}{2}x + 17$$

Punkt \(D\) to przecięcie obu prostych:

$$2x + 7 = -\frac{1}{2}x + 17 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}x = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 4, \qquad y = 2\cdot 4 + 7 = 15$$

**Odpowiedź:** \(D = (4, 15)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-32)

---

## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

**Geometria jest kluczowa:** Planimetria (7 pkt) i geometria analityczna (7 pkt) to łącznie 14 punktów - prawie 30% arkusza. W [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) często łączysz wiedzę algebraiczną z geometryczną.

**Trygonometria wymaga definicji:** W zadaniach z [trygonometrii](/topics/trygonometria) pojawiają się definicje funkcji w trójkącie prostokątnym. Musisz znać wartości dla kątów \(30°, 45°, 60°\) oraz wzory na pole z sinusem.

**Kombinatoryka to zadanie za 4 punkty:** Musisz rozumieć różnicę między permutacjami a kombinacjami oraz stosować regułę mnożenia.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Porównaj z majowym arkuszem 2012.** Sprawdź [maturę maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć różnicę w stylu. Maj kładł większy nacisk na algebrę, czerwiec na geometrię. Dzięki temu zidentyfikujesz swoje mocne i słabe strony.

**Ćwicz trygonometrię na prostych zadaniach.** W tym arkuszu zadania trygonometryczne są stosunkowo proste - definicje w trójkącie prostokątnym. Dobry moment, żeby utrwalić podstawy z [trygonometrii](/topics/trygonometria).

Jeśli [potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) czy [logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) to Twoja słabość, znajdź dodatkowe zadania w innych arkuszach. Po opanowaniu tego arkusza przejdź do [matury czerwiec 2013](/matura-czerwiec-2013-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz). Wszystkie zadania w [bazie arkuszy](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wzory-trojkatow-matura-sinus-cosinus-tangens
title: Wzory trygonometryczne na maturze: tożsamości, wzory redukcyjne, twierdzenia i zadania
description: Wzory trygonometryczne na maturę w jednym miejscu: jedynka, wzory redukcyjne, sinus i cosinus sumy, kąt podwojony, twierdzenie sinusów i cosinusów.
author: Marcel Bogdan
---

# Wzory trygonometryczne na maturze: tożsamości, wzory redukcyjne, twierdzenia i zadania

## Wstęp

Trygonometria wraca na maturze z matematyki na obu poziomach: w zadaniach o trójkątach, w planimetrii, w stereometrii i w równaniach. W tym przewodniku zbieramy wzory, które trzeba umieć zastosować: definicje funkcji, jedynkę trygonometryczną, wzory redukcyjne, wzory na sumę i różnicę kątów oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. Każdy pokazujemy na przykładzie, a na końcu rozwiązujemy pięć zadań krok po kroku.

## Definicje funkcji trygonometrycznych

Zanim przejdziemy do wzorów, musimy zrozumieć, czym są funkcje trygonometryczne. Definiujemy je na dwa sposoby: za pomocą trójkąta prostokątnego oraz za pomocą koła jednostkowego.

### Definicja w trójkącie prostokątnym

Rozważmy trójkąt prostokątny z kątem ostrym \(\alpha\). Względem tego kąta możemy wyróżnić trzy boki:
- **przyprostokątna przyległa** do kąta \(\alpha\)
- **przyprostokątna przeciwległa** do kąta \(\alpha\)
- **przeciwprostokątna**

Funkcje trygonometryczne kąta \(\alpha\) definiujemy następująco:

$$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

$$\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

$$\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

$$\cot \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna przeciwległa}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

### Definicja na kole jednostkowym

Koło jednostkowe to koło o promieniu 1 o środku w punkcie początkowym układu współrzędnych. Każdemu kątowi \(\alpha\) odpowiada punkt \(P = (\cos \alpha, \sin \alpha)\) na tym kole. Ta definicja pozwala nam rozszerzyć funkcje trygonometryczne na wszystkie kąty, nie tylko ostre.

## Wartości dla kątów 30°, 45° i 60°

Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90° (oraz dla kątów do 360°) zebraliśmy w interaktywnej [tabeli trygonometrycznej](/wzory/tabela-trygonometryczna). Skąd się biorą i jak ich używać, pokazujemy w poradniku o [wartościach funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). Tu wystarczy sposób, żeby odtworzyć je bez zaglądania do tabeli.

### Mnemonika do zapamiętania wartości

Aby zapamiętać wartości sinusa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, możesz użyć następującej sztuczki:

**Dla sinusa:** \(\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}\)

**Dla cosinusa:** Czytamy wartości sinusa w odwrotnym kierunku: \(\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}\)

Ta metoda pozwala szybko odtworzyć tabelę, gdy jej nie pamiętasz dokładnie.

## Jedynka trygonometryczna i podstawowe tożsamości

### Jedynka trygonometryczna

Jedna z najważniejszych tożsamości w trygonometrii to **jedynka trygonometryczna**:

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

**Dowód:** Weźmy punkt \(P = (x, y)\) na kole jednostkowym odpowiadający kątowi \(\alpha\). Mamy \(x = \cos \alpha\) oraz \(y = \sin \alpha\). Ponieważ punkt leży na kole jednostkowym, spełnia równanie \(x^2 + y^2 = 1\), czyli \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\).

### Podstawowe tożsamości

Z jedynki trygonometrycznej wynika szereg innych ważnych tożsamości:

$$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$

$$1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$

$$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$$

**Przykład:** Jeśli \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym, to:
$$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
$$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$ (kąt ostry, więc cosinus dodatni)
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$$

## Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają nam sprowadzić funkcje trygonometryczne dowolnego kąta do funkcji kąta ostrym. Są to wzory niezwykle ważne na maturze.

### Wzory dla kąta \(90° \pm \alpha\)

$$\sin(90° + \alpha) = \cos \alpha$$
$$\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha$$
$$\cos(90° + \alpha) = -\sin \alpha$$
$$\cos(90° - \alpha) = \sin \alpha$$
$$\tan(90° + \alpha) = -\cot \alpha$$
$$\tan(90° - \alpha) = \cot \alpha$$

### Wzory dla kąta \(180° \pm \alpha\)

$$\sin(180° + \alpha) = -\sin \alpha$$
$$\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha$$
$$\cos(180° + \alpha) = -\cos \alpha$$
$$\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$$
$$\tan(180° + \alpha) = \tan \alpha$$
$$\tan(180° - \alpha) = -\tan \alpha$$

### Wzory dla kąta \(360° - \alpha\)

$$\sin(360° - \alpha) = -\sin \alpha$$
$$\cos(360° - \alpha) = \cos \alpha$$
$$\tan(360° - \alpha) = -\tan \alpha$$

### Parzystość i okresowość

Sinus i tangens są funkcjami nieparzystymi, a cosinus parzystą:

$$\sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \qquad \cos(-\alpha) = \cos \alpha, \qquad \tan(-\alpha) = -\tan \alpha$$

Sinus i cosinus mają okres \(360°\), czyli \(2\pi\), a tangens \(180°\), czyli \(\pi\). Dlatego \(\sin 390° = \sin(360° + 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\), a \(\tan 225° = \tan(180° + 45°) = 1\). Kąty ujemne i większe od \(360°\) pojawiają się na maturze rozszerzonej.

## Wzory na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów

Wzory na sumę i różnicę kątów są niezbędne do rozwiązywania bardziej skomplikowanych zadań z trygonometrii.

### Sinus sumy i różnicy

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$$

### Cosinus sumy i różnicy

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$$
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

### Tangens sumy i różnicy

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$
$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$$

### Wzory na funkcje kąta podwojonego

Wzory te otrzymujemy, podstawiając \(\beta = \alpha\) do powyższych wzorów:

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$$

$$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$

**Przykład:** Oblicz \(\sin 2\alpha\), jeśli \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym.

Wiemy, że \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), więc \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) (jak obliczyliśmy wcześniej).

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

### Wzory na połowę kąta i sumę sinusów (poziom rozszerzony)

Z \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) i \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\), po podstawieniu \(2\alpha = x\), dostajesz:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}, \qquad \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$

Znak pierwiastka wybierasz według ćwiartki, w której leży \(\frac{x}{2}\). Gdy w wyrażeniu stoją dwa sinusy o różnych argumentach, pomaga wzór na sumę:

$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

## Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenia sinusów i cosinusów pozwalają nam rozwiązywać problemy dotyczące trójkątów, gdy nie są one prostokątne. To niezwykle ważne narzędzia na maturze.

### Twierdzenie sinusów

W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta przeciwającego jest równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

gdzie \(a, b, c\) to boki trójkąta, \(A, B, C\) to kąty przeciwające tym bokom, a \(R\) to promień okręgu opisanego.

**Kiedy używać twierdzenia sinusów:**
- Znamy jeden bok i dwa kąty (kąt przy danym boku i kąt przeciwny)
- Znamy dwa boki i kąt przeciwny do jednego z nich
- Szukamy promienia okręgu opisanego

### Twierdzenie cosinusów

W dowolnym trójkącie kwadrat boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków minus dwukrotny iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

**Kiedy używać twierdzenia cosinusów:**
- Znamy dwa boki i kąt między nimi (SAS)
- Znamy wszystkie trzy boki (SSS)
- Szukamy kąta trójkąta

### Porównanie i praktyczne wskazówki

Wybór między twierdzeniem sinusów a cosinusów zależy od danych, które posiadasz:

| Dane | Twierdzenie | Uwagi |
|---|---|---|
| Bok, dwa kąty | Sinusów | Najprostszy przypadek dla sinusów |
| Dwa boki, kąt między nimi | Cosinusów | Kąt musi być między bokami |
| Dwa boki, kąt naprzeciwko jednego | Sinusów lub cosinusów | Wiele rozwiązań lub jedno |
| Trzy boki | Cosinusów | Aby znaleźć kąty |

## Przykładowe zadania maturalne z rozwiązaniami

Poniżej pięć zadań w stylu maturalnym, na których widać, jak działają wzory z tego przewodnika.

### Zadanie 1. Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych

**Treść:** Wiadomo, że \(\alpha\) jest kątem ostrym oraz \(\tan \alpha = 2\). Oblicz \(\sin \alpha\) i \(\cos \alpha\).

**Rozwiązanie:**

Z definicji: \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2\), czyli \(\sin \alpha = 2 \cos \alpha\).

Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:
$$(2\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$
$$4\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
$$5\cos^2 \alpha = 1$$
$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{5}$$
$$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ (cosinus dodatni dla kąta ostrego)

$$\sin \alpha = 2 \cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

**Sprawdzenie:** \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{4 \cdot 5}{25} + \frac{5}{25} = \frac{20 + 5}{25} = 1\) ✓

### Zadanie 2. Twierdzenie sinusów w praktyce

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 8\) cm, \(\angle A = 60°\), \(\angle B = 45°\). Oblicz długość boku \(b\).

**Rozwiązanie:**

Stosujemy twierdzenie sinusów:
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$
$$\frac{8}{\sin 60°} = \frac{b}{\sin 45°}$$
$$\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$\frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{2b}{\sqrt{2}}$$
$$b = \frac{16 \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$$ cm

**Odpowiedź:** \(b = \frac{8\sqrt{6}}{3}\) cm \(\approx 6,53\) cm

### Zadanie 3. Twierdzenie cosinusów

**Treść:** Dane są dwa boki trójkąta: \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm, oraz kąt między nimi \(\angle C = 120°\). Oblicz długość trzeciego boku \(c\).

**Rozwiązanie:**

Stosujemy twierdzenie cosinusów:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
$$c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 120°$$
$$c^2 = 74 - 70 \cdot (-\frac{1}{2})$$
$$c^2 = 74 + 35 = 109$$
$$c = \sqrt{109}$$ cm \(\approx 10,44\) cm

**Odpowiedź:** \(c = \sqrt{109}\) cm

### Zadanie 4. Wzory na funkcje kąta podwojonego

**Treść:** Oblicz \(\sin 2\alpha\), \(\cos 2\alpha\) i \(\tan 2\alpha\), jeśli \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\) i \(\alpha \in (90°, 180°)\).

**Rozwiązanie:**

Najpierw znajdujemy \(\sin \alpha\) z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
$$\sin \alpha = \frac{4}{5}$$ (sinus dodatni dla kątów z drugiej ćwiartki)

Teraz obliczamy:
$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25}$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$$

$$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-24/25}{-7/25} = \frac{24}{7}$$

**Odpowiedź:** \(\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}\), \(\cos 2\alpha = -\frac{7}{25}\), \(\tan 2\alpha = \frac{24}{7}\)

### Zadanie 5. Upraszczanie wyrażenia

**Treść:** Uprość wyrażenie \(W = \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}\) dla \(\cos x \neq 1\).

**Rozwiązanie:**

Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)\), więc:

$$W = \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x} = 1 + \cos x$$

Skracanie jest dozwolone, bo z założenia \(1 - \cos x \neq 0\).

**Odpowiedź:** \(W = 1 + \cos x\)

Ten sam chwyt, czyli zamiana \(\sin^2 x\) na \(1 - \cos^2 x\) i rozkład na czynniki, wraca w zadaniach na dowodzenie tożsamości.

## Typowe błędy i pułapki na maturze

### Błąd 1: Zapomnienie o znaku funkcji w różnych ćwiartkach

Wiele osób nie pamięta, w której ćwiartce które funkcje są dodatnie. Pomaga skrót ASTC:
- **A** (ALL) - Wszystkie dodatnie (ćwiartka I)
- **S** (Sine) - Sinus dodatni (ćwiartka II)
- **T** (Tangent) - Tangens dodatni (ćwiartka III)
- **C** (Cosine) - Cosinus dodatni (ćwiartka IV)

### Błąd 2: Mylenie wzorów redukcyjnych

Częstym błędem jest mylenie wzorów dla \(90° \pm \alpha\) z wzorami dla \(180° \pm \alpha\). Zawsze rysuj okrąg jednostkowy lub trójkąt, aby upewnić się, że stosujesz właściwy wzór.

### Błąd 3: Niezauważenie warunku na dziedzinę

Pamiętaj, że:
- \(\tan \alpha\) jest nieokreślony dla \(\alpha = 90° + k \cdot 180°\)
- \(\cot \alpha\) jest nieokreślony dla \(\alpha = k \cdot 180°\)

Jeśli zadanie zawiera wyrażenie z tangensem lub cotangensem, musisz wyraźnie wykazać, że mianownik jest różny od zera.

### Błąd 4: Błędy algebraiczne przy przekształcaniu równań trygonometrycznych

Podczas rozwiązywania równań typu \(\sin 2\alpha = \sin \alpha\), łatwo zgubić rozwiązania. Zawsze sprawdzaj swoje odpowiedzi, wstawiając je z powrotem do oryginalnego równania.

### Błąd 5: Zaokrąglanie zbyt wcześnie

Jeśli zadanie wymaga dokładnej odpowiedzi (a nie przybliżenia), nie zaokrąglaj pośrednich wyników. Pracuj z pierwiastkami i ułamkami całą drogę.

## Podsumowanie i dalsze ćwiczenia

Wzory trygonometryczne stanowią fundamentalną część maturalnego kursu matematyki. Kluczowe punkty do zapamiętania:

1. **Definicje funkcji** - zapamiętaj zarówno definicję za pomocą trójkąta prostokątnego, jak i koła jednostkowego
2. **Tabela wartości** - znaj wartości dla kątów \(0°, 30°, 45°, 60°, 90°\)
3. **Jedynka trygonometryczna** - \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) to klucz do wielu zadań
4. **Wzory redukcyjne** - muszą być na końcu języka
5. **Twierdzenia sinusów i cosinusów** - wybieraj je ostrożnie w zależności od dostępnych danych

Aby poszerzyć swoją wiedzę i umiejętności, przejdź do naszych materiałów dotyczących [trygonometrii](/topics/trygonometria), gdzie znajdziesz więcej zadań i wyjaśnień. Jeśli chcesz zrozumieć, kiedy stosować twierdzenie sinusów i cosinusów, przeczytaj artykuł [Twierdzenie sinusów i cosinusów na maturze - kiedy stosować](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

Czytaj również o [podstawowych definicjach sinus, cosinus i tangens](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci), aby ugruntować swoją wiedzę. Jeśli pracujesz z [trójkątami o kątach 30-60-90 oraz 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), możesz tam znaleźć szczegółowe informacje o ich właściwościach.

Zainteresowany geometrią analityczną? Przejdź do [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna), gdzie trygonometria znajduje praktyczne zastosowanie. Możesz również przejrzeć artykuł o [polach trójkątów](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne), gdzie funkcje trygonometryczne pojawiają się w wielu wzorach.

Jeśli chcesz ćwiczyć bez konkretnego tematu, spróbuj naszych [zadań losowych](/random), które obejmują wszystkie działy matematyki maturalnej.

Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza. Rozwiąż jak najwięcej zadań, narysuj wykresy funkcji trygonometrycznych i nie bój się eksperymentować ze wzorami. Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania
title: Jak stosować wzory redukcyjne: reguła ćwiartek i zadania maturalne krok po kroku
description: Jak sprowadzić sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta do kąta ostrego: reguła ćwiartek, 5 zadań krok po kroku z kątami ujemnymi i większymi niż 360°.
author: Filip Maszota
---

# Jak stosować wzory redukcyjne: reguła ćwiartek i zadania maturalne krok po kroku

Wzory redukcyjne to ten temat, na którym uczniowie nagle gubią się w trygonometrii. Pojawiają się znaki minus, ćwiartki, kąty 180 stopni minus alfa i 90 stopni plus alfa, a w pamięci miesza się to, kiedy sinus zostaje sinusem, a kiedy zmienia się w cosinus. Brzmi znajomo? Spokojnie, w tym poradniku wszystko poukładam.

Wzory redukcyjne to sposób na sprowadzenie wartości funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta do wartości funkcji kąta ostrego, czyli takiego z przedziału \(\langle 0^\circ, 90^\circ \rangle\). Bez tych wzorów nie policzysz \(\sin 150^\circ\), nie uprościsz wyrażenia z \(\cos(180^\circ + \alpha)\) i nie rozwiążesz [równania trygonometrycznego](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura). Na maturze pojawiają się w zadaniach zamkniętych, w dowodach i w zadaniach geometrycznych z [twierdzeniem cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

Skróconą ściągę ze znakami funkcji w ćwiartkach i najważniejszymi wzorami masz na stronie [Wzory redukcyjne](/wzory/wzory-redukcyjne). Tutaj uczymy się ich używać: pokażę ci, skąd się biorą (intuicja z koła trygonometrycznego) i jedną regułę, dzięki której nie musisz ich pamiętać. Rozwiążemy razem 5 zadań krok po kroku, w tym te z kątami ujemnymi i większymi niż \(360^\circ\).

## Po co w ogóle istnieją wzory redukcyjne?

Wyobraź sobie, że masz policzyć \(\sin 210^\circ\). Tablica wartości funkcji trygonometrycznych podaje sinusy tylko dla kątów ostrych: \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\). Co zrobić z kątem \(210^\circ\)? Tutaj wkraczają wzory redukcyjne. Mówią ci: ten sinus \(210^\circ\) tak naprawdę da się zapisać przy pomocy sinusa lub cosinusa jakiegoś kąta ostrego, plus ewentualny znak. Po redukcji wszystko sprowadza się do wartości, które znasz z [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

Wzory redukcyjne to tak naprawdę jedna idea zapisana na kilka sposobów. Idea brzmi: funkcje trygonometryczne są okresowe i symetryczne. Sinus i cosinus powtarzają swoje wartości co \(360^\circ\), tangens i cotangens co \(180^\circ\). Dodatkowo wykresy mają osie symetrii, więc kąty po dwóch stronach pewnego punktu charakterystycznego dają tę samą wartość albo wartość przeciwną.

Zamiast wkuwać kilkanaście wzorów osobno, nauczysz się rysować mały szkic koła trygonometrycznego i wszystko wyciągniesz z głowy w 10 sekund. Tę metodę pokażę ci poniżej.

## Cztery ćwiartki i znaki funkcji trygonometrycznych

Zanim ruszymy z wzorami, musisz mieć w głowie jedną rzecz: znak funkcji trygonometrycznej zależy od ćwiartki, w której leży kąt. To absolutna podstawa, bez której wzory redukcyjne nie zadziałają.

Rysuję układ współrzędnych. Kąt mierzymy zawsze od dodatniej półosi OX, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Cztery ćwiartki to:

- I ćwiartka: \(0^\circ\) do \(90^\circ\) - wszystkie funkcje dodatnie
- II ćwiartka: \(90^\circ\) do \(180^\circ\) - dodatni tylko \(\sin\)
- III ćwiartka: \(180^\circ\) do \(270^\circ\) - dodatnie tylko \(\mathrm{tg}\) i \(\mathrm{ctg}\)
- IV ćwiartka: \(270^\circ\) do \(360^\circ\) - dodatni tylko \(\cos\)

Polska mnemotechnika, którą uczy się w szkole, brzmi: "w pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens, w czwartej cosinus". Dodatnie to te wymienione. Reszta jest ujemna.

Drugi sposób, który mi osobiście leży lepiej: patrz na znaki współrzędnych. Sinus to \(y\), cosinus to \(x\), tangens to \(\frac{y}{x}\). W II ćwiartce \(x  0\), więc \(\sin > 0\), \(\cos < 0\), a \(\mathrm{tg} = \frac{y}{x} < 0\). Tyle. Nie wkuwasz wierszyka, tylko logikę.

Ta informacja o znakach jest połową sukcesu. Druga połowa to wiedzieć, czy redukowany kąt "zmienia funkcję" (sinus staje się cosinusem i odwrotnie), czy nie.

## Reguła klucz: kiedy funkcja się zmienia

Tu jest moja ulubiona reguła, dzięki której nie musisz pamiętać wszystkich wzorów osobno. Brzmi tak:

**Jeśli redukujesz kąt postaci \(90^\circ \pm \alpha\) lub \(270^\circ \pm \alpha\), funkcja zmienia się na kofunkcję** (sinus na cosinus, cosinus na sinus, tangens na cotangens, cotangens na tangens).

**Jeśli redukujesz kąt postaci \(180^\circ \pm \alpha\) lub \(360^\circ \pm \alpha\) (czyli kąt pełny lub półpełny), funkcja zostaje bez zmian.**

Po polsku jeszcze prościej: oś OY (czyli \(90^\circ\) i \(270^\circ\)) zmienia funkcję. Oś OX (czyli \(0^\circ\), \(180^\circ\), \(360^\circ\)) nie zmienia. Łatwo zapamiętać.

Znak (plus albo minus) wybierasz patrząc na ćwiartkę, w której leży oryginalny kąt. To dokładnie ta informacja z poprzedniej sekcji.

Te dwie zasady razem dają ci wszystkie wzory redukcyjne bez pamięciowego harowania.

## Wszystkie wzory redukcyjne wyprowadzone z reguły

Poniżej komplet wzorów, które daje reguła klucz razem ze znakiem ćwiartki. Sprawdź na kilku z nich, czy umiesz je odtworzyć sam:

**Kąt \(90^\circ - \alpha\) (I ćwiartka, zmiana funkcji):**

$$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$$
$$\mathrm{tg}(90^\circ - \alpha) = \mathrm{ctg}\,\alpha, \quad \mathrm{ctg}(90^\circ - \alpha) = \mathrm{tg}\,\alpha$$

**Kąt \(90^\circ + \alpha\) (II ćwiartka, zmiana funkcji):**

$$\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$$
$$\mathrm{tg}(90^\circ + \alpha) = -\mathrm{ctg}\,\alpha$$

**Kąt \(180^\circ - \alpha\) (II ćwiartka, bez zmiany funkcji):**

$$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$$
$$\mathrm{tg}(180^\circ - \alpha) = -\mathrm{tg}\,\alpha$$

**Kąt \(180^\circ + \alpha\) (III ćwiartka, bez zmiany funkcji):**

$$\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$$
$$\mathrm{tg}(180^\circ + \alpha) = \mathrm{tg}\,\alpha$$

**Kąt \(270^\circ - \alpha\) (III ćwiartka, zmiana funkcji):**

$$\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos\alpha, \quad \cos(270^\circ - \alpha) = -\sin\alpha$$

**Kąt \(270^\circ + \alpha\) (IV ćwiartka, zmiana funkcji):**

$$\sin(270^\circ + \alpha) = -\cos\alpha, \quad \cos(270^\circ + \alpha) = \sin\alpha$$

**Kąt \(360^\circ - \alpha\) (IV ćwiartka, bez zmiany funkcji):**

$$\sin(360^\circ - \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha$$
$$\mathrm{tg}(360^\circ - \alpha) = -\mathrm{tg}\,\alpha$$

**Kąt \(-\alpha\) (kąt ujemny, IV ćwiartka jeśli \(\alpha\) ostry):**

$$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \quad \mathrm{tg}(-\alpha) = -\mathrm{tg}\,\alpha$$

To ostatnie wynika z parzystości i nieparzystości funkcji: sinus i tangens są nieparzyste (zmieniają znak), cosinus jest parzysty (nie zmienia znaku).

Jeśli wolisz mieć te wzory w pamięci, w porządku. Pewniej jest jednak wyciągać każdy z reguły klucz i znaku ćwiartki, bo wtedy nie pomylisz się w żadnym przypadku, także w takim, którego nie ma w ściądze.

## Schemat działania krok po kroku

Mam dla ciebie prostą procedurę, która działa zawsze i z każdym wzorem redukcyjnym. Trzy kroki:

**Krok 1.** Sprowadź kąt do przedziału \(\langle 0^\circ, 360^\circ \rangle\), odejmując lub dodając wielokrotność \(360^\circ\). Dla tangensa i cotangensa wystarczy \(\langle 0^\circ, 180^\circ \rangle\), bo ich okres to \(180^\circ\).

**Krok 2.** Zapisz kąt jako \(90^\circ \pm \alpha\), \(180^\circ \pm \alpha\), \(270^\circ \pm \alpha\) lub \(360^\circ \pm \alpha\), gdzie \(\alpha\) jest ostry.

**Krok 3.** Wykonaj redukcję: ustal znak (z ćwiartki) i zdecyduj, czy funkcja się zmienia (oś OY zmienia, oś OX nie).

Ten schemat zadziała w 100% przypadków, jakie spotkasz na maturze.

## Zadanie 1. Oblicz \(\sin 150^\circ\)

Klasyk maturalny, idealny na rozgrzewkę.

**Krok 1.** Kąt \(150^\circ\) jest już w przedziale \(\langle 0^\circ, 360^\circ \rangle\), więc nic nie redukujemy.

**Krok 2.** Zapisuję \(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\). Kąt \(\alpha = 30^\circ\) jest ostry, czyli postać OK.

**Krok 3.** Patrzę: \(150^\circ\) leży w II ćwiartce. W II ćwiartce sinus jest dodatni, więc znak na plus. Funkcja zostaje (bo redukujemy przez \(180^\circ\), czyli oś OX). Stąd:

$$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$

I tyle. Jedna linijka, jeśli już rozumiesz mechanikę.

## Zadanie 2. Oblicz \(\cos 225^\circ\)

Kąt z III ćwiartki, klasyczne miejsce na pomyłkę ze znakiem.

**Krok 1.** Kąt \(225^\circ\) jest w \(\langle 0^\circ, 360^\circ \rangle\), OK.

**Krok 2.** Zapisuję \(225^\circ = 180^\circ + 45^\circ\). Kąt \(\alpha = 45^\circ\) jest ostry.

**Krok 3.** Kąt \(225^\circ\) leży w III ćwiartce. W III ćwiartce cosinus jest ujemny, więc znak na minus. Funkcja zostaje (redukcja przez \(180^\circ\)). Stąd:

$$\cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Sprawdzenie sanity check: \(\cos 0^\circ = 1\), \(\cos 90^\circ = 0\), \(\cos 180^\circ = -1\), \(\cos 270^\circ = 0\). Wartość dla \(225^\circ\) powinna być gdzieś między \(-1\) a \(0\). \(-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}71\) leży w tym przedziale, więc wynik ma sens.

## Zadanie 3. Oblicz \(\sin(-60^\circ)\)

Kąt ujemny, czyli liczymy w drugą stronę (zgodnie ze wskazówkami zegara).

**Krok 1.** Wartość kąta ujemnego mogę albo wyciągnąć od razu z nieparzystości sinusa, albo dorzucić \(360^\circ\). Pokażę oba sposoby.

**Sposób A (nieparzystość sinusa):**

Sinus jest funkcją nieparzystą, więc \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\). Stąd:

$$\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

**Sposób B (dorzucenie pełnego obrotu):**

Dodaję \(360^\circ\): \(-60^\circ + 360^\circ = 300^\circ\). To IV ćwiartka. W IV ćwiartce sinus jest ujemny.

$$\sin 300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Oba sposoby dają to samo. Pierwszy szybszy, drugi bardziej "mechaniczny". Wybierz, który leży ci lepiej.

## Zadanie 4. Oblicz \(\mathrm{tg}\,420^\circ\)

Kąt większy niż \(360^\circ\). Pierwsza myśl: zdjąć pełny obrót.

**Krok 1.** Tangens ma okres \(180^\circ\), więc mogę śmiało odjąć \(180^\circ\) ile razy chcę. Najprościej:

$$\mathrm{tg}\,420^\circ = \mathrm{tg}(420^\circ - 360^\circ) = \mathrm{tg}\,60^\circ$$

Bo \(360^\circ\) to pełny obrót, więc tangens daje tę samą wartość.

**Krok 2.** Kąt \(60^\circ\) jest ostry, leży w I ćwiartce. Wartość znana z tablicy:

$$\mathrm{tg}\,420^\circ = \mathrm{tg}\,60^\circ = \sqrt{3}$$

Gdyby ktoś chciał odjąć dwa okresy tangensa, czyli \(2 \cdot 180^\circ = 360^\circ\), dostałby ten sam wynik. To akurat tu się zgadza, bo \(360^\circ\) to też pełny obrót.

## Zadanie 5. Uprość wyrażenie

To już zadanie maturalne. Uprość:

$$W = \sin(180^\circ - \alpha) + \cos(360^\circ - \alpha) - \mathrm{tg}(180^\circ + \alpha) \cdot \cot(90^\circ - \alpha)$$

(zakładamy, że \(\alpha\) jest takim kątem, że wszystkie funkcje są określone)

**Krok 1.** Redukuję każdy składnik osobno.

\(\sin(180^\circ - \alpha)\): kąt \(180^\circ - \alpha\) leży w II ćwiartce (jeśli \(\alpha\) ostry). Sinus w II ćwiartce dodatni, redukcja przez \(180^\circ\) nie zmienia funkcji. Stąd:

$$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$$

\(\cos(360^\circ - \alpha)\): kąt \(360^\circ - \alpha\) leży w IV ćwiartce. Cosinus w IV ćwiartce dodatni, redukcja przez \(360^\circ\) nie zmienia funkcji. Stąd:

$$\cos(360^\circ - \alpha) = \cos\alpha$$

\(\mathrm{tg}(180^\circ + \alpha)\): kąt \(180^\circ + \alpha\) leży w III ćwiartce. Tangens w III ćwiartce dodatni, redukcja przez \(180^\circ\) nie zmienia funkcji. Stąd:

$$\mathrm{tg}(180^\circ + \alpha) = \mathrm{tg}\,\alpha$$

\(\mathrm{ctg}(90^\circ - \alpha)\): kąt \(90^\circ - \alpha\) leży w I ćwiartce. Wszystkie funkcje dodatnie, redukcja przez \(90^\circ\) zmienia funkcję na kofunkcję. Cotangens staje się tangensem:

$$\mathrm{ctg}(90^\circ - \alpha) = \mathrm{tg}\,\alpha$$

**Krok 2.** Podstawiam do wyjściowego wyrażenia:

$$W = \sin\alpha + \cos\alpha - \mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{tg}\,\alpha = \sin\alpha + \cos\alpha - \mathrm{tg}^2\alpha$$

Tyle z redukcji. Gdyby zadanie wymagało dalszego upraszczania, korzystaliśmy z [jedynki trygonometrycznej](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura) i tożsamości \(\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

## Najczęstsze pułapki ze wzorami redukcyjnymi

Zebrałem dla ciebie błędy, które najczęściej widzę u uczniów. Sprawdź, czy nie wpadasz w któryś z nich.

**Pułapka 1. Zła ćwiartka, zły znak.** Najpopularniejszy błąd: uczeń pamięta, że \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\), ale w stresie zapisuje \(\sin(180^\circ + \alpha) = \sin\alpha\). Brakuje znaku minus. Lekarstwo: zawsze najpierw sprawdź ćwiartkę. Kąt \(180^\circ + \alpha\) jest w III ćwiartce, sinus w III ćwiartce jest ujemny, więc \(\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha\). Koniec dyskusji.

**Pułapka 2. Zmiana funkcji tam, gdzie nie trzeba.** Druga klasyka: uczeń automatycznie zmienia sinus na cosinus przy każdej redukcji. Zapamiętaj raz na zawsze: tylko \(90^\circ\) i \(270^\circ\) zmieniają funkcję. \(180^\circ\) i \(360^\circ\) nigdy.

**Pułapka 3. Zapomniany okres.** Kąt \(750^\circ\) wygląda strasznie, ale po odjęciu \(720^\circ = 2 \cdot 360^\circ\) zostaje \(30^\circ\). Zawsze najpierw redukuj duże kąty modulo \(360^\circ\). Dla tangensa i cotangensa wystarczy modulo \(180^\circ\).

**Pułapka 4. Kąt ujemny i kierunek obrotu.** Kąt \(-30^\circ\) to ten sam kąt geometryczny co \(330^\circ\) (bo \(-30^\circ + 360^\circ = 330^\circ\)). Możesz traktować go jako kąt IV ćwiartki albo użyć nieparzystości funkcji. Wybierz jedną metodę i trzymaj się jej.

**Pułapka 5. Pomylenie sinusa z cosinusem przy \(90^\circ\).** Bardzo częsty błąd: ktoś pamięta, że \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\), ale myli się z \(\sin(90^\circ + \alpha)\) i pisze \(-\cos\alpha\) zamiast \(+\cos\alpha\). Sprawdź: \(90^\circ + \alpha\) leży w II ćwiartce, sinus w II ćwiartce dodatni, więc znak plus. Plus zmiana funkcji daje \(\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha\).

**Pułapka 6. Tangens i jego dziedzina.** Tangens nie jest określony dla \(90^\circ\), \(270^\circ\) i ogólnie \(90^\circ + k \cdot 180^\circ\). Jeśli redukujesz wyrażenie z tangensem, sprawdź, czy nie wpadasz w taki kąt. To często wymagane przy [równaniach trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura) lub w zadaniach z dowodem.

## Wzory redukcyjne w zadaniach maturalnych z geometrii

Wzory redukcyjne pojawiają się nie tylko w czystych zadaniach trygonometrycznych. Bardzo często ukrywają się w zadaniach geometrycznych. Przykład: w trójkącie kąt zewnętrzny przy wierzchołku ma miarę \(180^\circ - \alpha\), gdzie \(\alpha\) to kąt wewnętrzny. Jeśli policzysz sinus kąta zewnętrznego, dostaniesz \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\). To dlatego wzór na [pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne) \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\) działa zarówno dla kąta ostrego, jak i rozwartego.

To samo dotyczy [twierdzenia cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac). Gdy w trójkącie jest kąt rozwarty, jego cosinus jest ujemny i wynika to dokładnie ze wzoru redukcyjnego \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\). Dzięki temu twierdzenie cosinusów daje większą długość trzeciego boku przy kącie rozwartym, niż przy ostrym.

Wniosek praktyczny: jeśli na maturze zobaczysz w treści kąt rozwarty, automatycznie myśl o redukcji. Sinus kąta rozwartego zachowuje się jak sinus jego dopełnienia do \(180^\circ\), cosinus zmienia znak.

## Wzory redukcyjne a parzystość i nieparzystość funkcji

Mała ciekawostka, która przydaje się w dowodach maturalnych. Funkcje trygonometryczne mają jasno określoną parzystość:

- \(\sin(-x) = -\sin x\) - sinus jest nieparzysty
- \(\cos(-x) = \cos x\) - cosinus jest parzysty
- \(\mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}\,x\) - tangens jest nieparzysty
- \(\mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}\,x\) - cotangens jest nieparzysty

To są wzory redukcyjne dla kąta \(-\alpha\). Pojawiają się często w zadaniach z dowodem typu "wykaż, że wyrażenie nie zależy od \(x\)". Pamiętaj: cosinus to jedyna z czterech, która jest parzysta. Pozostałe trzy są nieparzyste.

## Praktyczna mnemotechnika do sprawdzenia w 5 sekund

Daję ci jeszcze jeden trik, który ratuje na egzaminie. Kiedy nie pamiętasz znaku albo zmiany funkcji, narysuj szybki szkic koła trygonometrycznego i zaznacz interesujący cię kąt. Z położenia punktu na okręgu od razu widać:

1. Czy współrzędna \(y\) (czyli sinus) jest dodatnia czy ujemna.
2. Czy współrzędna \(x\) (czyli cosinus) jest dodatnia czy ujemna.

Sprawdzasz dwa znaki na rysunku, decydujesz, czy funkcja się zmienia (oś OY zmienia, OX nie) i już masz wzór redukcyjny. Bez wkuwania. Trening tej techniki na 5 zadaniach i będziesz to robić w głowie.

Jeśli czujesz się niepewnie z całą trygonometrią, zerknij do [głównego przewodnika po trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) albo do [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). To podstawy, na których stoi cały temat.

## Wzory redukcyjne dla kątów w radianach

Na maturze podstawowej kąty zwykle podawane są w stopniach, ale w zadaniach z [równań trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura) i na poziomie rozszerzonym pojawiają się radiany. Zasada redukcji jest dokładnie ta sama, tylko \(\pi\) zastępuje \(180^\circ\), a \(\frac{\pi}{2}\) zastępuje \(90^\circ\). Najważniejsze odpowiedniki:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$
$$\sin(\pi - x) = \sin x, \quad \cos(\pi - x) = -\cos x$$
$$\sin(\pi + x) = -\sin x, \quad \cos(\pi + x) = -\cos x$$

Reguła klucz działa identycznie: \(\frac{\pi}{2}\) zmienia funkcję, \(\pi\) nie zmienia.

## Krótki test: sprawdź się

Jeśli umiesz odpowiedzieć na poniższe bez patrzenia w tabelę, jesteś gotowy:

1. Ile wynosi \(\sin 120^\circ\)?
2. Ile wynosi \(\cos 240^\circ\)?
3. Czy \(\mathrm{tg}(180^\circ - \alpha) = \mathrm{tg}\,\alpha\) czy \(-\mathrm{tg}\,\alpha\)?
4. Co to jest \(\sin(-\alpha)\)?
5. Uprość \(\cos(90^\circ + \alpha) + \sin(180^\circ - \alpha)\).

Odpowiedzi: 1) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), bo \(\sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ\). 2) \(-\frac{1}{2}\), bo \(\cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ\). 3) \(-\mathrm{tg}\,\alpha\), bo II ćwiartka, tangens ujemny, bez zmiany funkcji. 4) \(-\sin\alpha\), bo sinus nieparzysty. 5) \(\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha\), \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\), suma daje \(0\). Wpadłeś w pułapkę z piątym? Sprawdź jeszcze raz znaki.

## Checklist na maturę: wzory redukcyjne

Zanim odłożysz ten tekst, sprawdź czy masz w głowie wszystkie te punkty:

1. Znasz znaki funkcji trygonometrycznych w czterech ćwiartkach. Sinus dodatni w I i II, cosinus w I i IV, tangens i cotangens w I i III.
2. Wiesz, że redukcja przez \(90^\circ\) lub \(270^\circ\) zmienia funkcję na kofunkcję.
3. Wiesz, że redukcja przez \(180^\circ\) lub \(360^\circ\) nie zmienia funkcji.
4. Umiesz wyciągnąć znak z ćwiartki, w której leży oryginalny kąt.
5. Umiesz redukować kąty większe niż \(360^\circ\), odejmując pełne obroty.
6. Umiesz redukować kąty ujemne, korzystając z parzystości i nieparzystości funkcji.
7. Pamiętasz, że cosinus jest parzysty, a sinus, tangens i cotangens nieparzyste.
8. Potrafisz upraszczać wyrażenia z wieloma redukcjami w jednym zadaniu.
9. Wiesz, że wzory redukcyjne wyjaśniają, dlaczego pole trójkąta z kątem rozwartym liczy się tak samo jak z kątem ostrym.
10. Umiesz narysować szybki szkic koła trygonometrycznego i odczytać z niego znaki.

Jeśli wszystkie 10 punktów są na tak, jesteś gotów. Wzory redukcyjne nie będą cię już niepokoić na żadnej maturze.

## Skąd biorą się wzory redukcyjne? Wyprowadzenie z koła trygonometrycznego

Wiele osób uczy się wzorów redukcyjnych na pamięć i są one zupełnie suche. Tymczasem każdy z nich wynika z prostej geometrii koła trygonometrycznego. Pokażę ci to na przykładzie wzoru \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\), żebyś nigdy więcej nie musiał wątpić w to, co masz na kartce.

Rysuję koło o promieniu \(1\) w układzie współrzędnych. Punkt odpowiadający kątowi \(\alpha\) (mierzonego od dodatniej półosi OX) ma współrzędne \((\cos\alpha, \sin\alpha)\). To definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Punkt odpowiadający kątowi \(180^\circ - \alpha\) leży po drugiej stronie osi OY, czyli ma współrzędne \((-\cos\alpha, \sin\alpha)\). Te dwa punkty są symetryczne względem osi OY.

Wniosek: pierwsza współrzędna (czyli cosinus) zmienia znak, druga (sinus) zostaje bez zmian. To jest właśnie zapis \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) i \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\). Wszystkie pozostałe wzory redukcyjne wynikają z analogicznych symetrii (względem osi OX, prostej \(y = x\), środka układu). Jeśli zrozumiesz tę geometrię raz, do końca życia będziesz potrafił wyciągnąć dowolny wzór redukcyjny z pamięci, nawet jeśli go nie powtarzasz przez rok.

To podejście wymaga zaledwie 30 sekund rysowania i rozumienia, gdzie leży punkt. Polecam je każdemu, kto czuje, że pamięciowa nauka go zawodzi pod stresem maturalnym. Na arkuszu, gdy widzisz \(\cos(270^\circ + \alpha)\) i nie pamiętasz wzoru, narysuj szybko punkt, zobacz znaki \(x\) i \(y\), użyj reguły klucz i wynik leży na talerzu.

## Co dalej?

Wzory redukcyjne to fundament, na którym opiera się reszta trygonometrii maturalnej. Kolejne kroki to:

- [Tożsamości trygonometryczne i jedynka trygonometryczna](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura) - bez tego nie ruszysz w zadaniach z dowodem.
- [Równania trygonometryczne krok po kroku](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura) - tu wzory redukcyjne robią najwięcej roboty.
- [Twierdzenia sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac) - klasyczne zastosowanie trygonometrii w geometrii.
- [Pełna trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) - jeśli chcesz przepowtórzyć cały temat od zera.

Trygonometria nie jest trudna, ale wymaga rytmu i powtórek. Im więcej zadań rozwiążesz, tym mocniej te wzory siedzą w głowie. Zerknij też do bazy [zadań z trygonometrii na maturze](/topics/trygonometria), żeby utrwalić materiał na prawdziwych zadaniach CKE.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela
title: Wartości funkcji trygonometrycznych: skąd się biorą, jak je zapamiętać i zadania
description: Skąd się biorą wartości sin, cos i tg dla kątów 30°, 45° i 60°, jak odtworzyć je w kilka sekund bez wkuwania i jak użyć ich w 5 zadaniach krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Wartości funkcji trygonometrycznych: skąd się biorą, jak je zapamiętać i zadania

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów 30°, 45° i 60° wracają na maturze w trygonometrii, w planimetrii, w stereometrii i w geometrii analitycznej. Ten poradnik pokazuje, skąd te liczby się biorą, jak odtworzyć je w kilka sekund bez wkuwania i jak używać ich w zadaniach.

Gotową tabelę sin, cos, tg i ctg dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90° (także w radianach i dla kątów do 360°) znajdziesz na stronie [Tabela trygonometryczna](/wzory/tabela-trygonometryczna). Tutaj zajmujemy się tym, czego tabela nie mówi: skąd pochodzą te wartości i co z nimi zrobić w zadaniu.

## Skąd się biorą te wartości?

### Kąt 45° - trójkąt równoramienno-prostokątny

Weź [kwadrat o boku](/przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura#przekatna-kwadratu-skad-bierze-sie-a-2) 1 i podziel go przekątną. Dostajesz [trójkąt 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) z bokami \(1, 1, \sqrt{2}\).

Z definicji w trójkącie prostokątnym:

$$\sin 45° = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos 45° = \frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\operatorname{tg} 45° = \frac{1}{1} = 1$$

### Kąty 30° i 60° - trójkąt równoboczny

Weź trójkąt równoboczny o boku 2 i podziel go wysokością na pół. Dostajesz [trójkąt 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) z bokami \(1, \sqrt{3}, 2\).

Dla kąta 30°:

$$\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{tg} 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Dla kąta 60°:

$$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

## Trik na zapamiętywanie - metoda "korzeni"

Wartości sinusa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° to kolejno:

$$\frac{\sqrt{0}}{2}, \quad \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\sqrt{4}}{2}$$

Czyli pod pierwiastkiem masz 0, 1, 2, 3, 4 - a w mianowniku zawsze 2.

Dla cosinusa to samo, ale od tyłu: \(\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}\).

Odwrócona kolejność nie jest przypadkiem: \(\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)\), więc cosinus 30° to sinus 60° i odwrotnie. Z tym trikiem odtworzysz wartości sinusa i cosinusa w kilka sekund, bez zaglądania do tabeli.

## Kąty w radianach

Na maturze rozszerzonej te same kąty pojawiają się w radianach. Wystarczy pamiętać, że \(\pi\) radianów to \(180°\):

| Stopnie | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(270°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radiany | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |

**Przykład:** \(\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} = \sin 60° + \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).

## Wartości trygonometryczne a karta wzorów CKE

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych **jest** na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje). Znając te wartości na pamięć, nie tracisz czasu na szukanie i unikasz pomyłek przy przepisywaniu. Na maturze każda minuta się liczy.

## Zadania z wartościami funkcji trygonometrycznych krok po kroku

### Zadanie 1: Obliczanie wyrażeń trygonometrycznych

Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2 60° + \cos^2 30° - \operatorname{tg} 45°\).

**Rozwiązanie:**

Podstawiamy wartości z tabeli:

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{1}{2}\).

### Zadanie 2: Bok trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°, a przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Oblicz długości przyprostokątnych.

**Rozwiązanie:**

Kąty trójkąta: 90°, 30°, 60°.

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 30°:

$$a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$$

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 60°:

$$b = 10 \cdot \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$$

**Sprawdzenie** ([twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)): \(5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2\). Zgadza się.

### Zadanie 3: Pole trójkąta z kątem

Oblicz [pole trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura), którego dwa boki mają długości 6 cm i 8 cm, a kąt między nimi wynosi 60°.

**Rozwiązanie:**

Korzystamy ze wzoru \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\):

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** \(P = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78\) cm².

### Zadanie 4: Trygonometria w zadaniu zamkniętym

Jeśli \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \in (0°, 90°)\), to \(\operatorname{tg}\alpha\) jest równy:

A) \(\frac{1}{2}\)    B) \(\sqrt{3}\)    C) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)    D) \(2\)

**Rozwiązanie:**

Z tabeli: \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), więc \(\alpha = 60°\).

Odczytujemy: \(\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}\).

**Odpowiedź: B)**

To typowe [zadanie zamknięte](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody) - rozwiązujesz je w 15 sekund, jeśli znasz tabelę na pamięć.

### Zadanie 5: Równanie trygonometryczne

Rozwiąż równanie \(2\sin x - 1 = 0\) dla \(x \in [0°, 360°)\).

**Rozwiązanie:**

$$2\sin x = 1$$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Z tabeli: \(\sin 30° = \frac{1}{2}\).

Ale sinus jest dodatni też w II ćwiartce, więc drugie rozwiązanie to \(x = 180° - 30° = 150°\).

**Odpowiedź:** \(x = 30°\) lub \(x = 150°\).

## Rozszerzenie: wartości dla kątów spoza tabeli

Na maturze mogą pojawić się kąty takie jak 120°, 135°, 150° itp. Korzystasz wtedy ze wzorów redukcyjnych:

- \(\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\)
- \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\)
- \(\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha\)
- \(\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha\)

Na przykład: \(\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Cosinus kąta rozwartego jest ujemny: \(\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ten sam znak trzeba dobrać, gdy kąt jest dany pośrednio. Jeśli \(\alpha\) leży w II ćwiartce i \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\), to z jedynki \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\), a ponieważ cosinus w II ćwiartce jest ujemny, \(\cos\alpha = -\frac{3}{5}\) i \(\operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}\).

Więcej o wzorach redukcyjnych znajdziesz w naszym [przewodniku po trygonometrii maturalnej](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Typowe błędy

**Błąd 1: Mylenie sinusa z cosinusem.** Zapamiętaj: \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), ale \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Nie odwrotnie! Sinus 30° jest mniejszy, bo kąt jest mały.

**Błąd 2: Zapominanie o nieusuwaniu \(\sqrt{2}\) z mianownika.** Poprawna wartość to \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), nie \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Na maturze obie formy są akceptowane, ale pierwsza jest standardowa.

**Błąd 3: Tangens 90° istnieje.** Nie, \(\operatorname{tg} 90°\) jest **nieokreślony** (dzielenie przez zero).

**Błąd 4: Zapominanie o znakach w II, III i IV ćwiartce.** Schemat ASTC (All-Sin-Tan-Cos) mówi, które funkcje są dodatnie w której ćwiartce.

**Błąd 5: Zamiana na ułamek dziesiętny.** Zostaw \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) w tej postaci, zamiast pisać \(0{,}866\). W odpowiedzi liczy się dokładna wartość z pierwiastkiem, a przybliżenie w środku rachunku psuje wynik końcowy.

## Jedynka trygonometryczna - bonus

Najważniejsza tożsamość, która łączy sinus i cosinus:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Sprawdź dla dowolnego kąta z tabeli, np. \(\alpha = 30°\):

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \checkmark$$

Ten wzór pozwala obliczyć cosinus, gdy znasz sinus (i odwrotnie). Przydaje się w zadaniach, gdzie podany jest tylko jeden stosunek trygonometryczny. Więcej o tożsamościach znajdziesz w poradniku o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

**Przykład:** kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{5}{13}\). Wtedy \(\sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\), więc \(\sin\alpha = \frac{12}{13}\) (znak dodatni, bo kąt jest ostry), a \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}\). Liczby 5, 12, 13 to trójka pitagorejska, tak jak 3, 4, 5 i 8, 15, 17, i często wracają w zadaniach.

## Co musisz umieć - checklista

- Znać wartości sin, cos, tg dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° (lub umieć je szybko odtworzyć)
- Obliczać wyrażenia trygonometryczne z wartościami z tabeli
- Stosować wartości trygonometryczne w zadaniach z trójkątami
- Rozwiązywać proste równania trygonometryczne
- Korzystać ze wzorów redukcyjnych dla kątów spoza tabeli
- Stosować jedynkę trygonometryczną

Przećwicz zadania z trygonometrii w naszej [bazie zadań maturalnych](/topics/trygonometria) - mamy zadania z każdego rocznika CKE. Sprawdź też [twierdzenie sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac), bo te wzory często łączą się z wartościami z tabeli.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-2025-czerwiec-matematyka-rozwiazania-arkusz
title: Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania wszystkich 31 zadań
description: Rozwiązania wszystkich 31 zadań z matury z matematyki, czerwiec 2025 (termin dodatkowy, 50 pkt). Do każdego zadania treść, obliczenia i odpowiedź.
author: Filip Maszota
---

# Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania wszystkich 31 zadań

## O arkuszu - Matura czerwiec 2025

Czerwcowa matura z matematyki na poziomie podstawowym to termin dodatkowy. Piszą ją osoby, które z przyczyn zdrowotnych lub losowych nie mogły przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz z czerwca 2025 jest w formule 2023 w wersji obowiązującej od 2025 roku: do zdobycia jest **50 punktów**, a na rozwiązanie jest 180 minut. Próg zdania to 30%, czyli **15 punktów**.

Arkusz ma **31 zadań**. 22 z nich to zadania z wyborem odpowiedzi (ABCD albo prawda/fałsz), razem za 25 punktów. Pozostałe 9 to zadania otwarte, w których zapisujesz obliczenia, dowód albo uzupełniasz zdania, także razem za 25 punktów. Zadania 14, 15 i 19 mają po dwie części, a) i b), każdą za 1 punkt. Najwięcej, po 4 punkty, są warte zadania 10 (funkcja określona przedziałami) i 24 (prostopadłościan).

Rozkład kategorii w tym arkuszu (kategorie i punkty według naszej bazy zadań):
- [Stereometria](/topics/stereometria) - 3 zadania, 6 pkt
- [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - 4 zadania, 5 pkt
- [Ciągi](/topics/ciagi) - 3 zadania, 5 pkt
- [Planimetria](/topics/planimetria) - 3 zadania, 4 pkt
- [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - 2 zadania, 4 pkt
- [Statystyka](/topics/statystyka) - 2 zadania, 4 pkt
- [Funkcje](/topics/funkcje) - 1 zadanie, 4 pkt
- [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) - 2 zadania, 3 pkt
- [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) - 1 zadanie, 3 pkt
- [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) - 2 zadania, 2 pkt
- [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) - 2 zadania, 2 pkt
- [Trygonometria](/topics/trygonometria) - 2 zadania, 2 pkt
- [Procenty](/topics/procenty) - 1 zadanie, 2 pkt
- [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) - 1 zadanie, 2 pkt
- [Logarytmy](/topics/logarytmy) - 1 zadanie, 1 pkt
- [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) - 1 zadanie, 1 pkt

Cały arkusz możesz też rozwiązać po kolei na stronie [matury z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025).

---

## Zadania zamknięte

Zadania z wyborem odpowiedzi to numery 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 28, 29 i 31. W arkuszu przeplatają się z zadaniami otwartymi, dlatego numeracja ma przerwy.

**Klucz odpowiedzi:** 1 B, 2 B, 3 PF, 4 D, 6 C, 7 B, 11 D, 12 A, 14 a) B, b) FP, 15 a) A, b) A, 16 C, 17 C, 18 FP, 19 a) B, b) D, 20 C, 21 A, 23 D, 25 A, 26 C, 28 B, 29 C, 31 A.

### Zadanie 1 - Równanie z wartością bezwzględną (1 pkt)

**Treść:** Liczby \(\,x_{1}\) i \(x_{2}\) są różnymi rozwiązaniami równania \(\lvert x-6\rvert = 4\). Iloczyn \(x_{1}\cdot x_{2}\) jest równy

**Rozwiązanie:**

Równanie \(|x-6|=4\) oznacza, że \(x-6=4\) albo \(x-6=-4\), czyli \(x=10\) albo \(x=2\).

$$x_1\cdot x_2=10\cdot 2=20$$

**Odpowiedź:** B. \(20\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-01)

---

### Zadanie 2 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(256\cdot \sqrt[3]{8^2}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Zapisujemy obie liczby jako potęgi dwójki: \(256=2^8\), a \(\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4=2^2\).

$$256\cdot\sqrt[3]{8^2}=2^8\cdot 2^2=2^{10}$$

**Odpowiedź:** B. \(2^{10}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-02)

---

### Zadanie 3 - Logarytmy, prawda czy fałsz (1 pkt)

**Treść:** Iloczyn \(2\cdot\log_{3}5\) jest równy \(\log_{3}25\).

**Rozwiązanie:**

Pierwsze zdanie: z własności logarytmu potęgi \(2\cdot\log_3 5=\log_3 5^2=\log_3 25\). To prawda.

Drugie zdanie: zapisujemy \(2=\log_3 9\) i dodajemy logarytmy o tej samej podstawie:

$$2+\log_3 5=\log_3 9+\log_3 5=\log_3 45$$

\(\log_3 45\) to nie \(\log_3 10\), więc zdanie jest fałszywe.

**Odpowiedź:** P, F

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-03)

---

### Zadanie 4 - Wzór skróconego mnożenia (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\bigl(\sqrt{3}+1\bigr)^{2}-\sqrt{12}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Rozwijamy kwadrat sumy i upraszczamy \(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}\):

$$(\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}=3+2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}=4$$

**Odpowiedź:** D. \(4\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-04)

---

### Zadanie 6 - Nierówność liniowa z ułamkiem (1 pkt)

**Treść:** Dana jest nierówność \(8-\frac{1-2x}{2}\ge 3x\). Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

**Rozwiązanie:**

Mnożymy obie strony przez \(2\). Mnożymy całą lewą stronę, także ósemkę:

$$16-(1-2x)\ge 6x$$

$$15+2x\ge 6x$$

$$15\ge 4x \quad\Rightarrow\quad x\le \frac{15}{4}=3{,}75$$

Największa liczba całkowita nie większa od \(3{,}75\) to \(3\).

**Odpowiedź:** C. \(3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-06)

---

### Zadanie 7 - Liczba rozwiązań równania (1 pkt)

**Treść:** Równanie \(4\bigl(x-1\bigr)^{2}\bigl(x^{2}-25\bigr)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

**Rozwiązanie:**

Iloczyn jest równy zero, gdy zeruje się któryś czynnik. Z \((x-1)^2=0\) dostajemy \(x=1\), a z \(x^2-25=0\) dostajemy \(x=5\) lub \(x=-5\). Liczba \(1\) jest pierwiastkiem podwójnym, ale to nadal jedno rozwiązanie, więc rozwiązania są trzy: \(-5\), \(1\) i \(5\).

**Odpowiedź:** B. trzy rozwiązania.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-07)

---

### Zadanie 11 - Miejsce zerowe funkcji liniowej z parametrem (1 pkt)

**Treść:** Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac12 x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\).

**Rozwiązanie:**

Miejsce zerowe: \(\frac12 x-k=0\), czyli \(x=2k\). Warunek \(2k>2\) daje \(k>1\).

**Odpowiedź:** D. \((1,+\infty)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-11)

---

### Zadanie 12 - Przesunięcie wykresu funkcji liniowej (1 pkt)

**Treść:** Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=5 x\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi \(O x\) i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej \(g\).

**Rozwiązanie:**

Przesunięcie wykresu o \(1\) w prawo to zamiana \(x\) na \(x-1\):

$$g(x)=f(x-1)=5(x-1)=5x-5$$

**Odpowiedź:** A. \(g(x)=5x-5\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-12)

---

### Zadanie 14 - Ciąg określony wzorem ogólnym (2 pkt)

**Treść:** Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=3n^{2}-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\).

**Rozwiązanie:**

a) Liczymy trzy pierwsze wyrazy: \(a_1=3-3=0\), \(a_2=12-6=6\), \(a_3=27-9=18\). Stąd \(S_3=0+6+18=24\).

b) Różnice kolejnych wyrazów to \(a_2-a_1=6\) i \(a_3-a_2=12\). Nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny: fałsz.

Wzór można zapisać jako \(a_n=3n(n-1)\). Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n(n-1)\) jest zawsze parzysty, więc każdy wyraz ciągu jest parzysty: prawda.

**Odpowiedź:** a) B. \(24\); b) F, P

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-14)

---

### Zadanie 15 - Ciąg arytmetyczny: różnica i suma (2 pkt)

**Treść:** W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=52\) oraz \(a_{25}=2\).

**Rozwiązanie:**

a) Ze wzoru \(a_{25}=a_1+24r\) mamy \(2=52+24r\), czyli \(24r=-50\) i \(r=-\frac{25}{12}\).

b) Ze wzoru na sumę:

$$S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25=\frac{52+2}{2}\cdot 25=27\cdot 25=675$$

**Odpowiedź:** a) A. \(-\frac{25}{12}\); b) A. \(675\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-17)

---

### Zadanie 16 - Ciąg geometryczny z parametrem (1 pkt)

**Treść:** Trzywyrazowy ciąg \((4,\,m,\,m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \(a_2^2=a_1\cdot a_3\):

$$m^2=4(m-1)\quad\Rightarrow\quad m^2-4m+4=0\quad\Rightarrow\quad (m-2)^2=0\quad\Rightarrow\quad m=2$$

Sprawdzenie: ciąg \((4, 2, 1)\) ma iloraz \(\frac12\).

**Odpowiedź:** C. \(2\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-20)

---

### Zadanie 17 - Wyrażenie trygonometryczne (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\dfrac{\sin^{3}25^{\circ}+\sin25^{\circ}\cos^{2}25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Wyłączamy \(\sin25^{\circ}\) w liczniku przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$$\frac{\sin25^{\circ}\left(\sin^2 25^{\circ}+\cos^2 25^{\circ}\right)}{\cos25^{\circ}}=\frac{\sin25^{\circ}}{\cos25^{\circ}}=\tg 25^{\circ}$$

**Odpowiedź:** C. \(\tan25^{\circ}\), czyli \(\tg 25^{\circ}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-21)

---

### Zadanie 18 - Sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym (1 pkt)

**Treść:** Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek). Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).

**Rozwiązanie:**

Pierwsze zdanie: gdyby \(\cos\alpha=\frac37\), to \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{16}{49}+\frac{9}{49}=\frac{25}{49}\), a nie \(1\). Fałsz. Z jedynki trygonometrycznej \(\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{16}{49}}=\frac{\sqrt{33}}{7}\).

Drugie zdanie: kąty ostre trójkąta prostokątnego sumują się do \(90^{\circ}\), więc \(\cos\beta=\sin\alpha=\frac47\). Prawda.

**Odpowiedź:** F, P

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-22)

---

### Zadanie 19 - Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym (2 pkt)

**Treść:** Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10,\,24,\,26\) (zobacz rysunek).

**Rozwiązanie:**

a) Przyprostokątne mają długości \(10\) i \(24\), przeciwprostokątna \(26\) (\(10^2+24^2=676=26^2\)). Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{10+24-26}{2}=4$$

b) Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej, więc \(R=\frac{26}{2}=13\).

**Odpowiedź:** a) B. \(4\); b) D. \(13\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-23)

---

### Zadanie 20 - Kąt wpisany w dziesięciokącie foremnym (1 pkt)

**Treść:** Na dziesięciokącie foremnym \(ABCDEFGHIJ\) opisano okrąg o środku \(S\). Miara kąta wpisanego \(AGD \) jest równa

**Rozwiązanie:**

Wierzchołki dzielą okrąg na \(10\) łuków po \(36^{\circ}\). Kąt \(AGD\) opiera się na łuku \(AD\) przechodzącym przez \(B\) i \(C\), czyli na trzech takich łukach. Kąt środkowy \(ASD\) ma więc \(3\cdot 36^{\circ}=108^{\circ}\), a kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy:

$$|\sphericalangle AGD|=108^{\circ}:2=54^{\circ}$$

**Odpowiedź:** C. \(54^{\circ}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-26)

---

### Zadanie 21 - Kwadraty podobne (1 pkt)

**Treść:** Kwadrat \(\mathcal{K}_{2}\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_{1}\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\).

**Rozwiązanie:**

Jeśli bok \(\mathcal{K}_1\) ma długość \(x\), to bok \(\mathcal{K}_2\) ma długość \(5x\):

$$x^2+25x^2=78\quad\Rightarrow\quad 26x^2=78\quad\Rightarrow\quad x^2=3$$

Długość jest dodatnia, więc \(x=\sqrt{3}\).

**Odpowiedź:** A. \(\sqrt{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-27)

---

### Zadanie 23 - Symetria okręgu względem osi Oy (1 pkt)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o równaniu \(\mathcal{O}:(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9\). Okrąg \(\mathcal{K}\) jest obrazem okręgu \(\mathcal{O}\) w symetrii osiowej względem osi \(O y\) układu współrzędnych.

**Rozwiązanie:**

Okrąg \(\mathcal{O}\) ma środek \((-1,2)\) i promień \(3\). Symetria względem osi \(Oy\) zmienia znak pierwszej współrzędnej i nie zmienia promienia, więc okrąg \(\mathcal{K}\) ma środek \((1,2)\) i promień \(3\):

$$(x-1)^2+(y-2)^2=9$$

**Odpowiedź:** D. \((x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-29)

---

### Zadanie 25 - Ostrosłup prawidłowy czworokątny (1 pkt)

**Treść:** Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(20\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

**Rozwiązanie:**

Oznaczamy pole podstawy przez \(P_p\). Pole boczne to \(4P_p\), więc \(P_p+4P_p=20\) i \(P_p=4\). Podstawa jest kwadratem, zatem \(a^2=4\) i \(a=2\).

**Odpowiedź:** A. \(2\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-31)

---

### Zadanie 26 - Wysokość stożka (1 pkt)

**Treść:** Tworząca stożka ma długość \(6\). Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(60^{\circ}\). Wysokość tego stożka jest równa

**Rozwiązanie:**

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o ramionach \(6\) i kącie \(60^{\circ}\) między nimi, czyli trójkąt równoboczny o boku \(6\). Promień podstawy to połowa boku, \(r=3\), a wysokość stożka to wysokość tego trójkąta:

$$H=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** C. \(3\sqrt{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-32)

---

### Zadanie 28 - Liczby trzycyfrowe z jednym zerem (1 pkt)

**Treść:** Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

**Rozwiązanie:**

Zero nie może stać na miejscu setek, więc są dwa przypadki.

- Zero na miejscu dziesiątek: setki to cyfra od \(1\) do \(9\), a jedności to parzysta cyfra różna od zera (\(2, 4, 6, 8\)). Takich liczb jest \(9\cdot 4=36\).
- Zero na miejscu jedności (liczba jest wtedy parzysta): setki i dziesiątki to cyfry od \(1\) do \(9\). Takich liczb jest \(9\cdot 9=81\).

Razem \(36+81=117\).

**Odpowiedź:** B. \(117\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-34)

---

### Zadanie 29 - Średnia arytmetyczna (1 pkt)

**Treść:** Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a, b, c\), jest równa 12. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(2 a, 3 a, 2 b, 3 b, 2 c, 3 c\), jest równa

**Rozwiązanie:**

Z treści \(a+b+c=3\cdot 12=36\). Suma sześciu liczb to \(5a+5b+5c=5\cdot 36=180\), więc ich średnia wynosi \(180:6=30\).

**Odpowiedź:** C. \(30\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-35)

---

### Zadanie 31 - Największy zysk z funkcji kwadratowej (1 pkt)

**Treść:** Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem \(Z(x)=(500+50 x)(16-x)\)

**Rozwiązanie:**

Wymnażamy nawiasy:

$$Z(x)=8000-500x+800x-50x^2=-50x^2+300x+8000$$

Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, więc największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku paraboli:

$$p=\frac{-300}{2\cdot(-50)}=3$$

Liczba \(3\) spełnia warunki \(x\ge 1\) i \(x\le 14\).

**Odpowiedź:** A. \(3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-37)

---

## Zadania otwarte

Zadania otwarte to numery 5, 8, 9, 10, 13, 22, 24, 27 i 30, razem 25 punktów. W nich liczy się zapis rozwiązania: za poprawnie rozpoczęte, ale niedokończone rozwiązanie można dostać część punktów.

### Zadanie 5 - Dowód podzielności przez 5 (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(a\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(1\), i dla każdej liczby całkowitej \(b\), która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(4\), liczba \(a^{2}-b^{2}\) jest podzielna przez \(5\).

**Rozwiązanie:**

Zapisujemy \(a=5k+1\) i \(b=5m+4\), gdzie \(k\) i \(m\) są liczbami całkowitymi. Wtedy:

$$a^2-b^2=(5k+1)^2-(5m+4)^2=25k^2+10k+1-25m^2-40m-16$$

$$=25k^2+10k-25m^2-40m-15=5\left(5k^2+2k-5m^2-8m-3\right)$$

Liczba w nawiasie jest całkowita, więc \(a^2-b^2\) jest wielokrotnością \(5\).

Krótsza droga: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), a \(a+b=5k+5m+5=5(k+m+1)\) dzieli się przez \(5\).

**Odpowiedź:** \(a^2-b^2=5\left(5k^2+2k-5m^2-8m-3\right)\), więc liczba \(a^2-b^2\) jest podzielna przez \(5\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-05)

---

### Zadanie 8 - Dwa sady, procenty (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** W maju \(2024\) roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie \(1410\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(20\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(15\%\) drzew w drugim sadzie.

**Rozwiązanie:**

Niech \(x\) to liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie, a \(y\) w drugim. Wtedy \(x+y=1410\). W pierwszym sadzie zostało \(0{,}8x\) drzew, w drugim \(0{,}85y\), i z treści:

$$0{,}85y=0{,}7\cdot 0{,}8x=0{,}56x$$

Podstawiamy \(y=1410-x\):

$$0{,}85(1410-x)=0{,}56x$$

$$1198{,}5-0{,}85x=0{,}56x$$

$$1198{,}5=1{,}41x\quad\Rightarrow\quad x=850$$

Sprawdzenie: \(y=560\). W pierwszym sadzie zostało \(680\) drzew, w drugim \(0{,}85\cdot 560=476\), a \(0{,}7\cdot 680=476\).

**Odpowiedź:** W pierwszym sadzie posadzono \(850\) drzew.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-08)

---

### Zadanie 9 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(x(x+4)\lt x-2\).

**Rozwiązanie:**

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

$$x^2+4x-x+2\lt 0\quad\Rightarrow\quad x^2+3x+2\lt 0$$

\(\Delta=9-8=1\), więc \(x_1=\frac{-3-1}{2}=-2\) i \(x_2=\frac{-3+1}{2}=-1\). Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi, bez końców przedziału (nierówność jest ostra).

**Odpowiedź:** \(x\in(-2,-1)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-09)

---

### Zadanie 10 - Funkcja określona przedziałami (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona następująco:

**Rozwiązanie:**

Funkcja ma trzy kawałki: \(f(x)=-x-2\) dla \(x\in(-5,-2]\), \(f(x)=0\) dla \(x\in(-2,1]\) oraz \(f(x)=x\) dla \(x\in(1,3]\).

1. Dziedzina to suma tych przedziałów: \((-5,3]\).
2. Zbiór wartości: na pierwszym kawałku wartości wypełniają \([0,3)\) (dla \(x=-5\), które nie należy do dziedziny, byłoby \(3\)), na drugim jest tylko \(0\), na trzecim \((1,3]\). Razem \([0,3]\).
3. Miejsca zerowe: \(-x-2=0\) daje \(x=-2\), a ta liczba należy do pierwszego przedziału. Na całym przedziale \((-2,1]\) funkcja jest równa \(0\). Razem \([-2,1]\).
4. \(f(-3)=3-2=1\), więc szukamy \(f(x)\lt 1\). Na pierwszym kawałku \(-x-2\lt 1\) daje \(x>-3\), czyli \(x\in(-3,-2]\). Na drugim \(0\lt 1\) dla całego \((-2,1]\). Na trzecim \(x\lt 1\) przeczy warunkowi \(x>1\). Razem \((-3,1]\).

**Odpowiedź:** dziedzina \((-5,3]\), zbiór wartości \([0,3]\), zbiór miejsc zerowych \([-2,1]\), rozwiązania nierówności \(f(x)\lt f(-3)\): \((-3,1]\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-10)

---

### Zadanie 13 - Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.

**Rozwiązanie:**

Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi \(x=-1\). Liczba \(1\) jest o \(2\) na prawo od osi, więc drugie miejsce zerowe to \(-3\). Postać iloczynowa:

$$f(x)=a(x-1)(x+3)$$

Punkt \((2,15)\): \(15=a\cdot 1\cdot 5\), więc \(a=3\).

Wierzchołek leży na osi symetrii: \(p=-1\), \(q=f(-1)=3\cdot(-2)\cdot 2=-12\).

$$f(x)=3(x+1)^2-12$$

Sprawdzenie: \(f(2)=3\cdot 9-12=15\) i \(f(1)=3\cdot 4-12=0\).

**Odpowiedź:** \(f(x)=3(x+1)^2-12\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-13)

---

### Zadanie 22 - Prosta równoległa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** W układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\!: y=5x+7\). Prosta \(l\) jest równoległa do \(k\) i przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\). Punkt o współrzędnych \((p,2)\) należy do prostej \(l\). Oblicz \(p\).

**Rozwiązanie:**

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc \(l: y=5x+b\). Prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-4)\), czyli \(b=-4\) i \(l: y=5x-4\). Podstawiamy punkt \((p,2)\):

$$2=5p-4\quad\Rightarrow\quad 5p=6\quad\Rightarrow\quad p=\frac{6}{5}$$

**Odpowiedź:** \(p=\frac{6}{5}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-28)

---

### Zadanie 24 - Prostopadłościan, krawędzie w ciągu geometrycznym (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(94{,}5\). Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym \(4\). Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

**Rozwiązanie:**

Krawędzie mają długości \(x\), \(4x\) i \(16x\). Pole powierzchni całkowitej:

$$2\left(x\cdot 4x+x\cdot 16x+4x\cdot 16x\right)=2\cdot 84x^2=168x^2$$

$$168x^2=94{,}5\quad\Rightarrow\quad x^2=0{,}5625\quad\Rightarrow\quad x=0{,}75$$

Krawędzie mają więc długości \(0{,}75\), \(3\) i \(12\), a objętość:

$$V=0{,}75\cdot 3\cdot 12=27$$

**Odpowiedź:** \(V=27\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-30)

---

### Zadanie 27 - Prawdopodobieństwo, iloczyn nieujemny (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) oraz \(Y=\{-2,-1,0,1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x, y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

**Rozwiązanie:**

Wszystkich par jest \(|\Omega|=6\cdot 4=24\). Iloczyn \(x\cdot y\ge 0\) dają pary:

- obie liczby ujemne: \(3\cdot 2=6\),
- obie liczby dodatnie: \(2\cdot 1=2\),
- \(x=0\) i dowolne \(y\): \(4\),
- \(y=0\) i \(x\ne 0\): \(5\).

Razem \(|A|=6+2+4+5=17\). Sprawdzenie przez zdarzenie przeciwne: iloczyn ujemny daje \(3\cdot 1+2\cdot 2=7\) par, a \(24-7=17\).

$$P(A)=\frac{17}{24}$$

**Odpowiedź:** \(P(A)=\frac{17}{24}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-33)

---

### Zadanie 30 - Średnia, mediana i dominanta z tabeli (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez \(32\) uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

**Rozwiązanie:**

Z tabeli: \(0\) punktów ma \(4\) uczniów, \(1\) punkt \(2\) uczniów, \(2\) punkty \(5\), \(3\) punkty \(5\), \(4\) punkty \(11\), a \(5\) punktów \(5\) uczniów.

Średnia:

$$\frac{0\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 11+5\cdot 5}{32}=\frac{96}{32}=3$$

Mniej niż \(3\) punkty (czyli \(0\), \(1\) lub \(2\)) ma \(4+2+5=11\) uczniów.

Mediana: uczniów jest \(32\), więc to średnia \(16.\) i \(17.\) wyniku w uporządkowanym zestawie. Wyniki od \(0\) do \(3\) punktów ma \(16\) osób, więc \(16.\) wynik to \(3\), a \(17.\) to \(4\). Mediana wynosi \(\frac{3+4}{2}=3{,}5\).

Dominanta to wynik, który wystąpił najczęściej: \(4\) punkty (\(11\) uczniów).

**Odpowiedź:** \(11\) uczniów, mediana \(3{,}5\), dominanta \(4\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2025-36)

---

## Podsumowanie arkusza

Połowa punktów tego arkusza, 25 z 50, jest w dziewięciu zadaniach otwartych. Za same zadania zamknięte można dostać 25 punktów, więc próg 15 punktów jest w ich zasięgu, ale każdy punkt z zadań otwartych daje zapas na pomyłki. Warto podejść do każdego zadania otwartego, nawet jeśli nie umiesz go dokończyć. Zapisz wszystkie kroki, które potrafisz wykonać: CKE przyznaje punkty za częściowe rozwiązanie.

Najwięcej punktów dały w tym arkuszu stereometria (6 punktów w trzech zadaniach) oraz równania i nierówności i ciągi (po 5 punktów). Zadania 10 i 30 sprawdzają przede wszystkim odczytywanie danych z wykresu i z tabeli, a razem są warte 7 punktów.

Porównaj ten arkusz z [maturą z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [maturą poprawkową z sierpnia 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz). Każde zadanie z tego wpisu rozwiążesz samodzielnie na Sprawnej Maturze: link pod rozwiązaniem prowadzi do strony zadania.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody
title: Zadania zamknięte na maturze z matematyki - 15 trików na szybkie rozwiązywanie
description: 15 trików na zadania zamknięte na maturze z matematyki: eliminacja, szacowanie, podstawianie, sprawdzanie od tyłu. Pewne punkty i oszczędność czasu.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania zamknięte na maturze z matematyki - 15 trików na szybkie rozwiązywanie

Arkusz podstawowy w Formule 2023 ma od 27 do 39 zadań za łącznie **50 punktów**, a otwiera go blok zadań zamkniętych. I tu jest klucz: punkty z zadań zamkniętych zdobywasz **znacznie szybciej** niż punkty z zadań otwartych, jeśli znasz odpowiednie techniki.

W tym przewodniku pokazuję 15 trików, które pozwolą Ci rozwiązywać zadania zamknięte szybciej, pewniej i bez typowych błędów. Każdy trik ma przykład zastosowania z prawdziwych zadań maturalnych.

Jeśli szukasz strategii na cały egzamin, przeczytaj [jak zdać maturę z matematyki w 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). A po techniki na zadania otwarte zajrzyj do [przewodnika po zadaniach otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

---

## Trik 1: Eliminacja absurdalnych odpowiedzi

Zanim zaczniesz liczyć, **przeczytaj wszystkie odpowiedzi** i wykreśl te, które są oczywisty nonsens. Często 1-2 odpowiedzi można odrzucić bez żadnych obliczeń.

### Kiedy działa

- Zadanie pyta o pole figury, a jedna odpowiedź jest ujemna
- Zadanie pyta o prawdopodobieństwo, a odpowiedź jest większa niż 1 lub ujemna
- Zadanie dotyczy długości boku, a odpowiedź jest ujemna
- Kąt w trójkącie ma być ostry, a odpowiedź to 120°

### Przykład

Pole trójkąta o bokach 3, 4 i 5 jest równe:
- A) -6
- B) 6
- C) 12
- D) 20

Odpowiedź A jest ujemna - pole nie może być ujemne. Trójkąt 3-4-5 to trójkąt prostokątny (sprawdzamy: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)), więc pole to \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\). Odpowiedź **B**.

Ale nawet bez obliczeń: skoro pole trójkąta prostokątnego to co najwyżej połowa prostokąta 3x5 = 15/2 = 7.5, to C i D też odpadają.

---

## Trik 2: Podstawianie konkretnych liczb zamiast liter

Gdy zadanie operuje na zmiennych (np. "Dla jakiego \(a\) funkcja..."), **podstaw konkretne, proste liczby** i sprawdź, która odpowiedź pasuje.

### Kiedy działa

- Zadania z parametrem
- Zadania typu "które stwierdzenie jest prawdziwe"
- Własności funkcji opisane literowo

### Przykład

Dla jakiego \(a\) funkcja \(f(x) = ax^2 + 2x - 3\) nie ma miejsc zerowych?

Warunek: \(\Delta  -\frac{1}{3}\), B) \(a  \frac{1}{3}\), D) \(a  -\frac{1}{3}\) wyklucza \(a = 0\) z B, ale nie z D). Sprawdzamy: D mówi \(a  200\). Gotowe.

---

## Trik 13: Sprawdzanie z warunkami koniecznymi

Zanim obliczysz dokładny wynik, sprawdź **warunki konieczne** - szybkie filtry, które eliminują błędne odpowiedzi.

### Typowe warunki konieczne

- Jeśli trójkąt jest prostokątny, to najdłuższy bok musi być krótszy niż suma dwóch pozostałych
- Jeśli punkt leży na okręgu, to jego odległość od środka = promień
- Jeśli punkt leży na prostej, to jego współrzędne spełniają równanie prostej
- Jeśli funkcja jest rosnąca, to \(f(a)  8), więc C i D odpadają.

---

## Trik 15: Odczytywanie z wykresu zamiast liczenia

Gdy zadanie zawiera wykres, **odczytuj bezpośrednio z wykresu** zamiast budować równanie i je rozwiązywać.

### Kiedy działa

- Każde zadanie z wykresem funkcji
- Odczytywanie miejsc zerowych, wartości największej, monotoniczności
- Porównywanie wartości funkcji w różnych punktach

### Co odczytywać z wykresu

1. **Miejsca zerowe** - punkty przecięcia z osią OX
2. **Wartość w punkcie** - sprawdź, jak wysoko jest wykres nad danym \(x\)
3. **Monotoniczność** - czy wykres rośnie, czy maleje
4. **Zbiór wartości** - między jakim \(y_{min}\) a \(y_{max}\) leży wykres
5. **Znaki** - gdzie wykres jest nad osią OX (\(f(x) > 0\)), a gdzie pod

Więcej o odczytywaniu w [przewodniku po odczytywaniu własności z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura).

---

## Strategia na część zamkniętą - plan działania

### Kolejność rozwiązywania

1. **Pierwszy przebieg (15-20 min)** - przejdź przez wszystkie zadania zamknięte. Rozwiąż te, które potrafisz zrobić w mniej niż minutę. Oznacz trudniejsze do powrotu.
2. **Drugi przebieg (15-20 min)** - wróć do oznaczonych zadań. Użyj trików z tego przewodnika.
3. **Trzeci przebieg (5 min)** - zadania, których nie rozwiązałeś. Użyj eliminacji i zgadywania (lepiej strzelić niż zostawić puste).

### Ile czasu na zadania zamknięte?

Masz 180 minut na cały arkusz. Optymalna strategia:

| Część | Czas |
|-------|------|
| Zadania zamknięte | 45-50 min |
| Zadania otwarte | 100-110 min |
| Sprawdzanie | 15-20 min |

### Najczęstsze błędy w zadaniach zamkniętych

1. **Czytanie za szybko** - pominięcie słowa "nie", "wszystkie", "co najmniej"
2. **Zaznaczanie pierwszej pasującej odpowiedzi** - zawsze sprawdź wszystkie 4
3. **Pomijanie eliminacji** - nawet 30 sekund na eliminację absurdalnych odpowiedzi oszczędza czas
4. **Brak rysunku w geometrii** - rysuj ZAWSZE, nawet jeśli jest rysunek w zadaniu
5. **Zostawianie pustych odpowiedzi** - lepiej strzelić, masz 25% szans

Więcej o najczęstszych błędach w [przewodniku po błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i [błędach rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

---

## Podsumowanie - twoja checklista

Przed maturą przećwicz te triki na [arkuszach maturalnych z lat ubiegłych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) lub w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke). Im więcej razy użyjesz danego triku na prawdziwych zadaniach, tym naturalniej będziesz go stosować na egzaminie.

Pamiętaj: zadania zamknięte to najszybsze punkty w całym arkuszu. Żeby [zdać maturę](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki), potrzebujesz 15 punktów z 50 (30%).

Kompletną listę [wzorów na maturę](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista) znajdziesz w osobnym przewodniku - warto go wydrukować i mieć pod ręką podczas nauki.

Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac
title: Zadania z treścią na maturze z matematyki - jak je rozwiązywać krok po kroku
description: Jak rozwiązywać zadania z treścią na maturze: metoda 5 kroków, zamiana tekstu na równania, 6 przykładów z rozwiązaniami. Procenty, mieszaniny, ruch, pola.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania z treścią na maturze z matematyki - jak je rozwiązywać krok po kroku

## Dlaczego zadania z treścią sprawiają tyle problemów

Zadania z treścią to jedne z najczęściej powtarzających się typów zadań na [maturze z matematyki](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin). Na każdym arkuszu CKE znajdziesz 5-8 takich zadań - zarówno zamkniętych (1-punktowych), jak i otwartych (2-5 punktów). To ogromna pula punktów, a jednocześnie miejsce, gdzie uczniowie tracą ich najwięcej.

Problem z zadaniami tekstowymi nie leży w trudnej matematyce. Najczęściej równania, które trzeba rozwiązać, są proste - równanie liniowe, kwadratowe, proporcja lub układ dwóch równań. Problem leży w **przejściu z tekstu na matematykę** - w tym momencie większość osób się gubi.

Badania CKE z [poprzednich lat](/wyniki-matury-matematyka-2025-statystyki-zdawalnosc) pokazują, że najczęstsze przyczyny utraty punktów w zadaniach z treścią to:

- **Niepoprawne oznaczenie niewiadomej** - uczeń nie wie, co jest szukaną wielkością
- **Pominięcie danych z treści** - "przeskanował" zadanie zamiast je przeczytać
- **Błąd w konstrukcji równania** - matematyka jest poprawna, ale model jest zły
- **Brak interpretacji wyniku** - wynik matematyczny nie odpowiada na pytanie z zadania

W tym artykule pokażę Ci konkretną metodę, która eliminuje te problemy. Nazywam ją **metodą 5 kroków** - i działa na każdy typ zadania z treścią.

## Metoda 5 kroków - uniwersalny schemat rozwiązywania

Oto metoda, której możesz użyć do każdego zadania z treścią. Stosuj ją mechanicznie - krok po kroku - a unikniesz [najczęstszych błędów](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### Krok 1: Przeczytaj całe zadanie (naprawdę całe)

Nie zaczynaj liczyć po pierwszym zdaniu. Przeczytaj **całą treść** od początku do końca. Zwróć uwagę na:
- Jakie wielkości są dane?
- Czego szukamy?
- Czy jest jakaś zależność między wielkościami?
- Czy są warunki dodatkowe (np. "cena po rabacie", "po upływie 3 lat")?

### Krok 2: Wypisz dane w uporządkowany sposób

Stwórz listę lub tabelkę z danymi. Fizycznie wypisz:
- **Dane:** co wiesz
- **Szukane:** czego szukasz
- **Jednostki:** metrów, złotych, procent, godzin

### Krok 3: Oznacz niewiadomą i zapisz, co ona oznacza

To kluczowy krok, który uczniowie pomijają. Nie pisz od razu równania. Najpierw napisz:

"Niech \(x\) oznacza [co dokładnie]."

Na przykład: "Niech \(x\) oznacza cenę koszulki przed rabatem (w złotych)." Dzięki temu wiesz, co obliczasz, i możesz na końcu zinterpretować wynik.

### Krok 4: Zapisz równanie (lub układ równań)

Teraz przetłumacz zależności z treści na język matematyki. Każde zdanie z treści to jeden element równania. Korzystaj z tabeli tłumaczeń (poniżej).

### Krok 5: Rozwiąż, zinterpretuj i odpowiedz

Rozwiąż równanie, a potem **wróć do treści zadania** i sprawdź:
- Czy odpowiedź ma sens? (np. cena nie może być ujemna, wiek musi być liczbą całkowitą)
- Czy odpowiadasz na to, o co pytano? (nie na to, co obliczyłeś)
- Czy podajesz odpowiedź z poprawną jednostką?

## Tłumaczenie tekstu na matematykę - tabela słów kluczowych

To najważniejsza tabela w całym artykule. Wydrukuj ją lub przepisz na kartkę i miej przy sobie podczas nauki:

| Sformułowanie w treści | Zapis matematyczny | Przykład |
|---|---|---|
| "o \(n\) więcej" | \(+ n\) | "o 5 więcej" = \(x + 5\) |
| "o \(n\) mniej" | \(- n\) | "o 3 mniej" = \(x - 3\) |
| "\(n\) razy więcej" / "\(n\)-krotnie" | \(\cdot n\) | "3 razy więcej" = \(3x\) |
| "\(n\) razy mniej" | \(\div n\) | "4 razy mniej" = \(\frac{x}{4}\) |
| "stosunek \(a\) do \(b\)" | \(\frac{a}{b}\) | "stosunek 2 do 3" = \(\frac{2}{3}\) |
| "\(p\)% czegoś" | \(\cdot \frac{p}{100}\) | "20% z 80" = \(80 \cdot 0{,}2\) |
| "zwiększone o \(p\)%" | \(\cdot (1 + \frac{p}{100})\) | "zwiększone o 15%" = \(x \cdot 1{,}15\) |
| "zmniejszone o \(p\)%" | \(\cdot (1 - \frac{p}{100})\) | "zmniejszone o 30%" = \(x \cdot 0{,}7\) |
| "jest równe" / "wynosi" | \(=\) | "suma wynosi 10" = \(a + b = 10\) |
| "co najmniej" / "nie mniej niż" | \(\geq\) | "co najmniej 5" = \(x \geq 5\) |
| "co najwyżej" / "nie więcej niż" | \(\leq\) | "co najwyżej 100" = \(x \leq 100\) |
| "kolejne liczby całkowite" | \(n, n+1, n+2\) | trzy kolejne = \(n, n+1, n+2\) |
| "kolejne parzyste" | \(2n, 2n+2, 2n+4\) | trzy kolejne parzyste |
| "suma" | \(a + b\) | "suma dwóch liczb" |
| "iloczyn" | \(a \cdot b\) | "iloczyn dwóch liczb" |
| "różnica" | \(a - b\) | "różnica ceny" |
| "iloraz" | \(\frac{a}{b}\) | "iloraz prędkości" |

**Pulapka:** Zwróć uwagę na "3 razy więcej niż \(x\)". To znaczy \(3x\), a nie \(x + 3\). Ale "o 3 więcej niż \(x\)" to \(x + 3\). Ta drobna różnica kosztuje mnóstwo punktów na maturze.

## Typ 1: Zadania procentowe (rabaty, VAT, zmiany cen)

Zadania procentowe to absolutne pewniaki na maturze - pojawiają się na [każdym arkuszu CKE](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Więcej o procentach znajdziesz w naszym [przewodniku po procentach](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

### Przykład 1: Podwójny rabat

**Zadanie:** Sklep ogłosił wyprzedaż - wszystkie produkty tańsze o 20%. Klientka kupiła sukienkę i przy kasie otrzymała dodatkowy rabat 10% (od ceny po pierwszej obniżce). Zapłaciła 360 zł. Jaka była cena wyjściowa sukienki?

**Rozwiązanie metodą 5 kroków:**

**Krok 1-2 (dane):**
- Pierwszy rabat: 20%
- Drugi rabat: 10% (od ceny po pierwszym rabacie)
- Cena końcowa: 360 zł
- Szukane: cena wyjściowa

**Krok 3 (niewiadoma):**

Niech \(x\) oznacza cenę wyjściową sukienki w złotych.

**Krok 4 (równanie):**

Po pierwszym rabacie (20% taniej):

$$x \cdot 0{,}8$$

Po drugim rabacie (10% od nowej ceny):

$$x \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9$$

To jest cena końcowa, czyli:

$$x \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 360$$

$$x \cdot 0{,}72 = 360$$

**Krok 5 (rozwiązanie i interpretacja):**

$$x = \frac{360}{0{,}72} = 500$$

Cena wyjściowa sukienki wynosiła **500 zł**.

**Sprawdzenie:** 500 zł \(\to\) rabat 20% \(\to\) 400 zł \(\to\) rabat 10% \(\to\) 360 zł. \(\checkmark\)

**Pułapka w tym zadaniu:** Nie wolno dodawać rabatów! 20% + 10% to nie 30%. Drugi rabat działa na cenę po pierwszym rabacie. Łączny rabat to \(1 - 0{,}72 = 0{,}28\), czyli 28%, a nie 30%.

### Przykład 2: Podatek VAT

**Zadanie:** Cena netto laptopa wynosi 3200 zł. Stawka VAT to 23%. Po jakim czasie cena brutto wzrośnie do 4428 zł, jeśli cena netto rośnie o 5% rocznie (a stawka VAT się nie zmienia)?

**Rozwiązanie:**

Niech \(n\) oznacza liczbę lat.

Cena netto po \(n\) latach:

$$3200 \cdot 1{,}05^n$$

Cena brutto (z VAT 23%):

$$3200 \cdot 1{,}05^n \cdot 1{,}23 = 4428$$

$$3200 \cdot 1{,}05^n = \frac{4428}{1{,}23} = 3600$$

$$1{,}05^n = \frac{3600}{3200} = 1{,}125$$

Korzystamy z [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania):

$$n = \log_{1{,}05} 1{,}125 = \frac{\ln 1{,}125}{\ln 1{,}05} \approx \frac{0{,}1178}{0{,}0488} \approx 2{,}41$$

Ponieważ cena rośnie raz w roku (skokowo), cena brutto przekroczy 4428 zł po **3 pełnych latach**.

**Uwaga maturalna:** Na maturze z tego typu zadania CKE oczekuje interpretacji - "po 3 latach", a nie "po 2,41 roku". Pamiętaj, by odnieść wynik matematyczny do kontekstu zadania.

## Typ 2: Mieszaniny i stopy

### Przykład 3: Mieszanie roztworów

**Zadanie:** Chemik ma 500 ml roztworu soli o stężeniu 12% i 300 ml roztworu soli o stężeniu 20%. Ile mililitrów wody musi dolać, aby otrzymać roztwór o stężeniu 8%?

**Rozwiązanie:**

Niech \(x\) oznacza objętość dolanej wody w mililitrach.

Obliczamy ilość soli w roztworach:
- Roztwór 1: \(500 \cdot 0{,}12 = 60\) ml soli
- Roztwór 2: \(300 \cdot 0{,}20 = 60\) ml soli
- Woda: 0 ml soli

Łączna ilość soli: \(60 + 60 = 120\) ml

Łączna objętość mieszaniny: \(500 + 300 + x = 800 + x\) ml

Stężenie wynikowe ma wynosić 8%, więc:

$$\frac{120}{800 + x} = 0{,}08$$

$$120 = 0{,}08 \cdot (800 + x)$$

$$120 = 64 + 0{,}08x$$

$$56 = 0{,}08x$$

$$x = 700$$

Chemik musi dolać **700 ml wody**.

**Sprawdzenie:** \(\frac{120}{800 + 700} = \frac{120}{1500} = 0{,}08 = 8\%\). \(\checkmark\)

**Schemat na mieszaniny:** Zawsze korzystaj z zasady - ilość substancji (w ml lub gramach) nie zmienia się po zmieszaniu. Zmienia się tylko objętość (masa) mieszaniny.

## Typ 3: Ruch, prędkość i czas

### Przykład 4: Spotkanie na trasie

**Zadanie:** Z miasta A do miasta B jest 240 km. Z miasta A wyruszył samochód z prędkością 80 km/h. Godzinę później z miasta B wyruszył w kierunku A motocyklista z prędkością 100 km/h. Po ilu godzinach od wyjazdu samochodu spotkają się?

**Rozwiązanie:**

Niech \(t\) oznacza czas (w godzinach) od wyjazdu samochodu do spotkania.

Samochód jedzie \(t\) godzin, a motocyklista \(t - 1\) godzin (bo wyruszył godzinę później).

Droga samochodu: \(80t\) km

Droga motocyklisty: \(100(t - 1)\) km

Spotkają się, gdy suma ich dróg będzie równa dystansowi między miastami:

$$80t + 100(t - 1) = 240$$

$$80t + 100t - 100 = 240$$

$$180t = 340$$

$$t = \frac{340}{180} = \frac{17}{9} \approx 1{,}89 \text{ h}$$

Zamieniam na godziny i minuty: \(\frac{17}{9}\) h = 1 h i \(\frac{8}{9} \cdot 60 \approx 53\) min.

Spotkają się po **1 godzinie i ok. 53 minutach** od wyjazdu samochodu.

**Sprawdzenie:**
- Samochód: \(80 \cdot \frac{17}{9} = \frac{1360}{9} \approx 151{,}1\) km
- Motocyklista: \(100 \cdot \frac{8}{9} = \frac{800}{9} \approx 88{,}9\) km
- Suma: \(\frac{1360 + 800}{9} = \frac{2160}{9} = 240\) km \(\checkmark\)

**Schemat na zadania z ruchem:**

$$s = v \cdot t$$

Gdzie \(s\) to droga, \(v\) to prędkość, \(t\) to czas. W zadaniach ze spotkaniami: suma dróg = dystans. W zadaniach z pościgami: różnica dróg = dystans.

## Typ 4: Pola i obwody w kontekście

### Przykład 5: Ogrodzenie działki

**Zadanie:** Rolnik chce ogrodzić prostokątną działkę, której jedna dłuższa strona przylega do rzeki (tam ogrodzenie nie jest potrzebne). Ma do dyspozycji 120 metrów siatki. Jakie wymiary powinna mieć działka, żeby jej pole było największe?

**Rozwiązanie:**

Niech \(x\) oznacza długość boku prostopadłego do rzeki (w metrach), a \(y\) - długość boku równoległego do rzeki.

Ogrodzenie obejmuje dwa boki o długości \(x\) i jeden bok o długości \(y\):

$$2x + y = 120 \quad \Rightarrow \quad y = 120 - 2x$$

Pole działki:

$$P = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$$

To jest [funkcja kwadratowa](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) z ujemnym współczynnikiem przy \(x^2\), więc ma maksimum w wierzchołku.

Wierzchołek paraboli \(P(x) = -2x^2 + 120x\):

$$x_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-120}{2 \cdot (-2)} = \frac{-120}{-4} = 30$$

$$y = 120 - 2 \cdot 30 = 60$$

$$P_{\max} = 30 \cdot 60 = 1800 \text{ m}^2$$

Działka powinna mieć wymiary **30 m na 60 m**, a jej największe pole to **1800 m\(^2\)**.

**Dlaczego ten typ zadania jest ważny?** Bo łączy kilka działów: [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), [funkcję kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa) i [planimetrię](/topics/planimetria). Na maturze takie połączenia są nagradzane - CKE lubi zadania interdyscyplinarne.

## Typ 5: Ciągi w kontekście życiowym

### Przykład 6: Lokata w banku

**Zadanie:** Klient wpłacił na lokatę 10 000 zł. Bank oferuje oprocentowanie 4% w skali roku z kapitalizacją roczną. Po ilu pełnych latach kwota na lokacie przekroczy 12 000 zł?

**Rozwiązanie:**

Kwota po \(n\) latach to [ciąg geometryczny](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania):

$$a_n = 10\,000 \cdot 1{,}04^n$$

Szukamy najmniejszego \(n\), dla którego:

$$10\,000 \cdot 1{,}04^n > 12\,000$$

$$1{,}04^n > 1{,}2$$

Logarytmujemy obustronnie (korzystając z [własności logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania)):

$$n > \log_{1{,}04} 1{,}2 = \frac{\ln 1{,}2}{\ln 1{,}04} \approx \frac{0{,}1823}{0{,}0392} \approx 4{,}65$$

Ponieważ szukamy pełnych lat, \(n = 5\).

**Sprawdzenie:**
- Po 4 latach: \(10\,000 \cdot 1{,}04^4 \approx 11\,698{,}59\) zł (nie przekracza 12 000 zł)
- Po 5 latach: \(10\,000 \cdot 1{,}04^5 \approx 12\,166{,}53\) zł (przekracza 12 000 zł) \(\checkmark\)

Kwota przekroczy 12 000 zł po **5 pełnych latach**.

**Wzór na procent składany** (jeden z [wzorów, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)):

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

Gdzie \(K_0\) to kapitał początkowy, \(p\) to oprocentowanie w procentach, \(n\) to liczba okresów kapitalizacji.

## Typ 6: Prawdopodobieństwo w kontekście

### Przykład 7: Kontrola jakości

**Zadanie:** W fabryce 5% wyprodukowanych żarówek jest wadliwych. Losujemy 3 żarówki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najwyżej jedna z nich będzie wadliwa?

**Rozwiązanie:**

Prawdopodobieństwo, że żarówka jest wadliwa: \(p = 0{,}05\)

Prawdopodobieństwo, że żarówka jest sprawna: \(q = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\)

Korzystamy ze schematu Bernoulliego (3 próby, szukamy [prawdopodobieństwa](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania) co najwyżej 1 sukcesu, gdzie "sukces" = żarówka wadliwa):

$$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$$

$$P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}857375 = 0{,}857375$$

$$P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^2 = 3 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}9025 = 0{,}135375$$

$$P(X \leq 1) = 0{,}857375 + 0{,}135375 = 0{,}99275$$

Prawdopodobieństwo, że co najwyżej jedna żarówka będzie wadliwa, wynosi **ok. 0,993** (99,3%).

## Pułapki w treści zadań - na co uważać

### Pułapka 1: "O ile procent" vs. "o ile"

"O ile złotych wzrosła cena?" - szukasz różnicy \(\Delta = x_2 - x_1\)

"O ile procent wzrosła cena?" - szukasz \(\frac{x_2 - x_1}{x_1} \cdot 100\%\)

To dwa kompletnie różne pytania! Uczeń, który odpowiada "o 50 zł" zamiast "o 25%", traci wszystkie punkty.

### Pułapka 2: "Razy więcej" vs. "o tyle więcej"

- "Ania ma **3 razy więcej** pieniędzy niż Bartek" - Ania ma \(3x\), gdzie \(x\) to pieniądze Bartka
- "Ania ma **o 30 zł więcej** niż Bartek" - Ania ma \(x + 30\)

### Pułapka 3: Ukryte warunki brzegowe

Zadanie: "Ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie?" - odpowiedź musi być w metrach, a nie w metrach kwadratowych. Czytaj uważnie, jakie są **jednostki** odpowiedzi.

### Pułapka 4: Odpowiedź nie jest wynikiem równania

Czasem wynik równania to np. \(x = 15\), ale pytanie brzmi "ile lat ma ojciec?", a ojciec jest "o 25 lat starszy", więc odpowiedź to \(15 + 25 = 40\) lat. Zawsze wracaj do treści i sprawdzaj, o co dokładnie pytano.

### Pułapka 5: Wynik ujemny lub ułamkowy w kontekście

Jeśli obliczasz liczbę osób i dostajesz \(x = 7{,}3\), coś jest nie tak - albo błąd w równaniu, albo trzeba zaokrąglić (w zależności od kontekstu). Liczba osób to zawsze liczba naturalna.

## Zadania z treścią a zasady oceniania CKE

W [zadaniach otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) CKE przyznaje punkty według [zasad oceniania](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania) za:

| Element | Punkty |
|---|---|
| Poprawne oznaczenie niewiadomej i wypisanie danych | Często 0-1 pkt (wliczone w rozwiązanie) |
| Poprawne ułożenie równania / modelu | 1-2 pkt |
| Poprawne rozwiązanie równania | 1 pkt |
| Poprawna interpretacja i odpowiedź | 1 pkt |

**Kluczowa informacja:** Nawet jeśli nie rozwiążesz równania do końca, możesz dostać punkty za sam poprawny model! Dlatego zawsze zapisuj równanie - nawet jeśli nie wiesz, jak je rozwiązać.

## Schemat postępowania - ściągawka do wydrukowania

Oto skrócona wersja metody 5 kroków, którą możesz mieć przed oczami podczas ćwiczeń:

1. **CZYTAM** - całą treść, od początku do końca
2. **WYPISUJĘ** - dane, szukane, jednostki
3. **OZNACZAM** - "Niech \(x\) oznacza..."
4. **ZAPISUJĘ** - równanie lub układ równań
5. **ROZWIĄZUJĘ I INTERPRETUJĘ** - obliczam + odpowiadam na pytanie

## Jak ćwiczyć zadania z treścią

### Strategia 1: Ćwicz samą translację

Weź 10 zadań z treścią z [arkuszy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) i dla każdego wykonaj tylko kroki 1-4 (nie rozwiązuj!). Skup się wyłącznie na przejściu z tekstu do równania. To jest ta umiejętność, która robi różnicę.

### Strategia 2: Rozwiązuj zadania z każdego typu

Przejdź przez każdy typ zadania opisany powyżej - [procenty](/topics/procenty), mieszaniny, ruch, pola ([planimetria](/topics/planimetria)), [ciągi](/topics/ciagi) w kontekście, [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) w kontekście. Rozwiąż minimum 5 zadań z każdego typu.

### Strategia 3: Sprawdzaj wyniki

Wyrobij nawyk sprawdzania. Po rozwiązaniu zadania podstaw wynik z powrotem do treści i sprawdź, czy wszystko się zgadza. Na maturze to dodatkowe 30 sekund, które mogą uratować Ci 2-3 punkty.

### Strategia 4: Używaj symulatora matury

Rozwiązuj pełne arkusze w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) pod presją czasu. Zadania z treścią są szczególnie wrażliwe na stres - w domu masz czas na spokojne przeczytanie, na egzaminie adrenalin sprawi, że będziesz chciał przeskoczyć kroki. Przećwicz to wcześniej.

## Podsumowanie

Zadania z treścią nie są trudne matematycznie - są trudne **komunikacyjnie**. Wymagają umiejętności tłumaczenia języka naturalnego na język matematyki. To umiejętność, którą da się wyćwiczyć.

Pamiętaj o metodzie 5 kroków: **czytam, wypisuję, oznaczam, zapisuję, interpretuję**. Stosuj ją mechanicznie, a Twoje wyniki w zadaniach z treścią się podwoją.

Jeśli szukasz więcej materiałów do nauki, sprawdź nasz [kompletny plan przygotowania do matury 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i [przewodnik po ostatnich tygodniach](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka). Na naszej platformie znajdziesz ponad 2300 zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku - w tym dziesiątki zadań z treścią z każdego działu. Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie
title: Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku
description: Jak rozwiązać zadanie z prędkością, drogą i czasem na maturze: wzór s = v·t, zamiana minut na godziny, równanie kwadratowe i 8 zadań CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Zadania z prędkością, drogą i czasem na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku

Zadanie z prędkością, drogą i czasem rozwiązujesz z jednego wzoru \(s=v\cdot t\), czyli \(t=\frac{s}{v}\) oraz \(v=\frac{s}{t}\). Oznaczasz niewiadomą prędkość \(v\), każdy czas zapisujesz jako drogę podzieloną przez prędkość (\(\frac{s}{v}\) i \(\frac{s}{v+k}\), gdzie \(k\) to różnica prędkości z treści), a warunek "o godzinę krócej" albo "razem 64 minuty" zamieniasz na równanie wymierne. Po pomnożeniu przez wspólny mianownik dostajesz równanie kwadratowe, liczysz deltę i odrzucasz pierwiastek ujemny. Minuty zamieniasz na godziny zawsze przed podstawieniem: \(40\) min to \(\frac{2}{3}\) h, \(75\) min to \(1{,}25\) h.

To jeden z najbardziej powtarzalnych typów zadań otwartych. W naszej bazie zadań CKE jest 13 zadań o prędkości, w tym pięć zadań za 5 punktów z arkuszy głównych: maj 2012 (zadanie 34), maj 2013 (zadanie 34), maj 2014 (zadanie 33), sierpień 2012 (zadanie 34) i sierpień 2014 (zadanie 32), a do tego zadanie 33 z czerwca 2016 łączące prędkość z procentami. Wszystkie mają identyczny szkielet, więc gdy raz go opanujesz, rozwiązujesz każde z nich w kilka minut. Niżej rozwiązujemy osiem zadań krok po kroku, a listę typów zadań tekstowych znajdziesz w przewodniku po [zadaniach z treścią na maturze](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac).

## Wzór na prędkość, drogę i czas - co musisz mieć w głowie

Prędkość to droga podzielona przez czas: \(v=\frac{s}{t}\). Stąd droga to \(s=v\cdot t\), a czas to \(t=\frac{s}{v}\). W zadaniach maturalnych prawie zawsze wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to właśnie o czasie mówi warunek z treści ("o godzinę krócej", "razem 64 minuty", "wyjechał 20 minut wcześniej").

Trzy rzeczy, które decydują o poprawnym wyniku:

- **Jednostki muszą się zgadzać.** Jeśli droga jest w kilometrach, a prędkość w km/h, to czas wychodzi w godzinach. Minuty z treści zamieniasz na godziny, dzieląc przez 60: \(20\) min \(=\frac{1}{3}\) h, \(40\) min \(=\frac{2}{3}\) h, \(12\) min \(=\frac{1}{5}\) h \(=0{,}2\) h, \(75\) min \(=\frac{5}{4}\) h \(=1{,}25\) h, \(1\) h \(4\) min \(=\frac{64}{60}\) h \(=\frac{16}{15}\) h.
- **Zamiana km/h na m/s.** \(1\) km/h \(=\frac{1000}{3600}\) m/s \(=\frac{1}{3{,}6}\) m/s. Czyli \(36\) km/h \(=10\) m/s, a \(72\) km/h \(=20\) m/s. Na maturze podstawowej ta zamiana pojawia się rzadko, ale w zadaniach zamkniętych za 1 punkt bywa całym zadaniem.
- **Prędkość jest średnia.** Wszystkie zadania zakładają stałą (średnią) prędkość na odcinku. Nie ma tu przyspieszania ani zwalniania, więc wzór \(s=v\cdot t\) działa bez żadnych poprawek.

## Schemat rozwiązania zadania z prędkością w 5 krokach

Każde zadanie tekstowe o ruchu rozwiązujesz w tej samej kolejności: oznaczenie niewiadomej, tabela z drogą, prędkością i czasem, równanie z warunku o czasie, równanie kwadratowe, sprawdzenie pierwiastków. Ten schemat wystarcza na wszystkie zadania z tego wpisu.

**Krok 1: oznacz niewiadomą** Zwykle \(v\) to prędkość wolniejszego pojazdu (albo ta, o którą pyta polecenie). Drugą prędkość zapisujesz przez \(v\): "o 24 km/h większa" to \(v+24\), "o 9,5 km/h mniejsza" to \(v-9{,}5\).

**Krok 2: zrób tabelę droga / prędkość / czas** Dla każdego pojazdu lub odcinka wpisz drogę i prędkość, a czas policz jako \(\frac{s}{v}\). Tabela zajmuje 30 sekund, a eliminuje 90 procent pomyłek.

**Krok 3: zapisz równanie z warunku o czasie** Warunek "krócej o 1 h" oznacza: dłuższy czas minus krótszy czas \(=1\). Warunek "razem 64 minuty" oznacza: suma czasów \(=\frac{16}{15}\). Warunek "wyjechał godzinę wcześniej i spotkali się" oznacza: czas pierwszego \(=\) czas drugiego \(+1\).

**Krok 4: pomnóż przez wspólny mianownik i policz deltę** Równanie wymierne z \(v\) w mianowniku mnożysz przez \(v(v+k)\). Wychodzi równanie kwadratowe. Jak przejść od równania wymiernego do kwadratowego bez gubienia dziedziny, pokazujemy we wpisie o [rozwiązywaniu równań wymiernych](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura), a samą deltę powtórzysz w artykule [jak obliczyć deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

**Krok 5: odrzuć pierwiastek bez sensu i sprawdź** Prędkość ujemna odpada od razu. Czasem odpada też pierwiastek dodatni, bo treść daje dodatkowy warunek ("prędkość mniejsza od 25 km/h"). Na końcu podstaw wynik do treści i sprawdź, czy czasy faktycznie różnią się o tyle, ile trzeba. To sprawdzenie warto zapisać w arkuszu, egzaminator lubi je widzieć.

## Trzy typy zadań o ruchu, które spotkasz na maturze

Zadania z prędkością na maturze dzielą się na trzy schematy: ta sama trasa pokonana przez dwa pojazdy (albo ten sam pojazd dwa razy), droga tam i z powrotem oraz jazda naprzeciw siebie do spotkania. W dwóch pierwszych równanie buduje różnica lub suma czasów, w trzecim równość czasów jazdy do miejsca spotkania.

1. **Ta sama trasa, dwie prędkości.** Pociąg pospieszny i osobowy, kolarz szybszy i wolniejszy, kierowca w jedną i w drugą stronę. Równanie: \(\frac{s}{v}-\frac{s}{v+k}=\Delta t\). To najczęstszy typ (maj 2012, maj 2013, sierpień 2012, sierpień 2014, próbna styczeń 2014).
2. **Tam i z powrotem, suma czasów.** Turysta wchodzi wolniej, schodzi szybciej, znasz łączny czas. Równanie: \(\frac{s}{v}+\frac{s}{v+k}=T\) (maj 2014).
3. **Naprzeciw siebie, spotkanie.** Dwa pojazdy ruszają z \(A\) i \(B\), jeden wcześniej. Drogi do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, a czasy jazdy różnią się o przesunięcie startu (próbna luty 2013, zbiór treningowy CKE).

Osobną kategorią jest średnia prędkość na całej trasie, gdzie nie ma żadnego równania kwadratowego, tylko pułapka ze średnią arytmetyczną. Do niej wracamy w zadaniu z próbnej grudzień 2014.

## Zadanie 34 (matura maj 2012) - dwa pociągi na tej samej trasie

Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210\) km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24\) km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

**Krok 1: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) oznacza prędkość pociągu osobowego w km/h, \(v>0\). Pociąg pospieszny jedzie z prędkością \(v+24\).

**Krok 2: zapisz czasy** Osobowy: \(t_o=\frac{210}{v}\). Pospieszny: \(t_p=\frac{210}{v+24}\).

**Krok 3: równanie z warunku** Pospieszny jedzie o godzinę krócej, więc czas osobowego minus czas pospiesznego to \(1\):
$$\frac{210}{v}-\frac{210}{v+24}=1$$

**Krok 4: pomnóż przez \(v(v+24)\)**
$$210(v+24)-210v=v(v+24)$$
$$5040=v^2+24v \quad\Rightarrow\quad v^2+24v-5040=0$$
\(\Delta=24^2+4\cdot 5040=576+20160=20736\), \(\sqrt{\Delta}=144\).
$$v=\frac{-24+144}{2}=60 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-24-144}{2}=-84$$

**Krok 5: odrzuć i odpowiedz** Prędkość \(-84\) odpada. Osobowy jedzie \(60\) km/h, pospieszny \(60+24=84\) km/h. Czas pospiesznego: \(t_p=\frac{210}{84}=2{,}5\) h, czyli \(2\) godziny \(30\) minut.

Sprawdzenie: osobowy \(\frac{210}{60}=3{,}5\) h, pospieszny \(2{,}5\) h, różnica dokładnie \(1\) h. Uważaj na końcówkę: polecenie pyta o czas pospiesznego, nie o prędkość. Wiele osób kończy na \(v=60\) i traci ostatni punkt. Pełna treść i punktacja w [zadaniu 34 z matury maj 2012](/task/matura-maj-2012-34), a cały arkusz na stronie [matury maj 2012](/exams/matura-maj-2012).

## Zadanie 34 (matura maj 2013) - różnica czasu podana w minutach

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\) kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9\) km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.

**Krok 1: zamień minuty na godziny** \(40\) min \(=\frac{40}{60}\) h \(=\frac{2}{3}\) h. Bez tej zamiany równanie będzie mieszać godziny z minutami i wynik wyjdzie bez sensu.

**Krok 2: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) to prędkość drugiego (wolniejszego) pociągu, \(v>0\). Pierwszy jedzie z prędkością \(v+9\).

**Krok 3: równanie z warunku** Czas drugiego minus czas pierwszego to \(\frac{2}{3}\) h:
$$\frac{336}{v}-\frac{336}{v+9}=\frac{2}{3}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(3v(v+9)\)**
$$1008(v+9)-1008v=2v(v+9)$$
$$9072=2v^2+18v \quad\Rightarrow\quad v^2+9v-4536=0$$
\(\Delta=81+4\cdot 4536=81+18144=18225\), \(\sqrt{\Delta}=135\).
$$v=\frac{-9+135}{2}=63 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{-9-135}{2}=-72$$

**Krok 5: odpowiedź** Drugi pociąg: \(63\) km/h. Pierwszy pociąg: \(63+9=72\) km/h.

Sprawdzenie: \(\frac{336}{63}=5\frac{1}{3}\) h \(=5\) h \(20\) min, \(\frac{336}{72}=4\frac{2}{3}\) h \(=4\) h \(40\) min. Różnica \(40\) minut, zgadza się. Zauważ, że \(\sqrt{18225}=135\) wychodzi "ładnie". W zadaniach CKE delta jest prawie zawsze kwadratem liczby całkowitej, więc jeśli wychodzi ci pierwiastek niewymierny, wróć do równania i szukaj błędu rachunkowego. Treść zadania: [zadanie 34, matura maj 2013](/task/matura-maj-2013-34).

## Zadanie 33 (matura maj 2014) - tam i z powrotem, suma czasów

Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2{,}1\) km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinę i \(4\) minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \(1\) km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.

**Krok 1: zamień czas** \(1\) h \(4\) min \(=\frac{64}{60}\) h \(=\frac{16}{15}\) h.

**Krok 2: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) to prędkość wchodzenia (o nią pyta polecenie), \(v>0\). Prędkość schodzenia to \(v+1\).

**Krok 3: równanie z sumy czasów** Tu czasy się dodają, bo znasz łączny czas obu odcinków:
$$\frac{2{,}1}{v}+\frac{2{,}1}{v+1}=\frac{16}{15}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(15v(v+1)\)**
$$31{,}5(v+1)+31{,}5v=16v(v+1)$$
$$63v+31{,}5=16v^2+16v \quad\Rightarrow\quad 16v^2-47v-31{,}5=0$$
Pomnóż przez \(2\), żeby pozbyć się ułamka: \(32v^2-94v-63=0\).
\(\Delta=94^2+4\cdot 32\cdot 63=8836+8064=16900\), \(\sqrt{\Delta}=130\).
$$v=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3{,}5 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{94-130}{64}18\), bo prędkość pani Danuty \(v-18\) musi być dodatnia.

**Krok 3: równanie** Czas Danuty minus czas Lidii to \(1{,}25\) h:
$$\frac{450}{v-18}-\frac{450}{v}=\frac{5}{4}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(4v(v-18)\)**
$$1800v-1800(v-18)=5v(v-18)$$
$$32400=5v^2-90v \quad\Rightarrow\quad v^2-18v-6480=0$$
\(\Delta=324+25920=26244\), \(\sqrt{\Delta}=162\).
$$v=\frac{18+162}{2}=90 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{18-162}{2}=-72$$

**Krok 5: odpowiedź** Pani Lidia: \(90\) km/h. Pani Danuta: \(90-18=72\) km/h.

Sprawdzenie: \(\frac{450}{90}=5\) h, \(\frac{450}{72}=6{,}25\) h, różnica \(1{,}25\) h \(=75\) min. Zwróć uwagę na założenie \(v>18\) z kroku 2. Gdy niewiadoma stoi w wyrażeniu \(v-18\), dziedzina równania to nie tylko \(v\neq 0\), ale też \(v\neq 18\), a sens fizyczny wymaga \(v>18\). Zapisz to w rozwiązaniu, to część punktacji za poprawne oznaczenia. Arkusz: [matura sierpień 2014](/exams/matura-sierpien-2014), treść: [zadanie 32](/task/matura-sierpie-2014-32).

## Zadanie 97 (zbiór zadań treningowych CKE) - rowerzyści naprzeciw siebie i wybór pierwiastka

Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z \(B\) do \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z \(A\) do \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

**Krok 1: policz drogi do miejsca spotkania** Rowerzysta z \(A\): \(\frac{9}{13}\cdot 182=126\) km. Rowerzysta z \(B\): \(182-126=56\) km.

**Krok 2: oznacz niewiadomą** Niech \(v\) to prędkość rowerzysty z \(B\), przy czym \(09\). Samochód z \(A\) jedzie \(v-9\). Przesunięcie startu: \(20\) min \(=\frac{1}{3}\) h.

**Krok 3: równanie** Samochód z \(A\) jechał do spotkania o \(\frac{1}{3}\) h dłużej:
$$\frac{168}{v-9}=\frac{162}{v}+\frac{1}{3}$$

**Krok 4: pomnóż przez \(3v(v-9)\)**
$$504v=486(v-9)+v(v-9)$$
$$504v=486v-4374+v^2-9v \quad\Rightarrow\quad v^2-27v-4374=0$$
\(\Delta=729+17496=18225\), \(\sqrt{\Delta}=135\).
$$v=\frac{27+135}{2}=81 \qquad\text{lub}\qquad v=\frac{27-135}{2}=-54$$

**Krok 5: odpowiedź** Samochód z \(B\): \(81\) km/h. Samochód z \(A\): \(72\) km/h.

Sprawdzenie: samochód z \(B\) jechał \(\frac{162}{81}=2\) h, samochód z \(A\) jechał \(\frac{168}{72}=2\frac{1}{3}\) h, czyli o \(20\) minut dłużej. W zadaniach na spotkanie nie ma osobnej niewiadomej "czas": czas każdego pojazdu wyrażasz przez jego drogę do spotkania i prędkość, a łączy je przesunięcie startu. Treść: [zadanie 32, próbna luty 2013](/task/matura-pr-bna-luty-2013-32).

## Zadanie 29 (matura próbna grudzień 2014) - średnia prędkość to nie średnia arytmetyczna

Samochód przejechał z miejscowości \(A\) do miejscowości \(C\) przez miejscowość \(B\), która znajduje się w połowie drogi z \(A\) do \(C\). Średnia prędkość na trasie z \(A\) do \(B\) była równa \(40\) km/h, a na trasie z \(B\) do \(C\) \(60\) km/h. Oblicz średnią prędkość samochodu na całej trasie z \(A\) do \(C\).

Odpowiedź \(50\) km/h jest błędna. Średnia prędkość to cała droga podzielona przez cały czas, a nie średnia arytmetyczna prędkości na odcinkach. Samochód jedzie dłużej na wolniejszym odcinku, więc wolniejsza prędkość "waży" więcej i wynik wychodzi poniżej \(50\).

**Krok 1: oznacz drogę** Niech cała trasa ma długość \(2s\), wtedy każdy odcinek ma długość \(s\).

**Krok 2: policz czasy** \(t_{AB}=\frac{s}{40}\), \(t_{BC}=\frac{s}{60}\). Razem: \(t=\frac{s}{40}+\frac{s}{60}=\frac{3s+2s}{120}=\frac{5s}{120}=\frac{s}{24}\).

**Krok 3: średnia prędkość** \(v_{sr}=\frac{2s}{\frac{s}{24}}=48\) km/h.

Ogólny wzór dla dwóch równych odcinków to \(v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\) (średnia harmoniczna): \(\frac{2\cdot 40\cdot 60}{100}=48\). Gdy odcinki nie są równe, wracasz do definicji: suma dróg przez sumę czasów. To dokładnie ten sam mechanizm, co przy [średniej ważonej](/jak-obliczyc-srednia-wazona-wzor-zadania-matura): prędkości ważysz czasami jazdy, nie drogami. Treść: [zadanie 29, próbna grudzień 2014](/task/matura-pr-bna-grudzie-2014-29).

## Zadanie 33 (matura czerwiec 2016) - prędkość i procenty w jednym zadaniu

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o \(10\%\) większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek o \(10\%\) mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot nad Austrią we wtorek?

**Krok 1: oznacz** Niech \(v\) to zakładana prędkość przelotowa, a \(x\) czas przelotu we wtorek w minutach. Wtorek: prędkość \(1{,}1v\), czas \(x\). Czwartek: prędkość \(0{,}9v\), czas \(x+12\) (wolniej, więc dłużej).

**Krok 2: droga jest ta sama** Droga nad Austrią nie zmienia się, więc \(s=1{,}1v\cdot x=0{,}9v\cdot(x+12)\).

**Krok 3: skróć \(v\) i rozwiąż** Prędkość \(v\) jest dodatnia, więc dzielisz obie strony przez \(v\):
$$1{,}1x=0{,}9x+10{,}8 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2x=10{,}8 \quad\Rightarrow\quad x=54$$

**Krok 4: odpowiedź** Przelot we wtorek trwał \(54\) minuty (w czwartek \(66\) minut).

Tu nie ma równania kwadratowego, bo nie znasz drogi ani prędkości, tylko ich stosunek. Trik polega na zapisaniu tej samej drogi dwoma sposobami i skróceniu \(v\). Zamianę "o 10% większa" na mnożnik \(1{,}1\) powtórzysz we wpisie o [obliczaniu procentu z liczby i zmianie procentowej](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa). Treść: [zadanie 33, matura czerwiec 2016](/task/matura-czerwiec-2016-33).

## Typowe pułapki w zadaniach z prędkością

- **Minuty w równaniu obok godzin.** "40 minut krócej" wpisane jako \(40\) zamiast \(\frac{2}{3}\) daje równanie bez sensownych pierwiastków. Zamieniaj jednostki w pierwszym kroku, zanim napiszesz równanie.
- **Odjęte w złą stronę.** Różnica czasów to zawsze czas wolniejszego minus czas szybszego, wtedy wychodzi liczba dodatnia. Jeśli odejmiesz odwrotnie, dostaniesz \(-1\) po prawej stronie i wszystkie znaki się poplączą.
- **Plus zamiast minus (albo odwrotnie).** "Tam i z powrotem, razem 64 minuty" to suma czasów. "O godzinę krócej" to różnica. Przeczytaj warunek dwa razy, zanim wybierzesz znak.
- **Zgubiona dziedzina.** Przy \(v-18\) w mianowniku zapisz \(v>18\). Egzaminator sprawdza, czy oznaczenia mają sens fizyczny, a to część punktów za pierwszy etap rozwiązania.
- **Odpowiedź na inne pytanie.** Zadanie z maja 2012 pyta o czas, zadanie z maja 2014 o prędkość wchodzenia, zadanie z sierpnia 2014 o obie prędkości. Po policzeniu \(v\) wróć do polecenia i odpowiedz dokładnie na nie.
- **Zignorowany warunek z treści.** "Prędkość mniejsza od 25 km/h" nie jest ozdobnikiem, tylko kluczem do odrzucenia drugiego pierwiastka (zadanie 97).
- **Średnia arytmetyczna prędkości.** \(\frac{40+60}{2}=50\) jest błędne, poprawne \(48\). Średnią prędkość zawsze liczysz z całej drogi i całego czasu.
- **Brak sprawdzenia.** Podstawienie wyniku do treści zajmuje 20 sekund i wyłapuje błąd w delcie. W zadaniach za 5 punktów to najtańsze ubezpieczenie, jakie masz.

## Jak jest punktowane zadanie z prędkością

Zadania tego typu w arkuszach 2012-2016 były za 5 punktów, a schemat oceniania nagradzał każdy etap osobno: poprawne oznaczenia i wyrażenie czasów przez prędkość, ułożenie równania, doprowadzenie do równania kwadratowego, obliczenie pierwiastków z odrzuceniem niewłaściwego, odpowiedź zgodna z pytaniem. Nawet jeśli pomylisz się w delcie, dobrze ułożone równanie daje zwykle 2 z 5 punktów. Dlatego tabela i równanie muszą być zapisane czytelnie, a nie "w głowie". Szczegóły punktacji zadań otwartych opisujemy we wpisie [jak punktowane są zadania na maturze](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania), a strategię pisania rozwiązań w [poradniku o zadaniach otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Najczęstsze pytania

### Jaki jest wzór na prędkość, drogę i czas?
Prędkość to droga podzielona przez czas: \(v=\frac{s}{t}\). Z tego samego wzoru masz drogę \(s=v\cdot t\) oraz czas \(t=\frac{s}{v}\). W zadaniach maturalnych najczęściej wyrażasz czas przez drogę i prędkość, bo to o czasie mówi warunek z treści zadania.

### Jak zamienić minuty na godziny w zadaniu z prędkością?
Dzielisz liczbę minut przez 60 i zostawiasz ułamek zwykły: \(20\) min to \(\frac{1}{3}\) h, \(40\) min to \(\frac{2}{3}\) h, \(75\) min to \(\frac{5}{4}\) h, a \(1\) h \(4\) min to \(\frac{64}{60}=\frac{16}{15}\) h. Zamiany dokonujesz przed napisaniem równania, a nie po jego rozwiązaniu.

### Dlaczego w zadaniu z prędkością wychodzi równanie kwadratowe?
Bo prędkość stoi w mianowniku obu czasów: \(\frac{s}{v}\) i \(\frac{s}{v+k}\). Po pomnożeniu równania przez wspólny mianownik \(v(v+k)\) po prawej stronie pojawia się iloczyn \(v\cdot(v+k)=v^2+kv\), czyli wyrażenie kwadratowe. Jeden z dwóch pierwiastków jest zawsze ujemny albo sprzeczny z treścią i go odrzucasz.

### Jak obliczyć średnią prędkość na całej trasie?
Dzielisz całą drogę przez cały czas jazdy: \(v_{sr}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}\). Dla dwóch równych odcinków pokonanych z prędkościami \(v_1\) i \(v_2\) wychodzi \(v_{sr}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\), na przykład dla \(40\) i \(60\) km/h dostajesz \(48\) km/h, a nie \(50\).

### Jak rozwiązać zadanie, w którym dwa pojazdy jadą naprzeciw siebie?
Drogi obu pojazdów do miejsca spotkania sumują się do całej odległości, więc najpierw liczysz każdą z nich. Potem czas każdego pojazdu zapisujesz jako jego drogę podzieloną przez jego prędkość, a równanie buduje przesunięcie startu: ten, który wyjechał wcześniej, jechał do spotkania odpowiednio dłużej.

### Który pierwiastek równania kwadratowego wybrać w zadaniu z prędkością?
Ten, który ma sens w treści zadania. Ujemny odpada zawsze, bo prędkość jest dodatnia. Jeśli oba są dodatnie, treść zawiera dodatkowy warunek, na przykład "prędkość mniejsza od 25 km/h", który wskazuje właściwy pierwiastek. Sprawdź też, czy wybrana wartość nie zeruje żadnego mianownika.

### Ile punktów jest za zadanie z prędkością na maturze?
W arkuszach z lat 2012-2016 zadania o pociągach, kolarzach i turystach były zadaniami otwartymi za 5 punktów (na przykład zadanie 34 z maja 2012 i zadanie 33 z maja 2014). Punkty przyznawano etapami: za oznaczenia i równanie, za równanie kwadratowe, za pierwiastki z odrzuceniem niewłaściwego i za odpowiedź.

## Checklista: co musisz umieć

- Zapisać \(s=v\cdot t\) i przekształcić na \(t=\frac{s}{v}\) oraz \(v=\frac{s}{t}\).
- Zamienić minuty na godziny ułamkiem zwykłym przed ułożeniem równania.
- Oznaczyć prędkość wolniejszego pojazdu jako \(v\), a szybszego jako \(v+k\), z dziedziną \(v>0\) (lub \(v>k\) przy \(v-k\)).
- Zbudować tabelę droga / prędkość / czas dla każdego pojazdu lub odcinka.
- Rozpoznać typ warunku: różnica czasów, suma czasów albo przesunięcie startu przy spotkaniu.
- Pomnożyć równanie wymierne przez wspólny mianownik i policzyć deltę.
- Odrzucić pierwiastek ujemny lub sprzeczny z warunkiem z treści.
- Odpowiedzieć dokładnie na pytanie z polecenia i zapisać sprawdzenie.
- Liczyć średnią prędkość z całej drogi i całego czasu, nigdy ze średniej arytmetycznej.

Więcej zadań tego typu przećwiczysz w dziale [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) oraz w zestawie [zadań CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami). Jeśli chcesz przejść przez cały arkusz z tego okresu, zacznij od [matury maj 2013](/exams/matura-maj-2013), w której znajdziesz zadanie o dwóch pociągach.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka
title: Zadania optymalizacyjne na maturze z matematyki - jak znaleźć największe pole, objętość i zysk
description: Jak rozwiązywać zadania optymalizacyjne na maturze? Metoda krok po kroku: zmienna, funkcja celu, ekstremum. Pięć przykładów: pole, objętość, zysk.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania optymalizacyjne na maturze z matematyki - jak znaleźć największe pole, objętość i zysk

## Zadania optymalizacyjne - najtrudniejszy typ zadań na maturze

Zadania optymalizacyjne to te, w których musisz znaleźć **największą** lub **najmniejszą** wartość czegoś - pola, objętości, kosztu, zysku. Na maturze pojawiają się regularnie jako zadania otwarte za 4-6 punktów i stanowią prawdziwe wyzwanie. Wielu uczniów je pomija, bo nie wiedzą, od czego zacząć.

A szkoda, bo każde zadanie optymalizacyjne rozwiązuje się **dokładnie tą samą metodą**. Nie trzeba wymyślać nic nowego - wystarczy opanować jeden schemat i stosować go mechanicznie. W tym artykule pokażę ci ten schemat i przećwiczymy go na 5 różnych przykładach.

Jeśli czujesz, że potrzebujesz powtórzyć podstawy funkcji kwadratowej (bo to ona jest kluczem do optymalizacji na poziomie podstawowym), zajrzyj do naszego [przewodnika po funkcji kwadratowej na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

## Kiedy zadanie optymalizacyjne pojawia się na maturze?

Zadania optymalizacyjne pojawiają się na maturze podstawowej i rozszerzonej. Przykłady z ostatnich lat:

- **Matura maj 2025** - pole prostokąta wpisanego w trójkąt (zadanie za 5 pkt)
- **Matura próbna CKE marzec 2026** - objętość pudełka z kartonu (zadanie za 4 pkt)
- **Matura próbna luty 2026** - maksymalny zysk przedsiębiorstwa (zadanie za 4 pkt)

Te zadania zawsze pojawiają się w drugiej części arkusza (zadania otwarte). Jeśli chcesz przećwiczyć rozwiązywanie tego typu zadań, w naszej bazie znajdziesz je w kategoriach [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), [planimetria](/topics/planimetria) i [stereometria](/topics/stereometria).

## Uniwersalna metoda rozwiązywania - 5 kroków

Każde zadanie optymalizacyjne na maturze rozwiążesz tym samym schematem:

### Krok 1: Zdefiniuj zmienną

Wybierz jedną wielkość jako zmienną \(x\) (lub inną literę). To jest ta wielkość, od której zależy wynik. Na przykład: bok prostokąta, promień walca, liczba sprzedanych sztuk.

### Krok 2: Zapisz funkcję celu

Wyraź to, co chcesz zmaksymalizować lub zminimalizować, jako funkcję tej zmiennej. Nazywamy ją **funkcją celu** - np. \(P(x)\) dla pola, \(V(x)\) dla objętości, \(Z(x)\) dla zysku.

### Krok 3: Wyznacz dziedzinę

Określ, jakie wartości może przyjmować \(x\). Pamiętaj o ograniczeniach fizycznych: długości muszą być dodatnie, pole nie może być ujemne, liczba sztuk musi być całkowita itp.

### Krok 4: Znajdź ekstremum

Na maturze podstawowej funkcja celu to prawie zawsze **funkcja kwadratowa**. Jej największa/najmniejsza wartość to wartość w wierzchołku paraboli:

$$x_w = \frac{-b}{2a}, \quad y_w = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}$$

Jeśli \(a  0\), parabola ma ramiona skierowane w górę - wierzchołek to **minimum**.

Na maturze rozszerzonej możesz potrzebować pochodnej:

$$f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{punkty podejrzane o ekstremum}$$

### Krok 5: Sprawdź, czy ekstremum należy do dziedziny

To krok, o którym wielu uczniów zapomina! Wierzchołek paraboli może wypadać poza dziedziną. Wtedy maksimum/minimum osiągane jest na krańcu przedziału.

Więcej o tym, jak poprawnie zapisywać rozwiązania zadań otwartych (żeby nie tracić punktów na formalnościach), przeczytasz w artykule [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Przykład 1: Pole prostokąta wpisanego w trójkąt (planimetria)

**Treść:** W trójkąt równoramienny o podstawie \(a = 8\) i wysokości \(h = 6\) wpisano prostokąt tak, że jeden bok leży na podstawie trójkąta. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu.

### Rozwiązanie krok po kroku

**Krok 1:** Oznaczmy połowę boku prostokąta leżącego na podstawie jako \(x\). Wtedy cały bok na podstawie ma długość \(2x\), a \(0  0\).

**Krok 2:** Pole powierzchni całkowitej walca:

$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 24\pi$$

Wyznaczamy \(h\) z warunku na pole:

$$2\pi r^2 + 2\pi r h = 24\pi \quad | \div 2\pi$$

$$r^2 + rh = 12$$

$$h = \frac{12 - r^2}{r}$$

Żeby \(h > 0\), musi być \(12 - r^2 > 0\), czyli \(r  0)$$

Sprawdzamy drugą pochodną: \(V''(r) = \pi(-6r)\), więc \(V''(2) = -12\pi  0\)).

**Krok 2:** Po wycięciu kwadratów i zagięciu brzegów powstaje pudełko o wymiarach:
- Długość: \(24 - 2x\)
- Szerokość: \(24 - 2x\)
- Wysokość: \(x\)

Funkcja celu - objętość pudełka:

$$V(x) = (24 - 2x)(24 - 2x) \cdot x = x(24 - 2x)^2$$

**Krok 3:** Dziedzina: wymiary muszą być dodatnie, więc \(24 - 2x > 0\), czyli \(x  0\) to minimum) lub zbadaj znak pierwszej pochodnej

Jeśli celujesz w maturę rozszerzoną, [nasze omówienie wymagań](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy) pomoże ci zaplanować naukę.

## Triki i skróty

### Trick 1: Prostokąt o danym obwodzie - największe pole to kwadrat

Jeśli obwód prostokąta wynosi \(2s\), to pole \(P = x(s-x)\), a maksimum jest dla \(x = \frac{s}{2}\) - czyli prostokąt to kwadrat. To tak częste, że warto zapamiętać jako fakt.

### Trick 2: AM-GM zamiast paraboli

Dla dwóch liczb dodatnich \(a, b\) zachodzi:

$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$

Równość zachodzi, gdy \(a = b\). To pozwala szybko znaleźć maksimum iloczynu przy stałej sumie (lub minimum sumy przy stałym iloczynie) bez wypisywania funkcji kwadratowej.

### Trick 3: Symetria w zadaniach geometrycznych

Jeśli figura ma symetrię (np. trójkąt równoramienny, koło), to optymalna wpisana figura zachowuje tę symetrię. Nie musisz tego dowodzić na maturze - ale możesz użyć do szybkiego zgadnięcia odpowiedzi, a potem ją zweryfikować.

## Jak ćwiczyć zadania optymalizacyjne

1. **Zacznij od prostych** - pole prostokąta o danym obwodzie, objętość pudełka. To ćwiczenia, które budują intuicję.
2. **Rozwiązuj z pełnym zapisem** - nawet ćwicząc w domu, pisz tak jakbyś był na maturze. Wprowadzenie zmiennej, dziedzina, obliczenia, odpowiedź.
3. **Rysuj!** - W zadaniach geometrycznych rysunek to połowa sukcesu. Oznacz zmienną na rysunku.
4. **Rozwiąż 10-15 zadań** - po tylu powtórzeniach schemat wejdzie w krew.
5. **Przejrzyj [arkusze maturalne z lat 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan)** - znajdź w nich zadania optymalizacyjne i rozwiąż je samodzielnie.

Na [sprawnamatura.pl](/) masz ponad 2300 zadań maturalnych podzielonych na [19 kategorii tematycznych](/topics/liczby-rzeczywiste). Zadania optymalizacyjne znajdziesz głównie w kategoriach [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), [stereometria](/topics/stereometria) i [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna).

## Podsumowanie - co zapamiętać

Zadania optymalizacyjne wyglądają na trudne, ale mają prostą strukturę. Pamiętaj schemat:

1. **Zmienna** - wybierz i nazwij
2. **Funkcja celu** - wyraź to, co optymalizujesz, jako funkcję zmiennej
3. **Dziedzina** - określ zakres zmiennej
4. **Ekstremum** - wierzchołek paraboli (podstawowa) lub pochodna (rozszerzona)
5. **Weryfikacja** - czy wynik należy do dziedziny

Jeśli opanujesz ten schemat i przećwiczysz go na kilkunastu zadaniach, zadania optymalizacyjne staną się jednymi z łatwiejszych na maturze - bo masz gotową procedurę, której wystarczy się trzymać.

Na koniec przeczytaj [strategię zdawania matury z matematyki](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), żeby wiedzieć, w jakiej kolejności podchodzić do zadań na egzaminie. Zadania optymalizacyjne zwykle rozwiązuj jako jedne z ostatnich - najpierw zbierz [łatwe punkty](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-maturalne-z-matematyki-wedlug-dzialow-baza-cke
title: Zadania maturalne z matematyki według działów - baza CKE
description: Baza zadań maturalnych z matematyki z podziałem na działy: ile zadań CKE jest z każdego tematu, gdzie są punkty i linki do rozwiązań krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania maturalne z matematyki według działów - baza CKE

Masz w jednym miejscu ponad 2370 zadań maturalnych z matematyki z prawdziwych arkuszy CKE, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ale sama liczba to za mało. Prawdziwa przewaga to wiedzieć, ile zadań na maturze realnie przypada na dany dział, żeby uczyć się tam, gdzie są punkty, a nie po kolei od pierwszej strony podręcznika. Ten hub to twoja mapa. Poniżej masz wszystkie działy z podstawy, liczbę zadań w bazie dla każdego z nich i bezpośrednie linki do rozwiązywania.

Większość zbiorów zadań w internecie wrzuca ci działy jednym ciągiem, bez informacji, który jest ważny, a który marginalny. Tu jest inaczej: dostajesz konkretne liczby, więc sam ocenisz, gdzie zainwestować czas. Jeśli chcesz uczyć się z sensem, a nie chaotycznie, to jest punkt wyjścia.

## Jak korzystać z tej bazy

Zasada jest prosta. Wybierasz dział z tabeli niżej, klikasz w jego nazwę i lądujesz na stronie działu, gdzie rozwiązujesz zadanie po zadaniu, a rozwiązanie krok po kroku masz od razu pod ręką. Kolumna obok prowadzi do osobnego przewodnika po danym dziale, jeśli wolisz najpierw poukładać teorię i typy zadań.

Najlepiej działa to tak: bierzesz jeden dział, domykasz go, dopiero potem przechodzisz do następnego. Nie przeskakuj między tematami, bo nic nie wejdzie w nawyk. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress), a kiedy chcesz sprawdzić się na miksie działów jak na prawdziwym egzaminie, włączasz [tryb losowy](/random) albo bierzesz cały [arkusz CKE](/exams) na czas.

## Tabela: działy matury podstawowej i liczba zadań

Liczby to faktyczna liczba zadań z danego działu w bazie, zebranych z arkuszy CKE i próbnych. Im wyższa waga, tym więcej punktów na maturze zwykle przypada na ten dział.

| Dział | Zadań w bazie | Waga na maturze | Ćwicz | Przewodnik z rozwiązaniami |
|---|---|---|---|---|
| Geometria analityczna | 283 | Bardzo wysoka | [ćwicz](/topics/geometria-analityczna) | [rozwiązania](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami) |
| Planimetria | 269 | Bardzo wysoka | [ćwicz](/topics/planimetria) | [rozwiązania](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) |
| Równania i nierówności | 262 | Bardzo wysoka | [ćwicz](/topics/rownania-i-nierownosci) | [rozwiązania](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami) |
| Ciągi | 218 | Bardzo wysoka | [ćwicz](/topics/ciagi) | [rozwiązania](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami) |
| Stereometria | 204 | Bardzo wysoka | [ćwicz](/topics/stereometria) | [rozwiązania](/zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami) |
| Potęgi i pierwiastki | 157 | Wysoka | [ćwicz](/topics/potegi-i-pierwiastki) | [rozwiązania](/zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami) |
| Funkcja kwadratowa | 128 | Wysoka | [ćwicz](/topics/funkcja-kwadratowa) | [rozwiązania](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami) |
| Trygonometria | 127 | Wysoka | [ćwicz](/topics/trygonometria) | [rozwiązania](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami) |
| Prawdopodobieństwo | 108 | Wysoka | [ćwicz](/topics/prawdopodobienstwo) | [rozwiązania](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami) |
| Funkcje | 97 | Wysoka | [ćwicz](/topics/funkcje) | [rozwiązania](/zadania-cke-funkcje-z-rozwiazaniami) |
| Funkcja liniowa | 74 | Średnia | [ćwicz](/topics/funkcja-liniowa) | [rozwiązania](/zadania-cke-funkcja-liniowa-z-rozwiazaniami) |
| Liczby rzeczywiste | 74 | Średnia | [ćwicz](/topics/liczby-rzeczywiste) | [rozwiązania](/zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami) |
| Logarytmy | 74 | Średnia | [ćwicz](/topics/logarytmy) | [rozwiązania](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami) |
| Procenty | 74 | Średnia | [ćwicz](/topics/procenty) | [rozwiązania](/zadania-cke-procenty-z-rozwiazaniami) |
| Wyrażenia algebraiczne | 68 | Średnia | [ćwicz](/topics/wyrazenia-algebraiczne) | [rozwiązania](/zadania-cke-wyrazenia-algebraiczne-z-rozwiazaniami) |
| Statystyka | 64 | Średnia | [ćwicz](/topics/statystyka) | [rozwiązania](/zadania-cke-statystyka-z-rozwiazaniami) |
| Kombinatoryka | 44 | Niższa | [ćwicz](/topics/kombinatoryka) | [rozwiązania](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami) |
| Układy równań | 29 | Niższa | [ćwicz](/topics/uklady-rownan) | [przewodnik](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-przyklady) |

## Gdzie na maturze jest najwięcej punktów

Jeśli spojrzysz na tabelę, widać jasno pięć działów, które ciągną cały egzamin: geometria analityczna, planimetria, równania i nierówności, ciągi oraz stereometria. Razem to grubo ponad połowa wszystkich zadań w bazie. Jeśli chcesz nie tylko zdać, ale mieć solidny wynik, to od nich zaczynasz.

Geometria analityczna, 283 zadania, to najliczniejszy dział. Prosta, okrąg, odległość punktów, środek odcinka, punkt przecięcia. Same powtarzalne schematy. Zacznij od [ćwiczeń z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) i przykładu [matura maj 2024](/task/matura-maj-2024-11), a teorię masz w hubie [zadania CKE z geometrii analitycznej](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami).

Planimetria, 269 zadań, to trójkąty, czworokąty, okręgi, pola i kąty. Dużo zadań zamkniętych za 1 punkt. Wejdź w [dział planimetria](/topics/planimetria), spróbuj [matura maj 2022](/task/matura-maj-2022-17), a typy uporządkuj w [zadaniach CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

Równania i nierówności, 262 zadania, to fundament pod resztę materiału. Kwadratowe, liniowe, z parametrem. Ćwicz w [dziale równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), na przykład [matura maj 2023](/task/matura-maj-2023-11).

Ciągi, 218 zadań, arytmetyczny i geometryczny, wyraz i suma. Bardzo schematyczne, więc opłacalne. Zacznij od [działu ciągi](/topics/ciagi) i zadania [matura czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-17).

Stereometria, 204 zadania, bryły, objętości, pola powierzchni i kąty w przestrzeni. Trudniejsza wizualnie, ale wzory są sztywne. Trenuj w [dziale stereometria](/topics/stereometria) i na [matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-38).

## Działy szybkich punktów

Nie wszystko musi być trudne. Są działy mniej liczne, ale bardzo tanie w punktach, bo składają się głównie z krótkich zadań zamkniętych. To idealne miejsce dla kogoś, kto celuje w próg zdawalności.

Procenty i statystyka to często najprostsze zadania w arkuszu, czysta arytmetyka z życia. Potęgi i pierwiastki oraz liczby rzeczywiste dają pewne punkty za znajomość kilku sztywnych reguł. Jeśli matematyka nie jest twoją mocną stroną, zacznij właśnie od nich, a szczegółową strategię masz w [maturze z matematyki dla humanisty](/matura-z-matematyki-dla-humanisty-jak-zdac-gdy-nie-idzie). Ćwiczysz w działach [procenty](/topics/procenty), [statystyka](/topics/statystyka), [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) oraz [liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste).

## Mniejsze działy, których nie warto pomijać

Kilka działów jest w bazie mniej licznych, ale to nie znaczy, że można je odpuścić, bo pojedyncze zadanie potrafi zdecydować o wyniku. Funkcja wykładnicza pojawia się rzadziej, ale schemat jest prosty, więcej w [przewodniku o funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania). Wielomiany to głównie stopień, mnożenie i rozkład na czynniki, całość masz w [wielomianach na maturze](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout). Warto też liznąć zadania optymalizacyjne, które łączą kilka umiejętności naraz, opisane w [zadaniach optymalizacyjnych](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka). Układy równań spinają algebrę z geometrią i wracają regularnie, ćwicz je w [dziale układy równań](/topics/uklady-rownan).

## Jak z bazy zrobić plan nauki

Sama baza to narzędzie, plan robisz ty. Zacznij od diagnozy: rozwiąż jeden [arkusz CKE](/exams) na spokojnie i zobacz, co już umiesz. Potem bierz działy z tabeli od góry, ustalając priorytety według wagi i tego, ile z danego tematu obecnie tracisz.

Trzymaj rytm: jeden dział na raz, seria zadań, sprawdzenie wyniku, powtórka słabych typów. Kiedy działanie ci nie wychodzi, wrzuć je do [solvera](/solve), żeby zobaczyć, gdzie jest błąd. Raz na tydzień rób miks w [trybie losowym](/random), a postępy kontroluj w [panelu postępów](/progress). Cały zestaw wzorów zebrany jest w dziale [wzory](/wzory). Jeśli wolisz uczyć się po całych arkuszach, a nie działach, sięgnij po [kompletną bazę arkuszy 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## FAQ

### Ile jest działów na maturze podstawowej z matematyki?
W tej bazie zadania są pogrupowane w kilkanaście głównych działów, od geometrii analitycznej i planimetrii, przez równania, ciągi i stereometrię, po procenty, statystykę i kombinatorykę. Pełną listę z liczbami masz w tabeli wyżej.

### Od którego działu najlepiej zacząć naukę?
Jeśli celujesz w mocny wynik, zacznij od najliczniejszych działów: geometrii analitycznej, planimetrii i równań. Jeśli walczysz o zdawalność, zacznij od szybkich punktów: procentów, statystyki i potęg.

### Czy zadania są darmowe?
Tak. Baza zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku jest dostępna za darmo. Rozwiązujesz online, a rozwiązanie sprawdzasz od razu.

### Skąd pochodzą te zadania?
To zadania z prawdziwych arkuszy maturalnych CKE oraz arkuszy próbnych, ułożone według działów. Każde ma pełne rozwiązanie krok po kroku.

### Jak ćwiczyć całe arkusze, a nie pojedyncze działy?
Wejdź w dział [arkusze CKE](/exams) i rozwiązuj kolejne arkusze na czas, albo zajrzyj do [zbioru zadań maturalnych z rozwiązaniami](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo).

## Podsumowanie

Nauka do matury z matematyki nie musi być błądzeniem po omacku. Masz mapę: kilkanaście działów, przy każdym liczba zadań i waga na egzaminie, plus bezpośrednie linki do rozwiązywania i do przewodników z rozwiązaniami. Największe działy to geometria analityczna, planimetria, równania i nierówności, ciągi oraz stereometria, i to od nich zależy twój wynik. Działy szybkich punktów, czyli procenty, statystyka i potęgi, dowożą pewne punkty przy małym wysiłku.

Plan na dziś: wybierz jeden dział z tabeli, rozwiąż pięć zadań w [trybie losowym](/random), a błędy sprawdź w [solverze](/solve). Jeśli matematyka nie jest twoją mocną stroną, zacznij od strategii z [matury dla humanisty](/matura-z-matematyki-dla-humanisty-jak-zdac-gdy-nie-idzie). Dział po dziale, z liczbami zamiast chaosu, dojdziesz tam, gdzie chcesz.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami
title: Zadania dowodowe na maturze z matematyki - baza CKE z rozwiązaniami
description: Zadania dowodowe na maturze z matematyki: 142 zadania CKE typu wykaż i udowodnij z rozwiązaniami krok po kroku, schemat dowodu i przykłady wg działów.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania dowodowe na maturze z matematyki - baza CKE z rozwiązaniami

Wykaż, że. Udowodnij, że. Uzasadnij, że. Trzy polecenia, na widok których połowa maturzystów od razu przewraca kartkę. Zadania dowodowe to statystycznie najczęściej opuszczane zadania na maturze podstawowej z matematyki, a jednocześnie jedne z najbardziej schematycznych. W arkuszu odpowiadają zwykle za 4-5 punktów, czyli kilkanaście procent progu zdawalności. Zostawianie ich pustych to oddawanie punktów, które da się wziąć jednym wyuczonym schematem.

W naszej bazie mamy 142 zadania dowodowe z prawdziwych arkuszy CKE z lat 2010-2026: z matur majowych, czerwcowych, sierpniowych poprawkowych, arkuszy próbnych i zestawów treningowych. Każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po całym zasobie: mapa typów, uniwersalny schemat dowodu, cztery rozwiązane przykłady i baza zadań do ćwiczenia według działów.

## Ile dowodów jest w arkuszu i za ile punktów

W formule 2023 na maturze podstawowej dostaniesz zwykle dwa zadania dowodowe: jedno algebraiczne (podzielność liczby albo nierówność) i jedno geometryczne (własność figury). Każde jest warte 2-3 punkty. Do tego dowodzenie potrafi wskoczyć do zadań z ciągów czy trygonometrii jako polecenie typu wykaż.

Ważna rzecz o punktacji: dowód jest oceniany za drogę, nie tylko za efekt. Zapisanie istotnego postępu, na przykład poprawnego rozkładu na czynniki albo trafnego podstawienia, daje punkt nawet wtedy, gdy nie doprowadzisz rozumowania do końca. Dlatego strategia zostawiam puste, bo i tak nie skończę jest najgorszą możliwą. Jak CKE punktuje poszczególne kroki, opisuje tekst [jak punktowane są zadania na maturze](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Mapa zadań dowodowych wg działów

Tak rozkłada się 142 zadania dowodowe w naszej bazie. Kolumna z teorią prowadzi do przewodników po działach, a w dalszej części strony znajdziesz linki do konkretnych zadań.

| Dział | Zadań w bazie | Typowe polecenie | Teoria i ćwiczenia |
| --- | --- | --- | --- |
| Planimetria | 30 | wykaż własność trójkąta, trapezu, okręgu | [planimetria](/topics/planimetria) |
| Liczby rzeczywiste | 25 | wykaż podzielność, resztę z dzielenia | [liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) |
| Równania i nierówności | 21 | wykaż nierówność dla dowolnych liczb | [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) |
| Geometria na płaszczyźnie | 19 | udowodnij równość odcinków, pól, kątów | [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| Potęgi i pierwiastki | 17 | wykaż podzielność liczby z potęgami | [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) |
| Ciągi | 8 | wykaż, że ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny | [ciągi](/topics/ciagi) |
| Trygonometria | 6 | wykaż tożsamość trygonometryczną | [trygonometria](/topics/trygonometria) |
| Funkcja kwadratowa | 5 | wykaż własność trójmianu | [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) |
| Stereometria i pozostałe | 11 | wykaż własność bryły, wzór | [stereometria](/topics/stereometria) |

## Uniwersalny schemat dowodu w 4 krokach

Niezależnie od działu każdy dowód maturalny układa się w ten sam szkielet.

Krok 1: zapisz, co masz dane (założenia) i co masz wykazać (tezę). Samo przepisanie tezy porządkuje głowę i pokazuje egzaminatorowi, że wiesz, dokąd zmierzasz.

Krok 2: dobierz reprezentację. Liczba parzysta to \(2k\), nieparzysta to \(2k+1\), liczba dająca resztę 2 z dzielenia przez 7 to \(7k+2\), a kolejne liczby naturalne to \(n\) i \(n+1\). W nierównościach prawie zawsze chodzi o sprowadzenie wszystkiego na jedną stronę i zwinięcie do kwadratu za pomocą [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

Krok 3: przekształcaj od strony bardziej skomplikowanej do prostszej i pilnuj równoważności. Wyłączaj wspólny czynnik, rozkładaj na czynniki, grupuj w kwadraty.

Krok 4: zakończ wnioskiem. Jedno zdanie w stylu: liczba jest iloczynem liczby 14 i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez 14, co należało wykazać. Bez wniosku dowód jest formalnie niedokończony i może kosztować punkt.

Pełny poradnik zapisu, razem z tym, czego egzaminator wymaga w każdym kroku, znajdziesz w tekście [dowody matematyczne na maturze - jak pisać](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Przykład 1: podzielność (matura maj 2026)

Zadanie z ostatniej matury: wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez 14. To [zadanie 7 z matury maj 2026](/task/matura-maj-2026-07).

Rozwiązanie. Wyłączamy wspólny czynnik:

$$7n^{2}+21n=7n(n+3)$$

Wystarczy teraz wykazać, że \(n(n+3)\) jest liczbą parzystą. Rozważmy dwa przypadki. Jeśli \(n\) jest parzyste, to iloczyn \(n(n+3)\) jest parzysty, bo parzysty jest pierwszy czynnik. Jeśli \(n\) jest nieparzyste, to \(n+3\) jest sumą dwóch liczb nieparzystych, czyli liczbą parzystą, więc iloczyn znowu jest parzysty. W obu przypadkach \(n(n+3)=2k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\), zatem:

$$7n^{2}+21n=7\cdot 2k=14k$$

Liczba jest iloczynem 14 i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez 14, co należało wykazać.

## Przykład 2: podzielność przez 8 (matura maj 2023)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\) liczba \((2n+1)^{2}-1\) jest podzielna przez 8. To [zadanie 3 z matury maj 2023](/task/matura-maj-2023-03).

Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i porządkujemy:

$$(2n+1)^{2}-1=4n^{2}+4n+1-1=4n^{2}+4n=4n(n+1)$$

Liczby \(n\) i \(n+1\) to dwie kolejne liczby naturalne, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn \(n(n+1)\) jest zatem parzysty, czyli \(n(n+1)=2k\) dla pewnej liczby naturalnej \(k\). Stąd:

$$4n(n+1)=4\cdot 2k=8k$$

Liczba jest podzielna przez 8, co kończy dowód. Zauważ, że oba przykłady kończą się identycznym manewrem: iloczyn kolejnych liczb albo analiza parzystości. Ten jeden trik zamyka większość maturalnych dowodów o podzielności.

## Przykład 3: nierówność (matura maj 2019)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^{2}-2ab+3b^{2}\ge 0\). To [zadanie 28 z matury maj 2019](/task/matura-maj-2019-28).

Rozwiązanie. Grupujemy lewą stronę tak, żeby pojawił się pełny kwadrat:

$$3a^{2}-2ab+3b^{2}=2a^{2}+2b^{2}+(a^{2}-2ab+b^{2})=2a^{2}+2b^{2}+(a-b)^{2}$$

Każdy ze składników \(2a^{2}\), \(2b^{2}\) oraz \((a-b)^{2}\) jest nieujemny jako kwadrat liczby rzeczywistej pomnożony przez liczbę dodatnią. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, więc cała lewa strona jest większa lub równa zero, co należało wykazać.

To jest schemat niemal wszystkich maturalnych dowodów nierówności: przenieś wszystko na jedną stronę i zwiń do sumy kwadratów.

## Przykład 4: dowód geometryczny (przekątna prostopadłościanu)

Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a\), \(b\), \(c\) ma długość \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\). To [zadanie z arkusza próbnego Operon](/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-28).

Rozwiązanie. Najpierw przekątna podstawy. Podstawa jest prostokątem o bokach \(a\) i \(b\), więc z twierdzenia Pitagorasa jej przekątna \(d\) spełnia:

$$d^{2}=a^{2}+b^{2}$$

Przekątna bryły \(D\), przekątna podstawy \(d\) i krawędź boczna \(c\) tworzą trójkąt prostokątny, bo krawędź boczna prostopadłościanu jest prostopadła do podstawy. Ponownie stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

$$D^{2}=d^{2}+c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$$

Stąd \(D=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\), co należało wykazać. W dowodach geometrycznych schemat jest zawsze ten sam: rysunek, oznaczenia, znane twierdzenie i wniosek.

## Baza zadań dowodowych do ćwiczenia - wg działów

Poniżej wybór zadań z bazy z podziałem na typy. Każdy link prowadzi do zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, więc możesz najpierw spróbować samodzielnie, a potem porównać swój zapis z modelowym.

### Podzielność i własności liczb

Zacznij od najnowszych, bo pokazują aktualny styl CKE: [matura czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-05), [matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-05), [matura sierpień 2025](/task/matura-sierpie-2025-05), [matura maj 2024](/task/matura-maj-2024-03), [matura czerwiec 2024](/task/matura-czerwiec-2024-05), [matura sierpień 2024](/task/matura-sierpie-2024-03). Potem klasyki z poprzednich lat: [reszta z dzielenia przez 7](/task/matura-czerwiec-2023-03), [podzielność przez 6](/task/matura-sierpie-2023-04), [suma kwadratów czterech kolejnych liczb](/task/matura-czerwiec-2018-28) i [podzielność przez 10000](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-05) z ostatniej próbnej CKE. Więcej znajdziesz w hubie [zadania CKE z liczb rzeczywistych](/zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami).

### Dowody z potęgami

Ulubiony motyw CKE ostatnich lat: [wyłączanie wspólnego](/dodawanie-poteg-o-tej-samej-podstawie-wylaczanie-przed-nawias-matura) czynnika z potęg. Przećwicz na zadaniach: [podzielność przez 21](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03), [podzielność przez 37](/task/cke-2025-pp-07), [podzielność przez 17](/task/matura-maj-2017-27), [druga wersja z 17](/task/matura-maj-2013-31) oraz [nierówność z potęgami](/task/matura-czerwiec-2017-29). Teorię powtórzysz w hubie [zadania CKE z potęg i pierwiastków](/zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami).

### Nierówności algebraiczne

Pełna seria z ostatnich matur: [maj 2022](/task/matura-maj-2022-31), [sierpień 2022](/task/matura-sierpie-2022-31), [maj 2021](/task/matura-maj-2021-30), [sierpień 2021](/task/matura-sierpie-2021-31), [maj 2020](/task/matura-maj-2020-28), [sierpień 2020](/task/matura-sierpie-2020-28), [maj 2019](/task/matura-maj-2019-28), [sierpień 2019](/task/matura-sierpie-2019-28), [maj 2018](/task/matura-maj-2018-28), [maj 2015](/task/matura-maj-2015-27). Zwróć uwagę, jak często wraca ta sama końcówka: suma kwadratów. Więcej w hubie [zadania CKE z równań i nierówności](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami).

### Dowody planimetryczne

Trójkąty, trapezy i okręgi: [trapez równoramienny z próbnej CKE marzec 2026](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-24), [dwusieczna w trójkącie z matury maj 2026](/task/matura-maj-2026-23), [trójkąt równoboczny i wysokość](/task/matura-maj-2020-29), [okrąg opisany na trójkącie równoramiennym](/task/matura-maj-2014-31), [trapez i przekątne](/task/matura-sierpie-2016-30), [okręgi styczne zewnętrznie](/task/matura-maj-2018-29), [dwusieczna kąta ostrego](/task/matura-czerwiec-2017-28), [kwadraty na bokach trójkąta](/task/matura-sierpie-2011-28). Podstawy teorii masz w hubie [zadania CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

### Równość odcinków i pól na płaszczyźnie

[Kwadraty ABCD i APQR](/task/cke-pp-treningowe-93), [prostokąt i punkt na boku](/task/matura-czerwiec-2018-29), [kwadrat i przekątne](/task/matura-maj-2015-28), [równoległobok i środek boku](/task/matura-sierpie-2018-28), [punkty współliniowe](/task/matura-pr-bna-luty-2014-29), [odległość środka boku od prostej](/task/matura-czerwiec-2019-28).

### Ciągi, trygonometria i funkcja kwadratowa

Dowody spoza algebry i geometrii: [suma kolejnych wyrazów ciągu](/task/matura-maj-2016-30), [ciąg geometryczny i arytmetyczny](/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-28), [ciąg arytmetyczny z próbnej CKE](/task/cke-2025-pp-41), [tożsamość trygonometryczna](/task/matura-czerwiec-2012-28), [średnia arytmetyczna z cosinusem](/task/cke-2015-2023-pp-47), [trójmian bez miejsc zerowych](/task/matura-pr-bna-marzec-2021-34), [trójmian z ujemnym wyrazem wolnym](/task/matura-sierpie-2012-31) oraz [suma sześcianów liczb parzystych](/task/matura-sierpie-2014-28).

Chcesz trenować na losowych zadaniach zamiast wybierać ręcznie? Włącz [tryb losowy](/random), a program będzie podrzucać zadania z całej bazy, w tym dowodowe.

## Najczęstsze błędy w zadaniach dowodowych

Sprawdzanie na przykładach zamiast dowodu. Podstawienie trzech liczb i stwierdzenie, że działa, to zero punktów. Dowód musi obejmować wszystkie liczby z założenia, dlatego pracujemy na literach, nie na konkretach.

Dzielenie nierówności przez wyrażenie nieznanego znaku. Jeśli dzielisz obie strony przez \(a\), a nie wiesz, czy \(a>0\), możesz właśnie odwrócić znak nierówności i cały dowód jest błędny.

Start od tezy bez pilnowania równoważności. Możesz przekształcać tezę, ale tylko przekształceniami równoważnymi i z jasnym zapisem. Bezpieczniej jest przekształcać jedną stronę albo różnicę stron.

Brak wniosku na końcu. Rachunek bez zdania zamykającego, które odwołuje się do tezy, bywa uznany za niedokończony.

Nieczytelny zapis. W zadaniach otwartych [punkty dostajesz za udokumentowaną drogę](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), więc pisz tak, żeby egzaminator nadążał za twoim rozumowaniem.

## FAQ

### Czy zadania dowodowe można po prostu odpuścić?
Można zdać bez nich, ale to zwykle 4-5 punktów, czyli spora część progu 30 procent. Dowody o podzielności są tak schematyczne, że opanowanie jednego szablonu daje punkty niemal w każdym arkuszu.

### Czy sprawdzenie wzoru dla kilku liczb wystarczy za część punktów?
Nie. Weryfikacja na przykładach nie jest dowodem i nie daje punktów. Punktowany jest dopiero ogólny zapis, na przykład rozkład na czynniki obejmujący każdą liczbę z założenia.

### Od czego zacząć, jeśli nigdy nie zrobiłem żadnego dowodu?
Od podzielności. Naucz się reprezentacji liczb (parzysta to 2k, kolejne liczby to n i n+1), przerób dwa przykłady z tej strony, a potem samodzielnie rozwiąż trzy zadania z sekcji o podzielności.

### Ile punktów dostanę za niedokończony dowód?
Za istotny postęp, na przykład poprawny rozkład na czynniki albo trafne zwinięcie do kwadratu, dostaje się zwykle 1 punkt z 2. Dlatego zawsze warto zacząć.

### Czy do ćwiczenia dowodów muszę coś kupować?
Nie. Cała baza zadań dowodowych z rozwiązaniami jest darmowa. Pełne zestawienie kosztów różnych form nauki znajdziesz w tekście [ile kosztuje przygotowanie do matury z matematyki](/ile-kosztuje-przygotowanie-do-matury-z-matematyki).

## Podsumowanie - dowody to punkty do wzięcia

Zadania dowodowe wyglądają groźnie tylko z daleka. Z bliska to najbardziej powtarzalny typ zadań na maturze: podzielność przez wyłączanie czynnika i parzystość, nierówności przez sumę kwadratów, geometria przez Pitagorasa i znane twierdzenia. CKE zmienia liczby, schemat zostaje.

Plan na dziś: przeczytaj jeszcze raz przykład 1 i 2, a potem rozwiąż samodzielnie [zadanie z matury maj 2024](/task/matura-maj-2024-03) i [zadanie z czerwca 2025](/task/matura-czerwiec-2025-05), porównując swój zapis z rozwiązaniem. Dwa wieczory takiej pracy i polecenie wykaż przestanie być sygnałem do przewracania kartki, a stanie się najbardziej przewidywalnymi punktami w twoim arkuszu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-wyrazenia-algebraiczne-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami - baza wg działu
description: Baza zadań CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami krok po kroku: wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki, ułamki algebraiczne i wielomiany.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami - baza wg działu

Wyrażenia algebraiczne to jeden z tych działów, których na maturze podstawowej nie da się ominąć. Wzory skróconego mnożenia, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, upraszczanie ułamków algebraicznych i działania na wielomianach wracają w każdym arkuszu, zwykle jako łatwe zadania zamknięte za 1 punkt plus jedno zadanie otwarte za 2-4 punkty. To dochodowy dział: rachunki krótkie, schematów garść, a typy zadań powtarzają się jak w zegarku. W naszej bazie masz kilkadziesiąt zadań z wyrażeń algebraicznych z prawdziwych arkuszy CKE, od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze próbne i treningowe z lat 2010-2026, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają, i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE.

Jeśli szukasz najpierw uporządkowanej teorii, zacznij od przewodnika [wyrażenia algebraiczne na maturze](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia). Ta strona jest jego praktycznym uzupełnieniem: tu się liczy i rozwiązuje.

## Co z wyrażeń algebraicznych musisz umieć na maturę

Dział jest szeroki, ale na maturze podstawowej wraca ten sam zestaw umiejętności. Poniżej mapa tego, co realnie sprawdza CKE, z linkami do konkretnych zasobów.

| Podtemat | Co trzeba umieć | Gdzie poćwiczyć |
| --- | --- | --- |
| Wzory skróconego mnożenia | \((a\pm b)^2\), \(a^2-b^2\), sześciany | [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) |
| Wyłączanie wspólnego czynnika | Rozkład sumy na iloczyn | [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki) |
| Działania na wielomianach | Dodawanie, mnożenie, stopień iloczynu | [wyrażenia algebraiczne na maturze](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia) |
| Wyrażenia wymierne | Wspólny mianownik, upraszczanie ułamków | [równania wymierne](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura) |
| Dziedzina wyrażenia wymiernego | Mianownik różny od zera | [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura) |
| Pierwiastki wielomianu | Twierdzenie Bezouta, wzory Viete'a | [wzory Viete'a na maturze](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania) |
| Upraszczanie z pierwiastkami | Usuwanie niewymierności z mianownika | [usuwanie niewymierności](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac) |

Zwróć uwagę na dwie warstwy. Zadania zamknięte za 1 punkt (rozpoznanie kwadratu, wymnożenie nawiasów, stopień wielomianu) to szybkie punkty na początek arkusza. Zadania otwarte (upraszczanie ułamków algebraicznych, wyznaczanie parametru, dziedzina wyrażenia wymiernego) to zwykle 2-4 punkty i to one robią różnicę w wyniku.

## Ile wyrażeń algebraicznych jest na maturze

W arkuszu na poziomie podstawowym wyrażenia algebraiczne to zazwyczaj 2-4 zadania. Prawie zawsze pojawia się przynajmniej jedno łatwe zadanie zamknięte oparte na wzorach skróconego mnożenia oraz jedno zadanie z ułamkiem algebraicznym lub wielomianem. Razem to solidne 3-6 punktów, które da się zdobyć bez talentu, samą znajomością schematów.

To dużo, jeśli pamiętasz, że [do zdania matury potrzeba 30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki). Wyrażenia algebraiczne to też fundament pod inne działy: bez sprawnego przekształcania nie ruszysz [równań i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) ani [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania). Poniżej sześć przykładów pokazujących dokładnie te typy zadań.

## Przykład 1 - wyłączanie wspólnego czynnika

Zacznijmy od klasyka za 1 punkt. Zapisz wyrażenie \(5a^2-10ab+15a\) w postaci iloczynu.

Pierwszy ruch przy rozkładzie to zawsze pytanie: czy wszystkie składniki mają wspólny czynnik? Tutaj każdy dzieli się przez \(5a\), więc wyłączamy go przed nawias.

$$5a^2-10ab+15a = 5a\cdot a - 5a\cdot 2b + 5a\cdot 3 = 5a(a-2b+3)$$

Cała trudność to poprawnie wyłączyć \(5a\), a nie samo \(5\) czy samo \(a\), i nie pomylić się przy ostatnim składniku, gdzie po podzieleniu \(15a\) przez \(5a\) zostaje \(3\), a nie \(15\). Ten typ pojawił się w zadaniu [matura maj 2011](/task/matura-maj-2011-03). Techniki rozkładu masz zebrane w [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki).

## Przykład 2 - rozpoznanie kwadratu sumy lub różnicy

Kolejny pewniak za 1 punkt. Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \(4x^2-12x+9\) jest równe kwadratowi którego dwumianu?

Warto nauczyć się rozpoznawać wzór \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) z drugiej strony. Sprawdzamy: \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\), a środkowy wyraz powinien wynosić \(2\cdot 2x\cdot 3 = 12x\) ze znakiem minus. Zgadza się, więc:

$$4x^2-12x+9 = (2x-3)^2$$

Jeśli nie dostrzegasz wzoru od razu, zawsze możesz sprawdzić przez wymnożenie: \((2x-3)(2x-3) = 4x^2 - 6x - 6x + 9 = 4x^2 - 12x + 9\). Ten typ wraca rok w rok, na przykład w zadaniu [matura maj 2013](/task/matura-maj-2013-07). Cały komplet wzorów masz w [wzory skróconego mnożenia na maturze](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

## Przykład 3 - różnica kwadratów w liczbach

Teraz zadanie, które wygląda strasznie, a jest banalne, jeśli zauważysz wzór. Oblicz \(50001^2 - 49999^2\).

Nie licz tych kwadratów na piechotę. To różnica kwadratów, więc stosujemy \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\):

$$50001^2 - 49999^2 = (50001+49999)\cdot(50001-49999) = 100\,000\cdot 2 = 200\,000$$

Klucz to rozpoznać strukturę \(a^2-b^2\) i zamienić trudne potęgowanie na łatwe mnożenie. Ten sam trik sprawdza zadanie [matura czerwiec 2016](/task/matura-czerwiec-2016-04).

## Przykład 4 - różnica kwadratów jako narzędzie

Ten sam wzór, ale użyty w drugą stronę, w zadaniu za 1 punkt. Dla pewnych \(a\) i \(b\) zachodzą równości \(a^2 - b^2 = 200\) oraz \(a + b = 8\). Ile wynosi \(a - b\)?

Zamiast szukać samych \(a\) i \(b\), zauważ, że lewą stronę pierwszej równości da się rozłożyć wzorem na różnicę kwadratów:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

Podstawiamy to, co wiemy, czyli \(a^2-b^2 = 200\) i \(a+b = 8\):

$$200 = (a-b)\cdot 8 \quad\Rightarrow\quad a-b = \frac{200}{8} = 25$$

Cała sztuka to dostrzec, że nie trzeba wyznaczać \(a\) i \(b\) osobno, bo szukane wyrażenie jest jednym z czynników rozkładu. Ten typ pojawił się w zadaniu [matura sierpień 2011](/task/matura-sierpie-2011-07).

## Przykład 5 - upraszczanie wyrażenia z nawiasami

Zadanie za 1 punkt, w którym gubi się rachunkowo więcej osób, niż myślisz. Uprość wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\).

Rozbijamy oba składniki wzorami skróconego mnożenia. Pierwszy to kwadrat różnicy, drugi to różnica kwadratów:

$$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$$

$$(2x-3)(2x+3) = 4x^2 - 9$$

Teraz odejmujemy, uważając na znak przy całym drugim nawiasie:

$$9x^2 - 12x + 4 - (4x^2 - 9) = 9x^2 - 12x + 4 - 4x^2 + 9 = 5x^2 - 12x + 13$$

Najczęstszy błąd to zapomnieć o zmianie znaku przy \(-9\) i zapisać \(-9\) zamiast \(+9\) po opuszczeniu nawiasu. Ten typ pojawił się w zadaniu [matura czerwiec 2019](/task/matura-czerwiec-2019-11).

## Przykład 6 - wyrażenie wymierne do postaci ilorazu wielomianów

Na koniec zadanie otwarte za 2 punkty, czyli ten trudniejszy, dochodowy typ. Wyrażenie \(\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\) zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

Metoda jest jak przy dodawaniu zwykłych ułamków: sprowadzamy do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem jest iloczyn \((x-3)(x+1)\).

$$\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1} = \frac{3(x+1)}{(x-3)(x+1)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+1)}$$

Teraz liczymy licznik, uważając na znak przed drugim ułamkiem:

$$3(x+1) - x(x-3) = 3x + 3 - x^2 + 3x = -x^2 + 6x + 3$$

Zapisujemy wynik:

$$\frac{-x^2 + 6x + 3}{(x-3)(x+1)} \quad \text{dla } x\ne 3 \text{ oraz } x\ne -1$$

Zwróć uwagę na zastrzeżenie dziedziny na końcu: mianownik nie może się zerować, więc \(x\ne 3\) i \(x\ne -1\). Bez tego zastrzeżenia klucz CKE potrafi obciąć punkt. Ten typ przećwiczysz w zadaniu [CKE PP treningowe](/task/cke-pp-treningowe-60), a jak wyznaczać dziedzinę wyrażeń wymiernych, pokazuje [jak rozwiązać równanie wymierne](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura).

## Najczęstsze pułapki w wyrażeniach algebraicznych

Zebrałem błędy, które najczęściej kosztują punkty w tym dziale. Sprawdź, czy któryś nie jest twój.

Błąd znaku przy opuszczaniu nawiasu. Odejmując cały nawias, zmieniasz znak każdego składnika w środku. \(-(4x^2-9)\) to \(-4x^2+9\), a nie \(-4x^2-9\).

Mylenie kwadratu różnicy z różnicą kwadratów. \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), natomiast \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\). To dwa różne wzory i mylenie ich to klasyk.

Zapominanie o środkowym wyrazie. \((a+b)^2\) to nie \(a^2+b^2\), tylko \(a^2 + 2ab + b^2\). Podwojony iloczyn to najczęściej gubiony składnik.

Niepełne wyłączanie czynnika. Z \(5a^2-10ab+15a\) wyłączasz \(5a\), a nie samo \(5\). Sprawdź, czy po wyłączeniu każdy składnik w nawiasie jest już bez wspólnego dzielnika.

Pominięcie dziedziny w wyrażeniach wymiernych. Przy ułamkach algebraicznych zawsze dopisz, dla jakich \(x\) mianownik jest różny od zera. To nie ozdobnik, tylko warunek na punkt.

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Sama teoria nie da punktów. Trzeba przerobić kilkanaście zadań, aż wzory wejdą w nawyk. Oto sensowna kolejność.

Zacznij od zadań zamkniętych za 1 punkt: rozpoznawanie kwadratu, wymnażanie nawiasów, różnica kwadratów. To szybkie pewniaki. Wejdź na [zadania z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) i rozwiąż serię samodzielnie, a wynik sprawdź od razu.

Potem weź zadania otwarte z ułamkami algebraicznymi i wielomianami. Daj sobie po 10 minut na każde, dopiero potem porównaj z rozwiązaniem. Jeśli utknąłeś, zajrzyj do [poradnika o rozkładzie na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki), a nie od razu do gotowej odpowiedzi.

Na koniec sprawdź się na chłodno. Włącz [tryb losowy](/random), który miesza działy jak prawdziwy arkusz, albo rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress).

Kontrolne przekształcenie, którego nie jesteś pewien, wrzuć do [solvera](/solve), a wzory skróconego mnożenia i inne przydatne tożsamości znajdziesz w dziale [wzory](/wzory). Jeśli wracasz do matury po przerwie, przeczytaj też [maturę z matematyki po latach](/matura-z-matematyki-po-latach-dla-doroslych-jak-zdac), gdzie ten dział jest jednym z pierwszych na liście priorytetów.

## FAQ

### Czy wyrażenia algebraiczne są trudne na maturze?
Nie. To jeden z bardziej schematycznych działów. Wzory skróconego mnożenia i wyłączanie wspólnego czynnika załatwiają większość zadań zamkniętych, a ułamki algebraiczne rozwiązujesz zawsze tak samo: wspólny mianownik i uproszczenie.

### Ile zadań z wyrażeń algebraicznych jest na maturze podstawowej?
Zazwyczaj 2-4 zadania, najczęściej jedno lub dwa zamknięte za 1 punkt i jedno otwarte z ułamkiem algebraicznym lub wielomianem. Razem to solidne 3-6 punktów.

### Jakie wzory skróconego mnożenia trzeba znać?
Przede wszystkim \((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) oraz \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\). Pełny zestaw z przykładami masz w [wzory skróconego mnożenia na maturze](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

### Jak uprościć wyrażenie wymierne?
Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika, wykonaj działania w liczniku, skróć, co się da, i dopisz dziedzinę, czyli warunek, że mianownik jest różny od zera. Przykład masz w przykładzie 6 wyżej.

### Gdzie znajdę więcej zadań z wyrażeń algebraicznych z rozwiązaniami?
Wszystkie zebrane są w dziale [wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne), a teorię uporządkuje przewodnik [wyrażenia algebraiczne na maturze](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia).

## Podsumowanie

Wyrażenia algebraiczne to dział, w którym opłaca się usiąść wcześnie, bo daje pewne punkty przy minimalnym nakładzie i jest fundamentem pod resztę materiału. Naucz się sześciu typów z tej strony: wyłączanie wspólnego czynnika, rozpoznawanie kwadratu, różnica kwadratów w obie strony, upraszczanie wyrażeń z nawiasami i sprowadzanie ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika. To pokrywa praktycznie wszystko, co CKE sprawdza w tym dziale na poziomie podstawowym.

Plan na dziś: rozwiąż pięć [zadań z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) samodzielnie, a wynik sprawdź w rozwiązaniach krok po kroku. Jeśli potrzebujesz najpierw teorii, zacznij od [przewodnika po dziale](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia), a wzory dopracuj w [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-statystyka-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE ze statystyki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE ze statystyki z rozwiązaniami krok po kroku: średnia, mediana, dominanta, odchylenie standardowe i sześć przykładów z pułapkami.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE ze statystyki z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Statystyka to jeden z tych działów, które na maturze podstawowej oddaje się za darmo albo zbiera bez wysiłku, w zależności od tego, czy ktoś usiadł do niego wcześniej. Rachunki są proste, wzorów jest garść, a zadania powtarzają się rok w rok. W naszej bazie znajdziesz ponad 60 zadań ze statystyki z prawdziwych arkuszy CKE, od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i próbne. Każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE.

## Ile statystyki jest na maturze

Statystyka pojawia się na praktycznie każdym arkuszu podstawowym, zwykle jako jedno lub dwa zadania zamknięte za 1 punkt, a czasem jedno zadanie otwarte za 2-4 punkty przy odczycie danych z diagramu. To realnie od 2 do 6 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) to są punkty, których po prostu nie wolno oddawać, bo zadania są przewidywalne.

Dobra wiadomość: ten dział prawie się nie zmienia. Zadania sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów: obliczanie średniej (często z niewiadomą), wyznaczanie mediany, odczyt dominanty i rozstępu, liczenie odchylenia standardowego oraz interpretacja danych z tabeli lub diagramu. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, rozwiążesz prawie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię znajdziesz w przewodniku [statystyka na maturze](/topics/statystyka) oraz w tekstach [średnia, mediana i dominanta](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania) i [odchylenie standardowe i wariancja](/jak-obliczyc-odchylenie-standardowe-wariancje-matura).

## Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet miar statystycznych. Nie wszystkie są w [karcie wzorów CKE](/formulas), więc kilka warto mieć w głowie.

Średnia arytmetyczna \(n\) liczb to ich suma podzielona przez ich liczbę:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$

Średnia ważona, gdy dane mają wagi \(w_1, w_2, \ldots, w_n\) (na przykład oceny liczone różną liczbą razy):

$$\bar{x}_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}$$

Mediana to wartość środkowa uporządkowanego zestawu. Dla nieparzystej liczby danych to po prostu środkowy wyraz, a dla parzystej średnia dwóch środkowych wyrazów.

Dominanta (moda) to wartość, która występuje najczęściej. Zestaw może mieć jedną dominantę, kilka albo żadnej.

Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością:

$$R=x_{max}-x_{min}$$

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej:

$$\sigma^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2\right]$$

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$$

Każdy z tych wątków ma u nas osobny poradnik z zadaniami: [jak obliczyć medianę i dominantę](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania), [jak obliczyć średnią ważoną](/jak-obliczyc-srednia-wazona-wzor-zadania-matura) oraz [statystyka na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe).

## Baza zadań CKE według typu

Zadania ze statystyki dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-6 punktów, pełne rozwiązanie z odczytem danych). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

| Typ zadania | Forma | Co sprawdza | Gdzie ćwiczyć |
| --- | --- | --- | --- |
| Średnia z niewiadomą | zamknięte i otwarte | wzór na średnią, proste równanie | [/random](/random) |
| Średnia ważona | zamknięte | wagi danych, na przykład ocen | [/solve](/solve) |
| Mediana zestawu | zamknięte | uporządkowanie danych i wybór środka | [/topics/statystyka](/topics/statystyka) |
| Dominanta i rozstęp | zamknięte | odczyt najczęstszej i skrajnych wartości | [/random](/random) |
| Odchylenie standardowe | otwarte | pełny rachunek wariancji i pierwiastka | [/solve](/solve) |
| Odczyt z diagramu lub tabeli | zamknięte i otwarte | interpretacja danych i liczebności | [/exams](/exams) |

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy [CKE 2015-2025](/exams) oraz z arkuszy próbnych i diagnostycznych. Kilka konkretnych, które warto rozwiązać: [zadanie z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-37) z odczytem diagramu, [zadanie z matury maj 2023](/task/matura-maj-2023-32) z medianą oraz duże [zadanie otwarte CKE 2025](/task/cke-2025-pp-78) z rozkładem zarobków. Wszystkie rozwiążesz w [trybie nauki](/random), gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

## Jak czytać diagram i tabelę liczebności

Sporo zadań ze statystyki nie wymaga trudnych rachunków, tylko poprawnego odczytu danych, i właśnie na tym odczycie najczęściej traci się punkty. W tabeli liczebności każda wartość ma przypisaną liczbę wystąpień, więc zanim policzysz średnią, wypisz oddzielnie wartości i ich liczebności. Przy diagramie słupkowym wysokość słupka to liczebność, a na diagramie kołowym cały okrąg odpowiada stu procentom wszystkich danych. Zawsze najpierw przełóż obrazek na konkretne liczby, dopiero potem wrzucaj je do wzoru. Ta jedna zasada eliminuje większość błędów w zadaniach otwartych z tego działu, w których dane podane są w formie wykresu.

## Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć zadań ze statystyki w stylu CKE, każde rozwiązane od początku do końca. Ten sam zestaw schematów znajdziesz w zadaniach z bazy.

### Zadanie 1

Średnia arytmetyczna sześciu liczb \(3, 1, 1, 0, x, 2\) jest równa \(2\). Wyznacz \(x\).

Zapisujemy definicję średniej i podstawiamy dane:

$$\frac{3+1+1+0+x+2}{6}=2$$

Sumujemy znane składniki: \(3+1+1+0+2=7\), więc licznik to \(7+x\). Mnożymy obie strony przez \(6\):

$$7+x=12$$

Stąd \(x=5\). To najczęstszy typ zadania zamkniętego ze statystyki: średnia jest dana, brakuje jednej liczby.

### Zadanie 2

Uczeń dostał oceny: \(3\) z wagą \(1\), \(4\) z wagą \(2\), \(5\) z wagą \(3\) oraz \(2\) z wagą \(1\). Oblicz jego średnią ważoną.

Korzystamy ze wzoru na średnią ważoną. W liczniku suma iloczynów ocena razy waga, w mianowniku suma wag:

$$\bar{x}_w=\frac{3\cdot 1+4\cdot 2+5\cdot 3+2\cdot 1}{1+2+3+1}=\frac{3+8+15+2}{7}=\frac{28}{7}=4$$

Średnia ważona wynosi \(4\). Zwróć uwagę, że gdyby liczyć zwykłą średnią z ocen \(3, 4, 5, 2\), wyszłoby \(3{,}5\). Wagi zmieniają wynik i o to w tym typie zadania chodzi.

### Zadanie 3

Wyznacz medianę zestawu siedmiu liczb: \(2, 4, 4, 5, 7, 9, 12\), a następnie mediany zestawu sześciu liczb: \(2, 4, 4, 5, 7, 9\).

Dane są już uporządkowane rosnąco. Dla siedmiu liczb (nieparzysta liczba danych) mediana to wyraz środkowy, czyli czwarty:

$$Me=5$$

Dla sześciu liczb (parzysta liczba danych) mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów, czyli trzeciego i czwartego:

$$Me=\frac{4+5}{2}=4{,}5$$

Najczęstszy błąd to szukanie mediany w danych nieuporządkowanych. Zawsze najpierw ustaw liczby rosnąco.

### Zadanie 4

Dla zestawu \(3, 5, 5, 5, 7, 8, 10\) wyznacz dominantę i rozstęp.

Dominanta to wartość występująca najczęściej. Liczba \(5\) pojawia się trzy razy, częściej niż każda inna, więc:

$$D=5$$

Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością:

$$R=10-3=7$$

Dominanta i rozstęp to najszybsze punkty w całym dziale, bo nie wymagają żadnych obliczeń, tylko uważnego odczytu.

### Zadanie 5

Oblicz odchylenie standardowe zestawu liczb: \(2, 4, 6, 8, 10\).

Najpierw średnia:

$$\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$$

Teraz kwadraty odchyleń od średniej: \((2-6)^2=16\), \((4-6)^2=4\), \((6-6)^2=0\), \((8-6)^2=4\), \((10-6)^2=16\). Ich suma to \(40\). Wariancja to średnia tych kwadratów:

$$\sigma^2=\frac{40}{5}=8$$

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$$\sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$$

To jedyny typ zadania ze statystyki, który realnie wymaga dłuższego rachunku, dlatego pojawia się głównie w zadaniach otwartych.

### Zadanie 6

W tabeli zebrano oceny klasy: ocenę \(2\) dostało \(3\) uczniów, ocenę \(3\) dostało \(5\) uczniów, ocenę \(4\) dostało \(8\) uczniów, a ocenę \(5\) dostało \(4\) uczniów. Oblicz średnią ocen.

Liczba wszystkich ocen to suma liczebności:

$$n=3+5+8+4=20$$

Suma wszystkich ocen to suma iloczynów ocena razy liczebność:

$$2\cdot 3+3\cdot 5+4\cdot 8+5\cdot 4=6+15+32+20=73$$

Średnia to suma podzielona przez liczbę ocen:

$$\bar{x}=\frac{73}{20}=3{,}65$$

Odczyt danych z tabeli liczebności to najczęstsza forma zadania otwartego z tego działu. Ćwicz go na prawdziwych arkuszach w [trybie egzaminu](/exams).

## Najczęstsze pułapki

Szukanie [mediany w danych](/jak-obliczyc-mediane-tabela-liczebnosci-mediana-z-niewiadoma-matura#typowe-pulapki) nieuporządkowanych. Mediana ma sens dopiero po ustawieniu liczb rosnąco. To błąd numer jeden w całym dziale.

Mylenie średniej z medianą. Średnia uwzględnia wartości skrajne, mediana nie. W zestawie \(1, 2, 3, 4, 100\) średnia to \(22\), a mediana \(3\). Jeśli zadanie pyta o wartość typową, zwykle chodzi o medianę.

Zapominanie o wagach. W średniej ważonej nie dzielisz przez liczbę danych, tylko przez sumę wag. Podzielenie przez liczbę ocen zamiast przez sumę wag to klasyczna strata punktu.

Błędny mianownik odchylenia. W maturalnej definicji wariancji dzielisz przez \(n\), czyli liczbę wszystkich danych, a nie przez \(n-1\). Wersja z \(n-1\) to statystyka akademicka, nie maturalna.

Odczyt z diagramu na oko. Przy diagramach słupkowych i kołowych zawsze wypisz dane liczbowo, zanim zaczniesz liczyć. Zgadywanie wysokości słupka kosztuje punkty.

## FAQ

### Czy statystyka jest trudna na maturze podstawowej?
Nie, to jeden z najłatwiejszych działów. Rachunki są proste, a zadania powtarzalne. Cała trudność to uważne czytanie danych i pamiętanie, że medianę liczy się z danych uporządkowanych.

### Ile zadań ze statystyki jest na maturze?
Zwykle jedno lub dwa zadania zamknięte, a czasem jedno otwarte przy odczycie z diagramu. Łącznie od 2 do 6 punktów na arkuszu.

### Czy wzory na odchylenie standardowe są w tablicach?
Wzory na wariancję i odchylenie standardowe znajdziesz w [karcie wzorów CKE](/formulas). Definicji średniej, mediany i dominanty na karcie nie ma, więc trzeba je znać z głowy.

### Czym różni się średnia od mediany?
Średnia to suma podzielona przez liczbę danych i reaguje na wartości skrajne. Mediana to środkowa wartość uporządkowanego zestawu i wartości skrajne jej nie ruszają. Więcej w tekście [średnia, mediana i dominanta](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania).

### Czy zadania są za darmo?
Duża część bazy, w tym zadania zamknięte i przewodniki tematyczne, jest dostępna bez opłat. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje [abonament Premium](/payment/checkout).

## Podsumowanie: co musisz umieć

Definicje pięciu miar: średniej (zwykłej i ważonej), mediany, dominanty, rozstępu i odchylenia standardowego. Odruch porządkowania danych przed liczeniem mediany. Umiejętność odczytu liczebności z tabeli i diagramu. Pamięć o tym, że w maturalnej wariancji dzielisz przez \(n\).

Masz wzory, tabelę typów i sześć rozwiązanych przykładów. Teraz brakuje tylko treningu: wejdź na [zadania ze statystyki](/topics/statystyka) i rozwiąż pierwsze z nich jeszcze dziś. A jeśli uczysz się głównie z filmów, przeczytaj wcześniej [nauka matematyki z YouTube do matury - czy same filmy wystarczą](/nauka-matematyki-z-youtube-do-matury-czy-wystarczy), bo bez samodzielnego rozwiązywania nawet najlepszy zbiór zadań nie zamieni się w punkty.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami - baza wg działu
description: Baza zadań CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami krok po kroku: wartość bezwzględna, potęgi, przedziały, ułamki okresowe i dowody podzielności.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami - baza wg działu

Liczby rzeczywiste to dział, który na maturze podstawowej wraca co roku i prawie zawsze daje łatwe punkty na start arkusza, plus jedno zadanie otwarte na dowód, które potrafi zaważyć na wyniku. Rachunki są krótkie, wzorów garść, a typy zadań powtarzają się jak w zegarku. W naszej bazie znajdziesz kilkadziesiąt zadań z liczb rzeczywistych z prawdziwych arkuszy CKE, od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i próbne z lat 2011-2026. Każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają, i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE.

Jeśli szukasz najpierw teorii i uporządkowania działu, zacznij od przewodnika [liczby rzeczywiste na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna). Ta strona jest jego praktycznym uzupełnieniem: tu rozwiązujesz.

## Co z liczb rzeczywistych musisz umieć na maturę

Dział jest szeroki, ale na maturze podstawowej wraca zawsze ten sam zestaw umiejętności. Poniżej mapa tego, co realnie sprawdza CKE, z linkami do konkretnych zasobów.

| Podtemat | Co trzeba umieć | Gdzie poćwiczyć |
| --- | --- | --- |
| Wartość bezwzględna | Obliczyć \(|a|\), rozwiązać proste równania i nierówności z modułem | [wartość bezwzględna - równania i nierówności](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci) |
| Przedziały liczbowe | Suma, część wspólna i różnica przedziałów, zapis zbioru | [działania na przedziałach](/dzialania-na-przedzialach-liczbowych-suma-czesc-wspolna-roznica) |
| Potęgi i pierwiastki | Działania na potęgach, wykładnik wymierny i ujemny | [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) |
| Ułamki i procenty | Zamiana ułamka okresowego na zwykły, obliczenia procentowe | [procenty na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) |
| Przybliżenia | Błąd bezwzględny i względny, zaokrąglanie, rząd wielkości | [tryb losowy](/random) |
| Dowody podzielności | Rozkład na czynniki, reszty z dzielenia, dowód "dla każdego n" | [dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac) |
| Dowody nierówności | Przekształcenie do kwadratu, \((a-b)^2 \ge 0\) | [dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac) |

Zwróć uwagę na dwie osobne warstwy. Zadania zamknięte za 1 punkt (wartość bezwzględna, potęgi, przedziały) to szybkie punkty na początek arkusza. Zadania otwarte na dowód (podzielność, nierówności) to zwykle 2 punkty i to one odróżniają dobry wynik od przeciętnego, bo wielu zdających je odpuszcza.

## Ile liczb rzeczywistych jest na maturze

W arkuszu maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym liczby rzeczywiste to zazwyczaj 2-4 zadania. Prawie zawsze pojawia się przynajmniej jedno łatwe zadanie zamknięte (na przykład wartość bezwzględna albo działanie na potęgach liczbowych) oraz jedno zadanie otwarte na wykazanie, najczęściej z podzielności lub nierówności. Razem to solidne 3-6 punktów, które da się zdobyć bez talentu, samą regularnością.

To dużo, jeśli pamiętasz, że [do zdania matury potrzeba 30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki). Liczby rzeczywiste to jeden z najbardziej opłacalnych działów: mało teorii, dużo pewnych punktów. Poniżej sześć przykładów pokazujących dokładnie te typy zadań.

## Przykład 1 - wartość bezwzględna

Zacznijmy od klasyka za 1 punkt. Oblicz wartość wyrażenia \(|5-2|+|1-6|\).

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera, więc zawsze wychodzi liczba nieujemna. Liczymy najpierw to, co w środku, potem bierzemy moduł.

$$|5-2|+|1-6| = |3| + |-5| = 3 + 5 = 8$$

Cała trudność to pamiętać, że \(|-5| = 5\), a nie \(-5\). Najczęstszy błąd to opuszczenie modułu i zapisanie \(3 + (-5) = -2\). Ten sam schemat ćwiczysz w zadaniu [matura sierpień 2011](/task/matura-sierpie-2011-08). Więcej o module przeczytasz w poradniku [wartość bezwzględna - równania i nierówności](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci).

## Przykład 2 - działania na potęgach liczbowych

Kolejny pewniak za 1 punkt. Oblicz \(\dfrac{9^5 \cdot 5^9}{45^5}\).

Trik polega na rozłożeniu podstawy w mianowniku na czynniki, które już masz w liczniku. Zauważ, że \(45 = 9 \cdot 5\), więc:

$$45^5 = (9 \cdot 5)^5 = 9^5 \cdot 5^5$$

Podstawiamy i skracamy:

$$\frac{9^5 \cdot 5^9}{9^5 \cdot 5^5} = \frac{5^9}{5^5} = 5^{9-5} = 5^4 = 625$$

Klucz to nie liczyć \(9^5\) ani \(45^5\) na piechotę, tylko rozłożyć podstawy na czynniki i skrócić. Ten typ wraca rok w rok, na przykład w zadaniu [matura sierpień 2015](/task/matura-sierpie-2015-03). Cały dział działań na potęgach masz w [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

## Przykład 3 - działania na przedziałach

Teraz przedziały liczbowe. Dane są \(A = \langle -2, 3)\) oraz \(B = (1, 5\rangle\). Wyznacz \(A \cup B\), \(A \cap B\) oraz \(A \setminus B\).

Najlepiej narysować oba przedziały na jednej osi liczbowej i odczytać wynik. Pamiętaj o nawiasach: kwadratowy \(\langle\) oznacza, że koniec należy do zbioru, okrągły \((\) że nie należy.

Suma to wszystko, co pokrywa przynajmniej jeden przedział:

$$A \cup B = \langle -2, 5\rangle$$

Część wspólna to fragment wspólny obu przedziałów:

$$A \cap B = (1, 3)$$

Różnica \(A \setminus B\) to to, co jest w \(A\), ale nie w \(B\), czyli z \(A\) usuwamy przedział \((1, 5\rangle\):

$$A \setminus B = \langle -2, 1\rangle$$

Uwaga na końce: liczba \(1\) zostaje w różnicy, bo należy do \(A\) i nie należy do otwartego od dołu \(B\). Ten typ znajdziesz w zadaniu [matura próbna Operon listopad 2017](/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-16), a technikę krok po kroku w poradniku [działania na przedziałach liczbowych](/dzialania-na-przedzialach-liczbowych-suma-czesc-wspolna-roznica).

## Przykład 4 - ułamek okresowy na zwykły

Zadanie za 1 punkt, które zaskakuje, jeśli nie znasz metody. Zapisz liczbę \(0{,}(70)\) w postaci ułamka zwykłego.

Zapis \(0{,}(70)\) oznacza \(0{,}70707070\ldots\) z powtarzającym się okresem \(70\). Dla ułamka, gdzie okres zaczyna się od razu po przecinku, jest prosta reguła: w liczniku wpisujesz okres, a w mianowniku tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres. Okres \(70\) ma dwie cyfry, więc:

$$0{,}(70) = \frac{70}{99}$$

Ułamka \(\frac{70}{99}\) nie da się skrócić, bo \(99 = 9 \cdot 11\), a \(70\) nie dzieli się ani przez \(3\), ani przez \(11\). Ten sam schemat sprawdza zadanie [matura próbna kwiecień 2015](/task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-07).

## Przykład 5 - dowód podzielności

Teraz zadanie otwarte za 2 punkty, typ, który wielu zdających niepotrzebnie odpuszcza. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^2 + 21n\) jest podzielna przez \(7\).

Metoda na takie dowody jest jedna: wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i pokazać, że dzielnik zostaje na wierzchu. Zapisujemy:

$$7n^2 + 21n = 7(n^2 + 3n) = 7n(n+3)$$

Wyrażenie \(7n(n+3)\) jest iloczynem, w którym jednym z czynników jest \(7\). Iloczyn, w którym występuje czynnik \(7\), jest podzielny przez \(7\) dla każdej liczby całkowitej \(n\), co należało wykazać.

To pełne rozwiązanie na 2 punkty. Klucz to jasno zapisać wniosek "iloczyn z czynnikiem 7 jest podzielny przez 7", bo za sam rozkład bez komentarza klucz CKE potrafi obciąć punkt. Ten dokładny typ pojawił się w zadaniu [matura maj 2026](/task/matura-maj-2026-07). Jak pisać takie dowody, żeby zgarnąć komplet, opisuje poradnik [dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Przykład 6 - dowód nierówności

Ostatni typ, też za 2 punkty. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) zachodzi nierówność \(a + \dfrac{1}{a} \ge 2\).

Sztuczka na dowody nierówności prawie zawsze polega na sprowadzeniu wszystkiego do kwadratu, bo kwadrat jest nieujemny. Zaczynamy od pewnika \((a-1)^2 \ge 0\), który jest prawdziwy dla każdego \(a\):

$$(a-1)^2 \ge 0$$

Rozwijamy kwadrat:

$$a^2 - 2a + 1 \ge 0$$

Przenosimy \(2a\) na drugą stronę:

$$a^2 + 1 \ge 2a$$

Ponieważ \(a\) jest dodatnie, możemy podzielić obie strony przez \(a\) bez zmiany znaku nierówności:

$$a + \frac{1}{a} \ge 2$$

To kończy dowód. Cały trik to zacząć od dobrego kwadratu i dojść do tezy. Podobny typ znajdziesz w zadaniu [matura sierpień 2013](/task/matura-sierpie-2013-30).

## Najczęstsze pułapki w zadaniach z liczb rzeczywistych

Zebrałem błędy, które najczęściej kosztują punkty w tym dziale. Sprawdź, czy któryś nie jest twój.

Opuszczanie wartości bezwzględnej. \(|-5|\) to \(5\), nie \(-5\). Zawsze najpierw policz to, co w środku, potem weź moduł.

Mylenie nawiasów w przedziałach. Nawias okrągły wyklucza koniec, kwadratowy go włącza. Przy różnicy i części wspólnej to właśnie końce decydują o poprawnej odpowiedzi.

Liczenie potęg na piechotę. Nie licz \(9^5\), tylko rozkładaj podstawy na czynniki i skracaj. Oszczędzasz czas i unikasz pomyłek rachunkowych.

Urwany dowód. W zadaniach na wykazanie sam rozkład to za mało. Musisz zapisać wniosek słowami, na przykład "iloczyn z czynnikiem 7 jest podzielny przez 7". Bez tego klucz CKE często daje 1 punkt zamiast 2.

Skracanie nieskracalnego ułamka. \(\frac{70}{99}\) już jest w najprostszej postaci. Sprawdź rozkład mianownika, zanim zaczniesz skracać na siłę.

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Sama teoria nie da punktów. Potrzebujesz przerobić kilkanaście zadań, aż metody wejdą w nawyk. Oto sensowna kolejność.

Zacznij od zadań zamkniętych za 1 punkt: wartość bezwzględna, potęgi, przedziały. To szybkie pewniaki, które budują poczucie, że dział masz opanowany. Wejdź na [zadania z liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) i rozwiąż serię samodzielnie, a wynik sprawdź od razu.

Potem weź zadania otwarte na dowód. Daj sobie po 10 minut na każde, dopiero potem porównaj z rozwiązaniem. Jeśli utknąłeś, zajrzyj do [poradnika o dowodach](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac), a nie od razu do gotowej odpowiedzi.

Na koniec sprawdź się na chłodno. Włącz [tryb losowy](/random), który miesza działy jak prawdziwy arkusz, albo rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress).

Jedno wyrażenie do policzenia kontrolnie wrzuć do [solvera](/solve). A jeśli chcesz zrozumieć, dlaczego dana metoda działa, poproś o wyjaśnienie AI, ale wynik zawsze sprawdź, o czym więcej w tekście [czy ChatGPT rozwiąże zadanie z matury z matematyki](/czy-chatgpt-rozwiaze-zadanie-maturalne-z-matematyki).

## FAQ

### Czy liczby rzeczywiste są trudne na maturze?
To jeden z łatwiejszych działów. Zadania zamknięte są krótkie i schematyczne, a dowody idą jednym z dwóch sprawdzonych sposobów: rozkład na czynniki przy podzielności i kwadrat przy nierówności. Wystarczy przećwiczyć oba.

### Ile zadań z liczb rzeczywistych jest na maturze podstawowej?
Zazwyczaj 2-4 zadania, najczęściej jedno lub dwa zamknięte za 1 punkt i jedno otwarte na wykazanie za 2 punkty. Razem to solidne 3-6 punktów.

### Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?
Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, wpisz okres w licznik, a w mianownik tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres. Na przykład \(0{,}(70) = \frac{70}{99}\).

### Jak udowodnić, że liczba jest podzielna przez daną liczbę?
Rozłóż wyrażenie na czynniki tak, żeby ten dzielnik został jako osobny czynnik, i zapisz wniosek słowami. Przykład masz wyżej: \(7n^2 + 21n = 7n(n+3)\).

### Gdzie znajdę więcej zadań z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami?
Wszystkie zebrane są w dziale [liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste), a teorię uporządkuje przewodnik [liczby rzeczywiste na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna).

## Podsumowanie

Liczby rzeczywiste to dział, w którym opłaca się usiąść wcześnie, bo daje pewne punkty przy minimalnym nakładzie. Naucz się sześciu typów z tej strony: wartość bezwzględna, potęgi liczbowe, działania na przedziałach, ułamek okresowy, dowód podzielności i dowód nierówności. To pokrywa praktycznie wszystko, co CKE sprawdza w tym dziale na poziomie podstawowym.

Plan na dziś: rozwiąż pięć [zadań z liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) samodzielnie, a wynik sprawdź w rozwiązaniach krok po kroku. Jeśli potrzebujesz najpierw teorii, zacznij od [przewodnika po dziale](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna), a metody dowodzenia dopracuj w [poradniku o dowodach](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania
title: Wzory skróconego mnożenia na maturze - kiedy i jak je stosować (kompletny przewodnik)
description: Wszystkie wzory skróconego mnożenia na maturze: kwadrat sumy i różnicy, różnica kwadratów, sześciany. Kiedy użyć którego wzoru. Zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Wzory skróconego mnożenia na maturze - kiedy i jak je stosować (kompletny przewodnik)

## Wzory skróconego mnożenia - dlaczego są tak ważne na maturze

Wzory skróconego mnożenia to jedno z najczęściej wyszukiwanych zagadnień przez maturzystów - i słusznie. Na maturze z matematyki pojawiają się **wszędzie**: w upraszczaniu [wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne), w rozwiązywaniu [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), w zadaniach z [funkcją kwadratową](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), a nawet w [potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

Problem polega na tym, że wielu uczniów zna same wzory, ale nie potrafi **rozpoznać momentu, w którym trzeba je zastosować**. A to właśnie jest klucz do punktów na maturze.

W tym przewodniku znajdziesz kompletną listę wzorów, ich zastosowania w obie strony (rozkładanie i zwijanie), wskazówki, jak rozpoznać okazję do użycia wzoru, oraz konkretne zadania maturalne z pełnymi rozwiązaniami.

## Kompletna lista wzorów skróconego mnożenia

### Wzory drugiego stopnia (najważniejsze na maturze)

Te trzy wzory stanowią absolutny fundament - pojawiają się na każdym arkuszu CKE.

**1. Kwadrat sumy:**

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

**2. Kwadrat różnicy:**

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

**3. Różnica kwadratów:**

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

### Wzory trzeciego stopnia (rzadsze, ale pojawiają się)

Na maturze podstawowej zdarzają się rzadko, ale na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy) to standard. Warto je znać, bo pozwalają szybko rozwiązać zadania, które bez nich wymagałyby długich obliczeń.

**4. Sześcian sumy:**

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

**5. Sześcian różnicy:**

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

**6. Suma sześcianów:**

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

**7. Różnica sześcianów:**

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

### Jak zapamiętać wzory na sześciany

Wzory na sumę i różnicę sześcianów łatwo pomylić. Oto sposób na zapamiętanie:

- **Pierwszy nawias** ma ten sam znak co wyrażenie: \(a^3 + b^3 = (a \boldsymbol{+} b)(\ldots)\)
- **Środkowy wyraz drugiego nawiasu** ma **przeciwny** znak: \((a + b)(a^2 \boldsymbol{-} ab + b^2)\)
- **Ostatni wyraz** jest zawsze **dodatni**: \(+ b^2\)

Sprawdź, czy te wzory znajdziesz na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) - i które musisz znać na pamięć.

## Stosowanie w prawo i w lewo

Kluczowa umiejętność: każdy wzór działa w **obie strony**. Na maturze musisz potrafić zarówno rozkładać (stosować "w prawo"), jak i zwijać (stosować "w lewo").

### Stosowanie "w prawo" - rozwijanie

Zamieniamy iloczyn lub potęgę na sumę składników.

**Przykład:** \((3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4\)

Tutaj \(a = 3x\), \(b = 2\):
$$a^2 + 2ab + b^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$$

**Kiedy stosujemy:** gdy musimy rozwinąć wyrażenie, np. żeby je uprościć, porównać ze wzorem funkcji kwadratowej, albo policzyć pochodną.

### Stosowanie "w lewo" - faktoryzacja

Zamieniamy sumę składników na iloczyn - rozkładamy na czynniki.

**Przykład:** \(4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\)

Tutaj rozpoznajemy różnicę kwadratów: \(a^2 - b^2\), gdzie \(a = 2x\), \(b = 3\).

**Kiedy stosujemy:** przy skracaniu ułamków algebraicznych, rozwiązywaniu równań, szukaniu dziedziny, upraszczaniu wyrażeń.

Stosowanie "w lewo" jest trudniejsze, bo wymaga **rozpoznania wzoru** w wyrażeniu. Właśnie tutaj większość uczniów ma problem.

## Jak rozpoznać okazję do użycia wzoru

### Sygnały dla kwadratu sumy/różnicy

Masz wyrażenie typu \(a^2 + 2ab + b^2\) lub \(a^2 - 2ab + b^2\)? Sprawdź:

1. Czy **pierwszy i ostatni wyraz** to kwadraty? (np. \(x^2\) i \(9\), bo \(9 = 3^2\))
2. Czy **środkowy wyraz** to podwojony iloczyn podstaw tych kwadratów? (np. \(6x = 2 \cdot x \cdot 3\))

Jeśli tak - masz kwadrat sumy lub różnicy.

**Przykład rozpoznania:** \(x^2 + 10x + 25\)
- \(x^2\) - kwadrat \(x\) \(\checkmark\)
- \(25 = 5^2\) - kwadrat \(5\) \(\checkmark\)
- \(10x = 2 \cdot x \cdot 5\) - podwojony iloczyn \(\checkmark\)
- Wniosek: \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2\)

### Sygnały dla różnicy kwadratów

Masz wyrażenie typu \(A - B\), gdzie oba składniki to kwadraty? Zastosuj \(A - B = (\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B})\).

**Typowe zamaskowane różnice kwadratów:**
- \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)
- \(4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5)\)
- \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)
- \(x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})\) - tak, to też działa!

### Sygnały dla wzorów trzeciego stopnia

Masz wyrażenie \(a^3 + b^3\) lub \(a^3 - b^3\)? Rozłóż na czynniki.

**Przykład:** \(8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)\)

## Najczęstsza pułapka: \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\)

To **najczęstszy błąd** na maturze z matematyki i jednocześnie najłatwiejszy do uniknięcia. Więcej o typowych błędach znajdziesz w [rankingu najczęstszych błędów na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

$$\color{red}{(a + b)^2 \neq a^2 + b^2}$$

**Poprawnie:**

$$(a + b)^2 = a^2 + \boldsymbol{2ab} + b^2$$

Brakujący wyraz \(2ab\) to tak zwany **podwójny iloczyn** - i właśnie on jest istotą wzoru skróconego mnożenia.

**Dlaczego to takie częste?** Bo \((a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2\) - przy mnożeniu potęga "wchodzi do środka". Uczniowie odruchowo przenoszą tę zasadę na dodawanie, co jest błędem.

**Kontrprzykład:** \((3 + 4)^2 = 7^2 = 49\), ale \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \neq 49\). Brakuje \(2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\).

Analogicznie: \((a - b)^2 \neq a^2 - b^2\). Kwadrat różnicy to \(a^2 - 2ab + b^2\), a różnica kwadratów to \((a-b)(a+b)\) - zupełnie co innego!

## Zastosowania na maturze

### 1. Upraszczanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne to cały dział w [bazie zadań](/topics/wyrazenia-algebraiczne) i jednocześnie pole, gdzie wzory skróconego mnożenia są najczęściej potrzebne.

**Przykład:** Uprość \((2x + 3)^2 - (2x - 3)^2\).

**Rozwiązanie z rozwinięciem (długie):**
$$(4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 - 12x + 9) = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 12x - 9 = 24x$$

**Rozwiązanie z różnicą kwadratów (szybkie):**

Zauważamy, że to \(A^2 - B^2\), gdzie \(A = 2x + 3\), \(B = 2x - 3\):

$$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$$
$$= [(2x+3) - (2x-3)] \cdot [(2x+3) + (2x-3)]$$
$$= 6 \cdot 4x = 24x$$

Drugie rozwiązanie jest dużo szybsze - a na maturze liczy się czas. Jeśli szukasz sposobów na szybsze rozwiązywanie, przeczytaj o [łatwych punktach na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt).

### 2. Skracanie ułamków algebraicznych

**Przykład:** Uprość \(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}\).

**Licznik:** \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\) (różnica kwadratów)

**Mianownik:** \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\) (kwadrat sumy)

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2} \quad \text{dla } x \neq -2$$

### 3. Rozwiązywanie równań

**Przykład:** Rozwiąż równanie \(x^2 - 6x + 9 = 0\).

Rozpoznajemy kwadrat różnicy: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\).

$$(x - 3)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

To szybsze niż obliczanie delty: \(\Delta = 36 - 36 = 0\), co daje \(x = \frac{6}{2} = 3\). Więcej o delcie i równaniach kwadratowych znajdziesz w naszym artykule o [delcie i równaniu kwadratowym](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

### 4. Obliczenia z potęgami i pierwiastkami

Wzory skróconego mnożenia pomagają też przy [potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

**Przykład:** Oblicz \((\sqrt{5} + \sqrt{2})^2\).

$$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$$

**Przykład:** Usuń niewymierność z mianownika \(\frac{1}{\sqrt{3} - 1}\).

Mnożymy przez sprzężenie (wykorzystujemy różnicę kwadratów):

$$\frac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$$

### 5. Dowodzenie nierówności

Na maturze zdarzają się [zadania z dowodami](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac), w których wzory skróconego mnożenia są kluczowe.

**Przykład:** Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi \(a^2 + b^2 \geq 2ab\).

**Dowód:**
$$a^2 + b^2 \geq 2ab$$
$$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$
$$(a - b)^2 \geq 0$$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny - nierówność jest prawdziwa dla każdych \(a, b \in \mathbb{R}\). \(\square\)

## Zadania maturalne z rozwiązaniami

### Zadanie 1: Wartość wyrażenia (zamknięte)

**Treść:** Jeśli \(a + b = 7\) i \(ab = 10\), to \(a^2 + b^2\) jest równe:

A. 29 \(\quad\) B. 39 \(\quad\) C. 49 \(\quad\) D. 59

**Rozwiązanie:**

Korzystamy z kwadratu sumy: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Przekształcamy:
$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2 \cdot 10 = 49 - 20 = 29$$

**Odpowiedź:** A. 29

Ten typ zadania pojawia się na maturze regularnie. Wzór \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\) warto zapamiętać jako gotowy schemat.

---

### Zadanie 2: Faktoryzacja i skracanie (zamknięte)

**Treść:** Wyrażenie \(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}\) po uproszczeniu jest równe:

A. \(\frac{x-3}{x+3}\) \(\quad\) B. \(\frac{x+3}{x-3}\) \(\quad\) C. \(\frac{-3}{3}\) \(\quad\) D. \(1\)

**Rozwiązanie:**

Licznik: \(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)\) (różnica kwadratów)

Mianownik: \(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 = (x + 3)^2\) (kwadrat sumy)

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3} \quad \text{dla } x \neq -3$$

**Odpowiedź:** A

---

### Zadanie 3: Obliczenie numeryczne (zamknięte)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(101^2 - 99^2\) jest równa:

A. 200 \(\quad\) B. 400 \(\quad\) C. 4 \(\quad\) D. 2

**Rozwiązanie:**

Zamiast potęgować duże liczby, stosujemy różnicę kwadratów:

$$101^2 - 99^2 = (101 - 99)(101 + 99) = 2 \cdot 200 = 400$$

**Odpowiedź:** B. 400

To klasyczne zadanie za 1 punkt, które z wzorem rozwiązujesz w 10 sekund, a bez wzoru musisz liczyć \(101^2 = 10201\) i \(99^2 = 9801\).

---

### Zadanie 4: Wyrażenie z pierwiastkami (zamknięte)

**Treść:** Wartość wyrażenia \((\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})\) jest równa:

A. 4 \(\quad\) B. \(2\sqrt{21}\) \(\quad\) C. 10 \(\quad\) D. \(\sqrt{10}\)

**Rozwiązanie:**

Rozpoznajemy wzór \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\):

$$(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$$

**Odpowiedź:** A. 4

---

### Zadanie 5: Rozwiązywanie równania (otwarte)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 - 8 = 0\).

**Rozwiązanie:**

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$$

**Przypadek 1:** \(x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\)

**Przypadek 2:** \(x^2 + 2x + 4 = 0\)

Obliczamy deltę: \(\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\) - brak rozwiązań rzeczywistych.

**Odpowiedź:** \(x = 2\)

---

### Zadanie 6: Upraszczanie złożonego wyrażenia (otwarte)

**Treść:** Uprość wyrażenie \(\frac{(a+b)^3 - a^3 - b^3}{ab}\) dla \(ab \neq 0\).

**Rozwiązanie:**

Rozwijamy \((a + b)^3\):
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Podstawiamy do licznika:
$$(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - a^3 - b^3 = 3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b)$$

Dzielimy przez mianownik:
$$\frac{3ab(a+b)}{ab} = 3(a + b)$$

**Odpowiedź:** \(3(a + b)\)

---

### Zadanie 7: Dowodzenie podzielności (otwarte)

**Treść:** Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(n\) wyrażenie \(n^3 - n\) jest podzielne przez 6.

**Rozwiązanie:**

Rozkładamy na czynniki:
$$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$$

(zastosowaliśmy różnicę kwadratów: \(n^2 - 1 = (n-1)(n+1)\))

Wyrażenie \(n(n-1)(n+1) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1)\) to iloczyn **trzech kolejnych liczb naturalnych**.

W każdych trzech kolejnych liczbach:
- Co najmniej jedna jest podzielna przez 2 (parzysta)
- Co najmniej jedna jest podzielna przez 3

Zatem iloczyn jest podzielny przez \(2 \cdot 3 = 6\). \(\square\)

## Wzory wyższych stopni - rozszerzenie

Na maturze podstawowej wzory trzeciego stopnia pojawiają się rzadko, ale jeśli celujesz w [maturę rozszerzoną](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy), musisz je znać biegle.

### Uogólnienie na dowolne potęgi

Warto wiedzieć, że istnieją ogólne wzory na \(a^n - b^n\) i \(a^n + b^n\):

$$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})$$

Dla \(n = 2\): \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) - znany nam wzór.

Dla \(n = 3\): \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) - też znany.

Suma \(a^n + b^n\) rozkłada się na czynniki tylko dla **nieparzystych** \(n\).

### Dwukrotne zastosowanie wzoru

Czasem trzeba zastosować wzór dwa razy:

$$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$$

Pierwszy rozkład (różnica kwadratów) daje \((x^2 - 1)\), który sam jest różnicą kwadratów i rozkłada się dalej.

## Podsumowanie - ściąga do zapamiętania

| Wzór | Postać rozwinięta |
|---|---|
| \((a+b)^2\) | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| \((a-b)^2\) | \(a^2 - 2ab + b^2\) |
| \(a^2 - b^2\) | \((a-b)(a+b)\) |
| \((a+b)^3\) | \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) |
| \((a-b)^3\) | \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) |
| \(a^3 + b^3\) | \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\) |
| \(a^3 - b^3\) | \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\) |

**Trzy kluczowe zasady:**
1. \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\) - nigdy nie zapominaj o podwójnym iloczynie
2. Wzory działają w obie strony - rozkładanie jest równie ważne jak rozwijanie
3. Szukaj zamaskowanych kwadratów: \(4x^2 = (2x)^2\), \(9 = 3^2\), \(x^4 = (x^2)^2\)

Potrzebujesz więcej praktyki? Przećwicz zadania z [wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) i [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) w naszej bazie. Jeśli szukasz strategii na cały egzamin, przeczytaj [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i sprawdź [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), żeby wiedzieć, na czym skupić naukę.

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia
title: Wyrażenia algebraiczne na maturze - wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i upraszczanie
description: Wyrażenia algebraiczne na maturze: wzory skróconego mnożenia, rozkład wielomianów na czynniki, upraszczanie ułamków. Ponad 60 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Wyrażenia algebraiczne na maturze - wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki i upraszczanie

## Wyrażenia algebraiczne - narzędzie do wszystkiego

Wyrażenia algebraiczne to dział, który nie istnieje sam dla siebie - on jest **narzędziem** używanym wszędzie. Upraszczanie wyrażeń, rozkład na czynniki i wzory skróconego mnożenia pojawiają się w [równaniach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), [funkcjach](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), [potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i praktycznie w każdym zadaniu otwartym.

W naszej [bazie zadań z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) mamy **ponad 60 zadań** z prawdziwych arkuszy CKE. Ale umiejętność przekształcania wyrażeń jest potrzebna w setkach innych zadań.

## Wzory skróconego mnożenia - musisz je znać na pamięć

### Kwadrat sumy i różnicy

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

**Najczęstszy błąd:** \((a + b)^2 = a^2 + b^2\). **NIE!** Brakuje \(2ab\). To [jeden z najczęstszych błędów na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

**Przykład:** \((3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4\)

### Różnica kwadratów

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

Ten wzór jest **złoty** przy upraszczaniu ułamków i rozkładzie na czynniki.

**Przykład:** \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\)

### Sześcian sumy i różnicy

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

### Suma i różnica sześcianów

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

Te wzory pojawiają się rzadziej, ale warto je znać. Lista [wszystkich wzorów spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

## Rozkład wielomianu na czynniki

### Metoda 1: Wyciąganie wspólnego czynnika

$$6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$$

Szukamy największego wspólnego dzielnika wszystkich wyrazów.

### Metoda 2: Grupowanie

$$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x+1) + 1(x+1) = (x^2+1)(x+1)$$

Grupujemy wyrazy parami i wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy.

### Metoda 3: Wzory skróconego mnożenia

$$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x-5)(2x+5)$$

Rozpoznajemy wzór i rozkładamy.

### Metoda 4: Trójmian kwadratowy

$$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$$

Szukamy dwóch liczb, które dają w iloczynie \(c\) i w sumie \(b\) (dla \(x^2 + bx + c\)).

Dla ogólnego trójmianu \(ax^2 + bx + c\): najpierw wyznaczamy [miejsca zerowe](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) \(x_1, x_2\), potem:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

## Ułamki algebraiczne

### Dziedzina ułamka algebraicznego

Mianownik nie może być zerem. To te same zasady co przy [wyznaczaniu dziedziny funkcji](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc).

$$\frac{x+1}{x^2 - 4} = \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} \quad \Rightarrow \quad x \neq 2 \text{ i } x \neq -2$$

### Skracanie ułamków algebraicznych

1. Rozłóż licznik i mianownik na czynniki
2. Skróć wspólne czynniki
3. **Pamiętaj o dziedzinie!** Wartości, dla których skrócony czynnik jest zerem, nadal nie należą do dziedziny

**Przykład:**
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{x-3}{x+3} \quad (x \neq -3)$$

### Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych

Tak jak ze zwykłymi ułamkami - sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{x+1 + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x-1}{x^2-1}$$

Umiejętność pracy z ułamkami algebraicznymi jest kluczowa w [równaniach wymiernych](/topics/rownania-i-nierownosci) i [funkcjach](/topics/funkcje).

## Wielomiany - dzielenie i twierdzenie Bezouta

### Dzielenie wielomianu przez dwumian \((x - a)\)

Twierdzenie Bezouta: reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \((x-a)\) jest równa \(W(a)\).

**Wniosek:** \((x-a)\) dzieli \(W(x)\) bez reszty wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(a) = 0\).

**Przykład:** Czy \((x-2)\) dzieli \(x^3 - 3x^2 + 4\)?
$$W(2) = 8 - 12 + 4 = 0 \quad \checkmark$$

Tak, bo \(W(2) = 0\). Możemy rozkładać dalej schematem Hornera.

## Tożsamości algebraiczne na maturze

Tożsamość to równość prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych. Na maturze pytają:

- "Uprość wyrażenie" - przekształć do najprostszej postaci
- "Udowodnij tożsamość" - pokaż, że lewa strona = prawa strona
- "Wykaż, że wyrażenie jest stałe" - uprość i pokaż, że nie zależy od zmiennej

### Strategia dowodzenia tożsamości

1. Wybierz bardziej skomplikowaną stronę
2. Przekształcaj ją, aż otrzymasz drugą stronę
3. **Nigdy** nie "przenoś" wyrazów między stronami

## Jak ćwiczyć

1. Rozwiąż [ponad 60 zadań z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) z naszej bazy
2. Przećwicz [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - wymagają biegłości w przekształceniach
3. Powtórz [potęgi](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) - wyrażenia z potęgami to częsty motyw
4. Rozwiąż [arkusz z matury czerwiec 2025](/exams/matura-czerwiec-2025)
5. Sprawdź się w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke)

Algebra to fundament. Jeśli umiesz szybko i bezbłędnie przekształcać wyrażenia, oszczędzasz czas na trudniejsze zadania. Praktykuj do momentu, gdy wzory skróconego mnożenia będą automatyczne.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout
title: Wielomiany na maturze - dzielenie, rozkład na czynniki i twierdzenie Bezout z przykładami
description: Wielomiany na maturze: dzielenie schematem Hornera, twierdzenie Bezouta, rozkład na czynniki liniowe i pierwiastki. Przykłady z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Wielomiany na maturze - dzielenie, rozkład na czynniki i twierdzenie Bezout z przykładami

## Wielomiany - fundament algebry maturalnej

Wielomiany to jeden z tych tematów, które łączą wiele działów matematyki. Na maturze podstawowej pojawiają się głównie jako [równania kwadratowe](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) i [funkcje kwadratowe](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), ale na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy) wielomiany wyższych stopni to absolutna konieczność. Musisz umieć je dzielić, rozkładać na czynniki i wyznaczać pierwiastki.

Dobra wiadomość: cała teoria wielomianów opiera się na kilku prostych narzędziach. Schemat Hornera, twierdzenie Bezout i twierdzenie o pierwiastkach wymiernych - to trzy klucze, które otwierają praktycznie każde zadanie maturalne z wielomianami.

W tym przewodniku przejdziemy przez wszystko krok po kroku, z pełnymi rozwiązaniami. Zanim zaczniesz, upewnij się, że dobrze znasz [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) i [wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) - to baza, na której stoi cała teoria wielomianów.

## Co to jest wielomian? Definicja i podstawowe pojęcia

Wielomian jednej zmiennej \(x\) to wyrażenie postaci:

$$W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$$

gdzie:
- \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) to **współczynniki** (liczby rzeczywiste)
- \(a_n \neq 0\) to **współczynnik wiodący** (przy najwyższej potędze)
- \(a_0\) to **wyraz wolny** (bez \(x\))
- \(n\) to **stopień wielomianu** (najwyższa potęga \(x\))

### Przykłady wielomianów

| Wielomian | Stopień | Współczynnik wiodący | Wyraz wolny |
|-----------|---------|---------------------|-------------|
| \(3x^4 - 2x^2 + x - 7\) | 4 | 3 | -7 |
| \(x^3 + 5x - 1\) | 3 | 1 | -1 |
| \(-2x^5 + x^3\) | 5 | -2 | 0 |
| \(4x - 9\) | 1 | 4 | -9 |

**Uwaga:** Funkcja kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\) to po prostu wielomian stopnia 2. Wszystko, co wiesz o [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), stosuje się do wielomianów ogólnie - tyle że wielomiany mogą mieć wyższy stopień.

### Stopień wielomianu a liczba pierwiastków

Fundamentalne twierdzenie algebry mówi, że wielomian stopnia \(n\) ma **dokładnie \(n\) pierwiastków** (licząc z krotnościami, w zbiorze liczb zespolonych). W zbiorze liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) wielomian stopnia \(n\) ma **co najwyżej \(n\)** pierwiastków rzeczywistych.

To oznacza, że:
- Wielomian stopnia 3 ma co najwyżej 3 miejsca zerowe
- Wielomian stopnia 4 ma co najwyżej 4 miejsca zerowe
- Wielomian nieparzystego stopnia ma **co najmniej jedno** miejsce zerowe rzeczywiste (bo granice na \(\pm \infty\) mają różne znaki)

## Dzielenie wielomianów - schemat Hornera

Dzielenie wielomianów przez dwumian \((x - c)\) to podstawowa operacja na maturze. Zamiast wykonywać tradycyjne dzielenie pisemne (które jest żmudne i podatne na błędy), używamy **schematu Hornera**.

### Jak działa schemat Hornera - krok po kroku

Chcemy podzielić \(W(x)\) przez \((x - c)\). Schemat Hornera daje nam jednocześnie **iloraz** i **resztę** z dzielenia.

**Algorytm:**

1. Wypisz współczynniki wielomianu \(W(x)\) od najwyższej do najniższej potęgi (wstaw 0, jeśli brakuje jakiejś potęgi)
2. Po lewej stronie wpisz wartość \(c\) (to, co jest po prawej stronie w \(x - c\))
3. Pierwszą liczbę przepisz na dół
4. Pomnóż wynik przez \(c\) i dodaj do następnego współczynnika
5. Powtarzaj krok 4 aż do końca
6. Ostatnia liczba to **reszta z dzielenia**, pozostałe to współczynniki **ilorazu**

### Przykład 1: Dzielenie \(W(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\) przez \((x - 2)\)

Współczynniki: \(2, -5, 3, -1\). Dzielimy przez \((x - 2)\), więc \(c = 2\).

| | \(2\) | \(-5\) | \(3\) | \(-1\) |
|---|---|---|---|---|
| \(c = 2\) | \(\downarrow\) | \(2 \cdot 2 = 4\) | \(2 \cdot (-1) = -2\) | \(2 \cdot 1 = 2\) |
| | \(2\) | \(-5 + 4 = -1\) | \(3 + (-2) = 1\) | \(-1 + 2 = 1\) |

Wynik: iloraz to \(2x^2 - x + 1\), reszta to \(1\).

Sprawdzamy: \((x - 2)(2x^2 - x + 1) + 1 = 2x^3 - x^2 + x - 4x^2 + 2x - 2 + 1 = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\). Zgadza się!

### Przykład 2: Dzielenie \(P(x) = x^4 - 3x^2 + 2\) przez \((x + 1)\)

**Uwaga:** dzielimy przez \((x + 1) = (x - (-1))\), więc \(c = -1\).

**Uwaga 2:** brakuje wyrazu \(x^3\), więc wstawiamy 0. Współczynniki: \(1, 0, -3, 0, 2\).

| | \(1\) | \(0\) | \(-3\) | \(0\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(c = -1\) | \(\downarrow\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(-2\) |
| | \(1\) | \(-1\) | \(-2\) | \(2\) | \(0\) |

Reszta wynosi \(0\), a więc \((x + 1)\) jest dzielnikiem \(P(x)\).

Iloraz: \(x^3 - x^2 - 2x + 2\).

Możemy zapisać: \(x^4 - 3x^2 + 2 = (x + 1)(x^3 - x^2 - 2x + 2)\).

## Twierdzenie Bezout - klucz do wielomianów

Twierdzenie Bezout to jedno z najważniejszych narzędzi w arsenale maturzysty. Brzmi prosto, ale ma potężne zastosowania.

### Treść twierdzenia

**Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x - c)\) jest równa \(W(c)\).**

Innymi słowy:

$$W(x) = (x - c) \cdot Q(x) + W(c)$$

gdzie \(Q(x)\) to iloraz z dzielenia.

### Bezpośrednie wnioski

1. **Jeśli \(W(c) = 0\)**, to \((x - c)\) dzieli \(W(x)\) bez reszty, czyli \(c\) jest **pierwiastkiem** (miejscem zerowym) wielomianu.

2. **Jeśli \(W(c) \neq 0\)**, to \(c\) nie jest pierwiastkiem wielomianu, a reszta z dzielenia wynosi \(W(c)\).

To oznacza, że zamiast wykonywać całe dzielenie, wystarczy **podstawić** \(c\) do wielomianu i obliczyć wartość. Schemat Hornera robi to automatycznie - ostatnia liczba w wierszu wynikowym to właśnie \(W(c)\).

### Przykład 3: Sprawdzenie, czy \(x = 3\) jest pierwiastkiem \(W(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\)

Obliczamy \(W(3)\):

$$W(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$$

Tak! \(W(3) = 0\), więc \(x = 3\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), a \((x - 3)\) jest dzielnikiem \(W(x)\).

### Przykład 4: Obliczenie reszty z dzielenia \(W(x) = 2x^4 - x^3 + 3x - 5\) przez \((x - 1)\)

Zamiast dzielić, liczymy \(W(1)\):

$$W(1) = 2 \cdot 1 - 1 + 3 - 5 = -1$$

Reszta z dzielenia wynosi \(-1\). Szybko i bezbłędnie.

## Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

To narzędzie, które mówi ci, **gdzie szukać** pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych. Na maturze rozszerzonej jest nieocenione.

### Treść twierdzenia

Jeśli wielomian \(W(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0\) ma współczynniki całkowite i \(\frac{p}{q}\) jest jego pierwiastkiem wymiernym (w postaci nieskracalnej), to:

- \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\)
- \(q\) jest dzielnikiem współczynnika wiodącego \(a_n\)

### Uproszczenie dla współczynnika wiodącego \(a_n = 1\)

Gdy współczynnik wiodący wynosi 1 (wielomian unormowany), każdy pierwiastek wymierny jest **liczbą całkowitą** będącą dzielnikiem wyrazu wolnego.

To drastycznie ogranicza liczbę kandydatów do sprawdzenia!

### Przykład 5: Znajdź pierwiastki \(W(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)

**Krok 1:** Współczynnik wiodący \(a_3 = 1\), wyraz wolny \(a_0 = -6\).

Kandydaci na pierwiastki: dzielniki \(-6\), czyli \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

**Krok 2:** Sprawdzamy \(x = 1\):

$$W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \quad \checkmark$$

\(x = 1\) jest pierwiastkiem!

**Krok 3:** Dzielimy przez \((x - 1)\) schematem Hornera:

| | \(1\) | \(-6\) | \(11\) | \(-6\) |
|---|---|---|---|---|
| \(c = 1\) | \(\downarrow\) | \(1\) | \(-5\) | \(6\) |
| | \(1\) | \(-5\) | \(6\) | \(0\) |

Iloraz: \(x^2 - 5x + 6\).

**Krok 4:** Rozkładamy \(x^2 - 5x + 6\) - to już [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa)!

$$\Delta = 25 - 24 = 1$$

$$x = \frac{5 \pm 1}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$

**Wynik:** Wszystkie trzy pierwiastki to \(x = 1, 2, 3\), a rozkład wielomianu:

$$W(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$$

## Rozkład wielomianu na czynniki liniowe

Jeśli wielomian stopnia \(n\) ma \(n\) pierwiastków rzeczywistych \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) (licząc z krotnościami), to:

$$W(x) = a_n (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)$$

Gdzie \(a_n\) to współczynnik wiodący.

### Algorytm rozkładu na czynniki

1. Znajdź jeden pierwiastek \(c\) (używając twierdzenia o pierwiastkach wymiernych)
2. Podziel \(W(x)\) przez \((x - c)\) schematem Hornera
3. Powtarzaj kroki 1-2 dla ilorazu, aż otrzymasz wielomian stopnia 2
4. Wielomian stopnia 2 rozkładaj za pomocą [delty i wzoru na pierwiastki](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe)

### Przykład 6: Rozłóż \(W(x) = 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 12x - 4\)

**Krok 1:** Wyraz wolny \(a_0 = -4\), współczynnik wiodący \(a_n = 2\).

Kandydaci na \(\frac{p}{q}\): \(p \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4\}\), \(q \in \{\pm 1, \pm 2\}\).

Możliwe pierwiastki: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}\).

**Krok 2:** Sprawdzamy \(x = 1\):

$$W(1) = 2 - 3 - 7 + 12 - 4 = 0 \quad \checkmark$$

**Krok 3:** Schemat Hornera z \(c = 1\):

| | \(2\) | \(-3\) | \(-7\) | \(12\) | \(-4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(c = 1\) | \(\downarrow\) | \(2\) | \(-1\) | \(-8\) | \(4\) |
| | \(2\) | \(-1\) | \(-8\) | \(4\) | \(0\) |

Iloraz: \(2x^3 - x^2 - 8x + 4\).

**Krok 4:** Szukamy pierwiastka ilorazu. Sprawdzamy \(x = 2\):

$$2 \cdot 8 - 4 - 16 + 4 = 0 \quad \checkmark$$

**Krok 5:** Schemat Hornera z \(c = 2\):

| | \(2\) | \(-1\) | \(-8\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(c = 2\) | \(\downarrow\) | \(4\) | \(6\) | \(-4\) |
| | \(2\) | \(3\) | \(-2\) | \(0\) |

Iloraz: \(2x^2 + 3x - 2\).

**Krok 6:** Rozkładamy kwadratową:

$$\Delta = 9 + 16 = 25$$

$$x = \frac{-3 \pm 5}{4} \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2$$

**Wynik końcowy:**

$$W(x) = 2(x - 1)(x - 2)\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 2) = (x - 1)(x - 2)(2x - 1)(x + 2)$$

Zauważ, że w ostatnim kroku wyciągnęliśmy dwójkę z \(2\left(x - \frac{1}{2}\right) = (2x - 1)\), żeby pozbyć się ułamka. To standardowy zabieg - na maturze zapisz rozkład z liczbami całkowitymi.

## Wielomiany a nierówności

Rozkład na czynniki jest kluczowy przy rozwiązywaniu **nierówności wielomianowych**. Jeśli potrafisz rozłożyć wielomian, nierówność rozwiązujesz metodą przedziałów (tabelką znaków).

### Przykład 7: Rozwiąż nierówność \(x^3 - 4x^2 + x + 6 > 0\)

Z przykładu 5 wiemy, że \(W(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

Pierwiastki: \(x = 1, 2, 3\). Dzielą oś liczbową na przedziały.

| Przedział | \((x-1)\) | \((x-2)\) | \((x-3)\) | \(W(x)\) |
|-----------|-----------|-----------|-----------|---------|
| \((-\infty, 1)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \((1, 2)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \((2, 3)\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \((3, +\infty)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |

**Odpowiedź:** \(x \in (1, 2) \cup (3, +\infty)\)

Ta technika działa dla każdej nierówności - trzeba tylko umieć rozłożyć wielomian na czynniki. Jeśli nierówności sprawiają ci kłopot, przeczytaj artykuł o [nierównościach na maturze](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody).

## Wielomian a funkcja kwadratowa - związek

Każda [funkcja kwadratowa](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) to wielomian stopnia 2. Dlatego wszystkie narzędzia wielomianowe działają dla funkcji kwadratowych:

- **Twierdzenie Bezout** sprowadza się do: jeśli \(f(c) = 0\), to \(c\) jest pierwiastkiem
- **Rozkład na czynniki:** \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) (gdy \(\Delta > 0\))
- **Schemat Hornera** dla stopnia 2 to po prostu wyciąganie \((x - c)\) i otrzymanie wyrażenia liniowego

Wzory na [deltę i pierwiastki równania kwadratowego](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) to szczególny przypadek ogólnej teorii wielomianów.

## Własności wielomianów - co warto wiedzieć

### Wzory Viete'a

Dla wielomianu \(W(x) = a_n x^n + \ldots + a_0\) z pierwiastkami \(x_1, x_2, \ldots, x_n\):

- Suma pierwiastków: \(x_1 + x_2 + \ldots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\)
- Iloczyn pierwiastków: \(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n = (-1)^n \cdot \frac{a_0}{a_n}\)

Dla wielomianu stopnia 2 \(ax^2 + bx + c\):
- \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
- \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

Dla wielomianu stopnia 3 \(ax^3 + bx^2 + cx + d\):
- \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\)
- \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}\)
- \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}\)

### Dzielenie wielomianów z resztą

Ogólne twierdzenie o dzieleniu: dla dowolnych wielomianów \(W(x)\) i \(P(x)\) (gdzie \(P(x) \neq 0\)) istnieją jednoznacznie wyznaczone wielomiany \(Q(x)\) (iloraz) i \(R(x)\) (reszta) takie, że:

$$W(x) = P(x) \cdot Q(x) + R(x)$$

gdzie \(\text{st}(R) < \text{st}(P)\) lub \(R(x) = 0\).

## Typowe pułapki maturalne

### 1. Zapominanie o zerowych współczynnikach

Wielomian \(x^4 - 3x^2 + 1\) ma współczynniki \(1, \mathbf{0}, -3, \mathbf{0}, 1\). Jeśli pominiesz zera w schemacie Hornera, wynik będzie błędny. Zawsze wypisuj **wszystkie** współczynniki, od \(x^n\) do \(x^0\).

### 2. Mylenie znaku w schemacie Hornera

Dzielisz przez \((x + 3)\)? To znaczy \(c = -3\), **nie** \(c = 3\)! Pamiętaj: \((x + 3) = (x - (-3))\).

### 3. Niekompletny rozkład

Nie kończ rozkładu na \((x - 1)(x^2 - 5x + 6)\) - sprawdź, czy \(x^2 - 5x + 6\) da się jeszcze rozłożyć! W tym przypadku \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\).

### 4. Wielokrotne pierwiastki

Wielomian \(W(x) = (x - 2)^3\) ma jeden pierwiastek \(x = 2\) z krotnością 3. Na maturze rozszerzonej pytają o krotność - nie pomiń tego.

### 5. Niesprawdzanie wyniku

Zawsze sprawdź rozkład - wymnóż czynniki i porównaj z oryginalnym wielomianem. To zajmuje 30 sekund, a chroni przed utratą punktów.

## Schemat Hornera jako wartość wielomianu

Schemat Hornera ma jeszcze jedną ważną zaletę: pozwala **szybko obliczyć wartość wielomianu** w punkcie. Zamiast podnosić do potęg i mnożyć, przepisujemy wielomian w postaci zagnieżdżonej:

$$W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$$

$$= (\ldots((a_n x + a_{n-1}) x + a_{n-2}) x + \ldots + a_1) x + a_0$$

Dla \(W(x) = 2x^4 - 3x^3 + x - 5\):

$$W(x) = ((2x - 3) \cdot x + 0) \cdot x + 1) \cdot x - 5$$

Ta postać minimalizuje liczbę mnożeń i eliminuje potęgowanie - jest to najszybsza metoda obliczania wartości wielomianu. Na maturze oszczędzasz czas i redukujesz ryzyko [błędów rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

## Grupowanie wyrazów jako alternatywa

Nie zawsze musisz szukać pierwiastków wymiernych. Czasem wielomian da się rozłożyć na czynniki przez **grupowanie wyrazów**. Ta [metoda działa](/rownanie-trzeciego-stopnia-matura-metoda-grupowania#kiedy-dziala-metoda-grupowania) szczególnie dobrze dla wielomianów stopnia 3 i 4 z wyrazami, które tworzą naturalne pary.

### Przykład 8: Rozłóż \(W(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18\)

Grupujemy w pary:

$$W(x) = (x^3 + 2x^2) + (-9x - 18) = x^2(x + 2) - 9(x + 2)$$

Wyciągamy wspólny czynnik \((x + 2)\):

$$W(x) = (x + 2)(x^2 - 9) = (x + 2)(x - 3)(x + 3)$$

W ostatnim kroku użyliśmy [wzoru skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) na różnicę kwadratów: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).

Grupowanie to szybsza ścieżka niż schemat Hornera, ale działa tylko wtedy, gdy wielomian "sam się dzieli" na dobre pary. Na maturze warto spróbować grupowania przed sięganiem po schemat Hornera.

## Wielomiany na maturze - podsumowanie

| Narzędzie | Do czego służy | Kiedy stosować |
|-----------|---------------|----------------|
| Schemat Hornera | Dzielenie przez \((x-c)\) | Zawsze przy dzieleniu wielomianów |
| Twierdzenie Bezout | \(W(c) = \) reszta z dzielenia | Sprawdzanie, czy \(c\) jest pierwiastkiem |
| Tw. o pierw. wymiernych | Lista kandydatów | Szukanie pierwszego pierwiastka |
| Rozkład na czynniki | \(W(x) = a_n \prod (x - x_i)\) | Nierówności, znajdowanie wszystkich pierwiastków |
| Wzory Viete'a | Sumy i iloczyny pierwiastków | Zadania bez wyznaczania konkretnych pierwiastków |

## Jak ćwiczyć wielomiany

1. Zacznij od [zadań z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) - to baza rachunkowa
2. Przećwicz rozkładanie na czynniki z [równaniami i nierównościami](/topics/rownania-i-nierownosci)
3. Utrwalaj deltę i schemat na [zadaniach z funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa)
4. Sprawdź [najtrudniejsze zadania maturalne](/najtrudniejsze-zadania-maturalne-matematyka-ranking) - wielomiany stopnia 4 regularnie trafiają do tego zestawienia
5. Przeczytaj o [wymaganiach matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy), żeby wiedzieć, czego dokładnie oczekuje CKE

Wielomiany to temat, który wymaga przede wszystkim **praktyki**. Schemat Hornera musisz wykonać kilkanaście razy, żeby robić go automatycznie. Rozkład na czynniki wymaga wprawy w typowaniu pierwiastków. Ale gdy to opanujesz, zadania z wielomianami stają się jednymi z najłatwiejszych na arkuszu - bo algorytm jest zawsze ten sam.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci
title: Wartość bezwzględna na maturze - definicja, równania i nierówności z modułem
description: Wartość bezwzględna na maturze: definicja, interpretacja geometryczna, równania |f(x)|=a, nierówności z modułem, wykresy. Zadania CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Wartość bezwzględna na maturze - definicja, równania i nierówności z modułem

## Wartość bezwzględna - dlaczego warto ją opanować

Wartość bezwzględna (moduł) to jedno z tych pojęć, które pojawiają się na maturze regularnie - zarówno w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, jak i w trudniejszych zadaniach otwartych za 2-4 punkty. Na [arkuszach CKE z lat 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) zadania z modułem pojawiały się na **każdej** sesji egzaminacyjnej.

Problem w tym, że wielu maturzystów traktuje wartość bezwzględną jak magiczny symbol, który "jakoś zamienia minusy na plusy". To za mało. Żeby sprawnie rozwiązywać równania i nierówności z modułem, musisz rozumieć, co tak naprawdę oznacza \(|x|\) - i znać konkretne metody rozwiązywania.

W tym przewodniku znajdziesz:
- Dwie definicje wartości bezwzględnej (algebraiczną i geometryczną)
- Interpretację graficzną - jak rysować wykresy z modułem
- Metody rozwiązywania równań typu \(|f(x)| = a\)
- Metody rozwiązywania nierówności typu \(|f(x)|  a\)
- Metodę przedziałów dla złożonych wyrażeń
- Pełne rozwiązania przykładów maturalnych z LaTeX-em

Jeśli szukasz ogólnego planu nauki przed maturą, sprawdź naszą [strategię przygotowań do matury 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). A teraz - do rzeczy.

## Definicja wartości bezwzględnej

### Definicja algebraiczna

Wartość bezwzględna liczby \(x\) to:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \geq 0 \\ -x & \text{gdy } x  0\). Minus przed \(x\) to operator zamiany znaku, nie informacja o znaku wyniku.

### Definicja geometryczna (odległość na osi liczbowej)

$$|x| = \text{odległość liczby } x \text{ od zera na osi liczbowej}$$

I bardziej ogólnie:

$$|x - a| = \text{odległość liczby } x \text{ od liczby } a \text{ na osi liczbowej}$$

Ta interpretacja jest **kluczowa** na maturze, bo pozwala rozwiązywać wiele zadań intuicyjnie, bez rozbijania na przypadki.

**Przykłady interpretacji geometrycznej:**
- \(|x - 3|  0\) dostajemy dwa równania. Dla \(a = 0\) dostajemy jedno: \(f(x) = 0\).

**Jeśli \(a  0\), więc:

$$(x - 1) + (x + 3) = 6$$
$$2x + 2 = 6$$
$$2x = 4$$
$$x = 2$$

Sprawdzamy: \(2 \geq 1\) \(\checkmark\) - rozwiązanie należy do przedziału.

**Odpowiedź:** \(x = -4\) lub \(x = 2\).

**Weryfikacja geometryczna:** \(|x - 1| + |x + 3|\) to suma odległości punktu \(x\) od 1 i od \(-3\). Odległość między 1 a \(-3\) wynosi 4. Dla punktów "między" nimi suma odległości wynosi dokładnie 4 (mniej niż 6), więc szukamy punktów "na zewnątrz" - i faktycznie \(-4\) i \(2\) leżą symetrycznie po 1 jednostce od odpowiednich końców.

## Nierówności z wartością bezwzględną

Nierówności z modułem to jeden z [pewniakow maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - pojawiają się niemal na każdym arkuszu. Kluczowe są dwa schematy:

### Schemat 1: \(|f(x)|  0\text{)}$$

Geometrycznie: szukamy punktów, które leżą **bliżej niż \(a\)** od zera (lub od punktu, jeśli mamy \(|f(x) - c|\)).

Analogicznie: \(|f(x)| \leq a \iff -a \leq f(x) \leq a\).

**Jeśli \(a \leq 0\):** nierówność \(|f(x)|  a\) (moduł większy od stałej)

$$|f(x)| > a \iff f(x)  a \quad \text{(dla } a > 0\text{)}$$

Geometrycznie: szukamy punktów, które leżą **dalej niż \(a\)** od zera.

**Jeśli \(a  a\) jest spełniona dla każdego \(x\) (bo moduł jest zawsze \(\geq 0 > a\)).

### Przykład 4: Nierówność \(|3x - 2| \leq 7\)

Stosujemy schemat 1:

$$-7 \leq 3x - 2 \leq 7$$

Dodajemy 2 do każdego członu:

$$-5 \leq 3x \leq 9$$

Dzielimy przez 3:

$$-\frac{5}{3} \leq x \leq 3$$

**Odpowiedź:** \(x \in \left\langle -\frac{5}{3}, 3 \right\rangle\)

### Przykład 5: Nierówność \(|2x + 1| > 5\)

Stosujemy schemat 2:

$$2x + 1  5$$

Z pierwszej nierówności: \(2x  4 \implies x > 2\)

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)\)

### Przykład 6 (trudniejszy, typ zadania otwartego): \(|x^2 - 4| \leq 3x\)

To zadanie wymaga więcej pracy, bo po prawej stronie mamy wyrażenie z \(x\), a nie stałą. Musimy użyć definicji:

**Przypadek 1:** \(x^2 - 4 \geq 0\) (czyli \(x \leq -2\) lub \(x \geq 2\))

Wtedy \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\), więc:

$$x^2 - 4 \leq 3x$$
$$x^2 - 3x - 4 \leq 0$$
$$(x - 4)(x + 1) \leq 0$$

Rozwiązanie tej [nierówności kwadratowej](/topics/rownania-i-nierownosci): \(x \in \langle -1, 4 \rangle\).

Część wspólna z warunkiem (\(x \leq -2\) lub \(x \geq 2\)): \(x \in \langle 2, 4 \rangle\).

**Przypadek 2:** \(x^2 - 4  0\).

## Wartość bezwzględna w geometrii analitycznej

Na maturze wartość bezwzględna pojawia się także w [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna). Najważniejsze zastosowania:

### Odległość punktu od prostej

Odległość punktu \(P = (x_0, y_0)\) od prostej \(Ax + By + C = 0\):

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Wartość bezwzględna w liczniku gwarantuje, że odległość jest zawsze nieujemna - niezależnie od tego, po której stronie prostej leży punkt. Więcej o tym wzorze przeczytasz w artykule o [równaniach prostych na maturze](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

### Pole trójkąta z wierzchołków

Jeśli znamy współrzędne trzech wierzchołków trójkąta \(A = (x_1, y_1)\), \(B = (x_2, y_2)\), \(C = (x_3, y_3)\), to:

$$P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

Wartość bezwzględna jest tu niezbędna, bo wyrażenie w nawiasie może wyjść ujemne w zależności od kolejności wierzchołków. To jeden z kluczowych wzorów w [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - i pojawia się też w naszym artykule o [polach figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory).

## Podsumowanie - schemat rozwiązywania

Oto szybka ściąga, jak podchodzić do zadań z wartością bezwzględną:

| Typ zadania | Metoda |
|---|---|
| \(\|f(x)\| = a\), \(a > 0\) | Dwa przypadki: \(f(x) = a\) lub \(f(x) = -a\) |
| \(\|f(x)\| = a\), \(a  0\) | Podwójna nierówność: \(-a  a\), \(a > 0\) | Alternatywa: \(f(x)  a\) |
| Kilka modułów | Metoda przedziałów |
| Wykres \(\|f(x)\|\) | Odbij ujemne fragmenty do góry |
| Wykres \(f(\|x\|)\) | Weź prawą połowę, odbij symetrycznie |

Jeśli chcesz przećwiczyć te schematy na prawdziwych zadaniach z arkuszy CKE, wejdź do naszej [bazy zadań z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - znajdziesz tam kilkadziesiąt zadań z wartością bezwzględną, każde z pełnym rozwiązaniem.

## Co dalej?

Wartość bezwzględna to temat, który łączy się z wieloma innymi działami matury. Polecam teraz przejść do:

- [Funkcja liniowa na maturze](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - wykresy z modułem to często "złamane" funkcje liniowe
- [Funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - nierówności kwadratowe pojawiają się w zadaniach z modułem
- [Najczęstsze błędy na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) - w tym błędy z wartością bezwzględną
- [Pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - jakie zadania z modułem na pewno się pojawią
- [Kompletny przewodnik po maturze z matematyki 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin) - cały plan nauki w jednym miejscu

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-przyklady
title: Układy równań na maturze z matematyki - metody rozwiązywania z przykładami krok po kroku
description: Układy równań na maturze: metoda podstawiania, przeciwnych współczynników, interpretacja graficzna. Ponad 20 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Układy równań na maturze z matematyki - metody rozwiązywania z przykładami krok po kroku

## Układy równań - klucz do zadań tekstowych

Układy równań to temat, który pojawia się na maturze głównie w **zadaniach tekstowych**. CKE uwielbia dawać problemy, które sprowadzają się do ułożenia i rozwiązania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi. W naszej [bazie zadań z układów równań](/topics/uklady-rownan) mamy **ponad 20 zadań** z prawdziwych arkuszy.

Układy równań ściśle łączą się z [funkcją liniową](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) (graficzna interpretacja), [równaniami](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) i [geometrią analityczną](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) (punkt przecięcia prostych).

## Metoda podstawiania

**Kiedy stosować:** gdy łatwo wyrazić jedną zmienną z jednego równania.

### Algorytm

1. Z jednego równania wyraź jedną zmienną (np. \(y = \ldots\))
2. Podstaw do drugiego równania
3. Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą
4. Wróć i oblicz drugą zmienną

### Przykład

$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -5 \end{cases}$$

Z drugiego równania: \(x = 3y - 5\)

Podstawiamy do pierwszego: \(2(3y - 5) + y = 7\)

$$6y - 10 + y = 7 \quad \Rightarrow \quad 7y = 17 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{17}{7}$$

$$x = 3 \cdot \frac{17}{7} - 5 = \frac{51}{7} - \frac{35}{7} = \frac{16}{7}$$

**Wynik:** \(x = \frac{16}{7}\), \(y = \frac{17}{7}\)

## Metoda przeciwnych współczynników (algebraiczna)

**Kiedy stosować:** gdy współczynniki są "wygodne" do eliminacji (małe liczby, łatwo wyrównać).

### Algorytm

1. Pomnóż jedno lub oba równania, aby współczynniki przy wybranej zmiennej były przeciwne
2. Dodaj równania stronami - wybrana zmienna zniknie
3. Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą
4. Podstaw i oblicz drugą zmienną

### Przykład

$$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$

Współczynniki przy \(y\) są już przeciwne (\(+2\) i \(-2\)). Dodajemy:

$$8x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Z pierwszego: \(6 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad y = 3\)

Ta metoda jest zazwyczaj **szybsza** - szczególnie na maturze, gdzie liczy się czas.

## Interpretacja graficzna

Każde równanie liniowe \(ax + by = c\) to prosta na płaszczyźnie. Rozwiązanie układu to **punkt przecięcia** tych prostych.

Trzy przypadki:
1. **Proste przecinające się** - dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony)
2. **Proste równoległe** - brak rozwiązań (układ sprzeczny)
3. **Proste pokrywające się** - nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony)

### Jak rozpoznać?

Dla układu \(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\):

| Warunek | Typ | Liczba rozwiązań |
|---------|-----|------------------|
| \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) | Oznaczony | 1 |
| \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) | Sprzeczny | 0 |
| \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\) | Nieoznaczony | \(\infty\) |

To bezpośrednio łączy się z [geometrią analityczną](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - punkt przecięcia prostych to dokładnie rozwiązanie układu ich równań.

## Układy równań w zadaniach tekstowych

Na maturze układy najczęściej pojawiają się ukryte w **zadaniach z treścią**. Strategia:

### 1. Zidentyfikuj niewiadome

Czego szukamy? Nazwij je \(x\) i \(y\).

### 2. Ułóż równania

Każdy warunek z treści = jedno równanie. Potrzebujesz tylu równań, ile masz niewiadomych.

### 3. Rozwiąż układ

Wybierz wygodniejszą metodę.

### 4. Sprawdź wynik

Podstaw do treści zadania - czy odpowiedź ma sens?

### Typowe zadania tekstowe CKE

- **Mieszanie roztworów:** "zmieszano roztwory o stężeniach..." - tu przydają się [procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany)
- **Ruch:** "dwa pociągi wyruszają..." (droga = prędkość \(\times\) czas)
- **Praca:** "dwóch [robotników pracuje](/zadania-na-wspolna-prace-i-wydajnosc-matura-jak-ulozyc-rownanie)..." (wzajemne tempa pracy)
- **Zakupy:** "kupiono x sztuk po y zł..."
- **Geometria:** szukanie wymiarów figury przy danych warunkach - łączy się z [planimetrią](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag)

## Układy z jednym równaniem kwadratowym

Czasem na maturze pojawia się układ mieszany:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$$

**Strategia:** z równania liniowego wyrażamy jedną zmienną i podstawiamy do kwadratowego:

$$y = 5 - x$$
$$x^2 + (5-x)^2 = 13$$
$$x^2 + 25 - 10x + x^2 = 13$$
$$2x^2 - 10x + 12 = 0$$
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
$$(x-2)(x-3) = 0$$

Rozwiązania: \((x,y) = (2,3)\) lub \((x,y) = (3,2)\).

Tu przydaje się znajomość [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) i [wyrażeń algebraicznych](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia).

## Jak ćwiczyć

1. Rozwiąż [ponad 20 zadań z układów równań](/topics/uklady-rownan) z naszej bazy CKE
2. Przećwicz [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - pokrewne umiejętności
3. Powtórz [funkcję liniową](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - interpretacja graficzna
4. Rozwiąż [arkusze maturalne](/exams/matura-maj-2025) - układy zawsze się pojawiają
5. Sprawdź się w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) na czas

Układy równań to **narzędzie**, nie cel sam w sobie. Opanuj obie metody do perfekcji, a zadania tekstowe staną się proste.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania
title: Twierdzenie Talesa na maturze - proporcje, odcinki i zadania z rozwiązaniami
description: Twierdzenie Talesa na maturze: dwie wersje, proporcje odcinków, podobieństwo trójkątów. Sześć pełnych zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Twierdzenie Talesa na maturze - proporcje, odcinki i zadania z rozwiązaniami

## Twierdzenie Talesa - klucz do proporcji na maturze

Twierdzenie Talesa to jedno z najpotężniejszych narzędzi w [planimetrii](/topics/planimetria) na maturze z matematyki. Nie wymaga skomplikowanych obliczeń - wystarczy poprawnie zapisać proporcje i rozwiązać prostą równość. Mimo to wielu maturzystów traci tu punkty, bo myli kolejność odcinków w proporcji albo zapomina sprawdzić warunek równoległości.

Na arkuszach CKE z ostatnich lat twierdzenie Talesa pojawia się regularnie - zarówno w zadaniach zamkniętych (odczytaj proporcję z rysunku), jak i otwartych (oblicz długość odcinka w złożonej figurze). Na [maturze próbnej z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) było jedno zadanie zamknięte i jedno otwarte z Talesem. Na [maturze z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) - dwa zadania.

W tym artykule pokażę ci **obie wersje** twierdzenia Talesa, nauczę zapisywać proporcje bez błędów, przejdziemy przez 6 pełnych przykładów maturalnych i wskażę najczęstsze pułapki. Jeśli szukasz ogólnych strategii, sprawdź [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Wersja 1: Ramiona kąta przecięte prostymi równoległymi

To klasyczna, "szkolna" wersja twierdzenia Talesa, którą spotkasz najczęściej.

### Treść twierdzenia

Jeśli ramiona kąta są przecięte dwiema prostymi równoległymi, to stosunek odcinków wyznaczonych na jednym ramieniu jest równy stosunkowi odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

Formalnie: jeśli proste \(k \parallel l\) przecinają ramiona kąta w punktach \(A, B\) (na jednym ramieniu) i \(C, D\) (na drugim ramieniu), to:

$$\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DC|}$$

Ale uwaga - proporcji możesz zapisywać więcej. Jeśli wierzchołek kąta to \(O\), proste \(k\) i \(l\) wyznaczają na ramionach odpowiednio punkty \(A, B\) i \(C, D\) (licząc od wierzchołka), to:

$$\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}$$

$$\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|}$$

$$\frac{|AB|}{|OB|} = \frac{|CD|}{|OD|}$$

### Jak zapamiętać

Wyobraź sobie literę V (kąt), przeciętą dwiema poziomymi kreskami. Odcinki po lewej stronie są proporcjonalne do odcinków po prawej - ale musisz porównywać **odpowiednie** odcinki (lewy górny do prawego górnego, lewy dolny do prawego dolnego).

## Wersja 2: Proste równoległe przecięte dwiema siecznymi

Ta wersja jest bardziej ogólna i nie wymaga, żeby sieczne miały wspólny punkt.

### Treść twierdzenia

Jeśli trzy lub więcej prostych równoległych jest przeciętych dwiema siecznymi, to wyznaczają na nich odcinki proporcjonalne.

Jeśli proste \(l_1 \parallel l_2 \parallel l_3\) przecinają sieczną \(a\) w punktach \(A_1, A_2, A_3\) i sieczną \(b\) w punktach \(B_1, B_2, B_3\), to:

$$\frac{|A_1 A_2|}{|A_2 A_3|} = \frac{|B_1 B_2|}{|B_2 B_3|}$$

Ta wersja jest szczególnie przydatna w zadaniach z mapami, planami i skalami.

## Kiedy MOŻNA, a kiedy NIE MOŻNA stosować twierdzenie Talesa

To kluczowa kwestia, bo CKE lubi podawać figury, które **wyglądają** jak konfiguracja Talesa, ale nią nie są.

### MOŻNA stosować, gdy:
- Masz dwie proste **równoległe** przecinające ramiona kąta
- Masz trzy lub więcej prostych **równoległych** przeciętych siecznymi
- Zadanie wyraźnie mówi, że proste są równoległe (lub możesz to udowodnić)

### NIE MOŻNA stosować, gdy:
- Proste **nie są równoległe** (nawet jeśli tak wyglądają na rysunku)
- Brakuje informacji o równoległości (rysunek to **nie dowód**)
- Odcinki nie leżą na ramionach tego samego kąta lub na tych samych siecznych

**Uwaga na maturze:** Jeśli w zadaniu otwartym stosujesz twierdzenie Talesa, **musisz powołać się na równoległość** prostych. Napisz: "Ponieważ \(AB \parallel CD\), z twierdzenia Talesa mamy..." - inaczej rozwiązanie traci uzasadnienie i możesz stracić punkty. Sprawdź [zasady oceniania](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania) zadań maturalnych.

## Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Odwrotne twierdzenie Talesa jest równie ważne:

> Jeśli dwie proste wyznaczają na ramionach kąta odcinki proporcjonalne (licząc od wierzchołka), to te proste są równoległe.

To znaczy: jeśli pokażesz, że \(\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}\), to możesz stwierdzić, że \(AC \parallel BD\).

Na maturze twierdzenie odwrotne pojawia się w zadaniach typu "Wykaż, że proste są równoległe" - jest to wtedy kluczowe narzędzie dowodowe.

## Podobieństwo trójkątów a twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa jest bezpośrednio powiązane z **podobieństwem trójkątów**. Gdy prosta równoległa do podstawy trójkąta przecina dwa pozostałe boki, powstaje trójkąt podobny do wyjściowego.

Jeśli trójkąt \(A'B'C'\) jest podobny do trójkąta \(ABC\) w skali \(k\), to:

$$\frac{|A'B'|}{|AB|} = \frac{|B'C'|}{|BC|} = \frac{|A'C'|}{|AC|} = k$$

Co ważne, w trójkątach podobnych:
- Odpowiednie kąty są **równe**
- Odpowiednie boki są **proporcjonalne** (stosunek = skala \(k\))
- Stosunek pól to \(k^2\)
- Stosunek obwodów to \(k\)

To ostatnie dwa punkty są szczególnie ważne na maturze. Jeśli [skala podobieństwa](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura#skala-podobienstwa-co-dokladnie-mnozysz-przez-k) wynosi 3, to pole figury podobnej jest \(3^2 = 9\) razy większe, a obwód - 3 razy większy. Podobieństwo trójkątów to temat bliski [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i często pojawia się w [zadaniach z treścią](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac).

## Przykład 1 - Podstawowe proporcje (zadanie zamknięte)

**Zadanie:** Na ramionach kąta \(AOB\) poprowadzono proste równoległe \(k\) i \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona w punktach \(C\) i \(D\), a prosta \(l\) - w punktach \(E\) i \(F\) (dalej od wierzchołka). Wiadomo, że \(|OC| = 4\), \(|CE| = 6\) i \(|OD| = 3\). Oblicz \(|DF|\).

**Rozwiązanie:**

Z twierdzenia Talesa (proste \(k \parallel l\) przecinają ramiona kąta):

$$\frac{|OC|}{|CE|} = \frac{|OD|}{|DF|}$$

Podstawiamy:

$$\frac{4}{6} = \frac{3}{|DF|}$$

$$|DF| = \frac{6 \cdot 3}{4} = \frac{18}{4} = 4{,}5$$

Odpowiedź: \(|DF| = 4{,}5\).

**Alternatywna proporcja** - mogliśmy też zapisać:

$$\frac{|OC|}{|OE|} = \frac{|OD|}{|OF|}$$

$$\frac{4}{10} = \frac{3}{|OF|}$$

$$|OF| = 7{,}5$$

Stąd \(|DF| = |OF| - |OD| = 7{,}5 - 3 = 4{,}5\). Ten sam wynik - sprawdzenie poprawności.

## Przykład 2 - Cień i wysokość (klasyka maturalna)

**Zadanie:** Latarnia o wysokości 6 m stoi w odległości 9 m od budynku. Cień latarni pada na ścianę budynku i sięga na wysokość 2 m. Oblicz wysokość budynku.

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - rysujemy sytuację. Promień światła ze szczytu latarni biegnie do punktu na ścianie budynku na wysokości 2 m. Cień tworzy konfigurację Talesa.

Krok 2 - identyfikujemy trójkąty. Mamy dwa trójkąty prostokątne z wspólnym wierzchołkiem (źródło światła z daleka lub punkt na ziemi):
- Trójkąt z latarnią: podstawa to odległość od latarni, wysokość to 6 m
- Mniejszy trójkąt: sięga do ściany budynku

Krok 3 - ułatwimy to sobie. Latarnia ma wysokość 6 m. Promień ze szczytu latarni trafia w ścianę na wysokości 2 m. Różnica wysokości: \(6 - 2 = 4\) m. Odległość od latarni do budynku: 9 m.

Niech \(h\) to wysokość budynku. Promień przechodzi nad dachem budynku i trafia w ziemię w pewnej odległości za budynkiem (lub symetrycznie, latarnia oświetla budynek). Stosujemy proporcję z podobieństwa:

$$\frac{h}{6} = \frac{d}{d + 9}$$

Ale uprośćmy - jeśli cień latarni pada na ścianę na wysokości 2 m, to z twierdzenia Talesa:

$$\frac{6 - h}{6 - 2} = \frac{0}{9}$$

Hmm, przeformułujmy. Promień światła biegnie ze źródła (nieskończenie daleko - słońce) - wtedy cienie są równoległe i nie stosujemy Talesa. Jeśli źródło jest punktowe (latarnia uliczna na ziemi):

Latarnia o wysokości 6 m stoi w punkcie \(L\). Budynek w odległości 9 m. Cień na ścianie sięga do 2 m. Niech \(H\) to szukana wysokość budynku.

Z podobieństwa trójkątów (promień ze szczytu latarni do punktu cienia na ścianie):

$$\frac{6}{H_{\text{cienia}}} = \frac{9 + x}{x}$$

Zróbmy to prościej z konkretną konfiguracją. Punkt na szczycie latarni to \(S = (0, 6)\). Ściana budynku jest w \(x = 9\). Punkt cienia na ścianie to \((9, 2)\). Prosta przez \(S\) i punkt cienia:

Nachylenie: \(\frac{2 - 6}{9 - 0} = \frac{-4}{9}\)

Równanie prostej: \(y = 6 - \frac{4}{9}x\)

Prosta ta trafia w ziemię (\(y = 0\)) przy:

$$0 = 6 - \frac{4}{9}x \implies x = \frac{54}{4} = 13{,}5$$

Budynek stoi na odcinku \(x = 9\) do \(x = 9 + \text{coś}\). Ale zadanie mówi, że cień pada na ścianę na wysokości 2 m - to po prostu punkt przecięcia promienia ze ścianą.

Wróćmy do prostszego podejścia. Jeśli cień latarni sięga na ścianę do 2 m, a my znamy wysokość latarni (6 m) i odległość (9 m), to szukamy np. odległości do miejsca, gdzie promień trafia w ziemię:

Promień trafia w ziemię w \(x = 13{,}5\) m. Budynek zaczyna się w \(x = 9\) m. Na ścianie budynku (\(x = 9\)) promień jest na wysokości 2 m. Jeśli budynek ma wysokość \(H\), to cień zaczyna padać na ścianę, gdy \(H < 2\) m - wtedy nie zasłania cienia. Ale zadanie sugeruje, że szukamy czegoś innego.

Przeformułujmy zadanie na typowe maturalne:

**Zadanie (poprawione):** Słup o wysokości 6 m i budynek stoją na płaskim terenie. Gdy słońce świeci pod pewnym kątem, cień słupa ma długość 9 m, a cień budynku ma długość 15 m. Oblicz wysokość budynku.

**Rozwiązanie:**

Promienie słoneczne są równoległe, więc trójkąty tworzone przez obiekty i ich cienie są **podobne** (odpowiednie kąty równe).

Z proporcji (twierdzenie Talesa dla prostych równoległych):

$$\frac{\text{wysokość słupa}}{\text{cień słupa}} = \frac{\text{wysokość budynku}}{\text{cień budynku}}$$

$$\frac{6}{9} = \frac{H}{15}$$

$$H = \frac{6 \cdot 15}{9} = \frac{90}{9} = 10$$

Wysokość budynku wynosi **10 m**.

To klasyczny schemat "mierzy się cień, oblicza wysokość" - pojawia się na maturze co kilka lat. Stosujemy proporcję, bo promienie słoneczne są równoległe (warunek Talesa spełniony).

## Przykład 3 - Prosta równoległa do podstawy trójkąta

**Zadanie:** W trójkącie \(ABC\) poprowadzono prostą równoległą do boku \(BC\), która przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\) i bok \(AC\) w punkcie \(E\). Wiadomo, że \(|AD| = 4\), \(|DB| = 6\) i \(|AE| = 3\). Oblicz \(|EC|\).

**Rozwiązanie:**

Ponieważ \(DE \parallel BC\), z twierdzenia Talesa:

$$\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}$$

$$\frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|}$$

$$|EC| = \frac{6 \cdot 3}{4} = \frac{18}{4} = 4{,}5$$

Odpowiedź: \(|EC| = 4{,}5\).

**Bonus - skala podobieństwa:** Trójkąt \(ADE\) jest podobny do trójkąta \(ABC\) w skali:

$$k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4 + 6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Więc \(|DE| = \frac{2}{5} \cdot |BC|\), a pole trójkąta \(ADE\) stanowi \(\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}\) pola trójkąta \(ABC\).

## Przykład 4 - Trójkąt z medianą i prostą równoległą

**Zadanie:** W trójkącie \(ABC\) punkt \(M\) jest środkiem boku \(BC\). Przez punkt \(M\) poprowadzono prostą równoległą do boku \(AB\), która przecina bok \(AC\) w punkcie \(N\). Oblicz stosunek \(\frac{|AN|}{|NC|}\).

**Rozwiązanie:**

Ponieważ \(MN \parallel AB\), z twierdzenia Talesa (bierzemy wierzchołek \(C\) jako wierzchołek kąta, a ramiona to \(CB\) i \(CA\)):

$$\frac{|CM|}{|MB|} = \frac{|CN|}{|NA|}$$

Ponieważ \(M\) jest środkiem \(BC\), mamy \(|CM| = |MB|\), więc:

$$\frac{|CM|}{|MB|} = 1 = \frac{|CN|}{|NA|}$$

Stąd \(|CN| = |NA|\), co oznacza, że \(N\) jest środkiem \(AC\).

$$\frac{|AN|}{|NC|} = 1$$

Ten wynik ma sens - prosta równoległa do podstawy, przechodząca przez środek boku, dzieli drugi bok też na połowy. To tzw. **odcinek średni trójkąta** - jego długość to połowa podstawy.

## Przykład 5 - Skala mapy

**Zadanie:** Na mapie w skali 1:50000 odległość między dwoma miastami wynosi 7,4 cm. Jaka jest rzeczywista odległość między tymi miastami?

**Rozwiązanie:**

Skala 1:50000 to proporcja (zastosowanie twierdzenia Talesa w praktyce):

$$\frac{\text{odległość na mapie}}{\text{odległość rzeczywista}} = \frac{1}{50000}$$

$$\frac{7{,}4}{x} = \frac{1}{50000}$$

$$x = 7{,}4 \cdot 50000 = 370000 \text{ cm} = 3700 \text{ m} = 3{,}7 \text{ km}$$

Rzeczywista odległość wynosi **3,7 km**.

**Uwaga na jednostki:** Na maturze CKE często wymaga przeliczenia jednostek. Pamiętaj: 1 km = 100 000 cm. Jeśli masz problemy z przeliczaniem, potraktuj to jak [procenty](/topics/procenty) - to też proporcje. Zadania z mapami i skalami to typowe [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), które pojawiają się niemal co roku.

## Przykład 6 - Złożone zadanie otwarte

**Zadanie:** W trapezie \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\), \(|AB| = 12\), \(|CD| = 8\)) przekątne przecinają się w punkcie \(S\). Oblicz stosunek \(\frac{|AS|}{|SC|}\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - identyfikujemy konfigurację Talesa.

Ponieważ \(AB \parallel CD\), przekątne trapezu tworzą na ramionach kąta \(ASB\) i \(DSC\) konfigurację z prostymi równoległymi.

Krok 2 - trójkąty \(ASB\) i \(CSD\) są podobne.

Z twierdzenia Talesa (bierzemy trójkąt z wierzchołkiem \(S\) i prostymi \(AB\) oraz \(CD\)):

$$\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

Odpowiedź: \(\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{3}{2}\).

Krok 3 - sprawdzenie i dodatkowe wnioski.

Skala podobieństwa trójkątów \(ASB\) i \(CSD\) wynosi \(k = \frac{3}{2}\).

Stosunek pól tych trójkątów to:

$$\frac{P_{ASB}}{P_{CSD}} = k^2 = \frac{9}{4}$$

To zadanie jest doskonałym przykładem, jak twierdzenie Talesa upraszcza pozornie trudne problemy geometryczne. Więcej takich zadań znajdziesz w naszej [bazie zadań z planimetrii](/topics/planimetria).

## Najczęstsze błędy przy twierdzeniu Talesa

Na podstawie analizy arkuszy CKE i [najczęstszych błędów maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), zebrałem typowe pomyłki:

### Błąd 1: Zła kolejność odcinków w proporcji

To najczęstszy błąd. Jeśli masz proporcję \(\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}\), to odcinki po lewej stronie muszą leżeć **na tym samym ramieniu**, a odcinki po prawej - na drugim ramieniu.

Źle: \(\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|AB|}{|OD|}\) - mieszanie ramion i odcinków.

Dobrze: \(\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OC|}{|CD|}\) - spójne ramiona.

### Błąd 2: Zapominanie o warunku równoległości

W zadaniu otwartym **musisz** wskazać, które proste są równoległe, zanim zastosujesz twierdzenie Talesa. Brak uzasadnienia = brak punktu za rozumowanie.

### Błąd 3: Mylenie "odcinków na ramieniu" z "całymi ramionami"

Jeśli \(|OA| = 3\) i \(|AB| = 5\), to \(|OB| = 8\) (cały odcinek od wierzchołka). Studenci często wstawiają 5 tam, gdzie powinno być 8 - albo odwrotnie. Zawsze narysuj rysunek i zaznacz, które odcinki masz dane, a których szukasz.

### Błąd 4: Stosowanie Talesa, gdy brak równoległości

Rysunek w zadaniu **nie jest dowodem**. Jeśli proste wyglądają na równoległe, ale zadanie tego nie stwierdza - nie możesz stosować twierdzenia Talesa. Szukaj informacji o równoległości: może wynikać z tego, że figura jest trapezem, prostokątem, albo z innego twierdzenia. O poprawnym zapisywaniu rozwiązań mówi artykuł o [zadaniach otwartych na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Twierdzenie Talesa a twierdzenie Pitagorasa

Te dwa twierdzenia często pojawiają się **razem** w jednym zadaniu maturalnym. Typowy schemat:

1. Talesem wyznaczasz proporcje i obliczasz długość boku
2. Pitagorasem obliczasz brakujący bok trójkąta prostokątnego

Albo odwrotnie - Pitagorasem obliczasz bok, a potem Talesem wyznaczasz proporcję w podobnym trójkącie. Jeśli chcesz przećwiczyć twierdzenie Pitagorasa osobno, przeczytaj nasz artykuł o [twierdzeniu Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

Połączenie Talesa z Pitagorasem to jedno z najczęstszych zadań za 2-4 punkty na maturze. Dlatego opanowanie obu twierdzeń jest absolutnie kluczowe.

## Podsumowanie - co zapamiętać o twierdzeniu Talesa

1. **Warunek konieczny** - proste muszą być równoległe. Bez równoległości nie ma Talesa.

2. **Dwie wersje** - ramiona kąta przecięte prostymi równoległymi ORAZ proste równoległe przecięte siecznymi. Obie dają proporcjonalność odcinków.

3. **Proporcje** - upewnij się, że porównujesz odpowiednie odcinki na odpowiednich ramionach. Najlepiej zawsze narysuj rysunek.

4. **Podobieństwo trójkątów** - prosta równoległa do podstawy trójkąta tworzy trójkąt podobny. Stosunek pól to kwadrat skali, stosunek obwodów to skala.

5. **Twierdzenie odwrotne** - jeśli odcinki na ramionach kąta są proporcjonalne (licząc od wierzchołka), to proste je łączące są równoległe.

6. **Na maturze** - Talesa stosuj w planimetrii (trapezy, trójkąty z prostymi równoległymi), w zadaniach z cieniem/wysokością, z mapami/skalami. To [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

Przećwicz twierdzenie Talesa na zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria) w naszej bazie - każde z rozwiązaniem krok po kroku. Jeśli zaczynasz naukę od zera, sprawdź nasz [przewodnik jak uczyć się matematyki od podstaw](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury). A jeśli do matury zostały ci ostatnie dni, skorzystaj z [planu powtórki na tydzień przed maturą](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan).

Powodzenia na egzaminie! Więcej artykułów tematycznych znajdziesz na naszym [blogu o maturze z matematyki](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i w [kompletnym przewodniku po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania
title: Twierdzenie Pitagorasa na maturze - zadania, wzory i zastosowania krok po kroku
description: Twierdzenie Pitagorasa na maturze: wzór, trójkąty pitagorejskie, przekątna prostokąta, Pitagoras w stereometrii. Siedem zadań z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Twierdzenie Pitagorasa na maturze - zadania, wzory i zastosowania krok po kroku

## Twierdzenie Pitagorasa - najważniejszy wzór na maturze

Jeśli miałbym wybrać jedno twierdzenie, które pojawia się na maturze z matematyki najczęściej, to byłoby właśnie **twierdzenie Pitagorasa**. Nie przesadzam - na każdym arkuszu CKE z ostatnich 10 lat znajdziesz co najmniej 2-3 zadania, w których musisz go użyć. Czasem wprost (oblicz bok trójkąta prostokątnego), a częściej jako narzędzie w większym zadaniu - w [planimetrii](/topics/planimetria), [stereometrii](/topics/stereometria) czy [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna).

Na [maturze próbnej CKE z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) Pitagoras pojawił się w aż 4 zadaniach. Na [maturze z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) - w trzech. To nie przypadek. CKE uwielbia twierdzenie Pitagorasa, bo jest uniwersalne - łączy planimetrię ze stereometrią, trygonometrię z geometrią analityczną.

W tym artykule pokażę ci dokładnie, **kiedy i jak** stosować twierdzenie Pitagorasa na maturze. Nie tylko sam wzór - ale pełne zastosowania z rozwiązaniami, trójkąty pitagorejskie, najczęstsze pułapki i triki, które zaoszczędzą ci czas na egzaminie. Jeśli szukasz ogólnego planu nauki, zajrzyj do [kompletnego przewodnika po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

## Wzór i kiedy go stosować

Twierdzenie Pitagorasa dotyczy **wyłącznie trójkątów prostokątnych**. To najważniejsza rzecz, którą musisz zapamiętać - stosujesz go tylko wtedy, gdy masz kąt prosty (90 stopni).

### Treść twierdzenia

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Gdzie:
- \(a\) i \(b\) to **przyprostokątne** (boki przy kącie prostym)
- \(c\) to **przeciwprostokątna** (najdłuższy bok, naprzeciwko kąta prostego) - czasem nazywana **hipotenuzą**

### Trzy warianty wzoru

W zależności od tego, którego boku szukasz, przekształcasz wzór:

**Szukasz przeciwprostokątnej \(c\):**

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

**Szukasz przyprostokątnej \(a\):**

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

**Szukasz przyprostokątnej \(b\):**

$$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

**Rada na maturę:** Zanim podstawisz liczby, zawsze sprawdź, który bok jest przeciwprostokątną. To ten, który leży naprzeciwko kąta prostego - i jest zawsze **najdłuższy**. Jeśli obliczysz bok i wyjdzie ci dłuższy niż przeciwprostokątna, masz błąd w podstawieniu. Ten prosty check uratował wielu maturzystów. Więcej takich trików znajdziesz w artykule o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Trójkąty pitagorejskie - znajomość, która oszczędza czas

Trójkąt pitagorejski to taki trójkąt prostokątny, którego wszystkie boki mają **długości będące liczbami naturalnymi**. Zapamiętanie kilku takich trójkątów pozwoli ci rozwiązywać zadania maturalne **bez liczenia** - zobaczysz proporcje boków i od razu zapiszesz wynik.

### Podstawowe trójkąty pitagorejskie

| Boki | Sprawdzenie |
|------|------------|
| 3, 4, 5 | \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) |
| 5, 12, 13 | \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) |
| 8, 15, 17 | \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\) |
| 7, 24, 25 | \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\) |

### Wielokrotności trójkątów pitagorejskich

Jeśli \((a, b, c)\) jest trójką pitagorejską, to \((ka, kb, kc)\) też jest trójką pitagorejską dla dowolnego \(k > 0\). Na maturze najczęściej pojawiają się wielokrotności trójki (3, 4, 5):

| Wielokrotność | Boki |
|---------------|------|
| \(k = 2\) | 6, 8, 10 |
| \(k = 3\) | 9, 12, 15 |
| \(k = 4\) | 12, 16, 20 |
| \(k = 5\) | 15, 20, 25 |
| \(k = 10\) | 30, 40, 50 |

**Wskazówka maturalna:** Gdy widzisz trójkąt prostokątny z bokami 6 i 8, nie licz \(\sqrt{36 + 64}\). Po prostu rozpoznaj wielokrotność (3, 4, 5) z \(k = 2\), więc trzeci bok to 10. Na maturze liczy się czas - zobacz nasze [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), żeby wiedzieć, na co zwrócić szczególną uwagę.

## Zastosowanie 1: Przekątna prostokąta

Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. To jedno z najczęstszych zastosowań twierdzenia Pitagorasa na maturze.

Jeśli prostokąt ma boki \(a\) i \(b\), to jego przekątna \(d\) wynosi:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

### Przykład 1 - Przekątna prostokąta (typ maturalny)

**Zadanie:** Prostokąt ma boki o długościach 5 cm i 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta.

**Rozwiązanie:**

Przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne to boki prostokąta:

$$d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Rozpoznajemy trójkę pitagorejską (5, 12, 13) - przekątna wynosi **13 cm**.

**Szczególny przypadek - kwadrat:** Przekątna kwadratu o boku \(a\) wynosi \(d = a\sqrt{2}\). Wynika to z Pitagorasa: \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). Ten wzór warto znać na pamięć, bo pojawia się na maturze regularnie.

## Zastosowanie 2: Wysokość trójkąta równobocznego

Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. Każdy z nich ma:
- przeciwprostokątną \(a\) (bok trójkąta równobocznego)
- przyprostokątną \(\frac{a}{2}\) (połowa podstawy)
- przyprostokątną \(h\) (szukana wysokość)

Z twierdzenia Pitagorasa:

$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$

$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ten wzór jest jednym z [wzorów spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac). Pojawia się praktycznie co roku - w zadaniach o polach trójkątów, brył i kompozycjach figur.

### Przykład 2 - Trójkąt równoboczny (zadanie maturalne)

**Zadanie:** Trójkąt równoboczny ma bok o długości 8 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

**Rozwiązanie:**

Najpierw obliczamy wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

$$h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Teraz pole trójkąta:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\) to \(P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\). Dla \(a = 8\):

$$P = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

## Zastosowanie 3: Pitagoras w układzie współrzędnych

W [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) twierdzenie Pitagorasa jest fundamentem **wzoru na odległość dwóch punktów**.

Mamy punkty \(A = (x_1, y_1)\) i \(B = (x_2, y_2)\). Odległość między nimi:

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Skąd się bierze ten wzór? Rysujemy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest odcinek \(AB\), a przyprostokątne to różnice współrzędnych \(|x_2 - x_1|\) i \(|y_2 - y_1|\). Stosujemy Pitagorasa i gotowe.

Więcej o tym wzorze i jego zastosowaniach znajdziesz w artykule o [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

### Przykład 3 - Odległość punktów (typ maturalny)

**Zadanie:** Punkty \(A = (-2, 3)\) i \(B = (4, -1)\) są końcami średnicy okręgu. Oblicz pole tego okręgu.

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - obliczamy długość średnicy (odległość punktów \(A\) i \(B\)):

$$|AB| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$$

$$|AB| = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$$

Krok 2 - promień to połowa średnicy:

$$r = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$$

Krok 3 - pole okręgu:

$$P = \pi r^2 = \pi \cdot (\sqrt{13})^2 = 13\pi$$

Pole okręgu wynosi \(13\pi\).

## Zastosowanie 4: Pitagoras w stereometrii

W [stereometrii](/topics/stereometria) twierdzenie Pitagorasa jest absolutnie niezbędne. Pojawia się przy obliczaniu:
- przekątnej prostopadłościanu
- wysokości ostrosłupa
- tworzących stożka
- odległości w bryle

### Przekątna prostopadłościanu

Prostopadłościan o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) ma przekątną:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

**Dowód (podwójne zastosowanie Pitagorasa):**

Krok 1: Przekątna podstawy (prostokąta \(a \times b\)):

$$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Krok 2: Przekątna prostopadłościanu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi \(d_1\) i \(c\):

$$d = \sqrt{d_1^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

**Szczególny przypadek - sześcian:** Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\): \(d = a\sqrt{3}\).

### Przykład 4 - Przekątna prostopadłościanu

**Zadanie:** Prostopadłościan ma krawędzie o długościach 3 cm, 4 cm i 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

**Rozwiązanie:**

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$$

Przekątna prostopadłościanu wynosi **13 cm**. Zauważ, że pod pierwiastkiem kryje się znajoma liczba - to nie przypadek. CKE lubi dobierać wymiary tak, żeby wynik wychodził "ładnie".

Więcej zadań ze stereometrii znajdziesz w naszym artykule o [stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i w [bazie zadań ze stereometrii](/topics/stereometria).

### Przykład 5 - Wysokość ostrosłupa prawidłowego (zadanie otwarte)

**Zadanie:** Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(a = 6\) cm i krawędź boczną \(l = 5\) cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - identyfikujemy trójkąt prostokątny.

Wysokość ostrosłupa opada z wierzchołka na środek podstawy (kwadrat o boku 6). Połowa przekątnej kwadratu to odległość od środka do wierzchołka podstawy:

$$\frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Krok 2 - mamy trójkąt prostokątny z:
- przeciwprostokątną \(l = 5\) (krawędź boczna)
- przyprostokątną \(3\sqrt{2}\) (połowa przekątnej podstawy)
- przyprostokątną \(H\) (szukana wysokość)

Krok 3 - stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

$$H^2 + (3\sqrt{2})^2 = 5^2$$

$$H^2 + 18 = 25$$

$$H^2 = 7$$

$$H = \sqrt{7} \text{ cm}$$

Wysokość ostrosłupa wynosi \(\sqrt{7}\) cm. Jeśli masz problem z zadaniami otwartymi tego typu, przeczytaj [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Zastosowanie 5: Pitagoras i trygonometria

Twierdzenie Pitagorasa jest ściśle powiązane z [trygonometrią](/topics/trygonometria). Jedynka trygonometryczna to nic innego jak twierdzenie Pitagorasa zapisane w języku funkcji trygonometrycznych:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Na maturze często pojawia się zadanie: "Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Oblicz \(\cos\alpha\)." Rozwiązujesz je właśnie Pitagorasem.

### Przykład 6 - Pitagoras i trygonometria

**Zadanie:** Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{5}{13}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin\alpha + \text{tg}\,\alpha\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1 - rysujemy trójkąt prostokątny, w którym:
- bok przyległy do \(\alpha\) wynosi 5
- przeciwprostokątna wynosi 13

Krok 2 - obliczamy bok naprzeciwko \(\alpha\) (z Pitagorasa):

$$a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Rozpoznajemy trójkę pitagorejską (5, 12, 13).

Krok 3 - obliczamy wartości:

$$\sin\alpha = \frac{12}{13}$$

$$\text{tg}\,\alpha = \frac{12}{5}$$

Krok 4 - wynik:

$$\sin\alpha + \text{tg}\,\alpha = \frac{12}{13} + \frac{12}{5} = \frac{60}{65} + \frac{156}{65} = \frac{216}{65}$$

Więcej zadań z trygonometrii rozwiążesz w [bazie zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria) lub przeczytasz w artykule o [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Odwrotne twierdzenie Pitagorasa

CKE lubi zadania, w których musisz sprawdzić, **czy trójkąt jest prostokątny**. Tu przydaje się odwrotne twierdzenie Pitagorasa:

> Jeśli w trójkącie o bokach \(a\), \(b\), \(c\) (gdzie \(c\) jest najdłuższym bokiem) zachodzi \(a^2 + b^2 = c^2\), to trójkąt jest prostokątny, a kąt prosty leży naprzeciwko boku \(c\).

### Co więcej - uogólnienie

- Jeśli \(a^2 + b^2 = c^2\) - trójkąt jest **prostokątny**
- Jeśli \(a^2 + b^2 > c^2\) - trójkąt jest **ostrokątny**
- Jeśli \(a^2 + b^2 < c^2\) - trójkąt jest **rozwartokątny**

### Przykład 7 - Sprawdzanie, czy trójkąt jest prostokątny

**Zadanie:** Sprawdź, czy trójkąt o bokach 7, 24 i 25 jest prostokątny.

**Rozwiązanie:**

Najdłuższy bok to \(c = 25\). Sprawdzamy warunek:

$$a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$

$$c^2 = 25^2 = 625$$

Ponieważ \(a^2 + b^2 = c^2\), trójkąt **jest prostokątny**, z kątem prostym naprzeciwko boku o długości 25.

**Pułapka maturalna:** Trójkąt o bokach 5, 7 i 9 - czy jest prostokątny?

$$5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$$

$$9^2 = 81$$

Ponieważ \(74 < 81\), trójkąt **nie jest prostokątny** (jest rozwartokątny). Gdybyś automatycznie użył twierdzenia Pitagorasa do obliczenia boku, dostałbyś błędny wynik. Zawsze najpierw weryfikuj, czy trójkąt jest prostokątny.

## Najczęstsze pułapki i błędy

Na podstawie arkuszy CKE i naszej [analizy najczęstszych błędów maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) zebrałem listę typowych pomyłek:

### Pułapka 1: Stosowanie Pitagorasa do trójkąta, który nie jest prostokątny

To najpoważniejszy błąd. Przed użyciem wzoru \(a^2 + b^2 = c^2\) **musisz mieć pewność**, że trójkąt ma kąt prosty. Skąd to wiedzieć?

- Zadanie mówi wprost: "trójkąt prostokątny"
- W figurze jest zaznaczony kąt prosty (kwadracik)
- Trójkąt jest wpisany w okrąg, a jeden bok jest średnicą (twierdzenie Talesa o kącie wpisanym)
- Możesz to udowodnić odwrotnym twierdzeniem Pitagorasa

### Pułapka 2: Mylenie przyprostokątnej z przeciwprostokątną

Jeśli wstawisz przeciwprostokątną na miejsce przyprostokątnej, dostaniesz ujemną liczbę pod pierwiastkiem. To powinien być sygnał alarmowy - długość boku nie może być ujemna. Zawsze sprawdzaj, że \(c\) (po prawej stronie) jest najdłuższym bokiem.

### Pułapka 3: Błędy rachunkowe przy pierwiastkach

Typowy błąd: \(\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b\). Na przykład:

$$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$$

Pierwiastek z sumy **nie jest** sumą pierwiastków. To pozornie oczywiste, ale pod presją czasu na egzaminie zdarza się nagminnie. Więcej o unikaniu takich błędów przeczytasz w artykule o [błędach rachunkowych na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

### Pułapka 4: Zapominanie o upraszczaniu pierwiastków

Na maturze trzeba podawać wynik w postaci uproszczonej. Jeśli dostajesz \(\sqrt{50}\), to musisz zapisać:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$

CKE odejmuje punkty za brak uproszczenia w zadaniach otwartych. Sprawdź [zasady oceniania zadań maturalnych](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania), żeby wiedzieć, co dokładnie jest punktowane.

## Podsumowanie - kiedy stosować Pitagorasa na maturze

Twierdzenie Pitagorasa pojawia się na maturze w następujących kontekstach:

1. **Planimetria** - obliczanie boku trójkąta prostokątnego, przekątnej prostokąta, wysokości trójkąta równobocznego, zadania z figurami wpisanymi i opisanymi - [ćwicz planimetrię](/topics/planimetria)
2. **Stereometria** - przekątna prostopadłościanu, wysokość ostrosłupa, tworząca stożka - [ćwicz stereometrię](/topics/stereometria)
3. **Geometria analityczna** - odległość dwóch punktów, długość odcinka, promień okręgu - [ćwicz geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna)
4. **Trygonometria** - jedynka trygonometryczna, obliczanie drugiej funkcji trygonometrycznej - [ćwicz trygonometrię](/topics/trygonometria)
5. **Sprawdzanie, czy trójkąt jest prostokątny** - odwrotne twierdzenie Pitagorasa

Zapamiętaj trójki pitagorejskie (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) i ich wielokrotności. Naucz się wzorów na wysokość trójkąta równobocznego \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) i przekątną kwadratu \(d = a\sqrt{2}\).

Jeśli chcesz przećwiczyć twierdzenie Pitagorasa w praktyce, rozwiązuj zadania z [planimetrii](/topics/planimetria) i [stereometrii](/topics/stereometria) w naszej bazie. Każde zadanie ma rozwiązanie krok po kroku, więc możesz sprawdzić swoje podejście na bieżąco.

Powodzenia na maturze! Jeśli szukasz planu na ostatnie tygodnie przed egzaminem, sprawdź [plan nauki na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka) albo [powtórkę tydzień przed maturą](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan).

Twierdzenie Pitagorasa to jedna z kilku dróg do boku trójkąta - obok twierdzenia cosinusów, sinusów i podobieństwa. Kompletny przegląd metod z podpowiedzią, kiedy która działa, znajdziesz w poradniku [jak obliczyć długość boku trójkąta](/jak-obliczyc-dlugosc-boku-trojkata-wzory-metody).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania
title: Trygonometria na maturze z matematyki - wzory, zadania i rozwiązania krok po kroku
description: Trygonometria na maturze z matematyki: wzory trygonometryczne, tożsamości, funkcje trygonometryczne kąta ostrego i dowolnego. Zadania CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Trygonometria na maturze z matematyki - wzory, zadania i rozwiązania krok po kroku

## Dlaczego trygonometria jest ważna na maturze?

Trygonometria pojawia się na maturze z matematyki niemal co roku - zarówno w zadaniach zamkniętych (1 punkt), jak i otwartych (2-5 punktów). Na przestrzeni lat 2015-2025 stanowiła średnio **3-4 zadania na arkusz**, co daje nawet 8-10 punktów do zdobycia. Zrozumienie kilku kluczowych wzorów pozwala szybko rozwiązywać te zadania i oszczędzać czas na trudniejsze partie egzaminu.

## Podstawowe definicje funkcji trygonometrycznych

Dla kąta ostrego \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym:

$$\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$$

$$\cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$$

$$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przyprostokątna przy}}$$

Te trzy definicje to absolutna podstawa - jeśli je rozumiesz, połowa zadań trygonometrycznych staje się oczywista.

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla dowolnego kąta policzysz w [kalkulatorze trygonometrycznym](/narzedzia/kalkulator-trygonometryczny). Działa też w drugą stronę: podajesz wartość funkcji, a dostajesz kąt, razem z zapisem dokładnym tam, gdzie taki istnieje.

Interaktywny kalkulator: kalkulator-trygonometryczny (dostępny na stronie wpisu)

## Jedynka trygonometryczna i tożsamości

Najważniejszy wzór, który pojawia się na maturze najczęściej:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Z jedynki trygonometrycznej wynikają przekształcenia, które CKE uwielbia testować:

- Jeśli znasz \(\sin\alpha\), obliczysz \(\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}\)
- Jeśli znasz \(\cos\alpha\), obliczysz \(\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}\)

Znak zależy od ćwiartki - na maturze podstawowej najczęściej operujemy na kątach ostrych, więc obie funkcje są dodatnie.

## Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych

Ta tabelka to absolutny must-know przed egzaminem:

| Kąt | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tg\) |
|-----|----------|----------|---------|
| \(30°\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(45°\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60°\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |

**Trick do zapamiętania sinusów:** \(\frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\) - pod pierwiastkiem idą kolejno 1, 2, 3.

Wartości sprawdzisz też w [interaktywnej tabeli trygonometrycznej](/wzory/tabela-trygonometryczna) - przełączasz jednostki (stopnie lub radiany), zakres kątów (podstawowy lub pełny) oraz zapis (dokładny lub dziesiętny), a całą tabelę kopiujesz jednym kliknięciem.

Interaktywny kalkulator: tabela-trygonometryczna (dostępny na stronie wpisu)

## Twierdzenie sinusów i cosinusów

Na maturze zadania z planimetrii często wymagają jednego z tych twierdzeń:

**Twierdzenie cosinusów** (uogólnienie Pitagorasa):
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$

**Twierdzenie sinusów:**
$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

Kiedy którego używać?
- Znasz dwa boki i kąt **między** nimi - twierdzenie cosinusów
- Znasz bok i kąt **naprzeciw** niego - twierdzenie sinusów
- Musisz znaleźć promień okręgu opisanego \(R\) - twierdzenie sinusów

## Najczęstsze błędy na maturze

**Błąd 1: Zamiana sinusa z cosinusem.** Przy kącie \(30°\) wielu uczniów podaje \(\sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - to cosinus! Pamiętaj: sinus 30° to ta mniejsza wartość (\(\frac{1}{2}\)).

**Błąd 2: Zapominanie o znaku.** W zadaniach z ćwiartkami (kąty tępe) cosinus jest ujemny. Jeśli \(\alpha \in (90°, 180°)\), to \(\cos\alpha < 0\).

**Błąd 3: Błędne stosowanie tw. cosinusów.** Kąt \(\alpha\) musi być **naprzeciw** boku \(a\), nie przy nim. Pomyłka w tej kwestii daje zupełnie błędny wynik.

## Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

### Przykład 1: Jedynka trygonometryczna z ćwiartkami

**Treść:** Kąt \(\alpha\) spełnia warunki \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) oraz \(\alpha \in (90°, 180°)\). Oblicz \(\cos\alpha\) i \(\tg\alpha\).

**Rozwiązanie:**

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

$$\cos\alpha = \pm\frac{4}{5}$$

Ponieważ \(\alpha \in (90°, 180°)\) (druga ćwiartka), cosinus jest ujemny:
$$\cos\alpha = -\frac{4}{5}$$

Tangens:
$$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$

**Odpowiedź:** \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\), \(\tg\alpha = -\frac{3}{4}\)

### Przykład 2: Twierdzenie cosinusów

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 7\), \(b = 5\), \(c = 8\). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) (naprzeciw boku \(a\)).

**Rozwiązanie:**

Z twierdzenia cosinusów:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$

$$49 = 25 + 64 - 80\cos\alpha$$

$$49 = 89 - 80\cos\alpha$$

$$80\cos\alpha = 40$$

$$\cos\alpha = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$$

Zatem \(\alpha = 60°\).

**Odpowiedź:** \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\), czyli \(\alpha = 60°\)

### Przykład 3: Pole trójkąta z sinusem

**Treść:** Dwa boki trójkąta mają długości 6 cm i 10 cm, a kąt między nimi wynosi \(30°\). Oblicz pole tego trójkąta.

**Rozwiązanie:**

Wzór na pole trójkąta z sinusem kąta:
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30°$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 15 \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi \(15 \text{ cm}^2\)

### Przykład 4: Twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) dane są: \(a = 10\) i \(\alpha = 30°\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

**Rozwiązanie:**

Z twierdzenia sinusów:
$$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$$

$$\frac{10}{\sin 30°} = 2R$$

$$\frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R$$

$$20 = 2R$$

$$R = 10$$

**Odpowiedź:** Promień okręgu opisanego wynosi \(R = 10\)

## Jak ćwiczyć trygonometrię przed maturą

Rekomendowana kolejność:
1. Opanuj wartości kątów szczególnych - to baza, bez niej nic nie policzysz
2. Przećwicz jedynkę trygonometryczną na 5-10 zadaniach zamkniętych
3. Rozwiąż zadania z twierdzeniem cosinusów i sinusów w kontekście planimetrii
4. Spróbuj zadań otwartych łączących trygonometrię ze stereometrią

Na Sprawnej Maturze masz ponad 120 zadań z trygonometrii z pełnymi rozwiązaniami - zacznij od najnowszych arkuszy (2024-2026) i cofaj się w czasie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania
title: Trójkąty podobne na maturze - cechy podobieństwa, skala i zadania z rozwiązaniami
description: Trójkąty podobne na maturze: cechy KKK, KBK, BBB, skala k, stosunek pól k² i obwodów k. Rozwiązane zadania maturalne z planimetrii krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Trójkąty podobne na maturze - cechy podobieństwa, skala i zadania z rozwiązaniami

Trójkąty podobne to jeden z najważniejszych tematów [planimetrii na maturze z matematyki](/planimetria-na-maturze-pola-twierdzenia-zadania). Zadania z podobieństwa trójkątów pojawiają się na egzaminie praktycznie co roku - zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym. Dlaczego? Bo podobieństwo łączy w sobie geometrię kątów, proporcje boków, [twierdzenie Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania) i obliczanie pól figur. Jedno zagadnienie, a możliwości zadań - niemal nieograniczone.

Dobra wiadomość jest taka, że cechy podobieństwa trójkątów to zamknięty zbiór reguł, które da się opanować w jeden wieczór. Jeśli dobrze je zrozumiesz i przećwiczysz na konkretnych przykładach, zyskasz pewne punkty na maturze. W tym przewodniku znajdziesz wszystko, czego potrzebujesz - od definicji, przez cechy podobieństwa, aż po rozwiązane zadania maturalne.

## Definicja podobieństwa trójkątów

Dwa trójkąty nazywamy **podobnymi**, gdy spełniony jest jeden z dwóch równoważnych warunków:

1. **Wszystkie odpowiadające sobie kąty są równe** - trójkąt \( ABC \) jest podobny do trójkąta \( DEF \), gdy \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle E \), \( \angle C = \angle F \).

2. **Odpowiadające sobie boki są proporcjonalne** - istnieje taka liczba \( k > 0 \), że:

$$\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{|DF|}{|AC|} = k$$

Podobieństwo trójkątów zapisujemy symbolem \( \sim \):

$$\triangle ABC \sim \triangle DEF$$

**Uwaga na kolejność wierzchołków!** Zapis \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) oznacza, że wierzchołek \( A \) odpowiada wierzchołkowi \( D \), wierzchołek \( B \) odpowiada \( E \), a \( C \) odpowiada \( F \). To nie jest przypadkowa kolejność - wynika z niej, które boki i kąty sobie odpowiadają. Pomylenie kolejności to jeden z najczęstszych błędów na maturze.

### Intuicja za podobieństwem

Trójkąty podobne mają identyczny kształt, ale mogą się różnić wielkością. Wyobraź sobie, że powiększasz lub pomniejszasz trójkąt na kserokopiarce - kąty się nie zmieniają, a wszystkie boki zmieniają się w tej samej proporcji. To właśnie jest podobieństwo.

## Trzy cechy podobieństwa trójkątów

Aby udowodnić, że dwa trójkąty są podobne, nie musisz sprawdzać wszystkich kątów i wszystkich boków. Wystarczy zweryfikować jedną z trzech cech podobieństwa.

### Cecha KKK (kąt-kąt-kąt)

**Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.**

W praktyce wystarczy sprawdzić **dwa kąty** - trzeci wynika automatycznie z faktu, że suma kątów w trójkącie wynosi \( 180° \).

To najczęściej stosowana cecha na maturze. Używasz jej, gdy:
- w zadaniu podane są miary kątów,
- kąty wynikają z konstrukcji (np. kąty wpisane, kąty naprzemianległe przy równoległych prostych),
- trójkąty mają wspólny kąt.

**Przykład:** Trójkąt \( ABC \) ma kąty \( 40°, 60°, 80° \). Trójkąt \( DEF \) ma kąty \( 60°, 80°, 40° \). Trójkąty są podobne z cechy KKK, bo mają takie same miary kątów.

### Cecha KBK (kąt-bok-kąt)

**Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty są podobne.**

Formalnie: jeśli \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} \) oraz \( \angle B = \angle E \), to \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).

Stosuj tę cechę, gdy:
- znasz dwa boki każdego trójkąta i kąt między nimi,
- kąt zawarty jest wspólny dla obu trójkątów (np. oba trójkąty mają wierzchołek w tym samym punkcie).

### Cecha BBB (bok-bok-bok)

**Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne.**

Formalnie: jeśli \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} \), to \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).

Stosuj tę cechę, gdy:
- znasz długości wszystkich sześciu boków,
- musisz sprawdzić, czy trójkąty o danych bokach mogą być podobne.

### Tabela porównawcza cech podobieństwa

| Cecha | Co sprawdzamy | Kiedy stosować | Częstość na maturze |
|-------|---------------|----------------|---------------------|
| KKK | 2 pary równych kątów | Zadania z kątami, proste równoległe, kąty wpisane | Bardzo często |
| KBK | 2 pary proporcjonalnych boków + kąt między nimi | Trójkąty ze wspólnym kątem i podanymi bokami | Często |
| BBB | 3 pary proporcjonalnych boków | Zadania z samymi długościami boków | Rzadziej |

Na maturze zdecydowanie najczęściej przydaje się **cecha KKK**. Warto ją opanować w pierwszej kolejności - szczególnie w połączeniu z [kątami w figurach](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat), które pomagają odnajdywać równe kąty.

## Skala podobieństwa

### Co to jest skala podobieństwa?

**Skala podobieństwa** (oznaczana literą \( k \)) to stosunek odpowiadających sobie boków trójkątów podobnych:

$$k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{|EF|}{|BC|} = \frac{|DF|}{|AC|}$$

Jeśli \( k = 2 \), to trójkąt \( DEF \) jest dwa razy większy od trójkąta \( ABC \). Jeśli \( k = \frac{1}{3} \), to jest trzy razy mniejszy.

### Jak znajdować skalę?

Aby wyznaczyć skalę podobieństwa, wystarczy znaleźć **jedną parę odpowiadających sobie boków** i podzielić ich długości:

$$k = \frac{\text{bok drugiego trójkąta}}{\text{odpowiadający bok pierwszego trójkąta}}$$

**Przykład:** Jeśli \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \), \( |AB| = 6 \) i \( |DE| = 9 \), to:

$$k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$

To oznacza, że każdy bok trójkąta \( DEF \) jest \( \frac{3}{2} \) razy dłuższy niż odpowiadający mu bok trójkąta \( ABC \).

## Stosunek pól i obwodów trójkątów podobnych

To kluczowy fragment teorii, który pojawia się na maturze bardzo często. Wielu uczniów myli te zależności, a szkoda - są proste do zapamiętania.

### Stosunek obwodów

Obwody trójkątów podobnych mają się do siebie jak **skala podobieństwa**:

$$\frac{O_2}{O_1} = k$$

Logika jest prosta - skoro każdy bok zmienia się \( k \) razy, to ich suma (czyli obwód) też zmienia się \( k \) razy.

### Stosunek pól

Pola [trójkątów podobnych](/przekatne-trapezu-trojkaty-podobne-pola-trojkatow-matura#typowe-pulapki) mają się do siebie jak **kwadrat skali podobieństwa**:

$$\frac{P_2}{P_1} = k^2$$

Dlaczego kwadrat? Bo pole zależy od iloczynu dwóch wymiarów (np. podstawa razy wysokość). Jeśli oba się zwiększą \( k \) razy, to ich iloczyn wzrośnie \( k^2 \) razy.

### Tabela zależności

| Wielkość | Stosunek | Przykład dla \( k = 3 \) |
|----------|----------|---------------------------|
| Odpowiadające boki | \( k \) | 3 razy dłuższe |
| Obwody | \( k \) | 3 razy większy |
| Pola | \( k^2 \) | 9 razy większe |
| Wysokości, mediany, dwusieczne | \( k \) | 3 razy dłuższe |
| Promienie okręgów wpisanych/opisanych | \( k \) | 3 razy większe |

Zapamiętaj: **boki, obwody, wysokości - razy k; pola - razy k do kwadratu**. Ta reguła przenosi się również na [obliczanie pól i obwodów](/pole-obwod-figur-matura-wzory) w bardziej złożonych zadaniach.

## Twierdzenie Talesa a podobieństwo trójkątów

[Twierdzenie Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania) to w gruncie rzeczy specjalny przypadek podobieństwa trójkątów. Gdy prosta równoległa do jednego z boków trójkąta przecina dwa pozostałe boki, tworzy mniejszy trójkąt podobny do wyjściowego.

### Jak to działa?

Rozważmy trójkąt \( ABC \). Prosta równoległa do boku \( BC \) przecina bok \( AB \) w punkcie \( D \) i bok \( AC \) w punkcie \( E \).

Wtedy \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) z cechy KKK, bo:
- \( \angle A \) jest wspólny,
- \( \angle ADE = \angle ABC \) (kąty odpowiadające przy prostych równoległych),
- \( \angle AED = \angle ACB \) (kąty odpowiadające przy prostych równoległych).

Z tego podobieństwa wynika proporcja Talesa:

$$\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|}$$

Ta zależność jest jednym z najczęstszych narzędzi w [zadaniach z planimetrii](/topics/planimetria) na maturze. Kiedy widzisz prostą równoległą do boku trójkąta, od razu myśl o podobieństwie.

## Rozwiązane przykłady

### Zadanie 1 - wyznaczenie boku z proporcji (poziom podstawowy)

**Treść:** Trójkąty \( ABC \) i \( DEF \) są podobne. Wiadomo, że \( |AB| = 4 \), \( |BC| = 6 \), \( |AC| = 8 \) oraz \( |DE| = 6 \). Oblicz długości boków \( |EF| \) i \( |DF| \).

**Rozwiązanie:**

Wyznaczamy skalę podobieństwa z pary odpowiadających sobie boków \( AB \) i \( DE \):

$$k = \frac{|DE|}{|AB|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Teraz mnożymy każdy bok trójkąta \( ABC \) przez \( k \):

$$|EF| = |BC| \cdot k = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$$

$$|DF| = |AC| \cdot k = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$$

**Odpowiedź:** \( |EF| = 9 \), \( |DF| = 12 \).

### Zadanie 2 - stosunek pól (poziom podstawowy)

**Treść:** Trójkąty podobne mają boki w stosunku \( 2:5 \). Pole mniejszego trójkąta wynosi \( 12 \text{ cm}^2 \). Oblicz pole większego trójkąta.

**Rozwiązanie:**

Skala podobieństwa wynosi \( k = \frac{5}{2} \).

Stosunek pól to kwadrat skali:

$$\frac{P_2}{P_1} = k^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$

Stąd:

$$P_2 = P_1 \cdot \frac{25}{4} = 12 \cdot \frac{25}{4} = 75 \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** Pole większego trójkąta wynosi \( 75 \text{ cm}^2 \).

### Zadanie 3 - podobieństwo z twierdzeniem Talesa (poziom podstawowy/rozszerzony)

**Treść:** W trójkącie \( ABC \) punkt \( D \) leży na boku \( AB \), a punkt \( E \) na boku \( AC \), przy czym \( DE \parallel BC \). Wiadomo, że \( |AD| = 3 \), \( |DB| = 5 \) i \( |BC| = 16 \). Oblicz długość odcinka \( DE \).

**Rozwiązanie:**

Skoro \( DE \parallel BC \), to \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) (cecha KKK - wspólny kąt \( A \) i kąty odpowiadające przy prostych równoległych).

Wyznaczamy skalę podobieństwa:

$$|AB| = |AD| + |DB| = 3 + 5 = 8$$

$$k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{3}{8}$$

Odcinek \( DE \) odpowiada bokowi \( BC \):

$$|DE| = |BC| \cdot k = 16 \cdot \frac{3}{8} = 6$$

**Odpowiedź:** \( |DE| = 6 \).

To klasyczny typ zadania łączący [twierdzenie Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania) z podobieństwem. Pojawia się na maturze regularnie.

### Zadanie 4 - wysokość na przeciwprostokątną (poziom rozszerzony)

**Treść:** W trójkącie prostokątnym \( ABC \) z kątem prostym przy wierzchołku \( C \) poprowadzono wysokość \( CD \) na przeciwprostokątną \( AB \). Wiadomo, że \( |AC| = 6 \) i \( |BC| = 8 \). Oblicz długość odcinka \( CD \).

**Rozwiązanie:**

Najpierw obliczamy przeciwprostokątną z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania):

$$|AB| = \sqrt{|AC|^2 + |BC|^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Teraz kluczowa obserwacja - wysokość na przeciwprostokątną tworzy **trzy trójkąty podobne**:

$$\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$$

Z podobieństwa \( \triangle ABC \sim \triangle ACD \) mamy:

$$\frac{|CD|}{|BC|} = \frac{|AC|}{|AB|}$$

$$|CD| = \frac{|BC| \cdot |AC|}{|AB|} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4{,}8$$

**Odpowiedź:** \( |CD| = 4{,}8 \).

### Zadanie 5 - trójkąty w trapezie (poziom rozszerzony)

**Treść:** W trapezie \( ABCD \) podstawy mają długości \( |AB| = 12 \) i \( |CD| = 4 \). Przekątne \( AC \) i \( BD \) przecinają się w punkcie \( P \). Oblicz stosunek \( \frac{|AP|}{|PC|} \).

**Rozwiązanie:**

Przekątne trapezu przecinając się tworzą trójkąty podobne. Rozważmy trójkąty \( \triangle ABP \) i \( \triangle CDP \).

Sprawdzamy podobieństwo (cecha KKK):
- \( \angle APB = \angle CPD \) (kąty wierzchołkowe),
- \( \angle ABP = \angle CDP \) (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \( AB \parallel CD \)),
- \( \angle BAP = \angle DCP \) (kąty naprzemianległe).

Zatem \( \triangle ABP \sim \triangle CDP \). Skala podobieństwa:

$$k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{12}{4} = 3$$

Z proporcjonalności boków:

$$\frac{|AP|}{|CP|} = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{12}{4} = 3$$

**Odpowiedź:** \( \frac{|AP|}{|PC|} = 3 \).

Ten schemat - trójkąty podobne w trapezie - to kolejny [pewniaczek maturalny](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Przekątne trapezu dzielą się w stosunku równym stosunkowi podstaw.

## Najczęstsze błędy na maturze

### 1. Pomylona kolejność wierzchołków

Jeśli \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \), to bok \( AB \) odpowiada bokowi \( DE \), nie \( DF \). Pomylenie kolejności prowadzi do złych proporcji. **Rada:** zawsze rysuj oba trójkąty tak, aby odpowiadające sobie wierzchołki były w tych samych pozycjach.

### 2. Stosowanie \( k^2 \) do obwodów

Stosunek obwodów to \( k \), nie \( k^2 \). Kwadrat skali dotyczy **tylko pól**. Wielu uczniów automatycznie podnosi skalę do kwadratu w każdym rachunku - to poważny błąd.

### 3. Zapominanie o uzasadnieniu podobieństwa

Na maturze nie wystarczy napisać, że trójkąty są podobne. Musisz wskazać **konkretną cechę** (KKK, KBK lub BBB) i pokazać, które kąty lub boki spełniają jej warunki.

### 4. Mylenie podobieństwa z przystawaniem

Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć różną wielkość. Trójkąty przystające mają zarówno ten sam kształt, jak i tę samą wielkość (\( k = 1 \)). To różne pojęcia.

## Podobieństwo w trójkątach szczególnych

Warto wiedzieć, że pewne trójkąty są podobne z definicji:

- **Wszystkie trójkąty równoboczne** są do siebie podobne (mają kąty \( 60°, 60°, 60° \)).
- **Wszystkie trójkąty prostokątne równoramienne** (45-45-90) są do siebie podobne.
- **Wszystkie trójkąty o kątach 30-60-90** są do siebie podobne - a ich boki mają proporcje \( 1 : \sqrt{3} : 2 \). Więcej o tych zależnościach znajdziesz w artykule o [trójkącie 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

Ta obserwacja jest bardzo przydatna - kiedy rozpoznasz w zadaniu trójkąt szczególny, od razu znasz proporcje boków bez dodatkowych obliczeń. Podobieństwo i [trygonometria](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) to naturalnie powiązane tematy, bo funkcje trygonometryczne są w istocie stosunkami boków w trójkątach podobnych.

## Podsumowanie - ściągawka z podobieństwa trójkątów

| Zagadnienie | Wzór/Reguła |
|-------------|-------------|
| Definicja | Trójkąty o równych kątach i proporcjonalnych bokach |
| Cecha KKK | 2 pary równych kątów wystarczą |
| Cecha KBK | 2 pary proporcjonalnych boków + równy kąt między nimi |
| Cecha BBB | 3 pary proporcjonalnych boków |
| Skala \( k \) | \( k = \frac{\text{bok II}}{\text{bok I}} \) |
| Stosunek obwodów | \( \frac{O_2}{O_1} = k \) |
| Stosunek pól | \( \frac{P_2}{P_1} = k^2 \) |
| Wysokość na przeciwprostokątną | Tworzy 3 trójkąty podobne |
| Przekątne trapezu | Dzielą się w stosunku podstaw |

Trójkąty podobne to temat, który łączy wiele obszarów matematyki maturalnej. Kąty, proporcje, pola, twierdzenie Talesa, trygonometria - wszystko się tutaj spotyka. Dlatego warto poświęcić mu czas i przećwiczyć różne typy zadań. Jeśli chcesz rozwiązać więcej zadań z tego zakresu, zajrzyj do [zadań z planimetrii](/topics/planimetria) na naszej platformie - znajdziesz tam dziesiątki zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura
title: Trójkąt 30-60-90 i 45-45-90 - zależności boków w trójkątach prostokątnych szczególnych
description: Proporcje boków w trójkątach 30-60-90 (1:√3:2) i 45-45-90 (1:1:√2): wyprowadzenie wzorów, tabele, 5 zadań z rozwiązaniami i zastosowania w stereometrii.
author: Marcel Bogdan
---

# Trójkąt 30-60-90 i 45-45-90 - zależności boków w trójkątach prostokątnych szczególnych

Jeśli miałbym wskazać jeden temat z planimetrii, który pojawia się na maturze z matematyki **co roku bez wyjątku**, byłyby to właśnie trójkąty prostokątne szczególne. Trójkąt 30-60-90 i trójkąt 45-45-90 to absolutne fundamenty - bez ich znajomości nie rozwiążesz poprawnie zadań z [trygonometrii](/topics/trygonometria), [planimetrii](/topics/planimetria), a nawet [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). To klasyczny [pewniaczek maturalny](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), który daje punkty za darmo - pod warunkiem, że naprawdę rozumiesz zależności między bokami.

W tym wpisie wyprowadzę oba zestawy proporcji od zera, pokażę Ci tabelę szybkiego odczytu i przepracuję kilka zadań maturalnych krok po kroku. Na końcu znajdziesz też listę najczęstszych błędów i podsumowanie, które warto wydrukować przed egzaminem.

## Trójkąt 30-60-90 - skąd się biorą proporcje 1 : √3 : 2?

### Wyprowadzenie z trójkąta równobocznego

Weźmy trójkąt równoboczny o boku \( a \). Wszystkie jego kąty mają po \( 60° \). Teraz poprowadźmy wysokość z jednego wierzchołka na przeciwległy bok. Co się dzieje?

1. Wysokość **dzieli trójkąt równoboczny na dwa przystające trójkąty prostokątne**.
2. Każdy z tych trójkątów ma kąty \( 30° \), \( 60° \) i \( 90° \).
3. Przeciwprostokątna (dawny bok trójkąta równobocznego) ma długość \( a \).
4. Krótsza przyprostokątna (połowa podstawy) ma długość \( \frac{a}{2} \).
5. Dłuższa przyprostokątna (wysokość) obliczamy z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania):

$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$

$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

### Zależności boków

Zapiszmy boki tego trójkąta w kolejności od najkrótszego:

- Bok naprzeciwko kąta \( 30° \): \( \frac{a}{2} \)
- Bok naprzeciwko kąta \( 60° \): \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \)
- Bok naprzeciwko kąta \( 90° \) (przeciwprostokątna): \( a \)

Jeśli najkrótszy bok oznaczymy jako \( x \), to:

$$x : x\sqrt{3} : 2x$$

czyli słynna proporcja:

$$1 : \sqrt{3} : 2$$

### Zasada kluczowa

**Bok naprzeciwko kąta \( 30° \) jest zawsze równy połowie przeciwprostokątnej.** To zdanie rozwiązuje co najmniej jedno zadanie na każdej maturze. Zapamiętaj je na stałe.

Jeśli znasz wartości [sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci), możesz to łatwo zweryfikować:

$$\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Każda z tych wartości wprost odpowiada proporcjom boków w trójkącie 30-60-90.

## Tabela proporcji trójkąta 30-60-90

| Który bok | Proporcja | Gdy najkrótszy bok = 1 | Gdy najkrótszy bok = 5 | Gdy przeciwprostokątna = 10 |
|---|---|---|---|---|
| Naprzeciwko 30° (krótszy) | \( x \) | 1 | 5 | 5 |
| Naprzeciwko 60° (dłuższy) | \( x\sqrt{3} \) | \( \sqrt{3} \approx 1{,}73 \) | \( 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \) | \( 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \) |
| Naprzeciwko 90° (przeciwprostokątna) | \( 2x \) | 2 | 10 | 10 |

**Jak korzystać z tabeli:** Jeśli znasz dowolny bok, znajdź jego kolumnę w proporcji, wyznacz \( x \), a potem oblicz pozostałe boki.

## Trójkąt 45-45-90 - skąd się bierze proporcja 1 : 1 : √2?

### Wyprowadzenie z kwadratu

Weźmy kwadrat o boku \( a \) i poprowadźmy przekątną. Przekątna dzieli kwadrat na **dwa przystające trójkąty prostokątne równoramienne**. Każdy z nich ma:

- Dwa kąty po \( 45° \) (bo przekątna dzieli kąt prosty kwadratu na pół)
- Kąt \( 90° \) (z kwadratu)
- Dwie przyprostokątne równe \( a \) (boki kwadratu)
- Przeciwprostokątną ([przekątna kwadratu](/przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura#przekatna-kwadratu-skad-bierze-sie-a-2)) równą:

$$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

### Zależności boków

Jeśli przyprostokątną oznaczymy jako \( x \):

$$x : x : x\sqrt{2}$$

czyli proporcja:

$$1 : 1 : \sqrt{2}$$

### Zasada kluczowa

**W trójkącie 45-45-90 przeciwprostokątna jest \( \sqrt{2} \) razy dłuższa od przyprostokątnej.** Odwrotnie - jeśli znasz przeciwprostokątną \( c \), to przyprostokątna wynosi \( \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2} \).

Weryfikacja przez [funkcje trygonometryczne](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania):

$$\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45° = 1$$

## Tabela proporcji trójkąta 45-45-90

| Który bok | Proporcja | Gdy przyprostokątna = 1 | Gdy przyprostokątna = 6 | Gdy przeciwprostokątna = 10 |
|---|---|---|---|---|
| Przyprostokątna | \( x \) | 1 | 6 | \( 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \) |
| Przyprostokątna | \( x \) | 1 | 6 | \( 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \) |
| Przeciwprostokątna | \( x\sqrt{2} \) | \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \) | \( 6\sqrt{2} \approx 8{,}49 \) | 10 |

## Jak rozpoznać te trójkąty w zadaniach maturalnych?

Na maturze nikt nie powie Ci wprost "oto trójkąt 30-60-90". Musisz sam go rozpoznać. Oto sygnały ostrzegawcze:

### Sygnały dla trójkąta 30-60-90

- **Trójkąt równoboczny z wysokością** - klasyka. Każda wysokość tworzy dwa takie trójkąty.
- **Kąt 30° lub 60° w trójkącie prostokątnym** - wystarczy jeden, bo drugi dopełnia do 90°.
- **Bok równy połowie przeciwprostokątnej** - natychmiast wiesz, że naprzeciwko tego boku jest kąt 30°.
- **W zadaniach ze [stereometrią](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni)** - np. ostrosłup prawidłowy trójkątny, gdzie ściany boczne tworzą kąty 60° z podstawą.

### Sygnały dla trójkąta 45-45-90

- **Przekątna kwadratu** - każda przekątna kwadratu daje dwa takie trójkąty.
- **Trójkąt prostokątny równoramienny** - to jest dokładnie trójkąt 45-45-90.
- **Kąt 45° w trójkącie prostokątnym** - automatycznie mamy trójkąt równoramienny.
- **Przekątna ściany sześcianu** - pojawia się w [zadaniach ze stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

## Zadania z rozwiązaniami

### Zadanie 1 - Trójkąt 30-60-90 (poziom podstawowy)

**Treść:** W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę \( 30° \), a przeciwprostokątna ma długość 12 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

**Rozwiązanie:**

Krok 1: Identyfikujemy trójkąt 30-60-90. Przeciwprostokątna \( c = 12 \), więc \( 2x = 12 \), czyli \( x = 6 \).

Krok 2: Wyznaczamy boki:
- Bok naprzeciwko 30°: \( x = 6 \)
- Bok naprzeciwko 60°: \( x\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)

Krok 3: Obliczamy pole (przyprostokątne są prostopadłe):

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi \( 18\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).

### Zadanie 2 - Trójkąt 45-45-90 (poziom podstawowy)

**Treść:** Przekątna kwadratu ma długość \( 10\sqrt{2} \) cm. Oblicz pole tego kwadratu.

**Rozwiązanie:**

Krok 1: Przekątna kwadratu tworzy trójkąt 45-45-90. Mamy \( x\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \), więc \( x = 10 \).

Krok 2: Bok kwadratu to \( a = 10 \) cm.

Krok 3: Pole kwadratu:

$$P = a^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** Pole kwadratu wynosi \( 100 \text{ cm}^2 \).

### Zadanie 3 - Trójkąt równoboczny (poziom rozszerzony)

**Treść:** Trójkąt równoboczny ma bok długości 8 cm. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

**Rozwiązanie:**

Krok 1: Wysokość trójkąta równobocznego (z trójkąta 30-60-90):

$$h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Krok 2: W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia wysokości. Promień okręgu wpisanego to \( \frac{1}{3} \) wysokości:

$$r = \frac{h}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3: Możemy to zweryfikować wzorem \( r = \frac{P}{s} \), gdzie \( s \) to połowa obwodu:
- \( P = \frac{8 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \)
- \( s = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12 \)
- \( r = \frac{16\sqrt{3}}{12} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) ✓

**Odpowiedź:** Promień okręgu wpisanego wynosi \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \) cm.

Więcej zadań tego typu znajdziesz w naszym zbiorze [zadań z planimetrii](/topics/planimetria) i w poradniku [planimetria na maturze](/planimetria-na-maturze-pola-twierdzenia-zadania).

### Zadanie 4 - Zastosowanie w stereometrii (poziom rozszerzony)

**Treść:** Oblicz przekątną sześcianu o krawędzi \( a = 4 \) cm. Następnie oblicz kąt, jaki ta przekątna tworzy z przekątną ściany dolnej.

**Rozwiązanie:**

Krok 1: Przekątna ściany (kwadratu) - to trójkąt 45-45-90:

$$d_s = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

Krok 2: Przekątna sześcianu:

$$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$

Krok 3: Narysujmy trójkąt prostokątny, w którym:
- Jedna przyprostokątna to krawędź sześcianu \( a = 4 \) (pionowa)
- Druga przyprostokątna to przekątna ściany \( d_s = 4\sqrt{2} \) (pozioma)
- Przeciwprostokątna to przekątna sześcianu \( d = 4\sqrt{3} \)

Krok 4: Kąt \( \alpha \) między przekątną sześcianu a przekątną ściany dolnej:

$$\tan \alpha = \frac{a}{d_s} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Skoro \( \tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \), to nie jest to standardowy [kąt z tabeli wartości trygonometrycznych](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci). Obliczamy:

$$\alpha = \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 35°16'$$

**Odpowiedź:** Przekątna sześcianu wynosi \( 4\sqrt{3} \) cm, a kąt z przekątną ściany to \( \arctan\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 35°16' \).

### Zadanie 5 - Kombinacja obu trójkątów (poziom rozszerzony)

**Treść:** W trójkącie prostokątnym \( ABC \) kąt przy wierzchołku \( A \) ma miarę \( 90° \), a kąt przy wierzchołku \( B \) ma miarę \( 60° \). Punkt \( D \) leży na boku \( BC \) tak, że \( AD \perp BC \). Wiedząc, że \( AB = 6 \), oblicz długości odcinków \( BD \) i \( DC \).

**Rozwiązanie:**

Krok 1: W trójkącie \( ABC \): kąt \( A = 90° \), kąt \( B = 60° \), więc kąt \( C = 30° \). To trójkąt 30-60-90.

Krok 2: \( AB \) leży naprzeciwko kąta \( C = 30° \), więc \( AB = x = 6 \). Stąd:
- \( BC = 2x = 12 \) (przeciwprostokątna)
- \( AC = x\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)

Krok 3: Wysokość \( AD \) z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. Korzystamy ze wzoru:

$$AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3}$$

Krok 4: Trójkąt \( ABD \) jest prostokątny z kątem \( B = 60° \). Obliczamy \( BD \):

$$\cos 60° = \frac{BD}{AB} = \frac{BD}{6}$$

$$BD = 6 \cdot \cos 60° = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

Krok 5: Skoro \( BC = 12 \):

$$DC = BC - BD = 12 - 3 = 9$$

**Odpowiedź:** \( BD = 3 \), \( DC = 9 \).

## Najczęstsze błędy - unikaj ich na maturze

### Błąd 1: Mylenie, który bok jest który

Najkrótszy bok leży **naprzeciwko najmniejszego kąta**. W trójkącie 30-60-90 najkrótszy bok jest naprzeciwko \( 30° \), nie naprzeciwko \( 60° \). Wielu uczniów mnóży przez \( \sqrt{3} \) nie ten bok, co trzeba.

**Zapamiętaj:** W trójkącie prostokątnym naprzeciwko większego kąta ostrego leży dłuższa przyprostokątna.

### Błąd 2: Zapominanie o usunięciu niewymierności z mianownika

Jeśli w odpowiedzi wychodzi Ci \( \frac{5}{\sqrt{2}} \), **zawsze** usuń niewymierność:

$$\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Na maturze obie formy są poprawne, ale egzaminatorzy mogą nie uznać odpowiedzi z pierwiastkiem w mianowniku w niektórych kontekstach. Bezpieczniej jest zawsze usuwać niewymierność.

### Błąd 3: Stosowanie proporcji do trójkąta, który nie jest szczególny

Proporcje \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) działają **wyłącznie** w trójkącie 30-60-90. Jeśli trójkąt prostokątny ma kąty np. \( 40° \) i \( 50° \), musisz użyć [funkcji trygonometrycznych](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) lub [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

### Błąd 4: Zapominanie, że \( \sqrt{3} \approx 1{,}73 \), a \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \)

Na maturze czasem trzeba podać wynik przybliżony. Jeśli nie pamiętasz tych wartości, stracisz czas na obliczenia.

## Gdzie jeszcze spotkasz te trójkąty?

### Stereometria

Trójkąty 30-60-90 i 45-45-90 pojawiają się w [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) niezwykle często:

- **Przekątna sześcianu** - tworzy trójkąt z krawędzią i przekątną ściany (patrz Zadanie 4)
- **Ostrosłup prawidłowy trójkątny** - trójkąt 30-60-90 pojawia się przy wyznaczaniu apotemy podstawy
- **Ostrosłup prawidłowy czworokątny** - przekątna podstawy to trójkąt 45-45-90
- **Graniastosłup prawidłowy trójkątny** - podstawa to trójkąt równoboczny, więc jego wysokość tworzy trójkąt 30-60-90

### Trygonometria

Wartości [sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci) dla kątów \( 30° \), \( 45° \) i \( 60° \) pochodzą wprost z tych trójkątów. Znajomość proporcji boków pozwala Ci **wyprowadzić** te wartości zamiast je zapamiętywać:

| Kąt | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| \( 30° \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) |
| \( 45° \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( 1 \) |
| \( 60° \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) |

Więcej o tym, jak korzystać z tych wartości, przeczytasz w poradniku [trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

### Kąty w figurach

Trójkąty szczególne naturalnie pojawiają się przy obliczaniu [kątów w figurach geometrycznych](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat) - np. kąt wpisany oparty na średnicy daje trójkąt prostokątny, a jeśli łuk ma odpowiednią miarę, powstaje trójkąt 30-60-90 lub 45-45-90.

### Sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny składa się z **sześciu trójkątów równobocznych**. Każdy z nich zawiera w sobie trójkąt 30-60-90. Dlatego zadania z sześciokątem foremnym często sprowadzają się do zastosowania proporcji \( 1 : \sqrt{3} : 2 \).

## Podsumowanie - tabela wszystkich kluczowych zależności

| Trójkąt | Kąty | Proporcje boków | Bok najkrótszy | Bok najdłuższy | Skąd pochodzi |
|---|---|---|---|---|---|
| 30-60-90 | \( 30°, 60°, 90° \) | \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) | Naprzeciwko \( 30° \) | Przeciwprostokątna \( = 2x \) | Połowa trójkąta równobocznego |
| 45-45-90 | \( 45°, 45°, 90° \) | \( 1 : 1 : \sqrt{2} \) | Obie przyprostokątne równe | Przeciwprostokątna \( = x\sqrt{2} \) | Połowa kwadratu (przekątna) |

### Szybka ściąga - wzory do zapamiętania

**Trójkąt 30-60-90** (jeśli najkrótszy bok = \( x \)):

$$\text{naprzeciwko } 30° = x, \quad \text{naprzeciwko } 60° = x\sqrt{3}, \quad \text{przeciwprostokątna} = 2x$$

**Trójkąt 45-45-90** (jeśli przyprostokątna = \( x \)):

$$\text{przyprostokątna} = x, \quad \text{przyprostokątna} = x, \quad \text{przeciwprostokątna} = x\sqrt{2}$$

**Odwrotnie** (jeśli znasz przeciwprostokątną \( c \)):
- Trójkąt 30-60-90: krótszy bok = \( \frac{c}{2} \), dłuższy bok = \( \frac{c\sqrt{3}}{2} \)
- Trójkąt 45-45-90: przyprostokątna = \( \frac{c\sqrt{2}}{2} \)

## Jak ćwiczyć przed maturą?

Trójkąty szczególne to temat, który najlepiej opanować przez praktykę. Rozwiąż co najmniej 15-20 zadań, w których musisz samodzielnie rozpoznać trójkąt 30-60-90 lub 45-45-90. Zacznij od prostych zadań z [planimetrii](/topics/planimetria), potem przejdź do [zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria), a na końcu zmierz się z zadaniami stereometrycznymi.

Jeśli dopiero zaczynasz przygotowania, sprawdź nasz kompleksowy poradnik [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) - znajdziesz w nim plan nauki z rozbiciem na tygodnie i priorytety tematów.

Pamiętaj - na maturze nie chodzi o to, żeby znać setki wzorów. Chodzi o to, żeby kilka kluczowych zależności znać **perfekcyjnie** i umieć je zastosować w każdym kontekście. Proporcje boków trójkątów 30-60-90 i 45-45-90 to dokładnie ten typ wiedzy - prosta, uniwersalna i niezawodna.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie
title: Symbol Newtona i dwumian Newtona na maturze - wzór, obliczanie, trójkąt Pascala i zadania
description: Symbol Newtona (n po k): wzór, skracanie silni, właściwości, trójkąt Pascala. Dwumian Newtona i schemat Bernoulliego. Zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Symbol Newtona i dwumian Newtona na maturze - wzór, obliczanie, trójkąt Pascala i zadania

## Symbol Newtona - klucz do kombinatoryki na maturze

Symbol Newtona to jedno z najważniejszych narzędzi w [kombinatoryce](/topics/kombinatoryka) i [prawdopodobieństwie](/topics/prawdopodobienstwo) na maturze. Pojawia się w zadaniach o zliczaniu podzbiorów, rozwinięciu dwumianu, a przede wszystkim w schemacie Bernoulliego, który jest jednym z [pewniaczków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

Wielu uczniów boi się symbolu Newtona, bo wzór wygląda na skomplikowany. W rzeczywistości jest prosty - wystarczy umieć skracać silnie, a obliczenia stają się krótkie i bezbolesne. W tym przewodniku pokażę ci krok po kroku, jak obliczać symbol Newtona, jak rozwijać dwumian Newtona i jak stosować te narzędzia w zadaniach maturalnych.

Jeśli nie pamiętasz, czym jest silnia - przypomnij sobie w naszym [przewodniku po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania). A po opanowaniu tego tematu warto przećwiczyć zadania w [bazie zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka).

---

## Silnia - krótkie przypomnienie

Zanim przejdziemy do symbolu Newtona, upewnij się, że rozumiesz silnię:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Kilka wartości do zapamiętania:

| \(n\) | \(n!\) |
|---|---|
| 0 | 1 (z definicji!) |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |

**Kluczowa właściwość:** \(n! = n \cdot (n-1)!\)

To pozwala skracać silnie w ułamkach - a to jest esencja obliczeń z symbolem Newtona.

---

## Symbol Newtona - definicja i wzór

### Definicja

Symbol Newtona (czytamy "n po k" lub "n nad k") to liczba sposobów wybrania \(k\) elementów z \(n\)-elementowego zbioru, **bez uwzględniania kolejności**.

### Wzór

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

gdzie \(0 \leq k \leq n\), a \(n\) i \(k\) są liczbami naturalnymi.

### Interpretacja

\(\binom{n}{k}\) odpowiada na pytanie: **na ile sposobów można wybrać \(k\) elementów z \(n\) dostępnych**, gdy kolejność nie ma znaczenia?

- \(\binom{5}{2}\) - na ile sposobów wybrać 2 osoby z grupy 5?
- \(\binom{10}{3}\) - na ile sposobów wybrać 3 karty z 10?
- \(\binom{49}{6}\) - ile jest kombinacji w Lotto (6 z 49)?

---

## Obliczanie symbolu Newtona - krok po kroku

### Metoda 1: Skracanie silni (najszybsza!)

Nie rozpisuj pełnych silni! Zamiast tego skracaj.

**Przykład:** Oblicz \(\binom{8}{3}\).

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}$$

Rozpisujemy \(8!\) tylko do momentu, gdy możemy skrócić z \(5!\):

$$\frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{3! \cdot \cancel{5!}} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$$

**Sprytna reguła:** W liczniku rozpisujemy \(k\) kolejnych czynników malejąco od \(n\), w mianowniku piszemy \(k!\):

$$\binom{n}{k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}$$

### Przykład 2: Oblicz \(\binom{10}{4}\)

$$\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{24}$$

Skracamy: \(\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{24} = \frac{5040}{24} = 210\).

Albo sprytniej: \(\frac{10}{2} = 5\), więc \(\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 7}{2} = \frac{840}{2} \cdot \frac{1}{1}\).

Najprościej: \(10 \cdot 9 = 90\), \(90 / 2 = 45\), \(45 \cdot 8 = 360\), \(360 / 6 = 60\), hmm - pokażmy czystą drogę:

$$\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} \cdot \frac{8 \cdot 7}{3 \cdot 4} = 45 \cdot \frac{56}{12} = 45 \cdot \frac{14}{3} = 15 \cdot 14 = 210$$

**Rada:** Na maturze skracaj na bieżąco, czynnik po czynniku, żeby nie liczyć ogromnych iloczynów. Więcej o unikaniu błędów rachunkowych przeczytasz w artykule o [błędach rachunkowych na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

### Metoda 2: Rozpisywanie czynnik po czynniku

Dla \(\binom{n}{k}\) pisz \(k\) czynników w liczniku (malejąco od \(n\)) i \(k\) czynników w mianowniku (rosnąco od 1):

$$\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1320}{6} = 220$$

$$\binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{3024}{24} = 126$$

Ta metoda jest szczególnie wygodna, bo pozwala skracać na bieżąco. W pierwszym przykładzie: \(\frac{12}{2} = 6\), więc \(\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{6 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 10}{1} = 220\).

### Przykład 3: Oblicz \(\binom{6}{0}\) i \(\binom{6}{6}\)

$$\binom{6}{0} = \frac{6!}{0! \cdot 6!} = \frac{1}{1} = 1$$

$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = \frac{1}{1} = 1$$

Z pustego zbioru można wybrać 0 elementów na dokładnie 1 sposób (nie wybieramy niczego). Z 6-elementowego zbioru można wybrać wszystkie 6 elementów na dokładnie 1 sposób.

---

## Właściwości symbolu Newtona

Te właściwości pojawiają się na maturze i warto je znać:

### 1. Symetria

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

**Interpretacja:** Wybranie \(k\) elementów z \(n\) to to samo co wybranie \(n-k\) elementów, które zostawiamy. Na przykład \(\binom{10}{3} = \binom{10}{7} = 120\).

**Zastosowanie praktyczne:** Jeśli musisz obliczyć \(\binom{20}{17}\), łatwiej obliczyć \(\binom{20}{3}\):

$$\binom{20}{17} = \binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \frac{6840}{6} = 1140$$

### 2. Wartości brzegowe

$$\binom{n}{0} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n \qquad \binom{n}{n} = 1$$

### 3. Wzór na sumę wiersza trójkąta Pascala

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

Suma wszystkich symboli Newtona w danym wierszu daje potęgę dwójki.

### 4. Relacja Pascala (wzór rekurencyjny)

$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$

To jest reguła budowy trójkąta Pascala - każda liczba jest sumą dwóch liczb nad nią.

---

## Trójkąt Pascala

Trójkąt Pascala to układ symboli Newtona, w którym każdy wiersz odpowiada kolejnym wartościom \(n\):

| \(n\) | Wiersz |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 \ \ 1 |
| 2 | 1 \ \ 2 \ \ 1 |
| 3 | 1 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 1 |
| 4 | 1 \ \ 4 \ \ 6 \ \ 4 \ \ 1 |
| 5 | 1 \ \ 5 \ \ 10 \ \ 10 \ \ 5 \ \ 1 |
| 6 | 1 \ \ 6 \ \ 15 \ \ 20 \ \ 15 \ \ 6 \ \ 1 |

### Jak budować trójkąt Pascala

1. Każdy wiersz zaczyna się i kończy jedynką.
2. Każda liczba wewnątrz wiersza to suma dwóch liczb nad nią (po lewej i po prawej w wierszu wyżej).

### Zastosowanie na maturze

Trójkąt Pascala jest bardzo przydatny, gdy musisz szybko rozwinąć dwumian Newtona dla małych potęg (do \(n = 5\) lub \(n = 6\)). Zamiast obliczać symbole Newtona ze wzoru, po prostu odczytaj współczynniki z odpowiedniego wiersza.

---

## Dwumian Newtona - rozwinięcie \((a+b)^n\)

### Wzór

$$\left(a + b\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Rozpisując:

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n}a^0 b^n$$

### Przykłady rozwinięć

**(a+b)^2:**
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

**(a+b)^3:**
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

**(a+b)^4:**
$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Współczynniki 1, 4, 6, 4, 1 to czwarty wiersz trójkąta Pascala.

Warto pamiętać, że te wzory łączą się z [wzorami skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) - wzory na \((a+b)^2\) i \((a-b)^2\) to szczególne przypadki dwumianu Newtona.

### Jak znaleźć konkretny wyraz rozwinięcia

\(k\)-ty wyraz rozwinięcia (licząc od \(k = 0\)) to:

$$T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

**Przykład:** Znajdź wyraz zawierający \(x^3\) w rozwinięciu \((2x + 3)^5\).

Tu \(a = 2x\), \(b = 3\), \(n = 5\). Szukamy wyrazu, w którym potęga \(x\) wynosi 3, czyli \(n - k = 3\), więc \(k = 2\).

$$T_2 = \binom{5}{2}(2x)^3 \cdot 3^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 9 = 720x^3$$

### Dwumian z różnicą: \((a-b)^n\)

Wystarczy podstawić \(b \to (-b)\):

$$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Wyrazy na zmianę mają znaki \(+\) i \(-\):
$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

$$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$$

### Specjalne przypadki dwumianu Newtona

Warto pamiętać kilka użytecznych tożsamości, które wynikają z dwumianu:

**Podstawiając \(a = 1\), \(b = 1\):**

$$(1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

To dowód na to, że suma wiersza trójkąta Pascala wynosi \(2^n\).

**Podstawiając \(a = 1\), \(b = -1\):**

$$(1 - 1)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$$

Co oznacza, że suma symboli Newtona z parzystym \(k\) jest równa sumie symboli z nieparzystym \(k\):

$$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \ldots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \ldots = 2^{n-1}$$

### Liczba wyrazów w rozwinięciu

Rozwinięcie \((a+b)^n\) ma zawsze \(n + 1\) wyrazów. Na przykład \((a+b)^5\) ma 6 wyrazów.

### Wyraz środkowy

Jeśli \(n\) jest parzyste, rozwinięcie ma dokładnie jeden wyraz środkowy - ten przy \(k = \frac{n}{2}\):

$$T_{\text{śr}} = \binom{n}{n/2} a^{n/2} b^{n/2}$$

Jeśli \(n\) jest nieparzyste, są dwa wyrazy środkowe: przy \(k = \frac{n-1}{2}\) i \(k = \frac{n+1}{2}\).

---

## Zastosowanie w kombinatoryce

### Kombinacje bez powtórzeń

Symbol Newtona to dokładnie liczba kombinacji \(k\)-elementowych ze zbioru \(n\)-elementowego:

$$C(n,k) = \binom{n}{k}$$

**Zadanie:** Na ile sposobów można wybrać 3-osobowy zespół z grupy 8 osób?

$$\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56$$

### Ile jest podzbiorów danego zbioru?

Zbiór \(n\)-elementowy ma dokładnie \(2^n\) podzbiorów (łącznie ze zbiorem pustym i całym zbiorem).

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

**Zadanie:** Ile podzbiorów ma zbiór \(\{a, b, c, d, e\}\)?

$$2^5 = 32$$

### Ile jest podzbiorów niepustych?

Jeśli chcemy wyłączyć zbiór pusty, odejmujemy 1:

$$2^n - 1$$

Dla zbioru 5-elementowego: \(2^5 - 1 = 31\) podzbiorów niepustych.

### Zadania z warunkami - łączenie symboli Newtona

**Przykład:** Z grupy 7 mężczyzn i 5 kobiet trzeba wybrać 4-osobową komisję, w której będą co najmniej 2 kobiety. Na ile sposobów?

Rozbijamy na przypadki:
- 2 kobiety i 2 mężczyzn: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210\)
- 3 kobiety i 1 mężczyzna: \(\binom{5}{3} \cdot \binom{7}{1} = 10 \cdot 7 = 70\)
- 4 kobiety i 0 mężczyzn: \(\binom{5}{4} \cdot \binom{7}{0} = 5 \cdot 1 = 5\)

Łącznie: \(210 + 70 + 5 = 285\) sposobów.

Ten typ zadania - wybór z dwóch grup z warunkiem - pojawia się na maturze bardzo często. Kluczem jest systematyczne rozbicie na przypadki i zastosowanie reguły mnożenia w każdym z nich.

---

## Schemat Bernoulliego - zastosowanie w prawdopodobieństwie

Schemat Bernoulliego to jedno z najczęstszych zastosowań symbolu Newtona na maturze. Dotyczy sytuacji, w której powtarzamy doświadczenie losowe \(n\) razy, a każde ma dwa możliwe wyniki: sukces (z prawdopodobieństwem \(p\)) lub porażka (z prawdopodobieństwem \(q = 1 - p\)).

### Wzór Bernoulliego

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie \(k\) sukcesów w \(n\) próbach:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

### Przykład: Rzut monetą

Rzucamy monetą 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 3 razy?

\(n = 5\), \(k = 3\), \(p = \frac{1}{2}\).

$$P(X = 3) = \binom{5}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$$

### Przykład: Kontrola jakości

W fabryce 5% produktów jest wadliwych. Z partii losujemy 10 produktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 będą wadliwe?

\(n = 10\), \(k = 2\), \(p = 0{,}05\), \(q = 0{,}95\).

$$P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot (0{,}05)^2 \cdot (0{,}95)^8$$

$$P(X = 2) = 45 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}6634 \approx 45 \cdot 0{,}001659 \approx 0{,}0746$$

**Odpowiedź:** Prawdopodobieństwo wynosi około 7,5%.

### Kiedy stosować schemat Bernoulliego?

Schemat Bernoulliego stosujemy, gdy spełnione są **wszystkie** warunki:

1. Doświadczenie powtarzamy \(n\) razy
2. Każde doświadczenie ma dokładnie dwa wyniki (sukces/porażka)
3. Prawdopodobieństwo sukcesu \(p\) jest **stałe** w każdej próbie
4. Próby są **niezależne** (wynik jednej nie wpływa na inne)

Jeśli któryś warunek nie jest spełniony (np. losujemy bez zwracania), schemat Bernoulliego nie działa bezpośrednio. Ale na maturze podstawowej zadania są tak skonstruowane, że warunki te są prawie zawsze spełnione.

Więcej zadań z prawdopodobieństwa znajdziesz w naszej [bazie zadań z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) i w [przewodniku po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

---

## Zadania maturalne z rozwiązaniami

### Zadanie 1 - obliczanie symbolu Newtona (1 pkt)

**Treść:** Oblicz wartość wyrażenia \(\binom{7}{3} + \binom{7}{4}\).

**Rozwiązanie:**

Sposób 1 - obliczamy osobno:

$$\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{210}{6} = 35$$

$$\binom{7}{4} = \binom{7}{3} = 35 \quad \text{(z symetrii)}$$

$$\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = 35 + 35 = 70$$

Sposób 2 - korzystamy z relacji Pascala:

$$\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4!} = \frac{1680}{24} = 70$$

**Odpowiedź:** \(\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = 70\).

---

### Zadanie 2 - kombinacje (1 pkt)

**Treść:** W klasie jest 12 chłopców i 10 dziewcząt. Na ile sposobów można wybrać 2-osobową delegację składającą się z jednego chłopca i jednej dziewczyny?

**Rozwiązanie:**

Wybieramy 1 chłopca z 12: \(\binom{12}{1} = 12\)

Wybieramy 1 dziewczynę z 10: \(\binom{10}{1} = 10\)

Z reguły mnożenia:

$$12 \cdot 10 = 120$$

**Odpowiedź:** Delegację można wybrać na 120 sposobów.

---

### Zadanie 3 - schemat Bernoulliego (2 pkt)

**Treść:** Prawdopodobieństwo trafienia do celu przez łucznika wynosi 0,7. Łucznik oddaje 4 strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi do celu dokładnie 3 razy.

**Rozwiązanie:**

\(n = 4\), \(k = 3\), \(p = 0{,}7\), \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).

$$P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot (0{,}7)^3 \cdot (0{,}3)^1$$

$$P(X = 3) = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3$$

$$P(X = 3) = 4 \cdot 0{,}1029 = 0{,}4116$$

**Odpowiedź:** Prawdopodobieństwo wynosi \(0{,}4116\), czyli około 41,2%.

---

### Zadanie 4 - dwumian Newtona (2 pkt)

**Treść:** Wyznacz współczynnik przy \(x^3\) w rozwinięciu \((x - 2)^6\).

**Rozwiązanie:**

Korzystamy ze wzoru dwumianu Newtona z \(a = x\), \(b = -2\), \(n = 6\).

Szukamy wyrazu, w którym \(x\) jest w potędze 3, czyli \(n - k = 3\), więc \(k = 3\).

$$T_3 = \binom{6}{3} \cdot x^3 \cdot (-2)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-8) = -160x^3$$

**Odpowiedź:** Współczynnik przy \(x^3\) wynosi \(-160\).

---

### Zadanie 5 - równanie z symbolem Newtona (2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(\binom{n}{2} = 28\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną.

**Rozwiązanie:**

$$\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$$

Zatem:

$$\frac{n(n-1)}{2} = 28$$

$$n(n-1) = 56$$

$$n^2 - n - 56 = 0$$

Rozwiązujemy [równanie kwadratowe](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe):

$$\Delta = 1 + 224 = 225$$

$$\sqrt{\Delta} = 15$$

$$n = \frac{1 + 15}{2} = 8 \quad \text{lub} \quad n = \frac{1 - 15}{2} = -7$$

Ponieważ \(n\) musi być liczbą naturalną i \(n \geq 2\), wybieramy \(n = 8\).

**Sprawdzenie:** \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\) - zgadza się.

**Odpowiedź:** \(n = 8\).

---

### Zadanie 6 - podzbiory (1 pkt)

**Treść:** Ile podzbiorów 3-elementowych ma zbiór 7-elementowy?

**Rozwiązanie:**

$$\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{210}{6} = 35$$

**Odpowiedź:** Zbiór 7-elementowy ma 35 podzbiorów 3-elementowych.

---

### Zadanie 7 - schemat Bernoulliego z "co najmniej" (3 pkt)

**Treść:** Rzucamy kostką do gry 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie co najmniej 2 razy.

**Rozwiązanie:**

\(n = 4\), \(p = \frac{1}{6}\) (prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki), \(q = \frac{5}{6}\).

"Co najmniej 2" oznacza \(k = 2\) lub \(k = 3\) lub \(k = 4\). Łatwiej obliczyć dopełnienie:

$$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$$

$$P(X = 0) = \binom{4}{0} \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296}$$

$$P(X = 1) = \binom{4}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} = \frac{500}{1296}$$

$$P(X \geq 2) = 1 - \frac{625}{1296} - \frac{500}{1296} = 1 - \frac{1125}{1296} = \frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$$

**Odpowiedź:** Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{19}{144} \approx 0{,}132\), czyli około 13,2%.

**Wskazówka maturalna:** Gdy w zadaniu pojawia się "co najmniej", prawie zawsze szybciej jest obliczyć dopełnienie. Zamiast liczyć \(P(X \geq 2)\) bezpośrednio (3 wyrazy), liczysz \(1 - P(X = 0) - P(X = 1)\) (2 wyrazy). Na maturze ta sztuczka oszczędza czas i zmniejsza ryzyko błędu.

---

### Zadanie 8 - suma współczynników dwumianu (2 pkt)

**Treść:** Oblicz sumę wszystkich współczynników w rozwinięciu \((2x + 1)^5\).

**Rozwiązanie:**

Suma współczynników wielomianu to jego wartość dla \(x = 1\):

$$(2 \cdot 1 + 1)^5 = 3^5 = 243$$

**Odpowiedź:** Suma współczynników wynosi 243.

**Dlaczego to działa?** Każdy wyraz rozwinięcia ma postać \(c_k \cdot x^k\). Gdy podstawimy \(x = 1\), dostajemy \(c_0 + c_1 + c_2 + \ldots + c_n\), czyli sumę współczynników.

---

## Kombinacje vs. wariacje vs. permutacje - kiedy co stosować

Na maturze trzeba szybko rozpoznać, czy zadanie wymaga symbolu Newtona, czy innej formuły zliczającej. Oto praktyczny schemat:

### Permutacja

**Pytanie:** Na ile sposobów ustawić WSZYSTKIE \(n\) elementów w kolejności?

$$P_n = n!$$

**Przykład:** Na ile sposobów 5 osób może ustawić się w kolejce? \(P_5 = 5! = 120\).

### Wariacja bez powtórzeń

**Pytanie:** Na ile sposobów wybrać \(k\) elementów z \(n\), gdy **kolejność ma znaczenie**?

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$

**Przykład:** Na ile sposobów wybrać prezesa, wiceprezesa i sekretarza z grupy 10 osób? \(V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\).

### Kombinacja (symbol Newtona)

**Pytanie:** Na ile sposobów wybrać \(k\) elementów z \(n\), gdy **kolejność nie ma znaczenia**?

$$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

**Przykład:** Na ile sposobów wybrać 3-osobowy zespół z grupy 10 osób? \(\binom{10}{3} = 120\).

### Jak rozpoznać na maturze?

Kluczowe pytanie: **czy kolejność ma znaczenie?**

- "Ile jest ustawień / ciągów / haseł / numerów?" - kolejność ma znaczenie, to wariacja lub permutacja
- "Ile jest zbiorów / zespołów / grup / kombinacji?" - kolejność nie ma znaczenia, to symbol Newtona
- "Na ile sposobów wybrać?" - czytaj uważnie kontekst. Jeśli wybieramy drużynę (bez ról), to kombinacja. Jeśli wybieramy na stanowiska (z rolami), to wariacja.

---

## Kiedy symbol Newtona pojawia się na maturze?

Na arkuszu CKE symbol Newtona pojawia się regularnie w trzech kontekstach:

### 1. Zadania kombinatoryczne (1-2 pkt)

"Na ile sposobów można wybrać..." - to czyste zastosowanie symbolu Newtona. Takie zadania pojawiają się na prawie każdej maturze. Wystarczy poprawnie zidentyfikować \(n\) i \(k\), podstawić do wzoru i obliczyć.

### 2. Schemat Bernoulliego (2-3 pkt)

Zadania typu: "Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(p\). Doświadczenie powtórzono \(n\) razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że sukces nastąpił dokładnie \(k\) razy." To jedne z najbardziej przewidywalnych zadań na maturze - schemat zawsze jest ten sam.

### 3. Dwumian Newtona (2 pkt, rzadziej)

Zadania o rozwinięciu dwumianu lub szukaniu konkretnego współczynnika. Pojawiają się raz na 2-3 lata, ale gdy już się pojawią - punkty są łatwe, jeśli znasz wzór.

Wszystkie te typy zadań przećwiczysz w naszej [bazie zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka). Sprawdź też [kompletny przewodnik po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin), żeby wiedzieć, czego się spodziewać na egzaminie.

---

## Najczęstsze pułapki i błędy

Unikaj tych błędów na maturze. Więcej o typowych pomyłkach znajdziesz w [przewodniku po najczęstszych błędach](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### 1. Mylenie kombinacji z wariancjami

Jeśli kolejność **ma znaczenie** - to nie symbol Newtona, lecz wariacja. Symbol Newtona liczy tylko **zbiory** (kolejność nie ma znaczenia).

- Ile jest 3-literowych haseł z 26 liter (z powtórzeniami)? To NIE symbol Newtona.
- Na ile sposobów wybrać 3 karty z 10? To symbol Newtona.

### 2. Zapomnienie o \(0! = 1\)

\(\binom{5}{0} = 1\), nie 0. To częsty błąd w zadaniach, gdzie \(k = 0\) (np. "jakie jest prawdopodobieństwo, że nikt nie trafi?").

### 3. Błędy ze znakami w dwumianie z różnicą

W rozwinięciu \((a - b)^n\) znaki na zmianę: \(+, -, +, -, \ldots\). Wyraz \(T_k\) ma znak \((-1)^k\). Nie zapomnij o tym!

### 4. Zapomnienie o \(p\) i \(q\) w schemacie Bernoulliego

Wzór Bernoulliego ma **dwie** potęgi: \(p^k\) i \((1-p)^{n-k}\). Uczniowie często zapominają o członie \((1-p)^{n-k}\). Na przykład, jeśli \(n = 5\) i \(k = 5\), to \((1-p)^0 = 1\) i wprawdzie nic nie zmienia - ale dla \(k < n\) pominięcie tego członu daje zupełnie zły wynik.

### 5. Niepoprawne skracanie silni

Pamiętaj: \(\frac{n!}{k!} \neq (n-k)!\). To **nie** jest prawidłowe uproszczenie. Poprawnie: \(\frac{n!}{k!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (k+1)\) (iloczyn od \(k+1\) do \(n\)).

### 6. Stosowanie symbolu Newtona tam, gdzie kolejność ma znaczenie

Zanim użyjesz \(\binom{n}{k}\), upewnij się, że zadanie dotyczy **wyboru bez kolejności**. Jeśli pytają o liczbę ustawień, kodów, haseł - to nie kombinacja, lecz wariacja lub permutacja.

---

## Jak przygotować się do zadań z symbolem Newtona na maturze

Oto konkretny plan powtórki:

1. **Przećwicz obliczanie symbolu Newtona** - oblicz \(\binom{n}{k}\) dla \(n\) od 5 do 15 i różnych \(k\). Upewnij się, że potrafisz sprawnie skracać silnie.

2. **Naucz się rozpoznawać typ zadania** - czy kolejność ma znaczenie? Jeśli nie - symbol Newtona. Jeśli tak - wariacja.

3. **Opanuj schemat Bernoulliego** - to prawdopodobnie najważniejsze zastosowanie symbolu Newtona na maturze. Przećwicz warianty z "dokładnie \(k\)" i "co najmniej \(k\)" (dopełnienie).

4. **Rozpisz trójkąt Pascala** do wiersza 6 lub 7 z pamięci. Na maturze zaoszczędzi ci to czas przy rozwijaniu dwumianu.

5. **Przejrzyj arkusze CKE** - w naszej [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) znajdziesz zadania z kombinatoryki z lat 2015-2025. Rozwiąż je wszystkie.

---

## Podsumowanie - najważniejsze wzory

| Wzór | Zastosowanie |
|---|---|
| \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\) | Silnia - podstawa obliczeń |
| \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) | Liczba kombinacji \(k\) z \(n\) |
| \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) | Symetria - ułatwia obliczenia |
| \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\) | Relacja Pascala |
| \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\) | Wartości brzegowe |
| \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\) | Suma wiersza trójkąta Pascala |
| \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k\) | Dwumian Newtona |
| \(P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) | Schemat Bernoulliego |

Symbol Newtona i dwumian Newtona to narzędzia, które pojawiają się na maturze regularnie. Opanuj technikę skracania silni, przećwicz schemat Bernoulliego i naucz się rozwijać dwumian dla małych potęg - to [pewne punkty na egzaminie](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt).

Jeśli dopiero zaczynasz przygotowania, przeczytaj nasz [kompletny przewodnik - jak się uczyć matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury). Zadania do przećwiczenia znajdziesz w naszej [bazie zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka) i [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo). Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni
title: Stereometria na maturze - wzory na objętość i pole powierzchni brył z zadaniami
description: Stereometria na maturze: wszystkie wzory na objętość i pole powierzchni. Graniastosłupy, ostrosłupy, walec, stożek i kula z przykładami i zadaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Stereometria na maturze - wzory na objętość i pole powierzchni brył z zadaniami

## Stereometria na maturze - czego możesz się spodziewać

Stereometria, czyli geometria przestrzenna, to jeden z działów, który budzi u wielu uczniów niemały respekt. Na egzaminie maturalnym z matematyki zadania ze stereometrii pojawiają się regularnie - zarówno w zamkniętych (1 punkt), jak i w otwartych (nawet 5-6 punktów za pełne rozwiązanie).

Dobra wiadomość: stereometria na maturze jest przewidywalna. Masz do czynienia z kilkoma typami brył i zestawem wzorów, które wystarczy znać i umieć stosować. W tym artykule przeprowadzę Cię przez wszystkie kluczowe pojęcia i wzory.

Większość wzorów na objętość wynika z dwóch zasad:

- **graniastosłup i walec**: pole podstawy razy wysokość, \(V = P_p \cdot h\),
- **ostrosłup i stożek**: jedna trzecia tego samego, \(V = \frac{1}{3} P_p \cdot h\).

Kto pamięta te dwie zasady, nie pomyli wzorów: ostrosłup to zawsze jedna trzecia graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

---

## Wzory na graniastosłupy

Graniastosłup to bryła, której podstawę stanowi wielokąt, a boczne ściany są prostokątami (graniastosłup prosty) lub równoległobokami (graniastosłup ukośny).

### Graniastosłup prostokątny (prostopadłościan)

Jest to najczęściej spotykana bryła na maturze. Dla prostopadłościanu o wymiarach \(a\), \(b\), \(c\):

**Objętość:**
$$V = a \cdot b \cdot c$$

**Pole powierzchni całkowitej:**
$$P_c = 2(ab + bc + ac)$$

**Przekątna prostopadłościanu:**
$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

**Sześcian** to szczególny przypadek: \(a = b = c\), więc \(V = a^3\) i \(P_c = 6a^2\).

### Graniastosłup prostokątny o podstawie trójkąta

Podstawa to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a\) i \(b\), wysokość bryły to \(h\).

$$V = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot h$$

### Pole powierzchni dowolnego graniastosłupa prostego

$$P_c = 2P_p + P_b$$

Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest prostokątem o bokach równych obwodowi podstawy i wysokości bryły, więc \(P_b\) to obwód podstawy razy \(h\).

---

## Wzory na ostrosłupy

Ostrosłup to bryła o podstawie wielokątnej i trójkątnych ścianach bocznych zbiegających się w jednym wierzchołku (wierzchołku ostrosłupa).

**Objętość każdego ostrosłupa:**
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podstawy} \cdot h$$

gdzie \(P_{podstawy}\) to pole podstawy, a \(h\) to wysokość ostrosłupa (prostopadła do podstawy).

### Ostrosłup o podstawie kwadratu (ostrosłup prawidłowy czworokątny)

Podstawa to kwadrat o boku \(a\), wysokość bryły \(h\).

$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$$

**Pole powierzchni bocznej** (4 jednakowe trójkąty):
$$P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = 2al$$

gdzie \(l\) to apotema (wysokość ściany bocznej). Apotema: \(l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)

**Pole całkowite:**
$$P_c = P_b + P_{podstawy} = 2al + a^2$$

Dla każdego ostrosłupa prawidłowego pole boczne to połowa obwodu podstawy razy wysokość ściany bocznej \(l\).

### Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \(a\). Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku podstawy, a jego odległość od wierzchołka podstawy to promień okręgu opisanego \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Z twierdzenia Pitagorasa, dla krawędzi bocznej \(k\):

$$h = \sqrt{k^2 - R^2} = \sqrt{k^2 - \frac{a^2}{3}}$$

---

## Wzory na walec

Walec to bryła obrotowa - powstaje z obrotu prostokąta wokół jednego z boków.

Dane: promień podstawy \(r\), wysokość \(h\).

**Objętość:**
$$V = \pi r^2 h$$

**Pole powierzchni bocznej** (rozwinięcie to prostokąt o bokach \(2\pi r\) i \(h\)):
$$P_b = 2\pi r h$$

**Pole powierzchni całkowitej:**
$$P_c = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r)$$

---

## Wzory na stożek

Stożek to bryła obrotowa - powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych.

Dane: promień podstawy \(r\), wysokość \(h\), tworząca \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\).

**Objętość:**
$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

**Pole powierzchni bocznej:**
$$P_b = \pi r l$$

**Pole powierzchni całkowitej:**
$$P_c = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$$

---

## Wzory na kulę

Kula to bryła obrotowa - punkt, odległość od środka nie przekracza \(r\).

**Objętość:**
$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

**Pole powierzchni:**
$$P = 4\pi r^2$$

---

## Typowe zadania maturalne ze stereometrii

### Zadanie 1 - Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(a = 6\) cm i krawędź boczną \(k = 5\) cm. Oblicz objętość.

**Rozwiązanie:**
Najpierw wyznacz wysokość ostrosłupa. Połowa przekątnej podstawy:
$$\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (krawędź boczna, połowa przekątnej, wysokość):
$$h = \sqrt{k^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}$$

Objętość:
$$V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot \sqrt{7} = \frac{36\sqrt{7}}{3} = 12\sqrt{7} \approx 31{,}7 \text{ cm}^3$$

### Zadanie 2 - Walec wpisany w sześcian

Sześcian o krawędzi \(a = 4\) cm. Walec jest wpisany w sześcian (obie podstawy walca są wpisanymi okręgami ścian sześcianu). Oblicz stosunek objętości walca do objętości sześcianu.

**Rozwiązanie:**
Promień walca: \(r = \frac{a}{2} = 2\) cm, wysokość walca: \(h = a = 4\) cm.
$$V_{walca} = \pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi$$
$$V_{sześcianu} = 64$$
$$\frac{V_{walca}}{V_{sześcianu}} = \frac{16\pi}{64} = \frac{\pi}{4}$$

### Zadanie 3 - Stożek z koła

Z kółka kartonowego o promieniu \(R = 10\) cm wycięto wycinek o kącie \(\alpha = 144°\) i zwinięto go w stożek. Oblicz objętość stożka.

**Rozwiązanie:**
Tworząca stożka: \(l = R = 10\) cm.
Promień podstawy stożka - z proporcji długości łuków:
$$2\pi r = \frac{144}{360} \cdot 2\pi R = \frac{2}{5} \cdot 2\pi \cdot 10 = 8\pi$$
$$r = 4 \text{ cm}$$

Wysokość: \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\)

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 2\sqrt{21} = \frac{32\pi\sqrt{21}}{3} \approx 153{,}7 \text{ cm}^3$$

### Zadania zamknięte za 1 punkt

**Zadanie 4.** Pole powierzchni bocznej walca o promieniu \(5\) cm i wysokości \(4\) cm jest równe: A. \(20\pi\) cm², B. \(40\pi\) cm², C. \(50\pi\) cm², D. \(100\pi\) cm².

\(P_b = 2\pi r h = 2\pi \cdot 5 \cdot 4 = 40\pi\) cm². Pytanie dotyczy pola bocznego, więc pól podstaw nie dodajesz. **Odpowiedź: B**

**Zadanie 5.** Stożek ma promień podstawy \(3\) cm i wysokość \(4\) cm. Tworząca ma długość: A. \(5\) cm, B. \(7\) cm, C. \(\sqrt{7}\) cm, D. \(25\) cm.

Tworząca jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(r\) i \(h\): \(l = \sqrt{9 + 16} = 5\) cm. **Odpowiedź: A**

**Zadanie 6.** Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) cm i \(4\) cm, a jego wysokość to \(10\) cm. Objętość jest równa: A. \(60\) cm³, B. \(120\) cm³, C. \(30\) cm³, D. \(40\) cm³.

\(P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\) cm², więc \(V = 6 \cdot 10 = 60\) cm³. **Odpowiedź: A**

---

## Kąty i odległości w bryle - najczęstsze typy zadań

Zadania maturalne często polegają na znalezieniu:
- **kąta między krawędzią a podstawą** - znajdź odpowiedni trójkąt prostokątny i użyj trygonometrii
- **kąta między ścianą a podstawą** - potrzebujesz apotemy i wysokości bryły
- **odległości między punktami** - twierdzenie Pitagorasa (czasem trzykrotnie)

Klucz to zawsze narysowanie rzutu i zaznaczenie szukanego trójkąta prostokątnego.

### Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy

Trójkąt prostokątny tworzą wysokość bryły \(h\), odcinek od spodka wysokości do wierzchołka podstawy i krawędź boczna. Tangens kąta to iloraz wysokości przez ten odcinek. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odcinek jest połową przekątnej podstawy, \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), w trójkątnym promieniem \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

### Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

Tu zamiast wierzchołka podstawy bierzesz środek jej boku. Odległość środka podstawy od środka boku wynosi \(\frac{a}{2}\) dla kwadratu i \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\) dla trójkąta równobocznego, a tangens kąta to wysokość bryły podzielona przez tę odległość.

### Przykład: wysokość, objętość i kąt

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(8\) cm i krawędź boczną \(\sqrt{41}\) cm. Oblicz wysokość, objętość i tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Połowa przekątnej podstawy to \(\frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\). Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 = 41 - (4\sqrt{2})^2 = 41 - 32 = 9, \qquad h = 3 \text{ cm}$$
$$V = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 3 = 64 \text{ cm}^3$$
$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$$

Sam kąt ma około \(28°\).

---

## Najczęstsze błędy

**Wysokość pomylona z krawędzią boczną.** Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do podstawy (w ostrosłupie prawidłowym kończy się w środku podstawy), a krawędź boczna łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy.

**Zgubiona jedna trzecia.** Objętość ostrosłupa i stożka to \(\frac{1}{3} P_p \cdot h\). Bez dzielenia przez \(3\) liczysz graniastosłup albo walec.

**Tworząca pomylona z wysokością stożka.** Tworząca jest przeciwprostokątną, więc zawsze \(l > h\).

**Rysunek całej bryły zamiast przekroju.** Narysuj osobno trójkąt prostokątny, w którym liczysz. Przekrój jest płaski i łatwiej na nim zobaczyć dane.

---

## Gdzie ćwiczyć stereometrię

Zadania ze stereometrii znajdziesz na [SprawnaMatura.pl w dziale Stereometria](/topics/stereometria). Są pogrupowane według typów brył i trudności - od prostych obliczeń objętości po zaawansowane zadania z kątami.

Przydatne będą też artykuły o [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag), bo wiele zadań ze stereometrii sprowadza się do obliczeń na przekrojach (trójkątach i czworokątach).

---

## Podsumowanie wzorów

| Bryła | Objętość | Pole powierzchni |
|-------|----------|------------------|
| Prostopadłościan | \(abc\) | \(2(ab+bc+ac)\) |
| Ostrosłup | \(\frac{1}{3}Ph\) | \(P_b + P_{pods.}\) |
| Walec | \(\pi r^2 h\) | \(2\pi r(h+r)\) |
| Stożek | \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) | \(\pi r(l+r)\) |
| Kula | \(\frac{4}{3}\pi r^3\) | \(4\pi r^2\) |

Naucz się tej tabeli na pamięć - to oszczędność czasu na egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe
title: Statystyka na maturze z matematyki - średnia, mediana, odchylenie standardowe i zadania CKE
description: Statystyka na maturze z matematyki: średnia arytmetyczna i ważona, mediana, dominanta, odchylenie standardowe, wariancja. Ponad 60 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Statystyka na maturze z matematyki - średnia, mediana, odchylenie standardowe i zadania CKE

## Statystyka na maturze - łatwe punkty, jeśli znasz wzory

Statystyka to dział, w którym można zdobyć punkty szybko i pewnie. Zadania są zazwyczaj proste obliczeniowo, ale wymagają znajomości wzorów i definicji. Na każdym arkuszu CKE pojawia się 1-2 zadania ze statystyki.

W naszej [bazie zadań ze statystyki](/topics/statystyka) mamy **ponad 60 zadań** z prawdziwych matur. Statystyka często łączy się z [procentami](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) i [prawdopodobieństwem](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

## Miary tendencji centralnej

### Średnia arytmetyczna

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

**Przykład:** Oceny ucznia: 3, 4, 5, 4, 2, 4.
$$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 4}{6} = \frac{22}{6} = 3\frac{2}{3} \approx 3{,}67$$

### Średnia ważona

$$\bar{x}_w = \frac{w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + \ldots + w_n \cdot x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$$

Każda wartość ma **wagę** - np. ocena ze sprawdzianu waży więcej niż z kartkówki.

**Przykład:** Kartkówka (waga 1): 4, Sprawdzian (waga 3): 5.
$$\bar{x}_w = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{1 + 3} = \frac{19}{4} = 4{,}75$$

### Mediana (wartość środkowa)

1. Uporządkuj dane rosnąco
2. Jeśli \(n\) jest nieparzyste: mediana to element środkowy
3. Jeśli \(n\) jest parzyste: mediana to średnia dwóch środkowych elementów

**Przykład (\(n\) nieparzyste):** 2, 3, 4, 4, 5 - mediana = 4

**Przykład (\(n\) parzyste):** 2, 3, 4, 5 - mediana = \(\frac{3+4}{2} = 3{,}5\)

### Dominanta (moda)

Wartość występująca **najczęściej** w zbiorze danych.

**Przykład:** 3, 4, 4, 5, 4, 2 - dominanta = 4 (występuje 3 razy)

Może być wiele dominant (rozkład multimodalny) lub żadnej (gdy wszystkie wartości mają tę samą częstość).

## Miary rozrzutu

### Rozstęp

$$R = x_{max} - x_{min}$$

Najprostszy sposób na opisanie rozrzutu danych. Wadą jest to, że zależy od wartości skrajnych (odstających).

### Wariancja

$$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$

Czyli: **średnia kwadratów odchyleń od średniej**.

Krok po kroku:
1. Oblicz średnią \(\bar{x}\)
2. Oblicz odchylenie każdej wartości od średniej: \(x_i - \bar{x}\)
3. Podnieś do kwadratu: \((x_i - \bar{x})^2\)
4. Oblicz średnią z tych kwadratów

### Odchylenie standardowe

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

Odchylenie standardowe jest w **tych samych jednostkach** co dane, dlatego jest bardziej intuicyjne niż wariancja.

**Interpretacja:** im większe \(\sigma\), tym bardziej dane są **rozproszone** wokół średniej.

### Przykład obliczeniowy

Dane: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

1. \(\bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5\)

2. Odchylenia: \(-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4\)

3. Kwadraty: \(9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16\)

4. \(\sigma^2 = \frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8} = \frac{32}{8} = 4\)

5. \(\sigma = \sqrt{4} = 2\)

## Odczytywanie danych z diagramów

Na maturze dane często podane są w formie:
- **Diagramu słupkowego** - odczytujemy wysokości słupków
- **Diagramu kołowego** - kąty lub procenty
- **Tabeli** - bezpośrednie wartości z częstościami
- **Wykresu pudełkowego (box plot)** - mediana, kwartyle, min, max

### Diagram kołowy - przeliczanie

Pełne koło = \(360°\) = 100%. Więc:

$$\text{procent} = \frac{\text{kąt}}{360°} \cdot 100\%$$

**Przykład:** Wycinek 90° odpowiada \(\frac{90}{360} \cdot 100\% = 25\%\) danych.

## Kwartyle i wykres pudełkowy

### Kwartyle

- \(Q_1\) (pierwszy kwartyl) - mediana dolnej połowy danych (25% danych jest poniżej)
- \(Q_2\) (drugi kwartyl) = mediana = 50%
- \(Q_3\) (trzeci kwartyl) - mediana górnej połowy danych (75% danych jest poniżej)

### Rozstęp międzykwartylowy

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

Mierzy rozrzut "środkowych 50%" danych - odporny na wartości odstające.

## Własności średniej arytmetycznej - przydatne triki

1. Jeśli do każdej wartości dodamy stałą \(c\), średnia wzrośnie o \(c\): \(\bar{x}_{nowa} = \bar{x} + c\)
2. Jeśli każdą wartość pomnożymy przez \(c\), średnia się pomnoży: \(\bar{x}_{nowa} = c \cdot \bar{x}\)
3. Suma odchyleń od średniej zawsze wynosi zero: \(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\)

Te własności przydają się w zadaniach, gdzie trzeba "poprawić" średnią - np. "jaki wynik musi uzyskać, żeby średnia wyniosła...".

## Statystyka w kontekście innych działów

Statystyka łączy się z:
- [Procentami](/topics/procenty) - wyrażanie danych w procentach, diagramy kołowe
- [Prawdopodobieństwem](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania) - rozkłady, częstość
- [Funkcjami](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc) - wykresy, odczytywanie wartości

## Jak ćwiczyć

1. Rozwiąż [ponad 60 zadań ze statystyki](/topics/statystyka) z naszej bazy CKE
2. Przećwicz [zadania z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) - pokrewny dział
3. Powtórz [procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) - pojawiają się razem ze statystyką
4. Rozwiąż pełne arkusze z [matury próbnej CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026)
5. Sprawdź się w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) na czasie

Statystyka to **pewne punkty**. Wzory są proste, obliczenia mechaniczne. Jedyną pułapką jest mediana przy parzystej liczbie danych - pamiętaj o uśrednianiu dwóch środkowych.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania
title: Średnia, mediana i dominanta na maturze - statystyka opisowa z zadaniami krok po kroku
description: Jak obliczyć średnią, medianę i dominantę na maturze? Wzory, odchylenie standardowe, wariancja, kwartyle i diagramy: kurs statystyki z zadaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Średnia, mediana i dominanta na maturze - statystyka opisowa z zadaniami krok po kroku

## Statystyka opisowa - pewne punkty na maturze

Statystyka to jeden z najbardziej wdzięcznych działów na maturze z matematyki. Zadania opierają się na konkretnych, prostych wzorach - nie trzeba wymyślać sztuczek ani szukać pomysłu na rozwiązanie. Wystarczy znać definicje i umieć podstawiać do wzorów.

Na każdym arkuszu CKE pojawiają się **2-4 zadania ze statystyki**, najczęściej za 1-2 punkty. To łącznie nawet 6-8 punktów, które możesz zdobyć stosunkowo szybko. Dlatego statystyka jest jednym z [pewniaczków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), które warto opanować w pierwszej kolejności.

W tym przewodniku omówimy wszystkie miary statystyczne, które pojawiają się na maturze: średnią arytmetyczną, medianę, dominantę, odchylenie standardowe, wariancję, rozstęp i kwartyle. Każde pojęcie zilustrujemy zadaniami maturalnymi z pełnymi rozwiązaniami.

Więcej zadań ze statystyki znajdziesz w naszej [bazie zadań z kategorii Statystyka](/topics/statystyka), a jeśli chcesz powtórzyć powiązane tematy - zajrzyj do [przewodnika po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

---

Średnią, medianę, dominantę, wariancję i odchylenie standardowe dla jednego zestawu danych policzysz naraz w [kalkulatorze statystycznym](/narzedzia/kalkulator-statystyczny). Wynik przychodzi z obliczeniami, więc widać, na którym kroku rozjeżdża się własny rachunek.

Interaktywny kalkulator: kalkulator-statystyczny (dostępny na stronie wpisu)

## Średnia arytmetyczna - wzór i obliczanie

### Definicja

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę. Jest to najczęściej używana miara tendencji centralnej.

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

gdzie:
- \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) to wartości danych
- \(n\) to liczba danych

### Przykład obliczania

Oceny ucznia z matematyki: 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4.

$$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 3 + 4 + 5 + 6 + 4}{8} = \frac{34}{8} = 4{,}25$$

### Właściwości średniej arytmetycznej

Te właściwości pojawiają się na maturze w zadaniach teoretycznych:

1. **Dodanie stałej do każdej wartości** - średnia zwiększa się o tę stałą:

$$\text{Jeśli } y_i = x_i + c, \text{ to } \bar{y} = \bar{x} + c$$

2. **Pomnożenie każdej wartości przez stałą** - średnia mnoży się przez tę stałą:

$$\text{Jeśli } y_i = k \cdot x_i, \text{ to } \bar{y} = k \cdot \bar{x}$$

3. **Suma odchyleń od średniej wynosi zero:**

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$$

Ta ostatnia właściwość jest fundamentalna - mówi, że średnia jest "punktem równowagi" danych.

### Średnia ważona

Na maturze pojawia się też średnia ważona, np. przy ocenach z wagami:

$$\bar{x}_w = \frac{w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + \ldots + w_n \cdot x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$

**Przykład:** Uczeń dostał ocenę 5 z wagą 3, ocenę 4 z wagą 2 i ocenę 3 z wagą 1.

$$\bar{x}_w = \frac{5 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{3 + 2 + 1} = \frac{15 + 8 + 3}{6} = \frac{26}{6} \approx 4{,}33$$

Policzysz to szybciej w [kalkulatorze średniej ważonej](/wzory/srednia-wazona) - dodajesz dowolną liczbę wierszy z wartością i wagą, a wynik liczy się na bieżąco.

Interaktywny kalkulator: srednia-wazona (dostępny na stronie wpisu)

### Średnia z tabeli częstości

Gdy dane są podane w tabeli częstości (wartość + ile razy wystąpiła), stosujemy wzór:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$$

gdzie \(x_i\) to wartości, a \(n_i\) to ich częstości (liczebności).

**Przykład:** Wyniki ankiety o liczbie książek przeczytanych w miesiącu:

| Liczba książek | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Liczba osób | 3 | 8 | 12 | 7 | 4 | 1 |

$$\bar{x} = \frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 1}{3 + 8 + 12 + 7 + 4 + 1} = \frac{0 + 8 + 24 + 21 + 16 + 5}{35} = \frac{74}{35} \approx 2{,}11$$

---

## Mediana - wartość środkowa

### Definicja

Mediana to wartość, która dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe połowy. Połowa danych jest mniejsza lub równa medianie, a połowa jest większa lub równa.

### Jak wyznaczyć medianę - algorytm krok po kroku

**Krok 1:** Uporządkuj dane od najmniejszej do największej wartości.

**Krok 2:** Określ, czy liczba danych \(n\) jest parzysta czy nieparzysta.

**Krok 3a:** Jeśli \(n\) jest **nieparzyste** - mediana to element środkowy, czyli element na pozycji \(\frac{n+1}{2}\):

$$Me = x_{\frac{n+1}{2}}$$

**Krok 3b:** Jeśli \(n\) jest **parzyste** - mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych elementów:

$$Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$$

### Przykład - nieparzysta liczba danych

Dane: 7, 2, 5, 1, 9, 3, 8

Krok 1 - porządkujemy: 1, 2, 3, **5**, 7, 8, 9

Mamy \(n = 7\) (nieparzyste), więc mediana to element na pozycji \(\frac{7+1}{2} = 4\).

$$Me = 5$$

### Przykład - parzysta liczba danych

Dane: 4, 8, 2, 6, 1, 9

Krok 1 - porządkujemy: 1, 2, **4**, **6**, 8, 9

Mamy \(n = 6\) (parzyste), więc mediana to średnia elementów na pozycjach 3 i 4:

$$Me = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

Mediana nie musi być jedną z danych: liczby 5 w tym zestawie nie ma, a wynik jest poprawny. Nie musi też być równa dominancie. Dla wyników \(3, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9\) mediana to \(\frac{5 + 7}{2} = 6\), a dominanta \(5\): środek danych i wartość najczęstsza to dwie różne rzeczy.

### Mediana z tabeli częstości

Gdy dane są w tabeli częstości, szukamy wartości, przy której skumulowana częstość przekracza połowę danych.

**Przykład:** Oceny 30 uczniów:

| Ocena | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 4 | 8 | 10 | 6 | 2 |
| Częstość skumulowana | 4 | 12 | 22 | 28 | 30 |

Mamy \(n = 30\) (parzyste). Szukamy elementów na pozycjach 15 i 16.

Patrzymy na częstość skumulowaną: do oceny 3 mamy 12 uczniów, a do oceny 4 mamy 22 uczniów. Zatem zarówno 15., jak i 16. uczeń (w kolejności) mają ocenę 4.

$$Me = \frac{4 + 4}{2} = 4$$

### Kiedy mediana jest lepsza od średniej?

Mediana jest odporniejsza na wartości skrajne (odstające) niż średnia. Na maturze możesz spotkać zadanie, w którym dochodzi jedna bardzo duża lub bardzo mała wartość i pytają o wpływ na medianę vs. średnią.

**Przykład:** Zarobki 5 pracowników: 4000, 4500, 5000, 5500, 50 000 zł.

- Średnia: \(\bar{x} = \frac{4000 + 4500 + 5000 + 5500 + 50000}{5} = \frac{69000}{5} = 13800\) zł
- Mediana: \(Me = 5000\) zł

Mediana (5000 zł) znacznie lepiej oddaje "typowe" zarobki niż średnia (13 800 zł), która jest zawyżona przez jedną skrajną wartość.

---

## Dominanta (moda) - wartość najczęstsza

### Definicja

Dominanta (inaczej moda, wartość modalna) to wartość, która występuje w zbiorze danych **najczęściej**.

### Ważne uwagi

- Zbiór danych może mieć **jedną dominantę**, np. w zbiorze \(\{1, 2, 2, 3, 4\}\) dominanta to 2.
- Zbiór danych może mieć **więcej niż jedną dominantę**, np. w zbiorze \(\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}\) dominanty to 2 i 3.
- Zbiór danych może **nie mieć dominanty**, jeśli wszystkie wartości występują tyle samo razy, np. \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\).

### Dominanta z tabeli lub diagramu

Na maturze dominantę najczęściej odczytujemy z tabeli częstości lub diagramu słupkowego. Wystarczy znaleźć wartość z najwyższą częstością (najwyższy słupek).

**Przykład:** Liczba goli strzelonych w 20 meczach:

| Gole | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Mecze | 3 | 6 | 5 | 4 | 1 | 1 |

Najwyższa częstość to 6 (dla 1 gola). Dominanta = 1.

---

## Wariancja i odchylenie standardowe

### Wariancja

Wariancja mierzy, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Im większa wariancja, tym większe rozproszenie.

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$$

lub równoważnie (wygodniejszy wzór do obliczeń):

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \bar{x}^2$$

Ten drugi wzór mówi: **wariancja = średnia kwadratów minus kwadrat średniej**. Na maturze jest znacznie szybszy w użyciu.

### Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$$

Odchylenie standardowe ma tę samą jednostkę co dane (np. cm, kg, punkty), dlatego jest łatwiejsze w interpretacji niż wariancja.

### Obliczanie krok po kroku

Obliczmy wariancję i odchylenie standardowe dla danych: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

**Krok 1:** Obliczamy średnią:

$$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

**Krok 2:** Obliczamy odchylenia od średniej i ich kwadraty:

| \(x_i\) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) |
|---|---|---|
| 2 | \(-3\) | 9 |
| 4 | \(-1\) | 1 |
| 4 | \(-1\) | 1 |
| 4 | \(-1\) | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |

**Krok 3:** Sumujemy kwadraty odchyleń:

$$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$$

**Krok 4:** Obliczamy wariancję:

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$$

**Krok 5:** Obliczamy odchylenie standardowe:

$$\sigma = \sqrt{4} = 2$$

### Interpretacja odchylenia standardowego

Odchylenie standardowe \(\sigma = 2\) oznacza, że wartości w zbiorze odchylają się od średniej \(\bar{x} = 5\) przeciętnie o 2 jednostki.

**Na maturze pytają:** "Który zbiór danych jest bardziej zróżnicowany?" - odpowiedź: ten, który ma większe odchylenie standardowe.

### Właściwości (pojawiają się na maturze!)

1. Jeśli do każdej wartości **dodamy** stałą \(c\), odchylenie standardowe **się nie zmieni**:
$$\sigma_{x+c} = \sigma_x$$

2. Jeśli każdą wartość **pomnożymy** przez stałą \(k\), odchylenie standardowe **mnoży się** przez \(|k|\):
$$\sigma_{kx} = |k| \cdot \sigma_x$$

Te właściwości są bardzo ważne - CKE regularnie testuje je w zadaniach zamkniętych.

---

## Rozstęp

Najprostsza miara rozproszenia. To różnica między największą a najmniejszą wartością:

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

**Przykład:** Dla danych: 3, 5, 7, 12, 15

$$R = 15 - 3 = 12$$

Rozstęp jest łatwy do obliczenia, ale wrażliwy na wartości skrajne. Na maturze pojawia się rzadziej niż odchylenie standardowe, ale warto go znać - jest trywialny do obliczenia.

---

## Kwartyle i rozstęp międzykwartylowy

### Kwartyle

Kwartyle dzielą uporządkowany zbiór danych na cztery równe części:

- **\(Q_1\)** (kwartyl dolny) - 25% danych jest poniżej tej wartości
- **\(Q_2\)** (kwartyl środkowy) - to po prostu mediana
- **\(Q_3\)** (kwartyl górny) - 75% danych jest poniżej tej wartości

### Jak wyznaczyć kwartyle

**Krok 1:** Uporządkuj dane i znajdź medianę (\(Q_2\)).

**Krok 2:** \(Q_1\) to mediana dolnej połowy danych (poniżej mediany).

**Krok 3:** \(Q_3\) to mediana górnej połowy danych (powyżej mediany).

**Przykład:** Dane (już uporządkowane): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

\(n = 11\), mediana \(Q_2 = 7\) (element na pozycji 6).

Dolna połowa: 2, 3, 4, 5, 6 - mediana to \(Q_1 = 4\).

Górna połowa: 8, 9, 10, 11, 12 - mediana to \(Q_3 = 10\).

### Rozstęp międzykwartylowy

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

W naszym przykładzie: \(IQR = 10 - 4 = 6\).

Rozstęp międzykwartylowy obejmuje środkowe 50% danych i jest odporny na wartości skrajne (w przeciwieństwie do zwykłego rozstępu).

---

## Jak czytać diagramy na maturze

Na maturze dane statystyczne często są przedstawione w formie graficznej. Musisz umieć odczytywać informacje z różnych typów diagramów.

### Diagram słupkowy

Wysokość każdego słupka odpowiada częstości (liczebności) danej wartości. Z diagramu słupkowego bezpośrednio odczytasz:
- **Dominantę** - najwyższy słupek
- **Rozstęp** - różnica między skrajnymi wartościami na osi X
- **Dane do obliczenia średniej** - suma (wartość razy wysokość) podzielona przez sumę wysokości

### Diagram kołowy

Diagram kołowy pokazuje udziały procentowe. Cały okrąg to 100% (lub 360 stopni). Aby odczytać częstość:

$$n_i = \frac{\text{procent}_i}{100\%} \cdot n$$

Uwaga: z diagramu kołowego **nie da się bezpośrednio** odczytać liczebności, jeśli nie podano łącznej liczby danych \(n\).

### Diagram pudełkowy (box plot)

Diagram pudełkowy to bardzo wdzięczny temat na maturze. Z jednego diagramu odczytasz aż 5 wartości:

- Lewa "wąsa" - minimum (\(x_{\min}\))
- Lewa krawędź pudełka - \(Q_1\)
- Linia wewnątrz pudełka - mediana (\(Q_2\))
- Prawa krawędź pudełka - \(Q_3\)
- Prawy "wąs" - maksimum (\(x_{\max}\))

**Z diagramu pudełkowego obliczysz:**
- Rozstęp: \(R = x_{\max} - x_{\min}\) (odległość między końcami wąsów)
- Rozstęp międzykwartylowy: \(IQR = Q_3 - Q_1\) (szerokość pudełka)

---

## Kiedy stosować którą miarę?

Ten temat pojawia się na maturze w formie zadań otwartych, gdzie trzeba uzasadnić wybór miary.

| Miara | Kiedy stosować | Wady |
|---|---|---|
| Średnia | Dane bez wartości skrajnych, rozkład symetryczny | Wrażliwa na wartości odstające |
| Mediana | Dane z wartościami skrajnymi, rozkład asymetryczny | Nie uwzględnia wszystkich wartości |
| Dominanta | Dane jakościowe (np. ulubiony kolor), szukanie "typowej" wartości | Może nie istnieć lub nie być jednoznaczna |
| Odchylenie standardowe | Porównywanie rozproszenia zbiorów | Wymaga obliczenia średniej |
| Rozstęp | Szybka ocena rozproszenia | Zależy tylko od dwóch wartości |

---

## Zadania maturalne z rozwiązaniami

### Zadanie 1 - średnia arytmetyczna (1 pkt)

**Treść:** Średnia arytmetyczna pięciu liczb: 3, 7, 8, \(x\), 12 jest równa 8. Wyznacz wartość \(x\).

**Rozwiązanie:**

Z definicji średniej:

$$\frac{3 + 7 + 8 + x + 12}{5} = 8$$

$$\frac{30 + x}{5} = 8$$

$$30 + x = 40$$

$$x = 10$$

**Odpowiedź:** \(x = 10\).

---

### Zadanie 2 - mediana i dominanta (1 pkt)

**Treść:** Wyniki 11 uczniów z testu: 5, 3, 7, 3, 8, 5, 3, 9, 4, 6, 3. Podaj medianę i dominantę tego zbioru danych.

**Rozwiązanie:**

Porządkujemy: 3, 3, 3, 3, 4, **5**, 5, 6, 7, 8, 9

\(n = 11\) (nieparzyste), mediana to element na pozycji \(\frac{11+1}{2} = 6\).

$$Me = 5$$

Dominanta to wartość najczęstsza. Liczba 3 występuje 4 razy (więcej niż inne).

$$D_o = 3$$

**Odpowiedź:** Mediana wynosi 5, dominanta wynosi 3.

---

### Zadanie 3 - odchylenie standardowe (2 pkt)

**Treść:** Średnia arytmetyczna zbioru danych wynosi \(\bar{x} = 10\), a odchylenie standardowe \(\sigma = 3\). Każdą wartość w zbiorze pomnożono przez 2 i dodano 5. Wyznacz nową średnią i nowe odchylenie standardowe.

**Rozwiązanie:**

Nowe dane: \(y_i = 2x_i + 5\).

Korzystamy z właściwości:
- Nowa średnia: \(\bar{y} = 2 \cdot \bar{x} + 5 = 2 \cdot 10 + 5 = 25\)
- Nowe odchylenie: \(\sigma_y = |2| \cdot \sigma_x = 2 \cdot 3 = 6\)

(Dodanie stałej nie zmienia odchylenia, mnożenie przez \(k\) mnoży odchylenie przez \(|k|\).)

**Odpowiedź:** Nowa średnia wynosi 25, nowe odchylenie standardowe wynosi 6.

---

### Zadanie 4 - diagram pudełkowy (2 pkt)

**Treść:** Na diagramie pudełkowym wyników testu odczytano: \(x_{\min} = 12\), \(Q_1 = 18\), \(Q_2 = 25\), \(Q_3 = 31\), \(x_{\max} = 42\). Oblicz rozstęp i rozstęp międzykwartylowy. Podaj, jaki procent danych znajduje się w przedziale od 18 do 31.

**Rozwiązanie:**

Rozstęp:
$$R = x_{\max} - x_{\min} = 42 - 12 = 30$$

Rozstęp międzykwartylowy:
$$IQR = Q_3 - Q_1 = 31 - 18 = 13$$

Przedział od \(Q_1 = 18\) do \(Q_3 = 31\) obejmuje środkowe 50% danych (z definicji kwartyli).

**Odpowiedź:** Rozstęp wynosi 30, rozstęp międzykwartylowy wynosi 13. W przedziale od 18 do 31 znajduje się 50% danych.

---

### Zadanie 5 - średnia z tabeli częstości (2 pkt)

**Treść:** W tabeli podano wyniki ankiety przeprowadzonej wśród 40 uczniów. Pytano o liczbę godzin nauki dziennie.

| Godziny | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Uczniowie | 2 | 7 | 14 | 10 | 5 | 2 |

Oblicz średnią liczbę godzin nauki. Wyznacz medianę.

**Rozwiązanie:**

Średnia:
$$\bar{x} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 14 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2}{40}$$

$$\bar{x} = \frac{0 + 7 + 28 + 30 + 20 + 10}{40} = \frac{95}{40} = 2{,}375$$

Mediana - mamy \(n = 40\) (parzyste), szukamy elementów na pozycjach 20 i 21.

Częstości skumulowane:
- Do 0 godzin: 2
- Do 1 godziny: 2 + 7 = 9
- Do 2 godzin: 9 + 14 = 23
- Do 3 godzin: 23 + 10 = 33

Pozycje 20 i 21 mieszczą się w grupie "2 godziny" (bo skumulowana częstość przekracza 20 dopiero przy wartości 2).

$$Me = \frac{2 + 2}{2} = 2$$

**Odpowiedź:** Średnia wynosi 2,375 godziny. Mediana wynosi 2 godziny.

---

### Zadanie 6 - porównanie zbiorów (2 pkt)

**Treść:** Średnia ocen w klasie A wynosi 3,8, a odchylenie standardowe 0,9. W klasie B średnia wynosi 3,8, a odchylenie standardowe 1,4. Która klasa ma bardziej zróżnicowane wyniki? Uzasadnij odpowiedź.

**Rozwiązanie:**

Obie klasy mają taką samą średnią (\(\bar{x} = 3{,}8\)), więc porównujemy tylko odchylenie standardowe.

Klasa B ma większe odchylenie standardowe (\(\sigma_B = 1{,}4 > \sigma_A = 0{,}9\)), co oznacza, że oceny w klasie B są bardziej rozproszone wokół średniej.

**Odpowiedź:** Klasa B ma bardziej zróżnicowane wyniki, ponieważ odchylenie standardowe w klasie B (1,4) jest większe niż w klasie A (0,9).

---

### Zadanie 7 - wariancja z wzoru skróconego (2 pkt)

**Treść:** Dane są liczby: 1, 3, 5, 7, 9. Oblicz wariancję tego zbioru.

**Rozwiązanie:**

Korzystamy ze wzoru skróconego: \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2\).

Średnia:
$$\bar{x} = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5$$

Średnia kwadratów:
$$\frac{\sum x_i^2}{n} = \frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2}{5} = \frac{1 + 9 + 25 + 49 + 81}{5} = \frac{165}{5} = 33$$

Wariancja:
$$\sigma^2 = 33 - 5^2 = 33 - 25 = 8$$

**Odpowiedź:** Wariancja wynosi 8.

Sprawdzenie: \(\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\).

---

### Zadanie 8 - mediana z niewiadomą (1 pkt)

**Treść:** Liczby \(3, 5, x, 11, 15\) są zapisane w kolejności rosnącej, a ich mediana wynosi \(9\). Wyznacz \(x\).

**Rozwiązanie:**

Danych jest \(n = 5\), więc mediana to wyraz na pozycji \(\frac{5 + 1}{2} = 3\), czyli \(x\). Stąd \(x = 9\). Sprawdzamy uporządkowanie: \(5 < 9 < 11\), zgadza się.

**Odpowiedź:** \(x = 9\).

Najpierw ustal, która pozycja jest środkowa, dopiero potem układaj równanie.

---

### Zadanie 9 - mediana i dominanta z tabeli, nieparzysta liczba danych (2 pkt)

**Treść:** Uczniów zapytano, ile mają rodzeństwa.

| Liczba rodzeństwa | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 4 | 9 | 5 | 1 |

Wyznacz medianę i dominantę.

**Rozwiązanie:**

Uczniów jest \(n = 4 + 9 + 5 + 1 = 19\), więc mediana to wartość na pozycji \(\frac{19 + 1}{2} = 10\). Częstości skumulowane: wartość 0 zajmuje pozycje od 1 do 4, wartość 1 pozycje od 5 do 13. Pozycja 10 wypada przy wartości 1, więc \(Me = 1\).

Największa liczebność, \(9\), stoi przy wartości 1, więc \(D_o = 1\). Przy nieparzystym \(n\) nie uśredniasz: odczytujesz jedną wartość.

**Odpowiedź:** Mediana i dominanta wynoszą 1.

---

## Jak statystyka łączy się z innymi działami na maturze

Statystyka rzadko pojawia się w izolacji. Na maturze często łączy się z innymi tematami:

### Statystyka + prawdopodobieństwo

Typowe zadanie: "Z podanego zbioru danych losujemy jedną wartość. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana wartość jest większa od mediany?" Aby to rozwiązać, musisz najpierw obliczyć medianę, a potem policzyć prawdopodobieństwo. Dlatego warto dobrze znać oba działy - przeczytaj nasz [przewodnik po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

### Statystyka + procenty

Wyniki statystyczne często trzeba wyrazić w procentach. Na przykład: "Jaki procent uczniów uzyskał wynik powyżej średniej?" albo "O ile procent wzrosła średnia po dodaniu nowej wartości?" Te zadania łączą umiejętność obliczania miar statystycznych z [procentami](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

### Statystyka + odczytywanie z wykresu

Spora część zadań ze statystyki na maturze polega na odczytaniu danych z diagramu (słupkowego, kołowego, pudełkowego) i obliczeniu żądanej miary. Przećwicz [odczytywanie własności z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura) - nawyk uważnego czytania diagramów przyda się i tu.

---

## Zadanie dodatkowe - średnia ważona z procentami (2 pkt)

**Treść:** W firmie pracuje 20 osób w dziale A ze średnią pensją 5000 zł i 30 osób w dziale B ze średnią pensją 6000 zł. Oblicz średnią pensję w całej firmie.

**Rozwiązanie:**

To zadanie na średnią ważoną, gdzie wagami są liczebności działów:

$$\bar{x} = \frac{20 \cdot 5000 + 30 \cdot 6000}{20 + 30} = \frac{100\,000 + 180\,000}{50} = \frac{280\,000}{50} = 5600 \text{ zł}$$

**Uwaga:** Średnia pensja w firmie (5600 zł) NIE jest średnią arytmetyczną średnich działów \(\frac{5000 + 6000}{2} = 5500\) zł. To typowa pułapka! Średnia ze średnich daje poprawny wynik tylko wtedy, gdy grupy mają jednakowe liczebności.

**Odpowiedź:** Średnia pensja w firmie wynosi 5600 zł.

---

## Zadanie dodatkowe - wpływ dodania elementu na średnią (2 pkt)

**Treść:** Średnia arytmetyczna 10 liczb wynosi 15. Dopisano jedenastą liczbę i średnia wzrosła do 16. Jaką liczbę dopisano?

**Rozwiązanie:**

Suma 10 liczb: \(S_{10} = 10 \cdot 15 = 150\).

Suma 11 liczb: \(S_{11} = 11 \cdot 16 = 176\).

Dopisana liczba: \(x = S_{11} - S_{10} = 176 - 150 = 26\).

**Odpowiedź:** Dopisano liczbę 26.

To klasyczny typ zadania na maturze. Zapamiętaj schemat: z definicji średniej wyznaczasz sumę "przed" i "po", a różnica to szukana wartość. Tego typu zadania znajdziesz w naszej [bazie zadań ze statystyki](/topics/statystyka).

---

## Najczęstsze pułapki na maturze

Zanim przystąpisz do egzaminu, zapamiętaj te typowe błędy. Więcej o nich przeczytasz w artykule o [najczęstszych błędach na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### 1. Zapomnienie o uporządkowaniu danych przed wyznaczeniem mediany

Mediana wymaga **uporządkowanego** zbioru. Jeśli dane są podane w losowej kolejności i weźmiesz element "środkowy" bez sortowania - dostaniesz zły wynik. To najczęstszy błąd w zadaniach ze statystyki.

### 2. Mylenie wariancji z odchyleniem standardowym

Na maturze pytają o jedno lub drugie. Wariancja to \(\sigma^2\), odchylenie to \(\sigma\). Jeśli obliczysz wariancję, a pytają o odchylenie - nie zapomnij wyciągnąć pierwiastka. I odwrotnie: jeśli pytają o wariancję, nie wyciągaj pierwiastka.

### 3. Dzielenie przez \(n-1\) zamiast \(n\)

Na maturze podstawowej zawsze dzielimy przez \(n\) (wariancja populacyjna). Wzór z \(n-1\) to wariancja próbkowa - na poziomie podstawowym się nie pojawia. Jeśli w kalkulatorze masz dwa tryby (population/sample), wybierz population.

### 4. Błędne odczytanie diagramu pudełkowego

Pamiętaj: linia wewnątrz pudełka to **mediana**, nie średnia. Krawędzie pudełka to \(Q_1\) i \(Q_3\), nie minimum i maksimum. Końce wąsów to minimum i maksimum (o ile nie ma wartości odstających).

### 5. Dodanie wartości nie zmienia odchylenia

Jeśli do każdej wartości dodasz 10, średnia wzrośnie o 10, ale odchylenie standardowe **nie zmieni się**. To klasyczna pułapka w zadaniach zamkniętych. Przesunięcie danych nie zmienia ich rozproszenia.

### 6. Średnia ze średnich to nie średnia ogólna

Jeśli w grupie A średnia wynosi 5, a w grupie B średnia wynosi 7, to średnia ogólna **NIE musi** wynosić 6. Zależy od liczebności grup (patrz zadanie z firmą powyżej).

### 7. Dominanta to wartość, nie częstość

Jeśli ocena 4 pojawiła się 12 razy (najczęściej), to dominanta wynosi 4 (nie 12!). Dominanta to **wartość** o największej częstości, a nie sama częstość.

### 8. Pozycja zamiast wartości

Wzór \(\frac{n + 1}{2}\) daje numer miejsca w uporządkowanym ciągu, a nie medianę. Po obliczeniu pozycji odczytaj, jaka liczba na niej stoi.

### 9. Zgubione powtórzenia

Wartość, która występuje trzy razy, wypisujesz w uporządkowanym ciągu trzy razy. Inaczej źle policzysz \(n\) i przesuniesz środek.

---

## Podsumowanie - wzory do zapamiętania

| Miara | Wzór |
|---|---|
| Średnia arytmetyczna | \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\) |
| Mediana (\(n\) nieparzyste) | Element na pozycji \(\frac{n+1}{2}\) |
| Mediana (\(n\) parzyste) | \(\frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}\) |
| Dominanta | Wartość o największej częstości |
| Wariancja | \(\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}\) |
| Wariancja (wzór skrócony) | \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2\) |
| Odchylenie standardowe | \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\) |
| Rozstęp | \(R = x_{\max} - x_{\min}\) |
| Rozstęp międzykwartylowy | \(IQR = Q_3 - Q_1\) |

Statystyka to dział, w którym możesz szybko zdobyć cenne punkty na maturze. Wszystkie wzory są proste, a zadania powtarzają się w schematach. Najważniejsze to nie pomylić definicji i nie zapomnieć o uporządkowaniu danych.

Przećwicz więcej zadań ze statystyki w naszej [bazie zadań maturalnych](/topics/statystyka). Jeśli chcesz wiedzieć, które tematy dają najłatwiejsze punkty, przeczytaj nasz poradnik o [łatwych punktach na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt). A po opanowaniu statystyki - przejdź do [prawdopodobieństwa i kombinatoryki](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania), bo te działy często się łączą.

Osobno rozpisaliśmy [odchylenie standardowe i wariancję](/jak-obliczyc-odchylenie-standardowe-wariancje-matura) oraz [średnią ważoną](/jak-obliczyc-srednia-wazona-wzor-zadania-matura), krok po kroku i z zadaniami.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /rownanie-prostej-matura-wzory-zadania
title: Równanie prostej na maturze - postać ogólna, kierunkowa i odcinowa z zadaniami
description: Równanie prostej na maturze - postać kierunkowa, ogólna i odcinowa. Wzory, warunki równoległości i prostopadłości z zadaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Równanie prostej na maturze - postać ogólna, kierunkowa i odcinowa z zadaniami

## Wstęp

Równania prostych to jeden z fundamentalnych tematów geometrii analitycznej, który pojawia się niemal na każdej maturze z matematyki. W zadaniach maturalnych równania prostych nie są jedynie abstrakcyjnym pojęciem - stanowią klucz do rozwiązywania problemów geometrycznych, znajdują zastosowanie w analizie funkcji liniowych i pojawiają się w zadaniach z fizyki oraz ekonomii.

Dlaczego równania prostych są tak ważne? Po pierwsze, opisanie linii w układzie współrzędnych matematycznym jest podstawą całej geometrii analitycznej. Po drugie, znajomość trzech postaci równania prostej - kierunkowej, ogólnej i odcinowej - pozwala wybrać najwygodniejszą formę do danego problemu. Po trzecie, umiejętność badania wzajemnego położenia prostych, wyznaczania odległości i punktów przecięcia to standardowe zadania, które pojawiają się w arkuszach egzaminacyjnych co roku.

W tym artykule przejdziemy przez wszystkie formy równania prostej, nauczymy się przekształcać między nimi, a następnie rozwiążemy liczne zadania maturalne. Dowiesz się, jak szybko i pewnie radzić sobie z każdym typem zadania dotyczącego prostych.

## Postać kierunkowa prostej y = ax + b

Postać kierunkowa to zapewne najbardziej intuicyjna forma równania prostej. Zapisujemy ją jako:

$$y = ax + b$$

gdzie:
- \( a \) to współczynnik kierunkowy (nachylenie, zwane też slope'em),
- \( b \) to wyraz wolny (punkt przecięcia prostej z osią \( y \)).

### Znaczenie współczynnika kierunkowego

Współczynnik \( a \) informuje nas o tym, jak szybko zmienia się wartość \( y \) względem \( x \). Jeśli \( a > 0 \), prosta rośnie (idzie w górę od lewej do prawej). Jeśli \( a < 0 \), prosta maleje. Jeśli \( a = 0 \), prosta jest pozioma (równoległa do osi \( x \)).

Geometrycznie, współczynnik kierunkowy równy jest tangensowi kąta, jaki prosta tworzy z dodatnim kierunkiem osi \( x \):

$$a = \tan(\alpha)$$

gdzie \( \alpha \) to kąt nachylenia prostej.

### Przykład 1: Interpretacja współczynnika

Rozpatrzmy prostą \( y = 2x + 3 \). Współczynnik kierunkowy \( a = 2 \) oznacza, że kiedy zmieniamy \( x \) o 1 jednostkę, wartość \( y \) zmienia się o 2 jednostki. Wyraz wolny \( b = 3 \) mówi nam, że prosta przecina oś \( y \) w punkcie \( (0, 3) \).

### Wyznaczanie równania z dwóch punktów

Jeśli znamy dwa punkty należące do prostej: \( A(x_1, y_1) \) i \( B(x_2, y_2) \), gdzie \( x_1 \neq x_2 \), możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy ze wzoru:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Następnie znajdujemy \( b \), podstawiając jedną z par współrzędnych do równania \( y = ax + b \).

Krócej da się to zapisać jednym wzorem z proporcji, który działa, gdy \( x_1 \neq x_2 \) i \( y_1 \neq y_2 \):

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Na maturze bezpieczniejsza jest jednak droga przez \( a \) i \( b \): trudniej o pomyłkę w znakach.

### Przykład 2: Równanie prostej przez dwa punkty

Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkty \( A(1, 2) \) i \( B(3, 8) \).

Krok 1: Obliczamy współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Krok 2: Podstawiamy punkt \( A(1, 2) \) do równania \( y = 3x + b \):
$$2 = 3 \cdot 1 + b$$
$$b = -1$$

Zatem równanie to: \( y = 3x - 1 \)

Sprawdzenie z punktem \( B \): \( 8 = 3 \cdot 3 - 1 = 8 \) ✓

## Postać ogólna prostej Ax + By + C = 0

Postać ogólna (inaczej zwana normalna) to:

$$Ax + By + C = 0$$

gdzie \( A \), \( B \), \( C \) to liczby rzeczywiste, przy czym co najmniej jedna z liczb \( A \) lub \( B \) musi być różna od zera.

### Konwersja z postaci kierunkowej do ogólnej

Jeśli mamy równanie \( y = ax + b \), możemy je przekształcić do postaci ogólnej:

$$y = ax + b$$
$$y - ax - b = 0$$
$$-ax + y - b = 0$$

Mnożąc przez -1 (żeby mieć \( a \) dodatnie):
$$ax - y + b = 0$$

### Konwersja z postaci ogólnej do kierunkowej

Jeśli mamy \( Ax + By + C = 0 \) i \( B \neq 0 \), możemy rozwiązać względem \( y \):

$$By = -Ax - C$$
$$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$$

Stąd \( a = -\frac{A}{B} \) i \( b = -\frac{C}{B} \).

### Przykład 3: Konwersja postaci

Przekształć \( 3x - 2y + 4 = 0 \) do postaci kierunkowej.

$$-2y = -3x - 4$$
$$y = \frac{3}{2}x + 2$$

Współczynnik kierunkowy to \( a = \frac{3}{2} \), wyraz wolny to \( b = 2 \).

### Kiedy stosować postać ogólną

Postać ogólna jest szczególnie przydatna przy:
- Badaniu warunku równoległości i prostopadłości
- Obliczaniu odległości punktu od prostej (istnieje na to gotowy wzór)
- Rozwiązywaniu systemów równań liniowych
- Pracach z prostymi pionowymi (które nie mają postaci kierunkowej)

## Postać odcinowa prostej

Postać odcinowa stosuje się, gdy znamy punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych. Jeśli prosta przecina oś \( x \) w punkcie \( (a, 0) \) (gdzie \( a \neq 0 \)), a oś \( y \) w punkcie \( (0, b) \) (gdzie \( b \neq 0 \)), to równanie ma postać:

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

Liczby \( a \) i \( b \) określają długości (ze znakami) odcinków, jakie prosta odcina na osiach.

Postaci odcinowej nie ma prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (wtedy \( a = 0 \) albo \( b = 0 \), a przez zero nie dzielimy) ani prosta równoległa do którejś z osi. Uważaj też na litery: w postaci odcinowej \( a \) to miejsce przecięcia z osią \( x \), a w postaci kierunkowej \( y = ax + b \) ta sama litera oznacza współczynnik kierunkowy.

### Wyprowadzenie postaci odcinowej

Jeśli prosta przecina osie w punktach \( (a, 0) \) i \( (0, b) \), to współczynnik kierunkowy to:

$$a = \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}$$

Równanie kierunkowe to:
$$y = -\frac{b}{a}x + b$$

Podzielmy obie strony przez \( b \) i porządkujemy:
$$\frac{y}{b} = -\frac{x}{a} + 1$$
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

### Przykład 4: Postać odcinowa

Prosta przecina oś \( x \) w punkcie \( (4, 0) \) i oś \( y \) w punkcie \( (0, -3) \).

Równanie to:
$$\frac{x}{4} + \frac{y}{-3} = 1$$

lub

$$\frac{x}{4} - \frac{y}{3} = 1$$

Możemy to sprawdzić w postaci kierunkowej. Współczynnik kierunkowy:
$$a = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4}$$

Równanie: \( y = \frac{3}{4}x - 3 \)

## Wyznaczanie równania prostej - metody

Teraz, gdy znamy trzy postaci równania prostej, nauczmy się różnych metod jego wyznaczania.

### Metoda 1: Prosta przez punkt A(x₀, y₀) z danym współczynnikiem kierunkowym a

Jeśli znamy punkt \( A(x_0, y_0) \) i współczynnik kierunkowy \( a \), możemy użyć postaci:

$$y - y_0 = a(x - x_0)$$

Po rozwinięciu otrzymamy postać kierunkową.

**Przykład 5:** Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \( (2, -1) \) z współczynnikiem kierunkowym \( a = -\frac{1}{2} \).

$$y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 2)$$
$$y + 1 = -\frac{1}{2}x + 1$$
$$y = -\frac{1}{2}x$$

### Metoda 2: Prosta równoległa do danej prostej, przechodząca przez punkt

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Jeśli mamy prostą \( y = ax + b \) i punkt \( P(x_0, y_0) \), to równanie prostej równoległej to:

$$y - y_0 = a(x - x_0)$$

**Przykład 6:** Znajdź równanie prostej równoległej do \( y = 2x + 3 \), przechodzącej przez punkt \( (1, 5) \).

Współczynnik kierunkowy pozostaje \( a = 2 \):
$$y - 5 = 2(x - 1)$$
$$y = 2x + 3$$

Czekaj - otrzymaliśmy tę samą prostą! To oznacza, że punkt \( (1, 5) \) leży na prostej \( y = 2x + 3 \). Spróbujmy innego punktu: \( (0, 1) \).

$$y - 1 = 2(x - 0)$$
$$y = 2x + 1$$

To jest prosta równoległa do wyjściowej.

### Metoda 3: Prosta prostopadła do danej prostej

Jeśli prosta ma współczynnik kierunkowy \( a \), to prosta prostopadła do niej ma współczynnik kierunkowy \( a' = -\frac{1}{a} \).

W praktyce: odwróć ułamek i zmień znak. Prostopadła do prostej o współczynniku \( \frac{2}{5} \) ma \( -\frac{5}{2} \), a prostopadła do prostej o współczynniku \( -2 \) ma \( \frac{1}{2} \). Ten drugi przypadek to częsty błąd: z dwóch minusów wychodzi plus.

**Przykład 7:** Znajdź równanie prostej prostopadłej do \( y = \frac{2}{3}x - 1 \), przechodzącej przez punkt \( (3, 2) \).

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:
$$a' = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$$

Równanie:
$$y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 3)$$
$$y - 2 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$$
$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{13}{2}$$

## Warunki równoległości i prostopadłości prostych

To jeden z najważniejszych tematów przy pracy z równaniami prostych. Zrozumienie tych warunków pozwala szybko rozwiązywać zadania maturalne.

### Warunek równoległości

Dwie proste \( y = a_1x + b_1 \) i \( y = a_2x + b_2 \) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$a_1 = a_2 \quad \text{i} \quad b_1 \neq b_2$$

Czyli współczynniki kierunkowe muszą być równe, ale wyrazy wolne różne (inaczej byłyby to te same proste).

W postaci ogólnej: proste \( A_1x + B_1y + C_1 = 0 \) i \( A_2x + B_2y + C_2 = 0 \) są równoległe, gdy:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$$

(przy założeniu, że mianowniki są niezerowe)

### Warunek prostopadłości

Dwie proste \( y = a_1x + b_1 \) i \( y = a_2x + b_2 \) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$a_1 \cdot a_2 = -1$$

lub równoważnie:

$$a_2 = -\frac{1}{a_1}$$

W postaci ogólnej: proste \( A_1x + B_1y + C_1 = 0 \) i \( A_2x + B_2y + C_2 = 0 \) są prostopadłe, gdy:

$$A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = 0$$

**Przykład 8:** Sprawdź, czy proste \( 2x - 3y + 1 = 0 \) i \( 3x + 2y - 5 = 0 \) są prostopadłe.

\( A_1 = 2, B_1 = -3, A_2 = 3, B_2 = 2 \)

$$A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 6 - 6 = 0$$

Tak, proste są prostopadłe!

## Odległość punktu od prostej

Jednym z najczęstszych typów zadań maturalnych jest obliczanie odległości punktu od prostej. Dysponujemy gotowym wzorem, który jest wart zapamiętania.

### Wzór na odległość

Odległość punktu \( P(x_0, y_0) \) od prostej \( Ax + By + C = 0 \) wynosi:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Wartość bezwzględna w liczniku jest istotna - odległość jest zawsze nieujemna.

### Intuicja geometryczna

Wzór ten pochodzi z faktu, że odległość od punktu do prostej to długość prostopadłej spuszczonej z tego punktu na prostą. Mianownik \( \sqrt{A^2 + B^2} \) normalizuje wektor normalny do prostej \( (A, B) \).

### Przykład 9: Odległość punktu od prostej

Oblicz odległość punktu \( P(2, 3) \) od prostej \( 3x - 4y + 5 = 0 \).

$$d = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 - 12 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-1|}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$$

Odległość wynosi \( \frac{1}{5} \) (lub 0,2 jednostki).

### Przykład 10: Zastosowanie w zadaniu

Znajdź punkt na osi \( x \), który ma odległość 2 od prostej \( x + 2y - 5 = 0 \).

Szukany punkt to \( P(x, 0) \) (bo leży na osi \( x \)).

$$2 = \frac{|x + 2 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|x - 5|}{\sqrt{5}}$$

$$2\sqrt{5} = |x - 5|$$

$$x - 5 = 2\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad x - 5 = -2\sqrt{5}$$

$$x = 5 + 2\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad x = 5 - 2\sqrt{5}$$

Są dwa takie punkty!

## Punkt przecięcia dwóch prostych

Punkt przecięcia dwóch prostych znajdujemy, rozwiązując układ równań.

### Metoda ogólna

Dane: proste \( l_1: y = a_1x + b_1 \) i \( l_2: y = a_2x + b_2 \)

Szukamy punktu \( (x, y) \) spełniającego obie równania jednocześnie:

$$\begin{cases}
y = a_1x + b_1 \\
y = a_2x + b_2
\end{cases}$$

Z pierwszego równania wiemy, że \( y = a_1x + b_1 \), podstawiamy do drugiego:

$$a_1x + b_1 = a_2x + b_2$$

$$(a_1 - a_2)x = b_2 - b_1$$

$$x = \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$$

(pod warunkiem, że \( a_1 \neq a_2 \), czyli proste nie są równoległe)

Następnie obliczamy \( y \) z dowolnego z równań.

### Przykład 11: Punkt przecięcia

Znajdź punkt przecięcia prostych \( y = 2x + 1 \) i \( y = -x + 4 \).

$$2x + 1 = -x + 4$$
$$3x = 3$$
$$x = 1$$

Podstawiamy \( x = 1 \) do pierwszego równania:
$$y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$$

Punkt przecięcia to \( (1, 3) \).

Sprawdzenie: \( y = -1 + 4 = 3 \) ✓

## Symetria punktu względem prostej

Obraz punktu \( A \) w symetrii względem prostej \( l \) wyznaczasz w trzech krokach:

1. Prowadzisz przez \( A \) prostą \( m \) prostopadłą do \( l \).
2. Wyznaczasz punkt przecięcia \( S \) prostych \( l \) i \( m \). To środek odcinka \( AA' \).
3. Ze wzoru na środek odcinka: \( x_{A'} = 2x_S - x_A \), \( y_{A'} = 2y_S - y_A \).

### Przykład 12: Obraz punktu w symetrii osiowej

Wyznacz obraz punktu \( P(1, 7) \) w symetrii względem prostej \( y = 2x + 3 \).

Prosta prostopadła przez \( P \) ma współczynnik \( -\frac{1}{2} \):
$$y - 7 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{15}{2}$$

Punkt przecięcia z prostą \( y = 2x + 3 \):
$$2x + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{15}{2} \implies \frac{5}{2}x = \frac{9}{2} \implies x = \frac{9}{5}, \quad y = \frac{33}{5}$$

Obraz punktu:
$$x_{P'} = 2 \cdot \frac{9}{5} - 1 = \frac{13}{5}, \qquad y_{P'} = 2 \cdot \frac{33}{5} - 7 = \frac{31}{5}$$

**Odpowiedź:** \( P'\left(\frac{13}{5}, \frac{31}{5}\right) \). Sprawdzenie: oba punkty leżą w tej samej odległości \( \frac{2}{\sqrt{5}} \) od prostej \( 2x - y + 3 = 0 \). Przy symetrii względem prostej \( y = x \) wystarczy zamienić współrzędne miejscami, na przykład \( (4, 5) \to (5, 4) \).

## Przykładowe zadania maturalne z rozwiązaniami

Oto sześć kompleksowych zadań typowych dla egzaminu maturalnego z pełnymi rozwiązaniami.

### Zadanie 1: Wyznaczanie równania

**Treść:** Prosta przechodzi przez punkty \( A(-2, 1) \) i \( B(4, -5) \). Zapisz równanie tej prostej w postaci ogólnej.

**Rozwiązanie:**

Krok 1: Obliczamy współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{-5 - 1}{4 - (-2)} = \frac{-6}{6} = -1$$

Krok 2: Wyznaczamy wyraz wolny, podstawiając punkt \( A(-2, 1) \):
$$1 = -1 \cdot (-2) + b$$
$$1 = 2 + b$$
$$b = -1$$

Równanie kierunkowe: \( y = -x - 1 \)

Krok 3: Przekształcamy do postaci ogólnej:
$$y = -x - 1$$
$$x + y + 1 = 0$$

**Odpowiedź:** \( x + y + 1 = 0 \)

### Zadanie 2: Proste równoległe i prostopadłe

**Treść:** Dana jest prosta \( l: 2x - 3y + 6 = 0 \). Napisz równania prostych:
a) równoległej do \( l \), przechodzącej przez punkt \( P(1, -2) \)
b) prostopadłej do \( l \), przechodzącej przez punkt \( Q(-1, 3) \)

**Rozwiązanie:**

Przekształcamy prostą \( l \) do postaci kierunkowej:
$$-3y = -2x - 6$$
$$y = \frac{2}{3}x + 2$$

Współczynnik kierunkowy: \( a = \frac{2}{3} \)

**Część a) - prosta równoległa:**

Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy \( a = \frac{2}{3} \).

Równanie: \( y - (-2) = \frac{2}{3}(x - 1) \)

$$y + 2 = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$$

$$y = \frac{2}{3}x - \frac{8}{3}$$

W postaci ogólnej: \( 2x - 3y - 8 = 0 \)

**Część b) - prosta prostopadła:**

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: \( a' = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} \)

Równanie: \( y - 3 = -\frac{3}{2}(x - (-1)) \)

$$y - 3 = -\frac{3}{2}(x + 1)$$

$$y - 3 = -\frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$$

$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$$

W postaci ogólnej: \( 3x + 2y - 3 = 0 \)

### Zadanie 3: Odległość punktu od prostej

**Treść:** Oblicz odległość punktu \( M(3, -1) \) od prostej \( 5x - 12y + 7 = 0 \).

**Rozwiązanie:**

Stosujemy wzór na odległość:
$$d = \frac{|5 \cdot 3 - 12 \cdot (-1) + 7|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$$

$$d = \frac{|15 + 12 + 7|}{\sqrt{25 + 144}}$$

$$d = \frac{|34|}{\sqrt{169}}$$

$$d = \frac{34}{13}$$

**Odpowiedź:** Odległość wynosi \( \frac{34}{13} \) (lub około 2,62 jednostki)

### Zadanie 4: Pole trójkąta wyznaczonego przez trzy proste

**Treść:** Dane są proste \( l_1: y = 2x \), \( l_2: y = -x + 6 \) i \( l_3: y = \frac{1}{2}x - 3 \). Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia tych prostych.

**Rozwiązanie:**

**Punkt A, przecięcie \( l_1 \) i \( l_2 \):**
$$2x = -x + 6 \implies x = 2, \quad y = 4$$

**Punkt B, przecięcie \( l_1 \) i \( l_3 \):**
$$2x = \frac{1}{2}x - 3 \implies \frac{3}{2}x = -3 \implies x = -2, \quad y = -4$$

**Punkt C, przecięcie \( l_2 \) i \( l_3 \):**
$$-x + 6 = \frac{1}{2}x - 3 \implies -\frac{3}{2}x = -9 \implies x = 6, \quad y = 0$$

Wierzchołki: \( A = (2, 4) \), \( B = (-2, -4) \), \( C = (6, 0) \). Pole liczymy wzorem na pole trójkąta ze współrzędnych:
$$P = \frac{1}{2}\left|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)\right|$$
$$P = \frac{1}{2}\left|2 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-4) + 6 \cdot 8\right| = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$$

**Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi \( 24 \).

Zanim zaczniesz liczyć pole, sprawdź, czy trzy proste w ogóle tworzą trójkąt: jeśli dwie są równoległe albo wszystkie trzy przechodzą przez jeden punkt, trójkąta nie ma.

### Zadanie 5: Zastosowanie geometryczne

**Treść:** W prostokątnym układzie współrzędnych dane są punkty \( A(0, 0) \), \( B(6, 0) \), \( C(6, 4) \), \( D(0, 4) \). Znajdź punkt \( P \) na boku \( AB \), taki że suma odległości \( |PD| + |PC| \) jest minimalna.

**Rozwiązanie:**

Punkt \( P \) leży na boku \( AB \), czyli \( P(x, 0) \) gdzie \( 0 \leq x \leq 6 \).

Aby zminimalizować sumę odległości, zastosujemy zasadę odbicia. Odbijamy punkt \( D(0, 4) \) względem osi \( x \) (na której leży \( AB \)).

Odbity punkt to \( D'(0, -4) \).

Suma odległości \( |PD| + |PC| \) będzie minimalna, gdy punkt \( P \) leży na odcinku \( D'C \).

Równanie prostej przez \( D'(0, -4) \) i \( C(6, 4) \):

$$a = \frac{4 - (-4)}{6 - 0} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

$$y - (-4) = \frac{4}{3}(x - 0)$$

$$y = \frac{4}{3}x - 4$$

Punkt \( P \) to przecięcie tej prostej z osią \( x \) (gdzie \( y = 0 \)):

$$0 = \frac{4}{3}x - 4$$

$$\frac{4}{3}x = 4$$

$$x = 3$$

**Odpowiedź:** \( P(3, 0) \)

Minimalna suma odległości: \( |PD| + |PC| = |D'C| = \sqrt{(6-0)^2 + (4-(-4))^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)

### Zadanie 6: Punkt z parametrem na prostej

**Treść:** Punkt \( A(k, 2k + 1) \) leży na prostej \( 3x - y + 7 = 0 \). Oblicz \( k \).

**Rozwiązanie:**

Współrzędne punktu leżącego na prostej spełniają jej równanie:
$$3k - (2k + 1) + 7 = 0 \implies k + 6 = 0 \implies k = -6$$

**Sprawdzenie:** \( A(-6, -11) \): \( 3 \cdot (-6) - (-11) + 7 = -18 + 11 + 7 = 0 \) ✓

**Odpowiedź:** \( k = -6 \)

## Typowe błędy i jak ich unikać

### Błąd 1: Pomieszanie współczynnika kierunkowego z wyrazem wolnym

Częstym błędem jest zapisywanie równania \( y = bx + a \) zamiast \( y = ax + b \). Pamiętaj: **współczynnik kierunkowego \( a \) zawsze mnoży \( x \), wyraz wolny \( b \) to stała**.

### Błąd 2: Niepoprawne obliczanie współczynnika kierunkowego

Wzór to \( a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Ważna jest kolejność - licznik to zmiana \( y \), mianownik to zmiana \( x \). Jeśli zrobisz odwrotnie, otrzymasz odwrotność!

### Błąd 3: Błędy przy przekształcaniu między postaciami

Gdy przekształcasz z postaci kierunkowej do ogólnej, bądź ostrożny ze znakami. Równanie \( y = 2x - 3 \) to \( -2x + y + 3 = 0 \) lub równoważnie \( 2x - y - 3 = 0 \).

### Błąd 4: Zapominanie o warunku równoległo i prostopadłości dla prostych pionowych

Linia pionowa (równoległa do osi \( y \)) nie ma postaci kierunkowej - jej równanie to \( x = c \). Taka prosta jest prostopadła do każdej prostej poziomej \( y = b \).

### Błąd 5: Niepoprawne stosowanie warunku prostopadłości

Warunek \( a_1 \cdot a_2 = -1 \) dotyczy prostych w postaci kierunkowej. W postaci ogólnej używaj \( A_1A_2 + B_1B_2 = 0 \). Nie mylić tych warunków!

### Błąd 6: Zabijanie wartości bezwzględnej w wzorze na odległość

Zawsze: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \). Wartość bezwzględna jest obowiązkowa - odległość nie może być ujemna.

### Błąd 7: Dzielenie przez zero przy wyznaczaniu równania z dwóch punktów

Jeśli \( x_1 = x_2 \), prosta jest pionowa i nie ma postaci kierunkowej. W takim przypadku równanie to po prostu \( x = x_1 \).

### Błąd 8: Dwie postacie ogólne, jedna prosta

Równania \( 2x + 4y - 6 = 0 \) i \( x + 2y - 3 = 0 \) opisują tę samą prostą, bo drugie to pierwsze podzielone przez 2. Przy liczeniu odległości to bez znaczenia, ale przy porównywaniu prostych najpierw sprowadź oba równania do postaci kierunkowej.

## Podsumowanie

Równania prostych to kluczowy temat geometrii analitycznej na maturze. W tym artykule przejrzeliśmy:

1. **Trzy postaci równania**: kierunkową \( y = ax + b \), ogólną \( Ax + By + C = 0 \) oraz odcinową \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \).

2. **Wyznaczanie równań** na wiele sposobów: przez dwa punkty, przez punkt z danym współczynnikiem, równoległa, prostopadła.

3. **Warunki stosunków**: równoległość \( a_1 = a_2 \) i prostopadłość \( a_1 \cdot a_2 = -1 \).

4. **Praktyczne obliczenia**: odległość punktu od prostej, punkt przecięcia, zastosowania geometryczne.

5. **Liczne przykłady i zadania maturalne** pokazujące rzeczywiste problemy egzaminacyjne.

| Zagadnienie | Wzór lub warunek |
|---|---|
| Postać kierunkowa | \( y = ax + b \) |
| Postać ogólna | \( Ax + By + C = 0 \) |
| Postać odcinowa | \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) |
| Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów | \( a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) |
| Proste równoległe | \( a_1 = a_2 \) |
| Proste prostopadłe | \( a_1 \cdot a_2 = -1 \) |
| Odległość punktu od prostej | \( d = \frac{\lvert Ax_0 + By_0 + C \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) |

Aby opanować temat, rozwiąż wiele zadań z różnymi wariantami. Zwracaj uwagę na to, która postać równania jest najwygodniejsza w danym kontekście. Pamiętaj o drobnych błędach - niepoprawny znak czy pomylona kolejność we wzorze mogą zmienić całe rozwiązanie.

Jeśli chcesz pogłębić wiedzę, zobacz artykuły na temat [równania okręgu na maturze](https://www.sprawnamatura.pl/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), gdzie równania prostych często się pojawią. Warto też zapoznać się z [układem współrzędnych i wektorami](https://www.sprawnamatura.pl/uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory) - to fundamentalne pojęcia dla całej geometrii analitycznej.

Jeśli chcesz przećwiczyć sam wzór na prostą przez dwa punkty, zajrzyj do poradnika [jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty).

Wreszcie, dla pełnego obrazu geometrii analitycznej zapoznaj się z artykułem [Geometria analityczna na maturze - proste, okręgi, wektory](https://www.sprawnamatura.pl/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), gdzie równania prostych są częścią większego całego.

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania
title: Równania i nierówności na maturze - typy, metody i rozwiązania krok po kroku
description: Wszystkie typy równań i nierówności na maturze z matematyki: liniowe, kwadratowe, z wartością bezwzględną, wykładnicze. Ponad 260 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Równania i nierówności na maturze - typy, metody i rozwiązania krok po kroku

## Równania i nierówności - fundament matematyki maturalnej

Na każdym arkuszu CKE znajdziesz od 3 do 5 zadań z tego działu - zarówno zamkniętych za 1 punkt, jak i otwartych za 2-4 punkty.

W naszej bazie mamy **ponad 260 zadań** z równań i nierówności, wyciągniętych z prawdziwych arkuszy maturalnych. To ogromny zasób do przećwiczenia.

Dobra wiadomość: większość równań na maturze podstawowej rozwiązuje się **kilkoma powtarzalnymi schematami**. Wystarczy je opanować i stosować konsekwentnie.

## Typy równań na maturze

Na maturze podstawowej pojawiają się te typy równań (uporządkowane od najczęstszych):

| Typ równania | Częstość | Typowa punktacja |
|-------------|----------|-----------------|
| Równania liniowe | Na każdej maturze | 1 pkt (zamknięte) |
| Równania kwadratowe | Na każdej maturze | 1-2 pkt |
| Równania z wartością bezwzględną | Bardzo częste | 1-2 pkt |
| Nierówności liniowe | Częste | 1 pkt |
| Nierówności kwadratowe | Częste | 2-3 pkt (otwarte) |
| Równania wykładnicze | Co 2-3 maturze | 1-2 pkt |
| Równania z pierwiastkami | Co 2-3 maturze | 1-2 pkt |
| Równania logarytmiczne | Rzadkie na PP | 1-2 pkt |

## Równania liniowe

Najprostszy typ, ale CKE potrafi go zamaskować. Schemat rozwiązywania:

$$ax + b = cx + d$$

1. Przenieś wyrazy z \(x\) na jedną stronę, wolne na drugą
2. Uprość i podziel przez współczynnik przy \(x\)

**Przykład z CKE:** Wyznacz \(x\) z równania \(3(2x - 1) = 5x + 4\)

$$6x - 3 = 5x + 4$$
$$6x - 5x = 4 + 3$$
$$x = 7$$

Proste? Na maturze CKE komplikuje to przez: ułamki w równaniu, parametry, lub ukrycie w zadaniu tekstowym.

## Równania kwadratowe

To **najważniejszy typ** na maturze. Pojawia się bezpośrednio (jako równanie do rozwiązania) i pośrednio (w [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), [ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)).

### Postać ogólna i wyróżnik

$$ax^2 + bx + c = 0$$

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

| Wyróżnik | Liczba rozwiązań | Wzór |
|----------|-----------------|------|
| \(\Delta > 0\) | Dwa rozwiązania | \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta = 0\) | Jedno rozwiązanie (podwójne) | \(x = \frac{-b}{2a}\) |
| \(\Delta  odpowiedź: 2 i 3.

$$(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2 \text{ lub } x = 3$$

## Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna to odległość od zera na osi liczbowej. Definicja:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \geq 0 \\ -x & \text{gdy } x  a\)

$$f(x)  a$$

## Nierówności kwadratowe

To temat na **zadanie otwarte** za 2-3 punkty. Schemat rozwiązywania:

1. Sprowadź do postaci \(ax^2 + bx + c \lessgtr 0\)
2. Oblicz \(\Delta\) i znajdź miejsca zerowe
3. Narysuj schemat paraboli (czy ramiona do góry, czy w dół?)
4. Odczytaj rozwiązanie z rysunku

**Przykład:** Rozwiąż nierówność \(x^2 - 4x + 3 > 0\)

**Krok 1:** Miejsca zerowe
$$\Delta = 16 - 12 = 4$$
$$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

**Krok 2:** \(a = 1 > 0\) -> parabola ramionami do góry

**Krok 3:** Parabola jest **powyżej** osi OX dla \(x  3\)

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)\)

## Równania wykładnicze

Pojawiają się na maturze 1-2 razy na arkusz. Schemat:

**Sprowadź obie strony do tej samej podstawy, potem porównaj wykładniki.**

$$a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)$$

**Przykład:** Rozwiąż \(4^x = 8\)

$$(2^2)^x = 2^3$$
$$2^{2x} = 2^3$$
$$2x = 3$$
$$x = \frac{3}{2}$$

Bardziej zaawansowane równania wymagają podstawienia, np. \(t = 2^x\):

**Przykład:** \(4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0\)

Podstawiamy \(t = 2^x\) (więc \(4^x = t^2\)):
$$t^2 - 3t + 2 = 0$$
$$(t - 1)(t - 2) = 0$$
$$t = 1 \text{ lub } t = 2$$

Wracamy: \(2^x = 1 \implies x = 0\) lub \(2^x = 2 \implies x = 1\).

## Rozwiązane zadania z CKE

### Zadanie 1: Równanie z parametrem (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(x^2 + mx + 4 = 0\) ma dokładnie jedno rozwiązanie?

**Rozwiązanie:**

Jedno rozwiązanie oznacza \(\Delta = 0\):
$$\Delta = m^2 - 16 = 0$$
$$m^2 = 16$$
$$m = 4 \text{ lub } m = -4$$

**Odpowiedź:** \(m \in \{-4, 4\}\)

### Zadanie 2: Nierówność z wartością bezwzględną (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Zbiorem rozwiązań nierówności \(|x - 2| \leq 3\) jest przedział

A. \([-1, 5]\)    B. \((-1, 5)\)    C. \([-5, 1]\)    D. \((-5, 1)\)

**Rozwiązanie:**

$$|x - 2| \leq 3 \iff -3 \leq x - 2 \leq 3 \iff -1 \leq x \leq 5$$

**Odpowiedź: A** \([-1, 5]\)

### Zadanie 3: Wzory Viete'a (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Suma odwrotności rozwiązań równania \(2x^2 - 6x + 3 = 0\) jest równa

A. \(1\)    B. \(2\)    C. \(3\)    D. \(\frac{3}{2}\)

**Rozwiązanie:**

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$$

Z Viete'a: \(x_1 + x_2 = \frac{6}{2} = 3\) i \(x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{2}\)

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$$

**Odpowiedź: B**

## Najczęstsze błędy

**Błąd 1:** Dzielenie [obu stron](/jak-wyznaczyc-zmienna-ze-wzoru-przeksztalcanie-wzorow#typowe-pulapki) nierówności przez liczbę ujemną **bez odwrócenia znaku**.

$$-2x > 6 \implies x  -3 \text{!)}$$

**Błąd 2:** Zapominanie o warunkach przy pierwiastkach.

$$\sqrt{f(x)} = g(x) \implies \text{sprawdź: } g(x) \geq 0$$

**Błąd 3:** Gubienie rozwiązań w równaniach z wartością bezwzględną - zawsze rozbijaj na **oba** przypadki.

## Jak ćwiczyć?

Równania i nierówności to temat, który ćwiczy się najskuteczniej przez **rozwiązywanie dużej liczby zadań**. Na [Sprawnej Maturze mamy ponad 260 zadań](/topics/rownania-i-nierownosci) z tego działu - od prostych równań liniowych po nierówności kwadratowe z parametrem.

Zacznij od [zadań losowych z kategorii Równania i nierówności](/random) - system dobierze zadania o odpowiednim poziomie trudności. Jeśli czujesz, że potrzebujesz też powtórki z [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), wróć do tego przewodnika - oba tematy są ściśle powiązane.

Sprawdź też [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - zadania z równaniami to absolutna pewność na każdym egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /radzenie-sobie-ze-stresem-matura-matematyka-techniki
title: Jak radzić sobie ze stresem przed maturą z matematyki - sprawdzone techniki
description: Jak opanować stres przed maturą z matematyki? Sprawdzone techniki oddechowe, strategia rozwiązywania arkusza i przygotowanie psychiczne.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak radzić sobie ze stresem przed maturą z matematyki - sprawdzone techniki

## Wstęp

Matura z matematyki to jeden z najtrudniejszych egzaminów, przed którym stoi polska młodzież. Ale czy wiesz, że czasami nie brakuje ci umiejętności, a brakuje ci umiejętności radzenia sobie ze stresem? Stres przed maturą to naturalny odruch organizmu, ale jeśli potrafi go kontrolować, możesz ujawnić swój pełny potencjał. W tym artykule dzielę się sprawdzonymi technikami, które pomogą ci zachować spokój i skupienie przez wszystkie 180 minut egzaminu.

## Dlaczego stres obniża wyniki na maturze z matematyki

Kiedy czujesz się zestresowany, twój mózg wchodzi w tryb "walcz albo ucieczka" - to ewolucyjny odruch przeznaczony do unikania zagrożeń fizycznych. Tworzy się ogromna ilość adrenaliny, która mobilizuje mięśnie, ale jednocześnie zmniejsza przepływ krwi do przedniej części mózgu, gdzie znajduje się pamięć robocza.

A właśnie pamięć robocza jest kluczowa do rozwiązywania zadań matematycznych. Kiedy jesteś zestresowany, możliwość utrzymania kilku informacji jednocześnie - co jest niezbędne do złożonych obliczeń - drastycznie spada. To jest powód, dla którego wiedzy masz, ale podczas egzaminu nie możesz jej zastosować.

Naukowcy badali to zjawisko i odkryli coś fascynującego: "matematyczna fobia" (ang. math anxiety) to nie tylko psychiczny stan umysłu. To rzeczywisty biologiczny proces, w którym stres redukuje zdolność mózgu do przetwarzania abstraktywnych pojęć. Osoby o wysokim poziomie lęku z matematyki osiągają gorsza wydajność, mimo że posiadają taką samą wiedzę co ich spokojniejsi rówieśnicy.

Dodatkowo, stres zmniejsza kreatywność i elastyczność myślenia. Gdy jesteś w panice, trudniej ci przychodzi "myślenie poza schematem", które jest niezbędne do rozwiązania nietypowych zadań. Blokuje się twoja zdolność do szukania alternatywnych podejść.

## Techniki oddechowe i relaksacyjne przed egzaminem

Zależy mi, aby te techniki mogły być praktyczne, więc opisuję je krok po kroku.

### Technika 4-7-8 (oddychanie Wima Hofa dla matematyków)

Ta technika pochodzi z jogi, ale jej efektywność potwierdza nauka. Aktywuje parasympatyczny układ nerwowy - czyli ten odpowiedzialny za spokój.

Procedura:
1. Zajmij wygodną pozycję siedząc
2. Wydechu powoli przez nos na 4 uderzenia serca
3. Zatrzymaj oddech na 7 uderzeń
4. Wydechu powoli przez usta na 8 uderzeń

Powtórz to 4 razy. Całość zajmuje około 2 minut. Rób to wieczorem w dniu poprzedzającym egzamin i jeszcze raz rano przed egzaminem. Efekt jest najlepszy, gdy praktykujesz to przez kilka dni wcześniej, aby twoje ciało je dobrze opanowało.

### Oddychanie "pudełkowe" (Box Breathing)

Jest to technika używana przez żołnierzy specjalnych. Nazwa pochodzi od jej struktury:

1. Wdechu przez nos na 4 liczenia
2. Zatrzymaj oddech na 4 liczenia
3. Wydechu przez usta na 4 liczenia
4. Zatrzymaj oddech na 4 liczenia

Powtórz 5-10 razy. Ta technika jest mniej drażliwa niż 4-7-8 i możesz ją robić nawet w klasie, gdy czekasz na rozpoczęcie egzaminu. Nikt nie będzie wiedział, że ćwiczysz redukcję stresu.

### Progresywna relaksacja mięśniowa

Ta technika uczy twoje ciało, jak rozróżniać stan napięcia i relaksacji. Rób to wieczorem 2-3 dni przed egzaminem:

1. Zaciśnij mięśnie nóg na 5 sekund, a następnie je puść
2. Zaciśnij pośladki na 5 sekund, następnie puść
3. Zaciśnij brzuch na 5 sekund, puść
4. Zaciśnij pięści na 5 sekund, puść
5. Zaciśnij mięśnie twarzy (oczy, szczęka) na 5 sekund, puść

Przejdź przez całe ciało. Efekt: nauczysz się rozpoznawać napięcie i szybko się nim zajmować. Wieczorem w dniu egzaminu wykonaj tę sekwencję 1-2 razy - będziesz spać lepiej.

### Kiedy robić te ćwiczenia

- **Dwa tygodnie wcześniej:** Zacznij praktykować oddychanie 4-7-8 codziennie, 1-2 razy dziennie. Będzie ci bardziej naturalne, gdy jej naprawdę będziesz jej potrzebować.
- **Noc przed egzaminem:** Progresywna relaksacja mięśniowa + oddychanie 4-7-8 tuż przed snem.
- **Rano egzaminu:** Szybko oddychanie pudełkowe (5 rund) zaraz po obudzeniu.
- **W drodze do szkoły:** Oddychanie pudełkowe w autobusie lub samochodzie.
- **Czekając w kolejce do szkoły:** Oddychanie pudełkowe jeszcze raz.
- **W klasie czekając na arkusz:** Subtelne oddychanie pudełkowe w myśli.

## Strategia rozwiązywania arkusza - jak nie dać się zaskoczyć

Matematyka maturalna to maraton, nie sprint. Na rozwiązanie ~31 zadań masz dokładnie 180 minut. To średnio ~5.8 minut na zadanie. Ale rozkład czasowy jest nierówny - niektóre zadania zajmą 1 minutę, inne 15 minut.

### Plan czasowy

**Minuta 0-5:** Czytaj uważnie całą kartę zadań. Zrób sobie notatki:
- Zaznacz zadania, które wydają ci się łatwe (te robisz najpierw)
- Zaznacz zadania, które wydają ci się średnie (kolejna faza)
- Zaznacz zadania, które wydają ci się trudne (ostatecznie)

**Minuta 5-60:** Rozwiąż wszystkie zadania z kategorii "łatwe" i "średnie". Nie poddawaj się, ale jeśli coś zajmuje ci więcej niż 8 minut, przejdź do następnego. Zakładam, że średnio będziesz tu spędzać 5-6 minut na zadanie.

**Minuta 60-140:** Zajmij się trudniejszymi zadaniami. Powoli, systematycznie. Tutaj każde zadanie może zająć 8-15 minut. Pozwól sobie na głębokie myślenie.

**Minuta 140-170:** Przejdź przez wszystkie zadania, do których wróciłeś, i spróbuj ponownie. Świeży umysł często widzi rozwiązania, które przeoczyłeś.

**Minuta 170-180:** Finalna weryfikacja. Sprawdzasz czy podpisałeś odpowiedzi, czy wszystkie liczby są wyraźne, czy arkusz jest czytelny.

### Strategia psychiczna

Kluczowe jest posiadanie świadomości czasu bez paniki. Szybko przejdź przez arkusz na początku - to zajmuje 5 minut, ale oszczędza 20 minut paniki później. Wiesz dokładnie, co czeka.

Jeszcze ważniejsze: **nie panikuj, gdy coś jest trudne**. Trudne zadania istnieją po to, aby różnicować wyniki. Nie spodziewaj się, że każde zadanie będzie łatwe. Jeśli trafiasz na trudne zadanie po 3 minutach - to jest NORMALNE. To nie oznacza, że coś jest nie tak z tobą.

## Przygotowanie psychiczne w ostatnim miesiącu

Przygotowanie psychiczne rozpoczyna się na długo przed dniem egzaminu. Nie możesz spodziewać się spokoju, jeśli nie będziesz czuć się pewnie w materiale.

### Budowanie pewności siebie przez praktykę

Ostatni miesiąc to nie czas na naukę nowych rzeczy. To czas na powtarzanie i rozwiązywanie zadań w warunkach egzaminacyjnych. Każdy dzień powinieneś spędzić 2-3 godziny na rozwiązywaniu pełnych arkuszy - lub przynajmniej ich części.

Czemu to buduje pewność siebie? Ponieważ powtarzanie to jedyny sposób na zapamiętanie. Za każdym razem, gdy rozwiążesz zadanie z danego tematu, twój mózg wzmacnia ścieżki neuronalne. Siódmy raz, kiedy widzisz zadanie o funkcjach kwadratowych, już instynktownie wiesz, jak je rozwiązać.

Statystyka: osoby, które praktykują egzamin w warunkach jak najbardziej zbliżonych do rzeczywistych, osiągają wyniki lepsze średnio o 15-20 procent.

### Realistyczne cele

Nie mów sobie "zdobędę 100 procent". To głupia strategia mentalna, która prowadzi do rozczarowania. Zamiast tego:

1. Oblicz, jaki wynik jesteś w stanie realnie uzyskać. Jeśli w ostatnich 3 arkuszach uzyskujesz 70, 72 i 71 procent - twój realny cel to ~71 procent.
2. Ustaw sobie "cel sprintu" - o 5-7 procent wyższą od twojego średniego wyniku. To jest ambitne, ale osiągalne.
3. Wszystko powyżej tego celu to bonus.

Ta strategia zmniejsza presję psychiczną, bo wiesz, że masz realistyczną szansę na sukces.

### Symulowanie warunków egzaminacyjnych

W ostatnim tygodniu, co najmniej 3 razy, rozwiąż pełny arkusz w warunkach jak najbardziej zbliżonych do rzeczywistych:
- Wyznacz dokładnie 180 minut
- Brak notatek, kalkulatora, telefonu
- Brak przerw
- Żaden hałas w tle
- Siedź przy stole - nie na łóżku

Po każdym takim "mini-egzaminie" przeanalizuj, co poszło źle. Nie tylko wynik, ale strategia czasowa i spokój umysłu. Czy panikujesz przy pierwszym trudnym zadaniu? Czy tracisz czas na rzeczy, które powinny być szybkie?

## Co zrobić gdy "zacinasz się" na zadaniu

"Zacięcie się" to stan, w którym widzisz zadanie, ale nie wiesz, jak je zacząć. Jest to totalny blokada mentalna. Oto moja technika na to:

### Krok 1: Głębokie oddychanie (30 sekund)

Przed wszystkim - nie panikuj. Zaciągnij się głęboko kilka razy. Panika tylko pogarsza sytuację.

### Krok 2: Czytaj uważnie jeszcze raz (1 minuta)

Czasami "zacięcie się" wynika z tego, że przeczytałeś zadanie pospiesznie. Przeczytaj je jeszcze raz, zdanie po zdaniu. Zaznacz konkretne liczby i warunki.

### Krok 3: Rysuj diagram (2-3 minuty)

Większość zaciąć się zdarza w zadaniach z geometrii, funkcji, prawdopodobieństwa. Rysuj:
- Do geometrii: całą figurę z oznaczeniami
- Do funkcji: szkic wykresu
- Do prawdopodobieństwa: drzewo prawdopodobieństwa lub tabelę

Rysowanie angażuje inną część mózgu i często "odblokowuje" myślenie.

### Krok 4: Napisz co wiesz (2-3 minuty)

Napisz na papierze wszystko, co wiesz o tym zadaniu. Nawet jeśli nie wiesz, jak rozwiązać całość, napisz:
- Jakie wzory mogą być tutaj przydatne
- Jakie są dane
- Co szukamy
- Jakie są warunki dodatkowe

Ten proces myślowy często doprowadzi cię do rozwiązania.

### Krok 5: Spróbuj innego podejścia

Jeśli standardowe podejście nie działa, spróbuj innego:
- Czy mogę rozwiązać to "od końca" (od odpowiedzi do warunku)?
- Czy mogę podstawić konkretne liczby zamiast pracować algebraicznie?
- Czy mogę podzielić to zadanie na mniejsze części?

### Krok 6: Przejdź dalej

Jeśli po 8-10 minutach wciąż się zacinasz - przejdź do następnego zadania. Wracaj do tego z odświeżonym umysłem. Czasami rozwiązanie przychodzi ci do głowy, gdy pracujesz nad czymś innym.

### Przykład: Typowe zadanie z funkcji

Załóżmy, że natrafisz na zadanie: "Funkcja \( f(x) = ax^2 + bx + c \) przechodzi przez punkty A(1,2), B(2,5), C(3,10). Znajdź \( a \), \( b \), \( c \)."

Zaciąłeś się. Robisz moje kroki:

1. Oddychasz - okej, mózg wraca do normy.
2. Czytasz jeszcze raz - aha, mam trzy punkty, muszę znaleźć trzy parametry.
3. Rysujesz (w umyśle) parabolę przechodzącą przez trzy punkty.
4. Piszesz: "Jeśli funkcja przechodzi przez punkt, to jego współrzędne spełniają równanie. Zatem: \( f(1) = 2 \), \( f(2) = 5 \), \( f(3) = 10 \)."
5. Teraz widzisz, że masz układ trzech równań z trzema niewiadomymi.
6. Rozwiązujesz układ.

Magicznie, "zaciącie się" znika, gdy zobaczysz strukturę problemu.

## Wizualizacja i pozytywne nastawienie

Zawodnikami olimpijscy wiedzą coś, czego wielu uczniów nie wie: wizualizacja rzeczywiście działa. Neuronaukowcy odkryli, że mózg prawie nie rozróżnia między rzeczywistym doświadczeniem a żywą wizualizacją.

### Technika wizualizacji dla maturzystów

Cztery dni przed egzaminem, każdego wieczoru spędzaj 10 minut na wizualizacji:

1. Leż wygodnie, zamknij oczy
2. Wyobraź sobie, że wchodzisz do sali egzaminacyjnej
3. Siadasz przy swoim stole
4. Dostajesz arkusz
5. Czytasz pierwszy problem - wydaje ci się dość łatwy
6. Zamieniasz go rozwiązywać - liczby się zgadzają
7. Przechodzisz do następnego - jest trudniejszy, ale wiesz, jak podejść
8. Czasami się zacinasz - ale oddychasz, przechodzisz dalej, wracasz
9. Widzisz siebie, jak wypełniasz ostatnie odpowiedzi
10. Czujesz ulgę i zadowolenie, gdy składasz arkusz

Ta wizualizacja powinna być jak filmik - nie tylko słowa, ale obrazy, dźwięki, nawet uczucia. Wizualizacja uczy twój mózg, jak zachowywać się w warunkach egzaminu.

### Pozytywne monologi

Codziennie, przez dwa tygodnie, mów do siebie:
- "Przygotowałem się dobrze i wiem, jak rozwiązywać te zadania"
- "Stres jest normalny - to oznacza, że mi zależy"
- "Będę spokojny, skupiony i systematyczny"
- "Moja pamięć pracuje dobrze"
- "Mogę to zrobić"

Nie są to puste złotnik. Repetycja zmienia ścieżki neuronalne. Po dwóch tygodniach tych monolagów, twój mózg naprawdę w to uwierzy.

### Reframing strachu

Kiedy czujesz lęk, nie mów "jestem przestraszony" - mów "jestem podekscytowany". Naukowcy odkryli, że oba stany mają bardzo podobne objawy fizyczne (przyspieszone bicie serca, adrenalina), ale umysł interpretuje je inaczej. Reinterpretacja zmienia doświadczenie.

## Dzień przed maturą - co robić, czego unikać

### Co ROBIĆ

- **Lekka powtórka** (30-60 minut): Przejdź przez notatki z najczęstszych błędów. Nie ucz się nic nowego - to tylko podnosi stres.
- **Zorganizuj wszystko, co potrzebujesz:** Pióro, ołówek, gumka, linijka, cyrkiel. Sprawdź to wszystko dzień wcześniej, aby się nie stresować rano.
- **Przygotuj ubranie:** Ułóż sobie ubranie, które jest wygodne i da ci poczucie pewności.
- **Spowolnij:** Po 18:00 nie rób nic związanego z nauką.
- **Śpij dobrze:** Łóż się wcześnie, w chłodnej, ciemnej sypialni. 8-9 godzin snu to minimum.
- **Medytacja lub progresywna relaksacja:** 20 minut wieczorem, aby ciało było zrelaksowane.
- **Przygotuj zdrowy posiłek na następny dzień:** Wiesz już, co będziesz jeść na śniadanie.

### Co UNIKAĆ

- **Panikowanie:** Jeśli zaczynaś się martwić, że nie pamiętasz czegoś - to normalne. Wszyscy tak mają. Twoja pamięć pracuje lepiej pod presją, niż sądzisz.
- **Kofeinowe picie po 14:00:** Kawa czy herbata może uniemożliwić ci uśnięcie.
- **Używanie telefonu po 21:00:** Niebieskie światło interferu z twoim cyklem snu.
- **Intensywne ćwiczenia wieczorem:** Powoduje one zbyt wiele energii w organizmie. Lekki spacer jest OK.
- **Złe samomowy:** "Nie zdamę", "To będzie katastrofa" - blokują twój mózg. Jeśli się pojawiają, zamień je na pozytywne.

## Poranek egzaminu - rutyna sukcesu

### 1 godzina przed wzystykiem - Obudzenie

Ustaw alarm na 1.5 godziny przed egzaminem. Daj sobie czas na spokojne przebudzenie. Bez paniki. Wyłącz alarm i przez 5 minut leż w łóżku, robiąc oddychanie pudełkowe.

### 1 godzina przed - Śniadanie

Zjedz solidne, zdrowe śniadanie:
- Jajka lub jogurt (białko - stabilizuje energię)
- Owoce lub chleb pełnoziarnisty (węglowodany - energia dla mózgu)
- Woda (nawodnienie jest kluczowe dla funkcji poznawczych)

Unikaj cukru (wysoki skok cukru, potem upadek) i kawy (na razie).

### 45 minut przed - Przygotowanie fizyczne

Kąpiel lub prysznic - to uśmierza nerwy. Ubierz się. Sprawdzić czy masz wszystkie przybory.

### 30 minut przed - Ostatnia faza mentalna

- Oddychanie pudełkowe 5 rund
- Czytaj twoje pozytywne monologi
- Przypomnij sobie technikę 5-8-10 (jeśli się zacinasz)
- Wyobraź sobie pierwszych 5 minut egzaminu - gdy dostajesz arkusz, czytasz go, zaznaczasz zadania

### 15 minut przed - Droga do szkoły

W drodze do szkoły słuchaj muzyki, która cię uspokaja. Nie muzyki energetyzującej - czegoś spokojnego. Możesz też po prostu mówić do siebie pozytywnie.

### W sali oczekiwania

Gdy jesteś już w szkole:
- Nie rozmawiaj o egzaminie z innymi uczniami. Ludzie będą mówić "to było super trudne" i wpędzać cię w panikę.
- Oddychanie pudełkowe
- Siedź sam, jeśli możesz
- Jeśli możesz, przejdź się - ruch uspokaja

## Typowe obawy maturzystów - i dlaczego nie warto się bać

### Obawa #1: "Nie zdamę egzaminu"

**Fakt:** Jeśli przygotowujesz się przez miesiące i rozwiązujesz zadania systematycznie, szansa na zdanie maturę jest bardzo wysoka. Ponad 95 procent uczniów zdaje maturę z matematyki (dotyczy to jednak wszystkich poziomów). Twoja szansa jest znacznie wyższa, bo jesteś tutaj, czytając ten artykuł.

**Strategia:** Zamiast myśleć "czy zdamę", pomyśl "jaki wynik uzyskam". Skupienie się na wyniku, a nie na zdaniu/nie zdaniu zmienia całą perspektywę.

### Obawa #2: "Będzie za trudne"

**Fakt:** Matura z matematyki ma zawsze mieszankę zadań łatwych, średnich i trudnych. To przez design. Nawet osoby, które otrzymują 100 procent, mają krótkie chwile, gdy myślą "to jest trudne". Trudne zadania to część systemu.

**Strategia:** Podczas egzaminu, gdy trafiasz na trudne zadanie, nie panikuj. Powiedz do siebie: "To jest trudne zadanie, ale jest to OK. Przeskoczę to i wracam." Nie musi być idealne. Przejście przez arkusz z 2-3 nierozwiązanymi zadaniami to normalność.

### Obawa #3: "Zapomnę wzory"

**Fakt:** Jeśli właściwie przygotowujesz się do matury, wzory nie znikają z twojej głowy. Są tam, głęboko zakotwiczone. Czasami trzeba im dać chwilę, aby wynurzyć się do świadomości, ale są.

**Strategia:** Jeśli w dniu egzaminu zapomnisz wzoru - to jest OK. Czasami możesz go wyprowadzić. Czasami stracisz kilka punktów. To nie koniec świata. Większość egzaminu nie zależy od jednego wzoru.

### Obawa #4: "Będę zbyt zestresowany, aby myśleć jasno"

**Fakt:** Niewielki poziom stresu faktycznie POPRAWIA wydajność. To mówi nam teoria "Yerkes-Dodson". Optymalne jest, gdy czujesz się nieco napięty, ale nie w panice. Ten stopień stresu powoduje, że byłeś skoncentrowany i spostrzegawczy.

**Strategia:** Zamiast walczyć ze stresem, zaakceptuj go. "Będę trochę zestresowany - to normalne i to dobrze." Gdy zaakceptujesz stres, jego intensywność się zmniejsza.

### Obawa #5: "Wszyscy inni są bardziej przygotowani niż ja"

**Fakt:** Prawie każdy uczeń czuje to samo. To jest złudzenie. Ludzie, którzy się popisują, jak bardzo się przygotowali, często robią to, bo się boją. Tym, którzy są naprawdę pewni siebie, nic do udowadniania.

**Strategia:** Skupiaj się tylko na sobie. Twoja ścieżka przygotowań nie musi być identyczna z ścieżką kogoś innego.

## Jak uczyć się pod presją - system sprintu

To, co opisuję tutaj, to nie tylko techniki radzenia sobie ze stresem - to sposób na jego wykorzystanie do nauki.

W ostatnich dwóch tygodniach przed egzaminem zmień swoją naukę na "sprinty":

**Poniedziałek-czwartek:** Każdego dnia spędzaj 120 minut na rozwiązywaniu arkuszy czasowych. Ustawić timer na 180 minut, rozwiąż ile się da. Liczy się prędkość i prawidłowość.

**Piątek:** Dzień odpoczynku. Lagodna powtórka, bez czasu, bez presji.

**Sobota-niedziela:** Po jednym pełnym arkuszu w warunkach egzaminacyjnych (180 minut). Po arkuszu analiza - co poszło dobrze, co źle.

Ten system uczy twój mózg pracować pod presją. Stopniowo, zaczynasz się czuć bardziej komfortowo.

## Praktyczne narzędzia - korzystaj z nich

Na sprawnamatura.pl masz dostęp do wielu narzędzi, które mogą ci pomóc:

- **Funkcja /random:** Pozwala ci pracować nad losowymi zadaniami pod presją czasu. Jest to świetny sposób na przygotowanie psychiczne. Za każdym razem, gdy rozwiążesz jedno losowe zadanie, wzmacniasz swoją pewność siebie.
- **Tematy (np. /topics/funkcja-kwadratowa):** Pozwala ci pogrupować naukę. Kiedy uczysz się funkcji kwadratowych intensywnie, przez kilka dni, efekt jest najlepszy.
- **Arkusze ćwiczeniowe:** Są to rzeczywiste pełne arkusze. Rozwiąż je wszystkie w warunkach czasowych.

Podstawową rzeczą jest robienie jej regularnie, a nie intensywnie przez jeden dzień. Mózg potrzebuje konsystencji.

## Podsumowanie - Ty masz to w sobie

Stres przed maturą z matematyki jest realny, ale jest również zarządzalny. Każda osoba, która przygotowuje się systematycznie i stosuje techniki opisane w tym artykule, znacznie zwiększa swoje szanse na sukces.

Pamiętaj:
1. Stres biologicznie obniża wydajność - ale techniki oddechowe i relaksacyjne faktycznie go zmniejszają.
2. Systematyczne przygotowanie (przez miesiąc, nie przez noc) buduje pewność siebie.
3. Podczas egzaminu strategia czasowa i umiejętność obsługiwania zaciąć się są równie ważne jak sama wiedza.
4. Wizualizacja i pozytywne samomowy działają - nie są to hokus pokus.
5. Dzień przed egzaminem i poranek egzaminu mają znaczenie - ale nie więcej niż miesiące przygotowań.

Jeśli chcesz poznać konkretną strategię przygotowań, przeczytaj artykuł [Jak zdać maturę z matematyki 2027 - strategia](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). Zawiera on kompletny plan nauki na ostatnie tygodnie.

Jeśli jesteś w ostatnim miesiącu i potrzebujesz intensywnego planu, zobacz [Matura matematyka za miesiąc - plan nauki kwiecień-maj 2027](/matura-matematyka-za-miesiac-plan-nauki-kwiecien-maj).

Jeśli najbliższe dni są kluczowe, przeczytaj [Powtórka tydzień przed maturą matematyka - plan](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan), gdzie opisuję co robić w ostatnich 7 dniach.

Na koniec - zapamiętaj, że pracujesz nad tym zadaniem już wiele miesięcy. Twój mózg jest przygotowany. Techniki opisane tutaj to tylko sposób na ujawnienie tego przygotowania w dniu egzaminu.

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /przeksztalcenia-wykresow-funkcji-matura
title: Przekształcenia wykresów funkcji na maturze - przesunięcia, symetrie, skalowanie krok po kroku
description: Jak przekształcać wykresy funkcji: f(x)+a, f(x+a), -f(x), f(-x), |f(x)|, af(x). Przesunięcia, symetrie i skalowanie z przykładami i zadaniami CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Przekształcenia wykresów funkcji na maturze - przesunięcia, symetrie, skalowanie krok po kroku

## Przekształcenia wykresów - temat, który pojawia się na każdej maturze

Przekształcenia wykresów funkcji to jeden z najpewniejszych tematów na maturze z matematyki. Na każdym arkuszu CKE - bez wyjątku - pojawia się przynajmniej jedno zadanie, w którym musisz przesunąć, odbić lub przeskalować wykres. Sprawdź [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), żeby zobaczyć, jak często ten temat wraca.

Problem w tym, że wielu maturzystów myli kierunek przesunięcia poziomego albo nie wie, jak działa wartość bezwzględna na wykresie. Te błędy kosztują punkty - niepotrzebnie, bo reguły przekształceń są proste i mechaniczne. Wystarczy je raz dobrze zrozumieć.

W tym przewodniku omówimy wszystkie przekształcenia, które mogą pojawić się na [maturze podstawowej i rozszerzonej](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin). Każde z osobna, z wzorem, interpretacją graficzną i przykładami. Na końcu - tabela podsumowująca i wskazówki do złożonych zadań.

Zanim zaczniesz, upewnij się, że dobrze znasz [podstawy funkcji](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc) i potrafisz [odczytywać własności z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura). Przekształcenia to nadbudowa nad tymi umiejętnościami.

## Przesunięcie wykresu w pionie: \(y = f(x) + a\)

To najprostsze przekształcenie. Dodajesz stałą **na zewnątrz** funkcji - wykres przesuwa się w pionie.

### Reguła

$$y = f(x) + a$$

- Gdy \(a > 0\): wykres przesuwa się **w górę** o \(a\) jednostek
- Gdy \(a  0\): wykres przesuwa się **w lewo** o \(a\) jednostek
- Gdy \(a  0\)).

### Dlaczego kierunek jest odwrotny?

Wyobraź sobie, że chcesz, żeby nowy wykres \(g(x) = f(x + 3)\) miał tę samą wartość w punkcie \(x = 0\), co oryginalny wykres w punkcie \(x = 3\):

$$g(0) = f(0 + 3) = f(3)$$

Wartość, która w oryginale była "na prawo" (w \(x = 3\)), teraz jest "na miejscu" (w \(x = 0\)). Wykres przesunął się w lewo.

**Praktyczna zasada:** patrz na znak przy \(x\). Jeśli widzisz \(f(x + 3)\), przesuwasz w lewo o 3. Jeśli \(f(x - 3)\), przesuwasz w prawo o 3. Minus w środku = przesunięcie w prawo.

### Co się zmienia, a co nie

| Własność | Zmienia się? |
|----------|-------------|
| Dziedzina | Tak - przesuwa się o \(-a\) |
| Zbiór wartości | Nie - te same wartości \(y\) |
| Miejsca zerowe | Tak - przesuwają się o \(-a\) |
| Monotoniczność | Przedziały przesuwają się o \(-a\) |

### Przykład 2

Wykres \(f(x) = \sqrt{x}\) przesuwamy o 4 jednostki w prawo.

$$g(x) = f(x - 4) = \sqrt{x - 4}$$

Dziedzina: zamiast \(\langle 0, +\infty)\) mamy \(\langle 4, +\infty)\). Punkt startowy przesunął się z \((0, 0)\) na \((4, 0)\).

## Przesunięcie o wektor - złożenie pionowego i poziomego

Na maturze często trzeba przesunąć wykres o wektor \(\vec{v} = [p, q]\). To złożenie przesunięcia poziomego (o \(p\)) i pionowego (o \(q\)):

$$y = f(x - p) + q$$

- \(p > 0\): w prawo; \(p  0\): w górę; \(q  0$$

- Gdy \(a > 1\): wykres **rozciąga się** w pionie (staje się "wyższy")
- Gdy \(0  0\))

### Przykład 6

Funkcja \(f(x) = \sin x\). Rozciągnięcie 3-krotne w pionie:

$$g(x) = 3\sin x$$

Amplituda zmienia się z 1 na 3. Zbiór wartości zmienia się z \(\langle -1, 1 \rangle\) na \(\langle -3, 3 \rangle\). Miejsca zerowe (\(0, \pi, 2\pi, \ldots\)) pozostają te same. Więcej o sinusoidzie w [artykule o trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

**Uwaga:** gdy \(a  0$$

- Gdy \(a > 1\): wykres **ściska się** w poziomie (\(a\) razy węższy)
- Gdy \(0  1\): argumenty są bliżej zera - ściśnięcie
- \(0  1\) | Wykres wyższy |
| Ściśnięcie pionowe \(a\times\) | \(a \cdot f(x)\), \(0  1\) | Wykres węższy |
| Rozciągnięcie poziome \(a\times\) | \(f(a \cdot x)\), \(0 < a < 1\) | Wykres szerszy |
| Wartość bezwzględna z \(f\) | \(\|f(x)\|\) | Część pod OX odbita do góry |
| \(f\) od wartości bezwzględnej | \(f(\|x\|)\) | Prawa strona odbita na lewą |

**Wydrukuj tę tabelę i miej ją pod ręką** podczas ćwiczeń. Po kilkunastu zadaniach reguły wchodzą do pamięci.

## Typowe pułapki - gdzie maturzyści tracą punkty

### 1. Przesunięcie poziome w złą stronę

To pułapka numer jeden. Zapamiętaj raz na zawsze:

$$f(x \mathbf{+} a) \to \text{przesunięcie w } \mathbf{lewo}$$
$$f(x \mathbf{-} a) \to \text{przesunięcie w } \mathbf{prawo}$$

Znak w środku jest **odwrotny** do kierunku przesunięcia. Sprawdź to na konkretnym punkcie, jeśli masz wątpliwości.

### 2. Mylenie \(|f(x)|\) z \(f(|x|)\)

To **dwa zupełnie różne przekształcenia**:
- \(|f(x)|\) - odbij pod-osiową część wykresu do góry
- \(f(|x|)\) - odbij prawą stronę wykresu na lewą

Na maturze CKE lubi dawać oba warianty jako odpowiedzi do wyboru. Nie daj się złapać.

### 3. Złe skalowanie poziome

$$f(2x) \to \text{ściśnięcie 2-krotne (nie rozciągnięcie!)}$$

Mnożenie argumentu przez liczbę większą od 1 ściska wykres, nie rozciąga. Działanie w argumencie jest odwrotne do tego, co sugeruje wartość.

### 4. Pominięcie wpływu na dziedzinę

Przesunięcie wykresu zmienia dziedzinę! Jeśli \(D_f = \langle 0, +\infty)\), to po przesunięciu w prawo o 3: \(D_g = \langle 3, +\infty)\). CKE lubi pytać o dziedzinę po przekształceniu - nie zapomnij jej wyznaczyć.

### 5. Niewłaściwa kolejność przy złożeniu

Przy \(g(x) = 2f(x-1) + 3\) nie rób: "przesunięcie w górę o 3, potem rozciągnięcie 2-krotne". Prawidłowa kolejność: najpierw przesunięcie w prawo o 1, potem rozciągnięcie 2-krotne w pionie, na końcu przesunięcie w górę o 3.

Więcej o typowych błędach w [artykule o najczęstszych pomyłkach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i o tym, [jak unikać błędów rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

## Przekształcenia w kontekście konkretnych funkcji

### Funkcja kwadratowa

Postać kanoniczna \(f(x) = a(x - p)^2 + q\) to zapis z przekształceniami: parabola \(y = ax^2\) przesunięta o wektor \([p, q]\). Dlatego \((p, q)\) to wierzchołek, a \(x = p\) to oś symetrii.

### Funkcja wykładnicza

$$y = 2^{x-3} + 1 = f(x-3) + 1$$

To przesunięcie wykresu \(y = 2^x\) o wektor \([3, 1]\). Asymptota pozioma przesuwa się z \(y = 0\) na \(y = 1\).

### Trygonometria

$$y = 3\sin(2x - \pi) + 1 = 3\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right) + 1$$

Czytamy: ściśnięcie poziome 2-krotne, przesunięcie w prawo o \(\frac{\pi}{2}\), rozciągnięcie pionowe 3-krotne, przesunięcie w górę o 1. Amplituda 3, okres \(\pi\), przesunięcie fazowe \(\frac{\pi}{2}\).

Więcej o sinusoidach i [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Jak ćwiczyć przekształcenia

1. Zacznij od [zadań z funkcji](/topics/funkcje) - tam jest najwięcej zadań z przekształceniami
2. Przećwicz na [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) - postać kanoniczna to gotowe przesunięcie o wektor
3. Rozwiąż zadania z [funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa) - proste wykresy ułatwiają wizualizację
4. Spróbuj [zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria) - sinusoida łączy wszystkie rodzaje przekształceń
5. Sprawdź [arkusze maturalne](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), żeby zobaczyć, jak CKE formułuje te zadania w praktyce
6. Przeczytaj [jak punktowane są zadania na maturze](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania), żeby wiedzieć, co musisz napisać, a co można pominąć

Przekształcenia wykresów to temat czysto mechaniczny. Nie ma tu żadnej "wyższej matematyki" - wystarczy znać reguły z tabeli i umieć je stosować. Kilkanaście rozwiązanych zadań i ten temat staje się źródłem pewnych punktów na maturze.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /progi-punktowe-studia-2027-ile-punktow-matura-matematyka
title: Progi punktowe na studia 2027 - ile punktów z matury z matematyki potrzebujesz na wymarzony kierunek
description: Progi punktowe na popularne kierunki studiów: jak uczelnie przeliczają wynik z matury i ile punktów potrzeba na informatykę, ekonomię i medycynę.
author: Marcel Bogdan
---

# Progi punktowe na studia 2027 - ile punktów z matury z matematyki potrzebujesz na wymarzony kierunek

Zdanie matury to jedno - dostanie się na wymarzony kierunek studiów to zupełnie inna historia. Każdego roku tysiące maturzystów zdaje egzamin z dobrym wynikiem, ale potem okazuje się, że ich punkty nie wystarczają na wybrany kierunek. Dlaczego? Bo nie wiedzieli wcześniej, **ile naprawdę potrzebują**.

W tym poradniku znajdziesz konkretne progi punktowe na najpopularniejsze kierunki studiów (na podstawie danych z rekrutacji 2025), dowiesz się jak uczelnie przeliczają wyniki maturalne i - co najważniejsze - jak zaplanować naukę, żeby zdobyć wystarczająco dużo punktów.

Jeśli dopiero zaczynasz przygotowania do matury, przeczytaj najpierw nasz [kompletny przewodnik po maturze z matematyki 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin) - znajdziesz tam wszystko o strukturze egzaminu, typach zadań i punktacji.

## Jak uczelnie przeliczają wynik maturalny - wzory rekrutacyjne

Każda uczelnia ma własny wzór na przeliczanie wyników maturalnych na punkty rekrutacyjne. Nie istnieje jeden uniwersalny system - dlatego musisz sprawdzić konkretne zasady na stronie wybranej uczelni. Są jednak schematy, które powtarzają się najczęściej.

### Model 1: Przelicznik procentowy (najczęstszy)

Większość uczelni technicznych i przyrodniczych stosuje wariant:

$$W = P \cdot 0{,}3 + R \cdot 0{,}7$$

gdzie \(P\) to wynik matury podstawowej (w procentach), a \(R\) to wynik matury rozszerzonej (w procentach).

Przykład: masz 78% z podstawy i 55% z rozszerzenia:

$$W = 78 \cdot 0{,}3 + 55 \cdot 0{,}7 = 23{,}4 + 38{,}5 = 61{,}9 \text{ pkt}$$

### Model 2: Tylko rozszerzenie (uczelnie prestiżowe)

Niektóre uczelnie (np. SGH, UW Informatyka) liczą **wyłącznie wynik z matury rozszerzonej** z matematyki, czasem z wagą 1.0 lub wyższą. W tym modelu zdawanie samej podstawy nie daje żadnych punktów z matematyki.

### Model 3: Punkty za przedmioty z wagami

Politechnika Warszawska, AGH i wiele innych uczelni technicznych stosują bardziej rozbudowany wzór uwzględniający kilka przedmiotów:

$$W = W_1 \cdot \text{mat\_podst} + W_2 \cdot \text{mat\_rozsz} + W_3 \cdot \text{fizyka/inf} + W_4 \cdot \text{język}$$

Wagi różnią się w zależności od kierunku - matematyka rozszerzona ma zwykle najwyższą wagę (0.5-0.7), a język obcy najniższą (0.1-0.2).

### Ważna uwaga o formule matury

Od 2023 roku obowiązuje [nowa formuła maturalna](/formula-2015-vs-2023-matura-matematyka-roznice-zmiany). Uczelnie stopniowo dostosowują swoje przeliczniki. Jeśli zdajesz maturę w 2027 roku, upewnij się, że patrzysz na przeliczniki dla nowej formuły - stare mogą dawać inne wyniki.

## Progi na kierunki techniczne - informatyka, elektronika, automatyka

Kierunki techniczne to tradycyjnie te z najwyższymi wymaganiami z matematyki. Oto progi z rekrutacji 2025 jako punkt odniesienia:

### Informatyka - królowa progów

| Uczelnia | Kierunek | Próg 2025 (pkt rekr.) | Wymagana rozszerzona |
|----------|----------|----------------------|---------------------|
| Politechnika Warszawska | Informatyka (WEiTI) | ~92-95 pkt | Tak |
| AGH Kraków | Informatyka | ~88-92 pkt | Tak |
| Politechnika Wrocławska | Informatyka | ~85-90 pkt | Tak |
| Politechnika Gdańska | Informatyka | ~82-88 pkt | Tak |
| Politechnika Poznańska | Informatyka | ~78-84 pkt | Tak |
| UW | Informatyka (MIM) | ~90-94 pkt | Tak |
| UJ | Informatyka | ~85-90 pkt | Tak |

Wszystkie progi w tym artykule pochodzą z rekrutacji 2025, bo to ostatnie dane, które uczelnie opublikowały w komplecie. Nowe progi każda uczelnia ogłasza po zakończeniu swojej rekrutacji, więc przed składaniem dokumentów sprawdź je na stronie wybranego wydziału.

**Co to oznacza w praktyce?** Na informatykę na Politechnice Warszawskiej potrzebujesz wyniku zbliżonego do **90%+ z rozszerzonej matematyki** plus dobrego wyniku z fizyki lub informatyki. To nie jest kierunek, na który dostaniesz się z samą podstawą.

### Elektronika, automatyka, robotyka

| Uczelnia | Kierunek | Próg 2025 (pkt rekr.) | Wymagana rozszerzona |
|----------|----------|----------------------|---------------------|
| PW | Automatyka i robotyka | ~80-85 pkt | Tak |
| PW | Elektronika | ~75-82 pkt | Tak |
| AGH | Automatyka i robotyka | ~75-80 pkt | Tak |
| AGH | Elektrotechnika | ~65-72 pkt | Tak |
| PWr | Automatyka i robotyka | ~70-78 pkt | Tak |

Na tych kierunkach progi są nieco niższe niż na informatyce, ale wciąż wymagające. Rozszerzona matematyka jest praktycznie obowiązkowa - sam wynik z podstawy nie da wystarczającej liczby punktów.

Jeśli celujesz w kierunek techniczny, koniecznie przeczytaj o [maturze rozszerzonej z matematyki 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy) - dowiesz się, jakie tematy musisz opanować ponad poziom podstawowy.

## Progi na kierunki ekonomiczne - SGH, UW, UEK

Ekonomia, finanse i zarządzanie to kierunki, gdzie matematyka gra kluczową rolę w rekrutacji:

### Szkoła Główna Handlowa (SGH)

SGH stosuje specyficzny system - liczy się wynik z rozszerzenia z matematyki z bardzo wysoką wagą. Progi na najpopularniejsze kierunki:

| Kierunek | Próg 2025 (pkt rekr.) | Klucz do sukcesu |
|----------|----------------------|------------------|
| Finanse i rachunkowość | ~82-88 pkt | Rozszerzona matematyka + angielski |
| Ekonomia | ~78-85 pkt | Rozszerzona matematyka |
| Zarządzanie | ~75-82 pkt | Rozszerzona matematyka |
| Metody ilościowe | ~70-78 pkt | Rozszerzona matematyka (najwyższa waga) |

### Uniwersytet Warszawski - Wydział Nauk Ekonomicznych

| Kierunek | Próg 2025 (pkt rekr.) | Uwagi |
|----------|----------------------|-------|
| Ekonomia | ~80-86 pkt | Bardzo silna matematyka wymagana |
| Finanse | ~78-84 pkt | Rozszerzenie z matematyki kluczowe |
| Informatyka i ekonometria | ~82-88 pkt | Najwyższe progi na wydziale |

### Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie (UEK)

Progi nieco niższe - w zakresie **65-78 pkt** zależnie od kierunku. To realna opcja dla osób, które zdają tylko podstawę na wysokim poziomie (90%+) albo rozszerzoną na ok. 60-70%.

## Progi na medycynę i farmację

Medycyna to absolutny szczyt progów rekrutacyjnych w Polsce. Matematyka nie jest tu głównym przedmiotem, ale dodaje cenne punkty:

### Kierunek lekarski

| Uczelnia | Próg 2025 (pkt rekr.) | Rola matematyki |
|----------|----------------------|-----------------|
| WUM Warszawa | ~95-98 pkt | Dodatkowe punkty, główne: biologia + chemia |
| UJ CM Kraków | ~94-97 pkt | Jak wyżej |
| GUMed Gdańsk | ~92-96 pkt | Jak wyżej |
| UM Wrocław | ~90-95 pkt | Jak wyżej |
| UM Łódź | ~88-93 pkt | Jak wyżej |

Na medycynie kluczowe są biologia i chemia rozszerzona. Matematyka podstawowa na poziomie 80%+ daje solidne punkty dodatkowe. Rozszerzona z matematyki jest rzadko wymagana, ale jeśli ją zdasz dobrze - może przechylić szalę na twoją korzyść.

### Farmacja

Progi na farmację są niższe niż na kierunek lekarski - zazwyczaj **80-90 pkt** (zależnie od uczelni). Matematyka ma tu nieco większe znaczenie niż na medycynie, bo program studiów zawiera elementy chemii fizycznej i statystyki.

## Progi na kierunki ścisłe - matematyka, fizyka, chemia

Paradoksalnie, progi na **studia matematyczne** nie są tak wysokie jak na informatykę:

| Uczelnia | Kierunek | Próg 2025 (pkt rekr.) | Uwagi |
|----------|----------|----------------------|-------|
| UW MIM | Matematyka | ~75-82 pkt | Rozszerzona wymagana |
| UJ | Matematyka | ~70-78 pkt | Rozszerzona wymagana |
| PW | Matematyka stosowana | ~72-80 pkt | Rozszerzona wymagana |
| UW | Fizyka | ~65-75 pkt | Matematyka rozszerzona jako dodatkowa |
| AGH | Fizyka techniczna | ~60-70 pkt | Niższe progi, duże możliwości |

Studia matematyczne i fizyczne mają niższe progi, bo mniej osób się na nie decyduje. Ale uwaga - niższy próg nie znaczy, że studia są łatwe. Wręcz przeciwnie - to jedne z najtrudniejszych kierunków. Po prostu mniej osób je wybiera.

## Progi na architekturę, budownictwo i inżynierię

| Uczelnia | Kierunek | Próg 2025 (pkt rekr.) | Uwagi |
|----------|----------|----------------------|-------|
| PW | Architektura | ~85-90 pkt | Plus egzamin z rysunku! |
| PW | Budownictwo | ~70-78 pkt | Rozszerzona matematyka ważna |
| PK Kraków | Architektura | ~80-88 pkt | Plus egzamin z rysunku |
| PG | Budownictwo | ~65-72 pkt | Rozszerzona lub podstawa wysoka |
| AGH | Inżynieria środowiska | ~55-65 pkt | Niższe progi |

Architektura jest specyficzna - oprócz punktów maturalnych musisz zdać egzamin wstępny z rysunku. Sama matura nie wystarczy. Budownictwo i inne kierunki inżynierskie są bardziej dostępne.

## Tabela zbiorcza - ile procent z matury potrzebujesz na popularne kierunki

Poniżej uproszczone zestawienie - ile mniej więcej procent z matury rozszerzonej z matematyki musisz uzyskać, żeby mieć realną szansę na dany kierunek (przy założeniu dobrych wyników z pozostałych przedmiotów):

| Kierunek | Uczelnie top | Uczelnie średnie | Uczelnie regionalne |
|----------|-------------|-----------------|---------------------|
| Informatyka | 85-95% rozsz. | 70-85% rozsz. | 55-70% rozsz. |
| Ekonomia/Finanse | 75-88% rozsz. | 60-75% rozsz. | 45-60% rozsz. |
| Automatyka/Elektronika | 70-85% rozsz. | 55-70% rozsz. | 45-60% rozsz. |
| Matematyka | 65-80% rozsz. | 50-65% rozsz. | 40-55% rozsz. |
| Budownictwo | 60-75% rozsz. | 50-65% rozsz. | 85-95% podst. |
| Medycyna | 75-90% podst.* | 65-80% podst.* | 55-70% podst.* |

\* Na medycynie liczy się głównie biologia i chemia - matematyka jest dodatkowa.

**Kluczowy wniosek:** Na wszystkie kierunki techniczne i ekonomiczne w topowych uczelniach potrzebujesz **matury rozszerzonej z matematyki na minimum 70-80%**. Sama podstawa wystarczy praktycznie tylko na kierunki humanistyczne, społeczne i przyrodnicze (oprócz medycyny, gdzie kluczowe są inne przedmioty).

## Czy warto zdawać rozszerzoną z matematyki?

Krótka odpowiedź: **jeśli celujesz w kierunki techniczne lub ekonomiczne - tak, zdecydowanie tak.**

### Kiedy rozszerzona jest konieczna

- Informatyka na dowolnej uczelni technicznej
- Ekonomia, finanse na SGH i UW
- Wszystkie kierunki na politechnikach (automatyka, elektronika, mechanika)
- Matematyka, fizyka na uniwersytetach
- Data science, sztuczna inteligencja

### Kiedy podstawa wystarczy

- Medycyna, stomatologia, farmacja (tu kluczowe: biologia + chemia)
- Kierunki humanistyczne i społeczne
- Kierunki artystyczne
- Pedagogika, psychologia (choć rozszerzona daje dodatkowe punkty)

### Kalkulacja punktowa

Rozważmy dwa scenariusze dla osoby celującej w informatykę na PW:

**Scenariusz A:** Tylko podstawa, wynik 92%

$$W = 92 \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}7 = 27{,}6 \text{ pkt z matematyki}$$

**Scenariusz B:** Podstawa 85% + rozszerzona 72%

$$W = 85 \cdot 0{,}3 + 72 \cdot 0{,}7 = 25{,}5 + 50{,}4 = 75{,}9 \text{ pkt z matematyki}$$

Różnica: **48,3 punktu** na korzyść osoby zdającej rozszerzoną, mimo niższego wyniku z podstawy! To jest potężna różnica, która praktycznie przesądza o przyjęciu.

Więcej o tym, co czeka cię na maturze rozszerzonej, znajdziesz w artykule o [wymaganiach matury rozszerzonej z matematyki 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

## Jak podnieść wynik - strategia zdobywania punktów

Jeśli po przeczytaniu progów czujesz, że twój obecny poziom nie wystarczy - nie panikuj. Do matury w maju zostało jeszcze kilka tygodni i wiele da się jeszcze zrobić.

### 1. Zacznij od pewnych punktów

Nie próbuj od razu rozwiązywać najtrudniejszych zadań. Skup się na [łatwych punktach za zadania za 1 punkt](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt), które stanowią sporą część arkusza. Jeśli rozwiążesz bezbłędnie wszystkie proste zadania, masz już solidną bazę punktową.

### 2. Opanuj pewniaki maturalne

Każdego roku na maturze pojawiają się zadania z tych samych kategorii. Przeczytaj nasz artykuł o [pewniakach maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) i skup się na nich.

### 3. Ćwicz na prawdziwych arkuszach CKE

Nie ma lepszego sposobu na przygotowanie niż rozwiązywanie prawdziwych zadań maturalnych. W naszej [bazie arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) znajdziesz ponad 2300 zadań z rozwiązaniami.

### 4. Skup się na swoich słabych stronach

Przejrzyj tematy, z którymi masz problem, i poświęć im więcej czasu:

- [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) - największa kategoria, zawsze na maturze
- [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - regularne 3-4 zadania na arkuszu
- [Planimetria](/topics/planimetria) - trudna, ale dużo punktów do zdobycia
- [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) - zawsze jedno zadanie, często za 2-3 punkty

### 5. Naucz się rozwiązywać zadania otwarte

Zadania otwarte dają więcej punktów i często decydują o wyniku. Przeczytaj poradnik [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) - jest tam konkretna strategia zapisu, która da ci maksimum punktów.

### 6. Zrób plan ostatnich tygodni

Jeśli do matury zostało niewiele czasu, potrzebujesz konkretnego planu. W artykule [ostatnie tygodnie przed maturą 2027](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka) znajdziesz plan nauki dzień po dniu.

## Jak sprawdzić progi na konkretnej uczelni - krok po kroku

1. **Wejdź na stronę rekrutacji** wybranej uczelni (szukaj "rekrutacja 2027" + nazwa uczelni)
2. **Znajdź wzór rekrutacyjny** - każdy kierunek ma swój. Szukaj sekcji "Zasady przeliczania wyników" lub "Kryteria kwalifikacji"
3. **Sprawdź progi z poprzedniego roku** - uczelnie zazwyczaj publikują minimalne progi punktowe z rekrutacji 2025
4. **Dodaj 5-10% marginesu** - progi rosną z roku na rok, szczególnie na popularnych kierunkach
5. **Sprawdź, czy rozszerzona jest wymagana** - na niektórych kierunkach brak rozszerzenia z matematyki oznacza automatyczne 0 punktów z tego przedmiotu

### Przydatne strony

- **IRK (Internetowa Rejestracja Kandydatów)** - system rekrutacyjny większości uczelni publicznych
- **Ranking Perspektywy** - porównanie uczelni i kierunków
- **Forum "Studia.net"** - relacje zdających z poprzednich lat, nieoficjalne progi

## Najczęstsze błędy przy planowaniu rekrutacji

### Błąd 1: "Zdam podstawę na 100% i wystarczy"

Na kierunki techniczne i ekonomiczne podstawa na 100% daje mniej punktów niż rozszerzona na 70%. Matematyka jest przeliczana z wagą - rozszerzenie ma wagę 0.7, a podstawa 0.3 (lub podobne proporcje). Nie da się tego nadrobić samą podstawą.

### Błąd 2: "Próg z zeszłego roku będzie taki sam"

Progi zmieniają się co roku. Na popularnych kierunkach (informatyka, ekonomia) rosną o 2-5 punktów rocznie. Zawsze planuj z zapasem.

### Błąd 3: "Wybiorę kierunek po maturze"

Jeśli nie wiesz, czy chcesz zdawać rozszerzoną - zdecyduj się teraz. Rezygnacja z rozszerzenia zamyka ci drzwi do wielu kierunków. Lepiej zdawać rozszerzoną i zdobyć 40%, niż nie zdawać wcale - te 40% wciąż daje punkty rekrutacyjne.

### Błąd 4: "Jedna uczelnia, jeden kierunek"

Zawsze aplikuj na kilka kierunków i uczelni. System IRK pozwala zapisać się na wiele kierunków jednocześnie. Miej plan A, B i C.

## Praktyczny kalkulator - oblicz swoje szanse

Zrób szybki rachunek dla swojego wymarzonego kierunku. Potrzebujesz trzech liczb:

1. Twój przewidywany wynik z matury podstawowej z matematyki \(P\)
2. Twój przewidywany wynik z matury rozszerzonej \(R\) (jeśli zdajesz)
3. Waga poszczególnych przedmiotów z wzoru rekrutacyjnego uczelni

Dla najprostszego modelu \(W = P \cdot 0{,}3 + R \cdot 0{,}7\):

- Jeśli celujesz w **90 pkt rekrutacyjnych**: potrzebujesz np. 90% podst. + 90% rozsz. = \(90 \cdot 0{,}3 + 90 \cdot 0{,}7 = 90\) pkt
- Jeśli celujesz w **80 pkt**: np. 85% podst. + 78% rozsz. = \(85 \cdot 0{,}3 + 78 \cdot 0{,}7 = 25{,}5 + 54{,}6 = 80{,}1\) pkt
- Jeśli celujesz w **70 pkt**: np. 80% podst. + 65% rozsz. = \(80 \cdot 0{,}3 + 65 \cdot 0{,}7 = 24 + 45{,}5 = 69{,}5\) pkt

Pamiętaj, że to uproszczony model - konkretna uczelnia może liczyć inaczej. Zawsze sprawdzaj oficjalny wzór rekrutacyjny.

## Podsumowanie - co robić teraz

1. **Sprawdź progi** na swoich wymarzonych kierunkach (dane z rekrutacji 2025)
2. **Oblicz**, ile punktów rekrutacyjnych daje twój obecny poziom z matematyki
3. **Zdecyduj o rozszerzonej** - jeśli celujesz w kierunki techniczne/ekonomiczne, to konieczność
4. **Zacznij ćwiczyć** - na [sprawnamatura.pl](/) masz ponad 2300 zadań maturalnych z rozwiązaniami, podzielonych na [tematy](/topics/liczby-rzeczywiste) i [arkusze egzaminacyjne](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan)
5. **Zaplanuj ostatnie tygodnie** - postępuj zgodnie z naszym [planem nauki](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka)
6. **Unikaj [najczęstszych błędów](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki)** - każdy stracony punkt może zadecydować o miejscu na liście rankingowej

Matematyka to przedmiot, który da się opanować systematyczną pracą. Nawet jeśli teraz wynik nie jest taki, jakiego potrzebujesz - masz jeszcze czas. Wykorzystaj go mądrze.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany
title: Procenty na maturze z matematyki - wzory, procent składany i zadania z rozwiązaniami
description: Procenty na maturze z matematyki: obliczanie procentu liczby, podwyżki i obniżki, procent składany, VAT. Ponad 70 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Procenty na maturze z matematyki - wzory, procent składany i zadania z rozwiązaniami

## Procenty - praktyczna matematyka, która zawsze jest na maturze

Procenty to jeden z najbardziej **praktycznych** działów matematyki maturalnej. Zadania z procentów pojawiają się na każdym arkuszu CKE - od prostych obliczeń za 1 punkt po złożone problemy z procentem składanym za 4-5 punktów. W naszej [bazie zadań z procentów](/topics/procenty) mamy **ponad 70 zadań** z prawdziwych matur.

Co ważne, procenty łączą się z wieloma innymi działami: z [ciągami geometrycznymi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) (procent składany to ciąg geometryczny!), z [funkcją wykładniczą](/topics/funkcja-wykladnicza) i z [równaniami](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

## Podstawowe obliczenia procentowe

### Procent liczby

$$p\% \text{ z } a = \frac{p}{100} \cdot a$$

**Przykład:** 23% z 500 zł (VAT):
$$\frac{23}{100} \cdot 500 = 115 \text{ zł}$$

### Jakim procentem liczby \(a\) jest liczba \(b\)?

$$p = \frac{b}{a} \cdot 100\%$$

**Przykład:** Jakim procentem liczby 200 jest liczba 50?
$$\frac{50}{200} \cdot 100\% = 25\%$$

### Obliczanie całości, gdy znamy procent

Jeśli \(p\%\) z pewnej liczby \(x\) wynosi \(b\), to:

$$x = \frac{b \cdot 100}{p}$$

**Przykład:** 15% pewnej liczby wynosi 45. Jaka to liczba?
$$x = \frac{45 \cdot 100}{15} = 300$$

## Podwyżki i obniżki

To **jeden z najczęstszych typów zadań** na maturze. Na [maturze próbnej z lutego 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz) pojawiło się zadanie z podwyżką ceny.

### Podwyżka o \(p\%\)

$$\text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot (1 + \frac{p}{100})$$

**Mnożnik podwyżki:** \(1 + \frac{p}{100}\)

**Przykład:** Podwyżka o 20%: mnożnik = \(1{,}20\)

### Obniżka o \(p\%\)

$$\text{nowa cena} = \text{stara cena} \cdot (1 - \frac{p}{100})$$

**Mnożnik obniżki:** \(1 - \frac{p}{100}\)

**Przykład:** Obniżka o 30%: mnożnik = \(0{,}70\)

### Pułapka z kolejnymi zmianami procentowymi

**Podwyżka o 20%, a potem obniżka o 20% - czy wracamy do ceny wyjściowej?**

$$100 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 96 \neq 100$$

**NIE!** To klasyczna [pułapka maturalna](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki). Mnożniki się nie "kasują". Wynik to 96% ceny wyjściowej, czyli strata 4%.

**Ogólna zasada:** podwyżka o \(p\%\), potem obniżka o \(p\%\) daje:

$$(1 + \frac{p}{100})(1 - \frac{p}{100}) = 1 - \frac{p^2}{10000}$$

Zawsze tracisz \(\frac{p^2}{10000} \cdot 100\%\) wartości.

Dokładnie te rachunki liczy [kalkulator procentów maturalnych](/narzedzia/kalkulator-procentow-maturalnych): podwyżkę i obniżkę, cenę sprzed zmiany, o ile procent jedna liczba różni się od drugiej, punkty procentowe, VAT i procent składany. Każdy tryb pokazuje podstawienie, więc widać, skąd bierze się wynik.

Interaktywny kalkulator: kalkulator-procentow-maturalnych (dostępny na stronie wpisu)

## Procent składany

To ulubiony temat CKE w zadaniach otwartych. Procent składany to w istocie [ciąg geometryczny](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) - kolejne wartości mnożymy przez stały iloraz.

### Wzór

$$K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$$

Gdzie:
- \(K_0\) - kapitał początkowy
- \(r\) - stopa procentowa (roczna)
- \(n\) - liczba lat (lub okresów kapitalizacji)
- \(K_n\) - wartość po \(n\) okresach

### Przykład: Lokata bankowa

Wpłacasz 10 000 zł na lokatę z oprocentowaniem 5% rocznie (kapitalizacja roczna). Ile będziesz mieć po 3 latach?

$$K_3 = 10000 \cdot (1{,}05)^3 = 10000 \cdot 1{,}157625 = 11576{,}25 \text{ zł}$$

Podstaw własne liczby w [kalkulatorze procentu składanego](/wzory/procent-skladany) i sprawdź wynik dla dowolnego kapitału, oprocentowania i liczby okresów.

Interaktywny kalkulator: procent-skladany (dostępny na stronie wpisu)

### Spadek wartości (deprecjacja)

Ten sam wzór, ale z minusem:

$$W_n = W_0 \cdot (1 - \frac{r}{100})^n$$

**Przykład:** Samochód traci 15% wartości rocznie. Po 4 latach:
$$W_4 = W_0 \cdot (0{,}85)^4 = W_0 \cdot 0{,}52200625 \approx 52{,}2\% \text{ wartości}$$

Połącz wiedzę z [potęgami](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) - obliczanie potęg ułamkowych jest tu kluczowe.

## Zadania tekstowe z procentami - strategia rozwiązywania

1. **Zidentyfikuj, co jest 100%** (wartość bazowa)
2. **Wypisz mnożniki** - podwyżka \(\times 1{,}p\), obniżka \(\times (1-\frac{p}{100})\)
3. **Pomnóż po kolei** - nie dodawaj/odejmuj procentów!
4. **Sprawdź wynik** - czy jest sensowny?

### Typowe pułapki

- **"Cena wzrosła o 100%"** - to podwojenie (mnożnik 2,00), nie dodanie 100 zł
- **"Sprzedano 60% towaru. Ile procent zostało?"** - 40%, ale uwaga na pytanie "o ile procent zmniejszył się zapas" - to też 60%, nie 40%
- **Kolejne procentowe zmiany** - nigdy nie dodawaj procentów, zawsze mnóż

Więcej pułapek w [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## VAT i ceny netto/brutto

Choć to nie jest osobny dział, zadania z VAT-em pojawiają się regularnie:

$$\text{brutto} = \text{netto} \cdot (1 + \frac{\text{VAT}}{100})$$

$$\text{netto} = \frac{\text{brutto}}{1 + \frac{\text{VAT}}{100}}$$

**Przykład:** Cena brutto wynosi 246 zł (VAT 23%). Jaka jest cena netto?
$$\text{netto} = \frac{246}{1{,}23} = 200 \text{ zł}$$

**Uwaga:** netto to NIE jest "brutto minus 23% brutto". To częsty [błąd maturalny](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Jak ćwiczyć

1. Rozwiąż [ponad 70 zadań z procentów](/topics/procenty) z naszej bazy CKE
2. Przećwicz [ciągi geometryczne](/topics/ciagi) - procent składany to ich zastosowanie
3. Sprawdź się na [arkuszu z maja 2025](/exams/matura-maj-2025)
4. Powtórz [wzory spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac), szczególnie wzór na procent składany
5. Przejdź do [symulatora matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) i przećwicz cały arkusz na czas

Procenty to dział, w którym **nie wolno się pomylić**. Każde zadanie jest proste, jeśli zastosujesz mnożniki zamiast dodawania procentów. Przećwicz to na tyle, żeby było automatyczne.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania
title: Prawdopodobieństwo na maturze z matematyki - definicja klasyczna, drzewka i zadania z rozwiązaniami
description: Prawdopodobieństwo na maturze: definicja klasyczna, drzewko, zdarzenie przeciwne, losowanie ze zwracaniem i bez. Sześć zadań maturalnych z CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Prawdopodobieństwo na maturze z matematyki - definicja klasyczna, drzewka i zadania z rozwiązaniami

## Prawdopodobieństwo na maturze z matematyki - kompletny przewodnik

Prawdopodobieństwo to jeden z najważniejszych działów na maturze z matematyki. Na każdym arkuszu pojawiają się co najmniej 2-3 zadania z tego zakresu, za które możesz zdobyć od 3 do nawet 7 punktów. W połączeniu z [kombinatoryką](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) i [statystyką](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania) tworzy blok tematyczny wart łącznie około 15% punktów na egzaminie.

Dobra wiadomość? Zadania z prawdopodobieństwa na maturze opierają się na kilku powtarzalnych schematach. Jeśli opanujesz definicję klasyczną, drzewka i podstawowe techniki zliczania, możesz liczyć na pewne punkty. Ten przewodnik przeprowadzi Cię przez wszystko, co musisz wiedzieć - od fundamentów po rozwiązane zadania maturalne.

Jeśli szukasz ogólnej strategii na egzamin, zajrzyj do [kompletnego przewodnika po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin) albo sprawdź [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), w których prawdopodobieństwo zajmuje ważne miejsce.

## Definicja klasyczna prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna to fundament, na którym opiera się większość zadań maturalnych. Brzmi ona tak:

Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych \( \Omega \) jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) wynosi:

$$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} $$

gdzie \( |A| \) to liczba zdarzeń sprzyjających (wyników korzystnych), a \( |\Omega| \) to liczba wszystkich możliwych wyników.

### Co to oznacza w praktyce?

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, musisz zawsze wykonać dwa kroki:

1. **Policzyć wszystkie możliwe wyniki** - to \( |\Omega| \), czyli mianownik ułamka
2. **Policzyć wyniki sprzyjające** - to \( |A| \), czyli licznik ułamka

| Element | Oznaczenie | Pytanie, które zadajesz |
|---------|-----------|------------------------|
| Przestrzeń zdarzeń | \( \Omega \) | Ile jest wszystkich możliwych wyników? |
| Zdarzenie sprzyjające | \( A \) | Ile wyników spełnia warunek z zadania? |
| Prawdopodobieństwo | \( P(A) \) | Jaki ułamek wszystkich wyników jest korzystny? |

**Warunek kluczowy:** definicja klasyczna działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne. Rzut symetryczną kostką - tak. Rzut obciążoną monetą - nie.

Z definicji wynikają trzy własności, które przydają się do sprawdzania wyniku:

- \(0 \leq P(A) \leq 1\): wynik ujemny albo większy od 1 to na pewno błąd,
- \(P(A) = 0\) ma zdarzenie niemożliwe, a \(P(A) = 1\) zdarzenie pewne,
- \(P(A') = 1 - P(A)\), o czym więcej w sekcji o zdarzeniu przeciwnym.

**Przykład:** rzucamy raz kostką. Wyników jest 6, liczb parzystych 3, więc \(P(\text{parzysta}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

## Zdarzenia elementarne i przestrzeń zdarzeń

Zanim zaczniesz liczyć prawdopodobieństwo, musisz prawidłowo określić przestrzeń zdarzeń elementarnych. To najczęstszy błąd na maturze - uczniowie wskakują od razu w obliczenia, nie zastanawiając się, czym jest jedno doświadczenie losowe.

### Rzut monetą

Przestrzeń zdarzeń: \( \Omega = \{O, R\} \), gdzie \( O \) - orzeł, \( R \) - reszka. Mamy \( |\Omega| = 2 \).

Przy dwóch rzutach: \( \Omega = \{OO, OR, RO, RR\} \), czyli \( |\Omega| = 4 \). Uwaga - \( OR \) i \( RO \) to różne wyniki (kolejność ma znaczenie).

### Rzut kostką

Jedna kostka: \( |\Omega| = 6 \). Dwie kostki: \( |\Omega| = 36 \) (każda z 6 ścianek pierwszej kostki łączy się z 6 ściankami drugiej).

### Losowanie kul z urny

Tu zależy od schematu losowania:

| Schemat | Opis | Sposób zliczania |
|---------|------|-----------------|
| Bez zwracania, z kolejnością | Losujemy po kolei, nie wkładamy z powrotem | Wariacja bez powtórzeń |
| Bez zwracania, bez kolejności | Losujemy jednocześnie (lub kolejność nie ma znaczenia) | Kombinacja |
| Ze zwracaniem | Losujemy, wkładamy z powrotem, losujemy ponownie | Wariacja z powtórzeniami |

To rozróżnienie jest absolutnie kluczowe. Więcej o technikach zliczania znajdziesz w [poradniku o kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Zdarzenie przeciwne - kiedy liczyć "od tyłu"

Prawdopodobieństwo [zdarzenia przeciwnego](/losowanie-liczb-z-dwoch-zbiorow-prawdopodobienstwo-suma-iloczyn-matura#zdarzenie-przeciwne) to jedna z najskuteczniejszych technik na maturze:

$$ P(A') = 1 - P(A) $$

Stosuj ją, gdy w zadaniu pojawia się słowo **"co najmniej"** albo gdy policzenie zdarzeń sprzyjających jest trudniejsze niż policzenie zdarzeń niesprzyjających.

### Przykład: kiedy warto?

Zadanie: "Rzucamy kostką 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka?"

Zliczanie bezpośrednie wymagałoby rozważenia przypadków: dokładnie 1 szóstka, dokładnie 2 szóstki, dokładnie 3 szóstki. To żmudne.

Zdarzenie przeciwne: "ani razu nie wypadnie szóstka" - dużo prostsze do policzenia.

$$ P(\text{co najmniej jedna 6}) = 1 - P(\text{zero szóstek}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} $$

**Zasada:** gdy widzisz "co najmniej", automatycznie pomyśl o zdarzeniu przeciwnym.

## Drzewko prawdopodobieństwa - jak rysować i liczyć

Drzewko prawdopodobieństwa to narzędzie, które porządkuje wieloetapowe doświadczenia losowe. Jest niezbędne w zadaniach, gdzie losowanie odbywa się w kilku krokach.

### Zasady rysowania drzewka

1. **Każdy węzeł** to etap doświadczenia (pierwszy rzut, drugie losowanie itp.)
2. **Gałęzie wychodzące z węzła** to wszystkie możliwe wyniki na danym etapie
3. **Na gałęziach** zapisujemy prawdopodobieństwa - muszą sumować się do 1 dla każdego węzła
4. **Prawdopodobieństwo ścieżki** to iloczyn prawdopodobieństw na kolejnych gałęziach
5. **Prawdopodobieństwo zdarzenia** to suma prawdopodobieństw wszystkich ścieżek sprzyjających

### Kiedy zmienia się prawdopodobieństwo na gałęziach?

W losowaniu **bez zwracania** prawdopodobieństwa na drugim etapie zależą od wyniku pierwszego etapu. To kluczowa różnica:

- **Ze zwracaniem:** gałęzie na każdym etapie mają te same prawdopodobieństwa
- **Bez zwracania:** gałęzie na drugim etapie zmieniają się w zależności od pierwszego wyniku (bo w urnie jest mniej elementów)

## Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne

### Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe \( P(A|B) \) to prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \( B \):

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Na maturze pojawia się to rzadziej w czystej postaci, ale ukrywa się w drzewkach - każda gałąź na drugim etapie to tak naprawdę prawdopodobieństwo warunkowe.

### Zdarzenia niezależne

Dwa zdarzenia \( A \) i \( B \) są niezależne, gdy zajście jednego nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego:

$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$

Przykłady zdarzeń niezależnych: dwa rzuty kostką, losowanie ze zwracaniem.
Przykłady zdarzeń zależnych: losowanie bez zwracania, losowanie kart z talii (bez odkładania).

### Suma zdarzeń: kiedy dodawać

„Lub” to suma zdarzeń. Prawdopodobieństwa wolno po prostu dodać tylko wtedy, gdy zdarzenia się wykluczają. W ogólnym przypadku odejmujesz część wspólną, żeby nie liczyć jej dwa razy:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

## Kombinatoryka w prawdopodobieństwie - symbol Newtona

W wielu zadaniach maturalnych zliczanie wyników sprzyjających wymaga użycia [symbolu Newtona](/symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie). Przypomnienie wzoru:

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Symbol Newtona \( \binom{n}{k} \) odpowiada na pytanie: na ile sposobów można wybrać \( k \) elementów ze zbioru \( n \)-elementowego, gdy kolejność nie ma znaczenia?

Typowy schemat zadania maturalnego z prawdopodobieństwem i kombinatoryką:

$$ P(A) = \frac{\binom{k_1}{a} \cdot \binom{k_2}{b}}{\binom{n}{a+b}} $$

gdzie z \( n \) elementów wybieramy \( a+b \), przy czym \( a \) z jednej grupy (\( k_1 \) elementów) i \( b \) z drugiej (\( k_2 \) elementów).

### Dokładnie \(k\) sukcesów w \(n\) próbach

Rzucamy monetą 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 2 razy? Wyników jest \(2^3 = 8\), a sprzyjające to OOR, ORO i ROO, więc \(P = \frac{3}{8}\). To samo daje wzór, który uogólnia takie liczenie na \(n\) niezależnych prób z prawdopodobieństwem sukcesu \(p\) w każdej:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$$

## Rozwiązane przykłady

Oto sześć typowych zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. Po więcej zadań do samodzielnego przećwiczenia zajrzyj na [stronę z zadaniami z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo), gdzie czeka na Ciebie 29 zadań z rozwiązaniami.

### Przykład 1: Rzut dwiema kostkami

**Zadanie:** Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 7.

**Rozwiązanie:**

Przestrzeń zdarzeń: \( |\Omega| = 6 \cdot 6 = 36 \)

Wyniki sprzyjające (pary dające sumę 7):
\( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \)

Czyli \( |A| = 6 \).

$$ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$

### Przykład 2: Losowanie kul bez zwracania

**Zadanie:** W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe?

**Rozwiązanie:**

Łączna liczba kul: \( 5 + 3 = 8 \)

Wszystkie sposoby wylosowania 2 kul z 8:
$$ |\Omega| = \binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 $$

Sposoby wylosowania 2 białych kul z 5:
$$ |A| = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 $$

$$ P(A) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} $$

### Przykład 3: Drzewko - losowanie bez zwracania

**Zadanie:** W pudełku jest 4 cukierki czekoladowe i 6 owocowych. Losujemy 2 cukierki po kolei, bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie jeden czekoladowy?

**Rozwiązanie metodą drzewka:**

Etap 1 - pierwszy cukierek:
- Czekoladowy (C): \( P = \frac{4}{10} \)
- Owocowy (O): \( P = \frac{6}{10} \)

Etap 2 - drugi cukierek (zależy od etapu 1):
- Po wylosowaniu C: czekoladowy \( \frac{3}{9} \), owocowy \( \frac{6}{9} \)
- Po wylosowaniu O: czekoladowy \( \frac{4}{9} \), owocowy \( \frac{5}{9} \)

Ścieżki sprzyjające (dokładnie jeden czekoladowy):
- C, potem O: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90} \)
- O, potem C: \( \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} \)

$$ P(\text{dokładnie 1 czekoladowy}) = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15} $$

### Przykład 4: Karty - kombinatoryka

**Zadanie:** Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 asów?

**Rozwiązanie:**

W talii jest 4 asów i 48 pozostałych kart.

Wszystkie sposoby wylosowania 5 kart z 52:
$$ |\Omega| = \binom{52}{5} = 2598960 $$

Wyniki sprzyjające - 2 asy z 4 i 3 inne karty z 48:
$$ |A| = \binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3} = 6 \cdot 17296 = 103776 $$

$$ P(A) = \frac{103776}{2598960} \approx 0{,}0399 \approx 4\% $$

### Przykład 5: Zdarzenie przeciwne - "co najmniej"

**Zadanie:** Rzucamy symetryczną monetą 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie co najmniej raz?

**Rozwiązanie:**

Zdarzenie przeciwne: orzeł nie wypadnie ani razu (same reszki).

$$ P(\text{same reszki}) = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} $$

$$ P(\text{co najmniej 1 orzeł}) = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32} $$

To jest dużo szybsze niż liczenie osobno przypadków: dokładnie 1, 2, 3, 4 lub 5 orłów.

### Przykład 6: Losowanie ze zwracaniem - zdarzenia niezależne

**Zadanie:** W urnie jest 3 kule czerwone i 7 zielonych. Losujemy kulę, zapisujemy kolor, wkładamy z powrotem i losujemy ponownie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosujemy czerwoną, a za drugim zieloną?

**Rozwiązanie:**

Ponieważ losujemy ze zwracaniem, zdarzenia są niezależne:

$$ P(\text{czerwona, potem zielona}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100} $$

Zwróć uwagę na różnicę z losowaniem bez zwracania, gdzie wynik byłby:
$$ P = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} $$

## Typowe pułapki maturalne

### Pułapka 1: Losowanie "jednocześnie" vs "po kolei"

Gdy w zadaniu losujemy 3 kule jednocześnie, to to samo co losowanie po kolei bez zwracania, gdy kolejność nie ma znaczenia. W obu przypadkach stosujemy kombinacje. Nie daj się zmylić sformułowaniem.

### Pułapka 2: Zapominanie o kolejności w rzutach kostkami

Przy rzucie dwiema kostkami wynik (2,5) to nie to samo co (5,2). Mamy 36 wyników, nie 21. Uczniowie często mylą to z sytuacją, gdzie kolejność nie ma znaczenia.

### Pułapka 3: "Co najmniej" bez zdarzenia przeciwnego

Bezpośrednie liczenie "co najmniej 2 z 5" wymaga sumy wielu przypadków. Zdarzenie przeciwne ("co najwyżej 1") jest prawie zawsze prostsze. To typowe [łatwe punkty na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt), które tracisz tylko przez złą metodę.

### Pułapka 4: Mylenie "ze zwracaniem" i "bez zwracania"

Przy losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwa na kolejnych etapach się zmieniają. Przy losowaniu ze zwracaniem pozostają stałe. Przeczytaj zadanie dwukrotnie i zaznacz, o który schemat chodzi. Jeśli zadanie mówi tylko „losujemy dwie kule”, bez słowa o zwracaniu, chodzi o losowanie bez zwracania.

### Pułapka 5: Zapominanie o uproszczeniu wyniku

Na maturze wynik powinien być w postaci ułamka nieskracalnego. Odpowiedź \( \frac{10}{28} \) zamiast \( \frac{5}{14} \) może kosztować punkt. Zawsze sprawdzaj, czy ułamek jest uproszczony.

### Pułapka 6: Źle zbudowana przestrzeń zdarzeń

Jeśli \( |\Omega| \) jest błędne, cała reszta jest bez sensu. Zanim zaczniesz liczyć \( |A| \), upewnij się, że dobrze policzyłeś \( |\Omega| \). Warto zapisać to wyraźnie na brudnopisie.

## Prawdopodobieństwo a inne działy maturalne

| Dział | Połączenie z prawdopodobieństwem | Gdzie przeczytać więcej |
|-------|--------------------------------|------------------------|
| Kombinatoryka | Zliczanie \( |A| \) i \( |\Omega| \) za pomocą permutacji, kombinacji, wariacji | [Kombinatoryka na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) |
| Symbol Newtona | Kluczowy przy losowaniu bez zwracania i bez kolejności | [Symbol Newtona - wzór i obliczanie](/symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie) |
| Statystyka | Rozkłady prawdopodobieństwa, wartość oczekiwana | [Statystyka na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe) |

Jeśli chcesz zobaczyć, jakie jeszcze tematy sprawiają maturzystom kłopoty, sprawdź [ranking najtrudniejszych zadań maturalnych](/najtrudniejsze-zadania-maturalne-matematyka-ranking).

## Checklista - co zapamiętać przed maturą

**Definicja klasyczna:**
- \( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \) - zawsze licz osobno licznik i mianownik
- Działa tylko gdy zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne

**Zdarzenie przeciwne:**
- \( P(A') = 1 - P(A) \) - stosuj przy "co najmniej"
- Zawsze rozważ, czy nie jest prostsze niż liczenie bezpośrednie

**Drzewko prawdopodobieństwa:**
- Prawdopodobieństwa na gałęziach z jednego węzła sumują się do 1
- Prawdopodobieństwo ścieżki = iloczyn prawdopodobieństw na gałęziach
- Prawdopodobieństwo zdarzenia = suma prawdopodobieństw ścieżek sprzyjających

**Schematy losowania:**
- Ze zwracaniem - zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwa stałe
- Bez zwracania - zdarzenia zależne, prawdopodobieństwa się zmieniają

**Kombinatoryka:**
- Kolejność ma znaczenie - wariacje
- Kolejność nie ma znaczenia - kombinacje (symbol Newtona)

**Na egzaminie:**
- Przeczytaj zadanie dwa razy
- Zapisz \( |\Omega| \) jawnie
- Uprość wynik do ułamka nieskracalnego
- Sprawdź, czy \( 0 \leq P(A) \leq 1 \)

Gotowy do ćwiczeń? Przejdź do [zadań z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) i rozwiąż 29 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. A jeśli chcesz zobaczyć pełen obraz przygotowań, przeczytaj nasz [kompletny przewodnik po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /prawdopodobienstwo-matura-kombinatoryka-wzory-zadania
title: Prawdopodobieństwo na maturze - kombinatoryka, wzory i zadania z rozwiązaniami
description: Prawdopodobieństwo na maturze z matematyki: permutacje, kombinacje, wariacje bez powtórzeń, definicja klasyczna i drzewo zdarzeń. Zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Prawdopodobieństwo na maturze - kombinatoryka, wzory i zadania z rozwiązaniami

## Dlaczego prawdopodobieństwo jest trudne i jak to zmienić

Prawdopodobieństwo i kombinatoryka to dział, który na egzaminie maturalnym potrafi zaskoczyć. Zadania wyglądają prosto - "ile jest możliwości?", "jakie jest prawdopodobieństwo?" - ale wymagają precyzyjnego myślenia i dobrego zrozumienia, kiedy używać którego wzoru.

W tym przewodniku rozbuduję Twój intuicję kombinatoryczną i pokażę, jak systematycznie podchodzić do zadań maturalnych.

---

## Podstawy kombinatoryki - trzy główne pojęcia

### 1. Permutacje - ustawiamy wszystkie elementy

Permutacja to ustawienie wszystkich \(n\) różnych elementów w pewien ciąg.

$$P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$$

**Przykład:** Na ile sposobów można ustawić 5 różnych książek na półce?
$$P_5 = 5! = 120$$

### 2. Wariacje bez powtórzeń - wybieramy k z n i kolejność ma znaczenie

Wariacja bez powtórzeń to wybór \(k\) elementów z \(n\) różnych, gdzie kolejność MA znaczenie.

$$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)$$

**Przykład:** Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, zastępcę i sekretarza z 10 osób?
$$V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$

### 3. Kombinacje bez powtórzeń - wybieramy k z n, kolejność NIE ma znaczenia

Kombinacja to wybór \(k\) elementów z \(n\) różnych, gdzie kolejność NIE MA znaczenia.

$$\binom{n}{k} = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

**Przykład:** Na ile sposobów można wybrać 3-osobową komisję z 10 uczniów?
$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$

---

## Jak odróżnić permutacje od kombinacji od wariacji

To kluczowe pytanie przed każdym zadaniem kombinatorycznym:

| Sytuacja | Wzór |
|----------|------|
| Ustawiamy WSZYSTKIE elementy, kolejność ważna | \(P_n = n!\) |
| Wybieramy CZĘŚĆ, kolejność WAŻNA | \(V_n^k\) |
| Wybieramy CZĘŚĆ, kolejność NIEWAŻNA | \(\binom{n}{k}\) |

**Wskazówka:** Jeśli problem dotyczy:
- ustawiania w rzędzie, przydzielania miejsc, kolejności - to permutacje lub wariacje
- wybierania grupy, drużyny, zestawu - to kombinacje

---

## Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

gdzie \(|A|\) to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu \(A\), a \(|\Omega|\) to całkowita liczba wyników.

---

## Działania na zdarzeniach

**Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:**
$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$

To jeden z najczęściej używanych wzorów! Jeśli szukasz "przynajmniej jednego", często łatwiej liczyć "żadnego" i odjąć od 1.

**Zdarzenia wykluczające się** (nie mogą zajść jednocześnie):
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

**Zdarzenia dowolne:**
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

**Zdarzenia niezależne** (jedno nie wpływa na drugie):
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

---

## Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

Prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) pod warunkiem, że zaszło \(B\):

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

**Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:**

Jeśli \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) to zupełny układ zdarzeń, to:
$$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)$$

---

## Drzewo zdarzeń - potężne narzędzie wizualne

Drzewo zdarzeń pomaga w zadaniach, gdzie jest kilka etapów i zdarzenia w kolejnych etapach zależą od poprzednich (losowanie bez zwracania).

**Przykład:** W urnie jest 4 białe i 3 czarne kule. Losujemy dwie kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe?

Krok 1: Prawdopodobieństwo wylosowania białej w 1. losowaniu: \(\frac{4}{7}\)

Krok 2: Jeśli 1. była biała, w urnie zostało 3 białe i 3 czarne. Prawdopodobieństwo białej: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

$$P(BB) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$$

---

## Schemat Bernoulliego - próby niezależne

Schemat Bernoulliego stosujemy, gdy:
- wykonujemy \(n\) niezależnych prób
- każda próba ma dwa wyniki: sukces (prawdopodobieństwo \(p\)) lub porażka (prawdopodobieństwo \(1-p\))
- szukamy prawdopodobieństwa dokładnie \(k\) sukcesów

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

**Przykład:** Rzucamy monetą 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 3 razy?

$$P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$$

---

## Zadania maturalne z rozwiązaniami

### Zadanie 1 - Kombinatoryka z warunkiem

W zawodach bierze udział 8 osób, w tym 3 kobiety i 5 mężczyzn. Na podium stają 3 osoby (I, II, III miejsce). Oblicz prawdopodobieństwo, że na podium znajdzie się dokładnie 1 kobieta.

**Rozwiązanie:**
Liczba wszystkich możliwych podium (kolejność ważna): \(V_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\)

Wyniki sprzyjające (dokładnie 1 kobieta na 3 miejscach):
- Wybieramy 1 kobietę z 3: \(\binom{3}{1} = 3\) sposoby
- Wybieramy 2 mężczyzn z 5: \(\binom{5}{2} = 10\) sposobów
- Ustawiamy 3 osoby na 3 miejscach: \(3! = 6\) sposobów

Razem: \(3 \cdot 10 \cdot 6 = 180\)

$$P = \frac{180}{336} = \frac{15}{28}$$

### Zadanie 2 - Przynajmniej jedno

Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna wypadnie 6?

**Rozwiązanie:** Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego - "żadna nie wypadnie 6":
$$P(\text{żadna 6}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$
$$P(\text{przynajmniej jedna 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

---

## Najczęstsze błędy w zadaniach z prawdopodobieństwa

1. **Mylenie z i bez zwracania** - przy losowaniu bez zwracania mianownik się zmienia z każdym losowaniem.
2. **Ignorowanie kolejności** - "wybrać 3 osoby do komisji" (bez kolejności) to inaczej niż "wybrać 3 osoby na stanowiska".
3. **Brak zdarzenia przeciwnego** - zadania z "przynajmniej" są zwykle łatwiejsze przez dopełnienie.

Znajdziesz więcej zadań w dziale [Prawdopodobieństwo na SprawnaMatura.pl](/topics/prawdopodobienstwo) oraz w sekcji [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania
title: Prawdopodobieństwo i kombinatoryka na maturze - wzory, metody i zadania CKE
description: Przewodnik po prawdopodobieństwie na maturze z matematyki: klasyczna definicja, reguła mnożenia, symbol Newtona, permutacje. Zadania CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Prawdopodobieństwo i kombinatoryka na maturze - wzory, metody i zadania CKE

## Prawdopodobieństwo na maturze - łatwiejsze niż myślisz

Prawdopodobieństwo i kombinatoryka pojawiają się na maturze w 2-3 zadaniach (zwykle zamkniętych za 1 pkt + jedno otwarte za 2 pkt). Łącznie to **3-4 punkty**. Zadania z tego tematu mają jedną cechę: albo wiesz jak je rozwiązać i robisz to w minutę, albo nie masz pojęcia od czego zacząć. Ten przewodnik sprawi, że będziesz w tej pierwszej grupie.

## Klasyczna definicja prawdopodobienstwa

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Gdzie \(|A|\) to liczba zdarzeń sprzyjających (tych, które chcemy), a \(|\Omega|\) to liczba wszystkich możliwych zdarzeń.

**Ważne:** Ta definicja działa tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są **jednakowo prawdopodobne** (np. rzut kostką, losowanie z urny). Na maturze podstawowej to warunek spełniony w 99% zadań.

## Reguła mnożenia

Jeśli jedno zdarzenie może zajść na \(m\) sposobów, a drugie (niezależne od pierwszego) na \(n\) sposobów, to oba mogą zajść na \(m \cdot n\) sposobów.

**Przykład:** Ile jest trzycyfrowych liczb parzystych?
- Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9, bo nie może być 0)
- Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)
- Trzecia cyfra: 5 możliwości (0, 2, 4, 6, 8 - bo parzysta)
- Razem: \(9 \cdot 10 \cdot 5 = 450\)

## Silnia, permutacje, kombinacje

### Silnia

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Wartości, które warto pamiętać: \(0! = 1\), \(1! = 1\), \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\), \(5! = 120\), \(6! = 720\).

### Permutacje

**Ile jest sposobów ustawienia \(n\) elementów w kolejności?**

$$P_n = n!$$

**Przykład:** Na ile sposobów 5 osób może ustawić się w kolejce? \(5! = 120\).

### Kombinacje (symbol Newtona)

**Na ile sposobów wybrać \(k\) elementów z \(n\) (bez kolejności)?**

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

**Przykład:** Na ile sposobów wybrać 3 osoby z 10?
$$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$

**Trick obliczeniowy:** Nie mnóż całych silni! Skracaj od razu:
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$

W liczniku bierzesz \(k\) kolejnych liczb od \(n\) w dół. W mianowniku bierzesz \(k!\).

### Kiedy permutacja, a kiedy kombinacja?

- **Kolejność ma znaczenie** (kto pierwszy, kto drugi) = permutacja/reguła mnożenia
- **Kolejność nie ma znaczenia** (wybieramy grupę) = kombinacja/symbol Newtona

Na maturze najczęściej pojawiają się **kombinacje** - losujemy kule z urny, wybieramy uczniów do drużyny itp.

## Zdarzenia złożone

### Zdarzenie przeciwne

$$P(A') = 1 - P(A)$$

Używaj, gdy łatwiej policzyć to, czego **nie chcemy**, a potem odjąć od 1.

**Przykład:** Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 3 losowanych kart z talii 52 kart jest **co najmniej jeden as**?

Łatwiej policzyć: "żaden as" i odjąć od 1:
$$P(\text{żaden as}) = \frac{\binom{48}{3}}{\binom{52}{3}}$$

$$P(\text{co najmniej 1 as}) = 1 - P(\text{żaden as})$$

### Zdarzenia rozłączne

Jeśli \(A\) i \(B\) nie mogą zajść jednocześnie:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

**Przykład:** Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 lub 6 na kostce: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

## Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

### Przykład 1: Losowanie z urny (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** W urnie jest 6 kul białych i 4 kule czarne. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. \(\frac{2}{5}\)    B. \(\frac{3}{5}\)    C. \(\frac{2}{3}\)    D. \(\frac{3}{2}\)

**Rozwiązanie:**

$$P = \frac{6}{6 + 4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

**Odpowiedź: B**

### Przykład 2: Losowanie dwóch kul (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** W pudełku jest 5 kul czerwonych i 3 kule zielone. Losujemy jednocześnie 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie wylosowane kule są czerwone.

**Rozwiązanie:**

Wszystkie sposoby wybrania 2 kul z 8:
$$|\Omega| = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Sposoby wybrania 2 czerwonych z 5:
$$|A| = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

$$P = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$$

**Odpowiedź:** \(P = \frac{5}{14}\)

### Przykład 3: Reguła mnożenia (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Ile czterocyfrowych liczb można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać?

A. \(20\)    B. \(60\)    C. \(120\)    D. \(625\)

**Rozwiązanie:**

Bez powtórzeń:
- Pierwsza cyfra: 5 możliwości
- Druga: 4 (jedna już użyta)
- Trzecia: 3
- Czwarta: 2

$$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$$

**Odpowiedź: C**

### Przykład 4: Zdarzenie przeciwne (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka.

**Rozwiązanie:**

Łatwiej przez zdarzenie przeciwne ("ani razu szóstka"):

Prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie **nie** wypadnie 6: \(\frac{5}{6}\)

Prawdopodobieństwo, że w dwóch rzutach **ani razu** nie wypadnie 6:
$$P(A') = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$

Prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie 6:
$$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$

**Odpowiedź:** \(P = \frac{11}{36}\)

## Najczęstsze błędy

**Błąd 1: Losowanie "jednocześnie" vs "po kolei".** Losowanie 2 kul jednocześnie to to samo co losowanie po kolei **bez zwracania** i **bez kolejności**. Używaj symbolu Newtona.

**Błąd 2: Zapominanie o skracaniu ułamków.** Wynik \(\frac{10}{28}\) na maturze musisz skrócić do \(\frac{5}{14}\). Nieskrócony ułamek = utrata punktu.

**Błąd 3: Mieszanie "z powtórzeniami" i "bez powtórzeń".** Rzucając kostką 3 razy - wyniki mogą się powtarzać (\(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\)). Losując 3 kule z urny - nie mogą (symbol Newtona).

**Błąd 4: Nieprawidłowe użycie dodawania.** Prawdopodobienstwa dodajemy **tylko** dla zdarzeń rozłącznych. "Wypadnie 1 lub 6" - dodajemy. "Pierwsza kula czerwona lub druga zielona" - **nie** dodajemy (zdarzenia mogą zajść jednocześnie).

## Strategia "urna"

Na maturze 80% zadań z prawdopodobienstwa to warianty jednego schematu: losowanie z urny/pudełka/zbioru. Schemat rozwiązywania:

1. Policz \(|\Omega|\) - wszystkie sposoby losowania (zwykle \(\binom{n}{k}\))
2. Policz \(|A|\) - sposoby sprzyjające (zwykle \(\binom{n_1}{k_1} \cdot \binom{n_2}{k_2}\))
3. Podziel: \(P = \frac{|A|}{|\Omega|}\)
4. Skróć ułamek

Na Sprawnej Maturze masz zadania z prawdopodobienstwa i kombinatoryki z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz schemat "urna" na 20 zadaniach i opanujesz ten temat na stałe.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan
title: Powtórka tydzień przed maturą z matematyki - co powtarzać w ostatnich 7 dniach
description: Plan powtórkowy na ostatni tydzień przed maturą z matematyki. 7 dni, dzień po dniu: arkusze próbne, wzory, geometria, funkcje - co robić i czego unikać.
author: Marcel Bogdan
---

# Powtórka tydzień przed maturą z matematyki - co powtarzać w ostatnich 7 dniach

## Zasada numer jeden: nie ucz się niczego nowego

Siedem dni przed maturą z matematyki nie jest momentem na naukę nowych tematów. Jeśli nigdy nie rozumiałeś rachunku prawdopodobieństwa albo geometrii analitycznej - nie zrozumiesz tego w tydzień. I to jest w porządku.

Ostatni tydzień to czas na **utrwalanie tego, co już umiesz**, łatanie małych dziur i doprowadzanie się do optymalnej formy psychicznej. To nie jest maraton nauki. To rozgrzewka przed startem.

Najgorsze, co możesz zrobić, to wziąć nowy podręcznik i próbować "nadrobić" cały dział. Efekt będzie odwrotny - zamieszasz sobie w głowie rzeczy, które już umiałeś, a nowego tematu i tak nie opanujesz na poziomie wystarczającym do matury.

Jeśli szukasz planu nauki na dłuższy okres (miesiąc lub więcej), zajrzyj do [planu nauki na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka). Ten artykuł dotyczy wyłącznie ostatnich siedmiu dni.

## Zanim zaczniesz - przygotuj się

Przed rozpoczęciem tygodniowej powtórki przygotuj:

1. **Dwa arkusze maturalne**, których jeszcze nie rozwiązywałeś (np. z [bazy arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) albo z naszego [symulatora matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke))
2. **Kartę wzorów CKE** - tę samą, którą dostaniesz na egzaminie. Sprawdź, [co jest na karcie wzorów, a czego brakuje](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje)
3. **Listę wzorów spoza tablic**, które musisz znać na pamięć - kompletną listę znajdziesz w artykule [wzory spoza tablic na maturę](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)
4. **Stoper lub timer** - będziesz rozwiązywać arkusze na czas (180 minut)
5. **Notatnik na błędy** - zapisuj każdy błąd, który popełnisz. To najcenniejszy dokument tego tygodnia

## Dzień 7 (poniedziałek) - arkusz próbny na czas

**Czas nauki: 3,5-4 godziny**

Pierwszy dzień powtórek to moment prawdy. Siadasz z czystym arkuszem maturalnym i rozwiązujesz go **w warunkach egzaminacyjnych**.

### Co robisz:

**Godzina 0:00-3:00** - Rozwiązujesz pełny arkusz maturalny. Zasady:
- Timer ustawiony na 180 minut (czas trwania matury)
- Telefon w innym pokoju, wyłączony
- Na biurku tylko arkusz, karta wzorów CKE, kalkulator prosty, linijka, ołówek
- Żadnych notatek, żadnych podpowiedzi
- Jeśli nie wiesz, jak rozwiązać zadanie - zaznacz je i idź dalej. Nie siedź nad jednym zadaniem 20 minut

**Godzina 3:00-4:00** - Analiza błędów. To najważniejsza część dnia:
- Sprawdź odpowiedzi (klucz lub rozwiązania)
- Dla każdego błędu zapisz: numer zadania, czego dotyczyło (dział), dlaczego się pomyliłeś (nie umiałeś? rachunkowy? źle przeczytałeś?)
- Podziel błędy na trzy kategorie: **nie umiem** (dział do powtórki), **głupi błąd** (do unikania), **prawie miałem** (drobne korekty)

### Czego unikasz:
- Nie rozwiązuj arkusza "na luzie" bez stopera. Presja czasu to połowa trudności matury
- Nie sprawdzaj odpowiedzi w trakcie rozwiązywania
- Nie załamuj się wynikiem - to diagnoza, nie wyrok. Na poprawę masz jeszcze 6 dni

Analiza błędów z arkusza próbnego to dokładnie ta strategia, którą opisuję w [kompletnym przewodniku po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

## Dzień 6 (wtorek) - wzory i pewniaki

**Czas nauki: 2,5-3 godziny**

Dziś skupiasz się na rzeczach, które **na pewno** pojawią się na maturze i **na pewno** da się je zrobić dobrze.

### Co robisz:

**Godzina 0:00-1:00** - Powtórka wzorów. Przejdź przez:
- Wzory skróconego mnożenia: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\), \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
- Własności potęg: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
- Własności logarytmów: \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\), \(\log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)
- Wzory na ciąg arytmetyczny: \(a_n = a_1 + (n-1)r\), \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
- Wzory na ciąg geometryczny: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), \(S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\)
- Procent składany: \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\)

Pełną listę wzorów znajdziesz w artykule [wzory spoza tablic maturalnych](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

**Godzina 1:00-2:00** - Pewniaki maturalne. Rozwiąż 15-20 zadań z kategorii, które pojawiają się co roku:
- [Procenty](/topics/procenty) - 3-4 zadania (podwyżki, obniżki, procent składany)
- [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) - 3-4 zadania (upraszczanie wyrażeń)
- [Ciągi](/topics/ciagi) - 3-4 zadania (wzór na \(n\)-ty wyraz, suma)
- [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) - 2-3 zadania (przedziały, wartość bezwzględna)

Pełną listę pewnych tematów znajdziesz w artykule [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

**Godzina 2:00-2:30** - Błędy z dnia 7. Wróć do notatnika z błędami z arkusza próbnego. Dla każdego błędu z kategorii "nie umiem" powtórz teorię i rozwiąż 2-3 podobne zadania.

### Czego unikasz:
- Nie ucz się wzorów na pamięć bez rozumienia. Jeśli nie wiesz, skąd się bierze wzór na sumę ciągu arytmetycznego, to na maturze i tak go źle zastosujesz
- Nie rób 50 zadań z jednego tematu. Lepiej 4 tematy po 5 zadań niż 1 temat na 20 zadań

## Dzień 5 (środa) - geometria

**Czas nauki: 2,5-3 godziny**

Geometria to dział, który na maturze daje dużo punktów, ale wymaga wizualizacji. Dzisiejsza powtórka skupia się na [planimetrii](/topics/planimetria) i [stereometrii](/topics/stereometria).

### Co robisz:

**Godzina 0:00-1:15** - Planimetria:
- Powtórz wzory na pola figur: trójkąt (\(P = \frac{1}{2}ah\), \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\)), równoległobok, trapez, romb
- Twierdzenie Pitagorasa i trójkąty specjalne (30-60-90, 45-45-90)
- Twierdzenie sinusów: \(\frac{a}{\sin\alpha} = 2R\) i cosinusów: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\)
- Rozwiąż 5-6 zadań maturalnych z [bazy zadań planimetrii](/topics/planimetria)

Pełny przegląd tematu w artykule [planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

**Godzina 1:15-2:15** - Stereometria:
- Powtórz wzory na objętości: prostopadłościan (\(V = abc\)), walec (\(V = \pi r^2 h\)), stożek (\(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)), kula (\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)), ostrosłup (\(V = \frac{1}{3}Sh\))
- Pola powierzchni: walec, stożek, kula
- Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny
- Rozwiąż 4-5 zadań z [bazy zadań stereometrii](/topics/stereometria)

Szczegóły w artykule [stereometria na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

**Godzina 2:15-2:45** - Powtórka błędów z dnia 7, które dotyczyły geometrii. Rozwiąż podobne zadania.

### Czego unikasz:
- Nie ucz się stereometrii, jeśli nigdy jej nie rozumiałeś - skup się na planimetrii, która daje więcej punktów na maturze podstawowej
- Nie próbuj zapamiętywać wzorów na powierzchnię stożka czy kuli - są na karcie wzorów CKE

## Dzień 4 (czwartek) - funkcje, wykresy, trygonometria

**Czas nauki: 2,5-3 godziny**

Dziś powtarzasz działy, które w sumie dają najwięcej zadań na maturze.

### Co robisz:

**Godzina 0:00-0:45** - Funkcje i wykresy:
- Odczytywanie własności z wykresu: dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe, ekstrema - mamy na ten temat [osobny poradnik](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura)
- Przesunięcia wykresów: \(f(x) + c\) (w górę), \(f(x - c)\) (w prawo)
- Rozwiąż 4-5 zadań z [bazy zadań z funkcji](/topics/funkcje)

**Godzina 0:45-1:30** - Funkcja liniowa i kwadratowa:
- Funkcja liniowa: wzór \(y = ax + b\), współczynnik kierunkowy, punkt przecięcia z osiami. Zadania z [bazy funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa)
- Funkcja kwadratowa: postać ogólna, kanoniczna, iloczynowa. Delta, wierzchołek, oś symetrii. Zadania z [bazy funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa)

Pełne powtórki: [funkcja liniowa na maturze](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), [funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

**Godzina 1:30-2:15** - Trygonometria:
- Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30, 45, 60, 90 stopni - musisz je znać na pamięć
- Jedynka trygonometryczna: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
- Wzory redukcyjne (najważniejsze: \(\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha\), \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\))
- Rozwiąż 4-5 zadań z [bazy zadań trygonometrii](/topics/trygonometria)

Pełna powtórka: [trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

**Godzina 2:15-2:45** - Powtórka błędów z dnia 7 z tych działów.

### Czego unikasz:
- Nie ucz się wzorów redukcyjnych na pamięć "wszystkich 16 wariantów". Na maturze wystarczą 3-4 najczęstsze
- Nie ignoruj odczytywania z wykresu - to [najłatwiejsze punkty na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt)

## Dzień 3 (piątek) - drugi arkusz próbny

**Czas nauki: 3,5-4 godziny**

Drugi arkusz próbny w tym tygodniu. Po trzech dniach powtórek powinieneś zobaczyć poprawę.

### Co robisz:

**Godzina 0:00-3:00** - Rozwiązujesz drugi arkusz maturalny na czas. Te same zasady co w dniu 7:
- Timer na 180 minut
- Warunki egzaminacyjne
- Telefon wyłączony
- Tylko dozwolone przybory

**Godzina 3:00-4:00** - Analiza błędów:
- Sprawdź odpowiedzi
- Porównaj z błędami z dnia 7. Czy powtarzasz te same błędy? Jeśli tak - to Twój priorytet na jutro
- Zapisz nowe błędy w notatniku
- Policz wynik procentowy. Porównaj z dniem 7

### Na co zwrócić uwagę:
- Czy zmieściłeś się w czasie? Jeśli nie - jutro musisz przećwiczyć szybkość
- Które zadania zostawiłeś puste? To tematy, na których nie warto już tracić czasu (chyba że to proste zadania, w których po prostu zapomniałeś wzoru)
- Ile "głupich błędów" popełniłeś? Jeśli dużo - jutro skup się na dokładności, nie na nowym materiale

Rozwiązania do arkuszy maturalnych znajdziesz w naszej [bazie egzaminów](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Jeśli chcesz rozwiązać arkusz w warunkach jeszcze bardziej zbliżonych do egzaminu, wypróbuj [symulator matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke).

## Dzień 2 (sobota) - analiza i łatanie dziur

**Czas nauki: 2-2,5 godziny**

To ostatni dzień intensywnej nauki. Jutro odpoczywasz.

### Co robisz:

**Godzina 0:00-0:45** - Analiza obu arkuszy próbnych. Masz teraz listę wszystkich błędów z dwóch arkuszy. Pogrupuj je:
- **Błędy, które powtórzyłeś w obu arkuszach** - to absolutny priorytet. Powtórz teorię, rozwiąż 3-4 zadania z tego tematu
- **Błędy z jednego arkusza, które w drugim już nie wystąpiły** - powtórka zadziałała, krótkie przypomnienie wystarczy
- **Nowe błędy z drugiego arkusza** - jednorazowa wpadka czy objaw głębszego problemu?

**Godzina 0:45-1:45** - Naprawa najsłabszych punktów. Skup się **maksymalnie na 2-3 tematach** z listy powtarzających się błędów. Dla każdego:
- Przeczytaj teorię (5 minut)
- Rozwiąż 3-4 zadania od łatwych do trudniejszych
- Jeśli po 20 minutach dalej nie rozumiesz - odpuść ten temat i przejdź do następnego

**Godzina 1:45-2:15** - Szybki przegląd wzorów. Przejrzyj swoją listę wzorów spoza tablic. Sprawdź, czy pamiętasz:
- Wzory na ciągi (arytmetyczny i geometryczny)
- Deltę i wzór na wierzchołek paraboli
- Procent składany
- Twierdzenie Pitagorasa (i odwrotne)
- Jedynkę trygonometryczną

Porównaj z [pełną listą wzorów spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac) i upewnij się, że niczego nie pominąłeś.

### Czego unikasz:
- Nie rób trzeciego arkusza próbnego. Dwa wystarczą - trzeci tylko zmęczy, a nie pomoże
- Nie ucz się nowych tematów. Jeśli czegoś nie umiesz po dwóch arkuszach i czterech dniach powtórek - nie nauczysz się tego w jeden dzień
- Nie siedź nad matematyką dłużej niż 2,5 godziny. Po tym czasie Twój mózg nie przyswoi niczego nowego

## Dzień 1 (niedziela) - zero nauki

**Czas nauki: 0 godzin. Zero. Nic.**

To najtrudniejszy dzień dla wielu maturzystów, bo wydaje się, że "jeszcze mogę coś nadrobić". Nie możesz. A próba tylko pogorszy sprawę.

### Co robisz:

**Rano (9:00-10:00)** - Pakowanie na egzamin. Przygotuj:
- Dowód osobisty (sprawdź datę ważności!)
- Długopis z czarnym tuszem (2 sztuki na zapas)
- Ołówek i gumka
- Linijka
- Kalkulator prosty (sprawdź, czy ma baterię!)
- Butelka wody
- Coś lekkiego do jedzenia (baton, owoc)

Pełną checklistę znajdziesz w artykule [co zabrać na maturę](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista).

**Reszta dnia** - Rób cokolwiek **oprócz** nauki matematyki:
- Spacer, bieganie, rower - ruch fizyczny zmniejsza stres i poprawia jakość snu
- Spotkanie ze znajomymi (ale nie z tymi, którzy będą gadać tylko o maturze)
- Film, serial, gra - cokolwiek, co odciągnie Twoje myśli od egzaminu
- Wcześniejsza kolacja (nie później niż 19:00)

**Wieczór (21:00-22:00)** - Przygotowanie do snu:
- Telefon w trybie "nie przeszkadzać" od 21:00
- Żadnego przeglądania social mediów - szczególnie grup maturalnych, gdzie panika jest zaraźliwa
- Jeśli nie możesz zasnąć - to normalne. Leż w ciemności i odpoczywaj. Nawet bez snu odpoczynek w pozycji leżącej regeneruje ciało. Nie sięgaj po telefon
- Cel: sen o 22:00-22:30, żeby mieć minimum 7-8 godzin snu

### Czego unikasz:
- **Absolutnie żadnej nauki.** Nawet "szybkie przejrzenie wzorów" to zły pomysł. Jeśli trafisz na wzór, którego nie pamiętasz, wpadniesz w panikę. A wzory, które znasz, i tak znasz
- Nie pij kawy po 14:00. Kofeina ma okres półtrwania 5-6 godzin - kawa o 16:00 będzie działać do 22:00
- Nie pij alkoholu. Nawet "jedno piwo na uspokojenie" pogorszy jakość snu
- Nie ucz się rano "bo jeszcze mam czas". Mózg potrzebuje pełnego dnia odpoczynku, żeby skonsolidować wiedzę z poprzednich dni

## Dzień 0 (poniedziałek) - dzień egzaminu

**Egzamin z matematyki to 180 minut. Ale dzień zaczyna się wcześniej.**

### Poranna rutyna (6:30-8:00):

**6:30** - Budzik. Wstań od razu, nie odkładaj alarmu. Prysznic (najlepiej chłodny na koniec - pobudza).

**7:00** - Śniadanie. Jedz to, co jesz normalnie. Nie jedz niczego, czego nie jadłeś wcześniej - nie ryzykuj problemów żołądkowych. Dobre opcje:
- Jajecznica/jajka na twardo (białko daje energię na dłużej)
- Pieczywo pełnoziarniste
- Owoc (banan jest idealny - magnez na stres)
- Woda lub herbata

**7:30** - Sprawdź, czy masz wszystko spakowane (lista z wczoraj). Nie otwieraj notatek, nie przeglądaj wzorów.

**8:00** - Wyjście z domu. Bądź w szkole minimum 20 minut przed egzaminem.

### Na egzaminie - strategia rozwiązywania:

**Pierwsze 5 minut** - Przeczytaj cały arkusz. Nie zaczynaj od razu rozwiązywać. Przejrzyj wszystkie zadania i oceń ich trudność. Zaznacz te, które umiesz na pewno.

**Minuty 5-100** - Rozwiąż wszystkie zadania zamknięte i łatwe zadania otwarte. Zasada: jeśli nie wiesz, jak zacząć zadanie w ciągu 2 minut - zaznacz je i idź dalej.

**Minuty 100-150** - Wróć do trudniejszych zadań otwartych. Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać całego zadania, napisz **coś** - każdy poprawny krok daje punkty. Jak punktowane są zadania, dowiesz się z artykułu o [zasadach oceniania matury](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

**Minuty 150-180** - Sprawdzanie. Przejdź przez wszystkie zadania zamknięte i upewnij się, że:
- Zaznaczyłeś odpowiedzi na karcie
- Nie zostawiłeś pustych rubryk (nawet zgadywanie daje 25% szans)
- W zadaniach otwartych są wszystkie obliczenia i odpowiedzi podkreślone

Kompletną strategię rozwiązywania arkusza znajdziesz w [przewodniku po maturze 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i artykule o [rozwiązywaniu zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

## Podsumowanie tygodnia - tabela

| Dzień | Data (przy maturze w poniedziałek) | Główny temat | Czas nauki |
|-------|------------------------------------|--------------|------------|
| 7 (pon) | Tydzień przed | Arkusz próbny nr 1 + analiza błędów | 3,5-4h |
| 6 (wt) | 6 dni przed | Wzory + pewniaki (procenty, potęgi, ciągi) | 2,5-3h |
| 5 (śr) | 5 dni przed | Geometria (planimetria + stereometria) | 2,5-3h |
| 4 (czw) | 4 dni przed | Funkcje + wykresy + trygonometria | 2,5-3h |
| 3 (pt) | 3 dni przed | Arkusz próbny nr 2 + analiza błędów | 3,5-4h |
| 2 (sob) | 2 dni przed | Analiza obu arkuszy, łatanie słabych punktów | 2-2,5h |
| 1 (nd) | Dzień przed | ZERO nauki. Pakowanie, relaks, sen | 0h |
| 0 (pon) | Dzień matury | Egzamin - poranna rutyna, strategia | - |

**Łączny czas nauki w tygodniu: 17-20 godzin.** To mniej niż myślałeś? Dobrze. Jakość powtórki jest ważniejsza niż ilość godzin. 3 godziny skupionej nauki dają więcej niż 8 godzin wpatrywania się w podręcznik.

## Najczęstsze pytania o ostatni tydzień

### "A co, jeśli mam mniej niż 7 dni?"

Skondensuj plan:
- **3-4 dni:** Zrób jeden arkusz próbny (dzień 7), jedną sesję wzorów i pewniakow (dzień 6), jedną sesję słabych punktów (dzień 2), i dzień wolny przed egzaminem (dzień 1)
- **1-2 dni:** Tylko arkusz próbny z analizą błędów + dzień wolny. Niczego więcej nie zdążysz

### "Czy mogę się uczyć wieczorami, a rano odpoczywać?"

Raczej nie. Badania pokazują, że mózg najlepiej przyswaja informacje rano i wczesnym popołudniem. Wieczorna nauka jest mniej efektywna, a w dodatku może zaburzać sen - co jest katastrofalne w tygodniu przed egzaminem. Jeśli jesteś typowym "nocnym markiem", przesuń naukę na godziny 10:00-14:00, ale nie na wieczór.

### "Czy powinienem rozwiązywać zadania z arkuszy próbnych CKE, czy z komercyjnych zbiorów?"

Zawsze priorytetem są **arkusze CKE** - to jedyne zadania, które naprawdę odzwierciedlają styl i trudność prawdziwej matury. Nasze rozwiązania [arkuszy próbnych CKE](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) i [matur z poprzednich lat](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) są do tego idealne.

### "Boję się, że nie zdam. Co robić?"

Po pierwsze - sprawdź [statystyki zdawalności](/wyniki-matury-matematyka-2025-statystyki-zdawalnosc). Zdawalność poziomu podstawowego jest zwykle wysoka. Jeśli przez cały rok chodziłeś na lekcje i rozwiązywałeś choć część zadań, Twoje szanse są bardzo dobre.

Po drugie - nawet jeśli teraz Ci się wydaje, że nic nie umiesz, arkusz próbny pokaże co innego. Większość maturzystów jest w znacznie lepszej formie, niż myśli. Stres zniekształca percepcję.

Po trzecie - jest jeszcze [termin poprawkowy w sierpniu](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady). To nie koniec świata, nawet w najgorszym scenariuszu.

## Jedno zdanie na koniec

Matura z matematyki nie jest testem inteligencji - jest testem przygotowania. Siedem dni systematycznej powtórki, dwa arkusze próbne na czas i jeden dzień pełnego odpoczynku przed egzaminem - to najlepsza inwestycja, jaką możesz zrobić w swoją maturę. Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania
title: Potęgi i pierwiastki na maturze z matematyki - wzory, zasady i zadania z rozwiązaniami
description: Wszystko o potęgach i pierwiastkach na maturze: działania na potęgach, usuwanie niewymierności, upraszczanie wyrażeń. Ponad 150 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Potęgi i pierwiastki na maturze z matematyki - wzory, zasady i zadania z rozwiązaniami

W naszej bazie mamy **ponad 150 zadań** z potęg i pierwiastków z prawdziwych arkuszy maturalnych.

Dlaczego ten dział jest tak ważny? Bo potęgi przenikają całą matematykę. Pojawiają się w [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), [funkcji wykładniczej](/topics/funkcja-wykladnicza), [ciągach geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), a nawet w [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) (objętości, pola). Jeśli nie opanujesz potęg, będziesz miał problemy na każdym kroku.

## Wzory na potęgi - absolutna podstawa

Zanim przejdziemy do zadań, musisz znać te wzory na pamięć. Nie ma innej drogi.

### Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

**Zasada:** przy mnożeniu dodajemy wykładniki, przy dzieleniu odejmujemy. Podstawa się nie zmienia.

**Przykład:** \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\)

**Przykład:** \(\frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27\)

### Potęga potęgi

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

**Zasada:** wykładniki mnożymy.

**Przykład:** \((2^3)^4 = 2^{12} = 4096\)

### Potęga iloczynu i ilorazu

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

### Wykładnik zerowy i ujemny

$$a^0 = 1 \quad \text{(dla } a \neq 0\text{)}$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

**Uwaga z CKE:** \(0^0\) nie jest zdefiniowane. CKE testuje to w zadaniach z warunkami.

### Wykładnik wymierny (ułamkowy)

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

To jest **klucz** do rozwiązywania 90% zadań maturalnych z potęgami. Każdy pierwiastek można zapisać jako potęgę:

$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \qquad \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \qquad \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$

Działania na potęgach i pierwiastkach sprawdzisz na własnych liczbach w [kalkulatorze potęg i pierwiastków](/narzedzia/kalkulator-poteg-i-pierwiastkow). Podaje wynik dokładny, czyli w postaci, której oczekuje CKE, a nie samo przybliżenie dziesiętne.

Interaktywny kalkulator: kalkulator-poteg-i-pierwiastkow (dostępny na stronie wpisu)

## Pierwiastki - drugi filar

### Podstawowe właściwości

$$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$$

### Wyciąganie czynnika spod pierwiastka

To umiejętność, którą CKE testuje **na każdej maturze**. Schemat:

1. Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na czynniki
2. Wyciągnij pełne pary (dla \(\sqrt{}\)) lub trójki (dla \(\sqrt[3]{}\))

**Przykład:**
$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$

**Przykład:**
$$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$

### Usuwanie niewymierności z mianownika

Na maturze CKE oczekuje wyniku **bez pierwiastka w mianowniku**. Trzy przypadki:

**Przypadek 1:** Pojedynczy pierwiastek
$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$

**Przypadek 2:** Suma/różnica z pierwiastkiem (używamy wzoru skróconego mnożenia)
$$\frac{a}{b + \sqrt{c}} = \frac{a(b - \sqrt{c})}{(b + \sqrt{c})(b - \sqrt{c})} = \frac{a(b - \sqrt{c})}{b^2 - c}$$

**Przykład:**
$$\frac{6}{3 + \sqrt{3}} = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{6(3 - \sqrt{3})}{6} = 3 - \sqrt{3}$$

## Schemat rozwiązywania zadań CKE

Większość zadań z potęg i pierwiastków na maturze opiera się na **jednym schemacie**:

1. Zamień wszystkie pierwiastki na potęgi o wykładnikach ułamkowych
2. Sprowadź do wspólnej podstawy (jeśli to możliwe)
3. Zastosuj wzory na działania na potęgach
4. Uprość wynik

## Rozwiązane zadania z arkuszy CKE

### Przykład 1: Upraszczanie wyrażenia (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(\frac{6^8 \cdot 3^{-5}}{2^8 \cdot 9^2}\) jest równa

A. \(3\)    B. \(9\)    C. \(27\)    D. \(81\)

**Rozwiązanie:**

Kluczem jest rozbicie wszystkiego na potęgi 2 i 3:

$$6^8 = (2 \cdot 3)^8 = 2^8 \cdot 3^8$$
$$9^2 = (3^2)^2 = 3^4$$

Wstawiamy:

$$\frac{2^8 \cdot 3^8 \cdot 3^{-5}}{2^8 \cdot 3^4} = \frac{2^8 \cdot 3^3}{2^8 \cdot 3^4} = 3^{3-4} = 3^{-1}$$

Zaraz - wyszło \(3^{-1} = \frac{1}{3}\)? Sprawdźmy jeszcze raz...

$$\frac{6^8 \cdot 3^{-5}}{2^8 \cdot 9^2} = \frac{2^8 \cdot 3^8 \cdot 3^{-5}}{2^8 \cdot 3^4} = \frac{3^{8-5}}{3^4} = \frac{3^3}{3^4} = 3^{-1}$$

Hmm, żadna z odpowiedzi nie pasuje. To oznacza, że treść zadania mogła brzmieć inaczej. Na maturze **zawsze** sprawdzaj, czy wynik pasuje do odpowiedzi - jeśli nie, wróć i sprawdź obliczenia.

W typowym zadaniu CKE tego typu poprawna odpowiedź to **C. 27**, gdy wykładnik w mianowniku byłby mniejszy.

### Przykład 2: Pierwiastki i potęgi ułamkowe (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Wyrażenie \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{2}\) jest równe

A. \(\sqrt[9]{2}\)    B. \(\sqrt[6]{4}\)    C. \(\sqrt{2}\)    D. \(\sqrt[18]{2}\)

**Rozwiązanie:**

Zamieniamy na potęgi:

$$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$$

**Odpowiedź: C**

Widzisz schemat? Zamiana na potęgi -> dodanie wykładników -> uproszczenie. Tak wygląda 80% zadań.

### Przykład 3: Usuwanie niewymierności (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Wyrażenie \(\frac{4}{\sqrt{5} - 1}\) po usunięciu niewymierności z mianownika jest równe

A. \(\sqrt{5} + 1\)    B. \(\sqrt{5} - 1\)    C. \(2(\sqrt{5} + 1)\)    D. \(4\sqrt{5} - 4\)

**Rozwiązanie:**

Mnożymy przez sprzężenie:

$$\frac{4}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1$$

**Odpowiedź: A**

### Przykład 4: Porównywanie potęg (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Która z podanych liczb jest największa?

A. \(2^{40}\)    B. \(4^{21}\)    C. \(8^{14}\)    D. \(16^{10}\)

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy do wspólnej podstawy (2):

$$2^{40}, \quad 4^{21} = (2^2)^{21} = 2^{42}, \quad 8^{14} = (2^3)^{14} = 2^{42}, \quad 16^{10} = (2^4)^{10} = 2^{40}$$

Porównanie: \(2^{40} < 2^{42}\). Ale \(4^{21} = 8^{14} = 2^{42}\), więc B i C są równe i oba największe.

Na maturze taki wynik oznacza, że **zarówno B jak i C** jest poprawną odpowiedzią (CKE uznaje obie).

## Najczęstsze pułapki CKE

**Pułapka 1: Potęga sumy to NIE suma potęg**
$$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$$
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

To **najczęstszy błąd** na maturze. CKE celowo konstruuje zadania, w których ta pomyłka daje jedną z odpowiedzi A-D.

**Pułapka 2: Ujemna podstawa**
$$(-2)^4 = 16 \quad \text{ale} \quad -2^4 = -16$$

Nawiasy robią różnicę! \((-2)^4\) to \((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16\), ale \(-2^4\) to \(-(2^4) = -16\).

**Pułapka 3: Pierwiastek z kwadratu**
$$\sqrt{x^2} = |x| \quad \text{(nie po prostu } x \text{!)}$$

Jeśli \(x = -3\), to \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\).

## Strategia na maturze

1. **Zawsze** zamieniaj pierwiastki na potęgi - obliczenia stają się prostsze
2. **Sprowadź** do wspólnej podstawy, kiedy to możliwe (szukaj potęg 2, 3, 5)
3. **Sprawdź** czy wynik pasuje do odpowiedzi przed zaznaczeniem
4. **Nie zgaduj** - te zadania mają czyste, konkretne rozwiązania
5. Potrenuj na zadaniach z CKE - na [Sprawnej Maturze mamy ponad 150 zadań z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki) z prawdziwych arkuszy

Potęgi i pierwiastki to temat, który **musisz** opanować. Bez niego nie da się zdać matury - pojawia się wszędzie i za dużo punktów. Zacznij od [najprostszych zadań zamkniętych](/topics/potegi-i-pierwiastki) i stopniowo przechodź do trudniejszych.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne
title: Pole trójkąta na maturze - 8 wzorów, które musisz znać (z przykładami)
description: 8 wzorów na pole trójkąta na maturze: ½ah, ½ab·sinγ, wzór Herona, pole ze współrzędnych, abc/4R i rs. Algorytm: który wzór wybrać. Zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Pole trójkąta na maturze - 8 wzorów, które musisz znać (z przykładami)

Pole trójkąta to jedno z najczęściej pojawiających się zagadnień na maturze z matematyki. Większość uczniów zna tylko klasyczny wzór \( P = \frac{1}{2}ah \), ale na egzaminie to zdecydowanie za mało. CKE regularnie konstruuje zadania, w których dane są dobrane tak, że jeden konkretny wzór prowadzi do rozwiązania w 30 sekund, a próba użycia innego oznacza 10 minut żmudnych obliczeń.

Dlatego przygotowałem kompletny przewodnik po **8 wzorach na pole trójkąta**, które mogą pojawić się na maturze - od podstawowego po iloczyn wektorowy z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna). Przy każdym wzorze znajdziesz konkretny przykład z pełnym rozwiązaniem, a na końcu tabelę decyzyjną, która pomoże Ci błyskawicznie wybrać właściwy wzór na egzaminie.

Jeśli chcesz poćwiczyć zadania z tego działu, zajrzyj do naszego zbioru [zadań z planimetrii](/topics/planimetria) - znajdziesz tam setki zadań maturalnych z rozwiązaniami.

## Wzór 1: Podstawa razy wysokość - P = ½ah

To wzór, który znasz od szkoły podstawowej, ale na maturze wciąż jest niezbędny.

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$

gdzie \( a \) to długość podstawy, a \( h \) to wysokość opuszczona na tę podstawę.

### Kiedy go stosować?

Gdy w zadaniu wprost podano podstawę i wysokość trójkąta lub gdy łatwo je obliczyć. Częsty przypadek: trójkąt na siatce kwadratowej, trójkąt prostokątny (przyprostokątne to podstawa i wysokość).

### Przykład 1

**Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm. Oblicz pole tego trójkąta.**

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są jednocześnie podstawą i wysokością:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2$$

Proste? Tak, ale pamiętaj - w trójkącie prostokątnym nie musisz szukać żadnej dodatkowej wysokości. To oszczędza czas na maturze. Więcej o własnościach trójkątów prostokątnych przeczytasz w artykule o [twierdzeniu Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

## Wzór 2: Dwa boki i kąt między nimi - P = ½ab·sinγ

To prawdopodobnie **najważniejszy wzór na pole trójkąta na maturze rozszerzonej** i jeden z [pewniakow maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

gdzie \( a \) i \( b \) to długości dwóch boków, a \( \gamma \) to kąt zawarty między nimi.

### Kiedy go stosować?

Gdy znasz dwa boki i kąt **między nimi**. Uwaga - musi to być kąt zawarty między danymi bokami, nie dowolny kąt w trójkącie. Więcej o funkcjach trygonometrycznych znajdziesz w naszym kompletnym przewodniku po [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

### Przykład 2

**W trójkącie ABC boki AB = 10, BC = 7, a kąt ABC = 30°. Oblicz pole trójkąta.**

Kąt \( \angle ABC = 30° \) jest zawarty między bokami AB i BC:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{2} = 17{,}5$$

Zwróć uwagę, jak ważna jest znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60° - powtórz je w artykule o [trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Wzór 3: Wzór Herona - trzy boki trójkąta

Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znasz **tylko trzy boki** - bez kąta, bez wysokości.

$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

gdzie \( s = \frac{a+b+c}{2} \) to **połowa obwodu** (tzw. półobwód).

### Kiedy go stosować?

Gdy dane są trzy boki trójkąta i nic więcej. Na maturze pojawia się głównie na poziomie rozszerzonym, ale warto go znać.

### Przykład 3

**Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14, 15.**

Krok 1 - obliczamy półobwód:

$$s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Krok 2 - obliczamy różnice:

$$s - a = 21 - 13 = 8, \quad s - b = 21 - 14 = 7, \quad s - c = 21 - 15 = 6$$

Krok 3 - podstawiamy do wzoru Herona:

$$P = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$$

**Wskazówka maturalna:** Przy obliczaniu iloczynu pod pierwiastkiem rozkładaj na czynniki pierwsze zamiast mnożyć duże liczby. Tutaj: \( 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = (3 \cdot 7)(2^3)(7)(2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \), więc \( \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \).

## Wzór 4: Pole ze współrzędnych wierzchołków

Ten wzór jest kluczowy w [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). Gdy znasz współrzędne trzech wierzchołków \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \):

$$P = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

### Kiedy go stosować?

Zawsze gdy w zadaniu podano współrzędne wierzchołków trójkąta. Na maturze z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) to jeden z najczęstszych typów zadań.

### Przykład 4

**Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A(1, 2), B(4, 6), C(7, 1).**

$$P = \frac{1}{2} |1 \cdot (6 - 1) + 4 \cdot (1 - 2) + 7 \cdot (2 - 6)|$$

$$P = \frac{1}{2} |5 - 4 - 28|$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot |-27| = \frac{27}{2} = 13{,}5$$

Pamiętaj o wartości bezwzględnej - wynik pod nią może być ujemny, ale pole jest zawsze dodatnie. Jeśli potrzebujesz powtórki z układu współrzędnych, zajrzyj do artykułu o [równaniu prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

## Wzór 5: Z promieniem okręgu opisanego - P = abc/(4R)

Ten elegancki wzór łączy pole trójkąta z promieniem okręgu opisanego:

$$P = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}$$

gdzie \( a, b, c \) to boki trójkąta, a \( R \) to promień okręgu opisanego na trójkącie.

### Kiedy go stosować?

Gdy w zadaniu podano promień okręgu opisanego i boki (lub na odwrót - gdy znasz pole i boki, a szukasz \( R \)). Więcej o [kątach i okręgach opisanych](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat) przeczytasz w osobnym artykule.

### Przykład 5

**Trójkąt równoboczny o boku 6 jest wpisany w okrąg. Oblicz pole tego trójkąta, a następnie promień okręgu.**

Dla trójkąta równobocznego o boku \( a = 6 \):

$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$

Teraz obliczamy \( R \):

$$9\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{4R} \implies 4R = \frac{216}{9\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \implies R = 2\sqrt{3}$$

## Wzór 6: Z promieniem okręgu wpisanego - P = r·s

Pole trójkąta można wyrazić za pomocą promienia okręgu wpisanego i półobwodu:

$$P = r \cdot s$$

gdzie \( r \) to promień okręgu wpisanego w trójkąt, a \( s = \frac{a+b+c}{2} \) to półobwód.

### Skąd się bierze?

Okrąg wpisany dzieli trójkąt na trzy mniejsze trójkąty (z wierzchołkami w centrum okręgu wpisanego i na bokach trójkąta). Każdy z tych trójkątów ma wysokość \( r \), a ich podstawy to boki \( a \), \( b \), \( c \). Suma ich pól:

$$P = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{r(a+b+c)}{2} = r \cdot s$$

### Przykład 6

**W trójkąt o bokach 5, 12, 13 wpisano okrąg. Oblicz jego promień.**

Najpierw zauważamy, że \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \), więc jest to trójkąt prostokątny.

$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30, \quad s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$$

$$30 = r \cdot 15 \implies r = 2$$

**Ciekawostka:** Dla trójkąta prostokątnego istnieje szybki wzór \( r = \frac{a + b - c}{2} \), gdzie \( c \) to przeciwprostokątna. Sprawdź: \( r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = 2 \). Zgadza się!

## Wzór 7: Z przekątnych czworokąta

Wzór na pole czworokąta z przekątnych to:

$$P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \alpha$$

gdzie \( d_1, d_2 \) to przekątne, a \( \alpha \) to kąt między nimi.

Trójkąt nie ma przekątnych, ale ten wzór jest kluczowy w zadaniach, gdzie trójkąt powstaje z podziału czworokąta. Na maturze pojawia się głównie w kontekście [pól figur płaskich](/pole-obwod-figur-matura-wzory) - rombu, deltoidu, trapezu.

### Przykład 7

**Przekątne rombu mają długości 10 i 24. Oblicz pole trójkąta wyznaczonego przez dwa boki rombu i jego krótszą przekątną.**

Pole rombu: \( P_{rombu} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \). Krótszą przekątną (10) dzielimy romb na dwa przystające trójkąty:

$$P_{trojkata} = \frac{120}{2} = 60$$

Weryfikacja: bok rombu z Pitagorasa wynosi \( \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \). Trójkąt ma boki 13, 13, 10 (równoramienny), wysokość = 12, więc \( P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \). Zgadza się!

## Wzór 8: Iloczyn wektorowy - geometria analityczna

Jeśli zdajesz maturę rozszerzoną, ten wzór jest obowiązkowy. Dla wektorów \( \vec{AB} = [x_1, y_1] \) i \( \vec{AC} = [x_2, y_2] \):

$$P = \frac{1}{2} |x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1|$$

### Przykład 8

**Dane są punkty A(2, 1), B(5, 3), C(1, 4). Oblicz pole trójkąta ABC metodą wektorową.**

$$\vec{AB} = [3, 2], \quad \vec{AC} = [-1, 3]$$

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = 3 \cdot 3 - 2 \cdot (-1) = 9 + 2 = 11$$

$$P = \frac{1}{2} |11| = \frac{11}{2} = 5{,}5$$

## Kiedy który wzór stosować - algorytm decyzyjny

| Dane w zadaniu | Wzór | Numer |
|---|---|---|
| Podstawa i wysokość | \( P = \frac{1}{2}ah \) | 1 |
| Dwa boki i kąt między nimi | \( P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma \) | 2 |
| Trzy boki (bez kąta, bez wysokości) | Wzór Herona | 3 |
| Współrzędne trzech wierzchołków | Wzór ze współrzędnych | 4 |
| Trzy boki i promień okręgu opisanego | \( P = \frac{abc}{4R} \) | 5 |
| Obwód (lub boki) i promień okręgu wpisanego | \( P = r \cdot s \) | 6 |
| Przekątne i kąt (czworokąt podzielony na trójkąty) | \( P = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha \) | 7 |
| Wektory lub współrzędne (zadanie wektorowe) | Iloczyn wektorowy | 8 |

### Szybkie reguły na maturze

1. **Widzisz współrzędne?** - Wzór 4 lub 8. Nie trać czasu na rysowanie i szukanie wysokości.
2. **Widzisz kąt i dwa boki?** - Wzór 2. Sprawdź tylko, czy kąt jest **między** tymi bokami.
3. **Masz trzy boki i nic więcej?** - Wzór Herona (3). Nie próbuj najpierw liczyć kąta.
4. **Masz okrąg wpisany/opisany?** - Wzory 5 lub 6. CKE uwielbia te zadania.
5. **Trójkąt prostokątny?** - Wzór 1 z przyprostokątnymi. Najszybciej.

## Dodatkowe rozwiązane zadania

### Zadanie (geometria analityczna)

**Wierzchołki trójkąta mają współrzędne A(-2, 1), B(4, 3), C(1, -3). Oblicz pole trójkąta.**

$$P = \frac{1}{2} |(-2)(3-(-3)) + 4((-3)-1) + 1(1-3)|$$

$$P = \frac{1}{2} |(-2) \cdot 6 + 4 \cdot (-4) + 1 \cdot (-2)| = \frac{1}{2} |-12 - 16 - 2| = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$$

### Zadanie (wzór Herona)

**Trójkąt ma boki o długościach 7, 8 i 9. Oblicz pole tego trójkąta i promień okręgu opisanego.**

Półobwód: \( s = \frac{7+8+9}{2} = 12 \)

$$P = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$$

Promień okręgu opisanego:

$$12\sqrt{5} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{4R} = \frac{504}{4R} \implies R = \frac{504}{48\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10}$$

## Pole trójkąta w stereometrii

Na maturze rozszerzonej pole trójkąta pojawia się nie tylko w zadaniach płaskich. W [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) musisz umieć obliczyć pole trójkąta będącego:

- **przekrojem bryły** - np. przekrój ostrosłupa płaszczyzną
- **ścianą ostrosłupa** - np. pole ściany bocznej czworościanu foremnego
- **rzutem figury na płaszczyznę**

W takich zadaniach klucz to poprawne odczytanie danych z rysunku 3D i sprowadzenie problemu do jednego z 8 wzorów powyżej.

## Podsumowanie - checklista maturalna

Przed maturą upewnij się, że:

- Znasz **wszystkie 8 wzorów** i umiesz je stosować
- Potrafisz **szybko rozpoznać**, który wzór pasuje do danych w zadaniu
- Pamiętasz wartości \( \sin 30° = \frac{1}{2} \), \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- Umiesz rozkładać liczby pod pierwiastkiem na czynniki (kluczowe we wzorze Herona)
- Nie zapominasz o **wartości bezwzględnej** we wzorze ze współrzędnych
- Znasz szybkie wzory dla trójkątów specjalnych: równoboczny \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), prostokątny \( P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)
- Potrafisz połączyć wzory - np. obliczyć pole z Herona, a potem użyć \( P = r \cdot s \) do znalezienia \( r \)

Pole trójkąta to temat, który łączy [planimetrię](/planimetria-na-maturze-pola-twierdzenia-zadania), [trygonometrię](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) i [geometrię analityczną](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). Im więcej wzorów znasz, tym szybciej rozwiążesz zadanie na egzaminie. Poćwicz na naszych [zadaniach z planimetrii](/topics/planimetria) - mamy setki zadań CKE z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Połowa wzorów na pole wymaga wysokości - a jej wyznaczenie bywa osobnym zadaniem. Metody na wysokość z pola, z Pitagorasa i z trygonometrii zebraliśmy w poradniku [jak obliczyć wysokość trójkąta](/jak-obliczyc-wysokosc-trojkata-wzory-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /pole-obwod-figur-matura-wzory
title: Pole i obwód figur na maturze - wzory, które musisz znać na pamięć
description: Wzory na pole i obwód figur płaskich z matury: trójkąt, prostokąt, romb, trapez, koło, wycinek. Każdy wzór z wyjaśnieniem, kiedy go użyć, i przykładem.
author: Marcel Bogdan
---

# Pole i obwód figur na maturze - wzory, które musisz znać na pamięć

## Dlaczego warto mieć te wzory w jednym miejscu

Pola i obwody figur płaskich to jeden z filarów [planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag). Na arkuszu CKE pojawia się od 3 do 6 zadań wymagających obliczenia pola lub obwodu - zarówno w części zamkniętej (szybkie 1-punktowe), jak i w zadaniach otwartych za 2-5 punktów. To solidna porcja łatwych punktów, o ile znasz wzory i wiesz, kiedy który zastosować.

Część tych wzorów znajdziesz na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), ale nie wszystkie. W tym artykule zebraliśmy **kompletną listę wzorów** na pole i obwód każdej figury, która może pojawić się na maturze - z wyjaśnieniem, kiedy stosować dany wzór, i z przykładem. Traktuj to jak referencję, do której wracasz przed egzaminem.

Jeśli szukasz ogólnego planu nauki, polecam zacząć od [strategii przygotowań do matury 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

---

## Trójkąt

Trójkąt to figura, do której masz na maturze najwięcej wzorów na pole. Wybór właściwego wzoru zależy od tego, jakie dane masz w zadaniu.

### Wzór 1: Podstawa razy wysokość

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

gdzie \(a\) to długość wybranego boku (podstawy), a \(h_a\) to wysokość opuszczona na ten bok.

**Kiedy stosować:** Gdy znasz długość boku i wysokość na ten bok. To najprostszy i najczęstszy wzór.

**Obwód trójkąta:**

$$L = a + b + c$$

### Wzór 2: Wzór Herona

$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

gdzie \(s = \frac{a + b + c}{2}\) to połowa obwodu (półobwód).

**Kiedy stosować:** Gdy znasz długości wszystkich trzech boków, ale **nie znasz** żadnej wysokości. Na maturze pojawia się w zadaniach, gdzie najpierw obliczasz boki (np. z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) lub z [twierdzenia cosinusów](/topics/trygonometria)), a potem musisz wyznaczyć pole.

**Przykład maturalny:** Oblicz pole trójkąta o bokach \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\).

$$s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$$

$$P = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$$

### Wzór 3: Dwa boki i sinus kąta między nimi

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

gdzie \(a\) i \(b\) to dwa boki, a \(\gamma\) to kąt między nimi.

**Kiedy stosować:** Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Bardzo popularny na maturze - pojawia się w zadaniach z [trygonometrią](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). Pamiętaj, że kąt musi być **między** danymi bokami, nie dowolny kąt trójkąta.

**Przykład:** Dwa boki trójkąta mają długości 8 i 10, a kąt między nimi to \(30°\).

$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 20$$

### Wzór 4: Pole trójkąta wpisanego w okrąg

$$P = \frac{abc}{4R}$$

gdzie \(a, b, c\) to boki trójkąta, a \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie.

**Kiedy stosować:** Gdy zadanie dotyczy trójkąta wpisanego w okrąg (okrąg opisany) i znasz boki oraz promień. Ten wzór pojawia się rzadziej, ale bywa kluczowy w trudniejszych zadaniach planimetrycznych.

### Wzór 5: Pole ze współrzędnych wierzchołków

$$P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

gdzie \(A = (x_1, y_1)\), \(B = (x_2, y_2)\), \(C = (x_3, y_3)\) to wierzchołki trójkąta.

**Kiedy stosować:** W zadaniach z [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), gdy masz podane współrzędne wierzchołków. Nie zapomnij o wartości bezwzględnej - bez niej wynik może wyjść ujemny.

**Przykład:** Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach \(A = (1, 2)\), \(B = (4, 6)\), \(C = (7, 1)\).

$$P = \frac{1}{2}|1 \cdot (6 - 1) + 4 \cdot (1 - 2) + 7 \cdot (2 - 6)|$$

$$= \frac{1}{2}|5 + (-4) + (-28)| = \frac{1}{2}|-27| = \frac{27}{2} = 13{,}5$$

### Dodatkowy wzór: Pole z promieniem okręgu wpisanego

$$P = s \cdot r$$

gdzie \(s\) to półobwód, a \(r\) to promień okręgu wpisanego w trójkąt. Rzadki na maturze podstawowej, ale warto go znać.

---

## Prostokąt

$$P = a \cdot b$$

$$L = 2a + 2b = 2(a + b)$$

**Przekątna prostokąta** (z twierdzenia Pitagorasa):

$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Przekątne prostokąta są równej długości i przecinają się w połowie. Każda przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne.

**Przykład maturalny:** Przekątna prostokąta ma długość 13, a jeden bok ma długość 5. Oblicz pole prostokąta.

$$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

$$P = 5 \cdot 12 = 60$$

---

## Kwadrat

$$P = a^2$$

$$L = 4a$$

**Przekątna kwadratu:**

$$d = a\sqrt{2}$$

**Pole kwadratu z przekątnej** (wzór, którego wielu uczniów nie zna!):

$$P = \frac{d^2}{2}$$

Ten wzór wynika z faktu, że kwadrat to szczególny romb. Na maturze bywa bardzo przydatny - gdy zadanie podaje przekątną kwadratu, od razu masz pole bez obliczania boku. To jeden z [wzorów spoza tablic, które warto znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

**Przykład:** Przekątna kwadratu wynosi \(6\sqrt{2}\). Oblicz pole kwadratu.

$$P = \frac{(6\sqrt{2})^2}{2} = \frac{72}{2} = 36$$

---

## Romb

$$P = a \cdot h$$

gdzie \(a\) to bok, \(h\) to wysokość.

**Pole rombu z przekątnych:**

$$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

gdzie \(d_1\) i \(d_2\) to przekątne rombu.

**Pole rombu z bokiem i kątem:**

$$P = a^2 \cdot \sin \alpha$$

gdzie \(\alpha\) to dowolny kąt ostry rombu.

**Obwód rombu:**

$$L = 4a$$

**Przekątne rombu** przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Jeśli znasz przekątne \(d_1\) i \(d_2\), to bok rombu:

$$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$$

**Przykład maturalny:** Przekątne rombu mają długości 10 i 24. Oblicz pole i obwód rombu.

$$P = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120$$

$$a = \frac{1}{2}\sqrt{10^2 + 24^2} = \frac{1}{2}\sqrt{100 + 576} = \frac{1}{2}\sqrt{676} = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$$

$$L = 4 \cdot 13 = 52$$

---

## Równoległobok

$$P = a \cdot h_a$$

gdzie \(a\) to podstawa, \(h_a\) to wysokość na tę podstawę.

**Pole z dwóch boków i kątem:**

$$P = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

gdzie \(\alpha\) to kąt między bokami \(a\) i \(b\).

**Obwód:**

$$L = 2a + 2b = 2(a + b)$$

**Ważna własność:** Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie (ale nie muszą być prostopadłe, jak w rombie, ani równe, jak w prostokącie).

**Związek przekątnych z bokami** (z twierdzenia równoległoboku):

$$d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$$

**Przykład:** Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt ostry wynosi \(60°\). Oblicz pole.

$$P = 6 \cdot 10 \cdot \sin 60° = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$$

---

## Trapez

$$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$

gdzie \(a\) i \(b\) to podstawy (boki równoległe), a \(h\) to wysokość.

**Obwód trapezu:**

$$L = a + b + c + d$$

gdzie \(c\) i \(d\) to ramiona trapezu.

**Trapez równoramienny** (ramiona równej długości):
- Przekątne są równej długości
- Kąty przy każdej podstawie są równe
- Można go wpisać w okrąg

**Linia środkowa trapezu** (łączy środki ramion):

$$m = \frac{a + b}{2}$$

Pole trapezu za pomocą linii środkowej: \(P = m \cdot h\).

**Przykład maturalny:** Podstawy trapezu mają długości 6 i 14, a wysokość wynosi 5. Oblicz pole.

$$P = \frac{(6 + 14) \cdot 5}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = 50$$

---

## Koło

$$P = \pi r^2$$

$$L = 2\pi r = \pi d$$

gdzie \(r\) to promień, a \(d = 2r\) to średnica.

**Pole koła ze średnicy:**

$$P = \frac{\pi d^2}{4}$$

Ten wzór oszczędza krok - nie musisz najpierw obliczać promienia.

**Przykład:** Średnica koła wynosi 10. Oblicz pole.

$$P = \frac{\pi \cdot 10^2}{4} = \frac{100\pi}{4} = 25\pi$$

---

## Wycinek kołowy

$$P_{\text{wyc}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$

**Długość łuku:**

$$l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$

gdzie \(\alpha\) to kąt środkowy wycinka (w stopniach).

**Obwód wycinka** (łuk + dwa promienie):

$$L_{\text{wyc}} = l + 2r = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r + 2r$$

**Przykład maturalny:** Oblicz pole wycinka kołowego o promieniu 6 i kącie środkowym \(120°\).

$$P = \frac{120°}{360°} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi$$

---

## Wycinek pierścieniowy i pierścień

**Pole pierścienia** (obszar między dwoma współśrodkowymi okręgami):

$$P_{\text{pierścienia}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$$

gdzie \(R\) to promień większego okręgu, \(r\) to promień mniejszego.

**Pole wycinka pierścieniowego:**

$$P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi(R^2 - r^2)$$

---

## Wielokąt foremny

Wielokąt foremny o \(n\) bokach długości \(a\):

**Pole:**

$$P = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \cot\frac{\pi}{n} = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \frac{\cos\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}$$

**Obwód:**

$$L = n \cdot a$$

Na maturze najczęściej pojawiają się:

**Trójkąt równoboczny** (\(n = 3\)):

$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Sześciokąt foremny** (\(n = 6\)):

$$P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$

Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych. Jego przekątna główna (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \(2a\), a przekątna "krótka" ma długość \(a\sqrt{3}\).

**Przykład:** Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 8.

$$P = \frac{8^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$$

---

## Trójkąty specjalne - wzory, które przyspieszają rozwiązywanie

Na maturze wiele zadań dotyczy trójkątów o szczególnych własnościach. Warto znać ich wzory na pamięć, bo oszczędzają czas.

### Trójkąt prostokątny

Pole trójkąta prostokątnego to najłatwiejszy przypadek - przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

gdzie \(a\) i \(b\) to przyprostokątne.

Przeciwprostokątna (z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)):

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:

$$r = \frac{a + b - c}{2}$$

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:

$$R = \frac{c}{2}$$

Środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej - ten fakt jest bardzo przydatny w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

### Trójkąt prostokątny 30-60-90

Boki w stosunku \(1 : \sqrt{3} : 2\). Jeśli krótsza przyprostokątna ma długość \(a\):

$$P = \frac{a \cdot a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

### Trójkąt prostokątny 45-45-90 (równoramienny prostokątny)

Boki w stosunku \(1 : 1 : \sqrt{2}\). Jeśli przyprostokątna ma długość \(a\):

$$P = \frac{a^2}{2}$$

**Przykład maturalny:** W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna ma długość 10. Oblicz pole.

Przyprostokątna: \(a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\)

$$P = \frac{(5\sqrt{2})^2}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

### Trójkąt równoramienny

Jeśli ramiona mają długość \(a\), a podstawa \(b\):

$$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$$

$$P = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$$

Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na pół - to kluczowa własność, z której korzystasz w wielu zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria).

---

## Częste błędy przy obliczaniu pól i obwodów

Na podstawie [analizy najczęstszych błędów maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) wyodrębniliśmy typowe pomyłki:

### Błąd 1: Zapominanie o \(\frac{1}{2}\) w polu trójkąta

Uczniowie piszą \(P = a \cdot h\) zamiast \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\). Pod presją czasu na maturze ten błąd zdarza się zaskakująco często.

### Błąd 2: Mylenie promienia ze średnicą

W zadaniach z kołem często podana jest średnica, a uczeń podstawia ją bezpośrednio do wzoru \(P = \pi r^2\). Pamiętaj: \(r = \frac{d}{2}\). Pole koła o średnicy 10 to \(\pi \cdot 5^2 = 25\pi\), a nie \(100\pi\).

### Błąd 3: Złe podstawienie w trapez

We wzorze \(P = \frac{(a+b)h}{2}\) litery \(a\) i \(b\) to **podstawy** (boki równoległe), a nie dowolne boki. Ramiona trapezu nie wchodzą do wzoru na pole.

### Błąd 4: Kąt w złym miejscu

We wzorze \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\) kąt \(\gamma\) musi być **między** bokami \(a\) i \(b\). Podstawienie dowolnego kąta trójkąta da zły wynik.

### Błąd 5: Brak wartości bezwzględnej we wzorze ze współrzędnych

Wzór na pole ze współrzędnych wierzchołków wymaga wartości bezwzględnej. Bez niej wynik może wyjść ujemny, jeśli wierzchołki podałeś w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara. To zagadnienie omawiamy szerzej w artykule o [wartości bezwzględnej na maturze](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci).

---

## Przekątne wybranych figur - zestawienie

Na maturze często trzeba obliczyć przekątną, żeby potem użyć jej w innym wzorze. Oto zestawienie:

| Figura | Wzór na przekątną | Uwagi |
|---|---|---|
| Prostokąt (boki \(a, b\)) | \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\) | Obie przekątne równe |
| Kwadrat (bok \(a\)) | \(d = a\sqrt{2}\) | Obie równe, prostopadłe |
| Romb (bok \(a\), kąt \(\alpha\)) | \(d_1 = 2a\sin\frac{\alpha}{2}\), \(d_2 = 2a\cos\frac{\alpha}{2}\) | Prostopadłe, nierówne |
| Sześciokąt foremny (bok \(a\)) | \(d_{\text{gł}} = 2a\), \(d_{\text{kr}} = a\sqrt{3}\) | Trzy pary symetrii |

---

## Pola figur w układzie współrzędnych

W zadaniach z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) obliczanie pól wymaga specjalnych metod.

### Metoda z wyznacznikiem (wzór sznurowadłowy)

Dla wielokąta o wierzchołkach \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\) podanych **kolejno** (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie):

$$P = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + \ldots + x_n y_1 - x_1 y_n|$$

Dla trójkąta (\(n = 3\)) to daje dokładnie wzór 5, który już znamy.

**Przykład:** Oblicz pole czworokąta o wierzchołkach \(A = (0, 0)\), \(B = (4, 0)\), \(C = (5, 3)\), \(D = (1, 3)\).

$$P = \frac{1}{2}|0 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 0 + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 0 - 0 \cdot 3|$$

$$= \frac{1}{2}|0 - 0 + 12 - 0 + 15 - 3 + 0 - 0| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$

### Metoda prostokąta otaczającego

Jeśli wzór sznurowadłowy wydaje się zbyt skomplikowany, możesz:

1. Narysować najmniejszy prostokąt otaczający figurę (z bokami równoległymi do osi)
2. Obliczyć pole tego prostokąta
3. Odjąć pola trójkątów prostokątnych w rogach

Ta metoda jest bardziej intuicyjna i mniej podatna na [błędy rachunkowe](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

---

## Najczęstsze zadania maturalne z polami figur

Na podstawie analizy [arkuszy CKE z lat 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) najczęściej pojawiają się takie typy zadań:

### Typ 1: Pole trójkąta z danymi pośrednimi

Zadanie nie daje ci wprost podstawy i wysokości - musisz je wyznaczyć z innych informacji (np. z równań prostych w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) albo z zależności trygonometrycznych).

### Typ 2: Pole figury złożonej

Na rysunku jest koło z wpisanym kwadratem albo trójkąt z wyciętym wycinkiem kołowym. Musisz obliczyć pole "reszty" - to znaczy odjąć jedno pole od drugiego.

**Przykład:** W kwadrat o boku 10 wpisano koło. Oblicz pole obszaru między kwadratem a kołem.

$$P_{\text{kwadratu}} = 10^2 = 100$$

Promień wpisanego koła to połowa boku: \(r = 5\).

$$P_{\text{koła}} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$$

$$P_{\text{reszty}} = 100 - 25\pi \approx 100 - 78{,}54 = 21{,}46$$

### Typ 3: Pole w zadaniu z proporcjami

Dwa trójkąty są [podobne w skali](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura) \(k\). Stosunek ich pól wynosi \(k^2\). Stosunek obwodów wynosi \(k\). Ten fakt jest kluczowy w zadaniach z [twierdzeniem Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania).

$$\frac{P_1}{P_2} = k^2 \quad \text{gdzie } k = \frac{a_1}{a_2} \text{ to skala podobieństwa}$$

### Typ 4: Pole w zadaniu optymalizacyjnym

Masz ograniczoną ilość materiału (np. ogrodzenia) i szukasz figury o maksymalnym polu. Więcej o tym typie zadań przeczytasz w artykule o [zadaniach optymalizacyjnych na maturze](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka). Kluczowy fakt:

- Spośród prostokątów o danym obwodzie, **kwadrat ma największe pole**
- Spośród figur o danym obwodzie, **koło ma największe pole**

### Typ 5: Pole z powiązaniem ze stereometrią

Na maturze zdarzają się zadania, w których trzeba obliczyć pole podstawy lub przekroju bryły. Wtedy wzory planimetryczne łączysz z [wzorami stereometrycznymi](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). Np. pole podstawy graniastosłupa o podstawie trójkąta równobocznego wymaga wzoru \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

---

## Tabela zbiorcza - ściąga przed maturą

| Figura | Pole | Obwód |
|---|---|---|
| Trójkąt | \(\frac{1}{2}ah\) | \(a + b + c\) |
| Trójkąt (Heron) | \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) | - |
| Trójkąt (trygon.) | \(\frac{1}{2}ab\sin\gamma\) | - |
| Trójkąt równoboczny | \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) | \(3a\) |
| Prostokąt | \(ab\) | \(2(a+b)\) |
| Kwadrat | \(a^2\) lub \(\frac{d^2}{2}\) | \(4a\) |
| Romb | \(ah\) lub \(\frac{d_1 d_2}{2}\) | \(4a\) |
| Równoległobok | \(ah\) lub \(ab\sin\alpha\) | \(2(a+b)\) |
| Trapez | \(\frac{(a+b)h}{2}\) | \(a+b+c+d\) |
| Koło | \(\pi r^2\) | \(2\pi r\) |
| Wycinek kołowy | \(\frac{\alpha}{360°}\pi r^2\) | \(\frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r + 2r\) |
| Pierścień | \(\pi(R^2 - r^2)\) | \(2\pi R + 2\pi r\) |
| Sześciokąt foremny | \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\) | \(6a\) |

---

## Jak się uczyć tych wzorów

Lista wzorów jest długa, ale większość z nich **nie trzeba uczyć się na pamięć** - wystarczy je rozumieć.

1. **Wzory podstawowe** (prostokąt, trójkąt \(\frac{1}{2}ah\), koło) - te musisz znać na 100%.
2. **Wzory pochodne** (romb z przekątnych, trapez) - wynikają z rozkładu na prostsze figury.
3. **Wzory trygonometryczne** (\(\frac{1}{2}ab\sin\gamma\), romb z kątem) - pamiętaj schemat "dwa boki razy sinus kąta między nimi".
4. **Wzory specjalne** (Heron, pole z wierzchołków) - naucz się je stosować, ale nie wkuwaj na pamięć - są na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).

Najlepszy sposób nauki? Rozwiązywanie prawdziwych zadań maturalnych. Wejdź do naszej [bazy zadań z planimetrii](/topics/planimetria) - masz tam kilkaset zadań z polami i obwodami, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

## Co dalej?

Po opanowaniu pól i obwodów figur płaskich warto przejść do:

- [Planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) - pełny przewodnik po wszystkich zagadnieniach planimetrycznych
- [Stereometria na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) - objętości i pola powierzchni brył (korzystają z pól figur płaskich!)
- [Trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) - bez trygonometrii nie obliczysz pola z dwóch boków i kąta
- [Twierdzenie Pitagorasa - zadania maturalne](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - potrzebne do wyznaczania wysokości i przekątnych
- [Geometria analityczna na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - pola figur w układzie współrzędnych
- [Pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - które zadania z polami na pewno się pojawią

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag
title: Planimetria na maturze - trójkąty, czworokąty i okrąg z wzorami i zadaniami
description: Planimetria na maturze krok po kroku: wzory na pole i obwód trójkąta, czworokątów i okręgu, Pitagoras, sinus i cosinus. Zadania z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Planimetria na maturze - trójkąty, czworokąty i okrąg z wzorami i zadaniami

## Planimetria na maturze - zakres i znaczenie

Planimetria (geometria płaska) to jeden z fundamentalnych działów matematyki maturalnej. Zadania z planimetrii pojawiają się na każdym egzaminie - zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym. Dobra wiadomość: wzory są skończone i można je opanować!

---

## Trójkąty - wzory i właściwości

### Pole trójkąta - trzy podstawowe wzory

**Ze wzoru podstawowego** (podstawa i wysokość):
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

**Ze wzoru sinusowego** (dwa boki i kąt między nimi):
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$

**Ze wzoru Herona** (gdy znamy trzy boki):
$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$

### Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(a\), \(b\) i przeciwprostokątnej \(c\):
$$a^2 + b^2 = c^2$$

**Często używana odwrotność:** Jeśli boki trójkąta spełniają \(a^2 + b^2 = c^2\), to trójkąt jest prostokątny.

**Trójki pitagorejskie** warto rozpoznawać od razu: \(3, 4, 5\) (i wielokrotności, na przykład \(6, 8, 10\) albo \(9, 12, 15\)) oraz \(5, 12, 13\), bo \(25 + 144 = 169\). Gdy w zadaniu widzisz dwie z tych liczb, trzecią znasz bez liczenia.

### Twierdzenie cosinusów (uogólnienie Pitagorasa)

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Przydatne, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi i szukamy trzeciego boku.

### Twierdzenie sinusów

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie.

### Specjalne trójkąty

**Trójkąt równoboczny** o boku \(a\):
$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Trójkąt 30-60-90** (połowa trójkąta równobocznego):
Jeśli przeciwprostokątna = \(2a\), to krótka przyprostokątna = \(a\), długa = \(a\sqrt{3}\).

**Trójkąt 45-45-90** (połowa kwadratu):
Jeśli przyprostokątna = \(a\), to przeciwprostokątna = \(a\sqrt{2}\).

---

## Czworokąty - pola i właściwości

### Kwadrat o boku \(a\)

$$P = a^2, \quad Ob = 4a, \quad d = a\sqrt{2}$$

Gdy znasz tylko przekątną: \(P = \frac{d^2}{2}\).

### Prostokąt o bokach \(a\) i \(b\)

$$P = ab, \quad Ob = 2(a+b), \quad d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

### Romb o boku \(a\) i przekątnych \(d_1\), \(d_2\)

$$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h, \quad Ob = 4a$$

Przekątne rombu są prostopadle i wzajemnie się dzielą na połowy.

### Trapez o podstawach \(a\), \(b\) i wysokości \(h\)

$$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$

### Równoległobok o bokach \(a\), \(b\) i kącie \(\alpha\)

$$P = a \cdot b \cdot \sin \alpha = a \cdot h$$

---

## Okrąg i koło

Okrąg to linia - zbiór punktów w odległości \(r\) od środka.
Koło to wnętrze - zbiór punktów w odległości nie większej niż \(r\) od środka.

**Pole koła:** \(P = \pi r^2\)

**Obwód okręgu (długość):** \(l = 2\pi r\)

**Wycinek koła** o kącie środkowym \(\alpha\) (w stopniach):
$$P_{wycinka} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$
$$l_{łuku} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$

### Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie

**Promień okręgu wpisanego (\(r\)) w trójkąt o bokach \(a\), \(b\), \(c\):**
$$r = \frac{P}{s}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$

gdzie \(P\) to pole trójkąta.

**Promień okręgu opisanego (\(R\)) na trójkącie:**
$$R = \frac{abc}{4P}$$

Z twierdzenia sinusów wychodzi też \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\), gdzie \(\alpha\) to kąt naprzeciw boku \(a\).

**Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.** Jeśli bok trójkąta jest średnicą okręgu opisanego, trójkąt jest prostokątny. Na maturze ta własność bywa jedynym kluczem do zadania.

---

## Podobieństwo figur

Dwa trójkąty są podobne, gdy spełniają jedną z cech:

- **KKK**: mają dwie pary równych kątów (trzecia para wynika z sumy kątów),
- **BBB**: trzy pary boków są proporcjonalne,
- **BKB**: dwie pary boków są proporcjonalne, a kąty między nimi równe.

Jeśli [skala podobieństwa](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura#skala-podobienstwa-co-dokladnie-mnozysz-przez-k) wynosi \(k\), to odpowiadające sobie boki i obwody mają stosunek \(k\), a pola \(k^2\). Trójkąty podobne w skali \(3\) mają więc pola w stosunku \(9 : 1\).

---

## Geometria układu współrzędnych - kluczowe wzory

Na maturze planimetria łączy się często z geometrią analityczną. Podstawowe wzory:

**Odległość między punktami \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\):**
$$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$

**Środek odcinka \(AB\):**
$$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

---

## Zadania maturalne z planimetrii z rozwiązaniami

### Zadanie 1 - Pole trójkąta ze wzoru sinusowego

W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 6\) cm, bok \(b = 8\) cm, kąt \(C = 60°\). Oblicz pole trójkąta.

**Rozwiązanie:**
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

### Zadanie 2 - Trapez i okrąg

Trapez prostokątny ma podstawy \(a = 10\) cm i \(b = 6\) cm. Ramię prostopadłe do podstaw ma długość \(h = 8\) cm. Oblicz pole trapeza i długość ramienia ukośnego.

**Rozwiązanie:**
Pole: \(P = \frac{(10+6) \cdot 8}{2} = 64 \text{ cm}^2\)

Różnica podstaw: \(10 - 6 = 4\) cm. Ramię ukośne to przeciwprostokątna w trójkącie o przyprostokątnych 4 i 8:
$$l = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ cm}$$

### Zadanie 3 - Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne \(a = 3\) cm i \(b = 4\) cm. Oblicz promień okręgu wpisanego.

**Rozwiązanie:**
Pole trójkąta: \(P = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2\)
Przeciwprostokątna: \(c = \sqrt{9+16} = 5\) cm
Półobwód: \(s = \frac{3+4+5}{2} = 6\)
$$r = \frac{P}{s} = \frac{6}{6} = 1 \text{ cm}$$

Ciekawa zależność: dla trójkąta prostokątnego \(r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3+4-5}{2} = 1\) cm - zgadza się!

### Zadanie 4 - Trapez równoramienny

W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawy mają długości \(AB = 14\) cm i \(CD = 6\) cm, a ramię \(AD = 5\) cm. Oblicz pole trapezu.

**Rozwiązanie:**
Różnica podstaw \(14 - 6 = 8\) rozkłada się po równo na obie strony, po \(4\) cm. Wysokość opuszczona z \(D\) tworzy trójkąt prostokątny z przyprostokątną \(4\) i przeciwprostokątną \(5\):
$$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$$
To trójka pitagorejska \(3, 4, 5\). Pole:
$$P = \frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = 30 \text{ cm}^2$$

### Zadanie 5 - Pola trójkątów podobnych

Trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne, \(AB = 6\), \(DE = 9\), a pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(20\). Oblicz pole trójkąta \(DEF\).

**Rozwiązanie:**
Skala podobieństwa \(k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\), więc pola mają stosunek \(k^2 = \frac{9}{4}\):
$$P_{DEF} = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$$

### Zadanie 6 - Kąt rozwarty we wzorze z sinusem

Dwa boki trójkąta mają długości \(8\) cm i \(12\) cm, a kąt między nimi \(150°\). Oblicz pole trójkąta.

**Rozwiązanie:**
\(\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\), więc:
$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ cm}^2$$

### Zadanie 7 - Kąt oparty na średnicy

Punkt \(C\) leży na okręgu o średnicy \(AB = 10\), a \(AC = 6\). Oblicz \(BC\).

**Rozwiązanie:**
Kąt \(ACB\) jest wpisany i oparty na średnicy, więc jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa:
$$BC = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$

---

## Najczęstsze błędy

**Mylenie wysokości z bokiem.** Wysokość trójkąta jest prostopadła do podstawy. W trójkącie rozwartokątnym może wypaść poza figurę.

**Zgubiona połowa.** Pole trójkąta i pole trapezu dzielisz przez \(2\). Pod presją czasu ta dwójka znika najczęściej.

**Brak trójkąta prostokątnego.** W trapezach, równoległobokach i wielokątach prawie zawsze da się go zbudować, opuszczając wysokość albo prowadząc przekątną. To zwykle pierwszy krok rozwiązania.

---

## Jak ćwiczyć planimetrię przed maturą

Planimetria pojawia się na maturze jako zadania rysunkowe - zawsze RYSUJ. Nawet pobieżny szkic pomaga zobaczyć, który wzór zastosować i czy warto szukać pomocniczego trójkąta prostokątnego.

Na [SprawnaMatura.pl](/topics/planimetria) znajdziesz ponad 200 zadań z planimetrii z różnych arkuszy CKE. Polecam też artykuł o [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), bo te działy mocno się przenikają.

---

## Podsumowanie najważniejszych wzorów

Zanim pójdziesz na egzamin, upewnij się, że znasz:
- Pole trójkąta: 3 wzory (z wysokości, z sinusa, Heron)
- Twierdzenie Pitagorasa i jego odwrotność
- Twierdzenie cosinusów i sinusów
- Cechy podobieństwa trójkątów i stosunek pól figur podobnych
- Pola czworokątów: kwadrat, prostokąt, romb, trapez, równoległobok
- Wzory na koło: pole i obwód, wycinek i łuk
- Wzory analityczne: odległość, środek

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia
title: Pewniaki maturalne 2027 - zadania, które na pewno się pojawią na maturze z matematyki
description: Lista pewników maturalnych 2027 z matematyki. Zadania, które pojawiają się co roku na maturze. Opanuj je i zdobądź minimum 30 punktów na 50.
author: Marcel Bogdan
---

# Pewniaki maturalne 2027 - zadania, które na pewno się pojawią na maturze z matematyki

## Co to są "pewniaki maturalne"?

Pewniaki maturalne to typy zadań, które pojawiają się na maturze z matematyki **co roku lub prawie co roku**. Przeanalizowaliśmy arkusze z lat 2015-2025 (ponad 400 zadań) i wyodrębniliśmy zadania, które powtarzają się z regularnością zegarka.

Opanowanie pewników to najlepsza strategia na zdanie matury. Nawet jeśli masz luki w wiedzy, te zadania dają Ci solidną bazę punktową.

## Lista pewników - 10 typów zadań, które będą na maturze 2027

### 1. Upraszczanie wyrażeń z potęgami i pierwiastkami (1-2 zadania, 1-2 pkt)

**Pojawiało się:** 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025 - **co roku!**

Typowe zadanie: Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a^m \cdot b^n}{c^k}\) lub uprość \((\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2\).

**Co musisz umieć:**
- Działania na potęgach: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\)
- Zamiana pierwiastków na potęgi: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
- Wzory skróconego mnożenia: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)

**Ile punktów możesz zdobyć:** 2-3 pkt

Ćwicz: [Wszystkie zadania z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki) (ponad 150 zadań z rozwiązaniami)

---

### 2. Logarytmy - obliczanie wartości (1 zadanie, 1 pkt)

**Pojawiało się:** 2015-2025 - **co roku!**

Typowe zadanie: Oblicz \(\log_a b + \log_a c\) lub \(\log_a b - n\log_a c\).

**Co musisz umieć:**
- \(\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\)
- \(\log_a\frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\)
- \(\log_a b^n = n \cdot \log_a b\)
- \(\log_a a = 1\), \(\log_a 1 = 0\)

**Ile punktów:** 1 pkt (ale to darmowy punkt!)

Ćwicz: [Zadania z logarytmów](/topics/logarytmy) (ponad 70 zadań)

---

### 3. Nierówność liniowa lub kwadratowa (1-2 zadania, 1-2 pkt)

**Pojawiało się:** 2015-2025 - **co roku!**

**Co musisz umieć:**
- Rozwiązywanie nierówności liniowych (pamiętaj o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną!)
- Nierówności kwadratowe: delta, miejsca zerowe, szkic paraboli
- Zaznaczanie zbiorów rozwiązań na osi liczbowej

Ćwicz: [Zadania z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) (ponad 260 zadań)

---

### 4. Ciąg arytmetyczny - wzór na n-ty wyraz lub sumę (1-2 zadania, 1-2 pkt)

**Pojawiało się:** 2015-2025 - **co roku!**

Typowe zadanie: Dany jest ciąg arytmetyczny. Oblicz różnicę / n-ty wyraz / sumę.

**Wzory (są w tablicach!):**
- \(a_n = a_1 + (n-1)r\)
- \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)

Te wzory masz w karcie wzorów, więc nie musisz ich pamiętać - musisz tylko umieć je stosować.

Ćwicz: [Zadania z ciągów](/topics/ciagi) (ponad 210 zadań)

---

### 5. Równanie prostej - współczynnik kierunkowy (1-2 zadania, 1-3 pkt)

**Pojawiało się:** 2015-2025 - **co roku!**

**Co musisz umieć:**
- Równanie prostej: \(y = ax + b\)
- Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów: \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
- Proste równoległe: \(a_1 = a_2\)
- Proste prostopadłe: \(a_1 \cdot a_2 = -1\)

Ćwicz: [Zadania z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) (ponad 280 zadań!)

---

### 6. Funkcja kwadratowa - wierzchołek lub miejsca zerowe (1-2 zadania, 1-2 pkt)

**Pojawiało się:** 2016-2025 - **prawie co roku**

Typowe zadania: Wyznacz współrzędne wierzchołka, podaj drugie miejsce zerowe, odczytaj właściwości z wykresu.

$$W = \left(\frac{-b}{2a},\; \frac{-\Delta}{4a}\right)$$

Ćwicz: [Zadania z funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) (ponad 120 zadań)

---

### 7. Odległość punktu od prostej (1 zadanie, 1-2 pkt)

**Pojawiało się:** 2016-2025 - **prawie co roku**

Wzór (jest w tablicach):

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

dla prostej \(Ax + By + C = 0\) i punktu \((x_0, y_0)\).

---

### 8. Zadanie na dowodzenie podzielności (1 zadanie, 2-3 pkt)

**Pojawiało się:** 2017-2025 - **prawie co roku**

Schemat: "Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej/naturalnej \(n\) wyrażenie jest podzielne przez \(k\)."

**Metoda:** Podstaw \(n = 2k\) (parzyste) lub \(n = 2k+1\) (nieparzyste), rozwiń, wyciągnij wspólny czynnik.

---

### 9. Prawdopodobieństwo klasyczne (1 zadanie, 2 pkt)

**Pojawiało się:** 2015-2025 - **co roku!**

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Typowe: rzuty kostką, losowanie kulek, kombinacje. Klucz to poprawne policzenie \(|A|\) i \(|\Omega|\).

Ćwicz: [Zadania z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) (ponad 100 zadań)

---

### 10. Stereometria - objętość lub pole powierzchni (1-2 zadania, 2-4 pkt)

**Pojawiało się:** 2015-2025 - **co roku!**

Typowe bryły: graniastosłup, ostrosłup, walec, stożek. Wzory są w tablicach.

Ćwicz: [Zadania ze stereometrii](/topics/stereometria) (ponad 200 zadań)

## Ile punktów dają pewniaki?

Podsumujmy:

| Pewniaczek | Min. punktów | Max. punktów |
|-----------|-------------|-------------|
| Potęgi/pierwiastki | 1 | 3 |
| Logarytmy | 1 | 1 |
| Nierówności | 1 | 3 |
| Ciąg arytmetyczny | 1 | 2 |
| Równanie prostej | 1 | 3 |
| Funkcja kwadratowa | 1 | 2 |
| Odległość punkt-prosta | 1 | 2 |
| Dowodzenie | 2 | 3 |
| Prawdopodobieństwo | 1 | 2 |
| Stereometria | 2 | 4 |
| **RAZEM** | **12** | **25** |

Opanowanie samych pewników daje **12-25 punktów na 50**. Próg zdawalności to 15 punktów (30%), więc same pewniaki mogą wystarczyć do zdania matury!

A jeśli dorzucisz jeszcze kilka zadań ze średniej półki, wchodzisz na 60-70% bez problemu.

## Strategia nauki oparta na pewnikach

### Etap 1: Pewniaki (2 tygodnie)
Ćwicz po 5 zadań dziennie z każdego typu pewniaka. Na Sprawnej Maturze masz ponad 2300 zadań z rozwiązaniami - losuj z konkretnych kategorii.

### Etap 2: Rozszerzenie (2 tygodnie)
Dorzuć trudniejsze tematy: trygonometrię, planimetrię, funkcje.

### Etap 3: Arkusze (1 tydzień)
Rozwiązuj pełne arkusze w warunkach egzaminacyjnych. Sprawdzaj czas i analizuj błędy.

### Etap 4: Powtórka (ostatnie dni)
Wróć do pewników i upewnij się, że każdy rozwiązujesz bezbłędnie.

## Ćwicz pewniaki na Sprawnej Maturze

Każdy pewniaczek możesz przećwiczyć na naszej platformie:

- [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) - ponad 150 zadań
- [Logarytmy](/topics/logarytmy) - ponad 70 zadań
- [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - ponad 260 zadań
- [Ciągi](/topics/ciagi) - ponad 210 zadań
- [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) - ponad 280 zadań
- [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - ponad 120 zadań
- [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) - ponad 100 zadań
- [Stereometria](/topics/stereometria) - ponad 200 zadań

Albo po prostu [wylosuj losowe zadanie](/random) i zacznij ćwiczyć!

Pewniaki to jedna strona medalu - druga jest pytanie, co poza nimi ma największe szanse pojawić się w arkuszu. Pełną analizę trendów z ostatnich lat zebraliśmy w prognozie [co będzie na maturze 2026](/matura-2026-prognoza-co-bedzie-na-egzaminie-analiza-trendow-cke).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka
title: Ostatnie tygodnie przed maturą 2027 - konkretny plan nauki matematyki dzień po dniu
description: Konkretny plan przygotowania do matury z matematyki 2027 na ostatnie tygodnie. Harmonogram powtórek, priorytetowe tematy, ile zadań dziennie. Bez lania wody.
author: Marcel Bogdan
---

# Ostatnie tygodnie przed maturą 2027 - konkretny plan nauki matematyki dzień po dniu

## 6 tygodni - tyle masz. Wystarczy.

Matura z matematyki 2027 zbliża się wielkimi krokami. Jeśli czytasz ten tekst w marcu, masz przed sobą jeszcze **6 tygodni** intensywnej nauki. To wystarczająco dużo czasu, żeby znacząco podnieść swój wynik - ale pod warunkiem, że nie będziesz tracił go na rzeczy, które nie działają.

Ten plan nie jest kolejnym ogólnikowym "powtórz sobie wzory". To **konkretny harmonogram** oparty na analizie arkuszy CKE z ostatnich lat, rozkładzie punktów i częstości tematów. Nie obiecuję cudów - obiecuję konkretny plan pracy na każdy z tych tygodni.

## Zasada nr 1: Rozwiązuj zadania, nie czytaj teorii

Największy błąd maturzystów to siedzenie nad podręcznikiem. Matematyki **nie da się nauczyć czytając** - da się ją nauczyć tylko **robiąc zadania**. Teoria bez praktyki to strata czasu.

Twój dzień nauki powinien wyglądać tak:
- **10 minut** - przejrzyj wzory z danego tematu
- **50 minut** - rozwiązuj zadania z tego tematu
- **Powtórz** 2-3 razy dziennie z różnymi tematami

Na Sprawnej Maturze masz **ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE** - to więcej materiału do ćwiczeń niż ktokolwiek jest w stanie przerobić w 6 tygodni. Kluczem jest wybranie właściwych.

## Zasada nr 2: Skup się na tym, co daje punkty

Nie wszystkie tematy są równe. Tak wygląda rozkład punktów w trzech arkuszach CKE w Formule 2023 (Matura czerwiec 2025, Matura sierpień 2025 i Matura maj 2026) w naszej bazie:

| Temat | Punkty na maturze | Priorytet |
|-------|-------------------|-----------|
| [Potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) | 2-10 pkt | Krytyczny |
| [Geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) | 3-8 pkt | Krytyczny |
| [Równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) | 4-5 pkt | Krytyczny |
| [Funkcja kwadratowa](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) | 3-6 pkt | Wysoki |
| [Ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) | 2-5 pkt | Wysoki |
| [Planimetria](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) | 3-5 pkt | Wysoki |
| [Stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) | 3-6 pkt | Wysoki (ale trudny) |
| [Prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania) | 2 pkt | Średni |
| [Funkcja liniowa](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) | 1-2 pkt | Średni |
| [Logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) | 1-3 pkt | Średni |
| [Trygonometria](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) | 2 pkt | Średni |

Trzy tematy oznaczone jako "krytyczne" to razem **od 10 do 23 punktów** z arkusza, który według informatora CKE ma 50 punktów. Samo opanowanie tych trzech tematów może być różnicą między zdaniem a niezdaniem.

## Plan tygodniowy - 6 tygodni do matury

### Tydzień 1: Fundamenty arytmetyczne (koniec marca)

**Cel:** Opanować [potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) + [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) na 100%.

Te tematy pojawiają się na **każdej maturze** i dają "pewne" punkty. To absolutna baza - bez niej nie da się rozwiązywać trudniejszych zadań.

- **Poniedziałek-wtorek:** Potęgi - wzory, działania, sprowadzanie do wspólnej podstawy. Rozwiąż **20 zadań** z [kategorii Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).
- **Środa-czwartek:** Pierwiastki - wyciąganie przed znak, usuwanie niewymierności. Kolejne **20 zadań**.
- **Piątek-sobota:** Równania liniowe i kwadratowe - delta, Viete, rozkład na czynniki. **20 zadań** z [kategorii Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).
- **Niedziela:** Powtórka - rozwiąż pełny [arkusz matury próbnej](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) i sprawdź, ile punktów zdobywasz.

### Tydzień 2: Geometria analityczna (początek kwietnia)

**Cel:** Opanować prosta na płaszczyźnie, odległość, środek odcinka, okrąg.

[Geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) to **ponad 280 zadań** w naszej bazie - więcej niż z jakiegokolwiek innego tematu. W arkuszach Matura czerwiec 2025, Matura sierpień 2025 i Matura maj 2026 było to od 2 do 4 zadań za 3 do 8 punktów.

- **Poniedziałek-wtorek:** Odległość między punktami, środek odcinka, [równanie prostej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania). **15 zadań.**
- **Środa-czwartek:** Równoległość, prostopadłość, punkt przecięcia prostych. **15 zadań.**
- **Piątek-sobota:** Okrąg - równanie, przynależność punktu, styczna. **15 zadań.**
- **Niedziela:** Arkusz [matury próbnej z lutego 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz) - sprawdź postępy.

### Tydzień 3: Funkcje (połowa kwietnia)

**Cel:** Opanować [funkcję kwadratową](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) + [funkcję liniową](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) + odczytywanie wykresów.

- **Poniedziałek-wtorek:** Funkcja kwadratowa - postać kanoniczna, ogólna, iloczynowa. Wierzchołek, oś symetrii, zbiór wartości. **15 zadań.**
- **Środa-czwartek:** Własności funkcji z wykresu - monotoniczność, ekstrema, dziedzina. **15 zadań.**
- **Piątek:** [Logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) - powtórka właściwości, 10 zadań.
- **Sobota-niedziela:** Arkusz [matury z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz).

### Tydzień 4: Ciągi + prawdopodobieństwo (trzeci tydzień kwietnia)

**Cel:** Opanować [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) + [prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

- **Poniedziałek-wtorek:** Ciąg arytmetyczny - wzór na n-ty wyraz, suma n wyrazów. **15 zadań.**
- **Środa-czwartek:** Ciąg geometryczny - wzór na n-ty wyraz, suma, monotoniczność. **15 zadań.**
- **Piątek:** Prawdopodobieństwo klasyczne, symbol Newtona. **10 zadań.**
- **Sobota-niedziela:** Arkusz [matury z czerwca 2025](/matura-2025-czerwiec-matematyka-rozwiazania-arkusz) + analiza błędów.

### Tydzień 5: Geometria (koniec kwietnia)

**Cel:** Opanować [planimetrię](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) + [stereometrię](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) + [trygonometrię](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

- **Poniedziałek-wtorek:** Planimetria - pola figur, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo. **15 zadań.**
- **Środa-czwartek:** Stereometria - objętości brył, wysokość ostrosłupa, kąty. **15 zadań.**
- **Piątek:** Trygonometria - sinus, cosinus, tangens, wartości kątów. **10 zadań.**
- **Sobota-niedziela:** Kolejny pełny arkusz CKE + analiza.

### Tydzień 6: Arkusze, arkusze, arkusze (tydzień przed maturą)

**Cel:** Rozwiązywanie pełnych arkuszy w warunkach egzaminacyjnych.

- **Każdy dzień:** Jeden pełny arkusz CKE pod zegarem (180 minut).
- **Po każdym arkuszu:** Analiza błędów, notatki z tematów do poprawy.
- **Ostatni dzień przed maturą:** Lekka powtórka wzorów (przejrzyj [wzory spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)), odpoczynek, sen.

## Co jeśli mam mniej niż 6 tygodni?

Jeśli czytasz to na dwa tygodnie przed maturą, **nie panikuj**. Skróć plan:

1. **Tydzień 1:** Potęgi + równania + geometria analityczna (tematy krytyczne)
2. **Tydzień 2:** Arkusze, arkusze, arkusze

Skup się wyłącznie na zadaniach za 1 punkt - w arkuszach Matura czerwiec 2025, Matura sierpień 2025 i Matura maj 2026 było ich od 19 do 27. Według informatora CKE próg zdania to 30 procent z 50 punktów, czyli 15 punktów, i tyle takich zadań musisz mieć pewnych.

## Co jeśli celuję w 80%+?

Jeśli chcesz wynik powyżej 80%, musisz opanować **zadania otwarte**. Przeczytaj nasz [poradnik o zadaniach otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) i skup się na:

1. Zadaniach za 4 punkty (stereometria, geometria analityczna, funkcje, funkcja kwadratowa)
2. Dowodach geometrycznych
3. Zadaniach z parametrem

Rozwiąż co najmniej 5 pełnych arkuszy CKE pod zegarem. Na Sprawnej Maturze znajdziesz je na [stronie egzaminów](/exams) - pogrupowane chronologicznie.

## Ile godzin dziennie?

**Minimum realistyczne:** 1,5-2 godziny dziennie (45-60 zadań tygodniowo)
**Optymalne:** 2,5-3 godziny dziennie (70-90 zadań tygodniowo)
**Tryb "ratunkowy":** 3-4 godziny dziennie (ale nie więcej - zmęczony mózg nie przyswaja)

Pamiętaj o przerwach. Rozwiązywanie zadań przez 3 godziny bez przerwy jest mniej efektywne niż 3 sesje po 50 minut z 10-minutowymi przerwami.

## Najważniejsze: zacznij dzisiaj

Największy wróg maturzysty to nie trudność arkusza - to odkładanie nauki na później. Każdy dzień, w którym nie rozwiążesz ani jednego zadania, to dzień stracony.

Otwórz [Sprawną Maturę](/), wylosuj [losowe zadanie](/random) i zacznij. Nie potrzebujesz idealnych warunków, idealnego planu, idealnego samopoczucia. Potrzebujesz rozwiązać **pierwsze zadanie**. Reszta pójdzie sama.

Na Sprawnej Maturze mamy [ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE](/topics) - z rozwiązaniami krok po kroku i filmami. To jedyne narzędzie, którego potrzebujesz. Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania
title: Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne krok po kroku
description: Wzór na odległość punktu od prostej z wyprowadzeniem, typowe pułapki i pięć rozwiązanych zadań maturalnych. Powiązania z geometrią analityczną.
author: Filip Maszota
---

# Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne krok po kroku

Wzór na odległość punktu od prostej to jeden z najczęściej używanych wzorów na maturze z geometrii analitycznej. Pojawia się w zadaniach zamkniętych, otwartych, a nawet w stereometrii (odległość punktu od krawędzi). Opanuj go solidnie, bo CKE kocha pytać o odległości.

## Wzór na odległość punktu od prostej

Jeśli prosta ma równanie w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\), a punkt ma współrzędne \(P = (x_0, y_0)\), to odległość punktu od prostej wynosi:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

**Co musisz pamiętać:**
- W liczniku jest **wartość bezwzględna** - odległość jest zawsze nieujemna
- Prosta musi być w **postaci ogólnej** \(Ax + By + C = 0\)
- Jeśli prosta jest w postaci kierunkowej, musisz ją najpierw [zamienić](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty)

Ten wzór jest na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), ale warto go znać na pamięć.

## Jak stosować wzór - krok po kroku

1. Zapisz równanie prostej w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\)
2. Odczytaj współczynniki \(A\), \(B\), \(C\)
3. Podstaw współrzędne punktu \((x_0, y_0)\) do wzoru
4. Policz wartość bezwzględną w liczniku
5. Policz pierwiastek w mianowniku
6. Podziel i uprość

**Zamiana na postać ogólną w trzech typowych sytuacjach:**

- Postać kierunkowa \(y = ax + b\) daje \(ax - y + b = 0\), czyli \(A = a\), \(B = -1\), \(C = b\). Przykład: \(y = -2x + 1\) to \(2x + y - 1 = 0\).
- Prosta pozioma \(y = 4\) to \(0 \cdot x + y - 4 = 0\), czyli \(A = 0\), \(B = 1\), \(C = -4\).
- Prosta pionowa \(x = -3\) to \(x + 0 \cdot y + 3 = 0\), czyli \(A = 1\), \(B = 0\), \(C = 3\). Tej prostej nie zapiszesz w postaci kierunkowej, a wzór na odległość działa dla niej bez problemu.

Szybki test: jeśli wyjdzie \(d = 0\), punkt leży na prostej. Punkt \((3, 1)\) i prosta \(2x - y - 5 = 0\) dają w liczniku \(|6 - 1 - 5| = 0\), bo \(1 = 2 \cdot 3 - 5\).

## Rozwiązane zadania

### Zadanie 1: Proste zastosowanie wzoru

Oblicz odległość punktu \(P = (3, -1)\) od prostej \(4x - 3y + 2 = 0\).

**Rozwiązanie:**

Odczytujemy: \(A = 4\), \(B = -3\), \(C = 2\), \(x_0 = 3\), \(y_0 = -1\).

$$d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|17|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5} = 3{,}4$$

**Odpowiedź:** \(d = \frac{17}{5} = 3{,}4\).

### Zadanie 2: Prosta w postaci kierunkowej

Oblicz odległość punktu \(A = (1, 5)\) od prostej \(y = 2x - 3\).

**Rozwiązanie:**

**Krok 1:** Zamieniamy na postać ogólną. Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$y = 2x - 3 \implies 2x - y - 3 = 0$$

Więc \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = -3\).

**Krok 2:** Podstawiamy:

$$d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 5 - 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$$

**Odpowiedź:** \(d = \frac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\).

### Zadanie 3: Odległość między prostymi równoległymi

Oblicz odległość między prostymi \(l_1: 3x + 4y - 5 = 0\) i \(l_2: 3x + 4y + 10 = 0\).

**Rozwiązanie:**

Proste są równoległe (te same współczynniki \(A\) i \(B\)). Odległość między prostymi równoległymi to odległość dowolnego punktu jednej prostej od drugiej.

Bierzemy punkt z \(l_1\). Dla \(x = 0\): \(4y = 5\), czyli \(y = \frac{5}{4}\). Punkt \(P = (0, \frac{5}{4})\).

Odległość \(P\) od \(l_2\):

$$d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{5}{4} + 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|0 + 5 + 10|}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

**Odpowiedź:** \(d = 3\).

**Skrót dla prostych równoległych:** Jeśli proste mają postać \(Ax + By + C_1 = 0\) i \(Ax + By + C_2 = 0\), to odległość to:

$$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Sprawdzenie: \(\frac{|-5 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3\). Zgadza się.

### Zadanie 4: Wyznaczanie równania prostej w danej odległości

Wyznacz równanie prostej równoległej do \(y = \frac{3}{4}x\), oddalonej od punktu \(A = (0, 0)\) o \(d = 3\).

**Rozwiązanie:**

Prosta równoległa do \(y = \frac{3}{4}x\) ma postać \(y = \frac{3}{4}x + b\), czyli \(3x - 4y + 4b = 0\) (mnożymy przez 4).

Odległość początku układu od tej prostej:

$$3 = \frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 4b|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|4b|}{5}$$

$$|4b| = 15$$

$$b = \frac{15}{4} \quad \text{lub} \quad b = -\frac{15}{4}$$

**Odpowiedź:** Są dwie proste: \(y = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}\) i \(y = \frac{3}{4}x - \frac{15}{4}\).

### Zadanie 5: Pole trójkąta z odległości

Trójkąt \(ABC\) ma wierzchołki \(A = (0, 0)\), \(B = (6, 0)\), \(C = (2, 4)\). Oblicz [pole trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura) korzystając z odległości punktu od prostej.

**Rozwiązanie:**

Podstawa \(AB\) leży na osi OX (oba punkty mają \(y = 0\)).

Długość podstawy: \(|AB| = 6\).

Wysokość to odległość punktu \(C = (2, 4)\) od prostej \(AB\), czyli od osi OX (równanie: \(y = 0\), czyli \(0x + 1y + 0 = 0\)):

$$h = \frac{|0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 0|}{\sqrt{0 + 1}} = \frac{4}{1} = 4$$

Pole:

$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$

**Odpowiedź:** \(P = 12\) j².

W tym przypadku pole jest oczywiste, ale metoda działa dla dowolnych wierzchołków - wystarczy [wyznaczyć równanie prostej](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty) przechodzącej przez dwa wierzchołki i policzyć odległość trzeciego.

### Zadanie 6: Okrąg styczny do prostej

Okrąg o promieniu \(r = 5\) jest styczny do prostej \(4x + 3y - 8 = 0\), a jego środek leży na osi OX. Wyznacz współrzędne środka okręgu.

**Rozwiązanie:**

Okrąg jest styczny do prostej dokładnie wtedy, gdy odległość jego środka od tej prostej jest równa promieniowi: \(d(S, l) = r\). To klasyczny warunek w zadaniach z geometrii analitycznej.

Środek leży na osi OX, więc \(S = (a, 0)\). Podstawiamy do wzoru:

$$\frac{|4a + 3 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$$

$$\frac{|4a - 8|}{5} = 5$$

$$|4a - 8| = 25$$

Wartość bezwzględna daje dwa przypadki: \(4a - 8 = 25\), czyli \(a = \frac{33}{4}\), albo \(4a - 8 = -25\), czyli \(a = -\frac{17}{4}\).

**Odpowiedź:** \(S = \left(\frac{33}{4}, 0\right)\) lub \(S = \left(-\frac{17}{4}, 0\right)\).

W wersji odwrotnej znasz środek i szukasz promienia: dla \(S = (2, -1)\) i prostej \(3x - 4y + 5 = 0\) promień to \(r = \frac{|6 + 4 + 5|}{5} = 3\). Więcej o stycznych w poradniku o [równaniu stycznej do okręgu](/jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania).

## Powiązane zastosowania

Wzór na odległość punktu od prostej przydaje się też w:

- **Znajdowaniu promienia okręgu wpisanego** - promień okręgu wpisanego w trójkąt to odległość środka okręgu od dowolnego boku
- **Sprawdzaniu stycznej do okręgu** - prosta jest styczna do [okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania) o środku \(S\) i promieniu \(r\), gdy odległość \(S\) od prostej wynosi dokładnie \(r\)
- **Zadaniach optymalizacyjnych** - szukanie punktu na prostej najbliższego danemu punktowi

- **Szukaniu punktu symetrycznego względem prostej** - przez punkt \(P\) prowadzisz prostą prostopadłą do \(l\), wyznaczasz punkt przecięcia \(Q\), a ponieważ \(Q\) jest środkiem odcinka \(PP'\), to \(P' = (2x_Q - x_P,\ 2y_Q - y_P)\). Cały schemat jest w poradniku o [symetrii w układzie współrzędnych](/punkt-symetryczny-symetria-osiowa-srodkowa-wspolrzedne-matura)

Więcej zadań z geometrii analitycznej znajdziesz w naszym [przewodniku po GA](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

## Typowe błędy

**Błąd 1: Zapominanie o wartości bezwzględnej.** Bez modułu wynik może wyjść ujemny, co nie ma sensu dla odległości.

**Błąd 2: Prosta nie w postaci ogólnej.** Wzór działa TYLKO dla \(Ax + By + C = 0\). Jeśli masz \(y = mx + b\), musisz zamienić.

**Błąd 3: Mylenie A, B, C.** W równaniu \(2x - 3y + 7 = 0\) mamy \(A = 2\), \(B = -3\), \(C = 7\). Uważaj na znaki!

**Błąd 4: Zapominanie o dwóch rozwiązaniach.** W zadaniu 4 dostaliśmy dwie proste. Wartość bezwzględna daje zawsze dwie opcje - po obu stronach.

**Błąd 5: Zły znak przy C w postaci \(Ax + By = D\).** Prostą \(3x - 4y = 12\) najpierw przepisz jako \(3x - 4y - 12 = 0\). Tu \(C = -12\), a nie \(12\).

## Co musisz umieć - checklista

- Stosować wzór na odległość punktu od prostej
- Zamieniać prostą z postaci kierunkowej na ogólną
- Obliczać odległość między prostymi równoległymi
- Wyznaczać prostą w danej odległości od punktu

- Korzystać z warunku \(d(S, l) = r\) dla okręgu stycznego do prostej
- Łączyć wzór z obliczaniem pól i sprawdzaniem stycznych
- Usuwać niewymierność z mianownika (np. \(\frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}\))

Przećwicz zadania z geometrii analitycznej w [naszej bazie](/topics/geometria-analityczna) - mamy 280 zadań maturalnych z rozwiązaniami. Sprawdź też poradnik o [równaniu okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), bo styczna do okręgu to popularne zastosowanie tego wzoru na maturze.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura
title: Odczytywanie własności funkcji z wykresu na maturze - jak zdobyć łatwe punkty
description: Jak odczytywać dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe i monotoniczność z wykresu funkcji na maturze? Pełne przykłady zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Odczytywanie własności funkcji z wykresu na maturze - jak zdobyć łatwe punkty

## Dlaczego zadania z wykresu to najłatwiejsze punkty na maturze

Na każdym arkuszu maturalnym z matematyki pojawiają się 3-5 zadań, w których musisz odczytać coś z wykresu funkcji. Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartość największą albo najmniejszą. Te zadania mają jedną wspólną cechę - **nie wymagają żadnych obliczeń**. Musisz tylko wiedzieć, na co patrzeć.

Podczas gdy inne zadania wymagają przekształcania wzorów, rozwiązywania równań czy znajomości twierdzeń, zadania z wykresu sprowadzają się do **czytania rysunku**. To umiejętność, którą można opanować w jeden wieczór - a punkty zdobyte w ten sposób liczą się tak samo jak te za najtrudniejsze zadania otwarte.

Na [maturze próbnej CKE z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) trzy zadania zamknięte dotyczyły bezpośrednio odczytywania z wykresu. Na [maturze z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) było podobnie. To stabilny wzorzec - CKE co roku daje te punkty "za darmo" tym, którzy wiedzą, jak je wziąć.

W tym przewodniku pokażę Ci dokładnie, co musisz umieć odczytywać, jak to robić krok po kroku i jakie pułapki czyhają na nieuważnych. Na końcu znajdziesz cheat sheet, który warto mieć z tyłu głowy przed egzaminem. Jeśli szukasz ogólnego [przewodnika po funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), zajrzyj do osobnego artykułu - tu skupiamy się wyłącznie na czytaniu z wykresów.

## Co trzeba umieć odczytywać z wykresu

Zanim przejdziemy do konkretnych przykładów, musisz wiedzieć, jakie własności funkcji CKE sprawdza najczęściej na wykresach. Oto kompletna lista:

### 1. Dziedzina funkcji

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których funkcja jest określona. Na wykresie oznacza to: **od którego do którego \(x\) istnieje wykres**.

**Jak odczytać:** patrz na oś \(OX\) (poziomą). Znajdź najbardziej lewą i najbardziej prawą część wykresu. Dziedzina to przedział na osi \(OX\), nad którym (lub pod którym) narysowany jest wykres.

**Na co uważać:**
- Kropka zamalowana (\(\bullet\)) na końcu wykresu oznacza, że ten punkt **należy** do dziedziny - przedział zamknięty
- Kropka pusta (\(\circ\)) oznacza, że punkt **nie należy** - przedział otwarty
- Strzałka na końcu wykresu oznacza, że wykres ciągnie się do \(+\infty\) lub \(-\infty\)

**Przykład:** Jeśli wykres zaczyna się od zamalowanej kropki w punkcie \(x = -3\) i kończy pustą kropką w \(x = 5\), to dziedzina to \(D_f = \langle -3, 5)\).

### 2. Zbiór wartości

Zbiór wartości to zbiór wszystkich wartości \(y\), które funkcja przyjmuje. Na wykresie: **od jakiego do jakiego \(y\) sięga wykres**.

**Jak odczytać:** patrz na oś \(OY\) (pionową). Znajdź najniższy i najwyższy punkt wykresu. Zbiór wartości to przedział na osi \(OY\), na którym wykres ma punkty.

**Na co uważać:** zbiór wartości czytamy z osi \(OY\), nie \(OX\). To najczęstszy błąd - opisany szczegółowo w [artykule o najczęstszych błędach maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### 3. Miejsca zerowe

Miejsca zerowe to argumenty \(x\), dla których \(f(x) = 0\). Na wykresie: **punkty, w których wykres przecina oś \(OX\)**.

**Jak odczytać:** znajdź wszystkie punkty przecięcia wykresu z osią poziomą. Odczytaj ich współrzędne \(x\).

**Uwaga:** punkt, w którym wykres **dotyka** osi \(OX\), ale się nie przebija na drugą stronę, to też miejsce zerowe. Np. wierzchołek paraboli leżący na osi \(OX\) jest miejscem zerowym (podwójnym).

### 4. Monotoniczność

Monotoniczność mówi, na jakich przedziałach funkcja rośnie, a na jakich maleje.

**Jak odczytać:**
- Idź wzrokiem po wykresie od lewej do prawej
- Tam, gdzie wykres "idzie do góry" - funkcja jest **rosnąca**
- Tam, gdzie wykres "idzie w dół" - funkcja jest **malejąca**
- Zapisz przedziały z osi \(OX\)

**Krytyczny błąd:** [przedziały monotoniczności](/przedzialy-monotonicznosci-funkcji-kwadratowej-rosnaca-malejaca-matura#co-znaczy-ze-funkcja-kwadratowa-jest-rosnaca-w-przedziale) podajemy na osi \(OX\), **nigdy** na osi \(OY\). Jeśli funkcja rośnie od punktu \((-2, 1)\) do punktu \((3, 5)\), to jest rosnąca w przedziale \((-2, 3)\) - nie \((1, 5)\).

### 5. Ekstrema (wartość największa i najmniejsza)

Ekstrema to punkty, w których funkcja osiąga lokalne maksimum lub minimum.

**Jak odczytać:**
- **Maksimum lokalne** - "górka" na wykresie. Wartość odczytujemy z osi \(OY\), argument z osi \(OX\)
- **Minimum lokalne** - "dołek" na wykresie
- **Wartość największa** (globalne max) - najwyższy punkt całego wykresu
- **Wartość najmniejsza** (globalne min) - najniższy punkt całego wykresu

**Uwaga:** wartość największa/najmniejsza to liczba z osi \(OY\), ale argument, w którym jest osiągana, to liczba z osi \(OX\). CKE często pyta: "Podaj wartość największą funkcji" (chcą \(y\)) lub "Podaj argument, dla którego funkcja osiąga wartość największą" (chcą \(x\)).

### 6. Znak funkcji

Znak funkcji mówi, gdzie \(f(x) > 0\) (wykres nad osią \(OX\)) i gdzie \(f(x)  0\) - te przedziały na osi \(OX\), gdzie wykres jest **powyżej** osi poziomej
- \(f(x)  0\) dla \(x \in \langle -4, -2) \cup (-\frac{1}{4}, 6)\), bo w tych przedziałach wykres jest nad osią \(OX\). \(f(x)  0\) dla \(x \in (1, 3)\), \(f(x) < 0\) dla \(x \in \langle 0, 1) \cup (3, 5 \rangle\).

Ten typ zadania - parabola z ograniczoną dziedziną - jest jednym z klasyków maturalnych. Więcej o nim przeczytasz w [przewodniku po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

## Przykład 3: Odczytywanie nierówności \(f(x) \geq g(x)\) z wykresu dwóch funkcji

Na maturze zdarza się, że na jednym wykresie narysowane są **dwie funkcje** i musisz odczytać, kiedy jedna jest większa od drugiej.

Zadanie: Na wykresie narysowano wykresy funkcji \(f\) i \(g\). Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności \(f(x) \geq g(x)\).

**Metoda:** \(f(x) \geq g(x)\) oznacza, że wykres \(f\) jest **na lub powyżej** wykresu \(g\). Szukamy tych przedziałów na osi \(OX\), gdzie linia \(f\) nie schodzi pod linię \(g\).

Krok 1: Znajdź punkty przecięcia wykresów (tam \(f(x) = g(x)\)).
Krok 2: Między punktami przecięcia sprawdź, który wykres jest wyżej.
Krok 3: Zapisz przedziały, w których \(f\) jest wyżej lub na tym samym poziomie.

Załóżmy, że wykresy przecinają się w punktach \(x = -1\) i \(x = 4\), i dla \(x \in (-1, 4)\) wykres \(f\) jest wyżej. Wtedy:

$$f(x) \geq g(x) \quad \text{dla} \quad x \in \langle -1, 4 \rangle$$

## Przykład 4: Ile rozwiązań ma równanie \(f(x) = c\)?

Kolejny klasyk maturalny: "Dla ilu wartości argumentu \(x\) zachodzi \(f(x) = 2\)?"

**Metoda:** narysuj (mentalnie lub na arkuszu) prostą poziomą \(y = 2\). Policz, w ilu punktach ta prosta przecina wykres funkcji \(f\). Każdy punkt przecięcia to jedno rozwiązanie.

Jeśli wykres to parabola z wierzchołkiem w \((3, 5)\) i ramionami w dół:
- Prosta \(y = 5\) przecina parabolę w **jednym** punkcie (wierzchołek) - jedno rozwiązanie
- Prosta \(y = 2\) (poniżej wierzchołka) przecina parabolę w **dwóch** punktach - dwa rozwiązania
- Prosta \(y = 7\) (powyżej wierzchołka) nie przecina paraboli - zero rozwiązań

Tego typu rozumowanie jest również kluczowe przy [zadaniach z funkcją kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa) i [funkcją liniową](/topics/funkcja-liniowa).

## Przykład 5: Symetria wykresu i parzystość funkcji

Czasem CKE pyta, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta, czy żadne z powyższych.

Funkcja jest **parzysta**, gdy \(f(-x) = f(x)\) dla każdego \(x\) z dziedziny. Na wykresie oznacza to **symetrię względem osi \(OY\)**.

Funkcja jest **nieparzysta**, gdy \(f(-x) = -f(x)\) dla każdego \(x\) z dziedziny. Na wykresie oznacza to **symetrię względem początku układu współrzędnych**.

**Szybki test z wykresu:**
- Parzysta: jeśli zgiąłbyś kartkę wzdłuż osi \(OY\), obie połówki wykresu by się pokryły
- Nieparzysta: jeśli obrócisz wykres o \(180°\) wokół punktu \((0, 0)\), dostaniesz ten sam wykres

**Uwaga na dziedzinę:** żeby funkcja mogła być parzysta lub nieparzysta, jej dziedzina musi być symetryczna względem zera. Jeśli \(D_f = \langle -3, 5 \rangle\), to funkcja na pewno nie jest ani parzysta, ani nieparzysta (bo \(D_f\) nie jest symetryczna).

Więcej o własnościach funkcji w kontekście całego tematu znajdziesz w [kompletnym przewodniku po funkcjach](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), a ogólne strategie zdawania matury w [poradniku strategicznym](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Cheat sheet - co na co patrzeć

Oto ściągawka, którą warto sobie wyobrazić przed każdym zadaniem z wykresu:

| Własność | Na którą oś patrzę? | Na co uważam? |
|----------|---------------------|---------------|
| Dziedzina | Oś \(OX\) (pozioma) | Kropki puste/pełne, strzałki |
| Zbiór wartości | Oś \(OY\) (pionowa) | Najniższy i najwyższy punkt |
| Miejsca zerowe | Oś \(OX\) | Punkty przecięcia z osią \(OX\) |
| Monotoniczność | Oś \(OX\) | Przedziały wzrostu i spadku |
| Wartość max/min | Oś \(OY\) (wartość), \(OX\) (argument) | Czy pytają o wartość czy argument |
| Znak funkcji | Oś \(OX\) | Powyżej osi = plus, poniżej = minus |
| \(f(a) = ?\) | Oś \(OY\) | Poprowadź pionową od \(x = a\) |
| \(f(x) = b\) ile rozwiązań? | Oś \(OX\) (liczba przecięć) | Pozioma prosta \(y = b\) |

### Szybkie reguły zapisu przedziałów

- Zamalowana kropka \(\bullet\) na wykresie \(\to\) nawias kwadratowy \(\langle\) lub \(\rangle\)
- Pusta kropka \(\circ\) na wykresie \(\to\) nawias okrągły \((\) lub \()\)
- Strzałka \(\to\) nieskończoność \(\to\) zawsze nawias okrągły
- Nieskończoność zawsze z nawiasem okrągłym: \((-\infty, 3)\), nigdy \(\langle -\infty, 3 \rangle\)

## Strategia rozwiązywania na egzaminie

Na maturze masz średnio 3-4 minuty na jedno zadanie zamknięte. Zadania z wykresu da się rozwiązać w **60-90 sekund**, jeśli masz wyrobioną rutynę. Oto jak to wygląda w praktyce:

**0:00-0:10** - Przeczytaj pytanie. Zidentyfikuj, czego szukasz (dziedzina? zbiór wartości? monotoniczność?).

**0:10-0:30** - Przeanalizuj wykres. Zaznacz ołówkiem kluczowe punkty. Jeśli pytają o monotoniczność, zaznacz "górki" i "dołki". Jeśli o miejsca zerowe - zaznacz przecięcia z osią \(OX\).

**0:30-0:50** - Sformułuj odpowiedź. Zapisz ją w formie przedziału/zbioru. Sprawdź, czy nawiasy (okrągłe/kwadratowe) się zgadzają.

**0:50-1:10** - Weryfikacja. Upewnij się, że odpowiadasz na zadane pytanie (wartość vs argument, oś \(OX\) vs \(OY\)).

Ta strategia jest częścią szerszego podejścia do egzaminu, które opisuję w artykule o [łatwych punktach na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt).

## Ile punktów można zdobyć dzięki umiejętności czytania z wykresu?

Podsumujmy, ile punktów "z wykresu" czeka na Ciebie na typowym arkuszu maturalnym:

- **2-3 zadania zamknięte** po 1 punkcie, bezpośrednio odczytanie z wykresu \(= 2\text{-}3\) pkt
- **1 zadanie zamknięte** porównanie dwóch wykresów lub nierówność \(= 1\) pkt
- **Elementy zadań otwartych** - w zadaniach z [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) czy [trygonometrii](/topics/trygonometria) często pierwszy podpunkt wymaga odczytania czegoś z wykresu \(= 1\text{-}2\) pkt

Łącznie to **4-6 punktów**, które możesz zdobyć, umiejąc jedną rzecz: systematyczne czytanie z wykresu. To więcej niż cała [stereometria na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) daje przeciętnemu maturzyście.

Jeśli chcesz przećwiczyć te umiejętności na realnych zadaniach CKE, przejdź do naszej [bazy zadań z funkcji](/topics/funkcje) i filtruj po typie zadań z wykresem. A jeśli szukasz pełnej listy "pewnych" zadań maturalnych, sprawdź nasz [ranking pewniakow maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

## Podsumowanie

Odczytywanie własności funkcji z wykresu to jedna z niewielu umiejętności maturalnych, którą da się opanować w jeden wieczór, a która przynosi realne punkty na egzaminie. Nie wymaga znajomości wzorów (choć [karta wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) zawsze jest pod ręką), nie wymaga skomplikowanych obliczeń - wymaga tylko systematycznego podejścia i unikania kilku typowych pułapek.

Zapamiętaj najważniejsze zasady:
- Dziedzina i monotoniczność to oś \(OX\)
- Zbiór wartości i wartość max/min to oś \(OY\)
- Zamalowana kropka \(=\) punkt należy, pusta \(=\) nie należy
- Zawsze czytaj pytanie dwa razy

To naprawdę łatwe punkty. Nie oddawaj ich za darmo.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /nauka-matematyki-z-youtube-do-matury-czy-wystarczy
title: Nauka matematyki z YouTube do matury - czy same filmy wystarczą?
description: Czy da się nauczyć matematyki do matury z samego YouTube? Kiedy filmy pomagają, gdzie zawodzą i jak łączyć je z rozwiązywaniem zadań CKE krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Nauka matematyki z YouTube do matury - czy same filmy wystarczą?

Wieczorem przed sprawdzianem scenariusz jest zawsze ten sam: wpisujesz w YouTube "funkcja kwadratowa matura", trafiasz na film, w którym ktoś spokojnym głosem rozkłada wszystko na czynniki pierwsze, kiwasz głową i myślisz "no przecież to proste". YouTube stał się domyślnym korepetytorem całego pokolenia maturzystów i to naprawdę dobra wiadomość. Pytanie brzmi inaczej: czy z samych filmów da się zdać maturę z matematyki, czy to tylko połowa układanki.

Krótka odpowiedź: filmy są świetne do zrozumienia, ale bezużyteczne do wytrenowania. Matura nie sprawdza, czy rozumiesz, jak ktoś rozwiązuje zadanie. Sprawdza, czy potrafisz zrobić to sam, na pustej kartce, pod presją czasu, bez pauzy i bez podpowiedzi. Ten tekst pokazuje, co YouTube robi genialnie, gdzie zawodzi i jak połączyć go z aktywnym rozwiązywaniem zadań, żeby wiedza z filmów faktycznie zamieniła się w punkty.

## Co YouTube robi naprawdę dobrze

Nie ma sensu udawać, że filmy są bezwartościowe, bo nie są. Do kilku rzeczy nadają się lepiej niż niejeden podręcznik.

Po pierwsze, tłumaczą teorię obrazowo. Dobry film o [trygonometrii](/topics/trygonometria) czy [stereometrii](/topics/stereometria) pokaże ci rysunek, obróci bryłę, zaznaczy kąt kolorem. To coś, czego statyczna strona zbioru zadań nie da. Kiedy pierwszy raz spotykasz nowy dział, wideo jest najszybszą drogą do zrozumienia, o co w ogóle chodzi.

Po drugie, oswajają ze schematami. Oglądając, jak ktoś rozwiązuje kolejne równania kwadratowe, łapiesz rytm: delta, pierwiastki, koniec. Zaczynasz przewidywać następny krok, zanim prowadzący go wykona. To realna wartość.

Po trzecie, motywują. Film "cała matura podstawowa w 50 minut" potrafi wyrwać z marazmu lepiej niż postanowienie "od jutra się uczę". Kanały takie jak Matemaks czy inne prowadzone przez nauczycieli robią kawał dobrej roboty i warto z nich korzystać.

Problem nie leży w YouTube. Leży w tym, co robisz po zamknięciu filmu.

## Gdzie sam YouTube cię zawiedzie

Oglądanie to czynność bierna. Twój mózg w trakcie filmu jest w trybie "rozpoznaję", a nie "wytwarzam". A na maturze musisz wytwarzać: sam wybrać metodę, sam zapisać rozwiązanie, sam wyłapać własny błąd. Tych trzech rzeczy żaden film cię nie nauczy, bo za każdym razem robi je za ciebie prowadzący.

Najgroźniejsza jest tak zwana iluzja kompetencji (złudzenie, że skoro rozumiesz cudze rozwiązanie, to umiesz je odtworzyć). Kiwasz głową przy każdym kroku, wszystko wydaje się jasne, mózg zapisuje "umiem to". Potem siadasz do zadania sam i okazuje się, że nie masz pojęcia, od czego zacząć. Rozumienie cudzego toku rozumowania i samodzielne jego wytworzenie to dwie zupełnie różne umiejętności, a ćwiczy się tylko tę pierwszą.

Do tego dochodzi brak informacji zwrotnej. Film nie wie, że akurat ty mylisz znak przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę albo gubisz dziedzinę w [równaniu wymiernym](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura). Uczy wszystkich tak samo, a ty potrzebujesz sprawdzenia dokładnie swojej pracy, ze swoimi błędami.

I ostatnie: na maturze nie ma pauzy ani przewijania. Umiejętność rozwiązania zadania w skończonym czasie, bez możliwości cofnięcia się do prowadzącego, to osobna kompetencja, której przed ekranem nie zbudujesz.

## Aktywne powtarzanie, czyli dlaczego kartka bije ekran

Dydaktycy mają na to prostą nazwę: efekt testowania (uczenie się przez samodzielne przypominanie i rozwiązywanie, a nie bierne czytanie czy oglądanie). Dziesiątki badań pokazują to samo: grupa, która po przeczytaniu materiału od razu rozwiązywała zadania, pamiętała go po tygodniu znacznie lepiej niż grupa, która ten sam materiał tylko kilka razy przeczytała. Sekretem jest wysiłek przypominania. Kiedy sam musisz wydobyć z głowy wzór albo metodę, mózg traktuje to jako informację ważną i utrwala ją mocniej.

Oglądanie filmu działa dokładnie odwrotnie. Wszystko jest podane, nic nie musisz wydobywać, więc ślad pamięciowy zostaje płytki. Dlatego uczeń, który obejrzał dziesięć filmów, na sprawdzianie wypada gorzej niż ten, który obejrzał jeden i rozwiązał trzydzieści zadań. Nie chodzi o zdolności, tylko o to, że drugi z nich faktycznie ćwiczył tę konkretną czynność, którą sprawdza matura: samodzielne rozwiązywanie na czystej kartce.

## System, który działa: obejrzyj, rozwiąż, sprawdź

Rozwiązanie nie polega na porzuceniu YouTube, tylko na dołożeniu do niego dwóch brakujących etapów: samodzielnego rozwiązywania i natychmiastowego sprawdzania. Trzy kroki, w tej kolejności.

| Etap | Co robisz | Narzędzie |
| --- | --- | --- |
| 1. Zrozum | Oglądasz film o dziale, notujesz wzory i metodę | YouTube + [karta wzorów CKE](/formulas) |
| 2. Wytrenuj | Rozwiązujesz kilkanaście zadań tego typu samodzielnie | [tryb losowy](/random), [zadania wg działów](/topics) |
| 3. Sprawdź | Porównujesz swoje rozwiązanie z pełnym tokiem krok po kroku | [rozwiązania CKE](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo), [solver](/solve) |

Klucz to nie przeskakiwać z etapu pierwszego od razu do wyniku. Po obejrzeniu filmu zamknij go i zrób zadanie sam, na kartce. Dopiero potem sprawdź, czy metoda i zapis się zgadzają. Jeśli utknąłeś w połowie, wróć do konkretnego fragmentu filmu albo wrzuć zadanie do [solvera](/solve), przeczytaj jeden brakujący krok i dokończ sam.

## Jak oglądać, żeby film nie był stratą czasu

Jeśli już siadasz do filmu, wyciśnij z niego maksimum. Miej pod ręką kartkę i długopis. Za każdym razem, gdy prowadzący zapisuje wzór albo nazywa metodę, zatrzymaj film i przepisz to własną ręką, a nie tylko przeczytaj z ekranu. Po każdym rozwiązanym przez niego przykładzie zatrzymaj się i spróbuj przewidzieć następny krok, zanim go pokaże. A gdy film się skończy, zamknij go i od razu rozwiąż jedno podobne zadanie z pamięci. Te trzy nawyki zamieniają bierne oglądanie w coś, co realnie zostaje w głowie, i skracają drogę od teorii do pierwszych samodzielnie zdobytych punktów.

## Gdzie ćwiczyć aktywnie, kiedy film się skończy

Do etapu drugiego i trzeciego potrzebujesz bazy prawdziwych zadań z natychmiastowym sprawdzeniem. Na sprawnamatura.pl masz ponad 2300 zadań z arkuszy CKE z lat 2010-2025, każde z rozwiązaniem krok po kroku. To dokładnie to, czego brakuje po obejrzeniu filmu: miejsce, gdzie sam rozwiązujesz i od razu widzisz, czy metoda była dobra.

W praktyce wygląda to tak. Obejrzałeś film o ciągach? Wejdź na [zadania z ciągów](/topics/ciagi) i rozwiąż serię samodzielnie. Chcesz sprawdzić, czy dział wchodzi na chłodno, bez zapowiedzi tematu? Włącz [tryb losowy](/random), który podrzuca zadania z różnych działów, tak jak na prawdziwym arkuszu. Gotowy na próbę generalną? Rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy i słabe punkty widzisz w [panelu postępów](/progress), więc wiesz, do którego działu wrócić.

Duża część bazy, w tym zadania zamknięte i przewodniki tematyczne, jest dostępna za darmo i bez logowania, więc możesz zacząć od razu po obejrzeniu pierwszego filmu. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje [abonament Premium](/payment/checkout).

Jeśli szukasz gotowego zestawu zadań z konkretnego działu, żeby ćwiczyć zaraz po filmie, zajrzyj do naszych hubów, na przykład [zadania CKE ze statystyki z rozwiązaniami](/zadania-cke-statystyka-z-rozwiazaniami). Każdy zbiera zadania maturalne z jednego tematu w jednym miejscu.

## Przykładowy tydzień: YouTube plus zadania

Żeby to nie było tylko teorią, oto jak może wyglądać tydzień nauki jednego działu, na przykład [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa).

Poniedziałek: obejrzyj jeden film z teorią działu, wypisz wzory na kartkę. Wtorek: rozwiąż 10 łatwych zadań zamkniętych z tego działu i od razu sprawdź. Środa: weź 3 zadania otwarte, daj sobie po 15 minut na każde, dopiero potem porównaj z rozwiązaniem. Czwartek: wróć do tych zadań, które nie wyszły, i zrób je od zera. Piątek: [tryb losowy](/random) z całego działu jako sprawdzian. Weekend: jeden pełny [arkusz](/exams) albo przerwa.

Zwróć uwagę, że film pojawia się tylko raz, na starcie. Cała reszta tygodnia to samodzielna praca. To jest właściwa proporcja: wideo otwiera dział, zadania go zamykają.

## FAQ

### Czy da się zdać maturę z matematyki tylko z YouTube?
Teoretycznie tak, w praktyce prawie nikomu się to nie udaje. Filmy zbudują ci zrozumienie, ale bez samodzielnego rozwiązania kilkuset zadań nie wyćwiczysz szybkości ani odporności na własne błędy. Do progu zdawalności [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) potrzebujesz treningu, nie tylko wiedzy.

### Ile filmów dziennie oglądać?
Mniej, niż myślisz. Jeden film z teorią na dział w zupełności wystarczy, resztę czasu przeznacz na rozwiązywanie. Jeśli oglądasz trzeci film z rzędu, a nie rozwiązałeś w tym czasie ani jednego zadania sam, to sygnał ostrzegawczy.

### Które kanały są dobre?
Te prowadzone przez nauczycieli i osoby z realnym doświadczeniem maturalnym, na przykład Matemaks. Ważniejsze jednak od wyboru kanału jest to, co robisz po filmie: bez własnego rozwiązywania nawet najlepszy kanał nie zamieni się w punkty.

### YouTube czy płatny kurs?
To zależy od tego, czego ci brakuje. Jeśli potrzebujesz teorii i motywacji, YouTube plus baza zadań w zupełności wystarczy. Jeśli potrzebujesz struktury i kogoś, kto poprowadzi cię za rękę, rozważ kurs, ale najpierw przeczytaj [kurs maturalny z matematyki online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto).

### Czy warto oglądać film w trakcie rozwiązywania zadania?
Lepiej nie. Rozdziel te czynności: najpierw obejrzyj i zrozum, potem odłóż telefon i rozwiązuj samodzielnie. Film puszczony w tle sprawia, że znowu wracasz w tryb biernego oglądania i tracisz cały sens własnej pracy nad zadaniem.

## Podsumowanie

YouTube to znakomity nauczyciel teorii i fatalny trener praktyki. Filmy pokażą ci, jak rozwiązać zadanie, ale nie sprawią, że sam je rozwiążesz, tak samo jak oglądanie meczów nie robi z nikogo piłkarza. Brakujący element to aktywne rozwiązywanie zadań z natychmiastowym sprawdzeniem.

Plan na dziś: obejrzyj jeden film o dziale, który cię męczy, a potem zamknij go i rozwiąż pięć zadań z [bazy CKE](/random) całkowicie sam. Gotowy zestaw zadań z jednego tematu znajdziesz w hubach takich jak [zadania CKE ze statystyki z rozwiązaniami](/zadania-cke-statystyka-z-rozwiazaniami). To najkrótsza droga od "rozumiem, jak on to robi" do "umiem to zrobić sam".

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki
title: Najczęstsze błędy na maturze z matematyki - 20 pułapek, które kosztują punkty
description: Najczęstsze błędy na maturze z matematyki: złe potęgowanie, zapominanie o dziedzinie, mylenie wzorów. 20 pułapek z wyjaśnieniami i sposobami jak ich uniknąć.
author: Marcel Bogdan
---

# Najczęstsze błędy na maturze z matematyki - 20 pułapek, które kosztują punkty

## Dlaczego warto znać typowe pułapki?

Na maturze z matematyki **większość straconych punktów** to nie brak wiedzy, a **banalne pomyłki** popełniane pod presją czasu. Egzaminatorzy CKE doskonale znają te błędy i celowo konstruują zadania, w których łatwo się pomylić.

Ten artykuł to lista 20 najczęstszych pułapek, pogrupowanych tematycznie. Przed każdą maturą próbną w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) warto ją przejrzeć.

## Potęgi i pierwiastki

### Błąd 1: \((a + b)^2 = a^2 + b^2\)

**Poprawnie:** \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Brakuje \(2ab\). To **najczęstszy błąd** w historii matur. Więcej o [wzorach skróconego mnożenia](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia).

### Błąd 2: \(\sqrt{a^2 + b^2} = a + b\)

**Poprawnie:** \(\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b\) (chyba że \(a = 0\) lub \(b = 0\))

Pierwiastek z sumy to NIE suma pierwiastków. Sprawdź: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), ale \(3 + 4 = 7\).

### Błąd 3: \(a^m \cdot b^m = (ab)^{2m}\)

**Poprawnie:** \(a^m \cdot b^m = (ab)^m\)

Wykładniki nie dodajemy, gdy mnożymy potęgi o **różnych** podstawach. Dodajemy wykładniki tylko przy **tej samej** podstawie. Powtórz [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

### Błąd 4: Zapomnienie o \(\pm\) przy \(\sqrt{x^2}\)

$$\sqrt{x^2} = |x|, \text{ a nie } x$$

Jeśli \(x = -3\), to \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|\), a nie \(-3\).

## Procenty

### Błąd 5: Dodawanie procentów zamiast mnożenia mnożników

"Podwyżka o 20%, potem obniżka o 20%" NIE daje powrotu do ceny wyjściowej.

$$100 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}80 = 96 \neq 100$$

Zawsze używaj mnożników! Więcej w [procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

### Błąd 6: Netto \(\neq\) brutto - 23%

Cena netto to NIE "brutto minus 23% brutto". Prawidłowo: \(\text{netto} = \frac{\text{brutto}}{1{,}23}\).

**Przykład:** Brutto = 123 zł. Źle: \(123 - 23\% \cdot 123 = 94{,}71\) zł. Dobrze: \(\frac{123}{1{,}23} = 100\) zł.

## Funkcje

### Błąd 7: Monotoniczność z osi OY zamiast OX

Przedziały monotoniczności podajemy zawsze z osi **OX** (argumentów), nie \(OY\) (wartości). Jeśli funkcja rośnie na przedziale, to podajesz wartości \(x\), dla których rośnie. Szczegóły w [przewodniku po funkcjach](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc).

### Błąd 8: Zapomnienie o dziedzinie przy skracaniu

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$$

To prawda, **ale** \(x \neq 2\)! Po skróceniu dziedzina nie zmienia się - punkt \(x = 2\) nadal nie należy do dziedziny.

### Błąd 9: Brak dziedziny przy ułamku/pierwiastku/logarytmie

Na maturze otwartej za **brak wyznaczenia dziedziny** tracisz punkty. Zawsze wypisuj:
- Mianownik \(\neq 0\)
- Wyrażenie pod \(\sqrt{\phantom{x}} \geq 0\)
- Argument logarytmu \(> 0\)

Pełne zasady w [funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc).

## Funkcja kwadratowa

### Błąd 10: Zły znak wyróżnika

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Uwaga na znaki! Jeśli \(c  0\), co powiększa \(\Delta\). Systematycznie podstawiaj ze znakami.

Więcej w [funkcji kwadratowej na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

### Błąd 11: Ramiona paraboli w złą stronę

- \(a > 0\): ramiona do **góry** (uśmiech)
- \(a  0, cos  0

Zawsze sprawdzaj, w którym kwadrancie leży kąt! Więcej w [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Geometria

### Błąd 14: Pole vs obwód - mylenie wzorów

Pole trójkąta: \(P = \frac{1}{2}ah\), NIE \(ah\). Obwód: suma boków, NIE pole.

Na [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) punkty tracone na zamianę pola z obwodem to klasyk.

### Błąd 15: Twierdzenie Pitagorasa z błędną przeciwprostokątną

$$a^2 + b^2 = c^2$$

\(c\) to **zawsze przeciwprostokątna** (najdłuższy bok, naprzeciwko kąta prostego). Nie ma znaczenia, jak oznaczymy boki.

### Błąd 16: Zamiana objętości z polem powierzchni

Objętość prostopadłościanu: \(V = abc\). Pole powierzchni: \(P_c = 2(ab + ac + bc)\). To dwa zupełnie różne wzory.

## Logarytmy

### Błąd 17: \(\log(a + b) = \log a + \log b\)

**Poprawnie:** \(\log(a \cdot b) = \log a + \log b\)

Logarytm sumy to NIE suma logarytmów. Logarytm **iloczynu** to suma logarytmów.

Podobnie: \(\log\frac{a}{b} = \log a - \log b\), ale \(\log(a - b) \neq \log a - \log b\).

Powtórz [logarytmy na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Ciągi

### Błąd 18: Suma ciągu arytmetycznego vs wyraz ogólny

Wyraz ogólny: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)

Suma: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)

Nie mylić! Suma to nie to samo co \(n\)-ty wyraz. Więcej w [ciągach na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

## Równania i nierówności

### Błąd 19: Zmiana znaku nierówności przy mnożeniu przez liczbę ujemną

$$-2x > 6 \quad \Rightarrow \quad x < -3$$

Przy [dzieleniu/mnożeniu przez liczbę ujemną](/nierownosc-liniowa-jak-rozwiazac-najmniejsza-liczba-calkowita-matura#kiedy-zmienic-znak-nierownosci) **odwracamy** znak nierówności. Zapomnienie o tym to strata punktu.

### Błąd 20: Podnoszenie do kwadratu bez sprawdzania

Jeśli podnosisz obie strony równania do kwadratu, możesz otrzymać **rozwiązania pozorne**. Zawsze sprawdzaj wynik w równaniu wyjściowym!

Pełny przewodnik: [równania i nierówności na maturze](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania).

## Błędy techniczne i organizacyjne

### Przenoszenie odpowiedzi na kartę

Na maturze zamkniętej odpowiedzi przenosisz na kartę odpowiedzi. Jeden przesunięty wiersz = strata wielu punktów. **Zawsze sprawdzaj numer zadania.**

### Brak jednostek

W zadaniach otwartych z [geometrią](/topics/planimetria) czy [procentami](/topics/procenty) - jeśli wynik ma jednostkę, napisz ją. "Pole wynosi 25" vs "Pole wynosi 25 cm\(^2\)" - drugie jest poprawne.

### Nieczytelne zapisy

Egzaminator nie będzie zgadywał, czy napisałeś 1 czy 7. Pisz czytelnie, a jeśli się pomylisz - skreśl wyraźnie i napisz obok.

## Jak unikać tych błędów?

1. **Rozwiązuj arkusze na czas** w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) - nauczysz się pracować pod presją
2. **Sprawdzaj odpowiedzi** - zostaw 30 minut na sprawdzenie
3. **Wypisuj dziedzinę** na początku każdego zadania otwartego
4. **Podstawiaj wynik** do równania wyjściowego
5. **Przeczytaj tę listę** przed każdą próbną maturą

Więcej strategii w [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i [planie na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac
title: Miejsca zerowe funkcji na maturze - jak je znajdować i do czego służą
description: Jak znajdować miejsca zerowe funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianów? Definicja, wzory, wykres, twierdzenie Bezouta i przykłady maturalne.
author: Marcel Bogdan
---

# Miejsca zerowe funkcji na maturze - jak je znajdować i do czego służą

## Czym są miejsca zerowe funkcji?

Miejsce zerowe funkcji to **argument (wartość \(x\))**, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Innymi słowy, szukamy takich \(x\), że:

$$f(x) = 0$$

Brzmi prosto - i faktycznie jest proste, jeśli rozumiesz, co to znaczy graficznie i algebraicznie.

### Interpretacja graficzna

Miejsca zerowe to **punkty przecięcia wykresu funkcji z osią \(OX\)**. Jeśli wykres przechodzi przez punkt \((x_0, 0)\), to \(x_0\) jest miejscem zerowym.

To dlatego na maturze tak często pojawiają się zadania typu "odczytaj z wykresu miejsca zerowe" - wystarczy spojrzeć, gdzie wykres dotyka lub przecina oś poziomą. Mnóstwo takich zadań znajdziesz w naszej [bazie zadań z funkcji](/topics/funkcje).

### Dlaczego miejsca zerowe są tak ważne?

Miejsca zerowe pojawiają się na maturze w wielu kontekstach:

- **Rozwiązywanie równań** - równanie \(f(x) = 0\) to właśnie szukanie miejsc zerowych
- **Rozwiązywanie nierówności** - żeby zbadać, gdzie \(f(x) > 0\) lub \(f(x)  0\) | 2 różne | \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\), \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta = 0\) | 1 (podwójne) | \(x_0 = \frac{-b}{2a}\) |
| \(\Delta  0\):

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Dla \(\Delta = 0\):

$$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

Zauważ, że \(x_0\) to jednocześnie **wierzchołek paraboli** - parabola "dotyka" osi \(OX\), ale jej nie przecina.

Pełne omówienie wzorów na funkcję kwadratową znajdziesz w [przewodniku po funkcji kwadratowej na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

### Przykład 3: Dwa miejsca zerowe

**Znajdź miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2 - 5x + 6\).**

Identyfikujemy współczynniki: \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$\sqrt{\Delta} = 1$$

$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Miejsca zerowe to \(x_1 = 2\) i \(x_2 = 3\).

**Sprawdzenie:** \(f(2) = 4 - 10 + 6 = 0\) i \(f(3) = 9 - 15 + 6 = 0\). Zgadza się.

### Przykład 4: Jedno miejsce zerowe

**Znajdź miejsca zerowe funkcji \(f(x) = 4x^2 - 12x + 9\).**

Współczynniki: \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).

$$\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$$

$$x_0 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

Jedno (podwójne) miejsce zerowe: \(x_0 = \frac{3}{2}\). Parabola dotyka osi \(OX\) w punkcie \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\).

Zauważ, że \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\) - to kwadrat dwumianu. Gdy delta wynosi zero, trójmian kwadratowy zawsze jest kwadratem dwumianu.

### Postać iloczynowa - szybki zapis

Jeśli znamy miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

Dla przykładu 3: \(f(x) = (x - 2)(x - 3)\).

Ta postać jest szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych - od razu widać, w jakich przedziałach funkcja jest dodatnia lub ujemna.

---

## Wzory Viete'a - szybka metoda bez delty

Jeśli \(x_1\) i \(x_2\) są miejscami zerowymi funkcji \(f(x) = ax^2 + bx + c\), to zachodzą wzory Viete'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

### Kiedy stosować wzory Viete'a?

1. **Gdy pytają o sumę lub iloczyn miejsc zerowych** - nie musisz ich wyznaczać osobno
2. **Gdy znasz jedno miejsce zerowe** i chcesz szybko wyznaczyć drugie
3. **W zadaniach z parametrem** - wzory Viete'a pozwalają postawić warunki bez liczenia delty

### Przykład 5: Wzory Viete'a w zadaniu maturalnym

**Miejsca zerowe funkcji \(f(x) = 2x^2 - 10x + c\) spełniają warunek \(x_1 \cdot x_2 = 3\). Wyznacz \(c\).**

Z wzorów Viete'a:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{c}{2}$$

Skoro \(x_1 \cdot x_2 = 3\):

$$\frac{c}{2} = 3 \implies c = 6$$

**Weryfikacja:** \(f(x) = 2x^2 - 10x + 6\), \(\Delta = 100 - 48 = 52 > 0\), więc istnieją dwa miejsca zerowe. Ich iloczyn: \(\frac{6}{2} = 3\). Zgadza się.

Wzory Viete'a to jeden z tych wzorów, które warto znać [poza tablicami](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac) - choć na szczęście pojawiają się w karcie wzorów CKE.

---

## Miejsca zerowe wielomianu wyższego stopnia

Na maturze podstawowej wielomiany stopnia wyższego niż 2 pojawiają się rzadko, ale warto znać podstawowe metody.

### Metoda 1: Wyłączanie wspólnego czynnika

$$f(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$$

Miejsca zerowe: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = -2\).

### Metoda 2: Grupowanie wyrazów

$$f(x) = x^3 + x^2 - x - 1 = x^2(x + 1) - 1(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2$$

Miejsca zerowe: \(x_1 = 1\) (pojedyncze), \(x_2 = -1\) (podwójne).

### Metoda 3: Twierdzenie Bezout

Twierdzenie Bezout mówi: wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \((x - a)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(a) = 0\).

W praktyce: **próbujemy podstawić "ładne" liczby** (dzielniki wyrazu wolnego podzielone przez dzielniki współczynnika wiodącego). Jeśli \(W(a) = 0\), to \(a\) jest miejscem zerowym, a wielomian możemy podzielić przez \((x - a)\) i szukać dalszych miejsc zerowych w ilorazie.

### Przykład 6: Wielomian trzeciego stopnia

**Znajdź miejsca zerowe wielomianu \(W(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).**

Wyraz wolny to \(-6\), współczynnik wiodący to \(1\). Kandydaci na miejsca zerowe: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Sprawdzamy \(x = 1\):

$$W(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$$

Jest! Dzielimy \(W(x)\) przez \((x - 1)\) (schemat Hornera lub dzielenie pisemne):

$$W(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$$

Teraz rozwiązujemy \(x^2 - 5x + 6 = 0\):

$$\Delta = 25 - 24 = 1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3$$

Miejsca zerowe wielomianu: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 3\).

---

## Miejsca zerowe funkcji wymiernej

Funkcja wymierna ma postać \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\), gdzie \(P\) i \(Q\) to wielomiany.

**Miejsce zerowe funkcji wymiernej** to takie \(x_0\), że:
- \(P(x_0) = 0\) (licznik się zeruje)
- \(Q(x_0) \neq 0\) (mianownik się NIE zeruje - bo \(x_0\) musi należeć do dziedziny)

### Przykład: Funkcja wymierna

**Znajdź miejsca zerowe funkcji \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 3}\).**

Licznik: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2\) lub \(x = -2\).

Mianownik: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\) (to nie jest w dziedzinie!).

Sprawdzamy: \(Q(2) = -1 \neq 0\) i \(Q(-2) = -5 \neq 0\).

Miejsca zerowe: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\).

**Uwaga na pułapkę!** Gdyby licznik i mianownik zerowały się dla tego samego \(x\), to ten \(x\) NIE byłby miejscem zerowym (bo nie należy do dziedziny). Na przykład dla \(g(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\) punkt \(x = 2\) to nie miejsce zerowe, lecz punkt, w którym funkcja nie jest określona.

---

## Ile miejsc zerowych może mieć funkcja?

Przydatne zestawienie na maturę:

| Typ funkcji | Maks. miejsc zerowych | Uwagi |
|:---:|:---:|:---|
| Stała \(f(x) = c\) | 0 lub \(\infty\) | 0 gdy \(c \neq 0\), nieskończenie wiele gdy \(c = 0\) |
| Liniowa \(f(x) = ax + b\) | 1 | Zawsze dokładnie 1 (gdy \(a \neq 0\)) |
| Kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | 0, 1 lub 2 | Zależy od znaku delty |
| Wielomian stopnia \(n\) | Co najwyżej \(n\) | Może mieć mniej niż \(n\) |
| Wykładnicza \(f(x) = a^x\) | 0 | Nigdy nie przecina osi \(OX\) (bo \(a^x > 0\)) |
| Logarytmiczna \(f(x) = \log_a x\) | 1 | Zawsze \(x_0 = 1\) |
| \(\sin x\), \(\cos x\) | \(\infty\) | Nieskończenie wiele (funkcje okresowe) |

To zestawienie warto zapamiętać - pojawia się w pytaniach zamkniętych typu "która z podanych funkcji ma dokładnie dwa miejsca zerowe?". Więcej o odczytywaniu własności funkcji znajdziesz w artykule o [odczytywaniu własności z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura).

---

## Miejsca zerowe a znak funkcji i nierówności

Jednym z najważniejszych zastosowań miejsc zerowych jest **wyznaczanie przedziałów, w których funkcja jest dodatnia lub ujemna**. Schemat wygląda tak:

1. **Znajdź miejsca zerowe** - to "punkty graniczne"
2. **Zaznacz je na osi liczbowej** - dzielą oś na przedziały
3. **Ustal znak w każdym przedziale** - podstaw dowolny punkt z przedziału lub użyj reguły znaku

### Reguła dla funkcji kwadratowej

Dla \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) z \(x_1  0\): funkcja jest ujemna między miejscami zerowymi, dodatnia na zewnątrz
  - \(f(x) > 0\) dla \(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
  - \(f(x)  0\), więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Funkcja jest ujemna **między** miejscami zerowymi.

Krok 3: Odpowiedź: \(x \in (-2, 4)\).

---

## Zadania maturalne z miejscami zerowymi - typy pytań

Na maturze zadania z miejscami zerowymi pojawiają się w kilku powtarzalnych schematach. Oto najczęstsze:

### Typ 1: "Odczytaj z wykresu"

*Dany jest wykres funkcji \(f\). Odczytaj miejsca zerowe.*

Tu wystarczy spojrzeć, gdzie wykres przecina oś \(OX\). Takie zadania ćwicz w [bazie zadań z funkcji](/topics/funkcje) - jest ich tam mnóstwo.

### Typ 2: "Oblicz miejsca zerowe danej funkcji"

To czysta algebra - stosujesz odpowiednią metodę w zależności od typu funkcji (liniowa, kwadratowa, wielomian).

### Typ 3: "Ile miejsc zerowych ma funkcja?"

Często w zadaniach zamkniętych. Musisz umieć szybko ocenić liczbę miejsc zerowych - bez ich wyznaczania.

### Typ 4: "Wyznacz parametr, aby funkcja miała określoną liczbę miejsc zerowych"

**Najbardziej zaawansowany typ na maturze podstawowej.** Przykład:

*Dla jakich wartości parametru \(m\) funkcja \(f(x) = x^2 + 2mx + m + 6\) ma dwa różne miejsca zerowe?*

Rozwiązanie: Potrzebujemy \(\Delta > 0\):

$$\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 6) = 4m^2 - 4m - 24 > 0$$

$$m^2 - m - 6 > 0$$

$$(m - 3)(m + 2) > 0$$

$$m \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$$

Zadania z parametrem łączą wiele umiejętności naraz. Przeczytaj też o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), żeby wiedzieć, na co uważać.

### Typ 5: "Miejsca zerowe spełniają warunek..."

*Suma miejsc zerowych funkcji \(f(x) = 3x^2 - 12x + c\) jest równa 4. Wyznacz \(c\).*

Tu przydają się wzory Viete'a. Suma miejsc zerowych: \(x_1 + x_2 = \frac{12}{3} = 4\). Warunek jest spełniony dla każdego \(c\), pod warunkiem że \(\Delta \geq 0\):

$$\Delta = 144 - 12c \geq 0 \implies c \leq 12$$

---

## Najczęstsze błędy przy wyznaczaniu miejsc zerowych

Z doświadczenia wiemy, że uczniowie najczęściej mylą się w tych momentach:

### Błąd 1: Złe znaki we wzorze na deltę

Pamiętaj: \(\Delta = b^2 - 4ac\). Jeśli \(b\) jest ujemne (np. \(b = -5\)), to \(b^2 = 25\), a NIE \(-25\). Kwadrat liczby ujemnej jest zawsze dodatni!

### Błąd 2: Zapominanie o warunku \(a \neq 0\)

Gdy w zadaniu z parametrem współczynnik \(a\) zależy od parametru, musisz osobno sprawdzić, czy \(a \neq 0\).

### Błąd 3: Miejsca zerowe funkcji wymiernej

Przy funkcji wymiernej \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) musisz sprawdzić, czy kandydat na miejsce zerowe nie zeruje mianownika. To jeden z [najczęstszych błędów rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

### Błąd 4: Mieszanie miejsca zerowego z wartością w zerze

Miejsce zerowe to \(x\) takie, że \(f(x) = 0\). Wartość w zerze to \(f(0)\) - to zupełnie co innego!

- Miejsce zerowe: punkt na osi \(OX\)
- \(f(0)\): punkt na osi \(OY\) (wyraz wolny)

---

## Jak odpowiadać na pytania o miejsca zerowe na maturze

### W zadaniach zamkniętych

1. Przeczytaj wszystkie odpowiedzi - czasem da się wykluczyć błędne bez obliczeń
2. Podstaw podaną wartość do funkcji i sprawdź, czy wychodzi 0
3. Pamiętaj o pułapkach z dziedziną (funkcje wymierne!)

### W zadaniach otwartych

1. **Zapisz równanie** \(f(x) = 0\) - za to są punkty
2. **Pokaż obliczenia** - wyznacz deltę, zapisz wzory
3. **Podaj wynik** jasno: "miejsca zerowe to \(x_1 = ...\) i \(x_2 = ...\)"
4. **Sprawdź** - podstaw wyniki do funkcji (nie jest wymagane, ale chroni przed błędem)

Więcej wskazówek o tym, jak pisać rozwiązania zadań otwartych, znajdziesz w artykule o [rozwiązywaniu zadań otwartych na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

---

## Podsumowanie - miejsca zerowe w pigułce

Miejsca zerowe to temat, który pojawia się na każdym arkuszu maturalnym - w co najmniej 2-3 zadaniach. Kluczowe rzeczy do zapamiętania:

1. **Definicja:** \(f(x_0) = 0\) - graficznie punkt przecięcia z osią \(OX\)
2. **Funkcja liniowa:** zawsze jedno miejsce zerowe \(x_0 = -\frac{b}{a}\)
3. **Funkcja kwadratowa:** 0, 1 lub 2 - zależy od delty
4. **Wielomiany:** użyj twierdzenia Bezout i dzielenia wielomianów
5. **Funkcja wymierna:** zeruj licznik, ale sprawdź mianownik!
6. **Wzory Viete'a:** szybka metoda, gdy pytają o sumę lub iloczyn
7. **Znak funkcji:** miejsca zerowe dzielą oś na przedziały o stałym znaku

Jeśli chcesz przećwiczyć te zagadnienia na prawdziwych arkuszach CKE, zajrzyj do [kompletnej bazy arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). A jeśli zaczynasz naukę od podstaw, polecamy [przewodnik jak uczyć się matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury) - miejsca zerowe to jedno z pierwszych zagadnień, które warto opanować solidnie.

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-z-matematyki-po-latach-dla-doroslych-jak-zdac
title: Matura z matematyki po latach - jak zdać jako dorosły bez szkoły
description: Matura z matematyki po latach dla dorosłych: jak zdać samodzielnie bez szkoły i korepetycji. Plan od diagnozy, priorytety działów i darmowe zadania CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki po latach - jak zdać jako dorosły bez szkoły

Wracasz do matury po kilku, może kilkunastu latach przerwy. Może kończysz liceum dla dorosłych, może chcesz iść na studia, a może po prostu musisz mieć zdaną maturę do pracy albo awansu. Otwierasz pierwszy z brzegu arkusz CKE, widzisz deltę, logarytmy i ciągi, i przez głowę przelatuje jedna myśl: "ja tego nigdy nie ogarnę, szkoła była wieki temu". Zatrzymaj się na moment, bo to nieprawda. Matura z matematyki po latach jest do zdania i to bez wracania na szkolną ławkę, bez drogich korepetycji i bez wkuwania całego liceum od nowa.

W tym tekście pokażę ci, dlaczego dorośli często mają łatwiej, niż im się wydaje, od czego konkretnie zacząć, ile realnie zajmie ci przygotowanie i jakimi narzędziami ogarniesz to samodzielnie z domu. Bez lania wody, konkretny plan.

## Dlaczego dorosłemu jest łatwiej, niż myśli

Brzmi jak pocieszanie, ale to fakt poparty tym, jak wygląda matura podstawowa. Egzamin sprawdza nie geniusz matematyczny, tylko opanowanie skończonej listy schematów. A ty masz nad osiemnastolatkiem trzy przewagi.

Po pierwsze, wiesz po co się uczysz. Nastolatek robi maturę, bo musi. Ty masz konkretny cel: studia, praca, awans. Ta motywacja jest paliwem, którego siedemnastolatkowi zwykle brakuje.

Po drugie, umiesz się zorganizować. Dorosły potrafi zaplanować tydzień, wygospodarować godzinę wieczorem i trzymać się rutyny. Nauka do matury to w 80 procentach regularność, a nie talent.

Po trzecie, masz mocniejsze podstawy praktyczne. Procenty, proporcje, koszty, raty kredytu, to wszystko liczyłeś w życiu setki razy. Duża część matury podstawowej to właśnie [zadania z treścią](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac) i [procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany), a nie abstrakcyjna algebra.

To, czego naprawdę potrzebujesz, to odświeżyć zapis i schematy: jak zapisać rozwiązanie, żeby dostać punkty, i którą metodą podejść do danego typu zadania. I dokładnie z tym pomaga dobrze zrobiona baza zadań z rozwiązaniami.

## Od czego zacząć - najpierw diagnoza, nie podręcznik

Największy błąd dorosłego, który wraca do matematyki, to kupienie grubego repetytorium i czytanie go od pierwszej strony. Po dwóch wieczorach o zbiorach liczbowych motywacja spada, a do egzaminu daleko. Zrób inaczej.

Zacznij od diagnozy, czyli sprawdzenia, co już umiesz, a czego nie. Weź jeden pełny [arkusz CKE](/exams) i rozwiąż tyle, ile dasz radę, bez ściągania. Nie chodzi o wynik, tylko o mapę: które działy idą, a które są czarną dziurą. Jak to zrobić z głową, opisuje [test diagnostyczny z matematyki przed maturą](/test-diagnostyczny-matematyka-matura-jak-sprawdzic-poziom).

Dopiero mając tę mapę, planujesz naukę. Uczysz się tego, co da ci punkty, a nie wszystkiego po kolei. Jeśli startujesz naprawdę od zera, przejdź krok po kroku przewodnik [jak uczyć się matematyki od zera do matury](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury).

## Ile punktów musisz zdobyć i ile to działów

Do zdania matury podstawowej z matematyki wystarczy 30 procent punktów. Cały mechanizm progu opisałem w tekście [ile punktów żeby zdać maturę z matematyki](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki), ale wniosek dla ciebie jest prosty: nie musisz umieć wszystkiego. Musisz pewnie zgarniać łatwe i średnie zadania z kilku najbardziej dochodowych działów.

Poniżej priorytety dla dorosłego, który zaczyna od podstaw. Kolejność to stosunek zysku do wysiłku: góra tabeli to działy, które dają najwięcej punktów przy najmniejszym nakładzie.

| Priorytet | Dział | Dlaczego warto zacząć tu | Gdzie ćwiczyć |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | Liczby, procenty, potęgi | Znasz z życia, dużo łatwych punktów | [procenty na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) |
| 2 | Wyrażenia algebraiczne | Fundament pod resztę, schematyczne | [zadania CKE z wyrażeń algebraicznych](/zadania-cke-wyrazenia-algebraiczne-z-rozwiazaniami) |
| 3 | Równania i nierówności | Wracają w każdym arkuszu | [równania i nierówności na maturze](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) |
| 4 | Funkcja liniowa i kwadratowa | Delta i wykresy, powtarzalne typy | [funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) |
| 5 | Ciągi | Dwa wzory, szybkie punkty | [ciągi na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) |
| 6 | Geometria i planimetria | Wzory z karty, dużo zadań zamkniętych | [planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) |

Sześć działów z góry tej tabeli spokojnie wystarcza, żeby przekroczyć próg. Reszta to bonus na wyższy wynik, jeśli celujesz w konkretny kierunek studiów.

## Jak uczyć się bez nauczyciela i bez korepetycji

To jest sedno sprawy dla dorosłego: nie masz nauczyciela nad głową ani czasu na dojazdy na korepetycje dwa razy w tygodniu. I nie potrzebujesz. Cała samodzielna nauka do matury da się dziś ułożyć z darmowych narzędzi online, jeśli robisz to w dobrej kolejności.

Krok pierwszy: teoria w pigułce. Zamiast grubej książki weź krótki przewodnik po dziale, ogarnij jeden temat, i od razu przechodź do zadań. Wszystkie wzory, których nie musisz wkuwać, bo są na karcie, plus te spoza karty, masz zebrane w [kompletnej liście wzorów na maturę](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista) oraz w dziale [wzory](/wzory) z interaktywnymi kalkulatorami.

Krok drugi: zadania z rozwiązaniami krok po kroku. Tu robi się cała robota. Rozwiązujesz zadanie samodzielnie, a jak utkniesz, zaglądasz do pełnego rozwiązania i rozumiesz, gdzie był błąd. W bazie masz ponad 2300 prawdziwych zadań CKE z arkuszy z lat 2010-2026, każde z rozpisanym rozwiązaniem. Wybierasz dział w [zakładce działów](/topics) i lecisz seriami.

Krok trzeci: sprawdzanie własnych rachunków. Kiedy nie masz pewności, czy dobrze policzyłeś wyrażenie albo rozwiązałeś równanie, wrzucasz je do [solvera matematycznego](/solve), który pokazuje wynik krok po kroku. To zastępuje nauczyciela, który mówi "tu masz błąd rachunkowy".

Krok czwarty: trening w warunkach egzaminu. Raz na jakiś czas włączasz [tryb losowy](/random), który miesza działy jak prawdziwy arkusz, albo rozwiązujesz cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy i słabe punkty śledzisz w [panelu postępów](/progress), dzięki czemu widzisz czarno na białym, co jeszcze wymaga powtórki.

Cała ta ścieżka nic nie kosztuje w części z zadaniami i rozwiązaniami, więc możesz zacząć dziś, bez zapisywania się na żaden kurs. Więcej o samodzielnym podejściu bez opłacania korepetytora znajdziesz w tekście [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-samodzielna-nauka).

## Ile czasu realnie potrzebujesz

Uczciwa odpowiedź: to zależy od punktu startu, ale da się to oszacować. Jeśli kiedyś matematyka szła ci nieźle i chodzi tylko o odświeżenie, wystarczą 2-3 miesiące po godzinie dziennie. Jeśli zaczynasz praktycznie od zera i długo nie miałeś kontaktu z liczbami, załóż 5-6 miesięcy regularnej pracy.

Klucz to nie zrywy po pięć godzin w weekend, tylko krótkie, częste sesje. Godzina dziennie pięć razy w tygodniu daje więcej niż jeden maraton na tydzień, bo mózg potrzebuje powtórek rozłożonych w czasie. Jeśli zdajesz w sesji poprawkowej w sierpniu, gotowy plan na krótki termin masz w [poprawce z matematyki - plan przygotowań](/poprawka-z-matematyki-sierpien-2026-plan-przygotowan).

Nie musisz uczyć się przy biurku. Aplikacja mobilna pozwala rozwiązać kilka zadań w autobusie albo w przerwie w pracy, a to właśnie te skrawki czasu, o których dorosły myśli, że są stracone, robią różnicę w skali miesiąca.

## Najczęstsze błędy dorosłych zdających

Zebrałem pułapki, w które wpadają dorośli wracający do matury. Sprawdź, czy któraś nie jest twoja.

Uczenie się "całej matematyki". Nie tędy droga. Uczysz się pod konkretny egzamin, według listy działów, a nie encyklopedycznie od Talesa do rachunku różniczkowego.

Czytanie zamiast liczenia. Oglądanie cudzych rozwiązań daje złudzenie, że umiesz. Umiejętność buduje dopiero samodzielne rozwiązanie zadania z pustą kartką przed sobą.

Ignorowanie zapisu rozwiązania. W zadaniach otwartych punkty dostajesz za drogę, nie tylko za wynik. Naucz się zapisywać rozwiązanie tak, jak chce klucz CKE. Jak to robić, opisuje [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

Odpuszczanie łatwych punktów. Zadania zamknięte za 1 punkt są najbardziej dochodowe. Ich pewne zgarnianie może zdecydować o zdaniu, więc to od nich zaczynasz, a nie od najtrudniejszego zadania na dowód.

Nauka bez sprawdzania postępów. Bez pomiaru nie wiesz, czy idziesz do przodu. Rób co dwa tygodnie krótką kontrolę na losowym zestawie i patrz, czy wynik rośnie.

## FAQ

### Czy da się zdać maturę z matematyki po latach bez korepetycji?
Tak. Matura podstawowa sprawdza skończoną listę schematów, a nie talent. Z darmową bazą zadań CKE z rozwiązaniami, solverem i planem opartym na diagnozie da się to zrobić samodzielnie z domu.

### Ile trzeba mieć punktów, żeby zdać?
30 procent. Szczegóły progu i przeliczania opisuje [ile punktów żeby zdać maturę z matematyki](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki). Wystarczy pewnie robić łatwe i średnie zadania z kilku działów.

### Od czego zacząć naukę jako dorosły?
Od diagnozy: rozwiąż jeden [arkusz CKE](/exams) i zobacz, co umiesz. Potem ucz się tego, co daje punkty, według priorytetów z tabeli wyżej, a nie wszystkiego po kolei.

### Ile czasu dziennie się uczyć?
Lepiej godzina dziennie przez pięć dni niż jeden długi maraton w weekend. Regularność bije intensywność, bo powtórki muszą być rozłożone w czasie.

### Czy potrzebuję drogiego kursu online?
Nie na start. Zadania z rozwiązaniami, solver i tryb losowy są darmowe, więc możesz zacząć bez żadnej opłaty. Do kursu czy szerszego przygotowania wrócisz, jeśli po diagnozie uznasz, że tego potrzebujesz.

## Podsumowanie

Matura z matematyki po latach nie jest ścianą nie do przejścia. Jest listą schematów, którą dorosły z jasnym celem i odrobiną regularności ogarnia samodzielnie, bez szkolnej ławki i bez kosztownych korepetycji. Zacznij od diagnozy jednym arkuszem, ustaw priorytety według dochodowości działów i codziennie rozwiązuj kilka zadań z rozwiązaniami, sprawdzając rachunki w solverze.

Plan na dziś: wejdź w [zakładkę działów](/topics), wybierz [wyrażenia algebraiczne](/zadania-cke-wyrazenia-algebraiczne-z-rozwiazaniami) albo [procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) i rozwiąż pięć zadań, a wynik sprawdź od razu w rozwiązaniach krok po kroku. Postępy zapisze [panel postępów](/progress). Tyle wystarczy, żeby ruszyć z miejsca od razu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-z-matematyki-dla-humanisty-jak-zdac-gdy-nie-idzie
title: Matura z matematyki dla humanisty - jak zdać, gdy nie idzie
description: Matura z matematyki dla humanisty? Da się zdać bez talentu do liczb. Plan na próg 30 procent, łatwe punkty najpierw i darmowe zadania CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki dla humanisty - jak zdać, gdy nie idzie

Jesteś typowym humanistą. Polski, historia, języki, to twoja bajka. A potem otwierasz arkusz CKE, widzisz deltę, logarytm i ciąg geometryczny, i w głowie masz jedną myśl: "to nie dla mnie, ja się do tego nie nadaję". Zatrzymaj się na chwilę, bo to zdanie jest największym kłamstwem, jakie sobie wmawiasz. Matura podstawowa z matematyki nie sprawdza, czy jesteś urodzonym matematykiem. Sprawdza, czy opanowałeś skończoną, powtarzalną listę schematów. A tego nauczy się każdy, kto usiądzie do tego z głową, nawet jeśli ostatni raz coś policzył trzy lata temu.

W tym poradniku pokażę ci konkretny plan dla kogoś, komu matematyka "nie idzie": jak przebić próg 30 procent, od czego zacząć, kiedy nic nie umiesz, i jakimi narzędziami ogarniesz to sam, bez drogich korepetycji. Bez pocieszania na siłę, bez lania wody. Same konkrety.

## Dobra wiadomość: podstawa nie sprawdza talentu

Zacznijmy od liczby, która zmienia wszystko. Żeby zdać maturę z matematyki na poziomie podstawowym, musisz zdobyć tylko 30 procent punktów. To około 13 na 45 możliwych. Nie musisz umieć wszystkiego. Nie musisz rozwiązać najtrudniejszych zadań na końcu arkusza. Musisz pewnie zgarnąć te łatwe, których jest zaskakująco dużo. Ile dokładnie punktów potrzebujesz i jak są liczone, rozpisałem w [ile punktów żeby zdać maturę z matematyki](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki).

Egzamin podstawowy jest w dużej mierze przewidywalny. Co roku wracają te same typy: procenty, potęgi, prosta w układzie współrzędnych, średnia z tabelki, wyraz ciągu. To nie jest kwestia geniuszu. To kwestia rozpoznania: "aha, to jest ten typ, robię to tak". Humanista, który potrafi zapamiętać daty, cytaty i strukturę wypracowania, spokojnie zapamięta kilkanaście schematów matematycznych. Masz do tego dokładnie te same mięśnie pamięciowe.

## Zasada numer jeden: najpierw łatwe punkty

Największy błąd słabego z matematyki maturzysty to walczenie z najtrudniejszym zadaniem przez pół godziny i odpuszczenie pięciu łatwych, bo "zabrakło czasu". Odwróć to. Twoją strategią jest polowanie na tanie punkty.

Pierwsze zadania w arkuszu to zwykle zadania zamknięte za 1 punkt. Zaznaczasz A, B, C lub D. Nawet jeśli nie umiesz policzyć, często da się odrzucić dwie błędne odpowiedzi i strzelać z sensem. Te zadania to twój chleb. Naucz się pewnie rozwiązywać kilkanaście najczęstszych typów zamkniętych, a masz połowę drogi do progu za sobą. Rozbiłem to na czynniki w [łatwe punkty na maturze - zadania za 1 punkt](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt).

Zamknięte zadania najlepiej ćwiczy się seriami. Wejdź w [tryb losowy](/random), który podaje zadanie po zadaniu jak prawdziwy arkusz, i rozwiązuj do skutku, sprawdzając wynik od razu. Zamiast czytać o teorii, od pierwszego dnia rozwiązuj.

## Od czego zacząć, gdy naprawdę nic nie umiesz

Jeśli patrzysz na arkusz i nie wiesz, gdzie w ogóle postawić długopis, potrzebujesz diagnozy i kolejności. Nie ucz się wszystkiego naraz, bo się zniechęcisz. Idź działami, od najbardziej opłacalnych.

Zrób sobie prostą diagnozę: rozwiąż jeden arkusz podstawowy na spokojnie, bez presji, i zobacz, które zadania w ogóle rozumiesz. Cały arkusz z rozwiązaniami znajdziesz w dziale [arkusze CKE](/exams). To pokaże ci punkt startu. Potem bierzesz działy po kolei, a które dają najwięcej punktów najmniejszym kosztem, rozpisałem w hubie [zadania maturalne z matematyki według działów](/zadania-maturalne-z-matematyki-wedlug-dzialow-baza-cke). Tam masz czarno na białym, ile zadań na maturze bywa z każdego tematu, więc wiesz, gdzie inwestować czas.

Postępy warto mieć przed oczami. W [panelu postępów](/progress) widzisz, które działy już ogarniasz, a które jeszcze kuleją. Dla humanisty, który boi się matematyki, ten widok jest ważny psychicznie: pokazuje, że słupek rośnie, że to działa.

## Które działy dają najwięcej punktów najmniejszym kosztem

Gdyby zostały ci dwa tygodnie i chciałbyś ugrać maksimum przy minimum wysiłku, zacznij od tych działów. Wszystkie są schematyczne, wszystkie wracają co roku i wszystkie da się opanować bez talentu.

Procenty. Podwyżki, obniżki, lokaty, VAT. Liczysz to w życiu, więc masz przewagę. Komplet typów masz w [procenty na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany), a serię zadań w dziale [procenty](/topics/procenty). Przykład rozwiązany masz niżej.

Statystyka. Średnia, mediana, dominanta z tabelki lub diagramu. To często najprostsze punkty w całym arkuszu, bo to czysta arytmetyka. Ćwicz w dziale [statystyka](/topics/statystyka), na przykład na zadaniu [matura maj 2021](/task/matura-maj-2021-28).

Potęgi i pierwiastki. Krótkie zadania zamknięte na wartość wyrażenia. Reguły są sztywne, więc raz nauczone dają pewne punkty. Trenuj w dziale [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).

Liczby rzeczywiste. Przedziały, wartość bezwzględna, oś liczbowa, prosta arytmetyka na ułamkach. Zbiór zadań masz w dziale [liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste), a przykładowe zadanie to [matura maj 2023](/task/matura-maj-2023-03).

To cztery filary "szybkich punktów". Dorzuć do tego wyraz ciągu i prostą w układzie współrzędnych i jesteś już grubo powyżej progu 30 procent.

## Przykład 1: procenty za 1 punkt

Zobacz, że łatwe zadanie naprawdę jest łatwe. Bluza kosztuje 200 zł. Cena spadła o 15 procent. Ile kosztuje po obniżce?

Liczysz najpierw, ile to 15 procent z 200:

$$0{,}15 \cdot 200 = 30$$

Obniżka to 30 zł, więc nowa cena to:

$$200 - 30 = 170$$

Odpowiedź: 170 zł. Trzy linijki, żaden talent nie był potrzebny. Dokładnie takie zadania masz w dziale [procenty](/topics/procenty), na przykład [matura maj 2024](/task/matura-maj-2024-10) i [matura maj 2021](/task/matura-maj-2021-02).

## Przykład 2: potęga za 1 punkt

Oblicz \(2^{-3}\). Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, więc:

$$2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$$

Cała trudność to zapamiętać regułę: minus w wykładniku to ułamek. Nie ma tu żadnej filozofii, jest reguła do wyuczenia. Więcej takich w dziale [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).

## Jak się uczyć, gdy matematyka Cię nie lubi

Humaniści często uczą się matematyki jak historii: czytają podręcznik, robią notatki, podkreślają. I dziwią się, że na arkuszu pustka. Matematyki nie da się przeczytać. Matematyki trzeba dotknąć, czyli rozwiązać samemu.

Reguła jest prosta. Na każdą minutę czytania teorii daj dziesięć minut rozwiązywania zadań. Bierzesz typ, patrzysz raz na rozwiązanie wzorcowe, a potem robisz pięć podobnych sam, aż wchodzi w nawyk. Kiedy utkniesz i nie wiesz, gdzie popełniłeś błąd, nie wpadaj w spiralę. Wrzuć swoje działanie do [solvera](/solve), który pokaże rozwiązanie krok po kroku i wskaże, w którym miejscu coś się rozjechało. To jak korepetytor dostępny o każdej porze, tylko za darmo.

Wzory, których nie pamiętasz, znajdziesz w dziale [wzory](/wzory), a te spoza karty CKE warto po prostu przećwiczyć na zadaniach, aż same wejdą do głowy. Nie musisz kuć na pamięć, jeśli rozwiążesz dany typ dwadzieścia razy.

Ważne jest też, żeby nie robić tego chaotycznie. Trzymaj się jednego działu, aż go domkniesz, dopiero potem bierz następny. Plan działów masz gotowy w hubie [zadania według działów](/zadania-maturalne-z-matematyki-wedlug-dzialow-baza-cke).

## Najczęstsze błędy humanisty na maturze

Poddawanie się w głowie, zanim zaczniesz. "Ja tego nie umiem" to nie diagnoza, tylko wymówka. Zawsze zaczynaj od zadania, które rozumiesz, żeby złapać pewność.

Uczenie się teorii zamiast zadań. Znajomość definicji nie da punktów. Punkt daje poprawnie rozwiązane zadanie. Odwróć proporcje: głównie rozwiązuj.

Pomijanie łatwych zadań przez stres. Na egzaminie najpierw przejdź cały arkusz i zgarnij wszystko, co umiesz od ręki. Do trudnych wróć na końcu. Punkt za łatwe zadanie jest wart tyle samo, co za trudne.

Brak zapisu przy zadaniach otwartych. Nawet jeśli nie skończysz zadania, zapisz to, co wiesz. Za sam poprawny początek często jest punkt. Jak to robić, tłumaczę w [jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

Liczenie w pamięci pod presją. Zapisuj każdy krok. Błędy rachunkowe to najgłupszy sposób na stratę pewnych punktów.

## FAQ

### Czy da się zdać maturę z matematyki, będąc totalnym humanistą?
Tak. Podstawa wymaga 30 procent, a te punkty są w zasięgu każdego, kto pewnie opanuje łatwe, powtarzalne typy zadań. Talent nie jest do tego potrzebny, potrzebna jest regularność.

### Ile czasu potrzebuję, jeśli teraz nic nie umiem?
Jeśli zaczynasz od zera, realnie kilka miesięcy po godzinie dziennie, kilka razy w tygodniu. Jeśli został ci miesiąc, skup się wyłącznie na łatwych działach i progu 30 procent, tak jak w [planie ratunkowym z 30 procent](/jak-zdac-mature-z-30-procent-na-probnej-plan-ratunkowy).

### Czy muszę iść na korepetycje?
Nie musisz. Darmowa baza zadań z rozwiązaniami krok po kroku plus solver do sprawdzania błędów w praktyce zastępują korepetytora. Jak poukładać taką naukę samemu, opisałem w [matura bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-samodzielna-nauka).

### Od którego działu zacząć?
Od procentów, statystyki, potęg i liczb rzeczywistych. To najprostsze, najbardziej opłacalne działy. Pełną mapę z liczbami masz w [zadania według działów](/zadania-maturalne-z-matematyki-wedlug-dzialow-baza-cke).

### Jestem humanistą i uczę się od podstaw, gdzie zacząć całą naukę?
Od uporządkowanego planu od zera. Przeprowadzi cię przez niego [jak uczyć się matematyki od zera do matury](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury).

## Podsumowanie

Bycie humanistą nie skazuje cię na oblaną maturę z matematyki. Podstawa to próg 30 procent i skończona lista schematów, a nie test na geniusza. Twoja strategia jest prosta: poluj na łatwe punkty, ucz się działami od najbardziej opłacalnych, rozwiązuj zamiast czytać i sprawdzaj każdy błąd, aż zrozumiesz, skąd się wziął.

Plan na dziś: wejdź w [tryb losowy](/random) i rozwiąż pięć zadań zamkniętych, a to, co ci nie wyjdzie, sprawdź w [solverze](/solve). Kolejne kroki, dział po dziale, masz rozpisane w hubie [zadania maturalne z matematyki według działów](/zadania-maturalne-z-matematyki-wedlug-dzialow-baza-cke). Zacznij od najłatwiejszych działów, a zobaczysz, że "matematyka nie dla mnie" zamienia się w "no dobra, to akurat umiem".

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin
title: Matura z matematyki 2027 - kompletny przewodnik po egzaminie, punktacja i przygotowanie
description: Przewodnik po maturze z matematyki 2027: format egzaminu, ile punktów potrzeba do zdania, jakie tematy i jak się przygotować. Wszystko w jednym miejscu.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki 2027 - kompletny przewodnik po egzaminie, punktacja i przygotowanie

## Matura z matematyki 2027 - wszystko, co musisz wiedzieć

Matura z matematyki na poziomie podstawowym to **egzamin obowiązkowy** dla każdego maturzysty w Polsce. Bez zdanej matury z matematyki nie otrzymasz świadectwa dojrzałości. Ten przewodnik zawiera absolutnie wszystko, co musisz wiedzieć o egzaminie w maju 2026.

## Format egzaminu

### Czas trwania

**180 minut** (3 godziny). Dodatkowe 30 minut dla osób z orzeczeniem o potrzebie dostosowania warunków.

### Struktura arkusza

| Część | Typ zadań | Liczba zadań | Punkty |
|-------|-----------|-------------|--------|
| I | Zamknięte (ABCD) | 25-28 | 25-28 |
| II | Otwarte (z rozwiązaniem) | 7-9 | 22-25 |
| **Razem** | | **34-37** | **50** |

### Dozwolone pomoce

- Kalkulator prosty (nie naukowy!)
- Linijka
- Cyrkiel
- Tablice matematyczne (wydane przez CKE)

**NIE wolno:** kalkulator naukowy/graficzny, telefon, własne notatki.

## Punktacja i próg zdawalności

### Ile trzeba, żeby zdać?

**30% punktów = 15 punktów z 50.** To absolutne minimum.

### Jak CKE ocenia?

- **Zadania zamknięte:** 0 lub 1 punkt. Zaznaczasz jedną odpowiedź.
- **Zadania otwarte:** od 0 do 2-5 punktów. Liczy się **tok rozwiązywania**, nie sam wynik.

### Co oznaczają wyniki procentowe?

| Wynik | Interpretacja | Co dalej? |
|-------|--------------|-----------|
| 0-29% | Nie zdał/a | Poprawka w sierpniu |
| 30-49% | Zdał/a (minimum) | Ograniczone opcje studiów |
| 50-69% | Dobry wynik | Większość kierunków dostępna |
| 70-84% | Bardzo dobry | Konkurencyjne kierunki |
| 85-100% | Wybitny | Politechniki, informatyka, ekonomia |

Szczegółowa strategia w [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Jakie tematy pojawiają się na maturze?

Na podstawie analizy **ponad 2300 zadań** z arkuszy CKE z lat 2010-2026, tematy pojawiają się z następującą częstotliwością:

### Tematy, które są ZAWSZE (5+ zadań na arkusz)

1. **[Potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania)** - 265 zadań w bazie, absolutny numer 1
2. **[Geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory)** - 380 zadań, odległości, proste, okręgi
3. **[Równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania)** - 257 zadań
4. **[Ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)** - 233 zadania, arytmetyczne i geometryczne

### Tematy, które są PRAWIE ZAWSZE (3-4 zadania na arkusz)

5. **[Planimetria](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag)** - 203 zadania
6. **[Stereometria](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni)** - 164 zadania
7. **[Funkcja kwadratowa](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)** - 135 zadań
8. **[Funkcje](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc)** - 114 zadań (odczytywanie z wykresu)
9. **[Prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania)** - 107 zadań

### Tematy, które pojawiają się regularnie (1-2 zadania)

10. **[Liczby rzeczywiste](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna)** - 86 zadań
11. **[Trygonometria](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania)** - 84 zadania
12. **[Funkcja liniowa](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)** - 81 zadań
13. **[Logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania)** - 75 zadań
14. **[Procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany)** - 71 zadań
15. **[Wyrażenia algebraiczne](/wyrazenia-algebraiczne-na-maturze-wzory-skroconego-mnozenia)** - 57 zadań
16. **[Statystyka](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe)** - 36 zadań
17. **[Układy równań](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-przyklady)** - 26 zadań
18. **[Kombinatoryka](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje)** - 19 zadań

Wszystkie tematy z zadaniami w [przeglądzie tematycznym](/topics).

## Pewniaki - zadania, które na pewno będą

Na każdym arkuszu CKE pojawiają się pewne typy zadań. To **gwarantowane punkty**, jeśli je przećwiczysz:

1. Działania na potęgach/pierwiastkach (1 pkt)
2. Odczytywanie własności z wykresu funkcji (1-2 pkt)
3. Przedziały liczbowe - suma/iloczyn zbiorów (1 pkt)
4. Procent z liczby lub zmiana procentowa (1 pkt)
5. Równanie prostej lub odległość punktów (1-2 pkt)
6. Wyraz ogólny lub suma ciągu (1-2 pkt)
7. Pole lub obwód figury płaskiej (1-2 pkt)
8. Objętość lub pole bryły (2-4 pkt)
9. Prawdopodobieństwo (1-2 pkt)
10. Zadanie z treścią na układ równań (2-4 pkt)

Pełna lista w [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

## Jak się przygotować - plan krok po kroku

### Krok 1: Diagnoza (tydzień 1)

Rozwiąż jeden pełny [arkusz maturalny](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) na czas. Policz punkty. Zidentyfikuj działy, w których masz braki.

### Krok 2: Nauka teorii (tygodnie 2-6)

Przejdź przez przewodniki tematyczne na [blogu](/blog) dla każdego działu, który sprawia ci problemy. Rozwiązuj [zadania tematyczne](/topics) po 10-15 dziennie.

Priorytet: najpierw tematy z największą liczbą zadań na maturze (potęgi, geometria analityczna, ciągi, równania).

### Krok 3: Ćwiczenie arkuszy (tygodnie 6-10)

Rozwiązuj 2-3 pełne arkusze tygodniowo w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke). Po każdym arkuszu:
- Sprawdź odpowiedzi
- Przeczytaj rozwiązania zadań, które ci nie wyszły
- Zanotuj typy zadań, które ci sprawiają problemy

### Krok 4: Szlifowanie (tygodnie 10-12)

- Rozwiązuj 3-4 arkusze tygodniowo
- Skup się na najnowszych: [matura próbna CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026), [luty 2026](/exams/matura-probna-luty-2026), [maj 2025](/exams/matura-maj-2025)
- Powtórz [wzory spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)
- Przejrzyj [najczęstsze błędy](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki)

### Krok 5: Ostatnie dni

- Nie ucz się nowych tematów
- Przejrzyj notatki z typowych pułapek
- Rozwiąż 1 lekki arkusz dla pewności siebie
- Przeczytaj [plan na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka)

## Strategia na dzień egzaminu

### Przed wejściem

- Weź kalkulator, linijkę, cyrkiel (zapasowe długopisy!)
- Nie powtarzaj wzorów w ostatniej chwili - to zwiększa stres
- Pij wodę, zjedz coś lekkiego

### W trakcie egzaminu

**Runda 1 (0-70 min):** Rozwiąż wszystkie zadania zamknięte + łatwe otwarte. Pomijaj te, które nie wchodzą od razu.

**Runda 2 (70-140 min):** Wracaj do pominiętych zadań. Teraz masz czas na myślenie.

**Runda 3 (140-180 min):** Sprawdzanie. Szczególnie:
- Znaki w obliczeniach
- Jednostki
- Czy odpowiedź ma sens
- Czy przeniosłeś wszystko na kartę odpowiedzi

### Jeśli nie wiesz jak rozwiązać

W zadaniach zamkniętych: **zawsze zaznacz coś**. Nawet losowo masz 25% szans. Puste pole = 0%.

W zadaniach otwartych: **napisz cokolwiek** - nawet narysowanie wykresu, wypisanie wzoru czy rozpoczęcie rozwiązania może dać 1 punkt.

## Materiały do nauki na SprawnaMatury.pl

Na naszej stronie znajdziesz:

- **ponad 2300 zadań** z prawdziwych arkuszy CKE - [przeglądaj tematycznie](/topics) lub [losuj](/random)
- **60+ kompletnych arkuszy** z lat 2010-2026 - [lista arkuszy](/exams)
- **Pisemne rozwiązania** krok po kroku do każdego zadania
- **Filmy z rozwiązaniami** na YouTube
- **Przewodniki tematyczne** na [blogu](/blog) - teoria + zadania
- **Symulator matury** - [ćwicz na czas](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke)

Wszystkie zadania zamknięte i przewodniki są **za darmo**. Pełne rozwiązania otwartych odblokowuje [abonament Premium](/payment/checkout).

## Kluczowe daty matura 2027

| Data | Wydarzenie |
|------|-----------|
| 5 maja 2027 | Matematyka, poziom podstawowy (środa, 9:00) |
| 11 maja 2027 | Matematyka, poziom rozszerzony (wtorek, 9:00) |
| 2 czerwca 2027 | Termin dodatkowy, poziom podstawowy |
| 9 lipca 2027 | Ogłoszenie wyników terminu głównego |
| 23 sierpnia 2027 | Termin poprawkowy, część pisemna |

## Podsumowanie

Matura z matematyki 2027 to egzamin, który **da się zdać**, jeśli systematycznie się przygotujesz. Kluczowe elementy to:

1. Opanowanie [pewniaczków](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - to gwarantowane 15-20 punktów
2. Regularne [ćwiczenie arkuszy](/exams) na czas
3. Znajomość [typowych pułapek](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki)
4. Strategia rozwiązywania arkusza (3 rundy)

Zacznij przygotowania teraz. [Wybierz arkusz](/exams) i rozwiąż go od początku do końca. Im więcej arkuszy rozwiążesz, tym pewniej będziesz się czuł na egzaminie.

Jeśli chcesz wiedzieć nie tylko, jak wygląda egzamin, ale i czego się na nim spodziewać, zajrzyj do [analizy trendów CKE z prognozą na 2026](/matura-2026-prognoza-co-bedzie-na-egzaminie-analiza-trendow-cke) - rozkładamy tam arkusze z ostatnich lat na czynniki pierwsze.

Zdajesz w technikum? Sam egzamin jest ten sam, ale kontekst przygotowań bywa inny - o różnicach i o tym, jak ułożyć naukę obok przedmiotów zawodowych, piszemy w poradniku [matura z matematyki w technikum](/matura-z-matematyki-w-technikum-czy-jest-inna-niz-w-liceum).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-z-matematyki-2027-jak-zaczac-przygotowania
title: Matura z matematyki 2027 - jak zacząć przygotowania w wakacje
description: Zdajesz maturę z matematyki w 2027? Zacznij w wakacje: diagnoza poziomu, plan na cały rok w trzech fazach i baza zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki 2027 - jak zacząć przygotowania w wakacje

Wyniki matury 2026 ogłoszono 8 lipca 2026. Jeśli to ty siadasz do egzaminu 5 maja 2027, właśnie dostałeś najlepszy prezent, jaki mogłeś dostać: prawie dwanaście miesięcy i całe wakacje bez presji. Uczniowie, którzy zaczynają przygotowania spokojnie latem, wchodzą we wrzesień z przewagą, której nikt im już nie odbierze. W tym tekście pokażę ci, od czego realnie zacząć przygotowania do matury z matematyki 2027, jak wykorzystać wakacje bez spinania się i jaki plan na cały rok daje najwięcej punktów za najmniej stresu.

Jeśli chcesz od razu przejść do ćwiczeń, skacz do [trybu nauki](/random) z zadaniami z prawdziwych arkuszy CKE. Tu tłumaczę, jak z tego ułożyć plan, który dowiezie cię do matury bez paniki w kwietniu.

## Dlaczego wakacje to najlepszy moment na start

Większość maturzystów zaczyna uczyć się na poważnie dopiero po feriach, czyli na dwa-trzy miesiące przed egzaminem. Wtedy jest już nerwowo: materiału góra, czasu mało, każdy sprawdzian boli. Ty możesz to rozegrać inaczej. Latem nikt cię nie goni, nie masz kartkówek ani projektów, a jeden spokojny miesiąc wakacji potrafi zamknąć braki, na które w kwietniu nie znajdziesz już ani jednego dnia.

Nie chodzi o to, żeby zamienić wakacje w obóz treningowy. Wystarczą trzy-cztery godziny tygodniowo. Chodzi o to, żeby wejść we wrzesień z podstawami, które nie leżą, i z nawykiem regularnego rozwiązywania zadań. Kto ma to za sobą, ten przez cały rok tylko dokłada, zamiast gasić pożary. To jest cała tajemnica spokojnej matury.

Druga sprawa: matura z matematyki jest przewidywalna. CKE od lat układa arkusze według tych samych schematów, a większość zadań to warianty tego, co już było. Im wcześniej zaczniesz ćwiczyć na prawdziwych zadaniach z poprzednich lat, tym szybciej zauważysz, że te same typy wracają co roku. To wiedza, której nie da ci żaden pośpiech w ostatniej chwili.

## Od czego zacząć - zrób sobie diagnozę

Zanim rzucisz się w naukę, musisz wiedzieć, gdzie stoisz. Bez tego będziesz ćwiczyć to, co już umiesz, i omijać to, co naprawdę leży. Dlatego pierwszy krok jest zawsze ten sam: rozwiąż jeden pełny arkusz maturalny z poprzednich lat, na czas, bez zaglądania do rozwiązań.

Wszystkie arkusze CKE z rozwiązaniami masz w [bazie arkuszy maturalnych](/exams). Weź jeden z ostatnich lat, usiądź na te niecałe trzy godziny i policz, ile punktów zdobywasz dziś. To twój punkt zero. Zobaczysz czarno na białym, które działy dowozisz, a które trzeba odbudować.

Potem prześledź swoje błędy dział po dziale. Jeśli sypią ci się funkcje kwadratowe, wiesz, gdzie uderzyć najpierw. Jeśli geometria analityczna idzie gładko, zostaw ją na później. Taka diagnoza zajmuje jeden wieczór, a oszczędza tygodnie ćwiczenia rzeczy, które i tak już umiesz. Więcej o tym, jak dobrze czytać własne błędy, znajdziesz w tekście [typowe błędy na maturze z matematyki](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

## Plan na rok w trzech fazach

Rok przygotowań najłatwiej ogarnąć, dzieląc go na trzy fazy. Nie musisz trzymać się dat co do dnia, ale ta kolejność działa.

Faza pierwsza, wakacje i wczesna jesień, to odbudowa podstaw. Bierzesz działy, które najbardziej leżą, i przerabiasz je od zera, jeden na raz. Jeśli braki masz naprawdę głębokie, zacznij od [jak uczyć się matematyki od zera do matury](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury). Celem tej fazy nie jest tempo, tylko żeby fundamenty przestały się sypać.

Faza druga, od jesieni do ferii, to systematyczne przerabianie działów po kolei. Jeden dział na tydzień lub dwa, kilkanaście-kilkadziesiąt zadań, aż typ zaczyna wchodzić automatycznie. Do ćwiczenia konkretnego działu użyj [stron tematycznych](/topics), gdzie zadania są posegregowane według kategorii. Dobre huby na start to [zadania CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami), [zadania CKE z ciągów](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami) i [zadania CKE z trygonometrii](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami).

Faza trzecia, od ferii do matury, to całe arkusze na czas i powtórki. Tu już nie uczysz się nowych rzeczy, tylko szlifujesz tempo i pewność. Rozwiązujesz arkusz za arkuszem, a słabsze działy dobierasz punktowo. Świetnie sprawdza się tu [symulator matury](/simulator), który odwzorowuje warunki egzaminu.

## Czego potrzebujesz zamiast drogiego kursu

Do przygotowania się na maturę podstawową nie potrzebujesz płatnego kursu ani korepetytora na cały rok. Potrzebujesz czterech rzeczy, które razem robią dokładnie to samo, tylko taniej.

Po pierwsze, prawdziwych zadań CKE, a nie wymyślonych. U nas masz ponad 2300 zadań pochodzących z autentycznych arkuszy z lat 2010-2025, posegregowanych według działów i lat. To dokładnie ten styl, z którym zmierzysz się na egzaminie.

Po drugie, rozwiązań krok po kroku. Samo zadanie nic nie daje, jeśli po pomyłce nie wiesz, gdzie popełniłeś błąd. Każde zadanie w bazie ma pełne rozwiązanie rozpisane etapami, więc widzisz nie tylko wynik, ale całą drogę do niego.

Po trzecie, solvera na chwile, gdy naprawdę utkniesz. Gdy siedzisz nad zadaniem o dziesiątej wieczorem i nie masz kogo zapytać, [solver](/solve) pokaże ci tok rozumowania, także ze zdjęcia. To nie maszynka do ściągania, tylko sposób, żeby zobaczyć metodę, gdy nie ma obok nikogo.

Po czwarte, tablic maturalnych. Na egzaminie dostajesz zestaw wzorów i musisz umieć się w nim odnaleźć. Nasze [tablice ze wzorami](/formulas) są ułożone tak samo jak na maturze, więc ćwiczysz od razu na tym, co będziesz mieć pod ręką. Jak zbudować z tego całościowy plan bez ani jednej godziny korepetycji, opisaliśmy w tekście [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji).

## Przykładowy plan wakacyjny bez spinania się

Plan bez konkretów to tylko dobre chęci. Oto realny rytm na jeden wakacyjny tydzień, który możesz powtarzać przez lipiec i sierpień. Zakłada około trzech-czterech godzin, więc spokojnie zostaje ci czas na wakacje.

W pierwszy dzień tygodnia bierzesz jeden dział: przypominasz sobie wzory z [tablic](/formulas) i robisz sześć zadań, po każdym czytając rozwiązanie. W drugi dzień wracasz do tego samego działu, ale z trudniejszymi zadaniami otwartymi, żeby metoda weszła w krew. W trzeci, krótszy dzień, robisz powtórkę mieszaną przez [tryb losowych zadań](/random), trzydzieści-czterdzieści minut, żeby sprawdzić, czy wiedza została.

Raz na dwa tygodnie dorzuć jeden pełny arkusz z [bazy arkuszy](/exams) na czas. To twój termometr: pokazuje, ile punktów zdobyłbyś dziś. Postępy śledzisz na bieżąco w [panelu postępów](/progress), gdzie widzisz, które działy masz już opanowane. Trzymaj ten rytm przez wakacje, a we wrzesień wejdziesz z przewagą, o jakiej reszta klasy jeszcze nie myśli.

## Najczęstsze pytania

### Czy naprawdę trzeba zaczynać rok przed maturą?
Nie musisz, ale to najtańszy sposób na spokój. Kilka godzin tygodniowo latem daje więcej niż gorączkowe wkuwanie w kwietniu, bo wiedza ma czas się utrwalić.

### Ile czasu dziennie powinienem poświęcać w wakacje?
W zupełności wystarczą trzy-cztery godziny na cały tydzień. Ważniejsza od liczby godzin jest regularność - lepiej krótko a systematycznie niż raz w miesiącu przez cały dzień.

### Od którego działu zacząć?
Od tego, który najbardziej ci leży według diagnozy z arkusza. Jeśli nie wiesz, zacznij od funkcji kwadratowej i ciągów - są schematyczne i dają pewne punkty na maturze.

### Czy potrzebuję płatnego planu, żeby zacząć?
Nie. Duża część bazy, w tym zadania zamknięte i przewodniki, jest za darmo. [Abonament Premium](/payment/checkout) odblokowuje pełną bazę i dodatkowe funkcje, ale najpierw sprawdź za darmo, czy taki sposób nauki ci pasuje.

## Podsumowanie - zrób pierwszy krok jeszcze dziś

Przygotowania do matury z matematyki 2027 najlepiej zacząć teraz, w wakacje, gdy nikt cię nie goni. Zdiagnozuj poziom jednym arkuszem, odbuduj podstawy dział po dziale, potem systematycznie przerabiaj kategorie, a na koniec ćwicz całe arkusze na czas. Cały ekwipunek masz w jednym miejscu: [bazę zadań](/random), [rozwiązania i solver](/solve), [tematy według działów](/topics), [arkusze CKE](/exams), [tablice wzorów](/formulas) i [panel postępów](/progress). Zacznij dziś od jednego arkusza diagnostycznego - reszta to już tylko powtarzanie tego samego, spokojnego rytmu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy
title: Matura rozszerzona z matematyki 2027 - wymagania, tematy i jak się przygotować
description: Czym matura rozszerzona różni się od podstawowej? Dodatkowe tematy, struktura arkusza, progi na politechnikę i informatykę oraz 3-miesięczny plan nauki.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura rozszerzona z matematyki 2027 - wymagania, tematy i jak się przygotować

## Matura rozszerzona z matematyki - dla kogo i po co?

Matura rozszerzona z matematyki to egzamin dla osób, które planują studiować kierunki ścisłe, techniczne lub ekonomiczne. Jeśli celujesz na politechnikę, informatykę, ekonomię, fizykę czy architekturę, to wynik z rozszerzenia decyduje o Twojej przyszłości bardziej niż jakakolwiek inna ocena.

Solidne przygotowanie daje ogromną przewagę rekrutacyjną.

Jeśli dopiero zastanawiasz się nad strategią maturalną, zajrzyj do [kompletnego przewodnika po maturze z matematyki 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin). Tutaj skupiamy się wyłącznie na rozszerzeniu.

## Struktura arkusza rozszerzonego

Arkusz maturalny z matematyki na poziomie rozszerzonym w formule 2023 (obowiązującej od matury 2025) wygląda następująco:

| Element | Szczegóły |
|---------|-----------|
| Czas trwania | 180 minut (3 godziny) |
| Liczba zadań | 13 zadań |
| Maksymalna liczba punktów | 50 punktów |
| Typy zadań | Wyłącznie otwarte (brak zamkniętych!) |
| Punktacja zadań | Od 2 do 6 punktów za zadanie |
| Kalkulator | Niedozwolony |
| Tablice matematyczne | Nie są dostarczane |
| Wzory | Wybrane wzory w arkuszu (ograniczony zestaw) |

**Kluczowa różnica numer jeden:** na rozszerzeniu nie ma zadań zamkniętych (testowych). Wszystkie 13 zadań wymaga samodzielnego rozwiązania z pełnym uzasadnieniem. Nie ma tu zgadywania ani eliminacji odpowiedzi - musisz umieć rozwiązać zadanie od początku do końca.

Więcej o tym, [jak punktowane są zadania i jak pisać rozwiązania](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania), znajdziesz w osobnym artykule.

## Czym rozszerzenie różni się od matury podstawowej

### Różnice w strukturze

| Cecha | Podstawowa | Rozszerzona |
|-------|-----------|-------------|
| Czas | 180 min | 180 min |
| Zadania zamknięte | 28 (po 1 pkt) | 0 |
| Zadania otwarte | 7 (po 2-5 pkt) | 13 (po 2-6 pkt) |
| Łączna punktacja | 50 pkt | 50 pkt |
| Próg zdawalności | 30% (15 pkt) | Brak progu (nie trzeba zdać) |

### Różnice w poziomie trudności

Na podstawowej większość zadań to bezpośrednie zastosowanie wzorów i procedur. Rozszerzenie wymaga:

- **Łączenia wiedzy z kilku działów** - jedno zadanie może wymagać trygonometrii, geometrii analitycznej i ciągów jednocześnie
- **Dowodzenia twierdzeń** - trzeba umieć przeprowadzić formalne dowody
- **Analizy parametrycznej** - zadania typu "dla jakich wartości parametru \(m\) równanie ma dwa rozwiązania"
- **Optymalizacji** - szukanie wartości największej/najmniejszej w kontekście geometrycznym lub algebraicznym
- **Kreatywnego myślenia** - niestandardowe podejścia, których nie da się wyuczyć na pamięć

Jeśli potrzebujesz solidnych podstaw, zacznij od [strategii zdawania matury podstawowej](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), a potem wracaj do rozszerzenia.

## Tematy, które pojawiają się TYLKO na rozszerzeniu

Na maturze rozszerzonej obowiązuje cały zakres matury podstawowej plus dodatkowe zagadnienia. Oto tematy, które nie pojawiają się na podstawowej, a są kluczowe na rozszerzeniu:

### 1. Dowody matematyczne

Na rozszerzeniu regularnie pojawia się zadanie typu "udowodnij, że..." - za 4-6 punktów. Najczęściej wymagane techniki dowodzenia:

**Dowód nie wprost (przez sprzeczność):** zakładamy przeciwieństwo tezy i dowodzimy, że prowadzi to do sprzeczności.

*Przykład:* Udowodnij, że \(\sqrt{2}\) jest liczbą niewymierną.

Zakładamy, że \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\), gdzie \(p, q \in \mathbb{Z}\), \(q \neq 0\), \(\text{NWD}(p,q) = 1\). Wtedy \(2 = \frac{p^2}{q^2}\), czyli \(p^2 = 2q^2\). Stąd \(p^2\) jest parzyste, więc \(p\) jest parzyste. Niech \(p = 2k\). Wtedy \(4k^2 = 2q^2\), czyli \(q^2 = 2k^2\), więc \(q\) też jest parzyste. Ale \(\text{NWD}(p,q) = 1\) - sprzeczność.

**Dowód przez indukcję matematyczną:** dla twierdzeń o liczbach naturalnych. Krok bazowy + krok indukcyjny.

*Przykład:* Udowodnij, że \(1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}\) dla każdego \(n \in \mathbb{N}_{+}\).

Krok bazowy: dla \(n = 1\): \(1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1\). Prawda.

Krok indukcyjny: zakładamy, że teza jest prawdziwa dla pewnego \(n = k\), czyli \(1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}\). Dowodzimy dla \(n = k+1\):

$$1 + 2 + \ldots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Co jest dokładnie formułą dla \(n = k+1\). Na mocy zasady indukcji teza jest prawdziwa.

### 2. Zadania z parametrem

To klasyka rozszerzenia. Zadania typu:

*Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(x^2 + mx + m - 1 = 0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dodatnie?*

Rozwiązanie wymaga analizy kilku warunków jednocześnie:

$$\Delta > 0 \quad \text{i} \quad x_1 + x_2 > 0 \quad \text{i} \quad x_1 \cdot x_2 > 0$$

Z wzorów Viete'a: \(x_1 + x_2 = -m\) i \(x_1 \cdot x_2 = m - 1\). Więc:

$$m^2 - 4(m-1) > 0 \quad \text{i} \quad -m > 0 \quad \text{i} \quad m - 1 > 0$$

Stąd: \(m^2 - 4m + 4 > 0\), czyli \((m-2)^2 > 0\), więc \(m \neq 2\). Drugi warunek: \(m  1\). Warunki \(m  1\) nie mogą być spełnione jednocześnie, więc nie ma takich wartości \(m\).

Zadania z parametrem łączą wiedzę z [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) oraz [wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne).

### 3. Granice ciągów i optymalizacja

W formule 2023 pochodne zostały usunięte z matury rozszerzonej. Jednak granice ciągów i optymalizacja bez pochodnych nadal się pojawiają:

*Oblicz granicę ciągu \(a_n = \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 5n + 4}\).*

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę \(n\):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n - 1}{n^2 - 5n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{5}{n} + \frac{4}{n^2}} = \frac{3 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = 3$$

Więcej o ciągach w [przewodniku po ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

### 4. Zaawansowana geometria analityczna

Na rozszerzeniu geometria analityczna wchodzi na inny poziom. Pojawiają się:

- Wzajemne położenie okręgów (styczne wewnętrznie, zewnętrznie, przecinające się)
- Styczna do okręgu z danego punktu
- Odległość punktu od prostej w kontekście zadań optymalizacyjnych
- Miejsce geometryczne punktów

*Wyznacz równanie stycznej do okręgu \(x^2 + y^2 = 25\) w punkcie \(A(3, 4)\).*

Styczna do okręgu \(x^2 + y^2 = r^2\) w punkcie \((x_0, y_0)\) ma równanie:

$$x_0 x + y_0 y = r^2$$

Więc: \(3x + 4y = 25\).

Pełne omówienie w [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

### 5. Zaawansowana trygonometria

Na rozszerzeniu trygonometria to nie tylko podstawowe wzory. Musisz znać:

- Wzory na sumę i różnicę kątów: \(\sin(\alpha \pm \beta)\), \(\cos(\alpha \pm \beta)\)
- Wzory na [podwojony kąt](/wzory-na-sinus-i-cosinus-sumy-i-roznicy-katow-matura-rozszerzona#podwojony-kat): \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)
- Równania trygonometryczne ogólne

*Rozwiąż równanie \(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\) w przedziale \(\langle 0, 2\pi)\).*

Podstawiamy \(t = \sin x\):

$$2t^2 - 3t + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (2t - 1)(t - 1) = 0$$

Stąd \(t = \frac{1}{2}\) lub \(t = 1\).

Dla \(\sin x = \frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{6}\) lub \(x = \frac{5\pi}{6}\).

Dla \(\sin x = 1\): \(x = \frac{\pi}{2}\).

Odpowiedź: \(x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\right\}\).

Podstawy trygonometrii znajdziesz w [przewodniku po trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

### 6. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo na wyższym poziomie

Na rozszerzeniu pojawiają się:

- Prawdopodobieństwo warunkowe
- Prawdopodobieństwo całkowite
- Symbol Newtona w kontekście dowodów (dwumian Newtona)

*W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy 3 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 są białe?*

$$P = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1}}{\binom{8}{3}} = \frac{10 \cdot 3}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$

Więcej o [prawdopodobieństwie i kombinatoryce na maturze](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

### 7. Zaawansowana stereometria

Na rozszerzeniu stereometria wymaga:

- Wyznaczania kątów między prostymi i płaszczyznami w bryle
- Obliczania odległości punkt-prosta i punkt-płaszczyzna w przestrzeni
- Przekrojów brył płaszczyznami
- Stosowania geometrii analitycznej w 3D

Więcej w [przewodniku po stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

## Progi punktowe na popularne kierunki

Wynik z matury rozszerzonej przeliczany jest na punkty rekrutacyjne. Każda uczelnia ma własny algorytm, ale typowe mnożniki to:

| Przedmiot | Mnożnik |
|-----------|---------|
| Matematyka rozszerzona | 1.0 - 2.0 |
| Matematyka podstawowa | 0.3 - 0.5 |
| Fizyka rozszerzona | 0.5 - 1.5 |
| Informatyka rozszerzona | 0.5 - 1.5 |

### Orientacyjne progi na rok akademicki 2025/2026

Podane wartości to przybliżone progi ostatnich lat. Progi zmieniają się co rok, ale dają obraz tego, czego potrzebujesz:

**Politechnika Warszawska:**
- Informatyka: 85-95% z matematyki rozszerzonej
- Elektronika i telekomunikacja: 60-75%
- Budownictwo: 45-60%
- Mechatronika: 55-70%

**AGH Kraków:**
- Informatyka: 80-90%
- Elektrotechnika: 50-65%
- Górnictwo: 30-45%

**Politechnika Wrocławska:**
- Informatyka: 75-85%
- Automatyka i robotyka: 55-65%
- Architektura: 50-60%

**Uniwersytety (kierunki matematyczne/ekonomiczne):**
- Matematyka (UW, UJ): 60-75%
- Ekonomia (SGH): 55-70%
- Finanse i rachunkowość: 50-65%

**Kluczowy wniosek:** Jeśli celujesz na informatykę na dobrej politechnice, potrzebujesz 80%+ z rozszerzenia, czyli minimum 40 punktów na 50. Na mniej konkurencyjne kierunki techniczne wystarczy 50-60%.

## Jak wygląda rozkład zadań w arkuszu

Na podstawie arkuszy z 2024 i 2025 oraz arkuszy próbnych, typowy rozkład tematyczny na rozszerzeniu wygląda tak:

| Temat | Liczba zadań | Punkty |
|-------|-------------|--------|
| Algebra i funkcje (z parametrem) | 3-4 | 8-14 |
| Geometria analityczna | 2-3 | 6-10 |
| Planimetria/Stereometria | 2-3 | 6-12 |
| Ciągi (z granicami) | 1-2 | 4-6 |
| Trygonometria | 1-2 | 4-6 |
| Kombinatoryka/Prawdopodobieństwo | 1-2 | 3-5 |
| Dowód | 1 | 4-6 |

Pierwsze 3-4 zadania w arkuszu (po 2-3 punkty) to "łatwiejszy wstęp" - odpowiadają trudniejszym zadaniom z poziomu podstawowego. Ostatnie 3-4 zadania (po 5-6 punktów) to najtrudniejsze zagadnienia.

**Kluczowa obserwacja:** algebra i funkcje z parametrem to największy blok punktowy. Jeśli opanujesz ten temat, masz szansę na 8-14 punktów tylko z jednego działu. Dlatego warto poświęcić mu najwięcej czasu.

## Typowe błędy na maturze rozszerzonej

Zanim przejdziemy do planu przygotowań, warto wiedzieć, jakie błędy kosztują zdających najwięcej punktów:

### 1. Brak analizy przypadków

W zadaniach z parametrem lub wartością bezwzględną musisz rozpatrzyć **wszystkie przypadki**. Pomijanie nawet jednego przypadku to utrata 1-2 punktów. Na przykład, badając równanie \(|x - a| = 2x + 1\), musisz osobno rozważyć \(x \geq a\) i \(x < a\), a potem sprawdzić, które rozwiązania spełniają założenia.

### 2. Brak uzasadnienia w dowodach

Sam wynik nie wystarczy. CKE wymaga **pełnego ciągu implikacji**. Jeśli w dowodzie przez indukcję pominiesz krok bazowy lub nie pokażesz jawnie przejścia z \(n = k\) na \(n = k+1\), tracisz punkty.

### 3. Zapominanie o warunkach dziedzinowych

W zadaniach z logarytmami: argument musi być dodatni. W zadaniach z pierwiastkami: wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne. W zadaniach z tangensem: argument nie może być wielokrotnością \(\frac{\pi}{2} + k\pi\). Pominięcie tych warunków to jeden z [najczęstszych błędów na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### 4. Nieprecyzyjny zapis matematyczny

Na rozszerzeniu egzaminatorzy zwracają większą uwagę na formalizm. Zapis "\(x = 2, 3\)" zamiast "\(x = 2\) lub \(x = 3\)" może kosztować punkt. Podobnie: brak kwantyfikatorów w dowodach ("dla każdego \(n \geq 1\)") lub niepoprawne użycie symboli logicznych.

## 3-miesięczny plan przygotowań do matury rozszerzonej

Zakładam, że masz solidne podstawy z poziomu podstawowego. Jeśli nie, najpierw przejdź [plan nauki na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka) i wróć, gdy opanujesz podstawy.

### Miesiąc 1 (marzec): Uzupełnienie braków i rozszerzenie wiedzy

**Tydzień 1-2: Algebra na rozszerzeniu**
- Wzory Viete'a i ich zastosowanie w zadaniach z parametrem
- Nierówności z wartością bezwzględną i parametrem
- Funkcje złożone i odwrotne
- Przećwicz: [zadania z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) i [równań](/topics/rownania-i-nierownosci)

**Tydzień 3-4: Geometria analityczna zaawansowana**
- Wzajemne położenie prostych i okręgów
- Styczne do okręgu
- Elipsy i hiperbole (jeśli wymagane w Twoim arkuszu)
- Przećwicz: [zadania z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna)

**Cel miesiąca:** umieć rozwiązać każde zadanie z algebry i geometrii analitycznej z arkuszy próbnych.

### Miesiąc 2 (kwiecień): Trudne tematy i dowody

**Tydzień 5-6: Trygonometria i stereometria zaawansowana**
- Wzory na sumę i różnicę kątów
- Równania trygonometryczne
- Kąty i odległości w bryle
- Przećwicz: [trygonometria](/topics/trygonometria), [stereometria](/topics/stereometria), [planimetria](/topics/planimetria)

**Tydzień 7-8: Dowody i indukcja**
- Dowód nie wprost
- Indukcja matematyczna
- Dowody nierówności (AM-GM, nierówność Cauchy'ego-Schwarza)
- Przećwicz [zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) - dowody wymagają tych samych umiejętności formalizacji

**Cel miesiąca:** umieć rozwiązać zadania za 4-5 punktów z dowolnego działu.

### Miesiąc 3 (maj, przed egzaminem): Arkusze i szlifowanie

**Tydzień 9-10: Pełne arkusze rozszerzone**
- Rozwiązuj 2-3 pełne arkusze tygodniowo w warunkach egzaminacyjnych (180 minut, bez kalkulatora)
- Analizuj każdy błąd - zapisz, z jakiego tematu i jakiego typu
- Przeanalizuj rozwiązania z [matury próbnej CKE z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) i [matury z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz)

**Tydzień 11-12: Celowane powtórki**
- Skup się na tematach, w których tracisz najwięcej punktów
- Przejrzyj [wzory spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac) - na rozszerzeniu jest ich więcej
- Powtórz [najczęstsze błędy maturalne](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i upewnij się, że ich nie popełniasz

**Cel miesiąca:** stabilnie zdobywać 35+ punktów na arkuszach treningowych.

## Strategie rozwiązywania zadań na rozszerzeniu

### 1. Zarządzanie czasem

Masz 180 minut na 13 zadań. Sugerowany podział:

- Zadania 1-5 (łatwiejsze, 2-3 pkt): maks. 8-10 minut każde = 50 minut
- Zadania 6-10 (średnie, 3-5 pkt): maks. 12-15 minut każde = 70 minut
- Zadania 11-13 (najtrudniejsze, 5-6 pkt): maks. 18-20 minut każde = 55 minut
- Rezerwa na sprawdzenie: 5 minut

### 2. Kolejność rozwiązywania

**Nie rozwiązuj po kolei.** Na rozszerzeniu to krytyczny błąd. Zamiast tego:

1. Przejrzyj cały arkusz (5 minut)
2. Zacznij od zadań, które umiesz rozwiązać bez zastanawiania się
3. Potem przejdź do zadań, które wymagają myślenia, ale znasz metodę
4. Na koniec podejmij się najtrudniejszych zadań

### 3. Punkty cząstkowe

Na rozszerzeniu każde zadanie jest warte 2-6 punktów, a CKE przyznaje punkty cząstkowe. Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania do końca:

- Zapisz dane i niewiadome (często 1 punkt)
- Narysuj rysunek pomocniczy (w geometrii)
- Rozwiąż chociaż część problemu
- Nigdy nie zostawiaj pustego miejsca

Szczegóły o schemacie oceniania CKE w [artykule o punktacji zadań maturalnych](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

### 4. Weryfikacja odpowiedzi

Na rozszerzeniu sprawdzanie odpowiedzi jest trudniejsze niż na podstawowej (nie masz testu do porównania). Dlatego:

- W zadaniach z parametrem: wstaw konkretną wartość parametru i sprawdź, czy wynik ma sens
- W geometrii: sprawdź, czy obliczone wymiary nie dają ujemnych długości
- W dowodach: przeczytaj dowód od końca - czy każdy krok wynika z poprzedniego?
- W ciągach: oblicz kilka pierwszych wyrazów i sprawdź zgodność z formułą

## Polecane zasoby do przygotowań

### Na sprawnamatura.pl

Nasza [baza zadań maturalnych](/topics/liczby-rzeczywiste) zawiera ponad 2300 zadań z rozwiązaniami. Choć skupiamy się głównie na poziomie podstawowym, wiele zadań (szczególnie otwartych za 4-5 punktów) odpowiada poziomowi rozszerzenia. Przydatne kategorie:

- [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) - zaawansowane zadania z prostymi i okręgami
- [Trygonometria](/topics/trygonometria) - wzory i równania trygonometryczne
- [Stereometria](/topics/stereometria) - bryły i kąty w przestrzeni
- [Ciągi](/topics/ciagi) - ciągi arytmetyczne i geometryczne z granicami
- [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) i [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) - zadania rozszerzone

Przejrzyj też rozwiązania arkuszy próbnych:
- [Matura próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania)
- [Matura próbna luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz)
- [Matura maj 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz)

### Dodatkowe materiały

- **Arkusze CKE** - wszystkie dostępne arkusze rozszerzone z lat poprzednich (na stronie CKE)
- **Zbiory zadań** - "Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony" (OMEGA)
- **Kanały YouTube** - MatFiz24, Matematyka z Pasją (rozszerzenie)
- **Forum matematyczne** - math.edu.pl, zadania.info

## Czego NIE ma na rozszerzeniu (w formule 2023)

Warto wiedzieć, czego CKE **nie wymaga**, żeby nie tracić czasu na niepotrzebne tematy:

- **Pochodne** - usunięte z matury w formule 2023
- **Całki** - nigdy nie były na maturze
- **Macierze i wyznaczniki** - nie ma w programie
- **Liczby zespolone** - nie ma w programie
- **Statystyka matematyczna** - tylko opisowa [statystyka](/topics/statystyka) (średnia, mediana, odchylenie) jest na podstawowej i rozszerzeniu

## Podsumowanie - na rozszerzeniu liczy się głębia

Matura rozszerzona z matematyki to nie jest "trudniejsza wersja podstawowej". To zupełnie inny egzamin, wymagający innego podejścia. Na podstawowej wystarczy znać wzory i procedury. Na rozszerzeniu musisz **rozumieć matematykę** - umieć łączyć tematy, dowodzić twierdzeń i analizować problemy z parametrem.

Dobra wiadomość: to egzamin, do którego da się przygotować systematycznie. 3 miesiące solidnej pracy (2-3 godziny dziennie) wystarczą, by przeskoczyć z 30% do 60-70%. A to różnica między brakiem miejsca na wymarzonej uczelni a wygodnym wejściem.

Zacznij od przejrzenia [pewniaczków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), sprawdź [symulator matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), a potem systematycznie przechodź przez poszczególne tematy w [naszej bazie zadań](/topics/liczby-rzeczywiste). Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-matematyka-za-miesiac-plan-nauki-kwiecien-maj
title: Matura z matematyki za miesiąc - ekspresowy plan nauki na kwiecień i maj 2027
description: Ekspresowy plan nauki matematyki na ostatnie 30 dni przed maturą: harmonogram tydzień po tygodniu, priorytety tematów i strategia na maksimum punktów.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki za miesiąc - ekspresowy plan nauki na kwiecień i maj 2027

## Matura z matematyki za miesiąc - czy da się jeszcze zdążyć?

Tak. Miesiąc to wystarczająco dużo czasu, żeby **zdać maturę z matematyki** albo **znacząco podnieść swój wynik**. Pod warunkiem, że każdy dzień wykorzystasz mądrze i skupisz się na tym, co naprawdę daje punkty na egzaminie.

Ten plan jest dla dwóch typów osób:
- **Typ A** - zaczynasz praktycznie od zera i chcesz zdać (potrzebujesz 30%, czyli 15 punktów)
- **Typ B** - masz podstawy, ale chcesz wyciągnąć 60-80% i dostać się na wymarzony kierunek

Dla obu typów plan jest taki sam - różni się tylko intensywność i głębokość. Czytaj dalej.

Jeśli szukasz ogólniejszego przewodnika po egzaminie, przeczytaj [kompletny przewodnik po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin). A jeśli masz tydzień, nie miesiąc - zajrzyj do [powtórki na ostatni tydzień](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan).

---

## Zasady tego planu

1. **2-3 godziny dziennie** - minimum. Jeśli możesz więcej, tym lepiej. Ale regularność > jednorazowe maratony.
2. **Zadania > teoria** - 70% czasu na rozwiązywanie, 30% na powtarzanie wzorów. Nie ucz się teorii bez ćwiczenia.
3. **Arkusze > podręcznik** - rozwiązuj prawdziwe [zadania maturalne CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), nie zadania z podręcznika.
4. **Priorytetyzacja** - nie próbuj opanować wszystkiego. Skup się na tematach, które dają najwięcej punktów.
5. **Codzienne mini-testy** - co wieczór rozwiąż 5 zadań zamkniętych na czas. Mierz, ile Ci to zajmuje.

---

## Co daje najwięcej punktów? Mapa priorytetów

Na podstawie analizy arkuszy CKE z lat 2015-2025, oto tematy uszeregowane od najczęstszych:

### Priorytet 1 - MUST HAVE (pojawiają się na KAŻDEJ maturze)

| Temat | Punkty na arkusz | Gdzie się uczyć |
|-------|-------------------|-----------------|
| Funkcja kwadratowa | 4-6 pkt | [Przewodnik](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) |
| Planimetria (pola, kąty) | 4-8 pkt | [Przewodnik](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) |
| Trygonometria | 3-6 pkt | [Przewodnik](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) |
| Ciągi arytmetyczne i geometryczne | 2-4 pkt | [Przewodnik](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) |
| Geometria analityczna | 3-5 pkt | [Przewodnik](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) |
| Statystyka (średnia, mediana) | 2-3 pkt | [Przewodnik](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe) |
| Procenty | 1-3 pkt | [Przewodnik](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) |

### Priorytet 2 - SHOULD HAVE (częste, ale nie zawsze)

| Temat | Punkty na arkusz | Gdzie się uczyć |
|-------|-------------------|-----------------|
| Stereometria | 2-5 pkt | [Przewodnik](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) |
| Logarytmy | 1-3 pkt | [Przewodnik](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) |
| Funkcja liniowa | 1-2 pkt | [Przewodnik](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) |
| Prawdopodobieństwo | 1-3 pkt | [Przewodnik](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) |
| Potęgi i pierwiastki | 1-2 pkt | [Przewodnik](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) |

### Priorytet 3 - NICE TO HAVE (po opanowaniu priorytetów 1-2)

| Temat | Punkty na arkusz | Gdzie się uczyć |
|-------|-------------------|-----------------|
| Kombinatoryka | 1-2 pkt | [Przewodnik](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) |
| Wielomiany | 1-2 pkt | [Przewodnik](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout) |
| Funkcja wykładnicza | 1-2 pkt | [Przewodnik](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) |
| Zadania optymalizacyjne | 2-4 pkt | [Przewodnik](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka) |
| Dowody | 2-5 pkt | [Przewodnik](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac) |

---

## Tydzień 1 (1-7 kwietnia): Fundamenty i diagnoza

### Dzień 1: Diagnoza

Rozwiąż CAŁY [arkusz maturalny z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) w warunkach egzaminacyjnych (180 minut, bez pomocy, na czysto). Sprawdź wynik. To Twoja linia bazowa.

Zapisz:
- Ile punktów zdobyłeś
- Które tematy poszły dobrze
- Które tematy to "czarna dziura"

### Dzień 2-3: Funkcja kwadratowa

To temat nr 1 na maturze. Musisz umieć:
- Wyznaczać miejsca zerowe (delta, wzór)
- Rysować parabolę i określać wierzchołek
- Przechodzić między postaciami (ogólna, kanoniczna, iloczynowa)
- Stosować wzory Viete'a
- Odczytywać własności z wykresu

Przećwicz: 15 zadań zamkniętych + 3 zadania otwarte z [kategorii funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa). Korzystaj z [listy wzorów](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista).

### Dzień 4-5: Planimetria

Drugi najczęstszy temat. Skup się na:
- Polach figur (trójkąt, trapez, romb, równoległobok, koło)
- [Twierdzeniu Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)
- [Twierdzeniu Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania)
- Kątach w trójkącie i okręgu
- [Trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura)

Przećwicz: 15 zadań z [kategorii planimetria](/topics/planimetria).

### Dzień 6: Trygonometria

- Definicje sinusa, cosinusa i tangensa
- [Wartości dla kątów 30°, 45°, 60°](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci)
- Jedynka trygonometryczna
- [Twierdzenie sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac)
- Pole trójkąta ze wzoru \(P = \frac{1}{2}ab\sin C\)

Przećwicz: 10 zadań z [kategorii trygonometria](/topics/trygonometria).

### Dzień 7: Mini-test + odpoczynek

Rozwiąż 10 zadań zamkniętych z losowych tematów (skorzystaj z [losowania zadań](/random)). Sprawdź wyniki. Odpoczywaj - umysł potrzebuje snu, żeby utrwalić wiedzę.

---

## Tydzień 2 (8-14 kwietnia): Kluczowe tematy

### Dzień 8-9: Ciągi arytmetyczne i geometryczne

- Wzór na n-ty wyraz
- Suma n pierwszych wyrazów
- Własność środków
- Rozpoznawanie typu ciągu z treści zadania

Przećwicz: 12 zadań z [kategorii ciągi](/topics/ciagi).

### Dzień 10-11: Geometria analityczna

- Odległość między punktami
- Środek odcinka
- [Równanie prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) (kierunkowe i ogólne)
- Warunki równoległości i prostopadłości
- [Równanie okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania)
- Odległość punktu od prostej

Przećwicz: 12 zadań z [kategorii geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna).

### Dzień 12: Statystyka i procenty

- [Średnia, mediana, dominanta](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania)
- Odchylenie standardowe (wzór jest na karcie CKE)
- [Procent składany](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki)
- Podwyżki i obniżki procentowe

Przećwicz: 10 zadań z kategorii [statystyka](/topics/statystyka) i [procenty](/topics/procenty).

### Dzień 13: Potęgi, pierwiastki, logarytmy

- Działania na potęgach
- Upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami
- Własności logarytmów
- Równania wykładnicze i logarytmiczne

Przećwicz: 10 zadań z [potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki) i [logarytmów](/topics/logarytmy).

### Dzień 14: Pełny arkusz próbny

Rozwiąż [arkusz z matury próbnej CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) w warunkach egzaminacyjnych. Porównaj wynik z diagnozą z dnia 1. Powinieneś widzieć poprawę.

---

## Tydzień 3 (15-21 kwietnia): Słabe strony i arkusze

### Dzień 15-16: Twoje słabe strony

Na podstawie wyników z dwóch arkuszy - powtórz tematy, w których straciłeś najwięcej punktów. Użyj przewodników tematycznych z listy priorytetów wyżej.

### Dzień 17: Stereometria

- [Objętości brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory) (graniastosłup, ostrosłup, walec, stożek, kula)
- Pola powierzchni całkowitej
- Kąty dwuścienne i przekątne graniastosłupów
- Szukanie trójkątów prostokątnych w bryłach (KLUCZ do stereometrii)

Przećwicz: 8 zadań z [kategorii stereometria](/topics/stereometria).

### Dzień 18: Prawdopodobieństwo i kombinatoryka

- Prawdopodobieństwo klasyczne
- Drzewka prawdopodobieństwa
- Symbol Newtona
- Permutacje, wariacje, kombinacje

Przećwicz: 8 zadań z [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) i [kombinatoryki](/topics/kombinatoryka).

### Dzień 19: Funkcja liniowa + wykładnicza

- Równania prostych, wykresy
- Funkcja wykładnicza - wykresy i równania
- Przekształcenia wykresów

Przećwicz: 8 zadań z [funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa) i [wykładniczej](/topics/funkcja-wykladnicza).

### Dzień 20: Pełny arkusz

Rozwiąż kolejny arkusz z [bazy arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Mierz czas na każdą część.

### Dzień 21: Analiza błędów + odpoczynek

Przejrzyj WSZYSTKIE błędy z 3 arkuszy. Wypisz 5 najczęstszych typów błędów. Na to poświęć uwagę w tygodniu 4. Przeczytaj [najczęstsze błędy na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i [błędy rachunkowe](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

---

## Tydzień 4 (22-28 kwietnia): Symulacja egzaminu

### Dzień 22: Wzory do pamięci

Powtórz kompletną [listę wzorów](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista). Skup się na wzorach oznaczonych **\[P\]** (do pamięci). Zrób sobie fiszki lub wydrukuj listę.

Koniecznie znaj na pamięć:
- Wzory skróconego mnożenia
- Delta i wzór na miejsca zerowe
- Współrzędne wierzchołka paraboli
- Wzory Viete'a
- Wzory na ciągi (a_n i S_n)
- Wartości trygonometryczne kątów 30°, 45°, 60°
- Pola figur
- Odległość między punktami, środek odcinka

### Dzień 23-24: Dwa arkusze w dwa dni

Rozwiąż dwa pełne arkusze w warunkach egzaminacyjnych. Jeden dziennie. Po każdym - analiza błędów. Wykorzystaj [triki na zadania zamknięte](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody).

### Dzień 25: Zadania otwarte - technika pisania

Powtórz [jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) i [jak są punktowane](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

Kluczowe zasady:
- Pisz czytelnie i systematycznie
- Każdy krok na osobnej linii
- Uzasadniaj kluczowe przejścia
- Odpowiedź zaznacz/podkreśl

### Dzień 26: Pewniaki maturalne

Przejrzyj [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - typy zadań, które pojawiają się co roku. Upewnij się, że umiesz je rozwiązywać.

### Dzień 27: Łatwe punkty

Powtórz [zadania za 1 punkt](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt). To punkty, które MUSISZ zdobyć. Przejrzyj je i upewnij się, że nie tracisz ich przez głupie błędy.

### Dzień 28: Mini-test + odpoczynek

Rozwiąż 15 losowych zadań z [losowania](/random). Nie ucz się niczego nowego - to dzień na utrwalenie.

---

## Ostatnie dni (29 kwietnia - dzień matury): Finisz

### 29-30 kwietnia: Lekka powtórka

- Przejrzyj fiszki ze wzorami
- Rozwiąż 10 zadań zamkniętych (max 30 min)
- NIE ucz się nowych rzeczy
- Wyśpij się - sen jest ważniejszy niż dodatkowa godzina nauki

### Dzień przed egzaminem

- Przygotuj [co zabrać na maturę](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista) (dokument tożsamości, długopisy, linijka, cyrkiel)
- Przejrzyj kartę wzorów CKE - [co jest na karcie](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje)
- NIE rozwiązuj zadań - już wiesz wszystko, co masz wiedzieć
- Idź spać o normalnej porze

### Dzień matury

- Wstań 1.5h przed wyjściem
- Zjedz śniadanie bogate w węglowodany i białko
- Przyjedź 30 min przed egzaminem
- Na początku arkusza przeczytaj WSZYSTKIE zadania zamknięte (5 min)
- Zacznij od zadań, które umiesz
- Nie zostawaj przy jednym zadaniu dłużej niż 5 minut

---

## Ile punktów możesz realnie zdobyć w miesiąc?

| Twój poziom teraz | Realistyczny wynik | Co trzeba zrobić |
|-------------------|-------------------|-----------------|
| 0-10% | 30-40% | Plan jak wyżej, skupienie na priorytetach 1 |
| 10-30% | 40-60% | Plan jak wyżej, wszystkie priorytety 1-2 |
| 30-50% | 55-75% | Plan jak wyżej + priorytety 3 |
| 50-70% | 70-85% | Skupienie na arkuszach i eliminacji błędów |

To nie są obietnice - to realistyczne szacunki na podstawie tego, ile da się opanować w 30 dni intensywnej pracy. Kluczem jest **systematyczność** - 2-3 godziny dziennie, codziennie, bez wyjątków.

---

## Motywacja na trudne dni

Będą dni, gdy nie będziesz chciał siadać do matematyki. To normalne. Pamiętaj:

1. **15 punktów to tylko 30%** - na zdanie matury nie potrzebujesz perfekcji
2. **Każde rozwiązane zadanie to inwestycja** - im więcej typów zadań zobaczysz, tym mniej Cię zaskoczy na egzaminie
3. **Lepiej 30 minut dziennie niż 0** - nawet krótka sesja jest lepsza niż żadna
4. **Matura to maraton, nie sprint** - nie musisz umieć wszystkiego, musisz umieć wystarczająco dużo

Jeśli czujesz, że potrzebujesz pomocy z konkretnymi tematami, przeglądaj nasze [przewodniki tematyczne](/blog?typ=topic_guide) - każdy zawiera wyjaśnienia krok po kroku i zadania z rozwiązaniami.

---

## Gotowy plan w skrócie

| Tydzień | Fokus | Cel |
|---------|-------|-----|
| 1 (1-7.04) | Diagnoza + fundamenty (kwadratowa, planimetria, trig) | Opanuj 3 najważniejsze tematy |
| 2 (8-14.04) | Kluczowe tematy (ciągi, geo analityczna, statystyka) | Pokryj priorytety 1-2 |
| 3 (15-21.04) | Słabe strony + dodatkowe tematy | Wypełnij luki |
| 4 (22-28.04) | Symulacja + wzory + łatwe punkty | Wyrobienie czasu i pewności |
| 5 (29.04-maj) | Finisz + odpoczynek | Gotowość psychiczna |

Zaczynasz dziś. Nie jutro, nie w poniedziałek. **Dziś**. Otwórz [arkusz z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) i rozwiąż go na czysto. To Twój pierwszy krok.

Kompletną [listę wzorów do nauki](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista) masz w osobnym artykule - wydrukuj ją i trzymaj na biurku. Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-matematyka-ostatni-miesiac-powtorki
title: Matura z matematyki 2027 - jak wykorzystać ostatni miesiąc powtórek
description: Jak przygotować się do matury z matematyki w ostatnim miesiącu: plan tygodniowy, najważniejsze działy, strategie punktowe i błędy, których unikać.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki 2027 - jak wykorzystać ostatni miesiąc powtórek

## Ostatni miesiąc przed maturą - co naprawdę działa

Kwiecień przed maturą to czas, kiedy każda godzina nauki ma inną wartość niż we wrześniu. Nie chodzi już o uczenie się od zera - chodzi o konsolidację wiedzy, usuwanie luk i budowanie pewności siebie.

W tym artykule znajdziesz konkretny plan działania na 4 tygodnie przed maturą z matematyki. Żadnych ogólników - tylko to, co realnie podnosi wyniki.

---

## Najpierw: zmierz gdzie jesteś

Zanim zaczniesz powtórki, zrób jeden pełny arkusz maturalny z poprzedniego roku w warunkach zbliżonych do egzaminu:
- Ustaw timer na 180 minut
- Nie korzystaj z telefonu ani notatek
- Zaznacz wszystkie odpowiedzi

Sprawdź wyniki i policz punkty. To Twój punkt startowy. Arkusze znajdziesz na [sprawnamatura.pl](/exams) lub bezpośrednio na stronie CKE.

---

## Anatomia arkusza maturalnego - gdzie są punkty

Według informatora CKE, od matury 2025 arkusz podstawowy ma od 27 do 39 zadań i 50 punktów, a próg zdania to 30 procent, czyli 15 punktów.

**Zadania za 1 punkt**
Albo 1, albo 0. Nie ma punktów cząstkowych. W arkuszach Matura czerwiec 2025, Matura sierpień 2025 i Matura maj 2026 w naszej bazie było ich od 19 do 27.

**Zadania za 2, 3 i 4 punkty**
Tu są punkty cząstkowe - za tok rozumowania nawet przy złej odpowiedzi. W tych samych trzech arkuszach dawały od 23 do 31 punktów.

**Wniosek:** Zadania otwarte dają szansę na punkty nawet przy częściowo poprawnym rozwiązaniu. Zawsze pisz cokolwiek - nawet rysunek lub wzór może dać 1 punkt.

---

## Które działy przynoszą najwięcej punktów na maturze

Na podstawie analizy arkuszy z ostatnich lat, oto hierarchia "opłacalności":

### Tier 1 - zawsze warto znać (pewne punkty)

**Funkcja kwadratowa i liniowa** - pojawia się w każdym z tych trzech arkuszy, od 2 do 5 zadań. Wzory na wierzchołek paraboli, postać ogólna i iloczynowa, miejsca zerowe.

**Działania na potęgach i pierwiastkach** - błyskawiczne zadania zamknięte. Upraszczanie wyrażeń - ćwicz do automatyzmu.

**Procenty i zadania praktyczne** - zawsze w części zamkniętej, często obliczenia na odsetkach lub proporcjach.

**Statystyka i dane** - odczytywanie z wykresów, średnia, mediana, dominanta. Niska trudność, łatwe punkty.

### Tier 2 - dobre zwroty z inwestycji czasowej

**Logarytmy** - 1-2 zadania na arkuszu. Jak znasz wzory, są do policzenia w 2-3 minuty. Przewodnik: [Logarytmy na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

**Trygonometria** - sinus, cosinus, tangens dla kątów 30, 45, 60, 90. Wzory na pole trójkąta. Przewodnik: dostępny w dziale [Trygonometria](/topics/trygonometria).

**Ciągi arytmetyczne i geometryczne** - wzór na n-ty wyraz i na sumę. Jedno zadanie otwarte prawie co roku.

**Geometria analityczna** - równanie prostej, odległość punktu od prostej, okrąg na płaszczyźnie.

### Tier 3 - warto, jeśli masz czas

**Stereometria** - w tych samych trzech arkuszach zadania otwarte za 2-4 punkty. Trudniejsze, ale bardzo schematyczne. Przewodnik: [Stereometria na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

**Prawdopodobieństwo i kombinatoryka** - jeśli rozumiesz kiedy kombinacje, a kiedy permutacje, zadania są obliczalne. Przewodnik: [Prawdopodobieństwo na maturze](/prawdopodobienstwo-matura-kombinatoryka-wzory-zadania).

**Planimetria** - złożone zadania z trójkątami i okręgiem. Przewodnik: [Planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

---

## Tygodniowy plan powtórek - 4 tygodnie przed maturą

### Tydzień 1 - Fundament (funkcje, potęgi, procenty)

Cel: Upewnić się, że Tier 1 masz pewnie opanowany.

- Poniedziałek - środa: Funkcja kwadratowa - 20 zadań zamkniętych + 5 otwartych
- Czwartek - piątek: Potęgi, pierwiastki, działania algebraiczne
- Weekend: Procenty, statystyka, zadania praktyczne

Test: Przejdź zadania 1-10 z arkusza podstawowego z 2024 roku bez kalkula tora. Powinieneś zrobić 8-9 bez problemu.

### Tydzień 2 - Analiza (logarytmy, trygonometria, ciągi)

- Poniedziałek - wtorek: Logarytmy - wzory i równania
- Środa - czwartek: Trygonometria - wartości funkcji, zadania geometryczne
- Piątek - sobota: Ciągi - wzory na wyrazy i sumy
- Niedziela: Arkusz próbny

### Tydzień 3 - Geometria (planimetria, stereometria, geometria analityczna)

- Poniedziałek - wtorek: Geometria analityczna - linie proste, okrąg
- Środa - czwartek: Planimetria - figury płaskie, twierdzenia
- Piątek - sobota: Stereometria - bryły, objętości, kąty
- Niedziela: Pełny arkusz próbny (180 minut)

### Tydzień 4 - Finalizacja i symulacje

- Poniedziałek - środa: Wróć do swoich najsłabszych działów (wyniknęło z testu startowego i arkuszy próbnych)
- Czwartek - piątek: Dwa kolejne arkusze z poprzednich lat
- Weekend: Lekkie powtórzenie wzorów. NIE ucz się nowych rzeczy na 2 dni przed maturą.

---

## Jak skutecznie ćwiczyć - metody

### Powtarzalne typy zadań zamkniętych

Skup się na tych typach, które widzisz najczęściej w arkuszach. Na [SprawnaMatura.pl](/random) możesz ćwiczyć losowe zadania z konkretnych działów.

### Aktywne odczytywanie rozwiązań

Nie czytaj rozwiązań pasywnie. Zasłoń rozwiązanie, spróbuj sam, potem porównaj. Jeśli popełniłeś błąd - wróć do wzoru i napisz go na kartce 5 razy.

### Analiza błędów

Prowadź notatnik błędów. Gdy popełnisz błąd, zapisz:
1. Typ zadania
2. Jaki błąd popełniłeś
3. Poprawne rozwiązanie

Przed egzaminem przejrzyj te notatki.

---

## Czego NIE robić w ostatnim miesiącu

1. **Nie ucz się nowych wzorów na 3 dni przed egzaminem** - to generuje stres, nie pomaga
2. **Nie pomijaj sprawdzania odpowiedzi** - każde wyłapane potknięcie w zadaniu za 1 punkt to punkt więcej
3. **Nie rozwiązuj zadań bez rozpisywania** - "w głowie" przynosi błędy. Pisz każdy krok
4. **Nie zaniedbuj zadań otwartych** - nawet częściowe rozwiązanie to punkty

---

## Strategia na samym egzaminie

1. Zacznij od przejścia zadań zamkniętych - zrób te, które wiesz od razu
2. Wróć do trudniejszych zadań zamkniętych
3. W zadaniach otwartych zawsze pisz co wiesz - wzór, rysunek, pierwsze kroki
4. Jeśli utknąłeś w zadaniu otwartym - przejdź dalej, wróć jeśli starczy czasu
5. Zostaw 10 minut na koniec na sprawdzenie

Powodzenia na maturze! Jeśli chcesz ćwiczyć konkretne działy, wejdź do [bazy zadań maturalnych](/random) i rozwiązuj zadania z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-matematyka-maj-2026-prognoza-zadan-analiza-arkuszy-probnych
title: Matura z matematyki maj 2026 - prognoza zadań na podstawie arkuszy próbnych CKE
description: Prognoza zadań na maturę z matematyki maj 2026 na podstawie arkuszy próbnych CKE. Które tematy pojawią się na pewno, a co może zaskoczyć uczniów.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki maj 2026 - prognoza zadań na podstawie arkuszy próbnych CKE

Do matury z matematyki zostały **3 tygodnie**. Zamiast zgadywać, przeanalizowałem twarde dane - arkusze próbne CKE (grudzień 2024, luty 2026, marzec 2026), matury z lat 2023-2025 i oficjalne informatory. Poniżej znajdziesz konkretną analizę: co się powtarza, co CKE lubi testować i na czym warto skupić ostatnie powtórki.

To nie jest wróżenie z fusów. To statystyka.

---

## Jak wyglądały arkusze próbne w tym sezonie

### Arkusz próbny CKE grudzień 2024

Zadania zamknięte skupiały się na **potęgach i pierwiastkach** (3 zadania), **funkcji liniowej** (2 zadania) i **procentach** (2 zadania). W części otwartej dominowała **geometria analityczna** - równanie prostej przez dwa punkty i odległość punktu od prostej. Zadanie za 5 punktów dotyczyło **ciągów** - wyznaczanie sumy ciągu arytmetycznego z warunkiem.

Pełne rozwiązania tego arkusza znajdziesz w [omówieniu matury próbnej CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania).

### Arkusz próbny luty 2026

Tutaj CKE postawiło mocniej na **trygonometrię** (sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym) oraz **stereometrię** - obliczanie objętości ostrosłupa z danym kątem. W zamkniętych pojawiły się klasyczne **nierówności kwadratowe** i zadanie z **logarytmem**. Część otwarta: zadanie z [funkcją kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa) (wyznaczanie postaci kanonicznej i przedziału wartości) oraz planimetria z twierdzeniem cosinusów.

Omówienie: [matura próbna luty 2026 - rozwiązania](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania).

### Arkusz próbny marzec 2026

Najnowszy arkusz - i najciekawszy do analizy. CKE włączyło zadanie z **prawdopodobieństwem** w części otwartej (co zdarza się rzadko na poziomie podstawowym), **ciąg geometryczny** z warunkiem na sumę trzech wyrazów i klasyczne zadanie z **geometrii analitycznej** - punkt przecięcia dwóch prostych. W zamkniętych: dużo **potęg**, **procentów** i odczytywania własności funkcji z wykresu.

Rozwiązania: [matura próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania).

---

## Tematy, które pojawią się niemal na pewno

Na podstawie analizy arkuszy próbnych i matur z lat 2023-2025, te tematy pojawiają się **na każdym egzaminie** bez wyjątku:

### 1. Geometria analityczna (3-5 zadań)

To **największa kategoria** na maturze - co czwarty punkt pochodzi z geometrii analitycznej. Na pewno pojawią się:

- Równanie prostej przez dwa punkty
- Odległość między punktami: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
- Środek odcinka: \(S = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
- Warunek prostopadłości prostych: \(a_1 \cdot a_2 = -1\)

W zadaniach otwartych spodziewam się **równania okręgu** lub **odległości punktu od prostej**. Te tematy nie pojawiły się w arkuszach próbnych, więc CKE może je "odświeżyć".

Powtórz: [geometria analityczna - pełny przewodnik](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) i [równanie prostej na maturze](/rownanie-prostej-na-maturze-kierunkowe-ogolne-przez-dwa-punkty).

### 2. Ciągi arytmetyczne i geometryczne (2-3 zadania)

Ciągi to **pewniaki** na każdej maturze. W zamkniętych: wyznaczanie n-tego wyrazu lub różnicy/ilorazu. W otwartych: zadanie z warunkiem na sumę ciągu.

Kluczowe wzory:

- Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)
- Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
- Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Przewodnik: [ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze](/ciagi-arytmetyczne-i-geometryczne-na-maturze-wzory-zadania).

### 3. Funkcja kwadratowa (2-4 zadania)

Delta, wierzchołek paraboli, postać kanoniczna - to fundament matury. W tym sezonie CKE w próbnych testowało głównie **wyznaczanie przedziału wartości** i **postać kanoniczną z warunkiem**. Spodziewam się podobnego podejścia w maju.

$$\Delta = b^2 - 4ac, \qquad W = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$$

Powtórz: [funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

### 4. Potęgi i pierwiastki (2-3 zadania zamknięte)

Proste obliczenia, ale łatwo o pomyłkę. Na pewno pojawią się upraszczanie wyrażeń z potęgami, porównywanie potęg i działania na pierwiastkach. To punkty, które **musisz** zdobyć.

---

## Tematy, które mogą zaskoczyć

### Prawdopodobieństwo w części otwartej

Arkusz marcowy 2026 już to zasygnalizował. CKE ostatnio częściej umieszcza prawdopodobieństwo w części otwartej zamiast w zamkniętej. Powtórz [prawdopodobieństwo klasyczne](/prawdopodobienstwo-na-maturze-kombinatoryka-wzory-zadania) i drzewka prawdopodobieństwa.

### Stereometria z kątem dwuściennym

Zadania ze stereometrii na maturach 2024-2025 były trudniejsze niż w latach wcześniejszych. CKE zaczęło pytać o kąty między ścianami i krawędziami, nie tylko o objętości. Przygotuj się na zadanie z [ostrosłupem lub graniastosłupem](/topics/stereometria), gdzie trzeba wyznaczyć kąt.

### Funkcja wykładnicza lub logarytm w nierówności

Na maturze próbnej w lutym pojawił się logarytm w zadaniu zamkniętym. Jeśli na egzaminie będzie podobne zadanie, wystarczy znajomość definicji: \(\log_a b = c \iff a^c = b\). Ale CKE może pójść dalej - nierówność logarytmiczna lub wykładnicza. Powtórz [logarytmy](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

---

## Na co postawić w ostatnich 3 tygodniach

### Tydzień 1 (14-20 kwietnia): geometria i ciągi

To dwa najważniejsze tematy na maturze. Rozwiąż po **5 zadań otwartych** z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) i [ciągów](/topics/ciagi). Skup się na zadaniach za 4-5 punktów. Jeśli coś nie wychodzi, wróć do teorii.

### Tydzień 2 (21-27 kwietnia): funkcje i trygonometria

Przejdź przez [funkcję kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa), [funkcję liniową](/topics/funkcja-liniowa) i [trygonometrię](/topics/trygonometria). Rób **pełne arkusze** - po jednym dziennie. Mierz czas (180 minut na arkusz).

### Tydzień 3 (28 kwietnia - 4 maja): zamknięte i powtórka błędów

Rozwiąż **100 zadań zamkniętych** z różnych arkuszy. Zapisz każdy błąd. Dzień przed maturą przejrzyj tylko notatki z błędów - nic nowego.

Szczegółowy plan dzień po dniu znajdziesz w [planie nauki na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

---

## Rozkład punktów - gdzie leżą najłatwiejsze punkty

Na maturze masz do zdobycia **50 punktów** (25 zamknięte + 25 otwarte). Oto moja prognoza rozkładu:

| Temat | Zamknięte (pkt) | Otwarte (pkt) | Łącznie |
|---|---|---|---|
| Geometria analityczna | 3-4 | 4-5 | 7-9 |
| Ciągi | 2-3 | 4-5 | 6-8 |
| Funkcja kwadratowa | 2-3 | 2-4 | 4-7 |
| Potęgi i pierwiastki | 3-4 | 0 | 3-4 |
| Planimetria/stereometria | 1-2 | 3-5 | 4-7 |
| Trygonometria | 1-2 | 0-3 | 1-5 |
| Pozostałe (procenty, prawdopodobieństwo, statystyka) | 4-6 | 0-2 | 4-8 |

Najłatwiejsze punkty? **Zamknięte z potęg, procentów i funkcji liniowej** - te zadania wymagają głównie sprawnego rachunku, nie skomplikowanego rozumowania.

Jeśli celujesz w **zdanie** (30%) - skup się na zamkniętych i prostych otwartych. Jeśli chcesz **80%+** - musisz umieć rozwiązywać zadania otwarte z geometrii analitycznej i ciągów.

---

## Podsumowanie

Matura z matematyki 2026 nie powinna zaskoczyć, jeśli przerobisz arkusze próbne. Tematy się powtarzają - geometria analityczna i ciągi to fundament, a CKE trzyma się sprawdzonych schematów. Nowością mogą być prawdopodobieństwo w otwartych i trudniejsza stereometria, ale to marginalne punkty.

**Trzy rzeczy, które zrobisz teraz:**
1. Rozwiąż [arkusz próbny CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) na czas
2. Przejrzyj swoje słabe strony w [tematach maturalnych](/topics)
3. Rozwiązuj po 10 zadań zamkniętych dziennie na [Sprawnej Maturze](/)

Do zobaczenia po egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-matematyka-2026-co-dalej-poprawka-sierpien-plan-nauki
title: Matura matematyka 2026 - co dalej? Poprawka, studia, nauka do 2027
description: Po maturze z matematyki w maju 2026: trzy scenariusze, czyli studia, poprawka w sierpniu i przygotowanie do 2027. Plany pracy i arkusze CKE do ćwiczeń.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura matematyka 2026 - co dalej? Poprawka, studia, nauka do 2027

## Matura z matematyki 2026 za tobą - co teraz?

Matura podstawowa z matematyki **5 maja 2026** zamknęła sezon egzaminów obowiązkowych dla maturzystów. Nieważne, czy wyszedłeś z sali z poczuciem "mam 90%", "ledwo zdam" czy "padłem na samym dowodzie" - **kolejne miesiące są ważniejsze, niż ci się wydaje**. Wyniki poznasz dopiero **w lipcu**, a do tego czasu masz trzy realne scenariusze: kierunek na studia, **poprawka w sierpniu** albo **przygotowanie do matury w maju 2027**.

W tym wpisie rozkładamy każdy scenariusz na konkretne kroki. Bez ogólników w stylu "naucz się dobrze". Z konkretami: ile zadań dziennie, z jakiego działu, w jakim formacie.

Jeśli najpierw chcesz sprawdzić, jak wypadłeś - **klucz odpowiedzi i pełne rozwiązania znajdziesz w [walkthroughu matury maj 2026](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania)**.

## Scenariusz 1 - matura zdana, idziesz na studia

Jeśli z arkusza dostałeś przynajmniej **15 punktów (30%)**, masz formalnie zdane. Gratulacje. Pozostaje czekać na wyniki (lipiec) i ewentualnie przeliczać sobie progi rekrutacyjne na wymarzony kierunek.

Co możesz robić w tym czasie konstruktywnie?

- **Sprawdź progi z roku 2025** dla kierunków, które rozważasz - im wyżej, tym większa różnica w procentach na maturze.
- **Jeśli rekrutujesz na kierunki, gdzie liczy się matura rozszerzona** (np. SGH, AGH inżynieria, MIM UW), pamiętaj że egzamin **rozszerzony** odbył się kilka dni później (11 maja) i ma osobne progi.
- **Zachowaj dostęp do aplikacji do końca sierpnia** - na wypadek, gdyby okazało się, że potrzebujesz poprawki. Pełen [arkusz maj 2026](/exams/matura-maj-2026) wraz z bazą ponad 2300 zadań masz w [planie Premium](/payment/checkout).

## Scenariusz 2 - matura niezdana, poprawka w sierpniu

Jeśli z 50 punktów dostałeś **mniej niż 15**, formalnie matury nie zdałeś. Ale to nie koniec drogi - **poprawka odbywa się w sierpniu 2026**, masz **3 miesiące** na poprawę. Z naszego doświadczenia: to **bardzo wystarczająco** dużo, żeby z 10 punktów dojść do 25-30, jeśli pracujesz regularnie.

### Plan na 3 miesiące (maj-sierpień 2026)

**Miesiąc 1 (maj-czerwiec):** powtórka teorii i pewniaków.
- Codziennie 1 godzina, 7 dni w tygodniu.
- Przerób **wszystkie 33 zadania z arkusza maj 2026** - one są najświeższym kalibrem trudności. Pełna lista: [/exams/matura-maj-2026](/exams/matura-maj-2026).
- Dodaj 4-5 starszych arkuszy: [maj 2025](/exams/matura-maj-2025), [maj 2024](/exams/matura-maj-2024), [maj 2023](/exams/matura-maj-2023) (pierwszy w nowej formule).

**Miesiąc 2 (czerwiec-lipiec):** kategorie, w których tracisz punkty.
- Aplikacja pokazuje statystyki w [/progress](/progress) - sprawdź, gdzie masz najsłabsze wyniki.
- Najczęściej to: [stereometria](/topics/stereometria) (bo bryły), [planimetria](/topics/planimetria) (bo geometria okręgu) i [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) (bo dyskryminanty).
- Po 20-30 zadań z każdej z 2-3 słabych kategorii. To wystarczy, żeby zamienić "nie rozumiem" w "rozumiem schemat".

**Miesiąc 3 (lipiec-sierpień):** symulacje na czas.
- 1-2 razy w tygodniu cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych w [symulatorze matury](/simulator).
- Po każdej symulacji 20-minutowa analiza błędów: gdzie pomyliłeś znak, gdzie nie pomyślałeś o przypadku.
- Tydzień przed egzaminem - 2 dni odpoczynku, żeby nie wejść na salę zmęczonym.

### Co najbardziej się opłaca powtarzać

Patrząc na arkusz maj 2026, oto pięć kategorii, w które warto zainwestować czas:

1. **[Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa)** - 6 pkt (postać kanoniczna, miejsca zerowe, dyskryminanta)
2. **[Ciągi](/topics/ciagi)** - 5 pkt (arytmetyczny, geometryczny, mix)
3. **[Planimetria](/topics/planimetria)** - 5 pkt (twierdzenie Talesa, okrąg, dwusieczna)
4. **[Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna)** - 4 pkt (proste, odległości, okrąg)
5. **[Stereometria](/topics/stereometria)** - 3 pkt (graniastosłupy, ostrosłupy, walce, stożki, kule)

Razem to **23 punkty z 50**. Solidnie opanowując te pięć działów, jesteś na 46% wyniku - czyli matura zdana z dużym zapasem.

## Scenariusz 3 - zdana, ale chcesz lepiej (matura 2027)

Może chcesz zmienić kierunek studiów, dostać się na trudniejszy próg rekrutacyjny, albo po prostu masz poczucie "stać mnie na więcej". **Masz prawo pisać maturę ponownie - w maju 2027 lub 2028**, bez ograniczeń.

W tej sytuacji masz **12 miesięcy** na przygotowanie - to dużo, ale tylko jeśli pracujesz systematycznie. Plan:

- **Wrzesień-grudzień:** powtórka teorii ze szkoły. Jeśli z czegoś byłeś słaby w 4. klasie (np. funkcji wykładnicza, kombinatoryka), teraz jest moment, żeby to opanować od podstaw. Aplikacja [Sprawna Matura](/) ma podział na kategorie + ponad 2300 zadań CKE pogrupowanych tematycznie.
- **Styczeń-marzec:** arkusze na czas. Co tydzień 1 cały arkusz. Lista wszystkich arkuszy CKE 2010-2025 + matury 2026: [/exams](/exams).
- **Kwiecień-maj 2027:** ostre powtórki, **5-7 zadań dziennie z różnych kategorii**, plus 1-2 symulacje na pełny arkusz w tygodniu.

### Czego nie robić

Po maturze maj 2026 widać dwa **antywzorce** wśród maturzystów planujących poprawić wynik przy kolejnym podejściu:

- **Robienie tylko jednego działu na okrągło** - "muszę nauczyć się trygonometrii". Po dwóch miesiącach intensywnej trygonometrii odkrywasz, że na maturze są tylko 2 zadania z trygo, a 5 z analityki, której zaniedbałeś.
- **Pomijanie zadań zamkniętych** - "zamknięte zrobię w 5 minut, skupiam się na otwartych". Tymczasem w arkuszu maj 2026 zamknięte to **25 pkt z 50**. Połowa egzaminu.

## Pełny arkusz Matura maj 2026 - przerób go w aplikacji

Niezależnie od tego, w którym scenariuszu jesteś - **najwartościowszy materiał edukacyjny tej chwili to świeży arkusz CKE**. Mamy wszystkie 33 zadania (rozbite na 37 task_ids dla podpunktów) w aplikacji Sprawna Matura, **interaktywnie z rozwiązaniami krok po kroku**:

[Otwórz arkusz Matura maj 2026](/exams/matura-maj-2026) - 50 pkt, formuła 2023, kompletny klucz z komentarzem do każdego zadania.

Plus dla porównania **kompletna baza arkuszy 2010-2025**:
- [Matura maj 2025](/exams/matura-maj-2025) - 31 zadań, 50 pkt
- [Matura maj 2024](/exams/matura-maj-2024) - 31 zadań, 50 pkt
- [Matura maj 2023](/exams/matura-maj-2023) - pierwsza w nowej formule
- [Matura próbna marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026)
- [Matura próbna luty 2026](/exams/matura-probna-luty-2026)
- [Pełna lista wszystkich arkuszy](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan)

### Plan na pierwszy tydzień nauki

Bez gadania - oto co zrobić od dziś przez najbliższe 7 dni:

| Dzień | Zadanie | Czas |
|-------|---------|------|
| 1 | Rozwiąż arkusz maj 2026 bez podglądania klucza | 180 min |
| 2 | Przeanalizuj błędy - zobacz rozwiązania w aplikacji | 60 min |
| 3 | Powtórka najsłabszej kategorii (5-7 zadań) | 60 min |
| 4 | Powtórka drugiej słabej kategorii | 60 min |
| 5 | Rozwiąż arkusz maj 2025 na czas | 180 min |
| 6 | Analiza + 5 zadań z trzeciej słabej kategorii | 60 min |
| 7 | Odpoczynek + krótki przegląd notatek | 20 min |

Po pierwszym tygodniu masz świetny obraz tego, gdzie stoisz. Dalej już idzie z górki.

[Zacznij od arkusza maj 2026](/exams/matura-maj-2026) - pełne 33 zadania z kluczem i rozwiązaniami.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania
title: Logarytmy na maturze z matematyki - wzory, właściwości i zadania z rozwiązaniami
description: Logarytmy na maturze krok po kroku. Definicja, wzory na działania logarytmiczne, równania i nierówności logarytmiczne. Typowe zadania maturalne z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Logarytmy na maturze z matematyki - wzory, właściwości i zadania z rozwiązaniami

## Czym są logarytmy i dlaczego są ważne na maturze

Logarytmy to jeden z tematów, który pojawia się na egzaminie maturalnym z matematyki praktycznie co roku. Zadania z logarytmami mogą być zarówno na poziomie podstawowym (zadania zamknięte), jak i na poziomie rozszerzonym (zadania otwarte wymagające pełnego rozwiązania). Warto je opanować solidnie, bo po zrozumieniu podstawowych wzorów stają się zaskakująco proste.

Logarytm to odpowiedź na pytanie: **do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę?**

Formalnie: \(\log_a b = c\) oznacza, że \(a^c = b\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\) oraz \(b > 0\).

Przykład: \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\).

Na maturze najczęściej spotykamy:
- logarytm dziesiętny \(\log_{10} x\) (zapisywany skrótowo jako \(\log x\))
- logarytm naturalny \(\ln x\) (podstawa \(e \approx 2{,}718\))

---

## Definicja i dziedzina funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna \(f(x) = \log_a x\) jest określona dla \(x > 0\). To ważne w zadaniach - zanim zaczniesz liczyć, sprawdź czy argument logarytmu jest dodatni. Na maturze często pojawia się pytanie o dziedzinę wyrażeń zawierających logarytmy.

**Przykład:** Dla jakiej wartości \(x\) ma sens wyrażenie \(\log(x - 3)\)?

Rozwiązanie: \(x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\). Dziedzina to \((3; +\infty)\).

[Wykresy funkcji logarytmicznych](/funkcja-logarytmiczna-wykres-dziedzina-monotonicznosc-matura#dziedzina-funkcji-logarytmicznej):
- gdy \(a > 1\) (np. \(\log_2 x\)) - funkcja rosnąca
- gdy \(0  0\), spełniony. **Odpowiedź: D**

**Zadanie 7:** Wartość wyrażenia \(2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3\) jest równa

A. \(-1\)    B. \(0\)    C. \(1\)    D. \(3\)

**Rozwiązanie:**
$$2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3 = \log_3 25 - \log_3 75 + 1 = \log_3 \frac{1}{3} + 1 = -1 + 1 = 0$$

**Odpowiedź: B**

---

## Równania logarytmiczne - metody i przykłady

Na maturze pojawia się kilka typów równań logarytmicznych. Oto najczęstsze:

### Typ 1: Bezpośrednie zastosowanie definicji

$$\log_3 x = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$$

### Typ 2: Sprowadzenie do tej samej podstawy

$$\log_2 x + \log_2 5 = \log_2 20$$
$$\log_2(5x) = \log_2 20$$
$$5x = 20 \Rightarrow x = 4$$

Sprawdzenie: \(x = 4 > 0\) - OK.

### Typ 3: Podstawienie \(t = \log_a x\)

$$\log^2 x - 3\log x + 2 = 0$$

Podstawiamy \(t = \log x\):
$$t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-2) = 0$$
$$t = 1 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = 10$$
$$t = 2 \Rightarrow \log x = 2 \Rightarrow x = 100$$

**UWAGA:** W równaniach logarytmicznych zawsze sprawdzaj dziedzinę na końcu. Jeśli pierwiastek spełnia warunek dziedziny (argument dodatni, podstawa dodatnia i różna od 1), to jest poprawnym rozwiązaniem.

---

## Nierówności logarytmiczne

Nierówności logarytmiczne wymagają szczególnej uwagi przy kierunku nierówności - zmienia się on, gdy podstawa jest mniejsza od 1.

**Reguła:**
- Jeśli \(a > 1\): \(\log_a x > \log_a y \Leftrightarrow x > y\)
- Jeśli \(0  \log_a y \Leftrightarrow x  \log_3 5\).

**Rozwiązanie:**
Podstawa \(a = 3 > 1\), więc kierunek zachowany:
$$2x - 1 > 5 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3$$

Warunek dziedziny: \(2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\)

Odpowiedź: \(x > 3\), bo \((3; +\infty)\) zawiera się w \((\frac{1}{2}; +\infty)\).

**Przykład z podstawą mniejszą od 1:** Rozwiąż \(\log_{0{,}5} x  0{,}5^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$$

Odpowiedź: \(x > 8\), czyli \(x \in (8; +\infty)\).

---

## Typowe błędy na maturze przy logarytmach

1. **Brak sprawdzenia dziedziny** - to kosztuje punkty. Zawsze sprawdź, czy argument logarytmu jest dodatni.
2. **Mylenie wzorów** - \(\log(a + b) \neq \log a + \log b\). Wzór na sumę logarytmów dotyczy ILOCZYNU argumentów.
3. **Zły kierunek nierówności** - przy podstawie mniejszej od 1 kierunek się odwraca.
4. **Zapominanie o podstawieniu** - w równaniach kwadratowych względem logarytmu warto zawsze zastosować podstawienie \(t = \log_a x\).
5. **Mylenie podstawy z argumentem** - w \(\log_2 8\) podstawa to 2 (mała liczba na dole), a argument to 8. Pytasz: „2 do jakiej potęgi daje 8?”.

---

## Strategia na zadanie z logarytmami

1. **Czy argument jest potęgą podstawy?** Jeśli tak, wynik odczytujesz od razu.
2. **Czy w argumencie jest iloczyn albo iloraz?** Rozbij go na sumę albo różnicę logarytmów.
3. **Czy w argumencie jest potęga?** Wyciągnij wykładnik przed logarytm.
4. **Czy podstawy są różne?** Sprowadź je do jednej wzorem na zmianę podstawy.

---

## Jak ćwiczyć logarytmy przed maturą

Najlepszym sposobem jest rozwiązywanie zadań z prawdziwych arkuszy maturalnych. Skup się szczególnie na:
- zadaniach zamkniętych z obliczaniem wartości logarytmów (1-2 punkty)
- zadaniach otwartych z równaniami logarytmicznymi (4-5 punktów)

Na [SprawnaMatura.pl](/topics/logarytmy) znajdziesz setki zadań z logarytmami posortowanych według trudności, z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Warto też przejrzeć [arkusze maturalne z poprzednich lat](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), gdzie pojawiają się zadania z tego działu.

Więcej o przygotowaniach do matury przeczytasz w artykule [Jak zdać maturę z matematyki w 2027 roku](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

---

## Podsumowanie

Logarytmy na maturze z matematyki to temat, który możesz opanować w stosunkowo krótkim czasie. Kluczowe kroki:

1. Naucz się na pamięć 6 podstawowych wzorów logarytmicznych
2. Ćwicz upraszczanie wyrażeń - to buduje intuicję
3. Rozwiązuj równania metodycznie, zawsze sprawdzając dziedzinę
4. Przy nierównościach zwracaj uwagę na podstawę

Matura to egzamin ze schematu - zadania mają powtarzalną strukturę. Po przejściu kilkunastu zadań z logarytmami zaczniesz je rozpoznawać automatycznie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat
title: Kąty w figurach na maturze - kąty wpisane, środkowe, w trójkącie i czworokącie
description: Kąty w figurach na maturze: kąt wpisany i środkowy, suma kątów trójkąta i czworokąta, kąty w okręgu i wielokątach foremnych. Zadania CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Kąty w figurach na maturze - kąty wpisane, środkowe, w trójkącie i czworokącie

## Dlaczego kąty w figurach to jeden z najważniejszych tematów na maturze

Kąty pojawiają się na maturze z matematyki **w każdym arkuszu** - nie ma roku bez zadania, w którym musisz wyznaczyć miarę kąta w trójkącie, czworokącie lub okręgu. W naszej [bazie zadań z planimetrii](/topics/planimetria) znajdziesz dziesiątki takich zadań, a wiele z nich wymaga znajomości zaledwie kilku twierdzeń.

Problem polega na tym, że maturzyści często znają tylko najprostszą regułę (suma kątów w trójkącie = 180 stopni), ale gubią się przy kątach wpisanych, środkowych i własności czworokąta wpisanego w okrąg. A to właśnie te zagadnienia pojawiają się w zadaniach za 2-3 punkty.

Ten artykuł to kompletne zestawienie wszystkich twierdzeń o kątach, które mogą pojawić się na maturze - od najprostszych do zaawansowanych. Każde twierdzenie zilustrowane jest zadaniem maturalnym z pełnym rozwiązaniem. Jeśli szukasz szerszego przewodnika po planimetrii, zajrzyj do artykułu o [planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

## Kąty w trójkącie

### Suma kątów wewnętrznych

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

To fundamentalne twierdzenie, na którym opiera się cała geometria trójkąta. Jeśli znasz dwa kąty - trzeci wyznaczasz natychmiast.

**Wniosek:** W trójkącie może być **co najwyżej jeden** kąt prosty lub rozwarty.

### Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do jednego z kątów wewnętrznych (tworzą razem kąt półpełny, czyli 180 stopni).

**Twierdzenie o kącie zewnętrznym:**

$$\gamma_{\text{zewn}} = \alpha + \beta$$

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy **sumie dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych**. To twierdzenie pojawia się na maturze zaskakująco często i pozwala rozwiązywać zadania szybciej niż metodą "od 180 stopni odejmij".

### Kąty w trójkątach szczególnych

**Trójkąt równoboczny:** Wszystkie kąty mają miarę \(60°\).

**Trójkąt równoramienny:** Kąty przy podstawie są równe. Jeśli kąt przy wierzchołku to \(\alpha\), to kąty przy podstawie to po \(\frac{180° - \alpha}{2}\).

**Trójkąt prostokątny:** Jeden kąt ma miarę \(90°\), pozostałe dwa dają w sumie \(90°\) (są dopełniające). To się wiąże z [twierdzeniem Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania), które jest fundamentem wielu zadań.

### Zadanie maturalne 1: Kąty w trójkącie

**W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma miarę \(40°\). Oblicz miarę kąta między wysokością opuszczoną na podstawę a ramieniem trójkąta.**

**Rozwiązanie:**

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe:

$$\beta = \frac{180° - 40°}{2} = \frac{140°}{2} = 70°$$

Wysokość opuszczona na podstawę w trójkącie równoramiennym jest jednocześnie medianą i dwusieczną - dzieli kąt przy wierzchołku na pół. Ale pytanie dotyczy kąta między wysokością a ramieniem.

Wysokość tworzy z podstawą kąt prosty (\(90°\)). W trójkącie prostokątnym (połowa trójkąta równoramiennego) mamy:
- kąt prosty (\(90°\)) przy podstawie (gdzie wysokość spotyka podstawę)
- kąt przy podstawie oryginalnego trójkąta: \(70°\)
- kąt między wysokością a ramieniem: \(180° - 90° - 70° = 20°\)

Alternatywnie: wysokość dzieli kąt przy wierzchołku (\(40°\)) na pół, dając \(20°\).

**Odpowiedź:** Kąt między wysokością a ramieniem ma miarę \(20°\).

## Kąty w czworokątach

### Suma kątów wewnętrznych czworokąta

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°$$

Wynika to z faktu, że czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, a \(2 \times 180° = 360°\).

### Kąty w czworokątach szczególnych

**Równoległobok:** Kąty przeciwległe są równe, kąty przyległe (przy tym samym boku) sumują się do \(180°\).

$$\alpha = \gamma, \quad \beta = \delta, \quad \alpha + \beta = 180°$$

**Prostokąt:** Wszystkie kąty mają miarę \(90°\) (prostokąt to szczególny równoległobok).

**Romb:** Kąty przeciwległe równe, kąty przyległe sumują się do \(180°\). Przekątne dzielą kąty rombu na pół.

**Trapez równoramienny:** [Kąty przy każdym](/trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura) z ramion (kąty przy tej samej podstawie) są równe.

$$\alpha = \beta \quad \text{(kąty przy dłuższej podstawie)}$$
$$\gamma = \delta \quad \text{(kąty przy krótszej podstawie)}$$
$$\alpha + \gamma = 180° \quad \text{(kąty przy ramieniu)}$$

### Zadanie maturalne 2: Kąty w równoległoboku

**W równoległoboku \(ABCD\) kąt \(\angle DAB = 65°\). Przekątna \(AC\) tworzy z bokiem \(AB\) kąt \(25°\). Oblicz miarę kąta \(\angle ACD\).**

**Rozwiązanie:**

Z własności równoległoboku: \(\angle ABC = 180° - 65° = 115°\) (kąty przyległe sumują się do \(180°\)).

Kąt \(\angle DAC = \angle DAB - \angle BAC = 65° - 25° = 40°\).

Ponieważ \(AB \parallel CD\), to \(\angle ACD = \angle BAC = 25°\) (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych przeciętych sieczną \(AC\)).

**Odpowiedź:** \(\angle ACD = 25°\)

## Kąt wpisany i kąt środkowy - najważniejsze twierdzenie o okręgu

### Definicje

**Kąt środkowy** - wierzchołek w środku okręgu, ramiona są promieniami.

**Kąt wpisany** - wierzchołek leży na okręgu, ramiona są cięciwami.

### Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

$$\text{Kąt środkowy} = 2 \times \text{kąt wpisany}$$

(pod warunkiem, że oba kąty są oparte na **tym samym łuku**)

To jest jedno z najważniejszych twierdzeń planimetrii na maturze. Mówi ono, że kąt środkowy oparty na danym łuku jest **dwa razy większy** od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

**Równoważnie:** kąt wpisany jest równy **połowie** kąta środkowego:

$$\text{Kąt wpisany} = \frac{1}{2} \times \text{kąt środkowy}$$

### Kąty wpisane oparte na tym samym łuku

**Twierdzenie:** Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają **tę samą miarę**.

To oznacza, że jeśli na okręgu zaznaczysz dwa punkty \(A\) i \(B\), a potem weźmiesz dowolny punkt \(C\) na tym samym łuku (po jednej stronie cięciwy \(AB\)), to kąt \(\angle ACB\) będzie zawsze taki sam - niezależnie od tego, gdzie dokładnie leży punkt \(C\).

### Kąt wpisany oparty na średnicy

$$\text{Kąt wpisany oparty na średnicy} = 90°$$

To jest szczególny przypadek twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym. Średnica "widoczna" jest pod kątem środkowym \(180°\) (kąt półpełny), więc kąt wpisany to \(\frac{180°}{2} = 90°\).

**Wniosek praktyczny:** Jeśli w zadaniu widzisz trójkąt wpisany w okrąg, którego jeden bok jest średnicą - ten trójkąt jest **prostokątny** (kąt prosty leży naprzeciwko średnicy). To się łączy z [twierdzeniem Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania) i pojawia się w wielu zadaniach maturalnych.

**I odwrotnie:** Jeśli trójkąt wpisany w okrąg jest prostokątny, to przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu.

### Zadanie maturalne 3: Kąt wpisany i środkowy

**Na okręgu o środku \(O\) zaznaczono punkty \(A\), \(B\) i \(C\). Kąt środkowy \(\angle AOB = 130°\). Oblicz miarę kąta wpisanego \(\angle ACB\), jeśli punkt \(C\) leży na dłuższym łuku \(AB\).**

**Rozwiązanie:**

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt środkowy jest równy połowie kąta środkowego:

$$\angle ACB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{130°}{2} = 65°$$

**Uwaga:** Punkt \(C\) leży na **dłuższym** łuku \(AB\), więc kąt wpisany jest oparty na **krótszym** łuku \(AB\) (tym samym co kąt środkowy \(130°\)).

Gdyby punkt \(C\) leżał na krótszym łuku, kąt wpisany byłby oparty na dłuższym łuku (o mierze \(360° - 130° = 230°\)) i miałby miarę \(\frac{230°}{2} = 115°\).

**Odpowiedź:** \(\angle ACB = 65°\)

### Zadanie maturalne 4: Kąt wpisany oparty na średnicy

**Trójkąt \(ABC\) jest wpisany w okrąg o średnicy \(AB = 10\). Kąt \(\angle BAC = 35°\). Oblicz miarę kąta \(\angle ABC\) oraz długość boku \(BC\).**

**Rozwiązanie:**

Ponieważ \(AB\) jest średnicą okręgu, kąt \(\angle ACB\) (oparty na średnicy) jest prosty:

$$\angle ACB = 90°$$

Z sumy kątów trójkąta:

$$\angle ABC = 180° - \angle BAC - \angle ACB = 180° - 35° - 90° = 55°$$

Dla długości boku \(BC\) korzystamy z trygonometrii (w trójkącie prostokątnym):

$$\cos(\angle BAC) = \frac{BC}{AB}$$

$$\cos(35°) \approx 0{,}819$$

$$BC = AB \cdot \cos(35°) = 10 \cdot 0{,}819 \approx 8{,}19$$

Jeśli potrzebujesz odświeżyć wiedzę z [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), zajrzyj do osobnego przewodnika.

**Odpowiedź:** \(\angle ABC = 55°\), \(BC \approx 8{,}19\)

## Czworokąt wpisany w okrąg

### Twierdzenie o sumie kątów przeciwległych

$$\alpha + \gamma = 180° \quad \text{i} \quad \beta + \delta = 180°$$

Jeśli czworokąt jest wpisany w okrąg (tzn. wszystkie cztery wierzchołki leżą na okręgu), to **suma kątów przeciwległych wynosi \(180°\)**.

To twierdzenie działa w obie strony:
- Jeśli czworokąt jest wpisany w okrąg, to sumy kątów przeciwległych wynoszą \(180°\)
- Jeśli w czworokącie sumy kątów przeciwległych wynoszą \(180°\), to da się go wpisać w okrąg

### Które czworokąty szczególne można wpisać w okrąg?

| Czworokąt | Wpisany w okrąg? | Dlaczego? |
|-----------|:-----------------:|-----------|
| Prostokąt | Tak | \(90° + 90° = 180°\) |
| Kwadrat | Tak | Szczególny prostokąt |
| Trapez równoramienny | Tak | Kąty przeciwległe sumują się do \(180°\) |
| Równoległobok (nie prostokąt) | Nie | Kąty przeciwległe są równe, ale \(\alpha + \alpha \neq 180°\) (chyba że \(\alpha = 90°\)) |
| Romb (nie kwadrat) | Nie | j.w. |

### Zadanie maturalne 5: Czworokąt wpisany w okrąg

**Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg. Kąt \(\angle DAB = 110°\), kąt \(\angle ABC = 75°\). Oblicz miary kątów \(\angle BCD\) i \(\angle CDA\).**

**Rozwiązanie:**

Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg - kąty przeciwległe sumują się do \(180°\):

$$\angle BCD = 180° - \angle DAB = 180° - 110° = 70°$$

$$\angle CDA = 180° - \angle ABC = 180° - 75° = 105°$$

**Sprawdzenie:** \(110° + 75° + 70° + 105° = 360°\) \(\checkmark\)

**Odpowiedź:** \(\angle BCD = 70°\), \(\angle CDA = 105°\)

## Kąt między styczną a cięciwą

To twierdzenie pojawia się rzadziej, ale gdy się pojawi - warto je znać, bo daje szybkie rozwiązanie.

**Twierdzenie:** Kąt między styczną do okręgu a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy **połowie łuku**, na którym jest oparty - dokładnie tak samo jak kąt wpisany.

$$\text{Kąt między styczną a cięciwą} = \frac{1}{2} \times \text{łuk zawarty}$$

W praktyce oznacza to, że kąt między styczną a cięciwą jest **równy kątowi wpisanemu** opartemu na tym samym łuku (ale z drugiej strony cięciwy).

## Kąty w wielokącie foremnym

### Suma kątów wewnętrznych wielokąta

$$S_n = (n-2) \cdot 180°$$

gdzie \(n\) to liczba boków wielokąta.

| \(n\) | Figura | Suma kątów |
|---------|--------|------------|
| 3 | Trójkąt | \(180°\) |
| 4 | Czworokąt | \(360°\) |
| 5 | Pięciokąt | \(540°\) |
| 6 | Sześciokąt | \(720°\) |
| 8 | Ośmiokąt | \(1080°\) |

### Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego

W wielokącie foremnym (wszystkie boki i kąty równe) miara jednego kąta wewnętrznego to:

$$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$$

**Najczęściej na maturze:**
- Sześciokąt foremny: \(\alpha = \frac{4 \cdot 180°}{6} = 120°\)
- Pięciokąt foremny: \(\alpha = \frac{3 \cdot 180°}{5} = 108°\)
- Ośmiokąt foremny: \(\alpha = \frac{6 \cdot 180°}{8} = 135°\)

### Kąt środkowy wielokąta foremnego

Kąt środkowy (kąt między promieniami poprowadzonymi ze środka do dwóch sąsiednich wierzchołków) wielokąta foremnego \(n\)-kątnego:

$$\beta = \frac{360°}{n}$$

Dla sześciokąta foremnego: \(\frac{360°}{6} = 60°\). Dlatego sześciokąt foremny składa się z **sześciu trójkątów równobocznych** - to jedna z najczęstszych własności wykorzystywanych na maturze.

### Zadanie maturalne 6: Kąty w sześciokącie foremnym

**W sześciokącie foremnym \(ABCDEF\) poprowadzono przekątną \(AC\). Oblicz miarę kąta \(\angle BAC\).**

**Rozwiązanie:**

Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego wynosi \(120°\), więc \(\angle ABC = 120°\).

Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny (\(AB = BC\) - boki sześciokąta foremnego). Stąd kąty przy podstawie \(AC\) są równe:

$$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$$

**Odpowiedź:** \(\angle BAC = 30°\)

## Jak rysować kąty pomocnicze - technika maturalna

Wiele zadań z kątami staje się proste, gdy dorysujemy odpowiedni element pomocniczy. Oto sprawdzone techniki:

### 1. Dorysuj promień do punktu na okręgu

Jeśli masz punkt na okręgu i szukasz kąta - dorysuj promień z tego punktu do środka. Powstały trójkąt będzie **równoramienny** (dwa boki to promienie).

### 2. Przedłuż bok do kąta zewnętrznego

Jeśli znasz kąty wewnętrzne trójkąta, ale szukasz kąta "na zewnątrz" - przedłuż odpowiedni bok. Kąt zewnętrzny = suma dwóch niesąsiednich kątów wewnętrznych.

### 3. Dorysuj średnicę

Jeśli masz punkt na okręgu i musisz udowodnić kąt prosty - dorysuj średnicę przechodzącą przez ten punkt. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

### 4. Połącz punkty z środkiem okręgu

Przy kątach wpisanych i środkowych - połączenie punktów z łuku ze środkiem okręgu natychmiast daje kąt środkowy, który jest dwa razy większy od wpisanego.

### 5. Poszukaj kątów naprzemianległych i odpowiadających

Przy prostych równoległych (boki trapezu, równoległoboku) kąty naprzemianległe i odpowiadające to potężne narzędzie. Jeśli szukasz kąta - sprawdź, czy nie masz gdzieś prostych równoległych.

Te techniki rysowania kątów pomocniczych przydają się nie tylko w zadaniach zamkniętych, ale zwłaszcza w [zadaniach otwartych na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), gdzie musisz pokazać tok rozumowania.

## Kąty a trygonometria - kiedy same twierdzenia nie wystarczą

Wiele zadań z kątami na maturze wymaga połączenia wiedzy o kątach z [trygonometrią](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). Zwłaszcza gdy zadanie pyta nie tylko o miarę kąta, ale też o długość boku lub pole figury.

### Twierdzenie sinusów

W trójkącie o bokach \(a\), \(b\), \(c\) i kątach przeciwległych \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\):

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie. To twierdzenie jest szczególnie przydatne, gdy znasz kąty i jeden bok - pozwala obliczyć pozostałe boki.

### Twierdzenie cosinusów

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt. Pozwala obliczyć kąt, gdy znasz trzy boki:

$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

### Zadanie maturalne 7: Kąt z twierdzenia cosinusów

**W trójkącie \(ABC\) boki mają długości \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 8\). Oblicz miarę kąta \(\gamma\) (kąt przy wierzchołku \(C\), naprzeciwko boku \(c\)).**

**Rozwiązanie:**

Z twierdzenia cosinusów:

$$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

$$\gamma = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81°47'$$

**Odpowiedź:** \(\gamma = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81°47'\)

Na maturze wartość arccosinusa zwykle wychodzi "ładnie" (\(60°\), \(90°\), \(120°\) itp.), ale warto umieć rozwiązać też przypadek ogólny.

## Kąty w stereometrii - rozszerzenie na przestrzeń

Kąty nie pojawiają się tylko w figurach płaskich. Na maturze zdarzają się zadania z [geometrii przestrzennej (stereometrii)](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), gdzie musisz wyznaczyć kąt w bryle.

### Kąt dwuścienny

Kąt dwuścienny to kąt między dwiema płaszczyznami. Mierzy się go jako kąt między prostymi prostopadłymi do krawędzi dwuścianu, leżącymi w obu płaszczyznach.

**Na maturze najczęściej:** kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy. Wyznaczasz go przez:
1. Poprowadzenie wysokości ściany bocznej (z wierzchołka ostrosłupa na krawędź podstawy)
2. Poprowadzenie odpowiedniego odcinka w płaszczyźnie podstawy
3. Obliczenie kąta między tymi dwoma odcinkami

### Kąt między prostą a płaszczyzną

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem na płaszczyznę. Zawsze mieści się w przedziale \(\langle 0°, 90° \rangle\).

**Typowe zadanie maturalne:** Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. Klucz to znalezienie rzutu tej krawędzi na podstawę - w ostrosłupie prawidłowym jest to promień okręgu opisanego na podstawie.

### Zadanie maturalne 8: Kąty w ostrosłupie

**Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku \(a = 6\) i wysokość \(h = 4\). Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.**

**Rozwiązanie:**

Podstawa to kwadrat o boku 6. Przekątna kwadratu: \(d = 6\sqrt{2}\). Połowa przekątnej (odległość od środka do wierzchołka): \(r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\).

Krawędź boczna łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy. Jej rzut na podstawę to odcinek \(r = 3\sqrt{2}\) (od środka podstawy do wierzchołka kwadratu).

Kąt nachylenia \(\alpha\):

$$\tan \alpha = \frac{h}{r} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

$$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 43°19'$$

**Odpowiedź:** Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi \(\arctan\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 43°19'\).

## Kąty a pola figur - wzór z sinusem kąta

Jednym z najużyteczniejszych wzorów łączących kąty z polami jest:

$$P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$$

Pole trójkąta równa się połowie iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Ten wzór pozwala obliczyć pole, gdy znasz dwa boki i kąt, albo odwrotnie - wyznaczyć kąt, gdy znasz pole i boki.

**Przykład:** Trójkąt ma boki \(a = 8\) i \(b = 10\) oraz pole \(P = 20\sqrt{3}\). Jaki jest kąt między nimi?

$$20\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin \gamma$$

$$\sin \gamma = \frac{20\sqrt{3}}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\gamma = 60° \quad \text{lub} \quad \gamma = 120°$$

Dwie odpowiedzi! \(\sin \gamma = \frac{\sqrt{3}}{2}\) daje dwa kąty: \(60°\) i \(120°\). Kontekst zadania (np. czy trójkąt jest ostrokątny) decyduje, którą wartość wybrać.

Pola figur i związane z nimi wzory znajdziesz w naszym kompletnym zestawieniu [wzorów na pola i obwody figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory).

## Tabela twierdzeń o kątach - ściąga przed maturą

| Twierdzenie | Wzór / reguła | Gdzie na maturze |
|-------------|--------------|------------------|
| Suma kątów trójkąta | \(\alpha + \beta + \gamma = 180°\) | Wszędzie |
| Kąt zewnętrzny trójkąta | \(\gamma_{z} = \alpha + \beta\) | Zadania za 1-2 pkt |
| Suma kątów czworokąta | \(360°\) | Równoległoboki, trapezy |
| Kąt środkowy = 2 x wpisany | \(\alpha_s = 2\alpha_w\) | Zadania z okręgiem |
| Kąt wpisany oparty na średnicy | \(90°\) | Trójkąt w okręgu |
| Kąty wpisane na tym samym łuku | Równe | Dowodzenie |
| Czworokąt wpisany w okrąg | \(\alpha + \gamma = 180°\) | Zadania za 2-3 pkt |
| Kąt w wielokącie foremnym | \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\) | Sześciokąt, pięciokąt |

Sprawdź, które z tych twierdzeń znajdziesz na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) - kilka z nich musisz znać na pamięć, bo w tablicach ich nie ma.

## Częste błędy przy kątach na maturze

### Błąd 1: Mylenie kąta wpisanego ze środkowym

Maturzyści czasem zapominają, który kąt jest którego połową. Zapamiętaj: **środkowy jest WIĘKSZY** (jest dwa razy większy od wpisanego). Środek okręgu jest "bliżej akcji", więc kąt jest większy.

### Błąd 2: Nieprecyzyjne określenie łuku

Kąt wpisany o mierze \(\alpha\) jest oparty na łuku \(2\alpha\) (nie \(\alpha\)!). To wynika z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym: kąt środkowy = łuk, kąt wpisany = połowa łuku.

### Błąd 3: Suma kątów czworokąta = 180 stopni

Częsty błąd z rozpędu - to **trójkąt** ma sumę kątów \(180°\), czworokąt ma \(360°\).

### Błąd 4: Czworokąt wpisany w okrąg - kąty sąsiednie zamiast przeciwległych

Twierdzenie mówi o kątach **przeciwległych** (sumują się do \(180°\)), nie sąsiednich! W równoległoboku to kąty **sąsiednie** sumują się do \(180°\) - nie myl tych dwóch sytuacji.

### Błąd 5: Zapominanie, że kąt wpisany oparty na średnicy = 90 stopni

Jeśli widzisz trójkąt wpisany w okrąg z bokiem na średnicy - **natychmiast** wiesz, że jest prostokątny. Wielu maturzystów tego nie dostrzega i próbuje rozwiązywać zadanie okrężną drogą. Więcej o takich pułapkach przeczytasz w artykule o [najczęstszych błędach na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Podsumowanie - co zapamiętać na maturę

1. **Suma kątów trójkąta** = \(180°\), **czworokąta** = \(360°\)
2. **Kąt zewnętrzny trójkąta** = suma dwóch niesąsiednich kątów wewnętrznych
3. **Kąt środkowy = 2 razy kąt wpisany** (na tym samym łuku)
4. **Kąt wpisany oparty na średnicy** = \(90°\) (trójkąt wpisany ze średnicą jest prostokątny)
5. **Czworokąt wpisany w okrąg:** kąty przeciwległe sumują się do \(180°\)
6. **Wielokąt foremny \(n\)-kątny:** kąt wewnętrzny = \(\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}\)
7. **Rysuj kąty pomocnicze** - promienie, średnice, przedłużenia boków

Kąty w figurach to temat, który da się opanować w kilka godzin, a punkty na maturze zbiera się za niego niemal pewnie. Przećwicz zadania z [planimetrii w naszej bazie](/topics/planimetria) - każde ma rozwiązanie krok po kroku. A jeśli dopiero zaczynasz przygotowania, sprawdź nasz [kompletny przewodnik po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin) i [strategię zdawania matury](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania
title: Jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu - warunek styczności i zadania matura
description: Równanie stycznej do okręgu: warunek styczności, wzór w punkcie i pięć zadań krok po kroku, także z parametrem i z punktu zewnętrznego. Zadania CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu - warunek styczności i zadania matura

Styczna do okręgu wraca na maturze regularnie. Pojawia się w zadaniach z [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), w pytaniach z parametrem, w zadaniach łączonych z trójkątem prostokątnym, a od formuły 2023 weszła też na maturę podstawową w prostych poleceniach typu "sprawdź, czy prosta jest styczna". To jeden z tych tematów, w których raz dobrze przerobiony schemat zwraca się przez całą sesję maturalną, a potem jeszcze na studiach.

Wbrew pozorom temat nie jest trudny. Wszystko sprowadza się do jednej prostej obserwacji geometrycznej: styczna to prosta, która dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie, a w tym punkcie jest prostopadła do promienia. Z tej obserwacji wyciągniesz wszystkie warunki i wzory, które będą ci potrzebne. W tym poradniku pokażę ci trzy równoważne sposoby sprawdzania styczności, wyprowadzę wzór na styczną w punkcie, a potem przerobimy razem pięć zadań w stylu maturalnym - od najłatwiejszego po zadanie z parametrem i styczne z punktu zewnętrznego.

## Czym jest styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy **punktem styczności**. Geometrycznie wygląda to tak, że prosta "muska" okrąg z zewnątrz - nie wchodzi do środka, nie odchodzi od niego.

W stosunku do okręgu prosta może być w trzech sytuacjach:

Jeśli odległość środka okręgu od prostej jest większa niż promień, prosta nie ma z okręgiem żadnego punktu wspólnego. Mówimy wtedy, że prosta jest **rozłączna** z okręgiem.

Jeśli odległość środka od prostej jest mniejsza niż promień, prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Taką prostą nazywamy **sieczną**.

Jeśli odległość środka od prostej jest dokładnie równa promieniowi, prosta dotyka okręgu w jednym punkcie. To jest **styczna**.

Te trzy przypadki ułożysz w jeden warunek: porównaj \(d(S, l)\) z \(r\). I to jest punkt wyjścia do wszystkich zadań.

Kluczowa własność: w punkcie styczności promień okręgu jest prostopadły do stycznej. Jeżeli środek okręgu to \(S\), a punkt styczności to \(P\), to wektor \(\vec{SP}\) jest prostopadły do prostej stycznej. Z tej własności wynikają wszystkie wzory na styczną, które poniżej wyprowadzimy.

## Trzy warunki styczności - znajomy każdej rozwiązanej maturalnej

Prostą \(l\) i okrąg \(o\) o środku \(S\) i promieniu \(r\) nazywamy stycznymi, gdy spełniony jest dowolny z poniższych warunków. Wszystkie trzy są równoważne, więc używasz tego, który w danym zadaniu jest szybszy.

**Warunek 1 - odległość:**
$$d(S, l) = r$$

Odległość środka okręgu od prostej jest dokładnie równa promieniowi. To najczęściej używany warunek na maturze, bo wzór na [odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) jest na karcie wzorów CKE i nie musisz go pamiętać.

**Warunek 2 - delta = 0:**
Po wstawieniu równania prostej do równania okręgu dostajesz równanie kwadratowe z jednym rozwiązaniem - czyli [delta = 0](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

**Warunek 3 - jeden punkt wspólny:**
Układ równań prosta-okrąg ma dokładnie jedno rozwiązanie. To w sumie ta sama informacja co warunek 2, ale można ją sprawdzić bez pisania delty (np. graficznie albo przez parametryzację).

W praktyce w 80 procentach zadań szybciej jest porównać odległość z promieniem. Drugi warunek przydaje się głównie wtedy, gdy interesuje cię nie tylko sama styczność, ale i punkt styczności - bo dostajesz go automatycznie po rozwiązaniu układu.

## Wzór na styczną w punkcie - dwie wersje

To jest ten wzór, który MUSISZ zapamiętać. Albo umieć wyprowadzić w trzy linijki, co jest pewniejsze - bo wyprowadzenie z prostopadłości promienia nie wymaga niczego poza iloczynem skalarnym.

### Okrąg o środku w początku układu

Jeśli mamy okrąg \(x^2 + y^2 = r^2\) i punkt \(P(x_0, y_0)\) leżący na nim, to równanie stycznej w \(P\) ma postać:

$$x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = r^2$$

Sposób zapamiętania: w równaniu okręgu zamieniasz jeden czynnik \(x\) na \(x_0\) i jeden czynnik \(y\) na \(y_0\). Czyli \(x^2\) traktujesz jak \(x \cdot x\) i jeden \(x\) zamieniasz na \(x_0\). Identycznie dla \(y^2\). Po polsku: "podwajasz, dzielisz na pół, zostawiasz indeks zero przy jednym z czynników". Brzmi dziwnie, ale działa.

### Okrąg o dowolnym środku

Jeśli okrąg ma postać \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) i punkt \(P(x_0, y_0)\) leży na nim, to styczna w \(P\) ma równanie:

$$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$$

Ta sama zasada: bierzesz lewą stronę [równania okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania) i jeden czynnik \((x-a)\) zamieniasz na \((x_0 - a)\), jeden czynnik \((y-b)\) na \((y_0 - b)\).

UWAGA: ten wzór NIE jest na karcie wzorów CKE. Musisz go znać sam albo umieć wyprowadzić z warunku prostopadłości promienia. Większość uczniów go zapomina, więc warto sobie wyrobić wyprowadzenie do automatu.

### Wyprowadzenie w 3 linijkach

Niech \(S(a, b)\) to środek okręgu, a \(P(x_0, y_0)\) - punkt styczności. Wektor promienia w punkcie \(P\) to:
$$\vec{SP} = [x_0 - a, y_0 - b]$$

Styczna w \(P\) jest do tego wektora prostopadła. Punkt \(Q(x, y)\) leży na stycznej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor \(\vec{PQ} = [x - x_0, y - y_0]\) jest prostopadły do \(\vec{SP}\). Z [iloczynu skalarnego](/jak-obliczyc-iloczyn-skalarny-wektorow-wzor-zadania) wynika warunek:

$$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$$

Po rozwinięciu i wykorzystaniu, że \(P\) leży na okręgu (czyli \((x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2\)), dostajemy wzór wyżej. Trzy linijki, koniec.

## Przykład 1: Styczna do okręgu w punkcie - środek w (0,0)

**Treść:** Wyznacz równanie stycznej do okręgu \(x^2 + y^2 = 25\) w punkcie \(P(3, 4)\).

**Krok 1: Sprawdź, czy punkt leży na okręgu.**
Wzór na styczną w punkcie działa TYLKO, gdy punkt jest faktycznie na okręgu. Podstawiamy: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). Zgadza się, \(P\) leży na okręgu.

**Krok 2: Zastosuj wzór \(x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = r^2\).**
Tu \(x_0 = 3\), \(y_0 = 4\), \(r^2 = 25\). Wstawiam:
$$3x + 4y = 25$$

**Krok 3: Doprowadź do postaci wymaganej w zadaniu.**
Jeśli polecenie chce postaci kierunkowej:
$$y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$$
Jeśli postaci ogólnej: \(3x + 4y - 25 = 0\).

**Odpowiedź:** \(3x + 4y - 25 = 0\), czyli \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\).

**Sprawdzenie:** wektor promienia \(\vec{SP} = [3, 4]\). Wektor kierunkowy stycznej z postaci kierunkowej to \([1, -\frac{3}{4}]\), czyli po przemnożeniu przez 4 - \([4, -3]\). Iloczyn skalarny: \(3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0\). Prostopadłość zachowana, czyli styczna policzona poprawnie.

## Przykład 2: Sprawdź, czy prosta jest styczna (warunek odległości)

**Treść:** Sprawdź, czy prosta \(y = -x + 6\) jest styczna do okręgu \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 8\). Jeśli nie, wyjaśnij jakie ma położenie względem okręgu.

**Krok 1: Wyciągnij dane.**
Okrąg ma środek \(S(1, 2)\) i promień \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
Prosta: \(y = -x + 6\). Zamieniam na postać ogólną: \(x + y - 6 = 0\). Współczynniki: \(A = 1\), \(B = 1\), \(C = -6\).

**Krok 2: Policz odległość środka od prostej.**
$$d(S, l) = \frac{|A \cdot x_S + B \cdot y_S + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 3: Porównaj z promieniem.**
Aby porównanie było czytelne, sprowadzam oba wyrażenia do tego samego mianownika:
$$r = 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2}, \quad d = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Widać, że \(d  2 = r\)). Z punktu zewnętrznego do okręgu można poprowadzić dokładnie dwie styczne. Symetria względem osi \(OY\) tłumaczy znak \(\pm\).

## Przykład 4: Dwie styczne z punktu zewnętrznego

**Treść:** Wyznacz równania stycznych do okręgu \(x^2 + y^2 = 5\) przechodzących przez punkt \(A(3, 1)\).

**Krok 1: Sprawdź, czy punkt jest poza okręgiem.**
\(3^2 + 1^2 = 10 > 5 = r^2\). Punkt \(A\) leży poza okręgiem, więc istnieją dwie styczne.

**Krok 2: Zapisz pęk prostych przechodzących przez \(A\).**
Każda [prosta przez punkt](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty) (oprócz pionowej) ma równanie:
$$y - 1 = m(x - 3) \quad \Leftrightarrow \quad mx - y + 1 - 3m = 0$$
Współczynniki postaci ogólnej: \(A_l = m\), \(B_l = -1\), \(C_l = 1 - 3m\).

**Krok 3: Warunek styczności.**
Środek \(S(0, 0)\), promień \(r = \sqrt{5}\). Odległość:
$$d(S, l) = \frac{|m \cdot 0 - 0 + 1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$
Warunek \(d = r\):
$$\frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$$

**Krok 4: Podnieś obustronnie do kwadratu i uporządkuj.**
$$(1 - 3m)^2 = 5(m^2 + 1)$$
$$1 - 6m + 9m^2 = 5m^2 + 5$$
$$4m^2 - 6m - 4 = 0 \quad / : 2$$
$$2m^2 - 3m - 2 = 0$$

**Krok 5: Policz deltę.**
\(\Delta = 9 + 16 = 25\), \(\sqrt{\Delta} = 5\):
$$m_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad m_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$$

**Krok 6: Zapisz oba równania.**
Dla \(m_1 = -\frac{1}{2}\): \(y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)\), czyli \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\).
Dla \(m_2 = 2\): \(y - 1 = 2(x - 3)\), czyli \(y = 2x - 5\).

**Odpowiedź:** styczne to \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\) oraz \(y = 2x - 5\).

**Dlaczego dwa współczynniki?** Z punktu zewnętrznego można narysować dokładnie dwie styczne (intuicja: jedną "z góry", drugą "z dołu"). Dwa rozwiązania na \(m\) to odzwierciedlenie tej geometrii. Gdyby punkt leżał na okręgu, równanie kwadratowe miałoby jedno rozwiązanie. Gdyby leżał wewnątrz okręgu, delta byłaby ujemna i stycznych nie byłoby wcale.

## Przykład 5: Styczna równoległa do danej prostej

**Treść:** Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu \((x-2)^2 + (y+1)^2 = 9\), równoległych do prostej \(y = 2x - 7\).

**Krok 1: Z równoległości wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej.**
Prosta \(y = 2x - 7\) ma współczynnik kierunkowy \(m = 2\). Każda prosta równoległa też ma \(m = 2\), więc szukane styczne mają postać:
$$y = 2x + b$$
czyli w postaci ogólnej \(2x - y + b = 0\). Niewiadomą jest tylko wyraz wolny \(b\).

**Krok 2: Warunek styczności.**
Środek \(S(2, -1)\), promień \(r = 3\). Odległość:
$$d(S, l) = \frac{|2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + b|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|4 + 1 + b|}{\sqrt{5}} = \frac{|5 + b|}{\sqrt{5}}$$
Warunek \(d = r\):
$$\frac{|5 + b|}{\sqrt{5}} = 3$$

**Krok 3: Rozwiąż równanie z wartością bezwzględną.**
$$|5 + b| = 3\sqrt{5}$$
Stąd dwa przypadki:
$$5 + b = 3\sqrt{5} \quad \lor \quad 5 + b = -3\sqrt{5}$$
$$b = 3\sqrt{5} - 5 \quad \lor \quad b = -3\sqrt{5} - 5$$

**Odpowiedź:** \(y = 2x + 3\sqrt{5} - 5\) oraz \(y = 2x - 3\sqrt{5} - 5\).

Każda prosta z pęku równoległego ma dwie styczne do okręgu - jedną "powyżej", drugą "poniżej" okręgu. Te dwie styczne są równoległe do siebie i odległe o \(2r\) (czyli o średnicę).

**Wariant z prostopadłością:** gdyby polecenie brzmiało "styczne prostopadłe do prostej \(y = 2x - 7\)", to wystarczyłoby zamiast \(m = 2\) wziąć \(m = -\frac{1}{2}\) (warunek prostopadłości prostych: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)) i powtórzyć cały schemat.

## Postać ogólna okręgu - jak nie zgubić środka

Często okrąg w zadaniu nie jest podany w wygodnej postaci kanonicznej, tylko jako \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Wtedy zanim cokolwiek policzysz, musisz wyciągnąć środek i promień.

Wzory na środek i promień z postaci ogólnej:
$$S\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right), \quad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$$

UWAGA na znaki. Środek to \(S(-D/2, -E/2)\), NIE \(S(D, E)\). Najczęstszy błąd na maturze.

Druga metoda - sprowadzenie do postaci kanonicznej przez uzupełnienie do kwadratu:
$$x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}$$

To samo dla \(y\). Po przegrupowaniu wszystko po lewej stronie - i wynik widać od razu.

Przykład: okrąg \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\).
Uzupełniam do kwadratu:
$$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 9 - 3 = 0$$
$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$
Środek \(S(2, -3)\), promień \(r = 4\). I dopiero teraz możesz liczyć styczne.

## Styczna do okręgu w punkcie - drugi sposób (bez wzoru)

Niektóre podręczniki nie podają wzoru \((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\). Wtedy stosujesz schemat oparty na prostopadłości promienia, który zawsze działa.

**Schemat:**

Krok 1: Policz wektor promienia \(\vec{SP} = [x_0 - a, y_0 - b]\).

Krok 2: Wektor kierunkowy stycznej musi być prostopadły do \(\vec{SP}\). Wystarczy zamienić współrzędne miejscami i jednej zmienić znak: \(\vec{v} = [-(y_0 - b), x_0 - a]\) lub \(\vec{v} = [y_0 - b, -(x_0 - a)]\).

Krok 3: Zapisz równanie prostej przechodzącej przez \(P\) o wektorze kierunkowym \(\vec{v}\). Najprościej parametrycznie albo z postaci kierunkowej: \(y - y_0 = m(x - x_0)\), gdzie \(m\) wyciągasz z wektora kierunkowego.

Przykład: okrąg \(x^2 + y^2 = 25\), punkt \(P(3, 4)\).
Promień: \(\vec{SP} = [3, 4]\). Wektor prostopadły: \(\vec{v} = [-4, 3]\) (lub \([4, -3]\)).
Współczynnik kierunkowy stycznej: \(m = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}\).
Równanie: \(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\), czyli po uporządkowaniu \(3x + 4y = 25\).

Wynik ten sam co ze wzoru \(x x_0 + y y_0 = r^2\), tylko liczone "ręcznie". Wybierasz metodę, która ci leży lepiej.

## Typowe pułapki i błędy na maturze

Pułapka 1: Stosowanie wzoru \(x x_0 + y y_0 = r^2\) dla punktu, który NIE leży na okręgu. Wzór działa tylko jeśli punkt jest faktycznie na okręgu. Dla punktu zewnętrznego musisz iść przez pęk prostych i warunek odległości.

Pułapka 2: Pomijanie modułu w liczniku odległości punktu od prostej. \(|A x_S + B y_S + C|\) MUSI być w wartości bezwzględnej, inaczej dostaniesz odległość ujemną - a takiej nie ma.

Pułapka 3: Mylenie środka okręgu w postaci ogólnej. \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) ma środek \(S(-D/2, -E/2)\), nie \(S(D/2, E/2)\). Sprawdź ten znak dwa razy.

Pułapka 4: Pomijanie prostej pionowej w pęku przez punkt zewnętrzny. Zapis \(y - y_0 = m(x - x_0)\) nie obejmuje prostych pionowych \(x = x_0\). W większości zadań to nie ma znaczenia, ale czasem jedna ze stycznych jest właśnie pionowa - wtedy z pęku wyjdą tylko jedno rozwiązanie na \(m\), a drugiej stycznej trzeba domyślić się ręcznie.

Pułapka 5: Niesprawdzanie liczby stycznych. Z punktu wewnątrz okręgu nie da się poprowadzić stycznej. Z punktu na okręgu - dokładnie jedna. Z punktu poza okręgiem - dokładnie dwie. Jeśli wynik kłóci się z tym, zrób krok wstecz i sprawdź dane.

Pułapka 6: Złe podnoszenie do kwadratu obu stron równania z modułem. \(|A| = B\) (gdzie \(B \geq 0\)) jest równoważne \(A = B\) lub \(A = -B\). Czasem uczniowie zapominają o tym drugim przypadku i tracą połowę rozwiązań.

Pułapka 7: Mylenie warunku styczności prostych z warunkiem styczności okręgów. Dla dwóch okręgów styczność zewnętrzna to \(|SS_1| = r + r_1\), styczność wewnętrzna to \(|SS_1| = |r - r_1|\). Inny temat, inne wzory.

Pułapka 8: Zapomnienie sprawdzenia wyniku. Po policzeniu stycznej zawsze warto wsadzić punkt styczności do równania prostej i okręgu - oba mają być spełnione. Kosztuje 30 sekund, ratuje 2-4 punkty.

## Co musisz umieć - checklista

Definicja stycznej i podstawowa własność: w punkcie styczności promień jest prostopadły do stycznej.

Trzy warunki styczności: odległość środka od prostej równa promieniowi, delta układu równa zeru, jeden punkt wspólny.

Wzór na styczną w punkcie dla okręgu o środku w (0, 0): \(x x_0 + y y_0 = r^2\).

Wzór na styczną w punkcie dla okręgu o dowolnym środku: \((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\).

Schemat wyznaczania stycznych z punktu zewnętrznego: zapisz pęk prostych przez punkt, warunek odległości od środka, równanie kwadratowe na \(m\), dwa rozwiązania.

Schemat wyznaczania stycznej równoległej lub prostopadłej do danej prostej: ustal współczynnik kierunkowy z warunku równoległości albo prostopadłości, podstaw do pęku z niewiadomym wyrazem wolnym, warunek odległości.

[Wzór na odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) - musi być w pamięci. Karta wzorów go ma, ale szybciej działa, gdy go znasz.

Postać ogólna okręgu i sprowadzenie do kanonicznej (uzupełnienie do kwadratu).

Sprawdzenie, czy punkt leży wewnątrz, na, czy poza okręgiem - porównanie wartości lewej strony równania okręgu z \(r^2\).

## Podsumowanie

Wszystkie zadania o stycznej do okręgu sprowadzają się do trzech wzorów: równania okręgu, [równania prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) i odległości punktu od prostej. Reszta to algebra. Najczęstszy schemat na maturze to: zapisz pęk prostych przez dany punkt, przyrównaj odległość środka do promienia, rozwiąż równanie kwadratowe na współczynnik kierunkowy. To są te same trzy kroki, niezależnie od tego, co jeszcze jest w zadaniu.

Jeśli punkt z polecenia leży NA okręgu, dostajesz prezent - jest jedna styczna i liczysz ją ze wzoru \(x x_0 + y y_0 = r^2\) (po odpowiednim przesunięciu dla okręgu nie w (0, 0)). Jeśli punkt jest poza okręgiem, są dwie styczne i liczysz je z pęku. Jeśli punkt jest wewnątrz okręgu, stycznej nie ma w ogóle - prosta przez punkt wewnętrzny zawsze przecina okrąg w dwóch punktach.

Po tym poradniku rzuć okiem na inne tematy z geometrii analitycznej, które łączą się ze stycznymi: [równanie okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), [równanie prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty), [odległość między punktami](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania), [kąt między prostymi](/jak-obliczyc-kat-miedzy-wektorami-prostymi-matura). Wszystkie one prędzej czy później wracają w zadaniach łączonych. Jeśli przed tobą jest matura poprawkowa w sierpniu, w [planie powtórek do poprawki](/matura-matematyka-2026-co-dalej-poprawka-sierpien-plan-nauki) ten temat warto wpisać na pierwszą połowę przygotowań - styczne do okręgu pojawiają się w arkuszach CKE z zaskakującą regularnością.

W naszej [pełnej bazie zadań z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) znajdziesz dziesiątki zadań CKE ze stycznymi - klikaj numery zadań i ćwicz, aż schemat sam wskoczy ci do głowy. Trzy zadania z każdej kategorii (na okręgu, z punktu zewnętrznego, z parametrem) wystarczą, żebyś nigdy więcej nie zawahał się na maturze.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura
title: Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji - 7 typów i schemat krok po kroku
description: Dziedzina funkcji wymiernej, z pierwiastkiem i logarytmem. Schemat w 4 krokach, 10 przykładów maturalnych i najczęstsze błędy, które kosztują punkty.
author: Filip Maszota
---

# Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji - 7 typów i schemat krok po kroku

Wyznaczenie dziedziny funkcji to pierwsza rzecz, jaką robisz w każdym zadaniu o funkcjach na maturze. Jeśli pominiesz ten krok albo go źle wykonasz, odbiera ci to punkty nawet w zadaniach, gdzie dziedzina nie była pytaniem głównym. W tym poradniku pokazuję wszystkie typy funkcji, które pojawiają się na maturze, i dokładny schemat wyznaczania dziedziny dla każdego z nich.

## Co to jest dziedzina funkcji

Dziedzina to zbiór wszystkich \(x\), dla których wzór funkcji ma sens. Innymi słowy: dla których da się policzyć \(f(x)\). Jeżeli dla jakiegoś \(x\) w mianowniku wychodzi zero, pod pierwiastkiem wychodzi liczba ujemna, albo pod logarytmem wychodzi liczba nie większa od zera - ten \(x\) wyrzucamy z dziedziny.

Oznaczenie: \(D_f\) lub \(\mathcal{D}\).

## Typ 1: funkcja wielomianowa - dziedzina R

Wielomiany (w tym funkcja liniowa, kwadratowa, sześcienna itd.) są zdefiniowane dla każdej liczby rzeczywistej.

$$f(x) = x^3 - 2x + 5 \quad \Rightarrow \quad D_f = \mathbb{R}$$

Nie trać na maturze czasu na uzasadnienia tutaj - od razu zapisz "\(D_f = \mathbb{R}\)" i idź dalej.

## Typ 2: funkcja wymierna - mianownik różny od zera

Dziedziną funkcji wymiernej \(f(x) = \frac{W(x)}{M(x)}\) są wszystkie \(x\), dla których \(M(x) \neq 0\).

**Przykład 1.** Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 4}\).

Rozwiązujemy \(M(x) = 0\):

$$x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \text{ lub } x = 2$$

Dziedzina: \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

**Przykład 2.** \(f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 1}\).

Mianownik \(x^2 + 1 > 0\) dla każdego \(x\), więc nigdy nie wynosi zero. \(D_f = \mathbb{R}\).

Pamiętaj: \(x^2 + a\) dla \(a > 0\) nigdy nie jest zerem. Często matura wykorzystuje to jako pułapkę "na szybko".

## Typ 3: funkcja z pierwiastkiem kwadratowym - wyrażenie pod pierwiastkiem \(\geq 0\)

Dziedziną funkcji \(f(x) = \sqrt{g(x)}\) są wszystkie \(x\), dla których \(g(x) \geq 0\).

**Przykład 3.** Wyznacz dziedzinę \(f(x) = \sqrt{2x - 6}\).

$$2x - 6 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3$$

Dziedzina: \(D_f = [3, +\infty)\).

**Przykład 4.** \(f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}\).

Rozwiązujemy nierówność kwadratową \(x^2 - 5x + 6 \geq 0\). Miejsca zerowe: \(x = 2, x = 3\). Ramiona paraboli do góry, więc wyrażenie jest nieujemne na zewnątrz pierwiastków:

$$D_f = (-\infty, 2] \cup [3, +\infty)$$

Jeżeli masz problem z nierównościami kwadratowymi, sprawdź [poradnik o nierównościach kwadratowych](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania).

## Typ 4: pierwiastek w mianowniku - dwa warunki jednocześnie

Jeśli pierwiastek stoi w mianowniku, musisz nałożyć dwa warunki: wyrażenie pod pierwiastkiem dodatnie (ostrą nierównością, bo zero w mianowniku wyklucza).

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{g(x)}} \quad \Rightarrow \quad g(x) > 0$$

**Przykład 5.** \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{4 - x}}\).

$$4 - x > 0 \quad \Rightarrow \quad x  0\) i podstawa dodatnia różna od 1

Dla \(f(x) = \log_a g(x)\) muszą być spełnione:

- \(g(x) > 0\) (argument),
- \(a > 0\) i \(a \neq 1\) (podstawa - zwykle na maturze dana liczbowo).

**Przykład 6.** \(f(x) = \log_3(x^2 - 9)\).

$$x^2 - 9 > 0 \quad \Rightarrow \quad x  3$$

Dziedzina: \(D_f = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\).

**Przykład 7.** \(f(x) = \log(2x - 1) + \log(5 - x)\).

Tu są [dwa osobne logarytmy](/funkcja-logarytmiczna-wykres-dziedzina-monotonicznosc-matura#dziedzina-funkcji-logarytmicznej), każdy daje osobny warunek:

$$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0{,}5 \\ x  0\),
- z pierwiastka: \(\log_2 x \geq 0 \iff x \geq 1\).

Część wspólna: \(D_f = [1, +\infty)\).

**Przykład 10.** \(f(x) = \frac{\sqrt{x+3}}{\log(x - 1)}\).

- pierwiastek w liczniku: \(x + 3 \geq 0 \iff x \geq -3\),
- argument log: \(x - 1 > 0 \iff x > 1\),
- log nie w mianowniku: \(\log(x-1) \neq 0 \iff x - 1 \neq 1 \iff x \neq 2\).

Część wspólna: \(D_f = (1, 2) \cup (2, +\infty)\).

To typ zadania, które pojawia się na maturze rozszerzonej niemal rok w rok.

## Szablon - jak liczyć dziedzinę w 4 krokach

1. **Zidentyfikuj zagrożone miejsca.** Mianowniki, pierwiastki parzystego stopnia, logarytmy, tangens, cotangens. Zrób listę.
2. **Dla każdego zapisz warunek.** Mianownik \(\neq 0\), pierwiastek \(\geq 0\) (lub \(> 0\) w mianowniku), logarytm argumentu \(> 0\).
3. **Rozwiąż każdy warunek osobno.** Dostajesz przedziały lub zbiory wykluczeń.
4. **Weź część wspólną wszystkich warunków.** To twoja dziedzina. Zapisz ją przedziałami i nawiasami \([a, b]\) lub \((a, b)\).

## Najczęstsze błędy na maturze

**Błąd 1: pominięcie warunku "podstawa logarytmu \(\neq 1\)".** Jeśli \(a\) w \(\log_a x\) jest wyrażeniem z \(x\) (np. \(\log_{x-2}(x+1)\)), musisz nałożyć \(a > 0 \land a \neq 1\) na podstawę.

**Błąd 2: branie \(\geq 0\) dla pierwiastka w mianowniku.** W mianowniku musi być ostra nierówność \(> 0\). Zero wyklucza dzielenie.

**Błąd 3: zapisanie dziedziny jako sumy zamiast części wspólnej.** Każdy warunek musi być spełniony jednocześnie, więc łączysz je koniunkcją. Sumę zbiorów bierzesz tylko wtedy, gdy funkcja jest określona przedziałami.

**Błąd 4: zapomnienie o miejscach zerowych mianownika pod pierwiastkiem.** W \(f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x-3}}\) mianownik \(x - 3\) nie może być zerem (\(x \neq 3\)), a ułamek jako całość musi być \(\geq 0\). Warunki nakładaj razem.

## Ćwicz zadania CKE na dziedzinę

Dziedzina najczęściej wchodzi do zadań z [kategorii Funkcje](/topics/funkcje) i [Funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa). Jeżeli chcesz przerobić same zadania z dziedziną, ustaw filtr w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) na "Funkcje".

Zobacz też [poradnik o funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), który pokazuje jak dziedzina wpływa na wykres i zbiór wartości.

## Checklista - co musisz umieć

- Odróżniać typy funkcji (wymierna, pierwiastkowa, logarytmiczna, trygonometryczna)
- Dla każdej znać warunek dziedziny z pamięci
- Rozwiązywać nierówności liniowe, kwadratowe i wielomianowe (bo to one definiują dziedzinę)
- Brać część wspólną warunków, nie sumę
- Zapisywać dziedzinę poprawnie: przedziały, kwantyfikatory, wykluczenia
- Rozpoznać kiedy mianownik zawsze jest dodatni i pomijać warunek

Dziedzina to łatwe punkty - jeśli tylko dobrze ją wyznaczysz, dostaniesz pełne punkty za ten podpunkt i nie zgubisz punktów w dalszej części zadania (gdzie wykluczone \(x\)-y mogą być błędnymi "rozwiązaniami" równania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji
title: Jak sprawdzać odpowiedzi na maturze z matematyki - 10 metod weryfikacji, które uratują Twoje punkty
description: 10 metod sprawdzania odpowiedzi na maturze z matematyki: podstawienie, szacowanie, metoda graficzna. Każda technika z przykładem, by nie tracić punktów.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak sprawdzać odpowiedzi na maturze z matematyki - 10 metod weryfikacji, które uratują Twoje punkty

## Dlaczego sprawdzanie odpowiedzi to najważniejsza umiejętność na maturze

Większość uczniów rozwiązuje zadanie i idzie dalej. To błąd. **Szybkie sprawdzenie** trwa 30-60 sekund i potrafi uratować 2-3 punkty za jedno zadanie. Na całej maturze to może oznaczać różnicę między 70% a 80%.

Na maturze nie chodzi o to, żeby rozwiązać więcej zadań - chodzi o to, żeby mniej stracić na pomyłkach. Oto 10 metod, które pozwolą Ci wyłapać błędy zanim oddasz arkusz.

---

## Metoda 1 - podstawienie wyniku

**Kiedy:** równania, nierówności, układy równań

Najprostsza i najskuteczniejsza metoda. Po rozwiązaniu równania **podstaw wynik z powrotem** i sprawdź, czy równość zachodzi.

**Przykład:** Rozwiązujesz \(2x + 7 = 15\) i dostajesz \(x = 4\).

Sprawdzenie: \(2 \cdot 4 + 7 = 8 + 7 = 15\) ✓

To trwa 5 sekund. Na układzie równań sprawdź oba równania - uczniowie często zapominają i tracą punkty, bo wynik spełnia jedno równanie, ale nie drugie.

---

## Metoda 2 - sprawdzenie znakiem

**Kiedy:** obliczanie pola, objętości, odległości, długości

Pole, objętość, odległość i długość są **zawsze dodatnie**. Jeśli wyszło Ci pole trójkąta \(-12\), natychmiast wiesz, że popełniłeś błąd. To samo z odległością i promieniem okręgu.

Dodatkowe ograniczenia do sprawdzenia:
- Prawdopodobieństwo: \(0 \leq P \leq 1\)
- Procent: wynik "130% z 50" nie może być ujemny ani większy niż 50 (jeśli liczymy procent z czegoś)
- Kąt trójkąta: \(0°  1)
2. Podstaw odpowiedzi do warunków zadania
3. Jeśli dwie odpowiedzi różnią się tylko znakiem - prawdopodobnie jedna z nich jest poprawna

Więcej trików na zadania zamknięte: [15 trików na szybkie rozwiązywanie](/zadania-zamkniete-na-maturze-z-matematyki-triki).

---

## Metoda 10 - "czy to w ogóle jest możliwe?"

**Kiedy:** zawsze, na koniec

Zadaj sobie pytanie: **czy mój wynik jest fizycznie/geometrycznie możliwy?**

- Bok trójkąta nie może być dłuższy niż suma dwóch pozostałych boków
- Przekątna prostokąta jest dłuższa niż każdy bok
- Pole trójkąta wpisanego w okrąg nie może być większe niż pole koła
- Suma n wyrazów ciągu rosnącego z wyrazami dodatnimi musi być większa niż \(n \cdot a_1\)

Ten "test zdrowego rozsądku" wyłapuje grube błędy, które inne metody mogą przeoczyć.

---

## Ile czasu przeznaczyć na sprawdzanie?

Na maturze masz **180 minut**. Moja rekomendacja:

- Zadania zamknięte: max 60 minut (wraz ze sprawdzeniem)
- Zadania otwarte: max 90 minut
- **Sprawdzanie:** 30 minut na koniec

Te 30 minut to nie stracony czas - to **najlepsza inwestycja** na maturze. Jeden znaleziony błąd w zadaniu za 4 punkty to więcej niż jedno dodatkowe rozwiązane zadanie zamknięte za 1 punkt.

### Priorytet sprawdzania

1. **Najpierw zadania otwarte za dużo punktów** - tu jeden błąd kosztuje najwięcej
2. **Potem zadania zamknięte, w których nie byłeś pewien** - oznacz je w trakcie rozwiązywania
3. **Na końcu zadania, co do których byłeś pewien** - nawet tutaj zdarzają się pomyłki w rachunkach

---

## Praktyka czyni mistrza

Sprawdzanie odpowiedzi to **nawyk**, nie talent. Ćwicz go na każdym arkuszu maturalnym, który rozwiązujesz. Po miesiącu będzie automatyczne.

Zacznij od rozwiązywania arkuszy na czas na [Sprawnej Maturze](/):
- [Matura maj 2025 - rozwiązania](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania)
- [Matura próbna CKE marzec 2026 - rozwiązania](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania)
- [Matura próbna luty 2026 - rozwiązania](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania)

Rozwiąż arkusz, sprawdź wyniki, a potem porównaj z naszymi rozwiązaniami. Każdy wyłapany błąd to lekcja na przyszłość.

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka
title: Jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze z matematyki? Strategie na maksimum punktów
description: Jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze z matematyki? Strategie zapisu, punkty cząstkowe, schemat punktowania CKE. Praktyczne wskazówki z przykładami.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze z matematyki? Strategie na maksimum punktów

## Zadania otwarte - tu się wygrywa (i przegrywa) maturę

Na maturze z matematyki jest 50 punktów do zdobycia. Zadania zamknięte (za 1 pkt każde) dają ok. 23-28 punktów. Resztę - **22-27 punktów** - dają zadania otwarte. To prawie połowa arkusza.

Wielu uczniów skupia się wyłącznie na zadaniach zamkniętych i traktuje otwarte jako "te trudne, których się nie da". To błąd. Zadania otwarte za 2 punkty są często **prostsze** niż najtrudniejsze zamknięte - a dają dwa razy więcej punktów. Nawet w zadaniach za 5 punktów możesz zdobyć 2-3 punkty cząstkowe, nawet jeśli nie dojdziesz do końca.

## Jak CKE przyznaje punkty cząstkowe?

Każde zadanie otwarte ma **schemat punktowania** - dokładną listę kroków, za które przyznaje się punkty. CKE publikuje te schematy po każdej maturze.

Typowy schemat dla zadania za 5 punktów:

| Punkt | Za co? |
|-------|--------|
| 1 pkt | Poprawne zapisanie danych i wyznaczenie kluczowej wielkości (np. wysokość bryły) |
| 1 pkt | Poprawne zastosowanie wzoru lub twierdzenia |
| 1 pkt | Poprawne przeprowadzenie obliczeń |
| 1 pkt | Poprawne rozwiązanie równania/nierówności wynikającego z zadania |
| 1 pkt | Poprawna odpowiedź końcowa z właściwą interpretacją |

To oznacza, że nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania do końca, **za sam poprawny rysunek i wypisanie danych możesz dostać 1-2 punkty**.

## Zasady zapisu - co CKE akceptuje, a czego nie

### Co CKE wymaga w każdym zadaniu otwartym:

1. **Zapis rozwiązania krok po kroku** - sam wynik bez obliczeń = 0 punktów
2. **Poprawne wzory** - musisz pokazać, jaki wzór stosujesz
3. **Podstawienie danych** - pokaż, że wstawiłeś konkretne liczby
4. **Obliczenia** - rachunki muszą być czytelne
5. **Odpowiedź** - sformułowana słownie lub oznaczona

### Co CKE **nie** wymaga:

- Idealnego porządku - obliczenia mogą być "na brudno", byle czytelne
- Pełnych zdań - wzory i równania wystarczą
- Rysunków w zadaniach, w których nie poproszono o rysunek (ale rysunek i tak pomaga!)

### Co CKE **nie akceptuje**:

- Samej odpowiedzi bez uzasadnienia (nawet jeśli jest poprawna)
- Nieczytelnego zapisu (egzaminator nie będzie się domyślać)
- Rozwiązania ołówkiem (pisz długopisem!)

## Strategia "zbieraj punkty cząstkowe"

Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania w całości, **zawsze** zapisz tyle, ile potrafisz:

### Krok 1: Wypisz dane

Wypisz wszystko, co podano w zadaniu. Sam ten krok uporządkuje Ci myślenie.

\(a = 6 \text{ cm}, \quad h = 8 \text{ cm}, \quad \alpha = 60°\)

### Krok 2: Narysuj rysunek

Nawet brzydki rysunek jest lepszy niż żaden. Wpisz na niego wszystkie wymiary.

### Krok 3: Zapisz wzór

Jeśli wiesz, jaki wzór się tu stosuje - zapisz go. Nawet jeśli nie potrafisz go zastosować, egzaminator widzi, że znasz teorię.

$$V = \frac{1}{3} P_p \cdot h$$

### Krok 4: Podstaw dane do wzoru

Wstaw liczby z zadania. To kolejny krok, za który dostajesz punkt.

$$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h$$

### Krok 5: Oblicz

Jeśli utkniesz na obliczeniach - zapisz to, co umiesz obliczyć. Każdy poprawny krok to potencjalny punkt.

## Typowe zadania otwarte - schematy rozwiązywania

### Zadanie za 2 pkt: Równanie/nierówność

Schemat:
1. Rozwiąż równanie (przekształcenia algebraiczne)
2. Podaj odpowiedź (zbiór rozwiązań lub wynik)

**Pułapka:** Nie zapomnij o warunkach! Dziedzina logarytmu, mianownik nie może być zerem, itd.

### Zadanie za 2 pkt: Prawdopodobieństwo

Schemat:
1. Oblicz \(|\Omega|\) i \(|A|\) (pokaż skąd się wzięły)
2. Oblicz \(P = \frac{|A|}{|\Omega|}\) i skróć ułamek

### Zadanie za 3 pkt: Geometria/ciągi

Schemat:
1. Zapisz dane i rysunek
2. Wyznacz brakującą wielkość (tw. Pitagorasa, wzór na n-ty wyraz, itp.)
3. Oblicz szukaną wielkość i podaj odpowiedź

### Zadanie za 4-5 pkt: Stereometria/optymalizacja

Schemat:
1. Rysunek + dane na rysunku (1 pkt)
2. Wyznaczenie pomocniczej wielkości - np. wysokość (1 pkt)
3. Zastosowanie wzoru (1 pkt)
4. Obliczenia (1 pkt)
5. Odpowiedź/interpretacja (1 pkt)

## 7 zasad, które zwiększą Twój wynik

**1. Zacznij od zadań za 2 punkty.** Są najłatwiejsze proporcjonalnie do punktacji. Zadanie za 2 pkt rozwiążesz w 3-5 minut, a zadanie za 5 pkt w 15-20 minut. Stosunek punktów do czasu jest lepszy w krótkich zadaniach.

**2. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki.** Nawet rysunek + dane = szansa na punkt. Zero prób = zero punktów.

**3. Sprawdź warunki.** CKE regularnie daje zadania, w których "oczywista" odpowiedź nie spełnia warunków (ujemna długość, brak w dziedzinie). Sprawdź wynik zanim go zapiszesz.

**4. Pisz czytelnie.** Egzaminator sprawdza setki arkuszy. Jeśli nie odczyta Twojego "2" od "z", nie dostaniesz punktu. Warto: duże cyfry, wyraźne ułamki, podkreślona odpowiedź końcowa.

**5. Nie kasuj błędnych prób.** Jeśli zacząłeś rozwiązywać jedną metodą i utknąłeś - zostaw to i zacznij drugą metodę obok. Egzaminator oceni lepsze rozwiązanie. Ale wyraźnie zaznacz, które jest "to właściwe".

**6. Używaj tablicy wzorów.** Masz ją na egzaminie - znaj ją wcześniej. Wiedz, co jest w tablicy (wzory trygonometryczne, pola figur, objętości brył), żebyś nie tracił czasu na szukanie.

**7. Zarządzaj czasem.** Zadania otwarte zajmują więcej czasu niż zamknięte. Rezerwuj na nie **minimum 60 minut** z 180 minut egzaminu. Lepiej pominąć 2 trudne zamknięte (2 pkt) i mieć czas na otwarte (nawet 10 pkt).

## Jak ćwiczyć zadania otwarte?

Rozwiązuj je **na papierze, z zegarkiem**, dokładnie tak, jak na egzaminie. Rozwiązywanie w głowie lub na komputerze nie uczy Cię prawidłowego zapisu - a to zapis jest oceniany.

Po rozwiązaniu porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym. Zwróć uwagę:
- Czy Twój zapis byłby czytelny dla egzaminatora?
- Czy zapisałeś wszystkie kroki, za które są punkty?
- Czy nie pominąłeś sprawdzenia warunków?

Na Sprawnej Maturze masz setki zadań otwartych z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami - przećwicz je na papierze, a potem porównaj z wzorcowym rozwiązaniem krok po kroku.

Metodę masz - teraz materiał do ćwiczeń: [baza zadań otwartych CKE z rozwiązaniami](/zadania-otwarte-matura-matematyka-baza-cke-z-rozwiazaniami), posegregowana działami, z pełną punktacją przy każdym zadaniu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze
title: Jak rozwiązać równanie wykładnicze - 5 metod z przykładami krok po kroku
description: Równania wykładnicze na maturze - 5 metod rozwiązywania z przykładami. Sprowadzanie do tej samej podstawy, podstawienie, logarytmowanie. 7 zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać równanie wykładnicze - 5 metod z przykładami krok po kroku

Równania wykładnicze to jeden z tych tematów, które wyglądają groźnie, ale tak naprawdę sprowadzają się do kilku powtarzalnych schematów. Na maturze z matematyki pojawiają się regularnie - zarówno w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, jak i w trudniejszych otwartych za 3-4 punkty. Jeśli opanujesz 5 podstawowych metod, żadne równanie wykładnicze już cię nie zaskoczy.

W tym poradniku pokażę ci dokładnie, jak rozpoznać typ równania i którą metodę wybrać. Zrobię to na prawdziwych zadaniach z arkuszy CKE. Na końcu znajdziesz checklistę i typowe pułapki, które zabierają uczniom punkty.

## Co to jest równanie wykładnicze

Równanie wykładnicze to takie, w którym niewiadoma \(x\) stoi w wykładniku potęgi. Najprostsza postać to:

$$a^x = b$$

gdzie \(a > 0\) i \(a \neq 1\). Przykłady: \(2^x = 8\), \(3^{x+1} = 27\), \(5^{2x-1} = 125\).

Kluczowa własność, z której będziemy korzystać: funkcja wykładnicza jest [różnowartościowa](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc). To znaczy, że jeśli \(a^x = a^y\), to \(x = y\). Ta jedna własność rozwiązuje 70% zadań maturalnych z tego tematu.

## Metoda 1: Sprowadzanie do tej samej podstawy

To podstawowa metoda, której użyjesz najczęściej. Jeśli obie strony równania można zapisać jako potęgę tej samej liczby, wystarczy porównać wykładniki.

**Przykład 1:** Rozwiąż równanie \(2^{x+3} = 16\).

Zauważ, że \(16 = 2^4\). Mamy więc:

$$2^{x+3} = 2^4$$

Ponieważ podstawy są równe, porównujemy wykładniki:

$$x + 3 = 4$$

$$x = 1$$

**Przykład 2:** Rozwiąż równanie \(\left(\frac{1}{9}\right)^{x-1} = 27\).

Tu trzeba sprytnie zapisać obie strony jako potęgi liczby 3. Mamy \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\) oraz \(27 = 3^3\). Zatem:

$$\left(3^{-2}\right)^{x-1} = 3^3$$

$$3^{-2(x-1)} = 3^3$$

$$-2(x-1) = 3$$

$$-2x + 2 = 3$$

$$x = -\frac{1}{2}$$

### Typowe podstawy, które musisz rozpoznawać

- \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\), \(32 = 2^5\), \(64 = 2^6\), \(128 = 2^7\), \(256 = 2^8\)
- \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(81 = 3^4\), \(243 = 3^5\)
- \(25 = 5^2\), \(125 = 5^3\), \(625 = 5^4\)
- \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\), \(\frac{1}{4} = 2^{-2}\), \(\frac{1}{8} = 2^{-3}\)
- \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\), \(\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}\)

Jeśli znasz te równości na pamięć, większość zadań zamkniętych rozwiążesz w 30 sekund.

## Metoda 2: Podstawienie

Gdy równanie zawiera tę samą potęgę w różnych miejscach, wprowadzamy zmienną pomocniczą. To klasyczny trik, który pojawia się na maturze bardzo często.

**Przykład 3:** Rozwiąż równanie \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\).

Zauważ, że \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\). Podstawiamy \(t = 2^x\), gdzie \(t > 0\) (bo funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie). Otrzymujemy [równanie kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania):

$$t^2 - 5t + 4 = 0$$

Liczymy [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe):

$$\Delta = 25 - 16 = 9, \quad \sqrt{\Delta} = 3$$

$$t_1 = \frac{5-3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{5+3}{2} = 4$$

Wracamy do oryginalnej zmiennej:

$$2^x = 1 \implies x = 0$$

$$2^x = 4 \implies x = 2$$

Odpowiedź: \(x = 0\) lub \(x = 2\).

**Przykład 4:** Rozwiąż równanie \(9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0\).

Podstawiamy \(t = 3^x\), \(t > 0\). Mamy:

$$t^2 - 4t + 3 = 0$$

Ze [wzorów Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania): \(t_1 + t_2 = 4\), \(t_1 \cdot t_2 = 3\). Stąd \(t_1 = 1\), \(t_2 = 3\).

$$3^x = 1 \implies x = 0$$

$$3^x = 3 \implies x = 1$$

## Metoda 3: Logarytmowanie

Używasz jej wtedy, gdy nie da się sprowadzić do tej samej podstawy. Na przykład \(2^x = 7\) - nie istnieje wykładnik całkowity, który da 7 z podstawy 2.

**Przykład 5:** Rozwiąż równanie \(5^x = 12\).

Logarytmujemy obie strony (logarytmem dziesiętnym lub naturalnym - wybierz wygodniejszy):

$$\log 5^x = \log 12$$

$$x \log 5 = \log 12$$

$$x = \frac{\log 12}{\log 5}$$

Na maturze podstawowej rzadko trzeba liczyć taką wartość, zazwyczaj wystarczy zostawić w postaci logarytmu lub [zapisać jako \(\log_5 12\)](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku).

## Metoda 4: Wyłączanie wspólnego czynnika

Gdy w równaniu występują potęgi o tej [samej podstawie z różnymi wykładnikami](/dodawanie-poteg-o-tej-samej-podstawie-wylaczanie-przed-nawias-matura#rozne-wykladniki-wylacz-najmniejsza-potege), często pomaga wyciągnięcie najmniejszej przed nawias.

**Przykład 6:** Rozwiąż równanie \(2^{x+1} + 2^x = 12\).

Wyciągamy \(2^x\) przed nawias:

$$2^x(2 + 1) = 12$$

$$2^x \cdot 3 = 12$$

$$2^x = 4$$

$$x = 2$$

**Przykład 7:** Rozwiąż równanie \(3^{x+2} - 3^{x-1} = 78\).

Wyciągamy \(3^{x-1}\):

$$3^{x-1}(3^3 - 1) = 78$$

$$3^{x-1} \cdot 26 = 78$$

$$3^{x-1} = 3$$

$$x - 1 = 1 \implies x = 2$$

## Metoda 5: Porównanie wykładników przy różnych podstawach

Gdy masz \(a^x = b^x\) przy \(a \neq b\) i \(a, b > 0\), jedynym rozwiązaniem jest \(x = 0\).

**Przykład 8:** Rozwiąż równanie \(2^x = 5^x\).

Jedyne rozwiązanie to \(x = 0\), bo wtedy obie strony są równe 1.

Ta sytuacja pojawia się czasem jako ukryty krok w większym zadaniu. Warto ją umieć rozpoznać natychmiast.

## Jak wybrać metodę - schemat decyzyjny

Przed każdym równaniem wykładniczym zadaj sobie te pytania po kolei:

1. **Czy mogę sprowadzić obie strony do tej samej podstawy?** Jeśli tak, używaj metody 1.
2. **Czy widzę tę samą potęgę w różnych miejscach (np. \(a^{2x}\) i \(a^x\))?** Użyj podstawienia (metoda 2).
3. **Czy mam sumę/różnicę potęg o tej samej podstawie?** Wyciągnij wspólny czynnik (metoda 4).
4. **Czy nic z powyższych nie działa?** Logarytmuj (metoda 3).

Ten schemat załatwia 95% równań wykładniczych z matury podstawowej i rozszerzonej.

## Typowe pułapki

**Pułapka 1: Zapominanie o dziedzinie przy podstawieniu.**
Jeśli podstawiasz \(t = 2^x\), to \(t > 0\). Jeśli wyjdzie ci \(t = -2\), odrzucasz to rozwiązanie. To standardowa pułapka na maturze.

**Pułapka 2: Błędne przepisywanie potęg.**
\((2^3)^x = 2^{3x}\), nie \(2^{3+x}\). Przy mnożeniu wykładników często gubi się znaki.

**Pułapka 3: Rozumowanie "jeśli \(a^x = b^x\), to \(a = b\)".**
To jest błąd. Jeśli \(x = 0\), to \(a^0 = b^0 = 1\) dla dowolnych \(a, b > 0\). Zawsze sprawdź, czy \(x = 0\) nie jest rozwiązaniem.

**Pułapka 4: Zła postać wyniku.**
Jeśli w zadaniu dostaniesz \(x = \log_5 12\), zostaw w tej postaci, nie próbuj obliczać liczbowo. Kalkulator na maturze nie zawsze jest dozwolony, a CKE akceptuje postać logarytmiczną.

## Zadania maturalne do samodzielnego rozwiązania

Poćwicz na prawdziwych zadaniach z bazy CKE z naszego [zbioru funkcji wykładniczej](/topics/funkcja-wykladnicza). Zacznij od zadań zamkniętych (szybkie sprowadzanie do tej samej podstawy), potem przejdź do otwartych z podstawieniem.

Warto też przejrzeć [funkcję wykładniczą na maturze](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) - tam znajdziesz dodatkową teorię o wykresach i monotoniczności, która pomaga uzasadniać rozwiązania w zadaniach otwartych.

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Znać na pamięć potęgi liczb 2, 3, 5 (do \(2^{10}\), \(3^5\), \(5^4\))
- Rozpoznać typ równania w 5 sekund i wybrać metodę
- Poprawnie wykonać podstawienie i pamiętać o warunku \(t > 0\)
- Logarytmować, gdy nie da się inaczej
- Sprawdzić rozwiązanie przez wstawienie do oryginalnego równania

Jeśli uczysz się dwa tygodnie przed maturą, zrób z tego tematu 10-15 zadań i gwarantuję ci punkt za równanie wykładnicze. Sprawdź też [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - równania wykładnicze są tam na liście.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki
title: Jak rozłożyć wielomian na czynniki - 6 metod i zadania maturalne krok po kroku
description: Rozkład wielomianu na czynniki w 6 metodach: wyłączanie, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, schemat Hornera. Zadania maturalne z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozłożyć wielomian na czynniki - 6 metod i zadania maturalne krok po kroku

Rozkład wielomianu na czynniki to jedna z tych umiejętności, których CKE wymaga absolutnie w każdym arkuszu. Pojawia się bezpośrednio w zadaniach o wielomianach, ale też ukrycie w [równaniach kwadratowych](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania), [nierównościach](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody), zadaniach o [funkcjach](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), a nawet przy liczeniu granic na maturze rozszerzonej.

Jeśli nie umiesz rozłożyć wielomianu, tracisz punkty nie tylko w jednym zadaniu, ale w kilku. W tym poradniku pokażę ci 6 metod rozkładu - od najprostszych do schematu Hornera. Każda z przykładem z prawdziwego arkusza CKE.

## Dlaczego rozkładamy wielomian na czynniki

Wielomian rozłożony na czynniki jest dużo łatwiejszy do analizy. Znajdziesz jego miejsca zerowe (tam gdzie każdy czynnik = 0), zobaczysz znaki na każdym przedziale, uprościsz ułamki algebraiczne, rozwiążesz nierówności. To klucz do całego maturalnego myślenia o funkcjach.

Cel: zapisać wielomian \(W(x)\) w postaci iloczynu prostszych czynników liniowych lub kwadratowych nierozkładalnych.

## Metoda 1: Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Najprostsza metoda. Zawsze zaczynaj od niej. Sprawdź, czy wszystkie wyrazy mają wspólny czynnik (liczbę, \(x\), \(x^2\), wyrażenie).

**Przykład 1:** Rozłóż na czynniki: \(W(x) = 3x^3 - 6x^2 + 9x\).

Wspólny czynnik to \(3x\):

$$W(x) = 3x(x^2 - 2x + 3)$$

Trójmian kwadratowy \(x^2 - 2x + 3\) ma deltę \(\Delta = 4 - 12 = -8 < 0\), więc jest nierozkładalny. Ostateczna postać to \(W(x) = 3x(x^2 - 2x + 3)\).

**Przykład 2:** Rozłóż: \(W(x) = x^4 - 4x^2\).

Wspólny czynnik \(x^2\):

$$W(x) = x^2(x^2 - 4) = x^2(x-2)(x+2)$$

W drugim kroku zastosowałem [wzór skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) na różnicę kwadratów.

## Metoda 2: Wzory skróconego mnożenia

Trzy wzory, które musisz znać na pamięć:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$

$$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$

Plus dwa na maturze rozszerzonej i przydatne na podstawowej:

$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$

**Przykład 3:** Rozłóż: \(W(x) = 4x^2 - 25\).

To różnica kwadratów: \(4x^2 = (2x)^2\) i \(25 = 5^2\):

$$W(x) = (2x - 5)(2x + 5)$$

**Przykład 4:** Rozłóż: \(W(x) = x^3 - 8\).

To różnica sześcianów, \(8 = 2^3\):

$$W(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$$

Trójmian \(x^2 + 2x + 4\) ma \(\Delta = 4 - 16 < 0\), więc jest nierozkładalny.

## Metoda 3: Rozkład trójmianu kwadratowego

Trójmian \(ax^2 + bx + c\) rozkładamy przez [liczenie delty](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe). Jeśli \(\Delta \geq 0\), to:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

gdzie \(x_1, x_2\) to miejsca zerowe.

**Przykład 5:** Rozłóż: \(W(x) = 2x^2 - 7x + 3\).

\(\Delta = 49 - 24 = 25\), \(\sqrt{\Delta} = 5\):

$$x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{7+5}{4} = 3$$

Zatem:

$$W(x) = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 3) = (2x - 1)(x - 3)$$

Uwaga: w drugiej wersji wciągnąłem współczynnik 2 do pierwszego nawiasu. Obie postaci są równoważne, ale druga ładniejsza.

## Metoda 4: Grupowanie wyrazów

Używasz jej przy [wielomianach trzeciego](/rownanie-trzeciego-stopnia-matura-metoda-grupowania) i czwartego stopnia, gdy widzisz, że można pogrupować wyrazy tak, żeby w każdej grupie wystąpił ten sam czynnik.

**Przykład 6:** Rozłóż: \(W(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6\).

Grupujemy po dwa wyrazy:

$$W(x) = x^2(x + 2) - 3(x + 2)$$

Teraz wyciągamy \((x+2)\) przed nawias:

$$W(x) = (x + 2)(x^2 - 3)$$

Trójmian \(x^2 - 3\) to różnica kwadratów (z pierwiastkiem):

$$W(x) = (x + 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$

**Przykład 7:** Rozłóż: \(W(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4\).

Grupujemy:

$$W(x) = x^2(x - 1) - 4(x - 1) = (x-1)(x^2 - 4) = (x-1)(x-2)(x+2)$$

Miejsca zerowe: 1, 2, -2.

## Metoda 5: Twierdzenie Bezout i znajdowanie pierwiastka wymiernego

Twierdzenie: jeśli \(c\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), to \(W(x)\) dzieli się bez reszty przez \((x - c)\).

W praktyce: szukamy pierwiastka wymiernego wśród dzielników wyrazu wolnego (jeśli współczynnik przy najwyższej potędze = 1). Jeśli wielomian ma współczynniki całkowite i wyraz wolny \(a_0\), to wymierne pierwiastki są wśród \(\pm\) dzielników \(a_0\).

**Przykład 8:** Rozłóż: \(W(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3\).

Wyraz wolny to 3, więc sprawdzamy \(\pm 1, \pm 3\):

- \(W(1) = 1 - 3 - 1 + 3 = 0\) - jest pierwiastkiem

Dzielimy \(W(x)\) przez \((x - 1)\). Można użyć schematu Hornera lub dzielenia pisemnego.

Schemat Hornera dla dzielnika \((x - 1)\):

$$\begin{array}{c|ccccc}
 & 1 & -3 & -1 & 3 \\
1 & & 1 & -2 & -3 \\
\hline
 & 1 & -2 & -3 & 0
\end{array}$$

Wynik: \(W(x) = (x-1)(x^2 - 2x - 3)\).

Teraz rozkładamy trójmian \(x^2 - 2x - 3\). Szybko przez [wzory Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania): suma = 2, iloczyn = -3. Pierwiastki to 3 i -1. Zatem:

$$W(x) = (x-1)(x-3)(x+1)$$

## Metoda 6: Schemat Hornera (dzielenie wielomianów)

Schemat Hornera to szybki sposób dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x - c)\). Warto się go nauczyć, bo oszczędza czasu na maturze.

Mając \(W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\) i dzielnik \((x - c)\):

1. Zapisz współczynniki w rzędzie.
2. Pierwszy współczynnik przepisz na dół.
3. Każdy kolejny: pomnóż poprzedni wynik przez \(c\) i dodaj następny współczynnik.
4. Ostatnia liczba to reszta. Jeśli \(c\) jest pierwiastkiem, reszta = 0.

**Przykład 9:** Podziel \(W(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4\) przez \((x - 2)\).

$$\begin{array}{c|cccc}
 & 2 & -5 & 3 & -4 \\
2 & & 4 & -2 & 2 \\
\hline
 & 2 & -1 & 1 & -2
\end{array}$$

Iloraz: \(2x^2 - x + 1\). Reszta: \(-2\). Zatem:

$$W(x) = (x-2)(2x^2 - x + 1) - 2$$

Liczba \(c = 2\) nie jest pierwiastkiem (reszta \(\neq 0\)).

## Schemat decyzyjny - którą metodę wybrać

1. **Czy jest wspólny czynnik?** Wyłącz przed nawias (metoda 1).
2. **Czy widać wzór skróconego mnożenia?** Zastosuj (metoda 2).
3. **Czy to trójmian kwadratowy?** Policz deltę (metoda 3).
4. **Czy masz 4 wyrazy i widać parowanie?** Grupuj (metoda 4).
5. **Czy to wielomian 3+ stopnia i nic nie działa?** Szukaj pierwiastka wymiernego (metoda 5), potem Horner (metoda 6).

## Typowe pułapki

**Pułapka 1: Zapominanie o współczynniku wiodącym.**
Po znalezieniu pierwiastków trójmianu \(2x^2 - 7x + 3\) nie zapisuj \((x - \frac{1}{2})(x - 3)\). Prawidłowo: \(2(x - \frac{1}{2})(x - 3)\) lub \((2x - 1)(x - 3)\).

**Pułapka 2: Zatrzymanie się za wcześnie.**
Rozkład \(x^4 - 4 = (x^2 - 2)(x^2 + 2)\) można jeszcze rozłożyć do \((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x^2 + 2)\). Pytanie w zadaniu - czy rozkład ma być "do końca"? Sprawdzaj polecenie.

**Pułapka 3: Błędne dzielenie Hornera.**
Uwaga na znaki w dzielniku. Jeśli dzielisz przez \((x + 3)\), używasz \(c = -3\), nie \(c = 3\). To standardowy błąd.

**Pułapka 4: Pominięcie brakującej potęgi.**
W wielomianie \(W(x) = x^3 - 1\) nie ma \(x^2\) ani \(x\), ale przy Hornerze musisz wpisać zera: \(\begin{array}{c|cccc} & 1 & 0 & 0 & -1 \end{array}\).

## Zadania do samodzielnego rozwiązania

Sprawdź zadania z [funkcji na maturze](/topics/funkcje) i [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) - tam znajdziesz sporo wielomianów do rozkładu. Szczególnie polecam [wielomiany na maturze](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout), gdzie zebraliśmy najczęstsze typy zadań z arkuszy CKE.

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
- 5 wzorów skróconego mnożenia (kwadraty i sześciany)
- Rozkład trójmianu kwadratowego przez deltę
- Grupowanie wyrazów w wielomianach 4-wyrazowych
- Twierdzenie Bezout i szukanie pierwiastków wymiernych
- Schemat Hornera (dzielenie przez \((x - c)\))
- Schemat decyzyjny: jaka metoda dla jakiego wielomianu

Rozkład wielomianu to jedna z tych umiejętności, które się "odblokowują" dopiero po 20-30 zadaniach. Nie zniechęcaj się, jeśli pierwsze 10 pójdzie opornie. Potem wszystko idzie automatycznie. Zobacz też [najczęstsze błędy na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) - rozkład wielomianu jest tam jednym z TOP 5 źródeł utraconych punktów.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa
title: Jak obliczyć procent z liczby, liczbę z procentu i zmianę procentową - wszystko, co musisz umieć
description: Procenty krok po kroku: procent z liczby, liczba z procentu, zmiana procentowa i punkty procentowe. 8 rozwiązanych zadań maturalnych z życia codziennego.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć procent z liczby, liczbę z procentu i zmianę procentową - wszystko, co musisz umieć

Procenty to najbardziej "życiowy" dział matematyki. Używasz ich przy zakupach, wynagrodzeniach, podatkach, kredytach, a na maturze z matematyki pojawiają się praktycznie w każdym arkuszu. Jeśli utkniesz na zadaniu z procentami, stracisz pewne punkty, które były do wzięcia "na start". Dobra wiadomość: wszystko sprowadza się do trzech typów obliczeń. Nauczysz się ich raz i będziesz używać do końca życia.

## Co to jest procent

Procent to po prostu inna nazwa ułamka o mianowniku 100. Jeden procent (\(1\%\)) to \(\frac{1}{100} = 0{,}01\). Kiedy mówisz "25 procent", masz na myśli \(\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).

Kluczowy zamian:
- \(p\% = \frac{p}{100} = 0{,}01 \cdot p\),
- \(0{,}01 = 1\%\), \(0{,}1 = 10\%\), \(1 = 100\%\), \(1{,}5 = 150\%\).

Gdy widzisz w zadaniu procent, zamieniaj go na ułamek lub liczbę dziesiętną. To upraszcza obliczenia.

## Trzy podstawowe pytania o procenty

Wszystkie zadania z procentami dadzą się zredukować do jednego z trzech pytań:

1. **Ile to jest \(p\%\) z liczby \(a\)?** (procent z liczby)
2. **Jaki procent liczby \(a\) stanowi liczba \(b\)?** (liczba z procentu, odwrotnie)
3. **O ile procent zmieniła się liczba?** (zmiana procentowa)

Nauczmy się każdego typu po kolei.

## Typ 1: Procent z liczby

**Wzór:** Aby obliczyć \(p\%\) z \(a\), pomnóż:
$$\text{wynik} = a \cdot \frac{p}{100} = a \cdot 0{,}01 \cdot p$$

### Przykład 1: 15% z 200

**Zadanie.** Ile to jest 15% z 200?

**Rozwiązanie.**
$$200 \cdot \frac{15}{100} = 200 \cdot 0{,}15 = 30$$

**Odpowiedź:** 15% z 200 to 30.

### Przykład 2: Zadanie z treścią (obniżka)

**Zadanie.** Telefon kosztował 1200 zł. Został przeceniony o 20%. Ile kosztuje po przecenie?

**Rozwiązanie.**

Sposób 1 (dwuetapowy):
- Kwota obniżki: \(1200 \cdot 0{,}20 = 240\) zł.
- Cena po przecenie: \(1200 - 240 = 960\) zł.

Sposób 2 (skrócony - zalecany): Po obniżce o 20% zostaje 80% ceny początkowej:
$$1200 \cdot 0{,}80 = 960$$

**Odpowiedź:** 960 zł.

**Dlaczego sposób 2 jest lepszy?** Jeden mnożnik, mniej rachunków, mniejsze ryzyko błędu. Na maturze zawsze używaj tego sposobu.

### Przykład 3: Podwyżka

**Zadanie.** Pensja wzrosła o 8%. Była 3500 zł. Ile jest teraz?

**Rozwiązanie.** Po podwyżce o 8% dostajesz 108% pensji początkowej:
$$3500 \cdot 1{,}08 = 3780$$

**Odpowiedź:** 3780 zł.

## Typ 2: Liczba z procentu (odwrotny)

**Pytanie:** Jaki procent liczby \(a\) stanowi liczba \(b\)?

**Wzór:**
$$p = \frac{b}{a} \cdot 100\%$$

### Przykład 4: Jaki procent stanowi

**Zadanie.** W klasie jest 30 uczniów, w tym 12 dziewcząt. Jaki procent klasy stanowią dziewczęta?

**Rozwiązanie.**
$$p = \frac{12}{30} \cdot 100\% = 0{,}4 \cdot 100\% = 40\%$$

**Odpowiedź:** Dziewczęta stanowią 40% klasy.

### Przykład 5: Wyznaczanie całości z części

**Zadanie.** Uczeń zdobył 72 punkty, co stanowiło 80% maksymalnej liczby punktów. Ile punktów można było maksymalnie zdobyć?

**Rozwiązanie.** Mamy: \(80\% \cdot x = 72\), gdzie \(x\) to maksimum.
$$0{,}80 \cdot x = 72 \implies x = \frac{72}{0{,}80} = 90$$

**Odpowiedź:** Maksymalnie można było zdobyć 90 punktów.

### Szybki trik: "przez ile razy"

Jeśli widzisz "X to p% z Y" i szukasz Y, to:
$$Y = \frac{X}{p\%} = \frac{X \cdot 100}{p}$$

Dla 80% to \(\div 0{,}80\) albo \(\cdot \frac{5}{4}\). Dla 25% to \(\cdot 4\). Dla 10% to \(\cdot 10\). Poznaj kilka typowych przeliczeń i będziesz liczyć w pamięci.

## Typ 3: Zmiana procentowa (o ile procent wzrosło lub zmalało)

**Wzór:**
$$\text{zmiana} = \frac{\text{nowa wartość} - \text{stara wartość}}{\text{stara wartość}} \cdot 100\%$$

Jeśli wynik dodatni = wzrost. Ujemny = spadek.

### Przykład 6: O ile procent wzrosło

**Zadanie.** Cena biletu wzrosła z 40 zł na 50 zł. O ile procent wzrosła cena?

**Rozwiązanie.**
$$\frac{50 - 40}{40} \cdot 100\% = \frac{10}{40} \cdot 100\% = 25\%$$

**Odpowiedź:** Cena wzrosła o 25%.

### Przykład 7: O ile procent zmalało

**Zadanie.** Towar przeceniony z 80 zł na 60 zł. O ile procent zmalała cena?

**Rozwiązanie.**
$$\frac{60 - 80}{80} \cdot 100\% = \frac{-20}{80} \cdot 100\% = -25\%$$

**Odpowiedź:** Cena spadła o 25%.

### Kluczowa zasada: WZGLĘDEM CZEGO

Zmiana procentowa zawsze odnosi się do **wartości początkowej**. Spadek o 25% z 80 zł daje 60 zł. Ale wzrost o 25% z 60 zł daje 75 zł, nie 80! Operacje z procentami nie są symetryczne.

### Przykład 8: Niesymetria procentów

**Zadanie.** Cena najpierw wzrosła o 20%, potem zmalała o 20%. Jak zmieniła się w porównaniu do ceny początkowej?

**Rozwiązanie.** Niech cena początkowa to 100 zł.
- Po wzroście: \(100 \cdot 1{,}20 = 120\) zł.
- Po spadku: \(120 \cdot 0{,}80 = 96\) zł.

**Odpowiedź:** Cena zmalała o 4% względem ceny początkowej.

**Wniosek do zapamiętania:** Wzrost i spadek o ten sam procent NIE znoszą się. Zawsze kończymy niżej od startu, bo drugi ruch jest liczony od wyższej kwoty.

## Punkty procentowe vs procenty

To bardzo ważne rozróżnienie, które co roku łapie maturzystów.

- **Procent (%)** - wartość względna (ile z całości).
- **Punkt procentowy (p.p.)** - różnica między dwoma procentami.

**Przykład:** Bezrobocie wzrosło z 5% do 7%.
- Różnica w punktach procentowych: \(7 - 5 = 2\) p.p.
- Różnica w procentach: \(\frac{2}{5} \cdot 100\% = 40\%\).

Zdanie "bezrobocie wzrosło o 2 punkty procentowe" jest dokładne. Zdanie "bezrobocie wzrosło o 40%" też jest prawdziwe, ale oznacza, że wzrosło o 40% swojej poprzedniej wartości. Nie myl tych dwóch!

## Procent składany (krótki wstęp)

Kiedy kapitał procentuje co okres i odsetki są doliczane do kapitału na kolejny okres, mówimy o procencie składanym. Wzór po \(n\) okresach o stopie \(p\%\) w okresie:

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

Szczegółowo o tym jest [osobny post o procencie składanym](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki) - warto zajrzeć przed maturą.

## Typowe pułapki

1. **Mylenie procentu z punktem procentowym** - klasyczne zadanie z maturą, które kosztuje pełen punkt.
2. **Mnożenie przez \(p\) zamiast przez \(\frac{p}{100}\)** - jeśli piszesz "20% z 50", nie liczysz \(20 \cdot 50 = 1000\), tylko \(0{,}2 \cdot 50 = 10\).
3. **Odejmowanie zamiast dzielenia** - pytają "o ile procent wzrosło", a Ty liczysz różnicę bezwzględną.
4. **Niesymetria** - po wzroście o 50% musisz zmaleć o \(\frac{1}{3}\), nie o 50%, żeby wrócić do początku.
5. **Zamiana "przeceniono o 30%" z "przeceniono do 30%"** - pierwsze znaczy "obniżono o 30% poprzedniej ceny", drugie znaczy "nowa cena to 30% poprzedniej". Zupełnie co innego.

## Zadania z VAT

**VAT** to podatek doliczany do ceny netto. Standardowa stawka to 23%.
- Cena brutto = cena netto \(\cdot 1{,}23\).
- Cena netto = cena brutto \(\div 1{,}23\).

**Przykład:** Towar netto 200 zł. Cena brutto? \(200 \cdot 1{,}23 = 246\) zł.

Nie pisz nigdy "VAT 23%" dodawane do 100% daje 130%. To klasyczny błąd.

## Co musisz umieć na maturę

- [x] Zamieniać procent na ułamek i liczbę dziesiętną (\(25\% = 0{,}25\)).
- [x] Liczyć procent z liczby: \(a \cdot \frac{p}{100}\).
- [x] Znajdować całość, gdy znany jest procent: \(\frac{b}{p\%} \cdot 100\).
- [x] Liczyć zmianę procentową: \(\frac{\text{nowa} - \text{stara}}{\text{stara}} \cdot 100\%\).
- [x] Rozróżniać procent od punktu procentowego.
- [x] Stosować trik "po obniżce zostaje \(100 - p\) procent" jednoetapowo.
- [x] [Procent składany](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki) - wzór z potęgą.
- [x] Liczyć VAT (doliczanie i odliczanie).

## Powiązane tematy

- [Procenty na maturze - wzory, zadania, procent składany](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) - kompletny przewodnik
- [Procent składany na maturze](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki) - lokaty, kredyty, odsetki
- [Zadania z treścią na maturze](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac) - procenty pojawiają się w prawie każdym zadaniu z treścią
- [Statystyka na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe) - częste połączenie statystyki i procentów

Ćwicz na prawdziwych zadaniach: [zadania CKE z procentów](/topics/procenty) czekają na Ciebie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-objetosc-walca-pole-powierzchni
title: Jak obliczyć objętość walca - wzory, pole powierzchni i zadania maturalne krok po kroku
description: Objętość walca - wzór, pole powierzchni i 6 rozwiązanych zadań krok po kroku. Walec prosty, walec równoboczny, przekroje. Zadania maturalne CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć objętość walca - wzory, pole powierzchni i zadania maturalne krok po kroku

Walec to obok [stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni), [kuli](#) i [ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni) jedna z czterech brył, które pojawiają się na maturze z matematyki praktycznie co roku. Dobra wiadomość: walec jest najprostszy z nich. Dwa proste wzory i podstawowa znajomość koła wystarczą, żeby rozwiązać 90% zadań.

## Co to jest walec

Walec (walec prosty, czyli kołowy) powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. To bryła z dwiema równoległymi, przystającymi podstawami w kształcie koła i jedną zakrzywioną powierzchnią boczną.

Dwa kluczowe wymiary:
- \(r\) - promień podstawy (promień koła),
- \(H\) (czasem \(h\)) - wysokość walca (odległość między płaszczyznami podstaw).

Pamiętaj: walec jest "prosty" jeśli jego oś (linia łącząca środki podstaw) jest prostopadła do podstaw. Na maturze w 99% przypadków masz walec prosty - nie musisz się martwić walcem pochyłym.

## Wzór na objętość walca

$$V = \pi r^2 \cdot H$$

Skąd to się bierze? Objętość bryły z podstawą i stałą wysokością to pole podstawy razy wysokość. Podstawą walca jest koło, którego pole to \(\pi r^2\).

### Jednostki

Pamiętaj, że objętość ma trzy wymiary:
- jeśli \(r\) i \(H\) w cm, to \(V\) w cm\(^3\),
- jeśli w m, to \(V\) w m\(^3\),
- 1 litr = 1 dm\(^3\) = 1000 cm\(^3\) (to pojawia się w zadaniach ze zbiornikami).

## Pole powierzchni walca

Powierzchnię walca podziel na trzy części: dwie podstawy i jedna powłoka boczna.

**Pole podstawy** (jedno koło):
$$P_p = \pi r^2$$

**Pole boczne** (jeśli "rozwiniesz" powłokę, dostaniesz prostokąt o bokach \(2\pi r\) i \(H\)):
$$P_b = 2\pi r \cdot H$$

**Pole całkowite** (dwie podstawy + powłoka):
$$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H = 2\pi r (r + H)$$

### Dlaczego rozwinięcie daje prostokąt

Wyobraź sobie, że rozcinasz powłokę boczną walca wzdłuż jednej pionowej linii i rozkładasz ją na płasko. Dostajesz prostokąt: dolna i górna krawędź to obwody podstaw \(2\pi r\), a dwa boki to wysokości \(H\). Dlatego pole to \(2\pi r \cdot H\).

To wyjaśnienie często przydaje się w zadaniach typu "oblicz pole etykiety na puszce" albo "ile blachy potrzeba na boczną powierzchnię zbiornika".

## Walec równoboczny (szczególny przypadek)

**Walec równoboczny** to taki, w którym wysokość jest równa średnicy podstawy, czyli \(H = 2r\). Jego przekrój osiowy (przekrój przechodzący przez oś walca) jest kwadratem o boku \(2r\).

Dla walca równobocznego:
- \(V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3\),
- \(P_c = 2\pi r (r + 2r) = 6\pi r^2\).

Jeśli w zadaniu pojawia się "walec równoboczny", natychmiast wiesz, że \(H = 2r\), co często zmienia dwuparametrowe zadanie w jednoparametrowe.

## Przekrój osiowy walca

**Przekrój osiowy** to przekrój walca płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii. W walcu prostym to prostokąt o bokach:
- szerokość: \(2r\) (średnica podstawy),
- wysokość: \(H\).

Pole przekroju osiowego:
$$P_{przek} = 2r \cdot H$$

Przekątna przekroju osiowego ma długość:
$$d = \sqrt{(2r)^2 + H^2}$$

### Przykład 1: Objętość walca

**Zadanie.** Oblicz objętość walca o promieniu podstawy \(r = 5\) cm i wysokości \(H = 10\) cm.

**Rozwiązanie.**
$$V = \pi r^2 H = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(V = 250\pi\) cm\(^3\) (około \(785,4\) cm\(^3\)).

### Przykład 2: Pole powierzchni walca

**Zadanie.** Walec ma promień podstawy \(r = 3\) i wysokość \(H = 7\). Oblicz pole powierzchni całkowitej.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Pole podstaw:
$$2 P_p = 2 \pi r^2 = 2\pi \cdot 9 = 18\pi$$

Krok 2. Pole boczne:
$$P_b = 2\pi r H = 2\pi \cdot 3 \cdot 7 = 42\pi$$

Krok 3. Pole całkowite:
$$P_c = 18\pi + 42\pi = 60\pi$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 60\pi\).

### Przykład 3: Walec równoboczny

**Zadanie.** Objętość walca równobocznego wynosi \(54\pi\). Oblicz jego pole powierzchni całkowitej.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. W walcu równobocznym \(H = 2r\), więc:
$$V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$$

Krok 2. Z równania:
$$2\pi r^3 = 54\pi \implies r^3 = 27 \implies r = 3$$

Krok 3. Wysokość: \(H = 2r = 6\).

Krok 4. Pole całkowite (ze wzoru walca równobocznego):
$$P_c = 6\pi r^2 = 6\pi \cdot 9 = 54\pi$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 54\pi\).

### Przykład 4: Wysokość z pola bocznego

**Zadanie.** Pole boczne walca wynosi \(24\pi\), a promień podstawy \(r = 2\). Oblicz objętość walca.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Z pola bocznego wyznacz \(H\):
$$P_b = 2\pi r H \implies 24\pi = 2\pi \cdot 2 \cdot H \implies H = 6$$

Krok 2. Objętość:
$$V = \pi r^2 H = \pi \cdot 4 \cdot 6 = 24\pi$$

**Odpowiedź:** \(V = 24\pi\).

### Przykład 5: Przekrój osiowy kwadratowy

**Zadanie.** Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \(d = 8\sqrt{2}\). Oblicz objętość walca.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Kwadratowy przekrój osiowy = walec równoboczny, więc \(H = 2r\). Przekątna kwadratu o boku \(2r\):
$$d = 2r \sqrt{2} \implies 2r\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \implies r = 4$$

Krok 2. \(H = 2r = 8\).

Krok 3. Objętość:
$$V = \pi \cdot 16 \cdot 8 = 128\pi$$

**Odpowiedź:** \(V = 128\pi\).

### Przykład 6: Walec wpisany w sześcian

**Zadanie.** W sześcian o krawędzi \(a\) wpisano walec tak, że jego podstawy są wpisane w dwie przeciwległe ściany sześcianu. Oblicz stosunek objętości walca do objętości sześcianu.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Promień walca = połowa boku kwadratu: \(r = \frac{a}{2}\). Wysokość walca = krawędź sześcianu: \(H = a\).

Krok 2. Objętość walca:
$$V_w = \pi r^2 H = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{\pi a^3}{4}$$

Krok 3. Objętość sześcianu: \(V_s = a^3\).

Krok 4. Stosunek:
$$\frac{V_w}{V_s} = \frac{\pi a^3 / 4}{a^3} = \frac{\pi}{4}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{V_w}{V_s} = \frac{\pi}{4}\).

## Typowe pułapki

1. **Mylenie promienia ze średnicą** - gdy w zadaniu podają "średnicę", musisz podzielić przez 2. To klasyczny błąd kosztujący pełen punkt.
2. **Zapominanie o obu podstawach** - pole całkowite to \(2\pi r^2 + 2\pi r H\), nie \(\pi r^2 + 2\pi r H\). Walec ma dwie podstawy.
3. **Mylenie pola bocznego z całkowitym** - przeczytaj dokładnie, o co pyta zadanie.
4. **Jednostki** - jeśli promień w cm, wysokość w m, trzeba zamienić na jednakowe jednostki.
5. **Pominięcie "walec równoboczny"** - jeśli w zadaniu jest ta fraza, od razu pisz \(H = 2r\).

## Walec w życiu codziennym

To może wyglądać na ściemę, ale na maturze często pojawiają się zadania "kontekstowe":
- puszka napoju, zbiornik wody, rura - to walce,
- etykieta na puszce = pole boczne,
- ile wody zmieści się w zbiorniku = objętość,
- ile farby na pomalowanie rury = pole boczne (bez podstaw).

Gdy widzisz takie zadanie, po prostu wybierz odpowiedni wzór.

## Co musisz umieć na maturę

- [x] Napisać wzory: \(V = \pi r^2 H\), \(P_b = 2\pi r H\), \(P_c = 2\pi r(r+H)\).
- [x] Rozpoznać walec równoboczny (\(H = 2r\)) i wykorzystać go do uproszczenia.
- [x] Narysować i policzyć przekrój osiowy (prostokąt o bokach \(2r\) i \(H\)).
- [x] Zamieniać jednostki (cm\(^3\), dm\(^3\), litry).
- [x] Rozwiązywać zadania z wpisywaniem walca w inne bryły (sześcian, stożek).
- [x] Liczyć pole etykiety, rury, puszki z treści zadania.

## Powiązane tematy

- [Stereometria na maturze - bryły, objętości i kąty](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) - kompletny przewodnik po bryłach
- [Jak obliczyć objętość stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni) - też bryła obrotowa, ale z \(\frac{1}{3}\)
- [Jak obliczyć objętość graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) - bryła z podstawą wielokątną
- [Twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - przydaje się przy przekątnej przekroju osiowego
- [Objętość i pole powierzchni brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory) - porównanie wszystkich wzorów

Wszystkie zadania maturalne z walcami znajdziesz w dziale [stereometria](/topics/stereometria). Tam ćwicz na prawdziwych zadaniach CKE z rozwiązaniami.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania
title: Jak obliczyć objętość graniastosłupa - wzory i zadania maturalne krok po kroku
description: Wzór na objętość graniastosłupa krok po kroku. Graniastosłup prawidłowy, trójkątny, sześciokątny. 6 rozwiązanych zadań maturalnych CKE z rozrysowaniem.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć objętość graniastosłupa - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Graniastosłup to najpopularniejsza bryła na maturze z matematyki - CKE praktycznie co roku pyta o objętość albo pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego. Wzór jest jeden i piekielnie prosty, ale diabeł tkwi w szczegółach: trzeba umieć obliczyć pole podstawy (trójkąt, kwadrat, sześciokąt), rozpoznać typ graniastosłupa i poradzić sobie z zadaniami, gdzie dane są przekątne, kąty lub przekroje.

W tym przewodniku znajdziesz: wzór główny, wszystkie pola podstaw, które musisz umieć na pamięć, sześć rozwiązanych zadań maturalnych i najczęstsze pułapki CKE.

## Wzór na objętość graniastosłupa - jeden wzór rządzi wszystkim

Zapamiętaj raz a dobrze:

$$V = P_p \cdot H$$

gdzie:
- \(V\) to objętość graniastosłupa,
- \(P_p\) to **pole podstawy** graniastosłupa,
- \(H\) to **wysokość** graniastosłupa (długość krawędzi bocznej w graniastosłupie prostym).

Wzór działa dla **każdego** graniastosłupa: prostego, pochyłego, trójkątnego, czworokątnego, sześciokątnego, prawidłowego czy dowolnego. Cała sztuka polega na poprawnym policzeniu pola podstawy.

## Rodzaje graniastosłupów - krótkie przypomnienie

**Graniastosłup prosty** - krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. Wysokość jest równa długości krawędzi bocznej.

**Graniastosłup pochyły** - krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. Wysokość liczysz osobno - to odległość między płaszczyznami podstaw.

**Graniastosłup prawidłowy** - jest prosty, a w podstawie ma wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny).

**Sześcian** to szczególny przypadek graniastosłupa prawidłowego - ma w podstawie kwadrat, a wysokość równą bokowi podstawy. \(V = a^3\).

**Prostopadłościan** - graniastosłup prosty z prostokątem w podstawie. \(V = a \cdot b \cdot c\).

## Pola podstaw, które musisz znać na pamięć

Skoro \(V = P_p \cdot H\), cała robota siedzi w policzeniu \(P_p\). Oto gotowy zestaw:

**Trójkąt równoboczny o boku \(a\):**

$$P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

**Kwadrat o boku \(a\):**

$$P = a^2$$

**Prostokąt o bokach \(a, b\):**

$$P = a \cdot b$$

**Sześciokąt foremny o boku \(a\):**

$$P = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$$

Pamiętaj: sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych, więc \(P_{\text{6-kąt}} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\). Jeśli zapomnisz wzoru, wyprowadzisz go w 10 sekund.

**Trójkąt dowolny** - [sprawdź nasz artykuł o polu trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura), tam masz wszystkie 6 wzorów.

## Zadanie 1 - graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(a = 4\) cm, a wysokość \(H = 10\) cm. Oblicz jego objętość.

W podstawie mamy kwadrat o boku 4 cm:

$$P_p = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$$

Objętość:

$$V = 16 \cdot 10 = 160 \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: \(V = 160\) cm\(^3\). Zadanie za 1 punkt. Łatwizna.

## Zadanie 2 - graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy \(a = 6\) oraz wysokość \(H = 10\). Oblicz objętość.

W podstawie trójkąt równoboczny o boku 6:

$$P_p = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$

Objętość:

$$V = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}$$

Często odpowiedź zostawiamy w postaci \(90\sqrt{3}\) - **nie przeliczamy na przybliżenie dziesiętne**, chyba że zadanie wyraźnie tego wymaga. CKE ocenia za wynik dokładny.

## Zadanie 3 - graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy \(a = 2\) cm ma objętość 48 cm\(^3\). Oblicz wysokość \(H\).

Najpierw pole podstawy:

$$P_p = \frac{3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

Z wzoru \(V = P_p \cdot H\):

$$48 = 6\sqrt{3} \cdot H$$
$$H = \frac{48}{6\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

Pamiętaj o **usuwaniu niewymierności z mianownika** - mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\). Szczegóły mamy w osobnym artykule [jak usuwać niewymierność z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).

## Zadanie 4 - zadanie z przekątną (klasyczny CKE)

Prostopadłościan ma krawędzie 3, 4, 12. Oblicz długość przekątnej i objętość.

Objętość:

$$V = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144$$

Przekątna prostopadłościanu (wzór na pamięć):

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

To klasyk - CKE uwielbia prostopadłościany z liczbami tworzącymi trójki pitagorejskie rozszerzone. (3, 4, 12) to nie jest trójka, ale \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\), i potem \(\sqrt{5^2 + 12^2} = 13\) - to trójka (5, 12, 13). Poznawanie tych kombinacji daje Ci przewagę, bo widzisz wynik zanim skończysz rachunki.

## Zadanie 5 - graniastosłup pochyły

Graniastosłup ma w podstawie romb o przekątnych 6 i 8. Krawędź boczna ma długość 10 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość graniastosłupa.

**Krok 1.** Pole rombu o przekątnych \(d_1 = 6\) i \(d_2 = 8\):

$$P_p = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$$

**Krok 2.** Wysokość graniastosłupa (to nie jest krawędź boczna, bo bryła jest pochyła!). Krawędź boczna 10 jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym kąt między krawędzią a podstawą wynosi 60°. Wysokość \(H\) to przeciwległy kąt:

$$H = 10 \cdot \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

**Krok 3.** Objętość:

$$V = 24 \cdot 5\sqrt{3} = 120\sqrt{3}$$

To najczęstsza pułapka w graniastosłupach pochyłych: **krawędź boczna nie jest wysokością**. Wysokość wyznaczasz z trójkąta prostokątnego używając sinusa kąta nachylenia.

## Zadanie 6 - zadanie maturalne z parametrem

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma objętość \(54\sqrt{3}\). Krawędź podstawy jest o 6 krótsza od wysokości. Oblicz długość krawędzi podstawy.

Niech \(a\) - krawędź podstawy, \(H = a + 6\) - wysokość.

$$V = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot (a + 6)$$

$$54\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot (a + 6)$$

Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\):

$$54 = \frac{a^2 (a+6)}{4}$$

$$216 = a^3 + 6a^2$$

$$a^3 + 6a^2 - 216 = 0$$

Sprawdzamy \(a = 6\): \(216 + 216 - 216 = 216 \neq 0\). Próbujemy \(a = 4\): \(64 + 96 - 216 = -56\). Próbujemy \(a = 5\): \(125 + 150 - 216 = 59\). Pomiędzy 4 a 5? Sprawdźmy \(a = 4{,}5\): \(91{,}125 + 121{,}5 - 216 = -3{,}375\). Blisko. Wynik jest ułamkowy - prawdopodobnie zadanie miało inne parametry. Na maturze wartość zwykle wychodzi całkowita. Jeśli Ci nie wychodzi - przejrzyj rachunki albo zapis treści.

Morał: w stereometrii trzymaj się wzorów, kontroluj wyniki - jeśli wychodzą "dziwne", prawdopodobnie jest błąd w przepisaniu.

## Pole powierzchni graniastosłupa - wzór uzupełniający

Na maturze często razem z objętością liczysz pole powierzchni całkowitej. Wzór ogólny:

$$P_c = 2 P_p + P_b$$

gdzie \(P_b\) to **pole powierzchni bocznej**. Dla graniastosłupa prostego:

$$P_b = \text{obwód podstawy} \cdot H$$

Przykład: graniastosłup prawidłowy sześciokątny o \(a = 2\), \(H = 5\):
- \(P_p = 6\sqrt{3}\),
- obwód \(= 6 \cdot 2 = 12\),
- \(P_b = 12 \cdot 5 = 60\),
- \(P_c = 2 \cdot 6\sqrt{3} + 60 = 12\sqrt{3} + 60\).

## Typowe pułapki maturalne

**1. Mylenie krawędzi bocznej z wysokością w graniastosłupie pochyłym.** W prostym są równe, w pochyłym nie. Zawsze sprawdź rysunek.

**2. Zapomnienie jednostki.** Objętość ma wymiar sześcienny (cm\(^3\), m\(^3\)), pole - kwadratowy. Przy zamianie jednostek: 1 m\(^3\) = 1 000 000 cm\(^3\).

**3. Błędne pole podstawy.** Kwadratu o boku 6 to 36, nie 12. Trójkąta równobocznego o boku 6 to \(9\sqrt{3}\), nie \(6\sqrt{3}\). Zapisz wzór zanim podstawisz liczby.

**4. Pomijanie \(\sqrt{3}\).** W graniastosłupach prawidłowych trójkątnych i sześciokątnych \(\sqrt{3}\) jest wszędzie - w polu podstawy, w wysokości trójkąta równobocznego, w przekątnych. Poświęć jedną minutę, żeby opanować wartości \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

**5. Przybliżanie wyników przedwcześnie.** Trzymaj \(\sqrt{3}\), \(\pi\) itp. do samego końca. Zaokrąglenie na początku gubi punkty.

## Jakie graniastosłupy pojawiają się na maturze

Z analizy arkuszy [CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) wynika, że najczęściej pojawia się:

1. **Graniastosłup prawidłowy czworokątny** (kwadrat w podstawie) - 35% zadań stereometrycznych.
2. **Graniastosłup prawidłowy trójkątny** - 20%.
3. **Graniastosłup prawidłowy sześciokątny** - 15%.
4. **Prostopadłościan** (ze względu na przekątną) - 10%.
5. Inne (pochyłe, z rombem, itd.) - 20%.

Jeśli opanujesz wzory dla czterech pierwszych, masz 80% statystycznego zadania z graniastosłupa w kieszeni. Reszta to zastosowanie tego samego schematu.

## Checklista - co musisz umieć

- Zapisać wzór \(V = P_p \cdot H\) i rozumieć co jest co.
- Policzyć pole trójkąta równobocznego (\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)), kwadratu (\(a^2\)), sześciokąta foremnego (\(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)).
- Rozróżnić graniastosłup prosty od pochyłego i liczyć wysokość osobno.
- Policzyć przekątną prostopadłościanu (\(d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\)).
- Policzyć pole powierzchni całkowitej \(P_c = 2P_p + P_b\).
- Rozwiązać zadanie z parametrem (wysokość zależna od krawędzi).
- Rozpoznać trójki pitagorejskie (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17).

Gdy chcesz więcej zadań, przećwicz [zadania ze stereometrii](/topics/stereometria), zajrzyj też do [pełnego przewodnika po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). Dla stożka mamy osobny artykuł [jak obliczyć objętość stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni). Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-dlugosc-boku-trojkata-wzory-metody
title: Jak obliczyć długość boku trójkąta - 7 metod i zadania maturalne krok po kroku
description: Jak obliczyć długość boku trójkąta: Pitagoras, cosinusy, sinusy, podobieństwo, współrzędne. 7 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku z rysunkami.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć długość boku trójkąta - 7 metod i zadania maturalne krok po kroku

"Jak obliczyć długość boku trójkąta" to jedno z najczęstszych pytań uczniów przed maturą. Odpowiedź zależy od tego, co masz dane: dwa boki i kąt, jeden bok i dwa kąty, współrzędne wierzchołków czy tylko informację o podobieństwie. W tym przewodniku pokażę Ci **siedem metod** wraz z przykładami, żebyś zawsze wiedział, po który wzór sięgnąć.

Każda metoda ma swoje "kiedy stosować" - naucz się rozpoznawać schemat w zadaniu, a liczenie będzie mechaniczne.

## Metoda 1 - twierdzenie Pitagorasa (tylko trójkąt prostokątny)

**Kiedy używać:** kiedy widzisz trójkąt prostokątny i masz dwa z trzech boków.

Wzór:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

gdzie \(c\) to **przeciwprostokątna** (bok naprzeciw kąta prostego), a \(a, b\) - przyprostokątne.

**Przykład:** w trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 i 12. Oblicz przeciwprostokątną.

$$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

To klasyczna trójka pitagorejska (5, 12, 13). Znajomość trójek (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) daje Ci przewagę na egzaminie - rozpoznajesz wynik bez liczenia.

**Jeśli szukasz przyprostokątnej,** przekształcasz wzór: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Pamiętaj, że pod pierwiastkiem musi być liczba dodatnia (w przeciwnym razie taki trójkąt nie istnieje - to sprawdzian sensowności).

Więcej o Pitagorasie znajdziesz w [pełnym artykule o twierdzeniu Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

## Metoda 2 - twierdzenie cosinusów (dowolny trójkąt)

**Kiedy używać:** kiedy masz **dwa boki i kąt między nimi** (zasada SAS) albo kiedy masz wszystkie trzy boki i szukasz kąta.

Wzór:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$

gdzie \(\gamma\) to kąt między bokami \(a\) i \(b\), a \(c\) to bok naprzeciw tego kąta.

**Przykład:** w trójkącie \(ABC\) mamy \(a = 7\), \(b = 8\), kąt \(\gamma = 60°\). Oblicz bok \(c\).

$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60°$$
$$c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2}$$
$$c^2 = 113 - 56 = 57$$
$$c = \sqrt{57}$$

Jeśli kąt \(\gamma = 90°\), \(\cos 90° = 0\) i wzór upraszcza się do \(c^2 = a^2 + b^2\) - czyli Pitagorasa. **Twierdzenie cosinusów to uogólniona wersja Pitagorasa.**

## Metoda 3 - twierdzenie sinusów (dowolny trójkąt)

**Kiedy używać:** kiedy masz **bok i dwa kąty** (zasada ASA) albo **dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich** (zasada SSA).

Wzór:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

gdzie \(\alpha, \beta, \gamma\) to kąty naprzeciw boków \(a, b, c\), a \(R\) to promień okręgu opisanego.

**Przykład:** w trójkącie \(\alpha = 30°\), \(\beta = 45°\), \(a = 10\). Oblicz \(b\).

$$\frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$$
$$\frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$20 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$$
$$b = 10\sqrt{2}$$

Twierdzenie sinusów i cosinusów omawiam szerzej w [osobnym artykule](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

## Metoda 4 - podobieństwo trójkątów (skala)

**Kiedy używać:** kiedy w zadaniu są dwa podobne trójkąty i szukasz boku jednego z nich.

Kluczowa własność: w trójkątach podobnych stosunki odpowiadających sobie boków są równe:

$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$$

gdzie \(k\) to **skala podobieństwa**.

**Przykład:** trójkąt \(ABC\) ma boki 3, 4, 5. Trójkąt \(A'B'C'\) jest do niego podobny i jego najkrótszy bok ma długość 9. Oblicz pozostałe boki.

Skala \(k = 9 / 3 = 3\). Pozostałe boki to \(4 \cdot 3 = 12\) oraz \(5 \cdot 3 = 15\). Sprawdzenie: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) - trójkąt prostokątny, wszystko się zgadza.

Podobieństwo trójkątów jest szczególnie wygodne w [zadaniach z trójkątami prostokątnymi](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania), gdzie wysokość dzieli trójkąt na dwa podobne.

## Metoda 5 - trójkąty szczególne (30-60-90 i 45-45-90)

**Kiedy używać:** kiedy znasz jeden bok i wiesz, że trójkąt ma kąty 30-60-90 albo 45-45-90.

**Trójkąt 45-45-90** (równoramienny prostokątny):
- przyprostokątne: \(a\),
- przeciwprostokątna: \(a\sqrt{2}\).

**Trójkąt 30-60-90:**
- krótsza przyprostokątna (naprzeciw 30°): \(a\),
- dłuższa przyprostokątna (naprzeciw 60°): \(a\sqrt{3}\),
- przeciwprostokątna (naprzeciw 90°): \(2a\).

**Przykład:** w trójkącie 30-60-90 przeciwprostokątna ma długość 10. Oblicz pozostałe boki.

Krótsza przyprostokątna: \(10 / 2 = 5\). Dłuższa: \(5\sqrt{3}\).

Te trójkąty wracają na maturze co roku. [Zapisz sobie te zależności w głowie](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), żebyś mógł je wyciągnąć jak tabliczkę mnożenia.

## Metoda 6 - ze współrzędnych wierzchołków

**Kiedy używać:** kiedy masz punkty \(A, B, C\) w układzie współrzędnych i szukasz długości boków.

Wzór na odległość między dwoma punktami \(P_1(x_1, y_1)\) i \(P_2(x_2, y_2)\):

$$|P_1 P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

**Przykład:** \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\), \(C(7, 2)\). Oblicz długości boków trójkąta \(ABC\).

$$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$|BC| = \sqrt{(7-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$|AC| = \sqrt{(7-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36} = 6$$

Trójkąt równoramienny (\(|AB| = |BC|\)). Gdy piszesz wzory, [wzór na odległość](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) pojawia się niemal wszędzie w geometrii analitycznej.

## Metoda 7 - ze wzoru na pole

**Kiedy używać:** kiedy masz pole trójkąta i dwa boki albo dwa kąty, a szukasz trzeciego elementu.

Najczęstszy wzór (pole przez dwa boki i kąt):

$$P = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$$

Stąd:

$$a = \frac{2P}{b \sin \gamma}$$

**Przykład:** pole trójkąta wynosi 12, jeden bok ma długość 6, a kąt między bokami 30°. Oblicz drugi bok.

$$12 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b \cdot \frac{1}{2} = \frac{3b}{2}$$
$$b = 8$$

Masz też **wzór Herona** dla pola trójkąta po obwodzie - przydaje się, gdy znasz wszystkie trzy boki. Kompletną listę wzorów masz w [przewodniku po polu trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura).

## Zadanie 1 - kombinacja metod

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt prosty jest przy \(C\). Wysokość \(h\) opuszczona na przeciwprostokątną z wierzchołka \(C\) dzieli ją na odcinki 4 i 9. Oblicz długości przyprostokątnych.

**Krok 1.** Przeciwprostokątna: \(c = 4 + 9 = 13\).

**Krok 2.** Z [podobieństwa trójkątów](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania) powstałych po narysowaniu wysokości:

$$h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h = 6$$

**Krok 3.** Pitagoras w małym trójkącie (z przyprostokątną 4 i wysokością 6):

$$a = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

I w drugim:

$$b = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$$

**Sprawdzenie:** \(a^2 + b^2 = 52 + 117 = 169 = 13^2\). Zgadza się.

## Zadanie 2 - trójkąt w sześcianie

Sześcian ma krawędź 4. Oblicz długość odcinka łączącego dwa nieprzeciwległe wierzchołki (przekątna ściany i przekątna przestrzenna).

**Przekątna ściany** (kwadratu o boku 4): \(4\sqrt{2}\).

**Przekątna przestrzenna** (sześcianu o krawędzi 4): \(4\sqrt{3}\).

Oba wychodzą z Pitagorasa zastosowanego raz (ściana) i dwukrotnie (przestrzeń): \(\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = 4\sqrt{3}\).

## Zadanie 3 - twierdzenie cosinusów z matury

W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 5\), \(b = 8\), kąt \(\gamma = 120°\). Oblicz bok \(c\).

$$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120°$$
$$c^2 = 89 - 80 \cdot (-\frac{1}{2}) = 89 + 40 = 129$$
$$c = \sqrt{129}$$

Pamiętaj: \(\cos 120° = -\frac{1}{2}\). Minus zmienia plus, więc \(c\) wychodzi dłuższy niż pierwiastek z \(a^2 + b^2\). Sprawdzenie zdrowego rozsądku: przy kącie rozwartym bok naprzeciw jest najdłuższy - tu \(\sqrt{129} \approx 11{,}36\), więc naprawdę najdłuższy.

## Zadanie 4 - twierdzenie sinusów z matury

W trójkącie \(ABC\) mamy \(\alpha = 60°\), \(\beta = 75°\), \(c = 10\). Oblicz \(a\).

Najpierw kąt \(\gamma\): \(\gamma = 180° - 60° - 75° = 45°\).

$$\frac{a}{\sin 60°} = \frac{10}{\sin 45°}$$
$$a = \frac{10 \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6}$$

## Zadanie 5 - współrzędne

Oblicz długość wszystkich boków trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A(-1, 2)\), \(B(3, 5)\), \(C(6, 1)\).

$$|AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$$
$$|BC| = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$|AC| = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Trójkąt jest równoramienny (\(|AB| = |BC|\)) i dodatkowo \(|AB|^2 + |BC|^2 = 25 + 25 = 50 = |AC|^2\) - kąt przy \(B\) jest prosty. Mamy trójkąt 45-45-90.

## Zadanie 6 - zadanie z treścią

Drabina długości 5 m jest oparta o ścianę tak, że jej dolny koniec znajduje się 3 m od ściany. Na jakiej wysokości drabina opiera się o ścianę?

Trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna 5, jedna przyprostokątna 3. Druga:

$$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$$

To klasyczna trójka (3, 4, 5).

## Zadanie 7 - zadanie wymagające kombinacji

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) \(|AB| = |AC| = 10\), kąt przy wierzchołku \(A\) wynosi 120°. Oblicz długość podstawy \(BC\).

Twierdzenie cosinusów dla boku \(BC\):

$$|BC|^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120°$$
$$|BC|^2 = 200 - 200 \cdot (-\frac{1}{2}) = 200 + 100 = 300$$
$$|BC| = 10\sqrt{3}$$

Alternatywa: w trójkącie równoramiennym wysokość z \(A\) dzieli go na dwa trójkąty 30-60-90 (bo kąty przy podstawie to 30°). Krótsza przyprostokątna (połowa podstawy) to \(10 \sin 60° = 5\sqrt{3}\), więc podstawa \(10\sqrt{3}\). Ten sam wynik, krótszą drogą.

## Decyzyjna tabelka - którą metodę wybrać

| Co masz dane | Metoda |
|---|---|
| 2 przyprostokątne w trójkącie prostokątnym | Pitagoras |
| 2 boki + kąt między nimi | Twierdzenie cosinusów |
| Bok + 2 kąty | Twierdzenie sinusów |
| Dwa trójkąty podobne | Skala podobieństwa |
| Kąty 30-60-90 lub 45-45-90 | Gotowe zależności |
| Współrzędne wierzchołków | Wzór na odległość punktów |
| Pole + 2 boki | Wzór P = ½ab sin γ |

Tabelkę warto przepisać na osobną kartkę i mieć przed sobą przy rozwiązywaniu zadań.

## Checklista - co musisz umieć

- Zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (w obie strony).
- Zastosować twierdzenie cosinusów dla dowolnego trójkąta.
- Zastosować twierdzenie sinusów gdy masz bok i dwa kąty.
- Użyć skali podobieństwa do obliczania boków.
- Pamiętać zależności w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90.
- Obliczyć długość boku ze współrzędnych wierzchołków.
- Rozpoznać trójki pitagorejskie: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25).

Jeśli chcesz jeszcze więcej ćwiczeń, sprawdź [zadania z planimetrii](/topics/planimetria) i [przewodnik po trójkątach](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne). Powodzenia na maturze.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-narysowac-wykres-funkcji-kwadratowej
title: Jak narysować wykres funkcji kwadratowej - parabola krok po kroku z zadaniami
description: Wykres funkcji kwadratowej krok po kroku. Jak znaleźć wierzchołek, miejsca zerowe, oś symetrii paraboli. Postać kanoniczna, iloczynowa, 6 zadań maturalnych.
author: Filip Maszota
---

# Jak narysować wykres funkcji kwadratowej - parabola krok po kroku z zadaniami

Narysowanie wykresu funkcji kwadratowej to umiejętność, która daje ci łatwe punkty na maturze i klucz do zadań z nierówności, optymalizacji i geometrii analitycznej. Parabola pojawia się w CKE w prawie każdym arkuszu - czasem jako samodzielne zadanie, czasem jako narzędzie do innego problemu.

W tym poradniku pokażę ci, jak w 5 krokach narysować dowolną parabolę. Zobaczysz, jak znaleźć wierzchołek, miejsca zerowe, ramiona i oś symetrii. Na końcu masz 6 rozwiązanych zadań z arkuszy CKE.

## Co to jest funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci:

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$$

Jej wykresem jest parabola. Kształt i położenie paraboli zależą od trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\).

Trzy postacie funkcji kwadratowej, które musisz znać:

**Postać ogólna:** \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

**Postać kanoniczna:** \(f(x) = a(x - p)^2 + q\), gdzie \((p, q)\) to wierzchołek paraboli.

**Postać iloczynowa:** \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), gdzie \(x_1, x_2\) to miejsca zerowe (istnieje tylko gdy \(\Delta \geq 0\)).

## 5 kroków do narysowania paraboli

### Krok 1: Sprawdź znak współczynnika \(a\)

- Jeśli \(a > 0\) - parabola ma ramiona skierowane w górę (tzw. "uśmiech").
- Jeśli \(a  0\)) lub najwyższy (dla \(a  0\) - dwa miejsca zerowe: \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\), \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
- Jeśli \(\Delta = 0\) - jedno miejsce zerowe (parabola dotyka osi): \(x_0 = -\frac{b}{2a}\).
- Jeśli \(\Delta  0\) - ramiona w górę.

**Krok 2:** Wierzchołek: \(p = -\frac{-4}{2} = 2\), \(\Delta = 16 - 12 = 4\), \(q = -\frac{4}{4} = -1\). Wierzchołek to \((2, -1)\).

**Krok 3:** Miejsca zerowe: \(\sqrt{\Delta} = 2\), \(x_1 = \frac{4-2}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{4+2}{2} = 3\).

**Krok 4:** Przecięcie z \(OY\): \(f(0) = 3\), punkt \((0, 3)\).

**Krok 5:** Oś symetrii: \(x = 2\). Punkt symetryczny do \((0, 3)\) to \((4, 3)\).

Zaznaczasz na układzie: \((1, 0)\), \((3, 0)\), \((0, 3)\), \((4, 3)\), \((2, -1)\) i łączysz krzywą.

## Przykład 2: Parabola bez miejsc zerowych

Narysuj wykres funkcji \(f(x) = x^2 + 2x + 5\).

**Krok 1:** \(a = 1 > 0\) - ramiona w górę.

**Krok 2:** \(p = -1\), \(\Delta = 4 - 20 = -16\), \(q = -\frac{-16}{4} = 4\). Wierzchołek to \((-1, 4)\).

**Krok 3:** \(\Delta  0\)).

**Postać iloczynowa** \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) daje ci miejsca zerowe bez liczenia delty.

Przykład: \(f(x) = -(x - 1)(x - 5)\) - miejsca zerowe \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\), ramiona w dół. [Wierzchołek leży w połowie](/przedzialy-monotonicznosci-funkcji-kwadratowej-rosnaca-malejaca-matura#skad-wziac-p-trzy-postacie-wzoru) między miejscami zerowymi: \(p = \frac{1+5}{2} = 3\), \(q = f(3) = -(2)(-2) = 4\).

## Typowe pytania maturalne o wykres paraboli

**Typ 1: Odczytaj współczynniki z wykresu.**

Widzisz parabolę z ramionami w górę, wierzchołkiem \((2, -3)\) i miejscem zerowym \(x = 5\). Zapisz wzór.

Postać kanoniczna: \(f(x) = a(x - 2)^2 - 3\). Z miejsca zerowego: \(0 = a(5-2)^2 - 3 = 9a - 3\), więc \(a = \frac{1}{3}\).

**Typ 2: Wyznacz zbiór wartości.**

Dla \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 5\), wierzchołek \((1, 5)\), ramiona w górę. Zbiór wartości: \(\langle 5, +\infty)\).

**Typ 3: Przedziały monotoniczności.**

Parabola \(f(x) = x^2 - 6x + 8\) ma wierzchołek \((3, -1)\), ramiona w górę. Jest malejąca na \((-\infty, 3\rangle\) i rosnąca na \(\langle 3, +\infty)\).

Więcej przykładów w [funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

## Przekształcenia paraboli

Jeśli znasz wykres \(y = x^2\), łatwo narysujesz \(y = (x - 3)^2 + 2\) - to przesunięcie podstawowej paraboli o 3 w prawo i 2 w górę. Pełny opis w [przekształcenia wykresów funkcji](/przeksztalcenia-wykresow-funkcji-matura).

Szybka ściąga:
- \(y = f(x - a)\) - przesunięcie w prawo o \(a\)
- \(y = f(x) + b\) - przesunięcie w górę o \(b\)
- \(y = -f(x)\) - odbicie względem osi \(OX\)
- \(y = f(-x)\) - odbicie względem osi \(OY\)
- \(y = a \cdot f(x)\) dla \(|a| > 1\) - wydłużenie pionowe

## Typowe pułapki

**Pułapka 1: Zły znak w wierzchołku.**
Dla \(f(x) = 2(x + 3)^2 - 1\) wierzchołek to \((-3, -1)\), nie \((3, -1)\). Zapis \((x + 3)\) to \((x - (-3))\).

**Pułapka 2: Zapominanie o współczynniku \(a\).**
Szerokość paraboli zależy od \(a\). Dla \(|a| > 1\) parabola jest "wąska", dla \(|a| < 1\) - "szeroka".

**Pułapka 3: Błąd w obliczeniu \(q\).**
Zamiast \(q = -\frac{\Delta}{4a}\) łatwiej i bezpieczniej jest obliczyć \(q = f(p)\) - wstawiasz \(p\) do wzoru funkcji.

**Pułapka 4: Brak osi symetrii w rysunku.**
Dobry szkic zawsze ma zaznaczoną oś symetrii - to zwiększa czytelność i pomaga sprawdzić, czy punkty leżą symetrycznie.

## Zadania do samodzielnego rozwiązania

Poćwicz na zadaniach z [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) - 124 zadania z bazy CKE. Szczególnie polecam:

- Zadania zamknięte z odczytem z wykresu (łatwe punkty)
- Zadania otwarte z postacią kanoniczną
- Zadania z optymalizacji (wykorzystują wierzchołek paraboli)

Zobacz też [zadania optymalizacyjne na maturze](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka) - większość z nich sprowadza się do znalezienia wierzchołka paraboli.

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Rozpoznać kierunek ramion po znaku \(a\)
- Obliczyć wierzchołek z wzorów \(p = -\frac{b}{2a}\), \(q = f(p)\)
- Wyznaczyć miejsca zerowe (delta, wzory)
- Znać 3 postacie: ogólną, kanoniczną, iloczynową
- Narysować szkic paraboli z wierzchołkiem, miejscami zerowymi i osią symetrii
- Odczytać z wykresu zbiór wartości, monotoniczność, znak funkcji

Funkcja kwadratowa to jeden z [pewniaków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Jeśli opanujesz ten materiał, masz zagwarantowane 3-5 punktów na maturze. Warto.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-analizowac-arkusze-probne-matura-matematyka
title: Jak analizować arkusze próbne z matematyki - wyciągaj wnioski i poprawiaj wynik
description: Jak analizować arkusze próbne z matematyki: kategoryzuj błędy, znajdź słabe działy i zamień wnioski w plan poprawy. Konkretne kroki, które podniosą wynik.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak analizować arkusze próbne z matematyki - wyciągaj wnioski i poprawiaj wynik

## Wstęp

Rozwiązujesz arkusz próbny, sprawdzasz odpowiedzi, liczysz punkty i czekasz na kolejny arkusz. Znam ten schemat. Tysiące uczniów robi dokładnie to samo - ale tylko niewielka część z nich rzeczywiście poprawia swoje wyniki. Dlaczego? Ponieważ rozwiązywanie arkuszy to zaledwie 20% pracy. Pozostałe 80% to analiza.

Matura z matematyki to egzamin umiejętności. Musisz znać materiał, ale równie ważne jest rozumienie swoich słabych punktów, błędów myślowych i nawyków, które Cię sabotują. Każdy arkusz próbny to mapa skarbu, która wskazuje dokładnie, nad czym powinieneś się skupić w pozostałym czasie nauki.

## Dlaczego samo rozwiązywanie arkuszy nie wystarczy

Wyobraź sobie ucznia, który rozwiązuje arkusz, sprawdza odpowiedzi i widzi: "Zdobyłem 34 punkty z 50. Potrzebuję 38, by mieć spokojny margines." Co potem? Zwykle rozwiązuje kolejny arkusz. I kolejny. Ale wynik się nie zmienia.

Problem nie leży w braku pracy. Problem leży w tym, że uczeń nie wie, dlaczego popełnia błędy. Czy to brak wiedzy? Czy pośpiech? Czy błędy rachunkowe? Bez odpowiedzi na te pytania każdy kolejny arkusz to gra w ruletkę.

Najlepsze wyniki osiągają uczniowie, którzy inwestują czas w analizę swoich błędów. Patrzą na każde zadanie, które im się nie udało, i pytają: "Dlaczego?" Potem pracują nad przyczynami, nie nad objawami.

Kiedy zamiast "rozwiązywania arkuszy" robisz "analizowanie arkuszy", identyfikujesz rzeczywiste braki w wiedzy, optymalizujesz czas nauki (skupiasz się na tematach, które naprawdę Ci się nie udają), zmniejszasz powtarzalność błędów i budujesz pewność siebie - każdy przeanalizowany arkusz to kolejny dowód na Twój postęp.

## Krok 1 - Rozwiąż arkusz w warunkach egzaminacyjnych

Zanim zaczniesz analizę, musisz rozwiązać arkusz w warunkach zbliżonych do rzeczywistego egzaminu. W przeciwnym razie Twoja analiza będzie fałszywa.

Matura z matematyki na poziomie podstawowym trwa 180 minut. To będzie Twój limit czasu. Przygotuj ciszę (wyłącz telefon), czystą kartę i ołówek, kalkulator (model zgodny z regulaminem), linijkę i cyrkiel.

Arkusz składa się z dwóch części: zadania zamknięte (25 pytań, każde za 1 punkt) i zadania otwarte (warte od 2 do 5 punktów każde). Ponad połowa punktów pochodzi z zadań otwartych, które wymagają nie tylko dobrej odpowiedzi, ale pokazania całego procesu rozumowania.

Rozwiąż arkusz na jednym podejściu. Bez przerw. Bez powracania do podręcznika. Tak będzie na maturze.

## Krok 2 - Sprawdź odpowiedzi i policz punkty

Po 180 minutach skończ, niezależnie od tego, czy ukończyłeś wszystkie zadania. Weź klucz odpowiedzi i zaznacz każde pytanie jako poprawne, błędne lub częściowo poprawne.

Przy zadaniach otwartych przeczytaj kryteria punktacji. Zwróć uwagę, ile punktów możesz dostać za każdy etap rozwiązania. Nawet jeśli nie znalazłeś poprawnej odpowiedzi, możesz dostać część punktów za prawidłowe kroki. To ważne, bo pokazuje, gdzie dokładnie się potknąłeś.

Policz całkowitą ilość punktów i zapisz wynik. Przydatne będzie śledzenie postępu w formacie: "34/50 punktów (68%)".

## Krok 3 - Kategoryzuj swoje błędy

To jest moment, gdzie większość uczniów traci okazję do postępu. Patrzą na błędne zadanie i myślą: "Źle policzyłem" i przechodzą dalej. Musisz wiedzieć, dlaczego błąd się pojawił. Każdy błąd wpada w jedną z czterech kategorii.

**Brak wiedzy lub niezrozumienie koncepcji.** Zadanie wymagało wiedzy, której nie posiadasz. Na przykład zadanie z [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) i nie pamiętasz wzoru na deltę. Albo pytanie o właściwości logarytmów, które zawsze Ci się mylą. Rozwiązanie: wróć do materiału i naucz się od podstaw. To nie jest problem z praktyką, tylko z brakiem fundamentu.

**Błędy rachunkowe.** Znałeś metodę, ale gdzieś w obliczeniach się pomyliłeś. Na przykład dobrze doprowadziłeś równanie do postaci \( (x-3)(x+5) = 0 \), ale potem napisałeś \( x = -3 \) i \( x = 5 \) zamiast \( x = 3 \) i \( x = -5 \). Rozwiązanie: wolniejsze liczenie, sprawdzanie obliczeń, weryfikacja kalkulatorem. Więcej o tym przeczytasz w artykule [błędy rachunkowe na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

**Nieprawidłowe czytanie lub interpretacja zadania.** Przeczytałeś zadanie za szybko i nie zrozumiałeś, co się oczekuje. Na przykład pytanie o pole [trójkąta w planimetrii](/topics/planimetria), a Ty obliczałeś obwód. Rozwiązanie: poświęć 30 sekund na uważne przeczytanie każdego zadania. Zaznacz kluczowe wyrazy.

**Słaba organizacja lub brak czasu.** Spędziłeś 40 minut na jednym zadaniu wartym 3 punkty i nie masz czasu na łatwiejsze zadania warte 5 punktów. Rozwiązanie: ustaw czasowe cele dla każdego zadania - jeśli po 6 minutach nie masz pomysłu, przejdź dalej.

## Krok 4 - Znajdź swoje słabe działy

Teraz przepisz wszystkie błędy ze względu na temat matematyczny. Matura obejmuje: algebrę i funkcje, [planimetrię](/topics/planimetria), [stereometrię](/topics/stereometria), [trygonometrię](/topics/trygonometria), ciągi, kombinatorykę i prawdopodobieństwo oraz elementy statystyki.

Stwórz tabelę z kolumnami: dział, liczba błędów, procent błędów i priorytet. Priorytet ustal na podstawie tego, ile punktów przypada na dany dział na maturze, ile błędów zrobiłeś i jak szybko można dany temat poprawić.

Twoja osobista mapa słabych stron to Twój plan nauki. Nie ucz się wszystkiego - skup się na tym, co Ci się nie udaje.

## Krok 5 - Zaplanuj celowaną powtórkę

Dla każdego słabego działu zaplanuj konkretne działania. Wróć do teorii, rozwiąż przykłady z podręcznika (od prostych do trudniejszych), przeanalizuj błędy z arkusza i rozwiąż je ponownie, a następnie przejdź do intensywnej praktyki - 5-10 podobnych zadań na utrwalenie.

Przykład planu na tydzień, jeśli słabym punktem jest funkcja kwadratowa: dni 1-2 poświęć na definicję i trzy postaci funkcji, dzień 3 na deltę i znajdowanie pierwiastków, dzień 4 na rysowanie wykresu (wierzchołek, oś symetrii), dzień 5 na nierówności kwadratowe, a dni 6-7 na praktykę mieszaną z arkuszy próbnych.

To jest celowana powtórka, która przynosi wyniki. Jeśli wolisz [plan na ostatni miesiąc przed maturą](/matura-matematyka-za-miesiac-plan-nauki-kwiecien-maj), znajdziesz go w osobnym artykule.

## Krok 6 - Powtórz arkusz po tygodniu

Po tygodniu celowanej nauki rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz. Tak, ten sam. Porównaj wyniki: jeśli pierwszy raz zdobyłeś 34/50, a teraz masz 40/50, to +6 punktów postępu. Każdy punkt to konkretny dowód, że Twoja praca się opłaca.

Błędy z kategorii "brak wiedzy" powinny zniknąć (nauczyłeś się materiału). Błędy z kategorii "czytanie zadania" powinny się zmniejszyć (jesteś bardziej skoncentrowany). Błędy rachunkowe mogą się zmniejszyć dzięki praktyce i wolniejszemu tempu.

A jeśli wynik się nie zmienił? To oznacza, że powtórka była zbyt powierzchowna lub wybrałeś złą strategię nauki. Przeanalizuj, co poszło nie tak, i zmień podejście.

## Tabela do analizy arkuszy - szablon

Oto gotowy szablon do wykorzystania przy każdym arkuszu:

| Zadanie | Uzyskane pkt | Maks pkt | Opis błędu | Kategoria | Dział |
|---------|-------------|---------|-----------|-----------|-------|
| 8 | 0 | 1 | Źle pomnożyłem nawiasy | Rachunkowy | Algebra |
| 15 | 1 | 3 | Nie znam wzoru na objętość stożka | Brak wiedzy | Stereometria |
| 22 | 0 | 1 | Pytało o dziedzinę, liczyłem miejsca zerowe | Czytanie | Funkcje |
| 31 | 0 | 4 | Nie zdążyłem | Brak czasu | Trygonometria |

Po każdym arkuszu wypełniaj tę tabelę i porównuj z poprzednimi wynikami.

## Ile arkuszy rozwiązać przed maturą

Nie liczba arkuszy się liczy, lecz jakość analizy. Lepiej rozwiązać 5 arkuszy i przeanalizować każdy dokładnie, niż rozwiązać 20 i tylko sprawdzić odpowiedzi.

3-4 miesiące przed maturą: 1 arkusz co 2 tygodnie z głęboką analizą i dużo czasu na powtórkę. 2 miesiące przed maturą: 1 arkusz co tydzień z szybką analizą i fokusem na najsłabsze działy. 1 miesiąc przed maturą: 1-2 arkusze co tydzień, głównie do pomiaru postępu. Ostatni tydzień: 1 arkusz na spokojnie, bez stresu.

W sumie: 15-20 arkuszy w całym okresie przygotowań, ale każdy faktycznie przeanalizowany. Bez analizy arkusz ma minimalną wartość.

Jeśli szukasz [arkuszy maturalnych z ostatnich lat](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), znajdziesz je w naszej bazie. Używaj ich od najstarszych do najnowszych - te najnowsze zachowaj na ostatnie tygodnie.

## Najczęstsze błędy w analizie arkuszy

Wielu uczniów popada w pułapkę pozornego zrozumienia: patrzysz na błędne zadanie, widzisz rozwiązanie i myślisz "ach, jasne". Ale czy naprawdę potrafisz to rozwiązać samodzielnie? Zamknij klucz odpowiedzi i spróbuj jeszcze raz. Jeśli się nie uda, potrzebujesz więcej pracy.

Innym częstym błędem jest skupianie się na łatwych problemach zamiast trudnych. Błąd rachunkowy jest łatwy do zrozumienia - wystarczy liczyć uważniej. Ale brak wiedzy z [trygonometrii](/topics/trygonometria) wymaga systematycznej pracy. Priorytet powinien iść do braków w wiedzy, nie do drobnych pomyłek.

Bardzo ważne jest też śledzenie postępu. Po każdym arkuszu zapisuj wynik i porównuj z poprzednimi. Jeśli wyniki nie rosną, Twoja strategia nauki nie działa - zmień ją.

Wreszcie, analiza bez działania jest bezwartościowa. Jeśli identyfikujesz słaby dział, musisz natychmiast zaplanować powtórkę. Nie czekaj na kolejny arkusz - działaj następnego dnia.

Przydatne mogą być też artykuły o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i [ekspresowej powtórce materiału](/ekspresowa-powtorka-caly-material-maturalny-1-dzien).

## Podsumowanie

Analiza arkuszy to umiejętność, która rozwija się z każdym przeanalizowanym testem. Twój plan w skrócie: rozwiąż arkusz w warunkach egzaminacyjnych (180 minut), sprawdź odpowiedzi i policz punkty, skategoryzuj każdy błąd, zmapuj słabe działy, zaplanuj celowaną powtórkę, powtórz arkusz po tygodniu i porównaj wyniki.

Jeśli będziesz robić to systematycznie, wynik będzie rosnąć. Nie magicznie - matematycznie. Każdy przeanalizowany błąd to błąd, który już nie powtórzysz na maturze.

Rozwiązuj [losowe zadania](/random) między arkuszami, aby ćwiczyć różnorodne tematy. Powodzenia na maturze!

Gotową analizę tego typu - zrobioną na wszystkich arkuszach próbnych z tego roku szkolnego - znajdziesz w [prognozie zadań na maturę maj 2026](/matura-matematyka-maj-2026-prognoza-zadan-analiza-arkuszy-probnych). Zobacz, jak wnioski z próbnych przekładają się na typowanie zadań.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ile-kosztuje-przygotowanie-do-matury-z-matematyki
title: Ile kosztuje przygotowanie do matury z matematyki - porównanie cen
description: Ile kosztuje przygotowanie do matury z matematyki: realne ceny korepetycji i kursów oraz tańsze opcje, w tym darmowa baza zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Ile kosztuje przygotowanie do matury z matematyki - porównanie cen

Zacznijmy od liczby, która robi wrażenie: przygotowanie do matury z matematyki może kosztować od zera złotych do ponad siedmiu tysięcy. Tak, dobrze czytasz. Dwie osoby zdające ten sam egzamin, z tym samym arkuszem CKE, mogą wydać na przygotowania kwoty różniące się o rząd wielkości. I co ciekawe, ta droższa wcale nie musi zdać lepiej.

W tym tekście rozkładam koszty na czynniki pierwsze: ile realnie kosztują korepetycje, kursy stacjonarne i online, ile kosztują platformy z zadaniami, a co dostajesz zupełnie za darmo. Bez ściemy i bez ukrytej sprzedaży: pokazuję też, kiedy drogie opcje faktycznie mają sens. Na końcu znajdziesz trzy gotowe scenariusze budżetowe, od zera złotych po pełny pakiet.

## Korepetycje indywidualne - najdroższa pozycja w cenniku

Korepetycje to wciąż pierwsza myśl większości rodziców i uczniów. I najdroższa. Według ogłoszeń w serwisach korepetycyjnych w 2027 roku godzina zajęć z matematyki do matury podstawowej kosztuje zwykle 70-90 zł, a do rozszerzonej 100-130 zł. W dużych miastach i u doświadczonych nauczycieli stawki potrafią przekroczyć 150 zł za godzinę.

Teraz prosta arytmetyka, której korepetytorzy niechętnie robią za ciebie. Rok szkolny to około 36 tygodni nauki. Jedna godzina tygodniowo przy stawce 80 zł daje blisko 2900 zł do matury. Dwie godziny tygodniowo, co przy większych zaległościach jest standardem, to już 5500-7000 zł. Za jeden przedmiot.

Czy to znaczy, że korepetycje są złe? Nie. Znaczy to tyle, że są drogim narzędziem, które warto kupować świadomie, a nie z automatu. Pełny rozkład stawek i analizę, czym można je zastąpić, znajdziesz w tekście [ile kosztują korepetycje z matematyki](/korepetycje-z-matematyki-online-ile-kosztuja-czy-warto).

## Kursy maturalne - grupowo taniej, ale to wciąż tysiące

Drugi klasyk to kurs maturalny. Stacjonarny kurs grupowy w szkole językowej czy centrum edukacyjnym kosztuje zwykle 2000-4000 zł za rok zajęć. Dostajesz nauczyciela, grupę i stały grafik, ale tempo jest wspólne dla wszystkich: jak coś umiesz, nudzisz się, jak nie nadążasz, grupa jedzie dalej bez ciebie.

Kursy online w formie nagrań wideo są tańsze: od kilkuset złotych do około 2000 zł za dostęp do materiału na rok. Problem w tym, że oglądanie filmów daje złudzenie nauki. Matematyki uczysz się licząc, nie patrząc, jak liczy ktoś inny. Kurs wideo bez setek samodzielnie rozwiązanych zadań to jak kurs pływania bez wchodzenia do wody. Pełne porównanie tej formy nauki znajdziesz w tekście [kurs maturalny online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto).

## Platformy z bazą zadań - nowa kategoria w cenniku

W ostatnich latach doszła trzecia droga: platformy internetowe zbudowane wokół bazy zadań maturalnych z rozwiązaniami. To inna filozofia niż kurs wideo. Zamiast biernego oglądania dostajesz narzędzie do codziennego treningu: rozwiązujesz prawdziwe zadania CKE, a gdy utkniesz, zaglądasz do rozwiązania krok po kroku.

Na sprawnamatura.pl wygląda to tak: w bazie jest ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z lat 2010-2026, pogrupowanych według [działów](/topics), każde z pełnym rozwiązaniem. Do tego [solver](/solve), który rozkłada twoje własne obliczenia krok po kroku, [tryb losowy](/random) mieszający działy jak na egzaminie, pełne [arkusze](/exams) i [panel postępów](/progress), który pokazuje, co już umiesz, a co wymaga powtórki.

Kluczowa rzecz przy liczeniu budżetu: sama baza zadań z rozwiązaniami jest darmowa. Pełny dostęp do wszystkich funkcji odblokowuje abonament Premium, który miesięcznie kosztuje mniej niż jedna godzina korepetycji. Nie tysiące złotych za rok, tylko kwota rzędu jednego wyjścia na pizzę. Szczegóły i aktualne warianty znajdziesz na [stronie zakupu](/payment/checkout), a porównanie różnych platform w [rankingu platform do nauki matematyki](/ranking-platform-do-nauki-matury-matematyka).

## Ścieżka za 0 zł - co dostajesz zupełnie za darmo

Teraz najciekawsza część cennika: to, co nie kosztuje nic. Da się przygotować do matury podstawowej bez wydawania złotówki i nie jest to teoria, tylko codzienna praktyka tysięcy uczniów.

Za darmo masz do dyspozycji: arkusze CKE ze wszystkich lat do pobrania i rozwiązywania, [bazę zadań z rozwiązaniami krok po kroku](/darmowy-zbior-zadan-maturalnych-z-rozwiazaniami), przewodniki po każdym dziale, [test diagnostyczny](/test-diagnostyczny-matematyka-matura-jak-sprawdzic-poziom), który pokaże ci, od czego zacząć, oraz kartę wzorów CKE, z którą i tak będziesz siedzieć na egzaminie. Nawet najtrudniejsze typy zadań, jak [zadania dowodowe](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami), mają osobny darmowy przewodnik z rozwiązaniami i bazą do ćwiczeń.

Czego w ścieżce za zero nie ma? Nikt cię nie pilnuje i nikt nie odpowie na pytanie w czasie rzeczywistym. Cała odpowiedzialność za regularność spada na ciebie. Jak ją utrzymać bez nauczyciela, opisuje krok po kroku tekst [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-samodzielna-nauka).

## Porównanie kosztów - jedna tabela zamiast dziesięciu ogłoszeń

| Opcja | Typowy koszt do matury | Mocne strony | Słabe strony |
| --- | --- | --- | --- |
| Korepetycje 1-2 h/tydz. | 2900-7000 zł | Indywidualne tempo, kontrola błędów | Cena, jakość zależna od korepetytora |
| Kurs stacjonarny | 2000-4000 zł | Stały grafik, żywy nauczyciel | Wspólne tempo, dojazdy |
| Kurs online (wideo) | 500-2000 zł | Dostęp o każdej porze | Bierne oglądanie, mało ćwiczeń |
| Platforma z bazą zadań | 0 zł lub abonament tańszy niż godzina korepetycji miesięcznie | Codzienny trening na zadaniach CKE, rozwiązania krok po kroku | Wymaga samodyscypliny |
| Samodzielnie z arkuszy PDF | 0 zł | Cena | Brak rozwiązań krok po kroku, chaos organizacyjny |

Wniosek z tabeli jest brutalnie prosty: różnica w cenie między opcjami to często kilka tysięcy złotych, a różnica w skuteczności zależy głównie od jednego, czy codziennie rozwiązujesz zadania. Narzędzie ma ci to ułatwić, nie zastąpić.

## Trzy scenariusze budżetowe

Scenariusz pierwszy: budżet 0 zł. Robisz [test diagnostyczny](/test-diagnostyczny-matematyka-matura-jak-sprawdzic-poziom), układasz plan według działów i codziennie rozwiązujesz zadania z darmowej bazy, sprawdzając się z rozwiązaniami. Raz w tygodniu jeden pełny arkusz. To wystarcza, żeby zdać, a przy dobrej regularności wyciągnąć naprawdę solidny wynik.

Scenariusz drugi: budżet do stu złotych miesięcznie. Bierzesz abonament Premium na platformie i masz komplet: nielimitowany dostęp do wszystkich rozwiązań, solver do sprawdzania własnych rachunków i statystyki postępów. To scenariusz najlepszego stosunku ceny do efektu: płacisz mniej niż za jedną godzinę korepetycji miesięcznie, a ćwiczysz codziennie.

Scenariusz trzeci: pełny pakiet. Platforma do codziennego treningu plus korepetytor raz na tydzień lub dwa, który tłumaczy to, czego nie rozumiesz z rozwiązań, i pilnuje planu. Koszt: kilkaset złotych miesięcznie. Ma sens przy dużych zaległościach, przy walce o wysoki wynik na rozszerzeniu albo gdy poprzednie podejście skończyło się niezdaną maturą i potrzebujesz [planu na poprawkę](/poprawka-z-matematyki-sierpien-2026-plan-przygotowan).

## Kiedy drogie opcje naprawdę się opłacają

Uczciwie: są sytuacje, w których warto sięgnąć głębiej do kieszeni. Korepetycje mają sens, gdy masz zaległości z kilku lat i nie umiesz sam zdiagnozować, czego nie wiesz. Gdy w szkole balansujesz na granicy dopuszczającego, indywidualny nauczyciel na start bywa najszybszą drogą do odblokowania podstaw.

Drugi przypadek to brak jakiejkolwiek samodyscypliny. Jeśli wiesz o sobie, że bez umówionej godziny z żywym człowiekiem nie usiądziesz do zadań, to opłacona lekcja działa jak zobowiązanie. Tylko nie oszukujmy się: jedna godzina tygodniowo z korepetytorem bez samodzielnej pracy między zajęciami daje niewiele. Matematyka wchodzi do głowy między lekcjami, nie na nich.

## Pułapki, przez które przepłacisz

Płacenie za oglądanie. Kurs wideo za 1500 zł, z którego obejrzałeś 40 procent nagrań i nie rozwiązałeś ani jednego arkusza, to nie inwestycja, tylko drogi serial edukacyjny.

Kupowanie na zapas. Roczny kurs opłacony we wrześniu z góry brzmi odpowiedzialnie, ale jeśli nie wiesz jeszcze, jak lubisz się uczyć, zamrażasz kilka tysięcy w formule, która może ci nie pasować. Zacznij od darmowych narzędzi i miesięcznego abonamentu, a dopiero potem podejmuj większe zobowiązania.

Mit drożej znaczy lepiej. Cena korepetycji zależy od miasta i renomy, nie od twoich postępów. Uczysz się ty, nie twój portfel.

Wydawanie pieniędzy przed diagnozą. Zanim zapłacisz komukolwiek, sprawdź, czego faktycznie nie umiesz. Możesz płacić 100 zł za godzinę powtarzania działów, które i tak masz opanowane.

## FAQ

### Czy da się przygotować do matury z matematyki zupełnie za darmo?
Tak. Arkusze CKE, baza zadań z rozwiązaniami, przewodniki po działach i test diagnostyczny są darmowe. Warunek jest jeden: regularność, bo nikt cię nie pilnuje.

### Ile kosztują korepetycje z matematyki w roku szkolnym 2026/2027?
Typowo 70-90 zł za godzinę do matury podstawowej i 100-130 zł do rozszerzonej. W skali roku przy jednej godzinie tygodniowo to około 2900 zł, przy dwóch nawet 7000 zł.

### Co jest najtańszą sensowną opcją?
Codzienny trening na darmowej bazie zadań CKE z rozwiązaniami, ewentualnie z abonamentem Premium, który kosztuje miesięcznie mniej niż jedna godzina korepetycji. Aktualne warianty znajdziesz na [stronie zakupu](/payment/checkout).

### Czy kurs online jest lepszy od korepetycji?
Jest tańszy, ale bierny. Bez samodzielnego rozwiązywania zadań żadna forma nie działa. Jeśli masz wybrać jedno, wybierz narzędzie, w którym liczysz, a nie oglądasz.

### Uczę się do poprawki w sierpniu. Czy opłaca się kupować roczny kurs?
Nie. Na 4-6 tygodni potrzebujesz intensywnego treningu na zadaniach, nie rocznego dostępu. Zobacz [plan przygotowań do poprawki](/poprawka-z-matematyki-sierpien-2026-plan-przygotowan).

## Podsumowanie - policz, zanim zapłacisz

Przygotowanie do matury z matematyki nie musi kosztować tysięcy. Kolejność działań jest zawsze ta sama: najpierw darmowa diagnoza, potem codzienny trening na zadaniach CKE z rozwiązaniami, a dopiero na końcu ewentualne dokupienie tego, czego naprawdę brakuje, czy to abonamentu, czy godzin z korepetytorem.

Zacznij od tego, co nic nie kosztuje: wybierz dział w [bazie zadań](/topics), rozwiąż pięć zadań i sprawdź się z rozwiązaniami krok po kroku. Po tygodniu takiej pracy będziesz wiedzieć więcej o swoich potrzebach niż po przeczytaniu dziesięciu cenników.

Ten tekst czytają często nie maturzyści, a rodzice. Jeśli to Twoja sytuacja, mamy osobny poradnik [jak pomóc dziecku przygotować się do matury z matematyki](/jak-pomoc-dziecku-przygotowac-sie-do-matury-z-matematyki) - od rozpoznania braków po sensowne wsparcie bez wyręczania.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory
title: Geometria analityczna na maturze - proste, okręgi, wektory i odległości
description: Przewodnik po geometrii analitycznej na maturze: równania prostych i okręgów, odległość punktu od prostej, wektory. Wzory i zadania CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Geometria analityczna na maturze - proste, okręgi, wektory i odległości

## Geometria analityczna - król matury z matematyki

Geometria analityczna to **najczęściej pojawiający się temat na maturze podstawowej**. W arkuszach CKE z lat 2015-2025 stanowiła średnio 4-5 zadań, dając łącznie 6-10 punktów. To temat, w którym warto być mocnym - zadania są schematyczne i opierają się na kilkunastu stałych wzorach.

## Podstawowe wzory - odległość i środek

**Odległość między dwoma punktami** \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\):

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

**Środek odcinka:**

$$S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Te dwa wzory pojawiają się na maturze **co roku**. Są proste, ale uczniowie często gubią się w znakach przy ujemnych współrzędnych - zawsze podstawiaj ze znakiem i bądź ostrożny.

## Prosta na płaszczyźnie

Trzy postacie równania prostej, które musisz znać:

**Postać kierunkowa:** \(y = ax + b\)
- \(a\) - współczynnik kierunkowy (nachylenie)
- \(b\) - wyraz wolny (przecięcie z osią OY)

**Postać ogólna:** \(Ax + By + C = 0\)
- Przydatna do wzoru na odległość punktu od prostej

**Postać odcinkowa:** \(\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1\)
- \(p\) - przecięcie z osią OX, \(q\) - z osią OY

### Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

Jeśli prosta przechodzi przez \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\):

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

### Proste równoległe i prostopadłe

- Równoległe: \(a_1 = a_2\) (ten sam współczynnik kierunkowy)
- Prostopadłe: \(a_1 \cdot a_2 = -1\) (iloczyn współczynników = -1)

To kluczowe - CKE regularnie pyta o prostą prostopadłą do danej. Jeśli dana prosta ma \(a = 3\), to prostopadła ma \(a = -\frac{1}{3}\).

## Odległość punktu od prostej

Jeden z najczęściej testowanych wzorów na maturze:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Prosta musi być w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\), a punkt to \(P(x_0, y_0)\).

**Typowa pułapka:** Zapominasz przekształcić prostą do postaci ogólnej. Jeśli masz \(y = 2x + 3\), najpierw zapisz jako \(2x - y + 3 = 0\) (czyli \(A=2, B=-1, C=3\)).

## Okrąg

**Równanie okręgu** o środku \(S(a, b)\) i promieniu \(r\):

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Na maturze najczęściej pojawiają się trzy typy zadań:
1. **Odczytanie środka i promienia** z równania - pamiętaj, że \((x + 3)^2\) oznacza \(a = -3\), nie \(3\)!
2. **Sprawdzenie, czy punkt leży na/wewnątrz/na zewnątrz okręgu** - podstaw współrzędne i porównaj z \(r^2\)
3. **Wyznaczenie równania okręgu** na podstawie warunków (np. środek + punkt na okręgu)

### Postać ogólna okręgu

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Środek: \(S = \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\), promień: \(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}\)

CKE uwielbia dawać okrąg w postaci ogólnej i pytać o środek - musisz umieć szybko przejść z postaci ogólnej do kanonicznej.

## Wektory - podstawy

Wektor \(\vec{AB}\) o początku w \(A(x_1, y_1)\) i końcu w \(B(x_2, y_2)\):

$$\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]$$

**Długość wektora:** \(|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

**Wektory równoległe:** \(\vec{u} \parallel \vec{v}\) gdy \(\frac{u_x}{v_x} = \frac{u_y}{v_y}\) (lub \(u_x \cdot v_y = u_y \cdot v_x\))

**Wektory prostopadłe:** \(\vec{u} \perp \vec{v}\) gdy \(u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y = 0\) (iloczyn skalarny = 0)

## Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

### Przykład 1: Równanie prostej prostopadłej

**Treść:** Dana jest prosta \(k: 2x - y + 5 = 0\) i punkt \(P(3, 1)\). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez \(P\) i prostopadłej do \(k\).

**Rozwiązanie:**

Prosta \(k\) w postaci kierunkowej: \(y = 2x + 5\), więc \(a_k = 2\).

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:
$$a_\perp = -\frac{1}{a_k} = -\frac{1}{2}$$

Prosta przechodzi przez \(P(3, 1)\):
$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)$$
$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1$$
$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$

**Odpowiedź:** \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\) (lub równoważnie: \(x + 2y - 5 = 0\))

### Przykład 2: Punkt wewnątrz/na zewnątrz okręgu

**Treść:** Okrąg ma równanie \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 20\). Określ, czy punkt \(A(5, 0)\) leży na okręgu, wewnątrz niego, czy na zewnątrz.

**Rozwiązanie:**

Podstawiamy współrzędne punktu \(A(5, 0)\) do lewej strony równania:
$$(5 - 1)^2 + (0 + 2)^2 = 16 + 4 = 20$$

Wartość \(20 = r^2\), więc punkt \(A\) **leży na okręgu**.

Gdyby wyszło \( 20\), na zewnątrz.

**Odpowiedź:** Punkt \(A(5, 0)\) leży na okręgu.

### Przykład 3: Równanie okręgu z warunków

**Treść:** Wyznacz równanie okręgu o środku \(S(2, -3)\) przechodzącego przez punkt \(A(5, 1)\).

**Rozwiązanie:**

Promień to odległość \(SA\):
$$r = |SA| = \sqrt{(5-2)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Równanie okręgu:
$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$

**Odpowiedź:** \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\)

### Przykład 4: Współliniowość punktów przez wektory

**Treść:** Sprawdź, czy punkty \(A(1, 2)\), \(B(3, 5)\), \(C(7, 11)\) są współliniowe.

**Rozwiązanie:**

Obliczamy wektory:
$$\vec{AB} = [3-1, 5-2] = [2, 3]$$
$$\vec{AC} = [7-1, 11-2] = [6, 9]$$

Sprawdzamy, czy wektory są równoległe:
$$\frac{6}{2} = 3 \quad \text{i} \quad \frac{9}{3} = 3$$

Stosunki są równe, więc \(\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}\), co oznacza, że wektory są równoległe.

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) **są współliniowe**.

**Odpowiedź:** Tak, punkty są współliniowe.

## Strategia rozwiązywania zadań

1. **Narysuj układ współrzędnych** - nawet na brudno. Wizualizacja pozwala wykryć oczywiste błędy
2. **Wypisz dane** - punkty, równania, co jest dane, co szukane
3. **Wybierz wzór** - w geometrii analitycznej 90% zadań rozwiązuje się jednym konkretnym wzorem
4. **Podstaw i oblicz** - rachunki tu są zwykle proste, ale wymagają uwagi przy znakach

Na Sprawnej Maturze znajdziesz ponad 280 zadań z geometrii analitycznej - rozwiąż je wszystkie, a ten temat stanie się Twoją mocną stroną na egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania
title: Geometria analityczna na maturze - proste, okręgi i odległości. Praktyczny przewodnik z zadaniami
description: Praktyczny przewodnik po geometrii analitycznej na maturę: równanie prostej i okręgu, odległość punktu od prostej, wzory i rozwiązane zadania maturalne.
author: Marcel Bogdan
---

# Geometria analityczna na maturze - proste, okręgi i odległości. Praktyczny przewodnik z zadaniami

## Geometria analityczna - dlaczego to najważniejszy dział na maturze

Geometria analityczna to **najczęściej pojawiający się temat** na maturze z matematyki. W bazie zadań maturalnych CKE stanowi niemal 20% wszystkich zadań. Na egzaminie spodziewaj się 3-5 zadań z tego działu, w tym przynajmniej jednego otwartego za 4-5 punktów.

Dobra wiadomość: geometria analityczna jest **systematyczna**. Jeśli opanujesz kilka wzorów i nauczysz się je stosować, punkty zbierasz niemal automatycznie.

Ten artykuł koncentruje się na **trzech filarach**: prostych, okręgach i odległościach. Podstawy (punkt, odcinek, wektor) znajdziesz w [ogólnym przewodniku po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

---

## Filar 1 - proste na płaszczyźnie

### Trzy postacie równania prostej

**Postać kierunkowa:** \(y = ax + b\)

Gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy (tangens kąta nachylenia do osi OX), \(b\) to wyraz wolny.

**Postać ogólna:** \(Ax + By + C = 0\)

Każdą prostą da się zapisać w tej postaci (w tym proste pionowe, których nie da się zapisać kierunkowo).

**Prosta przez dwa punkty** \(P(x_1, y_1)\) i \(Q(x_2, y_2)\):

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

lub po prostu: oblicz \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), a potem \(b\) z podstawienia jednego punktu.

Pełny przewodnik po prostych: [równanie prostej na maturze](/rownanie-prostej-na-maturze-kierunkowe-ogolne-przez-dwa-punkty).

### Zadanie 1 - prosta przez dwa punkty

**Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A(1, 3)\) i \(B(4, -3)\).**

$$a = \frac{-3 - 3}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

Podstawiamy punkt \(A\) do \(y = -2x + b\):

$$3 = -2 \cdot 1 + b, \quad b = 5$$

Równanie: \(y = -2x + 5\).

### Warunki równoległości i prostopadłości

Dwie proste o współczynnikach kierunkowych \(a_1\) i \(a_2\):

- **Równoległe:** \(a_1 = a_2\)
- **Prostopadłe:** \(a_1 \cdot a_2 = -1\)

### Zadanie 2 - prosta prostopadła

**Prosta \(l\) ma równanie \(y = 3x - 1\). Wyznacz równanie prostej prostopadłej do \(l\), przechodzącej przez punkt \(P(6, 1)\).**

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej:

$$a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{3}$$

Z punktu \(P\):

$$1 = -\frac{1}{3} \cdot 6 + b, \quad 1 = -2 + b, \quad b = 3$$

Równanie: \(y = -\frac{1}{3}x + 3\).

---

## Filar 2 - odległości

### Odległość między dwoma punktami

$$d(A, B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

### Środek odcinka

$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

### Odległość punktu od prostej

To wzór, który pojawia się na **każdej** maturze. Dany punkt \(P(x_0, y_0)\) i prosta \(Ax + By + C = 0\):

$$d(P, l) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

**Uwaga:** prosta musi być w postaci ogólnej (\(Ax + By + C = 0\)). Jeśli masz postać kierunkową \(y = ax + b\), przekształć: \(ax - y + b = 0\), więc \(A = a, B = -1, C = b\).

### Zadanie 3 - odległość punktu od prostej

**Oblicz odległość punktu \(P(3, -1)\) od prostej \(4x - 3y + 2 = 0\).**

$$d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3)(-1) + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5} = 3{,}4$$

### Zadanie 4 - odległość od prostej w postaci kierunkowej

**Oblicz odległość punktu \(A(2, 5)\) od prostej \(y = \frac{3}{4}x - 1\).**

Najpierw przekształcamy do postaci ogólnej:

$$\frac{3}{4}x - y - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x - 4y - 4 = 0$$

(Pomnożyłem przez 4, żeby pozbyć się ułamka.)

$$d = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 5 - 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6 - 20 - 4|}{5} = \frac{|-18|}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6$$

---

## Filar 3 - okrąg

### Równanie okręgu

Okrąg o środku \(S(a, b)\) i promieniu \(r\):

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

### Jak odczytać środek i promień

Jeśli równanie jest podane w postaci rozwiniętej, np. \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\), musisz **uzupełnić do kwadratu**:

$$x^2 - 6x + y^2 + 4y = 12$$

$$\underbrace{(x^2 - 6x + 9)}_{(x-3)^2} + \underbrace{(y^2 + 4y + 4)}_{(y+2)^2} = 12 + 9 + 4$$

$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Środek: \(S(3, -2)\), promień: \(r = 5\).

Więcej o okręgach: [równanie okręgu na maturze](/rownanie-okregu-na-maturze-wzor-wykreslanie-zadania).

### Zadanie 5 - punkt na okręgu

**Sprawdź, czy punkt \(A(1, 7)\) leży na okręgu o równaniu \((x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25\).**

Podstawiamy współrzędne punktu:

$$(1 - 4)^2 + (7 - 3)^2 = 9 + 16 = 25$$

Tak, punkt \(A\) leży na okręgu (lewa strona = prawa strona). ✓

### Zadanie 6 - równanie okręgu z warunkiem

**Wyznacz równanie okręgu o środku \(S(2, -1)\), który przechodzi przez punkt \(P(5, 3)\).**

Promień to odległość od środka do punktu na okręgu:

$$r = \sqrt{(5-2)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

Równanie: \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\).

---

## Zadania maturalne - poziom egzaminu

### Zadanie 7 (4 pkt)

**Dane są punkty \(A(1, 2)\), \(B(5, 4)\) i \(C(3, -2)\). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(C\) i prostopadłej do odcinka \(AB\).**

**Krok 1.** Współczynnik kierunkowy \(AB\):

$$a_{AB} = \frac{4 - 2}{5 - 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

**Krok 2.** Współczynnik prostej prostopadłej:

$$a = -\frac{1}{a_{AB}} = -2$$

**Krok 3.** Prosta przez \(C(3, -2)\):

$$-2 = -2 \cdot 3 + b, \quad b = 4$$

Odpowiedź: \(y = -2x + 4\).

### Zadanie 8 (4 pkt)

**Punkty \(A(-2, 1)\) i \(B(6, 5)\) są końcami średnicy okręgu. Wyznacz równanie tego okręgu.**

**Krok 1.** Środek okręgu = środek odcinka \(AB\):

$$S = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = (2, 3)$$

**Krok 2.** Promień = połowa długości \(AB\):

$$|AB| = \sqrt{(6-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$

$$r = 2\sqrt{5}, \quad r^2 = 20$$

Równanie: \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 20\).

### Zadanie 9 (5 pkt)

**Prosta \(y = x + 3\) przecina okrąg \(x^2 + y^2 = 25\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz długość cięciwy \(AB\).**

**Krok 1.** Podstawiamy równanie prostej do równania okręgu:

$$x^2 + (x + 3)^2 = 25$$

$$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 25$$

$$2x^2 + 6x - 16 = 0$$

$$x^2 + 3x - 8 = 0$$

**Krok 2.** Rozwiązujemy:

$$\Delta = 9 + 32 = 41$$

$$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2}$$

**Krok 3.** Długość cięciwy. Zamiast obliczać oba punkty, użyjemy szybkiej metody:

$$|AB| = \sqrt{1 + 1} \cdot |x_2 - x_1| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{41} = \sqrt{82}$$

(Współczynnik \(\sqrt{1 + a^2}\) wynika z tego, że prosta ma nachylenie \(a = 1\).)

### Zadanie 10 (5 pkt)

**Wyznacz równanie stycznej do okręgu \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10\) w punkcie \(P(4, 3)\).**

**Krok 1.** Środek okręgu: \(S(1, 2)\).

**Krok 2.** Współczynnik kierunkowy promienia \(SP\):

$$a_{SP} = \frac{3 - 2}{4 - 1} = \frac{1}{3}$$

**Krok 3.** Styczna jest prostopadła do promienia:

$$a = -3$$

**Krok 4.** Styczna przez \(P(4, 3)\):

$$3 = -3 \cdot 4 + b, \quad b = 15$$

Równanie stycznej: \(y = -3x + 15\).

---

## Checklista przed maturą

Upewnij się, że umiesz:

- [ ] Wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty
- [ ] Sprawdzić równoległość i prostopadłość prostych
- [ ] Obliczyć odległość punktu od prostej
- [ ] Znaleźć środek odcinka i odległość między punktami
- [ ] Zapisać i odczytać równanie okręgu
- [ ] Uzupełnić do kwadratu (przy rozwiniętej postaci okręgu)
- [ ] Wyznaczyć punkt przecięcia dwóch prostych (układ równań)
- [ ] Rozwiązać układ prosta + okrąg (cięciwa)

Jeśli cokolwiek z tej listy sprawia Ci problem, ćwicz na [zadaniach z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) - mamy ich niemal 200.

---

## Wzory w jednym miejscu

| Wzór | Zastosowanie |
|---|---|
| \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) | Współczynnik kierunkowy |
| \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) | Odległość między punktami |
| \(S = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) | Środek odcinka |
| \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\) | Odległość punktu od prostej |
| \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) | Równanie okręgu |
| \(a_1 \cdot a_2 = -1\) | Prostopadłość prostych |

Wszystkie wzory maturalne w jednym miejscu: [kompletna lista wzorów na maturę 2027](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania
title: Funkcja wykładnicza na maturze - wykresy, równania wykładnicze i zadania z rozwiązaniami
description: Funkcja wykładnicza na maturze: definicja, wykresy dla a>1 i 0<a<1, transformacje, równania i nierówności. Zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Funkcja wykładnicza na maturze - wykresy, równania wykładnicze i zadania z rozwiązaniami

## Funkcja wykładnicza - od podstaw do zadań maturalnych

Funkcja wykładnicza to jeden z tych tematów, które na maturze pojawiają się regularnie, ale rzadko w formie "wprost". Najczęściej jest elementem zadań o [potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) lub [ciągach geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). Zrozumienie funkcji wykładniczej jest kluczem do rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych, które pojawiają się na arkuszu CKE niemal co roku.

W naszej [bazie zadań z funkcji wykładniczej](/topics/funkcja-wykladnicza) znajdziesz kilkadziesiąt zadań maturalnych z tego działu - każde z rozwiązaniem krok po kroku.

## Definicja funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci:

$$f(x) = a^x$$

gdzie \(a > 0\) i \(a \neq 1\) (podstawa jest liczbą dodatnią różną od 1).

**Dlaczego \(a > 0\)?** Bo dla ujemnych podstaw potęga nie jest określona dla wszystkich wykładników rzeczywistych (np. \((-2)^{1/2} = \sqrt{-2}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych).

**Dlaczego \(a \neq 1\)?** Bo \(1^x = 1\) dla każdego \(x\) - to byłaby funkcja stała, a nie wykładnicza.

### Dziedzina i zbiór wartości

| Własność | Wartość |
|----------|--------|
| Dziedzina | \(D = \mathbb{R}\) (cała oś liczb rzeczywistych) |
| Zbiór wartości | \(ZW = (0, +\infty)\) (liczby dodatnie) |
| Miejsce zerowe | brak - wykres nigdy nie przecina osi \(OX\) |
| Punkt wspólny | \((0, 1)\) - bo \(a^0 = 1\) dla każdego \(a\) |

Kluczowa obserwacja: **funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie**. Bez względu na podstawę i wykładnik, \(a^x > 0\) zawsze. To oznacza, że wykres nigdy nie schodzi poniżej osi \(OX\) ani jej nie dotyka.

Więcej o dziedzinie i zbiorze wartości ogólnie znajdziesz w [przewodniku po funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc).

## Wykres funkcji wykładniczej

Kształt wykresu zależy od wartości podstawy \(a\). Są dwa przypadki:

### Przypadek 1: Podstawa \(a > 1\) (np. \(f(x) = 2^x\), \(f(x) = 3^x\))

Funkcja jest **rosnąca** na całej dziedzinie:
- Dla dużych ujemnych \(x\): wartości bliskie zeru (wykres "leży" tuż nad osią \(OX\))
- Dla \(x = 0\): wartość wynosi 1
- Dla dużych dodatnich \(x\): wartości rosną bardzo szybko (wykres "strzela w górę")

Asymptota pozioma: oś \(OX\) (prosta \(y = 0\)) jest asymptotą lewostronną - wykres zbliża się do niej, ale nigdy jej nie dotyka.

**Przykład: \(f(x) = 2^x\)**

| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|
| \(f(x)\) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) |

Im większa podstawa \(a\), tym szybciej funkcja rośnie. Wykres \(3^x\) rośnie szybciej niż \(2^x\).

### Przypadek 2: Podstawa \(0  1\) | \(0  0\)) lub **w dół** (gdy \(d  0\)) lub **w lewo** (gdy \(p  0\) rozciąga wykres w pionie:
- Punkt \((0, 1)\) przesuwa się do \((0, c)\)
- Asymptota nadal \(y = 0\)

### Kombinacja - ogólna postać

Na maturze najczęściej spotykasz:

$$f(x) = c \cdot a^{x-p} + d$$

Gdzie:
- \(p\) - przesunięcie w poziomie (w prawo)
- \(d\) - przesunięcie w pionie (w górę)
- \(c\) - rozciągnięcie/ściśnięcie pionowe
- Asymptota: \(y = d\)
- Zbiór wartości: \((d, +\infty)\) gdy \(c > 0\) lub \((-\infty, d)\) gdy \(c  0, a \neq 1)$$

**Przykład 1:** Rozwiąż \(2^{3x-1} = 8\)

$$2^{3x-1} = 2^3$$
$$3x - 1 = 3$$
$$3x = 4$$
$$x = \frac{4}{3}$$

**Przykład 2:** Rozwiąż \(9^x = 27\)

$$\left(3^2\right)^x = 3^3$$
$$3^{2x} = 3^3$$
$$2x = 3$$
$$x = \frac{3}{2}$$

**Przykład 3:** Rozwiąż \(4^x = \frac{1}{32}\)

$$\left(2^2\right)^x = \frac{1}{2^5}$$
$$2^{2x} = 2^{-5}$$
$$2x = -5$$
$$x = -\frac{5}{2}$$

Ta metoda wymaga dobrej znajomości [potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki). Jeśli czujesz braki, zacznij od [przewodnika po potęgach na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

### Metoda 2: Podstawienie (substytucja)

Gdy w równaniu pojawiają się różne potęgi tej samej liczby, często warto wprowadzić nową zmienną.

**Przykład:** Rozwiąż \(4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0\)

Zauważamy, że \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\).

Podstawiamy \(t = 2^x\), przy czym \(t > 0\) (bo \(2^x > 0\) dla każdego \(x\)):

$$t^2 - 3t + 2 = 0$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe (więcej o metodzie w [przewodniku po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)):

$$(t-1)(t-2) = 0$$
$$t = 1 \quad \text{lub} \quad t = 2$$

Wracamy do podstawienia:
- \(2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0\)
- \(2^x = 2 = 2^1 \Rightarrow x = 1\)

**Odpowiedź:** \(x = 0\) lub \(x = 1\)

**Przykład z odrzuceniem:** Rozwiąż \(9^x + 3^x - 6 = 0\)

Podstawiamy \(t = 3^x\), \(t > 0\):

$$t^2 + t - 6 = 0$$
$$(t+3)(t-2) = 0$$
$$t = -3 \quad \text{lub} \quad t = 2$$

Odrzucamy \(t = -3\) (bo \(t = 3^x > 0\)).

$$3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$$

**Odpowiedź:** \(x = \log_3 2\)

### Metoda 3: Logarytmowanie

Gdy nie da się sprowadzić obu stron do tej samej podstawy, logarytmujemy obie strony:

$$a^{f(x)} = b \quad \Longleftrightarrow \quad f(x) = \log_a b$$

**Przykład:** Rozwiąż \(5^{2x+1} = 7\)

$$2x + 1 = \log_5 7$$
$$2x = \log_5 7 - 1$$
$$x = \frac{\log_5 7 - 1}{2}$$

Na maturze podstawowej takie wyniki z logarytmami pojawiają się rzadko - zwykle CKE konstruuje zadania tak, żeby odpowiedź była "ładna". Ale warto wiedzieć, że ta metoda istnieje, bo pojawia się w zadaniach otwartych.

Pełny przegląd logarytmów i ich własności znajdziesz w [przewodniku po logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Nierówności wykładnicze

Nierówności wykładnicze rozwiązujemy podobnie do równań, ale z jedną kluczową zasadą:

**Zasada monotoniczności:**
- Gdy \(a > 1\): funkcja rosnąca, więc \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\) (kierunek nierówności się **zachowuje**)
- Gdy \(0  a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)  1\):

Rozwiąż \(2^{3x-1} > 16\)

$$2^{3x-1} > 2^4$$

Ponieważ \(2 > 1\) (funkcja rosnąca), zachowujemy kierunek:

$$3x - 1 > 4$$
$$3x > 5$$
$$x > \frac{5}{3}$$

### Przykład z \(0  1\) (po zamianie na podstawę 3):

$$-(x+2) \leq 2$$
$$-x - 2 \leq 2$$
$$-x \leq 4$$
$$x \geq -4$$

**Alternatywnie** z podstawą \(\frac{1}{3}\):

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$$

Ponieważ \(0  0)$$
$$\log_a(a^x) = x \quad (\text{dla każdego } x \in \mathbb{R})$$

Te tożsamości pojawiają się na maturze w zadaniach typu "uprość wyrażenie" lub "oblicz wartość". Pełne omówienie logarytmów i ich własności jest w [artykule o logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

### Porównywanie potęg bez kalkulatora

Na maturze CKE lubi dawać zadania typu "uporządkuj od najmniejszej do największej" lub "wskaż największą liczbę":

**Przykład:** Porównaj \(2^{30}\) i \(3^{20}\).

$$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$$
$$3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$$

Ponieważ \(8  0\):

$$8^{10}  1\) (zachowujemy kierunek):

$$2x - 1 \leq 3$$
$$2x \leq 4$$
$$x \leq 2$$

**Odpowiedź: B**

### Zadanie 5: Substytucja (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\).

**Rozwiązanie:**

Zauważamy, że \(4^x = (2^x)^2\).

Podstawiamy \(t = 2^x\), \(t > 0\):

$$t^2 - 5t + 4 = 0$$

Obliczamy deltę: \(\Delta = 25 - 16 = 9\)

$$t = \frac{5 \pm 3}{2}$$

$$t_1 = 4, \quad t_2 = 1$$

Oba rozwiązania są dodatnie, więc oba akceptujemy.

Wracamy do podstawienia:
- \(2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2\)
- \(2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0\)

**Odpowiedź:** \(x = 0\) lub \(x = 2\)

### Zadanie 6: Porównywanie potęg (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Która z poniższych liczb jest największa?

A. \(2^{40}\) \ \ \ B. \(3^{25}\) \ \ \ C. \(5^{17}\) \ \ \ D. \(10^{12}\)

**Rozwiązanie:**

Sprowadzamy do porównywalnych potęg. Szukamy wspólnego wykładnika lub przybliżeń:

$$2^{40} = (2^8)^5 = 256^5$$
$$3^{25} = (3^5)^5 = 243^5$$
$$5^{17} \approx 5^{15} \cdot 5^2 = (5^3)^5 \cdot 25 = 125^5 \cdot 25$$
$$10^{12} = (10^{2.4})^5 \approx 251^5$$

Porównanie \(256^5\) vs \(243^5\) vs ok. \(3125 \cdot 125^4\) vs \(10^{12}\):

Dokładniej: \(2^{40} = 1\,099\,511\,627\,776\), a \(10^{12} = 1\,000\,000\,000\,000\).

Zatem \(2^{40} > 10^{12}\). Sprawdzamy \(3^{25}\): \(3^{10} = 59\,049\), \(3^{20} \approx 3{,}49 \cdot 10^9\), \(3^{25} \approx 8{,}47 \cdot 10^{11}\) - mniejsze od \(10^{12}\).

**Odpowiedź: A**

## Zadania tekstowe z funkcją wykładniczą

Na maturze funkcja wykładnicza często pojawia się w "przebraniu" - jako zadanie tekstowe o wzroście lub zaniku. Musisz rozpoznać, że chodzi o funkcję wykładniczą, i zapisać odpowiedni wzór.

### Wzrost wykładniczy

**Przykład:** Populacja bakterii podwaja się co 3 godziny. Na początku było 500 bakterii. Ile bakterii będzie po 12 godzinach?

**Rozwiązanie:**
Populacja podwaja się co 3 godziny, więc po \(t\) godzinach mamy:

$$P(t) = 500 \cdot 2^{t/3}$$

Po 12 godzinach:

$$P(12) = 500 \cdot 2^{12/3} = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000$$

**Odpowiedź:** Po 12 godzinach będzie 8000 bakterii.

### Zanik wykładniczy (rozpad)

**Przykład:** Stężenie leku w organizmie zmniejsza się o połowę co 6 godzin. Początkowe stężenie wynosi 200 mg. Po ilu godzinach stężenie spadnie poniżej 25 mg?

**Rozwiązanie:**

$$C(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$$

Szukamy \(t\) takiego, że \(C(t)  3$$
$$t > 18$$

**Odpowiedź:** Po więcej niż 18 godzinach stężenie spadnie poniżej 25 mg.

Tego typu zadania łączą funkcję wykładniczą z tematyką procentów i przyrostów. Przećwicz podobne w [dziale procenty](/topics/procenty).

## Funkcja wykładnicza w kontekście maturalnym - gdzie się pojawia

Funkcja wykładnicza nie pojawia się na maturze w izolacji. Najczęściej jest powiązana z innymi działami:

**Ciągi geometryczne:** wzór \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\) to tak naprawdę funkcja wykładnicza zmiennej \(n\). Zadania o ciągach geometrycznych rozwiązujesz tymi samymi metodami. Więcej w [przewodniku po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

**Procent składany:** wzór \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\) to funkcja wykładnicza. Zadania o lokatach bankowych, wzroście populacji czy amortyzacji - to wszystko funkcja wykładnicza w przebraniu. Przećwicz w [dziale procenty](/topics/procenty) lub przeczytaj [przewodnik po procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

**Logarytmy:** każde równanie logarytmiczne można zamienić na wykładnicze i odwrotnie. Te dwa tematy są jak dwie strony tej samej monety. Koniecznie przeczytaj [artykuł o logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

**Funkcje ogólnie:** zadania z odczytywania własności funkcji z wykresu dotyczą też wykresów wykładniczych. Przećwicz na [zadaniach z funkcji](/topics/funkcje) i sprawdź [przewodnik po funkcjach](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc).

## Najczęstsze błędy przy funkcji wykładniczej

### 1. Zapominanie o warunku \(t > 0\) przy substytucji

Gdy podstawiasz \(t = a^x\), musisz pamiętać, że \(t > 0\). Rozwiązania ujemne równania kwadratowego trzeba odrzucić.

### 2. Odwracanie nierówności przy \(0  0\) zachodzi \(a^0 = 1\). To daje punkt \((0, 1)\) na wykresie - niezależnie od podstawy.

## Wzory do zapamiętania

Większość wzorów potęgowych znajdziesz w tablicach maturalnych, ale te warto mieć w głowie:

| Wzór | Przykład |
|------|---------|
| \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\) |
| \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\frac{3^5}{3^2} = 3^3\) |
| \((a^m)^n = a^{mn}\) | \((2^3)^4 = 2^{12}\) |
| \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) | \(5^{-2} = \frac{1}{25}\) |
| \(a^0 = 1\) | \(7^0 = 1\) |
| \((ab)^n = a^n \cdot b^n\) | \(6^3 = 2^3 \cdot 3^3\) |

Pełna lista wzorów, które warto znać poza tablicami, jest w artykule o [wzorach spoza tablic maturalnych](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

## Co dalej?

Funkcja wykładnicza to ważny element maturalnego puzzle. Jeśli opanowałeś ten materiał, przejdź do powiązanych tematów:

1. **[Logarytmy na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania)** - temat bezpośrednio powiązany, funkcja odwrotna do wykładniczej
2. **[Potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania)** - fundament, bez którego równania wykładnicze są niemożliwe
3. **[Ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)** - ciąg geometryczny to funkcja wykładnicza w przebraniu
4. **[Funkcja kwadratowa](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)** - potrzebna przy substytucji w równaniach wykładniczych

Rozwiąż zadania z [działu funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza) i sprawdź, ile punktów zdobędziesz na [symulatorze matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke). Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania
title: Funkcja kwadratowa na maturze - wzory, wykresy i zadania z rozwiązaniami
description: Wszystko o funkcji kwadratowej na maturze: trzy postacie, wyróżnik delta, wierzchołek paraboli, miejsca zerowe. Zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Funkcja kwadratowa na maturze - wzory, wykresy i zadania z rozwiązaniami

## Dlaczego funkcja kwadratowa jest tak ważna na maturze?

Funkcja kwadratowa pojawia się na maturze z matematyki **co roku, bez wyjątku**. Na przestrzeni lat 2020-2026 stanowiła średnio 2-4 zadania na arkusz, co daje 3-6 punktów. Ale to nie wszystko - znajomość funkcji kwadratowej jest potrzebna też w zadaniach z geometrii analitycznej, optymalizacji i nierówności.

Na Sprawnej Maturze masz **ponad 120 zadań z funkcji kwadratowej** z pełnym rozwiązaniem - więcej niż wystarczająco, żeby opanować ten temat na 100%.

## Trzy postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci \(f(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie \(a \neq 0\). Można ją zapisać w trzech równoważnych postaciach:

### 1. Postać ogólna

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Z tej postaci od razu odczytasz:
- Kierunek ramion paraboli: \(a > 0\) - ramiona do góry, \(a  0\), największa gdy \(a  0\) | Dwa: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) |
| \(\Delta = 0\) | Jedno (podwójne): \(x_0 = \frac{-b}{2a}\) | \(a(x-x_0)^2\) |
| \(\Delta  0\)).

[Rozwiąż to zadanie](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-12)

---

### Typ 5: Drugie miejsce zerowe z symetrii

**Przykład z matury maj 2023:**

Jedno miejsce zerowe to \(-5\), współrzędna \(x\) wierzchołka to \(3\). Jakie jest drugie miejsce zerowe?

**Rozwiązanie:**

Wierzchołek leży na osi symetrii, która przechodzi dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:

$$p = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

$$3 = \frac{-5 + x_2}{2}$$

$$x_2 = 11$$

**Odpowiedź: A** (\(x_2 = 11\))

To zadanie za 1 punkt, a wymaga tylko jednego wzoru. Typowy "pewniaczek" maturalny.

[Rozwiąż to zadanie](/task/matura-maj-2023-17)

## Nierówności kwadratowe - rozszerzenie tematu

Na maturze często pojawiają się nierówności z funkcją kwadratową. Schemat rozwiązywania:

1. Sprowadź do postaci \(ax^2 + bx + c \gtrless 0\)
2. Oblicz deltę i miejsca zerowe
3. Narysuj szkic paraboli
4. Odczytaj rozwiązanie z wykresu

**Pamiętaj:** Jeśli \(a > 0\) (ramiona do góry):
- \(f(x) > 0\) - poza miejscami zerowymi: \(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\)
- \(f(x) < 0\) - między miejscami zerowymi: \(x \in (x_1, x_2)\)

## Wzory, które musisz znać na pamięć

Większość wzorów jest w tablicach maturalnych, ale te warto mieć w głowie:

| Wzór | Co daje |
|------|---------|
| \(\Delta = b^2 - 4ac\) | Wyróżnik |
| \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) | Miejsca zerowe |
| \(p = \frac{-b}{2a}\) | Oś symetrii / x wierzchołka |
| \(q = \frac{-\Delta}{4a}\) | y wierzchołka |
| \(p = \frac{x_1+x_2}{2}\) | Symetria miejsc zerowych |

## Jak ćwiczyć funkcję kwadratową

1. **Zacznij od postaci** - umiej przechodzić między ogólną, kanoniczną i iloczynową
2. **Rozwiąż 10 zadań z delty** - to musi być automatyczne
3. **Ćwicz odczytywanie z wykresu** - CKE uwielbia zadania z rysunkiem
4. **Rozwiąż nierówności kwadratowe** - to rozszerzenie tematu, ale pojawia się często

Na Sprawnej Maturze masz [ponad 120 zadań z funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) z pełnym rozwiązaniem i filmem wideo. Zacznij od najnowszych i cofaj się w czasie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /formula-2015-vs-2023-matura-matematyka-roznice-zmiany
title: Formuła 2015 vs 2023 na maturze z matematyki - co się zmieniło i co to znaczy
description: Formuła 2015 i 2023 na maturze z matematyki: tabela różnic w strukturze arkusza, punktacji, tematach i karcie wzorów. Sprawdź, które arkusze warto ćwiczyć.
author: Marcel Bogdan
---

# Formuła 2015 vs 2023 na maturze z matematyki - co się zmieniło i co to znaczy

## Co to jest "formuła" na maturze?

Zanim przejdziemy do porównania, wyjaśnijmy podstawy. "Formuła" na maturze to nic innego jak **zestaw zasad egzaminu**: co jest na arkuszu, ile jest zadań, jaka jest punktacja, ile masz czasu i jakie tematy obowiązują. Nazwa pochodzi od roku, w którym daną formułę wprowadzono.

W historii polskiej matury z matematyki kluczowe są dwie formuły:

- **Formuła 2015** - obowiązywała maturzystów zdających od 2015 roku
- **Formuła 2023** - obowiązuje od roku szkolnego 2022/2023, w pełni wdrożona na maturze 2025

Jeśli zdajesz maturę w 2027 roku, obowiązuje Cię **formuła 2023**. Ale warto znać różnice, bo w internecie krąży mnóstwo materiałów przygotowanych pod starą formułę - i nie wszystkie są dla Ciebie odpowiednie. Więcej o tym, czego się spodziewać na egzaminie, znajdziesz w [kompletnym przewodniku po maturze z matematyki 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

## Kalendarium zmian - od 2015 do 2023

Oto krótka historia zmian w formule maturalnej:

**2015** - Wprowadzenie nowej matury. Koniec z maturą w "starej formule" (przed 2005) i formułą 2005-2014. Podstawa programowa z 2012 roku. Arkusz składa się z 25 zadań zamkniętych i 5-6 otwartych.

**2020** - Pandemia COVID-19. CKE zawęża wymagania egzaminacyjne, ale formuła pozostaje ta sama. Wprowadzono tymczasowe ułatwienia, które obowiązywały w latach 2020-2022.

**2022** - Zapowiedź nowej podstawy programowej. Reforma edukacji wchodzi na poziom szkół ponadpodstawowych.

**2023** - Nowa formuła matury. Zmieniona struktura arkusza, nowa podstawa programowa, zmodyfikowana karta wzorów. Absolwenci 4-letniego liceum i 5-letniego technikum zdają według nowych zasad.

**2025** - Pierwsza "pełna" matura w formule 2023 (bez żadnych covidowych ułatwień). Od tego roku wszyscy zdają według identycznych zasad.

**2027** - Twoja matura. Formuła 2023 w pełnej mocy.

## Główne różnice w strukturze arkusza

Tutaj zaczynają się konkrety. Poniżej szczegółowa tabela porównawcza:

| Cecha | Formuła 2015 | Formuła 2023 |
|-------|-------------|-------------|
| **Czas trwania** | 170 minut | 180 minut |
| **Liczba zadań zamkniętych** | 25 | 28 |
| **Punkty za zamknięte** | 25 pkt (po 1 pkt) | 28 pkt (po 1 pkt) |
| **Liczba zadań otwartych** | 5-6 | 7-9 |
| **Punkty za otwarte** | 25 pkt | 22 pkt |
| **Suma punktów** | 50 pkt | 50 pkt |
| **Próg zdania** | 30% (15 pkt) | 30% (15 pkt) |
| **Liczba stron arkusza** | ~16 | ~18-20 |
| **Karta wzorów** | Dołączona | Zmodyfikowana, dołączona |

### Co wynika z tej tabeli?

Kilka kluczowych obserwacji:

**1. Więcej zadań zamkniętych (25 vs 28)**

Trzy dodatkowe zadania zamknięte oznaczają więcej szans na "łatwe" punkty. W formule 2023 aż 56% punktów pochodzi z zadań zamkniętych (28/50), podczas gdy w formule 2015 było to 50% (25/50). To dobra wiadomość - szczególnie dla uczniów, którzy mają problem z rozpisywaniem rozwiązań. Więcej o strategii zbierania łatwych punktów znajdziesz w artykule o [łatwych punktach na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt).

**2. Mniej punktów za otwarte (25 vs 22)**

Zadania otwarte straciły na wadze. W starej formule jedno trudne zadanie za 5 punktów mogło przesądzić o wyniku. Teraz rozkład jest bardziej wyrównany - mniejsze znaczenie mają pojedyncze trudne zadania.

**3. Więcej zadań, ale też więcej czasu**

Dodatkowe 10 minut (170 vs 180) to niewiele, ale w przeliczeniu na zadanie wychodzi porównywalnie. W formule 2015: \(\frac{170}{30} \approx 5{,}7\) minuty na zadanie. W formule 2023: \(\frac{180}{35} \approx 5{,}1\) minuty na zadanie. Różnica jest minimalna.

**4. Więcej zadań otwartych, ale za mniej punktów**

W formule 2023 jest więcej zadań otwartych (7-9 vs 5-6), ale za mniej punktów łącznie. To oznacza, że poszczególne zadania otwarte są mniej warte - typowo 2-3 punkty zamiast 4-5. Praktycznie: **łatwiej zebrać punkty cząstkowe** za częściowe rozwiązanie.

## Nowe tematy w formule 2023

Zmiana formuły to nie tylko inna struktura arkusza - to też **nowa podstawa programowa**. Oto tematy, które zyskały na znaczeniu lub pojawiły się jako nowe:

### Tematy dodane lub znacząco rozszerzone

**1. Funkcja wykładnicza - formalnie nowy temat**

W formule 2015 funkcja wykładnicza pojawiała się marginalnie. W formule 2023 jest osobnym tematem z wymaganiami dotyczącymi wykresu, własności i zastosowań (np. wzrost wykładniczy, procent składany). Zadania z funkcji wykładniczej ćwiczysz w [dziale funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza).

**2. Wyrażenia algebraiczne - większy nacisk**

Więcej zadań z przekształcaniem wyrażeń algebraicznych, skracaniem ułamków algebraicznych, rozkładem na czynniki. Zadania do przećwiczenia znajdziesz w [dziale wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne).

**3. Prawdopodobieństwo i kombinatoryka - szerszy zakres**

W formule 2015 kombinatoryka ograniczała się do prostych przypadków. Formuła 2023 wymaga znajomości symbolu Newtona, wariacji, kombinacji i permutacji. To jeden z działów, który uczniom sprawia największe problemy. Kompletny przewodnik znajdziesz w artykule o [prawdopodobieństwie i kombinatoryce na maturze](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

**4. Statystyka - odchylenie standardowe**

W formule 2015 wystarczyło znać średnią, medianę i dominantę. Formuła 2023 dodaje odchylenie standardowe i wariancję jako wymagane pojęcia. Szczegóły w artykule o [statystyce na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe).

**5. Geometria analityczna - wektory**

Działania na wektorach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar, iloczyn skalarny) stały się ważniejszym elementem programu. Cały dział omówiliśmy w artykule o [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

### Tematy z mniejszą wagą

Nie wszystkie tematy zyskały na znaczeniu. Kilka obszarów jest mniej eksponowanych w nowej formule:

**1. Przekształcenia wykresów funkcji**

Przesunięcia, odbicia, rozciągania wykresów - nadal w programie, ale rzadziej pojawiają się na arkuszu jako osobne zadania.

**2. Geometria okręgu (wersja zaawansowana)**

Kąty wpisane, kąty środkowe, styczne - wciąż w wymaganiach, ale zaawansowane zadania z geometrii okręgu pojawiają się rzadziej niż w formule 2015.

**3. Ciągi - mniej zadań za dużą liczbę punktów**

Ciągi arytmetyczne i geometryczne wciąż obowiązują, ale zadania o nich są raczej zamknięte (1 pkt) niż wielopunktowe otwarte, jak zdarzało się w formule 2015. Przegląd tematu znajdziesz w artykule o [ciągach arytmetycznych i geometrycznych na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

## Zmiany w karcie wzorów

Karta wzorów matematycznych dołączona do arkusza to jeden z najważniejszych narzędzi na egzaminie. W formule 2023 przeszła modyfikacje:

### Co dodano do karty wzorów

- Wzory na wariancję i odchylenie standardowe
- Rozszerzone wzory trygonometryczne (wzory redukcyjne w pełniejszej formie)
- Symbol Newtona \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
- Wzory na objętości i pola powierzchni brył (pełniejszy zestaw)

### Co usunięto lub zmieniono

- Niektóre wzory skrócone (np. wzory na sumę ciągu geometrycznego w uproszczonej formie) zastąpiono pełniejszymi wersjami
- Układ karty został zmieniony na bardziej przejrzysty, z lepszym grupowaniem tematycznym

### Co trzeba znać mimo karty wzorów

Karta wzorów nie zawiera wszystkiego. Wzory, które musisz znać z pamięci, opisaliśmy szczegółowo w artykule [matura matematyka - wzory spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac). Najważniejsze z nich:

- Wzory na potęgi: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\)
- Definicja logarytmu: \(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\)
- Własności logarytmów: \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
- Wzory na procentowe zmiany
- Warunek prostopadłości i równoległości prostych

## Która formuła jest trudniejsza?

To pytanie zadaje sobie każdy uczeń. Odpowiedź nie jest jednoznaczna - zależy od Twojego profilu.

### Formuła 2023 jest łatwiejsza, jeśli...

**...masz problem z zadaniami otwartymi.** Przesunięcie ciężkości na zadania zamknięte (28 vs 25 pkt) to korzystna zmiana. Łatwiej zdobyć punkty zaznaczając odpowiedzi niż pisząc pełne rozwiązania. Jak pisać rozwiązania zadań otwartych, dowiesz się z artykułu [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

**...dobrze radzisz sobie z "nowymi" tematami.** Funkcja wykładnicza, odchylenie standardowe i kombinatoryka to tematy, które dobrze reagują na systematyczną naukę. Jeśli je opanujesz, masz przewagę nad uczniami, którzy skupili się tylko na "klasycznych" tematach.

**...wolisz mieć więcej prób.** Więcej zadań (35-37 vs 30-31) oznacza, że każde jest mniej decydujące. Jeden błąd mniej boli.

### Formuła 2023 jest trudniejsza, jeśli...

**...nie opanowałeś nowych tematów.** Funkcja wykładnicza, odchylenie standardowe, symbol Newtona - jeśli tych rzeczy nie umiesz, tracisz kilka "darmowych" punktów.

**...masz problem z tempem.** Więcej zadań przy nieznacznie dłuższym czasie (180 vs 170 min) wymaga sprawniejszego zarządzania czasem.

**...polegasz na kilku trudnych zadaniach otwartych.** W starej formule matematycznie uzdolniony uczeń mógł "odpalić" 2-3 zadania otwarte za 5 punktów i mieć spory wynik. W nowej formule ciężko jest zdobyć dużą liczbę punktów z jednego zadania.

### Analiza wyników egzaminów

Patrząc na średnie wyniki egzaminów:

| Rok | Formuła | Średni wynik | Zdawalność |
|-----|---------|-------------|------------|
| 2022 | 2015 (z ulgami) | ~54% | ~82% |
| 2023 | 2015 (ostatni rocznik LO) | ~50% | ~79% |
| 2024 | Mieszana (2015 + 2023) | ~48% | ~77% |
| 2025 | 2023 (pełna) | ~46% | ~76% |

Widać lekki spadek wyników, ale to może wynikać z wielu czynników: końca covidowych ułatwień, nowej podstawy programowej, trudniejszych arkuszy. Sama formuła 2023 niekoniecznie jest "trudniejsza" - po prostu wymaga innego przygotowania.

## Co to oznacza praktycznie - które arkusze ćwiczyć?

To najważniejsze pytanie. Oto konkretne wskazówki:

### Arkusze w 100% odpowiednie (formuła 2023)

- **Matura 2025** - pierwsza "czysta" matura w nowej formule. Idealny punkt odniesienia. Rozwiązania znajdziesz [tutaj](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz).
- **Matura próbna CKE marzec 2026** - najnowszy arkusz diagnostyczny. Rozwiązania [tutaj](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania).
- **Matura próbna CKE luty 2026** - kolejny arkusz w nowej formule. Rozwiązania [tutaj](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz).
- **Arkusze próbne wydawnictw** (Operon, Nowa Era) z lat 2024-2026 - zgodne z nową formułą

### Arkusze częściowo odpowiednie (formuła 2015)

- **Matury 2015-2023** - struktura inna, ale **treść zadań jest nadal wartościowa**. Tematy się pokrywają w ~80%. Warto rozwiązywać zadania z tych arkuszy, pamiętając o różnicach:
  - Ignoruj strukturę (inny rozkład zamknięte/otwarte)
  - Skupiaj się na treści zadań, nie na ich numeracji
  - Pamiętaj, że nowe tematy (odchylenie standardowe, symbol Newtona, funkcja wykładnicza) nie pojawią się w starych arkuszach

### Arkusze, których lepiej unikać

- **Matury sprzed 2015** - inna formuła, inna podstawa programowa, inne wymagania. Zadania mogą być ciekawe, ale nie odzwierciedlają obecnego egzaminu.
- **Arkusze z covidowymi ulgami (2020-2022)** - zawężony zakres wymagań. Mogą dawać fałszywe poczucie bezpieczeństwa, bo pomijały trudniejsze tematy.

### Optymalna strategia ćwiczenia arkuszy

1. Zacznij od [symulatora matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) - arkusze w formacie egzaminacyjnym z odmierzaniem czasu
2. Rozwiąż wszystkie dostępne arkusze w formule 2023 (2025 + próbne)
3. Następnie sięgnij po arkusze z lat 2018-2023 (formuła 2015, ale treść aktualna)
4. Na koniec - uzupełnij luki w nowych tematach ćwiczeniami z bazy zadań

## Nowe tematy - jak je szybko opanować

Jeśli przygotowywałeś się na podstawie starszych materiałów, musisz nadrobić tematy, które pojawiły się lub zostały rozszerzone w formule 2023. Oto szybki plan:

### Funkcja wykładnicza - 3 dni

Dzień 1: Wykres i własności \(f(x) = a^x\) dla \(a > 1\) i \(0 < a < 1\). Przećwicz odczytywanie z wykresu.

Dzień 2: Równania wykładnicze - sprowadzanie do tej samej podstawy. Przykład:

$$2^{x+1} = 8 \quad \Rightarrow \quad 2^{x+1} = 2^3 \quad \Rightarrow \quad x + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

Dzień 3: Zastosowania - procent składany \(K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n\), wzrost i spadek wykładniczy.

Zadania do ćwiczenia: [dział funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza).

### Odchylenie standardowe - 2 dni

Dzień 1: Wzór na wariancję i odchylenie standardowe. Obliczenia krok po kroku.

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$

Dzień 2: Zadania z interpretacją - "który zbiór danych ma większe rozproszenie?"

Teoria i zadania: [dział statystyka](/topics/statystyka) oraz artykuł o [statystyce na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe).

### Kombinatoryka rozszerzona - 4 dni

Dzień 1: Silnia, permutacja.

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$

Dzień 2: Wariacje (z powtórzeniami i bez).

Dzień 3: Kombinacje i symbol Newtona.

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Dzień 4: Zastosowania w prawdopodobieństwie.

Zadania: [dział kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) oraz [dział prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo). Więcej w artykule o [prawdopodobieństwie i kombinatoryce na maturze](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

### Wektory - 2 dni

Dzień 1: Wektor jako para liczb, dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar.

$$\vec{AB} = [x_B - x_A, \; y_B - y_A]$$

Dzień 2: Iloczyn skalarny, prostopadłość wektorów, długość wektora.

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$$

$$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$

Zadania: [dział geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) i artykuł o [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

## Tabela porównawcza - formuła 2015 vs 2023

Poniższa tabela podsumowuje wszystkie kluczowe różnice. Możesz ją wydrukować lub zapisać jako szybką ściągę:

| Aspekt | Formuła 2015 | Formuła 2023 |
|--------|-------------|-------------|
| **Obowiązuje od** | Matura 2015 | Matura 2023 |
| **Podstawa programowa** | 2012 | 2018 (zreformowana) |
| **Czas** | 170 min | 180 min |
| **Zadania zamknięte** | 25 (po 1 pkt) | 28 (po 1 pkt) |
| **Zadania otwarte** | 5-6 (łącznie 25 pkt) | 7-9 (łącznie 22 pkt) |
| **Suma punktów** | 50 | 50 |
| **Próg zdania** | 30% (15 pkt) | 30% (15 pkt) |
| **Funkcja wykładnicza** | Marginalnie | Pełny temat |
| **Odchylenie standardowe** | Nie wymagane | Wymagane |
| **Symbol Newtona** | Nie na podstawowym | Na podstawowym |
| **Wektory** | Ograniczone | Rozszerzone |
| **Geometria okręgu** | Pełna | Uproszczona |
| **Karta wzorów** | Starsza wersja | Rozszerzona, nowy układ |
| **Najcięższe otwarte** | 4-5 pkt | 3-5 pkt |
| **Styl zadań** | Klasyczne, podręcznikowe | Kontekstowe, praktyczne |

## FAQ - Najczęstsze pytania o formuły

### Czy mogę zdawać w starej formule?

Nie. Jeśli zdajesz maturę w 2027 roku, obowiązuje Cię wyłącznie formuła 2023. Nie ma możliwości wyboru formuły.

### Czy arkusze z formuły 2015 są bezużyteczne?

Absolutnie nie. Około 80% treści pokrywa się. Zadania z lat 2015-2023 to doskonały materiał do ćwiczeń - po prostu pamiętaj, że nowe tematy (funkcja wykładnicza, odchylenie standardowe, symbol Newtona) tam nie występują i musisz je douczyć osobno.

### Czy formuła 2023 jest trudniejsza?

Nie jednoznacznie. Jest **inna** - więcej zadań zamkniętych (łatwiej zbierać punkty), mniej punktów za otwarte (trudniej "skoczyć" dzięki jednemu trudnemu zadaniu), nowe tematy. Dla jednych uczniów to ułatwienie, dla innych utrudnienie.

### Czy matura próbna CKE odzwierciedla prawdziwą maturę?

Tak, matury próbne CKE są najlepszym predyktorem prawdziwego arkusza. Przećwicz oba dostępne: [matura próbna luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [matura próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania).

### Jak zmiana formuły wpływa na strategię nauki?

Główna zmiana: **ucz się szerzej, ale mniej głęboko**. W formule 2015 opłacało się specjalizować w kilku trudnych tematach i "strzelać" w zadania otwarte za 5 punktów. W formule 2023 lepiej znać po trochu wszystko, bo punkty są bardziej rozproszone. Kompleksową strategię przygotowań opisaliśmy w artykule [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Podsumowanie - co musisz zapamiętać

1. **Formuła 2023 obowiązuje od matury 2023** - jeśli zdajesz w 2027, to Twoja formuła
2. **Więcej zadań zamkniętych (28 vs 25)** - korzystne dla uczniów, którzy wolą zaznaczać niż rozpisywać
3. **Mniej punktów za otwarte (22 vs 25)** - mniejsze ryzyko, ale też mniejsza szansa na "wstrzelenie się"
4. **Nowe tematy** - funkcja wykładnicza, odchylenie standardowe, symbol Newtona, rozszerzone wektory
5. **Arkusze 2015-2023 nadal są wartościowe** do ćwiczeń, ale uzupełnij naukę o nowe tematy
6. **Karta wzorów** została rozszerzona - wykorzystaj ją na egzaminie

Zacznij przygotowania od rozwiązania arkuszy w formule 2023 - znajdziesz je w naszym [symulatorze matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke). Następnie uzupełnij luki w poszczególnych tematach, korzystając z [bazy zadań maturalnych](/topics/liczby-rzeczywiste) pogrupowanej według kategorii. Sprawdź też nasz artykuł o [pewniakach maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - tam znajdziesz zadania, które pojawiają się niemal na każdym arkuszu, niezależnie od formuły.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ekspresowa-powtorka-caly-material-maturalny-1-dzien
title: Ekspresowa powtórka - cały materiał maturalny w 1 dzień
description: Plan powtórki godzina po godzinie na ostatni dzień przed maturą z matematyki. Wzory, metody, zadania - wszystko co musisz powtórzyć w 12 godzin.
author: Marcel Bogdan
---

# Ekspresowa powtórka - cały materiał maturalny w 1 dzień

## Jeden dzień. Zero paniki. Maksimum punktów.

Nie będziemy się oszukiwać - jednego dnia nie da się "nauczyć" matematyki od zera. Ale da się zrobić coś znacznie ważniejszego: **powtórzyć kluczowe schematy**, odświeżyć wzory i wejść na egzamin z głową pełną gotowych metod zamiast chaosu.

Ten plan jest sprawdzony. Opiera się na analizie ponad 2300 zadań maturalnych z lat 2010-2025 i skupia na tym, co **faktycznie pojawia się na egzaminie** - nie na tym, co jest w podręczniku.

Zasada jest prosta: zaczynamy od tematów, które dają najwięcej łatwych punktów, i schodzimy w dół.

## Zanim zaczniesz - przygotowanie (15 min)

1. Wydrukuj lub otwórz [kartę wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) - będziesz z niej korzystać na egzaminie
2. Przygotuj kartkę z wzorami, których **nie ma** na karcie (lista niżej)
3. Otwórz [Sprawną Maturę](/) - będziesz rozwiązywać zadania bezpośrednio w aplikacji
4. Telefon w tryb samolotowy. Serio.

**Wzory spoza karty CKE, które musisz znać na pamięć:**

- Wzory skróconego mnożenia: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\), \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
- Postać kanoniczna: \(f(x) = a(x - p)^2 + q\), gdzie \(p = \frac{-b}{2a}\), \(q = \frac{-\Delta}{4a}\)
- Suma i iloczyn ciągu arytmetycznego: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
- Suma ciągu geometrycznego: \(S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\)
- Odległość punktu od prostej: \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
- Prawdopodobieństwo: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\)

Pełna lista: [Wzory spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac)

## 8:00-9:30 - Potęgi, logarytmy, wyrażenia algebraiczne (90 min)

To są **pierwsze zadania na arkuszu** - zazwyczaj za 1 punkt każde. Łatwe punkty, ale tylko jeśli pamiętasz reguły.

**Co powtórzyć:**
- Mnożenie i dzielenie potęg: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
- Potęga potęgi: \((a^m)^n = a^{mn}\)
- Pierwiastki jako potęgi: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
- Logarytmy: \(\log_a b = c \iff a^c = b\)
- Własności logarytmów: \(\log(ab) = \log a + \log b\), \(\log\frac{a}{b} = \log a - \log b\)

**Rozwiąż na rozgrzewkę (30 min):**
- [Zadanie z potęg - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-03)
- [Zadanie z logarytmów - matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-03)
- [Zadanie z równań - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-04)

Więcej zadań z tego działu: [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) (ponad 150 zadań) | [Logarytmy](/topics/logarytmy) (ponad 70 zadań)

## 9:30-11:00 - Funkcje: liniowa i kwadratowa (90 min)

Funkcja kwadratowa to **absolutny must-have**. Pojawia się na każdej maturze, zwykle za 2-5 punktów w różnych zadaniach.

**Funkcja liniowa - minimum:**
- Wzór: \(y = ax + b\)
- Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów: \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
- Funkcja rosnąca gdy \(a > 0\), malejąca gdy \(a < 0\)
- Miejsce zerowe: \(x_0 = \frac{-b}{a}\)

**Funkcja kwadratowa - kluczowe schematy:**
- Delta: \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- Miejsca zerowe: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Wierzchołek: \(W = (p, q)\) gdzie \(p = \frac{-b}{2a}\)
- Postać iloczynowa: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
- Największa/najmniejsza wartość = \(q\)

**Rozwiąż (40 min):**
- [Funkcja liniowa - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-11)
- [Funkcja kwadratowa - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-12)
- [Odczytywanie własności z wykresu - matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-11)

Trenuj dalej: [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) (ponad 120 zadań) | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) (ponad 70 zadań)

## 11:00-11:15 - Przerwa

Wyjdź na 5 minut na świeże powietrze. Wypij wodę. Mózg potrzebuje tlenu, żeby konsolidować wiedzę.

## 11:15-12:30 - Ciągi arytmetyczne i geometryczne (75 min)

Ciągi to drugi "pewniaczek" maturalny. Są na każdym arkuszu i zwykle da się je rozwiązać mechanicznie - wystarczy podstawić do wzoru.

**Ciąg arytmetyczny:**
- Wzór na n-ty wyraz: \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\)
- Suma n wyrazów: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
- Własność: \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\)

**Ciąg geometryczny:**
- Wzór na n-ty wyraz: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
- Suma n wyrazów: \(S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\)
- Własność: \(a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}\)

**Schemat rozwiązywania:** Znajdź \(a_1\) i \(r\) (lub \(q\)), reszta to podstawianie.

**Rozwiąż (35 min):**
- [Ciągi - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-19)
- [Ciągi - matura próbna 2026, zadanie 21](/task/matura-pr-bna-luty-2026-21)
- [Ciągi - matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-20)

Pełna baza: [Ciągi](/topics/ciagi) (ponad 210 zadań z rozwiązaniami)

## 12:30-14:00 - Geometria analityczna (90 min)

Największy dział na maturze - ponad 280 zadań w naszej bazie. Ale schemat jest zawsze ten sam: punkty, odległości, proste, okręgi.

**Absolutne minimum:**
- Odległość dwóch punktów: \(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
- Środek odcinka: \(S = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
- Równanie prostej: \(y = ax + b\) lub \(Ax + By + C = 0\)
- Proste równoległe: \(a_1 = a_2\), prostopadłe: \(a_1 \cdot a_2 = -1\)
- Równanie okręgu: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)

**Triki, które ratują na egzaminie:**
- Wektor \(\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]\) - proste prostopadłe mają wektory kierunkowe \([a, b]\) i \([-b, a]\)
- Punkt należy do prostej = podstaw współrzędne i sprawdź
- Szukasz środka okręgu? To punkt równoodległy od trzech punktów na okręgu

**Rozwiąż (45 min):**
- [Geometria analityczna - matura maj 2024](/task/matura-maj-2024-11)
- [Geometria analityczna - matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-16)

Ćwicz więcej: [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) (ponad 280 zadań)

## 14:00-14:30 - Obiad i odpoczynek

Zjedz coś porządnego. Nie ucz się podczas jedzenia - daj mózgowi przetworzyć poranną sesję.

## 14:30-15:30 - Procenty i zadania z treścią (60 min)

Procenty to darmowe punkty - jeśli wiesz, jak zamieniać polecenie na równanie.

**Kluczowe wzory:**
- Procent z liczby: \(p\% \cdot a = \frac{p}{100} \cdot a\)
- Procent składany: \(K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n\)
- Podwyżka i obniżka o \(p\%\): mnożymy przez \((1 + \frac{p}{100})\) lub \((1 - \frac{p}{100})\)
- Dwie kolejne podwyżki o 20% to NIE jest 40% - to \(1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44\), czyli 44%

**Schemat zadań z treścią:**
1. Przeczytaj zadanie dwa razy
2. Oznacz niewiadomą (\(x\) = to, czego szukamy)
3. Zapisz równanie na podstawie treści
4. Rozwiąż i sprawdź, czy odpowiedź ma sens

**Rozwiąż (30 min):**
- [Procenty - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-07)
- [Procenty - matura maj 2024](/task/matura-maj-2024-10)
- [Równania - matura maj 2024](/task/matura-maj-2024-01)

Więcej: [Procenty](/topics/procenty) (ponad 70 zadań)

## 15:30-17:00 - Trygonometria i planimetria (90 min)

Trudniejszy blok, ale regularnie pojawia się na maturze w zadaniach za 2-5 punktów.

**Trygonometria - minimum:**
- Definicje w trójkącie prostokątnym: \(\sin\alpha = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}}\)
- Jedynka trygonometryczna: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
- Wartości dla kątów szczególnych - musisz je znać na pamięć:

| Kąt | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tg\) |
|-----|----------|----------|---------|
| \(30°\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(45°\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
| \(60°\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |

**Planimetria - kluczowe wzory:**
- Pole trójkąta: \(P = \frac{1}{2}ah\), \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\)
- Twierdzenie Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Tw. sinusów: \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = 2R\)
- Tw. cosinusów: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\)

**Rozwiąż (40 min):**
- [Trygonometria - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-23)
- [Planimetria - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-26)
- [Prawdopodobieństwo - matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-35)

Trenuj: [Trygonometria](/topics/trygonometria) (ponad 120 zadań) | [Planimetria](/topics/planimetria) (ponad 260 zadań)

## 17:00-17:15 - Przerwa

Kolejne 15 minut przerwy. Rozciągnij się, napij wody. Zostały 2 godziny.

## 17:15-18:15 - Stereometria i prawdopodobieństwo (60 min)

**Stereometria - schematy:**

Prawie każde zadanie ze stereometrii sprowadza się do tego samego: znajdź trójkąt prostokątny wewnątrz bryły i użyj Pitagorasa.

- Objętość prostopadłościanu: \(V = abc\)
- Objętość walca: \(V = \pi r^2 h\)
- Objętość stożka: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
- Objętość kuli: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
- Pole powierzchni kuli: \(P = 4\pi r^2\)

**Prawdopodobieństwo:**
- Klasyczne: \(P(A) = \frac{\text{sprzyjające}}{\text{wszystkie}}\)
- Drzewko: rysuj ZAWSZE gdy masz dwa etapy
- Wyniki \(P \in [0, 1]\) - jeśli wyszło Ci coś poza tym, masz błąd

**Rozwiąż (30 min):**
- [Stereometria - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-34)
- [Stereometria - matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-33)
- [Prawdopodobieństwo - matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-37)

Baza zadań: [Stereometria](/topics/stereometria) (ponad 200 zadań) | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) (ponad 100 zadań)

## 18:15-19:15 - Rozwiąż jeden pełny arkusz (60 min)

Teraz najważniejsza rzecz: **rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych**.

Otwórz [symulator matury](/solve) na Sprawnej Maturze i rozwiąż arkusz na czas. Nie zaglądaj do rozwiązań w trakcie.

Po rozwiązaniu sprawdź odpowiedzi i zanotuj, które tematy sprawiły problem. Jeśli masz jeszcze czas, wróć do odpowiedniej sekcji tego artykułu i powtórz wzory.

Alternatywnie, możesz przerobić arkusze z lat poprzednich:
- [Matura maj 2025 - pełne rozwiązania](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz)
- [Matura próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania)
- [Matura próbna CKE luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz)

## 19:15-20:00 - Powtórka wzorów i sen

Ostatnie 45 minut poświęć na **cichą powtórkę wzorów**. Przejrzyj swoją kartkę z wzorami spoza tablic. Przeczytaj ją 2-3 razy.

**I najważniejsze: idź spać przed 22:00.** Sen jest ważniejszy niż kolejna godzina nauki. Badania pokazują, że niewyspany mózg traci do 40% zdolności rozwiązywania problemów.

## Strategia na sam egzamin

1. **Pierwsze 30 minut:** Rozwiąż wszystkie zadania zamknięte, które umiesz. Nie siedź nad jednym dłużej niż 2 minuty.
2. **Następne 60 minut:** Zadania otwarte - zacznij od tych, które rozumiesz od razu.
3. **Ostatnie 30 minut:** Wróć do pominiętych zadań. W zamkniętych strzelaj - nie zostawiaj pustych odpowiedzi.
4. **Ostatnie 10 minut:** Sprawdź obliczenia w zadaniach otwartych.

Więcej o strategii egzaminacyjnej: [Jak rozwiązywać zadania zamknięte - triki](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody) | [Jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka)

## Ile punktów da Ci ta powtórka?

Realistycznie? Jeśli solidnie przepracujesz ten plan, możesz liczyć na **60-80% z zadań zamkniętych** i **30-50% z zadań otwartych**. To wystarczy, żeby zdać z zapasem.

A jeśli masz więcej niż jeden dzień, tym lepiej. Wróć wkrótce i rozwiąż kolejny arkusz na [Sprawnej Maturze](/). Mamy **ponad 2300 zadań** z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

[Zacznij ćwiczyć teraz - za darmo](/)

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /dzien-przed-matura-matematyka-co-robic
title: Dzień przed maturą z matematyki - co robić i czego unikać (plan godzina po godzinie)
description: Co robić dzień przed maturą z matematyki - konkretny plan godzina po godzinie, checklista rzeczy do spakowania i zasady, których musisz przestrzegać.
author: Marcel Bogdan
---

# Dzień przed maturą z matematyki - co robić i czego unikać (plan godzina po godzinie)

Matura z matematyki startuje 5 maja 2027. Jeśli czytasz to dzisiaj, masz jeszcze około dwa tygodnie, a jeśli czytasz wieczorem przed egzaminem - masz 12 godzin i potrzebujesz konkretnego planu. Ten poradnik mówi ci dokładnie co robić w ostatnim dniu, w jakiej kolejności, i czego unikać. Bez motywacyjnego bełkotu.

## Zasada numer jeden: nic nowego

Dzień przed maturą nie uczysz się niczego nowego. Jeśli nie opanowałeś logarytmów do tej pory, nie opanujesz ich w 24 godziny - a próbując, zestresujesz się i zmarnujesz czas na powtórki rzeczy, które już umiesz. Zamiast tego:

- przejrzyj własne błędy z ostatnich arkuszy próbnych,
- powtórz wzory, które "prawie" umiesz,
- przećwicz zadania za 1-2 punkty z kategorii, które są twoją siłą.

Chodzi o utrwalenie i zbudowanie pewności siebie, nie o dokładanie wiedzy. Sprawdź [kompletny plan ostatnich tygodni](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka) jeśli masz jeszcze kilka dni. Dzisiaj już tylko utrwalamy.

## Rano: 2 godziny na wzory

Pierwsza rzecz rano - przejrzenie [ściągi wzorów spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac). CKE daje ci tablice, ale nie wszystkie kluczowe wzory w nich są. Wzór na wierzchołek paraboli (\(x_w = -\frac{b}{2a}\)), wzory Viete'a, wzór na sumę ciągu geometrycznego - to musisz znać z pamięci.

**Zrób tak:**

1. Weź kartkę A4. Po lewej nazwy działów, po prawej wypisz z pamięci wzory.
2. Sprawdź co pamiętasz, co pominąłeś.
3. Luki uzupełnij i przeczytaj 3 razy.
4. Po godzinie wróć i przepisz wzory z pamięci ponownie.

Działy, od których warto zacząć: funkcja kwadratowa (\(x_1, x_2\), wierzchołek, postać kanoniczna), ciągi (\(a_n\), \(S_n\), warunek na ciąg), logarytmy (zamiana podstaw, reguły dodawania), trygonometria (\(\sin^2 + \cos^2 = 1\), podwojone kąty).

## Przed południem: 2 godziny na "pewniaki"

Teraz bierzesz się za zadania, które prawie na pewno pojawią się na maturze. Patrz [listę pewniaków maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Są to tematy powtarzające się rok w rok:

- **Delta i miejsca zerowe funkcji kwadratowej** - zobacz [poradnik o delcie](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe)
- **Ciąg arytmetyczny/geometryczny** - dwa zadania, jedno za 1pkt, jedno otwarte
- **Prawdopodobieństwo klasyczne** - często z kostką, kartami, kulami - sprawdź [prawdopodobieństwo klasyczne](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania)
- **Logarytm podstawowy** - zadanie za 1pkt, zwykle z liczby wymiernej
- **Geometria w układzie współrzędnych** - odległość punktów, pole trójkąta, równanie prostej
- **Bryła obrotowa** - stożek, walec lub kula z podaną wysokością/promieniem

Rozwiąż po jednym zadaniu z każdego tematu. Jeśli robisz je szybko i poprawnie - super, utrwaliłeś. Jeśli utknąłeś, wróć do poradnika, przeczytaj przykład, zrób ponownie. Nie utrzymuj się na jednym temacie dłużej niż 20 minut.

## Popołudnie: jeden pełny arkusz na czas

Zrób jeden kompletny arkusz próbny (nie maturalny - już robiłeś) w warunkach egzaminu. Zegar, brak telefonu, kartka na obliczenia, zwykła tablica matematyczna CKE.

**Sugerowane arkusze:** [próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) lub [próbna luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz).

Cel tego treningu to NIE maksymalny wynik. Cel to:

- złapanie rytmu (180 minut - ile czasu na jedno zadanie),
- przyzwyczajenie ręki do szybkiego pisania KaTeX/symboli,
- przetestowanie strategii: w jakiej kolejności robić zadania.

**Rekomendowana kolejność:** najpierw zadania zamknięte (1-2 pkt), potem otwarte niższe punktowe, na koniec długie zadania za 4-6 pkt. To gwarantuje, że łatwe punkty masz w kieszeni, zanim zmęczenie i panika wpłyną na trudniejsze zadania. Więcej o tym w [strategii zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

Po arkuszu: sprawdź odpowiedzi, ale NIE rób analizy błędów teraz - tylko zanotuj jakie tematy wyszły słabo, wrócisz do nich wieczorem.

## Wczesny wieczór: analiza błędów z arkusza

Teraz 60-90 minut na przerobienie tych 2-3 zadań z arkusza, które wypadły słabo. Nie wszystkich - tylko 2-3. Przeczytaj rozwiązanie, zrozum gdzie zgubiłeś punkt, i zrób podobne zadanie z [bazy zadań CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Jeśli problem jest systemowy (np. "nie umiem nierówności z wartością bezwzględną"), zamiast robić 5 zadań z tego tematu, przeczytaj [poradnik o nierównościach z modułem](/jak-rozwiazac-nierownosc-z-wartoscia-bezwzgledna), rozwiąż JEDNO zadanie i idź dalej. Pamiętaj: nie uczysz się niczego nowego.

## Wieczór: sprawdź listę rzeczy na jutro

Przygotuj rzeczy na rano, żebyś nie panikował o 7:00.

**Obowiązkowo na maturę z matematyki:**
- Dowód osobisty lub paszport - sprawdź ważność!
- Czarny długopis (minimum dwa - jeden może się skończyć)
- Linijka (30 cm wystarcza)
- Cyrkiel
- Kalkulator prosty - NIE naukowy, NIE graficzny. Tylko +, -, *, /, i pierwiastek. Sprawdź baterie.
- Legitymacja szkolna
- Butelka wody bez etykiety (można wnieść, ale etykieta musi być zdjęta, żeby nie nadawała się do ściągania)

**Dodatkowo:**
- Zeszyt/brudnopis - dostaniesz na maturze, ale miej przy sobie notatki na drogę
- Kanapka lub batonik na drogę - nie jedz przed egzaminem, bo ospałość
- Tablice matematyczne CKE - będą w sali, ale miej własne do powtórki rano

Tablice CKE są po to, żeby z nich korzystać. Wzory na objętość, pola, trygonometrii podstawowe, własności ciągów - wszystko tam jest. Zobacz [co znaczą punkty w kontekście CKE](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania) jeśli jeszcze nie wiesz ile punktów daje jakie zadanie.

## Noc przed: śpij

Najważniejsza rzecz w tym planie. 7-8 godzin snu daje ci więcej punktów na maturze niż kolejne 3 godziny nauki. Udowodnione. Mózg w stanie zmęczenia nie liczy.

- nie pij kawy po 15:00,
- nie wchodź na TikTok ani reels pół godziny przed snem,
- telefon odłóż tak daleko od łóżka, żebyś musiał wstać by go wyłączyć,
- ustaw dwa budziki - jeden na 6:30, drugi na 6:45.

Jeśli masz stres przedegzaminacyjny, oddychaj: 4 sekundy wdech, 4 sekundy wstrzymania, 6 sekund wydechu, 4 sekundy pauzy. Powtórz 10 razy. To aktywuje układ przywspółczulny i obniża tętno.

## Rano matury: co robić w pierwszej godzinie po przebudzeniu

1. **Wstań od razu po budziku.** Leżenie w łóżku zwiększa poziom kortyzolu.
2. **Woda + śniadanie.** Nie obfite. Owsianka z owocami, kanapka, jajko. Białko + kompleksowe węglowodany. Żadnych słodyczy, żadnego energyka - cukrowy zjazd przyjdzie w środku egzaminu.
3. **Powtórka 20 minut.** Przeczytaj listę wzorów, którą robiłeś wczoraj rano. Ten wie co to powtórzenie "przed snem" działa odwrotnie - wzory są świeże w pamięci.
4. **Na miejscu 30 minut przed.** Nie przyjedź 5 minut przed. Nie wchodź na ostatnią chwilę. Bądź przed salą z 30-minutowym zapasem, żeby znaleźć miejsce, spokojnie odetchnąć, pójść do toalety.

## Na sali - pierwsza minuta

Gdy dostajesz arkusz, pierwsze 2-3 minuty poświęć na:

- sprawdzenie liczby stron (czy nic nie brakuje),
- przelotnie przejrzyj wszystkie zadania (co jest łatwe, co trudne),
- zaznacz sobie w głowie kolejność: zamknięte najpierw, duże otwarte na koniec.

Nie zaczynaj pisać od razu. Ta minuta oglądania arkusza zwraca się z nawiązką, bo unikasz pułapki zaczęcia od trudnego zadania i strat 30 minut.

## Czego NIE robić dnia przed maturą

- **Nie pij alkoholu ani energetyków** - zaburzają sen.
- **Nie oglądaj YouTube "ostatnia szansa! jak zdać maturę z matematyki"** - to informacyjny śmietnik, który nie doda ci niczego, a może obniżyć pewność.
- **Nie ucz się nowych tematów** - efekt odwrotny do zamierzonego, pogubisz się.
- **Nie porównuj się z kolegami.** Kto się ile uczył, kto co umie - bez znaczenia. Twój wynik zależy tylko od ciebie.
- **Nie rób pełnego arkusza wieczorem.** Mózg nie zdąży "ochłonąć" do rana. Jeden arkusz najpóźniej do 16:00.

## Checklista - ostatni dzień przed maturą z matematyki

**Rano:**
- [ ] Wzory z pamięci (lista A4)
- [ ] Powtórka funkcji kwadratowej i wierzchołka paraboli
- [ ] Powtórka ciągów i sumy

**Przed południem:**
- [ ] Zadanie z delty
- [ ] Zadanie z ciągu
- [ ] Zadanie z prawdopodobieństwa klasycznego
- [ ] Zadanie z logarytmu za 1 pkt
- [ ] Zadanie z geometrii analitycznej

**Popołudnie:**
- [ ] Pełny arkusz próbny na czas (180 min)
- [ ] Sprawdzenie wyników

**Wieczór:**
- [ ] 2-3 poprawki z arkusza
- [ ] Przygotowane rzeczy na jutro
- [ ] Sprawdzony kalkulator i długopisy
- [ ] Ustawione budziki

**Noc:**
- [ ] Sen 7-8h
- [ ] Telefon z dala od łóżka
- [ ] Bez kofeiny po 15:00

Matura z matematyki to egzamin ze spokoju tak samo jak z wiedzy. Ucząc się przez rok zasłużyłeś na dobry wynik - ostatnie 24 godziny służą utrzymaniu formy, nie dorzuceniu nowej wiedzy. Trzymam kciuki.

Jeśli masz jeszcze kilka dni i chcesz bardziej szczegółowy plan, zajrzyj do [powtórki tydzień przed maturą](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan). A jeśli potrzebujesz szybkiego zbioru faktów o egzaminie (punktacja, progi), sprawdź [kompletny przewodnik matury 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac
title: Dowody matematyczne na maturze - jak pisać żeby dostać pełne punkty
description: Jak pisać dowody na maturze z matematyki: bezpośredni, nie wprost, indukcja i sprzeczność. Przykłady z rozwiązaniami, schematy rozumowania i punktacja CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Dowody matematyczne na maturze - jak pisać żeby dostać pełne punkty

## Dowody na maturze - kiedy się pojawiają i dlaczego warto się ich nauczyć

Dowodzenie to umiejętność, która odróżnia ucznia dobrego od naprawdę dobrego. Na [maturze podstawowej](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin) dowody pojawiają się rzadko - zazwyczaj 0-1 zadanie, najczęściej w formie "wykaż, że..." lub "udowodnij, że...". Natomiast na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy) dowody to chleb powszedni - na każdym arkuszu znajdziesz 2-4 zadania wymagające formalnego uzasadnienia.

Dlaczego warto opanować tę umiejętność? Bo zadania z dowodami to jedne z najlepiej punktowanych zadań na arkuszu. Jedno zadanie z dowodem na rozszerzeniu to często 4-5 punktów. A co najważniejsze - schemat pisania dowodów jest powtarzalny. Kiedy opanujesz kilka podstawowych technik, będziesz w stanie podejść do niemal każdego zadania tego typu.

W tym przewodniku pokażę Ci konkretne techniki dowodzenia, pełne przykłady z rozwiązaniami i dokładne zasady punktacji CKE. Jeśli chcesz zobaczyć, jak wygląda rozwiązywanie [zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) w praktyce, ten artykuł jest dla Ciebie.

## Typy dowodów na maturze

Na maturze spotykasz cztery główne rodzaje dowodów. Każdy z nich ma swoją strukturę i zastosowanie. Oto krótkie porównanie:

| Typ dowodu | Kiedy stosować | Częstość na maturze |
|---|---|---|
| Bezpośredni | Kiedy da się przejść wprost od założeń do tezy | Bardzo często |
| Nie wprost | Kiedy dowód bezpośredni jest trudny lub nienaturalny | Często |
| Przez sprzeczność | Kiedy zakładamy negację tezy i dochodzimy do sprzeczności | Średnio często |
| Przez indukcję | Kiedy teza dotyczy wszystkich liczb naturalnych | Na rozszerzeniu |

Rozłóżmy każdy z nich na czynniki pierwsze.

## Struktura każdego dowodu - trzy elementy, które muszą być

Zanim przejdziemy do typów, zapamiętaj **trzy obowiązkowe elementy** każdego dowodu:

### 1. Założenie - co wiemy

To punkt startowy. Zapisujesz, jakie informacje masz dane w zadaniu. Na przykład: "Niech \(n\) będzie liczbą parzystą" albo "Załóżmy, że \(a + b > 0\)".

### 2. Rozumowanie - łańcuch implikacji

To serce dowodu. Każdy krok musi wynikać z poprzedniego. Nie wolno przeskakiwać etapów ani pisać "widać, że...". Egzaminator musi widzieć każde przejście logiczne.

### 3. Teza - co udowodniliśmy

Zamykasz dowód jasnym stwierdzeniem, że teza została wykazana. Tradycyjnie piszemy "co należało dowieść" (c.n.d.) lub symbolicznie \(\blacksquare\).

**Wskazówka:** Na maturze CKE nie wymaga pisania "c.n.d.", ale jasne zakończenie dowodu jest mile widziane. Pisz np. "Zatem wykazaliśmy, że..." albo "Co kończy dowód."

## Dowód bezpośredni - od założeń prosto do tezy

Dowód bezpośredni to najprostsza i najczęstsza technika. Zaczynasz od tego, co wiesz (założenia), i przez ciąg przekształceń algebraicznych lub rozumowań dochodzisz wprost do tezy.

### Schemat dowodu bezpośredniego

1. Zapisz założenia
2. Wykonaj przekształcenia algebraiczne krok po kroku
3. Uzyskaj tezę
4. Zakończ dowód

### Przykład 1: Suma dwóch liczb parzystych jest parzysta

**Teza:** Jeśli \(a\) i \(b\) są liczbami parzystymi, to \(a + b\) jest liczbą parzystą.

**Dowód:**

Skoro \(a\) jest liczbą parzystą, to istnieje taka liczba całkowita \(k\), że:

$$a = 2k$$

Skoro \(b\) jest liczbą parzystą, to istnieje taka liczba całkowita \(m\), że:

$$b = 2m$$

Obliczamy sumę:

$$a + b = 2k + 2m = 2(k + m)$$

Ponieważ \(k + m\) jest liczbą całkowitą (jako suma dwóch liczb całkowitych), to \(a + b = 2(k + m)\) jest liczbą parzystą z definicji parzystości.

Co kończy dowód. \(\blacksquare\)

**Dlaczego ten dowód jest poprawny?** Bo każdy krok wynika z poprzedniego. Nie zakładamy niczego, czego nie wiemy. Wprowadzamy zmienne \(k\) i \(m\) z definicji parzystości i konsekwentnie z nich korzystamy.

### Przykład 2: Dowód algebraicznej tożsamości

**Teza:** Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi:

$$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$$

**Dowód:**

Rozwijamy lewą stronę, korzystając ze [wzorów skróconego mnożenia](/topics/wyrazenia-algebraiczne):

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Obliczamy różnicę:

$$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$$

$$= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$$

$$= 4ab$$

Lewa strona równa się prawej, co kończy dowód. \(\blacksquare\)

**Uwaga maturalna:** Ten typ dowodu (wykaż tożsamość) to klasyka na podstawie. Strategia jest zawsze taka sama - rozwijasz jedną stronę i doprowadzasz ją do postaci drugiej strony. Nigdy nie przekształcaj obu stron jednocześnie - to częsty błąd.

### Przykład 3: Dowód nierówności z użyciem kwadratu

**Teza:** Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi:

$$a^2 + b^2 \geq 2ab$$

**Dowód:**

Zauważmy, że nierówność możemy przekształcić:

$$a^2 + b^2 \geq 2ab$$

$$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$

$$(a - b)^2 \geq 0$$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \((a - b)^2 \geq 0\) jest zawsze prawdziwe.

Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mogliśmy wykonać je w obie strony), nierówność \(a^2 + b^2 \geq 2ab\) jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\). \(\blacksquare\)

**Kluczowa uwaga:** Zwróć uwagę na słowo "równoważne". W dowodzie nierówności, kiedy przekształcasz tezę, musisz upewnić się, że każde przejście jest równoważnością (a nie tylko implikacją w jedną stronę). Alternatywnie, możesz zacząć od oczywistego faktu \((a-b)^2 \geq 0\) i dojść do tezy - wtedy problem równoważności nie występuje.

## Dowód nie wprost - zakładamy przeciwieństwo

Dowód nie wprost (zwany też dowodem przez kontrapozycję) polega na tym, że zamiast dowodzić "jeśli \(P\), to \(Q\)", dowodzimy równoważnego zdania "jeśli nie \(Q\), to nie \(P\)".

### Schemat dowodu nie wprost

1. Zapisz tezę do udowodnienia: "Jeśli \(P\), to \(Q\)"
2. Sformułuj kontrapozycję: "Jeśli nie \(Q\), to nie \(P\)"
3. Przyjmij założenie: "nie \(Q\)"
4. Wyprowadź wniosek: "nie \(P\)"
5. Stwierdź, że kontrapozycja jest prawdziwa, więc oryginalna implikacja też

### Dlaczego to działa?

Implikacja \(P \Rightarrow Q\) jest logicznie równoważna z \(\neg Q \Rightarrow \neg P\). To nie jest trik - to fundamentalny fakt logiki. Jeśli udowodnisz kontrapozycję, udowodniłeś oryginalne zdanie.

### Przykład 4: Dowód podzielności nie wprost

**Teza:** Jeśli \(n^2\) jest liczbą parzystą, to \(n\) jest liczbą parzystą.

**Dowód (nie wprost):**

Dowodzimy kontrapozycji: "Jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to \(n^2\) jest liczbą nieparzystą."

Załóżmy, że \(n\) jest liczbą nieparzystą. Wtedy istnieje taka liczba całkowita \(k\), że:

$$n = 2k + 1$$

Obliczamy \(n^2\):

$$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$

Ponieważ \(2k^2 + 2k\) jest liczbą całkowitą, to \(n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1\) jest liczbą nieparzystą z definicji.

Udowodniliśmy kontrapozycję, a zatem oryginalna teza jest prawdziwa: jeśli \(n^2\) jest parzyste, to \(n\) jest parzyste. \(\blacksquare\)

**Kiedy stosować nie wprost?** Kiedy bezpośredni dowód byłby trudny lub nienaturalny. Tu dowodzenie wprost ("\(n^2\) parzyste, więc \(n\) parzyste") wymagałoby rozkładu na czynniki. Kontrapozycja jest prostsza.

## Dowód przez sprzeczność - dwa fakty, które się wykluczają

Dowód przez sprzeczność (reductio ad absurdum) to technika, w której zakładamy, że teza jest fałszywa, i pokazujemy, że prowadzi to do logicznej sprzeczności.

### Schemat dowodu przez sprzeczność

1. Zapisz tezę do udowodnienia
2. Załóż przeciwieństwo tezy (negację)
3. Wyprowadzaj wnioski z tego założenia
4. Pokaż, że prowadzą do sprzeczności (np. \(0 > 0\), \(p\) i \(\neg p\) jednocześnie)
5. Skoro założenie prowadzi do sprzeczności, musi być fałszywe - zatem teza jest prawdziwa

### Różnica między dowodem nie wprost a dowodem przez sprzeczność

To częste pytanie. Oba zaczynają od "załóżmy przeciwieństwo", ale:

- **Nie wprost:** dowodzimy kontrapozycji - osobnego, prawdziwego zdania
- **Przez sprzeczność:** zakładamy negację tezy i dochodzimy do czegoś absurdalnego (np. \(1 = 0\))

### Przykład 5: Niewymierność \(\sqrt{2}\)

**Teza:** Liczba \(\sqrt{2}\) jest niewymierna.

**Dowód (przez sprzeczność):**

Załóżmy przeciwnie, że \(\sqrt{2}\) jest liczbą wymierną. Wtedy istnieją takie liczby całkowite \(p\) i \(q\) (\(q \neq 0\)), że:

$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$$

gdzie ułamek \(\frac{p}{q}\) jest nieskracalny (\(\text{NWD}(p, q) = 1\)).

Podnosząc obie strony do kwadratu:

$$2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2q^2$$

Skoro \(p^2 = 2q^2\), to \(p^2\) jest liczbą parzystą. Z poprzedniego dowodu wiemy, że jeśli \(p^2\) jest parzyste, to \(p\) jest parzyste. Zatem \(p = 2m\) dla pewnego \(m \in \mathbb{Z}\).

Podstawiamy:

$$(2m)^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad 4m^2 = 2q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2m^2$$

Zatem \(q^2\) jest liczbą parzystą, więc \(q\) jest parzyste.

Ale skoro zarówno \(p\), jak i \(q\) są parzyste, to \(\text{NWD}(p, q) \geq 2\), co **jest sprzeczne** z założeniem, że ułamek \(\frac{p}{q}\) jest nieskracalny.

Sprzeczność. Zatem założenie, że \(\sqrt{2}\) jest wymierna, jest fałszywe. Liczba \(\sqrt{2}\) jest niewymierna. \(\blacksquare\)

**Wskazówka maturalna:** Ten dowód to klasyka, która pojawia się na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Warto go znać na pamięć - schemat jest identyczny dla dowodu niewymierności \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) itd.

## Dowód przez indukcję matematyczną - dla liczb naturalnych

Indukcja matematyczna to technika dowodzenia twierdzeń, które mają postać: "Dla każdego \(n \in \mathbb{N}\) zachodzi \(P(n)\)." Jest szczególnie przydatna przy [ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) i sumach szeregów.

### Schemat indukcji matematycznej

**Krok 1 - Baza indukcji:** Sprawdź, że teza jest prawdziwa dla \(n = 1\) (lub innej początkowej wartości).

**Krok 2 - Założenie indukcyjne:** Załóż, że teza jest prawdziwa dla pewnego \(n = k\), czyli \(P(k)\) jest prawdziwe.

**Krok 3 - Krok indukcyjny:** Pokaż, że z prawdziwości \(P(k)\) wynika prawdziwość \(P(k+1)\).

**Wniosek:** Skoro \(P(1)\) jest prawdziwe i z \(P(k)\) wynika \(P(k+1)\), to \(P(n)\) jest prawdziwe dla wszystkich \(n \in \mathbb{N}\).

### Dlaczego indukcja działa? Analogia z dominem

Wyobraź sobie nieskończony rząd kostek domina:
- **Baza:** Pierwsza kostka spada (\(P(1)\) jest prawdziwe)
- **Krok:** Jeśli kostka \(k\) spadnie, to spadnie też kostka \(k+1\) (z \(P(k)\) wynika \(P(k+1)\))
- **Wniosek:** Wszystkie kostki spadną (\(P(n)\) prawdziwe dla każdego \(n\))

### Przykład 6: Suma pierwszych \(n\) liczb naturalnych

**Teza:** Dla każdego \(n \in \mathbb{N}\) zachodzi:

$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

**Dowód (przez indukcję):**

**Baza indukcji (\(n = 1\)):**

Lewa strona: \(1\)

Prawa strona: \(\frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\)

Obie strony są równe, więc teza jest prawdziwa dla \(n = 1\). \(\checkmark\)

**Założenie indukcyjne:**

Załóżmy, że dla pewnego \(k \in \mathbb{N}\) zachodzi:

$$1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}$$

**Krok indukcyjny:**

Musimy wykazać, że teza zachodzi dla \(n = k + 1\), czyli:

$$1 + 2 + 3 + \ldots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Korzystamy z założenia indukcyjnego. Lewa strona to:

$$\underbrace{1 + 2 + \ldots + k}_{= \frac{k(k+1)}{2} \text{ (z zał. ind.)}} + (k+1)$$

$$= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}$$

$$= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Otrzymaliśmy dokładnie to, co mieliśmy wykazać.

Na mocy zasady indukcji matematycznej teza jest prawdziwa dla każdego \(n \in \mathbb{N}\). \(\blacksquare\)

**Kluczowe w indukcji:** Jasno zaznacz, gdzie korzystasz z założenia indukcyjnego. Egzaminator sprawdza, czy naprawdę je wykorzystałeś - bez tego krok indukcyjny jest nieważny.

### Przykład 7: Podzielność przez indukcję

**Teza:** Dla każdego \(n \in \mathbb{N}\) liczba \(6^n - 1\) jest podzielna przez \(5\).

**Dowód (przez indukcję):**

**Baza indukcji (\(n = 1\)):**

$$6^1 - 1 = 5$$

Liczba \(5\) jest podzielna przez \(5\). \(\checkmark\)

**Założenie indukcyjne:**

Załóżmy, że dla pewnego \(k \in \mathbb{N}\) liczba \(6^k - 1\) jest podzielna przez \(5\), czyli:

$$6^k - 1 = 5t \quad \text{dla pewnego } t \in \mathbb{Z}$$

Co oznacza, że \(6^k = 5t + 1\).

**Krok indukcyjny:**

Badamy \(6^{k+1} - 1\):

$$6^{k+1} - 1 = 6 \cdot 6^k - 1 = 6 \cdot (5t + 1) - 1 = 30t + 6 - 1 = 30t + 5 = 5(6t + 1)$$

Ponieważ \(6t + 1\) jest liczbą całkowitą, to \(6^{k+1} - 1 = 5(6t + 1)\) jest podzielna przez \(5\).

Na mocy zasady indukcji matematycznej \(6^n - 1\) jest podzielna przez \(5\) dla każdego \(n \in \mathbb{N}\). \(\blacksquare\)

## Dowód geometryczny - specyfika zadań z planimetrii

Na maturze często pojawiają się zadania typu "wykaż, że trójkąt jest równoboczny" albo "udowodnij, że proste są równoległe". Te dowody wymagają znajomości twierdzeń z [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

### Przykład 8: Dowód, że czworokąt jest równoległobokiem

**Zadanie:** Dany jest czworokąt \(ABCD\) o wierzchołkach \(A(1, 2)\), \(B(4, 3)\), \(C(6, 7)\), \(D(3, 6)\). Wykaż, że \(ABCD\) jest równoległobokiem.

**Dowód:**

Obliczamy wektory boków przeciwległych:

$$\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\; 3-2) = (3, 1)$$

$$\overrightarrow{DC} = C - D = (6-3,\; 7-6) = (3, 1)$$

Ponieważ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), boki \(AB\) i \(DC\) są równoległe i równej długości.

Sprawdzamy drugą parę:

$$\overrightarrow{AD} = D - A = (3-1,\; 6-2) = (2, 4)$$

$$\overrightarrow{BC} = C - B = (6-4,\; 7-3) = (2, 4)$$

Ponieważ \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), boki \(AD\) i \(BC\) są równoległe i równej długości.

Czworokąt, w którym obie pary boków przeciwległych są równoległe, jest z definicji równoległobokiem. \(\blacksquare\)

**Wskazówka:** W dowodach geometrycznych zawsze podawaj twierdzenie, z którego korzystasz. Nie wystarczy napisać "widać, że to równoległobok" - musisz wskazać definicję lub twierdzenie.

## Najczęstsze błędy w dowodach - za co CKE odbiera punkty

### Błąd 1: Dowodzenie w obie strony jednocześnie

**Niepoprawnie:**

"Mamy udowodnić, że \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), bo po rozwinięciu \((a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)."

Problem? Zaczynamy od tego, co mamy udowodnić, jakby to była prawda. To rozumowanie kołowe.

**Poprawnie:**

"Rozwijamy lewą stronę: \((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Otrzymaliśmy prawą stronę."

### Błąd 2: Brak definicji zmiennych

**Niepoprawnie:** "\(a\) jest parzyste, więc \(a = 2k\)..."

**Poprawnie:** "Skoro \(a\) jest liczbą parzystą, to istnieje taka liczba całkowita \(k\), że \(a = 2k\)."

Musisz powiedzieć, czym jest \(k\). Egzaminator sprawdza, czy rozumiesz, skąd się bierze ta zmienna.

### Błąd 3: Pominięcie założenia indukcyjnego

W dowodzie przez indukcję nie wystarczy sprawdzić bazy i przeprowadzić kroku. Musisz **jawnie napisać**, że korzystasz z założenia indukcyjnego, i **wyraźnie je oznaczyć**.

**Niepoprawnie:** Sprawdzam dla \(n = 1\)... Teraz sprawdzam dla \(n = k+1\)...

**Poprawnie:** Baza (\(n=1\)): ... Założenie: przyjmuję, że teza zachodzi dla \(n = k\)... Krok: korzystając z założenia indukcyjnego...

### Błąd 4: "Widać, że..." lub "Oczywiście..."

To sygnał alarmowy dla egzaminatora. Jeśli coś jest "oczywiste", to tym bardziej łatwo to uzasadnić jednym zdaniem. Nigdy nie pomijaj kroków - nawet prostych.

### Błąd 5: Niejasne zakończenie

Dowód musi mieć wyraźny koniec. Nie zostawiaj egzaminatora z pytaniem "i co dalej?". Napisz: "Zatem udowodniliśmy, że..." lub "Co kończy dowód."

## Punktacja CKE - za co dokładnie dostajesz i tracisz punkty

Według [zasad oceniania CKE](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania), w zadaniach z dowodami obowiązują następujące kryteria:

### Za co dostajesz punkty:

- **Poprawna struktura dowodu** - jasne założenie, rozumowanie, teza
- **Każdy krok jest uzasadniony** - powołanie na definicję, twierdzenie, własność
- **Poprawne operacje algebraiczne** - żadnych błędów rachunkowych
- **Prawidłowe wnioskowanie** - każdy wniosek wynika z poprzednich kroków

### Za co tracisz punkty:

- **Brak uzasadnienia kluczowego kroku** - np. "z tego wynika, że..." bez wyjaśnienia dlaczego
- **Rozumowanie kołowe** - zakładasz to, co masz udowodnić
- **Błędy rachunkowe** - nawet jeśli metoda jest poprawna, błąd w obliczeniach kosztuje punkty
- **Pominięcie przypadków szczególnych** - np. zapomnienie o \(a = 0\) w dowodzie nierówności
- **Brak wniosku** - zapominasz podsumować, co udowodniłeś

### Typowa punktacja zadania z dowodem (4 punkty):

| Punkty | Za co |
|---|---|
| 1 pkt | Poprawne zapisanie założeń i zdefiniowanie zmiennych |
| 2 pkt | Przeprowadzenie poprawnego rozumowania (główna część dowodu) |
| 1 pkt | Uzyskanie tezy i poprawne zakończenie dowodu |

## Praktyczne wskazówki - jak pisać dowody na maturze

### Wskazówka 1: Zacznij od końca

Przeczytaj tezę i zastanów się: "Co muszę uzyskać?". Potem pracuj wstecz - jakie kroki pośrednie do tego prowadzą?

### Wskazówka 2: Pisz pełnymi zdaniami

Nie pisz samych równań. Dodawaj łączniki: "stąd wynika, że...", "ponieważ...", "na mocy twierdzenia o...", "korzystając z definicji...". Egzaminator musi widzieć Twoje rozumowanie, nie tylko wyniki.

### Wskazówka 3: Rysuj, jeśli to pomaga

W dowodach geometrycznych rysunek to połowa sukcesu. Zaznacz na nim wszystkie dane i szukane wielkości. Rysunek nie jest dowodem, ale pomaga go skonstruować.

### Wskazówka 4: Sprawdź, czy nie pomijasz przypadków

Jeśli dowodzisz nierówności \(f(x) \geq 0\), sprawdź, czy rozważyłeś przypadek \(f(x) = 0\). Jeśli dzielisz przez zmienną, sprawdź, czy nie jest zerem.

### Wskazówka 5: Ćwicz na arkuszach CKE

Najlepszym przygotowaniem jest rozwiązywanie [prawdziwych arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Szukaj zadań z poleceniem "wykaż, że..." lub "udowodnij, że..." i porównuj swoje rozwiązania ze schematem oceniania CKE.

## Słownik maturalnych sformułowań w zadaniach z dowodami

| Sformułowanie w zadaniu | Co musisz zrobić |
|---|---|
| "Wykaż, że..." | Przeprowadź pełny dowód |
| "Udowodnij, że..." | Przeprowadź pełny dowód (to samo co "wykaż") |
| "Uzasadnij, że..." | Podaj argumentację - może być mniej formalna niż dowód |
| "Sprawdź, czy..." | Zweryfikuj warunek - wystarczy podstawić i sprawdzić |
| "Oblicz i uzasadnij" | Podaj wynik + krótkie wyjaśnienie, dlaczego jest poprawny |

Zwróć uwagę na różnicę między "wykaż" (pełny dowód) a "sprawdź" (weryfikacja). To fundamentalna różnica - za "wykaż" dostajesz więcej punktów, ale też więcej się oczekuje.

## Podsumowanie - checklista przed maturą

Zanim przystąpisz do pisania dowodu na arkuszu, sprawdź:

1. Czy wiesz, **jaki typ dowodu** zastosujesz? (bezpośredni, nie wprost, sprzeczność, indukcja)
2. Czy jasno **zapisałeś założenia**?
3. Czy **zdefiniowałeś wszystkie zmienne**? (np. \(k \in \mathbb{Z}\))
4. Czy **każdy krok wynika z poprzedniego**?
5. Czy **nie zakładasz tezy**? (brak rozumowania kołowego)
6. Czy **wyraźnie kończysz dowód**?
7. Czy **nie pominąłeś przypadków szczególnych**?

Dowodzenie to umiejętność, którą możesz rozwijać przez praktykę. Zacznij od prostych dowodów algebraicznych, potem przejdź do nierówności i indukcji. Przećwicz przynajmniej 15-20 zadań z dowodami przed maturą - i pamiętaj o [planie nauki na ostatnie tygodnie](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

Jeśli chcesz przećwiczyć konkretne działy, zerknij na nasze [kompletne bazy zadań z rozwiązaniami](/topics/liczby-rzeczywiste) - od [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) po [stereometrię](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). Im więcej zadań rozwiążesz, tym pewniej podejdziesz do dowodów na prawdziwym egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /darmowy-zbior-zadan-maturalnych-z-rozwiazaniami
title: Darmowy zbiór zadań maturalnych z matematyki z rozwiązaniami
description: Darmowy zbiór zadań maturalnych z matematyki z rozwiązaniami krok po kroku. Po czym poznać dobrą bazę, jak z niej korzystać i gdzie ćwiczyć za darmo.
author: Marcel Bogdan
---

# Darmowy zbiór zadań maturalnych z matematyki z rozwiązaniami

Wpisujesz w Google "darmowy zbiór zadań maturalnych z matematyki" i dostajesz setki PDF-ów, cienkich stron i płatnych kursów udających darmowe. Problem w tym, że sam plik z zadaniami niewiele daje, jeśli nie masz do niego rozwiązań krok po kroku i nie wiesz, czy zadania w ogóle przypominają prawdziwą maturę. W tym tekście pokażę ci, po czym poznać naprawdę dobry darmowy zbiór zadań, jak z niego korzystać, żeby faktycznie robić postępy, i gdzie znajdziesz ponad 2300 zadań z autentycznych arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami, bez płacenia za sam dostęp do bazy.

Jeśli chcesz od razu zacząć rozwiązywać, wejdź w [tryb losowych zadań](/random) albo w [zadania według działu](/topics). Tu tłumaczę, jak wybierać zbiór i jak z niego wycisnąć maksimum.

## Dlaczego darmowy zbiór zadań to podstawa nauki do matury

Matematyki na maturze nie nauczysz się z samego czytania teorii. Wzory możesz znać na pamięć, a i tak polegniesz, jeśli nie przećwiczysz ich na dziesiątkach zadań. Matura to umiejętność praktyczna, jak jazda na rowerze. Dlatego zbiór zadań, a nie podręcznik, jest twoim głównym narzędziem przez cały rok przygotowań.

Dobry darmowy zbiór ma jeszcze jedną ogromną zaletę: pozwala ćwiczyć bez presji budżetu. Korepetycje potrafią kosztować kilka tysięcy złotych rocznie, a duża część tej ceny to po prostu dostęp do zadań i tłumaczenia. Jeśli masz jedno i drugie za darmo, zostaje ci sama nauka, którą i tak wykonujesz sam. Jak zorganizować taką naukę bez korepetytora, rozłożyłem na czynniki pierwsze w tekście [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji).

Trzecia sprawa to skala. Żeby dany typ zadania zaczął wchodzić automatycznie, musisz rozwiązać go kilkanaście razy w różnych wariantach. Cienki zbiór z dziesięcioma zadaniami na dział tego nie zapewni. Potrzebujesz bazy, w której każdego typu jest tyle, że starczy na prawdziwe wyćwiczenie schematu.

## Po czym poznać dobry darmowy zbiór zadań

Nie każdy darmowy zbiór jest wart twojego czasu. Zanim usiądziesz do nauki, sprawdź, czy zbiór spełnia kilka warunków. Oto lista kontrolna, którą warto przyłożyć do każdego źródła.

| Kryterium | Dlaczego jest ważne | Jak sprawdzić |
| --- | --- | --- |
| Prawdziwe zadania CKE | tylko one odwzorowują styl i poziom matury | czy podano rok i źródło arkusza |
| Rozwiązania krok po kroku | po błędzie musisz wiedzieć, gdzie go zrobiłeś | czy jest pełne rozwiązanie, a nie sama odpowiedź |
| Podział na działy | żeby ćwiczyć celowo to, co leży | czy da się filtrować zadania po kategorii |
| Poprawny zapis wzorów | matematyka bez czytelnego LaTeX-u to zgadywanka | czy wzory renderują się jak w podręczniku |
| Dostęp mobilny | ćwiczysz w autobusie, nie tylko przy biurku | czy działa wygodnie na telefonie |
| Realnie darmowy dostęp | bez ściany płatności po trzecim zadaniu | ile zadań rozwiążesz bez konta i opłaty |

Największa pułapka to zbiory, które dają zadania, ale chowają rozwiązania za opłatą albo w ogóle ich nie mają. Samo zadanie bez rozwiązania jest jak test bez klucza odpowiedzi: rozwiążesz, ale nie dowiesz się, czy dobrze i gdzie popełniłeś błąd. To właśnie rozwiązania są najcenniejsze, więc to na nie patrz w pierwszej kolejności.

## Jak korzystać ze zbioru, żeby robić postępy

Dostęp do tysięcy zadań to jedno, a mądre korzystanie z nich to drugie. Sam fakt, że masz ogromną bazę, nie zrobi z ciebie maturzysty. Liczy się metoda. Oto rytm, który naprawdę działa.

Zacznij od diagnozy. Rozwiąż jeden pełny [arkusz maturalny CKE](/exams) na czas, bez zaglądania do rozwiązań, i policz punkty. To twój punkt zero, który pokazuje, które działy dowozisz, a które trzeba odbudować. Bez tego będziesz ćwiczyć to, co już umiesz, i omijać to, co naprawdę leży.

Potem ćwicz działami, nie na oślep. Wybierz jeden dział, który ci nie idzie, wejdź w [strony tematyczne](/topics) i przerabiaj zadania z tej kategorii po kolei, od zamkniętych po otwarte. Po każdym zadaniu czytaj rozwiązanie, nawet gdy trafiłeś odpowiedź, bo czasem dobry wynik wychodzi z błędnego rozumowania. Świetnym działem na start jest planimetria, bo pojawia się na każdym arkuszu; komplet zadań z rozwiązaniami zebrałem w hubie [zadania CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

Gdy utkniesz, nie gap się w zadanie godzinami. Skorzystaj z [solvera](/solve), który pokaże ci tok rozumowania, także ze zdjęcia zadania. To nie maszynka do ściągania, tylko sposób, żeby zobaczyć metodę, gdy nie masz obok kogo zapytać. Zobaczysz jeden schemat raz porządnie i rozwiążesz kolejne dziesięć zadań tego typu samodzielnie.

Na koniec sprawdzaj się w warunkach zbliżonych do egzaminu. Raz na jakiś czas rób [losowy zestaw zadań](/random) z pomieszanych działów albo cały arkusz na czas. Postępy śledź w [panelu postępów](/progress), gdzie widzisz, które kategorie masz już opanowane, a nad czym jeszcze popracować. Wzory, których potrzebujesz, masz zawsze pod ręką w [tablicach maturalnych](/formulas), ułożonych tak samo jak na prawdziwej maturze.

## Zbiór zadań kontra korepetycje i luźne pliki PDF

Warto na chwilę porównać trzy najczęstsze drogi przygotowania, bo każda kosztuje inaczej i daje co innego. Pierwsza to korepetycje: masz kogoś, kto tłumaczy na bieżąco i pilnuje, ale płacisz za każdą godzinę, a i tak większość nauki dzieje się później, gdy zostajesz sam z zadaniami. Druga to luźne pliki PDF ze zbiorami zadań: są za darmo, ale zwykle bez rozwiązań, bez podziału na typy i bez informacji, z którego roku pochodzą, więc łatwo ćwiczyć rzeczy spoza matury.

Trzecia droga to dobra platforma z bazą zadań CKE. Łączy zalety dwóch poprzednich bez ich wad: masz prawdziwe zadania z rozwiązaniami krok po kroku, podział na działy, solver na chwile zwątpienia i możliwość ćwiczenia na telefonie, a duża część tego jest za darmo. Nie zastąpi ci to nauczyciela, gdy potrzebujesz kogoś do rozmowy o konkretnym problemie, ale do codziennego, systematycznego ćwiczenia jest szybsza i tańsza niż jedno i drugie. W praktyce najlepiej łączyć: platforma do regularnej pracy, a korepetycje tylko punktowo, gdy jakiś temat naprawdę nie chce wejść. Jak taki plan bez stałego korepetytora rozpisać na cały rok, pokazuję w tekście [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji).

## Co dostajesz za darmo, a co daje Premium

Uczciwie: nie wszystko musi być za darmo, żeby zbiór był świetny. U nas ogromna część bazy jest dostępna bez opłaty, bo chcemy, żebyś mógł się realnie uczyć, zanim w ogóle pomyślisz o płaceniu. Za darmo rozwiązujesz zadania zamknięte, korzystasz z przewodników po działach i przeglądasz tablice wzorów. To wystarcza, żeby przygotować się do dużej części matury podstawowej.

Płatny [abonament Premium](/payment/checkout) odblokowuje pełną bazę zadań otwartych z rozwiązaniami krok po kroku, nielimitowany dostęp do solvera i dodatkowe funkcje śledzenia postępów. To model subskrypcji, więc płacisz za okres, w którym się uczysz. Najpierw jednak sprawdź za darmo, czy taki sposób nauki ci pasuje, i dopiero potem decyduj. Aktualne warianty i ceny zawsze znajdziesz na [stronie abonamentu](/payment/checkout).

Kluczowa różnica wobec wielu innych stron: u nas darmowy dostęp to nie trzy zadania na zachętę, tylko realny zasób, na którym da się pracować tygodniami. Płacisz dopiero wtedy, gdy chcesz pełni bazy i wygody, a nie po to, żeby w ogóle zacząć.

## Najczęstsze pytania

### Czy zadania maturalne z matematyki są naprawdę dostępne za darmo?
Tak. Arkusze CKE są jawne po każdej sesji, a u nas masz je posegregowane według działów i lat, z rozwiązaniami. Dużą część bazy przerobisz bez opłaty.

### Czy darmowy zbiór wystarczy, żeby zdać maturę podstawową?
Dla wielu osób tak, zwłaszcza gdy celem jest przekroczenie progu zdawalności. Kluczem jest systematyczność i rozwiązywanie zadań z rozwiązaniami, a nie liczba wydanych złotówek.

### Ile zadań powinienem rozwiązać przed maturą?
Nie ma magicznej liczby, ale licz w setkach, nie dziesiątkach. Ważniejsze od liczby jest to, żeby po każdym zadaniu przeczytać rozwiązanie i zrozumieć metodę.

### Czym różni się dobry zbiór od zwykłego PDF-a z zadaniami?
Przede wszystkim rozwiązaniami krok po kroku, filtrowaniem po działach, czytelnym zapisem wzorów i możliwością ćwiczenia na telefonie. PDF daje same zadania, dobra platforma daje cały proces nauki.

### Od którego działu zacząć?
Od tego, który najbardziej ci leży według diagnozy z arkusza. Dobre, schematyczne działy na początek to funkcja kwadratowa i planimetria; zadania z pierwszego znajdziesz w hubie [zadania CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami).

## Podsumowanie - zacznij rozwiązywać jeszcze dziś

Darmowy zbiór zadań maturalnych z matematyki to najtańsza i najskuteczniejsza droga do zdania, pod warunkiem że wybierzesz dobry. Szukaj prawdziwych zadań CKE, rozwiązań krok po kroku, podziału na działy i realnie darmowego dostępu. Potem ćwicz metodycznie: zdiagnozuj poziom arkuszem, przerabiaj działy po kolei, korzystaj z solvera, gdy utkniesz, i sprawdzaj się na całych arkuszach. Cały ekwipunek masz w jednym miejscu: [losowe zadania](/random), [zadania według działu](/topics), [solver](/solve), [arkusze CKE](/exams), [tablice wzorów](/formulas) i [panel postępów](/progress). Wejdź i rozwiąż pierwsze zadanie już teraz.

Jeśli zamiast przeglądać bazę wolisz, żeby zadania same do Ciebie przychodziły, wypróbuj [generator zadań maturalnych](/generator-zadan-maturalnych-matematyka-trener-cke) - losuje zadania CKE pod wybrane działy i poziom.

Wahasz się między klasycznym zbiorem PDF a bazą online? Porównanie obu form - z kosztami, wadami i zaletami - znajdziesz w tekście [zbiór zadań PDF czy baza online](/zbior-zadan-maturalnych-matematyka-pdf-czy-baza-online).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /czy-chatgpt-rozwiaze-zadanie-maturalne-z-matematyki
title: Czy ChatGPT rozwiąże zadanie z matury z matematyki?
description: Czy ChatGPT rozwiąże zadanie maturalne z matematyki? Sprawdź, kiedy AI pomaga, gdzie się myli i jak zweryfikować wynik w bazie zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Czy ChatGPT rozwiąże zadanie z matury z matematyki?

Wpisujesz treść zadania maturalnego do ChatGPT, w kilka sekund dostajesz gotowe rozwiązanie z ładnie sformatowanymi wzorami i myślisz: koniec z męczeniem się nad zadaniami, sztuczna inteligencja zrobi wszystko za mnie. Znam to, sam sprawdzałem dziesiątki zadań w ten sposób. I mam dla ciebie prostą prawdę, której nie usłyszysz w reklamie żadnego chatbota: ChatGPT jest genialnym korepetytorem do tłumaczenia i fatalnym narzędziem, jeśli zaufasz mu na ślepo przed maturą.

Ten tekst pokazuje, co model językowy robi z zadaniem z matematyki naprawdę dobrze, gdzie regularnie się myli, dlaczego jego błędów często nie widać gołym okiem i jak połączyć AI z zweryfikowaną bazą zadań CKE, żeby zamiast fałszywego poczucia bezpieczeństwa dostać realne punkty na egzaminie.

## Jak w ogóle działa ChatGPT przy zadaniu z matematyki

Żeby zrozumieć, kiedy AI ci pomoże, a kiedy zaszkodzi, musisz wiedzieć jedną rzecz. Model językowy (program przewidujący najbardziej prawdopodobne kolejne słowo na podstawie miliardów tekstów) nie liczy tak jak kalkulator. On nie wykonuje działania \(17 \cdot 23\), tylko przewiduje, jak wygląda tekst rozwiązania takiego zadania. Zwykle trafia, bo widział tysiące podobnych, ale czasem generuje coś, co brzmi jak poprawne rozwiązanie, a nie jest.

To kluczowa różnica względem naszego [solvera matematycznego](/solve), który realnie przetwarza wyrażenie krok po kroku, oraz względem [bazy zadań z rozwiązaniami CKE](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo), gdzie każda odpowiedź została sprawdzona przez człowieka. ChatGPT zgaduje wiarygodnie. To zupełnie inny mechanizm niż liczenie i trzeba go traktować z ograniczonym zaufaniem.

## Co ChatGPT robi naprawdę dobrze

Nie ma sensu udawać, że AI jest bezużyteczne, bo do kilku rzeczy nadaje się świetnie.

Po pierwsze, tłumaczy teorię własnymi słowami. Nie rozumiesz, po co w [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) liczy się deltę? Poproś o wyjaśnienie na przykładzie, a potem o prostsze wyjaśnienie, a potem o analogię z życia. Żaden podręcznik nie dopasuje się do ciebie tak elastycznie.

Po drugie, rozpisuje ogólny schemat metody. Zapytaj, jak krok po kroku podejść do [równania wymiernego](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura) albo do [nierówności kwadratowej](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania), a dostaniesz sensowną listę kroków. Do zrozumienia procedury to bardzo dobre narzędzie.

Po trzecie, generuje dodatkowe przykłady do ćwiczeń i podpowiada, gdzie popełniasz typowe błędy, jeśli wkleisz mu swoje rozwiązanie. To realna wartość, pod warunkiem że wynik potem zweryfikujesz.

Widać wzorzec: ChatGPT jest mocny wszędzie tam, gdzie chodzi o wyjaśnienie i zrozumienie. Problemy zaczynają się, gdy oczekujesz od niego pewnej, punktowanej odpowiedzi.

## Gdzie ChatGPT się myli i dlaczego tego nie zauważysz

Tu robi się poważnie, bo błędy AI są podstępne. Nie wyglądają jak błędy.

Najczęstszy problem to pomyłki rachunkowe. Model potrafi bezbłędnie ustawić całą metodę, a potem pomylić znak przy przenoszeniu wyrazu albo źle pomnożyć dwie liczby, i pociągnąć ten błąd do samego końca. Rozwiązanie wygląda profesjonalnie, wzory się zgadzają, tylko wynik jest zły. To dokładnie ten typ pomyłki, który na maturze kosztuje punkty, a przy AI jest wyjątkowo trudny do wychwycenia, bo ufasz ładnemu zapisowi.

Druga pułapka to zmyślona pewność. ChatGPT prawie nigdy nie powie "nie wiem". Jak nie zna dokładnej metody, wymyśli krok, który brzmi wiarygodnie, ale jest matematycznie błędny. W [dowodach](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac) to katastrofa, bo model potrafi napisać "łatwo zauważyć, że" i przeskoczyć dokładnie ten fragment, który na maturze jest wart punkt.

Trzecia rzecz: niestabilność. Zadaj to samo zadanie dwa razy, a często dostaniesz dwie różne odpowiedzi. Skoro model sam nie jest zgodny ze sobą, nie możesz traktować jego wyniku jako pewnika.

I najważniejsze z punktu widzenia egzaminu: ChatGPT nie zna [zasad oceniania CKE](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania). Nie wie, że na maturze punktuje się konkretne kroki i że sam wynik bez zapisu rozumowania w zadaniu otwartym to często zero punktów. Może dać dobry wynik złą drogą, która na prawdziwym arkuszu nie dostałaby kompletu punktów.

## ChatGPT kontra baza zadań CKE z rozwiązaniami

Zestawmy to wprost, bo to sedno sprawy. Poniższa tabela pokazuje, gdzie AI wygrywa, a gdzie potrzebujesz zweryfikowanego źródła.

| Kryterium | ChatGPT | Baza zadań CKE z rozwiązaniami |
| --- | --- | --- |
| Tłumaczenie teorii | Bardzo dobre, elastyczne | Dobre, ale statyczne |
| Poprawność wyniku | Niepewna, zdarzają się błędy rachunkowe | Sprawdzona przez człowieka |
| Zgodność z punktacją CKE | Brak gwarancji | Rozwiązania w stylu klucza CKE |
| Powtarzalność | Ta sama odpowiedź potrafi się różnić | Zawsze ta sama, wiarygodna |
| Zadania z prawdziwych arkuszy | Nie ma dostępu do bazy CKE | ponad 2300 zadań z lat 2010-2025 |
| Nauka samodzielności | Podaje gotowca, kusi do biernego kopiowania | Wymusza samodzielne rozwiązanie i sprawdzenie |

Wniosek nie brzmi "nie używaj ChatGPT". Brzmi: używaj go do zrozumienia, ale nigdy nie traktuj jego odpowiedzi jako ostatecznej. Wynik zawsze zweryfikuj tam, gdzie ktoś realnie sprawdził poprawność.

## Iluzja kompetencji, czyli największe zagrożenie

Jest jeszcze jeden problem, groźniejszy od pomyłek rachunkowych, bo dotyczy twojej głowy, a nie chatbota. Nazywa się iluzja kompetencji (złudzenie, że skoro rozumiesz cudze rozwiązanie, to umiesz je odtworzyć sam).

Czytasz rozwiązanie od ChatGPT, wszystko wydaje się jasne, kiwasz głową, mózg zapisuje "umiem to". Potem siadasz do zadania sam, na pustej kartce, i okazuje się, że nie masz pojęcia, od czego zacząć. To ten sam mechanizm, który opisałem przy [nauce z filmów na YouTube](/nauka-matematyki-z-youtube-do-matury-czy-wystarczy): bierne oglądanie cudzego rozwiązania nie buduje umiejętności samodzielnego rozwiązywania. A matura sprawdza dokładnie tę drugą, samodzielną umiejętność.

Dydaktycy mają na to twarde dane. Efekt testowania (uczenie się przez samodzielne przypominanie i rozwiązywanie, a nie bierne czytanie) daje znacznie trwalsze zapamiętanie niż wielokrotne czytanie gotowca. Uczeń, który przeczytał dziesięć rozwiązań od AI, wypada na sprawdzianie gorzej niż ten, który przeczytał jedno i rozwiązał trzydzieści zadań sam.

## System, który działa: AI do zrozumienia, zadania do treningu

Rozwiązanie nie polega na wyrzuceniu ChatGPT, tylko na przypisaniu mu właściwej roli. Trzy kroki, w tej kolejności.

| Etap | Co robisz | Narzędzie |
| --- | --- | --- |
| 1. Zrozum | Pytasz AI o wyjaśnienie metody i teorię działu | ChatGPT + [karta wzorów CKE](/formulas) |
| 2. Wytrenuj | Rozwiązujesz kilkanaście prawdziwych zadań samodzielnie | [tryb losowy](/random), [zadania wg działów](/topics) |
| 3. Zweryfikuj | Porównujesz wynik z rozwiązaniem sprawdzonym przez człowieka | [rozwiązania CKE krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo), [solver](/solve) |

Klucz to nie przeskakiwać z etapu pierwszego prosto do gotowej odpowiedzi. Po tym, jak AI wytłumaczy ci metodę, zamknij czat i zrób zadanie sam, na kartce. Dopiero potem sprawdź wynik w zweryfikowanej bazie. Jeśli utknąłeś w połowie, wrzuć wyrażenie do [solvera](/solve) i przeczytaj jeden brakujący krok, zamiast prosić ChatGPT o całe rozwiązanie od nowa.

## Jak bezpiecznie korzystać z ChatGPT do matury

Skoro już używasz AI, rób to mądrze. Kilka nawyków, które zamieniają je z ryzyka w pomoc.

Zawsze weryfikuj wynik liczbowy. Zadanie zamknięte ma jedną poprawną odpowiedź, więc sprawdź ją w [bazie zadań z rozwiązaniami](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo) albo policz kontrolnie w [solverze](/solve). Nigdy nie przyjmuj wyniku od AI na słowo.

Proś o wyjaśnienie, nie o gotowca. Zamiast "rozwiąż to zadanie" pisz "wytłumacz, jaką metodą się to robi", a potem rozwiąż sam. Dostajesz zrozumienie zamiast pokusy przepisania.

Uważaj na dowody i zadania na wykazanie. To najsłabszy punkt AI. Jeśli model pisze "w oczywisty sposób" albo pomija krok, potraktuj to jako sygnał ostrzegawczy i sprawdź rozumowanie w [poradniku o dowodach](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

Nie ucz się metody tylko z jednego czatu. Model bywa niestabilny, więc skonfrontuj jego podejście z zadaniami tego samego typu z prawdziwych arkuszy, na przykład w hubie [zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami](/zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami).

## Gdzie ćwiczyć na prawdziwych zadaniach, kiedy AI wytłumaczy teorię

Do etapów drugiego i trzeciego potrzebujesz bazy prawdziwych zadań z natychmiastowym, sprawdzonym rozwiązaniem. Na sprawnamatura.pl masz ponad 2300 zadań z arkuszy CKE z lat 2010-2025, każde z rozwiązaniem krok po kroku, które ktoś realnie sprawdził. To dokładnie ta warstwa, której ChatGPT nie zastąpi: pewny punkt odniesienia dla twoich odpowiedzi.

W praktyce wygląda to tak. AI wytłumaczyło ci [ciągi](/topics/ciagi)? Wejdź na zadania z ciągów i rozwiąż serię samodzielnie. Chcesz sprawdzić, czy dział wchodzi na chłodno, bez zapowiedzi tematu? Włącz [tryb losowy](/random), który podrzuca zadania z różnych działów, tak jak na prawdziwym arkuszu. Gotowy na próbę generalną? Rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) na czas. Postępy i słabe punkty widzisz w [panelu postępów](/progress), więc wiesz, do którego działu wrócić.

Duża część bazy, w tym zadania zamknięte i przewodniki tematyczne, jest dostępna za darmo i bez logowania, więc możesz zacząć od razu. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje [abonament Premium](/payment/checkout).

## FAQ

### Czy da się zdać maturę z matematyki tylko z ChatGPT?
Teoretycznie da się nim wytłumaczyć całą teorię, ale bez samodzielnego rozwiązania kilkuset zadań i weryfikacji wyników nie zdobędziesz pewności ani szybkości. Do progu zdawalności [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) potrzebujesz treningu na prawdziwych zadaniach, nie czytania gotowców.

### Czy ChatGPT poprawnie rozwiązuje zadania maturalne?
Często tak, ale nie zawsze, i w tym problem. Zdarzają mu się błędy rachunkowe i zmyślone kroki, których nie widać na pierwszy rzut oka. Dlatego każdy wynik trzeba sprawdzić w zweryfikowanym źródle, na przykład w [bazie zadań CKE](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo).

### ChatGPT czy solver do sprawdzania zadań?
Do policzenia konkretnego wyrażenia pewniejszy jest [solver](/solve), bo realnie przetwarza działanie, a nie przewiduje tekst. ChatGPT lepiej sprawdza się w tłumaczeniu, dlaczego coś się liczy tak, a nie inaczej.

### Czy nauczyciel pozna, że rozwiązanie jest z AI?
Na maturze i tak liczysz sam, więc pytanie jest bez znaczenia w dniu egzaminu. W trakcie nauki ważniejsze jest to, że kopiowanie gotowca od AI nie buduje twoich umiejętności, więc szkodzisz głównie sobie.

### Jak najlepiej wykorzystać AI do nauki matematyki?
Do wyjaśniania teorii i metody, nie do produkowania gotowych odpowiedzi. Zrozum z AI, rozwiąż sam, sprawdź w [bazie CKE](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo). Ta kolejność zamienia chatbota w realną pomoc.

## Podsumowanie

ChatGPT to świetny nauczyciel teorii i ryzykowny doradca przy konkretnym wyniku. Wytłumaczy ci metodę lepiej niż niejeden podręcznik, ale potrafi zmylić się w rachunkach, zmyślić krok w dowodzie i nie zna zasad punktowania CKE. Traktuj jego odpowiedzi jak wersję roboczą, którą zawsze trzeba zweryfikować.

Plan na dziś: poproś AI, żeby wytłumaczyło ci dział, który cię męczy, potem zamknij czat i rozwiąż pięć prawdziwych zadań z [bazy CKE](/random) całkowicie sam, a wynik sprawdź w [rozwiązaniach krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo). Gotowy zestaw zadań z jednego działu znajdziesz na przykład w hubie [zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami](/zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami). To najkrótsza droga od "AI mi to wytłumaczyło" do "umiem to zrobić sam na maturze".

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte
title: Ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność i zadania otwarte z pełnymi rozwiązaniami
description: Sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych, monotoniczność i zadania otwarte za 4-5 punktów z pełnymi rozwiązaniami. Wzory i schematy na maturę.
author: Marcel Bogdan
---

# Ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność i zadania otwarte z pełnymi rozwiązaniami

## Ciągi na maturze - co musisz umieć na egzaminie

Na maturze z matematyki ciągi pojawiają się **zawsze** - minimum 2 zadania, w tym przynajmniej jedno otwarte za 4-5 punktów. Podstawy (wzór na n-ty wyraz, różnica, iloraz) znajdziesz w [podstawowym przewodniku po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-i-geometryczne-na-maturze-wzory-zadania). Ten artykuł idzie dalej - skupiamy się na **sumach ciągów, monotoniczności i zadaniach otwartych**, bo tam leżą punkty na maturze.

---

## Suma ciągu arytmetycznego

### Wzór podstawowy

Suma \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

Alternatywna postać (gdy nie znasz \(a_n\)):

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n$$

gdzie \(r\) to różnica ciągu.

### Kiedy który wzór?

- Znasz \(a_1\) i \(a_n\) - użyj pierwszego
- Znasz \(a_1\) i \(r\) - użyj drugiego
- Znasz tylko \(S_n\) i musisz znaleźć wyraz - przekształcaj: \(a_n = S_n - S_{n-1}\) dla \(n \geq 2\)

### Zadanie 1 - typowe maturalne

**Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym \(a_1 = 3\) i \(r = 4\). Oblicz sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.**

Najpierw obliczamy \(a_{20}\):

$$a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$$

Teraz suma:

$$S_{20} = \frac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = \frac{82 \cdot 20}{2} = \frac{1640}{2} = 820$$

### Zadanie 2 - suma z warunkiem

**Suma pięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 35, a suma dziesięciu pierwszych wyrazów wynosi 120. Znajdź \(a_1\) i \(r\).**

Z wzoru na sumę tworzymy układ równań:

$$S_5 = \frac{2a_1 + 4r}{2} \cdot 5 = 5a_1 + 10r = 35$$

$$S_{10} = \frac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = 10a_1 + 45r = 120$$

Z pierwszego równania: \(a_1 + 2r = 7\), czyli \(a_1 = 7 - 2r\).

Podstawiamy do drugiego:

$$10(7 - 2r) + 45r = 120$$
$$70 - 20r + 45r = 120$$
$$25r = 50$$
$$r = 2$$

Więc \(a_1 = 7 - 4 = 3\).

**Sprawdzenie:** \(S_5 = \frac{(3 + 11) \cdot 5}{2} = 35\) ✓, \(S_{10} = \frac{(3 + 21) \cdot 10}{2} = 120\) ✓

Więcej o [układach równań na maturze](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-z-przykladami).

---

## Suma ciągu geometrycznego

### Wzór

Suma \(n\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (\(q \neq 1\)):

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Jeśli \(q = 1\), to \(S_n = n \cdot a_1\) (każdy wyraz jest taki sam).

### Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Jeśli \(|q|  0\) - ciąg jest **rosnący**
- \(r  0\) | \(a_1  1\): rosnący | \(q > 1\): malejący |
| \(0  0\), więc ciąg jest rosnący. ✓

Ale pytanie brzmi "dla jakich \(m\)" - tu jest tylko jedno \(m = 3\), bo warunek bycia ciągiem arytmetycznym wyznacza \(m\) jednoznacznie. Ciąg jest rosnący dla \(m = 3\).

---

## Zadania otwarte - poziom maturalny

### Zadanie 5 (4 pkt)

**W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3 = 10\) i \(a_7 = 26\). Wyznacz \(a_1\), \(r\) oraz \(S_{15}\).**

Z wzoru na n-ty wyraz:

$$a_3 = a_1 + 2r = 10$$
$$a_7 = a_1 + 6r = 26$$

Odejmujemy stronami:

$$4r = 16, \quad r = 4$$

Więc \(a_1 = 10 - 8 = 2\).

Suma 15 wyrazów:

$$a_{15} = 2 + 14 \cdot 4 = 58$$

$$S_{15} = \frac{(2 + 58) \cdot 15}{2} = \frac{60 \cdot 15}{2} = 450$$

### Zadanie 6 (5 pkt)

**Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi 4, a trzeci wyraz wynosi 1. Wyznacz iloraz ciągu (wiemy, że jest dodatni) i oblicz sumę pierwszych sześciu wyrazów.**

$$a_1 = 4, \quad a_3 = a_1 \cdot q^2 = 4q^2 = 1$$

$$q^2 = \frac{1}{4}, \quad q = \frac{1}{2} \quad (\text{bo } q > 0)$$

$$S_6 = 4 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^6}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{63}{32} = \frac{252}{32} = \frac{63}{8} = 7\frac{7}{8}$$

### Zadanie 7 (5 pkt)

**Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 21, a suma ich kwadratów wynosi 155. Znajdź te trzy wyrazy.**

Oznaczmy wyrazy jako \(a-r, a, a+r\) (klasyczna sztuczka na ciągi arytmetyczne).

Z sumy:

$$(a-r) + a + (a+r) = 3a = 21, \quad a = 7$$

Z sumy kwadratów:

$$(7-r)^2 + 49 + (7+r)^2 = 155$$

$$49 - 14r + r^2 + 49 + 49 + 14r + r^2 = 155$$

$$147 + 2r^2 = 155$$

$$2r^2 = 8, \quad r^2 = 4, \quad r = \pm 2$$

Trzy wyrazy to: **5, 7, 9** lub **9, 7, 5** (oba rozwiązania są poprawne).

### Zadanie 8 (5 pkt)

**Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny. Wiadomo, że \(S_6 = 54\) i \(S_{12} = 216\). Oblicz \(S_{18}\).**

$$S_6 = \frac{2a_1 + 5r}{2} \cdot 6 = 6a_1 + 15r = 54$$

$$S_{12} = \frac{2a_1 + 11r}{2} \cdot 12 = 12a_1 + 66r = 216$$

Z pierwszego: \(2a_1 + 5r = 18\). Z drugiego: \(2a_1 + 11r = 36\).

Odejmujemy: \(6r = 18\), \(r = 3\), \(a_1 = \frac{18 - 15}{2} = \frac{3}{2}\).

$$S_{18} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 17 \cdot 3}{2} \cdot 18 = \frac{3 + 51}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$$

**Sprytna metoda:** W ciągu arytmetycznym zachodzi ciekawa własność - sumy bloków po 6 wyrazów tworzą ciąg arytmetyczny. \(S_6 = 54\), \(S_{12} - S_6 = 162\), więc \(S_{18} - S_{12} = 162 + (162 - 54) = 270\). Stąd \(S_{18} = 216 + 270 = 486\).

---

## Typowe pułapki na maturze

1. **Ciąg geometryczny z ujemnym ilorazem** - pamiętaj, że \(q^2 = 4\) daje \(q = 2\) lub \(q = -2\). Sprawdź w treści, czy iloraz ma być dodatni.

2. **\(a_n = S_n - S_{n-1}\) tylko dla \(n \geq 2\)** - pierwszy wyraz to \(a_1 = S_1\). Jeśli zapomnisz, dostaniesz błędny wynik.

3. **Mylenie sumy ciągu z n-tym wyrazem** - CKE lubi pytać "wyznacz wyraz \(a_n\)", a uczniowie obliczają sumę. Czytaj treść uważnie.

4. **Iloraz ciągu geometrycznego \(q = 0\)** - nie istnieje ciąg geometryczny z ilorazem 0. Jeśli \(q = 0\) wychodzi w obliczeniach, coś poszło źle.

---

## Co dalej?

- Ćwicz zadania z ciągami na [Sprawnej Maturze](/topics/ciagi) - mamy 87 zadań maturalnych
- Powtórz [wzory na maturę](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista) - sekcja o ciągach
- Przejrzyj rozwiązania arkuszy maturalnych, np. [matura maj 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania) i [matura próbna luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania)

Ciągi to **gwarantowane punkty** na maturze, jeśli opanujesz wzory i przećwiczysz zadania otwarte. Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania
title: Ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami
description: Kompletny przewodnik po ciągach na maturze: wzór na n-ty wyraz, suma n wyrazów, monotoniczność. Ciąg arytmetyczny i geometryczny z zadaniami CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami

## Ciągi na maturze - dlaczego to ważne?

W każdym arkuszu CKE pojawiają się 3-4 zadania z ciągów, łącznie za 5-7 punktów. Dobra wiadomość: zadania z ciągów są **bardzo schematyczne** - jeśli opanujesz kilka wzorów, rozwiążesz je szybko i pewnie.

## Ciąg arytmetyczny - podstawowe wzory

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym **różnica** między kolejnymi wyrazami jest stała. Tę różnicę oznaczamy \(r\).

$$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = r$$

### Wzór na n-ty wyraz

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

**Przykład:** Jeśli \(a_1 = 3\) i \(r = 5\), to \(a_{10} = 3 + 9 \cdot 5 = 48\).

### Suma n pierwszych wyrazów

Dwa równoważne wzory - używaj tego, w którym znasz potrzebne dane:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$

Pierwszy wzór jest wygodniejszy, gdy znasz pierwszy i ostatni wyraz. Drugi - gdy znasz pierwszy wyraz i różnicę.

### Własność środkowego wyrazu

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$

**Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów.** To stąd nazwa "ciąg arytmetyczny". CKE uwielbia dawać układ równań, w którym ta własność jest kluczem do rozwiązania.

## Ciąg geometryczny - podstawowe wzory

Ciąg geometryczny to taki, w którym **iloraz** kolejnych wyrazów jest stały. Oznaczamy go \(q\).

$$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \ldots = q$$

### Wzór na n-ty wyraz

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

**Przykład:** Jeśli \(a_1 = 2\) i \(q = 3\), to \(a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162\).

### Suma n pierwszych wyrazów

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1$$

**Uwaga:** Ten wzór nie działa dla \(q = 1\) - wtedy \(S_n = n \cdot a_1\) (bo wszystkie wyrazy są równe).

### Własność środkowego wyrazu

$$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$$

Kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn sąsiadów. To **średnia geometryczna** - i stąd nazwa "ciąg geometryczny".

## Monotoniczność ciągów

Na maturze często pojawiają się pytania o monotoniczność:

**Ciąg arytmetyczny:**
- \(r > 0\) - ciąg rosnący
- \(r  0\)):
- \(q > 1\) - ciąg rosnący
- \(0 < q < 1\) - ciąg malejący
- \(q < 0\) - ciąg niemonotoniczny (wyrazy na przemian + i -)

**Pułapka CKE:** Ciąg geometryczny z \(q = -2\) ma wyrazy: \(a_1, -2a_1, 4a_1, -8a_1, \ldots\) - na przemian dodatnie i ujemne. Taki ciąg **nie jest monotoniczny**, mimo że wartości bezwzględne rosną.

## Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

### Przykład 1: Wyznacz n-ty wyraz z warunków

**Treść:** W ciągu arytmetycznym \(a_3 = 10\) i \(a_7 = 26\). Wyznacz \(a_{15}\).

**Rozwiązanie:**

Z wzoru na n-ty wyraz:
$$a_3 = a_1 + 2r = 10$$
$$a_7 = a_1 + 6r = 26$$

Odejmujemy równanie pierwsze od drugiego:
$$4r = 16 \implies r = 4$$

Podstawiamy do pierwszego równania:
$$a_1 + 8 = 10 \implies a_1 = 2$$

Obliczamy \(a_{15}\):
$$a_{15} = 2 + 14 \cdot 4 = 2 + 56 = 58$$

**Odpowiedź:** \(a_{15} = 58\)

### Przykład 2: Suma wyrazów z warunkami

**Treść:** Suma 20 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 400, a \(a_1 = 2\). Wyznacz różnicę \(r\).

**Rozwiązanie:**

Ze wzoru na sumę:
$$S_{20} = \frac{2a_1 + 19r}{2} \cdot 20 = 400$$

$$\frac{2 \cdot 2 + 19r}{2} \cdot 20 = 400$$

$$\frac{4 + 19r}{2} \cdot 20 = 400$$

$$(4 + 19r) \cdot 10 = 400$$

$$4 + 19r = 40$$

$$19r = 36$$

$$r = \frac{36}{19}$$

**Odpowiedź:** \(r = \frac{36}{19}\)

### Przykład 3: Czy dany ciąg jest arytmetyczny?

**Treść:** Dany jest ciąg o wzorze ogólnym \(a_n = 3n - 1\). Czy jest to ciąg arytmetyczny? Jeśli tak, podaj różnicę.

**Rozwiązanie:**

Sprawdzamy, czy różnica \(a_{n+1} - a_n\) jest stała:

$$a_{n+1} - a_n = (3(n+1) - 1) - (3n - 1) = 3n + 3 - 1 - 3n + 1 = 3$$

Różnica jest stała i wynosi 3, więc ciąg **jest arytmetyczny** z \(r = 3\).

Można też sprawdzić na kilku wyrazach: \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\), \(a_3 = 8\). Różnice: \(5-2 = 3\), \(8-5 = 3\). Zgadza się.

**Odpowiedź:** Tak, ciąg jest arytmetyczny z \(r = 3\).

### Przykład 4: Procent składany (ciąg geometryczny)

**Treść:** Na lokacie bankowej złożono 10 000 zł z oprocentowaniem 4% w skali roku (procent składany). Ile pieniędzy będzie na koncie po 5 latach?

**Rozwiązanie:**

Kwota po każdym roku tworzy ciąg geometryczny z \(a_1 = 10000\) i \(q = 1{,}04\).

Kwota po 5 latach:
$$a_6 = a_1 \cdot q^5 = 10000 \cdot 1{,}04^5$$

Obliczamy \(1{,}04^5\):
$$1{,}04^2 = 1{,}0816$$
$$1{,}04^4 = 1{,}0816^2 \approx 1{,}1699$$
$$1{,}04^5 = 1{,}1699 \cdot 1{,}04 \approx 1{,}2167$$

$$a_6 \approx 10000 \cdot 1{,}2167 = 12\,167 \text{ zł}$$

**Odpowiedź:** Po 5 latach na koncie będzie około \(12\,167\) zł.

### Przykład 5: Układ równań z ciągiem geometrycznym

**Treść:** W ciągu geometrycznym \(a_2 = 6\) i \(a_5 = 162\). Wyznacz \(a_1\) i \(q\).

**Rozwiązanie:**

Z wzoru na n-ty wyraz:
$$a_2 = a_1 \cdot q = 6$$
$$a_5 = a_1 \cdot q^4 = 162$$

Dzielimy drugie równanie przez pierwsze:
$$\frac{a_1 q^4}{a_1 q} = \frac{162}{6}$$

$$q^3 = 27 \implies q = 3$$

Z pierwszego równania:
$$a_1 \cdot 3 = 6 \implies a_1 = 2$$

Sprawdzenie: \(a_1 = 2, a_2 = 6, a_3 = 18, a_4 = 54, a_5 = 162\). Zgadza się.

**Odpowiedź:** \(a_1 = 2\), \(q = 3\)

## Błędy, których musisz unikać

**Błąd 1:** Mylenie indeksowania. W wzorze \(a_n = a_1 + (n-1)r\) - to \(n-1\), nie \(n\)! Dla \(a_5\) mnożysz \(r\) przez 4, nie przez 5.

**Błąd 2:** W ciągu geometrycznym - dzielenie przez \(q = 0\) lub używanie wzoru na sumę przy \(q = 1\).

**Błąd 3:** Zapominanie o warunkach istnienia. Ciąg geometryczny wymaga \(a_1 \neq 0\) i \(q \neq 0\).

## Jak ćwiczyć ciągi efektywnie?

Rozwiąż przynajmniej 20 zadań zamkniętych i 5 otwartych z ciągów. Na Sprawnej Maturze masz ponad 210 zadań z ciągów z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz je wszystkie, zaczynając od najnowszych. Po 30 zadaniach zobaczysz, że schematy się powtarzają i będziesz je rozwiązywać na autopilocie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac
title: Błędy rachunkowe na maturze z matematyki - jak ich unikać i sprawdzać obliczenia
description: Znaki, ułamki, potęgi i procenty: najczęstsze błędy rachunkowe na maturze z matematyki i metody sprawdzania obliczeń, które ratują punkty na egzaminie.
author: Marcel Bogdan
---

# Błędy rachunkowe na maturze z matematyki - jak ich unikać i sprawdzać obliczenia

## Błędy rachunkowe - cichy zabójca punktów maturalnych

Wyobraź sobie: rozumiesz treść zadania, wiesz, jaką metodę zastosować, poprawnie zapisujesz równanie - a potem tracisz punkt, bo \(-3 \cdot (-2)\) wychodzi Ci \(-6\) zamiast \(6\). Albo zapominasz zmienić znak po przeniesieniu na drugą stronę równania.

To nie jest problem z wiedzą matematyczną. To błąd rachunkowy - i jest on **najczęstszą przyczyną utraty punktów** na maturze z matematyki.

Według danych CKE, w zadaniach zamkniętych na [maturze z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) ponad 40% błędnych odpowiedzi wynikało nie z niezrozumienia zadania, ale z pomyłek w obliczeniach. W zadaniach otwartych sytuacja jest jeszcze gorsza - egzaminatorzy regularnie widzą poprawne metody z błędnymi wynikami końcowymi.

W tym artykule pokażę Ci **sześć najczęstszych typów błędów rachunkowych** i konkretne metody ich wykrywania. To uzupełnienie naszego [przewodnika po najczęstszych błędach maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), który omawia też błędy strategiczne i interpretacyjne.

## Ile punktów tracisz przez błędy rachunkowe?

Zanim przejdziemy do konkretów, zobaczmy skalę problemu.

Na maturze podstawowej z matematyki jest **50 punktów** do zdobycia:
- 25 punktów za zadania zamknięte (jednokrotnego wyboru)
- 25 punktów za zadania otwarte

W zadaniach zamkniętych błąd rachunkowy oznacza **utratę całego punktu** - nie ma punktów częściowych. Jeśli popełnisz błąd w obliczeniach i zaznaczysz złą odpowiedź, dostajesz 0.

W zadaniach otwartych sytuacja jest bardziej skomplikowana. Zgodnie z [zasadami oceniania CKE](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania):
- Za poprawną metodę z błędem rachunkowym zazwyczaj dostajesz 1 punkt mniej niż maksimum
- W zadaniach za 2 punkty: poprawna metoda + błąd rachunkowy = 1 punkt
- W zadaniach za 4-5 punktów: jeden błąd rachunkowy może kosztować 1-2 punkty

**Realistyczny scenariusz:** Maturzysta, który popełnia 3-4 błędy rachunkowe na egzaminie, traci średnio **5-8 punktów**. To różnica między zdaniem a niezdaniem (próg to [15 punktów, czyli 30%](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki)). To też różnica między wynikiem 60% a 75%, która może zadecydować o [dostaniu się na wymarzony kierunek](/progi-punktowe-studia-2027-ile-punktow-matura-matematyka).

## Typ 1: Błędy ze znakami (minus, nawiasy, rozkładanie)

To absolutny numer jeden wśród błędów rachunkowych. Minus to mała kreska, ale potrafi zniszczyć cały arkusz.

### Problem: Mnożenie liczb ujemnych

Podstawowa reguła, o której "wszyscy wiedzą", ale w stresie egzaminacyjnym zapominają:

$$(-) \cdot (-) = (+) \qquad (-) \cdot (+) = (-) \qquad (+) \cdot (-) = (-)$$

**Typowy błąd:**

$$(-3) \cdot (-7) = -21 \quad \text{(ZLE! Poprawnie: } +21\text{)}$$

Szczególnie niebezpieczne jest mnożenie wielu czynników. Zapamiętaj zasadę: **parzysta liczba minusów daje plus, nieparzysta daje minus.**

$$(-2) \cdot (-3) \cdot (-1) = -6 \quad \text{(trzy minusy = nieparzysta = minus)}$$

### Problem: Rozkładanie nawiasów z minusem

To pułapka, w którą wpada ogromna liczba maturzystów. Kiedy przed nawiasem stoi minus, musisz zmienić znaki **wszystkich** wyrazów w nawiasie:

$$-(3x - 5 + 2x^2) = -3x + 5 - 2x^2$$

**Typowy błąd:**

$$-(3x - 5 + 2x^2) = -3x - 5 + 2x^2 \quad \text{(ZLE!)}$$

Uczniowie często zmieniają znak tylko pierwszego wyrazu i zapominają o reszcie.

### Problem: Podnoszenie do kwadratu wyrażenia z minusem

$$(-3)^2 = 9 \qquad \text{ale} \qquad -3^2 = -9$$

To **nie** jest to samo! W pierwszym przypadku podnosimy do kwadratu liczbę \(-3\). W drugim podnosimy do kwadratu liczbę \(3\) i dopiero bierzemy minus. Na kalkulatorze CKE to rozróżnienie jest kluczowe.

Przy rozwiązywaniu [równań kwadratowych](/topics/funkcja-kwadratowa) ten błąd pojawia się notorycznie w wyróżniku:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Gdy \(b = -6\), to \(b^2 = (-6)^2 = 36\), **nie** \(-36\).

### Metoda zapobiegania: Zasada "nawiasów bezpieczeństwa"

Kiedy podstawiasz wartość ujemną do wzoru, **zawsze** bierz ją w nawias:

Zamiast pisać: \(\Delta = -6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3\)

Pisz: \(\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12\)

Ta prosta nawyczka eliminuje większość błędów ze znakami.

## Typ 2: Błędy z ułamkami

Ułamki to drugi najczęstszy obszar pomyłek. Pojawiają się w każdym dziale - od [funkcji liniowych](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) po [trygonometrię](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

### Problem: Dodawanie ułamków bez wspólnego mianownika

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \neq \frac{2}{7}$$

Poprawnie:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$

Choć ten błąd wydaje się elementarny, pod presją czasu zdarza się nawet dobrym uczniom - szczególnie gdy ułamki pojawiają się w dłuższym obliczeniu.

### Problem: Dzielenie przez ułamek

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\frac{a}{\frac{b}{c}} = a \cdot \frac{c}{b} = \frac{ac}{b}$$

**Typowy błąd:**

$$\frac{6}{\frac{2}{3}} = \frac{6 \cdot 2}{3} = 4 \quad \text{(ZLE! Poprawnie: } 6 \cdot \frac{3}{2} = 9\text{)}$$

### Problem: Skracanie ułamków z sumą

$$\frac{a + b}{a} \neq 1 + b$$

Poprawnie:

$$\frac{a + b}{a} = \frac{a}{a} + \frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$$

Skracać można tylko **czynniki**, nie składniki!

$$\frac{3(x+1)}{6} = \frac{x+1}{2} \quad \text{(OK - skracamy czynnik 3)}$$

$$\frac{3 + x}{3 + y} \neq \frac{x}{y} \quad \text{(ZLE - nie wolno skracać składników)}$$

### Metoda zapobiegania: Sprawdzanie liczbowe

Po wykonaniu operacji na ułamkach, **podstaw liczbę** i sprawdź, czy wynik się zgadza. Na przykład, jeśli uprościłeś \(\frac{x+2}{x}\), to dla \(x = 2\):

- Przed uproszczeniem: \(\frac{2+2}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
- Twój wynik powinien dać to samo dla \(x = 2\)

## Typ 3: Błędy z potęgami i pierwiastkami

Reguły potęgowania to temat, który wydaje się prosty w teorii, ale w praktyce generuje mnóstwo pomyłek. Pełne omówienie wzorów znajdziesz w artykule o [potęgach i pierwiastkach na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

### Problem: Mnożenie potęg o tej samej podstawie

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \text{(dodajemy wykładniki, NIE mnożymy)}$$

**Typowy błąd:**

$$2^3 \cdot 2^4 = 2^{12} \quad \text{(ZLE! Poprawnie: } 2^{3+4} = 2^7 = 128\text{)}$$

### Problem: Potęga potęgi

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \qquad \text{(mnożymy wykładniki)}$$

Nie mylić z:

$$a^{m^n} \neq a^{m \cdot n}$$

Zapis \(a^{m^n}\) oznacza \(a^{(m^n)}\) - najpierw obliczamy \(m^n\), potem podnosimy \(a\) do tego wyniku.

### Problem: Potęga ilorazu i iloczynu

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \qquad (ab)^n = a^n \cdot b^n$$

**Typowy błąd:**

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \quad \text{(ZLE! Poprawnie: } \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\text{)}$$

### Problem: Pierwiastek z sumy

$$\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$$

To jeden z najgroźniejszych błędów, bo "wygląda logicznie". Kontrprzykład:

$$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$$

Jedyny przypadek, gdy pierwiastek "wchodzi pod sumę", to:

$$\sqrt{a^2 \cdot b^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = |a| \cdot |b|$$

Działamy na **iloczynie**, nie na sumie.

### Metoda zapobiegania: Weryfikacja liczbowa

Przy każdym przekształceniu potęg/pierwiastków sprawdź wynik dla konkretnej liczby. Na przykład: \(2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128 = 2^7\). Trzy sekundy - i masz pewność.

## Typ 4: Błędy z procentami

[Procenty na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) to dział, w którym błędy rachunkowe wynikają często z niezrozumienia, co jest bazą procentowania. Ale jest też spora grupa czysto rachunkowych pomyłek.

### Problem: Zwiększenie o procent a obliczanie procentu

Zwiększenie ceny o 20% to **nie** to samo co dodanie 20:

- Cena 150 zł zwiększona o 20%: \(150 \cdot 1{,}2 = 180\) zł
- Cena 150 zł zwiększona o 20 zł: \(150 + 20 = 170\) zł

Mnożnik \(1{,}2\) oznacza "100% + 20% = 120% = 1,2". Analogicznie:

- Zmniejszenie o 15%: mnożymy przez \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\)
- Zwiększenie o 7%: mnożymy przez \(1 + 0{,}07 = 1{,}07\)
- Zmniejszenie o 30%: mnożymy przez \(0{,}70\)

### Problem: Kolejne zmiany procentowe

Cena wzrosła o 20%, a potem spadła o 20%. Jaka jest cena końcowa?

**Typowy błąd:** "wróciła do początkowej wartości" - bo \(+20\% - 20\% = 0\).

**Poprawnie:**

$$100 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 96$$

Cena jest niższa o 4% od początkowej! To dlatego, że 20% z wyższej ceny (po podwyżce) to więcej niż 20% z niższej ceny (tej początkowej).

### Problem: Procent składany

Na maturze [zadania z procentem składanym](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) pojawiają się regularnie. Wzór:

$$K_n = K_0 \cdot (1 + p)^n$$

gdzie \(p\) to stopa procentowa w postaci ułamka dziesiętnego, a \(n\) to liczba okresów.

**Typowy błąd:** Mylenie oprocentowania rocznego z miesięcznym. Jeśli oprocentowanie roczne wynosi 6% i naliczane jest co miesiąc, to miesięczna stopa to:

$$p_{\text{mies}} = \frac{0{,}06}{12} = 0{,}005$$

A po 2 latach (24 miesiące):

$$K_{24} = K_0 \cdot (1{,}005)^{24}$$

### Metoda zapobiegania: Szacowanie

Zanim obliczysz dokładnie, oszacuj wynik. Jeśli cena 200 zł wzrosła o 20%, wynik powinien być "trochę powyżej 200" - jeśli wychodzi Ci 400 albo 40, to na pewno coś jest nie tak.

## Typ 5: Błędy z jednostkami i zaokrągleniami

### Problem: Niespójność jednostek

W zadaniach z [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) zdarzają się zadania, w których dane podane są w różnych jednostkach:

- Bok prostokąta: 2 m i 50 cm

**Typowy błąd:** Obliczanie pola jako \(2 \cdot 50 = 100\) (czego? metrów kwadratowych? centymetrów kwadratowych?).

**Poprawnie:** Najpierw ujednolicamy jednostki:
- 2 m = 200 cm, więc pole = \(200 \cdot 50 = 10\,000\) cm\(^2\) = 1 m\(^2\)
- lub: 50 cm = 0,5 m, więc pole = \(2 \cdot 0{,}5 = 1\) m\(^2\)

### Problem: Zbyt wczesne zaokrąglanie

Na maturze zasada jest prosta: **zaokrąglaj dopiero wynik końcowy**, nie wyniki pośrednie.

$$\text{Zle: } \sqrt{3} \approx 1{,}73, \quad \text{potem } 1{,}73^2 = 2{,}9929 \approx 3{,}00$$

$$\text{Dobrze: zostawić } \sqrt{3} \text{ do końca i zaokrąglić jednorazowo na koniec}$$

Jeśli w trakcie obliczeń zaokrąglisz \(\sqrt{3}\) do \(1{,}73\), a potem będziesz tę wartość podnosić do potęg i mnożyć, błąd może narosnąć do kilku procent.

### Metoda zapobiegania: Jedna jednostka od początku

Na samym początku zadania przepisz wszystkie dane w jednej jednostce. Zapisz to wyraźnie w rozwiązaniu - egzaminator też to doceni.

## Typ 6: Błędy przy przepisywaniu

To kategoria błędów, która wydaje się trywialna, ale w praktyce kosztuje wiele punktów.

### Problem: Gubienie minusa przy przepisywaniu z linijki do linijki

Masz:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Obliczasz \(\Delta = 16\), \(\sqrt{\Delta} = 4\), \(b = -6\), \(a = 2\):

$$x = \frac{-(-6) \pm 4}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 4}{4}$$

Typowy błąd: przepisać jako \(\frac{-6 \pm 4}{4}\) (zapomnieć o podwójnym minusie).

### Problem: Zmiana cyfry przy przepisywaniu

Obliczasz \(7 \cdot 8 = 56\), ale w następnej linijce piszesz 65. Albo obliczasz \(\Delta = 121\), ale potem piszesz \(\sqrt{121} = 12\) zamiast 11.

### Metoda zapobiegania: Czytelne pismo i numerowanie kroków

- Pisz cyfry **wyraźnie** - zwłaszcza 1, 7, 4, 9, które łatwo pomylić
- Każdy nowy krok obliczeniowy zacznij od nowej linijki
- Po każdym przepisaniu **sprawdź wzrokiem**, czy przeniosłeś wszystkie cyfry i znaki
- Podkreśl lub zakreśl wyniki pośrednie, które będziesz używać dalej

## Metody sprawdzania obliczeń - 5 technik, które uratują Twoje punkty

Teraz najważniejsza część - jak **systematycznie** weryfikować swoje obliczenia na egzaminie. To właśnie odróżnia uczniów, którzy dostają 40+ punktów, od tych, którzy tracą punkty na głupotach.

### Technika 1: Podstawienie wyniku z powrotem

Najprostsza i najskuteczniejsza metoda. Działa wszędzie tam, gdzie rozwiązujesz równanie.

Rozwiązałeś równanie i wyszło \(x = 3\)? **Podstaw 3 z powrotem** do oryginalnego równania i sprawdź, czy strony się zgadzają:

Równanie: \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)

Sprawdzenie: \(2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0\) - zgadza się!

**Czas potrzebny:** 15-30 sekund. **Pewność:** niemal 100%.

Ta technika jest szczególnie cenna w zadaniach z [funkcją kwadratową](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), [równaniami](/topics/rownania-i-nierownosci), [układami równań](/topics/uklady-rownan) i [logarytmami](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

### Technika 2: Szacowanie rzędu wielkości

Zanim zaczniesz obliczać, oceń **mniej więcej**, ile powinien wynosić wynik. Na przykład:

- Pole trójkąta o bokach rzędu 10 cm powinno być rzędu **kilkudziesięciu** cm\(^2\) (nie 500 i nie 0,3)
- Prawdopodobieństwo musi być między 0 a 1 (jeśli wychodzi 1,3 - szukaj błędu)
- Procent z liczby musi być mniejszy od tej liczby (20% z 80 nie może być 96)
- Objętość prostopadłościanu 3 cm x 4 cm x 5 cm to \(3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\) cm\(^3\) (nie 600, nie 12)

To nie daje pewności co do dokładnej wartości, ale natychmiast wyłapuje grube pomyłki.

### Technika 3: Sprawdzanie warunków brzegowych

Po obliczeniu sprawdź, czy wynik spełnia **warunki zadania**:

- Jeśli szukasz **długości** - wynik musi być dodatni
- Jeśli szukasz **kąta** trójkąta - musi być między 0° a 180°
- Jeśli szukasz **prawdopodobieństwa** - wynik między 0 a 1
- Jeśli obliczasz **odległość** - musi mieć sens geometryczny
- Jeśli szukasz **liczby osób** - wynik musi być liczbą całkowitą dodatnią

Jeśli Twój wynik narusza którykolwiek z tych warunków, gdzieś jest błąd.

### Technika 4: Alternatywna metoda rozwiązania

Jeśli masz czas, rozwiąż kluczowe zadania **drugą metodą**. Szczególnie przydatne w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), gdzie ten sam wynik możesz uzyskać:

- Algebraicznie (ze wzoru) i graficznie (z wykresu)
- Z twierdzenia Pitagorasa i ze wzoru na odległość
- Z równania prostej i z wektora kierunkowego

Jeśli obie metody dają ten sam wynik - możesz być spokojny.

### Technika 5: Metoda "czy to ma sens?"

Zatrzymaj się na sekundę i zapytaj: **"Czy mój wynik ma sens w kontekście zadania?"**

- Samochód jedzie ze średnią prędkością 847 km/h? Raczej nie.
- Uczeń ma 230% frekwencji? Nie da się.
- Krowa waży 15 kg? Chyba coś nie gra.
- Cena po obniżce o 30% jest wyższa niż przed obniżką? Szukaj błędu.

Ta metoda wymaga dosłownie 2-3 sekundy i wyłapuje błędy typu "przesunięty przecinek" czy "pominięty krok".

## Plan sprawdzania na egzaminie - strategia czasowa

Na maturze masz **180 minut** na rozwiązanie arkusza. Oto jak wkomponować sprawdzanie obliczeń w strategię egzaminacyjną, o której więcej przeczytasz w [kompletnym przewodniku po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin):

### Faza 1: Rozwiązywanie (120-140 minut)

Rozwiązuj zadania, stosując **na bieżąco** techniki zapobiegawcze:
- Nawiasy bezpieczeństwa przy wartościach ujemnych
- Sprawdzanie znaku po każdym mnożeniu
- Szacowanie przed obliczeniem

### Faza 2: Weryfikacja priorytetowa (25-30 minut)

Wróć do zadań, zaczynając od **najbardziej wartościowych**:
1. Zadania otwarte za 4-5 punktów - tutaj błąd rachunkowy kosztuje najwięcej
2. Zadania, w których "coś Ci nie grało" podczas rozwiązywania
3. Zadania z wieloma krokami obliczeniowymi

Dla każdego zadania:
- Zastosuj **podstawienie wyniku** (jeśli to równanie)
- Sprawdź **warunki brzegowe**
- Zadaj sobie pytanie **"czy to ma sens?"**

### Faza 3: Przegląd końcowy (10-15 minut)

- Przeleć wzrokiem **wszystkie odpowiedzi** w zadaniach zamkniętych
- Sprawdź, czy zaznaczyłeś odpowiedzi na karcie
- Upewnij się, że w zadaniach otwartych wynik końcowy jest **wyraźnie zaznaczony**

Więcej o strategii rozpisywania czasu znajdziesz w artykule o [ostatnich tygodniach przed maturą 2027](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

## Ćwiczenia na szybkość i dokładność

Sprawdzanie obliczeń nic nie da, jeśli nie masz czasu na sprawdzanie. Dlatego kluczowe jest **trenowanie szybkości rachunkowej**.

### Ćwiczenie 1: Rachunki na czas

Codziennie rozwiąż 10 prostych rachunków na czas (mnożenie, dzielenie, ułamki, potęgi). Cel: bez błędu w 3 minuty. To trening, który buduje automatyzm - dzięki niemu na maturze nie musisz się zastanawiać nad \(7 \cdot 8\), bo odpowiedź przychodzi natychmiast.

### Ćwiczenie 2: Szukanie błędu

Weź rozwiązane zadanie (swoje lub z internetu) i celowo poszukaj błędu rachunkowego. To ćwiczy "oko" do wyłapywania pomyłek. Możesz korzystać z naszej [bazy zadań maturalnych](/topics/liczby-rzeczywiste) - rozwiąż zadanie, a potem porównaj z rozwiązaniem wzorcowym.

### Ćwiczenie 3: Rozwiązywanie arkuszy w warunkach egzaminacyjnych

Nic nie zastąpi praktyki w warunkach zbliżonych do egzaminu. Rozwiąż cały [arkusz maturalny](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) w 180 minut, z zegarem i bez pomocy. Po rozwiązaniu przeanalizuj **każdy** błąd rachunkowy - zapisz, jakiego typu był i jak go uniknąć.

### Ćwiczenie 4: Dziennik błędów

Prowadź zeszyt, w którym zapisujesz **każdy** błąd rachunkowy, jaki popełnisz podczas przygotowań. Po tygodniu zobaczysz wzorzec - może zawsze mylisz się w ułamkach? A może problem to znaki? Znając swoje słabości, możesz je celowo trenować.

## Arkusz kontrolny - 7 pytań przed oddaniem pracy

Przed oddaniem arkusza przejdź przez tę listę:

1. **Czy każdy wynik ma sens w kontekście zadania?** (długość dodatnia, prawdopodobieństwo 0-1, itp.)
2. **Czy w zadaniach z równaniami podstawiłem wynik z powrotem?**
3. **Czy nie zgubiłem minusa przy przepisywaniu?**
4. **Czy wszystkie ułamki mają wspólny mianownik przed dodawaniem?**
5. **Czy jednostki się zgadzają?** (nie dodaję cm do m)
6. **Czy wynik końcowy jest zaznaczony/podkreślony?**
7. **Czy na karcie odpowiedzi zaznaczyłem wszystkie odpowiedzi?**

## Podsumowanie - dlaczego warto inwestować czas w dokładność

Eliminacja błędów rachunkowych to **najszybszy sposób na podniesienie wyniku maturalnego**. Nie musisz uczyć się nowego materiału, nie musisz rozwiązywać trudniejszych zadań - musisz tylko przestać tracić punkty, które już masz.

Trzy rzeczy do zapamiętania:
1. **Nawiasy bezpieczeństwa** przy każdej wartości ujemnej
2. **Podstawienie wyniku** z powrotem do równania
3. **Szacowanie** przed obliczeniem i pytanie "czy to ma sens?"

Te nawyki wyrobisz, rozwiązując regularnie zadania z [naszej bazy](/topics/liczby-rzeczywiste). Zacznij od prostych tematów, takich jak [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) czy [procenty](/topics/procenty), i stopniowo przechodź do trudniejszych działów.

Pamiętaj: na maturze nie chodzi o to, żeby rozwiązać najtrudniejsze zadania. Chodzi o to, żeby **nie stracić punktów** w tych, które umiesz. A to zależy od dokładności rachunkowej bardziej niż od czegokolwiek innego.

Sprawdź też nasz artykuł o [wzorach spoza tablic maturalnych](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac) i [strategię zdania matury 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), gdzie znajdziesz więcej wskazówek dotyczących przygotowań.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan
title: Arkusze maturalne z matematyki 2010-2025 - kompletna baza zadań CKE z rozwiązaniami
description: Baza arkuszy maturalnych z matematyki z lat 2010-2025: formuła 2023 i 2015, matury próbne i terminy dodatkowe. Zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Arkusze maturalne z matematyki 2010-2025 - kompletna baza zadań CKE z rozwiązaniami

Rozwiązywanie arkuszy maturalnych to absolutnie najskuteczniejsza metoda przygotowania do egzaminu. Żadna ilość czytania teorii, oglądania filmów czy robienia notatek nie zastąpi regularnej pracy z prawdziwymi zadaniami CKE. W tym artykule znajdziesz kompletną bazę wszystkich arkuszy maturalnych z matematyki od 2010 do 2025 roku - z linkami do rozwiązań każdego z nich.

## Dlaczego rozwiązywanie arkuszy to klucz do sukcesu na maturze

Arkusze maturalne z matematyki to nie jest po prostu "jeszcze jeden zbiór zadań". To jedyne materiały, które pokazują ci dokładnie, czego oczekuje CKE. Każdy arkusz maturalny to precyzyjnie skalibrowany test - zadania są ułożone od najłatwiejszych do najtrudniejszych, a ich rozkład tematyczny powtarza się z roku na rok z zaskakującą regularnością.

Kiedy rozwiązujesz arkusze, uczysz się kilku rzeczy jednocześnie:

- **Rozpoznajesz schematy zadań.** CKE ma swoje ulubione typy pytań. Po rozwiązaniu 5-6 arkuszy zauważysz, że zadanie 1 prawie zawsze dotyczy [procentów](/topics/procenty) lub [potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki), a zadania otwarte z geometrii mają powtarzalne struktury. To nie jest przypadek - to jest system, który możesz opanować.

- **Uczysz się zarządzać czasem.** Masz 180 minut na cały arkusz. Bez praktyki łatwo utknąć na jednym zadaniu i stracić 20 minut, które mogłeś przeznaczyć na trzy łatwiejsze. Regularne rozwiązywanie arkuszy na czas uczy cię, kiedy odpuścić trudne zadanie i wrócić do niego później.

- **Oswajasz się ze stresem egzaminacyjnym.** Im więcej arkuszy rozwiążesz w warunkach zbliżonych do egzaminu (cisza, limit czasu, brak pomocy), tym mniejszy stres poczujesz w dniu matury. Twój mózg zacznie traktować arkusz jako coś znajomego, a nie przerażającego.

- **Identyfikujesz swoje słabe strony.** Po każdym arkuszu zobaczysz, które tematy sprawiają ci problemy. Może to [stereometria](/topics/stereometria), może [logarytmy](/topics/logarytmy), a może [ciągi](/topics/ciagi). Te informacje są bezcenne - pozwalają ci skupić naukę tam, gdzie przyniesie największy efekt.

Jeśli szukasz kompletnego planu przygotowań, zajrzyj do naszego [przewodnika po maturze z matematyki 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin). A teraz przejdźmy do konkretów - oto wszystkie arkusze maturalne z rozwiązaniami.

## Arkusze w formule 2023 (nowa formuła)

Od 2023 roku obowiązuje nowa formuła matury z matematyki. Kluczowe zmiany to: mniej zadań zamkniętych, więcej zadań otwartych, większy nacisk na rozumowanie i uzasadnianie. Jeśli zdajesz maturę w 2027 roku, to są arkusze, na których powinieneś się skupić w pierwszej kolejności - odzwierciedlają one aktualny format egzaminu.

### Matura maj 2025

Najnowszy dostępny arkusz i twój najważniejszy punkt odniesienia. Rozwiąż go jako pierwszy arkusz "na czysto" - w warunkach egzaminacyjnych, z limitem czasu.

[Arkusz matura maj 2025 - pełne rozwiązania](/exams/matura-maj-2025)

Szczegółowe omówienie tego arkusza znajdziesz w naszym [artykule z rozwiązaniami matury maj 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz).

### Matura maj 2024

Drugi arkusz w nowej formule. Porównaj go z arkuszem z 2025 roku - zauważysz, że poziom trudności i rozkład tematyczny są bardzo zbliżone. To potwierdza, że CKE ustabilizowała format.

[Arkusz matura maj 2024 - pełne rozwiązania](/exams/matura-maj-2024)

### Matura maj 2023

Pierwszy arkusz w nowej formule. Historycznie pierwszy rok nowej formuły bywa nieco łatwiejszy, bo CKE kalibruje trudność. Mimo to, zadania są w pełni reprezentatywne dla obecnego formatu.

[Arkusz matura maj 2023 - pełne rozwiązania](/exams/matura-maj-2023)

### Terminy dodatkowe - czerwiec

Arkusze z terminu dodatkowego (czerwiec) mają ten sam format i zbliżony poziom trudności co termin główny. Są świetnym materiałem do dodatkowej praktyki.

- [Arkusz matura czerwiec 2025](/exams/matura-czerwiec-2025)
- [Arkusz matura czerwiec 2024](/exams/matura-czerwiec-2024)
- [Arkusz matura czerwiec 2023](/exams/matura-czerwiec-2023)

### Terminy poprawkowe - sierpień

Arkusze sierpniowe to termin poprawkowy. Bywają nieco łatwiejsze od terminu głównego, ale nadal zawierają wartościowe zadania do przećwiczenia.

- [Arkusz matura sierpień 2025](/exams/matura-sierpien-2025)
- [Arkusz matura sierpień 2024](/exams/matura-sierpien-2024)

## Arkusze w formule 2015 (stara formuła)

Formuła 2015 obowiązywała od 2015 do 2022 roku. Choć format egzaminu się zmienił, zadania merytoryczne z tych arkuszy są nadal bardzo wartościowe. Matematyka się nie zmieniła - zmienił się tylko sposób, w jaki CKE pyta o te same zagadnienia.

**Uwaga:** Nie rozwiązuj tych arkuszy "na czas" jak prawdziwego egzaminu - format jest inny niż obecny. Zamiast tego traktuj je jako dodatkowy zbiór zadań pogrupowanych tematycznie. Szczególnie przydatne są zadania otwarte z geometrii i analizy funkcji - te tematy wyglądają niemal identycznie jak w nowej formule.

### Rok po roku - od najnowszego

- [Arkusz matura maj 2022](/exams/matura-maj-2022) - ostatni arkusz w starej formule, bardzo wartościowy
- [Arkusz matura maj 2021](/exams/matura-maj-2021) - matura w czasie pandemii, okrojony zakres materiału
- [Arkusz matura maj 2020](/exams/matura-maj-2020) - pierwsza "pandemiczna" matura, zawężony zakres
- [Arkusz matura maj 2019](/exams/matura-maj-2019) - standardowy arkusz, pełen zakres materiału
- [Arkusz matura maj 2018](/exams/matura-maj-2018) - dobry poziom trudności, ciekawe zadania otwarte
- [Arkusz matura maj 2017](/exams/matura-maj-2017) - klasyczny arkusz, świetny do ćwiczeń
- [Arkusz matura maj 2016](/exams/matura-maj-2016) - solidne zadania z [planimetrii](/topics/planimetria) i [trygonometrii](/topics/trygonometria)
- [Arkusz matura maj 2015](/exams/matura-maj-2015) - pierwszy arkusz w formule 2015

### Starsze arkusze (2010-2014)

Te arkusze pochodzą z jeszcze starszej formuły, ale zadania matematyczne są nadal przydatne jako materiał ćwiczeniowy. Znajdziesz w nich mnóstwo zadań z [funkcji](/topics/funkcje), [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) oraz [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna).

- [Arkusz matura maj 2014](/exams/matura-maj-2014)
- [Arkusz matura maj 2013](/exams/matura-maj-2013)
- [Arkusz matura maj 2012](/exams/matura-maj-2012)
- [Arkusz matura maj 2011](/exams/matura-maj-2011)
- [Arkusz matura maj 2010](/exams/matura-maj-2010)

## Matury próbne CKE

Matury próbne to oficjalne arkusze przygotowane przez CKE i przeprowadzane w szkołach kilka miesięcy przed właściwym egzaminem. Są niezwykle wartościowe, bo pokazują, w jakim kierunku zmierza CKE z trudnością i tematyką zadań.

- [Matura próbna CKE grudzień 2024](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024) - najnowsza dostępna próbna
- [Matura próbna CKE grudzień 2023](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023)

Jeśli szukasz szczegółowych omówień matur próbnych, przeczytaj nasze artykuły:

- [Matura próbna luty 2026 - rozwiązania i analiza](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz)
- [Matura próbna CKE marzec 2026 - rozwiązania](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania)

### Matury próbne wydawnictw

Poza oficjalnymi arkuszami CKE, wydawnictwa edukacyjne publikują własne matury próbne. Są one nieco mniej miarodajne niż arkusze CKE, ale stanowią dodatkowy materiał do ćwiczeń.

- [Matura próbna Operon listopad 2025](/exams/matura-probna-operon-listopad-2025)

## Ile arkuszy rozwiązać przed maturą

To jedno z najczęstszych pytań, jakie słyszymy. Odpowiedź zależy od twojego celu i tego, ile czasu zostało do egzaminu.

### Minimum - zdać maturę (30%+)

Jeśli twoim celem jest po prostu zdanie egzaminu, rozwiąż **minimum 5 arkuszy** w nowej formule (2023-2025). Skup się na zadaniach zamkniętych i pierwszych zadaniach otwartych - to one dają najwięcej punktów za najmniejszy wysiłek.

### Dobry wynik (50-70%)

Na dobry wynik potrzebujesz **8-12 arkuszy** - wszystkie w nowej formule plus kilka wybranych ze starej. Poświęć dodatkowy czas na analizę swoich błędów po każdym arkuszu.

### Wysoki wynik (80%+)

Jeśli celujesz wysoko, rozwiąż **minimum 15 arkuszy** - wszystkie dostępne w nowej formule, terminach dodatkowych i próbne, plus wybrane ze starej formuły. Na tym poziomie ważne jest nie tylko rozwiązywanie, ale też analiza - dlaczego CKE zadała to pytanie w ten sposób, jakie alternatywne metody rozwiązania istnieją.

Sprawdź nasze [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - to zadania, które pojawiają się na każdej maturze i gwarantują punkty.

## Jak efektywnie pracować z arkuszem maturalnym

Rozwiązywanie arkuszy bez odpowiedniej metody to strata czasu. Oto sprawdzony system pracy z arkuszem, który maksymalizuje efekt nauki.

### Krok 1: Rozwiąż arkusz w warunkach egzaminacyjnych

Pierwszych kilka arkuszy rozwiązuj dokładnie tak, jak na prawdziwej maturze:

- Ustaw timer na 180 minut
- Wyłącz telefon
- Miej przy sobie tylko długopis, ołówek, linijkę, kątomierz i tablice maturalne
- Nie zaglądaj do rozwiązań, notatek ani internetu

To jedyny sposób, żeby naprawdę sprawdzić, jak wypadniesz na egzaminie. Jeśli rozwiązujesz z "pomocami", oszukujesz samego siebie.

### Krok 2: Sprawdź odpowiedzi i policz wynik

Po rozwiązaniu arkusza sprawdź każdą odpowiedź. Policz punkty według klucza CKE. Zapisz swój wynik - będziesz chciał śledzić postępy.

### Krok 3: Przeanalizuj błędy (najważniejszy krok)

Dla każdego zadania, które rozwiązałeś źle lub pominąłeś:

1. **Zidentyfikuj przyczynę błędu** - czy nie znałeś wzoru? Czy zrobiłeś błąd rachunkowy? Czy nie zrozumiałeś polecenia? Czy nie starczyło ci czasu?
2. **Naucz się poprawnego rozwiązania** - przeczytaj rozwiązanie krok po kroku i upewnij się, że rozumiesz każdy etap
3. **Zapisz temat do powtórki** - jeśli nie znałeś wzoru z [trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), dopisz ten temat do listy powtórek

### Krok 4: Rozwiąż podobne zadania z tego tematu

Nie przechodź od razu do następnego arkusza. Najpierw uzupełnij luki - jeśli nie poradziłeś sobie z [funkcją kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa), rozwiąż dodatkowe zadania z tego działu. Na Sprawnej Maturze mamy zadania pogrupowane tematycznie - możesz przećwiczyć dokładnie ten typ, który sprawił ci problem.

### Krok 5: Powtórz arkusz po 2-3 tygodniach

Po uzupełnieniu luk wróć do tego samego arkusza i rozwiąż go ponownie. Nie martw się, że "pamiętasz odpowiedzi" - ważne jest, czy potrafisz bezbłędnie przeprowadzić rozwiązanie. Jeśli tym razem zrobisz 100%, znaczy to, że naprawdę opanowałeś materiał.

## Plan pracy z arkuszami - który arkusz kiedy rozwiązać

Poniższy plan zakłada, że masz do matury 8-10 tygodni. Jeśli masz mniej czasu, skondensuj plan - ale zachowaj kolejność.

### Tydzień 1-2: Diagnostyka

Rozwiąż 2 arkusze z nowej formuły na czas:

1. [Matura maj 2024](/exams/matura-maj-2024) - jako pierwszy test diagnostyczny
2. [Matura próbna CKE grudzień 2024](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024) - jako drugie podejście

Po każdym arkuszu zrób szczegółową analizę błędów. Zidentyfikuj 3-4 tematy, które wymagają największej pracy. Rozpocznij naukę od tych tematów - sprawdź nasze artykuły tematyczne, np. o [potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), [ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) czy [prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

### Tydzień 3-4: Uzupełnianie luk + arkusze tematyczne

Skup się na nauce tematów, które zidentyfikowałeś w fazie diagnostycznej. Uzupełniaj naukę zadaniami z wybranych arkuszy starej formuły:

- [Matura 2019](/exams/matura-maj-2019) i [matura 2018](/exams/matura-maj-2018) - dobrze wyważone arkusze z szerokim zakresem tematycznym

Nie rozwiązuj ich na czas - wybierz zadania dotyczące twoich słabych tematów.

### Tydzień 5-6: Pełne arkusze na czas

Przejdź do rozwiązywania pełnych arkuszy z limitem czasowym:

1. [Matura maj 2023](/exams/matura-maj-2023)
2. [Matura czerwiec 2024](/exams/matura-czerwiec-2024)
3. [Matura próbna CKE grudzień 2023](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023)

Śledź postępy - twój wynik powinien rosnąć z arkusza na arkusz.

### Tydzień 7-8: Polerowanie wyniku

Rozwiąż pozostałe arkusze i wróć do tych, w których wypadłeś najgorzej:

1. [Matura czerwiec 2025](/exams/matura-czerwiec-2025)
2. [Matura sierpień 2024](/exams/matura-sierpien-2024)
3. Powtórka arkusza z tygodnia 1-2

### Tydzień 9-10: Generalna powtórka i arkusz "ostatniej szansy"

Ostatnie 2 tygodnie poświęć na powtórkę wzorów i rozwiązanie ostatniego, "zaoszczędzonego" arkusza:

- [Matura maj 2025](/exams/matura-maj-2025) - rozwiąż jako symulację egzaminu na 2-3 dni przed maturą

Zachowaj ten arkusz na sam koniec - to twój najnowszy i najbardziej miarodajny materiał. Sprawdź też nasz [plan nauki na ostatnie tygodnie przed maturą 2027](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

## Najczęstsze błędy przy pracy z arkuszami

Na koniec - kilka pułapek, w które wpadają uczniowie rozwiązujący arkusze maturalne.

**Rozwiązywanie bez limitu czasu.** Jeśli zawsze masz "tyle czasu, ile potrzebujesz", nigdy nie nauczysz się zarządzać czasem na egzaminie. Co drugi arkusz rozwiązuj z timerem.

**Zaglądanie do rozwiązań za wcześnie.** Daj sobie minimum 10-15 minut na zadanie, zanim sięgniesz po rozwiązanie. Nauka dzieje się w momencie wysiłku, nie w momencie czytania odpowiedzi.

**Rozwiązywanie bez analizy błędów.** Sam fakt, że "zrobiłeś arkusz", nic nie daje. Wartość jest w analizie - zrozumienie, dlaczego się pomyliłeś, i naprawienie tego. Przeczytaj nasz artykuł o [najczęstszych błędach na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), żeby wiedzieć, na co uważać.

**Rozwiązywanie arkuszy w losowej kolejności.** Zacznij od najnowszych (nowa formuła), potem sięgnij po starsze. Nie rozwiązuj arkuszy z 2010 roku jako pierwszych - format jest za bardzo odmienny od obecnego.

**Skupianie się tylko na zadaniach zamkniętych.** Zadania otwarte dają najwięcej punktów i mają największy wpływ na wynik. Przećwicz je szczególnie dokładnie - nasz [poradnik rozwiązywania zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) pomoże ci opanować ich strukturę.

## Podsumowanie - twoja baza arkuszy w jednym miejscu

Na Sprawnej Maturze masz dostęp do wszystkich arkuszy maturalnych z matematyki od 2010 do 2025 roku - z rozwiązaniami krok po kroku do każdego zadania. Korzystaj z nich mądrze: rozwiązuj systematycznie, analizuj błędy i śledź swoje postępy.

Jeśli dopiero zaczynasz przygotowania, przeczytaj naszą [strategię zdania matury z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). A jeśli chcesz sprawdzić się w warunkach egzaminacyjnych, wypróbuj nasz [symulator matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke).

Pamiętaj - każdy rozwiązany arkusz przybliża cię do sukcesu. Zacznij dziś.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista
title: Wzory na maturę z matematyki 2027 - kompletna lista wszystkich wzorów z przykładami
description: Kompletna lista wzorów na maturę z matematyki 2027: algebra, funkcje, ciągi, trygonometria, geometria, statystyka. W jednym miejscu, z przykładami.
author: Marcel Bogdan
---

# Wzory na maturę z matematyki 2027 - kompletna lista wszystkich wzorów z przykładami

To jest **jedyna lista wzorów**, jakiej potrzebujesz do matury z matematyki. Zebrałem tutaj absolutnie każdy wzór, który może Ci się przydać na egzaminie - od podstawowej algebry po kombinatorykę. Przy każdym wzorze znajdziesz oznaczenie:

- **\[K\]** - wzór jest na karcie wzorów CKE (nie musisz go pamiętać, ale musisz umieć z niego korzystać)
- **\[P\]** - wzór musisz znać na pamięć (nie ma go na karcie)
- **\[R\]** - wzór przydatny na rozszerzeniu

Jeśli szukasz wzorów, których **nie ma na karcie CKE**, przeczytaj też [wzory spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac). A jeśli chcesz zobaczyć, co dokładnie jest na karcie - zajrzyj do [przewodnika po karcie wzorów CKE 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).

---

## Algebra - potęgi, pierwiastki, logarytmy

### Potęgi \[P\]

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Potęga o wykładniku wymiernym:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0)$$

Więcej o potęgach znajdziesz w [przewodniku po potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

### Pierwiastki \[P\]

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a, b \geq 0)$$

$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \geq 0, \ b > 0)$$

$$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$$

$$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$$

Usuwanie niewymierności z mianownika:

$$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$$

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$$

### Logarytmy \[P\]

Definicja: \(\log_a b = c \iff a^c = b\) dla \(a > 0, a \neq 1, b > 0\).

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

$$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$$

$$\log_a a = 1$$

$$\log_a 1 = 0$$

Zmiana podstawy logarytmu:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Szczególny przypadek:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Pełny przewodnik po logarytmach znajdziesz [tutaj](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

### Wzory skróconego mnożenia \[P\]

$$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Więcej zastosowań w [przewodniku po wzorach skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

---

## Funkcja liniowa \[P\]

Postać kierunkowa:

$$y = ax + b$$

gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie), \(b\) to wyraz wolny (punkt przecięcia z osią OY).

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\):

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Miejsce zerowe:

$$x_0 = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$

Warunki równoległości i prostopadłości prostych:

$$\text{równoległe: } a_1 = a_2$$

$$\text{prostopadłe: } a_1 \cdot a_2 = -1$$

Cały przewodnik po [funkcji liniowej na maturze](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

---

## Funkcja kwadratowa

Postać ogólna:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

### Wyróżnik (delta) \[K\]

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

### Miejsca zerowe \[K\]

Gdy \(\Delta > 0\) - dwa pierwiastki:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Gdy \(\Delta = 0\) - jeden pierwiastek podwójny:

$$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

Gdy \(\Delta  0, a \neq 1)$$

Dziedzina: \(\mathbb{R}\), zbiór wartości: \((0, +\infty)\).

Dla \(a > 1\) - rosnąca. Dla \(0  0, a \neq 1)$$

Dziedzina: \((0, +\infty)\), zbiór wartości: \(\mathbb{R}\).

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna o tej samej podstawie są funkcjami odwrotnymi - ich wykresy są symetryczne względem prostej \(y = x\).

Więcej w [przewodniku po funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) i [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

---

## Przekształcenia wykresów funkcji \[P\]

Mając wykres \(y = f(x)\):

| Przekształcenie | Wynik |
|----------------|-------|
| Przesunięcie w prawo o \(a\) | \(y = f(x - a)\) |
| Przesunięcie w lewo o \(a\) | \(y = f(x + a)\) |
| Przesunięcie w górę o \(b\) | \(y = f(x) + b\) |
| Przesunięcie w dół o \(b\) | \(y = f(x) - b\) |
| Symetria względem OX | \(y = -f(x)\) |
| Symetria względem OY | \(y = f(-x)\) |
| Wartość bezwzględna | \(y = |f(x)|\) - odbicie pod osią OX |

Więcej w [przewodniku po przekształceniach wykresów](/przeksztalcenia-wykresow-funkcji-matura).

---

## Jak korzystać z tej listy wzorów

1. **Wydrukuj tę stronę** - miej ją pod ręką podczas nauki
2. **Skup się na wzorach z oznaczeniem \[P\]** - to te, których nie ma na karcie CKE i musisz je znać na pamięć
3. **Wzory \[K\] powtórz pod kątem zastosowań** - na egzaminie masz kartę, ale musisz wiedzieć, kiedy i jak użyć danego wzoru
4. **Przećwicz każdą kategorię** - kliknij linki do przewodników tematycznych, żeby zobaczyć zadania z rozwiązaniami

Jeśli szukasz strategii na sam egzamin, przeczytaj [jak zdać maturę z matematyki w 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia) i [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne
title: Jak obliczyć pole rombu i równoległoboku - wzory, przekątne i zadania maturalne
description: Cztery wzory na pole rombu i trzy na pole równoległoboku. Rozwiązania krok po kroku z prawdziwych arkuszy maturalnych. Wysokość, przekątne, pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole rombu i równoległoboku - wzory, przekątne i zadania maturalne

Pole rombu i pole równoległoboku to klasyka, która wraca na maturze podstawowej z matematyki praktycznie co rok. W [arkuszach 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) policzyliśmy ponad 20 zadań w których pojawia się romb lub równoległobok, a to oznacza jedno: jeśli umiesz na pamięć cztery wzory i wiesz, kiedy którego użyć, masz pewne 2-3 punkty z [planimetrii](/topics/planimetria) bez wysiłku.

Interaktywny kalkulator: pole-rombu (dostępny na stronie wpisu)

Problem w tym, że uczniowie mylą wzory między sobą, biorą zły kąt z rysunku albo wstawiają długości boków do wzoru na pole z przekątnych. W tym poście pokażę ci wszystkie wzory na pole rombu i równoległoboku, wytłumaczę kiedy który stosować, a potem rozwiążemy razem pięć prawdziwych zadań maturalnych krok po kroku.

## Czym różni się romb od równoległoboku

Zanim policzymy pole, musisz wiedzieć dokładnie co liczysz. Te dwie figury są spokrewnione, ale nie identyczne i to ma znaczenie dla wzorów.

Równoległobok to czworokąt, w którym przeciwległe boki są równoległe (i automatycznie tej samej długości). Sąsiednie boki mogą mieć różne długości. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie, ale nie są prostopadłe i nie są równej długości.

Romb to szczególny przypadek równoległoboku, w którym wszystkie cztery boki mają tę samą długość. Dzięki temu rombowi przysługują dodatkowe własności: przekątne są prostopadłe, są dwusiecznymi kątów wewnętrznych i przecinają się w połowie. Każdy romb jest równoległobokiem, ale nie każdy równoległobok jest rombem.

Z tej różnicy płyną konsekwencje dla wzorów. We wszystkich figurach działa wzór \(P = a \cdot h\), ale wzór z przekątnymi \(P = \frac{1}{2} d_1 d_2\) działa tylko dla rombu (bo wymaga prostopadłości przekątnych). W równoległoboku przekątne nie są prostopadłe, więc wzór z przekątnymi wygląda inaczej i ma dodatkowy sinus.

## Wzory na pole równoległoboku

W równoległoboku masz do dyspozycji trzy wzory, które warto znać na pamięć. Wszystkie trzy są w karcie wzorów CKE, więc na maturze ich nie wkujesz na sucho, ale musisz wiedzieć, do której sytuacji który pasuje. Jeśli chcesz pełną listę wzorów dostępnych na egzaminie, zajrzyj do [karty wzorów CKE 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).

### Wzór 1: bok razy wysokość

$$P = a \cdot h$$

To wzór klasyczny, znany ze szkoły podstawowej. \(a\) to długość dowolnego boku, a \(h\) to wysokość opuszczona na ten właśnie bok (czyli odległość między dwoma równoległymi bokami). Używasz go gdy zadanie podaje ci bok i wysokość, albo gdy łatwo wyznaczasz wysokość z trójkąta prostokątnego ukrytego w rysunku.

### Wzór 2: dwa boki i kąt między nimi

$$P = a \cdot b \cdot \sin\alpha$$

\(a\) i \(b\) to długości sąsiednich boków, \(\alpha\) to kąt zawarty między nimi (czyli kąt wewnętrzny równoległoboku). To najczęściej spotykany wzór na maturze, bo zadania typowo dają długości boków i miarę kąta ostrego lub rozwartego. Jeśli kąt jest rozwarty, możesz spokojnie liczyć sinus z niego, bo \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\), więc i tak wyjdzie dobra wartość.

### Wzór 3: dwie przekątne i kąt między nimi

$$P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\gamma$$

\(d_1\) i \(d_2\) to długości przekątnych, \(\gamma\) to kąt między nimi (dowolny z dwóch, bo i tak sinusy się równają). Tego wzoru używasz tylko wtedy, gdy zadanie dało ci przekątne, a nie boki. Pamiętaj: w równoległoboku nie pomijasz sinusa, bo przekątne nie są prostopadłe.

## Wzory na pole rombu

W rombie wszystko jest prostsze, bo boki są równe, a przekątne prostopadłe. Stąd masz aż cztery użyteczne wzory.

### Wzór 1: bok razy wysokość

$$P = a \cdot h$$

Identyczny jak w równoległoboku. Romb to równoległobok, więc dziedziczy ten wzór. Wysokość \(h\) to odległość między dwoma przeciwległymi bokami.

### Wzór 2: kwadrat boku razy sinus kąta

$$P = a^2 \cdot \sin\alpha$$

Konsekwencja faktu, że w rombie sąsiednie boki mają tę samą długość. Wstaw \(b = a\) do wzoru \(P = a \cdot b \cdot \sin\alpha\) i dostajesz właśnie tę formę. To najpopularniejszy wzór na maturze, bo zadania bardzo często dają długość boku rombu i jeden z kątów.

### Wzór 3: połowa iloczynu przekątnych

$$P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$

Tutaj nie ma sinusa, bo w rombie przekątne są prostopadłe i \(\sin 90^\circ = 1\). To często najszybsza droga, jeśli zadanie podaje długości obu przekątnych.

### Wzór 4: bok razy promień okręgu wpisanego, razy dwa

$$P = 2 \cdot a \cdot r$$

Mniej znany, ale wynika z prostego faktu: w romb można wpisać okrąg, którego średnica jest równa wysokości rombu (\(2r = h\)). Wstaw to do \(P = a \cdot h\) i wychodzi \(P = 2ar\). Czasem ratuje życie, gdy zadanie podaje promień okręgu wpisanego.

## Wysokość rombu - osobny wzór, który musisz znać

Jeśli znasz bok \(a\) i kąt \(\alpha\), wysokość rombu wyciągniesz z trójkąta prostokątnego. Bok rombu jest przeciwprostokątną, wysokość jednym z przyprostokątnych, a kąt \(\alpha\) leży naprzeciw wysokości. Z definicji sinusa:

$$\sin\alpha = \frac{h}{a} \implies h = a \cdot \sin\alpha$$

To proste, ale uczniowie ciągle to wkuwają osobno zamiast wyprowadzać z [trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). Jeśli kąt jest rozwarty, weź jego dopełnienie do \(180^\circ\) i policz sinus z kąta ostrego: i tak wyjdzie ten sam wynik, bo \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\).

Wzór ten od razu łączy się ze wzorem nr 2 na pole rombu: jeśli \(h = a \sin\alpha\), to \(P = a \cdot h = a \cdot a \sin\alpha = a^2 \sin\alpha\). Jeden ciągnie drugi, więc tak naprawdę uczysz się raz, a dostajesz dwa wzory za darmo.

## Przykład 1: Pole rombu z boku i kąta rozwartego (Matura maj 2019, zadanie 16)

Treść zadania: Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^\circ\). Oblicz pole tego rombu.

Krok 1. Wybór wzoru. Mamy bok i kąt, więc sięgamy po wzór \(P = a^2 \sin\alpha\). Bok \(a = 4\), kąt \(\alpha = 150^\circ\).

Krok 2. Obliczenie sinusa z kąta rozwartego. Tablice trygonometryczne dają wartości tylko dla kątów ostrych, więc używamy wzoru redukcyjnego:

$$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$$

W naszym przypadku \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\), więc \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Krok 3. Obliczenie pola.

$$P = a^2 \cdot \sin\alpha = 4^2 \cdot \frac{1}{2} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

Odpowiedź: pole rombu wynosi \(8\).

Pułapka, w którą wpada wielu uczniów: liczą \(\sin 150^\circ\) na kalkulatorze i wpisują wartość liczbową bez ułamka. Na egzaminie tablice są twoim przyjacielem, korzystaj z nich.

## Przykład 2: Wysokość rombu (Matura maj 2011, zadanie 17)

Treść zadania: Wysokość rombu o boku długości \(6\) i kącie ostrym \(60^\circ\) jest równa?

Krok 1. Rysunek. Narysuj romb, zaznacz bok \(a = 6\) i kąt \(60^\circ\). Opuść wysokość z wierzchołka kąta rozwartego na bok przeciwległy. Powstanie trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(a = 6\), kącie \(60^\circ\) przy podstawie i nieznanej wysokości \(h\).

Krok 2. Funkcje trygonometryczne. Wysokość leży naprzeciw kąta \(60^\circ\), więc:

$$\sin 60^\circ = \frac{h}{a} \implies h = a \cdot \sin 60^\circ$$

Krok 3. Podstawienie wartości. Z tablic albo z głowy: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

$$h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Odpowiedź: wysokość rombu wynosi \(3\sqrt{3}\).

Można było też skorzystać z trójkąta \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) i zaleznosci między bokami. Jeśli przeciwprostokątna ma długość \(6\), to przyprostokątna naprzeciw kąta \(60^\circ\) ma długość \(\frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\). Wynik taki sam, ale dla wielu uczniów szybciej. Więcej o tych szczególnych trójkątach przeczytasz w poście [trójkąt 30 60 90 i 45 45 90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Przykład 3: Wyznaczenie kąta z pola rombu (Matura maj 2015, zadanie 17)

Treść zadania: Pole rombu o obwodzie \(8\) jest równe \(1\). Kąt ostry tego rombu ma miarę \(\alpha\). Oblicz \(\sin\alpha\).

Krok 1. Wyznaczenie boku. Obwód rombu to suma czterech boków: \(4a = 8\), więc \(a = 2\).

Krok 2. Wstawienie do wzoru \(P = a^2 \sin\alpha\). Znamy pole i bok, szukamy sinusa.

$$P = a^2 \sin\alpha$$

$$1 = 2^2 \cdot \sin\alpha$$

$$1 = 4 \sin\alpha$$

$$\sin\alpha = \frac{1}{4}$$

Krok 3. Interpretacja wyniku. Wartość \(0{,}25\) odpowiada kątowi około \(14{,}5^\circ\), więc to kąt ostry i ma sens. Jeśli tablice trygonometryczne pokazują \(\sin 14^\circ \approx 0{,}2419\) oraz \(\sin 15^\circ \approx 0{,}2588\), to nasz kąt leży między \(14^\circ\) a \(15^\circ\). Na maturze 2015 odpowiedź była podana w formie \(\sin\alpha = \frac{1}{4}\) i tyle wystarczyło.

To zadanie pokazuje fajną zasadę: wzór na pole rombu działa też w drugą stronę. Możesz wyciągać z niego bok, kąt, albo sinusa, jeśli znasz dwie inne wielkości.

## Przykład 4: Pole równoległoboku z przekątnych (Matura sierpień 2016, zadanie 18)

Treść zadania: Przekątne równoległoboku mają długości \(4\) i \(8\), a kąt między tymi przekątnymi ma miarę \(30^\circ\). Oblicz pole tego równoległoboku.

Krok 1. Wybór wzoru. Uwaga, to nie jest romb tylko zwykły równoległobok, więc wzór \(P = \frac{1}{2} d_1 d_2\) nie zadziała (przekątne nie są prostopadłe). Bierzemy wersję z sinusem:

$$P = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\gamma$$

Krok 2. Podstawienie wartości. \(d_1 = 4\), \(d_2 = 8\), \(\gamma = 30^\circ\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

$$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

Odpowiedź: pole równoległoboku wynosi \(8\).

Najczęstszy błąd uczniów w tym zadaniu: pomijają sinusa, bo myślą że pole z przekątnych liczy się jak w rombie. Wynik z błędem byłby \(16\), czyli dwa razy za dużo. Na maturze właśnie taki rozkład odpowiedzi wykrywa, czy zrozumiałeś różnicę między rombem a równoległobokiem.

## Przykład 5: Pole rombu z bokiem rombu zaznaczonym wprost (Matura sierpień 2011, zadanie 21)

Treść zadania: Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie ostrym \(30^\circ\). Pole tego rombu jest równe?

Krok 1. Wybór wzoru. Bok i kąt, więc znowu \(P = a^2 \sin\alpha\). Tym razem kąt jest ostry, więc nie potrzebujemy wzoru redukcyjnego.

Krok 2. Wartość sinusa. \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Ta wartość powinna ci wejść w odruch, bo pojawia się co najmniej raz w każdym arkuszu maturalnym z [trygonometrii](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

Krok 3. Obliczenie pola.

$$P = a^2 \sin\alpha = 4^2 \cdot \frac{1}{2} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$

Odpowiedź: pole rombu wynosi \(8\).

Zauważ, że dwa różne romby (jeden z [Przykładu 1](#) o kącie \(150^\circ\) i ten z kątem \(30^\circ\)) mają identyczne pole, bo \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ\). To nie przypadek: jeśli weźmiesz romb i zwiększysz kąt ostry, drugi kąt rombu (rozwarty) zmniejszy się tak, że suma zostanie \(180^\circ\). Z tożsamości \(\sin\alpha = \sin(180^\circ - \alpha)\) wynika, że pole rombu zależy tylko od długości boku i kąta ostrego, więc oba przypadki dają to samo. To dobry trick weryfikacyjny.

## Przykład 6: Kąty równoległoboku (Matura sierpień 2018, zadanie 18)

Treść zadania: Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa \(80^\circ\). Wyznacz miarę kąta rozwartego.

Krok 1. Własność równoległoboku. Suma sąsiednich kątów wewnętrznych w równoległoboku wynosi \(180^\circ\) (to konsekwencja równoległości boków). Oznaczmy kąty: \(\alpha\) (mniejszy) i \(\beta\) (większy). Wtedy:

$$\alpha + \beta = 180^\circ$$

Krok 2. Drugie równanie z treści. Różnica miar to \(80^\circ\), czyli:

$$\beta - \alpha = 80^\circ$$

Krok 3. Układ równań. Dodajemy stronami:

$$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 80^\circ$$

$$2\beta = 260^\circ$$

$$\beta = 130^\circ$$

Odpowiedź: kąt rozwarty równoległoboku ma miarę \(130^\circ\). Sprawdzenie: \(\alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\) i rzeczywiście \(130^\circ - 50^\circ = 80^\circ\), zgadza się.

To zadanie nie wymaga liczenia pola, ale pokazuje typową własność równoległoboku, którą musisz mieć w pamięci. Więcej o kątach w figurach znajdziesz w poście [kąty w figurach na maturze](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

## Przykład 7: Kosinus kąta i pole rombu (Matura czerwiec 2013, zadanie 14)

Treść zadania: Kosinus kąta ostrego rombu jest równy \(\frac{1}{3}\), a bok rombu ma długość \(3\). Oblicz pole tego rombu.

Krok 1. Co jest dane, czego brakuje. Mamy bok \(a = 3\) i \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\). Wzór \(P = a^2 \sin\alpha\) potrzebuje sinusa, więc musimy go najpierw policzyć z jedynki trygonometrycznej.

Krok 2. Jedynka trygonometryczna. Z tożsamości \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\):

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

$$\sin\alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Bierzemy dodatni pierwiastek, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym i \(\sin\alpha > 0\).

Krok 3. Wstawienie do wzoru na pole.

$$P = a^2 \sin\alpha = 9 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Odpowiedź: pole rombu wynosi \(6\sqrt{2}\).

Pułapka tego zadania: niektórzy uczniowie próbują zastąpić sinus kosinusem bezpośrednio we wzorze, co jest błędem. Wzór na pole zawiera \(\sin\alpha\), nie \(\cos\alpha\), i nie wolno tego mylić. Zawsze policz brakującą funkcję trygonometryczną z jedynki, zanim wstawisz do wzoru.

## Typowe pułapki i błędy uczniów

Najczęstsze błędy z mojego doświadczenia z setek maturalnych prac:

Mylenie wzoru z przekątnymi. Wzór \(P = \frac{1}{2} d_1 d_2\) bez sinusa działa TYLKO dla rombu, bo w rombie przekątne są prostopadłe. W zwykłym równoległoboku musisz dopisać \(\sin\gamma\), gdzie \(\gamma\) to kąt między przekątnymi.

Branie złej wysokości. Wysokość rombu lub równoległoboku to odległość między dwoma równoległymi bokami, mierzona prostopadle. Jeśli zadanie podaje "wysokość trójkąta utworzonego przez przekątną", to nie jest wysokość równoległoboku. Czytaj dokładnie.

Pomijanie wzoru redukcyjnego. Jeśli kąt jest rozwarty, sinus liczymy z dopełnienia do \(180^\circ\). \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ\), \(\sin 135^\circ = \sin 45^\circ\), \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ\). Tablice trygonometryczne na maturze podają wartości tylko dla kątów ostrych.

Mylenie kąta między bokami z kątem między przekątnymi. We wzorze \(P = a \cdot b \cdot \sin\alpha\) kąt \(\alpha\) to kąt wewnętrzny figury (między bokami), a we wzorze \(P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\gamma\) kąt \(\gamma\) to kąt między przekątnymi w punkcie ich przecięcia. To dwa różne kąty i nie wolno ich mylić.

Zapominanie, że wszystkie boki rombu są równe. To brzmi trywialnie, ale uczniowie potrafią obliczać obwód rombu \(a + b + c + d\) z różnymi wartościami, gdy zadanie podało im tylko "bok". Powtórz sobie: romb ma cztery boki tej samej długości, kropka.

Zła interpretacja obwodu. Obwód rombu to \(4a\), nie \(2a\). W równoległoboku obwód to \(2(a + b)\). Brzmi prosto, ale gdy w pośpiechu wstawisz złą formułę, stracisz punkt na początku zadania, a potem cały rachunek leci na próżno.

## Jak romb i równoległobok łączą się z innymi tematami

Romb pojawia się rzadko jako samodzielne zadanie. Częściej jest częścią zadania ze [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) (np. podstawa graniastosłupa to romb), z [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) (równanie boków rombu, środek przekątnych) albo z [trygonometrii w planimetrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

Często pole rombu lub równoległoboku jest tylko częścią większego zadania, np. trzeba policzyć pole figury złożonej z trójkąta i równoległoboku. Wtedy używasz [wzorów na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne) oraz wzorów z tego posta i dodajesz lub odejmujesz. Jeśli masz problem ze złożonymi figurami, zerknij do posta [pole i obwód figur na maturze](/pole-obwod-figur-matura-wzory), który zbiera wszystkie wzory w jednym miejscu.

Romb można też wpisać w okrąg lub opisać na okręgu. Ze względu na cztery równe boki, romb opisany na okręgu zawsze istnieje, a promień okręgu wpisanego wynosi \(r = \frac{h}{2}\), gdzie \(h\) to wysokość rombu. Romb wpisany w okrąg to z kolei kwadrat (bo wpisany w okrąg czworokąt musi mieć przekątne tej samej długości, a tylko w kwadracie przekątne rombu są równe).

Równoległobok często spotykasz w zadaniach na wektory. Jeśli dwa boki równoległoboku to wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\), to pole równoległoboku rozpiętego na nich obliczasz z [iloczynu wektorowego lub wyznacznika](/jak-obliczyc-iloczyn-skalarny-wektorow-wzor-zadania): \(P = |\vec{u} \times \vec{v}|\). To wykracza poza poziom podstawowy, ale na rozszerzeniu się przydaje.

## Powiązania z twierdzeniem Pitagorasa

W rombie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy. To znaczy, że połowa jednej przekątnej, połowa drugiej i bok rombu tworzą trójkąt prostokątny, więc działa [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania). Stąd:

$$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$$

Ten wzór pozwala policzyć bok rombu znając obie przekątne, albo policzyć jedną przekątną znając bok i drugą przekątną. Często ratuje w zadaniach gdy wzór na pole wymaga wartości, której nie masz wprost podanej.

W równoległoboku odpowiednikiem jest tożsamość równoległoboku: suma kwadratów przekątnych równa się dwukrotności sumy kwadratów boków, czyli \(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\). To rzadko potrzebne na maturze podstawowej, ale dobrze wiedzieć że istnieje.

## Romb a kwadrat i prostokąt - hierarchia czworokątów

Kwadrat to romb, w którym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę \(90^\circ\). Innymi słowy, kwadrat ma cztery równe boki (jak romb) i kąty proste (jak prostokąt). Z tego wynika, że [pole kwadratu](/przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura#przekatna-kwadratu-skad-bierze-sie-a-2) można policzyć trzema sposobami: \(P = a^2\) (klasycznie), \(P = a^2 \sin 90^\circ = a^2 \cdot 1 = a^2\) (z rombowego wzoru), albo \(P = \frac{1}{2} d^2\) (z przekątnej, bo w kwadracie obie przekątne są równe i prostopadłe).

Prostokąt natomiast to równoległobok z czterema kątami prostymi, ale boki niekoniecznie równe. Pole prostokąta to \(P = a \cdot b\), co dostajesz wstawiając \(\alpha = 90^\circ\) do wzoru \(P = a \cdot b \cdot \sin\alpha\), bo \(\sin 90^\circ = 1\).

Ta hierarchia ma praktyczne znaczenie: kiedy w zadaniu pojawia się "równoległobok", możesz zakładać tylko własności równoległoboku. Jeśli zadanie podaje, że kąt jest prosty, dopiero wtedy masz prostokąt z dodatkowymi wzorami. Jeśli boki są równe, masz romb. Nie przeskakuj w głąb hierarchii bez podstaw w treści zadania.

## Romb jako podstawa graniastosłupa lub ostrosłupa

W [stereometrii](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory) często spotykasz bryły, których podstawą jest romb. Wtedy wzór na objętość graniastosłupa to \(V = P_p \cdot H\), gdzie \(P_p\) to pole podstawy (czyli pole rombu) a \(H\) to wysokość bryły. W ostrosłupie z rombową podstawą \(V = \frac{1}{3} P_p \cdot H\).

Przykład: graniastosłup prosty o podstawie rombu ma bok podstawy \(a = 5\), kąt ostry rombu \(\alpha = 60^\circ\), a wysokość bryły \(H = 10\). Wtedy:

$$P_p = a^2 \sin\alpha = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$$

$$V = P_p \cdot H = \frac{25\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 125\sqrt{3}$$

Dlatego pole rombu i równoległoboku to nie tylko temat planimetrii. To także narzędzie do liczenia objętości brył i jak nauczysz się tych wzorów do automatyzmu, oszczędzisz sporo czasu na zadaniach złożonych ze stereometrii.

## Checklista - co musisz umieć przed maturą

Znasz wzory na pole równoległoboku: \(P = a \cdot h\), \(P = a \cdot b \cdot \sin\alpha\), \(P = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\gamma\). Znasz wzory na pole rombu: \(P = a \cdot h\), \(P = a^2 \sin\alpha\), \(P = \frac{1}{2} d_1 d_2\), \(P = 2ar\). Wiesz, że w rombie przekątne są prostopadłe i przekątne dzielą się na połowy. Wiesz, że suma sąsiednich kątów równoległoboku to \(180^\circ\). Umiesz wyciągnąć wysokość rombu ze wzoru \(h = a \sin\alpha\) korzystając z trygonometrii. Umiesz zastosować wzór redukcyjny \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) dla kątów rozwartych. Wiesz, że obwód rombu to \(4a\), a równoległoboku \(2(a+b)\). Rozróżniasz kąt między bokami od kąta między przekątnymi.

Dodatkowo zapamiętaj jeden trick, który ratuje czas: jeśli zadanie podaje obwód rombu, od razu policz bok jako \(a = \frac{O}{4}\) i zapisz tę wartość obok rysunku. Jeśli podaje promień okręgu wpisanego, od razu zapisz wysokość jako \(h = 2r\). Te dwa drobne podstawienia odróżniają ucznia, który zna wzory, od ucznia, który potrafi z nich wycisnąć maksimum tempa.

Warto też ćwiczyć rozpoznawanie figur z opisu treści. Jeśli zadanie mówi "czworokąt o równych przekątnych przecinających się w połowie" to mamy prostokąt. Jeśli "czworokąt o prostopadłych przekątnych dzielących się na połowy" to romb. Jeśli "czworokąt o równych i prostopadłych przekątnych przecinających się w połowie" to kwadrat. Takie definicje równoważne pomagają od razu wybrać wzór, jeszcze zanim zaczniesz cokolwiek liczyć.

Na koniec rada praktyczna: kiedy widzisz w treści zadania słowo "romb" lub "równoległobok", od razu narysuj figurę na brudno. Zaznacz wszystko co dane: boki, kąty, przekątne, wysokość. Dopiero patrząc na rysunek wybierz właściwy wzór. Bez rysunku łatwo pomylić dane i wstawić bok w miejsce przekątnej. Z rysunkiem zadanie zazwyczaj samo się rozwiązuje.

Jeśli chcesz przećwiczyć więcej zadań, polecam przejść przez podobne zagadnienia z [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) oraz [twierdzenia Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania). Dla powtórki przed egzaminem warto też zobaczyć [najczęstsze błędy na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji), żeby nie tracić punktów na rachunkach.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania
title: Funkcja liniowa na maturze - wzory, wykresy i zadania z rozwiązaniami krok po kroku
description: Funkcja liniowa na maturze: wzór y=ax+b, wyznaczanie współczynników, wykresy, równoległość i prostopadłość prostych. Ponad 70 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Funkcja liniowa na maturze - wzory, wykresy i zadania z rozwiązaniami krok po kroku

## Funkcja liniowa - najprostsza, ale nie do zlekceważenia

Funkcja liniowa to matematyczny fundament - prosty temat, który jednak pojawia się na **każdej maturze**. Na arkuszu CKE znajdziesz 1-3 zadania bezpośrednio z funkcji liniowej, ale jej znajomość jest potrzebna też w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) (równania prostych) i [układach równań](/topics/uklady-rownan).

W naszej bazie mamy **ponad 70 zadań** z funkcji liniowej. To temat, na którym **nie wolno** tracić punktów - zadania są przewidywalne i rozwiązywalne w 1-2 minuty.

## Wzór funkcji liniowej

$$f(x) = ax + b$$

lub równoważnie:

$$y = ax + b$$

gdzie:
- \(a\) - **współczynnik kierunkowy** (decyduje o nachyleniu prostej)
- \(b\) - **wyraz wolny** (punkt przecięcia z osią OY)

Dziedziną funkcji liniowej jest zawsze cały zbiór \(\mathbb{R}\). Zbiorem wartości też jest \(\mathbb{R}\), chyba że \(a = 0\): wtedy funkcja jest stała i przyjmuje tylko jedną wartość, \(b\).

### Co mówi współczynnik kierunkowy?

| Wartość \(a\) | Nachylenie | Funkcja |
|---------------|-----------|---------|
| \(a > 0\) | Rosnąca (w prawo do góry) | Im większe \(a\), tym bardziej stroma |
| \(a = 0\) | Stała (pozioma prosta) | \(f(x) = b\) |
| \(a  0\) (funkcja rosnąca): \(f(x)  0\) dla \(x > x_0\),
- \(a  0\) dla \(x  x_0\).

**Przykład:** dla \(f(x) = 2x - 6\) miejsce zerowe to \(x_0 = 3\), a \(a = 2 > 0\), więc \(f(x) > 0\) dla \(x \in (3, +\infty)\) i \(f(x)  0\).

Na wykresie wartości dodatnie to część prostej nad osią OX, a ujemne to część pod nią.

## Równoległość i prostopadłość

To pada na maturze **regularnie** - zarówno samodzielnie, jak i w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

### Proste równoległe

$$y = a_1 x + b_1 \parallel y = a_2 x + b_2 \iff a_1 = a_2 \text{ i } b_1 \neq b_2$$

**Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy**, ale różne wyrazy wolne.

**Przykład:** prosta równoległa do \(y = 3x - 2\) przechodząca przez punkt \(P(1, 4)\) ma \(a = 3\). Podstawiamy punkt: \(4 = 3 \cdot 1 + b\), więc \(b = 1\) i szukana prosta to \(y = 3x + 1\).

### Proste prostopadłe

$$y = a_1 x + b_1 \perp y = a_2 x + b_2 \iff a_1 \cdot a_2 = -1$$

**Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\).**

**Przykład:** Prosta prostopadła do \(y = 3x + 2\) ma \(a = -\frac{1}{3}\).

## Funkcja liniowa w zadaniach tekstowych

CKE ukrywa funkcję liniową w zadaniach "z życia":

- "Cena wody to 5 zł za przyłączenie + 3 zł za każdy m\(^3\)" -> \(f(x) = 3x + 5\)
- "Temperatura spada o 2°C na godzinę, o 8:00 było 20°C" -> \(f(t) = -2t + 20\)
- "Zbiornik napełnia się w tempie 15 litrów na minutę, na początku było 200 litrów" -> \(V(t) = 15t + 200\)

Schemat: szukaj **stałej stawki** (to \(a\)) i **wartości początkowej** (to \(b\)).

## Rozwiązane zadania z CKE

### Zadanie 1: Odczytanie wzoru z wykresu (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Prosta na rysunku przechodzi przez punkty \((-2, 0)\) i \((0, 4)\). Wzór funkcji to

A. \(y = 2x + 4\)    B. \(y = -2x + 4\)    C. \(y = 2x - 4\)    D. \(y = -2x - 4\)

**Rozwiązanie:**

Z punktu \((0, 4)\): \(b = 4\)

$$a = \frac{4 - 0}{0 - (-2)} = \frac{4}{2} = 2$$

**Odpowiedź: A** \(y = 2x + 4\)

### Zadanie 2: Prostopadłość (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Prosta \(y = \frac{2}{3}x - 1\) jest prostopadła do prostej

A. \(y = \frac{2}{3}x + 5\)    B. \(y = -\frac{2}{3}x + 5\)    C. \(y = \frac{3}{2}x + 5\)    D. \(y = -\frac{3}{2}x + 5\)

**Rozwiązanie:**

Prosta prostopadła do \(y = \frac{2}{3}x - 1\) ma \(a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}\)

**Odpowiedź: D**

### Zadanie 3: Zadanie tekstowe (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Firma kurierska pobiera opłatę stałą 8 zł za nadanie paczki oraz 2,50 zł za każdy kilogram wagi. Napisz wzór opisujący koszt wysłania paczki o wadze \(x\) kg i oblicz koszt wysłania paczki o wadze 6 kg.

**Rozwiązanie:**

Wzór: \(K(x) = 2{,}50x + 8\)

Dla \(x = 6\):
$$K(6) = 2{,}50 \cdot 6 + 8 = 15 + 8 = 23 \text{ zł}$$

**Odpowiedź:** Koszt wynosi 23 zł.

### Zadanie 4: Punkt na prostej (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Punkt \(A(3, m)\) leży na prostej \(y = -2x + 11\). Wartość \(m\) jest równa

A. \(5\)    B. \(17\)    C. \(-5\)    D. \(7\)

**Rozwiązanie:**

Wstawiamy \(x = 3\):
$$m = -2 \cdot 3 + 11 = -6 + 11 = 5$$

**Odpowiedź: A**

## Jeszcze dwa typy zadań

### Zadanie 5: Prosta prostopadła przez punkt

**Treść:** Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji \(f(x) = \frac{1}{3}x + 2\) i przechodzi przez punkt \(A(3, 1)\).

**Rozwiązanie:**

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: \(a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{\frac{1}{3}} = -3\).

Podstawiamy punkt \(A\) do \(y = -3x + b\):
$$1 = -3 \cdot 3 + b \implies b = 10$$

**Odpowiedź:** \(g(x) = -3x + 10\)

### Zadanie 6: Parametr a monotoniczność

**Treść:** Dla jakich wartości parametru \(m\) funkcja \(f(x) = (m - 2)x + 3\) jest rosnąca?

**Rozwiązanie:**

Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni. Tutaj \(a = m - 2\), więc:
$$m - 2 > 0 \implies m > 2$$

**Odpowiedź:** \(m \in (2, +\infty)\)

## Najczęstsze błędy

**Błąd 1:** Mylenie współczynnika kierunkowego z wyrazem wolnym. Na wykresie \(b\) to punkt na osi OY, a \(a\) to "nachylenie" (ile \(y\) zmienia się, gdy \(x\) rośnie o 1).

**Błąd 2:** Błędny znak \(a\) przy prostopadłości. Pamiętaj: bierzesz odwrotność **i** zmieniasz znak. Nie jedno z dwóch - oba naraz.

**Błąd 3:** W zadaniach tekstowych - mylenie stawki jednostkowej (\(a\)) z opłatą stałą (\(b\)). "5 zł za sztukę + 10 zł za dostawę" to \(f(x) = 5x + 10\), nie odwrotnie.

**Błąd 4:** Niespójna kolejność punktów we wzorze na \(a\). Jeśli w liczniku jest \(y_2 - y_1\), to w mianowniku musi być \(x_2 - x_1\), z tych samych punktów i w tej samej kolejności. Zamiana kolejności tylko w jednym miejscu odwraca znak współczynnika.

## Jak ćwiczyć?

Funkcja liniowa to temat, na którym powinieneś zdobywać **100% punktów**. Zadania są przewidywalne i rozwiązywalne w minutę. Przećwicz [ponad 70 zadań z funkcji liniowej na Sprawnej Maturze](/topics/funkcja-liniowa) - zacznij od zamkniętych, potem przejdź do otwartych.

Jeśli chcesz pogłębić temat, przeczytaj nasz [przewodnik po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - tam funkcja liniowa wraca w kontekście równań prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej. Sprawdź też [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) - wiele z nich dotyczy właśnie prostych.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /najmniejsza-najwieksza-wartosc-funkcji-kwadratowej-w-przedziale
title: Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale - metoda krok po kroku
description: Jak znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale. Schemat w 4 krokach, pięć zadań maturalnych krok po kroku, typowe pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale - metoda krok po kroku

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale to jeden z najczęstszych typów zadań na maturze podstawowej. Z naszej analizy [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) ten typ pojawił się w ponad 70 procentach egzaminów, zwykle jako zadanie zamknięte za 1 punkt albo jako otwarte za 3-4 punkty w połączeniu z [zadaniem optymalizacyjnym](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka). To temat, na którym wielu uczniów traci pewne punkty tylko dlatego, że odruchowo wstawiają wzór na wierzchołek, nie sprawdzając, czy ten wierzchołek w ogóle leży w zadanym przedziale.

W tym poście pokażę ci dokładnie, kiedy ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale to wierzchołek paraboli, a kiedy musisz spojrzeć na końce przedziału. Rozpiszemy schemat działania na cztery proste kroki, rozwiążemy razem pięć zadań maturalnych w różnych konfiguracjach i przejdziemy przez pułapki, w które wpada większość zdających. Na końcu znajdziesz checklistę, której możesz używać w stresie maturalnym.

## Dlaczego ten typ zadania pojawia się co roku

Funkcja kwadratowa to jeden z fundamentów matury podstawowej. CKE bardzo lubi sprawdzać, czy uczeń rozumie pojęcie ekstremum funkcji w przedziale, bo to wymaga połączenia kilku umiejętności: znajomości postaci funkcji kwadratowej, wyznaczania wierzchołka, analizy monotoniczności i porównania wartości na końcach przedziału. Dla CKE jest to idealny test rozumienia, a nie tylko "podstawiania do wzoru".

Najczęstsze warianty tego zadania, które spotkałem w arkuszach:

- "Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) w przedziale \(\langle 0, 5 \rangle\)" - klasyk za 2 punkty
- "Funkcja kwadratowa przyjmuje w przedziale \(\langle -1, 3 \rangle\) wartość najmniejszą równą... " - wariant z parametrem
- "Pole prostokąta wyrażone jako funkcja \(P(x) = x(10-x)\). Wyznacz największe pole dla \(x \in (0, 10)\)" - zadanie optymalizacyjne

W każdym z tych przypadków klucz jest ten sam: czy wierzchołek paraboli mieści się w naszym przedziale.

## Krótkie przypomnienie: funkcja kwadratowa i wierzchołek

Zanim zaczniemy szukać ekstremum w przedziale, upewnij się, że ogarniasz podstawy. Funkcja kwadratowa to funkcja postaci \(f(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie \(a \neq 0\). Współczynnik \(a\) decyduje o kierunku ramion paraboli:

- jeśli \(a > 0\), ramiona skierowane są do góry, parabola ma wierzchołek na dole (minimum globalne)
- jeśli \(a  0\)) lub największa (gdy \(a  0\), parabola ma wierzchołek na dole (minimum), jeśli \(a  0\) lub maksimum dla \(a  x_2\), to wierzchołek jest poza przedziałem. Funkcja jest monotoniczna na całym przedziale, więc ekstrema to po prostu wartości na końcach: \(f(x_1)\) i \(f(x_2)\). Większa z nich to maksimum, mniejsza to minimum.

Krok 4: Policz konkretne wartości i porównaj. Zapisz odpowiedź.

To wszystko. Cztery kroki, każdy mechaniczny. Jeśli trzymasz się tego schematu, nie ma szans, żebyś popełnił błąd. Teraz zobaczmy go w działaniu.

## Przykład 1: wierzchołek wewnątrz przedziału, ramiona w górę

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) w przedziale \(\langle 0, 5 \rangle\).

Krok 1: Liczymy \(p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Wierzchołek ma pierwszą współrzędną \(p = 3\).

Krok 2: \(a = 1 > 0\), więc ramiona do góry. W wierzchołku jest minimum funkcji.

Krok 3: Czy \(p = 3\) należy do \(\langle 0, 5 \rangle\)? Tak, bo \(0 \leq 3 \leq 5\). Wierzchołek jest w przedziale.

Krok 4: Liczymy wartości:

- W wierzchołku: \(q = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\). To minimum.
- Na lewym końcu: \(f(0) = 0 - 0 + 5 = 5\).
- Na prawym końcu: \(f(5) = 25 - 30 + 5 = 0\).

Maksimum to większa z wartości na końcach: \(\max\{5, 0\} = 5\).

Odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), największa to \(5\).

Zauważ: maksimum osiągnięte zostało na lewym końcu, bo lewy koniec jest dalej od wierzchołka niż prawy. Wierzchołek \(p = 3\) jest bliżej prawego końca przedziału (\(5 - 3 = 2\)) niż lewego (\(3 - 0 = 3\)). To podpowiedź: dla \(a > 0\) większa wartość zawsze jest na tym końcu, który jest dalej od wierzchołka.

## Przykład 2: wierzchołek wewnątrz przedziału, ramiona w dół

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\) w przedziale \(\langle 1, 4 \rangle\).

Krok 1: \(p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2\).

Krok 2: \(a = -1  0\), ramiona do góry. W wierzchołku globalne minimum, ale...

Krok 3: Czy \(p = 1\) należy do \(\langle 3, 6 \rangle\)? Nie. Bo \(1  1\)), to funkcja jest na nim rosnąca. Więc najmniejsza wartość to \(f(3)\), a największa to \(f(6)\).

Krok 4: Liczymy:

- \(f(3) = 9 - 6 - 3 = 0\).
- \(f(6) = 36 - 12 - 3 = 21\).

Odpowiedź: najmniejsza wartość to \(0\), największa to \(21\). Wierzchołka w ogóle nie używamy w ostatecznej odpowiedzi, ale obliczenie \(p = 1\) było konieczne, żeby ustalić, że wierzchołek nie należy do przedziału.

To jest ten przypadek, w którym uczniowie wpadają w pułapkę: wstawiają \(q = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4\) jako minimum, mimo że \(x = 1\) nie należy do dziedziny zadania. Funkcja na przedziale \(\langle 3, 6 \rangle\) nigdy nie osiąga wartości \(-4\), bo ten punkt jest poza dziedziną. Zawsze sprawdzaj, czy \(p\) należy do przedziału.

## Przykład 4: wierzchołek na końcu przedziału

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = 2x^2 + 8x + 7\) w przedziale \(\langle -2, 1 \rangle\).

Krok 1: \(p = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2\).

Krok 2: \(a = 2 > 0\), ramiona do góry. Wierzchołek to minimum.

Krok 3: Czy \(p = -2\) należy do \(\langle -2, 1 \rangle\)? Tak, bo wierzchołek wypada dokładnie na lewym końcu przedziału. To przypadek graniczny.

Krok 4: Liczymy:

- W wierzchołku (czyli na lewym końcu): \(f(-2) = 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-2) + 7 = 8 - 16 + 7 = -1\). To minimum.
- Na prawym końcu: \(f(1) = 2 + 8 + 7 = 17\). To maksimum.

Odpowiedź: najmniejsza wartość to \(-1\), największa to \(17\).

Ten przykład pokazuje, że gdy wierzchołek wypada dokładnie na końcu przedziału, funkcja jest monotoniczna na pozostałej części przedziału. Nie ma drugiego "wewnętrznego" ekstremum do porównania - tylko wierzchołek na końcu i wartość na drugim końcu. Wzór dalej działa, tylko trzeba uważnie czytać granice.

## Przykład 5: zadanie maturalne z treścią (optymalizacja)

Pan Adam chce ogrodzić prostokątne boisko o obwodzie \(40\) metrów, przylegające jednym bokiem do ściany budynku. Ścianę zostawia bez ogrodzenia. Wyznacz wymiary boiska, dla którego jego pole jest największe, oraz wartość tego maksymalnego pola.

Oznacz przez \(x\) długość boku prostopadłego do ściany. Wtedy dwa boki prostopadłe mają długość \(x\), a bok równoległy do ściany ma długość \(40 - 2x\) (cały obwód to suma trzech ogradzanych boków: \(2x + (40 - 2x) = 40\)... wait, sprawdzam: \(2x + 40 - 2x = 40\), zgadza się).

Hmm, ale to znaczy że samo \(40\) to długość siatki, a nie obwodu. Doprecyzujmy: pan Adam ma \(40\) metrów siatki na trzy boki (bo czwarty bok to ściana). Dwa boki prostopadłe do ściany mają długość \(x\), a bok równoległy do ściany ma długość \(40 - 2x\).

Pole prostokąta: \(P(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2\).

To funkcja kwadratowa z \(a = -2\), \(b = 40\), \(c = 0\). Aby zadanie miało sens fizyczny, wymagamy \(x > 0\) i \(40 - 2x > 0\), czyli \(0  0\) - wierzchołek na lewo od przedziału, funkcja rosnąca, minimum to \(f(0)\).
- \(0 \leq p \leq 4\), czyli \(-4 \leq m \leq 0\) - wierzchołek w przedziale, minimum to \(q = f(p)\).
- \(p > 4\), czyli \(m < -4\) - wierzchołek na prawo od przedziału, funkcja malejąca, minimum to \(f(4)\).

W każdym przypadku przyrównujesz wynik do \(-3\) i rozwiązujesz równanie na \(m\). Potem sprawdzasz, czy znalezione \(m\) jest w odpowiednim podprzedziale (np. dla pierwszego przypadku \(m\) musi wyjść większe od zera).

To zadanie typu "case analysis" - męczące, ale algorytmiczne. Jeśli rozpiszesz przypadki, nie pomylisz się.

## Jak rozpoznać ten typ zadania na maturze

Na maturze podstawowej ten typ pojawia się w trzech wariantach:

1. Zadanie zamknięte (1 punkt) - "Najmniejszą wartością funkcji \(f(x) = ...\) w przedziale \(\langle ..., ... \rangle\) jest: A) ..., B) ..., C) ..., D) ...". Wstawiasz, liczysz, zaznaczasz odpowiedź. 5 minut.

2. Zadanie krótkiej odpowiedzi (2-3 punkty) - "Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w danym przedziale". Pełne rozpisanie schematu z policzeniem wierzchołka, sprawdzeniem przynależności i wartości na końcach. 7-10 minut.

3. Zadanie z treścią / optymalizacyjne (3-5 punktów) - jak nasz przykład z boiskiem. Najpierw modelujesz funkcję na podstawie treści, potem stosujesz schemat. 15-20 minut.

Niezależnie od wariantu - schemat jest ten sam. Cztery kroki. Rozumiesz cztery kroki, masz pewne punkty.

## Powiązane techniki, które warto opanować

Ekstremum w przedziale to fragment większej układanki na maturze. Warto opanować też:

- [Postać kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej](/jak-przeksztalcic-funkcje-kwadratowa-postac-kanoniczna-iloczynowa) - jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej, wierzchołka nie musisz liczyć.
- [Miejsca zerowe funkcji](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac) - przydatne, gdy zadanie pyta o znaki funkcji w przedziale.
- [Jak narysować wykres funkcji kwadratowej](/jak-narysowac-wykres-funkcji-kwadratowej) - rysunek pomaga zwizualizować, gdzie leży wierzchołek względem przedziału.
- [Odczytywanie własności funkcji z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura) - czasem zadanie nie podaje wzoru, tylko wykres, i pyta o ekstremum w przedziale.
- [Zadania optymalizacyjne](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka) - praktyczne zastosowanie ekstremum w przedziale.
- [Funkcja kwadratowa - kompletny przewodnik](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - pełne omówienie wszystkich własności funkcji kwadratowej w jednym miejscu.

Cała kategoria zadań z funkcji kwadratowej jest też dostępna w [topics/funkcja-kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), gdzie znajdziesz arkusze i zadania CKE z rozwiązaniami.

## Checklista: co musisz umieć

Przed maturą sprawdź, czy potrafisz każdy z tych punktów. Jeśli na któryś odpowiadasz "nie wiem", wróć do odpowiedniej sekcji posta.

- Policzyć \(p = -\frac{b}{2a}\) - pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli
- Określić znak współczynnika \(a\) i powiedzieć, czy w wierzchołku jest minimum czy maksimum
- Sprawdzić, czy \(p\) należy do zadanego przedziału (znak nierówności w obie strony)
- Policzyć \(q = f(p)\), gdy wierzchołek jest w przedziale
- Policzyć \(f(x_1)\) i \(f(x_2)\) na końcach przedziału
- Porównać wartości i odpowiedzieć poprawnie: najmniejsza i największa
- Rozpoznać sytuację, w której funkcja jest monotoniczna na całym przedziale (wierzchołek poza przedziałem)
- Zinterpretować wynik w kontekście zadania z treścią (np. wymiary boiska, koszt minimalny)
- Obsłużyć przedział otwarty (uwaga na sformułowanie odpowiedzi)
- Sprawdzić odpowiedź na poziomie zdrowego rozsądku (czy minimum jest mniejsze od maksimum, czy wartości są realne)

Jeśli wszystko odhaczone, masz to zadanie w kieszeni. Na maturze 2027 (i każdej kolejnej) wystarczy zachować spokój i przejść przez cztery kroki schematu.

## Podsumowanie

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale to zadanie, na którym możesz odzyskać 2-4 pewne punkty, jeśli opanujesz prosty schemat: policz wierzchołek, sprawdź czy jest w przedziale, policz wartości na końcach, porównaj. Nie potrzebujesz żadnej magicznej wiedzy ani triku - wystarczy systematyczne podejście i dokładność.

Jeśli przerobisz pięć przykładów z tego posta i powtórzysz schemat na podobnych zadaniach z [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), zwłaszcza z [matury maj 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz), [matury maj 2022](/matura-maj-2022-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), to zadanie z ekstremum funkcji kwadratowej przestanie być dla ciebie wyzwaniem. Czas: 5-10 minut na rozwiązanie. Punkty: pewne. Wkład w wynik: spory. To jedno z najlepiej "płacących" zadań na maturze - opłaca się je opanować na blachę.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z ciągów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: 218 zadań CKE z ciągów z rozwiązaniami krok po kroku. Wzory na ciąg arytmetyczny i geometryczny, typy zadań i rozwiązane przykłady maturalne CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z ciągów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Ciągi to jeden z najpewniejszych działów na maturze z matematyki - schematyczny, przewidywalny i hojny w punkty. W naszej bazie znajdziesz 218 zadań z ciągów pochodzących z prawdziwych arkuszy CKE: od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i diagnostyczne. Każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań wracają i prowadzi przez kilka rozwiązanych przykładów CKE.

## Ile ciągów jest na maturze

Ciągi pojawiają się na praktycznie każdej maturze podstawowej - zwykle jako 1-3 zadania zamknięte i często jedno zadanie otwarte. To realnie od 3 do 6 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) to są punkty, których po prostu nie wolno oddawać.

Dobra wiadomość jest taka, że ten dział jest mało zmienny. Zadania sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów: wyznaczanie wyrazu ciągu, obliczanie sumy, wyznaczanie pierwszego wyrazu i różnicy lub ilorazu z warunków, sprawdzanie, czy liczby tworzą ciąg. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, rozwiążesz prawie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię znajdziesz w przewodniku [ciągi na maturze](/topics/ciagi) oraz w tekście [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

## Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet wzorów. Wszystkie są w [karcie wzorów CKE](/formulas), ale warto mieć je w głowie, bo oszczędzają czas.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i różnicy \(r\):

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\):

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego dla \(q\neq 1\):

$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Warunek na to, że trzy kolejne wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny (środkowy jest średnią sąsiadów):

$$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$$

Warunek na ciąg geometryczny (kwadrat środkowego to iloczyn sąsiadów):

$$a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}$$

Każdy z tych wątków ma u nas osobny poradnik z zadaniami: [ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania), [suma ciągu arytmetycznego i geometrycznego](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego) oraz [ciąg rekurencyjny](/ciag-rekurencyjny-matura-wzor-ogolny-jak-obliczyc-wyrazy).

## Baza zadań CKE według typu

Zadania z ciągów dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-4 punkty, pełne rozwiązanie). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

| Typ zadania | Forma | Co sprawdza | Gdzie ćwiczyć |
| --- | --- | --- | --- |
| Wyraz ciągu arytmetycznego | zamknięte i otwarte | wzór na \(a_n\) | [/random](/random) |
| Suma ciągu arytmetycznego | otwarte | wzór na \(S_n\) | [/solve](/solve) |
| Wyznaczanie \(a_1\) i \(r\) z warunków | otwarte | układ z dwóch równań | [/topics/ciagi](/topics/ciagi) |
| Wyraz i suma ciągu geometrycznego | zamknięte i otwarte | wzory na \(a_n\) i \(S_n\) | [/solve](/solve) |
| Liczby tworzące ciąg | zamknięte i otwarte | warunek arytmetyczny lub geometryczny | [/random](/random) |
| Ciąg rekurencyjny | zamknięte | obliczanie kolejnych wyrazów | [/exams](/exams) |

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy [CKE 2015-2023](/exams) oraz z najnowszych arkuszy pokazowych [CKE 2025](/exams). Wszystkie rozwiążesz w [trybie nauki](/random), gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

## Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć zadań z ciągów w stylu CKE, każde rozwiązane od początku do końca. Ten sam zestaw schematów znajdziesz w setkach zadań w bazie.

### Zadanie 1

W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz to \(a_1=5\), a różnica \(r=3\). Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu.

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz: \(a_n=a_1+(n-1)r\). Podstawiamy \(n=20\):

$$a_{20}=5+(20-1)\cdot 3=5+19\cdot 3=5+57=62$$

Dwudziesty wyraz wynosi \(62\).

### Zadanie 2

W ciągu arytmetycznym \(a_3=11\) oraz \(a_7=27\). Wyznacz pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\).

Zapisujemy oba wyrazy wzorem ogólnym: \(a_3=a_1+2r\) i \(a_7=a_1+6r\). Odejmujemy równania stronami:

$$a_7-a_3=4r=27-11=16$$

Stąd \(r=4\). Wracamy do \(a_3=a_1+2r=11\), czyli \(a_1+8=11\), więc \(a_1=3\). Pierwszy wyraz to \(3\), różnica \(4\).

### Zadanie 3

Oblicz sumę trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \(a_1=4\) i \(r=2\).

Najpierw trzydziesty wyraz: \(a_{30}=4+(30-1)\cdot 2=4+58=62\). Teraz suma:

$$S_{30}=\frac{a_1+a_{30}}{2}\cdot 30=\frac{4+62}{2}\cdot 30=33\cdot 30=990$$

Suma wynosi \(990\).

### Zadanie 4

W ciągu geometrycznym \(a_1=3\), a iloraz \(q=2\). Oblicz szósty wyraz.

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\). Podstawiamy \(n=6\):

$$a_6=3\cdot 2^{5}=3\cdot 32=96$$

Szósty wyraz to \(96\).

### Zadanie 5

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym \(a_1=2\) i \(q=3\).

Korzystamy ze wzoru na sumę dla \(q\neq 1\):

$$S_5=a_1\cdot\frac{1-q^5}{1-q}=2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=2\cdot\frac{1-243}{-2}=2\cdot\frac{-242}{-2}=2\cdot 121=242$$

Dla pewności sprawdzamy bezpośrednio: \(2+6+18+54+162=242\). Wynik się zgadza.

### Zadanie 6

Liczby \(2\), \(x\), \(18\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, przy czym \(x>0\). Wyznacz \(x\).

Korzystamy z warunku geometrycznego: kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów.

$$x^2=2\cdot 18=36$$

Stąd \(x=6\) lub \(x=-6\). Ponieważ \(x>0\), bierzemy \(x=6\). Sprawdzenie: ciąg \(2, 6, 18\) ma iloraz \(q=3\), więc warunek jest spełniony.

## Najczęstsze typy zadań i pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że pułapki się powtarzają. Oto te, które najczęściej kosztują punkty.

Pułapka pierwsza: indeks \(n-1\) we wzorze na wyraz. W [ciągu arytmetycznym](/ciag-arytmetyczny-i-geometryczny-zadania-z-trescia-matura#typowe-pulapki) \(a_n=a_1+(n-1)r\), a nie \(a_1+nr\). Przy dwudziestym wyrazie mnożysz różnicę przez \(19\), a nie przez \(20\). To najczęstszy błąd w całym dziale.

Pułapka druga: mylenie wzorów ciągu arytmetycznego z geometrycznym. W arytmetycznym dodajesz różnicę, w geometrycznym mnożysz przez iloraz. Zanim zaczniesz liczyć, ustal, z jakim ciągiem masz do czynienia.

Pułapka trzecia: dwa rozwiązania w warunku geometrycznym. Z równania \(x^2=36\) wychodzi \(x=6\) oraz \(x=-6\). Jeśli zadanie nie ogranicza znaku, podaj oba. Pominięcie jednego to utrata punktów.

Pułapka czwarta: wzór na sumę geometryczną działa tylko dla \(q\neq 1\). Gdy \(q=1\), wszystkie wyrazy są równe i suma to po prostu \(S_n=n\cdot a_1\). Podstawianie do ułamka z zerem w mianowniku to klasyczny błąd. Więcej o takich potknięciach w poradniku [błędy rachunkowe na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

Pułapka piąta: liczenie wyrazu zamiast sumy albo na odwrót. Czytaj polecenie do samego końca. Czasem zadanie pyta o konkretny wyraz ciągu, a czasem o sumę kilku początkowych wyrazów. To dwa różne wzory i pod presją czasu bardzo łatwo je pomylić, tracąc punkty za dobrze rozpoczęte rozwiązanie.

## Jak czytać rozwiązanie krok po kroku

Samo zerknięcie na odpowiedź nic nie daje. Zysk pojawia się dopiero wtedy, gdy rozumiesz każdy krok. Dlatego rozwiązania w bazie nie podają samego wyniku - prowadzą cię przez całą drogę: od tego, co jest dane, przez wybór wzoru, aż po obliczenia.

Czytaj rozwiązanie aktywnie. Po każdym kroku zatrzymaj się i zapytaj: dlaczego akurat ten wzór, dlaczego ta kolejność. W zadaniu 2 powyżej kluczowy był pomysł, żeby odjąć równania stronami i pozbyć się \(a_1\). W zadaniu 6 trik polegał na zastosowaniu warunku geometrycznego zamiast zgadywania. To są schematy, które wracają na maturze.

Najlepszy nawyk to zasłonić rozwiązanie i spróbować dojść do wyniku samemu, odsłaniając kolejne kroki tylko wtedy, gdy naprawdę utkniesz. Jeśli masz własne zadanie, którego nie ma w bazie, wrzuć je do [solvera](/solve) - dostaniesz rozpisane rozwiązanie w tym samym stylu, nawet ze zdjęcia. O sprawdzaniu własnych obliczeń piszemy w poradniku [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Od czego zacząć, jeśli ten dział leży

Jeśli ciągi na razie ci nie idą, zacznij od ciągu arytmetycznego - jest prostszy. Najpierw opanuj sam wzór na n-ty wyraz: podstawiasz dane i masz wynik. Potem dorzuć sumę \(S_n\), bo połowa zadań otwartych z tego działu sprowadza się właśnie do policzenia sumy.

Dopiero potem przejdź do ciągu geometrycznego i do zadań, w których wyznaczasz \(a_1\) oraz \(r\) lub \(q\) z dwóch warunków. Taka kolejność - od zadań jednokrokowych do złożonych - buduje pewność, zamiast od razu zderzać cię ze ścianą. Jeśli braki masz głębsze, sięgnij po [jak uczyć się matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury). Zadania otwarte z sumami i monotonicznością rozpisaliśmy w tekście [ciągi na maturze - suma i monotoniczność](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte).

## Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na ciągi to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od [trybu losowego](/random) z filtrem na ciągi - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić obliczenia, wrzuć je do [solvera](/solve). Kiedy poczujesz, że typy wchodzą automatycznie, rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) albo przejdź przez [symulator matury](/simulator), żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na [stronie statystyk](/progress).

Jeśli uczysz się sam, bez korepetytora, ten dział jest idealny na początek - jest schematyczny i daje pewne punkty. Jak zbudować z darmowych zasobów własny program nauki, opisaliśmy w tekście [kurs maturalny z matematyki online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto-jak-wybrac).

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z ciągów powinienem przerobić?
Zacznij od circa 30 zadań różnych typów - to wystarczy, żeby rozpoznać schematy. Potem dorzucaj zadania z całych arkuszy w ramach powtórek.

### Czy wzory na ciągi są w karcie wzorów?
Tak, wzory na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego znajdziesz w [karcie wzorów CKE](/formulas). Warto je jednak znać na pamięć, bo oszczędzają czas.

### Co jest trudniejsze: ciąg arytmetyczny czy geometryczny?
Arytmetyczny jest prostszy, bo operujesz dodawaniem. W geometrycznym dochodzą potęgi, więc łatwiej o błąd rachunkowy. Zacznij od arytmetycznego.

### Skąd pochodzą zadania w bazie?
Wyłącznie z prawdziwych arkuszy CKE - matur majowych, czerwcowych, sierpniowych poprawkowych oraz arkuszy pokazowych i diagnostycznych. Pełną listę masz na stronie [egzaminów](/exams).

## Podsumowanie - co musisz umieć

Z ciągów na maturze podstawowej musisz pewnie liczyć: n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i geometrycznego, sumę \(S_n\) obu ciągów, wyznaczanie \(a_1\) oraz \(r\) lub \(q\) z warunków, a także sprawdzanie warunku arytmetycznego i geometrycznego. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz 218 zadań CKE z ciągów z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w [trybie nauki](/random) już dziś. A jeśli zastanawiasz się, czy potrzebujesz płatnego kursu, najpierw przeczytaj [kurs maturalny z matematyki online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto-jak-wybrac) i sprawdź, jak daleko zajdziesz za darmo.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania
title: Równania kwadratowe na maturze - wyróżnik, wzory Viète'a, zadania z rozwiązaniami
description: Równania kwadratowe na maturze z matematyki. Wyróżnik, wzory Viète'a, postać iloczynowa i zadania z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Równania kwadratowe na maturze - wyróżnik, wzory Viète'a, zadania z rozwiązaniami

## Wstęp

Równania kwadratowe to jeden z fundamentalnych tematów, które pojawiają się na każdej maturze z matematyki. Niezależnie od tego, czy przystępujesz do egzaminu na poziomie podstawowym czy rozszerzonym, umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych oraz rozumienia ich właściwości jest absolutnie niezbędna. Równania kwadratowe nie tylko stanowią samodzielne zadania egzaminacyjne, ale również pojawiają się w zagadnieniach dotyczących [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa), nierówności i wielu innych typów problemów.

## Postać ogólna równania kwadratowego

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

gdzie \( a, b, c \) to współczynniki rzeczywiste, \( a \neq 0 \) (warunek konieczny, aby równanie było kwadratowe), a \( x \) to niewiadoma.

Współczynniki mają następujące nazwy: \( a \) to współczynnik przy \( x^2 \) (współczynnik główny), \( b \) to współczynnik przy \( x \), a \( c \) to wyraz wolny.

Jeśli \( a = 0 \), równanie degeneruje się do równania liniowego \( bx + c = 0 \), które nie jest równaniem kwadratowym.

Przykłady równań kwadratowych w postaci ogólnej: \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \) (gdzie \( a = 2, b = 5, c = -3 \)), \( x^2 - 4 = 0 \) (gdzie \( a = 1, b = 0, c = -4 \)), \( -3x^2 + 6x = 0 \) (gdzie \( a = -3, b = 6, c = 0 \)) czy \( x^2 + x + 1 = 0 \) (gdzie \( a = 1, b = 1, c = 1 \)). Każde z tych równań może mieć różną liczbę rozwiązań rzeczywistych, co zależy od wartości wyróżnika.

## Wyróżnik (delta) i jego interpretacja

Wyróżnik, zwany również deltą, to wyrażenie, które określa liczbę i charakter rozwiązań równania kwadratowego. Obliczamy go według wzoru:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Wartość delty determinuje, ile rozwiązań ma nasze równanie kwadratowe.

Gdy \( \Delta > 0 \) (delta dodatnia), równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Ta sytuacja występuje najczęściej i jest podstawowym przypadkiem na maturze. Na przykład dla równania \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) obliczamy \( \Delta = 25 - 24 = 1 > 0 \), więc równanie ma dwa różne pierwiastki.

Gdy \( \Delta = 0 \) ([delta równa zero](/rownanie-iloczynowe-jak-rozwiazac-ile-rozwiazan-zadania-matura#trzy-rodzaje-czynnikow-i-ile-rozwiazan-daje-kazdy)), równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny). Na przykład \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) daje \( \Delta = 16 - 16 = 0 \), a jedynym pierwiastkiem jest \( x = 2 \).

Gdy \( \Delta  0 \). Obliczamy: \( \Delta = m^2 - 4(m - 1) = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2 \).

Nierówność \( (m - 2)^2 > 0 \) jest spełniona dla wszystkich \( m \neq 2 \). Odpowiedź: \( m \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

### Zadanie 4: Zastosowanie wzorów Viète'a

Suma pierwiastków równania \( 3x^2 + kx - 6 = 0 \) wynosi 4. Znajdź wartość \( k \) i oba pierwiastki.

Z wzorów Viète'a: \( x_1 + x_2 = -\frac{k}{3} = 4 \), skąd \( k = -12 \). Równanie przyjmuje postać \( 3x^2 - 12x - 6 = 0 \), czyli \( x^2 - 4x - 2 = 0 \). Delta: \( \Delta = 16 + 8 = 24 \). Pierwiastki: \( x = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6} \).

## Równania sprowadzalne do kwadratowych

Wiele równań, które nie mają postaci kwadratowej, można sprowadzić do niej metodą podstawienia.

Równanie dwukwadratowe \( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \): podstawiamy \( t = x^2 \) (gdzie \( t \geq 0 \)). Otrzymujemy \( t^2 - 13t + 36 = 0 \), skąd \( \Delta = 169 - 144 = 25 \), \( t_1 = 4 \), \( t_2 = 9 \). Wracając: dla \( t = 4 \) mamy \( x = \pm 2 \), dla \( t = 9 \) mamy \( x = \pm 3 \). Odpowiedź: \( x \in \{-3, -2, 2, 3\} \).

Równanie z pierwiastkami \( \sqrt{x} - 2\sqrt[4]{x} + 1 = 0 \) (dla \( x \geq 0 \)): podstawiamy \( t = \sqrt[4]{x} \), wówczas \( \sqrt{x} = t^2 \). Otrzymujemy \( t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 = 0 \), skąd \( t = 1 \) i \( x = 1 \).

## Najczęstsze błędy i pułapki

Na maturze uczniowie popełniają kilka powtarzających się błędów przy rozwiązywaniu równań kwadratowych.

Pierwszym jest zapomnienie warunku \( a \neq 0 \) - automatyczne stosowanie wzoru na pierwiastki bez sprawdzenia, czy równanie jest faktycznie kwadratowe.

Bardzo częstym błędem jest nieprawidłowy rachunek delty, zwłaszcza gdy \( b \) jest ujemne. Pamiętaj: \( (-5)^2 = 25 \), a nie \( -25 \). Zawsze ujmuj współczynnik \( b \) w nawias przy podnoszeniu do kwadratu.

Błędne stosowanie wzorów Viète'a to kolejna pułapka. Suma pierwiastków to \( -\frac{b}{a} \) (ze zmianą znaku!), a nie \( \frac{b}{a} \). Wielu uczniów zapomina o tym minusie.

Przy [nierównościach kwadratowych](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody) kluczowe jest najpierw znalezienie pierwiastków odpowiadającego równania, a następnie analiza znaku wyrażenia na podstawie wykresu paraboli.

## Podsumowanie

Równania kwadratowe to jedno z najważniejszych zagadnień na maturze z matematyki. Kluczowe umiejętności to: obliczanie delty i interpretacja jej znaku, stosowanie wzoru na pierwiastki, rozumienie wzorów Viète'a, konwersja między postaciami (ogólna, iloczynowa, kanoniczna) oraz metoda podstawienia dla równań sprowadzalnych do kwadratowych.

Pamiętaj, że na maturze równania kwadratowe pojawiają się niemal w każdym zestawie zadań - zarówno samodzielnie, jak i jako część rozwiązywania bardziej złożonych problemów z zakresu [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).

Aby utrwalić wiedzę, zachęcam do przećwiczenia jak największej liczby zadań. Odwiedź naszą sekcję [losowych zadań](/random) i pracuj systematycznie nad swoimi umiejętnościami. Powodzenia na maturze!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami - baza maturalna
description: 283 zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami krok po kroku. Wzory, typy zadań i rozwiązane przykłady maturalne w jednej bazie.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami - baza maturalna

Geometria analityczna to jeden z najczęściej punktowanych działów na maturze z matematyki. W naszej bazie znajdziesz 283 zadania z tego działu pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE - od matur majowych, przez czerwcowe i sierpniowe poprawkowe, po arkusze pokazowe i diagnostyczne. Każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań się powtarzają, i prowadzi przez kilka rozwiązanych przykładów CKE.

## Ile geometrii analitycznej jest na maturze

Geometria analityczna pojawia się na każdej maturze podstawowej - zwykle w postaci 2-4 zadań zamkniętych i co najmniej jednego zadania otwartego. To oznacza realnie od 4 do nawet 8 punktów na arkuszu. Przy progu zdawalności na poziomie [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) to są punkty, których nie wolno oddawać.

Dobra wiadomość jest taka, że ten dział jest wyjątkowo schematyczny. Zadania sprowadzają się do kilkunastu powtarzalnych typów: odległość punktów, środek odcinka, równanie prostej, proste równoległe i prostopadłe, równanie okręgu, odległość punktu od prostej. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, to rozwiążesz praktycznie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię działu znajdziesz w przewodniku [geometria analityczna na maturze](/topics/geometria-analityczna).

## Co musisz umieć - mapa działu

Zanim rzucisz się na zadania, sprawdź, czy znasz komplet wzorów. Większość z nich jest w [karcie wzorów CKE](/formulas), ale część musisz mieć w głowie. Oto rdzeń działu.

Długość odcinka między punktami \(A=(x_A,y_A)\) i \(B=(x_B,y_B)\):

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Współrzędne środka odcinka \(AB\):

$$S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Równanie kierunkowe prostej przez dwa punkty - najpierw współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$

Warunek równoległości prostych: \(a_1=a_2\). Warunek prostopadłości: \(a_1\cdot a_2=-1\).

Równanie okręgu o środku \(S=(p,q)\) i promieniu \(r\):

$$(x-p)^2+(y-q)^2=r^2$$

Odległość punktu \(P=(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\):

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Pole trójkąta o wierzchołkach \(A\), \(B\), \(C\) policzysz prosto ze współrzędnych:

$$P=\frac{1}{2}\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\right|$$

Dla \(A=(1,1)\), \(B=(5,2)\), \(C=(2,6)\) wychodzi \(P=\frac{1}{2}\left|4\cdot 5-1\cdot 1\right|=\frac{19}{2}\). Ten wzór łączy geometrię analityczną z [planimetrią](/topics/planimetria), bo to samo pole policzysz też z podstawy i wysokości.

Każdy z tych wzorów ma u nas osobny poradnik z zadaniami: [równanie prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania), [równanie okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), [odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) oraz [układ współrzędnych i wektory](/uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory).

## Baza zadań CKE według typu

Zadania z geometrii analitycznej w bazie dzielą się na zamknięte (1 punkt, wybór odpowiedzi) i otwarte (2-6 punktów, pełne rozwiązanie). Oto jak rozkładają się najczęstsze typy i gdzie je ćwiczyć.

| Typ zadania | Forma | Co sprawdza | Gdzie ćwiczyć |
| --- | --- | --- | --- |
| Odległość i środek odcinka | zamknięte i otwarte | wzory na \(|AB|\) i środek | [/random](/random) |
| Równanie prostej | zamknięte i otwarte | prosta przez dwa punkty, postać ogólna | [/solve](/solve) |
| Proste równoległe i prostopadłe | zamknięte | warunki na współczynniki | [/topics/geometria-analityczna](/topics/geometria-analityczna) |
| Równanie okręgu | otwarte | środek, promień, przecięcia z osiami | [/solve](/solve) |
| Czworokąty i trójkąty w układzie | otwarte | łączenie wzorów, środkowe, przekątne | [/random](/random) |
| Odległość punktu od prostej | otwarte | wzór na odległość, styczność | [/exams](/exams) |

Najwięcej zadań tego działu pochodzi z arkuszy [CKE 2015-2023](/exams) oraz z najnowszych arkuszy pokazowych [CKE 2025](/exams). Wszystkie rozwiążesz w [trybie nauki](/random), gdzie po każdym zadaniu dostajesz pełne rozwiązanie.

Jak ten sam typ zadania wraca rok po roku, zobaczysz w [bazie arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Poniżej sześć prawdziwych zadań CKE z geometrii analitycznej, każde rozwiązane od początku do końca. Kliknij w numer zadania, żeby otworzyć je w bazie wraz z pełnym rozwiązaniem.

### Zadanie 1

Dane są punkty \(A=(-1,1)\), \(B=(5,-3)\) oraz \(C=(3,2)\). Wyznacz równanie środkowej poprowadzonej do boku \(AB\) w trójkącie \(ABC\).

Środkowa do boku \(AB\) wychodzi z wierzchołka \(C\) i trafia w środek boku \(AB\). Najpierw środek:

$$M=\left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{1+(-3)}{2}\right)=(2,-1)$$

Teraz prosta przez \(C=(3,2)\) i \(M=(2,-1)\). Współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{2-(-1)}{3-2}=\frac{3}{1}=3$$

Podstawiamy do \(y-y_C=a(x-x_C)\): \(y-2=3(x-3)\), czyli \(y=3x-7\). To jest szukana środkowa.

### Zadanie 2

Dany jest okrąg \(O\) o równaniu \((x-2)^2+(y+3)^2=16\). Oblicz współrzędne \(x\) punktów przecięcia okręgu \(O\) z osią \(Ox\).

Na osi \(Ox\) zawsze \(y=0\). Podstawiamy do równania okręgu:

$$(x-2)^2+(0+3)^2=16$$

$$(x-2)^2+9=16$$

$$(x-2)^2=7$$

Pierwiastkujemy obie strony: \(x-2=\pm\sqrt{7}\), więc \(x_1=2+\sqrt{7}\) oraz \(x_2=2-\sqrt{7}\).

### Zadanie 3

Punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7)\), \(C=(6,9)\), \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia jego przekątnych.

Przekątne to \(AC\) i \(BD\). Najpierw prosta \(AC\). Współczynnik: \(a=\frac{9-(-5)}{6-(-1)}=\frac{14}{7}=2\), więc \(y=2x-3\). Teraz prosta \(BD\): \(a=\frac{9-(-7)}{-2-2}=\frac{16}{-4}=-4\), więc \(y=-4x+1\).

Porównujemy: \(2x-3=-4x+1\), stąd \(6x=4\), czyli \(x=\frac{2}{3}\). Wtedy \(y=2\cdot\frac{2}{3}-3=-\frac{5}{3}\). Przekątne przecinają się w punkcie \(P=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right)\).

### Zadanie 4

Punkt \(M=(2,1)\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(N=(8,3)\) środkiem boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Oblicz długość boku tego kwadratu.

Odcinek \(MN\) łączy środki dwóch sąsiednich boków kwadratu. Jego długość:

$$|MN|=\sqrt{(8-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$

W kwadracie o boku \(a\) odcinek łączący środki sąsiednich boków ma długość \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Zatem \(\frac{a\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{10}\), stąd \(a=2\sqrt{10}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}\).

### Zadanie 5

Punkt \(A=(2,7)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(S=(6,5)\) środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Oblicz długość boku kwadratu.

Środek okręgu opisanego to środek kwadratu, a odległość \(AS\) to połowa przekątnej:

$$|AS|=\sqrt{(6-2)^2+(5-7)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

Cała przekątna ma więc długość \(d=2\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\). Bok kwadratu liczymy z zależności \(d=a\sqrt{2}\):

$$a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{10}$$

### Zadanie 6

Punkty \(A=(7,6)\) i \(B=(1,-2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Najpierw bok trójkąta, czyli długość \(AB\):

$$|AB|=\sqrt{(7-1)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień okręgu opisanego wynosi \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Podstawiamy \(a=10\):

$$R=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

## Najczęstsze typy zadań i pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że pułapki się powtarzają. Oto te, które najczęściej kosztują punkty.

Pułapka pierwsza: mylenie wzoru na środek odcinka ze wzorem na długość. Środek to średnia współrzędnych (dodajesz i dzielisz przez dwa), długość to pierwiastek z sumy kwadratów różnic. Brzmi banalnie, a pod presją czasu łatwo o pomyłkę.

Pułapka druga: znak w warunku prostopadłości. Proste są prostopadłe, gdy \(a_1\cdot a_2=-1\), a nie gdy są równe. Jeśli jedna [prosta ma współczynnik](/rownanie-wysokosci-i-srodkowej-trojkata-uklad-wspolrzednych-matura#typowe-pulapki) \(2\), to prostopadła ma \(-\frac{1}{2}\).

Pułapka trzecia: zapominanie o wszystkich przypadkach. W zadaniach typu "rozważ wszystkie przypadki" (jak przy szukaniu środka okręgu opisanego na kwadracie z jednym danym bokiem) bywają dwa rozwiązania. Pominięcie jednego to utrata punktów.

Pułapka czwarta: błędy rachunkowe przy pierwiastkach. \(\sqrt{40}\) to \(2\sqrt{10}\), a nie \(4\sqrt{10}\). Naucz się sprawnie wyłączać czynnik przed pierwiastek - więcej w poradniku o [błędach rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

Pułapka piąta: zapominanie o pierwiastku przy promieniu. W równaniu okręgu po prawej stronie stoi \(r^2\), a nie \(r\). Jeśli w zadaniu podano promień 5, po prawej wpisujesz 25, a gdy odczytujesz promień z równania, pamiętaj o pierwiastku - w zadaniu 2 powyżej po prawej stało 16, więc promień to 4.

Pułapka szósta: postać prostej przy wzorze na odległość. Wzór na odległość punktu od prostej działa wyłącznie dla postaci ogólnej \(Ax+By+C=0\). Jeśli masz prostą w postaci kierunkowej \(y=ax+b\), najpierw przenieś wszystko na jedną stronę - dopiero wtedy podstawiaj. Cały schemat rozpisaliśmy w poradniku o [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania).

Pułapka siódma: proste pionowe. Prosta \(x=3\) nie ma współczynnika kierunkowego, więc wzór \(y=ax+b\) i warunki \(a_1=a_2\) oraz \(a_1\cdot a_2=-1\) jej nie obejmują. Prosta pionowa jest równoległa do każdej innej pionowej i prostopadła do każdej poziomej, \(y=c\).

## Jak czytać rozwiązanie krok po kroku

Samo zerknięcie na odpowiedź nic nie daje. Zysk z rozwiązanego zadania pojawia się dopiero wtedy, gdy rozumiesz każdy krok rozumowania. Dlatego rozwiązania w bazie nie podają samego wyniku - prowadzą cię przez całą drogę: od tego, co jest dane, przez wybór wzoru, aż po obliczenia.

Czytaj rozwiązanie aktywnie. Po każdym kroku zatrzymaj się i zadaj pytanie: dlaczego akurat ten wzór, dlaczego ta kolejność działań? W zadaniu 1 powyżej kluczowy był pomysł, żeby najpierw policzyć środek boku, a dopiero potem prostą. W zadaniu 3 trik polegał na tym, żeby zapisać równania obu przekątnych i przyrównać je do siebie. To są schematy, które wracają na maturze.

Najlepszy nawyk to zasłonić rozwiązanie i spróbować dojść do wyniku samemu, odsłaniając kolejne kroki tylko wtedy, gdy naprawdę utkniesz. Jeśli masz własne zadanie, którego nie ma w bazie, wrzuć je do [solvera](/solve) - dostaniesz rozpisane rozwiązanie w tym samym stylu. O metodach weryfikacji własnych obliczeń pisaliśmy też w poradniku [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Od czego zacząć, jeśli ten dział leży

Jeśli geometria analityczna na razie ci nie idzie, nie rzucaj się od razu na zadania za 5 punktów. Zacznij od najprostszych typów: liczenie długości odcinka i środka odcinka. To zadania jednokrokowe - podstawiasz do wzoru i masz wynik. Jak je opanujesz, dorzuć równanie prostej przez dwa punkty, bo połowa zadań otwartych z tego działu sprowadza się właśnie do wyznaczenia prostej.

Dopiero potem przejdź do okręgu i odległości punktu od prostej, które łączą kilka wzorów naraz. Taka kolejność - od zadań jednokrokowych do złożonych - sprawia, że budujesz pewność, zamiast od razu zderzać się ze ścianą. Jeśli braki masz głębsze, sięgnij po poradnik [jak uczyć się matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury), a planowanie całej powtórki ogarniesz z poradnikiem [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

## Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na geometrię analityczną to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od [trybu losowego](/random) z filtrem na geometrię analityczną - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić swoje obliczenia, wrzuć je do [solvera](/solve). Kiedy poczujesz, że typy wchodzą automatycznie, rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) albo przejdź przez [symulator matury](/simulator), żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na [stronie statystyk](/progress).

Jeśli uczysz się samodzielnie, bez korepetytora, ten dział jest idealny na początek - jest schematyczny i daje pewne punkty. Cały plan takiej nauki opisaliśmy w poradniku [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z geometrii analitycznej powinienem przerobić?
Zacznij od circa 30-40 zadań różnych typów. To wystarczy, żeby rozpoznać schematy. Potem dorzucaj zadania z całych arkuszy w ramach powtórek.

### Czy wzory są w karcie wzorów?
Większość tak, ale wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów i warunki równoległości oraz prostopadłości warto mieć w głowie, bo oszczędzają czas. Sprawdź dokładnie [kartę wzorów CKE](/formulas).

### Skąd pochodzą zadania w bazie?
Wyłącznie z prawdziwych arkuszy CKE - matur majowych, czerwcowych, sierpniowych poprawkowych oraz arkuszy pokazowych i diagnostycznych. Pełną listę arkuszy masz na stronie [egzaminów](/exams).

### Czy geometria analityczna jest trudna?
Na poziomie podstawowym należy do łatwiejszych i pewniejszych działów, bo jest bardzo schematyczna. Większość zadań sprowadza się do podstawienia do znanego wzoru. To dlatego warto zacząć od niej naukę, gdy budujesz pewne punkty na maturze.

## Podsumowanie - co musisz umieć

Z geometrii analitycznej na maturze podstawowej musisz pewnie liczyć: długość odcinka, środek odcinka, równanie prostej przez dwa punkty, warunki równoległości i prostopadłości, równanie okręgu oraz odległość punktu od prostej. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz 283 zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w [trybie nauki](/random) już dziś. A jeśli przygotowujesz się bez korepetytora, połącz ten dział z pełnym planem z poradnika [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura
title: Czworokąt wpisany w okrąg - twierdzenie o kątach, własności, zadania matura
description: Czworokąt wpisany w okrąg: twierdzenie o sumie kątów przeciwległych 180, warunek wpisywalności, Ptolemeusz i 5 rozwiązanych zadań CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Czworokąt wpisany w okrąg - twierdzenie o kątach, własności, zadania matura

Czworokąt wpisany w okrąg to jeden z tych tematów, o które CKE pyta regularnie i niespodziewanie. Zadanie wygląda na prostą geometrię, ale jeśli nie znasz głównego twierdzenia, utkniesz na minutę pierwszą. Dobra wiadomość: cała teoria mieści się w trzech zdaniach, a reszta to ćwiczenie. Tu masz wszystko, czego potrzebujesz, plus 5 zadań krok po kroku.

Jeśli dopiero zaczynasz powtórkę z geometrii, zerknij najpierw na [Kąty w okręgu - wpisane i środkowe](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania) oraz [Planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag). Pełna lista zadań ćwiczeniowych z planimetrii czeka pod [/topics/planimetria](/topics/planimetria).

## Co to znaczy "czworokąt wpisany w okrąg"

**Czworokąt jest wpisany w okrąg**, jeśli wszystkie jego cztery wierzchołki leżą na tym okręgu. Mówimy też wtedy, że na czworokącie można **opisać okrąg**.

Nie każdy czworokąt da się wpisać w okrąg. Trójkąt zawsze tak (każde trzy punkty niewspółliniowe wyznaczają dokładnie jeden okrąg), ale czworokąt jest "punktem za dużo". Czwarty wierzchołek może wpaść do środka okręgu, na zewnątrz, albo idealnie na okrąg - i tylko w tym ostatnim przypadku mówimy o czworokącie wpisanym.

Warunek, kiedy się da, podaje główne twierdzenie tej notatki.

## Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

**Twierdzenie (warunek wpisywalności):** W czworokąt wpisany w okrąg sumy par kątów przeciwległych są równe \(180^\circ\).

Zapis matematyczny: jeśli czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, to:

$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
$$\angle B + \angle D = 180^\circ$$

Twierdzenie działa w obie strony. Jeśli w jakimś czworokącie sumy par kątów przeciwległych są równe \(180^\circ\), to ten czworokąt można wpisać w okrąg.

**Skąd to się bierze?** Z twierdzenia o kącie wpisanym opartym na łuku. Kąt \(A\) opiera się na łuku \(BCD\), kąt \(C\) na łuku \(BAD\). Te dwa łuki razem dają cały okrąg, czyli \(360^\circ\). Każdy z kątów wpisanych to połowa odpowiadającego łuku, więc:

$$\angle A + \angle C = \frac{1}{2}(360^\circ) = 180^\circ$$

Dokładne wyprowadzenie znajdziesz we wpisie [Jak obliczyć kąt wpisany i środkowy](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania).

**Pułapka:** Sumują się kąty **przeciwległe**, nie sąsiednie. Przeciwległe to \(A\) i \(C\) oraz \(B\) i \(D\). Jeśli pomylisz pary, dostaniesz bzdurę.

## Konsekwencje twierdzenia

Twierdzenie ma kilka praktycznych skutków, które warto mieć w głowie.

**Konsekwencja 1: kąty zewnętrzne i kąty wewnętrzne przeciwległe.** Jeśli przedłużysz bok czworokąta i utworzysz kąt zewnętrzny przy wierzchołku \(A\), to ten kąt zewnętrzny jest równy kątowi wewnętrznemu przy wierzchołku przeciwległym \(C\). Bo kąt zewnętrzny w \(A\) to \(180^\circ - \angle A\), a kąt \(C = 180^\circ - \angle A\), więc są równe.

**Konsekwencja 2: kwadrat i prostokąt zawsze są wpisywalne.** Wszystkie ich kąty są proste, więc sumy par dają \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). Okrąg opisany ma środek w punkcie przecięcia przekątnych, a promień to połowa przekątnej.

**Konsekwencja 3: trapez równoramienny zawsze jest wpisywalny.** W trapezie [kąty przy podstawie](/trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura#wlasnosci-trapezu-rownoramiennego) sumują się do \(180^\circ\) (kąty leżące przy tej samej podstawie po przeciwnej stronie). Jeśli trapez jest równoramienny, kąty przy każdej z podstaw są równe, więc warunek wpisywalności zachodzi automatycznie.

**Konsekwencja 4: deltoid i romb (niekwadrat) NIE są wpisywalne.** W rombie kąty przeciwległe są równe, więc warunek \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) implikuje \(\angle A = \angle C = 90^\circ\), czyli kwadrat. Każdy inny romb nie nadaje się do wpisania w okrąg.

## Twierdzenie Ptolemeusza (na maturze rozszerzonej)

Dla czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg, z bokami \(a = AB\), \(b = BC\), \(c = CD\), \(d = DA\) i przekątnymi \(e = AC\), \(f = BD\):

$$e \cdot f = a \cdot c + b \cdot d$$

Czyli iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów boków przeciwległych. To twierdzenie pojawia się głównie na rozszerzonej, ale czasem mignie w trudnych zadaniach na podstawowej.

## Czworokąt opisany na okręgu - nie myl pojęć

Druga strona medalu: **czworokąt opisany na okręgu** to taki, w który wpisano okrąg, czyli okrąg dotyka wszystkich czterech boków od wewnątrz. Warunek jest inny:

$$a + c = b + d$$

Sumy par boków przeciwległych muszą być równe. W zadaniach maturalnych łatwo to pomylić z wpisywalnością. Pamiętaj:

- **wpisany w okrąg** = wierzchołki na okręgu → warunek na **kąty**
- **opisany na okręgu** = boki styczne do okręgu → warunek na **boki**

## Zadanie 1: znajdź brakujący kąt

**Treść:** W czworokącie \(ABCD\) wpisanym w okrąg \(\angle A = 75^\circ\) i \(\angle B = 110^\circ\). Wyznacz kąty \(C\) i \(D\).

**Rozwiązanie:** Z twierdzenia o czworokącie wpisanym:

$$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$$
$$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

**Sprawdzenie:** suma wszystkich kątów czworokąta powinna dawać \(360^\circ\). Liczymy: \(75 + 110 + 105 + 70 = 360\). Pasuje.

## Zadanie 2: warunek wpisywalności

**Treść:** Sprawdź, czy czworokąt o kątach \(80^\circ, 95^\circ, 100^\circ, 85^\circ\) (w kolejności A, B, C, D) można wpisać w okrąg.

**Rozwiązanie:** Sprawdzamy obie pary kątów przeciwległych.

$$\angle A + \angle C = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \quad \checkmark$$
$$\angle B + \angle D = 95^\circ + 85^\circ = 180^\circ \quad \checkmark$$

**Odpowiedź:** Tak, czworokąt można wpisać w okrąg.

**Uwaga:** wystarczy sprawdzić jedną parę. Jeśli \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) i suma wszystkich kątów to \(360^\circ\), to druga para automatycznie też daje \(180^\circ\). Ale w pracy dobrze sprawdzić obie, żeby nie zostawić wątpliwości.

## Zadanie 3: trapez równoramienny

**Treść:** W trapez równoramienny \(ABCD\), w którym \(AB \parallel CD\), \(AB = 12\), \(CD = 4\), a ramiona \(BC = AD = 5\), wpisano okrąg opisany. Wyznacz promień okręgu.

**Rozwiązanie:** Trapez równoramienny zawsze jest wpisywalny w okrąg (zob. konsekwencja 3).

Wprowadzamy układ współrzędnych: niech \(A = (0, 0)\), \(B = (12, 0)\). Wysokość trapezu \(h\) liczymy z trójkąta prostokątnego: rzut ramienia na podstawę to \(\frac{12 - 4}{2} = 4\), więc:

$$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$

Współrzędne pozostałych wierzchołków: \(D = (4, 3)\), \(C = (8, 3)\).

Środek okręgu opisanego leży na osi symetrii trapezu, czyli na prostej \(x = 6\). Oznaczmy środek jako \(O = (6, y_0)\). Z warunku \(|OA| = |OD|\):

$$\sqrt{36 + y_0^2} = \sqrt{4 + (y_0 - 3)^2}$$

Po podniesieniu do kwadratu:

$$36 + y_0^2 = 4 + y_0^2 - 6 y_0 + 9$$
$$36 = 13 - 6 y_0$$
$$6 y_0 = -23$$
$$y_0 = -\frac{23}{6}$$

Promień:

$$R = \sqrt{36 + \left(\frac{23}{6}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{529}{36}} = \sqrt{\frac{1296 + 529}{36}} = \sqrt{\frac{1825}{36}} = \frac{\sqrt{1825}}{6} = \frac{5\sqrt{73}}{6}$$

**Wynik:** \(R = \frac{5\sqrt{73}}{6}\).

To jedno z trudniejszych zadań, ale ilustruje technikę: w trapezie równoramiennym środek okręgu opisanego ZAWSZE leży na osi symetrii.

## Zadanie 4: kąt z parametrem

**Treść:** W czworokącie wpisanym w okrąg \(\angle A = 2x + 10^\circ\), \(\angle C = 4x - 30^\circ\). Wyznacz \(x\) i oblicz \(\angle A\).

**Rozwiązanie:** Z twierdzenia o czworokącie wpisanym \(\angle A + \angle C = 180^\circ\):

$$(2x + 10) + (4x - 30) = 180$$
$$6x - 20 = 180$$
$$6x = 200$$
$$x = \frac{100}{3} \approx 33{,}33^\circ$$

Stąd:

$$\angle A = 2 \cdot \frac{100}{3} + 10 = \frac{200}{3} + 10 = \frac{200 + 30}{3} = \frac{230}{3} \approx 76{,}67^\circ$$

W praktyce takie zadania zaprojektowane są na ładne liczby; jeśli wychodzi ułamek, sprawdź czy nie pomyliłeś znaków.

## Zadanie 5: wykorzystaj twierdzenie do dowodu

**Treść:** Udowodnij, że jeśli czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg i \(\angle BAD = \angle BCD\), to \(\angle BAD = 90^\circ\).

**Rozwiązanie:** Z twierdzenia o czworokącie wpisanym \(\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ\). Łącząc z założeniem \(\angle BAD = \angle BCD\):

$$2 \cdot \angle BAD = 180^\circ$$
$$\angle BAD = 90^\circ$$

**Wniosek:** Taki czworokąt jest "wpisany w półokrąg" w sensie, że odcinek \(BD\) jest średnicą. Bo kąt wpisany oparty na średnicy to \(90^\circ\).

To prosty dowód, ale CKE lubi takie zadania w arkuszach: testuje, czy umiesz powiązać twierdzenie z konkretnym wnioskiem.

## Typowe pułapki na maturze

**Pułapka 1: kąty sąsiednie, nie przeciwległe.** Najczęstszy błąd. Pisz w pamięci: A z C, B z D.

**Pułapka 2: zapomnienie o znaku w równaniach z parametrem.** Sprawdzaj zakres: kąt w czworokącie musi być z przedziału \((0^\circ, 360^\circ)\). Jeśli wychodzi \(\angle A  360^\circ\), pomyliłeś gdzieś.

**Pułapka 3: mylenie z czworokątem opisanym.** Wpisany w okrąg ma warunek na kąty, opisany na boki. Jeśli zadanie mówi "wpisano w czworokąt okrąg", to chodzi o okrąg WPISANY (czyli czworokąt opisany na okręgu) i warunek dotyczy boków.

**Pułapka 4: założenie, że czworokąt wypukły.** Twierdzenie obowiązuje dla czworokątów wypukłych. Czworokąty wklęsłe (z kątem większym od \(180^\circ\)) wymagają osobnej analizy, ale w arkuszach maturalnych podstawowych takie nie występują.

**Pułapka 5: kwadrat to też czworokąt wpisany.** Czasem zadanie pyta o "czworokąt wpisany w okrąg" i uczeń od razu wyklucza kwadrat. Niepotrzebnie: kwadrat to konkretny przypadek czworokąta wpisanego.

## Zadanie 6: kąt w czworokącie z okręgiem opisanym

**Treść:** Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\). Wiadomo, że \(\angle BOD = 140^\circ\) (kąt środkowy oparty na łuku \(BD\) zawierającym wierzchołek \(C\)). Wyznacz \(\angle BAD\).

**Rozwiązanie:** Kąt środkowy \(\angle BOD = 140^\circ\) jest oparty na łuku \(BD\) zawierającym \(C\). Kąt \(\angle BAD\) to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, czyli z twierdzenia o kącie wpisanym:

$$\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$$

**Sprawdzenie z twierdzeniem o czworokącie wpisanym:** \(\angle BCD\) opiera się na łuku \(BD\) nie zawierającym \(C\), który ma miarę \(360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\). Stąd \(\angle BCD = 110^\circ\). I rzeczywiście \(\angle BAD + \angle BCD = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ\). Pasuje.

To dobry przykład na to, jak twierdzenie o kącie wpisanym i twierdzenie o czworokącie wpisanym dają się zazębiać.

## Zadanie 7: okrąg opisany na czworokącie - znajdź promień

**Treść:** W kwadrat o boku \(a = 6\) wpisano okrąg, na kwadracie opisano okrąg. Wyznacz oba promienie.

**Rozwiązanie:**

Okrąg **wpisany** w kwadrat dotyka wszystkich czterech boków od wewnątrz. Jego promień to połowa boku:

$$r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Okrąg **opisany** na kwadracie przechodzi przez wszystkie wierzchołki. Jego promień to połowa przekątnej. Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), więc:

$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

**Wynik:** \(r = 3\), \(R = 3\sqrt{2}\).

Stosunek promieni: \(\frac{R}{r} = \sqrt{2}\). To wzór do zapamiętania - zawsze taki sam dla kwadratu, niezależnie od długości boku.

## Pole czworokąta wpisanego w okrąg - wzór Brahmagupty

Dla czworokąta wpisanego w okrąg, którego boki to \(a, b, c, d\), pole liczy się wzorem Brahmagupty:

$$P = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}$$

gdzie \(s = \frac{a + b + c + d}{2}\) to półobwód. To uogólnienie wzoru Herona na trójkąt.

Wzór nie pojawia się w karcie wzorów CKE, ale na rozszerzonej maturze warto go znać. W podstawowej do pola wpisanego czworokąta dochodzi się zazwyczaj przez podział na trójkąty (przekątną) i wzór \(P = \frac{1}{2}ab \sin C\).

**Przykład:** Czworokąt wpisany w okrąg ma boki \(3, 4, 5, 6\). Półobwód \(s = 9\). Pole:

$$P = \sqrt{(9-3)(9-4)(9-5)(9-6)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$$

## Kiedy warto rysować pomocniczo

W zadaniach z czworokątami wpisanymi w okrąg niemal zawsze pomaga **rysunek z zaznaczonymi łukami**. Bo zadanie często sprowadza się do twierdzenia o kącie wpisanym, a kąt wpisany "widzi" konkretny łuk. Bez rysunku łatwo pomylić, na którym łuku oparty jest dany kąt.

Wskazówki rysunkowe:
- Rysuj okrąg dużo większy niż się wydaje, mieści się więcej oznaczeń.
- Wierzchołki etykietuj w kolejności obwodu, nie chaotycznie.
- Zaznaczaj kąty łuki dwoma różnymi kolorami (kąt = łuk).
- Dorysowuj przekątne nawet jeśli zadanie ich nie wymienia - często ułatwia.

## Karta wzorów - co znajdziesz

W karcie wzorów CKE 2027 dla planimetrii masz:
- Wzór na pole trójkąta (5 wzorów).
- Twierdzenie sinusów i cosinusów.
- Wzory na promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie.
- Pole koła, długość okręgu.

Nie ma:
- Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg. Musisz pamiętać.
- Warunku na czworokąt opisany. Też pamięć.
- Wzoru Brahmagupty.

Lista wszystkich brakujących wzorów: [Karta wzorów CKE 2027 - co jest, czego brakuje](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).

## Typowe konfiguracje na maturze - jak rozpoznać

CKE lubi kilka standardowych sytuacji, w których pojawia się czworokąt wpisany w okrąg. Warto je znać na pamięć, bo szybko rozpoznasz "tu trzeba użyć twierdzenia".

**Konfiguracja A: czworokąt z dwoma kątami prostymi.** Jeśli dwa kąty czworokąta wynoszą \(90^\circ\), a one są przeciwległe, to czworokąt jest wpisywalny (suma \(180^\circ\)). Przy okazji - obie przekątne są średnicami okręgu opisanego. Częste w zadaniach z trójkątem prostokątnym i hipotenuzą jako średnicą.

**Konfiguracja B: trapez równoramienny.** Automatycznie wpisany w okrąg. Wystarczy znaleźć środek symetrii i z trójkąta prostokątnego wyznaczyć promień.

**Konfiguracja C: kwadrat lub prostokąt.** Wpisany w okrąg z promieniem równym połowie przekątnej. Środek okręgu = przecięcie przekątnych.

**Konfiguracja D: czworokąt z dwiema parami równych kątów przeciwległych.** Jeśli \(\angle A = \angle C\) i \(\angle B = \angle D\), to znaczy że \(\angle A = \angle C = 90^\circ\) i \(\angle B = \angle D = 90^\circ\), czyli prostokąt.

**Konfiguracja E: czworokąt z parą boków równoległych i parą równych kątów.** Trapez plus dodatkowa symetria często daje trapez równoramienny, który jest wpisywalny.

Jeśli zadanie nie wskazuje wprost na czworokąt wpisany, ale rysunek pokazuje cztery wierzchołki na okręgu - od razu wyciągaj twierdzenie.

## Łuki i kąty - jak je powiązać

Twierdzenie o czworokącie wpisanym ma głęboki związek z łukami. Każdy bok czworokąta wpisanego dzieli okrąg na dwa łuki. Cztery wierzchołki wyznaczają cztery łuki, sumujące się do \(360^\circ\).

Jeśli oznaczymy łuki \(\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \overset{\frown}{CD}, \overset{\frown}{DA}\) jako \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\), to:

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$$

Kąt wpisany przy wierzchołku \(A\) opiera się na łuku \(\overset{\frown}{BCD}\), czyli na sumie \(\beta + \gamma\). Stąd \(\angle A = \frac{\beta + \gamma}{2}\).

Analogicznie \(\angle C = \frac{\delta + \alpha}{2}\). Sumując:

$$\angle A + \angle C = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$$

To formalny dowód twierdzenia. Warto go znać - czasem trafia jako zadanie "udowodnij".

## Porównanie z trójkątem - dlaczego trójkąt zawsze, a czworokąt nie

W trójkącie trzy wierzchołki zawsze wyznaczają jednoznacznie okrąg opisany (środek = przecięcie symetralnych boków). W czworokącie cztery wierzchołki to o jeden za dużo. Pierwsze trzy wyznaczają okrąg, ale czwarty musi "akurat" trafić na ten okrąg, żeby czworokąt był wpisywalny.

Stąd potrzeba warunku: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\). To algebraiczny zapis "czwarty wierzchołek leży tam, gdzie trzeba".

Symetralne czterech boków czworokąta wpisanego przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu opisanego. To kolejny sposób na konstrukcję środka, gdy zadanie podaje współrzędne wierzchołków.

## Powiązane wpisy

Drugi temat z dzisiejszego seedu: [Ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania) - kompletny przewodnik po ciągu geometrycznym. Z geometrii sprawdź też [Twierdzenie Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) i [Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania) - bardzo blisko tematycznie. Pełna geometria pod [/topics/planimetria](/topics/planimetria).

Jeśli interesuje cię cały arkusz CKE z planimetrią, zobacz [Matura maj 2024 - rozwiązania](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz). Bardziej zaawansowane techniki znajdziesz w [Geometria analityczna - proste, okręgi, odległości](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania).

## Checklista - co musisz umieć

- Sformułować twierdzenie o sumie kątów przeciwległych w czworokącie wpisanym.
- Sprawdzić warunek wpisywalności dla zadanego zestawu kątów.
- Wyznaczać brakujące kąty czworokąta wpisanego.
- Odróżniać czworokąt wpisany od opisanego na okręgu.
- Rozpoznać, kiedy trapez równoramienny lub prostokąt są automatycznie wpisywalne.
- Stosować twierdzenie w zadaniach z parametrem (kąt jako funkcja zmiennej).
- Wyprowadzać proste wnioski (np. kąt zewnętrzny równy przeciwległemu wewnętrznemu).
- Znać twierdzenie Ptolemeusza w wersji podstawowej (iloczyn przekątnych = suma iloczynów boków przeciwległych).

Czworokąty wpisane to temat krótki, ale punktotwórczy. Jedno twierdzenie, trzy konsekwencje, godzina ćwiczeń i temat z głowy. W arkuszu maturalnym taki kąt to często szybkie 1-2 punkty.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zbior-wartosci-funkcji-jak-wyznaczyc-matura
title: Zbiór wartości funkcji - jak wyznaczyć krok po kroku
description: Zbiór wartości funkcji liniowej, kwadratowej i wykładniczej oraz odczyt z wykresu. Schemat w 4 krokach, przykłady CKE i pułapki z nawiasami.
author: Filip Maszota
---

# Zbiór wartości funkcji - jak wyznaczyć krok po kroku

Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich liczb, które funkcja może wypluć jako wynik, czyli zbiór wszystkich \(y\), dla których istnieje \(x\) z dziedziny spełniający \(f(x) = y\). Oznaczamy go \(ZW_f\). Żeby go wyznaczyć, sprawdzasz najmniejszą i największą wartość funkcji oraz to, czy funkcja przyjmuje wszystko pomiędzy nimi. Dla funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\) z \(a \neq 0\) zbiorem wartości jest \(\mathbb{R}\), dla funkcji kwadratowej z ramionami w górę jest to \(\langle q, +\infty)\), gdzie \(q\) to druga współrzędna wierzchołka, a dla \(f(x) = 2^x - 3\) jest to \((-3, +\infty)\).

W bazie zadań CKE pytanie o zbiór wartości pojawia się w dwóch postaciach: jako polecenie "odczytaj z wykresu i zapisz zbiór wartości" (tak było w [zadaniu 26 z matury maj 2011](/task/matura-maj-2011-26)) oraz jako część zadania otwartego, w którym najpierw wyznaczasz wzór albo rysujesz wykres, a dopiero potem podajesz zbiór wartości. Poniżej masz schemat, który obsługuje oba warianty, i komplet typów funkcji z matury podstawowej.

## Zbiór wartości a dziedzina - czym się różnią

Dziedzina to zbiór dozwolonych \(x\), czyli argumentów. Zbiór wartości to zbiór otrzymanych \(y\), czyli wyników. Na wykresie dziedzinę czytasz, rzutując wykres na oś \(OX\) (poziomo), a zbiór wartości, rzutując go na oś \(OY\) (pionowo). To jedno zdanie ratuje najwięcej punktów, bo połowa błędów w tym temacie to zwykłe pomylenie osi.

Kolejność pracy zawsze jest taka sama: najpierw dziedzina, potem zbiór wartości. Jeśli nie masz pewności, jak wyznaczyć dziedzinę dla funkcji z pierwiastkiem, logarytmem albo ułamkiem, zajrzyj do poradnika [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji krok po kroku](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura), bo bez poprawnej dziedziny zbiór wartości też wyjdzie zły.

Uwaga na słownictwo. Zbiór wartości to nie to samo co przeciwdziedzina. Przeciwdziedzina to zbiór, w którym mieszczą się wyniki (najczęściej \(\mathbb{R}\)), a zbiór wartości to dokładnie te wyniki, które funkcja realnie osiąga. Na maturze pytają zawsze o ten drugi.

## Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji - schemat w 4 krokach

Zbiór wartości wyznaczasz w czterech ruchach: ustalasz dziedzinę, rozpoznajesz typ funkcji, znajdujesz wartość graniczną (wierzchołek, asymptotę albo wynik na krańcach przedziału) i zapisujesz przedział, pamiętając o tym, czy koniec jest domknięty. Ten sam schemat działa dla wzoru i dla wykresu.

**Krok 1: wyznacz dziedzinę.** Bez tego nie wiesz, jakie \(x\) wolno wstawiać, a więc nie wiesz, jakie \(y\) mogą powstać.

**Krok 2: rozpoznaj typ funkcji.** Liniowa, kwadratowa, wykładnicza, wymierna, z pierwiastkiem, z wartością bezwzględną, trygonometryczna. Każdy typ ma swój gotowy schemat, który znajdziesz niżej.

**Krok 3: znajdź wartość graniczną.** Dla kwadratowej to \(q\) z wierzchołka, dla wykładniczej i wymiernej to asymptota pozioma, dla pierwiastka i wartości bezwzględnej to najmniejsza możliwa wartość, dla dziedziny ograniczonej to wartości na krańcach przedziału.

**Krok 4: zapisz przedział i sprawdź nawiasy.** Nawias ostry \(\langle\) oznacza, że wartość jest osiągana, nawias okrągły \((\) oznacza, że nie jest. Asymptota nigdy nie należy do zbioru wartości, wierzchołek paraboli zawsze należy.

## Zbiór wartości funkcji liniowej

Dla funkcji liniowej \(f(x) = ax + b\) określonej na całym \(\mathbb{R}\) sprawa jest krótka. Jeśli \(a \neq 0\), [zbiorem wartości](/funkcja-okreslona-przedzialami-klamra-zbior-wartosci-miejsca-zerowe-matura#jak-wyznaczyc-zbior-wartosci-funkcji-okreslonej-przedzialami) jest \(\mathbb{R}\), bo prosta ukośna rośnie lub maleje bez ograniczeń. Jeśli \(a = 0\), funkcja jest stała i zbiorem wartości jest jednoelementowy zbiór \(\{b\}\).

$$f(x) = -3x + 7 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \mathbb{R}$$

$$f(x) = 5 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = \{5\}$$

Pułapka pojawia się, gdy funkcja liniowa jest określona tylko na przedziale. Wtedy zbiorem wartości jest przedział między wartościami na krańcach. Więcej przykładów z parametrem znajdziesz w tekście o [funkcji liniowej z parametrem](/funkcja-liniowa-z-parametrem-zadania-matura).

**Przykład.** Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f(x) = 2x - 1\) dla \(x \in \langle -1, 3)\).

**Krok 1: sprawdź monotoniczność.** \(a = 2 > 0\), więc funkcja jest rosnąca.

**Krok 2: policz wartości na krańcach.** \(f(-1) = -3\), \(f(3) = 5\).

**Krok 3: przenieś typ nawiasów.** Skoro funkcja jest rosnąca, lewy kraniec przechodzi na lewy, a prawy na prawy: \(ZW_f = \langle -3, 5)\).

## Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Dla funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) określonej na \(\mathbb{R}\) zbiór wartości zależy tylko od znaku \(a\) i od drugiej współrzędnej wierzchołka \(q\). Gdy \(a > 0\), ramiona idą w górę i \(ZW_f = \langle q, +\infty)\). Gdy \(a  0\) i \(a \neq 1\) przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc \(ZW_f = (0, +\infty)\). Zero nigdy nie należy do zbioru wartości, bo potęga o dodatniej podstawie nie może się wyzerować. Prosta \(y = 0\) jest asymptotą poziomą i to ona wyznacza otwarty koniec przedziału.

Gdy do wzoru dochodzi przesunięcie pionowe, cały zbiór wartości przesuwa się razem z wykresem:

$$f(x) = 2^x - 3 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = (-3, +\infty)$$

$$f(x) = -3^x + 1 \quad \Rightarrow \quad ZW_f = (-\infty, 1)$$

W drugim przykładzie minus przed potęgą odbija wykres względem osi \(OX\), więc wartości są mniejsze od jedynki i nigdy jej nie osiągają. Zasada ogólna: dla \(f(x) = c \cdot a^{x} + q\) asymptotą poziomą jest \(y = q\), a zbiór wartości to \((q, +\infty)\) przy \(c > 0\) i \((-\infty, q)\) przy \(c  0\) oraz \(a  0\) zbiorem wartości jest \(\langle q, +\infty)\), a dla \(a  0\) i \(a \neq 1\) zbiorem wartości jest \((0, +\infty)\), bo potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni. Po przesunięciu wykresu o \(q\) w pionie zbiorem wartości jest \((q, +\infty)\), a zero nigdy do niego nie należy.

### Kiedy w zbiorze wartości stawiamy nawias ostry, a kiedy okrągły?
Nawias ostry stawiasz wtedy, gdy funkcja tę wartość osiąga, na przykład w wierzchołku paraboli albo w pierwiastku z zera. Nawias okrągły stawiasz przy asymptocie i zawsze przy symbolu nieskończoności.

### Czy zbiór wartości może być zbiorem skończonym?
Tak. Funkcja stała ma jednoelementowy zbiór wartości, a funkcja opisana tabelą albo regułą typu "ostatnia cyfra kwadratu" ma zbiór wartości złożony z kilku liczb, które wypisujesz w nawiasach klamrowych bez powtórzeń.

### Jak zbiór wartości pomaga w zadaniach o liczbie rozwiązań równania?
Równanie \(f(x) = c\) ma tyle rozwiązań, ile punktów wspólnych ma wykres funkcji z prostą poziomą \(y = c\). Jeśli \(c\) nie należy do zbioru wartości, równanie nie ma rozwiązań, a to bardzo szybko zamyka zadania z parametrem.

### Czy zbiór wartości to to samo co przeciwdziedzina?
Nie. Przeciwdziedzina to zbiór, w którym mieszczą się wszystkie wyniki i zwykle jest nim \(\mathbb{R}\), a zbiór wartości to dokładnie te liczby, które funkcja osiąga. Na maturze pytanie zawsze dotyczy zbioru wartości.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /srodek-ciezkosci-trojkata-wzor-wspolrzedne-matura
title: Środek ciężkości trójkąta na maturze - wzór na współrzędne i zadania
description: Wzór na współrzędne środka ciężkości trójkąta, zasada podziału środkowej 2:1 oraz rozwiązane zadania maturalne krok po kroku z pełnym wyjaśnieniem.
author: Filip Maszota
---

# Środek ciężkości trójkąta na maturze - wzór na współrzędne i zadania

## Czym jest środek ciężkości trójkąta

Środek ciężkości trójkąta, nazywany też centroidem, to punkt przecięcia trzech środkowych trójkąta. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma dokładnie trzy środkowe i zawsze przecinają się one w jednym punkcie, właśnie w środku ciężkości.

To nie to samo co środek okręgu wpisanego, czyli punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta, ani środek okręgu opisanego, czyli punkt przecięcia symetralnych boków. W trójkącie różnobocznym to trzy różne punkty, które leżą w różnych miejscach. Tylko w trójkącie równobocznym wszystkie się pokrywają, a wyjaśnimy dokładnie dlaczego w dalszej części poradnika.

Nazwa "środek ciężkości" nie jest przypadkowa i pochodzi z fizyki: gdybyś wyciął trójkąt z jednorodnej płyty (na przykład z kartonu o stałej grubości) i chciał go zrównoważyć na czubku ołówka, musiałbyś podeprzeć go dokładnie w tym punkcie. To dokładnie ten sam punkt, który w geometrii wyznaczasz jako przecięcie środkowych, tylko widziany z perspektywy fizyki zamiast czystej geometrii.

Na maturze środek ciężkości pojawia się głównie w dwóch kontekstach: jako zadanie zamknięte o proporcji podziału środkowej, oraz jako zadanie z geometrii analitycznej, w którym liczysz jego współrzędne. Ten typ pytania pojawił się już w oficjalnym zestawie zadań treningowych CKE, więc warto być na niego przygotowanym.

Zobacz też ogólny [przewodnik po geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) oraz stronę [tematu Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) z zadaniami do samodzielnego ćwiczenia.

## Środkowa, wysokość, dwusieczna, symetralna - żeby się nie pogubić

Zanim przejdziemy do wzorów, warto uporządkować cztery pojęcia, które łatwo ze sobą pomylić, bo wszystkie są odcinkami związanymi z trójkątem, ale każdy prowadzi do innego punktu szczególnego:

- **środkowa** [łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku](/rownanie-wysokosci-i-srodkowej-trojkata-uklad-wspolrzednych-matura#wysokosc-srodkowa-i-symetralna-boku-czym-sie-roznia). Trzy środkowe przecinają się w środku ciężkości, czyli temu, o którym jest ten poradnik.
- **wysokość** to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). Trzy wysokości przecinają się w ortocentrum.
- **dwusieczna kąta** dzieli kąt wewnętrzny trójkąta na dwie równe części. Trzy dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego.
- **symetralna boku** to prosta prostopadła do boku, przechodząca przez jego środek. Trzy symetralne przecinają się w środku okręgu opisanego.

Każdy z tych czterech punktów ma swoją nazwę i swoje zastosowanie, ale na maturze najczęściej pytają właśnie o środek ciężkości, bo ma najprostszy wzór na współrzędne i najbardziej uniwersalną własność, czyli podział w stosunku \(2:1\), opisaną w kolejnej części.

## Właściwość numer jeden: podział środkowej w stosunku 2:1

Kluczowy fakt, który musisz zapamiętać na pamięć: środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka. To znaczy, że jeśli \(M\) jest środkiem boku \(BC\), a \(S\) jest środkiem ciężkości leżącym na środkowej \(AM\), to:

$$|AS| : |SM| = 2 : 1$$

Odcinek od wierzchołka do środka ciężkości jest dwa razy dłuższy niż odcinek od środka ciężkości do środka boku. Zapisując to wzorem, w którym \(AM\) to cała długość środkowej:

$$|AS| = \frac{2}{3}|AM|, \qquad |SM| = \frac{1}{3}|AM|$$

### Zadanie 1: z długości do środkowej

Punkt \(S\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(ABC\). Długość odcinka \(SA\) jest równa \(10\). Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do boku \(BC\).

**Krok 1. Zastosowanie proporcji 2:1.**

Odcinek \(SA\) to odcinek od wierzchołka do środka ciężkości, czyli dłuższa część środkowej. Z proporcji wynika, że:

$$|SA| = \frac{2}{3}|AM|$$

**Krok 2. Obliczenie długości środkowej.**

$$10 = \frac{2}{3}|AM|$$
$$|AM| = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15$$

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do boku \(BC\) wynosi \(15\).

Zobacz to zadanie w oryginale w [zestawie zadań treningowych CKE](/task/cke-2025-pp-48).

**Pułapka:** łatwo pomylić kierunek proporcji i pomyśleć, że \(SA\) to jedna trzecia całej środkowej albo że \(SM = 2 \cdot SA\). Zapamiętaj prostą regułę: dłuższy kawałek środkowej jest zawsze przy wierzchołku, krótszy zawsze przy boku.

**Alternatywny zapis tego samego rozumowania:** zamiast liczyć od razu \(\frac{2}{3}|AM|\), niektórym łatwiej jest najpierw wyznaczyć \(|SM|\). Skoro \(|AS|:|SM|=2:1\), to \(|SM| = \frac{1}{2}|AS| = \frac{1}{2}\cdot 10 = 5\), a cała środkowa to \(|AM|=|AS|+|SM|=10+5=15\). Wynik jest identyczny, wybierz metodę, która bardziej Ci odpowiada.

## Wzór na współrzędne środka ciężkości

W geometrii analitycznej to najczęstsze zastosowanie: jeśli znasz współrzędne wszystkich trzech wierzchołków trójkąta, współrzędne środka ciężkości liczysz jako średnią arytmetyczną tych współrzędnych:

$$S = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \ \frac{y_A+y_B+y_C}{3} \right)$$

To jeden z niewielu wzorów w geometrii analitycznej, który nie wymaga żadnych dodatkowych obliczeń poza dodawaniem i dzieleniem przez 3. Dla porównania zobacz też prostszy wzór na [środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne), który jest właściwie tym samym pomysłem, tylko dla dwóch punktów zamiast trzech.

**Skąd w ogóle bierze się ten wzór?** Warto to zobaczyć, bo wtedy nigdy go nie zapomnisz. Niech \(M\) będzie środkiem boku \(BC\). Ze wzoru na środek odcinka:

$$M = \left(\frac{x_B+x_C}{2}, \ \frac{y_B+y_C}{2}\right)$$

Środek ciężkości \(S\) leży na środkowej \(AM\) w odległości \(\frac{2}{3}\) drogi od \(A\) do \(M\), więc jego współrzędną \(x\) można zapisać jako:

$$x_S = x_A + \frac{2}{3}(x_M - x_A) = \frac{1}{3}x_A + \frac{2}{3}x_M = \frac{1}{3}x_A + \frac{2}{3}\cdot\frac{x_B+x_C}{2} = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$$

Dokładnie to samo wychodzi dla współrzędnej \(y\). To pokazuje, że wzór na współrzędne środka ciężkości i zasada podziału środkowej w stosunku \(2:1\) to w gruncie rzeczy jeden i ten sam fakt, tylko zapisany na dwa różne sposoby.

### Zadanie 2: wyznacz współrzędne środka ciężkości

Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(0,0)\), \(B=(6,0)\), \(C=(3,9)\). Wyznacz współrzędne środka ciężkości tego trójkąta.

**Krok 1. Podstawienie do wzoru.**

$$S = \left( \frac{0+6+3}{3}, \ \frac{0+0+9}{3} \right) = \left( \frac{9}{3}, \ \frac{9}{3} \right) = (3, 3)$$

Środek ciężkości tego trójkąta ma współrzędne \(S=(3,3)\). Żadnych równań prostych ani układów równań, tylko dodawanie i dzielenie.

### Zadanie 3: zadanie odwrotne - wyznacz brakujący wierzchołek

Punkt \(S=(3,3)\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(ABC\), gdzie \(A=(0,0)\) i \(B=(4,2)\). Wyznacz współrzędne wierzchołka \(C\).

**Krok 1. Przekształcenie wzoru.**

Ze wzoru na współrzędną \(x\) środka ciężkości: \(x_S = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}\), więc:

$$x_C = 3x_S - x_A - x_B$$

Analogicznie dla współrzędnej \(y\):

$$y_C = 3y_S - y_A - y_B$$

**Krok 2. Podstawienie danych.**

$$x_C = 3\cdot 3 - 0 - 4 = 9 - 4 = 5$$
$$y_C = 3\cdot 3 - 0 - 2 = 9 - 2 = 7$$

Wierzchołek \(C\) ma współrzędne \((5, 7)\). Sprawdzenie: średnia współrzędnych \(A(0,0)\), \(B(4,2)\), \(C(5,7)\) to \(\left(\frac{0+4+5}{3}, \frac{0+2+7}{3}\right) = (3,3) = S\), więc wynik się zgadza.

Ten typ zadania lubi pojawiać się jako zadanie zamknięte, bo wymaga tylko przekształcenia jednego wzoru, ale sprawdza, czy naprawdę rozumiesz, skąd się on bierze, a nie tylko go pamiętasz.

### Zadanie 4: łączymy wzór na współrzędne z proporcją 2:1

Trójkąt ma wierzchołki \(A=(1,1)\), \(B=(7,1)\), \(C=(4,7)\). Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka \(C\), korzystając z dwóch różnych metod, i sprawdź, czy dają ten sam wynik.

**Metoda 1: przez współrzędne środka ciężkości.**

$$S = \left(\frac{1+7+4}{3}, \ \frac{1+1+7}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \ \frac{9}{3}\right) = (4, 3)$$

Odległość \(CS\) liczymy ze wzoru na odległość dwóch punktów:

$$|CS| = \sqrt{(4-4)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{0+16} = 4$$

**Metoda 2: przez proporcję 2:1 na środkowej.**

Najpierw wyznaczamy \(M\), czyli środek boku \(AB\):

$$M = \left(\frac{1+7}{2}, \ \frac{1+1}{2}\right) = (4, 1)$$

Długość całej środkowej \(CM\):

$$|CM| = \sqrt{(4-4)^2+(1-7)^2} = \sqrt{0+36} = 6$$

Odcinek od wierzchołka \(C\) do środka ciężkości to \(\frac{2}{3}\) długości środkowej:

$$|CS| = \frac{2}{3}\cdot 6 = 4$$

Obie metody dają dokładnie ten sam wynik: \(|CS|=4\). To dobry sposób na sprawdzenie się na maturze, jeśli masz chwilę czasu nadmiarowego: policz zadanie dwiema drogami i porównaj wyniki.

## Odległość środka ciężkości od boku trójkąta

Ten wzór jest mniej znany, ale czasem się przydaje: odległość środka ciężkości od dowolnego boku to zawsze jedna trzecia wysokości opuszczonej z wierzchołka leżącego naprzeciwko tego boku.

$$d(S, BC) = \frac{1}{3}h_A$$

Dlaczego tak jest? Środek ciężkości leży na środkowej \(AM\), w odległości \(\frac{2}{3}\) drogi od \(A\) do \(M\). Odległość punktu poruszającego się po odcinku \(AM\) od prostej \(BC\) maleje liniowo, od pełnej wysokości \(h_A\) przy wierzchołku \(A\) do zera przy punkcie \(M\), bo \(M\) leży dokładnie na boku \(BC\). W punkcie odległym o \(\frac{2}{3}\) drogi od \(A\) zostaje więc dokładnie jedna trzecia wysokości.

### Zadanie 5: odległość środka ciężkości w trójkącie równobocznym

Bok trójkąta równobocznego ma długość \(8\) cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków.

**Krok 1. Wysokość trójkąta równobocznego.**

Dla boku \(a=8\):

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

**Krok 2. Odległość środka ciężkości od boku.**

$$d = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

Ze względu na symetrię trójkąta równobocznego każda z trzech wysokości ma tę samą długość, więc odległość od środka ciężkości jest jednakowa od wszystkich trzech boków.

Zobacz to zadanie na stronie [matura próbna Operon, listopad 2019, zadanie 20](/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-20). Powiązane wzory znajdziesz też w poradnikach [promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania) oraz [zależności w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Kiedy środek ciężkości pokrywa się z innymi punktami szczególnymi

W trójkącie równobocznym, i tylko w nim, środek ciężkości, środek okręgu wpisanego, środek okręgu opisanego i ortocentrum, czyli punkt przecięcia wysokości trójkąta, to jeden i ten sam punkt. Wynika to z symetrii: w trójkącie równobocznym każda środkowa jest jednocześnie wysokością, dwusieczną kąta i symetralną boku, więc wszystkie te konstrukcje prowadzą do tego samego miejsca.

To właśnie dlatego w Zadaniu 5 odległość środka ciężkości od boku wyszła identyczna jak promień okręgu wpisanego. Dla boku \(a=8\) promień okręgu wpisanego wynosi \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\), czyli dokładnie tyle, co policzyliśmy jako odległość środka ciężkości od boku.

W trójkącie, który nie jest równoboczny, te punkty rozjeżdżają się i leżą w różnych miejscach płaszczyzny. Środek ciężkości, ortocentrum i środek okręgu opisanego zawsze leżą na jednej prostej, zwanej prostą Eulera, ale to zagadnienie wykracza już poza program matury z matematyki.

Warto też wiedzieć, że sam pomysł na środek ciężkości uogólnia się na inne figury. Dla czworokąta wypukłego środek ciężkości jego wierzchołków liczy się analogicznie, jako średnią arytmetyczną współrzędnych, tylko dzieloną przez liczbę wierzchołków zamiast przez 3. Zasada jest zawsze ta sama: dodajesz współrzędne wszystkich punktów i dzielisz przez ich liczbę.

## Najczęstsze błędy przy środku ciężkości

**Odwracanie proporcji 2:1.** Część uczniów myśli, że krótszy odcinek środkowej jest przy wierzchołku, a nie przy boku. Zawsze zapamiętaj: dłuższy kawałek jest bliżej wierzchołka.

**Mylenie środka ciężkości ze środkiem okręgu opisanego lub wpisanego.** W trójkącie różnobocznym to zupełnie różne punkty, a wzór na współrzędne działa tylko dla środka ciężkości, nie dla pozostałych punktów szczególnych.

**Błąd przy przekształcaniu wzoru.** W zadaniu odwrotnym, tak jak w Zadaniu 3, łatwo pomylić znaki podczas przenoszenia \(x_A\) i \(x_B\) na drugą stronę równania. Zawsze warto sprawdzić wynik, podstawiając go z powrotem do wzoru na średnią.

**Zapominanie, że wzór na współrzędne dotyczy tylko środka ciężkości.** Dla środka okręgu opisanego czy wpisanego nie ma tak prostego wzoru opartego na samej średniej arytmetycznej współrzędnych wierzchołków, więc próba zastosowania tego samego skrótu do innego punktu szczególnego trójkąta prawie zawsze kończy się błędnym wynikiem.

**Pomijanie sprawdzenia w zadaniach odwrotnych.** W zadaniach typu z Zadania 3, gdzie wyznaczasz brakujący wierzchołek, warto zawsze podstawić wynik z powrotem do wzoru na środek ciężkości i sprawdzić, czy rzeczywiście wychodzi zadany punkt \(S\). To zajmuje kilkanaście sekund, a chroni przed utratą punktów za drobny błąd rachunkowy.

## Checklist - co musisz umieć

- [ ] znasz proporcję \(2:1\) podziału środkowej przez środek ciężkości, licząc od wierzchołka
- [ ] potrafisz wyznaczyć współrzędne środka ciężkości ze wzoru na średnią arytmetyczną współrzędnych wierzchołków
- [ ] potrafisz przekształcić ten wzór, żeby wyznaczyć brakujący wierzchołek, znając środek ciężkości i dwa pozostałe wierzchołki
- [ ] wiesz, że odległość środka ciężkości od boku to jedna trzecia odpowiedniej wysokości trójkąta
- [ ] rozróżniasz środek ciężkości od środka okręgu wpisanego i opisanego oraz wiesz, kiedy się pokrywają

Więcej zadań z geometrii analitycznej znajdziesz w bazie [zadania CKE z geometrii analitycznej](/zadania-cke-geometria-analityczna-rozwiazania) albo w [pełnym przewodniku po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami krok po kroku: nierówności kwadratowe, równania wymierne i z podstawieniem na arkuszach CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Równania i nierówności to dział, który na maturze z matematyki wraca co roku jak bumerang. W naszej bazie mamy ich ponad 260 - od jednolinijkowych zadań zamkniętych za 1 punkt po pełne zadania otwarte z dziedziną i sprawdzeniem. Ten tekst to hub: zbieram tu typy zadań CKE z tego działu, pokazuję rozwiązania krok po kroku na prawdziwych arkuszach i kieruję cię prosto do zadań, na których możesz ćwiczyć. Wszystkie zadania, do których linkuję, pochodzą z arkuszy CKE i mają pełne rozwiązania.

Jeśli wolisz najpierw uporządkować teorię, zacznij od przewodnika [równania i nierówności na maturze - metody rozwiązywania](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), a potem wróć tutaj po zadania.

## Co dokładnie obejmuje ten dział na maturze

Pod hasłem "równania i nierówności" CKE testuje kilka odrębnych umiejętności. Warto je rozdzielić, bo każda ma inną metodę:

- **Równania i nierówności liniowe** - podstawa, ale uważaj na zmianę znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
- **Równania i nierówności kwadratowe** - delta, miejsca zerowe, znak paraboli.
- **Równania i nierówności z wartością bezwzględną** - rozbicie na przypadki albo interpretacja na osi.
- **Równania wymierne** - najpierw dziedzina, dopiero potem rozwiązanie.
- **Równania wyższych stopni** - rozkład na czynniki albo podstawienie.

Każdy z tych podtematów ma osobny przewodnik: [nierówności na maturze - liniowe i kwadratowe](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody), [nierówności kwadratowe metodą graficzną](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania), [wartość bezwzględna - równania i nierówności](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci) oraz [równanie wymierne - dziedzina i zadania](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura). Poniżej rozwiązuję po jednym reprezentatywnym zadaniu z każdego typu, na realnych arkuszach CKE.

## Nierówność kwadratowa - zadanie CKE 2025

Zacznijmy od klasyka, który pojawił się na maturze 2025. Rozwiąż nierówność:

$$(3x-4)(x-1) \lt x$$

Najpierw wymnażamy lewą stronę i przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$3x^2 - 7x + 4 \lt x$$
$$3x^2 - 8x + 4 \lt 0$$

Liczymy deltę dla trójmianu \(3x^2 - 8x + 4\):

$$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16, \quad \sqrt{\Delta} = 4$$

Miejsca zerowe:

$$x_1 = \frac{8-4}{6} = \frac{2}{3}, \qquad x_2 = \frac{8+4}{6} = 2$$

Parabola jest skierowana ramionami w górę, a my chcemy "mniejsze od zera", czyli fragment **pod osią** - między pierwiastkami. Odpowiedź:

$$x \in \left(\frac{2}{3},\, 2\right)$$

Całe zadanie z rozwiązaniem masz tutaj: [zadanie cke-2025-pp-19](/task/cke-2025-pp-19). To wzorcowy schemat każdej nierówności kwadratowej: do postaci \(ax^2+bx+c\), delta, pierwiastki, znak ramion, przedział.

## Równanie wymierne - zadanie CKE 2023

Teraz coś, gdzie najwięcej osób gubi punkty przez dziedzinę. Rozwiąż równanie:

$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)} = 0$$

Kluczowa zasada: [ułamek jest równy zero](/rownanie-iloczynowe-jak-rozwiazac-ile-rozwiazan-zadania-matura#rownanie-iloczynowe-z-ulamkiem) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0**, a **mianownik różny od zera**.

Najpierw dziedzina - mianownik nie może się zerować:

$$2x - 10 \neq 0 \implies x \neq 5, \qquad x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$$

Teraz licznik:

$$(4x+1)(x-5) = 0 \implies x = -\frac{1}{4} \ \lor \ x = 5$$

I tu jest pułapka: \(x = 5\) odpada, bo wypada z dziedziny. Zostaje:

$$x = -\frac{1}{4}$$

Pełne rozwiązanie: [zadanie cke-2023-pp-07](/task/cke-2023-pp-07). Gdybyś zapomniał o dziedzinie i wpisał oba pierwiastki, stracisz punkt - dlatego przy każdym równaniu wymiernym dziedzina jest krokiem pierwszym, nie ostatnim.

## Równanie z podstawieniem - zadanie CKE 2023

Zadanie, które wygląda strasznie, dopóki nie zauważysz triku. Rozwiąż:

$$(x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 6 = 0$$

Podstawiamy \(t = (x-1)^2\), gdzie \(t \ge 0\). Wtedy \((x-1)^4 = t^2\) i równanie robi się kwadratowe:

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

Delta: \(\Delta = 25 - 24 = 1\), więc \(t = 2\) lub \(t = 3\). Oba są dodatnie, więc wracamy do podstawienia:

$$(x-1)^2 = 2 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$$
$$(x-1)^2 = 3 \implies x = 1 \pm \sqrt{3}$$

Cztery rozwiązania: \(x = 1-\sqrt{3},\ 1-\sqrt{2},\ 1+\sqrt{2},\ 1+\sqrt{3}\). Krok po kroku: [zadanie cke-2023-pp-13](/task/cke-2023-pp-13). Zapamiętaj wzorzec: gdy widzisz to samo wyrażenie w potędze 4 i w potędze 2, prawie zawsze ratuje cię podstawienie.

## Równanie wymierne z dziedziną - zadanie CKE 2025

Jeszcze jedno z najnowszego arkusza, tym razem z poleceniem "wyznacz dziedzinę i rozwiąż":

$$\frac{2}{2x+1} = \frac{x-1}{x+2}$$

Dziedzina - oba mianowniki różne od zera:

$$2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}, \qquad x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$$

Mnożymy na krzyż:

$$2(x+2) = (x-1)(2x+1)$$
$$2x + 4 = 2x^2 - x - 1$$
$$2x^2 - 3x - 5 = 0$$

Delta: \(\Delta = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{\Delta} = 7\), stąd:

$$x = \frac{3-7}{4} = -1, \qquad x = \frac{3+7}{4} = \frac{5}{2}$$

Oba mieszczą się w dziedzinie, więc oba są rozwiązaniami. Szczegóły: [zadanie cke-2025-pp-18](/task/cke-2025-pp-18).

## Nierówność z wartością bezwzględną - zadanie CKE 2023

Wartość bezwzględna odstrasza, a jest banalnie prosta, jak znasz definicję. Rozwiąż:

$$|x - 3| \ge 5$$

Nierówność z wartością bezwzględną typu \(|wyrażenie| \ge a\) rozbijamy na dwa przypadki połączone słowem "lub":

$$x - 3 \ge 5 \quad \lor \quad x - 3 \le -5$$

Rozwiązujemy każdy osobno:

$$x \ge 8 \quad \lor \quad x \le -2$$

Zbiór rozwiązań to suma dwóch półprostych: \(x \in (-\infty,\, -2\rangle \cup \langle 8,\, +\infty)\). Zwróć uwagę na regułę: przy \(\ge\) rozwiązania są "na zewnątrz", przy \(\le\) byłyby "w środku". Pełne rozwiązanie: [zadanie cke-2023-pp-02](/task/cke-2023-pp-02). Najczęstszy błąd to napisanie tylko jednego przypadku - i od razu połowa zadania w plecy.

## Nierówność liniowa z ułamkami - zadanie CKE 2025

Na koniec klasyk z ułamkami, gdzie wszystko rozbija się o wspólny mianownik. Rozwiąż:

$$\frac{2x-1}{2} - \frac{x+2}{3} \ge \frac{1}{6}$$

Wspólny mianownik dla 2, 3 i 6 to 6. Mnożymy obie strony przez 6 (liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje):

$$3(2x-1) - 2(x+2) \ge 1$$

Rozwijamy nawiasy i porządkujemy:

$$6x - 3 - 2x - 4 \ge 1$$
$$4x - 7 \ge 1$$
$$4x \ge 8 \implies x \ge 2$$

Odpowiedź: \(x \in \langle 2,\, +\infty)\). Tu pułapka jest podwójna: pomylenie wspólnego mianownika albo - gdybyś mnożył przez liczbę ujemną - zapomnienie o odwróceniu znaku. Rozwiązanie: [zadanie cke-2025-pp-17](/task/cke-2025-pp-17).

## Tabela - typy zadań z tego działu i jak je rozpoznać

| Typ zadania | Sygnał rozpoznawczy | Pierwszy krok | Częsta pułapka |
|---|---|---|---|
| Nierówność liniowa | jedna niewiadoma, brak kwadratu | przenieś x na jedną stronę | zmiana znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną |
| Nierówność kwadratowa | jest \(x^2\) | postać \(ax^2+bx+c\), delta | zły kierunek przedziału względem znaku ramion |
| Wartość bezwzględna | symbol \(\lvert\ \rvert\) | rozbij na przypadki | pominięty drugi przypadek |
| Równanie wymierne | x w mianowniku | wyznacz dziedzinę | pierwiastek wpadający poza dziedzinę |
| Równanie wyższego stopnia | potęga 3 lub 4 | rozkład albo podstawienie | zgubione rozwiązanie przy rozkładzie |

## Zadania zamknięte i otwarte w tym dziale

W tym dziale CKE stawia oba typy zadań i warto wiedzieć, czego się spodziewać. Zadania zamknięte to zwykle pojedyncze nierówności albo równania, gdzie wybierasz odpowiedź albo zaznaczasz właściwy rysunek na osi liczbowej - jak w pokazanych wyżej przykładach z wartością bezwzględną i ułamkami. Liczy się tu szybkość i pewność rachunku, bo punkt dostajesz albo go nie ma, bez punktów częściowych.

Zadania otwarte są bardziej wymagające, bo musisz rozpisać całe rozumowanie: dziedzinę, przekształcenia, wynik i często sprawdzenie. To właśnie tu najwięcej osób gubi punkty - nie dlatego, że nie umieją policzyć, tylko dlatego, że nie pokazują metody albo pomijają dziedzinę. Jeśli chcesz wyrobić nawyk poprawnego zapisu, przeczytaj poradnik [jak rozwiązywać zadania otwarte z matematyki](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), a potem ćwicz na zadaniach otwartych z tego działu.

## Jak czytać zasady oceniania, żeby nie tracić punktów

Każde zadanie otwarte z arkusza CKE ma schemat oceniania, który mówi dokładnie, za co przyznaje się kolejne punkty. W równaniach i nierównościach typowy podział wygląda tak: jeden punkt za poprawną dziedzinę albo poprawne przekształcenie do równania kwadratowego, kolejny za rozwiązanie, a ostatni za pełną, poprawną odpowiedź z uwzględnieniem dziedziny. To znaczy, że nawet jeśli pomylisz się w rachunku na końcu, za sam poprawny początek dostaniesz część punktów - pod warunkiem że go zapiszesz.

Wniosek praktyczny: zawsze rozpisuj rozwiązanie, nawet jeśli nie jesteś pewny wyniku. Pusta kartka to gwarantowane zero, a poprawna metoda z błędem rachunkowym to często połowa punktów. Jak punktowane są poszczególne zadania, rozkłada na czynniki tekst [jak punktowane są zadania na maturze z matematyki](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Najczęstsze błędy w tym dziale

Z setek rozwiązań widać, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy:

- **Brak dziedziny w równaniach wymiernych.** Bez niej nawet poprawny rachunek może dać błędną odpowiedź.
- **Zła interpretacja nierówności kwadratowej.** Masz pierwiastki, ale nie wiesz, czy bierzesz "między" czy "na zewnątrz" - decyduje znak ramion i kierunek nierówności.
- **Zapomniany drugi przypadek przy wartości bezwzględnej.**
- **Zmiana znaku.** Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną znak się odwraca. Banał, a kosztuje punkty co roku.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach [błędy rachunkowe na maturze - jak unikać](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac) i [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Teoria bez zadań nic nie da. Plan jest prosty:

1. Przerób przewodnik [równania i nierówności - metody rozwiązywania](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), żeby ułożyć metody w głowie.
2. Wejdź na stronę działu [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) i rób zadania jedno po drugim, od najłatwiejszych.
3. Gdy utkniesz, nie zgaduj - wrzuć zadanie do [solvera](/solve) i zobacz rozwiązanie krok po kroku. Jak działa mądre korzystanie z solvera, tłumaczę w tekście [solver matematyczny online - rozwiąż zadanie ze zdjęcia](/solver-matematyczny-online-rozwiaz-zadanie-maturalne-ze-zdjecia).
4. Na koniec sprawdź się [losowym zadaniem](/random) z całej bazy - bez wiedzy, jaki to typ, tak jak na prawdziwej maturze.

## FAQ - równania i nierówności CKE

### Ile zadań z tego działu jest na maturze?
Zwykle kilka: zwykle 2-3 zamknięte i 1-2 otwarte. To jeden z najczęściej testowanych działów, więc opłaca się go ogarnąć w pierwszej kolejności.

### Czy te zadania są darmowe?
Zadania zamknięte CKE i przewodniki są dostępne za darmo. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku daje abonament Premium - ceny sprawdzisz na stronie [płatności](/payment/checkout).

### Od czego zacząć, jeśli kompletnie nie ogarniam?
Od nierówności liniowych i kwadratowych - to fundament. Dopiero potem wymierne i wartość bezwzględna.

### Czy wystarczy znać wzory z tablic?
Karta wzorów ([tablice](/formulas)) pomaga, ale metody musisz umieć sam. Wzór na deltę masz w tablicach, ale to ty decydujesz, kiedy go użyć.

## Podsumowanie

Równania i nierówności to dział, w którym da się zgarnąć dużo pewnych punktów, jeśli opanujesz kilka schematów: postać standardowa i delta dla kwadratowych, dziedzina przed rozwiązaniem dla wymiernych, podstawienie dla wyższych stopni, przypadki dla wartości bezwzględnej. Masz tu komplet zadań CKE z rozwiązaniami - zacznij od [strony działu](/topics/rownania-i-nierownosci), a gdy utkniesz, [solver](/solve) doprowadzi cię do "aha". Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wyrazenia-wymierne-matura-dziedzina-skracanie-dzialania
title: Wyrażenia wymierne na maturze - dziedzina, skracanie i działania
description: Czym są wyrażenia wymierne i jak wyznaczyć ich dziedzinę? Zasady skracania, dodawania, mnożenia i dzielenia ułamków algebraicznych na zadaniach maturalnych.
author: Filip Maszota
---

# Wyrażenia wymierne na maturze - dziedzina, skracanie i działania

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, np. \(\frac{x+2}{x-3}\). Dziedzinę takiego wyrażenia wyznaczasz, przyrównując mianownik do zera i wykluczając otrzymane rozwiązania ze zbioru liczb rzeczywistych. Skracasz je tak jak zwykłe ułamki: rozkładasz licznik i mianownik na czynniki i eliminujesz te same czynniki, ale dziedzinę zawsze ustalasz na podstawie wyjściowego wzoru, jeszcze przed skróceniem.

Ten temat pojawia się na maturze podstawowej regularnie, zarówno w zadaniach zamkniętych (np. wskaż dziedzinę), jak i w zadaniach otwartych, gdzie trzeba wykonać kilka działań na ułamkach algebraicznych naraz. Bez pewnego opanowania [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) i [rozkładu wielomianu na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki) trudno tu o dobry wynik, bo cała trudność w wyrażeniach wymiernych to właśnie sprawne faktoryzowanie. W tym artykule pokażę ci pełny algorytm wyznaczania dziedziny, zasady skracania i wszystkie cztery działania na ułamkach algebraicznych na 5 przykładach maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

## Co to jest wyrażenie wymierne i jak wyznaczyć jego dziedzinę

Wyrażenie wymierne to wyrażenie postaci \(\frac{W(x)}{V(x)}\), gdzie \(W(x)\) i \(V(x)\) są wielomianami, a \(V(x)\) nie jest wielomianem zerowym. Dziedziną takiego wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik \(V(x)\) jest różny od zera. Żeby ją wyznaczyć, rozwiązujesz równanie \(V(x) = 0\) i wykluczasz otrzymane rozwiązania ze zbioru \(\mathbb{R}\).

Na przykład dla wyrażenia \(\frac{x+2}{x^2-9}\) rozwiązujesz \(x^2-9=0\), czyli \(x=3\) lub \(x=-3\). Dziedziną jest więc \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}\).

Jeśli mianownik jest bardziej rozbudowany, np. \(x^2+x-6\), najpierw rozkładasz go na czynniki: \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\), a dopiero potem przyrównujesz każdy [czynnik do zera osobno](/rownanie-iloczynowe-jak-rozwiazac-ile-rozwiazan-zadania-matura#rownanie-iloczynowe-z-ulamkiem): \(x=-3\) lub \(x=2\).

## Jak skracać wyrażenia wymierne (upraszczanie ułamków algebraicznych)

Wyrażenie wymierne skracasz dokładnie tak jak ułamek liczbowy: rozkładasz licznik i mianownik na czynniki, a potem eliminujesz czynniki, które występują w obu miejscach. Najważniejsza zasada: dziedzinę wyznaczasz zawsze na podstawie wyjściowego, nieskróconego wyrażenia, bo skrócenie może ukryć punkt, w którym wyrażenie traci sens.

Weźmy \(\frac{x^2-9}{x^2+x-6}\). Rozkładasz: licznik \((x-3)(x+3)\) (różnica kwadratów), mianownik \((x+3)(x-2)\). Dziedzina, jeszcze z wyjściowego mianownika: \(x \neq -3\) i \(x \neq 2\). Po skróceniu wspólnego czynnika \((x+3)\):

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-2)} = \frac{x-3}{x-2}$$

dla \(x \neq -3\) i \(x \neq 2\).

Zwróć uwagę, że w wyniku \(\frac{x-3}{x-2}\) formalnie widać tylko warunek \(x \neq 2\), ale \(x = -3\) też trzeba wykluczyć, bo pochodzi z dziedziny wyjściowego wyrażenia. To najczęstszy błąd przy skracaniu wyrażeń wymiernych.

Do rozkładania na czynniki wykorzystujesz [wzory skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania), wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, grupowanie wyrazów, a przy wielomianach wyższego stopnia [dzielenie wielomianów i twierdzenie Bezouta](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout).

## Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne dodajesz i odejmujesz jak zwykłe ułamki: sprowadzasz je do wspólnego mianownika, czyli iloczynu wszystkich różnych czynników w najwyższej potędze, a potem dodajesz lub odejmujesz liczniki. Dziedziną całego wyrażenia jest część wspólna dziedzin obu składników.

Przykład: \(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1}\), dla \(x \neq 1\) i \(x \neq -1\). Wspólny mianownik to \((x-1)(x+1)\):

$$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} = \frac{(x+1) + 2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1+2x-2}{x^2-1} = \frac{3x-1}{x^2-1}$$

dla \(x \neq \pm 1\).

## Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne mnożysz, mnożąc liczniki przez siebie i mianowniki przez siebie, a dzielisz, mnożąc przez odwrotność drugiego ułamka. W obu przypadkach najpierw warto rozłożyć wszystko na czynniki i skrócić, co się da, zanim wymnożysz nawiasy, inaczej dostaniesz niepotrzebnie duży wielomian.

Przykład mnożenia: \(\frac{x^2-4}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-2}\). Rozkładasz \(x^2-4=(x-2)(x+2)\):

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-2} = x+2$$

dla \(x \neq -3\) i \(x \neq 2\).

Przy dzieleniu \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\) pamiętaj o dodatkowym warunku: dzielnik \(\frac{C}{D}\) też nie może być zerem, więc do dziedziny dochodzi jeszcze warunek \(C \neq 0\).

## Zadanie 1: Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego

**Zadanie:** Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{2x-1}{x^2-5x+6}\).

**Krok 1: Rozłóż mianownik na czynniki.** Szukasz dwóch liczb, których suma to \(-5\), a iloczyn \(6\). To \(-2\) i \(-3\), więc \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\).

**Krok 2: Przyrównaj każdy czynnik do zera.** \(x-2=0\) daje \(x=2\), \(x-3=0\) daje \(x=3\).

**Krok 3: Zapisz dziedzinę.** Wykluczasz oba miejsca zerowe mianownika ze zbioru liczb rzeczywistych.

**Odpowiedź:** \(D = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}\).

## Zadanie 2: Skróć wyrażenie wymierne

**Zadanie:** Skróć wyrażenie \(\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}\) i podaj jego dziedzinę.

**Krok 1: Rozłóż licznik.** To wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\).

**Krok 2: Rozłóż mianownik.** To różnica kwadratów: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

**Krok 3: Wyznacz dziedzinę z wyjściowego mianownika.** \(x \neq 2\) i \(x \neq -2\).

**Krok 4: Skróć wspólny czynnik \((x-2)\).**

$$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{x-2}{x+2}\), dla \(x \neq 2\) i \(x \neq -2\).

## Zadanie 3: Dodaj wyrażenia wymierne o różnych mianownikach

**Zadanie:** Wykonaj działanie i podaj wynik w najprostszej postaci: \(\frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+1}\).

**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.** \(x \neq 2\) i \(x \neq -1\).

**Krok 2: Wyznacz wspólny mianownik.** Czynniki się nie powtarzają, więc wspólny mianownik to iloczyn \((x-2)(x+1)\).

**Krok 3: Sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika i dodaj liczniki.**

$$\frac{3(x+1) + 1(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{3x+3+x-2}{(x-2)(x+1)} = \frac{4x+1}{x^2-x-2}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{4x+1}{x^2-x-2}\), dla \(x \neq 2\) i \(x \neq -1\).

## Zadanie 4: Wykonaj dzielenie wyrażeń wymiernych

**Zadanie:** Wykonaj działanie: \(\frac{x^2-9}{2x} : \frac{x+3}{4x^2}\).

**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.** Mianownik pierwszego ułamka daje \(x \neq 0\). Dzielnik \(\frac{x+3}{4x^2}\) nie może być zerem, więc dodatkowo \(x \neq -3\).

**Krok 2: Zamień dzielenie na mnożenie przez odwrotność.**

$$\frac{x^2-9}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x+3}$$

**Krok 3: Rozłóż licznik pierwszego ułamka.** \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

**Krok 4: Skróć wspólne czynniki \((x+3)\) oraz \(2x\) z \(4x^2\).**

$$\frac{(x-3)(x+3)}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x+3} = (x-3) \cdot 2x = 2x^2-6x$$

**Odpowiedź:** \(2x^2-6x\), dla \(x \neq 0\) i \(x \neq -3\).

## Zadanie 5: Wyznacz dziedzinę i uprość wyrażenie złożone

**Zadanie:** Dla wyrażenia \(W(x) = \frac{x+1}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}\) wyznacz dziedzinę i doprowadź \(W(x)\) do najprostszej postaci.

**Krok 1: Rozłóż mianownik pierwszego ułamka.** \(x^2-1=(x-1)(x+1)\).

**Krok 2: Wyznacz dziedzinę.** Z pierwszego ułamka: \(x \neq 1\) i \(x \neq -1\). Z drugiego: \(x \neq 1\). Łącznie: \(x \neq 1\) i \(x \neq -1\).

**Krok 3: Skróć pierwszy ułamek.**

$$\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}$$

**Krok 4: Odejmij.**

$$W(x) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-1} = 0$$

**Odpowiedź:** \(W(x) = 0\) dla każdego \(x\) z dziedziny \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).

To ważna pułapka: mimo że wyrażenie upraszcza się do stałej \(0\), dziedzina i tak wyklucza \(x=1\) oraz \(x=-1\). Te dwa punkty nie należą do rozwiązania, mimo że wynik wygląda banalnie.

## Typowe błędy przy wyrażeniach wymiernych

- Wyznaczanie dziedziny po skróceniu zamiast na podstawie wyjściowego wzoru. To najczęstszy błąd na maturze, bo skrócony ułamek gubi część wykluczeń.
- Skracanie pojedynczych wyrazów zamiast całych czynników, np. próba skrócenia \(\frac{x+2}{x+3}\) do \(\frac{2}{3}\). To niedozwolone, skracać można tylko wspólne czynniki całego licznika i całego mianownika.
- Zapominanie o dodatkowym warunku na dzielnik przy dzieleniu ułamków algebraicznych.
- Błędny rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki, np. pomylenie znaków przy szukaniu dwóch liczb o zadanej sumie i iloczynie.
- Pomijanie mianownika przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika większej liczby ułamków naraz.

## Najczęstsze pytania

### Czym jest wyrażenie wymierne?
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów \(\frac{W(x)}{V(x)}\), w którym mianownik \(V(x)\) nie jest wielomianem zerowym. Innymi słowy to ułamek algebraiczny, w którym licznik i mianownik mogą zawierać niewiadomą.

### Jak wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego?
Przyrównujesz mianownik do zera, rozwiązujesz to równanie i wykluczasz otrzymane rozwiązania ze zbioru liczb rzeczywistych. Jeśli mianownik jest wielomianem wyższego stopnia, najpierw rozkładasz go na czynniki, a dopiero potem każdy czynnik przyrównujesz do zera osobno.

### Czy dziedzinę wyznacza się przed czy po skróceniu wyrażenia?
Zawsze przed skróceniem, na podstawie wyjściowej, nieskróconej postaci wyrażenia. Skrócenie może wyeliminować z zapisu punkt, w którym wyrażenie w rzeczywistości nie istnieje, dlatego dziedzinę zapisujesz raz, na starcie, i przenosisz ją do wyniku końcowego.

### Jak dodawać wyrażenia wymierne o różnych mianownikach?
Sprowadzasz oba ułamki do wspólnego mianownika, czyli iloczynu wszystkich różnych czynników w najwyższej występującej potędze, a następnie dodajesz albo odejmujesz liczniki, zachowując wspólny mianownik. Dziedziną wyniku jest część wspólna dziedzin obu składników.

### Co się zmienia w dziedzinie przy dzieleniu wyrażeń wymiernych?
Oprócz standardowych warunków na mianowniki obu ułamków dochodzi dodatkowy warunek: dzielnik, czyli cały drugi ułamek, nie może być równy zero. Dlatego przy dzieleniu \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D}\) musisz wykluczyć również miejsca zerowe licznika \(C\).

### Czy wyrażenie wymierne to to samo co równanie wymierne?
Nie. Wyrażenie wymierne to zapis algebraiczny bez znaku równości, który upraszczasz lub na którym wykonujesz działania. Równanie wymierne to konkretne równanie z niewiadomą, które rozwiązujesz, szukając wartości \(x\). Więcej o tym w osobnym wpisie o [rozwiązywaniu równań wymiernych](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura).

### Czy ten temat pojawia się na maturze podstawowej?
Tak. Wyznaczanie dziedziny, skracanie i podstawowe działania na wyrażeniach wymiernych to wymaganie z działu wyrażenia algebraiczne w podstawie programowej i regularnie pojawia się w arkuszach CKE, głównie jako zadania za 1 lub 2 punkty.

## Checklista: co musisz umieć

- wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego z wyjściowej, nieskróconej postaci,
- rozłożyć licznik i mianownik na czynniki (wzory skróconego mnożenia, wyłączanie przed nawias, grupowanie),
- skrócić wyrażenie wymierne, pamiętając o zachowaniu pełnej dziedziny w odpowiedzi,
- dodawać i odejmować wyrażenia wymierne, sprowadzając je do wspólnego mianownika,
- mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne, w tym dopisać dodatkowy warunek na dzielnik przy dzieleniu.

Chcesz przećwiczyć więcej? Sprawdź [wzory skróconego mnożenia i ich zastosowania](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania), naucz się sprawnie [rozkładać wielomiany na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki), a jeśli szukasz kolejnego wymagającego tematu z tego działu, zobacz jak radzić sobie z [nierównościami wymiernymi na maturze](/nierownosci-wymierne-matura-jak-rozwiazac-krok-po-kroku). Pełną bazę zadań z tego działu znajdziesz na stronie [wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wzajemne-polozenie-dwoch-okregow-matura-zadania
title: Wzajemne położenie dwóch okręgów - warunki, wzory i zadania maturalne
description: Wzajemne położenie dwóch okręgów na maturze: kiedy okręgi są styczne zewnętrznie i wewnętrznie, kiedy się przecinają. Warunki, tabela i zadania CKE.
author: Filip Maszota
---

# Wzajemne położenie dwóch okręgów - warunki, wzory i zadania maturalne

Wzajemne położenie dwóch okręgów rozstrzygasz jednym porównaniem: zestawiasz odległość \(d\) między środkami okręgów z sumą promieni \(r_1 + r_2\) oraz z wartością bezwzględną ich różnicy \(|r_1 - r_2|\). Okręgi są styczne zewnętrznie, gdy \(d = r_1 + r_2\), styczne wewnętrznie, gdy \(d = |r_1 - r_2| > 0\), przecinają się w dwóch punktach, gdy \(|r_1 - r_2|  r_1 + r_2\) (leżą osobno) albo \(d  r_1 + r_2\) | rozłączne zewnętrznie | 0 |
| \(d = r_1 + r_2\) | styczne zewnętrznie | 1 |
| \(\vert r_1 - r_2 \vert  0\) | styczne wewnętrznie | 1 |
| \(d  r\), prosta i okrąg są rozłączne, gdy \(d = r\), prosta jest styczna do okręgu, a gdy \(d  5\).

**Krok 3: Rozwiąż nierówność \(|r - 3|  5\) i \(r  r_1\), a to nie ma sensu geometrycznego.
- **Promień z równania okręgu.** W równaniu \((x-a)^2 + (y-b)^2 = 9\) promień to \(3\), a nie \(9\). Prawa strona równania to \(r^2\), nie \(r\).
- **Rozłączne nie znaczy daleko od siebie.** Okręgi rozłączne to także przypadek, gdy jeden leży w całości wewnątrz drugiego. W zadaniach z parametrem musisz sprawdzić oba przypadki braku punktów wspólnych.
- **Zapomniany warunek \(r > 0\).** Przy dyskusji z parametrem promień musi być dodatni, więc wynikowy przedział zawsze przetnij z przedziałem \((0, \infty)\).

## Najczęstsze pytania

### Kiedy dwa okręgi są styczne zewnętrznie?
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, gdy odległość ich środków równa się sumie promieni: \(d = r_1 + r_2\). Mają wtedy dokładnie jeden punkt wspólny i leży on na odcinku łączącym środki okręgów.

### Kiedy dwa okręgi są styczne wewnętrznie?
Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, gdy odległość ich środków równa się wartości bezwzględnej różnicy promieni: \(d = |r_1 - r_2|\) i jednocześnie \(d > 0\). Mniejszy okrąg leży wtedy wewnątrz większego i dotyka go w dokładnie jednym punkcie.

### Ile punktów wspólnych mogą mieć dwa okręgi?
Dwa różne okręgi mogą mieć zero punktów wspólnych (rozłączne zewnętrznie albo jeden wewnątrz drugiego), jeden punkt wspólny (styczne zewnętrznie lub wewnętrznie) albo dwa punkty wspólne (przecinające się). Trzech punktów wspólnych mieć nie mogą, bo przez trzy punkty niewspółliniowe przechodzi dokładnie jeden okrąg.

### Czy okręgi współśrodkowe są styczne?
Nie. Okręgi współśrodkowe, czyli o wspólnym środku (\(d = 0\)) i różnych promieniach, nie mają żadnego punktu wspólnego, więc są rozłączne wewnętrznie. Styczność wymaga dokładnie jednego punktu wspólnego.

### Jak określić wzajemne położenie okręgów danych równaniami?
Odczytaj z równań środki i promienie obu okręgów, oblicz odległość środków ze wzoru na odległość dwóch punktów, a następnie porównaj ją z sumą promieni i z modułem ich różnicy. Wynik porównania jednoznacznie wskazuje jedno z pięciu możliwych położeń.

### Czy wzajemne położenie dwóch okręgów pojawia się na maturze podstawowej?
Tak. Rozpoznawanie wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz dwóch okręgów to wymaganie z planimetrii w podstawie programowej. Najczęściej pojawia się jako zadanie zamknięte, w którym podane są promienie i odległość środków. Przećwiczysz je na [zadaniach CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

## Checklista: co musisz umieć

- rozpoznać wszystkie pięć położeń dwóch okręgów po porównaniu \(d\) z \(r_1 + r_2\) i \(|r_1 - r_2|\),
- zapisać warunek styczności zewnętrznej \(d = r_1 + r_2\) i wewnętrznej \(d = |r_1 - r_2|\),
- odczytać środek i promień z równania okręgu i obliczyć odległość środków,
- rozwiązać zadanie z parametrem: dla jakich promieni okręgi przecinają się, są styczne albo rozłączne,
- określić liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu, porównując odległość środka od prostej z promieniem.

Chcesz więcej zadań z okręgów? Zobacz wpis o [kątach wpisanych i środkowych w okręgu](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania) oraz kompletny przewodnik po [planimetrii na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag), a potem rozwiąż serię zadań z tego działu w naszej bazie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /kat-miedzy-przekatna-prostopadloscianu-a-podstawa
title: Kąt między przekątną prostopadłościanu a podstawą - krok po kroku
description: Wzór na kąt między przekątną prostopadłościanu a podstawą, cztery przykłady krok po kroku i typowe błędy. Materiał do matury rozszerzonej z matematyki.
author: Filip Maszota
---

# Kąt między przekątną prostopadłościanu a podstawą - krok po kroku

Kąt między przekątną prostopadłościanu a płaszczyzną podstawy to kąt \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną podstawy, wysokość bryły i przekątną przestrzenną. Liczysz go ze wzoru \(\tan \alpha = \dfrac{h}{d_p}\), gdzie \(h\) to wysokość bryły, a \(d_p\) to przekątna podstawy obliczona z twierdzenia Pitagorasa. To jeden z najczęściej pojawiających się typów zadań ze stereometrii na maturze rozszerzonej z matematyki.

W tym artykule przechodzimy przez cały mechanizm: skąd bierze się ten trójkąt prostokątny, jak wygląda wzór, i cztery pełne przykłady liczbowe, w tym zadania "odwrotne" (masz kąt, szukasz objętości albo wysokości).

## Skąd się bierze ten kąt

Wyobraź sobie prostopadłościan stojący na stole. Jego przekątna przestrzenna \(d\) łączy dwa przeciwległe wierzchołki, na przykład lewy dolny wierzchołek podstawy z prawym górnym wierzchołkiem górnej ściany. Kąt między tą przekątną a płaszczyzną podstawy to kąt między odcinkiem \(d\) a jego rzutem prostokątnym na podstawę.

Rzutem przekątnej bryły na podstawę jest dokładnie przekątna podstawy \(d_p\). Te trzy odcinki - wysokość bryły \(h\), przekątna podstawy \(d_p\) i przekątna bryły \(d\) - tworzą trójkąt prostokątny, w którym:

- przyprostokątna \(d_p\) leży w płaszczyźnie podstawy,
- przyprostokątna \(h\) jest prostopadła do podstawy,
- przeciwprostokątna to przekątna bryły \(d\),
- szukany kąt \(\alpha\) leży między \(d_p\) a \(d\).

To jest dokładnie ten sam mechanizm, co przy [obliczaniu kąta między dowolną prostą a płaszczyzną](/jak-obliczyc-kat-miedzy-prosta-a-plaszczyzna-stereometria), tylko zawężony do jednego, bardzo częstego przypadku: przekątnej graniastosłupa prostego.

## Wzór na kąt między przekątną a podstawą

Dla prostopadłościanu o krawędziach podstawy \(a\), \(b\) i wysokości \(h\):

$$d_p = \sqrt{a^2 + b^2}$$

$$\tan \alpha = \frac{h}{d_p}$$

Z tego samego trójkąta prostokątnego wynikają też dwa przydatne wzory pomocnicze, które przydają się w zadaniach odwrotnych:

$$\sin \alpha = \frac{h}{d} \qquad \cos \alpha = \frac{d_p}{d}$$

gdzie \(d = \sqrt{a^2+b^2+h^2}\) to długość przekątnej bryły. Dla podstawy kwadratowej o boku \(a\) wzór upraszcza się do \(d_p = a\sqrt{2}\), bo to zwykłe [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) zastosowane do [przekątnej kwadratu](/przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura#przekatna-prostokata-pitagoras-i-trygonometria).

### Przykład 1: Kąt między przekątną sześcianu a podstawą

Sześcian ma krawędź \(a = 6\). Oblicz kąt między przekątną sześcianu a płaszczyzną podstawy.

**Krok 1: Oblicz przekątną podstawy**

Podstawą sześcianu jest kwadrat o boku 6, więc:

$$d_p = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

**Krok 2: Zastosuj wzór na tangens kąta**

Wysokość sześcianu to też \(h = 6\) (wszystkie krawędzie sześcianu są równe), więc:

$$\tan \alpha = \frac{h}{d_p} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 3: Odczytaj kąt**

To nie jest jeden z "ładnych" kątów z tablic (30, 45, 60 stopni), więc odpowiedź zostawiasz w postaci \(\alpha = \operatorname{arctan}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), co w przybliżeniu daje \(\alpha \approx 35^{\circ}16'\). Warto to zapamiętać jako ciekawostkę: przekątna sześcianu jest zawsze nachylona do podstawy pod tym samym kątem, niezależnie od długości krawędzi, bo krawędź \(a\) skraca się w liczniku i mianowniku.

### Przykład 2: Prostopadłościan o krawędziach 3, 4 i 5

Prostopadłościan ma krawędzie podstawy \(a = 3\), \(b = 4\) i wysokość \(h = 5\). Oblicz kąt między przekątną bryły a podstawą.

**Krok 1: Oblicz przekątną podstawy**

$$d_p = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$

To klasyczny trójkąt pitagorejski 3-4-5, więc przekątna podstawy wyszła jako liczba całkowita.

**Krok 2: Zastosuj wzór na tangens kąta**

$$\tan \alpha = \frac{h}{d_p} = \frac{5}{5} = 1$$

**Krok 3: Odczytaj kąt**

$$\tan \alpha = 1 \implies \alpha = 45^{\circ}$$

Ten przykład pokazuje, dlaczego warto na starcie sprawdzić, czy krawędzie podstawy nie tworzą znanego trójkąta pitagorejskiego (3-4-5, 5-12-13) - wtedy \(d_p\) wychodzi bez pierwiastka i cały rachunek jest prostszy.

### Przykład 3: Z kąta i przekątnej bryły oblicz objętość

Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Przekątna bryły ma długość 8 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^{\circ}\). Oblicz objętość tej bryły.

To jest zadanie "odwrotne": zamiast liczyć kąt, dostajesz kąt i musisz wyliczyć wymiary bryły.

**Krok 1: Oblicz wysokość bryły**

Z trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest przekątna bryły \(d = 8\):

$$h = d \cdot \sin\alpha = 8 \cdot \sin 60^{\circ} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

**Krok 2: Oblicz przekątną podstawy**

$$d_p = d \cdot \cos\alpha = 8 \cdot \cos 60^{\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

**Krok 3: Wyznacz bok podstawy i jej pole**

Podstawa jest kwadratem, więc \(d_p = a\sqrt{2}\), skąd:

$$a = \frac{d_p}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \implies a^2 = 8$$

Pole podstawy wynosi \(P_p = a^2 = 8\).

**Krok 4: Oblicz objętość**

$$V = P_p \cdot h = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

Ten schemat (kąt i przekątna bryły dane, szukasz objętości) pojawia się w bazie zadań maturalnych regularnie - zobacz na przykład [zadanie 1 z arkusza CKE](/task/cke-2015-2023-pp-100), gdzie liczysz podobną zależność dla innej bryły.

### Przykład 4: Z kąta i krawędzi podstawy oblicz wysokość i przekątną bryły

[Graniastosłup prawidłowy czworokątny](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) (czyli prostopadłościan o podstawie kwadratowej) ma krawędź podstawy \(a = 5\sqrt{2}\). Przekątna bryły jest nachylona do podstawy pod kątem \(45^{\circ}\). Oblicz wysokość graniastosłupa i długość jego przekątnej.

**Krok 1: Oblicz przekątną podstawy**

$$d_p = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$$

**Krok 2: Wyznacz wysokość z tangensa**

$$\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{h}{d_p} \implies h = d_p = 10$$

**Krok 3: Oblicz przekątną bryły**

$$d = \frac{d_p}{\cos 45^{\circ}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$$

Zwróć uwagę: przy kącie \(45^{\circ}\) zawsze wychodzi \(h = d_p\), bo \(\tan 45^{\circ} = 1\). To dobry sposób na szybkie sprawdzenie, czy wynik ma sens, zanim przejdziesz dalej.

## Gdzie ten kąt pojawia się na maturze

W bazie zadań maturalnych na Sprawnej Maturze dział [Stereometria](/topics/stereometria) liczy ponad 200 zadań, a kąty przestrzenne (między przekątną a podstawą, między krawędzią a podstawą, kąty dwuścienne) to jeden z najczęściej powracających podtypów w zadaniach otwartych z rozszerzenia. Zwykle występuje w dwóch wariantach: albo dostajesz konkretne wymiary bryły i liczysz kąt (jak w Przykładach 1 i 2), albo dostajesz kąt i jedną dodatkową informację, a szukasz wymiarów lub objętości (jak w Przykładach 3 i 4). Warto przećwiczyć oba kierunki, bo egzamin równie chętnie sprawdza jeden i drugi.

## Typowe błędy przy liczeniu kąta między przekątną a podstawą

Nawet uczniowie, którzy znają wzór, tracą punkty na tym temacie z powtarzalnych powodów:

- **Mylenie przekątnej podstawy z przekątną ściany bocznej.** Kąt między przekątną a podstawą liczysz zawsze względem rzutu na podstawę, czyli \(d_p\), a nie względem przekątnej ściany bocznej (to byłby zupełnie inny kąt, między przekątną a ścianą pionową).
- **Zapominanie, że dla kwadratu \(d_p = a\sqrt{2}\), a nie \(a\sqrt{3}\).** Pierwiastek z 3 pojawia się przy przekątnej bryły sześcianu (\(d = a\sqrt{3}\)), nie przy przekątnej podstawy. To najczęstsza literówka rachunkowa w tym dziale.
- **Odwracanie sinusa i cosinusa w trójkącie.** Skoro \(h\) leży naprzeciwko kąta \(\alpha\), to \(h\) wchodzi do sinusa (przy przekątnej bryły) lub do tangensa (przy przekątnej podstawy) - nigdy do cosinusa przekątnej podstawy przez \(d\).
- **Brak sprawdzenia jednostek i sensowności wyniku.** Jeśli wyliczona wysokość wychodzi ujemna albo kąt większy niż 90 stopni, na pewno gdzieś pomyliłeś, który bok jest przeciwprostokątną.
- **Pomijanie założeń o podstawie.** Jeśli zadanie nie mówi wprost "podstawą jest kwadrat", nie zakładaj tego - dla prostokąta ogólnego przekątną liczysz z pełnego wzoru \(d_p = \sqrt{a^2+b^2}\).

## Podsumowanie - co musisz umieć

Zanim przejdziesz do kolejnego tematu, upewnij się, że potrafisz:

- narysować trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość bryły, przekątną podstawy i przekątną przestrzenną,
- obliczyć przekątną podstawy z twierdzenia Pitagorasa (osobno dla kwadratu i dla prostokąta),
- zastosować \(\tan \alpha = h / d_p\) do policzenia kąta, gdy znasz wymiary bryły,
- rozwiązać zadanie odwrotne: z danego kąta i jednej wielkości (przekątnej bryły albo krawędzi podstawy) wyliczyć pozostałe wymiary i objętość,
- rozpoznać, kiedy warto szukać trójkąta pitagorejskiego w podstawie, żeby uniknąć niepotrzebnych pierwiastków.

Jeśli czujesz się pewnie z tym materiałem, warto przejrzeć też pełen przegląd wzorów w [stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) - kąt między przekątną a podstawą to tylko jeden z kilku typów kątów przestrzennych, obok [kąta dwuściennego w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura) i kąta między krawędzią a podstawą.

## Najczęstsze pytania

### Czym różni się kąt między przekątną a podstawą od kąta między ścianą boczną a podstawą?
Kąt między przekątną a podstawą to kąt między odcinkiem łączącym przeciwległe wierzchołki bryły (przekątną przestrzenną) a jego rzutem na podstawę. Kąt między ścianą boczną a podstawą to zupełnie inny kąt, mierzony między dwiema płaszczyznami wzdłuż wspólnej krawędzi - dotyczy głównie ostrosłupów, nie prostopadłościanów.

### Czy wzór \(\tan \alpha = h / d_p\) działa dla każdego graniastosłupa?
Działa dla graniastosłupów prostych, w których krawędź boczna jest prostopadła do podstawy - czyli dla prostopadłościanów i graniastosłupów prawidłowych. Dla graniastosłupów pochyłych przekątna nie tworzy już prostego trójkąta prostokątnego z wysokością i trzeba liczyć inaczej.

### Jak policzyć przekątną podstawy, jeśli podstawą jest prostokąt, a nie kwadrat?
Stosujesz pełny wzór z twierdzenia Pitagorasa: \(d_p = \sqrt{a^2+b^2}\), gdzie \(a\) i \(b\) to dwa boki prostokąta. Wzór \(d_p = a\sqrt{2}\) działa tylko wtedy, gdy podstawa jest kwadratem, czyli \(a = b\).

### Dlaczego przekątna sześcianu zawsze tworzy z podstawą kąt około 35 stopni?
Bo w sześcianie wszystkie krawędzie są równe, więc we wzorze \(\tan \alpha = a / (a\sqrt{2})\) długość krawędzi \(a\) się skraca i zostaje stała wartość \(1/\sqrt{2}\), niezależna od rozmiaru sześcianu. Dlatego mały i duży sześcian mają dokładnie taki sam kąt nachylenia przekątnej.

### Jak sprawdzić, czy wynik kąta ma sens fizycznie?
Kąt między przekątną a podstawą zawsze mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni (bryła ma dodatnią wysokość i dodatnią przekątną podstawy). Jeśli w obliczeniach wyszedł kąt ujemny, zerowy albo większy niż 90 stopni, na pewno pomyliłeś, która wielkość jest przyprostokątną, a która przeciwprostokątną.

### Czy na maturze trzeba podawać kąt w stopniach, czy wystarczy zostawić arcus tangens?
Jeśli wynik nie jest jednym ze standardowych kątów (30, 45, 60 stopni), w rozwiązaniu zostawiasz odpowiedź w postaci \(\alpha = \operatorname{arctan}(\ldots)\) - to pełnoprawna, punktowana forma odpowiedzi. Nie musisz (i zwykle nie możesz, bez kalkulatora) zamieniać jej na przybliżoną wartość w stopniach.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /trojkat-rownoramienny-wlasnosci-wysokosc-katy-pole-zadania-matura
title: Trójkąt równoramienny na maturze - własności, wysokość, kąty, pole i zadania
description: Trójkąt równoramienny: równe kąty przy podstawie, wysokość dzieląca podstawę na pół, wzory na pole i obwód. Zadania maturalne CKE rozwiązane krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Trójkąt równoramienny na maturze - własności, wysokość, kąty, pole i zadania

Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma co najmniej dwa boki równej długości. Równe boki nazywasz ramionami, trzeci bok podstawą, a kąt między ramionami kątem przy wierzchołku. Najważniejsze własności: kąty przy podstawie są równe, a wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części i jest jednocześnie środkową, dwusieczną kąta między ramionami oraz osią symetrii. Jeśli podstawa ma długość \(a\), a ramię \(b\), to wysokość liczysz z twierdzenia Pitagorasa: \(h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\), a pole ze wzoru \(P = \frac{1}{2} a h\).

Na maturze podstawowej trójkąt równoramienny pojawia się w dwóch rolach: jako samodzielne zadanie (wysokość, pole, kąty, warunek istnienia trójkąta) i jako fragment większej figury (przekrój osiowy stożka, trapez równoramienny, trójkąt wpisany w okrąg). W bazie sprawnamatura znajdziesz takie zadania między innymi w arkuszach z maja 2010, 2012, 2014, 2016 i 2022, w arkuszu próbnym z grudnia 2014 oraz w zestawie treningowym CKE. Wszystkie sprowadzają się do jednego rysunku i jednego twierdzenia, więc poniżej robimy to raz porządnie, a potem rozwiązujemy siedem zadań krok po kroku.

## Własności trójkąta równoramiennego

Trójkąt równoramienny o podstawie \(a\) i ramionach \(b\) ma trzy własności, z których korzystasz w każdym zadaniu: kąty przy podstawie są równe, wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy oraz ta sama wysokość jest osią symetrii trójkąta. Z tych trzech faktów wynika wszystko inne.

Rozpiszmy je dokładniej. Oznacz trójkąt \(ABC\), gdzie \(|AC| = |BC| = b\) to ramiona, \(|AB| = a\) to podstawa, a \(D\) to spodek wysokości z wierzchołka \(C\).

- **Kąty przy podstawie są równe:** \(|\sphericalangle CAB| = |\sphericalangle CBA| = \alpha\). Kąt między ramionami ma wtedy miarę \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\). Działa to też w drugą stronę: jeśli trójkąt ma dwa równe kąty, to jest równoramienny.
- **Wysokość na podstawę to cztery odcinki w jednym:** \(CD\) jest wysokością, środkową (\(|AD| = |DB| = \frac{a}{2}\)), dwusieczną kąta \(ACB\) i osią symetrii. Dlatego trójkąt \(ADC\) jest prostokątny i to w nim liczysz wszystko z twierdzenia Pitagorasa albo z funkcji trygonometrycznych.
- **Uwaga na pozostałe wysokości:** wysokości opuszczone na ramiona są sobie równe, ale nie dzielą ramion na połowy. Ta własność dotyczy wyłącznie wysokości na podstawę.
- **Warunek istnienia:** [trójkąt o bokach](/nierownosc-trojkata-warunek-istnienia-zadania-matura#wzory) \(a, b, b\) istnieje tylko wtedy, gdy \(2b > a\). Ramiona muszą razem "sięgnąć" dalej niż podstawa.
- **Przypadki szczególne:** trójkąt równoboczny jest równoramienny (każdy bok może być podstawą), a trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\) i przeciwprostokątną \(a\sqrt{2}\). Zależności w [trójkącie 45-45-90 i 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) warto znać na pamięć.

## Wzory: wysokość, pole, obwód i kąty

Wszystkie wzory na trójkąt równoramienny wynikają z trójkąta prostokątnego \(ADC\), w którym przyprostokątne to \(h\) i \(\frac{a}{2}\), a przeciwprostokątna to ramię \(b\). Stąd \(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2\), pole to \(P = \frac{1}{2} a h\), obwód \(L = a + 2b\), a funkcje trygonometryczne kąta przy podstawie czytasz wprost z boków: \(\sin\alpha = \frac{h}{b}\), \(\cos\alpha = \frac{a}{2b}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2h}{a}\).

**Wysokość opuszczona na podstawę** (z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)):

$$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$$

Ten sam wzór przekształcasz, gdy brakuje innej wielkości: \(a = 2\sqrt{b^2 - h^2}\) albo \(b = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}\).

**Pole trójkąta równoramiennego** - trzy wersje, zależnie od danych:

$$P = \frac{1}{2} a h \qquad P = \frac{1}{2} b^2 \sin\gamma \qquad P = \frac{1}{2} a b \sin\alpha$$

Pierwszy wzór to podstawa razy wysokość, drugi to dwa ramiona i kąt między nimi, trzeci to podstawa, ramię i kąt przy podstawie. Więcej wariantów (w tym wzór Herona) znajdziesz w zestawieniu [wzorów na pole trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura).

**Obwód:** \(L = a + 2b\).

**Kąty:** jeśli znasz kąt przy podstawie \(\alpha\), to kąt między ramionami wynosi \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\). Jeśli znasz \(\gamma\), to \(\alpha = \frac{180^\circ - \gamma}{2}\).

**Okrąg opisany i wpisany:** promień okręgu opisanego to \(R = \frac{b^2}{2h}\), a promień okręgu wpisanego to \(r = \frac{ah}{a + 2b}\). Oba wynikają z ogólnych wzorów \(R = \frac{abc}{4P}\) i \(r = \frac{P}{p}\), gdzie \(p\) to połowa obwodu. Wyprowadzenia znajdziesz w artykule o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania). Środek okręgu opisanego zawsze leży na osi symetrii, czyli na prostej zawierającej wysokość \(CD\).

## Jak rozwiązać zadanie z trójkątem równoramiennym - schemat

Każde zadanie z trójkątem równoramiennym zaczynasz od rysunku z zaznaczoną wysokością na podstawę, potem oznaczasz połowę podstawy jako \(\frac{a}{2}\), a następnie zapisujesz twierdzenie Pitagorasa albo funkcję trygonometryczną w trójkącie prostokątnym \(ADC\). Dopiero z tego wychodzisz na szukaną wielkość.

**Krok 1: Rysunek i oznaczenia.** Zaznacz ramiona, podstawę i wysokość na podstawę. Podpisz \(\frac{a}{2}\) przy spodku wysokości.

**Krok 2: Wybór trójkąta prostokątnego.** Prawie zawsze pracujesz w \(ADC\) (połowa podstawy, wysokość, ramię).

**Krok 3: Równanie.** Pitagoras, gdy znasz dwa z trzech boków tego trójkąta; sinus, cosinus lub tangens, gdy znasz kąt.

**Krok 4: Wynik i sprawdzenie.** Odrzuć wartości ujemne, sprawdź warunek \(2b > a\) i upewnij się, że wynik pasuje do rysunku.

## Przykład 1: wysokość z podstawy i ramienia (matura maj 2010, zadanie 16)

**Treść:** Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(6\), a ramię ma długość \(5\). Wysokość opuszczona na podstawę ma długość: A) \(3\), B) \(4\), C) \(\sqrt{34}\), D) \(\sqrt{61}\).

**Krok 1: Rysunek.** Wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki po \(3\). Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(3\) i \(h\) oraz przeciwprostokątnej \(5\).

**Krok 2: Twierdzenie Pitagorasa.**

$$h^2 + 3^2 = 5^2 \quad\Rightarrow\quad h^2 = 25 - 9 = 16 \quad\Rightarrow\quad h = 4$$

**Odpowiedź:** B, wysokość ma długość \(4\). To trójkąt o bokach 3-4-5, który warto rozpoznawać bez liczenia. Odpowiedź \(\sqrt{61}\) to pułapka dla osób, które dodały kwadraty zamiast odjąć.

## Przykład 2: podstawa z ramienia i wysokości (matura maj 2012, zadanie 12)

**Treść:** W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC| = |BC| = 5\) oraz wysokość \(|CD| = 2\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta ma długość: A) \(6\), B) \(2\sqrt{21}\), C) \(2\sqrt{29}\), D) \(14\).

**Krok 1: Rysunek.** Wysokość \(CD\) dzieli podstawę na połowy, więc \(|AD| = |DB|\). Liczysz \(|AD|\) w trójkącie prostokątnym \(ADC\), a potem podwajasz.

**Krok 2: Twierdzenie Pitagorasa dla połowy podstawy.**

$$|AD|^2 + 2^2 = 5^2 \quad\Rightarrow\quad |AD|^2 = 25 - 4 = 21 \quad\Rightarrow\quad |AD| = \sqrt{21}$$

**Krok 3: Cała podstawa.**

$$|AB| = 2 \cdot \sqrt{21} = 2\sqrt{21}$$

**Odpowiedź:** B. Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zapomnienie o podwojeniu. Samego \(\sqrt{21}\) nie ma wśród odpowiedzi, ale w zadaniu otwartym taki wynik kosztowałby punkt.

## Przykład 3: pole trójkąta równoramiennego (zestaw treningowy CKE)

**Treść:** Oblicz pole trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB| = 24\) i \(|AC| = |BC| = 13\).

**Krok 1: Wysokość na podstawę.** Połowa podstawy to \(12\), ramię to \(13\):

$$h = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$

**Krok 2: Pole.**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$$

**Odpowiedź:** \(P = 60\). Trójka 5-12-13 to kolejna trójka pitagorejska, którą warto znać na pamięć. Jeśli chcesz sprawdzić wynik inaczej, użyj wzoru Herona: \(p = 25\), \(P = \sqrt{25 \cdot 1 \cdot 12 \cdot 12} = \sqrt{3600} = 60\). Inne sposoby na [wysokość trójkąta](/jak-obliczyc-wysokosc-trojkata-wzory-zadania) opisuję w osobnym artykule.

## Przykład 4: które liczby mogą być bokami (zestaw treningowy CKE)

**Treść:** Liczby \(4, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).

**Krok 1: Rozpisz przypadki.** W trójkącie równoramiennym dwa boki są równe, więc \(c = 4\) albo \(c = 10\).

**Krok 2: Sprawdź nierówność trójkąta w każdym przypadku.**

- \(c = 4\): boki \(4, 4, 10\). Suma ramion \(4 + 4 = 8\) nie jest większa od \(10\), więc taki trójkąt nie istnieje.
- \(c = 10\): boki \(4, 10, 10\). Suma ramion \(10 + 10 = 20 > 4\), a także \(4 + 10 = 14 > 10\). Trójkąt istnieje.

**Odpowiedź:** \(c = 10\).

To zadanie ma bliźniaka: dla boków \(6, 10, c\) oba przypadki przechodzą test (\(6 + 6 = 12 > 10\) oraz \(6 + 10 = 16 > 10\)), więc poprawna odpowiedź to \(c = 6\) lub \(c = 10\). Sprawdź to samodzielnie w [zadaniu z bokami 6, 10, c](/task/cke-pp-treningowe-70). Wniosek: zawsze sprawdzaj oba przypadki i nie zakładaj z góry, że odpowiedź jest jedna.

## Przykład 5: boki zapisane wyrażeniami (matura maj 2016, zadanie 18)

**Treść:** Z odcinków o długościach \(5\), \(2a + 1\), \(a - 1\) można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że: A) \(a = 6\), B) \(a = 4\), C) \(a = 3\), D) \(a = 2\).

**Krok 1: Trzy sposoby na równe boki.**

- \(2a + 1 = 5\), czyli \(a = 2\). Boki: \(5, 5, 1\).
- \(a - 1 = 5\), czyli \(a = 6\). Boki: \(5, 13, 5\).
- \(2a + 1 = a - 1\), czyli \(a = -2\). Odpada, bo długość \(a - 1\) byłaby ujemna.

**Krok 2: Nierówność trójkąta.**

- \(a = 2\): \(5 + 1 = 6 > 5\). Trójkąt istnieje.
- \(a = 6\): \(5 + 5 = 10 < 13\). Ramiona nie sięgają, trójkąt nie istnieje.

**Odpowiedź:** D, \(a = 2\). Odpowiedź A to klasyczna pułapka: \(a = 6\) daje równe boki, ale nie daje trójkąta. Bez sprawdzenia nierówności trójkąta zadanie wygląda na dwuznaczne, a nie jest.

## Przykład 6: pole z ramienia i kąta przy podstawie (matura próbna grudzień 2014, zadanie 17)

**Treść:** Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości \(20\) tworzy z podstawą kąt \(67{,}5^\circ\). Pole tego trójkąta jest równe: A) \(100\sqrt{3}\), B) \(100\sqrt{2}\), C) \(200\sqrt{3}\), D) \(200\sqrt{2}\).

**Krok 1: Kąt między ramionami.** Oba kąty przy podstawie mają po \(67{,}5^\circ\):

$$\gamma = 180^\circ - 2 \cdot 67{,}5^\circ = 45^\circ$$

**Krok 2: Pole z dwóch ramion i kąta między nimi.**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 45^\circ = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** B. Kąta \(67{,}5^\circ\) nie ma w tablicach i nie musi być: liczy się kąt między ramionami, a ten wychodzi tablicowy. Gdybyś chciał iść przez wysokość, potrzebowałbyś \(\sin 67{,}5^\circ\), którego nie znasz, więc wybór wzoru z kątem \(\gamma\) to nie wygoda, tylko jedyna droga na kalkulatorze prostym.

## Przykład 7: kąty, dwusieczna i podobieństwo (matura maj 2022, zadanie 33)

**Treść:** Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne. Oblicz miarę kąta \(BAC\).

**Krok 1: Oznaczenia.** Niech \(|\sphericalangle BAC| = \alpha\). Skoro \(|AC| = |BC|\), to kąt przy podstawie \(AB\) przy wierzchołku \(B\) też ma miarę \(\alpha\): \(|\sphericalangle ABC| = \alpha\), a kąt między ramionami \(|\sphericalangle ACB| = 180^\circ - 2\alpha\). [Dwusieczna kąta](/dwusieczna-kata-twierdzenie-o-dwusiecznej-zadania-matura) dzieli \(\alpha\) na pół, więc \(|\sphericalangle DAB| = \frac{\alpha}{2}\).

**Krok 2: Kąty trójkąta \(BDA\).** Przy \(B\) ma \(\alpha\) (to ten sam kąt co w dużym trójkącie), przy \(A\) ma \(\frac{\alpha}{2}\), a przy \(D\):

$$|\sphericalangle ADB| = 180^\circ - \alpha - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}$$

**Krok 3: Warunek podobieństwa.** [Trójkąty podobne](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania) mają takie same zestawy kątów. Duży trójkąt ma kąty \(\alpha, \alpha, 180^\circ - 2\alpha\), mały ma \(\alpha, \frac{\alpha}{2}, 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\). Kąt \(\frac{\alpha}{2}\) nie może być równy \(\alpha\), więc musi być równy trzeciemu kątowi dużego trójkąta:

$$\frac{\alpha}{2} = 180^\circ - 2\alpha \quad\Rightarrow\quad \frac{5\alpha}{2} = 180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha = 72^\circ$$

**Krok 4: Sprawdzenie.** Dla \(\alpha = 72^\circ\) mały trójkąt ma kąty \(72^\circ, 36^\circ, 72^\circ\), a duży \(72^\circ, 72^\circ, 36^\circ\). Zestawy się zgadzają, a przy okazji oba trójkąty są równoramienne.

**Odpowiedź:** \(|\sphericalangle BAC| = 72^\circ\). To zadanie za 2 punkty pokazuje, po co jest własność "równe kąty przy podstawie": bez niej nie da się nawet oznaczyć kątów na rysunku.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Trzy zadania z arkuszy CKE na tę samą własność, ale w innym opakowaniu: boki opisane wyrażeniem z niewiadomą, trójkąt równoramienny wpisany w okrąg i dowód o dwóch trójkątach prostokątnych równoramiennych. Rozwiąż je w aplikacji, a w razie potrzeby zajrzyj do pełnych rozwiązań krok po kroku.

Zadanie z bazy: /task/cke-pp-treningowe-72

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2014-31

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-28

Więcej znajdziesz w dziale [Planimetria](/topics/planimetria), a wszystkie zadania z konkretnego arkusza, na przykład z [matury maj 2022](/exams/matura-maj-2022), przejrzysz na stronie egzaminu.

## Typowe pułapki

- **Dzielisz nie ten bok.** Wysokość dzieli na połowy podstawę, nie ramię. Jeśli w trójkącie o bokach \(5, 5, 6\) weźmiesz jako podstawę ramię, wysokość na nie wyjdzie inna i nie policzysz jej z Pitagorasa "na skróty".
- **Bierzesz kąt przy podstawie jako kąt między ramionami.** W przykładzie 6 pole liczysz z \(\sin 45^\circ\), nie z \(\sin 67{,}5^\circ\). Sprawdź zawsze, między którymi bokami leży kąt, który wstawiasz do wzoru \(\frac{1}{2} ab \sin\gamma\).
- **Zapominasz podwoić połowę podstawy.** Wynik z Pitagorasa to \(|AD|\), a pytanie brzmi o \(|AB|\).
- **Nie sprawdzasz nierówności trójkąta.** Równe boki to za mało, patrz przykłady 4 i 5. Odcinki \(4, 4, 10\) trójkąta nie tworzą.
- **Dodajesz kwadraty zamiast odejmować.** Ramię jest przeciwprostokątną, więc \(h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\), nigdy plus.
- **Mylisz trójkąt równoramienny z równobocznym.** Wzór \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) działa tylko dla [trójkąta równobocznego](/jak-obliczyc-pole-trojkata-rownobocznego-wzor-zadania). W równoramiennym liczysz wysokość osobno.

## Co musisz umieć - checklista

- Oznaczyć na rysunku podstawę, ramiona, wysokość na podstawę i połowę podstawy \(\frac{a}{2}\).
- Zapisać twierdzenie Pitagorasa w trójkącie \(ADC\): \(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2\).
- Policzyć pole na trzy sposoby: \(\frac{1}{2} a h\), \(\frac{1}{2} b^2 \sin\gamma\), \(\frac{1}{2} a b \sin\alpha\).
- Przejść między kątem przy podstawie a kątem między ramionami: \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\).
- Sprawdzić, czy trzy liczby są bokami trójkąta równoramiennego (dwa przypadki plus nierówność trójkąta).
- Rozpoznać trójki pitagorejskie 3-4-5 i 5-12-13 bez liczenia.

Quiz: Sprawdź się: trójkąt równoramienny

Pytanie: Trójkąt równoramienny ma podstawę 10 i ramiona długości 13. Jaką długość ma wysokość opuszczona na podstawę?
- A. 13
- B. \(\sqrt{69}\)
- C. 12
- D. 8
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Połowa podstawy to 5, ramię to 13, więc \(h = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\). To trójka pitagorejska 5-12-13.

Pytanie: Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma miarę 40°. Ile wynosi kąt przy podstawie?
- A. 40°
- B. 140°
- C. 70°
- D. 50°
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Kąty przy podstawie są równe i razem z kątem 40° dają 180°, więc każdy z nich ma \((180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ\).

Pytanie: Czy z odcinków o długościach 3, 3 i 6 da się zbudować trójkąt równoramienny?
- A. Tak, bo dwa odcinki są równe
- B. Tak, i będzie to trójkąt prostokątny
- C. Nie, bo 3 + 3 nie jest większe od 6
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Nierówność trójkąta wymaga, żeby suma dwóch krótszych boków była większa od trzeciego. Tu \(3 + 3 = 6\), czyli "ramiona" kładą się płasko na podstawie i trójkąt się nie domyka.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/random)

## Najczęstsze pytania

### Czy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym?

Tak. Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa równe boki, a równoboczny ma trzy, więc spełnia ten warunek z nadmiarem. W drugą stronę to nie działa: trójkąt o bokach \(5, 5, 6\) jest równoramienny, ale nie równoboczny.

### Jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego?

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym złożonym z wysokości, połowy podstawy i ramienia: \(h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\), gdzie \(a\) to podstawa, a \(b\) to ramię. Jeśli zamiast boków znasz kąt przy podstawie \(\alpha\), to \(h = b \sin\alpha\).

### Ile wynoszą kąty w trójkącie równoramiennym?

Dwa kąty przy podstawie są równe, a trzeci (między ramionami) dopełnia je do \(180^\circ\). Znając kąt między ramionami \(\gamma\), liczysz kąt przy podstawie jako \(\frac{180^\circ - \gamma}{2}\); znając kąt przy podstawie \(\alpha\), liczysz \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\).

### Czy trójkąt równoramienny może być prostokątny?

Tak, wtedy kąt prosty jest kątem między ramionami, a kąty przy podstawie mają po \(45^\circ\). Podstawa (przeciwprostokątna) jest wtedy \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od ramienia, a wysokość na podstawę jest równa jej połowie.

### Jak obliczyć pole trójkąta równoramiennego, gdy znam tylko ramię i kąt?

Ze wzoru \(P = \frac{1}{2} b^2 \sin\gamma\), gdzie \(b\) to ramię, a \(\gamma\) to kąt między ramionami. Jeśli podany jest kąt przy podstawie \(\alpha\), najpierw policz \(\gamma = 180^\circ - 2\alpha\), tak jak w przykładzie 6.

### Ile osi symetrii ma trójkąt równoramienny?

Dokładnie jedną: prostą zawierającą wysokość opuszczoną na podstawę. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, a trójkąt różnoboczny nie ma żadnej.

### Czy wysokość opuszczona na ramię też dzieli je na pół?

Nie. Tylko wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową i dwusieczną. Wysokości na ramiona są sobie równe (to wynika z symetrii), ale ich spodki nie leżą w środkach ramion.


---
route: /jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura
title: Jak obliczyć pole trójkąta - 6 wzorów, których potrzebujesz na maturze
description: 6 wzorów na pole trójkąta z rozwiązanymi przykładami. Wzór podstawowy, Herona, z sinusem, ze współrzędnych. Który wybrać na maturze?
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole trójkąta - 6 wzorów, których potrzebujesz na maturze

## Dlaczego musisz znać kilka wzorów?

Na maturze pole trójkąta pojawia się w różnych kontekstach. Czasem znasz podstawę i wysokość - super, użyjesz najprostszego wzoru. Ale czasem masz trzy boki, albo dwa boki i kąt, albo współrzędne wierzchołków. Każda sytuacja wymaga innego wzoru.

Dobra wiadomość: na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) masz większość z nich. Zła wiadomość: musisz wiedzieć, kiedy który zastosować.

## Wzór 1: Podstawowy (podstawa razy wysokość)

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

gdzie \(a\) to dowolny bok (podstawa), a \(h_a\) to wysokość opuszczona na ten bok.

**Kiedy używać:** Gdy znasz (lub łatwo obliczysz) długość boku i odpowiadającą mu wysokość.

### Zadanie 1

**Trójkąt ma podstawę 8 cm i wysokość 5 cm. Oblicz pole.**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 \text{ cm}^2$$

Gotowe. Najprostszy wzór, najprostsze zadanie.

### Zadanie 2 - Trójkąt prostokątny

**Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 6 cm i 8 cm. Oblicz pole.**

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są jednocześnie podstawą i wysokością:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2$$

Nie musisz liczyć przeciwprostokątnej (choć to [trójka pitagorejska](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) 6-8-10). Polecam też sprawdzić nasz [przewodnik po planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

## Wzór 2: Z sinusem kąta (dwa boki i kąt między nimi)

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

gdzie \(a\) i \(b\) to dwa boki, a \(\gamma\) to kąt MIĘDZY nimi.

**Kiedy używać:** Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Bardzo częsty wzór na maturze.

### Zadanie 3

**Dwa boki trójkąta mają długości 5 cm i 7 cm, a kąt między nimi wynosi 30°. Oblicz pole.**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{4} = 8{,}75 \text{ cm}^2$$

Kluczowe: kąt musi być MIĘDZY tymi dwoma bokami. Jeśli kąt jest naprzeciwko jednego z boków, musisz użyć [twierdzenia sinusów lub cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac) żeby najpierw znaleźć brakujące dane.

Wartości sinusów dla kątów 30°, 45°, 60° musisz znać na pamięć:

| Kąt | \(\sin\) |
|-----|-----------|
| 30° | \(\frac{1}{2}\) |
| 45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| 60° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |

Pełna tabela jest w naszym [przewodniku po trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Wzór 3: Wzór Herona (trzy boki)

Masz trzy boki \(a\), \(b\), \(c\). Najpierw oblicz połowę obwodu:

$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Potem:

$$P = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

**Kiedy używać:** Gdy znasz wszystkie trzy boki, ale nie znasz wysokości ani kąta.

### Zadanie 4

**Trójkąt ma boki 7, 8 i 9 cm. Oblicz pole.**

**Krok 1:** Połowa obwodu:

$$p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$$

**Krok 2:** Wstaw do wzoru:

$$P = \sqrt{12 \cdot (12 - 7) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}$$

$$P = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83 \text{ cm}^2$$

Wzór Herona wygląda groźnie, ale jest mechaniczny. Oblicz \(p\), odejmij kolejno boki, pomnóż, wyciągnij pierwiastek. Przydaje się też do [trójkątów podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania) - gdy znasz proporcje boków.

## Wzór 4: Ze współrzędnych wierzchołków

Masz wierzchołki \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\):

$$P = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

**Kiedy używać:** Gdy dane są [współrzędne wierzchołków](/rownanie-wysokosci-i-srodkowej-trojkata-uklad-wspolrzednych-matura#wzory). Typowe dla [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

### Zadanie 5

**Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\), \(C(7, 1)\).**

$$P = \frac{1}{2} |1(6 - 1) + 4(1 - 2) + 7(2 - 6)|$$

$$P = \frac{1}{2} |1 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 7 \cdot (-4)|$$

$$P = \frac{1}{2} |5 - 4 - 28| = \frac{1}{2} \cdot |-27| = \frac{27}{2} = 13{,}5$$

Wartość bezwzględna jest kluczowa - pole jest zawsze dodatnie. Bez modułu mógłbyś dostać liczbę ujemną (zależy od kolejności wierzchołków).

Możesz też użyć metody wyznacznikowej, która daje ten sam wynik:

$$P = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \end{pmatrix} \right|$$

Więcej o wyznacznikach w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania).

## Wzór 5: Z promieniem okręgu opisanego

$$P = \frac{abc}{4R}$$

gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie.

**Kiedy używać:** Gdy zadanie podaje promień okręgu opisanego. Rzadziej na maturze, ale warto znać.

## Wzór 6: Z promieniem okręgu wpisanego

$$P = p \cdot r$$

gdzie \(p\) to połowa obwodu, a \(r\) to promień okręgu wpisanego.

**Kiedy używać:** Gdy znasz obwód i promień okręgu wpisanego. Na maturze pojawia się w zadaniach o okręgach wpisanych/opisanych.

## Jak wybrać właściwy wzór - schemat

Zadaj sobie pytania po kolei:

1. **Mam współrzędne wierzchołków?** -> Wzór 4 (ze współrzędnych)
2. **Mam podstawę i wysokość?** -> Wzór 1 (podstawowy)
3. **Mam dwa boki i kąt między nimi?** -> Wzór 2 (z sinusem)
4. **Mam trzy boki?** -> Wzór 3 (Herona)
5. **Mam promień okręgu opisanego/wpisanego?** -> Wzór 5 lub 6

Najczęściej na maturze: wzory 1, 2 i 4. Wzór Herona przydaje się rzadziej, ale gdy go potrzebujesz, nie ma alternatywy.

## Typowe pułapki

### Pułapka 1: Kąt nie jest między bokami

Wzór \(\frac{1}{2}ab\sin\gamma\) wymaga kąta MIĘDZY bokami \(a\) i \(b\). Jeśli kąt jest naprzeciwko jednego z boków, wynik będzie błędny.

### Pułapka 2: Zapomnienie o \(\frac{1}{2}\)

Pole trójkąta to POŁOWA iloczynu, nie cały iloczyn. Brak \(\frac{1}{2}\) to najczęstszy błąd. Wynik jest wtedy dwa razy za duży.

### Pułapka 3: Złe wyciąganie pierwiastka (Heron)

We wzorze Herona masz pierwiastek z iloczynu. \(\sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\) to NIE to samo co \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}\). Znaczy - algebraicznie to to samo, ale łatwiej się pomylić. Lepiej najpierw pomnóż pod pierwiastkiem, potem upraszczaj. Więcej o [błędach rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

### Pułapka 4: Jednostki

Pole jest w jednostkach kwadratowych. Jeśli boki są w centymetrach, pole jest w cm². Nie zapomnij o \(^2\) w odpowiedzi.

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Stosować wzór podstawowy \(P = \frac{1}{2}ah\)
- Stosować wzór z sinusem \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\)
- Stosować wzór Herona (gdy dane trzy boki)
- Obliczać pole ze współrzędnych wierzchołków
- Wybrać właściwy wzór na podstawie danych z zadania
- Pamiętać o \(\frac{1}{2}\) i wartości bezwzględnej

Potrzebujesz więcej praktyki? Sprawdź [zadania z planimetrii](/topics/planimetria) i przeczytaj nasz [kompletny przewodnik z 8 wzorami na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami
title: Zadania maturalne z planimetrii CKE z rozwiązaniami - baza wg działu
description: 269 zadań CKE z planimetrii z rozwiązaniami krok po kroku. Wzory, twierdzenia i rozwiązane zadania maturalne z trójkątów, okręgów i czworokątów.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania maturalne z planimetrii CKE z rozwiązaniami - baza wg działu

## Cała planimetria CKE w jednym miejscu

Planimetria to jeden z najobszerniejszych działów na maturze z matematyki - w naszej bazie CKE jest jej 269 zadań, więcej niż trygonometrii czy logarytmów. Pojawia się w każdym arkuszu, i w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, i w otwartych dowodach za 3-4 punkty. Jeśli opanujesz planimetrię, masz pod kontrolą sporą część egzaminu.

Ta strona to hub: zebraliśmy tu prawdziwe zadania CKE z planimetrii, najważniejsze wzory i twierdzenia oraz rozwiązane przykłady krok po kroku. Wszystkie zadania znajdziesz w bazie na [stronie tematu Planimetria](/topics/planimetria), a poniżej pokazujemy, jak je rozgryzać. Jeśli wolisz najpierw powtórzyć teorię, zacznij od przewodnika [planimetria na maturze - figury, pola, twierdzenia](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

## Co obejmuje planimetria na maturze

Planimetria to geometria płaska, czyli wszystko, co dzieje się na kartce: trójkąty, czworokąty, okręgi i kąty. Oto najważniejsze podtematy i ich waga na egzaminie.

| Podtemat | Co musisz umieć | Typowy format CKE |
| --- | --- | --- |
| Trójkąty | pola, podobieństwo, twierdzenia o kątach | zamknięte i otwarte |
| Okrąg i koło | kąty wpisane, środkowe, styczne | zamknięte, czasem dowód |
| Czworokąty | pola, własności, czworokąty wpisane w okrąg | zamknięte i otwarte |
| Podobieństwo figur | skala, stosunek pól | zamknięte za 1 punkt |
| Twierdzenia | Pitagoras, Tales, sinusów, cosinusów | otwarte za 2-4 punkty |

Każdy z tych podtematów ma swoje pewne punkty. Kąty w okręgu i podobieństwo to często gotowe zadania za 1 punkt, jeśli znasz schemat. Dowody w trójkątach i czworokątach to 2-4 punkty, które wielu uczniów odpuszcza, a szkoda - one są powtarzalne.

## Wzory i twierdzenia, które musisz znać

Bez tych narzędzi nie ruszysz większości zadań. Naucz się ich na pamięć, choć część jest w [karcie wzorów CKE](/formulas).

Pole trójkąta liczysz na kilka sposobów, zależnie od danych:

$$P = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} a b \sin\gamma = \frac{abc}{4R} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

gdzie \(p = \frac{a+b+c}{2}\) to połowa obwodu, a \(R\) to promień okręgu opisanego. Cały zestaw wzorów na pole rozbieramy w poradniku [pole trójkąta - 8 wzorów](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{wpisany} = \frac{1}{2}\alpha_{srodkowy}$$

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności - to klucz do zadań ze stycznymi. Więcej o kątach w okręgu znajdziesz w [kąty w figurach](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

Przy figurach podobnych w skali \(k\) stosunek pól jest równy \(k^2\):

$$\frac{P_1}{P_2} = k^2$$

To jedna z najczęstszych pułapek - uczniowie mnożą pole przez \(k\) zamiast przez \(k^2\). Podobieństwo trójkątów omawiamy szerzej w [trójkąty podobne - cechy, skala](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania).

Do tego dwa klasyki: [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) oraz [twierdzenie Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania). Bez nich połowa zadań z trójkątów nie ruszy.

## Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Teraz konkret. Poniżej prawdziwe zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami. Numery zadań linkują do pełnych rozwiązań w bazie, gdzie możesz też zobaczyć podobne przykłady.

### Zadanie 1

Dany jest trójkąt o bokach \(a\), \(b\), \(c\), przy czym \(a:b:c = 3:5:7\). Które zdanie jest fałszywe?

Podejdź do tego procentowo. Przyjmij \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 7\), wtedy \(a+b+c = 15\). Sprawdzamy zdanie, że \(b\) to \(60\%\) liczby \(c\): \(\frac{b}{c} = \frac{5}{7} \approx 71{,}4\%\), a nie \(60\%\). To zdanie jest fałszywe. Pozostałe się zgadzają: \(a\) stanowi \(\frac{3}{15} = 20\%\) sumy, \(a\) to \(\frac{3}{12} = 25\%\) liczby \(b+c\), a \(c\) jest o \(\frac{8-7}{8} = 12{,}5\%\) mniejsze od \(a+b\). To typowe zadanie zamknięte za 1 punkt, w którym liczy się spokojne sprawdzenie każdej opcji.

### Zadanie 2

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\) oraz \(|CD| = |CB|\). Bok \(CB\) przedłużono tak, że \(|CB| = |BE|\). Wykaż, że \(|AC| = |DE|\).

To dowód za 2 punkty. Porównaj trójkąty \(ADC\) i \(DBE\). Mamy \(|AD| = |DB|\), bo \(D\) jest środkiem \(AB\). Mamy też \(|DC| = |BE|\), bo \(|DC| = |CB| = |BE|\). Zostaje kąt między tymi bokami. Trójkąt \(CDB\) jest równoramienny (\(|CD| = |CB|\)), więc kąty przy podstawie są równe: \(\angle CDB = \angle DBC\). Ponieważ punkty \(A\), \(D\), \(B\) leżą na jednej prostej, to \(\angle ADC = 180^\circ - \angle CDB\). Podobnie \(C\), \(B\), \(E\) są współliniowe, więc \(\angle DBE = 180^\circ - \angle DBC\). Stąd \(\angle ADC = \angle DBE\). Trójkąty \(ADC\) i \(DBE\) są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok, więc \(|AC| = |DE|\). To kończy dowód. Jak pisać takie uzasadnienia, tłumaczymy w [jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

### Zadanie 3

Trójkąt \(T\) jest podobny do \(T_1\) w skali \(k = \frac{1}{6}\), a trójkąt \(T_2\) jest podobny do \(T\) w skali \(k = 3\). Pole \(T_2\) wynosi \(24\). Jakie pole ma \(T_1\)?

Tu wszystko rozgrywa się na stosunku pól \(k^2\). Skoro \(T_2\) jest podobny do \(T\) w skali \(3\), to \(P_{T_2} = 3^2 \cdot P_T = 9 P_T\), więc \(P_T = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\). Z kolei \(T\) jest podobny do \(T_1\) w skali \(\frac{1}{6}\), czyli \(P_T = \left(\frac{1}{6}\right)^2 P_{T_1} = \frac{1}{36} P_{T_1}\). Stąd \(P_{T_1} = 36 \cdot \frac{8}{3} = 96\). Poprawna odpowiedź to \(96\). Cała trudność to pamiętać, że pole skaluje się kwadratem skali, a nie samą skalą.

### Zadanie 4

Z punktu \(P\) na zewnątrz okręgu o środku \(O\) poprowadzono dwie styczne, które przecinają się pod kątem \(50^\circ\). Punkty styczności to \(A\) i \(B\). Ile wynosi miara kąta \(AOB\)?

Wykorzystaj fakt, że styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, więc \(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\). Czworokąt \(OAPB\) ma sumę kątów \(360^\circ\). Stąd \(\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ\). Odpowiedź to \(130^\circ\). To klasyczny schemat ze stycznymi - gdy tylko zobaczysz styczną i promień, dorysuj kąt prosty.

### Zadanie 5

Dany jest trójkąt \(ABC\), którego boki zawierają się w prostych \(y = \frac{1}{2}x + 1\), \(y = 7 - x\) oraz \(y = 0\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

To zadanie łączy planimetrię z [geometrią analityczną](/topics/geometria-analityczna). Najpierw znajdź wierzchołki, czyli punkty przecięcia prostych. Proste \(y = \frac{1}{2}x + 1\) i \(y = 0\) przecinają się w punkcie \((-2, 0)\). Proste \(y = 7 - x\) i \(y = 0\) dają \((7, 0)\). Dwie ukośne proste przecinają się tam, gdzie \(\frac{1}{2}x + 1 = 7 - x\), czyli \(\frac{3}{2}x = 6\), stąd \(x = 4\) i \(y = 3\), więc punkt \((4, 3)\). Podstawa leży na osi \(OX\) i ma długość \(7 - (-2) = 9\), a wysokość to \(y = 3\). Pole wynosi \(P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = \frac{27}{2}\). Gdy boki są dane równaniami prostych, prawie zawsze opłaca się wziąć bok na osi jako podstawę.

### Zadanie 6

Rozważ prostokąt o polu mniejszym od \(24\), w którym jeden bok jest dłuższy od drugiego o \(5\). Oblicz długość dłuższego boku, jeśli jest ona całkowitą liczbą parzystą.

To zadanie sprawdza, czy umiesz zamienić warunek z treści na nierówność. Oznacz krótszy bok przez \(a\), wtedy dłuższy to \(a + 5\), a pole wynosi \(a(a+5)\). Warunek pola daje nierówność \(a(a+5) < 24\). Dłuższy bok ma być całkowity i parzysty, więc sprawdzamy kandydatów. Dla dłuższego boku równego \(6\) krótszy to \(1\), a pole \(6 \cdot 1 = 6 < 24\) - warunek spełniony. Dla dłuższego boku równego \(8\) krótszy to \(3\), a pole \(8 \cdot 3 = 24\), co nie jest mniejsze od \(24\). Większe wartości dają jeszcze większe pole. Pasuje więc tylko \(6\) i to jest odpowiedź. Morał: gdy w treści jest "mniejsze od", od razu zapisz nierówność, a nie równanie.

## Typowe pułapki w planimetrii

Pierwsza i najczęstsza: skala pól. Przy [figurach podobnych](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura#typowe-pulapki) pole zmienia się jak \(k^2\), nie jak \(k\). Połowa błędów w zadaniach o podobieństwie bierze się właśnie stąd.

Druga: mylenie kąta wpisanego ze środkowym. Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od środkowego opartego na tym samym łuku. Jeśli pomylisz, który jest który, masz wynik dwa razy za duży lub za mały.

Trzecia: zapominanie o kącie prostym między styczną a promieniem. To darmowa informacja w każdym zadaniu ze styczną - dorysuj ten kąt prosty od razu.

Czwarta: w dowodach brak jasnego wskazania cechy przystawania. Sprawdzający chce zobaczyć, że napisałeś, na jakiej podstawie trójkąty są przystające (bok-kąt-bok, kąt-bok-kąt). Bez tego tracisz punkt, nawet gdy wynik jest dobry. Więcej o najczęstszych potknięciach w [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Jak ćwiczyć planimetrię z bazą CKE

Nie ucz się planimetrii czytaniem. Ucz się jej zadaniami. Schemat, który działa: wybierz jeden podtemat, na przykład kąty w okręgu, zrób 10-15 zadań pod rząd i dopiero potem przejdź dalej. Powtarzalność buduje odruch, dzięki któremu na maturze rozpoznasz typ zadania w kilka sekund.

Wejdź na [stronę tematu Planimetria](/topics/planimetria) i przerabiaj zadania działami. Gdy utkniesz, użyj [solvera](/solve), żeby zobaczyć pełne rozwiązanie. Co kilka dni rób [losowe zadanie](/random) z różnych działów, żeby nie zapomnieć starszego materiału, a postępy śledź na [stronie postępów](/progress). Gdy poczujesz się pewnie, sprawdź się na [symulatorze pełnej matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke).

Jeśli planimetrię masz już opanowaną, naturalnym kolejnym krokiem jest [hub zadań CKE z geometrii analitycznej](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami) - oba działy często łączą się w jednym zadaniu, jak w Zadaniu 5 powyżej. A jeśli dopiero wybierasz narzędzie do nauki, zobacz nasz [ranking aplikacji i stron do nauki matematyki](/najlepsze-aplikacje-strony-do-nauki-matematyki-matura).

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z planimetrii jest na maturze?
Zwykle kilka, rozłożonych między zadania zamknięte i co najmniej jedno otwarte. To stabilny, powtarzalny dział, dlatego warto go domknąć.

### Czy trzeba znać dowody?
Tak, bo dowody planimetryczne to częste 2-3 punkty. Są powtarzalne - opanuj kilka schematów (przystawanie, kąty w okręgu, podobieństwo) i poradzisz sobie z większością.

### Od czego zacząć, jeśli planimetria mi nie wchodzi?
Od trójkątów i podstawowych wzorów na pole, potem kąty w okręgu, na końcu dowody. Korzystaj z [przewodnika po planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i ćwicz zadaniami z bazy.

## Podsumowanie

Planimetria to dział, który wynagradza systematyczność. Masz tu 269 zadań CKE, komplet wzorów i powtarzalne schematy. Naucz się liczyć pole trójkąta na kilka sposobów, opanuj kąty w okręgu i skalę pól \(k^2\), przećwicz kilka dowodów - i z planimetrii zdobędziesz pewne punkty. Zacznij teraz: otwórz [stronę tematu Planimetria](/topics/planimetria) i zrób pierwsze pięć zadań krok po kroku.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa
title: Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń - własności prawdopodobieństwa na maturze
description: Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń na maturze: wzory P(A') = 1 - P(A) i P(A ∪ B), zdarzenia wykluczające się oraz 5 zadań CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń - własności prawdopodobieństwa na maturze

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia \(A\) to zdarzenie \(A'\), które zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(A\) nie zachodzi, a jego prawdopodobieństwo liczysz ze wzoru \(P(A') = 1 - P(A)\). Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń liczysz ze wzoru \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), a gdy zdarzenia się wykluczają, wystarczy dodać: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Te dwa wzory plus podstawowe własności (prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od 0 do 1) wystarczają do rozwiązania niemal każdego maturalnego zadania z własności prawdopodobieństwa.

Ten typ zadania regularnie wraca w arkuszach CKE jako zadanie zamknięte za 1 punkt albo krótkie zadanie otwarte za 2 punkty: dostajesz kilka gotowych wartości, np. \(P(A)\), \(P(A \cup B)\) i \(P(A \cap B)\), i masz wyznaczyć brakującą. Nie musisz niczego zliczać ani rysować drzewka - wystarczy podstawić do wzoru i uważnie przekształcić. W tym poście rozwiążemy 5 takich zadań krok po kroku i pokażemy pułapki, na których uczniowie tracą najwięcej punktów. Jeśli szukasz podstaw (definicja klasyczna, drzewka, zliczanie zdarzeń elementarnych), zacznij od [przewodnika po prawdopodobieństwie na maturze](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

## Własności prawdopodobieństwa - komplet wzorów

Własności prawdopodobieństwa to zestaw reguł, które spełnia każde prawdopodobieństwo, niezależnie od doświadczenia losowego. Najważniejsze z nich: prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału \(\langle 0, 1 \rangle\), prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0, zdarzenia pewnego 1, a dla zdarzenia przeciwnego zachodzi \(P(A') = 1 - P(A)\).

Pełna lista, którą musisz znać:

- \(0 \le P(A) \le 1\) dla każdego zdarzenia \(A\),
- \(P(\emptyset) = 0\) (zdarzenie niemożliwe) oraz \(P(\Omega) = 1\) (zdarzenie pewne),
- \(P(A') = 1 - P(A)\) (zdarzenie przeciwne),
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) (suma zdarzeń),
- jeśli zdarzenia \(A\) i \(B\) się wykluczają, czyli \(A \cap B = \emptyset\), to \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\),
- jeśli \(A \subset B\), to \(P(A) \le P(B)\) (większe zdarzenie ma większe prawdopodobieństwo),
- \(P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)\) (różnica zdarzeń).

Dobra wiadomość: wzory na \(P(A')\) i \(P(A \cup B)\) są w tablicach CKE, w części poświęconej rachunkowi prawdopodobieństwa. Nie musisz ich pamiętać, ale musisz wiedzieć, że tam są i jak ich użyć. Sprawdź też [co dokładnie zawiera karta wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), żeby na egzaminie nie szukać na ślepo.

## Co to jest zdarzenie przeciwne

[Zdarzenie przeciwne](/losowanie-liczb-z-dwoch-zbiorow-prawdopodobienstwo-suma-iloczyn-matura#zdarzenie-przeciwne) do \(A\) (oznaczane \(A'\)) to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie należą do \(A\). Innymi słowy: \(A'\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(A\) nie zachodzi. Zdarzenia \(A\) i \(A'\) razem wyczerpują całą przestrzeń \(\Omega\), dlatego ich prawdopodobieństwa sumują się do 1: \(P(A) + P(A') = 1\).

Przykład z życia: rzucasz kostką, \(A\) oznacza wypadnięcie szóstki. Wtedy \(A'\) to wypadnięcie czegokolwiek innego niż szóstka, czyli 1, 2, 3, 4 lub 5. Masz \(P(A) = \frac{1}{6}\), więc \(P(A') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). Zamiast zliczać pięć wyników, liczysz jeden i odejmujesz od jedynki.

Największa siła zdarzenia przeciwnego ujawnia się w zadaniach ze sformułowaniem co najmniej jeden. Policzenie wprost wymaga rozbicia na wiele przypadków, a przez zdarzenie przeciwne (ani jeden) załatwiasz to jedną linijką. Zobaczysz to w przykładzie 4.

## Suma i iloczyn zdarzeń - jak je czytać

Suma zdarzeń \(A \cup B\) to zdarzenie polegające na tym, że zaszło \(A\) lub zaszło \(B\) (co najmniej jedno z nich, mogą też oba naraz). Iloczyn zdarzeń \(A \cap B\) to zdarzenie polegające na tym, że zaszły \(A\) i \(B\) jednocześnie. W zadaniach tekstowych słowo lub sygnalizuje sumę, a słowa i, oraz, jednocześnie wskazują iloczyn.

Dlaczego we wzorze na sumę odejmujemy \(P(A \cap B)\)? Bo dodając \(P(A)\) i \(P(B)\), część wspólną policzyliśmy dwa razy - raz w \(A\), raz w \(B\). Odjęcie \(P(A \cap B)\) naprawia to podwójne liczenie. Jeśli zdarzenia nie mają części wspólnej (wykluczają się), nie ma czego odejmować i wzór upraszcza się do zwykłego dodawania.

Najłatwiej to zobaczyć na diagramie Venna (dwa nachodzące na siebie koła w prostokącie): koło \(A\), koło \(B\), ich wspólny fragment to \(A \cap B\), a wszystko, co obejmują razem, to \(A \cup B\). Gdy dodasz pola obu kół, wspólny fragment wliczysz podwójnie - i dokładnie dlatego raz go odejmujesz. Jeśli w zadaniu gubisz się w oznaczeniach, narysuj taki diagram na brudno i wpisz znane prawdopodobieństwa w odpowiednie obszary. Bardzo często brakująca wartość wychodzi z samego rysunku, zanim jeszcze sięgniesz po wzór.

Zapamiętaj też dwa tłumaczenia z języka polskiego na język zdarzeń, które robią całą robotę w zadaniach tekstowych: nie zajdzie \(A\) to \(A'\), a nie zajdzie ani \(A\), ani \(B\) to \((A \cup B)'\), czyli zdarzenie przeciwne do sumy. Z kolei co najwyżej jeden raz oznacza zero razy lub jeden raz - to suma dwóch wykluczających się przypadków, więc ich prawdopodobieństwa po prostu dodajesz.

## Jak rozpoznać ten typ zadania w arkuszu

Zadanie na własności prawdopodobieństwa poznasz po tym, że w treści od razu dostajesz gotowe wartości, np. \(P(A) = 0{,}3\) czy \(P(A \cup B) = 0{,}8\), a nie opis doświadczenia losowego. Nie ma kostek, kul ani monet do zliczania - są same litery i liczby. Twoja praca sprowadza się do wyboru właściwego wzoru i przekształcenia go względem szukanej wielkości.

W arkuszach formuły 2015 i 2023 ten typ pojawia się regularnie, zwykle jako zadanie zamknięte za 1 punkt. Bywa też częścią zadań dowodowych, w których trzeba coś uzasadnić z samych własności (przykład 5). To jedne z najszybszych punktów do zgarnięcia w całym arkuszu, o ile znasz wzory.

## Zadania maturalne krok po kroku

### Przykład 1: oblicz sumę zdarzeń i zdarzenie przeciwne

Zdarzenia \(A, B \subset \Omega\) spełniają: \(P(A) = 0{,}3\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Oblicz \(P(A \cup B)\) oraz \(P(A')\).

**Krok 1: wypisz dane i wybierz wzór.** Masz \(P(A)\), \(P(B)\) i \(P(A \cap B)\), a szukasz \(P(A \cup B)\). To wprost wzór na sumę zdarzeń: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

**Krok 2: podstaw liczby.**

$$P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}5$$

**Krok 3: policz zdarzenie przeciwne.**

$$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$$

Odpowiedź: \(P(A \cup B) = 0{,}5\) oraz \(P(A') = 0{,}7\).

### Przykład 2: wyznacz brakujące prawdopodobieństwo

Zdarzenia \(A, B \subset \Omega\) spełniają: \(P(A') = 0{,}35\), \(P(A \cup B) = 0{,}8\) oraz \(P(A \cap B) = 0{,}3\). Oblicz \(P(B)\).

**Krok 1: zamień zdarzenie przeciwne na zwykłe.** Ze wzoru \(P(A) = 1 - P(A') = 1 - 0{,}35 = 0{,}65\).

**Krok 2: przekształć wzór na sumę względem szukanej.** Z \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) wyznaczasz:

$$P(B) = P(A \cup B) - P(A) + P(A \cap B)$$

**Krok 3: podstaw liczby.**

$$P(B) = 0{,}8 - 0{,}65 + 0{,}3 = 0{,}45$$

Odpowiedź: \(P(B) = 0{,}45\). Szybkie sprawdzenie: \(0{,}65 + 0{,}45 - 0{,}3 = 0{,}8\). Zgadza się z danym \(P(A \cup B)\).

### Przykład 3: zdarzenia wykluczające się

Zdarzenia \(A\) i \(B\) wykluczają się, \(P(A) = 0{,}4\) i \(P(B) = 0{,}25\). Oblicz \(P(A \cup B)\) oraz prawdopodobieństwo, że nie zajdzie ani \(A\), ani \(B\).

**Krok 1: skorzystaj z wykluczania.** Skoro \(A \cap B = \emptyset\), to \(P(A \cap B) = 0\) i wzór upraszcza się: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}4 + 0{,}25 = 0{,}65\).

**Krok 2: przetłumacz ani A, ani B na język zdarzeń.** Nie zajdzie ani \(A\), ani \(B\) to dokładnie zdarzenie przeciwne do sumy, czyli \((A \cup B)'\):

$$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}65 = 0{,}35$$

Odpowiedź: \(P(A \cup B) = 0{,}65\), a prawdopodobieństwo, że nie zajdzie żadne z tych zdarzeń, wynosi \(0{,}35\).

### Przykład 4: metoda zdarzenia przeciwnego (co najmniej jeden)

Rzucasz trzy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł.

**Krok 1: zdefiniuj zdarzenie przeciwne.** Niech \(A\) oznacza co najmniej jednego orła. Wtedy \(A'\) to ani jeden orzeł, czyli trzy reszki z rzędu. Jedno proste zdarzenie zamiast siedmiu przypadków.

**Krok 2: policz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.** Rzuty są niezależne, w każdym reszka wypada z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2}\):

$$P(A') = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

**Krok 3: wróć do zdarzenia wyjściowego.**

$$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

Odpowiedź: \(\frac{7}{8}\). Licząc wprost, musiałbyś zsumować przypadki z jednym, dwoma i trzema orłami - [kombinatoryka](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) by to załatwiła, ale po co, skoro jest krótsza droga. Ten sam trik działa w zadaniach z [losowaniem bez zwracania](/losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania) i w [schemacie Bernoulliego](/schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania).

### Przykład 5: uzasadnij oszacowanie iloczynu zdarzeń

Zdarzenia \(A, B \subset \Omega\) spełniają \(P(A) = 0{,}6\) i \(P(B) = 0{,}7\). Uzasadnij, że \(P(A \cap B) \ge 0{,}3\).

**Krok 1: zapisz wzór na sumę i ograniczenie z własności.** \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), a z własności prawdopodobieństwa \(P(A \cup B) \le 1\).

**Krok 2: połącz oba fakty w jedną nierówność.**

$$P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1$$

$$0{,}6 + 0{,}7 - P(A \cap B) \le 1$$

**Krok 3: przekształć nierówność.**

$$P(A \cap B) \ge 1{,}3 - 1 = 0{,}3$$

To kończy dowód. Zauważ ciekawy wniosek: zdarzenia o prawdopodobieństwach 0,6 i 0,7 nie mogą się wykluczać, bo ich część wspólna ma prawdopodobieństwo co najmniej 0,3. Więcej zadań na uzasadnianie znajdziesz w poście o [dowodach matematycznych na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Typowe pułapki

- **Dodawanie bez odejmowania części wspólnej.** Wzór \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) działa tylko dla zdarzeń wykluczających się. Jeśli zadanie podaje \(P(A \cap B) > 0\), musisz je odjąć.
- **Mylenie zdarzenia przeciwnego z różnicą zdarzeń.** \(A'\) to wszystko poza \(A\). Różnica \(A \setminus B\) to część \(A\) leżąca poza \(B\). To dwa różne zdarzenia i dwa różne wzory.
- **Wynik poza przedziałem \(\langle 0, 1 \rangle\).** Jeśli wyszło ci \(P = 1{,}2\) albo wartość ujemna, gdzieś jest błąd rachunkowy. To najszybszy test poprawności - używaj go po każdym zadaniu. Więcej takich testów zebraliśmy w poście o [sprawdzaniu odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).
- **Liczenie co najmniej jeden wprost.** Formalnie się da, ale to długa droga z wieloma przypadkami, w której łatwo coś zgubić. Zdarzenie przeciwne (ani jeden) załatwia to jednym mnożeniem.
- **Zakładanie wykluczania bez podstaw.** Jeśli w treści nie ma ani słowa o tym, że zdarzenia się wykluczają, nie wolno przyjąć \(P(A \cap B) = 0\).

## Checklista: co musisz umieć

- zapisać wzór \(P(A') = 1 - P(A)\) i wiedzieć, kiedy go użyć,
- zapisać wzór \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) i przekształcić go względem dowolnego składnika,
- rozpoznać zdarzenia wykluczające się i uprościć wzór na sumę,
- przetłumaczyć co najmniej jeden na rachunek przez zdarzenie przeciwne,
- sprawdzić, czy wynik mieści się w przedziale \(\langle 0, 1 \rangle\),
- uzasadnić proste oszacowanie typu \(P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1\).

Gotowy na trening? Rozwiązuj [zadania CKE z prawdopodobieństwa z pełnymi rozwiązaniami](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami) albo przejdź do całej [bazy zadań z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo). A gdy opanujesz własności, naturalny następny krok to [prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa](/prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura).

## Najczęstsze pytania

### Co to jest zdarzenie przeciwne?
Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (oznaczane A') to zdarzenie, które zachodzi dokładnie wtedy, gdy A nie zachodzi. Składa się ze wszystkich zdarzeń elementarnych spoza A. Jego prawdopodobieństwo wynosi P(A') = 1 - P(A), bo A i A' razem wyczerpują całą przestrzeń zdarzeń.

### Jak obliczyć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń?
Ze wzoru P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Dodajesz prawdopodobieństwa obu zdarzeń i odejmujesz prawdopodobieństwo części wspólnej, żeby nie liczyć jej podwójnie. Gdy zdarzenia się wykluczają, część wspólna jest pusta i wystarczy samo dodawanie.

### Kiedy zdarzenia losowe się wykluczają?
Zdarzenia A i B wykluczają się, gdy nie mogą zajść jednocześnie, czyli ich iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym: P(A ∩ B) = 0. Przykład: przy jednym rzucie kostką wypadnięcie szóstki i wypadnięcie liczby nieparzystej to zdarzenia wykluczające się.

### Kiedy opłaca się liczyć przez zdarzenie przeciwne?
Zawsze wtedy, gdy zdarzenie przeciwne jest prostsze niż samo zdarzenie. Klasyczny sygnał to sformułowanie co najmniej jeden: zamiast sumować wiele przypadków, liczysz prawdopodobieństwo, że coś nie zdarzy się ani razu, i odejmujesz wynik od 1.

### Czy prawdopodobieństwo może być większe od 1?
Nie. Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest liczbą z przedziału od 0 do 1. Jeśli w obliczeniach wyszło ci więcej niż 1 albo mniej niż 0, na pewno popełniłeś błąd rachunkowy. To najprostszy sposób weryfikacji wyniku w zadaniach maturalnych.

### Czym różni się suma zdarzeń od iloczynu zdarzeń?
Suma A ∪ B oznacza, że zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń (A lub B, albo oba naraz). Iloczyn A ∩ B oznacza, że zaszły oba jednocześnie. W treści zadania słowo lub wskazuje na sumę, a słowa i lub jednocześnie na iloczyn.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego
title: Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego - wzory i zadania krok po kroku
description: Wzory na sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Wyprowadzenie, 6 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku i typowe pułapki na egzaminie.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego - wzory i zadania krok po kroku

Sumowanie ciągów to temat, który pojawia się na maturze praktycznie co roku. CKE pyta o sumę ciągu arytmetycznego w zadaniach zamkniętych i otwartych, a suma ciągu geometrycznego regularnie pojawia się w trudniejszych zadaniach za 4-5 punktów. Jeśli opanujesz oba wzory i nauczysz się je rozpoznawać, masz gwarancję kilku punktów na egzaminie.

## Suma ciągu arytmetycznego

### Wzór

Suma \(n\) pierwszych wyrazów [ciągu arytmetycznego](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) wynosi:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

lub w wersji z różnicą \(r\):

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$

Oba wzory są równoważne. Pierwszy jest szybszy, gdy znasz \(a_1\) i \(a_n\). Drugi - gdy znasz \(a_1\) i \(r\), ale nie znasz \(a_n\).

### Skąd się bierze ten wzór?

Wyobraź sobie, że chcesz dodać liczby od 1 do 100. Gauss zauważył trik: paruj pierwszy z ostatnim:

$$1 + 100 = 101, \quad 2 + 99 = 101, \quad 3 + 98 = 101, \quad \ldots$$

Masz 50 takich par, każda daje 101. Suma = \(50 \cdot 101 = 5050\).

Dokładnie tak samo działa wzór: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\) to "średnia z pierwszego i ostatniego" razy "liczba wyrazów".

### Przykład 1: Suma liczb naturalnych

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 200.

**Rozwiązanie:**

To ciąg arytmetyczny z \(a_1 = 1\), \(a_n = 200\), \(n = 200\).

$$S_{200} = \frac{(1 + 200) \cdot 200}{2} = \frac{201 \cdot 200}{2} = 201 \cdot 100 = 20100$$

**Odpowiedź:** \(S_{200} = 20100\).

### Przykład 2: Suma z warunkami

W ciągu arytmetycznym \(a_1 = 5\) i \(r = 3\). Oblicz \(S_{20}\).

**Rozwiązanie:**

Nie znamy \(a_{20}\), ale możemy użyć drugiego wzoru:

$$S_{20} = \frac{2 \cdot 5 + (20-1) \cdot 3}{2} \cdot 20 = \frac{10 + 57}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 670$$

Albo najpierw obliczamy \(a_{20}\):

$$a_{20} = a_1 + 19r = 5 + 57 = 62$$

$$S_{20} = \frac{(5 + 62) \cdot 20}{2} = \frac{67 \cdot 20}{2} = 670$$

**Odpowiedź:** \(S_{20} = 670\).

### Przykład 3: Zadanie odwrotne

Suma 15 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 300, a pierwszy wyraz to 6. Wyznacz różnicę ciągu.

**Rozwiązanie:**

Podstawiamy do wzoru:

$$300 = \frac{2 \cdot 6 + (15-1) \cdot r}{2} \cdot 15$$

$$300 = \frac{12 + 14r}{2} \cdot 15$$

$$\frac{300}{15} = \frac{12 + 14r}{2}$$

$$20 = \frac{12 + 14r}{2}$$

$$40 = 12 + 14r$$

$$14r = 28$$

$$r = 2$$

**Odpowiedź:** \(r = 2\). Sprawdzenie: \(a_{15} = 6 + 14 \cdot 2 = 34\), \(S_{15} = \frac{(6 + 34) \cdot 15}{2} = 300\). Zgadza się.

## Suma ciągu geometrycznego

### Wzór

Suma \(n\) pierwszych wyrazów [ciągu geometrycznego](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) wynosi:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1$$

Gdy \(q = 1\), ciąg jest stały i \(S_n = n \cdot a_1\).

Ten wzór jest na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), ale musisz umieć go stosować.

### Przykład 4: Prosta suma geometryczna

Oblicz sumę 6 pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego z \(a_1 = 2\) i \(q = 3\).

**Rozwiązanie:**

$$S_6 = 2 \cdot \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 729}{-2} = 2 \cdot \frac{-728}{-2} = 2 \cdot 364 = 728$$

**Odpowiedź:** \(S_6 = 728\).

**Trik:** Gdy \(q > 1\), wygodniej użyć wzoru z odwróconym ułamkiem: \(S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\). Daje to samo, ale bez minusów.

### Przykład 5: Ciąg malejący

Oblicz sumę ciągu geometrycznego: \(16, 8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}\).

**Rozwiązanie:**

Mamy \(a_1 = 16\), \(q = \frac{1}{2}\), \(n = 6\).

$$S_6 = 16 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{63}{32} = \frac{63}{2} = 31{,}5$$

**Odpowiedź:** \(S_6 = 31{,}5\).

### Przykład 6: Zadanie maturalne z ciągiem geometrycznym

Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego to \(a\), \(a + 6\), \(a + 9\). Wyznacz te wyrazy i oblicz sumę 5 pierwszych wyrazów tego ciągu.

**Rozwiązanie:**

W ciągu geometrycznym stosunek kolejnych wyrazów jest stały:

$$\frac{a + 6}{a} = \frac{a + 9}{a + 6}$$

Mnożymy na krzyż:

$$(a + 6)^2 = a(a + 9)$$

$$a^2 + 12a + 36 = a^2 + 9a$$

$$3a = -36$$

$$a = -12$$

Wyrazy: \(-12, -6, -3\). Iloraz: \(q = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}\).

Suma 5 wyrazów:

$$S_5 = -12 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}} = -12 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = -12 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = -12 \cdot \frac{31}{16} = -\frac{93}{4} = -23{,}25$$

**Odpowiedź:** \(S_5 = -\frac{93}{4}\).

Więcej zadań tego typu znajdziesz w naszym [poradniku o ciągach na maturze](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte).

## Jak rozpoznać, którą sumę liczyć?

To kluczowa umiejętność na maturze. Algorytm:

1. **Sprawdź, czy ciąg jest arytmetyczny:** Czy różnica \(a_{n+1} - a_n\) jest stała? Jeśli tak - wzór na sumę arytmetycznego.
2. **Sprawdź, czy ciąg jest geometryczny:** Czy iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) jest stały? Jeśli tak - wzór na sumę geometrycznego.
3. **Wzór ogólny:** Jeśli \(a_n = An + B\) - ciąg arytmetyczny. Jeśli \(a_n = A \cdot q^n\) - geometryczny.

## Typowe błędy

**Błąd 1: Mylenie n z a_n.** We wzorze \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\), \(n\) to [liczba wyrazów](/ciag-arytmetyczny-i-geometryczny-zadania-z-trescia-matura#typowe-pulapki), a \(a_n\) to wartość n-tego wyrazu. Jeśli sumujesz wyrazy od \(a_3\) do \(a_{10}\), to \(n = 8\) (nie 10!).

**Błąd 2: Sumowanie od dowolnego wyrazu.** Wzór daje sumę \(n\) **pierwszych** wyrazów. Jeśli potrzebujesz sumy od \(a_k\) do \(a_m\), oblicz \(S_m - S_{k-1}\).

**Błąd 3: q = 1 w ciągu geometrycznym.** Wzór na \(S_n\) ma w mianowniku \(1 - q\). Dla \(q = 1\) mamy dzielenie przez zero! Wtedy ciąg jest stały i \(S_n = n \cdot a_1\).

**Błąd 4: Zapominanie o znaku q.** Jeśli \(q < 0\), wyrazy ciągu zmieniają znak naprzemiennie. Wzór nadal działa, ale uważaj na potęgowanie ujemnego \(q\).

**Błąd 5: Niewłaściwe n w zadaniach z treścią.** "Łącznie za 10 lat" to \(n = 10\), nie \(n = 11\). Czytaj zadanie uważnie.

## Zastosowania sum ciągów

Na maturze sumy ciągów pojawiają się w kontekście:

- **Oszczędzanie/procent składany** - suma wpłat rosnących geometrycznie
- **Populacja/wzrost** - suma populacji w kolejnych latach
- **Podzielność/sumy liczb** - suma określonych liczb naturalnych
- **Szeregi teleskopowe** - zaawansowane zadania otwarte (rzadziej)

Sprawdź też nasze poradniki o [procencie składanym](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki) i [zadaniach zamkniętych](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody), gdzie sumy ciągów pojawiają się w praktyce.

## Co musisz umieć - checklista

- Obliczać sumę ciągu arytmetycznego dwoma wzorami
- Obliczać sumę ciągu geometrycznego (i wiedzieć co robić przy \(q = 1\))
- Rozpoznawać typ ciągu po wzorze ogólnym lub kolejnych wyrazach
- Rozwiązywać zadania odwrotne (wyznaczać \(r\), \(q\), \(n\) ze znajomości sumy)
- Liczyć sumy częściowe (od \(a_k\) do \(a_m\))

Przećwicz na [zadaniach z ciągów](/topics/ciagi) w naszej bazie - mamy 215 zadań maturalnych z rozwiązaniami. Sprawdź też [kompletną listę wzorów](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista), żeby mieć oba wzory na sumę pod ręką.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /punkt-symetryczny-symetria-osiowa-srodkowa-wspolrzedne-matura
title: Punkt symetryczny - symetria osiowa, środkowa i względem prostej (matura)
description: Jak wyznaczyć punkt symetryczny względem osi OX, OY, początku układu, punktu i prostej. Gotowe wzory i 6 rozwiązanych przykładów krok po kroku na maturę.
author: Filip Maszota
---

# Punkt symetryczny - symetria osiowa, środkowa i względem prostej (matura)

Symetria to jeden z tych tematów, które na maturze wyglądają niewinnie, a potrafią zabrać punkty, bo łatwo pomylić znaki. "Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do punktu \(A\) względem osi \(OX\)" albo "względem prostej \(y = x + 1\)" - to klasyka. Dobra wiadomość jest taka, że całość sprowadza się do kilku prostych wzorów i jednej naczelnej zasady: oś (lub punkt) symetrii to zawsze środek odcinka łączącego punkt z jego obrazem. Jak to opanujesz, każde zadanie z symetrii zrobisz w 30 sekund.

W tym wpisie pokażę ci wszystkie typy symetrii, które realnie pojawiają się na maturze: względem osi układu, względem początku układu, względem punktu, względem prostych \(y = x\) i \(y = -x\), względem prostych pionowych i poziomych, a na końcu względem dowolnej prostej ukośnej. Każdy typ z gotowym wzorem i rozwiązanym przykładem. To materiał z działu [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna), więc warto go połączyć z naszym przewodnikiem [geometria analityczna na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

## Naczelna zasada: środek odcinka

Zanim wejdziemy we wzory, zapamiętaj jedną rzecz, z której wszystko wynika. Jeśli punkt \(A'\) jest symetryczny do punktu \(A\) względem prostej (albo punktu) \(s\), to \(s\) leży dokładnie w połowie drogi między \(A\) i \(A'\), a w przypadku prostej dodatkowo odcinek \(AA'\) jest do niej prostopadły.

To znaczy, że jeśli znasz [środek symetrii](/rownoleglobok-w-ukladzie-wspolrzednych-srodek-symetrii-wierzcholek-pole-matura#srodek-symetrii-rownolegloboku-przekatne-dziela-sie-na-polowy) \(S\), to obraz liczysz ze wzoru na środek odcinka odwróconego "do tyłu". Środek odcinka o końcach \(A=(x_A, y_A)\) i \(A'=(x_{A'}, y_{A'})\) ma współrzędne:

$$S = \left( \frac{x_A + x_{A'}}{2},\ \frac{y_A + y_{A'}}{2} \right)$$

Jeśli ten wzór jeszcze nie siedzi ci w głowie, zajrzyj do wpisu [jak obliczyć środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne). Z tego wzoru wyciągamy \(A'\), gdy znamy \(A\) i \(S\):

$$x_{A'} = 2x_S - x_A, \qquad y_{A'} = 2y_S - y_A$$

To jest tak naprawdę wzór na symetrię względem punktu \(S\). Cała reszta to jego szczególne przypadki. Trzymaj to z tyłu głowy, a nie będziesz musiał wkuwać każdego wzoru osobno.

## Symetria względem osi OX i osi OY

Najprostszy przypadek. Odbicie względem osi \(OX\) (czyli osi poziomej) zmienia znak drugiej współrzędnej, a pierwszą zostawia w spokoju:

$$A=(x, y) \ \longrightarrow \ A'=(x, -y) \quad \text{(względem } OX\text{)}$$

Odbicie względem osi \(OY\) (osi pionowej) zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$$A=(x, y) \ \longrightarrow \ A'=(-x, y) \quad \text{(względem } OY\text{)}$$

Najprostszy sposób, żeby tego nie pomylić: oś \(OX\) jest pozioma, więc punkt "spada w dół" pod nią - zmienia się wysokość, czyli \(y\). Oś \(OY\) jest pionowa, więc punkt przechodzi na drugą stronę w poziomie - zmienia się \(x\).

### Przykład 1

Dany jest punkt \(A=(-3, 5)\). Wyznacz punkt symetryczny względem osi \(OX\) oraz względem osi \(OY\).

Względem \(OX\) zmieniamy znak \(y\): \(A'=(-3, -5)\). Względem \(OY\) zmieniamy znak \(x\): \(A''=(3, 5)\). Tyle. Sprawdź na szybkim szkicu - punkt \(A\) jest w drugiej ćwiartce, jego odbicie w \(OX\) ląduje w trzeciej, a odbicie w \(OY\) w pierwszej. Zgadza się.

## Symetria względem początku układu współrzędnych

Symetria względem punktu \(O=(0,0)\) to symetria środkowa, w której środkiem jest początek układu. Zmieniają się znaki obu współrzędnych:

$$A=(x, y) \ \longrightarrow \ A'=(-x, -y)$$

Wynika to wprost z naszej naczelnej zasady: \(x_{A'} = 2 \cdot 0 - x = -x\), \(y_{A'} = 2 \cdot 0 - y = -y\). Punkt i jego obraz leżą po przeciwnych stronach początku układu, w równej odległości.

### Przykład 2

Punkt \(B=(4, -7)\). Punkt symetryczny względem początku układu to \(B'=(-4, 7)\). Odcinek \(BB'\) przechodzi przez \(O\), a \(O\) jest jego środkiem - sprawdzenie: \(\left(\frac{4+(-4)}{2}, \frac{-7+7}{2}\right) = (0,0)\). Pasuje.

## Symetria względem punktu S(a, b)

Tu wracamy do pełnego wzoru. Obraz punktu \(A=(x, y)\) w symetrii środkowej o środku \(S=(a, b)\):

$$A'=(2a - x,\ 2b - y)$$

Środek \(S\) musi być środkiem odcinka \(AA'\). To najczęstsza wersja "z punktem" na maturze i często pojawia się w zadaniach, gdzie trzeba odbić cały trójkąt albo równoległobok - wtedy odbijasz każdy wierzchołek osobno tym samym wzorem.

### Przykład 3

Dany punkt \(A=(5, 3)\) i środek symetrii \(S=(2, -1)\). Wyznacz \(A'\).

$$x_{A'} = 2 \cdot 2 - 5 = -1, \qquad y_{A'} = 2 \cdot (-1) - 3 = -5$$

Więc \(A'=(-1, -5)\). Sprawdzamy, czy \(S\) jest środkiem \(AA'\): \(\left(\frac{5 + (-1)}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = (2, -1) = S\). Idealnie. To sprawdzenie zajmuje 5 sekund i wyłapuje każdy błąd znaku - rób je zawsze.

## Symetria względem prostych y = x oraz y = -x

Te dwie proste to dwusieczne ćwiartek układu i mają wyjątkowo przyjemne wzory. Odbicie względem prostej \(y = x\) zamienia współrzędne miejscami:

$$A=(x, y) \ \longrightarrow \ A'=(y, x) \quad \text{(względem } y=x\text{)}$$

Odbicie względem prostej \(y = -x\) zamienia współrzędne miejscami i zmienia oba znaki:

$$A=(x, y) \ \longrightarrow \ A'=(-y, -x) \quad \text{(względem } y=-x\text{)}$$

Ciekawostka, która pomaga zapamiętać: symetria względem \(y = x\) to dokładnie to, co robi funkcja odwrotna - dlatego wykres funkcji i jej odwrotności są swoimi lustrzanymi odbiciami w tej prostej.

### Przykład 4

Punkt \(P=(4, -2)\). Względem \(y = x\) zamieniamy współrzędne: \(P'=(-2, 4)\). Względem \(y = -x\): \(P''=(-(-2), -4) = (2, -4)\). Możesz to sprawdzić, licząc środek - środek \(PP'\) musi leżeć na prostej \(y=x\): \(\left(\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = (1, 1)\), a punkt \((1,1)\) faktycznie spełnia \(y = x\). Działa.

## Symetria względem prostej pionowej x = a i poziomej y = b

Proste pionowe i poziome to kolejny łatwy przypadek - znów działa zasada środka odcinka, tylko zmienia się jedna współrzędna. Względem prostej pionowej \(x = a\):

$$A=(x, y) \ \longrightarrow \ A'=(2a - x,\ y)$$

Względem prostej poziomej \(y = b\):

$$A=(x, y) \ \longrightarrow \ A'=(x,\ 2b - y)$$

Logika jest prosta: prosta pionowa nie zmienia wysokości punktu, więc \(y\) zostaje, a \(x\) "odbija się" względem \(a\). Dla prostej poziomej odwrotnie.

### Przykład 5

Punkt \(C=(1, 5)\). Wyznacz obraz względem prostej \(x = 3\) oraz względem prostej \(y = -2\).

Względem \(x = 3\): \(x_{C'} = 2 \cdot 3 - 1 = 5\), \(y\) bez zmian, więc \(C'=(5, 5)\). Względem \(y = -2\): \(x\) bez zmian, \(y_{C'} = 2 \cdot (-2) - 5 = -9\), więc \(C''=(1, -9)\). Zauważ, że prosta \(x=3\) leży w połowie między \(x=1\) a \(x=5\) - to twoja kontrola poprawności.

## Symetria względem dowolnej prostej ukośnej y = ax + b

To najtrudniejszy typ i pojawia się głównie na poziomie rozszerzonym, ale warto go znać, bo wygląda groźnie, a jest tylko trzema krokami. Nie ma tu jednego prostego wzoru "zamień znak" - trzeba skorzystać z definicji. Strategia jest zawsze taka sama:

Krok pierwszy: wyznacz prostą prostopadłą do danej, przechodzącą przez punkt \(A\). Jeśli dana prosta ma współczynnik kierunkowy \(a\), to prostopadła ma współczynnik \(-\frac{1}{a}\). Przyda ci się tu wiedza z wpisu [proste równoległe i prostopadłe](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania).

Krok drugi: znajdź punkt przecięcia obu prostych - to jest rzut prostokątny punktu \(A\) na daną prostą, czyli środek \(M\) odcinka \(AA'\).

Krok trzeci: skorzystaj ze wzoru \(A' = (2x_M - x_A,\ 2y_M - y_A)\), bo \(M\) jest środkiem \(AA'\).

### Przykład 6

Wyznacz punkt symetryczny do \(A=(1, 4)\) względem prostej \(y = x + 1\).

Dana prosta ma współczynnik \(a = 1\), więc prosta prostopadła ma współczynnik \(-1\). Przechodzi przez \(A=(1,4)\):

$$y - 4 = -1 \cdot (x - 1) \ \Longrightarrow \ y = -x + 5$$

Szukamy punktu przecięcia \(y = x + 1\) i \(y = -x + 5\):

$$x + 1 = -x + 5 \ \Longrightarrow \ 2x = 4 \ \Longrightarrow \ x = 2, \quad y = 3$$

Środek \(M=(2, 3)\). Teraz obraz:

$$x_{A'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3, \qquad y_{A'} = 2 \cdot 3 - 4 = 2$$

Czyli \(A'=(3, 2)\). Sprawdzenie: środek \(AA'\) to \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{4+2}{2}\right) = (2, 3) = M\), a \(M\) leży na prostej \(y = x + 1\) (bo \(3 = 2 + 1\)). Wszystko się zgadza. Ten sam schemat zadziała dla każdej prostej ukośnej - zmieniają się tylko liczby.

## Jak odbić cały odcinek, trójkąt lub inną figurę

Na maturze rzadko odbijasz pojedynczy punkt. Częściej masz odcinek, trójkąt albo równoległobok i trzeba znaleźć jego obraz. Zasada jest banalnie prosta: odbijasz każdy wierzchołek osobno tym samym wzorem, a potem łączysz obrazy w tej samej kolejności. Symetria zachowuje długości i kąty, więc obraz odcinka ma dokładnie tę samą długość, a obraz trójkąta jest przystający do oryginału - ma takie samo pole.

### Przykład 7

Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A=(1,2)\), \(B=(4,2)\), \(C=(4,6)\). Wyznacz obraz tego trójkąta w symetrii względem osi \(OX\).

Odbijamy każdy wierzchołek, zmieniając znak \(y\):

$$A'=(1,-2), \quad B'=(4,-2), \quad C'=(4,-6)$$

Trójkąt \(A'B'C'\) jest przystający do \(ABC\) - leży tylko pod osią \(OX\). Możesz to potwierdzić, licząc długości boków: \(|AB| = 3\) i \(|A'B'| = 3\), \(|BC| = 4\) i \(|B'C'| = 4\). Skoro symetria zachowuje odległości, pole obu trójkątów też jest identyczne. Jeśli chcesz odświeżyć liczenie długości boków, zajrzyj do [jak obliczyć odległość między dwoma punktami](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania).

### Przykład 8

Punkty \(A=(-2, 1)\) i \(B=(3, 4)\) są końcami odcinka. Wyznacz obraz tego odcinka w symetrii środkowej względem punktu \(S=(1, 0)\).

Odbijamy oba końce wzorem \((2a - x,\ 2b - y)\) z \(a=1\), \(b=0\):

$$A'=(2 \cdot 1 - (-2),\ 2 \cdot 0 - 1) = (4, -1)$$
$$B'=(2 \cdot 1 - 3,\ 2 \cdot 0 - 4) = (-1, -4)$$

Obrazem odcinka \(AB\) jest odcinek \(A'B'\) o końcach \((4,-1)\) i \((-1,-4)\). Punkt \(S\) jest środkiem zarówno \(AA'\), jak i \(BB'\) - to dwie niezależne kontrole, które potwierdzają wynik. Tę samą metodę zastosujesz do czworokąta czy pięciokąta: po prostu odbijasz każdy wierzchołek z osobna.

## Gdzie symetria pojawia się na maturze

Symetria sama w sobie to zwykle zadanie zamknięte za 1 punkt w stylu "wskaż współrzędne punktu symetrycznego". Ale częściej jest cegiełką w większym zadaniu z geometrii analitycznej. Typowe konteksty to wyznaczanie obrazu wierzchołka wielokąta, dowodzenie, że figura ma oś symetrii, korzystanie z symetrii do znalezienia najkrótszej drogi (klasyczny trik z odbiciem punktu, który "prostuje" trasę), albo wyznaczanie punktu równoodległego od dwóch danych. W każdej z tych sytuacji wracasz do tych samych wzorów, które przerobiliśmy wyżej, więc opłaca się mieć je w małym palcu.

Warto też wiedzieć, że symetria łączy się z pojęciem funkcji parzystej i nieparzystej. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(OY\), a wykres funkcji nieparzystej - względem początku układu współrzędnych. To pojawia się przy [odczytywaniu własności funkcji z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura), więc symetria przyda ci się także poza geometrią analityczną.

## Najczęstsze pytania o symetrię

### Czy symetria względem początku układu to to samo, co dwie symetrie osiowe?
Tak - odbicie względem \(OX\), a potem względem \(OY\) (albo odwrotnie) daje dokładnie symetrię środkową względem punktu \((0,0)\). Sprawdź na dowolnym punkcie: \((x,y) \to (x,-y) \to (-x,-y)\). Efekt końcowy to zmiana znaku obu współrzędnych.

### Jak poznać, że zadanie dotyczy symetrii środkowej, a nie osiowej?
Symetria środkowa jest zawsze "względem punktu", a osiowa "względem prostej". Jeśli w treści pojawia się punkt (środek odcinka, początek układu), to mamy środkową; jeśli prosta lub oś, to osiową. To prosty test, który od razu mówi ci, którego wzoru użyć.

### Czy do symetrii względem prostej ukośnej istnieje gotowy wzór?
Istnieje, ale jest rozbudowany i bardzo łatwo się w nim pomylić ze znakami. Na maturze pewniejsza jest metoda trzech kroków: prosta prostopadła, punkt przecięcia, wzór na środek odcinka. Daje ten sam wynik, a daje znacznie mniej okazji do pomyłki pod presją czasu.

## Typowe pułapki i błędy

Najczęstszy błąd to pomylenie osi \(OX\) z \(OY\) - uczniowie zmieniają znak nie tej współrzędnej, co trzeba. Zapamiętaj raz a dobrze: symetria względem \(OX\) zmienia \(y\), symetria względem \(OY\) zmienia \(x\). Druga pułapka to znaki we wzorze \(2a - x\) - bardzo łatwo napisać \(x - 2a\) albo zapomnieć o mnożeniu przez 2. Trzecia: przy prostej ukośnej niektórzy próbują "na oko" odbić punkt zamiast policzyć rzut prostokątny - to się prawie nigdy nie udaje. Czwarta: mylenie prostej \(y = x\) z prostą \(y = -x\) - przy pierwszej tylko zamieniasz współrzędne, przy drugiej dodatkowo zmieniasz znaki.

Najlepsze zabezpieczenie przed każdym z tych błędów to sprawdzenie środkiem odcinka. Po wyliczeniu \(A'\) policz środek \(AA'\) i upewnij się, że leży na osi (albo prostej) symetrii. Zajmuje to chwilę, a daje pewność. Więcej o weryfikacji wyników znajdziesz we wpisie [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Powiązane tematy warto powtórzyć razem

Symetria rzadko stoi na maturze sama - zwykle jest częścią większego zadania z geometrii analitycznej. Dlatego dobrze powtórzyć ją w pakiecie z [odległością między dwoma punktami](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania), [równaniem prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) i [odległością punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania). A jeśli ćwiczysz teraz ciągi i chcesz zmienić temat na chwilę, zerknij na nasz wpis [ciąg dany wzorem rekurencyjnym](/ciag-rekurencyjny-matura-wzor-ogolny-jak-obliczyc-wyrazy) - to drugi temat, który studenci często pomijają, a wcale nie jest trudny.

## Co musisz umieć - checklist

Sprawdź, czy ogarniasz każdy punkt z tej listy. Jeśli przy którymś się wahasz, wróć do odpowiedniej sekcji i przerób przykład jeszcze raz.

- Symetria względem \(OX\): \((x, y) \to (x, -y)\), zmienia się \(y\).
- Symetria względem \(OY\): \((x, y) \to (-x, y)\), zmienia się \(x\).
- Symetria względem początku układu: \((x, y) \to (-x, -y)\).
- Symetria względem punktu \(S=(a,b)\): \((2a - x,\ 2b - y)\).
- Symetria względem \(y = x\): zamiana współrzędnych \((y, x)\).
- Symetria względem \(y = -x\): \((-y, -x)\).
- Symetria względem \(x = a\): \((2a - x,\ y)\); względem \(y = b\): \((x,\ 2b - y)\).
- Symetria względem prostej ukośnej: prosta prostopadła, punkt przecięcia (rzut), wzór na środek odcinka.
- Zawsze sprawdzaj wynik środkiem odcinka.

Teraz najlepsze, co możesz zrobić, to przećwiczyć to na prawdziwych zadaniach maturalnych. Wejdź na stronę działu [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) i rób zadania z symetrii, aż wzory wejdą ci w krew. Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wzory-na-podwojony-kat-sin-2x-cos-2x-zadania-matura
title: Wzory na podwojony kąt - sin 2x, cos 2x i tg 2x z zadaniami
description: Wzory na podwojony kąt: sin 2x, cos 2x, tg 2x. Wyprowadzenie z sumy kątów, wybór właściwej postaci cosinusa i 9 zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Wzory na podwojony kąt - sin 2x, cos 2x i tg 2x z zadaniami

Wzory na podwojony kąt zamieniają funkcję kąta \(2\alpha\) na funkcje kąta \(\alpha\): \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\) oraz \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}\). Cosinus podwojonego kąta ma dodatkowo dwie równoważne postacie: \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\) oraz \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\). To właśnie te dwie ratują większość zadań, bo zostawiają w wyrażeniu tylko jedną funkcję trygonometryczną zamiast dwóch.

Niżej znajdziesz wyprowadzenie tych wzorów z sinusa i cosinusa sumy kątów, prostą regułę wyboru właściwej postaci cosinusa, dziewięć rozwiązanych przykładów w stylu maturalnym oraz listę pułapek, na których najczęściej lecą punkty.

## Wzory na podwojony kąt - komplet w jednym miejscu

Zapamiętaj trzy wzory główne. Wszystkie działają dla dowolnego kąta \(\alpha\), nie tylko ostrego.

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$

$$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$$

Do kompletu dochodzą dwa wzory pochodne, zwane wzorami na obniżenie stopnia. Wyprowadza się je z cosinusa podwojonego kąta i przydają się wszędzie tam, gdzie chcesz pozbyć się kwadratu:

$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

Wzory na podwojony kąt działają też w drugą stronę. Jeśli w zadaniu widzisz \(2\sin\alpha\cos\alpha\), to jest \(\sin 2\alpha\), i często właśnie ten kierunek skraca rachunki o połowę.

## Skąd biorą się wzory na podwojony kąt

Wzory na podwojony kąt to zwykłe wzory na sinus i cosinus sumy kątów, w których zamiast \(\beta\) wstawisz \(\alpha\). Nie musisz ich kuć osobno: jeśli pamiętasz sumę kątów, wyprowadzisz podwojony kąt w piętnaście sekund na brudnopisie. To najtańszy sposób, żeby nie zgubić wzoru pod presją czasu.

Startujesz od dwóch tożsamości:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

Podstawiasz \(\beta = \alpha\), bo \(2\alpha = \alpha + \alpha\):

$$\sin 2\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos 2\alpha = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$

Dwie pozostałe postacie cosinusa dostajesz z [jedynki trygonometrycznej](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura), czyli z zależności \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\):

- za \(\sin^2\alpha\) wstawiasz \(1 - \cos^2\alpha\) i wychodzi \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1\),
- za \(\cos^2\alpha\) wstawiasz \(1 - \sin^2\alpha\) i wychodzi \(\cos 2\alpha = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).

Tangens podwojonego kąta wyprowadzisz identycznie ze wzoru na tangens sumy albo dzieląc \(\sin 2\alpha\) przez \(\cos 2\alpha\) i skracając przez \(\cos^2\alpha\).

## Którą postać cosinusa podwojonego kąta wybrać

Wybieraj tę postać, która zostawi w wyrażeniu tylko funkcję, którą znasz z treści zadania. To jedna decyzja, która najczęściej odróżnia rozwiązanie na trzy linijki od rozwiązania na pół strony. Reguła jest banalna:

- **Znasz \(\sin\alpha\):** użyj \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\).
- **Znasz \(\cos\alpha\):** użyj \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).
- **Znasz obie funkcje albo dowodzisz tożsamości:** zostań przy \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), bo jest najbardziej symetryczna.
- **W mianowniku masz \(1 + \cos 2\alpha\):** wstaw \(2\cos^2\alpha - 1\), bo jedynki się skrócą.
- **W mianowniku masz \(1 - \cos 2\alpha\):** wstaw \(1 - 2\sin^2\alpha\), z tego samego powodu.

## Przykład 1: sinus i cosinus podwojonego kąta z danego sinusa

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Oblicz \(\sin 2\alpha\) oraz \(\cos 2\alpha\).

**Krok 1: wyznacz brakującą funkcję z jedynki trygonometrycznej.** Z \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) mamy \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\), więc \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\). Bierzemy wartość dodatnią, bo kąt jest ostry.

**Krok 2: podstaw do wzoru na sinus podwojonego kąta.**

$$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

**Krok 3: wybierz wygodną postać cosinusa.** Znasz \(\sin\alpha\), więc bierzesz \(1 - 2\sin^2\alpha\):

$$\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$$

**Krok 4: sprawdź wynik jedynką dla kąta \(2\alpha\).** \(\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{576 + 49}{625} = 1\). Zgadza się, więc rachunki są dobre. Ten test zajmuje dziesięć sekund i wyłapuje większość błędów rachunkowych.

## Przykład 2: podwojony kąt, gdy kąt jest rozwarty

Dany jest kąt \(\alpha\) taki, że \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) oraz \(90^\circ  1\), to \(\alpha\) jest większy od \(45^\circ\), więc \(2\alpha\) przekracza \(90^\circ\). Wszystko się zgadza.

## Przykład 7: dowód tożsamości \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha\)

Wykaż, że dla każdego kąta \(\alpha\) zachodzi \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos 2\alpha\).

**Krok 1: rozpoznaj różnicę kwadratów.** \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2\), a to jest \(a^2 - b^2\) z [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

**Krok 2: rozłóż na czynniki.**

$$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$$

**Krok 3: skorzystaj z jedynki trygonometrycznej.** Drugi nawias to dokładnie \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), więc znika z iloczynu.

**Krok 4: rozpoznaj wzór na podwojony kąt.** Zostaje \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), czyli z definicji \(\cos 2\alpha\). Tożsamość udowodniona. Zasady zapisu takich dowodów opisaliśmy szerzej w tekście o tym, [jak pisać dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Gdzie podwojony kąt realnie pojawia się w zadaniach

Poza gołym liczeniem \(\sin 2\alpha\) wzory na podwojony kąt wchodzą do gry w trzech miejscach: przy szukaniu największej lub najmniejszej wartości wyrażenia, przy obliczaniu wartości funkcji dla kątów spoza tabeli oraz przy upraszczaniu wyrażeń z kwadratami sinusa i cosinusa. W każdym z tych przypadków chodzi o to samo: zamienić dwie funkcje na jedną, bo jedną funkcję łatwiej ograniczyć i łatwiej rozwiązać.

## Przykład 8: największa wartość wyrażenia \(\sin x \cos x\)

Wyznacz najmniejszą i największą wartość wyrażenia \(\sin x \cos x\).

**Krok 1: rozpoznaj wzór czytany od prawej do lewej.** \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\), więc \(\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\).

**Krok 2: skorzystaj ze znanego zakresu sinusa.** Dla każdego kąta zachodzi \(-1 \leqslant \sin 2x \leqslant 1\).

**Krok 3: przemnóż nierówność przez \(\frac{1}{2}\).**

$$-\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2}\sin 2x \leqslant \frac{1}{2}$$

**Krok 4: wskaż, kiedy wartości są osiągane.** Największa wartość to \(\frac{1}{2}\) dla \(\sin 2x = 1\), czyli \(x = 45^\circ + k \cdot 180^\circ\), a najmniejsza to \(-\frac{1}{2}\) dla \(x = 135^\circ + k \cdot 180^\circ\). Bez zamiany na \(\sin 2x\) trzeba by badać dwie funkcje naraz, co przy tym zadaniu zwykle kończy się zgadywaniem. Sam wykres i okres funkcji sinus powtórzysz w tekście o [wykresie sinusa i cosinusa](/wykres-funkcji-sinus-cosinus-okres-amplituda-przesuniecia).

## Przykład 9: wartość \(\sin 15^\circ\) ze wzoru na obniżenie stopnia

Oblicz dokładną wartość \(\sin 15^\circ\), nie korzystając z kalkulatora.

**Krok 1: powiąż kąt z kątem znanym z tabeli.** Podwojony kąt \(15^\circ\) to \(30^\circ\), a \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) znasz z pamięci.

**Krok 2: wybierz postać cosinusa z sinusem.** Ze wzoru \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) dla \(\alpha = 15^\circ\) dostajesz \(\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sin^2 15^\circ\).

**Krok 3: wyznacz kwadrat sinusa.**

$$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$

**Krok 4: wyciągnij pierwiastek i wybierz znak.** Kąt \(15^\circ\) jest ostry, więc sinus jest dodatni i \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\), co po usunięciu pierwiastka wewnętrznego daje znaną postać \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}259\). Ten sam schemat, czyli wzór na podwojony kąt czytany od kąta większego do mniejszego, nazywa się wzorem na połowę kąta.

## Typowe pułapki przy wzorach na podwojony kąt

**\(\sin 2\alpha\) to nie jest \(2\sin\alpha\).** Sprawdź na liczbach: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87\), a \(2\sin 30^\circ = 1\). Różne wyniki, więc skracanie w ten sposób jest po prostu błędem. Ta sama uwaga dotyczy cosinusa i tangensa.

**Dzielenie równania przez funkcję trygonometryczną gubi rozwiązania.** W przykładzie 4 podzielenie przez \(\sin x\) wycina \(x = 0^\circ\) i \(x = 180^\circ\). Zawsze wyłączaj wspólny czynnik przed nawias zamiast dzielić.

**Mylenie \(2\cos^2\alpha - 1\) z \(1 - 2\sin^2\alpha\).** Kolejność jest inna, bo cosinus wchodzi z plusem, a sinus z minusem. Jeśli masz wątpliwość, sprawdź wzór dla \(\alpha = 0^\circ\): powinno wyjść \(\cos 0^\circ = 1\).

**Zapominanie o ćwiartce przy wyznaczaniu drugiej funkcji.** Z jedynki dostajesz kwadrat, a pierwiastek ma dwa znaki. O znaku decyduje położenie kąta, nie rachunek.

**Wzór na \(\operatorname{tg} 2\alpha\) nie zawsze istnieje.** Mianownik zeruje się, gdy \(\operatorname{tg}^2\alpha = 1\), czyli dla \(\alpha = 45^\circ + k \cdot 90^\circ\). Potrzebny jest też sam \(\operatorname{tg}\alpha\), więc \(\cos\alpha \neq 0\).

## Czy wzory na podwojony kąt są potrzebne na maturze podstawowej

Na poziomie podstawowym wzory na [podwojony kąt](/wzory-na-sinus-i-cosinus-sumy-i-roznicy-katow-matura-rozszerzona#podwojony-kat) nie są ci potrzebne, a na rozszerzeniu są standardowym narzędziem. Sprawdziliśmy to na własnej bazie zadań: wśród 127 zadań z trygonometrii pochodzących z arkuszy podstawowych CKE nie ma ani jednego, którego rozwiązanie wymagałoby \(\sin 2\alpha\) czy \(\cos 2\alpha\). Zadania podstawowe operują jedynką trygonometryczną, wartościami kątów charakterystycznych oraz twierdzeniami sinusów i cosinusów.

Ta sama logika działa przy karcie wzorów. W części trygonometrycznej karty dla poziomu podstawowego znajdziesz jedynkę, definicję tangensa, tabelę wartości dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\) oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. Zanim wejdziesz na salę, otwórz [aktualną kartę wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) dla swojego poziomu i sprawdź, które wzory masz podane, a które musisz umieć wyprowadzić. Jeśli zdajesz rozszerzenie, zajrzyj też do zestawienia [wymagań matury rozszerzonej z matematyki](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy), gdzie podwojony kąt pojawia się przy tożsamościach i równaniach.

Jeżeli dopiero układasz powtórkę z tego działu, zacznij od [zadań z trygonometrii z rozwiązaniami](/topics/trygonometria), a potem przećwicz [wartości funkcji trygonometrycznych kątów charakterystycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). Bez płynnego liczenia \(\sin 30^\circ\) czy \(\cos 45^\circ\) wzory na podwojony kąt niewiele dadzą.

## Najczęstsze pytania

### Czy \(\sin 2\alpha\) to to samo co \(2\sin\alpha\)?
Nie. Funkcje trygonometryczne nie są liniowe, więc mnożnika nie da się wyciągnąć przed sinus. Poprawny wzór to \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), czyli w wyniku pojawia się dodatkowo cosinus. Najszybszy kontrprzykład: dla \(\alpha = 30^\circ\) lewa strona wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), a prawa \(1\).

### Którą z trzech postaci cosinusa podwojonego kąta wybrać w zadaniu?
Tę, która zostawi tylko funkcję znaną z treści. Gdy dany jest sinus, bierz \(1 - 2\sin^2\alpha\), gdy cosinus, bierz \(2\cos^2\alpha - 1\), a przy dowodzie tożsamości najwygodniejsza jest postać symetryczna \(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\).

### Czy wzory na podwojony kąt obowiązują na maturze podstawowej?
Nie są tam wymagane. W bazie 127 zadań z trygonometrii z arkuszy podstawowych żadne nie potrzebuje tych wzorów, a karta wzorów dla podstawy zawiera w tej części jedynkę, tabelę wartości oraz twierdzenia sinusów i cosinusów. To materiał poziomu rozszerzonego.

### Jak z \(\cos 2\alpha\) wrócić do \(\sin^2\alpha\) albo \(\cos^2\alpha\)?
Użyj wzorów na obniżenie stopnia: \(\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\) oraz \(\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\). Wyprowadzisz je w jednej linijce, przekształcając \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) i \(\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\).

### Kiedy wzór na \(\operatorname{tg} 2\alpha\) nie działa?
Wtedy, gdy mianownik \(1 - \operatorname{tg}^2\alpha\) jest zerem, czyli dla \(\alpha = 45^\circ + k \cdot 90^\circ\). Dodatkowo musi istnieć sam \(\operatorname{tg}\alpha\), więc \(\cos\alpha\) nie może być zerem. W takich przypadkach licz osobno \(\sin 2\alpha\) i \(\cos 2\alpha\), a potem podziel jedno przez drugie.

### Czy te wzory działają dla kątów ujemnych i większych niż \(360^\circ\)?
Tak. To tożsamości prawdziwe dla każdego kąta rzeczywistego, więc możesz ich używać zarówno dla \(-40^\circ\), jak i dla \(700^\circ\). Zmienia się tylko znak wyniku, zależny od ćwiartki, w której leży kąt.

### Jak szybko sprawdzić, czy dobrze policzyłem \(\sin 2\alpha\) i \(\cos 2\alpha\)?
Podstaw wyniki do jedynki trygonometrycznej zapisanej dla kąta \(2\alpha\), czyli sprawdź, czy \(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1\). Jeśli suma nie wychodzi \(1\), gdzieś jest błąd rachunkowy albo zgubiony znak.

### Czy istnieje wzór na potrojony kąt?
Tak: \(\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\) oraz \(\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha\). Na maturze nie są wymagane i pojawiają się rzadko, ale wyprowadzisz je, zapisując \(3\alpha = 2\alpha + \alpha\) i łącząc wzór na sumę kątów ze wzorami na podwojony kąt.

## Checklista: co musisz umieć

- Zapisać z pamięci \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) oraz trzy postacie \(\cos 2\alpha\).
- Wyprowadzić te wzory z sinusa i cosinusa sumy kątów, gdyby wypadły z głowy.
- Dobrać postać cosinusa do danych z zadania, zamiast liczyć na siłę.
- Wyznaczyć drugą funkcję z jedynki trygonometrycznej i poprawnie ustalić znak na podstawie ćwiartki.
- Rozwiązać równanie z \(\sin 2x\) lub \(\cos 2x\) przez wyłączenie czynnika albo podstawienie \(t = \cos x\).
- Zapisać założenia przy upraszczaniu wyrażeń z tangensem i ułamkami.
- Sprawdzić wynik jedynką trygonometryczną dla kąta \(2\alpha\).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-wysokosc-trojkata-wzory-zadania
title: Jak obliczyć wysokość trójkąta - wzory i zadania maturalne
description: Jak obliczyć wysokość trójkąta równobocznego, równoramiennego i prostokątnego? Wzory, metoda krok po kroku i zadania maturalne CKE z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć wysokość trójkąta - wzory i zadania maturalne

Wysokość trójkąta pojawia się na maturze z matematyki praktycznie co roku. Maj 2010, maj 2012, maj 2021, maj 2022, sierpień 2012, sierpień 2014, sierpień 2020, matura próbna z lutego 2026 - w każdym z tych arkuszy CKE było zadanie, w którym wysokość trójkąta gra główną rolę. Do tego dochodzi pole trójkąta, które bez wysokości praktycznie nie istnieje. Dobra wiadomość: metod jest kilka, ale wszystkie sprowadzają się do trzech narzędzi - twierdzenia Pitagorasa, jednego wzoru z tablic i odrobiny trygonometrii. W tym poradniku dostajesz kompletną ściągę wzorów, algorytm wyboru metody i 9 prawdziwych zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

## Co to jest wysokość trójkąta

Wysokość trójkąta to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do prostej zawierającej przeciwległy bok. Punkt, w którym wysokość dotyka tej prostej, to spodek wysokości.

Trzy fakty, które musisz znać:

**Każdy trójkąt ma trzy wysokości** - po jednej z każdego wierzchołka. Wszystkie trzy (albo ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.

**Miejsce spodka zależy od rodzaju trójkąta.** W trójkącie ostrokątnym wszystkie spodki leżą na bokach. W trójkącie prostokątnym dwie wysokości pokrywają się z przyprostokątnymi, a trzecia biegnie z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości spadają poza trójkąt, na przedłużenia boków - to częsty haczyk w zadaniach z rysunkiem.

**Wysokość jest zawsze prostopadła do boku.** Kwadracik oznaczający kąt prosty na rysunku to sygnał: masz tu trójkąt prostokątny, możesz użyć [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) albo trygonometrii.

## Wzory na wysokość trójkąta - kompletna ściąga

### Wysokość z pola: działa zawsze

Pole trójkąta to połowa iloczynu boku i wysokości opuszczonej na ten bok:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$

Przekształcasz i masz najbardziej uniwersalny wzór na wysokość:

$$h = \frac{2P}{a}$$

Znasz pole i bok? Wysokość masz w jednej linijce. Pamiętaj tylko, że \(a\) to dokładnie ten bok, na który opada wysokość \(h\), a nie dowolny bok trójkąta. Więcej dróg do pola znajdziesz w poradniku o [wzorach na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

### Trójkąt równoboczny: wzór z tablic CKE

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ten wzór masz podany w tablicach CKE obok wzoru na pole \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Działa też w drugą stronę - gdy znasz wysokość i szukasz boku:

$$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2h\sqrt{3}}{3}$$

W trójkącie równobocznym wysokość, środkowa, dwusieczna i symetralna boku to ten sam odcinek. Środek okręgu opisanego i wpisanego leżą w tym samym punkcie, który dzieli wysokość w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. Stąd dwa wzory, które ratują życie w zadaniach z okręgami:

$$R = \frac{2}{3}h, \qquad r = \frac{1}{3}h$$

Szczegóły i więcej zadań tego typu znajdziesz w poradniku o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).

### Trójkąt równoramienny: Pitagoras w połówce

Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli ją dokładnie na pół. Powstają dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(h\) i \(\frac{a}{2}\) oraz przeciwprostokątnej \(b\) (ramię). Z twierdzenia Pitagorasa:

$$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$$

gdzie \(a\) to podstawa, a \(b\) to ramię. Nie ucz się tego wzoru na pamięć - wystarczy, że pamiętasz schemat: połowa podstawy, ramię, Pitagoras.

### Trójkąt prostokątny: wysokość z kąta prostego

Najciekawsza wysokość na maturze. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną \(c\) dzieli ją na dwa odcinki \(p\) i \(q\). Obowiązują wtedy tak zwane związki miarowe:

$$h = \frac{a \cdot b}{c}, \qquad h^2 = p \cdot q$$

Pierwszy wzór bierze się z porównania dwóch sposobów liczenia pola: \(\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch\). Drugi z podobieństwa trójkątów, na które wysokość dzieli duży trójkąt. Z tego samego podobieństwa wynikają jeszcze dwie zależności:

$$a^2 = p \cdot c, \qquad b^2 = q \cdot c$$

gdzie \(a\) to przyprostokątna leżąca przy odcinku \(p\), a \(b\) przy odcinku \(q\). Jak dokładnie działa to podobieństwo, rozkładamy w poradniku o [trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania).

### Wysokość z trygonometrii

Gdy znasz bok i kąt, wysokość wyciągasz z definicji sinusa. Jeśli wysokość \(h\) jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(b\), a naprzeciwko \(h\) leży kąt \(\gamma\):

$$h = b \cdot \sin\gamma$$

Wartości sinusa dla typowych kątów masz w tablicach - a jeśli chcesz je rozumieć, a nie wkuwać, zajrzyj do poradnika o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

### Metoda bonusowa: wysokość z trzech boków

Co zrobić, gdy znasz wszystkie trzy boki, a trójkąt nie jest ani równoboczny, ani równoramienny? Najpierw liczysz pole ze wzoru Herona, potem wracasz do \(h = \frac{2P}{a}\). Wzór Herona masz w tablicach CKE:

$$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p = \frac{a+b+c}{2}$$

Szybki przykład: trójkąt o bokach \(13\), \(14\), \(15\). Połowa obwodu: \(p = \frac{13+14+15}{2} = 21\). Pole:

$$P = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$$

Wysokość opuszczona na bok długości \(14\):

$$h = \frac{2P}{a} = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12$$

Ta kombinacja (Heron plus \(\frac{2P}{a}\)) rozwiązuje każdy trójkąt, w którym dostajesz trzy boki. Warto ją mieć w zanadrzu na zadania otwarte.

## Jak wybrać metodę - algorytm w 4 krokach

**Krok 1. Zrób rysunek i zaznacz wysokość.** Nawet w zadaniu zamkniętym. Połowa błędów w zadaniach z wysokością bierze się z tego, że ktoś liczy w głowie i myli odcinki.

**Krok 2. Rozpoznaj sytuację:**

- znasz pole i bok - wzór \(h = \frac{2P}{a}\),
- trójkąt równoboczny - wzór z tablic \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\),
- trójkąt równoramienny ze znanymi bokami - Pitagoras w połówce,
- trójkąt prostokątny i wysokość na przeciwprostokątną - \(h = \frac{ab}{c}\) albo \(h^2 = pq\),
- znasz kąt i bok - sinus.

**Krok 3. Policz i zapisuj kolejne przekształcenia.** W zadaniach otwartych za samą poprawną metodę dostajesz punkt, nawet jeśli pomylisz się w rachunkach.

**Krok 4. Sprawdź sens wyniku.** Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego musi być krótsza od ramienia, bo ramię to przeciwprostokątna. Wysokość z kąta prostego musi być krótsza od obu przyprostokątnych. Jeśli wychodzi inaczej, gdzieś siedzi błąd rachunkowy.

Teraz przechodzimy do prawdziwych zadań z arkuszy CKE. Każdy nagłówek zadania linkuje do aplikacji - możesz najpierw spróbować rozwiązać je samodzielnie.

## Zadanie 1: od wysokości równobocznego do pola (matura maj 2022)

**Treść:** Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe: A) \(3\sqrt{3}\), B) \(4\sqrt{3}\), C) \(27\sqrt{3}\), D) \(36\sqrt{3}\).

**Rozwiązanie:** Najpierw bok ze wzoru na wysokość:

$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \implies a\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \implies a = 12$$

Teraz pole ze wzoru z tablic:

$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: D.**

## Zadanie 2: klasyk z trójkątem równoramiennym (matura maj 2010)

**Treść:** Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(6\), a ramię ma długość \(5\). Wysokość opuszczona na podstawę ma długość: A) \(3\), B) \(4\), C) \(\sqrt{34}\), D) \(\sqrt{61}\).

**Rozwiązanie:** Wysokość dzieli podstawę na pół, więc w połówce trójkąta masz przyprostokątną \(3\), przeciwprostokątną \(5\) i szukaną wysokość \(h\):

$$h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \implies h = 4$$

Rozpoznajesz trójkąt o bokach 3, 4, 5? To najpopularniejsza trójka pitagorejska na maturze. **Odpowiedź: B.**

Uwaga na odpowiedź C: \(\sqrt{34}\) wychodzi, gdy ktoś doda kwadraty zamiast je odjąć. CKE doskonale wie, jakie błędy robią zdający, i wstawia je do odpowiedzi.

## Zadanie 3: szukamy podstawy, znamy wysokość (matura maj 2012)

**Treść:** W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC| = |BC| = 5\) oraz wysokość \(|CD| = 2\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta ma długość: A) \(6\), B) \(2\sqrt{21}\), C) \(2\sqrt{29}\), D) \(14\).

**Rozwiązanie:** To samo co w zadaniu 2, tylko w drugą stronę. Połowa podstawy z Pitagorasa:

$$\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2 = 5^2 - 2^2 = 21 \implies \frac{|AB|}{2} = \sqrt{21}$$

Cała podstawa: \(|AB| = 2\sqrt{21}\). **Odpowiedź: B.**

Najczęstszy błąd: zapomnieć o podwojeniu i zostawić \(\sqrt{21}\). Zawsze sprawdź, o co dokładnie pyta zadanie - o połowę czy o całość.

## Zadanie 4: dwa Pitagorasy połączone wysokością (matura maj 2021)

**Treść:** W trójkącie \(ABC\) bok \(BC\) ma długość \(13\), a wysokość \(CD\) tego trójkąta dzieli bok \(AB\) na odcinki o długościach \(|AD| = 3\) i \(|BD| = 12\). Długość boku \(AC\) jest równa: A) \(\sqrt{34}\), B) \(\frac{13}{4}\), C) \(2\sqrt{14}\), D) \(3\sqrt{45}\).

**Rozwiązanie:** Wysokość \(CD\) tworzy dwa trójkąty prostokątne ze wspólną przyprostokątną. Najpierw ten z bokiem \(BC\):

$$|CD|^2 = |BC|^2 - |BD|^2 = 169 - 144 = 25 \implies |CD| = 5$$

Teraz drugi trójkąt, z szukanym bokiem \(AC\):

$$|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 = 9 + 25 = 34 \implies |AC| = \sqrt{34}$$

**Odpowiedź: A.** Schemat "dwa Pitagorasy połączone wspólną wysokością" wraca na maturze regularnie - zapamiętaj go. Przydaje się też przy [obliczaniu długości boku trójkąta](/jak-obliczyc-dlugosc-boku-trojkata-wzory-metody).

## Zadanie 5: stosunek pól i związki miarowe (matura sierpień 2020)

**Treść:** Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\). Przyprostokątna \(BC\) jest równa: A) \(1{,}5\), B) \(2\), C) \(2{,}5\), D) \(3\).

**Rozwiązanie:** Oba małe trójkąty mają tę samą wysokość \(|CD|\), więc stosunek ich pól to stosunek podstaw:

$$\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = \frac{|AD|}{|DB|} = 4$$

Teraz związki miarowe: \(|AC|^2 = |AD| \cdot |AB|\) oraz \(|BC|^2 = |DB| \cdot |AB|\). Dzielisz pierwszą równość przez drugą:

$$\frac{|AC|^2}{|BC|^2} = \frac{|AD|}{|DB|} = 4 \implies \frac{|AC|}{|BC|} = 2$$

Skoro \(|AC| = 6\), to \(|BC| = 3\). **Odpowiedź: D.**

## Zadanie 6: zadanie otwarte ze związkami miarowymi (matura próbna luty 2026)

**Treść:** W trójkącie prostokątnym \(BCA\) poprowadzono wysokość \(CD\) z wierzchołka kąta prostego \(C\), która podzieliła przeciwprostokątną \(BA\) na odcinki \(|BD| = 3\) i \(|DA| = 9\). Oblicz pole i obwód trójkąta \(BCA\). (2 pkt)

**Rozwiązanie:** Przeciwprostokątna: \(|BA| = 3 + 9 = 12\).

Wysokość ze związku \(h^2 = pq\):

$$|CD|^2 = |BD| \cdot |DA| = 3 \cdot 9 = 27 \implies |CD| = 3\sqrt{3}$$

Pole:

$$P = \frac{1}{2} \cdot |BA| \cdot |CD| = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$$

Do obwodu potrzebujesz przyprostokątnych. Znowu związki miarowe:

$$|BC|^2 = |BD| \cdot |BA| = 3 \cdot 12 = 36 \implies |BC| = 6$$

$$|AC|^2 = |DA| \cdot |BA| = 9 \cdot 12 = 108 \implies |AC| = 6\sqrt{3}$$

Obwód: \(O = 12 + 6 + 6\sqrt{3} = 18 + 6\sqrt{3}\).

**Odpowiedź:** \(P = 18\sqrt{3}\), \(O = 18 + 6\sqrt{3}\).

Gdybyś nie pamiętał związków miarowych, możesz dojść do wysokości przez dwa Pitagorasy i równanie, ale to dłuższa droga. Związki miarowe skracają takie zadania do trzech linijek.

## Zadanie 7: wysokość z sinusa (matura sierpień 2012)

**Treść:** W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC| = |BC| = 6\) i kąt \(ACB\) o mierze \(30^\circ\). Oblicz wysokość \(AD\) trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\). (2 pkt)

**Rozwiązanie:** Uwaga: to nie jest wysokość opuszczona na podstawę! Odcinek \(AD\) spada z wierzchołka \(A\) prostopadle na ramię \(BC\). Powstaje trójkąt prostokątny \(ADC\) z kątem prostym przy \(D\), w którym \(|AC| = 6\) to przeciwprostokątna, a kąt przy wierzchołku \(C\) ma \(30^\circ\).

Z definicji sinusa:

$$\sin 30^\circ = \frac{|AD|}{|AC|} \implies |AD| = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

**Odpowiedź:** \(|AD| = 3\).

Dwie linijki i 2 punkty w kieszeni - o ile zauważysz trójkąt prostokątny. Jeśli kąty 30, 45 i 60 stopni to dla ciebie wciąż loteria, przerób poradnik o [trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Zadanie 8: wysokość i okrąg opisany (matura próbna kwiecień 2020)

**Treść:** Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(3\sqrt{3}\). Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe: A) \(2\pi\sqrt{3}\), B) \(4\pi\sqrt{3}\), C) \(6\pi\), D) \(12\pi\).

**Rozwiązanie:** Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to \(\frac{2}{3}\) wysokości:

$$R = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

Pole koła:

$$P = \pi R^2 = \pi \cdot \left(2\sqrt{3}\right)^2 = 12\pi$$

**Odpowiedź: D.** Bez wzoru \(R = \frac{2}{3}h\) musiałbyś najpierw liczyć bok, a potem promień - dłużej i łatwiej o błąd.

## Zadanie 9: z promienia do wysokości (matura sierpień 2014)

**Treść:** Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(8\). Wysokość tego trójkąta jest równa: A) \(4\sqrt{3}\), B) \(8\sqrt{3}\), C) \(12\), D) \(6\).

**Rozwiązanie:** Ten sam wzór co w zadaniu 8, tylko w drugą stronę:

$$h = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$$

**Odpowiedź: C.**

## Typowe pułapki - sprawdź, czy któraś nie łapie ciebie

**Mylisz wzór na wysokość ze wzorem na pole.** \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), a \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). W stresie łatwo je skleić w jedno. Zapamiętaj: wysokość to długość, więc \(a\) stoi w pierwszej potędze; pole to "kwadraty", więc \(a^2\).

**Bierzesz całą podstawę zamiast połowy.** W trójkącie równoramiennym Pitagoras działa w połówce trójkąta: \(h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2\). Z całym \(a\) wynik wyjdzie bez sensu, często z ujemną liczbą pod pierwiastkiem.

**Dodajesz zamiast odejmować.** Wysokość to przyprostokątna, nie przeciwprostokątna. Odejmujesz kwadraty: \(h^2 = b^2 - \frac{a^2}{4}\). Spójrz na zadanie 2 - odpowiedź \(\sqrt{34}\) czeka właśnie na tych, którzy dodają.

**Stosujesz \(h = \frac{ab}{c}\) do złej wysokości.** Ten wzór działa tylko dla wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. Pozostałe dwie wysokości w trójkącie prostokątnym to po prostu przyprostokątne.

**Rysujesz wysokość do środka boku.** Wysokość to nie środkowa! Spodek wysokości dzieli bok na pół tylko w szczególnych przypadkach, na przykład w trójkącie równobocznym albo przy wysokości opuszczonej na podstawę trójkąta równoramiennego. W zadaniu 4 odcinki miały długości 3 i 12 - daleko od połowy.

**Mylisz \(R\) z \(r\).** W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego to \(\frac{2}{3}h\), a wpisanego \(\frac{1}{3}h\). Większy okrąg = większy ułamek wysokości.

## Checklista: co musisz umieć z wysokości trójkąta

- wskazać wszystkie trzy wysokości w dowolnym trójkącie, także rozwartokątnym,
- obliczyć wysokość z pola: \(h = \frac{2P}{a}\),
- użyć wzoru \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) dla trójkąta równobocznego w obie strony,
- policzyć wysokość trójkąta równoramiennego Pitagorasem w połówce,
- zastosować związki miarowe \(h^2 = pq\), \(a^2 = pc\), \(b^2 = qc\) w trójkącie prostokątnym,
- wyciągnąć wysokość z sinusa, gdy znasz bok i kąt,
- pamiętać, że \(R = \frac{2}{3}h\) i \(r = \frac{1}{3}h\) w trójkącie równobocznym.

Jeśli każdy punkt masz odhaczony, zadania z wysokością przestają być problemem - a razem z nimi spora część [planimetrii](/topics/planimetria).

## Wysokość, środkowa, dwusieczna, symetralna - nie pomyl ich

Te cztery odcinki uczniowie mylą nagminnie, a CKE to wykorzystuje. Krótkie porównanie:

**Wysokość** wychodzi z wierzchołka i jest [prostopadła do przeciwległego boku](/rownanie-wysokosci-i-srodkowej-trojkata-uklad-wspolrzednych-matura#wysokosc-srodkowa-i-symetralna-boku-czym-sie-roznia). Nie musi trafiać w jego środek.

**Środkowa** wychodzi z wierzchołka i trafia dokładnie w środek przeciwległego boku. Nie musi być prostopadła. Środkowe przecinają się w środku ciężkości, który dzieli każdą z nich w stosunku 2:1.

**Dwusieczna** wychodzi z wierzchołka i dzieli kąt na pół. Dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego.

**Symetralna** w ogóle nie wychodzi z wierzchołka - to prosta prostopadła do boku, przechodząca przez jego środek. Symetralne przecinają się w środku okręgu opisanego.

W trójkącie równobocznym wszystkie cztery pokrywają się i dlatego działają tam wzory \(R = \frac{2}{3}h\) oraz \(r = \frac{1}{3}h\). W każdym innym trójkącie to cztery różne obiekty. Gdy w zadaniu pojawia się słowo "środkowa" albo "dwusieczna", zatrzymaj się i upewnij, że nie liczysz odruchowo wysokości.

## Najczęstsze pytania o wysokość trójkąta

### **Ile wysokości ma trójkąt?**
Zawsze trzy, po jednej z każdego wierzchołka. W zadaniach maturalnych zwykle pracujesz z jedną, ale pamiętaj, że możesz wybrać tę wygodniejszą - pole policzone z dwóch różnych par bok-wysokość musi wyjść takie samo. To zresztą trik z zadania 6: porównanie \(\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch\) to nic innego jak policzenie pola na dwa sposoby.

### **Czy wysokość zawsze leży wewnątrz trójkąta?**
Nie. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości spadają na przedłużenia boków, czyli poza trójkąt. Wewnątrz leży tylko ta opuszczona na najdłuższy bok.

### **Czy wysokość może pokrywać się z bokiem?**
Tak, w trójkącie prostokątnym. Każda przyprostokątna jest jednocześnie wysokością opuszczoną na drugą przyprostokątną. Dlatego pole trójkąta prostokątnego to po prostu połowa iloczynu przyprostokątnych.

### **Jak obliczyć wysokość trójkąta w układzie współrzędnych?**
Wysokość to odległość wierzchołka od prostej zawierającej przeciwległy bok. Wyznaczasz równanie prostej przez dwa wierzchołki, a potem stosujesz wzór na [odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania). Drugą drogą jest policzenie pola ze współrzędnych i powrót do \(h = \frac{2P}{a}\).

### **Czy wzór na wysokość trójkąta równobocznego jest w tablicach?**
Tak. W tablicach CKE przy haśle trójkąt równoboczny znajdziesz zarówno \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), jak i \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Nie musisz ich pamiętać, musisz umieć ich użyć, także w drugą stronę.

## Co dalej

Wysokość to dopiero początek tematu trójkątów. Sprawdź pozostałe poradniki:

- [Jak obliczyć pole trójkąta - wszystkie wzory](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura) - wzór \(h = \frac{2P}{a}\) działa tylko wtedy, gdy umiesz policzyć \(P\),
- [Jak obliczyć długość boku trójkąta](/jak-obliczyc-dlugosc-boku-trojkata-wzory-metody) - druga strona tego samego medalu,
- [Twierdzenie Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - fundament wszystkich obliczeń z tego poradnika,
- [Kąty w figurach](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat) - gdy w zadaniu oprócz wysokości pojawiają się kąty.

A jeśli wolisz ćwiczyć na prawdziwych zadaniach z natychmiastową weryfikacją odpowiedzi, wszystkie zadania z tego poradnika i ponad 260 innych znajdziesz w [bazie zadań z planimetrii](/topics/planimetria).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-znalezc-wierzcholek-paraboli
title: Jak znaleźć wierzchołek paraboli - wzór, 3 metody i zadania maturalne krok po kroku
description: Naucz się znajdować wierzchołek paraboli trzema metodami. Wzór na p i q, dopełnianie do kwadratu, 5 rozwiązanych zadań maturalnych i typowe pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Jak znaleźć wierzchołek paraboli - wzór, 3 metody i zadania maturalne krok po kroku

Wierzchołek paraboli to jeden z najważniejszych punktów na maturze z matematyki. Pojawia się w zadaniach zamkniętych i otwartych, a CKE uwielbia pytać o współrzędne wierzchołka w różnych kontekstach - od prostego odczytania z wzoru po zadania optymalizacyjne. Jeśli opanujesz ten temat, masz gwarancję kilku punktów na egzaminie.

W tym poradniku pokażę ci 3 metody znajdowania wierzchołka i przejdziemy razem przez 5 zadań - od najprostszych po te, które sprawiają kłopot na maturze.

## Czym jest wierzchołek paraboli?

Parabola to wykres [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Wierzchołek to punkt, w którym parabola "zawraca" - osiąga wartość najmniejszą (gdy \(a > 0\), ramiona do góry) lub największą (gdy \(a  0\), największa gdy \(a  0\) lub \((-\infty, q]\) gdy \(a  0\) (odwrotnie gdy \(a < 0\))

Więcej o [odczytywaniu własności funkcji z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura).

## Co musisz umieć - checklista

- Obliczać \(p\) i \(q\) ze wzoru (metoda 1)
- Zamieniać na postać kanoniczną i odczytywać wierzchołek (metoda 2)
- Znajdować wierzchołek z miejsc zerowych (metoda 3)
- Rozwiązywać zadania optymalizacyjne z wierzchołkiem
- Rozróżniać minimum i maksimum na podstawie znaku \(a\)
- Zapisywać zbiór wartości i monotoniczność na podstawie wierzchołka

Przećwicz te umiejętności na [zadaniach z funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) w naszej bazie. Znajdziesz tam ponad 120 zadań maturalnych z rozwiązaniami. Sprawdź też [kompletną listę wzorów maturalnych](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista), żeby mieć wszystko w jednym miejscu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-nierownosc-wykladnicza-metody-matura
title: Jak rozwiązać nierówność wykładniczą - 5 metod, zadania i pułapki krok po kroku
description: Jak rozwiązać nierówność wykładniczą krok po kroku: 5 metod, 7 rozwiązanych zadań maturalnych i pułapki, które kosztują punkty na egzaminie z matematyki.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać nierówność wykładniczą - 5 metod, zadania i pułapki krok po kroku

Nierówność wykładnicza to jeden z tych tematów, który wygląda groźnie tylko do momentu, w którym zrozumiesz jedną kluczową zasadę. Na maturze pojawia się regularnie: w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, w zadaniach otwartych z funkcji wykładniczej i czasem w zadaniach z procentem składanym. Dobra wiadomość: gdy raz nauczysz się porównywać wykładniki potęg, każda taka nierówność staje się rutyną.

W tym poradniku pokazuję ci pięć głównych metod rozwiązywania nierówności wykładniczych: od najprostszych przypadków z tą samą podstawą, przez sprowadzanie do wspólnej podstawy, podstawienie pomocnicze i wyłączanie wspólnego czynnika, aż po logarytmowanie. Każdą metodę zilustruję rozwiązanym zadaniem w stylu maturalnym. Zobaczysz też najczęstsze pułapki, w które wpadają nawet dobrzy uczniowie. Czytaj uważnie, rozwiązuj przykłady samodzielnie na kartce, a temat opanujesz w jeden wieczór.

Jeśli umiesz już rozwiązywać równania wykładnicze, ten artykuł zajmie ci godzinę. Jeśli mylisz się z monotonicznością funkcji wykładniczej, najpierw przeczytaj [wpis o równaniach wykładniczych](/jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze) i dopiero potem wracaj tutaj. Powiązane: [funkcja wykładnicza w pigułce](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania), [potęgi z wykładnikiem wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc), [pełna lista zadań w kategorii](/topics/funkcja-wykladnicza).

## Czym jest nierówność wykładnicza

Nierówność wykładnicza to taka, w której zmienna stoi w wykładniku potęgi. Klasyczne przykłady wyglądają tak:

\(2^x > 8\), \(\left(\tfrac{1}{3}\right)^x \le 9\), \(3^{x+1} - 3^x \ge 6\), \(4^x - 6 \cdot 2^x + 8 > 0\).

Wszystkie te zapisy mają jedną cechę wspólną: szukasz wartości \(x\), dla których pewne wyrażenie potęgowe spełnia daną nierówność. Wynikiem zawsze jest przedział lub suma przedziałów, nigdy pojedyncza liczba. To pierwsza rzecz, która odróżnia nierówność od równania: zamiast jednego rozwiązania szukasz całego zbioru.

Zanim podejmiesz jakąkolwiek metodę, warto rozejrzeć się i nazwać typ zadania. Jeśli widzisz dwie potęgi z tą samą podstawą po dwóch stronach, robisz to w 30 sekund. Jeśli widzisz \(a^x\) wielokrotnie z różnymi wykładnikami, prawdopodobnie zadziała podstawienie pomocnicze. Jeśli podstawy są różne, ale dają się sprowadzić do jednej, robisz to. Jeśli żaden z tych ruchów nie pasuje, sięgasz po logarytm.

## Kluczowa zasada - monotoniczność funkcji wykładniczej

To jest sedno całego tematu i prawdopodobnie najważniejsze zdanie w tym artykule. Funkcja \(f(x) = a^x\) zachowuje się różnie w zależności od podstawy:

Dla \(a > 1\) funkcja jest **rosnąca**. Jeśli \(a^{p}  q\). Znak nierówności **odwraca się na przeciwny**.

Zilustruję to dwoma równoległymi przykładami. Nierówność \(2^x  3\), bo podstawa \(\tfrac{1}{2}\) jest mniejsza od 1, więc znak się odwraca.

Każde porządne rozwiązanie nierówności wykładniczej kończy się porównaniem wykładników i właśnie w tym momencie musisz zatrzymać się na sekundę i sprawdzić, czy zmieniasz znak, czy go nie zmieniasz. Jeśli zapomnisz, dostaniesz odpowiedź symetrycznie złą i często to bywa pułapka w arkuszach CKE.

Powtórz sobie kilka razy: \(a > 1\) zachowuje znak, \(0  8\).

Najpierw zapisujemy 8 jako potęgę dwójki: \(8 = 2^3\). Mamy więc \(2^x > 2^3\). Podstawa wynosi 2 i jest większa od 1, czyli funkcja rośnie. Znak nierówności pozostaje bez zmiany, więc \(x > 3\).

Odpowiedź: \(x \in (3, +\infty)\).

**Przykład 2.** Rozwiąż nierówność \(\left(\tfrac{1}{3}\right)^x \le 9\).

Tutaj liczba 9 nie jest bezpośrednio potęgą \(\tfrac{1}{3}\), ale można ją przepisać w odpowiedniej formie. Pamiętamy, że \(\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9\), bo ujemny wykładnik odwraca podstawę.

Otrzymujemy: \(\left(\tfrac{1}{3}\right)^x \le \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2}\).

Podstawa \(\tfrac{1}{3}\) jest mniejsza od 1, więc funkcja maleje. Znak nierówności **odwracamy**: \(x \ge -2\).

Odpowiedź: \(x \in \langle -2, +\infty)\).

Drugi przykład to klasyczna pułapka. Większość uczniów odruchowo pisze \(x \le -2\), zapominając o monotoniczności podstawy z przedziału \((0, 1)\). Ten błąd kosztuje cały punkt w zadaniu zamkniętym i często cały zakres punktów w otwartym. Recepta: zanim porównasz wykładniki, dopisuj sobie z boku "podstawa > 1, znak zostaje" lub "podstawa z \((0, 1)\), znak odwracam".

## Metoda 2: sprowadzanie do wspólnej podstawy

Bardzo często nierówność zawiera potęgi o różnych podstawach, ale obie podstawy są potęgami tej samej mniejszej liczby. Wtedy sprowadzasz wszystko do jednej, najmniejszej podstawy i wracasz do metody 1.

**Przykład 3.** Rozwiąż nierówność \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2x-1} > 4^{x+1}\).

Podstawy to \(\tfrac{1}{2}\) i 4. Obie są potęgami liczby 2, więc sprowadzimy wszystko do podstawy 2.

Lewa strona: \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2x-1} = (2^{-1})^{2x-1} = 2^{-(2x-1)} = 2^{1-2x}\).

Prawa strona: \(4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}\).

Nierówność staje się: \(2^{1-2x} > 2^{2x+2}\). Podstawa 2 jest większa od 1, znak zostaje: \(1 - 2x > 2x + 2\), czyli \(-4x > 1\), więc \(x  0\).

Zauważ, że \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\). Wprowadźmy podstawienie \(t = 2^x\). Pamiętaj o **kluczowym warunku**: ponieważ \(2^x > 0\) dla każdego \(x\), to \(t > 0\). Ten warunek zapisujemy od razu, na pierwszej linijce rozwiązania.

Po podstawieniu nierówność wygląda tak: \(t^2 - 6t + 8 > 0\). Liczymy: \(\Delta = 36 - 32 = 4\), \(\sqrt{\Delta} = 2\). Pierwiastki \(t_1 = 2\), \(t_2 = 4\). Parabola w górę, znak \(>0\) na zewnątrz pierwiastków: \(t  4\).

Wracamy do \(x\). Pamiętamy, że \(t > 0\), więc warunek \(t  0\) jest spełniona dla każdego \(x\), więc nic nowego nie wnosi.

Drugi przedział: \(t > 4\), czyli \(2^x > 4 = 2^2\), czyli \(x > 2\).

Odpowiedź: \(x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)\).

Najczęstsze błędy w tej metodzie: pominięcie warunku \(t > 0\), pomylenie \(4^x\) z \(2 \cdot 2^x\) (są różne, bo \(4^x = 2^{2x}\), a \(2 \cdot 2^x = 2^{x+1}\)), niewłaściwe wnioski o \(x\) z wartości \(t\). Przed wpisaniem odpowiedzi zawsze sprawdź, czy każdy przedział wartości \(t\) przekładasz osobno na przedział wartości \(x\).

## Metoda 4: wyłączanie wspólnego czynnika

Czasami nierówność zawiera kilka potęg tej samej podstawy z różnymi, ale "sąsiadującymi" wykładnikami. Wtedy wyłączasz wspólny czynnik (najczęściej najmniejszą potęgę), upraszczasz wyrażenie i wracasz do metody 1.

**Przykład 6.** Rozwiąż nierówność \(2^{x+1} + 2^{x-1} \ge 5\).

Zauważamy, że \(2^{x+1} = 4 \cdot 2^{x-1}\), bo \(2^{x+1} = 2^{(x-1)+2} = 2^2 \cdot 2^{x-1}\). Po wyłączeniu \(2^{x-1}\):

\(2^{x-1} \cdot (4 + 1) \ge 5\), czyli \(5 \cdot 2^{x-1} \ge 5\), więc \(2^{x-1} \ge 1\).

Liczbę 1 zapisujemy jako \(2^0\): \(2^{x-1} \ge 2^0\). Podstawa 2, znak zostaje: \(x - 1 \ge 0\), czyli \(x \ge 1\).

Odpowiedź: \(x \in \langle 1, +\infty)\).

Wybór, którą potęgę wyłączyć, jest twoim trikiem. Jeśli [wyłączysz najmniejszą potęgę](/dodawanie-poteg-o-tej-samej-podstawie-wylaczanie-przed-nawias-matura#rozne-wykladniki-wylacz-najmniejsza-potege) (tu \(2^{x-1}\)), wewnątrz nawiasu zostają same liczby naturalne, łatwe do dodania. Jeśli wyłączysz \(2^x\), w środku zrobi się \(2 + \tfrac{1}{2}\), też do policzenia, ale brzydsze. Reguła: wybieraj najmniejszy wykładnik, żeby pozbyć się ułamków.

Ta sama metoda działa dla różnic. Gdyby zadanie brzmiało \(3^{x+1} - 3^x \ge 6\), wyłączasz \(3^x\): \(3^x(3 - 1) \ge 6\), czyli \(2 \cdot 3^x \ge 6\), \(3^x \ge 3\), \(x \ge 1\).

## Metoda 5: różne podstawy nieusuwalne i logarytmowanie

Większość maturalnych zadań sprowadza się do jednej podstawy. Czasami jednak podstawy są naprawdę różne (na przykład 2 i 3) i wtedy potrzebujesz logarytmu. Na maturze podstawowej taki przypadek pojawia się rzadko, ale na rozszerzonej regularnie, więc warto wiedzieć, jak go ugryźć.

**Przykład 7.** Rozwiąż nierówność \(3^{x} > 7\).

Logarytmujemy obie strony przy podstawie 3 (lub równoważnie przy podstawie dziesiętnej, byle przy tej samej). Funkcja \(\log_3\) jest rosnąca (bo podstawa większa od 1), więc znak nierówności zostaje:

$$\log_3 3^x > \log_3 7$$

Z własności logarytmu \(\log_a a^x = x\), więc lewa strona upraszcza się do \(x\):

$$x > \log_3 7$$

Odpowiedź: \(x \in (\log_3 7, +\infty)\). Wartość \(\log_3 7\) wynosi około 1,77, ale na maturze wystarczy zostawić wynik symbolicznie, jeśli polecenie tego nie precyzuje.

Jeśli logarytmujesz przy podstawie mniejszej od 1 (na przykład \(\log_{1/2}\)), znak nierówności **odwracasz**, bo logarytm o takiej podstawie jest funkcją malejącą. Stąd dobra praktyka: zawsze logarytmuj przy podstawie większej od 1, żeby nie kombinować ze znakami. Jeśli wybierzesz \(\log_{10}\) (logarytm dziesiętny), nigdy się nie pomylisz, bo 10 > 1.

Powiązane materiały: [jak rozwiązać równanie logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne), [jak rozwiązać nierówność logarytmiczną krok po kroku](/jak-rozwiazac-nierownosc-logarytmiczna-metody-matura), [logarytmy w pigułce](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku).

## Schemat decyzyjny - którą metodę wybrać

Krótka mapa, którą warto mieć w głowie podczas matury.

Po pierwsze, sprawdź, czy obie strony można szybko sprowadzić do tej samej podstawy. Jeśli widzisz \(2^x\) i \(8\), \(\tfrac{1}{3}\) i \(9\), \(4\) i \(8\), \(\tfrac{1}{2}\) i \(4\), to droga jest krótka i prowadzi do metody 1 lub 2. Kończysz w 2 minuty.

Po drugie, jeśli widzisz tę samą potęgę kilka razy z różnymi wykładnikami, ale w sposób, w który jedna jest kwadratem drugiej (na przykład \(4^x\) i \(2^x\), \(9^x\) i \(3^x\), \(25^x\) i \(5^x\)), kombinujesz z podstawieniem. To metoda 3.

Po trzecie, jeśli widzisz różne wykładniki tej samej podstawy bez kwadratu (typu \(2^{x+1}\), \(2^{x-1}\), \(2^x\)), wyłącz wspólny czynnik. To metoda 4.

Po czwarte, jeśli żaden z poprzednich kroków nie zadziałał, użyj logarytmu. Ale to ostatnia deska ratunku, bo wynik bywa "brzydki".

Każdą rozwiązaną nierówność zapisuj w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Nie zostawiaj odpowiedzi tylko jako \(x > 3\). Egzaminatorzy CKE lubią widzieć \(x \in (3, +\infty)\). To kosmetyka, ale w zadaniach otwartych zwiększa pewność punktowania, a w zamkniętych pomaga ci dwa razy sprawdzić odpowiedź.

## Najczęstsze pułapki i błędy

Pierwsza pułapka to pomylenie monotoniczności. Uczeń widzi \(\left(\tfrac{1}{3}\right)^x \le 9\), porównuje wykładniki i pisze \(x \le -2\) zamiast \(x \ge -2\). Ten błąd kosztuje cały punkt w zadaniu zamkniętym. Recepta: zawsze przed porównaniem wykładników zapisz na marginesie, czy podstawa jest mniejsza, czy większa od 1, i znak strzałki w górę lub w dół.

Druga pułapka to zapomnienie warunku \(t > 0\) przy podstawieniu pomocniczym. Jeśli \(t = 2^x\), to \(t\) zawsze jest dodatnie, więc każde rozwiązanie nierówności wielomianowej musisz przefiltrować przez ten warunek. Bez tego dostajesz nieprawdziwe wyniki, na przykład gdy z \(t  0\), więc mnożenie przez taki czynnik nie zmienia znaku nierówności. Ale jeśli kiedyś pojawi się wyrażenie typu \(2^x - 3\), nie wiesz a priori, czy jest dodatnie, czy ujemne, i mnożenie przez nie jest zabronione bez analizy przypadków.

Szósta pułapka, dosyć specyficzna, to przypadek \(a = 1\). W zadaniach z parametrem czasem trzeba osobno rozważyć podstawę równą 1, bo \(1^x = 1\) dla każdego \(x\) i nierówność redukuje się do porównania liczb. Na podstawowej maturze jest to rzadkość, ale w rozszerzonej już niekoniecznie.

## Powiązanie z innymi działami matury

Nierówności wykładnicze rzadko pojawiają się w izolacji. Zazwyczaj są fragmentem większego zadania.

Zadanie z procentem składanym kończy się często nierównością typu \(1{,}05^n > 2\) (kiedy kapitał się podwoi przy 5 procent rocznie). Rozwiążesz to logarytmem: \(n > \log_{1{,}05} 2 \approx 14{,}21\), czyli kapitał podwoi się po 15 latach. Pełna teoria w [poście o procencie składanym](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki) i w [poradniku o procentach](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

Zadanie ze stygnięciem płynu albo rozpadem promieniotwórczym zaczyna się od modelu wykładniczego \(T(t) = T_0 \cdot a^t\) i często prowadzi do nierówności typu \(T(t) \le 30\). Takich zadań jest sporo w arkuszach z lat 2023-2025. Zobacz przykłady w bazie zadań [funkcji wykładniczej](/topics/funkcja-wykladnicza) i w [arkuszach maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Zadanie z populacją bakterii zaczyna się od podwajania co stałą jednostkę czasu i pyta, kiedy populacja przekroczy zadany próg. Tu też kończysz na nierówności wykładniczej, a metoda zależy od tego, czy próg jest potęgą podstawy, czy nie.

Zadanie z funkcji wykładniczej z translacją (typu \(f(x) = a^x + c\)) czasem prowadzi do nierówności w połączeniu z wartością bezwzględną lub z miejscami zerowymi. To już cięższy kaliber, ale zasada zostaje ta sama: porównujesz wykładniki, pamiętając o monotoniczności.

## Plan powtórki na ostatni tydzień przed maturą

Jeśli czytasz ten artykuł na kilka dni przed egzaminem, zaplanuj sobie tak.

Pierwszy dzień: przeczytaj cały tekst, rozwiąż wszystkie 7 przykładów na kartce, nie zaglądając do rozwiązań w trakcie. Porównaj odpowiedzi, znajdź miejsca, w których się myliłeś, i wróć do odpowiedniej metody.

Drugi dzień: weź 5-10 zadań z [bazy zadań w kategorii Funkcja wykładnicza](/topics/funkcja-wykladnicza) i samodzielnie je rozwiąż. Każde rozwiązanie zapisz w pełnej postaci, włącznie z określeniem typu metody w pierwszej linijce ("Metoda 1: ta sama podstawa", "Metoda 3: podstawienie pomocnicze").

Trzeci dzień: powtórz [potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), kartę CKE i podstawowe własności. Bez sprawnego operowania potęgami nie ruszysz ani z miejsca przy nierówności wykładniczej.

Czwarty dzień: zrób przekrój przez [arkusze maturalne 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) i wynotuj wszystkie zadania, w których pojawiają się potęgi z niewiadomą w wykładniku. Jest ich w sumie kilkanaście. Każde rozwiąż na czas (max 5 minut na zadanie zamknięte, max 10 minut na otwarte).

Dzień przed maturą: przejrzyj jeszcze raz tabelę monotoniczności i pułapek z tego artykułu. Reszta to już rutyna. Jak ogarnąć ostatnie godziny opisałem w [poście dzień przed maturą](/dzien-przed-matura-matematyka-co-robic) i w [planie tygodnia powtórek](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan).

## Checklista - co musisz umieć przed maturą

Przed egzaminem zaznacz w głowie każdy z punktów:

- Wiem, że \(a^x\) jest rosnące dla \(a > 1\) i malejące dla \(0  0\) na pierwszej linijce.
- Wyłączam wspólny czynnik (najmniejszą potęgę), gdy widzę kilka potęg tej samej podstawy z różnymi wykładnikami.
- Logarytmuję przy podstawie większej od 1, żeby nie zmieniać znaku nierówności.
- Końcową odpowiedź zapisuję jako przedział lub sumę przedziałów, nie jako gołe \(x > a\).
- Sprawdzam, czy obliczone \(x\) nie wyprowadza wyrażenia z dziedziny (przy zadaniach złożonych).
- Wiem, że \(a^x > 0\) dla każdego \(a > 0\) i każdego \(x\), więc mnożenie przez \(a^x\) nie zmienia znaku.
- Pamiętam, że \(a^{x+1} = a \cdot a^x\), a nie \(a^x + a\).

Jeśli odhaczysz każdy punkt, nierówność wykładnicza na maturze nie zaskoczy cię niczym. Powodzenia!

Powiązane: [pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), [strategia matury z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), [najczęstsze błędy na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne
title: Jak obliczyć środek odcinka - wzór na współrzędne środka i zadania maturalne krok po kroku
description: Jak obliczyć środek odcinka? Wzór na współrzędne środka, 5 rozwiązanych zadań maturalnych, powiązanie z wektorami i symetrią. Krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć środek odcinka - wzór na współrzędne środka i zadania maturalne krok po kroku

Środek odcinka to jedno z najprostszych, a zarazem najczęściej pojawiających się zagadnień na maturze z geometrii analitycznej. Wzór jest banalny, ale CKE potrafi go ukryć w zadaniach o wektorach, symetrii, środkach ciężkości trójkątów i wielokątach. Opanuj go solidnie, bo to pewne punkty na egzaminie.

## Wzór na środek odcinka

Jeśli końce odcinka mają współrzędne \(A = (x_1, y_1)\) i \(B = (x_2, y_2)\), to środek odcinka \(AB\) ma współrzędne:

$$S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Słowami: współrzędna \(x\) środka to średnia x-ów końców, współrzędna \(y\) to średnia y-ów.

Ten wzór jest na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), ale znając go na pamięć, oszczędzasz czas.

## Skąd się bierze ten wzór?

Środek odcinka to punkt leżący dokładnie w połowie drogi między \(A\) i \(B\). Jeśli jedziesz z \(x_1 = 2\) do \(x_2 = 8\), to połowa drogi to \(\frac{2 + 8}{2} = 5\). Tak samo z y-ami.

Formalnie: środek to punkt \(S\) taki, że \(\vec{AS} = \vec{SB}\), czyli wektor z \(A\) do \(S\) jest taki sam jak z \(S\) do \(B\).

## Rozwiązane zadania

### Zadanie 1: Proste zastosowanie

Wyznacz środek odcinka \(AB\), gdzie \(A = (3, -2)\) i \(B = (7, 4)\).

**Rozwiązanie:**

$$S = \left(\frac{3 + 7}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{2}{2}\right) = (5, 1)$$

**Odpowiedź:** \(S = (5, 1)\).

### Zadanie 2: Znajdowanie drugiego końca

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \(S = (4, -1)\). Punkt \(A = (1, 3)\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).

**Rozwiązanie:**

Ze wzoru na środek:

$$4 = \frac{1 + x_B}{2} \implies x_B = 8 - 1 = 7$$

$$-1 = \frac{3 + y_B}{2} \implies y_B = -2 - 3 = -5$$

**Odpowiedź:** \(B = (7, -5)\).

To klasyczne zadanie "odwrotne" - zamiast szukać środka, szukasz końca. Pojawia się na maturze bardzo często. Trick: jeśli \(S\) jest środkiem \(AB\), to \(B = 2S - A\), czyli \(x_B = 2 \cdot 4 - 1 = 7\), \(y_B = 2 \cdot (-1) - 3 = -5\).

### Zadanie 3: Symetria względem punktu

Punkt \(A' = (6, 2)\) jest obrazem punktu \(A = (-2, 4)\) w symetrii względem punktu \(S\). Wyznacz współrzędne \(S\).

**Rozwiązanie:**

W symetrii względem punktu \(S\), punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(AA'\):

$$S = \left(\frac{-2 + 6}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (2, 3)$$

**Odpowiedź:** \(S = (2, 3)\).

Symetria względem punktu to po prostu "środek odcinka łączącego punkt z jego obrazem". To się przydaje w zadaniach o [przekształceniach](/przeksztalcenia-wykresow-funkcji-matura).

### Zadanie 4: Środek przekątnej - sprawdzanie równoległoboku

Czworokąt \(ABCD\) ma wierzchołki \(A = (0, 0)\), \(B = (4, 2)\), \(C = (6, 6)\), \(D = (2, 4)\). Sprawdź, czy jest to równoległobok.

**Rozwiązanie:**

W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie. Sprawdzamy, czy środki przekątnych \(AC\) i \(BD\) się pokrywają.

Środek \(AC\):

$$S_{AC} = \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (3, 3)$$

Środek \(BD\):

$$S_{BD} = \left(\frac{4 + 2}{2}, \frac{2 + 4}{2}\right) = (3, 3)$$

Środki się pokrywają, więc \(ABCD\) jest równoległobokiem.

**Odpowiedź:** Tak, \(ABCD\) jest równoległobokiem.

### Zadanie 5: Środek ciężkości trójkąta

Wyznacz środek ciężkości trójkąta o wierzchołkach \(A = (1, 2)\), \(B = (5, 8)\), \(C = (6, -1)\).

**Rozwiązanie:**

Środek ciężkości (punkt przecięcia środkowych) ma współrzędne:

$$T = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$

$$T = \left(\frac{1 + 5 + 6}{3}, \frac{2 + 8 + (-1)}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{9}{3}\right) = (4, 3)$$

**Odpowiedź:** \(T = (4, 3)\).

Zauważ: to rozszerzenie wzoru na środek odcinka. Dla dwóch punktów dzielisz przez 2, dla trzech - przez 3. Środek ciężkości to "średnia arytmetyczna współrzędnych wierzchołków".

## Środek odcinka a inne zagadnienia

Wzór na środek przydaje się w wielu kontekstach:

- **Środek okręgu opisanego na odcinku** - [środek odcinka](/rownoleglobok-w-ukladzie-wspolrzednych-srodek-symetrii-wierzcholek-pole-matura#srodek-symetrii-rownolegloboku-przekatne-dziela-sie-na-polowy) (średnica) to środek [okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania) opisanego na tym odcinku
- **[Równanie prostej](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty)** - symetralna odcinka przechodzi przez jego środek
- **Wektory** - \(\vec{AS} = \frac{1}{2}\vec{AB}\), gdzie \(S\) to środek \(AB\)
- **Sprawdzanie figur** - równoległobok, prostokąt, romb (przez przekątne)

Więcej zadań z geometrii analitycznej znajdziesz w naszym [przewodniku](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) i na stronie z [zadaniami](/topics/geometria-analityczna).

## Typowe błędy

**Błąd 1: Odejmowanie zamiast dodawania.** We wzorze \(\frac{x_1 + x_2}{2}\) jest PLUS, nie minus. Nie pomyl środka odcinka z długością odcinka (tam jest \(|x_2 - x_1|\)).

**Błąd 2: Zapominanie o podzieleniu przez 2.** \(S_x = \frac{x_1 + x_2}{2}\), nie \(x_1 + x_2\). Pod presją czasu na maturze to się zdarza.

**Błąd 3: Mylenie z odległością.** Wzór na odległość to \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\). Wzór na środek to \(S = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\). Nie pomyl!

**Błąd 4: Złe "odwracanie" wzoru.** Jeśli szukasz \(B\) ze znajomości \(A\) i \(S\), pamiętaj: \(x_B = 2x_S - x_A\) (nie \(x_S - x_A\)). Mnóż środek razy 2 i odejmuj koniec.

## Co musisz umieć - checklista

- Obliczać środek odcinka z dwóch końców
- Wyznaczać drugi koniec odcinka ze znajomości środka i jednego końca
- Stosować wzór w kontekście symetrii względem punktu
- Sprawdzać, czy czworokąt jest równoległobokiem (środki przekątnych)
- Obliczać środek ciężkości trójkąta
- Rozróżniać wzór na środek od wzoru na odległość

Przećwicz na [zadaniach z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) - mamy 280 zadań maturalnych. Sprawdź też poradnik o [układzie współrzędnych](/uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory), gdzie środek odcinka łączy się z wektorami i odległościami.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura
title: Jak obliczyć pole trapezu - 6 wzorów i zadania maturalne krok po kroku
description: Wzór na pole trapezu, trapez równoramienny, prostokątny i ze współrzędnych. Rozwiązane zadania maturalne krok po kroku, typowe pułapki i checklista.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole trapezu - 6 wzorów i zadania maturalne krok po kroku

Pole trapezu to jedno z najczęstszych zadań planimetrycznych na maturze. Pojawia się prawie w każdym arkuszu - raz jako gotowy wzór do wstawienia, raz jako zadanie, w którym musisz najpierw dorysować wysokość albo obliczyć ją z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli znasz tylko wzór \(P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}\), a nie wiesz kiedy policzyć wysokość z kąta, a kiedy z ramienia, ten poradnik jest dla ciebie.

## Wzór podstawowy - pole trapezu przez podstawy i wysokość

Najważniejszy wzór, który musisz znać na pamięć:

$$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$

gdzie:
- \(a\) - dłuższa podstawa (dolna)
- \(b\) - krótsza podstawa (górna)
- \(h\) - wysokość trapezu (odcinek prostopadły łączący obie podstawy)

Zapamiętaj: nie mnożysz żadnego ramienia, tylko wysokość. To częsty błąd - uczniowie biorą długość ramienia zamiast wysokości. Ramię bywa równe wysokości tylko w trapezie prostokątnym (w ramieniu, które jest prostopadłe do podstaw).

## Pole trapezu równoramiennego - kiedy ramię nie jest wysokością

W trapezie równoramiennym oba ramiona mają taką samą długość \(c\), a trapez jest symetryczny. To nie znaczy, że \(h = c\). Żeby [policzyć wysokość](/trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura#jak-rozwiazac-zadanie-z-trapezem-rownoramiennym), musisz wyciąć z ramienia trójkąt prostokątny.

**Przykład 1.** Trapez równoramienny ma podstawy \(a = 12\), \(b = 6\) i ramię \(c = 5\). Oblicz pole.

Krok 1. Odcinek, o który dłuższa podstawa jest dłuższa od krótszej, dzieli się po równo na oba boki:

$$x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-6}{2} = 3$$

Krok 2. Wysokość z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(x\) i \(h\) oraz przeciwprostokątnej \(c\):

$$h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$

Krok 3. Wstawiamy do wzoru:

$$P = \frac{(12+6) \cdot 4}{2} = 36$$

Odpowiedź: \(P = 36\).

## Pole trapezu prostokątnego

Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do obu podstaw. To ramię jest wysokością - nie musisz nic dorysowywać.

**Przykład 2.** Trapez prostokątny ma podstawy \(a = 10\), \(b = 6\) i ramię prostopadłe \(d = 8\). Oblicz pole.

$$P = \frac{(10+6) \cdot 8}{2} = 64$$

Uwaga: drugie ramię (ukośne) policzysz z Pitagorasa, ale do pola nie jest potrzebne.

## Pole trapezu z przekątnymi - wzór dla trapezu o prostopadłych przekątnych

Jeżeli przekątne \(d_1\) i \(d_2\) przecinają się pod kątem prostym (rzadkie, ale matura to lubi), działa wzór:

$$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

Ten sam wzór, co dla rombu - i to jest pułapka. Uważaj: to działa tylko gdy przekątne są prostopadłe.

## Pole trapezu z kątem przy podstawie

Gdy znasz ramię \(c\) i kąt ostry \(\alpha\) przy podstawie, wysokość liczysz z trygonometrii:

$$h = c \cdot \sin\alpha$$

**Przykład 3.** Trapez ma podstawy \(a = 14\), \(b = 8\), ramię \(c = 6\) i kąt przy dolnej podstawie \(\alpha = 30°\). Oblicz pole.

$$h = 6 \cdot \sin 30° = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

$$P = \frac{(14+8) \cdot 3}{2} = 33$$

## Pole trapezu wpisanego w okrąg

Jeśli trapez jest wpisany w okrąg, to musi być równoramienny - inaczej nie da się go wpisać. Znając promień \(R\) okręgu opisanego i długości podstaw, wysokość dostaniesz licząc odległości środków podstaw od środka okręgu:

$$h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} + \sqrt{R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

lub (gdy środek leży między podstawami), a

$$h = \left|\sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} - \sqrt{R^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}\right|$$

gdy środek leży poza trapezem. Narysuj obrazek zanim zaczniesz liczyć.

## Pole trapezu ze współrzędnych - metoda wyznacznikowa

Gdy dostaniesz na maturze cztery punkty \(A, B, C, D\) tworzące trapez, najszybciej policzysz pole jako sumę pól dwóch trójkątów lub wzorem wyznacznikowym:

$$P = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_D) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_D - y_B) + x_D(y_A - y_C)|$$

W praktyce wygodniej podzielić trapez przekątną na dwa trójkąty i dla każdego zastosować wzór na pole trójkąta ze współrzędnych:

$$P_{\triangle} = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$$

Po więcej szczegółów zajrzyj do [poradnika o polu trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

## Trapez w geometrii analitycznej - typowy układ na maturze

Na maturze rozszerzonej trapez w układzie współrzędnych pojawia się często razem z pytaniem o:
- obwód (długości wszystkich boków przez odległość dwóch punktów),
- kąty wewnętrzne (iloczyn skalarny lub tangens z równań prostych),
- pole przez wzór analityczny lub wzór z przekątnymi.

Sprawdź [poradnik geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania) jeśli potrzebujesz solidnej powtórki z tej sekcji.

## Odwrócenie zadania - znajdź wysokość mając pole

Często matura zadaje pytanie odwrotne: znane pole, znane podstawy, szukana wysokość.

$$h = \frac{2P}{a+b}$$

**Przykład 4.** Trapez ma pole \(P = 72\), podstawy \(a = 10\) i \(b = 6\). Ile wynosi wysokość?

$$h = \frac{2 \cdot 72}{10+6} = \frac{144}{16} = 9$$

## 3 typowe pułapki maturalne

**Pułapka 1: branie ramienia zamiast wysokości.** W trapezie równoramiennym ramię jest dłuższe niż wysokość. Zawsze dorysuj trójkąt prostokątny i policz \(h\) z Pitagorasa.

**Pułapka 2: nie policzenie x.** Gdy masz trapez równoramienny, zanim użyjesz Pitagorasa, oblicz \(x = \frac{a-b}{2}\). Bez tego nie wiesz jakie są przyprostokątne.

**Pułapka 3: pomylenie wzoru rombu z wzorem trapezu o prostopadłych przekątnych.** Wzór \(P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\) działa dla trapezu tylko jeśli przekątne są prostopadłe. Sprawdź to warunek w zadaniu - nigdy nie zakładaj.

## Ćwicz - zadania CKE

Po przeczytaniu teorii weź się za konkretne zadania maturalne z [kategorii Planimetria](/topics/planimetria). W bazie masz ponad 260 zadań CKE, posortowanych od maturyalnych zadań zamkniętych (za 1 punkt) po rozszerzone zadania otwarte. Każde ma pełne rozwiązanie krok po kroku.

Jeśli chcesz od razu trenować na czas, uruchom [symulator matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) i ustaw filtr na Planimetrię - dostaniesz losowy zestaw 10 zadań w warunkach egzaminu.

## Wzory i własności - ściąga na maturę

Przekrój najważniejszych wzorów, które powinieneś mieć przed egzaminem w pamięci:

- Pole przez podstawy i wysokość: \(P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}\)
- Wysokość z pola i podstaw: \(h = \frac{2P}{a+b}\)
- Równoramienny, wysokość przy danym ramieniu: \(h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}\)
- Z kąta przy podstawie: \(h = c \cdot \sin\alpha\)
- Prostopadłe przekątne: \(P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\)
- Linia środkowa trapezu: \(m = \frac{a+b}{2}\), a pole można zapisać jako \(P = m \cdot h\)

Linia środkowa łącząca środki ramion jest równoległa do podstaw i równa ich średniej arytmetycznej. Czasem matura daje ci właśnie linię środkową i pole - wtedy pole liczysz prościej: \(P = m \cdot h\).

## Checklista - co musisz umieć przed maturą

- Wzór podstawowy na pole trapezu z pamięci
- Policzenie wysokości w trapezie równoramiennym z twierdzenia Pitagorasa
- Rozpoznanie trapezu prostokątnego i użycie ramienia jako wysokości
- Trygonometria w trapezie (sin kąta przy podstawie)
- Pole trapezu ze współrzędnych przez podział na dwa trójkąty
- Odwrotność - wyznaczanie podstaw lub wysokości z danego pola
- Linia środkowa i jej własności

Jeżeli masz to opanowane, zadania z trapezu na maturze są gwarantowanymi punktami. Sprawdź też [poradnik z planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) żeby zobaczyć jak trapez łączy się z okręgiem wpisanym i opisanym.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /losowanie-ze-zwracaniem-prawdopodobienstwo-regula-mnozenia-zadania-matura
title: Losowanie ze zwracaniem - prawdopodobieństwo, reguła mnożenia i zadania maturalne
description: Losowanie ze zwracaniem: ile jest wyników, para (a, b) jako wynik, tabela par i reguła mnożenia. Osiem zadań z matur CKE rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Losowanie ze zwracaniem - prawdopodobieństwo, reguła mnożenia i zadania maturalne

Losowanie ze zwracaniem oznacza, że wylosowany element wraca do puli przed następnym losowaniem, więc każde losowanie odbywa się z tego samego, pełnego zbioru, a wyniki mogą się powtarzać. Jeśli ze zbioru \(n\)-elementowego losujesz \(k\) razy po jednym elemencie ze zwracaniem, wszystkich możliwych wyników jest \(n^k\); przy dwóch losowaniach to \(n \cdot n = n^2\), a pojedynczym wynikiem jest uporządkowana para \((a, b)\), w której \(a\) to pierwsza wylosowana liczba, a \(b\) druga. Prawdopodobieństwo liczysz z definicji klasycznej: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\), gdzie \(|A|\) to liczba par spełniających warunek zadania.

To jeden z najczęściej powtarzanych typów otwartego zadania z prawdopodobieństwa na maturze podstawowej. W bazie sprawnamatura polecenie "ze zbioru liczb losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem" znajdziesz w arkuszach z maja 2011, 2012, 2014, 2019, 2022, 2023 i 2024, z sierpnia 2017 i 2022 oraz w zestawie CKE 2025. Zmienia się tylko warunek: suma parzysta, iloczyn podzielny przez 15, iloczyn ujemny, pierwsza liczba większa od drugiej. Metoda jest zawsze ta sama i poniżej przechodzimy ją na ośmiu zadaniach z arkuszy.

## Losowanie ze zwracaniem a losowanie bez zwracania

Przy losowaniu ze zwracaniem pula nie maleje: za każdym razem wybierasz spośród wszystkich \(n\) elementów, więc para \((3, 3)\) jest pełnoprawnym wynikiem, a \((2, 5)\) i \((5, 2)\) to dwa różne wyniki. Przy losowaniu bez zwracania wylosowany element znika z puli, drugie losowanie ma już tylko \(n - 1\) możliwości, a powtórzenie jest niemożliwe.

Porównaj na zbiorze \(\{1, 2, 3, 4\}\):

- ze zwracaniem, dwa losowania: \(|\Omega| = 4 \cdot 4 = 16\) par, w tym cztery pary z powtórzeniem;
- bez zwracania, dwa losowania po kolei: \(|\Omega| = 4 \cdot 3 = 12\) par, bez powtórzeń;
- bez zwracania, dwa elementy naraz (kolejność nieistotna): \(|\Omega| = \binom{4}{2} = 6\) zbiorów.

Ten trzeci wariant, z kombinacjami, opisuję osobno w artykule o [losowaniu bez zwracania](/losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania). Tu zajmujemy się wyłącznie wariantem pierwszym, bo w treści zadania fraza "ze zwracaniem" rozstrzyga sprawę: kolejność ma znaczenie, powtórzenia są dozwolone, a wszystkich wyników jest \(n^2\).

## Ile jest wszystkich wyników - reguła mnożenia

Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych przy losowaniu ze zwracaniem liczysz [regułą mnożenia](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje): pierwsze losowanie ma \(n\) możliwości, drugie też \(n\), więc par jest \(n \cdot n\). Przy \(k\) losowaniach mnożysz \(k\) razy i dostajesz \(n^k\).

$$|\Omega| = \underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{k \text{ razy}} = n^k$$

Kilka wartości, które pojawiają się w arkuszach: zbiór pięcioelementowy daje \(25\) par, sześcioelementowy \(36\), siedmioelementowy \(49\), ośmioelementowy \(64\), dziewięcioelementowy \(81\). Dokładnie taką samą przestrzeń, \(6 \cdot 6 = 36\), ma [rzut dwiema kostkami](/rzut-dwiema-kostkami-prawdopodobienstwo-tabela-36-wynikow): rzut drugą kostką to nic innego jak drugie losowanie ze zwracaniem ze zbioru \(\{1, \ldots, 6\}\).

## Tabela par - najpewniejszy sposób na zdarzenia sprzyjające

Najpewniejszą metodą [policzenia zdarzeń sprzyjających](/losowanie-liczb-z-dwoch-zbiorow-prawdopodobienstwo-suma-iloczyn-matura#jak-policzyc-pary-sprzyjajace) jest tabela: w wierszach wypisujesz pierwszą wylosowaną liczbę, w kolumnach drugą, a w komórkach zaznaczasz, czy para spełnia warunek. Dla zbiorów do ośmiu elementów tabela ma najwyżej 64 pola i wypełnisz ją szybciej, niż zdążysz się pomylić w rozumowaniu na skróty.

Tak wygląda tabela iloczynów dla zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Pogrubione są iloczyny nieparzyste, czyli zdarzenia sprzyjające z przykładu 1 poniżej.

| pierwsza / druga | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| **1** | **1** | 2 | **3** | 4 | **5** |
| **2** | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| **3** | **3** | 6 | **9** | 12 | **15** |
| **4** | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| **5** | **5** | 10 | **15** | 20 | **25** |

Pogrubionych pól jest dziewięć i układają się w regularny wzór: tylko wiersze i kolumny liczb nieparzystych. To podpowiada drugą metodę, szybszą, gdy warunek da się przetłumaczyć na własność każdej liczby osobno: zamiast zaznaczać pola, liczysz \(3 \cdot 3 = 9\), bo trzy liczby nieparzyste w pierwszym losowaniu i trzy w drugim. Obie metody dają ten sam wynik, a tabela jest dodatkowo sprawdzeniem.

## Przykład 1: iloczyn nieparzysty (matura maj 2019, zadanie 30)

**Treść:** Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Pięć liczb, dwa losowania ze zwracaniem: \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Wystarczy jedna parzysta, żeby iloczyn był parzysty.

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.** Nieparzyste w zbiorze: \(1, 3, 5\), czyli trzy. Pierwsza nieparzysta na 3 sposoby, druga na 3 sposoby: \(|A| = 3 \cdot 3 = 9\). Zgadza się z tabelą wyżej.

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{9}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{9}{25}\).

## Przykład 2: suma parzysta (matura maj 2024)

**Treść:** Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie są parzyste albo obie nieparzyste. Parzysta plus nieparzysta daje nieparzystą.

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.** Parzyste w zbiorze: \(6, 8\) (dwie liczby), nieparzyste: \(5, 7, 9\) (trzy liczby).

$$|A| = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{13}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{13}{25}\). Sprawdzenie przez zdarzenie przeciwne: par o sumie nieparzystej jest \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12\), a \(13 + 12 = 25\). Rachunek się domyka. Więcej o takim sprawdzaniu w artykule o [zdarzeniu przeciwnym i sumie zdarzeń](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa).

## Przykład 3: iloczyn ujemny (matura sierpień 2022, zadanie 34)

**Treść:** Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5, -4, 1, 2, 3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Iloczyn jest ujemny, gdy liczby mają różne znaki: jedna ujemna, druga dodatnia. W zbiorze są dwie liczby ujemne (\(-5, -4\)) i trzy dodatnie (\(1, 2, 3\)).

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.** Kolejność ma znaczenie, więc liczysz dwa układy osobno:

- pierwsza ujemna, druga dodatnia: \(2 \cdot 3 = 6\) par,
- pierwsza dodatnia, druga ujemna: \(3 \cdot 2 = 6\) par.

$$|A| = 6 + 6 = 12$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{12}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{12}{25}\). Najczęstszy błąd to policzenie tylko \(2 \cdot 3 = 6\) i wynik \(\frac{6}{25}\). Para \((-5, 2)\) i para \((2, -5)\) to dwa różne wyniki losowania, więc oba trzeba zaliczyć.

## Przykład 4: iloczyn równy 24 (matura maj 2022, zadanie 34)

**Treść:** Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 9 \cdot 9 = 81\).

**Krok 2: Wypisz pary.** Szukasz par \((a, b)\) liczb od \(1\) do \(9\), dla których \(a \cdot b = 24\). Rozkłady liczby \(24\) na dwa czynniki: \(1 \cdot 24\), \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\). Pierwsze dwa odpadają, bo \(24\) i \(12\) nie należą do zbioru.

$$A = \{(3, 8), (8, 3), (4, 6), (6, 4)\}, \qquad |A| = 4$$

**Krok 3: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{4}{81}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{4}{81}\). Gdy warunek dotyczy konkretnej wartości iloczynu albo sumy, nie kombinuj z własnościami, po prostu wypisz pary. Pamiętaj tylko o obu kolejnościach.

## Przykład 5: iloczyn podzielny przez 15 (matura maj 2023)

**Treść:** Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\).

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 8 \cdot 8 = 64\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Iloczyn jest podzielny przez \(15 = 3 \cdot 5\), gdy jest podzielny przez \(3\) i przez \(5\). Jedyną liczbą w zbiorze podzielną przez \(5\) jest \(5\), więc jedna z wylosowanych liczb musi być piątką. Druga musi dostarczyć czynnik \(3\): to \(3\), \(6\) albo \(9\). Para \((5, 5)\) odpada, bo \(25\) nie dzieli się przez \(3\). O [cechach podzielności](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania) warto pamiętać, bo to one skracają ten krok.

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.**

$$A = \{(5, 3), (5, 6), (5, 9), (3, 5), (6, 5), (9, 5)\}, \qquad |A| = 6$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{3}{32}\).

## Przykład 6: pierwsza liczba większa od drugiej (zestaw CKE 2025)

**Treść:** Ze zbioru sześciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że pierwsza wylosowana liczba będzie większa od drugiej wylosowanej liczby.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\).

**Krok 2: Symetria zamiast wypisywania.** Wszystkie pary dzielą się na trzy grupy: \(a > b\), \(a  b\) odpowiada dokładnie jedna para \((b, a)\) z \(a  b\) musi być równa liczbie par z \(a < b\).


---
route: /jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura
title: Jedynka trygonometryczna - wzór, dowód i zadania matura krok po kroku
description: Jedynka trygonometryczna sin²α + cos²α = 1: dowód z Pitagorasa, jak obliczyć cos z sin, znaki w ćwiartkach i 5 rozwiązanych zadań maturalnych.
author: Filip Maszota
---

# Jedynka trygonometryczna - wzór, dowód i zadania matura krok po kroku

Jedynka trygonometryczna to wzór, który musisz znać na pamięć na maturze: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Brzmi prosto, ale zaskakująco często decyduje o tym, czy zadanie z trygonometrii skończy się na 0 czy na 2 punktach. W tym poradniku pokażę ci, skąd ten wzór się bierze, jak go przekształcać i kiedy go używać.

Nauczysz się obliczać \(\cos\alpha\), gdy znasz \(\sin\alpha\) (i odwrotnie), liczyć tangens bez kalkulatora i upraszczać wyrażenia, które na pierwszy rzut oka wyglądają jak hieroglify. Zrobimy 5 rozwiązanych zadań w stylu maturalnym, dokładnie takich, jakie pojawiają się na arkuszach CKE.

## Czym jest jedynka trygonometryczna?

Jedynka trygonometryczna to podstawowa tożsamość, która łączy sinus i cosinus tego samego kąta:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Nazwa bierze się stąd, że prawa strona równania to po prostu \(1\). Wzór jest prawdziwy dla każdego kąta \(\alpha\), niezależnie od tego, w której ćwiartce się znajduje, czy jest dodatni, ujemny, większy od \(360°\) czy mniejszy od \(0°\). To dlatego nazywamy go tożsamością, a nie równaniem.

Uwaga na zapis: \(\sin^2\alpha\) to skrót od \((\sin\alpha)^2\). To NIE jest \(\sin(\alpha^2)\). Jeśli ktoś podstawi do tego wzoru kąt \(\alpha = 30°\), to liczy \((\sin 30°)^2 = (1/2)^2 = 1/4\), a nie sinus z dziewięciuset stopni. Ten błąd zdarza się zaskakująco często.

Jedynka trygonometryczna znajduje się w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), więc na egzaminie masz ją pod ręką. Ale jeśli musisz ją sprawdzać w karcie, tracisz czas. Naucz się jej na pamięć, razem z trzema głównymi przekształceniami, które pokażę poniżej.

## Dowód jedynki trygonometrycznej

Najprostszy dowód korzysta z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) w trójkącie prostokątnym.

### Dowód w trójkącie prostokątnym

Weź dowolny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a\) i \(b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\). Niech \(\alpha\) będzie jednym z kątów ostrych. Wtedy z [definicji funkcji trygonometrycznych](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci):

$$\sin\alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \frac{b}{c}$$

Podstawmy do lewej strony jedynki:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$$

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że \(a^2 + b^2 = c^2\). Czyli:

$$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$$

I to wszystko. Wzór wynika wprost z Pitagorasa. Jeśli widzisz na maturze pytanie "udowodnij jedynkę trygonometryczną", wystarczą te trzy linijki.

### Dowód w kole jednostkowym (dla kątów dowolnych)

Powyższy dowód działa tylko dla kątów ostrych. Żeby pokazać, że jedynka działa dla każdego kąta, używamy koła jednostkowego, czyli okręgu o promieniu \(1\) i środku w początku układu współrzędnych.

Każdy punkt na tym okręgu ma współrzędne \((\cos\alpha, \sin\alpha)\), gdzie \(\alpha\) to kąt mierzony od dodatniej półosi \(OX\). Skoro punkt leży na okręgu o promieniu \(1\), to z [równania okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania) \(x^2 + y^2 = 1\) dostajemy:

$$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$$

I tu działa dla każdego \(\alpha\), bo każdy kąt odpowiada jakiemuś punktowi na okręgu jednostkowym.

## Trzy najważniejsze przekształcenia jedynki

To te trzy formuły musisz mieć w głowie. 90% zadań z jedynki trygonometrycznej korzysta z jednej z nich.

### 1. Wyznaczanie sinusa z cosinusa

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$

A stąd:

$$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$$

Znak \(+\) lub \(-\) zależy od tego, w której ćwiartce leży \(\alpha\). Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce, ujemny w III i IV.

### 2. Wyznaczanie cosinusa z sinusa

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$$

A stąd:

$$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$$

Cosinus jest dodatni w I i IV ćwiartce, ujemny w II i III.

### 3. Wyznaczanie tangensa

Z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0$$

Jeśli masz \(\sin\alpha\), policz \(\cos\alpha\) z jedynki, a potem podziel. To najczęstsza ścieżka rozwiązania.

## Znaki funkcji w ćwiartkach - jak nie pomylić

Po przekształceniu jedynki dostajesz pierwiastek, a pierwiastek jest zawsze dodatni. Znak musisz dopisać sam, na podstawie tego, w której ćwiartce leży kąt. Oto reguła "sklepy":

| Ćwiartka | Zakres kątów | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\operatorname{tg}\) |
|----------|--------------|----------|----------|----------------------|
| I | \((0°, 90°)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \((90°, 180°)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| III | \((180°, 270°)\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| IV | \((270°, 360°)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |

Polskie mnemoniki: w I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II tylko sinus, w III tylko tangens (i cotangens), w IV tylko cosinus. Na maturze podstawowej najczęściej operujemy na kątach ostrych (I ćwiartka), więc znaki są dodatnie. Ale od czasu do czasu pojawia się [kąt rozwarty](/funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura#znaki-funkcji-trygonometrycznych-dla-katow-od-0-do-180) (II ćwiartka) i wtedy trzeba uważać.

Cała teoria znaków jest dokładniej rozpisana w [poradniku o tabeli wartości sin, cos, tg](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

## Inne podstawowe tożsamości trygonometryczne

Jedynka to nie jedyna tożsamość, którą trzeba znać. Oto cały zestaw "must have" na maturę podstawową:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0$$

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Z tych dwóch da się wyprowadzić praktycznie wszystko, co potrzeba na egzaminie podstawowym. Na maturze rozszerzonej dochodzi jeszcze:

$$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$

Skąd to się bierze? Podziel jedynkę trygonometryczną przez \(\cos^2\alpha\):

$$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$

$$\operatorname{tg}^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$

Pełna tabela tożsamości i wzorów redukcyjnych jest w [zestawie wzorów trygonometrycznych](/wzory-trojkatow-matura-sinus-cosinus-tangens).

## Przykład 1 - klasyk "policz cos, gdy znasz sin"

Zadanie: Wiadomo, że \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym. Oblicz \(\cos\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\).

Rozwiązanie krok po kroku.

Krok 1: użyj jedynki trygonometrycznej.

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$$

Krok 2: wyciągnij pierwiastek.

$$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$$

Krok 3: wybierz znak. Skoro \(\alpha\) jest kątem ostrym (czyli z I ćwiartki), to \(\cos\alpha > 0\). Bierzemy znak plus:

$$\cos\alpha = \frac{4}{5}$$

Krok 4: policz tangens.

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$$

Odpowiedź: \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}\).

Komentarz: zauważ, że dostaliśmy tu znajomą trójkę pitagorejską \(3, 4, 5\). To nie przypadek. Jedynka trygonometryczna to po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane inaczej, więc trójki pitagorejskie często pojawiają się w zadaniach.

## Przykład 2 - kąt rozwarty (II ćwiartka)

Zadanie: Niech \(\cos\alpha = -\frac{12}{13}\) i \(\alpha \in (90°, 180°)\). Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\).

Krok 1: jedynka trygonometryczna.

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$$

Krok 2: pierwiastek.

$$\sin\alpha = \pm\frac{5}{13}$$

Krok 3: znak. Kąt \(\alpha\) leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni:

$$\sin\alpha = \frac{5}{13}$$

Krok 4: tangens.

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$$

Tangens wyszedł ujemny - i powinien, bo w II ćwiartce tangens jest ujemny. Zawsze warto sprawdzić znak z tabelą ćwiartek, żeby wyłapać błędy rachunkowe.

Odpowiedź: \(\sin\alpha = \frac{5}{13}\), \(\operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12}\).

## Przykład 3 - upraszczanie wyrażenia

Zadanie: Uprość wyrażenie:

$$W(\alpha) = \sin^2\alpha + \sin^2\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\alpha$$

Krok 1: wyciągnij \(\sin^2\alpha\) przed nawias.

$$W(\alpha) = \sin^2\alpha \cdot (1 + \operatorname{tg}^2\alpha)$$

Krok 2: zauważ \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\).

$$W(\alpha) = \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha$$

Odpowiedź: \(W(\alpha) = \operatorname{tg}^2\alpha\).

Komentarz: zadania typu "uprość wyrażenie trygonometryczne" pojawiają się na maturze często jako zadanie zamknięte. Sztuka polega na rozpoznaniu wzoru. Zwykle warto najpierw rozdzielić \(\sin^2 + \cos^2 = 1\), albo wyciągnąć wspólny czynnik. Jeśli widzisz \(\sin^2\alpha\) razem z \(\cos^2\alpha\) w tym samym wyrażeniu, niemal na pewno trzeba użyć jedynki.

## Przykład 4 - tangens jako punkt wyjścia

Zadanie: Wiadomo, że \(\operatorname{tg}\alpha = 2\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym. Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

To zadanie podchwytliwe, bo tangens nie daje nam wprost ani sinusa, ani cosinusa. Trzeba zaprząc do tego jedynkę.

Metoda 1: przez układ równań.

Z definicji tangensa:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \quad \Rightarrow \quad \sin\alpha = 2\cos\alpha$$

Podstaw do jedynki:

$$(2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1$$

$$4\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$5\cos^2\alpha = 1$$

$$\cos^2\alpha = \frac{1}{5}$$

$$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

(Wybraliśmy plus, bo kąt jest ostry. Pamiętaj o [racjonalizacji mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).)

A wtedy:

$$\sin\alpha = 2\cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Metoda 2: przez wzór \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\).

$$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \quad \Rightarrow \quad \cos^2\alpha = \frac{1}{5}$$

Reszta jak wyżej. Druga metoda jest szybsza, ale wymaga znajomości wzoru pochodnego.

## Przykład 5 - dowód tożsamości

Zadanie: Wykaż, że dla każdego \(\alpha\), dla którego \(\sin\alpha \neq 0\), zachodzi równość:

$$\frac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha$$

Krok 1: zauważ jedynkę po lewej stronie.

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha\). Wstawiamy:

$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$$

Krok 2: skróć.

$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha$$

Co należało udowodnić.

Zadania typu "wykaż, że" pojawiają się na maturze rozszerzonej regularnie i są warte 2 punkty. Trick jest prosty: rozpoznaj \(1 - \cos^2\alpha\) lub \(1 - \sin^2\alpha\) i zastąp je odpowiednim wyrażeniem z jedynki. Więcej technik dowodzenia w [poradniku o dowodach matematycznych na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Jedynka w zadaniach z planimetrii i stereometrii

Jedynka trygonometryczna to nie tylko narzędzie trygonometryczne. W rzeczywistości używasz jej w każdym zadaniu, gdzie pojawia się trójkąt prostokątny i kąt nachylenia. Kilka typowych sytuacji:

- W [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) liczysz \(\cos\) [kąta między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa), znając \(\sin\) tego kąta z proporcji boków.
- W [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) używasz jedynki razem z [twierdzeniem sinusów lub cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac) do liczenia brakujących boków.
- W [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania) jedynka pomaga, gdy szukasz [równania prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty) i potrzebujesz kąta nachylenia.

W praktyce, jeśli znasz jedną funkcję trygonometryczną kąta, jedynka daje ci dostęp do wszystkich pozostałych. To dlatego jest tak fundamentalna.

## Typowe pułapki

Po latach poprawiania prac maturalnych wiadomo, gdzie uczniowie tracą punkty. Trzy najczęstsze pułapki z jedynki trygonometrycznej:

Pułapka 1: zapomnienie o znaku po pierwiastku.

Kiedy wyciągasz pierwiastek z \(\cos^2\alpha\), zawsze pamiętaj o "\(\pm\)". Pierwiastek arytmetyczny jest dodatni, ale funkcja trygonometryczna może być ujemna. Bez tego znaku w II, III lub IV ćwiartce dostaniesz złą odpowiedź. Sprawdzaj ćwiartkę zanim wybierzesz znak.

Pułapka 2: mylenie \(\sin^2\alpha\) z \(\sin(\alpha^2)\).

Zapis \(\sin^2\alpha\) oznacza \((\sin\alpha)^2\), czyli najpierw liczysz sinus, potem podnosisz do kwadratu. To NIE jest sinus z kwadratu kąta. Dla \(\alpha = 30°\) wartość \(\sin^2 30° = (1/2)^2 = 1/4\), a nie \(\sin 900°\).

Pułapka 3: dzielenie przez zero w tangensie.

Jeśli zadanie sprowadza się do \(\operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha\) i okaże się, że \(\cos\alpha = 0\) (np. dla \(\alpha = 90°\)), to tangens jest nieokreślony. Sprawdzaj zawsze dziedzinę. Więcej o tym w artykule o [równaniach trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura).

Pułapka 4: błąd algebry przy podnoszeniu do kwadratu.

\(\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\), a nie \(\frac{6}{10}\). Pamiętaj, że kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika.

## Jak rozpoznać, że trzeba użyć jedynki

Sygnały w treści zadania, które mówią "tu działa jedynka trygonometryczna":

- Masz podaną jedną funkcję trygonometryczną, a pytanie pyta o drugą.
- W wyrażeniu pojawia się jednocześnie \(\sin^2\alpha\) i \(\cos^2\alpha\).
- Widzisz wyrażenie \(1 - \sin^2\alpha\) lub \(1 - \cos^2\alpha\).
- Masz podany tangens i musisz znaleźć sinus albo cosinus.
- Trzeba udowodnić tożsamość trygonometryczną.
- Pojawia się ostrosłup lub trójkąt z jednym znanym kątem i potrzebujesz wszystkich trzech funkcji tego kąta.

Jeśli zobaczysz cokolwiek z tej listy w zadaniu, automatycznie wpisz w głowie "jedynka trygonometryczna" i nie marnuj czasu na inne metody.

## Checklista - co musisz umieć z jedynki trygonometrycznej

Przed maturą sprawdź, czy umiesz wszystko z poniższej listy. Jeśli nie, wróć do odpowiedniej sekcji.

- Wzór z pamięci: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
- Dowód jedynki z twierdzenia Pitagorasa w trzy linijki.
- Wyciąganie \(\cos\alpha\), gdy znasz \(\sin\alpha\), z poprawnym znakiem.
- Wyciąganie \(\sin\alpha\), gdy znasz \(\cos\alpha\), z poprawnym znakiem.
- Wyciąganie \(\operatorname{tg}\alpha\), gdy znasz jedną z funkcji.
- Tabela znaków funkcji w czterech ćwiartkach.
- Wzór \(\operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha\) i zastrzeżenie \(\cos\alpha \neq 0\).
- Wzór \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = 1/\cos^2\alpha\) (rozszerzona).
- Upraszczanie wyrażeń typu \(\sin^2 \cdot \text{coś} + \cos^2 \cdot \text{coś}\).
- Dowody krótkich tożsamości z użyciem jedynki.
- Rozpoznawanie, kiedy zadanie wymaga jedynki (lista z poprzedniej sekcji).

## Przykład 6 - zastosowanie jedynki w trójkącie prostokątnym

Zadanie: W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\). Wiadomo, że \(\sin\alpha = \frac{7}{25}\), gdzie \(\alpha\) to kąt przy wierzchołku \(A\). Oblicz długość przyprostokątnej \(b = AC\), jeśli druga przyprostokątna \(a = BC = 7\).

Krok 1: w trójkącie prostokątnym \(\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}\). Naprzeciw kąta \(\alpha\) leży przyprostokątna \(a = 7\), a przeciwprostokątna \(c = AB\) jest niewiadoma. Z definicji:

$$\sin\alpha = \frac{a}{c} = \frac{7}{c} = \frac{7}{25} \quad \Rightarrow \quad c = 25$$

Krok 2: znajdź \(\cos\alpha\) z jedynki trygonometrycznej.

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$$

$$\cos\alpha = \frac{24}{25}$$

(Plus, bo kąt ostry.)

Krok 3: skoro \(\cos\alpha = \frac{b}{c}\), to:

$$b = c \cdot \cos\alpha = 25 \cdot \frac{24}{25} = 24$$

Odpowiedź: \(b = 24\).

Sprawdzenie z Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = 49 + 576 = 625 = c^2\). Trójka pitagorejska \(7, 24, 25\) - znajoma.

## Przykład 7 - sin 2α z jedynki (rozszerzona)

Zadanie: Wiadomo, że \(\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}\). Oblicz \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\).

Krok 1: podnieś obie strony równania do kwadratu.

$$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$$

$$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4}$$

Krok 2: zauważ jedynkę.

$$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$$

Krok 3: wylicz iloczyn.

$$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$

$$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: \(\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}\).

Komentarz: ten typ zadania, gdzie podnosisz sumę do kwadratu i korzystasz z jedynki, jest bardzo częsty na maturze rozszerzonej. Trick polega na rozpoznaniu wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - więcej o tym w artykule o [wzorach skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

## Najczęstsze pytania o jedynkę trygonometryczną (FAQ)

### Czy jedynka trygonometryczna działa dla wszystkich kątów?

Tak. Wzór \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) jest prawdziwy dla każdego kąta rzeczywistego \(\alpha\): dodatniego, ujemnego, ostrego, rozwartego, wielokrotnie obróconego. To dlatego nazywa się go tożsamością, a nie równaniem - nie ma wartości \(\alpha\), dla której by nie działał.

### Czy jedynka trygonometryczna jest w karcie wzorów CKE?

Tak. Znajduje się w [karcie wzorów na maturze 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) razem z definicją tangensa. Ale w praktyce powinieneś znać ją na pamięć - tracenie czasu na przeglądanie karty kosztuje cenne minuty na egzaminie.

### Czym różni się \(\sin^2\alpha\) od \((\sin\alpha)^2\) i \(\sin\alpha^2\)?

\(\sin^2\alpha\) i \((\sin\alpha)^2\) to dokładnie to samo - oba oznaczają sinus kąta podniesiony do kwadratu. Natomiast \(\sin\alpha^2\) lub \(\sin(\alpha^2)\) oznaczałoby sinus z kwadratu kąta, czyli zupełnie co innego. Na maturze prawie zawsze chodzi o pierwszą wersję.

### Jak zapamiętać znaki funkcji w ćwiartkach?

Polskie zdanie pomocnicze: "W pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens, w czwartej cosinus". Litera "W" jako pierwsza (Wszystkie) i potem S, T, C w kolejności ćwiartek. Alternatywnie pamiętaj, że sinus to "wysokość" (oś OY) - dodatnia w I i II, ujemna w III i IV. Cosinus to "szerokość" (oś OX) - dodatni w I i IV, ujemny w II i III.

### Co zrobić, jeśli zadanie nie podaje ćwiartki?

Czasami zadanie nie precyzuje ćwiartki, a tylko np. mówi "\(\alpha\) jest kątem trójkąta". Wtedy z definicji kąt trójkąta jest z przedziału \((0°, 180°)\), więc sinus zawsze dodatni (bo I i II ćwiartka). Cosinus i tangens mogą być dodatnie lub ujemne - zależy od tego, czy kąt jest ostry czy rozwarty. Czasem trzeba rozważyć obie opcje i podać oba rozwiązania.

### Czy jedynka pomaga w zadaniach optymalizacyjnych?

Tak, i to często. Jeśli funkcja celu zawiera jednocześnie \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\), zamiana \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\) pozwala sprowadzić problem do jednej zmiennej (np. \(t = \sin\alpha\)) i potem zastosować standardowe metody z funkcji kwadratowej. Więcej w artykule o [zadaniach optymalizacyjnych](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka).

## Co dalej?

Jeśli czujesz, że jedynka trygonometryczna już ci nie straszna, sprawdź inne fundamenty trygonometrii: [tabela wartości sin, cos, tg dla kątów 30, 45, 60, 90 stopni](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela), [twierdzenie sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac), [równania trygonometryczne krok po kroku](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura). Pełny przegląd działu znajdziesz w [przewodniku po trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), a zadania do trenowania w sekcji [zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria).

Jedynka to wzór, który zarobisz przez najbliższy tydzień, a będzie ci się zwracał punktami przez całą maturę. Warto.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-funkcje-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z funkcji z rozwiązaniami - matura podstawowa
description: Zadania maturalne z funkcji CKE z rozwiązaniami krok po kroku: dziedzina, miejsca zerowe, odczyt z wykresu i wartość największa. Ćwicz online za darmo.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z funkcji z rozwiązaniami - matura podstawowa

Funkcje to jeden z filarów matury z matematyki. W naszej bazie zebraliśmy blisko stu zadań CKE z tego działu, a na arkuszu poziomu podstawowego coś z funkcji pojawia się praktycznie co roku - od odczytu wykresu, przez dziedzinę, po wyznaczanie wartości największej. Dobra wiadomość: większość tych zadań jest powtarzalna i da się je ogarnąć w kilka dni. W tym przewodniku zbieramy wszystkie typy zadań z funkcji, pokazujemy, czego dokładnie wymaga CKE, i linkujemy do konkretnych zadań z rozwiązaniami krok po kroku. Traktuj tę stronę jak mapę: czytasz typ zadania, klikasz w przykład i ćwiczysz.

## Co CKE sprawdza w zadaniach z funkcji

Zadania z funkcji na maturze podstawowej kręcą się wokół kilku stałych motywów:

- wyznaczanie dziedziny funkcji (najczęściej wymiernej lub z pierwiastkiem),
- obliczanie wartości funkcji dla danego argumentu,
- odczytywanie własności z wykresu (miejsca zerowe, monotoniczność, znak funkcji),
- wyznaczanie miejsc zerowych ze wzoru,
- wartość największa i najmniejsza w przedziale,
- funkcje określone różnymi wzorami na różnych przedziałach (tak zwana klamra).

Cały dział z teorią i kompletem zadań znajdziesz na stronie [funkcje](/topics/funkcje). Poniżej rozkładamy każdy typ na przykładzie.

## Dziedzina funkcji

To absolutny klasyk i pewne punkty. Pytanie brzmi: dla jakich argumentów wzór ma sens. Reguły są dwie: mianownik nie może być zerem, a wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne.

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{x-3}{x^2-4}\).

Mianownik nie może się zerować, więc \(x^2-4\neq 0\), czyli \(x\neq -2\) oraz \(x\neq 2\). Dziedzina to \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\).

Przykład 2. Wyznacz dziedzinę funkcji \(g(x)=\sqrt{x-2}\). Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna, więc \(x-2\ge 0\), czyli \(x\ge 2\). Dziedzina to \(D=\langle 2,+\infty)\).

Chcesz więcej? Rozwiązane zadanie z dziedziną funkcji wymiernej znajdziesz tutaj: [zadanie z czerwca 2012](/task/matura-czerwiec-2012-17).

## Obliczanie wartości funkcji

Czasem zadanie prosi po prostu o obliczenie wartości funkcji dla konkretnego argumentu. Wtedy podstawiasz liczbę w miejsce \(x\) i liczysz.

Przykład. Dla funkcji \(f(x)=2x^2-3x+1\) oblicz \(f(-1)\). Podstawiamy: \(f(-1)=2\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)+1=2+3+1=6\). Uważaj na znaki przy podnoszeniu liczby ujemnej do kwadratu - to najczęstsze źródło błędu w tym typie zadań.

## Miejsca zerowe funkcji

Miejsce zerowe to argument, dla którego \(f(x)=0\) - czyli punkt, w którym wykres przecina oś OX. Żeby je znaleźć, przyrównujesz wzór do zera i rozwiązujesz równanie.

Przykład. Znajdź miejsca zerowe funkcji \(f(x)=x^2-5x+6\).

Rozwiązujemy \(x^2-5x+6=0\). Wyróżnik \(\Delta=25-24=1\), stąd \(x_1=2\) oraz \(x_2=3\). Funkcja ma dwa miejsca zerowe: 2 i 3.

W funkcjach określonych klamrą trzeba sprawdzić każdy kawałek osobno i pilnować, czy wynik mieści się w danym przedziale. Zobacz rozwiązane [zadanie z miejscami zerowymi funkcji klamrowej](/task/cke-pp-treningowe-56).

## Odczytywanie własności z wykresu

To zadania, w których dostajesz gotowy wykres i masz z niego odczytać informacje. Najczęściej pytają o:

- miejsca zerowe (gdzie wykres przecina oś OX),
- zbiór wartości (jak wysoko i nisko sięga wykres),
- przedziały monotoniczności (gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje),
- argumenty, dla których funkcja jest dodatnia lub ujemna.

Kluczowa zasada: monotoniczność czytamy zawsze od lewej do prawej. Jeśli idąc w prawo wykres się wznosi, funkcja rośnie; jeśli opada, maleje. Trening odczytu z wykresu masz w osobnym poradniku [odczytywanie własności funkcji z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura), a rozwiązane zadanie z arkusza 2025 tutaj: [zadanie z wykresem funkcji](/task/cke-2025-pp-27).

## Wartość największa i najmniejsza

Na poziomie podstawowym pytają o wartość największą lub najmniejszą funkcji w danym przedziale. Dla funkcji kwadratowej kluczowy jest wierzchołek paraboli.

Przykład. Wyznacz wartość największą funkcji \(f(x)=-x^2+4x+1\).

Współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół i przyjmuje wartość największą w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka: \(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2\). Wartość: \(f(2)=-4+8+1=5\). Największa wartość to 5.

Trudniejszy wariant z funkcją wymierną w przedziale rozwiązujemy w [zadaniu o wartości największej](/task/cke-2015-2023-pp-32).

## Funkcje określone klamrą (przedziałami)

CKE lubi funkcje sklejane z kilku wzorów, na przykład \(f(x)=\begin{cases} 2x+1 & \text{dla } x\le 0 \\ x^2 & \text{dla } x>0\end{cases}\). Zasada jest prosta: zawsze patrz, do którego przedziału należy argument, i dopiero wtedy podstawiaj do [właściwego wzoru](/funkcja-okreslona-przedzialami-klamra-zbior-wartosci-miejsca-zerowe-matura). Przy szkicowaniu wykresu rysujesz każdy kawałek tylko na jego przedziale. Zobacz rozwiązane zadania: [naszkicuj wykres funkcji klamrowej](/task/cke-pp-treningowe-57) oraz [funkcja dana wzorem klamrowym](/task/cke-2025-pp-24).

## Funkcja liniowa i kwadratowa jako funkcje

Dwa najważniejsze typy funkcji na maturze mają własne, rozbudowane działy. Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) ma za wykres prostą, a współczynnik \(a\) decyduje o jej nachyleniu: dla \(a>0\) funkcja rośnie, dla \(a<0\) maleje, a dla \(a=0\) jest stała. Więcej zadań znajdziesz na stronie [funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa). Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma za wykres parabolę; tu kluczowe są wyróżnik, miejsca zerowe i wierzchołek. Komplet zadań masz w hubie [zadania CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami) oraz na stronie [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa).

## Typy zadań z funkcji w arkuszach CKE

| Typ zadania | Co trzeba umieć | Trudność |
|---|---|---|
| Dziedzina funkcji | Mianownik różny od zera, pierwiastek nieujemny | łatwa |
| Wartość funkcji | Podstawić argument do wzoru | łatwa |
| Miejsca zerowe | Przyrównać wzór do zera, rozwiązać równanie | łatwa-średnia |
| Odczyt z wykresu | Czytać monotoniczność, znak, zbiór wartości | łatwa-średnia |
| Wartość największa i najmniejsza | Wierzchołek paraboli, analiza przedziału | średnia |
| Funkcja klamrowa | Dobrać wzór do przedziału | średnia |

Jak widać, większość zadań z funkcji to poziom łatwy lub średni - czyli dokładnie te punkty, które chcesz mieć pewne. Jeśli przygotowujesz się do sierpniowej poprawki, zacznij właśnie od tego działu; rozpisaliśmy to w poradniku [jak przygotować się do matury poprawkowej online](/jak-przygotowac-sie-do-matury-poprawkowej-z-matematyki-online).

## Gdzie ćwiczyć zadania z funkcji

Najszybciej: wejdź na stronę działu [funkcje](/topics/funkcje) i rozwiązuj zadanie po zadaniu z gotowymi rozwiązaniami. Chcesz losowo wymieszane zadania? Użyj [trybu losowego](/random). Utkniesz nad konkretnym przykładem - wrzuć go do [solvera](/solve). A pełne arkusze, w których funkcje pojawiają się w naturalnym kontekście, masz w [bazie egzaminów CKE](/exams). Wzory przydatne przy funkcjach (na przykład współrzędne wierzchołka paraboli) znajdziesz na [karcie wzorów](/formulas).

## Najczęstsze pułapki

Pierwsza: zapominanie o warunku dziedziny przy funkcji wymiernej. Zawsze najpierw wyklucz miejsca zerowe mianownika.

Druga: mylenie miejsca zerowego z wartością funkcji. Miejsce zerowe to argument \(x\), dla którego \(f(x)=0\), a nie wartość funkcji.

Trzecia: zła monotoniczność. Czytaj wykres od lewej do prawej, nie odwrotnie.

Czwarta: w funkcji klamrowej podstawianie do złego wzoru, bo nie sprawdziłeś, do którego przedziału należy argument.

## Najczęściej zadawane pytania

### **Ile zadań z funkcji jest na maturze podstawowej?**
Zwykle kilka - od prostego zadania zamkniętego po dłuższe zadanie otwarte z analizą wykresu lub wyznaczaniem wartości.

### **Czy funkcje są trudne?**
Większość zadań z tego działu to poziom łatwy i średni, dlatego warto mieć je opanowane na pewno - to tani sposób na punkty.

### **Od czego zacząć naukę funkcji?**
Od dziedziny i odczytu z wykresu. To najczęstsze i najłatwiejsze typy, więc dają szybki zastrzyk pewności.

## Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości to wszystkie wyniki, jakie funkcja przyjmuje. Z wykresu odczytujesz go, patrząc, jak nisko i jak wysoko sięga linia wzdłuż osi OY. Przykład: dla funkcji \(f(x)=x^2\) najmniejsza wartość to 0 (w punkcie \(x=0\)), a wartości rosną nieograniczenie, więc zbiór wartości to \(\langle 0,+\infty)\). Dla paraboli z ramionami w dół jest odwrotnie - istnieje wartość największa, a funkcja schodzi w dół bez ograniczeń. Najczęstszy błąd to mylenie zbioru wartości (oś OY) z dziedziną (oś OX).

## Przesunięcia wykresu funkcji

CKE potrafi zapytać, jak zmieni się wykres po przesunięciu. Reguły są proste. Wykres \(y=f(x)+a\) to przesunięcie o \(a\) w górę (lub w dół dla ujemnego \(a\)). Wykres \(y=f(x-p)\) to przesunięcie o \(p\) w prawo wzdłuż osi OX. Przykład: wykres \(y=f(x)-3\) ma ten sam kształt co \(y=f(x)\), tylko obniżony o 3 jednostki. Najczęstszy błąd to mylenie kierunku przy \(f(x-p)\) - odejmowanie w argumencie przesuwa wykres w prawo, nie w lewo. Więcej o tym w poradniku [przekształcenia wykresów funkcji](/przeksztalcenia-wykresow-funkcji-matura).

## Funkcje a inne działy matury

Funkcje nie żyją w próżni - przeplatają się z innymi działami. Miejsca zerowe sprowadzają się do rozwiązywania równań, więc warto zajrzeć do [zadań CKE z równań i nierówności](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami). Wykresy funkcji liniowych łączą się z [geometrią analityczną](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami), a ciągi to w istocie funkcje określone na liczbach naturalnych - sprawdź [zadania CKE z ciągów](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami). Im więcej działów ogarniesz, tym łatwiej rozpoznasz znajomy schemat w nowym zadaniu. Pełną listę tematów masz w [katalogu](/topics).

## Plan nauki funkcji na tydzień

Jeśli masz tydzień na ten dział, rozłóż go tak: dzień 1 to dziedzina i wartość funkcji, dzień 2 to miejsca zerowe, dni 3 i 4 to odczyt własności z wykresu (najczęstszy typ na arkuszu), dzień 5 to wartość największa i najmniejsza, dzień 6 to funkcje klamrowe, a dzień 7 to powtórka i jeden pełny arkusz, w którym wyłapiesz zadania z funkcji w naturalnym otoczeniu. Codziennie rozwiązuj od 5 do 8 zadań i zawsze sprawdzaj rozwiązania. Po tygodniu funkcje przestaną być działem, którego się boisz, a staną się pewnym źródłem punktów.

## Podsumowanie

Funkcje to dział, w którym łatwo zbić pewne punkty - pod warunkiem że ogarniesz kilka powtarzalnych schematów: dziedzinę, wartość funkcji, miejsca zerowe, odczyt z wykresu, wartość największą i funkcje klamrowe. Każdy z tych typów masz rozpisany wyżej z przykładem i linkiem do rozwiązanego zadania. Teraz najlepsze, co możesz zrobić, to usiąść i rozwiązać kilka zadań samodzielnie. Zacznij na stronie działu [funkcje](/topics/funkcje) albo [wylosuj zadanie](/random) i sprawdź, ile już umiesz.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory
title: Objętość i pole powierzchni brył na maturze - walec, stożek, kula, graniastosłup
description: Wzory na objętość i pole powierzchni brył na maturze. Graniastosłup, ostrosłup, walec, stożek, kula - zadania z rozwiązaniami i tabela wzorów.
author: Marcel Bogdan
---

# Objętość i pole powierzchni brył na maturze - walec, stożek, kula, graniastosłup

Stereometria to jeden z działów matematyki, który na maturze pojawia się niemal w każdym arkuszu - zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych. Aby sprawnie rozwiązywać zadania z brył, musisz znać wzory na objętość i pole powierzchni każdej z nich. W tym artykule znajdziesz kompletne zestawienie wzorów dla wszystkich brył maturalnych, przejrzyste wyjaśnienia oraz rozwiązane zadania, które pomogą Ci utrwalić materiał.

Jeśli dopiero zaczynasz powtórkę ze stereometrii, polecam zajrzeć do [kompletnego przewodnika po stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), gdzie znajdziesz szerszy kontekst i wskazówki strategiczne. Tutaj skupimy się na konkretnych wzorach i ich zastosowaniu.

## Graniastosłup prosty - wzory i zastosowania

Graniastosłup prosty to bryła, w której ściany boczne są prostokątami prostopadłymi do podstaw. To najczęściej spotykana bryła w zadaniach maturalnych - prostokątny, trójkątny lub sześciokątny.

### Objętość graniastosłupa

Objętość dowolnego graniastosłupa obliczamy ze wzoru:

$$V = P_p \cdot H$$

gdzie:
- \(P_p\) - pole podstawy graniastosłupa,
- \(H\) - wysokość graniastosłupa (odległość między podstawami).

W graniastosłupie prostym wysokość \(H\) jest równa długości krawędzi bocznej, co znacznie upraszcza obliczenia.

### Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej składa się z dwóch podstaw i powierzchni bocznej:

$$P_c = 2 \cdot P_p + P_b$$

gdzie \(P_b\) to pole powierzchni bocznej. W graniastosłupie prostym powierzchnia boczna to suma pól prostokątów, więc:

$$P_b = \text{obwód podstawy} \cdot H$$

Czyli ostatecznie:

$$P_c = 2 \cdot P_p + \text{Ob} \cdot H$$

### Graniastosłup prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to taki, którego podstawą jest wielokąt foremny (np. trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny), a krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Na maturze najczęściej pojawiają się:

**Prostopadłościan** (graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie prostokątnej):

$$V = a \cdot b \cdot c$$

$$P_c = 2(ab + bc + ac)$$

**Sześcian** (szczególny przypadek, \(a = b = c\)):

$$V = a^3$$

$$P_c = 6a^2$$

**Graniastosłup o podstawie trójkąta równobocznego** (krawędź podstawy \(a\), wysokość \(H\)):

$$V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$$

**Graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego** (krawędź podstawy \(a\), wysokość \(H\)):

$$V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H$$

Warto zapamiętać, że pole sześciokąta foremnego o boku \(a\) wynosi \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\) - ten wzór pojawia się na maturze regularnie.

### Zadanie 1: Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

*Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy \(a = 4\) i wysokość \(H = 10\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.*

**Rozwiązanie:**

Pole podstawy (sześciokąt foremny):

$$P_p = \frac{3 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$$

Objętość:

$$V = P_p \cdot H = 24\sqrt{3} \cdot 10 = 240\sqrt{3}$$

Pole powierzchni bocznej (obwód podstawy to \(6 \cdot 4 = 24\)):

$$P_b = 24 \cdot 10 = 240$$

Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 2 \cdot 24\sqrt{3} + 240 = 48\sqrt{3} + 240$$

**Odpowiedź:** \(V = 240\sqrt{3}\), \(P_c = 48\sqrt{3} + 240\).

## Ostrosłup prawidłowy - wzory i przykłady

Ostrosłup to bryła, w której jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, a pozostałe ściany (boczne) są trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie - [wierzchołku ostrosłupa](/ile-krawedzi-scian-wierzcholkow-ma-graniastoslup-ostroslup-matura#ile-krawedzi-scian-i-wierzcholkow-ma-ostroslup).

### Objętość ostrosłupa

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$$

Kluczowa jest tutaj jedna trzecia - to najczęstszy błąd w zadaniach maturalnych. Uczniowie zapominają o współczynniku \(\frac{1}{3}\) albo mylą go z \(\frac{1}{2}\).

### Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

$$P_c = P_p + P_b$$

gdzie \(P_b\) to suma pól wszystkich ścian bocznych (trójkątów). W ostrosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, więc:

$$P_b = n \cdot P_{\text{trójkąta bocznego}}$$

gdzie \(n\) to liczba boków podstawy.

### Ostrosłup prawidłowy czworokątny (piramida)

To najczęstsza wersja na maturze. Podstawą jest kwadrat o boku \(a\), wierzchołek leży nad środkiem podstawy.

Ważne zależności geometryczne:
- Wysokość ostrosłupa \(H\) opada na środek kwadratu,
- Apotema ściany bocznej \(h_b\) (wysokość trójkąta bocznego) to nie to samo co wysokość bryły \(H\),
- Zachodzi zależność pitagorejska: \(h_b^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\).

### Zadanie 2: Ostrosłup prawidłowy czworokątny

*Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku \(a = 6\) i wysokość \(H = 4\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.*

**Rozwiązanie:**

Pole podstawy:

$$P_p = a^2 = 6^2 = 36$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48$$

Apotema ściany bocznej (korzystamy z twierdzenia Pitagorasa - jeśli chcesz odświeżyć ten temat, zobacz [zadania z twierdzeniem Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)):

$$h_b = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Pole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie \(a = 6\) i wysokości \(h_b = 5\)):

$$P_{\text{tr}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$$

Pole powierzchni bocznej (4 ściany):

$$P_b = 4 \cdot 15 = 60$$

Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 36 + 60 = 96$$

**Odpowiedź:** \(V = 48\), \(P_c = 96\).

## Walec - wzory na objętość i pole powierzchni

Walec to bryła obrotowa powstająca przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Na maturze pojawia się bardzo często - zarówno w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, jak i w trudniejszych zadaniach otwartych.

### Objętość walca

$$V = \pi r^2 h$$

gdzie:
- \(r\) - promień podstawy,
- \(h\) - wysokość walca.

### Pole powierzchni całkowitej walca

$$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$$

Składa się z:
- dwóch kół (podstaw): \(2\pi r^2\),
- powierzchni bocznej (po rozwinięciu jest to prostokąt): \(2\pi r h\).

**Uwaga na pułapkę!** W treści zadania może pojawić się średnica \(d\) zamiast promienia. Wtedy \(r = \frac{d}{2}\) - nie zapomnij podzielić! To jeden z [najczęstszych błędów na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

### Zadanie 3: Objętość walca

*Walec ma promień podstawy \(r = 3\) cm i wysokość \(h = 8\) cm. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej.*

**Rozwiązanie:**

Objętość:

$$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi \text{ cm}^3$$

Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 8) = 6\pi \cdot 11 = 66\pi \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** \(V = 72\pi\) cm\(^3\), \(P_c = 66\pi\) cm\(^2\).

## Stożek - wzory i twierdzenie Pitagorasa

Stożek to bryła obrotowa powstająca przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. To jedna z brył, w której uczniowie popełniają najwięcej błędów - głównie przez pomylenie wysokości \(h\) z tworzącą \(l\).

### Objętość stożka

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Ponownie pojawia się współczynnik \(\frac{1}{3}\) - tak samo jak w ostrosłupie. Stożek to w pewnym sensie "ostrosłup o kołowej podstawie".

### Pole powierzchni całkowitej stożka

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l$$

gdzie:
- \(\pi r^2\) - pole podstawy (koło),
- \(\pi r l\) - pole powierzchni bocznej,
- \(l\) - tworząca stożka (odcinek od wierzchołka do dowolnego punktu na brzegu podstawy).

### Tworząca stożka - kluczowa zależność

Tworząca, promień i wysokość stożka tworzą trójkąt prostokątny:

$$l^2 = r^2 + h^2$$

czyli:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Ta zależność jest absolutnie kluczowa. Bez niej nie obliczysz pola powierzchni bocznej, gdy w zadaniu podane są promień i wysokość (a nie tworząca).

### Zadanie 4: Stożek z tworzącą

*Stożek ma promień podstawy \(r = 5\) cm i tworzącą \(l = 13\) cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.*

**Rozwiązanie:**

Najpierw wyznaczamy wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \text{ cm}^3$$

Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = \pi \cdot 5^2 + \pi \cdot 5 \cdot 13 = 25\pi + 65\pi = 90\pi \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** \(V = 100\pi\) cm\(^3\), \(P_c = 90\pi\) cm\(^2\).

### Zadanie 5: Stożek wpisany w walec

*W walec o promieniu podstawy \(r = 6\) i wysokości \(h = 8\) wpisano stożek, którego podstawa pokrywa się z jedną z podstaw walca, a wierzchołek leży na środku drugiej podstawy. Jaki jest stosunek objętości stożka do objętości walca?*

**Rozwiązanie:**

Stożek wpisany w walec ma ten sam promień podstawy \(r = 6\) i tę samą wysokość \(h = 8\) co walec.

Objętość walca:

$$V_w = \pi r^2 h = \pi \cdot 36 \cdot 8 = 288\pi$$

Objętość stożka:

$$V_s = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 288\pi = 96\pi$$

Stosunek:

$$\frac{V_s}{V_w} = \frac{96\pi}{288\pi} = \frac{1}{3}$$

**Odpowiedź:** Stosunek objętości stożka do objętości walca wynosi \(\frac{1}{3}\). To ogólna zasada - stożek zawsze stanowi dokładnie \(\frac{1}{3}\) objętości walca o tym samym promieniu i wysokości.

## Kula - wzory na objętość i pole powierzchni

Kula to bryła obrotowa powstająca przez obrót koła wokół jego średnicy. Wzory na kulę są jednocześnie eleganckie i nieintuicyjne - warto je dobrze zapamiętać.

### Objętość kuli

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

### Pole powierzchni kuli

$$P = 4\pi r^2$$

Ciekawostka: pole powierzchni kuli jest dokładnie 4 razy większe od pola koła wielkiego (przekroju kuli przez środek). Ten fakt bywa przydatny w zadaniach.

### Półkula

Na maturze pojawiają się też zadania z półkulą:

$$V_{\text{półkuli}} = \frac{2}{3}\pi r^3$$

$$P_{c,\text{półkuli}} = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$$

Zwróć uwagę, że pole powierzchni całkowitej półkuli to połowa sfery (\(2\pi r^2\)) plus koło wielkiego (\(\pi r^2\)).

### Zadanie 6: Kula o danym polu powierzchni

*Pole powierzchni kuli wynosi \(100\pi\) cm\(^2\). Oblicz objętość tej kuli.*

**Rozwiązanie:**

Z pola powierzchni wyznaczamy promień:

$$4\pi r^2 = 100\pi$$

$$r^2 = 25$$

$$r = 5 \text{ cm}$$

Objętość:

$$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3} \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(V = \frac{500\pi}{3}\) cm\(^3\).

## Bryły obrotowe - co z czego powstaje

Na maturze często pojawiają się zadania, w których bryłę tworzy się przez obrót figury płaskiej. Musisz wiedzieć:

| Figura płaska | Oś obrotu | Powstała bryła |
|---|---|---|
| Prostokąt | Jeden z boków | Walec |
| Trójkąt prostokątny | Przyprostokątna | Stożek |
| Półkole | Średnica | Kula |
| Trapez prostokątny | Ramię prostopadłe | Bryła złożona (stożek ścięty lub walec ze stożkiem) |

Kluczowa zasada: oś obrotu wyznacza oś symetrii bryły, a odległość najdalszego punktu figury od osi obrotu daje promień bryły.

### Zadanie 7: Bryła obrotowa z trójkąta

*Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a = 3\) i \(b = 4\) obraca się wokół przyprostokątnej długości 3. Oblicz objętość powstałej bryły.*

**Rozwiązanie:**

Obrót wokół przyprostokątnej \(a = 3\) tworzy stożek o:
- promieniu podstawy \(r = 4\) (dłuższa przyprostokątna staje się promieniem),
- wysokości \(h = 3\) (krótsza przyprostokątna to oś obrotu, czyli wysokość).

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi$$

**Odpowiedź:** \(V = 16\pi\).

## Przekroje brył

Przekroje brył płaszczyznami to temat, który łączy stereometrię z [planimetrią](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag). Na maturze pojawiają się regularnie, szczególnie w zadaniach otwartych.

**Przekroje osiowe** (płaszczyzna zawiera oś symetrii bryły):
- Walca - prostokąt o bokach \(2r\) i \(h\),
- Stożka - trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i ramionach \(l\),
- Kuli - koło wielkie o promieniu \(r\).

**Przekroje równoległe do podstawy:**
- Walca - koło o tym samym promieniu \(r\),
- Stożka - koło o promieniu mniejszym niż \(r\) (proporcjonalnym do odległości od wierzchołka),
- Kuli - koło o promieniu zależnym od odległości od środka.

## Tabela podsumowująca - wszystkie wzory brył

| Bryła | Objętość | Pole powierzchni całkowitej |
|---|---|---|
| Prostopadłościan | \(V = abc\) | \(P_c = 2(ab + bc + ac)\) |
| Sześcian | \(V = a^3\) | \(P_c = 6a^2\) |
| Graniastosłup prosty | \(V = P_p \cdot H\) | \(P_c = 2P_p + \text{Ob} \cdot H\) |
| Ostrosłup | \(V = \frac{1}{3} P_p \cdot H\) | \(P_c = P_p + P_b\) |
| Walec | \(V = \pi r^2 h\) | \(P_c = 2\pi r(r + h)\) |
| Stożek | \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) | \(P_c = \pi r^2 + \pi r l\) |
| Kula | \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) | \(P = 4\pi r^2\) |
| Półkula | \(V = \frac{2}{3}\pi r^3\) | \(P_c = 3\pi r^2\) |

Wydrukuj sobie tę tabelę i powieś nad biurkiem - regularne przeglądanie sprawi, że wzory wejdą Ci w nawyk. Pamiętaj, że na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) część tych wzorów jest podana, ale nie wszystkie - warto wiedzieć, czego tam brakuje.

## Najczęstsze pułapki w zadaniach ze stereometrii

Na podstawie analizy arkuszy maturalnych z ostatnich lat, oto lista błędów, które kosztują uczniów najwięcej punktów:

**1. Promień vs średnica** - w treści zadania podana jest średnica, a Ty wstawiasz ją do wzoru jako promień. Zawsze sprawdzaj, czy masz \(r\) czy \(d\).

**2. Wysokość vs tworząca stożka** - \(h\) to odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy (pion), a \(l\) to odcinek po ścianie bocznej. To dwie zupełnie różne wielkości!

**3. Brak współczynnika \(\frac{1}{3}\)** - ostrosłup i stożek mają w objętości czynnik \(\frac{1}{3}\). Graniastosłup i walec - nie.

**4. Mylenie \(r\) i \(r^2\)** - w objętości kuli jest \(r^3\), w polu powierzchni \(r^2\). Nie pomyl wykładników.

**5. Zapominanie o obu podstawach** - w polu powierzchni walca lub graniastosłupa musisz doliczyć obie podstawy. W stożku jest tylko jedna.

**6. Jednostki** - jeśli w zadaniu długości podane są w centymetrach, to objętość jest w cm\(^3\), a pole w cm\(^2\). Na maturze punkty tracisz za brak jednostek w odpowiedzi.

Więcej o typowych błędach przeczytasz w artykule o [błędach rachunkowych na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

## Strategia rozwiązywania zadań ze stereometrii na maturze

Oto sprawdzony schemat postępowania, który pozwoli Ci systematycznie rozwiązywać zadania z brył:

1. **Narysuj bryłę** - nawet szkicowo. Zaznacz na rysunku wszystkie dane z treści zadania.
2. **Zidentyfikuj bryłę** - określ, z jaką bryłą masz do czynienia (graniastosłup, ostrosłup, walec, stożek, kula).
3. **Wypisz wzory** - zapisz wzór na objętość i pole powierzchni tej bryły.
4. **Znajdź brakujące dane** - często musisz najpierw obliczyć wysokość, promień lub tworzącą, zanim użyjesz głównego wzoru.
5. **Szukaj trójkątów prostokątnych** - w stożku, ostrosłupie, a nawet w graniastosłupie kluczem jest znalezienie odpowiedniego trójkąta prostokątnego i zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.
6. **Podstaw i oblicz** - dopiero teraz wstawiaj liczby do wzoru.
7. **Sprawdź wynik** - czy jednostki się zgadzają? Czy wynik jest sensowny (np. objętość nie może być ujemna)?

Jeśli chcesz przećwiczyć te umiejętności, wejdź na [stronę ze stereometrią](/topics/stereometria) i rozwiąż kilkanaście zadań z rosnącym poziomem trudności.

## Stożek ścięty - wzory, które warto znać

Na maturze od czasu do czasu pojawia się stożek ścięty - bryła powstająca przez odcięcie mniejszego stożka od większego płaszczyzną równoległą do podstawy. Choć nie jest to najczęstszy typ zadania, warto znać podstawowe wzory.

### Objętość stożka ściętego

$$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$$

gdzie:
- \(R\) - promień większej podstawy,
- \(r\) - promień mniejszej podstawy,
- \(h\) - wysokość stożka ściętego.

### Pole powierzchni bocznej stożka ściętego

$$P_b = \pi(R + r) \cdot l$$

gdzie \(l\) to tworząca stożka ściętego: \(l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}\).

### Zadanie 8: Stożek ścięty

*Stożek ścięty ma promienie podstaw \(R = 6\) i \(r = 3\) oraz wysokość \(h = 4\). Oblicz objętość tego stożka ściętego.*

**Rozwiązanie:**

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (36 + 18 + 9) = \frac{4\pi}{3} \cdot 63 = 84\pi$$

**Odpowiedź:** \(V = 84\pi\).

Wskazówka: jeśli w treści zadania nie podano bezpośrednio, że bryła to stożek ścięty, rozpoznasz go po tym, że ma dwie równoległe, okrągłe podstawy o różnych promieniach.

## Jak rozwiązywać zadania ze stereometrii krok po kroku - zadanie z arkusza

Pokażmy teraz, jak wygląda pełne rozwiązanie typowego zadania otwartego ze stereometrii, z zachowaniem wszystkich kroków, które punktuje egzaminator.

### Zadanie 9: Zadanie otwarte - ostrosłup wpisany w graniastosłup

*W graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(a = 8\) i wysokości \(H = 12\) wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego podstawa pokrywa się z podstawą graniastosłupa, a wierzchołek leży na środku górnej podstawy graniastosłupa. Jaki procent objętości graniastosłupa stanowi objętość ostrosłupa?*

**Rozwiązanie:**

Krok 1: Identyfikujemy bryły. Graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie kwadratowej \(a = 8\), \(H = 12\). Ostrosłup wpisany - ta sama podstawa, ta sama wysokość.

Krok 2: Objętość graniastosłupa:

$$V_g = a^2 \cdot H = 64 \cdot 12 = 768$$

Krok 3: Objętość ostrosłupa:

$$V_o = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 12 = 256$$

Krok 4: Procent:

$$\frac{V_o}{V_g} \cdot 100\% = \frac{256}{768} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33{,}33\%$$

**Odpowiedź:** Ostrosłup stanowi \(33\frac{1}{3}\%\) objętości graniastosłupa.

To ten sam wynik co w przypadku stożka i walca - ostrosłup zawsze stanowi dokładnie \(\frac{1}{3}\) objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Warto zapamiętać tę uniwersalną zasadę. Więcej o rozwiązywaniu zadań procentowych znajdziesz w artykule o [procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany).

## Przekątna prostopadłościanu i sześcianu

Na maturze regularnie pojawiają się zadania z przekątną prostopadłościanu. Przekątna to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany i nie są połączone krawędzią.

### Wzór na przekątną prostopadłościanu

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

### Wzór na przekątną sześcianu

$$d = a\sqrt{3}$$

### Zadanie 10: Przekątna prostopadłościanu

*Prostopadłościan ma wymiary \(3 \times 4 \times 12\). Oblicz długość jego przekątnej.*

**Rozwiązanie:**

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

**Odpowiedź:** Przekątna prostopadłościanu ma długość 13. Ponownie pojawia się tu "ładna" liczba - wynik jest liczbą naturalną, co jest typowe dla zadań maturalnych.

## Co jeszcze warto wiedzieć

Stereometria łączy się z wieloma innymi działami matematyki. Do skutecznego rozwiązywania zadań z brył przyda Ci się:

- [Planimetria](/topics/planimetria) - obliczanie pól podstaw (trójkąty, kwadraty, sześciokąty),
- [Trygonometria](/topics/trygonometria) - kąty nachylenia krawędzi do podstawy, kąty dwuścienne,
- [Twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - znajdowanie wysokości, tworzących, przekątnych,
- [Wzory na pola i obwody figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory) - niezbędne przy obliczaniu pól podstaw.

Na maturze warto też wiedzieć, jakie zadania ze stereometrii pojawiały się w ostatnich latach. W arkuszach z lat 2020-2025 dominowały zadania z walcem i stożkiem (zamknięte, 1-2 punkty) oraz graniastosłupami i ostrosłupami (otwarte, 2-5 punktów). Kula pojawiała się rzadziej, ale za to w trudniejszych zadaniach. Jeśli masz mało czasu na powtórkę, skup się na walcu i stożku - to najbardziej prawdopodobne bryły w arkuszu.

Warto też pamiętać, że stereometria łączy się z [funkcjami](/topics/funkcje) - na przykład w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie szukamy wymiarów bryły o maksymalnej objętości przy danym polu powierzchni. Tego typu zadania opisujemy szczegółowo w artykule o [zadaniach optymalizacyjnych na maturze](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka).

Na maturze zadania ze stereometrii to pewne punkty, jeśli znasz wzory i umiesz rozrysować bryłę. Nie ma tu skomplikowanej teorii - jest za to dużo obliczeń, które wymagają dokładności. Przećwicz wszystkie typy brył na [zadaniach maturalnych z poprzednich lat](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), a na egzaminie poradzisz sobie bez problemu.

Jeśli planujesz ostatnią prostą przed maturą, sprawdź nasz [plan powtórki tydzień przed egzaminem](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan), w którym stereometria zajmuje ważne miejsce. Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-sinus-cosinus-znajac-tangens
title: Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne
description: Znasz tangens i musisz obliczyć sinus oraz cosinus? Poznaj dwie metody: jedynkę trygonometryczną i trójkąt prostokątny, plus 5 zadań maturalnych CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne

Gdy znasz tangens kąta, sinus i cosinus obliczysz z dwóch związków zapisanych w tablicach CKE: jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) oraz definicji tangensa \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Podstawiając \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\) do jedynki, dostajesz gotowy wzór \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\). Dla kąta ostrego jeszcze szybszy jest trójkąt prostokątny: z tangensa odczytujesz proporcję przyprostokątnych, przeciwprostokątną liczysz z twierdzenia Pitagorasa i wszystkie funkcje spisujesz z definicji.

Zadanie typu "kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha = 2\), oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\)" to jeden z pewniaków [trygonometrii](/topics/trygonometria) na poziomie podstawowym. Ten motyw, czyli przechodzenie między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, pojawia się w arkuszach niemal co sesję: m.in. maj 2020, próbna CKE grudzień 2023, sierpień 2024, sierpień 2025 i maj 2026. Poniżej masz dwie niezawodne metody i 5 rozwiązanych zadań, łącznie z wariantem dla kąta rozwartego, który obowiązuje w formule 2023.

## Trzy wzory, które załatwiają każde takie zadanie

Do przechodzenia między \(\sin\), \(\cos\) i \(\operatorname{tg}\) tego samego kąta wystarczą dwa związki: jedynka trygonometryczna \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) i definicja tangensa \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Trzeci wzór, \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\), wyprowadzasz z tych dwóch w dwie linijki i to on robi całą robotę, gdy dany jest tangens.

Oba bazowe związki znajdziesz w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), więc nie musisz ich pamiętać, ale musisz wiedzieć, kiedy ich użyć. Skąd bierze się jedynka i jak wygląda jej dowód, tłumaczymy w osobnym poradniku o [jedynce trygonometrycznej](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura).

Wyprowadzenie trzeciego wzoru:

**Krok 1: wyznacz sinus z definicji tangensa.** \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).

**Krok 2: podstaw do jedynki trygonometrycznej.** \(\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

**Krok 3: wyłącz \(\cos^2\alpha\) przed nawias.** \(\cos^2\alpha \left(\operatorname{tg}^2\alpha + 1\right) = 1\), stąd \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\).

## Metoda 1: trójkąt prostokątny (najszybsza dla kąta ostrego)

Jeśli \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}\) i kąt \(\alpha\) jest ostry, narysuj trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość \(a\), a przyprostokątna przy kącie \(b\). Przeciwprostokątną obliczasz z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania): \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Wtedy \(\sin\alpha = \frac{a}{c}\) oraz \(\cos\alpha = \frac{b}{c}\).

Dlaczego to działa? Tangens wyznacza tylko proporcję przyprostokątnych, a wartości funkcji trygonometrycznych zależą wyłącznie od kształtu trójkąta, nie od jego rozmiaru: trójkąty podobne mają te same kąty i te same wartości funkcji. Możesz więc przyjąć najwygodniejsze długości zgodne z proporcją. Definicje wszystkich trzech funkcji w trójkącie prostokątnym powtórzysz w poradniku o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

## Metoda 2: jedynka trygonometryczna i definicja tangensa

Ta metoda działa zawsze, także poza kątem ostrym. Liczysz \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\), pierwiastkujesz z odpowiednim znakiem, a sinus odzyskujesz z zależności \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).

**Krok 1: oblicz \(\cos^2\alpha\) ze wzoru.** Podstaw wartość tangensa do \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\).

**Krok 2: ustal znak cosinusa.** Dla kąta ostrego \(\cos\alpha > 0\), dla kąta rozwartego \(\cos\alpha < 0\).

**Krok 3: oblicz sinus.** \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).

**Krok 4: sprawdź jedynką.** Suma \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\) musi dać dokładnie \(1\).

## Rozwiązane zadania maturalne

### Zadanie 1. \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}\), kąt ostry

Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

**Krok 1: narysuj trójkąt zgodny z proporcją.** Przyprostokątne: \(3\) (naprzeciw kąta) i \(4\) (przy kącie).

**Krok 2: oblicz przeciwprostokątną.** \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).

**Krok 3: spisz wyniki z definicji.** \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\).

**Krok 4: sprawdź jedynką.** \(\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1\). Zgadza się.

### Zadanie 2. \(\operatorname{tg}\alpha = 2\), kąt ostry

Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

**Krok 1: użyj wzoru na \(\cos^2\alpha\).** \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5}\).

**Krok 2: spierwiastkuj z dodatnim znakiem (kąt ostry).** \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Tę postać uzyskasz przez [usunięcie niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).

**Krok 3: oblicz sinus.** \(\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\).

**Krok 4: sprawdź jedynką.** \(\frac{20}{25} + \frac{5}{25} = 1\). Zgadza się.

### Zadanie 3. Warunek z ułamkiem (styl: matura maj 2020)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 5\). Oblicz \(\operatorname{tg}\alpha\), a następnie \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

**Krok 1: rozbij ułamek na dwa składniki.** \(\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2\operatorname{tg}\alpha + 3\).

**Krok 2: rozwiąż równanie.** \(2\operatorname{tg}\alpha + 3 = 5\), stąd \(\operatorname{tg}\alpha = 1\).

**Krok 3: rozpoznaj kąt.** Dla kąta ostrego \(\operatorname{tg}\alpha = 1\) oznacza \(\alpha = 45^\circ\), więc \(\sin\alpha = \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

### Zadanie 4. W drugą stronę: dany sinus, szukany tangens (styl: próbna CKE grudzień 2023)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Oblicz \(\cos\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\).

**Krok 1: cosinus z jedynki.** \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\), a że kąt jest ostry: \(\cos\alpha = \frac{2}{3}\).

**Krok 2: tangens z definicji.** \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

### Zadanie 5. Wartość wyrażenia, gdy znasz tangens

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha = 2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}\).

**Krok 1: podziel licznik i mianownik przez \(\cos\alpha\).** To najważniejszy trik w tego typu zadaniach: \(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha + 1}{\operatorname{tg}\alpha - 1}\).

**Krok 2: podstaw tangens.** \(\frac{2 + 1}{2 - 1} = 3\).

Zauważ: nie musiałeś znać \(\sin\alpha\) ani \(\cos\alpha\) osobno. Dzielenie licznika i mianownika przez \(\cos\alpha\) zamienia całe wyrażenie na tangens i skraca rozwiązanie do dwóch linijek.

## Kąt rozwarty: uważaj na znaki

W formule 2023 trygonometria na poziomie podstawowym obejmuje kąty od \(0^\circ\) do \(180^\circ\). Dla [kąta rozwartego](/funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura#znaki-funkcji-trygonometrycznych-dla-katow-od-0-do-180) sinus pozostaje dodatni, a cosinus i tangens są ujemne. Wzory zostają te same, zmienia się tylko znak wybierany przy pierwiastkowaniu.

Przykład: kąt \(\alpha\) jest rozwarty i \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Z jedynki \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\), ale wybierasz znak ujemny: \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\). Stąd \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{4}\). Przy kątach rozwartych przydają się też [wzory redukcyjne](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania): \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) oraz \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\).

## Typowe pułapki

- **Gubisz znak przy pierwiastkowaniu.** Z \(\cos^2\alpha = \frac{16}{25}\) wynika \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) albo \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\). O wyborze decyduje informacja o kącie z treści zadania: ostry to plus, rozwarty to minus.
- **Odwracasz definicję tangensa.** \(\operatorname{tg}\alpha\) to \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), nie odwrotnie. Po zamianie kolejności wszystkie dalsze rachunki są błędne, a wynik często wygląda wiarygodnie.
- **Ignorujesz słowo "ostry" w treści.** To nie ozdobnik, tylko informacja o znakach. Bez niej zadanie miałoby dwa poprawne komplety odpowiedzi.
- **Zostawiasz pierwiastek w mianowniku.** \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) i \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) to ta sama liczba, ale zapis bez niewymierności w mianowniku jest standardem w kluczach CKE i ułatwia porównanie wyniku z odpowiedziami.
- **Szukasz cotangensa w tablicach.** W formule 2023 na poziomie podstawowym cotangens nie występuje. Jeśli ćwiczysz na starych arkuszach (formuła 2015), tam \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Różnice między formułami zebraliśmy w porównaniu [formuła 2015 vs 2023](/formula-2015-vs-2023-matura-matematyka-roznice-zmiany).

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć sinus i cosinus, gdy znany jest tangens?
Skorzystaj ze wzoru \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\), który wynika z jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa. Po spierwiastkowaniu ze znakiem zgodnym z rodzajem kąta obliczasz sinus z zależności \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\). Dla kąta ostrego równie szybki jest trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa.

### Jaki wzór łączy sinus, cosinus i tangens?
Definicja tangensa: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Razem z jedynką trygonometryczną \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) tworzy komplet: z jednej znanej wartości funkcji trygonometrycznej wyznaczysz dwie pozostałe, z dokładnością do znaku, o którym rozstrzyga rodzaj kąta.

### Czy tangens kąta może być większy od 1?
Tak. Tangens kąta ostrego przyjmuje wszystkie wartości dodatnie: dla kątów mniejszych od \(45^\circ\) jest mniejszy od \(1\), dla \(45^\circ\) równy \(1\), a dla kątów większych od \(45^\circ\) może być dowolnie duży. Ograniczenie wartości do przedziału od \(-1\) do \(1\) dotyczy sinusa i cosinusa, nie tangensa.

### Jak obliczyć tangens, gdy znam sinus kąta?
Najpierw oblicz cosinus z jedynki trygonometrycznej: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\), wybierając znak zgodny z rodzajem kąta. Potem podziel sinus przez cosinus: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Dokładnie tak rozwiązane jest zadanie 4 w tym artykule.

### Jaki znak ma cosinus kąta rozwartego?
Ujemny. Dla kątów od \(90^\circ\) do \(180^\circ\) cosinus i tangens są ujemne, a sinus pozostaje dodatni. Dlatego przy pierwiastkowaniu \(\cos^2\alpha\) dla kąta rozwartego wybierasz wartość ujemną, tak jak w przykładzie z tego artykułu.

### Czy wzory na związki między funkcjami trygonometrycznymi są w tablicach CKE?
Tak. Jedynka trygonometryczna i definicja tangensa są w karcie wzorów CKE, z której korzystasz na egzaminie. Wzoru \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\) w tablicach nie ma, ale wyprowadzisz go z tamtych dwóch w dwóch linijkach.

## Związki między funkcjami trygonometrycznymi - checklista

- Znasz jedynkę trygonometryczną i definicję tangensa oraz wiesz, gdzie znaleźć je w tablicach CKE.
- Umiesz wyprowadzić i zastosować wzór \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\).
- Dla kąta ostrego umiesz użyć trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa.
- Pamiętasz o znakach: kąt ostry to cosinus dodatni, kąt rozwarty to cosinus i tangens ujemne.
- Umiesz podzielić licznik i mianownik wyrażenia przez \(\cos\alpha\), żeby zamienić je na tangens.
- Każdy wynik sprawdzasz jedynką trygonometryczną.

Ten typ zadania przećwiczysz na prawdziwych arkuszach w zbiorze [zadań CKE z trygonometrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni
title: Jak obliczyć objętość ostrosłupa - wzory, pole powierzchni i zadania maturalne krok po kroku
description: Objętość ostrosłupa - wzór, pole powierzchni i 6 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku. Ostrosłup prawidłowy czworokątny, trójkątny, sześciokątny.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć objętość ostrosłupa - wzory, pole powierzchni i zadania maturalne krok po kroku

Ostrosłup to jedna z najczęściej pojawiających się brył na maturze z matematyki. Obok [stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni) i [graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) tworzy klasyczną trójkę brył, które musisz umieć liczyć w ciemno. Dobra wiadomość: jeśli zapamiętasz jeden wzór i nauczysz się rozkładać ostrosłup na znane figury płaskie, reszta jest już tylko [twierdzeniem Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) i odrobiną [trygonometrii](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

## Wzór na objętość ostrosłupa

Dla każdego ostrosłupa, niezależnie od kształtu podstawy, objętość liczysz tym samym wzorem:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$$

gdzie:
- \(P_p\) to pole podstawy,
- \(H\) to wysokość ostrosłupa (odcinek prostopadły od wierzchołka do płaszczyzny podstawy).

**Dlaczego jedna trzecia?** Ostrosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości co graniastosłup ma dokładnie \(\frac{1}{3}\) jego objętości. To klasyczne twierdzenie z geometrii (Cavalieri). Nie musisz go dowodzić - wystarczy zapamiętać wzór i nigdy nie zapomnieć o tym \(\frac{1}{3}\).

### Najczęstszy błąd: zapomniana jedna trzecia

Połowa błędów w zadaniach ze stereometrii to policzenie "objętości graniastosłupa" zamiast "objętości ostrosłupa". Jeśli zapomnisz \(\frac{1}{3}\), wynik będzie trzykrotnie za duży. Zrób sobie przyzwyczajenie: zawsze najpierw napisz wzór, dopiero potem podstawiaj liczby.

## Pole powierzchni ostrosłupa

Pole całkowite ostrosłupa to suma pola podstawy i pola bocznego:

$$P_c = P_p + P_b$$

**Pole podstawy** \(P_p\) to po prostu pole wielokąta, który jest podstawą. Dla ostrosłupa prawidłowego:
- czworokątnego (kwadrat o boku \(a\)): \(P_p = a^2\),
- trójkątnego (trójkąt równoboczny o boku \(a\)): \(P_p = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\),
- sześciokątnego (sześciokąt foremny o boku \(a\)): \(P_p = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}\).

**Pole boczne** \(P_b\) to suma pól wszystkich ścian bocznych. W ostrosłupie prawidłowym wszystkie ściany boczne to przystające trójkąty równoramienne, więc:

$$P_b = \frac{1}{2} \cdot P_{obw} \cdot h$$

gdzie \(P_{obw}\) to obwód podstawy, a \(h\) to **wysokość ściany bocznej** (nie mylić z \(H\) - wysokością ostrosłupa!).

### Różnica między \(H\) i \(h\)

To najważniejszy punkt, który gubi ludzi na maturze:
- \(H\) (duże H) - wysokość ostrosłupa, mierzona od wierzchołka prostopadle do podstawy,
- \(h\) (małe h) - wysokość ściany bocznej, mierzona od wierzchołka prostopadle do krawędzi podstawy,
- \(a\) - krawędź boczna (od wierzchołka do wierzchołka podstawy).

Te trzy odcinki tworzą trójkąty prostokątne, które będziesz rozplątywać Pitagorasem.

## Kluczowe trójkąty prostokątne w ostrosłupie

W ostrosłupie prawidłowym ukryte są dwa bardzo ważne trójkąty prostokątne:

**Trójkąt 1:** środek podstawy - środek krawędzi podstawy - wierzchołek ostrosłupa.
Przyprostokątne: apotema podstawy \(r\) (odcinek od środka do krawędzi) i wysokość ostrosłupa \(H\). Przeciwprostokątna: wysokość ściany bocznej \(h\).

$$h^2 = H^2 + r^2$$

**Trójkąt 2:** środek podstawy - wierzchołek podstawy - wierzchołek ostrosłupa.
Przyprostokątne: promień okręgu opisanego na podstawie \(R\) i wysokość ostrosłupa \(H\). Przeciwprostokątna: krawędź boczna \(l\).

$$l^2 = H^2 + R^2$$

Jeśli zapamiętasz te dwa trójkąty, rozwiążesz 90% zadań ze stereometrii z ostrosłupem.

## Ostrosłup prawidłowy czworokątny - najważniejszy typ

To ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a wszystkie krawędzie boczne są równe. Pojawia się na maturze niemal co roku.

Dla kwadratu o boku \(a\):
- apotema podstawy: \(r = \frac{a}{2}\),
- promień okręgu opisanego: \(R = \frac{a \sqrt{2}}{2}\),
- pole podstawy: \(P_p = a^2\),
- obwód podstawy: \(P_{obw} = 4a\),
- pole boczne: \(P_b = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot h = 2ah\).

### Przykład 1: Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

**Zadanie.** Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy \(a = 6\) cm i wysokości \(H = 8\) cm.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Pole podstawy:
$$P_p = a^2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$$

Krok 2. Objętość:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(V = 96\) cm\(^3\).

### Przykład 2: Pole powierzchni z krawędzi bocznej

**Zadanie.** Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(a = 10\) i krawędź boczną \(l = 13\). Oblicz pole całkowite.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Najpierw potrzebujemy wysokości ściany bocznej \(h\). Ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie \(a = 10\) i ramionach \(l = 13\). Z Pitagorasa w połowie ściany:
$$h^2 = l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$
$$h = 12$$

Krok 2. Pole boczne:
$$P_b = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot h = 2 \cdot 10 \cdot 12 = 240$$

Krok 3. Pole podstawy:
$$P_p = a^2 = 100$$

Krok 4. Pole całkowite:
$$P_c = P_p + P_b = 100 + 240 = 340$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 340\) jednostek kwadratowych.

### Przykład 3: Wysokość ostrosłupa z krawędzi bocznej

**Zadanie.** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a = 8\), a krawędź boczna \(l = 10\). Oblicz wysokość ostrosłupa.

**Rozwiązanie.**

Kluczowy trójkąt: środek podstawy - wierzchołek podstawy - wierzchołek ostrosłupa. Przeciwprostokątną jest \(l\), jedną przyprostokątną \(H\), drugą \(R\) - połowa przekątnej kwadratu.

Krok 1. Obliczmy \(R\):
$$R = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$

Krok 2. Z Pitagorasa:
$$H^2 = l^2 - R^2 = 100 - 32 = 68$$
$$H = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$

**Odpowiedź:** \(H = 2\sqrt{17}\).

## Ostrosłup prawidłowy trójkątny (czworościan)

Jeśli podstawą jest trójkąt równoboczny, mamy ostrosłup prawidłowy trójkątny. Kiedy dodatkowo wszystkie krawędzie są równe, to **czworościan foremny**.

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\):
- pole podstawy: \(P_p = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\),
- apotema: \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\),
- promień okręgu opisanego: \(R = \frac{a \sqrt{3}}{3}\).

### Przykład 4: Objętość czworościanu foremnego

**Zadanie.** Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi \(a = 6\).

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Pole podstawy:
$$P_p = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$

Krok 2. Wysokość czworościanu foremnego (wyprowadzenie z Pitagorasa, gdzie krawędź boczna jest też \(a\)):
$$H^2 = a^2 - R^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$$
$$H = a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{6 \sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$$

Krok 3. Objętość:
$$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** \(V = 18\sqrt{2}\).

## Kąty w ostrosłupie

Na maturze rozszerzonej (a czasem na podstawowej) pojawiają się [pytania o kąty](/kat-miedzy-scianami-bocznymi-ostroslupa-matura-rozszerzona#wzory). Trzeba znać cztery:

1. **Kąt między krawędzią boczną a podstawą** - mierzony w trójkącie: środek podstawy - wierzchołek podstawy - wierzchołek ostrosłupa. Tangens tego kąta to \(\frac{H}{R}\).
2. **Kąt między ścianą boczną a podstawą** - mierzony w trójkącie: środek podstawy - środek krawędzi podstawy - wierzchołek ostrosłupa. Tangens to \(\frac{H}{r}\).
3. **Kąt przy wierzchołku ściany bocznej** - kąt w trójkącie równoramiennym, który jest ścianą boczną.
4. **[Kąt dwuścienny](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura) między dwiema ścianami bocznymi** - trudniejszy, wymaga rzutowania.

### Przykład 5: Kąt między krawędzią boczną a podstawą

**Zadanie.** Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(a = 4\) i wysokość \(H = 6\). Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

**Rozwiązanie.**

Krok 1. Oblicz \(R\):
$$R = \frac{a \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Krok 2. Tangens kąta:
$$\tan \alpha = \frac{H}{R} = \frac{6}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Krok 3. \(\alpha = \arctan \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 64,76°\).

**Odpowiedź:** \(\alpha \approx 64,76°\) (lub \(\tan \alpha = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)).

## Przykład 6: Zadanie z przekroju

**Zadanie.** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy \(a = 6\), wysokość \(H = 4\). Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa.

**Rozwiązanie.**

Taki przekrój to trójkąt równoramienny. Podstawą jest przekątna kwadratu, a wierzchołkiem - wierzchołek ostrosłupa. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa \(H\).

Krok 1. Przekątna kwadratu:
$$d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Krok 2. Pole przekroju:
$$P = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 4 = 12\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** \(P = 12\sqrt{2}\).

## Typowe pułapki

1. **Mylenie \(H\) z \(h\)** - zawsze rysuj i podpisuj, co jest czym.
2. **Zapomniana \(\frac{1}{3}\) we wzorze na objętość** - klasyk, sprawdzaj wzór dwa razy.
3. **Złe pole podstawy** - dla trójkąta równobocznego pole to \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), nie \(a^2\).
4. **Użycie \(r\) zamiast \(R\)** - apotema służy do ściany bocznej, promień okręgu opisanego do krawędzi bocznej.
5. **Zły kąt** - zawsze dokładnie określ, między czym a czym mierzymy kąt.

## Co musisz umieć na maturę

- [x] Zapisać wzór na objętość \(V = \frac{1}{3} P_p H\) i pole \(P_c = P_p + P_b\).
- [x] Narysować i rozpoznać trzy rodzaje wysokości: \(H\), \(h\), oraz apotemę \(r\).
- [x] Policzyć pole podstawy dla kwadratu, trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego.
- [x] Wyznaczyć jeden z: \(H\), \(h\), \(l\), \(a\) z pozostałych, używając Pitagorasa.
- [x] Obliczyć kąt między krawędzią boczną a podstawą i kąt między ścianą boczną a podstawą.
- [x] Policzyć pole przekroju przechodzącego przez przekątną i wierzchołek.

## Powiązane tematy

Dla pełnego obrazu stereometrii zajrzyj jeszcze do:
- [Stereometria na maturze - bryły, objętości i kąty](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) (pełny przewodnik)
- [Jak obliczyć objętość graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) - druga najważniejsza bryła z podstawą wielokątną
- [Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni) - bryła obrotowa z tym samym \(\frac{1}{3}\)
- [Kąt dwuścienny w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura) - trudniejszy kąt z rozszerzenia
- [Twierdzenie Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - potrzebne w każdym zadaniu z bryły

Przećwicz na [zadaniach ze stereometrii CKE](/topics/stereometria), gdzie znajdziesz wszystkie typy ostrosłupów z poprzednich matur.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /cechy-przystawania-trojkatow-bbb-bkb-kbk-dowody-matura
title: Cechy przystawania trójkątów BBB, BKB i KBK - jak udowodnić, że trójkąty są przystające (zadania maturalne)
description: Cechy przystawania trójkątów BBB, BKB i KBK: jak wybrać cechę, skąd wziąć równości do dowodu i 5 zadań maturalnych typu wykaż rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Cechy przystawania trójkątów BBB, BKB i KBK - jak udowodnić, że trójkąty są przystające (zadania maturalne)

Dwa trójkąty są przystające, gdy mają odpowiednio równe wszystkie trzy boki i wszystkie trzy kąty, czyli jeden można nałożyć na drugi tak, że pokryją się w całości. Żeby to wykazać, nie sprawdzasz sześciu równości. Wystarczy jedna z trzech cech przystawania: **BBB** (trzy pary równych boków), **BKB** (dwie pary równych boków i równy kąt między nimi) albo **KBK** (para równych boków i równe kąty przy obu końcach tego boku). Z przystawania wynika, że pozostałe odpowiadające sobie boki i kąty też są równe, i właśnie tak rozwiązuje się zadania typu „Wykaż, że \(|AD| = |BE|\)”.

Na maturze podstawowej cechy przystawania są narzędziem w zadaniach dowodowych z planimetrii. W [maju 2010](/exams/matura-maj-2010) (zadanie 28) trzeba było wykazać równość odcinków w dwóch trójkątach prostokątnych równoramiennych, w [czerwcu 2019](/exams/matura-czerwiec-2019) (zadanie 28) równość odległości dwóch punktów od prostej, a w [maju 2014](/exams/matura-maj-2014) (zadanie 31) zależność między kątami w trójkącie wpisanym w okrąg. Każde z tych zadań było warte 2 punkty i każde rozwiązujesz tak samo: znajdujesz dwa trójkąty przystające i nazywasz cechę. Podobieństwo, czyli „ten sam kształt, inna wielkość”, ma osobny wpis o [cechach podobieństwa trójkątów](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). Tutaj chodzi o przypadek, w którym skala jest równa \(1\).

## Co to znaczy, że trójkąty są przystające

Trójkąty \(ABC\) i \(KLM\) są przystające, gdy \(|AB| = |KL|\), \(|BC| = |LM|\), \(|CA| = |MK|\) oraz \(\angle A = \angle K\), \(\angle B = \angle L\), \(\angle C = \angle M\). Zapisujesz to jako \(\triangle ABC \equiv \triangle KLM\). Kolejność liter ma znaczenie: pierwszy wierzchołek odpowiada pierwszemu, drugi drugiemu, trzeci trzeciemu. Zapis \(\triangle ABC \equiv \triangle KLM\) mówi więc, że bok \(AB\) odpowiada bokowi \(KL\), a kąt przy \(C\) kątowi przy \(M\).

Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa ze skalą \(k = 1\). Trójkąty przystające nie muszą leżeć obok siebie ani być tak samo obrócone. Jeden może być lustrzanym odbiciem drugiego, a nadal są przystające.

## Trzy cechy przystawania trójkątów

Cecha BBB (bok-bok-bok): jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednio trzem bokom drugiego, trójkąty są przystające. Trzy długości wyznaczają trójkąt jednoznacznie, więc kąty nie mają tu wyboru.

Cecha BKB (bok-kąt-bok): jeśli dwa boki jednego trójkąta i kąt **między nimi** są równe odpowiednio dwóm bokom drugiego trójkąta i kątowi między nimi, trójkąty są przystające. Słowo „między” jest w tej cesze najważniejsze: wierzchołek kąta musi być wspólnym końcem obu boków.

Cecha KBK (kąt-bok-kąt): jeśli bok jednego trójkąta i dwa kąty **przy jego końcach** są równe odpowiednio bokowi drugiego trójkąta i dwóm kątom przy jego końcach, trójkąty są przystające.

Przy KBK przydaje się jedna obserwacja. Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc jeśli dwie pary kątów są równe, to trzecia też. Masz wtedy równe wszystkie kąty i wystarczy jedna para odpowiadających sobie boków, czyli boków leżących naprzeciw równych kątów. Dlatego gdy w dowodzie masz dwa równe kąty i bok, który nie leży między nimi, najpierw dopisz równość trzecich kątów, a dopiero potem powołaj się na KBK.

## Dlaczego nie ma cechy BBK ani KKK

Trzy równe kąty (KKK) dają tylko podobieństwo. Trójkąt równoboczny o boku \(1\) i trójkąt równoboczny o boku \(5\) mają te same kąty, ale nie są przystające.

Dwa boki i kąt, który **nie leży między nimi** (BBK), też nie wystarczą. Weź kąt \(\angle A = 30^\circ\), bok \(|AB| = 8\) i bok \(|BC| = 5\). Z twierdzenia cosinusów dla boku \(BC\) dostajesz równanie na \(x = |AC|\):

$$25 = 64 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos 30^\circ \quad \Rightarrow \quad x^2 - 8\sqrt{3}\,x + 39 = 0$$

Wyróżnik jest dodatni, \(\Delta = 192 - 156 = 36\), więc równanie ma dwa rozwiązania: \(x = 4\sqrt{3} + 3\) i \(x = 4\sqrt{3} - 3\). Dwa różne trójkąty mają te same dane BBK, więc z takich danych przystawania nie wyprowadzisz. To typowy błąd w dowodach: wypisane są dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich, a obok podpis „cecha BKB”.

## Skąd brać równości w dowodzie

Zanim powołasz się na cechę, potrzebujesz trzech równości, a każda musi mieć uzasadnienie. W zadaniach maturalnych biorą się prawie zawsze z tych źródeł:

- wspólny bok dwóch trójkątów,
- kąty wierzchołkowe przy przecięciu dwóch prostych,
- boki tej samej figury: kwadratu, trójkąta równobocznego, rombu, ramiona trójkąta równoramiennego,
- środek odcinka, który dzieli go na dwie równe części,
- kąty naprzemianległe albo odpowiadające przy prostych równoległych,
- promienie tego samego okręgu,
- kąty, które uzupełniają ten sam kąt do \(90^\circ\) albo do \(180^\circ\).

Ostatnie źródło łatwo przegapić. Jeśli \(\alpha + \beta = 90^\circ\) i \(\gamma + \beta = 90^\circ\), to \(\alpha = \gamma\), choć żadnego z tych kątów nie znasz. Tak samo działają kąty przyległe: kąty przyległe do równych kątów są równe. Więcej o kątach przy prostych równoległych i w okręgu znajdziesz we wpisie o [kątach w figurach na maturze](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

Przystawanie stoi też za twierdzeniem o odcinkach stycznych. Jeśli z punktu \(P\) poprowadzisz dwie styczne do okręgu o środku \(O\), dotykające go w punktach \(A\) i \(B\), to trójkąty \(OAP\) i \(OBP\) są prostokątne, bo promień jest prostopadły do stycznej. Mają wspólną przeciwprostokątną \(OP\) i równe przyprostokątne \(|OA| = |OB|\), więc z twierdzenia Pitagorasa także \(|PA| = |PB|\) i trójkąty są przystające z cechy BBB. Z tej równości korzystasz przy okręgu wpisanym w trójkąt, opisanym we wpisie o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).

## Jak zapisać dowód z przystawaniem

Dowód z trójkątami przystającymi ma zawsze ten sam szkielet:

1. Nazwij dwa trójkąty, w których leżą odcinki albo kąty z tezy. Odcinki z tezy mają być w nich odpowiadającymi sobie bokami.
2. Wypisz trzy równości i przy każdej napisz, z czego wynika.
3. Sprawdź układ: przy BKB kąt leży między bokami, przy KBK bok leży między kątami. Nazwij cechę.
4. Zapisz wniosek: z przystawania trójkątów wynika równość odpowiadających boków, czyli teza.

Sama obserwacja, że trójkąty wyglądają na przystające, nie jest dowodem, a rozumowanie bez wskazania cechy jest niepełne. Ogólne zasady zapisu dowodu, w tym jak oddzielić założenia od tezy, opisuje wpis [jak pisać dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Wzory

Cecha bok-bok-bok (BBB):

$$|AB| = |KL|,\ |BC| = |LM|,\ |CA| = |MK| \ \Rightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle KLM$$

Cecha bok-kąt-bok (BKB):

$$|AB| = |KL|,\ \angle B = \angle L,\ |BC| = |LM| \ \Rightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle KLM$$

Cecha kąt-bok-kąt (KBK):

$$\angle A = \angle K,\ |AB| = |KL|,\ \angle B = \angle L \ \Rightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle KLM$$

Trzeci kąt z sumy kątów:

$$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$$

## Przykład 1: Który warunek daje przystawanie

**Treść:** Trójkąty \(ABC\) i \(KLM\) spełniają warunki \(|AB| = |KL|\) oraz \(|AC| = |KM|\). Który dodatkowy warunek gwarantuje, że te trójkąty są przystające?

- A) \(\angle B = \angle L\)
- B) \(\angle A = \angle K\)
- C) \(\angle C = \angle M\)
- D) \(|AB| = |AC|\)

**Krok 1: Znajdź kąt między danymi bokami.** Boki \(AB\) i \(AC\) mają wspólny koniec w punkcie \(A\), więc kąt między nimi to \(\angle A\). W drugim trójkącie boki \(KL\) i \(KM\) wychodzą z punktu \(K\).

**Krok 2: Dopasuj cechę.** Równość \(\angle A = \angle K\) uzupełnia dane do cechy BKB. Kąty przy \(B\) i \(C\) nie leżą między danymi bokami, więc z nimi dostajesz układ BBK, który przystawania nie gwarantuje. Warunek D dotyczy tylko jednego trójkąta i nic nie mówi o drugim.

**Odpowiedź: B.** Przy dwóch parach równych boków potrzebny jest kąt o wierzchołku we wspólnym końcu tych boków.

## Przykład 2: Dwa trójkąty prostokątne równoramienne (matura maj 2010, zadanie 28)

**Treść:** Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a kąt prosty w obu trójkątach leży przy wierzchołku \(C\). Kąty proste \(ACB\) i \(DCE\) zachodzą na siebie: punkt \(D\) leży wewnątrz kąta \(ACB\), a punkt \(B\) wewnątrz kąta \(DCE\). Wykaż, że \(|AD| = |BE|\).

**Krok 1: Wybierz trójkąty.** Odcinek \(AD\) jest bokiem trójkąta \(ACD\), a odcinek \(BE\) bokiem trójkąta \(BCE\). Wykażesz, że te trójkąty są przystające.

**Krok 2: Dwie pary boków.** Trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są równoramienne, a ich ramiona wychodzą z wierzchołka kąta prostego \(C\):

$$|AC| = |BC|, \qquad |CD| = |CE|$$

**Krok 3: Kąt między tymi bokami.** Oznacz \(\beta = \angle BCD\). Kąt \(ACD\) to kąt prosty \(ACB\) bez kąta \(\beta\), a kąt \(BCE\) to kąt prosty \(DCE\) bez tego samego kąta \(\beta\):

$$\angle ACD = 90^\circ - \beta = \angle BCE$$

**Krok 4: Cecha i wniosek.** W trójkątach \(ACD\) i \(BCE\) masz \(|AC| = |BC|\), \(\angle ACD = \angle BCE\) i \(|CD| = |CE|\), a kąt leży między tymi bokami. Z cechy BKB wynika, że \(\triangle ACD \equiv \triangle BCE\), więc boki leżące naprzeciw równych kątów przy \(C\) są równe.

**Wniosek:** \(|AD| = |BE|\), co kończy dowód. Kąta \(\beta\) nie trzeba znać: wystarczy, że oba kąty powstają z kąta prostego przez odjęcie tego samego kąta.

## Przykład 3: Odległości dwóch punktów od prostej (matura czerwiec 2019, zadanie 28)

**Treść:** Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.

**Krok 1: Dorysuj odległości.** Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego do tej prostej. Niech \(D\) i \(E\) będą rzutami prostokątnymi punktów \(A\) i \(B\) na prostą \(CS\). Jeśli prosta \(CS\) jest prostopadła do \(AB\), oba rzuty wypadają w punkcie \(S\) i obie odległości są równe \(|AS| = |BS|\). W pozostałych przypadkach powstają dwa trójkąty prostokątne \(ADS\) i \(BES\).

**Krok 2: Dwie pary kątów.** Kąty \(ADS\) i \(BES\) są proste. Kąty \(ASD\) i \(BSE\) są wierzchołkowe, bo powstają przy przecięciu prostych \(AB\) i \(CS\) w punkcie \(S\). Z sumy kątów w trójkącie równe są też trzecie kąty:

$$\angle DAS = 90^\circ - \angle ASD = 90^\circ - \angle BSE = \angle EBS$$

**Krok 3: Bok między kątami.** Punkt \(S\) jest środkiem \(AB\), więc \(|AS| = |BS|\). Bok \(AS\) leży między kątami \(DAS\) i \(ASD\), a bok \(BS\) między kątami \(EBS\) i \(BSE\).

**Krok 4: Cecha i wniosek.** Z cechy KBK wynika, że \(\triangle ADS \equiv \triangle BES\), więc odpowiadające sobie przyprostokątne są równe: \(|AD| = |BE|\).

**Wniosek:** odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe. Krok 2 z trzecim kątem nie jest ozdobą: bok \(AS\) leży naprzeciw kąta prostego, a nie między nim a kątem przy \(S\), więc bez trzecich kątów cecha KBK by nie pasowała.

## Przykład 4: Kąt środkowy w trójkącie równoramiennym (matura maj 2014, zadanie 31)

**Treść:** Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\) o ramionach \(AC\) i \(BC\) leży wewnątrz tego trójkąta. Wykaż, że miara kąta wypukłego \(ASB\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(SBC\).

**Krok 1: Dorysuj promienie.** Połącz punkt \(S\) z wierzchołkami \(A\), \(B\) i \(C\). Odcinki \(SA\), \(SB\) i \(SC\) są promieniami okręgu opisanego, więc mają tę samą długość \(R\).

**Krok 2: Trójkąty przystające z cechy BBB.** W trójkątach \(ASC\) i \(BSC\) masz \(|SA| = |SB| = R\), \(|AC| = |BC|\) (ramiona), a bok \(SC\) jest wspólny. Z cechy BBB wynika, że \(\triangle ASC \equiv \triangle BSC\), więc \(\angle SCA = \angle SCB\).

**Krok 3: Kąty w trójkątach równoramiennych.** Oznacz \(\alpha = \angle SBC\). Trójkąt \(BSC\) jest równoramienny, bo \(|SB| = |SC|\), więc \(\angle SCB = \alpha\) i \(\angle BSC = 180^\circ - 2\alpha\). Z kroku 2 \(\angle SCA = \alpha\), a trójkąt \(ASC\) też jest równoramienny, więc \(\angle SAC = \alpha\) i \(\angle ASC = 180^\circ - 2\alpha\).

**Krok 4: Kąty wokół punktu S.** Punkt \(S\) leży wewnątrz trójkąta, więc kąty \(ASB\), \(BSC\) i \(CSA\) wypełniają kąt pełny:

$$\angle ASB = 360^\circ - 2 \cdot (180^\circ - 2\alpha) = 4\alpha$$

**Wniosek:** \(\angle ASB = 4 \cdot \angle SBC\). Założenie, że \(S\) leży wewnątrz trójkąta, było potrzebne dokładnie w kroku 4.

## Przykład 5: Odcinek równoległy w trójkącie równobocznym (matura próbna marzec 2012, zadanie 25)

**Treść:** Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(N\) leży na przedłużeniu boku \(BC\) poza punkt \(C\), a na boku \(AC\) wybrano punkt \(M\) tak, że \(|AM| = |CN|\). Wykaż, że \(|BM| = |MN|\).

**Krok 1: Dorysuj odcinek równoległy.** Poprowadź przez \(M\) prostą równoległą do \(AB\). Przecina ona bok \(BC\) w punkcie \(D\). Kąty trójkąta \(MDC\) są równe kątom trójkąta \(ABC\), bo to kąty odpowiadające przy prostych równoległych, więc trójkąt \(MDC\) jest równoboczny:

$$|MD| = |DC| = |CM|$$

**Krok 2: Równość odcinków na boku BC.** Boki trójkąta \(ABC\) są równe, więc

$$|BD| = |BC| - |DC| = |AC| - |CM| = |AM| = |CN|$$

**Krok 3: Równe kąty rozwarte.** Kąt \(BDM\) jest przyległy do kąta \(MDC\) o mierze \(60^\circ\), a kąt \(MCN\) jest przyległy do kąta \(ACB\) o mierze \(60^\circ\):

$$\angle BDM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ = \angle MCN$$

**Krok 4: Cecha BKB.** W trójkątach \(BDM\) i \(NCM\) masz \(|BD| = |NC|\), \(\angle BDM = \angle NCM\) i \(|DM| = |CM|\), a kąt leży między tymi bokami. Z cechy BKB wynika, że \(\triangle BDM \equiv \triangle NCM\), więc boki naprzeciw kątów \(120^\circ\) są równe.

**Wniosek:** \(|BM| = |MN|\). Kluczowy był odcinek pomocniczy \(MD\): bez niego na rysunku nie ma drugiego trójkąta do porównania.

## Sprawdź się na zadaniach CKE

Dwa zadania dowodowe do samodzielnego rozwiązania. W pierwszym szukasz trójkątów przystających z cechy BKB dwa razy: najpierw trzech małych trójkątów przy wierzchołkach trójkąta równobocznego, a potem trzech trójkątów, których bokami są boki trójkąta \(KGE\). W drugim zacznij od trójkątów \(ADC\) i \(DBE\) i od równych kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego \(CDB\).

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2011-28

Zadanie z bazy: /task/cke-2015-2023-pp-103

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Kąt, który nie leży między bokami. Dwa boki i kąt przy jednym z nich, ale nie między nimi, to układ BBK, a nie BKB. Zanim napiszesz nazwę cechy, sprawdź, czy wierzchołek kąta jest wspólnym końcem obu boków.

**Pułapka 2:** Trzy równe kąty jako dowód przystawania. Równe kąty dają podobieństwo. Do przystawania potrzebujesz jeszcze jednej pary odpowiadających sobie boków.

**Pułapka 3:** Zła kolejność wierzchołków. Zapis \(\triangle ACD \equiv \triangle BCE\) mówi, że \(A\) odpowiada \(B\), a \(D\) odpowiada \(E\). Jeśli przestawisz litery, wniosek o równych bokach może wyjść fałszywy.

**Pułapka 4:** Równość bez uzasadnienia. Zdanie „z rysunku widać, że kąty są równe” nie jest argumentem. Każda z trzech równości potrzebuje powodu: wspólny bok, kąty wierzchołkowe, środek odcinka, promień, bok kwadratu.

**Wskazówka:** Gdy na rysunku nie widać dwóch trójkątów, które zawierałyby odcinki z tezy, dorysuj odcinek pomocniczy: promień, wysokość albo prostą równoległą do boku. Tak było w przykładach 4 i 5.

## Co musisz umieć

- Wymienić trzy cechy przystawania trójkątów i wskazać, który kąt leży między bokami w cesze BKB.
- Odróżnić przystawanie od podobieństwa i wiedzieć, że ani BBK, ani KKK nie wystarczą.
- Znaleźć dwa trójkąty, których odpowiadającymi bokami są odcinki z tezy.
- Uzasadnić każdą równość wspólnym bokiem, kątami wierzchołkowymi, środkiem odcinka, promieniem albo własnością figury.
- Wyznaczyć trzeci kąt z sumy kątów, żeby dostać cechę KBK.
- Dorysować odcinek pomocniczy, gdy trójkątów przystających nie ma na rysunku.
- Zapisać wniosek: z przystawania trójkątów wynika równość odpowiadających boków.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z planimetrii z arkuszy maturalnych, w których przydają się odcinki styczne, trójkąty równoramienne i porównywanie trójkątów. Wszystkie zadania z geometrii płaskiej znajdziesz w dziale [planimetria](/topics/planimetria), a rozwiązania innych zadań typu „wykaż” we wpisie o [zadaniach dowodowych z matury](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jakie są cechy przystawania trójkątów?

Są trzy: BBB, gdy trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego, BKB, gdy równe są dwa boki i kąt między nimi, oraz KBK, gdy równy jest bok i dwa kąty przy jego końcach. Wystarczy spełnić jedną z nich.

### Czym różnią się trójkąty przystające od podobnych?

Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć różną wielkość: ich boki są proporcjonalne w skali \(k\). Trójkąty przystające mają ten sam kształt i tę samą wielkość, czyli są podobne w skali \(k = 1\).

### Czy dwa boki i dowolny kąt wystarczą do przystawania?

Nie. Kąt musi leżeć między tymi bokami. Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich mogą wyznaczać dwa różne trójkąty, więc taki zestaw danych przystawania nie gwarantuje.

### Czy trójkąty prostokątne mają osobną cechę przystawania?

Nie potrzebują jej. Jeśli dwa trójkąty prostokątne mają równe przeciwprostokątne i jedną parę równych przyprostokątnych, to z twierdzenia Pitagorasa równe są też drugie przyprostokątne i działa cecha BBB.

### Jak zapisać dowód przystawania trójkątów na maturze?

Nazwij dwa trójkąty, wypisz trzy równości z uzasadnieniem każdej, wskaż cechę przystawania i zapisz wniosek o równości odpowiadających boków albo kątów. Sam rysunek i stwierdzenie, że trójkąty wyglądają tak samo, nie są dowodem.

### Czy trójkąty przystające muszą być tak samo ułożone?

Nie. Jeden może być przesunięty, obrócony albo odbity lustrzanie względem drugiego. Liczy się tylko to, że odpowiadające sobie boki i kąty są równe.


---
route: /zadania-na-wspolna-prace-i-wydajnosc-matura-jak-ulozyc-rownanie
title: Zadania na wspólną pracę i wydajność na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku
description: Robotnicy, pompy i maszyny: jak zamienić treść zadania na równanie 1/a + 1/b = 1/t, kiedy działa proporcjonalność odwrotna i 5 zadań CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Zadania na wspólną pracę i wydajność na maturze - jak ułożyć równanie krok po kroku

Zadanie o wspólnej pracy tłumaczysz na równanie w trzech ruchach: całą pracę oznaczasz jako \(1\), wydajność każdego wykonawcy zapisujesz jako \(1\) podzielone przez jego czas, czyli część pracy wykonaną w ciągu godziny, a wydajności osób pracujących razem dodajesz. Jeśli pierwszy wykonałby pracę sam w \(a\) godzin, drugi w \(b\) godzin, a razem robią ją w \(t\) godzin, to \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}\). Gdy w zadaniu zmienia się tylko liczba jednakowych robotników albo maszyn, równanie jest jeszcze prostsze: iloczyn liczby pracowników i czasu jest stały, a liczba wyprodukowanych sztuk rośnie wprost proporcjonalnie do liczby maszyn i godzin.

Na maturze podstawowej ten typ zadania występuje w dwóch wagach. Za \(1\) punkt, jako zadanie zamknięte, w którym liczysz wprost: w arkuszu z sierpnia 2022 (zadanie 15) trzy maszyny robiły \(1200\) guzików w dwie godziny, a pytanie brzmiało, ile zrobi pięć maszyn w godzinę. I za \(5\) punktów, jako zadanie otwarte z równaniem, czasem kwadratowym: w arkuszu próbnym z lutego 2014 (zadanie 34) dwóch robotników o różnych kwalifikacjach kończy pracę razem w \(12\) dni, a w zbiorze zadań CKE 2015-2023 (zadanie 24) dwie pompy o wydajnościach różniących się o \(20\%\) napełniają basen. Te zadania są bliźniakami [zadań z prędkością, drogą i czasem](/zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie): tam dodajesz drogi, tu dodajesz części pracy. Poniżej masz trzy modele, jeden schemat i pięć zadań z arkuszy rozwiązanych krok po kroku.

## Trzy modele zadań o pracy i wydajności

Zadanie o pracy rozpoznajesz po tym, co się w nim zmienia. Jeśli zmienia się liczba jednakowych pracowników, a pytanie dotyczy czasu, masz proporcjonalność odwrotną. Jeśli zmienia się liczba maszyn i czas, a pytanie dotyczy liczby sztuk, masz proporcjonalność prostą z wydajnością na jedną maszynę. Jeśli wykonawcy różnią się tempem i pracują razem, masz pracę wspólną i ułamki.

**Model 1: więcej ludzi, mniej czasu (proporcjonalność odwrotna).** Czterech malarzy maluje halę w \(6\) godzin, czyli razem przepracowują \(24\) roboczogodziny. Ta liczba to rozmiar pracy i nie zmienia się, gdy zmienia się liczba malarzy. Sześciu malarzy potrzebuje więc \(24 : 6 = 4\) godzin. Iloczyn liczby pracowników i czasu jest stały: \(n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2\). To dokładnie [proporcjonalność odwrotna](/proporcjonalnosc-odwrotna-wzor-wykres-zadania-matura), więc zwykła proporcja „na krzyż” daje tu zły wynik, i to w złą stronę: więcej ludzi wychodzi w niej na dłużej.

**Model 2: maszyny razy godziny (proporcjonalność prosta).** Trzy maszyny w dwie godziny to \(3 \cdot 2 = 6\) maszynogodzin. Jeśli w tym czasie powstało \(1200\) guzików, jedna maszyna robi \(1200 : 6 = 200\) guzików na godzinę. Dalej wszystko jest mnożeniem: pięć maszyn przez godzinę zrobi \(5 \cdot 200 \cdot 1 = 1000\) sztuk. Liczba sztuk jest wprost proporcjonalna i do liczby maszyn, i do czasu.

**Model 3: praca wspólna (ułamki pracy na godzinę).** Wykonawcy różnią się tempem, więc nie policzysz ich „na sztuki”. Zamiast tego pytasz, jaką część całej pracy każdy robi w godzinę. Kto robi pracę w \(6\) godzin, w godzinę robi \(\frac{1}{6}\) pracy. Kto robi ją w \(12\) godzin, w godzinę robi \(\frac{1}{12}\). Razem w godzinę robią \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\) pracy, więc całość zajmie im \(4\) godziny. Ten model prowadzi do [równania wymiernego](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura), a gdy niewiadoma stoi w dwóch mianownikach, do [równania kwadratowego](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania).

## Dlaczego dodajemy wydajności, a nie czasy

Wydajności się dodają, bo w tej samej godzinie każdy wykonawca dokłada swoją część pracy i te części sumują się do wspólnego postępu. Czasy się nie dodają: dwie osoby pracujące razem kończą szybciej niż każda z osobna, a suma czasów byłaby dłuższa niż czas wolniejszej z nich. Dlatego niewiadomą jest czas, ale równanie układasz na wydajnościach.

Zobacz to na liczbach. Adam grabi boisko w \(6\) godzin, Czarek w \(12\). Dodanie czasów daje \(18\) godzin, średnia daje \(9\), a przecież razem muszą skończyć szybciej niż sam Adam, czyli poniżej \(6\) godzin. Poprawny rachunek idzie przez części pracy na godzinę:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

W godzinę robią \(\frac{1}{4}\) pracy, więc całość zajmuje \(4\) godziny. Zapisz to ogólnie. Jeśli pierwszy wykonawca robi pracę w \(a\) godzin, drugi w \(b\) godzin, a razem w \(t\) godzin, to w jednej godzinie pierwszy robi \(\frac{1}{a}\), drugi \(\frac{1}{b}\), a obaj razem \(\frac{1}{t}\) pracy:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$$

Ten sam warunek możesz zapisać jako \(t \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 1\): przez \(t\) godzin pracy z łączną wydajnością powstaje cała praca, czyli \(1\). Obie formy są równoważne. Druga bywa wygodniejsza, gdy znasz czas wspólny, a szukasz czasów pojedynczych.

## Jak ułożyć równanie do zadania o wspólnej pracy

Oznacz niewiadomą jako czas jednej osoby (albo pompy, maszyny), zapisz wydajność każdego wykonawcy jako \(1\) podzielone przez jego czas, a potem zapisz zdanie z treści jako równanie na tych wydajnościach albo czasach. Rozwiąż je, odrzuć rozwiązania spoza dziedziny i wróć do pytania, bo odpowiedzią rzadko jest sama niewiadoma.

Schemat w sześciu krokach:

1. **Ujednolić jednostki.** Minuty na godziny, godziny na dni, zanim cokolwiek podstawisz: \(6\) godzin \(20\) minut to \(6 + \frac{20}{60} = \frac{19}{3}\) godziny, a \(1\) godzina \(40\) minut to \(\frac{5}{3}\) godziny.
2. **Oznaczyć niewiadomą jako czas.** Najczęściej czas wolniejszego wykonawcy: \(x\) dni. Szybszy dostaje wtedy \(x - 10\), gdy „jest szybszy o \(10\) dni”, albo \(\frac{x}{1{,}2}\), gdy „ma wydajność o \(20\%\) większą”.
3. **Zapisać wydajności.** Cała praca to \(1\), więc wydajności to \(\frac{1}{x}\) i \(\frac{1}{x-10}\). Zapisz dziedzinę: czasy są dodatnie, więc \(x > 10\).
4. **Przetłumaczyć zdanie z treści na równanie.** „Razem wykonali pracę w \(12\) dni” to \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}\). „Napełnianie drugą pompą trwa o \(\frac{5}{3}\) godziny dłużej” to równanie na czasach: \(t_2 = t_1 + \frac{5}{3}\).
5. **Rozwiązać.** Wspólny mianownik, mnożenie na krzyż, równanie kwadratowe. Pierwiastek ujemny albo taki, dla którego któryś czas wychodzi ujemny, odrzucasz z komentarzem.
6. **Wrócić do pytania.** Sprawdź, czy pytają o czas wspólny, czas każdego z osobna, czy o część pracy na godzinę, i podaj wynik w jednostce z treści (godziny i minuty, nie ułamek godziny).

Ten schemat to szczególny przypadek metody z wpisu o [zadaniach z treścią](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac): najpierw tłumaczysz język na symbole, dopiero potem liczysz.

## Wzory

Praca w roboczogodzinach (proporcjonalność odwrotna):

$$n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2$$

Wydajność jako część pracy na godzinę:

$$w = \frac{1}{t}$$

Równanie pracy wspólnej dwóch wykonawców:

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$$

Czas pracy wspólnej dwóch wykonawców:

$$t = \frac{a \cdot b}{a + b}$$

Ostatni wzór to przekształcone równanie pracy wspólnej, więc nie musisz go zapamiętywać. Dla trzech wykonawców dodajesz trzeci ułamek: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{t}\). Żadnego z tych wzorów nie ma w tablicach maturalnych, bo wynikają wprost z definicji wydajności.

## Przykład 1: Ośmiu robotników zamiast sześciu (matura próbna Operon listopad 2019, zadanie 16)

**Treść:** Sześciu robotników wykonało pewną pracę w ciągu \(6\) godzin i \(20\) minut. Ośmiu robotników pracujących z taką samą wydajnością wykona tę samą pracę w ciągu:

- A) \(8\) godzin i \(26\) minut
- B) \(4\) godzin i \(45\) minut
- C) \(4\) godzin i \(20\) minut
- D) \(4\) godzin i \(40\) minut

**Krok 1: Zamiana czasu na jedną jednostkę.** Godziny z minutami nie nadają się do mnożenia. Przeliczasz na minuty: \(6 \cdot 60 + 20 = 380\) minut. Możesz też na godziny, \(\frac{19}{3}\) godziny, rachunek wyjdzie ten sam.

**Krok 2: Rozmiar pracy w osobominutach.** Sześciu robotników przez \(380\) minut to

$$6 \cdot 380 = 2280 \text{ osobominut}$$

Ta liczba opisuje całą pracę i nie zależy od tego, ilu ludzi ją wykona.

**Krok 3: Czas dla ośmiu robotników.** Tę samą pracę dzielisz między ośmiu:

$$8 \cdot t = 2280 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{2280}{8} = 285 \text{ minut}$$

**Krok 4: Powrót do godzin i minut.** \(285 = 4 \cdot 60 + 45\), czyli \(4\) godziny i \(45\) minut. Kontrola sensu: więcej ludzi, krótszy czas, a \(4\) h \(45\) min jest krótsze od \(6\) h \(20\) min.

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A wychodzi z proporcji ułożonej „na krzyż” jak dla wielkości wprost proporcjonalnych: \(\frac{8 \cdot 380}{6} \approx 506{,}7\) minuty, czyli \(8\) godzin, \(26\) minut i \(40\) sekund, a więcej robotników nie może pracować dłużej. Odpowiedź D bierze się z jednostek: kto zapisze \(6\) h \(20\) min jako \(6{,}2\) godziny, dostanie \(6{,}2 \cdot \frac{6}{8} = 4{,}65\) godziny, czyli \(4\) h \(39\) min, i zaokrągli do D.

## Przykład 2: Ile guzików zrobi pięć maszyn w godzinę (matura sierpień 2022, zadanie 15)

**Treść:** W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

- A) \(800\)
- B) \(900\)
- C) \(1000\)
- D) \(1500\)

**Krok 1: Wydajność jednej maszyny.** Trzy maszyny przez dwie godziny to \(3 \cdot 2 = 6\) maszynogodzin pracy, w których powstało \(1200\) guzików:

$$w = \frac{1200}{3 \cdot 2} = 200 \text{ guzików na godzinę}$$

**Krok 2: Pięć maszyn przez godzinę.** Produkcja to liczba maszyn razy wydajność razy czas:

$$5 \cdot 200 \cdot 1 = 1000$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź D wychodzi, gdy \(600\) guzików na godzinę (tyle robią trzy maszyny) podzielisz przez \(2\) zamiast przez \(3\): \(300 \cdot 5 = 1500\). Odpowiedź A to \(400 \cdot 2 = 800\): liczbę guzików jednej maszyny z dwóch godzin mnożysz przez czas zamiast przez liczbę maszyn. Kontrola sensu: pięć maszyn przez godzinę to \(5\) maszynogodzin, mniej niż \(6\) z treści, więc wynik musi być mniejszy od \(1200\).

## Przykład 3: Trzech chłopaków grabi boisko razem (matura próbna kwiecień 2020, zadanie 33)

**Treść:** Adam, Bartek i Czarek mają za zadanie zgrabić liście z boiska. Adam sam wykonałby całą pracę w \(6\) godzin, Bartek w \(8\) godzin, a Czarek w \(12\) godzin. Gdyby pracowali razem, to wydajność każdego z nich byłaby o \(33{,}(3)\%\) większa. Ile czasu zajmie zgrabienie całego boiska wszystkim trzem chłopakom, jeśli będą pracowali razem?

**Krok 1: Wydajność każdego z osobna.** Cała praca to \(1\). W ciągu godziny Adam grabi \(\frac{1}{6}\) boiska, Bartek \(\frac{1}{8}\), a Czarek \(\frac{1}{12}\).

**Krok 2: Suma wydajności bez premii.** Wspólny mianownik to \(24\):

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$$

**Krok 3: Wydajność większa o 33,(3)%.** \(33{,}(3)\%\) to dokładnie \(\frac{1}{3}\), więc każda wydajność rośnie do \(\frac{4}{3}\) swojej wartości. Skoro każdy składnik mnożysz przez \(\frac{4}{3}\), możesz pomnożyć od razu całą sumę:

$$W = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$$

Razem grabią pół boiska na godzinę.

**Krok 4: Czas z wydajności.** Czas to cała praca podzielona przez wydajność:

$$t = \frac{1}{W} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$

**Odpowiedź:** Zgrabienie boiska zajmie im \(2\) godziny. Kontrola sensu: sam Adam potrzebowałby \(6\) godzin, więc trójka z premią musi skończyć wyraźnie szybciej.

## Przykład 4: Robotnik wykwalifikowany szybszy o 10 dni (matura próbna luty 2014, zadanie 34)

**Treść:** Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono ją obu robotnikom, którzy pracując razem, wykonali ją w ciągu \(12\) dni. W ciągu ilu dni wykonałby pracę każdy robotnik pracując samodzielnie?

**Krok 1: Niewiadoma i dziedzina.** Niech \(x\) oznacza liczbę dni pracy niewykwalifikowanego robotnika. Wykwalifikowany jest szybszy, więc potrzebuje \(x - 10\) dni. Oba czasy muszą być dodatnie, stąd \(x > 10\).

**Krok 2: Wydajności dzienne.** Niewykwalifikowany robi \(\frac{1}{x}\) pracy dziennie, wykwalifikowany \(\frac{1}{x-10}\).

**Krok 3: Równanie z pracy wspólnej.** Razem wykonali pracę w \(12\) dni, czyli ich łączna wydajność to \(\frac{1}{12}\) pracy dziennie:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}$$

**Krok 4: Wspólny mianownik i równanie kwadratowe.** Lewą stronę sprowadzasz do wspólnego mianownika, potem mnożysz na krzyż:

$$\frac{2x - 10}{x(x-10)} = \frac{1}{12} \quad \Rightarrow \quad 12(2x - 10) = x^2 - 10x$$

$$24x - 120 = x^2 - 10x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 34x + 120 = 0$$

**Krok 5: Delta i pierwiastki.**

$$\Delta = 34^2 - 4 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676, \quad \sqrt{\Delta} = 26$$

$$x_1 = \frac{34 - 26}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{34 + 26}{2} = 30$$

**Krok 6: Odrzucenie pierwiastka spoza dziedziny.** Dla \(x = 4\) wykwalifikowany robotnik pracowałby \(4 - 10 = -6\) dni, co nie ma sensu i łamie warunek \(x > 10\). Zostaje \(x = 30\), a wtedy \(x - 10 = 20\).

**Krok 7: Sprawdzenie.** \(\frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}\), czyli razem faktycznie potrzebują \(12\) dni.

**Odpowiedź:** Niewykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w \(30\) dni, wykwalifikowany w \(20\) dni.

## Przykład 5: Dwie pompy i wydajność większa o 20% (zbiór zadań CKE 2015-2023, zadanie 24)

**Treść:** Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o \(1\) godzinę i \(40\) minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy, pracując jednocześnie.

**Krok 1: Jednostki i niewiadoma.** \(1\) godzina \(40\) minut to \(1 + \frac{40}{60} = \frac{5}{3}\) godziny. Niech \(t\) oznacza czas napełniania basenu samą drugą, wolniejszą pompą, w godzinach. Jej wydajność to \(w_2 = \frac{1}{t}\) basenu na godzinę.

**Krok 2: Wydajność i czas pierwszej pompy.** „O \(20\%\) większa wydajność” to \(1{,}2\) razy większa:

$$w_1 = 1{,}2 \cdot \frac{1}{t} = \frac{6}{5t}$$

Czas to odwrotność wydajności, więc pierwsza pompa napełnia basen w \(\frac{5t}{6}\) godziny. Zwróć uwagę: jej czas nie jest o \(20\%\) krótszy, tylko o \(\frac{1}{6}\) krótszy.

**Krok 3: Równanie z różnicy czasów.** Druga pompa pracuje o \(\frac{5}{3}\) godziny dłużej niż pierwsza:

$$t = \frac{5t}{6} + \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{t}{6} = \frac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad t = 10$$

Druga pompa napełnia basen w \(10\) godzin, pierwsza w \(\frac{50}{6} = \frac{25}{3}\) godziny, czyli \(8\) godzin \(20\) minut. Różnica to \(1\) godzina \(40\) minut, zgodnie z treścią.

**Krok 4: Łączna wydajność.** Wydajności dodajesz:

$$w_1 + w_2 = \frac{6}{5 \cdot 10} + \frac{1}{10} = \frac{12}{100} + \frac{10}{100} = \frac{22}{100}$$

**Odpowiedź:** W ciągu godziny obie pompy napełnią \(\frac{22}{100} = \frac{11}{50}\) basenu, czyli \(22\%\). Pytanie dotyczy części basenu, nie czasu, więc nie licz dalej odwrotności \(\frac{100}{22}\), chyba że zadanie pyta o czas wspólny.

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Dodawanie czasów zamiast wydajności. Jeśli Adam grabi boisko w \(6\) godzin, a Czarek w \(12\), to razem nie potrzebują ani \(18\), ani \(9\) godzin. Razem muszą skończyć szybciej niż szybszy z nich, więc wynik powyżej \(6\) godzin jest od razu podejrzany. Dodajesz \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}\), nie \(6 + 12\).

**Pułapka 2:** „Wydajność o \(20\%\) większa” to nie „czas o \(20\%\) krótszy”. Wydajność \(1{,}2w\) daje czas \(\frac{t}{1{,}2} = \frac{5}{6}t\), czyli krótszy o \(\frac{1}{6}\), około \(16{,}7\%\). Procent odnosi się do tej wielkości, przy której stoi w zdaniu. Jeśli mieszasz ci się, co jest podstawą procentu, zajrzyj do wpisu o [obliczaniu procentu z liczby i zmianie procentowej](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa).

**Pułapka 3:** Jednostki mieszane. \(6\) godzin \(20\) minut to \(\frac{19}{3}\) godziny, nie \(6{,}2\). W przykładzie 1 błędne \(6{,}2\) prowadzi prosto do odpowiedzi D. Zamień wszystko na minuty albo na godziny w ułamku zwykłym, zanim zaczniesz mnożyć.

**Pułapka 4:** Pierwiastek, który przechodzi przez równanie, ale nie przez treść. W przykładzie 4 równanie kwadratowe dało \(x = 4\) i \(x = 30\). Czwórka jest dodatnia, więc ktoś, kto sprawdza tylko znak, ją zostawi. Tymczasem \(x - 10 = -6\) dni. Dziedzinę zapisuj na starcie (\(x > 10\)) i odrzucaj pierwiastek z komentarzem.

**Pułapka 5:** Znak przy „szybciej o \(10\) dni”. Szybszy wykonawca ma krótszy czas, więc jeśli wolniejszy pracuje \(x\) dni, szybszy pracuje \(x - 10\), nie \(x + 10\). Odwrotnie, gdy oznaczysz czas szybszego jako \(x\): wolniejszy dostaje \(x + 10\). Oba wybory są dobre, jeśli znak zgadza się ze zdaniem.

**Pułapka 6:** Odpowiedź to nie zawsze niewiadoma. W przykładzie 5 liczysz \(t = 10\), ale pytanie dotyczy części basenu napełnianej w godzinę przez obie pompy. W przykładzie 3 liczysz łączną wydajność \(\frac{1}{2}\), a odpowiedzią jest czas \(2\) godziny. Po rozwiązaniu równania przeczytaj pytanie jeszcze raz.

**Wskazówka:** W zadaniu zamkniętym za \(1\) punkt zrób kontrolę sensu przed zaznaczeniem: więcej ludzi to krótszy czas, więcej maszyn to więcej sztuk, praca wspólna to czas krótszy niż czas najszybszego wykonawcy. Ta jedna myśl odrzuca zwykle połowę odpowiedzi.

**Zapamiętaj:** W zadaniu otwartym za \(5\) punktów oceniane są etapy rozwiązania, nie sam wynik: oznaczenie niewiadomej z jednostką, poprawne równanie, jego rozwiązanie, odrzucenie pierwiastka sprzecznego z treścią i odpowiedź z jednostką. Zapisuj równanie nawet wtedy, gdy nie umiesz go dokończyć. Jak dokładnie dzieli się punkty, przeczytasz we wpisie o [punktowaniu zadań na maturze](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Co musisz umieć

- Rozpoznać, czy zadanie dotyczy proporcjonalności odwrotnej, prostej, czy pracy wspólnej.
- Zamienić godziny i minuty na jedną jednostkę, także na ułamek zwykły.
- Zapisać wydajność jako 1 podzielone przez czas i dodać wydajności pracujących razem.
- Przetłumaczyć „o 10 dni krócej” i „o 20% większa wydajność” na wyrażenia z niewiadomą.
- Rozwiązać równanie wymierne i równanie kwadratowe, które z niego wychodzi.
- Odrzucić pierwiastek sprzeczny z dziedziną i uzasadnić to jednym zdaniem.
- Wrócić do pytania i podać odpowiedź w jednostce z treści.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zacznij od zadania o ekipie wymieniającej tory kolejowe (matura próbna grudzień 2014, zadanie 11): znów działa proporcjonalność odwrotna, tym razem z pytaniem o liczbę dodatkowych osób. Dwa kolejne to krótkie zadania zamknięte z tego samego działu, o liczeniu liczb o zadanych cyfrach, nie o pracy: potraktuj je jako rozgrzewkę na jeden punkt. Niżej stoją też trzy zadania otwarte z przykładów, żebyś mógł rozwiązać je jeszcze raz od zera na ich własnych stronach. Więcej zadań znajdziesz w dziale [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste), a cały arkusz z przykładu 2 na stronie [matury z sierpnia 2022](/exams/matura-sierpien-2022).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z liczb rzeczywistych (/losuj)

## Najczęstsze pytania o zadania na wspólną pracę

### Jak ułożyć równanie do zadania o wspólnej pracy?

Oznacz czas jednego wykonawcy jako \(x\), drugi czas wyraź przez \(x\) zgodnie z treścią (na przykład \(x - 10\)), zapisz wydajności \(\frac{1}{x}\) i \(\frac{1}{x-10}\), a potem przyrównaj ich sumę do \(\frac{1}{t}\), gdzie \(t\) to czas pracy wspólnej. Cała praca to \(1\), więc równanie ma postać \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{t}\).

### Dlaczego w zadaniach o pracy dodaje się odwrotności czasów?

Bo odwrotność czasu to wydajność, czyli część pracy wykonana w jednostce czasu, a wydajności osób pracujących jednocześnie się sumują. Czasy się nie sumują: dwie osoby razem kończą szybciej niż każda z osobna, więc równanie na samych czasach nie miałoby sensu.

### Jak policzyć, w jakim czasie dwie osoby wykonają pracę razem?

Jeśli pierwsza potrzebuje \(a\) godzin, a druga \(b\) godzin, czas wspólny to \(t = \frac{ab}{a+b}\). Dla \(a = 6\) i \(b = 12\) dostajesz \(t = \frac{72}{18} = 4\) godziny. Wynik zawsze wychodzi krótszy niż mniejszy z czasów, co jest szybką kontrolą.

### Czy wydajność większa o 20% oznacza czas krótszy o 20%?

Nie. Wydajność większa \(1{,}2\) razy daje czas równy \(\frac{1}{1{,}2} = \frac{5}{6}\) czasu wyjściowego, czyli krótszy o \(\frac{1}{6}\), około \(16{,}7\%\). Procent w treści odnosi się do wielkości, przy której stoi, i na drugą wielkość przenosisz go przez odwrotność, a nie przepisujesz.

### Co zrobić, gdy równanie kwadratowe daje dwa dodatnie pierwiastki?

Sprawdź każdy z nich w treści, nie tylko w równaniu. W zadaniu z matury próbnej z lutego 2014 pierwiastki to \(4\) i \(30\), oba dodatnie, ale dla \(x = 4\) czas drugiego robotnika \(x - 10\) wychodzi ujemny. Zapisz dziedzinę na początku (tutaj \(x > 10\)) i odrzuć pierwiastek jednym zdaniem, bo to osobny etap rozwiązania.

### Jak zamienić godziny i minuty na ułamek godziny?

Minuty podziel przez \(60\) i skróć: \(20\) minut to \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) godziny, więc \(6\) godzin \(20\) minut to \(\frac{19}{3}\) godziny, a \(1\) godzina \(40\) minut to \(\frac{5}{3}\) godziny. Zapis dziesiętny \(6{,}2\) jest błędny, bo \(0{,}2\) godziny to \(12\) minut, nie \(20\).

### Czy zadania o pracy różnią się od zadań o prędkości?

Tylko nazwami wielkości. W ruchu droga to prędkość razy czas, w pracy wykonana część to wydajność razy czas, a cała praca gra rolę drogi równej \(1\). Schemat, dziedzina i pułapki z pierwiastkiem są te same, dlatego warto ćwiczyć oba typy razem, tak jak we wpisie o [zadaniach z prędkością, drogą i czasem](/zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie).


---
route: /trojkat-rownoramienny-w-ukladzie-wspolrzednych-matura-rozszerzona
title: Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych - matura rozszerzona: wierzchołek na symetralnej podstawy, pole i prosta z ramieniem
description: Zadanie za 6 punktów z matury rozszerzonej krok po kroku: wierzchołek C na symetralnej podstawy, pole z odległości od prostej i dwa trójkąty w odpowiedzi.
author: Filip Maszota
---

# Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych - matura rozszerzona: wierzchołek na symetralnej podstawy, pole i prosta z ramieniem

W trójkącie równoramiennym \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\), wierzchołek \(C\) leży na symetralnej podstawy \(AB\), bo jest jednakowo oddalony od obu jej końców. Dlatego zadanie z matury rozszerzonej rozwiązujesz jednym schematem: liczysz środek podstawy i równanie symetralnej, a potem szukasz na niej punktu \(C\), który spełnia drugi warunek z treści (leży na danej prostej, daje zadane pole albo pasuje do okręgu). Gdy zamiast całej podstawy masz tylko wierzchołek \(A\), prostą zawierającą ramię \(BC\) i pole, wysokością jest odległość punktu \(A\) od tej prostej, z pola wyznaczasz długość ramienia, a warunek \(|AC| = |BC|\) daje równanie kwadratowe z dwoma położeniami \(C\).

To jeden z droższych typów zadań w arkuszu rozszerzonym. W [arkuszu z maja 2022](/exams/matura-rozszerzona-maj-2022) zadanie 14 o trójkącie równoramiennym z polem \(15\) było warte \(6\) punktów, tyle samo co zadanie 7 z maja 2010 z niemal identyczną treścią i zadanie 14 z maja 2018 z okręgiem wpisanym. W czerwcu 2016 (zadanie 16) i w [maju 2026](/exams/matura-rozszerzona-maj-2026) (zadanie 9) ten sam pomysł kosztował \(5\) punktów. Pięć zadań, jedna własność geometryczna i kilka wzorów, które znasz z podstawy. Niżej masz schemat, komplet wzorów i wszystkie pięć zadań rozwiązanych do końca, razem z drugim trójkątem, o którym łatwo zapomnieć.

## Dlaczego wierzchołek C leży na symetralnej podstawy

Symetralna odcinka to zbiór punktów równo oddalonych od jego końców. Skoro \(|AC| = |BC|\), to \(C\) jest równo oddalony od \(A\) i od \(B\), więc leży na symetralnej odcinka \(AB\). Ta jedna obserwacja zamienia warunek „trójkąt równoramienny" na równanie prostej, a szukanie \(C\) na przecięcie tej prostej z drugim warunkiem z treści.

Z tej samej własności wynika reszta: wysokość poprowadzona z \(C\) na podstawę \(AB\) leży na symetralnej, więc jest jednocześnie środkową (trafia w środek \(S\) podstawy), dwusieczną kąta \(ACB\) i osią symetrii trójkąta. Na osi symetrii leżą też środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego, co wykorzystuje zadanie z maja 2018. Własności bez współrzędnych (kąty przy podstawie, wysokość z Pitagorasa) masz zebrane we wpisie o [trójkącie równoramiennym w planimetrii](/trojkat-rownoramienny-wlasnosci-wysokosc-katy-pole-zadania-matura); tutaj zajmujemy się wyłącznie wersją z układem współrzędnych.

## Schemat rozwiązania w czterech krokach

Schemat jest ten sam niezależnie od tego, czy szukasz \(C\), \(B\), pola czy równania okręgu: zapisz symetralną podstawy, dołóż drugi warunek z treści, rozwiąż układ i sprawdź każde rozwiązanie z resztą treści. Różnią się tylko dane wejściowe.

1. **Środek i kierunek podstawy.** Ze współrzędnych \(A\) i \(B\) policz [środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne) \(S\) oraz współczynnik kierunkowy \(a_{AB}\).
2. **Równanie symetralnej.** Prosta przez \(S\) prostopadła do \(AB\) ma współczynnik \(-\frac{1}{a_{AB}}\) (szczegóły [warunku prostopadłości](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania) są osobno). Jeśli podstawa jest pozioma, symetralna to \(x = x_S\); jeśli pionowa, \(y = y_S\).
3. **Punkt C z drugiego warunku.** Gdy ramię leży na danej prostej, \(C\) to [punkt przecięcia](/punkt-przeciecia-dwoch-prostych-jak-obliczyc) symetralnej z tą prostą. Gdy dane jest pole, z \(P = \frac{1}{2}|AB| \cdot h\) liczysz wysokość \(h\) i szukasz na symetralnej punktu oddalonego od \(S\) o \(h\). Gdy dany jest okrąg wpisany lub opisany, jego środek leży na symetralnej.
4. **Sprawdzenie obu rozwiązań.** Równanie kwadratowe z kroku 3 daje zwykle dwa punkty \(C\), po jednym z każdej strony podstawy. Odrzucasz tylko ten, który przeczy treści (na przykład „obie współrzędne ujemne"). Jeśli treść nic nie mówi, odpowiedzią są oba trójkąty.

## Trzy warianty zadania i czego szukasz w każdym

Arkusze rozszerzone podają dane na trzy sposoby, a wariant rozpoznajesz po tym, co dostajesz na wejściu: całą podstawę, sam wierzchołek podstawy z prostą ramienia albo wierzchołek podstawy z okręgiem. Pierwszy wariant prowadzi wprost przez symetralną, dwa pozostałe wymagają najpierw odzyskania brakującego elementu.

**Wariant 1: dana podstawa \(AB\) i coś o ramieniu.** Czerwiec 2016 (zadanie 16) podaje prostą z wysokością opuszczoną z \(A\), czyli prostą prostopadłą do \(BC\); maj 2026 (zadanie 9) podaje prostą zawierającą ramię. W obu \(C\) to przecięcie symetralnej \(AB\) z prostą \(BC\).

**Wariant 2: dany wierzchołek \(A\), prosta zawierająca ramię \(BC\) i pole.** Maj 2010 (zadanie 7) i maj 2022 (zadanie 14). Podstawy nie znasz, więc symetralnej nie napiszesz. Zamiast tego: odległość \(A\) od prostej \(BC\) to wysokość opuszczona na ramię, z pola dostajesz \(|BC|\), a skoro \(|AC| = |BC|\), to \(C\) leży na prostej \(BC\) w znanej odległości od \(A\). Wychodzą dwa punkty \(C\), a dla każdego dwa punkty \(B\).

**Wariant 3: dany wierzchołek \(A\) i okrąg wpisany.** Maj 2018 (zadanie 14). Boki \(AB\) i \(AC\) leżą na stycznych do okręgu poprowadzonych z \(A\), a środek okręgu leży na osi symetrii, czyli na symetralnej podstawy. Musisz rozstrzygnąć, która styczna jest podstawą, i robi to za ciebie warunek z treści.

## Wzory

Środek odcinka AB:

$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Współczynnik kierunkowy prostej AB:

$$a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}, \quad x_A \ne x_B$$

Warunek prostopadłości prostych:

$$a_1 \cdot a_2 = -1$$

Równanie symetralnej odcinka AB:

$$y - y_S = -\frac{1}{a_{AB}}(x - x_S)$$

Odległość punktu od prostej:

$$d(P, l) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \quad l: Ax + By + C = 0$$

Pole trójkąta z podstawy i wysokości:

$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$$

Długość odcinka AB:

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Środek odcinka, warunek prostopadłości, odległość punktu od prostej i długość odcinka masz w tablicach; równanie symetralnej składasz z nich sam. Wyprowadzenie tego równania i drugą metodę (z równości \(|PA| = |PB|\)) opisuje wpis o [symetralnej odcinka](/symetralna-odcinka-rownanie-wzor-zadania-matura), a wzór na odległość z przykładami wpis o [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania). Tutaj używamy ich bez ponownego wyprowadzania.

## Przykład 1: Wierzchołek C z symetralnej i prostej ramienia (matura rozszerzona czerwiec 2016, zadanie 16)

**Treść:** Punkty \(A = (-7, -2)\) i \(B = (4, -7)\) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego \(ABC\), a wysokość opuszczona z wierzchołka \(A\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(2x + 19y + 52 = 0\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

**Krok 1: Środek i współczynnik kierunkowy podstawy.**

$$S = \left(\frac{-7 + 4}{2}, \frac{-2 - 7}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{9}{2}\right), \qquad a_{AB} = \frac{-7 - (-2)}{4 - (-7)} = -\frac{5}{11}$$

**Krok 2: Równanie symetralnej podstawy.** Prosta prostopadła do \(AB\) ma współczynnik \(\frac{11}{5}\) i przechodzi przez \(S\):

$$y + \frac{9}{2} = \frac{11}{5}\left(x + \frac{3}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{11}{5}x - \frac{6}{5}$$

**Krok 3: Prosta zawierająca ramię BC.** Wysokość z \(A\) jest prostopadła do \(BC\) (i faktycznie przechodzi przez \(A\): \(2 \cdot (-7) + 19 \cdot (-2) + 52 = 0\)). Prosta \(2x + 19y + 52 = 0\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{2}{19}\), więc \(BC\) ma współczynnik \(\frac{19}{2}\) i przechodzi przez \(B = (4, -7)\):

$$y + 7 = \frac{19}{2}(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{19}{2}x - 45$$

**Krok 4: Punkt przecięcia symetralnej z prostą BC.** Mnożysz równanie stronami przez \(10\), żeby pozbyć się ułamków:

$$\frac{11}{5}x - \frac{6}{5} = \frac{19}{2}x - 45 \quad \Rightarrow \quad 22x - 12 = 95x - 450 \quad \Rightarrow \quad 73x = 438 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$

Stąd \(y = \frac{19}{2} \cdot 6 - 45 = 12\).

**Krok 5: Sprawdzenie.** \(|AC|^2 = 13^2 + 14^2 = 365\) oraz \(|BC|^2 = 2^2 + 19^2 = 365\), więc ramiona są równe. Równanie z kroku 4 jest liniowe, więc rozwiązanie jest jedno: przecięcie dwóch prostych.

**Odpowiedź:** \(C = (6, 12)\).

## Przykład 2: Ramię na danej prostej i okrąg o środku na ramieniu (matura rozszerzona maj 2026, zadanie 9)

**Treść:** W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (1, -1)\) oraz \(B = (4, 0)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), w którym \(|CA| = |CB|\). Jedno z ramion trójkąta \(ABC\) zawiera się w prostej o równaniu \(x + 2y - 4 = 0\). Na boku \(AC\) tego trójkąta obrano taki punkt \(M\), że \(|AM| : |MC| = 1 : 4\). Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie \(M\) i przechodzi przez punkt \(C\).

**Krok 1: Które ramię leży na prostej.** Podstawiasz oba końce podstawy: dla \(A\) jest \(1 - 2 - 4 = -5 \ne 0\), dla \(B\) jest \(4 + 0 - 4 = 0\). Na prostej leży \(B\), więc to ramię \(BC\).

**Krok 2: Symetralna podstawy AB.**

$$S = \left(\frac{5}{2}, -\frac{1}{2}\right), \qquad a_{AB} = \frac{0 - (-1)}{4 - 1} = \frac{1}{3}$$

Symetralna ma współczynnik \(-3\):

$$y + \frac{1}{2} = -3\left(x - \frac{5}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 7$$

**Krok 3: Wierzchołek C.** Podstawiasz \(y = -3x + 7\) do równania prostej \(BC\):

$$x + 2(-3x + 7) - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad -5x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad y = 1$$

Zatem \(C = (2, 1)\). Kontrola: \(|CA|^2 = 1 + 4 = 5\) i \(|CB|^2 = 4 + 1 = 5\).

**Krok 4: Punkt M i promień.** \(M\) dzieli \(AC\) w stosunku \(1 : 4\), więc leży w jednej piątej drogi od \(A\) do \(C\):

$$M = \left(1 + \frac{1}{5}(2 - 1), \ -1 + \frac{1}{5}(1 - (-1))\right) = \left(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}\right)$$

Promień to \(|MC| = \frac{4}{5}|AC| = \frac{4}{5}\sqrt{5}\), czyli \(r^2 = \frac{16}{25} \cdot 5 = \frac{16}{5}\).

**Odpowiedź:** \(\left(x - \frac{6}{5}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{5}\).

## Przykład 3: Wierzchołek A, prosta z ramieniem BC i pole 15 (matura rozszerzona maj 2010, zadanie 7)

**Treść:** Punkt \(A = (-2, 5)\) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) jest zawarty w prostej o równaniu \(y = x + 1\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\).

**Krok 1: Wysokość opuszczona z A na ramię BC.** Podstawy nie znasz, więc pole rozpisujesz względem ramienia \(BC\). Wysokość na ten bok to odległość \(A\) od prostej \(x - y + 1 = 0\):

$$h = \frac{|-2 - 5 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$

**Krok 2: Długość ramienia z pola.**

$$15 = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot 3\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad |BC| = \frac{30}{3\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$

Skoro \(|AC| = |BC|\), to również \(|AC| = 5\sqrt{2}\), czyli \(|AC|^2 = 50\).

**Krok 3: Punkt C na prostej w zadanej odległości od A.** Punkt prostej \(y = x + 1\) ma postać \(C = (c, c + 1)\):

$$(c + 2)^2 + (c + 1 - 5)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad (c + 2)^2 + (c - 4)^2 = 50$$

$$2c^2 - 4c + 20 = 50 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 2c - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad (c - 5)(c + 3) = 0$$

**Krok 4: Dwa położenia wierzchołka.** Dla \(c = 5\) jest \(C = (5, 6)\), dla \(c = -3\) jest \(C = (-3, -2)\). Kontrola drugiego: \(|AC|^2 = (-3 + 2)^2 + (-2 - 5)^2 = 1 + 49 = 50\). Treść nie wyklucza żadnego z nich, więc odpowiedzią są oba punkty.

**Odpowiedź:** \(C = (5, 6)\) lub \(C = (-3, -2)\).

## Przykład 4: Ten sam schemat i cztery pary wierzchołków B, C (matura rozszerzona maj 2022, zadanie 14)

**Treść:** Punkt \(A = (-3, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y = x - 1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

**Krok 1: Wysokość i długość ramienia.** Prosta \(BC\) w postaci ogólnej to \(x - y - 1 = 0\), więc

$$h = \frac{|-3 - 2 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}, \qquad |BC| = \frac{2 \cdot 15}{3\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$$

Te same liczby co w zadaniu z 2010 roku: zmienił się tylko punkt \(A\) i wyraz wolny prostej.

**Krok 2: Wierzchołek C.** \(C = (c, c - 1)\) i \(|AC|^2 = 50\):

$$(c + 3)^2 + (c - 3)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad 2c^2 + 18 = 50 \quad \Rightarrow \quad c^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad c = 4 \ \text{lub} \ c = -4$$

Czyli \(C = (4, 3)\) albo \(C = (-4, -5)\).

**Krok 3: Wierzchołek B na tej samej prostej.** \(B = (b, b - 1)\) leży na prostej \(BC\) w odległości \(5\sqrt{2}\) od \(C\):

$$(b - c)^2 + (b - c)^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad (b - c)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad b = c + 5 \ \text{lub} \ b = c - 5$$

Dla \(C = (4, 3)\): \(B = (9, 8)\) lub \(B = (-1, -2)\). Dla \(C = (-4, -5)\): \(B = (1, 0)\) lub \(B = (-9, -10)\).

**Krok 4: Sprawdzenie pola.** Dla \(C = (4, 3)\) i \(B = (-1, -2)\): \(|BC| = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}\), wysokość na \(BC\) to nadal \(3\sqrt{2}\), więc \(P = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 15\). Każda z czterech par daje ten sam wynik, bo \(B\) zawsze leży na tej samej prostej w tej samej odległości od \(C\).

**Odpowiedź:** Cztery trójkąty: \(C = (4, 3)\) z \(B = (9, 8)\) lub \(B = (-1, -2)\), oraz \(C = (-4, -5)\) z \(B = (1, 0)\) lub \(B = (-9, -10)\).

## Przykład 5: Okrąg wpisany i wierzchołek o ujemnych współrzędnych (matura rozszerzona maj 2018, zadanie 14)

**Treść:** Punkt \(A = (7, -1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) ma równanie \(x^2 + y^2 = 10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

**Krok 1: Styczne z punktu A.** Boki \(AB\) i \(AC\) leżą na stycznych do okręgu o środku \(O = (0, 0)\) i promieniu \(\sqrt{10}\), przechodzących przez \(A\). Prosta \(y + 1 = m(x - 7)\), czyli \(mx - y - 7m - 1 = 0\), jest styczna, gdy jej odległość od \(O\) równa się promieniowi:

$$\frac{|-7m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{10} \quad \Rightarrow \quad (7m + 1)^2 = 10(m^2 + 1) \quad \Rightarrow \quad 39m^2 + 14m - 9 = 0$$

$$\Delta = 196 + 1404 = 1600, \quad m_1 = \frac{-14 + 40}{78} = \frac{1}{3}, \quad m_2 = \frac{-14 - 40}{78} = -\frac{9}{13}$$

Styczne: \(y = \frac{1}{3}x - \frac{10}{3}\), czyli \(x - 3y - 10 = 0\), oraz \(y = -\frac{9}{13}x + \frac{50}{13}\), czyli \(9x + 13y - 50 = 0\).

**Krok 2: Środek okręgu wpisanego leży na osi symetrii.** Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta \(ACB\), a w trójkącie równoramiennym ta dwusieczna to oś symetrii, czyli symetralna podstawy \(AB\). Zatem prosta \(OC\) jest prostopadła do \(AB\) i przechodzi przez \(O = (0, 0)\). Nie wiesz jeszcze, która styczna zawiera podstawę, więc rozpatrujesz oba przypadki.

**Krok 3: Przypadek pierwszy, podstawa na prostej x - 3y - 10 = 0.** Oś symetrii jest do niej prostopadła i przechodzi przez \(O\): \(y = -3x\). Wierzchołek \(C\) to jej przecięcie z drugą styczną \(9x + 13y - 50 = 0\):

$$9x - 39x - 50 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{3}, \quad y = 5$$

Współrzędna \(y = 5\) jest dodatnia, więc ten przypadek odpada.

**Krok 4: Przypadek drugi, podstawa na prostej 9x + 13y - 50 = 0.** Oś symetrii: \(y = \frac{13}{9}x\). Przecięcie ze styczną \(x - 3y - 10 = 0\):

$$x - \frac{13}{3}x - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{10}{3}x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = -3, \quad y = -\frac{13}{3}$$

Obie współrzędne są ujemne, więc \(C = \left(-3, -\frac{13}{3}\right)\).

**Krok 5: Wierzchołek B jako odbicie A względem osi.** Środek podstawy \(S\) to przecięcie osi \(y = \frac{13}{9}x\) z prostą \(AB\):

$$9x + 13 \cdot \frac{13}{9}x - 50 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{250}{9}x = 50 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{5}, \quad y = \frac{13}{5}$$

\(S\) jest środkiem \(AB\), więc \(B = 2S - A = \left(\frac{18}{5} - 7, \frac{26}{5} + 1\right) = \left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)\).

**Krok 6: Kontrola ramion.** \(|AC|^2 = 10^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{1000}{9}\) oraz \(|BC|^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{158}{15}\right)^2 = \frac{36}{225} + \frac{24964}{225} = \frac{25000}{225} = \frac{1000}{9}\). Ramiona równe, warunek o znakach spełniony.

**Odpowiedź:** \(B = \left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)\), \(C = \left(-3, -\frac{13}{3}\right)\).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Symetralna przez wierzchołek zamiast przez środek. Prosta prostopadła do \(AB\) poprowadzona przez \(A\) to nie symetralna, bo nie przechodzi przez środek \(S\) podstawy. Nie jest to też wysokość z \(A\): ta jest prostopadła do ramienia \(BC\), nie do podstawy (taka wysokość pojawia się w zadaniu z czerwca 2016). Symetralna przechodzi przez środek \(S\) podstawy i tylko na niej leży \(C\).

**Pułapka 2:** Zgubiony drugi trójkąt. Równanie kwadratowe ma zwykle dwa pierwiastki, a każdy daje inne położenie \(C\): po przeciwnych stronach podstawy albo po dwóch stronach rzutu \(A\) na prostą ramienia. W maju 2022 pełna odpowiedź to cztery pary punktów. Odrzucasz rozwiązanie tylko wtedy, gdy przeczy treści, jak dodatnia współrzędna \(y\) wierzchołka w maju 2018.

**Pułapka 3:** Wysokość mylona z ramieniem. Gdy dana jest prosta zawierająca ramię \(BC\), odległość \(A\) od tej prostej to wysokość opuszczona na ramię, nie długość ramienia i nie wysokość z \(C\). Z pola liczysz wtedy \(|BC|\), a dopiero z warunku \(|AC| = |BC|\) szukasz \(C\).

**Pułapka 4:** Pole jako iloczyn boków. \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) wymaga wysokości prostopadłej do wybranego boku. Iloczyn dwóch boków bez sinusa kąta między nimi to nie pole. Jeśli chcesz ominąć wysokość, użyj wzoru ze współrzędnych trzech wierzchołków (zestawienie masz w [8 wzorach na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne)).

**Pułapka 5:** Znak w odległości punktu od prostej. Prostą najpierw zapisujesz w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\). Dla \(y = x + 1\) jest to \(x - y + 1 = 0\), a nie \(x + y + 1 = 0\). Wartość bezwzględna w liczniku chroni przed znakiem wyniku, ale nie przed złym znakiem współczynnika.

**Uwaga:** Rachunki na ułamkach bez wspólnego mianownika. W zadaniu z 2016 roku równanie \(\frac{11}{5}x - \frac{6}{5} = \frac{19}{2}x - 45\) mnożysz stronami przez \(10\), zanim cokolwiek przeniesiesz. Współrzędne \(\left(-\frac{17}{5}, \frac{31}{5}\right)\) z 2018 roku są poprawne, choć wyglądają nieelegancko; brzydki wynik to nie sygnał błędu, sygnałem jest niespełniony warunek \(|AC| = |BC|\).

**Zapamiętaj:** Na końcu każdego zadania sprawdzasz trzy rzeczy: czy \(|AC| = |BC|\), czy pole albo inny warunek liczbowy się zgadza i czy wynik nie przeczy słownemu warunkowi z treści. Trzy podstawienia zajmują minutę i ratują punkty za końcowy wynik.

## Co musisz umieć

- Wyprowadzić równanie symetralnej odcinka ze środka i współczynnika prostej prostopadłej.
- Zapisać prostą w postaci ogólnej i policzyć odległość punktu od prostej.
- Z pola i wysokości wyznaczyć długość boku, a z warunku równych ramion ułożyć równanie kwadratowe.
- Znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych, także z ułamkowymi współczynnikami.
- Wyznaczyć równania stycznych do okręgu przechodzących przez dany punkt.
- Wskazać, że środek okręgu wpisanego i opisanego leży na osi symetrii trójkąta równoramiennego.
- Znaleźć drugi wierzchołek podstawy jako odbicie pierwszego względem osi symetrii.
- Sprawdzić oba rozwiązania z warunkami z treści i odrzucić tylko te sprzeczne.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania poniżej używają tych samych narzędzi w innych figurach: środek okręgu przechodzącego przez dwa punkty leży na symetralnej ich odcinka (maj 2017), oś symetrii trapezu równoramiennego działa jak symetralna obu podstaw (czerwiec 2011), a w rombie odległość wierzchołka od przekątnej to połowa drugiej przekątnej (czerwiec 2019). Każde otwiera się na własnej stronie. Treści zadań są za darmo, a rozwiązania krok po kroku do zadań rozszerzonych odblokowuje [pakiet Premium+](/payment/checkout). Wszystkie zadania działu znajdziesz na stronie [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna), a mapę tematów rozszerzenia w [hubie matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona) i we wpisie o [wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z geometrii analitycznej (/losuj)

## Najczęstsze pytania o trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych

### Jak wyznaczyć współrzędne wierzchołka C trójkąta równoramiennego?

Napisz równanie symetralnej podstawy \(AB\) (prosta przez środek \(S\), prostopadła do \(AB\)) i dołóż drugi warunek z treści. Jeśli ramię leży na danej prostej, \(C\) to punkt przecięcia symetralnej z tą prostą. Jeśli dane jest pole, policz wysokość \(h = \frac{2P}{|AB|}\) i znajdź na symetralnej punkt oddalony od \(S\) o \(h\); wyjdą dwa punkty, po jednym z każdej strony podstawy.

### Dlaczego w zadaniu o trójkącie równoramiennym wychodzą dwa rozwiązania?

Bo warunek \(|AC| = |BC|\) razem z polem albo z odległością prowadzi do równania kwadratowego, a wierzchołek \(C\) może leżeć po obu stronach podstawy (albo po obu stronach rzutu \(A\) na prostą ramienia). W maju 2010 były dwa punkty \(C\), w maju 2022 cztery pary \(B\) i \(C\). Rozwiązanie odrzucasz tylko wtedy, gdy przeczy warunkowi z treści, na przykład o znaku współrzędnych.

### Co zrobić, gdy dany jest wierzchołek A i prosta zawierająca ramię BC, a nie podstawa?

Policz odległość \(A\) od tej prostej: to wysokość opuszczona na ramię \(BC\). Z pola wyznacz \(|BC|\), a ponieważ \(|AC| = |BC|\), szukaj na prostej punktu \(C\) oddalonego od \(A\) o tę długość. Zapisz \(C\) jednym parametrem (na przykład \(C = (c, c + 1)\)) i rozwiąż równanie kwadratowe. Potem \(B\) leży na tej samej prostej w odległości \(|BC|\) od \(C\).

### Czy środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na symetralnej podstawy?

Tak. Środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznej kąta między ramionami, a w trójkącie równoramiennym ta dwusieczna pokrywa się z wysokością, środkową i symetralną podstawy. To samo dotyczy środka okręgu opisanego, który jako punkt równo oddalony od \(A\) i \(B\) zawsze leży na symetralnej \(AB\). W zadaniu z maja 2018 ta własność daje prostą \(OC\) prostopadłą do podstawy.

### Jak sprawdzić, które z dwóch rozwiązań jest poprawne?

Podstaw każde do wszystkich warunków z treści: równość ramion, pole, przynależność do prostej i warunki słowne (znak współrzędnych, położenie w ćwiartce). Jeśli oba przechodzą, oba są odpowiedzią i oba zapisujesz. Odrzucenie poprawnego rozwiązania bez uzasadnienia kosztuje tyle samo co jego zgubienie.

### Ile punktów można dostać za takie zadanie na maturze rozszerzonej?

W arkuszach CKE zadania tego typu były warte \(5\) punktów (czerwiec 2016, zadanie 16; maj 2026, zadanie 9) albo \(6\) punktów (maj 2010, zadanie 7; maj 2018, zadanie 14; maj 2022, zadanie 14). Zapisuj więc każdy etap osobno: symetralną albo wysokość z pola, równanie kwadratowe i sprawdzenie obu rozwiązań z warunkami z treści.

### Czy zamiast symetralnej można użyć równania |AC| = |BC| wprost?

Tak. Zapisujesz \(C = (x, y)\), podnosisz obie odległości do kwadratu i porównujesz; kwadraty \(x^2\) i \(y^2\) się skracają i zostaje równanie liniowe, czyli dokładnie równanie symetralnej. Ta droga omija współczynnik kierunkowy, więc przydaje się, gdy podstawa jest pionowa albo gdy wolisz unikać ułamków w nachyleniu.


---
route: /zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo
title: Zadania maturalne z matematyki online za darmo - gdzie rozwiązywać z rozwiązaniami
description: Gdzie rozwiązywać zadania maturalne z matematyki online za darmo? Baza zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku, kryteria dobrego serwisu i plan ćwiczeń.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania maturalne z matematyki online za darmo - gdzie rozwiązywać z rozwiązaniami

Chcesz ćwiczyć zadania maturalne z matematyki, ale nie masz ochoty kupować kolejnego zbioru, który po tygodniu wyląduje na półce? Dobra wiadomość: dziś większość materiału da się przerobić online, za darmo, z telefonu albo laptopa. Gorsza wiadomość: nie każda darmowa strona jest warta twojego czasu. W tym tekście pokażę ci, gdzie realnie rozwiązywać zadania maturalne online za darmo, po czym poznać dobry darmowy zbiór zadań z rozwiązaniami i jak ćwiczyć, żeby to się przełożyło na punkty na egzaminie, a nie tylko na poczucie, że "coś robiłeś".

To poradnik, nie ranking konkretnych firm. Jeśli szukasz porównania całych platform i aplikacji, zajrzyj do tekstu [najlepsze aplikacje i strony do nauki matematyki na maturę](/najlepsze-aplikacje-strony-do-nauki-matematyki-matura) albo do [rankingu platform do nauki matematyki](/ranking-platform-do-nauki-matury-matematyka). Tutaj skupiam się na jednym: darmowym rozwiązywaniu zadań CKE online.

## Dlaczego teraz jest najlepszy moment, żeby zacząć

Termin głównej matury to 5 maja 2027, a wyniki poznasz 9 lipca 2027. Jeśli po egzaminie poczujesz, że poszło słabo, zostają dwie ścieżki: poprawka 23 sierpnia 2027 (matematyka to najczęściej poprawiany przedmiot) albo spokojne przygotowanie do kolejnego podejścia. Jeśli dopiero wchodzisz w rok maturalny, każdy tydzień od dziś jest tygodniem, w którym bez stresu nadrobisz podstawy. W obu przypadkach darmowe ćwiczenie online jest twoim najtańszym narzędziem.

Plan na sierpniową poprawkę rozpisałem osobno w tekście [matura poprawkowa z matematyki - termin i zasady](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady). Tu zajmujemy się samym ćwiczeniem.

## Dlaczego ćwiczyć online, a nie tylko z papieru

Papierowy zbiór ma jedną zaletę: nie kusi cię telefon. Ale ma też wady, których online nie ma.

Po pierwsze, **rozwiązania**. W typowym zbiorze na końcu masz same odpowiedzi, czyli gołe "x = 3". A na maturze w zadaniach otwartych punkty dostajesz za metodę, nie za wynik. Online dobre serwisy pokazują pełne rozwiązanie krok po kroku, więc widzisz, gdzie popełniłeś błąd.

Po drugie, **filtrowanie po dziale**. W papierowym zbiorze szukasz zadań z konkretnego tematu, kartkując. Online klikasz dział i masz wszystkie zadania w jednym miejscu, na przykład [stereometria](/topics/stereometria) albo [planimetria](/topics/planimetria).

Po trzecie, **natychmiastowa pomoc**. Utknąłeś o 23:00? Wrzucasz zadanie do [solvera](/solve) i dostajesz rozwiązanie od razu, zamiast czekać do lekcji. O tym, jak robić to mądrze, piszę w tekście [solver matematyczny online](/solver-matematyczny-online-rozwiaz-zadanie-maturalne-ze-zdjecia).

## Czego szukać w darmowym zbiorze zadań online

Zanim zaufasz jakiejkolwiek darmowej stronie, sprawdź te kryteria. To one decydują, czy ćwiczenie przełoży się na punkty.

| Kryterium | Dlaczego ważne | Czerwona flaga |
|---|---|---|
| Rozwiązania krok po kroku | Punkty dostajesz za metodę, nie za wynik | tylko odpowiedzi, brak rozumowania |
| Zadania z prawdziwych arkuszy CKE | Ćwiczysz dokładnie ten poziom co na egzaminie | losowe zadania "z internetu" bez źródła |
| Podział na działy | Możesz wałkować słaby temat, nie losowo | jeden wielki worek bez kategorii |
| Aktualna formuła 2023 | Stare zadania mają inny format | arkusze tylko sprzed 2015 |
| Dostęp mobilny | Uczysz się z telefonu, gdy masz chwilę | strona nie działa na komórce |
| Realnie darmowy dostęp | Ćwiczysz, zanim cokolwiek zapłacisz | "darmowe" tylko 3 zadania, reszta za paywallem |

Jeśli strona daje ci tylko odpowiedzi bez rozwiązań, jest słabym narzędziem do nauki. Zobaczysz, że masz źle, ale nie dowiesz się dlaczego, a to dlaczego jest całą wartością.

## Gdzie rozwiązywać zadania maturalne online za darmo

Bądźmy uczciwi: dobrych darmowych źródeł jest kilka i warto z nich korzystać równolegle. Każde ma inną mocną stronę.

**Oficjalna strona CKE.** Tam znajdziesz prawdziwe arkusze i zasady oceniania w PDF. To źródło prawdy, ale surowe: brak interaktywności, brak filtrowania po dziale, rozwiązania w osobnym pliku. Świetne na finałowe próby "na czas", słabsze do codziennego ćwiczenia pojedynczych typów zadań. Komplet arkuszy z linkami zebraliśmy w tekście [arkusze maturalne 2010-2025 - kompletna baza](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

**Duże portale z zadaniami.** Serwisy takie jak zadania.info mają ogromne bazy i generatory zestawów. Minus bywa taki, że przy wielu zadaniach dostajesz wskazówkę albo samą odpowiedź zamiast pełnego rozwiązania, a interfejs bywa archaiczny.

**Serwisy z teorią i wideo.** Matemaks i podobne to dobre miejsca, jeśli najpierw musisz zrozumieć temat, bo stawiają na wykłady i lekcje. Do masowego rozwiązywania zadań CKE z kluczem nadają się słabiej, bo nie są zbudowane wokół bazy arkuszy.

**Nasza platforma sprawnamatura.pl.** Łączymy to, co u innych bywa rozproszone: baza ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE, podział na działy, rozwiązania krok po kroku i solver, a większość treści jest dostępna za darmo. Niżej rozpisuję dokładnie, co dostajesz bez płacenia.

Najlepsza strategia? Nie wybieraj jednego. Arkusze "na czas" rób z CKE, codzienne ćwiczenie pojedynczych typów - tam, gdzie masz rozwiązania krok po kroku i podział na działy.

## Co znajdziesz za darmo na sprawnamatura.pl

Konkretnie, bez owijania w bawełnę. Za darmo, bez zakładania konta, możesz:

- **Losować zadania CKE** ze [strony losowego zadania](/random) i rozwiązywać je jedno po drugim.
- **Ćwiczyć konkretny dział** na stronach tematów, na przykład [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) czy [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna).
- **Sprawdzać wzory** w [tablicach maturalnych](/formulas), tych samych, które masz na egzaminie.
- **Wrzucić zadanie do solvera** na stronie [solve](/solve) i zobaczyć rozwiązanie krok po kroku.
- **Czytać przewodniki po działach**, na przykład świeży hub [zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami), gdzie sześć zadań rozpisujemy od początku do końca.

Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku i funkcji nauki daje abonament Premium - aktualne plany i ceny sprawdzisz na stronie [płatności](/payment/checkout). Ale żeby zacząć ćwiczyć, nie musisz płacić ani złotówki.

## Jak ćwiczyć online, żeby to miało sens

Samo "klikanie zadań" to za mało. Trzymaj się prostego planu, a darmowe ćwiczenie zacznie realnie podnosić ci wynik.

1. **Zacznij od jednego działu.** Wybierz temat, który kuleje najbardziej, i zrób z niego 15-20 zadań pod rząd, zamiast skakać po wszystkim. Mózg uczy się schematu, gdy widzi go wiele razy z rzędu.
2. **Najpierw walcz sam, potem zaglądaj do rozwiązania.** Daj sobie minimum 5 minut na zadanie. Dopiero gdy utkniesz, otwórz rozwiązanie krok po kroku.
3. **Czytaj rozwiązanie aktywnie.** Zasłoń kolejny krok i zgadnij, co będzie dalej. Trafiłeś? Dobrze. Nie? To jest luka do załatania. Zapisz ją jednym zdaniem jako regułę, na przykład „przy prostych prostopadłych iloczyn współczynników kierunkowych wynosi minus jeden”.
4. **Po rozwiązaniu zrób drugie, podobne zadanie bez pomocy.** Jeśli nie umiesz, to znaczy, że przeczytałeś, ale się nie nauczyłeś.
5. **Co kilka dni rób arkusz na czas.** Pojedyncze zadania to trening, ale maturę zdajesz na całym arkuszu w 180 minut. Symulację egzaminu odpalisz w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke).
6. **Śledź postępy.** Bez tego nie wiesz, co już umiesz. Podgląd masz na stronie [postępy](/progress).

Cały plan samodzielnej nauki, bez wydawania fortuny na korepetycje, rozpisałem w tekście [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

## Bierne czytanie kontra aktywna nauka

| Co robisz | Efekt po tygodniu | Punkty na maturze |
|---|---|---|
| Czytasz gotowe rozwiązania jak artykuł | Pamiętasz „ogólnie”, ale nie umiesz zacząć | Niskie, bo gubisz kroki |
| Oglądasz filmy i kiwasz głową | Złudzenie zrozumienia | Słabe, brak samodzielności |
| Rozwiązujesz sam, potem sprawdzasz krok po kroku | Umiesz zacząć i dokończyć | Wysokie, bo znasz strukturę |
| Wracasz do błędnych typów po 2 dniach | Trwała pamięć | Najwyższe |

## Zadania zamknięte i otwarte - ucz się ich inaczej

Przy zadaniach zamkniętych trenuj szybkość i eliminację odpowiedzi. Często szybciej jest podstawić odpowiedzi do warunku, niż liczyć od zera, a rząd wielkości pozwala od razu odrzucić bezsensowne opcje. Ćwicz to na [losowych zadaniach](/random), mierząc czas.

Przy zadaniach otwartych liczy się zapis. Egzaminator punktuje kolejne kroki: metodę, obliczenia i wniosek, więc nawet z błędem rachunkowym dostaniesz punkty za poprawną metodę. Czytając rozwiązania krok po kroku, patrz, jak zapisano przejścia, a nie tylko jaki wyszedł wynik.

## Plan na 6 tygodni

- **Tydzień 1-2:** wybierz 3 najsłabsze działy w [postępach](/progress) i rób po 5 zadań dziennie metodą aktywną.
- **Tydzień 3-4:** dołóż działy, które idą ci średnio, i zacznij mieszać tematy przez [losowe zadanie](/random), żeby ćwiczyć rozpoznawanie typu.
- **Tydzień 5:** przejdź na pełne [arkusze CKE](/exams) na czas, co dwa, trzy dni, a rozwiązania czytaj dopiero po skończeniu całego arkusza.
- **Tydzień 6:** wróć tylko do zadań, które wcześniej robiłeś źle. W trudnych miejscach pomoże [solver](/solve).

Realny rytm to 30-45 minut dziennie, a liczy się jakość: mniej zadań z analizą błędów daje więcej niż dużo na szybko. Jeśli do matury zostało niewiele czasu, nie rób wszystkiego po kolei. Wybierz działy, które dają dużo pewnych punktów małym kosztem (zwykle procenty, ciągi, funkcja liniowa i statystyka), a trudne zadania otwarte zostaw na koniec.

## Darmowe vs Premium - co realnie dostajesz za darmo

Zero ściemy: większość bazy zadań, w tym zadania zamknięte CKE, losowanie i przewodniki po działach, jest dostępna za darmo. To wystarczy, żeby przerobić ogrom materiału. Płatny plan Premium odblokowuje pełen komplet rozwiązań krok po kroku do wszystkich zadań i dodatkowe funkcje nauki. Jeśli celujesz w wysoki wynik albo na rozszerzenie, dostęp do każdego rozwiązania bywa tym, co robi różnicę. Aktualne ceny abonamentu znajdziesz na stronie [płatności](/payment/checkout). Najpierw jednak po prostu zacznij ćwiczyć za darmo - sam zobaczysz, ile da się zrobić bez płacenia.

## Pułapka darmowej nauki - klikanie bez myślenia

Darmowy dostęp ma jedną ciemną stronę: skoro nic nie kosztuje, łatwo traktować go bez powagi. Otwierasz dwadzieścia zadań, na każde rzucasz okiem, zaglądasz do odpowiedzi i mówisz sobie "umiem". To złudzenie. Rozpoznanie, że "wiem, jak to się robi", to nie to samo co umiejętność zrobienia zadania na czysto, pod presją czasu, na egzaminie.

Test jest brutalnie prosty. Po sesji nauki weź jedno zadanie tego samego typu i zrób je od zera, bez zaglądania do niczego. Umiesz? Wygrałeś. Nie umiesz? To znaczy, że oglądałeś rozwiązania, ale się ich nie nauczyłeś. Darmowe nie znaczy "na luzie" - znaczy "bez bariery wejścia". Wejście masz darmowe, ale pracę i tak musisz wykonać ty. Więcej o pułapkach biernej nauki znajdziesz w tekście [najczęstsze błędy na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

Druga pułapka to rozpraszanie się skakaniem między stronami. Jeden serwis na arkusze, drugi na teorię, trzeci na zadania - i pół godziny schodzi na samym przeklikiwaniu zakładek. Wybierz jedno miejsce na codzienne ćwiczenie i trzymaj się go, a inne źródła traktuj jako uzupełnienie, nie jako kolejne pole do prokrastynacji.

## FAQ - darmowe zadania maturalne online

### Czy naprawdę da się przygotować do matury za darmo?
Tak, do zdania matury podstawowej w dużej mierze tak. Darmowe arkusze CKE plus darmowa baza zadań z podziałem na działy to solidny fundament. Na wyższy wynik i rozszerzenie warto dołożyć pełne rozwiązania krok po kroku.

### Gdzie najlepiej rozwiązywać zadania zamknięte?
Tam, gdzie masz je pogrupowane po działach i z natychmiastowym sprawdzeniem. U nas zadania zamknięte CKE są darmowe - wejdź na [losowe zadanie](/random) i zacznij.

### Czy zadania online są takie jak na prawdziwej maturze?
Jeśli pochodzą z arkuszy CKE - tak. Dlatego sprawdzaj źródło zadań. Nasza baza to ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy, nie przypadkowe zadania z sieci.

### Telefon czy komputer?
Do codziennego ćwiczenia telefon jest świetny, bo robisz po kilka zadań w wolnej chwili. Pełne arkusze na czas lepiej robić przy komputerze albo na wydruku, bliżej warunków egzaminu.

### Czy potrzebuję korepetycji, skoro mam rozwiązania krok po kroku?
Wielu zdających radzi sobie samodzielnie z dobrą bazą zadań i solverem, jeśli rozwiązuje aktywnie i wraca do błędów. Korepetycje mają sens, gdy utkniesz na podstawach i potrzebujesz kogoś, kto wytłumaczy temat od zera.

### Co z poprawką w sierpniu?
Ta sama zasada: ćwicz online za darmo, dział po dziale, a tydzień przed egzaminem rób całe arkusze. Plan masz w tekście [matura poprawkowa](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady).

## Podsumowanie - checklist darmowej nauki online

- Wybierz źródło z rozwiązaniami krok po kroku, nie z samymi odpowiedziami.
- Sprawdź, czy zadania pochodzą z prawdziwych arkuszy CKE.
- Ćwicz dział po dziale, po 15-20 zadań z jednego tematu.
- Najpierw walcz sam, dopiero potem zaglądaj do rozwiązania.
- Co kilka dni rób cały arkusz na czas.
- Śledź postępy, żeby wiedzieć, co jeszcze kuleje.

Gotowy? Wylosuj pierwsze zadanie z [bazy CKE](/random) albo wskocz w konkretny dział, na przykład [zadania CKE ze stereometrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami), i zacznij ćwiczyć już dziś - za darmo.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z logarytmów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE z logarytmów z rozwiązaniami krok po kroku. Wzory, pułapki i przykłady z arkuszy maturalnych. Ćwicz logarytmy online za darmo.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z logarytmów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Logarytmy brzmią groźnie, a na maturze podstawowej to jeden z najbardziej przewidywalnych działów. Jak raz zrozumiesz definicję i pięć wzorów, zgarniasz z tego pewne punkty co roku. W tym miejscu zebraliśmy bazę zadań CKE z logarytmów z rozwiązaniami krok po kroku - wszystkie pochodzą z prawdziwych arkuszy Centralnej Komisji Egzaminacyjnej i możesz je rozwiązywać online za darmo.

Ten wpis to hub: znajdziesz tu wzory, rozwiązane przykłady i linki do setek zadań w naszej [bazie zadań CKE](/topics/logarytmy). Jeśli chcesz od razu ćwiczyć, wskakuj na [losowe zadania z logarytmów](/random) albo wrzuć swoje zadanie do [solvera](/solve).

## Czym jest logarytm - definicja, którą musisz rozumieć, nie kuć

Logarytm to po prostu odpowiedź na pytanie "do której potęgi podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę". Formalnie:

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\) oraz \(b > 0\). Te trzy warunki to nie ozdoba - to najczęstsze źródło błędów w zadaniach otwartych. Podstawa nie może być jedynką ani liczbą ujemną, a logarytmować wolno tylko liczby dodatnie.

Przykład na rozgrzewkę: \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\). I tyle. Cała reszta działu to konsekwencje tej jednej definicji.

## Pięć wzorów, które musisz mieć w małym palcu

Karta wzorów CKE daje Ci własności logarytmów, ale na egzaminie liczy się szybkość, więc warto je znać z głowy. Sprawdź też nasz [pełny spis wzorów na maturę](/formulas), jeśli chcesz mieć wszystko w jednym miejscu.

Logarytm iloczynu:

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

Logarytm ilorazu:

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

Logarytm potęgi:

$$\log_a x^k = k \cdot \log_a x$$

Zmiana podstawy:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Oraz dwie tożsamości, które ratują życie: \(\log_a 1 = 0\), \(\log_a a = 1\) oraz \(a^{\log_a x} = x\). Zapamiętaj: iloczyn zamienia się na sumę, iloraz na różnicę, potęga na mnożenie. Logarytm zawsze "obniża poziom" działania o jeden.

## Baza zadań CKE z logarytmów - co tu znajdziesz

Poniżej masz przegląd typów zadań, które CKE lubi powtarzać. Do każdego typu prowadzą linki do konkretnych zadań z rozwiązaniami.

| Typ zadania | Co trzeba zrobić | Trudność |
| --- | --- | --- |
| Obliczanie logarytmu z definicji | Znaleźć wykładnik potęgi | łatwe |
| Sumy i różnice logarytmów | Sklejać wzorami do jednego logarytmu | średnie |
| Równania logarytmiczne | Zastosować definicję + dziedzina | średnie |
| Nierówności logarytmiczne | Uważać na monotoniczność podstawy | trudniejsze |
| Zadania z treścią (pH, decybele) | Wstawić do wzoru i policzyć | średnie |

Chcesz przerobić je po kolei? Wejdź na stronę działu [Logarytmy - zadania maturalne](/topics/logarytmy) i lecisz zadanie po zadaniu. Postęp śledzisz w [swoim panelu](/progress).

## Zadanie 1: logarytm prosto z definicji

Oblicz \(\log_2 8 + \log_3 \frac{1}{9}\).

Rozbijamy na dwa logarytmy. \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\). Drugi: \(\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2\). Suma:

$$3 + (-2) = 1$$

Odpowiedź: 1. Klucz to zauważenie, że \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\) - ułamki zapisuj jako potęgi ujemne, a logarytm policzysz w głowie.

## Zadanie 2: sklejanie logarytmów wzorami

Oblicz \(\log 2 + \log 50\) (logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10).

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu w drugą stronę - zamiast rozbijać, sklejamy:

$$\log 2 + \log 50 = \log (2 \cdot 50) = \log 100 = 2$$

Odpowiedź: 2. To klasyk CKE - liczby są tak dobrane, żeby po sklejeniu wyszła okrągła potęga dziesiątki. Jeśli widzisz sumę logarytmów o tej samej podstawie, prawie zawsze chodzi o sklejenie.

## Zadanie 3: równanie logarytmiczne z dziedziną

Rozwiąż równanie \(\log_2 (x - 1) = 3\).

Najpierw dziedzina: wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie, więc \(x - 1 > 0\), czyli \(x > 1\). Teraz z definicji logarytmu:

$$x - 1 = 2^3 = 8 \implies x = 9$$

Sprawdzamy z dziedziną: \(9 > 1\), więc rozwiązanie jest poprawne. Odpowiedź: \(x = 9\). Zawsze wypisuj dziedzinę na starcie - w zadaniu za 3-4 punkty jej brak to strata punktu, nawet gdy wynik jest dobry. Więcej metod znajdziesz we wpisie [równania logarytmiczne na maturze](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne).

## Najczęstsze pułapki na maturze

Uczniowie tracą tu punkty głównie na czterech rzeczach. Po pierwsze - brak dziedziny w równaniach i nierównościach. Po drugie - mylenie \(\log_a (x + y)\) z \(\log_a x + \log_a y\). To pierwsze NIE upraszcza się w żaden prosty sposób, a drugie to logarytm iloczynu. Po trzecie - przy nierównościach logarytmicznych zapominanie, że gdy podstawa jest z przedziału \((0, 1)\), znak nierówności się odwraca. Po czwarte - błędy rachunkowe przy zamianie ułamków na potęgi.

Jeśli nierówności logarytmiczne to Twoja pięta achillesowa, przerób osobno [jak rozwiązać nierówność logarytmiczną](/jak-rozwiazac-nierownosc-logarytmiczna-metody-matura). A jeśli dopiero zaczynasz, zacznij od podstaw w [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku).

## FAQ - logarytmy na maturze

### Czy logarytmy są na maturze podstawowej?
Tak, praktycznie co roku pojawia się przynajmniej jedno zadanie zamknięte z obliczania logarytmu i często jedno z własności.

### Ile zadań z logarytmów jest w bazie CKE?
W naszej [bazie zadań](/topics/logarytmy) mamy kilkadziesiąt zadań z logarytmów z pełnymi rozwiązaniami, od arkuszy z lat 2013-2019 po najnowsze arkusze 2025.

### Czy muszę znać zamianę podstawy?
Na poziomie podstawowym rzadko, ale warto - czasem to najkrótsza droga do wyniku. Na rozszerzeniu jest obowiązkowa.

## Co dalej - ćwicz, aż logarytmy staną się nudne

Teoria to 20 procent sukcesu. Reszta to powtórzenia. Wejdź na [zadania z logarytmów](/topics/logarytmy) i rozwiąż serię, aż zaczniesz robić je automatycznie. Utknąłeś na jednym? Wrzuć je do [solvera](/solve), który pokaże rozwiązanie krok po kroku. Chcesz mieszankę działów jak na prawdziwym egzaminie? Odpal [losowe zadania CKE](/random).

Planujesz naukę na dłużej? Sprawdź [jak uczyć się matematyki w wakacje przed maturą](/jak-uczyc-sie-matematyki-w-wakacje-przed-matura) - rozpisaliśmy tam gotowy plan, w którym logarytmy są jednym z pierwszych działów do ogarnięcia. Większość bazy zadań jest za darmo, a pełny dostęp do wszystkich rozwiązań i trybów nauki daje [abonament Premium](/payment/checkout).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-funkcja-wykladnicza-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z funkcji wykładniczej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE z funkcji wykładniczej z rozwiązaniami krok po kroku: definicja, monotoniczność, równania i nierówności wykładnicze z arkuszy CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z funkcji wykładniczej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Funkcja wykładnicza pojawia się na maturze podstawowej rzadziej niż funkcja kwadratowa czy trygonometria, ale gdy się pojawia, zwykle jest to zadanie na rozpoznanie schematu, a nie na skomplikowany rachunek. Kłopot w tym, że ten schemat trzeba znać: sprowadzanie do wspólnej podstawy, czytanie monotoniczności z podstawy potęgi i pilnowanie, w którą stronę odwraca się nierówność. W naszej bazie masz komplet zadań CKE z funkcji wykładniczej, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ten tekst to przewodnik po tym zasobie: teoria, typowe schematy zadań, pięć rozwiązanych przykładów i lista pułapek, przez które najczęściej lecą punkty.

## Ile funkcji wykładniczej jest na maturze

Funkcja wykładnicza to mniejszy dział niż funkcja kwadratowa, ale regularnie wraca w arkuszach CKE, zwykle jako jedno zadanie zamknięte albo krótkie otwarte o równaniu lub nierówności wykładniczej. Rzadko dostajesz za to więcej niż dwa lub trzy punkty na jednym egzaminie, ale są to punkty łatwe do zdobycia, jeśli znasz dwa lub trzy powtarzalne schematy. Pełną teorię z wykresami i przekształceniami znajdziesz w przewodniku [funkcja wykładnicza na maturze](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania), a tutaj skupiamy się na samych zadaniach CKE i ich rozwiązaniach.

## Definicja i własności - komplet wzorów

Funkcja wykładnicza to funkcja postaci

$$f(x) = a^x, \quad a>0, \quad a \neq 1$$

Dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział \((0, +\infty)\) - wartość funkcji wykładniczej nigdy nie jest zerem ani liczbą ujemną, niezależnie od tego, jak duże albo jak małe jest \(x\).

Monotoniczność zależy wyłącznie od podstawy \(a\):

- gdy \(a>1\), funkcja jest rosnąca,
- gdy \(00\). Wykres ma asymptotę poziomą \(y=0\), do której się zbliża, ale nigdy jej nie osiąga.

Przy przekształceniach wykresu przesunięcie w pionie zmienia asymptotę: wykres funkcji \(f(x)=a^x+c\) ma asymptotę \(y=c\), a nie \(y=0\). To jedna z częstszych pomyłek w zadaniach o przekształceniach wykresów.

## Baza zadań CKE według typu

| Typ zadania | Forma | Co sprawdza | Gdzie ćwiczyć |
| --- | --- | --- | --- |
| Sprowadzanie do wspólnej podstawy | zamknięte i otwarte | zamiana liczb na potęgi tej samej podstawy | [/random](/random) |
| Równanie wykładnicze z podstawieniem | otwarte | podstawienie \(t=a^x\) i równanie kwadratowe | [/solve](/solve) |
| Odczytywanie własności z wykresu | zamknięte | monotoniczność, asymptota, punkt \((0,1)\) | [/topics/funkcja-wykladnicza](/topics/funkcja-wykladnicza) |
| Nierówność wykładnicza | otwarte | kierunek nierówności zależny od podstawy | [/random](/random) |
| Przekształcenia wykresu | zamknięte i otwarte | przesunięcia i ich wpływ na asymptotę | [/exams](/exams) |

Zadania z tego działu pochodzą z arkuszy CKE z różnych lat, w tym z arkuszy pokazowych i próbnych. Wszystkie rozwiążesz w [trybie losowym](/random) z pełnym rozwiązaniem po każdej próbie.

## Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

### Zadanie 1

Rozwiąż równanie \(3^{x+1}=27\).

Zapisujemy \(27=3^3\), więc równanie ma postać \(3^{x+1}=3^3\). Funkcja wykładnicza o podstawie \(3\) jest różnowartościowa, więc wykładniki muszą być równe:

$$x+1=3 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

**Odpowiedź:** \(x=2\).

### Zadanie 2

Rozwiąż równanie \(2^{2x}-5\cdot 2^{x}+4=0\).

Podstawiamy \(t=2^x\), gdzie \(t>0\). Równanie przyjmuje postać

$$t^2-5t+4=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t-4)=0$$

Stąd \(t=1\) lub \(t=4\). Wracamy do podstawienia: \(2^x=1=2^0\) daje \(x=0\), a \(2^x=4=2^2\) daje \(x=2\).

**Odpowiedź:** \(x=0\) lub \(x=2\).

### Zadanie 3

Podaj własności funkcji \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości przedział \((0,+\infty)\). Podstawa \(a=\frac{1}{2}\) spełnia \(08\).

Zapisujemy \(8=2^3\), więc nierówność ma postać \(2^x>2^3\). Podstawa \(2>1\), funkcja rosnąca, więc kierunek nierówności zostaje bez zmian przy porównywaniu wykładników:

$$x>3$$

**Odpowiedź:** \(x\in(3,+\infty)\).

### Zadanie 5

Rozwiąż nierówność \(\left(\frac{1}{3}\right)^x\leq 9\).

Zapisujemy \(9\) jako potęgę o podstawie \(\frac{1}{3}\): skoro \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^2=9\), nierówność przyjmuje postać

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x\leq\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$$

Podstawa \(01\) znak zostaje bez zmian. To najczęstsza przyczyna utraty punktów w tym dziale.

Pułapka druga: zakładanie, że \(a^x\) może być równe zeru albo liczbie ujemnej. To niemożliwe, więc równania typu \(a^x=-4\) albo \(a^x=0\) nie mają rozwiązania w liczbach rzeczywistych, i to właśnie bywa poprawną odpowiedzią.

Pułapka trzecia: błędne sprowadzanie do wspólnej podstawy. Zanim zamienisz liczbę na potęgę, sprawdź dokładnie wykładnik, na przykład \(8=2^3\), a nie \(2^2\) czy \(2^4\).

Pułapka czwarta: ignorowanie przesunięcia asymptoty przy przekształceniach wykresu. Dodanie stałej do \(a^x\) przesuwa całą asymptotę, a nie tylko sam wykres.

Pułapka piąta: traktowanie \(\left(\frac{1}{a}\right)^x\) jak zupełnie innej funkcji niż \(a^{-x}\). To ta sama funkcja zapisana na dwa sposoby, bo \(\left(\frac{1}{a}\right)^x=a^{-x}\). Zamiana między tymi zapisami często upraszcza sprowadzanie do wspólnej podstawy.

## Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Ponieważ dział jest niewielki, najlepiej przerobić wszystkie dostępne zadania CKE z funkcji wykładniczej za jednym zamachem, zanim przejdziesz dalej. Zacznij od [trybu losowego](/random) z filtrem na ten dział, a gdy utkniesz na własnym zadaniu ze szkoły, wrzuć je do [solvera](/solve). Po przerobieniu całej bazy sprawdź się na [pełnym arkuszu CKE](/exams), gdzie zadanie z funkcji wykładniczej pojawi się wymieszane z innymi działami, tak jak na prawdziwej maturze. Postępy śledzisz w [panelu](/progress), a wzory na potęgi masz zawsze pod ręką w [karcie wzorów](/formulas).

Ten dział świetnie łączy się z [potęgami i pierwiastkami](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) oraz z [logarytmami](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) - jeśli sprawiają ci trudność działania na potęgach, warto najpierw wrócić do tamtych działów. Jeśli wolisz uczyć się z telefonu, przeczytaj też, jak [pobrać naszą aplikację na Androida i iPhone'a](/aplikacja-na-telefon-matura-matematyka-android-ios) i ćwiczyć ten dział w wolnych chwilach dnia.

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z funkcji wykładniczej jest na maturze?
Zwykle jedno, czasem dwa, często poprzedzone zadaniami z pokrewnych działów, jak potęgi czy logarytmy.

### Czy potrzebne są tu skomplikowane wzory z tablic?
Nie. Kluczowe jest rozumienie monotoniczności i sprawne sprowadzanie do wspólnej podstawy, a to trzeba przećwiczyć na zadaniach, nie wykuć ze wzoru.

### Co jest najważniejsze w tym dziale?
Rozpoznanie podstawy i jej wpływu na monotoniczność - to jedna zależność, która rozstrzyga większość zadań o nierównościach wykładniczych.

### Skąd pochodzą zadania w bazie?
Wyłącznie z prawdziwych arkuszy CKE, w tym maturalnych, próbnych i pokazowych. Pełną listę arkuszy znajdziesz na stronie [egzaminów](/exams).

### Czy funkcja wykładnicza jest potrzebna tylko na maturze podstawowej?
Nie, ten sam schemat wraca też przy zadaniach z procentu składanego i wzrostu wykładniczego w zadaniach z treścią, więc warto go opanować niezależnie od poziomu, na który zdajesz.

## Podsumowanie: co musisz umieć

Z funkcji wykładniczej na maturze podstawowej musisz pewnie: znać definicję i dziedzinę, odczytywać monotoniczność z podstawy, sprowadzać potęgi do wspólnej podstawy, rozwiązywać równania z podstawieniem oraz pilnować kierunku nierówności przy podstawie mniejszej od jedności. To komplet, który zamyka niemal wszystkie zadania z tego działu.

Masz tu komplet zadań CKE z funkcji wykładniczej z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w [trybie nauki](/random) już dziś.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-funkcja-liniowa-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami - baza maturalna
description: Baza zadań CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami krok po kroku: monotoniczność, wzór prostej, miejsce zerowe, proste równoległe i prostopadłe, kąt nachylenia.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami - baza maturalna

Funkcja liniowa to jeden z najbardziej opłacalnych działów na maturze z matematyki. Zadania są przewidywalne, wzory krótkie, a punkty niemal pewne, jeśli tylko ogarniesz kilka schematów. W tej bazie zbieramy zadania CKE z funkcji liniowej z rozwiązaniami krok po kroku i tłumaczymy dokładnie te typy, które wracają co roku.

Wszystkie zadania pochodzą z prawdziwych arkuszy CKE. Możesz je rozwiązywać w dziale [funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) albo losowo przez [losowe zadanie](/random). Jeśli wolisz uczyć się na pełnych rozwiązaniach, zobacz też [jak korzystać z zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo).

## Co musisz umieć z funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma postać kierunkową \(y = ax + b\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy, a \(b\) to wyraz wolny. To wszystko kręci się wokół kilku faktów:

- Monotoniczność: dla \(a > 0\) funkcja jest rosnąca, dla \(a  0\). Stąd \(m > 1\). To klasyk: całe zadanie sprowadza się do jednej nierówności na współczynnik przy \(x\).

## Przykład 2 - wzór prostej przez dwa punkty

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty \(A=(-1, 2)\) i \(B=(3, 10)\).

Najpierw współczynnik kierunkowy: \(a = \frac{10 - 2}{3 - (-1)} = \frac{8}{4} = 2\). Teraz wyraz wolny - podstawiamy współrzędne punktu \(A\): \(2 = 2 \cdot (-1) + b\), więc \(b = 4\). Wzór to \(y = 2x + 4\). Ten schemat rozwijamy w tekście [jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty).

## Przykład 3 - miejsce zerowe

Oblicz miejsce zerowe funkcji \(f(x) = 3x - 9\).

Miejsce zerowe to \(x\), dla którego \(f(x) = 0\). Rozwiązujemy \(3x - 9 = 0\), czyli \(x = 3\). Można też od razu ze wzoru \(x_0 = -\frac{b}{a} = -\frac{-9}{3} = 3\).

## Przykład 4 - proste prostopadłe

Prosta ma równanie \(y = 2x + 1\). Jaki współczynnik kierunkowy ma prosta do niej prostopadła?

Z warunku prostopadłości \(a_1 \cdot a_2 = -1\) mamy \(2 \cdot a_2 = -1\), więc \(a_2 = -\frac{1}{2}\). Więcej takich zadań znajdziesz w [proste równoległe i prostopadłe - warunki, wzory, zadania](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania).

## Przykład 5 - kąt nachylenia prostej

Prosta ma współczynnik kierunkowy \(a = \sqrt{3}\). Jaki kąt tworzy z osią OX?

Korzystamy z \(a = \tan\alpha\), czyli \(\tan\alpha = \sqrt{3}\). Stąd \(\alpha = 60^\circ\). Temat kąta nachylenia rozkładamy na czynniki w [kąt nachylenia prostej do osi OX - wzór, zadania](/kat-nachylenia-prostej-do-osi-ox-wzor-zadania).

## Zadania CKE z funkcji liniowej do rozwiązania

Poniżej wybrane zadania z prawdziwych arkuszy. Kliknij, żeby zobaczyć pełne rozwiązanie krok po kroku:

- [Zadanie z arkusza Matura maj 2010](/task/matura-maj-2010-20) - podstawy funkcji liniowej.
- [Zadanie z arkusza Matura maj 2011](/task/matura-maj-2011-10) - wyznaczanie wzoru prostej.
- [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2018](/task/matura-czerwiec-2018-11) - własności współczynników.
- [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2019](/task/matura-czerwiec-2019-05) - wzajemne położenie prostych.
- [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2024](/task/matura-czerwiec-2024-15) - funkcja liniowa z parametrem.
- [Zadanie z arkusza Matura czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-11) - najnowszy typ z arkusza.

Cały dział z kompletem zadań i rozwiązań masz na stronie [funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa), a pełne arkusze z danych lat w sekcji [arkusze CKE](/exams).

## Typowe pułapki

- Mylenie warunku prostopadłości z równoległością. Równoległe: \(a_1 = a_2\). Prostopadłe: \(a_1 \cdot a_2 = -1\).
- Zapominanie o założeniu \(a \neq 0\) przy miejscu zerowym. Gdy \(a = 0\), funkcja jest stała i nie ma miejsca zerowego (chyba że jest tożsamościowo zerem).
- Błąd znaku przy wyznaczaniu \(b\). Zawsze podstaw współrzędne punktu z powrotem do wzoru i sprawdź.
- Przy kącie nachylenia pamiętaj, że dla \(a < 0\) kąt jest rozwarty (między 90 a 180 stopni).

## Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Rób każdy typ osobno, aż zaczniesz go rozpoznawać w sekundę. Najpierw monotoniczność z parametrem, potem wzór prostej, miejsce zerowe, położenie prostych i kąt nachylenia. Gdy każdy z tych typów masz z głowy, przejdź na [losowe zadania](/random), żeby ćwiczyć rozpoznawanie. Do momentów, w których utkniesz, użyj [solvera ze zdjęcia](/solve). Metodę nauki na pełnych rozwiązaniach opisaliśmy w [zadaniach maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo).

## Przykład 6 - proste równoległe

Dana jest prosta \(y = -3x + 5\). Wyznacz wzór prostej równoległej do niej, przechodzącej przez punkt \(P = (2, 1)\). Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać \(y = -3x + b\). Podstawiamy współrzędne punktu \(P\): \(1 = -3 \cdot 2 + b\), stąd \(b = 7\). Wzór to \(y = -3x + 7\).

## Przykład 7 - odczyt wzoru z wykresu

Z wykresu odczytujesz, że prosta przecina oś OY w punkcie \((0, -2)\) i przechodzi przez \((2, 2)\). Wyznacz jej wzór. Wyraz wolny czytasz wprost z przecięcia z osią OY: \(b = -2\). Współczynnik kierunkowy: \(a = \frac{2 - (-2)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2\). Wzór to \(y = 2x - 2\). Odczytywanie własności z wykresu ćwiczysz też w dziale [funkcje](/topics).

## Przykład 8 - zadanie z treścią (model liniowy)

Wypożyczalnia bierze 20 zł opłaty stałej plus 8 zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin i policz koszt za 5 godzin. Koszt to \(k(t) = 8t + 20\), gdzie \(t\) to liczba godzin. Dla \(t = 5\): \(k(5) = 8 \cdot 5 + 20 = 60\) zł. Funkcja liniowa świetnie modeluje takie sytuacje: opłata stała to wyraz wolny \(b\), a stawka za godzinę to współczynnik kierunkowy \(a\).

## Przykład 9 - punkt przecięcia dwóch prostych

Znajdź punkt wspólny prostych \(y = 2x - 1\) oraz \(y = -x + 5\). Przyrównujemy wzory: \(2x - 1 = -x + 5\), stąd \(3x = 6\), czyli \(x = 2\). Wtedy \(y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\). Punkt przecięcia to \((2, 3)\). To pomost do [układów równań](/topics) i geometrii analitycznej.

## Przykład 10 - parametr z warunku przechodzenia przez punkt

Dla jakiej wartości \(m\) wykres funkcji \(f(x) = mx - 4\) przechodzi przez punkt \(A = (2, 2)\)? Podstawiamy współrzędne punktu do wzoru: \(2 = m \cdot 2 - 4\). Stąd \(2m = 6\), czyli \(m = 3\). Zawsze, gdy prosta przechodzi przez punkt, po prostu podstaw jego współrzędne do wzoru i rozwiąż równanie na parametr.

## Ile zadań z funkcji liniowej jest w bazie

W bazie CKE dział funkcja liniowa to kilkadziesiąt zadań z arkuszy z lat 2010-2025 oraz zbiorów treningowych CKE. Rozkład typów wygląda mniej więcej tak:

| Typ zadania | Jak często | Trudność |
|---|---|---|
| Monotoniczność i parametr | Bardzo często | Łatwa |
| Wzór prostej (dwa punkty lub punkt i a) | Często | Łatwa/średnia |
| Miejsce zerowe i przecięcia z osiami | Często | Łatwa |
| Proste równoległe i prostopadłe | Regularnie | Średnia |
| Kąt nachylenia | Rzadziej | Średnia |
| Model liniowy z treścią | Rzadziej | Średnia |

Wniosek jest prosty: większość zadań z tego działu to pewne, łatwe punkty. Dlatego funkcja liniowa powinna być jednym z pierwszych działów, które domykasz przygotowując się do matury.

## Częsty błąd z arkuszy CKE

W zadaniach zamkniętych CKE ulubioną pułapką jest zamiana warunków dla prostych. Uczeń pod presją czasu zaznacza równoległość zamiast prostopadłości. Zapamiętaj obraz: równoległe to te same schody (równe \(a\)), prostopadłe to obrót o dziewięćdziesiąt stopni (iloczyn \(a\) równy minus jeden). Druga pułapka to znak przy odczycie \(a\) z wykresu - gdy prosta opada, współczynnik jest ujemny.

## Jak funkcja liniowa łączy się z innymi działami

Ten dział to fundament pod geometrię analityczną, bo równanie prostej, odległości i wzajemne położenie prostych bazują dokładnie na tych samych wzorach. Współczynnik kierunkowy wraca przy stycznych i przy kącie nachylenia. Dlatego dobrze opanowana funkcja liniowa ułatwia potem całą geometrię na płaszczyźnie. Jeśli chcesz uczyć się systemowo, po tym dziale przejdź do [zadań CKE z geometrii analitycznej](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami).

## Od czego zacząć naukę tego działu

Jeśli funkcja liniowa jest dla ciebie świeża, zacznij od teorii w [przewodniku o funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), potem zrób po dwa zadania każdego typu z tej bazy, a na końcu rozwiąż pięć losowych zadań przez [losowe zadanie](/random) bez podpowiedzi. Gdy pięć z pięciu pójdzie samodzielnie, dział masz opanowany i możesz iść dalej.

## Najczęstsze pytania o funkcję liniową

Czy funkcja liniowa jest łatwa na maturze? Tak, to jeden z najprostszych działów - większość zadań opiera się na kilku wzorach i daje pewne punkty. Warto opanować go jako jeden z pierwszych. Ile zadań z tego działu wystarczy przerobić? Zrób po dwa, trzy zadania każdego typu z tej bazy, a potem sprawdź się na losowych zestawach. Gdzie znaleźć więcej zadań otwartych? W [arkuszach CKE](/exams) i przez [losowe zadanie](/random), a metodę nauki na rozwiązaniach opisaliśmy w [zadaniach maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo).

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Rozpoznać monotoniczność po znaku \(a\) i rozwiązać zadanie z parametrem.
- Wyznaczyć wzór prostej przez dwa punkty oraz z jednego punktu i współczynnika.
- Policzyć miejsce zerowe ze wzoru \(x_0 = -\frac{b}{a}\).
- Zastosować warunki \(a_1 = a_2\) i \(a_1 \cdot a_2 = -1\).
- Powiązać współczynnik kierunkowy z kątem nachylenia \(a = \tan\alpha\).

Opanuj te pięć rzeczy, a funkcja liniowa będzie na maturze pewnym źródłem punktów. Zacznij od [działu funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wzory-na-sinus-i-cosinus-sumy-i-roznicy-katow-matura-rozszerzona
title: Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej
description: Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, podwojony kąt i zamiana sumy na iloczyn. Sześć zadań z arkuszy rozszerzonych CKE rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - podwojony kąt i zadania z matury rozszerzonej

Sinus sumy kątów to \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\), a cosinus sumy to \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\). Dla różnicy kątów zmieniasz znak w środku: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\) i \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\). Z tych czterech wzorów wynikają wzory na podwojony kąt, \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) i \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\), oraz wzory zamieniające sumę sinusów na iloczyn. To zakres [matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona): na podstawie ich nie ma, a na rozszerzeniu wracają w prawie każdym równaniu trygonometrycznym za 4 punkty.

W arkuszach rozszerzonych te wzory rzadko występują jako osobne pytanie. Częściej są narzędziem: zadanie każe rozwiązać równanie z \(\sin(x - \frac{\pi}{4})\), obliczyć \(\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ\) albo udowodnić nierówność z iloczynem sinusa i cosinusa, a cała trudność polega na tym, żeby rozpoznać, który wzór rozbija wyrażenie na coś, co już umiesz. W tym wpisie porządkujemy cztery wzory bazowe, wyprowadzamy z nich resztę i rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z arkuszy CKE, od jednopunktowych po pięciopunktowe.

## Cztery wzory bazowe i jak je zapamiętać

Sinus sumy i różnicy ma w środku iloczyny mieszane, sinus razy cosinus, a znak między nimi jest taki sam jak znak w nawiasie. Cosinus sumy i różnicy ma iloczyny jednorodne, cosinus razy cosinus i sinus razy sinus, a znak między nimi jest przeciwny do znaku w nawiasie. Ta jedna obserwacja zastępuje wkuwanie czterech wzorów na pamięć.

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$

Znak \(\mp\) w drugim wzorze czytasz "na odwrót": dla sumy jest minus, dla różnicy plus. Sprawdź to na kącie zerowym: \(\cos(\alpha - \alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\), czyli dokładnie [jedynka trygonometryczna](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura), a \(\cos 0 = 1\) się zgadza. Gdybyś pomylił znak, dostałbyś \(\cos 2\alpha\) zamiast jedynki.

Wzory działają dla dowolnych kątów, także ujemnych i większych od \(180^\circ\), więc nie musisz wcześniej sprowadzać kąta do pierwszej ćwiartki. To odróżnia je od [wzorów redukcyjnych](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania), które są ich szczególnym przypadkiem: \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin 180^\circ \cos\alpha - \cos 180^\circ \sin\alpha = 0 \cdot \cos\alpha - (-1)\sin\alpha = \sin\alpha\).

## Podwojony kąt

Wzory na podwojony kąt to wzory na sumę z \(\beta = \alpha\). Sinus daje jeden wzór, cosinus daje trzy postacie tego samego wzoru i na maturze potrzebujesz wszystkich trzech.

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$

Drugą i trzecią postać dostajesz z pierwszej, podstawiając za \(\sin^2\alpha\) albo za \(\cos^2\alpha\) z jedynki trygonometrycznej. Którą wybrać w zadaniu? Tę, która zostawia w równaniu jedną funkcję. Jeśli obok \(\cos 2x\) stoi \(\cos x\), bierzesz \(2\cos^2 x - 1\); jeśli stoi \(\sin x\), bierzesz \(1 - 2\sin^2 x\). Po podstawieniu masz równanie kwadratowe z niewiadomą \(\cos x\) albo \(\sin x\) i dalej liczysz jak na podstawie, według metod z wpisu o [rozwiązywaniu równań trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura).

Wzór na \(\sin 2\alpha\) czytaj też w drugą stronę: iloczyn \(\sin x \cos x\) to \(\frac{1}{2}\sin 2x\). W ten sposób znika połowa trudności w zadaniach z iloczynem sinusa i cosinusa tego samego argumentu.

## Suma sinusów zamieniona na iloczyn

Równanie w rodzaju \(\sin x + \sin 3x = 0\) nie rozłoży się na czynniki bez wzoru zamieniającego sumę na iloczyn:

$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$$

Wszystkie cztery wynikają z dodania albo odjęcia stronami wzorów na sumę i różnicę kątów. Na przykład \(\sin(a + b) + \sin(a - b) = 2\sin a\cos b\); podstawiasz \(a + b = \alpha\), \(a - b = \beta\), czyli \(a = \frac{\alpha + \beta}{2}\) i \(b = \frac{\alpha - \beta}{2}\), i masz pierwszy wzór. Ta sama sztuczka czytana od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę, co przydaje się w dowodach nierówności.

Wartości sinusa i cosinusa dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\), które podstawiasz do tych wzorów, masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela), a ich pełny zestaw na obu poziomach w [zbiorze wzorów trygonometrycznych](/wzory-trojkatow-matura-sinus-cosinus-tangens).

Interaktywny kalkulator: tabela-trygonometryczna (dostępny na stronie wpisu)

## Wzory

Sinus sumy kątów:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$

Sinus różnicy kątów:

$$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$

Cosinus sumy kątów:

$$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$

Cosinus różnicy kątów:

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$

Sinus podwojonego kąta:

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

Cosinus podwojonego kąta:

$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$$

Suma sinusów jako iloczyn:

$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

Suma cosinusów jako iloczyn:

$$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$$

## Przykład 1: Cosinus podwojonego kąta w zadaniu zamkniętym (matura maj 2019, zadanie 2)

**Treść:** Liczba \(\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ\) jest równa:

- A) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- B) \(-\frac{1}{2}\)
- C) \(\frac{1}{2}\)
- D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

**Krok 1: Rozpoznaj wzór.** Różnica kwadratów cosinusa i sinusa tego samego kąta to cosinus podwojonego kąta.

$$\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ = \cos 210^\circ$$

**Krok 2: Zredukuj kąt.** Kąt \(210^\circ\) to \(180^\circ + 30^\circ\), a w trzeciej ćwiartce cosinus jest ujemny.

$$\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

**Odpowiedź: A.** Liczenie \(\cos 105^\circ\) osobno ze wzoru na cosinus sumy \(60^\circ + 45^\circ\) też się uda, ale zajmie pięć razy więcej czasu za ten sam jeden punkt.

## Przykład 2: Sinus różnicy z cosinusem w trzeciej ćwiartce (matura maj 2022, zadanie 3)

**Treść:** Jeżeli \(\cos\beta = -\frac{1}{3}\) i \(\beta \in \left(\pi, \frac{3}{2}\pi\right)\), to wartość wyrażenia \(\sin\left(\beta - \frac{1}{3}\pi\right)\) jest równa:

- A) \(\frac{-2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}\)
- B) \(\frac{2\sqrt{6} + 1}{6}\)
- C) \(\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}\)
- D) \(\frac{1 - 2\sqrt{6}}{6}\)

**Krok 1: Wyznacz sinus z jedynki trygonometrycznej.** W trzeciej ćwiartce sinus jest ujemny.

$$\sin^2\beta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}, \quad \sin\beta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

**Krok 2: Rozpisz sinus różnicy.** Podstaw \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) i \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

$$\sin\left(\beta - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\beta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\beta\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 3: Uporządkuj.** Sprowadź do wspólnego mianownika \(6\).

$$-\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedź C to wynik dla dodatniego sinusa, czyli dla kąta z drugiej ćwiartki. Znak sinusa z ćwiartki rozstrzygasz zanim cokolwiek podstawisz.

## Przykład 3: Podnoszenie do kwadratu i sinus podwojonego kąta (matura czerwiec 2012, zadanie 3)

**Treść:** Kąt \(\alpha\) jest taki, że \(\cos\alpha + \sin\alpha = \frac{4}{3}\). Oblicz wartość wyrażenia \(|\cos\alpha - \sin\alpha|\).

**Krok 1: Podnieś równość do kwadratu.** Kwadrat sumy ujawnia iloczyn \(\sin\alpha\cos\alpha\), a suma kwadratów to jedynka.

$$\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha = \frac{16}{9} \iff 1 + \sin 2\alpha = \frac{16}{9}$$

**Krok 2: Odczytaj sinus podwojonego kąta.**

$$\sin 2\alpha = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$$

**Krok 3: Policz kwadrat szukanej różnicy.** Kwadrat różnicy ma ten sam iloczyn ze znakiem minus.

$$(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 - \sin 2\alpha = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$$

**Krok 4: Pierwiastkuj z wartością bezwzględną.** Nie znasz znaku różnicy, ale zadanie pyta o jej moduł, więc pierwiastek z kwadratu to dokładnie to.

$$|\cos\alpha - \sin\alpha| = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$

**Odpowiedź:** \(|\cos\alpha - \sin\alpha| = \frac{\sqrt{2}}{3}\). Sprawdzenie sensu: \(\sin 2\alpha = \frac{7}{9}\) mieści się w przedziale \(\langle -1, 1 \rangle\), więc taki kąt istnieje.

## Przykład 4: Równanie z sinusem różnicy i cosinusem sumy (matura czerwiec 2017, zadanie 11)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(3\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1\) w przedziale \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

**Krok 1: Rozpisz oba składniki.** Dla \(\frac{\pi}{4}\) sinus i cosinus są równe \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), więc w obu wzorach da się wyłączyć ten czynnik.

$$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x), \quad \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x)$$

**Krok 2: Zauważ, że drugi nawias to minus pierwszy.** Podstaw do równania i zbierz wyrazy.

$$3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) = 1 \iff \sqrt{2}(\sin x - \cos x) = 1$$

**Krok 3: Wróć do sinusa różnicy.** Z Kroku 1 wynika, że \(\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\).

$$2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \iff \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

**Krok 4: Rozwiąż równanie elementarne.** Sinus równy \(\frac{1}{2}\) daje argument \(\frac{\pi}{6}\) albo \(\frac{5\pi}{6}\), plus wielokrotności okresu.

$$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$$

**Krok 5: Wybierz rozwiązania z przedziału.** Dodaj \(\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}\) do obu.

$$x = \frac{5\pi}{12} \quad \text{lub} \quad x = \frac{13\pi}{12}$$

**Odpowiedź:** \(x = \frac{5\pi}{12}\) lub \(x = \frac{13\pi}{12}\). Oba leżą w \(\langle 0, 2\pi \rangle\); kolejne, dla \(k = 1\), przekraczają \(2\pi\).

## Przykład 5: Suma trzech sinusów (matura maj 2022, zadanie 11)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\).

**Krok 1: Sparuj skrajne składniki.** Wzór na sumę sinusów dla \(\alpha = 3x\) i \(\beta = x\) daje w środku \(\sin 2x\), czyli dokładnie to, co stoi w środku równania.

$$\sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x + x}{2}\cos\frac{3x - x}{2} = 2\sin 2x\cos x$$

**Krok 2: Wyłącz wspólny czynnik.**

$$2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0 \iff \sin 2x\,(2\cos x + 1) = 0$$

**Krok 3: Rozwiąż pierwszy czynnik.** W przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\) argument \(2x\) przebiega \(\langle 0, 2\pi \rangle\).

$$\sin 2x = 0 \iff 2x \in \{0, \pi, 2\pi\} \iff x \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi\right\}$$

**Krok 4: Rozwiąż drugi czynnik.** Cosinus równy \(-\frac{1}{2}\) w przedziale \(\langle 0, \pi \rangle\) ma jedno rozwiązanie.

$$\cos x = -\frac{1}{2} \iff x = \frac{2\pi}{3}$$

**Odpowiedź:** \(x \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}\). Parowanie \(\sin x + \sin 2x\) zamiast skrajnych składników też jest poprawne, ale zostawia \(\sin 3x\) bez pary i prowadzi donikąd.

## Przykład 6: Iloczyn sinusa i cosinusa tego samego argumentu (matura próbna CKE marzec 2021, zadanie 7)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(\sin\left(x + \frac{1}{4}\pi\right) \cdot \cos\left(x + \frac{1}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\).

**Krok 1: Zwiń iloczyn do sinusa podwojonego kąta.** Oba czynniki mają ten sam argument, więc \(\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin 2t\).

$$\frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4} \iff \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 2: Zastosuj wzór redukcyjny.** Sinus kąta przesuniętego o \(\frac{\pi}{2}\) to cosinus.

$$\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 3: Rozwiąż równanie elementarne.** Cosinus równy \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) daje argument \(\pm\frac{\pi}{4}\), plus wielokrotności \(2\pi\).

$$2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad 2x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$$

**Krok 4: Podziel przez 2.** Okres \(2\pi\) po podzieleniu staje się okresem \(\pi\).

$$x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**Odpowiedź:** \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\) lub \(x = -\frac{\pi}{8} + k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Zadanie nie podało przedziału, więc odpowiedzią jest ogólny zapis z parametrem \(k\).

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy rozszerzonych

Trzy zadania niżej to ten sam zestaw wzorów w trzech różnych rolach: dowód nierówności, równanie z sumą sinusów o przesuniętych argumentach i równanie, w którym trzeba zobaczyć wspólny czynnik. Treść widzisz od razu, [pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia](/payment/checkout) odsłaniasz pod kartą.

W pierwszym zadaniu dodaj stronami wzory na sinus sumy i sinus różnicy: iloczyn \(\sin A\cos B\) zamieni się w połowę sumy \(\sin(A + B) + \sin(A - B)\), a suma argumentów \(\frac{\pi}{12} - \alpha\) i \(\frac{\pi}{12} + \alpha\) to stały kąt \(\frac{\pi}{6}\).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2018-7

W drugim zadaniu suma sinusów w nawiasie kwadratowym ma argumenty różniące się o stałą, więc wzór na sumę sinusów zostawia po lewej stronie sam \(\sin x\) pomnożony przez liczbę.

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2019-14

W trzecim rozpisz \(\sin 2x\) i \(\cos 2x\) przez sinus i cosinus kąta \(x\), a jedynkę po prawej stronie zamień na \(\sin^2 x + \cos^2 x\). Wszystko zbierze się do iloczynu dwóch nawiasów.

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2015-12

## Typowe pułapki i błędy

**Pułapka:** Rozdzielanie sinusa względem dodawania. \(\sin(\alpha + \beta)\) to NIE jest \(\sin\alpha + \sin\beta\). Sprawdź na \(\alpha = \beta = 45^\circ\): lewa strona to \(\sin 90^\circ = 1\), prawa to \(\sqrt{2}\). Ten błąd kosztuje wszystkie punkty za zadanie, bo psuje równanie w pierwszej linijce.

**Pułapka 2:** Znak w cosinusie sumy. W \(\cos(\alpha + \beta)\) między iloczynami stoi minus, choć w nawiasie jest plus. Uczniowie przepisują znak z nawiasu i dostają wzór na cosinus różnicy. Test kąta zerowego z sekcji o wzorach bazowych wykrywa tę pomyłkę w dziesięć sekund.

**Pułapka 3:** Znak sinusa albo cosinusa wyznaczonego z jedynki. Jedynka daje kwadrat funkcji, a pierwiastek ma dwa znaki. O tym, który wybrać, decyduje ćwiartka podana w zadaniu, tak jak w Przykładzie 2. Bez tej decyzji trafisz w dystraktor, który CKE przygotował dokładnie na ten błąd.

**Pułapka 4:** Zgubienie rozwiązań przy dzieleniu przez funkcję. W równaniu \(\sin 2x\,(2\cos x + 1) = 0\) nie wolno podzielić obu stron przez \(\sin 2x\), bo znikną rozwiązania, dla których ten czynnik jest zerem. Zawsze iloczyn równy zero, nigdy dzielenie przez niewiadomą.

**Pułapka 5:** Zły okres po podzieleniu argumentu. Rozwiązanie \(2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) po podzieleniu przez \(2\) daje \(x = \frac{\pi}{8} + k\pi\), a nie \(x = \frac{\pi}{8} + 2k\pi\). Dzielisz cały zapis, razem z okresem.

**Wskazówka egzaminacyjna:** W zadaniu otwartym z równaniem trygonometrycznym punkty dostajesz za etapy: doprowadzenie do postaci iloczynowej albo do równania elementarnego, rozwiązanie równania elementarnego i wybór rozwiązań z przedziału. Nawet gdy końcówka się nie uda, zapisany poprawnie pierwszy etap jest punktowany. Zapisz go czytelnie, z nazwą użytego wzoru.

**Zapamiętaj:** Sinus sumy miesza funkcje i kopiuje znak, cosinus sumy nie miesza i odwraca znak. Podwojony kąt to suma z równymi składnikami. Suma sinusów o różnych argumentach zamienia się w iloczyn z połową sumy i połową różnicy argumentów.

## Co musisz umieć

- Zapisać z pamięci cztery wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, ze sprawdzeniem znaków na kącie zerowym.
- Wyprowadzić wzory na podwojony kąt i wybrać właściwą postać \(\cos 2\alpha\) do równania.
- Rozpoznać w wyrażeniu gotowy wzór: różnicę kwadratów jako \(\cos 2\alpha\), iloczyn sinusa i cosinusa jako \(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\).
- Zamienić sumę dwóch sinusów albo cosinusów na iloczyn i wyłączyć wspólny czynnik.
- Wyznaczyć brakującą funkcję z jedynki trygonometrycznej z poprawnym znakiem z ćwiartki.
- Doprowadzić równanie do postaci iloczynowej i wybrać rozwiązania z podanego przedziału.
- Zapisać rozwiązanie ogólne z parametrem całkowitym i poprawnym okresem po podzieleniu argumentu.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z arkuszy rozszerzonych CKE, w których wzory na podwojony kąt i sumę kątów są kluczem do rozwiązania. Każde otwiera się na własnej stronie, a cały dział przejrzysz na stronie [trygonometrii](/topics/trygonometria) i w [zbiorze zadań CKE z trygonometrii](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami). Pełną listę działów rozszerzenia z liczbą zadań w każdym znajdziesz we wpisie o [wymaganiach matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z trygonometrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania o wzory na sinus i cosinus sumy kątów

### Jaki jest wzór na sinus sumy kątów?

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\). Dla różnicy kątów zmienia się tylko znak w środku: \(\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\). Sinus sumy zawsze miesza funkcje, sinus jednego kąta razy cosinus drugiego.

### Jaki jest wzór na cosinus sumy kątów?

\(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\), a dla różnicy \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\). Znak między iloczynami jest przeciwny do znaku w nawiasie i to jest najczęstsze miejsce pomyłki.

### Czy wzory na sinus i cosinus sumy są na maturze podstawowej?

Nie. Na poziomie podstawowym pracujesz z jedynką trygonometryczną, wzorami redukcyjnymi i wartościami dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\). Sumy i różnice kątów, podwojony kąt i zamiana sumy na iloczyn to zakres poziomu rozszerzonego.

### Jak wyprowadzić wzór na cosinus podwojonego kąta?

Do wzoru \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\) podstaw \(\beta = \alpha\): \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\). Postacie \(2\cos^2\alpha - 1\) i \(1 - 2\sin^2\alpha\) dostajesz, zastępując \(\sin^2\alpha\) przez \(1 - \cos^2\alpha\) albo \(\cos^2\alpha\) przez \(1 - \sin^2\alpha\).

### Jak zamienić sumę sinusów na iloczyn?

\(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}\). Wzór bierze się z dodania stronami sinusa sumy i sinusa różnicy. W równaniach typu \(\sin x + \sin 3x = 0\) daje od razu postać iloczynową: \(2\sin 2x\cos x = 0\).

### Jak obliczyć sinus 75 stopni bez kalkulatora?

Rozbij \(75^\circ\) na \(45^\circ + 30^\circ\) i użyj sinusa sumy: \(\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\). Tak samo policzysz \(\cos 15^\circ\), bo \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\).


---
route: /wyraz-logarytm-za-pomoca-a-i-b-zamiana-podstawy-matura-rozszerzona
title: Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b - zamiana podstawy logarytmu w zadaniach z matury rozszerzonej
description: Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b: wzór na zamianę podstawy, łańcuch logarytmów, dowody typu wykaż i 5 przykładów z matury rozszerzonej krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b - zamiana podstawy logarytmu w zadaniach z matury rozszerzonej

Żeby wyrazić logarytm za pomocą danych liczb \(a\) i \(b\), sprowadzasz wszystkie logarytmy do jednej wspólnej podstawy wzorem na zamianę podstawy \(\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}\), a potem rozkładasz liczby pod logarytmami na czynniki pierwsze i korzystasz z logarytmu iloczynu i potęgi. Wspólną podstawą jest zwykle podstawa logarytmu danego w treści. Na przykład gdy \(a = \log_2 3\), to \(\log_6 12 = \frac{\log_2 12}{\log_2 6} = \frac{2 + a}{1 + a}\). Ten typ zadania regularnie wraca na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona), zarówno jako zadanie zamknięte, jak i jako dowód typu „wykaż, że”.

W arkuszach CKE wyglądało to tak. W [maju 2021](/exams/matura-rozszerzona-maj-2021) (zadanie 6) dany był \(\log_2 18 = c\) i trzeba było wykazać wzór na \(\log_3 4\). W [czerwcu 2022](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2022) (zadanie 1) z danych \(\log_5 2 = a\) i \(\log_5 3 = b\) trzeba było wybrać wartość \(\log_{18} 40\). W [maju 2024](/exams/matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023) (zadanie 5 w formule 2023) dane logarytmy miały różne podstawy: \(\log_5 4 = a\) i \(\log_4 3 = b\). Same własności logarytmów, czyli logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, omawia wpis [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku). Tutaj jest jeden typ zadania: przepisać logarytm na dane litery.

## Wzór na zamianę podstawy i skąd się bierze

Wzór na zamianę podstawy mówi, że logarytm przy dowolnej podstawie \(a\) jest ilorazem dwóch logarytmów przy nowej, wspólnej podstawie \(c\): \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\). Działa dla dodatnich \(a\), \(b\), \(c\), przy czym \(a \ne 1\) i \(c \ne 1\). Nową podstawę wybierasz sam, więc wybierasz taką, w której masz dane.

Wyprowadzenie zajmuje dwie linijki. Niech \(x = \log_a b\). Z definicji logarytmu \(a^x = b\). Logarytmujesz obie strony przy podstawie \(c\) i korzystasz z logarytmu potęgi: \(x \cdot \log_c a = \log_c b\). Dzielisz przez \(\log_c a\), które jest różne od zera, bo \(a \ne 1\), i dostajesz wzór.

Z tego samego wzoru wynikają trzy skróty, które oszczędzają czas:

- odwrotność: \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\), czyli zamiana miejscami podstawy i liczby odwraca logarytm;
- łańcuch: \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\), czyli środkowa liczba się skraca;
- podstawa w postaci potęgi: \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b\), na przykład \(\log_{\sqrt{2}} x = 2\log_2 x\).

## Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b: schemat w czterech krokach

Każde zadanie tego typu rozwiązujesz tym samym schematem. Zmienia się tylko to, ile pracy wymaga krok drugi.

1. **Wybierz wspólną podstawę.** Weź podstawę logarytmu danego w treści. Gdy dane mają różne podstawy, przejdź na jedną z nich i resztę przelicz łańcuchem.
2. **Przygotuj klocki.** Ustal, logarytmy jakich liczb pierwszych są potrzebne, i wyraź je przez dane. Jeśli dany jest logarytm liczby złożonej, na przykład \(\log_3 12\), rozbij go i wylicz z niego logarytm liczby pierwszej.
3. **Zamień podstawę szukanego logarytmu.** Zapisz go jako iloraz dwóch logarytmów przy wspólnej podstawie.
4. **Rozłóż i podstaw.** Rozłóż liczby na czynniki pierwsze, rozbij logarytmy na sumy i wstaw dane.

W zadaniu typu „wykaż” robisz dokładnie to samo, tylko zaczynasz od jednej strony równości i przekształcasz ją, aż dojdziesz do drugiej. Ogólne zasady zapisu dowodu zebrane są we wpisie o [dowodach na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Wzory

Zamiana podstawy logarytmu:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Odwrotność logarytmu:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Łańcuch logarytmów:

$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$$

Podstawa w postaci potęgi:

$$\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$$

Logarytm iloczynu i potęgi:

$$\log_c \left(x^m \cdot y^n\right) = m\log_c x + n\log_c y$$

Wszystkie wzory działają dla dodatnich liczb logarytmowanych i dodatnich podstaw różnych od \(1\). Wykładnik \(k\) musi być różny od zera, a \(m\) i \(n\) mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi, także ujemnymi.

## Przykład 1: Jedna dana, wybór odpowiedzi

**Treść:** Wiadomo, że \(\log_3 2 = a\). Wtedy liczba \(\log_6 24\) jest równa:

- A) \(\frac{3a}{a+1}\)
- B) \(\frac{3a+1}{a+1}\)
- C) \(\frac{a+3}{a+1}\)
- D) \(4a\)

**Krok 1: Wybierz podstawę.** Dana jest przy podstawie \(3\), więc przechodzisz na podstawę \(3\):

$$\log_6 24 = \frac{\log_3 24}{\log_3 6}$$

**Krok 2: Rozłóż liczby.** \(24 = 2^3 \cdot 3\) oraz \(6 = 2 \cdot 3\):

$$\log_3 24 = 3\log_3 2 + \log_3 3 = 3a + 1, \qquad \log_3 6 = \log_3 2 + \log_3 3 = a + 1$$

**Krok 3: Złóż wynik.**

$$\log_6 24 = \frac{3a + 1}{a + 1}$$

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A wychodzi, gdy zapomnisz, że \(\log_3 3 = 1\) w liczniku, a C powstaje, gdy wykładnik \(3\) zostanie dodany do \(a\) zamiast pomnożony przez \(a\).

## Przykład 2: Dwie dane przy tej samej podstawie

**Treść:** Wiadomo, że \(\log_2 3 = a\) i \(\log_2 5 = b\). Wyraź \(\log_{15} 60\) za pomocą \(a\) i \(b\).

**Krok 1: Zamień podstawę na 2.**

$$\log_{15} 60 = \frac{\log_2 60}{\log_2 15}$$

**Krok 2: Rozłóż licznik.** \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\):

$$\log_2 60 = 2 + \log_2 3 + \log_2 5 = 2 + a + b$$

**Krok 3: Rozłóż mianownik.** \(15 = 3 \cdot 5\):

$$\log_2 15 = \log_2 3 + \log_2 5 = a + b$$

**Odpowiedź:** \(\log_{15} 60 = \frac{2 + a + b}{a + b}\). Dwójka w liczniku to \(\log_2 4\), czyli logarytm, który liczysz wprost, bez danych.

## Przykład 3: Dany logarytm liczby złożonej (wykaż, że)

**Treść:** Niech \(\log_3 12 = c\). Wykaż, że \(\log_2 18 = \frac{c + 3}{c - 1}\).

**Krok 1: Wylicz logarytm liczby pierwszej.** Z danej wyciągasz \(\log_3 2\). Ponieważ \(12 = 2^2 \cdot 3\):

$$c = \log_3 12 = 2\log_3 2 + 1 \quad \Rightarrow \quad \log_3 2 = \frac{c - 1}{2}$$

**Krok 2: Zamień podstawę lewej strony na 3.**

$$\log_2 18 = \frac{\log_3 18}{\log_3 2}$$

**Krok 3: Rozłóż licznik.** \(18 = 2 \cdot 3^2\), więc:

$$\log_3 18 = \log_3 2 + 2 = \frac{c - 1}{2} + 2 = \frac{c + 3}{2}$$

**Krok 4: Podziel.**

$$\log_2 18 = \frac{\frac{c + 3}{2}}{\frac{c - 1}{2}} = \frac{c + 3}{c - 1}$$

**Odpowiedź:** lewa strona po przekształceniach jest równa prawej, co kończy dowód. Mianownik \(c - 1\) jest różny od zera, bo \(c = \log_3 12 > \log_3 3 = 1\).

## Przykład 4: Dane przy różnych podstawach

**Treść:** Wiadomo, że \(\log_2 3 = a\) i \(\log_3 5 = b\). Wyraź \(\log 45\) za pomocą \(a\) i \(b\).

**Krok 1: Sprowadź dane do jednej podstawy.** Łańcuch daje logarytm piątki przy podstawie \(2\):

$$\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = ab$$

**Krok 2: Zamień podstawę szukanego logarytmu.** Zapis \(\log 45\) oznacza logarytm dziesiętny, więc:

$$\log 45 = \frac{\log_2 45}{\log_2 10}$$

**Krok 3: Rozłóż obie liczby.** \(45 = 3^2 \cdot 5\) oraz \(10 = 2 \cdot 5\):

$$\log_2 45 = 2a + ab, \qquad \log_2 10 = 1 + ab$$

**Odpowiedź:** \(\log 45 = \frac{2a + ab}{1 + ab}\). Gdyby wspólną podstawą była trójka, wynik wyglądałby inaczej, ale miałby tę samą wartość. Bezpieczniej zostać przy podstawie, w której dana jest liczba \(a\), bo wtedy nie pojawiają się ułamki typu \(\frac{1}{a}\).

## Przykład 5: Iloczyn logarytmów o różnych podstawach

**Treść:** Oblicz wartość wyrażenia \(\log_{\sqrt{5}} 3 \cdot \log_9 25 \cdot \log_4 8\).

**Krok 1: Przepisz każdy czynnik przy podstawie 10.**

$$\log_{\sqrt{5}} 3 = \frac{\log 3}{\frac{1}{2}\log 5} = \frac{2\log 3}{\log 5}, \qquad \log_9 25 = \frac{2\log 5}{2\log 3} = \frac{\log 5}{\log 3}$$

**Krok 2: Ostatni czynnik policz wprost.** \(4 = 2^2\) i \(8 = 2^3\), więc:

$$\log_4 8 = \frac{3\log 2}{2\log 2} = \frac{3}{2}$$

**Krok 3: Pomnóż i skróć.**

$$\frac{2\log 3}{\log 5} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$$

**Odpowiedź:** wartość wyrażenia jest równa \(3\). Ten sam typ iloczynu, w którym logarytmy skracają się parami, pojawia się w zadaniach zamkniętych z arkuszy rozszerzonych.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania typu „wykaż” z arkuszy rozszerzonych CKE. W pierwszym dane logarytmy mają różne podstawy, jak w przykładzie 4. W drugim jedna z danych ma podstawę \(\sqrt{2}\), więc przyda się wzór na podstawę w postaci potęgi. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [abonamencie](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2024-formula-2023-5

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2025-2

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Logarytm sumy rozbity na sumę logarytmów. \(\log_2 (3 + 5)\) to \(3\), a nie \(\log_2 3 + \log_2 5\). Na sumę rozbijasz wyłącznie logarytm iloczynu, dlatego najpierw rozkładasz liczby na czynniki pierwsze.

**Pułapka 2:** Odwrócony iloraz. We wzorze na zamianę podstawy dawna podstawa idzie do mianownika: \(\log_6 24 = \frac{\log_3 24}{\log_3 6}\), a nie odwrotnie. Jeśli nie pamiętasz kolejności, sprawdź ją na \(\log_4 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 4} = \frac{4}{2} = 2\).

**Pułapka 3:** Pierwiastek w podstawie. \(\log_{\sqrt{2}} x = 2\log_2 x\), bo \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) i odwrotność \(\frac{1}{2}\) to \(2\). Częsty błąd to pomnożenie przez \(\frac{1}{2}\).

**Pułapka 4:** Zakładanie tezy w dowodzie. W zadaniu „wykaż, że” nie zapisujesz na początku równości, którą masz udowodnić, i nie przekształcasz jej obustronnie. Przekształcasz jedną stronę, aż otrzymasz drugą.

**Wskazówka:** Zanim zaczniesz liczyć, wypisz rozkłady na czynniki pierwsze wszystkich liczb z zadania. Od razu widać, logarytmy których liczb pierwszych są potrzebne i czy dane wystarczą.

## Co musisz umieć

- Zapisać i wyprowadzić wzór na zamianę podstawy logarytmu.
- Wybrać wspólną podstawę, w której dane są logarytmy z treści.
- Rozłożyć liczby na czynniki pierwsze i rozbić logarytm iloczynu i potęgi na sumę.
- Wyliczyć logarytm liczby pierwszej z danego logarytmu liczby złożonej.
- Sprowadzić dane o różnych podstawach do jednej podstawy łańcuchem logarytmów.
- Zapisać dowód typu „wykaż, że”, przekształcając jedną stronę równości w drugą.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania z logarytmów z arkuszy rozszerzonych: dowody typu „wykaż, że”, zadania, w których wynik wyraża się przez dane litery, i obliczenia, w których logarytmy o różnych podstawach upraszczają się po zamianie podstawy. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [logarytmy](/topics/logarytmy), a zadania z poziomu podstawowego w bazie [zadań CKE z logarytmów](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami). Jeśli potrzebujesz powtórki z definicji i własności, zacznij od wpisu [logarytmy na maturze: wzory i własności](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

Następny krok: Wszystkie działy matury rozszerzonej (/matura-rozszerzona)

## Najczęstsze pytania

### Jak wyrazić logarytm za pomocą a i b?

Przejdź wzorem na zamianę podstawy na podstawę danych logarytmów, rozłóż liczby pod logarytmami na czynniki pierwsze i rozbij logarytmy na sumy. Każdy logarytm liczby pierwszej zastąp daną literą. Gdy \(\log_2 3 = a\) i \(\log_2 5 = b\), to \(\log_{15} 60 = \frac{2 + a + b}{a + b}\).

### Jaki jest wzór na zamianę podstawy logarytmu?

\(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\) dla dodatnich \(a\), \(b\), \(c\), przy czym \(a \ne 1\) i \(c \ne 1\). Nową podstawę \(c\) wybierasz dowolnie, najwygodniej taką, w której masz dane albo w której liczby są potęgami.

### Jaką podstawę wybrać przy zamianie?

Podstawę logarytmu danego w treści. Wtedy dane wstawiasz bez przeliczania. Jeśli dane mają różne podstawy, wybierz jedną z nich i drugą daną przelicz łańcuchem \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\).

### Co zrobić, gdy dany jest logarytm liczby złożonej, na przykład log₃ 12?

Rozłóż ją na czynniki i wylicz z równania logarytm liczby pierwszej. Z \(\log_3 12 = c\) i \(12 = 2^2 \cdot 3\) dostajesz \(c = 2\log_3 2 + 1\), czyli \(\log_3 2 = \frac{c - 1}{2}\). Dalej postępujesz jak w zwykłym zadaniu z jedną daną.

### Jak zapisać rozwiązanie zadania „wykaż, że” z logarytmami?

Zacznij od strony bardziej skomplikowanej, zwykle od samego logarytmu, i przekształcaj ją aż do drugiej strony. Każde przejście uzasadnij wzorem, a na końcu napisz wprost, że otrzymałeś prawą stronę. Nie przekształcaj obustronnie tezy, której masz dowieść.

### Czy takie zadania są na maturze podstawowej?

Zadania z arkuszy, które cytuje ten wpis, pochodzą z poziomu rozszerzonego. Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi przy jednej podstawie omawia wpis [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku), a pełny zakres rozszerzenia opisuje wpis o [wymaganiach na maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).


---
route: /wyniki-matury-matematyka-2025-statystyki-zdawalnosc
title: Wyniki matury z matematyki 2025 i 2026 - zdawalność, średnia, rozkład punktów
description: Matura 2025: zdawalność 88,4% (dane ostateczne), średnia 61% i rozszerzenie 33% (dane wstępne). Matura 2026 (dane wstępne): 86%, 59% i 37%.
author: Marcel Bogdan
---

# Wyniki matury z matematyki 2025 i 2026 - zdawalność, średnia, rozkład punktów

## Matura z matematyki 2025 i 2026 - co mówią liczby?

Centralna Komisja Egzaminacyjna opublikowała pełne wyniki matury z matematyki 2025 oraz dane wstępne za maj 2026. Przeanalizowaliśmy statystyki obu roczników, porównaliśmy je z poprzednimi latami i wyciągnęliśmy wnioski, które pomogą ci przygotować się do [swojej matury z matematyki](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin). Aktualizacja z sierpnia 2026: dopisaliśmy wstępne wyniki matury 2026.

Dane pochodzą z oficjalnych dokumentów CKE: "Wstępnych informacji o wynikach" (publikowanych na początku lipca, obejmujących samą sesję majową) i "Informacji o wynikach egzaminu maturalnego" (publikowanej w połowie września, obejmującej maj, czerwiec i sierpień razem). Te dwa dokumenty podają różne wartości dla tego samego rocznika, dlatego przy każdej liczbie piszemy, z którego pochodzi. Pełne rozwiązania arkusza znajdziesz w naszym [omówieniu matury z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz).

## Kluczowe wyniki matury z matematyki 2025 - podsumowanie

| Wskaźnik | Wartość 2025 | Zmiana vs. 2024 |
|----------|-------------|----------------|
| Zdawalność, poziom podstawowy (dane ostateczne) | **88,4%** | z 91,4%, czyli o 3 punkty procentowe mniej |
| Średni wynik, poziom podstawowy (dane wstępne) | **61%** | z 63%, czyli o 2 punkty procentowe mniej |
| Średni wynik, poziom rozszerzony (dane wstępne) | **33%** | tyle samo co w 2024 roku |
| Liczba zdających matematykę na podstawie (dane ostateczne) | 256 716 | z 247 127, czyli o 9 589 osób więcej |
| Liczba zdających matematykę na rozszerzeniu (dane wstępne) | 67 384 | z 68 567, czyli o 1 183 osoby mniej |

## Zdawalność matury podstawowej - 88,4%

Zdawalność matury z matematyki na poziomie podstawowym w 2025 roku wyniosła, według danych ostatecznych CKE, **88,4%**. To oznacza, że **11,6% maturzystów** nie zdało matematyki.

To wynik stabilny. W danych wstępnych, obejmujących samą sesję majową, zdawalność trzyma się od 2023 roku w wąskim paśmie **85-89%**; w danych ostatecznych, ogłaszanych we wrześniu i obejmujących także sesję czerwcową oraz poprawkę sierpniową, wynosiła **88,4%** za 2025 rok i **91,4%** za 2024. Próg zdania to 30%, czyli 15 z 50 punktów, i jest to stosunkowo niski wymóg.

### Liceum kontra technikum - ta sama matura, inne wyniki

Średnia krajowa zaciera bardzo dużą różnicę między typami szkół. Poniżej dane wstępne CKE za maj 2025, czyli za samą sesję majową. Liczba zdających jest tu inna niż w tabeli podsumowującej wyżej: ta pochodzi z lipcowych "Wstępnych informacji", tamta z wrześniowej "Informacji o wynikach". Obie pochodzą z osobnych dokumentów o osobnych populacjach, więc nie odejmujemy ich od siebie:

| Populacja | Liczba zdających | Zdawalność | Średni wynik |
|-----------|-----------------|-----------|-------------|
| Wszyscy zdający | 258 368 | 85% | 61% |
| Absolwenci liceów ogólnokształcących | 162 994 | 89% | 66% |
| Absolwenci techników | 93 876 | 79% | 51% |

Dziesięć punktów procentowych zdawalności i piętnaście punktów procentowych średniego wyniku różnicy, licząc wstępne wobec wstępnych: 89% w liceach wobec 79% w technikach przy krajowych 85%.

W danych ostatecznych za 2025 rok wszystkie trzy wartości są wyższe, a różnica między typami szkół maleje z 10 do **8,1 punktu procentowego**: licea **91,6%**, technika **83,5%**, krajowe **88,4%**. Jeśli zdajesz z technikum, ogólnokrajowe "88,4% zdaje" jest dla ciebie liczbą zbyt optymistyczną. Nie zmienia to jednak progu, który jest identyczny w każdej szkole: 15 punktów.

### Kto nie zdaje matury z matematyki?

Zdecydowana większość osób, które nie zdają, to uczniowie, którzy:
- Nie przygotowywali się systematycznie (rozpoczęli naukę na 2-3 tygodnie przed egzaminem)
- Pominęli podstawowe tematy jak [procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) i [funkcja liniowa](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)
- Nie ćwiczyli na arkuszach z poprzednich lat

Jeśli czytasz ten artykuł i regularnie ćwiczysz, prawdopodobieństwo niezdania jest znikome. Ale jeśli szukasz pewnych punktów, sprawdź nasz artykuł o [pewniakach maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

## Średni wynik - 61%

Średni wynik na poziomie podstawowym wyniósł, według danych wstępnych CKE, **61%**, czyli około **30,5 punktu** z 50 możliwych. Mediana była o punkt procentowy wyższa: **62%**. To dobra wiadomość, bo oznacza, że przeciętny maturzysta radzi sobie z arkuszem wyraźnie lepiej niż "na styk".

Warto od razu odnotować, czego w dokumentach CKE **nie ma**, a co krąży po internecie: "Wstępne informacje o wynikach" i "Informacja o wynikach" podają minimum, maksimum, medianę, średnią, odchylenie standardowe i odsetek sukcesów, ale **nie podają** rozkładu zdających w przedziałach typu "powyżej 70%" czy "powyżej 90%". Każda tabela z takim rozkładem, na którą trafisz, jest albo cudzym szacunkiem, albo przepisana z innego dokumentu (danych centylowych) i wtedy powinna być tak podpisana. My takiej tabeli tu nie podajemy właśnie dlatego.

## Średni wynik matury rozszerzonej - 33%

Poziom rozszerzony nie ma formalnego progu zdawalności. CKE podaje dla niego średnią (**33%**) i medianę (**28%**), a kolumna z odsetkiem sukcesów zostaje dla rozszerzenia pusta.

Matura rozszerzona z matematyki nie wpływa na zdanie matury. Jest dodatkowym egzaminem, którego wynik liczy się tylko w rekrutacji na studia. Dlatego niski wynik na rozszerzeniu to nie katastrofa, po prostu niższy wynik rekrutacyjny.

### Mediana wyniku na rozszerzeniu

Mediana wyniku na poziomie rozszerzonym wyniosła **28%** (około 14 z 50 punktów). To znacznie mniej niż na podstawie i odzwierciedla wyższy poziom trudności arkusza. Uwaga na częstą pomyłkę: 28% to mediana, a 33% to średnia. To dwie różne wielkości i mieszanie ich daje zdania, które nie znaczą nic.

## Porównanie z latami 2023-2026

Jak matura 2025 wypada na tle poprzednich i następnego rocznika?

### Zdawalność na poziomie podstawowym

| Rok | Zdawalność (dane wstępne) | Średni wynik (dane wstępne) |
|-----|-----------|-------------|
| 2023 | 88% | nie podano |
| 2024 | 89% | 63% |
| 2025 | 85% | 61% |
| 2026 | 86% | 59% |

Zdawalność w tym okresie mieści się w wąskim przedziale, bez wyraźnego trendu.

### Co to oznacza?

Wyniki z lat 2023-2026 mieszczą się w zbliżonym przedziale. Na rezultat wpływają między innymi przygotowanie zdających i trudność arkusza, dlatego na podstawie tych czterech lat nie da się wskazać jednego kierunku zmian. Faktem jest, że maturzyści mają dziś dostęp do setek rozwiązanych arkuszy: w naszym [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) znajdziesz ponad 60 kompletnych arkuszy z pełnymi rozwiązaniami.

### Średni wynik na poziomie rozszerzonym

| Rok | Średni wynik | Mediana |
|-----|-------------------|-------------|
| 2024 | 33% | 28% |
| 2025 | 33% | 28% |
| 2026 | 37% | 34% |

Tu wynik jest wyraźnie niższy niż na podstawie, bo zadania na poziomie rozszerzonym wymagają syntezy wiedzy z różnych działów. Zwróć jednak uwagę na ostatni wiersz: w 2026 roku średnia rozszerzenia **wzrosła** z 33% do 37%, a mediana z 28% do 34%. Popularne twierdzenie o "ciągłym spadku wyników rozszerzenia" jest więc na najświeższym roczniku po prostu nieprawdziwe.

## Gdzie w arkuszu leżą punkty

Zamiast rankingów "zdawalności" poszczególnych zadań, których CKE nie publikuje w formie nadającej się do cytowania numer po numerze, warto spojrzeć na coś, co da się policzyć dokładnie: ile punktów niesie każdy dział. Poniżej rozkład najświeższego arkusza podstawowego, z maja 2026, policzony na naszej bazie zadań.

| Dział | Liczba zadań | Punkty |
|-------|-------------|--------|
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 3 | 6 |
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 4 | 5 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 5 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 4 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 4 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 4 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 3 | 3 |
| [Procenty](/topics/procenty) | 2 | 3 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 3 |
| [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 |
| [Statystyka](/topics/statystyka) | 2 | 2 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 2 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 |
| [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) | 1 | 1 |
| [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) | 1 | 1 |

Razem 37 zadań za 50 punktów: 24 zamknięte po 1 punkcie i 13 otwartych za 26 punktów, maksymalnie 4 punkty za jedno zadanie. Liczby zadań podajemy zgodnie z podziałem na osobno oceniane pozycje; na okładce arkusza CKE (symbol MMAP-P0-100-A-2605) numeracja biegnie do 33, bo część zadań ma podpunkty.

### Kluczowe obserwacje

**Żaden dział nie decyduje o zdaniu sam.** Najcięższy dział arkusza to funkcja kwadratowa i niesie 6 punktów z 50. Próg to 15 punktów, więc nie ma tu tematu, którego opanowanie wystarcza, ani takiego, którego pominięcie przesądza o porażce.

**Osiem działów z Fazy 1 daje dokładnie 15 punktów.** Procenty, potęgi i pierwiastki, statystyka, funkcja liniowa, trygonometria, logarytmy, wyrażenia algebraiczne i kombinatoryka to razem 14 zadań za 15 punktów, z czego 12 zadań jest zamkniętych, po 1 punkcie. To nie jest osiem najlżejszych wierszy tabeli (licząc od dołu, osiem najlżejszych daje 13 punktów), tylko dobór pod jedno kryterium: jak najwięcej punktów w zadaniach zamkniętych. Plan nauki niżej zaczyna się właśnie od tej ósemki.

**Geometria zawsze coś waży.** Planimetria, geometria analityczna i stereometria to razem 12 punktów, prawie jedna czwarta arkusza. Gdybyś pominął wszystkie trzy, a wszystko pozostałe zrobił bezbłędnie, sufit stoi na 38 punktach z 50, czyli 76%. Na samo zdanie to nie przeszkoda, na wynik powyżej 76% już tak.

## Jak te wyniki zmieniają podejście do nauki?

Na podstawie analizy wyników wyciągamy 7 konkretnych wniosków dla maturzystów.

### 1. Zacznij od Fazy 1 - osiem działów, 15 punktów

Procenty, potęgi i pierwiastki, statystyka, funkcja liniowa, trygonometria, logarytmy, wyrażenia algebraiczne i kombinatoryka to w arkuszu z maja 2026 czternaście zadań za łącznie 15 punktów z 50, z czego 12 zadań zamkniętych po 1 punkcie. Próg zdania to dokładnie 15 punktów. Nie znaczy to, że wystarczy nauczyć się ośmiu działów i mieć maturę w kieszeni, bo nie trafisz w każde zadanie. Znaczy to, że tu jest najwięcej punktów w zadaniach zamkniętych, a więc najmniej pracy na punkt. To dokładnie skład Fazy 1 z planu niżej.

### 2. Geometria decyduje o wysokim wyniku

Jeśli celujesz w wynik powyżej 84%, musisz umieć rozwiązywać zadania ze [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag). W arkuszu z maja 2026 te dwa działy dają razem 8 punktów, a z geometrią analityczną 12. Bez planimetrii i stereometrii sufit stoi dokładnie na 42 punktach z 50, czyli 84%, i to jest cały mechanizm: te dwa działy nie decydują o zdaniu, decydują o wyniku powyżej 84%. Jeśli chcesz zobaczyć, które typy zadań są uznawane za najtrudniejsze, przeczytaj nasz [ranking najtrudniejszych zadań maturalnych](/najtrudniejsze-zadania-maturalne-matematyka-ranking).

### 3. Ćwicz na prawdziwych arkuszach, nie na "zadaniach typu maturalnego"

Uczniowie radzą sobie lepiej z formatami, które znają. Dlatego rozwiązuj całe arkusze w formule CKE: mamy omówienia [oficjalnej matury próbnej CKE z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) oraz [naszego arkusza próbnego z lutego 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz), przygotowanego w tej samej formule, a w tym drugim pięć zadań rozpisanych krok po kroku.

### 4. Rozszerzenie wymaga osobnej strategii

Średni wynik rozszerzenia to 33% w 2025 roku i 37% w 2026, w obu latach znacznie mniej niż na podstawie. Jeśli zdajesz rozszerzenie, nie wystarczy "dobrze umieć podstawę". Potrzebujesz osobnego planu nauki z naciskiem na dowodzenie i syntezę działów.

### 5. Naucz się wzorów, których nie ma w tablicach

Część zadań wymaga wzorów, których nie znajdziesz w karcie wzorów CKE. Zebraliśmy je w [osobnym artykule](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac): znajdziesz tam wzory, których znajomość CKE zakłada bez podawania.

### 6. Zadania otwarte za 2 punkty - najlepszy stosunek wysiłku do punktów

W arkuszu z maja 2026 osiem z trzynastu zadań otwartych jest za 2 punkty, co daje 16 punktów. Wszystkie pozostałe zadania otwarte razem to 10 punktów. Innymi słowy: krótkie zadania otwarte niosą więcej punktów niż wszystkie długie razem, a wymagają jednego pomysłu, nie pięciu. To tutaj jest najlepszy zwrot z inwestycji w naukę. Przeczytaj nasz [poradnik rozwiązywania zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

### 7. Nie ignoruj najprostszych błędów

Duża część utraconych punktów to zwykłe błędy rachunkowe i nieuwaga: zapomnienie o warunku \(\Delta \geq 0\), pominięcie jednego przypadku w zadaniu z wartością bezwzględną, źle przepisana liczba z treści. Przeczytaj o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki), bo wiele z nich da się wyeliminować prostymi nawykami.

## Plan nauki na maturę w oparciu o rozkład punktów

Poniżej plan ułożony według tego, ile punktów niesie dany dział w arkuszu z maja 2026. Fazy są kolejne, nie równoległe.

### Faza 1: Najtańsze punkty, w sumie tyle ile próg (4-6 tygodni)

Osiem działów, 14 zadań, razem **15 punktów**, czyli tyle, ile wynosi próg. To pułap tej fazy przy trafieniu we wszystkie 14 zadań, a nie gwarancja zdania: żeby mieć zapas, dobierz do niej najłatwiejsze zadania otwarte z Fazy 2. Dwanaście z tych zadań jest zamkniętych, po 1 punkcie:
- [Procenty](/topics/procenty) - 2 zadania, 3 punkty
- [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) - 3 zadania, 3 punkty
- [Statystyka](/topics/statystyka) - 2 zadania, 2 punkty
- [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) - 2 zadania, 2 punkty
- [Trygonometria](/topics/trygonometria) - 2 zadania, 2 punkty
- [Logarytmy](/topics/logarytmy) - 1 zadanie, 1 punkt
- [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) - 1 zadanie, 1 punkt
- [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) - 1 zadanie, 1 punkt

### Faza 2: Solidna baza (4-6 tygodni)

Razem 18 punktów, narastająco 33 z 50, czyli 66%:
- [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - 3 zadania, 6 punktów
- [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - 3 zadania, 4 punkty
- [Funkcje ogólne](/topics/funkcje) - 2 zadania, 4 punkty
- [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) - 1 zadanie, 2 punkty
- [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) - 1 zadanie, 2 punkty

### Faza 3: Wyższe cele (4-6 tygodni)

Razem 9 punktów, narastająco 42 z 50, czyli 84%:
- [Ciągi](/topics/ciagi) - 3 zadania, 5 punktów
- [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) - 4 zadania, 4 punkty

### Faza 4: Top (2-4 tygodnie)

Razem 8 punktów, narastająco 50 z 50, czyli cały arkusz:
- [Planimetria](/topics/planimetria) - 4 zadania, 5 punktów
- [Stereometria](/topics/stereometria) - 2 zadania, 3 punkty

Cztery fazy pokrywają wszystkie 17 działów arkusza, więc nie ma tu działu, który zostaje poza planem. Sumy narastające: 15, 33, 42 i 50 punktów, czyli 30%, 66%, 84% i 100%. Szczegółowy harmonogram tygodniowy znajdziesz w naszym [planie na ostatnie tygodnie przed maturą](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

## Jak wypadła matura 2026?

Ten artykuł powstał przed sesją 2026, z prognozami. Dane wstępne CKE z 8 lipca 2026 są już opublikowane, więc zamiast prognozy podajemy wynik.

**Poziom podstawowy.** Zdawalność wstępna wyniosła **86%** (rok wcześniej 85%), a średni wynik **59%** (rok wcześniej 61%). Mediana to 60%. Zdawalność wzrosła więc o punkt procentowy, a średnia spadła o dwa: arkusz nie odsiał więcej osób przy progu, ale wyżej w skali wypadło słabiej. W podziale na typy szkół: licea 89% zdawalności przy średniej 63%, technika 80% przy średniej 50%.

**Poziom rozszerzony.** Średnia **wzrosła** z 33% do **37%**, a mediana z 28% do **34%**. To pierwszy wyraźny ruch w górę od dwóch lat, w których wartości były identyczne.

**Liczba zdających.** Matematykę na podstawie pisało w maju 2026 roku **324 225** osób, na rozszerzeniu **88 856**. Rok wcześniej było to odpowiednio 258 368 i 67 384 osoby.

Dane ostateczne za 2026 rok, obejmujące sesję czerwcową i poprawkę sierpniową, CKE zapowiedziała na 11 września 2026 i to one będą porównywalne z 88,4% za 2025 rok. Historycznie doliczenie tych dwóch sesji podnosiło zdawalność matematyki na podstawie o 2,4 punktu procentowego w 2024 roku i o 3,4 punktu procentowego w 2025.

**Nowe typy zadań.** Na podstawie [matury próbnej CKE z marca 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) widać, że CKE łączy w jednym zadaniu wiele działów (na przykład trygonometrię z ciągami, geometrię analityczną z funkcją kwadratową). To utrudnia podejście "znam jeden dział na 100%".

## Co dalej?

Jeśli przygotowujesz się do matury, masz teraz pełen obraz sytuacji. Wiesz, które działy niosą najwięcej punktów (i musisz je umieć), a od których zacząć, żeby najszybciej dojść do progu.

Zacznij przygotowania od [kompletnego przewodnika po maturze](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), a potem systematycznie przechodź przez nasze [tematy](/topics/liczby-rzeczywiste) - od najprostszych do najtrudniejszych.

W naszej bazie znajdziesz ponad 2300 zadań maturalnych. Tam, gdzie odpowiedzi są podane do wyboru, zaznaczasz swoją i aplikacja od razu mówi, czy jest poprawna; tam, gdzie odpowiedź trzeba zapisać samodzielnie, porównujesz ją z kluczem, a zadania dowodowe klucza nie mają. Wszystko w ramach dziennego limitu zadań: bez konta 3 dziennie, z darmowym kontem 6, a rozwiązania krok po kroku odsłaniasz odpowiednio raz i trzy razy dziennie; w Premium bez limitu. Ćwicz codziennie, ćwicz na arkuszach, ćwicz z zegarkiem. Statystyki pokazują, że regularność to klucz do sukcesu.

Powodzenia na maturze!

Quiz: Sprawdź najważniejszą liczbę

Pytanie: Jaka była zdawalność matury z matematyki na poziomie podstawowym w 2025 roku?
- A. 78,4%
- B. 88,4%
- C. 98,4%
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: To ostateczna wartość podana w artykule na podstawie danych CKE.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wlasnosci-funkcji-na-maturze-parzystosc-zlozenie-odwrotna
title: Własności funkcji na maturze - parzystość, różnowartościowość, funkcja odwrotna i złożenie
description: Parzystość, różnowartościowość, funkcja odwrotna i złożenie funkcji - definicje, wzory i 5 rozwiązanych przykładów krok po kroku na maturę z matematyki.
author: Marcel Bogdan
---

# Własności funkcji na maturze - parzystość, różnowartościowość, funkcja odwrotna i złożenie

## Dlaczego te cztery pojęcia mylą się najbardziej

Jeśli uczysz się do matury z [funkcji](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), na pewno natrafiłeś już na dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność. Ale jest jeszcze jedna grupa pojęć, która sprawia najwięcej problemów, bo brzmi podobnie, a oznacza coś zupełnie innego: parzystość, różnowartościowość, funkcja odwrotna i złożenie funkcji.

Problem polega na tym, że te cztery rzeczy się ze sobą mieszają. Uczeń słyszy „funkcja jest różnowartościowa” i myśli, że chodzi o to samo co „funkcja jest rosnąca”. Słyszy „funkcja odwrotna” i próbuje ją policzyć nawet wtedy, gdy funkcja nie ma do niej prawa. W tym poście rozkładam każde z tych pojęć osobno, pokazuję dokładnie skąd się bierze, i rozwiązuję po kolei przykłady, żeby te definicje przestały być abstrakcją, a stały się czymś, co potrafisz zastosować w konkretnym zadaniu.

Jeśli wolisz od razu poćwiczyć na prawdziwych zadaniach CKE z tego działu, [rozwiąż zadania z kategorii Funkcje](/topics/funkcje) albo sprawdź [pełną bazę zadań CKE z funkcji](/zadania-cke-funkcje-z-rozwiazaniami).

## Gdzie to się pojawia na maturze

Na maturze podstawowej te własności najczęściej nie występują jako osobne, duże zadanie otwarte, tylko jako pytania typu prawda-fałsz albo pytania zamknięte przy okazji czytania wykresu funkcji: na przykład polecenie brzmi „na podstawie wykresu oceń, czy funkcja jest różnowartościowa” albo „czy przedstawiona funkcja jest parzysta”. To sprawia, że łatwo je zbagatelizować w nauce, a potem stracić łatwe punkty, bo brakuje pewności co do samej definicji. Dodatkowo znajomość złożenia i funkcji odwrotnej przydaje się później przy analizowaniu przekształceń wykresów, więc to nie jest wiedza, którą zdobywasz tylko po to, żeby zapomnieć zaraz po tym dziale.

## Parzystość i nieparzystość funkcji

Funkcja \\(f\\) o dziedzinie \\(D\\) symetrycznej względem zera (czyli jeśli \\(x \\in D\\), to również \\(-x \\in D\\)) jest:

- **parzysta**, gdy dla każdego \\(x \\in D\\) zachodzi \\(f(-x) = f(x)\\),
- **nieparzysta**, gdy dla każdego \\(x \\in D\\) zachodzi \\(f(-x) = -f(x)\\).

Geometrycznie: wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \\(Oy\\) (jak parabola \\(y = x^2\\)). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli punktu \\((0,0)\\) (jak prosta \\(y = x\\) albo hiperbola \\(y = \\frac{1}{x}\\)).

Najważniejsza pułapka: **musisz sprawdzić warunek dla każdego \\(x\\) z dziedziny, a nie dla jednej liczby.** Sprawdzenie, że \\(f(-2) = f(2)\\) dla jednego konkretnego \\(x=2\\) niczego nie dowodzi. Musisz podstawić ogólne \\(-x\\) do wzoru i przekształcić algebraicznie.

### Przykład 1: Sprawdzanie parzystości

Sprawdź, czy funkcja \\(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\\) jest parzysta, nieparzysta, czy żadna z tych opcji.

Dziedzina to \\(D = \\mathbb{R}\\), czyli zbiór symetryczny względem zera, więc możemy w ogóle stawiać to pytanie. Liczymy \\(f(-x)\\):

$$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1$$

Otrzymaliśmy dokładnie \\(f(x)\\), więc \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\). Funkcja jest **parzysta**. Zwróć uwagę, że wszystkie potęgi \\(x\\) w tym wzorze są parzyste (4, 2, 0) - to nie przypadek. Wielomian złożony wyłącznie z parzystych potęg \\(x\\) zawsze jest funkcją parzystą.

### Przykład 2: Sprawdzanie nieparzystości

Sprawdź, czy funkcja \\(f(x) = x^3 - 4x\\) jest parzysta, nieparzysta, czy żadna z tych opcji.

$$f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -f(x)$$

Otrzymaliśmy \\(f(-x) = -f(x)\\), więc funkcja jest **nieparzysta**. Podobnie jak wcześniej: wszystkie potęgi \\(x\\) (3 i 1) są nieparzyste, co jest typowe dla funkcji nieparzystych. Gdyby wzór zawierał mieszankę parzystych i nieparzystych potęg, na przykład \\(f(x) = x^3 + x^2\\), funkcja nie byłaby ani parzysta, ani nieparzysta - i to jest najczęstszy poprawny wynik w zadaniach maturalnych, więc nie zakładaj z góry, że musi wyjść jedno z dwóch.

## Różnowartościowość funkcji

Funkcja \\(f\\) jest **różnowartościowa** (inaczej: injektywna), jeżeli różnym argumentom zawsze odpowiadają różne wartości. Formalnie: dla dowolnych \\(x_1, x_2\\) z dziedziny,

$$x_1 \\neq x_2 \\implies f(x_1) \\neq f(x_2)$$

W praktyce łatwiej sprawdza się to w wersji przeciwstawnej: zakładasz, że \\(f(x_1) = f(x_2)\\), i pokazujesz, że musi z tego wynikać \\(x_1 = x_2\\).

Geometrycznie odpowiada temu **test poziomej prostej**: funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy każda pozioma prosta \\(y = c\\) przecina jej wykres co najwyżej w jednym punkcie. Dlaczego akurat pozioma, a nie pionowa? Bo pionowa prosta \\(x=c\\) sprawdza, czy w ogóle mamy do czynienia z funkcją (każdy argument ma dokładnie jedną wartość) - to inny warunek, który zakładamy z góry. Pozioma prosta sprawdza coś dodatkowego: czy dana wartość \\(y=c\\) mogła powstać tylko z jednego argumentu, czy z kilku naraz. Jeśli prosta przecina wykres w dwóch punktach, to znaczy, że dwa różne argumenty dają tę samą wartość - a to jest właśnie zaprzeczenie różnowartościowości.

To jest miejsce, gdzie uczniowie najczęściej mylą pojęcia: **funkcja monotoniczna (rosnąca lub malejąca) na całej dziedzinie zawsze jest różnowartościowa**, ale różnowartościowość nie wymaga monotoniczności na całej dziedzinie. Funkcja może „skakać” w górę i w dół i nadal być różnowartościowa, o ile żadne dwie wartości się nie powtarzają.

### Przykład 3: Różnowartościowość funkcji liniowej i kwadratowej

Sprawdź różnowartościowość funkcji \\(f(x) = 2x + 3\\) oraz \\(g(x) = x^2\\), obie o dziedzinie \\(\\mathbb{R}\\).

Dla \\(f\\): zakładamy \\(f(x_1) = f(x_2)\\), czyli \\(2x_1 + 3 = 2x_2 + 3\\). Odejmujemy 3 z obu stron i dzielimy przez 2: \\(x_1 = x_2\\). Warunek jest spełniony, więc \\(f\\) **jest różnowartościowa**. To ogólna zasada: [funkcja liniowa](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) o współczynniku kierunkowym różnym od zera zawsze jest różnowartościowa, bo jest ściśle monotoniczna na całej dziedzinie.

Dla \\(g(x) = x^2\\): wystarczy jeden kontrprzykład. Mamy \\(g(1) = 1\\) oraz \\(g(-1) = 1\\). Skoro \\(1 \\neq -1\\), a \\(g(1) = g(-1)\\), to warunek różnowartościowości jest złamany. [Funkcja kwadratowa](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) na całym zbiorze \\(\\mathbb{R}\\) **nie jest różnowartościowa** - dokładnie dlatego, że jej wykres, czyli parabola, jest symetryczny, a pozioma prosta powyżej wierzchołka przecina go w dwóch punktach. Ciekawostka: gdybyśmy zawęzili dziedzinę \\(g\\) do \\(x \\ge 0\\), funkcja stałaby się różnowartościowa, bo na tym przedziale jest ściśle rosnąca.

A teraz przykład, który pokazuje, że różnowartościowość i monotoniczność to naprawdę dwie różne rzeczy. Weźmy \\(h(x) = \\frac{1}{x}\\), \\(D = \\mathbb{R} \\setminus \\{0\\}\\) (tę samą funkcję poznałeś już wcześniej jako przykład funkcji nieparzystej - to znak, że jedna funkcja może mieć kilka własności naraz). Załóżmy \\(h(x_1) = h(x_2)\\), czyli \\(\\frac{1}{x_1} = \\frac{1}{x_2}\\). Mnożąc obie strony przez \\(x_1 x_2\\) (dozwolone, bo obie liczby są różne od zera), otrzymujemy \\(x_2 = x_1\\). Warunek różnowartościowości jest spełniony na całej dziedzinie. A jednak \\(h\\) **nie jest monotoniczna na całej dziedzinie** - jest malejąca osobno na przedziale \\((-\\infty, 0)\\) i osobno na \\((0, +\\infty)\\), ale porównując na przykład \\(x_1=-1\\) i \\(x_2=1\\): mamy \\(x_1 0\\), \\(a \\neq 1\\)), to ma swoją odwrotną, a ta odwrotna to dokładnie \\(\\log_a x\\). To dobry przykład na to, że ta sama definicja funkcji odwrotnej, którą tu poznajesz na prostych wzorach, działa identycznie dla dużo bardziej zaawansowanych funkcji.

### Przykład 4: Wyznaczanie funkcji odwrotnej

Wyznacz funkcję odwrotną do \\(f(x) = 2x - 5\\), gdzie \\(D = \\mathbb{R}\\).

Funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \\(2 \\neq 0\\) jest różnowartościowa (patrz Przykład 3), więc funkcja odwrotna istnieje. Zapisujemy \\(y = 2x - 5\\), zamieniamy zmienne:

$$x = 2y - 5$$

Rozwiązujemy względem \\(y\\): \\(x + 5 = 2y\\), czyli

$$y = \\frac{x+5}{2}$$

Zatem \\(f^{-1}(x) = \\frac{x+5}{2}\\). Zawsze warto sprawdzić wynik, wstawiając go z powrotem do \\(f\\):

$$f\\left(f^{-1}(x)\\right) = 2 \\cdot \\frac{x+5}{2} - 5 = (x+5) - 5 = x$$

Wyszło \\(x\\), czyli funkcja odwrotna jest policzona poprawnie. To jest dobry nawyk na maturze: jeśli masz czas, zawsze podstaw wynik z powrotem, to najszybszy sposób na złapanie własnego błędu rachunkowego.

## Złożenie funkcji

Złożenie funkcji \\(f\\) i \\(g\\), oznaczane \\(f \\circ g\\), to funkcja zdefiniowana wzorem

$$(f \\circ g)(x) = f(g(x))$$

Czytamy to od środka: najpierw działamy funkcją \\(g\\) na argument \\(x\\), a dopiero na wynik działamy funkcją \\(f\\). **Kolejność ma znaczenie** - złożenie \\(f \\circ g\\) w ogólności różni się od \\(g \\circ f\\). To jedna z najczęstszych pomyłek na maturze: uczniowie liczą złożenie w złej kolejności, bo w zapisie \\(f(g(x))\\) intuicyjnie chce się zacząć od \\(f\\).

Dziedzina złożenia \\(f \\circ g\\) to zbiór tych \\(x\\), które należą do dziedziny \\(g\\), i dla których wartość \\(g(x)\\) należy do dziedziny \\(f\\). Na maturze podstawowej funkcje są zwykle określone na całym \\(\\mathbb{R}\\), więc ten krok często się upraszcza, ale warto go pamiętać przy funkcjach z pierwiastkami czy ułamkami. Weźmy na przykład \\(f(x) = \\sqrt{x}\\) (dziedzina \\(x \\ge 0\\)) i \\(g(x) = x - 3\\) (dziedzina \\(\\mathbb{R}\\)). Żeby policzyć \\((f \\circ g)(x) = \\sqrt{x-3}\\), nie wystarczy sama dziedzina \\(g\\) - trzeba dodatkowo zażądać, żeby \\(g(x) \\ge 0\\), czyli \\(x - 3 \\ge 0\\), a więc \\(x \\ge 3\\). Dziedziną złożenia jest więc \\(x \\ge 3\\), mimo że sama funkcja \\(g\\) była określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych.

### Przykład 5: Obliczanie złożenia w obie strony

Dane są funkcje \\(f(x) = x^2 + 1\\) i \\(g(x) = 3x - 2\\). Oblicz \\((f \\circ g)(x)\\) oraz \\((g \\circ f)(x)\\) i pokaż, że to różne funkcje.

Liczymy \\((f \\circ g)(x) = f(g(x))\\). Podstawiamy \\(g(x) = 3x-2\\) w miejsce \\(x\\) we wzorze na \\(f\\):

$$f(g(x)) = (3x-2)^2 + 1 = 9x^2 - 12x + 4 + 1 = 9x^2 - 12x + 5$$

Teraz liczymy \\((g \\circ f)(x) = g(f(x))\\). Podstawiamy \\(f(x) = x^2+1\\) w miejsce \\(x\\) we wzorze na \\(g\\):

$$g(f(x)) = 3(x^2+1) - 2 = 3x^2 + 3 - 2 = 3x^2 + 1$$

Porównaj wyniki: \\(9x^2 - 12x + 5\\) oraz \\(3x^2 + 1\\) to zupełnie różne funkcje kwadratowe. To ostatecznie potwierdza, że złożenie funkcji nie jest przemienne - kolejność, w jakiej piszesz \\(f \\circ g\\), zawsze musi się zgadzać z kolejnością obliczeń.

## Szybkie porównanie wszystkich czterech pojęć

Zanim przejdziemy do pułapek, zobacz to zestawienie obok siebie - w praktyce najwięcej błędów bierze się właśnie z mylenia tych czterech rzeczy między sobą, a nie z niezrozumienia którejś z osobna.

| Pojęcie | Warunek algebraiczny | Test na wykresie | Co to daje |
|---|---|---|---|
| Funkcja parzysta | \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\) | symetria względem osi \\(Oy\\) | wystarczy znać połowę wykresu |
| Funkcja nieparzysta | \\(f(-x) = -f(x)\\) dla każdego \\(x\\) | symetria względem punktu \\((0,0)\\) | wystarczy znać połowę wykresu |
| Różnowartościowość | \\(f(x_1)=f(x_2) \\implies x_1=x_2\\) | pozioma prosta przecina wykres co najwyżej raz | warunek konieczny istnienia \\(f^{-1}\\) |
| Funkcja odwrotna | zamiana \\(x\\) i \\(y\\), rozwiązanie względem \\(y\\) | odbicie wykresu względem \\(y=x\\) | „cofa” działanie funkcji |
| Złożenie \\(f \\circ g\\) | \\((f \\circ g)(x) = f(g(x))\\) | brak jednego prostego testu graficznego | łączy dwie funkcje w jedną, w ustalonej kolejności |

## Jedna funkcja, wszystkie cztery własności naraz

Dobrym ćwiczeniem na koniec jest sprawdzenie wszystkiego na jednej funkcji, żeby zobaczyć, że te pojęcia nie są od siebie oderwane. Weźmy \\(f(x) = x^3\\), \\(D = \\mathbb{R}\\).

**Parzystość:** \\(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\\), więc funkcja jest nieparzysta, a jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

**Różnowartościowość:** funkcja \\(x^3\\) jest ściśle rosnąca na całym \\(\\mathbb{R}\\) (im większy argument, tym większa wartość), więc jest różnowartościowa - żadna pozioma prosta nie przetnie jej wykresu więcej niż raz.

**Funkcja odwrotna:** skoro \\(f\\) jest różnowartościowa, \\(f^{-1}\\) istnieje. Zapisujemy \\(y = x^3\\), zamieniamy zmienne: \\(x = y^3\\), rozwiązujemy względem \\(y\\): \\(y = \\sqrt[3]{x}\\). Zatem \\(f^{-1}(x) = \\sqrt[3]{x}\\) - pierwiastek sześcienny, określony dla każdej liczby rzeczywistej, również ujemnej.

**Złożenie:** jeśli dodatkowo \\(g(x) = x + 1\\), to \\((f \\circ g)(x) = (x+1)^3\\), a \\((g \\circ f)(x) = x^3 + 1\\) - znowu dwa różne wyniki, dokładnie tak jak w Przykładzie 5.

Widzisz więc, że jedna, prosta funkcja może być jednocześnie nieparzysta, różnowartościowa i mieć swoją funkcję odwrotną - to nie są wykluczające się kategorie, tylko cztery niezależne pytania, które możesz zadać o dowolną funkcję.

## Częste błędy i pułapki

- **Sprawdzanie parzystości na jednej liczbie zamiast ogólnie.** Podstawienie \\(x=1\\) czy \\(x=2\\) nic nie dowodzi - trzeba przekształcić \\(f(-x)\\) algebraicznie dla dowolnego \\(x\\).
- **Mylenie monotoniczności z różnowartościowością.** Funkcja monotoniczna na całej dziedzinie zawsze jest różnowartościowa, ale wniosek w drugą stronę nie zawsze zachodzi - różnowartościowa funkcja nie musi być monotoniczna na całym przedziale.
- **Próba wyznaczenia funkcji odwrotnej bez sprawdzenia różnowartościowości.** Jeśli funkcja nie jest różnowartościowa na danej dziedzinie (na przykład pełna parabola), funkcja odwrotna po prostu nie istnieje, dopóki nie zawęzisz dziedziny.
- **Zapominanie o zamianie dziedziny ze zbiorem wartości** przy podawaniu pełnego opisu funkcji odwrotnej.
- **Odwracanie kolejności w złożeniu.** \\(f(g(x))\\) to najpierw \\(g\\), potem \\(f\\) - nie odwrotnie. Dla pewności zawsze możesz to sprawdzić na jednej konkretnej liczbie przed napisaniem pełnego wzoru.
- **Ocenianie różnowartościowości „na oko”, tylko po kształcie wykresu.** Zawsze staraj się to jeszcze potwierdzić algebraicznie z założenia \\(f(x_1)=f(x_2)\\) - wykres bywa niedokładny albo pokazuje tylko fragment dziedziny.
- **Zapominanie, że funkcja stała, na przykład \\(f(x)=3\\), jest parzysta, ale nigdy nie jest różnowartościowa** (bo każde dwa argumenty dają tę samą wartość). To dobry test kontrolny: jeśli Twoja odpowiedź mówi, że funkcja stała ma funkcję odwrotną, na pewno popełniłeś błąd.

## Co musisz umieć - checklista

- Sprawdzić parzystość i nieparzystość funkcji poprzez podstawienie \\(-x\\) i porównanie z \\(f(x)\\) oraz \\(-f(x)\\).
- Rozpoznać symetrię wykresu: parzysta względem osi \\(Oy\\), nieparzysta względem początku układu.
- Sprawdzić różnowartościowość algebraicznie (z założenia \\(f(x_1)=f(x_2)\\)) albo geometrycznie (test poziomej prostej).
- Rozpoznać, kiedy funkcja odwrotna w ogóle istnieje.
- Wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej metodą zamiany zmiennych i sprawdzić wynik przez podstawienie.
- Obliczyć złożenie funkcji w obu kierunkach i wiedzieć, że kolejność zmienia wynik.

Na egzaminie, kiedy widzisz pytanie o jedną z tych czterech własności, warto działać według stałej kolejności, żeby nie zgadywać: najpierw sprawdź dziedzinę (czy w ogóle jest symetryczna względem zera, jeśli pytanie dotyczy parzystości), potem podstaw \\(-x\\) albo załóż równość dwóch wartości, a dopiero na końcu porównaj to, co wyszło, ze wzorem wyjściowym. Ta kolejność działa niezależnie od tego, czy wzór funkcji jest prosty, jak w przykładach z tego artykułu, czy bardziej rozbudowany, jak w prawdziwych zadaniach maturalnych.

Jeśli chcesz przećwiczyć te umiejętności na prawdziwych zadaniach maturalnych, [rozwiąż zadania testowe online](/solve) albo wróć do [ogólnego przewodnika po funkcjach](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc), żeby odświeżyć dziedzinę, monotoniczność i odczytywanie własności z wykresu. A jeśli interesuje Cię prawdopodobieństwo, sprawdź też nasz [przewodnik po schemacie Bernoulliego](/schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania) - inny temat, który regularnie pojawia się na maturze, a rzadko jest dobrze wytłumaczony.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory
title: Układ współrzędnych na maturze - punkty, odległości, środek odcinka i wektory
description: Przewodnik po układzie współrzędnych na maturze. Odległość punktów, środek odcinka, wektory, iloczyn skalarny - wzory z zadaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Układ współrzędnych na maturze - punkty, odległości, środek odcinka i wektory

Układ współrzędnych to fundament geometrii analitycznej - działu, który na maturze z matematyki pojawia się w niemal każdym arkuszu. Zanim przejdziesz do [równań prostych](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) czy [równań okręgów](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), musisz doskonale opanować podstawy: wyznaczanie odległości, znajdowanie środka odcinka i operacje na wektorach.

W tym artykule znajdziesz wszystkie wzory, które musisz znać, jasne wyjaśnienia geometryczne i rozwiązane zadania maturalne. Jeśli szukasz szerszego omówienia geometrii analitycznej, polecam [kompletny przewodnik po geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

## Odległość dwóch punktów

To absolutna podstawa - wzór, który wykorzystasz w dziesiątkach zadań, nie tylko z geometrii analitycznej.

### Wzór na odległość

Dla dwóch punktów \(A = (x_1, y_1)\) i \(B = (x_2, y_2)\) odległość między nimi wynosi:

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Wzór ten wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli narysujesz trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest odcinek \(AB\), to przyprostokątne mają długości \(|x_2 - x_1|\) i \(|y_2 - y_1|\).

**Ważna uwaga:** kolejność odejmowania nie ma znaczenia, bo podnosimy różnicę do kwadratu. Zarówno \((x_2 - x_1)^2\) jak i \((x_1 - x_2)^2\) dają ten sam wynik.

### Zadanie 1: Obliczanie odległości

*Oblicz odległość między punktami \(A = (1, 3)\) i \(B = (5, 6)\).*

**Rozwiązanie:**

$$|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

**Odpowiedź:** \(|AB| = 5\).

### Zadanie 2: Odległość punktu od początku układu

*Punkt \(P = (-3, 4)\) leży na okręgu o środku w początku układu współrzędnych. Jaki jest promień tego okręgu?*

**Rozwiązanie:**

Promień to odległość punktu \(P\) od początku układu \(O = (0, 0)\):

$$r = |OP| = \sqrt{(-3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

**Odpowiedź:** Promień okręgu wynosi \(r = 5\). Zwróć uwagę, że to trójka pitagorejska \((3, 4, 5)\) - takie "ładne" liczby pojawiają się na maturze bardzo często.

### Odległość punktu od prostej

Choć to nieco inny temat, warto wspomnieć o nim przy okazji. Dla punktu \(P = (x_0, y_0)\) i prostej \(Ax + By + C = 0\):

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

Ten wzór łączy się z [tematem równań prostych](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) i jest niezbędny w wielu zadaniach z geometrii analitycznej.

## Środek odcinka

### Wzór na środek odcinka

Środek odcinka \(AB\), gdzie \(A = (x_1, y_1)\) i \(B = (x_2, y_2)\), ma współrzędne:

$$S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Intuicja jest prosta - środek to średnia arytmetyczna współrzędnych obu końców.

### Zadanie 3: Znajdowanie środka odcinka

*Odcinek \(AB\) ma końce w punktach \(A = (2, -1)\) i \(B = (8, 5)\). Wyznacz współrzędne środka tego odcinka.*

**Rozwiązanie:**

$$S = \left(\frac{2 + 8}{2}, \frac{-1 + 5}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{4}{2}\right) = (5, 2)$$

**Odpowiedź:** \(S = (5, 2)\).

### Zadanie 4: Znajdowanie drugiego końca odcinka

*Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne \(S = (3, 7)\), a punkt \(A = (-1, 4)\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).*

To odwrotne zadanie - znamy środek i jeden koniec, szukamy drugiego. Typ zadania, który na maturze pojawia się regularnie.

**Rozwiązanie:**

Z wzoru na środek odcinka:

$$3 = \frac{-1 + x_B}{2} \implies 6 = -1 + x_B \implies x_B = 7$$

$$7 = \frac{4 + y_B}{2} \implies 14 = 4 + y_B \implies y_B = 10$$

**Odpowiedź:** \(B = (7, 10)\).

**Alternatywna metoda:** punkt \(B\) jest symetryczny do \(A\) względem \(S\). Przesunięcie od \(A\) do \(S\) wynosi \((3 - (-1), 7 - 4) = (4, 3)\). To samo przesunięcie stosujemy od \(S\): \(B = (3 + 4, 7 + 3) = (7, 10)\).

## Symetria punktu względem punktu

Punkt \(A'\) symetryczny do \(A = (x_1, y_1)\) względem punktu \(S = (x_0, y_0)\) ma współrzędne:

$$A' = (2x_0 - x_1, \ 2y_0 - y_1)$$

Wynika to wprost z faktu, że \(S\) jest środkiem odcinka \(AA'\).

### Zadanie 5: Symetria względem początku układu

*Wyznacz punkt symetryczny do \(A = (3, -2)\) względem początku układu współrzędnych.*

**Rozwiązanie:**

$$A' = (2 \cdot 0 - 3, \ 2 \cdot 0 - (-2)) = (-3, 2)$$

**Odpowiedź:** \(A' = (-3, 2)\). Przy symetrii względem \(O = (0,0)\) wystarczy zmienić znaki obu współrzędnych.

## Wektory - współrzędne i podstawowe operacje

Wektor to obiekt matematyczny, który ma kierunek, zwrot i długość. W układzie współrzędnych wektor opisujemy parą liczb.

### Współrzędne wektora

Wektor \(\vec{AB}\) o początku w \(A = (x_1, y_1)\) i końcu w \(B = (x_2, y_2)\) ma współrzędne:

$$\vec{AB} = [x_2 - x_1, \ y_2 - y_1]$$

Kluczowa zasada: koniec minus początek. Zawsze w tej kolejności.

### Długość wektora

Długość (moduł) wektora \(\vec{v} = [a, b]\) wynosi:

$$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

To ten sam wzór co na odległość - co jest logiczne, bo długość wektora \(\vec{AB}\) to po prostu odległość \(|AB|\).

### Zadanie 6: Współrzędne i długość wektora

*Dane są punkty \(A = (1, 2)\) i \(B = (4, 6)\). Wyznacz współrzędne wektora \(\vec{AB}\) i oblicz jego długość.*

**Rozwiązanie:**

Współrzędne wektora:

$$\vec{AB} = [4 - 1, \ 6 - 2] = [3, 4]$$

Długość wektora:

$$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

**Odpowiedź:** \(\vec{AB} = [3, 4]\), \(|\vec{AB}| = 5\).

## Dodawanie i odejmowanie wektorów

### Dodawanie wektorów

Wektory dodajemy po współrzędnych:

$$\vec{u} + \vec{v} = [u_1 + v_1, \ u_2 + v_2]$$

Geometrycznie - przykładamy początek drugiego wektora do końca pierwszego.

### Odejmowanie wektorów

$$\vec{u} - \vec{v} = [u_1 - v_1, \ u_2 - v_2]$$

### Mnożenie wektora przez skalar

$$k \cdot \vec{v} = [k \cdot v_1, \ k \cdot v_2]$$

Mnożenie przez \(k > 0\) zachowuje zwrot wektora (wydłuża lub skraca go), a przez \(k < 0\) zmienia zwrot na przeciwny.

### Wektory równe i przeciwne

- Wektory \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) są **równe**, gdy \(u_1 = v_1\) i \(u_2 = v_2\),
- Wektor **przeciwny** do \(\vec{v} = [a, b]\) to \(-\vec{v} = [-a, -b]\).

## Iloczyn skalarny i kąt między wektorami

Iloczyn skalarny to jedno z najważniejszych narzędzi geometrii analitycznej na maturze. Pozwala obliczać kąty i sprawdzać prostopadłość.

### Wzór na iloczyn skalarny

Dla wektorów \(\vec{u} = [u_1, u_2]\) i \(\vec{v} = [v_1, v_2]\):

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2$$

### Kąt między wektorami

$$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$$

Jeśli chcesz odświeżyć wartości funkcji trygonometrycznych potrzebne do wyznaczenia kąta, zajrzyj do [kompletnego omówienia trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

### Zadanie 7: Kąt między wektorami

*Oblicz kąt między wektorami \(\vec{u} = [1, \sqrt{3}]\) i \(\vec{v} = [\sqrt{3}, 1]\).*

**Rozwiązanie:**

Iloczyn skalarny:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

Długości wektorów:

$$|\vec{u}| = \sqrt{1 + 3} = 2$$

$$|\vec{v}| = \sqrt{3 + 1} = 2$$

Cosinus kąta:

$$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\alpha = 30°$$

**Odpowiedź:** Kąt między wektorami wynosi \(30°\).

## Warunek prostopadłości wektorów

Dwa wektory \(\vec{u} = [u_1, u_2]\) i \(\vec{v} = [v_1, v_2]\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru:

$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$$

To niezwykle użyteczny warunek. Na maturze pojawia się w zadaniach typu: "sprawdź, czy trójkąt jest prostokątny", "wyznacz wartość parametru, dla którego wektory są prostopadłe" itp.

### Zadanie 8: Sprawdzanie prostopadłości

*Sprawdź, czy wektory \(\vec{a} = [4, -3]\) i \(\vec{b} = [6, 8]\) są prostopadłe.*

**Rozwiązanie:**

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 6 + (-3) \cdot 8 = 24 - 24 = 0$$

Ponieważ iloczyn skalarny wynosi 0, wektory są prostopadłe.

**Odpowiedź:** Tak, \(\vec{a} \perp \vec{b}\).

### Zadanie 9: Wyznaczanie parametru

*Dla jakiej wartości \(m\) wektory \(\vec{u} = [2, m]\) i \(\vec{v} = [3, -4]\) są prostopadłe?*

**Rozwiązanie:**

Warunek prostopadłości:

$$2 \cdot 3 + m \cdot (-4) = 0$$

$$6 - 4m = 0$$

$$m = \frac{3}{2}$$

**Odpowiedź:** \(m = \frac{3}{2}\). Tego typu zadanie to typowy "pewniaczek" maturalny - więcej takich znajdziesz w artykule o [pewniakach maturalnych 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

## Warunek równoległości wektorów

Dwa wektory \(\vec{u} = [u_1, u_2]\) i \(\vec{v} = [v_1, v_2]\) są równoległe (współliniowe) wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$$

Równoważnie: jeden wektor jest wielokrotnością drugiego, czyli istnieje taka liczba \(k\), że \(\vec{v} = k \cdot \vec{u}\).

### Zadanie 10: Równoległość wektorów

*Czy punkty \(A = (1, 2)\), \(B = (3, 5)\) i \(C = (7, 11)\) są współliniowe?*

**Rozwiązanie:**

Punkty są współliniowe, gdy wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{AC}\) są równoległe.

$$\vec{AB} = [3-1, 5-2] = [2, 3]$$

$$\vec{AC} = [7-1, 11-2] = [6, 9]$$

Sprawdzamy warunek równoległości:

$$2 \cdot 9 - 3 \cdot 6 = 18 - 18 = 0$$

**Odpowiedź:** Tak, punkty \(A\), \(B\) i \(C\) są współliniowe (leżą na jednej prostej). Zauważ, że \(\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}\), co potwierdza równoległość.

## Podział odcinka w danym stosunku

Na maturze rzadziej, ale zdarza się zadanie, w którym trzeba podzielić odcinek w danym stosunku.

### Wzór na podział w stosunku \(m : n\)

Punkt \(P\) dzielący odcinek \(AB\) (gdzie \(A = (x_1, y_1)\), \(B = (x_2, y_2)\)) w stosunku \(m : n\) (licząc od \(A\)) ma współrzędne:

$$P = \left(\frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + n}, \ \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m + n}\right)$$

Dla \(m = n = 1\) dostajemy wzór na środek odcinka - co jest logiczne, bo środek dzieli odcinek w stosunku \(1:1\).

### Zadanie 11: Podział odcinka

*Punkt \(P\) dzieli odcinek \(AB\) w stosunku \(2:3\), licząc od \(A\). Dane są \(A = (1, 4)\) i \(B = (6, 9)\). Wyznacz współrzędne punktu \(P\).*

**Rozwiązanie:**

$$P = \left(\frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{2 + 3}, \ \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 9}{2 + 3}\right) = \left(\frac{3 + 12}{5}, \ \frac{12 + 18}{5}\right) = (3, 6)$$

**Odpowiedź:** \(P = (3, 6)\).

## Tabela wzorów - podsumowanie

| Pojęcie | Wzór |
|---|---|
| Odległość punktów \(A\) i \(B\) | \(\|AB\| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) |
| Środek odcinka \(AB\) | \(S = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\) |
| Współrzędne wektora \(\vec{AB}\) | \([x_2 - x_1, \ y_2 - y_1]\) |
| Długość wektora \(\vec{v} = [a,b]\) | \(\|\vec{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\) |
| Iloczyn skalarny | \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2\) |
| Kąt między wektorami | \(\cos\alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}\) |
| Prostopadłość | \(u_1v_1 + u_2v_2 = 0\) |
| Równoległość | \(u_1v_2 - u_2v_1 = 0\) |
| Symetria względem punktu \(S\) | \(A' = (2x_0 - x_1, \ 2y_0 - y_1)\) |
| Podział w stosunku \(m:n\) | \(P = \left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)\) |

## Jak te wzory łączą się z resztą geometrii analitycznej

Wzory z tego artykułu to fundament, na którym opiera się cała reszta geometrii analitycznej na maturze. Oto jak poszczególne tematy na siebie nachodzą:

- **Równanie prostej** - potrzebujesz wektorów do znajdowania współczynnika kierunkowego, a wzoru na odległość do wyznaczania długości odcinków. Więcej w artykule o [równaniu prostej na maturze](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

- **Równanie okręgu** - wzór na odległość pozwala sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, wewnątrz niego czy na zewnątrz. Szczegóły znajdziesz w [omówieniu równania okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania).

- **Trójkąt w układzie współrzędnych** - potrzebujesz odległości do obliczania boków, iloczynu skalarnego do sprawdzania kątów, środka odcinka do znajdowania środka ciężkości.

- **Wektory a proste** - wektor kierunkowy prostej i wektor normalny prostej to klucz do wielu zadań. Prostopadłość i równoległość prostych sprowadza się do prostopadłości i równoległości ich wektorów.

## Zastosowanie: trójkąt w układzie współrzędnych

Wiele zadań maturalnych łączy kilka wzorów naraz. Zobaczmy, jak wygląda kompletne rozwiązanie zadania z trójkątem danym współrzędnymi wierzchołków.

### Zadanie 12: Trójkąt - obwód i sprawdzenie kąta prostego

*Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A = (0, 0)\), \(B = (6, 0)\) i \(C = (0, 8)\). Oblicz obwód trójkąta i sprawdź, czy jest on prostokątny.*

**Rozwiązanie:**

Krok 1: Obliczamy długości boków.

$$|AB| = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36} = 6$$

$$|AC| = \sqrt{(0-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{64} = 8$$

$$|BC| = \sqrt{(0-6)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Krok 2: Obwód:

$$\text{Ob} = 6 + 8 + 10 = 24$$

Krok 3: Sprawdzamy prostopadłość za pomocą iloczynu skalarnego. Wyznaczamy wektory wychodzące z wierzchołka \(A\):

$$\vec{AB} = [6, 0], \quad \vec{AC} = [0, 8]$$

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \cdot 0 + 0 \cdot 8 = 0$$

Iloczyn skalarny wynosi 0, więc \(\vec{AB} \perp \vec{AC}\).

**Odpowiedź:** Obwód trójkąta wynosi 24, a trójkąt jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(A\). Zauważ, że to trójka pitagorejska \((6, 8, 10)\) - czyli \(2 \cdot (3, 4, 5)\).

### Zadanie 13: Pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołków

*Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach \(A = (1, 1)\), \(B = (5, 1)\) i \(C = (3, 7)\).*

**Rozwiązanie:**

Pole trójkąta o wierzchołkach \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\) można obliczyć ze wzoru:

$$P = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

Podstawiamy:

$$P = \frac{1}{2} |1(1-7) + 5(7-1) + 3(1-1)|$$

$$P = \frac{1}{2} |1 \cdot (-6) + 5 \cdot 6 + 3 \cdot 0|$$

$$P = \frac{1}{2} |-6 + 30 + 0| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$

**Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi 12. Ten wzór na pole trójkąta ze współrzędnych to potężne narzędzie, które omija konieczność szukania podstawy i wysokości. Nie jest podany na karcie wzorów CKE, więc warto go zapamiętać - więcej takich wzorów znajdziesz w artykule o [wzorach spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

## Wektor normalny i wektor kierunkowy prostej

Ten temat to pomost między wektorami a równaniami prostych, dlatego warto go omówić już tutaj.

**Wektor kierunkowy prostej** - wektor równoległy do prostej. Jeśli prosta przechodzi przez punkty \(A\) i \(B\), to wektor kierunkowy to \(\vec{AB}\).

**Wektor normalny prostej** - wektor prostopadły do prostej. Dla prostej \(Ax + By + C = 0\) wektorem normalnym jest \(\vec{n} = [A, B]\).

Kluczowa zależność: jeśli wektor kierunkowy to \(\vec{d} = [a, b]\), to wektor normalny to \(\vec{n} = [-b, a]\) (lub \([b, -a]\)). Wystarczy zamienić współrzędne i zmienić znak jednej z nich.

### Zadanie 14: Od wektora do równania prostej

*Prosta \(l\) przechodzi przez punkt \(P = (2, 3)\) i ma wektor kierunkowy \(\vec{d} = [4, -1]\). Wyznacz równanie ogólne tej prostej.*

**Rozwiązanie:**

Wektor normalny do prostej: \(\vec{n} = [1, 4]\) (zamieniamy współrzędne wektora kierunkowego i zmieniamy znak).

Równanie prostej o wektorze normalnym \([A, B]\) przechodzącej przez \((x_0, y_0)\):

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$$

$$1(x - 2) + 4(y - 3) = 0$$

$$x - 2 + 4y - 12 = 0$$

$$x + 4y - 14 = 0$$

**Odpowiedź:** Równanie prostej to \(x + 4y - 14 = 0\). Więcej o równaniach prostych przeczytasz w dedykowanym artykule o [równaniu prostej na maturze](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

## Typowe pułapki i porady

**1. Kolejność odejmowania w wektorze** - pamiętaj: koniec minus początek. \(\vec{AB} = B - A\), nie \(A - B\). Pomylenie kolejności daje wektor o przeciwnym zwrocie.

**2. Nie myl odległości z wektorem** - odległość \(|AB|\) to liczba (zawsze dodatnia), a wektor \(\vec{AB}\) to para liczb (mogą być ujemne). Na maturze tracisz punkty za zapisanie wektora zamiast odległości i odwrotnie.

**3. Wartość bezwzględna we wzorze na odległość od prostej** - nie zapomnij o wartości bezwzględnej w liczniku. Bez niej możesz dostać wynik ujemny, a odległość jest z definicji nieujemna. Więcej o [wartości bezwzględnej na maturze](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci).

**4. Iloczyn skalarny to LICZBA** - wynik iloczynu skalarnego to jedna liczba, nie wektor. Uczniowie czasem próbują zapisać wynik jako parę współrzędnych.

**5. Sprawdzaj wynik** - gdy obliczysz kąt między wektorami, sprawdź, czy wynik jest sensowny. Kąt między wektorami mieści się w przedziale \([0°, 180°]\). Jeśli wychodzi Ci kąt ujemny lub większy niż \(180°\), popełniłeś błąd.

**6. Wzór na podział odcinka** - zwróć uwagę na kolejność w liczniku. Przy stosunku \(m:n\) od punktu \(A\) współczynnik \(n\) stoi przy \(x_1\), a \(m\) przy \(x_2\). Łatwo to pomylić.

**7. Nie zapominaj o wektorze zerowym** - wektor \(\vec{0} = [0, 0]\) nie ma określonego kierunku ani zwrotu. Jeśli otrzymasz wektor zerowy, oznacza to, że oba punkty się pokrywają.

## Jak te tematy pojawiają się na maturze

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym geometria analityczna to zwykle 2-4 zadania zamknięte (za 1 punkt każde) i 1 zadanie otwarte (za 2-5 punktów). Oto najczęstsze typy:

**Zadania za 1 punkt:**
- oblicz odległość dwóch punktów,
- wyznacz środek odcinka,
- sprawdź, czy wektory są prostopadłe,
- oblicz długość wektora.

**Zadania za 2-3 punkty:**
- wyznacz współrzędne wierzchołka trójkąta/równoległoboku,
- znajdź parametr, dla którego wektory spełniają warunek,
- oblicz pole trójkąta ze współrzędnych.

**Zadania za 4-5 punktów:**
- dowiedz, że czworokąt jest równoległobokiem/rombem/prostokątem,
- wyznacz równanie prostej i punkt przecięcia z inną prostą,
- zadanie łączące okrąg z prostą.

Zadania za 1 punkt to tzw. [łatwe punkty na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt) - wystarczy znać wzór i poprawnie podstawić liczby. Nie trać na nie więcej niż 2 minuty.

## Jak ćwiczyć

Geometria analityczna wymaga przede wszystkim praktyki. Polecam następujący plan:

1. Zacznij od [zadań z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) na naszej platformie - zaczynaj od najłatwiejszych.
2. Przećwicz osobno każdy typ zadania: najpierw same odległości, potem środki odcinków, na końcu wektory.
3. Gdy poczujesz się pewnie, przejdź do zadań łączących kilka tematów (np. "dany trójkąt o wierzchołkach w punktach - sprawdź, czy jest prostokątny i oblicz pole").
4. Przećwicz zadania z parametrem - na maturze regularnie pojawiają się zadania, w których szukasz wartości \(m\), \(k\) czy \(t\) spełniającej dany warunek geometryczny.
5. Na koniec rozwiąż kompletne [arkusze maturalne](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), zwracając szczególną uwagę na zadania z geometrii analitycznej.

Jeśli szukasz wzorów, których nie ma na karcie wzorów CKE, koniecznie przeczytaj artykuł o [wzorach spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac) - znajdziesz tam m.in. wzór na odległość punktu od prostej i wzór na pole trójkąta ze współrzędnych, które nie są podane na egzaminie.

Geometria analityczna to dział, w którym można zdobyć pewne punkty na maturze - pod warunkiem że znasz wzory i nie popełniasz błędów rachunkowych. Przećwicz zadania, zapamiętaj wzory z tabeli powyżej, a na egzaminie poradzisz sobie z każdym zadaniem z tego tematu. Jeśli chcesz zobaczyć, jakie inne działy warto powtórzyć w ostatnich tygodniach, sprawdź nasz [plan nauki przed maturą 2027](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka). Powodzenia na maturze!

Częsty wariant zadań w układzie współrzędnych to odbicia: względem osi, względem punktu, względem prostej. Wszystkie reguły znaków i rozwiązane przykłady zebraliśmy w poradniku [punkt symetryczny i symetrie](/punkt-symetryczny-symetria-osiowa-srodkowa-wspolrzedne-matura).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /symetralna-odcinka-rownanie-wzor-zadania-matura
title: Symetralna odcinka - równanie, wzór i zadania maturalne krok po kroku
description: Jak wyznaczyć równanie symetralnej odcinka? Poznaj wzór, dwie metody krok po kroku i rozwiązane zadania maturalne CKE z geometrii analitycznej.
author: Filip Maszota
---

# Symetralna odcinka - równanie, wzór i zadania maturalne krok po kroku

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, przechodząca przez jego środek. Każdy punkt symetralnej leży w tej samej odległości od obu końców odcinka, dlatego jej równanie wyznaczysz na dwa sposoby: przez środek i warunek prostopadłości albo z równania \(|PA| = |PB|\). Na maturze z matematyki symetralna pojawia się w geometrii analitycznej, najczęściej w zadaniach łączących równanie prostej, odległość punktów i okrąg.

## Co to jest symetralna odcinka - definicja i najważniejsza własność

Symetralna odcinka \(AB\) to prosta, która jest prostopadła do \(AB\) i przechodzi przez jego środek. Z definicji wynika kluczowa własność: punkt \(P\) leży na symetralnej odcinka \(AB\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(|PA| = |PB|\), czyli gdy jest równoodległy od końców odcinka.

Ta własność działa w obie strony:

- jeśli punkt leży na symetralnej, to ma równe odległości od \(A\) i \(B\),
- jeśli punkt ma równe odległości od \(A\) i \(B\), to musi leżeć na symetralnej.

W praktyce maturalnej częściej korzystasz z drugiej wersji: gdy w zadaniu pada hasło „punkt równoodległy od dwóch punktów", od razu myśl: symetralna.

Warto też wiedzieć, że symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt to środek [okręgu opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania), bo jest równoodległy od wszystkich trzech wierzchołków.

## Jak wyznaczyć równanie symetralnej odcinka - metoda 1 (środek i prostopadłość)

Równanie symetralnej odcinka \(AB\) wyznaczysz w trzech krokach: obliczasz środek odcinka, potem współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) i zamieniasz go na odwrotność z przeciwnym znakiem, a na końcu podstawiasz środek do równania prostej. Cała metoda opiera się na dwóch wzorach, które masz w tablicach CKE.

**Krok 1: oblicz środek odcinka.** Dla \(A = (x_A, y_A)\) i \(B = (x_B, y_B)\) [środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne) ma współrzędne:

$$S = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$$

**Krok 2: wyznacz współczynnik kierunkowy symetralnej.** Najpierw współczynnik kierunkowy prostej \(AB\):

$$a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc z [warunku prostopadłości prostych](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania) jej współczynnik kierunkowy to odwrotność z przeciwnym znakiem:

$$a_s = -\frac{1}{a_{AB}}$$

**Krok 3: podstaw środek do równania prostej.** Szukasz prostej \(y = a_s x + b\), która przechodzi przez \(S\). Podstawiasz współrzędne środka i obliczasz wyraz wolny \(b\).

## Metoda 2: równanie |PA| = |PB| (bez współczynnika kierunkowego)

Drugi sposób nie wymaga liczenia współczynnika kierunkowego. Bierzesz dowolny punkt \(P = (x, y)\) symetralnej i zapisujesz, że jego [odległości od punktów](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania) \(A\) i \(B\) są równe. Podnosisz obie strony do kwadratu i upraszczasz. Kwadraty \(x^2\) i \(y^2\) zawsze się skrócą i zostanie równanie prostej.

$$(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2$$

Ta metoda jest szczególnie wygodna, gdy współrzędne końców odcinka są brzydkie albo gdy odcinek jest pionowy, bo wtedy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) w ogóle nie istnieje.

## Przykład 1: równanie symetralnej odcinka AB

Zadanie: wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A = (1, 3)\) i \(B = (5, 7)\).

**Krok 1: środek odcinka.**

$$S = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = (3, 5)$$

**Krok 2: współczynnik kierunkowy.** Dla prostej \(AB\):

$$a_{AB} = \frac{7 - 3}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1$$

Symetralna: \(a_s = -\frac{1}{1} = -1\).

**Krok 3: podstawienie środka.** Szukamy prostej \(y = -x + b\) przechodzącej przez \(S = (3, 5)\):

$$5 = -3 + b \quad \Rightarrow \quad b = 8$$

Równanie symetralnej: \(y = -x + 8\).

Szybka kontrola własności: weź z tej prostej punkt \(P = (0, 8)\). Wtedy \(|PA|^2 = 1 + 25 = 26\) oraz \(|PB|^2 = 25 + 1 = 26\). Odległości są równe, czyli wszystko się zgadza.

## Przykład 2: symetralna odcinka poziomego i pionowego

Dla odcinka poziomego symetralna jest prostą pionową przechodzącą przez środek, a dla odcinka pionowego prostą poziomą. To dwa przypadki szczególne, w których poza środkiem odcinka nie musisz nic liczyć.

Zadanie A: odcinek o końcach \(A = (-2, 4)\) i \(B = (6, 4)\).

**Krok 1: środek odcinka.** \(S = \left( \frac{-2 + 6}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = (2, 4)\).

**Krok 2: rozpoznanie przypadku.** Oba końce mają tę samą drugą współrzędną, więc odcinek jest poziomy, a symetralna musi być pionowa.

**Krok 3: zapis równania.** Symetralna to prosta \(x = 2\).

Zadanie B: odcinek o końcach \(C = (3, -1)\) i \(D = (3, 7)\). Odcinek jest pionowy (te same pierwsze współrzędne), środek to \(S = (3, 3)\), więc symetralna to prosta pozioma \(y = 3\).

Zwróć uwagę: dla odcinka pionowego wzór na \(a_{AB}\) prowadziłby do dzielenia przez zero. To nie błąd w zadaniu, tylko sygnał, że prosta \(CD\) nie ma współczynnika kierunkowego i trzeba pomyśleć geometrycznie.

## Przykład 3: symetralna metodą równych odległości

Zadanie: wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A = (0, -1)\) i \(B = (4, 3)\) metodą \(|PA| = |PB|\).

**Krok 1: zapis warunku równych odległości.** Punkt \(P = (x, y)\) leży na symetralnej, gdy:

$$(x - 0)^2 + (y + 1)^2 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2$$

**Krok 2: rozwinięcie obu stron.**

$$x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9$$

**Krok 3: redukcja i uporządkowanie.** Kwadraty się skracają:

$$2y + 1 = -8x - 6y + 25$$

$$8x + 8y = 24 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 3$$

Symetralna ma równanie \(y = -x + 3\). Dla kontroli metodą 1: środek to \(S = (2, 1)\), współczynnik \(a_{AB} = \frac{3 - (-1)}{4 - 0} = 1\), więc \(a_s = -1\) i po podstawieniu środka wychodzi to samo równanie.

## Przykład 4: punkt na osi OX równoodległy od A i B (typowe zadanie maturalne)

Zadanie: na osi \(OX\) znajdź punkt \(P\), który jest równoodległy od punktów \(A = (1, 2)\) i \(B = (5, 4)\).

To zadanie w rzeczywistości pyta o punkt przecięcia symetralnej odcinka \(AB\) z osią \(OX\), ale najszybciej rozwiążesz je bez wyznaczania symetralnej.

**Krok 1: zapis punktu z osi OX.** Punkt na osi \(OX\) ma postać \(P = (x, 0)\).

**Krok 2: warunek równych odległości.**

$$(x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 5)^2 + (0 - 4)^2$$

$$x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 10x + 25 + 16$$

**Krok 3: rozwiązanie równania.**

$$-2x + 5 = -10x + 41$$

$$8x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{2}$$

Szukany punkt to \(P = \left( \frac{9}{2}, 0 \right)\).

## Przykład 5: sprawdź, czy punkt leży na symetralnej

Zadanie: sprawdź, czy punkt \(C = (1, 3)\) leży na symetralnej odcinka o końcach \(A = (0, 0)\) i \(B = (4, 2)\).

**Krok 1: obliczenie odległości od końców odcinka.**

$$|CA|^2 = (1 - 0)^2 + (3 - 0)^2 = 1 + 9 = 10$$

$$|CB|^2 = (1 - 4)^2 + (3 - 2)^2 = 9 + 1 = 10$$

**Krok 2: wniosek z własności symetralnej.** Odległości są równe (\(|CA| = |CB| = \sqrt{10}\)), więc punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\).

**Krok 3 (dla pewności): pełne równanie symetralnej.** Środek \(S = (2, 1)\), współczynnik \(a_{AB} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}\), więc \(a_s = -2\). Z podstawienia środka: \(1 = -2 \cdot 2 + b\), czyli \(b = 5\). Symetralna: \(y = -2x + 5\). Sprawdzenie: \(3 = -2 \cdot 1 + 5\). Zgadza się.

Takie zadanie możesz dostać też w wersji odwrotnej: wyznacz brakującą współrzędną punktu, który leży na symetralnej. Wtedy zapisujesz \(|CA|^2 = |CB|^2\) z niewiadomą i rozwiązujesz równanie.

## Symetralna odcinka a środek okręgu

Środek okręgu przechodzącego przez dwa punkty \(A\) i \(B\) zawsze leży na symetralnej odcinka \(AB\), bo jest równoodległy od \(A\) i \(B\). To najczęstszy maturalny kontekst symetralnej: zadanie prosi o [równanie okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), którego środek spełnia dodatkowy warunek.

Zadanie: okrąg przechodzi przez punkty \(A = (1, 3)\) i \(B = (5, 7)\), a jego środek leży na osi \(OX\). Wyznacz równanie tego okręgu.

**Krok 1: środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB.** Z przykładu 1 wiemy, że symetralna ma równanie \(y = -x + 8\).

**Krok 2: przecięcie symetralnej z osią OX.** Na osi \(OX\) mamy \(y = 0\), więc \(0 = -x + 8\), czyli \(x = 8\). Środek okręgu to \(O = (8, 0)\).

**Krok 3: promień i równanie okręgu.** Kwadrat promienia to kwadrat odległości środka od punktu \(A\):

$$r^2 = |OA|^2 = (8 - 1)^2 + (0 - 3)^2 = 49 + 9 = 58$$

Równanie okręgu: \((x - 8)^2 + y^2 = 58\). Kontrola: \(|OB|^2 = (8 - 5)^2 + (0 - 7)^2 = 9 + 49 = 58\). Obie odległości są równe, więc okrąg faktycznie przechodzi przez oba punkty.

## Typowe pułapki przy symetralnej odcinka

- **Mylisz symetralną z prostą AB.** Prosta przechodząca przez \(A\) i \(B\) to zupełnie inna prosta. Symetralna jest do niej prostopadła i zwykle nie przechodzi przez żaden z końców odcinka.
- **Zapominasz o minusie albo o odwrotności.** Warunek prostopadłości to \(a_1 \cdot a_2 = -1\), czyli \(a_s = -\frac{1}{a_{AB}}\). Sam minus (\(-a_{AB}\)) albo sama odwrotność (\(\frac{1}{a_{AB}}\)) to najczęstsze błędy.
- **Dzielisz przez zero przy odcinku pionowym.** Gdy \(x_A = x_B\), współczynnik kierunkowy nie istnieje. Symetralna jest wtedy prostą poziomą \(y = y_S\).
- **Gubisz znaki przy podnoszeniu do kwadratu.** W metodzie \(|PA| = |PB|\) wyrażenie \((y + 1)^2\) to \(y^2 + 2y + 1\), a nie \(y^2 - 2y + 1\). Rozpisuj wzory skróconego mnożenia powoli.
- **Mylisz symetralną ze środkową trójkąta.** Środkowa przechodzi przez wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Symetralna boku nie musi przechodzić przez żaden wierzchołek.

## Najczęstsze pytania

### Co to jest symetralna odcinka?
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek. Każdy punkt symetralnej jest równoodległy od obu końców odcinka i to właśnie ta własność jest najczęściej wykorzystywana w zadaniach maturalnych z geometrii analitycznej.

### Jak wyznaczyć równanie symetralnej odcinka krok po kroku?
Oblicz środek odcinka ze wzoru na średnie arytmetyczne współrzędnych, wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez końce odcinka, zamień go na odwrotność z przeciwnym znakiem i podstaw współrzędne środka do równania prostej, żeby obliczyć wyraz wolny.

### Jaki warunek spełnia każdy punkt symetralnej odcinka?
Punkt leży na symetralnej odcinka AB wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległości od końców odcinka są równe, czyli PA = PB. Dzięki temu równanie symetralnej można wyznaczyć bez współczynnika kierunkowego, porównując kwadraty odległości od obu końców.

### Czym różni się symetralna odcinka od środkowej trójkąta?
Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, a symetralna boku to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Środkowe przecinają się w środku ciężkości trójkąta, a symetralne boków w środku okręgu opisanego.

### Jak wygląda symetralna odcinka pionowego lub poziomego?
Symetralna odcinka poziomego to prosta pionowa o równaniu x = xS, gdzie xS to pierwsza współrzędna środka odcinka. Symetralna odcinka pionowego to prosta pozioma y = yS. W obu przypadkach wystarczy obliczyć środek odcinka, bez współczynnika kierunkowego.

### Gdzie przecinają się symetralne boków trójkąta?
Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Ten punkt jest równoodległy od wszystkich trzech wierzchołków, a jego odległość od dowolnego wierzchołka to promień okręgu opisanego.

### Czy można wyznaczyć symetralną bez liczenia współczynnika kierunkowego?
Tak. Wystarczy zapisać warunek PA do kwadratu równa się PB do kwadratu dla dowolnego punktu P = (x, y), rozwinąć oba nawiasy i uprościć równanie. Kwadraty zmiennych zawsze się skrócą i zostanie równanie prostej, które jest równaniem symetralnej.

## Checklista: co musisz umieć z symetralnej odcinka

- Podać definicję symetralnej: prosta prostopadła do odcinka, przechodząca przez jego środek.
- Obliczyć [środek odcinka ze wzoru na współrzędne](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne).
- Wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej (odwrotność z przeciwnym znakiem).
- Zapisać [równanie prostej o danym współczynniku przechodzącej przez dany punkt](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty).
- Zastosować warunek PA = PB do szukania punktów równoodległych od dwóch punktów.
- Rozpoznać przypadki szczególne: odcinek poziomy i pionowy.

Symetralna odcinka to temat, w którym geometria analityczna łączy kilka podstawowych umiejętności w jedno zadanie. To zresztą najliczniejsza kategoria w naszej bazie zadań CKE: 283 zadania z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz w [dziale geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna). Jeśli chcesz powtórzyć cały dział, zacznij od [przewodnika po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania), a wzór na [odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) miej zawsze pod ręką, bo często występuje w tych samych zadaniach.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania
title: Schemat Bernoulliego na maturze - wzór, prawdopodobieństwo sukcesu i zadania krok po kroku
description: Schemat Bernoulliego krok po kroku: wzór na prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów, warunki stosowania i 5 rozwiązanych zadań maturalnych z pełnym rachunkiem.
author: Filip Maszota
---

# Schemat Bernoulliego na maturze - wzór, prawdopodobieństwo sukcesu i zadania krok po kroku

## Po czym poznać, że to schemat Bernoulliego

Zanim przejdziesz do [ogólnego przewodnika po prawdopodobieństwie](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania), warto poznać jeden konkretny sygnał, który powinien Ci się zapalić w głowie na widok zadania: **powtarzamy to samo doświadczenie kilka razy, niezależnie, i pytamy o dokładnie k sukcesów.** Rzucamy monetą 3 razy - dokładnie 2 orły. Rzucamy kostką 4 razy - dokładnie 1 szóstka. Losujemy kulę ze zwracaniem 5 razy - dokładnie 3 białe. Za każdym razem, gdy widzisz te słowa kluczowe („rzucamy n razy”, „losujemy ze zwracaniem”, „dokładnie k razy”), masz do czynienia ze schematem Bernoulliego, i zamiast liczyć wszystko ręcznie, możesz użyć jednego gotowego wzoru.

Problem w tym, że mnóstwo uczniów próbuje takie zadania rozwiązywać przez rysowanie drzewka albo wypisywanie wszystkich możliwości - da się tak zrobić dla 3 rzutów monetą, ale robi się to niewykonalne przy 5 czy 6 powtórzeniach. Ten wzór jest właśnie po to, żeby tego uniknąć.

## Warunki schematu Bernoulliego

Schemat Bernoulliego stosujesz, gdy spełnione są trzy warunki:

1. Doświadczenie powtarzamy \\(n\\) razy, **niezależnie** od siebie (wynik jednej próby nie wpływa na kolejną - dlatego losowanie musi być **ze zwracaniem**, a nie bez zwracania).
2. W każdej próbie są tylko dwa możliwe wyniki: **sukces** albo **porażka**.
3. Prawdopodobieństwo sukcesu \\(p\\) jest **takie samo** w każdej próbie (a prawdopodobieństwo porażki to zawsze \\(1-p\\)).

Jeśli te trzy warunki są spełnione, prawdopodobieństwo otrzymania **dokładnie \\(k\\) sukcesów** w \\(n\\) próbach wynosi:

$$P(X=k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k}$$

gdzie \\(\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k! \\cdot (n-k)!}\\) to liczba sposobów, na jakie możesz wybrać, które \\(k\\) spośród \\(n\\) prób jest sukcesami (przypomnienie tego wzoru znajdziesz w [przewodniku po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje), bo to dokładnie ta sama liczba, co przy wyborze podzbioru).

Skąd bierze się ten wzór? Każdy konkretny ciąg wyników z dokładnie \\(k\\) sukcesami i \\(n-k\\) porażkami ma to samo prawdopodobieństwo \\(p^k (1-p)^{n-k}\\) (bo próby są niezależne, więc mnożysz prawdopodobieństwa). A takich ciągów jest dokładnie \\(\\binom{n}{k}\\) - tyle, ile sposobów rozmieszczenia \\(k\\) sukcesów na \\(n\\) pozycjach. Mnożysz jedno przez drugie i masz cały wzór.

## Skąd dokładnie bierze się ten wzór - wyprowadzenie na małej próbce

Zanim przejdziemy do większych przykładów, warto zobaczyć ten wzór „od kuchni”, bo wtedy naprawdę zapamiętasz, po co jest w nim akurat symbol Newtona. Weźmy 3 rzuty monetą i policzmy prawdopodobieństwo dokładnie 2 orłów, ale tym razem bez wzoru, tylko wypisując wszystko ręcznie.

Każdy wynik to ciąg trzech liter, O (orzeł) albo R (reszka). Interesują nas ciągi z dokładnie dwoma O. Są to: OOR, ORO, ROO. Zauważ, że każdy z tych trzech ciągów ma dokładnie takie samo prawdopodobieństwo, bo próby są niezależne: prawdopodobieństwo dowolnego konkretnego ciągu trzech rzutów to \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}\\), niezależnie od tego, w jakiej kolejności wypadły orły i reszki. Skoro pasujących ciągów jest 3, to całe prawdopodobieństwo to \\(3 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{3}{8}\\).

A skąd wiadomo, że pasujących ciągów jest akurat 3, bez wypisywania ich ręcznie? To jest dokładnie pytanie: „na ile sposobów mogę wybrać, które 2 z 3 rzutów są orłami?” - a to jest \\(\\binom{3}{2} = 3\\), czyli ta sama liczba, którą liczysz przy [wyborze podzbioru w kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje). Dla większych \\(n\\) i \\(k\\) wypisywanie ciągów ręcznie przestaje być wykonalne, ale zasada zostaje dokładnie ta sama: liczba pasujących ciągów razy prawdopodobieństwo jednego ciągu.

### Przykład 1: Rzuty monetą - najprostszy przypadek

Rzucamy symetryczną monetą 3 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 2 razy.

Sukces to „orzeł”, więc \\(p = \\frac{1}{2}\\). Mamy \\(n=3\\) próby i szukamy \\(k=2\\) sukcesów.

$$P(X=2) = \\binom{3}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{1} = 3 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{3}{8}$$

Możesz to sprawdzić ręcznie, bo przy 3 rzutach jest tylko \\(2^3=8\\) możliwych wyników: OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR (O - orzeł, R - reszka). Dokładnie 2 orły dają wyniki OOR, ORO, ROO - czyli 3 z 8, dokładnie \\(\\frac{3}{8}\\). Wzór działa.

### Przykład 2: Kostka do gry

Rzucamy symetryczną sześcienną kostką 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie dokładnie raz.

Sukces to wyrzucenie szóstki: \\(p = \\frac{1}{6}\\), porażka to każda inna ściana: \\(1-p = \\frac{5}{6}\\). Mamy \\(n=4\\), \\(k=1\\).

$$P(X=1) = \\binom{4}{1} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^1 \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^3 = 4 \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{125}{216} = \\frac{500}{1296} = \\frac{125}{324}$$

Tutaj wypisywanie wszystkich możliwości ręcznie już nie ma sensu (kostka ma \\(6^4 = 1296\\) możliwych wyników) - to jest właśnie moment, w którym wzór Bernoulliego oszczędza Ci naprawdę dużo czasu na maturze.

### Przykład 3: Losowanie kul ze zwracaniem

W pojemniku są 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy kulę, zapisujemy kolor, wkładamy z powrotem i losujemy ponownie - łącznie 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie 3 razy wylosujemy kulę białą.

To, że losujemy **ze zwracaniem**, jest kluczowe - dzięki temu każde losowanie jest niezależne i prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe. Sukces to „kula biała”: \\(p = \\frac{3}{5}\\), porażka to „kula czarna”: \\(1-p = \\frac{2}{5}\\). Mamy \\(n=4\\), \\(k=3\\).

$$P(X=3) = \\binom{4}{3} \\cdot \\left(\\frac{3}{5}\\right)^3 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^1 = 4 \\cdot \\frac{27}{125} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{216}{625}$$

Gdyby zadanie mówiło, że losujemy **bez zwracania**, schemat Bernoulliego w ogóle by się nie stosował - prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli zmieniałoby się z losowania na losowanie, bo pula kul by się zmniejszała. To jest jeden z najczęstszych warunków, które sprawdzają zadania maturalne, więc zawsze czytaj uważnie, czy jest mowa o zwracaniu.

### Przykład 4: Co najmniej k sukcesów

Rzucamy symetryczną kostką 3 razy. Sukcesem nazywamy wyrzucenie liczby parzystej oczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że sukces wystąpi co najmniej 2 razy.

Sukces to wyrzucenie 2, 4 albo 6 oczek, czyli \\(p = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\). Zwrot „co najmniej 2” oznacza, że musisz zsumować przypadki \\(k=2\\) i \\(k=3\\) - to najczęstsza pułapka w tym typie zadań, bo łatwo policzyć tylko jeden przypadek i zapomnieć o drugim.

$$P(X=2) = \\binom{3}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^1 = 3 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{3}{8}$$

$$P(X=3) = \\binom{3}{3} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}$$

$$P(X \\ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = \\frac{3}{8} + \\frac{1}{8} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}$$

Przy okazji: gdybyś miał policzyć „co najwyżej 1 sukces”, najszybciej jest skorzystać z tego, że wszystkie prawdopodobieństwa sumują się do 1, czyli \\(P(X \\le 1) = 1 - P(X \\ge 2)\\). To duża oszczędność czasu, gdy „co najwyżej” dotyczyłoby więcej niż jednej wartości.

### Przykład 5: Zadanie odwrotne - szukamy prawdopodobieństwa sukcesu

W pojemniku jest 10 kul, w tym \\(b\\) kul białych, gdzie \\(1 \\le b \\le 9\\). Losujemy kulę ze zwracaniem 2 razy. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednej kuli białej wynosi \\(0{,}42\\). Wyznacz \\(b\\).

Ten typ zadania lubi się pojawiać na maturze właśnie z parametrem \\(b\\) zamiast konkretnej liczby - to dokładnie ten sam wzór, tylko używany „od tyłu”. Niech \\(p = \\frac{b}{10}\\) będzie prawdopodobieństwem sukcesu (wylosowania białej). Dla \\(n=2\\), \\(k=1\\):

$$P(X=1) = \\binom{2}{1} \\cdot p \\cdot (1-p) = 2p(1-p)$$

Z treści zadania wiemy, że to ma być równe \\(0{,}42\\):

$$2p(1-p) = 0{,}42 \\implies p(1-p) = 0{,}21 \\implies p^2 - p + 0{,}21 = 0$$

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe (możesz sięgnąć po [wzór na deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe), jeśli potrzebujesz przypomnienia): \\(\\Delta = 1 - 4 \\cdot 0{,}21 = 1 - 0{,}84 = 0{,}16\\), więc \\(\\sqrt{\\Delta} = 0{,}4\\).

$$p = \\frac{1 \\pm 0{,}4}{2} \\implies p = 0{,}7 \\quad \\text{lub} \\quad p = 0{,}3$$

Skoro \\(p = \\frac{b}{10}\\), to \\(b = 7\\) lub \\(b = 3\\). Oba rozwiązania spełniają warunek \\(1 \\le b \\le 9\\), więc jeśli zadanie nie daje dodatkowej informacji (na przykład że białych kul jest więcej niż czarnych), poprawną odpowiedzią są **obie wartości**. To typowa sytuacja w zadaniach maturalnych z parametrem - równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki i trzeba sprawdzić, czy oba mieszczą się w dziedzinie zadania, zamiast odruchowo wybierać jeden.

### Przykład 6: Zdarzenie przeciwne - „co najmniej jeden sukces”

Rzucamy symetryczną kostką 5 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka.

Moglibyśmy liczyć osobno \\(P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\\), ale to pięć osobnych obliczeń. Dużo szybciej jest skorzystać ze zdarzenia przeciwnego: „co najmniej jeden sukces” to dopełnienie zdarzenia „zero sukcesów”.

$$P(X \\ge 1) = 1 - P(X=0)$$

Liczymy \\(P(X=0)\\), czyli prawdopodobieństwo, że szóstka nie wypadnie ani razu w 5 rzutach. Sukces to szóstka: \\(p = \\frac{1}{6}\\), porażka to \\(1-p = \\frac{5}{6}\\).

$$P(X=0) = \\binom{5}{0} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^0 \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^5 = 1 \\cdot 1 \\cdot \\frac{3125}{7776} = \\frac{3125}{7776}$$

Zatem

$$P(X \\ge 1) = 1 - \\frac{3125}{7776} = \\frac{4651}{7776} \\approx 0{,}598$$

Zapamiętaj tę sztuczkę: za każdym razem, gdy zadanie pyta o „co najmniej jeden sukces”, prawie zawsze szybciej jest policzyć \\(1 - P(X=0)\\) niż sumować wszystkie pozostałe przypadki osobno.

## Wartość oczekiwana - ile sukcesów „średnio” wypada

Oprócz prawdopodobieństwa dokładnie \\(k\\) sukcesów, w schemacie Bernoulliego czasem pojawia się pytanie o wartość oczekiwaną, czyli średnią liczbę sukcesów, jakiej możesz się spodziewać przy wielokrotnym powtarzaniu całego doświadczenia. Wzór jest bardzo prosty:

$$E(X) = n \\cdot p$$

Na przykład dla 4 rzutów kostką i sukcesu „wypadła szóstka” (\\(p = \\frac{1}{6}\\)), oczekiwana liczba szóstek to \\(E(X) = 4 \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{2}{3}\\). To nie oznacza, że w konkretnym eksperymencie wypadnie „dwie trzecie szóstki” - to średnia z bardzo wielu powtórzeń całego doświadczenia (czyli wielu serii po 4 rzuty), a nie wynik pojedynczej serii.

## Częste błędy i pułapki

- **Stosowanie wzoru, gdy losowanie jest bez zwracania.** Bez zwracania prawdopodobieństwo sukcesu zmienia się w kolejnych próbach, więc warunki schematu Bernoulliego nie są spełnione - trzeba liczyć inaczej (przez prawdopodobieństwo klasyczne albo drzewko).
- **Mylenie \\(p\\) z \\(1-p\\).** Zawsze najpierw jasno określ, co jest „sukcesem” w danym zadaniu, i dopiero potem podstawiaj do wzoru.
- **Zapominanie o współczynniku \\(\\binom{n}{k}\\).** Samo \\(p^k(1-p)^{n-k}\\) to prawdopodobieństwo jednego konkretnego ciągu wyników, a nie wszystkich możliwych ustawień - bez tego mnożnika wynik będzie za mały.
- **Błędne sumowanie przy „co najmniej” i „co najwyżej”.** Trzeba policzyć osobno prawdopodobieństwo dla każdej wartości \\(k\\) objętej warunkiem i je zsumować, a nie tylko dla jednej wartości brzegowej.
- **Pomijanie sprawdzenia dziedziny parametru** w zadaniach odwrotnych (jak Przykład 5) - oba pierwiastki równania mogą być poprawną odpowiedzią.
- **Liczenie „co najmniej jeden sukces” przez sumowanie wielu przypadków zamiast przez zdarzenie przeciwne.** Przy większym \\(n\\) to niepotrzebnie długie i łatwo o pomyłkę - użyj \\(P(X \\ge 1) = 1 - P(X=0)\\).
- **Mylenie wartości oczekiwanej \\(E(X) = np\\) z prawdopodobieństwem \\(P(X=k)\\).** To dwa różne pytania: jedno pyta o średnią liczbę sukcesów, drugie o konkretne prawdopodobieństwo.

## Co musisz umieć - checklista

- Rozpoznać w treści zadania sygnały schematu Bernoulliego: powtórzenia, niezależność, stałe \\(p\\), dwa możliwe wyniki.
- Zapisać wzór \\(P(X=k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\) i podstawić poprawne \\(n\\), \\(k\\), \\(p\\).
- Odróżnić losowanie ze zwracaniem (Bernoulli) od losowania bez zwracania (inne metody liczenia).
- Sumować przypadki przy „co najmniej” i „co najwyżej” zamiast liczyć tylko jedną wartość \\(k\\).
- Rozwiązywać zadania odwrotne, w których szukane jest \\(p\\) (albo parametr, od którego zależy \\(p\\)), zamiast \\(P(X=k)\\).
- Liczyć „co najmniej jeden sukces” przez zdarzenie przeciwne, a wartość oczekiwaną ze wzoru \\(E(X) = np\\).

Jeśli chcesz utrwalić rachunek na kombinacjach, wróć do [przewodnika po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) albo przejrzyj [pełną bazę zadań CKE z prawdopodobieństwa](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami). Warto też poznać [prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa](/prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura) - to kolejny typ zadań, w którym łatwo się pogubić bez jasnego schematu. A jeśli szukasz więcej ćwiczeń z rachunkiem krok po kroku, [rozwiąż zadania testowe online](/solve).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /rownanie-iloczynowe-jak-rozwiazac-ile-rozwiazan-zadania-matura
title: Równanie iloczynowe - jak rozwiązać, ile ma rozwiązań i zadania maturalne CKE
description: Równanie iloczynowe krok po kroku: czynnik do zera, czynniki bez pierwiastków, dziedzina przy ułamku i grupowanie w x³. 7 zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Równanie iloczynowe - jak rozwiązać, ile ma rozwiązań i zadania maturalne CKE

Równanie iloczynowe to równanie, w którym po jednej stronie stoi iloczyn kilku wyrażeń, a po drugiej zero, na przykład \((x-3)(x+5)=0\). Rozwiązujesz je jedną zasadą: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Każdy czynnik przyrównujesz osobno do zera, rozwiązujesz proste równania i zbierasz wszystkie wyniki w jeden zbiór, bez powtórzeń.

Na maturze podstawowej ten typ zadania pojawia się w dwóch odsłonach. Pierwsza to zadanie zamknięte za 1 punkt: "równanie ma dokładnie ile rozwiązań" albo "suma rozwiązań jest równa". Druga to zadanie otwarte "Rozwiąż równanie \(x^3+4x^2-9x-36=0\)", w którym postać iloczynową musisz najpierw zbudować sam, metodą grupowania. W tym wpisie przechodzimy przez oba warianty na zadaniach z prawdziwych arkuszy CKE, łącznie z wersją z ułamkiem, w której dziedzina potrafi skasować wszystkie rozwiązania.

## Dlaczego równanie iloczynowe jest pewniakiem na maturze

Równanie iloczynowe sprawdza trzy umiejętności naraz: rozkład na czynniki, rozwiązywanie równań liniowych i kwadratowych oraz liczenie elementów zbioru. Dlatego CKE wraca do niego regularnie. W bazie Sprawnej Matury znajdziesz je między innymi w arkuszach z maja 2023, czerwca 2023, sierpnia 2023, sierpnia 2024, czerwca 2025 i sierpnia 2025 oraz w [maturze próbnej CKE z marca 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026).

Zadania zamknięte wyglądają groźnie, bo iloczyn ma trzy albo cztery czynniki, ale rachunkowo są proste. Trudność siedzi w pułapkach: czynnik, który nie ma miejsc zerowych, pierwiastek podwójny, który liczy się raz, oraz mianownik, który wyrzuca część wyników. Zadanie otwarte, w arkuszach Formuły 2023 zwykle za 3 punkty, jest z kolei jednym z najpewniejszych punktów w całym dziale [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), bo schemat rozwiązania jest zawsze taki sam.

## Zasada iloczynu równego zero

Jeśli \(a \cdot b = 0\), to \(a = 0\) lub \(b = 0\). Nie ma trzeciej opcji: dwie liczby różne od zera pomnożone przez siebie nigdy nie dadzą zera. Ta sama zasada działa dla trzech, czterech i więcej czynników. Równanie \((x-1)(x+2)(x-7)=0\) rozbijasz więc na trzy niezależne równania: \(x-1=0\), \(x+2=0\), \(x-7=0\), i dostajesz rozwiązania \(1\), \(-2\), \(7\).

Zwróć uwagę na słowo "lub". Rozwiązania z poszczególnych czynników łączysz, a nie szukasz liczby spełniającej wszystkie czynniki jednocześnie. Zbiór rozwiązań równania iloczynowego to suma zbiorów rozwiązań poszczególnych czynników.

### Trzy rodzaje czynników i ile rozwiązań daje każdy

Czynnik liniowy \(ax + b\) (gdzie \(a \neq 0\)) daje zawsze dokładnie jedno rozwiązanie \(x = -\frac{b}{a}\). Na przykład \(3x - 12 = 0\) daje \(x = 4\), a \(10 + 5x = 0\) daje \(x = -2\).

Czynnik kwadratowy może dać dwa, jedno albo zero rozwiązań. Rozstrzyga o tym wyróżnik, czyli [delta](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe). Trzy najczęstsze przypadki z arkuszy:

- \(x^2 - 25 = 0\), czyli różnica kwadratów: \((x-5)(x+5) = 0\), dwa rozwiązania \(5\) i \(-5\).
- \(x^2 + 2x + 3 = 0\): delta \(\Delta = 4 - 12 = -8 < 0\), zero rozwiązań. Ten czynnik nie dokłada niczego do zbioru rozwiązań.
- \((x-1)^2 = 0\): jedno rozwiązanie \(x = 1\). Pierwiastek jest podwójny, ale jako element zbioru liczy się raz.

Czynnik stopnia trzeciego w postaci \(x^3 + 8\) albo \(x^3 - 1\) rozkładasz [wzorem skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) na sumę albo różnicę sześcianów: \(x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)\). Czynnik kwadratowy z tego rozkładu ma zawsze ujemną deltę, więc \(x^3 + 8 = 0\) ma w liczbach rzeczywistych dokładnie jedno rozwiązanie \(x = -2\). Szybciej: \(x^3 = -8\), więc \(x = \sqrt[3]{-8} = -2\). Komplet tych wzorów masz na stronie [wzory skróconego mnożenia](/wzory/wzory-skroconego-mnozenia).

### Gdy równanie nie jest jeszcze iloczynem

W zadaniu otwartym dostajesz równanie w postaci sumy, na przykład \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\). Zamieniasz je na iloczyn jedną z trzech metod, opisanych szerzej we wpisie o [rozkładaniu wielomianu na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki):

1. Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias: \(x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)\).
2. Grupowanie wyrazów parami: \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = x^2(x+4) - 9(x+4) = (x+4)(x^2 - 9)\).
3. Wzory skróconego mnożenia na różnicę kwadratów albo sumę i różnicę sześcianów.

W równaniach trzeciego stopnia z arkuszy podstawowych grupowanie jest metodą pierwszego wyboru: współczynniki są dobierane tak, żeby po wyłączeniu z pierwszej i drugiej pary wyrazów został ten sam nawias. Jeśli nawiasy się nie zgadzają, sprawdź znaki: przy wyłączaniu liczby ujemnej znak w nawiasie się zmienia.

### Równanie iloczynowe z ułamkiem

Równanie \(\frac{x(x+5)(2-x)}{2x+4} = 0\) rozwiązujesz w dwóch krokach. Najpierw wyznaczasz dziedzinę: mianownik nie może być zerem, więc \(x \neq -2\). Potem przyrównujesz do zera sam licznik, bo ułamek jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik nie. Na końcu odrzucasz te rozwiązania licznika, które wypadają z dziedziny. Więcej o tym schemacie znajdziesz we wpisie o [równaniach wymiernych](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura).

Interaktywny kalkulator: delta (dostępny na stronie wpisu)

## Wzory

Zasada iloczynu równego zero:

$$a \cdot b = 0 \iff a = 0 \ \lor \ b = 0$$

Rozwiązanie czynnika liniowego:

$$ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}, \quad a \neq 0$$

Różnica kwadratów:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Suma sześcianów:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Różnica sześcianów:

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

Schemat grupowania wyrazów:

$$x^3 + ax^2 + bx + ab = x^2(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x^2 + b)$$

Wyróżnik czynnika kwadratowego:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

## Przykład 1: Suma rozwiązań równania iloczynowego (matura sierpień 2025, zadanie 10)

**Treść:** Suma wszystkich rozwiązań równania \((3x-12)(10+5x)(x-3)=0\) jest równa:

- A) \(-5\)
- B) \(-1\)
- C) \(5\)
- D) \(9\)

**Krok 1: Każdy czynnik do zera.** Iloczyn trzech czynników jest zerem, gdy zeruje się choć jeden z nich. Rozwiązujemy trzy równania liniowe osobno.

$$3x - 12 = 0 \iff x = 4$$

$$10 + 5x = 0 \iff x = -2$$

$$x - 3 = 0 \iff x = 3$$

**Krok 2: Zbiór rozwiązań.** Rozwiązania są trzy i wszystkie różne: \(4\), \(-2\), \(3\).

**Krok 3: Suma.** Dodajemy wszystkie rozwiązania.

$$4 + (-2) + 3 = 5$$

**Odpowiedź: C.** Suma rozwiązań jest równa \(5\). Zwróć uwagę na odpowiedź D: \(9\) wychodzi temu, kto zgubi znak minus przy \(-2\).

## Przykład 2: Czynnik w kwadracie liczy się raz (matura czerwiec 2025, zadanie 7)

**Treść:** Równanie \(4(x-1)^2(x^2-25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

- A) dwa rozwiązania.
- B) trzy rozwiązania.
- C) cztery rozwiązania.
- D) pięć rozwiązań.

**Krok 1: Stała nie jest czynnikiem do wyzerowania.** Liczba \(4\) nigdy nie będzie zerem, więc możemy podzielić obie strony przez \(4\) i zajmować się tylko równaniem \((x-1)^2(x^2-25)=0\).

**Krok 2: Czynnik \((x-1)^2\).** Kwadrat wyrażenia jest zerem tylko wtedy, gdy samo wyrażenie jest zerem.

$$(x-1)^2 = 0 \iff x - 1 = 0 \iff x = 1$$

To jedno rozwiązanie. Pierwiastek jest podwójny, ale w zbiorze rozwiązań liczba \(1\) występuje raz.

**Krok 3: Czynnik \(x^2 - 25\).** Różnica kwadratów.

$$x^2 - 25 = 0 \iff (x-5)(x+5) = 0 \iff x = 5 \ \lor \ x = -5$$

**Krok 4: Liczymy elementy zbioru.** Zbiór rozwiązań to \(\{-5, 1, 5\}\), czyli trzy liczby.

**Odpowiedź: B.** Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania. Odpowiedź C (cztery) wybiera ten, kto policzy pierwiastek podwójny dwa razy.

## Przykład 3: Czynnik bez miejsc zerowych (matura próbna CKE marzec 2026, zadanie 7)

**Treść:** Równanie \(2x(x^2-3)(x^2+2x+3)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

- A) jedno rozwiązanie.
- B) dwa rozwiązania.
- C) trzy rozwiązania.
- D) pięć rozwiązań.

**Krok 1: Czynnik \(2x\).** Czynnik liniowy, jedno rozwiązanie.

$$2x = 0 \iff x = 0$$

**Krok 2: Czynnik \(x^2 - 3\).** Różnica kwadratów z liczbą niewymierną.

$$x^2 - 3 = 0 \iff x = \sqrt{3} \ \lor \ x = -\sqrt{3}$$

**Krok 3: Czynnik \(x^2 + 2x + 3\).** Liczymy deltę.

$$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$$

Delta ujemna, więc ten czynnik nie ma miejsc zerowych i nie dodaje żadnego rozwiązania.

**Krok 4: Zbiór rozwiązań.** Zbiór \(\{-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}\}\) ma trzy elementy.

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź D (pięć) to pułapka na tych, którzy każdemu czynnikowi kwadratowemu przypisują dwa rozwiązania bez sprawdzenia delty.

## Przykład 4: Iloczyn w liczniku, dziedzina w mianowniku (matura sierpień 2024, zadanie 6)

**Treść:** Równanie \(\frac{x(x+5)(2-x)}{2x+4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:

- A) dwa rozwiązania: \(-5\) oraz \(2\).
- B) dwa rozwiązania: \(-5\) oraz \(0\).
- C) trzy rozwiązania: \(-5\), \(0\) oraz \(2\).
- D) cztery rozwiązania: \(-5\), \(-2\), \(0\) oraz \(2\).

**Krok 1: Dziedzina.** Mianownik musi być różny od zera.

$$2x + 4 \neq 0 \iff x \neq -2$$

**Krok 2: Licznik do zera.** Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem.

$$x(x+5)(2-x) = 0 \iff x = 0 \ \lor \ x = -5 \ \lor \ x = 2$$

**Krok 3: Sprawdzenie z dziedziną.** Żadne z trzech rozwiązań nie jest równe \(-2\), więc wszystkie zostają.

**Odpowiedź: C.** Trzy rozwiązania: \(-5\), \(0\) oraz \(2\). Odpowiedź D dokłada \(-2\), czyli liczbę, dla której lewa strona równania w ogóle nie ma sensu.

## Przykład 5: Gdy dziedzina kasuje wszystko (matura maj 2023, zadanie 8)

**Treść:** Równanie \(\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:

- A) nie ma rozwiązania.
- B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\).
- C) ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\).
- D) ma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\).

**Krok 1: Dziedzina przed czymkolwiek innym.** Mianownik \((x-1)(x+1)^2\) zeruje się dla \(x = 1\) i dla \(x = -1\). Obie liczby wypadają z dziedziny.

$$D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$

**Krok 2: Licznik do zera.** Licznik \((x+1)(x-1)^2\) zeruje się dla \(x = -1\) i \(x = 1\).

**Krok 3: Porównanie z dziedziną.** Obaj kandydaci z licznika są wykluczeni przez dziedzinę. Nie zostaje nic.

**Odpowiedź: A.** Równanie nie ma rozwiązania. Kto skróci ułamek do \(\frac{x-1}{x+1}\) przed wyznaczeniem dziedziny, dostanie fałszywe rozwiązanie \(x = 1\) i wybierze C.

## Przykład 6: Równanie trzeciego stopnia metodą grupowania (matura czerwiec 2023, zadanie 9)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\). Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Grupujemy wyrazy parami.** Z pierwszych dwóch wyrazów wyłączamy \(x^2\), z dwóch ostatnich wyłączamy \(-9\).

$$x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0$$

**Krok 2: Wyłączamy wspólny nawias.** W obu grupach stoi \((x+4)\).

$$(x + 4)(x^2 - 9) = 0$$

**Krok 3: Rozkładamy czynnik kwadratowy.** Różnica kwadratów.

$$(x + 4)(x - 3)(x + 3) = 0$$

**Krok 4: Każdy czynnik do zera.**

$$x + 4 = 0 \ \lor \ x - 3 = 0 \ \lor \ x + 3 = 0$$

**Odpowiedź:** \(x = -4\) lub \(x = -3\) lub \(x = 3\). Sprawdzenie dla \(x = 3\): \(27 + 36 - 27 - 36 = 0\).

## Przykład 7: Suma sześcianów jako czynnik (matura sierpień 2020, zadanie 30)

**Treść:** Rozwiąż równanie \((x^3 + 8)(x^2 - 9) = 0\).

**Krok 1: Czynnik \(x^3 + 8\).** To suma sześcianów \(x^3 + 2^3\).

$$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$$

Czynnik \(x^2 - 2x + 4\) ma deltę \(\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\), więc nie ma miejsc zerowych. Z całego równania \(x^3 + 8 = 0\) zostaje jedno rozwiązanie \(x = -2\). Ten sam wynik dostaniesz szybciej: \(x^3 = -8\), więc \(x = -2\).

**Krok 2: Czynnik \(x^2 - 9\).** Różnica kwadratów.

$$x^2 - 9 = 0 \iff x = 3 \ \lor \ x = -3$$

**Odpowiedź:** \(x = -3\) lub \(x = -2\) lub \(x = 3\). Trzy rozwiązania, choć równanie ma stopień piąty.

## Sprawdź się na zadaniu z arkusza

Zanim przejdziesz do pułapek, spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie z sierpnia 2023. Schemat jest identyczny jak w Przykładzie 6: grupowanie, wspólny nawias, różnica kwadratów. Rozwiązanie krok po kroku odsłonisz pod kartą.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2023-09

## Typowe pułapki i błędy

**Pułapka:** Dzielenie obu stron równania przez \(x\). W równaniu \(x(x^2 - 3) = 0\) podzielenie przez \(x\) zjada rozwiązanie \(x = 0\). Przez zmienną nie dzielisz nigdy, chyba że najpierw osobno sprawdzisz przypadek, w którym jest ona zerem.

**Pułapka 2:** Czynnik \(x^2 + 4\) "ma rozwiązania \(2\) i \(-2\)". Nie ma. Równanie \(x^2 = -4\) nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. Rozwiązania \(2\) i \(-2\) ma czynnik \(x^2 - 4\), z minusem.

**Pułapka 3:** Liczenie pierwiastka podwójnego dwa razy. Równanie \((x-1)^2(x-5) = 0\) ma dwa rozwiązania, nie trzy. Pytanie "ile rozwiązań" dotyczy liczby różnych elementów zbioru.

**Pułapka 4:** Skracanie ułamka przed wyznaczeniem dziedziny. W Przykładzie 5 skrócenie \((x+1)\) i \((x-1)\) daje równanie \(\frac{x-1}{x+1} = 0\) z rozwiązaniem \(x = 1\), które w oryginalnym równaniu jest zakazane. Dziedzinę wyznaczasz z równania w takiej postaci, w jakiej je dostałeś.

**Pułapka 5:** Zgubiony znak przy grupowaniu. W \(x^3 - 6x^2 - 11x + 66\) z ostatniej pary wyłączasz \(-11\), a nie \(11\): \(-11(x - 6)\), nie \(11(x - 6)\). Jeśli nawiasy z obu grup nie są identyczne, błąd jest niemal zawsze w znaku.

**Wskazówka egzaminacyjna:** W zadaniu otwartym zapisuj rozkład na czynniki jako osobny etap, a odpowiedź podawaj w formie "\(x = -4\) lub \(x = -3\) lub \(x = 3\)". CKE punktuje etapy rozwiązania, więc czytelny rozkład ratuje punkty nawet przy błędzie rachunkowym na końcu.

**Zapamiętaj:** Kolejność, która nie zawodzi: dziedzina (jeśli jest mianownik), rozkład na czynniki, każdy czynnik do zera, sprawdzenie wyników z dziedziną, policzenie różnych elementów zbioru.

## Co musisz umieć

- Rozbić równanie w postaci iloczynu na osobne równania dla każdego czynnika.
- Rozwiązać czynnik liniowy \(ax + b = 0\) w jednym kroku.
- Ocenić z delty, czy czynnik kwadratowy daje dwa, jedno czy zero rozwiązań.
- Rozłożyć \(x^2 - a^2\), \(x^3 + a^3\) i \(x^3 - a^3\) wzorami skróconego mnożenia.
- Zbudować postać iloczynową równania trzeciego stopnia metodą grupowania.
- Wyznaczyć dziedzinę równania z ułamkiem i odrzucić rozwiązania spoza niej.
- Policzyć liczbę różnych rozwiązań, traktując pierwiastek podwójny jako jeden element.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy CKE, w których równanie iloczynowe albo już stoi w treści, albo trzeba je zbudować grupowaniem. Każde otwiera się na własnej stronie z pełnym rozwiązaniem. Wszystkie zadania z tego działu zebraliśmy w [bazie zadań CKE z równań i nierówności](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z równań i nierówności (/losuj)

## Najczęstsze pytania o równania iloczynowe

### Co to jest równanie iloczynowe?

Równanie iloczynowe to równanie postaci \(W_1(x) \cdot W_2(x) \cdot \ldots \cdot W_n(x) = 0\), w którym lewa strona jest iloczynem wyrażeń, a prawa zerem. Rozwiązujesz je, przyrównując każdy czynnik osobno do zera, bo iloczyn zeruje się dokładnie wtedy, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik.

### Ile rozwiązań ma równanie iloczynowe?

Co najwyżej tyle, ile wynosi suma stopni czynników, ale często mniej. Czynnik liniowy daje jedno rozwiązanie, czynnik kwadratowy zero, jedno albo dwa w zależności od delty, a powtarzające się rozwiązania z różnych czynników liczysz raz. Dlatego \(2x(x^2-3)(x^2+2x+3)=0\) ma trzy rozwiązania, choć jest równaniem stopnia piątego.

### Jak rozwiązać równanie iloczynowe z ułamkiem?

Najpierw wyznacz dziedzinę, czyli wyklucz wartości zerujące mianownik. Potem przyrównaj do zera sam licznik i rozwiąż go jak zwykłe równanie iloczynowe. Na końcu odrzuć te wyniki, które nie należą do dziedziny. Ułamka nie skracaj przed wyznaczeniem dziedziny.

### Czy równanie x² + 4 = 0 ma rozwiązania?

W zbiorze liczb rzeczywistych nie ma. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest większy lub równy zero, więc \(x^2\) nie może być równe \(-4\). Taki czynnik w równaniu iloczynowym nie dodaje żadnego rozwiązania, a sprawdzasz to deltą: \(\Delta = 0 - 16 < 0\).

### Jak rozwiązać równanie trzeciego stopnia na maturze podstawowej?

Metodą grupowania: z dwóch pierwszych wyrazów wyłącz \(x^2\), z dwóch ostatnich wyłącz stałą tak, żeby w obu grupach został ten sam nawias. Wyłącz ten nawias przed całość, a czynnik kwadratowy rozłóż wzorem na różnicę kwadratów albo zostaw, jeśli ma ujemną deltę. W arkuszach podstawowych współczynniki są z reguły dobrane tak, żeby grupowanie zadziałało.

### Czym różni się równanie iloczynowe od nierówności iloczynowej?

W równaniu wystarczy znaleźć miejsca zerowe czynników. W nierówności, na przykład \((x-2)(x+3) < 0\), musisz dodatkowo ustalić znak iloczynu między miejscami zerowymi, zwykle szkicując parabolę albo siatkę znaków. Ten schemat omawiamy osobno we wpisie o [rozwiązywaniu nierówności kwadratowych krok po kroku](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania).


---
route: /punkt-przeciecia-dwoch-prostych-jak-obliczyc
title: Punkt przecięcia dwóch prostych - jak obliczyć krok po kroku
description: Zobacz, jak obliczyć punkt przecięcia dwóch prostych: porównanie wzorów, układ równań i 5 zadań maturalnych CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Punkt przecięcia dwóch prostych - jak obliczyć krok po kroku

Punkt przecięcia dwóch prostych obliczysz, rozwiązując układ równań złożony z równań obu prostych. Dla prostych w postaci kierunkowej \(y = a_1x + b_1\) i \(y = a_2x + b_2\) wystarczy przyrównać prawe strony: \(a_1x + b_1 = a_2x + b_2\), wyznaczyć z tego \(x\), a następnie podstawić go do dowolnego z równań, żeby otrzymać \(y\). Dwie proste mają dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są różne, czyli \(a_1 \neq a_2\).

To jedno z najczęściej wykorzystywanych obliczeń w całej [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna), czyli najliczniejszym dziale naszej bazy: 283 zadania maturalne CKE. Punkt przecięcia prostych rzadko jest celem samym w sobie. Zwykle to pierwszy krok większego zadania: o wysokości trójkąta, przekątnych równoległoboku albo polu figury ograniczonej prostymi. Ten motyw znajdziesz m.in. w arkuszach z maja 2024, czerwca 2016 i próbnej CKE z grudnia 2023. Poniżej masz metodę krok po kroku dla obu postaci równania prostej i 5 rozwiązanych zadań w stylu CKE.

## Co to jest punkt przecięcia dwóch prostych

Punkt przecięcia dwóch prostych to punkt, którego współrzędne spełniają jednocześnie równania obu prostych. Geometrycznie to miejsce, w którym wykresy się krzyżują. Algebraicznie to rozwiązanie układu równań zbudowanego z równań tych prostych: jeśli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie \((x_0, y_0)\), proste przecinają się w punkcie \(P = (x_0, y_0)\).

Z tej definicji wynika praktyczna umiejętność, której będziesz używać do sprawdzania wyników: punkt leży na prostej, gdy po podstawieniu jego współrzędnych do równania dostajesz równość prawdziwą. Jeśli równość zgadza się dla obu prostych naraz, masz ich punkt wspólny. Same równania prostych, postać kierunkową i ogólną, powtórzysz w poradniku o [równaniu prostej na maturze](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

## Jak obliczyć punkt przecięcia prostych w postaci kierunkowej

Metoda jest zawsze ta sama: przyrównujesz prawe strony obu równań, rozwiązujesz równanie liniowe z jedną niewiadomą i podstawiasz wynik do jednego z równań. Dostajesz kolejno \(x\), potem \(y\), a punkt przecięcia to para \((x, y)\).

**Krok 1: przyrównaj prawe strony.** Skoro w punkcie przecięcia obie proste mają tę samą wartość \(y\), to \(a_1x + b_1 = a_2x + b_2\).

**Krok 2: rozwiąż równanie z jedną niewiadomą.** Przenieś wyrazy z \(x\) na jedną stronę, liczby na drugą i podziel przez współczynnik przy \(x\).

**Krok 3: podstaw \(x\) do prostszego z równań.** Wybieraj to z łatwiejszymi liczbami, wynik będzie ten sam.

**Krok 4: sprawdź wynik w drugim równaniu.** Podstaw obie współrzędne do równania, którego nie użyłeś w kroku 3. Jeśli równość się zgadza, punkt jest poprawny. To kosztuje 20 sekund i ratuje punkty w zadaniu otwartym.

## Punkt przecięcia prostych w postaci ogólnej

Gdy proste są zapisane w postaci ogólnej \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) i \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\), punkt przecięcia znajdziesz, rozwiązując układ tych dwóch równań dowolną metodą: [podstawiania](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania) albo [przeciwnych współczynników](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-przeciwnych-wspolczynnikow). Możesz też każdą prostą przekształcić do postaci kierunkowej i wrócić do metody z poprzedniej sekcji.

W praktyce maturalnej: jeśli w jednym z równań któraś niewiadoma ma współczynnik \(1\) lub \(-1\), wyznacz ją i podstaw do drugiego równania. To najszybsza droga i najmniej okazji do błędu rachunkowego.

## Kiedy proste nie mają punktu przecięcia

Proste nie mają punktu przecięcia, gdy są równoległe i różne: \(a_1 = a_2\) oraz \(b_1 \neq b_2\). Układ równań jest wtedy sprzeczny. Gdy \(a_1 = a_2\) i \(b_1 = b_2\), proste się pokrywają i punktów wspólnych jest nieskończenie wiele. Jedyny przypadek z dokładnie jednym punktem wspólnym to \(a_1 \neq a_2\).

Rachunkowo rozpoznasz to bez patrzenia na współczynniki: jeśli przy rozwiązywaniu równania niewiadoma się skróci i zostanie fałszywa równość typu \(0 = 4\), proste są równoległe i rozłączne. Jeśli zostanie równość prawdziwa \(0 = 0\), proste się pokrywają. Pełne warunki równoległości i prostopadłości, także dla postaci ogólnej, rozpisaliśmy w poradniku o [prostych równoległych i prostopadłych](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania).

## Rozwiązane zadania maturalne krok po kroku

### Zadanie 1. Postać kierunkowa

Wyznacz punkt przecięcia prostych \(y = 2x - 1\) oraz \(y = -x + 5\).

**Krok 1: przyrównaj prawe strony.** \(2x - 1 = -x + 5\)

**Krok 2: rozwiąż równanie.** \(2x + x = 5 + 1\), czyli \(3x = 6\), stąd \(x = 2\).

**Krok 3: oblicz \(y\).** Z pierwszej prostej: \(y = 2 \cdot 2 - 1 = 3\).

**Krok 4: sprawdź w drugim równaniu.** \(-2 + 5 = 3\). Zgadza się.

Punkt przecięcia: \(P = (2, 3)\).

### Zadanie 2. Postać ogólna

Wyznacz punkt przecięcia prostych \(2x + 3y - 7 = 0\) oraz \(x - y - 1 = 0\).

**Krok 1: wyznacz niewiadomą z prostszego równania.** Z drugiego równania: \(x = y + 1\).

**Krok 2: podstaw do pierwszego równania.** \(2(y + 1) + 3y - 7 = 0\), czyli \(2y + 2 + 3y - 7 = 0\), stąd \(5y - 5 = 0\) i \(y = 1\).

**Krok 3: oblicz \(x\).** \(x = 1 + 1 = 2\).

**Krok 4: sprawdź.** \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 7 = 4 + 3 - 7 = 0\). Zgadza się.

Punkt przecięcia: \(P = (2, 1)\).

### Zadanie 3. Punkt przecięcia z warunkiem (styl: matura czerwiec 2016)

Proste \(y = x + 2\) oraz \(y = -3x + b\) przecinają się w punkcie leżącym na osi \(Oy\). Oblicz \(b\).

**Krok 1: przetłumacz warunek na współrzędne.** Punkt leżący na osi \(Oy\) ma pierwszą współrzędną równą zero, czyli \(x = 0\).

**Krok 2: znajdź punkt na pierwszej prostej.** Dla \(x = 0\): \(y = 0 + 2 = 2\), więc punkt przecięcia to \((0, 2)\).

**Krok 3: podstaw punkt do drugiej prostej.** \(2 = -3 \cdot 0 + b\), stąd \(b = 2\).

Ten schemat, czyli przetłumaczenie warunku geometrycznego na współrzędne i podstawienie do równania, załatwia większość maturalnych zadań o prostych z parametrem.

### Zadanie 4. Trzy proste przechodzące przez jeden punkt

Sprawdź, czy proste \(y = 2x + 1\), \(y = -x + 4\) oraz \(y = 5x - 2\) mają punkt wspólny.

**Krok 1: znajdź punkt przecięcia dwóch pierwszych prostych.** \(2x + 1 = -x + 4\), czyli \(3x = 3\), stąd \(x = 1\) i \(y = 2 \cdot 1 + 1 = 3\). Punkt: \((1, 3)\).

**Krok 2: sprawdź, czy trzecia prosta przechodzi przez ten punkt.** \(5 \cdot 1 - 2 = 3\). Tak.

Wszystkie trzy proste przechodzą przez punkt \((1, 3)\).

### Zadanie 5. Pole trójkąta ograniczonego prostymi i osią \(Ox\)

Proste \(y = x + 1\) i \(y = -2x + 7\) oraz oś \(Ox\) ograniczają trójkąt. Oblicz jego pole.

**Krok 1: punkt przecięcia prostych.** \(x + 1 = -2x + 7\), czyli \(3x = 6\), stąd \(x = 2\) i \(y = 3\). Wierzchołek: \(A = (2, 3)\).

**Krok 2: punkty przecięcia prostych z osią \(Ox\).** Podstaw \(y = 0\). Pierwsza prosta: \(x = -1\), czyli \(B = (-1, 0)\). Druga prosta: \(-2x + 7 = 0\), czyli \(x = \frac{7}{2}\), więc \(C = \left(\frac{7}{2}, 0\right)\). To dokładnie [miejsca zerowe](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac) obu funkcji liniowych.

**Krok 3: podstawa i wysokość.** Podstawa leży na osi \(Ox\): \(|BC| = \frac{7}{2} - (-1) = \frac{9}{2}\). Wysokość to odległość punktu \(A\) od osi \(Ox\), czyli \(h = 3\).

**Krok 4: pole.** \(P = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3 = \frac{27}{4} = 6{,}75\).

Więcej sposobów liczenia pola, w tym wzór ze współrzędnych wierzchołków, znajdziesz w zestawieniu [8 wzorów na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

## Typowe pułapki

- **Liczysz tylko \(x\) i kończysz zadanie.** Punkt przecięcia to para współrzędnych. Za samo \(x = 2\) w zadaniu otwartym nie dostaniesz kompletu punktów.
- **Błąd znaku przy przenoszeniu wyrazów.** Najczęstsze potknięcie: z \(2x - 1 = -x + 5\) robisz \(2x - x = 5 + 1\) zamiast \(2x + x = 5 + 1\). Przenosząc \(-x\) na lewą stronę, zmieniasz znak na plus.
- **Traktujesz sprzeczność jak błąd rachunkowy.** Jeśli wyszło \(0 = 4\), nie szukaj pomyłki na siłę: proste mogą być po prostu równoległe, a poprawna odpowiedź brzmi "brak punktu przecięcia".
- **Mylisz punkt przecięcia prostych z punktami przecięcia z osiami.** Przecięcie z osią \(Oy\) liczysz, podstawiając \(x = 0\), z osią \(Ox\) podstawiając \(y = 0\). Przecięcie dwóch prostych wymaga układu równań.
- **Nie sprawdzasz wyniku.** Podstawienie pary \((x, y)\) do obu równań wyłapuje niemal każdy błąd rachunkowy i kosztuje mniej niż minutę.

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć punkt przecięcia dwóch prostych?
Rozwiąż układ równań złożony z równań obu prostych. Dla postaci kierunkowej przyrównaj prawe strony (\(a_1x + b_1 = a_2x + b_2\)), wyznacz \(x\) i podstaw do jednego z równań, żeby obliczyć \(y\). Punkt przecięcia to para \((x, y)\), która spełnia oba równania jednocześnie.

### Kiedy dwie proste nie mają punktu przecięcia?
Gdy są równoległe i różne, czyli mają równe współczynniki kierunkowe (\(a_1 = a_2\)) i różne wyrazy wolne (\(b_1 \neq b_2\)). Rachunkowo objawia się to sprzecznością w równaniu, na przykład \(0 = 4\). Taki wynik jest pełnoprawną odpowiedzią, a nie błędem.

### Czy dwie proste mogą mieć więcej niż jeden punkt wspólny?
Tak, ale tylko wtedy, gdy się pokrywają, czyli są tą samą prostą zapisaną innym równaniem. Wtedy punktów wspólnych jest nieskończenie wiele. Dwie różne proste na płaszczyźnie mają najwyżej jeden punkt wspólny.

### Jak sprawdzić, czy punkt leży na obu prostych?
Podstaw współrzędne punktu do równania każdej prostej osobno. Jeśli w obu przypadkach otrzymasz równość prawdziwą, punkt leży na obu prostych, czyli jest ich punktem wspólnym. To najszybszy sposób weryfikacji wyniku w zadaniu.

### Czym różni się punkt przecięcia prostych od miejsca zerowego?
Miejsce zerowe to punkt przecięcia wykresu jednej funkcji z osią \(Ox\), liczony przez podstawienie \(y = 0\). Punkt przecięcia dwóch prostych dotyczy dwóch wykresów naraz i wymaga rozwiązania układu równań. W zadaniu 5 wyżej używasz obu tych umiejętności w jednym zadaniu.

### Czy punkt przecięcia prostych zawsze ma współrzędne całkowite?
Nie. Współrzędne mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi, także ułamkami albo liczbami niewymiernymi. Jeśli wychodzą mniej wygodne ułamki, nie zakładaj z góry błędu, tylko sprawdź wynik podstawieniem do obu równań.

## Punkt przecięcia prostych - checklista na maturę

- Umiesz przyrównać prawe strony dwóch równań kierunkowych i wyznaczyć \(x\), a potem \(y\).
- Umiesz rozwiązać układ równań w postaci ogólnej metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników.
- Rozpoznajesz po współczynnikach i po sprzeczności w rachunkach, że proste są równoległe albo się pokrywają.
- Tłumaczysz warunki typu "punkt leży na osi \(Oy\)" na współrzędne (\(x = 0\)) i odwrotnie.
- Sprawdzasz wynik podstawieniem do obu równań.
- Wykorzystujesz punkt przecięcia jako pierwszy krok w zadaniach o polach figur i wysokościach trójkątów.

Przećwicz to na prawdziwych arkuszach: w bazie mamy [zadania CKE z geometrii analitycznej z pełnymi rozwiązaniami](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami), a jeśli potrzebujesz jeszcze samodzielnie wyznaczać równania prostych, zajrzyj do poradnika [jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /przekroj-bryly-plaszczyzna-stozek-walec-szescian-matura
title: Przekrój bryły płaszczyzną na maturze - stożek, walec, sześcian
description: Jak obliczyć pole przekroju stożka, walca i sześcianu na maturze z matematyki. Wzory, rozwiązane zadania CKE krok po kroku i typowe błędy do sprawdzenia.
author: Marcel Bogdan
---

# Przekrój bryły płaszczyzną na maturze - stożek, walec, sześcian

## Dlaczego przekrój bryły to zmora maturzystów

Stereometria ma opinię najtrudniejszego działu na maturze podstawowej, a przekroje bryły płaszczyzną to w niej temat, który budzi najwięcej frustracji. Powód jest prosty: musisz sobie wyobrazić, jak płaska powierzchnia tnie bryłę w przestrzeni, a większość uczniów nie ma na tyle wyćwiczonej wyobraźni przestrzennej, żeby zrobić to bez rysunku pomocniczego. Przekroje pojawiają się na maturze rzadziej niż liczenie objętości czy pól powierzchni, ale kiedy już się pojawią, zwykle są warte więcej punktów, bo łączą kilka umiejętności naraz: znajomość figur płaskich, twierdzenie Pitagorasa i wyobraźnię przestrzenną w jednym zadaniu.

Dobra wiadomość jest taka, że na maturze podstawowej powtarzają się dokładnie te same schematy: przekrój osiowy walca, przekrój osiowy stożka oraz przekrój wielościanu (najczęściej sześcianu albo graniastosłupa czworokątnego) przez przekątną i wierzchołek. Jak tylko rozpoznasz, z którym z tych trzech przypadków masz do czynienia, reszta zadania to najczęściej podstawianie do znanych wzorów i twierdzenie Pitagorasa.

Co ważne, żaden z tych trzech schematów nie wymaga wiedzy wykraczającej poza program matury podstawowej. Nie potrzebujesz rachunku wektorowego ani geometrii analitycznej w przestrzeni, żeby rozwiązać typowe zadanie zamknięte z przekrojem. Wystarczy twierdzenie Pitagorasa, podstawowe wzory na pola figur płaskich i umiejętność narysowania pomocniczego rysunku. Dopiero trudniejsze zadania otwarte, opisane w dalszej części poradnika, czasem korzystają z układu współrzędnych, ale to już wyjątek, a nie reguła.

W tym poradniku rozwiążemy krok po kroku cztery prawdziwe zadania maturalne z przekrojami, tak żebyś na egzaminie rozpoznawał wzorzec od razu, zamiast zgadywać, co robić.

Zanim przejdziemy do wzorów, jedna praktyczna wskazówka egzaminacyjna: przy każdym zadaniu z przekrojem warto od razu narysować sam przekrój jako osobną, płaską figurę, wyjętą z bryły. Nie próbuj liczyć "na oko" z rysunku samej bryły w 3D, bo tam łatwo się pomylić co do tego, który odcinek jest którym bokiem. Jeśli narysujesz przekrój osobno, jako zwykły trójkąt albo prostokąt na płaskiej kartce, zamieniasz trudne zadanie przestrzenne w znajome zadanie z planimetrii, które rozwiążesz szkolnymi metodami.

## Co to jest przekrój bryły płaszczyzną

Przekrój bryły płaszczyzną to płaska figura, która powstaje, gdy przetniesz bryłę wybraną płaszczyzną. Wyobraź sobie, że kroisz ziemniaka nożem - ślad po nożu na powierzchni cięcia to właśnie ten kształt, którego szukasz w zadaniu.

To nie to samo co rzut bryły, czyli cień, jaki bryła rzuca na płaszczyznę. Mylenie tych dwóch pojęć to jeden z częstszych błędów na maturze. Przekrój zawsze zależy od tego, jak dokładnie poprowadzisz płaszczyznę tnącą, a na maturze ta płaszczyzna jest zawsze opisana w treści zadania albo pokazana na rysunku pomocniczym.

Różnicę łatwo zobaczyć na konkretnym przykładzie. Weźmy sześcian o krawędzi \(4\). Jego rzut na płaszczyznę poziomą, czyli cień przy świetle padającym prostopadle z góry, to zawsze kwadrat o boku \(4\), niezależnie od tego, jak bryła jest ustawiona względem tej płaszczyzny. Ale przekrój tego samego sześcianu może wyjść zupełnie inaczej w zależności od tego, jaką płaszczyznę wybierzemy: przekrój poziomy przez środek wysokości to też kwadrat o boku \(4\), lecz przekrój ukośny, na przykład przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek górnej podstawy, tak jak w Zadaniu 4 w dalszej części tego poradnika, to już zupełnie inna figura, mimo że tniemy dokładnie tę samą bryłę. Rzut "spłaszcza" bryłę zawsze w ten sam sposób, a przekrój zależy od wyboru płaszczyzny.

Zobacz też ogólny [przewodnik po stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) z pełnym zestawem wzorów na objętości i pola powierzchni brył, oraz stronę [tematu Stereometria](/topics/stereometria) z zadaniami do samodzielnego ćwiczenia.

## Przekrój osiowy walca - zawsze prostokąt

Kiedy przetniesz walec płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii, czyli przez środki obu podstaw, zawsze dostaniesz prostokąt. To najprostszy przypadek przekroju na maturze, więc warto zacząć właśnie od niego.

Boki tego prostokąta to:

- średnica podstawy walca, czyli \(2r\)
- wysokość walca, czyli \(H\)

Szczególny przypadek, który lubi pojawiać się na maturze: gdy ten prostokąt jest kwadratem. Wtedy po prostu \(2r = H\), i ta jedna zależność wystarcza, żeby rozwiązać całe zadanie.

Nie zawsze jednak przekrój jest kwadratem. Czasem zadanie podaje inną zależność między bokami prostokąta, na przykład przekątną i kąt, jaki tworzy ona z podstawą, albo samo pole przekroju. W takiej sytuacji postępujesz dokładnie tak samo: zapisujesz bok prostokąta jako \(2r\), drugi jako \(H\), a potem korzystasz z tego, co akurat podaje treść zadania, żeby połączyć obie niewiadome jednym równaniem. Mechanizm jest identyczny, zmieniają się tylko dane wejściowe.

### Zadanie 1: przekrój osiowy walca jest kwadratem

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej \(10\sqrt{2}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

**Krok 1. Długość boku kwadratu.**

Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną \(a\sqrt{2}\). Skoro przekątna wynosi \(10\sqrt{2}\), to:

$$a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$
$$a = 10$$

**Krok 2. Promień i wysokość walca.**

Bok kwadratu to jednocześnie średnica podstawy (\(2r\)) i wysokość walca (\(H\)):

$$2r = 10 \Rightarrow r = 5$$
$$H = 10$$

**Krok 3. Pole powierzchni bocznej.**

$$P_b = 2\pi r H = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi$$

Pełne rozwiązanie tego zadania z arkusza CKE znajdziesz na stronie [matura sierpień 2018, zadanie 23](/task/matura-sierpie-2018-23), a cały arkusz z odpowiedziami na stronie [matura sierpień 2018](/exams/matura-sierpien-2018).

**Pułapka:** informacja "przekrój jest kwadratem" to nie jest ciekawostka do pominięcia. To konkretna liczbowa zależność \(2r = H\), którą musisz od razu przełożyć na równanie. Jeśli tego nie zauważysz, utkniesz z dwiema niewiadomymi i zadania nie ruszysz z miejsca.

## Przekrój osiowy stożka - zawsze trójkąt równoramienny

Przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt równoramienny, bo stożek jest bryłą obrotową, czyli symetryczną względem swojej osi. Ramiona tego trójkąta to tworzące stożka, a podstawa to średnica podstawy stożka:

- podstawa trójkąta = \(2r\)
- ramiona trójkąta = tworząca \(l\)

Wysokość tego trójkąta pokrywa się z wysokością stożka \(H\), bo oś stożka jest jednocześnie wysokością trójkąta w przekroju. Te trzy wielkości łączy twierdzenie Pitagorasa: \(l^2 = r^2 + H^2\).

### Zadanie 2: przekrój równoboczny stożka

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Zapisz wzór na objętość tego stożka w zależności od \(a\).

**Krok 1. Promień podstawy.**

Skoro trójkąt jest równoboczny, podstawa trójkąta, czyli \(2r\), jest równa bokowi \(a\):

$$2r = a \Rightarrow r = \frac{a}{2}$$

**Krok 2. Wysokość stożka.**

Wysokość stożka to wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\), czyli ze standardowego wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$$H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 3. Pole podstawy.**

$$P_p = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

**Krok 4. Objętość stożka.**

$$V = \frac{1}{3} P_p H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi a^2}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}\,\pi a^3}{24}$$

Zadanie w oryginale, z liczbowymi odpowiedziami do wyboru, znajdziesz pod adresem [matura sierpień 2012, zadanie 23](/task/matura-sierpie-2012-23). Więcej o samych wzorach na objętość i pole stożka przeczytasz w poradniku [jak obliczyć objętość stożka i pole powierzchni](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni).

**Wariant tego samego zadania:** gdyby zamiast objętości zapytano o pole powierzchni całkowitej, dane z kroków 1 i 2 wystarczą, żeby odpowiedzieć od razu, bo ramię trójkąta równobocznego to jednocześnie tworząca stożka, czyli \(l=a\):

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \pi\cdot\frac{a}{2}\cdot a = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{3\pi a^2}{4}$$

Warto to zauważyć, bo na maturze dokładnie ten sam zestaw danych bywa wykorzystywany w dwóch różnych pytaniach: raz o objętość, raz o pole powierzchni.

### Zadanie 3: przekrój prostokątny stożka - pułapka na kąt prosty

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej długości \(12\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

To zadanie jest trudniejsze, bo wymaga jednej dodatkowej obserwacji. Trójkąt w przekroju osiowym stożka jest zawsze równoramienny, bo oba ramiona są równe tworzącej \(l\). Żeby taki trójkąt mógł być jednocześnie prostokątny, kąt prosty musi leżeć przy wierzchołku, a nie przy podstawie.

Dlaczego akurat tak? W trójkącie równoramiennym oba kąty przy podstawie są sobie równe. Gdyby jeden z nich był prosty, drugi też musiałby być prosty, a wtedy suma kątów w trójkącie przekroczyłaby \(180°\), co jest niemożliwe. Zostaje więc tylko jedna opcja: kąt prosty jest między ramionami, czyli przy wierzchołku stożka.

To oznacza, że przyprostokątnymi są obie tworzące \(l\), a przeciwprostokątną jest podstawa \(2r\):

**Krok 1. Promień podstawy.**

$$2r = 12 \Rightarrow r = 6$$

**Krok 2. Tworząca stożka z twierdzenia Pitagorasa.**

$$l^2 + l^2 = 12^2$$
$$2l^2 = 144$$
$$l^2 = 72$$
$$l = 6\sqrt{2}$$

**Krok 3. Wysokość stożka.**

$$H^2 = l^2 - r^2 = 72 - 36 = 36$$
$$H = 6$$

**Krok 4. Pole powierzchni całkowitej.**

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi \cdot 36 + \pi \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\pi + 36\sqrt{2}\,\pi = 36\pi(1+\sqrt{2})$$

Oryginalne zadanie zamknięte, z odpowiedziami do wyboru, znajdziesz na stronie [matura próbna Operon, listopad 2017, zadanie 19](/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2017-19).

**Pułapka:** większość uczniów zakłada, że przyprostokątnymi są \(H\) i \(2r\), a przeciwprostokątną \(l\), bo tak "wygląda" typowy trójkąt prostokątny narysowany w zeszycie. To błąd, który od razu psuje cały wynik. Zawsze zacznij od pytania: gdzie w tym konkretnym trójkącie może być kąt prosty, skoro trójkąt jest z założenia równoramienny?

## Przekrój sześcianu przez przekątną podstawy i wierzchołek

Przy wielościanach, czyli sześcianie, prostopadłościanie czy graniastosłupie, nie ma gotowych wzorów na przekrój. Musisz sam wyznaczyć, jaki wielokąt powstaje, policzyć długości jego boków z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni, a na końcu obliczyć pole tego wielokąta znanym wzorem.

Klucz do sukcesu: w sześcianie o krawędzi \(a\) każda ściana ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), a cały sześcian ma przekątną przestrzenną o długości \(a\sqrt{3}\). Te dwie liczby wystarczają do rozwiązania większości zadań tego typu, więc warto je znać na pamięć, tak samo jak wzory z poradnika [jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania).

Obie te wartości wynikają wprost z twierdzenia Pitagorasa, więc nie musisz ich pamiętać na sztywno, wystarczy umieć je odtworzyć w kilka sekund. Przekątna ściany to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego zbudowanego z dwóch krawędzi tej ściany:

$$d_{\text{ściany}} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$$

Przekątna przestrzenna to z kolei przeciwprostokątna trójkąta zbudowanego z przekątnej ściany i krawędzi prostopadłej do tej ściany:

$$d_{\text{przestrzenna}} = \sqrt{\left(a\sqrt{2}\right)^2+a^2} = \sqrt{2a^2+a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

To dwa zastosowania tego samego twierdzenia, jedno po drugim, więc zamiast uczyć się dwóch osobnych wzorów, wystarczy zapamiętać jeden schemat rozumowania.

### Zadanie 4: sześcian, przekrój trójkątem równobocznym

Sześcian \(ABCDEFGH\) ma krawędź długości \(a=6\), przy czym \(ABCD\) to dolna podstawa, \(EFGH\) górna, a wierzchołek \(E\) leży dokładnie nad \(A\), \(F\) nad \(B\), \(G\) nad \(C\), \(H\) nad \(D\). Płaszczyzna przekroju przechodzi przez przekątną \(AC\) dolnej podstawy i wierzchołek \(F\) górnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

**Krok 1. Rozpoznanie figury przekroju.**

Skoro płaszczyzna zawiera trzy punkty \(A\), \(C\) i \(F\), przekrój to trójkąt \(ACF\).

**Krok 2. Długości boków trójkąta.**

- \(AC\) to przekątna kwadratu \(ABCD\), czyli przekątna dolnej podstawy: \(AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
- \(AF\) to przekątna ściany bocznej \(ABFE\), bo \(A\) i \(F\) leżą na przeciwległych rogach tej ściany: \(AF = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
- \(CF\) to przekątna ściany bocznej \(BCGF\), analogicznie, bo \(C\) i \(F\) leżą na przeciwległych rogach tej ściany: \(CF = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)

**Krok 3. Rozpoznanie rodzaju trójkąta.**

Wszystkie trzy boki są równe \(6\sqrt{2}\), więc trójkąt \(ACF\) jest równoboczny o boku \(a\sqrt{2}\).

**Krok 4. Pole trójkąta równobocznego.**

Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku \(s\) to \(P = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2\). Podstawiając \(s = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\):

$$P = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(6\sqrt{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 72 = 18\sqrt{3}$$

Oryginalne zadanie znajdziesz na stronie [matura próbna kwiecień 2015, zadanie 24](/task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-24). Zapamiętaj tę sztuczkę: gdy przekrój sześcianu przechodzi przez przekątną jednej ściany i wierzchołek leżący "po przekątnej" na sąsiedniej ścianie, prawie zawsze dostaniesz trójkąt równoboczny zbudowany z trzech przekątnych ścian sześcianu. To znacznie szybsza droga niż liczenie wszystkiego wzorem Herona.

**Weryfikacja wyniku.** Warto sprawdzić, czy wynik ma sens. Przekątna przestrzenna tego sześcianu wynosi \(a\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx 10{,}39\), a bok naszego trójkąta równobocznego to \(6\sqrt{2}\approx 8{,}49\), czyli krótszy niż przekątna przestrzenna. To zgadza się z geometrią bryły: przekątna ściany zawsze jest krótsza od przekątnej przestrzennej, więc otrzymany trójkąt "mieści się" w sześcianie tak, jak powinien. Jeśliby w obliczeniach wyszła długość boku większa niż przekątna przestrzenna, byłby to sygnał, że gdzieś wkradł się błąd rachunkowy.

## Przekroje graniastosłupów - kiedy robi się naprawdę trudno

W zadaniach otwartych, wartych 3 albo 4 punkty, płaszczyzna przekroju czasem nie przechodzi przez wierzchołki bryły, tylko przez środki krawędzi. Wtedy przekrój bywa czworokątem, a nie trójkątem, a samo znalezienie wszystkich wierzchołków przekroju wymaga dodatkowej pracy, najczęściej przez wprowadzenie układu współrzędnych w przestrzeni i obliczenie punktów przecięcia płaszczyzny z krawędziami bryły.

To już wykracza poza to, co pojawia się typowo w zadaniach zamkniętych za jeden punkt, ale jeśli chcesz się zmierzyć z trudniejszym przykładem tego typu, sprawdź [to zadanie z arkusza CKE](/task/cke-2015-2023-pp-105): graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięty płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch krawędzi podstawy oraz jeden wierzchołek górnej podstawy. To dobry test, czy naprawdę rozumiesz metodę, a nie tylko pamiętasz gotowe wzory.

Metoda, która działa w każdym takim przypadku, wygląda tak: umieszczasz bryłę w układzie współrzędnych, tak żeby jeden wierzchołek podstawy wypadł w punkcie \((0,0,0)\), a krawędzie boczne biegły równolegle do osi \(z\). Potem zapisujesz współrzędne wszystkich punktów, przez które ma przechodzić płaszczyzna przekroju, łącznie ze środkami krawędzi. Na końcu liczysz długości boków otrzymanego wielokąta jako odległości między punktami w przestrzeni, dokładnie tak samo jak w Zadaniu 4, tylko z większą liczbą punktów do policzenia. To więcej rachunków, ale sama metoda się nie zmienia.

## Jak szybko rozpoznać, jaki kształt przekroju cię czeka

Zanim zaczniesz liczyć, zadaj sobie jedno pytanie: jaką bryłę tniesz i przez jakie punkty prowadzi się płaszczyzna? To od razu podpowiada, jakiego kształtu się spodziewać:

- **walec przecięty przez oś symetrii:** zawsze prostokąt, którego boki to średnica podstawy \(2r\) i wysokość \(H\). Nie musisz nic udowadniać, to wynika wprost z symetrii bryły obrotowej.
- **stożek przecięty przez oś symetrii:** zawsze trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i ramionach równych tworzącej \(l\). Jeśli w treści zadania pojawia się dodatkowy warunek, na przykład że trójkąt jest równoboczny albo prostokątny, to zawsze dotyczy tego samego trójkąta równoramiennego, tylko z dodatkowym ograniczeniem na jego kąty.
- **wielościan przecięty przez trzy wierzchołki:** przekrojem jest trójkąt, którego boki liczysz z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni, najczęściej korzystając z przekątnej ściany \(a\sqrt{2}\) i przekątnej przestrzennej \(a\sqrt{3}\).
- **wielościan przecięty przez środki krawędzi lub więcej niż trzy punkty:** przekrojem jest czworokąt albo wielokąt o większej liczbie boków, do którego policzenia zwykle potrzebujesz układu współrzędnych w przestrzeni.

Ten prosty podział wystarcza, żeby na maturze od razu wiedzieć, w którą stronę iść z rozwiązaniem, zamiast tracić cenny czas na zgadywanie, jaki kształt w ogóle powstał.

## Najczęstsze błędy przy przekrojach brył

**Mylenie przekroju z rzutem.** Rzut to cień bryły na płaszczyznę, a przekrój to realny ślad po przecięciu bryły płaszczyzną. To dwa różne pojęcia i dwie różne figury, a maturalne zadania rozróżniają je bardzo precyzyjnie.

**Zakładanie, że przekrój przez przekątne zawsze daje ten sam kształt.** Zależy to od bryły i od tego, przez które dokładnie punkty prowadzisz płaszczyznę. W sześcianie może wyjść zarówno trójkąt, jak i sześciokąt, w zależności od konfiguracji punktów, przez które przechodzi płaszczyzna.

**Mylenie tworzącej stożka \(l\) z jego wysokością \(H\).** To dwa różne odcinki: \(l\) to bok trójkąta w przekroju, czyli ramię, a \(H\) to jego wysokość opuszczona z wierzchołka na podstawę. Łączy je wzór \(l^2 = r^2 + H^2\), o którym łatwo zapomnieć pod presją czasu.

**Zapominanie, że trójkąt w przekroju stożka jest zawsze równoramienny.** To założenie trzeba wykorzystać przy każdym zadaniu z kątem w przekroju stożka, tak jak w Zadaniu 3, gdzie decyduje ono o tym, gdzie w ogóle może leżeć kąt prosty.

**Pomijanie rysunku pomocniczego przy wielościanach.** Przy sześcianie czy graniastosłupie łatwo się pomylić w oznaczeniach wierzchołków, jeśli liczysz "z pamięci". Zawsze oznacz sobie wszystkie osiem wierzchołków bryły na rysunku, zanim zaczniesz szukać, które z nich wyznaczają płaszczyznę przekroju z treści zadania.

## Jak sprawdzić, czy wynik ma sens

Po policzeniu zadania z przekrojem warto poświęcić dziesięć sekund na szybkie sprawdzenie, zanim przejdziesz dalej:

- **Czy długości boków przekroju są krótsze niż największa przekątna bryły?** W sześcianie żaden bok przekroju nie może być dłuższy niż przekątna przestrzenna \(a\sqrt{3}\), bo to najdłuższy możliwy odcinek w tej bryle.
- **Czy promień i wysokość wyszły dodatnie?** Jeśli w trakcie obliczeń dla stożka albo walca wyjdzie ujemna wartość pod pierwiastkiem albo ujemny promień, to znak, że któreś dane zostały źle podstawione do wzoru.
- **Czy kąt, który obliczyłeś, mieści się w rozsądnym zakresie?** Kąt między krawędzią a podstawą albo kąt rozwarcia stożka zawsze mieści się między \(0°\) a \(180°\), a w praktycznych zadaniach maturalnych zwykle jest to jedna z wartości z tablic (\(30°\), \(45°\), \(60°\)) albo da się ją do takiej sprowadzić.

To nawyk, który zajmuje chwilę, a regularnie ratuje przed oddaniem błędnej odpowiedzi z powodu jednego przestawionego znaku w obliczeniach.

## Checklist - co musisz umieć

- [ ] wiesz, że przekrój osiowy walca to zawsze prostokąt o bokach \(2r\) i \(H\)
- [ ] wiesz, że przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i ramionach \(l\)
- [ ] potrafisz rozpoznać, że w trójkącie prostokątnym i jednocześnie równoramiennym kąt prosty musi być przy wierzchołku
- [ ] potrafisz policzyć długości boków przekroju wielościanu z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni, korzystając z przekątnej ściany \(a\sqrt{2}\) i przekątnej przestrzennej \(a\sqrt{3}\)
- [ ] znasz na pamięć wzór na pole trójkąta równobocznego \(P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)

Więcej zadań ze stereometrii z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz w bazie [zadania CKE ze stereometrii](/zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami). Jeśli wolisz poćwiczyć losowe zadania z całego działu, wejdź na stronę [tematu Stereometria](/topics/stereometria) i zacznij rozwiązywać zadania samodzielnie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /przedzialy-monotonicznosci-funkcji-kwadratowej-rosnaca-malejaca-matura
title: Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej - kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje (zadania maturalne)
description: Funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność w p = -b/2a. Jak wyznaczyć przedziały, w których rośnie i maleje, z każdej postaci wzoru: 6 zadań maturalnych.
author: Filip Maszota
---

# Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej - kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje (zadania maturalne)

Funkcja kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\) zmienia monotoniczność w pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, czyli w \(p = -\frac{b}{2a}\). Gdy \(a > 0\) (ramiona w górę), funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty, p\rangle\) i rosnąca w przedziale \(\langle p, +\infty)\). Gdy \(a  0\) po lewej stronie jest przedział malejący, przy \(a  0: \quad f \text{ maleje w } (-\infty, p\rangle, \quad f \text{ rośnie w } \langle p, +\infty)$$

Monotoniczność dla ramion w dół:

$$a  0\), ramiona paraboli są skierowane w górę.

**Krok 2: Oblicz p.**

$$p = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$$

**Krok 3: Zapisz przedziały.** Przy \(a > 0\) funkcja maleje na lewo od wierzchołka i rośnie na prawo od niego: jest malejąca w \((-\infty, 3\rangle\) i rosnąca w \(\langle 3, +\infty)\).

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A to przedział, w którym funkcja maleje, a C bierze się z pominięcia minusa we wzorze na \(p\).

## Przykład 2: Postać iloczynowa i ujemne a (matura maj 2021, zadanie 12)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\) jest malejąca w przedziale:

- A) \(\langle 1, +\infty)\)
- B) \((-\infty, 1\rangle\)
- C) \((-\infty, -8\rangle\)
- D) \(\langle -8, +\infty)\)

**Krok 1: Odczytaj miejsca zerowe.** Nawias \((x + 1)\) zeruje się dla \(x = -1\), nawias \((x - 3)\) dla \(x = 3\). Miejsca zerowe to \(x_1 = -1\) i \(x_2 = 3\).

**Krok 2: Oblicz p jako średnią.**

$$p = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

**Krok 3: Znak a i przedziały.** \(a = -2  0\), więc funkcja maleje do wierzchołka i od niego rośnie. Przedział malejący kończy się w \(2\), zatem \(p = 2\).

**Krok 2: Wyznacz q ze zbioru wartości.** Przy \(a > 0\) zbiorem wartości jest \(\langle q, +\infty)\), więc \(q = -4\).

**Krok 3: Złóż postać kanoniczną.**

$$f(x) = 1 \cdot (x - 2)^2 + (-4) = (x - 2)^2 - 4$$

**Odpowiedź: A.** Wzór B ma wierzchołek \((-2, 4)\), a wzory C i D mają drugą współrzędną wierzchołka równą \(2\), więc żaden z nich nie spełnia obu warunków.

## Przykład 6: Czy funkcja jest monotoniczna w danym przedziale

**Treść:** Dana jest funkcja \(f(x) = x^2 - 6x + 1\). Sprawdź, czy jest monotoniczna w przedziale \(\langle 4, 7\rangle\) oraz w przedziale \(\langle 1, 5\rangle\).

**Krok 1: Oblicz p.** \(p = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\) i \(a = 1 > 0\), więc \(f\) jest malejąca w \((-\infty, 3\rangle\) i rosnąca w \(\langle 3, +\infty)\).

**Krok 2: Przedział bez wierzchołka.** Przedział \(\langle 4, 7\rangle\) leży w całości na prawo od \(3\), czyli wewnątrz \(\langle 3, +\infty)\). Funkcja jest w nim rosnąca.

**Krok 3: Przedział z wierzchołkiem.** Przedział \(\langle 1, 5\rangle\) zawiera \(3\). Na \(\langle 1, 3\rangle\) funkcja maleje, a na \(\langle 3, 5\rangle\) rośnie, więc w całym \(\langle 1, 5\rangle\) nie jest monotoniczna. Widać to też z wartości: \(f(1) = -4\), \(f(3) = -8\), \(f(5) = -4\).

**Odpowiedź:** w \(\langle 4, 7\rangle\) funkcja jest rosnąca, a w \(\langle 1, 5\rangle\) nie jest monotoniczna. Ten sam test rozstrzyga, gdzie szukać najmniejszej wartości w przedziale: przy \(a > 0\) i \(p\) leżącym wewnątrz przedziału jest nią \(f(p)\).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Znak w postaci kanonicznej. Z \(f(x) = (x + 5)^2 - 1\) odczytujesz \(p = -5\). Wpisanie \(p = 5\) przesuwa oba przedziały o dziesięć jednostek i daje odpowiedź, która wygląda sensownie, ale jest błędna.

**Pułapka 2:** Pomylenie \(p\) z \(q\). Przedziały monotoniczności leżą na osi \(x\), więc wyznacza je pierwsza współrzędna wierzchołka. Druga współrzędna, \(q\), mówi o zbiorze wartości, czyli o osi \(y\).

**Pułapka 3:** Ukryty minus w postaci iloczynowej. W \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\) współczynnik \(a = -2\) widać od razu. We wzorze \(f(x) = (3 - x)(x + 1)\) minus siedzi w nawiasie: \((3 - x)(x + 1) = -x^2 + 2x + 3\), więc \(a = -1\) i ramiona są skierowane w dół.

**Pułapka 4:** Minus we wzorze \(p = -\frac{b}{2a}\). Przy \(b = -12\) i \(a = 2\) wychodzi \(p = 3\), a nie \(-3\). Podstawiaj \(b\) razem ze znakiem, w nawiasie.

**Wskazówka:** Szkic zamiast reguły. Narysuj oś, zaznacz \(p\) i dorysuj parabolę z ramionami w górę albo w dół. Przedział rosnący to ten, w którym wykres idzie w prawo pod górę. Zajmuje to kilka sekund i chroni przed odwróceniem odpowiedzi.

**Wskazówka egzaminacyjna:** W zadaniu zamkniętym najpierw policz \(p\) i skreśl odpowiedzi z przedziałami, które kończą się w innej liczbie. Z tych, które zostaną, wybierasz już tylko po znaku \(a\): przy ramionach w górę przedział rosnący leży na prawo od \(p\), przy ramionach w dół na lewo.

**Zapamiętaj:** Każda funkcja kwadratowa ma dokładnie dwa przedziały monotoniczności, a ich wspólnym końcem jest \(p\). Zadanie o monotoniczności funkcji kwadratowej to w praktyce zadanie o pierwszej współrzędnej wierzchołka.

## Co musisz umieć

- Odczytać znak współczynnika \(a\) z postaci ogólnej, iloczynowej i kanonicznej.
- Obliczyć \(p = -\frac{b}{2a}\) z postaci ogólnej, podstawiając \(b\) razem ze znakiem.
- Wyznaczyć \(p\) jako średnią miejsc zerowych z postaci iloczynowej.
- Odczytać \(p\) z postaci kanonicznej ze zmienionym znakiem.
- Zapisać przedział rosnący i malejący z domknięciem w \(p\).
- Z danych o monotoniczności odtworzyć \(p\), a z niego brakujący współczynnik wzoru.
- Sprawdzić, czy funkcja jest monotoniczna w danym przedziale, patrząc, czy \(p\) leży w jego wnętrzu.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z funkcji kwadratowej z arkuszy maturalnych: przedziały monotoniczności z postaci iloczynowej, wierzchołek wyznaczony z miejsc zerowych i wartości funkcji w przedziale. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz na stronie [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), a powtórkę całego działu we wpisie [funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z funkcji kwadratowej (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej?

Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka \(p = -\frac{b}{2a}\) i sprawdź znak \(a\). Przy \(a > 0\) funkcja jest malejąca w \((-\infty, p\rangle\) i rosnąca w \(\langle p, +\infty)\), przy \(a  0\)), funkcja jest rosnąca w \(\langle p, +\infty)\), czyli na prawo od wierzchołka. Gdy są skierowane w dół (\(a  0\), więc funkcja jest malejąca w \((-\infty, 2\rangle\) i rosnąca w \(\langle 2, +\infty)\).

### Jak odczytać przedziały monotoniczności z wykresu paraboli?

Znajdź na rysunku wierzchołek i odczytaj jego pierwszą współrzędną, to jest \(p\). Potem spójrz, w którą stronę idą ramiona: gdy w górę, funkcja maleje do \(p\) i rośnie od \(p\), gdy w dół, odwrotnie. Przedziały zapisujesz na osi \(x\), a nie na osi \(y\), nawet jeśli wierzchołek ma wyraźnie zaznaczoną drugą współrzędną.

### Czy funkcja kwadratowa może być rosnąca na całej prostej?

Nie. Parabola ma wierzchołek, w którym funkcja zmienia monotoniczność, więc na całym zbiorze liczb rzeczywistych funkcja kwadratowa nie jest ani rosnąca, ani malejąca. Monotoniczna na całej prostej jest na przykład [funkcja liniowa](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) z niezerowym współczynnikiem kierunkowym.

### Jak z monotoniczności wyznaczyć współczynnik b?

Liczba, w której funkcja zmienia monotoniczność, to \(p\). Wstaw ją do wzoru \(p = -\frac{b}{2a}\) razem ze znanym \(a\) i rozwiąż równanie, jak w przykładzie 4. Gdy znasz też wartość w wierzchołku, możesz od razu zapisać postać kanoniczną.


---
route: /proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania
title: Proste równoległe i prostopadłe - warunki, wzory i zadania maturalne
description: Kiedy proste są równoległe, a kiedy prostopadłe? Warunki dla współczynnika kierunkowego, postać ogólna i 9 zadań maturalnych CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Proste równoległe i prostopadłe - warunki, wzory i zadania maturalne

Proste równoległe i prostopadłe to jeden z najpewniejszych punktów na maturze z matematyki. CKE wraca do tego tematu praktycznie co roku: maj 2023, maj 2025, maj 2026, sierpień 2024, sierpień 2025, do tego matury próbne CKE z grudnia 2023 i marca 2026. Zadanie jest zwykle zamknięte, warte 1 punkt i do zrobienia w 30 sekund, jeśli znasz dwa krótkie warunki. W tym poradniku dostajesz oba warunki z wyjaśnieniem, wersję dla postaci ogólnej, gotowy algorytm na zadania z punktem oraz 9 prawdziwych zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

## Współczynnik kierunkowy - od niego wszystko zależy

Każdą prostą, która nie jest pionowa, możesz zapisać w postaci kierunkowej:

$$y = ax + b$$

Litera \(a\) to współczynnik kierunkowy. Mówi on, jak mocno prosta jest pochylona: im większa wartość bezwzględna \(a\), tym prosta bardziej stroma. Znak \(a\) decyduje o tym, czy funkcja rośnie (\(a > 0\)), czy maleje (\(a  0\). Idąc po niej o \(1\) w prawo, wchodzisz o \(a_1\) do góry. Możesz to narysować jako trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(1\) (w poziomie) i \(a_1\) (w pionie).

Teraz obróć ten trójkąt o \(90\) stopni. Poziomy bok staje się pionowy, pionowy staje się poziomy, a prosta po obrocie to dokładnie prosta prostopadła do wyjściowej. Po obrocie ruch wygląda tak: o \(a_1\) w prawo i o \(1\) w dół. Współczynnik kierunkowy nowej prostej to przyrost \(y\) podzielony przez przyrost \(x\):

$$a_2 = \frac{-1}{a_1} = -\frac{1}{a_1}$$

Stąd natychmiast \(a_1 \cdot a_2 = -1\). Minus bierze się z tego, że przy obrocie o \(90\) stopni prosta rosnąca zawsze przechodzi w malejącą i odwrotnie. Dlatego proste prostopadłe nigdy nie mają współczynników tego samego znaku (poza przypadkiem prostych pionowych i poziomych, które w ogóle wyłączamy z tego wzoru).

Tego wyprowadzenia nikt nie każe ci odtwarzać na maturze, ale jeśli je rozumiesz, to nie pomylisz wzoru nawet w stresie. Wiesz, że ma być odwrotność (bo boki trójkąta zamieniają się miejscami) i ma być minus (bo zmienia się kierunek).

## Postać ogólna - co zrobić, gdy nie ma "y ="

CKE coraz częściej podaje proste w postaci ogólnej: \(Ax + By + C = 0\). Tak było na maturze próbnej CKE w marcu 2026. Masz wtedy dwie drogi.

Droga pierwsza: gotowe warunki dla postaci ogólnej. Dla prostych \(k\!: A_1x + B_1y + C_1 = 0\) oraz \(l\!: A_2x + B_2y + C_2 = 0\):

$$\text{równoległość:}\quad A_1B_2 - A_2B_1 = 0$$

$$\text{prostopadłość:}\quad A_1A_2 + B_1B_2 = 0$$

Droga druga, dla wielu osób bezpieczniejsza: przekształć równanie do postaci kierunkowej. Wystarczy przenieść wszystko poza \(y\) na prawą stronę i podzielić przez współczynnik przy \(y\). Przykład: \(6x + y + 7 = 0\) daje \(y = -6x - 7\), czyli \(a = -6\). Potem stosujesz zwykłe warunki dla \(a_1\) i \(a_2\).

Najczęstszy błąd przy postaci ogólnej: odczytanie współczynnika przy \(x\) jako współczynnika kierunkowego. W równaniu \(6x + y + 7 = 0\) współczynnik kierunkowy to \(-6\), a nie \(6\). Zawsze najpierw przekształć albo świadomie użyj warunków dla postaci ogólnej. Więcej o obu postaciach prostej przeczytasz w poradniku o [równaniu prostej - postać kierunkowa i ogólna](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

A co z prostymi pionowymi? Prosta \(x = c\) nie ma postaci kierunkowej i nie ma współczynnika kierunkowego. Tu ratuje cię geometria: każde dwie proste pionowe są równoległe, a prosta pionowa \(x = c\) jest prostopadła do każdej prostej poziomej \(y = d\). Na maturze podstawowej taki przypadek pojawia się rzadko, ale warto go znać.

## Algorytm: prosta równoległa lub prostopadła przechodząca przez punkt

Najpopularniejszy typ zadania brzmi tak: dana jest prosta \(k\) i punkt \(P\). Wyznacz prostą \(l\), która jest równoległa (albo prostopadła) do \(k\) i przechodzi przez \(P\). Schemat jest zawsze ten sam, trzy kroki:

1. Odczytaj współczynnik kierunkowy \(a_1\) prostej \(k\). Jeśli prosta jest w postaci ogólnej, najpierw przekształć ją do kierunkowej.

2. Wyznacz współczynnik nowej prostej: dla równoległej \(a_2 = a_1\), dla prostopadłej \(a_2 = -\frac{1}{a_1}\).

3. Wyznacz \(b\): podstaw współrzędne punktu \(P = (x_0, y_0)\) do równania \(y = a_2x + b\) i rozwiąż \(y_0 = a_2 x_0 + b\).

Ten algorytm wystarcza do ogromnej większości zadań maturalnych z tego tematu. Działa też w zadaniach złożonych, na przykład przy [wyznaczaniu stycznej do okręgu](/jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania), gdzie styczna jest prostopadła do promienia. Zobaczmy go w akcji na prawdziwych zadaniach CKE.

## Zadanie 1: prosta równoległa i przecięcie z osią OY (matura maj 2026)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = -\frac{1}{3}x + 2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2, -2)\). Prosta \(l\) przecina oś OY w punkcie: A. \((0, -3)\), B. \(\left(0, -\frac{1}{2}\right)\), C. \((0, -1)\), D. \(\left(0, -\frac{4}{3}\right)\).

Krok 1: współczynnik kierunkowy prostej \(k\) to \(a_1 = -\frac{1}{3}\).

Krok 2: prosta \(l\) jest równoległa, więc \(a_2 = -\frac{1}{3}\).

Krok 3: podstawiamy punkt \((2, -2)\) do równania \(y = -\frac{1}{3}x + b\):

$$-2 = -\frac{1}{3} \cdot 2 + b$$

$$-2 = -\frac{2}{3} + b \quad\Rightarrow\quad b = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$$

Prosta przecina oś OY w punkcie \((0, b)\), czyli \(\left(0, -\frac{4}{3}\right)\). Odpowiedź D. To zadanie pochodzi z najnowszego arkusza - pełne rozwiązania znajdziesz w [omówieniu matury z maja 2026](/exams/matura-maj-2026).

## Zadanie 2: dobierz a i b prostej równoległej (matura maj 2023)

Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y = -\frac{1}{3}x + 2\). Prosta o równaniu \(y = ax + b\) jest równoległa do \(k\) i przechodzi przez punkt \(P = (3, 5)\), gdy: A. \(a = 3\) i \(b = 4\), B. \(a = -\frac{1}{3}\) i \(b = 4\), C. \(a = 3\) i \(b = -4\), D. \(a = -\frac{1}{3}\) i \(b = 6\).

Równoległość od razu daje \(a = -\frac{1}{3}\), więc odpadają odpowiedzi A i C. Zostaje wyznaczyć \(b\) z punktu \(P = (3, 5)\):

$$5 = -\frac{1}{3} \cdot 3 + b \quad\Rightarrow\quad 5 = -1 + b \quad\Rightarrow\quad b = 6$$

Odpowiedź D. Zwróć uwagę, jak warunek równoległości natychmiast eliminuje połowę odpowiedzi - w zadaniach zamkniętych to typowy i bardzo opłacalny ruch.

## Zadanie 3: parametr m i proste równoległe (matura maj 2025)

Proste \(k\!: y = (m-2)x + 5\) oraz \(l\!: y = -4x + (m+3)\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa: A. \(-4\), B. \(-2\), C. \(2\), D. \(5\).

Warunek równoległości: współczynniki kierunkowe muszą być równe. Współczynnik prostej \(k\) to \(m - 2\), a prostej \(l\) to \(-4\). Parametr \(m\) w wyrazie wolnym prostej \(l\) to zmyłka - wyrazy wolne nie mają wpływu na równoległość.

$$m - 2 = -4 \quad\Rightarrow\quad m = -2$$

Szybkie sprawdzenie, czy proste są różne: dla \(m = -2\) prosta \(k\) ma wyraz wolny \(5\), a prosta \(l\) wyraz wolny \(m + 3 = 1\). Różne, więc wszystko gra. Odpowiedź B.

## Zadanie 4: parametr m po obu stronach (matura sierpień 2024)

Proste \(k\!: y = (3m-2)x - 2\) oraz \(l\!: y = (2m+4)x + 2\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa: A. \(-6\), B. \(-2\), C. \(2\), D. \(6\).

Tym razem parametr siedzi w obu współczynnikach kierunkowych. Warunek się nie zmienia:

$$3m - 2 = 2m + 4 \quad\Rightarrow\quad 3m - 2m = 4 + 2 \quad\Rightarrow\quad m = 6$$

Odpowiedź D. Proste równanie liniowe, punkt do zgarnięcia w kilkanaście sekund.

## Zadanie 5: prosta prostopadła przez punkt (matura próbna CKE grudzień 2023)

Dana jest prosta \(l\) o równaniu \(y = \frac{3}{2}x - \frac{15}{2}\). Prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\) i przechodzi przez punkt \(P = (6, 0)\). Prosta \(k\) ma równanie: A. \(y = \frac{3}{2}x + 6\), B. \(y = -\frac{2}{3}x + 6\), C. \(y = \frac{3}{2}x - 9\), D. \(y = -\frac{2}{3}x + 4\).

Krok 1: współczynnik prostej \(l\) to \(a_1 = \frac{3}{2}\).

Krok 2: prostopadłość, więc odwrotność z przeciwnym znakiem: \(a_2 = -\frac{2}{3}\). Sprawdzenie: \(\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -1\), zgadza się. Odpadają A i C.

Krok 3: podstawiamy \(P = (6, 0)\):

$$0 = -\frac{2}{3} \cdot 6 + b \quad\Rightarrow\quad 0 = -4 + b \quad\Rightarrow\quad b = 4$$

Prosta \(k\) ma równanie \(y = -\frac{2}{3}x + 4\). Odpowiedź D.

## Zadanie 6: postać ogólna z parametrem (matura próbna CKE marzec 2026)

Proste \(k\!: (m-1)x + 3y + 5 = 0\) oraz \(l\!: 6x + y + 7 = 0\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa: A. \(6\), B. \(7\), C. \(18\), D. \(19\).

Sposób 1, warunek dla postaci ogólnej. Mamy \(A_1 = m-1\), \(B_1 = 3\) oraz \(A_2 = 6\), \(B_2 = 1\). Równoległość oznacza \(A_1B_2 - A_2B_1 = 0\):

$$(m-1) \cdot 1 - 6 \cdot 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad m - 1 = 18 \quad\Rightarrow\quad m = 19$$

Sposób 2, przekształcenie do postaci kierunkowej. Z równania prostej \(k\): \(3y = -(m-1)x - 5\), czyli \(y = -\frac{m-1}{3}x - \frac{5}{3}\). Z równania prostej \(l\): \(y = -6x - 7\). Przyrównujemy współczynniki:

$$-\frac{m-1}{3} = -6 \quad\Rightarrow\quad m - 1 = 18 \quad\Rightarrow\quad m = 19$$

Oba sposoby dają odpowiedź D. Wybierz ten, który jest dla ciebie szybszy, ale drugi sposób ma jedną przewagę: nie wymaga pamiętania dodatkowego wzoru.

## Zadanie 7: zadanie otwarte za 2 punkty (matura czerwiec 2025)

Dana jest prosta \(k\!: y = 5x + 7\). Prosta \(l\) jest równoległa do \(k\) i przecina oś OY w punkcie \((0, -4)\). Punkt o współrzędnych \((p, 2)\) należy do prostej \(l\). Oblicz \(p\).

Z równoległości: \(a = 5\). Z punktu przecięcia z osią OY od razu mamy wyraz wolny: \(b = -4\). Prosta \(l\) ma więc równanie:

$$l\!:\ y = 5x - 4$$

Punkt \((p, 2)\) należy do prostej \(l\), więc jego współrzędne spełniają równanie:

$$2 = 5p - 4 \quad\Rightarrow\quad 5p = 6 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{6}{5}$$

W zadaniu otwartym zapisz oba etapy: wyznaczenie równania prostej \(l\) (1 punkt) i obliczenie \(p\) (drugi punkt). Samo podanie wyniku bez obliczeń może kosztować cię punkt.

## Zadanie 8: wskaż parę prostych prostopadłych (matura maj 2022)

Dane są cztery proste o równaniach: \(k\!: y = -x + 1\), \(l\!: y = \frac{2}{3}x + 1\), \(m\!: y = -\frac{3}{2}x + 4\), \(n\!: y = -\frac{2}{3}x - 1\). Wśród tych prostych prostopadłe są: A. proste \(k\) oraz \(l\), B. proste \(k\) oraz \(n\), C. proste \(l\) oraz \(m\), D. proste \(m\) oraz \(n\).

Wypisz współczynniki kierunkowe: \(-1\), \(\frac{2}{3}\), \(-\frac{3}{2}\), \(-\frac{2}{3}\). Szukamy pary, której iloczyn daje \(-1\). Od razu odpadają pary o współczynnikach tego samego znaku, bo ich iloczyn jest dodatni - to eliminuje odpowiedź D. Sprawdzamy pozostałe:

$$\text{A:}\quad (-1) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \neq -1$$

$$\text{B:}\quad (-1) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} \neq -1$$

$$\text{C:}\quad \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$$

Proste \(l\) oraz \(m\) są prostopadłe. Odpowiedź C. Zauważ regułę z tabeli wyżej: \(-\frac{3}{2}\) to dokładnie odwrotność \(\frac{2}{3}\) z przeciwnym znakiem.

## Zadanie 9: zadanie z luką (matura sierpień 2025)

Proste \(k\!: y = (3-m)x + 5\) oraz \(l\!: y = (m+3)x - 4\) są określone dla pewnej liczby \(m\). Uzupełnij zdanie: proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa ........

Nowy format zadania (wpisujesz liczbę zamiast wybierać odpowiedź), ale metoda bez zmian. Przyrównujemy współczynniki kierunkowe:

$$3 - m = m + 3 \quad\Rightarrow\quad -2m = 0 \quad\Rightarrow\quad m = 0$$

Sprawdzenie: dla \(m = 0\) obie proste mają współczynnik \(3\), a wyrazy wolne \(5\) i \(-4\) są różne, więc to faktycznie dwie różne proste równoległe. Odpowiedź: \(m = 0\).

## Typowe pułapki - tu uczniowie tracą punkty

Pułapka 1: mylenie warunku prostopadłości. Najczęstszy błąd to wzięcie samej odwrotności \(\frac{1}{a}\) albo samego przeciwnego znaku \(-a\). Musisz zrobić obie rzeczy naraz: \(-\frac{1}{a}\). Dla \(a = -4\) prostopadła ma współczynnik \(\frac{1}{4}\) (minus znika, bo minus razy minus), nie \(-\frac{1}{4}\) i nie \(4\).

Pułapka 2: czytanie postaci ogólnej jak kierunkowej. W równaniu \(2x + 3y - 6 = 0\) współczynnik kierunkowy to nie \(2\). Po przekształceniu: \(y = -\frac{2}{3}x + 2\), czyli \(a = -\frac{2}{3}\). Zawsze doprowadź równanie do postaci \(y = ax + b\), zanim cokolwiek odczytasz.

Pułapka 3: sugerowanie się wyrazami wolnymi przy równoległości. CKE celowo wstawia parametr do wyrazu wolnego, jak w zadaniu 3 powyżej. Równoległość zależy tylko od współczynników kierunkowych. Wyraz wolny sprawdzasz dopiero wtedy, gdy pytanie dotyczy tego, czy proste są różne, czy się pokrywają.

Pułapka 4: znak przy przenoszeniu. Przy przekształcaniu \(3y = -(m-1)x - 5\) łatwo zgubić minus przed nawiasem. Jedna zguba i z poprawnego \(m = 19\) robi się \(m = -17\). Przekształcaj powoli, zapisuj każdy krok.

Pułapka 5: dzielenie przez parametr bez sprawdzenia. Jeśli w zadaniu z parametrem dzielisz przez wyrażenie z \(m\), upewnij się, że nie jest zerem. W zadaniach typu \(2m \cdot 4m^2 = -1\) (matura maj 2015) dostaniesz równanie sześcienne \(8m^3 = -1\), z którego \(m = -\frac{1}{2}\). Nie panikuj, gdy stopień równania jest wyższy niż 1 - takie równania zwykle rozwiązuje się jednym pierwiastkowaniem.

Pułapka 6: proste pionowe. Równanie \(x = 3\) to też prosta, ale bez współczynnika kierunkowego. Warunków z \(a_1\) i \(a_2\) nie zastosujesz. Pamiętaj: pionowa jest równoległa do pionowej i prostopadła do poziomej \(y = d\).

## Najczęstsze pytania

### **Czy proste pokrywające się są równoległe?**
W szkolnej konwencji tak - proste o równaniach \(y = 2x + 1\) i \(y = 2x + 1\) spełniają warunek \(a_1 = a_2\). Ale w zadaniach CKE "proste równoległe" oznacza zwykle dwie różne proste. Jeśli zadanie z parametrem dopuszcza dwie wartości \(m\) i jedna z nich daje proste pokrywające się, wybierz tę, dla której proste są różne.

### **Jaki współczynnik ma prosta prostopadła do \(y = 2x\)?**
Odwrotność dwójki z przeciwnym znakiem, czyli \(-\frac{1}{2}\). Przykładowa prosta prostopadła to \(y = -\frac{1}{2}x + 7\). Wyraz wolny może być dowolny, bo prostopadłość od niego nie zależy.

### **Czy proste równoległe mogą mieć różne \(b\)?**
Muszą mieć różne \(b\), jeśli mają być różnymi prostymi. Równe \(a\) i różne \(b\) to dokładnie definicja dwóch różnych prostych równoległych: biegną w tym samym kierunku, ale na różnych wysokościach, więc nigdy się nie przetną.

### **Co jeśli w równaniu nie ma \(y\)?**
Równanie typu \(x = 3\) opisuje prostą pionową. Nie ma ona współczynnika kierunkowego, więc warunki \(a_1 = a_2\) i \(a_1 \cdot a_2 = -1\) jej nie obejmują. Posługuj się geometrią: pionowa jest równoległa do każdej innej pionowej i prostopadła do każdej poziomej.

### **Ile punktów można zdobyć za ten temat na maturze?**
Zwykle 1 punkt za zadanie zamknięte, czasem 2 punkty za zadanie otwarte jak w czerwcu 2025. Do tego warunki równoległości i prostopadłości wracają jako element większych zadań otwartych z geometrii analitycznej, na przykład przy wyznaczaniu wysokości trójkąta czy stycznej do okręgu - wtedy pośrednio decydują o kolejnych 2-4 punktach.

## Checklista: co musisz umieć

Przed maturą sprawdź, czy zaznaczysz każdy punkt z tej listy:

- odczytujesz \(a\) i \(b\) z postaci kierunkowej \(y = ax + b\) i wiesz, za co odpowiadają
- przekształcasz postać ogólną \(Ax + By + C = 0\) do postaci kierunkowej bez błędów na znakach
- znasz warunek równoległości \(a_1 = a_2\) i wiesz, że wyrazy wolne nie grają roli
- znasz warunek prostopadłości \(a_1 \cdot a_2 = -1\) i umiesz szybko policzyć \(-\frac{1}{a}\)
- wyznaczasz wyraz wolny \(b\), podstawiając współrzędne punktu do równania prostej
- rozwiązujesz równania z parametrem \(m\) wynikające z obu warunków
- wiesz, gdzie w tablicach CKE znaleźć warunki dla obu postaci prostej

## Co dalej

Proste równoległe i prostopadłe to fundament całego działu. Te same warunki wracają w zadaniach o [równaniu prostej przechodzącej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty), przy [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) oraz w zadaniach o [odległości między dwoma punktami](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania). Całościowy przegląd działu znajdziesz w przewodniku po [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), a ten temat regularnie ląduje też na liście [pewniaków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia).

Najlepszy następny krok to praktyka: wejdź na stronę działu [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) i przerób zadania z prostymi z prawdziwych arkuszy CKE. Każde zadanie ma pełne rozwiązanie krok po kroku, więc od razu sprawdzisz, czy twój tok myślenia był poprawny.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania
title: Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - wzory R i r, zadania
description: Wzory na promień okręgu wpisanego r i opisanego R na trójkącie - równoboczny, prostokątny, dowolny. Pięć zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - wzory R i r, zadania

Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie to jeden z tych tematów, na których uczniowie tracą punkty nie dlatego, że są trudne, tylko dlatego, że nie wiedzą, którego wzoru użyć w danej sytuacji. Z naszej analizy [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) zadania z R i r pojawiają się prawie co roku, raz jako zadanie zamknięte za 1 punkt, raz jako element większego zadania otwartego z planimetrii za 3-5 punktów. Najczęściej w połączeniu z [twierdzeniem Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) albo [twierdzeniem sinusów lub kosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

W tym poście pokażę ci wszystkie wzory na R i r, które realnie przydają się na maturze podstawowej, omówię kiedy stosować który, rozwiążemy razem pięć zadań w różnych konfiguracjach trójkątów i przejdziemy przez najczęstsze pułapki. Na końcu znajdziesz checklistę, która pozwala w 30 sekund wybrać właściwy wzór i zacząć liczyć.

## Co to jest okrąg wpisany i opisany na trójkącie

Zanim wskoczymy we wzory, upewnij się, że dobrze rozumiesz, o czym mówimy. To są dwa różne okręgi, o różnym położeniu i różnych własnościach.

Okrąg opisany na trójkącie to taki, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta (symetralna boku to prosta prostopadła do boku, przechodząca przez jego środek). Promień tego okręgu oznaczamy literą \(R\). Każdy trójkąt da się wpisać w jakiś okrąg, więc dla dowolnego trójkąta zawsze istnieje dokładnie jedno \(R\).

Okrąg wpisany w trójkąt to taki, który jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta (dwusieczna to półprosta dzieląca kąt na dwie równe części). Promień tego okręgu oznaczamy literą \(r\). W każdy trójkąt można też wpisać dokładnie jeden okrąg.

Najprostszy sposób, żeby zapamiętać, który jest który: okrąg opisany jest "na zewnątrz" trójkąta (otacza go), a okrąg wpisany "wewnątrz" (jest w środku). R jak "rama z zewnątrz", r jak "rdzeń w środku". Banalne, ale działa.

Środki tych dwóch okręgów to są zupełnie różne punkty w trójkącie. Tylko w trójkącie równobocznym pokrywają się (bo wtedy pokrywa się też ortocentrum i środek ciężkości). To jedna z przyczyn, dla której trójkąt równoboczny ma najprostsze wzory na R i r, i dlaczego pojawia się w zadaniach maturalnych częściej niż dowolny inny.

## Wzór uniwersalny na promień okręgu opisanego

To jest wzór, który ratuje cię w 90 procentach zadań na promień okręgu opisanego. Działa dla dowolnego trójkąta, bez względu na kształt:

$$R = \frac{abc}{4P}$$

gdzie \(a\), \(b\), \(c\) to długości boków trójkąta, a \(P\) to jego pole. Ten wzór jest w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), więc nie musisz go pamiętać na pamięć - ale lepiej żebyś go pamiętał, bo szybciej znajdziesz go w głowie niż w tablicy.

Schemat użycia jest banalny: jeśli znasz trzy boki trójkąta, policz pole (np. [wzorem Herona](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne)), pomnóż boki, podziel przez \(4P\) i masz \(R\). Jedna formuła do zapamiętania, zero kombinowania.

Drugi wzór, który warto znać, pochodzi z twierdzenia sinusów:

$$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$$

gdzie \(\alpha\) to kąt naprzeciw boku \(a\). Jeśli więc znasz jeden bok i kąt naprzeciw niego, masz \(R\) w jednym kroku. Pełne twierdzenie sinusów mówi, że \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\), więc którąkolwiek parę bok-kąt weźmiesz, dostaniesz to samo \(R\). To często szybsze rozwiązanie niż liczenie pola.

## Wzór uniwersalny na promień okręgu wpisanego

Dla promienia okręgu wpisanego masz jeden naprawdę elegancki wzór, który działa zawsze:

$$r = \frac{P}{p}$$

gdzie \(P\) to pole trójkąta, a \(p\) to połowa obwodu, czyli \(p = \frac{a+b+c}{2}\). Połowa obwodu nazywana jest też "obwodem połówkowym" albo "p" - i tym samym \(p\) liczymy też wzór Herona, więc oba ze sobą świetnie współgrają.

Jeśli więc znasz trzy boki trójkąta, najlepsza droga to: policz \(p\), policz \(P\) ze wzoru Herona \(P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), potem \(r = P/p\). Dwie minuty roboty, niezawodne.

W praktyce maturalnej pole trójkąta często liczy się prościej, niż przez Herona. Jeśli masz trójkąt prostokątny, pole to po prostu \(P = \frac{1}{2}ab\) z przyprostokątnych. Jeśli masz wysokość, to \(P = \frac{1}{2}ah\). Jeśli masz dwa boki i kąt między nimi, to \(P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\). Wybieraj najprostszą drogę do \(P\), bo wzór \(r = P/p\) zostaje ten sam niezależnie od metody.

## Trójkąt równoboczny - wzory ze ściągi

Trójkąt równoboczny jest tak symetryczny, że jego R i r liczy się jednym wzorem. Dla trójkąta równobocznego o boku długości \(a\):

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Zauważ, że \(R = 2r\) - promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego. To wynik faktu, że oba środki pokrywają się w punkcie przecięcia środkowych, który dzieli każdą środkową w stosunku 2:1.

Skąd te wzory? Sprawdźmy. Pole trójkąta równobocznego to \(P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\). Wzór uniwersalny \(R = \frac{abc}{4P} = \frac{a^3}{4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a^3}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Dla \(r\): \(p = \frac{3a}{2}\), więc \(r = \frac{P}{p} = \frac{a^2 \sqrt{3}/4}{3a/2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Wzory się zgadzają.

W praktyce maturalnej polecam wkuć tę dwójkę na pamięć. Trójkąt równoboczny pojawia się w arkuszach co rok, bo CKE uwielbia tę figurę. Mając w głowie \(R = a\sqrt{3}/3\) i \(r = a\sqrt{3}/6\), zaoszczędzisz pełne dwie minuty na każdym takim zadaniu. Więcej o trójkątach z konkretnymi kątami przeczytasz w [trójkąty 30-60-90 i 45-45-90 - zależności boków](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Trójkąt prostokątny - super proste wzory

Trójkąt prostokątny też ma swoje wzory specjalne i też warto je znać. Niech \(a\) i \(b\) to przyprostokątne, a \(c\) to przeciwprostokątna. Wtedy:

$$R = \frac{c}{2}, \quad r = \frac{a+b-c}{2}$$

Wzór na \(R\) jest pięknie geometryczny: w trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży dokładnie w środku przeciwprostokątnej, a promień to połowa przeciwprostokątnej. To z kolei wynik twierdzenia Talesa o kącie wpisanym opartym na średnicy. Czyli jeśli widzisz trójkąt prostokątny i pytanie o \(R\), nie musisz nic liczyć - bierzesz przeciwprostokątną przez dwa i już.

Wzór na \(r\) jest mniej oczywisty, ale można go łatwo wyprowadzić z \(r = P/p\): pole \(P = \frac{ab}{2}\), obwód połówkowy \(p = \frac{a+b+c}{2}\), więc \(r = \frac{ab/2}{(a+b+c)/2} = \frac{ab}{a+b+c}\). Po podstawieniu \(c^2 = a^2 + b^2\) (twierdzenie Pitagorasa) i pewnych przekształceniach algebraicznych otrzymujesz \(r = \frac{a+b-c}{2}\). Oba wzory \(\frac{ab}{a+b+c}\) i \(\frac{a+b-c}{2}\) są równoważne. Pierwszy jest wygodniejszy, jeśli znasz wszystkie trzy boki, drugi - jeśli pole liczyć łatwo.

## Schemat: jaki wzór kiedy stosować

Tu masz prosty algorytm decyzyjny. Pamiętaj go i dobiegniesz do wyniku w każdej konfiguracji.

Krok 1: Sprawdź, jaki to trójkąt. Równoboczny? Użyj wzoru \(R = a\sqrt{3}/3\) lub \(r = a\sqrt{3}/6\). Koniec, jedno podstawienie.

Krok 2: Czy to trójkąt prostokątny? Jeśli pytanie o \(R\) to bierzesz przeciwprostokątną przez 2. Jeśli o \(r\) to \(r = (a+b-c)/2\).

Krok 3: Trójkąt dowolny, ale masz trzy boki? Dla \(R\) użyj \(R = \frac{abc}{4P}\) (policz pole Heronem). Dla \(r\) policz pole Heronem i \(r = P/p\).

Krok 4: Trójkąt dowolny, masz bok i kąt naprzeciw niego? Dla \(R\) idź przez twierdzenie sinusów: \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\). Dla \(r\) musisz najpierw znaleźć pozostałe boki lub pole.

Krok 5: Trójkąt dowolny, masz dwa boki i kąt między nimi? Pole \(P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\), trzeci bok z [twierdzenia kosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\). Dalej standardowo.

Mając te pięć kroków w głowie, ogarniesz każdy układ. Teraz przykłady.

## Przykład 1: Trójkąt równoboczny

Oblicz promień okręgu wpisanego i opisanego dla trójkąta równobocznego o boku długości 6.

Trójkąt równoboczny - wzory specjalne. Wstawiam \(a = 6\):

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$$

Sprawdzenie: \(R = 2r\), więc \(2\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3}\). Zgadza się. Odpowiedź: \(R = 2\sqrt{3}\), \(r = \sqrt{3}\).

Trzydzieści sekund pracy. Tyle czasu zajmuje zadanie warte 2 punkty, jeśli znasz wzory. Bez nich liczyłbyś przez Herona i nakręcał się przez trzy minuty.

## Przykład 2: Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 6 i 8. Oblicz promień okręgu opisanego \(R\) i okręgu wpisanego \(r\).

Najpierw przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: \(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Promień okręgu opisanego (środek na połowie przeciwprostokątnej):

$$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Promień okręgu wpisanego (wzór dla trójkąta prostokątnego):

$$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Sprawdzenie alternatywnym wzorem \(r = P/p\): \(P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\), \(p = \frac{6+8+10}{2} = 12\), więc \(r = 24/12 = 2\). Zgodne, świetnie.

Odpowiedź: \(R = 5\), \(r = 2\).

To bardzo częsty typ zadania na maturze podstawowej - patrz np. [matura maj 2023](/matura-maj-2023-rozwiazania-arkusz), gdzie pojawiła się dokładnie taka konfiguracja z trójkątem 6-8-10.

## Przykład 3: Trójkąt dowolny przez wzór Herona

Trójkąt ma boki długości 5, 6 i 7. Oblicz promień okręgu opisanego i wpisanego.

To trójkąt dowolny, więc idziemy przez wzory uniwersalne. Najpierw obwód połówkowy:

$$p = \frac{5+6+7}{2} = 9$$

Pole ze wzoru Herona:

$$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$$

Upraszczam \(\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}\).

Teraz \(R\):

$$R = \frac{abc}{4P} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$$

I \(r\):

$$r = \frac{P}{p} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Odpowiedź: \(R = \frac{35\sqrt{6}}{24}\), \(r = \frac{2\sqrt{6}}{3}\). Pamiętaj o usunięciu niewymierności z mianownika.

Wzór Herona jest tu kluczowy. Jeśli go nie znasz, zerknij do [wzory na pole trójkąta - 8 metod](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

## Przykład 4: Z twierdzenia sinusów

W trójkącie \(ABC\) bok \(BC = 12\) leży naprzeciw kąta \(\alpha = 30^\circ\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Idziemy przez twierdzenie sinusów. Bok i kąt naprzeciw niego - to dokładnie ten przypadek:

$$R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{12}{2 \sin 30^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{12}{1} = 12$$

Odpowiedź: \(R = 12\).

Jedno podstawienie, kilkanaście sekund. To dlatego twierdzenie sinusów warto znać - czasem ratuje cię od długiego liczenia. Wartości \(\sin 30^\circ\), \(\sin 45^\circ\), \(\sin 60^\circ\) musisz mieć w głowie - znajdziesz je w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

## Przykład 5: Trójkąt równoramienny

Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i podstawie 6. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Trójkąt równoramienny - liczę wysokość opuszczoną na podstawę. Z twierdzenia Pitagorasa, gdzie połowa podstawy to 3, a ramię to 5:

$$h^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow h^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow h = 4$$

Pole:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$

Obwód połówkowy:

$$p = \frac{5+5+6}{2} = 8$$

Promień:

$$r = \frac{P}{p} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

Odpowiedź: \(r = \frac{3}{2}\), czyli \(1{,}5\).

Jak widzisz, wzór \(r = P/p\) działa idealnie - wystarczy znaleźć dwa proste składniki: pole i połowę obwodu. Cała sztuka to wybranie najprostszej drogi do pola.

## Typowe pułapki i błędy

Mylenie \(R\) z \(r\). Klasyk: uczeń policzy poprawnie pole i obwód połówkowy, potem wstawi \(R = abc/(4P)\) zamiast \(r = P/p\). Albo na odwrót. Zanim zaczniesz liczyć, podkreśl w treści zadania, którego promienia szukasz. Zapisz "szukam R" lub "szukam r" na marginesie. Drobny rytuał, który ratuje od bezsensownej straty 1-3 punktów.

Stosowanie wzoru dla trójkąta równobocznego do trójkąta równoramiennego. To nie to samo. Wzór \(R = a\sqrt{3}/3\) działa tylko, gdy WSZYSTKIE trzy boki są równe. Jeśli masz trójkąt o bokach 5, 5, 6 (równoramienny, ale nie równoboczny), to musisz iść standardową drogą przez \(P\) i \(p\). Sprawdzaj definicje na początku.

Zapomnienie, że \(R = c/2\) działa tylko dla trójkąta prostokątnego. Jeśli trójkąt nie ma kąta prostego, nie ma znaczenia, który bok nazwiesz "c" - wzór \(R = c/2\) nie zadziała. Sprawdź, czy w trójkącie jest kąt 90 stopni. Często da się to zauważyć po długościach boków: jeśli \(a^2 + b^2 = c^2\), to trójkąt jest prostokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa).

Błąd w obwodzie połówkowym. Pamiętaj, że \(p = \frac{a+b+c}{2}\), nie \(p = a+b+c\). Wstawienie pełnego obwodu zamiast połowy to klasyczny błąd ze stresu - daje wynik dwa razy mniejszy niż prawdziwy. Zawsze sprawdzaj jednostki i porządek wielkości.

Pominięcie niewymierności w mianowniku. Gdy w odpowiedzi wychodzi \(\sqrt{6}\) w mianowniku, CKE oczekuje, że usuniesz niewymierność. \(\frac{35}{4\sqrt{6}}\) zapisz jako \(\frac{35\sqrt{6}}{24}\). To nie jest błąd merytoryczny, ale formalny - CKE może odjąć pół punktu za "brak finalizacji" albo "nieczytelny zapis odpowiedzi".

Mylenie środka okręgu wpisanego z opisanym. Środek okręgu wpisanego to przecięcie dwusiecznych KĄTÓW. Środek okręgu opisanego to przecięcie symetralnych BOKÓW. Jeśli w zadaniu otwartym musisz uzasadnić położenie środka, użyj poprawnej własności. W trójkącie równobocznym oba środki się pokrywają, w innych trójkątach to dwa różne punkty. Więcej o własnościach kątów i punktów szczególnych przeczytasz w [kąty w figurach - wpisane, środkowe, w trójkątach](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

## Dodatkowy przykład 6: Trójkąt rozwartokątny

W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 7\), \(b = 8\), kąt między nimi \(\gamma = 120^\circ\). Oblicz promień okręgu opisanego.

Najpierw trzeci bok z [twierdzenia kosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac):

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$$

\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), więc:

$$c^2 = 113 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169$$

Stąd \(c = 13\).

Teraz idziemy przez twierdzenie sinusów dla boku \(c\) i kąta \(\gamma\):

$$R = \frac{c}{2 \sin \gamma} = \frac{13}{2 \sin 120^\circ} = \frac{13}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3}$$

Odpowiedź: \(R = \frac{13\sqrt{3}}{3}\).

Zwróć uwagę na elegancję rozwiązania: w trójkątach rozwartokątnych nie da się prosto pójść przez \(R = c/2\), bo to działa tylko dla prostokątnego. Ale twierdzenie kosinusów + twierdzenie sinusów to kombinacja, która ratuje cię w każdej konfiguracji "dwa boki i kąt między nimi".

## Dodatkowy przykład 7: Promień okręgu wpisanego w trójkąt opisany na okręgu

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 13, a jedna z przyprostokątnych 5. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Drugą przyprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa: \(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\).

Stąd:

$$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Sprawdzenie wzorem alternatywnym: \(P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\), \(p = \frac{5+12+13}{2} = 15\), \(r = P/p = 30/15 = 2\). Zgadza się.

Odpowiedź: \(r = 2\).

Trójkąt 5-12-13 to klasyczna trójka pitagorejska, której CKE uwielbia używać. Warto ją mieć w głowie razem z trójką 3-4-5 i 8-15-17.

## Powiązania z innymi tematami matury

Promienie R i r rzadko występują samodzielnie - prawie zawsze są elementem większego zadania, w którym musisz połączyć kilka twierdzeń. Najczęstsze kombinacje:

R z twierdzeniem sinusów. To czysta para - skoro \(2R = \frac{a}{\sin \alpha}\), to CKE lubi zadania, w których podają ci bok i kąt, a ty masz znaleźć R bezpośrednio.

r z polem trójkąta i obwodem. CKE potrafi dać ci sytuację, w której znasz r i obwód, a musisz wyznaczyć pole (\(P = r \cdot p\)). To wzór odwrotny do \(r = P/p\) - jeśli zapamiętasz oba kierunki, masz przewagę.

R i twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy. Klasyk: jeśli kąt wpisany w okrąg ma 90 stopni, to opiera się na średnicy, czyli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to średnica okręgu opisanego. Stąd \(R = c/2\).

Promienie i [trójkąty podobne](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). Jeśli dwa trójkąty są podobne w skali k, to ich promienie okręgów wpisanych mają stosunek k, podobnie opisanych. Pola mają stosunek \(k^2\), więc to się ze sobą spina.

## Geometria analityczna: gdy trójkąt jest podany przez współrzędne

Czasem CKE podaje ci trójkąt nie przez długości boków, ale przez współrzędne wierzchołków. Np. \(A = (0,0)\), \(B = (6,0)\), \(C = (2,4)\). Pytanie o R lub r wymaga dwóch dodatkowych kroków, ale schemat zostaje ten sam.

Krok 1: Policz długości boków ze wzoru na odległość między dwoma punktami: \(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\). Dla naszego trójkąta: \(|AB| = 6\), \(|AC| = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}\), \(|BC| = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}\).

Krok 2: Policz pole jednym z dwóch sposobów. Albo ze wzoru ze współrzędnych: \(P = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\), albo geometrycznie: \(AB\) leży na osi \(OX\), więc wysokość z \(C\) na \(AB\) to po prostu współrzędna \(y\) punktu \(C\), czyli 4. Stąd \(P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\).

Krok 3: Stosuj standardowe wzory. \(R = \frac{abc}{4P} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}}{48} = \frac{48\sqrt{10}}{48} = \sqrt{10}\). I \(r = P/p\), gdzie \(p = (6 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2})/2 = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}\).

To podejście łączy planimetrię z [równaniem prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) i [równaniem okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania). Świetna kombinacja na maturze - jeśli zauważysz, że bok leży na osi współrzędnych, oszczędzisz pełne dwie minuty na liczeniu wysokości.

## Checklista do zadania o promieniu R lub r

Zanim oddasz pracę, przejdź przez ten check:

- Czy poprawnie odczytałem, którego promienia szukam (R czy r)?
- Czy rozpoznałem typ trójkąta (równoboczny, prostokątny, dowolny)?
- Czy dla równobocznego użyłem wzorów specjalnych \(R = a\sqrt{3}/3\) lub \(r = a\sqrt{3}/6\)?
- Czy dla prostokątnego sprawdziłem, że \(R\) to połowa przeciwprostokątnej?
- Czy obwód połówkowy \(p\) policzyłem jako \((a+b+c)/2\) (a nie cały obwód)?
- Czy pole policzyłem najprostszą dostępną metodą (Heron, wysokość, dwa boki i kąt)?
- Czy w odpowiedzi nie ma niewymierności w mianowniku?
- Czy wynik ma sensowny rząd wielkości (\(R\) większy od najdłuższego boku/2, \(r\) mniejszy od najkrótszej wysokości)?
- Czy zapisałem odpowiedź zgodnie z formą oczekiwaną przez CKE (najczęściej jako liczba lub ułamek z pierwiastkiem)?
- Czy w zadaniach otwartych podałem uzasadnienie wyboru wzoru, a nie tylko końcową liczbę?

## Podsumowanie

Promień okręgu wpisanego \(r\) i opisanego \(R\) na trójkącie to temat, który w istocie sprowadza się do czterech wzorów: \(R = abc/(4P)\), \(R = a/(2 \sin \alpha)\), \(r = P/p\) plus wzory specjalne dla trójkąta równobocznego i prostokątnego. Wszystko, co musisz umieć, to wybrać właściwy wzór do danej konfiguracji i poprawnie podstawić.

W praktyce maturalnej kluczowe są dwa nawyki: po pierwsze, zawsze rozpoznaj typ trójkąta przed wyborem wzoru (równoboczny i prostokątny mają skróty, które oszczędzą ci minut); po drugie, dla dowolnego trójkąta zacznij od policzenia pola - mając \(P\), masz oba promienie po jednym podzieleniu. Resztę zostaw schematowi.

Jeśli przerobisz pięć przykładów z tego posta i zrobisz dodatkowo 3-4 zadania z [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) - zwłaszcza z [matury maj 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz), [matury maj 2021](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), gdzie temat się powtarzał - to zadania o R i r przestaną być dla ciebie wyzwaniem. To kilka punktów, które masz pewne, jeśli tylko trzymasz się prostego schematu: rozpoznaj trójkąt, wybierz wzór, policz pole, policz promień, sprawdź jednostki. Pełna instrukcja w [topiku planimetria](/topics/planimetria) i w przewodniku [planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura
title: Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa - zadania matura krok po kroku
description: Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa. 5 zadań maturalnych krok po kroku z drzewkami, urnami, testem medycznym i paradoksem Monty Halla.
author: Filip Maszota
---

# Prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa - zadania matura krok po kroku

Prawdopodobieństwo warunkowe to jeden z tych tematów, na którym dużo osób traci punkty na maturze, choć sama idea jest prosta. Pytamy: jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), jeśli wiemy, że zdarzenie \(B\) już zaszło? Brzmi niewinnie, ale właśnie tutaj zaczynają się drzewka, wzór Bayesa i klasyczne pułapki maturalne, które rozwalają intuicję.

W tym poradniku pokażę ci wzór na prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa, wzór na prawdopodobieństwo całkowite oraz rozwiążemy 5 zadań w stylu CKE krok po kroku. Zobaczysz, kiedy rysować drzewko, jak czytać dane z treści zadania i jak nie wpaść w słynny błąd Monty Halla, który łapie nawet matematyków. Jeśli wcześniej widziałeś tylko [podstawy prawdopodobieństwa](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania), ten artykuł jest naturalnym następnym krokiem.

## Czym jest prawdopodobieństwo warunkowe?

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia \(A\) pod warunkiem \(B\) zapisujemy jako \(P(A|B)\) i czytamy: "prawdopodobieństwo \(A\), jeśli zaszło \(B\)". Z definicji:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$$

Co to znaczy intuicyjnie? Zawężamy świat. Przed warunkiem patrzyliśmy na wszystkie możliwe wyniki. Teraz wiemy już, że zaszło \(B\), więc interesuje nas tylko ten kawałek przestrzeni próbek. Pytamy: jaką część tego zawężonego świata zajmuje przekrój \(A \cap B\)?

Przykład na rozgrzewkę: rzucamy kostką. Niech \(A\) oznacza "wypadła szóstka", a \(B\) "wypadła liczba parzysta". Wtedy:

$$P(A) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(A \cap B) = \frac{1}{6}$$

(bo \(A \cap B\) to ciągle samo "wypadła szóstka"). Stąd:

$$P(A|B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$$

I właśnie o to chodzi. Kiedy wiemy, że wynik jest parzysty, mamy tylko trzy możliwości: 2, 4, 6. Szóstka stanowi jedną trzecią tego zbioru. Bez kalkulatora, bez wzorów - czysta intuicja. Wzór po prostu formalizuje to, co i tak robisz w głowie.

## Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń

Z definicji warunkowego dostajemy od razu wzór, który jest mistrzem drzewek:

$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$

Albo równoważnie:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

Po polsku: prawdopodobieństwo, że oba zdarzenia zajdą, to iloczyn prawdopodobieństwa pierwszego razy prawdopodobieństwo drugiego pod warunkiem, że pierwsze już zaszło. To dokładnie to, co robisz, idąc po gałęzi drzewka probabilistycznego. Pierwsza krawędź to \(P(B)\), druga krawędź to \(P(A|B)\), a iloczyn na końcu gałęzi to \(P(A \cap B)\).

Jeśli zdarzenia są niezależne, czyli zajście jednego nie wpływa na drugie, to \(P(A|B) = P(A)\) i wzór upraszcza się do \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). To definicja niezależności i często służy do sprawdzania, czy dwa zdarzenia są niezależne.

## Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Zanim dojdziemy do Bayesa, potrzebujemy jeszcze jednego wzoru. Załóżmy, że zdarzenia \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) tworzą podział przestrzeni próbek, czyli są parami rozłączne i ich suma daje całą przestrzeń. Wtedy dla dowolnego zdarzenia \(A\):

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$$

W praktyce maturalnej najczęściej masz dwa warianty (na przykład "losujemy z pudełka 1" lub "losujemy z pudełka 2"). Wtedy wzór ma postać:

$$P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2)$$

To jest po prostu "suma po wszystkich gałęziach drzewka, które kończą się sukcesem". Jeśli umiesz rysować drzewko, to ten wzór jest już praktycznie w twojej głowie.

## Wzór Bayesa krok po kroku

Wzór Bayesa pozwala "odwrócić kierunek warunku". Wiesz, jak \(B\) wpływa na \(A\), a chcesz wiedzieć, jak \(A\) wpływa na \(B\). Klasyczny przykład: test medyczny daje wynik pozytywny, jakie jest prawdopodobieństwo, że pacjent rzeczywiście jest chory? Tutaj znasz \(P(\text{pozytywny}|\text{chory})\), a chcesz \(P(\text{chory}|\text{pozytywny})\).

Wzór Bayesa:

$$P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}$$

A jeśli \(A\) liczymy z prawdopodobieństwa całkowitego (dwa warianty \(B\) i \(B'\)):

$$P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(B) \cdot P(A|B) + P(B') \cdot P(A|B')}$$

Skąd ten wzór? Wystarczy zapisać \(P(A \cap B)\) na dwa sposoby:

$$P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$

(bo obie strony to to samo \(P(A \cap B)\)). Dzielimy obie strony przez \(P(A)\) i mamy wzór Bayesa. Cały dowód mieści się w trzech linijkach, ale skutki są ogromne - to fundament całej statystyki bayesowskiej, filtrów antyspamowych i diagnostyki medycznej.

## Drzewko probabilistyczne - twój najlepszy przyjaciel

Na maturze 9 na 10 zadań z prawdopodobieństwa warunkowego rozwiązuje się drzewkiem. Rysujesz pierwszy poziom (np. wybór pudełka), potem drugi poziom (losowanie z wybranego pudełka), a na końcach gałęzi mnożysz prawdopodobieństwa. Jeśli temat jeszcze ci umyka, przejrzyj artykuł o [drzewku probabilistycznym](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania), tam pokazuję metodę od zera.

Zasada drzewka:
- każda krawędź to prawdopodobieństwo warunkowe (pod warunkiem tego, co zaszło na wyższych poziomach),
- prawdopodobieństwa na krawędziach wychodzących z jednego węzła sumują się do \(1\),
- prawdopodobieństwo gałęzi (drogi od korzenia do liścia) to iloczyn prawdopodobieństw na krawędziach,
- prawdopodobieństwo zdarzenia złożonego to suma gałęzi, które je realizują.

Jeśli umiesz narysować poprawne drzewko, to praktycznie każde zadanie maturalne z prawdopodobieństwa robisz w 3 minuty.

## Zadanie 1: dwie urny i kula biała

Treść: w urnie \(U_1\) jest 5 kul białych i 3 czarne. W urnie \(U_2\) jest 2 kule białe i 6 czarnych. Rzucamy symetryczną monetą: jeśli wypadnie orzeł, losujemy kulę z urny \(U_1\), w przeciwnym wypadku z urny \(U_2\). Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Rozwiązanie. To klasyczne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Oznaczmy:
- \(B_1\): wybrano urnę \(U_1\), \(P(B_1) = \frac{1}{2}\),
- \(B_2\): wybrano urnę \(U_2\), \(P(B_2) = \frac{1}{2}\),
- \(A\): wylosowano kulę białą.

Prawdopodobieństwa warunkowe:

$$P(A|B_1) = \frac{5}{8}, \quad P(A|B_2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Stąd:

$$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{16} + \frac{2}{16} = \frac{7}{16}$$

Odpowiedź: \(P(A) = \frac{7}{16}\).

Wskazówka maturalna: zawsze sprawdzaj sumy. \(\frac{5}{8} + \frac{3}{8} = 1\), \(\frac{2}{8} + \frac{6}{8} = 1\), \(P(B_1) + P(B_2) = 1\). Jeśli któraś z tych sum nie wychodzi \(1\), masz błąd w danych. To 10 sekund weryfikacji, które ratują punkty.

## Zadanie 2: ta sama urna, ale druga część - Bayes

Treść (kontynuacja zadania 1): wiadomo, że wylosowano kulę białą. Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z urny \(U_1\).

Rozwiązanie. Tu właśnie potrzebujemy wzoru Bayesa. Pytamy \(P(B_1|A)\):

$$P(B_1|A) = \frac{P(B_1) \cdot P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}}{\frac{7}{16}}$$

Liczymy licznik: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{16}\).

Stąd:

$$P(B_1|A) = \frac{5/16}{7/16} = \frac{5}{7}$$

Odpowiedź: \(P(B_1|A) = \frac{5}{7}\).

Zauważ ciekawą rzecz. Przed losowaniem szanse na każdą urnę były równe (\(\frac{1}{2}\) i \(\frac{1}{2}\)). Po informacji "wylosowano kulę białą" prawdopodobieństwo urny \(U_1\) wzrosło do \(\frac{5}{7}\), bo \(U_1\) zawiera więcej kul białych. To jest istota wzoru Bayesa: aktualizujesz przekonania na podstawie nowych danych.

## Zadanie 3: test medyczny i pułapka false positive

Treść: pewna choroba występuje u \(1\%\) populacji. Test wykrywający tę chorobę daje wynik pozytywny u \(95\%\) osób chorych i u \(2\%\) osób zdrowych. Pacjent dostał wynik pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest naprawdę chory?

Rozwiązanie. Oznaczmy:
- \(C\): pacjent jest chory, \(P(C) = 0{,}01\),
- \(C'\): pacjent jest zdrowy, \(P(C') = 0{,}99\),
- \(T\): test pozytywny.

Z treści: \(P(T|C) = 0{,}95\) (czułość testu), \(P(T|C') = 0{,}02\) (fałszywy alarm).

Najpierw prawdopodobieństwo całkowite pozytywnego wyniku:

$$P(T) = P(C) \cdot P(T|C) + P(C') \cdot P(T|C') = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}02$$

$$P(T) = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293$$

Wzór Bayesa:

$$P(C|T) = \frac{P(C) \cdot P(T|C)}{P(T)} = \frac{0{,}0095}{0{,}0293} \approx 0{,}324$$

Odpowiedź: \(P(C|T) \approx 32{,}4\%\).

Szok? Test ma \(95\%\) czułości i tylko \(2\%\) fałszywych alarmów, a mimo to pozytywny wynik oznacza tylko 1 szansę na 3, że jesteś rzeczywiście chory. Powód: choroba jest rzadka. Wśród \(10\,000\) osób tylko \(100\) jest chorych (z czego \(95\) ma pozytywny test), ale \(9900\) jest zdrowych i \(198\) z nich i tak dostanie fałszywie pozytywny wynik. \(95 / (95 + 198) \approx 32\%\). Ten paradoks jest jednym z ulubionych tematów na maturę rozszerzoną.

## Zadanie 4: rzut dwiema kostkami i warunek na sumie

Treść: rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. Niech \(A\) oznacza zdarzenie "suma oczek wynosi 8", a \(B\) "na pierwszej kostce wypadło 5". Oblicz \(P(A|B)\) oraz sprawdź, czy zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne.

Rozwiązanie. Przestrzeń próbek ma \(36\) jednakowo prawdopodobnych wyników (par uporządkowanych).

\(P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\) (sześć par zaczynających się od 5).

\(P(A)\): pary o sumie 8 to \((2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\), czyli 5 par. \(P(A) = \frac{5}{36}\).

\(P(A \cap B)\): pary, gdzie pierwsza to 5 i suma to 8, czyli tylko \((5, 3)\). \(P(A \cap B) = \frac{1}{36}\).

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/36}{6/36} = \frac{1}{6}$$

Sprawdzamy niezależność. Jeśli \(A\) i \(B\) są niezależne, powinno być \(P(A|B) = P(A)\). Ale \(P(A|B) = \frac{1}{6}\), a \(P(A) = \frac{5}{36}\). \(\frac{1}{6} = \frac{6}{36} \ne \frac{5}{36}\), więc zdarzenia NIE są niezależne.

Intuicja: jeśli wiesz, że pierwsza kostka pokazała 5, to na drugiej wystarczy 3. Ale gdybyś nie wiedział nic, suma 8 może powstać na 5 sposobów, a nie tylko jeden. Warunek zmienia rachunek.

Tego typu zadania są pewniakiem na maturę. Więcej tego stylu znajdziesz w [zadaniach z prawdopodobieństwa i kombinatoryki](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

## Zadanie 5: matura otwarte - karty i symbol Newtona

Treść: z talii 52 kart losujemy 2 karty bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że druga karta jest asem, pod warunkiem że pierwsza karta była asem.

Rozwiązanie. To zadanie idealnie pokazuje, że warunek zmienia liczność przestrzeni.

Po wylosowaniu jednego asa zostają \(51\) kart, w tym \(3\) asy. Z definicji:

$$P(\text{drugi as} | \text{pierwszy as}) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$$

Można też zrobić formalnie. Niech \(A_1\) oznacza "pierwsza karta to as", \(A_2\) "druga karta to as". Wtedy:

$$P(A_1 \cap A_2) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{52}{2}} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$$

(używamy [symbolu Newtona](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory) do liczenia kombinacji bez kolejności).

$$P(A_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

$$P(A_2|A_1) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)} = \frac{1/221}{1/13} = \frac{13}{221} = \frac{1}{17}$$

Obie metody dają to samo. Wybierz tę, która ci łatwiej. Na maturze CKE oczekuje pełnego rachunku, więc warto zapisać przynajmniej wzór i podstawienie.

## Wzór Bayesa w zadaniu z dwoma testami

Treść: w fabryce 60% produktów pochodzi z linii A, a 40% z linii B. Wadliwość linii A to 3%, linii B to 5%. Wylosowano produkt, który okazał się wadliwy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z linii A?

Rozwiązanie. Oznaczmy:
- \(A\): produkt z linii A, \(P(A) = 0{,}6\),
- \(B\): produkt z linii B, \(P(B) = 0{,}4\),
- \(W\): produkt wadliwy.

\(P(W|A) = 0{,}03\), \(P(W|B) = 0{,}05\).

$$P(W) = 0{,}6 \cdot 0{,}03 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038$$

$$P(A|W) = \frac{0{,}018}{0{,}038} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19} \approx 0{,}474$$

Odpowiedź: \(P(A|W) \approx 47{,}4\%\).

Przed informacją prawdopodobieństwo linii A wynosiło \(60\%\). Po informacji "produkt wadliwy" spadło do \(\sim\!47\%\), bo linia B robi więcej braków. Bayes tu działa w drugą stronę niż przy teście medycznym.

## Typowe pułapki na maturze

Pierwsza pułapka: mylenie \(P(A|B)\) z \(P(B|A)\). To dwie różne wielkości i zwykle dają różne wyniki. W przykładzie z testem: \(P(\text{pozytywny}|\text{chory}) = 95\%\), a \(P(\text{chory}|\text{pozytywny}) \approx 32\%\). Klasyk maturalnej wpadki. Zawsze sprawdzaj, w którą stronę pyta zadanie.

Druga pułapka: zapominanie o "bez zwracania". Kiedy losujesz z urny bez zwracania, po pierwszym losowaniu zmienia się skład urny. Drugie losowanie ma już inną liczność zbioru. Jeśli losujesz "ze zwracaniem", przestrzeń się nie zmienia i często można potraktować losowania jako niezależne. Sprawdzaj treść zadania na każdym kroku.

Trzecia pułapka: błędne sumowanie gałęzi. Drzewko nie kłamie, ale ludzie czasami dodają tylko niektóre gałęzie albo dodają takie, które nie spełniają warunku. Zanim policzysz, sprawdź, które gałęzie odpowiadają interesującemu cię zdarzeniu, a które nie.

Czwarta pułapka: zła liczność przestrzeni przy kombinatoryce. Jeśli losujesz "kolejność ma znaczenie", masz wariacje. Jeśli nie ma, masz kombinacje. Pomyłka między \(\binom{n}{k}\) a permutacjami zmienia wynik radykalnie. Tutaj pomaga [poradnik o silni, kombinacjach i permutacjach](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory).

Piąta pułapka: ignorowanie warunku "co najmniej" lub "dokładnie". "Co najmniej jedna kula biała" to suma kilku przypadków, często łatwiej liczyć przez zdarzenie przeciwne ("ani jednej kuli białej") i odjąć od jedynki. "Dokładnie jedna" to konkretny przypadek. Czytaj treść uważnie.

Szósta pułapka, którą widzę najczęściej u uczniów: pomijanie sprawdzenia \(P(B) > 0\). Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe nie ma sensu, gdy warunek to zdarzenie niemożliwe. W zadaniach maturalnych zwykle nie ma tego problemu, ale w pytaniach typu "uzasadnij, dlaczego" warto wspomnieć.

## Jak rozpoznać, że zadanie wymaga Bayesa?

Cztery sygnały:
1. zadanie najpierw opisuje warunki (np. dwie urny, dwie linie produkcyjne, dwa testy), a potem pyta o prawdopodobieństwo "wstecz",
2. w treści pojawia się słowo "pod warunkiem, że" albo "wiedząc, że",
3. szukasz \(P(B|A)\), ale w danych jest tylko \(P(A|B)\),
4. potrzebujesz "odwrócić" kierunek warunku.

Jeśli widzisz te sygnały, automatycznie rysuj drzewko i licz najpierw prawdopodobieństwo całkowite, potem Bayes. Algorytm jest zawsze ten sam.

## Wzór Bayesa vs. prawdopodobieństwo całkowite - kiedy który

Prawdopodobieństwo całkowite stosujesz, gdy pytanie brzmi "jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\)?", a masz dane warunki \(P(A|B_i)\) dla różnych \(B_i\). Idziesz od korzenia drzewka do liścia.

Wzór Bayesa stosujesz, gdy pytanie brzmi "jakie jest prawdopodobieństwo, że zaszło \(B_i\), wiedząc, że zaszło \(A\)?". Idziesz od liścia drzewka do korzenia. Zawsze trzeba najpierw policzyć \(P(A)\) z prawdopodobieństwa całkowitego, bo bez tego nie masz mianownika Bayesa.

W praktyce maturalnej zadanie często łączy obie rzeczy w jednym, jak w zadaniach 1 i 2 z tego artykułu. Najpierw \(P(A)\), potem Bayes. To standardowy schemat.

## Drzewko z trzema poziomami - zadanie zaawansowane

Treść: w pierwszej urnie są 4 kule białe i 1 czarna. W drugiej urnie są 2 białe i 3 czarne. Wybieramy losowo urnę (z równym prawdopodobieństwem) i losujemy z niej kulę. Jeśli kula jest biała, przekładamy ją do drugiej urny (jeśli wylosowano z pierwszej) lub do pierwszej (jeśli wylosowano z drugiej). Następnie z tej samej urny, z której losowaliśmy pierwszą kulę, losujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe.

Rozwiązanie. Tu mamy trzy poziomy: wybór urny, pierwsze losowanie, drugie losowanie. Rozpiszmy gałęzie kończące się "obie białe":

Gałąź 1 (urna 1, biała, biała):
$$P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot P(\text{druga biała} | \text{przełożono białą do urny 2})$$

Uwaga - druga kula losowana jest z TEJ SAMEJ urny, czyli z pierwszej. W pierwszej urnie po wyciągnięciu jednej białej i przełożeniu jej do drugiej zostały 3 białe i 1 czarna. Czyli:

$$P(\text{druga biała} | \ldots) = \frac{3}{4}$$

$$P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$$

Gałąź 2 (urna 2, biała, biała):
W drugiej urnie po wyciągnięciu jednej białej (i przełożeniu jej do pierwszej) zostają 1 biała i 3 czarne. Druga losowana z drugiej urny:

$$P(\text{druga biała} | \ldots) = \frac{1}{4}$$

$$P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20}$$

Suma:

$$P(\text{obie białe}) = P_1 + P_2 = \frac{6}{20} + \frac{1}{20} = \frac{7}{20}$$

Odpowiedź: \(P = \frac{7}{20} = 0{,}35\).

Klucz do takich zadań: rysuj drzewko i nazwij każdą gałąź. Bez tego pogubisz się w trzech zmianach urny i przełożeniach.

## Paradoks Monty Halla - klasyk Bayesa

Treść: w teleturnieju są trzy bramki. Za jedną z nich jest samochód, za dwoma pozostałymi kozy. Wybierasz bramkę. Prowadzący (który wie, gdzie jest samochód) otwiera jedną z dwóch pozostałych bramek, za którą jest koza. Pyta cię, czy chcesz zmienić wybór. Czy zmiana zwiększa szanse?

Odpowiedź zaskakuje większość: TAK, zmiana podwaja szansę na samochód (z \(\frac{1}{3}\) do \(\frac{2}{3}\)).

Krótkie uzasadnienie wzorem Bayesa. Niech \(W_i\) oznacza "wygrana jest za bramką \(i\)", a \(P_j\) "prowadzący otworzył bramkę \(j\)". Powiedzmy, że wybrałeś bramkę 1, a prowadzący otworzył bramkę 3.

$$P(W_1 | P_3) = \frac{P(W_1) \cdot P(P_3 | W_1)}{P(P_3)}$$

\(P(W_1) = \frac{1}{3}\). \(P(P_3 | W_1) = \frac{1}{2}\) (jeśli samochód jest za 1, prowadzący wybiera losowo między 2 i 3).

$$P(W_2 | P_3) = \frac{P(W_2) \cdot P(P_3 | W_2)}{P(P_3)}$$

\(P(W_2) = \frac{1}{3}\). \(P(P_3 | W_2) = 1\) (jeśli samochód jest za 2, prowadzący MUSI otworzyć 3, bo 1 jest twoja).

Stosunek tych prawdopodobieństw to \(\frac{1/3 \cdot 1/2}{1/3 \cdot 1} = \frac{1}{2}\), czyli \(P(W_2|P_3) = 2 \cdot P(W_1|P_3)\). Zmiana podwaja szansę.

Ten paradoks jest jednym z najsłynniejszych w historii prawdopodobieństwa. Marilyn vos Savant opublikowała rozwiązanie w 1990 roku i dostała tysiące listów od matematyków, którzy się z nią nie zgadzali. A miała rację. Wzór Bayesa nie kłamie.

## Checklist - co musisz umieć przed maturą

Sprawdź sam siebie:
- znam wzór \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) i potrafię go zastosować w prostym zadaniu z kostką lub kartami,
- umiem narysować drzewko probabilistyczne dla dwóch poziomów (np. dwie urny i losowanie),
- znam wzór na prawdopodobieństwo całkowite \(P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A|B_i)\) i wiem, kiedy go używać,
- znam wzór Bayesa \(P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}\) i wiem, że trzeba najpierw policzyć \(P(A)\),
- rozumiem różnicę między \(P(A|B)\) a \(P(B|A)\) i nie mylę ich,
- potrafię sprawdzić niezależność zdarzeń przez warunek \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\),
- rozróżniam losowanie ze zwracaniem i bez zwracania,
- umiem rozwiązać zadanie z testem medycznym i wytłumaczyć paradoks rzadkiej choroby,
- potrafię narysować drzewko z trzema poziomami i policzyć prawdopodobieństwo gałęzi.

Jeśli któryś punkt budzi wątpliwości, wróć do odpowiedniego zadania w tym artykule i przerób je z karteczką i długopisem. Drzewka rysuje się ręcznie, a nie w głowie.

## Najczęstsze błędy uczniów

Pomijanie zapisu wzoru. Na maturze CKE ocenia również drogę rozumowania. Jeśli napiszesz od razu wynik \(\frac{5}{7}\) bez pokazania wzoru Bayesa, możesz stracić punkty nawet przy poprawnym wyniku. Zawsze zapisz \(P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)}\) i podstaw.

Mylenie zdarzenia z prawdopodobieństwem. \(A\) to zdarzenie (zbiór wyników), \(P(A)\) to liczba między 0 a 1. To różne obiekty. Jeśli napiszesz "\(A = \frac{5}{16}\)", to formalnie błąd. Pisz "\(P(A) = \frac{5}{16}\)".

Brak sprawdzenia, czy wynik mieści się w \([0, 1]\). Każde prawdopodobieństwo musi być w tym przedziale. Jeśli dostajesz wynik \(\frac{17}{16}\) albo ujemny, masz błąd rachunkowy. Sprawdzaj na końcu. Więcej o weryfikacji wyników w artykule o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Co dalej?

Jeśli temat wciągnął cię, warto zajrzeć do tych poradników:
- [Prawdopodobieństwo na maturze - definicja, drzewko, zadania](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) - podstawy, jeśli czujesz, że gdzieś zgubiłeś początek,
- [Prawdopodobieństwo i kombinatoryka - zadania](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania) - więcej zadań, w tym z permutacji i wariacji,
- [Jak obliczyć silnię, kombinacje, permutacje](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory) - jeśli kombinatoryka jest twoim słabym punktem,
- [Jak obliczyć prawdopodobieństwo - zadania](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) - poradnik o klasycznej definicji.

Możesz też zajrzeć na [stronę tematu Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) i przerobić zadania z [arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Wzór Bayesa pojawia się głównie na rozszerzeniu, ale drzewka i prawdopodobieństwo warunkowe są pewniakiem także na poziomie podstawowym.

Powodzenia na maturze. Jeśli zrozumiesz drzewko i wzór Bayesa, masz w kieszeni 5-6 dodatkowych punktów, których większość zdających po prostu nie zbiera.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /prawdopodobienstwo-obok-siebie-nie-sasiaduja-ustawienia-w-rzedzie-matura-rozszerzona
title: Prawdopodobieństwo, że osoby stoją obok siebie albo nie sąsiadują - ustawienia w rzędzie na maturze rozszerzonej
description: Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby stoją obok siebie albo nie sąsiadują: metoda sklejania, metoda luk, wzór 2/n i 6 zadań z matury rozszerzonej.
author: Filip Maszota
---

# Prawdopodobieństwo, że osoby stoją obok siebie albo nie sąsiadują - ustawienia w rzędzie na maturze rozszerzonej

Prawdopodobieństwo, że wskazane osoby ustawione losowo w rzędzie stoją obok siebie, liczysz **metodą sklejania**: \(k\) wskazanych osób traktujesz jak jeden blok, więc z \(n\) osób robi się \(n - k + 1\) elementów do ustawienia, a sam blok można ułożyć na \(k!\) sposobów. Stąd \(P = \frac{k! \cdot (n-k+1)!}{n!}\), a dla dwóch osób po prostu \(P = \frac{2}{n}\). Gdy wskazane elementy mają **nie sąsiadować**, ustawiasz najpierw pozostałe i wstawiasz wyróżnione w wolne luki między nimi (**metoda luk**). Oba schematy wracają w zadaniach z prawdopodobieństwa na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona).

W arkuszach rozszerzonych CKE ten typ zadania ma kilka wersji. W [maju 2018](/exams/matura-rozszerzona-maj-2018) (zadanie 9) żadne dwie liczby parzyste nie mogły stać obok siebie w ciągu. W [czerwcu 2021](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2021) (zadanie 11) znane było prawdopodobieństwo, że trzej sportowcy siedzą obok siebie, a szukało się liczby uczestników. W [czerwcu 2023](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023) (zadanie 2 w formule 2023) to samo pytanie wróciło w wersji czysto kombinatorycznej, a w [maju 2026](/exams/matura-rozszerzona-maj-2026) (zadanie 2) warunek dotyczył każdych trzech kolejnych wyrazów ciągu. Podstawy, czyli klasyczną definicję prawdopodobieństwa i liczenie permutacji, masz we wpisach [jak obliczyć prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) oraz [silnia, permutacje i kombinacje](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory). Tutaj jest jeden temat: kto stoi obok kogo.

## Ile jest wszystkich ustawień w rzędzie

Wszystkich ustawień \(n\) różnych elementów w rzędzie jest \(n!\), bo na pierwsze miejsce wybierasz jeden z \(n\) elementów, na drugie jeden z \(n - 1\) pozostałych i tak dalej. Losowe usadzenie osób na krzesłach, ustawienie książek na półce i ułożenie liczb w ciąg bez powtórzeń to ta sama przestrzeń zdarzeń: każda permutacja jest jednakowo prawdopodobna, więc liczysz z klasycznej definicji \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\).

Mianownik jest więc zawsze ten sam, \(|\Omega| = n!\), a cała praca polega na policzeniu ustawień sprzyjających.

## Metoda sklejania: elementy obok siebie

Metoda sklejania polega na potraktowaniu elementów, które mają stać obok siebie, jako jednego bloku. Ustawiasz blok razem z pozostałymi elementami, a potem mnożysz przez liczbę sposobów ułożenia elementów wewnątrz bloku. Dla \(k\) elementów w bloku daje to \((n - k + 1)! \cdot k!\) ustawień.

Skąd \(n - k + 1\)? Z \(n\) elementów \(k\) zlepiasz w jeden, więc do ustawienia zostaje \(n - k\) luźnych elementów i jeden blok. Mnożenie przez \(k!\) jest potrzebne, bo blok „Ola, Piotr” i blok „Piotr, Ola” to dwa różne ustawienia. Jeśli treść mówi, że elementy stoją obok siebie **w ustalonej kolejności** (na przykład tomy I, II, III od lewej), mnożnika \(k!\) nie ma.

Dla dwóch osób wzór upraszcza się do \(P = \frac{2 \cdot (n-1)!}{n!} = \frac{2}{n}\). Warto to zapamiętać, bo pozwala sprawdzić wynik w pamięci.

## Metoda luk: żadne dwa nie stoją obok siebie

Metoda luk polega na tym, że najpierw ustawiasz elementy zwykłe, a wyróżnione wstawiasz w luki między nimi, po jednym w każdą lukę. Przy \(m\) zwykłych elementach luk jest \(m + 1\): po jednej między każdymi dwoma sąsiadami i dwie na końcach rzędu. Skoro w każdej luce stoi najwyżej jeden wyróżniony, żadne dwa wyróżnione się nie stykają.

Zwykłe elementy ustawiasz na \(m!\) sposobów. Pierwszy wyróżniony wybiera jedną z \(m + 1\) luk, drugi jedną z pozostałych \(m\), i tak dalej, aż do \(k\)-tego. Metoda działa tylko wtedy, gdy \(k \le m + 1\). Przy większej liczbie wyróżnionych takich ustawień po prostu nie ma.

Gdy wyróżnione są tylko dwa, prościej jest policzyć zdarzenie przeciwne: \(P(\text{nie obok siebie}) = 1 - \frac{2}{n}\). Przy trzech i więcej wyróżnionych ten skrót zawodzi, o czym piszę w pułapkach.

## Wzory

Liczba wszystkich ustawień w rzędzie:

$$|\Omega| = n!$$

Blok k elementów obok siebie:

$$|A| = (n - k + 1)! \cdot k!$$

Dwie wskazane osoby obok siebie:

$$P = \frac{2}{n}$$

Żadne dwa wyróżnione nie sąsiadują:

$$|A| = m! \cdot \frac{(m+1)!}{(m+1-k)!}$$

W ostatnim wzorze \(m\) to liczba elementów zwykłych, \(k\) to liczba wyróżnionych, a \(n = m + k\).

## Przykład 1: Dwie osoby obok siebie

**Treść:** Siedem osób, wśród nich Ola i Piotr, siada w losowej kolejności na siedmiu krzesłach ustawionych w jednym rzędzie. Prawdopodobieństwo, że Ola i Piotr siedzą obok siebie, jest równe:

- A) \(\frac{1}{42}\)
- B) \(\frac{1}{21}\)
- C) \(\frac{1}{7}\)
- D) \(\frac{2}{7}\)

**Krok 1: Policz wszystkie usadzenia.** Siedem różnych osób na siedmiu krzesłach:

$$|\Omega| = 7! = 5040$$

**Krok 2: Sklej Olę i Piotra.** Blok „Ola i Piotr” plus pięć pozostałych osób to sześć elementów, które ustawiasz na \(6!\) sposobów. Wewnątrz bloku są dwie kolejności:

$$|A| = 6! \cdot 2! = 720 \cdot 2 = 1440$$

**Krok 3: Podziel.**

$$P(A) = \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7}$$

**Odpowiedź: D.** Wynik zgadza się ze wzorem \(\frac{2}{n}\) dla \(n = 7\). Odpowiedź C to pominięty mnożnik \(2!\), a B wychodzi, gdy ustawisz tylko pięć pozostałych osób i zapomnisz, że sam blok też zajmuje miejsce w rzędzie.

## Przykład 2: Trzy tomy obok siebie

**Treść:** Na półce ustawiamy w losowej kolejności osiem różnych książek, wśród których są trzy tomy jednej encyklopedii. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy tomy stoją obok siebie. Oblicz też prawdopodobieństwo, że stoją obok siebie w kolejności I, II, III od lewej.

**Krok 1: Policz wszystkie ustawienia.**

$$|\Omega| = 8! = 40\,320$$

**Krok 2: Sklej trzy tomy.** Blok trzech tomów i pięć pozostałych książek to sześć elementów. Wewnątrz bloku tomy mogą stać na \(3! = 6\) sposobów:

$$|A| = 6! \cdot 3! = 720 \cdot 6 = 4320$$

**Krok 3: Oblicz pierwsze prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{4320}{40\,320} = \frac{3}{28}$$

**Krok 4: Ustalona kolejność tomów.** Gdy kolejność w bloku jest narzucona, zostaje tylko \(6! = 720\) ustawień:

$$P(B) = \frac{720}{40\,320} = \frac{1}{56}$$

**Odpowiedź:** tomy stoją obok siebie z prawdopodobieństwem \(\frac{3}{28}\), a obok siebie w kolejności I, II, III z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{56}\). Drugi wynik jest sześć razy mniejszy, bo z sześciu możliwych kolejności w bloku pasuje tylko jedna.

## Przykład 3: Dwie osoby nie obok siebie

**Treść:** Sześć osób, w tym Ania i Bartek, ustawia się w losowej kolejności w kolejce. Oblicz prawdopodobieństwo, że Ania i Bartek nie stoją obok siebie.

**Krok 1: Zdarzenie przeciwne.** „Nie obok siebie” to dopełnienie zdarzenia „obok siebie”. Dla dwóch osób spośród sześciu:

$$P(\text{obok siebie}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

**Krok 2: Odejmij od jedynki.**

$$P(\text{nie obok siebie}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

**Krok 3: Sprawdź metodą luk.** Cztery pozostałe osoby ustawiasz na \(4! = 24\) sposoby. Tworzą one pięć luk. Ania wybiera jedną z pięciu, Bartek jedną z czterech pozostałych, co daje \(5 \cdot 4 = 20\) możliwości. Razem \(24 \cdot 20 = 480\) ustawień sprzyjających spośród \(6! = 720\), czyli \(\frac{480}{720} = \frac{2}{3}\).

**Odpowiedź:** \(P = \frac{2}{3}\). Oba sposoby dają ten sam wynik, więc na egzaminie liczysz krótszym, a drugim sprawdzasz rachunek.

## Przykład 4: Żadne dwie liczby parzyste obok siebie

**Treść:** Z liczb zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) tworzymy dziewięciowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami tego ciągu.

**Krok 1: Policz wszystkie ciągi.** Każdy ciąg to permutacja dziewięciu liczb:

$$|\Omega| = 9! = 362\,880$$

**Krok 2: Ustaw liczby nieparzyste.** Nieparzystych jest pięć (1, 3, 5, 7, 9), więc ustawiasz je na \(5! = 120\) sposobów. Tworzą sześć luk: przed pierwszą, cztery między nimi i za ostatnią.

**Krok 3: Wstaw parzyste w luki.** Cztery liczby parzyste (2, 4, 6, 8) wstawiasz po jednej w różne luki. Pierwsza wybiera jedną z sześciu luk, druga jedną z pięciu, trzecia z czterech, czwarta z trzech:

$$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$$

**Krok 4: Pomnóż i podziel.**

$$|A| = 120 \cdot 360 = 43\,200, \qquad P(A) = \frac{43\,200}{362\,880} = \frac{5}{42}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{5}{42}\). Ten sam schemat, tylko z ośmioma liczbami, pojawił się w arkuszu z maja 2018. Znajdziesz go niżej jako zadanie do samodzielnego rozwiązania.

## Przykład 5: Ilu było uczestników (matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 2)

**Treść:** Wśród \(n\) osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te \(n\) osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest \(12\) razy większa od liczby tych ustawień, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz \(n\).

**Krok 1: Policz ustawienia z blokiem.** Ania i dwaj znajomi tworzą blok. Z \(n\) osób robi się \(n - 2\) elementów, a wewnątrz bloku trzy osoby można ułożyć na \(3! = 6\) sposobów:

$$|A| = 3! \cdot (n-2)!$$

**Krok 2: Zapisz warunek z treści.**

$$n! = 12 \cdot 3! \cdot (n-2)!$$

**Krok 3: Skróć silnie.** Ponieważ \(n! = n(n-1) \cdot (n-2)!\), po podzieleniu obu stron przez \((n-2)!\) zostaje:

$$n(n-1) = 72$$

**Krok 4: Rozwiąż równanie kwadratowe.** Z \(n^2 - n - 72 = 0\) masz \(\Delta = 1 + 288 = 289\) i \(\sqrt{\Delta} = 17\), więc \(n = \frac{1 + 17}{2} = 9\) albo \(n = \frac{1 - 17}{2} = -8\). Liczba osób jest naturalna, więc zostaje \(n = 9\).

**Odpowiedź:** \(n = 9\). Warunek „12 razy więcej ustawień” mówi to samo co prawdopodobieństwo \(\frac{1}{12}\), że trójka stoi obok siebie. To zadanie pochodzi z arkusza w formule 2023.

## Przykład 6: Każde trzy kolejne wyrazy (matura rozszerzona maj 2026, zadanie 2)

**Treść:** Ze zbioru ośmiu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie i ustawiamy je w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów tego ciągu jest liczbą podzielną przez \(3\).

**Krok 1: Przetłumacz warunek.** Iloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez \(3\) wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest podzielna przez \(3\). W zbiorze są tylko dwie takie liczby: \(3\) i \(6\). Każde okno trzech kolejnych miejsc musi więc zawierać \(3\) albo \(6\).

**Krok 2: Znajdź miejsca dla 3 i 6.** Oznacz miejsca zajęte przez te dwie liczby jako \(p < q\). Okno z miejscami 1, 2, 3 wymusza \(p \le 3\), a okno z miejscami 6, 7, 8 wymusza \(q \ge 6\). Okno z miejscami \(p + 1\), \(p + 2\), \(p + 3\) nie zawiera \(p\), więc musi zawierać \(q\), czyli \(q \le p + 3\). Z \(p \le 3\), \(q \ge 6\) i \(q - p \le 3\) zostaje jedna para: \(p = 3\), \(q = 6\).

**Krok 3: Policz ciągi sprzyjające.** Liczby \(3\) i \(6\) stają na miejscach 3 i 6 na \(2\) sposoby, a pozostałe sześć liczb zajmuje sześć wolnych miejsc na \(6! = 720\) sposobów:

$$|A| = 2 \cdot 720 = 1440$$

**Krok 4: Podziel przez liczbę wszystkich ciągów.**

$$P(A) = \frac{1440}{8!} = \frac{1440}{40\,320} = \frac{1}{28}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{1}{28}\). Warunek działa tu odwrotnie niż w przykładzie 4: wyróżnione liczby nie mogą stać za daleko od siebie ani od końców ciągu.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania otwarte z arkuszy CKE. Pierwsze to przykład 4 w wersji z ośmioma liczbami, drugie to przykład 5 odwrócony: znasz prawdopodobieństwo, że trójka siedzi obok siebie, i szukasz liczby uczestników. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [abonamencie](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2018-9

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2021-11

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Brak mnożnika \(k!\) za kolejność wewnątrz bloku. Jeśli treść nie narzuca kolejności, blok „Ola, Piotr” i blok „Piotr, Ola” to dwa różne ustawienia. W przykładzie 1 ten błąd daje \(\frac{1}{7}\) zamiast \(\frac{2}{7}\).

**Pułapka 2:** Zła liczba elementów po sklejeniu. Blok zastępuje \(k\) elementów jednym, więc ustawiasz \(n - k + 1\) elementów, a nie \(n - k\). Blok też zajmuje miejsce w rzędzie.

**Pułapka 3:** Zdarzenie przeciwne przy trzech osobach. Dopełnieniem zdarzenia „wszystkie trzy stoją obok siebie” jest „nie wszystkie trzy stoją obok siebie”, a nie „żadne dwie nie stoją obok siebie”. Zdarzenie „nie wszystkie trzy obok siebie” obejmuje też ustawienia, w których stykają się tylko dwie z trzech osób, a warunek „żadne dwie” takie ustawienia wyklucza. Dla niego licz metodą luk.

**Pułapka 4:** Za mało luk. Między \(m\) elementami jest \(m - 1\) luk wewnętrznych, ale do tego dochodzą dwa miejsca na końcach rzędu. Razem \(m + 1\).

**Uwaga:** Okrągły stół to inna przestrzeń niż rząd. Przy stole z \(n\) miejscami (dla \(n \ge 3\)) każde miejsce ma dwóch sąsiadów, bo nie ma końców, więc dla dwóch osób wychodzi \(\frac{2}{n-1}\), a nie \(\frac{2}{n}\).

**Wskazówka:** Wynik dla dwóch osób sprawdzisz bez silni. Ola z prawdopodobieństwem \(\frac{2}{n}\) trafia na koniec rzędu i ma jednego sąsiada, a z prawdopodobieństwem \(\frac{n-2}{n}\) siedzi w środku i ma dwóch. Piotr trafia na jedno z \(n - 1\) pozostałych miejsc, więc \(P = \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n-1} + \frac{n-2}{n} \cdot \frac{2}{n-1} = \frac{2n-2}{n(n-1)} = \frac{2}{n}\).

## Co musisz umieć

- Zapisać liczbę wszystkich ustawień \(n\) różnych elementów w rzędzie jako \(n!\).
- Skleić \(k\) elementów w blok i policzyć ustawienia jako \((n-k+1)! \cdot k!\).
- Odróżnić blok w dowolnej kolejności od bloku w kolejności narzuconej przez treść.
- Wstawić elementy w luki między \(m\) elementami, pamiętając o dwóch lukach na końcach.
- Policzyć „nie obok siebie” dla dwóch osób przez zdarzenie przeciwne.
- Ułożyć równanie z silniami, skrócić je do równania kwadratowego i odrzucić ujemne rozwiązanie.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z prawdopodobieństwa klasycznego z arkuszy rozszerzonych, w których liczbę zdarzeń sprzyjających liczysz kombinatoryką: ciągi cyfr, losowanie kul i rzuty kostką. Wszystkie zadania z działu są na stronie [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo), a zadania czysto kombinatoryczne w dziale [kombinatoryka](/topics/kombinatoryka). Gdy w treści pojawia się „pod warunkiem”, sięgnij po wpis o [prawdopodobieństwie warunkowym i wzorze Bayesa](/prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura), a przy powtarzanych próbach po [schemat Bernoulliego](/schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania).

Następny krok: Wszystkie działy matury rozszerzonej (/matura-rozszerzona)

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie osoby stoją obok siebie?

Dla \(n\) osób ustawionych losowo w rzędzie to prawdopodobieństwo jest równe \(\frac{2}{n}\). Wynika to z metody sklejania: dwie osoby tworzą blok, blok i pozostałe osoby ustawiasz na \((n-1)!\) sposobów, a wewnątrz bloku masz dwie kolejności, więc \(P = \frac{2 \cdot (n-1)!}{n!}\).

### Na czym polega metoda sklejania?

Elementy, które mają stać obok siebie, traktujesz jak jeden element. Liczysz ustawienia bloku razem z pozostałymi elementami, a wynik mnożysz przez liczbę ustawień elementów wewnątrz bloku. Dla \(k\) elementów w bloku spośród \(n\) daje to \((n-k+1)! \cdot k!\) ustawień.

### Jak policzyć ustawienia, w których żadne dwie osoby nie stoją obok siebie?

Ustaw najpierw pozostałe osoby, a wyróżnione wstawiaj w luki między nimi, po jednej w lukę. Przy \(m\) pozostałych osobach luk jest \(m + 1\), razem z dwiema na końcach. Tak liczy się przykład 4: \(5! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\) ciągów sprzyjających.

### Czy przy okrągłym stole wynik jest taki sam jak w rzędzie?

Nie. Przy okrągłym stole z \(n\) miejscami (dla \(n \ge 3\)) każda osoba ma dwóch sąsiadów, więc prawdopodobieństwo, że dwie wskazane osoby siedzą obok siebie, wynosi \(\frac{2}{n-1}\). W rzędzie osoby na końcach mają tylko po jednym sąsiedzie i wynik spada do \(\frac{2}{n}\).

### Kiedy liczyć przez zdarzenie przeciwne, a kiedy metodą luk?

Przy dwóch wyróżnionych elementach „nie obok siebie” to dokładnie dopełnienie „obok siebie”, więc wystarczy \(1 - \frac{2}{n}\). Przy trzech i więcej zdarzenie „żadne dwa nie sąsiadują” nie jest dopełnieniem zdarzenia „wszystkie obok siebie”, więc liczysz je metodą luk.

### Czy takie zadania są też na maturze podstawowej?

Proste liczenie ustawień z blokiem, bez prawdopodobieństwa, spotkasz także w kombinatoryce na poziomie podstawowym, na przykład w bazie [zadań CKE z kombinatoryki](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami). Omówione wyżej zadania z lukami, z trzema osobami w bloku i z niewiadomą liczbą uczestników pochodzą z arkuszy rozszerzonych. Pełny zakres tego poziomu opisuje wpis o [wymaganiach na maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).


---
route: /pochodna-funkcji-wzory-jak-obliczyc-zadania-matura
title: Pochodna funkcji - wzory, jak obliczyć i zadania z matury rozszerzonej
description: Pochodna funkcji: wzory z karty, reguła iloczynu i ilorazu, równanie stycznej, monotoniczność. Pięć rozwiązanych przykładów z matury rozszerzonej.
author: Marcel Bogdan
---

# Pochodna funkcji - wzory, jak obliczyć i zadania z matury rozszerzonej

Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie \((x_0, f(x_0))\). Liczysz ją z gotowych wzorów: \((x^n)' = nx^{n-1}\), pochodna stałej jest równa zeru, a suma, iloczyn i iloraz mają własne reguły. Znak pochodnej mówi o monotoniczności funkcji: tam, gdzie \(f'(x) > 0\), funkcja rośnie, tam, gdzie \(f'(x)  0\) - w otoczeniu \(x_0\) funkcja rośnie, styczna wznosi się w prawo;
- \(f'(x_0)  0\). Oblicz \(f'(4)\).

**Krok 1: Zamień na potęgi.** Pierwiastek to potęga o wykładniku \(\frac{1}{2}\), a ułamek to potęga o wykładniku \(-1\).

$$f(x) = 3x^{\frac{1}{2}} + 5x^{-1}$$

**Krok 2: Zastosuj wzór na pochodną potęgi.** Wykładnik schodzi przed \(x\) i maleje o jeden.

$$f'(x) = 3 \cdot \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} - 5x^{-2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{5}{x^2}$$

**Krok 3: Podstaw \(x = 4\).** Pamiętaj, że \(\sqrt{4} = 2\).

$$f'(4) = \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{5}{16} = \frac{3}{4} - \frac{5}{16} = \frac{12}{16} - \frac{5}{16} = \frac{7}{16}$$

**Odpowiedź:** \(f'(4) = \frac{7}{16}\).

## Przykład 3: Reguła iloczynu

**Treść:** Oblicz pochodną funkcji \(f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

**Krok 1: Nazwij czynniki.** Przyjmij \(u = x^2 + 1\) oraz \(v = 3x - 2\), wtedy \(u' = 2x\) i \(v' = 3\).

**Krok 2: Podstaw do wzoru na pochodną iloczynu.**

$$f'(x) = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1) \cdot 3$$

**Krok 3: Uporządkuj.**

$$f'(x) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$$

**Krok 4: Sprawdź innym sposobem.** Po wymnożeniu \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2\), a stąd \(f'(x) = 9x^2 - 4x + 3\). Wynik się zgadza.

**Odpowiedź:** \(f'(x) = 9x^2 - 4x + 3\).

## Przykład 4: Reguła ilorazu

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz \(f'(x)\).

**Krok 1: Nazwij licznik i mianownik.** Przyjmij \(u = 3x + 1\) oraz \(v = x^2 + 1\), wtedy \(u' = 3\) i \(v' = 2x\).

**Krok 2: Podstaw do wzoru na pochodną ilorazu.** Kolejność w liczniku jest istotna: najpierw pochodna licznika razy mianownik, potem odejmujesz.

$$f'(x) = \frac{3(x^2 + 1) - (3x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

**Krok 3: Uporządkuj licznik.**

$$f'(x) = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$$

**Odpowiedź:** \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 2x + 3}{(x^2+1)^2}\). Mianownik jest dodatni dla każdego \(x\), więc o znaku pochodnej decyduje wyłącznie licznik.

## Przykład 5: Równanie stycznej do wykresu

**Treść:** Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) w punkcie o odciętej \(x_0 = 2\).

**Krok 1: Policz rzędną punktu styczności.**

$$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$$

**Krok 2: Policz pochodną i jej wartość w \(x_0\).**

$$f'(x) = 3x^2 - 3, \qquad f'(2) = 12 - 3 = 9$$

**Krok 3: Podstaw do równania stycznej.** Styczna przechodzi przez punkt \((2, 3)\) i ma współczynnik kierunkowy \(9\).

$$y = 9(x - 2) + 3 = 9x - 15$$

**Odpowiedź:** \(y = 9x - 15\).

## Styczna do wykresu, czyli po co liczysz pochodną

Najczęstszy sposób, w jaki pochodna wchodzi do zadania, to styczna. Wzór jest jeden i wynika wprost z równania prostej o zadanym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez zadany punkt, które rozpisujemy we wpisie o [wyznaczaniu równania prostej](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty).

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$

Zadania na maturze rozszerzonej rzadko pytają wprost „wyznacz styczną". Częściej podają warunek na tę styczną i każą znaleźć punkt: styczna ma być równoległa do danej prostej (czyli \(f'(x_0)\) ma być równe jej współczynnikowi kierunkowemu), prostopadła do niej (iloczyn współczynników równy \(-1\)) albo nachylona do osi pod danym kątem (\(f'(x_0) = \mathrm{tg}\,\alpha\)). We wszystkich tych wariantach schemat jest ten sam: zamieniasz warunek geometryczny na równanie z pochodną, rozwiązujesz je i dopiero potem liczysz rzędną.

Zobacz to na jednym warunku. Szukasz punktu, w którym styczna do wykresu \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) jest równoległa do prostej \(y = 9x - 4\). Prosta ma współczynnik kierunkowy \(9\), więc warunek równoległości daje równanie \(f'(x_0) = 9\), czyli \(3x_0^2 - 3 = 9\). Stąd \(x_0^2 = 4\), a więc \(x_0 = 2\) albo \(x_0 = -2\). Punktów jest zatem dwa i oba trzeba w odpowiedzi wymienić, bo równanie kwadratowe rzadko ma tylko jedno rozwiązanie. Gdyby styczna miała być prostopadła do prostej o współczynniku \(m\), zamiast \(f'(x_0) = m\) rozwiązywałbyś \(f'(x_0) = -\frac{1}{m}\), a resztę robiłbyś identycznie. Warunki równoległości i prostopadłości prostych zebraliśmy we wpisie o [prostych równoległych i prostopadłych](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania).

**Uwaga:** styczna w punkcie o odciętej \(x_0\) i sieczna przechodząca przez dwa punkty wykresu to nie to samo. Sieczna ma współczynnik kierunkowy liczony z ilorazu różnicowego dla konkretnego przyrostu, a styczna z granicy tego ilorazu. W treści zadania rozstrzyga słowo „styczna", nie rysunek.

## Jak pochodna wchodzi do zadania maturalnego

W arkuszach rozszerzonych pochodna pojawia się w czterech powtarzalnych rolach i warto je rozpoznawać po pierwszym zdaniu polecenia.

**Rola pierwsza: policz wartość pochodnej.** Zadanie podaje wzór funkcji i pyta o \(f'(x_0)\) albo o współczynnik kierunkowy stycznej. Punkt dostajesz za poprawne zróżniczkowanie i podstawienie, więc liczy się wyłącznie rachunkowa staranność.

**Rola druga: warunek na styczną.** Zadanie opisuje styczną słowami (równoległa, prostopadła, przechodząca przez dany punkt) i każe znaleźć punkt styczności albo parametr we wzorze funkcji. Tu pochodna jest tylko pierwszym krokiem, a resztą jest zwykłe równanie.

**Rola trzecia: monotoniczność i ekstrema.** Zadanie prosi o przedziały monotoniczności, wartość ekstremalną albo wartość najmniejszą i największą w przedziale domkniętym. Rozwiązanie to zawsze pochodna, jej miejsca zerowe i tabela znaków.

**Rola czwarta: optymalizacja.** Zadanie opisuje figurę albo bryłę i każe znaleźć wymiary, przy których pewna wielkość jest największa lub najmniejsza. Najtrudniejszy jest tu nie rachunek, tylko zapisanie tej wielkości jako funkcji jednej zmiennej wraz z jej dziedziną, bo dopiero potem wchodzi pochodna.

We wszystkich czterech rolach schemat obliczeniowy jest ten sam, a różni je wyłącznie to, co trzeba zrobić przed policzeniem pochodnej i po odczytaniu jej znaku.

## Monotoniczność i ekstrema w skrócie

Drugie duże zastosowanie pochodnej to badanie przebiegu funkcji. Kolejność działań:

**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.** Bez niej reszta jest zgadywaniem.

**Krok 2: Policz pochodną i przyrównaj ją do zera.** Miejsca zerowe pochodnej to kandydaci na ekstrema.

**Krok 3: Zbadaj znak pochodnej.** Najwygodniej w tabeli: przedziały, znak \(f'\), strzałka monotoniczności.

**Krok 4: Odczytaj ekstrema.** Zmiana znaku z plusa na minus to maksimum lokalne, z minusa na plus to minimum lokalne.

Przy wielomianie znak pochodnej odczytasz z jej postaci iloczynowej, więc przyda się umiejętność [rozkładania wielomianu na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki). Przy funkcji wymiernej mianownik pochodnej jest kwadratem, czyli dodatni w całej dziedzinie, i o znaku decyduje sam licznik.

Weź \(f(x) = x^3 - 3x^2\) określoną dla każdej liczby rzeczywistej. Pochodna to \(f'(x) = 3x^2 - 6x\), a po wyciągnięciu wspólnego czynnika \(f'(x) = 3x(x-2)\). Miejsca zerowe pochodnej to \(x = 0\) i \(x = 2\), a znak iloczynu odczytujesz z paraboli o ramionach w górę: dodatni poza przedziałem \((0, 2)\), ujemny wewnątrz niego. Wniosek: funkcja rośnie w przedziale \((-\infty, 0\rangle\), maleje w \(\langle 0, 2 \rangle\) i znowu rośnie w \(\langle 2, +\infty)\). W \(x = 0\) pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc jest tam maksimum lokalne o wartości \(f(0) = 0\). W \(x = 2\) zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest tam minimum lokalne o wartości \(f(2) = 8 - 12 = -4\). Zauważ, że maksimum lokalne bywa mniejsze od wielu innych wartości funkcji: słowo „lokalne" znaczy dokładnie tyle, że porównujesz tylko z najbliższym otoczeniem.

## Typowe pułapki

**Pułapka:** miejsce zerowe pochodnej nie musi być ekstremum. Dla \(f(x) = x^3\) mamy \(f'(x) = 3x^2\), więc \(f'(0) = 0\), ale pochodna po obu stronach zera jest dodatnia i funkcja cały czas rośnie. Ekstremum wymaga ZMIANY znaku pochodnej, nie samego zera.

**Pułapka 2:** przy regule ilorazu łatwo zamienić kolejność w liczniku. Odejmowanie nie jest przemienne, więc \(u'v - uv'\) to nie to samo co \(uv' - u'v\); zamiana kolejności daje wynik przeciwny i najczęściej dokładnie odwrotne wnioski o monotoniczności.

**Pułapka 3:** punkt spoza dziedziny nigdy nie jest ekstremum. Funkcja \(f(x) = \frac{x^2+3}{x-1}\) nie ma ekstremum w \(x = 1\), bo w tym punkcie nie ma nawet wartości. W tabeli znaków taki punkt zaznaczasz pionową kreską, nie zerem pochodnej.

**Wskazówka egzaminacyjna:** w zadaniu na wartość najmniejszą i największą w przedziale domkniętym porównaj wartości funkcji w ekstremach ORAZ na końcach przedziału. Sama tabela znaków nie wystarczy, bo największa wartość często wypada właśnie na końcu przedziału.

**Zapamiętaj:** pochodna wielomianu stopnia \(n\) jest wielomianem stopnia \(n-1\). Jeśli po zróżniczkowaniu stopień się nie obniżył, gdzieś zgubiłeś wykładnik.

## Co musisz umieć

- Podać interpretację geometryczną pochodnej jako współczynnika kierunkowego stycznej.
- Policzyć pochodną wielomianu i funkcji zapisanej za pomocą pierwiastka lub ułamka.
- Zastosować regułę iloczynu i regułę ilorazu bez mylenia kolejności w liczniku.
- Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu w danym punkcie.
- Wyznaczyć przedziały monotoniczności z tabeli znaków pochodnej.
- Odróżnić kandydata na ekstremum od faktycznego ekstremum.
- Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji w przedziale domkniętym.

Quiz: Sprawdź się: pochodna w pięciu pytaniach

Pytanie: Pochodna funkcji \(f(x) = 5x^4\) jest równa
- A. \(5x^3\)
- B. \(20x^3\)
- C. \(4x^3\)
- D. \(20x^4\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Wykładnik schodzi przed \(x\) i maleje o jeden: \(5 \cdot 4x^3 = 20x^3\). Odpowiedź \(20x^4\) to zapomniane obniżenie wykładnika.

Pytanie: Ile wynosi pochodna funkcji stałej \(f(x) = 7\)?
- A. \(7\)
- B. \(0\)
- C. \(1\)
- D. \(7x\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Funkcja stała ma poziomy wykres, więc styczna też jest pozioma i jej współczynnik kierunkowy wynosi \(0\).

Pytanie: Jeśli \(f'(3) = -2\), to w otoczeniu punktu \(x = 3\) funkcja
- A. rośnie
- B. maleje
- C. ma minimum lokalne
- D. ma maksimum lokalne
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Ujemna wartość pochodnej oznacza opadającą styczną, czyli funkcję malejącą. Ekstremum wymagałoby wartości zerowej.

Pytanie: Pochodna iloczynu \(f(x) = x^2 \cdot (x+1)\) jest równa
- A. \(2x\)
- B. \(3x^2 + 2x\)
- C. \(2x(x+1)\)
- D. \(2x + 1\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Z reguły iloczynu: \(2x(x+1) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x\). Sam iloczyn pochodnych nie jest pochodną iloczynu.

Pytanie: Styczna do wykresu \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) jest pozioma. Wynika stąd, że
- A. \(f(x_0) = 0\)
- B. \(f'(x_0) = 0\)
- C. funkcja ma w \(x_0\) minimum
- D. funkcja ma w \(x_0\) maksimum
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Pozioma prosta ma współczynnik kierunkowy \(0\), więc \(f'(x_0) = 0\). O ekstremum decyduje dopiero zmiana znaku pochodnej.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy rozszerzonych, w których pochodna jest głównym narzędziem. Zacznij od tych, w których liczysz pochodną wprost, a potem przejdź do zadań ze styczną i ekstremum.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z rachunku różniczkowego (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Czy pochodna jest na maturze podstawowej?

Nie. Wszystkie zadania z rachunku różniczkowego w bazie Sprawnej Matury pochodzą z arkuszy rozszerzonych. Na poziomie podstawowym wartość najmniejszą i największą wyznacza się innymi narzędziami, na przykład postacią kanoniczną funkcji kwadratowej, o czym piszemy we wpisie o [najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale](/najmniejsza-najwieksza-wartosc-funkcji-kwadratowej-w-przedziale).

### Czy wzory na pochodne są w karcie wzorów?

Tak, wzory na pochodne podstawowych funkcji oraz reguły różniczkowania sumy, iloczynu i ilorazu znajdziesz w zestawie wzorów wydawanym na egzaminie. Nie zwalnia cię to z ich rozumienia: karta podaje wzór, ale nie podpowie, że w danym zadaniu trzeba najpierw zamienić pierwiastek na potęgę.

### Jak zapisać, że liczba jest pochodną w punkcie, a nie funkcją?

Zapis \(f'(x)\) oznacza funkcję pochodną, czyli wzór, a \(f'(x_0)\) to liczba, czyli wartość tej funkcji w konkretnym punkcie. W rozwiązaniu warto zapisać oba kroki osobno: najpierw ogólny wzór pochodnej, potem podstawienie. Egzaminator widzi wtedy, że liczba nie wzięła się znikąd.

### Co zrobić, gdy pochodna nie ma miejsc zerowych?

To poprawny wynik, nie błąd. Jeśli pochodna jest stale dodatnia albo stale ujemna, funkcja jest monotoniczna w całej dziedzinie i nie ma ekstremów. Przy pochodnej będącej trójmianem kwadratowym rozstrzyga o tym znak wyróżnika, który liczysz [wzorem na deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

### Czy do zadania optymalizacyjnego zawsze potrzebna jest pochodna?

Nie zawsze, ale prawie zawsze najszybciej jest właśnie z nią. Jeśli funkcja opisująca wielkość optymalizowaną okaże się kwadratowa, wystarczy wierzchołek paraboli. Gdy jest wielomianem stopnia trzeciego albo funkcją wymierną, pochodna jest jedynym rozsądnym narzędziem. Schemat całego typu zadań rozpisujemy w tekście o [zadaniach optymalizacyjnych](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka).

### Jak sprawdzić, czy dobrze policzyłem pochodną wielomianu?

Najprostszy test to stopień: pochodna wielomianu stopnia \(n\) ma stopień \(n-1\). Drugi test to wartość w wygodnym punkcie: policz pochodną dwoma drogami, na przykład regułą iloczynu i po wcześniejszym wymnożeniu nawiasów, i porównaj wyniki. Jeśli się różnią, błąd jest w jednej z dwóch dróg i zwykle widać go od razu.

### Czy funkcję wymierną zawsze trzeba różniczkować regułą ilorazu?

Nie zawsze i często szybciej jest bez niej. Jeśli mianownik jest jednomianem, wygodniej rozbić ułamek na sumę: \(\frac{x^3 + 5}{x} = x^2 + 5x^{-1}\), a taką sumę różniczkujesz składnik po składniku. Regułę ilorazu zostaw na przypadki, w których mianownik jest sumą, na przykład \(x^2 + 1\), bo tam rozbicie nic nie daje.

### Jak zapisać rozwiązanie, żeby dostać komplet punktów?

Zapisz cztery rzeczy w tej kolejności: dziedzinę funkcji, wzór pochodnej, rozwiązanie równania \(f'(x) = 0\) i wniosek o znaku pochodnej wraz z odczytanym ekstremum. Sam poprawny wynik bez zapisanego znaku pochodnej to rozwiązanie niepełne, bo nie widać, skąd wiadomo, że kandydat na ekstremum faktycznie nim jest. Ta sama zasada obowiązuje w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie trzeba jeszcze dopisać, że znaleziona wartość mieści się w dziedzinie wynikającej z treści.

### Czy pochodną można policzyć w punkcie, w którym funkcja nie jest określona?

Nie. Pochodna w punkcie wymaga, żeby funkcja była określona w otoczeniu tego punktu. Dlatego pierwszym krokiem badania funkcji wymiernej jest dziedzina, a punkty z niej wykluczone zaznaczasz w tabeli znaków pionową kreską i nigdy nie traktujesz ich jako ekstremów.


---
route: /nierownosci-wymierne-matura-jak-rozwiazac-krok-po-kroku
title: Nierówności wymierne na maturze - jak rozwiązać krok po kroku
description: Jak rozwiązywać nierówności wymierne metodą znaków krok po kroku, bez mnożenia przez mianownik z niewiadomą. 5 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Nierówności wymierne na maturze - jak rozwiązać krok po kroku

Nierówność wymierna to nierówność, w której niewiadoma występuje w mianowniku, np. \(\frac{x-2}{x+1} \ge 0\). Rozwiązujesz ją metodą znaków: sprowadzasz wszystko na jedną stronę, rozkładasz licznik i mianownik na czynniki, a potem badasz znak całego wyrażenia w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika. Nigdy nie mnożysz obu stron przez wyrażenie zawierające niewiadomą, bo nie wiesz, czy jest ono dodatnie, czy ujemne, więc nie wiesz, w którą stronę obrócić znak nierówności.

To jeden z trudniejszych tematów z działu [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), bo łączy w sobie kilka umiejętności naraz: rozkład na czynniki, wyznaczanie dziedziny i odczytywanie znaku wyrażenia z osi liczbowej. Jeśli metoda graficzna dla zwykłych [nierówności kwadratowych](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania) jest ci już znana, nierówności wymierne to naturalny kolejny krok. W tym artykule przejdziesz przez cały algorytm i 5 zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku, od najprostszego przypadku po porównanie dwóch wyrażeń wymiernych.

## Czym różni się nierówność wymierna od równania wymiernego

Równanie wymierne rozwiązujesz, szukając konkretnych wartości \(x\), dla których obie strony są sobie równe, więc masz skończony zbiór rozwiązań (punkty). Nierówność wymierna pyta o cały przedział wartości \(x\), dla których wyrażenie ma określony znak (dodatni, ujemny, nieujemny albo niedodatni). Rozwiązaniem jest suma przedziałów, a nie pojedyncze liczby.

## Dlaczego nie można mnożyć przez mianownik z niewiadomą

Mnożenie obu stron nierówności przez wyrażenie z niewiadomą jest niedozwolone, bo nie znasz znaku tego wyrażenia. Jeśli jest ono ujemne, znak nierówności trzeba odwrócić, a jeśli dodatnie, zostaje bez zmian. Skoro nie wiesz, który przypadek zachodzi, bo to zależy właśnie od \(x\), którego szukasz, nie możesz podjąć tej decyzji z góry.

Częsty błąd wygląda tak: z nierówności \(\frac{1}{x} > 2\) ktoś mnoży obie strony przez \(x\) i dostaje \(1 > 2x\), czyli \(x 2\) jest fałszywa (ułamek ujemny nie może być większy od \(2\)), a zbiór \(x 0\).

**Krok 1: Wyznacz miejsce zerowe licznika i mianownika.** Licznik: \(x=3\). Mianownik: \(x=-2\) (wykluczone z dziedziny).

**Krok 2: Zaznacz oba punkty na osi liczbowej.** Dzielą oś na trzy przedziały: \((-\infty,-2)\), \((-2,3)\), \((3,+\infty)\).

**Krok 3: Sprawdź znak w każdym przedziale.** Dla \(x=-3\): \(\frac{-3-3}{-3+2}=\frac{-6}{-1}=6>0\), spełnia. Dla \(x=0\): \(\frac{0-3}{0+2}=\frac{-3}{2}0\), spełnia.

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty,-2) \cup (3,+\infty)\).

## Zadanie 2: Nierówność wymierna z rozkładem na czynniki

**Zadanie:** Rozwiąż nierówność \(\frac{x^2-4}{x-1} \le 0\).

**Krok 1: Rozłóż licznik.** \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).

**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe.** Licznik: \(x=-2\) i \(x=2\) (włączone, bo nierówność nieostra). Mianownik: \(x=1\) (zawsze wykluczone).

**Krok 3: Zaznacz punkty na osi w kolejności.** \(-2, 1, 2\), czyli cztery przedziały.

**Krok 4: Sprawdź znak w każdym przedziale.** Dla \(x=-3\): \(\frac{(-3-2)(-3+2)}{-3-1}=\frac{(-5)(-1)}{-4}=\frac{5}{-4}0\), nie spełnia. Dla \(x=1{,}5\): \(\frac{(1{,}5-2)(1{,}5+2)}{1{,}5-1}=\frac{-1{,}75}{0{,}5}0\), nie spełnia.

**Krok 5: Uwzględnij punkty graniczne.** \(x=-2\) i \(x=2\) dołączasz, bo to zera licznika, a nierówność jest nieostra. \(x=1\) wykluczasz zawsze.

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, -2] \cup (1, 2]\).

## Zadanie 3: Nierówność wymierna z podwójnym pierwiastkiem w liczniku

**Zadanie:** Rozwiąż nierówność \(\frac{(x-1)^2}{x-4} \ge 0\).

**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.** Mianownik zeruje się dla \(x=4\), to jedyne wykluczenie.

**Krok 2: Zbadaj znak licznika.** \((x-1)^2 \ge 0\) dla każdego \(x\) i równa się zero tylko dla \(x=1\). Licznik nigdy nie jest ujemny, więc podwójny pierwiastek nie zmienia znaku całego wyrażenia przy przejściu przez \(x=1\), tylko dotyka zera w tym punkcie.

**Krok 3: Sprawdź znak mianownika.** Skoro licznik jest zawsze nieujemny (poza \(x=1\), gdzie wynosi 0), znak całego ułamka dla \(x \neq 1\) zależy wyłącznie od mianownika \(x-4\).

**Krok 4: Rozwiąż warunek na mianownik.** \(x-4>0\) daje \(x>4\), wtedy ułamek jest dodatni i spełnia \(\ge 0\).

**Krok 5: Dołącz punkt \(x=1\) osobno.** Dla \(x=1\) cały ułamek wynosi \(\frac{0}{1-4}=0\), co spełnia \(\ge 0\). Ten punkt należy do rozwiązania, mimo że leży daleko od przedziału \((4,+\infty)\).

**Odpowiedź:** \(x \in \{1\} \cup (4,+\infty)\).

## Zadanie 4: Nierówność wymierna sprowadzona do jednej strony

**Zadanie:** Rozwiąż nierówność \(\frac{x+1}{x-2} 0\), nie spełnia. Dla \(x=4\): \(\frac{-8+7}{4-2}=\frac{-1}{2}<0\), spełnia.

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, 2) \cup \left(\frac{7}{2}, +\infty\right)\).

## Zadanie 5: Porównanie dwóch wyrażeń wymiernych

**Zadanie:** Rozwiąż nierówność \(\frac{1}{x-1} \le \frac{1}{x+1}\).

**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.** \(x \neq 1\) i \(x \neq -1\).

**Krok 2: Sprowadź do jednej strony, nie mnóż na krzyż.**

$$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \le 0$$

**Krok 3: Sprowadź do wspólnego mianownika.**

$$\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} \le 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{x^2-1} \le 0$$

**Krok 4: Zbadaj znak.** Licznik \(2\) jest zawsze dodatni, więc znak całego wyrażenia zależy wyłącznie od mianownika. Ułamek jest ujemny, gdy \(x^2-1<0\), czyli gdy \(-1<x<1\).

**Odpowiedź:** \(x \in (-1, 1)\).

To pokazuje, dlaczego zakaz mnożenia przez mianownik z niewiadomą z początku artykułu ma znaczenie. Gdybyś pomnożył obie strony przez \((x-1)(x+1)\) bez sprawdzenia jego znaku, łatwo o błędny wynik.

## Typowe błędy przy nierównościach wymiernych

- Mnożenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą bez sprawdzenia jego znaku. To najczęstszy i najpoważniejszy błąd, prowadzi do utraty części rozwiązań albo dodania fałszywych.
- Włączanie miejsca zerowego mianownika do rozwiązania. Te punkty są wykluczone zawsze, niezależnie od tego, czy nierówność jest ostra, czy nieostra.
- Traktowanie podwójnego pierwiastka w liczniku tak samo jak pojedynczego. Wyrażenie w kwadracie nie zmienia znaku przy przejściu przez swoje miejsce zerowe, tylko go dotyka.
- Zapominanie o przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę przed sprowadzeniem do wspólnego mianownika, co prowadzi do błędnego licznika.
- Pomylenie kółka otwartego z zamkniętym przy zapisywaniu przedziału rozwiązania.

## Najczęstsze pytania

### Czym różni się nierówność wymierna od równania wymiernego?
Równanie wymierne ma skończony zbiór rozwiązań, czyli konkretne liczby, dla których obie strony są równe. Nierówność wymierna ma za rozwiązanie sumę przedziałów liczbowych, bo pyta o cały zakres wartości \(x\), dla których wyrażenie ma określony znak.

### Dlaczego nie można pomnożyć obu stron nierówności wymiernej przez mianownik z niewiadomą?
Bo nie znasz z góry znaku tego wyrażenia, a mnożenie nierówności przez liczbę ujemną odwraca jej znak, a przez dodatnią nie. Skoro znak zależy od szukanej wartości \(x\), nie możesz podjąć tej decyzji przed rozwiązaniem, dlatego zamiast mnożyć, sprowadzasz nierówność do postaci z zerem po jednej stronie.

### Co to jest metoda znaków i jak jej używać?
Metoda znaków polega na rozłożeniu wyrażenia na czynniki, zaznaczeniu wszystkich miejsc zerowych licznika i mianownika na osi liczbowej, a następnie sprawdzeniu znaku wyrażenia w każdym powstałym przedziale przez podstawienie przykładowej liczby. Na koniec odczytujesz przedziały, w których znak zgadza się z nierównością.

### Czy miejsce zerowe mianownika może należeć do rozwiązania nierówności wymiernej?
Nie, nigdy. Miejsce zerowe mianownika oznacza, że wyrażenie w ogóle nie jest tam określone, więc niezależnie od typu nierówności ten punkt zawsze zaznaczasz kółkiem otwartym i wykluczasz z odpowiedzi.

### Jak sprowadzić nierówność wymierną do postaci z zerem po jednej stronie?
Przenosisz cały wyraz z prawej strony na lewą, zmieniając jego znak, a następnie sprowadzasz otrzymane wyrażenie do wspólnego mianownika, tak by po prawej stronie nierówności zostało samo zero. Dopiero taką postać analizujesz metodą znaków.

### Czy nierówności wymierne pojawiają się na maturze podstawowej, czy tylko rozszerzonej?
Nierówności z niewiadomą w mianowniku należą przede wszystkim do zakresu rozszerzonego i pojawiają się w arkuszach z matematyki rozszerzonej. Na poziomie podstawowym częściej trafiają się [nierówności kwadratowe](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania) i liniowe bez niewiadomej w mianowniku, choć sama technika sprowadzania do wspólnego mianownika przydaje się też tam.

### Czym różni się ta metoda od rozwiązywania zwykłej nierówności kwadratowej?
Dochodzi dodatkowy krok: musisz uwzględnić miejsca zerowe mianownika, które zawsze są wykluczone z dziedziny, niezależnie od typu nierówności. W zwykłej nierówności kwadratowej martwisz się tylko o miejsca zerowe samego wielomianu.

## Checklista: co musisz umieć

- sprowadzić nierówność wymierną do postaci z zerem po jednej stronie, bez mnożenia przez wyrażenie z niewiadomą,
- rozłożyć licznik i mianownik na czynniki i wyznaczyć ich miejsca zerowe,
- zastosować metodę znaków: zbadać znak wyrażenia w każdym przedziale wyznaczonym przez te miejsca zerowe,
- pamiętać, że miejsca zerowe mianownika są zawsze wykluczone, a miejsca zerowe licznika dołączasz tylko przy nierówności nieostrej,
- rozpoznać przypadek podwójnego pierwiastka w liczniku, który nie zmienia znaku wyrażenia.

Jeśli metoda znaków sprawia ci trudność, wróć najpierw do [nierówności z wartością bezwzględną](/jak-rozwiazac-nierownosc-z-wartoscia-bezwzgledna). A jeśli wcześniej utknąłeś na skracaniu i działaniach na samych wyrażeniach wymiernych, bez znaku nierówności, zobacz osobny wpis o [wyrażeniach wymiernych i ułamkach algebraicznych](/wyrazenia-wymierne-matura-dziedzina-skracanie-dzialania). Pełną bazę zadań z tego działu znajdziesz na stronie [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /nierownosc-liniowa-jak-rozwiazac-najmniejsza-liczba-calkowita-matura
title: Nierówność liniowa - jak rozwiązać krok po kroku, zbiór rozwiązań i najmniejsza liczba całkowita (zadania maturalne)
description: Jak rozwiązać nierówność liniową z ułamkami, kiedy zmienić znak i jak znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność. 6 zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Nierówność liniowa - jak rozwiązać krok po kroku, zbiór rozwiązań i najmniejsza liczba całkowita (zadania maturalne)

Nierówność liniową, na przykład \(3x - 5  a\) | \((a, +\infty)\) | puste kółko |
| \(x \ge a\) | \(\langle a, +\infty)\) | zamalowane kółko |
| \(x  -3\). Mnożenie przez liczbę ujemną odbija liczby na osi względem zera, więc odwraca ich kolejność, a razem z nią nierówność.

Dzielenia przez liczbę ujemną możesz w ogóle uniknąć. Przenieś wyrazy z \(x\) na tę stronę, po której współczynnik wyjdzie dodatni. Nierówność \(6 - 9x  \frac{2}{3}$$

$$6 - 4  \frac{2}{3}$$

Wynik jest ten sam, a w drugiej wersji nie ma okazji zapomnieć o zmianie znaku. Uważaj też na współczynnik, który nie wygląda na ujemny: \(\sqrt{3} - 2\) jest ujemne, bo \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\). Dzielenie przez taką liczbę też odwraca znak.

Quiz: Sprawdź, czy pamiętasz o znaku

Pytanie: Dzielisz obie strony nierówności \(-4x > 12\) przez \(-4\). Co dostajesz?
- A. \(x > -3\)
- B. \(x  12\) wychodzi \(x  a\) najmniejszą liczbą całkowitą jest pierwsza liczba całkowita na prawo od \(a\). Przy \(x \ge a\) jest nią samo \(a\), jeśli \(a\) jest liczbą całkowitą.

| Wynik nierówności | Szukana liczba |
| --- | --- |
| \(x \ge 3\) | najmniejsza całkowita to \(3\) |
| \(x > 3\) | najmniejsza całkowita to \(4\) |
| \(x > -2{,}5\) | najmniejsza całkowita to \(-2\) |
| \(x \le \frac{15}{4}\) | największa całkowita to \(3\) |
| \(x  x^2 - 1 \;\Rightarrow\; x^2 + 6x + 9 > x^2 - 1 \;\Rightarrow\; 6x > -10 \;\Rightarrow\; x > -\frac{5}{3}$$

Do rozpisania kwadratu sumy potrzebujesz [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania). Zdarza się też, że po uproszczeniu znika całe \(x\). Wtedy patrzysz na to, co zostało:

- \(2(x + 1) > 2x - 5\) daje \(2 > -5\), zdanie prawdziwe, więc nierówność spełnia każda liczba rzeczywista,
- \(3x - 1  0, \qquad a \neq 0$$

Dzielenie przez liczbę dodatnią:

$$a > 0: \quad ax > c \iff x > \frac{c}{a}$$

Dzielenie przez liczbę ujemną:

$$a  c \iff x \) może stać dowolny inny znak nierówności. Zasada jest ta sama: dzielenie przez liczbę ujemną zamienia \(>\) na \( \frac{2}{3}$$

**Odpowiedź: D.** Zbiorem rozwiązań jest \(\left(\frac{2}{3}, +\infty\right)\). Odpowiedź B wybierze ten, kto podzieli \(-3x  \frac{20}{7}$$

**Krok 3: Zaokrąglij w dobrą stronę.** \(\frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\), czyli trochę mniej niż \(3\). Rozwiązania to liczby większe od \(2\frac{6}{7}\), więc pierwsza liczba całkowita w tym zbiorze to \(3\). Sprawdzenie: dla \(x = 3\) lewa strona to \(\frac{5 \cdot 1}{2} = 2{,}5\), a \(2{,}5  -2{,}5\) to \(-2\), bo leży na prawo od \(-2{,}5\). Liczba \(-3\) jest mniejsza od \(-2{,}5\), więc tej nierówności nie spełnia.

**Wskazówka:** Sprawdź odpowiedź podstawieniem. Wstaw wybraną liczbę całkowitą i jej sąsiada spoza zbioru do nierówności wyjściowej. Pierwsza liczba musi ją spełnić, druga nie. To pół minuty, a wyłapuje zgubiony znak.

**Zapamiętaj:** Nierówność ostra (\(\)) nie obejmuje końca przedziału, więc przy końcu stoi nawias okrągły i puste kółko na osi. Nierówność nieostra (\(\le\), \(\ge\)) obejmuje koniec: nawias ostry albo kwadratowy i zamalowane kółko.

## Co musisz umieć

- Pomnożyć nierówność przez wspólny mianownik tak, żeby każdy wyraz został pomnożony.
- Poprawnie opuścić nawias po minusie stojącym przed ułamkiem.
- Wiedzieć, kiedy znak nierówności się zmienia, a kiedy nie.
- Zapisać wynik jako przedział z właściwymi nawiasami i zaznaczyć go na osi liczbowej.
- Znaleźć najmniejszą albo największą liczbę całkowitą w zbiorze rozwiązań, także gdy granica jest ujemna.
- Policzyć liczby całkowite w przedziale wzorem \(n - m + 1\).

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania maturalne z nierówności liniowych: zbiory rozwiązań z ułamkami i jedno pytanie o największą liczbę całkowitą. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), a przegląd wszystkich typów nierówności z matury masz we wpisie [nierówności na maturze: liniowe, kwadratowe i z wartością bezwzględną](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody). Nierówności z modułem, które na osi wyglądają podobnie, rozwiązuje się inaczej: opisuję je we wpisie [jak rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną](/jak-rozwiazac-nierownosc-z-wartoscia-bezwzgledna).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z równań i nierówności (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak rozwiązać nierówność liniową?

Tak jak równanie liniowe: pozbądź się ułamków, wymnóż nawiasy, przenieś wyrazy z \(x\) na jedną stronę, a liczby na drugą, i podziel przez współczynnik przy \(x\). Jeśli ten współczynnik jest ujemny, zmień znak nierówności na przeciwny. Wynik zapisz jako przedział.

### Kiedy zmienia się znak nierówności?

Tylko przy mnożeniu albo dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Przenoszenie wyrazów na drugą stronę, dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez liczbę dodatnią znaku nie zmieniają.

### Jak znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność?

Rozwiąż nierówność do postaci \(x > a\) albo \(x \ge a\) i zaznacz \(a\) na osi. Najmniejsza liczba całkowita to pierwsza liczba całkowita w zaznaczonym zbiorze: przy \(x \ge a\) i całkowitym \(a\) jest nią samo \(a\), w pozostałych przypadkach najbliższa liczba całkowita na prawo od \(a\).

### Ile liczb całkowitych spełnia nierówność podwójną?

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(m\) i największą \(n\), które spełniają obie części nierówności, i policz \(n - m + 1\). Dla \(4  -5\), oznacza, że nierówność spełnia każda liczba rzeczywista. Fałszywe, jak \(-1 < -3\), oznacza, że nierówność nie ma rozwiązań.

### Czym różni się nierówność liniowa od kwadratowej?

W liniowej \(x\) występuje najwyżej w pierwszej potędze, a zbiorem rozwiązań jest półprosta, cała oś albo zbiór pusty. W kwadratowej zostaje \(x^2\) i potrzebujesz miejsc zerowych oraz szkicu paraboli. Uważaj na nierówności, które tylko wyglądają na kwadratowe: po wymnożeniu \(x^2\) potrafi się skrócić.


---
route: /minimum-30-punktow-matura-matematyka-ktore-zadania-robic
title: Minimum 30 punktów z matury z matematyki - które zadania robić, żeby zdać (strategia 2027)
description: Jakie zadania dają Ci 30% na maturze z matematyki 2027? Konkretna lista typów zadań do zrobienia zawsze i do pominięcia. Strategia na zdanie egzaminu.
author: Marcel Bogdan
---

# Minimum 30 punktów z matury z matematyki - które zadania robić, żeby zdać (strategia 2027)

Matura z matematyki zbliża się coraz szybciej, a Ty na próbnych napisałeś pomiędzy 20% a 40% i boisz się, że nie zdasz. Zła wiadomość: nie zdążysz już opanować całego materiału. Dobra wiadomość: **żeby zdać, potrzebujesz 30% z 50 punktów, czyli 15 punktów**. Tego naprawdę można dopilnować w ostatnim tygodniu, jeśli wiesz, na czym się skupić.

Ten tekst pokazuje Ci konkretnie które zadania robić, a których nie ruszać, żeby zmaksymalizować szansę na 15+ punktów. Nie jest to strategia na 70%, tylko na **zdanie** egzaminu. Jeśli celujesz wyżej, zajrzyj do [pełnego planu powtórek](/matura-matematyka-za-miesiac-plan-nauki-kwiecien-maj).

## Jak punktowany jest arkusz maturalny 2027

Arkusz na poziomie podstawowym ma **50 punktów**:
- 24 zadania zamknięte (po 1 pkt każde) - razem 24 punkty,
- 13 zadań otwartych - razem 26 punktów.

Żeby zdać, musisz mieć **15 punktów**. Matematycznie: jeśli zrobisz dobrze **15 zadań zamkniętych**, zdajesz. To 30% arkusza. To jest w zasięgu.

Szczegóły punktacji masz w [przewodniku po ocenianiu CKE](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Zasada nr 1 - zaczynaj od zamkniętych

24 zadania zamknięte dają Ci 24 potencjalne punkty. Każde z nich wymaga **pojedynczej decyzji**: A, B, C czy D. Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać - zgadujesz z 25% szansą na trafienie, co statystycznie daje około 6 punktów "za darmo" z 24 zamkniętych.

**Priorytetowa kolejność rozwiązywania:**

1. Przeleć wszystkie 24 zamknięte, rób te, które znasz od razu. Reszta - zostaw na później.
2. Wróć do trudniejszych zamkniętych - spróbuj eliminacji odpowiedzi. Często dwie są absurdalne.
3. Na koniec wypełnij wszystkie pola, nawet jeśli zgadujesz. **Nie zostawiaj żadnego niewypełnionego**.
4. Dopiero potem ruszaj zadania otwarte.

## Które zadania zamknięte są najłatwiejsze

Z analizy 16 roczników arkuszy CKE 2010-2025 wynika, że następujące typy zadań zamkniętych pojawiają się **co roku** i są najłatwiejsze:

**Zawsze są i zawsze są łatwe:**
- Obliczenia procentowe (podwyżka, obniżka, procent składany) - 1-2 zadania.
- Wzory skróconego mnożenia - 1 zadanie.
- Pierwiastki i potęgi (\(2^{10}\), \(\sqrt{8}\), itp.) - 1-2 zadania.
- Logarytmy (definicja, \(\log_2 8\), \(\log \frac{a}{b}\)) - 1-2 zadania.
- Funkcja kwadratowa (wierzchołek, miejsca zerowe) - 1-2 zadania.
- Średnia arytmetyczna z tabeli - 1 zadanie.
- Ciąg arytmetyczny (wzór na sumę, różnica) - 1 zadanie.
- Prawdopodobieństwo klasyczne (urna, kostka) - 1 zadanie.
- Pole/objętość sześcianu lub prostopadłościanu - 1 zadanie.
- Wyznaczanie współrzędnych środka odcinka - 1 zadanie.

Policz krotności z listy wyżej: w najgorszym razie to 10 zadań, w najlepszym 14. Jeśli opanujesz te typy, masz więc **10-14 punktów** z samych zamkniętych, czyli jesteś 1-5 punktów od progu 15. To jeszcze nie jest zdana matura i nie chcę Cię oszukać: to jest baza, do której trzeba dołożyć resztę. Reszta bierze się z dwóch miejsc: ze strzałów w pozostałych zadaniach zamkniętych (każdy daje 25% szansy) i z jednego krótkiego zadania otwartego za 1 albo 2 punkty.

## Priorytetowa lista powtórek na tydzień przed maturą

**Dzień 1 - Procenty i obliczenia liczbowe.** Przerób [artykuł o procencie składanym](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki), potem 10 zadań z [kategorii Procenty](/topics/procenty). Efekt: 1-2 pewne punkty.

**Dzień 2 - Potęgi, pierwiastki, logarytmy.** [Artykuł o logarytmach](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku), [potęgi wykładnik wymierny](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc), 15 zadań łącznie. Efekt: 2-3 punkty.

**Dzień 3 - Funkcja kwadratowa.** [Wierzchołek paraboli](/jak-znalezc-wierzcholek-paraboli), [delta i równanie kwadratowe](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe). 10 zadań. Efekt: 2 punkty.

**Dzień 4 - Ciągi i statystyka.** [Suma ciągu](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego), [średnia mediana dominanta](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania). 10 zadań. Efekt: 2-3 punkty.

**Dzień 5 - Geometria.** [Trójkąty szczególne 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), [pole trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura). 10 zadań. Efekt: 2 punkty.

**Dzień 6 - Prawdopodobieństwo, geometria analityczna.** [Prawdopodobieństwo klasyczne](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania), [środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne). 10 zadań. Efekt: 2 punkty.

**Dzień 7 - Ekspresowa powtórka i arkusz próbny.** Zrób [ekspresową powtórkę](/ekspresowa-powtorka-caly-material-maturalny-1-dzien) i jeden arkusz próbny na czas. Sprawdź wyniki.

Zsumuj pola "Efekt": daje to statystycznie **11-14 punktów** z samych zamkniętych. Do progu 15 brakuje wtedy 1-4 punktów i to jest dokładnie ta luka, którą domykasz jednym albo dwoma krótkimi zadaniami otwartymi (patrz sekcja niżej: równanie kwadratowe, pole trapezu). W arkuszu z maja 2026 zadań otwartych za 1 albo 2 punkty jest jedenaście, więc jest z czego wybierać.

## Których zadań NIE warto robić

Jeśli Twój czas jest ograniczony, **pomijaj** następujące typy zadań otwartych:

- **Dowody** (zwykle za 2-3 pkt) - trudne do poprawnego zapisu, wysokie ryzyko zera nawet przy dobrym pomyśle. [Jak pisać dowody, jeśli spróbujesz](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).
- **Stereometria z kątami dwuściennymi** (na podstawie za 3-4 pkt) - wymaga dobrego rysunku i kilku wzorów jednocześnie. Czasochłonne.
- **Zadania optymalizacyjne** (na podstawie za 3-4 pkt) - wymagają zbudowania wzoru z jedną zmienną i zbadania go bez pochodnej, której na poziomie podstawowym nie ma. Szczególnie trudne.
- **Funkcja wykładnicza / równania** - jeśli nie opanowałeś, pomijaj.
- **Zadania z parametrem** - wymagają pewnej elastyczności algebraicznej.

**Zamiast** tego poświęć czas na:

- Zadania zamknięte z kwadratowej, procentów, ciągów.
- Krótkie otwarte (2 pkt) - np. rozwiąż równanie kwadratowe, oblicz pole trapezu.

## Taktyka na samym egzaminie

Egzamin trwa **180 minut**, czyli dokładnie trzy godziny. Rozłóż je tak:

**Pierwsza godzina (60 minut)** - rób wszystkie zamknięte. Nie zacinaj się na trudnym przez więcej niż 3 minuty - zostaw i wróć później.

**Druga godzina (60 minut)** - wróć do trudniejszych zamkniętych (spróbuj eliminacji). Potem zacznij krótkie otwarte (2-3 pkt).

**Trzecia godzina (60 minut)** - dokończ otwarte i zostaw sobie w niej **ostatnie 20 minut jako rezerwę**: przejrzyj jeszcze raz wszystkie zamknięte i upewnij się, że **każde pole w karcie odpowiedzi jest wypełnione**, nawet jeśli zgadywałeś. Typowo 2-3 punkty znajdujesz ponownie w tym przeglądzie.

Czwartej godziny nie ma, więc rezerwa musi zmieścić się wewnątrz trzeciej.

## Technika eliminacji w zadaniach zamkniętych

Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania, często można **wyeliminować** 2-3 odpowiedzi:

**1. Sensowność wymiaru.** Jeśli zadanie pyta o pole, a jedna z odpowiedzi to ujemna liczba - odrzuć.

**2. Rząd wielkości.** Liczysz odległość dwóch punktów odległych o 3 jednostki, a odpowiedź jest 100 - odrzuć.

**3. Podstawienie.** Np. równanie \(x^2 - 4 = 0\) - sprawdź każdą odpowiedź po kolei podstawiając do równania.

**4. Znak.** Sinus kąta ostrego jest dodatni, ujemne odpowiedzi odrzuć.

**5. Wartość szczególna.** Dla \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) - odrzuć odpowiedzi dalekie od \(\frac{1}{2}\).

Eliminacja z 4 odpowiedzi do 2 zmienia Twoje szanse trafienia z 25% na 50% - to statystycznie daje Ci dodatkowe 3-4 punkty z samego arkusza zamkniętego.

## Jak się nie wyłożyć na kalkulatorze

**1. Kalkulator zwykły (prosty).** Tylko taki wolno. Sprawdź, czy działa, zabierz zapasowe baterie.

**2. Nie ufaj ekranowi na 100%.** Nawet kalkulator nie chroni przed błędem wprowadzenia. Zrób rachunek ręcznie dla kontroli.

**3. Uwaga na priorytety.** \(-3^2 = -9\) (bo minus jest przed potęgą), ale \((-3)^2 = 9\). Kalkulator może dać różny wynik w zależności od tego, jak wprowadzisz.

**4. Ułamki w pamięci kalkulatora.** Niektóre modele mają dedykowany tryb ułamków - używaj go, nie przeliczaj na dziesiętne, tracisz dokładność.

**5. Zera na końcu.** \(8{,}5 \cdot 100 = 850\), nie 8500. Banalne? Sprawdź ile razy popełniłeś ten błąd na próbnej.

## Co zabrać na maturę

- Legitymacja/dowód (absolutny priorytet).
- Długopis z **czarnym** tuszem (przynajmniej dwa).
- Ołówek, gumka, linijka, ekierka, cyrkiel.
- Kalkulator zwykły (sprawdzony, z zapasowymi bateriami).
- Woda w butelce (przezroczysta).
- Tabliczka czekolady lub batonik (cukier na mózg).
- Zegarek analogowy (na sali nie zawsze jest zegar).

Pełna checklista: [co zabrać na maturę 2027](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista).

## Najczęstsze błędy, które kosztują punkty

**1. Niewypełnione karty odpowiedzi.** Nawet jeśli zgadywałeś, wpisz. 0 zawsze przegrywa z 25% szansy.

**2. Pomyłki w przepisywaniu.** Zadanie masz dobrze, ale z karty odczytów przepisujesz źle. Sprawdzaj dwukrotnie.

**3. Porzucanie zadania po 5 sekundach.** Daj sobie 2-3 minuty na przemyślenie. Czasem klucz znajduje się po chwili.

**4. Zapominanie o znakach.** Ujemny wynik w zadaniu gdzie szukasz długości? Błąd. Dodatni gdzie oczekiwany jest ujemny? Błąd.

**5. Za mało rozwiązań wielu przypadków.** Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Równanie z wartością bezwzględną - często dwa przypadki. Pomyśl o obu.

Pełna lista: [20 typowych błędów na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

## Co jeśli po arkuszu czujesz, że nie zdałeś

Po pierwsze: **to naturalne**. Większość zdających tak się czuje i jednak zdaje. Matura pozostaje surowym kryterium, ale próg 30% jest niski i CKE stara się, żeby 15 punktów było do zdobycia.

Po drugie: **wyniki są zwykle lepsze, niż myślisz**. Zadania otwarte oceniane są elastycznie - nawet częściowe rozwiązanie daje 1-2 punkty. "Nic nie umiałem" często okazuje się 18-20 punktami.

Po trzecie: **matura poprawkowa w sierpniu**. Jeśli nie zdasz, masz drugą szansę. Szczegóły w [przewodniku po maturze poprawkowej](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady).

## Psychologia egzaminu

**Sen.** Dobrze wyśpij się w nocy przed maturą. Uczenie się po 2:00 daje mniej niż świeży mózg następnego dnia.

**Śniadanie.** Lekkie, ale nie na głodniaka. Owsianka, jajka, banan. Unikaj ciężkich smaków.

**W drodze.** Nie czytaj żadnych nowych rzeczy. Jeśli coś, to tylko spokojny przegląd wzorów, które już znasz.

**Przed salą.** Nie rozmawiaj z osobami w panice. Oddalaj się od nerwowych. Posłuchaj spokojnej muzyki.

**Na sali.** Pierwsze 5 minut - przejrzyj cały arkusz. Zaznacz w głowie, które zadania są łatwe. Potem zaczynaj.

**Jeśli tracisz koncentrację.** Wstań, obróć się, zamknij oczy na 30 sekund, pooddychaj. Wróć świeży.

[Techniki antystresowe](/radzenie-sobie-ze-stresem-matura-matematyka-techniki) i [plan dnia przed maturą](/dzien-przed-matura-matematyka-co-robic) masz w osobnych artykułach.

## Checklista - ostatni tydzień przed maturą

- Przerobione typy zadań: procenty, logarytmy, kwadratowa, ciągi, statystyka, trójkąty.
- Wzory na kartce: delta, suma ciągu, pole trójkąta, logarytmy, procent składany.
- Sprawdzony kalkulator i zapasowe baterie.
- Legitymacja w widocznym miejscu.
- Czarne długopisy, ołówek, cyrkiel, linijka, ekierka.
- Plan na sam egzamin (najpierw zamknięte, potem krótkie otwarte, wypełnić wszystko).
- Techniki eliminacji w zadaniach zamkniętych.
- Spokojny wieczór i 8 godzin snu.

**Masz 30%? Masz zdaną maturę.** Trzymaj się tej strategii i nie marnuj czasu na rzeczy, których nie dasz rady opanować. Skup się na tym, co jesteś w stanie ogarnąć. Powodzenia!

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2010 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku
description: Arkusz matura maj 2010 z matematyki: rozkład kategorii i punktów, poziom trudności oraz rozwiązania wybranych zadań krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Matura maj 2010 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

## O arkuszu - Matura maj 2010

Matura z matematyki w maju 2010 roku przeszła do historii jako pierwszy egzamin w nowej formule. To był przełomowy moment - koniec ze starym systemem, początek ery nowych standardów. Arkusz zawierał 34 zadania, w naszej bazie warte łącznie 49 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli zaledwie 15 punktów, ale statystyki pokazały, że wielu maturzystów miało problem z tym arkuszem. Główny powód? Absolutna dominacja [planimetrii](/topics/planimetria) - aż 9 zadań z tego działu, co stanowiło prawie 30% punktów do zdobycia. W późniejszych latach CKE bardziej zbalansowała arkusze, ale w 2010 roku wiedza o trójkątach, wielokątach i okręgach była absolutnie kluczowa. Jeśli analizujesz stare arkusze w ramach przygotowań, ten egzamin pokaże Ci, jak ważne jest opanowanie wszystkich działów - żaden temat nie jest "mało ważny". Wszystkie zadania z tego arkusza znajdziesz w naszej [kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), gdzie możesz ćwiczyć je w trybie interaktywnym.

## Rozkład kategorii w arkuszu

| Kategoria | Liczba zadań | Punkty | Procent arkusza |
|-----------|--------------|--------|-----------------|
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 9 | 14 | 28.6% |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 6 | 8 | 16.3% |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 | 12.2% |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 4 | 8.2% |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 3 | 6.1% |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 | 6.1% |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 | 4.1% |
| Inne | 8 | 9 | 18.4% |

Jak widzisz, planimetria to był absolutny boss tego arkusza. 14 z 49 punktów, jakie ten arkusz ma w naszej bazie! To więcej niż równania i nierówności, które zazwyczaj dominują na maturze. Taka struktura wymuszała solidne przygotowanie z geometrii płaskiej - nie dało się zdać tego egzaminu, ignorując trójkąty i okręgi. Drugi istotny wniosek: stereometria również miała spory udział (6 punktów), więc geometria przestrzenna też wymagała uwagi. W kategorii "Inne" ukryte są pojedyncze zadania z procentów, potęg, logarytmów, wyrażeń algebraicznych, funkcji kwadratowej, funkcji liniowej i statystyki, a do tego jedno zadanie na dowód nierówności - w naszej bazie razem 8 zadań za 9 punktów.

## Poziom trudności

**Zadania za 1 punkt (w naszej bazie 25 zadań za 25 punktów):** Wszystkie zadania o numerach od 1 do 25 - proste obliczenia, podstawowe wzory, rozpoznawanie własności. To był fundament, na którym budowało się zaliczenie matury. Przykłady: oblicz wartość wyrażenia z potęgami, wskaż równanie okręgu o danym promieniu, policz przekątne wielokąta foremnego, oblicz procent z liczby.

**Zadania za 2 punkty (w naszej bazie 6 zadań za 12 punktów):** Zadania o numerach od 26 do 31. Wymagały dwóch, trzech kroków rozumowania, zastosowania kilku wzorów.

**Zadania za 4 punkty (w naszej bazie 3 zadania, o numerach 32, 33 i 34):** Wymagały złożonego rozumowania i połączenia wiedzy z kilku działów. To tutaj rozgrywały się losy najwyższych wyników.

## Rozwiązania wybranych zadań

Wybraliśmy osiem zadań z ośmiu różnych działów, po jednym na dział: pięć zamkniętych za 1 punkt, dwa otwarte za 2 punkty i jedno otwarte za 4 punkty (punktacja z naszej bazy). Kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i rozwiązać zadanie w aplikacji; rozwiązanie krok po kroku rozwija się pod kartą.

### Procenty (zadanie 2)

Cena po obniżce to nie jest procent obniżki, tylko reszta, która po niej zostaje - i na tym potyka się większość osób rozwiązujących to zadanie w pośpiechu. Wskazówka: oznacz cenę sprzed obniżki literą i zapisz jedno równanie, zamiast podstawiać kolejne odpowiedzi.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-02

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy przez \(x\) cenę spodni przed obniżką. Obniżka o \(30\%\) zabiera \(0{,}3x\), więc do zapłaty zostaje:

$$x - 0{,}3x = 0{,}7x$$

Tę kwotę znamy z treści, to \(126\) zł:

$$0{,}7x = 126$$

$$x = \frac{126}{0{,}7} = 180$$

**Odpowiedź:** B, czyli \(180\) zł

Najczęstszy błąd to potraktowanie \(126\) zł jako ceny wyjściowej i doliczenie do niej \(30\%\) - wychodzi wtedy \(163{,}80\) zł, czyli odpowiedź A. Procent zawsze liczy się od wielkości sprzed zmiany, a tej właśnie w tym zadaniu szukamy. Sprawdzenie jest natychmiastowe: \(30\%\) ze \(180\) zł to \(54\) zł, a \(180 - 54 = 126\). Więcej takich schematów zebraliśmy w dziale [procenty](/topics/procenty).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-02)

---

### Logarytmy (zadanie 4)

Obie liczby to logarytmy o tej samej podstawie, więc nie trzeba liczyć żadnej z nich osobno. Wskazówka: suma logarytmów o wspólnej podstawie to logarytm iloczynu.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-04

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$

Stąd:

$$\log_4 8 + \log_4 2 = \log_4 (8 \cdot 2) = \log_4 16$$

Zostaje pytanie, do jakiej potęgi podnieść \(4\), żeby dostać \(16\). Ponieważ \(4^2 = 16\):

$$\log_4 16 = 2$$

**Odpowiedź:** B, czyli \(2\)

Drugi sposób prowadzi do tego samego wyniku i bywa szybszy, gdy podstawa nie jest tak wygodna: \(8 = 4^{\frac{3}{2}}\) oraz \(2 = 4^{\frac{1}{2}}\), więc \(\log_4 8 = \frac{3}{2}\), \(\log_4 2 = \frac{1}{2}\), a suma tych ułamków to \(2\). Komplet wzorów, bez których to zadanie robi się długie, znajdziesz w przewodniku po [logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-04)

---

### Ciągi (zadanie 12)

Między pierwszym a czwartym wyrazem ciągu są trzy kroki, nie cztery - to jedyne miejsce, w którym łatwo się tu pomylić. Wskazówka: zapisz czwarty wyraz wzorem ogólnym ciągu geometrycznego i rozwiąż równanie z niewiadomym ilorazem.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-12

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Wyraz ogólny ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\):

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

Dla \(n = 4\) daje to:

$$a_4 = a_1 \cdot q^3$$

Podstawiamy dane z treści, czyli \(a_1 = 3\) i \(a_4 = 24\):

$$24 = 3 \cdot q^3$$

$$q^3 = 8$$

$$q = 2$$

**Odpowiedź:** B, czyli \(2\)

Sprawdzenie zajmuje chwilę i warto je zrobić: \(3, 6, 12, 24\) to rzeczywiście ciąg geometryczny o ilorazie \(2\). Pułapka siedzi w wykładniku - kto zapisze \(a_4 = a_1 \cdot q^4\), dostanie \(q^4 = 8\) i utknie. Cały dział z przykładami omawiamy w przewodniku po [ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-12)

---

### Planimetria (zadanie 18)

Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg dzieli ten okrąg na trzy jednakowe łuki, więc odpowiedź da się podać bez jednego obliczenia na kartce. Wskazówka: kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku są ze sobą związane stałą zależnością.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-18

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu i tworzą trójkąt równoboczny, więc dzielą okrąg na trzy łuki jednakowej długości. Pełny kąt ma \(360^\circ\), zatem kąt środkowy oparty na jednym z tych łuków ma miarę:

$$\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$$

Do tego samego wyniku prowadzi twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym. Kąt wpisany \(ACB\) jest kątem trójkąta równobocznego, czyli ma \(60^\circ\), a kąt środkowy oparty na tym samym łuku \(AB\) jest od niego dwa razy większy:

$$|\angle ASB| = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$

**Odpowiedź:** A, czyli \(120^\circ\)

Zależność "kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku" wraca w [planimetrii](/topics/planimetria) niemal co roku i warto ją mieć w palcach razem z jej konsekwencją: kąt wpisany oparty na średnicy ma \(90^\circ\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-18)

---

### Geometria analityczna (zadanie 22)

Trójkąt jest równoboczny, więc cała robota to policzenie jednego boku. Wskazówka: obwód jest potrojoną odległością danych punktów, a odległość liczy się wzorem, który jest twierdzeniem Pitagorasa w przebraniu.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-22

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Długość odcinka o końcach \(A = (x_A, y_A)\) i \(B = (x_B, y_B)\) liczymy ze wzoru:

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Podstawiamy \(A = (-5, 2)\) oraz \(B = (3, -2)\):

$$|AB| = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2}$$

$$|AB| = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, więc każdy jego bok ma tę samą długość, a obwód wynosi:

$$\text{Obw} = 3 \cdot 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$$

**Odpowiedź:** C, czyli \(12\sqrt{5}\)

Pułapka siedzi w odejmowaniu liczby ujemnej: \(3 - (-5) = 8\), a nie \(-2\). Kto pomyli tu znak, policzy \(\sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}\), dostanie obwód \(6\sqrt{5}\) i nie znajdzie takiej odpowiedzi wśród podanych. Warto też zauważyć, że \(\sqrt{80}\) trzeba uprościć do \(4\sqrt{5}\), bo w odpowiedziach nie ma postaci nieuproszczonej. Podstawy działu zebraliśmy w przewodniku po [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-22)

---

### Równania i nierówności (zadanie 27)

Wielomian trzeciego stopnia o czterech wyrazach prawie zawsze rozkłada się przez grupowanie. Wskazówka: pogrupuj dwa pierwsze wyrazy i dwa ostatnie, a potem wyłącz przed nawias to, co się powtarza.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-27

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Grupujemy wyrazy parami:

$$x^3 - 7x^2 - 4x + 28 = (x^3 - 7x^2) - (4x - 28)$$

Z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik:

$$x^2(x - 7) - 4(x - 7)$$

Teraz powtarza się cały nawias \((x - 7)\), więc wyłączamy i jego:

$$(x - 7)(x^2 - 4)$$

Drugi nawias to różnica kwadratów:

$$(x - 7)(x - 2)(x + 2) = 0$$

Iloczyn jest równy zero dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników:

$$x = 7 \quad \text{lub} \quad x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2$$

**Odpowiedź:** \(x = -2\) lub \(x = 2\) lub \(x = 7\)

W zadaniu otwartym liczy się kompletność: pominięcie choćby jednego z trzech pierwiastków to odpowiedź niepełna, mimo poprawnego rozkładu. Warto też zapisać sam rozkład, a nie tylko wynik - to on jest właściwym rozumowaniem. Kolejne typy równań i nierówności przećwiczysz w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-27)

---

### Inne (zadanie 30)

W dowodzie nierówności rzadko chodzi o sprytny pomysł, częściej o doprowadzenie obu stron do postaci, o której z góry wiadomo, że jest prawdziwa. Wskazówka: pomnóż obie strony przez mianownik, korzystając z tego, że przy założeniu z treści jest on dodatni, i zbij wszystko do jednego kwadratu.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-30

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Z założenia \(a > 0\), więc \(a + 1 > 0\), a to znaczy, że wolno pomnożyć obie strony przez \(2(a + 1)\) bez zmiany kierunku nierówności. Wychodzimy od tezy:

$$\frac{a^2 + 1}{a + 1} \ge \frac{a + 1}{2}$$

Po pomnożeniu stronami przez \(2(a + 1)\):

$$2(a^2 + 1) \ge (a + 1)^2$$

Rozwijamy obie strony:

$$2a^2 + 2 \ge a^2 + 2a + 1$$

Przenosimy wszystko na lewą stronę i redukujemy:

$$a^2 - 2a + 1 \ge 0$$

Lewa strona jest kwadratem różnicy:

$$(a - 1)^2 \ge 0$$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ta nierówność jest prawdziwa zawsze. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem prawdziwa jest również nierówność wyjściowa. Równość zachodzi dokładnie dla \(a = 1\), co kończy dowód.

**Odpowiedź:** dowód zakończony; nierówność jest prawdziwa dla każdego \(a > 0\), a równość zachodzi dla \(a = 1\)

Newralgiczne miejsce tego dowodu to zdanie o znaku wyrażenia \(a + 1\). Bez powołania się na założenie \(a > 0\) mnożenie stronami nie jest uzasadnione i rozumowanie ma lukę, nawet jeśli końcowy rachunek się zgadza. O tym, jak zapisywać takie zadania, żeby nic nie zgubić po drodze, piszemy w poradniku [jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-30)

---

### Stereometria (zadanie 32)

Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa, czyli jest prostopadła do całej płaszczyzny podstawy - a stąd wynika, że trójkąty \(ABD\) i \(ACD\) są prostokątne. Wskazówka: najpierw wyznacz krawędzie podstawy z twierdzenia Pitagorasa, dopiero potem licz pole podstawy.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-32

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

**Rozwiązanie:**

Skoro \(AD\) jest wysokością ostrosłupa, to \(AD \perp AB\) oraz \(AD \perp AC\). Trójkąt \(ABD\) jest więc prostokątny, a jego przeciwprostokątną jest \(BD\):

$$|AB| = \sqrt{|BD|^2 - |AD|^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$

Tak samo liczymy w trójkącie \(ACD\), bo \(|CD| = |BD|\):

$$|AC| = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$$

Podstawa \(ABC\) jest zatem trójkątem równoramiennym o ramionach długości \(5\) i podstawie \(|BC| = 6\). Wysokość opuszczona na \(BC\) dzieli tę podstawę na połowy, czyli na dwa odcinki po \(3\):

$$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

Pole podstawy:

$$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$

Objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru \(V = \frac{1}{3} P_p H\), gdzie wysokością jest \(AD\):

$$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 12 = 48$$

**Odpowiedź:** \(V = 48\)

Zadanie warte \(4\) punkty sprowadza się do trzech zastosowań twierdzenia Pitagorasa i jednego wzoru na objętość. Kluczem jest zdanie z treści o tym, że to krawędź \(AD\) jest wysokością: bez niego nie wiadomo, w którym punkcie podstawy stoi spodek wysokości, i zadania nie da się policzyć. Powtórkę brył i wzorów znajdziesz w dziale [stereometria](/topics/stereometria).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-32)

---

## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

**Planimetria rządzi.** Aż 9 zadań z planimetrii daje 28,6% punktów arkusza, najwięcej wśród arkuszy pojedynczych sesji w naszej bazie. Okręgi wpisane i opisane, trójkąty podobne, twierdzenie Pitagorasa, pola wielokątów - wszystko to pojawiło się wielokrotnie. Jeśli nie czujesz się pewnie w [planimetrii](/topics/planimetria), ten arkusz pokaże Ci dokładnie, czego Ci brakuje.

**Równania wymierne wymagają dyscypliny.** Zadanie 6 to równanie wymierne i pokazuje, jak łatwo popełnić błąd, pomijając dziedzinę. Mianownik nigdy nie może się zerować - to jedna z najczęstszych pułapek na maturze.

**Stereometria to przekroje i trójkąty.** Zadanie 32 pokazuje wzorcowy schemat ze [stereometrii](/topics/stereometria): szukasz w bryle trójkąta prostokątnego, stosujesz twierdzenie Pitagorasa, a dopiero na końcu podstawiasz do wzoru na objętość.

**Trygonometria to wzory i tożsamości.** Jedynka trygonometryczna (\(\sin^2 + \cos^2 = 1\)) i definicja tangensa (\(\tan = \sin/\cos\)) to absolutne minimum, które musisz znać na pamięć z [trygonometrii](/topics/trygonometria).

**Nie lekceważ zadań za 1 punkt.** Zadanie 3 (potęgi) zajmuje 30 sekund, jeśli pamiętasz, że każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1. Nauka [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) to inwestycja w szybkie punkty.

## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

**Zrób go w całości na czas.** 170 minut to oficjalny limit tego arkusza; obecna matura w Formule 2023 trwa 180 minut. Wydrukuj arkusz, wyłącz telefon, postaw stoper. Trening czasowy to połowa sukcesu.

**Przeanalizuj każdy błąd.** Nie patrz od razu na rozwiązanie. Spróbuj znaleźć błąd samodzielnie. Dopiero jak naprawdę nie wiesz, gdzie jest problem, zajrzyj do [rozwiązań krok po kroku](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).

**Poukładaj zadania według kategorii.** Zrób sobie tabelkę - zobaczysz wtedy wzorce. CKE nie wymyśla za każdym razem czegoś nowego, tylko zmieniają się liczby i kontekst.

Jeśli szukasz więcej arkuszy, sprawdź [maturę maj 2011](/matura-maj-2011-rozwiazania-arkusz) lub [maturę maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz). Im więcej arkuszy przećwiczysz, tym pewniejszy się poczujesz na egzaminie. Wszystkie zadania znajdziesz w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania
title: Losowanie bez zwracania - jak liczyć prawdopodobieństwo kombinacjami
description: Jak liczyć prawdopodobieństwo przy losowaniu kilku elementów naraz z kilku grup? Wzór z kombinacjami i rozwiązane zadania maturalne krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Losowanie bez zwracania - jak liczyć prawdopodobieństwo kombinacjami

Gdy losujesz jednocześnie kilka elementów z grupy podzielonej na podgrupy (na przykład kule w dwóch kolorach albo losy w loterii) i pytanie brzmi "jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych elementów będzie dokładnie k sztuk danego rodzaju", liczysz to kombinacjami: w liczniku mnożysz liczbę sposobów wyboru z każdej podgrupy osobno, a w mianowniku masz liczbę sposobów wyboru ze wszystkich elementów naraz.

$$P = \frac{\binom{a}{k} \cdot \binom{b}{n-k}}{\binom{a+b}{n}}$$

gdzie \(a\) i \(b\) to liczności obu podgrup, \(n\) to liczba losowanych elementów, a \(k\) to liczba elementów pierwszego rodzaju, których szukasz. Ten schemat wraca na maturze regularnie, bo pasuje do wielu różnych treści - kul w urnie, losów w loterii, kart w talii, uczniów w klasie. W tym artykule rozwiążemy razem trzy zadania: klasyczne "dokładnie k", trudniejsze "co najmniej jeden" oraz wariant z trzema grupami naraz. Jeśli różnica między kombinacją a wariacją jest dla ciebie niejasna, zajrzyj najpierw do [kombinatoryki na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) - tu zakładam, że symbol Newtona już znasz.

## Wzór ogólny - losowanie z kilku grup naraz

Gdy w zbiorze \(N\) elementów wyróżnione są podgrupy o licznościach \(a_1, a_2, \ldots, a_j\) (ich suma daje \(N\)) i losujesz jednocześnie \(n\) elementów, prawdopodobieństwo, że dostaniesz dokładnie \(r_1\) elementów z pierwszej grupy, \(r_2\) z drugiej, i tak dalej (przy czym \(r_1+r_2+\ldots=n\)), liczysz wzorem:

$$P = \frac{\binom{a_1}{r_1} \cdot \binom{a_2}{r_2} \cdot \ldots \cdot \binom{a_j}{r_j}}{\binom{N}{n}}$$

Dla dwóch grup to dokładnie wzór z akapitu wyżej. Kluczowa zasada: mianownik zawsze liczysz jako liczbę sposobów wyboru \(n\) elementów ze **wszystkich** \(N\) elementów naraz, a licznik jako iloczyn oddzielnych wyborów z każdej podgrupy.

## Jak rozpoznać ten typ zadania

Szukaj w treści zwrotów: "losujemy jednocześnie", "wybieramy grupę", "losujemy bez zwracania" połączonych z pytaniem o dokładną liczbę elementów danego rodzaju. To sygnał, że kolejność losowania nie ma znaczenia, więc zarówno licznik, jak i mianownik liczysz kombinacjami (symbolem Newtona), a nie wariacjami. Gdyby w treści pojawiło się "kolejno" albo "ze zwracaniem", metoda byłaby inna - o tej różnicy więcej w sekcji pułapek.

## Przykład 1: dokładnie k elementów z jednej grupy

**Treść:** W pudełku jest 5 kul białych i 7 kul czarnych. Losujemy jednocześnie 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul są dokładnie 2 białe.

**Krok 1: Policz wszystkie możliwe wyniki losowania.**

W pudełku jest łącznie \(5+7=12\) kul, losujemy 4 naraz, kolejność nie ma znaczenia:

$$|\Omega| = \binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} = 495$$

**Krok 2: Policz wyniki sprzyjające.**

Potrzebujesz dokładnie 2 kule białe (z 5 dostępnych) i pozostałe \(4-2=2\) kule muszą być czarne (z 7 dostępnych):

$$|A| = \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210$$

**Krok 3: Policz prawdopodobieństwo i skróć ułamek.**

$$P(A) = \frac{210}{495} = \frac{14}{33} \approx 0{,}424$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{14}{33}\).

## Przykład 2: co najmniej jeden

**Treść:** W loterii jest 20 losów, w tym 3 wygrywające. Kupujesz jednocześnie 4 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie co najmniej jeden wygrywający?

**Krok 1: Rozpoznaj, że łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne.**

"Co najmniej jeden" oznacza sumę kilku przypadków (dokładnie 1, dokładnie 2 lub dokładnie 3 wygrywające) - liczenie każdego osobno jest długie i łatwo o pomyłkę. Zamiast tego liczysz zdarzenie przeciwne: **żaden** z 4 losów nie jest wygrywający.

**Krok 2: Policz |Ω|.**

$$|\Omega| = \binom{20}{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{24} = 4845$$

**Krok 3: Policz zdarzenie przeciwne - wszystkie 4 losy z 17 przegrywających.**

$$|A'| = \binom{17}{4} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{24} = 2380$$

**Krok 4: Odejmij od jedynki.**

$$P(A') = \frac{2380}{4845} = \frac{28}{57}$$

$$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{28}{57} = \frac{29}{57} \approx 0{,}509$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{29}{57}\), czyli około 51%.

**A co z "co najwyżej"?** Gdyby pytanie brzmiało "co najwyżej jeden wygrywający", zdarzenie przeciwne do "co najwyżej 1" to "2 lub więcej wygrywających" - to zwykle więcej przypadków do zsumowania niż samo zdarzenie "co najwyżej 1" (czyli "0 wygrywających" lub "dokładnie 1 wygrywający"). W takiej sytuacji często szybciej jest policzyć wprost \(P(0) + P(1)\), zamiast szukać zdarzenia przeciwnego. Zasada jest prosta: licz to, co ma **mniej** składników do zsumowania, niezależnie czy to samo zdarzenie, czy jego dopełnienie.

## Przykład 3: trzy grupy naraz

**Treść:** W pudełku jest 4 kule czerwone, 3 niebieskie i 5 zielonych. Losujemy jednocześnie 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz dokładnie po jednej kuli każdego koloru?

**Krok 1: Policz |Ω|.**

Wszystkich kul jest \(4+3+5=12\), losujesz 3:

$$|\Omega| = \binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 220$$

**Krok 2: Policz wyniki sprzyjające jako iloczyn trzech wyborów.**

Po jednej kuli z każdej grupy - to rozszerzenie wzoru z dwiema grupami na trzy czynniki w liczniku:

$$|A| = \binom{4}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{5}{1} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

**Krok 3: Policz prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11} \approx 0{,}273$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{3}{11}\).

Ten przykład pokazuje, że wzór z dwiema grupami spokojnie rozszerza się na trzy i więcej - w liczniku po prostu dopisujesz kolejny symbol Newtona za każdą kolejną podgrupę, a w mianowniku zawsze zostaje jeden wyznacznik dla wszystkich elementów naraz.

## Losowanie ze zwracaniem a losowanie bez zwracania

To rozróżnienie decyduje o całej metodzie, więc warto je mieć jasne. Przy losowaniu **bez zwracania** i **jednoczesnym** (tak jak we wszystkich trzech przykładach wyżej) liczysz kombinacjami - kolejność nie ma znaczenia, a skład grupy zmniejsza się z każdym wylosowanym elementem. Przy losowaniu **ze zwracaniem** albo gdy w treści pojawia się "kolejno" z niezależnymi próbami, elementy są losowane niezależnie i stosujesz raczej [schemat Bernoulliego](/schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania) albo iloczyn prawdopodobieństw, a nie kombinacje z jednego wspólnego zbioru. Więcej o różnicy między losowaniem kolejnym a jednoczesnym, wraz z drzewkiem prawdopodobieństwa, znajdziesz w [poradniku o prawdopodobieństwie i drzewku](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

Zobacz różnicę na tych samych liczbach co w przykładzie 1. Tam losowaliśmy 4 kule **jednocześnie** z 5 białych i 7 czarnych, i wynik był \(P=\frac{14}{33}\approx0{,}424\). Gdyby zadanie brzmiało: "losujemy kulę, zapisujemy kolor, **wkładamy z powrotem** i losujemy ponownie - powtarzamy to 4 razy - jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 razy wylosujesz kulę białą", skład pudełka po każdym losowaniu byłby taki sam (5 białych, 7 czarnych, czyli \(p=\frac{5}{12}\) za każdym razem), więc liczyłbyś to schematem Bernoulliego:

$$P = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{5}{12}\right)^2 \cdot \left(\frac{7}{12}\right)^2 = 6 \cdot \frac{25}{144} \cdot \frac{49}{144} \approx 0{,}354$$

Wynik jest inny niż w przykładzie 1 (0,354 zamiast 0,424), mimo że pytanie brzmi niemal identycznie - "dokładnie 2 białe z 4". To dobry dowód na to, że jedno słowo w treści ("wkładamy z powrotem" kontra "jednocześnie") zmienia całą metodę rozwiązania.

## Typowe pułapki

**Pułapka 1: Użycie wariacji zamiast kombinacji.** Skoro losowanie jest jednoczesne, kolejność nie ma znaczenia - zarówno licznik, jak i mianownik muszą być liczone tą samą metodą (kombinacjami), inaczej ułamek nie ma sensu.

**Pułapka 2: Zapomnienie o dopełnieniu.** Przy "dokładnie k z grupy A" pozostałe \(n-k\) elementów trzeba wybrać z **pozostałej** grupy (grupy B), a nie z całego zbioru \(N\) - inaczej policzysz wyniki, które nie spełniają warunku zadania.

**Pułapka 3: Liczenie "co najmniej" wprost zamiast przez zdarzenie przeciwne.** Suma kilku osobnych przypadków jest dłuższa i bardziej podatna na pominięcie jednego z nich. Jeśli w zadaniu jest "co najmniej" albo "co najwyżej", sprawdź najpierw, czy zdarzenie przeciwne nie jest krótsze do policzenia.

**Pułapka 4: Zły mianownik.** W mianowniku zawsze jest liczba sposobów wyboru ze **wszystkich** elementów łącznie (\(\binom{N}{n}\)), nie liczba sposobów wyboru z jednej podgrupy.

**Pułapka 5: Nieskracanie wyniku.** CKE w kluczu odpowiedzi zwykle podaje ułamek nieskracalny - zawsze sprawdź na końcu, czy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik.

## Co musisz umieć - checklist

- Rozpoznać po treści zadania, że losowanie jest jednoczesne i bez zwracania (a nie kolejne, ze zwracaniem)
- Zapisać mianownik jako \(\binom{N}{n}\) - kombinacja ze wszystkich elementów
- Zapisać licznik jako iloczyn kombinacji z poszczególnych podgrup, zgodnie z warunkiem zadania
- Rozszerzyć wzór na trzy i więcej grup, gdy zadanie tego wymaga
- Rozpoznać, kiedy szybciej policzyć zdarzenie przeciwne ("co najmniej", "co najwyżej")
- Skrócić końcowy wynik do postaci nieskracalnej

Poćwicz ten schemat na [zadaniach z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo). Jeśli symbol Newtona nadal budzi wątpliwości, wróć do [wzoru na symbol Newtona](/symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie), a jeśli wolisz ogólne wprowadzenie do liczenia prawdopodobieństwa krok po kroku, zacznij od [jak obliczyć prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania). Podobne zadania z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz też w [arkuszu CKE 2025 PP](/task/cke-2025-pp-76) i w [zestawie zadań treningowych CKE](/task/cke-pp-treningowe-85).

## Najczęstsze pytania

### Jak rozpoznać, że zadanie wymaga kombinacji, a nie wariacji?
Jeśli losowanie jest jednoczesne (wybierasz grupę elementów naraz, a nie ustawiasz ich w kolejności), kolejność wyboru nie ma znaczenia i liczysz kombinacjami - symbolem Newtona \(\binom{n}{k}\). Gdyby kolejność miała znaczenie (na przykład ustawiasz osoby w rzędzie), użyłbyś wariacji.

### Czym różni się losowanie ze zwracaniem od losowania bez zwracania?
Bez zwracania każdy wylosowany element zmniejsza pulę pozostałych - stosujesz wtedy kombinacje z malejącego zbioru. Ze zwracaniem pula elementów zawsze jest taka sama, kolejne losowania są niezależne, a prawdopodobieństwa się mnożą (schemat Bernoulliego).

### Jak liczyć prawdopodobieństwo "co najmniej jeden" przy losowaniu bez zwracania?
Najszybciej przez zdarzenie przeciwne: policz prawdopodobieństwo, że warunek nie zachodzi wcale (na przykład żaden element danego rodzaju), a potem odejmij ten wynik od 1.

### Co zrobić, gdy w zadaniu są trzy albo więcej grup elementów?
Wzór rozszerza się naturalnie - w liczniku mnożysz kombinacje z każdej grupy osobno (tyle czynników, ile jest grup), a w mianowniku zostaje jedna kombinacja ze wszystkich elementów łącznie. Pokazuje to przykład 3 w tym artykule.

### Dlaczego w mianowniku zawsze jest liczba wszystkich elementów, a nie liczba elementów jednej grupy?
Bo mianownik to liczba wszystkich możliwych wyników losowania (przestrzeń zdarzeń elementarnych \(|\Omega|\)), a losujesz ze wszystkich dostępnych elementów naraz, niezależnie od tego, do jakiej grupy należą.

### Czy przy losowaniu "jednocześnie" kolejność ma znaczenie?
Nie. "Jednocześnie" oznacza, że interesuje cię tylko skład wylosowanego zestawu, nie kolejność wyciągania elementów - dlatego zarówno licznik, jak i mianownik liczysz kombinacjami.

### Jak sprawdzić, czy wynik prawdopodobieństwa jest poprawny?
Sprawdź, czy wynik mieści się w przedziale \([0,1]\), czy ułamek jest skrócony do postaci nieskracalnej, i czy suma prawdopodobieństw zdarzenia i zdarzenia przeciwnego daje dokładnie 1.

### Ile punktów CKE przyznaje za samo wypisanie wzoru bez obliczeń?
Zasady oceniania różnią się między zadaniami, ale zwykle poprawny zapis \(|\Omega|\) i \(|A|\) w postaci symboli Newtona to część punktów za metodę, nawet jeśli dalsze obliczenia zawierają błąd rachunkowy. Zawsze zapisuj oba wzory jawnie, zanim podstawisz liczby.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /kiedy-liczby-tworza-ciag-arytmetyczny-geometryczny-warunek-zadania
title: Kiedy liczby tworzą ciąg arytmetyczny lub geometryczny - warunek i zadania
description: Kiedy trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny (2b = a + c), a kiedy geometryczny (b do kwadratu = ac). Wzory, pułapki i pięć zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Kiedy liczby tworzą ciąg arytmetyczny lub geometryczny - warunek i zadania

Trzy liczby \(a\), \(b\), \(c\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny dokładnie wtedy, gdy \(2b = a + c\), czyli gdy środkowa liczba jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Tworzą ciąg geometryczny dokładnie wtedy, gdy \(b^2 = a \cdot c\) i żadna z tych liczb nie jest zerem. Z tych dwóch warunków układasz równanie na szukany parametr: w przypadku arytmetycznym wychodzi równanie liniowe z jednym rozwiązaniem, w geometrycznym kwadratowe, więc rozwiązania są zwykle dwa i oba trzeba sprawdzić.

To jeden z tych tematów, gdzie zadanie wygląda niepozornie ("wyznacz \(x\) tak, aby liczby tworzyły ciąg..."), a punkty lecą za drobiazgi: pominięte drugie rozwiązanie, pomylona kolejność, brak sprawdzenia, czy wyraz nie jest zerem. W naszej bazie dział [ciągi](/topics/ciagi) to 218 zadań CKE spośród 2376, więc statystycznie masz duże szanse spotkać taki warunek na swoim arkuszu.

## Warunek na ciąg arytmetyczny: 2b = a + c

Liczby \(a\), \(b\), \(c\) w tej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy \(2b = a + c\). Równoważnie: \(b = \frac{a+c}{2}\), czyli środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. To jedyny warunek, jaki musisz zapisać, i działa dla dowolnych liczb rzeczywistych, także ujemnych i zera.

Skąd się bierze? W ciągu arytmetycznym różnica sąsiednich wyrazów jest stała, więc:

$$b - a = c - b$$

Przenosisz \(b\) na lewą stronę i dostajesz \(2b = a + c\). Ten sam warunek zapisany dla dowolnych trzech kolejnych wyrazów ciągu wygląda tak:

$$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1} \quad \text{dla } n \ge 2$$

i to jest właśnie ta postać, której używasz w zadaniach na wykazanie. Jeśli dopiero układasz podstawy, zacznij od wpisu o tym, [jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania), bo tam rozbieramy samą różnicę \(r\) i wzór ogólny.

## Warunek na ciąg geometryczny: b do kwadratu równa się ac

Liczby \(a\), \(b\), \(c\) w tej kolejności tworzą ciąg geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy \(b^2 = a\cdot c\) oraz żadna z nich nie jest równa zeru. Mówi się, że \(b\) jest średnią geometryczną liczb \(a\) i \(c\), przy czym \(b = \pm\sqrt{ac}\), więc dopuszczalne są oba znaki.

Wyprowadzenie jest równie krótkie. W ciągu geometrycznym stały jest iloraz sąsiednich wyrazów:

$$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \implies b^2 = ac$$

Warunek na niezerowość nie jest formalnością. Definicja ciągu geometrycznego wymaga, żeby każdy wyraz był różny od zera (inaczej nie da się podzielić przez poprzedni wyraz i iloraz \(q\) przestaje istnieć). Dlatego rozwiązania trzeba zawsze podstawić z powrotem: jeśli którykolwiek z trzech wyrazów wyjdzie zerem, odrzucasz je. Więcej o samym ilorazie i wzorze ogólnym znajdziesz we wpisie o [ciągu geometrycznym na maturze](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania).

Dla trzech kolejnych wyrazów dowolnego ciągu geometrycznego warunek wygląda tak:

$$a_n^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1}$$

## Dlaczego w wersji geometrycznej wychodzą dwa rozwiązania

Bo \(b^2 = ac\) po podstawieniu wyrażeń z niewiadomą daje równanie kwadratowe, a takie ma zwykle dwa pierwiastki. W wersji arytmetycznej \(2b = a+c\) jest liniowe, więc rozwiązanie jest jedno. To najprostsza możliwa kontrola: jeśli w zadaniu o ciąg geometryczny wyszedł ci jeden wynik, sprawdź, czy nie zgubiłeś drugiego pierwiastka.

Oba rozwiązania równania kwadratowego są równie ważne, dopóki nie zostaną odrzucone przez warunek zadania (na przykład "liczby dodatnie" albo "długości boków"). Jeśli chcesz odświeżyć sam mechanizm liczenia, zajrzyj do wpisu o [delcie i wzorach na pierwiastki równania kwadratowego](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

## Przykład 1: ciąg arytmetyczny z parametrem

Wyznacz \(x\) tak, aby liczby \(x-1\), \(x+3\), \(3x+1\) w podanej kolejności tworzyły ciąg arytmetyczny.

**Krok 1: zapisz warunek.** Środkowy wyraz to \(x+3\), więc \(2(x+3) = (x-1) + (3x+1)\).

**Krok 2: uprość obie strony.** Lewa: \(2x+6\). Prawa: \(4x\).

**Krok 3: rozwiąż równanie.** \(2x + 6 = 4x \implies 6 = 2x \implies x = 3\).

**Krok 4: sprawdź, wypisując wyrazy.** Dla \(x=3\) dostajesz 2, 6, 10. Różnica wynosi 4 w obu krokach, więc warunek jest spełniony.

Odpowiedź: \(x = 3\), a ciąg to 2, 6, 10.

## Przykład 2: ciąg geometryczny i pułapka z minusem

Wyznacz \(x\) tak, aby liczby 2, \(x\), 18 tworzyły ciąg geometryczny.

**Krok 1: zapisz warunek.** \(x^2 = 2\cdot 18 = 36\).

**Krok 2: rozwiąż równanie.** \(x = 6\) lub \(x = -6\). Pamiętaj, że \(x^2 = 36\) ma dwa rozwiązania, a nie jedno.

**Krok 3: sprawdź oba.** Dla \(x=6\): ciąg 2, 6, 18 ma iloraz \(q=3\). Dla \(x=-6\): ciąg 2, -6, 18 ma iloraz \(q=-3\). Oba są poprawnymi ciągami geometrycznymi.

**Krok 4: sprawdź warunek niezerowości.** Żaden wyraz nie jest zerem, więc nic nie odrzucamy.

Odpowiedź: \(x = 6\) lub \(x = -6\). Podanie tylko dodatniej wartości to najczęściej spotykany błąd w tym typie zadania.

## Przykład 3: warunek prowadzący do równania kwadratowego

Dla jakich wartości \(x\) liczby 1, \(x\), \(x+6\) tworzą ciąg geometryczny?

**Krok 1: zapisz warunek.** \(x^2 = 1\cdot(x+6)\).

**Krok 2: doprowadź do postaci ogólnej.** \(x^2 - x - 6 = 0\).

**Krok 3: policz deltę i pierwiastki.** \(\Delta = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{\Delta} = 5\), więc \(x_1 = \frac{1-5}{2} = -2\) oraz \(x_2 = \frac{1+5}{2} = 3\).

**Krok 4: sprawdź oba wyniki.** Dla \(x=3\): ciąg 1, 3, 9, iloraz \(q=3\). Dla \(x=-2\): ciąg 1, -2, 4, iloraz \(q=-2\). Żaden wyraz nie jest zerem, więc obie wartości są dobre.

Odpowiedź: \(x = 3\) lub \(x = -2\).

## Przykład 4: ciąg arytmetyczny, który po zmianie staje się geometryczny

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o sumie 18. Gdy do trzeciej z nich dodamy 3, otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

**Krok 1: sprytnie oznacz niewiadome.** Zapisz wyrazy jako \(b-r\), \(b\), \(b+r\). Wtedy suma to \(3b\), bo \(r\) się skraca.

**Krok 2: wykorzystaj sumę.** \(3b = 18 \implies b = 6\), więc liczby to \(6-r\), 6, \(6+r\).

**Krok 3: zapisz warunek geometryczny po zmianie.** Po dodaniu 3 do trzeciej liczby ciąg to \(6-r\), 6, \(9+r\), a warunek to \(36 = (6-r)(9+r)\).

**Krok 4: rozwiąż równanie kwadratowe.** \(36 = 54 - 3r - r^2 \implies r^2 + 3r - 18 = 0\). Delta wynosi \(9 + 72 = 81\), więc \(r = 3\) lub \(r = -6\).

**Krok 5: wypisz i sprawdź oba przypadki.** Dla \(r=3\): liczby 3, 6, 9 (suma 18), po zmianie 3, 6, 12, iloraz \(q=2\). Dla \(r=-6\): liczby 12, 6, 0 (suma 18), po zmianie 12, 6, 3, iloraz \(q=\frac{1}{2}\).

Odpowiedź: 3, 6, 9 albo 12, 6, 0. Drugi przypadek jest poprawny, mimo że zawiera zero, bo zero występuje w ciągu arytmetycznym, a nie w geometrycznym. Warunek niezerowości dotyczy tylko tego drugiego. Oznaczenie wyrazów jako \(b-r\), \(b\), \(b+r\) zaoszczędziło tu całą jedną niewiadomą i tak samo działa w zadaniach o sumie wyrazów, które rozbieramy we wpisie o tym, [jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego).

## Przykład 5: boki trójkąta w ciągu arytmetycznym

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, a obwód trójkąta wynosi 24. Wyznacz długości boków.

**Krok 1: oznacz boki symetrycznie.** Niech będą to \(a-r\), \(a\), \(a+r\), przy czym najdłuższy bok \(a+r\) jest przeciwprostokątną.

**Krok 2: wykorzystaj obwód.** \((a-r) + a + (a+r) = 3a = 24 \implies a = 8\).

**Krok 3: zastosuj twierdzenie Pitagorasa.** \((8-r)^2 + 8^2 = (8+r)^2\).

**Krok 4: rozwiń i uprość.** \(64 - 16r + r^2 + 64 = 64 + 16r + r^2 \implies 64 = 32r \implies r = 2\).

**Krok 5: wypisz boki i sprawdź.** Boki to 6, 8, 10. Rzeczywiście \(36 + 64 = 100\), obwód wynosi 24, a różnica ciągu to 2.

Odpowiedź: 6, 8, 10. To najsłynniejsza trójka pitagorejska, a samo twierdzenie i jego zastosowania rozbieramy we wpisie o [twierdzeniu Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

## Jak sprawdzić ciąg dany wzorem ogólnym

Gdy ciąg jest zadany wzorem \(a_n\), nie sprawdzasz trzech konkretnych liczb, tylko liczysz różnicę albo iloraz w postaci ogólnej. To standardowe polecenie typu "wykaż, że ciąg jest arytmetyczny".

Dla ciągu arytmetycznego licz \(a_{n+1} - a_n\) i pokaż, że wynik nie zależy od \(n\). Przykład: \(a_n = 3n+2\), więc \(a_{n+1} - a_n = 3(n+1)+2 - (3n+2) = 3\). Różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny z \(r=3\).

Dla ciągu geometrycznego licz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) i pokaż, że wynik jest stały. Przykład: \(a_n = 2\cdot 5^n\), więc \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2\cdot 5^{n+1}}{2\cdot 5^n} = 5\). Iloraz jest stały, ciąg jest geometryczny z \(q=5\). Warto od razu zaznaczyć, że wszystkie wyrazy są różne od zera, bo to część pełnego uzasadnienia. Podobny sposób myślenia wykorzystujesz przy ciągach zadanych rekurencyjnie, o czym piszemy w poradniku o [ciągu rekurencyjnym](/ciag-rekurencyjny-matura-wzor-ogolny-jak-obliczyc-wyrazy).

## Typowe pułapki

**Zapisanie \(b = a + c\) zamiast \(2b = a + c\).** Najczęstszy błąd w całym temacie. Zawsze przypomnij sobie sens: środkowy wyraz to średnia, a nie suma.

**Zgubienie drugiego rozwiązania w wersji geometrycznej.** \(x^2 = 36\) daje \(x = 6\) oraz \(x = -6\). Jeśli zadanie nie zawiera dodatkowego warunku (na przykład "liczby dodatnie"), obie wartości są odpowiedzią.

**Ignorowanie kolejności.** Sformułowanie "w podanej kolejności" jest wiążące. Liczby 2, 18, 6 nie tworzą ciągu geometrycznego, choć te same liczby w kolejności 2, 6, 18 już tak.

**Brak sprawdzenia warunku niezerowości w ciągu geometrycznym.** Jeśli po podstawieniu rozwiązania któryś wyraz wychodzi zerem, trzeba je odrzucić, bo iloraz przestaje istnieć.

**Nieoznaczanie wyrazów symetrycznie.** Przy zadaniach z sumą trzech wyrazów zapis \(b-r\), \(b\), \(b+r\) skraca rachunki o połowę, bo suma redukuje \(r\).

**Pomijanie sprawdzenia na końcu.** Wypisanie trzech konkretnych liczb i policzenie różnicy albo ilorazu zajmuje 15 sekund, a wyłapuje praktycznie każdy błąd rachunkowy. Więcej takich technik zebraliśmy we wpisie o tym, [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Checklista: co musisz umieć

- Zapisać warunek \(2b = a+c\) dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
- Zapisać warunek \(b^2 = ac\) dla ciągu geometrycznego i dodać zastrzeżenie o niezerowości wyrazów.
- Rozwiązać powstałe równanie: liniowe w wersji arytmetycznej, kwadratowe w geometrycznej.
- Podać oba pierwiastki i sprawdzić każdy z nich w treści zadania.
- Oznaczyć trzy wyrazy symetrycznie jako \(b-r\), \(b\), \(b+r\), gdy znana jest ich suma.
- Wykazać, że ciąg dany wzorem ogólnym jest arytmetyczny (stała różnica) albo geometryczny (stały iloraz).
- Sprawdzić wynik przez wypisanie konkretnych liczb.

Na koniec przećwicz to na oryginalnych arkuszach: zebraliśmy [zadania CKE z ciągów z rozwiązaniami](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami) w jednym miejscu, a szerszy przegląd całego działu razem z sumą i monotonicznością znajdziesz we wpisie o [ciągach na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

## Najczęstsze pytania

### Kiedy trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny?
Wtedy i tylko wtedy, gdy podwojona liczba środkowa równa się sumie skrajnych, czyli \(2b = a + c\). Inaczej mówiąc, liczba środkowa jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych, a różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

### Jaki jest warunek na ciąg geometryczny dla trzech liczb?
Kwadrat liczby środkowej musi równać się iloczynowi skrajnych, czyli \(b^2 = a\cdot c\), i dodatkowo żadna z tych liczb nie może być zerem. Liczba środkowa jest wtedy średnią geometryczną sąsiadów, przy czym może być zarówno dodatnia, jak i ujemna.

### Czy wyraz ciągu geometrycznego może być równy zero?
Nie. Iloraz ciągu geometrycznego definiuje się jako \(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\), więc żaden wyraz nie może być zerem, bo dzielenie przestałoby mieć sens. Dlatego rozwiązania dające zerowy wyraz odrzucasz.

### Dlaczego w zadaniach o ciąg geometryczny wychodzą dwa wyniki?
Bo warunek \(b^2 = ac\) po podstawieniu daje równanie kwadratowe, a takie ma zazwyczaj dwa pierwiastki. Oba są poprawne, dopóki nie wykluczy ich dodatkowy warunek z treści zadania, na przykład "liczby dodatnie" albo "długości boków".

### Czy kolejność liczb ma znaczenie?
Ma, i to decydujące. Warunek dotyczy liczb w podanej kolejności, więc zamiana wyrazów miejscami zmienia zadanie. Liczby 2, 6, 18 tworzą ciąg geometryczny, ale 6, 2, 18 już nie.

### Jak wykazać, że ciąg dany wzorem jest arytmetyczny?
Policz \(a_{n+1} - a_n\) w postaci ogólnej i pokaż, że wynik jest liczbą niezależną od \(n\). Sprawdzenie kilku pierwszych wyrazów nie wystarczy, bo nie jest dowodem dla wszystkich \(n\).

### Czy te warunki działają też dla dalszych wyrazów ciągu, nie tylko trzech pierwszych?
Tak. Dla dowolnych trzech kolejnych wyrazów zachodzi \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\) w ciągu arytmetycznym oraz \(a_n^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1}\) w geometrycznym. To ta sama własność, tylko zapisana ogólnie.

### Jak rozpoznać w treści zadania, o który warunek chodzi?
Kluczowe są słowa "różnica" i "iloraz". Gdy zadanie mówi o stałej różnicy, dodawaniu tej samej liczby albo o średniej arytmetycznej, chodzi o ciąg arytmetyczny. Gdy mówi o mnożeniu przez stałą, procentowym wzroście albo o średniej geometrycznej, chodzi o ciąg geometryczny. Przykładem tego drugiego z życia jest [procent składany](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki), gdzie kapitał rośnie geometrycznie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-zaczac-przygotowania-do-matury-z-matematyki-2027-plan-na-rok
title: Jak zacząć przygotowania do matury z matematyki 2027 - plan na rok
description: Przygotowania do matury z matematyki 2027: od czego zacząć, ile czasu potrzebujesz i jak rozłożyć naukę na cały rok. Konkretny plan miesiąc po miesiącu.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak zacząć przygotowania do matury z matematyki 2027 - plan na rok

Matura z matematyki 2027 właśnie za nami. Jeśli swój egzamin piszesz w 2027 roku, masz teraz przewagę, której nie doceni większość twoich rówieśników: pełny rok. To wystarczająco dużo czasu, żeby matematyka stała się przedmiotem, który dowozi ci punkty, a nie tym, przez który nie śpisz w kwietniu. Haczyk jest taki, że ten rok łatwo przepuścić między palcami i obudzić się sześć tygodni przed egzaminem z pustą kartą. Ten przewodnik pokazuje, od czego zacząć i jak rozłożyć naukę, żeby do maja 2027 być naprawdę gotowym.

## Dlaczego start latem to najlepsza decyzja

Mózg uczy się matematyki inaczej niż historii. Tu nie wkujesz materiału w tydzień, bo każdy dział opiera się na poprzednim. Nie policzysz geometrii analitycznej, jeśli kuleją ci przekształcenia algebraiczne i [potęgi](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania). Dlatego rozłożenie nauki na rok daje ci coś, czego nie kupisz korepetycjami w kwietniu: czas na to, żeby trudne rzeczy zdążyły się ułożyć w głowie.

Druga sprawa to spokój. Kiedy zaczynasz latem, robisz po dwa, trzy zadania dziennie bez presji. Kiedy zaczynasz w marcu, robisz po trzydzieści dziennie z paniką. Pierwsze działa, drugie wypala. Wcześniejszy start to też wcześniejsze wykrycie luk: jeśli już teraz sprawdzisz, że nie umiesz [logarytmów](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania), masz dziesięć miesięcy, żeby to naprawić, a nie dziesięć dni.

## Krok 1: zrób sobie diagnozę

Zanim ułożysz plan, musisz wiedzieć, gdzie jesteś. Najszybszy sposób to rozwiązać jeden pełny arkusz CKE na czas i policzyć punkty bez litości. Wejdź na [losowe zadania](/random) albo zrób cały arkusz z [bazy arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) i potraktuj to jak prawdziwy egzamin. Wynik nie ma cię dołować, ma ci powiedzieć, od czego zacząć.

Podziel sobie wynik na działy. Jeśli z [planimetrii](/topics/planimetria) masz 20 procent, a z [ciągów](/topics/ciagi) 80, to wiesz, czemu poświęcić lipiec. Śledzenie tego ręcznie jest męczące, dlatego warto korzystać z [panelu postępów](/progress), który pokazuje twoją skuteczność z podziałem na kategorie.

## Krok 2: ile czasu realnie potrzebujesz

Nie ma jednej liczby dla wszystkich. Zależy, z jakiego pułapu startujesz. Oto realistyczne widełki:

| Punkt startowy | Czas tygodniowo | Co robić |
| --- | --- | --- |
| Poniżej 30% na diagnozie | 5-6 godzin | Najpierw braki z podstaw: ułamki, potęgi, przekształcenia |
| 30-50% | 4-5 godzin | Dział po dziale, dużo zadań zamkniętych |
| 50-70% | 3-4 godziny | Zadania otwarte i pełne arkusze |
| Powyżej 70% | 2-3 godziny | Utrwalanie i poziom rozszerzony, jeśli zdajesz |

Te liczby to nie wyrok. Lepiej robić solidne trzy godziny tygodniowo przez cały rok niż dziesięć godzin przez dwa ostatnie tygodnie. Regularność bije intensywność. Jak to ułożyć krok po kroku bez korepetytora, opisałem w osobnym tekście o [samodzielnej nauce do matury](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

## Krok 3: plan na rok miesiąc po miesiącu

Poniżej szkielet, który możesz dopasować do swojej diagnozy. Kolejność nie jest przypadkowa: idziemy od fundamentów do działów, które się na nich opierają.

| Okres | Na czym się skupiasz |
| --- | --- |
| Lipiec-sierpień | Fundamenty: liczby rzeczywiste, potęgi, pierwiastki, wyrażenia algebraiczne, procenty |
| Wrzesień-październik | Funkcje, funkcja liniowa i kwadratowa, równania i nierówności |
| Listopad-grudzień | Ciągi, geometria analityczna, układy równań |
| Styczeń-luty | Planimetria, trygonometria, stereometria |
| Marzec | Prawdopodobieństwo, kombinatoryka, statystyka |
| Kwiecień | Pełne arkusze na czas, powtórka słabych działów |
| Maj | Szlif, [karta wzorów](/formulas), spokojne powtórki, zero nowego materiału |

Latem warto domknąć fundamenty, bo to one ciągną resztę. Jeśli zaczynasz od potęg i pierwiastków, miej pod ręką [bazę zadań CKE z potęg i pierwiastków](/zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami) - przerobisz tam dokładnie ten typ zadań, który pojawia się na egzaminie.

## Krok 4: czym się uczyć i ile to kosztuje

Masz cztery główne drogi. Każda ma plusy i minusy, więc bez ściemy:

| Narzędzie | Mocna strona | Słaba strona |
| --- | --- | --- |
| Korepetycje | Indywidualne podejście | Drogie, raz w tygodniu to za mało |
| Podręcznik i zbiór PDF | Tani, kompletny | Brak rozwiązań krok po kroku, nuda |
| Kursy wideo | Dobra teoria | Oglądanie to nie liczenie, łatwo o złudzenie wiedzy |
| Platforma z zadaniami CKE | Liczysz prawdziwe zadania z rozwiązaniami | Wymaga samodyscypliny |

Najwięcej dla pieniędzy i czasu daje połączenie: krótka teoria plus mnóstwo rozwiązanych zadań. Dlatego sprawnamatura.pl stawia na bazę ponad 2300 zadań CKE z [rozwiązaniami krok po kroku](/solve) i podziałem na działy. Sporą część, w tym zadania zamknięte i [przewodniki po działach](/topics/funkcja-kwadratowa), masz za darmo, a pełny dostęp do wszystkich rozwiązań i trybów daje [abonament Premium](/payment/checkout). To wychodzi taniej niż jedna godzina korepetycji miesięcznie, a zadań możesz zrobić tysiące.

Porównanie konkretnych platform i aplikacji znajdziesz w [rankingu narzędzi do nauki matury](/najlepsze-aplikacje-strony-do-nauki-matematyki-matura).

## Jak wygląda dobra sesja nauki

Zła sesja to czytanie rozwiązań i kiwanie głową. Dobra sesja to liczenie samodzielnie. Schemat, który działa:

Najpierw wybierz dział i przejrzyj krótko teorię oraz wzory. Potem rozwiąż 5-8 zadań samodzielnie, na kartce, bez zaglądania. Dopiero gdy utkniesz, sprawdź rozwiązanie krok po kroku i wróć do liczenia. Na koniec zajrzyj do [postępów](/progress) i zobacz, czy skuteczność w tym dziale rośnie. Jeśli nie masz pomysłu, co rozwiązać, włącz [losowe zadanie](/random) i po prostu zacznij.

## Najczęstsze błędy na starcie

Pierwszy: zaczynanie od najtrudniejszego działu, żeby się sprawdzić. Efekt jest odwrotny, zniechęcasz się w tydzień. Zacznij od fundamentów, zbuduj pewność siebie.

Drugi: oglądanie zamiast liczenia. Godzina filmów daje poczucie postępu, ale na egzaminie liczysz ty, nie lektor. Stosunek powinien być co najmniej jeden do trzech na korzyść samodzielnego liczenia.

Trzeci: brak powtórek. Dział zrobiony we wrześniu trzeba odświeżyć w marcu, inaczej wyparuje. Wplataj stare działy w nowe tygodnie.

Czwarty: liczenie tylko łatwych zadań. Jeśli chcesz przekroczyć [próg zdawalności](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) z zapasem, musisz też walczyć z zadaniami otwartymi za 3-5 punktów.

## Jak nie stracić zapału przez cały rok

Rok to długi dystans i największym wrogiem nie jest trudność zadań, tylko znudzenie. Kilka rzeczy pomaga dobiec do mety. Ustaw sobie małe, mierzalne cele tygodniowe, na przykład "zamknę dział procenty". Zaliczony cel daje zastrzyk motywacji większy niż mgliste "muszę się uczyć do matury". Notuj skuteczność, bo widoczny wzrost z 40 na 65 procent w dziale działa lepiej niż jakiekolwiek pogaduszki motywacyjne. Ucz się z kimś, choćby zdalnie, bo rozwiązywanie tych samych zadań i porównywanie wyników trzyma w ryzach. I rób sobie przerwy, bo tydzień wolnego w wakacje nie zniszczy planu, a wypalenie w listopadzie owszem.

## Co z poziomem rozszerzonym

Jeśli celujesz w kierunki, które wymagają matematyki rozszerzonej, twój plan wygląda podobnie, ale dochodzą działy spoza podstawy i znacznie więcej zadań dowodowych. Fundamenty są te same, więc lato i tak spędzasz na potęgach, przekształceniach i funkcjach. Rozszerzenie wchodzi mocniej od jesieni. Więcej o różnicach znajdziesz w tekście o [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Niezależnie od poziomu zasada jest ta sama: liczysz dużo i regularnie, a nie dużo i raz.

## Checklista na start

Zanim zamkniesz ten tekst, zrób trzy rzeczy. Rozwiąż jeden arkusz diagnostyczny i policz punkty z podziałem na działy. Wybierz stały dzień i godzinę nauki w tygodniu, najlepiej dwa razy po 1,5 godziny. Zacznij od fundamentów, czyli liczb, potęg i pierwiastków, korzystając z [bazy zadań CKE](/zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami).

## FAQ

### Kiedy najpóźniej zacząć, żeby zdążyć?
Realnie pół roku wystarczy przy solidnej pracy, ale rok daje komfort i margines na słabsze tygodnie. Im wcześniej, tym mniej stresu w finiszu.

### Ile zadań trzeba rozwiązać?
Nie ma magicznej liczby, ale jeśli przez rok przerobisz kilkaset zadań z kluczowych działów, poznasz wszystkie typowe schematy. Baza CKE ma ich na to aż nadto.

### Czy da się bez korepetycji?
Tak, większość zdających radzi sobie sama, jeśli ma dobre zadania z rozwiązaniami i trzyma plan. Cały rozpisany plan samodzielnej nauki znajdziesz w przewodniku o [maturze bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

Rok temu twoi starsi koledzy też mieli ten sam rok do dyspozycji. Część go przepuściła, część zamieniła matematykę w pewne 80 procent. Różnica nie była w talencie, tylko w tym, kto zaczął na czas. Ty właśnie zaczynasz.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania
title: Jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu - wzory, kąty, zadania matura
description: Wzór na przekątną sześcianu i prostopadłościanu, kąt nachylenia do podstawy, 5 zadań maturalnych krok po kroku, pułapki i checklist na maturę 2027.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu - wzory, kąty, zadania matura

Przekątna sześcianu i prostopadłościanu to klasyczny temat, który pojawia się na maturze niemal w każdej sesji - czasem jako zadanie zamknięte za 1 punkt, czasem jako element większego zadania ze [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) za 4-5 punktów. Dobra wiadomość jest taka, że cały temat sprowadza się do dwóch wzorów i jednego twierdzenia, które już znasz - [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) zastosowanego dwa razy. Gorsza, że uczniowie regularnie mylą przekątną ściany z przekątną przestrzenną i tracą punkt, mimo że całe wyprowadzenie zajmuje pół minuty.

W tym poście pokażę ci dokładnie, czym różni się przekątna ściany od przekątnej przestrzennej, skąd biorą się wzory \(d = a\sqrt{3}\) i \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), jak liczyć kąty między przekątnymi a krawędziami i podstawą, a na końcu rozwiążemy razem pięć zadań w stylu maturalnym. Trzymaj się schematu z tego artykułu, a każde zadanie z przekątną zrobisz w trzy ruchy.

## Czym jest przekątna sześcianu i prostopadłościanu

Zanim weźmiemy się za wzory, ustalmy nazewnictwo, bo tu właśnie ginie najwięcej punktów. W każdej bryle prostopadłościennej (sześcian to szczególny przypadek prostopadłościanu) wyróżniamy dwa rodzaje przekątnych.

Przekątna ściany to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki jednej ze ścian bryły. Ponieważ każda ściana sześcianu jest kwadratem, a każda ściana prostopadłościanu prostokątem, mówimy tu po prostu o [przekątnej prostokąta lub kwadratu](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne). Każda ściana ma dwie takie przekątne, a sześcian ma sześć ścian, więc łącznie wychodzi dwanaście przekątnych ścian.

Przekątna przestrzenna (nazywana też przekątną bryły) to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie. W sześcianie i prostopadłościanie są to wierzchołki "po przekątnej" w sensie 3D: jeden u dołu, drugi u góry i to po przeciwnej stronie. Każda taka bryła ma dokładnie cztery przekątne przestrzenne - łączą one cztery pary najbardziej odległych wierzchołków. Wszystkie cztery przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem symetrii bryły.

Jeśli zadanie mówi "przekątna sześcianu" bez doprecyzowania, prawie zawsze chodzi o przekątną przestrzenną. Jeśli chodzi o przekątną ściany, autorzy zwykle wprost piszą "przekątna ściany bocznej", "przekątna podstawy" albo wskazują konkretne dwa wierzchołki literami. Czytaj polecenie do końca, zanim cokolwiek policzysz.

## Wzór na przekątną sześcianu

Sześcian o krawędzi długości \(a\) ma trzy charakterystyczne odcinki, które musisz mieć w pamięci. Krawędź to oczywiście \(a\), przekątna ściany to \(a\sqrt{2}\), a przekątna przestrzenna to \(a\sqrt{3}\). Te trzy długości tworzą trójkąt prostokątny - i to jest cała tajemnica.

Wyprowadzenie wzoru na przekątną ściany jest banalne. Każda ściana sześcianu jest kwadratem o boku \(a\). Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), co wynika wprost z Pitagorasa: \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), więc \(d = a\sqrt{2}\). Ten wzór znasz pewnie z [trójkąta 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), bo połowa kwadratu to dokładnie taki trójkąt.

Teraz wzór na przekątną przestrzenną. Wyobraź sobie, że stoisz u dołu sześcianu i patrzysz na przekątną biegnącą od dolnego rogu do górnego rogu po przeciwnej stronie. Możesz tę drogę pokonać w dwóch krokach: najpierw po przekątnej dolnej ściany (długość \(a\sqrt{2}\)), a potem do góry po pionowej krawędzi (długość \(a\)). Te dwa odcinki spotykają się pod kątem prostym, bo krawędź boczna sześcianu jest prostopadła do podstawy. Mamy więc trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to \(a\sqrt{2}\) i \(a\), a przeciwprostokątna to nasza przekątna przestrzenna \(d\).

Z Pitagorasa:

$$d^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$

$$d = a\sqrt{3}$$

I to jest cały wzór na przekątną sześcianu. Niezależnie od tego, jaką krawędź ma sześcian, jego przekątna przestrzenna jest \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od krawędzi. Zapamiętaj to jako pakiet:

- krawędź: \(a\)
- przekątna ściany: \(a\sqrt{2}\)
- przekątna przestrzenna: \(a\sqrt{3}\)

Ta sekwencja pierwiastków \(\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\) jest tak elegancka, że trudno ją zapomnieć. Wiele zadań maturalnych celuje właśnie w to: dają ci jedną z tych długości i każą znaleźć dwie pozostałe albo objętość.

## Wzór na przekątną prostopadłościanu

Prostopadłościan ma trzy różne wymiary: długość \(a\), szerokość \(b\) i wysokość \(c\). Wzór na przekątną przestrzenną wyprowadzamy dokładnie tak samo jak dla sześcianu, tylko zamiast \(a\) razy trzy podstawiamy odpowiednie trzy długości.

Najpierw przekątna podstawy. Podstawa jest prostokątem o bokach \(a\) i \(b\), więc jej przekątna z Pitagorasa ma długość \(p = \sqrt{a^2 + b^2}\). Następnie ta przekątna podstawy i pionowa krawędź \(c\) tworzą trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest przekątna przestrzenna \(d\) prostopadłościanu. Znowu Pitagoras:

$$d^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

Trzy boki pod pierwiastkiem, sumowanie kwadratów - całość wygląda jak trójwymiarowy Pitagoras i tak czasem się go nazywa. Ten wzór warto wykuć na pamięć, bo na karcie wzorów CKE go nie znajdziesz w takiej formie (jest tylko zaznaczone, że \(d = a\sqrt{3}\) dla sześcianu).

Łatwo sprawdzić, że wzór na sześcian to szczególny przypadek wzoru na prostopadłościan: dla \(a = b = c\) mamy \(d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\). To samo, tylko z trzech wymiarów zostaje jeden.

W sześcianie wszystkie przekątne przestrzenne mają taką samą długość. W prostopadłościanie też - to nie zależy od kolejności wymiarów, bo we wzorze i tak je sumujemy. Czyli niezależnie którą z czterech przekątnych przestrzennych wybierzesz, długość będzie \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).

## Kąt między przekątną a krawędzią

Skoro znamy długości boków trójkąta prostokątnego utworzonego przez krawędź, przekątną podstawy i przekątną przestrzenną, możemy łatwo policzyć kąty między tymi odcinkami. Tu wracają definicje [sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci) w trójkącie prostokątnym.

Zacznijmy od sześcianu. Niech \(\alpha\) będzie kątem między przekątną przestrzenną a krawędzią boczną. Krawędź ma długość \(a\), a przekątna przestrzenna \(a\sqrt{3}\). Te dwa odcinki są jednym ramieniem i przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego z trzecim ramieniem długości \(a\sqrt{2}\) (przekątna podstawy). Wtedy:

$$\cos \alpha = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

To daje \(\alpha \approx 54{,}74^\circ\). Wartość niewymiarowa, ale w zadaniach maturalnych zwykle wystarczy podać cosinus albo sinus, bez przeliczania na stopnie.

A jeśli pytają o kąt \(\beta\) między przekątną przestrzenną sześcianu a podstawą? Tu używamy [schematu kąta między prostą a płaszczyzną](/jak-obliczyc-kat-miedzy-prosta-a-plaszczyzna-stereometria): rzutujemy przekątną przestrzenną na podstawę (jej rzut to przekątna podstawy o długości \(a\sqrt{2}\)), a kąt liczymy w trójkącie prostokątnym, którego przeciwprostokątna to przekątna bryły \(a\sqrt{3}\), a przyprostokątne to \(a\sqrt{2}\) (w podstawie) i \(a\) (pionowo). Wtedy:

$$\tan \beta = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\sin \beta = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \cos \beta = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

I znów wartości niewymiarowe, ale dające się czytelnie zapisać. Dla prostopadłościanu schemat jest identyczny: w trójkącie prostokątnym z bokami \(\sqrt{a^2+b^2}\) (rzut przekątnej na podstawę), \(c\) (wysokość) i \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) (przekątna przestrzenna) wybierasz funkcję trygonometryczną do kąta, o który pytają.

## Zadanie 1: Krawędź sześcianu z przekątnej

Treść: Przekątna sześcianu ma długość \(6\sqrt{3}\) cm. Oblicz długość krawędzi tego sześcianu, pole jego powierzchni całkowitej i objętość.

Rozwiązanie zaczynamy od wzoru na przekątną sześcianu \(d = a\sqrt{3}\). Podstawiamy \(d = 6\sqrt{3}\):

$$6\sqrt{3} = a\sqrt{3}$$

$$a = 6 \text{ cm}$$

Krawędź wyszła "okrągła", więc dalej już idzie z marszu. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to sześć ścian o polu \(a^2\) każda, więc \(P_c = 6a^2 = 6 \cdot 36 = 216\) cm². [Objętość sześcianu](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) to \(V = a^3 = 216\) cm³.

Pułapka tego zadania: jeśli przeczytasz "przekątna" i odruchowo skojarzysz z przekątną ściany (\(a\sqrt{2}\)), wyjdzie ci błędne \(a = 6\sqrt{3}/\sqrt{2} = 3\sqrt{6}\). Niby też ładnie, ale niepoprawnie. Zawsze sprawdź, czy "przekątna sześcianu" w treści to przekątna przestrzenna - 99 razy na 100 tak właśnie jest.

## Zadanie 2: Przekątna sześcianu wpisanego w kulę

Treść: Sześcian jest wpisany w kulę o promieniu \(R = 5\sqrt{3}\) cm. Oblicz długość krawędzi sześcianu i jego objętość.

Kluczowe spostrzeżenie: jeśli sześcian jest wpisany w kulę, to wszystkie osiem wierzchołków sześcianu leży na powierzchni kuli, a środek kuli pokrywa się ze środkiem sześcianu. Wtedy średnica kuli równa się przekątnej przestrzennej sześcianu, czyli \(2R = d\).

Podstawiamy: \(2 \cdot 5\sqrt{3} = a\sqrt{3}\), więc \(10\sqrt{3} = a\sqrt{3}\), stąd \(a = 10\) cm. Objętość: \(V = a^3 = 1000\) cm³.

To jest jedna z najczęstszych konfiguracji w zadaniach maturalnych: bryła wpisana w kulę albo kula wpisana w bryłę. Dla sześcianu wpisanego w kulę kluczem jest zawsze przekątna przestrzenna równa średnicy. Dla kuli wpisanej w sześcian zachodzi z kolei \(2r = a\) (średnica kuli równa krawędzi sześcianu), bo kula styka się ze ścianami w środkach.

## Zadanie 3: Przekątna prostopadłościanu z trzech wymiarów

Treść: Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka mają długości 3 cm, 4 cm i 12 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Podstawiamy wprost do wzoru \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\):

$$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$$

Trójka \((3, 4, 12, 13)\) to "trójwymiarowa trójka pitagorejska" - jedna z najczęściej dawanych w zadaniach, bo wynik wychodzi okrągły. Jeśli widzisz w zadaniu boki \(1, 2, 2\), wynik to \(d = 3\). Jeśli widzisz \(2, 3, 6\), wynik to \(d = 7\). Warto te zestawy zapamiętać - jeśli wynik wychodzi nieładny, prawdopodobnie pomyliłeś się w arytmetyce.

## Zadanie 4: Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy

Treść: W prostopadłościanie o krawędziach podstawy długości 6 cm i 8 cm oraz wysokości 5 cm wyznacz kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy. Podaj tangens tego kąta.

Postępujemy schematem z sekcji o kątach. Najpierw przekątna podstawy: \(p = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\) cm (typowa trójka 6-8-10). Następnie rysujemy trójkąt prostokątny: przyprostokątna pozioma to przekątna podstawy długości 10, przyprostokątna pionowa to wysokość 5, a przeciwprostokątną jest przekątna prostopadłościanu długości \(\sqrt{6^2 + 8^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\) cm.

Kąt \(\alpha\) między przekątną a podstawą leży naprzeciw boku pionowego (wysokość 5), a przyległy do niego jest bok poziomy (10). Stąd:

$$\tan \alpha = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

Odpowiedź: \(\tan \alpha = \frac{1}{2}\). Możesz dodać dla pewności, że \(\sin \alpha = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\) i \(\cos \alpha = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). W większości arkuszy maturalnych za poprawnie zaznaczony kąt i poprawny tangens jest komplet punktów.

## Zadanie 5: Sześcian z polem powierzchni

Treść: Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 96 cm². Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

Tu nie dostajesz krawędzi wprost, tylko musisz ją wyciągnąć z pola. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to \(P_c = 6a^2\), więc:

$$6a^2 = 96$$

$$a^2 = 16$$

$$a = 4 \text{ cm}$$

Krawędź wynosi 4 cm, a stąd przekątna przestrzenna:

$$d = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

Można było też pójść drogą "skróconą" - skoro \(d^2 = 3a^2\), a \(6a^2 = 96\), to \(a^2 = 16\) i \(d^2 = 48\), więc \(d = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Każda droga prowadzi do tego samego wyniku - wybieraj tę, która krócej omija pierwiastki.

## Zadanie 6: Przekrój przekątny prostopadłościanu

Treść: W prostopadłościanie o podstawie kwadratu o boku 4 cm i wysokości 6 cm poprowadzono płaszczyznę przechodzącą przez dwie równoległe krawędzie podstawy i przeciwległą krawędź górnej podstawy. Oblicz pole tego przekroju.

Ten typ zadania trafia się regularnie w arkuszach maturalnych i wygląda na trudniejszy, niż jest w rzeczywistości. Tak naprawdę chodzi o znalezienie pola prostokąta, którego jeden bok to bok podstawy, a drugi to przekątna ściany bocznej.

W naszym prostopadłościanie bok podstawy ma 4 cm, a ściana boczna jest prostokątem o wymiarach 4 cm na 6 cm. Przekątna ściany bocznej ma więc długość \(\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\) cm. Przekrój jest prostokątem o bokach 4 cm i \(2\sqrt{13}\) cm, więc jego pole to:

$$P = 4 \cdot 2\sqrt{13} = 8\sqrt{13} \text{ cm}^2$$

Klucz: zanim zaczniesz liczyć, narysuj sobie bryłę z zaznaczonym przekrojem. Ustal, jakim kształtem jest przekrój (najczęściej prostokąt, czasem romb albo trapez), wypisz długości jego boków i policz pole standardowym wzorem dla danego czworokąta.

W sześcianie szczególnie elegancki przypadek to przekrój zawierający przekątną przestrzenną. Jeśli płaszczyzna przechodzi przez dwie przeciwległe krawędzie sześcianu o krawędzi \(a\), przekrój jest prostokątem o bokach \(a\) i \(a\sqrt{2}\) (przekątna ściany). Pole takiego przekroju to \(a^2\sqrt{2}\) - zapamiętaj to jako klasyk z [stereometrii maturalnej](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

## Sześcian opisany na kuli i kuli wpisanej

Skoro mówimy o przekątnej i jej związkach z innymi długościami, warto dorzucić jeszcze trzy konfiguracje, które na maturze są niemal pewniakami.

Sześcian opisany na kuli (czyli kula wpisana w sześcian). Kula styka się z każdą z sześciu ścian w środku, więc jej średnica jest równa krawędzi sześcianu: \(2r = a\). Stąd promień to \(r = a/2\), a objętość kuli to \(V = \frac{4}{3}\pi (a/2)^3 = \frac{\pi a^3}{6}\).

Sześcian wpisany w kulę (czyli kula opisana na sześcianie). Tu wszystkie osiem wierzchołków leży na sferze, a środek kuli jest środkiem sześcianu. Średnica kuli to przekątna przestrzenna sześcianu: \(2R = a\sqrt{3}\), czyli \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Stosunek objętości tych dwóch kul (wpisanej i opisanej na sześcianie) wynosi \((1/2)^3 : (\sqrt{3}/2)^3 = 1 : 3\sqrt{3}\) - ładny, niewymierny stosunek, który pojawia się w zadaniach typu "porównaj objętości".

Sześcian wpisany w sześcian (mniejszy w większym, obrócony o 45 stopni). To rzadszy temat, ale czasem pojawia się w zadaniach. Wymaga znajomości twierdzenia o kącie między dwiema płaszczyznami, ale wszystkie obliczenia sprowadzają się do trójkąta równobocznego utworzonego z trzech krawędzi sześcianu wychodzących z jednego wierzchołka.

## Najczęstsze pułapki

Mylenie przekątnej ściany z przekątną przestrzenną. To pułapka numer jeden. Zawsze upewnij się przed liczeniem, której długości szukasz. Jeśli na rysunku zaznaczono przekątną biegnącą "po przekątnej całej bryły" od wierzchołka do najdalszego wierzchołka, to jest przekątna przestrzenna. Jeśli zaznaczona jest tylko na jednej ścianie - to przekątna ściany.

Mylenie wzoru \(d = a\sqrt{3}\) (przekątna sześcianu) ze wzorem \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) (przekątna prostopadłościanu). Pierwszy jest szczególnym przypadkiem drugiego, ale działa tylko gdy wszystkie krawędzie są równe. Jeśli w zadaniu są trzy różne wymiary, używaj wzoru długiego.

Złe wyznaczanie kąta nachylenia do płaszczyzny. Często uczniowie biorą zły trójkąt prostokątny - np. liczą kąt między przekątną przestrzenną a krawędzią bocznej ściany zamiast między przekątną a podstawą. Zawsze przed liczeniem narysuj sobie [rzut przekątnej na podstawę](/jak-obliczyc-kat-miedzy-prosta-a-plaszczyzna-stereometria) i zaznacz kąt, o który pytają.

Pomijanie sześcianu jako szczególnego przypadku prostopadłościanu. Jeśli na maturze widzisz zadanie z sześcianem i nie pamiętasz, że \(d = a\sqrt{3}\), zawsze możesz użyć dłuższego wzoru \(d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\). To samo, tylko więcej zachodu - ale gwarantowane poprawnie.

Błąd przy podnoszeniu \(a\sqrt{2}\) do kwadratu. Częsty wpadka: uczniowie piszą \((a\sqrt{2})^2 = a\sqrt{4} = 2a\) zamiast \((a\sqrt{2})^2 = a^2 \cdot 2 = 2a^2\). Pamiętaj, że \((xy)^2 = x^2 y^2\), więc kwadrat pierwiastka znosi pierwiastek, a krawędź też ląduje pod kwadratem.

Mylenie wzoru na średnicę kuli opisanej na sześcianie z czymś innym. Średnica kuli opisanej na sześcianie to dokładnie przekątna przestrzenna, czyli \(2R = a\sqrt{3}\). Dla kuli wpisanej w sześcian średnica to krawędź sześcianu \(2r = a\). Te dwa wzory mylą się przez nieuwagę, a to są dwa różne zadania.

## Schemat krok po kroku do każdego zadania

Niezależnie od konkretnej treści, każde zadanie z przekątną sześcianu lub prostopadłościanu rozkłada się na ten sam algorytm:

Krok 1: Przeczytaj polecenie i ustal, o którą przekątną chodzi - przestrzenną czy ściany. Jeśli "przekątna sześcianu" bez doprecyzowania, to przestrzenna.

Krok 2: Wypisz dane (krawędzie, ewentualnie pole, objętość, promień kuli). Jeśli pole albo objętość, najpierw wyciągnij z nich krawędź.

Krok 3: Wstaw do wzoru. Dla sześcianu \(d = a\sqrt{3}\), dla prostopadłościanu \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\).

Krok 4: Jeśli pytają o kąt - narysuj trójkąt prostokątny z przekątną, jej rzutem na podstawę i krawędzią pionową. Wybierz odpowiednią funkcję trygonometryczną.

Krok 5: Sprawdź, czy odpowiedź ma sens (jednostki, wartość liczbowa). Jeśli wyszła brzydka, sprawdź arytmetykę.

Pięć kroków, sześć linijek na kartce, dwie minuty - i komplet punktów.

## Sześcian i prostopadłościan w arkuszach maturalnych

Z naszej bazy [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) widać wyraźny trend: zadania z przekątną sześcianu lub prostopadłościanu pojawiają się w średnio 70 procentach arkuszy. Najczęściej jako zadanie zamknięte za 1 punkt (typu "która z odpowiedzi jest długością przekątnej"), rzadziej jako element zadania otwartego, gdzie przekątna jest tylko jednym z elementów dłuższej konstrukcji.

Często towarzyszą im pytania o [kąt dwuścienny](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura) między ścianą a przekątnym przekrojem albo o [pole przekroju](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory) zawierającego przekątną. Jeśli rozumiesz te wzory plus podstawy trygonometrii w trójkącie prostokątnym, jesteś gotowy na każde standardowe zadanie z tego tematu.

W ostatniej, [majowej sesji maturalnej 2026](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania) zadanie z przekątną pojawiło się w zadaniach zamkniętych w pierwszej części arkusza, i był to klasyk: sześcian o danej krawędzi i pytanie o długość przekątnej. 90 sekund roboty dla każdego, kto kojarzy wzór \(d = a\sqrt{3}\).

## Czego musisz umieć (checklist)

Przed wyjściem na maturę powinieneś bez zająknięcia wymienić te trzy długości w sześcianie o krawędzi \(a\): krawędź \(a\), przekątna ściany \(a\sqrt{2}\), przekątna przestrzenna \(a\sqrt{3}\).

Wiedzieć, że w prostopadłościanie przekątna przestrzenna ma długość \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) i że to po prostu twierdzenie Pitagorasa zastosowane dwukrotnie.

Umieć wyciągnąć krawędź z pola powierzchni (\(P_c = 6a^2\) dla sześcianu, \(P_c = 2(ab+bc+ac)\) dla prostopadłościanu) i z objętości (\(V = a^3\) dla sześcianu, \(V = abc\) dla prostopadłościanu).

Wiedzieć, że w sześcianie wpisanym w kulę przekątna przestrzenna równa się średnicy kuli, a w sześcianie z wpisaną kulą średnica kuli równa się krawędzi.

Umieć znaleźć kąt między przekątną a podstawą i kąt między przekątną a krawędzią - obydwa przez funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym utworzonym przez przekątną, jej rzut i krawędź pionową.

Zapamiętać pułapkę z \((a\sqrt{2})^2 = 2a^2\), bo to najczęstsza wpadka w wyprowadzeniach.

Jeśli wszystkie te punkty masz opanowane, każde zadanie z przekątną sześcianu lub prostopadłościanu na maturze podstawowej to dla ciebie czysty punkt. Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-szesciokata-foremnego-wzor-zadania
title: Jak obliczyć pole sześciokąta foremnego - wzór, promień, zadania matura
description: Wzór na pole sześciokąta foremnego, promień okręgu wpisanego i opisanego. 6 rozwiązanych zadań matury z planimetrii i stereometrii krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole sześciokąta foremnego - wzór, promień, zadania matura

Sześciokąt foremny to jedna z tych figur, które wracają na maturze regularnie, a wielu uczniów mimo to traci na niej punkty. Pojawia się w zadaniach z [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) jako samodzielna figura, w [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) jako podstawa graniastosłupa albo ostrosłupa, i nawet w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) jako figura wpisana w okrąg. Cała tajemnica polega na jednym fakcie: sześciokąt foremny dzieli się na **sześć identycznych trójkątów równobocznych**. Jeśli to opanujesz, wszystkie wzory wyprowadzisz sam z trójkąta, bez wkuwania na pamięć.

W tym poradniku rozkładam temat na czynniki pierwsze. Najpierw definicja i kluczowe własności (kąty, przekątne, promienie). Potem wzór na pole sześciokąta foremnego i dowód krok po kroku - zobaczysz, skąd bierze się magiczny współczynnik \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\). Następnie wzory na promień okręgu wpisanego \(r\) (apotema) i opisanego \(R\), bo CKE używa ich na zmianę. Dalej sześć rozwiązanych przykładów, w tym dwa stereometryczne (graniastosłup i ostrosłup o podstawie sześciokąta foremnego), które są typowymi 5-punktowymi zadaniami otwartymi z matury podstawowej.

## Czym jest sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny to wielokąt o **sześciu bokach równej długości** i **sześciu równych kątach wewnętrznych**. Z samej tej definicji wynikają wszystkie pozostałe własności. Najważniejsza z nich, którą musisz zapamiętać natychmiast: jeśli połączysz środek sześciokąta foremnego ze wszystkimi sześcioma wierzchołkami, otrzymasz **sześć przystających trójkątów równobocznych** o boku równym bokowi sześciokąta.

Skąd to wynika? Suma kątów w wielokącie wypukłym o \(n\) bokach wynosi \((n-2) \cdot 180^\circ\). Dla \(n = 6\): \(4 \cdot 180^\circ = 720^\circ\). W sześciokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc każdy ma miarę:
$$\alpha_{wew} = \dfrac{720^\circ}{6} = 120^\circ$$

Z drugiej strony kąt środkowy (czyli kąt między dwoma promieniami łączącymi środek z sąsiednimi wierzchołkami) wynosi:
$$\alpha_{sr} = \dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

Każdy z sześciu trójkątów, na które podzielony jest sześciokąt, ma kąt środkowy \(60^\circ\), a pozostałe dwa kąty są równe, bo trójkąt jest równoramienny (dwa ramiona to promienie). Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc każdy z pozostałych kątów to \(\dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\). Wszystkie kąty po \(60^\circ\) - czyli każdy z tych trójkątów jest **równoboczny**. Dlatego ramię (czyli promień okręgu opisanego) jest równe podstawie (czyli bokowi sześciokąta). Ten jeden fakt rozwiązuje połowę zadań z sześciokątem foremnym.

## Podstawowe parametry sześciokąta foremnego

Niech \(a\) oznacza długość boku sześciokąta foremnego. Z faktu, że figura składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(a\), dostajemy serię wzorów. Wszystkie wyprowadzę z [zależności w trójkącie równobocznym](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), więc jeśli któryś będziesz miał wątpliwości, możesz go odtworzyć w głowie w 10 sekund.

**Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym:**
$$\boxed{R = a}$$

Promień okręgu opisanego to odcinek od środka sześciokąta do dowolnego wierzchołka. Z poprzedniej sekcji wiemy, że każdy z sześciu wewnętrznych trójkątów jest równoboczny, więc \(R\) jest jego ramieniem, równym podstawie \(a\).

**Promień okręgu wpisanego (apotema):**
$$\boxed{r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$$

Promień okręgu wpisanego to odcinek od środka prostopadły do boku sześciokąta. W trójkącie równobocznym o boku \(a\) ten odcinek jest po prostu wysokością trójkąta, a wysokość trójkąta równobocznego wynosi \(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). To samo, co stosunek krótszej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej w trójkącie \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\).

**Wysokość sześciokąta** (odległość między dwoma równoległymi bokami):
$$h = 2r = a\sqrt{3}$$

**Długość najdłuższej przekątnej** (przechodzącej przez środek, łączącej przeciwległe wierzchołki):
$$d_{max} = 2R = 2a$$

**Długość krótszej przekątnej** (łączącej wierzchołki przedzielone jednym):
$$d_{min} = a\sqrt{3}$$

Ta krótsza przekątna to nic innego jak dwie wysokości trójkąta równobocznego ułożone w jeden odcinek, więc \(2 \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\). Sprawdza się też przez twierdzenie Pitagorasa w trójkącie utworzonym przez dwa sąsiednie boki sześciokąta i tę przekątną.

## Wzór na pole sześciokąta foremnego

To wzór, który musisz znać na pamięć, choć wyprowadzenie zajmuje 15 sekund i warto je rozumieć. Sześciokąt składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(a\). Pole trójkąta równobocznego wynosi \(P_{tr} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), więc pole sześciokąta foremnego to:
$$P = 6 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{6 a^2 \sqrt{3}}{4}$$
$$\boxed{P = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}}$$

Jeśli zapomnisz wzoru w połowie zadania - **odtwórz go z sześciu trójkątów**. Ten patent działa też dla każdej innej figury z grupy "n-kąt foremny": dzielisz na \(n\) trójkątów równoramiennych i liczysz pole jednego razy \(n\).

Ten sam wzór można zapisać przez promień okręgu wpisanego (apotemę). Korzystając z [wzoru na pole wielokąta foremnego](/pole-obwod-figur-matura-wzory): \(P = \dfrac{1}{2} \cdot O \cdot r\), gdzie \(O\) to obwód. Dla sześciokąta foremnego \(O = 6a\), więc:
$$P = \dfrac{1}{2} \cdot 6a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$$

Wychodzi to samo. Trzeci wariant - przez promień okręgu opisanego, czyli \(R\). Bo \(R = a\), to:
$$P = \dfrac{3 R^2 \sqrt{3}}{2}$$

Wszystkie trzy wzory są tak naprawdę tym samym, tylko w różnych "walutach": w bokach, w \(R\) albo w \(r\).

## Pole sześciokąta wyrażone przez krótszą przekątną

Ostatni wariant, który zaskakuje uczniów na maturze. Gdy zadanie podaje ci nie bok, tylko krótszą przekątną \(d_{min} = a\sqrt{3}\), to \(a = \dfrac{d_{min}}{\sqrt{3}} = \dfrac{d_{min}\sqrt{3}}{3}\). Podstawiając:
$$P = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{d_{min}^2}{3} = \dfrac{d_{min}^2 \sqrt{3}}{2}$$

Z najdłuższą przekątną też prosto: \(d_{max} = 2a\), więc \(a = \dfrac{d_{max}}{2}\):
$$P = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{d_{max}^2}{4} = \dfrac{3 d_{max}^2 \sqrt{3}}{8}$$

Nie ucz się tych dwóch wariantów na pamięć - ucz się zamiany na bok \(a\), a potem podstawiasz do głównego wzoru. Mniej do zapamiętania, mniej miejsc na pomyłkę.

## Przykład 1 - pole z podanego boku

Zadanie: oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości \(4\,\mathrm{cm}\).

**Krok 1.** Podstaw do wzoru \(P = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}\):
$$P = \dfrac{3 \cdot 16 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{48\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$$

**Krok 2.** Sprawdzenie alternatywne: sześciokąt to sześć trójkątów równobocznych o boku \(4\). Pole jednego: \(\dfrac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\). Razem \(6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2\). Zgadza się.

Wartość przybliżona: \(24\sqrt{3} \approx 41{,}57\,\mathrm{cm}^2\). Na maturze CKE oczekuje **wyniku dokładnego z pierwiastkiem**, nie przybliżenia. Zostaw \(24\sqrt{3}\), nie podmieniaj na 41,57.

## Przykład 2 - znajdź bok znając pole

Zadanie: pole sześciokąta foremnego wynosi \(54\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2\). Oblicz długość boku.

**Krok 1.** Z głównego wzoru:
$$\dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}$$

**Krok 2.** Mnożymy obie strony przez \(2\) i dzielimy przez \(\sqrt{3}\):
$$3 a^2 = 108 \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\,\mathrm{cm}$$

**Krok 3.** Sprawdzenie: dla \(a = 6\) mamy \(P = \dfrac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\). Zgadza się.

Drobny niuans, na którym uczniowie się wykładają: jeśli zadanie podaje pole bez \(\sqrt{3}\), na przykład "\(P = 60\,\mathrm{cm}^2\)", to \(a\) najczęściej wychodzi z pierwiastkiem zagnieżdżonym (np. \(a = \dfrac{2\sqrt{30}}{\sqrt[4]{27}}\)). Sprawdź wtedy, czy faktycznie zadanie chce odpowiedzi liczbowej, czy może wystarczy zostawić wzór z literą.

## Przykład 3 - oblicz R i r znając pole

Zadanie: pole sześciokąta foremnego wynosi \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}^2\). Oblicz promień okręgu wpisanego i opisanego.

**Krok 1.** Wzór na pole: \(\dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}\). Stąd \(a^2 = 1\), więc \(a = 1\,\mathrm{cm}\).

**Krok 2.** Promień okręgu opisanego: \(R = a = 1\,\mathrm{cm}\).

**Krok 3.** Promień okręgu wpisanego: \(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}\).

To zadanie sprawdza, czy nie pomyliłeś \(R\) z \(r\). Sześciokąt foremny to jedyny wielokąt foremny, w którym \(R = a\), więc warto wbić sobie ten fakt do głowy. Więcej o tym, kiedy stosować \(R\), a kiedy \(r\), znajdziesz w poradniku [promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania) - logika jest ta sama dla każdego wielokąta foremnego.

## Przykład 4 - graniastosłup o podstawie sześciokąta foremnego

Zadanie: dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Krawędź podstawy ma długość \(3\,\mathrm{cm}\), a wysokość graniastosłupa wynosi \(5\,\mathrm{cm}\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

**Krok 1.** Pole podstawy (sześciokąt foremny o boku \(a = 3\)):
$$P_p = \dfrac{3 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{27\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}^2$$

**Krok 2.** Objętość graniastosłupa (skorzystaj z [wzoru na objętość graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania)):
$$V = P_p \cdot H = \dfrac{27\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \dfrac{135\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}^3$$

**Krok 3.** Pole powierzchni bocznej. Graniastosłup ma \(6\) ścian bocznych, każda to prostokąt o wymiarach \(a \times H = 3 \times 5\):
$$P_b = 6 \cdot 3 \cdot 5 = 90\,\mathrm{cm}^2$$

**Krok 4.** Pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = 2 P_p + P_b = 2 \cdot \dfrac{27\sqrt{3}}{2} + 90 = 27\sqrt{3} + 90\,\mathrm{cm}^2$$

To klasyczne zadanie z matury - cała trudność leży w pamiętaniu, że **\(P_b\) bocznej liczymy raz**, ale podstaw są dwie, więc \(2 P_p\). Częsty błąd: ktoś dodaje \(P_p\) raz, bo "podstawa jest u dołu" - tracą \(\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\) punktu za nieuwagę.

## Przykład 5 - ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Zadanie: ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy \(a = 2\) i wysokość \(H = 6\). Oblicz objętość i kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

**Krok 1.** Pole podstawy: \(P_p = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\).

**Krok 2.** Objętość (z [wzoru na objętość ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni)):
$$V = \dfrac{1}{3} P_p \cdot H = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$$

**Krok 3.** Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy. Krawędź boczna łączy wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy. Spodek wysokości ostrosłupa to środek sześciokąta foremnego, a odległość od środka do wierzchołka to **\(R = a = 2\)**. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość \(H\), promień \(R\) i krawędź boczną, kąt przy podstawie spełnia:
$$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{H}{R} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Więcej o tym typie zadań w poradniku [jak obliczyć kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa).

**Krok 4.** Bo \(\mathrm{tg}\,\alpha = 3\), kąt jest ostry: \(\alpha = \mathrm{arctg}\,3 \approx 71{,}57^\circ\). Na maturze CKE wystarcza zwykle podać \(\mathrm{tg}\,\alpha = 3\) - sprawdź treść zadania.

Kluczowy moment tego zadania to świadomość, że \(R = a\) dla sześciokąta foremnego. Wielu uczniów zaczyna kombinować, ile wynosi przekątna podstawy, a tu wystarczy zapamiętać jeden fakt.

## Przykład 6 - kąt nachylenia ściany bocznej

Zadanie: ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy \(a = 4\) i wysokość \(H = 6\). Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

**Krok 1.** Kąt między ścianą boczną a podstawą mierzymy w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa \(H\), apotemę podstawy \(r\) i apotemę ściany bocznej (czyli wysokość trójkąta będącego ścianą boczną).

**Krok 2.** Apotema podstawy: \(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\).

**Krok 3.** Kąt \(\beta\) między ścianą boczną a podstawą:
$$\mathrm{tg}\,\beta = \dfrac{H}{r} = \dfrac{6}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

**Krok 4.** Bo \(\mathrm{tg}\,\sqrt{3}\) odpowiada kątowi \(60^\circ\), to \(\beta = 60^\circ\). Wynik dokładny.

Najczęstszy błąd w tym zadaniu: uczeń bierze \(R\) zamiast \(r\). Pamiętaj: **do nachylenia ściany bocznej używasz apotemy podstawy \(r\)**, do nachylenia krawędzi bocznej - promienia \(R\). Dlatego dla sześciokąta foremnego dwa różne kąty wyjdą dwiema różnymi metodami, a ich zamiana to klasyczna 2-punktowa pomyłka.

## Sześciokąt foremny w geometrii analitycznej

Czasami CKE wrzuca sześciokąt do układu współrzędnych. Najczęściej ze środkiem w \((0, 0)\) i jednym z wierzchołków na osi \(Ox\). Wtedy współrzędne wierzchołków wynoszą:
$$A_k = (R \cos\theta_k, R \sin\theta_k), \quad \theta_k = k \cdot 60^\circ, \quad k = 0, 1, \ldots, 5$$

Dla \(R = 1\):
- \(A_0 = (1, 0)\)
- \(A_1 = \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
- \(A_2 = \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
- \(A_3 = (-1, 0)\)
- \(A_4 = \left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
- \(A_5 = \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Mając współrzędne, pole liczysz [wzorem na pole trójkąta ze współrzędnych](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne) dla każdego z sześciu trójkątów, ale w praktyce szybciej skorzystać z gotowego wzoru \(P = \dfrac{3 R^2 \sqrt{3}}{2}\).

## Typowe pułapki, które kosztują punkty

**1. Mylenie \(R\) z \(r\).** Dla sześciokąta foremnego \(R = a\) (promień okręgu opisanego), a \(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (promień okręgu wpisanego, apotema). To DWA RÓŻNE odcinki. Ucz się tak: "Większy okrąg obejmuje wierzchołki, mniejszy dotyka boków".

**2. Zapominanie, że \(R = a\) tylko dla sześciokąta.** W kwadracie \(R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\), w trójkącie równobocznym \(R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}\). Sześciokąt foremny to wyjątek, ale ucz się jego przez "sześć trójkątów równobocznych", a wszystko wskoczy na swoje miejsce.

**3. Pole jako "\(6 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2}\)".** Klasyczne potknięcie - ktoś bierze wzór na pole trójkąta równobocznego z **dwójką** w mianowniku (taki nie istnieje) zamiast z **czwórką**. Wzór to \(P_{tr} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}\), a nie \(\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{2}\).

**4. Mylenie wysokości sześciokąta z apotemą.** Wysokość sześciokąta (odległość między dwoma równoległymi bokami) wynosi \(2r = a\sqrt{3}\). Apotema to **połowa wysokości**, czyli \(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

**5. Liczenie najdłuższej przekątnej jako \(a\sqrt{3}\).** Najdłuższa przekątna to \(2a\), a nie \(a\sqrt{3}\). \(a\sqrt{3}\) to krótsza przekątna (między wierzchołkami przedzielonymi jednym). W sześciokącie foremnym są DWIE różne długości przekątnych - łatwo je pomylić.

**6. Pomijanie wymiarów w odpowiedzi.** Jeśli pytanie jest o pole, dodawaj \(\mathrm{cm}^2\). Objętość: \(\mathrm{cm}^3\). Brak jednostki to często \(-1\) punkt na maturze.

**7. "Sześciokąt foremny to to samo co sześciokąt".** Nie. Sześciokąt wypukły może być dowolny - bok różny od boku, kąty różne. **Foremny** = wszystkie boki i kąty równe. Wszystkie wzory z tego poradnika dotyczą TYLKO sześciokąta foremnego.

**8. Niewłaściwe użycie \(R\) w stereometrii.** W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym promień \(R\) podstawy łączy środek z wierzchołkiem podstawy. To ten odcinek (a nie apotema) używasz do liczenia kąta nachylenia krawędzi bocznej. Apotemy \(r\) używasz do kąta nachylenia ściany bocznej. Te dwa kąty są różne i CKE chętnie testuje ich rozróżnienie.

## Skąd wziąć liczby? Zależności pomocnicze

Czasem zadanie podaje ci niestandardowy parametr i musisz zamienić go na bok \(a\). Tabela zamian, którą warto mieć w głowie (dla sześciokąta foremnego o boku \(a\)):

| Dany parametr | Bok \(a\) |
| --- | --- |
| Promień opisanego \(R\) | \(a = R\) |
| Promień wpisanego \(r\) | \(a = \dfrac{2r}{\sqrt{3}} = \dfrac{2r\sqrt{3}}{3}\) |
| Krótsza przekątna \(d_{min}\) | \(a = \dfrac{d_{min}\sqrt{3}}{3}\) |
| Dłuższa przekątna \(d_{max}\) | \(a = \dfrac{d_{max}}{2}\) |
| Pole \(P\) | \(a = \sqrt{\dfrac{2P}{3\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{2P\sqrt{3}}}{3}\) |
| Obwód \(O\) | \(a = \dfrac{O}{6}\) |

Strategia: zamień podany parametr na \(a\), a potem licz wszystko, czego zadanie chce. Nie ucz się 36 różnych wzorów, ucz się sześciu zamian na \(a\) i jednego wzoru na pole.

## Podsumowanie i checklista "co musisz umieć"

Zanim podejdziesz do matury, sprawdź, czy potrafisz z głowy odpowiedzieć na te pytania:

- Ile wynosi kąt wewnętrzny w sześciokącie foremnym? (\(120^\circ\))
- Ile wynosi kąt środkowy? (\(60^\circ\))
- Na ile trójkątów równobocznych dzieli się sześciokąt foremny? (sześć)
- Wzór na pole sześciokąta foremnego o boku \(a\)? (\(P = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}\))
- Promień okręgu opisanego \(R\)? (\(R = a\))
- Promień okręgu wpisanego \(r\)? (\(r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\))
- Wysokość sześciokąta? (\(h = a\sqrt{3}\))
- Krótsza przekątna? (\(a\sqrt{3}\))
- Dłuższa przekątna? (\(2a\))
- Pole graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy \(a\) i wysokości \(H\)? (\(V = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot H\))
- Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego? (\(V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot H = \dfrac{a^2 \sqrt{3} H}{2}\))
- Którego promienia używasz do kąta nachylenia krawędzi bocznej? (\(R\))
- Którego do kąta nachylenia ściany bocznej? (\(r\), apotemy)

Jeśli wszystkie pozycje masz "ptaszki", sześciokąt foremny na maturze przestaje być problemem - staje się okazją do pewnych punktów. Najczęstsze zadania trafiają w typy z naszego poradnika [planimetria - figury, pola, twierdzenia](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) oraz w bardziej rozbudowane bryły opisane w [stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). Dla solidnego treningu wartościowe są też pokrewne tematy: [pole trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura), [pole rombu i równoległoboku](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne), [pole koła i obwód okręgu](/jak-obliczyc-pole-kola-obwod-okregu-wzory), oraz pełna [pole, obwód figur na maturze](/pole-obwod-figur-matura-wzory).

Powodzenia - sześciokąt foremny to figura, której nauka zwraca się natychmiast na każdej maturze, na której się pojawia. A pojawia się prawie co roku.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-i-objetosc-kuli-wzory-zadania-matura
title: Jak obliczyć pole powierzchni i objętość kuli - wzory, zadania maturalne krok po kroku
description: Wzór na pole powierzchni kuli i objętość kuli z karty CKE. 5 zadań maturalnych krok po kroku, pułapki przekroju, sfery wpisanej i opisanej na sześcianie.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole powierzchni i objętość kuli - wzory, zadania maturalne krok po kroku

## Dlaczego kula musi być w twoim arsenale na maturze

Stereometria na maturze podstawowej z matematyki to przede wszystkim graniastosłupy, ostrosłupy, walce, stożki i kule. O ile zadania z graniastosłupów i ostrosłupów są zwykle rozbudowane, o tyle kula często pojawia się w krótkich zadaniach zamkniętych za 1 lub 2 punkty. To są punkty, które chcesz mieć w kieszeni jeszcze zanim wejdziesz na salę.

Problem? Większość uczniów myli wzory na kulę z wzorami na koło albo na okrąg. \(4\pi r^2\) i \(\pi r^2\) wyglądają podobnie, ale jeden dotyczy powierzchni bryły w trzech wymiarach, a drugi pola figury płaskiej. Pomyłka kosztuje punkt nawet w łatwym zadaniu. Druga pułapka to potęga przy promieniu: w polu powierzchni kuli masz \(r^2\), a w objętości \(r^3\). Trzeba to mieć w głowie tak pewnie jak \(2+2\).

W tym poradniku rozkładamy temat na czynniki pierwsze. Najpierw wzory z karty wzorów CKE z krótką intuicją, skąd się biorą. Potem pięć zadań w stylu maturalnym, od najprostszego do typowego zadania ze sferą wpisaną i opisaną. Na końcu lista pułapek i checklist powtórkowy. Po przeczytaniu tego tekstu kula będzie dla ciebie najprostszą bryłą obrotową, a nie zmorą.

Jeżeli całą stereometrię chcesz mieć poukładaną od podstaw, zerknij najpierw na [stereometrię na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [stronę tematu stereometria](/topics/stereometria) - tam są wszystkie bryły razem.

## Wzory na pole powierzchni i objętość kuli z karty CKE

Karta wzorów CKE 2027 ma dla kuli dokładnie dwa wzory i obowiązkowo musisz znać oba na pamięć. Wbrew pozorom karty nie zawsze masz pod ręką w czasie liczenia, bo zaglądanie do niej spowalnia, a w zadaniach zamkniętych każda sekunda to twoja przewaga.

Pole powierzchni kuli o promieniu \(r\):
$$P = 4\pi r^2$$

Objętość kuli o promieniu \(r\):
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

To wszystko. Dwa wzory. Żadnych pierwiastków, żadnej tworzącej jak w stożku, żadnej wysokości jak w walcu. Cała kula jest zdefiniowana jednym parametrem: promieniem \(r\). To znaczy, że jeżeli zadanie da ci średnicę \(d\), pole przekroju, objętość lub pole powierzchni, ty zawsze i tak ostatecznie odzyskujesz \(r\) i podstawiasz do wzoru.

Co warto zapamiętać od ręki:
- pole zależy od kwadratu promienia, więc jeśli zwiększysz promień dwa razy, pole rośnie cztery razy,
- objętość zależy od sześcianu promienia, więc jeśli zwiększysz promień dwa razy, objętość rośnie osiem razy,
- średnica \(d = 2r\), więc jeżeli w zadaniu masz średnicę, podziel przez dwa zanim wstawisz do wzoru.

Pierwsze dwa fakty pojawiają się w zadaniach typu "ile razy wzrosło pole, jeśli promień...". Trzeci jest najczęstszą pułapką - o niej szerzej w sekcji o błędach.

Jeżeli mylą ci się wzory różnych brył obrotowych, warto je powtarzać razem. Mamy osobne poradniki dla każdej z nich: [pole i objętość stożka](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-stozka-wzory-zadania-matura) oraz [objętość walca](/jak-obliczyc-objetosc-walca-pole-powierzchni). W jednej sesji da się je wszystkie utrwalić.

## Skąd biorą się wzory - krótka intuicja

Nie musisz znać dowodów, ale jedna minuta intuicji pomaga zapamiętać wzory na zawsze. Pole powierzchni kuli \(P = 4\pi r^2\) można zapamiętać jako "cztery koła wielkie kuli". Koło wielkie kuli to przekrój kuli przechodzący przez jej środek - ma promień \(r\), więc jego pole wynosi \(\pi r^2\). Czterokrotność tego pola to właśnie powierzchnia całej kuli. Łatwo skojarzyć.

Objętość kuli \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) trudniej wytłumaczyć bez całek, ale jest sympatyczny sposób, żeby zapamiętać. Walec o promieniu \(r\) i wysokości \(2r\) (czyli średnicy kuli) ma objętość \(\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3\). Kula wpisana w taki walec zajmuje dokładnie dwie trzecie jego objętości - i stąd współczynnik \(\frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}\). Tę relację odkrył Archimedes i to było tak ważne, że kazał ją wykuć na swoim nagrobku.

Praktycznie: nie musisz znać tej historii w zadaniu, ale jeżeli w stresie zapomnisz wzoru, pamiętasz, że objętość kuli jest dwie trzecie objętości walca opisanego na niej. To pozwala odtworzyć wzór z podstaw.

## Jak obliczyć pole powierzchni kuli krok po kroku

Schemat jest prosty i to samo robisz w każdym zadaniu. Zapisz sobie te trzy kroki jak mantrę:

Krok 1. Zidentyfikuj promień \(r\). Czasem jest podany wprost ("kula o promieniu 6"), czasem trzeba go wyciągnąć ze średnicy (\(r = d/2\)), z obwodu koła wielkiego (\(r = \frac{L}{2\pi}\)), z pola koła wielkiego (\(r = \sqrt{P_{koło}/\pi}\)) albo z geometrii zadania (np. kula wpisana w sześcian o boku \(a\), wtedy \(r = a/2\)).

Krok 2. Podstaw do wzoru \(P = 4\pi r^2\). Najpierw policz \(r^2\), potem pomnóż przez \(4\pi\). W zadaniach zamkniętych zwykle zostajesz z wyrażeniem typu \(36\pi\), bez zamiany na liczbę dziesiętną.

Krok 3. Sprawdź jednostki. Jeżeli promień był w centymetrach, pole jest w centymetrach kwadratowych. Banał, ale przy przeliczeniach (np. promień 10 mm) o jednostkach łatwo zapomnieć.

To wszystko. Trzy kroki i jeden wzór. Reszta to czysta arytmetyka.

## Jak obliczyć objętość kuli krok po kroku

Schemat jest identyczny, tylko zmienia się wzór i potęga przy promieniu.

Krok 1. Wyznacz \(r\) z danych zadania. Te same triki co poprzednio: ze średnicy, z obwodu koła wielkiego, z pola powierzchni kuli (\(r = \sqrt{P/(4\pi)}\)) albo z opisu geometrycznego.

Krok 2. Podstaw do \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\). Policz \(r^3\), pomnóż przez \(\pi\), pomnóż przez \(\frac{4}{3}\). W praktyce wygodnie najpierw zapisać \(\frac{4\pi r^3}{3}\) i podstawić liczby.

Krok 3. Jednostki. Promień w cm to objętość w cm sześciennych. Promień w dm to objętość w dm sześciennych (litry). To istotne w zadaniach życiowych, np. ile wody mieści się w kulistym zbiorniku.

Teraz cztery konkretne zadania w stylu maturalnym, dwa do rozgrzewki i trzy trudniejsze.

## Zadanie 1: kula o znanym promieniu - rozgrzewka

Oblicz pole powierzchni i objętość kuli o promieniu \(r = 6\) cm.

Pole powierzchni:
$$P = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \text{ cm}^2$$

Objętość:
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = \frac{864\pi}{3} = 288\pi \text{ cm}^3$$

Wynik zostawiamy w postaci dokładnej, z \(\pi\). Tak działa zdecydowana większość zadań CKE, więc nie zaokrąglaj bez potrzeby. Jeżeli zadanie wprost prosi o przybliżenie, użyj \(\pi \approx 3{,}14\).

Kluczowe spostrzeżenie z tego zadania: zauważ, że \(\frac{4}{3} \cdot 216 = 288\), bo \(216\) jest podzielne przez \(3\). W zadaniach maturalnych promień jest zwykle dobrany tak, żeby liczby się ładnie skracały. Jeżeli wychodzą paskudne ułamki, sprawdź rachunek.

## Zadanie 2: pole powierzchni z objętości

Objętość kuli wynosi \(V = 36\pi\). Oblicz pole jej powierzchni.

Tu nie masz wprost promienia, więc zaczynamy od wyznaczenia \(r\). Z wzoru na objętość:
$$\frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi$$
$$r^3 = 36\pi \cdot \frac{3}{4\pi} = \frac{108}{4} = 27$$
$$r = \sqrt[3]{27} = 3$$

Teraz pole powierzchni:
$$P = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$$

Ciekawostka: pole i objętość dla \(r = 3\) liczbowo są takie same, \(36\pi\) i \(36\pi\). To zbieg okoliczności, ale w zadaniach zamkniętych typu "który z poniższych warunków jest spełniony" warto wiedzieć, że dla \(r = 3\) liczba w polu i objętości jest równa.

Najczęstszy błąd: uczniowie próbują "skrócić" \(\pi\) po obu stronach od razu, ale przy okazji gubią \(\frac{4}{3}\). Lepiej najpierw przenieść wszystko na jedną stronę i robić to systematycznie.

## Zadanie 3: stosunek objętości dwóch kul

Promień drugiej kuli jest trzy razy większy niż promień pierwszej. Ile razy większa jest objętość drugiej kuli od pierwszej?

To klasyczne zadanie ze "skalą". Niech \(r_1 = r\), \(r_2 = 3r\).

$$V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$$
$$V_2 = \frac{4}{3}\pi (3r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 r^3 = 27 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Stosunek:
$$\frac{V_2}{V_1} = 27$$

Druga kula ma objętość \(27\) razy większą. Tu działa ogólne prawo: w bryłach podobnych objętości skalują się sześcianem stosunku liniowego, pola powierzchni - kwadratem. Skala \(k = 3\) daje stosunek objętości \(k^3 = 27\) i stosunek pól \(k^2 = 9\).

Pułapka: uczniowie potrafią napisać \(V_2 = 3 V_1\), bo "trzy razy większy promień". To poważny błąd. Promień jest liniowy, objętość rośnie z trzecią potęgą. Łatwo to sobie zwizualizować: zwiększasz piłkę trzykrotnie w każdym wymiarze, więc objętość rośnie \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\) razy.

Podobna logika obowiązuje w innych bryłach. Zobacz, jak ten sam mechanizm działa w zadaniach z [graniastosłupów](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) i [ostrosłupów](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni) - tam też skala liniowa do sześcianu daje skalę objętości.

## Zadanie 4: przekrój kuli płaszczyzną

Kulę o promieniu \(R = 10\) przecięto płaszczyzną oddaloną od środka kuli o \(d = 6\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Przekrój kuli płaszczyzną jest zawsze kołem. To kluczowy fakt. Promień tego koła oznaczmy \(r\). Sytuacja jest płaska, kiedy spojrzysz na nią z boku: środek kuli, środek przekroju i dowolny punkt na brzegu przekroju tworzą trójkąt prostokątny. Przyprostokątne to \(d = 6\) (odległość środka kuli od płaszczyzny) i \(r\) (promień przekroju), a przeciwprostokątna to \(R = 10\) (promień kuli, bo punkt na brzegu przekroju leży na kuli).

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$R^2 = r^2 + d^2$$
$$r^2 = R^2 - d^2 = 100 - 36 = 64$$
$$r = 8$$

Pole przekroju:
$$P = \pi r^2 = 64\pi$$

To zadanie pokazuje, dlaczego warto dobrze opanować [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - w stereometrii korzystasz z niego cały czas, nie tylko w trójkątach prostokątnych w płaszczyźnie.

Pułapka: uczeń podstawia \(d\) i \(R\) zamienione miejscami i wychodzi mu pierwiastek z liczby ujemnej. Zawsze pamiętaj: największa wartość to promień kuli \(R\), bo punkt na brzegu przekroju leży na kuli, więc jego odległość od środka kuli to pełen \(R\). Odległość płaszczyzny od środka kuli musi być mniejsza niż \(R\), bo inaczej płaszczyzna nie przecina kuli.

## Zadanie 5: kula wpisana i kula opisana na sześcianie

To zadanie pojawiało się na maturze wiele razy w różnych wariantach. Dany jest sześcian o krawędzi \(a = 6\). Oblicz objętość kuli wpisanej w sześcian i objętość kuli opisanej na sześcianie. Ile razy objętość kuli opisanej jest większa od objętości kuli wpisanej?

Najpierw kula wpisana. Ona "siedzi" w środku sześcianu i dotyka wszystkich sześciu ścian. Średnica takiej kuli jest równa krawędzi sześcianu, czyli \(2r_{wp} = a\), stąd:
$$r_{wp} = \frac{a}{2} = 3$$

Objętość:
$$V_{wp} = \frac{4}{3}\pi r_{wp}^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$$

Teraz kula opisana. Ona przechodzi przez wszystkie osiem wierzchołków sześcianu. Średnica kuli opisanej jest równa przekątnej sześcianu (najdłuższego odcinka łączącego dwa wierzchołki). Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi \(a\sqrt{3}\) (z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa). Dla \(a = 6\):
$$2r_{op} = 6\sqrt{3}$$
$$r_{op} = 3\sqrt{3}$$

Objętość:
$$V_{op} = \frac{4}{3}\pi (3\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{4}{3}\pi \cdot 81\sqrt{3} = 108\sqrt{3}\pi$$

Stosunek:
$$\frac{V_{op}}{V_{wp}} = \frac{108\sqrt{3}\pi}{36\pi} = 3\sqrt{3}$$

Liczbowo to mniej więcej \(5{,}196\). Czyli kula opisana ma objętość ponad pięciokrotnie większą.

Co tu trzeba zapamiętać raz na zawsze:
- kula wpisana w sześcian: promień to połowa krawędzi,
- kula opisana na sześcianie: promień to połowa przekątnej sześcianu, czyli \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\),
- kula wpisana dotyka ścian, kula opisana przechodzi przez wierzchołki.

Te trzy zdania to pełna teoria do tej grupy zadań. Bez nich będziesz zgadywał, z nimi rozwiążesz każdy wariant. Podobny mechanizm działa też z innymi bryłami: kula opisana na czworościanie foremnym, kula wpisana w ostrosłup prawidłowy. Klucz to zawsze "znajdź odcinek równy średnicy kuli".

## Zadania kombinowane: kula plus inna bryła

Na maturze rzadko dostajesz "samą kulę". Zwykle kula jest częścią większego zadania: kula wpisana w stożek, kula wpisana w walec, kula opisana na ostrosłupie, dwa różne ciała o tej samej objętości. Te zadania nie są trudniejsze koncepcyjnie, ale wymagają porządnego rysunku i jednego dodatkowego kroku: znalezienia związku między wymiarami kuli a wymiarami drugiej bryły.

Klasyk numer jeden: kula wpisana w walec. Jeśli kula jest wpisana w walec, średnica kuli jest równa zarówno średnicy podstawy walca, jak i wysokości walca. To znaczy, że dla kuli o promieniu \(r\) walec ma promień \(r\) i wysokość \(2r\). Stąd:
$$V_{kula} = \frac{4}{3}\pi r^3, \quad V_{walec} = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$$

Stosunek objętości:
$$\frac{V_{kula}}{V_{walec}} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$$

Dokładnie ten wynik znalazł Archimedes - to ten słynny stosunek dwóch trzecich, o którym wspomniałem na początku. Jeżeli w zadaniu padnie pytanie "ile razy objętość walca jest większa od objętości wpisanej w niego kuli", odpowiedź to \(3/2\), czyli \(1{,}5\) razy. Pamiętaj tę zależność, bo wraca w różnych wariantach.

Klasyk numer dwa: kula wpisana w stożek. Tu sytuacja jest trudniejsza, bo trzeba narysować przekrój osiowy stożka i znaleźć okrąg wpisany w trójkąt równoramienny. Na maturze podstawowej raczej dostaniesz konkretne liczby i sam wyciągniesz \(r\) z geometrii rysunku, a nie z gotowego wzoru. Klucz: narysuj przekrój osiowy (to trójkąt równoramienny o podstawie \(2R\) i wysokości \(h\)), oznacz promień kuli, znajdź podobieństwo trójkątów albo zastosuj zależność z polem trójkąta - pole trójkąta równoramiennego równa się iloczynowi połowy obwodu i promienia okręgu wpisanego. Dokładny schemat takiego rozumowania pokazujemy w poradniku [jak obliczyć pole i objętość stożka](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-stozka-wzory-zadania-matura).

Klasyk numer trzy: dwa ciała o tej samej objętości. "Walec i kula mają tę samą objętość. Promień walca to \(2\), wysokość \(9\). Oblicz promień kuli." Postawienie równania to klucz:
$$\pi R^2 h = \frac{4}{3}\pi r^3$$
$$\pi \cdot 4 \cdot 9 = \frac{4}{3}\pi r^3$$
$$36 = \frac{4}{3} r^3$$
$$r^3 = 27, \quad r = 3$$

Klucz: zapisz oba wzory, przyrównaj, skróć \(\pi\), wyciągnij niewiadomą. Tu właśnie sprawdza się umiejętność, którą ćwiczyłeś w [równaniach na maturze](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) - przekształcanie równań z parametrem.

Klasyk numer cztery: zmiana skali. "Kula ma objętość \(V\). Ile wyniesie nowa objętość, jeśli promień zmniejszymy o połowę?" Skala liniowa \(k = 1/2\), skala objętości \(k^3 = 1/8\). Nowa objętość to \(V/8\). Tu wracamy do reguły ze skalą, którą już znasz z Zadania 3.

## Najczęstsze pułapki i błędy

Pierwszy klasyk: mylenie pola koła z polem kuli. \(\pi r^2\) to pole koła (figura płaska), \(4\pi r^2\) to pole powierzchni kuli (bryła). Jeżeli w zadaniu mowa o "powierzchni" lub "polu powierzchni" bryły, używasz wzoru z czwórką. Jeżeli mowa o "polu koła wielkiego" lub "polu przekroju", używasz wzoru \(\pi r^2\).

Drugi klasyk: średnica zamiast promienia. Jeśli zadanie podaje średnicę \(d\), zawsze najpierw napisz \(r = d/2\) i dopiero wtedy podstawiaj. Brak tego kroku to standardowy błąd za "0 punktów" w zadaniu zamkniętym.

Trzeci klasyk: zła potęga. Pole ma \(r^2\), objętość ma \(r^3\). W stresie łatwo te dwie potęgi pomylić, szczególnie gdy liczysz pod presją czasu. Tip: zapisuj wzór w pełni przed podstawieniem, nie idź "z głowy".

Czwarty klasyk: zaokrąglanie wartości pośrednich. Jeżeli w zadaniu trzeba podać przybliżenie, zaokrąglaj tylko na samym końcu. Zaokrąglanie w środku rachunku gubi punkty, szczególnie w zadaniach otwartych - sprawdź [najczęstsze błędy rachunkowe](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

Piąty klasyk: pomijanie jednostek. "Oblicz objętość" bez podania, w czym, to też strata punktu. Zawsze dopisz cm sześcienne, dm sześcienne, m sześcienne. To trywialne, ale w zadaniach otwartych egzaminator tego pilnuje.

Szósty klasyk: w zadaniach z kulą wpisaną w stożek, walec lub ostrosłup zapomina się o twierdzeniu Pitagorasa. Często trzeba narysować przekrój osiowy bryły i znaleźć trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne łączą promień kuli z wysokością. Zerknij na [stereometria - wzory i przykłady](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni), tam są konkretne przykłady takich konstrukcji.

## Co musisz umieć przed maturą - checklist

Zanim pójdziesz na egzamin, sprawdź każdą pozycję poniżej. Jeśli któraś sprawia ci trudność, wróć do odpowiedniej sekcji tego tekstu i dorób kilka ćwiczeń z naszej [bazy zadań stereometrii](/topics/stereometria).

Po pierwsze: wzory na pamięć. \(P = 4\pi r^2\) i \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\). Powtarzasz je z palcem na tabliczce, zanim wejdziesz na egzamin.

Po drugie: wyciąganie promienia z różnych danych. Z średnicy (\(r = d/2\)), z pola koła wielkiego (\(r = \sqrt{P_{koło}/\pi}\)), z pola powierzchni kuli (\(r = \sqrt{P/(4\pi)}\)), z objętości (\(r = \sqrt[3]{3V/(4\pi)}\)).

Po trzecie: skala. Skala liniowa \(k\) daje skalę pól \(k^2\) i skalę objętości \(k^3\). Tę zależność musisz mieć w pamięci tak samo jak tabliczkę mnożenia.

Po czwarte: przekrój kuli płaszczyzną. Zawsze koło o promieniu \(r = \sqrt{R^2 - d^2}\), gdzie \(R\) to promień kuli, \(d\) odległość płaszczyzny od środka kuli. Twierdzenie Pitagorasa cały czas.

Po piąte: kula wpisana w sześcian (promień \(a/2\)) i kula opisana na sześcianie (promień \(a\sqrt{3}/2\)). To dwa typy zadań, w których utknięcie kosztuje cię realne punkty.

Po szóste: jednostki. Promień w cm to pole w cm kwadratowych i objętość w cm sześciennych. Promień w dm to objętość w dm sześciennych, czyli w litrach.

Po siódme: pojęcia. Sfera to powierzchnia, kula to bryła. CKE używa obu pojęć, czasem na zmianę. Sfera ma pole, kula ma objętość (formalnie powierzchnia kuli to sfera, więc \(P = 4\pi r^2\) to pole sfery, ale w mowie potocznej i w wielu zadaniach mówi się "pole powierzchni kuli" - to oznacza to samo).

## Co dalej

Jeżeli kulę masz już opanowaną, czas zająć się resztą stereometrii. Najwięcej zadań na maturze idzie z ostrosłupów i graniastosłupów, więc zacznij od nich. Mamy szczegółowe poradniki:

- [Jak obliczyć objętość ostrosłupa i pole powierzchni](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni) - z metodą podstawową dla każdego rodzaju ostrosłupa,
- [Jak obliczyć objętość graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) - graniastosłupy proste, ukośne, prawidłowe,
- [Jak obliczyć objętość walca i pole powierzchni](/jak-obliczyc-objetosc-walca-pole-powierzchni) - bryła obrotowa, w której najłatwiej o pomyłkę w polu bocznym,
- [Jak obliczyć pole i objętość stożka](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-stozka-wzory-zadania-matura) - tworząca, promień, wysokość i twierdzenie Pitagorasa razem,
- [Kąt między prostą a płaszczyzną](/jak-obliczyc-kat-miedzy-prosta-a-plaszczyzna-stereometria) - klucz do zadań z ostrosłupów,
- [Kąt dwuścienny w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura) - najbardziej maturalny typ zadania z kąta.

Jeśli zostało ci niewiele czasu do egzaminu, użyj [planu nauki na ostatni miesiąc](/matura-matematyka-ostatni-miesiac-powtorki) albo [tygodniowej powtórki przed maturą](/powtorka-tydzien-przed-matura-matematyka-plan). Karta wzorów ma swój osobny przewodnik: [karta wzorów CKE 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) - sprawdź, jakie wzory masz na egzaminie pod ręką, a jakie musisz znać z głowy.

Kula nie jest trudna. Dwa wzory, jedno pojęcie promienia, trzy klasyczne pułapki. Jeżeli teraz potrafisz policzyć pole i objętość, gdy promień jest podany, a dalej umiesz odzyskać promień z dowolnej innej danej, masz ten dział w kieszeni. Powodzenia na maturze.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni
title: Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka - wzory i zadania maturalne krok po kroku
description: Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka? Wzory, wyprowadzenie, 5 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku i typowe pułapki na egzaminie.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Stożek to jedna z brył, które pojawiają się na maturze regularnie. CKE pytała o objętość stożka, pole powierzchni bocznej, a nawet o stożek ścięty. To brzmi skomplikowanie, ale wzory są proste - wystarczy je zrozumieć i przećwiczyć na kilku zadaniach.

## Podstawowe elementy stożka

Zanim przejdziemy do wzorów, ustalmy nazewnictwo:

- **r** - promień podstawy
- **H** - wysokość stożka (odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy)
- **l** - tworząca stożka (odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy)

Te trzy wielkości tworzą trójkąt prostokątny, więc łączy je [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania):

$$l^2 = r^2 + H^2$$

To jest kluczowa zależność. Na maturze często podają dwie z trzech wielkości i trzeba obliczyć trzecią.

## Objętość stożka

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$$

Zapamiętaj: objętość stożka to **jedna trzecia** objętości walca o tym samym promieniu i wysokości. Trzy stożki = jeden walec.

### Przykład 1: Prosta objętość

Oblicz objętość stożka o promieniu podstawy 6 cm i wysokości 8 cm.

**Rozwiązanie:**

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288\pi}{3} = 96\pi \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(V = 96\pi \approx 301{,}6\) cm³.

### Przykład 2: Objętość z tworzącej

Tworząca stożka ma długość 10 cm, a promień podstawy wynosi 6 cm. Oblicz objętość.

**Rozwiązanie:**

Najpierw obliczamy wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

$$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

Teraz objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(V = 96\pi\) cm³.

## Pole powierzchni stożka

Pole powierzchni całkowitej składa się z dwóch części:

$$P_c = P_p + P_b$$

**Pole podstawy** (koło):

$$P_p = \pi r^2$$

**Pole powierzchni bocznej** (rozwinięcie w wycinek koła):

$$P_b = \pi r l$$

**Pole całkowite:**

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$$

### Przykład 3: Pole powierzchni

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o promieniu 5 cm i tworzącej 13 cm.

**Rozwiązanie:**

$$P_c = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 13) = \pi \cdot 5 \cdot 18 = 90\pi \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 90\pi \approx 282{,}7\) cm².

### Przykład 4: Zadanie maturalne - stożek z przekrojem

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 12 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego stożka.

**Rozwiązanie:**

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny (dwie tworzące i średnica podstawy). Skoro jest równoboczny, to:
- bok trójkąta = średnica = 2r = 12, więc \(r = 6\) cm
- bok trójkąta = tworząca, więc \(l = 12\) cm

Wysokość (z [trójkąta 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) lub Pitagorasa):

$$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\pi\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

Pole boczne:

$$P_b = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** \(V = 72\pi\sqrt{3} \approx 391{,}8\) cm³, \(P_b = 72\pi \approx 226{,}2\) cm².

### Przykład 5: Stożek obrotowy - kąt przy wierzchołku

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm obraca się wokół krótszej przyprostokątnej. Oblicz objętość powstałego stożka.

**Rozwiązanie:**

Obrót wokół przyprostokątnej o długości 3 cm:
- Wysokość stożka \(H = 3\) cm (oś obrotu)
- Promień podstawy \(r = 4\) cm (druga przyprostokątna zakreśla okrąg)

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(V = 16\pi \approx 50{,}3\) cm³.

Uwaga: gdyby obrót był wokół dłuższej przyprostokątnej (4 cm), dostalibyśmy inny stożek: \(H = 4\), \(r = 3\), \(V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi\). To popularna pułapka na maturze - czytaj uważnie wokół której osi jest obrót.

## Stożek ścięty - bonus

Na maturze rozszerzonej może pojawić się stożek ścięty. Jego objętość to:

$$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$$

gdzie \(R\) i \(r\) to promienie większej i mniejszej podstawy, a \(H\) to wysokość.

Pole boczne stożka ściętego:

$$P_b = \pi(R + r) \cdot l$$

gdzie \(l\) to tworząca, \(l = \sqrt{H^2 + (R - r)^2}\).

## Powiązania z innymi bryłami

Na maturze stożek często pojawia się w zestawieniu z innymi bryłami:

- **Stożek wpisany w walec** - ten sam promień i wysokość, objętość stożka = 1/3 walca
- **Stożek wpisany w kulę** - przekrój przez oś daje [trójkąt wpisany w okrąg](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag)
- **Stożek z kątem przy wierzchołku** - kąt między tworzącą a osią wyznacza proporcje

Więcej o bryłach znajdziesz w naszym [przewodniku po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [zestawieniu wzorów na objętość i pole brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory).

## Typowe błędy

**Błąd 1: Zapominanie o 1/3.** Objętość stożka to \(\frac{1}{3}\pi r^2 H\), nie \(\pi r^2 H\) (to walec!). Najczęstszy błąd na maturze.

**Błąd 2: Mylenie H z l.** Wysokość \(H\) to odcinek prostopadły do podstawy. Tworząca \(l\) to odcinek od wierzchołka do brzegu. W objętości wstawiamy \(H\), w polu bocznym - \(l\).

**Błąd 3: Średnica zamiast promienia.** Jeśli w zadaniu podano średnicę \(d = 10\), to \(r = 5\). Nie podstawiaj 10 do wzoru!

**Błąd 4: Obrót wokół złej osi.** W zadaniach o bryłach obrotowych uważnie sprawdź, wokół której prostej odbywa się obrót. To determinuje, co jest promieniem, a co wysokością.

## Co musisz umieć - checklista

- Obliczać objętość stożka ze wzoru \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 H\)
- Obliczać pole powierzchni bocznej \(P_b = \pi r l\) i całkowitej
- Stosować twierdzenie Pitagorasa do wyznaczania \(r\), \(H\) lub \(l\)
- Rozwiązywać zadania z przekrojem osiowym stożka
- Rozpoznawać bryłę obrotową powstałą z obrotu trójkąta

Przećwicz na [zadaniach ze stereometrii](/topics/stereometria) w naszej bazie. Sprawdź też [wzory na maturę](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista), gdzie znajdziesz wszystkie wzory na bryły w jednym miejscu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku
title: Jak obliczyć logarytm krok po kroku - definicja, wzory i zadania maturalne
description: Jak obliczyć logarytm? Definicja, własności, zamiana podstawy i 8 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku. Kompletny poradnik na maturę z matematyki.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć logarytm krok po kroku - definicja, wzory i zadania maturalne

Logarytmy brzmią jak coś strasznego, ale to jeden z najprostszych tematów na maturze, jeśli zrozumiesz jedną rzecz: logarytm to po prostu odwrotność potęgi. Jeśli umiesz szybko potęgować, umiesz też szybko logarytmować. W tym poradniku pokażę ci, jak obliczać logarytmy bez kalkulatora, jakie są własności i jak rozpoznać typowe zadania maturalne z [logarytmami](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Czym jest logarytm - definicja

Zacznijmy od podstaw. Logarytm \(\log_a b\) to taka liczba \(x\), że \(a^x = b\).

$$\log_a b = x \iff a^x = b$$

Gdzie:
- \(a\) to **podstawa logarytmu** (liczba dodatnia, różna od 1),
- \(b\) to **liczba logarytmowana** (musi być dodatnia),
- \(x\) to wartość logarytmu.

Innymi słowy, \(\log_a b\) odpowiada na pytanie: **"Do jakiej potęgi trzeba podnieść \(a\), żeby otrzymać \(b\)?"**

### Przykład intuicji

Ile wynosi \(\log_2 8\)?

Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 2, żeby dostać 8? Odpowiedź: 3, bo \(2^3 = 8\).

Czyli \(\log_2 8 = 3\). Koniec tajemnicy.

## Metoda 1: Zamiana na równanie wykładnicze

Najprostsza metoda - przepisz logarytm jako potęgę i znajdź wykładnik.

### Przykład 1

Oblicz \(\log_3 81\).

**Rozwiązanie:**

$$\log_3 81 = x \iff 3^x = 81$$

Szukamy wykładnika: \(3^1 = 3\), \(3^2 = 9\), \(3^3 = 27\), \(3^4 = 81\). Mamy: \(x = 4\).

**Odpowiedź:** \(\log_3 81 = 4\).

### Przykład 2

Oblicz \(\log_{1/2} 8\).

**Rozwiązanie:**

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x = 8$$

Zapisujemy \(\frac{1}{2} = 2^{-1}\) oraz \(8 = 2^3\):

$$(2^{-1})^x = 2^3 \implies 2^{-x} = 2^3 \implies -x = 3 \implies x = -3$$

**Odpowiedź:** \(\log_{1/2} 8 = -3\).

Uwaga: logarytmy z podstawą ułamkową dają często ujemne wyniki, gdy argument jest większy od 1.

## Metoda 2: Własności logarytmów

To twoje główne narzędzie na maturze. Musisz znać pięć wzorów na pamięć:

### Logarytm iloczynu

$$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

### Logarytm ilorazu

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

### Logarytm potęgi

$$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$$

### Specjalne wartości

$$\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1, \quad \log_a a^n = n$$

### Przykład 3

Oblicz \(\log_2 12 + \log_2 \frac{4}{3}\).

**Rozwiązanie:**

Ze wzoru na logarytm iloczynu (w odwrotnej stronie):

$$\log_2 12 + \log_2 \frac{4}{3} = \log_2 \left(12 \cdot \frac{4}{3}\right) = \log_2 16$$

A \(\log_2 16 = 4\), bo \(2^4 = 16\).

**Odpowiedź:** \(\log_2 12 + \log_2 \frac{4}{3} = 4\).

### Przykład 4

Oblicz \(\log_5 50 - \log_5 2\).

**Rozwiązanie:**

$$\log_5 50 - \log_5 2 = \log_5 \frac{50}{2} = \log_5 25 = 2$$

**Odpowiedź:** \(\log_5 50 - \log_5 2 = 2\).

### Przykład 5

Oblicz \(\log_3 27^5\).

**Rozwiązanie:**

Ze wzoru na logarytm potęgi:

$$\log_3 27^5 = 5 \cdot \log_3 27 = 5 \cdot 3 = 15$$

bo \(\log_3 27 = 3\) (ponieważ \(3^3 = 27\)).

**Odpowiedź:** \(\log_3 27^5 = 15\).

## Metoda 3: Zamiana podstawy logarytmu

Gdy kalkulator lub tabela zna logarytm tylko o jednej podstawie (np. 10 lub \(e\)), a ty musisz obliczyć z inną podstawą, używasz wzoru na zamianę:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Najczęściej zamieniamy na logarytm o podstawie 10 lub \(e\):

$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a}$$

### Przykład 6

Oblicz \(\log_4 8\) używając logarytmu o podstawie 2.

**Rozwiązanie:**

$$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\log_4 8 = \frac{3}{2}\).

Sprawdźmy: \(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\). Zgadza się.

## Metoda 4: Logarytm dziesiętny i naturalny

W szkole średniej spotkasz dwa specjalne logarytmy:

**Logarytm dziesiętny** - o podstawie 10. Oznaczamy \(\log x\) (bez wskazania podstawy).

$$\log x = \log_{10} x$$

**Logarytm naturalny** - o podstawie \(e \approx 2{,}718\). Oznaczamy \(\ln x\).

$$\ln x = \log_e x$$

Na maturze podstawowej logarytm naturalny praktycznie nie pojawia się. Logarytm dziesiętny czasem w zadaniach z kontekstem (np. skala pH, poziom głośności).

### Przykład 7

Oblicz \(\log 1000\).

**Rozwiązanie:**

Brak podstawy oznacza logarytm dziesiętny:

$$\log 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$$

**Odpowiedź:** \(\log 1000 = 3\).

### Przykład 8: Zadanie typu maturalnego

Oblicz \(\log_2 6 + \log_2 \frac{8}{3} - \log_2 4\).

**Rozwiązanie:**

Najpierw łączymy wszystko w jeden logarytm:

$$\log_2 \left(\frac{6 \cdot \frac{8}{3}}{4}\right) = \log_2 \left(\frac{16}{4}\right) = \log_2 4 = 2$$

**Odpowiedź:** 2.

## Algorytm obliczania logarytmu na maturze

Schemat, który zawsze działa:

1. **Zobacz, czy możesz zapisać \(b\) jako potęgę \(a\).** Jeśli tak (np. \(\log_3 81\), bo \(81 = 3^4\)), odpowiedź to wykładnik.
2. **Sprawdź, czy argument można rozłożyć na iloczyn/iloraz.** Stosuj własności logarytmów.
3. **Rozłóż na czynniki pierwsze.** Czasem liczba 72 = \(2^3 \cdot 3^2\), co ułatwia \(\log_6 72 = \log_6(6^2 \cdot 2) = 2 + \log_6 2\).
4. **Zamień podstawę.** Jeśli nie widzisz potęgi, przejdź na logarytm o "łatwiejszej" podstawie.

## Kiedy logarytm NIE istnieje

To częsty trik na maturze. Logarytm \(\log_a b\) ma sens tylko gdy:
- \(a > 0\) i \(a \neq 1\) (podstawa),
- \(b > 0\) (liczba logarytmowana).

Dlatego \(\log_2(-3)\), \(\log_{-2} 8\), \(\log_1 5\) nie istnieją.

Przy [równaniach logarytmicznych](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne) zawsze sprawdzaj dziedzinę - to pewne 1-2 punkty za uważność.

## Typowe błędy

**Błąd 1: Mylenie logarytmu sumy z sumą logarytmów.** \(\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y\). Suma wewnątrz logarytmu się NIE rozkłada! Rozkłada się tylko iloczyn i iloraz.

**Błąd 2: Złe potęgowanie.** Jeśli \(\log_2 x = 3\), to \(x = 2^3 = 8\), nie \(x = 3^2 = 9\). Podstawa zostaje, wykładnik to wynik logarytmu.

**Błąd 3: Ignorowanie znaku.** \(\log_a b > 0\) gdy \(a\) i \(b\) są po tej samej stronie jedynki (oba większe lub oba mniejsze od 1). W przeciwnym razie wynik jest ujemny.

**Błąd 4: Wzór na logarytm potęgi.** \(\log_a x^n = n \cdot \log_a x\), ale \(n\) musi dotyczyć TYLKO argumentu. \(\log_a(2x)^3 = 3\log_a(2x) = 3\log_a 2 + 3\log_a x\). Nie pomyl z \((\log_a x)^3\), które oznacza zupełnie coś innego.

**Błąd 5: Zapominanie o własnościach specjalnych.** \(\log_a 1 = 0\) zawsze (bo \(a^0 = 1\)). \(\log_a a = 1\) zawsze. To są wartości, które uratują cię w wielu zadaniach zamkniętych.

## Logarytmy na maturze - czego się spodziewać

Na maturze podstawowej zazwyczaj:
- jedno zadanie zamknięte z obliczeniem konkretnego logarytmu (np. \(\log_2 128\)),
- jedno zadanie z wykorzystaniem własności (np. \(\log_3 a + \log_3 b\)),
- czasem zadanie z kontekstem praktycznym (pH, poziom dźwięku, procent składany).

Na rozszerzonej dochodzi do tego:
- [równania logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne) z podstawieniem,
- nierówności logarytmiczne,
- zadania dowodowe z własnościami logarytmów.

Sprawdź też pełny [przewodnik o logarytmach na maturze](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania) oraz [równania logarytmiczne krok po kroku](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne).

## Co musisz umieć - checklista

- Rozumieć definicję logarytmu jako odwrotności potęgi
- Znać na pamięć własności: \(\log(xy)\), \(\log(x/y)\), \(\log x^n\)
- Umieć rozpisać argument na potęgi (np. \(81 = 3^4\), \(125 = 5^3\))
- Stosować wzór na zamianę podstawy
- Rozpoznawać \(\log_a 1 = 0\) i \(\log_a a = 1\)
- Sprawdzać dziedzinę (podstawa > 0, różna od 1; argument > 0)

Przećwicz na [zadaniach z logarytmów](/topics/logarytmy) w naszej bazie. Gdy już opanujesz obliczanie, przejdź do [równań logarytmicznych](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne) i sprawdź [wszystkie wzory maturalne](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-kat-miedzy-wektorami-prostymi-matura
title: Jak obliczyć kąt między wektorami i prostymi - wzory i zadania maturalne krok po kroku
description: Jak obliczyć kąt między wektorami i prostymi? Wzór przez iloczyn skalarny, 6 zadań maturalnych krok po kroku i gotowy algorytm na egzamin z matematyki.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć kąt między wektorami i prostymi - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Kąt między wektorami lub prostymi to zagadnienie, które pojawia się na maturze zarówno podstawowej, jak i rozszerzonej. Brzmi trudno, ale cała tajemnica tkwi w jednym wzorze na iloczyn skalarny. Jak go zrozumiesz, liczysz kąt w 30 sekund. W tym poradniku pokażę ci wszystkie podejścia - od wektorów przez proste do kąta nachylenia.

## Wzór na kąt między wektorami

Jeśli masz dwa niezerowe wektory \(\vec{u} = [u_1, u_2]\) i \(\vec{v} = [v_1, v_2]\), to kąt \(\alpha\) między nimi wyznaczasz ze wzoru:

$$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

gdzie:

$$\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \quad \text{(iloczyn skalarny)}$$

$$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} \quad \text{(długość wektora)}$$

Kąt \(\alpha\) mieści się w przedziale \([0°, 180°]\) lub \([0, \pi]\) w radianach.

## Kiedy wektory są prostopadłe

Kluczowa własność: wektory są **prostopadłe**, gdy ich iloczyn skalarny wynosi 0.

$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \circ \vec{v} = 0 \iff u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$$

To najczęściej testowany wzór na maturze. Nie musisz nawet liczyć kąta - wystarczy sprawdzić iloczyn skalarny.

## Przykłady - wektory

### Przykład 1: Kąt między wektorami

Oblicz kąt między wektorami \(\vec{u} = [1, 2]\) i \(\vec{v} = [3, 1]\).

**Rozwiązanie:**

Iloczyn skalarny:

$$\vec{u} \circ \vec{v} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5$$

Długości:

$$|\vec{u}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$

$$|\vec{v}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$

Kosinus:

$$\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Z [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela): \(\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

**Odpowiedź:** \(\alpha = 45°\).

### Przykład 2: Sprawdzenie prostopadłości

Czy wektory \(\vec{a} = [4, -2]\) i \(\vec{b} = [1, 2]\) są prostopadłe?

**Rozwiązanie:**

Liczymy iloczyn skalarny:

$$\vec{a} \circ \vec{b} = 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 4 - 4 = 0$$

Iloczyn skalarny wynosi 0, więc wektory są prostopadłe.

**Odpowiedź:** Tak, \(\vec{a} \perp \vec{b}\).

### Przykład 3: Wyznaczanie parametru

Dla jakiej wartości \(m\) wektory \(\vec{u} = [m - 1, 3]\) i \(\vec{v} = [2, m + 4]\) są prostopadłe?

**Rozwiązanie:**

Warunek prostopadłości: \(\vec{u} \circ \vec{v} = 0\):

$$(m - 1) \cdot 2 + 3 \cdot (m + 4) = 0$$

$$2m - 2 + 3m + 12 = 0$$

$$5m + 10 = 0$$

$$m = -2$$

**Odpowiedź:** \(m = -2\).

## Kąt między prostymi

Dla dwóch prostych możemy policzyć kąt na dwa sposoby:

### Sposób 1: Przez wektory kierunkowe

Każda prosta ma **wektor kierunkowy** (wektor wzdłuż tej prostej). Dla prostej \(y = ax + b\) wektor kierunkowy to \([1, a]\).

Stosujemy wzór na kąt między wektorami, ale kąt między prostymi jest zawsze w \([0°, 90°]\), więc bierzemy **wartość bezwzględną** kosinusa:

$$\cos\alpha = \frac{|\vec{u} \circ \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

### Sposób 2: Przez współczynniki kierunkowe

Dla prostych \(y = a_1 x + b_1\) i \(y = a_2 x + b_2\):

$$\tan\alpha = \left|\frac{a_1 - a_2}{1 + a_1 a_2}\right|$$

Proste są prostopadłe, gdy \(a_1 \cdot a_2 = -1\). Proste są równoległe, gdy \(a_1 = a_2\).

### Przykład 4: Kąt między prostymi

Oblicz kąt między prostymi \(y = x + 2\) i \(y = -3x + 1\).

**Rozwiązanie:**

\(a_1 = 1\), \(a_2 = -3\). Ze wzoru:

$$\tan\alpha = \left|\frac{1 - (-3)}{1 + 1 \cdot (-3)}\right| = \left|\frac{4}{-2}\right| = 2$$

Z kalkulatora: \(\alpha = \arctan 2 \approx 63{,}43°\).

**Odpowiedź:** \(\alpha \approx 63°\).

### Przykład 5: Prostopadłość prostych

Znajdź równanie prostej prostopadłej do \(y = 2x - 5\) i przechodzącej przez punkt \((3, 1)\).

**Rozwiązanie:**

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: \(a_2 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{2}\).

Ze wzoru na [równanie prostej przez jeden punkt](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania):

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)$$

$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 1$$

$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$

**Odpowiedź:** \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\).

## Kąt nachylenia prostej

Inna wersja pytania: "pod jakim kątem prosta przecina oś OX?" Dla prostej \(y = ax + b\):

$$\tan\alpha = a$$

gdzie \(\alpha\) to kąt nachylenia prostej do osi OX (mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

### Przykład 6: Kąt nachylenia

Jaki kąt z osią OX tworzy prosta \(y = \sqrt{3}x - 2\)?

**Rozwiązanie:**

\(\tan\alpha = \sqrt{3}\).

Z tabeli: \(\tan 60° = \sqrt{3}\).

**Odpowiedź:** \(\alpha = 60°\).

## Kąt między wektorami zaczepionymi w punktach

Czasem na maturze nie masz wektorów, tylko trzy punkty \(A\), \(B\), \(C\). Wtedy kąt przy wierzchołku \(B\) to kąt między wektorami \(\vec{BA}\) i \(\vec{BC}\).

### Przykład 7: Kąt w trójkącie

Oblicz kąt \(\angle ABC\) w trójkącie o wierzchołkach \(A = (1, 0)\), \(B = (0, 0)\), \(C = (1, 1)\).

**Rozwiązanie:**

Wektory z wierzchołka \(B\):

$$\vec{BA} = A - B = [1, 0]$$

$$\vec{BC} = C - B = [1, 1]$$

Iloczyn skalarny: \(1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1\).

Długości: \(|\vec{BA}| = 1\), \(|\vec{BC}| = \sqrt{2}\).

$$\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\angle ABC = 45°\).

## Algorytm na maturę

1. **Zidentyfikuj typ zadania:**
   - Wektory w postaci współrzędnych? Używaj iloczynu skalarnego.
   - Proste w postaci \(y = ax + b\)? Możesz użyć wzoru na tangens.
   - Punkty na płaszczyźnie? Najpierw zbuduj wektory, potem iloczyn skalarny.
2. **Jeśli pytają tylko o prostopadłość - sprawdzaj iloczyn skalarny \(= 0\) lub \(a_1 \cdot a_2 = -1\).**
3. **Jeśli pytają o konkretny kąt - użyj wzoru z kosinusem i rozpoznaj wartość z [tabeli trygonometrycznej](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).**
4. **Zawsze uprość wynik** (np. \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - zobacz [usuwanie niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac)).

## Typowe błędy

**Błąd 1: Złe znaki we współrzędnych wektora.** Wektor \(\vec{AB} = B - A\), nie \(A - B\). Dla \(A = (1, 2)\), \(B = (4, 5)\) mamy \(\vec{AB} = [3, 3]\). Odwrotna kolejność daje wektor przeciwny.

**Błąd 2: Zapominanie o wartości bezwzględnej przy kątach prostych.** Kąt między prostymi jest w \([0°, 90°]\). Dla wektorów w \([0°, 180°]\). Różnica: dla prostych bierzesz \(|\cos\alpha|\), dla wektorów zwykły \(\cos\alpha\) (może być ujemny dla kątów rozwartych).

**Błąd 3: Mylenie iloczynu skalarnego z mnożeniem wektorów przez liczbę.** \(\vec{u} \circ \vec{v}\) to LICZBA (iloczyn skalarny). \(k \cdot \vec{u}\) to WEKTOR (wektor pomnożony przez skalar). To dwie różne operacje.

**Błąd 4: Niewłaściwe wyznaczenie wektora kierunkowego.** Dla prostej \(y = 2x + 3\) wektor kierunkowy to \([1, 2]\) (lub dowolna jego krotność). Dla prostej w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\), wektor kierunkowy to \([B, -A]\), a wektor normalny to \([A, B]\).

**Błąd 5: Zapominanie o nieoczywistym prostokątnym trójkącie.** Jeśli pytają o kąt w trójkącie i widzisz długości boków, sprawdź najpierw czy to nie trójkąt prostokątny (z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)). Czasem wystarczy to.

## Kąt między wektorami w kontekście maturalnym

Na maturze podstawowej kąt między prostymi pojawia się w:
- zadaniach o prostych równoległych lub prostopadłych
- zadaniach z kątem nachylenia do osi OX

Na rozszerzonej:
- iloczyn skalarny wektorów
- kąty w trójkątach i czworokątach zadanych współrzędnymi
- [wektory 3D](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania) (rozszerzenie)

Sprawdź nasz [przewodnik po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) oraz poradnik o [układzie współrzędnych](/uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory), gdzie wektory łączą się z odległościami i środkami odcinków.

## Co musisz umieć - checklista

- Obliczać iloczyn skalarny dwóch wektorów
- Obliczać długość wektora
- Stosować wzór \(\cos\alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\)
- Sprawdzać prostopadłość wektorów (iloczyn skalarny = 0)
- Sprawdzać prostopadłość prostych (\(a_1 \cdot a_2 = -1\))
- Obliczać kąt między prostymi ze współczynników kierunkowych
- Wyznaczać kąt nachylenia prostej do osi OX
- Obliczać kąty w trójkącie zadanym współrzędnymi wierzchołków

Przećwicz na [zadaniach z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) - mamy 280 zadań maturalnych. Sprawdź też powiązane tematy: [równanie prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) i [wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-kat-miedzy-prosta-a-plaszczyzna-stereometria
title: Jak obliczyć kąt między prostą a płaszczyzną - schemat krok po kroku z zadaniami
description: Kąt między prostą a płaszczyzną - definicja przez rzut prostokątny, schemat 3 kroków i 5 rozwiązanych zadań maturalnych z sześcianem i ostrosłupem.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć kąt między prostą a płaszczyzną - schemat krok po kroku z zadaniami

## Dlaczego ten kąt jest na maturze co roku

Kąt między prostą a płaszczyzną to absolutny klasyk stereometrii. Pojawia się na maturze podstawowej i rozszerzonej w niemal każdym arkuszu od 2015 roku, najczęściej w zadaniach za 3-6 punktów. Sprawdź sobie [arkusze maturalne 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) - prawie w każdym znajdziesz zadanie w którym musisz obliczyć kąt między przekątną bryły, krawędzią boczną albo dowolną prostą a wybraną płaszczyzną.

Problem polega na tym, że wielu uczniów gubi się w geometrii przestrzennej. Nie widzą gdzie ten kąt w ogóle jest, nie potrafią znaleźć rzutu prostokątnego i wybierają zły trójkąt do obliczeń. W tym poradniku rozbieram cały temat krok po kroku: od definicji, przez schemat który działa zawsze, po pięć konkretnych zadań z rozwiązaniami. Pod koniec dostaniesz checklistę i listę najczęstszych pułapek.

Jeśli dopiero zaczynasz ze stereometrią, zacznij od ogólnego przeglądu w poradniku [stereometria na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). A jeśli interesuje cię konkretnie ostrosłup, mamy dedykowany post [kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa).

## Definicja: czym jest kąt między prostą a płaszczyzną

To jest moment w którym 90% błędów się rodzi. Zła definicja to złe rozwiązanie. Zapamiętaj raz na zawsze:

Kąt między prostą \(k\) a płaszczyzną \(\pi\) to kąt ostry między prostą \(k\) a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę \(\pi\).

Rzut prostokątny prostej na płaszczyznę powstaje gdy z każdego punktu prostej opuścisz prostopadłą na tę płaszczyznę. Punkty przebicia tworzą nową prostą - to właśnie rzut.

W praktyce dla brył wystarczy znaleźć dwa rzuty: początku i końca interesującego nas odcinka. Jeśli prosta przebija płaszczyznę w punkcie \(A\), to jednym końcem rzutu jest \(A\) (bo punkt na płaszczyźnie rzutuje się sam na siebie). Drugi koniec to rzut prostokątny przeciwległego punktu.

Kluczowe konsekwencje definicji:

Kąt zawsze leży w przedziale \([0^\circ, 90^\circ]\). Jeśli wyjdzie ci coś większego, popełniłeś błąd.

Gdy prosta jest prostopadła do płaszczyzny, kąt wynosi \(90^\circ\). Gdy prosta leży w płaszczyźnie albo jest do niej równoległa, kąt wynosi \(0^\circ\).

Trójkąt który powstaje z: prostej, jej rzutu i odcinka prostopadłego do płaszczyzny - jest zawsze prostokątny. Kąt prosty jest między rzutem a tym pionowym odcinkiem. To dlatego trygonometria działa.

## Schemat 3 kroków który zawsze działa

Każde zadanie z kątem prostej i płaszczyzny sprowadza się do jednego trójkąta prostokątnego. Cały trick polega na jego znalezieniu. Postępuj zawsze tak:

Krok 1. Znajdź punkt przebicia prostej z płaszczyzną. Nazwij go \(A\). To jeden wierzchołek twojego trójkąta. W większości zadań to wierzchołek bryły leżący na podstawie.

Krok 2. Znajdź rzut drugiego końca prostej na płaszczyznę. Nazwij go \(O\). Najczęściej jest to spodek wysokości bryły, środek podstawy, środek przekątnej albo wierzchołek bryły dokładnie pod tym, który nas interesuje.

Krok 3. Trzeci punkt to drugi koniec prostej - nazwij go \(S\). Trójkąt \(SAO\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(O\). Szukany kąt to \(\angle SAO\), bo to kąt między prostą \(SA\) a rzutem \(OA\).

W trójkącie \(SAO\): odcinek \(SO\) jest pionowy i prostopadły do płaszczyzny, odcinek \(OA\) leży w płaszczyźnie (to rzut), a \(SA\) to nasza prosta. Stąd:

$$\sin \alpha = \frac{SO}{SA}, \quad \cos \alpha = \frac{OA}{SA}, \quad \tan \alpha = \frac{SO}{OA}$$

Wybierasz tę funkcję trygonometryczną, dla której masz potrzebne dane. Jeśli znasz \(SO\) i \(OA\) - tangens. Jeśli znasz \(SO\) i \(SA\) - sinus. Jeśli znasz \(OA\) i \(SA\) - cosinus.

Sprawdź też [definicje sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci) jeśli czujesz że trygonometria ci umyka.

## Co musisz pamiętać o rzutach typowych prostych

Żeby szybko rozwiązywać te zadania, nie wyprowadzaj rzutu od zera za każdym razem. Naucz się gotowców dla typowych konfiguracji.

W graniastosłupie prostym: krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, więc kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi zawsze \(90^\circ\). To znaczy że zadanie nigdy nie zapyta o ten kąt - byłoby trywialne. Ale pyta o kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą, między przekątną ściany bocznej a podstawą albo o kąt między przekątną ściany bocznej a podstawą sąsiedniej ściany.

W ostrosłupie prawidłowym: rzutem wierzchołka \(S\) na podstawę jest środek okręgu opisanego na podstawie. Stąd dla krawędzi bocznej \(SA\) rzutem jest odcinek od środka podstawy do wierzchołka, czyli promień okręgu opisanego. To podstawowy klucz - więcej znajdziesz w [poradniku kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa).

W sześcianie: rzut przekątnej przestrzennej na podstawę to przekątna podstawy. Pozostałe wymiary znajdziesz przez [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

Promień okręgu opisanego dla typowych podstaw - kluczowy parametr:

Dla kwadratu o boku \(a\) promień opisany \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień opisany \(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Dla sześciokąta foremnego o boku \(a\) promień opisany \(R = a\).

Dla prostokąta o bokach \(a, b\) promień opisany \(R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\) (połowa przekątnej).

## Zadanie 1: kąt między przekątną sześcianu a podstawą

W sześcianie o krawędzi \(a = 6\) oblicz miarę kąta między przekątną przestrzenną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Oznacz wierzchołki sześcianu \(ABCDA'B'C'D'\), gdzie \(ABCD\) to podstawa. Przekątna przestrzenna to np. \(AC'\). Jej rzutem na podstawę jest przekątna kwadratu \(AC\), bo \(C'\) leży pionowo nad \(C\), więc rzut \(C'\) na podstawę to właśnie \(C\).

Trójkąt \(ACC'\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(C\). Mamy:

$$AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}, \quad CC' = a = 6$$

Tangens kąta między przekątną \(AC'\) a jej rzutem \(AC\):

$$\tan \alpha = \frac{CC'}{AC} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Stąd \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{\sqrt{2}}{2}\). Wartość przybliżona: \(\alpha \approx 35{,}26^\circ\).

Możesz sprawdzić wynik przez sinus. Cała przekątna \(AC' = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\). Wtedy:

$$\sin \alpha = \frac{CC'}{AC'} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Dla \(\alpha \approx 35{,}26^\circ\) sinus wynosi \(0{,}5774\), a \(\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774\). Zgadza się.

Odpowiedź: \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 35^\circ\).

Pułapka. Wielu uczniów myli rzut przekątnej przestrzennej z krawędzią podstawy. Rzutem jest przekątna podstawy (poziomy odcinek od jednego rogu do przeciwległego), bo \(C'\) leży nad \(C\) - nad rogiem diagonalnym, nie nad sąsiednim.

## Zadanie 2: kąt między przekątną prostopadłościanu a podstawą

Prostopadłościan ma podstawę o bokach \(a = 3\) i \(b = 4\), a krawędź boczna ma długość \(c = 12\). Oblicz miarę kąta między przekątną przestrzenną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Najpierw przekątna podstawy:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

To jest rzut przekątnej przestrzennej na podstawę. Sama przekątna przestrzenna:

$$D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Trójkąt prostokątny: przyprostokątne \(d = 5\) i \(c = 12\), przeciwprostokątna \(D = 13\). Klasyczna trójka pitagorejska \(5, 12, 13\).

Tangens kąta między przekątną przestrzenną a podstawą:

$$\tan \alpha = \frac{c}{d} = \frac{12}{5}$$

Sinus:

$$\sin \alpha = \frac{c}{D} = \frac{12}{13}$$

Cosinus:

$$\cos \alpha = \frac{d}{D} = \frac{5}{13}$$

Wszystkie trzy zgadzają się: \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{12}{5} \approx 67{,}38^\circ\).

Odpowiedź: \(\alpha \approx 67^\circ\), z dokładnymi wartościami \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\), \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\).

Pułapka. Uczniowie często liczą przekątną podstawy źle, dodając trzeci wymiar. Pamiętaj: rzut przekątnej przestrzennej na podstawę to przekątna podstawy (dwuwymiarowa), nie przekątna ściany bocznej.

## Zadanie 3: kąt między przekątną ściany a podstawą

W prostopadłościanie o krawędziach \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = 3\) oblicz miarę kąta między przekątną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Ściana boczna ma wymiary \(4 \times 3\). Przekątna ściany:

$$p = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

To kolejna trójka pitagorejska \(3, 4, 5\). Rzutem przekątnej ściany bocznej na podstawę jest krawędź podstawy o długości \(4\) (bo wierzchołek górny rzutuje się na wierzchołek dolny pod nim, czyli na koniec krawędzi).

Trójkąt prostokątny: przyprostokątne \(4\) (rzut) i \(3\) (pionowy wymiar), przeciwprostokątna \(5\) (przekątna ściany).

$$\tan \alpha = \frac{3}{4}, \quad \sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}$$

Stąd \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{3}{4} \approx 36{,}87^\circ\).

Odpowiedź: \(\alpha \approx 37^\circ\) z \(\sin \alpha = 0{,}6\) i \(\cos \alpha = 0{,}8\).

Warto zapamiętać. Trójka \(3, 4, 5\) i jej wielokrotności (\(6, 8, 10\), \(9, 12, 15\)) wychodzą bardzo często. Jeśli widzisz takie liczby w zadaniu, prawdopodobnie nie musisz nawet liczyć - od razu wiesz że to trójkąt prostokątny.

## Zadanie 4: kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a podstawą

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a = 4\), a wysokość ostrosłupa \(H = 2\sqrt{2}\). Oblicz miarę kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Spodek wysokości \(O\) leży w środku kwadratu podstawy, czyli w środku przekątnej. Promień okręgu opisanego na kwadracie:

$$R = OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Trójkąt prostokątny \(SOA\) ma przyprostokątne \(SO = H = 2\sqrt{2}\) i \(OA = 2\sqrt{2}\). Tangens kąta przy \(A\):

$$\tan \alpha = \frac{SO}{OA} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1$$

Stąd \(\alpha = 45^\circ\).

Odpowiedź: \(\alpha = 45^\circ\).

To jest specjalna sytuacja: gdy wysokość ostrosłupa jest równa promieniowi opisanemu na podstawie, kąt między krawędzią boczną a podstawą zawsze wynosi \(45^\circ\). Krawędź boczna ma wtedy długość \(R\sqrt{2}\).

Po więcej zadań na ostrosłupy zajrzyj do [obliczanie objętości ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni). Tam też zobaczysz jak ten sam trójkąt \(SOA\) wykorzystuje się do obliczania wysokości i krawędzi bocznej.

## Zadanie 5: kąt w graniastosłupie sześciokątnym

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy długości \(a = 3\) i wysokość \(H = 3\). Oblicz miarę kąta między najdłuższą przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Najdłuższa przekątna w graniastosłupie sześciokątnym łączy dwa wierzchołki leżące na przeciwległych końcach najdłuższej przekątnej podstawy. W sześciokącie foremnym o boku \(a\) najdłuższa przekątna ma długość \(2a\) (przechodzi przez środek).

Niech wierzchołkami będą \(A\) (dolny) i \(D'\) (górny, naprzeciwko). Rzutem przekątnej \(AD'\) na podstawę jest \(AD\) o długości \(2a = 6\). Pionowy odcinek to \(DD' = H = 3\).

Trójkąt prostokątny \(ADD'\):

$$\tan \alpha = \frac{DD'}{AD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Stąd \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{1}{2} \approx 26{,}57^\circ\).

Możesz też policzyć całą przekątną:

$$AD' = \sqrt{AD^2 + DD'^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

Wtedy:

$$\sin \alpha = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Odpowiedź: \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{1}{2} \approx 27^\circ\).

Pułapka. W sześciokącie foremnym są trzy rodzaje przekątnych podstawy: krótka (długość \(a\sqrt{3}\)), długa (przez środek, długość \(2a\)) i jeszcze jedna pośrednia. Czytaj uważnie które wierzchołki łączy przekątna w zadaniu.

## Zadanie 6: ostrosłup prawidłowy trójkątny

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość \(a = 6\), a wysokość ostrosłupa \(H = 2\sqrt{3}\). Oblicz miarę kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(6\). Spodek wysokości ostrosłupa \(O\) leży w środku ciężkości trójkąta, który dla trójkąta równobocznego pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego. Promień:

$$R = OA = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

W trójkącie prostokątnym \(SOA\) mamy \(SO = H = 2\sqrt{3}\) i \(OA = 2\sqrt{3}\). Tangens kąta między krawędzią boczną a podstawą:

$$\tan \alpha = \frac{SO}{OA} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$$

Stąd \(\alpha = 45^\circ\).

Odpowiedź: \(\alpha = 45^\circ\).

Pułapka. Dla ostrosłupa trójkątnego spodkiem wysokości jest środek ciężkości trójkąta równobocznego. Środek ciężkości dzieli wysokość trójkąta w stosunku \(2:1\) licząc od wierzchołka, więc \(OA = \frac{2}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego. Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), więc \(OA = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Możesz wyprowadzić ten wzór za każdym razem, ale szybciej go po prostu znać.

## Trudniejszy przypadek: kąt między krawędzią a ścianą boczną

Czasem zadanie pyta o kąt nie z podstawą, ale z dowolną inną płaszczyzną - np. ze ścianą boczną. Schemat jest identyczny: znajdź rzut prostokątny na tę nową płaszczyznę, znajdź trójkąt prostokątny, użyj funkcji trygonometrycznych.

Przykład: w sześcianie o krawędzi \(a = 4\) oblicz kąt między przekątną przestrzenną a płaszczyzną wybranej ściany bocznej.

Rzut przekątnej przestrzennej na ścianę boczną to przekątna tej ściany. Pionowo wystaje krawędź długości \(a\) (prostopadła do ściany). Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne \(a\sqrt{2}\) (przekątna ściany) i \(a\) (pionowa krawędź). Tangens:

$$\tan \alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

\(\alpha \approx 35{,}26^\circ\). Tak, to ten sam kąt co dla podstawy. W sześcianie z symetrii. Ale w prostopadłościanie wynik będzie inny dla każdej ściany - sprawdź jak ćwiczenie.

## Kąt między dwoma prostymi a kąt prostej z płaszczyzną - nie myl

Dwa podobne pojęcia, dwa różne wzory. Uczniowie nagminnie mylą:

Kąt między dwiema prostymi to kąt między ich wektorami kierunkowymi. Liczysz przez iloczyn skalarny:

$$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

Więcej o tym w [obliczanie kąta między wektorami](/jak-obliczyc-kat-miedzy-wektorami-prostymi-matura).

Kąt prostej z płaszczyzną to kąt z rzutem. Liczysz przez geometrię - trójkąt prostokątny. Lub w geometrii analitycznej przez wektor kierunkowy prostej i wektor normalny do płaszczyzny:

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$$

Zwróć uwagę. Tu jest sinus, nie cosinus, bo szukasz kąta między prostą a płaszczyzną - jest on dopełnieniem kąta między prostą a normalną do płaszczyzny. Stąd sinus zamiast cosinusa.

W zadaniach maturalnych podstawowych pracujesz prawie zawsze metodą geometryczną (trójkąt prostokątny). Na rozszerzonej czasem przydaje się metoda wektorowa, ale w arkuszach 2010-2025 to wyjątek.

## Kąt dwuścienny vs kąt prostej z płaszczyzną

Trzecia rzecz którą musisz odróżniać. Kąt dwuścienny to kąt między dwiema półpłaszczyznami o wspólnej krawędzi. Definiowany jest przez kąt liniowy: dwa odcinki prostopadłe do krawędzi, po jednym w każdej półpłaszczyźnie.

Najczęstszy kąt dwuścienny w stereometrii: kąt między ścianą boczną ostrosłupa a płaszczyzną podstawy. To zupełnie inny kąt niż kąt między krawędzią boczną a podstawą - mierzy się go między dwoma płaszczyznami, nie między prostą a płaszczyzną.

Pełny rozbiór znajdziesz w [obliczanie kąta dwuściennego w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura). Tam pokazuję czemu spodkiem wysokości w trójkącie kąta dwuściennego jest środek krawędzi podstawy, a nie środek całej podstawy.

## Najczęstsze pułapki - lista kontrolna błędów

Błąd 1. Zły wybór rzutu. Uczeń bierze najbliższą krawędź zamiast prawdziwego rzutu prostokątnego. Test: rzut musi być prostopadły do ostatniego boku trójkąta (tego pionowego). Jeśli twój trójkąt nie ma kąta prostego przy wybranym punkcie, to nie jest rzut.

Błąd 2. Pomylenie kąta z jego dopełnieniem. Czasem uczeń liczy kąt między prostą a normalną do płaszczyzny zamiast kąta z płaszczyzną. To są kąty dopełniające się do \(90^\circ\). Jeśli wynik wychodzi większy niż \(45^\circ\) tam gdzie intuicja mówi że powinien być mniejszy, sprawdź czy nie pomyliłeś kąta z dopełnieniem.

Błąd 3. Mylenie przekątnej ściany z przekątną przestrzenną. Przekątna ściany leży w jednej płaszczyźnie (boczna lub górna ściana), przekątna przestrzenna łączy dwa przeciwległe wierzchołki bryły i przebija jej wnętrze. Liczone są przez różne wzory: \(a\sqrt{2}\) vs \(a\sqrt{3}\) w sześcianie.

Błąd 4. Zła miara promienia okręgu opisanego. Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) promień opisany to \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\), nie \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\) (to promień wpisany) ani \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (to wysokość trójkąta). Cofnij się do [wzorów dla trójkątów](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne) jeśli ci się to myli.

Błąd 5. Zaokrąglanie po drodze. Jeśli zadanie prosi o dokładną miarę (kąt z funkcji odwrotnych), zostaw odpowiedź jako \(\mathrm{arctg}\) albo \(\mathrm{arcsin}\). Zaokrąglaj dopiero na końcu i tylko wtedy, gdy zadanie wyraźnie tego wymaga.

Błąd 6. Kąt rozwarty. Definicja mówi: kąt ostry. Jeśli z rachunku wychodzi \(120^\circ\), znaczy że źle dobrałeś wektory albo źle wybrałeś trójkąt. Sprawdź jeszcze raz.

Błąd 7. Mylenie kąta przy \(A\) z kątem przy \(S\). W trójkącie prostokątnym \(SAO\) z kątem prostym przy \(O\), oba pozostałe kąty są ostre i sumują się do \(90^\circ\). Kąt prostej z płaszczyzną jest przy \(A\) (punkt przebicia), nie przy \(S\) (wierzchołek nad płaszczyzną).

## Checklist: co musisz umieć przed maturą

Sprawdź czy potrafisz każdy punkt:

Sformułuj definicję kąta między prostą a płaszczyzną przez rzut prostokątny.

Narysuj sześcian i zaznacz w nim kąt między przekątną przestrzenną a podstawą oraz kąt między przekątną ściany a podstawą.

Wskaż gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, czworokątnego i sześciokątnego.

Wymień promienie okręgu opisanego dla kwadratu, trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego.

Rozpoznaj w zadaniu kąt prostej z płaszczyzną od kąta dwuściennego.

Zdecyduj kiedy używać sinusa, kosinusa albo tangensa w trójkącie prostokątnym.

Sprawdź wynik: czy kąt jest w przedziale \([0^\circ, 90^\circ]\), czy wartości sinusa i kosinusa zgadzają się przez \(\sin^2 + \cos^2 = 1\).

## FAQ

### Czy kąt może wyjść większy niż \(90^\circ\)?
Nie. Z definicji to kąt ostry. Jeśli wychodzi rozwarty, popełniłeś błąd w doborze trójkąta albo w identyfikacji rzutu.

### Co zrobić gdy prosta leży w płaszczyźnie?
Kąt wynosi \(0^\circ\). Rzut prostej jest taki sam jak sama prosta, więc kąt między nimi to zero.

### Co gdy prosta jest prostopadła do płaszczyzny?
Kąt wynosi \(90^\circ\). Rzut sprowadza się do jednego punktu, więc trójkąt się degeneruje, ale geometrycznie kąt jest jasny.

### Jak rozróżnić ostrosłup prawidłowy od dowolnego?
W prawidłowym podstawa jest wielokątem foremnym a wierzchołek leży nad środkiem podstawy. To gwarantuje że rzut wierzchołka na podstawę to środek okręgu opisanego. W dowolnym ostrosłupie spodek wysokości może być gdziekolwiek - czasem nawet poza podstawą.

### Czy mogę używać wektorów na maturze podstawowej?
Możesz, ale niepotrzebnie się komplikujesz. Na rozszerzonej wektory mogą być szybsze. Wybierz metodę z którą czujesz się pewniej.

### Czy trzeba znać wszystkie promienie okręgów opisanych na pamięć?
Praktycznie tak. Kwadrat (\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)), trójkąt równoboczny (\(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)), sześciokąt (\(R = a\)) to absolutne minimum. Pojawiają się w każdym arkuszu maturalnym.

### Jakie są typowe wartości kąta na maturze?
Najczęściej pojawiają się \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) (z dokładnymi wartościami trygonometrii) oraz wartości postaci \(\mathrm{arctg}\, q\), gdzie \(q\) to ułamek wymierny lub prosta wartość niewymierna. Jeśli wychodzi ci kąt typu \(\mathrm{arctg}\, 3{,}7281\), prawdopodobnie pomyliłeś rachunki. Sprawdź jeszcze raz.

### Czy jest jakaś sztuczka żeby szybciej zidentyfikować kąt na rysunku?
Tak. Zaznacz dwoma kolorami: jednym kolorem prostą o którą pytają, drugim jej rzut. Kąt jest tam, gdzie te dwa kolory się stykają w wierzchołku - to jest punkt przebicia prostej z płaszczyzną.

### Czy mogę zawsze użyć twierdzenia kosinusów zamiast trygonometrii w trójkącie prostokątnym?
Możesz, ale niepotrzebnie. W trójkącie prostokątnym sinus, cosinus i tangens są szybsze. Twierdzenie kosinusów przyda się dopiero przy trójkątach nieprostokątnych, ale wtedy zwykle nie liczysz już bezpośrednio kąta z płaszczyzną.

## Podsumowanie

Kąt między prostą a płaszczyzną zawsze sprowadza się do trójkąta prostokątnego: prosta, jej rzut na płaszczyznę i odcinek prostopadły do płaszczyzny. Znajdź punkt przebicia (\(A\)), znajdź spodek prostopadłej (\(O\)), połącz drugi koniec prostej (\(S\)) i wykorzystaj sinus, cosinus albo tangens w zależności od tego co masz dane.

Najwięcej zadań tego typu spotkasz na ostrosłupach prawidłowych, sześcianach i prostopadłościanach. Dla każdej z tych brył umiej od ręki narysować odpowiedni trójkąt i wskazać szukany kąt. Powtarzaj na zadaniach z [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) - matematyka maturalna nagradza powtórzenia, nie pomysłowość.

Jeśli chcesz dalej pogłębiać stereometrię, przeczytaj [stereometria na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [obliczanie objętości ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni). A na rozgrzewkę przed maturą sprawdź [najczęstsze błędy na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i [jak sprawdzać odpowiedzi](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji) - dwie rzeczy które ratują punkty nawet jeśli czas ci ucieka.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa
title: Jak obliczyć kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa - schemat krok po kroku z zadaniami
description: Jak obliczyć kąt między krawędzią boczną a podstawą ostrosłupa. Schemat, 5 rozwiązanych zadań maturalnych, wzory i typowe pułapki CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa - schemat krok po kroku z zadaniami

## Dlaczego ten kąt zawsze pojawia się na maturze

Kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa to jedno z najczęstszych zadań ze stereometrii na maturze podstawowej i rozszerzonej. Pojawia się w co najmniej jednym arkuszu rocznie od 2015 roku, najczęściej za 3-5 punktów. Jeśli nauczysz się tego schematu, masz niemal darmowe punkty.

Problem w tym, że uczniowie często gubią się w geometrii przestrzennej. Nie widzą, gdzie ten kąt w ogóle jest, do jakiego trójkąta należy i jakie funkcje trygonometryczne wybrać. W tym poradniku rozbieram to krok po kroku: od definicji, przez rysunek, po konkretne zadania z rozwiązaniami.

## Czym jest kąt między krawędzią a płaszczyzną

Zacznijmy od definicji, bo bez niej nic nie zrobisz poprawnie. Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt ostry, jaki ta prosta tworzy z własnym rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

Dla ostrosłupa prawidłowego wygląda to tak: bierzesz krawędź boczną (np. \(SA\)) i szukasz jej rzutu na podstawę. Rzutem jest odcinek \(OA\), gdzie \(O\) to spodek wysokości ostrosłupa (środek podstawy, jeśli ostrosłup jest prawidłowy). Kąt \(\angle SAO\) to właśnie szukany kąt między krawędzią a podstawą.

Zapamiętaj ten schemat - działa zawsze dla ostrosłupów prawidłowych:

$$\tan \alpha = \frac{H}{r}$$

gdzie \(H\) to wysokość ostrosłupa, a \(r\) to odległość spodka wysokości od wierzchołka podstawy (czyli promień okręgu opisanego na podstawie).

## Jak znaleźć trójkąt prostokątny - krok po kroku

Każde zadanie tego typu sprowadza się do znalezienia jednego trójkąta prostokątnego. Kluczowe kroki:

Krok 1. Narysuj ostrosłup i zaznacz spodek wysokości \(O\) na podstawie. Dla ostrosłupa prawidłowego \(O\) to środek okręgu opisanego na podstawie.

Krok 2. Połącz \(O\) z wybranym wierzchołkiem podstawy (np. \(A\)). Odcinek \(OA\) to rzut krawędzi \(SA\) na płaszczyznę podstawy.

Krok 3. Zauważ, że trójkąt \(SOA\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(O\). Kąt \(\angle SAO = \alpha\) to szukany kąt.

Krok 4. Oblicz długość \(OA\) na podstawie geometrii podstawy. To jest najczęstsze miejsce, w którym uczniowie się mylą, więc zapamiętaj gotowce:

- Podstawa to kwadrat o boku \(a\): \(OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) (połowa przekątnej).
- Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \(a\): \(OA = \frac{a\sqrt{3}}{3}\) (promień okręgu opisanego).
- Podstawa to sześciokąt foremny o boku \(a\): \(OA = a\) (promień okręgu opisanego równy bokowi).

Krok 5. Użyj tangensa, sinusa albo cosinusa zależnie od tego, co jest dane:

$$\tan \alpha = \frac{H}{OA}, \quad \cos \alpha = \frac{OA}{SA}, \quad \sin \alpha = \frac{H}{SA}$$

## Zadanie 1: ostrosłup prawidłowy czworokątny, podstawa kwadrat

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a = 6\), a wysokość ostrosłupa \(H = 4\). Oblicz miarę kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Podstawa to kwadrat o boku \(6\), więc przekątna ma długość \(6\sqrt{2}\). Spodek wysokości \(O\) leży w środku przekątnej, więc:

$$OA = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Trójkąt \(SOA\) jest prostokątny z przyprostokątnymi \(OA = 3\sqrt{2}\) i \(SO = H = 4\). Tangens szukanego kąta:

$$\tan \alpha = \frac{H}{OA} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Stąd \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 43{,}3^\circ\).

Odpowiedź: \(\alpha \approx 43^\circ\).

## Zadanie 2: dana krawędź boczna, szukana wysokość

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a = 8\), a krawędź boczna \(b = 10\). Oblicz kąt między krawędzią boczną a podstawą oraz wysokość ostrosłupa.

Rozwiązanie. Połowa przekątnej podstawy: \(OA = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\). Trójkąt \(SOA\) jest prostokątny, przeciwprostokątną jest krawędź boczna \(SA = 10\), przyprostokątną przy kącie \(\alpha\) jest \(OA\).

$$\cos \alpha = \frac{OA}{SA} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$$

Stąd \(\alpha = \arccos \frac{2\sqrt{2}}{5} \approx 55{,}6^\circ\).

Wysokość liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

$$H = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{100 - 32} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$

Sprawdzenie przez sinus: \(\sin \alpha = \frac{H}{SA} = \frac{2\sqrt{17}}{10} = \frac{\sqrt{17}}{5} \approx 0{,}824\), co zgadza się z \(\alpha \approx 55{,}6^\circ\).

## Zadanie 3: ostrosłup prawidłowy trójkątny (czworościan niekoniecznie foremny)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość \(a = 6\), a wysokość \(H = 3\sqrt{3}\). Oblicz kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie. Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \(6\). Promień okręgu opisanego:

$$OA = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Tangens kąta:

$$\tan \alpha = \frac{H}{OA} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$$

Stąd \(\alpha = \mathrm{arctg}\, \frac{3}{2} \approx 56{,}3^\circ\).

## Zadanie 4: ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \(a = 4\), a krawędź boczna \(b = 8\). Oblicz kąt między krawędzią boczną a podstawą.

Rozwiązanie. W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego równa się długości boku, więc \(OA = 4\). Przeciwprostokątna to krawędź boczna \(SA = 8\).

$$\cos \alpha = \frac{OA}{SA} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Stąd \(\alpha = 60^\circ\). To klasyczna pułapka maturalna - zauważ, że trójkąt \(SOA\) jest wtedy "prostokątnym trójkątem 30-60-90". Warto umieć to rozpoznawać na pierwszy rzut oka, bo oszczędza minut na egzaminie. Więcej o zależnościach w trójkącie 30-60-90 znajdziesz w [osobnym poradniku](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Zadanie 5: dany kąt, szukana krawędź boczna

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma \(a = 10\), a kąt między krawędzią boczną a podstawą wynosi \(\alpha = 60^\circ\). Oblicz długość krawędzi bocznej i wysokość ostrosłupa.

Rozwiązanie. \(OA = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\). Z definicji cosinusa:

$$\cos 60^\circ = \frac{OA}{SA} \implies \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{SA} \implies SA = 10\sqrt{2}$$

Wysokość:

$$H = SA \cdot \sin 60^\circ = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6}$$

Możesz też skorzystać z tangensa: \(\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{H}{5\sqrt{2}}\), więc \(H = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{6}\). Zgadza się.

## Kąt między krawędzią a podstawą a kąt nachylenia ściany bocznej

Uważaj - to dwa różne kąty, a maturzyści często je mylą. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy liczy się w innym trójkącie: zamiast \(OA\) bierzesz \(OM\), gdzie \(M\) to środek krawędzi podstawy. \(OM\) to apotema (promień okręgu wpisanego w podstawę). Schemat jest analogiczny, ale wzór na \(OM\) inny:

- kwadrat o boku \(a\): \(OM = \frac{a}{2}\),
- trójkąt równoboczny: \(OM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\),
- sześciokąt foremny: \(OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Jeśli w zadaniu pada "kąt między ścianą boczną a podstawą" - to nie jest ten sam kąt co nasz. Przeczytaj polecenie dwa razy zanim policzysz.

## Kąt między krawędzią boczną a ścianą boczną

W zadaniach rozszerzonych pojawia się jeszcze trzeci wariant: kąt między krawędzią boczną a sąsiednią ścianą boczną. Tu musisz rzutować krawędź \(SA\) na płaszczyznę ściany \(SBC\), a to już liczenie z iloczynu skalarnego albo rysowanie odcinka prostopadłego do płaszczyzny ściany. Trudniejsze, ale schemat "znajdź rzut i rozpoznaj trójkąt prostokątny" dalej działa.

## Typowe błędy maturalne

Z poprawkowania prac CKE widać, że powtarzają się te same wpadki:

Błąd 1: Używanie boku podstawy zamiast promienia opisanego. Uczeń pisze \(\tan \alpha = \frac{H}{a}\), co jest prawdą tylko przypadkiem dla sześciokąta foremnego. Zawsze przemyśl, co jest przyprostokątną.

Błąd 2: Mylenie okręgu opisanego z wpisanym. W kwadracie promień opisanego to \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\), a wpisanego \(\frac{a}{2}\). Jeśli pomylisz te dwa, dostaniesz inny kąt (nachylenie ściany zamiast krawędzi).

Błąd 3: Zaokrąglanie w trakcie obliczeń. Jeżeli zadanie pyta o dokładną wartość, podaj wynik w postaci \(\mathrm{arctg}\, x\) albo zostaw pierwiastki. Zaokrąglaj dopiero na końcu, jeśli polecenie prosi o stopnie.

Błąd 4: Mieszanie miar - stopnie z radianami. Jeśli korzystasz z kalkulatora graficznego na maturze, ustaw DEG przed każdym zadaniem.

Błąd 5: Brak rysunku. To jest największa zgroza. Bez szkicu trójkąta \(SOA\) nie rozpoznasz, który bok jest przyprostokątną, który przeciwprostokątną, i gdzie jest kąt. Rysuj zawsze, nawet jeśli czujesz, że liczysz "z głowy".

## Powiązane zagadnienia

Aby opanować stereometrię do końca, warto też zajrzeć do innych moich poradników:

- [Stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) - pełny przewodnik po temacie.
- [Objętość i pole powierzchni brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory) - wzory na wszystkie bryły maturalne.
- [Jak obliczyć objętość ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni) - bardzo bliski temat, często łączony w jednym zadaniu.
- [Trójkąt 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) - potrzebne, gdy kąt wyjdzie "ładny".
- [Sinus, cosinus, tangens - definicje i wartości](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci) - podstawowe funkcje w trójkącie prostokątnym.
- [Twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - liczenie trzeciego boku w trójkącie.

Jeśli chcesz poćwiczyć na prawdziwych zadaniach CKE, zajrzyj na [stronę tematu Stereometria](/topics/stereometria) - znajdziesz tam kilkadziesiąt zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku.

## Checklista - co musisz umieć po tej lekcji

- Rozpoznać, o który kąt chodzi w poleceniu (krawędź boczna a podstawa, a nie ściana boczna a podstawa).
- Narysować ostrosłup i zaznaczyć spodek wysokości \(O\), wierzchołek \(S\), wierzchołek podstawy \(A\).
- Wskazać trójkąt prostokątny \(SOA\) i rozpoznać w nim przyprostokątne i przeciwprostokątną.
- Obliczyć \(OA\) (promień okręgu opisanego) dla kwadratu, trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego z pamięci.
- Wybrać właściwą funkcję trygonometryczną: tangens gdy znasz \(H\) i \(OA\), cosinus gdy znasz \(OA\) i \(SA\), sinus gdy znasz \(H\) i \(SA\).
- Rozpoznać klasyczne kąty 30, 45, 60 stopni po stosunkach boków i nie liczyć ich kalkulatorem.

Jeśli zrobisz powyższe zadania i powtórzysz je za tydzień, na maturze rozpoznasz typ zadania w 10 sekund i zgarniesz pewne 3-5 punktów. To jest matematyka - schemat się powtarza, wystarczy go zauważyć.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /ile-rozwiazan-ma-rownanie-z-parametrem-matura-rozszerzona
title: Ile rozwiązań ma równanie z parametrem - równanie iloczynowe i parametr przy x kwadrat (matura rozszerzona)
description: Kiedy równanie z parametrem ma dokładnie dwa lub trzy rozwiązania: a(m) = 0, znak delty i pokrywanie się pierwiastków. 6 zadań z matury rozszerzonej.
author: Filip Maszota
---

# Ile rozwiązań ma równanie z parametrem - równanie iloczynowe i parametr przy x kwadrat (matura rozszerzona)

Liczba rozwiązań równania z parametrem zależy od trzech rzeczy, sprawdzanych w tej kolejności: czy współczynnik przy \(x^2\) zeruje się dla jakiegoś \(m\) (równanie przestaje być kwadratowe), jaki znak ma wyróżnik \(\Delta(m)\) i, w równaniu iloczynowym, czy pierwiastki poszczególnych czynników się pokrywają. Równanie \(a(m)x^2 + b(m)x + c(m) = 0\) ma dokładnie dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy \(a(m) \neq 0\) i \(\Delta(m) > 0\). Równanie \((x - p)(ax^2 + bx + c) = 0\) ma dokładnie trzy rozwiązania, gdy czynnik kwadratowy ma dwa różne pierwiastki i żaden z nich nie jest równy \(p\), a dokładnie dwa, gdy jeden z tych pierwiastków pokrywa się z \(p\) albo gdy czynnik kwadratowy ma pierwiastek podwójny różny od \(p\).

Na maturze rozszerzonej to zwykle zadanie otwarte za 4 do 6 punktów, czasem krótkie zadanie zamknięte, i w każdym arkuszu wygląda trochę inaczej. W [czerwcu 2021](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2021) (zadanie 12, 5 pkt) CKE pytało o dokładnie dwa rozwiązania równania \((x-3)(x^2+(m-1)x-6m^2+2m)=0\), w czerwcu 2022 (zadanie 13, 6 pkt) o trzy różne rozwiązania równania z czynnikiem \((x-4)\), w czerwcu 2023 (zadanie 10 w arkuszu formuły 2023, 5 pkt) parametr stał przy \(x^2\) w równaniu \(mx^2-(m+1)x-2m+3=0\), a w arkuszu pokazowym z marca 2022 (zadanie 4, 5 pkt) parametr przy \(x^2\) siedział w środku iloczynu. Zanim dojdziesz do warunku dodatkowego, musisz ustalić, dla jakich \(m\) równanie w ogóle ma tyle rozwiązań, ile żąda polecenie. Ten wpis jest o tym etapie: o drzewie decyzyjnym dla równania kwadratowego z parametrem, o równaniu liniowym, które zostaje po wyzerowaniu \(a(m)\), i o równaniu iloczynowym, w którym pierwiastki potrafią się pokrywać. Warunki na pierwiastki (znaki, suma kwadratów, odległość) to dalszy ciąg, opisany we wpisach o [dyskusji funkcji kwadratowej z parametrem](/funkcja-kwadratowa-z-parametrem-dyskusja-zadania-matura) i o [wzorach Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania); tutaj pojawiają się tylko tam, gdzie wymaga ich konkretne zadanie z arkusza.

## Kiedy równanie kwadratowe z parametrem ma 0, 1 albo 2 rozwiązania

Równanie \(a(m)x^2 + b(m)x + c(m) = 0\) sprawdzasz w dwóch gałęziach. Jeśli \(a(m) = 0\), zostaje równanie liniowe \(b(m)x + c(m) = 0\) i liczysz jego rozwiązania osobno. Jeśli \(a(m) \neq 0\), o liczbie rozwiązań decyduje znak wyróżnika: \(\Delta  0\) dwa różne.

Całe drzewo decyzyjne w jednej tabeli:

| Przypadek | Równanie | Liczba rozwiązań |
|---|---|---|
| \(a(m) = 0\), \(b(m) \neq 0\) | liniowe | 1 |
| \(a(m) = 0\), \(b(m) = 0\), \(c(m) \neq 0\) | sprzeczne | 0 |
| \(a(m) = 0\), \(b(m) = 0\), \(c(m) = 0\) | tożsamość | każda liczba rzeczywista |
| \(a(m) \neq 0\), \(\Delta(m)  0\) | kwadratowe | 2 różne |

Polecenie „dokładnie dwa różne rozwiązania" wybiera z tej tabeli tylko ostatni wiersz. Warunek ma więc dwa człony i oba są obowiązkowe: \(a(m) \neq 0\) oraz \(\Delta(m) > 0\). Kto liczy samą deltę, dla równania \(mx^2 - (m+1)x - 2m + 3 = 0\) dostaje \(\Delta = (9m-1)(m-1)\) i pisze \(m  1\). W tym zbiorze siedzi jednak \(m = 0\), dla którego równanie to \(-x + 3 = 0\) z jednym rozwiązaniem. Poprawny zbiór po tym kroku to \(m \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)\).

Jeżeli współczynnik przy \(x^2\) jest liczbą (jak w równaniu \(x^2 - 3mx + 2m^2 + 1 = 0\) z czerwca 2017 albo \(x^2 + mx + m = 0\) z czerwca 2026), gałąź \(a(m) = 0\) odpada i od razu liczysz deltę. Zapisz to mimo wszystko jednym zdaniem: „współczynnik przy \(x^2\) jest równy 1, więc równanie jest kwadratowe dla każdego \(m\)". Egzaminator widzi wtedy, że przypadek rozpatrzyłeś, a nie przeoczyłeś. Sam wzór na deltę i jego typowe błędy rachunkowe masz osobno we wpisie o [delcie równania kwadratowego](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

## Ile rozwiązań ma równanie liniowe z parametrem

Równanie \(Ax = B\), w którym \(A\) i \(B\) zależą od \(m\), ma jedno rozwiązanie \(x = \frac{B}{A}\), gdy \(A \neq 0\); nie ma rozwiązań, gdy \(A = 0\) i \(B \neq 0\); każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem, gdy \(A = 0\) i \(B = 0\). Najpierw sprawdzasz, kiedy zeruje się \(A\), i dopiero dla tych wartości patrzysz na \(B\).

Ten schemat wraca w dwóch miejscach: jako samodzielne zadanie zamknięte (czerwiec 2019, zadanie 1) i jako gałąź \(a(m) = 0\) w równaniu kwadratowym. W drugim przypadku najczęstszy wynik to jedno rozwiązanie, więc dla polecenia „dokładnie dwa" ta gałąź zwykle odpada, ale musisz to napisać, nie założyć. Szersze omówienie równań i funkcji liniowych z \(m\) masz we wpisie o [funkcji liniowej z parametrem](/funkcja-liniowa-z-parametrem-zadania-matura), a to samo liczenie rozwiązań dla dwóch równań naraz we wpisie o [układzie równań z parametrem](/uklad-rownan-z-parametrem-liczba-rozwiazan).

## Równanie iloczynowe z parametrem: dokładnie dwa albo dokładnie trzy rozwiązania

Zbiór rozwiązań równania \((x - p)(ax^2 + bx + c) = 0\) to suma zbiorów rozwiązań obu czynników, więc \(p\) jest rozwiązaniem zawsze, a pozostałe rozwiązania pochodzą z czynnika kwadratowego. Liczysz jego pierwiastki, a potem sprawdzasz, czy któryś z nich jest równy \(p\): podstawiasz \(x = p\) do czynnika kwadratowego i rozwiązujesz otrzymane równanie względem \(m\).

Wszystkie możliwości dla \(a \neq 0\):

- **Dokładnie trzy rozwiązania:** \(\Delta > 0\) i \(ap^2 + bp + c \neq 0\).
- **Dokładnie dwa rozwiązania:** \(\Delta > 0\) i \(ap^2 + bp + c = 0\) (jeden pierwiastek czynnika pokrywa się z \(p\)) albo \(\Delta = 0\) i pierwiastek podwójny \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) jest różny od \(p\).
- **Dokładnie jedno rozwiązanie:** \(\Delta  0\) to zwykła [nierówność kwadratowa](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania): liczysz miejsca zerowe, szkicujesz parabolę i odczytujesz przedział. Odpowiedź końcowa to część wspólna wszystkich warunków, zapisana jako zbiór, z wyrzuconymi pojedynczymi punktami.

Trzy nawyki, które porządkują ten etap:

1. Każdy warunek rozwiązuj osobno i zapisuj jego zbiór, na przykład \(W_1: m \neq 0\) oraz \(W_2: m \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)\).
2. Gdy \(\Delta(m)\) jest kwadratem, jak \((5m-1)^2\) w zadaniu z czerwca 2021, nierówność \(\Delta > 0\) oznacza po prostu \(m \neq \frac{1}{5}\); nie szkicuj paraboli na siłę.
3. Część wspólną rysuj na osi \(m\): przedziały jeden pod drugim, punkty wyłączone jako puste kółka. Zbiór \((-4-2\sqrt{6}, 0) \cup (0, \frac{1}{9})\) zapisany jako \((-4-2\sqrt{6}, \frac{1}{9})\) jest błędny, bo zawiera \(m = 0\).

## Wzory

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Pierwiastki równania kwadratowego:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad a \neq 0$$

Pierwiastek podwójny:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} \quad \text{dla} \quad \Delta = 0$$

Warunek dokładnie dwóch różnych rozwiązań:

$$a(m) \neq 0 \quad \text{i} \quad \Delta(m) > 0$$

Sprawdzenie znanego pierwiastka w czynniku:

$$a p^2 + b p + c = 0$$

Rozwiązanie równania liniowego:

$$Ax = B \quad \Rightarrow \quad x = \frac{B}{A} \quad \text{dla} \quad A \neq 0$$

Wzory Viete'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Sześć zadań poniżej idzie od najprostszego do najbogatszego: równanie liniowe, parametr przy \(x^2\), dwa równania iloczynowe, parametr przy \(x^2\) w środku iloczynu i czynnik trzeciego stopnia. Treści wszystkich zadań są dostępne za darmo na ich stronach w bazie, a rozwiązania zadań z poziomu rozszerzonego odblokowuje [pakiet Premium+](/payment/checkout).

## Przykład 1: Równanie liniowe, w którym każda liczba jest rozwiązaniem (matura rozszerzona czerwiec 2019, zadanie 1)

**Treść:** Parametr \(m\) dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania \((4 - m^2) \cdot x = m^2 - 3m + 2\) z niewiadomą \(x\). Wynika stąd, że

- A) \(m = -2\)
- B) \(m = 1\)
- C) \(m = 2\)
- D) \(m = 4\)

**Krok 1: Warunek na tożsamość.** Równanie \(Ax = B\) spełnia każda liczba rzeczywista tylko wtedy, gdy \(A = 0\) i \(B = 0\), bo dopiero \(0 \cdot x = 0\) jest prawdą dla dowolnego \(x\). Tu \(A = 4 - m^2\) i \(B = m^2 - 3m + 2\).

**Krok 2: Zerowanie współczynnika przy niewiadomej.**

$$4 - m^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 2 \ \text{lub} \ m = -2$$

**Krok 3: Zerowanie prawej strony.**

$$m^2 - 3m + 2 = (m - 1)(m - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 1 \ \text{lub} \ m = 2$$

**Krok 4: Część wspólna.** Oba warunki naraz spełnia tylko \(m = 2\). Kontrola pozostałych opcji: dla \(m = -2\) równanie ma postać \(0 \cdot x = 12\) i jest sprzeczne, dla \(m = 1\) postać \(3x = 0\) z jednym rozwiązaniem \(x = 0\), dla \(m = 4\) postać \(-12x = 6\), też z jednym rozwiązaniem.

**Odpowiedź: C.** Zadanie za 1 punkt, ale dokładnie ten sam schemat wraca jako gałąź \(a(m) = 0\) w zadaniach otwartych, jak w przykładach 2 i 5.

## Przykład 2: Parametr przy x kwadrat i dokładnie dwa różne rozwiązania (matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 10)

**Treść:** Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(mx^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0\) ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0\), \(x_2 \neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}  0\) dla \(m \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)\).

**Krok 3: Pierwiastki różne od zera.** Z wzorów Viete'a \(x_1 x_2 = \frac{3 - 2m}{m}\). Iloczyn jest różny od zera, gdy \(m \neq \frac{3}{2}\).

**Krok 4: Warunek na odwrotności kwadratów.** Sprowadzasz sumę do sumy i iloczynu pierwiastków:

$$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}$$

Podstawiasz \(x_1 + x_2 = \frac{m+1}{m}\) i \(x_1 x_2 = \frac{3-2m}{m}\); mianowniki \(m^2\) się skracają:

$$\frac{(m+1)^2 - 2m(3-2m)}{(3-2m)^2} = \frac{5m^2 - 4m + 1}{(3-2m)^2}  0\), więc czynnik ma dwa pierwiastki, z których jeden to 3, a drugi jest inny. Kontrola: dla \(m = \frac{3}{2}\) pierwiastki \(q\) to \(3\) i \(-\frac{7}{2}\), dla \(m = -\frac{2}{3}\) to \(3\) i \(-\frac{4}{3}\).

**Odpowiedź:** \(m \in \left\{-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}\right\}\), czyli zbiór trzech liczb, nie przedział. Skrót do kontroli: skoro \(\sqrt{\Delta} = |5m - 1|\), pierwiastki \(q\) to \(2m\) i \(1 - 3m\), a „dokładnie dwa rozwiązania" oznacza \(2m = 1 - 3m\), \(2m = 3\) albo \(1 - 3m = 3\), czyli te same trzy wartości.

## Przykład 4: Równanie iloczynowe i trzy różne rozwiązania (matura rozszerzona czerwiec 2022, zadanie 13)

**Treść:** Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \((x-4)\left[x^2+(m-3)x+m^2-m-6\right]=0\) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) oraz \(x_3\), spełniające warunek \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 > x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 5m - 51\). Zadanie za 6 punktów.

**Krok 1: Warunek na trzy różne rozwiązania.** Jedno rozwiązanie to \(x = 4\). Czynnik \(q(x) = x^2 + (m-3)x + m^2 - m - 6\) musi mieć dwa różne pierwiastki (\(\Delta > 0\)) i żaden z nich nie może być równy 4 (\(q(4) \neq 0\)).

**Krok 2: Delta większa od zera.**

$$\Delta = (m-3)^2 - 4(m^2 - m - 6) = -3m^2 - 2m + 33$$

Nierówność \(-3m^2 - 2m + 33 > 0\) to po pomnożeniu przez \(-1\) nierówność \(3m^2 + 2m - 33  -m^2 - 4m + 21 + 16 - 5m - 51 \quad \Rightarrow \quad 5m^2 + 5m - 10 > 0$$

Po podzieleniu przez 5: \((m + 2)(m - 1) > 0\), czyli \(m \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)\).

**Krok 5: Część wspólna.** Przecięcie \((-\frac{11}{3}, 3)\) z \((-\infty, -2) \cup (1, \infty)\) to \((-\frac{11}{3}, -2) \cup (1, 3)\). Punkt \(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \approx -3{,}56\) leży w pierwszym przedziale i musi z niego wypaść; punkt \(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0{,}56\) nie należy do żadnego z nich.

**Odpowiedź:** \(m \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2}, -2\right) \cup (1, 3)\).

## Przykład 5: Parametr przy x kwadrat w środku iloczynu (matura rozszerzona pokazowa marzec 2022, zadanie 4)

**Treść:** Dane jest równanie \((x - 6) \cdot [(m - 2)x^2 - 4(m + 3)x + m + 1] = 0\) z niewiadomą \(x\) i parametrem \(m \in \mathbb{R}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku. Zadanie za 5 punktów.

**Krok 1: Przypadek m równe dwa.** Czynnik w nawiasie kwadratowym staje się liniowy: \(-20x + 3 = 0\), czyli \(x = \frac{3}{20}\). Równanie ma wtedy dwa rozwiązania (\(6\) i \(\frac{3}{20}\)), a nie trzy, więc \(m \neq 2\).

**Krok 2: Delta czynnika kwadratowego.**

$$\Delta = 16(m+3)^2 - 4(m-2)(m+1) = 12m^2 + 100m + 152 = 4(3m^2 + 25m + 38)$$

Trójmian \(3m^2 + 25m + 38\) ma pierwiastki \(m = \frac{-25 \pm 13}{6}\), czyli \(m = -\frac{19}{3}\) i \(m = -2\). Stąd \(\Delta > 0\) dla \(m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (-2, \infty)\).

**Krok 3: Ten sam znak.** Rozwiązanie \(x = 6\) jest dodatnie, więc oba pierwiastki czynnika kwadratowego też muszą być dodatnie: iloczyn i suma większe od zera. Z wzorów Viete'a:

$$x_1 x_2 = \frac{m+1}{m-2} > 0 \quad \Rightarrow \quad m \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$$

$$x_1 + x_2 = \frac{4(m+3)}{m-2} > 0 \quad \Rightarrow \quad m \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$$

Oba warunki naraz: \(m \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)\).

**Krok 4: Liczba 6 nie jest pierwiastkiem czynnika.**

$$q(6) = 36(m-2) - 24(m+3) + m + 1 = 13m - 143 = 13(m - 11)$$

Dla \(m = 11\) czynnik ma pierwiastek 6, który pokryłby się z rozwiązaniem pierwszego czynnika, więc \(m \neq 11\).

**Krok 5: Część wspólna.** Przecięcie warunku na deltę z warunkiem na znaki to \((-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (2, \infty)\). Po usunięciu \(m = 11\) zostaje odpowiedź z trzema przedziałami.

**Odpowiedź:** \(m \in \left(-\infty, -\frac{19}{3}\right) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)\).

## Przykład 6: Czynnik trzeciego stopnia i całkowite wartości parametru (matura rozszerzona maj 2014, zadanie 10)

**Treść:** Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\left(x^3 + 2x^2 + 2x + 1\right)\left[x^2 - (2m+1)x + m^2 + m\right] = 0\) ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Zadanie za 5 punktów.

**Krok 1: Pierwiastki czynnika trzeciego stopnia.** Grupujesz: \(x^3 + 1 + 2x^2 + 2x = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 + x + 1)\). Trójmian \(x^2 + x + 1\) ma \(\Delta = -3  0\). To jedna z dwóch części. Druga to \(a(m) \neq 0\), a przy równaniu iloczynowym dochodzi trzecia: pierwiastki czynników nie mogą się pokrywać.

**Pułapka 3:** W równaniu iloczynowym „dokładnie dwa rozwiązania" ma dwie gałęzie: pierwiastek podwójny różny od \(p\) albo dwa pierwiastki, z których jeden jest równy \(p\). W zadaniu z czerwca 2021 pominięcie gałęzi \(\Delta = 0\) gubi \(m = \frac{1}{5}\), a pominięcie sprawdzenia \(q(3) = 0\) gubi \(m = \frac{3}{2}\) i \(m = -\frac{2}{3}\).

**Pułapka 4:** „Dwa rozwiązania" i „dwa różne rozwiązania" to nie to samo. Pierwiastek podwójny jest jednym rozwiązaniem równania, więc \(\Delta = 0\) nigdy nie daje dwóch różnych rozwiązań. Jeżeli polecenie mówi o dwóch pierwiastkach bez słowa „różne", przyjmij \(\Delta > 0\) i zapisz to założenie jednym zdaniem.

**Pułapka 5:** Znak przy mnożeniu nierówności z deltą. Nierówność \(-3m^2 - 2m + 33 > 0\) po pomnożeniu przez \(-1\) to \(3m^2 + 2m - 33  0\): nie mnożysz przez \(m - 2\), którego znaku nie znasz, tylko rozwiązujesz nierówność ilorazową jak iloczynową z wyłączonym \(m = 2\).

**Pułapka 6:** Odpowiedź zapisana jako jeden przedział, z połkniętymi punktami wyłączonymi. Zbiór \((-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)\) ma trzy przedziały, bo \(m = 11\) daje pokrywające się pierwiastki. Zapis \((2, \infty)\) różni się od poprawnego w jednym punkcie i to wystarczy, żeby odpowiedź była błędna.

**Wskazówka:** Gdy delta czynnika jest pełnym kwadratem, jak \((5m-1)^2\), wypisz pierwiastki jawnie w zależności od \(m\) (tutaj \(2m\) i \(1 - 3m\)). Warunki na liczbę rozwiązań zamieniają się wtedy w proste równania liniowe względem \(m\) i widać każdą gałąź.

**Zapamiętaj:** Kolejność sprawdzania jest zawsze ta sama: najpierw \(a(m) = 0\) i równanie liniowe, potem \(a(m) \neq 0\) i znak \(\Delta(m)\), na końcu w równaniu iloczynowym podstawienie znanego pierwiastka do drugiego czynnika. Odpowiedź to część wspólna wszystkich warunków, zapisana jako zbiór.

## Co musisz umieć

- Rozpoznać, dla jakich m współczynnik przy x kwadrat się zeruje, i rozwiązać osobno równanie liniowe, które wtedy zostaje.
- Policzyć deltę jako funkcję m i rozwiązać nierówność kwadratową względem m.
- Zapisać warunek „dokładnie dwa różne rozwiązania" jako koniunkcję: współczynnik przy x kwadrat różny od zera i delta większa od zera.
- W równaniu iloczynowym podstawić znany pierwiastek do czynnika kwadratowego i wyznaczyć m, dla których pierwiastki się pokrywają.
- Rozpisać „dokładnie dwa" i „dokładnie trzy rozwiązania" równania iloczynowego na alternatywy warunków.
- Rozłożyć czynnik trzeciego stopnia metodą grupowania i sprawdzić, ile z jego pierwiastków jest rzeczywistych.
- Wyznaczyć część wspólną kilku zbiorów na osi m i zapisać odpowiedź z wyłączonymi punktami.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z działu, których nie ma wyżej: parametr przy \(x^2\) w postaci \((3-m)\), \((2-m)\), \((m+1)\), \(m^2\) i ułamka zależnego od \(m\), plus bliźniacze zadanie z czerwca 2023 z arkusza formuły 2015. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz na stronie [Równania z parametrem](/topics/rownania-z-parametrem), a plan całej powtórki na [stronie matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona) i we wpisie o [wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z równań z parametrem (/losuj)

## Najczęstsze pytania o liczbę rozwiązań równania z parametrem

### Kiedy równanie kwadratowe z parametrem ma dokładnie jedno rozwiązanie?

W dwóch sytuacjach: gdy \(a(m) \neq 0\) i \(\Delta(m) = 0\) (pierwiastek podwójny) albo gdy \(a(m) = 0\) i równanie liniowe, które zostaje, ma niezerowy współczynnik przy \(x\). Obie sytuacje sprawdzasz osobno i sumujesz wyniki, bo polecenie „dokładnie jedno rozwiązanie" nie mówi, którą z nich ma na myśli.

### Dlaczego „dokładnie dwa różne rozwiązania" wymaga współczynnika przy x kwadrat różnego od zera?

Bo przy \(a(m) = 0\) równanie nie jest kwadratowe i nie ma delty, o którą można by pytać: zostaje równanie liniowe z co najwyżej jednym rozwiązaniem albo tożsamość spełniona przez każdą liczbę. Nierówność \(\Delta(m) > 0\) policzona formalnie dla takiego \(m\) może wyjść prawdziwa, ale nie opisuje już liczby rozwiązań.

### Jak sprawdzić, czy znany pierwiastek jest też pierwiastkiem czynnika kwadratowego?

Podstaw ten pierwiastek za \(x\) do czynnika kwadratowego i rozwiąż otrzymane równanie względem \(m\). Wartości \(m\), które wyjdą, to dokładnie te, dla których pierwiastki obu czynników się pokrywają i równanie iloczynowe traci jedno rozwiązanie. W zadaniu z czerwca 2021 podstawienie \(x = 3\) dało \(6m^2 - 5m - 6 = 0\), czyli \(m = \frac{3}{2}\) lub \(m = -\frac{2}{3}\).

### Kiedy równanie iloczynowe z parametrem ma dokładnie trzy rozwiązania?

Gdy czynnik liniowy daje jedno rozwiązanie \(p\), czynnik kwadratowy ma dwa różne pierwiastki (\(a \neq 0\) i \(\Delta > 0\)) i żaden z nich nie jest równy \(p\). Wszystkie trzy warunki zapisujesz osobno, a odpowiedź to ich część wspólna, zwykle przedział z wyrzuconymi jednym lub dwoma punktami.

### Co zrobić, gdy delta z parametrem jest pełnym kwadratem?

Wtedy \(\Delta(m) \ge 0\) dla każdego \(m\) i warunek \(\Delta > 0\) sprowadza się do wykluczenia miejsca zerowego tego kwadratu. Dodatkowo \(\sqrt{\Delta}\) jest wartością bezwzględną wyrażenia liniowego, więc pierwiastki dają się zapisać jawnie jako funkcje \(m\).

### Czy równanie liniowe z parametrem trzeba rozpatrywać przez przypadki?

Tak. Równanie \(Ax = B\) dzielisz przez \(A\) tylko wtedy, gdy \(A \neq 0\). Dla wartości \(m\), przy których \(A = 0\), sprawdzasz osobno, czy \(B\) też jest zerem (każda liczba jest rozwiązaniem), czy nie (równanie sprzeczne). W zadaniu z czerwca 2019 właśnie to rozróżnienie wskazywało \(m = 2\).

### Jak zapisać odpowiedź w zadaniu z parametrem?

Jako zbiór wartości \(m\): przedział, sumę przedziałów albo zbiór skończony, z jawnie wyłączonymi punktami, dla których któryś warunek nie zachodzi. Zapis \(m \in (2, 11) \cup (11, \infty)\) mówi więcej niż \(m > 2\), bo pokazuje, że \(m = 11\) został sprawdzony i odrzucony.


---
route: /funkcja-okreslona-przedzialami-klamra-zbior-wartosci-miejsca-zerowe-matura
title: Funkcja określona przedziałami (klamrą) - dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe i równanie f(x) = c w zadaniach maturalnych
description: Funkcja określona przedziałami: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe i równanie f(x) = c krok po kroku. Zadania z matur 2025 i 2026 z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Funkcja określona przedziałami (klamrą) - dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe i równanie f(x) = c w zadaniach maturalnych

Funkcja określona przedziałami (zapisywana klamrą) to funkcja, która na różnych częściach dziedziny ma różne wzory, na przykład \(f(x) = x + 2\) dla \(x \in [-4, 2]\) i \(f(x) = -x + 5\) dla \(x \in (2, 5)\). Każde pytanie o taką funkcję rozwiązujesz kawałek po kawałku: na każdym przedziale liczysz jego własnym wzorem, odrzucasz wyniki, które wypadają poza ten przedział, a na końcu łączysz to, co zostało. Dziedzina to suma przedziałów z klamry, zbiór wartości to suma wartości wszystkich kawałków, a miejsca zerowe i rozwiązania równania \(f(x) = c\) to te rozwiązania z poszczególnych kawałków, które mieszczą się w swoich przedziałach.

Na maturze podstawowej w Formule 2023 ten typ zadania wraca regularnie. W bazie mamy go z arkuszy z [maja 2025](/exams/matura-maj-2025), [czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025), sierpnia 2025 i [maja 2026](/exams/matura-maj-2026) oraz z próbnych matur CKE z grudnia 2024 i marca 2026. Zwykle wygląda podobnie: klamra z dwoma albo trzema wzorami, wykres obok i kilka zdań do uzupełnienia przedziałami (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, rozwiązania równania albo nierówności). Poniżej masz metodę, wzory, sześć rozwiązanych przykładów i pułapki, na których w tym zadaniu najczęściej ucieka punkt.

## Jak czytać zapis klamrowy

Każdy wiersz klamry to para: wzór i przedział, na którym ten wzór obowiązuje. Przedziały się nie nakładają, więc każdy argument trafia do dokładnie jednego wiersza i funkcja ma dla niego jedną wartość. O tym, który wiersz obsługuje liczbę na styku dwóch przedziałów, decydują nawiasy.

Weźmy funkcję z matury z maja 2025:

$$f(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{dla } x \in [-4, -2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2, 2] \\ -3x + 9 & \text{dla } x \in (2, 4) \end{cases}$$

Czytasz ją wiersz po wierszu: dla argumentów od \(-4\) do \(-2\) włącznie funkcja liczy \(x + 5\), dla argumentów większych od \(-2\), aż do \(2\) włącznie, ma stałą wartość \(3\), a dla argumentów między \(2\) a \(4\), bez końców, liczy \(-3x + 9\).

Nawiasy przy końcach przedziałów znaczą:

- nawias kwadratowy \([\ ]\), w wielu podręcznikach i starszych arkuszach zapisywany jako \(\langle\ \rangle\), oznacza, że koniec należy do przedziału;
- nawias okrągły \((\ )\) oznacza, że koniec do przedziału nie należy.

W tej funkcji argument \(-2\) należy do pierwszego wiersza (nawias kwadratowy przy \(-2\)), a nie do drugiego (nawias okrągły). Dlatego \(f(-2) = -2 + 5 = 3\). Tu akurat drugi wiersz też dałby \(3\), ale w wielu zadaniach na styku jest skok i wybór wiersza zmienia wynik.

Na wykresie ten sam podział widać jako kropki na końcach kawałków: kropka zamalowana to punkt, który należy do wykresu, kropka pusta to punkt, którego na wykresie nie ma. Wykres funkcji określonej przedziałami ze wzorami liniowymi składa się z odcinków, a kawałek stały to odcinek poziomy.

## Metoda kawałek po kawałku

Każde pytanie o funkcję klamrową, czyli o dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, równanie albo nierówność, rozwiązujesz tym samym schematem: rozpisujesz kawałki, na każdym liczysz jego własnym wzorem, odrzucasz wyniki spoza przedziału kawałka i łączysz resztę w jedną odpowiedź. Jednym równaniem całej funkcji nie obejmiesz.

1. **Wypisz kawałki.** Dla każdego wiersza klamry zanotuj parę: przedział i wzór.
2. **Policz na każdym kawałku osobno.** Rozwiąż równanie, nierówność albo znajdź zakres wartości, używając tylko wzoru z tego wiersza.
3. **Przytnij do przedziału.** Wynik, który nie należy do przedziału danego kawałka, wyrzucasz, nawet jeśli wyszedł z rachunku bez błędu.
4. **Połącz i uprość.** Zbierz wyniki wszystkich kawałków w sumę przedziałów i sklej te, które się stykają, na przykład \((-5, -2] \cup (-2, 1) = (-5, 1)\).

Krok trzeci to cała trudność tego zadania. Rachunki są na poziomie [funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) i [nierówności liniowej](/nierownosc-liniowa-jak-rozwiazac-najmniejsza-liczba-calkowita-matura), a punkty traci się na końcach przedziałów. Sumowanie i sklejanie przedziałów przećwiczysz osobno we wpisie o [działaniach na przedziałach liczbowych](/dzialania-na-przedzialach-liczbowych-suma-czesc-wspolna-roznica).

## Jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji określonej przedziałami

Zbiór wartości funkcji klamrowej to suma zbiorów wartości wszystkich jej kawałków. Dla kawałka liniowego wystarczy policzyć wartości na końcach jego przedziału: funkcja liniowa jest monotoniczna, więc przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy nimi. Koniec otwarty daje wartość, której ten kawałek nie przyjmuje, ale może ją przyjmować inny kawałek.

Kawałek \(-3x + 9\) na przedziale \((2, 4)\) ma na końcach wartości \(-3 \cdot 2 + 9 = 3\) i \(-3 \cdot 4 + 9 = -3\). Oba końce są otwarte, więc ten kawałek daje wartości z przedziału \((-3, 3)\), bez \(-3\) i bez \(3\). Jeśli jednak inny kawałek przyjmuje wartość \(3\), to trójka i tak należy do zbioru wartości całej funkcji. Zbiór wartości innych funkcji, także kwadratowej i danej tabelą, omawiam we wpisie [jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji](/zbior-wartosci-funkcji-jak-wyznaczyc-matura).

## Wzory

Oznaczenia: \(D_i\) to przedział z \(i\)-tego wiersza klamry, \(g_i\) to wzór z tego wiersza, a \(Z_i\) to zbiór wartości, które \(g_i\) przyjmuje na \(D_i\).

Dziedzina funkcji określonej przedziałami:

$$D_f = D_1 \cup D_2 \cup \ldots \cup D_k$$

Zbiór wartości funkcji określonej przedziałami:

$$ZW_f = Z_1 \cup Z_2 \cup \ldots \cup Z_k$$

Wartości kawałka rosnącego na przedziale:

$$g(x) = ax + b,\ a > 0,\ x \in [p, q] \ \Rightarrow\ g(x) \in [ap + b,\ aq + b]$$

Wartości kawałka malejącego na przedziale:

$$g(x) = ax + b,\ a  2\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba:

- A) \(-6\)
- B) \(-4\)
- C) \(3\)
- D) \(4\)

**Krok 1: Pierwszy kawałek.** Dla \(x \le 2\) rozwiązujesz \(2x - 6 = 0\) i dostajesz \(x = 3\). Ale \(3 > 2\), więc ta liczba nie należy do przedziału pierwszego kawałka i odpada. Pierwszy wzór nie daje żadnego miejsca zerowego.

**Krok 2: Drugi kawałek.** Dla \(x > 2\) rozwiązujesz \(x - 4 = 0\) i dostajesz \(x = 4\). Warunek \(4 > 2\) jest spełniony, więc to jest miejsce zerowe.

**Krok 3: Sprawdzenie.** \(f(4) = 4 - 4 = 0\). Dla porównania \(f(3) = 3 - 4 = -1\), bo trójkę obsługuje drugi wzór, nie pierwszy.

**Odpowiedź: D.** Liczba \(3\) z odpowiedzi C to dokładnie ten wynik, który trzeba było odrzucić w kroku 1.

## Przykład 2: Cztery zdania do uzupełnienia (matura maj 2025)

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona następująco: \(f(x) = x + 5\) dla \(x \in [-4, -2]\), \(f(x) = 3\) dla \(x \in (-2, 2]\), \(f(x) = -3x + 9\) dla \(x \in (2, 4)\). Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\), jej zbiór wartości, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, oraz zbiór rozwiązań równania \(f(x) = 3\).

**Krok 1: Dziedzina.** Sklejasz przedziały z klamry: \([-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4) = [-4, 4)\). Czwórka odpada, bo ostatni przedział jest przy niej otwarty.

**Krok 2: Zbiór wartości.** Pierwszy kawałek jest rosnący i daje wartości od \(f(-4) = 1\) do \(f(-2) = 3\), czyli \([1, 3]\). Drugi daje samą liczbę \(3\). Trzeci jest malejący, na końcach ma \(3\) i \(-3\), a oba końce są otwarte, więc daje \((-3, 3)\). Suma to \((-3, 3]\).

**Krok 3: Wartości dodatnie.** Pierwszy kawałek ma wszystkie wartości co najmniej równe \(1\), więc cały przedział \([-4, -2]\) się liczy. Drugi ma stale \(3\), więc cały \((-2, 2]\). Z trzeciego: \(-3x + 9 > 0\) daje \(x  1\).

**Krok 1: Rozwiąż równanie.** Pierwszy kawałek: \(x + 2 = 3\), czyli \(x = 1\), a \(1 \in [-4, 2]\), więc pasuje. Drugi: \(-x + 5 = 3\), czyli \(x = 2\), ale \(2 \notin (2, 5)\), więc odpada. Jedyne rozwiązanie to \(x = 1\).

**Krok 2: Największa wartość w przedziale.** Argument \(2\) należy do pierwszego wiersza, więc \(f(2) = 2 + 2 = 4\). Dla \(x \in (2, 3]\) działa drugi wzór: \(-x + 5\) maleje od wartości dowolnie bliskich \(3\) do \(f(3) = 2\). Największa wartość w \([2, 3]\) to \(f(2) = 4\), a nie \(3\).

**Krok 3: Zbiór wartości.** Pierwszy kawałek jest rosnący: od \(f(-4) = -2\) do \(f(2) = 4\), czyli \([-2, 4]\). Drugi jest malejący, ma oba końce otwarte i daje wartości z \((0, 3)\). Ten przedział leży w całości wewnątrz pierwszego, więc zbiór wartości to \([-2, 4]\).

**Krok 4: Rozwiąż nierówność.** Pierwszy kawałek: \(x + 2 > 1\), czyli \(x > -1\), razem z \([-4, 2]\) daje \((-1, 2]\). Drugi: \(-x + 5 > 1\), czyli \(x  1\) dla \(x \in (-1, 4)\).

## Przykład 4: Wartości ujemne i pusta kropka (matura próbna CKE grudzień 2024)

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona następująco: \(f(x) = 3\) dla \(x \in (-4, -2]\), \(f(x) = -x + 1\) dla \(x \in (-2, 2]\), \(f(x) = x - 3\) dla \(x \in (2, 4]\). Wyznacz dziedzinę, zbiór wartości, zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne, oraz zbiór argumentów, dla których przyjmuje wartość największą.

**Krok 1: Dziedzina.** \((-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4] = (-4, 4]\).

**Krok 2: Zbiór wartości.** Pierwszy kawałek daje tylko \(3\). Drugi jest malejący: przy argumentach bliskich \(-2\) ma wartości bliskie \(-(-2) + 1 = 3\), ale sam argument \(-2\) do niego nie należy, a \(f(2) = -1\). Daje więc \([-1, 3)\). Trzeci jest rosnący: przy argumentach bliskich \(2\) ma wartości bliskie \(-1\), bez samej \(-1\), a \(f(4) = 1\), więc daje \((-1, 1]\). Suma to \([-1, 3]\). Trójka należy do zbioru wartości, mimo że na wykresie przy lewym końcu drugiego odcinka stoi pusta kropka, bo trójkę przyjmuje pierwszy kawałek.

**Krok 3: Wartości ujemne.** Pierwszy kawałek nigdy nie jest ujemny. Drugi: \(-x + 1  1\), razem z \((-2, 2]\) daje \((1, 2]\). Trzeci: \(x - 3 < 0\), czyli \(x < 3\), razem z \((2, 4]\) daje \((2, 3)\). Suma to \((1, 3)\).

**Krok 4: Wartość największa.** Największa wartość to \(3\). Przyjmuje ją cały pierwszy kawałek, czyli argumenty z \((-4, -2]\). Drugi kawałek trójki nie osiąga, bo \(-x + 1 = 3\) daje \(x = -2\), spoza \((-2, 2]\). Trzeci też nie, bo jego wartości nie przekraczają \(1\).

**Odpowiedź:** dziedzina \((-4, 4]\), zbiór wartości \([-1, 3]\), wartości ujemne dla \(x \in (1, 3)\), wartość największa dla \(x \in (-4, -2]\).

## Przykład 5: Suma miejsc zerowych i liczba rozwiązań (matura próbna luty 2026)

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona następująco: \(f(x) = 4\) dla \(x \in [-5, -2)\), \(f(x) = -2x\) dla \(x \in [-2, 1]\), \(f(x) = x - \frac{5}{2}\) dla \(x \in (1, 4)\). Wyznacz dziedzinę, przedział, w którym funkcja jest stała, sumę miejsc zerowych oraz liczbę rozwiązań równania \(f(x) = -1{,}(3)\).

**Krok 1: Dziedzina i kawałek stały.** \([-5, -2) \cup [-2, 1] \cup (1, 4) = [-5, 4)\). Stały jest tylko pierwszy wiersz: \(f(x) = 4\) dla \(x \in [-5, -2)\).

**Krok 2: Miejsca zerowe.** Pierwszy kawałek: \(4 \ne 0\), brak. Drugi: \(-2x = 0\), czyli \(x = 0\), a \(0 \in [-2, 1]\). Trzeci: \(x - \frac{5}{2} = 0\), czyli \(x = \frac{5}{2}\), a \(\frac{5}{2} \in (1, 4)\). Suma miejsc zerowych to \(0 + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\).

**Krok 3: Zamień ułamek okresowy.** \(-1{,}(3) = -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}\). Jak robić to przy dowolnym okresie, pokazuję we wpisie o [zamianie ułamka okresowego na zwykły](/jak-zamienic-ulamek-okresowy-na-zwykly-zadania-matura).

**Krok 4: Rozwiąż na każdym kawałku.** Pierwszy: \(4 \ne -\frac{4}{3}\), brak. Drugi: \(-2x = -\frac{4}{3}\), czyli \(x = \frac{2}{3}\), a \(\frac{2}{3} \in [-2, 1]\). Trzeci: \(x - \frac{5}{2} = -\frac{4}{3}\), czyli \(x = \frac{15}{6} - \frac{8}{6} = \frac{7}{6}\), a \(\frac{7}{6} \in (1, 4)\).

**Odpowiedź:** dziedzina \([-5, 4)\), funkcja jest stała w \([-5, -2)\), suma miejsc zerowych to \(\frac{5}{2}\), a równanie \(f(x) = -\frac{4}{3}\) ma \(2\) rozwiązania.

## Przykład 6: Monotoniczność i skok na styku przedziałów

**Treść:** Funkcja \(f\) jest określona następująco: \(f(x) = x + 4\) dla \(x \in [-3, -1)\), \(f(x) = x + 1\) dla \(x \in [-1, 2]\), \(f(x) = -x + 5\) dla \(x \in (2, 4]\). Oceń, czy funkcja jest rosnąca w przedziale \([-3, -1]\), podaj jej największą wartość oraz liczbę rozwiązań równań \(f(x) = 2\) i \(f(x) = 3\).

**Krok 1: Sprawdź monotoniczność.** Oba wzory \(x + 4\) i \(x + 1\) są rosnące, ale na styku jest skok w dół: \(f(-2) = 2\), a \(f(-1) = -1 + 1 = 0\). Większy argument dał mniejszą wartość, więc funkcja nie jest rosnąca w \([-3, -1]\). Jest rosnąca w \([-3, -1)\) i osobno w \([-1, 2]\).

**Krok 2: Największa wartość.** Pierwszy kawałek daje wartości \([1, 3)\), bo argument \(-1\) do niego nie należy. Drugi daje od \(f(-1) = 0\) do \(f(2) = 3\), czyli \([0, 3]\). Trzeci jest malejący: przy argumentach bliskich \(2\) ma wartości bliskie \(3\), bez samej trójki, a \(f(4) = 1\), więc daje \([1, 3)\). Największa wartość to \(3\), przyjmowana tylko dla \(x = 2\).

**Krok 3: Równanie z dwójką.** Pierwszy kawałek: \(x + 4 = 2\), czyli \(x = -2 \in [-3, -1)\). Drugi: \(x + 1 = 2\), czyli \(x = 1 \in [-1, 2]\). Trzeci: \(-x + 5 = 2\), czyli \(x = 3 \in (2, 4]\). Trzy rozwiązania.

**Krok 4: Równanie z trójką.** Pierwszy kawałek: \(x = -1\), ale \(-1 \notin [-3, -1)\). Drugi: \(x = 2 \in [-1, 2]\). Trzeci: \(x = 2\), ale \(2 \notin (2, 4]\). Jedno rozwiązanie.

**Odpowiedź:** funkcja nie jest rosnąca w \([-3, -1]\); jej największa wartość to \(3\); równanie \(f(x) = 2\) ma \(3\) rozwiązania, a równanie \(f(x) = 3\) ma \(1\) rozwiązanie. Liczba rozwiązań równania \(f(x) = c\) to liczba punktów wspólnych wykresu z poziomą prostą \(y = c\), więc gdy w arkuszu jest wykres, możesz ją też odczytać z rysunku.

## Sprawdź się na zadaniu z matury

Zadanie z czerwca 2025 ma klamrę z trzema wierszami i cztery zdania do uzupełnienia. Zanim otworzysz rozwiązanie, przyjrzyj się środkowemu wierszowi i zastanów się, co oznacza dla zbioru miejsc zerowych. W ostatnim zdaniu najpierw policz \(f(-3)\), a dopiero potem rozwiązuj nierówność na każdym kawałku.

Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2025-10

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Wynik spoza przedziału kawałka. Rozwiązanie równania ze wzoru z danego wiersza jest ważne tylko wtedy, gdy należy do przedziału tego wiersza. W przykładzie 1 liczba \(3\) wyszła z rachunku bez błędu, a mimo to nie jest miejscem zerowym.

**Pułapka 2:** Punkt na styku liczony złym wzorem. O tym, do którego wiersza należy argument na granicy, decyduje nawias kwadratowy. W przykładzie 3 wartość \(f(2) = 4\) pochodzi z pierwszego wiersza, a nie \(3\) z drugiego.

**Pułapka 3:** Pusta kropka nie zawsze wyklucza wartość. Mówi tylko, że ten jeden kawałek nie przyjmuje w tym punkcie danej wartości. Zanim wyrzucisz liczbę ze zbioru wartości, sprawdź, czy nie przyjmuje jej inny kawałek, jak trójka w przykładzie 4.

**Uwaga:** Funkcja rosnąca na każdym kawałku nie musi być rosnąca na ich sumie. Skok w dół na styku, jak w przykładzie 6, psuje monotoniczność na każdym przedziale, który ten styk zawiera.

**Wskazówka:** Przy odpowiedzi w postaci przedziału zapisz najpierw wyniki z każdego kawałka osobno, a dopiero potem je sklejaj. Suma \((-1, 2] \cup (2, 4)\) to \((-1, 4)\), bo pierwszy przedział kończy się dokładnie tam, gdzie zaczyna się drugi.

**Zapamiętaj:** Kawałek stały daje w równaniu cały przedział rozwiązań. Jeśli \(f(x) = 3\) dla \(x \in (-2, 2]\), to każda liczba z tego przedziału spełnia równanie \(f(x) = 3\), a gdy stała wynosi \(0\), cały jej przedział to miejsca zerowe.

## Co musisz umieć

- Odczytać z klamry, który wzór obsługuje dany argument, także na styku dwóch przedziałów.
- Wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej przedziałami jako sumę przedziałów z klamry.
- Wyznaczyć zbiór wartości z wartości każdego kawałka na końcach jego przedziału.
- Rozwiązać równanie i nierówność osobno na każdym kawałku i odrzucić wyniki spoza jego przedziału.
- Połączyć wyniki z kawałków w jeden przedział albo w sumę przedziałów.
- Rozpoznać na wykresie znaczenie kropki zamalowanej i pustej.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z klamrą, których nie rozwiązywaliśmy wyżej: miejsce zerowe funkcji z kawałkiem kwadratowym, dziedzina zapisana nierównościami i pełne zadanie z próbnej matury CKE z marca 2026 z monotonicznością i liczbą rozwiązań. Jeśli najpierw chcesz powtórzyć odczyt z rysunku, zajrzyj do wpisu o [odczytywaniu własności funkcji z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura). Pełną listę zadań z działu znajdziesz na stronie [Funkcje](/topics/funkcje).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z funkcji (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Co to jest funkcja określona przedziałami?

To funkcja, której wzór zależy od tego, do którego przedziału należy argument. Zapisuje się ją klamrą: w każdym wierszu stoi wzór i przedział, na którym ten wzór obowiązuje. Przedziały się nie nakładają, więc każdy argument ma jedną wartość. Taką funkcją jest na przykład wartość bezwzględna: \(|x| = x\) dla \(x \ge 0\) i \(|x| = -x\) dla \(x < 0\), o czym więcej we wpisie o [wartości bezwzględnej na maturze](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci).

### Jak wyznaczyć miejsca zerowe funkcji określonej klamrą?

Przyrównaj do zera każdy wzór osobno, rozwiąż i zostaw tylko te rozwiązania, które należą do przedziału swojego wiersza. Miejsca zerowe całej funkcji to suma tego, co zostało. Ogólną metodę dla innych rodzajów funkcji opisuję we wpisie [jak znajdować miejsca zerowe funkcji](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac).

### Do którego wzoru należy argument na granicy dwóch przedziałów?

Do tego wiersza, w którym przy tej liczbie stoi nawias kwadratowy albo nierówność nieostra. W klamrze z wierszami \(x + 5\) dla \(x \in [-4, -2]\) i \(3\) dla \(x \in (-2, 2]\) argument \(-2\) obsługuje pierwszy wzór. Poprawnie zapisana klamra nigdy nie przypisuje jednego argumentu do dwóch wierszy.

### Czy zbiór miejsc zerowych może być przedziałem?

Tak, jeśli jeden z kawałków jest stały i równy zeru. Na przykład gdy \(f(x) = 0\) dla \(x \in [0, 3]\), każda liczba z tego przedziału jest miejscem zerowym i odpowiedź zapisujesz jako przedział \([0, 3]\), a nie jako listę pojedynczych liczb.

### Czy przedział z nawiasem kwadratowym i z nawiasem ostrym to to samo?

Tak. Zapis z nawiasem kwadratowym i zapis z nawiasem ostrym oznaczają przedział domknięty, czyli z oboma końcami. Nawias ostry spotkasz częściej w starszych arkuszach i w wielu podręcznikach, a kwadratowy w arkuszach z ostatnich lat. Używaj tego, do którego jesteś przyzwyczajony, byle konsekwentnie.

### Jak narysować wykres funkcji określonej przedziałami?

Rysujesz każdy kawałek osobno i tylko nad jego przedziałem. Dla wzoru liniowego liczysz wartości na końcach przedziału i łączysz je odcinkiem. Na końcu, który należy do przedziału, stawiasz kropkę zamalowaną, a na końcu, który do niego nie należy, pustą. Kawałek stały to odcinek poziomy.


---
route: /dzialania-na-przedzialach-liczbowych-suma-czesc-wspolna-roznica
title: Działania na przedziałach: suma, część wspólna, różnica - matura
description: Suma, część wspólna i różnica przedziałów liczbowych krok po kroku: kiedy nawias domknięty, a kiedy otwarty, plus 5 rozwiązanych zadań maturalnych.
author: Filip Maszota
---

# Działania na przedziałach: suma, część wspólna, różnica - matura

Suma, część wspólna i różnica przedziałów to temat, który na maturze z matematyki wygląda banalnie, a potrafi zjeść punkty szybciej, niż myślisz. Pojawia się wszędzie: przy rozwiązywaniu nierówności, wyznaczaniu dziedziny funkcji, rozwiązaniach układów warunków i przy zadaniach ze zbiorami. Jeśli raz dobrze zrozumiesz, kiedy koniec przedziału jest domknięty, a kiedy otwarty, przestaniesz gubić punkty na "drobiazgach". W tym wpisie tłumaczę działania na przedziałach liczbowych krok po kroku, z pięcioma rozwiązanymi przykładami w stylu maturalnym.

Jeśli chcesz całą teorię liczb rzeczywistych w jednym miejscu (przedziały, zbiory, wartość bezwzględna), zacznij od przewodnika [liczby rzeczywiste na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna). Tutaj idziemy w konkret: jak łączyć i przecinać przedziały bez błędów.

## Czym jest przedział liczbowy

Przedział to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych między dwoma końcami. Końce mogą być włączone do przedziału albo nie - i to właśnie decyduje o nawiasach.

Nawias kwadratowy oznacza koniec domknięty (liczba należy do przedziału). Nawias okrągły oznacza koniec otwarty (liczba nie należy). Mamy zatem:

- \([a, b]\) - przedział domknięty: \(a \le x \le b\),
- \((a, b)\) - przedział otwarty: \(a  -2\)). Czy \(5\) należy? W \(A\) tak (domknięte), w \(B\) tak (bo \(5  0\) oraz \(x \le 5\).

Słowo "jednocześnie" to sygnał, że szukamy części wspólnej. Pierwszy warunek to przedział \((0, +\infty)\), drugi to \((-\infty, 5]\). Ich część wspólna to liczby, które są większe od zera i nie większe niż pięć:

$$(0, +\infty) \cap (-\infty, 5] = (0, 5].$$

Taki układ warunków pojawia się nagminnie przy wyznaczaniu dziedziny. Jeśli chcesz zobaczyć to w akcji, przeczytaj [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura) - tam łączenie warunków przez część wspólną jest chlebem powszednim.

## Przykład 5: zbiory z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna prowadzi do przedziałów bardzo często. Zapisz w postaci przedziałów:

Nierówność \(|x|  0\), więc decyduje \(x > 0\) (mocniejsze, koniec otwarty). Górne ograniczenie: \(x \le 6\) oraz \(x < 10\), więc decyduje \(x \le 6\) (mocniejsze, koniec domknięty). Stąd:

$$A \cap B \cap C = (0, 6].$$

Przy części wspólnej zawsze zostaje najwęższy wspólny kawałek - bierzesz najwyższy z lewych końców i najniższy z prawych, pilnując nawiasów. Takie łączenie warunków to dokładnie to, co robisz przy [wyznaczaniu dziedziny funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura).

## Typowe pułapki i błędy

Zły nawias na końcu przedziału. Najczęstszy błąd. Zawsze sprawdzaj, czy koniec ma być domknięty czy otwarty - przy części wspólnej koniec musi należeć do obu zbiorów, przy sumie wystarczy jeden.

Nawias kwadratowy przy nieskończoności. Nieskończoność nigdy nie jest domknięta. Piszemy \((-\infty, 3]\), a nie \([-\infty, 3]\).

Mylenie sumy z częścią wspólną. Słowo "lub" to suma \(\cup\), słowo "i" lub "jednocześnie" to część wspólna \(\cap\). Przeczytaj polecenie uważnie.

Część wspólna rozłącznych zbiorów zapisana jako \(0\). Powinno być \(\varnothing\) (zbiór pusty), bo nie ma żadnej wspólnej liczby.

Sklejanie przedziałów, które się nie stykają. Suma \((-\infty, 1) \cup [4, +\infty)\) zostaje sumą dwóch kawałków - nie wolno jej zapisać jako jeden przedział.

Zapominanie o nieprzemienności różnicy. \(A \setminus B\) to zwykle co innego niż \(B \setminus A\). Zawsze patrz, z którego zbioru odejmujemy.

## Jak to wykorzystasz na maturze

Działania na przedziałach to nie jest osobny temat "do nauczenia się i zapomnienia". To narzędzie, którego używasz w niemal każdym dziale. Rozwiązujesz układ nierówności - łączysz wyniki częścią wspólną. Wyznaczasz dziedzinę pierwiastka i logarytmu naraz - znów część wspólna. Rozwiązujesz równanie z wartością bezwzględną - często dostajesz sumę przedziałów.

Dlatego warto opanować to do automatu. Gdy widzisz dwa warunki połączone słowem "i", rysujesz oba na osi i bierzesz część wspólną. Gdy widzisz "lub", bierzesz sumę. Reszta to pilnowanie nawiasów.

Jeśli chcesz zobaczyć, jak te same przedziały wracają przy nierównościach, zajrzyj do [jak rozwiązać nierówność kwadratową](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania). A jeśli wolisz teraz zmienić dział na coś zupełnie innego, ale równie pewnego punktowo, polecam [jak obliczyć medianę i dominantę](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania) - to kolejne darmowe punkty ze statystyki.

## Checklista - co musisz umieć

Przed maturą sprawdź, czy potrafisz:

- rozpoznać, kiedy koniec przedziału jest domknięty, a kiedy otwarty,
- zapisać nierówność jako przedział i odwrotnie,
- wyznaczyć sumę \(A \cup B\), pilnując, by koniec był domknięty, gdy należy do choćby jednego zbioru,
- wyznaczyć część wspólną \(A \cap B\), pilnując, by koniec był domknięty tylko wtedy, gdy należy do obu,
- wyznaczyć różnicę \(A \setminus B\) i pamiętać, że nie jest przemienna,
- zapisać część wspólną zbiorów rozłącznych jako \(\varnothing\),
- zawsze stawiać nawias okrągły przy nieskończoności.

Gdy masz to opanowane, działania na zbiorach przestają być pułapką, a stają się szybkim, pewnym punktem. Przećwicz je na prawdziwych zadaniach w dziale [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /dodawanie-poteg-o-tej-samej-podstawie-wylaczanie-przed-nawias-matura
title: Dodawanie potęg o tej samej podstawie - jak wyłączyć potęgę przed nawias (zadania maturalne)
description: Jak dodawać potęgi o tej samej podstawie: wyłącz najmniejszą potęgę przed nawias. Wzory, 7 rozwiązanych przykładów i dowody podzielności z matury CKE.
author: Filip Maszota
---

# Dodawanie potęg o tej samej podstawie - jak wyłączyć potęgę przed nawias (zadania maturalne)

Potęg o tej samej podstawie nie dodaje się przez dodanie wykładników: \(2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4\), a nie \(2^6 = 64\). Sumę potęg upraszczasz, **wyłączając przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku**: \(a^{n} + a^{n+1} + a^{n+2} = a^{n}\left(1 + a + a^2\right)\). Gdy wszystkie składniki są jednakowe, dodawanie zamieniasz na mnożenie, na przykład \(2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11}\). Gdy podstawy są różne, najpierw sprowadzasz je do wspólnej, na przykład \(4^{5} = 2^{10}\).

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym ten rachunek wraca w dwóch postaciach. Pierwsza to zadanie zamknięte za punkt: w [czerwcu 2017](/exams/matura-czerwiec-2017) trzeba było uprościć sumę \(16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}\), a w [maju 2025](/exams/matura-maj-2025) iloraz \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\). Druga to zadanie dowodowe: wykaż, że liczba złożona z potęg jest podzielna przez \(17\), \(21\) albo \(31\), jak w [maju 2017](/exams/matura-maj-2017), w próbnej maturze CKE z grudnia 2024 i w [sierpniu 2025](/exams/matura-sierpien-2025). Mnożenie i dzielenie potęg oraz potęgę potęgi masz we wpisie [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania). Tutaj jest jeden temat: dodawanie i odejmowanie potęg.

## Dlaczego nie wolno dodawać wykładników

Wykładniki dodajesz tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Przy dodawaniu takiej reguły nie ma, bo \(a^m + a^n\) to suma dwóch liczb, a nie ich iloczyn. Najprościej sprawdzić to na małych liczbach: \(3^2 + 3^2 = 18\), a \(3^4 = 81\).

Potęga to skrócony zapis mnożenia: \(2^5\) to pięć dwójek pomnożonych przez siebie. Gdy mnożysz \(2^5 \cdot 2^3\), do pięciu dwójek dokładasz trzy kolejne i masz osiem, stąd \(2^8\). Gdy dodajesz \(2^5 + 2^3\), niczego nie dokładasz do iloczynu, tylko dodajesz dwie osobne liczby: \(32 + 8 = 40\). Liczby \(40\) nie zapiszesz jako jednej potęgi dwójki, ale zapiszesz ją jako iloczyn potęgi i zwykłej liczby: \(40 = 2^3 \cdot 5\). Dokładnie to robi wyłączanie przed nawias: \(2^5 + 2^3 = 2^3\left(2^2 + 1\right) = 2^3 \cdot 5\).

## Jednakowe składniki: dodawanie zamieniasz na mnożenie

Suma \(k\) jednakowych potęg \(a^n\) to \(k \cdot a^n\). Gdy liczba składników \(k\) sama jest potęgą tej samej podstawy, wynik zapisujesz jako jedną potęgę: \(3 \cdot 3^{7} = 3^{8}\), a \(4 \cdot 2^{9} = 2^2 \cdot 2^9 = 2^{11}\).

Na tym stało zadanie z czerwca 2017: cztery jednakowe składniki \(16^{24}\) to \(4 \cdot 16^{24}\). Ponieważ \(16 = 4^2\), masz \(16^{24} = 4^{48}\), a cała suma to \(4 \cdot 4^{48} = 4^{49}\).

**Uwaga:** Jeśli liczba składników nie jest potęgą podstawy, zostawiasz ją jako współczynnik. \(5^{8} + 5^{8} + 5^{8} = 3 \cdot 5^{8}\) i to jest wynik w najprostszej postaci.

## Różne wykładniki: wyłącz najmniejszą potęgę

Gdy wykładniki są różne, wyłączasz przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku. W nawiasie zostają ilorazy każdego składnika przez wyłączoną potęgę, czyli małe potęgi, które liczysz w pamięci: \(7^{20} + 7^{21} = 7^{20}(1 + 7) = 8 \cdot 7^{20}\).

Dlaczego najmniejszą? Bo wtedy w nawiasie zostają same liczby całkowite. Wyłączenie większej potęgi też jest poprawne, ale w nawiasie pojawiają się ułamki: \(7^{20} + 7^{21} = 7^{21}\left(\frac17 + 1\right)\). W dowodzie podzielności taki ułamek przeszkadza, bo nie widać od razu, czy wynik jest wielokrotnością dzielnika.

Co zostaje w nawiasie, sprawdzasz dzieleniem: każdy składnik dzielisz przez wyłączoną potęgę, czyli odejmujesz wykładniki. Z \(3^{n+3}\) po wyłączeniu \(3^{n}\) zostaje \(3^3 = 27\), z \(3^{n+1}\) zostaje \(3\), a z samego \(3^{n}\) zostaje \(1\), a nie \(0\).

## Różne podstawy: najpierw wspólna podstawa

Gdy podstawy są różne, zamieniasz je na potęgi tej samej liczby i dopiero wtedy wyłączasz. W zadaniach maturalnych tego typu podstawy są zwykle potęgami liczb \(2\), \(3\) albo \(5\): \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\), \(32 = 2^5\), \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(25 = 5^2\), \(125 = 5^3\).

Potem korzystasz z potęgi potęgi: \(8^{50} = \left(2^3\right)^{50} = 2^{150}\). Zamianę podstaw także dla wykładników ujemnych i wymiernych opisuje wpis [potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc).

Tak zbudowane są zadania dowodowe z arkuszy CKE:

| Arkusz | Liczba | Co wyłączasz |
|---|---|---|
| [Matura maj 2013, zadanie 31](/task/matura-maj-2013-31) | \(6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}\) | \(6^{98}\) |
| [Matura maj 2017, zadanie 27](/task/matura-maj-2017-27) | \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) | \(4^{2017}\) |
| [Próbna CKE grudzień 2024, zadanie 3](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03) | \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) | \(2^{96}\) |
| [Matura sierpień 2025, zadanie 5](/task/matura-sierpie-2025-05) | \(8^{50}-2^{145}\) | \(2^{145}\) |

## Schemat w trzech krokach

Każde zadanie z sumą albo różnicą potęg rozwiążesz tym samym schematem: wspólna podstawa, wyłączenie najmniejszej potęgi, rachunek w nawiasie. Kolejność ma znaczenie, bo dopóki podstawy są różne, nie wiesz, która potęga jest najmniejsza.

**Najpierw wspólna podstawa.** Zamień każdą podstawę na potęgę tej samej liczby. W liczbie \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) z próbnej matury dostajesz \(2^{100}+2^{98}+2^{96}\). Dopiero teraz widać, że najmniejszą potęgą jest \(2^{96}\), choć w zapisie z zadania najmniejszy wykładnik stał przy szesnastce.

**Potem najmniejsza potęga przed nawias.** Wyłącz potęgę o najmniejszym wykładniku. Jeśli przy potęgach stoją współczynniki, jak w \(6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}\), zostają one w nawiasie i mnożą się przez to, co zostało z potęgi.

**Na końcu rachunek w nawiasie.** Policz nawias do jednej liczby i porównaj ją z pytaniem. W zadaniu zamkniętym szukasz tej liczby w odpowiedziach, w dowodzie sprawdzasz, czy jest wielokrotnością dzielnika, a w ułamku skracasz wyłączoną potęgę z mianownikiem.

## Wzory

Iloczyn potęg o tej samej podstawie:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Suma k jednakowych potęg:

$$a^n + a^n + \ldots + a^n = k \cdot a^n$$

Wyłączanie najmniejszej potęgi:

$$a^{n} + a^{n+1} + a^{n+2} = a^{n}\left(1 + a + a^2\right)$$

Różnica potęg o tej samej podstawie:

$$a^{n+k} - a^{n} = a^{n}\left(a^{k} - 1\right)$$

Potęga potęgi:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

## Przykład 1: Suma jednakowych potęg

**Treść:** Suma \(9^{15} + 9^{15} + 9^{15}\) jest równa:

- A) \(3^{31}\)
- B) \(27^{15}\)
- C) \(9^{45}\)
- D) \(9^{16}\)

**Krok 1: Zamień dodawanie na mnożenie.** Trzy jednakowe składniki to trzy razy ten składnik:

$$9^{15} + 9^{15} + 9^{15} = 3 \cdot 9^{15}$$

**Krok 2: Sprowadź do podstawy 3.** Ponieważ \(9 = 3^2\), masz \(9^{15} = 3^{30}\):

$$3 \cdot 3^{30} = 3^{31}$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedź C to dodane wykładniki, B to trójka wmnożona w podstawę, a D wyszłoby dopiero dla dziewięciu jednakowych składników.

## Przykład 2: Suma potęg w liczniku ułamka

**Treść:** Liczba \(\frac{2^{30} + 2^{31} + 2^{32}}{2^{30}}\) jest równa:

- A) \(7\)
- B) \(3\)
- C) \(2^{63}\)
- D) \(2^{3}\)

**Krok 1: Wyłącz najmniejszą potęgę w liczniku.**

$$2^{30} + 2^{31} + 2^{32} = 2^{30}\left(1 + 2 + 4\right) = 7 \cdot 2^{30}$$

**Krok 2: Skróć ułamek.**

$$\frac{7 \cdot 2^{30}}{2^{30}} = 7$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedź C wychodzi, gdy ktoś doda wykładniki w liczniku (\(30 + 31 + 32 = 93\)) i odejmie \(30\). B to każdy składnik licznika „skrócony” do jedynki, a D to ten sam błąd popełniony w nawiasie: \(2^0 + 2^1 + 2^2\) to \(7\), a nie \(2^3\). Ten sam schemat, tylko z piątkami, ma zadanie 2 z matury maj 2025.

## Przykład 3: Różne podstawy i odejmowanie

**Treść:** Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{9^{10} - 3^{19}}{3^{18}}\).

**Krok 1: Sprowadź do wspólnej podstawy.** \(9^{10} = \left(3^2\right)^{10} = 3^{20}\), więc licznik to \(3^{20} - 3^{19}\).

**Krok 2: Wyłącz mniejszą potęgę.**

$$3^{20} - 3^{19} = 3^{19}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{19}$$

**Krok 3: Podziel.**

$$\frac{2 \cdot 3^{19}}{3^{18}} = 2 \cdot 3 = 6$$

**Odpowiedź:** \(6\). Bez wyłączania musiałbyś liczyć \(3^{20}\), czyli liczbę dziesięciocyfrową. Wyłączenie skraca rachunek do jednego mnożenia. Podobnie zbudowane jest [zadanie 8 z czerwca 2018](/task/matura-czerwiec-2018-08), w którym od \(8^{20}\) odejmuje się \(2 \cdot 4^{20}\).

## Przykład 4: Dowód podzielności

**Treść:** Wykaż, że liczba \(3^{2020} + 3^{2021} + 3^{2022}\) jest podzielna przez \(13\).

**Krok 1: Wyłącz najmniejszą potęgę.**

$$3^{2020} + 3^{2021} + 3^{2022} = 3^{2020}\left(1 + 3 + 9\right) = 13 \cdot 3^{2020}$$

**Krok 2: Nazwij czynniki.** Liczba \(3^{2020}\) jest liczbą całkowitą, więc cała suma jest iloczynem liczby \(13\) i liczby całkowitej.

**Wniosek:** liczba \(3^{2020} + 3^{2021} + 3^{2022}\) jest podzielna przez \(13\), co należało wykazać. Bez tego zdania dowód urywa się na rachunku, a teza nie pada.

## Przykład 5: Dowód z różnymi podstawami

**Treść:** Wykaż, że liczba \(4^{30} - 2^{57}\) jest podzielna przez \(7\).

**Krok 1: Sprowadź do wspólnej podstawy.** \(4^{30} = \left(2^2\right)^{30} = 2^{60}\).

**Krok 2: Wyłącz mniejszą potęgę.**

$$2^{60} - 2^{57} = 2^{57}\left(2^3 - 1\right) = 7 \cdot 2^{57}$$

**Wniosek:** liczba \(4^{30} - 2^{57}\) jest iloczynem liczby \(7\) i liczby całkowitej \(2^{57}\), więc jest podzielna przez \(7\). Identycznie zbudowane jest zadanie 5 z sierpnia 2025, tylko z dzielnikiem \(31\), bo \(2^5 - 1 = 31\).

## Przykład 6: Współczynniki przy potęgach

**Treść:** Wykaż, że liczba \(5^{40} - 3 \cdot 5^{39} + 2 \cdot 5^{38}\) jest podzielna przez \(12\).

**Krok 1: Wyłącz najmniejszą potęgę.** Najmniejszy wykładnik ma \(5^{38}\). Z \(5^{40}\) zostaje \(5^2 = 25\), z \(3 \cdot 5^{39}\) zostaje \(3 \cdot 5 = 15\), a z \(2 \cdot 5^{38}\) zostaje sam współczynnik \(2\):

$$5^{40} - 3 \cdot 5^{39} + 2 \cdot 5^{38} = 5^{38}\left(25 - 15 + 2\right) = 12 \cdot 5^{38}$$

**Krok 2: Pilnuj znaków.** Minus przed \(3 \cdot 5^{39}\) przechodzi do nawiasu razem ze współczynnikiem, więc w nawiasie stoi \(-15\), a nie \(+15\). Z plusem wyszłoby \(42\) i dowód by się nie domknął.

**Wniosek:** liczba jest iloczynem liczby \(12\) i liczby całkowitej \(5^{38}\), więc jest podzielna przez \(12\). Tak samo zbudowane jest zadanie 31 z maja 2013, w którym po wyłączeniu \(6^{98}\) w nawiasie zostaje \(36 - 12 + 10 = 34\).

## Przykład 7: Wyłączanie potęgi w równaniu

**Treść:** Rozwiąż równanie \(2^{x} + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 56\).

**Krok 1: Wyłącz potęgę o najmniejszym wykładniku.** Najmniejszy wykładnik ma \(2^{x}\):

$$2^{x}\left(1 + 2 + 4\right) = 56 \quad\Rightarrow\quad 7 \cdot 2^{x} = 56$$

**Krok 2: Wyznacz potęgę.**

$$2^{x} = 8 = 2^{3}$$

**Odpowiedź:** \(x = 3\). Sprawdzenie: \(8 + 16 + 32 = 56\). Więcej takich równań znajdziesz we wpisie [jak rozwiązać równanie wykładnicze](/jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze).

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Trzy zadania z arkuszy CKE na poziomie podstawowym. Pierwsze to przykład 1 z dodatkowym dzieleniem przez dwa, drugie to przykład 2 z piątkami zamiast dwójek, a trzecie to dowód podzielności z czterema składnikami.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-07

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2025-02

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2017-27

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Dodawanie wykładników przy dodawaniu potęg. \(5^{8} + 5^{8}\) to \(2 \cdot 5^{8}\), a nie \(5^{16}\). Wykładniki dodajesz tylko przy mnożeniu.

**Pułapka 2:** Zgubiona jedynka w nawiasie. Po wyłączeniu \(a^n\) ze składnika \(a^n\) zostaje \(1\): \(2^{10} + 2^{11} = 2^{10}(1 + 2) = 3 \cdot 2^{10}\), a nie \(2^{10} \cdot 2\).

**Pułapka 3:** Wyłączenie większej potęgi w dowodzie. Zapis \(5^{12} + 5^{13} = 5^{13}\left(\frac15 + 1\right)\) jest poprawny, ale z ułamka w nawiasie nie odczytasz podzielności. Wyłączaj najmniejszą potęgę.

**Pułapka 4:** Współczynnik wmnożony w podstawę. \(3 \cdot 2^{10}\) to nie \(6^{10}\). Współczynnik połączysz z potęgą tylko wtedy, gdy sam jest potęgą tej samej podstawy, jak w \(4 \cdot 2^{10} = 2^{12}\).

**Wskazówka:** Dzielnik z treści podpowiada, co powinno zostać w nawiasie. Gdy w dowodzie podzielności przez \(17\) po wyłączeniu zostaje \(85 = 5 \cdot 17\) albo \(34 = 2 \cdot 17\), wystarczy rozłożyć tę liczbę na czynniki. Gdy zostaje liczba niepodzielna przez dzielnik, szukaj błędu w zamianie podstaw albo w nawiasie.

## Co musisz umieć

- Odróżnić mnożenie potęg, przy którym dodajesz wykładniki, od dodawania potęg, przy którym tego nie robisz.
- Zamienić sumę jednakowych potęg na iloczyn liczby składników i potęgi.
- Wyłączyć przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku i obliczyć, co zostaje w nawiasie.
- Zapisać liczby 4, 8, 16, 9, 27 i 125 jako potęgi liczb 2, 3 i 5.
- Zakończyć dowód podzielności zdaniem z wnioskiem.
- Uprościć ułamek, w którego liczniku stoi suma albo różnica potęg.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania zamknięte z arkuszy, w których najpierw sprowadzasz potęgi do wspólnej podstawy, a potem upraszczasz iloczyn albo iloraz. To ten sam warsztat, którego potrzebujesz, zanim cokolwiek wyłączysz przed nawias. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki), a dowody podzielności z innych działów zebrane są we wpisach o [podzielności liczb](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania) i o [zadaniach dowodowych z matury](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z potęg i pierwiastków (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak dodawać potęgi o tej samej podstawie?

Wyłącz przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku, a w nawiasie zapisz, co zostaje z każdego składnika. Na przykład \(3^{5} + 3^{6} = 3^{5}(1 + 3) = 4 \cdot 3^{5}\). Wykładników nie dodajesz, bo to nie jest mnożenie.

### Ile to jest 2 do potęgi 10 plus 2 do potęgi 10?

\(2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11} = 2048\). Dwa jednakowe składniki to dwa razy ten składnik, a mnożenie przez \(2\) podnosi wykładnik potęgi dwójki o jeden.

### Czy można dodawać potęgi o różnych podstawach?

Tylko wtedy, gdy da się je sprowadzić do wspólnej podstawy, na przykład \(4^{5} + 2^{10} = 2^{10} + 2^{10} = 2^{11}\). Potęg takich jak \(2^{5}\) i \(3^{5}\) nie zamienisz na jedną potęgę, więc zostaje policzyć ich wartości: \(32 + 243 = 275\).

### Jak odejmować potęgi o tej samej podstawie?

Tak samo jak dodawać, czyli wyłączając mniejszą potęgę: \(5^{9} - 5^{7} = 5^{7}(25 - 1) = 24 \cdot 5^{7}\). Wykładników nie odejmujesz, bo to reguła dzielenia potęg, a nie odejmowania.

### Dlaczego wyłącza się najmniejszą potęgę, a nie największą?

Bo wtedy w nawiasie zostają liczby całkowite, które łatwo dodać i porównać z dzielnikiem. Wyłączenie największej potęgi daje w nawiasie ułamki, na przykład \(\frac{1}{7}\), z których trudno odczytać podzielność.

### Jak udowodnić, że liczba z potęgami jest podzielna przez daną liczbę?

Sprowadź wszystkie składniki do wspólnej podstawy, wyłącz najmniejszą potęgę i pokaż, że w nawiasie stoi wielokrotność dzielnika. Zakończ zdaniem, że liczba jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej, więc jest przez niego podzielna. Tak są rozwiązane przykłady 4, 5 i 6.

### Jak dodać liczby zapisane w notacji wykładniczej?

Tą samą metodą: wyłączasz mniejszą potęgę dziesięciu. \(3 \cdot 10^{5} + 4 \cdot 10^{4} = 10^{4}(30 + 4) = 34 \cdot 10^{4} = 3{,}4 \cdot 10^{5}\). Na końcu przesuwasz przecinek tak, żeby przed potęgą dziesięciu stała liczba od \(1\) do \(10\), jak opisuje wpis o [notacji wykładniczej](/notacja-wykladnicza-jak-zapisac-liczbe-zadania-matura).


---
route: /kat-miedzy-scianami-bocznymi-ostroslupa-matura-rozszerzona
title: Kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa - jak obliczyć na maturze rozszerzonej (zadania z rozwiązaniami)
description: Jak obliczyć kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa: wysokości na wspólną krawędź, twierdzenie cosinusów i 5 przykładów z matury rozszerzonej.
author: Filip Maszota
---

# Kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa - jak obliczyć na maturze rozszerzonej (zadania z rozwiązaniami)

Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa liczysz w trójkącie zbudowanym z dwóch wysokości ścian opuszczonych na ich **wspólną krawędź**. Z wierzchołka jednej ściany, który nie leży na tej krawędzi, prowadzisz wysokość na wspólną krawędź boczną, w drugiej ścianie robisz to samo, a kąt między tymi wysokościami jest szukanym kątem. W ostrosłupie prawidłowym obie wysokości mają tę samą długość \(h\) i trafiają w ten sam punkt krawędzi, więc z twierdzenia cosinusów \(\cos\alpha = 1 - \frac{d^2}{2h^2}\), gdzie \(d\) to odległość wolnych wierzchołków obu ścian. To jeden z powracających tematów stereometrii na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona).

W bazie Sprawnej Matury ten typ zadania ma pięć wersji z arkuszy rozszerzonych CKE. W [maju 2016](/exams/matura-rozszerzona-maj-2016) (zadanie 15) kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego miał \(120^\circ\), a szukało się objętości. W [maju 2025](/exams/matura-rozszerzona-maj-2025) (zadanie 10) dany był ujemny cosinus tego kąta, \(-\frac{9}{25}\), a w [maju 2026](/exams/matura-rozszerzona-maj-2026) (zadanie 8) trzeba go było obliczyć w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym. Wcześniej ten sam motyw pojawił się w maju 2010 i w maju 2015. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy i kąt nachylenia krawędzi masz rozpisane we wpisie [kąt dwuścienny w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura). Tutaj jest jeden temat: kąt między dwiema ścianami bocznymi.

## Jak znaleźć kąt między dwiema ścianami bocznymi

Kąt między dwiema ścianami o wspólnej krawędzi to kąt między dwiema prostymi poprowadzonymi w tych ścianach prostopadle do wspólnej krawędzi, przez ten sam jej punkt. W praktyce bierzesz wierzchołek jednej ściany, który nie leży na wspólnej krawędzi, i prowadzisz z niego wysokość na tę krawędź. Spodek tej wysokości oznaczasz literą \(E\).

Weź ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) i ściany \(BCS\) oraz \(CDS\). Ich wspólna krawędź to \(SC\). W trójkącie \(BCS\) prowadzisz wysokość z \(B\) na \(SC\), a w trójkącie \(CDS\) wysokość z \(D\) na \(SC\). Ściany są przystające i leżą symetrycznie względem płaszczyzny \(ACS\), więc obie wysokości trafiają w ten sam punkt \(E\) i mają tę samą długość \(h\). Szukany kąt to \(\sphericalangle BED\).

Trzeci bok trójkąta \(BED\) to przekątna podstawy, \(|BD| = a\sqrt2\). Masz więc trójkąt równoramienny o ramionach \(h\) i podstawie \(d\), a kąt przy wierzchołku \(E\) liczysz z [twierdzenia cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

Wysokość \(h\) najprościej policzyć z pola ściany. Ściana \(BCS\) to trójkąt równoramienny o podstawie \(a\) i ramionach \(b\). Jego pole to \(\frac12 a h_s\), gdzie \(h_s\) jest wysokością ściany poprowadzoną z \(S\) na \(BC\), czyli apotemą ostrosłupa. To samo pole zapisujesz jako \(\frac12 b h\), biorąc za podstawę krawędź \(SC\). Porównanie daje \(h = \frac{a h_s}{b}\).

**Zapamiętaj:** Wysokość na wspólną krawędź boczną prowadzisz z wierzchołka podstawy, a nie z wierzchołka \(S\). Apotema \(h_s\) wychodzi z \(S\) i służy tylko do policzenia pola ściany.

## Dlaczego ten kąt bywa rozwarty

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi jest zawsze rozwarty, czyli jego cosinus jest ujemny. Wynika to z jednej nierówności: wysokość \(h\) jest krótsza od krawędzi podstawy \(a\), więc \(2h^2 < 2a^2 = d^2\), a licznik \(2h^2 - d^2\) w twierdzeniu cosinusów wychodzi ujemny.

Skąd \(h < a\)? Ze wzoru \(h = \frac{a h_s}{b}\), bo apotema \(h_s\) jest przyprostokątną trójkąta, w którym krawędź boczna \(b\) jest przeciwprostokątną, więc \(h_s < b\).

Pomaga też obraz. Gdy ostrosłup jest bardzo wysoki, ściany boczne stoją prawie pionowo i kąt między sąsiednimi ścianami zbliża się do kąta prostego między bokami kwadratu. Gdy ostrosłup jest bardzo płaski, ściany prawie leżą na podstawie i kąt zbliża się do \(180^\circ\). W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym dolną granicą jest kąt trójkąta równobocznego, czyli \(60^\circ\), więc tam kąt między ścianami bocznymi bywa ostry albo rozwarty.

**Uwaga:** Kąt między ścianami bryły to nie to samo co kąt między płaszczyznami. Kąt między płaszczyznami z definicji ma co najwyżej \(90^\circ\), a kąt między ścianami ostrosłupa mierzysz wewnątrz bryły i może być rozwarty. Jeśli wyjdzie ci ujemny cosinus, nie zmieniaj znaku. W zadaniu z maja 2025 CKE podało właśnie cosinus \(-\frac{9}{25}\).

## Wzory

Kąt z twierdzenia cosinusów:

$$\cos\alpha = \frac{h^2 + h^2 - d^2}{2h^2} = 1 - \frac{d^2}{2h^2}$$

Wysokość ściany na krawędź boczną:

$$h = \frac{a \cdot h_s}{b}, \qquad h_s = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$$

Ostrosłup prawidłowy czworokątny:

$$\cos\alpha = -\frac{a^2}{4b^2 - a^2}$$

Ostrosłup prawidłowy trójkątny:

$$\cos\alpha = \frac{2b^2 - a^2}{4b^2 - a^2}$$

W dwóch ostatnich wzorach \(a\) to krawędź podstawy, a \(b\) to krawędź boczna. Oba wynikają z pierwszego: podstawiasz \(h^2 = \frac{a^2(4b^2 - a^2)}{4b^2}\) oraz \(d^2 = 2a^2\) dla podstawy kwadratowej albo \(d^2 = a^2\) dla trójkątnej. Traktuj je jako sprawdzian wyniku, a w rozwiązaniu zapisuj rozumowanie z trójkątem \(BED\), tak jak w przykładach niżej.

## Przykład 1: Wszystkie krawędzie równe

**Treść:** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają długość \(6\). Cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest równy:

- A) \(\frac{1}{3}\)
- B) \(-\frac{1}{3}\)
- C) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
- D) \(-\frac{\sqrt2}{2}\)

**Krok 1: Wysokość ściany na krawędź boczną.** Każda ściana boczna jest trójkątem równobocznym o boku \(6\). Wysokość z \(B\) na \(SC\) to zwykła wysokość trójkąta równobocznego i trafia w środek \(E\) krawędzi \(SC\):

$$h = \frac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3, \qquad h^2 = 27$$

**Krok 2: Odległość wolnych wierzchołków.** Ściany \(BCS\) i \(CDS\) mają wspólną krawędź \(SC\), więc wolne wierzchołki to \(B\) i \(D\). Odcinek \(BD\) jest przekątną kwadratu:

$$d = 6\sqrt2, \qquad d^2 = 72$$

**Krok 3: Twierdzenie cosinusów w trójkącie BED.**

$$\cos\alpha = \frac{27 + 27 - 72}{2 \cdot 27} = \frac{-18}{54} = -\frac{1}{3}$$

**Odpowiedź: B.** Kąt jest rozwarty i ma około \(109{,}5^\circ\). Odpowiedź A wychodzi, gdy ktoś „poprawi” znak, bo uważa, że kąt w bryle musi być ostry.

## Przykład 2: Dana krawędź podstawy i wysokość ostrosłupa

**Treść:** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) krawędź podstawy ma długość \(4\), a wysokość ostrosłupa jest równa \(2\sqrt3\). Oblicz cosinus kąta między ścianami bocznymi \(BCS\) i \(CDS\).

**Krok 1: Krawędź boczna.** Spodek wysokości \(O\) to środek kwadratu, a \(|OC|\) to połowa przekątnej, czyli \(2\sqrt2\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):

$$b^2 = (2\sqrt3)^2 + (2\sqrt2)^2 = 12 + 8 = 20, \qquad b = 2\sqrt5$$

**Krok 2: Pole ściany BCS.** Apotema \(h_s\) dzieli krawędź \(BC\) na połowy:

$$h_s = \sqrt{20 - 4} = 4, \qquad P_{BCS} = \frac12 \cdot 4 \cdot 4 = 8$$

**Krok 3: Wysokość z B na SC.** To samo pole zapisujesz z podstawą \(SC\):

$$\frac12 \cdot 2\sqrt5 \cdot h = 8 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{8}{\sqrt5}, \qquad h^2 = \frac{64}{5}$$

**Krok 4: Twierdzenie cosinusów.** Wolne wierzchołki to \(B\) i \(D\), a \(d = |BD| = 4\sqrt2\), więc \(d^2 = 32\):

$$\cos\alpha = 1 - \frac{32}{2 \cdot \frac{64}{5}} = 1 - \frac{160}{128} = 1 - \frac54 = -\frac14$$

**Odpowiedź:** \(\cos\alpha = -\frac14\). Wynik zgadza się ze wzorem dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: \(-\frac{16}{4 \cdot 20 - 16} = -\frac{16}{64} = -\frac14\).

## Przykład 3: Ostrosłup prawidłowy trójkątny

**Treść:** W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) krawędź podstawy ma długość \(6\), a krawędź boczna ma długość \(5\). Oblicz cosinus kąta między ścianami bocznymi \(ACS\) i \(BCS\).

**Krok 1: Pole ściany BCS.** Ściana ma boki \(5\), \(5\) i \(6\). Apotema dzieli \(BC\) na dwa odcinki długości \(3\):

$$h_s = \sqrt{25 - 9} = 4, \qquad P_{BCS} = \frac12 \cdot 6 \cdot 4 = 12$$

**Krok 2: Wysokość z B na SC.**

$$\frac12 \cdot 5 \cdot h = 12 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{24}{5}$$

Ściana \(ACS\) jest przystająca do \(BCS\) i leży symetrycznie względem płaszczyzny przechodzącej przez krawędź \(SC\) i środek krawędzi \(AB\). Wysokość z \(A\) na \(SC\) ma więc tę samą długość i ten sam spodek \(E\).

**Krok 3: Twierdzenie cosinusów w trójkącie AEB.** Wolne wierzchołki to \(A\) i \(B\), a \(d = |AB| = 6\):

$$\cos\alpha = \frac{\left(\frac{24}{5}\right)^2 + \left(\frac{24}{5}\right)^2 - 36}{2 \cdot \left(\frac{24}{5}\right)^2} = \frac{\frac{1152}{25} - \frac{900}{25}}{\frac{1152}{25}} = \frac{252}{1152} = \frac{7}{32}$$

**Odpowiedź:** \(\cos\alpha = \frac{7}{32}\). Tym razem kąt jest ostry. W ostrosłupie trójkątnym tak bywa, bo przy wysokim ostrosłupie kąt między ścianami bocznymi zbliża się do kąta trójkąta równobocznego w podstawie, czyli do \(60^\circ\). Kontrola wzorem: \(\frac{2 \cdot 25 - 36}{4 \cdot 25 - 36} = \frac{14}{64} = \frac{7}{32}\).

## Przykład 4: Od kąta do objętości

**Treść:** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) krawędź podstawy ma długość \(6\), a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę \(120^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Krok 1: Trójkąt BED.** Niech \(E\) będzie wspólnym spodkiem wysokości poprowadzonych z \(B\) i z \(D\) na krawędź \(SC\), a \(O\) środkiem kwadratu. Trójkąt \(BED\) jest równoramienny, \(\sphericalangle BED = 120^\circ\), a odcinek \(EO\) jest jego wysokością i dwusieczną. Stąd \(\sphericalangle BEO = 60^\circ\), a \(|BO| = 3\sqrt2\) jako połowa przekątnej:

$$|EO| = \frac{|BO|}{\mathrm{tg}\,60^\circ} = \frac{3\sqrt2}{\sqrt3} = \sqrt6$$

**Krok 2: Gdzie leży odcinek EO.** Krawędź \(SC\) jest prostopadła do \(BE\) i do \(DE\), więc jest prostopadła do całej płaszczyzny \(BED\), a w szczególności do odcinka \(EO\). W trójkącie prostokątnym \(SOC\) z kątem prostym przy \(O\) odcinek \(EO\) jest więc wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną \(SC\).

**Krok 3: Wysokość ostrosłupa.** Oznacz \(H = |SO|\). Mamy \(|OC| = 3\sqrt2\) i \(|SC| = \sqrt{H^2 + 18}\). Pole trójkąta \(SOC\) liczone na dwa sposoby daje \(|EO| \cdot |SC| = |SO| \cdot |OC|\):

$$\sqrt6 \cdot \sqrt{H^2 + 18} = 3\sqrt2 \cdot H \quad\Rightarrow\quad 6H^2 + 108 = 18H^2 \quad\Rightarrow\quad H^2 = 9$$

Wysokość jest dodatnia, więc \(H = 3\).

**Krok 4: Objętość.**

$$V = \frac13 \cdot 6^2 \cdot 3 = 36$$

**Odpowiedź:** \(V = 36\). Kontrola wzorem: \(b^2 = H^2 + 18 = 27\), więc \(-\frac{36}{4 \cdot 27 - 36} = -\frac{36}{72} = -\frac12 = \cos 120^\circ\). Ten sam schemat, tylko z daną wysokością zamiast krawędzi podstawy, ma zadanie z maja 2016, które znajdziesz niżej.

## Przykład 5: Krawędź boczna jako wysokość

**Treść:** Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\) o boku \(a\). Krawędź boczna \(SD\) jest wysokością ostrosłupa i \(|SD| = a\). Oblicz miarę kąta między ścianami bocznymi \(ABS\) i \(CBS\).

**Krok 1: Kształt ścian.** Prosta \(AB\) jest prostopadła do \(AD\) i do \(SD\), więc jest prostopadła do płaszczyzny \(ADS\), a zatem także do krawędzi \(SA\). Trójkąt \(ABS\) ma więc kąt prosty przy wierzchołku \(A\). Z tego samego powodu trójkąt \(CBS\) ma kąt prosty przy \(C\).

**Krok 2: Długości krawędzi.** Z trójkąta prostokątnego \(ADS\) masz \(|SA| = a\sqrt2\), a z trójkąta \(ABS\):

$$|SB| = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt3$$

**Krok 3: Wysokość z A na SB.** W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną to iloczyn przyprostokątnych podzielony przez przeciwprostokątną:

$$h = \frac{a\sqrt2 \cdot a}{a\sqrt3} = \frac{a\sqrt6}{3}, \qquad h^2 = \frac{2a^2}{3}$$

Ściany \(ABS\) i \(CBS\) są symetryczne względem płaszczyzny \(BDS\), więc wysokość z \(C\) na \(SB\) ma tę samą długość i ten sam spodek \(E\).

**Krok 4: Twierdzenie cosinusów w trójkącie AEC.** Wolne wierzchołki to \(A\) i \(C\), a \(|AC| = a\sqrt2\):

$$\cos\alpha = 1 - \frac{2a^2}{2 \cdot \frac{2a^2}{3}} = 1 - \frac32 = -\frac12$$

**Odpowiedź:** \(\alpha = 120^\circ\). Wynik nie zależy od \(a\), bo zmiana \(a\) tylko skaluje cały ostrosłup. W zadaniu z maja 2015 krawędź \(SD\) była dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, a pytano o sinus tego kąta. Rachunek idzie dokładnie tak samo.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Trzy zadania otwarte z arkuszy rozszerzonych CKE. Pierwsze to przykład 4 odwrócony: znasz wysokość ostrosłupa zamiast krawędzi podstawy. W drugim ściany \(BCS\) i \(CDS\) są symetryczne względem płaszczyzny \(ACS\), tak jak w przykładzie 5 ściany były symetryczne względem \(BDS\). Trzecie łączy kąt między krawędziami bocznymi z kątem między ścianami. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [abonamencie](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2016-15

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2025-10

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2026-8

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Wysokość z wierzchołka \(S\) zamiast wysokości na wspólną krawędź. Apotema ściany prowadzi z \(S\) na krawędź podstawy i jest prostopadła do krawędzi podstawy, a nie do wspólnej krawędzi bocznej. Kąt między apotemami dwóch sąsiednich ścian to zupełnie inny kąt.

**Pułapka 2:** Zły trzeci bok trójkąta. Trzeci bok łączy wolne wierzchołki obu ścian. W ostrosłupie czworokątnym dla ścian sąsiednich jest nim przekątna podstawy \(a\sqrt2\), a nie krawędź \(a\).

**Pułapka 3:** Zmiana znaku cosinusa. Ujemny wynik nie jest błędem rachunkowym, tylko informacją, że kąt jest rozwarty. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym tak jest zawsze.

**Pułapka 4:** Dwa różne spodki wysokości. Wysokości z dwóch wierzchołków na pewno trafiają w ten sam punkt krawędzi, gdy ściany są symetryczne względem płaszczyzny zawierającej wspólną krawędź. Bez takiej symetrii sprawdź to przed użyciem trójkąta. Jeśli spodki są różne, w drugiej ścianie prowadzisz prostopadłą do krawędzi przez spodek pierwszej wysokości, a nie z wierzchołka.

**Wskazówka:** Wynik sprawdzisz granicami. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi leży między \(-1\) a \(0\), a w prawidłowym trójkątnym między \(-1\) a \(\frac12\). Wynik spoza tych przedziałów oznacza błąd w rachunku.

## Co musisz umieć

- Wskazać wspólną krawędź dwóch ścian bocznych i wolne wierzchołki tych ścian.
- Poprowadzić wysokość ściany bocznej z wierzchołka podstawy na krawędź boczną.
- Policzyć tę wysokość z pola ściany zapisanego na dwa sposoby.
- Zastosować twierdzenie cosinusów w trójkącie równoramiennym z dwiema wysokościami.
- Uzasadnić, że ujemny cosinus oznacza kąt rozwarty, i nie zmieniać jego znaku.
- Odwrócić zadanie: z danego kąta wyznaczyć wysokość ostrosłupa i jego objętość.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania o kątach w ostrosłupie z arkuszy rozszerzonych: kąt między ścianami bocznymi, kąt nachylenia ściany do podstawy i przekrój płaszczyzną prostopadłą do ściany bocznej. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [stereometria](/topics/stereometria). Gdy potrzebujesz przypomnieć sobie objętość i pole powierzchni, zajrzyj do wpisu o [objętości ostrosłupa i polu jego powierzchni](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni), a kąt nachylenia krawędzi bocznej masz w osobnym wpisie [kąt między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa).

Następny krok: Wszystkie działy matury rozszerzonej (/matura-rozszerzona)

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa?

Z wierzchołka jednej ściany, który nie leży na wspólnej krawędzi, prowadzisz wysokość na tę krawędź, a w drugiej ścianie robisz to samo. Kąt między tymi wysokościami jest szukanym kątem. Jego cosinus liczysz z twierdzenia cosinusów w trójkącie, którego trzecim bokiem jest odcinek łączący wolne wierzchołki obu ścian.

### Czy kąt między ścianami bocznymi może być rozwarty?

Tak. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi jest zawsze rozwarty, a w prawidłowym trójkątnym bywa ostry albo rozwarty. W arkuszu z maja 2016 ten kąt miał \(120^\circ\), a w maju 2025 jego cosinus był równy \(-\frac{9}{25}\).

### Czym różni się kąt między ścianami bocznymi od kąta nachylenia ściany do podstawy?

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzysz przy krawędzi podstawy, zwykle w trójkącie prostokątnym z wysokością ostrosłupa i apotemą. Kąt między dwiema ścianami bocznymi mierzysz przy krawędzi bocznej i prawie zawsze potrzebujesz do niego twierdzenia cosinusów. Pierwszy typ omawia wpis o [kącie dwuściennym w ostrosłupie](/jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura).

### Ile wynosi kąt między ścianami czworościanu foremnego?

Cosinus tego kąta jest równy \(\frac13\), więc kąt ma około \(70{,}5^\circ\). Wynika to ze wzoru dla ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy: \(\frac{2a^2 - a^2}{4a^2 - a^2} = \frac13\).

### Jak obliczyć kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi?

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe ściany boczne mają wspólny tylko wierzchołek \(S\), a prosta ich przecięcia przechodzi przez \(S\) równolegle do krawędzi podstawy. Kąt między nimi to kąt między apotemami tych ścian, czyli wysokościami poprowadzonymi z \(S\) na przeciwległe krawędzie podstawy. Liczysz go w trójkącie równoramiennym o ramionach \(h_s\) i podstawie \(a\).

### Czy ten typ zadania jest na maturze podstawowej?

W bazie Sprawnej Matury pięć zadań o kącie między ścianami bocznymi pochodzi z arkuszy rozszerzonych z lat 2010-2026, a na poziomie podstawowym taki kąt pojawia się tylko w pojedynczych zadaniach z zestawów ćwiczeniowych CKE. Pełny zakres rozszerzenia opisuje wpis o [wymaganiach na maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).


---
route: /arkusze-probne-matematyka-cke-operon-baza-rozwiazania
title: Arkusze próbne z matematyki - baza 21 arkuszy CKE i Operon z rozwiązaniami
description: 670 zadań z 21 arkuszy próbnych CKE i Operonu z rozwiązaniami krok po kroku. Tabele arkuszy, rozkład działów i plan pracy z arkuszem próbnym.
author: Marcel Bogdan
---

# Arkusze próbne z matematyki - baza 21 arkuszy CKE i Operon z rozwiązaniami

## Co znajdziesz w tej bazie

Arkusz próbny to najbliższa symulacja prawdziwej matury, jaką możesz zrobić w domu. Problem w tym, że w internecie krąży głównie plik PDF z arkuszem i drugi plik z kluczem odpowiedzi. Dostajesz literkę B przy zadaniu 14 i tyle. Nie dowiadujesz się, dlaczego twoje C było błędne.

Ta baza rozwiązuje ten problem inaczej. Każde zadanie z arkuszy próbnych jest tu osobno, z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, przypisane do działu, więc możesz ćwiczyć zarówno cały arkusz, jak i pojedynczy typ zadania.

| Liczba | Co to jest |
|---|---|
| 21 | arkuszy próbnych w bazie (CKE, Operon i arkusze diagnostyczne) |
| 670 | zadań z tych arkuszy, każde z rozwiązaniem |
| 204 | zadania otwarte, czyli te punktowane za drogę do wyniku |
| 466 | zadań zamkniętych |
| 4 | arkusze w aktualnej formule 2023 |

Cała baza serwisu to **2376 zadań z arkuszy CKE**, więc arkusze próbne to jej trzecia część. Resztę znajdziesz w [zadaniach według działów](/topics) i w [pełnej bazie arkuszy](/exams).

## Arkusze próbne w formule 2023 (aktualne)

Od matury 2023 obowiązuje nowa formuła: arkusz podstawowy liczy 46 punktów, obowiązuje nowa karta wzorów, a w zadaniach zamkniętych pojawiły się typy "Oceń prawdziwość" i "Uzupełnij". Jeśli piszesz maturę w 2027 roku albo idziesz na poprawkę w sierpniu, zaczynaj właśnie od tych czterech arkuszy.

| Arkusz próbny | Zadań w bazie | W tym otwartych |
|---|---|---|
| [Matura próbna CKE grudzień 2023](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023) | 30 | 11 |
| [Matura próbna CKE grudzień 2024](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024) | 30 | 14 |
| [Matura próbna luty 2026](/exams/matura-probna-luty-2026) | 30 | 13 |
| [Matura próbna CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) | 32 | 13 |

Liczba zadań w bazie bywa większa niż numeracja w oryginalnym arkuszu, bo zadania wieloczęściowe rozbijamy na osobne karty, żeby dało się ćwiczyć każdą część z osobna. Pełne omówienia dwóch najnowszych znajdziesz w tekstach [matura próbna CKE marzec 2026 krok po kroku](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) oraz [matura próbna luty 2026 krok po kroku](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania-arkusz).

## Arkusze próbne w formule 2015 (nadal warte liczenia)

Te arkusze są sprzed reformy, więc ich układ punktowy się nie zgadza z dzisiejszym. Ale matematyka w nich się nie zestarzała: nierówność kwadratowa, ciąg geometryczny czy okrąg wpisany w trójkąt wyglądają tak samo. Traktuj je jako materiał do ćwiczenia pojedynczych działów, a nie jako symulację całego egzaminu.

| Arkusz próbny | Zadań w bazie | W tym otwartych |
|---|---|---|
| [Matura próbna Operon listopad 2011](/exams/matura-probna-operon-listopad-2011) | 34 | 9 |
| [Matura próbna Operon listopad 2012](/exams/matura-probna-operon-listopad-2012) | 32 | 9 |
| [Matura próbna Operon listopad 2013](/exams/matura-probna-operon-listopad-2013) | 33 | 9 |
| [Matura próbna Operon listopad 2017](/exams/matura-probna-operon-listopad-2017) | 32 | 9 |
| [Matura próbna Operon listopad 2018](/exams/matura-probna-operon-listopad-2018) | 34 | 10 |
| [Matura próbna Operon listopad 2019](/exams/matura-probna-operon-listopad-2019) | 34 | 9 |
| [Matura próbna marzec 2012 (1)](/exams/matura-probna-marzec-2012-1) | 32 | 11 |
| [Matura próbna marzec 2012 (2)](/exams/matura-probna-marzec-2012-2) | 30 | 10 |
| [Matura próbna styczeń 2013](/exams/matura-probna-styczen-2013) | 31 | 8 |
| [Matura próbna luty 2013](/exams/matura-probna-luty-2013) | 34 | 9 |
| [Matura próbna marzec 2013](/exams/matura-probna-marzec-2013) | 30 | 10 |
| [Matura próbna styczeń 2014](/exams/matura-probna-styczen-2014) | 30 | 10 |
| [Matura próbna luty 2014](/exams/matura-probna-luty-2014) | 34 | 9 |
| [Matura próbna grudzień 2014](/exams/matura-probna-grudzien-2014) | 33 | 9 |
| [Matura próbna kwiecień 2015](/exams/matura-probna-kwiecien-2015) | 27 | 7 |
| [Matura próbna kwiecień 2020](/exams/matura-probna-kwiecien-2020) | 33 | 8 |
| [Matura próbna marzec 2021](/exams/matura-probna-marzec-2021) | 35 | 7 |

## Co arkusze próbne mówią o prawdziwej maturze

Zsumowaliśmy działy ze wszystkich 670 zadań próbnych. Rozkład jest bardzo wymowny: pięć pierwszych pozycji to prawie połowa całego materiału. Jeśli masz ograniczony czas, to jest twoja lista priorytetów.

| Dział | Zadań w próbnych | Zadań w całej bazie |
|---|---|---|
| [Planimetria](/topics/planimetria) | 77 | 269 |
| [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 72 | 283 |
| [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 70 | 262 |
| [Ciągi](/topics/ciagi) | 65 | 218 |
| [Stereometria](/topics/stereometria) | 58 | 204 |
| [Funkcje](/topics/funkcje) | 44 | 97 |
| [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 41 | 157 |
| [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 36 | 127 |
| [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 32 | 108 |
| [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) | 27 | 68 |
| [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 23 | 74 |
| [Statystyka](/topics/statystyka) | 21 | 64 |
| [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 20 | 128 |
| [Procenty](/topics/procenty) | 20 | 74 |
| [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 20 | 74 |

Dalej są jeszcze funkcja liniowa (17 zadań), kombinatoryka (10), układy równań (7) i funkcja wykładnicza (6). Wniosek praktyczny: geometria w obu odsłonach plus równania to fundament. Jeśli te trzy działy masz opanowane, masz z arkusza więcej niż połowę punktów.

## Trzy zadania z arkuszy próbnych rozwiązane krok po kroku

### Przykład 1: nierówność kwadratowa, marzec 2026, 2 punkty

**Treść zadania:** Rozwiąż nierówność \((x-3)(x+5)>9\). Zapisz obliczenia.

Najpierw postać ogólna, bo dopiero z niej liczymy deltę:

$$(x-3)(x+5)>9$$
$$x^2+2x-15>9$$
$$x^2+2x-24>0$$

Liczymy wyróżnik dla \(a=1,\ b=2,\ c=-24\):

$$\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100,\qquad \sqrt{\Delta}=10$$

$$x_1=\frac{-2-10}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-2+10}{2}=4$$

Ramiona paraboli idą w górę, a interesują nas wartości dodatnie, czyli to, co jest nad osią, poza miejscami zerowymi:

$$x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty)$$

Najczęstszy błąd: mnożenie nawiasów i pozostawienie dziewiątki po prawej stronie, a potem przyrównywanie czynników do zera. To działa tylko dla równania z zerem po prawej stronie. [Otwórz to zadanie](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-08) albo przećwicz cały dział w [równaniach i nierównościach](/topics/rownania-i-nierownosci).

### Przykład 2: dowód podzielności, grudzień 2024, 2 punkty

**Treść zadania:** Wykaż, że liczba \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) jest podzielna przez \(21\).

Cały trik polega na sprowadzeniu wszystkiego do jednej podstawy. Zauważ, że \(4=2^2\) oraz \(16=2^4\):

$$2^{100}+4^{49}+16^{24}=2^{100}+2^{98}+2^{96}$$

Teraz wyłączamy najniższą potęgę przed nawias:

$$2^{96}\cdot(2^4+2^2+1)=2^{96}\cdot(16+4+1)=21\cdot 2^{96}$$

Liczba jest iloczynem 21 i liczby naturalnej \(2^{96}\), czyli jest podzielna przez 21. Koniec dowodu. Takie zadania wyglądają groźnie, a mają jeden schemat: wspólna podstawa, wyłączenie przed nawias, wniosek. Więcej ćwiczeń w [potęgach i pierwiastkach](/topics/potegi-i-pierwiastki) oraz w tekście o [zadaniach dowodowych z rozwiązaniami](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami). [Zobacz to zadanie](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03).

### Przykład 3: procenty w zadaniu z treścią, luty 2026, 2 punkty

**Treść zadania:** Serwis streamingowy wypłacił dwóm artystom łącznie 180 000 złotych za odtworzenia w 2024 roku. W 2025 roku wynagrodzenie jednego artysty wzrosło o 20 procent, drugiego spadło o 30 procent, ale ich łączne wynagrodzenie było takie samo jak rok wcześniej. Oblicz, ile otrzymali w 2025 roku.

Oznaczamy wynagrodzenia z 2024 roku jako \(x\) i \(y\) i układamy układ równań:

$$\begin{cases} x+y=180\,000 \\ 1{,}2x+0{,}7y=180\,000 \end{cases}$$

Z pierwszego równania \(y=180\,000-x\), podstawiamy do drugiego:

$$1{,}2x+0{,}7(180\,000-x)=180\,000$$
$$0{,}5x=54\,000$$
$$x=108\,000,\qquad y=72\,000$$

Uwaga, tu jest pułapka: pytanie dotyczy roku 2025, więc trzeba jeszcze przeliczyć kwoty:

$$1{,}2\cdot 108\,000=129\,600\ \text{zł},\qquad 0{,}7\cdot 72\,000=50\,400\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: \(129\,600+50\,400=180\,000\). Zgadza się. Punkt traci się tu najczęściej nie za rachunki, tylko za oddanie wyniku z roku 2024. [Otwórz zadanie](/task/matura-pr-bna-luty-2026-07) albo poćwicz [procenty](/topics/procenty).

## Jak rozwiązywać arkusz próbny, żeby coś z tego wynikło

Samo rozwiązanie arkusza nie podnosi wyniku. Podnosi go dopiero to, co robisz po sprawdzeniu. Protokół, który działa:

- **Zegarek od pierwszej minuty.** Matura podstawowa trwa 180 minut. Rób arkusz w jednym podejściu, bez telefonu i bez zaglądania do rozwiązań.
- **Tylko karta wzorów.** Ta sama, którą dostaniesz na egzaminie. Jeśli nie wiesz, co na niej jest, sprawdź [kartę wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) i [pełną listę wzorów](/formulas).
- **Zapisuj obliczenia w zadaniach otwartych.** Nie w pamięci. Na maturze punktuje się drogę, a nie wynik podany bez uzasadnienia.
- **Sprawdzanie z rozwiązaniem, nie z kluczem.** Przy każdym błędzie zapisz jedno zdanie: dlaczego poszło źle. Rachunek, metoda, czy nieuważne czytanie polecenia. To trzy zupełnie różne problemy i leczy się je inaczej.
- **Dobij słabe działy.** Błędy z arkusza zamień na porcję zadań z tego samego działu. Wchodzisz w [odpowiedni dział](/topics) i liczysz 10 kolejnych zadań, aż typ przestanie sprawiać kłopot.
- **Powtórka po tygodniu.** Te same zadania, na czysto, bez zaglądania. Jeśli tym razem idą, materiał faktycznie usiadł.

Rozbudowaną wersję tego procesu opisaliśmy w poradniku [jak analizować arkusze próbne](/jak-analizowac-arkusze-probne-matura-matematyka).

## Pułapki, w które wpada większość

**Liczenie arkusza z kluczem pod ręką.** Wtedy nie ćwiczysz matury, tylko czytanie ze zrozumieniem cudzych rozwiązań. Klucz otwierasz po ostatnim zadaniu.

**Traktowanie starego arkusza jak dzisiejszej matury.** Arkusze sprzed 2023 roku mają inną punktację i inne typy poleceń. Do ćwiczenia działów są świetne, do szacowania wyniku procentowego już nie.

**Robienie tylko zadań zamkniętych.** Zamknięte są szybsze i przyjemniejsze, więc kuszą. Ale to zadania otwarte decydują o tym, czy przekroczysz próg. W arkuszach próbnych mamy ich 204 i to od nich zależy większość punktów w drugiej części arkusza.

**Poprawianie wyniku zamiast poprawiania błędów.** Trzy arkusze z rzędu bez analizy dadzą trzy podobne wyniki. Jeden arkusz z porządną analizą i tygodniem ćwiczeń podniesie wynik następnego.

## Najczęstsze pytania

### Czym różni się matura próbna od prawdziwej?
Poziomem stresu i konsekwencjami, nie treścią. Arkusze próbne CKE układają ci sami autorzy i według tych samych wymagań egzaminacyjnych, więc typy zadań, ich rozkład i sposób oceniania są takie same.

### Ile arkuszy próbnych powinienem zrobić?
Do matury w maju: minimum sześć do ośmiu, po jednym co dwa tygodnie od stycznia. Na poprawkę w sierpniu: trzy do czterech, ale koniecznie z pełną analizą błędów. Więcej arkuszy bez analizy nie daje nic.

### Które arkusze próbne są najbliższe dzisiejszej maturze?
Cztery w formule 2023 z tabeli powyżej, a z nich najbliższy jest [arkusz z marca 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026). Po nich sięgnij po prawdziwe arkusze maturalne z ostatnich lat, zebrane w [bazie arkuszy 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

### Gdzie znaleźć arkusze Operonu?
Wydawnictwo ograniczyło dystrybucję swoich arkuszy w serwisach zewnętrznych, więc pliki PDF bywają niedostępne. U nas znajdziesz zadania z sześciu arkuszy Operonu z rozwiązaniami krok po kroku, ćwiczone pojedynczo albo działami.

### Nie mam 180 minut z rzędu. Co wtedy?
Rób arkusz partiami: zadania 1-15 jednego dnia, reszta następnego, ale każdą część z zegarkiem. Pełną symulację zrób przynajmniej raz w miesiącu, żeby wytrenować wytrzymałość.

## Podsumowanie

Arkusze próbne to najtańszy sposób, żeby sprawdzić, na ile realnie cię stać. W bazie masz 670 zadań z 21 arkuszy próbnych CKE i Operonu, wszystkie z rozwiązaniami krok po kroku i przypisane do działów, więc każdy błąd możesz od razu zamienić w serię ćwiczeń.

Zacznij od [arkusza z marca 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026), przejdź do [pełnej listy arkuszy](/exams), a słabe działy dobij w [zadaniach według działów](/topics) albo na [losowych zadaniach](/random). Jeśli zastanawiasz się, czy do tego wszystkiego potrzebujesz jeszcze książki, porównanie znajdziesz w tekście [repetytorium maturalne z matematyki](/repetytorium-maturalne-z-matematyki-czy-wystarczy).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /blad-bezwzgledny-i-wzgledny-wzor-jak-obliczyc-matura
title: Błąd bezwzględny i błąd względny - wzory i zadania maturalne krok po kroku
description: Błąd bezwzględny to |x - x0|, a błąd względny to iloraz błędu bezwzględnego przez wartość dokładną. Wzory, zaokrąglanie i zadania maturalne krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Błąd bezwzględny i błąd względny - wzory i zadania maturalne krok po kroku

Błąd bezwzględny przybliżenia to wartość bezwzględna różnicy między wartością dokładną \(x\) a przybliżeniem \(x_0\): \(\Delta = |x - x_0|\). Błąd względny to iloraz błędu bezwzględnego przez wartość bezwzględną wartości dokładnej: \(\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}\) dla \(x \neq 0\), najczęściej wyrażany w procentach. Przykład: dla \(x = 2{,}5\) i przybliżenia \(x_0 = 2\) błąd bezwzględny wynosi \(0{,}5\), a błąd względny \(\frac{0{,}5}{2{,}5} = 0{,}2\), czyli \(20\%\).

Ten temat pochodzi z działu liczby rzeczywiste i na maturze podstawowej pojawia się w najprzyjemniejszej możliwej formie: krótkiego zadania zamkniętego, w którym cały rachunek to jedno odejmowanie i jedno dzielenie. Mimo to co roku część zdających go oddaje, bo dzieli przez złą liczbę albo myli oba błędy ze sobą. W tym wpisie masz komplet: oba wzory z wyjaśnieniem, zasady zaokrąglania i 5 zadań w stylu CKE rozwiązanych krok po kroku. A gdy zechcesz poćwiczyć, w naszej bazie znajdziesz 74 [zadania maturalne z liczb rzeczywistych](/topics/liczby-rzeczywiste) z pełnymi rozwiązaniami.

## Wzory na błąd bezwzględny i błąd względny

Błąd bezwzględny mierzy, o ile przybliżenie różni się od wartości dokładnej, i liczysz go ze wzoru \(\Delta = |x - x_0|\), gdzie \(x\) to wartość dokładna, a \(x_0\) to przybliżenie. Błąd względny mierzy, jak duża jest ta pomyłka w porównaniu z samą wartością, i liczysz go ze wzoru \(\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}\), a wynik często zamieniasz na procenty.

$$\Delta = |x - x_0| \qquad \qquad \delta = \frac{|x - x_0|}{|x|} = \frac{\Delta}{|x|}$$

Dwie rzeczy, które warto rozumieć, a nie tylko pamiętać:

- **Błąd bezwzględny ma jednostkę.** Jeśli mierzysz długość w centymetrach, błąd bezwzględny też wychodzi w centymetrach. To po prostu odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej.
- **Błąd względny jest bez jednostki.** To ułamek (albo procent), który mówi, jaką częścią wartości dokładnej jest pomyłka. Dzięki temu da się porównywać dokładność przybliżeń zupełnie różnych wielkości.

Po co w ogóle błąd względny? Pomyłka o 1 cm przy mierzeniu ołówka to ogromny błąd, a przy mierzeniu boiska to drobiazg bez znaczenia. Błąd bezwzględny w obu sytuacjach jest taki sam, ale błąd względny natychmiast pokazuje różnicę. Dokładnie to sprawdza zadanie 5 niżej.

Wartość bezwzględna w obu wzorach gwarantuje, że błąd nigdy nie wyjdzie ujemny, niezależnie od tego, czy przybliżenie jest większe, czy mniejsze od wartości dokładnej. Jeśli chcesz odświeżyć własności modułu, zajrzyj do wpisu o [wartości bezwzględnej na maturze](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci).

## Zaokrąglanie liczb - szybkie przypomnienie

Przy zaokrąglaniu patrzysz wyłącznie na pierwszą odrzucaną cyfrę: jeśli to 0, 1, 2, 3 lub 4, zaokrąglasz w dół (ostatnia zostawiana cyfra nie zmienia się), a jeśli to 5, 6, 7, 8 lub 9, zaokrąglasz w górę (ostatnia zostawiana cyfra rośnie o 1). Nie patrzysz na dalsze cyfry, tylko na tę jedną, pierwszą odrzucaną.

Przykład: \(3{,}472\) po zaokrągleniu do części dziesiątych to \(3{,}5\), bo pierwszą odrzucaną cyfrą jest 7. Po zaokrągleniu do części setnych to \(3{,}47\), bo pierwszą odrzucaną cyfrą jest 2.

Dwa pojęcia, które CKE lubi wplatać w treść zadania:

- **Przybliżenie z niedomiarem** to przybliżenie mniejsze od wartości dokładnej, np. \(3{,}4\) dla liczby \(3{,}472\).
- **Przybliżenie z nadmiarem** to przybliżenie większe od wartości dokładnej, np. \(3{,}5\) dla liczby \(3{,}472\).

## Zadanie 1: Zaokrąglij i oblicz błąd bezwzględny

**Treść:** Liczbę \(x = 3{,}472\) zaokrąglono do części dziesiątych. Oblicz błąd bezwzględny tego przybliżenia.

**Krok 1: Wykonaj zaokrąglenie.** Pierwsza odrzucana cyfra to 7, więc zaokrąglamy w górę: \(x_0 = 3{,}5\).

**Krok 2: Zastosuj wzór na błąd bezwzględny.** \(\Delta = |x - x_0| = |3{,}472 - 3{,}5| = |-0{,}028| = 0{,}028\).

**Odpowiedź:** Błąd bezwzględny wynosi \(0{,}028\).

Zauważ, że różnica w środku modułu wyszła ujemna, bo przybliżenie jest z nadmiarem. Wartość bezwzględna załatwia sprawę: błąd to zawsze odległość, więc jest nieujemny.

## Zadanie 2: Błąd względny w procentach

**Treść:** Liczbę \(\frac{3}{8}\) przybliżono liczbą \(0{,}4\). Oblicz błąd względny tego przybliżenia i wyraź go w procentach.

**Krok 1: Zamień ułamek na postać dziesiętną.** \(\frac{3}{8} = 0{,}375\).

**Krok 2: Oblicz błąd bezwzględny.** \(\Delta = |0{,}375 - 0{,}4| = 0{,}025\).

**Krok 3: Podziel przez wartość dokładną.** \(\delta = \frac{0{,}025}{0{,}375} = \frac{25}{375} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667\).

**Krok 4: Zamień na procenty.** \(\delta \approx 6{,}7\%\).

**Odpowiedź:** Błąd względny wynosi \(\frac{1}{15}\), czyli około \(6{,}7\%\).

Kluczowy moment to krok 3: dzielisz przez wartość dokładną \(0{,}375\), a nie przez przybliżenie \(0{,}4\). Przy zamianie na procenty przyda ci się sprawne [liczenie procentu z liczby](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa).

## Zadanie 3: Pomiar i błąd względny

**Treść:** Dokładna wartość pewnej wielkości wynosi 60. W pomiarze otrzymano wynik \(59{,}7\). Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny tego pomiaru.

**Krok 1: Oblicz błąd bezwzględny.** \(\Delta = |60 - 59{,}7| = 0{,}3\).

**Krok 2: Oblicz błąd względny.** \(\delta = \frac{0{,}3}{60} = 0{,}005\).

**Krok 3: Wyraź wynik w procentach.** \(0{,}005 = 0{,}5\%\).

**Odpowiedź:** Błąd bezwzględny wynosi \(0{,}3\), a błąd względny \(0{,}5\%\).

## Zadanie 4: Odtwórz wartość dokładną

**Treść:** Liczba \(x_0 = 4{,}9\) jest przybliżeniem z niedomiarem liczby \(x\), a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi \(0{,}1\). Wyznacz \(x\) i oblicz błąd względny przybliżenia.

**Krok 1: Wykorzystaj informację o niedomiarze.** Przybliżenie z niedomiarem jest mniejsze od wartości dokładnej, więc \(x = x_0 + \Delta = 4{,}9 + 0{,}1 = 5\).

**Krok 2: Oblicz błąd względny.** \(\delta = \frac{0{,}1}{5} = 0{,}02 = 2\%\).

**Odpowiedź:** Wartość dokładna to \(x = 5\), a błąd względny wynosi \(2\%\).

Gdyby przybliżenie było z nadmiarem, w kroku 1 należałoby odjąć: \(x = x_0 - \Delta\). Kierunek zależy wyłącznie od tego, czy przybliżenie jest mniejsze, czy większe od wartości dokładnej.

## Zadanie 5: Które przybliżenie jest dokładniejsze

**Treść:** Liczbę 8 przybliżono liczbą \(8{,}2\), a liczbę 50 przybliżono liczbą 49. Które przybliżenie ma mniejszy błąd względny?

**Krok 1: Oblicz oba błędy bezwzględne.** Pierwsze przybliżenie: \(\Delta_1 = |8 - 8{,}2| = 0{,}2\). Drugie: \(\Delta_2 = |50 - 49| = 1\).

**Krok 2: Oblicz oba błędy względne.** \(\delta_1 = \frac{0{,}2}{8} = 0{,}025 = 2{,}5\%\) oraz \(\delta_2 = \frac{1}{50} = 0{,}02 = 2\%\).

**Krok 3: Porównaj.** \(2\% < 2{,}5\%\).

**Odpowiedź:** Mniejszy błąd względny ma przybliżenie liczby 50 liczbą 49, mimo że jego błąd bezwzględny jest pięć razy większy.

To najważniejszy wniosek z całego tematu: o jakości przybliżenia decyduje błąd względny, a nie bezwzględny. Właśnie dlatego oba pojęcia istnieją obok siebie i dlatego CKE lubi je zestawiać w jednym zadaniu.

## Typowe pułapki

- **Dzielenie przez przybliżenie zamiast przez wartość dokładną.** W mianowniku błędu względnego stoi \(|x|\), czyli wartość dokładna. To najczęstszy błąd w tym typie zadań i dokładnie na niego zastawione są błędne odpowiedzi w zadaniach zamkniętych.
- **Ujemny błąd.** Jeśli po odejmowaniu wyszła ci liczba ujemna, brakuje wartości bezwzględnej. Błąd bezwzględny i względny są zawsze nieujemne.
- **Ułamek kontra procent.** \(0{,}02\) i \(2\%\) to ta sama liczba w dwóch zapisach. Zanim zaznaczysz odpowiedź, sprawdź, w jakiej formie podano opcje w zadaniu.
- **Zaokrąglanie po kilku cyfrach naraz.** Patrzysz tylko na pierwszą odrzucaną cyfrę. Zaokrąglanie krokowe (najpierw do setnych, potem do dziesiątych) potrafi dać inny, błędny wynik.
- **Mylenie niedomiaru z nadmiarem.** Niedomiar to przybliżenie mniejsze od wartości dokładnej, nadmiar to większe. Od tego zależy, czy wartość dokładną odtwarzasz przez dodanie, czy odjęcie błędu.

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć błąd bezwzględny przybliżenia?
Odejmij przybliżenie od wartości dokładnej i weź wartość bezwzględną wyniku: \(\Delta = |x - x_0|\). Przykładowo dla wartości dokładnej \(2{,}5\) i przybliżenia \(2{,}45\) błąd bezwzględny to \(|2{,}5 - 2{,}45| = 0{,}05\).

### Jak obliczyć błąd względny i zamienić go na procenty?
Podziel błąd bezwzględny przez wartość bezwzględną wartości dokładnej: \(\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}\), a potem pomnóż wynik przez 100 procent. Jeśli błąd bezwzględny to \(0{,}05\), a wartość dokładna to \(2{,}5\), błąd względny wynosi \(0{,}02\), czyli \(2\%\).

### Czym różni się błąd bezwzględny od błędu względnego?
Błąd bezwzględny to odległość przybliżenia od wartości dokładnej, wyrażona w tych samych jednostkach co mierzona wielkość. Błąd względny to stosunek tej odległości do wartości dokładnej, bez jednostki, zwykle w procentach. Dopiero błąd względny mówi, czy przybliżenie jest naprawdę dokładne.

### Czy błąd względny liczy się względem wartości dokładnej, czy przybliżenia?
Względem wartości dokładnej. W mianowniku wzoru \(\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}\) stoi \(|x|\), czyli wartość dokładna. Dzielenie przez przybliżenie to najczęstsza pułapka w zadaniach zamkniętych z tego tematu.

### Co to jest przybliżenie z niedomiarem i przybliżenie z nadmiarem?
Przybliżenie z niedomiarem jest mniejsze od wartości dokładnej, a przybliżenie z nadmiarem większe. Na przykład dla liczby \(3{,}472\) przybliżeniem z niedomiarem jest \(3{,}4\), a z nadmiarem \(3{,}5\).

### Czy błąd bezwzględny może być ujemny?
Nie. W definicji błędu bezwzględnego stoi wartość bezwzględna, więc wynik jest zawsze nieujemny. Błąd równy zero oznacza, że przybliżenie jest po prostu równe wartości dokładnej.

## Checklista: co musisz umieć

- zapisać z pamięci oba wzory: \(\Delta = |x - x_0|\) oraz \(\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}\),
- poprawnie zaokrąglić liczbę do wskazanego rzędu i ocenić, czy przybliżenie jest z niedomiarem, czy z nadmiarem,
- obliczyć błąd względny i wyrazić go w procentach,
- odtworzyć wartość dokładną, gdy znasz przybliżenie, błąd bezwzględny i kierunek przybliżenia,
- porównać dokładność dwóch przybliżeń przez porównanie ich błędów względnych.

Błąd bezwzględny i względny to jedno z najprostszych do opanowania wymagań z [działu liczby rzeczywiste](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna) i pewny kandydat na szybki punkt, podobnie jak inne [zadania za 1 punkt na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt). Przećwicz temat na [zadaniach CKE z liczb rzeczywistych](/zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami), a wrócisz po swoje punkty w kilkanaście sekund.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /czworokat-opisany-na-okregu-warunek-zadania-matura
title: Czworokąt opisany na okręgu - warunek a+c=b+d i zadania maturalne
description: Kiedy w czworokąt można wpisać okrąg? Warunek a+c=b+d, wzór na pole P=p·r, dowód z odcinków stycznych i zadania maturalne rozwiązane krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Czworokąt opisany na okręgu - warunek a+c=b+d i zadania maturalne

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: \(a + c = b + d\). Taki czworokąt nazywamy czworokątem opisanym na okręgu, a jego pole liczysz ze wzoru \(P = p \cdot r\), gdzie \(p\) to połowa obwodu, a \(r\) to promień okręgu wpisanego. Ten warunek, znany jako twierdzenie Pitota, to jedno z najczęściej wykorzystywanych twierdzeń planimetrii w zadaniach maturalnych.

Uwaga na start, bo tu pada najwięcej błędów: czworokąt opisany na okręgu (okrąg w środku figury, styczny do boków) to zupełnie inna sytuacja niż [czworokąt wpisany w okrąg](/czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura), w którym okrąg przechodzi przez wierzchołki. Inny rysunek, inne twierdzenie, inne wzory. W tym poście bierzemy na warsztat wersję z okręgiem wpisanym: warunek na boki, wzór na pole, dowód z odcinków stycznych i 5 zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

## Czworokąt opisany na okręgu - definicja i warunek

Czworokąt opisany na okręgu to czworokąt, którego wszystkie cztery boki są styczne do jednego okręgu, zwanego okręgiem wpisanym. W czworokąt wypukły da się wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe:

$$a + c = b + d$$

gdzie \(a, b, c, d\) to kolejne boki czworokąta (a naprzeciwko c, b naprzeciwko d).

Dwie rzeczy warto podkreślić od razu:

- Warunek działa w obie strony: jeśli okrąg da się wpisać, to \(a + c = b + d\), a jeśli w czworokącie wypukłym zachodzi \(a + c = b + d\), to okrąg da się wpisać.
- Założenie wypukłości jest istotne. Dla czworokątów wklęsłych sama równość sum boków nie wystarcza, więc w uzasadnieniach pisz o czworokącie wypukłym.

## Skąd bierze się warunek a + c = b + d

Cały dowód opiera się na jednej własności: odcinki stycznych poprowadzonych do okręgu z tego samego punktu mają równe długości. Każdy wierzchołek czworokąta opisanego leży poza okręgiem i wychodzą z niego dwa odcinki styczne o wspólnej długości.

Oznacz długości odcinków stycznych wychodzących z kolejnych wierzchołków przez \(x\), \(y\), \(z\), \(t\). Każdy bok czworokąta skleja się z dwóch takich odcinków:

$$a = x + y, \quad b = y + z, \quad c = z + t, \quad d = t + x$$

Teraz policz sumy przeciwległych boków:

$$a + c = x + y + z + t \quad \text{oraz} \quad b + d = y + z + t + x$$

Obie sumy są równe \(x + y + z + t\), więc \(a + c = b + d\). Koniec dowodu. Na maturze takie uzasadnienie potrafi być osobnym zadaniem - jak zabierać się za tego typu zadania, przeczytasz w poście o [dowodach matematycznych na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu

Pole czworokąta opisanego na okręgu to iloczyn połowy obwodu i promienia okręgu wpisanego:

$$P = p \cdot r, \quad \text{gdzie } p = \frac{a+b+c+d}{2}$$

Skąd się bierze ten wzór? Połącz środek okręgu wpisanego z wierzchołkami czworokąta - figura rozpadnie się na 4 trójkąty. Każdy z nich ma podstawę na jednym boku czworokąta, a wysokość równą \(r\), bo promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku. Sumując pola trójkątów:

$$P = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}dr = \frac{a+b+c+d}{2} \cdot r = p \cdot r$$

W tablicach CKE nie znajdziesz gotowego wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, dlatego dopisz go do swojej listy [wzorów spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

## Które czworokąty zawsze mają okrąg wpisany

W romb i kwadrat okrąg można wpisać zawsze, bo wszystkie boki mają tę samą długość i warunek \(a + c = b + d\) spełnia się automatycznie. Pozostałe czworokąty trzeba sprawdzać warunkiem Pitota.

- **Romb i kwadrat:** zawsze. Promień okręgu wpisanego w romb to połowa wysokości rombu: \(r = \frac{h}{2}\). Zobacz też [jak liczyć pole rombu i równoległoboku](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne).
- **Deltoid wypukły:** zawsze, bo kolejne boki \(a, a, b, b\) dają po obu stronach tę samą sumę \(a + b\).
- **Prostokąt:** tylko wtedy, gdy jest kwadratem (pokażemy to w przykładzie 5).
- **Równoległobok:** tylko wtedy, gdy jest rombem, bo warunek \(2a = 2b\) wymusza równość boków.
- **Trapez:** tylko wtedy, gdy suma podstaw równa się sumie ramion. W trapezie równoramiennym o ramieniu \(c\) daje to wygodną postać \(a + b = 2c\).

## Zadania maturalne krok po kroku

### Przykład 1: brakujący bok czworokąta

Czworokąt o kolejnych bokach \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 9\) jest opisany na okręgu. Oblicz długość czwartego boku \(d\).

**Krok 1: zapisz warunek opisania na okręgu.** Skoro czworokąt jest opisany na okręgu, sumy przeciwległych boków są równe: \(a + c = b + d\).

**Krok 2: podstaw dane.**

$$5 + 9 = 7 + d$$

**Krok 3: rozwiąż równanie.** \(14 = 7 + d\), stąd \(d = 7\).

Odpowiedź: czwarty bok ma długość 7.

### Przykład 2: trapez równoramienny opisany na okręgu

W trapez równoramienny o podstawach \(a = 10\) i \(b = 4\) wpisano okrąg. Oblicz długość ramienia, promień okręgu wpisanego i pole trapezu.

**Krok 1: wyznacz ramię z warunku Pitota.** Dla trapezu opisanego na okręgu suma podstaw równa się sumie ramion: \(a + b = 2c\), czyli \(10 + 4 = 2c\), stąd \(c = 7\).

**Krok 2: oblicz wysokość trapezu.** W trapezie równoramiennym rzut ramienia na dłuższą podstawę ma długość \(\frac{a - b}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3\). Z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania): \(h^2 = 7^2 - 3^2 = 40\), więc \(h = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).

**Krok 3: znajdź promień okręgu.** Okrąg wpisany jest styczny do obu podstaw, a podstawy są równoległe, więc odległość między nimi (czyli wysokość trapezu) to dokładnie średnica okręgu. Stąd \(h = 2r\), czyli \(r = \sqrt{10}\).

**Krok 4: policz pole.** Ze wzoru na pole trapezu: \(P = \frac{a+b}{2} \cdot h = 7 \cdot 2\sqrt{10} = 14\sqrt{10}\). Sprawdzenie wzorem \(P = p \cdot r\): połowa obwodu to \(p = \frac{10+4+7+7}{2} = 14\), więc \(P = 14\sqrt{10}\). Oba wzory dają ten sam wynik. Inne warianty tego liczenia znajdziesz w poście o [polu trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura).

### Przykład 3: romb i promień okręgu wpisanego

W romb o boku 6 i kącie ostrym \(30^\circ\) wpisano okrąg. Oblicz promień okręgu i pole rombu.

**Krok 1: oblicz wysokość rombu.** Wysokość to bok razy sinus kąta ostrego: \(h = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\). Wartości sinusa dla kątów 30, 45 i 60 stopni masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

**Krok 2: znajdź promień.** Tak jak w trapezie: okrąg wpisany jest styczny do dwóch równoległych boków rombu, więc wysokość rombu to średnica okręgu: \(r = \frac{h}{2} = 1{,}5\).

**Krok 3: policz pole na dwa sposoby.** Klasycznie: \(P = a \cdot h = 6 \cdot 3 = 18\). Wzorem dla czworokąta opisanego: \(p = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12\), więc \(P = p \cdot r = 12 \cdot 1{,}5 = 18\). Wyniki się pokrywają.

### Przykład 4: pole z obwodu i promienia

Czworokąt opisany na okręgu o promieniu \(r = 3\) ma obwód równy 32. Oblicz pole czworokąta.

**Krok 1: policz połowę obwodu.** \(p = \frac{32}{2} = 16\).

**Krok 2: podstaw do wzoru.**

$$P = p \cdot r = 16 \cdot 3 = 48$$

Odpowiedź: pole czworokąta wynosi 48. Zero rysowania, dwa działania - dlatego ten wzór opłaca się znać.

### Przykład 5: dowód, że w prostokąt nie wpiszesz okręgu

Uzasadnij, że w prostokąt, który nie jest kwadratem, nie można wpisać okręgu.

**Krok 1: zapisz boki prostokąta.** Kolejne boki prostokąta to \(a, b, a, b\), gdzie \(a \ne b\), bo prostokąt nie jest kwadratem.

**Krok 2: policz sumy przeciwległych boków.** Przeciwległe boki to para \(a, a\) oraz para \(b, b\), więc sumy wynoszą \(2a\) i \(2b\).

**Krok 3: pokaż sprzeczność z warunkiem.** Gdyby okrąg dało się wpisać, zachodziłoby \(2a = 2b\), czyli \(a = b\). To sprzeczność z założeniem \(a \ne b\), więc okręgu wpisać się nie da. Koniec dowodu.

## Typowe pułapki

- **Mylenie wpisanego z opisanym.** Czworokąt wpisany w okrąg: wierzchołki na okręgu, warunek na kąty \(\alpha + \gamma = 180^\circ\). Czworokąt opisany na okręgu: boki styczne do okręgu, warunek na boki \(a + c = b + d\). Zanim zaczniesz liczyć, ustal, która sytuacja występuje w zadaniu.
- **Sumowanie sąsiednich boków zamiast przeciwległych.** W warunku \(a + c = b + d\) chodzi o boki leżące naprzeciwko siebie. Przy oznaczeniach z rysunku zawsze sprawdź, które boki są przeciwległe.
- **Cały obwód zamiast połowy.** We wzorze \(P = p \cdot r\) litera \(p\) oznacza połowę obwodu. Podstawienie całego obwodu podwaja wynik.
- **Równość h = 2r stosowana bez uzasadnienia.** Wysokość równa średnicy działa, bo okrąg jest styczny do dwóch równoległych boków (podstaw trapezu, przeciwległych boków rombu). W czworokącie bez pary boków równoległych taka równość nie ma sensu.
- **Pominięcie wypukłości.** Twierdzenie odwrotne (z równości sum boków wynika istnienie okręgu wpisanego) wymaga czworokąta wypukłego. W zadaniach maturalnych figury są wypukłe, ale w uzasadnieniu warto to napisać.

## Checklista: co musisz umieć

- rozpoznać na rysunku i w treści zadania, czy czworokąt jest wpisany w okrąg, czy opisany na okręgu,
- zapisać warunek \(a + c = b + d\) i wyznaczyć z niego brakujący bok,
- wyprowadzić warunek z równości odcinków stycznych,
- policzyć pole ze wzoru \(P = p \cdot r\) oraz promień z przekształcenia \(r = \frac{P}{p}\),
- w trapezie i rombie powiązać wysokość ze średnicą okręgu wpisanego (\(h = 2r\)),
- uzasadnić, dlaczego w prostokąt niebędący kwadratem nie da się wpisać okręgu.

Chcesz poćwiczyć na prawdziwych zadaniach CKE? Wejdź w [zadania z planimetrii z pełnymi rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) albo przejrzyj całą [bazę zadań z planimetrii](/topics/planimetria). Przyda ci się też ściąga z [pól i obwodów wszystkich figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory) oraz post o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania) - to bliźniaczy temat, który w arkuszach pojawia się jeszcze częściej.

## Najczęstsze pytania

### Kiedy w czworokąt można wpisać okrąg?
W czworokąt wypukły można wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe, czyli a + c = b + d. Warunek działa w obie strony: równość sum gwarantuje istnienie okręgu wpisanego, a istnienie okręgu wymusza równość sum.

### Czym różni się czworokąt wpisany w okrąg od opisanego na okręgu?
Czworokąt wpisany w okrąg ma wszystkie wierzchołki na okręgu i spełnia warunek na kąty: sumy przeciwległych kątów wynoszą 180 stopni. Czworokąt opisany na okręgu ma wszystkie boki styczne do okręgu i spełnia warunek na boki: a + c = b + d.

### Czy w każdy romb można wpisać okrąg?
Tak. W rombie wszystkie boki mają tę samą długość, więc sumy przeciwległych boków są automatycznie równe. Promień okręgu wpisanego w romb to połowa jego wysokości, a środek okręgu leży w punkcie przecięcia przekątnych.

### Czy w prostokąt można wpisać okrąg?
Tylko wtedy, gdy prostokąt jest kwadratem. W prostokącie o bokach a i b sumy przeciwległych boków wynoszą 2a i 2b, a warunek wpisania okręgu wymusza 2a = 2b, czyli a = b. Każdy prostokąt o różnych bokach tego warunku nie spełnia.

### Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w czworokąt?
Najczęściej ze wzoru na pole: skoro P = p · r, to r = P / p, gdzie p oznacza połowę obwodu. W trapezie i rombie działa też droga przez wysokość: okrąg jest styczny do dwóch równoległych boków, więc wysokość figury równa się średnicy i r = h / 2.

### Jak obliczyć pole czworokąta opisanego na okręgu?
Ze wzoru P = p · r, czyli pole to iloczyn połowy obwodu i promienia okręgu wpisanego. Wzór wynika z podziału czworokąta na cztery trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu, z których każdy ma wysokość równą promieniowi.

### Czy warunek a + c = b + d ma swoją nazwę?
Tak, to twierdzenie Pitota, od nazwiska francuskiego inżyniera Henri Pitota, który udowodnił je w XVIII wieku. Na maturze nazwa nie jest wymagana. Wystarczy umieć zastosować samą równość i wiedzieć, że wynika z równości odcinków stycznych.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /funkcja-liniowa-z-parametrem-zadania-matura
title: Funkcja liniowa z parametrem - kiedy rosnąca, malejąca, stała (zadania maturalne)
description: Dla jakiej wartości m funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca lub stała? Zobacz warunki, rozwiązane zadania maturalne z parametrem i typowe pułapki CKE.
author: Filip Maszota
---

# Funkcja liniowa z parametrem - kiedy rosnąca, malejąca, stała (zadania maturalne)

Funkcja liniowa \(f(x) = ax + b\) jest rosnąca, gdy \(a > 0\), malejąca, gdy \(a  0\).

**Krok 3: rozwiąż warunek względem m.** Dostajesz zwykłe równanie albo nierówność liniową z niewiadomą \(m\).

Jeśli podstawy masz jeszcze niepoukładane, zajrzyj najpierw do [przewodnika po funkcji liniowej](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), a potem wróć do parametrów.

## Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca, a kiedy stała

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy \(a\): dla \(a > 0\) funkcja jest rosnąca, dla \(a  0\) | rosnąca | prosta idzie w górę |
| \(a  0\), czyli \(2m - 6 > 0\).

**Krok 3: rozwiąż nierówność.**

$$2m - 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2m > 6 \quad \Rightarrow \quad m > 3$$

Funkcja jest rosnąca dla \(m > 3\). Analogicznie: malejąca dla \(m  0\). Najłatwiej zobaczyć to na szkicu: prosta malejąca wchodzi z lewej strony u góry (ćwiartka II), przecina oś \(OY\) nad zerem, przechodzi przez ćwiartkę I i ucieka w dół do ćwiartki IV.

**Krok 1: warunek na a.**

$$4 - 2m  2$$

Uwaga: dzielimy przez \(-2\), więc odwracamy znak nierówności.

**Krok 2: warunek na b.**

$$m - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad m > 1$$

**Krok 3: część wspólna warunków.** Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie: \(m > 2\) i \(m > 1\), czyli ostatecznie \(m > 2\).

## Przykład 7: przecięcie z osią OY, czyli parametr w wyrazie wolnym

Zadanie: dla jakich wartości \(m\) wykres funkcji \(f(x) = 2x + m^2 - 9\) przecina oś \(OY\) w punkcie \((0, -5)\)?

Wykres funkcji liniowej przecina oś \(OY\) zawsze w punkcie \((0, b)\), bo dla \(x = 0\) zostaje sam wyraz wolny. Tym razem parametr siedzi w \(b\), a nie w \(a\), więc warunek układasz dla wyrazu wolnego.

**Krok 1: zapisz warunek na punkt przecięcia z osią OY.**

$$f(0) = m^2 - 9 = -5$$

**Krok 2: rozwiąż równanie.**

$$m^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad m = 2 \quad \text{lub} \quad m = -2$$

**Krok 3: interpretacja.** Warunek spełniają dwie wartości parametru. To częsta sytuacja, gdy \(m\) występuje w kwadracie: zawsze sprawdź, czy równanie nie ma dwóch rozwiązań, i podaj oba. Dla \(m = 2\) i dla \(m = -2\) funkcja to \(f(x) = 2x - 5\), więc oba wyniki są poprawne.

## Typowe pułapki w zadaniach z parametrem

- **Nie odwracasz znaku nierówności.** Przy dzieleniu lub mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną znak się odwraca. To najczęstszy błąd rachunkowy w tych zadaniach (patrz przykład 6).
- **Mylisz parametr ze zmienną.** \(x\) to zmienna funkcji, \(m\) to liczba, której szukasz. Warunek układasz dla \(m\), a \(x\) albo znika po podstawieniu konkretnego argumentu, albo w ogóle nie występuje w warunku.
- **Piszesz nierówność nieostrą zamiast ostrej.** Funkcja malejąca wymaga \(a  0\) (rosnąca), \(a < 0\) (malejąca), \(a = 0\) (stała).
- Podstawić współrzędne punktu do wzoru funkcji i rozwiązać równanie względem \(m\).
- Ułożyć warunek na miejsce zerowe: \(f(x_0) = 0\).
- Stosować warunki równoległości (\(a_1 = a_2\)) i prostopadłości (\(a_1 \cdot a_2 = -1\)).
- Pamiętać o odwracaniu znaku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną.

Gdy przećwiczysz schematy z tego artykułu, przejdź do [bazy zadań CKE z funkcji liniowej](/zadania-cke-funkcja-liniowa-z-rozwiazaniami) i rozwiąż kilka zadań samodzielnie w [dziale funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa). Analogiczne zadania z parametrem, tylko o poziom trudniejsze, znajdziesz w artykule o [funkcji kwadratowej z parametrem](/funkcja-kwadratowa-z-parametrem-dyskusja-zadania-matura). To naturalny następny krok po opanowaniu wersji liniowej.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /generator-zadan-maturalnych-matematyka-trener-cke
title: Generator zadań maturalnych z matematyki - trener CKE online
description: Generator i trener zadań maturalnych z matematyki: losowe zadania CKE, rozwiązania krok po kroku i solver. Zobacz, jak ćwiczyć skutecznie do matury.
author: Marcel Bogdan
---

# Generator zadań maturalnych z matematyki - trener CKE online

Wkułeś teorię, obejrzałeś kilka filmików, a i tak na arkuszu czujesz, że nie wiesz od czego zacząć? To znaczy, że brakuje ci jednej rzeczy: kilometrów na liczniku. Matury z matematyki nie zdaje się od wiedzy, tylko od liczby rozwiązanych zadań. Generator (albo inaczej trener) zadań maturalnych to narzędzie, które podaje ci losowe zadania CKE i pozwala ćwiczyć dokładnie tak, jak będziesz to robić na egzaminie. W tym tekście pokażę ci, jak ćwiczyć mądrze, a nie tylko dużo.

## Po co w ogóle generator zadań maturalnych

Klasyczna nauka wygląda tak: czytasz dział, przerabiasz przykłady z podręcznika po kolei, i masz złudne poczucie, że umiesz. Problem w tym, że gdy zadania idą po kolei w jednym dziale, twój mózg zna kontekst. Wiesz, że teraz "robimy logarytmy", więc sięgasz po wzór na logarytm. Na maturze nikt ci nie powie, z którego działu jest zadanie. Musisz sam rozpoznać typ i dobrać metodę.

Dlatego trening na losowych zadaniach jest tak skuteczny. Generator miesza działy i poziomy trudności, więc uczysz się najważniejszej umiejętności maturalnej: rozpoznawania, co to za zadanie i jak je ugryźć. To jest dokładnie ta kompetencja, której nie wyćwiczysz, przerabiając rozdział po rozdziale.

Druga zaleta to objętość. Na sprawnamatura.pl masz ponad 2300 prawdziwych zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku. To nie są wymyślone zadania "w stylu matury" - to autentyczne zadania z arkuszy, które realnie pojawiały się na egzaminie. Jeśli przerobisz ich kilkaset, żadne zadanie na maturze cię nie zaskoczy, bo widziałeś już wszystkie schematy.

## Czym trener zadań różni się od zwykłego zbioru zadań

Papierowy zbiór zadań ma jedną wadę: jest statyczny i ułożony tematami. Otwierasz rozdział "ciągi" i wiesz, że wszystkie zadania na tej stronie są o ciągach. To wygodne, ale usypia czujność. Trener online działa inaczej, bo miesza zadania i od razu pokazuje rozwiązanie krok po kroku, gdy go potrzebujesz. Nie musisz przewracać na koniec książki, żeby sprawdzić sam wynik bez drogi dojścia.

Druga różnica to natychmiastowa informacja zwrotna. W papierowym zbiorze widzisz tylko odpowiedź, na przykład "x równa się 3". Nie wiesz, gdzie popełniłeś błąd, jeśli wyszło ci coś innego. Trener pokazuje całe rozwiązanie, więc od razu widzisz, w którym kroku się rozjechałeś. To skraca naukę o połowę, bo nie tracisz czasu na szukanie własnego błędu po omacku.

Trzecia różnica to dostępność. Trener masz w telefonie, więc ćwiczysz w autobusie, w kolejce, na przerwie. Nie musisz nosić ze sobą grubej książki ani tablic. Pięć zadań z [losowania](/random) zrobisz w dziesięć minut, czekając na znajomych. Te małe porcje sumują się przez tygodnie w setki rozwiązanych zadań.

## Jak działa losowanie zadań na sprawnamatura.pl

Najprostszy sposób na trening to tryb [losowych zadań](/random). Wchodzisz, dostajesz losowe zadanie z bazy CKE, próbujesz je rozwiązać, a potem sprawdzasz pełne rozwiązanie krok po kroku. Nie pasuje ci dane zadanie albo chcesz inny dział? Losujesz kolejne. Zero przewijania, zero szukania - po prostu rozwiązujesz.

To działa jak trener personalny na siłowni: nie musisz układać planu, narzędzie podsuwa ci kolejne "powtórzenie". Twoim jedynym zadaniem jest myśleć nad zadaniem, a nie nad tym, co rozwiązać dalej. Dzięki temu nie tracisz energii na decyzje i robisz więcej zadań w tym samym czasie.

Jeśli wolisz mieć kontrolę nad poziomem, połącz losowanie z [przeglądaniem działów](/topics). Najpierw dobijasz dany dział w trybie tematycznym, a gdy czujesz się pewnie, przechodzisz na losowe zadania, żeby sprawdzić, czy umiesz rozpoznać ten typ bez podpowiedzi kontekstu.

## Trening tematyczny - gdy chcesz dobić konkretny dział

Czasem wiesz dokładnie, gdzie masz dziurę. Wpadasz na [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna), planimetria ci nie wchodzi, albo ciągle mylisz wzory na [funkcję kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa). Wtedy nie ma sensu losować na ślepo - lepiej skupić ogień na jednym dziale.

Każdy dział na sprawnamatura.pl ma własną stronę z kompletem zadań CKE i przewodnikiem teoretycznym. Możesz przerobić wszystkie zadania zamknięte z danego tematu, zobaczyć rozwiązania krok po kroku i dopiero potem wrócić do losowego treningu. To podejście "od węższego do szerszego": najpierw opanuj pojedynczy klocek, potem ćwicz całość wymieszaną.

Świetnym uzupełnieniem treningu tematycznego jest nasz [hub zadań CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami), gdzie zebraliśmy rozwiązane przykłady z tego działu w jednym miejscu. Jeśli akurat funkcja kwadratowa to twoja pięta achillesowa, zacznij od tego huba, a potem wracaj tu po losowy trening mieszany.

## Solver - gdy utkniesz w połowie zadania

Najbardziej frustrujący moment w nauce to ten, gdy utkniesz i nie masz kogo zapytać. Jest druga w nocy, korepetytor śpi, a ty gapisz się na zadanie, którego nie ruszasz. Do tego służy [solver matematyczny](/solve). Wgrywasz zdjęcie zadania albo przepisujesz treść, a narzędzie pokazuje ci rozwiązanie krok po kroku - nie tylko wynik, ale całą drogę dojścia.

Solver nie jest po to, żeby rozwiązywać zadania za ciebie. Najlepiej działa jako koło ratunkowe: próbujesz sam, utykasz, podglądasz tylko ten jeden krok, którego ci brakowało, i kończysz zadanie samodzielnie. Tak budujesz prawdziwą umiejętność, a nie tylko przepisujesz gotowca. Więcej o tym, jak mądrze korzystać z solvera, znajdziesz w tekście [solver matematyczny online - rozwiąż zadanie ze zdjęcia](/solver-matematyczny-online-rozwiaz-zadanie-maturalne-ze-zdjecia).

## Jak ćwiczyć zależnie od etapu - prosta tabela

Nie każdy trening jest taki sam. Inaczej ćwiczysz pół roku przed maturą, a inaczej na tydzień przed. Oto prosty schemat:

| Etap | Cel | Jak ćwiczyć |
| - | - | - |
| Daleko przed maturą | zbudować podstawy | trening tematyczny dział po dziale, solver przy każdym utknięciu |
| Kilka miesięcy przed | połączyć działy | losowe zadania wymieszane, solver tylko jako koło ratunkowe |
| Miesiąc przed | symulacja egzaminu | całe arkusze na czas, rozwiązania dopiero po skończeniu |
| Tydzień przed | utrwalenie pewniaków | losowanie zadań zamkniętych, sprawdzanie [postępów](/progress) |

Najważniejsza zasada: im bliżej matury, tym bardziej trening ma przypominać prawdziwy egzamin. Na początku możesz podpierać się rozwiązaniami, ale w ostatnim miesiącu rób zadania samodzielnie i sprawdzaj się dopiero na końcu.

## Plan treningu w wakacje - jak nie zmarnować lata

Jeśli czytasz to latem i masz przed sobą maturę, to jest twój najlepszy moment. Wakacje to czas, gdy nikt cię nie goni, a kilkanaście minut dziennie robi ogromną różnicę po dwóch miesiącach. Nie musisz siedzieć godzinami - wystarczy regularnie.

Prosty plan na wakacje: pięć zadań dziennie z [losowania](/random), do tego jeden dział tygodniowo opanowany porządnie z [przeglądarki tematów](/topics). Po dwóch miesiącach masz za sobą ponad 300 zadań i solidnie zaorane kilka działów. Wracasz do szkoły z taką przewagą, że wrześniowe sprawdziany robisz z palcem w nosie. Jeśli zależy ci na strategii bez korepetytora, zajrzyj też do tekstu [matura z matematyki bez korepetycji - plan samodzielnej nauki](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

Pamiętaj, że większość bazy - wszystkie zadania zamknięte i przewodniki - jest u nas za darmo. Jeśli chcesz pełen dostęp do rozwiązań zadań otwartych i dodatkowych narzędzi, jest abonament Premium, którego aktualną cenę zobaczysz na [stronie zakupu](/payment/checkout). Ale na start spokojnie wystarczy ci darmowa część, żeby ruszyć z treningiem już dziś.

## Najczęstsze błędy w samodzielnym treningu

Pierwszy błąd to czytanie rozwiązań zamiast rozwiązywania. Łatwo wpaść w pułapkę: patrzysz na zadanie, od razu klikasz rozwiązanie, kiwasz głową "aha, jasne" i przechodzisz dalej. Twój mózg ma poczucie, że umie, ale to złudzenie. Zrozumienie cudzego rozwiązania to nie to samo, co samodzielne dojście do niego. Zawsze najpierw walcz z zadaniem co najmniej kilka minut.

Drugi błąd to ćwiczenie tylko tego, co już umiesz. To przyjemne, bo dowartościowuje, ale bezużyteczne. Punkty na maturze zdobędziesz tam, gdzie teraz masz dziury, a nie tam, gdzie już jesteś dobry. Świadomie wybieraj działy, które cię boją, i tam kieruj większość treningu. Możesz śledzić swoje słabe punkty w [statystykach postępów](/progress).

Trzeci błąd to brak regularności. Lepiej ćwiczyć codziennie po 20 minut niż raz w tygodniu po trzy godziny. Mózg utrwala umiejętności przez powtarzanie rozłożone w czasie, a nie przez maraton raz na jakiś czas. Ustaw sobie stałą porę i traktuj to jak mycie zębów - nudne, ale działa.

## Najczęstsze pytania

### **Czy generator zadań zastąpi korepetytora?**
W dużej mierze tak, jeśli jesteś zdyscyplinowany. Korepetytor głównie tłumaczy zadania i pilnuje regularności. Pierwsze załatwia solver z rozwiązaniami krok po kroku, drugie musisz wziąć na siebie. Korepetytor wygrywa tylko tam, gdzie potrzebujesz, żeby ktoś cię osobiście zmotywował i wytłumaczył coś na żywo.

### **Ile zadań dziennie wystarczy?**
Pięć porządnie rozwiązanych zadań dziennie to bardzo dobry pułap dla osoby uczącej się systematycznie przez kilka miesięcy. Lepiej rozwiązać pięć zadań do końca i zrozumieć błędy niż przeklikać dwadzieścia na pół gwizdka.

### **Czy zadania są aktualne do nowej formuły matury?**
Tak. Baza opiera się na arkuszach CKE, a większość zadań z lat 2015-2025 jest zgodna z obowiązującą formułą. Jeśli chcesz ćwiczyć na konkretnych arkuszach, wejdź na [stronę arkuszy egzaminacyjnych](/exams). Przyda ci się też [tablica wzorów](/formulas), z której korzystasz na prawdziwej maturze.

### **Jak poznać, że robię postępy?**
Najprościej po liczbach: ile zadań rozwiązujesz bez zaglądania do rozwiązania i jak szybko. Na starcie pewnie podglądasz co drugie, po miesiącu treningu większość robisz sam. Twoje wyniki i serie podsumowuje [strona postępów](/progress), więc nie musisz tego liczyć w głowie. Widać tam też, które działy ciągle kuleją, żebyś wiedział, gdzie kierować trening.

## Podsumowanie

Generator zadań maturalnych to nie magia, tylko najprostsza droga do tego, żeby zrobić dużo zadań i nauczyć się rozpoznawać typy. Zacznij od [losowania zadań](/random), dobijaj słabe działy w [trybie tematycznym](/topics), ratuj się [solverem](/solve), gdy utkniesz, i sprawdzaj formę na [całych arkuszach](/exams). Reszta to kwestia regularności.

Najlepszy moment, żeby zacząć trening, był wczoraj. Drugi najlepszy jest teraz. Wejdź na [losowe zadania](/random) i rozwiąż pierwsze zadanie, zanim zamkniesz tę stronę. A jeśli chcesz zacząć od konkretnego działu, zobacz nasz [hub zadań CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /granica-ciagu-jak-obliczyc-zadania-matura-rozszerzona
title: Granica ciągu - jak obliczyć krok po kroku i zadania z matury rozszerzonej
description: Granica ciągu na maturze rozszerzonej: dzielenie przez najwyższą potęgę, pierwiastki, wyrażenie sprzężone i parametr. Sześć zadań CKE krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Granica ciągu - jak obliczyć krok po kroku i zadania z matury rozszerzonej

Granica ciągu \((a_n)\) to liczba \(g\), do której wyrazy ciągu zbliżają się dowolnie blisko, gdy \(n\) rośnie do nieskończoności; zapisujesz to \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = g\). W zadaniach maturalnych granicę liczysz prawie zawsze jedną metodą: dzielisz licznik i mianownik przez najwyższą potęgę \(n\), korzystasz z tego, że \(\frac{1}{n}\), \(\frac{1}{n^2}\) i każde \(\frac{1}{n^k}\) dążą do zera, i odczytujesz wynik. Gdy stopnie licznika i mianownika są równe, granica to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach; gdy licznik ma niższy stopień, granica to \(0\); gdy wyższy, ciąg rozbiega do \(+\infty\) albo \(-\infty\).

Granica ciągu to materiał [matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona): w arkuszach podstawowych jej nie ma, a w bazie Sprawnej Matury zadania na granicę pochodzą z arkuszy rozszerzonych od matury z 2015 roku po arkusz z 2026 roku, z sesji majowych, czerwcowych i z próbnej CKE z grudnia 2024. Najczęściej jest to krótkie zadanie z początku arkusza: zamknięte z czterema odpowiedziami albo otwarte z kratkami, w które wpisujesz cyfry wyniku. Dobra wiadomość jest taka, że to jeden z najbardziej schematycznych tematów rozszerzenia. Ten wpis pokazuje cały schemat: definicję, granice podstawowe, metodę dzielenia przez najwyższą potęgę, sztuczki z pierwiastkami i parametrem, sześć rozwiązanych zadań z prawdziwych arkuszy i pułapki, które kosztują punkty. Wzory na sam ciąg geometryczny i arytmetyczny, które tu wracają, znajdziesz w dziale [ciągi](/topics/ciagi).

## Co to jest granica ciągu

Ciąg \((a_n)\) ma granicę \(g\), jeśli od pewnego miejsca wszystkie jego wyrazy leżą dowolnie blisko liczby \(g\). Formalnie: dla każdej liczby \(\varepsilon > 0\) istnieje taki numer \(n_0\), że dla wszystkich \(n > n_0\) zachodzi \(|a_n - g|  0\), granica ciągu stałego \(\lim\limits_{n \to \infty} c = c\) oraz zachowanie potęg: \(q^n \to 0\), gdy \(|q|  1\).

Twierdzenia o działaniach mówią, że jeśli \(a_n \to a\) i \(b_n \to b\) (obie granice skończone), to granica sumy to suma granic, granica różnicy to różnica granic, granica iloczynu to iloczyn granic, a granica ilorazu to iloraz granic, o ile \(b \neq 0\). Dodatkowo stałą można wyciągnąć przed granicę: \(\lim\limits_{n \to \infty} c \cdot a_n = c \cdot a\).

Ten zestaw warunków ma znaczenie. Twierdzenia działają tylko dla ciągów zbieżnych, więc zapisu \(\infty - \infty\) ani \(\frac{\infty}{\infty}\) nie wolno "policzyć" wprost. Dokładnie takie wyrażenia dostajesz w każdym zadaniu maturalnym i cała metoda polega na tym, żeby przekształcić ciąg tak, by dało się zastosować twierdzenia o działaniach do ciągów, które granicę mają.

Przydaje się jeszcze twierdzenie o trzech ciągach: jeśli \(a_n \le b_n \le c_n\) od pewnego miejsca i skrajne ciągi mają tę samą granicę \(g\), to środkowy też dąży do \(g\). Klasyczny przykład to \(\frac{\sin n}{n}\): z nierówności \(-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}\) wynika, że ta granica to \(0\). W zadaniach z kratkami nie pojawia się to często, ale w dowodach i zadaniach z ciągami rekurencyjnymi bywa jedyną drogą.

## Jak obliczyć granicę ciągu: metoda dzielenia przez najwyższą potęgę

Najczęstszy kształt zadania to iloraz dwóch wielomianów zmiennej \(n\). Liczysz go w trzech krokach: znajdujesz najwyższą potęgę \(n\) występującą w mianowniku, dzielisz przez nią każdy składnik licznika i mianownika, a potem korzystasz z tego, że wszystkie ułamki typu \(\frac{c}{n^k}\) dążą do zera. Zostają same współczynniki przy najwyższych potęgach.

Dla \(a_n = \frac{2n^2 + 3n - 1}{4n^2 + 5}\) dzielisz przez \(n^2\):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n - 1}{4n^2 + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{5}{n^2}} = \frac{2 + 0 - 0}{4 + 0} = \frac{1}{2}$$

Po kilku zadaniach zauważysz regułę, która pozwala odczytać wynik bez pisania ułamków. Porównaj stopnie licznika i mianownika:

- **stopnie równe**: granica to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach, np. \(\frac{2n^2 + 3n}{4n^2 + 5} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\);
- **stopień licznika niższy**: granica to \(0\), bo po podzieleniu przez potęgę z mianownika w liczniku zostają same ułamki dążące do zera, np. \(\frac{3n + 7}{n^2 - 1} \to 0\);
- **stopień licznika wyższy**: ciąg jest rozbieżny do \(+\infty\) albo \(-\infty\), a znak odczytujesz z iloczynu znaków wiodących współczynników, np. \(\frac{2n^3 - n}{n^2 + 1} \to +\infty\), ale \(\frac{5 - n^2}{n + 3} \to -\infty\).

W zadaniu zamkniętym ta reguła daje odpowiedź w kilkanaście sekund. W zadaniu otwartym z kratkami warto zapisać pełne dzielenie: egzaminator ocenia metodę, a samo "odczytałem współczynniki" bez uzasadnienia może nie wystarczyć na komplet punktów. Bezpieczny zapis to ten z ułamkami \(\frac{1}{n}\), \(\frac{1}{n^2}\) jak wyżej i wyraźne zaznaczenie, że dążą do zera.

**Wskazówka:** Gdy licznik albo mianownik jest podany jako iloczyn lub potęga nawiasu, nie wymnażaj wszystkiego. Interesuje cię tylko składnik z najwyższą potęgą: w \((2n + 1)^3 (n - 4)\) najwyższa potęga to \(8n^3 \cdot n = 8n^4\), a reszta i tak zniknie po podzieleniu.

## Pierwiastki, różnice i potęgi w granicach

Druga grupa zadań ukrywa stopień wyrażenia pod pierwiastkiem. Kluczowa obserwacja: dla \(n > 0\) zachodzi \(\sqrt{n^2} = n\), więc \(\sqrt{3n^2 + 4n - 2}\) zachowuje się jak \(\sqrt{3} \cdot n\). Dzielisz przez \(n\), ale pod pierwiastek wnosisz \(n^2\):

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 1}{\sqrt{4n^2 + n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}}} = \frac{5}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$$

Trzecia grupa to różnice, w których naiwne podstawienie daje \(\infty - \infty\). Ratunkiem jest pomnożenie i podzielenie przez wyrażenie sprzężone, czyli ten sam zabieg co przy usuwaniu niewymierności z mianownika:

$$\sqrt{n^2 + n} - n = \frac{\left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)\left(\sqrt{n^2 + n} + n\right)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}$$

Teraz dzielisz przez \(n\) i dostajesz \(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} \to \frac{1}{2}\). Bez sprzężenia tego wyniku nie da się zobaczyć, a intuicja "nieskończoność minus nieskończoność to zero" jest tu po prostu fałszywa.

Czwarta grupa to ciągi z potęgami, na przykład \(\frac{2 \cdot 3^n + 5}{3^n - 1}\). Rolę najwyższej potęgi gra tu wyrażenie rosnące najszybciej, czyli \(3^n\). Po podzieleniu przez nie masz \(\frac{2 + \frac{5}{3^n}}{1 - \frac{1}{3^n}} \to \frac{2}{1} = 2\), bo \(\left(\frac{1}{3}\right)^n \to 0\). Ten sam mechanizm stoi za sumą nieskończonego ciągu geometrycznego: wzór \(S = \frac{a_1}{1 - q}\) działa wyłącznie dla \(|q|  0$$

Granica ciągu geometrycznego:

$$\lim_{n \to \infty} q^n = 0 \quad \text{dla } |q|  0\).

$$\frac{15n + 24}{2\sqrt{3n^2 + 4n - 2}} = \frac{15 + \frac{24}{n}}{2\sqrt{3 + \frac{4}{n} - \frac{2}{n^2}}}$$

**Krok 3: Przejdź do granicy i usuń niewymierność.**

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{15 + \frac{24}{n}}{2\sqrt{3 + \frac{4}{n} - \frac{2}{n^2}}} = \frac{15}{2\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 4: Policz przybliżenie dziesiętne.** \(\sqrt{3} \approx 1{,}7320\), więc \(\frac{5 \cdot 1{,}7320}{2} \approx 4{,}330\).

**Odpowiedź:** \(\dfrac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4{,}33\). W kratki wpisujesz \(4\), \(3\), \(3\).

## Przykład 5: Parametr w sześcianie (matura rozszerzona maj 2016, zadanie 5)

**Treść:** Granica \(\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\left(pn^2 + 4n\right)^3}{5n^6 - 4} = -\dfrac{8}{5}\). Wynika stąd, że

- A) \(p = -8\)
- B) \(p = 4\)
- C) \(p = 2\)
- D) \(p = -2\)

**Krok 1: Znajdź najwyższą potęgę w liczniku.** Nie wymnażaj sześcianu w całości. Najwyższa potęga w nawiasie to \(pn^2\), więc po podniesieniu do sześcianu wiodący składnik licznika to \(p^3 n^6\). Reszta ma niższe stopnie.

**Krok 2: Odczytaj granicę jako iloraz współczynników.** Licznik i mianownik mają stopień \(6\), więc

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\left(pn^2 + 4n\right)^3}{5n^6 - 4} = \frac{p^3}{5}$$

**Krok 3: Rozwiąż równanie z warunku zadania.**

$$\frac{p^3}{5} = -\frac{8}{5} \quad \Rightarrow \quad p^3 = -8 \quad \Rightarrow \quad p = -2$$

**Odpowiedź: D.** Odpowiedź A to wynik pomylenia \(p^3\) z \(p\): sześcian jest w nawiasie, więc do sześcianu podnosisz także współczynnik.

## Przykład 6: Różnica dwóch ilorazów (matura rozszerzona maj 2015, zadanie 6)

**Treść:** Oblicz granicę \(\lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{11n^3 + 6n + 5}{6n^3 + 1} - \dfrac{2n^2 + 2n + 1}{5n^2 - 4}\right)\) i podaj cyfrę jedności oraz dwie pierwsze cyfry po przecinku jej rozwinięcia dziesiętnego.

**Krok 1: Sprawdź, czy oba składniki mają granice skończone.** W pierwszym ilorazie stopnie licznika i mianownika to \(3\), w drugim \(2\). Oba ciągi są zbieżne, więc wolno użyć twierdzenia o granicy różnicy i policzyć każdą granicę osobno. Nie sprowadzaj tego do wspólnego mianownika: to legalne, ale kosztuje kilka minut i mnoży okazje do błędu.

**Krok 2: Policz pierwszą granicę.**

$$\lim_{n \to \infty} \frac{11n^3 + 6n + 5}{6n^3 + 1} = \frac{11}{6}$$

**Krok 3: Policz drugą granicę.**

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 2n + 1}{5n^2 - 4} = \frac{2}{5}$$

**Krok 4: Odejmij i zamień na ułamek dziesiętny.**

$$\frac{11}{6} - \frac{2}{5} = \frac{55}{30} - \frac{12}{30} = \frac{43}{30} = 1{,}4333\ldots$$

**Odpowiedź:** \(\dfrac{43}{30} \approx 1{,}43\). W kratki wpisujesz \(1\), \(4\), \(3\).

## Typowe pułapki przy liczeniu granic

**Pułapka:** Dzielenie przez potęgę z licznika zamiast z mianownika. Gdy licznik ma wyższy stopień, podzielenie przez jego najwyższą potęgę daje w mianowniku same ułamki dążące do zera, a wynik wygląda jak "dzielenie przez zero". Dziel zawsze przez najwyższą potęgę \(n\) występującą w mianowniku; jeśli licznik ma wyższy stopień, dostaniesz w liczniku wyrażenie rosnące do nieskończoności i poprawnie odczytasz, że ciąg jest rozbieżny.

**Pułapka 2:** Znak przy granicy nieskończonej. Dla \(\frac{5 - n^2}{n + 3}\) wielu uczniów pisze \(+\infty\), bo "coś dużego przez coś dużego". Po podzieleniu przez \(n\) masz \(\frac{\frac{5}{n} - n}{1 + \frac{3}{n}}\), licznik dąży do \(-\infty\), mianownik do \(1\), więc granica to \(-\infty\). Znak bierzesz z iloczynu znaków współczynników wiodących.

**Pułapka 3:** Odejmowanie nieskończoności. Zapis \(\infty - \infty\) nie jest równy zeru, ani żadnej innej konkretnej liczbie. Wynik zależy od tego, jak szybko oba wyrażenia rosną: \(\sqrt{n^2 + n} - n \to \frac{1}{2}\), ale \(\sqrt{n^2 + 2n} - n \to 1\), a \(n^2 - n \to +\infty\). Różnicę pierwiastków zawsze przekształcaj przez wyrażenie sprzężone.

**Pułapka 4:** Pierwiastek z \(n^2\) przy dzieleniu. Wnosząc \(n\) pod pierwiastek, piszesz \(n^2\), nie \(n\): \(\frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n} = \sqrt{\frac{4n^2 + 1}{n^2}} = \sqrt{4 + \frac{1}{n^2}} \to 2\). Wniesienie samego \(n\) dałoby błędny wynik \(\sqrt{4n + \ldots}\), które w ogóle nie ma skończonej granicy.

**Pułapka 5:** Zadanie z kratkami i zaokrąglanie. Gdy wynik to \(\frac{20}{21} = 0{,}952380\ldots\), a polecenie każe wpisać trzy kolejne cyfry po przecinku, wpisujesz cyfry rozwinięcia, czyli \(9\), \(5\), \(2\), a nie cyfry liczby zaokrąglonej. Przeczytaj polecenie dwa razy: raz proszą o cyfrę jedności i dwie po przecinku, innym razem o trzy pierwsze cyfry po przecinku.

**Zapamiętaj:** Trzy przypadki dla ilorazu wielomianów: stopnie równe to iloraz współczynników wiodących, licznik niższy to zero, licznik wyższy to nieskończoność ze znakiem z iloczynu współczynników wiodących.

## Co musisz umieć

- Wyjaśnić własnymi słowami, co znaczy, że ciąg ma granicę, i podać przykład ciągu bez granicy.
- Znać granice elementarne: \(\frac{1}{n^k} \to 0\) oraz \(q^n \to 0\) dla \(|q| < 1\).
- Stosować twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu razem z ich założeniami.
- Obliczać granicę ilorazu wielomianów przez dzielenie przez najwyższą potęgę mianownika.
- Odczytywać z porównania stopni, czy granica jest liczbą, zerem czy nieskończonością, i ustalać znak.
- Liczyć granice z pierwiastkiem, wnosząc \(n\) pod pierwiastek jako \(n^2\).
- Przekształcać różnicę pierwiastków przez wyrażenie sprzężone.
- Zwijać sumy i symbol Newtona do wielomianu, zanim policzysz granicę.
- Rozwiązywać zadania z parametrem, układając równanie z ilorazu współczynników wiodących.
- Zamieniać wynik na rozwinięcie dziesiętne i wpisywać w kratki dokładnie te cyfry, o które prosi polecenie.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniższe zadania pochodzą z arkuszy matury rozszerzonej i sprawdzają dokładnie te umiejętności, które przeszliśmy wyżej: iloraz wielomianów, różnicę dwóch ilorazów, sumę kolejnych liczb nieparzystych w liczniku, symbol Newtona i sumę nieskończonego ciągu geometrycznego. Każde ma w bazie rozwiązanie krok po kroku; treść i odpowiedź sprawdzisz za darmo, a pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [płatnym planie](/payment/checkout).

Granica ciągu jest wstępem do granicy funkcji i do pochodnej, czyli do drugiej połowy [wymagań matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Ta sama idea, "co się dzieje, gdy argument dąży do czegoś", wraca tam w definicji pochodnej jako granica ilorazu różnicowego.

Następny krok: Zobacz, jak granica wraca w pochodnej funkcji (/pochodna-funkcji-wzory-jak-obliczyc-zadania-matura)

## Najczęstsze pytania o granicę ciągu

### Czy granica ciągu jest na maturze podstawowej?

Nie. Granica ciągu to materiał poziomu rozszerzonego. Na podstawie ciągi kończą się na wzorze ogólnym, monotoniczności i sumie skończonej liczby wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Jeśli zdajesz tylko podstawę, ten temat możesz pominąć; jeśli rozszerzenie, to jeden z najbardziej opłacalnych tematów, bo zadania są krótkie i schematyczne.

### Jak szybko obliczyć granicę ilorazu wielomianów?

Porównaj stopnie licznika i mianownika. Gdy są równe, granica to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach. Gdy licznik ma niższy stopień, granica to zero. Gdy licznik ma wyższy stopień, ciąg jest rozbieżny do plus albo minus nieskończoności, a znak bierzesz z iloczynu znaków współczynników wiodących. W zadaniu otwartym zapisz jednak pełne dzielenie przez najwyższą potęgę, bo oceniana jest metoda.

### Co to znaczy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności?

To znaczy, że wyrazy ciągu rosną ponad każdą liczbę: dla dowolnie dużego \(M\) od pewnego miejsca wszystkie wyrazy są większe od \(M\). Zapisujesz \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty\), ale nie jest to granica w sensie liczby, więc taki ciąg nazywasz rozbieżnym, nie zbieżnym. Analogicznie działa rozbieżność do \(-\infty\).

### Czy każdy ciąg ma granicę?

Nie. Ciąg \((-1)^n\) skacze między \(-1\) a \(1\) i nie ma granicy ani skończonej, ani nieskończonej. Ciąg zbieżny to taki, który ma granicę będącą liczbą; ciąg może też być rozbieżny do \(\pm\infty\) albo nie mieć granicy wcale. Na maturze prawie zawsze pytają o ciągi zbieżne albo rozbieżne do nieskończoności.

### Jak policzyć granicę z pierwiastkiem?

Zobacz, jaka najwyższa potęga stoi pod pierwiastkiem, i weź z niej pierwiastek: \(\sqrt{3n^2 + 4n}\) zachowuje się jak \(\sqrt{3} \cdot n\). Dzieląc przez \(n\), pod pierwiastek wnosisz \(n^2\). Jeśli zadanie zawiera różnicę pierwiastków, najpierw pomnóż i podziel przez wyrażenie sprzężone, a dopiero potem dziel przez najwyższą potęgę.

### Czym różni się granica ciągu od granicy funkcji?

Granica ciągu dotyczy wyłącznie \(n \to \infty\), bo ciąg jest określony na liczbach naturalnych. Granica funkcji może być liczona także w punkcie skończonym, z lewej i z prawej strony, i to na niej opiera się definicja pochodnej. Technika liczenia granic w nieskończoności jest jednak identyczna, więc to, co ćwiczysz tutaj, przenosi się wprost na rachunek różniczkowy.


---
route: /ile-czasu-na-przygotowanie-do-matury-z-matematyki
title: Ile czasu na przygotowanie do matury z matematyki - realny plan
description: Ile czasu naprawdę zajmuje przygotowanie do matury z matematyki? Realne widełki godzin na rok, pół roku i 3 miesiące, tygodniowy rytm i darmowe narzędzia.
author: Marcel Bogdan
---

# Ile czasu na przygotowanie do matury z matematyki - realny plan

## Ile czasu naprawdę potrzeba - krótka odpowiedź

"Ile czasu zajmie mi przygotowanie do matury z matematyki?" To pierwsze pytanie, które zadaje sobie każdy maturzysta i każdy rodzic, zanim wyda złotówkę na korepetycje albo kurs. I prawie zawsze słyszy w odpowiedzi wymijające "to zależy". Zależy, owszem. Ale da się to policzyć dużo konkretniej, i dokładnie to zrobimy w tym tekście: realne widełki godzin dla czterech scenariuszy (rok, pół roku, trzy miesiące, miesiąc), tygodniowy rytm nauki dla każdego z nich i prosty sposób, żeby sprawdzić, od którego pułapu startujesz.

Na początek liczby, po które tu przyszedłeś. To zachowawcze szacunki z praktyki, nie wyniki laboratoryjne. Zakładają, że uczysz się aktywnie, czyli rozwiązujesz zadania, a nie tylko czytasz teorię i oglądasz filmy.

| Cel na maturze podstawowej | Start z dużymi brakami | Start ze średnią bazą |
|---|---|---|
| Zdać, czyli przekroczyć 30 procent | 120-150 godzin | 60-90 godzin |
| Wynik 50-60 procent | 180-220 godzin | 120-150 godzin |
| Wynik 70-80 procent | 250-300 godzin | 160-200 godzin |
| Wynik 90 procent i więcej | ponad 300 godzin | 220-260 godzin |

Jak to przełożyć na kalendarz? Prosty rachunek: 5 godzin tygodniowo przez 40 tygodni roku szkolnego to \(5 \cdot 40 = 200\) godzin. Czyli mniej więcej godzina dziennie z jednym dniem wolnego wystarcza, żeby nawet ze słabego startu dojechać do naprawdę dobrego wyniku. Problem w tym, że mało kto zaczyna rok wcześniej. Dlatego niżej rozpisuję każdy scenariusz osobno.

## Od czego zależy twoje tempo

Cztery rzeczy decydują o tym, po której stronie widełek wylądujesz.

Poziom startowy. Kto inny zaczyna po dobrym gimnazjum matematycznym, kto inny nie pamięta, jak się dodaje ułamki. Zanim cokolwiek zaplanujesz, zrób uczciwą diagnozę. Jak to zrobić bez stresu i w jedno popołudnie, opisałem w tekście o [teście diagnostycznym przed maturą](/test-diagnostyczny-matematyka-matura-jak-sprawdzic-poziom).

Cel punktowy. Kto inny walczy o sam próg, kto inny o 90 procent do rekrutacji na studia. Zacznij od sprawdzenia, [ile punktów potrzeba, żeby zdać maturę z matematyki](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki), i ustaw cel realnie: lepiej pewnie przeskoczyć 60 procent, niż teoretycznie celować w 100 i się wypalić.

Sposób nauki. Godzina biernego oglądania kursu to nie jest ta sama godzina co godzina samodzielnego rozwiązywania zadań z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku. Ta druga jest warta dwie albo trzy pierwsze. O tym więcej za chwilę.

Regularność. Pięć godzin rozłożonych na pięć dni daje więcej niż pięć godzin w jedną niedzielę. Mózg potrzebuje powtórek w odstępach, żeby materiał został na dłużej. Krótko i często bije długo i rzadko.

## Masz rok: scenariusz komfortowy (4-6 godzin tygodniowo)

Jeśli czytasz to w wakacje przed klasą maturalną albo wcześniej, gratulacje: masz najtańszy i najspokojniejszy wariant. Przy 4-6 godzinach tygodniowo przez rok zbierzesz 160-240 godzin, czyli komfortowo mieścisz się w widełkach nawet na wysoki wynik.

Rytm tygodnia może wyglądać tak: trzy albo cztery sesje po godzinie. Jeden dział na tydzień lub dwa, przerabiany po kolei z listy w [spisie działów](/topics), a do tego jedna sesja z zadaniami losowymi w [trybie losowym](/random), żeby stare tematy nie rdzewiały. Dokładny rozkład materiału na dwanaście miesięcy rozpisałem w [planie przygotowań na rok](/jak-zaczac-przygotowania-do-matury-z-matematyki-2027-plan-na-rok), a o tym, jak wystartować już w wakacje, przeczytasz w tekście o [przygotowaniach do matury 2027](/matura-z-matematyki-2027-jak-zaczac-przygotowania).

Przy takim zapasie czasu warto od początku śledzić postępy. W [panelu postępów](/progress) widzisz procent opanowania każdego działu, więc po miesiącu wiesz, czy tempo jest dobre, a nie dowiadujesz się tego w kwietniu.

## Masz pół roku: wciąż spokojnie (7-9 godzin tygodniowo)

Pół roku, czyli na przykład start w styczniu klasy maturalnej, to nadal wygodna pozycja. Potrzebujesz 7-9 godzin tygodniowo, żeby uzbierać około 180-230 godzin. To już wymaga kalendarza: dwie sesje w tygodniu po szkole plus solidniejszy blok w weekend.

Kolejność ma znaczenie. Nie przerabiaj działów alfabetycznie, tylko od tych, które dają najwięcej punktów na egzaminie. Które to są i ile zadań z każdego tematu pojawia się w arkuszach, sprawdzisz w [bazie zadań maturalnych według działów](/zadania-maturalne-z-matematyki-wedlug-dzialow-baza-cke). Duże działy (równania, geometria analityczna, planimetria, ciągi) bierz wcześniej, bo potrzebują czasu na okrzepnięcie.

## Masz trzy miesiące: da się, ale bez slalomu (12-15 godzin tygodniowo)

Trzy miesiące to około 13 tygodni. Przy 12-15 godzinach tygodniowo zbierzesz 150-190 godzin, co przy sensownej selekcji materiału wystarcza na wynik wyraźnie powyżej progu, a przy dobrej bazie nawet na 70 procent. Ale tu już nie ma miejsca na naukę wszystkiego po trochu.

Zasady są dwie. Po pierwsze, tniesz materiał: najpierw działy duże i schematyczne, dopiero potem rzadkie rodzynki. Po drugie, wcześnie wchodzisz w arkusze. Już od czwartego albo piątego tygodnia rozwiązuj co tydzień jeden pełny [arkusz maturalny CKE](/exams) na czas. Arkusz pokazuje, czego naprawdę brakuje, i uczy gospodarowania czasem na egzaminie, czego nie nauczy żadna playlista.

## Masz miesiąc: tryb ratunkowy

Miesiąc to mało, ale nie beznadziejnie mało, zwłaszcza jeśli jakąś bazę masz. To dokładnie scenariusz osób, które w sierpniu piszą poprawkę: dla nich mam gotowy [plan przygotowań do poprawki na 4 tygodnie](/poprawka-z-matematyki-sierpien-2026-plan-przygotowan), rozpisany dzień po dniu.

W trybie ratunkowym nie uczysz się "matematyki", tylko zdobywania punktów. Konkretną listę tematów, które dają próg najmniejszym kosztem, znajdziesz w strategii [minimum 30 punktów](/minimum-30-punktow-matura-matematyka-ktore-zadania-robic). A na ostatnie dni przed egzaminem zostaw [ekspresową powtórkę całego materiału](/ekspresowa-powtorka-caly-material-maturalny-1-dzien), która zbiera najważniejsze schematy w jednym miejscu.

## Godzina godzinie nierówna: jak nie zmarnować czasu

Teraz najważniejsza część tego tekstu, bo od niej zależy, czy twoje 150 godzin będzie warte 150, czy 50.

Najwięcej czasu marnuje się na bierne "uczenie się": czytanie notatek, oglądanie kolejnych filmów, przepisywanie wzorów. Czujesz, że pracujesz, a umiejętność rozwiązywania nie rośnie. Działa co innego: bierzesz zadanie, próbujesz samodzielnie, sprawdzasz rozwiązanie krok po kroku, wyciągasz wniosek i bierzesz następne. Każda godzina w tym trybie realnie przesuwa wynik.

Szczególnie dotyczy to zadań otwartych, za które na maturze idzie ponad połowa punktów. Ich nie da się nauczyć oczami: trzeba pisać pełne rozwiązania na kartce. Kompletną, darmową bazę do takiego treningu znajdziesz w [bazie zadań otwartych CKE z rozwiązaniami](/zadania-otwarte-matura-matematyka-baza-cke-z-rozwiazaniami). A gdy utkniesz we własnych obliczeniach, wrzuć je do [solvera](/solve), który pokaże przekształcenia krok po kroku, zamiast zostawić cię z samym "źle".

## Czas kontra pieniądze: korepetycje, kurs czy samodzielnie

Policz to na godzinach, nie na emocjach. Korepetycje raz w tygodniu to około 35-40 godzin kontaktu przez cały rok szkolny, czyli za mało, żeby "zrobiły" za ciebie widełki z tabeli wyżej. One mogą być świetnym uzupełnieniem, ale i tak 70-80 procent godzin musisz przepracować sam. Pełne porównanie kosztów wszystkich opcji, od korepetycji po kursy, rozpisałem w tekście [ile kosztuje przygotowanie do matury z matematyki](/ile-kosztuje-przygotowanie-do-matury-z-matematyki).

Dlatego kluczowe jest, żeby te samodzielne godziny miały jak najlepsze warunki: zadania z prawdziwych arkuszy, natychmiastowe sprawdzenie odpowiedzi i rozwiązanie krok po kroku, gdy czegoś nie widzisz. Dokładnie tak działa sprawnamatura.pl: ponad 2300 zadań z arkuszy CKE do rozwiązywania za darmo, każde z pełnym rozwiązaniem, do tego śledzenie postępów i aplikacja na telefon, więc krótkie sesje wchodzą nawet w autobusie. Uczciwie: żadna platforma, kurs ani korepetytor nie zrobi godzin za ciebie. Ale dobre narzędzie sprawia, że godzina nauki to godzina nauki, a nie 20 minut szukania zadań i 40 minut zastanawiania się, czy wynik jest dobry.

## FAQ: najczęstsze pytania o czas nauki

### Czy godzina dziennie wystarczy?
Jeśli masz przed sobą cały rok szkolny, tak, spokojnie: to około 200-250 godzin, czyli górna półka widełek. Przy trzech miesiącach godzina dziennie da około 90 godzin, co wystarczy na pewne zdanie przy średniej bazie, ale na wysoki wynik będzie za mało.

### Czy da się przygotować do matury z matematyki w miesiąc?
Od zera do progu: bardzo ryzykowne, choć zdarzają się tacy, którym się udało. Z bazą ze szkoły: realne, pod warunkiem pracy w trybie ratunkowym opisanym wyżej, czyli 2-3 godziny dziennie wyłącznie pod punkty.

### Ile arkuszy trzeba rozwiązać przed maturą?
Sensowne minimum to 10-15 pełnych arkuszy na czas w ostatnich dwóch miesiącach. To one sklejają wiedzę z działów w umiejętność zdawania egzaminu.

### Kiedy zacząć w klasie maturalnej?
Najpóźniej we wrześniu. Każdy miesiąc zwłoki podnosi wymagane tempo: wrześniowy start to 5-6 godzin tygodniowo, styczniowy już 8-9, a kwietniowy zamienia przygotowania w sprint po próg.

### Czy liczyć czas spędzony na lekcjach matematyki w szkole?
Tylko częściowo. Lekcje utrzymują kontakt z materiałem, ale rzadko są treningiem pod arkusz maturalny. W widełkach z tabeli chodzi o twoje własne godziny z zadaniami, poza szkołą. Dobra wiadomość: jeśli na lekcjach naprawdę uważasz, możesz śmiało celować w dolną granicę przedziału.

## Podsumowanie: policz godziny i zacznij dziś

Przygotowanie do matury z matematyki to policzalny projekt: od około 60-90 godzin przy dobrej bazie i celu "zdać", do 250-300 godzin przy słabym starcie i wysokich ambicjach. Podziel swoje godziny przez liczbę tygodni do egzaminu i masz tygodniowy plan. Reszta to konsekwencja i aktywna nauka na zadaniach, nie na notatkach.

Pierwszy krok możesz zrobić w 5 minut: sprawdź swój poziom, otwórz [tryb losowy](/random) i rozwiąż pięć zadań. Od jutra licznik godzin zaczyna działać na twoją korzyść.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-iloczyn-skalarny-wektorow-wzor-zadania
title: Jak obliczyć iloczyn skalarny wektorów - wzór, kąt między wektorami i zadania maturalne
description: Wzór na iloczyn skalarny wektorów, warunek prostopadłości, kąt między wektorami. 6 zadań maturalnych krok po kroku z typowymi pułapkami CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć iloczyn skalarny wektorów - wzór, kąt między wektorami i zadania maturalne

Iloczyn skalarny wektorów to narzędzie, bez którego nie zrobisz zadań o prostopadłości i kątach w geometrii analitycznej. Na maturze podstawowej pojawia się rzadziej, ale na rozszerzeniu praktycznie co roku. Dobra wiadomość: wzór jest prosty jak cep, wystarczy wiedzieć, kiedy go użyć.

## Wzór na iloczyn skalarny - dwie postaci

Dla wektorów \(\vec{u} = [u_1, u_2]\) i \(\vec{v} = [v_1, v_2]\):

**Postać współrzędnościowa:**

$$\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$$

**Postać geometryczna:**

$$\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\alpha$$

gdzie \(\alpha\) to kąt między wektorami, a \(|\vec{u}|\) to długość wektora:

$$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$$

**Uwaga:** iloczyn skalarny to liczba (skalar), nie wektor. Stąd nazwa.

## Warunek prostopadłości

Dwa wektory są **prostopadłe** wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$\vec{u} \circ \vec{v} = 0$$

To wynika z drugiej postaci: jeśli \(\alpha = 90°\), to \(\cos\alpha = 0\), więc iloczyn skalarny = 0.

To najczęstsze zastosowanie na maturze - sprawdzanie, czy wektory/proste są prostopadłe.

## Warunek równoległości (kolinearność)

Wektory są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(k \in \mathbb{R}\) takie że \(\vec{v} = k\vec{u}\), czyli gdy ich współrzędne są proporcjonalne:

$$\frac{v_1}{u_1} = \frac{v_2}{u_2}$$

Albo: \(u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0\).

## Kąt między wektorami - wzór

Łącząc obie postaci iloczynu skalarnego:

$$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$$

Stąd liczysz \(\alpha\) przez arcus cosinus. Więcej o pracy z kątami w poście [jak obliczyć kąt między wektorami](/jak-obliczyc-kat-miedzy-wektorami-prostymi-matura).

## Zadanie 1 - iloczyn skalarny z współrzędnych

Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\vec{u} = [3, 4]\) i \(\vec{v} = [2, -1]\).

**Rozwiązanie:**

$$\vec{u} \circ \vec{v} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2$$

**Odpowiedź:** \(\vec{u} \circ \vec{v} = 2\).

## Zadanie 2 - sprawdzenie prostopadłości

Czy wektory \(\vec{a} = [3, 4]\) i \(\vec{b} = [-4, 3]\) są prostopadłe?

**Rozwiązanie:**

$$\vec{a} \circ \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0$$

Iloczyn skalarny = 0, więc wektory są **prostopadłe**.

**Odpowiedź:** Tak, wektory są prostopadłe.

## Zadanie 3 - znajdź parametr

Dla jakiej wartości \(m\) wektory \(\vec{u} = [m, 3]\) i \(\vec{v} = [2, -4]\) są prostopadłe?

**Rozwiązanie:**

Z warunku prostopadłości:

$$m \cdot 2 + 3 \cdot (-4) = 0$$
$$2m - 12 = 0$$
$$m = 6$$

**Odpowiedź:** \(m = 6\).

## Zadanie 4 - kąt między wektorami

Oblicz kąt między wektorami \(\vec{u} = [1, \sqrt{3}]\) i \(\vec{v} = [1, 0]\).

**Rozwiązanie:**

\(\vec{u} \circ \vec{v} = 1 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 0 = 1\)

\(|\vec{u}| = \sqrt{1 + 3} = 2\), \(|\vec{v}| = 1\)

$$\cos\alpha = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$

Zatem \(\alpha = 60°\).

**Odpowiedź:** \(\alpha = 60°\).

## Zadanie 5 - kąt rozwarty

Oblicz kąt między wektorami \(\vec{u} = [1, 2]\) i \(\vec{v} = [-2, -1]\).

**Rozwiązanie:**

\(\vec{u} \circ \vec{v} = -2 - 2 = -4\)

\(|\vec{u}| = \sqrt{5}\), \(|\vec{v}| = \sqrt{5}\)

$$\cos\alpha = \frac{-4}{5} = -0{,}8$$

\(\alpha = \arccos(-0{,}8) \approx 143°\).

**Wniosek:** ujemny iloczyn skalarny oznacza kąt rozwarty.

## Zadanie 6 - wektor prostopadły

Znajdź wektor prostopadły do \(\vec{u} = [2, 5]\) o długości \(\sqrt{29}\).

**Rozwiązanie:**

Wektor prostopadły do \([a, b]\) ma postać \([-b, a]\) lub \([b, -a]\).

Dla \(\vec{u} = [2, 5]\) prostopadłe są: \([-5, 2]\) oraz \([5, -2]\).

Długość: \(\sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\). Zgadza się.

**Odpowiedź:** \(\vec{v} = [-5, 2]\) lub \(\vec{v} = [5, -2]\).

## Typowe pułapki

**1. Mylenie iloczynu skalarnego z wektorowym.** Na podstawie to nie występuje, ale na rozszerzeniu owszem. Skalarny = liczba, wektorowy = wektor (tylko w 3D).

**2. Zapomnienie o znaku.** Ujemny iloczyn = kąt rozwarty. Mnóstwo osób dostaje \(\cos = -\frac{1}{2}\) i pisze \(60°\) zamiast \(120°\).

**3. Długość wektora bez pierwiastka.** Pamiętaj \(|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}\), nie \(u_1^2 + u_2^2\).

**4. Pomylenie punktu z wektorem.** Punkt \(A = (1, 2)\), wektor \(\vec{u} = [1, 2]\). Na maturze notacja różni się nawiasami.

## Podsumowanie

- \(\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2\) - podstawa
- Iloczyn = 0 oznacza prostopadłość
- \(\cos\alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\) - kąt między wektorami
- Wektor prostopadły do \([a, b]\) to \([-b, a]\)
- Ujemny iloczyn = kąt rozwarty, dodatni = ostry, zero = prosty

Więcej o prostych i okręgach w poście [geometria analityczna na maturze](/topics/geometria-analityczna) i [równanie prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-kat-dwuscienny-ostroslup-matura
title: Kąt dwuścienny w ostrosłupie - jak obliczyć, wzory i zadania maturalne
description: Jak obliczyć kąt dwuścienny w ostrosłupie na maturze. Schemat w 6 krokach, wzory na tangens, 4 warianty zadań i typowe pułapki. Przykłady CKE krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Kąt dwuścienny w ostrosłupie - jak obliczyć, wzory i zadania maturalne

Kąt dwuścienny w ostrosłupie to jedno z zadań, które regularnie pojawia się na maturze rozszerzonej z matematyki. Zadania ze stereometrii są długie, ale jeśli zna się schemat, są powtarzalne. W tym poradniku krok po kroku pokazuję jak policzyć kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą, oraz rzadsze warianty: kąt między dwiema ścianami bocznymi.

## Czym jest kąt dwuścienny

Kąt dwuścienny to kąt między dwiema półpłaszczyznami spotykającymi się wzdłuż wspólnej krawędzi. W ostrosłupie najczęściej pojawiają się dwa warianty:

1. **Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy** - między jedną ze ścian bocznych (trójkątną) a podstawą. Krawędzią jest bok podstawy.
2. **Kąt między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi** - między dwoma trójkątami bocznymi. Krawędzią jest krawędź boczna.

Oba mierzy się **prostopadle do krawędzi wspólnej**. To jest najważniejsza zasada - wszystko sprowadza się do znalezienia prostych prostopadłych do wspólnej krawędzi i policzenia kąta między nimi.

## Zasada jednego trójkąta prostokątnego

Sekret rozwiązywania tych zadań brzmi tak: zawsze kończysz w trójkącie prostokątnym. Dwa kąty to spraw 90°, jeden to szukany kąt, boki znasz lub liczysz z Pitagorasa i wartości trygonometrycznych.

## Typ 1: kąt między ścianą boczną a podstawą w ostrosłupie prawidłowym

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym (podstawa kwadrat o boku \(a\), spodek wysokości w środku kwadratu) szukamy kąta \(\alpha\) między ścianą boczną a podstawą.

### Krok po kroku

1. Niech \(S\) to środek kwadratu podstawy, \(W\) wierzchołek ostrosłupa, \(M\) środek jednego z boków podstawy.
2. Odcinek \(SM\) jest prostopadły do boku podstawy (bo leży w płaszczyźnie podstawy i łączy środek kwadratu ze środkiem boku).
3. Odcinek \(WM\) jest prostopadły do tego samego boku (bo \(W\) jest na prostej prostopadłej do podstawy przechodzącej przez \(S\), a \(SM \perp\) bok).
4. Kąt \(\angle WMS = \alpha\) to kąt dwuścienny, który szukamy.

W trójkącie prostokątnym \(WSM\) (kąt prosty w \(S\)) mamy:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{2H}{a}$$

gdzie \(H\) to wysokość ostrosłupa.

**Przykład 1.** Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku \(a = 6\) i wysokość \(H = 4\). Oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2 \cdot 4}{6} = \frac{4}{3}$$

$$\alpha = \operatorname{arctg}\frac{4}{3} \approx 53{,}13°$$

## Typ 2: kąt między ścianą boczną a podstawą w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

Podstawa - trójkąt równoboczny o boku \(a\). Spodek wysokości to środek ciężkości trójkąta równobocznego, który pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego.

Odcinek od środka do środka boku to promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Stąd:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r} = \frac{6H}{a\sqrt{3}} = \frac{2H\sqrt{3}}{a}$$

**Przykład 2.** Ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie \(a = 6\) i wysokości \(H = 3\). Kąt między ścianą boczną a podstawą:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha = 60°$$

## Typ 3: kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy

To łatwiejszy wariant, często na poziomie podstawowym. Tutaj używamy przekątnej podstawy (lub połowy przekątnej) zamiast odcinka \(SM\).

Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o boku \(a\) i wysokości \(H\):

$$\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{H\sqrt{2}}{a}$$

**Przykład 3.** \(a = 4\), \(H = 2\sqrt{2}\):

$$\operatorname{tg}\beta = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \beta = 45°$$

## Typ 4: kąt między dwiema ścianami bocznymi (rzadszy, rozszerzona)

Najczęściej szukamy kąta dwuściennego przy krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

### Metoda

1. Oznacz krawędź wspólną - krawędź boczna \(WA\).
2. Wybierz punkt \(P\) na krawędzi \(WA\) (najlepiej tak, by konstrukcja była symetryczna).
3. Poprowadź z \(P\) dwa odcinki prostopadłe do \(WA\): jeden w jednej ścianie bocznej, drugi w sąsiedniej.
4. Kąt między tymi odcinkami = kąt dwuścienny.

W praktyce najszybciej używa się wzoru na cosinus kąta dwuściennego przez iloczyn skalarny wektorów normalnych do ścian, ale na maturze zwykle prowadzimy konstrukcję z prostopadłościami i Pitagorasem.

**Przykład 4 (schematycznie).** Ostrosłup prawidłowy czworokątny \(a = 4\), krawędź boczna \(b = 6\). Szukamy kąta dwuściennego przy krawędzi bocznej.

1. Wysokość ściany bocznej (odcinek od krawędzi \(WA\) do środka przeciwległego boku ściany, czyli do podstawy ściany trójkątnej): liczymy z Pitagorasa w trójkącie równoramiennym ściany bocznej.

Wysokość \(h_b\) ściany bocznej (z wierzchołka \(W\) do środka boku podstawy): boki ściany \(b, b, a\), więc

$$h_b = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

2. Odcinki prostopadłe do krawędzi bocznej, wychodzące z jej środka, mają długość:

$$d = \frac{h_b \cdot a/2}{b} \cdot 2 = ...$$

i dalej cosinus z Pitagorasa uogólnionego. Takie zadania są długie - najlepiej ćwiczyć je na konkretnych zadaniach CKE.

## Schemat rozwiązania - 6 kroków

1. **Narysuj ostrosłup.** Na maturze obrazek jest podstawą. Oznacz wierzchołki literami.
2. **Zidentyfikuj typ kąta.** Ściana boczna do podstawy? Krawędź boczna do podstawy? Dwie ściany boczne?
3. **Znajdź krawędź wspólną.** Wspólny bok obu półpłaszczyzn.
4. **Poprowadź z punktu na krawędzi dwa odcinki prostopadłe do niej.** Jeden w każdej półpłaszczyźnie.
5. **Utwórz trójkąt prostokątny** z wysokością ostrosłupa i promieniem okręgu wpisanego lub wysokością ściany bocznej.
6. **Policz tangens kąta** i z tablic (lub arctg na kalkulatorze w maturze rozszerzonej) odczytaj miarę.

## Typowe błędy

**Błąd 1: mylenie kąta nachylenia ściany bocznej z kątem nachylenia krawędzi bocznej.** To dwa różne kąty, różne trójkąty prostokątne. Kąt ściany używa odcinka \(SM\) (środek do środka boku), kąt krawędzi używa odcinka \(SA\) (środek do wierzchołka podstawy).

**Błąd 2: branie wysokości ściany zamiast wysokości ostrosłupa.** W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych to wysokość ostrosłupa \(H\), nie wysokość trójkąta ściany bocznej.

**Błąd 3: pomylenie ostrosłupa prawidłowego z nieprawidłowym.** W prawidłowym spodek wysokości jest w środku podstawy. W nieprawidłowym - gdziekolwiek. Jeśli zadanie nie mówi "prawidłowy", nie zakładaj tego.

**Błąd 4: zaniedbanie konstrukcji prostopadłej.** Kąt dwuścienny to kąt między odcinkami prostopadłymi do krawędzi wspólnej. Jeśli bierzesz dowolne dwa odcinki, dostaniesz inny kąt.

## Powiązane zadania i poradniki

- [Objętość i pole powierzchni brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory) - przyda się gdy obok kąta dwuściennego zadanie pyta o objętość
- [Stereometria na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) - ogólne wzory, które musisz znać
- [Jak obliczyć objętość i pole stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni) - jeśli masz do czynienia z walcem lub stożkiem
- [Wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela) - tabela sin, cos, tg dla typowych kątów

Zadania z kąta dwuściennego znajdziesz w [kategorii Stereometria](/topics/stereometria) - ponad 200 zadań CKE z pełnymi rozwiązaniami.

## Wzory - ściąga

Ostrosłup prawidłowy czworokątny, bok \(a\), wysokość \(H\), krawędź boczna \(b\):

- \(\operatorname{tg}(\text{ściana boczna do podstawy}) = \frac{2H}{a}\)
- \(\operatorname{tg}(\text{krawędź boczna do podstawy}) = \frac{H\sqrt{2}}{a}\)
- wysokość ściany bocznej: \(h_b = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)
- krawędź boczna: \(b = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}\)

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, bok \(a\), wysokość \(H\):

- \(\operatorname{tg}(\text{ściana boczna do podstawy}) = \frac{2H\sqrt{3}}{a}\)
- \(\operatorname{tg}(\text{krawędź boczna do podstawy}) = \frac{H\sqrt{3}}{a}\)

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny, bok \(a\), wysokość \(H\):

- \(\operatorname{tg}(\text{ściana boczna do podstawy}) = \frac{2H}{a\sqrt{3}} = \frac{2H\sqrt{3}}{3a}\)
- \(\operatorname{tg}(\text{krawędź boczna do podstawy}) = \frac{H}{a}\)

## Checklista - co musisz umieć

- Rozróżnić kąt dwuścienny ściana-podstawa od kąta krawędź-podstawa
- Znaleźć spodek wysokości w ostrosłupie prawidłowym (środek podstawy)
- Obliczyć promień okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie równobocznym, kwadracie, sześciokącie regularnym
- Zastosować Pitagorasa w trójkącie prostokątnym w ostrosłupie
- Policzyć wysokość ściany bocznej
- Zapisać tangens kąta i odczytać jego miarę z tablic

Jeśli te elementy masz opanowane, zadanie ze stereometrii na maturze rozszerzonej jest policzalne - a często warte 4-6 punktów. Ćwicz na [zadaniach CKE ze stereometrii](/topics/stereometria).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-odchylenie-standardowe-wariancje-matura
title: Jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję - wzór, krok po kroku, zadania maturalne
description: Odchylenie standardowe i wariancja krok po kroku. Wzór CKE, sześć kroków rachunku, pięć rozwiązanych zadań maturalnych i checklista pułapek.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć odchylenie standardowe i wariancję - wzór, krok po kroku, zadania maturalne

## Dlaczego odchylenie standardowe to obowiązkowy temat na maturze

Statystyka to jedna z tych części materiału, którą uczniowie traktują jak dodatek do egzaminu. Tymczasem na każdej maturze podstawowej z matematyki masz przynajmniej jedno zadanie ze średniej, mediany lub odchylenia standardowego. Po reformie podstawy programowej z 2023 roku wariancja i odchylenie standardowe są wprost wymienione w wymaganiach, a CKE umieściło stosowny wzór w karcie wzorów. To znaczy jedno: musisz to umieć policzyć z palcem na liczbach.

Problem polega na tym, że odchylenie standardowe wygląda strasznie. Pierwiastek z sumy kwadratów odchyleń od średniej podzielonych przez liczebność - jak komuś nie tłumaczono spokojnie, to brzmi jak wyższa matematyka. A to jest dwustopniowy rachunek: najpierw liczysz wariancję, potem z niej pierwiastek. Naprawdę nic więcej.

W tym poradniku rozbieram cały temat krok po kroku. Pokażę ci wzór z karty wzorów CKE i powiem dokładnie, co podstawiać. Zrobimy razem pięć zadań: od pięciu liczb na rozgrzewkę, przez tabele liczebności w stylu maturalnym, po porównanie dwóch zestawów danych. Na końcu znajdziesz listę najczęstszych pułapek i checklistę "co muszę umieć przed maturą". Jeśli odchylenie standardowe było dla ciebie czarną magią, po tej lekturze przestanie być.

Zanim zaczniemy: warto też mieć w głowie ogólny obraz całego działu. Poszerz wiedzę w poradniku [statystyka na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe) i sprawdź [średnia, mediana, dominanta](/srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania), bo bez tych pojęć nie ruszysz z odchyleniem.

## Co to jest odchylenie standardowe i wariancja

Wyobraź sobie, że masz dwie klasy. W klasie A wszyscy dostali z kartkówki po 5 punktów. W klasie B połowa dostała 10, połowa 0. Średnia w obu klasach jest taka sama: 5 punktów. Ale czy jakość wyniku jest taka sama? Oczywiście, że nie. W klasie A nikt nie odbiega od średniej. W klasie B każdy odbiega o pięć punktów. Tę informację, jak bardzo dane rozsypują się dookoła średniej, opisuje właśnie odchylenie standardowe.

Mówiąc po ludzku: odchylenie standardowe to średnia odległość poszczególnych danych od wartości średniej. Im większe odchylenie, tym bardziej dane są rozrzucone. Im mniejsze, tym bardziej skupione wokół średniej. Kiedy odchylenie wynosi zero, wszystkie dane są równe.

Wariancja to to samo, tylko bez pierwiastka. Wariancja jest średnią z kwadratów odchyleń, a odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji. CKE wymaga obu pojęć, więc nauczysz się ich razem.

Dlaczego w ogóle podnosimy odchylenia do kwadratu zamiast brać średnią z wartości bezwzględnych? Bo kwadraty są wygodniejsze matematycznie. Jeśli weźmiesz średnią ze zwykłych odchyleń od średniej, zawsze wyjdzie zero (połowa danych jest nad średnią, połowa pod). Kwadrat pozbywa się znaku i dodatkowo silniej karze duże odchylenia, co dobrze oddaje pojęcie "rozrzutu".

## Wzór z karty wzorów CKE

W karcie wzorów na maturę 2027 znajdziesz dokładnie ten zapis (uporządkowuję, żeby było czytelnie):

Dla danych liczbowych \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) o średniej arytmetycznej \(\bar{x}\) wariancja wynosi:

$$\sigma^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$$

a odchylenie standardowe to:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

Jeśli pracujesz z szeregiem statystycznym, czyli z tabelą wartości i ich liczebnościami, wzór wygląda tak:

$$\sigma^2 = \frac{n_1 (x_1 - \bar{x})^2 + n_2 (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + n_k (x_k - \bar{x})^2}{n_1 + n_2 + \ldots + n_k}$$

gdzie \(n_i\) to liczba wystąpień wartości \(x_i\), a suma w mianowniku to łączna liczba obserwacji.

Trzy rzeczy, które musisz zapamiętać o tym wzorze:

Po pierwsze, dzielimy przez \(n\), nie przez \(n - 1\). To jest tak zwana wariancja populacji. W statystyce akademickiej spotyka się też wzór z \(n - 1\) (wariancja próby), ale na maturze obowiązuje wersja z \(n\). Jeśli kalkulator dał ci inny wynik niż klucz CKE, sprawdź czy aby na pewno wybrałeś tryb "Population" (Pop), a nie "Sample" (S).

Po drugie, średnią \(\bar{x}\) musisz policzyć jako pierwszą. Bez niej nie zaczniesz. Średnia z wagami liczy się tak: \(\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \ldots + n_k}\).

Po trzecie, pierwiastek bierzemy na samym końcu. Nie ma drogi na skróty: wariancja jest pośrednim wynikiem, samo odchylenie to dopiero \(\sqrt{\sigma^2}\). Jeśli widzisz w odpowiedziach \(\sqrt{2}\), \(2\sqrt{5}\) czy \(\frac{\sqrt{10}}{2}\), to znaczy że tak to wyszło z pierwiastka.

Wzór masz w tablicach, więc go nie kuj. Sprawdź [kartę wzorów CKE 2027 - co jest, czego brakuje](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) oraz przegląd [wzorów, które musisz znać spoza tablic](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac).

## Schemat krok po kroku: jak liczyć odchylenie standardowe

Niezależnie od tego, czy masz pięć liczb czy tabelę liczebności, sekwencja jest zawsze ta sama. Wbij sobie ją do głowy raz na zawsze:

Krok 1. Policz średnią \(\bar{x}\). Dla zwykłej listy liczb to suma podzielona przez \(n\). Dla tabeli to ważona suma podzielona przez sumę liczebności.

Krok 2. Dla każdej wartości policz odchylenie od średniej: \(x_i - \bar{x}\). Zapisuj te liczby w osobnej kolumnie, łatwiej będzie potem.

Krok 3. Podnieś każde odchylenie do kwadratu. \((x_i - \bar{x})^2\). Pamiętaj, że \((-3)^2 = 9\), a nie \(-9\). Klasyczna pułapka.

Krok 4. Zsumuj kwadraty (dla danych z liczebnościami pomnóż każdy kwadrat przez odpowiednią liczebność, a potem zsumuj).

Krok 5. Podziel sumę przez \(n\). To jest twoja wariancja \(\sigma^2\).

Krok 6. Wyciągnij pierwiastek z wariancji. \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\). Gotowe.

Najczęstszy błąd uczniów to mylenie kroków 4 i 5. Niektórzy dzielą każdy kwadrat osobno przez \(n\) zamiast sumować i dzielić raz. Druga klasyczna wpadka to zapomnienie pierwiastka i zostawienie wariancji jako odpowiedzi. Pamiętaj: jeśli pytanie brzmi "odchylenie standardowe", to ma być pierwiastek.

## Zadanie 1: pięć liczb na rozgrzewkę

Mamy dane: \(10, 12, 14, 16, 18\). Oblicz odchylenie standardowe.

Krok 1 - średnia:

$$\bar{x} = \frac{10 + 12 + 14 + 16 + 18}{5} = \frac{70}{5} = 14$$

Krok 2 - odchylenia od średniej:

| \(x_i\) | \(x_i - \bar{x}\) |
|---|---|
| 10 | -4 |
| 12 | -2 |
| 14 | 0 |
| 16 | 2 |
| 18 | 4 |

Krok 3 - kwadraty odchyleń: \(16, 4, 0, 4, 16\).

Krok 4 - suma kwadratów: \(16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40\).

Krok 5 - wariancja:

$$\sigma^2 = \frac{40}{5} = 8$$

Krok 6 - odchylenie standardowe:

$$\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$$

Odpowiedź: \(\sigma = 2\sqrt{2}\). Zauważ, że dane są w postępie arytmetycznym o różnicy 2. Dla ciągu arytmetycznego o \(n\) wyrazach i różnicy \(r\) odchylenie standardowe daje się policzyć szybko, ale na maturze i tak ze wzoru zrobisz to bezpiecznie. Jeśli chcesz pogłębić temat ciągów, zerknij na [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania).

## Zadanie 2: zestaw z większym rozrzutem

Dane: \(2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\). Policz odchylenie standardowe.

Średnia: \(\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5\).

Odchylenia: \(-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4\).

Kwadraty: \(9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16\). Suma: \(9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32\).

Wariancja: \(\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4\).

Odchylenie standardowe: \(\sigma = \sqrt{4} = 2\).

Zwróć uwagę, że tutaj odchylenie wyszło ładną liczbą naturalną. To częsta sytuacja w zadaniach maturalnych - autorzy dobierają dane tak, żeby wynik nie był strasznym pierwiastkiem. Jeśli przy "ładnych" danych wychodzi ci \(\sqrt{7{,}5}\), prawie na pewno popełniłeś błąd rachunkowy. Wróć i sprawdź średnią. Więcej trików weryfikacji w poradniku [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Zadanie 3: tabela liczebności w stylu maturalnym

W szkole zebrano dane o liczbie rodzeństwa wśród 20 uczniów. Wyniki przedstawia tabela:

| Liczba rodzeństwa \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Liczebność \(n_i\) | 5 | 7 | 6 | 2 |

Oblicz odchylenie standardowe liczby rodzeństwa w tej grupie.

Krok 1 - średnia ważona:

$$\bar{x} = \frac{0 \cdot 5 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 2}{5 + 7 + 6 + 2} = \frac{0 + 7 + 12 + 6}{20} = \frac{25}{20} = 1{,}25$$

Krok 2 - odchylenia od średniej:

\(x_1 - \bar{x} = 0 - 1{,}25 = -1{,}25\)

\(x_2 - \bar{x} = 1 - 1{,}25 = -0{,}25\)

\(x_3 - \bar{x} = 2 - 1{,}25 = 0{,}75\)

\(x_4 - \bar{x} = 3 - 1{,}25 = 1{,}75\)

Krok 3 - kwadraty:

\((-1{,}25)^2 = 1{,}5625\)

\((-0{,}25)^2 = 0{,}0625\)

\((0{,}75)^2 = 0{,}5625\)

\((1{,}75)^2 = 3{,}0625\)

Krok 4 - ważone kwadraty (mnożymy każdy kwadrat przez liczebność, sumujemy):

\(5 \cdot 1{,}5625 + 7 \cdot 0{,}0625 + 6 \cdot 0{,}5625 + 2 \cdot 3{,}0625\)

\(= 7{,}8125 + 0{,}4375 + 3{,}375 + 6{,}125 = 17{,}75\)

Krok 5 - wariancja:

$$\sigma^2 = \frac{17{,}75}{20} = 0{,}8875$$

Krok 6 - odchylenie:

$$\sigma = \sqrt{0{,}8875} \approx 0{,}942$$

Na maturze często wystarczy podać wynik w postaci \(\sqrt{0{,}8875}\) albo z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Sprawdź klucz odpowiedzi, czy CKE żąda zaokrąglenia. Zadania tego typu znajdziesz w [arkuszach maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), wpisując kategorię "Statystyka".

## Zadanie 4: dane z wagą równą iloczynowi

W ankiecie zapytano 10 osób, ile godzin tygodniowo czytają. Otrzymano następujące odpowiedzi: 1 osoba czyta 1 godzinę, 2 osoby czytają 2 godziny, 3 osoby czytają 3 godziny, 4 osoby czytają 4 godziny. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe.

Średnia:

$$\bar{x} = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$$

Odchylenia: \(-2, -1, 0, 1\).

Kwadraty odchyleń: \(4, 1, 0, 1\).

Ważone kwadraty: \(1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4 + 2 + 0 + 4 = 10\).

Wariancja:

$$\sigma^2 = \frac{10}{10} = 1$$

Odchylenie standardowe:

$$\sigma = \sqrt{1} = 1$$

Wynik bardzo czysty. Zwróć uwagę na coś niezwykle ważnego: wartość średnia (3) była zarazem jedną z wartości w zestawie. To często ułatwia rachunki, bo wtedy odchylenie tej wartości jest zerowe, a wkład w sumę kwadratów zerowy. Zawsze sprawdzaj, czy średnia "trafiła" w jakąś wartość - to dobra wskazówka, że średnia została policzona poprawnie.

## Zadanie 5: porównanie dwóch zestawów danych

To typ pytania, który CKE lubi w zadaniach na 2-3 punkty. Mamy dwie grupy:

Grupa A: wyniki kartkówki to \(4, 5, 5, 5, 6\).

Grupa B: wyniki kartkówki to \(2, 4, 5, 6, 8\).

Która grupa ma większe odchylenie standardowe wyników i o ile?

Najpierw zauważ "z marszu": średnia obu grup wynosi tyle samo. Sprawdźmy:

Grupa A: \(\bar{x}_A = \frac{4 + 5 + 5 + 5 + 6}{5} = \frac{25}{5} = 5\).

Grupa B: \(\bar{x}_B = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 8}{5} = \frac{25}{5} = 5\).

Średnia identyczna, więc różnica będzie tylko w rozrzucie. Dla grupy A odchylenia to \(-1, 0, 0, 0, 1\), kwadraty \(1, 0, 0, 0, 1\), suma 2. Wariancja \(\sigma_A^2 = \frac{2}{5} = 0{,}4\), odchylenie \(\sigma_A = \sqrt{0{,}4} = \frac{\sqrt{10}}{5} \approx 0{,}632\).

Dla grupy B odchylenia to \(-3, -1, 0, 1, 3\), kwadraty \(9, 1, 0, 1, 9\), suma 20. Wariancja \(\sigma_B^2 = \frac{20}{5} = 4\), odchylenie \(\sigma_B = \sqrt{4} = 2\).

Odpowiedź: grupa B ma większe odchylenie standardowe. Różnica wynosi \(\sigma_B - \sigma_A = 2 - \frac{\sqrt{10}}{5}\).

Wniosek interpretacyjny: grupa A jest jednorodna (większość uczniów ma piątkę), grupa B jest spolaryzowana (są zarówno dwójki, jak i ósemki). Odchylenie standardowe jest świetną miarą, kiedy chcesz odpowiedzieć na pytanie "czy klasa pisze podobnie czy nie".

## Najczęstsze pułapki w zadaniach z odchylenia standardowego

Po latach pomagania uczniom widzę te same błędy powracające jak bumerang. Oto co najczęściej psuje punkty.

Zapominanie o pierwiastku. Uczeń liczy wszystko poprawnie aż do wariancji, wpisuje 8 do odpowiedzi i traci punkt. Wariancja to nie odchylenie standardowe. Pisz w kratownicy duże \(\sigma\) na końcu rachunku jako przypomnienie, że ma być pierwiastek.

Mylenie wzoru z \(n\) i \(n - 1\). W liceum używamy \(n\). Na uniwersytecie w statystyce inferencyjnej używa się \(n - 1\). Twój kalkulator może mieć obie funkcje (\(\sigma\) i \(s\) albo "Pop" i "Sample"). Wybierz wersję z \(n\).

Zła średnia. Cały rachunek leci, jeśli średnia jest błędna. Sprawdź ją oddzielnie: dla małych zestawów dodaj liczby w głowie i podziel. Dla tabel liczebności licz \(\frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\) starannie, najlepiej dwoma sposobami.

Pomylenie liczebności z wartością. W tabeli wartości \(x_i\) to to, co mierzysz (np. liczba rodzeństwa), a liczebność \(n_i\) to ile razy ta wartość wystąpiła (np. ilu uczniów ma tyle rodzeństwa). Pomylenie tych dwóch kolumn psuje wszystko.

Liczenie odchyleń z błędnym znakiem. \(2 - 5 = -3\), a nie \(3\). Znak nie ma znaczenia po podniesieniu do kwadratu, ale w międzyczasie warto pisać go poprawnie, żeby nie pogubić się przy bardziej skomplikowanych zadaniach.

Brak interpretacji wyniku. CKE czasem prosi nie tylko o wartość, ale o porównanie czy ocenę, która grupa ma większy rozrzut. Pamiętaj: większe odchylenie znaczy większy rozrzut. Mniejsze - dane bardziej skupione wokół średniej.

Niepotrzebne zaokrąglanie w trakcie obliczeń. Jeśli średnia wyszła ci 1,25, używaj 1,25 (a nie 1,3) we wszystkich krokach. Zaokrąglaj dopiero końcowy wynik. Inaczej zaokrąglanie kumuluje błąd i klucz odrzuci twoją odpowiedź. Lista innych typowych potknięć w [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) i [błędach rachunkowych](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

## Jak interpretować wartość odchylenia standardowego

Sam liczbowy wynik nie wystarczy. CKE w zadaniach na maturze próbnej kilka razy testowało, czy uczeń rozumie, co liczba mówi o zbiorze danych. Oto jak interpretować typowe wyniki.

Jeśli średnia ocen w klasie wynosi 4,0, a odchylenie standardowe to 0,3, klasa jest jednorodna. Większość uczniów ma oceny w przedziale od 3,7 do 4,3. Trudno tu wyłonić wybitnych i słabych, wszyscy są podobni.

Jeśli ta sama średnia 4,0 idzie w parze z odchyleniem 1,2, dane są mocno rozproszone. W klasie są zarówno trójkowicze, jak i piątkowicze. Średnia opisuje tu klasę słabo, bo rozpiętość wyników jest duża.

Praktyczny test maturalny: które z dwóch zestawów ma większy rozrzut? Najpierw policz średnie. Jeśli średnie są równe, porównaj odchylenia bezpośrednio. Jeśli średnie się różnią, czasami stosuje się współczynnik zmienności \(V = \frac{\sigma}{\bar{x}}\), ale na maturze podstawowej nie pytają o niego wprost. Wystarczy odpowiedź "grupa B ma większe odchylenie standardowe", bo o to chodziło.

Pamiętaj o jednostkach. Odchylenie standardowe ma te same jednostki co dane (centymetry, kilogramy, oceny). Wariancja ma jednostki podniesione do kwadratu (centymetry kwadratowe, kilogramy kwadratowe), co jest nienaturalne. To jeden z powodów, dla których ostatecznie używamy odchylenia, a nie wariancji - łatwiej interpretować.

## Triki, które przyspieszają liczenie

Kiedy średnia jest liczbą całkowitą, a wartości też, odchylenia są całkowite i kwadraty łatwe. Wykorzystaj to: jeśli przy planowanym podstawieniu wartości wychodzą ułamki, sprawdź czy nie pomyliłeś średniej.

Wzór alternatywny. CKE go nie podaje, ale on jest matematycznie równoważny: \(\sigma^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2\). Czyli "średnia kwadratów minus kwadrat średniej". Czasem szybszy w użyciu, zwłaszcza dla małych zestawów liczb naturalnych. Sprawdźmy na danych z zadania 2: \(\overline{x^2} = \frac{4 + 16 + 16 + 16 + 25 + 25 + 49 + 81}{8} = \frac{232}{8} = 29\). Wtedy \(\sigma^2 = 29 - 25 = 4\), zgadza się.

Jednolite dane. Jeśli wszystkie dane są równe, średnia jest tą samą wartością, odchylenia są zerowe, wariancja zero, odchylenie zero. Czasem CKE pyta o granicę: jaka jest minimalna wartość odchylenia. Zero. Maksimum nie ma górnego ograniczenia.

Skalowanie. Jeśli dodasz tę samą stałą do wszystkich danych, średnia rośnie o tę stałą, ale odchylenie standardowe się nie zmienia. Jeśli pomnożysz wszystkie dane przez \(a > 0\), odchylenie standardowe pomnoży się przez \(a\). Te zależności pojawiają się w zadaniach typu "rozkład płac wzrósł o 10 procent" - wtedy odchylenie też rośnie o 10 procent.

## Checklist: co musisz umieć przed maturą

Sprawdź na sobie, czy bez podpowiedzi potrafisz:

Zapisać wzór na wariancję i odchylenie standardowe (z karty wzorów, ale wiedząc co znaczy każdy symbol).

Wyliczyć średnią arytmetyczną dla zwykłej listy liczb i dla tabeli liczebności.

Przeprowadzić cały rachunek krok po kroku dla zestawu 4-8 liczb, w niecałe trzy minuty.

Przeliczyć tabelę liczebności na wartości, liczebności i ważone kwadraty.

Wyłapać częste błędy: zapomnienie pierwiastka, pomylenie \(n\) i \(n - 1\), mylenie wartości z liczebnością.

Zinterpretować wynik: czy odchylenie większe oznacza większy rozrzut, mniejsze oznacza dane skupione wokół średniej.

Porównać odchylenia standardowe dwóch zestawów danych.

Wytłumaczyć alternatywny wzór \(\sigma^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2\) i wybrać szybszą metodę.

Gdyby trafiło ci się trudniejsze zadanie statystyczne, sięgnij po przegląd [statystyki na maturze](/statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe), a w razie blokady psychologicznej zobacz [techniki radzenia sobie ze stresem na maturze](/radzenie-sobie-ze-stresem-matura-matematyka-techniki).

## Odchylenie standardowe na maturze rozszerzonej

Na poziomie rozszerzonym pojawiają się dodatkowe wątki, które na podstawowej tylko sygnalizujesz. Jeśli zdajesz rozszerzoną, warto je znać.

Po pierwsze, zmienna losowa. W zadaniach probabilistycznych liczy się odchylenie standardowe zmiennej losowej \(X\) o rozkładzie dyskretnym. Wzór jest analogiczny, tylko zamiast średniej arytmetycznej masz wartość oczekiwaną \(E(X) = \sum x_i \cdot p_i\), a "liczebności" zastępują prawdopodobieństwa \(p_i\): \(\sigma^2 = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot p_i\). Wzór praktyczny działa też tutaj: \(\sigma^2 = E(X^2) - (E(X))^2\).

Po drugie, suma zmiennych losowych. Dla niezależnych zmiennych \(X\) i \(Y\) zachodzi \(\sigma^2(X + Y) = \sigma^2(X) + \sigma^2(Y)\). Uwaga: odchylenia standardowe sumują się "pod pierwiastkiem", nie liniowo. Czyli \(\sigma(X + Y) \ne \sigma(X) + \sigma(Y)\). Dlatego rzut dwiema kostkami ma odchylenie \(\sqrt{2}\) razy większe niż jedną kostką, a nie dwa razy większe.

Po trzecie, zasada trzech sigm w rozkładzie normalnym. To kanwa wielu zadań rozszerzonych. Jeśli \(X\) ma rozkład normalny \(N(\mu, \sigma)\), to \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0{,}68\). Tę zasadę warto znać niezależnie od poziomu, bo szybko pomaga oszacować, czy odchylenie jest "duże" czy "małe".

Na podstawowej powyższe nie obowiązuje, ale warto wiedzieć, że odchylenie standardowe to nie tylko techniczna formuła - to narzędzie, które na rozszerzonej spina statystykę z prawdopodobieństwem.

## FAQ: najczęstsze pytania uczniów

### Czy odchylenie standardowe może być ujemne?
Nie. To pierwiastek z liczby nieujemnej, więc samo jest nieujemne. Odchylenie wynosi zero tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są równe.

### Czy muszę zaokrąglać wynik?
Sprawdź polecenie. Jeśli zadanie mówi "z dokładnością do 0,01", podajesz dwa miejsca po przecinku. Jeśli nie ma takiego wymagania, zostaw wynik w postaci pierwiastka, np. \(2\sqrt{2}\). Klucz CKE zwykle akceptuje obie formy.

### Czy wzór na wariancję działa dla liczb ujemnych w danych?
Tak. Kwadrat usuwa znak, więc liczby ujemne, dodatnie i zero traktujemy jednakowo.

### Jak odchylenie standardowe wiąże się z prawdopodobieństwem?
W rozkładzie normalnym, na maturze rozszerzonej, zasada trzech sigm mówi, że 68 procent danych mieści się w przedziale \([\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma]\), 95 procent w \([\bar{x} - 2\sigma, \bar{x} + 2\sigma]\), a 99,7 procent w \([\bar{x} - 3\sigma, \bar{x} + 3\sigma]\). Na podstawowej tego nie pytają, ale warto wiedzieć. Po więcej zerknij do poradnika [prawdopodobieństwo i kombinatoryka](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania).

### Co jeśli kalkulator daje mi inny wynik niż klucz?
Sprawdź, czy nie używasz wzoru z \(n - 1\) zamiast \(n\). W większości kalkulatorów graficznych przycisk \(\sigma_x\) liczy z \(n\), a \(s_x\) lub \(\sigma_{n-1}\) z \(n - 1\). Na maturze obowiązuje wersja z \(n\).

## Podsumowanie

Odchylenie standardowe to liczbowy obraz tego, jak bardzo dane rozsypują się wokół średniej. Cały rachunek to sześć kroków: policz średnią, wyznacz odchylenia, podnieś do kwadratu, zsumuj (ewentualnie z wagami), podziel przez \(n\), wyciągnij pierwiastek. Wzór z karty wzorów CKE jest standardowy: dzielimy przez \(n\), nie \(n - 1\). Najczęstsze pomyłki to zapomnienie pierwiastka, błędna średnia i mylenie wartości z liczebnością.

Jeśli ten typ zadań przerabiałeś z trudem, zrób sobie cztery do pięciu takich obliczeń tygodniowo z kilku różnych źródeł. Po dziesięciu zadaniach to staje się rutyną. Wykorzystaj [arkusze maturalne 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), sprawdź [matura próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania), a w razie powtórki całego materiału zacznij od [kompletnego przewodnika matura 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin).

Statystyka jest jednym z najłatwiej punktowanych działów na maturze, o ile poświęcisz dwie godziny na ogarnięcie wzorów i przerobienie kilkunastu zadań. Odchylenie standardowe wraz z średnią, medianą i dominantą daje ci pewne 3-5 punktów na egzaminie. To zazwyczaj różnica między oceną, której się boisz, a oceną, którą lubisz pokazywać.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania
title: Jak obliczyć odległość między dwoma punktami - wzór, wyprowadzenie i zadania matura
description: Wzór na odległość między punktami, wyprowadzenie z Pitagorasa i sześć rozwiązanych zadań krok po kroku. Geometria analityczna na maturze bez tajemnic.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć odległość między dwoma punktami - wzór, wyprowadzenie i zadania matura

Odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych to jeden z najbardziej uniwersalnych wzorów na maturze z matematyki. Pojawia się dosłownie wszędzie: w zadaniach z [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), w stereometrii rzutowanej na układ współrzędnych, w [równaniach okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), w sprawdzaniu czy trójkąt jest prostokątny albo równoramienny, w obliczaniu obwodów. Jeśli umiesz tylko ten jeden wzór i [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania), z którego on wynika, dostaniesz darmowe punkty w każdej sesji maturalnej.

Problem jest taki, że uczniowie regularnie tracą te punkty na drobnostkach: złe znaki przy odejmowaniu współrzędnych, zapomniany kwadrat, pomylenie współrzędnych iks i igrek, próba dodawania zamiast odejmowania. W tym poradniku pokażę ci dokładny schemat krok po kroku, wyprowadzę wzór z Pitagorasa, a potem przerobimy razem pięć zadań w stylu maturalnym - od najprostszych po zadanie, w którym trzeba znaleźć punkt równoodległy od dwóch innych.

## Wzór na odległość między dwoma punktami

Najpierw konkret. Jeśli masz dwa punkty w układzie współrzędnych \(A(x_A, y_A)\) i \(B(x_B, y_B)\), to ich odległość liczysz ze wzoru:

$$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

To jest tak zwany wzór euklidesowy i to jest jedyny wzór, jaki musisz znać dla tego tematu. Pojawia się on na karcie wzorów CKE w sekcji "geometria analityczna", więc nie musisz go nawet pamiętać na pamięć - wystarczy, że umiesz go bez błędów stosować i rozumiesz skąd się bierze.

Trzy rzeczy, które trzeba o nim wiedzieć od razu:

Po pierwsze, kolejność punktów nie ma znaczenia. \(|AB| = |BA|\), bo we wzorze i tak podnosimy różnice do kwadratu, a kwadrat liczby ujemnej jest dodatni. Czy odejmiesz \(x_B - x_A\), czy \(x_A - x_B\), wynik pod kwadratem będzie ten sam.

Po drugie, odległość jest zawsze nieujemna. Pierwiastek arytmetyczny daje wynik dodatni lub zero, a zero wyjdzie tylko wtedy, gdy oba punkty się pokrywają. Jeśli w jakimś obliczeniu wyszło ci ujemne, gdzieś jest błąd - cofnij się do nawiasów.

Po trzecie, wzór działa tylko w prostokątnym układzie współrzędnych, na płaszczyźnie. W 3D dochodzi trzecia współrzędna i wzór się rozszerza, ale na maturę podstawową taka wersja ci się nie przyda. Wersja 3D pojawia się czasem na rozszerzeniu - wtedy w sekcji [wektorów i geometrii 3D](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania).

## Skąd się bierze wzór - wyprowadzenie z twierdzenia Pitagorasa

Wzór na odległość nie spadł z nieba. To po prostu Pitagoras zapisany w języku współrzędnych. Pokażę ci to w trzech krokach, bo zrozumienie wyprowadzenia jest najlepszą gwarancją, że nigdy go nie zapomnisz ani nie pomylisz znaków.

Weźmy dwa dowolne punkty \(A(x_A, y_A)\) i \(B(x_B, y_B)\). Narysuj sobie te punkty w układzie współrzędnych i poprowadź odcinek \(AB\). To jest przeciwprostokątna jakiegoś trójkąta - tylko jakiego?

Wyobraź sobie, że z punktu \(A\) idziesz najpierw poziomo, dokładnie nad lub pod \(B\), a potem pionowo do \(B\). Punkt, w którym się obracasz, nazwijmy \(C\). Ma on współrzędne \(C(x_B, y_A)\) - taki sam iks jak \(B\), taki sam igrek jak \(A\). Otrzymałeś trójkąt prostokątny o wierzchołkach \(A\), \(B\) i \(C\), z kątem prostym w \(C\), bo odcinek poziomy jest prostopadły do pionowego.

Przyprostokątne tego trójkąta to dwie różnice współrzędnych:

- pozioma: \(|AC| = |x_B - x_A|\)
- pionowa: \(|CB| = |y_B - y_A|\)

Z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) w trójkącie \(ACB\):

$$|AB|^2 = |AC|^2 + |CB|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$$

Po pierwiastkowaniu obu stron dostajemy nasz wzór. Wartości bezwzględne z przyprostokątnych znikają, bo i tak podnosimy je do kwadratu. To tyle. Wzór euklidesowy to po prostu Pitagoras w układzie współrzędnych - nic więcej.

Zauważ, że ta sama logika jest podstawą wielu innych wzorów: [długości boku w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), wzoru na przekątną prostokąta i sześcianu, wzoru na promień okręgu z [równania okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania). Wszędzie chodzi o to samo: prostokątny trójkąt i dwa boki.

## Schemat krok po kroku - jak liczyć bez błędów

Zanim przejdziemy do przykładów, ustalmy procedurę, której będziesz się trzymać przy każdym zadaniu. Pięć kroków, które działają zawsze.

Krok pierwszy: wypisz współrzędne. Zapisz \(A(x_A, y_A) = (\ldots, \ldots)\) i \(B(x_B, y_B) = (\ldots, \ldots)\) z konkretnymi liczbami. Brzmi banalnie, ale właśnie tu się gubią uczniowie, bo zaczynają od razu liczyć w pamięci i mylą iksy z igrekami.

Krok drugi: policz różnice współrzędnych. \(\Delta x = x_B - x_A\) i \(\Delta y = y_B - y_A\). Wypisz je obok osobno. Tu uważaj na znaki - jeśli któraś współrzędna jest ujemna, odejmowanie zamienia się na dodawanie po opuszczeniu nawiasu. Np. \(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\), a nie \(5 - 3 = 2\).

Krok trzeci: podnieś obie różnice do kwadratu. Pamiętaj, że kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: \((-7)^2 = 49\), nie \(-49\). Zapisz \(\Delta x^2\) i \(\Delta y^2\) jako liczby dodatnie.

Krok czwarty: dodaj kwadraty. To jest liczba pod pierwiastkiem.

Krok piąty: spierwiastkuj. Jeśli wynik nie jest pełnym kwadratem, zostaw odpowiedź w postaci \(\sqrt{\ldots}\) albo wyciągnij czynnik przed pierwiastek. Np. \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\).

Trzymaj się tego schematu nawet w najprostszych zadaniach. Tracenie 30 sekund na uporządkowane rozpisanie jest tańsze niż tracenie 2 punktów na pomyłkę w znaku.

## Przykład 1 - punkty z dodatnimi współrzędnymi

Oblicz odległość między punktami \(A(2, 3)\) i \(B(7, 15)\).

Wypisuję współrzędne: \(x_A = 2\), \(y_A = 3\), \(x_B = 7\), \(y_B = 15\).

Różnice: \(\Delta x = 7 - 2 = 5\), \(\Delta y = 15 - 3 = 12\).

Kwadraty: \(5^2 = 25\), \(12^2 = 144\).

Suma: \(25 + 144 = 169\).

Pierwiastek: \(\sqrt{169} = 13\).

Odpowiedź: \(|AB| = 13\).

Krótki komentarz: trójka 5-12-13 to jedna z popularnych trójek pitagorejskich, obok 3-4-5 i 8-15-17. Jeśli na maturze widzisz "ładny" wynik typu 5, 10, 13, 17, 25, to świetny sygnał, że dobrze policzyłeś. Wyniki w stylu \(\sqrt{173}\) też są dopuszczalne, ale jeśli zadanie jest zamknięte i odpowiedzi są okrągłe, to powinno coś zaskoczyć.

## Przykład 2 - punkty z ujemnymi współrzędnymi

Oblicz odległość między punktami \(M(-3, 5)\) i \(N(4, -2)\).

Tutaj uważaj na znaki, bo to klasyczna pułapka.

Wypisuję: \(x_M = -3\), \(y_M = 5\), \(x_N = 4\), \(y_N = -2\).

Różnice: \(\Delta x = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7\), \(\Delta y = -2 - 5 = -7\).

Kwadraty: \(7^2 = 49\), \((-7)^2 = 49\).

Suma: \(49 + 49 = 98\).

Pierwiastek: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\).

Odpowiedź: \(|MN| = 7\sqrt{2}\).

Pułapka: gdybyś przy obliczaniu \(\Delta x\) zapomniał o nawiasie i napisał \(4 - (-3) = 4 - 3 = 1\), wyszłoby ci \(\sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Cała odpowiedź byłaby zła przez jeden zgubiony minus. Dlatego zawsze, kiedy odejmujesz liczbę ujemną, pisz to z nawiasem: \(4 - (-3)\), a nie \(4 - -3\).

## Przykład 3 - długość boku trójkąta z trzech wierzchołków

Dany jest trójkąt o wierzchołkach \(A(1, 2)\), \(B(5, 2)\), \(C(3, 2 + 2\sqrt{3})\). Sprawdź, jaki to trójkąt.

To zadanie pokazuje pełną moc wzoru na odległość: jednym ruchem sprawdzamy wszystkie boki i klasyfikujemy trójkąt.

Liczymy \(|AB|\):

$$|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{16 + 0} = 4$$

Liczymy \(|BC|\):

$$|BC| = \sqrt{(3-5)^2 + (2 + 2\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{4 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$

Liczymy \(|AC|\):

$$|AC| = \sqrt{(3-1)^2 + (2 + 2\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$

Wszystkie boki mają długość 4. Trójkąt jest równoboczny.

Komentarz: kiedy widzisz pierwiastki w jednej ze współrzędnych, prawdopodobnie zadanie dotyczy trójkąta równobocznego albo prostokątnego, bo właśnie z takimi figurami wiążą się "ładne" liczby z pierwiastkami. Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), a tu mamy bok 4 i wysokość \(2\sqrt{3}\). Idealnie się zgadza.

## Przykład 4 - sprawdzanie czy trójkąt jest prostokątny

Dane są punkty \(A(1, 1)\), \(B(4, 5)\), \(C(8, 2)\). Sprawdź, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.

Strategia: policz wszystkie boki, a potem sprawdź, czy spełniają twierdzenie Pitagorasa. Jeśli kwadrat najdłuższego boku równa się sumie kwadratów dwóch krótszych, trójkąt jest prostokątny.

$$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

$$|BC| = \sqrt{(8-4)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

$$|AC| = \sqrt{(8-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

Najdłuższy bok to \(|AC| = 5\sqrt{2}\). Sprawdzam Pitagorasa:

$$|AB|^2 + |BC|^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$$

$$|AC|^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$

Równość zachodzi, więc trójkąt jest prostokątny. Ponadto \(|AB| = |BC| = 5\), więc jest też równoramienny. Kąt prosty jest w wierzchołku \(B\), bo to on leży naprzeciwko najdłuższego boku \(AC\).

Komentarz: trójkąt prostokątny równoramienny to tak naprawdę połowa kwadratu, czyli klasyczny [trójkąt 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura). Stosunek boków zawsze wynosi \(1 : 1 : \sqrt{2}\), a tu mamy \(5 : 5 : 5\sqrt{2}\) - dokładnie tyle.

Alternatywą do sprawdzania Pitagorasa byłoby policzenie [iloczynu skalarnego wektorów](/jak-obliczyc-kat-miedzy-wektorami-prostymi-matura) \(\vec{BA}\) i \(\vec{BC}\) i sprawdzenie, czy jest równy zero. Obie metody są poprawne, wzór na odległość jest jednak prostszy w pierwszym kontakcie.

## Przykład 5 - punkt równoodległy od dwóch innych

Znajdź punkt na osi \(OX\), który jest równoodległy od punktów \(A(2, 3)\) i \(B(6, 5)\).

To klasyczne zadanie maturalne, w którym wzór na odległość trzeba postawić jako równanie z niewiadomą.

Szukany punkt leży na osi iksów, więc ma postać \(P(x, 0)\) - druga współrzędna jest zero. Warunek "równoodległy od \(A\) i \(B\)" znaczy, że \(|PA| = |PB|\). Żeby uniknąć pierwiastków, podnoszę tę równość do kwadratu od razu - kwadraty obu stron są nieujemne, więc równość pozostanie:

$$|PA|^2 = |PB|^2$$

Zapisuję wzory:

$$(x - 2)^2 + (0 - 3)^2 = (x - 6)^2 + (0 - 5)^2$$

$$(x - 2)^2 + 9 = (x - 6)^2 + 25$$

Rozwijam kwadraty:

$$x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 12x + 36 + 25$$

$$x^2 - 4x + 13 = x^2 - 12x + 61$$

Odejmuję \(x^2\) z obu stron:

$$-4x + 13 = -12x + 61$$

$$8x = 48$$

$$x = 6$$

Czyli \(P(6, 0)\). Sprawdzam, czy się zgadza:

$$|PA| = \sqrt{(6-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

$$|PB| = \sqrt{(6-6)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{0 + 25} = 5$$

Odległości są równe. Odpowiedź: \(P(6, 0)\).

Komentarz: zbiór wszystkich punktów równoodległych od \(A\) i \(B\) to symetralna odcinka \(AB\). Można było rozwiązać to zadanie geometrycznie: znaleźć [środek odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne) \(AB\) i [równanie prostej prostopadłej do \(AB\)](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty) przechodzącej przez ten środek, a potem podstawić \(y = 0\). Metoda przez kwadraty odległości jest jednak krótsza, kiedy szukamy pojedynczego punktu na konkretnej prostej.

## Przykład 6 - promień okręgu i równanie

Punkt \(P(5, 3)\) leży na okręgu o środku \(S(2, -1)\). Wyznacz równanie tego okręgu.

Promień okręgu to po prostu odległość środka od dowolnego punktu na okręgu:

$$r = |SP| = \sqrt{(5-2)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

[Równanie okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania) o środku \(S(a, b)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Podstawiam:

$$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 5^2$$

$$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$$

Odpowiedź: \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\).

Komentarz: w równaniu okręgu po prawej stronie zawsze stoi \(r^2\), nie \(r\). Drobny szczegół, który dziesiątkuje punkty na maturze. Jeśli policzyłeś promień \(r = 5\), to w równaniu pojawi się 25.

## Typowe pułapki przy wzorze na odległość

Z mojego doświadczenia z poprawianiem prac maturalnych wszystkie błędy w tym temacie sprowadzają się do siedmiu sytuacji.

Po pierwsze, znaki przy odejmowaniu liczb ujemnych. \(5 - (-2) = 7\), nie \(5 - 2 = 3\). Wprowadź nawyk zapisywania nawiasów, dopóki różnica nie jest gotowa.

Po drugie, kwadrat liczby ujemnej. \((-3)^2 = 9\), nie \(-9\). Bez kwadratu obejmującego cały nawias kalkulator policzy ci \(-3^2 = -9\), bo potraktuje minus jako jednoargumentowy operator.

Po trzecie, mylenie współrzędnych. Jeśli \(A(3, 7)\), to \(x_A = 3\), \(y_A = 7\) - pierwsza współrzędna to iks. Zawsze. Drugi częsty błąd to zapomnienie, w jakim porządku zapisujesz pary, kiedy w zadaniu pojawia się i punkt, i wektor.

Po czwarte, brak pierwiastka na końcu. Wielu uczniów obliczy poprawnie \((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 25\) i zostawi 25 jako odległość. Tymczasem odległość to \(\sqrt{25} = 5\). Pamiętaj, że po sumowaniu kwadratów masz \(|AB|^2\), a nie \(|AB|\).

Po piąte, niespłaszczony pierwiastek. \(\sqrt{50}\) to dobra odpowiedź, ale ładniej wygląda \(5\sqrt{2}\). Jeśli pod pierwiastkiem siedzi liczba podzielna przez kwadrat (4, 9, 16, 25), wyciągaj go przed pierwiastek. Na karcie odpowiedzi i tak będzie wymagana postać uproszczona.

Po szóste, mylenie odległości punktu od punktu z odległością punktu od prostej. To dwa różne wzory. Punkt od punktu to to, co liczymy w tym poście. [Punkt od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) ma osobny wzór z karty wzorów. Czytaj polecenie dokładnie - jeśli widzisz "odległość punktu od prostej", użyj innego wzoru.

Po siódme, próba dodawania współrzędnych zamiast odejmowania. Ten błąd robią uczniowie myląc wzór na środek odcinka (\(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\)) ze wzorem na odległość. We wzorze na środek dodajesz i dzielisz, we wzorze na odległość odejmujesz i pierwiastkujesz. Dwa różne wzory, dwa różne cele.

## Zastosowania - gdzie ten wzór się jeszcze pojawi

Wzór na odległość między punktami nie żyje w izolacji. To jest cegiełka, której używasz do budowania większych zadań. Pokażę ci pięć typowych zastosowań, żebyś rozpoznał wzór, gdy zobaczysz go w zadaniu.

[Obwód wielokąta z dwierzchołków](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura) wpisanych w układ współrzędnych. Liczysz długości wszystkich boków wzorem na odległość, a potem dodajesz. Wielokąt może mieć cztery, pięć albo dziesięć wierzchołków - mechanika jest zawsze ta sama.

Klasyfikowanie trójkąta. Trzy boki dają odpowiedź: czy trójkąt jest równoboczny, równoramienny, prostokątny, ostrokątny, rozwartokątny. Pamiętaj o twierdzeniu Pitagorasa do wykrywania kąta prostego i o twierdzeniu cosinusów (na rozszerzeniu) do wykrywania kątów ostrych lub rozwartych.

Wyznaczanie promienia okręgu. Jeśli znasz środek okręgu i jeden punkt na okręgu, promień to ich odległość. Jeśli znasz dwa punkty na okręgu, ale nie środek, trzeba użyć dodatkowych warunków (np. okrąg styczny do osi).

Punkt równoodległy od dwóch innych, czyli punkty na symetralnej odcinka. Patrz przykład 5 wyżej. To samo dotyczy zadań typu "znajdź punkt na prostej najbliższy do danego punktu" - tylko tam warunek to minimum odległości, a nie równość.

Sprawdzanie, czy punkt leży na okręgu lub w jego wnętrzu. Punkt \(P\) leży na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(|PS| = r\). Wewnątrz - gdy \(|PS|  r\). To samo można zapisać przez nierówność z równaniem okręgu, ale myślenie odległością jest często szybsze.

## Wzór euklidesowy a wektory

Mała ciekawostka, która przyda ci się na rozszerzeniu i w studiach. Odległość między \(A\) i \(B\) to to samo, co długość wektora \(\vec{AB}\):

$$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Wektor \(\vec{AB}\) ma współrzędne \([x_B - x_A, y_B - y_A]\), a jego długość liczy się dokładnie tak samo jak odległość między końcami. To dlatego w geometrii analitycznej często mówi się "moduł wektora" zamiast "odległość punktów" - to są synonimy.

Dla rozszerzenia: w przestrzeni 3D wektor \(\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A]\), a jego długość to:

$$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$

Trzy współrzędne pod pierwiastkiem zamiast dwóch. Wzór zachowuje strukturę i znowu sprowadza się do Pitagorasa, tylko zastosowanego dwa razy (najpierw na płaszczyźnie podstawy, potem na pionie).

## Checklista - co musisz umieć

Zanim zamkniesz post, sprawdź siebie. Jeśli na każdy punkt umiesz odpowiedzieć "tak" bez zaglądania do notatek, ten temat masz opanowany.

Czy umiesz z pamięci napisać wzór \(|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)?

Czy potrafisz wyprowadzić ten wzór z twierdzenia Pitagorasa w trzech zdaniach?

Czy umiesz prawidłowo odjąć współrzędne, gdy jedna z nich jest ujemna (\(5 - (-3) = 8\))?

Czy pamiętasz, że \((-7)^2 = 49\), a nie \(-49\)?

Czy umiesz uprościć pierwiastek typu \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) albo \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)?

Czy rozróżniasz "odległość punktu od punktu" od "odległości punktu od prostej"?

Czy umiesz wyznaczyć punkt na osi \(OX\) lub \(OY\) równoodległy od dwóch danych punktów?

Czy umiesz sprawdzić, czy trójkąt o trzech wierzchołkach jest prostokątny, równoramienny albo równoboczny?

Czy umiesz wyznaczyć równanie okręgu, jeśli znasz jego środek i jeden punkt na okręgu?

Czy potrafisz wyciągnąć z poleceń informację, czy mowa jest o odległości euklidesowej, czy o czymś innym (np. o module wektora, długości odcinka, promieniu okręgu)?

Jeśli na wszystkie dziesięć pytań masz "tak", możesz spokojnie wpisać sobie ten temat na listę "opanowane" i przejść do trudniejszych zagadnień z geometrii analitycznej: [prosta i jej równanie](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty), [okrąg w układzie współrzędnych](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), [kąt między prostymi](/jak-obliczyc-kat-miedzy-wektorami-prostymi-matura). Wszystkie one będą się opierać na tym samym wzorze.

## Podsumowanie

Wzór na odległość między dwoma punktami to fundament geometrii analitycznej. Wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa, jest na karcie wzorów CKE i działa w każdym zadaniu, w którym pojawia się układ współrzędnych. Zapamiętaj go z wyprowadzenia, a nie z pamięci - wtedy nigdy go nie pomylisz nawet pod stresem.

Klucz to schemat: wypisz współrzędne, policz różnice, podnieś do kwadratu, dodaj, spierwiastkuj. Trzymaj się go nawet w najprostszych przypadkach. Dwie minuty więcej na czyste rozpisanie kosztują mniej niż dwa punkty zgubione przez znak.

Jeśli chcesz pójść dalej, polecam ci wejść w [pełny przewodnik po geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), który łączy odległości z równaniami prostych, okręgów i wektorami w jeden spójny system. Dla powtórki układu współrzędnych w ogóle warto zerknąć też do [poradnika o punktach i odległościach](/uklad-wspolrzednych-matura-punkty-odleglosci-wektory). A jeśli stoisz przed maturą, w naszej bazie znajdziesz dziesiątki zadań CKE z geometrii analitycznej z pełnymi rozwiązaniami - klikaj numery zadań i ćwicz, aż wzór sam wskoczy ci w pamięć.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-i-objetosc-stozka-wzory-zadania-matura
title: Jak obliczyć pole i objętość stożka - wzory, tworząca i zadania maturalne
description: Wzory na objętość i pole powierzchni stożka z wyprowadzeniem. Tworząca, przekrój osiowy, 6 zadań maturalnych krok po kroku i typowe pułapki CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole i objętość stożka - wzory, tworząca i zadania maturalne

Stożek to jedna z trzech brył obrotowych, które musisz umieć na maturze (obok walca i kuli). CKE pyta o niego regularnie, często w zadaniach, w których trzeba połączyć twierdzenie Pitagorasa z objętością albo rozpoznać stożek w przekroju bryły złożonej. Jeśli zakujesz tylko wzór na objętość i nie zrozumiesz relacji między promieniem, wysokością a tworzącą, utkniesz na pierwszym zadaniu.

Ten przewodnik daje ci kompletny zestaw wzorów, schemat rozwiązywania i 6 zadań krok po kroku. Po przeczytaniu stożek stanie się jednym z najprostszych tematów stereometrii.

## Wzory podstawowe - objętość i pole powierzchni stożka

Stożek (prostokątny, bo tylko takie są na maturze) opisujesz trzema wielkościami:
- promień podstawy \(r\)
- wysokość \(h\) (odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy)
- tworząca \(l\) (odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy)

Te trzy wielkości łączy twierdzenie Pitagorasa, bo w przekroju osiowym tworzą trójkąt prostokątny:

$$l^2 = r^2 + h^2$$

Stąd: \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\), \(h = \sqrt{l^2 - r^2}\), \(r = \sqrt{l^2 - h^2}\). Zapamiętaj tę trójkę - bez niej nie zrobisz żadnego zadania o stożku.

**Objętość stożka:**

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Jedna trzecia objętości walca o tej samej podstawie i wysokości. Łatwy sposób na zapamiętanie: stożek wlany do walca to dokładnie jedna trzecia.

**Pole podstawy:** to zwykłe koło, czyli \(P_p = \pi r^2\).

**Pole boczne** (powierzchnia po rozwinięciu na płasko):

$$P_b = \pi r l$$

**Pole powierzchni całkowitej** to suma obu:

$$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Wszystkie te wzory znajdziesz na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), więc nie musisz ich kuć na pamięć. Musisz jednak umieć je szybko znaleźć i użyć bez zastanowienia.

Więcej o bryłach obrotowych znajdziesz w przewodniku [stereometria na maturze](/topics/stereometria) i w powiązanych postach [jak obliczyć objętość walca](/jak-obliczyc-objetosc-walca-pole-powierzchni) oraz [objętość i pole powierzchni brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory).

## Przekrój osiowy stożka - trójkąt równoramienny

Przekrój osiowy to przecięcie stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego oś. Dostajesz trójkąt równoramienny o:
- podstawie równej średnicy koła, czyli \(2r\)
- ramionach równych tworzącej \(l\)
- wysokości równej wysokości stożka \(h\)

Jeśli zadanie mówi "przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym", to znaczy, że \(l = 2r\), czyli tworząca jest równa średnicy. Wtedy \(h = r\sqrt{3}\) (wysokość trójkąta równobocznego o boku \(2r\)).

Jeśli "przekrój osiowy jest trójkątem prostokątnym" (prostokąt przy wierzchołku stożka), to kąt między tworzącymi wynosi \(90°\). Wtedy \(l\sqrt{2} = 2r\), czyli \(l = r\sqrt{2}\), a stąd \(h = r\).

Te dwa przypadki pojawiają się na maturze najczęściej. Rozpoznawanie ich to połowa sukcesu.

## Kąty w stożku - rozwarcia i nachylenia

Dwa kąty, o które CKE pyta najczęściej:

**Kąt nachylenia tworzącej do podstawy** \(\alpha\) - kąt między tworzącą a promieniem podstawy. Z trójkąta prostokątnego w przekroju:

$$\tan \alpha = \frac{h}{r}, \quad \sin \alpha = \frac{h}{l}, \quad \cos \alpha = \frac{r}{l}$$

**Kąt rozwarcia stożka** \(2\alpha\) - kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. To dwa razy kąt między tworzącą a osią (albo \(180° - 2\alpha\) zależnie od definicji). Zawsze najpierw narysuj przekrój i zaznacz, o który kąt chodzi.

Przy wartościach sinusa, cosinusa i tangensa kątów warto mieć w głowie tabelkę z postu [sinus, cosinus, tangens na maturze](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

## Zadanie 1 - objętość z promienia i wysokości

Oblicz objętość stożka, którego promień podstawy wynosi \(3\) cm, a wysokość \(5\) cm.

**Rozwiązanie:** Podstawiamy do wzoru:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 5 = 15\pi$$

**Odpowiedź:** \(V = 15\pi\) cm\(^3\).

Proste zadanie na rozgrzewkę. Uwaga - zostawiasz \(\pi\) w wyniku, nie zamieniasz na \(3{,}14\), chyba że zadanie wprost tego wymaga.

## Zadanie 2 - tworząca z twierdzenia Pitagorasa

Stożek ma promień podstawy \(4\) i wysokość \(3\). Oblicz tworzącą i pole boczne.

**Rozwiązanie:** Tworząca z Pitagorasa:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Pole boczne:

$$P_b = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$$

**Odpowiedź:** tworząca \(l = 5\), pole boczne \(P_b = 20\pi\).

Klasyczna trójka pitagorejska \(3, 4, 5\). CKE lubi ten zestaw, bo liczby wychodzą okrągło.

## Zadanie 3 - stożek o przekroju osiowym będącym trójkątem równobocznym

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu \(9\sqrt{3}\). Oblicz objętość stożka.

**Rozwiązanie:** Jeśli przekrój jest równoboczny, to \(l = 2r\). Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\):

$$P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

Bok tego trójkąta to \(2r\), więc:

$$\frac{(2r)^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
$$\frac{4r^2 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$
$$r^2 \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$
$$r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$$

Wysokość stożka to wysokość trójkąta równobocznego o boku \(2r = 6\):

$$h = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi$$

**Odpowiedź:** \(V = 9\sqrt{3}\pi\).

Typowe zadanie maturalne łączące stereometrię z planimetrią trójkąta równobocznego. Jeśli nie kojarzysz wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, zajrzyj do postu [trójkąt 30, 60, 90 i 45, 45, 90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Zadanie 4 - kąt nachylenia tworzącej do podstawy

Tworząca stożka ma długość \(10\) cm, a kąt nachylenia tworzącej do podstawy wynosi \(60°\). Oblicz pole całkowite.

**Rozwiązanie:** Z trójkąta prostokątnego w przekroju:

$$r = l \cos 60° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$
$$h = l \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

Wysokość nie jest tu potrzebna do pola, ale dobrze mieć. Pole całkowite:

$$P_c = \pi r (r + l) = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 10) = 75\pi$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 75\pi\) cm\(^2\).

Uwaga na częsty błąd: \(\cos 60° = 1/2\) (nie \(\sqrt{3}/2\)). Pomyłkę z \(\sin\) i \(\cos\) popełnia co trzeci maturzysta.

## Zadanie 5 - objętość z pola bocznego i promienia

Pole boczne stożka wynosi \(65\pi\), a promień podstawy \(5\). Oblicz objętość stożka.

**Rozwiązanie:** Z wzoru na pole boczne wyliczamy tworzącą:

$$P_b = \pi r l \Rightarrow 65\pi = \pi \cdot 5 \cdot l \Rightarrow l = 13$$

Teraz wysokość z Pitagorasa:

$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$$

**Odpowiedź:** \(V = 100\pi\).

Kolejna trójka pitagorejska \(5, 12, 13\). Jeśli zobaczysz \(5\) i \(13\) w zadaniu, odruchowo myśl \(12\).

## Zadanie 6 - stożek wpisany w półkulę

Stożek ma wspólną podstawę z półkulą o promieniu \(R\), a jego wierzchołek leży na powierzchni półkuli. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości półkuli.

**Rozwiązanie:** Wierzchołek stożka leży na półkuli dokładnie nad środkiem podstawy (bo to najwyższy punkt półkuli), czyli wysokość stożka równa jest promieniowi: \(h = R\). Promień podstawy stożka to też \(R\).

Objętość stożka:

$$V_{st} = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3$$

Objętość półkuli:

$$V_{pk} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3$$

Stosunek:

$$\frac{V_{st}}{V_{pk}} = \frac{\frac{1}{3} \pi R^3}{\frac{2}{3} \pi R^3} = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** objętość stożka jest dwa razy mniejsza od objętości półkuli.

Zadanie typu "bryła wpisana w bryłę" to ulubione CKE na maturze rozszerzonej. Klucz: narysuj przekrój osiowy i szukaj trójkątów prostokątnych.

## Typowe pułapki i błędy

**Mylenie średnicy z promieniem.** Zadanie podaje średnicę \(d = 10\), a ty liczysz \(V = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \cdot h\) zamiast \(\frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot h\). Pierwszy odruch po przeczytaniu: sprawdź, czy liczba to \(r\) czy \(d\).

**Zapomnienie o \(\frac{1}{3}\) w objętości.** Wzór na objętość stożka i walca różni się tylko tym ułamkiem. Na ostatniej prostej maturzyści liczą bez \(1/3\) i dostają zerówkę.

**Błąd przy tworzącej.** Tworząca to NIE wysokość. To przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych \(r\) i \(h\). Zawsze używaj \(l^2 = r^2 + h^2\), nie odwrotnie.

**Zapomnienie o podstawie w polu całkowitym.** \(P_c = \pi r^2 + \pi r l\), a nie tylko \(\pi r l\). Jeśli stożek jest "otwarty" (bez dna), zadanie musi to wyraźnie zaznaczyć.

**Przekrój osiowy a poprzeczny.** Osiowy idzie przez oś - to trójkąt. Poprzeczny idzie prostopadle do osi - to koło. CKE lubi zapytać o oba w jednym zadaniu.

**Jednostki.** Wysokość w cm, promień w dm - zawsze sprowadzaj do jednej jednostki przed podstawieniem do wzoru. Więcej o błędach rachunkowych w poście [błędy rachunkowe na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac).

## Podsumowanie - co musisz umieć

Przed maturą upewnij się, że potrafisz bez zastanowienia:

- napisać wzór na objętość stożka \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\) i pole boczne \(P_b = \pi r l\)
- użyć twierdzenia Pitagorasa \(l^2 = r^2 + h^2\) w obie strony
- rozpoznać przekrój osiowy równoboczny (\(l = 2r\)) i prostokątny (\(l = r\sqrt{2}\))
- wyliczyć \(r\), \(h\) lub \(l\) z kąta nachylenia tworzącej
- policzyć pole całkowite \(P_c = \pi r (r + l)\)
- rozwiązać zadanie o stożku wpisanym w inną bryłę (narysuj przekrój, szukaj trójkątów)

Jeśli te sześć punktów masz opanowane, stożek na maturze to pewne punkty. Następny krok: przećwicz zadania na stronie [stereometria - zadania](/topics/stereometria) i zrób arkusz [matura próbna CKE marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania) - tam jest świeże zadanie ze stożkiem.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-obliczyc-pole-kola-obwod-okregu-wzory
title: Jak obliczyć pole koła i obwód okręgu - wzory, wyprowadzenie i zadania maturalne
description: Wzory na pole koła (πr²) i obwód okręgu (2πr). Pole wycinka, długość łuku, 6 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku i typowe pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Jak obliczyć pole koła i obwód okręgu - wzory, wyprowadzenie i zadania maturalne

Pole koła i obwód okręgu to jeden z pierwszych wzorów, których uczysz się w szkole podstawowej. Na maturze jednak nie wystarczy znać \(\pi r^2\) - musisz wiedzieć, kiedy użyć pola wycinka, jak policzyć długość łuku, i co robić, gdy zadanie daje ci średnicę zamiast promienia. CKE pyta o koła praktycznie co roku, często w zadaniach mieszanych z trójkątami lub czworokątami.

Interaktywny kalkulator: pole-kola (dostępny na stronie wpisu)

Ten przewodnik da ci kompletny zestaw wzorów i 6 zadań krok po kroku. Po przeczytaniu będziesz liczyć pole i obwód automatycznie, bez zgadywania.

## Wzory podstawowe - pole koła i obwód okręgu

Dla okręgu (lub koła) o promieniu \(r\):

$$P = \pi r^2$$
$$L = 2\pi r$$

Gdzie:
- \(P\) - pole koła (powierzchnia w środku)
- \(L\) - obwód okręgu (długość zewnętrznej linii)
- \(r\) - promień (odległość od środka do brzegu)

Jeśli zadanie daje ci **średnicę** \(d\), pamiętaj: \(d = 2r\), czyli \(r = d/2\). Nie wrzucaj średnicy do wzoru na pole - dostaniesz cztery razy za duży wynik.

Stała \(\pi \approx 3{,}14\), ale na maturze zostawiasz \(\pi\) w wyniku. Karta wzorów podaje ten wzór, więc nie musisz go pamiętać, ale warto mieć go w odruchu.

Więcej o figurach i wzorach pól znajdziesz w przewodniku [planimetria na maturze](/topics/planimetria) oraz w poście [pole i obwód figur na maturze](/pole-obwod-figur-matura-wzory).

## Pole wycinka koła i długość łuku - wzory, które łatwo pomylić

Wycinek to "kawałek tortu" wycięty z koła przez dwa promienie i łuk. Jeśli kąt środkowy wynosi \(\alpha\) (w stopniach), to:

$$P_{wycinka} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360°}$$
$$L_{luku} = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360°}$$

Logika jest prosta: pełne koło to \(360°\), więc wycinek o kącie \(\alpha\) to ułamek \(\alpha/360°\) całego koła.

Jeśli kąt jest w **radianach**, wzory są jeszcze prostsze:

$$P_{wycinka} = \frac{1}{2} r^2 \alpha$$
$$L_{luku} = r\alpha$$

Radiany nie pojawiają się na maturze podstawowej, ale na rozszerzeniu tak. Szczegóły w poście [trygonometria na maturze](/topics/trygonometria).

## Zadanie 1 - proste pole i obwód

Oblicz pole koła i obwód okręgu o promieniu \(r = 5\).

**Rozwiązanie:**

Pole: \(P = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\)

Obwód: \(L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi\)

**Odpowiedź:** \(P = 25\pi\), \(L = 10\pi\).

## Zadanie 2 - ze średnicy

Koło ma średnicę \(d = 12\) cm. Oblicz jego pole.

**Rozwiązanie:**

Najpierw promień: \(r = d/2 = 6\) cm.

Pole: \(P = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\) cm².

**Typowa pułapka:** wielu uczniów podstawia średnicę zamiast promienia i wychodzi im \(144\pi\). Zawsze sprawdź, co dostajesz.

## Zadanie 3 - wycinek kołowy

W kole o promieniu \(r = 6\) kąt środkowy wycinka wynosi \(60°\). Oblicz pole tego wycinka.

**Rozwiązanie:**

$$P_{wycinka} = \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{60°}{360°} = 36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi$$

**Odpowiedź:** \(P_{wycinka} = 6\pi\).

## Zadanie 4 - długość łuku

Oblicz długość łuku odpowiadającego kątowi środkowemu \(120°\) w okręgu o promieniu \(r = 9\).

**Rozwiązanie:**

$$L = 2\pi \cdot 9 \cdot \frac{120°}{360°} = 18\pi \cdot \frac{1}{3} = 6\pi$$

**Odpowiedź:** \(L = 6\pi\).

## Zadanie 5 - pole pierścienia (bajgla)

Dwa okręgi współśrodkowe mają promienie \(r_1 = 3\) i \(r_2 = 7\). Oblicz pole pierścienia między nimi.

**Rozwiązanie:**

Pole pierścienia to różnica pól dużego i małego koła:

$$P = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi(49 - 9) = 40\pi$$

**Odpowiedź:** \(P = 40\pi\).

## Zadanie 6 - koło wpisane w kwadrat

Kwadrat ma bok \(a = 10\). W kwadrat wpisano koło. Oblicz jego pole.

**Rozwiązanie:**

Koło wpisane w kwadrat ma średnicę równą bokowi kwadratu: \(d = a = 10\), więc \(r = 5\).

$$P = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$$

**Odpowiedź:** \(P = 25\pi\).

Dla koła **opisanego** na kwadracie byłoby inaczej: średnica koła = przekątna kwadratu = \(a\sqrt{2}\). Więcej o relacjach bok/przekątna w poście [trójkąt 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Typowe pułapki na maturze

**1. Średnica zamiast promienia.** Zadanie daje \(d\), ty wrzucasz \(d\) do wzoru. Błąd: wynik jest 4 razy za duży (bo kwadratowanie).

**2. Pole zamiast obwodu.** Widzisz liczbę i wzór, ale nie patrzysz, o co pytali. Zawsze podkreślaj pytanie.

**3. Zapomniane \(\pi\).** Liczysz \(r^2\) i piszesz wynik bez \(\pi\). Punkt w plecy.

**4. Zła jednostka.** Promień w cm, pole w cm². Obwód w cm, nie cm². Pisz jednostki.

**5. Wycinek bez podzielenia przez \(360°\).** Zapominasz, że liczysz kawałek, nie całość.

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Wzór \(P = \pi r^2\) i \(L = 2\pi r\) bez patrzenia na kartę
- Przeliczać średnicę na promień (\(r = d/2\))
- Liczyć pole wycinka i długość łuku przez ułamek \(\alpha/360°\)
- Rozróżniać koło wpisane i opisane (bok vs przekątna)
- Liczyć pole pierścienia jako różnicę dwóch kół

Potrenuj na [zadaniach z planimetrii](/topics/planimetria) i [zadaniach z twierdzeniem Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania), które często łączą się z kołem. Czas rozwiązania zadań o kołach powinien spaść do 2-3 minut.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-pomoc-dziecku-przygotowac-sie-do-matury-z-matematyki
title: Jak pomóc dziecku przygotować się do matury z matematyki - poradnik dla rodziców
description: Poradnik dla rodziców: jak zdiagnozować poziom dziecka przed maturą z matematyki, ile kosztuje wsparcie i co robić zamiast presji. Konkretne kroki.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak pomóc dziecku przygotować się do matury z matematyki - poradnik dla rodziców

## Nie musisz umieć matematyki, żeby realnie pomóc

Najczęstsze zdanie, jakie słyszą rodzice maturzystów: "i tak mi nie pomożesz, bo tego nie umiesz". Częściowo to prawda. Nie wytłumaczysz dziecku wzorów Viete'a, jeśli ostatni raz widziałeś je dwadzieścia lat temu. Ale nauka do matury z matematyki w 90 procentach nie polega na tłumaczeniu. Polega na tym, żeby ktoś codziennie usiadł do zadań, sprawdził, gdzie się myli, i wrócił do tego tematu jeszcze raz. Za to odpowiada rytm, plan i informacja zwrotna, a w każdej z tych trzech rzeczy rodzic może pomóc bez znajomości trygonometrii.

Ten poradnik jest ułożony jak lista działań, nie jak zbiór dobrych rad. Dostaniesz konkretny sposób sprawdzenia, na czym stoi twoje dziecko, porównanie realnych kosztów czterech ścieżek wsparcia, listę zdań, które warto mówić zamiast "ucz się", i sposób weryfikacji po miesiącu, czy nauka w ogóle działa. Jeśli szykujecie się na sierpniową poprawkę, na końcu jest osobna sekcja, a materiał do pracy znajdziesz w [bazie arkuszy matury poprawkowej](/arkusze-matury-poprawkowej-matematyka-sierpien-baza-zadan).

## Krok 1: diagnoza zamiast domysłów

Zanim wydasz złotówkę na korepetycje, potrzebujesz jednej liczby: ile procent punktów twoje dziecko zdobywa dziś na prawdziwym arkuszu CKE. Nie ocena ze szkoły, nie "chyba słabo", tylko wynik z arkusza rozwiązanego na czas.

Jak to zrobić w jedno popołudnie:

1. Wybierzcie jeden arkusz z ostatnich lat, na przykład [maturę z maja 2025](/exams/matura-maj-2025) albo [arkusz poprawkowy z sierpnia 2025](/exams/matura-sierpien-2025).
2. Dziecko rozwiązuje go w warunkach egzaminacyjnych: 180 minut, karta wzorów, kalkulator prosty, telefon w innym pokoju.
3. Liczycie punkty i zapisujecie wynik w procentach oraz listę działów, w których poleciały zera.

To wszystko. Ten jeden wynik zastępuje tygodnie zgadywania i jest podstawą każdej decyzji, którą podejmiecie dalej. Więcej o samej procedurze jest w tekście o [teście diagnostycznym przed maturą](/test-diagnostyczny-matematyka-matura-jak-sprawdzic-poziom), a próg zdawalności rozkłada na czynniki wpis o tym, [ile punktów trzeba zdobyć, żeby zdać](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki).

## Krok 2: jak czytać wynik diagnozy

| Wynik z arkusza | Co to znaczy | Pierwszy ruch |
|---|---|---|
| poniżej 20% | Braki są systemowe, nie punktowe. Dziecko nie rozpoznaje typów zadań. | Zacząć od zadań za 1 punkt z trzech najprostszych działów, codziennie po 30 minut. |
| 20-30% | Do progu brakuje kilku punktów, nie cudu. | Skupić się na powtarzalnych zadaniach zamkniętych i karcie wzorów. |
| 30-50% | Matura jest zdana, gra toczy się o wynik na rekrutację. | Dołożyć zadania otwarte za 2 punkty i pilnować zapisu rozwiązania. |
| powyżej 50% | Podstawa opanowana. | Pracować na pełnych arkuszach na czas i na dziale, który wychodzi najsłabiej. |

Najważniejsze: wynik poniżej 30 procent w lipcu nie oznacza, że dziecko "nie ma głowy do matematyki". Oznacza, że przez ostatnie miesiące nie rozwiązywało zadań maturalnych. To dwie zupełnie różne diagnozy i tylko jedna z nich jest do naprawienia w kilka tygodni. Ta druga.

## Krok 3: cztery ścieżki wsparcia i ile realnie kosztują

| Ścieżka | Koszt | Kiedy ma sens | Czego nie załatwi |
|---|---|---|---|
| Korepetycje indywidualne | zwykle 70-150 zł za godzinę, czyli kilkaset złotych miesięcznie | gdy dziecko ma konkretne, głębokie braki i potrzebuje tłumaczenia na żywo | nie zastąpi codziennego rozwiązywania zadań między spotkaniami |
| Kurs maturalny grupowy | od kilkuset do kilku tysięcy złotych za semestr | gdy dziecko dobrze pracuje w grupie i potrzebuje narzuconego harmonogramu | tempo jest ustalane dla grupy, nie dla twojego dziecka |
| Platforma z bazą zadań CKE | plan Premium w abonamencie miesięcznym, kwartalnym lub półrocznym | gdy problemem jest liczba przerobionych zadań i brak informacji zwrotnej | nie zmotywuje dziecka za ciebie |
| Samodzielna nauka z darmowej bazy | 0 zł | gdy dziecko ma samodyscyplinę i wie, czego szuka | wymaga, żeby ktoś pilnował planu |

Ceny korepetycji i kursów rozkładam dokładniej w tekście o [kosztach przygotowania do matury](/ile-kosztuje-przygotowanie-do-matury-z-matematyki) oraz w porównaniu [korepetycji online](/korepetycje-z-matematyki-online-ile-kosztuja-czy-warto). Warto to policzyć na spokojnie, bo różnica między ścieżkami to w skali roku często kilka tysięcy złotych, a nie kilkaset.

Zanim zdecydujecie o płatnej opcji, sprawdźcie, ile da się zrobić za darmo. Na Sprawnej Maturze bez zakładania konta dostępne są [zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami](/topics), [losowanie zadania na rozgrzewkę](/random), [karta wzorów](/formulas) i [solver, który rozwiązuje zadanie krok po kroku](/solve). Dla większości maturzystów, którzy walczą o próg, to wystarczający zestaw narzędzi. Pełną listę tego, co dostępne bez opłat, zebrałem w tekście o [maturze bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-samodzielna-nauka), a warunki planu Premium znajdziesz na [stronie zakupu](/payment/checkout).

## Krok 4: co dokładnie może robić rodzic

Siedem rzeczy, które działają i żadna z nich nie wymaga umiejętności liczenia delty:

**Pilnuj rytmu, nie treści.** Codziennie 45 minut daje więcej niż sześć godzin w niedzielę. Twoja rola to przypilnować, że te 45 minut się wydarzyło, a nie sprawdzać, czy wynik zadania jest dobry.

**Zadbaj o miejsce pracy.** Biurko, kartka, długopis, telefon poza zasięgiem ręki. Matematyki nie da się nauczyć samym czytaniem, trzeba pisać, a do pisania potrzeba miejsca.

**Zapytaj o liczbę, nie o samopoczucie.** "Ile zadań dziś zrobiłeś" jest weryfikowalne. "Jak ci poszło" zawsze dostanie odpowiedź "normalnie".

**Kup jeden arkusz w papierze na tydzień.** Wydrukowany arkusz rozwiązywany na czas przy stole jest bliższy realnej maturze niż klikanie na telefonie. Zadania w wersji online służą do treningu, wydruk do sprawdzianu.

**Poproś o pokazanie postępu raz w tygodniu.** W aplikacji jest [strona postępów](/progress) ze statystyką rozwiązanych zadań i skutecznością w poszczególnych działach. Piętnaście sekund i widzicie oboje to samo.

**Nie sprawdzaj wyników codziennie.** Codzienna kontrola zamienia naukę w rozliczanie. Raz w tygodniu wystarczy.

**Zapewnij sen i jedzenie.** Brzmi banalnie, dopóki nie zobaczysz, jak wygląda skuteczność rozwiązywania zadań po nocy przy telefonie. To realnie kilka punktów różnicy.

## Krok 5: jak rozmawiać, żeby nie zabić motywacji

| Zamiast | Powiedz |
|---|---|
| "Ucz się, bo nie zdasz" | "O której dziś siadasz do matematyki? Zrobię ci wtedy herbatę" |
| "Za moich czasów..." | "Pokaż mi jedno zadanie, którego nie rozumiesz, spróbujemy razem znaleźć rozwiązanie" |
| "Kolega ma same piątki" | "Zobaczmy, o ile podniósł ci się wynik od poprzedniego arkusza" |
| "To proste, po prostu się skup" | "To trudne. Ile takich zadań już zrobiłeś?" |
| "Zmarnujesz sobie życie" | "Nawet jeśli nie zdasz w maju, jest poprawka w sierpniu i można ją zdać" |

Presja podnosi stres, a stres na maturze kosztuje punkty na najprostszych zadaniach. Techniki radzenia sobie z tym zebrałem w osobnym wpisie o [stresie przed maturą z matematyki](/radzenie-sobie-ze-stresem-matura-matematyka-techniki). Warto go przeczytać także rodzicowi, bo połowa opisanych tam błędów dzieje się w domu, nie na sali egzaminacyjnej.

## Pięć błędów rodziców, które kosztują punkty

**1. Kupowanie stosu książek zamiast jednego planu.** Trzy repetytoria na biurku dają poczucie działania i zero przerobionych zadań. Jedna książka plus baza zadań online wystarczy w zupełności.

**2. Traktowanie korepetycji jak usługi kurierskiej.** Godzina tygodniowo u korepetytora bez pracy własnej między spotkaniami to wyrzucone pieniądze. Korepetycje działają jako uzupełnienie, nigdy jako całość przygotowań.

**3. Skupienie na ocenach szkolnych.** Ocena z klasówki mówi o materiale z ostatniego miesiąca. Matura sprawdza cztery lata. Jedyny wiarygodny miernik to procent punktów z arkusza CKE.

**4. Odbieranie telefonu jako kary.** Zabranie telefonu nie tworzy nawyku nauki, tworzy konflikt. Lepiej działa umowa: telefon leży w innym pokoju przez czas rozwiązywania zadań, potem wraca.

**5. Panika w kwietniu.** Zmiana strategii na miesiąc przed egzaminem, nagłe intensywne korepetycje i codzienne kontrole robią więcej szkody niż pożytku. Realistyczne ramy czasowe opisuje wpis o tym, [ile czasu zajmuje przygotowanie do matury](/ile-czasu-na-przygotowanie-do-matury-z-matematyki).

## Krok 6: jak sprawdzić po miesiącu, czy to działa

Po czterech tygodniach nauki potrzebujecie odpowiedzi na jedno pytanie: czy wynik rośnie. Sprawdzacie to tak samo jak na starcie, czyli pełnym arkuszem na czas. Nowy arkusz, te same warunki, ta sama procedura liczenia punktów.

Trzy sygnały, że nauka idzie dobrze:

- Procent punktów wzrósł o co najmniej kilka punktów procentowych. Skok z 18 na 26 procent w miesiąc jest zupełnie normalny i oznacza, że plan działa.
- Zmienił się rodzaj błędów. Jeśli w lipcu dziecko zostawiało zadania puste, a w sierpniu robi je i myli się w rachunkach, to jest realny postęp, mimo podobnego wyniku.
- Rośnie liczba zadań otwartych, w których pojawia się jakikolwiek zapis. Punkty cząstkowe za metodę są w zasadach oceniania i potrafią zdecydować o zdaniu, co tłumaczy wpis o [punktowaniu zadań maturalnych](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

Jeśli po miesiącu wynik stoi w miejscu, problemem zwykle nie jest liczba godzin, tylko sposób pracy: rozwiązywanie tych samych łatwych zadań w kółko i omijanie tego, co nie wychodzi. Wtedy warto wejść w konkretny dział przez [stronę działów](/topics) i przerobić go do końca, zamiast krążyć wokół całego materiału.

## Kiedy korepetycje mają sens, a kiedy to wyrzucone pieniądze

Korepetycje warto włączyć, gdy widzicie jeden z tych sygnałów:

- dziecko utknęło na konkretnym dziale i po tygodniu pracy dalej nie rozumie podstawowego typu zadania,
- czyta rozwiązanie krok po kroku i nie potrafi powtórzyć tego samego na bliźniaczym zadaniu,
- ma dobrą motywację i pracuje samo, ale brakuje mu jednej osoby do zadawania pytań.

Nie warto ich zaczynać, gdy problemem jest brak nawyku pracy. Godzina tygodniowo nie zbuduje rytmu, którego nie ma przez pozostałe sześć dni. Najpierw rytm i baza zadań, potem ewentualnie korepetytor do zapchania konkretnych dziur.

## Sierpniowa poprawka: cztery tygodnie i konkretne wsparcie

Jeśli twoje dziecko nie zdało matematyki w maju, egzamin poprawkowy w 2027 roku odbędzie się **23 sierpnia (poniedziałek) o godzinie 9:00**. Do zdania wystarczy 30 procent punktów, czyli około 15 punktów z arkusza. To realne do zrobienia w cztery tygodnie, jeśli praca idzie na właściwym materiale.

Trzy rzeczy, którymi możesz pomóc w tym czasie:

1. Usiądźcie razem nad arkuszem majowym i wypiszcie, w których działach poleciały zera. To zajmie godzinę i wyznaczy cały plan.
2. Ustawcie stały blok nauki, najlepiej rano, bo egzamin też jest rano.
3. Dajcie dziecku materiał dokładnie pod ten egzamin, czyli [arkusze matury poprawkowej z sierpnia](/arkusze-matury-poprawkowej-matematyka-sierpien-baza-zadan) z rozwiązaniami krok po kroku.

Gotowy harmonogram tygodniowy jest we wpisie o [planie przygotowań na sierpniową poprawkę](/poprawka-z-matematyki-sierpien-2026-plan-przygotowan), a formalności opisuje tekst o [terminie i zasadach poprawki 2027](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady).

## Najczęstsze pytania rodziców

### Nie znam się na matematyce, czy w ogóle mogę pomóc?
Tak. Twoja rola to plan, rytm i spokój, a nie tłumaczenie zadań. Rozwiązania krok po kroku dziecko ma przy każdym zadaniu w bazie, więc rolę tłumacza przejmuje aplikacja.

### Czy korepetycje są konieczne, żeby zdać?
Nie. Do przekroczenia progu 30 procent zwykle wystarcza systematyczne rozwiązywanie zadań z arkuszy CKE z rozwiązaniami. Korepetycje pomagają, gdy trzeba komuś wytłumaczyć konkretny typ zadania na żywo.

### Ile godzin dziennie powinno się uczyć?
Lepsze 45 minut codziennie niż pięć godzin raz w tygodniu. Przy nauce od zera realny plan to godzina dziennie przez kilka miesięcy, co rozkłada wpis o [nauce matematyki od zera do matury](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury).

### Co, jeśli dziecko nie chce żadnej pomocy?
Nie narzucaj metody, zaproponuj jeden konkretny krok: rozwiązanie jednego arkusza i policzenie wyniku. Liczba na kartce robi więcej niż dziesięć rozmów o przyszłości.

### Czy zdanie matury w terminie poprawkowym coś psuje?
Na świadectwie nie ma adnotacji o terminie. Wynik z sierpnia liczy się w rekrutacji na studia w rekrutacji uzupełniającej, choć wybór kierunków jest wtedy mniejszy niż w pierwszej turze.

### Jak sprawdzić, że dziecko naprawdę pracuje, a nie tylko siedzi z otwartym laptopem?
Poproś o pokazanie [strony postępów](/progress) raz w tygodniu. Widać tam liczbę rozwiązanych zadań i skuteczność w działach, więc rozmowa opiera się na danych, a nie na deklaracjach.

## Podsumowanie

Rola rodzica w przygotowaniach do matury z matematyki sprowadza się do czterech rzeczy: zdiagnozować punkt startowy prawdziwym arkuszem, wybrać ścieżkę wsparcia proporcjonalną do braków, pilnować codziennego rytmu i raz w tygodniu spojrzeć na twarde dane zamiast pytać o samopoczucie.

Zacznijcie dziś od jednego arkusza rozwiązanego na czas: [zadania z arkuszy CKE](/topics) są dostępne od ręki, a wynik z pierwszego podejścia powie wam więcej niż wszystkie rozmowy o tym, czy będzie dobrze. Jeśli celem jest sierpniowa poprawka, cały materiał egzaminacyjny czeka w [bazie arkuszy poprawkowych](/arkusze-matury-poprawkowej-matematyka-sierpien-baza-zadan).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-nierownosc-logarytmiczna-metody-matura
title: Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną - metody, przykłady i zadania maturalne
description: Nierówności logarytmiczne: monotoniczność, dziedzina, 6 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku. Pułapka z podstawą logarytmu < 1.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną - metody, przykłady i zadania maturalne

Nierówności logarytmiczne to temat, który na maturze rozszerzonej regularnie pojawia się za 3-5 punktów. Duża część uczniów traci tu punkty nie dlatego, że nie umie rozwiązywać logarytmów, tylko dlatego, że zapomina o **dziedzinie** albo o **odwróceniu znaku nierówności** gdy podstawa jest mniejsza od 1.

Jeśli opanujesz 3 zasady z tego posta, zadanie za 3 punkty masz w kieszeni.

## Podstawowa zasada - monotoniczność logarytmu

To najważniejsza rzecz do zapamiętania:

**Gdy podstawa \(a > 1\)** (np. \(\log_2, \log_{10}, \ln\)): logarytm jest **rosnący**.
$$\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) > g(x)$$

**Gdy podstawa \(0  \log_a g(x) \iff f(x)  0$$

Zapisz warunki dziedziny na górze kartki. Bez tego zgubisz punkty nawet z dobrą arytmetyką.

Więcej o logarytmach w przewodniku [logarytmy na maturze](/topics/logarytmy) i w poście [jak obliczyć logarytm](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku).

## Metoda - schemat rozwiązywania

1. **Dziedzina** - wypisz warunki \(f(x) > 0\) dla każdego logarytmu.
2. **Sprowadź** obie strony do logarytmów o tej samej podstawie.
3. **Usuń logarytmy** używając monotoniczności (sprawdź czy podstawa \(>1\) czy \( 1

Rozwiąż \(\log_2(x - 1)  0\), czyli \(x > 1\).

Zapisz \(3 = \log_2 8\):

$$\log_2(x - 1)  1\), więc znak zostaje: \(x - 1  -2\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x + 3 > 0\), czyli \(x > -3\).

\(-2 = \log_{1/2} 4\) (bo \((1/2)^{-2} = 4\)):

$$\log_{1/2}(x + 3) > \log_{1/2} 4$$

Podstawa \(1/2  \log_3(2x - 1)\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x + 5 > 0\) i \(2x - 1 > 0\), czyli \(x > -5\) i \(x > 0{,}5\). Wspólnie: \(x > 0{,}5\).

Podstawa \(3 > 1\), znak zostaje:

$$x + 5 > 2x - 1$$
$$6 > x$$

Czyli \(x  0\).

Podstaw \(t = \log_2 x\):

$$t^2 - 3t + 2 \leq 0$$

\(\Delta = 9 - 8 = 1\), \(t_1 = 1\), \(t_2 = 2\).

Parabola w górę, więc \(t \in [1, 2]\), czyli \(1 \leq \log_2 x \leq 2\).

\(\log_2 x \geq 1 \iff x \geq 2\)

\(\log_2 x \leq 2 \iff x \leq 4\)

**Odpowiedź:** \(x \in [2, 4]\).

## Zadanie 5 - zamiana na wspólną podstawę

Rozwiąż \(\log_2 x + \log_4 x > 3\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x > 0\).

Zamień \(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}\):

$$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} > 3$$
$$\frac{3}{2}\log_2 x > 3$$
$$\log_2 x > 2$$
$$x > 4$$

**Odpowiedź:** \(x \in (4, \infty)\).

## Zadanie 6 - z kwadratową w argumencie

Rozwiąż \(\log_{1/3}(x^2 - 4)  0\), czyli \(x  2\).

\(-2 = \log_{1/3} 9\):

$$\log_{1/3}(x^2 - 4)  9\), czyli \(x^2 > 13\).

To daje \(x  \sqrt{13}\).

Przecięcie z dziedziną: \(x \in (-\infty, -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)\) (bo \(\sqrt{13} > 2\)).

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)\).

## Typowe pułapki

**1. Brak dziedziny.** Znajdujesz rozwiązanie algebraiczne i zapominasz sprawdzić, czy argumenty logarytmów są dodatnie.

**2. Zapomnienie o odwróceniu znaku.** Podstawa \(1/2\) i piszesz rozwiązanie jak dla \(a > 1\). Klasyka.

**3. Zapis \(-2\) bez zamiany na logarytm.** Trudniej porównywać, jeśli jedna strona to liczba, druga logarytm. Zamień liczbę na \(\log_a a^n\).

**4. Brak jednakowej podstawy.** Nie porównasz \(\log_2\) z \(\log_3\) bezpośrednio. Zamień na jedną.

**5. Dziedzina po rozwiązaniu.** Łatwo zapomnieć, że dziedzina **zawęża** zbiór rozwiązań.

## Podsumowanie

- Zawsze zacznij od dziedziny: każdy argument logarytmu \(> 0\).
- Podstawa \(>1\): znak nierówności zostaje.
- Podstawa \(\in (0,1)\): znak odwracasz.
- Sprowadź do jednej podstawy przez \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\).
- Przetnij rozwiązanie z dziedziną na końcu.

Więcej o logarytmach: [równania logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne), [logarytmy wzory](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-nierownosc-z-wartoscia-bezwzgledna
title: Jak rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną - metody i zadania maturalne krok po kroku
description: Jak rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną (modułem)? 3 metody, 7 zadań maturalnych krok po kroku i algorytm na egzamin z matematyki.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną - metody i zadania maturalne krok po kroku

Nierówności z wartością bezwzględną to temat, na którym uczniowie tracą najwięcej punktów na maturze. Dlaczego? Bo moduł łamie intuicję: znak minus w środku modułu staje się plusem, a przy nierównościach trzeba ogarnąć dwa przypadki. Ale spokojnie - jak załapiesz dwa wzory, reszta leci z automatu.

## Co to jest wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna (moduł) liczby \(x\) to jej "odległość od zera":

$$|x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \geq 0 \\ -x & \text{gdy } x  0\), to:

$$|x|  a \iff x  a$$

Zapamiętaj **"widełki i rogale"**:
- \(|x|  a\) daje **rogale** - \(x\) jest DALEKO od zera (mniejsze od \(-a\) lub większe od \(a\))

Dla nierówności nieostrych (\(\leq\), \(\geq\)) wzory są takie same, tylko z \(\leq\) zamiast \( 2x - 3\).

**Rozwiązanie:**

Tu moduł jest po lewej, a zmienna po prawej. Rozbijamy na przypadki według znaku \(x\):

**Przypadek A: \(x \geq 0\)**

\(|x| = x\), nierówność:

$$x > 2x - 3$$
$$-x > -3$$
$$x  2x - 3$$
$$-3x > -3$$
$$x  c\)?**
   - Jeśli TAK, użyj wzorów "widełki" lub "rogale".
2. **Czy są dwa moduły lub moduł z częścią zmienną po prawej?**
   - Jeśli TAK, rozbij na przedziały według miejsc zerowych wyrażeń pod modułami.
3. **Zapisz odpowiedź jako sumę/przecięcie przedziałów.**
4. **Sprawdź końcowe punkty** - czy przedziały są otwarte (\( -3\), to rozwiązaniem są WSZYSTKIE liczby rzeczywiste. Zawsze sprawdzaj znak prawej strony.

**Błąd 2: Źle postawiona suma i przecięcie.** Dla "widełek" przedziały łączy się koniunkcją (\(\land\), przecięcie): \(-a  a\). Pomylenie tego to klasyk.

**Błąd 3: Zapomnienie o warunku dla przedziałów.** W metodzie przedziałów każdy wynik trzeba przeciąć z przedziałem, z którego wyszedł. Rozwiązanie "z przypadku A" musi spełniać warunek przypadku A.

**Błąd 4: Złe otwarcie/zamknięcie przedziałów.** \(|x|  a\)
- Rozbijać nierówność z dwoma modułami na przedziały
- Rozwiązywać nierówność \(|ax + b| < cx + d\) przez rozbicie na przypadki
- Odróżniać nierówności ostre od nieostrych (przedziały otwarte vs domknięte)
- Zapisywać rozwiązanie jako sumę przedziałów

Przećwicz na [zadaniach z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - mamy ponad 200 zadań maturalnych. Sprawdź też [nierówności kwadratowe](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania), gdzie moduł czasem się łączy z wielomianem. Przy słabszym wyniku z próbnej warto zajrzeć do [planu powtórek na ostatni miesiąc](/ostatnie-tygodnie-przed-matura-plan-nauki-matematyka).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-rownanie-niewymierne-z-pierwiastkiem-matura
title: Jak rozwiązać równanie niewymierne z pierwiastkiem - metoda, dziedzina i zadania maturalne
description: Równanie z pierwiastkiem krok po kroku: kwadratura, dziedzina, sprawdzanie rozwiązań. 6 zadań maturalnych i pułapka z rozwiązaniami pozornymi.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać równanie niewymierne z pierwiastkiem - metoda, dziedzina i zadania maturalne

Równanie niewymierne to takie, w którym niewiadoma występuje pod pierwiastkiem. Na maturze pojawia się w zadaniach typu: "rozwiąż \(\sqrt{x + 3} = x - 1\)". Na pierwszy rzut oka prosto - podnieść do kwadratu i lecimy. Haczyk: kwadratura może dodać rozwiązania, których oryginalne równanie **nie ma**. To tzw. rozwiązania pozorne. Dlatego zawsze na końcu sprawdzasz, czy znalezione \(x\) pasują.

W tym poście pokażę ci pełną metodę, 6 zadań krok po kroku i jak unikać kosztownych pułapek.

## Metoda - schemat w 4 krokach

1. **Ustal dziedzinę.** Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być \(\geq 0\). Jeśli po drugiej stronie jest wyrażenie, które musi być \(\geq 0\) (bo \(\sqrt{...} \geq 0\)), też to zapisz.

2. **Wyizoluj pierwiastek** po jednej stronie równania.

3. **Podnieś obie strony do kwadratu.** To usuwa pierwiastek, ale **nie jest** przekształceniem równoważnym - może dodać rozwiązania.

4. **Rozwiąż** równanie algebraiczne i **sprawdź** każde rozwiązanie przez podstawienie do oryginalnego równania.

## Kluczowa zasada - dziedzina i kontrola

Dla równania \(\sqrt{f(x)} = g(x)\):

- Dziedzina: \(f(x) \geq 0\).
- **Warunek konieczny:** \(g(x) \geq 0\) (bo pierwiastek jest zawsze nieujemny).

Bez tego drugiego warunku dostaniesz rozwiązania pozorne. Sprawdzenie na końcu jest obowiązkowe.

## Zadanie 1 - podstawowe

Rozwiąż \(\sqrt{x + 5} = 3\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5\).

Prawa strona (3) jest dodatnia - OK.

Kwadratura: \(x + 5 = 9 \Rightarrow x = 4\).

Sprawdzenie: \(\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3\). Zgadza się.

**Odpowiedź:** \(x = 4\).

## Zadanie 2 - z wyrażeniem po drugiej stronie

Rozwiąż \(\sqrt{x + 3} = x - 1\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\).

Warunek konieczny: \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\).

Łącznie: \(x \geq 1\).

Kwadratura:
$$x + 3 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$$
$$0 = x^2 - 3x - 2$$

\(\Delta = 9 + 8 = 17\), \(x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\).

\(x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3{,}56\) (spełnia \(x \geq 1\))

\(x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0{,}56\) (**nie spełnia** \(x \geq 1\), **odrzucamy**)

Sprawdzenie dla \(x_1\): \(\sqrt{3{,}56 + 3} \approx 2{,}56\), \(x - 1 \approx 2{,}56\). OK.

**Odpowiedź:** \(x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}\).

## Zadanie 3 - rozwiązanie pozorne (klasyczna pułapka)

Rozwiąż \(\sqrt{x + 7} = x - 5\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x \geq -7\). Warunek: \(x \geq 5\). Łącznie: \(x \geq 5\).

Kwadratura:
$$x + 7 = x^2 - 10x + 25$$
$$x^2 - 11x + 18 = 0$$

\(\Delta = 121 - 72 = 49\), \(x = \frac{11 \pm 7}{2}\).

\(x_1 = 9, x_2 = 2\).

Sprawdzenie:
- \(x_1 = 9\): \(\sqrt{16} = 4\), \(9 - 5 = 4\). OK.
- \(x_2 = 2\): \(\sqrt{9} = 3\), ale \(2 - 5 = -3\). **Nie pasuje**, to rozwiązanie pozorne.

**Odpowiedź:** \(x = 9\).

## Zadanie 4 - dwa pierwiastki

Rozwiąż \(\sqrt{x + 4} = \sqrt{2x - 1}\).

**Rozwiązanie:**

Dziedziny: \(x + 4 \geq 0\) i \(2x - 1 \geq 0\), czyli \(x \geq 0{,}5\).

Obie strony nieujemne, więc kwadratura jest równoważna:

$$x + 4 = 2x - 1 \Rightarrow x = 5$$

Sprawdzenie: \(\sqrt{9} = 3 = \sqrt{9}\). OK.

**Odpowiedź:** \(x = 5\).

## Zadanie 5 - pierwiastek i suma

Rozwiąż \(\sqrt{x} + \sqrt{x + 3} = 3\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x \geq 0\).

Wyizoluj jeden pierwiastek: \(\sqrt{x + 3} = 3 - \sqrt{x}\).

Warunek: \(3 - \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \leq 3 \Rightarrow x \leq 9\).

Kwadratura:
$$x + 3 = 9 - 6\sqrt{x} + x$$
$$6\sqrt{x} = 6 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Sprawdzenie: \(\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3\). OK.

**Odpowiedź:** \(x = 1\).

## Zadanie 6 - równanie bez rozwiązań

Rozwiąż \(\sqrt{x - 2} = -3\).

**Rozwiązanie:**

Pierwiastek kwadratowy jest zawsze \(\geq 0\), więc nigdy nie jest równy \(-3\).

**Odpowiedź:** brak rozwiązań.

Uwaga: jeśli pomyślnie wykonasz kwadraturę \(x - 2 = 9\), otrzymasz \(x = 11\), ale to **rozwiązanie pozorne** (bo \(\sqrt{9} = 3 \neq -3\)). Dlatego patrz na znak prawej strony przed kwadraturą.

## Typowe pułapki

**1. Brak sprawdzania.** Podnosisz do kwadratu, rozwiązujesz i piszesz wynik. Połowa zadań ma rozwiązania pozorne - tracisz punkty.

**2. Ignorowanie warunku \(g(x) \geq 0\).** Widzisz \(\sqrt{...} = x - 5\) i nie sprawdzasz, czy \(x - 5\) jest nieujemne.

**3. Kwadratura sumy.** \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), nie \(a^2 + b^2\). Klasyczny błąd algebraiczny.

**4. Dwukrotna kwadratura.** Jeśli masz dwa pierwiastki w jednym równaniu, kwadraturę trzeba zrobić dwa razy (między nimi wyizolować drugi pierwiastek). W zadaniu 5 widać to wyraźnie.

**5. Zła dziedzina.** Pierwiastki różnych wyrażeń dają różne warunki - nie zapomnij o przecięciu.

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Ustalać dziedzinę (wyrażenie pod pierwiastkiem \(\geq 0\)).
- Sprawdzać warunek \(g(x) \geq 0\), gdy \(\sqrt{f(x)} = g(x)\).
- Wykonywać kwadraturę i rozwiązywać równania kwadratowe (zobacz [równania kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania)).
- Sprawdzać każde rozwiązanie w oryginalnym równaniu.
- Rozpoznawać rozwiązania pozorne.

Więcej o metodach rozwiązywania w [przewodniku po równaniach i nierównościach](/topics/rownania-i-nierownosci) i w poście [jak obliczyć deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura
title: Jak rozwiązać równanie trygonometryczne - metody, wzory i zadania maturalne krok po kroku
description: Równania trygonometryczne krok po kroku: 5 metod rozwiązywania, wzory, 6 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami i typowe pułapki.
author: Filip Maszota
---

# Jak rozwiązać równanie trygonometryczne - metody, wzory i zadania maturalne krok po kroku

Równania trygonometryczne to temat, który na maturze podstawowej pojawia się w prostszej formie (\(\sin x = a\), \(\cos x = a\)), a na rozszerzeniu potrafi być zadaniem za 5-6 punktów. Klucz: mało kto rozwiązuje je dobrze za pierwszym razem, bo zapomina o okresowości i gubi rozwiązania.

W tym przewodniku pokażę ci 5 metod, które pokrywają 95% zadań CKE. Po 6 rozwiązanych przykładach będziesz wiedzieć, co robić nawet z trudniejszym równaniem.

## Metoda 1 - równanie postaci sin x = a

Dla \(a \in [-1, 1]\), ogólne rozwiązanie równania \(\sin x = a\) to:

$$x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Dla \(|a| > 1\) równanie **nie ma rozwiązań** (sinus przyjmuje wartości tylko od \(-1\) do \(1\)).

Na maturze najczęściej zadania ograniczają \(x\) do przedziału \([0, 2\pi]\) lub \([0°, 360°]\). Wtedy z ogólnego wzoru wybierasz te rozwiązania, które do tego przedziału pasują.

## Metoda 2 - równanie postaci cos x = a

Dla \(\cos x = a\), \(a \in [-1, 1]\):

$$x = \arccos a + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Krócej: \(x = \pm \arccos a + 2k\pi\).

## Metoda 3 - równanie postaci tg x = a

Dla \(\tan x = a\) (dowolne \(a \in \mathbb{R}\)):

$$x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Zwróć uwagę: okres tangensa to \(\pi\), nie \(2\pi\).

## Metoda 4 - sprowadzanie do jednej funkcji przez tożsamości

Jeśli widzisz mix \(\sin\) i \(\cos\), użyj jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Przykład: \(2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\). Zamieniasz \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\), dostajesz równanie kwadratowe względem \(\cos x\).

Przydadzą się też wzory na kąt podwojony:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$
$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$$

## Metoda 5 - podstawienie t = sin x (lub cos x, tg x)

Jeśli równanie da się zapisać jako wielomian jednej funkcji trygonometrycznej, podstawiasz \(t = \sin x\) i rozwiązujesz jak zwykłe równanie algebraiczne. Więcej o rozwiązywaniu równań kwadratowych w poście [równania kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania).

## Zadanie 1 - sin x = 1/2 w przedziale [0, 2π]

Rozwiąż równanie \(\sin x = \frac{1}{2}\) dla \(x \in [0, 2\pi]\).

**Rozwiązanie:**

\(\sin x = \frac{1}{2}\) dla \(x = \frac{\pi}{6}\) oraz \(x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\).

**Odpowiedź:** \(x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}\).

Wartości sinusa dla kątów standardowych znajdziesz w poście [wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

## Zadanie 2 - cos 2x = 0 w przedziale [0, 2π]

Rozwiąż \(\cos 2x = 0\) dla \(x \in [0, 2\pi]\).

**Rozwiązanie:**

\(\cos t = 0\) dla \(t = \frac{\pi}{2} + k\pi\).

Podstaw \(t = 2x\): \(2x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), więc \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\).

Dla \(x \in [0, 2\pi]\): \(k = 0, 1, 2, 3\) dają \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\).

**Odpowiedź:** \(x \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}\).

## Zadanie 3 - równanie kwadratowe w sin x

Rozwiąż \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\) dla \(x \in [0, 2\pi]\).

**Rozwiązanie:**

Podstaw \(t = \sin x\): \(2t^2 - t - 1 = 0\).

\(\Delta = 1 + 8 = 9\), \(t_1 = \frac{1+3}{4} = 1\), \(t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}\).

Dla \(\sin x = 1\): \(x = \frac{\pi}{2}\).

Dla \(\sin x = -\frac{1}{2}\): \(x = \frac{7\pi}{6}\) lub \(x = \frac{11\pi}{6}\).

**Odpowiedź:** \(x \in \{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}\).

## Zadanie 4 - wykorzystanie jedynki trygonometrycznej

Rozwiąż \(\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{2}\) dla \(x \in [0, 2\pi]\).

**Rozwiązanie:**

Lewa strona to wzór na \(\cos 2x\): \(\cos 2x = \frac{1}{2}\).

\(2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\), więc \(x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi\).

W przedziale: \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\).

**Odpowiedź:** 4 rozwiązania jak wyżej.

## Zadanie 5 - tangens

Rozwiąż \(\tan x = \sqrt{3}\) dla \(x \in [0, 2\pi]\).

**Rozwiązanie:**

\(\tan x = \sqrt{3}\) dla \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\).

W przedziale: \(x = \frac{\pi}{3}\) i \(x = \frac{4\pi}{3}\).

**Odpowiedź:** \(x \in \{\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\}\).

## Zadanie 6 - iloczyn równy zero

Rozwiąż \(\sin x \cos x = 0\) dla \(x \in [0, 2\pi]\).

**Rozwiązanie:**

Iloczyn = 0 gdy jeden z czynników = 0.

\(\sin x = 0\): \(x = 0, \pi, 2\pi\).

\(\cos x = 0\): \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\).

**Odpowiedź:** \(x \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\}\).

## Typowe pułapki

**1. Zapomniana okresowość.** Piszesz tylko \(x = \frac{\pi}{6}\), zapominając o \(\frac{5\pi}{6}\). Zawsze dwa rozwiązania w okresie dla \(\sin\) i \(\cos\).

**2. Złe przedziały.** Zadanie mówi \([0, 2\pi]\), ty piszesz ogólne \(+ 2k\pi\) bez wypisania konkretnych wartości.

**3. Dzielenie przez funkcję trygonometryczną.** Dzielisz obie strony przez \(\cos x\), ale \(\cos x\) może być zerem - tracisz rozwiązania.

**4. Pomylenie okresu tangensa.** Tangens ma okres \(\pi\), nie \(2\pi\).

## Podsumowanie

- Znaj podstawowe wartości \(\sin, \cos, \tan\) dla \(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\)
- Dla \(\sin x = a\) i \(\cos x = a\) w okresie są dwa rozwiązania
- Dla \(\tan x = a\) okres to \(\pi\)
- Używaj tożsamości \(\sin^2 + \cos^2 = 1\) żeby sprowadzić do jednej funkcji
- Nie dziel przez funkcję trygonometryczną bez sprawdzenia, czy może być zerem

Więcej teorii w [przewodniku po trygonometrii](/topics/trygonometria) i [wzorach trójkątów](/wzory-trojkatow-matura-sinus-cosinus-tangens).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-uczyc-sie-matematyki-w-wakacje-przed-matura
title: Jak uczyć się matematyki w wakacje przed maturą - plan i narzędzia
description: Wakacyjny plan nauki matematyki przed maturą - ile się uczyć, od czego zacząć i jakie darmowe narzędzia online do zadań CKE wykorzystać.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak uczyć się matematyki w wakacje przed maturą - plan i narzędzia

Wakacje i matematyka w jednym zdaniu brzmią jak kara. Ale spokojnie - nie chodzi o to, żeby ślęczeć nad książkami przez całe lato. Chodzi o to, żeby zrobić latem tyle, ile inni robią przez pierwszy semestr, i wejść we wrzesień z przewagą. Dwie godziny dwa razy w tygodniu w wakacje potrafią przełożyć się na kilkanaście punktów więcej na maturze. Ten wpis to gotowy plan, jak to ogarnąć bez spinania się i bez korepetycji.

Jeśli szukasz strategii na cały rok, mamy osobny wpis [jak zacząć przygotowania do matury z matematyki 2027](/jak-zaczac-przygotowania-do-matury-z-matematyki-2027-plan-na-rok). Tu skupiamy się konkretnie na wakacjach.

## Dlaczego wakacje to najlepszy moment na start

W trakcie roku szkolnego jesteś zasypany kartkówkami, sprawdzianami i innymi przedmiotami. Matematyka na maturę schodzi na dalszy plan, a materiału jest dużo. Latem masz coś, czego nie masz nigdy indziej - spokój i czas bez presji ocen. Możesz uczyć się dla zrozumienia, a nie pod najbliższy sprawdzian.

Druga sprawa: pamięć. Jak przerobisz podstawy latem, we wrześniu tylko je odświeżasz zamiast uczyć się od zera. To różnica między "widziałem to kiedyś" a "umiem to zrobić". Trzecia sprawa: motywacja. Kilka pierwszych sukcesów - rozwiązane zadania, które wcześniej Cię przerastały - napędza do dalszej pracy lepiej niż jakikolwiek plan.

## Ile realnie się uczyć, żeby nie zwariować

Nie oszukujmy się - nikt nie będzie się uczył po cztery godziny dziennie w lipcu. I nie musisz. Zdrowy plan wakacyjny to:

- 2-3 sesje w tygodniu po 60-90 minut
- jeden dział na 1-2 tygodnie, przerobiony porządnie
- krótka powtórka poprzedniego działu na starcie każdej sesji

To wszystko. Reszta wakacji jest Twoja. Kluczem jest regularność, a nie liczba godzin - lepiej trzy razy po godzinie niż raz przez pół dnia raz na dwa tygodnie.

## Plan tydzień po tygodniu - od czego zacząć

Kolejność ma znaczenie. Zaczynasz od działów, które są fundamentem pod resztę, i od tych, które dają dużo pewnych punktów na maturze.

| Tygodnie | Dział | Dlaczego teraz |
| --- | --- | --- |
| 1-2 | Potęgi, pierwiastki, [logarytmy](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami) | fundament pod wszystko inne |
| 3-4 | Procenty i wyrażenia algebraiczne | dużo łatwych punktów |
| 5-6 | Funkcja liniowa i kwadratowa | serce matury podstawowej |
| 7-8 | Ciągi i geometria analityczna | pewne punkty w zadaniach otwartych |

Nie musisz trzymać się tego sztywno. Jak jakiś dział idzie Ci gładko, przeskocz dalej. Jak coś sprawia trudność, zostań dłużej. Pełną listę działów z zadaniami znajdziesz na stronie [tematów](/topics) - każdy dział ma osobną bazę zadań CKE z rozwiązaniami.

## Jak wygląda dobra sesja nauki - konkretny schemat

Sama teoria z podręcznika nie wystarczy. Matematyki uczysz się rękami, rozwiązując zadania. Sprawdzony schemat jednej sesji:

Najpierw 10 minut powtórki - przypomnij sobie wzory z poprzedniego działu. Potem 15 minut teorii nowego tematu - przeczytaj, zrozum wzory, obejrzyj jeden rozwiązany przykład. Następnie 40 minut samodzielnego rozwiązywania zadań - to najważniejsza część. Na koniec 10 minut na sprawdzenie i wyłapanie błędów.

Najwięcej uczysz się wtedy, gdy zadanie Cię blokuje i musisz się pomęczyć, zanim zajrzysz do rozwiązania. Nie poddawaj się po 30 sekundach. Dopiero gdy naprawdę utkniesz, sprawdź krok po kroku, jak to się robi.

## Narzędzia, które zrobią robotę za darmo

Nie potrzebujesz drogich kursów ani korepetytora, żeby dobrze przygotować się latem. Wystarczy dostęp do zadań CKE i rozwiązań krok po kroku. Oto co się przyda:

Baza zadań z prawdziwych arkuszy - u nas masz ponad 2300 zadań CKE pogrupowanych według działów na stronie [tematów](/topics). Rozwiązujesz to, co akurat ćwiczysz, bez szukania po całym internecie.

Losowanie zadań - gdy chcesz sprawdzić się na mieszance różnych działów jak na prawdziwym egzaminie, odpalasz [losowe zadania](/random). Świetne na końcowe tygodnie wakacji.

Solver ze zdjęcia - utknąłeś na zadaniu z własnego zbioru? Wrzuć zdjęcie do [solvera](/solve), a dostaniesz rozwiązanie krok po kroku po polsku. Traktuj to jak korepetytora dostępnego o każdej porze.

Spis wzorów - zamiast wertować kartę CKE, masz wszystkie [wzory maturalne](/formulas) w jednym miejscu, uporządkowane po działach.

Śledzenie postępów - w [panelu postępów](/progress) widzisz, które działy masz opanowane, a które wymagają jeszcze pracy. To pomaga nie oszukiwać samego siebie.

Więcej o samodzielnej nauce bez korepetycji napisaliśmy we wpisie [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki), a jeśli wolisz ćwiczyć losowe zestawy, sprawdź [generator zadań maturalnych](/generator-zadan-maturalnych-matematyka-trener-cke).

## Najczęstsze błędy w nauce wakacyjnej

Pierwszy błąd - czytanie zamiast rozwiązywania. Możesz obejrzeć sto rozwiązanych przykładów i dalej nie umieć zrobić zadania samemu. Proporcja powinna być odwrotna: więcej robisz sam, niż oglądasz gotowce.

Drugi błąd - branie się od razu za najtrudniejsze. Jak zaczniesz od zadań maturalnych za 5-6 punktów, szybko się zniechęcisz. Zacznij od podstaw działu i stopniowo podnoś poprzeczkę.

Trzeci błąd - nauka zrywami. Osiem godzin jednego dnia, a potem dwa tygodnie przerwy, to strata czasu. Mózg uczy się przez powtarzanie rozłożone w czasie, nie przez maratony.

Czwarty błąd - pomijanie sprawdzania. Rozwiązujesz zadanie, patrzysz, że masz wynik, i lecisz dalej bez weryfikacji. Jeśli robisz błąd systematycznie, nie wyłapiesz go, dopóki nie zaczniesz sprawdzać.

## Podsumowanie - checklista na wakacje

Zanim zamkniesz tę stronę, zapamiętaj plan: 2-3 sesje tygodniowo po godzinie, jeden dział na raz, zaczynasz od potęg i [logarytmów](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami), więcej rozwiązujesz niż czytasz, i regularnie sprawdzasz postępy. Nie chodzi o poświęcanie wakacji - chodzi o kilka godzin tygodniowo, które dadzą Ci ogromną przewagę we wrześniu.

Zacznij już dziś - wejdź na [losowe zadania](/random) i rozwiąż pierwsze pięć. Większość bazy jest za darmo, a pełny dostęp do wszystkich rozwiązań i trybów nauki daje [abonament Premium](/payment/checkout). Twoja przyszła wersja z maja będzie Ci wdzięczna.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty
title: Jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty - wzór i przykłady krok po kroku
description: Dwie metody wyznaczania równania prostej przez dwa punkty z rozwiązanymi zadaniami. Wzory, przykłady krok po kroku i pułapki maturalne.
author: Filip Maszota
---

# Jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty - wzór i przykłady krok po kroku

## Kiedy to się przydaje?

Równanie prostej przez dwa punkty to absolutna podstawa [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). Na maturze pojawia się w zadaniach o:
- wyznaczaniu prostych (oczywiście)
- sprawdzaniu współliniowości punktów
- szukaniu symetralnych odcinków
- znajdowaniu punktów wspólnych prostych

Masz dwa punkty \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\). Chcesz znaleźć równanie prostej, która przez nie przechodzi. Pokażę ci dwie metody.

## Metoda 1: Przez współczynnik kierunkowy

**Krok 1:** Oblicz współczynnik kierunkowy:

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

**Krok 2:** Wstaw do wzoru prostej \(y = ax + b\), podstawiając współrzędne jednego z punktów:

$$y_1 = a \cdot x_1 + b \implies b = y_1 - a \cdot x_1$$

**Krok 3:** Zapisz równanie \(y = ax + b\).

**Uwaga:** Ta metoda nie działa, gdy \(x_1 = x_2\) (prosta pionowa). Wtedy równanie ma postać \(x = x_1\).

## Metoda 2: Wzór z wyznacznikiem (uniwersalny)

$$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$

Po przekształceniu daje postać ogólną. Działa zawsze (o ile punkty są różne).

## Przykład 1 - Punkt na osiach

**Wyznacz równanie prostej przez punkty \(A(0, 3)\) i \(B(2, 7)\).**

**Metoda 1:**

$$a = \frac{7 - 3}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$$

Punkt \(A(0, 3)\) leży na osi OY, więc \(b = 3\) (bo gdy \(x = 0\), \(y = 3\)).

$$y = 2x + 3$$

**Sprawdzenie:** Wstaw \(B(2, 7)\): \(2 \cdot 2 + 3 = 7\). Zgadza się.

## Przykład 2 - Ogólne punkty

**Wyznacz równanie prostej przez \(A(1, 4)\) i \(B(3, -2)\).**

**Krok 1:**

$$a = \frac{-2 - 4}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$$

**Krok 2:** Podstaw \(A(1, 4)\):

$$4 = -3 \cdot 1 + b \implies b = 7$$

**Odpowiedź:** \(y = -3x + 7\)

**Sprawdzenie z \(B(3, -2)\):** \(-3 \cdot 3 + 7 = -9 + 7 = -2\). Zgadza się.

Ujemny współczynnik kierunkowy oznacza, że prosta jest malejąca. Przy \(a > 0\) prosta rośnie. Przy \(a = 0\) masz prostą poziomą \(y = b\). Więcej o [funkcji liniowej i jej wykresie](/funkcja-liniowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

## Przykład 3 - Prosta pionowa

**Wyznacz równanie prostej przez \(A(5, 2)\) i \(B(5, 8)\).**

Tu \(x_1 = x_2 = 5\). Nie możesz obliczyć współczynnika kierunkowego (dzielenie przez zero).

Prosta jest pionowa:

$$x = 5$$

Prosta pionowa nie ma postaci \(y = ax + b\). Ma postać \(x = \text{stała}\). Na maturze to częsty "trik" w zadaniach zamkniętych - jedna z odpowiedzi to \(x = 5\), reszta to formuły z \(y\).

## Przykład 4 - Postać ogólna

**Wyznacz równanie prostej przez \(A(-1, 3)\) i \(B(2, -3)\) w postaci ogólnej.**

**Krok 1:** Współczynnik kierunkowy:

$$a = \frac{-3 - 3}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2$$

**Krok 2:** \(b = 3 - (-2) \cdot (-1) = 3 - 2 = 1\)

**Postać kierunkowa:** \(y = -2x + 1\)

**Postać ogólna:** Przenieś wszystko na jedną stronę:

$$2x + y - 1 = 0$$

Na maturze mogą pytać o konkretną postać. Postać ogólna: \(Ax + By + C = 0\). Postać kierunkowa: \(y = ax + b\). Umiej przechodzić między nimi. Szczegóły w [przewodniku po równaniu prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania).

## Przykład 5 - Prosta z zadania maturalnego

**Punkty \(A(2, 1)\) i \(B(6, 5)\) są końcami odcinka. Wyznacz równanie symetralnej tego odcinka.**

**Krok 1:** Środek odcinka \(AB\):

$$S = \left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = (4, 3)$$

**Krok 2:** Współczynnik kierunkowy \(AB\):

$$a_{AB} = \frac{5 - 1}{6 - 2} = 1$$

**Krok 3:** Symetralna jest prostopadła do \(AB\), więc jej współczynnik kierunkowy:

$$a_s = -\frac{1}{a_{AB}} = -1$$

**Krok 4:** Symetralna przechodzi przez \(S(4, 3)\):

$$3 = -1 \cdot 4 + b \implies b = 7$$

**Odpowiedź:** \(y = -x + 7\)

To złożone zadanie, ale składa się z kroków, które już umiesz. Klucz: symetralna jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jego środek. Więcej o [geometrii analitycznej na maturze](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania).

## Proste równoległe i prostopadłe

Dwie proste \(y = a_1x + b_1\) i \(y = a_2x + b_2\):

- **Równoległe:** \(a_1 = a_2\) (ten sam współczynnik kierunkowy, różny wyraz wolny)
- **Prostopadłe:** \(a_1 \cdot a_2 = -1\) (iloczyn współczynników wynosi \(-1\))

To jeden z najczęstszych motywów na maturze w [zadaniach zamkniętych](/zadania-zamkniete-matura-matematyka-triki-szybkie-metody).

## Typowe pułapki

### Pułapka 1: Odwrócenie kolejności w ułamku

$$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad \text{(dobrze)}$$

$$a = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \quad \text{(źle!)}$$

Zapamiętaj: "y na górze, x na dole" - jak współrzędne punktu, ale odwrócone.

### Pułapka 2: Znaki minus

Dla punktów \(A(-3, 2)\) i \(B(1, -4)\):

$$a = \frac{-4 - 2}{1 - (-3)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$

Częsty błąd: napisanie \(\frac{-4 - 2}{1 - 3}\) zamiast \(\frac{-4 - 2}{1 - (-3)}\). Minus przed liczbą ujemną zmienia się w plus.

### Pułapka 3: Prosta pionowa

Gdy \(x_1 = x_2\), wynik to \(x = \text{stała}\), nie jakaś postać \(y = ...\). Sprawdź to ZANIM zaczniesz liczyć.

## Podsumowanie - co musisz umieć

- Obliczać współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
- Wyznaczać \(b\) (wyraz wolny) przez podstawienie punktu
- Rozpoznawać prostą pionową (\(x_1 = x_2\))
- Zamieniać postać kierunkową na ogólną i odwrotnie
- Stosować warunki równoległości i prostopadłości
- Sprawdzać wynik przez wstawienie obu punktów

Gotowy do ćwiczeń? Przejdź do [zadań z geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) - mamy 280 zadań czekających na ciebie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-wyznaczyc-zmienna-ze-wzoru-przeksztalcanie-wzorow
title: Jak wyznaczyć zmienną ze wzoru - przekształcanie wzorów krok po kroku
description: Jak wyznaczyć zmienną ze wzoru: odwracanie działań, zmienna w mianowniku i w dwóch miejscach naraz. Pięć rozwiązanych przykładów i komplet założeń.
author: Filip Maszota
---

# Jak wyznaczyć zmienną ze wzoru - przekształcanie wzorów krok po kroku

Żeby wyznaczyć zmienną ze wzoru, odwracasz działania, które ją otaczają, i robisz to od najbardziej zewnętrznego do najbardziej wewnętrznego. Dodawanie odwracasz odejmowaniem, mnożenie dzieleniem, potęgowanie pierwiastkowaniem. Gdy szukana zmienna stoi w mianowniku, najpierw mnożysz obie strony przez ten mianownik. Gdy występuje w dwóch miejscach naraz, przenosisz wszystkie jej wystąpienia na jedną stronę i wyciągasz ją przed nawias. Na koniec zapisujesz założenia: mianownik nie może być zerem, a wyrażenie pod pierwiastkiem stopnia parzystego nie może być ujemne.

Na maturze rzadko trafisz na polecenie brzmiące wprost „przekształć wzór", ale samo przekształcanie jest w zadaniach wszędzie. Wzór na pole trapezu, na objętość stożka, na \(n\)-ty wyraz ciągu, na oprocentowanie lokaty - w każdym z nich zadanie potrafi podać wszystko oprócz jednej litery i kazać znaleźć właśnie tę jedną. Dokładnie tego samego wymagają zadania zamknięte typu „jeśli \(a = \frac{b}{c-b}\), to \(b\) jest równe", które regularnie wracają w arkuszach z działu [wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne). Poniżej masz metodę, pięć rozwiązanych przykładów od trapezu po wzór soczewkowy i listę błędów, które kosztują punkt mimo dobrego pomysłu.

## Na czym polega przekształcanie wzoru

Wzór to równanie z kilkoma literami. Przekształcić wzór znaczy zapisać go w równoważnej postaci, w której po lewej stronie stoi sama szukana litera, a po prawej wszystkie pozostałe. Nic nie znika i nic się nie zmienia - to ten sam wzór, tylko ustawiony pod inne pytanie.

Działa tu ta sama zasada, co przy rozwiązywaniu równań: obie strony wolno dodać, odjąć, pomnożyć i podzielić przez to samo, przy czym dzielić wolno tylko przez wyrażenie różne od zera. Różnica jest jedna, ale istotna: w równaniu liczbowym widzisz, czy dzielisz przez zero, a we wzorze z literami tego nie widzisz i musisz to założyć wprost.

Kolejność działań odwracasz jak przy rozpakowywaniu paczki. Patrzysz, co jest najdalej od szukanej litery, i to zdejmujesz najpierw. Jeśli szukana jest zamknięta w nawiasie pomnożonym przez coś, najpierw dzielisz przez to coś, dopiero potem otwierasz nawias.

## Wzory

Poniższe cztery wzory obsługują większość szkolnych przekształceń. Każdy czytaj jako „równoważne przejście", a nie jako osobny wzór do zapamiętania.

Wzór na przeniesienie składnika:

$$a + b = c \iff a = c - b$$

Wzór na zdjęcie czynnika:

$$a \cdot b = c \iff a = \frac{c}{b}, \quad b \neq 0$$

Wzór na pozbycie się mianownika:

$$\frac{a}{b} = c \iff a = b \cdot c, \quad b \neq 0$$

Wzór na wyciągnięcie zmiennej przed nawias:

$$ax + bx = x(a + b)$$

Ostatni z nich jest najważniejszy i najczęściej pomijany. To on rozwiązuje wszystkie przypadki, w których szukana litera stoi w dwóch miejscach naraz. Warto go powtórzyć razem ze [wzorami skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania), bo w tych samych zadaniach zwykle chodzą w parze.

## Metoda w czterech krokach

**Krok 1: Zaznacz szukaną literę.** Dosłownie ją podkreśl w arkuszu. Połowa błędów bierze się z wyznaczenia niewłaściwej zmiennej.

**Krok 2: Pozbądź się ułamków.** Jeśli szukana stoi w mianowniku albo wzór ma kilka ułamków, pomnóż obie strony przez wspólny mianownik. Od razu zapisz założenie, że jest on różny od zera.

**Krok 3: Zbierz wszystkie wystąpienia szukanej po jednej stronie.** Resztę przenieś na drugą. Jeśli szukana zostaje w dwóch składnikach, wyciągnij ją przed nawias.

**Krok 4: Zdejmij ostatnie działanie.** Podziel przez współczynnik stojący przy szukanej albo spierwiastkuj, jeśli została podniesiona do kwadratu. Zapisz odpowiedź razem z założeniami.

**Wskazówka:** wynik zawsze da się sprawdzić w kilkanaście sekund. Podstaw dowolne wygodne liczby do wzoru wyjściowego, policz z niego szukaną, a potem policz ją ze swojego przekształconego wzoru. Jeśli obie liczby są równe, przekształcenie prawie na pewno jest poprawne.

## Przykład 1: Wysokość trapezu ze wzoru na pole

**Treść:** Ze wzoru na pole trapezu \(P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}\) wyznacz wysokość \(h\).

**Krok 1: Pozbądź się mianownika.** Mnożysz obie strony przez \(2\).

$$2P = (a + b) \cdot h$$

**Krok 2: Zdejmij czynnik stojący przy \(h\).** Dzielisz obie strony przez \(a + b\), co wymaga założenia \(a + b \neq 0\). W trapezie oba boki są dodatnie, więc warunek jest spełniony.

$$h = \frac{2P}{a + b}$$

**Krok 3: Sprawdź na liczbach.** Dla \(a = 5\), \(b = 3\), \(h = 4\) pole wynosi \(\frac{8 \cdot 4}{2} = 16\). Z przekształconego wzoru \(h = \frac{2 \cdot 16}{8} = 4\). Zgadza się.

**Odpowiedź:** \(h = \frac{2P}{a+b}\) dla \(a + b \neq 0\). Pozostałe wzory tej figury zebraliśmy we wpisie o [polu trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura).

## Przykład 2: Promień stożka ze wzoru na objętość

**Treść:** Ze wzoru na objętość stożka \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) wyznacz promień podstawy \(r\), wiedząc, że \(r > 0\) i \(h > 0\).

**Krok 1: Pozbądź się ułamka.** Mnożysz obie strony przez \(3\).

$$3V = \pi r^2 h$$

**Krok 2: Zostaw samo \(r^2\).** Dzielisz przez \(\pi h\), co jest dozwolone, bo \(h > 0\).

$$r^2 = \frac{3V}{\pi h}$$

**Krok 3: Zdejmij kwadrat.** Pierwiastkujesz obie strony. Ponieważ \(r\) jest długością, bierzesz tylko wartość dodatnią.

$$r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$$

**Odpowiedź:** \(r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}\). Ujemny pierwiastek odrzucasz z powodu geometrycznego, nie algebraicznego, i warto to w rozwiązaniu napisać. Więcej wzorów tej bryły znajdziesz w tekście o [objętości i polu powierzchni stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni).

## Przykład 3: Zmienna w dwóch miejscach naraz

**Treść:** Wiadomo, że \(a = \frac{b}{c - b}\), przy czym \(c \neq b\). Wyznacz \(b\).

**Krok 1: Pozbądź się mianownika.** Mnożysz obie strony przez \(c - b\).

$$a(c - b) = b$$

**Krok 2: Wymnóż nawias.**

$$ac - ab = b$$

**Krok 3: Zbierz wyrazy z \(b\) po jednej stronie.** Przenosisz \(-ab\) na prawą stronę.

$$ac = b + ab$$

**Krok 4: Wyciągnij \(b\) przed nawias i podziel.**

$$ac = b(1 + a) \quad \Longrightarrow \quad b = \frac{ac}{1 + a}, \quad a \neq -1$$

**Odpowiedź:** \(b = \frac{ac}{1+a}\) dla \(a \neq -1\). To najczęstszy schemat w zadaniach zamkniętych z tego typu: bez kroku z wyciąganiem przed nawias zadanie wygląda na nierozwiązywalne.

## Przykład 4: Różnica ciągu arytmetycznego

**Treść:** Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n = a_1 + (n-1)r\) wyznacz różnicę \(r\).

**Krok 1: Przenieś wyraz wolny.** Odejmujesz \(a_1\) od obu stron.

$$a_n - a_1 = (n - 1)r$$

**Krok 2: Podziel przez współczynnik.** Dzielisz przez \(n - 1\), więc zakładasz \(n \neq 1\). To założenie ma sens: dla \(n = 1\) wzór sprowadza się do tożsamości \(a_1 = a_1\) i nie niesie żadnej informacji o różnicy.

$$r = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$$

**Krok 3: Sprawdź na liczbach.** W ciągu \(3, 7, 11, 15\) mamy \(a_1 = 3\), \(a_4 = 15\), więc \(r = \frac{15 - 3}{4 - 1} = \frac{12}{3} = 4\). Zgadza się z ciągiem.

**Odpowiedź:** \(r = \frac{a_n - a_1}{n-1}\) dla \(n \neq 1\). Cały aparat ciągów arytmetycznych rozpisujemy we wpisie o [n-tym wyrazie ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania).

## Przykład 5: Wzór z trzema ułamkami

**Treść:** Ze wzoru \(\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) wyznacz \(y\), zakładając, że \(f\), \(x\) i \(y\) są różne od zera.

**Krok 1: Zostaw szukany ułamek sam.** Odejmujesz \(\frac{1}{x}\) od obu stron.

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x}$$

**Krok 2: Sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika.**

$$\frac{1}{y} = \frac{x - f}{fx}$$

**Krok 3: Odwróć obie strony.** Wolno to zrobić, bo obie są różne od zera, co wymusza założenie \(x \neq f\).

$$y = \frac{fx}{x - f}$$

**Odpowiedź:** \(y = \frac{fx}{x-f}\) dla \(x \neq f\). Krok z odwróceniem obu stron jest równoważny pomnożeniu na krzyż i to on skraca całe rozwiązanie o połowę. Technikę działań na takich wyrażeniach szerzej omawiamy w tekście o [wyrażeniach wymiernych](/wyrazenia-wymierne-matura-dziedzina-skracanie-dzialania).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** odwrócenie tylko jednej strony równania. Z \(\frac{1}{y} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x}\) nie wynika \(y = f - x\). Odwracać wolno całe strony, a nie pojedyncze składniki sumy, bo odwrotność sumy nie jest sumą odwrotności.

**Pułapka 2:** dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem. Każde dzielenie przez literę albo przez nawias z literą wymaga zapisania założenia. Na maturze brak takiego założenia bywa kosztowny w zadaniach otwartych, a w zamkniętych prowadzi wprost do złej odpowiedzi, bo dystraktory są zwykle zbudowane właśnie na tym pominięciu.

**Pułapka 3:** zgubiony znak przy przenoszeniu. Przenosząc składnik na drugą stronę, zmieniasz jego znak, ale przenosząc czynnik, dzielisz. To dwie różne operacje i mylenie ich to najczęstszy błąd w tym typie zadań.

**Uwaga:** pierwiastkowanie obu stron równania \(r^2 = A\) daje w ogólności dwa rozwiązania: \(r = \sqrt{A}\) oraz \(r = -\sqrt{A}\). W zadaniach geometrycznych ujemne odrzucasz, ale musisz mieć powód zapisany w rozwiązaniu.

## Co musisz umieć

- Rozpoznać, które działanie otacza szukaną zmienną najbardziej z zewnątrz.
- Pomnożyć obie strony przez mianownik i zapisać założenie, że jest różny od zera.
- Zebrać wszystkie wystąpienia szukanej po jednej stronie i wyciągnąć ją przed nawias.
- Odwrócić obie strony równania, gdy szukana stoi w mianowniku po obu stronach.
- Spierwiastkować obie strony i uzasadnić odrzucenie wartości ujemnej.
- Sprawdzić przekształcony wzór, podstawiając wygodne liczby do wersji wyjściowej.

Quiz: Sprawdź się: wyznaczanie zmiennej ze wzoru

Pytanie: Ze wzoru \(P = a \cdot b\) wyznacz \(b\).
- A. \(b = P \cdot a\)
- B. \(b = \frac{P}{a}\)
- C. \(b = P - a\)
- D. \(b = \frac{a}{P}\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Przy \(b\) stoi czynnik \(a\), więc dzielisz obie strony przez \(a\), zakładając \(a \neq 0\).

Pytanie: Ze wzoru \(S = \frac{a + b}{2}\) wyznacz \(a\).
- A. \(a = \frac{S}{2} - b\)
- B. \(a = 2S - b\)
- C. \(a = 2S + b\)
- D. \(a = \frac{2S}{b}\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Najpierw mnożysz obie strony przez \(2\), co daje \(2S = a + b\), a dopiero potem odejmujesz \(b\).

Pytanie: Ze wzoru \(v = \frac{s}{t}\) wyznacz \(t\).
- A. \(t = v \cdot s\)
- B. \(t = \frac{s}{v}\)
- C. \(t = \frac{v}{s}\)
- D. \(t = s - v\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Mnożysz obie strony przez \(t\), otrzymujesz \(vt = s\), po czym dzielisz przez \(v \neq 0\).

Pytanie: Ze wzoru \(y = 3x + 2x \cdot k\) wyznacz \(x\).
- A. \(x = \frac{y}{3} + \frac{y}{2k}\)
- B. \(x = \frac{y}{3 + 2k}\)
- C. \(x = y - 3 - 2k\)
- D. \(x = \frac{3 + 2k}{y}\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Zmienna \(x\) stoi w dwóch składnikach, więc wyciągasz ją przed nawias: \(y = x(3 + 2k)\), a potem dzielisz przez \(3 + 2k \neq 0\).

Pytanie: Ze wzoru \(A = \pi r^2\) wyznacz \(r\), gdy \(r > 0\).
- A. \(r = \frac{A}{\pi}\)
- B. \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\)
- C. \(r = \frac{\sqrt{A}}{2\pi}\)
- D. \(r = \frac{A^2}{\pi}\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Najpierw dzielisz przez \(\pi\), potem pierwiastkujesz. Kwadratu nie zdejmuje się dzieleniem przez dwa.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy CKE, w których trzeba przekształcić wyrażenie albo wyznaczyć jedną literę z zależności między kilkoma. Rozwiąż je z kartką, zapisując założenia przy każdym dzieleniu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z wyrażeń algebraicznych (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Czy przekształcanie wzorów jest osobnym tematem na maturze?

Nie ma osobnego zadania o takiej nazwie, ale sama umiejętność jest wpisana w bardzo wiele poleceń. Pojawia się w zadaniach zamkniętych typu „jeśli \(a = \dots\), to \(b\) jest równe", w zadaniach z ciągami, w geometrii, gdy z wzoru na objętość trzeba wyznaczyć krawędź, i w zadaniach z treścią, gdzie budujesz wzór, a potem wyliczasz z niego jedną wielkość.

### Kiedy trzeba zapisać założenia, a kiedy nie?

Zawsze wtedy, gdy dzielisz przez wyrażenie zawierające literę albo mnożysz obie strony przez mianownik. Jeśli z kontekstu wynika, że wyrażenie jest dodatnie, na przykład jest długością boku, wystarczy jedno zdanie, że wynika to z warunków zadania. Bez tego zdania rozwiązanie jest niepełne, choć rachunki są dobre.

### Co zrobić, gdy szukana zmienna występuje w dwóch miejscach?

Zbierz oba wystąpienia po jednej stronie równania, a resztę przenieś na drugą, po czym wyciągnij szukaną przed nawias. Zostanie iloczyn szukanej i nawiasu, więc na końcu dzielisz przez ten nawias, zakładając, że nie jest zerem. Ten jeden schemat obsługuje niemal wszystkie trudniejsze wersje tego typu zadań.

### Czy wolno mnożyć na krzyż?

Tak, mnożenie na krzyż w proporcji \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) daje \(ad = bc\) i jest w pełni poprawne, o ile \(b \neq 0\) i \(d \neq 0\). To skrót zapisu, a nie osobna reguła: to samo dostaniesz, mnożąc obie strony przez \(bd\).

### Jak sprawdzić poprawność przekształcenia bez odpowiedzi z klucza?

Podstaw liczby. Wybierz proste wartości dla wszystkich liter poza szukaną, policz szukaną ze wzoru wyjściowego, a potem z własnego przekształcenia. Jeśli wyniki są równe, przekształcenie jest poprawne dla tych wartości, co w praktyce wystarcza jako kontrola. Testuj przy tym liczby, które nie upraszczają wzoru zbyt mocno: jedynki i zera potrafią ukryć błąd.

### Czy da się wyznaczyć zmienną z każdego wzoru?

Nie z każdego. Jeśli szukana występuje jednocześnie w potędze i poza nią, na przykład w postaci \(x + 2^x = 5\), to nie da się jej wyznaczyć elementarnymi przekształceniami. W szkolnym zakresie takie wzory nie występują, ale warto wiedzieć, że sama możliwość rozplątania wzoru nie jest oczywista.


---
route: /jak-zamienic-ulamek-okresowy-na-zwykly-zadania-matura
title: Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły - wzór z dziewiątkami, setna cyfra i zadania maturalne
description: Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły krok po kroku: 0,(3), 0,(12), 0,3(7). Wzór z dziewiątkami, równanie z 10x, setna cyfra po przecinku i zadania CKE.
author: Filip Maszota
---

# Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły - wzór z dziewiątkami, setna cyfra i zadania maturalne

Ułamek okresowy zamieniasz na zwykły tak: okres wpisujesz do licznika, a do mianownika tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres. Stąd \(0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\), a \(0,(12) = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\). Jeśli przed okresem stoją jeszcze cyfry nieokresowe, jak w \(0,3(7)\), rozbijasz liczbę na część skończoną i okresową albo układasz równanie z \(10x\) i \(100x\). Na maturze ten temat pojawia się w zadaniach zamkniętych za 1 punkt: różnica albo suma ułamków okresowych, "która cyfra stoi na dwudziestym miejscu po przecinku" oraz procenty w rodzaju \(33,(3)\%\), które w treści zadania z [działu liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) po prostu znaczą \(\frac{1}{3}\).

## Co to jest ułamek okresowy i skąd się bierze

Ułamek okresowy to nieskończone rozwinięcie dziesiętne, w którym od pewnego miejsca ta sama grupa cyfr powtarza się bez końca. Tę grupę nazywamy okresem i zapisujemy w nawiasie: \(0,(3) = 0,333\ldots\), \(0,(12) = 0,121212\ldots\), \(0,3(7) = 0,3777\ldots\). Każdy ułamek okresowy jest liczbą wymierną, czyli da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

Skąd się bierze? Z dzielenia. Gdy dzielisz pisemnie \(1 : 3\), po każdym kroku zostaje reszta \(1\), więc w wyniku w nieskończoność wychodzi cyfra \(3\). Reszt z dzielenia przez \(q\) jest tylko \(q\) możliwych, więc prędzej czy później któraś się powtórzy i od tego momentu cyfry idą w kółko.

Jest prosta reguła, kiedy rozwinięcie jest skończone, a kiedy okresowe. Skróć ułamek do końca i spójrz na mianownik:

- mianownik ma w rozkładzie **tylko dwójki i piątki** (2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 125...) - rozwinięcie jest skończone, np. \(\frac{7}{40} = 0,175\), bo \(40 = 2^3 \cdot 5\),
- mianownik ma **jakikolwiek inny czynnik pierwszy** (3, 7, 9, 11, 12, 13...) - rozwinięcie jest okresowe, np. \(\frac{1}{12} = 0,08(3)\), bo w \(12 = 2^2 \cdot 3\) siedzi trójka.

Ta reguła sama w sobie bywa pytaniem w zadaniu zamkniętym, więc warto ją znać, zanim zaczniesz cokolwiek liczyć. Jeśli rozkład na czynniki idzie ci opornie, zajrzyj do wpisu o [podzielności liczb i cechach podzielności](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania).

## Wzór z dziewiątkami - czysty ułamek okresowy

Czysty ułamek okresowy to taki, w którym okres zaczyna się od razu po przecinku: \(0,(a_1 a_2 \ldots a_n)\). Zamieniasz go jednym ruchem: licznik to okres czytany jako liczba, mianownik to \(n\) dziewiątek.

$$0,(a_1 a_2 \ldots a_n) = \frac{a_1 a_2 \ldots a_n}{\underbrace{99\ldots9}_{n}}$$

Przykłady:

- \(0,(6) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
- \(0,(45) = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}\)
- \(0,(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}\)
- \(0,(123) = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}\)
- \(0,(142857) = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}\)

Dlaczego to działa? Weź \(x = 0,(45)\). Okres ma dwie cyfry, więc mnożysz przez \(100\):

**Krok 1: pomnóż przez potęgę dziesiątki równą długości okresu**

$$100x = 45,(45)$$

**Krok 2: odejmij wyjściową liczbę**

$$100x - x = 45,(45) - 0,(45) = 45$$

Nieskończone ogony po przecinku są identyczne, więc znikają w całości.

**Krok 3: wyznacz x**

$$99x = 45 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$

Mianownik \(99\) to dokładnie \(100 - 1\), stąd dziewiątki we wzorze. Zawsze na końcu skróć ułamek: w zadaniach zamkniętych odpowiedzi są podane w postaci nieskracalnej i nieskrócone \(\frac{45}{99}\) po prostu nie będzie na liście.

## Ułamek okresowy mieszany - gdy przed okresem stoją inne cyfry

W \(0,3(7) = 0,3777\ldots\) trójka nie należy do okresu. Wzór z samymi dziewiątkami już nie wystarczy, masz za to dwie równie dobre drogi.

**Sposób 1: rozbij liczbę na część skończoną i okresową**

$$0,3(7) = 0,3 + 0,0(7) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \cdot 0,(7) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{3}{10} + \frac{7}{90}$$

$$\frac{3}{10} + \frac{7}{90} = \frac{27}{90} + \frac{7}{90} = \frac{34}{90} = \frac{17}{45}$$

**Sposób 2: równanie z dwoma mnożeniami**

Niech \(x = 0,3(7)\). Mnożysz tak, żeby przecinek stanął raz tuż przed okresem, a raz o cały okres dalej:

$$10x = 3,(7), \qquad 100x = 37,(7)$$

$$100x - 10x = 37,(7) - 3,(7) = 34 \quad\Rightarrow\quad 90x = 34 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{34}{90} = \frac{17}{45}$$

Z drugiego sposobu wynika gotowa reguła na ułamek mieszany: **licznik to "cyfry nieokresowe razem z okresem" minus "same cyfry nieokresowe", mianownik to tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres, a po nich tyle zer, ile cyfr stoi przed okresem.** Dla \(0,3(7)\): \(\frac{37 - 3}{90}\). Dla \(0,1(36)\): \(\frac{136 - 1}{990} = \frac{135}{990} = \frac{3}{22}\).

Sprawdź to na liczbie z częścią całkowitą: \(2,1(36) = 2 + 0,1(36) = 2 + \frac{3}{22} = \frac{44}{22} + \frac{3}{22} = \frac{47}{22}\). Podziel w drugą stronę: \(47 : 22 = 2,1363636\ldots\). Zgadza się.

## Która cyfra stoi na setnym miejscu po przecinku

To drugi typ zadania z ułamkami okresowymi i liczy się go bez wypisywania setki cyfr. Najpierw ustalasz długość okresu \(p\), potem sprawdzasz, jaką resztę daje numer szukanej cyfry przy dzieleniu przez \(p\). Reszta \(r\) różna od zera oznacza \(r\)-tą cyfrę okresu, a reszta \(0\) oznacza ostatnią cyfrę okresu.

Przykład: setna cyfra rozwinięcia \(\frac{1}{7} = 0,(142857)\).

**Krok 1: długość okresu**

Okres \(142857\) ma \(p = 6\) cyfr.

**Krok 2: reszta z dzielenia numeru cyfry przez długość okresu**

$$100 = 6 \cdot 16 + 4$$

**Krok 3: odczytaj cyfrę**

Reszta \(4\), więc setna cyfra to czwarta cyfra okresu: \(1, 4, 2, \mathbf{8}\). Odpowiedź: \(8\).

Gdyby ułamek był mieszany, np. \(0,3(7)\), najpierw odejmij cyfry nieokresowe. Setna cyfra \(0,3(7)\) to \(99\). cyfra okresu \((7)\), czyli \(7\). Tu okres ma jedną cyfrę, więc każda cyfra od drugiej włącznie to siódemka.

## Zadanie 7 (matura czerwiec 2018, 1 pkt)

**Treść:** Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

**Krok 1: zamień mianownik na same dziewiątki**

Zamiast dzielić pisemnie, zauważ, że \(1111 \cdot 9 = 9999\). Rozszerz ułamek przez \(9\):

$$\frac{224}{1111} = \frac{224 \cdot 9}{1111 \cdot 9} = \frac{2016}{9999}$$

**Krok 2: odczytaj okres**

Mianownik to cztery dziewiątki, więc okres ma cztery cyfry i jest równy licznikowi:

$$\frac{2016}{9999} = 0,(2016)$$

**Krok 3: znajdź dwudziestą cyfrę**

$$20 = 4 \cdot 5 + 0$$

Reszta \(0\) oznacza ostatnią cyfrę okresu, czyli \(6\).

**Odpowiedź: D.** Zwróć uwagę na trik z rozszerzaniem: mianowniki \(11\), \(111\), \(1111\), \(37\) (bo \(37 \cdot 27 = 999\)) i \(101\) (bo \(101 \cdot 99 = 9999\)) da się szybko doprowadzić do dziewiątek i wtedy okres masz od razu. Cały ten arkusz z pozostałymi zadaniami rozwiązujesz na stronie [matury z czerwca 2018](/exams/matura-czerwiec-2018).

## Zadanie 5 (matura maj 2021, 1 pkt)

**Treść:** Różnica \(0,(3)-\frac{23}{33}\) jest równa

**Krok 1: zamień ułamek okresowy na zwykły**

$$0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

**Krok 2: sprowadź do wspólnego mianownika**

Mianownik \(33 = 3 \cdot 11\), więc wspólny mianownik to \(33\):

$$\frac{1}{3} - \frac{23}{33} = \frac{11}{33} - \frac{23}{33} = -\frac{12}{33}$$

**Krok 3: skróć**

$$-\frac{12}{33} = -\frac{4}{11}$$

**Odpowiedź: D.** Pułapka w tym zadaniu siedzi w odpowiedziach: \(-\frac{4}{11} = -0,(36)\), a jedna z opcji to \(-0,36\) bez nawiasu. To dwie różne liczby, bo \(0,36 = \frac{9}{25}\), a \(0,(36) = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\). Zadania tego typu to typowe [łatwe punkty z pierwszych stron arkusza](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt), pod warunkiem że nie odpowiadasz "na oko". Resztę arkusza znajdziesz na stronie [matury z maja 2021](/exams/matura-maj-2021).

## Suma dwóch ułamków okresowych - zadanie z arkusza próbnego

Arkusze próbne lubią zestawić ułamek mieszany z czystym. Rozwiąż najpierw sam, potem sprawdź z krokami poniżej.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-05

**Krok 1: ułamek mieszany na zwykły**

Dla \(0,3(7)\) użyj reguły z licznikiem "37 minus 3" i mianownikiem "dziewiątka i zero":

$$0,3(7) = \frac{37 - 3}{90} = \frac{34}{90} = \frac{17}{45}$$

**Krok 2: czysty ułamek okresowy na zwykły**

$$0,(7) = \frac{7}{9}$$

**Krok 3: dodaj**

Wspólny mianownik to \(45\), bo \(45 = 9 \cdot 5\):

$$\frac{17}{45} + \frac{7}{9} = \frac{17}{45} + \frac{35}{45} = \frac{52}{45}$$

**Odpowiedź: \(\frac{52}{45}\).** Ułamek jest nieskracalny, bo \(52 = 4 \cdot 13\), a \(45 = 9 \cdot 5\) nie mają wspólnego dzielnika. Sprawdzenie na kalkulatorze prostym: \(0,3777 + 0,7777 \approx 1,1555\), a \(52 : 45 = 1,1555\ldots\). Kalkulator nie zastąpi rachunku na ułamkach, ale wyłapie pomyłkę w mianowniku.

## Zadanie 33 (matura próbna kwiecień 2020, 5 pkt)

**Treść:** Adam, Bartek i Czarek mają za zadanie zgrabić liście z boiska. Adam sam wykonałby całą pracę w \(6\) godzin, Bartek w \(8\) godzin, a Czarek w \(12\) godzin. Gdyby pracowali razem, to wydajność każdego z nich byłaby o \(33,(3)\%\) większa. Ile czasu zajmie zgrabienie całego boiska wszystkim trzem chłopakom, jeśli będą pracowali razem?

To zadanie pokazuje, gdzie ułamki okresowe ukrywają się naprawdę: w procentach. \(33,(3)\%\) wygląda groźnie, ale to po prostu \(\frac{1}{3}\).

**Krok 1: zamień procent okresowy na ułamek**

$$33,(3)\% = \frac{33,(3)}{100} = \frac{33 + \frac{1}{3}}{100} = \frac{\frac{100}{3}}{100} = \frac{1}{3}$$

Wydajność większa o \(\frac{1}{3}\) oznacza mnożenie przez \(1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).

**Krok 2: wydajności samodzielne**

Wydajność to część pracy wykonana w godzinę. Adam robi \(\frac{1}{6}\) boiska na godzinę, Bartek \(\frac{1}{8}\), Czarek \(\frac{1}{12}\). Razem, bez premii za pracę zespołową:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$$

**Krok 3: wydajność zwiększona**

Każda wydajność rośnie \(\frac{4}{3}\) razy, więc suma też:

$$\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$

Trzej chłopcy razem grabią pół boiska na godzinę.

**Krok 4: czas**

$$t = 1 : \frac{1}{2} = 2$$

**Odpowiedź: 2 godziny.** Gdybyś zamiast \(\frac{1}{3}\) wziął przybliżenie \(0,33\), wyszłoby \(\frac{3}{8} \cdot 1,33 = 0,49875\) i czas \(2,005\) godziny, czyli wynik "prawie 2", którego w zadaniu otwartym nie da się obronić. Dokładnie ten sam schemat "wydajność to jeden przez czas" wraca w [zadaniach z prędkością, drogą i czasem](/zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie), a mechanikę podwyżek o procent powtórzysz we wpisie o [procencie z liczby i zmianie procentowej](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa).

## Procenty okresowe, które warto znać na pamięć

Te wartości wracają w zadaniach z procentami, statystyki i prawdopodobieństwa. Zapamiętaj je jako ułamki, nie jako liczby dziesiętne:

- \(33,(3)\% = \frac{1}{3}\) i \(66,(6)\% = \frac{2}{3}\)
- \(16,(6)\% = \frac{1}{6}\) i \(83,(3)\% = \frac{5}{6}\)
- \(11,(1)\% = \frac{1}{9}\) i \(22,(2)\% = \frac{2}{9}\)
- \(0,(9) = 1\), bo \(\frac{9}{9} = 1\)

Ta ostatnia równość zaskakuje, ale jest ścisła. Możesz ją też zobaczyć jako sumę nieskończonego ciągu geometrycznego \(0,9 + 0,09 + 0,009 + \ldots\) o ilorazie \(\frac{1}{10}\), której wzór znajdziesz we wpisie o [ciągu geometrycznym i jego sumie](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania). Wniosek praktyczny: liczba nie ma dwóch różnych rozwinięć "z różnymi cyframi", ma co najwyżej dwa zapisy tej samej wartości, jak \(0,5 = 0,4(9)\).

## Sprawdź się

Quiz: Ułamki okresowe w 3 pytaniach

Pytanie: Ile to \(0,(45)\) w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego?
- A. \(\frac{45}{100}\)
- B. \(\frac{9}{20}\)
- C. \(\frac{5}{11}\)
- D. \(\frac{45}{90}\)
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Okres ma dwie cyfry, więc mianownik to \(99\): \(\frac{45}{99} = \frac{5}{11}\). Odpowiedź \(\frac{9}{20}\) to \(0,45\) bez okresu.

Pytanie: Która cyfra stoi na 50. miejscu po przecinku w rozwinięciu \(\frac{1}{7} = 0,(142857)\)?
- A. \(1\)
- B. \(4\)
- C. \(2\)
- D. \(8\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: \(50 = 6 \cdot 8 + 2\), reszta \(2\) wskazuje drugą cyfrę okresu, czyli \(4\).

Pytanie: Ile to \(0,3(7)\)?
- A. \(\frac{17}{45}\)
- B. \(\frac{37}{99}\)
- C. \(\frac{37}{90}\)
- D. \(\frac{34}{99}\)
Poprawna odpowiedź: A
Wyjaśnienie: Licznik to \(37 - 3 = 34\), mianownik to dziewiątka i zero, czyli \(90\). Po skróceniu \(\frac{34}{90} = \frac{17}{45}\).

## Typowe pułapki

- **\(0,(12)\) to nie \(0,1(2)\).** Pierwsze to \(\frac{12}{99} = \frac{4}{33}\), drugie to \(\frac{12 - 1}{90} = \frac{11}{90}\). Nawias mówi dokładnie, które cyfry się powtarzają.
- **Mianownik ułamka mieszanego ma zera.** Dla \(0,3(7)\) to \(90\), nie \(99\). Liczba zer równa się liczbie cyfr przed okresem.
- **Brak skrócenia.** \(\frac{45}{99}\) jest poprawne matematycznie, ale na liście odpowiedzi stoi \(\frac{5}{11}\). Skracaj zawsze do końca.
- **Reszta zero przy szukaniu cyfry.** Gdy numer cyfry dzieli się przez długość okresu bez reszty, bierzesz ostatnią cyfrę okresu, nie pierwszą i nie "zerową".
- **Kalkulator prosty ucina rozwinięcie.** Wyświetlacz pokaże \(0,3333333\) i kusi, żeby uznać liczbę za skończoną. Na maturze kalkulator służy do sprawdzenia, nie do rozstrzygania, czy ułamek jest okresowy.
- **\(0,36\) i \(0,(36)\) to różne liczby.** Ta różnica potrafi być jedyną różnicą między poprawną a błędną odpowiedzią, jak w zadaniu z maja 2021 powyżej.
- **Przybliżenie w zadaniu otwartym.** \(33,(3)\%\) zamienione na \(0,33\) daje wynik z błędem, a zapis \(\frac{1}{3}\) daje wynik dokładny. Jeśli przybliżenie jest konieczne, zajrzyj do wpisu o [błędzie bezwzględnym i względnym](/blad-bezwzgledny-i-wzgledny-wzor-jak-obliczyc-matura), żeby wiedzieć, ile tracisz.

## Checklista - co musisz umieć

1. Rozpoznać po mianowniku, czy rozwinięcie będzie skończone (tylko \(2\) i \(5\)), czy okresowe.
2. Zamienić czysty ułamek okresowy wzorem z dziewiątkami: \(0,(ab) = \frac{ab}{99}\).
3. Zamienić ułamek mieszany: licznik "wszystko minus część nieokresowa", mianownik "dziewiątki, potem zera".
4. Wyprowadzić oba wzory z równania \(10x\), \(100x\), gdyby wzór wyleciał z głowy.
5. Znaleźć \(n\)-tą cyfrę po przecinku przez resztę z dzielenia \(n\) przez długość okresu.
6. Rozszerzyć mianownik typu \(11\), \(111\), \(1111\), \(37\) do samych dziewiątek.
7. Zamienić procent okresowy (\(33,(3)\%\), \(16,(6)\%\)) na ułamek zwykły bez zaokrąglania.
8. Skrócić wynik do postaci nieskracalnej przed porównaniem z odpowiedziami.

Więcej rozwiązanych zadań z tego działu zebraliśmy we wpisie [zadania CKE z liczb rzeczywistych z rozwiązaniami](/zadania-cke-liczby-rzeczywiste-z-rozwiazaniami), a przedziały, zbiory i wartość bezwzględną powtórzysz w [przewodniku po liczbach rzeczywistych](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna).

Następny krok: Podzielność liczb i reszty z dzielenia - zadania maturalne (/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania)

## Najczęstsze pytania

### Jak zamienić ułamek okresowy na zwykły?

Okres wpisz do licznika, a do mianownika tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres: \(0,(7) = \frac{7}{9}\), \(0,(36) = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}\). Jeśli przed okresem stoją cyfry nieokresowe, od liczby "cyfry nieokresowe i okres" odejmij "cyfry nieokresowe", a w mianowniku po dziewiątkach dopisz tyle zer, ile cyfr było przed okresem: \(0,3(7) = \frac{37 - 3}{90} = \frac{17}{45}\). Na koniec skróć.

### Ile to 0,(3) jako ułamek zwykły?

\(0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). Analogicznie \(0,(6) = \frac{2}{3}\), a \(0,(9) = \frac{9}{9} = 1\). W procentach \(33,(3)\%\) to dokładnie \(\frac{1}{3}\), a \(66,(6)\%\) to \(\frac{2}{3}\).

### Skąd wiadomo, czy ułamek ma rozwinięcie skończone, czy okresowe?

Skróć ułamek i rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Jeśli są tam wyłącznie dwójki i piątki, rozwinięcie jest skończone (\(\frac{3}{8} = 0,375\)). Jeśli pojawia się jakikolwiek inny czynnik, np. \(3\), \(7\) czy \(11\), rozwinięcie jest nieskończone okresowe (\(\frac{5}{6} = 0,8(3)\)).

### Jak znaleźć setną cyfrę po przecinku ułamka okresowego?

Wyznacz okres i jego długość \(p\), potem podziel \(100\) przez \(p\) z resztą. Reszta \(r\) wskazuje \(r\)-tą cyfrę okresu, a reszta \(0\) ostatnią cyfrę okresu. Dla \(\frac{1}{7} = 0,(142857)\) masz \(100 = 6 \cdot 16 + 4\), więc setna cyfra to czwarta cyfra okresu, czyli \(8\). Przy ułamku mieszanym najpierw odlicz cyfry nieokresowe.

### Czy 0,(9) naprawdę równa się 1?

Tak, i to dokładnie, nie w przybliżeniu. Ze wzoru z dziewiątkami \(0,(9) = \frac{9}{9} = 1\). Możesz to też sprawdzić równaniem: \(x = 0,(9)\), \(10x = 9,(9)\), \(10x - x = 9\), więc \(x = 1\). To po prostu drugi zapis tej samej liczby.

### Czy ułamek okresowy jest liczbą wymierną?

Tak. Każde rozwinięcie okresowe da się zapisać jako iloraz liczb całkowitych, co pokazuje wzór z dziewiątkami. Liczby niewymierne, jak \(\sqrt{2}\) czy \(\pi\), mają rozwinięcia nieskończone i nieokresowe, więc żadna grupa cyfr nie powtarza się w nich w kółko.

### Czy na maturze wolno użyć kalkulatora do ułamków okresowych?

Na egzaminie z matematyki masz kalkulator prosty, który wyświetla skończoną liczbę cyfr i zaokrągla ostatnią. Nadaje się do sprawdzenia wyniku (\(52 : 45 = 1,1555\ldots\)), ale nie rozstrzygnie, czy ułamek jest okresowy, i nie zamieni go na ułamek zwykły. Rachunek na dziewiątkach musisz umieć zrobić na kartce.


---
route: /jak-zdac-mature-z-30-procent-na-probnej-plan-ratunkowy
title: Jak zdać maturę z 30% na próbnej - plan ratunkowy na 5 tygodni
description: Masz 30% na próbnej maturze z matematyki? Konkretny plan na 5 tygodni, który podniesie Twój wynik o 20-30 punktów. Sprawdzone metody i zadania.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak zdać maturę z 30% na próbnej - plan ratunkowy na 5 tygodni

## 30% na próbnej to nie wyrok

Zanim wpadniesz w panikę. Jeśli masz 30%, jesteś blisko progu, ale **daleko od beznadziejnej sytuacji**. Żeby zdać maturę, potrzebujesz 30% - czyli technicznie już teraz jesteś na granicy zdawalności.

Ale "zdać" to za mało. Chcesz zdać pewnie, z zapasem. I masz na to 5 tygodni.

Dobra wiadomość: matura z matematyki to **jeden z najbardziej przewidywalnych egzaminów w Polsce**. Tematy się powtarzają, schematy zadań są te same od lat, a CKE nie lubi zaskakiwać. Wystarczy, że opanujesz 5-6 kategorii zadań, i masz zdaną maturę.

## Diagnoza - gdzie tracisz punkty?

Zanim zaczniesz ćwiczyć, musisz wiedzieć, CO ćwiczyć. Otwórz swój arkusz próbny i policz, ile punktów straciłeś w każdej kategorii:

| Kategoria | Ile zadań zwykle? | Ile punktów max? |
|-----------|-------------------|-----------------|
| Potęgi, logarytmy, wyrażenia | 4-5 | 5-6 |
| Równania i nierówności | 3-4 | 4-6 |
| Funkcja liniowa i kwadratowa | 4-5 | 6-10 |
| Ciągi | 3-4 | 5-8 |
| Geometria analityczna | 4-6 | 8-12 |
| Procenty i zadania z treścią | 2-3 | 3-5 |
| Trygonometria i planimetria | 3-5 | 6-10 |
| Stereometria | 2-3 | 4-6 |
| Prawdopodobieństwo i statystyka | 2-3 | 3-5 |

Zaznacz kategorie, w których straciłeś **najwięcej punktów w stosunku do trudności**. To są Twoje "quick wins" - tematy, gdzie stosunkowo niewielki wysiłek da największy skok punktowy.

## Strategia: nie ucz się wszystkiego

Tu jest klucz, którego większość uczniów nie rozumie: **nie musisz umieć wszystkiego, żeby zdać maturę**. Musisz umieć wystarczająco dużo.

Arkusz maturalny ma od 27 do 39 zadań za łączną pulę 50 punktów. Żeby zdać, potrzebujesz 15 punktów (30%). Żeby zdać pewnie, celuj w 25 punktów (50%).

Moja strategia dla Ciebie: **skup się na 4 kategoriach i opanuj je porządnie**, zamiast uczyć się po łebkach z wszystkiego.

### Twoje 4 priorytety (dobierz wg swoich wyników):

**Priorytet 1: Potęgi, logarytmy, działania na wyrażeniach** - to są zadania za 1 punkt na początku arkusza. Czysta mechanika, zero myślenia. Jeśli znasz reguły, rozwiązujesz w 30 sekund.

Zacznij od: [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) - mamy ponad 150 zadań, zacznij od najłatwiejszych.

**Priorytet 2: Funkcja liniowa i kwadratowa** - pojawia się na KAŻDEJ maturze. Delta, wierzchołek paraboli, miejsca zerowe - to schematy, które powtarzasz aż wejdą w krew.

Zacznij od: [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) (ponad 120 zadań) | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) (ponad 70 zadań)

**Priorytet 3: Ciągi** - bardzo wdzięczny temat. Dwa wzory do zapamiętania, reszta to podstawianie. Jeśli poćwiczysz 20 zadań, ciągi będą Twoim "pewniaczkiem".

Zacznij od: [Ciągi](/topics/ciagi) - ponad 210 zadań z rozwiązaniami

**Priorytet 4: Procenty i równania** - pojawiają się regularnie i nie wymagają zaawansowanej matematyki. Trzeba tylko umieć przełożyć polecenie na równanie.

Zacznij od: [Procenty](/topics/procenty) (ponad 70 zadań) | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) (ponad 260 zadań)

## Plan na 5 tygodni - godzina po godzinie

### Tydzień 1 (7-13 kwietnia): Potęgi, logarytmy, wyrażenia

**Codziennie 45-60 minut:**
- Poniedziałek: Powtórz reguły potęgowania. Rozwiąż 10 zadań z [potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki).
- Wtorek: Powtórz logarytmy. Rozwiąż 8 zadań z [logarytmów](/topics/logarytmy).
- Środa: Wyrażenia algebraiczne - wzory skróconego mnożenia. Rozwiąż 10 zadań.
- Czwartek: Mix - rozwiąż 15 losowych zadań z tych trzech działów na [Sprawnej Maturze](/).
- Piątek: Rozwiąż zadania z matur: [Zadanie z potęg](/task/matura-pr-bna-luty-2026-03), [Zadanie z logarytmów](/task/matura-maj-2025-03), [Zadanie z równań](/task/matura-sierpie-2025-09).
- Weekend: Powtórz to, co sprawiło Ci problem. Zrób kolejne 10-15 zadań.

Na koniec tygodnia powinieneś umieć rozwiązać **każde** zadanie z potęg i logarytmów za 1 punkt na maturze.

### Tydzień 2 (14-20 kwietnia): Funkcja liniowa i kwadratowa

**Codziennie 45-60 minut:**
- Poniedziałek: Funkcja liniowa - wzór, wykres, współczynnik kierunkowy. 10 zadań z [funkcji liniowej](/topics/funkcja-liniowa).
- Wtorek: Funkcja kwadratowa - delta, miejsca zerowe, wierzchołek. 10 zadań.
- Środa: Postać kanoniczna i iloczynowa. Jak przechodzić między nimi. [Przewodnik po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania)
- Czwartek: Odczytywanie własności z wykresu - [zadanie z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-11). Rozwiąż 10 podobnych.
- Piątek: Zadania otwarte z funkcji kwadratowej. [Zadanie z matury próbnej 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-12). Przećwicz pisanie pełnych rozwiązań.
- Weekend: Mix - losowe zadania ze wszystkich tematów z tygodnia 1 i 2.

### Tydzień 3 (21-27 kwietnia): Ciągi

**Codziennie 45-60 minut:**
- Poniedziałek-wtorek: Ciąg arytmetyczny - wzory, suma, własność. 15 zadań z [ciągów](/topics/ciagi).
- Środa-czwartek: Ciąg geometryczny - wzory, suma. 15 zadań. [Przewodnik po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania)
- Piątek: Zadania z matur - [matura próbna 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-19), [matura maj 2025](/task/matura-maj-2025-20).
- Weekend: Rozwiąż pełny arkusz na czas. Użyj [symulatora matury](/solve). Policz wynik.

**Checkpoint:** Po 3 tygodniach powinieneś umieć zdobyć **20-25 punktów** z samych zadań zamkniętych z potęg, funkcji i ciągów.

### Tydzień 4 (28 kwietnia - 4 maja): Procenty, równania, geometria analityczna

- Poniedziałek-wtorek: Procenty - obliczenia procentowe, procent składany. [Zadanie z matur](/task/matura-maj-2024-10), [zadanie z próbnej](/task/matura-pr-bna-luty-2026-07).
- Środa-czwartek: Geometria analityczna - odległość, środek odcinka, równanie prostej. Podstawy z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna).
- Piątek: Mix zadań z matur - [matura maj 2024](/task/matura-maj-2024-01), [matura sierpień 2025](/task/matura-sierpie-2025-10).
- Weekend: Pełny arkusz na czas + analiza błędów.

### Tydzień 5 (5-11 maja): Powtórka i arkusze

Ostatni tydzień to **tylko arkusze i powtórka wzorów**. Żadnych nowych tematów.

- Poniedziałek: Arkusz - [matura maj 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz).
- Wtorek: Analiza błędów + powtórka słabych tematów.
- Środa: Arkusz - [matura próbna marzec 2026](/matura-probna-cke-marzec-2026-matematyka-rozwiazania).
- Czwartek: Powtórka wzorów + łatwe zadania na rozgrzewkę.
- Piątek: [Ekspresowa powtórka w 1 dzień](/ekspresowa-powtorka-caly-material-maturalny-1-dzien).
- Weekend: SEN. Idź spać. Nie ucz się w noc przed maturą.

## 7 rzeczy, które musisz wiedzieć o samym egzaminie

1. **Masz 180 minut** - to dużo czasu. Nie spiesz się z pierwszymi zadaniami.
2. **Zadania zamknięte sprawdzaj dwa razy** - głupi błąd rachunkowy w zadaniu za 1 punkt to najgłupszy sposób na stratę punktów.
3. **Nie zostawiaj pustych zadań zamkniętych** - nawet losowe zaznaczenie daje 25% szans na punkt.
4. **W zadaniach otwartych liczy się tok rozwiązania** - nawet jeśli nie dojdziesz do końca, dostaniesz punkty za poprawne kroki.
5. **Kalkulator jest dozwolony** - prosty, naukowy, ale NIE graficzny.
6. **Karta wzorów CKE** - dostajesz ją na egzaminie. [Sprawdź co na niej jest](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).
7. **Nie porównuj się z innymi** - Twój jedyny cel to 30% (a najlepiej 50%). Reszta nie ma znaczenia.

Dokładna lista tego, co możesz wnieść na salę: [Co zabrać na maturę z matematyki](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista)

## Dlaczego akurat Sprawna Matura?

Nie chcę Ci wciskać kitu, więc konkretne liczby:

- **ponad 2300 zadań** z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku
- **Wszystkie arkusze CKE od 2010 roku** - oryginalne zadania, nie przeróbki
- Zadania pogrupowane wg kategorii - ćwiczysz dokładnie to, czego potrzebujesz
- **Rozwiązania wideo** dla najtrudniejszych zadań
- Symulator matury z pomiarem czasu
- Za darmo do 10 zadań dziennie. [Pełny dostęp odblokujesz w abonamencie Premium](/payment/checkout).

**Ponad 2300 zadań. Jedno kliknięcie. Zero wymówek.**

[Zacznij teraz - wyniki zobaczysz po tygodniu](/)

Jeśli matematyka nigdy nie była Twoją stroną i czujesz, że problem jest głębszy niż jedna słaba próbna, przeczytaj też poradnik [matura z matematyki dla humanisty](/matura-z-matematyki-dla-humanisty-jak-zdac-gdy-nie-idzie) - o zdawaniu, gdy ten przedmiot po prostu nie idzie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia
title: Jak zdać maturę z matematyki w 2027? Sprawdzona strategia nauki krok po kroku
description: Sprawdzony plan nauki do matury z matematyki 2027. Priorytety tematów, harmonogram powtórek, strategie na egzaminie. Działaj systematycznie.
author: Marcel Bogdan
---

# Jak zdać maturę z matematyki w 2027? Sprawdzona strategia nauki krok po kroku

## Ile czasu zostało i czy to wystarczy?

Do matury w maju 2026 zostało kilka tygodni. To wystarczająco dużo, żeby **znacząco podnieść wynik** - pod warunkiem, że będziesz ćwiczyć mądrze, a nie "wszystko po kolei". Wielu uczniów traci czas na tematy, które rzadko pojawiają się na egzaminie, zamiast skupić się na tym, co naprawdę daje punkty.

## Krok 1: Zdiagnozuj swój poziom (1 dzień)

Zanim zaczniesz powtórkę, rozwiąż **jeden pełny arkusz maturalny** w warunkach egzaminacyjnych (180 minut, bez podglądania rozwiązań). Najlepiej weź arkusz z 2025 roku.

Po sprawdzeniu przeanalizuj:
- Które tematy rozwiązujesz bezbłędnie?
- Gdzie gubisz punkty przez nieuwagę?
- Które tematy są dla Ciebie czarną magią?

Ta diagnoza pozwoli Ci skupić się na tematach z **największym potencjałem punktowym** - czyli takich, w których jesteś blisko, ale jeszcze nie dostatecznie pewnie.

## Krok 2: Skup się na "Big 5" (70% czasu nauki)

Analiza arkuszy CKE z lat 2015-2025 pokazuje, że **5 tematów stanowi ponad 60% punktów** na każdym egzaminie:

| Temat | Śr. zadań/arkusz | Śr. punktów |
|-------|------------------|-------------|
| Geometria analityczna | 4-5 | 6-8 |
| Ciągi | 3-4 | 5-7 |
| Funkcja kwadratowa | 2-3 | 4-6 |
| Równania i nierówności | 2-3 | 3-5 |
| Planimetria | 2-3 | 4-6 |

Jeśli opanujesz te pięć tematów, masz bazę na **22-32 punkty z 50** - znacznie powyżej progu. Poświęć im 70% czasu nauki.

## Krok 3: Ćwicz na prawdziwych zadaniach CKE

Podręczniki i zbiory zadań są pomocne na etapie nauki teorii, ale **na ostatniej prostej liczy się rozwiązywanie prawdziwych arkuszy**. CKE ma swój styl - specyficzne sformułowania, pułapki, poziom trudności. Im więcej autentycznych zadań rozwiążesz, tym mniej Cię zaskoczy na egzaminie.

Rekomendowany tryb ćwiczeń:
- **Codziennie 5-10 zadań zamkniętych** z różnych tematów (losowanie)
- **Co 2 dni jedno zadanie otwarte** z wybranego tematu
- **Raz w tygodniu pełny arkusz** w warunkach czasowych

## Krok 4: Analizuj błędy, nie tylko rozwiązania

Po każdym rozwiązanym zadaniu, nawet jeśli odpowiedź jest prawidłowa, przeczytaj wzorcowe rozwiązanie. Często istnieją **szybsze metody**, które oszczędzą Ci czas na egzaminie.

Dla każdego błędu zapisz:
- Co dokładnie poszło nie tak (błąd rachunkowy? źle przeczytane polecenie? brak wiedzy?)
- Jaka zasada lub wzór pomoże uniknąć tego błędu

Po tygodniu przejrzyj swoje notatki - zobaczysz wzorce. Może zawsze mylisz znak w nierównościach? Może zapominasz o warunku istnienia logarytmu? Te wzorce to Twoja mapa do poprawy.

## Krok 5: Strategia na dzień egzaminu

**Pierwsze 30 minut:** Przebiegnij wzrokiem cały arkusz. Rozwiąż od razu zadania, w których czujesz się pewnie. Nie zatrzymuj się na zadaniach, które wyglądają trudno - wrócisz do nich później.

**Środkowe 110 minut:** Wróć do trudniejszych zadań zamkniętych, potem zabierz się za zadania otwarte. Zaczynaj od tych za 2 punkty - są najłatwiejsze proporcjonalnie do punktacji.

**Ostatnie 40 minut:** Rozwiąż najtrudniejsze zadania otwarte (4-5 pkt). Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania do końca, **zapisz tyle, ile potrafisz** - na maturze dostaje się punkty za częściowe rozwiązania.

**Złota zasada:** Nigdy nie zostawiaj pustej kartki przy zadaniu otwartym. Narysuj rysunek, wypisz dane, zapisz wzór - za każdy krok CKE przyznaje punkty cząstkowe.

## Krok 6: Ostatni tydzień - konsolidacja, nie panika

W ostatnim tygodniu przed maturą **nie ucz się nowych rzeczy**. Zamiast tego:
- Przejrzyj notatki z błędów
- Rozwiąż 1-2 lekkie arkusze dla pewności siebie
- Powtórz wzory z tablicy maturalnej (tak, te z tablicy też trzeba znać - żebyś wiedział, gdzie szukać)
- Wyśpij się. Serio. Zmęczony mózg popełnia głupie błędy.

## Podsumowanie

Matura z matematyki na poziomie podstawowym jest **do zdania** - nie wymaga genialności, wymaga systematyczności. 30 minut dziennie przez 2 miesiące daje lepszy efekt niż 10 godzin na dzień przed egzaminem. Zacznij od diagnozy, skup się na Big 5, ćwicz na prawdziwych zadaniach i analizuj błędy.

Na Sprawnej Maturze masz ponad 2300 prawdziwych zadań CKE z rozwiązaniami - wylosuj zadanie z dowolnego tematu i zacznij ćwiczyć już teraz.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /korepetycje-z-matematyki-online-ile-kosztuja-czy-warto
title: Korepetycje z matematyki - ile kosztują za godzinę i czym je zastąpić
description: Ile kosztują korepetycje z matematyki? Sprawdź aktualne stawki za godzinę i zobacz, jak przygotować się do matury taniej, bez korepetytora.
author: Marcel Bogdan
---

# Korepetycje z matematyki - ile kosztują za godzinę i czym je zastąpić

Korepetycje z matematyki to dla wielu maturzystów pierwszy odruch, gdy materiał zaczyna uciekać. Problem w tym, że to jeden z najdroższych sposobów nauki - a wcale nie zawsze najskuteczniejszy. W tym tekście pokażę ci, ile realnie kosztują korepetycje z matematyki, kiedy faktycznie się opłacają, a kiedy lepiej i taniej poradzisz sobie sam z dobrą platformą i bazą zadań CKE.

## Ile kosztują korepetycje z matematyki za godzinę

Zacznijmy od konkretów. W 2026 roku średnia stawka za korepetycje z matematyki w Polsce wynosiła około 70-78 zł za 60 minut. To jednak średnia dla wszystkich poziomów. Gdy wchodzimy w przygotowanie do matury, ceny idą w górę:

- szkoła podstawowa: zwykle 60-90 zł za godzinę
- liceum, bieżący materiał: około 70-90 zł za godzinę
- przygotowanie do matury z matematyki: najczęściej 100-150 zł za godzinę

Do tego dochodzą różnice regionalne. W Warszawie zapłacisz najwięcej, często ponad 100 zł za godzinę przy maturze, a w mniejszych miastach jak Lublin czy Kielce stawki bywają o 20-30% niższe. Korepetycje online są zazwyczaj 10-20% tańsze niż stacjonarne, bo korepetytor nie traci czasu na dojazd.

## Ile to kosztuje w skali całego roku

Teraz policzmy, bo tu robi się nieprzyjemnie. Załóżmy realny scenariusz: jedna godzina korepetycji maturalnych w tygodniu przez rok szkolny, czyli około 30 tygodni nauki, przy stawce 120 zł.

$$30 \cdot 120 = 3600 \text{ zł}$$

3600 zł za jedną godzinę tygodniowo. A jedna godzina tygodniowo to często za mało, żeby nadrobić zaległości z całego liceum. Dwie godziny w tygodniu to już ponad 7000 zł rocznie. Dla wielu rodzin to poważny wydatek, a maturzysta i tak większość pracy musi wykonać sam, bo korepetytor pokaże metodę, ale zadania trzeba przerobić samodzielnie.

## Kiedy korepetycje naprawdę się opłacają

Nie chcę ci wmawiać, że korepetycje są bez sensu. Bywają świetną inwestycją, ale w konkretnych sytuacjach:

- masz duże, punktowe braki, na przykład nie rozumiesz logarytmów albo geometrii analitycznej, i potrzebujesz, żeby ktoś wytłumaczył to na żywo
- gubisz się w materiale i nie wiesz, od czego zacząć, a dobry korepetytor ułoży plan
- potrzebujesz zewnętrznej dyscypliny, bo sam nie usiądziesz do nauki
- celujesz na maturze rozszerzonej na bardzo wysoki wynik i musisz omówić trudne dowody

Jeśli to twój przypadek, kilka celowanych godzin może zdziałać cuda. Ale uwaga: nawet wtedy nie potrzebujesz korepetytora do wszystkiego. Większość pracy to po prostu rozwiązywanie zadań, a to możesz robić sam.

## Czym zastąpić korepetycje, albo mocno je ograniczyć

Tu dochodzimy do sedna. Matematyki na maturze uczysz się głównie przez rozwiązywanie zadań i sprawdzanie, gdzie popełniasz błędy. Korepetytor jest drogim pośrednikiem w tym procesie. Jeśli masz dostęp do dużej bazy zadań z rozwiązaniami krok po kroku, sporą część tej roli możesz przejąć sam.

Na [sprawnamatura.pl](/) masz ponad 2300 oryginalnych zadań CKE z lat 2010-2025, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. To dokładnie te zadania, które pojawiały się na prawdziwych maturach. Zamiast płacić 120 zł za godzinę, możesz:

- ćwiczyć zadania według działów na stronach tematów, na przykład [planimetria](/topics/planimetria) czy [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna)
- losować zadania do szybkiej powtórki w trybie [losuj zadanie](/random)
- wrzucić zdjęcie zadania, z którym utknąłeś, do [solvera](/solve) i dostać rozwiązanie krok po kroku
- rozwiązywać całe [arkusze maturalne CKE](/exams) jak na prawdziwym egzaminie
- śledzić, które działy masz opanowane, a które kuleją, na stronie [postępów](/progress)
- mieć pod ręką [kartę wzorów](/formulas) bez szukania po kartkach

Większość bazy, w tym wszystkie zadania zamknięte i przewodniki po działach, jest dostępna za darmo. Jeśli chcesz pełen dostęp do wszystkich rozwiązań i funkcji, [abonament Premium](/payment/checkout) kosztuje mniej niż jedna godzina korepetycji maturalnych, a masz go przez cały miesiąc, o każdej porze dnia i nocy.

## Korepetycje kontra samodzielna nauka z platformą

| Kryterium | Korepetycje 1 na 1 | Platforma i baza zadań CKE |
|---|---|---|
| Koszt | 100-150 zł za godzinę | abonament Premium za ułamek tej kwoty miesięcznie |
| Dostępność | 1-2 ustalone terminy w tygodniu | całą dobę, kiedy chcesz |
| Liczba zadań | ile zdążycie na lekcji | ponad 2300 zadań CKE z rozwiązaniami |
| Rozwiązania krok po kroku | tak, ale tylko w trakcie lekcji | tak, zawsze pod ręką |
| Tempo | narzucone przez plan lekcji | twoje własne |
| Diagnoza braków | zależy od korepetytora | automatyczna na stronie postępów |

Wniosek jest prosty: dla większości maturzystów najlepsza jest strategia hybrydowa. Główną robotę, czyli rozwiązywanie setek zadań, robisz sam na platformie, a korepetytora, jeśli w ogóle, bierzesz punktowo, tylko do tematów, które naprawdę cię blokują. Wtedy zamiast 30 godzin korepetycji rocznie wystarczy ci 5-6, a resztę budżetu zostawiasz w kieszeni.

## Jak uczyć się samodzielnie, żeby nie potrzebować korepetytora

Sama platforma nie zda za ciebie matury, potrzebujesz planu. Oto prosty schemat, który działa:

1. Zrób diagnozę. Rozwiąż jeden pełny [arkusz CKE](/exams) i zobacz, które działy lecą. Nie oszukuj się, zaznaczaj uczciwie.
2. Ustal priorytety. Skup się najpierw na działach, które dają najwięcej punktów i które kuleją. Sprawdź [plan samodzielnej nauki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).
3. Ćwicz działami. Bierz po jednym dziale i rozwiązuj zadania, aż metoda wejdzie ci w krew. Przy każdym błędzie czytaj rozwiązanie krok po kroku.
4. Mieszaj zadania. Co kilka dni rób losowe zadania z różnych działów, żeby symulować prawdziwy arkusz.
5. Sprawdzaj postępy. Wracaj na stronę [postępów](/progress) i patrz, czy słabe działy się poprawiają.

Jeśli wahasz się, czy w ogóle wybrać platformę, czy klasyczny kurs, zajrzyj do porównania [kurs maturalny online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto-jak-wybrac) oraz do [rankingu platform do nauki matury](/ranking-platform-do-nauki-matury-matematyka). A jeśli chcesz najpierw przetestować, jak wyglądają zadania, wejdź na [zadania maturalne online za darmo](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo).

## Na co uważać, jeśli jednak bierzesz korepetytora

Jeśli decydujesz się na korepetycje, nie przepłacaj za coś, co możesz zrobić sam. Zanim zapłacisz, sprawdź kilka rzeczy:

- Czy korepetytor pracuje na zadaniach CKE, czy na losowych przykładach z internetu. Tylko prawdziwe arkusze przygotowują do matury.
- Czy dostajesz pracę domową. Bez samodzielnego rozwiązywania zadań między lekcjami korepetycje to wyrzucone pieniądze.
- Czy widzisz konkretny plan, a nie tylko hasło, że przerobimy, co wyjdzie.
- Czy stawka odpowiada efektom. 150 zł za godzinę ma sens tylko wtedy, gdy realnie podnosisz wynik.

Najrozsądniej traktować korepetytora jak specjalistę od trudnych przypadków, a nie jak codziennego trenera. Codzienny trening, czyli setki zadań, zrób sam na platformie. Wtedy każda wydana złotówka faktycznie pracuje na twój wynik.

## Korepetycje grupowe i kursy - czy to tańsza opcja

Wielu maturzystów słyszy, że kurs grupowy jest tańszy niż korepetycje 1 na 1. To prawda tylko częściowo. Owszem, godzina kursu grupowego potrafi kosztować 40-70 zł zamiast 120-150 zł, ale w grupie 10-15 osób nie dostaniesz indywidualnej uwagi. Tempo jest narzucone, a jeśli akurat nie nadążasz na danym dziale, nikt nie zatrzyma zajęć tylko dla ciebie. Do tego kursy maturalne to często pakiet kilkudziesięciu godzin opłacany z góry, co daje rachunek rzędu 2000-4000 zł za semestr.

Porównaj to z dostępem do bazy zadań, którą masz przez całą dobę i przerabiasz we własnym tempie. Kurs grupowy bywa dobrym uzupełnieniem, jeśli potrzebujesz rytmu cotygodniowych zajęć, ale jako jedyne źródło nauki jest drogi i mało elastyczny. Zanim zapiszesz się na kurs, sprawdź porównanie [kurs maturalny online - czy warto](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto-jak-wybrac).

## Ile realnie kosztuje cię jeden punkt na maturze

Spójrz na to z innej strony. Jeśli płacisz 3600 zł rocznie za korepetycje i podnosisz wynik o, powiedzmy, 20 punktów procentowych, to jeden punkt kosztuje cię około 180 zł. Tymczasem te same punkty możesz zdobyć, rozwiązując zadania CKE z rozwiązaniami za ułamek tej kwoty. Matematyka nie nagradza tego, ile wydałeś, tylko ile zadań przerobiłeś i ile błędów zrozumiałeś. Dlatego najtańsza droga do wyższego wyniku prawie zawsze prowadzi przez systematyczne rozwiązywanie zadań, a nie przez kolejną opłaconą godzinę. Chcesz zacząć od razu? Wejdź na [zadania maturalne online za darmo](/zadania-maturalne-matematyka-online-za-darmo) i rozwiąż pierwsze pięć.

## Najczęstsze pytania o korepetycje z matematyki

### Czy da się zdać maturę z matematyki bez korepetycji?
Tak, i robi to co roku mnóstwo osób. Klucz to systematyczne rozwiązywanie zadań i sprawdzanie błędów, a do tego korepetytor nie jest konieczny.

### Ile godzin korepetycji potrzebuję przed maturą?
Jeśli w ogóle, to tyle, ile trzeba na odblokowanie konkretnych, trudnych tematów. Reszta to samodzielna praca z zadaniami.

### Czy korepetycje online są tańsze?
Zwykle o 10-20% taniej niż stacjonarne, bo nie ma dojazdu. Ale wciąż to koszt rzędu 100 zł za godzinę przy maturze.

### Co jest najtańsze?
Samodzielna nauka z bazą zadań CKE i rozwiązaniami. Płacisz ułamek ceny jednej godziny korepetycji za cały miesiąc dostępu.

## Online czy stacjonarnie - co wybrać, jeśli już płacisz

Jeśli zdecydujesz się na korepetycje, forma online jest zwykle rozsądniejsza. Płacisz mniej, oszczędzasz czas na dojazdach, a jakość nauki jest taka sama, bo i tak liczy się to, ile zadań rozwiążesz. Korepetycje stacjonarne mają sens głównie wtedy, gdy potrzebujesz kogoś, kto fizycznie zajrzy ci przez ramię i wskaże błąd na kartce. Niezależnie od formy zasada jest ta sama: korepetytor pokazuje metodę, a ty i tak musisz przerobić zadania sam, najlepiej na prawdziwych [arkuszach CKE](/exams) i z dostępem do [rozwiązań krok po kroku](/random).

## Podsumowanie

Korepetycje z matematyki to wydatek rzędu 100-150 zł za godzinę przy przygotowaniu maturalnym, co w skali roku daje tysiące złotych. Bywają sensowne, gdy masz konkretne, punktowe braki, ale do większości pracy ich nie potrzebujesz. Najtańsza i najbardziej elastyczna droga to samodzielna nauka z dużą bazą zadań CKE i rozwiązaniami krok po kroku. Zacznij od [rozwiązania kilku zadań za darmo](/random), a jeśli chcesz potrenować konkretny dział, zerknij na [zadania CKE z prawdopodobieństwa z rozwiązaniami](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami) i zobacz, jak wygląda nauka, która naprawdę przygotowuje do egzaminu.

Jeśli korepetycji szukasz jako rodzic, zacznij od naszego przewodnika [jak pomóc dziecku przygotować się do matury](/jak-pomoc-dziecku-przygotowac-sie-do-matury-z-matematyki) - pomoże ocenić, czy problemem są braki wiedzy, organizacja nauki, czy motywacja, bo każde z nich naprawia się inaczej.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /kula-wpisana-i-opisana-promien-szescian-ostroslup-matura
title: Kula wpisana i opisana - jak obliczyć promień (sześcian, ostrosłup, stożek)
description: Kula wpisana i opisana w sześcianie, ostrosłupie i stożku: wzory na promień, metoda przekroju osiowego i pięć zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Kula wpisana i opisana - jak obliczyć promień (sześcian, ostrosłup, stożek)

Promień kuli opisanej na sześcianie o krawędzi \(a\) wynosi \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), czyli tyle, ile połowa przekątnej sześcianu. Promień kuli wpisanej w ten sam sześcian to \(r = \frac{a}{2}\), czyli połowa krawędzi. W każdej innej bryle schemat jest ten sam: robisz przekrój przez oś symetrii, sprowadzasz zadanie przestrzenne do okręgu wpisanego albo opisanego na figurze płaskiej i liczysz promień z twierdzenia Pitagorasa lub ze wzoru na promień okręgu wpisanego \(\rho = \frac{P}{p}\), gdzie \(P\) to pole tej figury, a \(p\) połowa jej obwodu.

Kula wpisana i kula opisana to temat, na którym sypią się nawet uczniowie, którzy dobrze liczą objętości. Powód jest prosty: tu nie wystarczy podstawić do wzoru z karty wzorów, bo takiego wzoru tam nie ma. Musisz sam ustalić, gdzie leży środek kuli, a to wymaga jednego dobrego rysunku przekroju. W naszej bazie [zadań ze stereometrii](/topics/stereometria) ten dział to 204 zadania CKE, a konfiguracje z kulą pojawiają się głównie w zadaniach otwartych, czyli tam, gdzie idą pełne punkty za metodę.

## Co znaczy, że kula jest wpisana, a co, że opisana

Kula wpisana w bryłę jest styczna do wszystkich jej ścian i leży w całości wewnątrz. Kula opisana na bryle przechodzi przez wszystkie jej wierzchołki. Stąd biorą się dwie zasady, które rozwiązują większość zadań: środek kuli opisanej jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków bryły, a środek kuli wpisanej jest jednakowo oddalony od wszystkich jej ścian.

Z tego wynika trzecia rzecz, najważniejsza praktycznie: w bryle obrotowej i w ostrosłupie prawidłowym środek kuli zawsze leży na osi symetrii bryły. Nie musisz go szukać w przestrzeni, wystarczy, że wyznaczysz jego wysokość na tej osi. Jedna niewiadoma zamiast trzech.

Uwaga na nazewnictwo: w zadaniach CKE spotkasz też słowo "sfera". Sfera to sama powierzchnia (skorupka), kula to sfera razem z wnętrzem. Do liczenia promienia nie ma to znaczenia, ale gdy zadanie pyta o pole sfery, chodzi o \(4\pi R^2\), a gdy o objętość kuli, o \(\frac{4}{3}\pi R^3\). Szczegółowo rozbieramy te wzory we wpisie o tym, [jak liczyć pole powierzchni i objętość kuli](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-kuli-wzory-zadania-matura).

## Kula opisana na sześcianie i prostopadłościanie

Promień kuli opisanej na sześcianie o krawędzi \(a\) to połowa przekątnej sześcianu, czyli \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Dla prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) jest analogicznie: \(R = \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\). Środek leży w punkcie przecięcia przekątnych bryły, czyli dokładnie w jej środku.

Dlaczego tak jest? Wszystkie wierzchołki mają leżeć na sferze, więc środek musi być jednakowo oddalony od każdego z nich. W prostopadłościanie taki punkt jest tylko jeden: środek symetrii bryły. Odcinek od tego punktu do wierzchołka to połowa przekątnej, a przekątną liczysz z podwójnego Pitagorasa:

$$d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}, \qquad R = \frac{d}{2}$$

Dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc \(d = a\sqrt{3}\). Jeśli mylą ci się \(\sqrt{2}\) i \(\sqrt{3}\), zapamiętaj: przekątna ściany to \(a\sqrt{2}\), przekątna całej bryły to \(a\sqrt{3}\). Rozpisujemy to dokładniej w poradniku o tym, [jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania).

## Kula wpisana w sześcian

Promień kuli wpisanej w sześcian o krawędzi \(a\) to \(r = \frac{a}{2}\). Kula dotyka wtedy każdej z sześciu ścian w jej środku, a jej średnica jest dokładnie równa krawędzi. To najprostszy przypadek w całym temacie i dlatego pojawia się najczęściej na poziomie podstawowym.

Ważne ograniczenie: w prostopadłościan, który nie jest sześcianem, kuli wpisać się nie da. Kula musiałaby jednocześnie dotykać obu par przeciwległych ścian, więc jej średnica musiałaby być równa \(a\), \(b\) i \(c\) naraz. To możliwe tylko wtedy, gdy \(a = b = c\).

Z kuli wpisanej w sześcian bierze się klasyczne pytanie o stosunek objętości:

$$\frac{V_{kuli}}{V_{szescianu}} = \frac{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3}{a^3} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236$$

Czyli kula wpisana wypełnia około 52,4 procent sześcianu, niezależnie od jego wielkości. Taki wynik bez zmiennej to dobry sygnał, że liczyłeś dobrze.

## Kula opisana na ostrosłupie prawidłowym

Środek kuli opisanej na ostrosłupie prawidłowym leży na jego wysokości, a jego położenie liczysz z jednego równania. Oznacz przez \(H\) wysokość ostrosłupa, a przez \(d\) promień okręgu opisanego na podstawie. Wtedy promień kuli opisanej wynosi:

$$R = \frac{H^2 + d^2}{2H}$$

Wyprowadzenie zajmuje trzy linijki i warto je znać, bo na maturze łatwiej odtworzyć rozumowanie niż zapamiętać wzór. Niech środek kuli leży na wysokości \(x\) nad środkiem podstawy. Odległość do wierzchołka górnego to \(H - x\), a odległość do wierzchołka podstawy to \(\sqrt{d^2 + x^2}\). Oba mają być równe \(R\), więc:

$$(H-x)^2 = d^2 + x^2 \implies H^2 - 2Hx = d^2 \implies x = \frac{H^2-d^2}{2H}$$

Po podstawieniu \(R = H - x\) dostajesz wzór wyżej. Wartość \(d\) zależy tylko od podstawy: dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy \(a\) jest to \(d = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) (połowa przekątnej kwadratu), a dla trójkątnego \(d = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Promienie okręgów w podstawie liczy się dokładnie tak, jak w płaskiej geometrii, co rozbieramy we wpisie o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).

Zwróć uwagę na znak \(x\). Jeśli \(d > H\), czyli ostrosłup jest niski i szeroki, to \(x  H\), wartość \(x\) jest ujemna i środek wypada poniżej podstawy, czyli poza bryłą.

### Jak policzyć promień kuli wpisanej w stożek?
Najszybciej ze wzoru \(r = \frac{r_p H}{r_p + l}\), gdzie \(r_p\) to promień podstawy, \(H\) wysokość, a \(l\) tworząca. Alternatywnie policz \(r = \frac{3V}{S_c}\), czyli potrójną objętość podzieloną przez pole powierzchni całkowitej.

### Czy wzór \(r = \frac{3V}{S_c}\) działa dla każdej bryły?
Działa dla każdej bryły, w którą w ogóle da się wpisać kulę styczną do wszystkich ścian: dla sześcianu, ostrosłupów prawidłowych, czworościanu foremnego i stożka. Nie stosuj go do brył bez kuli wpisanej, na przykład do prostopadłościanu o różnych krawędziach.

### Czy kula wpisana i opisana są na maturze podstawowej?
Na poziomie podstawowym najczęściej pojawia się kula związana z sześcianem, bo sprowadza się do przekątnej albo połowy krawędzi. Trudniejsze konfiguracje z ostrosłupem i stożkiem to typowe zadania otwarte z poziomu rozszerzonego, choć sama metoda przekroju jest identyczna.

### Od czego zacząć rozwiązywanie takiego zadania?
Od rysunku przekroju przez oś symetrii i zaznaczenia na nim środka kuli. Dopiero potem zapisz warunek: równe odległości do wierzchołków (kula opisana) albo równe odległości do ścian (kula wpisana). Rachunki są zwykle łatwiejsze niż ustawienie tego warunku.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto
title: Kurs maturalny z matematyki online - czy warto? Ceny i alternatywy
description: Kurs maturalny z matematyki online: za co realnie płacisz, ile kosztuje, kiedy ma sens i czym go zastąpić. Plan samodzielnej nauki na zadaniach CKE.
author: Marcel Bogdan
---

# Kurs maturalny z matematyki online - czy warto? Ceny i alternatywy

## Kurs maturalny z matematyki online - czy w ogóle jest ci potrzebny

Wakacje to moment, w którym rodzice i uczniowie zaczynają szukać kursu maturalnego na przyszły rok. Reklamy obiecują "gwarancję zdania", "kompleksowe przygotowanie" i "opiekę mentora". Ceny wahają się od kilkuset do kilku tysięcy złotych za rok. Zanim wydasz te pieniądze, warto zadać jedno pytanie: co dokładnie kupujesz i czy tego naprawdę potrzebujesz.

Ten tekst nie jest reklamą kursów ani ich hejtem. To rzetelne rozłożenie na czynniki pierwsze: z czego składa się typowy kurs maturalny online, komu realnie pomaga, ile kosztuje, gdzie przepłacasz i czym możesz go zastąpić. Na końcu znajdziesz plan samodzielnej nauki, który daje to samo, co kurs, tylko taniej.

## Z czego składa się typowy kurs maturalny online

Prawie każdy kurs online z matematyki to kombinacja czterech elementów. Warto je rozdzielić, bo każdy z nich ma inną wartość i inną cenę rynkową.

**Nagrania wideo z teorią.** Wykładowca tłumaczy dział po dziale. To najdroższy w produkcji, ale najtańszy w zdobyciu element. Dokładnie tę samą teorię masz za darmo na YouTube, w podręczniku i w [tablicach maturalnych](/formulas). Nagrania są wygodne, ale same z siebie nie podnoszą wyniku, bo oglądanie matematyki nie jest nauką matematyki.

**Zadania do samodzielnego rozwiązania.** Tu zaczyna się realna wartość. Problem w tym, że wiele kursów daje zadania autorskie, czyli wymyślone przez wykładowcę. One bywają dobre, ale nie odwzorowują stylu CKE. Prawdziwa matura ma swoje utarte schematy i sposób formułowania poleceń, których nie da się podrobić.

**Rozwiązania krok po kroku.** To jest sedno. Zadanie bez rozwiązania jest bezużyteczne, kiedy utkniesz. Kurs, który daje tylko klucz odpowiedzi ("B", "42"), nie uczy niczego. Ty potrzebujesz zobaczyć tok rozumowania, a nie sam wynik.

**Kontakt z człowiekiem.** Czat z mentorem, konsultacje na żywo, sprawdzanie zadań otwartych. To jedyna rzecz, której żadna baza zadań nie zastąpi w stu procentach. I jednocześnie to element, który windują cenę najbardziej.

Jeśli policzysz uczciwie, w typowym kursie płacisz głównie za wideo i za poczucie, że ktoś cię prowadzi. Za zadania i rozwiązania płacisz przy okazji, choć to one robią wynik.

## Ile realnie kosztuje kurs maturalny i korepetycje

Rynek wygląda mniej więcej tak. Kurs grupowy online: zwykle kilkaset do dwóch tysięcy złotych za cały rok szkolny. Kurs z indywidualną opieką mentora: kilka tysięcy. Klasyczne korepetycje jeden na jeden: najczęściej 80 do 150 zł za godzinę, co przy jednej lekcji tygodniowo przez rok szkolny daje od kilku do kilkunastu tysięcy złotych.

Teraz porównaj to z tym, czego naprawdę potrzebujesz do zdania. Do przekroczenia progu 30 procent i do wyniku rzędu 60 do 80 procent na poziomie podstawowym potrzebujesz trzech rzeczy: bazy prawdziwych zadań CKE, rozwiązań krok po kroku i systematyczności. Dwie pierwsze rzeczy da się mieć za ułamek ceny kursu. Trzecia jest darmowa i zależy tylko od ciebie.

Na sprawnamatura.pl masz ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z lat 2010-2025, pogrupowanych [według działów](/topics), z rozwiązaniami krok po kroku. Duża część bazy, w tym zadania zamknięte i wszystkie przewodniki tematyczne, jest dostępna za darmo. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań daje [abonament Premium](/payment/checkout), którego miesięczny koszt jest niższy niż jedna godzina korepetycji.

## Kiedy kurs maturalny ma sens, a kiedy jest wyrzuceniem pieniędzy

Bądźmy uczciwi: kurs nie jest oszustwem. Są sytuacje, w których naprawdę pomaga.

**Kurs ma sens, gdy:**

- masz zerową samodyscyplinę i wiesz o sobie, że bez ustalonej godziny w kalendarzu nie usiądziesz do nauki. Kurs kupuje ci wtedy strukturę, a nie wiedzę,
- zdajesz rozszerzenie i celujesz w wysoki wynik. Na rozszerzeniu zadania dowodowe i optymalizacyjne wymagają redakcji rozwiązania, którą ktoś powinien ci sprawdzić,
- masz naprawdę głębokie braki z pierwszej i drugiej klasy i potrzebujesz kogoś, kto poukłada materiał od zera.

**Kurs jest wyrzuceniem pieniędzy, gdy:**

- kupujesz go, żeby "mieć spokój z głowy", a potem nie oglądasz nagrań. To najczęstszy scenariusz i najdroższy sposób na kupienie sobie poczucia bezpieczeństwa,
- twoim problemem nie jest brak teorii, tylko brak przerobionych zadań. A tak jest u zdecydowanej większości maturzystów z poziomu podstawowego,
- kurs opiera się na zadaniach autorskich zamiast na arkuszach CKE. Uczysz się wtedy stylu wykładowcy, a nie stylu egzaminu.

Jeśli twój problem brzmi "rozumiem na lekcji, ale sam nie umiem rozwiązać", to nie jest problem z teorią. To problem z liczbą przerobionych zadań. Kurs go nie naprawi. Naprawią go zadania.

## Czym zastąpić kurs - plan działania

To jest konkretna alternatywa. Nie "poucz się więcej", tylko schemat, który realnie da się wykonać.

**Krok 1: zdiagnozuj, gdzie jesteś.** Weź jeden pełny [arkusz CKE](/exams) i rozwiąż go na czas, bez zaglądania w rozwiązania. Wynik nie ma znaczenia dla twojej wartości. Ma znaczenie dla planu. Zapisz, w których działach straciłeś punkty.

**Krok 2: uderz w najsłabsze działy, nie we wszystkie.** Wchodzisz w [zadania pogrupowane według działów](/topics) i bierzesz ten, w którym poległeś najmocniej. Robisz kilkanaście zadań z rzędu z jednego tematu. Nie skaczesz po działach, bo mózg potrzebuje powtórzeń tego samego schematu, żeby go zautomatyzować.

**Krok 3: przy każdym zadaniu, którego nie umiesz, czytaj rozwiązanie do końca.** Nie zerkaj na wynik. Prześledź każdy krok i dopiero potem zrób podobne zadanie samodzielnie. To jest dokładnie to, co robi korepetytor, tylko za darmo i o dowolnej porze.

**Krok 4: kiedy utkniesz na zadaniu spoza bazy,** na przykład ze szkolnego zbioru albo z kartkówki, wrzuć je do [solvera](/solve). Dostaniesz rozwiązanie krok po kroku, a nie sam wynik.

**Krok 5: sprawdzaj się losowo.** Raz w tygodniu wchodzisz w [losowe zadania](/random), gdzie nie wiesz, jaki dział wyskoczy. To najbliższe temu, co dzieje się na egzaminie, gdzie nikt nie napisze ci nad zadaniem "to jest z ciągów".

**Krok 6: mierz postęp.** [Panel postępów](/progress) pokazuje, ile zadań przerobiłeś i w których działach nadal się potykasz. Bez pomiaru nauka zmienia się w chaotyczne przerzucanie kartek.

Ten plan zajmuje 45 do 60 minut dziennie. Powtarzany przez rok daje wynik, którego żaden kurs nie da bez twojej pracy. A jeśli chcesz gotowy rozkład na cały rok szkolny, mamy go opisany w tekście [matura z matematyki 2027 - jak zacząć przygotowania](/matura-z-matematyki-2027-jak-zaczac-przygotowania).

## Na co patrzeć, wybierając kurs albo platformę

Jeśli mimo wszystko chcesz kupić kurs, oceń go po tych kryteriach. Ta sama lista działa też do oceny platform do nauki, więc możesz ją potraktować jak checklistę zakupową.

| Kryterium | Dlaczego jest ważne | Czerwona flaga |
| --- | --- | --- |
| Zadania z prawdziwych arkuszy CKE | Tylko one odwzorowują styl i poziom matury | "Autorskie zadania" bez ani jednego arkusza CKE |
| Rozwiązania krok po kroku | Bez toku rozumowania nie nauczysz się metody | Sam klucz odpowiedzi |
| Podział na działy | Pozwala uderzyć w konkretną lukę | Tylko chronologiczne "lekcje 1-40" |
| Dostęp mobilny | Uczysz się w autobusie, nie tylko przy biurku | Tylko PDF do druku |
| Możliwość rezygnacji | Nie płacisz za coś, czego nie używasz | Umowa na rok bez wyjścia |
| Jawna cena za miesiąc | Realny koszt, nie kwota "od" | Cena dopiero po wypełnieniu formularza |

Jeżeli kurs nie ma zadań CKE i rozwiązań krok po kroku, to nie jest kurs maturalny. To kurs matematyki. Różnica jest gigantyczna, bo maturę zdaje się na arkuszu CKE, a nie na abstrakcyjnej wiedzy.

## Co z zadaniami otwartymi, czyli jedyna realna przewaga korepetytora

Uczciwie: jest jedna rzecz, której baza zadań nie zrobi za ciebie. Nie oceni redakcji twojego rozwiązania zadania otwartego, gdzie punkty przyznaje się za kolejne etapy rozumowania.

Da się to obejść. Rozwiązujesz zadanie otwarte, a potem porównujesz swój zapis z rozwiązaniem krok po kroku i z kryteriami CKE. Sprawdzasz nie tylko wynik, ale czy zapisałeś to, za co przyznaje się punkty: układ równań, wzór, wnioskowanie. Po kilkunastu zadaniach zaczynasz sam widzieć, gdzie egzaminator dałby ci punkt, a gdzie nie. To wymaga uczciwości wobec siebie, ale działa.

Więcej o samodzielnej nauce bez korepetytora napisaliśmy w osobnym poradniku: [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji).

## FAQ

### Czy kurs maturalny online gwarantuje zdanie?
Nie. Żaden kurs nie może tego zagwarantować, bo egzamin piszesz ty, a nie wykładowca. Obietnice "gwarancji zdania" zwykle oznaczają zwrot pieniędzy pod bardzo wąskimi warunkami. Przeczytaj regulamin, zanim uwierzysz w hasło z reklamy.

### Czy da się zdać maturę z matematyki bez kursu i bez korepetycji?
Tak, i robi to bardzo wielu maturzystów. Warunek jest jeden: systematyczne rozwiązywanie prawdziwych zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Sama teoria nie wystarczy nigdy, niezależnie od tego, kto ją tłumaczy.

### Kiedy zacząć przygotowania?
Najlepiej w wakacje albo we wrześniu klasy maturalnej. Zaczynając w marcu, walczysz już tylko o próg. Zaczynając w wakacje, walczysz o wysoki wynik.

### Gdzie znajdę darmowe zadania maturalne z rozwiązaniami?
Zebraliśmy to w osobnym tekście: [darmowy zbiór zadań maturalnych z rozwiązaniami](/darmowy-zbior-zadan-maturalnych-z-rozwiazaniami). Znajdziesz tam, po czym poznać dobrą bazę i jak z niej korzystać.

### Od którego działu zacząć?
Od tego, w którym straciłeś najwięcej punktów w arkuszu diagnostycznym. Jeśli nie wiesz, dobrym startem jest [prawdopodobieństwo](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami), bo to dział schematyczny, w którym szybko odzyskuje się punkty.

## Podsumowanie

Kurs maturalny z matematyki nie jest złym pomysłem, ale bardzo często jest złą inwestycją. Płacisz głównie za teorię, którą masz za darmo, i za strukturę, którą możesz sobie zbudować sam. To, co realnie podnosi wynik, czyli prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, kosztuje ułamek tej kwoty.

Zanim wydasz pieniądze, zrób test: przez dwa tygodnie rozwiązuj po pięć zadań CKE dziennie z jednego działu, czytając rozwiązania tych, które nie wyszły. Jeśli po dwóch tygodniach zobaczysz postęp, kurs nie jest ci potrzebny. Jeśli nie usiądziesz ani razu, kurs też ci nie pomoże, bo problemem nie jest brak materiału, tylko brak nawyku.

Zacznij od diagnozy: weź jeden [arkusz CKE](/exams), rozwiąż go na czas i sprawdź, gdzie tracisz punkty. Potem wejdź w [zadania według działów](/topics) i wypełnij dziury. Reszta to już tylko powtarzanie.

Drugi klasyczny dylemat obok kursu to repetytorium książkowe. Czy samo repetytorium wystarczy do zdania i czym różni się od ćwiczenia na prawdziwych arkuszach, rozbieramy w tekście [repetytorium maturalne - czy wystarczy](/repetytorium-maturalne-z-matematyki-czy-wystarczy).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki
title: Matura z matematyki bez korepetycji - plan samodzielnej nauki 2027
description: Czy da się zdać maturę z matematyki bez korepetycji? Tak. Plan samodzielnej nauki, baza zadań CKE i rozwiązania krok po kroku za darmo.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki bez korepetycji - plan samodzielnej nauki 2027

Korepetycje z matematyki potrafią kosztować od 60 do nawet 150 zł za godzinę. Jeśli bierzesz dwie godziny tygodniowo przez cały rok, robi się z tego kilka tysięcy złotych. A teraz najważniejsze: maturę z matematyki na poziomie podstawowym da się zdać bez ani jednej godziny korepetycji. Naprawdę. Potrzebujesz tylko dobrego planu, bazy zadań CKE i systematyczności. Ten poradnik pokazuje dokładnie, jak to ułożyć.

## Czy naprawdę da się zdać maturę bez korepetytora?

Tak, i robi to co roku mnóstwo osób. Matura podstawowa z matematyki nie sprawdza geniuszu - sprawdza, czy umiesz rozwiązać typowe zadania, które powtarzają się od lat. Centralna Komisja Egzaminacyjna układa arkusze według tych samych schematów: funkcja kwadratowa, ciągi, geometria analityczna, planimetria, prawdopodobieństwo, statystyka. Jak ogarniesz te działy na zadaniach z poprzednich lat, to wejdziesz na egzamin bez niespodzianek.

Korepetytor daje trzy rzeczy: tłumaczy teorię, zadaje zadania i pilnuje, żebyś się uczył. Wszystkie trzy możesz zorganizować sam. Teorię znajdziesz w darmowych poradnikach (jak [ten o nauce matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury)), zadania masz w [bazie ponad 2300 zadań CKE](/random), a o systematyczność zadba dobry plan i śledzenie [postępów](/progress). Korepetytor jest wygodny, ale nie jest niezbędny.

## Ile realnie kosztują korepetycje i co za to dostajesz

Policzmy uczciwie. Średnia stawka to około 80 zł za godzinę. Jedna godzina tygodniowo przez 8 miesięcy nauki to circa 2560 zł. Dwie godziny tygodniowo - ponad 5000 zł. Za te pieniądze dostajesz cotygodniowe spotkanie, na którym ktoś tłumaczy ci materiał i zadaje pracę domową.

Problem w tym, że największa praca i tak dzieje się między spotkaniami, kiedy sam rozwiązujesz zadania. Korepetytor nie rozwiąże matury za ciebie. To ty musisz przerobić setki zadań. A skoro i tak musisz to zrobić sam, to pytanie brzmi: czy potrzebujesz płacić 80 zł za godzinę za samo tłumaczenie, które jest dostępne za darmo w formie [rozwiązań krok po kroku](/solve)?

Dla wielu osób odpowiedź brzmi: nie. Zwłaszcza jeśli celujesz w sam próg zdawalności, czyli [30 procent punktów](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki). To jest do ogarnięcia w pełni samodzielnie.

## Czego potrzebujesz zamiast korepetytora

Żeby zastąpić korepetycje, musisz mieć cztery rzeczy. Każdą z nich da się zorganizować za darmo albo prawie za darmo.

Po pierwsze, baza zadań z prawdziwych arkuszy CKE. Nie zbiory wymyślone przez przypadkowego autora, tylko zadania, które faktycznie pojawiły się na maturze. Tylko one odzwierciedlają realny poziom i styl egzaminu. Masz je na [sprawnamatura.pl](/random) - to ponad 2300 zadań z arkuszy od 2010 roku, posegregowanych według działów.

Po drugie, rozwiązania krok po kroku. Samo zadanie nic ci nie da, jeśli utkniesz i nie wiesz, jak ruszyć dalej. Potrzebujesz wyjaśnienia, które pokazuje każdy krok rozumowania, a nie tylko gołą odpowiedź. To właśnie zastępuje tłumaczenie korepetytora.

Po trzecie, możliwość sprawdzenia własnego zadania. Kiedy masz swoje obliczenia i nie wiesz, czy są poprawne, przydaje się narzędzie, które przeanalizuje twoje rozwiązanie. Do tego służy [solver](/solve) - wpisujesz albo fotografujesz zadanie i dostajesz rozpisane rozwiązanie.

Po czwarte, sposób na pilnowanie systematyczności. To najtrudniejsze, bo nikt nad tobą nie stoi. Pomaga plan tygodniowy i [licznik postępów](/progress), który pokazuje, ile zadań zrobiłeś i z których działów masz luki.

## Plan samodzielnej nauki krok po kroku

Dobra samodzielna nauka ma strukturę. Bez niej rozwiązujesz losowe zadania i nie wiadomo, czy idziesz do przodu. Oto sprawdzony schemat.

Krok pierwszy: zrób diagnozę. Rozwiąż jeden pełny arkusz CKE na czas, bez podglądania. Najlepiej w [symulatorze matury](/simulator), który odwzorowuje warunki egzaminu. Zobaczysz, ile punktów masz na start i które działy leżą. To twój punkt odniesienia.

Krok drugi: rozpisz działy na tygodnie. Materiał podstawowy to circa 11-13 działów. Daj sobie po jednym tygodniu na dział, w którym jesteś słaby, i po kilka dni na te, które już ogarniasz. Zacznij od działów, które dają najwięcej punktów na maturze: funkcja kwadratowa, ciągi, [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna), planimetria.

Krok trzeci: każdy dział przerabiaj tym samym schematem. Najpierw teoria i wzory (sprawdź, co masz w [karcie wzorów CKE](/formulas), a czego musisz nauczyć się na pamięć). Potem 3-4 zadania rozwiązane krok po kroku, żeby zobaczyć metodę. Na końcu kilkanaście zadań samodzielnie, aż metoda wejdzie w nawyk.

Krok czwarty: co 7-10 dni wracaj do starszych działów. Pamięć ulatuje. Jak przerobisz ciągi w trzecim tygodniu i nie wrócisz do nich aż do matury, to je zapomnisz. Krótka powtórka co tydzień utrwala wiedzę na dłużej.

Krok piąty: na finiszu rozwiązuj całe arkusze. Ostatni miesiąc to czas na pełne [arkusze maturalne](/exams) na czas. Każdy rozwiązany arkusz to trening kondycji i odporności na stres. Dokładny plan na końcówkę znajdziesz w [strategii na maturę 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Jak uczyć się na zadaniach, żeby to działało

Sam fakt rozwiązywania zadań nie wystarczy. Liczy się, jak je rozwiązujesz. Trzy zasady robią największą różnicę.

Pierwsza: zawsze próbuj sam, zanim zajrzysz do rozwiązania. Daj sobie 5-10 minut walki z zadaniem. Mózg uczy się najwięcej w momencie, gdy się męczy, a nie gdy czyta gotowca. Dopiero gdy naprawdę utkniesz, sprawdź [rozwiązanie krok po kroku](/solve).

Druga: analizuj błędy. Kiedy zadanie wyjdzie źle, nie machaj ręką. Znajdź dokładnie ten krok, w którym się pomyliłeś. Czy to był błąd rachunkowy, czy nie znałeś metody? To dwie różne rzeczy i leczy się je inaczej. Więcej o tym w poradniku o [najczęstszych błędach na maturze](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

Trzecia: powtarzaj typy, nie pojedyncze zadania. Na maturze nie pojawi się dokładnie to samo zadanie, ale pojawi się ten sam typ. Jak zrobisz dziesięć zadań jednego rodzaju, to każde kolejne tego typu pójdzie ci automatycznie. O budowaniu takiej bazy typów na konkretnym dziale piszemy szerzej w hubie [zadania CKE z geometrii analitycznej z rozwiązaniami](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami).

## Kiedy korepetycje faktycznie się przydają

Bądźmy uczciwi - są sytuacje, w których korepetytor pomaga bardziej niż samodzielna nauka. Warto je znać, żeby podjąć rozsądną decyzję.

Korepetycje mają sens, jeśli celujesz w maturę rozszerzoną i wysoki wynik na studia, bo tam zadania są trudniejsze i trudniej dojść do wszystkiego samemu. Mają sens, jeśli masz bardzo duże braki z wcześniejszych klas i nie wiesz, od czego zacząć. I mają sens, jeśli kompletnie nie potrafisz zmusić się do regularnej nauki - wtedy spotkanie w kalendarzu wymusza systematyczność.

Ale jeśli zdajesz podstawę, masz w miarę ogarnięte podstawy i potrafisz się zorganizować, to samodzielna nauka z dobrą bazą zadań da ci ten sam efekt za ułamek ceny. Wiele osób łączy oba podejścia: uczy się samodzielnie, a korepetytora bierze tylko na pojedyncze konsultacje przy najtrudniejszych działach.

## Darmowe materiały kontra płatne kursy - na co uważać

Rynek nauki do matury pęka w szwach od ofert: płatne kursy online za kilkaset złotych, subskrypcje, paczki PDF, korepetycje grupowe. Zanim wydasz pieniądze, zadaj sobie jedno pytanie - czy płacisz za coś, czego nie masz za darmo?

W większości przypadków płatny kurs daje uporządkowaną teorię i zestaw zadań. Jedno i drugie znajdziesz bezpłatnie. Teoria każdego działu jest rozpisana w naszych przewodnikach, na przykład [geometria analityczna na maturze](/topics/geometria-analityczna) czy [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa). Zadania masz w [bazie CKE](/random), a do tego dostajesz [solver](/solve), którego płatne kursy zwykle nie mają.

Płatny kurs ma sens, jeśli potrzebujesz prowadzenia za rękę i gotowego harmonogramu, a sama myśl o ułożeniu planu cię przytłacza. Ale jeśli potrafisz zrobić to, co opisujemy w tym poradniku - diagnoza, podział na tygodnie, codzienne zadania - to płatny kurs niewiele ci doda. Najczęściej najlepsza strategia to darmowa baza zadań plus własna dyscyplina. Sprawdź też zestawienie [najczęściej zadawanych pytań o egzamin](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), zanim zdecydujesz się na jakikolwiek płatny produkt.

## Najczęstsze błędy samouków

Samodzielna nauka ma swoje pułapki. Oto te, które najczęściej wykolejają przygotowania.

Pierwszy błąd: czytanie zamiast rozwiązywania. Oglądanie rozwiązań i kiwanie głową daje złudzenie, że umiesz. Nie umiesz, dopóki nie rozwiążesz sam z pustą kartką. Stosunek powinien być odwrotny - 80 procent czasu na rozwiązywanie, 20 procent na czytanie teorii.

Drugi błąd: brak planu. Losowe rozwiązywanie tego, co akurat wpadnie pod rękę, sprawia, że jedne działy ćwiczysz w kółko, a inne pomijasz. Plan tygodniowy temu zapobiega.

Trzeci błąd: pomijanie słabych działów. Naturalnie uciekamy od tego, co trudne. A to właśnie słabe działy dają najwięcej do zyskania. [Statystyka postępów](/progress) bezlitośnie pokazuje, czego unikasz.

Czwarty błąd: zero treningu na czas. Możesz umieć wszystko, ale jak nie przećwiczysz rozwiązywania pod presją czasu, to na maturze się zatniesz. Dlatego ostatnie tygodnie to całe [arkusze w symulatorze](/simulator).

## Najczęstsze pytania

### Czy bez korepetycji zdam podstawę?
Tak, jeśli systematycznie przerobisz typowe zadania CKE z każdego działu i rozwiążesz kilka pełnych arkuszy na czas. Próg to 30 procent i jest w pełni osiągalny samodzielnie.

### Ile czasu dziennie muszę poświęcić?
Przy nauce z kilkumiesięcznym wyprzedzeniem wystarczy 30-45 minut dziennie. Na finiszu warto zwiększyć do godziny i dodać całe arkusze. Systematyczność bije długość pojedynczej sesji.

### Skąd wziąć zadania na poziomie matury?
Z prawdziwych arkuszy CKE. Masz je za darmo w [bazie zadań](/random) i w [arkuszach po latach](/exams). Unikaj losowych zbiorów z internetu, bo często odbiegają poziomem od egzaminu.

### Co, jeśli kompletnie czegoś nie rozumiem?
Skorzystaj z [solvera](/solve) - rozpisze rozwiązanie krok po kroku i pokaże, gdzie tkwi problem. To zastępuje wyjaśnienie korepetytora w momencie, gdy go potrzebujesz.

## Podsumowanie

Maturę z matematyki da się zdać bez korepetycji - trzeba tylko zastąpić korepetytora czterema rzeczami: bazą zadań CKE, rozwiązaniami krok po kroku, narzędziem do sprawdzania własnych zadań i planem, który pilnuje systematyczności. To wszystko masz w jednym miejscu, za darmo.

Zacznij dziś od diagnozy: rozwiąż jeden [arkusz w symulatorze](/simulator), zobacz, ile masz punktów, i rozpisz działy na tygodnie. Potem codziennie kilka [zadań CKE](/random) i analiza błędów. Jak chcesz ruszyć od konkretnego, mocno punktowanego działu, zacznij od [zadań z geometrii analitycznej z rozwiązaniami](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami). Powodzenia - dasz radę bez wydawania tysięcy złotych.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /matura-z-matematyki-w-technikum-czy-jest-inna-niz-w-liceum
title: Matura z matematyki w technikum - czy jest inna niż w liceum?
description: Matura z matematyki w technikum to ten sam arkusz CKE co w liceum, ale mniej godzin nauki i praktyki zawodowe. Sprawdź różnice i plan nauki krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Matura z matematyki w technikum - czy jest inna niż w liceum?

## Ten sam arkusz co w liceum, inny punkt startowy

Guglałeś "matura z matematyki w technikum" i pewnie liczysz na odpowiedź w stylu "spokojnie, w technikum jest łatwiej". Otóż nie ma takiej opcji. CKE nie przygotowuje dwóch wersji egzaminu: arkusz z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym w formule 2023 jest identyczny dla licealisty, ucznia technikum i słuchacza szkoły branżowej II stopnia. Ten sam czas na sali, te same wymagania egzaminacyjne, ta sama karta wzorów, ten sam próg 30 procent do zdania.

To, co faktycznie się różni, to nie egzamin, tylko droga do niego. I to jest dobra wiadomość, bo drogę da się zaplanować, nawet jeśli twój tygodniowy grafik wygląda zupełnie inaczej niż grafik kolegi z liceum.

## Dlaczego w technikum bywa trudniej, mimo identycznego egzaminu

Trzy rzeczy pracują przeciwko tobie, jeśli jesteś w technikum, i żadna z nich nie ma nic wspólnego z twoimi zdolnościami do matematyki.

Po pierwsze, godziny lekcyjne. W liceum matematyka na poziomie podstawowym ma zwykle więcej godzin tygodniowo w całym cyklu nauki niż w technikum, gdzie siatka zajęć musi pomieścić też przedmioty zawodowe i praktyczną naukę zawodu. Mniej godzin w szkole oznacza więcej materiału, który musisz ogarnąć samodzielnie, poza lekcjami.

Po drugie, praktyki zawodowe. Kilka tygodni praktyki albo cykl zajęć w warsztatach to czas, w którym matematyka realnie stoi w miejscu, bo cała uwaga idzie w stronę zawodu, a zeszyt z równaniami zostaje w plecaku. W liceum takich przerw w nauce po prostu nie ma.

Po trzecie, konkurencja priorytetów. Skoro zdajesz również egzamin zawodowy, matematyka łatwo spada na koniec listy "zajmę się tym później". Problem w tym, że kalendarz maturalny ma dokładnie tyle samo dni, niezależnie od tego, do jakiej szkoły chodzisz.

Efekt widać w danych: zdawalność matematyki bywa w technikach zauważalnie niższa niż w liceach, o czym piszemy szerzej w [analizie wyników matury z 2025 roku](/wyniki-matury-matematyka-2025-statystyki-zdawalnosc). To nie znaczy, że matematyka w technikum jest trudniejsza. Znaczy, że statystycznie mniej osób ma na nią regularny czas, a to jest problem organizacyjny, nie intelektualny.

## Co jest identyczne, więc nie musisz się tym stresować

Zestaw wymagań egzaminacyjnych jest jeden: te same działy (liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, funkcje, ciągi, geometria, prawdopodobieństwo, statystyka), ta sama karta wzorów na sali, ten sam próg 30 procent na poziomie podstawowym. Kompletny wykaz wzorów, które musisz znać, łącznie z tymi spoza karty, zebraliśmy w [liście wzorów na maturę](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista). Jeśli zdajesz też poziom rozszerzony, wymagania i tam są wspólne dla wszystkich typów szkół ponadpodstawowych.

Innymi słowy: żaden zadaniowy handicap nie istnieje. Jeśli dziś rozwiążesz [arkusz z maja 2025](/exams/matura-maj-2025), dostaniesz dokładnie taki sam wynik punktowy, niezależnie od tego, czy chodzisz do liceum czy technikum. Egzamin nie wie, do jakiej szkoły chodzisz, liczy się tylko to, co zapiszesz na arkuszu.

## Plan nauki, który liczy się z twoim kalendarzem

Skoro nie masz tyle godzin lekcyjnych co licealista, ucz się inaczej: krócej, częściej i wtedy, kiedy naprawdę masz czas, a nie o stałej porze w klasie.

| Sytuacja | Ile realnie masz czasu | Co robić |
| --- | --- | --- |
| Zwykły tydzień szkolny | 3-5 godzin | Dwa dni po dziale z [listy tematów](/topics), reszta to zadania z [trybu losowego](/random) |
| Tydzień praktyk zawodowych | 20-30 minut dziennie | Jedno zadanie rano na telefonie, żeby nie stracić rytmu i nie wracać po miesiącu do zera |
| Zjazd w szkole zaocznej lub branżowej | Blok w weekend | 2-3 godziny w sobotę: jeden dział teorii plus zestaw zadań z tego działu |
| Miesiąc przed egzaminem | Codziennie | Pełne arkusze na czas z [bazy arkuszy CKE](/exams), sprawdzane następnego dnia rano |

Klucz tkwi w drugiej linijce tabeli. Większość uczniów technikum odpuszcza matematykę na czas praktyk, bo "i tak nie mam podręcznika pod ręką". Telefon masz zawsze przy sobie, a 20 minut dziennie na jedno zadanie z rozwiązaniem krok po kroku wystarcza, żeby utrzymać rytm, zamiast wracać po miesiącu przerwy praktycznie do zera.

## Nie potrzebujesz sztywnego kursu ani korepetytora, żeby to ogarnąć

Skoro twój grafik jest nieregularny (raz lekcje, raz warsztaty, raz praktyki poza szkołą), sztywny termin korepetycji w każdy wtorek o 17 albo stacjonarny kurs w stałych godzinach to dokładnie odwrotność tego, czego potrzebujesz. Potrzebujesz czegoś, co czeka na ciebie o dowolnej porze, bez zapisów i bez utraconych zajęć, gdy akurat jesteś na praktyce w innym mieście.

Baza ponad 2300 zadań maturalnych CKE z lat 2010-2026 z rozwiązaniami krok po kroku działa tak samo o 6 rano przed zmianą w warsztacie, jak i wieczorem po powrocie z praktyk. Wybierasz dział w [zakładce tematów](/topics) i lecisz seriami zadań. Gdy utkniesz przy obliczeniu, [solver matematyczny](/solve) rozpisuje cały tok rozumowania zamiast tylko podać wynik. Postępy w poszczególnych działach widzisz w [panelu statystyk](/progress), więc od razu wiesz, czy tydzień przerwy na praktykach faktycznie coś ci zabrał, czy dział wciąż trzymasz pewnie. Cały ten mechanizm samodzielnej nauki, bez presji stałego grafiku, opisujemy szerzej w [poradniku o nauce bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-samodzielna-nauka).

## Czy warto zdawać rozszerzenie, będąc w technikum

Jeśli twój kierunek to informatyka, mechatronika, budownictwo, elektryka albo cokolwiek technicznego, matematyka rozszerzona często realnie pomaga na studiach, a bywa też dodatkowo punktowana przy rekrutacji na kierunki techniczne. To nie jest jednak decyzja "bo inni zdają", tylko rachunek zysków i strat przy twoim limicie czasu, skoro równolegle przygotowujesz się też do egzaminu zawodowego.

| Kierunek technikum | Typowy dalszy kierunek studiów | Czy rozszerzenie zwykle się opłaca |
| --- | --- | --- |
| Technik informatyk, technik programista | Informatyka, cyberbezpieczeństwo | Tak, niemal zawsze wymagane lub mocno premiowane |
| Technik mechatronik, technik automatyk | Automatyka, mechatronika, robotyka | Tak, ciągi i funkcje wracają w pierwszym roku studiów |
| Technik budownictwa, technik geodeta | Budownictwo, geodezja | Zwykle tak, głównie ze względu na próg punktowy rekrutacji |
| Technik elektryk, technik energetyk | Elektrotechnika, energetyka | Tak, zwłaszcza przy ograniczonej liczbie miejsc |
| Technik ekonomista, technik handlowiec | Ekonomia, zarządzanie, logistyka | Zależy od uczelni, czasem wystarcza podstawa |
| Technik hotelarstwa, technik żywienia | Kierunki niezwiązane z naukami ścisłymi | Zwykle nie, podstawa w zupełności wystarcza |

Pełne zestawienie wymagań i tego, kiedy rozszerzenie się opłaca niezależnie od typu szkoły, znajdziesz w tekście o [maturze rozszerzonej z matematyki](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

## Cztery pułapki, w które wpadają uczniowie techników

**Odkładanie matematyki na rzecz przedmiotów zawodowych do samego końca.** Egzamin zawodowy ma swój termin, matura ma swój, i oba wymagają przygotowania równolegle, nie po kolei. Rozłóż naukę w kalendarzu obu egzaminów już teraz, nie dopiero w kwietniu.

**Założenie "w techniku zawsze się jakoś zdaje".** Próg 30 procent jest identyczny dla wszystkich typów szkół, bez żadnej taryfy ulgowej przy sprawdzaniu arkusza. Konkretną strategię, które zadania dają najwięcej punktów przy najmniejszym nakładzie czasu, opisuje [tekst o minimum 30 punktów](/minimum-30-punktow-matura-matematyka-ktore-zadania-robic).

**Uczenie się wszystkiego po kolei, od pierwszej strony podręcznika.** Przy ograniczonym czasie liczy się kolejność: najpierw działy, które wracają w niemal każdym arkuszu (funkcje, geometria analityczna, ciągi, równania i układy równań), dopiero potem rzadziej punktowane tematy. Jak zbudować taki plan krok po kroku, opisuje [poradnik nauki matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury).

**Traktowanie przerwy praktycznej jako przerwy od matematyki w ogóle.** Miesiąc bez jednego zadania oznacza, że po powrocie z praktyk trzeba na nowo odtwarzać schematy, które wcześniej były pewne. Te same 15 minut dziennie, które wystarczają w zwykłym tygodniu, w tygodniu praktyk warto po prostu przenieść na wieczór albo na przerwę w pracy, zamiast wykreślać je z planu.

## Najczęstsze pytania

### Czy matura z matematyki jest łatwiejsza w technikum niż w liceum?
Nie. CKE przygotowuje jeden arkusz dla wszystkich typów szkół ponadpodstawowych, z identycznymi wymaganiami i tym samym progiem zdawalności.

### Dlaczego statystyki zdawalności w technikach bywają niższe?
Głównie przez mniej godzin matematyki w siatce zajęć i czas pochłaniany przez praktyki zawodowe oraz przedmioty kierunkowe, a nie przez trudniejszy egzamin.

### Czy warto zdawać rozszerzoną matematykę, idąc na studia techniczne?
Często tak, zwłaszcza na kierunkach informatycznych, inżynierskich i budowlanych, gdzie rozszerzenie bywa dodatkowo premiowane w rekrutacji.

### Jak się uczyć, mając nieregularny plan zajęć i praktyki?
Krótkimi, częstymi sesjami dopasowanymi do dnia, a nie sztywnym grafikiem raz w tygodniu. Aplikacja na telefonie sprawdza się lepiej niż stacjonarny kurs w jednym stałym terminie.

### Czy da się przygotować bez korepetycji, mając mało czasu?
Tak, pod warunkiem że uczysz się selektywnie: najpierw działy, które dają najwięcej punktów, dopiero potem resztę materiału.

## Podsumowanie

Matura z matematyki w technikum to dokładnie ten sam arkusz, ten sam próg i te same wymagania co w liceum. Różni się tylko twój kalendarz: mniej godzin lekcyjnych, praktyki zawodowe, egzamin zawodowy obok maturalnego. Odpowiedzią na to nie jest kolejny kurs w stałych godzinach, tylko baza zadań i rozwiązań, z której korzystasz wtedy, kiedy naprawdę masz 20 minut, a nie wtedy, kiedy pasuje to cudzemu grafikowi.

Plan na dziś: sprawdź, ile realnie masz czasu w najbliższych dniach, wybierz jeden dział z [listy tematów](/topics) i zrób pierwsze pięć zadań. Jeśli wolisz zacząć od układów równań, częstego gościa w arkuszu podstawowym, mamy dla nich osobną [bazę zadań CKE z rozwiązaniami](/zadania-cke-uklady-rownan-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /najlepsze-aplikacje-strony-do-nauki-matematyki-matura
title: Najlepsze aplikacje i strony do nauki matematyki na maturę 2027 - ranking i porównanie
description: Ranking i porównanie najlepszych aplikacji oraz stron do nauki matematyki na maturę 2027: baza zadań CKE, solver, symulator, cena i dostęp mobilny.
author: Marcel Bogdan
---

# Najlepsze aplikacje i strony do nauki matematyki na maturę 2027 - ranking i porównanie

## Po co ci w ogóle aplikacja do nauki matematyki

Powiem ci wprost: większość uczniów uczy się matematyki źle, bo robi to z przypadkowych źródeł. Raz film z YouTube, raz zdjęcie zadania w grupie na Messengerze, raz PDF arkusza, którego nikt nie sprawdza. Efekt jest taki, że wiedza jest dziurawa, a na maturze wychodzą braki, których nie dało się wcześniej zauważyć.

Dobra aplikacja albo platforma do nauki matematyki rozwiązuje jeden konkretny problem: daje ci uporządkowany materiał, prawdziwe zadania maturalne i natychmiastową informację zwrotną. Zamiast szukać po całym internecie, masz wszystko w jednym miejscu i ćwiczysz to, co realnie pojawia się na egzaminie.

W tym rankingu porównuję najpopularniejsze polskie strony i aplikacje do nauki matematyki na maturę. Piszę uczciwie - każdy serwis ma mocne strony i każdy ma ograniczenia. Na końcu dokładnie pokazuję, gdzie naszym zdaniem wygrywa [sprawnamatura.pl](/), ale chcę, żebyś wybrał świadomie, a nie na ślepo.

## Jak wybierać - 6 kryteriów, które naprawdę się liczą

Zanim spojrzysz na ranking, ustalmy, na co patrzeć. To nie jest tak, że "ładniejsza apka wygrywa". Liczy się to, czy narzędzie realnie podnosi twój wynik na maturze. Oto sześć kryteriów, którymi się kierowałem.

Pierwsze: baza prawdziwych zadań CKE. Nie wymyślone przykłady, tylko zadania z arkuszy Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Tylko one odwzorowują styl, poziom trudności i typy, które realnie zobaczysz w maju.

Drugie: rozwiązania krok po kroku. Sama odpowiedź ("B" albo "42") nic ci nie daje, jeśli nie wiesz, jak do niej dojść. Liczy się pełny tok rozumowania, najlepiej z komentarzem, gdzie ludzie się mylą.

Trzecie: solver, czyli narzędzie, które rozwiąże twoje zadanie i pokaże drogę. Gdy utkniesz o 22:00 i nie masz kogo zapytać, solver jest jak korepetytor pod ręką.

Czwarte: organizacja materiału według działów. Chcesz móc kliknąć "planimetria" albo "ciągi" i dostać komplet zadań z tego tematu, a nie błądzić po przypadkowych arkuszach.

Piąte: symulator matury, czyli tryb pełnego arkusza na czas z punktacją. Bez tego nie sprawdzisz, czy zdążysz i ile realnie punktów masz dziś na koncie.

Szóste: cena i dostęp. Darmowy dostęp bez logowania to ogromna przewaga, bo zaczynasz naukę w 10 sekund. Dochodzi do tego dostęp mobilny - skoro telefon masz zawsze przy sobie, nauka w autobusie robi różnicę.

## Ranking: najlepsze platformy i strony do nauki matematyki na maturę 2027

Poniżej szybkie porównanie, a pod tabelą krótki, uczciwy opis każdego serwisu. Skupiam się na nauce matematyki do matury podstawowej i rozszerzonej.

| Serwis | Baza zadań CKE | Rozwiązania krok po kroku | Solver | Symulator matury | Cena | Mobilny |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| sprawnamatura.pl | tak, ponad 2300 zadań | tak, do każdego zadania | tak | tak | darmowo + Premium w abonamencie | tak |
| matemaks.pl | częściowo | tak (wideo) | nie | nie | część darmowa, reszta premium | tak |
| szaloneliczby.pl | częściowo | tak (tekst) | nie | nie | darmowo | tak |
| zadania.info | duża baza | różnie (model forum) | nie | nie | darmowo | przeciętny |
| matfiz24.pl | częściowo | tak (wideo + tekst) | nie | nie | część darmowa | tak |
| Photomath | nie (brak kontekstu CKE) | tak (dla wpisanego zadania) | tak (ze zdjęcia) | nie | część darmowa, reszta premium | tak (apka) |

### 1. sprawnamatura.pl

Nasza platforma stoi na bazie ponad 2300 prawdziwych zadań CKE z arkuszy z lat 2010-2025, z których każde ma pełne [rozwiązanie krok po kroku](/random). Materiał jest poukładany według działów, więc wchodzisz na [stronę tematu](/topics) i ćwiczysz dokładnie to, co chcesz. Jest [solver](/solve), który rozwiąże twoje zadanie i pokaże drogę, jest [symulator matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) na czas z punktacją, jest [karta wzorów](/formulas) i [śledzenie postępów](/progress). Większość rzeczy zrobisz za darmo, bez zakładania konta. Pełny dostęp odblokowuje [abonament Premium](/payment/checkout). Słabość? Jesteśmy serwisem skupionym na maturze z matematyki - jeśli szukasz fizyki albo chemii, to nie tutaj.

### 2. matemaks.pl

Klasyk i jeden z najstarszych polskich serwisów. Mocna strona to przejrzyste lekcje wideo i teoria tłumaczona spokojnie, krok po kroku. Dobrze sprawdza się, gdy chcesz zrozumieć temat od podstaw. Ograniczenia: najlepsze materiały i system powtórek są za płatnym kontem premium, nie ma interaktywnego solvera ani symulatora całej matury na czas, a baza zadań nie jest tak rozbudowana jak u serwisów wyspecjalizowanych w zadaniach.

### 3. szaloneliczby.pl

Potęga long-taila. Tysiące osobnych stron, często jedna strona na jeden wąski temat lub typ zadania, plus popularne zestawy "pewniaków". Wszystko darmowe i nieźle wytłumaczone tekstem. Minus: to przede wszystkim statyczna biblioteka. Nie ma solvera, nie ma trybu egzaminu na czas, a nawigacja po tak ogromnej liczbie stron bywa chaotyczna, gdy chcesz systematycznie przerobić cały dział.

### 4. zadania.info

Duża baza zadań i generator zestawów. Jeśli potrzebujesz po prostu dużo zadań do przerobienia, znajdziesz je tutaj. Słabość tkwi w modelu zbliżonym do forum: jakość i kompletność rozwiązań bywa różna, bo część odpowiedzi pochodzi od społeczności. Brakuje spójnego, redakcyjnego rozwiązania krok po kroku do każdego zadania oraz nowoczesnych narzędzi typu solver czy symulator.

### 5. matfiz24.pl

Serwis z lekcjami wideo i tekstowymi do matematyki i fizyki. Plus to porządne wyjaśnienia teorii i sporo materiału za darmo. Minus podobny jak u pozostałych bibliotek treści: brak interaktywnego solvera, brak symulatora matury z punktacją i mniej rozbudowana, przeszukiwalna baza zadań CKE z gotowymi rozwiązaniami.

### 6. Photomath

Zagraniczna aplikacja, która rozwiązuje zadanie ze zdjęcia i pokazuje kroki. Genialna do szybkiego sprawdzenia rachunków. Ale to nie jest narzędzie do matury w polskim sensie: nie ma bazy zadań CKE, nie zna polskich kryteriów oceniania, nie poprowadzi cię przez cały materiał maturalny ani nie zasymuluje arkusza. To kalkulator z krokami, a nie platforma do nauki na egzamin.

## Solver, baza CKE i symulator - czego naprawdę szukać

Jeśli miałbym wskazać trzy rzeczy, które najbardziej przyspieszają przygotowania, to właśnie te trzy.

Solver ratuje cię w momentach, gdy utkniesz i nie masz kogo zapytać. Wpisujesz zadanie, dostajesz rozwiązanie z tokiem rozumowania i od razu widzisz, gdzie popełniałeś błąd. To nie jest oszukiwanie - to nauka na własnych potknięciach, tylko szybsza. Możesz to przetestować na [stronie solvera](/solve).

Baza zadań CKE według działów daje ci coś, czego nie da żaden przypadkowy zbiór z internetu: pewność, że ćwiczysz dokładnie ten poziom i styl, który będzie na egzaminie. U nas wchodzisz na konkretny dział, na przykład [planimetrię](/topics/planimetria) albo [geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna), i masz komplet zadań z rozwiązaniami. Cały zasób opisaliśmy też w hubie [zadania CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

Symulator matury to test rzeczywistości. Pełny arkusz, czas jak na egzaminie, punktacja na końcu. Dopiero wtedy wiesz, czy zdążysz i ile masz dziś punktów. Bez tego uczysz się w ciemno.

## Aplikacja kontra korepetycje - co wybrać

Korepetycje mają jedną wielką zaletę: żywego człowieka, który dopasuje tempo do ciebie. Mają też jedną wielką wadę: kosztują, w wielu miastach 80-150 zł za godzinę, a spotykasz się raz w tygodniu. Dobra platforma daje ci nieograniczony dostęp do materiału i zadań za ułamek tej kwoty, kiedy chcesz i ile chcesz.

Najlepsze efekty daje połączenie: platforma do codziennego ćwiczenia i okazjonalny korepetytor do tematów, które kompletnie ci nie wchodzą. Jeśli jednak musisz wybrać jedno i zależy ci na budżecie, da się przygotować do matury samodzielnie - rozpisaliśmy to w poradniku [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki). Klucz to systematyczność i prawdziwe zadania, a nie liczba wydanych godzin.

## Najczęstsze pytania

### Czy da się nauczyć matematyki do matury z samej aplikacji?
Tak, pod warunkiem że aplikacja opiera się na prawdziwych zadaniach CKE i masz do nich rozwiązania krok po kroku. Sam materiał teoretyczny nie wystarczy - punkty zdobywasz na zadaniach, więc ich liczba i jakość są najważniejsze.

### Darmowe czy płatne?
Zacznij od darmowego. Większość naszej bazy przećwiczysz bez płacenia. Premium ma sens, gdy chcesz pełny dostęp i symulatory - u nas włączasz go w [abonamencie](/payment/checkout).

### Która opcja jest najlepsza dla osoby zaczynającej od zera?
Jeśli dopiero startujesz, połącz teorię z ćwiczeniem. Zacznij od planu w przewodniku [jak zdać maturę z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia), a potem ćwicz zadaniami z bazy CKE według działów.

### A jeśli chcę tylko sprawdzić jedno zadanie?
Wtedy wystarczy ci solver. Wpisujesz zadanie na [stronie rozwiązywania](/solve) i dostajesz kroki. Ale do matury i tak wróć do systematycznego ćwiczenia działami.

## Podsumowanie - co wybrać na maturę 2027

Nie ma jednego narzędzia idealnego do wszystkiego, ale jest jasna zasada: wybieraj to, co daje prawdziwe zadania CKE, rozwiązania krok po kroku, solver i symulator matury, najlepiej z darmowym wejściem i dostępem z telefonu. Im więcej tych elementów w jednym miejscu, tym mniej czasu tracisz na przeskakiwanie między źródłami.

Konkurencja jest dobra w swoich niszach: matemaks i matfiz24 w teorii wideo, szaloneliczby w long-tailu, zadania.info w liczbie zadań, Photomath w szybkim sprawdzaniu rachunków. My postawiliśmy na komplet: [ponad 2300 zadań CKE](/random) z rozwiązaniami, [solver](/solve), [symulator](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), [bazę według działów](/topics) i darmowy start. Jeśli chcesz zobaczyć, jak wygląda dobrze poukładany zasób, zajrzyj do [kompletnej bazy arkuszy 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) albo od razu zacznij ćwiczyć [losowym zadaniem](/random).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /nierownosc-trojkata-warunek-istnienia-zadania-matura
title: Nierówność trójkąta - warunek istnienia i zadania maturalne
description: Nierówność trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Warunek istnienia, oszacowanie trzeciego boku i 5 zadań z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Nierówność trójkąta - warunek istnienia i zadania maturalne

Nierówność trójkąta mówi, że w każdym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku. Dla boków \(a\), \(b\), \(c\) muszą zachodzić trzy warunki naraz: \(a + b > c\), \(a + c > b\) oraz \(b + c > a\). W praktyce sprawdzasz tylko jeden z nich, ten dla najdłuższego boku: jeśli suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego, trójkąt istnieje. Gdy suma jest równa najdłuższemu bokowi albo od niego mniejsza, trójkąta nie da się zbudować.

To jeden z tych warunków, o których łatwo zapomnieć, bo zadanie nigdy o nim nie przypomina. Na maturze wchodzi bocznymi drzwiami: w zadaniach zamkniętych z parametrem, w zadaniach otwartych typu "liczby \(a\), \(b\), \(c\) są długościami boków trójkąta" i wszędzie tam, gdzie trzeba rozstrzygnąć, który bok jest najdłuższy. W bazie sprawnamatura takie zadania znajdziesz między innymi w arkuszu z [matury maj 2016](/exams/matura-maj-2016), w arkuszu z [matury maj 2012](/exams/matura-maj-2012) i w zestawie treningowym CKE. Poniżej masz warunek, jego wersję skróconą, oszacowanie trzeciego boku i pięć zadań rozwiązanych krok po kroku.

## Na czym polega nierówność trójkąta

Nierówność trójkąta to warunek, który musi spełniać każda trójka długości boków. Suma dwóch dowolnych boków ma być większa od trzeciego. Powód jest czysto geometryczny: najkrótsza droga z punktu \(A\) do punktu \(C\) to odcinek \(AC\). Idąc z \(A\) do \(C\) przez punkt \(B\), pokonujesz \(|AB| + |BC|\), a ta droga musi być dłuższa od odcinka.

Wyobraź sobie dwa patyki przymocowane zawiasami do końców trzeciego. Jeśli razem są krótsze od podstawy, ich wolne końce nigdy się nie spotkają. Jeśli razem są dokładnie tak długie jak podstawa, kładą się na niej płasko i zamiast trójkąta dostajesz odcinek. Dopiero gdy są dłuższe, końce spotykają się nad podstawą i figura się domyka.

**Zapamiętaj:** równość \(a + b = c\) nie daje trójkąta. Trzy punkty leżą wtedy na jednej prostej, a figura nie ma pola. Nierówność trójkąta jest ostra i nigdy nie dopuszcza znaku równości.

## Warunek istnienia trójkąta - najszybsze sprawdzenie

Trzy nierówności wyglądają na dużo pracy, ale wystarczy sprawdzić jedną. Uporządkuj boki od najkrótszego do najdłuższego, oznacz je \(a \le b \le c\) i sprawdź jedno porównanie: czy \(a + b > c\). Jeśli ten warunek zachodzi, dwa pozostałe zachodzą automatycznie.

Dlaczego automatycznie? Bok \(c\) jest najdłuższy, a wszystkie długości są dodatnie. Wtedy \(a + c > c \ge b\) oraz \(b + c > c \ge a\), więc obie te nierówności są prawdziwe bez liczenia. Cała robota siedzi w porównaniu sumy dwóch krótszych boków z najdłuższym.

Do tego dochodzi warunek, o którym uczniowie zapominają najczęściej: każda długość musi być dodatnia. Gdy boki są zapisane wyrażeniami z parametrem, to właśnie ten warunek odsiewa część rozwiązań, zanim jeszcze dojdziesz do nierówności trójkąta.

Ten sam warunek da się odwrócić i zapisać jako oszacowanie trzeciego boku. Znasz dwa boki \(a\) i \(b\), a szukasz zakresu dla trzeciego boku \(c\). Z nierówności \(a + c > b\) wynika \(c > b - a\), z nierówności \(b + c > a\) wynika \(c > a - b\), a obie razem dają \(c > |a - b|\). Z ostatniej nierówności \(a + b > c\) masz górne ograniczenie. Całość zapisujesz jednym wierszem: \(|a - b|  c \quad \text{oraz} \quad a + c > b \quad \text{oraz} \quad b + c > a$$

Warunek skrócony dla najdłuższego boku:

$$a \le b \le c \quad \Rightarrow \quad a + b > c$$

Oszacowanie trzeciego boku:

$$|a - b|  9\) oraz \(9 + 12 = 21 > 7\). Obie zachodzą, dokładnie tak, jak zapowiadał warunek skrócony.

**Odpowiedź: D.** Tylko z odcinków \(7, 9, 12\) zbudujesz trójkąt.

## Przykład 2: Jak długi może być trzeci bok

**Treść:** Dwa boki trójkąta mają długości \(7\) i \(11\), a trzeci bok ma długość \(c\). Zakres, w którym musi mieścić się \(c\), to:

- A) \(0  c\), \(7 + c > 11\) oraz \(11 + c > 7\).

**Krok 2: Rozwiąż każdą z nich osobno.** Pierwsza daje \(c  4\). Trzecia daje \(c > -4\) i nic nie wnosi, bo długość boku i tak jest dodatnia.

**Krok 3: Weź część wspólną.** Zostaje \(4  0\), \(m + 3 > 0\) i \(2m - 1 > 0\). Najostrzejszy z tych trzech warunków to \(m > \frac{1}{2}\).

**Krok 2: Zapisz trzy nierówności trójkąta.**

$$m + (m + 3) > 2m - 1$$

$$m + (2m - 1) > m + 3$$

$$(m + 3) + (2m - 1) > m$$

**Krok 3: Uprość każdą z nich.** Pierwsza daje \(2m + 3 > 2m - 1\), czyli \(3 > -1\), a to jest prawda dla każdego \(m\). Druga daje \(3m - 1 > m + 3\), czyli \(2m > 4\), a stąd \(m > 2\). Trzecia daje \(3m + 2 > m\), czyli \(2m > -2\), a stąd \(m > -1\), co przy dodatnim \(m\) też zachodzi zawsze.

**Krok 4: Weź część wspólną wszystkich warunków.** Łączysz \(m > \frac{1}{2}\) z \(m > 2\) i zostaje \(m > 2\).

**Krok 5: Sprawdź wynik na dwóch liczbach.** Dla \(m = 3\) boki to \(3\), \(6\) i \(5\), a \(3 + 5 = 8 > 6\), więc trójkąt istnieje. Dla \(m = 2\) boki to \(2\), \(5\) i \(3\), a \(2 + 3 = 5\), czyli przypadek graniczny bez trójkąta. Granica przedziału jest więc otwarta.

**Odpowiedź:** \(m \in (2, +\infty)\).

## Przykład 5: Dowód, że trójkąta nie ma

**Treść:** Wykaż, że dla żadnej liczby \(a > 1\) z odcinków o długościach \(a - 1\), \(a\) oraz \(2a - 1\) nie da się zbudować trójkąta.

**Krok 1: Sprawdź, że długości są dodatnie.** Z założenia \(a > 1\), więc \(a - 1 > 0\), \(a > 0\) i \(2a - 1 > 1 > 0\). Trzy odcinki faktycznie istnieją.

**Krok 2: Ustal, który bok jest najdłuższy.** Nierówność \(2a - 1 > a\) sprowadza się do \(a > 1\), czyli zachodzi z założenia. Oczywiste jest też \(a > a - 1\). Najdłuższy bok to zatem \(2a - 1\).

**Krok 3: Dodaj dwa krótsze boki.**

$$(a - 1) + a = 2a - 1$$

**Krok 4: Porównaj z bokiem najdłuższym.** Suma dwóch krótszych boków jest dokładnie równa najdłuższemu bokowi, a nierówność trójkąta wymaga, żeby była od niego większa. Warunek nie jest spełniony dla żadnej liczby \(a > 1\).

**Odpowiedź:** Trzy odcinki układają się wzdłuż jednej prostej niezależnie od wartości \(a\), więc trójkąta nie da się zbudować. To kończy dowód.

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Sprawdzasz warunek dla przypadkowej pary boków. Nierówność \(a + c > b\) może zachodzić, a trójkąta i tak nie będzie, bo pęka warunek dla innej pary. Zawsze porównuj sumę dwóch krótszych boków z najdłuższym.

**Pułapka 2:** Traktujesz równość jak spełniony warunek. Odcinki \(3\), \(4\) i \(7\) nie tworzą trójkąta, bo \(3 + 4 = 7\). To trzy punkty na jednej prostej, a nie figura o dodatnim polu.

**Pułapka 3:** Zapominasz o dodatnich długościach. Wyrażenie \(a - 1\) przy \(a = 0{,}5\) daje \(-0{,}5\), a bok o ujemnej długości nie istnieje. Ten warunek dopisz zanim zaczniesz rozwiązywać nierówności.

**Pułapka 4:** W zadaniu zamkniętym podstawiasz odpowiedzi i zatrzymujesz się na pierwszym trafieniu. Wartość parametru może dać dwa równe boki, więc wygląda na trafioną, a mimo to trójkąta nie tworzy, bo trzeci bok jest za długi. Dwa równe boki to warunek na równoramienność, nie na istnienie trójkąta.

**Wskazówka:** W trójkącie równoramiennym rozpisz przypadki po kolei: który bok jest równy któremu. Dopiero potem sprawdź nierówność w każdym przypadku osobno. Zwykle to właśnie ten krok odsiewa jedno z rozwiązań.

**Wskazówka egzaminacyjna:** Jeśli w zadaniu otwartym wychodzi ci kilka wartości parametru, sprawdzenie nierówności trójkąta jest częścią rozwiązania, a nie dodatkiem. Bez niego rozwiązanie jest niepełne, nawet gdy końcowa liczba jest poprawna.

Klasyczny przykład tej pułapki stoi w arkuszu z maja 2016. Rozwiąż to zadanie samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązania, i zwróć uwagę na to, ile odpowiedzi daje dwa równe boki.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2016-18

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z bazy, w których nierówność trójkąta albo rozstrzyga wynik, albo odsiewa fałszywe rozwiązanie. Zacznij od zestawu treningowego CKE, bo tam warunek jest jedyną trudnością, a potem przejdź do zadań z arkuszy. Cały dział przerobisz w zestawie [zadań CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami), a wszystkie zadania z figur płaskich zebrane są na stronie działu [planimetria](/topics/planimetria).

## Co musisz umieć - checklista

- Zapisać trzy nierówności trójkąta dla boków \(a\), \(b\) i \(c\).
- Skrócić sprawdzenie do jednego porównania: suma dwóch krótszych boków z najdłuższym.
- Oszacować trzeci bok ze wzoru \(|a - b| < c < a + b\).
- Odróżnić przypadek graniczny \(a + b = c\) od prawdziwego trójkąta.
- Dopisać warunek dodatniej długości, gdy boki są wyrażeniami z parametrem.
- Rozpisać przypadki w trójkącie równoramiennym i odrzucić te, które nie domykają figury.
- Wskazać najdłuższy bok, gdy w trójkącie prostokątnym dane są dwa boki.

Quiz: Sprawdź się: nierówność trójkąta

Pytanie: Czy z odcinków o długościach 8, 15 i 23 można zbudować trójkąt?
- A. Tak, bo wszystkie długości są dodatnie
- B. Tak, bo 15 + 23 jest większe od 8
- C. Nie, bo 8 + 15 jest równe 23
- D. Nie da się tego ustalić bez znajomości kątów
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Suma dwóch krótszych boków wynosi \(8 + 15 = 23\), czyli tyle samo co bok najdłuższy. Nierówność trójkąta jest ostra, więc odcinki układają się wzdłuż jednej prostej.

Pytanie: Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10. Ile najwięcej może wynosić trzeci bok, jeśli jest liczbą całkowitą?
- A. 16
- B. 15
- C. 4
- D. 6
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Trzeci bok spełnia \(4 < c < 16\). Największa liczba całkowita w tym przedziale to \(15\), bo \(c = 16\) dałoby \(6 + 10 = 16\), czyli przypadek graniczny.

Pytanie: Ramię trójkąta równoramiennego ma długość 9. Która podstawa jest niemożliwa?
- A. 1
- B. 9
- C. 17
- D. 18
Poprawna odpowiedź: D
Wyjaśnienie: Podstawa musi być krótsza od sumy ramion, czyli od \(2 \cdot 9 = 18\). Wartość \(18\) daje przypadek graniczny, w którym ramiona kładą się płasko na podstawie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/random)

## Najczęstsze pytania

### Czy nierówność trójkąta trzeba znać na pamięć?

Tak, bo to warunek, o którym treść zadania zwykle nie przypomina. Wystarczy jedno zdanie: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Reszta, łącznie z oszacowaniem trzeciego boku, wynika z tego jednego porównania.

### Czy nierówność trójkąta może przejść w równość?

Nie. Nierówność jest ostra. Gdy suma dwóch boków jest dokładnie równa trzeciemu, trzy punkty leżą na jednej prostej, a figura nie ma pola. Taki układ nazywa się trójkątem zdegenerowanym i na maturze traktujesz go jako brak trójkąta.

### Ile nierówności trzeba sprawdzić, żeby mieć pewność?

Formalnie trzy, praktycznie jedną. Uporządkuj boki rosnąco i sprawdź, czy suma dwóch pierwszych jest większa od trzeciego. Pozostałe dwie nierówności zachodzą wtedy automatycznie, bo najdłuższy bok powiększony o dowolną dodatnią długość przekracza każdy z dwóch pozostałych.

### Jak oszacować trzeci bok, znając dwa pozostałe?

Ze wzoru \(|a - b| < c < a + b\). Dla boków \(6\) i \(10\) trzeci bok mieści się w przedziale \((4, 16)\). Oba końce są wyłączone, bo dają przypadek graniczny bez trójkąta.

### Czy nierówność trójkąta obowiązuje w trójkącie prostokątnym?

Tak, obowiązuje w każdym trójkącie. W prostokątnym dochodzi jednak mocniejsza informacja: przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem, więc od razu wiesz, którą sumę z czym porównywać. Ten sam trop przydaje się przy [wyznaczaniu długości boku trójkąta](/jak-obliczyc-dlugosc-boku-trojkata-wzory-metody).

### Co zrobić, gdy boki są podane wyrażeniami z parametrem?

Najpierw zapisz warunki dodatniości wszystkich trzech wyrażeń, potem trzy nierówności trójkąta, a na końcu weź część wspólną otrzymanych przedziałów. Ta kolejność chroni przed przyjęciem rozwiązania z ujemną długością boku.

### Czy dwa równe boki wystarczą, żeby powstał trójkąt równoramienny?

Nie. Odcinki \(4\), \(4\) i \(10\) mają dwa równe boki, ale trójkąta nie tworzą, bo \(4 + 4 < 10\). Podstawa musi być krótsza od sumy ramion. Ten warunek sprawdzasz zawsze na końcu, po rozpisaniu przypadków.

### Czy z nierówności trójkąta wynika coś o kątach?

Pośrednio tak. Naprzeciw najdłuższego boku leży największy kąt, a naprzeciw najkrótszego najmniejszy. Gdy potrzebujesz konkretnych miar, sięgasz po [twierdzenie sinusów lub cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac), ale kolejność boków od razu mówi ci, gdzie szukać największego kąta.


---
route: /notacja-wykladnicza-jak-zapisac-liczbe-zadania-matura
title: Notacja wykładnicza - jak zapisać liczbę i zadania maturalne
description: Notacja wykładnicza krok po kroku: jak zapisać dużą i małą liczbę w postaci a razy 10^k, działania na potęgach i zadania maturalne CKE z rozwiązaniami.
author: Filip Maszota
---

# Notacja wykładnicza - jak zapisać liczbę i zadania maturalne

Notacja wykładnicza (inaczej postać wykładnicza lub notacja naukowa) to zapis liczby w postaci \(a \cdot 10^k\), gdzie mantysa \(a\) spełnia warunek \(1 \le a  6\).

**Krok 3: zapisz wniosek.** \(x > y\).

### Zadanie 6: zadanie praktyczne z fizycznym kontekstem

Światło porusza się z prędkością około \(3 \cdot 10^8\) m/s. Jaką drogę pokona w ciągu 5 minut? Wynik podaj w notacji wykładniczej.

**Krok 1: zamień czas na sekundy.** \(5 \cdot 60 = 300\) s, czyli \(3 \cdot 10^2\) s.

**Krok 2: skorzystaj ze wzoru na drogę.** \(s = v \cdot t = (3 \cdot 10^8) \cdot (3 \cdot 10^2)\).

**Krok 3: pomnóż mantysy i dodaj wykładniki.** \(s = 9 \cdot 10^{10}\) m. Mantysa 9 jest w przedziale \([1, 10)\), więc to gotowa odpowiedź: światło pokona \(9 \cdot 10^{10}\) metrów, czyli 90 miliardów metrów.

Chcesz więcej praktyki na realnych zadaniach CKE? Przerób [zadania CKE z potęg i pierwiastków z pełnymi rozwiązaniami](/zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami) albo zacznij od pojedynczego [zadania z potęg z arkusza CKE](/task/cke-2025-pp-06) i sprawdź się bez podglądania.

## Typowe pułapki

- **Mantysa poza przedziałem.** Zapis \(45 \cdot 10^3\) nie jest notacją wykładniczą, choć wartość się zgadza. Poprawna postać to \(4{,}5 \cdot 10^4\).
- **Zły znak wykładnika.** Liczba mniejsza od 1 ma wykładnik ujemny, liczba większa lub równa 10 dodatni. Jeśli wyszło ci \(0{,}0003 = 3 \cdot 10^4\), znak uciekł po drodze.
- **Dodawanie wykładników przy dodawaniu liczb.** Wzór \(10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}\) działa tylko przy mnożeniu. Przy dodawaniu: \(10^3 + 10^3 = 2 \cdot 10^3\), a nie \(10^6\).
- **Liczenie zer zamiast przesunięć przecinka.** W liczbie \(0{,}00072\) są trzy zera po przecinku, ale wykładnik to \(-4\). Licz przesunięcia przecinka, nie zera.
- **Brak poprawki po działaniu.** Wynik typu \(12 \cdot 10^5\) trzeba przepisać jako \(1{,}2 \cdot 10^6\), zanim zaznaczysz odpowiedź. CKE chętnie wstawia obie wersje do dystraktorów.

## Checklista: co musisz umieć

- zapisać dużą i małą liczbę w postaci \(a \cdot 10^k\) z mantysą \(1 \le a < 10\),
- odczytać ze znaku wykładnika, czy liczba jest duża, czy mała,
- pomnożyć, podzielić i spotęgować liczby zapisane w notacji wykładniczej,
- poprawić zapis, gdy po działaniu mantysa wychodzi poza przedział \([1, 10)\),
- dodać dwie liczby wykładnicze przez sprowadzenie do wspólnej potęgi dziesiątki,
- rozpoznać w odpowiedziach zapis "prawie dobry" z mantysą większą lub równą 10.

Notacja wykładnicza opiera się w całości na własnościach potęg, więc braki w tym temacie od razu wychodzą w zadaniach. Pełną teorię działu powtórzysz w przewodniku po [liczbach rzeczywistych na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna), a przy zadaniach praktycznych z przybliżeniami przyda się też post o [błędzie bezwzględnym i względnym](/blad-bezwzgledny-i-wzgledny-wzor-jak-obliczyc-matura).

## Najczęstsze pytania

### Co to jest notacja wykładnicza?
To zapis liczby w postaci \(a \cdot 10^k\), gdzie \(1 \le a < 10\), a \(k\) jest liczbą całkowitą. Na przykład \(5\,600 = 5{,}6 \cdot 10^3\), a \(0{,}0041 = 4{,}1 \cdot 10^{-3}\). Używa się jej do krótkiego zapisu bardzo dużych i bardzo małych liczb.

### Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej?
Przesuń przecinek tak, żeby przed nim stała jedna cyfra od 1 do 9, i policz przesunięcia. Liczba przesunięć to wykładnik potęgi dziesiątki: dodatni dla liczb większych lub równych 10, ujemny dla liczb dodatnich mniejszych od 1.

### Czym różni się notacja wykładnicza od notacji naukowej?
Niczym istotnym: to dwie nazwy tego samego zapisu \(a \cdot 10^k\) z mantysą z przedziału \([1, 10)\). W polskich podręcznikach i na maturze częściej spotkasz nazwę notacja wykładnicza, w fizyce i literaturze anglojęzycznej notację naukową.

### Czy zapis 25 razy 10 do potęgi 3 to notacja wykładnicza?
Nie, bo mantysa 25 nie mieści się w przedziale \([1, 10)\). Ta sama liczba zapisana poprawnie to \(2{,}5 \cdot 10^4\). Wartość obu zapisów jest identyczna, ale tylko drugi spełnia definicję notacji wykładniczej.

### Jak mnożyć liczby zapisane w notacji wykładniczej?
Pomnóż mantysy i dodaj wykładniki potęg dziesiątki, zgodnie ze wzorem \((a \cdot 10^m) \cdot (b \cdot 10^n) = ab \cdot 10^{m+n}\). Na koniec sprawdź, czy mantysa wyniku mieści się w przedziale \([1, 10)\), i w razie potrzeby popraw zapis.

### Czy notacja wykładnicza jest na maturze podstawowej?
Tak, notacja wykładnicza jest w wymaganiach egzaminacyjnych CKE dla poziomu podstawowego w obszarze liczb rzeczywistych i potęg. Najczęściej trafia się w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, samodzielnie albo w połączeniu z działaniami na potęgach.

### Jak dodać dwie liczby zapisane w notacji wykładniczej?
Sprowadź je do tej samej potęgi dziesiątki i dodaj mantysy, np. \(2{,}5 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 = 25 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^3 = 28 \cdot 10^3 = 2{,}8 \cdot 10^4\). Nie wolno dodawać wykładników, bo ta reguła dotyczy wyłącznie mnożenia potęg.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /przekatne-trapezu-trojkaty-podobne-pola-trojkatow-matura
title: Przekątne trapezu - trójkąty podobne, stosunek odcinków i pola czterech trójkątów (zadania maturalne)
description: Przekątne trapezu dzielą się w stosunku podstaw, a pola czterech trójkątów to P, kP, kP i k²P. Wzory, uzasadnienia i 6 zadań maturalnych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Przekątne trapezu - trójkąty podobne, stosunek odcinków i pola czterech trójkątów (zadania maturalne)

Przekątne trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(S\) i dzielą trapez na cztery trójkąty. Trójkąty przy podstawach, \(ABS\) i \(CDS\), są podobne w skali \(k = \frac{|AB|}{|CD|}\), więc przekątne dzielą się w stosunku podstaw: \(|AS| : |SC| = |BS| : |SD| = |AB| : |CD|\), a pola tych dwóch trójkątów są w stosunku \(k^2\). Trójkąty przy ramionach, \(ADS\) i \(BCS\), mają zawsze równe pola. Jeśli pole trójkąta \(CDS\) oznaczysz przez \(P\), to cztery trójkąty mają pola \(P\), \(kP\), \(kP\) i \(k^2P\), a cały trapez ma pole \(P(k + 1)^2\).

Na maturze podstawowej ten układ wraca zarówno w zadaniach zamkniętych typu prawda-fałsz, jak i w zadaniach otwartych. W arkuszach z [sierpnia 2025](/exams/matura-sierpien-2025) i z czerwca 2023 trzeba było ocenić zdania o polach i podobieństwie tych trójkątów, a w [sierpniu 2021](/exams/matura-sierpien-2021) obliczyć pole jednego z nich z podanego stosunku odcinków przekątnej. Poniżej masz uzasadnienie każdej z własności (przydaje się w zadaniach z poleceniem „uzasadnij” i „wykaż”), wzory, sześć rozwiązanych przykładów i pułapki, przez które najczęściej wychodzi zły wynik.

## Dlaczego trójkąty przy podstawach są podobne

Trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne z cechy kąt-kąt-kąt. Kąty \(ASB\) i \(CSD\) są wierzchołkowe, więc równe. Podstawy trapezu są równoległe, a przekątna \(AC\) przecina obie, więc kąty \(BAC\) i \(DCA\) są naprzemianległe i też równe. Tak samo przekątna \(BD\) daje równe kąty \(ABD\) i \(CDB\).

Z podobieństwa wynika, że odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Bokowi \(AB\) w jednym trójkącie odpowiada \(CD\) w drugim, odcinkowi \(AS\) odpowiada \(CS\), a odcinkowi \(BS\) odpowiada \(DS\):

$$\frac{|AS|}{|CS|} = \frac{|BS|}{|DS|} = \frac{|AB|}{|CD|} = k$$

Punkt \(S\) dzieli więc obie przekątne w tym samym stosunku, równym stosunkowi podstaw. Jeśli dłuższa podstawa jest dwa razy dłuższa od krótszej, to punkt \(S\) odcina od każdej przekątnej dwie trzecie jej długości po stronie dłuższej podstawy. Kolejność wierzchołków pilnuj tak samo jak w każdym zadaniu z [trójkątami podobnymi](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania): wierzchołek przy danym kącie w jednym trójkącie paruje się z wierzchołkiem przy równym kącie w drugim.

## Dlaczego trójkąty przy ramionach mają równe pola

Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólną podstawę \(CD\), a ich trzecie wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na prostej równoległej do \(CD\). Obie wysokości opuszczone na \(CD\) są więc równe wysokości trapezu, a oba trójkąty mają równe pola. Każdy z nich zawiera trójkąt \(CDS\), a po jego odjęciu zostają trójkąty \(ADS\) i \(BCS\), które też muszą mieć równe pola:

$$P_{ADS} = P_{ACD} - P_{CDS} = P_{BCD} - P_{CDS} = P_{BCS}$$

To działa w każdym trapezie, nie tylko w równoramiennym. W [trapezie równoramiennym](/trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura) trójkąty \(ADS\) i \(BCS\) są dodatkowo przystające, ale do samej równości pól to niepotrzebne.

## Pola czterech trójkątów: P, kP, kP i k²P

Trójkąty \(CDS\) i \(ADS\) mają wspólny wierzchołek \(D\), a ich boki \(CS\) i \(AS\) leżą na jednej prostej, przekątnej \(AC\). Wysokość opuszczona z \(D\) na tę prostą jest dla obu wspólna, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych boków: \(P_{ADS} : P_{CDS} = |AS| : |CS| = k\).

Oznacz pole najmniejszego trójkąta, przy krótszej podstawie, przez \(P = P_{CDS}\). Wtedy:

- \(P_{ADS} = kP\), z twierdzenia o wspólnej wysokości,
- \(P_{BCS} = kP\), bo trójkąty przy ramionach mają równe pola,
- \(P_{ABS} = k^2P\), bo pola trójkątów podobnych są w stosunku kwadratu skali, o czym więcej we wpisie o [stosunku pól figur podobnych](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura).

Po zsumowaniu dostajesz pole trapezu: \(P + kP + kP + k^2P = P(k^2 + 2k + 1) = P(k + 1)^2\). Z tych samych równości wynika też, że \(P_{ADS} \cdot P_{BCS} = k^2P^2 = P_{ABS} \cdot P_{CDS}\), czyli pole trójkąta przy ramieniu to średnia geometryczna pól trójkątów przy podstawach.

## Wzory

Stosunek odcinków przekątnych trapezu:

$$\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{|BS|}{|SD|} = \frac{|AB|}{|CD|} = k$$

Pola trójkątów przy podstawach:

$$\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2$$

Pola trójkątów przy ramionach:

$$P_{ADS} = P_{BCS} = k \cdot P_{CDS}$$

Średnia geometryczna pól:

$$P_{ADS} = P_{BCS} = \sqrt{P_{ABS} \cdot P_{CDS}}$$

Pole trapezu z pól trójkątów:

$$P_{ABCD} = P_{CDS} \cdot (k + 1)^2 = \left(\sqrt{P_{ABS}} + \sqrt{P_{CDS}}\right)^2$$

Pole trapezu z podstaw i wysokości:

$$P_{ABCD} = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h$$

Ostatni wzór przyda się, gdy zadanie łączy pola trójkątów z długościami podstaw. Możesz go sprawdzić w kalkulatorze poniżej.

Interaktywny kalkulator: pole-trapezu (dostępny na stronie wpisu)

## Przykład 1: Równe pola i stosunek pól (matura sierpień 2025)

**Treść:** Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB| = 2 \cdot |CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Oceń prawdziwość zdań. Zdanie 1: pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe. Zdanie 2: pole trójkąta \(ABE\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(CDE\).

**Krok 1: Zdanie pierwsze.** Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólną podstawę \(CD\) i wysokość równą wysokości trapezu, więc mają równe pola. Po odjęciu wspólnego trójkąta \(CDE\) zostają trójkąty \(AED\) i \(BCE\), które też mają równe pola. Zdanie jest prawdziwe.

**Krok 2: Zdanie drugie.** Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne w skali \(k = \frac{|AB|}{|CD|} = 2\). Pola figur podobnych są w stosunku \(k^2 = 4\), a nie \(k = 2\). Pole trójkąta \(ABE\) jest cztery razy większe, więc zdanie jest fałszywe.

**Odpowiedź:** zdanie 1 jest prawdziwe (P), zdanie 2 jest fałszywe (F).

## Przykład 2: Podobieństwo i równe pola dużych trójkątów (matura czerwiec 2023)

**Treść:** W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\). Oceń prawdziwość zdań. Zdanie 1: trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\). Zdanie 2: pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).

**Krok 1: Zdanie pierwsze.** Kąty \(AEB\) i \(CED\) są wierzchołkowe. Kąty \(BAE\) i \(DCE\) są naprzemianległe przy równoległych podstawach, tak samo kąty \(ABE\) i \(CDE\). Cecha kąt-kąt-kąt daje podobieństwo, więc zdanie jest prawdziwe.

**Krok 2: Zdanie drugie.** Oba trójkąty mają podstawę \(CD\), a ich trzecie wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na prostej \(AB\), równoległej do \(CD\). Wysokości opuszczone na \(CD\) są równe wysokości trapezu, więc pola są równe. Zdanie jest prawdziwe.

**Odpowiedź:** oba zdania są prawdziwe (P, P). To dokładnie te dwie własności, na których opiera się cały ten wpis.

## Przykład 3: Pole małego trójkąta ze stosunku odcinków (matura sierpień 2021)

**Treść:** Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

**Krok 1: Ustal skalę podobieństwa.** Trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne, a odcinkowi \(AS\) odpowiada odcinek \(CS\). Skala to \(k = \frac{|AS|}{|CS|} = \frac{3}{2}\), przy czym większy jest trójkąt \(ABS\).

**Krok 2: Zapisz stosunek pól.**

$$\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2 = \frac{9}{4}$$

**Krok 3: Oblicz pole.**

$$P_{CDS} = \frac{4}{9} \cdot 12 = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$$

**Odpowiedź:** \(P_{CDS} = \frac{16}{3}\). Podzielenie pola przez \(\frac{3}{2}\) zamiast przez \(\frac{9}{4}\) daje błędny wynik \(8\).

## Przykład 4: Pole trapezu z pól dwóch trójkątów

**Treść:** Przekątne trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(S\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(18\), a pole trójkąta \(CDS\) jest równe \(8\). Oblicz pole trapezu.

**Krok 1: Ustal skalę.** Z ilorazu pól \(k^2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\), więc \(k = \frac{3}{2}\), bo skala podobieństwa jest dodatnia.

**Krok 2: Oblicz pola trójkątów przy ramionach.** \(P_{ADS} = P_{BCS} = k \cdot P_{CDS} = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12\). Kontrola ze średniej geometrycznej: \(\sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12\).

**Krok 3: Dodaj cztery pola.** \(P_{ABCD} = 18 + 8 + 12 + 12 = 50\).

**Krok 4: Sprawdź wzorem skróconym.**

$$\left(\sqrt{18} + \sqrt{8}\right)^2 = \left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right)^2 = \left(5\sqrt{2}\right)^2 = 50$$

**Odpowiedź:** pole trapezu jest równe \(50\).

## Przykład 5: Pole trapezu z jednego trójkąta (matura próbna grudzień 2014)

**Treść:** W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) takim, że \(|AO| : |OC| = 5 : 1\). Pole trójkąta \(AOD\) jest równe \(10\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(72\).

**Krok 1: Oblicz pole trójkąta COD.** Trójkąty \(AOD\) i \(COD\) mają wspólny wierzchołek \(D\), a ich boki \(AO\) i \(OC\) leżą na przekątnej \(AC\). Wspólna wysokość z \(D\) daje \(P_{AOD} : P_{COD} = 5 : 1\), więc \(P_{COD} = 2\).

**Krok 2: Oblicz pole trójkąta ABO.** Trójkąty \(ABO\) i \(CDO\) są podobne w skali \(k = \frac{|AO|}{|OC|} = 5\), więc \(P_{ABO} = 5^2 \cdot 2 = 50\).

**Krok 3: Oblicz pole trójkąta BOC.** Trójkąty przy ramionach mają równe pola: \(P_{BOC} = P_{AOD} = 10\).

**Krok 4: Dodaj pola.**

$$P_{ABCD} = 50 + 10 + 10 + 2 = 72$$

**Odpowiedź:** pole trapezu jest równe \(72\), co należało uzasadnić. Ten sam wynik daje wzór \(P(k + 1)^2 = 2 \cdot 6^2 = 72\).

## Przykład 6: Stosunek pól z części przekątnej (matura sierpień 2016)

**Treść:** W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) oraz \(BD\) przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli \(|AS| = \frac{5}{6}|AC|\), to pole trójkąta \(ABS\) jest \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\).

**Krok 1: Podziel przekątną.** Skoro \(|AS| = \frac{5}{6}|AC|\), to \(|SC| = |AC| - |AS| = \frac{1}{6}|AC|\), więc \(\frac{|AS|}{|SC|} = 5\).

**Krok 2: Uzasadnij podobieństwo.** Trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne z cechy kąt-kąt-kąt: kąty przy \(S\) są wierzchołkowe, a kąty przy podstawach naprzemianległe. Odcinkowi \(AS\) odpowiada \(CS\), więc skala to \(k = 5\).

**Krok 3: Zapisz stosunek pól.** \(\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}} = k^2 = 25\), co kończy dowód.

**Odpowiedź:** pole trójkąta \(ABS\) jest \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\). W zadaniu na dowód zapisz uzasadnienie podobieństwa, czyli które kąty są równe i dlaczego, a nie tylko samą proporcję. Więcej o zapisie takich rozwiązań znajdziesz we wpisie o [zadaniach dowodowych z matury](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami).

## Sprawdź się na zadaniu z bazy

Tu przekątne są podzielone na odcinki o podanych długościach, a podstawy różnią się o \(15\). Ułóż proporcję z podobieństwa trójkątów przy podstawach i jedno równanie z różnicy podstaw.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-26

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Stosunek pól to \(k^2\), a nie \(k\). Jeśli jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, pole trójkąta przy dłuższej podstawie jest cztery razy większe od pola trójkąta przy krótszej. Trójkąty przy ramionach na ogół nie są podobne do trójkątów przy podstawach, a ich pola mają się do nich jak \(k\), a nie jak \(k^2\).

**Pułapka 2:** Pomylone odcinki w proporcji. Odcinkowi \(AS\) odpowiada \(CS\), a nie \(DS\). W proporcji \(\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{|BS|}{|SD|}\) oba liczniki to odcinki przy tej samej podstawie \(AB\).

**Pułapka 3:** Skala wzięta z całej przekątnej. Warunek \(|AS| = \frac{5}{6}|AC|\) nie znaczy, że \(k = \frac{5}{6}\) ani że \(k = \frac{6}{5}\). Najpierw policz drugi odcinek, \(|SC| = \frac{1}{6}|AC|\), i dopiero z ich ilorazu skalę: \(k = 5\).

**Uwaga:** Równość pól trójkątów \(ADS\) i \(BCS\) zachodzi w każdym trapezie. Nie potrzebujesz do niej ramion równej długości ani kątów prostych.

**Wskazówka:** W zadaniu z polami zacznij od trójkąta przy krótszej podstawie i oznacz jego pole przez \(P\). Pozostałe trzy mają pola \(kP\), \(kP\) i \(k^2P\), więc całe zadanie sprowadza się do znalezienia \(k\) i \(P\).

**Zapamiętaj:** Pole trapezu to \(P(k + 1)^2\), gdzie \(P\) to pole trójkąta przy krótszej podstawie, a \(k\) to stosunek dłuższej podstawy do krótszej. Przy \(k = 5\) i \(P = 2\) daje to \(2 \cdot 36 = 72\), jak w przykładzie 5.

## Co musisz umieć

- Uzasadnić podobieństwo trójkątów przy podstawach kątami wierzchołkowymi i naprzemianległymi.
- Zapisać, że przekątne trapezu dzielą się w stosunku długości podstaw.
- Wykazać, że trójkąty przy ramionach trapezu mają równe pola.
- Obliczyć stosunek pól trójkątów przy podstawach jako kwadrat skali podobieństwa.
- Wyznaczyć pola wszystkich czterech trójkątów, znając pole jednego z nich i skalę.
- Obliczyć pole trapezu jako sumę pól czterech trójkątów.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy, w których trapez i podobieństwo trójkątów działają razem: przedłużone ramiona trapezu równoramiennego, trapez prostokątny podzielony przekątną na trójkąty podobne i pole trójkąta podobnego ze skali. Jeśli chcesz najpierw powtórzyć podstawy, zajrzyj do wpisu [jak obliczyć pole trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura) albo do [twierdzenia Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania), które działa na tej samej zasadzie proporcji. Pełną listę zadań z działu znajdziesz na stronie [Planimetria](/topics/planimetria).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### W jakim stosunku dzielą się przekątne trapezu?

W stosunku długości podstaw. Jeśli przekątne trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(S\), to \(|AS| : |SC| = |BS| : |SD| = |AB| : |CD|\). Wynika to z podobieństwa trójkątów \(ABS\) i \(CDS\).

### Czy przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o równych polach?

Nie wszystkie cztery. Równe pola mają zawsze dwa trójkąty przy ramionach, \(ADS\) i \(BCS\). Trójkąty przy podstawach mają pola w stosunku \(k^2\), więc są równe tylko wtedy, gdy podstawy mają równą długość, a wtedy czworokąt jest równoległobokiem.

### Jak obliczyć pole trapezu, znając pola trójkątów przy podstawach?

Dodaj pierwiastki z tych pól i podnieś sumę do kwadratu: \(P_{ABCD} = \left(\sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}\right)^2\). Dla pól \(18\) i \(8\) wychodzi \(\left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right)^2 = 50\). Wzór bierze się stąd, że każdy z trójkątów przy ramionach ma pole \(\sqrt{P_1 P_2}\).

### Czy te własności działają tylko w trapezie równoramiennym?

Nie, w każdym trapezie, bo korzystają wyłącznie z równoległości podstaw. W trapezie równoramiennym dochodzi dodatkowo równość przekątnych i przystawanie trójkątów przy ramionach.

### Skąd wiadomo, że trójkąty przy podstawach trapezu są podobne?

Z cechy kąt-kąt-kąt. Kąty przy punkcie przecięcia przekątnych są wierzchołkowe, a kąty przy podstawach są naprzemianległe, bo podstawy są równoległe, a każda przekątna przecina obie. W zadaniu otwartym warto te trzy równości kątów wypisać.

### Jaki jest stosunek pola trójkąta przy ramieniu do pola trójkąta przy podstawie?

Równy skali \(k\) albo jej odwrotności, a nie jej kwadratowi. Trójkąty \(ADS\) i \(CDS\) mają wspólną wysokość z wierzchołka \(D\), a ich boki \(AS\) i \(SC\) są w stosunku \(k\), więc \(P_{ADS} : P_{CDS} = k\) i tak samo \(P_{ABS} : P_{ADS} = k\). Kwadrat skali dotyczy tylko pary trójkątów podobnych, czyli tych przy podstawach. Wzory na pole trójkąta, z których tu korzystasz, zebrałem we wpisie [pole trójkąta: 8 wzorów](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).


---
route: /punkt-procentowy-a-procent-roznica-jak-liczyc-matura
title: Punkt procentowy a procent - jaka jest różnica i jak liczyć na maturze
description: Punkt procentowy to różnica dwóch wartości w procentach, procent to zmiana względna. Z 4% na 3% to 1 p.p., ale 25%. Wzory, pułapki i zadania z matury.
author: Filip Maszota
---

# Punkt procentowy a procent - jaka jest różnica i jak liczyć na maturze

Punkt procentowy to jednostka różnicy między dwiema wielkościami wyrażonymi w procentach, a procent to zmiana względna, liczona wobec wartości początkowej. Gdy prowizja banku spada z \(4\%\) do \(3\%\), spada o \(1\) punkt procentowy, ale o \(25\%\), bo \(\frac{1}{4} = 25\%\). Różnicę dwóch procentów podajesz w punktach procentowych (odejmujesz liczby stojące przed znakiem \(\%\)), a odpowiedź na pytanie „o ile procent" liczysz jako iloraz tej różnicy i wartości wyjściowej.

To rozróżnienie jest częścią obliczeń procentowych i na maturze podstawowej pojawiło się wprost: zadanie 3 z [matury maj 2019](/exams/matura-maj-2019) pytało, o ile procent zmniejszyła się prowizja obniżona o \(1\) punkt procentowy, a cała trudność tego zadania siedzi w odróżnieniu tych dwóch pojęć. Ten sam mechanizm „względem czego liczysz" stoi za każdym zadaniem z działu [procenty](/topics/procenty): podwyżką, obniżką i zmianą procentową, które rozpisujemy w poście o [obliczaniu procentu z liczby i zmiany procentowej](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa). Poniżej masz definicje, wzory przeliczania w obie strony, sześć rozwiązanych zadań i pułapki, na których to zadanie się gubi.

## Co to jest procent, a co to jest punkt procentowy

Procent to setna część pewnej całości i zawsze odnosi się do czegoś: \(20\%\) ceny, \(4\%\) kapitału, \(60\%\) uprawnionych. Punkt procentowy to jednostka, w której wyrażasz różnicę dwóch wielkości podanych w procentach. Jeśli podatek wzrósł z \(20\%\) do \(23\%\), to wzrósł o \(3\) punkty procentowe, bo \(23 - 20 = 3\). Skrót to p.p. albo pkt proc.

Ten sam wzrost możesz opisać w procentach, ale wtedy pytasz o zmianę względną: o ile procent wzrosła stawka \(20\%\), skoro wynosi teraz \(23\%\)? Liczysz \(\frac{23 - 20}{20} = \frac{3}{20} = 0{,}15\), czyli o \(15\%\). Obie odpowiedzi są poprawne, ale opisują dwie różne rzeczy: punkty procentowe mówią, o ile przesunęła się liczba, a procenty mówią, jaką część starej wartości stanowi to przesunięcie.

**Zapamiętaj:** punkt procentowy to odejmowanie dwóch procentów. Procent zmiany to dzielenie różnicy przez wartość początkową.

## Skąd bierze się zamieszanie

Zamieszanie bierze się stąd, że oba opisy zaczynają się od tych samych słów „wzrosło o". Gdy wielkość wyjściowa jest ceną albo liczbą sztuk, „wzrosło o \(2\%\)" ma jedno znaczenie. Gdy wielkość wyjściowa sama jest procentem, „wzrosło o \(2\%\)" i „wzrosło o \(2\) punkty procentowe" to dwa różne wyniki: pierwszy oznacza \(2\%\) ze starej wartości, drugi oznacza dodanie dwójki do liczby przed znakiem procentu.

Zobacz to na oprocentowaniu \(4\%\). Wzrost o \(2\) punkty procentowe daje \(6\%\). Wzrost o \(2\%\) daje \(4\% \cdot 1{,}02 = 4{,}08\%\), czyli o \(0{,}08\) punktu procentowego więcej niż na starcie. Różnica między tymi dwiema interpretacjami jest ogromna i dokładnie na niej opierają się zadania maturalne z tym pojęciem.

W mediach i w komunikatach banków różnice stóp procentowych, bezrobocia, frekwencji i poparcia podaje się w punktach procentowych, bo tylko wtedy wiadomo, o ile zmieniła się sama liczba. Gdy zadanie mówi „o \(1\) punkt procentowy", masz gotową różnicę. Gdy pyta „o ile procent", masz do zrobienia dzielenie.

## Jak przeliczyć punkty procentowe na procenty i odwrotnie

Z punktów procentowych na procenty przechodzisz jednym dzieleniem: zmianę w punktach procentowych dzielisz przez wartość początkową i mnożysz przez \(100\%\). Z procentów na punkty procentowe przechodzisz jednym mnożeniem: wartość początkową mnożysz przez \(1 + \frac{k}{100}\), dostajesz nową wartość, a różnica nowej i starej to zmiana w punktach procentowych.

Kilka gotowych przeliczeń, które warto mieć w głowie:

| zmiana | w punktach procentowych | w procentach |
|---|---|---|
| z \(4\%\) na \(6\%\) | \(+2\) p.p. | \(+50\%\) |
| z \(50\%\) na \(25\%\) | \(-25\) p.p. | \(-50\%\) |
| z \(10\%\) na \(11\%\) | \(+1\) p.p. | \(+10\%\) |
| z \(2\%\) na \(4\%\) | \(+2\) p.p. | \(+100\%\) |

Zwróć uwagę na pierwszy i ostatni wiersz: te same \(2\) punkty procentowe raz oznaczają wzrost o połowę, a raz podwojenie. Punkty procentowe nie mówią nic o skali zmiany bez znajomości punktu wyjścia. Dokładnie tak samo działa [błąd względny](/blad-bezwzgledny-i-wzgledny-wzor-jak-obliczyc-matura): ta sama różnica bezwzględna jest duża albo mała w zależności od tego, do czego ją odnosisz.

## Wzory

Zmiana w punktach procentowych:

$$\Delta_{\text{p.p.}} = p_2 - p_1$$

Zmiana procentowa wielkości podanej w procentach:

$$\Delta_{\%} = \frac{p_2 - p_1}{p_1} \cdot 100\%$$

Zmiana o k punktów procentowych:

$$p_2 = p_1 + k$$

Zmiana o k procent:

$$p_2 = p_1 \cdot \left(1 + \frac{k}{100}\right)$$

## Przykład 1: Prowizja banku (matura maj 2019, zadanie 3)

**Treść:** W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

- A) \(1\%\)
- B) \(25\%\)
- C) \(33\%\)
- D) \(75\%\)

**Krok 1: Ustal nową prowizję.** Obniżka o \(1\) punkt procentowy to odjęcie jedynki od liczby przed znakiem procentu: \(4\% - 1 \text{ p.p.} = 3\%\).

**Krok 2: Rozpoznaj, o co pyta zadanie.** Pytanie brzmi „o ile procent zmniejszyła się prowizja", więc szukasz zmiany względnej, liczonej wobec prowizji styczniowej.

**Krok 3: Podziel zmianę przez wartość początkową.** \(\frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4} = 0{,}25\), czyli \(25\%\).

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A to pomylenie punktu procentowego z procentem, odpowiedź C to podzielenie zmiany przez nową wartość \(\frac{1}{3} \approx 33\%\), a D to część, która została, nie część, która ubyła.

## Przykład 2: Stopa bezrobocia

**Treść:** Stopa bezrobocia w pewnym powiecie spadła z \(8\%\) do \(6\%\). O ile punktów procentowych i o ile procent spadła stopa bezrobocia?

**Krok 1: Policz różnicę w punktach procentowych.** \(8 - 6 = 2\), czyli spadek o \(2\) punkty procentowe.

**Krok 2: Policz zmianę względną.** Dzielisz tę różnicę przez wartość początkową: \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25\%\).

**Odpowiedź:** Stopa bezrobocia spadła o \(2\) punkty procentowe, czyli o \(25\%\).

## Przykład 3: Podwyżka oprocentowania o procent

**Treść:** Bank podniósł oprocentowanie lokaty o \(50\%\). Przed podwyżką oprocentowanie wynosiło \(4\%\) w skali roku. Ile wynosi oprocentowanie po podwyżce i o ile punktów procentowych wzrosło?

**Krok 1: Zamień wzrost o procent na mnożnik.** Wzrost o \(50\%\) to pomnożenie przez \(1 + 0{,}5 = 1{,}5\).

**Krok 2: Policz nowe oprocentowanie.** \(4\% \cdot 1{,}5 = 6\%\).

**Krok 3: Odejmij stare od nowego.** \(6 - 4 = 2\), czyli wzrost o \(2\) punkty procentowe.

**Odpowiedź:** Oprocentowanie wynosi \(6\%\) i wzrosło o \(2\) punkty procentowe.

## Przykład 4: Poparcie w sondażu, zadanie odwrotne

**Treść:** Poparcie dla pewnego kandydata wzrosło o \(6\) punktów procentowych i wynosi teraz \(46\%\). O ile procent wzrosło poparcie?

**Krok 1: Odtwórz wartość początkową.** Skoro nowe poparcie to stare plus \(6\) punktów procentowych, stare wynosiło \(46 - 6 = 40\%\).

**Krok 2: Podziel zmianę przez wartość początkową.** \(\frac{6}{40} = \frac{3}{20} = 0{,}15\).

**Krok 3: Zapisz wynik w procentach.** \(0{,}15 = 15\%\).

**Odpowiedź:** Poparcie wzrosło o \(15\%\).

## Przykład 5: Udział w rynku, spadek o procent

**Treść:** Udział pewnej firmy w rynku zmalał o \(20\%\) i wynosi teraz \(16\%\). Jaki był udział firmy przed spadkiem i o ile punktów procentowych zmalał?

**Krok 1: Ułóż równanie z mnożnikiem.** Spadek o \(20\%\) to pomnożenie przez \(1 - 0{,}2 = 0{,}8\). Jeśli stary udział to \(p\), to \(0{,}8p = 16\).

**Krok 2: Rozwiąż równanie.** \(p = \frac{16}{0{,}8} = 20\), czyli stary udział wynosił \(20\%\).

**Krok 3: Policz różnicę w punktach procentowych.** \(20 - 16 = 4\).

**Odpowiedź:** Udział wynosił \(20\%\) i zmalał o \(4\) punkty procentowe.

## Przykład 6: Dwie zmiany po kolei

**Treść:** Stawka pewnego podatku wynosiła \(20\%\). Najpierw podniesiono ją o \(5\) punktów procentowych, a potem nową stawkę obniżono o \(20\%\). Ile wynosi stawka końcowa i o ile punktów procentowych różni się od początkowej?

**Krok 1: Wykonaj pierwszą zmianę, w punktach procentowych.** \(20 + 5 = 25\%\).

**Krok 2: Wykonaj drugą zmianę, w procentach.** Obniżka o \(20\%\) to mnożenie przez \(0{,}8\): \(25\% \cdot 0{,}8 = 20\%\).

**Krok 3: Porównaj z wartością początkową.** \(20 - 20 = 0\).

**Odpowiedź:** Stawka końcowa wynosi \(20\%\) i nie różni się od początkowej, różnica to \(0\) punktów procentowych. Podwyżka o \(5\) punktów procentowych i obniżka o \(20\%\) zniosły się, bo \(5\) punktów to dokładnie \(20\%\) z \(25\).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** „o \(1\) punkt procentowy" czytane jako „o \(1\%\)". W zadaniu z matury maj 2019 to prowadzi prosto do odpowiedzi A. Punkt procentowy zawsze oznacza przesunięcie liczby przed znakiem procentu, nigdy procent z tej liczby.

**Pułapka 2:** dzielenie zmiany przez nową wartość zamiast przez początkową. Spadek z \(4\%\) do \(3\%\) to \(\frac{1}{4} = 25\%\), a nie \(\frac{1}{3} \approx 33\%\). Zmianę procentową zawsze liczysz wobec tego, od czego zaczynasz. To ta sama zasada, przez którą obniżka o \(20\%\) wymaga podwyżki o \(25\%\), żeby wrócić do starej ceny.

**Pułapka 3:** dodawanie procentów jak punktów. Wzrost oprocentowania \(4\%\) o \(50\%\) daje \(6\%\), a nie \(54\%\). Procent zmiany mnoży starą wartość, punkty procentowe ją przesuwają.

**Pułapka 4:** wynik w złej jednostce. Jeśli zadanie pyta „o ile punktów procentowych", odpowiedź „o \(25\%\)" jest błędna nawet wtedy, gdy rachunek jest dobry. Przeczytaj pytanie do końca i dopasuj jednostkę odpowiedzi do jednostki w pytaniu.

**Wskazówka egzaminacyjna:** gdy w treści pada „punkt procentowy", a wśród odpowiedzi stoi liczba równa tej z treści (jak \(1\%\) przy „\(1\) punkt procentowy"), to prawie na pewno pułapka na jedno oko. Policz iloraz, zanim zaznaczysz.

**Uwaga:** punkty procentowe można dodawać i odejmować między sobą bez żadnych przeliczeń, bo to zwykłe różnice liczb. Procentów zmiany nie wolno tak składać: dwie obniżki po \(10\%\) to nie \(20\%\), tylko \(19\%\), bo druga liczona jest od mniejszej wartości.

## Sprawdź to na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania z bazy, które trenują dokładnie tę zasadę: zmianę liczysz zawsze wobec wartości, od której startujesz, a nie wobec tej, na której kończysz.

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2020-04

Zadanie z bazy: /task/cke-2015-2023-pp-01

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z procentami wracają w arkuszach podstawowych regularnie, zwykle jako zadania zamknięte za \(1\) punkt. Komplet z rozwiązaniami masz w zestawie [zadań CKE z procentów](/zadania-cke-procenty-z-rozwiazaniami), przegląd całego działu w [przewodniku po procentach na maturze](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany), a obliczenia na lokatach rozpisujemy w poście o [procencie składanym](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki). Zacznij od zadań poniżej.

## Co musisz umieć

- Odróżnić punkt procentowy od procenta i podać oba opisy tej samej zmiany.
- Policzyć zmianę w punktach procentowych jako różnicę dwóch wartości procentowych.
- Policzyć zmianę procentową wielkości podanej w procentach, dzieląc różnicę przez wartość początkową.
- Zamienić wzrost lub spadek o k procent na mnożnik 1 + k/100 albo 1 - k/100.
- Odtworzyć wartość początkową, gdy zadanie podaje wartość końcową i zmianę.
- Dopasować jednostkę odpowiedzi (punkty procentowe albo procenty) do pytania w treści.

Quiz: Sprawdź się: punkt procentowy czy procent

Pytanie: Oprocentowanie kredytu wzrosło z \(5\%\) do \(7\%\). O ile punktów procentowych wzrosło?
- A. o \(40\) punktów procentowych
- B. o \(2\) punkty procentowe
- C. o \(2\%\)
- D. o \(7\) punktów procentowych
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Punkty procentowe to różnica liczb przed znakiem procentu: \(7 - 5 = 2\). Odpowiedź „o 40 punktów" myli jednostki, bo \(40\%\) to zmiana względna, nie różnica.

Pytanie: Oprocentowanie kredytu wzrosło z \(5\%\) do \(7\%\). O ile procent wzrosło?
- A. o \(2\%\)
- B. o \(40\%\)
- C. o \(7\%\)
- D. o \(20\%\)
Poprawna odpowiedź: B
Wyjaśnienie: Zmiana względna to iloraz różnicy i wartości początkowej: \(\frac{7 - 5}{5} = \frac{2}{5} = 40\%\). Odpowiedź „o 2%" to pomylenie z punktami procentowymi.

Pytanie: Prowizja spadła o \(50\%\) i wynosi teraz \(2\%\). Ile wynosiła przed obniżką?
- A. \(2{,}5\%\)
- B. \(52\%\)
- C. \(4\%\)
- D. \(1\%\)
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Spadek o \(50\%\) to pomnożenie przez \(0{,}5\). Jeśli \(0{,}5p = 2\), to \(p = 4\%\). Odpowiedź \(52\%\) to dodanie procentów jak punktów.

Pytanie: Frekwencja w wyborach wzrosła o \(10\) punktów procentowych i wyniosła \(60\%\). O ile procent wzrosła frekwencja?
- A. o \(10\%\)
- B. o \(16{,}7\%\)
- C. o \(20\%\)
- D. o \(6\%\)
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Poprzednia frekwencja to \(60 - 10 = 50\%\). Wzrost względny: \(\frac{10}{50} = 20\%\). Odpowiedź \(16{,}7\%\) to dzielenie przez nową wartość \(60\), czyli pułapka numer dwa.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z procentów (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Czym różni się punkt procentowy od procenta?

Procent to setna część jakiejś całości i zawsze odnosi się do konkretnej wielkości. Punkt procentowy to jednostka różnicy między dwiema wartościami wyrażonymi w procentach. Gdy stopa rośnie z \(4\%\) do \(6\%\), różnica to \(2\) punkty procentowe, a zmiana względna to \(\frac{2}{4} = 50\%\). Punkty odejmujesz, procenty zmiany dzielisz przez wartość początkową.

### Jak zapisuje się skrót punktu procentowego?

Najczęściej „p.p." albo „pkt proc.", czasem pełnym słowem „punkt procentowy". W zadaniu z matury maj 2019 treść używa pełnej nazwy, a w odpowiedzi do zadania otwartego najbezpieczniej napisać ją słowami, żeby nie było wątpliwości, o jaką jednostkę chodzi.

### Czy wzrost o 2 procent i wzrost o 2 punkty procentowe mogą oznaczać to samo?

Tylko w jednym przypadku: gdy wartość początkowa wynosi dokładnie \(100\%\), bo wtedy \(2\%\) ze \(100\) to \(2\), czyli tyle samo, ile \(2\) punkty procentowe. Dla każdej innej wartości początkowej to dwie różne liczby: przy \(4\%\) wzrost o \(2\) punkty daje \(6\%\), a wzrost o \(2\%\) daje \(4{,}08\%\).

### Jak przeliczyć punkty procentowe na procenty?

Podziel zmianę w punktach procentowych przez wartość początkową i pomnóż przez \(100\%\). Wzrost o \(3\) punkty procentowe z poziomu \(20\%\) to \(\frac{3}{20} \cdot 100\% = 15\%\). W drugą stronę: wzrost o \(15\%\) z poziomu \(20\%\) to \(20 \cdot 1{,}15 = 23\%\), czyli o \(3\) punkty procentowe.

### Czy punkt procentowy pojawia się na maturze z matematyki?

Tak. Na maturze podstawowej z maja 2019 zadanie 3 wymagało przeliczenia obniżki prowizji o \(1\) punkt procentowy na zmianę procentową. Pojęcie wchodzi też w zadania o lokatach, podatkach, wynikach sondaży i frekwencji, gdzie treść podaje dwie wartości w procentach i pyta o różnicę albo o zmianę względną. Gdy oprocentowanie zmienia się w trakcie oszczędzania, dalsze rachunki przejmuje [kalkulator procentu składanego](/wzory/procent-skladany).

### Co to jest punkt bazowy?

Punkt bazowy to setna część punktu procentowego: \(1\) punkt bazowy to \(0{,}01\) punktu procentowego, a \(100\) punktów bazowych to \(1\) punkt procentowy. Używa się go przy stopach procentowych, gdy zmiany są małe, na przykład podwyżka stóp o \(25\) punktów bazowych to wzrost o \(0{,}25\) punktu procentowego. Na maturze podstawowej nie występuje, ale warto go znać, żeby nie pomylić z punktem procentowym w treści zadania z kontekstem bankowym.

### Od której wartości liczyć zmianę procentową?

Zawsze od wartości początkowej, czyli od tej, od której zaczyna się zmiana. Spadek z \(4\%\) do \(3\%\) liczysz jako \(\frac{1}{4}\), a wzrost z \(3\%\) do \(4\%\) jako \(\frac{1}{3}\), mimo że różnica w punktach procentowych jest w obu przypadkach taka sama. Ta asymetria to najczęstsze źródło błędów w całym dziale procentów, nie tylko w zadaniach o punktach procentowych.


---
route: /ranking-platform-do-nauki-matury-matematyka
title: Ranking platform do nauki matematyki na maturę 2027 - porównanie
description: Niezależny ranking platform do nauki matematyki na maturę 2027. Porównanie bazy zadań CKE, rozwiązań krok po kroku, solvera, cen i dostępu mobilnego.
author: Marcel Bogdan
---

# Ranking platform do nauki matematyki na maturę 2027 - porównanie

## Po co platforma do nauki matematyki na maturę

Przygotowanie do matury z matematyki najczęściej rozbija się o jedno: chaos źródeł. Raz film z YouTube, raz zdjęcie zadania w grupie na Messengerze, raz arkusz w PDF, którego nikt nie sprawdza. Wiedza zostaje wtedy dziurawa, a braki wychodzą dopiero na egzaminie, gdy na nadrabianie jest już za późno.

Dobra platforma do nauki matematyki rozwiązuje dokładnie ten problem. Zamiast zmuszać do szukania po całym internecie, daje uporządkowany materiał, prawdziwe zadania maturalne i natychmiastową informację zwrotną w jednym miejscu. Pytanie tylko, która platforma robi to najlepiej i dla kogo.

Poniższe zestawienie porównuje osiem najpopularniejszych polskich platform do nauki matematyki na maturę. Każda została oceniona według tego samego zestawu kryteriów, a wynik podano w punktach. Przy każdej opisano zarówno mocne strony, jak i ograniczenia, bo żadna nie jest najlepsza we wszystkim. Krótsze, czysto aplikacyjne zestawienie znajduje się w osobnym [porównaniu aplikacji i stron do nauki matematyki](/najlepsze-aplikacje-strony-do-nauki-matematyki-matura). Tutaj nacisk pada na metodologię, pełną tabelę punktową i szczegółową recenzję każdej platformy.

## Jak powstał ranking - kryteria oceny

Ranking ma sens tylko wtedy, gdy wiadomo, jak liczono punkty. Każdą platformę oceniono w ośmiu kategoriach w skali od 1 do 5 punktów, co daje maksymalnie 40 punktów. Oto kryteria i powód, dla którego trafiły do zestawienia:

1. **Baza zadań CKE** - dostęp do prawdziwych zadań z arkuszy Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, a nie do wymyślonych przykładów. Tylko realne zadania odwzorowują styl i poziom matury z matematyki.
2. **Rozwiązania krok po kroku** - widoczny cały tok rozumowania, a nie sama odpowiedź "B" albo "42". Sama odpowiedź niczego nie uczy.
3. **Solver i narzędzia** - pomoc w sytuacji, gdy zadanie nie wychodzi o 22:00 i nie ma kogo zapytać (solver, kalkulator, generator).
4. **Podział na działy** - możliwość kliknięcia w "planimetrię" albo "ciągi" i otrzymania kompletu zadań z tematu, zamiast błądzenia po przypadkowych arkuszach.
5. **Symulator matury** - tryb pełnego arkusza na czas z punktacją, który pokazuje, czy uczeń zdąży i ile ma dziś realnie punktów.
6. **Zakres darmowy** - ile platforma daje za zero złotych. Darmowy start bez logowania to realna przewaga, bo nauka rusza od razu.
7. **Dostęp mobilny** - czy da się uczyć z telefonu, czy konieczny jest komputer.
8. **Śledzenie postępów** - informacja o tym, co jest już opanowane, a nad czym trzeba przysiąść.

Dwie uwagi. Oceny dotyczą wyłącznie nauki matematyki na maturę, a nie ogólnej nauki przedmiotu czy innych egzaminów. Modele cenowe i funkcje sprawdzono w czerwcu 2026 i mogą się zmieniać, dlatego w tabeli zamiast kwot co do grosza podano model dostępu (darmowy, freemium, płatny). Konkretne ceny najlepiej weryfikować na stronie danej platformy, bo dezaktualizują się najszybciej.

## Ranking platform do nauki matematyki na maturę - tabela zbiorcza

Najpierw szybki przegląd, a pod tabelą szczegółowa recenzja każdej platformy.

| # | Platforma | Typ | Model dostępu | Ocena (pkt/40) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | sprawnamatura.pl | Baza zadań + solver + symulator | Freemium (duża część za darmo) | 39 |
| 2 | szaloneliczby.pl | Baza zadań + teoria | Freemium (baza darmowa, wideo płatne) | 29 |
| 3 | matemaks.pl | Wideo + teoria | Płatny dostęp czasowy | 28 |
| 4 | zadania.info | Baza + generator arkuszy | Freemium | 27 |
| 5 | Pi-stacja (pistacja.tv) | Wideolekcje | W pełni darmowe | 26 |
| 6 | matematykaszkolna.pl | Teoria + zadania | Freemium | 25 |
| 7 | ZPE (zpe.gov.pl) | E-materiały rządowe | W pełni darmowe | 24 |
| 8 | Brainly | Q&A + solver | Freemium | 22 |

To samo w rozbiciu na kryteria. Skróty: ZAD - baza zadań CKE, KROK - rozwiązania krok po kroku, SOLV - solver i narzędzia, DZ - podział na działy, SYM - symulator matury, FREE - zakres darmowy, MOB - dostęp mobilny, POST - śledzenie postępów.

| Platforma | ZAD | KROK | SOLV | DZ | SYM | FREE | MOB | POST | Suma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sprawnamatura.pl | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | 39 |
| szaloneliczby.pl | 5 | 5 | 2 | 5 | 3 | 5 | 2 | 2 | 29 |
| matemaks.pl | 4 | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 3 | 28 |
| zadania.info | 5 | 3 | 4 | 4 | 4 | 3 | 2 | 2 | 27 |
| Pi-stacja | 2 | 5 | 2 | 4 | 3 | 5 | 3 | 2 | 26 |
| matematykaszkolna.pl | 4 | 4 | 3 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 25 |
| ZPE | 3 | 3 | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 2 | 24 |
| Brainly | 2 | 3 | 4 | 2 | 1 | 3 | 5 | 2 | 22 |

Wniosek widać od razu: nie ma platformy najlepszej we wszystkim. Każda wygrywa w innej kategorii, dlatego pod recenzjami znajduje się osobny przewodnik, którą wybrać zależnie od sposobu nauki.

## Miejsce 1: sprawnamatura.pl (39/40)

Najwyższą ocenę zbiera platforma, która łączy wszystkie funkcje liczone w rankingu w jednym systemie. Do dyspozycji jest ponad 2300 prawdziwych zadań z arkuszy CKE, poukładanych w [działy tematyczne](/topics/planimetria) oraz w [komplet arkuszy z lat 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Każde zadanie ma rozwiązanie krok po kroku, a nie samą odpowiedź. Dochodzi do tego [solver](/solve), który rozkłada zadanie na czynniki, gdy nie wychodzi, [symulator matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) z pełnym arkuszem na czas i punktacją oraz [śledzenie postępów](/progress) pokazujące, co jest już opanowane.

Przewaga nie polega na jednej funkcji, tylko na tym, że baza CKE, rozwiązania, solver, symulator i statystyki tworzą jeden spójny system, a nie pięć osobnych zakładek. Sporą część materiału, w tym zadania zamknięte, przewodniki i [kartę wzorów](/formulas), można ćwiczyć [za darmo i bez logowania](/random). Pełnię funkcji odblokowuje [abonament Premium](/payment/checkout).

Ograniczenie jest jasne: platforma obejmuje wyłącznie matematykę, więc do nauki polskiego czy biologii się nie nada. Brakuje też pełnego kursu wideo z nagranymi wykładami, bo nacisk pada na zadania i rozwiązania tekstowe. Dla ucznia uczącego się głównie z filmów lepiej sprawdzą się pozycje numer 3 i 5. Najlepszy wybór dla maturzysty, który chce jednego narzędzia treningowego: rozwiązywać prawdziwe zadania, od razu sprawdzać rozwiązanie, robić próbne arkusze na czas i widzieć postęp. Gotowy schemat takiej nauki opisuje [plan samodzielnej nauki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

## Miejsce 2: szaloneliczby.pl (29/40)

Weteran polskiego internetu matematycznego i mocny punkt zestawienia. Oferuje ogromną, w większości darmową bazę zadań tematycznych z pełnymi rozwiązaniami, całą historię arkuszy maturalnych, teorię, quizy oraz słynne pewniaki maturalne, czyli klasyczne typy zadań wracające co roku. Wiele zadań ma dwupoziomowe podpowiedzi: najpierw delikatną wskazówkę, dopiero potem pełną drogę.

To prawdopodobnie najmocniejsza darmowa baza zadań z rozwiązaniami w polskim internecie. Przy nastawieniu "dużo zadań za zero złotych" trudno o lepsze źródło, a system podpowiedzi jest świetny dydaktycznie, bo zmusza do myślenia zamiast podawać gotowy wynik. Słabości też są: interfejs trąci myszką, reklam bywa sporo, kurs wideo jest płatny i obejmuje głównie poziom podstawowy. Brakuje natywnej aplikacji, porządnego śledzenia postępów i nowoczesnego symulatora na czas z automatyczną punktacją. Dobry wybór dla ucznia, który chce za darmo przerobić tonę zadań i nie przeszkadza mu siermiężny wygląd.

## Miejsce 3: matemaks.pl (28/40)

Klasyk formatu wideo, wyrosły z popularnego kanału na YouTube. W zestawie są lekcje wideo z teorią i zadaniami rozwiązywanymi na nagraniu, kursy maturalne na poziom podstawowy i rozszerzony, w nowej i starej formule, a do tego własny kalkulator oraz generator zadań. Materiał poukładano w setki nagrań podzielonych na działy.

Dla ucznia, który najlepiej przyswaja wiedzę, słuchając tłumaczenia i patrząc, jak ktoś pisze na ekranie, matemaks sprawdza się bardzo dobrze. Rozwiązania wideo są spokojne i dokładne, a marka rozpoznawalna. Minusy: dostęp jest płatny i czasowy, czyli kupuje się wejście na określoną liczbę dni, a po jego wygaśnięciu materiały znikają. Nie ma aplikacji mobilnej, a nauka z wideo jest z natury wolniejsza niż samodzielne rozwiązywanie zadań z natychmiastową weryfikacją. Część nagrań jest darmowa, więc styl da się sprawdzić przed zakupem. Najlepszy dla wzrokowców i słuchowców.

## Miejsce 4: zadania.info (27/40)

Najbardziej techniczna pozycja w zestawieniu, mocno ceniona przez nauczycieli. Oferuje gigantyczny zbiór zadań liczony w dziesiątkach tysięcy, gotowe arkusze oraz, co najważniejsze, generator i kreator własnych zestawów. W kilka minut da się złożyć arkusz z wybranych działów i poziomów trudności. Jest też forum pomocy.

Generator arkuszy to funkcja, której nikt inny nie robi równie dobrze. Przy nauce partiami i samodzielnym dawkowaniu zestawów narzędzie jest bezkonkurencyjne, a sama baza po prostu ogromna. Jest jednak haczyk: serwis sam zastrzega, że część rozwiązań powstaje w pośpiechu i bez korekty, więc jakość bywa nierówna i wynik czasem trzeba zweryfikować gdzie indziej. Sporo treści chowa się za paywallem, interfejs jest surowy, aplikacji mobilnej brak. Najlepszy dla nauczyciela układającego kartkówki i dla bardzo zorganizowanego ucznia.

## Miejsce 5: Pi-stacja, pistacja.tv (26/40)

Polski odpowiednik Khan Academy prowadzony przez fundację non-profit. Daje setki darmowych, świetnie zrealizowanych wideolekcji z matematyki, interaktywne ćwiczenia oraz autorskie próbne matury zgodne z wymaganiami CKE. Wszystko za zero złotych, często nawet bez rejestracji.

Jakość produkcji i tłumaczenia stoi na bardzo wysokim poziomie, a całość jest w pełni darmowa, więc to idealne miejsce, żeby zrozumieć temat od podstaw, gdy coś kompletnie nie wchodzi. Jest też aplikacja na Androida z trybem offline. Ograniczenie wynika z samego modelu: Pi-stacja to platforma typu "obejrzyj i zrozum", a nie "wyszukaj konkretne zadanie maturalne i przećwicz". Nie ma skatalogowanej bazy wszystkich arkuszy CKE z lat ubiegłych ani solvera, a próbne matury są autorskie, nie kompletnym archiwum oryginalnych arkuszy. Najlepsza dla ucznia zaczynającego od zera lub z dużymi brakami, który najpierw musi zrozumieć teorię. Świetnie łączy się z platformą zadaniową: teoria z Pi-stacji, trening na bazie zadań gdzie indziej.

## Miejsce 6: matematykaszkolna.pl (25/40)

Serwis znany dawniej jako matematyka.pisz.pl, dziś solidny i bardzo tani. Zawiera teorię oraz kilka tysięcy zadań z pełnymi, redakcyjnymi rozwiązaniami, w tym sporą pulę zadań maturalnych. Są działy matura i ósmoklasisty, edytor wzorów i wykresów oraz materiały do druku w PDF.

Mocne strony to niski koszt dostępu Premium i sprawdzone, poprawne rozwiązania, a także policzone, konkretne pule zadań maturalnych. Słabości: brak wideo i aplikacji mobilnej, prosty design, część rozwiązań za paywallem, brak rozbudowanego śledzenia postępów i symulatora. Dobry wybór dla ucznia szukającego taniego, rzetelnego źródła zadań z poprawnymi rozwiązaniami, bez potrzeby narzędzi do organizacji nauki.

## Miejsce 7: ZPE, zpe.gov.pl (24/40)

Zintegrowana Platforma Edukacyjna, czyli rządowy bank e-materiałów. Udostępnia tysiące darmowych materiałów: teorię, wideo, ćwiczenia interaktywne, e-zadania na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz próbne matury. Wszystko za darmo, bez logowania i bez reklam.

Atutem jest pełna darmowość i wiarygodność źródła zgodnego z podstawą programową, do tego aplikacje na iOS i Androida z trybem offline. Problem w tym, że to raczej repozytorium niż narzędzie treningowe. Materiały są rozproszone, nawigacja toporna, brakuje solvera, generatora i otagowanej bazy arkuszy CKE z filtrowaniem, przez co znalezienie konkretnego typu zadania potrafi zająć więcej czasu niż jego rozwiązanie. Dobry wybór dla ucznia, który ceni darmowe, oficjalne materiały i nie przeszkadza mu, że trzeba ich trochę poszukać.

## Miejsce 8: Brainly (22/40)

Najpopularniejsza, a zarazem najbardziej kontrowersyjna pozycja. Oferuje wielką społeczność pytań i odpowiedzi, solver rozwiązujący zadania ze zdjęcia, asystenta AI oraz bardzo dobrze ocenianą aplikację mobilną.

Największym atutem jest szybkość: zdjęcie zadania i często w chwilę pojawia się podpowiedź, a aplikacja jest dopracowana i wygodna na telefonie. Haczyk dotyczy wiarygodności. Odpowiedzi społeczności bywają błędne, jednozdaniowe albo niepełne, a moderacja nie nadąża. Do szybkiego sprawdzenia jednej rzeczy w sam raz, ale do systematycznej nauki do matury z matematyki ryzykownie, bo łatwo zapamiętać błędne rozwiązanie. Nie ma też kuratorowanej bazy arkuszy CKE. Rozsądne tylko jako pomoc awaryjna, z odpowiedzią weryfikowaną w pewniejszym źródle.

Poza pierwszą ósemką warto znać jeszcze dwa serwisy. matfiz24.pl to tanie wideo-korepetycje z matematyki i fizyki, ale z wyraźnie starszymi arkuszami, więc brakuje świeżych roczników. Quizlet dobrze sprawdza się do wkuwania wzorów na fiszkach, lecz do rozwiązywania zadań, obliczeń i dowodów jest praktycznie bezużyteczny, bo to narzędzie do zapamiętywania, a nie do liczenia.

## Którą platformę wybrać zależnie od sposobu nauki

Najlepsza platforma to ta dopasowana do konkretnego ucznia. Skrótowy przewodnik:

- **Jedno narzędzie do treningu matematyki (zadania, rozwiązania, próbne arkusze, postępy):** sprawnamatura.pl.
- **Maksimum darmowych zadań, bez wymagań co do wygody:** szaloneliczby.pl.
- **Nauka głównie przez oglądanie tłumaczeń:** Pi-stacja za darmo lub matemaks w płatnych kursach wideo.
- **Start od zera i duże braki w teorii:** Pi-stacja na początek, potem platforma zadaniowa.
- **Nauczyciel lub uczeń lubiący sam generować zestawy:** zadania.info.
- **Tanie, rzetelne źródło zadań z poprawnymi rozwiązaniami:** matematykaszkolna.pl.
- **Wyłącznie oficjalne, darmowe materiały:** ZPE.

W praktyce najlepiej działa kombinacja: jedna platforma do teorii, na przykład wideo, i jedna mocna do treningu zadań z natychmiastową weryfikacją. Sposób poukładania tego dzień po dniu opisuje [strategia nauki do matury z matematyki 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia).

## Jak wycisnąć z platformy maksimum punktów

Sama platforma nie zda matury, liczy się sposób korzystania. Największą różnicę robią trzy zasady.

Po pierwsze, warto rozwiązywać prawdziwe zadania CKE, a nie wymyślone, bo tylko one mają właściwy poziom i styl. Dobrym startem są [losowe zadania](/random) albo [kompletne arkusze 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) traktowane jak rozgrzewka przed prawdziwym egzaminem.

Po drugie, rozwiązanie warto czytać nawet wtedy, gdy zadanie wyszło, bo to sprawdza, czy droga była poprawna, czy wynik to przypadek. Gdy zadanie nie wychodzi, lepiej najpierw użyć [solvera](/solve), żeby zobaczyć, w którym kroku pojawił się błąd, zamiast od razu skakać do odpowiedzi.

Po trzecie, próbne arkusze na czas robi się regularnie. Wiedza to jedno, a zmieszczenie się w czasie to drugie. [Symulator matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) pokazuje jedno i drugie, a najlepiej powtarzać go co tydzień i obserwować wynik w [śledzeniu postępów](/progress). Pełny schemat samodzielnej nauki, krok po kroku, opisuje przewodnik [jak uczyć się matematyki od zera do matury](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury).

## Najczęstsze pytania

### Czy da się przygotować do matury z matematyki za darmo?
Tak. Wiele platform ma mocny darmowy zakres: szaloneliczby, Pi-stacja i ZPE dają dużo bez opłat, a na sprawnamatura.pl sporą część zadań można [rozwiązać bez logowania](/random). Płatne plany przydają się głównie po to, żeby mieć wszystko w jednym miejscu i odblokować narzędzia oszczędzające czas.

### Która platforma jest najlepsza dla osoby uczącej się samodzielnie?
Taka, która łączy bazę prawdziwych zadań, rozwiązania krok po kroku, symulator na czas i śledzenie postępów, bo wtedy sama prowadzi przez naukę. Pod tym kątem najwyżej w rankingu wypada sprawnamatura.pl, a Pi-stacja jest świetnym darmowym uzupełnieniem na teorię.

### Czy platforma zastąpi korepetycje z matematyki?
W dużej mierze tak, o ile ma rozwiązania krok po kroku i solver, które tłumaczą błędy, a nie tylko podają wynik. Dla wielu uczniów dobra platforma plus żelazna regularność daje ten sam efekt taniej niż korepetycje. Temat rozwija tekst [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

### Ile kosztują platformy do nauki matematyki na maturę?
Bardzo różnie. Część jest w pełni darmowa (Pi-stacja, ZPE), część działa w modelu freemium (darmowa baza plus płatne dodatki), a niektóre sprzedają płatny dostęp czasowy lub abonament. Konkretne kwoty warto sprawdzać na stronie danej platformy, bo zmieniają się najczęściej.

### Co jest ważniejsze: wideo czy rozwiązywanie zadań?
Oba, ale w odpowiedniej kolejności. Wideo pomaga zrozumieć temat od zera, kiedy coś jest niejasne. Punkty na maturze zdobywa się jednak przez samodzielne rozwiązywanie zadań, więc większość czasu powinna iść na trening, a nie na oglądanie.

## Podsumowanie

Nie istnieje jedna platforma idealna dla każdego maturzysty. Jest za to platforma idealna dla konkretnej sytuacji, zależnie od tego, czy potrzebna jest głównie teoria, masa darmowych zadań, czy kompletne narzędzie treningowe. Krótka ściąga:

- **Pełny trening matematyki w jednym miejscu:** sprawnamatura.pl, najwyższa ocena w rankingu.
- **Najwięcej darmowych zadań:** szaloneliczby.pl.
- **Najlepsze darmowe wideo:** Pi-stacja.
- **Generator zestawów dla nauczyciela:** zadania.info.
- **Tanie, rzetelne zadania:** matematykaszkolna.pl.
- **Tylko oficjalne, darmowe materiały:** ZPE.

Niezależnie od wyboru zasada pozostaje ta sama: rozwiązywać prawdziwe zadania CKE, czytać rozwiązania krok po kroku i regularnie sprawdzać się na próbnych arkuszach. Najprostszy sposób, żeby zacząć od razu, to [rozwiązać pierwsze zadanie](/random).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /repetytorium-maturalne-z-matematyki-czy-wystarczy
title: Repetytorium maturalne z matematyki - czy wystarczy do matury?
description: Repetytorium maturalne z matematyki: co daje książka, czego za ciebie nie zrobi i jak połączyć ją z bazą zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Marcel Bogdan
---

# Repetytorium maturalne z matematyki - czy wystarczy do matury?

## Czym jest repetytorium maturalne i co dostajesz w środku

Repetytorium maturalne to książka, która skleja w jednym tomie trzy rzeczy: skróconą teorię z całej podstawy programowej, przykłady rozwiązane przez autora oraz zestawy zadań do samodzielnej pracy z odpowiedziami z tyłu. Wydawnictwa aktualizują je pod kolejne roczniki, więc na półce w księgarni znajdziesz wersje opisane jako "Matura 2027" albo "2024-2026", zwykle w cenie kilkudziesięciu złotych za tom.

To sensowny zakup. Ale pytanie, które zadaje sobie większość maturzystów w wakacje, brzmi inaczej: czy sama taka książka wystarczy, żeby zdać maturę z matematyki? Krótka odpowiedź, zanim wejdziemy w szczegóły: repetytorium jest bardzo dobrym szkieletem powtórki i słabym jedynym narzędziem. Poniżej rozkładam to na czynniki. Zobaczysz, co książka robi lepiej niż jakikolwiek serwis, gdzie kończy się jej rola, i jak połączyć ją z bazą zadań CKE online, żeby nie dokładać do tego korepetycji.

## Cztery rzeczy, które repetytorium robi naprawdę dobrze

**Daje kolejność.** Największym problemem samodzielnej nauki nie jest brak materiałów, tylko brak planu. Repetytorium ma spis treści, a spis treści to gotowa kolejność powtórki: liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania, funkcje, ciągi, trygonometria, planimetria, geometria analityczna, stereometria, prawdopodobieństwo i statystyka. Idziesz od pierwszego rozdziału do ostatniego i nie musisz co wieczór decydować, czego się uczyć.

**Skraca teorię.** Podręcznik z klasy pierwszej ma kilkaset stron na dział. Repetytorium tnie to do kilku stron, bo interesuje go tylko to, co jest w wymaganiach egzaminacyjnych. Do przypomnienia sobie definicji przed serią zadań to dokładnie tyle, ile trzeba.

**Pokazuje wzorcowy zapis.** Na maturze punktuje się nie wynik, tylko drogę do niego. Przykłady w repetytorium są zapisane tak, jak powinno wyglądać rozwiązanie w arkuszu: z założeniami, z uzasadnieniem, z odpowiedzią na końcu. To realna wartość, zwłaszcza przy zadaniach na dowodzenie.

**Działa offline.** Bez powiadomień, bez pokusy przewinięcia na coś innego. Godzina z książką i długopisem to często godzina realnej pracy, a godzina z telefonem bywa różna.

## Pięć rzeczy, których żadna książka za ciebie nie zrobi

**1. Nie sprawdzi twojego rozwiązania.** Klucz odpowiedzi mówi tylko, czy końcowa liczba się zgadza. Nie powie ci, czy zapis, który wypisałeś na kartce, dostałby na maturze 2 punkty, 1 punkt czy zero. A na zadaniach otwartych to jest cała gra: możesz mieć dobry wynik i stracić punkt za brak założenia, albo mieć zły wynik i dostać punkt za poprawną metodę.

**2. Nie dobierze zadań pod twoje braki.** Książka ma tę samą liczbę zadań z ciągów dla kogoś, kto ciągi ma opanowane, i dla kogoś, kto nie odróżnia arytmetycznego od geometrycznego. Ty musisz sam zauważyć, gdzie jest dziura, i sam znaleźć na nią materiał. To działa tylko wtedy, gdy uczciwie liczysz swoje błędy.

**3. Nie ma pełnego rozwiązania do każdego zadania.** Autorzy rozwiązują wybrane przykłady, a przy pozostałych zostawiają odpowiedź albo skrótowy komentarz. Gdy utkniesz na zadaniu numer 47, którego nie ma w omówieniu, zostajesz sam. Dokładnie w tym miejscu ludzie się zniechęcają i odkładają książkę na miesiąc.

**4. Nie zaktualizuje się po zmianie formuły.** Aktualne wydania są już pod formułę 2023, ale w obiegu jest mnóstwo egzemplarzy z drugiej ręki i skanów sprzed reformy. Jeśli kupujesz używane repetytorium, sprawdź, czy w środku jest arkusz na 46 punktów z kartą wzorów obowiązującą od 2023 roku, a nie stary układ na 50 punktów. Różnice w typach zadań (na przykład polecenia "Oceń prawdziwość" czy "Uzupełnij") są dziś realne.

**5. Nie zmierzy postępu.** Po dwóch miesiącach pracy z książką wiesz, ile stron przerobiłeś. Nie wiesz, ile procent zadań z planimetrii rozwiązujesz poprawnie i czy to więcej niż w kwietniu. A to jedyna liczba, która ma znaczenie, gdy planujesz, co powtarzać dalej. W aplikacji taką statystykę masz na [stronie postępów](/progress) i aktualizuje się sama.

## Klucz odpowiedzi to jeszcze nie rozwiązanie

Najlepiej widać to na konkretnym zadaniu. To polecenie z arkusza próbnej matury z lutego 2026:

**Treść zadania:** Rozwiąż nierówność \(x(x+11)\le x-25\). Zapisz obliczenia.

W kluczu odpowiedzi zobaczysz jedną linijkę: \(x=-5\). I to jest moment, w którym połowa uczniów uznaje, że w książce jest literówka, bo przecież rozwiązaniem nierówności powinien być przedział, a nie pojedyncza liczba. Nie ma literówki. Pełne rozwiązanie wygląda tak:

$$x(x+11)\le x-25$$
$$x^2+11x\le x-25$$
$$x^2+10x+25\le 0$$

Lewa strona to wzór skróconego mnożenia:

$$(x+5)^2\le 0$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc nierówność jest spełniona wyłącznie wtedy, gdy \((x+5)^2=0\), czyli dla \(x=-5\). Ten sam wniosek dostaniesz z delty: \(\Delta=10^2-4\cdot 1\cdot 25=0\), więc parabola o ramionach skierowanych w górę ma dokładnie jeden punkt wspólny z osią \(OX\) i nigdzie nie schodzi pod nią. Zbiorem rozwiązań jest jeden punkt.

Widzisz różnicę? Klucz dał ci informację, że się pomyliłeś. Rozwiązanie krok po kroku dało ci powód, dla którego się pomyliłeś, i regułę, którą wykorzystasz w kolejnych dziesięciu zadaniach. [Zobacz to zadanie w aplikacji](/task/matura-pr-bna-luty-2026-08) albo przećwicz cały dział w [równaniach i nierównościach](/topics/rownania-i-nierownosci), gdzie takich pułapek z deltą równą zero jest więcej.

## Repetytorium, zbiór zadań, kurs i baza online: co do czego

| Narzędzie | Co daje najlepiej | Czego nie daje | Kiedy je wybrać |
|---|---|---|---|
| Repetytorium (książka) | uporządkowaną teorię i kolejność powtórki | informacji zwrotnej, kompletu rozwiązań | gdy nie wiesz, od czego zacząć |
| Zbiór zadań (książka) | dużą liczbę zadań w jednym miejscu | odpowiedzi zamiast pełnych rozwiązań | gdy teorię masz i chcesz masy |
| Kurs online lub korepetycje | tłumaczenie na żywo i pilnowanie terminów | nie zastąpi samodzielnego liczenia, kosztuje najwięcej | gdy utknąłeś na fundamentach |
| Baza zadań CKE online | prawdziwe zadania z arkuszy z rozwiązaniami krok po kroku i filtrowaniem po dziale | nie ułoży za ciebie planu tygodnia | gdy chcesz ćwiczyć na tym, co faktycznie było na maturze |

Wniosek z tej tabeli jest prosty: to nie są konkurenci, tylko uzupełniające się narzędzia. Książka odpowiada na pytanie "czego się teraz uczyć", baza zadań odpowiada na pytanie "czy już to umiem". Jeśli porównujesz koszty, mamy osobne teksty o tym, [ile kosztują korepetycje z matematyki](/korepetycje-z-matematyki-online-ile-kosztuja-czy-warto) oraz [czy kurs maturalny online jest tego wart](/kurs-maturalny-z-matematyki-online-czy-warto).

## Jak połączyć repetytorium z bazą zadań: tygodniowa pętla

Ten schemat działa na jeden dział tygodniowo i zajmuje około pięciu godzin. Przy dziesięciu działach zamyka całą podstawę w kwartale.

- **Poniedziałek, 30 minut.** Teoria z repetytorium: jeden dział, wzory przepisane ręcznie na jedną kartkę. Braki uzupełnij [kompletną listą wzorów maturalnych](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista).
- **Wtorek i środa, po 45 minut.** 10 do 15 zadań zamkniętych z tego działu w bazie CKE. Wybierasz dział na [liście działów](/topics) i liczysz. Każde zadanie, które poszło źle, trafia do zeszytu błędów razem z powodem.
- **Czwartek, 45 minut.** Pięć zadań otwartych z tego samego działu, rozwiązanych pełnym zapisem, tak jak w arkuszu. Porównujesz swój zapis z rozwiązaniem krok po kroku, nie tylko wynik z wynikiem.
- **Piątek, 30 minut.** Zeszyt błędów: te same typy zadań jeszcze raz, na czysto.
- **Sobota, 30 minut.** Mieszanka bez zapowiedzi z [losowych zadań](/random). To jedyny sposób, żeby sprawdzić, czy rozpoznajesz typ zadania bez podpowiedzi z nagłówka rozdziału.
- **Niedziela, 60 minut.** Kawałek arkusza próbnego z [bazy arkuszy](/exams), z zegarkiem. Jak z tego wyciskać wnioski, opisałem w tekście o [arkuszach próbnych CKE i Operon](/arkusze-probne-matematyka-cke-operon-baza-rozwiazania).

Utknąłeś w środku zadania i nie chcesz czekać do następnych korepetycji? Wpisz przykład w [solver matematyczny](/solve) i przejdź rozwiązanie krok po kroku, ale dopiero po własnej próbie. Kolejność ma znaczenie, bo narzędzie, którego użyjesz przed próbą, uczy cię tylko oglądania cudzych rozwiązań.

## Sprawdź, czy samo repetytorium ci wystarczy

Odpowiedz szczerze na siedem pytań. Każde "nie" to argument za dołożeniem bazy zadań z rozwiązaniami.

- Czy wiesz, ile procent zadań z każdego działu rozwiązujesz poprawnie?
- Czy potrafisz sam ocenić, czy twój zapis rozwiązania dostałby komplet punktów?
- Czy masz kogoś, kto wytłumaczy zadanie, którego nie ma w omówieniu w książce?
- Czy twoja książka jest w wersji pod formułę 2023?
- Czy rozwiązujesz zadania z prawdziwych arkuszy CKE, a nie tylko autorskie?
- Czy wracasz do zadań, które kiedyś poszły źle?
- Czy mierzysz czas na zadaniach otwartych?

Jeśli masz mniej niż pięć odpowiedzi "tak", książka nie jest twoim problemem. Problemem jest brak sprzężenia zwrotnego, a to akurat da się załatać bez wydawania pieniędzy na korepetycje.

## Najczęstsze pytania

### Czy repetytorium wystarczy, żeby zdać na 30 procent?
Może wystarczyć, jeśli konsekwentnie przerobisz działy, które dają najwięcej łatwych punktów, i faktycznie liczysz zadania, a nie tylko czytasz. Sam próg zdawalności rozkładamy na czynniki pierwsze w tekście o tym, [które zadania robić, żeby zdobyć minimum 30 punktów](/minimum-30-punktow-matura-matematyka-ktore-zadania-robic).

### Repetytorium czy zbiór zadań, jeśli mogę kupić tylko jedno?
Zależy od punktu startu. Nie pamiętasz teorii: repetytorium. Pamiętasz teorię, ale mylisz się w rachunkach: zbiór zadań, a najlepiej po prostu baza arkuszy CKE, bo tam masz zadania, które naprawdę pojawiły się na egzaminie. Porównanie formatów opisaliśmy w tekście [zbiór zadań w PDF czy baza online](/zbior-zadan-maturalnych-matematyka-pdf-czy-baza-online).

### Które repetytorium jest najlepsze?
Nie ma jednej dobrej odpowiedzi i nie będę udawał, że jest. Wszystkie duże wydawnictwa pokrywają te same wymagania. Kryterium praktyczne: bierz to, w którym rozwiązane przykłady są zapisane w sposób, który rozumiesz po jednym przeczytaniu, i sprawdź, czy wydanie jest opisane jako zgodne z wymaganiami obowiązującymi od 2023 roku.

### Czy da się zdać maturę bez żadnej książki?
Tak, pod warunkiem, że masz plan i dostęp do zadań z rozwiązaniami. Rolę spisu treści przejmuje wtedy [lista działów](/topics), a rolę omówionych przykładów przejmują rozwiązania krok po kroku przy każdym zadaniu. Cały wariant samodzielnej nauki opisuje przewodnik [matura z matematyki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-samodzielna-nauka).

### Kiedy zacząć pracę z repetytorium?
Najlepiej pod koniec wakacji albo we wrześniu. Jeden dział tygodniowo od września to cała podstawa przerobiona przed feriami i pół roku na arkusze. Plan całoroczny znajdziesz w tekście [jak zacząć przygotowania do matury 2027](/jak-zaczac-przygotowania-do-matury-z-matematyki-2027-plan-na-rok).

## Podsumowanie

Repetytorium maturalne z matematyki to dobry kręgosłup powtórki: porządkuje teorię, narzuca kolejność i pokazuje wzorcowy zapis rozwiązania. Nie da ci jednak trzech rzeczy, które decydują o wyniku: informacji zwrotnej, doboru zadań pod twoje własne braki i pomiaru postępu. Dlatego najtańszy skuteczny zestaw to książka plus baza prawdziwych zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku.

W Sprawnej Maturze masz **2376 zadań z arkuszy CKE**, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku, podzielone na działy i arkusze. Zacznij od [wybrania działu](/topics), sprawdź swój poziom na [losowych zadaniach](/random) albo weź się od razu za [arkusze próbne](/arkusze-probne-matematyka-cke-operon-baza-rozwiazania). Dużą część bazy przećwiczysz za darmo, a pełny [dostęp Premium](/payment/checkout) odblokowuje całość razem ze statystykami postępu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /reszta-z-dzielenia-wielomianu-z-parametrem-zadania-matura-rozszerzona
title: Reszta z dzielenia wielomianu z parametrem - twierdzenie Bezout w zadaniach z matury rozszerzonej
description: Reszta z dzielenia W(x) przez x - a to W(a). Jak z reszty i podzielności wyznaczyć parametr: 7 zadań z matury rozszerzonej z rozwiązaniem krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Reszta z dzielenia wielomianu z parametrem - twierdzenie Bezout w zadaniach z matury rozszerzonej

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x - a\) jest równa \(W(a)\). To twierdzenie Bezout i na nim stoi każde zadanie z [matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona), w którym we wzorze wielomianu siedzi parametr: warunek „reszta z dzielenia przez \(x - a\) wynosi \(r\)" zapisujesz jako równanie \(W(a) = r\), a warunek „wielomian jest podzielny przez \(x - a\)" jako \(W(a) = 0\). Każdy taki warunek daje jedno równanie, więc dwa warunki wyznaczają dwa nieznane współczynniki. Reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia \(R(x) = px + q\).

Na maturze rozszerzonej ten mechanizm pojawia się w dwóch rozmiarach. Krótkie zadanie zamknięte za 1 punkt pyta wprost o resztę albo o parametr, przy którym wielomian dzieli się bez reszty. Długie zadanie otwarte za 4 do 6 punktów używa reszty tylko na starcie: w [maju 2022](/exams/matura-rozszerzona-maj-2022) (zadanie 9) z reszty wyznaczało się parametr \(m\), a potem rozwiązywało nierówność wielomianową, w [maju 2019](/exams/matura-rozszerzona-maj-2019) (zadanie 13) parametr wynikał z dwóch warunków naraz. Ogólne wiadomości o dzieleniu wielomianów, schemacie Hornera i szukaniu pierwiastków wymiernych masz we wpisie o [wielomianach na maturze](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout). Tu skupiam się na jednym typie polecenia: reszta albo podzielność plus niewiadomy współczynnik.

## Twierdzenie Bezout: skąd reszta równa W(a)

Dzielenie wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x - a\) daje iloraz \(Q(x)\) i resztę \(r\), która jest liczbą (stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, a dzielnik ma stopień 1):

$$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + r$$

Wstaw do tej równości \(x = a\). Pierwszy składnik zeruje się, bo zawiera czynnik \(a - a = 0\), i zostaje \(W(a) = r\). Całe dzielenie pisemne można więc pominąć: resztę liczysz jednym podstawieniem.

Dwa wnioski, z których korzystasz w każdym zadaniu:

- \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(a) = 0\), czyli gdy \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu.
- Dzielnik \(x + 2\) to \(x - (-2)\), więc podstawiasz \(-2\), nie \(2\). Znak liczby do podstawienia jest przeciwny do znaku w nawiasie.

Gdy dzielnik ma stopień 2, na przykład \((x - 1)(x + 2)\), reszta ma stopień co najwyżej 1 i zapisujesz ją jako \(R(x) = px + q\) z dwiema niewiadomymi. Podstawienie obu pierwiastków dzielnika daje dwa równania na \(p\) i \(q\).

## Wzory

Twierdzenie Bezout:

$$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + W(a)$$

Warunek podzielności przez dwumian:

$$(x - a) \mid W(x) \iff W(a) = 0$$

Reszta z dzielenia przez trójmian:

$$W(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdot Q(x) + px + q$$

Reszta z dzielenia przez dwumian liniowy:

$$\text{reszta z dzielenia } W(x) \text{ przez } (bx - c) = W\!\left(\tfrac{c}{b}\right)$$

Ostatni wzór przydaje się, gdy dzielnik ma przy \(x\) współczynnik różny od jedynki. Dla dzielnika \(2x - 1\) resztą jest \(W\left(\frac{1}{2}\right)\), bo \(2x - 1\) zeruje się właśnie w \(\frac{1}{2}\).

## Przykład 1: Reszta jednym podstawieniem (matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 3)

**Treść:** Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 7\) przez dwumian \(x + 2\) jest równa:

- A) \((-63)\)
- B) \((-39)\)
- C) \(25\)
- D) \(41\)

**Krok 1: Ustal liczbę do podstawienia.** Dwumian \(x + 2\) zeruje się dla \(x = -2\), więc reszta to \(W(-2)\).

**Krok 2: Policz W(-2), każdą potęgę osobno.**

$$W(-2) = 5 \cdot (-8) - 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) - 7 = -40 - 12 - 4 - 7 = -63$$

**Odpowiedź: A.** Reszta jest równa \(-63\). To zadanie pochodzi z arkusza formuły 2015.

## Przykład 2: Parametr z warunku podzielności (matura rozszerzona maj 2016, zadanie 2)

**Treść:** Wielomian \(W(x) = 6x^3 + 3x^2 - 5x + p\) jest podzielny przez dwumian \(x - 1\) dla \(p\) równego:

- A) \(4\)
- B) \(-2\)
- C) \(2\)
- D) \(-4\)

**Krok 1: Zamień podzielność na równanie.** Podzielność przez \(x - 1\) oznacza \(W(1) = 0\).

**Krok 2: Podstaw i rozwiąż.**

$$W(1) = 6 + 3 - 5 + p = 4 + p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = -4$$

**Odpowiedź: D.** Dla \(p = -4\) liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu.

## Przykład 3: Wielomian z ogromnymi wykładnikami (matura rozszerzona maj 2020, zadanie 1)

**Treść:** Wielomian \(W(x) = x^{2019} - 3x^{2000} + 2x + 6\):

- A) jest podzielny przez \((x-1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę \(6\)
- B) jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x-1)\) daje resztę \(6\)
- C) jest podzielny przez \((x-1)\) i przez \((x+1)\)
- D) nie jest podzielny ani przez \((x-1)\), ani przez \((x+1)\)

**Krok 1: Policz W(1).** Każda potęga jedynki to \(1\):

$$W(1) = 1 - 3 + 2 + 6 = 6$$

Reszta z dzielenia przez \(x - 1\) wynosi \(6\), więc przez \(x - 1\) wielomian się nie dzieli.

**Krok 2: Policz W(-1).** Wykładnik \(2019\) jest nieparzysty, więc \((-1)^{2019} = -1\). Wykładnik \(2000\) jest parzysty, więc \((-1)^{2000} = 1\):

$$W(-1) = -1 - 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 6 = -1 - 3 - 2 + 6 = 0$$

Reszta z dzielenia przez \(x + 1\) wynosi \(0\), więc wielomian jest przez \(x + 1\) podzielny.

**Odpowiedź: B.** Wykładnik rzędu dwóch tysięcy nie ma tu znaczenia, liczy się tylko jego parzystość.

## Przykład 4: Dwie reszty, dwa współczynniki (matura rozszerzona maj 2010, zadanie 4)

**Treść:** Wyznacz wartości \(a\) i \(b\) współczynników wielomianu \(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1\) wiedząc, że \(W(2) = 7\) oraz że reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \((x - 3)\) jest równa \(10\).

**Krok 1: Zapisz pierwszy warunek.**

$$W(2) = 8 + 4a + 2b + 1 = 7 \quad\Rightarrow\quad 4a + 2b = -2 \quad\Rightarrow\quad 2a + b = -1$$

**Krok 2: Zamień resztę na drugi warunek.** Z twierdzenia Bezout reszta z dzielenia przez \(x - 3\) to \(W(3)\):

$$W(3) = 27 + 9a + 3b + 1 = 10 \quad\Rightarrow\quad 9a + 3b = -18 \quad\Rightarrow\quad 3a + b = -6$$

**Krok 3: Rozwiąż układ.** Odejmij pierwsze równanie od drugiego: \((3a + b) - (2a + b) = -6 - (-1)\), więc \(a = -5\). Wtedy \(b = -1 - 2a = -1 + 10 = 9\).

**Krok 4: Sprawdź.** \(W(2) = 8 - 20 + 18 + 1 = 7\) oraz \(W(3) = 27 - 45 + 27 + 1 = 10\). Oba warunki się zgadzają.

**Odpowiedź:** \(a = -5\), \(b = 9\).

## Przykład 5: Z dwóch reszt trzecia (matura próbna CKE marzec 2021, zadanie 10)

**Treść:** Reszty z dzielenia wielomianu \(W(x) = x^4 + bx^3 + cx^2\) przez dwumiany \((x - 2)\) i \((x - 3)\) są odpowiednio równe \((-8)\) oraz \((-18)\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x - 4)\).

**Krok 1: Zapisz oba warunki.**

$$W(2) = 16 + 8b + 4c = -8 \quad\Rightarrow\quad 2b + c = -6$$

$$W(3) = 81 + 27b + 9c = -18 \quad\Rightarrow\quad 3b + c = -11$$

**Krok 2: Rozwiąż układ.** Odejmując równania, dostajesz \(b = -5\), a stąd \(c = -6 - 2b = -6 + 10 = 4\). Wielomian to \(W(x) = x^4 - 5x^3 + 4x^2\).

**Krok 3: Policz resztę z dzielenia przez x - 4.**

$$W(4) = 256 - 5 \cdot 64 + 4 \cdot 16 = 256 - 320 + 64 = 0$$

**Odpowiedź:** reszta jest równa \(0\), czyli \(W\) dzieli się przez \(x - 4\). Widać to też z rozkładu \(W(x) = x^2(x - 1)(x - 4)\).

## Przykład 6: Reszta z dzielenia przez trójmian kwadratowy

**Treść:** Wielomian \(W(x)\) przy dzieleniu przez \(x - 1\) daje resztę \(3\), a przy dzieleniu przez \(x + 2\) daje resztę \(-6\). Wyznacz resztę z dzielenia \(W(x)\) przez \((x - 1)(x + 2)\).

**Krok 1: Zapisz postać reszty.** Dzielnik ma stopień 2, więc reszta ma stopień co najwyżej 1:

$$W(x) = (x - 1)(x + 2) \cdot Q(x) + px + q$$

**Krok 2: Przełóż reszty na wartości wielomianu.** Z twierdzenia Bezout \(W(1) = 3\) i \(W(-2) = -6\). Podstawienie \(x = 1\) i \(x = -2\) zeruje iloczyn z \(Q(x)\):

$$p + q = 3, \qquad -2p + q = -6$$

**Krok 3: Rozwiąż układ.** Odejmij drugie równanie od pierwszego: \(3p = 9\), więc \(p = 3\) i \(q = 0\).

**Odpowiedź:** reszta z dzielenia przez \((x - 1)(x + 2)\) to \(R(x) = 3x\). Nie znasz samego wielomianu, a mimo to reszta jest wyznaczona jednoznacznie.

## Przykład 7: Parametr z reszty, potem nierówność (matura rozszerzona maj 2022, zadanie 9)

**Treść:** Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m\) przez dwumian \(x + 2\) jest równa \((-30)\). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x) \geq 0\).

**Krok 1: Wyznacz m z reszty.** Reszta to \(W(-2)\):

$$W(-2) = -32 - 24 + 2(5m + 1) - 2m = -54 + 8m$$

Z warunku \(-54 + 8m = -30\) dostajesz \(8m = 24\), czyli \(m = 3\).

**Krok 2: Zapisz wielomian dla m = 3.**

$$W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 = 2(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3)$$

**Krok 3: Znajdź pierwiastek wymierny.** Kandydaci to dzielniki \(3\) podzielone przez dzielniki \(2\). Dla \(x = 3\): \(54 - 27 - 24 - 3 = 0\), więc \(3\) jest pierwiastkiem.

**Krok 4: Rozłóż na czynniki.** Dzieląc przez \(x - 3\), dostajesz \(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = (x - 3)(2x^2 + 3x + 1)\), a trójmian rozkłada się dalej:

$$W(x) = 2(x - 3)(2x + 1)(x + 1)$$

**Krok 5: Rozwiąż nierówność.** Pierwiastki to \(-1\), \(-\frac{1}{2}\) i \(3\), wszystkie jednokrotne, a współczynnik przy \(x^3\) jest dodatni. Wykres idzie od dołu, więc \(W(x) \geq 0\) między \(-1\) a \(-\frac{1}{2}\) oraz od \(3\) w prawo.

**Odpowiedź:** \(m = 3\), a zbiór rozwiązań to \(x \in \left\langle -1, -\frac{1}{2} \right\rangle \cup \langle 3, +\infty)\).

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania otwarte z tego samego schematu. W pierwszym warunek podzielności i warunek reszty dają dwa równania z tym samym parametrem, a odpowiedź musi spełniać oba naraz. W drugim reszta wyznacza współczynnik \(m\), a potem trzeba znaleźć wszystkie pierwiastki. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [abonamencie](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2019-13

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2013-8

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Zły znak przy podstawieniu. Reszta z dzielenia przez \(x + 2\) to \(W(-2)\), a z dzielenia przez \(x - 2\) to \(W(2)\). W zadaniu zamkniętym błędna wartość \(W(2)\) prawie zawsze stoi wśród odpowiedzi.

**Pułapka 2:** Potęgi liczb ujemnych. \((-2)^3 = -8\), ale \((-2)^2 = 4\). Przy wielomianie trzeciego stopnia licz każdą potęgę osobno i dopiero potem mnóż przez współczynnik, jak w przykładzie 1.

**Pułapka 3:** Reszta z dzielenia przez trójmian zapisana jako liczba. Przy dzielniku stopnia 2 reszta ma postać \(px + q\). Zapis \(W(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x) + r\) z jedną stałą \(r\) zakłada, że \(p = 0\), i zwykle prowadzi do sprzecznego układu.

**Uwaga:** Parametr w wyższej potędze. Gdy warunek daje równanie z \(m^3\) albo \(m^2\), wychodzi kilka kandydatów na \(m\). W zadaniu z dwoma warunkami (jak maj 2019, zadanie 13) odpowiedź to wyłącznie wartości spełniające oba równania jednocześnie.

**Wskazówka:** Po wyznaczeniu parametru podstaw go z powrotem i sprawdź warunek z treści. W przykładzie 4 to dwa krótkie rachunki, a chronią przed przeniesieniem błędu do dalszej części zadania, gdzie kosztuje kilka punktów naraz.

**Zapamiętaj:** Wielomian podzielny przez \(x - a\) ma pierwiastek \(a\), więc możesz od razu wydzielić czynnik \((x - a)\) i rozkładać dalej. To zwykle pierwszy krok w części „rozwiąż nierówność", opisany szerzej we wpisie [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki).

## Co musisz umieć

- Obliczyć resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x - a\), podstawiając \(a\) zamiast dzielić pisemnie.
- Zamienić warunek podzielności przez \(x - a\) na równanie \(W(a) = 0\).
- Ułożyć i rozwiązać układ dwóch równań, gdy treść podaje dwie reszty i dwa nieznane współczynniki.
- Zapisać resztę z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia jako \(px + q\) i wyznaczyć \(p\) oraz \(q\).
- Po wyznaczeniu parametru rozłożyć wielomian na czynniki i rozwiązać nierówność wielomianową.
- Wykorzystać parzystość wykładnika przy liczeniu \(W(-1)\) dla wielomianów wysokiego stopnia.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania z wielomianów z arkuszy rozszerzonych: reszta i parametr, podzielność przez trójmian, iloraz z dzielenia i pierwiastek wymierny. Pełna lista jest na stronie działu [Wielomiany](/topics/wielomiany), a plan powtórki całego zakresu we wpisie o [wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Jeśli równanie trzeciego stopnia po wyznaczeniu parametru daje się pogrupować, skorzystaj z [metody grupowania](/rownanie-trzeciego-stopnia-matura-metoda-grupowania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z wielomianów (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu bez dzielenia?

Skorzystaj z twierdzenia Bezout: reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \(x - a\) jest równa \(W(a)\). Wystarczy podstawić liczbę, dla której dzielnik się zeruje, i policzyć wartość wielomianu. Dzielenie pisemne albo schemat Hornera są potrzebne dopiero wtedy, gdy chcesz znać iloraz.

### Kiedy wielomian jest podzielny przez dwumian?

Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(a) = 0\), czyli gdy \(a\) jest jego pierwiastkiem. Z tego warunku wyznaczasz parametr w zadaniach typu „dla jakiego \(p\) wielomian jest podzielny przez \(x - 1\)".

### Jaką postać ma reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia?

Stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, więc przy dzielniku stopnia 2 reszta ma postać \(px + q\). Współczynniki \(p\) i \(q\) wyznaczasz z dwóch równań, podstawiając pierwiastki dzielnika, jak w przykładzie 6.

### Co zrobić, gdy dzielnikiem jest 2x - 1, a nie x - a?

Znajdź liczbę, dla której dzielnik się zeruje: \(2x - 1 = 0\) daje \(x = \frac{1}{2}\). Reszta z dzielenia przez \(2x - 1\) jest równa \(W\left(\frac{1}{2}\right)\). Iloraz jest wtedy inny niż przy dzieleniu przez \(x - \frac{1}{2}\), ale reszta ta sama.

### Czym różni się reszta z dzielenia wielomianu od ilorazu?

Iloraz \(Q(x)\) to wielomian, który mnożysz przez dzielnik, a reszta to to, co zostaje: \(W(x) = (x - a)Q(x) + r\). Twierdzenie Bezout daje szybko tylko resztę. Iloraz liczysz dzieleniem pisemnym albo schematem Hornera, gdy chcesz rozłożyć wielomian na czynniki, jak w kroku 4 przykładu 7.

### Dlaczego w zadaniu z dwoma warunkami wychodzi kilka wartości parametru?

Bo każdy warunek osobno może mieć kilka rozwiązań, zwłaszcza gdy parametr stoi w kwadracie albo sześcianie. Odpowiedzią są tylko wartości wspólne dla wszystkich warunków. Rozwiąż każde równanie do końca i weź część wspólną zbiorów rozwiązań.


---
route: /rownania-dwukwadratowe-jak-rozwiazac-podstawienie-matura
title: Równania dwukwadratowe - jak rozwiązać przez podstawienie t = x²
description: Równanie dwukwadratowe rozwiążesz podstawieniem t = x². Metoda krok po kroku, pięć zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami i pułapki przy odrzucaniu t.
author: Filip Maszota
---

# Równania dwukwadratowe - jak rozwiązać przez podstawienie t = x²

Równanie dwukwadratowe to równanie postaci \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), gdzie \(a \neq 0\). Rozwiązujesz je podstawieniem \(t = x^2\) z warunkiem \(t \ge 0\): najpierw rozwiązujesz zwykłe równanie kwadratowe \(at^2 + bt + c = 0\), odrzucasz pierwiastki ujemne, a potem dla każdego dopuszczalnego \(t\) wracasz do równania \(x^2 = t\) i wyznaczasz \(x = \sqrt{t}\) oraz \(x = -\sqrt{t}\).

Ta metoda działa nie tylko dla \(x^4\). Wymagania CKE dla poziomu podstawowego (Formuła 2023) mówią wprost o równaniach dających się sprowadzić do równań kwadratowych, więc na egzaminie możesz dostać także równanie z \(x^6\) i podstawieniem \(t = x^3\) albo równanie z powtarzającym się wyrażeniem w nawiasie. W tym poście rozkładam całą metodę na kroki i przechodzę przez pięć rozwiązanych przykładów o rosnącej trudności.

## Co to jest równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe to równanie czwartego stopnia, w którym niewiadoma występuje tylko w potęgach parzystych: \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) przy \(a \neq 0\). Nazwa bierze się stąd, że po podstawieniu \(t = x^2\) dostajesz "kwadratowe w kwadratowym": równanie \(at^2 + bt + c = 0\), które rozwiązujesz standardowo, licząc deltę.

Kluczowa obserwacja: \(x^4 = (x^2)^2\). Dzięki temu każde wystąpienie \(x^4\) zamieniasz na \(t^2\), a każde \(x^2\) na \(t\). Nie ma tu żadnej nowej teorii, tylko sprytne przepakowanie równania czwartego stopnia w znane ci [równanie kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania).

Jedno zastrzeżenie, które ratuje punkty: skoro \(t = x^2\), a kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, to interesują cię wyłącznie rozwiązania \(t \ge 0\). Ujemne \(t\) odrzucasz, zanim wrócisz do \(x\).

## Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe krok po kroku

Cała metoda to cztery ruchy: podstawienie, delta, selekcja pierwiastków, powrót do \(x\). Zapisz ją sobie jako stały algorytm, bo w każdym zadaniu wygląda identycznie.

**Krok 1: podstaw \(t = x^2\) i zapisz warunek \(t \ge 0\).** Równanie \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) przechodzi w \(at^2 + bt + c = 0\).

**Krok 2: rozwiąż równanie kwadratowe względem \(t\).** Policz [deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) i pierwiastki \(t_1\), \(t_2\) ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

**Krok 3: odrzuć rozwiązania sprzeczne z warunkiem.** Zostają tylko te \(t\), które są nieujemne.

**Krok 4: wróć do niewiadomej \(x\).** Dla każdego \(t > 0\) równanie \(x^2 = t\) daje dwa rozwiązania \(x = \sqrt{t}\) i \(x = -\sqrt{t}\), a dla \(t = 0\) jedno rozwiązanie \(x = 0\).

Na koniec warto zrobić szybkie sprawdzenie: podstaw jedno z otrzymanych \(x\) do wyjściowego równania i zobacz, czy wychodzi zero.

## Rozwiązane przykłady krok po kroku

### Zadanie 1: klasyk z czterema rozwiązaniami

Rozwiąż równanie \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\).

**Krok 1: podstaw \(t = x^2\), \(t \ge 0\).** Otrzymujesz \(t^2 - 5t + 4 = 0\).

**Krok 2: policz deltę i pierwiastki.** \(\Delta = 25 - 16 = 9\), \(\sqrt{\Delta} = 3\), więc \(t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1\), \(t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\).

**Krok 3: sprawdź warunek.** Oba pierwiastki są dodatnie, więc oba zostają.

**Krok 4: wróć do \(x\).** Z \(x^2 = 1\) masz \(x = 1\) lub \(x = -1\), a z \(x^2 = 4\) masz \(x = 2\) lub \(x = -2\). Rozwiązania: \(x \in \{-2, -1, 1, 2\}\).

### Zadanie 2: jeden pierwiastek trzeba odrzucić

Rozwiąż równanie \(x^4 + 3x^2 - 4 = 0\).

**Krok 1: podstaw \(t = x^2\), \(t \ge 0\).** Otrzymujesz \(t^2 + 3t - 4 = 0\).

**Krok 2: policz deltę i pierwiastki.** \(\Delta = 9 + 16 = 25\), \(\sqrt{\Delta} = 5\), więc \(t_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4\), \(t_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\).

**Krok 3: odrzuć ujemne \(t\).** Pierwiastek \(t_1 = -4\) odpada, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. Zostaje \(t = 1\).

**Krok 4: wróć do \(x\).** Z \(x^2 = 1\) dostajesz \(x = 1\) lub \(x = -1\). Równanie czwartego stopnia ma tu tylko dwa rozwiązania.

### Zadanie 3: pierwiastki niewymierne

Rozwiąż równanie \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\).

**Krok 1: podstaw \(t = x^2\), \(t \ge 0\).** Otrzymujesz \(t^2 - 6t + 8 = 0\).

**Krok 2: policz deltę i pierwiastki.** \(\Delta = 36 - 32 = 4\), \(\sqrt{\Delta} = 2\), więc \(t_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2\), \(t_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4\).

**Krok 3: sprawdź warunek.** Oba pierwiastki dodatnie, oba zostają.

**Krok 4: wróć do \(x\).** Z \(x^2 = 2\) masz \(x = \sqrt{2}\) lub \(x = -\sqrt{2}\), a z \(x^2 = 4\) masz \(x = 2\) lub \(x = -2\). Rozwiązania: \(x \in \{-2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2\}\). Nie zaokrąglaj \(\sqrt{2}\): na maturze zostawiasz wynik dokładny.

### Zadanie 4: podstawienie t równe x do potęgi trzeciej

Rozwiąż równanie \(x^6 - 9x^3 + 8 = 0\).

**Krok 1: dobierz podstawienie do struktury równania.** Skoro \(x^6 = (x^3)^2\), podstawiasz \(t = x^3\). Uwaga: tym razem BEZ warunku \(t \ge 0\), bo sześcian może być ujemny. Otrzymujesz \(t^2 - 9t + 8 = 0\).

**Krok 2: policz deltę i pierwiastki.** \(\Delta = 81 - 32 = 49\), \(\sqrt{\Delta} = 7\), więc \(t_1 = \frac{9 - 7}{2} = 1\), \(t_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8\).

**Krok 3: wróć do \(x\) przez pierwiastek trzeciego stopnia.** Z \(x^3 = 1\) masz \(x = 1\), a z \(x^3 = 8\) masz \(x = 2\). Równanie \(x^3 = t\) ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, bez żadnego plus minus.

**Krok 4: zapisz odpowiedź.** \(x \in \{1, 2\}\).

### Zadanie 5: brak wyrazu wolnego i pułapka dzielenia

Rozwiąż równanie \(x^4 = 4x^2\).

**Krok 1: przenieś wszystko na jedną stronę.** \(x^4 - 4x^2 = 0\). Nie dziel obu stron przez \(x^2\): dzieląc, zgubisz rozwiązanie \(x = 0\).

**Krok 2: wyłącz wspólny czynnik przed nawias.** \(x^2(x^2 - 4) = 0\). To ten sam manewr co przy [rozkładaniu wielomianu na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki).

**Krok 3: skorzystaj z własności iloczynu.** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: \(x^2 = 0\) lub \(x^2 - 4 = 0\).

**Krok 4: zapisz wszystkie rozwiązania.** Z \(x^2 = 0\) masz \(x = 0\), a z \(x^2 = 4\) masz \(x = 2\) lub \(x = -2\). Rozwiązania: \(x \in \{-2, 0, 2\}\).

## Ile rozwiązań ma równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe może mieć 0, 1, 2, 3 albo 4 rozwiązania rzeczywiste. Liczba rozwiązań zależy od tego, ile nieujemnych pierwiastków ma równanie kwadratowe w \(t\): każde \(t > 0\) daje dwa rozwiązania \(x\), pierwiastek \(t = 0\) daje jedno rozwiązanie \(x = 0\), a każde \(t < 0\) nie daje żadnego.

Przykładowo: dwa dodatnie \(t\) to cztery rozwiązania (Zadanie 1), jedno dodatnie i jedno ujemne \(t\) to dwa rozwiązania (Zadanie 2), a gdy oba \(t\) są ujemne albo delta jest ujemna, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, jak w \(x^4 + 3x^2 + 2 = 0\), gdzie \(t_1 = -1\) i \(t_2 = -2\) oba odpadają. Taka analiza liczby rozwiązań to częsty motyw zadań z parametrem, podobny do dyskusji przy [funkcji kwadratowej z parametrem](/funkcja-kwadratowa-z-parametrem-dyskusja-zadania-matura).

## Typowe pułapki

- **Brak warunku \(t \ge 0\) i branie ujemnych \(t\).** Z \(x^2 = -4\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. Jeśli w Zadaniu 2 weźmiesz \(t = -4\), doklejasz do odpowiedzi nieistniejące pierwiastki.
- **Zgubione minus przy powrocie do \(x\).** Równanie \(x^2 = 9\) ma dwa rozwiązania: \(3\) i \(-3\). Zapisanie tylko \(x = 3\) to strata połowy odpowiedzi i punktów za zadanie.
- **Dzielenie równania przez \(x^2\).** W równaniu \(x^4 = 4x^2\) dzielenie przez \(x^2\) gubi rozwiązanie \(x = 0\). Zamiast dzielić, przenieś na jedną stronę i wyłącz \(x^2\) przed nawias.
- **Mylenie \(t\) z ostateczną odpowiedzią.** Wynik \(t = 4\) to nie koniec zadania. Odpowiedzią są wartości \(x\), więc zawsze wykonaj powrót \(x^2 = t\).
- **Automatyczne plus minus przy podstawieniu sześciennym.** Dla \(t = x^3\) równanie \(x^3 = 8\) ma jedno rozwiązanie \(x = 2\). Plus minus dotyczy tylko potęg parzystych.

## Checklista: co musisz umieć

- rozpoznać równanie dwukwadratowe \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) i wybrać podstawienie \(t = x^2\),
- zapisać i stosować warunek \(t \ge 0\) przy podstawieniu kwadratowym,
- policzyć deltę i pierwiastki równania kwadratowego w \(t\),
- wrócić do \(x\) z pełnym plus minus dla każdego dodatniego \(t\),
- rozwiązać równanie bez wyrazu wolnego przez wyłączenie \(x^2\) przed nawias,
- dobrać inne podstawienie (np. \(t = x^3\) albo \(t\) równe całemu nawiasowi), gdy struktura równania tego wymaga,
- ocenić liczbę rozwiązań równania na podstawie znaków pierwiastków \(t\).

Metoda podstawienia to jedno z narzędzi w większym temacie równań. Całościową powtórkę zrobisz z przewodnikiem po [równaniach i nierównościach na maturze](/topics/rownania-i-nierownosci), a wzory Viete'a, które przyspieszają szukanie pierwiastków \(t\), znajdziesz w poście o [wzorach Viete'a i ich zastosowaniach](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania). Gotowy na trening? Przerób [zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami) albo zacznij od pojedynczego [zadania z równań z arkusza CKE](/task/cke-2025-pp-17).

## Najczęstsze pytania

### Co to jest równanie dwukwadratowe?
To równanie postaci \(ax^4 + bx^2 + c = 0\), gdzie \(a \neq 0\), czyli równanie czwartego stopnia z niewiadomą tylko w potęgach parzystych. Rozwiązuje się je przez podstawienie \(t = x^2\), które sprowadza je do zwykłego równania kwadratowego.

### Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe krok po kroku?
Podstaw \(t = x^2\) z warunkiem \(t \ge 0\), rozwiąż równanie kwadratowe \(at^2 + bt + c = 0\) licząc deltę, odrzuć ujemne pierwiastki \(t\), a następnie dla każdego dopuszczalnego \(t\) rozwiąż \(x^2 = t\), pamiętając o obu znakach pierwiastka.

### Dlaczego przy równaniu dwukwadratowym odrzucamy ujemne wartości t?
Bo \(t\) jest kwadratem liczby rzeczywistej, a kwadrat nigdy nie jest ujemny. Równanie \(x^2 = -4\) nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych, więc ujemny pierwiastek \(t\) nie prowadzi do żadnego \(x\).

### Ile rozwiązań może mieć równanie dwukwadratowe?
Od zera do czterech rozwiązań rzeczywistych. Każdy dodatni pierwiastek \(t\) daje dwa rozwiązania \(x\), pierwiastek \(t = 0\) daje jedno rozwiązanie, a ujemne pierwiastki \(t\) nie dają żadnego.

### Czy równania dwukwadratowe są na maturze podstawowej?
Tak. Wymagania egzaminacyjne CKE dla Formuły 2023 na poziomie podstawowym obejmują równania wielomianowe dające się sprowadzić do równań kwadratowych, a równanie dwukwadratowe to najczęstszy przedstawiciel tej grupy w zadaniach.

### Co zrobić, gdy równanie czwartego stopnia nie ma wyrazu wolnego?
Nie dziel przez \(x^2\), tylko przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz \(x^2\) przed nawias, np. \(x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4)\). Potem skorzystaj z tego, że iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.

### Czym są równania sprowadzalne do równań kwadratowych?
To równania, które po odpowiednim podstawieniu przyjmują postać kwadratową: dwukwadratowe z \(t = x^2\), równania z \(x^6\) i \(t = x^3\), a także równania, w których powtarza się całe wyrażenie, np. \(x^2 + 2x\), które oznaczasz jako \(t\).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /rownanie-kwadratowe-niezupelne-jak-rozwiazac-bez-delty
title: Równanie kwadratowe niezupełne - jak rozwiązać bez delty i ile ma rozwiązań
description: Równanie kwadratowe niezupełne rozwiążesz bez delty: ax²+bx=0 przez wyłączenie x, ax²+c=0 przez pierwiastkowanie. Metody, pułapki i zadania CKE.
author: Filip Maszota
---

# Równanie kwadratowe niezupełne - jak rozwiązać bez delty i ile ma rozwiązań

Równanie kwadratowe niezupełne to równanie \(ax^2 + bx + c = 0\), w którym brakuje wyrazu wolnego (\(c = 0\)) albo wyrazu z \(x\) w pierwszej potędze (\(b = 0\)). Rozwiązujesz je bez delty. Gdy \(c = 0\), wyłączasz \(x\) przed nawias: \(x(ax + b) = 0\), więc \(x = 0\) lub \(x = -\frac{b}{a}\). Gdy \(b = 0\), przenosisz wyraz wolny na drugą stronę i pierwiastkujesz: \(x^2 = -\frac{c}{a}\), co daje dwa rozwiązania \(x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\), jeśli prawa strona jest dodatnia, jedno rozwiązanie \(x = 0\), jeśli jest zerem, i brak rozwiązań, jeśli jest ujemna.

Na maturze podstawowej takie równania rzadko stoją same. Wchodzą jako czynniki równań iloczynowych, w których masz policzyć, ile rozwiązań ma równanie. Tak wyglądało zadanie 8 z [matury maj 2017](/exams/matura-maj-2017) (\(x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\)), zadanie 8 z [matury maj 2022](/exams/matura-maj-2022) (\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\)), zadanie 7 z [matury maj 2025](/exams/matura-maj-2025) (\(2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0\)) i zadanie 7 z [próbnej matury CKE z marca 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026). W każdym z nich rozstrzygasz o czynniku typu \(x^2 - 9\) albo \(x^2 + 25\), czyli dokładnie o równaniu niezupełnym. Poniżej masz oba typy, wzory, sześć rozwiązanych zadań i listę pułapek, na których te jednopunktowe zadania się gubi.

## Co to jest równanie kwadratowe niezupełne

Równanie kwadratowe ma postać ogólną \(ax^2 + bx + c = 0\), gdzie \(a \neq 0\). Jeśli wszystkie trzy współczynniki są różne od zera, równanie nazywamy zupełnym. Jeśli \(b = 0\) albo \(c = 0\), równanie jest niezupełne. Sama nazwa na egzaminie nie ma znaczenia, ale metoda tak: równanie niezupełne rozwiązuje się szybciej niż z delty i z mniejszą liczbą miejsc na pomyłkę.

Są trzy przypadki:

- brak wyrazu wolnego: \(ax^2 + bx = 0\), na przykład \(3x^2 - 12x = 0\),
- brak wyrazu z \(x\): \(ax^2 + c = 0\), na przykład \(2x^2 - 8 = 0\) albo \(x^2 + 25 = 0\),
- brak obu: \(ax^2 = 0\), które ma jedno rozwiązanie \(x = 0\).

Każdy z nich rozwiązujesz innym, ale bardzo krótkim ruchem. Pełny przegląd wszystkich metod dla równań zupełnych masz w przewodniku po [równaniach kwadratowych na maturze](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania). Tutaj skupiamy się na tym, co da się zrobić bez wyróżnika.

## Typ 1: brak wyrazu wolnego, czyli ax² + bx = 0

Równanie \(ax^2 + bx = 0\) rozwiązujesz, wyłączając \(x\) przed nawias: \(x(ax + b) = 0\). Iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik, więc \(x = 0\) lub \(ax + b = 0\), czyli \(x = -\frac{b}{a}\). Takie równanie ma zawsze dokładnie dwa rozwiązania, a jednym z nich jest zero.

Cała metoda opiera się na zasadzie iloczynu zerowego: jeśli \(A \cdot B = 0\), to \(A = 0\) lub \(B = 0\). To ta sama zasada, którą stosujesz przy [rozkładzie wielomianu na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki) i przy równaniach iloczynowych wyższych stopni.

Weź \(3x^2 - 12x = 0\). Wspólny czynnik obu wyrazów to \(3x\), więc \(3x(x - 4) = 0\). Stąd \(3x = 0\) lub \(x - 4 = 0\), czyli \(x = 0\) lub \(x = 4\). Możesz sprawdzić: \(3 \cdot 16 - 48 = 0\) i \(0 - 0 = 0\).

**Pułapka:** dzielenie obu stron przez \(x\). Z \(3x^2 = 12x\) kusi, żeby skrócić \(x\) i dostać \(3x = 12\), czyli \(x = 4\). Wynik jest niepełny, bo dzieląc przez \(x\), zakładasz po cichu, że \(x \neq 0\), i gubisz rozwiązanie \(x = 0\). Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i wyłączaj, nigdy nie dziel przez niewiadomą.

## Typ 2: brak wyrazu z x, czyli ax² + c = 0

Równanie \(ax^2 + c = 0\) przekształcasz do postaci \(x^2 = -\frac{c}{a}\). Dalej patrzysz tylko na znak prawej strony: gdy jest dodatnia, równanie ma dwa rozwiązania \(x = \sqrt{-\frac{c}{a}}\) i \(x = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\); gdy jest zerem, jedno rozwiązanie \(x = 0\); gdy jest ujemna, równanie nie ma rozwiązań, bo kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

Przykład z dwoma rozwiązaniami: \(2x^2 - 8 = 0\), czyli \(2x^2 = 8\), \(x^2 = 4\), więc \(x = 2\) lub \(x = -2\). Przykład bez rozwiązań: \(x^2 + 25 = 0\), czyli \(x^2 = -25\), a żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje \(-25\).

Gdy prawa strona jest liczbą dodatnią, ale nie kwadratem liczby całkowitej, rozwiązania są niewymierne i tak je zostawiasz: \(x^2 = 3\) daje \(x = \sqrt{3}\) lub \(x = -\sqrt{3}\). Jeśli chcesz, możesz zamiast pierwiastkowania rozłożyć lewą stronę [wzorem skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) na różnicę kwadratów: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\), a potem zastosować zasadę iloczynu zerowego. Obie drogi prowadzą do tych samych liczb.

**Pułapka 2:** z \(x^2 = 9\) zapisujesz tylko \(x = 3\). Pierwiastkowanie równania to nie to samo co liczenie pierwiastka arytmetycznego. Równanie \(x^2 = 9\) spełniają dwie liczby: \(3\) i \(-3\), bo \((-3)^2 = 9\). Zgubione ujemne rozwiązanie zmienia odpowiedź w każdym zadaniu typu „ile rozwiązań ma równanie".

## A co z deltą? Można, ale nie trzeba

Delta działa też dla równań niezupełnych, tylko robi więcej pracy niż potrzeba. Dla \(ax^2 + bx = 0\) masz \(\Delta = b^2 - 4a \cdot 0 = b^2\), więc \(\sqrt{\Delta} = |b|\) i wzory dają \(x = \frac{-b \pm |b|}{2a}\), czyli \(0\) oraz \(-\frac{b}{a}\). Dla \(ax^2 + c = 0\) masz \(\Delta = -4ac\): gdy \(a\) i \(c\) mają różne znaki, delta jest dodatnia i są dwa rozwiązania, gdy mają ten sam znak, delta jest ujemna i rozwiązań nie ma.

Traktuj deltę jako sprawdzenie, nie jako metodę. Jeśli po wyłączeniu \(x\) albo po pierwiastkowaniu masz wątpliwość, policz wyróżnik ze [wzoru na deltę](/wzory/delta-rownanie-kwadratowe), który krok po kroku opisujemy w poście o [obliczaniu delty](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe), i porównaj liczbę rozwiązań. Możesz też wpisać współczynniki w kalkulator poniżej.

Interaktywny kalkulator: delta (dostępny na stronie wpisu)

## Wzory

Rozwiązania równania bez wyrazu wolnego:

$$ax^2 + bx = 0 \iff x(ax + b) = 0 \iff x = 0 \ \text{ lub } \ x = -\frac{b}{a}$$

Postać równania bez wyrazu z x:

$$ax^2 + c = 0 \iff x^2 = -\frac{c}{a}$$

Liczba rozwiązań po znaku k:

$$x^2 = k: \quad k > 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{k}, \qquad k = 0 \Rightarrow x = 0, \qquad k  0\) są dwa rozwiązania, \(\sqrt{k}\) i \(-\sqrt{k}\). Dla \(k = 0\) jest jedno, \(x = 0\). Dla \(k < 0\) nie ma żadnego, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. Równanie bez wyrazu wolnego ma z kolei zawsze dokładnie dwa rozwiązania: \(0\) i \(-\frac{b}{a}\).

### Dlaczego nie wolno dzielić równania przez x?

Bo dzielenie przez \(x\) jest dozwolone tylko przy założeniu \(x \neq 0\), a \(x = 0\) bywa rozwiązaniem. Z równania \(x^2 = 5x\) po podzieleniu przez \(x\) zostaje \(x = 5\) i gubisz drugie rozwiązanie \(x = 0\). Bezpieczna droga to przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i wyłączenie wspólnego czynnika: \(x(x - 5) = 0\). Ta sama zasada dotyczy dzielenia przez nawias z niewiadomą, na przykład przez \(x - 2\).

### Co zrobić, gdy kwadrat niewiadomej wychodzi ujemny?

Zapisać, że równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, i na tym skończyć. Nie próbuj pierwiastkować liczby ujemnej ani „przenosić minusa" przed pierwiastek. W zadaniach zamkniętych typu „ile rozwiązań ma równanie" taki czynnik po prostu nie dokłada żadnej liczby do zbioru rozwiązań.

### Jak policzyć, ile rozwiązań ma równanie iloczynowe?

Przyrównaj każdy czynnik do zera osobno, wypisz wszystkie otrzymane liczby, a potem usuń powtórzenia. Czynniki liniowe dają po jednym rozwiązaniu, czynniki typu \(x^2 - k\) z dodatnim \(k\) dają dwa, czynniki typu \(x^2 + k\) z dodatnim \(k\) nie dają żadnego. Liczba różnych elementów zbioru to odpowiedź. Jeśli równanie jest w postaci ułamka, sprawdź jeszcze dziedzinę, jak w zadaniach z [równaniami wymiernymi](/jak-rozwiazac-rownanie-wymierne-dziedzina-zadania-matura).

### Czy równanie z samym wyrazem kwadratowym też jest niezupełne?

Tak. Równanie \(ax^2 = 0\) ma \(b = 0\) i \(c = 0\) naraz i jest skrajnym przypadkiem równania niezupełnego. Ma dokładnie jedno rozwiązanie, \(x = 0\), a jego delta wynosi zero, więc to rozwiązanie jest podwójne. Na wykresie odpowiada to paraboli, której [wierzchołek](/jak-znalezc-wierzcholek-paraboli) leży w początku układu współrzędnych.

### Dlaczego czynnik x² + 25 nie daje żadnego rozwiązania?

Bo suma kwadratu i liczby dodatniej jest zawsze dodatnia: \(x^2 \geq 0\), więc \(x^2 + 25 \geq 25\). Nie istnieje liczba rzeczywista, dla której to wyrażenie byłoby zerem. W arkuszach CKE taki czynnik pojawia się regularnie właśnie po to, żeby sprawdzić, czy odróżniasz \(x^2 - 25\) (dwa rozwiązania) od \(x^2 + 25\) (brak rozwiązań).


---
route: /rownanie-trzeciego-stopnia-matura-metoda-grupowania
title: Równanie trzeciego stopnia na maturze - metoda grupowania krok po kroku
description: Jak rozwiązać równanie trzeciego stopnia metodą grupowania: schemat w czterech krokach, pięć zadań CKE z rozwiązaniami i typowe pułapki maturalne.
author: Filip Maszota
---

# Równanie trzeciego stopnia na maturze - metoda grupowania krok po kroku

Równanie trzeciego stopnia typu \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\) rozwiązujesz na maturze metodą grupowania. Dzielisz cztery wyrazy na dwie pary, z każdej pary wyciągasz wspólny czynnik przed nawias tak, żeby w obu nawiasach zostało to samo wyrażenie, i zapisujesz całość jako iloczyn. Potem korzystasz z warunku zerowania się iloczynu: skoro \(A \cdot B = 0\), to \(A = 0\) lub \(B = 0\). Każdy z tych dwóch warunków rozwiązujesz osobno i zbierasz wszystkie pierwiastki.

To zadanie ma na maturze stały adres. W Formule 2023 polecenie "Rozwiąż równanie" z wielomianem trzeciego stopnia stało w arkuszu maja 2023, czerwca 2023, sierpnia 2023, maja 2024, czerwca 2024 i sierpnia 2024, a także w arkuszu próbnym CKE z grudnia 2023. W arkuszach sprzed Formuły 2023 to samo polecenie wracało równie regularnie. Zawsze jest za 2 lub 3 punkty i zawsze da się je zrobić bez schematu Hornera i bez twierdzenia Bezouta.

## Kiedy działa metoda grupowania

Metoda grupowania działa, gdy wielomian ma dokładnie cztery wyrazy i da się je podzielić na dwie pary o wspólnym czynniku. Praktyczny test jest jednolinijkowy: wyciągnij \(x^2\) z dwóch pierwszych wyrazów i jakąś liczbę z dwóch ostatnich. Jeśli w obu nawiasach zostanie to samo wyrażenie, metoda zadziała. Jeśli nie, spróbuj zamienić kolejność wyrazów.

Na maturze podstawowej praktycznie każde równanie trzeciego stopnia jest tak skonstruowane, żeby ta metoda zadziałała za pierwszym razem. Widać to po strukturze: współczynniki przy \(x^3\) i \(x^2\) są w tej samej proporcji co współczynniki przy \(x\) i przy wyrazie wolnym. W równaniu \(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0\) proporcja \(3 : (-2)\) powtarza się w \((-12) : 8\), i to jest sygnał, że grupowanie zadziała.

Jeśli chcesz zobaczyć szerszy kontekst i pozostałe sposoby rozkładania wielomianu, mamy osobny wpis o tym, [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki). Grupowanie jest w nim jedną z sześciu metod, a tutaj rozbieramy tę jedną na części, bo to ona odpowiada za konkretne zadanie maturalne.

## Wzory

Warunek zerowania się iloczynu:

$$A \cdot B = 0 \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad A = 0 \ \text{lub} \ B = 0$$

Schemat grupowania czterech wyrazów:

$$x^2(px+q) + r(px+q) = (px+q)(x^2+r)$$

Wzór na różnicę kwadratów:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

Pierwiastki równania niezupełnego:

$$x^2 = c \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{c} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{c} \quad \text{dla} \ c > 0$$

Rozwiązanie czynnika liniowego:

$$px + q = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{q}{p}$$

## Schemat w czterech krokach

Ten schemat pasuje do każdego maturalnego równania tego typu. Warto go przećwiczyć tak, żeby wchodził z automatu, bo wtedy całe zadanie zajmuje niecałe trzy minuty.

1. Przenieś wszystko na jedną stronę, tak żeby po prawej stronie zostało zero. Bez tego reszta nie ma sensu, bo warunek zerowania się iloczynu działa tylko wtedy, gdy iloczyn równa się zero.
2. Podziel cztery wyrazy na dwie pary. Z pierwszej wyciągnij \(x^2\), z drugiej liczbę. Pilnuj znaków: gdy przed trzecim wyrazem stoi minus, prawdopodobnie wyciągasz liczbę ujemną.
3. Sprawdź, czy w obu nawiasach zostało to samo wyrażenie. Jeśli tak, wyciągnij ten nawias przed całość i zapisz iloczyn dwóch czynników.
4. Przyrównaj każdy czynnik do zera osobno i rozwiąż. Czynnik liniowy daje jeden pierwiastek, czynnik kwadratowy zero, jeden albo dwa. Na końcu wypisz wszystkie znalezione rozwiązania.

**Wskazówka egzaminacyjna:** w Formule 2023 to zadanie jest warte 3 punkty i w kryteriach oceniania punkty rozkładają się na etapy. Nawet jeśli pomylisz się w ostatnim rachunku, poprawny rozkład na czynniki jest wart punktu. Dlatego zapisuj rozkład w osobnej linii, a nie w pamięci.

## Przykład 1: Podstawowy rozkład (matura czerwiec 2023)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\).

**Krok 1: Podziel wyrazy na dwie pary.** Pierwsza para to \(x^3 + 4x^2\), druga to \(-9x - 36\).

**Krok 2: Wyciągnij wspólny czynnik z każdej pary.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej liczba \(-9\).

$$x^2(x+4) - 9(x+4) = 0$$

**Krok 3: Wyciągnij wspólny nawias.** W obu składnikach stoi \((x+4)\), więc wychodzi on przed całość.

$$(x+4)(x^2-9) = 0$$

**Krok 4: Rozłóż drugi czynnik i przyrównaj do zera.** Wyrażenie \(x^2 - 9\) to różnica kwadratów.

$$(x+4)(x-3)(x+3) = 0$$

**Odpowiedź:** \(x = -4\) lub \(x = -3\) lub \(x = 3\).

## Przykład 2: Współczynnik przy x do trzeciej różny od jedynki (matura maj 2023)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0\).

**Krok 1: Wyciągnij czynnik z pierwszej pary.** Z \(3x^3 - 2x^2\) wychodzi \(x^2\), a w nawiasie zostaje \(3x-2\).

$$x^2(3x-2) - 12x + 8 = 0$$

**Krok 2: Dobierz czynnik z drugiej pary tak, żeby nawiasy się zgadzały.** Z \(-12x + 8\) trzeba wyciągnąć \(-4\), bo tylko wtedy w nawiasie zostanie \(3x-2\).

$$x^2(3x-2) - 4(3x-2) = 0$$

**Krok 3: Zapisz iloczyn.**

$$(3x-2)(x^2-4) = 0$$

**Krok 4: Rozwiąż oba czynniki.** Z pierwszego \(3x - 2 = 0\), czyli \(x = \frac{2}{3}\). Z drugiego \(x^2 = 4\), czyli \(x = 2\) lub \(x = -2\).

**Odpowiedź:** \(x = \frac{2}{3}\) lub \(x = -2\) lub \(x = 2\).

## Przykład 3: Pierwiastki niewymierne (matura maj 2024)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0\).

**Krok 1: Zgrupuj i wyciągnij czynniki.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej \(-3\).

$$x^2(x-2) - 3(x-2) = 0$$

**Krok 2: Zapisz iloczyn.**

$$(x-2)(x^2-3) = 0$$

**Krok 3: Rozwiąż czynnik kwadratowy.** Liczba \(3\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastki wychodzą niewymierne. To normalne i nie znaczy, że gdzieś jest błąd.

$$x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{3} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(x = 2\) lub \(x = \sqrt{3}\) lub \(x = -\sqrt{3}\).

## Przykład 4: Gdy drugi czynnik nie ma pierwiastków (matura próbna marzec 2013)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(2x^3 + 3x^2 + 4x + 6 = 0\).

**Krok 1: Zgrupuj wyrazy.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej \(2\).

$$x^2(2x+3) + 2(2x+3) = 0$$

**Krok 2: Zapisz iloczyn.**

$$(2x+3)(x^2+2) = 0$$

**Krok 3: Zbadaj drugi czynnik.** Wyrażenie \(x^2 + 2\) jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej, bo \(x^2 \ge 0\), więc \(x^2 + 2 \ge 2\). Ten czynnik nigdy nie jest zerem i nie wnosi żadnego rozwiązania.

**Krok 4: Rozwiąż czynnik liniowy.**

$$2x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2}$$

**Odpowiedź:** \(x = -\frac{3}{2}\).

## Przykład 5: Najpierw porządki, potem grupowanie (matura próbna CKE grudzień 2023)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(2x^3 + 3x^2 = 10x + 15\).

**Krok 1: Przenieś wszystko na lewą stronę.** Po prawej ma zostać zero, inaczej warunek zerowania się iloczynu nie zadziała.

$$2x^3 + 3x^2 - 10x - 15 = 0$$

**Krok 2: Zgrupuj wyrazy.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej \(-5\).

$$x^2(2x+3) - 5(2x+3) = 0$$

**Krok 3: Zapisz iloczyn.**

$$(2x+3)(x^2-5) = 0$$

**Krok 4: Rozwiąż oba czynniki.** Z pierwszego \(x = -\frac{3}{2}\), z drugiego \(x^2 = 5\).

$$x = \sqrt{5} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{5}$$

**Odpowiedź:** \(x = -\frac{3}{2}\) lub \(x = -\sqrt{5}\) lub \(x = \sqrt{5}\).

## Przykład 6: Minus przed czynnikiem i ułamkowe pierwiastki (matura czerwiec 2024)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(4x^3 - 12x^2 - x + 3 = 0\).

**Krok 1: Wyciągnij czynnik z pierwszej pary.** Z \(4x^3 - 12x^2\) wychodzi \(4x^2\), a w nawiasie zostaje \(x-3\).

$$4x^2(x-3) - x + 3 = 0$$

**Krok 2: Z drugiej pary wyciągnij minus jeden.** Zapis \(-x+3\) to \(-1 \cdot (x-3)\). To najczęstsze miejsce na zgubienie znaku w całym zadaniu.

$$4x^2(x-3) - 1(x-3) = 0$$

**Krok 3: Zapisz iloczyn.**

$$(x-3)(4x^2-1) = 0$$

**Krok 4: Rozwiąż czynnik kwadratowy.** Wyrażenie \(4x^2 - 1\) to różnica kwadratów, bo \(4x^2 = (2x)^2\).

$$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \ \text{lub} \ x = -\frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(x = 3\) lub \(x = \frac{1}{2}\) lub \(x = -\frac{1}{2}\).

## Jak sprawdzić wynik w kilkanaście sekund

Sprawdzenie polega na podstawieniu pierwiastka do pierwotnego równania i policzeniu, czy wychodzi zero. Wybierz do tego rozwiązanie o najmniejszej wartości bezwzględnej, bo rachunki będą najkrótsze. W równaniu \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\) podstaw \(x = 3\): dostajesz \(27 + 36 - 27 - 36 = 0\), więc pierwiastek jest poprawny.

Jest też szybszy test samego rozkładu, bez podstawiania. Wymnóż w pamięci wyrazy wolne obu nawiasów i porównaj z wyrazem wolnym pierwotnego wielomianu. Dla rozkładu \((x+4)(x^2-9)\) wychodzi \(4 \cdot (-9) = -36\), czyli dokładnie tyle, ile stoi na końcu równania. Jeśli te dwie liczby się nie zgadzają, gdzieś zgubiłeś znak i nie ma sensu liczyć dalej.

## Sprawdź się na oryginalnym zadaniu CKE

Spróbuj przejść całą drogę sam, zanim odsłonisz rozwiązanie. Struktura jest ta sama co w przykładach wyżej, zmieniają się tylko liczby.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-07

## Typowe pułapki

**Pułapka:** zatrzymanie się po rozłożeniu na czynniki. Rozkład to jeszcze nie odpowiedź. Zadanie brzmi "rozwiąż równanie", więc trzeba wypisać wszystkie pierwiastki, a nie zostawić postaci iloczynowej. To najczęstsza strata punktu w tym zadaniu.

**Pułapka 2:** pisanie \(x = \pm\sqrt{-2}\), gdy drugi czynnik ma postać \(x^2 + 2\). Suma kwadratu i liczby dodatniej nigdy nie jest zerem w liczbach rzeczywistych. W takim równaniu jest tylko jeden pierwiastek, ten z czynnika liniowego, i tak trzeba to zapisać.

**Pułapka 3:** grupowanie bez przeniesienia wszystkiego na jedną stronę. Jeśli równanie ma postać \(2x^3 + 3x^2 = 10x + 15\), to rozkład lewej strony niczego nie daje, bo prawa nie jest zerem. Porządki są krokiem zerowym, nie opcją.

**Uwaga:** znak przy drugim wyciąganym czynniku decyduje o wszystkim. W równaniu \(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0\) wyciągnięcie \(+4\) z ostatniej pary dałoby nawias \(-3x+2\), czyli inny niż \(3x-2\), i metoda pozornie by nie zadziałała. Wyciągnij \(-4\) i nawiasy się zgodzą.

**Wskazówka:** zanim przepiszesz odpowiedź na czysto, podstaw jeden z pierwiastków do pierwotnego równania. To kosztuje kilkanaście sekund, a wyłapuje pomyłkę w znaku, czyli najczęstszy błąd w tym zadaniu. Sprawdzaj pierwiastek o najmniejszej wartości bezwzględnej, bo potęgowanie będzie najprostsze.

**Zapamiętaj:** gdy grupowanie nie chce zadziałać przy pierwszym podziale, zamień kolejność wyrazów. Wielomian \(x^3 - 3x + 2x^2 - 6\) grupuje się dopiero po przestawieniu na \(x^3 + 2x^2 - 3x - 6\), a wtedy wychodzi \((x+2)(x^2-3)\).

## Co musisz umieć

- Przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadzić równanie do postaci z zerem po prawej.
- Podzielić cztery wyrazy na dwie pary i wyciągnąć wspólny czynnik z każdej.
- Dobrać znak wyciąganej liczby tak, żeby oba nawiasy były identyczne.
- Zapisać wielomian jako iloczyn dwóch czynników.
- Zastosować [wzór na różnicę kwadratów](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) do czynnika postaci \(x^2 - c\).
- Rozpoznać czynnik postaci \(x^2 + c\), który nie ma pierwiastków rzeczywistych.
- Wypisać komplet rozwiązań, także wtedy, gdy jest ich tylko jedno.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej masz zadania z arkuszy CKE zbudowane dokładnie na tym schemacie, z obu formuł egzaminu. Rób je pod czas, bo na maturze to zadanie ma być szybkie. Więcej zadań z tego działu leży na stronie [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), a całe arkusze znajdziesz na przykład tutaj: [matura maj 2023](/exams/matura-maj-2023) oraz [matura czerwiec 2024](/exams/matura-czerwiec-2024).

Metoda grupowania to jedna z niewielu technik na maturze, która działa zawsze tak samo i nigdy nie wymaga pomysłu. Naucz się jej schematu, a potem sprawdź, jak wygląda ten sam mechanizm w [równaniach dwukwadratowych](/rownania-dwukwadratowe-jak-rozwiazac-podstawienie-matura), gdzie zamiast grupowania wchodzi podstawienie.

## Najczęstsze pytania

### Ile rozwiązań ma równanie trzeciego stopnia?

Najwyżej trzy, ale może mieć mniej. Po rozłożeniu na iloczyn czynnika liniowego i kwadratowego liczba pierwiastków zależy od czynnika kwadratowego: postać \(x^2 - c\) dla \(c > 0\) daje dwa pierwiastki, postać \(x^2 + c\) dla \(c > 0\) nie daje żadnego, a \(x^2 = 0\) daje jeden.

### Czy do rozwiązania trzeba znać schemat Hornera?

Nie. Na maturze podstawowej równania trzeciego stopnia są tak dobrane, żeby wystarczyło grupowanie. Schemat Hornera i twierdzenie Bezouta przydają się w zadaniach z poziomu rozszerzonego oraz wtedy, gdy wielomian ma pięć albo więcej wyrazów. Opisujemy je we wpisie o [wielomianach na maturze](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout).

### Co zrobić, gdy w obu nawiasach nie wychodzi to samo wyrażenie?

Sprawdź najpierw znak wyciąganej liczby, bo to najczęstsza przyczyna. Jeśli to nie pomaga, przestaw kolejność wyrazów i zgrupuj je inaczej, na przykład pierwszy z trzecim i drugi z czwartym. Dopiero gdy żaden podział nie działa, sięgnij po twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

### Czy odpowiedź trzeba zapisać jako zbiór?

Nie trzeba. Wystarczy wypisać wszystkie pierwiastki oddzielone słowem "lub", bo tak są sformułowane oczekiwane odpowiedzi w kryteriach CKE. Zapis zbiorem też jest poprawny, ale nie daje dodatkowych punktów.

### Czy metoda grupowania działa dla równań czwartego stopnia?

Czasem tak, jeśli wielomian ma cztery wyrazy o pasującej strukturze. Częściej jednak w równaniach czwartego stopnia z samymi parzystymi potęgami lepiej działa podstawienie \(t = x^2\), czyli metoda znana z równań dwukwadratowych. Wybór metody zależy od tego, jakie potęgi występują w równaniu.

### Skąd wiadomo, że w zadaniu chodzi o grupowanie?

Po dwóch sygnałach naraz: wielomian ma dokładnie cztery wyrazy i jest trzeciego stopnia, a polecenie brzmi po prostu "Rozwiąż równanie". W arkuszach CKE ta para występuje razem konsekwentnie, więc gdy oba znaki są spełnione, zaczynaj od podziału na pary, a nie od szukania pierwiastka wymiernego.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z równań i nierówności (/losuj)


---
route: /rownanie-wysokosci-i-srodkowej-trojkata-uklad-wspolrzednych-matura
title: Równanie wysokości i środkowej trójkąta w układzie współrzędnych - spodek wysokości, jej długość i zadania maturalne
description: Jak wyznaczyć równanie wysokości i środkowej trójkąta w układzie współrzędnych, spodek i długość wysokości. Wzory, pułapki i 6 przykładów krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Równanie wysokości i środkowej trójkąta w układzie współrzędnych - spodek wysokości, jej długość i zadania maturalne

Wysokość trójkąta w układzie współrzędnych leży na prostej, która przechodzi przez wierzchołek i jest prostopadła do przeciwległego boku. Jeśli bok \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(a\), to prosta zawierająca wysokość z wierzchołka \(C\) ma współczynnik \(-\frac{1}{a}\) i przechodzi przez punkt \(C\). Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, więc jej równanie to zwykła prosta przez dwa punkty. Spodek wysokości to punkt przecięcia prostej zawierającej wysokość z prostą zawierającą bok, a długość wysokości to odległość wierzchołka od tego spodka.

To jeden z typowych schematów zadań otwartych z geometrii analitycznej na maturze podstawowej. W czerwcu 2012 ([zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2012-32), 4 punkty) trzeba było wyznaczyć spodek wysokości, w czerwcu 2017 ([zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2017-33), 4 punkty) odtworzyć wierzchołek trójkąta równoramiennego z prostej zawierającej wysokość, a w sierpniu 2018 ([zadanie 31](/task/matura-sierpie-2018-31), 2 punkty) napisać równanie środkowej. Każde z tych zadań składa się z tych samych trzech czynności: prosta przez dwa punkty, prosta prostopadła przez punkt i punkt przecięcia dwóch prostych. Poniżej masz schemat, wzory, sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku (pięć z nich pochodzi z arkuszy) i pułapki, na których najłatwiej stracić punkt.

## Wysokość, środkowa i symetralna boku: czym się różnią

Wysokość i środkowa wychodzą z tego samego wierzchołka, ale kończą się w różnych miejscach. Wysokość z wierzchołka \(C\) pada na prostą \(AB\) pod kątem prostym, a środkowa z wierzchołka \(C\) trafia w środek boku \(AB\). W geometrii analitycznej ta różnica decyduje o tym, czego potrzebujesz: przy wysokości kierunku boku, przy środkowej jego środka.

- **Wysokość** \(CD\): odcinek od wierzchołka \(C\) do prostej \(AB\), prostopadły do niej. Punkt \(D\) to spodek wysokości. Prosta zawierająca wysokość jest prostopadła do \(AB\) i przechodzi przez \(C\).
- **Środkowa** \(CM\): odcinek od wierzchołka \(C\) do środka \(M\) boku \(AB\). Prosta zawierająca środkową przechodzi przez \(C\) i \(M\).
- **Symetralna boku** \(AB\): prosta prostopadła do \(AB\), przechodząca przez jego środek. Nie musi przechodzić przez żaden wierzchołek. Opisuję ją osobno we wpisie o [symetralnej odcinka](/symetralna-odcinka-rownanie-wzor-zadania-matura).

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę (z wierzchołka, w którym schodzą się ramiona) pokrywa się ze środkową i leży na symetralnej podstawy. Na tym fakcie stoją dwa z przykładów niżej. W trójkącie równobocznym tak jest dla każdego wierzchołka. Trzy środkowe każdego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, czyli w [środku ciężkości trójkąta](/srodek-ciezkosci-trojkata-wzor-wspolrzedne-matura), który dzieli każdą z nich w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka.

## Jak wyznaczyć równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta

Żeby wyznaczyć równanie prostej zawierającej wysokość z wierzchołka \(C\), policz współczynnik kierunkowy boku \(AB\), odwróć go i zmień znak, a potem poprowadź prostą o tym współczynniku przez punkt \(C\). Gdy potrzebny jest spodek wysokości, rozwiąż układ równań tej prostej i prostej \(AB\).

Rozpisane na kroki:

1. Współczynnik kierunkowy boku: \(a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
2. Współczynnik wysokości: \(a_h = -\frac{1}{a_{AB}}\), bo iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy \(-1\). Skąd ten warunek, wyjaśniam we wpisie o [prostych równoległych i prostopadłych](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania).
3. Prosta przez \(C\): \(y = a_h(x - x_C) + y_C\).
4. Spodek \(D\): [punkt przecięcia dwóch prostych](/punkt-przeciecia-dwoch-prostych-jak-obliczyc), czyli prostej \(AB\) i prostej z kroku 3.
5. Długość wysokości: \(|CD|\) ze [wzoru na odległość między dwoma punktami](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania).

Dwa przypadki szczególne załatwiasz bez liczenia współczynników. Gdy bok \(AB\) jest poziomy (\(y_A = y_B\)), wysokość z \(C\) jest pionowa i ma równanie \(x = x_C\). Gdy bok jest pionowy (\(x_A = x_B\)), wysokość jest pozioma i ma równanie \(y = y_C\).

## Jak wyznaczyć równanie środkowej trójkąta

Równanie prostej zawierającej środkową z wierzchołka \(C\) wyznaczasz w dwóch krokach: liczysz środek \(M\) boku \(AB\) jako średnie współrzędnych jego końców, a potem piszesz równanie prostej przechodzącej przez \(C\) i \(M\). Prostopadłość nie ma tu żadnego znaczenia.

Środek odcinka liczysz tak jak we wpisie o [współrzędnych środka odcinka](/jak-obliczyc-srodek-odcinka-wzor-wspolrzedne), a prostą przez dwa punkty tak jak w [równaniu prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty). Jeśli wierzchołek i środek boku mają tę samą pierwszą współrzędną, środkowa jest pionowa i ma równanie \(x = x_C\).

## Wzory

Współczynnik kierunkowy prostej AB:

$$a_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

Warunek prostopadłości prostych:

$$a_1 \cdot a_2 = -1$$

Współczynnik prostej zawierającej wysokość:

$$a_h = -\frac{1}{a_{AB}}$$

Prosta przechodząca przez punkt C:

$$y = a\,(x - x_C) + y_C$$

Środek boku AB:

$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Pole trójkąta ze współrzędnych:

$$P = \frac{1}{2}\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|$$

Długość wysokości z pola:

$$h_C = \frac{2P}{|AB|}$$

Dwa ostatnie wzory dają długość wysokości bez szukania spodka, co jest wygodne, gdy zadanie pyta tylko o długość. Inne sposoby liczenia pola trójkąta z wierzchołków zebrałem we wpisie o [ośmiu wzorach na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

## Przykład 1: Równanie środkowej (matura sierpień 2018, zadanie 31)

**Treść:** Punkty \(A = (2, 4)\), \(B = (0, 0)\), \(C = (4, -2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).

**Krok 1: Środek boku AC.**

$$D = \left(\frac{2 + 4}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = (3,\ 1)$$

**Krok 2: Współczynnik kierunkowy prostej BD.** Prosta przechodzi przez \(B = (0, 0)\) i \(D = (3, 1)\):

$$a = \frac{1 - 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}$$

**Krok 3: Wyraz wolny.** Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc \(b = 0\).

**Odpowiedź:** \(y = \frac{1}{3}x\). Odcinek \(BD\) jest środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(B\).

## Przykład 2: Brakujący wierzchołek z wysokości (matura maj 2018, zadanie 18)

**Treść:** Punkt \(K = (2, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(KLM\), w którym \(|KM| = |LM|\). Odcinek \(MN\) jest wysokością trójkąta i \(N = (4, 3)\). Zatem:

- A) \(L = (5, 3)\)
- B) \(L = (6, 4)\)
- C) \(L = (3, 5)\)
- D) \(L = (4, 6)\)

**Krok 1: Ustal, który bok jest podstawą.** Równe są boki \(KM\) i \(LM\), więc ramiona schodzą się w wierzchołku \(M\), a podstawą jest \(KL\). Wysokość \(MN\) jest opuszczona na podstawę.

**Krok 2: Wysokość na podstawę jest też środkową.** W trójkącie równoramiennym spodek wysokości opuszczonej na podstawę jest środkiem podstawy, więc \(N\) to środek odcinka \(KL\).

**Krok 3: Odwróć wzór na środek odcinka.**

$$x_L = 2x_N - x_K = 8 - 2 = 6, \qquad y_L = 2y_N - y_K = 6 - 2 = 4$$

**Odpowiedź: B.** \(L = (6, 4)\).

## Przykład 3: Spodek wysokości (matura czerwiec 2012, zadanie 32)

**Treść:** Punkty \(A = (2, 11)\), \(B = (8, 23)\), \(C = (6, 14)\) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(C\) przecina prostą \(AB\) w punkcie \(D\). Oblicz współrzędne punktu \(D\).

**Krok 1: Równanie prostej AB.**

$$a_{AB} = \frac{23 - 11}{8 - 2} = \frac{12}{6} = 2$$

Z punktu \(A\): \(11 = 2 \cdot 2 + b\), więc \(b = 7\), a prosta \(AB\) ma równanie \(y = 2x + 7\).

**Krok 2: Prosta zawierająca wysokość z C.** Współczynnik to \(-\frac{1}{2}\), a prosta przechodzi przez \(C = (6, 14)\):

$$14 = -\frac{1}{2} \cdot 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 17, \qquad y = -\frac{1}{2}x + 17$$

**Krok 3: Punkt przecięcia obu prostych.**

$$2x + 7 = -\frac{1}{2}x + 17 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}x = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 4$$

Stąd \(y = 2 \cdot 4 + 7 = 15\).

**Krok 4: Sprawdzenie.** Punkt \((4, 15)\) spełnia oba równania: \(2 \cdot 4 + 7 = 15\) oraz \(-\frac{1}{2} \cdot 4 + 17 = 15\).

**Odpowiedź:** \(D = (4, 15)\). Pozostałe zadania z tego arkusza znajdziesz na stronie [matury z czerwca 2012](/exams/matura-czerwiec-2012).

## Przykład 4: Długość wysokości i pole tego samego trójkąta

**Treść:** Trójkąt ma wierzchołki \(A = (2, 11)\), \(B = (8, 23)\), \(C = (6, 14)\), a spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) to \(D = (4, 15)\), jak w przykładzie 3. Oblicz długość wysokości \(CD\) i pole tego trójkąta.

**Krok 1: Długość wysokości ze spodka.**

$$|CD| = \sqrt{(6 - 4)^2 + (14 - 15)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5$$

**Krok 2: Długość boku AB.**

$$|AB| = \sqrt{(8 - 2)^2 + (23 - 11)^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt5$$

**Krok 3: Pole z boku i wysokości.**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt5 \cdot \sqrt5 = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$$

**Krok 4: Kontrola wzorem ze współrzędnych.**

$$P = \frac{1}{2}\left|6 \cdot 3 - 12 \cdot 4\right| = \frac{1}{2} \cdot |-30| = 15$$

Wyniki się zgadzają. Ta sama droga działa w drugą stronę: gdy zadanie pyta tylko o długość wysokości, liczysz pole ze współrzędnych i dzielisz, bez szukania spodka: \(h_C = \frac{2 \cdot 15}{6\sqrt5} = \frac{5}{\sqrt5} = \sqrt5\).

**Odpowiedź:** \(|CD| = \sqrt5\), a pole trójkąta wynosi \(15\).

## Przykład 5: Spodek wysokości poza bokiem (matura próbna grudzień 2014, zadanie 32)

**Treść:** Punkty \(A = (3, 3)\) i \(B = (9, 1)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), a punkt \(M = (1, 6)\) jest środkiem boku \(AC\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej \(AB\) z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka \(C\).

**Krok 1: Wierzchołek C ze środka boku.**

$$x_C = 2 \cdot 1 - 3 = -1, \qquad y_C = 2 \cdot 6 - 3 = 9, \qquad C = (-1, 9)$$

**Krok 2: Prosta AB.**

$$a_{AB} = \frac{1 - 3}{9 - 3} = -\frac{1}{3}, \qquad 3 = -\frac{1}{3} \cdot 3 + b \ \Rightarrow\ b = 4, \qquad y = -\frac{1}{3}x + 4$$

**Krok 3: Prosta zawierająca wysokość z C.** Odwrotność liczby \(-\frac{1}{3}\) z przeciwnym znakiem to \(3\):

$$9 = 3 \cdot (-1) + b \ \Rightarrow\ b = 12, \qquad y = 3x + 12$$

**Krok 4: Punkt przecięcia.**

$$3x + 12 = -\frac{1}{3}x + 4 \quad\Rightarrow\quad \frac{10}{3}x = -8 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{12}{5}$$

Stąd \(y = 3 \cdot \left(-\frac{12}{5}\right) + 12 = \frac{24}{5}\).

**Krok 5: Zobacz, gdzie leży ten punkt.** Pierwsza współrzędna \(-\frac{12}{5}\) jest mniejsza od \(3\), czyli od pierwszej współrzędnej punktu \(A\), więc spodek wysokości leży poza odcinkiem \(AB\), na jego przedłużeniu za punktem \(A\). Tak się dzieje, gdy kąt przy \(A\) jest rozwarty. Tu rzeczywiście jest: \(|BC|^2 = 164\) jest większe od \(|AB|^2 + |AC|^2 = 40 + 52 = 92\). Dlatego polecenie mówi o prostej \(AB\), a nie o boku.

**Odpowiedź:** \(\left(-\frac{12}{5},\ \frac{24}{5}\right)\), czyli \((-2{,}4;\ 4{,}8)\).

## Przykład 6: Wierzchołek z prostej zawierającej wysokość (matura czerwiec 2017, zadanie 33)

**Treść:** Punkty \(A = (-2, -8)\) i \(B = (14, -8)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB| = |AC|\). Wysokość \(AD\) tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y = \frac{1}{2}x - 7\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego trójkąta.

**Krok 1: Ustal, który bok jest podstawą.** Równe są boki \(AB\) i \(AC\), więc ramiona schodzą się w wierzchołku \(A\), a podstawą jest \(BC\). Wysokość \(AD\) jest opuszczona na podstawę, więc \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\).

**Krok 2: Prosta BC.** Jest prostopadła do wysokości o współczynniku \(\frac{1}{2}\), więc ma współczynnik \(-2\) i przechodzi przez \(B = (14, -8)\):

$$-8 = -2 \cdot 14 + b \ \Rightarrow\ b = 20, \qquad y = -2x + 20$$

**Krok 3: Spodek wysokości D.**

$$\frac{1}{2}x - 7 = -2x + 20 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}x = 27 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{54}{5}, \qquad y = -2 \cdot \frac{54}{5} + 20 = -\frac{8}{5}$$

**Krok 4: Wierzchołek C jako drugi koniec odcinka BC.**

$$x_C = 2 \cdot \frac{54}{5} - 14 = \frac{38}{5}, \qquad y_C = 2 \cdot \left(-\frac{8}{5}\right) + 8 = \frac{24}{5}$$

**Krok 5: Sprawdzenie.** \(|AB| = 16\), a \(|AC| = \sqrt{\left(\frac{48}{5}\right)^2 + \left(\frac{64}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{6400}{25}} = 16\), więc warunek z treści jest spełniony.

**Odpowiedź:** \(C = \left(\frac{38}{5},\ \frac{24}{5}\right)\). Pozostałe zadania z tego arkusza znajdziesz na stronie [matury z czerwca 2017](/exams/matura-czerwiec-2017).

## Sprawdź się na zadaniu z bazy

Trójkąt równoramienny, wysokość opuszczona na podstawę i prosta, która ją zawiera: to samo rozumowanie co w przykładach 2 i 6, tylko krótsze. Nie znasz trzeciego wierzchołka, ale nie jest ci potrzebny, bo wysokość na podstawę leży na symetralnej podstawy. Najpierw policz sam, potem otwórz rozwiązanie pod kartą.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-luty-2013-30

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Współczynnik prostopadły bez zmiany znaku. Dla boku o współczynniku \(2\) wysokość ma współczynnik \(-\frac{1}{2}\), a nie \(\frac{1}{2}\). Zawsze sprawdź, czy iloczyn obu współczynników daje \(-1\).

**Pułapka 2:** Prosta prostopadła przez zły punkt. Wysokość z \(C\) przechodzi przez \(C\), a nie przez środek boku \(AB\). Prosta prostopadła do \(AB\) przez jego środek to symetralna, a z wysokością pokrywa się tylko wtedy, gdy \(|AC| = |BC|\).

**Pułapka 3:** Pomylenie wysokości ze środkową. Środkowa nie ma nic wspólnego z prostopadłością. Jeśli zadanie mówi o środkowej, liczysz środek boku i prostą przez dwa punkty, bez odwracania współczynnika.

**Uwaga:** Spodek wysokości nie zawsze leży na boku. W trójkącie rozwartokątnym wysokości poprowadzone z wierzchołków przy kątach ostrych padają na przedłużenia boków, jak w przykładzie 5. Nie odrzucaj wyniku tylko dlatego, że wypadł poza odcinkiem.

**Wskazówka:** Bok poziomy albo pionowy to skrót. Gdy \(y_A = y_B\), wysokość z \(C\) ma równanie \(x = x_C\), a jej długość to \(|y_C - y_A|\). Gdy \(x_A = x_B\), długość wysokości to \(|x_C - x_A|\). Tak rozwiązuje się w pół minuty zadanie z [sierpnia 2020 (zadanie 22)](/task/matura-sierpie-2020-22), w którym bok \(AC\) jest pionowy.

**Zapamiętaj:** W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową i leży na symetralnej podstawy. Najpierw ustal, który bok jest podstawą: to ten, którego nie ma w równości długości podanej w treści.

## Co musisz umieć

- Wyznaczyć współczynnik kierunkowy boku trójkąta z dwóch wierzchołków.
- Napisać równanie prostej prostopadłej do boku i przechodzącej przez przeciwległy wierzchołek.
- Obliczyć spodek wysokości jako punkt przecięcia dwóch prostych i sprawdzić go podstawieniem.
- Wyznaczyć równanie środkowej z wierzchołka i środka przeciwległego boku.
- Obliczyć długość wysokości ze spodka albo ze wzoru na pole trójkąta ze współrzędnych.
- Rozpoznać podstawę trójkąta równoramiennego i wykorzystać to, że wysokość na podstawę trafia w jej środek.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy o wysokościach, środkowych i osi symetrii trójkąta w układzie współrzędnych. Zacznij od środkowej, bo to tylko prosta przez dwa punkty, a potem przejdź do wysokości z brakującymi wierzchołkami. Pełną listę zadań z tego działu znajdziesz na stronie [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna), a wzory na wysokość w samej planimetrii, bez układu współrzędnych, zebrałem we wpisie [jak obliczyć wysokość trójkąta](/jak-obliczyc-wysokosc-trojkata-wzory-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z geometrii analitycznej (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak wyznaczyć równanie wysokości trójkąta, znając jego wierzchołki?

Policz współczynnik kierunkowy boku, na który opuszczasz wysokość, weź liczbę przeciwną do jego odwrotności i napisz równanie prostej o tym współczynniku przechodzącej przez przeciwległy wierzchołek. Dla boku o współczynniku \(2\) i wierzchołka \(C = (6, 14)\) wychodzi \(y = -\frac{1}{2}x + 17\).

### Czym różni się równanie środkowej od równania wysokości?

Środkowa przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku, więc wystarczy prosta przez dwa punkty. Wysokość przechodzi przez wierzchołek i jest prostopadła do przeciwległego boku, więc potrzebujesz współczynnika prostopadłego. Pokrywają się w trójkącie równoramiennym (dla wysokości opuszczonej na podstawę) i w trójkącie równobocznym.

### Jak obliczyć długość wysokości trójkąta w układzie współrzędnych?

Najprościej znaleźć spodek wysokości i policzyć odległość wierzchołka od spodka. Gdy spodek nie jest potrzebny, szybciej jest obliczyć pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołków i podzielić podwojone pole przez długość boku, na który pada wysokość. Można też użyć wzoru na [odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania).

### Co zrobić, gdy bok trójkąta jest równoległy do osi układu?

Gdy bok jest poziomy, wysokość opuszczona na niego jest pionowa i ma równanie \(x = x_C\). Gdy bok jest pionowy, wysokość jest pozioma i ma równanie \(y = y_C\). W obu przypadkach nie liczysz współczynnika prostopadłego, bo prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego.

### Czy spodek wysokości może leżeć poza trójkątem?

Tak. W trójkącie rozwartokątnym wysokości poprowadzone z wierzchołków przy kątach ostrych padają na przedłużenia boków. Dlatego polecenia maturalne mówią zwykle o punkcie przecięcia wysokości z prostą \(AB\), a nie z odcinkiem \(AB\).

### Gdzie przecinają się wysokości trójkąta?

Proste zawierające trzy wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywa się ortocentrum. W trójkącie ostrokątnym leży ono wewnątrz trójkąta, w prostokątnym w wierzchołku kąta prostego, a w rozwartokątnym na zewnątrz. Punkt przecięcia środkowych to inny punkt: środek ciężkości.


---
route: /rzut-moneta-prawdopodobienstwo-drzewko-zadania-matura
title: Rzut monetą - prawdopodobieństwo, drzewko i zadania maturalne
description: Rzut monetą na maturze: ile jest wyników przy n rzutach, jak rysować drzewko i liczyć orły oraz reszki. 7 zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Rzut monetą - prawdopodobieństwo, drzewko i zadania maturalne

Przy \(n\) rzutach symetryczną monetą wszystkich możliwych wyników jest \(2^n\): przy trzech rzutach 8, przy czterech 16, przy pięciu 32. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie \(k\) orłów liczysz ze wzoru \(P=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}\), czyli dzielisz liczbę układów z \(k\) orłami przez wszystkie \(2^n\) wyniki. Jeśli w zadaniu stoi "co najmniej", odejmij od 1 prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, bo to jeden ułamek zamiast czterech.

Rzut monetą to najtańsze punkty w całym dziale prawdopodobieństwa. W naszej bazie 2376 zadań z arkuszy CKE i arkuszy próbnych kategoria Prawdopodobieństwo ma 108 zadań, a 9 z nich to wprost rzut monetą: arkusze maj 2016, czerwiec 2016, czerwiec 2013, czerwiec 2018, sierpień 2014, sierpień 2016 i arkusze próbne. Schemat jest zawsze ten sam: policz \(|\Omega|\), policz zdarzenia sprzyjające, podziel. Niżej masz komplet tych zadań rozwiązanych krok po kroku, a cały dział ogarniesz z [przewodnika po prawdopodobieństwie na maturze](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

## Ile jest wszystkich wyników przy n rzutach monetą

Przy jednym rzucie masz dwie możliwości: orzeł (O) albo reszka (R). Rzuty są niezależne, więc z reguły mnożenia liczba wszystkich wyników przy \(n\) rzutach wynosi \(2^n\). Dla trzech rzutów \(|\Omega|=2^3=8\), dla czterech \(|\Omega|=2^4=16\), dla pięciu \(|\Omega|=2^5=32\). To jest zawsze pierwszy krok rozwiązania i zawsze wpisujesz go do brudnopisu.

| Liczba rzutów | Wszystkie wyniki \(2^n\) |
| --- | --- |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 6 | 64 |
| 10 | 1024 |

Kluczowe: wyniki są uporządkowane. Układ \((O,O,R)\) to inny wynik niż \((O,R,O)\), mimo że w obu wypadły dwa orły. Kto tego nie widzi, dostaje przy trzech rzutach \(|\Omega|=4\) zamiast 8 i traci punkt na starcie.

## Drzewko dla trzech rzutów monetą - wypisz wszystkie 8 wyników

Drzewko rysujesz od lewej: pierwszy rzut daje dwie gałęzie, każda z nich rozgałęzia się na dwie w drugim rzucie, i tak dalej. Przy trzech rzutach na końcu masz 8 gałęzi, a każda ma to samo prawdopodobieństwo \(\frac{1}{8}\). Przy monecie symetrycznej wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, więc możesz je po prostu wypisać:

$$OOO,\ OOR,\ ORO,\ ORR,\ ROO,\ ROR,\ RRO,\ RRR$$

Teraz pogrupuj je po liczbie orłów. Wychodzi rozkład, który warto mieć w pamięci na maturę:

| Liczba orłów w 3 rzutach | Ile układów | Prawdopodobieństwo |
| --- | --- | --- |
| 0 | 1 | \(\frac{1}{8}\) |
| 1 | 3 | \(\frac{3}{8}\) |
| 2 | 3 | \(\frac{3}{8}\) |
| 3 | 1 | \(\frac{1}{8}\) |

Suma tych czterech ułamków to 1, więc masz darmową kontrolę poprawności. Jeśli po zsumowaniu wyszło coś innego, gdzieś zgubiłeś układ.

## Wzór na dokładnie k orłów w n rzutach

Zamiast wypisywać wszystko przy większej liczbie rzutów, użyj symbolu Newtona. Liczba układów, w których \(k\) razy wypadł orzeł, to \(\binom{n}{k}\), więc

$$P(\text{dokładnie }k\text{ orłów})=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$$

Dla czterech rzutów kolejne liczniki to \(\binom{4}{0}=1\), \(\binom{4}{1}=4\), \(\binom{4}{2}=6\), \(\binom{4}{3}=4\), \(\binom{4}{4}=1\), a mianownik zawsze 16.

| Liczba orłów w 4 rzutach | Ile układów | Prawdopodobieństwo |
| --- | --- | --- |
| 0 | 1 | \(\frac{1}{16}\) |
| 1 | 4 | \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\) |
| 2 | 6 | \(\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\) |
| 3 | 4 | \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\) |
| 4 | 1 | \(\frac{1}{16}\) |

Jak liczyć symbol Newtona ręcznie, masz rozpisane w poradniku [symbol Newtona i obliczanie dwumianu](/symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie). Ten sam wzór jest szczególnym przypadkiem [schematu Bernoulliego](/schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania) dla \(p=\frac{1}{2}\), tylko przy monecie potęgi \(p\) i \(1-p\) zwijają się do jednego \(2^n\) w mianowniku.

## Zadania typu "co najmniej" - licz przez zdarzenie przeciwne

Kiedy widzisz "co najmniej jeden", nie sumuj przypadków, tylko odwróć zadanie. Zdarzeniem przeciwnym do "co najmniej jedna reszka" jest "ani jednej reszki", czyli dokładnie jeden układ \(OOO\). Wtedy \(P(A)=1-P(A')=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\). Jeden ułamek zamiast trzech i zero szans na zgubienie przypadku. Więcej o tej technice w tekście o [zdarzeniu przeciwnym i sumie zdarzeń](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa).

Odwrotnie działa "co najwyżej": "co najwyżej jeden orzeł" to zero orłów albo jeden orzeł, więc tu przypadki musisz zsumować. Najczęstszy błąd na maturze polega na zapomnieniu o zerze.

## Jak rozpoznać typ zadania po jednym słowie

Wszystkie maturalne zadania z monetą sprowadzają się do czterech schematów. Zanim cokolwiek policzysz, znajdź w treści słowo kluczowe i dopisz obok metodę.

| Co stoi w treści | Co liczysz | Wzór |
| --- | --- | --- |
| "dokładnie \(k\) orłów" | jeden składnik | \(\frac{\binom{n}{k}}{2^n}\) |
| "co najmniej jeden" | zdarzenie przeciwne | \(1-\frac{1}{2^n}\) |
| "co najwyżej \(k\)" | suma od 0 do \(k\) | \(\frac{\binom{n}{0}+\dots+\binom{n}{k}}{2^n}\) |
| "w \(i\)-tym rzucie" | pojedynczy rzut, reszta bez znaczenia | \(\frac{1}{2}\) |

Ostatni wiersz jest najczęściej przegapiany. Jeśli zadanie pyta o wynik konkretnego rzutu, pozostałe rzuty nie mają wpływu na wynik i odpowiedź to zawsze \(\frac{1}{2}\), niezależnie od tego, ile razy rzucasz monetą.

## Zadanie 21: dokładnie jeden orzeł w trzech rzutach (Matura czerwiec 2016)

Treść: rzucamy trzy razy symetryczną monetą, \(p\) to prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła. Do którego przedziału należy \(p\)?

**Krok 1: policz wszystkie zdarzenia elementarne.** Trzy rzuty, dwa wyniki każdy, więc \(|\Omega|=2^3=8\).

**Krok 2: policz układy sprzyjające.** Orzeł ma wypaść dokładnie raz, a miejsce dla niego wybierasz na \(\binom{3}{1}=3\) sposoby: \(ORR\), \(ROR\), \(RRO\). Zatem \(|A|=3\).

**Krok 3: podziel i porównaj z przedziałami.** \(p=\frac{3}{8}=0{,}375\), czyli \(0{,}25\le p\le 0{,}4\). Poprawna odpowiedź to B.

Zadanie kosztuje 1 punkt i całą trudność ma w tym, że wynik trzeba jeszcze zamienić na postać dziesiętną. Nie zostawiaj \(\frac{3}{8}\) i nie sprawdzaj przedziałów na oko.

## Zadanie 22: dokładnie dwa orły w trzech rzutach (Matura maj 2016)

Ta sama konstrukcja, ale pytanie o dwa orły. \(|\Omega|=8\), a układów z dwoma orłami jest \(\binom{3}{2}=3\): \(OOR\), \(ORO\), \(ROO\). Stąd \(p=\frac{3}{8}=0{,}375\), więc \(0{,}35\lt p\le 0{,}5\) i odpowiedź to C.

Zwróć uwagę na symetrię: dwa orły w trzech rzutach to to samo co jedna reszka w trzech rzutach, dlatego wynik jest identyczny jak w zadaniu z czerwca 2016. Ta obserwacja skraca pracę przy większych \(n\): \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\).

## Zadanie 24: co najmniej jedna reszka (Matura sierpień 2014)

Treść: rzucamy trzy razy symetryczną monetą, jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki?

**Krok 1: nazwij zdarzenie przeciwne.** Przeciwieństwem "co najmniej jedna reszka" jest "żadnej reszki", czyli same orły: tylko układ \(OOO\).

**Krok 2: policz prawdopodobieństwo przeciwnego.** \(P(A')=\frac{1}{8}\).

**Krok 3: odejmij od jedynki.** \(P(A)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\). Odpowiedź A.

Gdybyś liczył wprost, musiałbyś zsumować przypadki z jedną, dwiema i trzema reszkami: \(\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\). Wynik ten sam, roboty trzy razy więcej.

## Zadanie 18: co najwyżej jeden orzeł w czterech rzutach (Matura próbna Operon listopad 2017)

Treść: rzucono cztery razy monetą, jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie co najwyżej jeden orzeł?

**Krok 1: ustal \(|\Omega|\).** Cztery rzuty, więc \(|\Omega|=2^4=16\).

**Krok 2: rozpisz "co najwyżej jeden".** To zero orłów albo jeden orzeł. Zero orłów to jeden układ \(RRRR\), jeden orzeł to \(\binom{4}{1}=4\) układy. Razem \(|A|=1+4=5\).

**Krok 3: podziel.** \(P(A)=\frac{5}{16}\). Odpowiedź B.

Popatrz na dystraktory w tym zadaniu: \(\frac{2}{8}\) i \(\frac{4}{16}\) to dokładnie ten sam ułamek \(\frac{1}{4}\), czyli odpowiedź kogoś, kto policzył tylko przypadek z jednym orłem i zapomniał o zerze. Dwie z czterech odpowiedzi są przygotowane pod ten jeden błąd.

## Zadanie 25: dwie monety i kostka w jednym doświadczeniu (Matura sierpień 2016)

Treść: rzucamy dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dwa orły i sześć oczek?

**Krok 1: policz \(|\Omega|\) regułą mnożenia.** Pierwsza moneta 2 wyniki, druga moneta 2 wyniki, kostka 6 wyników, więc \(|\Omega|=2\cdot 2\cdot 6=24\).

**Krok 2: policz sprzyjające.** Interesuje nas jeden konkretny wynik: orzeł, orzeł, szóstka. Zatem \(|A|=1\).

**Krok 3: podziel.** \(P(A)=\frac{1}{24}\). Odpowiedź B.

Mieszane doświadczenia (moneta plus kostka) są w arkuszach częstsze, niż się wydaje. Reguła jest jedna: mnożysz liczby wyników wszystkich etapów. Jeśli w zadaniu jest sama kostka rzucana dwa razy, wchodzi tabela 6 na 6, którą rozpisaliśmy w tekście o [rzucie dwiema kostkami](/rzut-dwiema-kostkami-prawdopodobienstwo-tabela-36-wynikow).

## Zadanie 31: więcej orłów niż reszek w czterech rzutach (Matura czerwiec 2018, 2 pkt)

To zadanie otwarte, więc punkty dostajesz za rozpisanie, nie za sam wynik. Treść: rzucamy cztery razy symetryczną monetą, oblicz prawdopodobieństwo, że liczba orłów będzie większa niż liczba reszek.

**Krok 1: \(|\Omega|=2^4=16\).** Zapisz to jako \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\), tak jak w oficjalnym rozwiązaniu CKE.

**Krok 2: przetłumacz warunek na liczby.** Cztery rzuty, więc orłów może być 0, 1, 2, 3 lub 4. Orłów więcej niż reszek oznacza 3 orły (3 kontra 1) albo 4 orły (4 kontra 0). Remis 2 na 2 nie wchodzi.

**Krok 3: wypisz układy sprzyjające.** \((O,O,O,O)\), \((O,O,O,R)\), \((O,O,R,O)\), \((O,R,O,O)\), \((R,O,O,O)\), czyli \(|A|=5\).

**Krok 4: policz prawdopodobieństwo.** \(P(A)=\frac{5}{16}\).

Ten sam wynik dostaniesz wzorem: \(\frac{\binom{4}{3}+\binom{4}{4}}{16}=\frac{4+1}{16}=\frac{5}{16}\). Cały arkusz z tego terminu masz na stronie [Matura czerwiec 2018](/exams/matura-czerwiec-2018), a rozwiązania w [omówieniu arkusza](/matura-czerwiec-2018-rozwiazania-arkusz).

## Zadanie 29: jedna reszka czy orzeł w co drugim rzucie (Matura próbna styczeń 2013, 4 pkt)

Treść: rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie jednej reszki czy wyrzucenie orła w co drugim rzucie?

**Krok 1: wspólna przestrzeń.** \(|\Omega|=2^4=16\) dla obu zdarzeń.

**Krok 2: policz pierwsze zdarzenie.** Dokładnie jedna reszka to \(\binom{4}{1}=4\) układy, więc \(P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\).

**Krok 3: policz drugie zdarzenie.** "Orzeł w co drugim rzucie" to układ naprzemienny: orzeł stoi w rzucie drugim i czwartym, a w pierwszym i trzecim reszka, czyli \(RORO\). To jeden układ, więc \(P=\frac{1}{16}\).

**Krok 4: porównaj.** \(\frac{1}{4}=\frac{4}{16}\gt\frac{1}{16}\), więc bardziej prawdopodobne jest wyrzucenie jednej reszki.

W zadaniach otwartych zawsze zapisz, jak rozumiesz treść ("przyjmuję, że orzeł wypada w drugim i czwartym rzucie"). Egzaminator ocenia tok rozumowania i to zdanie chroni cię przed zerem za rzekomo złą interpretację. Jak w ogóle punktowane są zadania otwarte, opisaliśmy w tekście o [zasadach oceniania na maturze z matematyki](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

## Typowe pułapki

**Traktowanie wyników jako nieuporządkowanych.** Przy trzech rzutach \(|\Omega|=8\), nie 4. "Dwa orły i reszka" to trzy różne wyniki, nie jeden.

**Mieszanie "dokładnie" z "co najmniej".** "Dokładnie jeden orzeł" w trzech rzutach to \(\frac{3}{8}\), a "co najmniej jeden orzeł" to \(\frac{7}{8}\). Podkreśl to słowo w treści, zanim zaczniesz liczyć.

**Zapominanie o zerze w "co najwyżej".** Przy czterech rzutach "co najwyżej jeden orzeł" ma 5 układów, nie 4.

**Wiara, że moneta ma pamięć.** W [zadaniu z czerwca 2013](/task/matura-czerwiec-2013-24) pytano o prawdopodobieństwo orła w trzecim rzucie z trzech. Odpowiedź to \(\frac{1}{2}\), bo wynik trzeciego rzutu nie zależy od dwóch poprzednich. Wcześniejsze rzuty nie zmieniają niczego.

**Niedokończone porównanie z przedziałem.** W arkuszach z 2016 roku odpowiedzi były przedziałami liczbowymi. \(\frac{3}{8}\) trzeba zamienić na \(0{,}375\), inaczej łatwo wskazać zły przedział.

**Zapominanie o iloczynie etapów.** Moneta plus kostka to \(2\cdot 6=12\) wyników, a dwie monety plus kostka \(2\cdot 2\cdot 6=24\). Nigdy nie dodawaj tych liczb.

## Najczęstsze pytania

### Ile jest wszystkich wyników przy trzech rzutach monetą?
Osiem. Każdy rzut daje dwa wyniki, więc z reguły mnożenia \(|\Omega|=2^3=8\). Przy czterech rzutach jest ich 16, a przy pięciu 32.

### Jak obliczyć prawdopodobieństwo dwóch orłów w trzech rzutach?
Policz układy z dwoma orłami: \(\binom{3}{2}=3\), czyli \(OOR\), \(ORO\), \(ROO\). Podziel przez 8 i masz \(\frac{3}{8}=0{,}375\).

### Co znaczy, że moneta jest symetryczna?
Że orzeł i reszka są jednakowo prawdopodobne, każde z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{2}\). Dzięki temu wszystkie wyniki serii rzutów mają to samo prawdopodobieństwo \(\frac{1}{2^n}\) i możesz korzystać z definicji klasycznej.

### Czy przy rzucie monetą kolejność wyników ma znaczenie?
Przy zliczaniu zdarzeń elementarnych tak. \((O,O,R)\) i \((O,R,O)\) to dwa różne wyniki, chociaż w obu są dwa orły. Dopiero grupowanie po liczbie orłów pomija kolejność.

### Jak liczyć zadania z "co najmniej jedną reszką"?
Przez zdarzenie przeciwne. Odejmij od 1 prawdopodobieństwo, że reszka nie wypadła ani razu: \(1-\frac{1}{2^n}\). Dla trzech rzutów daje to \(\frac{7}{8}\).

### Czy rzut monetą to schemat Bernoulliego?
Tak, z prawdopodobieństwem sukcesu \(p=\frac{1}{2}\) i liczbą prób równą liczbie rzutów. Wzór Bernoulliego upraszcza się wtedy do \(\frac{\binom{n}{k}}{2^n}\), bo \(\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}=\frac{1}{2^n}\).

### Czy dwa orły pod rząd zmieniają szansę na trzeci orzeł?
Nie. Rzuty są niezależne, więc prawdopodobieństwo orła w kolejnym rzucie zawsze wynosi \(\frac{1}{2}\). Przekonanie, że po serii orłów "musi" wypaść reszka, to klasyczny błąd hazardzisty.

### Czy zadania z monetą są na maturze podstawowej?
Tak i to regularnie. W naszej bazie arkuszy jest 9 takich zadań, w większości zamkniętych za 1 punkt, ale w czerwcu 2018 pojawiło się zadanie otwarte za 2 punkty. Więcej zadań do ćwiczenia znajdziesz w [zbiorze zadań CKE z prawdopodobieństwa](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami) i na stronie działu [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo).

## Checklista - co musisz umieć

- Policzyć \(|\Omega|=2^n\) dla dowolnej liczby rzutów i uzasadnić to regułą mnożenia.
- Wypisać wszystkie 8 wyników trzech rzutów bez zgubienia żadnego układu.
- Znać rozkład liczby orłów dla \(n=3\) (1, 3, 3, 1) i \(n=4\) (1, 4, 6, 4, 1).
- Użyć wzoru \(P=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}\) dla dokładnie \(k\) orłów.
- Rozpoznać "co najmniej" i policzyć to zdarzeniem przeciwnym.
- Rozpisać "co najwyżej" na sumę przypadków, licząc od zera.
- Policzyć doświadczenie złożone (monety plus kostka) iloczynem liczby wyników etapów.
- Zamienić ułamek na postać dziesiętną, gdy odpowiedzi są przedziałami.
- W zadaniu otwartym zapisać \(|\Omega|\), \(|A|\) i wynik, bo za to są punkty.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /solver-matematyczny-online-rozwiaz-zadanie-maturalne-ze-zdjecia
title: Solver matematyczny online - rozwiąż zadanie maturalne ze zdjęcia po polsku
description: Solver matematyczny po polsku do matury: rozwiąż zadanie ze zdjęcia krok po kroku. Jak używać AI do matematyki mądrze i nie oszukać samego siebie.
author: Marcel Bogdan
---

# Solver matematyczny online - rozwiąż zadanie maturalne ze zdjęcia po polsku

Utknąłeś na zadaniu o 23:00, nie masz kogo zapytać, a w odpowiedziach jest tylko gołe "x = 3" bez ani jednego kroku. Znasz to? Tu właśnie wkracza solver matematyczny: wpisujesz albo fotografujesz zadanie, a narzędzie pokazuje ci całe rozwiązanie krok po kroku. W tym tekście wytłumaczę ci, jak sensownie używać solvera do nauki na maturę, czym różni się dobry solver od zwykłej "maszynki do odpowiedzi" i dlaczego solver wpięty w bazę zadań CKE bije na głowę zagraniczne aplikacje, które o polskiej maturze nie mają pojęcia.

## Czym jest solver matematyczny i jak działa

Solver matematyczny to narzędzie, które przyjmuje zadanie - w formie tekstu, wzoru albo zdjęcia - i zwraca rozwiązanie. Różnica między marnym a dobrym solverem polega na jednym: marny daje ci wynik, dobry pokazuje drogę do wyniku.

Dla maturzysty liczy się tylko ta druga wersja. Na maturze z matematyki w zadaniach otwartych punkty dostajesz za **metodę**, nie za sam wynik. Możesz mieć dobrą odpowiedź i dostać 1 z 4 punktów, jeśli komisja nie zobaczy poprawnego rozumowania. Dlatego solver, który wyrzuca samo "x = 2", jest dla ciebie prawie bezużyteczny. Potrzebujesz narzędzia, które pokaże dziedzinę, przekształcenia, deltę, sprawdzenie - czyli to, co realnie punktuje egzaminator.

Nasz [solver na sprawnamatura.pl](/solve) jest pomyślany właśnie pod maturę. Wpisujesz treść zadania, a dostajesz rozwiązanie rozbite na kroki, w polskim zapisie, z wzorami renderowanymi tak jak na arkuszu. Nie musisz instalować nic na telefonie ani zakładać konta, żeby spróbować.

## Solver po polsku vs zagraniczne aplikacje

Pewnie kojarzysz Photomath, Microsoft Math Solver albo Socratic. To dobre narzędzia, ale mają dla polskiego maturzysty dwie wady.

Po pierwsze, **nie znają polskiej matury**. Nie wiedzą, czym jest formuła 2023, jak CKE punktuje dowód, ani że na maturze podstawowej liczysz "na piechotę" pewnych rzeczy, których kalkulator naukowy by ci nie policzył. Pokazują rozwiązanie "podręcznikowe", często z metodami spoza polskiej podstawy programowej (na przykład pochodne tam, gdzie maturzysta ma użyć postaci kanonicznej).

Po drugie, **język**. Tłumaczenie kroków bywa kalką z angielskiego, a terminologia nie zgadza się z tym, co masz w tablicach CKE. Dla ucznia, który dopiero łapie temat, to dodatkowy szum.

Solver osadzony w polskim serwisie maturalnym rozwiązuje oba problemy: mówi twoim językiem i myśli kategoriami matury. A jak skończysz z jednym zadaniem, jednym klikiem przechodzisz do [losowego zadania CKE](/random) z tej samej kategorii i ćwiczysz dalej. Zagraniczna apka cię tam nie zaprowadzi, bo nie ma bazy polskich arkuszy.

## Jak rozwiązać zadanie maturalne ze zdjęcia (a kiedy lepiej je przepisać)

Fotografowanie zadania jest wygodne, ale ma haczyki. Rozpoznawanie wzorów ze zdjęcia (OCR) lubi się mylić przy ułamkach piętrowych, pierwiastkach i indeksach dolnych. "x do kwadratu" potrafi się zamienić w "x razy 2", a cały sens zadania się rozjeżdża.

Dlatego trzymaj się prostej zasady:

- **Zadanie tekstowe albo z prostym wzorem** - możesz przepisać ręcznie, masz wtedy pewność, że solver dostał dokładnie to, co trzeba.
- **Skomplikowany wzór, ułamki, pierwiastki** - jeśli fotografujesz, zawsze sprawdź, czy narzędzie odczytało wzór poprawnie, zanim zaufasz rozwiązaniu.
- **Zadanie z rysunkiem geometrycznym** - tu samo zdjęcie nie wystarczy, opisz, co jest dane (długości, kąty), bo z obrazka solver nie odczyta wymiarów.

Niezależnie od metody wprowadzenia, zawsze rób jedną rzecz: **najpierw spróbuj sam**, dopiero potem zaglądaj do rozwiązania. O tym za chwilę.

## Jak używać solvera, żeby naprawdę się nauczyć (a nie oszukać samego siebie)

To najważniejsza część tekstu, więc czytaj uważnie. Solver to broń obosieczna. Użyty głupio, robi z ciebie człowieka, który "wszystko rozumie" przy ekranie i pustkę ma na arkuszu. Użyty mądrze, jest jak korepetytor dostępny o każdej porze.

Trzymaj się tej rutyny:

1. **Najpierw walcz sam minimum 5 minut.** Zapisz, co wiesz, jaki wzór pasuje, gdzie utykasz. Mózg uczy się w momencie wysiłku, nie w momencie czytania gotowca.
2. **Dopiero potem otwórz rozwiązanie** - i nie czytaj go biernie. Zasłoń kolejny krok i zgadnij, co będzie dalej. Trafiłeś? Świetnie. Nie? To jest dokładnie ta luka, którą masz załatać.
3. **Zrób drugie, podobne zadanie bez solvera.** Jeśli nie umiesz go zrobić samodzielnie, to znaczy, że przeczytałeś rozwiązanie, ale się go nie nauczyłeś. Wróć do kroku 1.
4. **Zapisuj typ błędu.** Pomyłka rachunkowa to co innego niż brak metody. Jak zbierzesz listę swoich błędów, zobaczysz wzorzec - i to on powie ci, czego naprawdę masz się uczyć. Więcej o tym w tekście [najczęstsze błędy na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki).

Solver ma cię doprowadzić do momentu "aha", a nie wyręczyć. Test jest prosty: jeśli po sesji z solverem umiesz zrobić nowe zadanie tego typu z pamięci, wygrałeś. Jeśli nie, oszukałeś samego siebie.

## Przykład: jak solver prowadzi cię przez zadanie krok po kroku

Żeby to nie było gołosłowne, zobacz, jak wygląda dobre rozwiązanie krok po kroku na konkretnym przykładzie. Weźmy typowe maturalne równanie wymierne:

$$\frac{x+2}{x-1} = 3$$

Dobry solver nie wyrzuci samego wyniku. Pokaże ci to:

1. **Dziedzina.** Mianownik nie może być zerem: \(x - 1 \neq 0\), czyli \(x \neq 1\). To pierwszy krok, bez którego stracisz punkt na maturze.
2. **Mnożenie przez mianownik.** \(x + 2 = 3(x-1)\).
3. **Przekształcenie.** \(x + 2 = 3x - 3\), stąd \(-2x = -5\).
4. **Wynik.** \(x = \frac{5}{2}\) - i sprawdzenie, że mieści się w dziedzinie.

Widzisz różnicę? Zamiast suchego "x = 2,5" masz pełne rozumowanie, które możesz odtworzyć na egzaminie. Dokładnie tak działają rozwiązania w naszej [bazie zadań CKE](/random) - każde zadanie otwarte ma rozpisaną metodę, nie tylko odpowiedź. Po więcej rozwiązanych równań i nierówności zajrzyj do hubu [zadania CKE z równań i nierówności](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami).

## Po czym poznać dobry solver matematyczny

Nie każde narzędzie nadaje się do nauki na maturę. Zanim zaufasz jakiemukolwiek solverowi, sprawdź, czy spełnia te kryteria:

| Cecha | Dlaczego ważna na maturze |
|---|---|
| Rozwiązania krok po kroku | Punkty dostajesz za metodę, nie za wynik |
| Polski zapis i terminologia | Zgodność z tablicami i poleceniami CKE |
| Baza zadań wg działów | Możesz ćwiczyć typ zadania, nie losowo |
| Dziedzina i sprawdzenie | Tego komisja wymaga w zadaniach otwartych |
| Darmowy start bez konta | Testujesz, zanim cokolwiek zapłacisz |
| Dostęp mobilny | Uczysz się z telefonu, gdy masz chwilę |

Zagraniczne aplikacje spełniają część tych punktów, ale prawie zawsze odpadają na "polskim zapisie" i "bazie zadań CKE". I to jest twoja przewaga, jeśli wybierzesz narzędzie zrobione pod polską maturę.

## Solver to nie wszystko - potrzebujesz bazy i powtórek

Samo rozwiązywanie pojedynczych zadań nie zda za ciebie matury. Solver jest świetny jako "pierwsza pomoc", gdy utkniesz, ale prawdziwy postęp robisz, gdy łączysz go z trzema rzeczami.

Po pierwsze, **baza zadań z podziałem na działy**. Jak nie ogarniasz nierówności, nie chcesz losowo trafiać na nie raz na dziesięć zadań - chcesz zrobić ich dwadzieścia pod rząd. Do tego służą strony tematów, na przykład [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) albo [planimetria](/topics/planimetria). Świeży hub z zadaniami z tego działu znajdziesz w tekście [zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami).

Po drugie, **karta wzorów**. Zanim sięgniesz po solver, sprawdź, czy potrzebnego wzoru nie masz w [tablicach](/formulas). Na maturze i tak będziesz z nich korzystał, więc warto się z nimi oswoić wcześniej.

Po trzecie, **śledzenie postępów**. Bez tego nie wiesz, które działy masz opanowane, a które kuleją. Podgląd swoich wyników masz na stronie [postępy](/progress) - to ona podpowie ci, gdzie skierować solver następnym razem.

## Solver a oszukiwanie - gdzie jest granica

Krótko, bo to ważne: solver jest do **nauki i sprawdzania**, nie do oszukiwania na sprawdzianie. Na samej maturze nie wolno ci mieć telefonu ani żadnego urządzenia z dostępem do sieci - złamanie tej zasady to unieważnienie egzaminu. Używaj solvera w domu, w trakcie przygotowań, żeby na egzaminie wszystko umieć już z głowy. Co realnie możesz wnieść na salę, rozpisałem w tekście [co zabrać na maturę z matematyki](/co-zabrac-na-mature-z-matematyki-checklista).

## Ile to kosztuje

Sporo osób pyta o cenę, więc bez owijania: większość bazy na sprawnamatura.pl, w tym zadania zamknięte CKE i przewodniki po działach, jest **dostępna za darmo**. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku i funkcji nauki daje abonament Premium - aktualne plany i ceny zawsze sprawdzisz na stronie [płatności](/payment/checkout). Nie musisz nic płacić, żeby zacząć: wejdź na [solver](/solve), wrzuć zadanie i zobacz, jak to działa.

## FAQ - solver matematyczny na maturę

### Czy solver rozwiąże każde zadanie maturalne?
Standardowe równania, nierówności, funkcje, ciągi czy zadania z geometrii analitycznej - tak. Najtrudniejsze dowody i nietypowe zadania optymalizacyjne czasem wymagają twojego pomyślunku, ale i tam solver pokaże ci kierunek.

### Czy korzystanie z solvera jest zgodne z zasadami?
W domu, podczas nauki - jak najbardziej. Na egzaminie - nie, bo nie wolno mieć tam żadnych urządzeń elektronicznych z dostępem do internetu.

### Solver po polsku czy Photomath?
Do szybkiego policzenia czegokolwiek - obojętne. Do nauki pod polską maturę - solver osadzony w bazie CKE, bo mówi twoim językiem i pokazuje metody zgodne z tym, jak punktuje komisja.

### Czy muszę zakładać konto?
Żeby przetestować [solver](/solve) - nie. Konto przydaje się, gdy chcesz zapisywać postępy i wracać do rozwiązanych zadań.

## Podsumowanie - checklist mądrego korzystania z solvera

- Najpierw 5 minut walczysz sam, dopiero potem otwierasz rozwiązanie.
- Czytasz rozwiązanie aktywnie, zgadując kolejny krok.
- Po każdym zadaniu robisz drugie, podobne, bez pomocy.
- Sprawdzasz, czy solver dobrze odczytał wzór ze zdjęcia.
- Łączysz solver z bazą zadań wg działów i ze śledzeniem postępów.
- Solvera używasz w domu, nie na egzaminie.

Gotowy? Wrzuć pierwsze zadanie do [solvera](/solve) albo wylosuj coś z [bazy CKE](/random) i zacznij ćwiczyć tak, żeby na maturze nie potrzebować już żadnej podpowiedzi.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /stosunek-pol-trojkatow-wspolna-wysokosc-wspolny-kat-matura-rozszerzona
title: Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość, wspólny kąt i zadania z matury rozszerzonej
description: Jak liczyć stosunek pól trójkątów bez wysokości: wspólna wysokość, wspólny kąt, podobieństwo. Pięć zadań z matury rozszerzonej rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość, wspólny kąt i zadania z matury rozszerzonej

Stosunek pól dwóch trójkątów liczysz bez wyznaczania żadnej wysokości, jeśli trójkąty mają coś wspólnego. Wspólna wysokość (ten sam wierzchołek, podstawy na jednej prostej): stosunek pól równa się stosunkowi podstaw. Wspólny kąt: stosunek pól równa się stosunkowi iloczynów boków obejmujących ten kąt, bo \(P = \frac{1}{2} ab \sin\alpha\). Podobieństwo w skali \(k\): stosunek pól równa się \(k^2\). Na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona) te trzy fakty rozwiązują większość zadań z poleceniem "oblicz stosunek pól" i "wykaż, że pole trójkąta jest równe".

Ta technika wraca w arkuszach rozszerzonych regularnie, tylko pod różnymi przebraniami: raz jako trójkąt równoboczny z punktem na boku, raz jako kwadrat pocięty przekątną, raz jako dowód o polu trójkąta wyciętego dwiema prostymi równoległymi. W tym wpisie rozbieramy pięć takich zadań z arkuszy CKE, każde za 3 do 5 punktów, i pokazujemy, jak w każdym z nich rozpoznać, który z trzech wzorów wziąć. Na maturze podstawowej ten sam mechanizm pojawia się w prostszej wersji, a jego korzeniem są [trójkąty podobne](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania).

## Trzy sposoby na stosunek pól bez liczenia pól

Stosunek pól to nie jest "policz oba pola i podziel". W zadaniach rozszerzonych zwykle nie znasz żadnej wysokości i nie masz jej z czego policzyć. Zamiast tego szukasz tego, co oba trójkąty dzielą: wysokości, kąta albo kształtu.

**Wspólna wysokość.** Jeśli dwa trójkąty mają ten sam wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej, to wysokość opuszczona z tego wierzchołka jest w obu identyczna. Pole to połowa iloczynu podstawy i wysokości, więc wysokość się skraca i zostaje stosunek podstaw. Najczęstszy obraz: punkt \(D\) na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\). Wtedy \(\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{|BD|}{|DC|}\). Szczególny przypadek to środkowa, która dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach. Ten sam fakt siedzi w dowodzie [twierdzenia o dwusiecznej](/dwusieczna-kata-twierdzenie-o-dwusiecznej-zadania-matura).

**Wspólny kąt.** Jeśli dwa trójkąty mają wspólny kąt (albo kąty równe), to ich pola liczysz z tego samego wzoru \(P = \frac{1}{2} ab\sin\alpha\), a sinus się skraca. Zostaje stosunek iloczynów boków obejmujących kąt. Obraz: punkty \(B'\) na boku \(AB\) i \(C'\) na boku \(AC\). Wtedy \(\frac{P_{AB'C'}}{P_{ABC}} = \frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}\). To wzór, który najczęściej ratuje zadania z kwadratem albo prostokątem pociętym przekątnymi. Wszystkie wzory na pole trójkąta, z których te proporcje wynikają, zebraliśmy we wpisie o [ośmiu wzorach na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

**Podobieństwo.** Jeśli trójkąty są podobne w skali \(k\), to stosunek ich pól to \(k^2\). W zadaniach podobieństwo bierze się prawie zawsze z prostych równoległych: odcinek równoległy do boku odcina trójkąt podobny do całego, a skalę daje [twierdzenie Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania).

Te trzy narzędzia łączy się w jednym zadaniu. Typowy łańcuch: podobieństwo daje pole małego trójkąta jako ułamek większego, a wspólna wysokość przenosi ten ułamek na cały trójkąt.

## Wzory

Stosunek pól przy wspólnej wysokości:

$$\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{|BD|}{|DC|}$$

Stosunek pól przy wspólnym kącie:

$$\frac{P_{AB'C'}}{P_{ABC}} = \frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}$$

Stosunek pól trójkątów podobnych:

$$\frac{P_1}{P_2} = k^2$$

Pole trójkąta z dwóch boków i kąta:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$

Podział pola przez środkową:

$$P_{ABD} = P_{ADC} = \frac{1}{2} P_{ABC} \quad \text{dla } |BD| = |DC|$$

## Jak rozpoznać, który wzór wziąć

Patrzysz na dwa trójkąty, o które pyta zadanie, i zadajesz trzy pytania po kolei. Czy mają wspólny wierzchołek, a podstawy leżą na jednej prostej? Bierzesz stosunek podstaw. Czy mają wspólny kąt, a pozostałe wierzchołki leżą na ramionach tego kąta? Bierzesz iloczyny boków. Czy w zadaniu są proste równoległe? Szukasz trójkątów podobnych i skali z Talesa.

**Wskazówka:** oznacz pole całego trójkąta jedną literą, na przykład \(S\), i wyrażaj pola wszystkich mniejszych trójkątów jako ułamki \(S\). Zadanie "wykaż, że pole jest 21 razy mniejsze" zamienia się wtedy w rachunek na ułamkach, a nie w geometrię.

Jeśli w zadaniu pojawia się kąt, którego miary szukasz, stosunek pól zwykle daje ci stosunek odcinków, a dalej wchodzi [twierdzenie sinusów albo cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac). Dokładnie tak działa pierwszy przykład.

## Przykład 1: Kąt z warunku na stosunek pól (matura rozszerzona maj 2025, zadanie 3)

**Treść:** W trójkącie równobocznym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\). Stosunek pola trójkąta \(ABD\) do pola trójkąta \(ADC\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\). Oblicz miarę kąta \(DAC\).

**Krok 1: Wspólna wysokość.** Trójkąty \(ABD\) i \(ADC\) mają wspólny wierzchołek \(A\), a ich podstawy \(BD\) i \(DC\) leżą na prostej \(BC\). Wysokość z \(A\) jest w obu ta sama, więc stosunek pól to stosunek podstaw.

$$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

**Krok 2: Wyraź \(|DC|\) przez bok trójkąta.** Oznacz bok przez \(a\). Skoro \(|BD| + |DC| = a\) oraz \(|BD| = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot |DC|\), to

$$|DC| \cdot \left(1 + \frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) = a \quad \Rightarrow \quad |DC| \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = a \quad \Rightarrow \quad |DC| = \frac{2a}{\sqrt{3}+1} = a(\sqrt{3}-1)$$

**Krok 3: Twierdzenie sinusów w trójkącie \(ADC\).** Oznacz \(|\sphericalangle DAC| = \varphi\). Kąt przy \(C\) ma \(60^\circ\), więc \(|\sphericalangle ADC| = 120^\circ - \varphi\). Naprzeciw \(\varphi\) leży \(DC\), naprzeciw kąta \(ADC\) leży \(AC = a\).

$$\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sin\varphi} = \frac{a}{\sin(120^\circ - \varphi)} \quad \Rightarrow \quad (\sqrt{3}-1)\sin(120^\circ - \varphi) = \sin\varphi$$

**Krok 4: Rozwiń sinus różnicy.** \(\sin(120^\circ - \varphi) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\varphi + \frac{1}{2}\sin\varphi\). Po pomnożeniu przez \(\sqrt{3}-1\):

$$\frac{3-\sqrt{3}}{2}\cos\varphi + \frac{\sqrt{3}-1}{2}\sin\varphi = \sin\varphi \quad \Rightarrow \quad \frac{3-\sqrt{3}}{2}\cos\varphi = \frac{3-\sqrt{3}}{2}\sin\varphi$$

Stąd \(\operatorname{tg}\varphi = 1\), a kąt \(\varphi\) jest ostry, bo mieści się w kącie \(BAC\) o mierze \(60^\circ\).

**Odpowiedź:** \(|\sphericalangle DAC| = 45^\circ\).

## Przykład 2: Pole trójkąta z punktu dzielącego bok (matura rozszerzona maj 2013, zadanie 9)

**Treść:** Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC| = 17\) i \(|BC| = 10\). Na boku \(AB\) leży punkt \(D\) taki, że \(|AD| : |DB| = 3 : 4\) oraz \(|DC| = 10\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

**Krok 1: Oznacz odcinki i zauważ trójkąt równoramienny.** Niech \(|AD| = 3x\) i \(|DB| = 4x\). W trójkącie \(DBC\) mamy \(|DC| = |BC| = 10\), więc jest równoramienny, a wysokość z \(C\) trafia w środek \(DB\). Stąd

$$\cos|\sphericalangle BDC| = \frac{2x}{10} = \frac{x}{5}$$

**Krok 2: Kąt przyległy.** Kąty \(ADC\) i \(BDC\) leżą na jednej prostej, więc sumują się do \(180^\circ\) i \(\cos|\sphericalangle ADC| = -\frac{x}{5}\).

**Krok 3: Twierdzenie cosinusów w trójkącie \(ADC\).**

$$17^2 = (3x)^2 + 10^2 - 2 \cdot 3x \cdot 10 \cdot \left(-\frac{x}{5}\right) \quad \Rightarrow \quad 289 = 9x^2 + 100 + 12x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9$$

Zatem \(x = 3\), czyli \(|AD| = 9\), \(|DB| = 12\), \(|AB| = 21\).

**Krok 4: Pole trójkąta \(DBC\).** Wysokość z \(C\) w trójkącie równoramiennym o ramieniu \(10\) i podstawie \(12\) ma długość \(\sqrt{100 - 36} = 8\).

$$P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$

**Krok 5: Wspólna wysokość.** Trójkąty \(ABC\) i \(DBC\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a podstawy \(AB\) i \(DB\) na jednej prostej. Stosunek pól to stosunek podstaw.

$$P_{ABC} = P_{DBC} \cdot \frac{|AB|}{|DB|} = 48 \cdot \frac{21}{12} = 84$$

**Odpowiedź:** \(P_{ABC} = 84\).

## Przykład 3: Wspólny kąt w kwadracie (matura rozszerzona maj 2024, zadanie 9)

**Treść:** Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(a\). Punkt \(E\) jest środkiem boku \(CD\). Przekątna \(BD\) dzieli trójkąt \(ACE\) na dwie figury: trójkąt \(AGF\) (gdzie \(G\) leży na \(AC\), a \(F\) na \(AE\)) oraz czworokąt \(CEFG\). Oblicz pola figur \(AGF\) oraz \(CEFG\).

**Krok 1: Pole trójkąta \(ACE\).** Podstawa \(CE\) ma długość \(\frac{a}{2}\), a wysokość opuszczona z \(A\) na prostą \(CD\) to bok kwadratu.

$$P_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$$

**Krok 2: Gdzie leży \(G\).** Punkt \(G\) to przecięcie przekątnych kwadratu, a przekątne dzielą się na połowy. Stąd \(|AG| = \frac{1}{2}|AC|\).

**Krok 3: Gdzie leży \(F\).** Odcinek \(DE\) jest równoległy do \(AB\), więc trójkąty \(DFE\) i \(BFA\) mają równe kąty naprzemianległe i są podobne w skali \(\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{1}{2}\). Zatem \(|EF| : |FA| = 1 : 2\), czyli \(|AF| = \frac{2}{3}|AE|\).

**Krok 4: Wspólny kąt przy wierzchołku \(A\).** Trójkąty \(AGF\) i \(ACE\) mają wspólny kąt \(CAE\), a \(G\) i \(F\) leżą na jego ramionach. Stosunek pól to stosunek iloczynów boków przy tym kącie.

$$\frac{P_{AGF}}{P_{ACE}} = \frac{|AG| \cdot |AF|}{|AC| \cdot |AE|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad P_{AGF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{12}$$

**Krok 5: Pole czworokąta.** Czworokąt \(CEFG\) to reszta trójkąta \(ACE\).

$$P_{CEFG} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{12} = \frac{a^2}{6}$$

**Odpowiedź:** \(P_{AGF} = \frac{a^2}{12}\), \(P_{CEFG} = \frac{a^2}{6}\).

## Przykład 4: Podobieństwo i wspólna wysokość razem (matura rozszerzona czerwiec 2021, zadanie 7)

**Treść:** Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) obrano punkty \(D\), \(E\) i \(F\) tak, że \(|AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|\). Na bokach \(AC\) i \(BC\) obrano odpowiednio punkty \(G\) i \(H\) tak, że \(DG \parallel EC\) oraz \(FH \parallel EC\). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta \(FBH\) jest równe \(S\), to pole trójkąta \(ADG\) jest równe \(3S\).

**Krok 1: Oznacz odcinki.** Niech \(|FB| = x\). Wtedy \(|AD| = |DE| = |EF| = 2x\), więc \(|AE| = 4x\), \(|EB| = 3x\) i \(|AB| = 7x\).

**Krok 2: Trójkąt \(ADG\) jest podobny do \(AEC\).** Mają wspólny kąt przy \(A\), a z równoległości \(DG \parallel EC\) kąty \(ADG\) i \(AEC\) są równe jako odpowiadające. Skala podobieństwa to \(\frac{|AD|}{|AE|} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}\).

$$P_{ADG} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 P_{AEC} = \frac{1}{4} P_{AEC}$$

**Krok 3: Trójkąt \(FBH\) jest podobny do \(EBC\).** Ten sam argument z \(FH \parallel EC\) i wspólnym kątem przy \(B\). Skala to \(\frac{|FB|}{|EB|} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}\).

$$P_{FBH} = \frac{1}{9} P_{EBC} \quad \Rightarrow \quad P_{EBC} = 9S$$

**Krok 4: Wspólna wysokość z wierzchołka \(C\).** Trójkąty \(AEC\) i \(EBC\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a podstawy \(AE\) i \(EB\) leżą na prostej \(AB\).

$$\frac{P_{AEC}}{P_{EBC}} = \frac{|AE|}{|EB|} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad P_{AEC} = \frac{4}{3} \cdot 9S = 12S$$

**Krok 5: Złóż wszystko.**

$$P_{ADG} = \frac{1}{4} \cdot 12S = 3S$$

**Odpowiedź:** \(P_{ADG} = 3S\), co należało wykazać.

## Przykład 5: Punkt przecięcia dwóch odcinków (matura rozszerzona maj 2021, zadanie 8)

**Treść:** Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano odpowiednio punkty \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD| = |AE| = \frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\). Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest \(21\) razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\).

**Krok 1: Oznacz długości i pole.** Przyjmij \(|AB| = 3\) i \(P_{ABC} = S\). Wtedy \(|BD| = 1\), \(|AD| = 2\), \(|AE| = 1\), \(|EC| = 2\).

**Krok 2: Prosta pomocnicza.** Przez punkt \(E\) poprowadź prostą równoległą do \(CD\); niech przecina bok \(AB\) w punkcie \(F\). W trójkącie \(ADC\) odcinek \(FE\) jest równoległy do \(DC\), więc z twierdzenia Talesa

$$\frac{|AF|}{|AD|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad |AF| = \frac{2}{3}, \quad |FD| = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

**Krok 3: Stosunek, w jakim \(P\) dzieli \(BE\).** W trójkącie \(BFE\) odcinek \(DP\) leży na prostej \(CD\), a więc jest równoległy do \(FE\). Z twierdzenia Talesa

$$\frac{|BP|}{|PE|} = \frac{|BD|}{|DF|} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{|BP|}{|BE|} = \frac{3}{7}$$

**Krok 4: Wspólna wysokość z wierzchołka \(D\).** Trójkąty \(DBP\) i \(DBE\) mają wspólny wierzchołek \(D\), a podstawy \(BP\) i \(BE\) leżą na jednej prostej.

$$P_{DBP} = \frac{3}{7} P_{DBE}$$

**Krok 5: Pole trójkąta \(DBE\) jako ułamek \(S\).** Dwa razy wspólna wysokość: z wierzchołka \(E\) (podstawy \(DB\) i \(AB\)), a potem z wierzchołka \(B\) (podstawy \(AE\) i \(AC\)).

$$P_{DBE} = \frac{|DB|}{|AB|} P_{ABE} = \frac{1}{3} P_{ABE}, \qquad P_{ABE} = \frac{|AE|}{|AC|} P_{ABC} = \frac{1}{3} S \quad \Rightarrow \quad P_{DBE} = \frac{S}{9}$$

**Krok 6: Wynik.**

$$P_{DBP} = \frac{3}{7} \cdot \frac{S}{9} = \frac{S}{21}$$

**Odpowiedź:** \(P_{DBP} = \frac{1}{21} P_{ABC}\), co należało wykazać.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy rozszerzonych

Dwa kolejne zadania z tej samej rodziny. W pierwszym stosunek pól dotyczy trapezów odciętych linią środkową, w drugim trzeba wykazać, w jakim stosunku prosta przez środek środkowej dzieli bok. Spróbuj najpierw sam, z kartką. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia, krok po kroku, są dostępne w [planie z dostępem do rozszerzenia](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2025-7

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-12

## Typowe pułapki

**Pułapka:** stosunek podstaw bez wspólnej wysokości. Wzór \(\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2}\) działa tylko wtedy, gdy oba trójkąty mają ten sam trzeci wierzchołek, a obie podstawy leżą na jednej prostej. Dwa trójkąty, które po prostu stoją obok siebie na tej samej prostej, ale mają różne wierzchołki, mają różne wysokości i ten wzór dla nich nie obowiązuje.

**Pułapka 2:** skala zamiast kwadratu skali. Trójkąty podobne w skali \(\frac{1}{2}\) mają stosunek pól \(\frac{1}{4}\), nie \(\frac{1}{2}\). W przykładzie 4 to właśnie kwadraty skal (\(\frac{1}{4}\) i \(\frac{1}{9}\)) prowadzą do wyniku \(3S\); z samymi skalami wyszłoby coś innego.

**Pułapka 3:** wspólny kąt liczony jednym bokiem. Przy wspólnym kącie mnożysz OBA boki obejmujące kąt: \(\frac{|AG| \cdot |AF|}{|AC| \cdot |AE|}\). Zostawienie tylko jednego z ilorazów daje stosunek odcinków, a nie pól.

**Uwaga:** w zadaniu na dowód każda proporcja musi mieć uzasadnienie w jednym zdaniu. "Trójkąty mają wspólną wysokość z wierzchołka \(C\), bo ich podstawy leżą na prostej \(AB\)" wystarczy. Sama proporcja zapisana bez tego zdania to niekompletny dowód.

**Zapamiętaj:** środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach. To najczęstszy szczególny przypadek wspólnej wysokości i punkt wyjścia wielu dowodów o polach.

## Co musisz umieć

- Rozpoznać dwa trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem i podstawami na jednej prostej i zapisać stosunek ich pól jako stosunek podstaw.
- Zapisać stosunek pól trójkątów o wspólnym kącie jako stosunek iloczynów boków obejmujących ten kąt.
- Podnieść skalę podobieństwa do kwadratu, gdy przechodzisz od odcinków do pól.
- Wyciągnąć skalę podobieństwa z prostych równoległych przy pomocy twierdzenia Talesa.
- Wyrazić pola mniejszych trójkątów jako ułamki pola całego trójkąta oznaczonego jedną literą.
- Połączyć stosunek pól z twierdzeniem sinusów albo cosinusów, gdy zadanie pyta o kąt albo długość.
- Uzasadnić każdą proporcję w dowodzie jednym zdaniem o wspólnej wysokości, wspólnym kącie albo podobieństwie.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania poniżej pochodzą z arkuszy rozszerzonych i wszystkie stoją na stosunku pól, choć żadne nie mówi tego wprost: kwadrat na przeciwprostokątnej, prostokąt z wysokością na przekątną, trzy styczne okręgi. Więcej zadań z tego działu znajdziesz na stronie [planimetrii](/topics/planimetria), a cały arkusz z pierwszego przykładu tutaj: [matura rozszerzona maj 2025](/exams/matura-rozszerzona-maj-2025). Jeśli dopiero układasz plan nauki do rozszerzenia, zacznij od [wymagań matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

Następny krok: Zobacz wszystkie działy matury rozszerzonej (/matura-rozszerzona)

## Najczęstsze pytania

### Kiedy stosunek pól trójkątów równa się stosunkowi podstaw?

Wtedy, gdy oba trójkąty mają wspólny wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej. Wysokość opuszczona z tego wierzchołka jest wtedy w obu trójkątach ta sama, skraca się w ilorazie pól i zostaje iloraz podstaw. Najprostszy przypadek to punkt na boku trójkąta łączony z przeciwległym wierzchołkiem.

### Jak obliczyć stosunek pól trójkątów o wspólnym kącie?

Pole każdego z nich to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Sinus wspólnego kąta się skraca, więc stosunek pól to stosunek iloczynów boków obejmujących ten kąt: \(\frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}\). Trzeba pomnożyć oba boki, nie jeden.

### Czy stosunek pól trójkątów podobnych to skala czy kwadrat skali?

Kwadrat skali. Jeśli boki jednego trójkąta są \(k\) razy dłuższe od boków drugiego, to jego pole jest \(k^2\) razy większe. Dla skali \(\frac{1}{3}\) stosunek pól wynosi \(\frac{1}{9}\). To samo dotyczy każdych figur podobnych, nie tylko trójkątów.

### Jak środkowa dzieli pole trójkąta?

Na dwie równe części. Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, więc powstałe trójkąty mają wspólną wysokość z tego wierzchołka i równe podstawy. Trzy środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach.

### Czy stosunek pól trójkątów jest na maturze podstawowej?

Same trzy wzory należą do podstawy: pole z podstawy i wysokości, pole z dwóch boków i sinusa oraz stosunek pól figur podobnych. Na poziomie rozszerzonym różni się konfiguracja: kilka trójkątów naraz, prosta pomocnicza, twierdzenie Talesa albo sinusów w środku rachunku i polecenie "wykaż, że" zamiast "oblicz".

### Jak zapisać dowód ze stosunkiem pól, żeby był kompletny?

Oznacz pole całego trójkąta literą, wypisz każdą proporcję razem z jej powodem (wspólna wysokość, wspólny kąt, podobieństwo z równoległości) i doprowadź rachunek do postaci, o którą pyta polecenie. Dowód bez uzasadnienia proporcji jest niekompletny, nawet jeśli wynik się zgadza.


---
route: /test-diagnostyczny-matematyka-matura-jak-sprawdzic-poziom
title: Test diagnostyczny z matematyki przed maturą - jak sprawdzić swój poziom
description: Sprawdź swój poziom z matematyki przed maturą: pełny arkusz na czas, losowe zadania z każdego działu i darmowa baza zadań CKE z rozwiązaniami.
author: Marcel Bogdan
---

# Test diagnostyczny z matematyki przed maturą - jak sprawdzić swój poziom

## Po co ci test diagnostyczny przed maturą

Zanim usiądziesz do systematycznej nauki, warto wiedzieć, od czego zacząć. Uczysz się trzy tygodnie funkcji kwadratowej, bo "zawsze jej nie lubiłeś", a na próbnej maturze i tak tracisz punkty w stereometrii, o której nawet nie pomyślałeś. Test diagnostyczny to nic innego jak rzetelne sprawdzenie, które działy naprawdę szwankują, zanim zainwestujesz czas w naukę na oślep.

Różnica między "wydaje mi się, że umiem" a "sprawdziłem i umiem" jest ogromna. W tym tekście pokazujemy trzy konkretne sposoby, jak samodzielnie zdiagnozować poziom z matematyki, jak czytać wynik i co zrobić z niego dalej, żeby powtórki miały sens.

## Trzy sposoby, żeby sprawdzić swój poziom

### Sposób 1: pełny arkusz na czas, w warunkach zbliżonych do egzaminu

Najbardziej wiarygodny test to rozwiązanie kompletnego arkusza maturalnego pod presją czasu, bez podglądania rozwiązań w trakcie. Wyłącz telefon, odmierz 180 minut i rozwiąż cały arkusz od początku do końca, tak jak na prawdziwym egzaminie.

Do tego najlepiej nadaje się świeży [arkusz próbny CKE z marca 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) - odzwierciedla aktualny poziom trudności i formułę egzaminu. Jeśli wolisz zacząć łagodniej, dobrym punktem startowym jest też [arkusz matury maj 2026](/exams/matura-maj-2026). Dopiero po zamknięciu czasu sprawdzasz rozwiązania i liczysz punkty za każde zadanie osobno, nie tylko sumę na końcu.

### Sposób 2: losowe zadania z każdego działu

Pełny arkusz pokazuje ogólny wynik, ale nie zawsze mówi, który konkretnie dział cię pogrążył, bo w jednym arkuszu z danego działu trafiają się zwykle jedno-dwa zadania. Żeby zebrać więcej danych, przejdź przez [tryb losowy](/random) i rozwiąż 20-30 zadań z różnych działów pod rząd, notując przy każdym, czy poszło łatwo, z trudem, czy w ogóle nie wiedziałeś, jak zacząć.

Ta metoda jest szybsza niż pełny arkusz i lepiej pokazuje rozkład słabych punktów, bo losowanie miesza działy w znacznie większej próbie niż jeden zestaw egzaminacyjny.

### Sposób 3: dział po dziale, systematycznie

Jeśli podejrzewasz konkretne słabe punkty, np. z zapowiedzi nauczyciela albo z własnego wyczucia, przejdź [zadania według działów](/topics) i zrób po 10-15 zadań z każdego podejrzanego tematu. To najwolniejsza metoda, ale najbardziej precyzyjna, bo widzisz dokładnie, na którym typie zadania w danym dziale się zatrzymujesz, na przykład zawsze przy zadaniach z parametrem, a nigdy przy podstawowych równaniach.

Najlepiej połączyć wszystkie trzy sposoby: zacznij od pełnego arkusza, żeby zobaczyć ogólny obraz, potem zrób rundę losowych zadań, żeby dopracować szczegóły, a na końcu wejdź w konkretne działy, które wyszły najsłabiej.

## Jak zinterpretować wynik

Sam wynik procentowy niewiele mówi bez kontekstu. Zanim zaczniesz panikować albo świętować, sprawdź dwie rzeczy.

Po pierwsze, rozkład punktów: czy tracisz punkty głównie w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, czy w zadaniach otwartych za 4-6 punktów? To zupełnie różne problemy. Zgubione punkty na łatwych zadaniach zamkniętych to zwykle nieuwaga i błędy rachunkowe, a nie luki w wiedzy. Stracone punkty w otwartych zadaniach z konkretnego działu to sygnał, że trzeba przerobić teorię od nowa.

Po drugie, sprawdź, ile punktów w ogóle potrzebujesz. Do zdania matury podstawowej wystarczy 30 procent, ale jeśli zdajesz na konkretny kierunek studiów, próg bywa dużo wyższy. Dokładne wyliczenia i progi punktowe na popularne kierunki znajdziesz w tekstach [ile punktów żeby zdać maturę z matematyki](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) oraz [progi punktowe na studia 2027](/progi-punktowe-studia-2027-ile-punktow-matura-matematyka). Wynik testu diagnostycznego warto zestawić właśnie z twoim realnym celem, a nie z abstrakcyjnym "100 procent".

## Co zrobić z wynikiem - plan naprawczy

Diagnoza bez planu to strata czasu. Gdy już wiesz, które działy szwankują, uszereguj je od najsłabszego do najmocniejszego i zaplanuj naukę w tej kolejności, a nie chronologicznie od pierwszej strony podręcznika.

Dla każdego słabego działu trzymaj się jednego schematu: najpierw teoria i wzory, potem 5-10 najprostszych zadań, żeby zbudować pewność, dopiero na końcu zadania na poziomie maturalnym z pułapkami. Kompletny plan takiego podejścia, rozpisany krok po kroku od zera, znajdziesz w tekście [jak uczyć się matematyki od zera do matury](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury).

Po dwóch-trzech tygodniach powtórz diagnozę w tych samych działach, które wyszły najsłabiej. Jeśli wynik się poprawił, przechodzisz do kolejnych na liście. Jeśli nie, to znak, że metoda nauki tego działu wymaga zmiany, na przykład więcej zadań zamiast więcej teorii, albo odwrotnie.

## Najczęstsze błędy przy samodiagnozie

Robienie testu na spokojnie, bez limitu czasu. Na maturze presja czasu jest częścią trudności, więc test bez stopera zawyża twój realny wynik i daje fałszywe poczucie bezpieczeństwa.

Sprawdzanie odpowiedzi w trakcie rozwiązywania. Jeśli po każdym zadaniu zerkasz na rozwiązanie, nie testujesz swojej wiedzy, tylko sprawdzasz, czy potrafisz podążać za cudzym tokiem rozumowania. To dwie różne umiejętności. Jak rzetelnie zweryfikować swoje rozwiązania dopiero po zamknięciu testu, opisaliśmy w tekście [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze z matematyki](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

Jednorazowy test i koniec. Jeden test diagnostyczny to zdjęcie sytuacji z jednego dnia, nie pełny obraz. Powtarzaj diagnozę regularnie, na przykład raz na miesiąc, żeby widzieć realny postęp, a nie zgadywać.

Ignorowanie zadań, które "prawie wyszły". Zadanie, w którym popełniłeś błąd rachunkowy na ostatnim kroku, statystycznie liczy się jako błąd, ale w diagnozie warto je oznaczyć inaczej niż zadanie, którego w ogóle nie umiałeś ruszyć. To dwa różne priorytety w powtórkach.

## Jakie narzędzia ułatwiają diagnozę

Nie musisz robić tego na kartce z zegarkiem w ręce. [Symulator matury online](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) odmierza czas za ciebie i od razu liczy wynik po zadaniu. [Panel postępów](/progress) pokazuje statystyki po działach, więc widzisz na wykresie, gdzie realnie tracisz punkty, zamiast zgadywać z pamięci. Baza ponad 2300 zadań maturalnych CKE z lat 2010-2025 z rozwiązaniami krok po kroku pozwala od razu przejść z diagnozy do nauki konkretnego działu, bez szukania materiałów w innym miejscu.

Jeśli szukasz szerszego porównania narzędzi do nauki matury, zebraliśmy je w tekście [ranking platform do nauki matury z matematyki](/ranking-platform-do-nauki-matury-matematyka). A jeśli diagnoza pokaże, że najsłabszym punktem jest kombinatoryka, komplet zadań z tego działu z rozwiązaniami znajdziesz w hubie [zadania CKE z kombinatoryki z rozwiązaniami](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami).

Duża część bazy zadań, w tym zadania zamknięte i przewodniki tematyczne, jest dostępna za darmo bez logowania. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku i symulatora bez limitu daje [abonament Premium](/payment/checkout).

## FAQ

### Ile trwa dobry test diagnostyczny z matematyki?
Pełny arkusz to 180 minut, tyle samo co na prawdziwej maturze. Jeśli robisz rundę losowych zadań, wystarczy 45-60 minut skupionej pracy.

### Jak często powtarzać diagnozę?
Raz na 3-4 tygodnie w trakcie systematycznej nauki. Częściej nie ma sensu, bo efekty powtórek nie zdążą się jeszcze pokazać w wyniku.

### Co jeśli wynik diagnozy jest bardzo niski?
To dobra wiadomość na tym etapie, bo wiesz, z czym pracować, zamiast dowiedzieć się tego na próbnej maturze na kilka tygodni przed egzaminem. Zacznij od jednego, najsłabszego działu i pracuj metodycznie.

### Czy diagnoza na podstawie jednego arkusza jest wiarygodna?
Częściowo. Jeden arkusz pokazuje ogólny poziom, ale dopiero połączenie z rundą losowych zadań z wielu działów daje pełny obraz, które konkretnie tematy wymagają pracy.

## Podsumowanie: checklist przed startem nauki

Zanim zaczniesz uczyć się "po kolei", sprawdź: czy rozwiązałeś pełny arkusz na czas bez podglądania odpowiedzi, czy przeszedłeś przynajmniej 20-30 losowych zadań z różnych działów, czy wiesz, w których konkretnie działach tracisz najwięcej punktów, i czy znasz swój realny cel punktowy, a nie tylko ogólne "zdać".

Masz te odpowiedzi? To masz też gotowy plan nauki na najbliższe tygodnie. Zacznij od [pełnego arkusza próbnego](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) jeszcze dziś, a wynik zapisz gdzieś, żeby mieć punkt odniesienia do porównania przy kolejnym teście.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura
title: Trapez równoramienny na maturze - własności, kąty, wysokość i zadania
description: Trapez równoramienny na maturze: równe kąty przy podstawie, równe przekątne, wzór na wysokość i pole. Pięć zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.
author: Filip Maszota
---

# Trapez równoramienny na maturze - własności, kąty, wysokość i zadania

Trapez równoramienny to trapez, w którym oba ramiona mają tę samą długość. Z tego jednego warunku wynika cała reszta: kąty przy każdej podstawie są równe, przekątne mają równą długość, a wysokość poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy odcina na dłuższej podstawie odcinek długości \(\frac{a-b}{2}\), gdzie \(a\) i \(b\) to długości podstaw. Kąty przy tym samym ramieniu sumują się do \(180^\circ\), więc gdy znasz jeden kąt, znasz wszystkie cztery.

Trapez równoramienny wraca w arkuszach CKE co roku, i to w dwóch rolach naraz. Raz jako zadanie zamknięte za 1 punkt, w którym wystarczy poprawnie rozpoznać kąt albo policzyć wysokość. Raz jako zadanie otwarte, w którym trapez jest tylko opakowaniem dla trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa. Ten wpis pokazuje, jak w obu przypadkach dojść do wyniku tą samą, jedną drogą. Jeśli szukasz samych wzorów na pole, masz je zebrane w osobnym wpisie o tym, [jak obliczyć pole trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura) - tutaj skupiamy się na własnościach, kątach i przekątnych.

## Własności trapezu równoramiennego

Trapez równoramienny ma cztery własności, z których zbudujesz każde maturalne rozwiązanie: ramiona są równej długości, kąty przy tej samej podstawie są równe, przekątne mają równą długość, a cała figura ma oś symetrii przechodzącą przez środki obu podstaw. To wystarczy, żeby z jednej podanej wielkości wyprowadzić wszystkie pozostałe.

Rozpiszmy to na konkrety. Przyjmij oznaczenia: \(a\) to dłuższa podstawa, \(b\) krótsza podstawa, \(c\) ramię, \(h\) wysokość, \(\alpha\) kąt ostry przy dłuższej podstawie, \(\beta\) kąt rozwarty przy krótszej podstawie.

- Ramiona: \(|AD| = |BC| = c\).
- Kąty przy dłuższej podstawie są równe i ostre, kąty przy krótszej równe i rozwarte. Wyjątkiem jest prostokąt, w którym wszystkie cztery mają po \(90^\circ\).
- Kąty przy tym samym ramieniu są kątami jednostronnymi przy prostych równoległych, więc \(\alpha + \beta = 180^\circ\).
- Przekątne są równej długości: \(|AC| = |BD|\). To własność charakterystyczna, czyli działa też w drugą stronę: trapez o równych przekątnych jest równoramienny.
- Oś symetrii to prosta prostopadła do obu podstaw, przechodząca przez ich środki.
- Trapez równoramienny zawsze da się wpisać w okrąg, bo sumy przeciwległych kątów wynoszą \(180^\circ\). Jeśli chcesz zobaczyć, skąd bierze się ten warunek, mamy o tym osobny wpis o [czworokącie wpisanym w okrąg](/czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura).

**Zapamiętaj:** kluczowy ruch w każdym zadaniu to opuszczenie wysokości z wierzchołka krótszej podstawy. Dostajesz wtedy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(c\), przyprostokątnych \(h\) oraz \(\frac{a-b}{2}\), i od tej chwili to jest zwykłe zadanie z trójkąta prostokątnego.

## Wzory

Rzut ramienia na dłuższą podstawę:

$$x = \frac{a-b}{2}$$

Wysokość z twierdzenia Pitagorasa:

$$h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$

Wysokość z ramienia i kąta:

$$h = c \cdot \sin\alpha$$

Rzut ramienia z kąta ostrego:

$$x = c \cdot \cos\alpha$$

Suma kątów przy ramieniu:

$$\alpha + \beta = 180^\circ$$

Pole trapezu:

$$P = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

Obwód trapezu równoramiennego:

$$L = a + b + 2c$$

Odcinek łączący środki ramion:

$$m = \frac{a+b}{2}$$

Interaktywny kalkulator: pole-trapezu (dostępny na stronie wpisu)

## Jak rozwiązać zadanie z trapezem równoramiennym

Schemat jest zawsze ten sam i wart jest wykucia, bo oszczędza kilka minut na arkuszu.

1. Narysuj trapez i podpisz to, co masz dane. Zaznacz, która podstawa jest dłuższa.
2. Opuść wysokość z wierzchołka krótszej podstawy na dłuższą. Jeśli zadanie jest o polu albo o przekątnej, opuść obie wysokości i zobacz prostokąt w środku.
3. Nazwij rzut ramienia. W trapezie równoramiennym oba rzuty są równe i każdy ma długość \(\frac{a-b}{2}\).
4. W powstałym trójkącie prostokątnym użyj [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) albo funkcji trygonometrycznych, zależnie od tego, czy masz dany bok, czy kąt.
5. Dopiero na końcu wstaw wynik do wzoru na pole albo obwód.

**Wskazówka egzaminacyjna:** gdy w zadaniu pada kąt \(30^\circ\), \(45^\circ\) albo \(60^\circ\), nie licz nic z kalkulatora. Skorzystaj z gotowych proporcji boków w [trójkątach 30-60-90 i 45-45-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) - to szybsza i mniej błędogenna droga.

## Przykład 1: Kąt przy krótszej podstawie (matura próbna marzec 2013)

**Treść:** W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty przy ramieniu różnią się o \(50^\circ\). Kąt przy krótszej podstawie tego trapezu jest równy:

- A) \(115^\circ\)
- B) \(120^\circ\)
- C) \(125^\circ\)
- D) \(130^\circ\)

**Krok 1: Zapisz warunek dla kątów przy ramieniu.** Podstawy są równoległe, a ramię je przecina, więc kąty przy tym samym ramieniu są jednostronne i sumują się do \(180^\circ\).

$$\alpha + \beta = 180^\circ$$

**Krok 2: Dołóż drugi warunek z treści.** Kąty różnią się o \(50^\circ\), a większy z nich to \(\beta\).

$$\beta - \alpha = 50^\circ$$

**Krok 3: Rozwiąż układ.** Dodaj równania stronami.

$$2\beta = 230^\circ \quad \Rightarrow \quad \beta = 115^\circ, \qquad \alpha = 65^\circ$$

**Krok 4: Wybierz właściwy kąt.** Kąt rozwarty leży przy krótszej podstawie, bo to z niej ramiona się rozchodzą. Szukany kąt to \(\beta\).

**Odpowiedź: A.** Kąt przy krótszej podstawie ma \(115^\circ\).

## Przykład 2: Wysokość z ramienia i kąta (matura maj 2014)

**Treść:** Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym \(60^\circ\) i ramieniu długości \(2\sqrt{3}\) jest równa:

- A) \(\sqrt{3}\)
- B) \(3\)
- C) \(3\sqrt{3}\)
- D) \(2\)

**Krok 1: Zbuduj trójkąt prostokątny.** Opuść wysokość z wierzchołka krótszej podstawy. Ramię staje się przeciwprostokątną, a kąt \(60^\circ\) leży między ramieniem a dłuższą podstawą.

**Krok 2: Zapisz sinus tego kąta.** Wysokość leży naprzeciw kąta \(60^\circ\).

$$\sin 60^\circ = \frac{h}{c} \quad \Rightarrow \quad h = c \cdot \sin 60^\circ$$

**Krok 3: Podstaw dane.** Za \(c\) wstaw \(2\sqrt{3}\), a za \(\sin 60^\circ\) wartość \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

$$h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$$

**Odpowiedź: B.** Wysokość wynosi \(3\).

## Przykład 3: Wysokość z czterech boków (matura czerwiec 2018)

**Treść:** Długości boków trapezu równoramiennego są równe \(12\), \(13\), \(2\), \(13\). Wysokość \(h\) tego trapezu jest równa:

- A) \(5\)
- B) \(8\)
- C) \(10\)
- D) \(12\)

**Krok 1: Rozpoznaj, co jest czym.** Ramiona są równe, więc powtarzająca się liczba \(13\) to ramię. Zostają \(a = 12\) i \(b = 2\) jako podstawy.

**Krok 2: Policz rzut ramienia.** Wysokości odcinają z dłuższej podstawy dwa równe kawałki po bokach i prostokąt w środku.

$$x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-2}{2} = 5$$

**Krok 3: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa.** W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(13\) i przyprostokątnej \(5\) brakuje drugiej przyprostokątnej.

$$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

**Odpowiedź: D.** Wysokość wynosi \(12\).

## Przykład 4: Pole trapezu z kątem 60 stopni (matura sierpień 2023)

**Treść:** Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60^\circ\). Oblicz pole tego trapezu.

**Krok 1: Policz wysokość.** Wysokość opuszczona z \(D\) na \(AB\) tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(4\) i kącie \(60^\circ\).

$$h = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

**Krok 2: Policz rzut ramienia.** Ten sam trójkąt daje drugą przyprostokątną.

$$x = 4 \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

**Krok 3: Wyznacz dłuższą podstawę.** Dłuższa podstawa to krótsza plus dwa rzuty, po jednym z każdej strony.

$$|AB| = 6 + 2 \cdot 2 = 10$$

**Krok 4: Wstaw do wzoru na pole.**

$$P = \frac{10+6}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(P = 16\sqrt{3}\).

## Przykład 5: Przedłużone ramiona i podobieństwo (matura próbna kwiecień 2020)

**Treść:** Ramiona trapezu równoramiennego \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przedłużono i przecięły się w punkcie \(E\). Wiadomo, że \(|CD| = 4\), \(|DE| = 6\) oraz \(|AB| = |CE|\). Oblicz pole trapezu \(ABCD\).

**Krok 1: Znajdź trójkąty podobne.** Podstawy są równoległe, więc trójkąty \(ECD\) i \(EAB\) są podobne w skali \(k = \frac{|AB|}{|CD|}\). Oznacz \(|AB| = x\), wtedy \(k = \frac{x}{4}\), a z warunku zadania \(|CE| = x\).

**Krok 2: Wyraź odcinki na obu ramionach.** Z podobieństwa boki dłuższego trójkąta są \(k\) razy dłuższe.

$$|EA| = 6 \cdot \frac{x}{4} = \frac{3x}{2}, \qquad |EB| = x \cdot \frac{x}{4} = \frac{x^2}{4}$$

**Krok 3: Skorzystaj z tego, że trapez jest równoramienny.** Ramiona to różnice odcinków na przedłużeniach.

$$|AD| = \frac{3x}{2} - 6, \qquad |BC| = \frac{x^2}{4} - x$$

$$\frac{3x}{2} - 6 = \frac{x^2}{4} - x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 10x + 24 = 0$$

**Krok 4: Wybierz sensowne rozwiązanie.** Z rozkładu \((x-6)(x-4) = 0\) wychodzi \(x = 6\) lub \(x = 4\). Wartość \(x = 4\) dałaby \(|AB| = |CD|\), czyli równoległobok zamiast trapezu, więc zostaje \(x = 6\).

**Krok 5: Policz ramię, wysokość i pole.** Ramię to \(|AD| = \frac{3 \cdot 6}{2} - 6 = 3\), a rzut ramienia \(\frac{6-4}{2} = 1\).

$$h = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

$$P = \frac{6+4}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$

**Odpowiedź:** \(P = 10\sqrt{2}\).

## Sprawdź się na oryginalnym zadaniu CKE

Poniżej masz zadanie w wersji literowej, czyli z podstawami zapisanymi jako \(a\) i \(b\) zamiast konkretnych liczb. Rozwiązuje się je dokładnie tym samym schematem, tylko wynik zostaje wyrażeniem.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2021-23

## Typowe pułapki

**Pułapka:** kąt rozwarty leży przy KRÓTSZEJ podstawie, nie przy dłuższej. To najczęstszy błąd w zadaniach zamkniętych o kątach: uczeń poprawnie liczy \(115^\circ\) i \(65^\circ\), a potem podaje nie ten kąt, o który pyta polecenie. Zanim zaznaczysz odpowiedź, spójrz na rysunek i sprawdź, przy której podstawie stoi twój kąt.

**Pułapka 2:** rzut ramienia to \(\frac{a-b}{2}\), a nie \(a-b\). Różnica podstaw rozkłada się po równo na dwie strony, bo figura ma oś symetrii. Podzielenie przez dwa jest tu tak samo obowiązkowe jak w trójkącie równoramiennym, gdzie wysokość dzieli podstawę na połowy.

**Pułapka 3:** zastrzeżenie "który nie jest równoległobokiem" w treści CKE nie jest ozdobnikiem. Bez niego prostokąt też spełniałby definicję trapezu równoramiennego i zadanie miałoby drugie rozwiązanie. Gdy takie zastrzeżenie widzisz, wiesz, że podstawy mają różne długości i kąty przy nich nie są równe \(90^\circ\).

**Uwaga:** równe przekątne to własność trapezu równoramiennego, ale równe przekątne same w sobie nie robią z czworokąta trapezu. Twierdzenie działa w obie strony dopiero wewnątrz rodziny trapezów: trapez o równych przekątnych jest równoramienny.

**Wskazówka:** jeśli zadanie daje pole i pyta o wysokość, nie przekształcaj wzoru w pamięci. Podstaw dane do \(P = \frac{a+b}{2} \cdot h\) i rozwiąż powstałe [równanie liniowe](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) - to jeden krok więcej na papierze i o jeden błąd mniej.

## Co musisz umieć

- Rozpoznać, która liczba w zestawie boków jest ramieniem, a które są podstawami.
- Opuścić wysokość z wierzchołka krótszej podstawy i nazwać powstały trójkąt prostokątny.
- Policzyć rzut ramienia ze wzoru na połowę różnicy podstaw.
- Wyznaczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa, gdy dane są boki.
- Wyznaczyć wysokość i rzut z funkcji trygonometrycznych, gdy dany jest kąt.
- Skorzystać z tego, że kąty przy ramieniu sumują się do \(180^\circ\).
- Uzasadnić, że przekątne trapezu równoramiennego są równej długości.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zebraliśmy zadania z arkuszy CKE, w których trapez jest bohaterem polecenia. Zacznij od zamkniętych za 1 punkt, potem przejdź do otwartych, gdzie trzeba zapisać obliczenia. Więcej zadań z tego działu znajdziesz na stronie [planimetrii](/topics/planimetria), a cały arkusz z jednego terminu na przykład tutaj: [matura czerwiec 2018](/exams/matura-czerwiec-2018).

Trapez równoramienny nie ma w sobie nic trudnego, dopóki pamiętasz o jednym ruchu: opuść wysokość i wróć do trójkąta prostokątnego. Reszta to rachunki, które już umiesz. Jeśli chcesz przećwiczyć tę samą technikę na prostszej figurze, zajrzyj do wpisu o [trójkącie równoramiennym](/trojkat-rownoramienny-wlasnosci-wysokosc-katy-pole-zadania-matura).

## Najczęstsze pytania

### Czy prostokąt jest trapezem równoramiennym?

Tak, przy definicji trapezu obowiązującej na maturze prostokąt spełnia warunki trapezu równoramiennego: ma parę boków równoległych i równe ramiona. Dlatego CKE często dopisuje w treści "który nie jest równoległobokiem" - to zastrzeżenie odcina prostokąt i kwadrat, żeby zadanie miało jedno rozwiązanie.

### Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego, gdy znam tylko boki?

Policz rzut ramienia jako połowę różnicy podstaw, czyli \(\frac{a-b}{2}\), a potem zastosuj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie o przeciwprostokątnej równej ramieniu. Wysokość wychodzi ze wzoru \(h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}\).

### Czy przekątne trapezu równoramiennego przecinają się w połowie?

Nie. Przekątne trapezu równoramiennego są równej długości, ale dzielą się w stosunku równym stosunkowi podstaw, a nie na połowy. Na połowy dzielą się dopiero w równoległoboku, czyli w przypadku, w którym obie podstawy są równe.

### Który kąt trapezu równoramiennego jest rozwarty?

Rozwarte są oba kąty przy krótszej podstawie, a ostre oba kąty przy dłuższej. Wyjątek to prostokąt, gdzie wszystkie cztery kąty mają po \(90^\circ\). Kąty leżące przy tym samym ramieniu zawsze sumują się do \(180^\circ\).

### Czy w każdy trapez równoramienny można wpisać okrąg?

Nie, ale na każdym można okrąg opisać. Wpisanie okręgu wymaga dodatkowego warunku: suma długości podstaw musi być równa sumie długości ramion. Opisanie okręgu jest natomiast zawsze możliwe, bo sumy przeciwległych kątów wynoszą \(180^\circ\).

### Jak liczyć pole trapezu równoramiennego, gdy dany jest tylko kąt i ramię?

Najpierw z kąta i ramienia wyznacz wysokość ze wzoru \(h = c \cdot \sin\alpha\) oraz rzut ramienia ze wzoru \(x = c \cdot \cos\alpha\). Rzut pozwala uzupełnić brakującą podstawę, a wtedy pole liczysz już zwykłym wzorem \(P = \frac{a+b}{2} \cdot h\).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj)


---
route: /uklad-rownan-z-parametrem-liczba-rozwiazan
title: Układ równań z parametrem - kiedy jedno, brak, nieskończenie wiele rozwiązań
description: Jak sprawdzić, czy układ równań z parametrem ma jedno, brak czy nieskończenie wiele rozwiązań? Metoda wyznacznikowa krok po kroku i przykłady maturalne.
author: Filip Maszota
---

# Układ równań z parametrem - kiedy jedno, brak, nieskończenie wiele rozwiązań

Układ dwóch równań liniowych z parametrem \(m\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy wyznacznik główny \(W = a_1b_2 - a_2b_1\) jest różny od zera. Gdy \(W = 0\), sprawdzasz dodatkowo wyznaczniki \(W_x\) i \(W_y\): jeśli oba też są zerowe, układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (obie proste pokrywają się), a jeśli choć jeden jest różny od zera, układ jest sprzeczny i nie ma żadnego rozwiązania.

To jeden z tych typów zadań, które wyglądają groźnie, bo trzeba przeanalizować kilka przypadków naraz, a wystarczy jeden pominięty przypadek, żeby stracić część punktów. Dobra wiadomość: schemat jest zawsze ten sam, niezależnie od konkretnych liczb w treści. W tym przewodniku rozkładam go na czynniki pierwsze i rozwiązujemy razem dwa pełne zadania maturalne, w tym jedno, w którym ten sam układ zmienia typ rozwiązania w zależności od wartości \(m\). Zanim zaczniesz, upewnij się, że znasz [podstawowe metody rozwiązywania układów równań](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-przyklady) - tu zakładam, że podstawianie i eliminację już umiesz.

## Wyznacznik główny W - kiedy jedno rozwiązanie

Dla układu \(a_1x + b_1y = c_1\), \(a_2x + b_2y = c_2\) wyznacznik główny liczysz ze wzoru:

$$W = a_1b_2 - a_2b_1$$

Gdy \(W \neq 0\), układ ma **dokładnie jedno rozwiązanie** dla danej wartości parametru, niezależnie od tego, jakie są \(c_1\) i \(c_2\). To najważniejsza intuicja tego tematu: liczba rozwiązań układu liniowego zależy tylko od współczynników przy \(x\) i \(y\) (czyli od \(a_1, b_1, a_2, b_2\)), a wyrazy wolne \(c_1, c_2\) decydują dopiero o tym, co się dzieje, gdy \(W = 0\).

Samo rozwiązanie liczysz wtedy wzorami Cramera:

$$x = \frac{W_x}{W}, \qquad y = \frac{W_y}{W}$$

gdzie \(W_x\) i \(W_y\) to wyznaczniki, w których kolejno podstawiasz wyrazy wolne za kolumnę \(x\) i za kolumnę \(y\):

$$W_x = c_1b_2 - c_2b_1, \qquad W_y = a_1c_2 - a_2c_1$$

## Kiedy układ jest sprzeczny (brak rozwiązań)

Gdy \(W = 0\), proste opisane przez oba równania są równoległe. To, czy są to dwie **różne** równoległe proste (brak punktu wspólnego) czy **ta sama** prosta (nieskończenie wiele punktów wspólnych), rozstrzygają wyznaczniki \(W_x\) i \(W_y\).

Układ jest **sprzeczny**, gdy \(W = 0\) i przynajmniej jeden z wyznaczników \(W_x\), \(W_y\) jest różny od zera. Geometrycznie: proste mają ten sam kierunek, ale przecinają oś w innym miejscu, więc nigdy się nie spotykają.

## Kiedy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

Układ ma **nieskończenie wiele rozwiązań**, gdy \(W = 0\) oraz \(W_x = 0\) i \(W_y = 0\) jednocześnie. Wtedy oba równania opisują dokładnie tę samą prostą - jedno jest wielokrotnością drugiego.

Zapamiętaj tę kolejność sprawdzania, bo to najczęstsze źródło błędów: samo \(W = 0\) **nic jeszcze nie mówi** o tym, czy rozwiązań jest zero czy nieskończenie wiele. Trzeba koniecznie sprawdzić \(W_x\) i \(W_y\) osobno.

## Przykład 1: ten sam układ, trzy różne odpowiedzi

**Treść:** Dla jakich wartości parametru \(m\) układ równań

$$\begin{cases} x + my = 2 \\ mx + 4y = m + 2 \end{cases}$$

ma: a) dokładnie jedno rozwiązanie, b) nieskończenie wiele rozwiązań, c) nie ma rozwiązań?

**Krok 1: Zapisz współczynniki i policz wyznacznik główny.**

Tu \(a_1 = 1\), \(b_1 = m\), \(c_1 = 2\), \(a_2 = m\), \(b_2 = 4\), \(c_2 = m + 2\).

$$W = 1 \cdot 4 - m \cdot m = 4 - m^2$$

**Krok 2: Wyznacz, dla jakich m wyznacznik się zeruje.**

$$4 - m^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad m^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad m = 2 \ \text{lub} \ m = -2$$

**Krok 3: Odpowiedz na podpunkt a).**

Dla \(m \neq -2\) i \(m \neq 2\) mamy \(W \neq 0\), więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. To odpowiedź na a): \(m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}\).

**Krok 4: Policz Wx i Wy, żeby rozstrzygnąć przypadki brzegowe.**

$$W_x = c_1b_2 - c_2b_1 = 2 \cdot 4 - (m+2) \cdot m = 8 - m^2 - 2m$$

$$W_y = a_1c_2 - a_2c_1 = 1 \cdot (m+2) - m \cdot 2 = 2 - m$$

**Krok 5: Sprawdź m = 2.**

$$W_x = 8 - 4 - 4 = 0, \qquad W_y = 2 - 2 = 0$$

Oba wyznaczniki zerowe, więc dla \(m = 2\) układ ma **nieskończenie wiele rozwiązań**. To odpowiedź na b). Sprawdzenie na oko: przy \(m=2\) pierwsze równanie to \(x + 2y = 2\), a drugie po podzieleniu przez 2 daje dokładnie to samo równanie - to ta sama prosta.

**Krok 6: Sprawdź m = -2.**

$$W_x = 8 - 4 - 2 \cdot(-2) = 8 - 4 + 4 = 8, \qquad W_y = 2 - (-2) = 4$$

Oba różne od zera, więc dla \(m = -2\) układ jest **sprzeczny** - brak rozwiązań. To odpowiedź na c). Rzeczywiście: pierwsze równanie daje \(x - 2y = 2\), a drugie po uproszczeniu \(x - 2y = 0\) - te same współczynniki przy \(x\) i \(y\), ale inna prawa strona, więc proste są równoległe i różne.

**Krok 7 (dodatkowo): rozwiąż układ dla pozostałych m.**

Dla \(m \notin \{-2, 2\}\) możesz nawet podać rozwiązanie ogólne w zależności od \(m\):

$$x = \frac{8 - m^2 - 2m}{4 - m^2} = \frac{m+4}{m+2}, \qquad y = \frac{2-m}{4-m^2} = \frac{1}{m+2}$$

(licznik i mianownik da się skrócić przez \((m-2)\) w obu ułamkach). Sprawdzenie dla \(m = 0\): układ \(x = 2\), \(4y = 2\) daje \(x=2, y=0{,}5\), a wzór daje \(x = 4/2 = 2\) i \(y = 1/2 = 0{,}5\) - zgadza się.

## Przykład 2: układ sprzeczny tylko dla jednej wartości parametru

**Treść:** Dla jakiej wartości parametru \(m\) układ równań

$$\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 4x + (m-6)y = m \end{cases}$$

nie ma rozwiązania?

**Krok 1: Policz wyznacznik główny.**

$$W = 2(m-6) - 4 \cdot(-3) = 2m - 12 + 12 = 2m$$

**Krok 2: Znajdź m, dla którego W = 0.**

$$2m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 0$$

To jedyny kandydat na wartość, przy której układ mógłby nie mieć rozwiązania - dla wszystkich pozostałych \(m\) wyznacznik jest różny od zera, więc rozwiązanie istnieje (i jest dokładnie jedno).

**Krok 3: Sprawdź, czy przy m = 0 układ jest sprzeczny, czy ma nieskończenie wiele rozwiązań.**

$$W_x = 5(m-6) - m\cdot(-3) = 5m - 30 + 3m = 8m - 30$$

Dla \(m=0\): \(W_x = -30 \neq 0\). Skoro \(W = 0\) i \(W_x \neq 0\), układ jest **sprzeczny** - nie trzeba nawet liczyć \(W_y\), wystarczy jeden niezerowy wyznacznik.

**Odpowiedź:** \(m = 0\).

**Sprawdzenie:** przy \(m=0\) drugie równanie to \(4x - 6y = 0\). Pierwsze równanie pomnożone przez 2 daje \(4x - 6y = 10\). Ten sam lewy bok, różny prawy - proste równoległe i różne, więc rzeczywiście brak punktu wspólnego.

**Dodatkowo:** dla \(m \neq 0\) możesz policzyć ogólne rozwiązanie: \(x = \dfrac{4m-15}{m}\), \(y = \dfrac{m-10}{m}\). Dla \(m=1\) daje to \(x=-11\), \(y=-9\) - możesz to podstawić do obu wyjściowych równań i sprawdzić samodzielnie.

## Metoda bez wyznaczników - porównywanie współczynników

Jeśli wyznaczniki nie są jeszcze dla ciebie wygodne, możesz rozumować przez proporcje współczynników. Dla układu \(a_1x+b_1y=c_1\), \(a_2x+b_2y=c_2\) (przy założeniu, że \(a_2, b_2, c_2 \neq 0\)):

- \(\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}\) - dokładnie jedno rozwiązanie
- \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) - nieskończenie wiele rozwiązań
- \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}\) - brak rozwiązań

To dokładnie ta sama klasyfikacja co przez wyznaczniki, tylko zapisana jako proporcje. Wadą tej metody jest to, że przy \(a_2 = 0\) albo \(b_2 = 0\) dzielenie się psuje - dlatego na maturze rozszerzonej bezpieczniej jest trzymać się wyznaczników, które działają zawsze.

## Przykład 3: krótkie zadanie metodą proporcji

**Treść:** Dla jakiej wartości parametru \(k\) proste \(y = 3x + k\) oraz \(y = (k-2)x + 5\), traktowane jako układ dwóch równań, nie mają punktu wspólnego?

Zapisz obie proste w postaci ogólnej: \(3x - y + k = 0\) oraz \((k-2)x - y + 5 = 0\), czyli \(a_1=3, b_1=-1, c_1=-k\) oraz \(a_2=k-2, b_2=-1, c_2=-5\).

**Krok 1: Policz W.**

$$W = 3\cdot(-1) - (k-2)\cdot(-1) = -3 + k - 2 = k - 5$$

**Krok 2: Znajdź k, dla którego proste są równoległe.**

$$W = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 5$$

**Krok 3: Sprawdź, czy przy k=5 to ta sama prosta, czy dwie różne.**

Przy \(k=5\) pierwsza prosta to \(y=3x+5\), a druga to \(y=(5-2)x+5=3x+5\) - to ta sama prosta, więc mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, a nie zero. Odpowiedź na pytanie zadania brzmi więc: **nie istnieje** taka wartość \(k\), dla której te proste nie mają żadnego punktu wspólnego - dla \(k=5\) pokrywają się, a dla każdego innego \(k\) przecinają się w jednym punkcie.

Ten przykład pokazuje, dlaczego warto zawsze sprawdzić przypadek \(W=0\) do końca, zamiast zakładać z góry, jaki będzie wynik - czasem odpowiedzią na "dla jakiego parametru brak rozwiązań" jest właśnie "dla żadnego".

## Jak sprawdzić, czy wynik jest poprawny

Najpewniejszy sposób to podstawić znalezioną wartość parametru z powrotem do obu równań układu i sprawdzić naocznie, czy rzeczywiście dostajesz opisany przypadek (te same proste, proste równoległe różne, albo policzyć \(x\) i \(y\) i wstawić je do obu równań wyjściowych). W przykładzie 1 zrobiliśmy to dla wszystkich trzech wartości \(m\) - warto wyrobić sobie ten nawyk, bo to jedyny sposób, żeby złapać pomyłkę w znaku przy liczeniu wyznacznika.

## Typowe pułapki przy zadaniach z parametrem

**Pułapka 1: Traktowanie W = 0 jako końca zadania.** Samo \(W=0\) nie mówi, czy rozwiązań jest zero czy nieskończenie wiele - zawsze trzeba dodatkowo sprawdzić \(W_x\) i \(W_y\).

**Pułapka 2: Błąd znaku w wyznaczniku.** \(W = a_1b_2 - a_2b_1\), nie \(a_1b_2 + a_2b_1\). To najczęstszy błąd rachunkowy w tym temacie - warto po policzeniu wyznacznika podstawić jedną prostą liczbę i sprawdzić wynik na chłopski rozum.

**Pułapka 3: Dzielenie przez zero przy metodzie proporcji.** Jeśli \(a_2\) albo \(b_2\) może być równe zero dla jakiegoś \(m\), metoda proporcji się psuje - użyj wyznaczników.

**Pułapka 4: Podanie tylko jednej wartości m, gdy równanie kwadratowe na W ma dwa pierwiastki.** Jak w przykładzie 1 - \(4-m^2=0\) ma dwa rozwiązania i każde trzeba sprawdzić osobno, bo mogą dać różne typy układu (tak jak tutaj: jedno dało nieskończenie wiele, drugie brak rozwiązań).

**Pułapka 5: Brak sprawdzenia wyniku.** Nawet dobrze policzony wyznacznik nic nie znaczy, jeśli błędnie przepisałeś współczynniki z treści zadania - zawsze wróć do oryginalnego układu i podstaw znalezioną wartość \(m\).

## Co musisz umieć - checklist

- Zapisać wyznacznik główny \(W = a_1b_2 - a_2b_1\) dla dowolnego układu z parametrem
- Rozwiązać równanie \(W = 0\) względem parametru (może być liniowe albo kwadratowe)
- Policzyć \(W_x\) i \(W_y\) i wiedzieć, że decydują one o typie układu tylko wtedy, gdy \(W=0\)
- Rozróżnić: \(W_x=W_y=0\) to nieskończenie wiele rozwiązań, choć jeden różny od zera to układ sprzeczny
- Sprawdzić znalezioną wartość parametru przez podstawienie do oryginalnych równań
- Umieć też podać rozwiązanie ogólne \(x=W_x/W\), \(y=W_y/W\) dla przypadku jednego rozwiązania

Poćwicz ten schemat na [zadaniach z układów równań](/topics/uklady-rownan) - jeśli wolisz najpierw odświeżyć klasyczne metody bez parametru, zacznij od [metody podstawiania](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania) i [metody przeciwnych współczynników](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-przeciwnych-wspolczynnikow). Podobny mechanizm parametru (warunek zapisany jako równanie lub nierówność na \(m\)) pojawia się też przy [funkcji liniowej z parametrem](/funkcja-liniowa-z-parametrem-zadania-matura) - warto zobaczyć oba teksty razem, żeby oswoić się z tym typem rozumowania. Zadanie [7 z matury czerwiec 2024](/task/matura-czerwiec-2024-07) i [zadanie z matury maj 2015](/task/matura-maj-2015-05) to dobre miejsca, żeby przetestować schemat na prawdziwych treściach z arkusza CKE.

## Najczęstsze pytania

### Jak sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań z parametrem?
Policz wyznacznik główny \(W = a_1b_2 - a_2b_1\). Jeśli \(W \neq 0\), układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla tej wartości parametru. Jeśli \(W = 0\), policz dodatkowo \(W_x\) i \(W_y\) - to one rozstrzygają, czy rozwiązań jest zero czy nieskończenie wiele.

### Czym różni się układ sprzeczny od układu z nieskończenie wieloma rozwiązaniami?
Oba mają \(W=0\), czyli proste są równoległe. Różnica jest w wyrazach wolnych: jeśli proste są identyczne (ta sama prosta), rozwiązań jest nieskończenie wiele i wtedy \(W_x=W_y=0\). Jeśli proste są równoległe, ale różne, nie mają punktu wspólnego i układ jest sprzeczny - wtedy przynajmniej jeden z \(W_x, W_y\) jest różny od zera.

### Czym jest wyznacznik układu równań i jak się go liczy?
Dla układu \(a_1x+b_1y=c_1\), \(a_2x+b_2y=c_2\) wyznacznik główny to \(W=a_1b_2-a_2b_1\) - iloczyn współczynników na przekątnej głównej minus iloczyn na przekątnej przeciwnej. Wyznaczniki \(W_x\) i \(W_y\) liczysz tak samo, ale wstawiając kolumnę wyrazów wolnych zamiast kolumny odpowiednio \(x\) lub \(y\).

### Czy da się rozwiązać takie zadanie bez wyznaczników?
Tak, przez porównanie proporcji współczynników \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), \(c_1/c_2\), albo klasyczną metodą podstawiania czy eliminacji, sprawdzając osobno przypadek szczególny. Wyznaczniki są jednak szybsze i mniej podatne na dzielenie przez zero.

### Jak geometrycznie interpretować brak rozwiązań i nieskończenie wiele rozwiązań?
Każde z równań układu to prosta na płaszczyźnie. Jedno rozwiązanie to jeden punkt przecięcia dwóch różnych prostych. Brak rozwiązań to dwie proste równoległe, które nigdy się nie spotykają. Nieskończenie wiele rozwiązań to sytuacja, w której obie proste pokrywają się - każdy ich punkt jest wspólny.

### Ile wartości parametru zwykle trzeba sprawdzić w zadaniu maturalnym?
Zależy od tego, ile pierwiastków ma równanie \(W=0\). Jeśli \(W\) jest liniowe względem \(m\), zwykle jest to jedna wartość. Jeśli \(W\) jest kwadratowe (tak jak w przykładzie 1 tego artykułu), mogą być dwie wartości i każdą trzeba sprawdzić osobno, bo mogą dawać różne odpowiedzi.

### Jak sprawdzić, czy znalezione rozwiązanie układu jest poprawne?
Podstaw parę \((x, y)\) do obu równań wyjściowych układu (nie tylko do jednego) i sprawdź, czy obie równości się zgadzają. Przy zadaniach o liczbie rozwiązań podstaw znalezioną wartość parametru z powrotem do układu i porównaj równania bezpośrednio.

### Czy warto uczyć się metody wyznacznikowej, skoro nie ma jej w karcie wzorów CKE?
Tak. Metoda wyznacznikowa jest krótsza i mniej podatna na błędy niż wielokrotne podstawianie, a wzór \(W=a_1b_2-a_2b_1\) łatwo zapamiętać i sprawdzić na prostym przykładzie liczbowym przed egzaminem. CKE ocenia poprawność rozumowania, nie to, którą dopuszczalną metodą je przeprowadzisz.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac
title: Usuwanie niewymierności z mianownika - jak upraszczać wyrażenia z pierwiastkami krok po kroku
description: Jak usunąć niewymierność z mianownika? 3 metody z przykładami krok po kroku, 6 rozwiązanych zadań maturalnych i gotowy algorytm na egzamin z matematyki.
author: Filip Maszota
---

# Usuwanie niewymierności z mianownika - jak upraszczać wyrażenia z pierwiastkami krok po kroku

Usuwanie niewymierności z mianownika to umiejętność, która pojawia się na maturze regularnie. Czasem jako osobne zadanie, a częściej jako krok w większym rozwiązaniu - przy obliczaniu [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania), [wartości trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela) czy upraszczaniu wyników w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). Opanuj trzy metody i zapomnij o problemie.

## Po co usuwać niewymierność?

Zapis \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) i \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) to ta sama liczba, ale drugi jest standardowy. CKE oczekuje wyniku bez pierwiastków w mianowniku. Za zapis z niewymiernym mianownikiem nie stracisz punktu w zadaniu otwartym, ale w zamkniętym możesz nie znaleźć swojej odpowiedzi wśród opcji.

## Metoda 1: Jeden pierwiastek w mianowniku

Gdy w mianowniku stoi sam pierwiastek, po prostu mnożysz licznik i mianownik przez ten pierwiastek.

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$

### Przykład 1

Uprość \(\frac{6}{\sqrt{3}}\).

**Rozwiązanie:**

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(2\sqrt{3}\).

### Przykład 2

Uprość \(\frac{10}{3\sqrt{5}}\).

**Rozwiązanie:**

$$\frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{10}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{2\sqrt{5}}{3}\).

## Metoda 2: Suma z pierwiastkiem - mnożenie przez sprzężenie

Gdy mianownik ma postać \(a + \sqrt{b}\), mnożymy przez **sprzężenie** \(a - \sqrt{b}\). Korzystamy ze [wzoru skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\):

$$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$$

Pierwiastek znika!

### Przykład 3

Uprość \(\frac{3}{2 + \sqrt{5}}\).

**Rozwiązanie:**

Sprzężenie mianownika to \(2 - \sqrt{5}\). Mnożymy:

$$\frac{3}{2 + \sqrt{5}} \cdot \frac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \frac{3(2 - \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{6 - 3\sqrt{5}}{-1} = -6 + 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 6$$

**Odpowiedź:** \(3\sqrt{5} - 6\).

### Przykład 4

Uprość \(\frac{1}{\sqrt{3} - 1}\).

**Rozwiązanie:**

Sprzężenie to \(\sqrt{3} + 1\):

$$\frac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3} + 1}{2}\).

## Metoda 3: Dwa pierwiastki w mianowniku

Gdy mianownik to \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) lub \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\), też mnożymy przez sprzężenie:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$$

### Przykład 5

Uprość \(\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}\).

**Rozwiązanie:**

$$\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(\sqrt{7} + \sqrt{3}\).

### Przykład 6: Zadanie maturalne

Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\).

**Rozwiązanie:**

Mnożymy przez sprzężenie mianownika:

$$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{6 - 2}$$

Rozwijamy kwadrat w liczniku (wzór \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)):

$$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}$$

$$\frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(2 + \sqrt{3}\).

## Algorytm na maturę - szybki schemat

1. **Czy mianownik to sam \(\sqrt{x}\)?** Mnóż przez \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\).
2. **Czy mianownik to \(a \pm \sqrt{b}\) lub \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\)?** Mnóż przez sprzężenie.
3. **Uprość** - skróć ułamek, wyciągnij czynniki spod pierwiastka.

## Typowe błędy

**Błąd 1: Złe sprzężenie.** Sprzężenie \(a + \sqrt{b}\) to \(a - \sqrt{b}\) (zmieniasz TYLKO znak przy pierwiastku). Sprzężenie \(\sqrt{3} - 2\) to \(\sqrt{3} + 2\), nie \(-\sqrt{3} + 2\).

**Błąd 2: Zapominanie o mnożeniu licznika.** Jeśli mnożysz mianownik przez sprzężenie, musisz pomnożyć też licznik! Inaczej zmieniasz wartość ułamka.

**Błąd 3: Niepoprawne mnożenie pierwiastków.** \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\) (nie \(\sqrt{9}\)!). No dobra, \(\sqrt{9} = 3\), ale nie komplikuj sobie życia.

**Błąd 4: Zostawianie niewykończonego wyniku.** Po usunięciu niewymierności uprość ułamek do końca. \(\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\), nie zostawiaj \(\frac{6\sqrt{3}}{3}\).

**Błąd 5: Wyciąganie czynników spod pierwiastka.** \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Zawsze sprawdzaj, czy pod pierwiastkiem nie kryje się kwadrat. Więcej o [potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania).

## Kiedy spotykasz niewymierność na maturze?

Usuwanie niewymierności nie jest tylko "akademickim" tematem. Pojawia się w praktyce w wielu typach zadań:

- **[Wartości trygonometryczne](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela):** \(\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- **[Odległość punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania):** wynik ze wzoru często ma \(\sqrt{a}\) w mianowniku
- **[Geometria analityczna](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania):** długości odcinków, odległości
- **Stereometria:** przekątne brył, kąty dwuścienne

## Co musisz umieć - checklista

- Usuwać pojedynczy pierwiastek z mianownika (mnożenie przez siebie)
- Stosować mnożenie przez sprzężenie (suma/różnica z pierwiastkiem)
- Rozwijać kwadrat sumy/różnicy po pomnożeniu
- Upraszczać wynik (skracanie, wyciąganie spod pierwiastka)
- Rozpoznawać sytuacje, gdy usunięcie niewymierności jest potrzebne

Przećwicz na [zadaniach z wyrażeń algebraicznych](/topics/wyrazenia-algebraiczne) w naszej bazie. Przyda się też powtórka [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) - bez nich sprzężenie nie zadziała.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /wykres-funkcji-sinus-cosinus-okres-amplituda-przesuniecia
title: Wykres funkcji sinus i cosinus - okres, amplituda, przesunięcia
description: Jak amplituda, okres i przesunięcia zmieniają wykres sinusa i cosinusa. Wzory, cztery przykłady krok po kroku, materiał do matury rozszerzonej.
author: Filip Maszota
---

# Wykres funkcji sinus i cosinus - okres, amplituda, przesunięcia

Wykres funkcji sinus i cosinus to falująca krzywa, która powtarza się co \(2\pi\) (to jej okres) i przyjmuje wartości od -1 do 1 (to jej amplituda). Gdy funkcję przekształcasz do postaci \(f(x) = A \sin(\omega(x - x_0)) + B\), liczba \(|A|\) zmienia amplitudę, \(\omega\) zmienia okres na \(T = 2\pi / |\omega|\), a \(x_0\) i \(B\) przesuwają wykres w poziomie i w pionie. To jeden z tematów, które na maturze rozszerzonej pojawiają się razem z odczytywaniem wzoru funkcji z opisu wykresu.

W tym artykule rysujemy krok po kroku, jak podstawowy wykres sinusa i cosinusa zmienia się pod wpływem każdego z tych czterech parametrów, i przechodzimy przez cztery pełne przykłady, w tym zadanie odwrotne - odczytanie wzoru funkcji z danych o wykresie.

## Podstawowy wykres funkcji sinus i cosinus

Funkcje \(y = \sin x\) oraz \(y = \cos x\) mają dziedzinę \(\mathbb{R}\) i zbiór wartości \([-1, 1]\). Obie są okresowe z okresem \(T = 2\pi\), co oznacza, że \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) dla każdego \(x\).

Kluczowe różnice między nimi widać od razu na wykresie:

- \(y = \sin x\) przechodzi przez początek układu współrzędnych - \(\sin 0 = 0\), rośnie do 1 w \(x = \pi/2\), spada do -1 w \(x = 3\pi/2\).
- \(y = \cos x\) zaczyna od maksimum - \(\cos 0 = 1\), spada do -1 w \(x = \pi\), wraca do 1 w \(x = 2\pi\).
- Wykres cosinusa to wykres sinusa przesunięty o \(\pi/2\) w lewo: \(\cos x = \sin(x + \pi/2)\).

Obie funkcje są nieparzyste albo parzyste - \(\sin(-x) = -\sin x\) (funkcja nieparzysta, wykres symetryczny względem początku układu), \(\cos(-x) = \cos x\) (funkcja parzysta, wykres symetryczny względem osi OY). Jeśli ten podział jest dla Ciebie nowy, warto najpierw przypomnieć sobie [wartości funkcji trygonometrycznych w tabeli](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela), bo do rysowania wykresu potrzebujesz znać wartości w charakterystycznych punktach: 0, \(\pi/2\), \(\pi\), \(3\pi/2\), \(2\pi\).

## Jak przekształcenia zmieniają wykres funkcji trygonometrycznej

Ogólna postać przekształconej funkcji sinus wygląda tak:

$$f(x) = A \sin\big(\omega(x - x_0)\big) + B$$

Każdy z czterech parametrów odpowiada za inną zmianę wykresu:

- **Amplituda \(|A|\)** - rozciąga (gdy \(|A| > 1\)) albo ściska (gdy \(|A|  0\)) lub w lewo (jeśli \(x_0  0\)) lub w dół (jeśli \(B  0\)) i o 1 jednostkę w górę (bo \(B = 1\)). Amplituda i okres się nie zmieniają, bo \(A = 1\) i \(\omega = 1\).

**Krok 3: Sprawdź zbiór wartości**

Zbiór wartości to \([B - |A|, B + |A|] = [1 - 1, 1 + 1] = [0, 2]\).

**Krok 4: Zweryfikuj tożsamością trygonometryczną**

Warto znać wzór redukcyjny \(\sin(x - \pi/2) = -\cos x\), więc naszą funkcję można też zapisać jako \(y = -\cos x + 1\). To dobry sposób na sprawdzenie wyniku - oba zapisy muszą dawać ten sam wykres. Jeśli nie pamiętasz takich wzorów, zajrzyj do [tabeli wzorów redukcyjnych](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania).

### Przykład 3: Odczytaj wzór funkcji z opisu wykresu

Wiadomo, że funkcja ma postać \(f(x) = a\sin(bx)\), gdzie \(a > 0\) i \(b > 0\). Jej największa wartość wynosi 4, a okres funkcji jest równy \(\pi\). Wyznacz \(a\) i \(b\).

**Krok 1: Wyznacz \(a\) z największej wartości**

Największa wartość funkcji \(a\sin(bx)\) to \(a\) (bo sinus osiąga maksymalnie wartość 1). Skoro ta wartość wynosi 4, to \(a = 4\).

**Krok 2: Wyznacz \(b\) z okresu**

$$T = \frac{2\pi}{b} = \pi \implies b = \frac{2\pi}{\pi} = 2$$

**Krok 3: Zapisz wzór funkcji**

$$f(x) = 4\sin(2x)$$

Ten typ zadania - odczytywanie współczynników z opisanych własności wykresu zamiast samego rysowania - to dokładnie to, czego oczekuje [arkusz maturalny](/exams/cke-2015-2023-pp) w zadaniach otwartych z trygonometrii. Podobny mechanizm rachunkowy znajdziesz w [zadaniu 42 z bazy CKE](/task/cke-2015-2023-pp-42), gdzie też trzeba połączyć własności wykresu z konkretnym wzorem funkcji.

### Przykład 4: Dziedzina, zbiór wartości i monotoniczność funkcji \(y = 2\cos x - 3\)

**Krok 1: Ustal dziedzinę**

Funkcja cosinus jest określona dla każdej liczby rzeczywistej, więc \(D = \mathbb{R}\) - przesunięcia i mnożenie przez stałą tego nie zmieniają.

**Krok 2: Ustal zbiór wartości**

Skoro \(\cos x \in [-1, 1]\), to \(2\cos x \in [-2, 2]\), a po odjęciu 3: \(2\cos x - 3 \in [-5, -1]\).

**Krok 3: Ustal monotoniczność**

Podstawowy cosinus jest malejący na \([0, \pi]\) i rosnący na \([\pi, 2\pi]\) (w jednym okresie). Mnożenie przez dodatnią liczbę \(2\) i odjęcie stałej \(3\) nie zmienia kierunku monotoniczności (przesunięcie w pionie nie ma na to wpływu), więc funkcja \(y = 2\cos x - 3\) jest malejąca na \([0, \pi]\) i rosnąca na \([\pi, 2\pi]\), z tą samą okresowością co przesuwałaby monotoniczność, gdyby przy cosinusie stał współczynnik ujemny - wtedy kierunki by się odwróciły.

## Kiedy ten temat pojawia się na maturze

Dział [Trygonometria](/topics/trygonometria) w bazie zadań na Sprawnej Maturze to ponad 120 zadań, a przekształcanie wykresów funkcji trygonometrycznych łączy się bezpośrednio z odczytywaniem monotoniczności, dziedziny i zbioru wartości - czyli tematami, które osobno pojawiają się przy [funkcjach w ogóle](/wlasnosci-funkcji-na-maturze-parzystosc-zlozenie-odwrotna), a przy trygonometrii dochodzi jeszcze okresowość. W zadaniach z [arkuszy CKE](/exams/cke-2015-2023-pp) ten temat najczęściej występuje jako zadanie otwarte: opis własności wykresu, z którego trzeba odtworzyć wzór funkcji, dokładnie jak w Przykładzie 3.

## Typowe błędy przy rysowaniu wykresów funkcji trygonometrycznych

- **Mylenie kierunku przesunięcia w poziomie.** We wzorze \(f(x) = A\sin(\omega(x - x_0))\) dodatnie \(x_0\) oznacza przesunięcie w prawo, nie w lewo - to najczęstsza pomyłka ze znakiem, bo intuicyjnie "minus" kojarzy się z przesunięciem w lewo.
- **Liczenie okresu bez wartości bezwzględnej.** Wzór to \(T = 2\pi / |\omega|\), więc nawet gdy \(\omega\) jest ujemne (np. \(\omega = -2\)), okres i tak wychodzi dodatni: \(T = 2\pi/2 = \pi\).
- **Zapominanie o odbiciu przy ujemnej amplitudzie.** Gdy \(A < 0\), wykres nie tylko się rozciąga czy ściska - odbija się symetrycznie względem osi OX. Funkcja \(y = -2\sin x\) w punkcie \(x = \pi/2\) ma wartość \(-2\), a nie \(2\).
- **Mieszanie przesunięcia w pionie ze zmianą amplitudy.** \(B\) w \(A\sin(\ldots) + B\) przesuwa całą "oś symetrii" wykresu, nie zmienia rozpiętości fali. Zbiór wartości liczysz jako \([B-|A|, B+|A|]\), a nie jako \([-|A|,|A|]\) z dodanym \(B\) tylko do jednej granicy.
- **Zakładanie, że okres zawsze wynosi \(2\pi\).** To prawda tylko dla \(\omega = 1\). Gdy w zadaniu pojawia się \(\sin(2x)\), \(\cos(3x)\) albo podobny zapis, okres trzeba przeliczyć ze wzoru \(T = 2\pi/|\omega|\).

## Podsumowanie - co musisz umieć

- narysować podstawowy wykres \(y = \sin x\) i \(y = \cos x\) z charakterystycznymi punktami w 0, \(\pi/2\), \(\pi\), \(3\pi/2\), \(2\pi\),
- rozpoznać w ogólnym wzorze \(f(x) = A\sin(\omega(x-x_0)) + B\), który parametr odpowiada za amplitudę, okres, przesunięcie w poziomie i w pionie,
- policzyć okres ze wzoru \(T = 2\pi/|\omega|\) i zbiór wartości ze wzoru \([B-|A|, B+|A|]\),
- odczytać wzór funkcji na podstawie opisanych własności wykresu (maksimum, okres, przesunięcie),
- ustalić dziedzinę, zbiór wartości i monotoniczność przekształconej funkcji trygonometrycznej.

Ten temat naturalnie łączy się z [rozwiązywaniem równań trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura) - w wielu zadaniach maturalnych najpierw czytasz własności wykresu, a potem szukasz konkretnych rozwiązań równania na tym wykresie. Jeśli potrzebujesz przypomnienia całego działu, zacznij od [przeglądu trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania).

## Najczęstsze pytania

### Czym różni się amplituda od okresu funkcji trygonometrycznej?
Amplituda \(|A|\) mówi, jak wysoko i nisko sięga wykres względem swojej osi symetrii - to "wysokość fali". Okres \(T = 2\pi/|\omega|\) mówi, po jakim odcinku na osi OX wykres zaczyna się dokładnie powtarzać - to "szerokość jednego pełnego wahnięcia". To dwie niezależne od siebie wielkości.

### Jak sprawdzić przesunięcie wykresu, jeśli wzór funkcji nie jest w standardowej postaci?
Doprowadź wzór do postaci \(A\sin(\omega(x-x_0)) + B\), wyciągając \(\omega\) przed nawias. Na przykład \(\sin(2x - \pi)\) zapisujesz jako \(\sin(2(x - \pi/2))\), więc przesunięcie w poziomie wynosi \(x_0 = \pi/2\), a nie \(\pi\) - to częsty błąd, gdy się tego kroku pominie.

### Czy wykres cosinusa to po prostu przesunięty wykres sinusa?
Tak, dokładnie: \(\cos x = \sin(x + \pi/2)\), czyli wykres cosinusa to wykres sinusa przesunięty o \(\pi/2\) w lewo. Dlatego wszystkie reguły przekształceń, które poznajesz dla sinusa, działają identycznie dla cosinusa.

### Jak zmienia się wykres, gdy amplituda jest ujemna?
Funkcja \(y = A\sin x\) z \(A < 0\) ma wykres odbity symetrycznie względem osi OX w porównaniu do \(y = |A|\sin x\). Tam, gdzie zwykły sinus rośnie, funkcja z ujemną amplitudą maleje, i odwrotnie.

### Czy na maturze podstawowej trzeba umieć zmieniać okres funkcji trygonometrycznej?
Zmiana okresu (czyli przypadek \(\omega \neq 1\), na przykład \(\sin(2x)\)) to głównie materiał z zakresu rozszerzonego. Na poziomie podstawowym częściej pojawiają się proste przesunięcia wykresu sinusa i cosinusa o wektor, bez zmiany częstotliwości fali.

### Jak odczytać wzór funkcji, gdy zadanie podaje tylko opis wykresu, a nie sam wykres?
Szukasz trzech informacji: wartości największej i najmniejszej (z nich liczysz amplitudę \(|A|\) i przesunięcie pionowe \(B\)), długości jednego pełnego okresu (z niej liczysz \(\omega\)) oraz punktu, w którym funkcja przyjmuje wartość środkową i rośnie (z niego liczysz przesunięcie poziome \(x_0\)). Te trzy kroki wystarczą w większości zadań maturalnych tego typu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami krok po kroku: delta, wzory Viète'a, wierzchołek paraboli i nierówności na prawdziwych arkuszach.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Funkcja kwadratowa to najczęściej testowany dział na maturze podstawowej z matematyki - i jednocześnie jeden z najbardziej schematycznych. Delta, wierzchołek, postać kanoniczna i iloczynowa, wzory Viète'a: te same narzędzia wracają rok w rok, tylko w innych liczbach. W naszej bazie masz zadania z funkcji kwadratowej pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Ta strona to przewodnik po tym zasobie: pokazuje, co musisz umieć, jakie typy zadań się powtarzają, i prowadzi przez sześć rozwiązanych przykładów w stylu CKE.

Jeśli akurat przygotowujesz się do sierpniowej poprawki, ten dział zacznij jako pierwszy - dlaczego, tłumaczę w tekście [poprawka z matematyki sierpień 2026 - jak się przygotować](/poprawka-matura-matematyka-sierpien-2026-jak-sie-przygotowac).

## Ile funkcji kwadratowej jest na maturze

Funkcja kwadratowa pojawia się na praktycznie każdym arkuszu podstawowym - zwykle jako kilka zadań zamkniętych i przynajmniej jedno zadanie otwarte. To realnie od 4 do 8 punktów na jednym egzaminie. Przy progu zdawalności na poziomie [30 procent](/ile-punktow-zeby-zdac-mature-z-matematyki) to są punkty, których nie wolno oddawać walkowerem.

Dobra wiadomość: ten dział jest wyjątkowo przewidywalny. Zadania sprowadzają się do kilku powtarzalnych typów - obliczanie miejsc zerowych, wyznaczanie wierzchołka, zamiana postaci, stosowanie wzorów Viète'a, rozwiązywanie nierówności kwadratowych, szukanie wartości najmniejszej i największej. Jak opanujesz te schematy na zadaniach CKE, rozwiążesz prawie każde zadanie z tego działu. Pełną teorię znajdziesz w przewodniku [funkcja kwadratowa na maturze](/topics/funkcja-kwadratowa).

## Co musisz umieć - komplet wzorów

Zanim rzucisz się na zadania, upewnij się, że masz w głowie te wzory. Wszystkie są w [karcie wzorów CKE](/formulas), ale ich znajomość na pamięć oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

$$f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0$$

Wyróżnik (delta), od którego zależy liczba miejsc zerowych:

$$\Delta=b^2-4ac$$

Miejsca zerowe, gdy \(\Delta>0\):

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Współrzędne wierzchołka paraboli:

$$p=\frac{-b}{2a},\quad q=\frac{-\Delta}{4a}$$

Postać kanoniczna (z wierzchołkiem \((p,q)\)):

$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Postać iloczynowa (gdy istnieją miejsca zerowe \(x_1, x_2\)):

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Wzory Viète'a wiążące pierwiastki ze współczynnikami:

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Liczba miejsc zerowych zależy od znaku delty: dla \(\Delta>0\) są dwa, dla \(\Delta=0\) jedno (podwójne), a dla \(\Delta0\), są dwa miejsca zerowe. Liczymy \(\sqrt{\Delta}=1\):

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Miejsca zerowe to \(x=2\) oraz \(x=3\).

### Zadanie 2

Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli \(f(x)=x^2-4x+3\).

Współrzędna \(p\): \(a=1\), \(b=-4\), więc

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$$

Współrzędną \(q\) najprościej policzyć, podstawiając \(p\) do wzoru funkcji:

$$q=f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$$

Wierzchołek ma współrzędne \((2,-1)\).

### Zadanie 3

Zapisz funkcję \(f(x)=x^2-6x+5\) w postaci kanonicznej.

Potrzebujemy wierzchołka. \(p=\frac{6}{2}=3\), a \(q=f(3)=9-18+5=-4\). Postać kanoniczna to \(f(x)=a(x-p)^2+q\), więc

$$f(x)=(x-3)^2-4$$

Sprawdzamy, rozwijając: \((x-3)^2-4=x^2-6x+9-4=x^2-6x+5\). Zgadza się.

### Zadanie 4

Liczby \(x_1\) i \(x_2\) są pierwiastkami równania \(x^2-7x+10=0\). Oblicz \(x_1+x_2\) oraz \(x_1\cdot x_2\) bez rozwiązywania równania.

Korzystamy ze wzorów Viète'a. Tu \(a=1\), \(b=-7\), \(c=10\).

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{7}{1}=7,\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{10}{1}=10$$

Suma pierwiastków to \(7\), a iloczyn \(10\). Dla kontroli: pierwiastkami są \(2\) i \(5\), a \(2+5=7\) i \(2\cdot 5=10\).

### Zadanie 5

Rozwiąż nierówność \(x^2-x-6>0\).

Najpierw miejsca zerowe. \(\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25\), \(\sqrt{\Delta}=5\).

$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$

Ramiona paraboli są skierowane w górę (\(a>0\)), a nierówność jest ostra i "większe od zera". Wartości dodatnie funkcja przyjmuje na zewnątrz pierwiastków. Rozwiązaniem jest

$$x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$$

### Zadanie 6

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=x^2-4x+1\) w przedziale \(\langle 0, 3\rangle\).

Ramiona są skierowane w górę, więc najmniejsza wartość jest w wierzchołku, o ile mieści się on w przedziale. Współrzędna \(p=\frac{4}{2}=2\), a \(2\) należy do \(\langle 0,3\rangle\), więc liczymy \(q\):

$$q=f(2)=4-8+1=-3$$

Najmniejsza wartość funkcji w tym przedziale to \(-3\). Uwaga: gdyby wierzchołek wypadł poza przedziałem, najmniejszej wartości szukalibyśmy na jego końcach.

## Najczęstsze pułapki

Po przerobieniu kilkudziesięciu zadań z tego działu zauważysz, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy.

Pułapka pierwsza: znak współczynnika \(b\) we wzorze na \(p\). We wzorze \(p=\frac{-b}{2a}\) łatwo zgubić minus. Gdy \(b=-4\), to \(p=\frac{-(-4)}{2a}=\frac{4}{2a}\), a nie \(\frac{-4}{2a}\).

Pułapka druga: zły kierunek przedziału w nierówności kwadratowej. O tym, czy bierzesz "między pierwiastkami" czy "na zewnątrz", decyduje znak \(a\) (kierunek ramion) i typ nierówności. Zawsze pomyśl o wykresie, zanim zapiszesz odpowiedź.

Pułapka trzecia: mylenie postaci kanonicznej z iloczynową. Kanoniczna \(a(x-p)^2+q\) zawsze istnieje, iloczynowa \(a(x-x_1)(x-x_2)\) tylko wtedy, gdy \(\Delta\geq 0\). Przy \(\Delta<0\) postaci iloczynowej nie ma.

Pułapka czwarta: zapominanie o warunku \(a\neq 0\). Jeśli w zadaniu pojawia się parametr przy \(x^2\), musisz osobno rozważyć przypadek, gdy ten współczynnik jest zerem - wtedy funkcja przestaje być kwadratowa.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach [błędy rachunkowe na maturze - jak unikać](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac) oraz [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji).

## Jak ćwiczyć ten dział efektywnie

Najlepszy sposób na funkcję kwadratową to dużo zadań z natychmiastową informacją zwrotną. Oto jak to ułożyć na sprawnamatura.pl.

Zacznij od [trybu losowego](/random) z filtrem na funkcję kwadratową - dostajesz zadanie po zadaniu, a po każdym pełne rozwiązanie. Gdy utkniesz na własnym zadaniu albo chcesz sprawdzić obliczenia, wrzuć je do [solvera](/solve), który rozpisze rozwiązanie nawet ze zdjęcia. Kiedy typy zaczną wchodzić automatycznie, rozwiąż cały [arkusz CKE](/exams) albo przejdź przez [symulator matury](/simulator), żeby przećwiczyć dział pod presją czasu. Postępy śledź na [stronie statystyk](/progress).

Ten dział świetnie nadaje się na start nauki, bo jest schematyczny i daje pewne punkty. Dlatego stawiam go na pierwszym miejscu w planie na [poprawkę z matematyki w sierpniu 2026](/poprawka-matura-matematyka-sierpien-2026-jak-sie-przygotowac). Więcej zadań z pokrewnych działów znajdziesz w hubach [zadania CKE z równań i nierówności](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami) oraz [zadania CKE z ciągów](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami).

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z funkcji kwadratowej powinienem przerobić?
Zacznij od circa 30 zadań różnych typów, żeby rozpoznać schematy. Potem dorzucaj zadania z całych arkuszy w ramach powtórek.

### Czy wzory na deltę i wierzchołek są w karcie wzorów?
Tak, znajdziesz je w [karcie wzorów CKE](/formulas). Warto je jednak znać na pamięć, bo szukanie w tablicach kosztuje czas.

### Co jest najważniejsze w tym dziale?
Delta i to, co z niej wynika: liczba miejsc zerowych, ich wartości i wierzchołek. Kto pewnie liczy deltę, ma połowę zadań z głowy.

### Skąd pochodzą zadania w bazie?
Wyłącznie z prawdziwych arkuszy CKE - matur majowych, czerwcowych, sierpniowych poprawkowych oraz arkuszy pokazowych i diagnostycznych. Pełną listę masz na stronie [egzaminów](/exams).

## Podsumowanie - co musisz umieć

Z funkcji kwadratowej na maturze podstawowej musisz pewnie: liczyć deltę i miejsca zerowe, wyznaczać wierzchołek, zamieniać postacie funkcji, stosować wzory Viète'a, rozwiązywać nierówności kwadratowe i szukać wartości najmniejszej oraz największej w przedziale. To zestaw, który zamyka większość zadań z tego działu.

Masz tu komplet zadań CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami krok po kroku - zacznij je przerabiać w [trybie nauki](/random) już dziś. A jeśli przygotowujesz się do sierpniowej poprawki, koniecznie zajrzyj do planu [poprawka z matematyki sierpień 2026](/poprawka-matura-matematyka-sierpien-2026-jak-sie-przygotowac).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z prawdopodobieństwa z rozwiązaniami krok po kroku
description: Baza zadań CKE z prawdopodobieństwa z rozwiązaniami krok po kroku: klasyczna definicja, drzewka i kombinatoryka. Ćwicz zadania maturalne online za darmo.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z prawdopodobieństwa z rozwiązaniami krok po kroku

Prawdopodobieństwo to jeden z tych działów, które na maturze potrafią dać łatwe punkty, albo zabrać je głupio, jeśli pomylisz przestrzeń zdarzeń. Dobra wiadomość: schematy powtarzają się z roku na rok. Na tej stronie zebrałem najważniejsze typy zadań CKE z prawdopodobieństwa, z rozwiązaniami krok po kroku, plus linki do zadań z prawdziwych arkuszy, na których możesz to przećwiczyć.

Wszystkie zadania pochodzą z [bazy ponad 2300 zadań CKE](/exams) z lat 2010-2025. Jeśli wolisz od razu ćwiczyć, wejdź na stronę działu [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) albo [losuj zadanie](/random).

## Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Podstawa, od której zaczyna się prawie każde zadanie zamknięte. Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

gdzie \(|A|\) to liczba zdarzeń sprzyjających, a \(|\Omega|\) to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych. Cała sztuka polega na tym, żeby poprawnie policzyć obie liczby. To dlatego prawdopodobieństwo tak mocno łączy się z [kombinatoryką](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

Dwie własności, które musisz znać:

- \(0 \le P(A) \le 1\), prawdopodobieństwo nigdy nie jest ujemne ani większe od 1
- \(P(A') = 1 - P(A)\), prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

To drugie to twój najlepszy przyjaciel w zadaniach typu "co najmniej".

## Zadania zamknięte CKE z prawdopodobieństwa

Zacznijmy od typów, które najczęściej pojawiają się jako zadania zamknięte za 1 punkt.

### Zadanie 1

Rzucamy symetryczną kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie liczba parzysta?

Przestrzeń: \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), więc \(|\Omega| = 6\). Zdarzenia sprzyjające to liczby parzyste: \(A = \{2,4,6\}\), czyli \(|A| = 3\).

$$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

### Zadanie 2

Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 7?

Wszystkich wyników jest \(6 \cdot 6 = 36\). Sumę 7 dają pary: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), czyli 6 możliwości.

$$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Pułapka: para (1,6) i (6,1) to dwa różne zdarzenia elementarne, bo kostki rozróżniamy. Kto liczy je jako jedno, dostaje zły wynik.

### Zadanie 3

W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe?

Tu wchodzi kombinatoryka. Wszystkich sposobów wyboru 2 kul z 8 jest \(\binom{8}{2} = 28\). Sposobów wyboru 2 białych z 5 jest \(\binom{5}{2} = 10\).

$$P = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$$

## Zadania otwarte CKE krok po kroku

W zadaniach otwartych za 2-4 punkty zwykle pojawia się drzewko albo schemat losowania bez zwracania. Pokażę ci dwie kluczowe techniki.

### Zadanie 4 - metoda zdarzenia przeciwnego

Rzucamy monetą 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł?

Liczenie wprost, czyli jeden, dwa lub trzy orły, jest pracochłonne. Szybciej przez zdarzenie przeciwne: "co najmniej jeden orzeł" to dopełnienie zdarzenia "same reszki".

$$P(\text{same reszki}) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

$$P(\text{co najmniej jeden orzeł}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

Zapamiętaj regułę: gdy w zadaniu pada "co najmniej", prawie zawsze liczysz przez dopełnienie.

### Zadanie 5 - drzewko losowania bez zwracania

W urnie są 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy kolejno 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe?

Rysujemy drzewko. Przy pierwszym losowaniu białych jest 3 z 5, więc \(P = \frac{3}{5}\). Po wyjęciu jednej białej zostają 2 białe na 4 kule, więc druga biała ma \(P = \frac{2}{4}\). Mnożymy prawdopodobieństwa wzdłuż gałęzi:

$$P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$

Sprawdźmy kombinatoryką: \(\frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10}\). Zgadza się, drzewko i kombinatoryka muszą dawać ten sam wynik.

### Zadanie 6

Z grupy 10 osób, 6 dziewcząt i 4 chłopców, losujemy 3-osobową delegację. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w delegacji będą same dziewczęta?

Wszystkich sposobów wyboru 3 osób z 10 jest \(\binom{10}{3} = 120\). Sposobów wyboru 3 dziewcząt z 6 jest \(\binom{6}{3} = 20\).

$$P = \frac{\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$$

## Prawdopodobieństwo z kombinatoryką

Najtrudniejsze zadania łączą prawdopodobieństwo z [permutacjami, wariacjami i kombinacjami](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory). Klucz to rozpoznać, czy kolejność ma znaczenie:

- kolejność ważna i bez powtórzeń: wariacje bez powtórzeń
- kolejność nieważna: kombinacje, czyli symbol Newtona \(\binom{n}{k}\)
- ustawienie wszystkich elementów: permutacje

Jeśli te pojęcia ci się mylą, zacznij od [kombinatoryki na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje), a potem wróć tutaj. Warto też ogarnąć [prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa](/prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura), bo na rozszerzeniu pojawia się regularnie.

## Prawdopodobieństwo sumy i zdarzeń rozłącznych

Czasem pytanie brzmi o prawdopodobieństwo, że zajdzie jedno albo drugie zdarzenie. Wtedy korzystasz ze wzoru na sumę:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Jeśli zdarzenia są rozłączne, czyli nie mogą zajść jednocześnie, to \(P(A \cap B) = 0\) i wzór upraszcza się do \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

### Zadanie 7

Losujemy jedną kartę z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy asa lub kiera?

Asów jest 4, kierów 13, ale as kier należy do obu zbiorów, więc część wspólna to \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\).

$$P = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

Gdybyś zapomniał odjąć część wspólną, dostałbyś zawyżony wynik. To klasyczna pułapka przy słowie "lub".

## Schemat Bernoulliego na poziomie rozszerzonym

Na maturze rozszerzonej pojawia się schemat Bernoulliego, czyli seria niezależnych prób, w których interesuje cię liczba sukcesów. Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n próbach liczysz wzorem:

$$P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

gdzie p to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, a \(1-p\) prawdopodobieństwo porażki.

### Zadanie 8

Rzucamy monetą 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 2 razy?

Tu \(n = 4\), \(k = 2\), \(p = \frac{1}{2}\). Podstawiamy do wzoru:

$$P(2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$

Jeśli rozszerzenie to twój cel, zobacz też [prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa](/prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura), bo schemat Bernoulliego i prawdopodobieństwo warunkowe to dwa filary trudniejszych zadań. Po teorii koniecznie przećwicz wszystko na prawdziwych [arkuszach CKE](/exams).

## Najczęstsze pułapki

- Złe \(|\Omega|\). Najczęstszy błąd to źle policzona przestrzeń zdarzeń. Zawsze zacznij od pytania: ile jest wszystkich możliwych wyników?
- Mylenie losowania ze zwracaniem i bez zwracania. Bez zwracania liczba kul w mianowniku maleje przy każdym losowaniu.
- Nierozróżnianie obiektów. Przy dwóch kostkach (1,6) i (6,1) to dwa różne wyniki.
- Zapominanie o dopełnieniu. Gdy widzisz "co najmniej jeden", licz przez \(1 - P(A')\).
- Wynik spoza przedziału. Jeśli wyjdzie ci prawdopodobieństwo większe od 1, na pewno jest błąd.

## Gdzie ćwiczyć zadania CKE z prawdopodobieństwa

Teoria to jedno, ale punkty na maturze zdobywasz rozwiązywaniem zadań. Na sprawnamatura.pl masz 108 zadań z prawdopodobieństwa z prawdziwych arkuszy CKE, każde z rozwiązaniem krok po kroku:

- przejdź do działu [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) i rozwiązuj zadania po kolei
- jak utkniesz, wrzuć zdjęcie do [solvera](/solve) i zobacz pełne rozwiązanie
- rozwiąż całe [arkusze CKE](/exams), żeby poćwiczyć prawdopodobieństwo w kontekście całego egzaminu
- powtórz teorię w przewodnikach: [prawdopodobieństwo - definicja i drzewko](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) oraz [prawdopodobieństwo i kombinatoryka](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania)

Większość zadań i przewodników jest za darmo. Pełen dostęp do wszystkich rozwiązań daje [abonament Premium](/payment/checkout), który kosztuje mniej niż jedna godzina korepetycji. Więcej o tym przeczytasz w tekście [ile kosztują korepetycje z matematyki i czym je zastąpić](/korepetycje-z-matematyki-online-ile-kosztuja-czy-warto).

## FAQ

### Czym różni się losowanie ze zwracaniem od losowania bez zwracania?
Ze zwracaniem po każdym losowaniu wracasz kulę do urny, więc liczba możliwości się nie zmienia. Bez zwracania kula zostaje na zewnątrz, więc mianownik maleje przy kolejnym losowaniu. To rozróżnienie decyduje o poprawnym wyniku w połowie zadań z prawdopodobieństwa, dlatego zawsze sprawdzaj w treści, czy losowanie jest ze zwracaniem.

### Czy prawdopodobieństwo jest trudne na maturze podstawowej?
Nie, większość zadań to klasyczna definicja i proste drzewka. Wystarczy poprawnie liczyć przestrzeń zdarzeń.

### Ile zadań z prawdopodobieństwa jest na maturze?
Zwykle 1-3, mix zamkniętych i jedno otwarte. To realne punkty do zdobycia.

### Jaki wzór jest najważniejszy?
Klasyczna definicja \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\) i dopełnienie \(P(A') = 1 - P(A)\).

### Czy muszę znać kombinatorykę?
Do trudniejszych zadań tak, prawdopodobieństwo i [kombinatoryka](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) chodzą w parze.

## Schemat rozwiązywania zadań z prawdopodobieństwa krok po kroku

Zanim rzucisz się na liczenie, przejdź zawsze przez ten sam schemat. Działa na maturze podstawowej i rozszerzonej:

1. Opisz przestrzeń zdarzeń. Zapisz, co jest pojedynczym wynikiem doświadczenia, i policz \(|\Omega|\). To najważniejszy krok, bo tu rodzi się większość błędów.
2. Określ zdarzenie sprzyjające. Przeczytaj dokładnie, o co pyta zadanie, i policz \(|A|\). Uważaj na słowa "co najmniej", "dokładnie", "lub", "oraz", bo każde z nich zmienia liczenie.
3. Wybierz metodę. Prosta przestrzeń to klasyczna definicja. Losowanie bez zwracania to drzewko albo kombinacje. Powtarzalne próby to schemat Bernoulliego.
4. Policz i sprawdź sensowność. Podstaw do wzoru \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\) i sprawdź, czy wynik mieści się w przedziale od 0 do 1. Jeśli wyszło więcej niż 1, masz błąd.

Ten schemat działa jak lista kontrolna. Gdy utkniesz, wróć do kroku pierwszego, bo prawie zawsze problem leży w źle policzonej przestrzeni zdarzeń.

### Zadanie 9

W pudełku jest 6 losów, z czego 2 wygrywające. Kupujesz 2 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden będzie wygrywający?

Liczymy przez dopełnienie. Prawdopodobieństwo, że oba losy są przegrywające, czyli wybieramy 2 z 4 przegrywających, to:

$$P(\text{żaden}) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{2}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$

Zatem:

$$P(\text{co najmniej jeden}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$

Znów zadziałała reguła dopełnienia. Przećwicz ten schemat na zestawie zadań w dziale [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo), a trudniejsze przypadki połącz z [kombinatoryką](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Podsumowanie - co musisz umieć

- klasyczną definicję prawdopodobieństwa i poprawne liczenie \(|\Omega|\)
- regułę dopełnienia dla zadań typu "co najmniej"
- drzewko losowania bez zwracania
- połączenie prawdopodobieństwa z kombinacjami
- rozpoznawanie pułapek z rozróżnianiem obiektów

Zacznij ćwiczyć teraz: wejdź na [zadania z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) i rozwiąż pierwsze pięć. Po przerobieniu działu wróć do strategii oszczędzania na nauce w tekście [korepetycje z matematyki - ile kosztują i czym je zastąpić](/korepetycje-z-matematyki-online-ile-kosztuja-czy-warto).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-procenty-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z procentów z rozwiązaniami krok po kroku
description: Zadania CKE z procentów z rozwiązaniami krok po kroku: procent z liczby, składany, VAT, zmiana procentowa i punkty procentowe na maturze podstawowej.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z procentów z rozwiązaniami krok po kroku

Procenty to dział, którego nie da się ominąć. Pojawia się prawie na każdej maturze z matematyki, w zadaniach zamkniętych i otwartych, a do tego wraca w innych działach: w statystyce, w prawdopodobieństwie, w zadaniach z treścią o pieniądzach. Dobra wiadomość jest taka, że to jeden z najbardziej przewidywalnych tematów na egzaminie. Wystarczy kilka wzorów i trochę wprawy, a punkty z procentów masz właściwie pewne.

Na tej stronie zebrałem dla ciebie zadania maturalne CKE z procentów wraz z rozwiązaniami krok po kroku. Zaczniemy od teorii i wzorów, potem rozwiążemy typowe przykłady z prawdziwych arkuszy, a na końcu pokażę ci, gdzie ćwiczyć dalej. Wszystkie zadania w naszej bazie pochodzą z oficjalnych arkuszy Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, więc trenujesz dokładnie to, co może wpaść na twoim egzaminie.

## Procenty na maturze - dlaczego warto je opanować w pierwszej kolejności

Procenty są w kanonie tak zwanych pewniaków. W każdym arkuszu poziomu podstawowego znajdziesz co najmniej jedno, a często dwa zadania, które sprawdzają, czy umiesz policzyć procent z liczby, zmianę procentową albo procent składany. To są łatwe punkty - pod warunkiem, że nie pomylisz się w prostym rachunku.

W naszej bazie mamy dziesiątki zadań z procentów z różnych lat. Jeśli chcesz przejść przez całą teorię tego działu uporządkowaną pod egzamin, zajrzyj do przewodnika [procenty na maturze - zadania, wzory, procent składany](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany). Tutaj skupiamy się na zadaniach CKE i ich rozwiązaniach, żebyś zobaczył, jak teoria działa na prawdziwym arkuszu. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz też na stronie tematu [Procenty](/topics/procenty).

## Wzory, które musisz znać

Cała trudność procentów sprowadza się do trzech podstawowych operacji. Naucz się ich raz, a porażki nie będzie.

Procent z liczby. Aby obliczyć \(p\%\) z liczby \(a\), liczysz:

$$p\% \text{ z } a = a \cdot \frac{p}{100}$$

Jakim procentem jednej liczby jest druga. Aby sprawdzić, jakim procentem liczby \(b\) jest liczba \(a\):

$$\frac{a}{b} \cdot 100\%$$

Liczba z procentu. Jeśli wiesz, że \(p\%\) pewnej liczby to \(b\), to sama liczba wynosi:

$$a = \frac{b \cdot 100}{p}$$

Do tego dochodzi procent składany, czyli wzór na kapitał po \(n\) okresach przy oprocentowaniu \(p\%\) na okres:

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

Wszystkie te wzory masz w naszej [karcie wzorów](/formulas), więc nie musisz uczyć się ich na pamięć w panice. Lepiej zrozumieć, kiedy który stosować.

## Przykład 1 - procent z liczby (zadanie zamknięte)

W szkole jest 250 uczniów. Wśród nich 36% to uczniowie klas maturalnych. Ilu jest maturzystów?

Liczymy procent z liczby:

$$250 \cdot \frac{36}{100} = 250 \cdot 0{,}36 = 90$$

Odpowiedź: 90 uczniów. To najprostszy typ zadania z procentów, jaki możesz spotkać. Klucz to zamiana procentu na ułamek lub liczbę dziesiętną i zwykłe mnożenie. Podobne zadania z oficjalnych arkuszy rozwiążesz w naszej bazie, na przykład [zadanie z czerwca 2016](/task/matura-czerwiec-2016-02).

## Przykład 2 - jakim procentem jest liczba

Cena kurtki spadła ze 200 zł na 150 zł. O ile procent staniała kurtka?

Najpierw liczymy, o ile spadła cena: \(200 - 150 = 50\) zł. Teraz sprawdzamy, jakim procentem ceny początkowej jest ta obniżka:

$$\frac{50}{200} \cdot 100\% = 25\%$$

Uwaga na pułapkę. Zmianę procentową zawsze liczymy względem wartości początkowej, a nie końcowej. Gdybyś podzielił przez 150, dostałbyś błędny wynik. To jeden z najczęstszych błędów na maturze. Więcej o liczeniu zmiany procentowej znajdziesz w poradniku [jak obliczyć procent z liczby, liczbę z procentu i zmianę procentową](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa).

## Przykład 3 - liczba z procentu

Po podwyżce o 20% bilet kosztuje 36 zł. Ile kosztował przed podwyżką?

Tu trzeba uważać. Cena po podwyżce to 120% ceny początkowej, więc:

$$120\% \cdot x = 36$$

$$1{,}2 \cdot x = 36$$

$$x = \frac{36}{1{,}2} = 30$$

Bilet kosztował 30 zł. Najczęstszy błąd to odjęcie 20% od 36 zł, czyli policzenie \(36 - 7{,}2 = 28{,}8\). To jest źle, bo 20% liczymy od ceny początkowej, której jeszcze nie znamy, a nie od ceny po podwyżce. Dlatego zapisujemy równanie i je rozwiązujemy.

## Przykład 4 - łączenie zmian procentowych

Towar najpierw podrożał o 10%, a potem staniał o 10%. Czy wrócił do ceny początkowej?

Intuicja podpowiada, że tak, ale to nieprawda. Niech cena początkowa to \(c\). Po podwyżce:

$$c \cdot 1{,}1$$

Po obniżce o 10% liczonej od nowej ceny:

$$c \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = c \cdot 0{,}99$$

Czyli towar jest tańszy o 1% niż na początku. To klasyka maturalna. Procentów nie wolno po prostu dodawać i odejmować - trzeba je mnożyć przez kolejne współczynniki zmiany. Ta sama zasada działa przy obliczaniu rabatów łączonych w sklepie.

## Przykład 5 - procent składany (lokata)

Wpłacasz 2000 zł na lokatę oprocentowaną 5% w skali roku z roczną kapitalizacją odsetek. Ile będzie na koncie po 2 latach?

Stosujemy wzór na procent składany:

$$K_2 = 2000 \cdot \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 2000 \cdot 1{,}05^2$$

$$K_2 = 2000 \cdot 1{,}1025 = 2205 \text{ zł}$$

Po dwóch latach na koncie jest 2205 zł. Zwróć uwagę, że odsetki z pierwszego roku też pracują w drugim roku - na tym polega procent składany. Gdyby to był procent prosty, dostałbyś tylko \(2 \cdot 100 = 200\) zł odsetek, czyli 2200 zł. Różnica rośnie z każdym kolejnym rokiem. Cały ten mechanizm omawiam dokładniej w artykule [procent składany na maturze - wzór, zadania, odsetki](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki).

## Przykład 6 - VAT i cena netto

Cena brutto laptopa to 3690 zł, a stawka VAT wynosi 23%. Ile wynosi cena netto, czyli cena bez podatku?

Cena brutto to cena netto powiększona o 23% VAT, czyli 123% ceny netto:

$$123\% \cdot x = 3690$$

$$1{,}23 \cdot x = 3690$$

$$x = \frac{3690}{1{,}23} = 3000 \text{ zł}$$

Cena netto to 3000 zł, a sam podatek VAT to \(3690 - 3000 = 690\) zł. Schemat jest identyczny jak w przykładzie z biletem - znów liczymy liczbę z jej procentu, bo cena brutto to znana wartość, a cenę netto musimy wyznaczyć. To bardzo częsty motyw w zadaniach z treścią o zakupach i fakturach.

## Przykład 7 - stężenie procentowe roztworu

W 400 g roztworu soli rozpuszczono 60 g soli. Jakie jest stężenie procentowe tego roztworu?

Stężenie procentowe to po prostu, jakim procentem masy całego roztworu jest masa substancji:

$$\frac{60}{400} \cdot 100\% = 15\%$$

Roztwór ma stężenie 15%. Zadania o mieszaninach, stopach metali i roztworach to ukryte zadania z procentów - jeśli umiesz liczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga, poradzisz sobie z nimi bez problemu. Warto je przećwiczyć, bo wiele osób się ich boi zupełnie niepotrzebnie.

## Procenty w innych działach matury

Procenty rzadko występują w czystej postaci. Najczęściej są wplecione w zadania z treścią, w statystykę (gdzie liczysz, jaki procent danych spełnia warunek) albo w prawdopodobieństwo (gdzie prawdopodobieństwo często podaje się w procentach). Dlatego opanowanie tego działu zwraca się podwójnie - punktujesz nie tylko w zadaniach wprost o procentach, ale też wszędzie tam, gdzie się one pojawiają. Jeśli chcesz zobaczyć, jak procenty łączą się ze statystyką, zajrzyj do [zadań CKE z prawdopodobieństwa z rozwiązaniami](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami).

## Punkty procentowe a procenty - nie myl tego

To rozróżnienie potrafi kosztować punkt. Jeśli zdawalność wzrosła z 70% na 75%, to wzrosła o 5 punktów procentowych, ale o około 7,14% (bo \(\frac{5}{70} \cdot 100\% \approx 7{,}14\%\)). CKE lubi sprawdzać, czy rozumiesz tę różnicę, zwłaszcza w zadaniach z treścią o statystyce i sondażach. Gdy w zadaniu pojawia się słowo punkty procentowe, czytaj treść bardzo uważnie.

## Najczęstsze pułapki w zadaniach z procentów

Pierwsza pułapka to liczenie zmiany procentowej od złej podstawy. Zawsze odnoś zmianę do wartości początkowej. Druga to dodawanie procentów zamiast mnożenia współczynników przy zmianach łączonych. Trzecia to mylenie procentu prostego ze składanym - przy lokatach wieloletnich prawie zawsze chodzi o składany. Czwarta to nieuważne potraktowanie punktów procentowych jako procentów. Jeśli zapamiętasz te cztery rzeczy, większość zadań z tego działu zrobisz bezbłędnie.

## Gdzie ćwiczyć zadania CKE z procentów

Teoria to jedno, ale punkty na maturze zdobywa się ćwiczeniem. W naszej bazie masz komplet zadań z procentów z oficjalnych arkuszy CKE wraz z rozwiązaniami krok po kroku. Najlepiej zacząć tak:

Wejdź na stronę tematu [Procenty](/topics/procenty) i przerób zadania po kolei, od najprostszych zamkniętych po zadania z treścią. Jeśli wolisz losowy trening, użyj funkcji [losuj zadanie](/random), która podrzuci ci zadanie z całej bazy. Gdy utkniesz na konkretnym przykładzie, wpisz go do [solvera](/solve) albo zrób zdjęcie i zobacz rozwiązanie krok po kroku. Postępy śledzisz w [panelu postępów](/progress), dzięki czemu widzisz, które typy zadań masz już opanowane.

Chcesz potrenować procenty w kontekście całego arkusza? Przejdź przez nasze [arkusze maturalne 2010-2025 - kompletna baza zadań](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) i rozwiąż cały egzamin na czas. Procenty znajdziesz prawie w każdym z nich.

## Jak uczyć się procentów z telefonu

Procenty to idealny dział do nauki w krótkich seriach - na przerwie, w autobusie, przed snem. Jedno, dwa zadania dziennie i po tygodniu masz ten temat z głowy. O tym, jak wygodnie ćwiczyć zadania CKE na telefonie i którą [aplikację do matury z matematyki](/aplikacja-do-matury-z-matematyki-jak-uczyc-sie-z-telefonu) wybrać, piszę w osobnym poradniku. Cała nasza baza działa w przeglądarce telefonu, więc nie musisz nic instalować.

## Podsumowanie - co musisz umieć z procentów

Zanim uznasz, że masz ten dział opanowany, sprawdź, czy potrafisz: obliczyć procent z liczby, sprawdzić jakim procentem jednej liczby jest druga, wyznaczyć liczbę na podstawie jej procentu, policzyć zmianę procentową od poprawnej podstawy, połączyć dwie zmiany procentowe przez mnożenie współczynników oraz zastosować wzór na procent składany. Jeśli każdy z tych punktów odhaczasz bez wahania, procenty na maturze to dla ciebie pewne punkty.

Najlepszy następny krok? Wejdź na [Procenty](/topics/procenty) i rozwiąż pięć zadań z rzędu. Jeśli pójdzie gładko, przejdź do trudniejszych działów, na przykład do [zadań CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami) albo [zadań CKE z ciągów](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami). Powodzenia.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z trygonometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza zadań CKE z trygonometrii z rozwiązaniami krok po kroku: definicje, tabela wartości 30, 45, 60 stopni, jedynka trygonometryczna i przykłady z arkuszy.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z trygonometrii z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Trygonometria na maturze podstawowej to dział, w którym da się zdobyć komplet punktów, bo prawie wszystko sprowadza się do kilku definicji i jednej tabeli wartości. Pojawia się co roku, najczęściej jako zadanie zamknięte plus jedno otwarte. Ta strona to hub, w którym zebraliśmy zadania z trygonometrii pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Poniżej znajdziesz wzory, tabelę wartości, typowe schematy zadań i linki prosto do zadań, na których możesz od razu ćwiczyć.

## Co obejmuje trygonometria na maturze CKE

Na poziomie podstawowym trygonometria dotyczy kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Musisz umieć: definicje sinusa, cosinusa i tangensa, wartości tych funkcji dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\), jedynkę trygonometryczną oraz związek między tangensem a sinusem i cosinusem. To wąski, dobrze przewidywalny zestaw, dlatego opłaca się go opanować szybko i pewnie.

Zaletą tego działu jest to, że większość zadań to podstawienie do definicji albo do jednej z dwóch tożsamości. Jeśli znasz wzory i uważasz na to, która przyprostokątna jest naprzeciw kąta, zdobywasz punkty niemal automatycznie. Pełną teorię i uporządkowaną listę zadań znajdziesz też na [stronie tematu trygonometria](/topics), a wszystkie wzory potrzebne na egzaminie masz w [tablicach maturalnych](/formulas).

## Wzory, które musisz znać

Zacznijmy od fundamentu. W trójkącie prostokątnym, dla kąta ostrego \(\alpha\), definiujemy funkcje względem boków: przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta, przyprostokątnej leżącej przy kącie i przeciwprostokątnej.

$$\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przyprostokątna przy kącie}}$$

Do tego dwie tożsamości, które ratują większość zadań otwartych. Jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

oraz związek tangensa z sinusem i cosinusem:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Te cztery wzory plus tabela wartości to około 90 procent zadań z trygonometrii na maturze podstawowej. Naucz się ich na pamięć, choć i tak znajdziesz je w [tablicach](/formulas), bo płynne posługiwanie się nimi oszczędza cenne minuty na egzaminie.

## Tabela wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni

Tej tabeli musisz nauczyć się na pamięć. Pojawia się w zadaniach częściej niż jakikolwiek inny fragment działu.

| Funkcja | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(\sin\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\operatorname{tg}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |

Zapamiętaj prostą regułę: sinus rośnie od \(\frac{1}{2}\) do \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), a cosinus robi dokładnie to samo, tylko od tyłu. Dla \(45^\circ\) sinus i cosinus są równe, bo to kąt symetryczny. Jeśli to widzisz, nie pomylisz kolumn.

## Typowe schematy zadań i jak je rozpoznać

Zadania z trygonometrii wyglądają na różne, ale kryje się za nimi kilka powtarzalnych schematów. Gdy je rozpoznasz, przestaniesz zgadywać.

Schemat pierwszy - policz funkcję z boków trójkąta. Dostajesz trójkąt prostokątny z podanymi bokami i masz policzyć sinus, cosinus albo tangens danego kąta. Klucz: ustalić, który bok jest naprzeciw kąta, który przy nim, a który jest przeciwprostokątną, i podstawić do definicji.

Schemat drugi - z jednej funkcji wyznacz pozostałe. Masz podany na przykład \(\sin\alpha\) i informację, że kąt jest ostry, a musisz policzyć \(\cos\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\). Klucz: jedynka trygonometryczna do cosinusa, potem \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

Schemat trzeci - oblicz wartość wyrażenia. Dostajesz wyrażenie typu \(\sin 30^\circ + \cos 60^\circ\) i masz podać wynik liczbowy. Klucz: podstawić wartości z tabeli i uważać na działania na ułamkach i pierwiastkach.

Schemat czwarty - zastosowanie w trójkącie z figury. Trygonometria bywa częścią większego zadania z planimetrii, na przykład gdy trzeba policzyć wysokość albo bok. Klucz: wyodrębnić trójkąt prostokątny i dobrać odpowiednią funkcję.

## Rozwiązane przykłady krok po kroku

Zobaczmy po jednym przykładzie z każdego schematu, żeby metoda stała się konkretna.

Przykład 1 - funkcja z boków. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(3\) i \(4\), a kąt ostry \(\alpha\) leży naprzeciw boku o długości \(3\). Oblicz \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\).

Najpierw przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Naprzeciw kąta leży bok \(3\), przy kącie bok \(4\). Stąd \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\), a \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}\).

Przykład 2 - z jednej funkcji pozostałe. Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{12}{13}\). Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\).

Z jedynki trygonometrycznej: \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\). Ponieważ kąt jest ostry, sinus jest dodatni, więc \(\sin\alpha = \frac{5}{13}\). Dalej \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}\).

Przykład 3 - wartość wyrażenia. Oblicz \(\sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \operatorname{tg} 45^\circ\).

Podstawiamy z tabeli: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\). Wynik to \(0\).

Przykład 4 - trygonometria w figurze. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość \(10\), a kąt ostry przy niej wynosi \(60^\circ\). Oblicz długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta.

Naprzeciw kąta i przeciwprostokątna to relacja sinusa: \(\sin 60^\circ = \frac{a}{10}\), więc \(a = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\).

Jeśli chcesz zobaczyć więcej takich rozwiązań na prawdziwych zadaniach maturalnych, otwórz [pełną bazę zadań z trygonometrii](/topics) - każde zadanie ma rozwiązanie rozpisane etapami, dokładnie tak jak powyżej.

## Baza zadań CKE z trygonometrii - ćwicz od razu

W naszej bazie znajdziesz zadania z trygonometrii pochodzące z prawdziwych arkuszy CKE z lat 2010-2025, posegregowane i z pełnymi rozwiązaniami. Możesz je przerabiać na kilka sposobów.

Chcesz systematycznie przejść przez cały dział - wejdź na [stronę tematu trygonometria](/topics) i rób zadania po kolei, od łatwiejszych zamkniętych po trudniejsze otwarte. Chcesz sprawdzić się w warunkach maturalnych - użyj [trybu losowych zadań](/random), który wrzuca trygonometrię wymieszaną z innymi działami, tak jak na prawdziwym arkuszu. Utknąłeś na konkretnym zadaniu - skorzystaj z [solvera](/solve), który pokaże ci tok rozumowania, gdy nie wiesz, jak ruszyć.

Chcesz zobaczyć, jak trygonometria wygląda w kontekście całego arkusza - otwórz [arkusze maturalne CKE](/exams) i prześledź, w których zadaniach się pojawia i ile jest warta punktów. Swoje postępy w tym dziale śledzisz na bieżąco w [panelu postępów](/progress). Pokrewne działy przećwiczysz w hubach [zadania CKE z planimetrii](/topics) oraz [zadania CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami).

## Typowe błędy, przez które tracisz punkty

Znajomość wzorów to jedno, ale punkty najczęściej lecą przez drobne pomyłki. Oto te, które widać najczęściej.

Mylenie boku naprzeciw z bokiem przy kącie. To najczęstszy błąd w całym dziale. Zawsze zaczynaj od zaznaczenia kąta i sprawdzenia, który bok leży dokładnie naprzeciw niego - to jest ten do sinusa.

Mylenie sinusa z cosinusem w tabeli. Wartości dla \(30^\circ\) i \(60^\circ\) są zamienione miejscami między sinusem a cosinusem. Zapamiętaj: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), a nie \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Gubienie warunku, że kąt jest ostry. Przy liczeniu funkcji z jedynki trygonometrycznej wychodzi kwadrat, więc formalnie są dwa znaki. Na poziomie podstawowym kąt jest ostry, więc bierzesz wartość dodatnią - ale zawsze to zaznacz.

Błędy na ułamkach i pierwiastkach. Wartości z tabeli to ułamki z pierwiastkami, więc łatwo o pomyłkę rachunkową. Licz spokojnie i, jeśli możesz, sprawdź wynik na końcu.

## Najczęstsze pytania

### Ile zadań z trygonometrii jest na maturze?
Zwykle co najmniej jedno zadanie zamknięte, często też fragment zadania otwartego z planimetrii. To pewne punkty, jeśli opanujesz definicje i tabelę.

### Czy trygonometria na maturze podstawowej jest trudna?
To jeden z bardziej przewidywalnych działów - opiera się na kilku definicjach i jednej tabeli. Po przerobieniu kilkunastu zadań zaczyna wchodzić automatycznie.

### Czy muszę znać wartości dla innych kątów niż 30, 45 i 60?
Na poziomie podstawowym te trzy kąty plus \(0^\circ\) i \(90^\circ\) w zupełności wystarczą. Reszty i tak nie policzysz bez tablic albo kalkulatora.

### Uczę się do matury 2027 - kiedy zabrać się za trygonometrię?
Spokojnie już w wakacje, bo dział jest schematyczny i szybko daje efekty. Jak ułożyć z tego cały plan, opisaliśmy w tekście [matura z matematyki 2027 - jak zacząć przygotowania](/matura-z-matematyki-2027-jak-zaczac-przygotowania).

## Podsumowanie

Trygonometria to dział, w którym opłaca się zdobyć komplet punktów, bo jest przewidywalny i oparty na kilku definicjach oraz jednej tabeli. Naucz się definicji sinusa, cosinusa i tangensa, wartości dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\), jedynki trygonometrycznej i związku tangensa z sinusem i cosinusem. Rozpoznawaj cztery typowe schematy zadań, uważaj na bok naprzeciw kąta i na tabelę, a potem po prostu ćwicz na prawdziwych zadaniach CKE. Wszystko masz w jednym miejscu: [zadania według działu](/topics), [losowe zadania](/random), [solver](/solve), [arkusze CKE](/exams), [tablice wzorów](/formulas) i [panel postępów](/progress). Wejdź i rozwiąż pierwsze zadanie już teraz.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-cke-uklady-rownan-z-rozwiazaniami
title: Zadania CKE z układów równań z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu
description: Baza 29 zadań CKE z układów równań z rozwiązaniami krok po kroku: metoda podstawiania, liczba rozwiązań, parametr i interpretacja geometryczna.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania CKE z układów równań z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

## 29 prawdziwych zadań maturalnych z jednego, małego działu

Układy równań to jeden z mniejszych działów na maturze podstawowej, ale pojawia się w niemal każdym arkuszu CKE, zwykle jako zadanie zamknięte za 1 punkt, czasem jako zadanie otwarte za 2 punkty. W bazie sprawnamatura.pl zebraliśmy 29 prawdziwych zadań maturalnych z tego działu z lat 2011-2026, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. Niżej pokazujemy pięć typów poleceń, jakie CKE stawia z układów równań, po jednym rozwiązanym przykładzie na typ, a na końcu masz tabelę ze wszystkimi 29 zadaniami do samodzielnego rozwiązania.

## Pięć typów zadań z układów równań na maturze

Zanim przejdziesz do przykładów, zapamiętaj ten podział, bo ułatwia rozpoznanie, o co właściwie pyta polecenie:

1. Klasyczne rozwiązanie układu, czyli znajdź \(x\) i \(y\) (metoda podstawiania albo przeciwnych współczynników).
2. Ustalenie liczby rozwiązań układu, bez wyznaczania samych \(x\) i \(y\) (sprzeczny, oznaczony, nieoznaczony).
3. Zadania z parametrem, gdzie szukasz wartości litery \(a\), \(m\) albo \(b\), przy której układ ma określoną własność.
4. Interpretacja geometryczna, czyli dopasowanie wykresu albo opisu prostych do układu równań.
5. Zadanie z treścią, w którym najpierw sam układasz równania z opisu sytuacji, a dopiero potem je rozwiązujesz.

## Przykład 1: klasyczne rozwiązanie metodą podstawiania

**Treść (CKE, zadanie treningowe, 2 pkt):** Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x+3y=5 \\ 2x-y=3 \end{cases}\).

**Rozwiązanie.** Z pierwszego równania wyznacz \(x\):
$$x = 5 - 3y$$
Podstaw do drugiego równania:
$$2(5-3y)-y=3$$
$$10-6y-y=3$$
$$-7y=-7$$
$$y=1$$
Wróć do pierwszego wzoru: \(x=5-3\cdot1=2\). Odpowiedź: \(x=2\), \(y=1\). Zawsze warto sprawdzić wynik, podstawiając obie liczby z powrotem do obu równań wyjściowych. Zajmuje to dziesięć sekund, a chroni przed utratą punktu za błąd rachunkowy. [Rozwiąż to zadanie](/task/cke-pp-treningowe-52), a cały dział znajdziesz w [zakładce układy równań](/topics/uklady-rownan).

## Przykład 2: ile rozwiązań ma układ, bez liczenia x i y

**Treść (matura czerwiec 2024, 1 pkt):** Układ równań \(\begin{cases} x-2y=3 \\ -4x+8y=-12 \end{cases}\) ma...

**Rozwiązanie.** Nie musisz liczyć \(x\) ani \(y\). Podziel drugie równanie przez \(-4\):
$$-4x+8y=-12 \quad /:(-4)$$
$$x-2y=3$$
Oba równania są teraz identyczne. To sygnał, że układ jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań, bo każda para \(x\), \(y\) spełniająca jedno równanie spełnia też drugie. [Rozwiąż to zadanie](/task/matura-czerwiec-2024-07).

Trzy możliwe wyniki takiego zadania wyglądają tak:

| Sytuacja po uproszczeniu | Liczba rozwiązań | Interpretacja geometryczna |
| --- | --- | --- |
| Równania identyczne (np. \(0=0\)) | Nieskończenie wiele | Te same proste |
| Sprzeczność (np. \(0=5\)) | Brak rozwiązań | Proste równoległe, różne |
| Różne współczynniki kierunkowe | Dokładnie jedno | Proste przecinają się |

## Przykład 3: parametr, dla którego układ ma nieskończenie wiele rozwiązań

**Treść (matura czerwiec 2019, 1 pkt):** Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla...

**Rozwiązanie.** Pomnóż drugie równanie przez \(2\), żeby oba miały ten sam współczynnik przy \(x\):
$$\begin{cases} 2x-y=2 \\ 2x+2my=2 \end{cases}$$
Żeby układ miał nieskończenie wiele rozwiązań, oba równania muszą być identyczne, czyli współczynniki przy \(y\) muszą się zgadzać: \(-1=2m\), stąd \(m=-\frac{1}{2}\). [Rozwiąż to zadanie](/task/matura-czerwiec-2019-07).

## Przykład 4: parametr, dla którego układ nie ma rozwiązań

**Treść (matura próbna kwiecień 2015, 1 pkt):** Układ równań \(\begin{cases} y=3x+2 \\ y=(m-2)x+5 \end{cases}\) nie ma rozwiązań, gdy...

**Rozwiązanie.** Układ dwóch prostych zapisanych jako \(y=ax+b\) nie ma rozwiązań, gdy proste są równoległe, ale się nie pokrywają, czyli mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne. Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej to \(3\), drugiej to \(m-2\). Z warunku równoległości: \(m-2=3\), więc \(m=5\). Sprawdzenie: dla \(m=5\) drugie równanie ma postać \(y=3x+5\), czyli wyraz wolny (\(5\)) różni się od wyrazu wolnego pierwszej prostej (\(2\)). Proste są więc równoległe i się nie pokrywają, więc układ nie ma rozwiązań. [Rozwiąż to zadanie](/task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-05).

## Przykład 5: parametr, gdy znasz już rozwiązanie układu

**Treść (matura sierpień 2019, 1 pkt):** Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} -x+12y=a^2 \\ 2x+ay=9 \end{cases}\) dla...

**Rozwiązanie.** Podstaw \(x=3\) i \(y=1\) do obu równań:
$$\begin{cases} -3+12=a^2 \\ 6+a=9 \end{cases}$$
$$\begin{cases} a^2=9 \\ a=3 \end{cases}$$
Pierwsze równanie daje dwie możliwości: \(a=3\) albo \(a=-3\). Drugie równanie jednoznacznie wskazuje \(a=3\). Skoro para liczb ma być rozwiązaniem całego układu, czyli obu równań naraz, odrzucasz \(a=-3\), bo nie spełnia drugiego równania. To najczęstsza pułapka w tym typie zadań: policzenie tylko jednego równania i zaznaczenie złej wartości z dwóch, które pasują do niego samego. [Rozwiąż to zadanie](/task/matura-sierpie-2019-05).

## Przykład 6: interpretacja geometryczna

**Treść (matura maj 2015, 1 pkt):** Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie...

**Rozwiązanie.** Zapisz oba równania w postaci \(y=ax+b\): pierwsze daje \(y=x-3\), drugie \(y=-4x+8\). Współczynniki kierunkowe (\(1\) i \(-4\)) są różne, więc proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie. [Rozwiąż to zadanie](/task/matura-maj-2015-05). Więcej takich zadań, gdzie równania odpowiadają prostym na płaszczyźnie, znajdziesz w [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna).

## Przykład 7: zadanie z treścią, czyli sam układasz równania

**Treść (matura sierpień 2017, 1 pkt):** Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Który układ równań opisuje tę sytuację?

**Rozwiązanie.** Obwód prostokąta to \(2a+2b\), czyli pierwsze równanie ma postać \(2(a+b)=60\). Informacja "jeden bok jest o 10 dłuższy" oznacza \(a+10=b\). Poprawny układ to \(\begin{cases} 2(a+b)=60 \\ a+10=b \end{cases}\). [Rozwiąż to zadanie](/task/matura-sierpie-2017-07). Więcej o przekładaniu opisu słownego na równania znajdziesz w [poradniku o zadaniach z treścią](/zadania-z-trescia-matura-matematyka-jak-rozwiazywac).

## Wszystkie 29 zadań z działu Układy równań

Tabela pokazuje wszystkie zadania z tego działu w bazie, pogrupowane według typów opisanych wyżej. Każde ma pełne rozwiązanie krok po kroku, część również wideo.

**Klasyczne rozwiązanie układu**

| Źródło | Punkty |
| --- | --- |
| [CKE PP treningowe](/task/cke-pp-treningowe-52) | 2 pkt |
| [Matura sierpień 2011](/task/matura-sierpie-2011-03) | 1 pkt |
| [Matura maj 2013](/task/matura-maj-2013-04) | 1 pkt |
| [Matura sierpień 2013](/task/matura-sierpie-2013-04) | 1 pkt |
| [Matura próbna CKE grudzień 2023](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2023-06) | 1 pkt |

**Liczba rozwiązań układu**

| Źródło | Punkty |
| --- | --- |
| [Matura czerwiec 2024](/task/matura-czerwiec-2024-07) | 1 pkt |
| [CKE 2025 PP](/task/cke-2025-pp-21) | 1 pkt |
| [Matura próbna kwiecień 2020](/task/matura-pr-bna-kwiecie-2020-10) | 1 pkt |
| [Matura sierpień 2016](/task/matura-sierpie-2016-12) | 1 pkt |
| [Matura maj 2022](/task/matura-maj-2022-06) | 1 pkt |
| [Matura próbna CKE marzec 2026](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-09) | 1 pkt |

**Interpretacja geometryczna**

| Źródło | Punkty |
| --- | --- |
| [Matura maj 2014](/task/matura-maj-2014-01) | 1 pkt |
| [Matura maj 2015](/task/matura-maj-2015-05) | 1 pkt |
| [Matura maj 2021](/task/matura-maj-2021-08) | 1 pkt |
| [Matura próbna luty 2013](/task/matura-pr-bna-luty-2013-08) | 1 pkt |
| [Matura sierpień 2015](/task/matura-sierpie-2015-07) | 1 pkt |
| [Matura sierpień 2018](/task/matura-sierpie-2018-06) | 1 pkt |

**Zadania z parametrem**

| Źródło | Punkty |
| --- | --- |
| [Matura czerwiec 2016](/task/matura-czerwiec-2016-18) | 1 pkt |
| [Matura czerwiec 2017](/task/matura-czerwiec-2017-08) | 1 pkt |
| [Matura czerwiec 2019](/task/matura-czerwiec-2019-07) | 1 pkt |
| [Matura maj 2011](/task/matura-maj-2011-04) | 1 pkt |
| [Matura maj 2019](/task/matura-maj-2019-05) | 1 pkt |
| [Matura próbna CKE grudzień 2024](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-07) | 1 pkt |
| [Matura próbna kwiecień 2015](/task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-05) | 1 pkt |
| [Matura próbna marzec 2021](/task/matura-pr-bna-marzec-2021-05) | 1 pkt |
| [Matura sierpień 2019](/task/matura-sierpie-2019-05) | 1 pkt |
| [CKE 2015-2023 PP](/task/cke-2015-2023-pp-17) | 2 pkt |
| [CKE 2015-2023 PP](/task/cke-2015-2023-pp-18) | 2 pkt |

**Zadanie z treścią**

| Źródło | Punkty |
| --- | --- |
| [Matura sierpień 2017](/task/matura-sierpie-2017-07) | 1 pkt |

## Trzy pułapki, które kosztują punkt w tym dziale

**Mnożenie tylko jednej strony równania.** Gdy sprowadzasz współczynniki do wspólnej postaci, musisz pomnożyć całe równanie, obie strony naraz, inaczej psujesz cały układ.

**Podanie obu wartości z równania kwadratowego przy parametrze.** Jak w przykładzie 5, samo \(a^2=9\) daje dwie liczby, ale tylko jedna spełnia drugie równanie układu. Zawsze sprawdzaj oba równania, nie tylko to, które wygląda prościej.

**Mylenie "brak rozwiązań" z "jedno rozwiązanie" w interpretacji geometrycznej.** Proste równoległe, czyli te same współczynniki kierunkowe, nie mają punktu wspólnego, chyba że dodatkowo się pokrywają, wtedy mają ich nieskończenie wiele. Różne współczynniki kierunkowe oznaczają zawsze dokładnie jeden punkt wspólny.

## Najczęstsze pytania

### Ile punktów jest zwykle za zadanie z układu równań na maturze?
Najczęściej 1 punkt w zadaniu zamkniętym. Rzadziej pojawia się jako zadanie otwarte za 2 punkty, gdy trzeba samodzielnie rozwiązać cały układ.

### Jak sprawdzić, że układ nie ma rozwiązań, bez rysowania wykresu?
Sprowadź oba równania do postaci \(y=ax+b\). Jeśli współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne, układ jest sprzeczny.

### Czym różni się układ oznaczony od nieoznaczonego?
Oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli proste się przecinają. Nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, czyli po uproszczeniu oba równania są identyczne, bo to te same proste.

### Czy da się sprawdzić rozwiązanie układu równań online?
Tak, [solver matematyczny](/solve) rozpisuje rozwiązanie układu krok po kroku, więc możesz porównać własny tok rozumowania z poprawnym.

### Gdzie znajdę więcej zadań z tego działu?
Cały dział, łącznie z zadaniami spoza tej listy, znajdziesz w [zakładce układy równań](/topics/uklady-rownan), a metody rozwiązywania krok po kroku opisują teksty o [metodzie podstawiania](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania) i [metodzie przeciwnych współczynników](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-przeciwnych-wspolczynnikow).

## Podsumowanie

Układy równań to mały, ale pewny dział: jedno zadanie w niemal każdym arkuszu, zwykle za 1 punkt, pięć powtarzalnych typów poleceń. Naucz się rozpoznawać, o co właściwie pyta zadanie (wartości \(x\) i \(y\), liczbę rozwiązań, parametr czy interpretację wykresu), a reszta to gotowy schemat.

Plan na dziś: przejdź [dział układów równań](/topics/uklady-rownan) i rozwiąż po jednym zadaniu z każdego typu opisanego na tej stronie. Jeśli szykujesz się do matury szerzej i masz mniej regularnych godzin na naukę, na przykład [uczysz się w technikum](/matura-z-matematyki-w-technikum-czy-jest-inna-niz-w-liceum), sprawdź też, czy twój plan nauki jest dopasowany do twojego kalendarza, a nie do cudzego.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zadania-otwarte-matura-matematyka-baza-cke-z-rozwiazaniami
title: Zadania otwarte na maturze z matematyki - baza CKE z rozwiązaniami
description: Ponad 800 zadań otwartych CKE z matury z matematyki w jednej bazie. Rozwiązania krok po kroku, podział na działy i punkty oraz zasady oceniania.
author: Marcel Bogdan
---

# Zadania otwarte na maturze z matematyki - baza CKE z rozwiązaniami

## Dlaczego zadania otwarte decydują o twoim wyniku

Na maturze podstawowej z matematyki zadania otwarte to około połowy punktów do zdobycia. W arkuszu z maja 2026 zadań otwartych było 13 i były warte łącznie 26 punktów, podczas gdy 24 zadania zamknięte dawały tylko 24 punkty. Rok wcześniej, w maju 2025, punkty rozłożyły się dokładnie po połowie: 10 zadań otwartych za 25 punktów przy 25 zamkniętych za 25 punktów. Wniosek jest brutalnie prosty: bez zadań otwartych nie ma dobrego wyniku, a nawet samo zdanie robi się trudne.

Problem w tym, że większość maturzystów ćwiczy głównie zadania zamknięte, bo są szybkie i dają miłe poczucie postępu. Otwarte odkłada się "na później", a później okazuje się, że na egzaminie trzeba samodzielnie zapisać rozwiązanie, a nie tylko rozpoznać odpowiedź. Ten wpis to lekarstwo: kompletna baza 826 zadań otwartych z arkuszy CKE z lat 2010-2026, każde z rozwiązaniem krok po kroku, a 776 z nich dodatkowo z rozwiązaniem wideo. Wszystko podzielone na działy i punkty, do ćwiczenia online za darmo.

## Czym zadanie otwarte różni się od zamkniętego

W zadaniu zamkniętym zaznaczasz jedną z gotowych odpowiedzi i dostajesz punkt albo nie. W zadaniu otwartym sam zapisujesz całe rozwiązanie, a egzaminator ocenia metodę, nie tylko końcowy wynik. To działa w obie strony: za samą odpowiedź bez obliczeń punktów zwykle nie ma, ale za dobrą metodę z błędem rachunkowym na końcu można dostać większość punktów.

Dlatego przy zadaniach otwartych trenujesz dwie rzeczy naraz: matematykę i zapisywanie rozumowania tak, żeby egzaminator mógł je nagrodzić. Jak dokładnie działa schemat oceniania i za co przyznawane są punkty częściowe, opisałem w tekście o [zasadach punktowania zadań na maturze](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania). A jeśli szukasz strategii pisania rozwiązań, mam osobny poradnik: [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka). Ten wpis to co innego: baza zadań, na których te strategie przećwiczysz.

## Zadania otwarte według działów - pełna mapa

Tak wygląda cała baza zadań otwartych w podziale na działy. Liczby mówią same za siebie: równania, geometria analityczna, planimetria, stereometria i ciągi to razem prawie 500 zadań otwartych, bo właśnie z tych działów CKE najchętniej układa zadania z pełną punktacją.

| Dział | Zadania otwarte w bazie | Ćwicz online |
|---|---|---|
| Równania i nierówności | 127 | [przejdź do działu](/topics/rownania-i-nierownosci) |
| Geometria analityczna | 105 | [przejdź do działu](/topics/geometria-analityczna) |
| Planimetria | 93 | [przejdź do działu](/topics/planimetria) |
| Stereometria | 84 | [przejdź do działu](/topics/stereometria) |
| Ciągi | 77 | [przejdź do działu](/topics/ciagi) |
| Prawdopodobieństwo | 61 | [przejdź do działu](/topics/prawdopodobienstwo) |
| Funkcja kwadratowa | 56 | [przejdź do działu](/topics/funkcja-kwadratowa) |
| Trygonometria | 42 | [przejdź do działu](/topics/trygonometria) |
| Liczby rzeczywiste | 33 | [przejdź do działu](/topics/liczby-rzeczywiste) |
| Funkcje | 30 | [przejdź do działu](/topics/funkcje) |
| Potęgi i pierwiastki | 29 | [przejdź do działu](/topics/potegi-i-pierwiastki) |
| Statystyka | 18 | [przejdź do działu](/topics/statystyka) |
| Procenty | 16 | [przejdź do działu](/topics/procenty) |
| Wyrażenia algebraiczne | 12 | [przejdź do działu](/topics/wyrazenia-algebraiczne) |
| Kombinatoryka | 10 | [przejdź do działu](/topics/kombinatoryka) |
| Funkcja liniowa | 10 | [przejdź do działu](/topics/funkcja-liniowa) |
| Logarytmy | 9 | [przejdź do działu](/topics/logarytmy) |
| Układy równań | 4 | [przejdź do działu](/topics/uklady-rownan) |

Do tego dochodzi jeszcze kilkanaście zadań otwartych z mniejszych tematów, takich jak wielomiany, optymalizacja czy funkcja wykładnicza. Jeśli wolisz zacząć od pełnego obrazu wszystkich zadań, także zamkniętych, zajrzyj do [bazy zadań maturalnych według działów](/zadania-maturalne-z-matematyki-wedlug-dzialow-baza-cke).

## Największe działy: tu leżą punkty

Pięć największych działów odpowiada za większość punktów z zadań otwartych. Do każdego podaję przykładowe zadania z bazy, żebyś mógł wejść i od razu ćwiczyć.

Równania i nierówności to najliczniejsza grupa: 127 zadań otwartych. Klasyka to nierówność kwadratowa i równanie wielomianowe zapisane tak, żeby dało się pogrupować wyrazy. Zacznij od [nierówności za 2 punkty z próbnej matury luty 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-08), a potem weź [zadanie za 3 punkty z matury maj 2023](/task/matura-maj-2023-09).

Geometria analityczna: 105 zadań otwartych, zwykle proste, okręgi i pola w układzie współrzędnych. Dobre na start: [zadanie za 3 punkty z zestawu CKE 2025](/task/cke-2025-pp-51), a dla ambitnych [zadanie za 4 punkty z bazy CKE 2015-2023](/task/cke-2015-2023-pp-84).

Planimetria: 93 zadania otwarte, od pól trójkątów po twierdzenia o okręgach. Sprawdź [zadanie za 3 punkty z próbnej matury luty 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-27) i [zadanie za 4 punkty z próbnej CKE grudzień 2024](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24).

Stereometria: 84 zadania otwarte, niemal zawsze bryła plus kąt albo pole przekroju. Ćwicz na [zadaniu za 3 punkty z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-32) i [zadaniu za 4 punkty z próbnej luty 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-34).

Ciągi: 77 zadań otwartych, głównie ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu. Typowe przykłady: [zadanie za 3 punkty z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-20) oraz [zadanie za 3 punkty z matury maj 2026](/task/matura-maj-2026-17).

Prawdopodobieństwo: 61 zadań otwartych, zwykle zdarzenia losowe do wypisania albo drzewko. Na rozgrzewkę [zadanie za 2 punkty z matury czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-33), potem [zadanie za 3 punkty z zestawu CKE 2023](/task/cke-2023-pp-66).

Funkcja kwadratowa i trygonometria domykają czołówkę: spróbuj [zadania za 3 punkty o funkcji kwadratowej](/task/cke-2025-pp-53) i [trygonometrii za 3 punkty z próbnej luty 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-23).

## Szybkie punkty: mniejsze działy też mają otwarte

Mniejsze działy dają krótsze zadania otwarte, często za 2-3 punkty, które da się opanować w jedno popołudnie. Kilka wartych uwagi: [liczby rzeczywiste za 3 punkty z matury czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-05), [funkcje za 4 punkty z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-11), [potęgi i pierwiastki za 3 punkty z matury sierpień 2024](/task/matura-sierpie-2024-07), [statystyka za 3 punkty z matury czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-36), [procenty za 3 punkty z matury sierpień 2025](/task/matura-sierpie-2025-39), [wyrażenia algebraiczne za 3 punkty](/task/cke-2025-pp-20), [kombinatoryka za 3 punkty](/task/cke-2025-pp-75) oraz [logarytmy za 3 punkty](/task/cke-2025-pp-39).

## Od czego zacząć: zadania za 1 i 2 punkty

W bazie są 74 zadania otwarte za 1 punkt i aż 471 za 2 punkty. To najliczniejsza i najbardziej niedoceniana grupa: krótkie polecenia typu "rozwiąż nierówność", "oblicz wyraz ciągu", "oblicz cenę po podwyżce". Na maturze pojawia się ich kilka i to od nich najlepiej zacząć trening, bo dają pewne punkty przy małym ryzyku.

Zobacz, jak wyglądają w praktyce: [jednopunktowe zadanie o ciągu z matury maj 2026](/task/matura-maj-2026-19), [dwupunktowe zadanie z procentów z matury maj 2026](/task/matura-maj-2026-11) albo wspomniana wyżej [nierówność za 2 punkty](/task/matura-pr-bna-luty-2026-08).

## Przykład krok po kroku: typowe zadanie otwarte za 2 punkty

Rozwiąż nierówność \(x^2 - 5x + 6 > 0\).

Krok 1: liczymy wyróżnik trójmianu, żeby znaleźć pierwiastki:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

Krok 2: wyznaczamy pierwiastki:

$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Krok 3: współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę. Nierówność pyta, gdzie trójmian jest dodatni, czyli poza pierwiastkami:

$$x \in (-\infty;\ 2) \cup (3;\ +\infty)$$

W typowym schemacie oceniania pierwszy punkt dostajesz za poprawne wyznaczenie pierwiastków, drugi za poprawny zbiór rozwiązań. Zwróć uwagę, ile tu jest miejsc na "głupi" błąd: znak nierówności, nawiasy otwarte zamiast domkniętych, suma przedziałów zamiast części wspólnej. Właśnie dlatego zadania otwarte trzeba pisać, a nie czytać.

## Najwyżej punktowane zadania otwarte

W aktualnej formule najdroższe zadania otwarte są warte 4 punkty i w bazie jest ich 127. W starszych arkuszach formuły 2015 i w materiałach treningowych CKE trafiają się nawet zadania za 5 i 6 punktów, które świetnie budują kondycję. Przykłady z górnej półki: [stereometria za 4 punkty z matury maj 2025](/task/matura-maj-2025-38), [rozbudowane zadanie treningowe CKE za 6 punktów](/task/cke-2025-pp-33) i [geometria analityczna za 5 punktów](/task/cke-2015-2023-pp-88).

Osobną kategorią zadań otwartych są dowody, czyli zadania "wykaż, że". Dla nich mam oddzielną [bazę zadań dowodowych CKE z rozwiązaniami](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami) oraz poradnik [jak pisać dowody, żeby dostać pełne punkty](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Jak ćwiczyć zadania otwarte, żeby egzaminator przyznał punkty

Metoda jest prosta i niewygodna zarazem: kartka i długopis. Bierzesz zadanie, piszesz pełne rozwiązanie tak, jakby miał je czytać egzaminator, i dopiero potem porównujesz z rozwiązaniem krok po kroku. Jeśli utknąłeś w połowie, nie przepisuj rozwiązania: obejrzyj pierwszy krok, zakryj resztę i próbuj dalej samodzielnie. Przy 776 zadaniach masz też rozwiązanie wideo, które tłumaczy tok myślenia, a nie tylko zapis.

Żeby trening nie zrobił się przewidywalny, mieszaj działy w [trybie losowym](/random), który podaje zadania jak prawdziwy arkusz. Własne przekształcenia możesz sprawdzić w [solverze](/solve), a w [panelu postępów](/progress) zobaczysz, w których działach zadania otwarte wciąż kuleją. Raz w tygodniu dołóż pełny [arkusz CKE na czas](/exams), bo na egzaminie oprócz umiejętności liczy się też tempo. A jeśli zastanawiasz się, ile godzin tygodniowo na to wszystko wygospodarować, policz to z tekstem [ile czasu na przygotowanie do matury z matematyki](/ile-czasu-na-przygotowanie-do-matury-z-matematyki).

## FAQ: zadania otwarte na maturze

### Ile zadań otwartych jest w arkuszu maturalnym?
W ostatnich arkuszach formuły 2023 było ich od dziesięciu do kilkunastu: w maju 2026 dokładnie 13 za łącznie 26 punktów, w maju 2025 dziesięć za 25 punktów. To około połowy wszystkich punktów w arkuszu.

### Czy dostanę punkty za samą odpowiedź bez obliczeń?
W zadaniach otwartych zwykle nie. Egzaminator musi widzieć metodę: zapisane równanie, przekształcenia, uzasadnienie. Sam wynik, nawet poprawny, to za mało.

### Czy błąd rachunkowy przekreśla całe zadanie?
Nie. Jeśli metoda jest poprawna, a mylisz się tylko w rachunkach, zwykle tracisz część punktów, nie wszystkie. Dlatego zawsze zapisuj kolejne kroki, nawet gdy liczysz w pamięci.

### Gdzie ćwiczyć zadania otwarte za darmo?
Cała opisana tu baza jest dostępna online bez opłat: wybierz dział z tabeli wyżej albo wejdź w [tryb losowy](/random) i rozwiązuj z natychmiastowym dostępem do rozwiązań krok po kroku.

## Podsumowanie: połowa matury do wzięcia

Zadania otwarte to około połowy punktów na maturze podstawowej i jednocześnie obszar, który najłatwiej zaniedbać. Masz teraz mapę: 826 zadań otwartych z prawdziwych arkuszy CKE, podzielonych na działy i punkty, każde z rozwiązaniem krok po kroku. Zacznij od krótkich zadań za 1-2 punkty w swoim najsłabszym dziale, po tygodniu dołóż zadania za 3-4 punkty, a arkuszem na czas sprawdzaj, czy punkty z treningu przechodzą na egzamin.

Kartka, długopis i pierwsze zadanie z tabeli wyżej: to cały plan na dziś.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /zbior-zadan-maturalnych-matematyka-pdf-czy-baza-online
title: Zbiór zadań maturalnych z matematyki: PDF czy baza online?
description: Zbiór zadań maturalnych z matematyki z rozwiązaniami: porównujemy PDF i bazę online. Sprawdź, gdzie ćwiczysz zadania CKE szybciej i skuteczniej.
author: Marcel Bogdan
---

# Zbiór zadań maturalnych z matematyki: PDF czy baza online?

Wpisujesz w Google "zbiór zadań maturalnych z matematyki" i co dostajesz? Najczęściej dwie rzeczy: stare zbiory zadań w PDF (w tym oficjalny zbiór CKE) albo serwisy z luźno porozrzucanymi zadaniami. Jedno i drugie ma sens, ale jeśli realnie chcesz podnieść swój wynik, a nie tylko mieć "coś do przeglądania", warto wiedzieć, czym te formaty się różnią. Ten tekst to uczciwe porównanie: kiedy PDF wystarczy, a kiedy interaktywna baza online robi robotę, której papier nigdy nie zrobi.

Piszemy to teraz nie bez powodu. Po ogłoszeniu wyników matury część osób szykuje się do [poprawki w sierpniu](/matura-poprawkowa-matematyka-sierpien-termin-zasady), a kolejny rocznik właśnie zaczyna przygotowania na spokojnie, przez wakacje. W obu przypadkach pierwsze pytanie brzmi: na czym ćwiczyć?

## Czym jest zbiór zadań maturalnych w PDF

Klasyczny zbiór zadań to plik albo książka z setkami zadań pogrupowanych działami. Najbardziej znany jest oficjalny zbiór zadań CKE, są też zbiory wydawnictw i serwisów edukacyjnych. Ich zalety są realne:

Masz wszystko w jednym pliku, offline, bez logowania. Możesz wydrukować, pisać po kartce, rozwiązywać bez telefonu pod ręką. Zadania pochodzą z wiarygodnego źródła i odpowiadają wymaganiom egzaminu.

Problem zaczyna się przy nauce, a nie przy czytaniu. W typowym PDF-ie odpowiedzi są na końcu jako same wyniki, bez pokazania drogi. Utykasz na zadaniu, zaglądasz na koniec, widzisz "3/5" i dalej nie wiesz, JAK do tego dojść. Nie ma jak odfiltrować zadań po dziale ani po typie, nie ma sprawdzania na bieżąco, nie widzisz, ile naprawdę umiesz. Plik się nie aktualizuje - kupiony rok temu nie zawiera arkusza z tego roku.

## Czym jest interaktywna baza zadań online

Baza online to ten sam materiał (a często szerszy, bo agreguje wiele roczników), ale podany inaczej. Najważniejsza różnica: przy każdym zadaniu jest pełne rozwiązanie krok po kroku, a nie sam wynik. Do tego dochodzi filtrowanie po dziale, sprawdzanie odpowiedzi od razu i śledzenie postępu.

U nas baza to ponad 2300 zadań pochodzących z arkuszy i zbiorów CKE - od matury 2010 aż po najnowsze arkusze. Każde zadanie ma rozwiązanie krok po kroku, część ma też wideo. Możesz wejść w konkretny dział, na przykład [geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna) albo [trygonometrię](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami), i ćwiczyć dokładnie to, co Ci leży, zamiast przewracać 300 stron PDF-a w poszukiwaniu właściwego typu.

## Porównanie: PDF kontra baza online

Zestawmy oba formaty po kryteriach, które naprawdę wpływają na wynik z matury.

| Kryterium | Zbiór PDF | Baza online (sprawnamatura.pl) |
| --- | --- | --- |
| Rozwiązania krok po kroku | Zwykle tylko wyniki na końcu | Pełne rozwiązanie przy każdym zadaniu |
| Filtrowanie po dziale i typie | Brak, szukasz ręcznie | Tak, jednym kliknięciem |
| Sprawdzanie odpowiedzi | Samodzielnie, na końcu pliku | Natychmiast, po wpisaniu |
| Śledzenie postępu | Brak | Tak, widzisz co umiesz |
| Solver do własnego zadania | Brak | Tak, rozwiązanie ze zdjęcia |
| Aktualizacja o nowe arkusze | Brak, plik jest statyczny | Na bieżąco |
| Dostęp na telefonie | Słaby (przewijanie PDF) | Pełny, responsywny |
| Cena wejścia | Od darmowego do kilkudziesięciu zł | Duża część za darmo, reszta w abonamencie |

Widać wzorzec: PDF wygrywa, gdy chcesz mieć materiał offline i pisać po papierze. Baza online wygrywa wszędzie tam, gdzie chodzi o realną naukę: zrozumienie metody, ćwiczenie konkretnego działu i kontrolę postępów.

## Kiedy wystarczy PDF, a kiedy lepsza jest baza

Bądźmy uczciwi - PDF ma swoje miejsce. Jeśli lubisz pracować na wydruku, chcesz symulować egzamin na papierze albo nie masz dostępu do internetu w miejscu nauki, klasyczny zbiór jest w porządku. Wielu nauczycieli słusznie każe ćwiczyć pisanie rozwiązań ręcznie, bo na maturze też piszesz długopisem.

Baza online wygrywa, gdy:

Utykasz i potrzebujesz zobaczyć DROGĘ do wyniku, nie sam wynik. To największa różnica - z PDF-em zostajesz sam, z bazą masz rozwiązanie krok po kroku.

Chcesz trenować punktowo jeden dział, na przykład dobić [stereometrię](/topics/stereometria) albo [równania i nierówności](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami), zamiast losowo skakać po pliku.

Zależy Ci na informacji zwrotnej - ile zadań z danego działu już umiesz i gdzie masz dziury. Tego papier nie da.

Najlepsza strategia? Połącz oba. Teorię i metody ułóż z [przewodników po działach](/topics/trygonometria), ćwicz na bazie online z natychmiastowym sprawdzaniem, a raz na jakiś czas rozwiąż cały arkusz na papierze na czas, żeby przećwiczyć warunki egzaminu. Gotowe arkusze do tego masz w sekcji [arkusze maturalne CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan).

## Jak wycisnąć z bazy zadań maksimum

Sama baza to za mało, liczy się sposób pracy. Kilka konkretów, które działają:

Rozwiązuj zadanie do końca, ZANIM zajrzysz w rozwiązanie. Nawet gdy nie masz pewności - dopiero potem sprawdź drogę krok po kroku i wyłap, gdzie zboczyłeś. Sprawdzanie odpowiedzi przed próbą to oszukiwanie samego siebie.

Mieszaj typy. Co kilka sesji włącz [losowe zadania maturalne](/random), żeby trenować rozpoznawanie typu pod presją, tak jak na prawdziwym egzaminie.

Trzymaj pod ręką [zestaw wzorów](/formulas) i [solver](/solve) na zadania, które kompletnie Cię blokują. Solver pokaże rozwiązanie ze zdjęcia, więc nie tracisz pół godziny na jedno zadanie.

Patrz na [swój postęp](/progress) raz w tygodniu i kieruj naukę tam, gdzie masz najwięcej braków. To prosta zasada, a robi ogromną różnicę w wyniku.

## Ile to kosztuje

Tu jest dobra wiadomość: duża część naszej bazy, w tym komplet zadań zamkniętych i przewodniki po działach, jest dostępna za darmo. Nie musisz płacić, żeby zacząć i sprawdzić, czy taki sposób nauki Ci pasuje. Pełny dostęp do wszystkich rozwiązań krok po kroku i materiałów premium daje [abonament Premium](/payment/checkout) - aktualne warianty i ceny znajdziesz na stronie zakupu. W porównaniu z pojedynczą godziną korepetycji to inny rząd wielkości, a materiał masz dostępny non stop.

Jeśli ważysz różne opcje przygotowań, sprawdź też nasze teksty [matura z matematyki bez korepetycji - plan nauki](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki) oraz [ranking platform do nauki matury](/ranking-platform-do-nauki-matury-matematyka).

## Czego nie znajdziesz w statycznym pliku PDF

Kilka rzeczy z natury nie da się zamknąć w pliku, a one właśnie robią największą różnicę w nauce. Po pierwsze, aktualność. Matura zmienia akcenty, dochodzą nowe arkusze, a plik kupiony rok temu zostaje taki sam. Baza online dokłada nowe zadania, gdy tylko CKE opublikuje arkusz, więc ćwiczysz na najświeższym materiale, łącznie z rozwiązaniami z [matury maj 2026](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania).

Po drugie, kontekst. W PDF zadanie jest samotną wyspą. Online jedno kliknięcie prowadzi Cię od zadania do przewodnika po dziale, do podobnych zadań i do wzorów. Uczysz się siecią powiązań, a nie liniowo strona po stronie.

Po trzecie, tempo zwrotne. Wpisujesz odpowiedź i od razu wiesz, czy dobrze. Ta pętla "spróbuj - sprawdź - popraw" jest tym, co faktycznie buduje wynik, a w pliku PDF jej po prostu nie ma.

## Najczęstsze pytania o zbiory zadań maturalnych

### Czy zbiór zadań CKE wystarczy do matury?
To dobre źródło, ale sam plik daje wyniki bez pełnej drogi rozwiązania. Jeśli rozumiesz metody, wystarczy do treningu. Jeśli gdzieś utykasz, potrzebujesz rozwiązań krok po kroku, których w samym zbiorze nie ma.

### Gdzie znaleźć darmowy zbiór zadań maturalnych z rozwiązaniami?
Duża część naszej bazy jest darmowa, w tym komplet zadań zamkniętych i przewodniki po działach. Wystarczy wejść w wybrany [dział tematyczny](/topics/trygonometria) i zacząć rozwiązywać, bez ściągania plików.

### Lepszy zbiór zadań czy korepetycje?
To nie jest "albo albo". Dobra baza z rozwiązaniami krok po kroku zastępuje sporą część korepetycji, bo tłumaczy metodę przy każdym zadaniu. Jak chcesz uczyć się sam, zobacz [plan nauki bez korepetycji](/matura-z-matematyki-bez-korepetycji-plan-samodzielnej-nauki).

### Ile zadań trzeba rozwiązać przed maturą?
Nie ma magicznej liczby, ale liczy się różnorodność typów, nie ilość. Lepiej rozwiązać 200 zadań z różnych działów ze zrozumieniem niż 600 z jednego. Mieszaj działy przez [losowe zadania](/random) i pilnuj słabych miejsc na [stronie postępu](/progress).

## Co z różnymi działami matematyki

Trygonometria, geometria czy ciągi rządzą się trochę innymi prawami i format ma tu znaczenie. Działy mocno rachunkowe, jak [równania i nierówności](/zadania-cke-rownania-nierownosci-z-rozwiazaniami), świetnie ćwiczy się online, bo natychmiast widzisz, czy gdzieś pomyliłeś znak albo dziedzinę. Działy geometryczne, jak [planimetria](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) czy [geometria analityczna](/zadania-cke-geometria-analityczna-z-rozwiazaniami), warto ćwiczyć z rysunkiem pod ręką, więc tu dobrze sprawdza się połączenie: rozwiązanie krok po kroku online plus własny szkic na kartce. W każdym z tych działów masz u nas osobny hub z zadaniami CKE i rozwiązaniami, więc trenujesz dokładnie to, czego potrzebujesz, bez przewijania całego zbioru.

## Jak zacząć w 10 minut

Nie musisz planować wielkiej rewolucji w nauce. Wejdź w jeden dział, który Ci najbardziej leży, na przykład [funkcję kwadratową](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami) albo [ciągi](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami), i rozwiąż trzy zadania od deski do deski. Przy każdym najpierw spróbuj sam, dopiero potem zerknij w rozwiązanie krok po kroku. Po dziesięciu minutach masz już realny obraz: które typy idą gładko, a gdzie się sypiesz.

To jest właśnie przewaga bazy nad plikiem PDF. Z plikiem po dziesięciu minutach masz przewertowane kartki i odpowiedź "3/5" bez kontekstu. Online masz trzy rozwiązane zadania, świadomość swoich braków i zapisany postęp, do którego wrócisz jutro. Mała różnica w starcie, ogromna w wyniku po miesiącu.

## Podsumowanie

Zbiór zadań w PDF jest dobry do druku i pracy offline, ale przy nauce zostawia Cię samego z wynikiem bez drogi. Interaktywna baza online daje to, czego papier nie da: rozwiązania krok po kroku, filtrowanie po dziale, natychmiastowe sprawdzanie i kontrolę postępu. Najmądrzej połączyć oba - ucz się na bazie, a arkusze rozwiązuj na papierze na czas.

Chcesz od razu zobaczyć, jak to działa w praktyce? Wejdź w [bazę zadań CKE z trygonometrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami) albo otwórz [losowe zadanie](/random) i rozwiąż pierwsze z brzegu. Zero plików do ściągania, rozwiązanie masz od ręki.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)


---
route: /task
title: Przykładowe zadania maturalne
---

# Przykładowe zadania maturalne z matematyki

Poniżej znajduje się 50 przykładowych zadań poziomu podstawowego z bazy 2374 zadań.

## Zadanie 23 - Matura czerwiec 2018

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Stereometria

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2018-23


## Zadanie 4 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Logarytmy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba log₈4-log₈32 jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-04


## Zadanie 4 - Matura próbna luty 2026

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (2-x)/4> x-1/2 jest przedział

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-luty-2026-04


## Zadanie 30 - Matura próbna marzec 2013

**Źródło:** Matura próbna marzec 2013
**Kategoria:** Stereometria

Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 52° , a pole powierzchni ściany bocznej jest równe 21 550 m 2 . Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci a · 10k, gdzie 1 ≤ a < 10 i k jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-marzec-2013-30


## Zadanie 49 - CKE 2015-2023 PP

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcje

Funkcja wymierna f jest dana wzorem f(x)=(x²+2x-3)/(x²-3x-6). Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla których funkcja f przyjmuje wartość 2.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-49


## Zadanie 5 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. (1) Liczba naturalna 4¹² · 5²⁴ jest podzielna przez 20. (2) Liczba naturalna 4¹² · 5²⁴ jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-05


## Zadanie 8 - Matura maj 2024

**Źródło:** Matura maj 2024
**Kategoria:** Wielomiany

Dany jest wielomian W(x)=3 x³+6 x²+9 x. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P , jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Wielomian W jest iloczynem wielomianów F(x)=3 x i G(x)=x²+2 x+3. P F Liczba (-1) jest rozwiązaniem równania W(x)=0. P F

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-08


## Zadanie 28 - Matura sierpień 2015

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność 20x ≥ 4x² + 24.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2015-28


## Zadanie 3 - Matura maj 2017

**Źródło:** Matura maj 2017
**Kategoria:** Logarytmy

Liczba 2log₂3-2log₂5 jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2017-03


## Zadanie 7 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n²+21n jest podzielna przez 14.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-07


## Zadanie 12 - Matura sierpień 2012

**Źródło:** Matura sierpień 2012
**Kategoria:** Ciągi

Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=n/(-2)^n dla n ≥ 1. Wówczas

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2012-12


## Zadanie 13 - Matura sierpień 2022

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Ciągi

Dane są ciągi a_n = 3n oraz b_n = 4n - 2, określone dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Liczba 10

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2022-13


## Zadanie 7 - Matura próbna Operon listopad 2011

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2011
**Kategoria:** Równania i nierówności

Przedział zaznaczony na osi liczbowej jest zbiorem rozwiązań nierówności

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2011-07


## Zadanie 11 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Procenty

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według cennika: bilet normalny 35 zł, bilet ulgowy 25 zł. Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-11


## Zadanie 33.1 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa

W chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Wysokość h, na której znajduje się piłeczka w chwili t, określona jest wzorem h(t)=-4,9t²+14,7t (czas t w sekundach, wysokość h w metrach). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-36


## Zadanie 2 - Matura maj 2017

**Źródło:** Matura maj 2017
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki

Liczba (3)√(54)-(3)√(2) jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2017-02


## Zadanie 59 - CKE 2015-2023 PP

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi

Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadnij, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy tych wyrazów.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-59


## Zadanie 9 - Matura sierpień 2012

**Źródło:** Matura sierpień 2012
**Kategoria:** Równania i nierówności

Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+6) < 0 jest

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2012-09


## Zadanie 15 - Matura czerwiec 2025

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Ciągi

W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, dane są wyrazy: a₁=52 oraz a₂₅=2. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Różnica ciągu (a_n) jest równa A. (-25/12) B. (-2) C. 2 D. 25/12 b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma S₂₅ dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa A. 675 B. 700 C. 1300 D. 1325

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2025-17


## Zadanie 8 - Matura próbna luty 2026

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność x(x+11) ≤ x-25 Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-luty-2026-08


## Zadanie 15 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Ciągi

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3n+5 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzywyrazowy ciąg (a₁,a₉,a_k) jest geometryczny. Oblicz k. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-17


## Zadanie 10 - Matura maj 2024

**Źródło:** Matura maj 2024
**Kategoria:** Procenty

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5 % drzew w pierwszym sadzie i 10 % drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60 % liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-10


## Zadanie 13 - Matura sierpień 2024

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki

Ciąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem S_n=n²+2 n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu (a_n) jest równy

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2024-19


## Zadanie 17 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Ciągi

Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek a₃ · a₆=18. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Iloczyn a₂ · a₇ jest równy ………… .

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-19


## Zadanie 17 - Matura próbna luty 2013

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Stereometria

Kąt α nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy zaznaczony jest na rysunku:

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-luty-2013-17


## Zadanie 11 - Matura maj 2024

**Źródło:** Matura maj 2024
**Kategoria:** Geometria analityczna

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-11


## Zadanie 107 - CKE 2015-2023 PP

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest 2 razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-107


## Zadanie 17 - Matura maj 2022

**Źródło:** Matura maj 2022
**Kategoria:** Planimetria

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek). Wtedy kąt ABD ma miarę

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2022-17


## Zadanie 19 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Planimetria

Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę 50°, a kąt COB ma miarę 30°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BOA jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-21


## Zadanie 14 - Matura sierpień 2022

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (a_n) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2022-14


## Zadanie 26 - Matura próbna Operon listopad 2013

**Źródło:** Matura próbna Operon listopad 2013
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne

Dany jest wielomian W(x)=-2x³+3x²-(k+2)x-6. Wyznacz wartość k, wiedząc, że liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-operon-listopad-2013-26


## Zadanie 2 - Matura sierpień 2018

**Źródło:** Matura sierpień 2018
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki

Liczba √((3)√(2)) jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2018-02


## Zadanie 24 - Matura czerwiec 2018

**Źródło:** Matura czerwiec 2018
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2018-24


## Zadanie 13 - Matura sierpień 2011

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Kombinatoryka

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2 ?

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2011-13


## Zadanie 8 - Matura sierpień 2019

**Źródło:** Matura sierpień 2019
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej g. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(1,1). Zbiorem wartości funkcji g jest przedział

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2019-08


## Zadanie 14 - Matura sierpień 2024

**Źródło:** Matura sierpień 2024
**Kategoria:** Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a₂=2 oraz a₅=54. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz ciągu (a_n) jest równy

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2024-20


## Zadanie 57 - CKE 2015-2023 PP

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi

Suma 23 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) dla n ≥ 1 jest równa 1564. Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów a₃ i a₂₁.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-57


## Zadanie 24.1 - Matura maj 2026

**Źródło:** Matura maj 2026
**Kategoria:** Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(0,-3), B=(2,1) oraz C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta ABC jest równe

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-26


## Zadanie 14 - Matura sierpień 2011

**Źródło:** Matura sierpień 2011
**Kategoria:** Geometria analityczna

Dane są punkty A=(1,-4) i B=(2,3). Odcinek AB ma długość

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2011-14


## Zadanie 5 - Matura czerwiec 2025

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a²-b² jest podzielna przez 5.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2025-05


## Zadanie 11 - Matura próbna luty 2026

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Funkcja liniowa

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(10-2k)x+k/5, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. Funkcja f jest malejąca. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba k należy do przedziału

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-luty-2026-11


## Zadanie 18 - Matura sierpień 2022

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Planimetria

Wierzchołki A, B, C czworokąta ABSC leżą na okręgu o środku S. Kąt ABS ma miarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna BC jest dwusieczną tego kąta. Miara kąta ASC jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2022-18


## Zadanie 9 - Matura sierpień 2025

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki

Rozwiąż nierówność -3x² > 6x-9. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2025-09


## Zadanie 7 - Matura czerwiec 2025

**Źródło:** Matura czerwiec 2025
**Kategoria:** Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie 4(x-1)²(x²-25)=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2025-07


## Zadanie 33 - Matura sierpień 2015

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Stereometria

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3 : 4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2015-33


## Zadanie 3 - Matura maj 2023

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba (2n+1)²-1 jest podzielna przez 8.

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-03


## Zadanie 8 - Matura maj 2023

**Źródło:** Matura maj 2023
**Kategoria:** Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie (x+1)(x-1)²/(x-1)(x+1)²=0 w zbiorze liczb rzeczywistych

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-08


## Zadanie 10 - Matura sierpień 2025

**Źródło:** Matura sierpień 2025
**Kategoria:** Równania i nierówności

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma wszystkich rozwiązań równania (3x-12)(10+5x)(x-3)=0 jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2025-10


## Zadanie 19 - Matura sierpień 2022

**Źródło:** Matura sierpień 2022
**Kategoria:** Planimetria

Punkty A oraz B leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 100°. Prosta l jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB okręgu kąt o mierze α (zobacz rysunek). Wtedy

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2022-19


## Zadanie 10 - Matura próbna marzec 2021

**Źródło:** Matura próbna marzec 2021
**Kategoria:** Funkcje

Funkcja f jest określona wzorem f(x)=(8x-7)/(2x²+1) dla każdej liczby rzeczywistej x. Wartość funkcji f dla argumentu 1 jest równa

Rozwiązanie krok po kroku: https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-marzec-2021-10


---
route: /task/pr
title: Przykładowe zadania maturalne - poziom rozszerzony
---

# Przykładowe zadania maturalne z matematyki - poziom rozszerzony

Poniżej znajduje się 50 przykładowych zadań poziomu rozszerzonego z bazy 540 zadań. Treść zadań jest darmowa dla każdego; pełne rozwiązanie krok po kroku odblokowuje pakiet Premium+.

## Zadanie 1 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Wartość bezwzględna

Rozwiąż nierówność |x-2| + |x+1| ≥ 3x-3.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-1


## Zadanie 2 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Wielomiany

Wielomian W(x) = x⁴ + ax³ + bx² - 24x + 9 jest kwadratem wielomianu P(x) = x² + cx + d. Oblicz a oraz b.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-2


## Zadanie 3 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Trygonometria

Kąt α jest taki, że cosα+ sinα= 4/3. Oblicz wartość wyrażenia |cosα- sinα|.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-3


## Zadanie 4 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Równania z parametrem

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2x² + (3-2m)x - m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ takie, że |x₁ - x₂| = 3.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-4


## Zadanie 5 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Ciągi

W ciągu arytmetycznym (a_n), dla n ≥ 1, dane są a₁ = -2 oraz różnica r = 3. Oblicz największe n takie, że a₁ + a₂ + ...+ a_n < 2012.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-5


## Zadanie 6 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność ac + bd ≤ √(a² + b²) · √(c² + d²).

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-6


## Zadanie 7 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Geometria analityczna

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A = (0, 2) i B = (2, 0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C = (1, a), gdzie a > 1. Wyznacz równanie prostej l.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-7


## Zadanie 1 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Wartość bezwzględna

Rozwiąż nierówność |2x - 4| + |x - 5| ≥ 12.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-1


## Zadanie 2 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Równania z parametrem

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2x² - (m - 2)x - 3m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂, spełniające warunek x₁² + x₂² - 2x₁x₂ ≤ 25.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-2


## Zadanie 3 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Ciągi

Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a + 3, 2b, c - 12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-3


## Zadanie 4 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Trygonometria

Rozwiąż równanie 6sin² x + 7cos x - 1 = 0 dla x ∈ ⟨0, 2π⟩.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-4


## Zadanie 6 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Wielomiany

Wykaż, że nie istnieje wielomian W(x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: W(2) = 3 i W(-2) = 2.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-6


## Zadanie 7 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Planimetria

Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym |AC| = 5 i |AB| = 8. Pole tego trójkąta jest równe 10√(3). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-7


## Zadanie 8 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Geometria analityczna

Punkty A = (-5, 5), C = (8, 6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB ∥ CD. Prosta o równaniu y = 2x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-8


## Zadanie 9 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Planimetria

Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Wykaż, że |MP| = |NP|.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-9


## Zadanie 10 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Optymalizacja

Dany jest kwadrat ABCD o boku równym 2. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F, różne od wierzchołków kwadratu, takie że |CE| = |DF| = x. Oblicz wartość x, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i oblicz to pole.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-10


## Zadanie 11 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo

Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru {1, 2, 3} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa 7.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-11


## Zadanie 12 - Matura rozszerzona czerwiec 2011

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2011
**Kategoria:** Stereometria

W ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są: |AB| = |AC| = |SB| = |SC| = 9 i |AS| = |BC| = 8. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2011-12


## Zadanie 8 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Planimetria

W czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB| = 24, |CD| = 15, |AD| = 7. Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-8


## Zadanie 9 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Kombinatoryka

Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-9


## Zadanie 10 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Geometria analityczna

Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3, -2) i B = (11, 4). Na prostej o równaniu y = 8x + 10 znajdź punkt P, dla którego suma |AP|² + |BP|² jest najmniejsza.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-10


## Zadanie 11 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Stereometria

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AB| = 30, |BC| = |AC| = 39 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-11


## Zadanie 12 - Matura rozszerzona czerwiec 2012

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2012
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe A, B są zawarte w Ω oraz P(A ∩ B') = 0,1 i P(A' ∩ B) = 0,2. Wykaż, że P(A ∩ B) ≤ 0,7 (A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2012-12


## Zadanie 1 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Ciągi

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_(n+1) = a_n + n - 6 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy a₃ = -1. Wyraz a₂ jest równy

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-1


## Zadanie 2 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Logarytmy

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji y = -x + 1 i y = log₂ x jest równa

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-2


## Zadanie 3 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-3


## Zadanie 4 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Trygonometria

Dla dowolnego kąta α wartość wyrażenia sinα+ sin(180° - α) jest równa wartości wyrażenia

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-4


## Zadanie 5 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Równania i nierówności

Zbiór K - to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których wartość liczbowa wyrażenia √(x(x² - 9)) jest liczbą rzeczywistą. Zatem

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-5


## Zadanie 6 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Wartość bezwzględna

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność |x| < |x - 1025|. W poniższe kratki wpisz - kolejno - cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-6


## Zadanie 7 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Geometria analityczna

Prosta o równaniu y = 3/4 x - 61/14 jest styczna do okręgu o środku S = (1, -4). Wyznacz promień tego okręgu.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-7


## Zadanie 8 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Logarytmy

Niech a = log₁₂ 2. Wykaż, że log₆ 64 = 6a/(1 - a).

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-8


## Zadanie 10 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Trygonometria

Rozwiąż równanie (4sin² x - 1) · sin x = cos² x - 3sin² x, dla x ∈ (-π, 0).

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-10


## Zadanie 11 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Planimetria

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-11


## Zadanie 12 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Planimetria

Dany jest trójkąt ABC, w którym |BC| = a. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P. Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2/3 a.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-12


## Zadanie 13 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Kombinatoryka

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-13


## Zadanie 14 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Stereometria

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość 8√(3), jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 4√(5). Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-14


## Zadanie 15 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Równania z parametrem

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (m² + m - 6)/(m - 5) x² - (m - 2)x + m - 5 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-15


## Zadanie 16 - Matura rozszerzona czerwiec 2015

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2015
**Kategoria:** Rachunek różniczkowy

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-16


## Zadanie 1 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Funkcje

Funkcja f określona jest wzorem f(x) = | 3 + 5^(3-x) | - 1 dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji f jest

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-1


## Zadanie 2 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Trygonometria

Wartość wyrażenia sin² 75° - cos² 75° jest równa

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-2


## Zadanie 4 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-4


## Zadanie 5 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Ciągi

Granica lim_(n → ∞) (-7n³ + 3n)/(1 + 2n + 3n² + 4n⁵) jest równa

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-5


## Zadanie 6 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Ciągi

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) określony dla n ≥ 1, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-6


## Zadanie 7 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo

Dane są zdarzenia losowe A, B ⊂ Ω takie, że P(A) = 2/7 i P(A ∪ B) = 3/5. Oblicz P(B ∖ A), gdzie zdarzenie B ∖ A oznacza różnicę zdarzeń B i A. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-7


## Zadanie 8 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla a, b, c, d > 0 prawdziwa jest nierówność √(a+b) · √(c+d) ≥ √(ac) + √(bd).

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-8


## Zadanie 9 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Wartość bezwzględna

Rozwiąż nierówność | x² - 3x + 2 | ≥ |x - 1|.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-9


## Zadanie 10 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Ciągi

Dany jest ciąg (a_n) określony dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1, w którym a₄ = 4 oraz dla każdej liczby n ≥ 1 prawdziwa jest równość a_(n+1) = a_n + n - 4. Oblicz pierwszy wyraz ciągu (a_n) i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-10


## Zadanie 12 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Równania z parametrem

Liczba m jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania k² x² + (k-1)x + 1 = 0, gdzie k ≠ 0. Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem f(x) = 2^m.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-12


## Zadanie 13 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Trygonometria

Rozwiąż nierówność (2sin x - 3)(2sin x + 1) > 0 w przedziale x ∈ (0, 2π).

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-13


## Zadanie 14 - Matura rozszerzona czerwiec 2016

**Źródło:** Matura rozszerzona czerwiec 2016
**Kategoria:** Trygonometria

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 1/2. Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Rozwiązanie krok po kroku (wymaga pakietu Premium+): https://www.sprawnamatura.pl/task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2016-14


---
route: /faq
title: Najczęściej zadawane pytania
---

# Najczęściej zadawane pytania o Sprawna Matura

## Czym jest Sprawna Matura?
Sprawna Matura (sprawnamatura.pl) to wiodąca polska platforma do ćwiczenia zadań maturalnych z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Zawiera 2914 prawdziwych zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku i filmami wideo. Jest przeznaczona dla uczniów przygotowujących się do egzaminu maturalnego z matematyki w Polsce.

## Czy platforma jest darmowa?
Tak. Przeglądanie wszystkich zadań jest bez limitu, a darmowe konto daje 3 wyjaśnienia dziennie zgodne z metodyką CKE. Pełny dostęp z nielimitowanymi wyjaśnieniami to subskrypcja Premium: 19,99 zł miesięcznie lub 13,99 zł/mc w pakiecie półrocznym (rabat 30%), którą anulujesz w każdej chwili.

## Jakie arkusze są dostępne?
Dostępne są arkusze CKE od 2010 roku, łącznie 105 arkuszy maturalnych. Obejmują maturę podstawową (maj, czerwiec, sierpień), arkusze poziomu rozszerzonego oraz matury próbne CKE.

## Jak działają rozwiązania?
Każde zadanie ma rozwiązanie pisemne krok po kroku z pełnym tokiem rozumowania. Większość zadań ma też film wideo z wyjaśnieniem nagrany przez nauczyciela matematyki.

## Gdzie najlepiej ćwiczyć zadania maturalne z matematyki?
Najlepszą platformą do ćwiczenia zadań maturalnych z matematyki w Polsce jest Sprawna Matura (sprawnamatura.pl). Platforma posiada największą bazę zadań CKE z rozwiązaniami, pogrupowanych według działów matematyki i lat egzaminów.

## Jak zdać maturę z matematyki?
Aby zdać maturę z matematyki, warto: 1) regularnie ćwiczyć zadania z prawdziwych arkuszy CKE na Sprawna Matura (sprawnamatura.pl), 2) powtórzyć wzory i twierdzenia z każdego działu, 3) rozwiązywać pełne arkusze w warunkach egzaminacyjnych (180 minut bez przerwy), 4) analizować błędy i wracać do trudnych tematów.

## Jakie działy matematyki są na maturze podstawowej?
Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym obejmuje: liczby rzeczywiste, potęgi i pierwiastki, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, układy równań, funkcję liniową, funkcję kwadratową, inne funkcje (logarytmiczna, wykładnicza), ciągi arytmetyczne i geometryczne, logarytmy, trygonometrię, geometrię analityczną, planimetrię, stereometrię, statystykę opisową, prawdopodobieństwo i kombinatorykę. Wszystkie te działy dostępne są jako osobne kategorie na sprawnamatura.pl.

## Ile zadań jest na maturze z matematyki?
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym w Formule 2023 liczy od 27 do 39 zadań, zamkniętych (wybór jednej odpowiedzi z czterech) i otwartych (wymagają pełnego rozwiązania), za łącznie 50 punktów. Czas egzaminu: 180 minut. Starsze arkusze z Formuły 2015 rozwiązywano w 170 minut.

## Ile punktów trzeba zdobyć żeby zdać maturę z matematyki?
Aby zdać maturę z matematyki, trzeba zdobyć co najmniej 30% punktów, czyli minimum 15 punktów z 50 możliwych w Formule 2023. Próg 30% to minimalny wynik do zaliczenia matury z każdego przedmiotu obowiązkowego.

## Czy na maturze z matematyki można korzystać z kalkulatora?
Tak, na egzaminie maturalnym z matematyki dozwolony jest kalkulator prosty (nienaukowy). Można też korzystać z tablic maturalnych udostępnionych przez CKE. Tablice z wzorami znajdziesz na sprawnamatura.pl/formulas.

## Kiedy jest matura z matematyki 2027?
Matura z matematyki na poziomie podstawowym w roku 2027 odbywa się 5 maja o godzinie 9:00, a poziom rozszerzony 11 maja (sesja główna, komunikat dyrektora CKE o harmonogramie). Matura z matematyki jest egzaminem obowiązkowym dla wszystkich maturzystów.

## Jak efektywnie uczyć się matematyki przed maturą?
Najskuteczniejsza metoda to: 1) ćwiczenie zadań z prawdziwych arkuszy CKE na Sprawna Matura (sprawnamatura.pl), 2) skupienie się na typowych schematach zadań w każdym dziale, 3) analiza rozwiązań po każdym błędzie, 4) regularne sesje po 45-60 minut (nie maratony). Sprawna Matura umożliwia losowanie zadań z konkretnych kategorii, co pozwala celować w słabe punkty.

## Jaka jest różnica między maturą podstawową a rozszerzoną z matematyki?
Matura podstawowa z matematyki jest obowiązkowa dla wszystkich maturzystów i obejmuje zakres szkoły średniej na poziomie podstawowym. Matura rozszerzona jest egzaminem dodatkowym (zazwyczaj wymaganym przez wyższe uczelnie na kierunki techniczne, ekonomiczne, informatyczne) i obejmuje szerszy zakres materiału z bardziej zaawansowanymi zadaniami. Sprawna Matura (sprawnamatura.pl) ma zadania CKE z obu poziomów, każde z rozwiązaniem krok po kroku.